numeros reales

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Módulo de Matemática 1

UNIDAD UNO Sistema de los números reales

“En las matemáticas es donde el espíritu encuentra los elementos que más ansía la continuidad y la

perseverancia”.

Jacques Anatole

Introducción Usualmente nos encontramos con preguntas como ¿cuántos hay?, o, ¿cuánto mide?… La respuesta a estos interrogantes con certeza es un número que en muchas ocasiones requiere de procedimientos matemáticos para encontrarlo. Históricamente, los primeros números empleados fueron los naturales pues estos surgieron de la necesidad de contar; diferentes culturas empleaban sus propios instrumentos para registrar unidades, decenas, centenas, etc. La acción de medir, conlleva luego a comparar magnitudes (magnitudes

Palabras Clave Números reales, reales, números, operaciones entre reales, notación científica, potencia, fraccionario, fracciones equivalentes, amplificación, simplificación.

Unidad 1

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conmensurables), dando así origen a los números racionales positivos y las magnitudes inconmensurables halladas por los pitagóricos dan origen a los números irracionales, surgen después los números negativos, empleados por los hindúes para representar deudas y los números imaginarios de la necesidad de encontrar soluciones a las ecuaciones algebraicas.

1.1 Desarrollo temático

1.1.1 Construcción de los números reales Esta es una representación gráfica del conjunto de los números reales, los subconjuntos que lo constituyen y las relaciones entre ellos.

R

• Conjunto de los números naturales:

N =

!

0,1, 2, 3, 4,...{ } • Conjunto de los números enteros :

Z = { }...,4,3,2,1,0,12,34..., −−−−

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Observe que este conjunto contiene al conjunto de los números naturales agregando los opuestos respectivos. Es decir si 1, 2, 3, 4,… son enteros, sus opuestos −1, −2, −3, −4,… también lo son (el opuesto del cero es el mismo cero).

• Conjunto de los números racionales

Los números racionales se caracterizan porque se pueden expresar como fraccionarios con numerador y denominador enteros, con la condición de que el denominador debe ser diferente de cero.

Son ejemplos de racionales donde sus numeradores son

respectivamente −3, 1, 4, y 0 mientras que los denominadores son 4, 2, 1 y 17 respectivamente. Los números racionales también se pueden representar en forma decimal infinita periódica. Ejemplos:

Es un decimal infinito periódico de periodicidad cero.

€

56

=0.833333... Es un decimal infinito periódico. En este caso se nota el decimal

así:

€

0.833333...= 0.8 3

En este conjunto no se pueden listar sus elementos en forma consecutiva como se hizo con los conjuntos anteriores, puesto que entre dos números racionales siempre se encuentran infinitos racionales (esta propiedad no la tienen los anteriores conjuntos numéricos) Se define entonces al conjunto de los números racionales así:

Q =

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Observe que este conjunto contiene tanto al conjunto de los números naturales como al conjunto de los números enteros.

• Conjunto de los números Irracionales : I Este conjunto contiene elementos numéricos que se expresan como decimales infinitos no periódicos. Ejemplos:

€

2 = 1.41421356... Es decimal infinito pero no periódico (ninguna serie de números se repite con frecuencia)

€

e =2.71828... De acuerdo con las anteriores definiciones, podemos afirmar que NO existe un real que sea racional e irracional a la vez, es decir los conjuntos numéricos racionales e irracionales NO tienen elementos en común, por lo tanto se dice que son conjuntos disjuntos.

• Conjunto de los números reales: R Este conjunto es la unión de los conjuntos anteriores, es decir

Ejemplos:

• 115 es un natural por lo tanto es un número real • −6 es un número entero que NO es natural • es un racional que NO es entero • 25 es un entero por lo tanto también es racional • 2.236067… es un número irracional por lo tanto no es racional.

