nx nastran 8 basic nonlinear analysis user's guide

7/28/2019 NX Nastran 8 Basic Nonlinear Analysis User's Guide

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N X N a s t r a n 8 B a s i c N o n l i n e a r

A n a l y s i s U s e r ’ s G u i d e



P r o p r i e t a r y & R e s t r i c t e d R i g h t s N o t i c e

© 2 0 1 1 S i e m e n s P r o d u c t L i f e c y c l e M a n a g e m e n t S o f t w a r e I n c . A l l R i g h t s R e s e r v e d . T h i s s o f t w a r e a n d r e l a t e d d o c u m e n t a t i o n a r e p r o p r i e t a r y t o S i e m e n s P r o d u c t L i f e c y c l e M a n a g e m e n t S o f t w a r e I n c .

N A S T R A N i s a r e g i s t e r e d t r a d e m a r k o f t h e N a t i o n a l A e r o n a u t i c s a n d S p a c e A d m i n i s t r a t i o n . N X N a s t r a n i s a n e n h a n c e d p r o p r i e t a r y v e r s i o n d e v e l o p e d a n d m a i n t a i n e d b y S i e m e n s P r o d u c t L i f e c y c l e M a n a g e m e n t S o f t w a r e I n c .

M S C i s a r e g i s t e r e d t r a d e m a r k o f M S C . S o f t w a r e C o r p o r a t i o n . M S C . N a s t r a n a n d M S C . P a t r a n a r e t r a d e m a r k s o f M S C . S o f t w a r e C o r p o r a t i o n .

A l l o t h e r t r a d e m a r k s a r e t h e p r o p e r t y o f t h e i r r e s p e c t i v e o w n e r s .

T A U C S C o p y r i g h t a n d L i c e n s e

T A U C S V e r s i o n 2 . 0 , N o v e m b e r 2 9 , 2 0 0 1 . C o p y r i g h t ( c ) 2 0 0 1 , 2 0 0 2 , 2 0 0 3 b y S i v a n T o l e d o , T e l - A v i v U n i v e r s i t y , s t o l e d o @ t a u . a c . i l . A l l R i g h t s R e s e r v e d .

T A U C S L i c e n s e :

Y o u r u s e o r d i s t r i b u t i o n o f T A U C S o r a n y d e r i v a t i v e c o d e i m p l i e s t h a t y o u a g r e e t o t h i s L i c e n s e .

T H I S M A T E R I A L I S P R O V I D E D A S I S , W I T H A B S O L U T E L Y N O W A R R A N T Y E X P R E S S E D O R I M P L I E D . A N Y U S E I S A T Y O U R O W N R I S K .

P e r m i s s i o n i s h e r e b y g r a n t e d t o u s e o r c o p y t h i s p r o g r a m , p r o v i d e d t h a t t h e C o p y r i g h t , t h i s L i c e n s e , a n d t h e A v a i l a b i l i t y o f t h e o r i g i n a l v e r s i o n i s r e t a i n e d o n a l l c o p i e s . U s e r d o c u m e n t a t i o n o f a n y c o d e t h a t u s e s t h i s c o d e o r a n y d e r i v a t i v e c o d e m u s t c i t e t h e C o p y r i g h t , t h i s L i c e n s e , t h e A v a i l a b i l i t y n o t e , a n d " U s e d b y p e r m i s s i o n . " I f t h i s c o d e o r a n y d e r i v a t i v e c o d e i s a c c e s s i b l e f r o m w i t h i n M A T L A B , t h e n t y p i n g " h e l p t a u c s " m u s t c i t e t h e C o p y r i g h t , a n d " t y p e t a u c s " m u s t a l s o c i t e t h i s L i c e n s e a n d t h e A v a i l a b i l i t y n o t e . P e r m i s s i o n t o m o d i f y t h e c o d e a n d t o d i s t r i b u t e m o d i e d c o d e i s g r a n t e d , p r o v i d e d t h e C o p y r i g h t , t h i s L i c e n s e , a n d t h e A v a i l a b i l i t y n o t e a r e r e t a i n e d , a n d a n o t i c e t h a t t h e c o d e w a s m o d i e d i s i n c l u d e d . T h i s s o f t w a r e i s p r o v i d e d t o y o u f r e e o f c h a r g e .

A v a i l a b i l i t y ( T A U C S )

A s o f v e r s i o n 2 . 1 , w e d i s t r i b u t e t h e c o d e i n 4 f o r m a t s : z i p a n d t a r r e d - g z i p p e d ( t g z ) , w i t h o r w i t h o u t b i n a r i e s f o r e x t e r n a l l i b r a r i e s . T h e b u n d l e d e x t e r n a l l i b r a r i e s s h o u l d a l l o w y o u t o b u i l d

t h e t e s t p r o g r a m s o n L i n u x , W i n d o w s , a n d M a c O S X w i t h o u t i n s t a l l i n g a d d i t i o n a l s o f t w a r e . W e r e c o m m e n d t h a t y o u d o w n l o a d t h e f u l l d i s t r i b u t i o n s , a n d t h e n p e r h a p s r e p l a c e t h e b u n d l e d l i b r a r i e s b y h i g h e r p e r f o r m a n c e o n e s ( e . g . , w i t h a B L A S l i b r a r y t h a t i s s p e c i c a l l y o p t i m i z e d f o r y o u r m a c h i n e ) . I f y o u w a n t t o c o n s e r v e b a n d w i d t h a n d y o u w a n t t o i n s t a l l t h e r e q u i r e d l i b r a r i e s y o u r s e l f , d o w n l o a d t h e l e a n d i s t r i b u t i o n s . T h e z i p a n d t g z l e s a r e i d e n t i c a l , e x c e p t t h a t o n L i n u x , U n i x , a n d M a c O S , u n p a c k i n g t h e t g z l e e n s u r e s t h a t t h e c o n g u r e s c r i p t i s m a r k e d a s e x e c u t a b l e ( u n p a c k w i t h t a r z x v p f ) , o t h e r w i s e y o u w i l l h a v e t o c h a n g e i t s p e r m i s s i o n s m a n u a l l y .