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EJERCICIO 1

1) Escriba un número racional no entero. 2) Escriba un número entero que no sea natural. 3) ¿Es posible encontrar un número racional e irracional a la vez? Explique. 4) ¿Todo natural es entero? Explique. 5) ¿Todo racional es entero? Explique. 6) Dado el conjunto A de números reales

A =

Completar: a. Los naturales que pertenecen al conjunto A son: _______________________ b. Los enteros que pertenecen al conjunto A son: _________________________ c. Los racionales que pertenecen al conjunto A son:_______________________ d. Los irracionales que pertenecen al conjunto A son: _____________________

1.1.2 Ubicación de reales en la recta numérica. Se empleará la aproximación para ubicar un real en la recta numérica.

Ejemplo 1. Ubicar en la recta real

Como = 0.6 a partir de un punto de referencia al que asociamos el

número 0, se ubica una unidad de trabajo. Como en este caso el real está entre los enteros 0 y 1, se divide este segmento en 10 partes iguales y se consideran 6. (Ver gráfica) ←++++++++++++→ 0 1 2

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Ejemplo 2. Ubicar en la recta real.

Como

€

−103

= −3.3333..., se puede aproximar a - 3.3. Este es un real que está

entre los enteros -4 y -3. Por lo tanto, este segmento se divide en 10 partes , de las cuales se consideran 3. (Ver gráfica) ←→

Ejemplo 3. Ubicar en la recta real.

EJERCICIO 2 Ubicar los siguientes reales en la recta numérica (utilizar aproximación a una cifra decimal).

a. 1.39 c. e.

b. d. − 7.06 f. 4.67

- 4 - 3 - 2 - 1 0

€

1.2 = 1.095445.... ≈ 1.1 ←++++++++++++→ 0 1 2

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Taller 1

1) Dado el conjunto B =

a. Determinar qué elementos del conjunto B son naturales, enteros, racionales o irracionales.

b. Ubicar cada uno de los elementos del conjunto B en la recta numérica. 2) Para cada situación, muestre dos ejemplos (si existen) de números que

cumplan las condiciones dadas. Explique su respuesta.

a. Racionales en forma decimal periódica. b. Racionales que no sean naturales, ni enteros. c. Naturales mayores que 6 y menores que 11.

d. Racionales entre y

3) Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique

su respuesta.

a. Todo entero es racional. b. Algún natural NO es entero. c. Todo irracional es real. d. Algunos racionales NO son reales.

1.1.3 Operaciones entre números reales. Dado el conjunto de números reales, existen dos operaciones, llamadas adición y multiplicación, tales que, para cada par de números reales a y b , la adición a + b y el producto a ⋅ b son números reales. Ejemplo: Al multiplicar los reales y 2 el resultado es un único real, así:

(Verificar en la calculadora).

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También al sumar dos números reales, el resultado es un único real. Veamos:

(Verificar)

NOTA. Los símbolos empleados para la adición son: +,

y para la multiplicación se emplean: x, ( ), , , (Cuando no aparece ningún símbolo se asume que es multiplicación)

PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES

Las operaciones definidas en el conjunto de los números reales, satisfacen las siguientes propiedades: Para a, b, c ∈ R ; se cumple 1) PROPIEDAD CONMUTATIVA a + b = b + a y a ⋅ b = b ⋅ a 2) PROPIEDAD ASOCIATIVA a+ b + c = a + (b + c) = (a + b) +c ,y, a ⋅b⋅c = a⋅(b⋅c) = (a⋅b)⋅c Ejemplo: Operar 3.5 + 4 + (-1) + (-7.5) 3.5 + 4 + (-1)+ (-7.5) Aplicando la propiedad asociativa: = (3.5 + 4) + ( (-1) + (-7.5)) = 7.5 + (-8.5) = -1 3) PROPIEDAD MODULATIVA Para todo real a se cumple: a + 0 =0 + a = a , y, 1⋅a = a 4) PROPIEDAD DISTRIBUTIVA ab + ac = a (b + c) . También ba + ca = (b + c)a