2 B a s i c N o n l i n e a r A n a l y s i s U s e r ’ s G u i d e



C o n t e n t s

P r o p r i e t a r y & R e s t r i c t e d R i g h t s N o t i c e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

O v e r v i e w o f N o n l i n e a r A n a l y s i s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 - 1

C r e a t i n g a n I n p u t F i l e f o r a B a s i c N o n l i n e a r A n a l y s i s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 - 3 C a s e C o n t r o l S e c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 - 5 B u l k D a t a S e c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 - 5 P a r a m e t e r s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 - 8 N o n l i n e a r E l e m e n t O u t p u t C o d e s f o r P l o t t i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 - 1 1 N o n l i n e a r C h a r a c t e r i s t i c s a n d G e n e r a l R e c o m m e n d a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 - 1 1

E l e m e n t s f o r N o n l i n e a r A n a l y s i s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 - 1

O v e r v i e w o f N o n l i n e a r E l e m e n t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 - 1 S m a l l S t r a i n E l e m e n t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 - 1 0 F u l l y N o n l i n e a r H y p e r e l a s t i c E l e m e n t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 - 1 4 B u s h i n g E l e m e n t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 - 3 1 A d a p t i v e G a p E l e m e n t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 - 3 5

M a t e r i a l a n d G e o m e t r i c N o n l i n e a r i t y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 - 1

U n d e r s t a n d i n g M a t e r i a l N o n l i n e a r i t y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 - 2 N o n l i n e a r E l a s t i c M a t e r i a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 - 2

H y p e r e l a s t i c M a t e r i a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 - 3 E l a s t i c - P l a s t i c M a t e r i a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 - 1 0 V i s c o e l a s t i c M a t e r i a l i n N o n l i n e a r A n a l y s i s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 - 1 6 T e m p e r a t u r e - D e p e n d e n t M a t e r i a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 - 1 6 U n d e r s t a n d i n g G e o m e t r i c N o n l i n e a r i t y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 - 1 7

O v e r v i e w o f L o a d s f o r N o n l i n e a r A n a l y s i s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 - 1

O v e r v i e w o f N o n l i n e a r S t a t i c L o a d s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 - 2 O v e r v i e w o f N o n l i n e a r T r a n s i e n t L o a d s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 - 5

N o n l i n e a r A n a l y s i s T y p e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 - 1

3 - D S l i d e L i n e C o n t a c t A n a l y s i s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 - 2

N o n l i n e a r S t a t i c A n a l y s i s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 - 1 1 N o n l i n e a r B u c k l i n g A n a l y s i s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 - 2 4 N o n l i n e a r M o d a l A n a l y s i s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 - 2 8 N o n l i n e a r T r a n s i e n t R e s p o n s e A n a l y s i s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 - 3 1 N o n l i n e a r A n a l y s i s W i t h S u p e r e l e m e n t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 - 4 4 G r i d P o i n t F o r c e B a l a n c e a n d E l e m e n t S t r a i n E n e r g y i n N o n l i n e a r S t a t i c A n a l y s i s . . . . . 5 - 4 4

B a s i c N o n l i n e a r A n a l y s i s U s e r ’ s G u i d e 3



C h a p t e r

1 O v e r v i e w o f N o n l i n e a r A n a l y s i s

• C r e a t i n g a n I n p u t F i l e f o r a B a s i c N o n l i n e a r A n a l y s i s

• C a s e C o n t r o l S e c t i o n

• B u l k D a t a S e c t i o n

• P a r a m e t e r s

• N o n l i n e a r E l e m e n t O u t p u t C o d e s f o r P l o t t i n g

• N o n l i n e a r C h a r a c t e r i s t i c s a n d G e n e r a l R e c o m m e n d a t i o n s

B a s i c N o n l i n e a r A n a l y s i s U s e r ’ s G u i d e 1 - 1



C h a p t e r 1 O v e r v i e w o f N o n l i n e a r A n a l y s i s

T h i s b o o k d e s c r i b e s t h e f e a t u r e s o f N X N a s t r a n ’ s b a s i c n o n l i n e a r c a p a b i l i t i e s w h i c h a r e a v a i l a b l e i n S o l u t i o n S e q u e n c e s 1 0 6 a n d 1 2 9 .

• f o r t h e o r e t i c a l i n f o r m a t i o n o n N X N a s t r a n ’ s b a s i c n o n l i n e a r c a p a b i l i t i e s , s e e t h e N X N a s t r a n H a n d b o o k o f N o n l i n e a r A n a l y s i s .

• F o r i n f o r m a t i o n o n N X N a s t r a n ’ s n o n l i n e a r h e a t t r a n s f e r c a p a b i l i t i e s ( S o l u t i o n S e q u e n c e s 1 5 3 a n d 1 5 9 ) , s e e t h e N X N a s t r a n T h e r m a l A n a l y s i s U s e r ’ s G u i d e .

• F o r i n f o r m a t i o n o n N X N a s t r a n ’ s a d v a n c e d n o n l i n e a r c a p a b i l i t i e s ( S o l u t i o n S e q u e n c e 6 0 1 ) , s e e t h e N X N a s t r a n S o l u t i o n 6 0 1 T h e o r y a n d M o d e l i n g G u i d e .

N o n l i n e a r e f f e c t s i n s t r u c t u r e s o c c u r m a i n l y d u e t o n o n l i n e a r m a t e r i a l s a n d l a r g e d e f o r m a t i o n s ( r o t a t i o n s a n d / o r s t r a i n s ) . C o n t a c t p r o b l e m s e x h i b i t n o n l i n e a r e f f e c t s d u e t o c h a n g e s i n b o u n d a r y c o n d i t i o n s . A l l o f t h e s e a t t r i b u t e s m a y b e r e p r e s e n t e d b y N X N a s t r a n n o n l i n e a r e l e m e n t s .

T h e n o n l i n e a r e l e m e n t l i b r a r y c o n s i s t s o f :

• C B U S H a n d C B U S H 1 D f o r g e n e r a l i z e d n o n l i n e a r s p r i n g s a n d d a m p e r s .

• C R O D , C O N R O D , a n d C T U B E f o r u n i d i r e c t i o n a l t r u s s m e m b e r s .

• C B E A M f o r a x i a l l y a n d l a t e r a l l y d e f o r m i n g l i n e m e m b e r s .

• C Q U A D 4 a n d C T R I A 3 f o r m e m b r a n e , p l a t e a n d s h e l l m o d e l i n g a n d h y p e r e l a s t i c p l a n e s t r a i n .

• C Q U A D 8 , C Q U A D , a n d C T R I A 6 f o r h y p e r e l a s t i c p l a n e s t r a i n .

• C Q U A D X a n d C T R I A X f o r h y p e r e l a s t i c a x i s y m m e t r i c m o d e l i n g .

• C H E X A , C P E N T A , C P Y R A M , a n d C T E T R A f o r s o l i d m o d e l i n g .

• C G A P a n d s l i d e l i n e c o n t a c t ( B C O N P , B L S E G , B F R I C , B W I D T H ) f o r c o n t a c t a n d f r i c t i o n m o d e l i n g .

N o n l i n e a r e l e m e n t s m a y b e c o m b i n e d w i t h l i n e a r e l e m e n t s f o r c o m p u t a t i o n a l e f c i e n c y i f t h e n o n l i n e a r e f f e c t s c a n b e l o c a l i z e d . P r i m a r y o p e r a t i o n s f o r n o n l i n e a r e l e m e n t s a r e u p d a t i n g e l e m e n t c o o r d i n a t e s a n d a p p l y i n g l o a d s f o r l a r g e d i s p l a c e m e n t s , a n d t h e i n t e r n a l r e l a x a t i o n i t e r a t i o n f o r m a t e r i a l n o n l i n e a r i t y . R e f e r t o T a b l e 2 - 1 f o r a s u m m a r y o f t h e n o n l i n e a r e l e m e n t p r o p e r t i e s .

T h e g e o m e t r i c n o n l i n e a r i t y b e c o m e s d i s c e r n i b l e w h e n t h e s t r u c t u r e i s s u b j e c t e d t o l a r g e d i s p l a c e m e n t a n d r o t a t i o n . G e o m e t r i c n o n l i n e a r e f f e c t s a r e p r o m i n e n t i n t w o d i f f e r e n t a s p e c t s : g e o m e t r i c s t i f f e n i n g d u e t o i n i t i a l d i s p l a c e m e n t s a n d s t r e s s e s , a n d f o l l o w e r f o r c e s d u e t o a c h a n g e i n l o a d s a s a f u n c t i o n o f d i s p l a c e m e n t s . T h e s e e f f e c t s a r e i n c l u d e d , b u t t h e l a r g e d e f o r m a t i o n

e f f e c t r e s u l t i n g i n l a r g e s t r a i n s i s i m p l e m e n t e d o n l y f o r h y p e r e l a s t i c m a t e r i a l s . L a r g e s t r a i n e f f e c t s a r e n o t a v a i l a b l e f o r e l a s t i c - p l a s t i c , c r e e p , o r a n y o t h e r m a t e r i a l t y p e s .

M a t e r i a l n o n l i n e a r i t y i s a n i n h e r e n t p r o p e r t y o f a n y e n g i n e e r i n g m a t e r i a l . M a t e r i a l n o n l i n e a r e f f e c t s m a y b e c l a s s i e d i n t o m a n y c a t e g o r i e s a n d t h o s e i n c l u d e d i n N X N a s t r a n a r e p l a s t i c i t y , n o n l i n e a r e l a s t i c i t y , h y p e r e l a s t i c i t y , c r e e p , a n d v i s c o e l a s t i c i t y . C r e e p a n d v i s c o e l a s t i c i t y , i m p l e m e n t e d a s a g e n e r a l i z e d n o n l i n e a r v i s c o e l a s t i c c a p a b i l i t y , m a y b e c o u p l e d w i t h p l a s t i c i t y . M a n y o p t i o n s a r e a v a i l a b l e f o r y i e l d c r i t e r i a a n d h a r d e n i n g b e h a v i o r i n p l a s t i c i t y .

T h e p r i m a r y s o l u t i o n o p e r a t i o n s a r e g r a d u a l l o a d o r t i m e i n c r e m e n t s , i t e r a t i o n s w i t h c o n v e r g e n c e t e s t s f o r a c c e p t a b l e e q u i l i b r i u m e r r o r , a n d s t i f f n e s s m a t r i x u p d a t e s . T h e i t e r a t i v e p r o c e s s i s b a s e d o n t h e m o d i e d - N e w t o n ’ s m e t h o d c o m b i n e d w i t h o p t i o n a l e x p e d i t i o u s m e t h o d s s u c h a s t h e