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Si observa la expresión de la parte izquierda de alguna de estas igualdades, se puede dar cuenta que hay dos términos o sumandos, mientras que en la parte derecha hay dos factores, es decir, la expresión está FACTORIZADA. Ejemplos: 1. Utilizando la propiedad distributiva, factorizar la expresión: mn + mbc + m Solución: Como se puede dar cuenta m es un factor común a los tres términos de la suma. Luego, mn + mbc + m = m( n +bc + 1) 2. Comprobar la igualdad r + r + r + r = 4r Solución. r + r + r + r Utilizando la propiedad distributiva: = r (1 +1+ 1+ 1) = r⋅4 Utilizando la propiedad conmutativa: = 4r 5) PROPIEDAD INVERTIVA a) Para todo a ∈ R, existe −a llamado OPUESTO de a, o INVERSO ADITIVO de a, tal que: a + (−a) = 0 NOTA: a + (−a) se escribe en forma equivalente como: a − a Ejemplo: El opuesto del real − 4.56 es 4.56 porque − 4.56 + 4.56 = 0 b) Para todo a∈ R, a ≠ 0, existe un único número real llamado RECÍPROCO o

INVERSO MULTIPLICATIVO, notado por a -1 o tal que : a⋅a-1 = 1

Ejemplo 1: El recíproco de porque

Ejemplo 2: El recíproco de x + 1 es , ¿ Por qué ?

Aplicando las propiedades de números reales, se verifican las siguientes igualdades

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Ejemplos: Utilizando las propiedades de las operaciones y las anteriores igualdades, reducir las siguientes expresiones:

1.

2.

3. Desarrollo

1) La expresión tiene 3 términos o sumandos que son:

(−4)(−5) , 8, y, ,

Aplicando las propiedades en cada uno de estos términos se tiene:

= Para reducir el primer término se empleó la igualdad 5, mientras que en el tercer término se empleó la igualdad 6. = Propiedad asociativa en el tercer término

1) -( - a) = a 2) -( a + b) = (-a) + ( -b) = - a- b 3) -(a - b) = b -a 4) (-a)b = -ab = a(-b) 5) (-a)(-b) = ab Si a y b son reales diferentes de cero:

6)

7) (ab) -1 = a -1b -1 8) a ÷ b = ab -1 9) (a -1)-1 = a

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= Propiedad asociativa de la adición =

Por tanto: = 18

Seguramente, usted encontrará otro camino para reducir la expresión, en tal caso, es importante revisar qué propiedad ha sido aplicada, de esta manera el procedimiento quedará justificado y la respuesta debe ser la misma. 2) Los términos principales de la expresión dada son: 12, ,y,

Por lo tanto, al aplicar las propiedades mencionadas, tenemos:

=

=

=

=

= =

=

= = 3) = Se aplicó la propiedad distributiva en el primer y tercer término. = Propiedad asociativa = Propiedad distributiva = Propiedad asociativa =

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EJERCICIO 3 Simplificar cada expresión utilizando las propiedades de las operaciones. 1) 3 − { − 5 + 5( 2 + 3) − 2}5 + 1 2) 20 − 7(3 + 4) − 1.5 + 0.5 3) 100 + 50(3 − (− 7))2 − 1 4) Determinar cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles falsas. INDICAR las reglas que se infringen.

5) Utilizando las propiedades de los números reales, REDUCIR: a) - (2x + 3y) - ( -2z - 8x + y) b) {- (m + 2n +p)} + {(m + n+ p)} c) 7 - 4(m + 3) + (m -5)2 + 8 d) - ( - ( -5x)) + (-(-x + y)) e) { - (8x + 3y - 1)} - {( - 7x +3)5} f) m + 8(m + 5)2-3 + 4.5m g) 21 - 9(- d + 3)- ( 5 - 4d)2 – 3 h) -2{-(x-y)-3(x+y)}-x+y i) (a-b)2-(a+2b)(a+3b) j) 5(x-y)(x+2y)-(x-y)(x+y)+(2x-3y)2

1.1.4 Potenciación

DEFINICIÓN:

€

an = a ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ ...⋅ an factores

, donde n es un entero positivo y a es un número real.

El número real a se llama base y el entero n se denomina exponente. a0 = 1, si a ≠ 0

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Si a , b son reales diferentes de cero y m,n son enteros, se cumple : 1) am ⋅ an = am+n 3) (a⋅b)m = am⋅bm

2) (am) n = am⋅n 4) 5)

Ejemplos: 1) p5 = p⋅p⋅p⋅p⋅p

2)

3) (a + b) 2 = (a + b)(a + b)

4)

PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS

Taller 2

1) Determinar si las siguientes igualdades son ciertas o no y explicar. a) 7(a + b)2 = 7a2 + 14ab + 7b2 b) a3(b ⋅ c) = (a3 ⋅ b) (a3 ⋅ c)

c) 2x -2 =

d) Si m = 2n , n = r2 entonces m3 − n3 = 7r6

2) Operar, expresando el resultado en forma simplificada y con exponentes positivos

DEFINICIÓN

Si a ∈ R, a ≠ 0 , n entero positivo entonces

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a) − 23 −(− 5)2 b) 2(a + b)2 + a2 − ab c)

d) a-2(bac2)2 e) (5x2)(3x3)(2xy) 3) Si se sabe que a = 2b y b = c2 , comprobar : a) a3c3 - 6a2c3b + 12ac3b2 - 8c 3b3 = 0 b) 4a2 + 12ab +ab = 42c4 c) a2 -ab - 2b2 = 0

4) Para cada expresión calcular el valor numérico si

a)

b)

c)

d)

5) Empleando las propiedades de los reales, operar y reducir:

a) 0.7(x + 2)2 + 3 ( x − 0.3) b) 150 − 5( m + 30 − 3m) + 7m( m +6) c) 1 − 5( w 2 − n 2) + 20 − 4( w + 2n)2 d) 84b + 7[ − 3n + 2( 5 −3b) + 1]2 + 1

1.1.5 Notación Científica Cuando se hacen operaciones con números muy grandes o pequeños, los cálculos se vuelven pesados. La notación científica nos permite escribir estos números de forma más corta y hacer las operaciones de una forma más ágil. La notación científica equivale a la multiplicación entre un número decimal y una potencia de 10. Las unidades que se consideran en el decimal tienen un único dígito mayor o igual que uno.

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Las potencias de 10, son: 10, 102, 103,…, 10n, donde n representa la cantidad de cifras decimales que se debe correr el punto a izquierda o derecha para obtener el número que corresponde. Si el exponente de la potencia es positivo el punto se desplazará a la derecha n posiciones y si el exponente es negativo, el punto se desplazará a izquierda n posiciones. Observe los siguientes ejemplos :

1.5 x 1013 = 15000000000000

3.25 x 10 -5 = 0.0000325

0.004 = 4 x 10 -3

38522000000 = 3.8522 x 1010

EJERCICIO 4 1. Expresar en notación científica cada una de las siguientes cantidades: a) 4200 b) 2560000000 c) 0.025 d) 0.000000016394 e) 36000 f) 0.002121 g) 0.0009 h) 235.14 2. Expresar sin exponentes cada una de las siguientes cantidades:

a) b) c)

d) e) f)

3. Efectuar las siguientes operaciones. Utilizar la calculadora para

comprobar los resultados obtenidos.

a) b)

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c) d)

e) f)

4. Para el año 1992 la deuda pública (en dólares) era y la

deuda privada (en dólares) . La población en esa fecha era aproximadamente de 37500000.

(Datos tomados de: www.dane.gov.co/index.php?option=com_content&task=section&id=33&Itemid=70.) a) Encontrar el promedio de la deuda total por cada persona. (la deuda percápita) b) La deuda pública y privada total para el año 1985 era de

aproximadamente 14226000000 de dólares. ¿Cuál fue la diferencia de la deuda total entre 1992 y 1985?

Taller 3 Efectuar cada una de las siguientes operaciones. Utilizar la calculadora para comprobar los resultados obtenidos.

1. 2.

3. 4.