1 - 2 B a s i c N o n l i n e a r A n a l y s i s U s e r ’ s G u i d e



O v e r v i e w o f N o n l i n e a r A n a l y s i s

q u a s i - N e w t o n ( B F G S ) u p d a t e a n d t h e l i n e s e a r c h . T h e s t i f f n e s s m a t r i x u p d a t e s a r e p e r f o r m e d o c c a s i o n a l l y t o i m p r o v e t h e c o m p u t a t i o n a l e f c i e n c y , a n d m a y b e o v e r r i d d e n a t y o u r d i s c r e t i o n . A n u m b e r o f o p t i o n s f o r a r c - l e n g t h m e t h o d s a r e a l s o a v a i l a b l e f o r s n a p - t h r o u g h o r p o s t - b u c k l i n g a n a l y s i s o f s t a t i c p r o b l e m s . F o r t r a n s i e n t r e s p o n s e a n a l y s i s , a n u m b e r o f o p t i o n s a r e a v a i l a b l e f o r i m p l i c i t d i r e c t t i m e i n t e g r a t i o n , c o m b i n e d w i t h a d a p t i v e a n d e x p e d i e n t i t e r a t i o n s t r a t e g i e s s i m i l a r t o t h o s e i m p l e m e n t e d f o r s t a t i c a n a l y s i s .

S o l u t i o n S e q u e n c e s 1 0 6 , 1 2 9 , 1 5 3 , a n d 1 5 9 c o n s o l i d a t e a l l t h e n o n l i n e a r f e a t u r e s d e s c r i b e d a b o v e . S O L s 1 0 6 a n d 1 5 3 a r e a p p l i c a b l e t o s t a t i c , q u a s i - s t a t i c , a n d n o n l i n e a r b u c k l i n g a n a l y s e s . S O L s 1 2 9 a n d 1 5 9 a r e p r i m a r i l y a p p l i c a b l e t o d y n a m i c t r a n s i e n t r e s p o n s e a n a l y s i s w i t h s o m e l i m i t e d s t a t i c a n a l y s i s c a p a b i l i t y . S O L s 1 5 3 a n d 1 5 9 m a y a l s o b e u s e d t o p e r f o r m a n o n l i n e a r h e a t t r a n s f e r a n a l y s i s . S e e t h e N X N a s t r a n T h e r m a l A n a l y s i s U s e r ’ s G u i d e . T h e s e s o l u t i o n s e q u e n c e s c a n a c c o m m o d a t e s u p e r e l e m e n t s a n d p r o v i d e e a s y r e s t a r t s f r o m t h e d a t a b a s e .

1 . 1 C r e a t i n g a n I n p u t F i l e f o r a B a s i c N o n l i n e a r A n a l y s i s

T h e i n p u t l e c o n s i s t s o f a n o p t i o n a l N A S T R A N s t a t e m e n t , E x e c u t i v e C o n t r o l S e c t i o n , C a s e C o n t r o l S e c t i o n , a n d B u l k D a t a S e c t i o n . A l l t h e f e a t u r e s a n d p r i n c i p l e s f o r t h e u s e r i n t e r f a c e a r e c o m m o n i n N X N a s t r a n ; t h u s , a l l t h e f e a t u r e s o f t h e u s e r i n t e r f a c e f o r n o n l i n e a r a n a l y s i s a r e c o m p a t i b l e w i t h t h o s e f o r t h e l i n e a r a n a l y s i s . A n y e x c e p t i o n s f o r n o n l i n e a r a n a l y s i s w i l l b e e x p l a i n e d i n t h e r e l e v a n t s e c t i o n s t h a t f o l l o w .

M e c h a n i c a l d e s i g n i s d i c t a t e d b y t h e s t r e n g t h , d y n a m i c , a n d s t a b i l i t y c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e s t r u c t u r e . N X N a s t r a n p r o v i d e s t h e a n a l y s i s c a p a b i l i t i e s o f t h e s e c h a r a c t e r i s t i c s w i t h s o l u t i o n s e q u e n c e s , e a c h o f w h i c h i s d e s i g n e d f o r s p e c i c a p p l i c a t i o n s . T h e t y p e o f d e s i r e d a n a l y s i s i s s p e c i e d i n t h e E x e c u t i v e C o n t r o l S e c t i o n b y u s i n g a s o l u t i o n s e q u e n c e i d e n t i c a t i o n . S O L s 1 0 6 a n d 1 5 3 a r e d e s i g n e d f o r s t a t i c , q u a s i - s t a t i c , a n d b u c k l i n g a n a l y s e s . S O L s 1 2 9 a n d 1 5 9 p r o v i d e n o n l i n e a r t r a n s i e n t r e s p o n s e a n a l y s i s .

T h e b a s i c i n p u t d a t a r e q u i r e d f o r a n i t e e l e m e n t a n a l y s i s m a y b e c l a s s i e d a s f o l l o w s :

• G e o m e t r i c d a t a

• E l e m e n t d a t a

• M a t e r i a l d a t a

• B o u n d a r y c o n d i t i o n s a n d c o n s t r a i n t s

• L o a d s a n d e n f o r c e d m o t i o n s

• S o l u t i o n m e t h o d s

T h e r s t t h r e e c l a s s e s o f d a t a m a y n o t b e c h a n g e d d u r i n g t h e c o u r s e o f a n a n a l y s i s w h e r e a s t h e

l a s t t h r e e c l a s s e s o f d a t a m a y b e c h a n g e d d u r i n g t h e a n a l y s i s a s d e n e d i n t h e C a s e C o n t r o l S e c t i o n . E x a m p l e s o f i n p u t d a t a a r e g i v e n i n L i s t i n g 1 - 1 a n d L i s t i n g 1 - 2 f o r n o n l i n e a r s t a t i c a n d d y n a m i c a n a l y s i s , r e s p e c t i v e l y .