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Resolver cada uno de los siguientes problemas:

1) La utilidad de tres empresas durante un año, fue en su orden:

Empresa A………… 497538 millones de dólares. Empresa B……… 271461 millones de dólares. Empresa C………. 197957 millones de dólares.

a) Exprese la utilidad total de las tres empresas utilizando notación científica.

b) Si se asume que la población beneficiaria de estas empresas es de 35 millones de personas, si se reparte dicha utilidad equitativamente entre todos sus habitantes, ¿cuánto dinero le correspondería a cada persona? Justifique su respuesta.

2) En Estados Unidos, un camión recorre en promedio una distancia de

al año. Si el camión se desplaza a una velocidad promedio

de metros por hora, determine cuántas horas trabajó al año.

Usar la relación: , en donde: D representa la distancia recorrida,

V la velocidad y, T el tiempo. ( Tomado de la Revista Diners N. 65, Julio 21 de 1988 ) 3) Un billón de dólares equivale a 1 millón de millones de dólares. Determine cuántos billetes de US$50 se necesitan para constituir la cantidad mencionada. 4) Si el salario mínimo es de US$203, ¿cuántos salarios mínimos se pueden pagar con dos billones de pesos, si un dólar equivale a 2000 pesos?

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1.1.6 Operaciones entre fracciones

Simplificación Simplificar un número fraccionario consiste en dividir por el mismo entero (diferente de cero) tanto el numerador como el denominador de la fracción. Amplificación Amplificar un número fraccionario, consiste en multiplicar por el mismo entero (diferente de cero) tanto el numerador como el denominador de la fracción. Esta operación es inversa a la simplificación. Nota: Cuando un número fraccionario se simplifica o se amplifica, las fracciones que resultan en este proceso se llaman EQUIVALENTES entre sí y se relacionan mediante una igualdad (=).

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EJERCICIO 5

2) Escriba dos números fraccionarios menores que

3) Escriba un número entero mayor que

4) Escriba un número fraccionario mayor que y menor que

5) Escriba un número fraccionario NO mayor que

6) Escriba un número fraccionario superior a 200

7) Escriba un número fraccionario inferior a 1.5

8) Complete las siguientes igualdades, de tal forma que los fraccionarios sean equivalentes

9) Sombree las partes del área de la región.

1) De los siguientes fraccionarios, separe los que son menores que una unidad, los que son iguales y los que son mayores a una unidad:

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La parte que quedó sombreada corresponde en dieciseisavos a: ______________ (Verifique gráficamente) Suma y resta de fracciones La siguiente propiedad nos orienta sobre cómo sumar fraccionarios.

Si usted revisa esta propiedad, podrá darse cuenta que para su aplicación, las fracciones deben tener el mismo denominador. ¿Qué ocurre si las fracciones no tienen el mismo denominador? Si las fracciones no tienen el mismo denominador, se deben encontrar expresiones equivalentes con el mismo denominador. Existen muchas formas de expresar fracciones diferentes con el mismo denominador, pero, para sumar fracciones vamos a unificar el denominador utilizando el mínimo común múltiplo entre los denominadores, llamado COMÚN DENOMINADOR.

RECUERDE

El MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO entre dos enteros positivos m, n se define como el menor múltiplo común (diferente de cero) a las cantidades m y n. Ejemplos:

1) Operar y simplificar

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Solución: Como las expresiones que se van a sumar tienen diferente denominador, se debe hallar el común denominador, equivalente al MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO entre 3 y 9. Algunos de los infinitos múltiplos comunes de 3 y 9 son: 0, 9, 18, 27, 36, 45, ....pero, el menor múltiplo común diferente de cero es 9.

Amplificando la primera fracción por 3 con el propósito de

que las dos queden con denominador común, tenemos:

Aplicando la propiedad de suma:

2) Operar y simplificar

Solución: El mínimo común múltiplo entre los denominadores: 21, 7 y 49 es 147 (¿Por qué?) Luego:

=

=

=

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EJERCICIO 6

1) Completar:

2) Operar y simplificar: =

3) Expresar como la suma de dos fraccionarios y representar la suma

gráficamente.

4) Expresar como la resta de dos fraccionarios.

5) Expresar como la suma de un entero y un fraccionario

6) Carlos gastó la cuarta parte del dinero que le envió su padre en un vestido, si además gastó las dos terceras partes en alimentación, ¿qué parte del dinero gastó en total? ¿Qué parte de dinero le queda aún?

7) Un comerciante envió la séptima parte de la mercancía que tenía en

bodega a la ciudad A y las dos quintas partes a la ciudad B. ¿Qué parte de la mercancía sigue almacenada en bodega?

8) Carlota gastó 9 / 4 horas para viajar de Tunja a Bogotá y 8 / 3 horas

para viajar de Bogotá a Melgar. Si los recorridos fueron consecutivos, ¿cuánto tiempo gastó de Tunja a Melgar?

9) Después de que Nicolás salió de su trabajo, gastó de hora

conversando con un amigo, esperó el bus durante media hora y gastó

de hora en llegar a su casa, si estas actividades las hizo en forma consecutiva y salió del trabajo a las 3 p.m. , ¿a qué hora llegó a su casa?

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10) Una persona compra siete y media libras de carne fina, 20 y 3 / 4 de carne de segunda y 5 libras de hueso. ¿Cuál es el peso total de todo el pedido?

Multiplicación y división de números fracciones Para multiplicar fraccionarios, es necesario considerar la siguiente propiedad:

( b y d diferentes de cero)

y para dividir fraccionarios tenga en cuenta la propiedad:

( b,d,c diferentes de cero )

EJERCICIO 7

2) Completar:

a) La mitad de aumentada en es:_________________

b) El triplo de sumado con las cuatro quintas partes de

es:_________________

c) El producto entre la cuarta parte de con es:___________________

1) Calcular:

a) Las dos terceras partes de la mitad de 60

b) Las dos quintas partes de un medio c) Los tres centésimos de 45 d) Los dos décimos de 150 e) La milésima parte de 550

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d) La sexta parte de los de un cuarto es: _____________________

3) Realizar las operaciones indicadas y simplificar la respuesta, si es posible:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

4 ) Solucionar cada uno de los siguientes problemas: a) Tengo US$500000, gasto las tres quintas partes y luego las tres cuartas

partes de lo que me quedó. ¿Cuánto me queda?

b) José y Manuel participaron en un partido de fútbol, José jugó 6/8 del partido y Manuel 3/4. ¿Cuál de los dos jugó más tiempo?

c) Me deben los de US$96000; si me pagan los tres cuartos de lo que me

deben, ¿cuánto me deben aún?

d) Si una persona emplea del día en trabajar y el resto para descansar,

¿qué parte del día descansa y cuántas horas?

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e) Una persona tiene US$25000 e invierte los de esta cantidad en bonos,

¿qué cantidad le queda sin invertir?

f) La edad de Angélica es de las dos terceras partes de la edad de

Lucia. Si Lucia tiene 24 años, ¿cuántos años tiene Angélica?

5) Operar y simplificar.

c) d)

e)

Taller 4

1) Si m es el recíproco de n y n es el opuesto de p , y, p = , entonces :

a) n − 2p + m2 es igual a : _________________

b) es igual a : ________________

c) Comprobar que :

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2) Operar y simplificar:

a) b)

1.2 Síntesis Los conjuntos numéricos que conforman el de

los números reales son el conjunto de los números naturales, el de los números enteros, el de los números racionales y el conjunto de los números irracionales. El conjunto de los números naturales está contenido en el de los números enteros y éste a su vez está contenido en el de los números racionales. Vale la pena anotar que el conjunto de los racionales y el conjunto de los irracionales son disjuntos, es decir, no tienen elementos en común, pero la unión de estos conforma el conjunto de los números reales.

Cuando se adicionan expresiones reales, se deben tener en cuenta las propiedades de la adición, teniendo el cuidado que sólo se pueden adicionar términos semejantes, es decir, aquellos que sólo difieren en su coeficiente numérico. Una potencia es una expresión que tiene una base y un exponente, si el exponente es un número natural diferente de cero, nos indica el número de veces que debe multiplicar la base. Para mayor agilidad en los cálculos debe tener presente las propiedades.

numeros reales

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