S O L 1 0 6 $ N O N L I N E A R S T A T I C A N A L Y S I S

D I A G 8 , 5 0 $ D I A G N O S T I C P R I N T O U T

C E N D $ E N D O F E X E C U T I V E C O N T R O L D A T A

T I T L E = T E S T O F C T E T R A E L E M E N T ( C U B E S U B J E C T T O U N I A X I A L L O A D I N G )

D I S P = A L L

S T R E S S = A L L

S P C = 1 0 0

S U B C A S E 1





S U B T I T L E = E L A S T I C - - L O A D T O 8 5 0 . P S I

L A B E L = L O A D T O Y I E L D

L O A D = 5 0

N L P A R M = 5 0

S U B C A S E 2

S U B T I T L E = P L A S T I C - - L O A D T O 1 0 0 0 . P S I

L A B E L = L O A D B E Y O N D Y I E L D L O A D = 1 0 0

N L P A R M = 1 0 0

S U B C A S E 4

S U B T I T L E = E L A S T I C - - U N L O A D C O M P L E T E L Y T O 0 . P S I

L A B E L = F U L L U N L O A D

L O A D = 2 0 0

N L P A R M = 2 0 0

$ O U T P U T ( P L O T ) $ P L O T D A T A A D D E D F O L L O W I N G T H I S L I N E I F N E E D E D

$ E N D O F C A S E C O N T R O L D A T A

B E G I N B U L K

$ P A R A M E T E R S F O R N O N L I N E A R I T E R A T I O N

N L P A R M 5 0 1 A U T O U P W N O

N L P A R M 1 0 0 8 S E M I U P W N O

N L P A R M 2 0 0 2 A U T O U P W N O

.

.

.

E N D D A T A

L i s t i n g 1 - 1 . E x a m p l e I n p u t D a t a f o r N o n l i n e a r S t a t i c A n a l y s i s

S O L 1 2 9 $ N O N L I N E A R T R A N S I E N T A N A L Y S I S

D I A G 8 , 5 0 $ D I A G N O S T I C P R I N T O U T

C E N D $ E N D O F E X E C U T I V E C O N T R O L D A T A

T I T L E = G A P V E R I F I C A T I O N B Y N O N L I N E A R T R A N S I E N T A N A L Y S I S S E A L L = A L L $ F O R A L L M A T R I C I E S

S E T 1 = 2 0 1 $ , 2 0 2 , 2 0 0

S E T 3 = 2 2 $ , 2 3

S E T 4 = 2 0 $ C O N R O D

D I S P = 1

S T R E S S = 3 $ F O R G A P F O R C E S

E L F O R C E = 4

L O A D S E T = 2 0

‘ S P C = 1 0 0

S U B C A S E 1 $ U P T O 0 . 5 S E C O N D S

D L O A D = 2 1 0

T S T E P N L = 2 2

S U B C A S E 2 $ U P T O 1 S E C O N D

D L O A D . = 2 1 0

T S T E P N L = 2 1

O U T P U T ( X Y P L O T )

C S C A L E = 1 . 3

X T I T L E = T I M E I N S E C O N D S

Y T I T L E = D I S P L A C E M E N T I N I N C H E S

Y M I N = 0 .

Y M A X = 1 5 .

X Y P L O T D I S P R E S P / 2 0 1 ( T l ) , 2 0 2 ( T l ) , 2 0 0 ( T l )

$ E N D O F C A S E C O N T R O L D A T A

B E G I N B U L K

T S T E P N L 2 1 2 0 0 . 0 0 2 5 2 A U T O 1 0

.

.

.

E N D D A T A

L i s t i n g 1 - 2 . E x a m p l e I n p u t D a t a f o r N o n l i n e a r D y n a m i c A n a l y s i s





1 . 2 C a s e C o n t r o l S e c t i o n

T h e C a s e C o n t r o l S e c t i o n i s u s e d t o d e n e i n p u t d a t a s e t s , o u t p u t f e a t u r e s , a n d s u b c a s e s . T h e s u b c a s e s t r u c t u r e i n N X N a s t r a n p r o v i d e s a u n i q u e m e a n s o f c h a n g i n g l o a d s , b o u n d a r y c o n d i t i o n s , a n d s o l u t i o n m e t h o d s b y m a k i n g s e l e c t i o n s f r o m t h e B u l k D a t a .

I n S O L 1 0 6 a n d S O L 1 2 9 , l o a d s a n d s o l u t i o n m e t h o d s m a y c h a n g e f r o m s u b c a s e t o s u b c a s e o n a n i n c r e m e n t a l b a s i s . H o w e v e r , c o n s t r a i n t s c a n b e c h a n g e d f r o m s u b c a s e t o s u b c a s e o n l y i n t h e s t a t i c s o l u t i o n s e q u e n c e . A s a r e s u l t , t h e s u b c a s e s t r u c t u r e d e t e r m i n e s a s e q u e n c e o f l o a d i n g a n d c o n s t r a i n t p a t h s i n a n o n l i n e a r a n a l y s i s . T h e s u b c a s e s t r u c t u r e a l s o l e t s y o u s e l e c t a n d c h a n g e o u t p u t r e q u e s t s f o r p r i n t o u t , p l o t , e t c . , b y s p e c i f y i n g s e t n u m b e r s w i t h k e y w o r d s . A n y s e l e c t i o n s m a d e a b o v e t h e s u b c a s e s p e c i c a t i o n s a r e a p p l i c a b l e t o a l l t h e s u b c a s e s . S e l e c t i o n s m a d e i n a n i n d i v i d u a l s u b c a s e s u p e r s e d e t h e s e l e c t i o n s m a d e a b o v e t h e s u b c a s e s . T a b l e 1 - 1 s u m m a r i z e s t h e C a s e C o n t r o l c o m m a n d s f o r n o n l i n e a r a n a l y s i s .

1 . 3 B u l k D a t a S e c t i o n

T a b l e 1 - 1 . S u m m a r y o f N o n l i n e a r C a s e C o n t r o l C o m m a n d s

L o a d S e l e c t i o n

L O A D S e l e c t s s t a t i c l o a d i n g c o n d i t i o n .

C L O A D S e l e c t s s t a t i c l o a d c o m b i n a t i o n f o r s u p e r e l e m e n t s .

D L O A D S e l e c t s d y n a m i c l o a d i n g c o n d i t i o n s .

L O A D S E T S e l e c t s s t a t i c l o a d s e t s d e n e d o n t h e B u l k d a t a L S E Q .

N O N L I N E A R S e l e c t s n o n l i n e a r l o a d i n g ( N O L I N i ) f o r t r a n s i e n t r e s p o n s e .

I C S e l e c t s i n i t i a l c o n d i t i o n s f o r t r a n s i e n t r e s p o n s e .

S o l u t i o n M e t h o d S e l e c t i o n

M E T H O D S e l e c t s m e t h o d s f o r e i g e n v a l u e a n a l y s i s .

N L P A R M S e l e c t s i t e r a t i o n m e t h o d s f o r n o n l i n e a r s t a t i c a n a l y s i s .

T S T E P N L S e l e c t s i t e r a t i o n m e t h o d s f o r n o n l i n e a r t r a n s i e n t a n a l y s i s .

O u t p u t R e q u e s t s

D I S P L A C E M E N T R e q u e s t s o u t p u t f o r d i s p l a c e m e n t s o f p h y s i c a l p o i n t s .

V E L O C I T Y R e q u e s t s o u t p u t f o r v e l o c i t i e s o f p h y s i c a l p o i n t s .

A C C E L E R A T I O N R e q u e s t s o u t p u t f o r a c c e l e r a t i o n o f p h y s i c a l p o i n t s .

E L F O R C E R e q u e s t s o u t p u t f o r e l e m e n t f o r c e s .

S T R E S S R e q u e s t s o u t p u t f o r e l e m e n t s t r e s s e s . B O U T P U T R e q u e s t s o u t p u t f o r s l i d e l i n e c o n t a c t .

S P C F O R C E S R e q u e s t s o u t p u t f o r c o n s t r a i n t f o r c e s o f S P C p o i n t s .

N L L O A D R e q u e s t s o u t p u t f o r N O L I N i i n t r a n s i e n t r e s p o n s e .

O U T P U T ( P L O T ) R e q u e s t s t h e b e g i n n i n g o f t h e p l o t t e r o u t p u t .

S u p e r e l e m e n t C o n t r o l

S U P E R S p e c i e s t h e s u p e r e l e m e n t i d e n t i c a t i o n n u m b e r a n d t h e l o a d s e q u e n c e n u m b e r .

S E A L L C o m b i n e s t h e f u n c t i o n s o f S E M G , S E L G , S E K R , S E M R , a n d S E L R .





T a b l e 1 - 1 . S u m m a r y o f N o n l i n e a r C a s e C o n t r o l C o m m a n d s

S E K R S p e c i e s t h e s u p e r e l e m e n t i d e n t i c a t i o n n u m b e r s f o r w h i c h s t i f f n e s s m a t r i c e s w i l l b e a s s e m b l e d a n d r e d u c e d .

S E L G S p e c i e s t h e s u p e r e l e m e n t i d e n t i c a t i o n n u m b e r s f o r w h i c h l o a d v e c t o r s w i l l b e g e n e r a t e d .

S E L R S p e c i e s t h e s u p e r e l e m e n t i d e n t i c a t i o n n u m b e r s f o r w h i c h t h e s t a t i c l o a d m a t r i c e s w i l l b e a s s e m b l e d a n d r e d u c e d .

S E M G S p e c i e s t h e s u p e r e l e m e n t i d e n t i c a t i o n n u m b e r s f o r w h i c h s t i f f n e s s , m a s s , a n d d a m p i n g m a t r i c e s w i l l b e g e n e r a t e d .

S E M R S p e c i e s t h e s u p e r e l e m e n t i d e n t i c a t i o n n u m b e r s f o r w h i c h t h e m a s s a n d d a m p i n g m a t r i c e s w i l l b e a s s e m b l e d a n d r e d u c e d .

A l l d e t a i l s o f t h e i n p u t d a t a a r e s p e c i e d i n t h e B u l k D a t a S e c t i o n . C o n s t r a i n t , l o a d , a n d s o l u t i o n m e t h o d B u l k D a t a e n t r i e s a r e n o t u s e d u n l e s s t h e y a r e s e l e c t e d i n t h e C a s e C o n t r o l S e c t i o n . T h e n o n l i n e a r B u l k D a t a e n t r i e s a r e s u m m a r i z e d i n T a b l e 1 - 2 . A l l t h e i n p u t d a t a d e s i g n e d s p e c i a l l y

f o r n o n l i n e a r a n a l y s i s w i l l b e d e s c r i b e d i n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n s .

T a b l e 1 - 2 . S u m m a r y o f N o n l i n e a r B u l k D a t a E n t r i e s

E l e m e n t C o n n e c t i v i t y

C B E A M D e n e s c o n n e c t i o n f o r b e a m e l e m e n t .

C B U S H D e n e s c o n n e c t i o n s f o r g e n e r a l i z e d s p r i n g a n d d a m p e r .

C B U S H 1 D D e n e s c o n n e c t i o n s f o r r o d t y p e s p r i n g a n d d a m p e r .

C G A P D e n e s c o n n e c t i o n f o r g a p o r f r i c t i o n a l e l e m e n t .

C H E X A D e n e s c o n n e c t i o n f o r s i x - s i d e d s o l i d e l e m e n t .

C O N R O D D e n e s c o n n e c t i o n a n d p r o p e r t i e s f o r r o d .

C P E N T A D e n e s c o n n e c t i o n f o r v e - s i d e d s o l i d e l e m e n t .

C P Y R A M D e n e s c o n n e c t i o n f o r v e - s i d e d s o l i d e l e m e n t .

C Q U A D 4 D e n e s c o n n e c t i o n f o r q u a d r i l a t e r a l e l e m e n t w i t h p l a n e s t r a i n o r b e n d i n g a n d m e m b r a n e s t i f f n e s s .

C Q U A D 8 a n d C Q U A D D e n e s c o n n e c t i o n f o r p l a n e s t r a i n h y p e r e l a s t i c q u a d r i l a t e r a l e l e m e n t .

C R O D D e n e s c o n n e c t i o n f o r r o d w i t h a x i a l a n d t o r s i o n a l s t i f f n e s s .

C T E T R A D e n e s c o n n e c t i o n f o r f o u r - s i d e d s o l i d e l e m e n t .

C T R I A 3 D e n e s c o n n e c t i o n f o r t r i a n g u l a r e l e m e n t w i t h p l a n e s t r a i n o r b e n d i n g a n d m e m b r a n e s t i f f n e s s .

C T R I A 6 D e n e s c o n n e c t i o n f o r h y p e r e l a s t i c p l a n e s t r a i n t r i a n g u l a r e l e m e n t .

C Q U A D X D e n e s c o n n e c t i o n f o r a x i s y m m e t r i c h y p e r e l a s t i c q u a d r i l a t e r a l e l e m e n t .

C T R I A X D e n e s c o n n e c t i o n f o r a x i s y m m e t r i c h y p e r e l a s t i c t r i a n g u l a r e l e m e n t .

C T U B E D e n e s c o n n e c t i o n f o r a t u b e .

E l e m e n t P r o p e r t i e s

P B C O M P D e n e s p r o p e r t i e s f o r c o m p o s i t e C B E A M .

P B E A M D e n e s p r o p e r t i e s f o r C B E A M .

P B U S H a n d P B U S H T D e n e s p r o p e r t i e s f o r C B U S H .

P B U S H 1 D D e n e s p r o p e r t i e s f o r C B U S H 1 D .






P C O M P D e n e s p r o p e r t i e s f o r c o m p o s i t e m a t e r i a l l a m i n a t e .

P G A P D e n e s p r o p e r t i e s f o r C G A P .

P R O D D e n e s p r o p e r t i e s f o r C R O D .

P S H E L L D e n e s p r o p e r t i e s f o r C T R I A 3 a n d C Q U A D 4 .

P S O L I D D e n e s p r o p e r t i e s f o r C H E X A , C P E N T A , C P Y R A M , a n d C T E T R A .

P T U B E D e n e s p r o p e r t i e s f o r C T U B E .

P L P L A N E D e n e s p r o p e r t i e s f o r h y p e r e l a s t i c p l a n e e l e m e n t s C T R I A 3 , C T R I A 6 , C Q U A D 4 , C Q U A D 8 , C Q U A D , C Q U A D X a n d C T R I A X .

P L S O L I D D e n e s p r o p e r t i e s f o r h y p e r e l a s t i c s o l i d e l e m e n t s C H E X A , C P E N T A , C P Y R A M , a n d C T E T R A .

M a t e r i a l P r o p e r t i e s

C R E E P D e n e s c r e e p m a t e r i a l p r o p e r t i e s .

M A T 2 D e n e s a n i s o t r o p i c m a t e r i a l p r o p e r t i e s f o r s h e l l e l e m e n t s . M A T 8 D e n e s o r t h o t r o p i c m a t e r i a l p r o p e r t i e s f o r s h e l l e l e m e n t s .

M A T 9 D e n e s a n i s o t r o p i c m a t e r i a l p r o p e r t i e s f o r s o l i d e l e m e n t s .

M A T S 1 D e n e s p r o p e r t i e s f o r p l a s t i c a n d n o n l i n e a r e l a s t i c m a t e r i a l .

M A T H P D e n e s p r o p e r t i e s f o r h y p e r e l a s t i c m a t e r i a l .

T A B L E D i D e n e s a f u n c t i o n f o r i n t e r n a l l o a d v s . d i s p o r v e l o c i t y f o r b u s h e l e m e n t .

T A B L E S 1 D e n e s a f u n c t i o n f o r s t r e s s - d e p e n d e n t m a t e r i a l p r o p e r t i e s o r e x p e r i m e n t a l d a t a f o r h y p e r e l a s t i c m a t e r i a l .

T A B L E S T C o m b i n e s m a n y T A B L E S 1 e n t r i e s f o r t e m p e r a t u r e d e p e n d e n t m a t e r i a l p r o p e r t i e s .

S l i d e l i n e C o n t a c t

B C O N P D e n e s c o n t a c t p a r a m e t e r s .

B L S E G D e n e s b o u n d a r y l i n e s e g m e n t s .

B F R I C D e n e s f r i c t i o n a l p r o p e r t i e s f o r s l i d e l i n e c o n t a c t .

B W I D T H D e n e s b o u n d a r y l i n e s e g m e n t s w i d t h / t h i c k n e s s .

B O U T P U T D e n e s g r i d p o i n t s w h e r e c o n t a c t o u t p u t i s r e q u e s t e d .

C o n s t r a i n t s

S P C D e n e s s i n g l e - p o i n t c o n s t r a i n t s a n d e n f o r c e d d i s p l a c e m e n t s .

S P C 1 D e n e s s i n g l e - p o i n t c o n s t r a i n t s .

M P C D e n e s a l i n e a r r e l a t i o n s h i p f o r t w o o r m o r e d e g r e e s - o f - f r e e d o m .

L o a d s

C L O A D D e n e s a s t a t i c l o a d c o m b i n a t i o n f o r s u p e r e l e m e n t l o a d s .

F O R C E i D e n e s c o n c e n t r a t e d l o a d a t g r i d p o i n t .

L S E Q D e n e s s t a t i c l o a d s e t s f o r d y n a m i c a n a l y s i s .

M O M E N T i D e n e s m o m e n t a t a g r i d p o i n t .

N O L I N i D e n e s n o n l i n e a r t r a n s i e n t l o a d .






P L O A D D e n e s p r e s s u r e l o a d s o n C Q U A D 4 , C T R I A 3 , C H E X A , C P E N T A , C P Y R A M , a n d C T E T R A . S h o u l d n o t b e u s e d f o r h y p e r e l a s t i c p l a n e e l e m e n t s C Q U A D 4 , C Q U A D 8 , C Q U A D , C T R I A 3 , a n d C T R I A 6 o r f o r

h y p e r e l a s t i c C H E X A , C P E N T A , C T E T R A w i t h m i d s i d e n o d e s . P L O A D 2 D e n e s p r e s s u r e l o a d s o n s h e l l e l e m e n t s , C Q U A D 4 a n d C T R I A 3 . N o t a v a i l a b l e f o r h y p e r e l a s t i c e l e m e n t s .

P L O A D 4 D e n e s p r e s s u r e l o a d s o n s u r f a c e s o f C H E X A , C P E N T A , C P Y R A M , C T E T R A , C T R I A 3 a n d C Q U A D 4 e l e m e n t s . N o t a v a i l a b l e f o r h y p e r e l a s t i c p l a n e e l e m e n t s C Q U A D 4 , C Q U A D 8 , C Q U A D , C T R I A 3 , a n d C T R I A 6 .

P L O A D X 1 D e n e s p r e s s u r e l o a d s o n a x i s y m m e t r i c e l e m e n t s C Q U A D X a n d C T R I A X .

R F O R C E D e n e s l o a d d u e t o c e n t r i f u g a l f o r c e e l d .

T E M P D e n e s t e m p e r a t u r e a t g r i d p o i n t s .

T E M P P i D e n e s t e m p e r a t u r e e l d f o r s u r f a c e e l e m e n t s .

T E M P R B D e n e s t e m p e r a t u r e e l d f o r l i n e e l e m e n t s .

T I C S p e c i e s i n i t i a l v a l u e s f o r d i s p l a c e m e n t a n d v e l o c i t y .

T L O A D i D e n e s l o a d s a s a f u n c t i o n o f t i m e .

S o l u t i o n M e t h o d s

N L P A R M D e n e s i t e r a t i o n m e t h o d s f o r n o n l i n e a r s t a t i c a n a l y s i s .

N L P C I D e n e s a r c - l e n g t h m e t h o d s f o r n o n l i n e a r s t a t i c a n a l y s i s .

T S T E P N L S p e c i e s i n t e g r a t i o n a n d i t e r a t i o n m e t h o d s f o r n o n l i n e a r t r a n s i e n t a n a l y s i s .

E I G B o r E I G R L D e n e s e i g e n v a l u e e x t r a c t i o n m e t h o d f o r b u c k l i n g a n a l y s i s .

1 . 4 P a r a m e t e r s

P a r a m e t e r s c o n s t i t u t e a n i m p o r t a n t p a r t o f t h e i n p u t d a t a b e c a u s e t h e y m a i n t a i n c o m m u n i c a t i o n s a m o n g t h e u s e r , D M A P , a n d m o d u l e s . P a r a m e t e r s a r e s i n g l e - v a l u e d i n p u t d a t a u s e d f o r r e q u e s t i n g s p e c i a l f e a t u r e s o r s p e c i f y i n g m i s c e l l a n e o u s d a t a .

Y o u c a n c h a n g e t h e i n i t i a l v a l u e s o f p a r a m e t e r s b y s p e c i f y i n g t h e P A R A M e n t r y i n t h e B u l k D a t a S e c t i o n o r i n t h e C a s e C o n t r o l S e c t i o n . M a n y o p t i o n s a v a i l a b l e i n N X N a s t r a n a r e c o n t r o l l e d b y u s e r - s p e c i e d p a r a m e t e r s . T a b l e 1 - 3 l i s t s t h e p a r a m e t e r s u s e d i n n o n l i n e a r S o l u t i o n S e q u e n c e s 1 0 6 a n d 1 2 9

T a b l e 1 - 3 . P A R A M e t e r s U s e d i n N o n l i n e a r S o l u t i o n S e q u e n c e s

S o l u t i o n S e q u e n c e

P a r a m e t e r N a m e 6 4 1 0 6 1 2 9

D e f a u l t D e s c r i p t i o n

A D P C O N E E 1 . 0 A d j u s t s a u t o m a t i c p e n a l t y v a l u e s f o r s l i d e l i n e c o n t a c t r e g i o n s .

A U T O S P C B E E N O S p e c i e s a u t o m a t i c s i n g l e - p o i n t - c o n s t r a i n t s .

A U T O S P C R E B N O S p e c i e s a u t o m a t i c S P C s f o r r e s i d u a l s t r u c t u r e .

B A I L O U T E E 0 T e r m i n a t e s s u p e r e l e m e n t p r o g r a m w i t h s i n g u l a r i t i e s .

B E T A B 0 . 3 3 3 3 3 S p e c i e s c o n t r o l f a c t o r f o r N e w m a r k - B e t a m e t h o d .

B U C K L E E - 1 S e l e c t s n o n l i n e a r b u c k l i n g a n a l y s i s f o r r e s t a r t s .

C B 1 , 2 E 1 . 0 S e l e c t s s u p e r e l e m e n t d a m p i n g m a t r i x c o e f c i e n t s .






S o l u t i o n S e q u e n c e P a r a m e t e r N a m e

6 4 1 0 6 1 2 9 D e f a u l t D e s c r i p t i o n

C K 1 , 2 , 3 E E 1 . 0 S e l e c t s s u p e r e l e m e n t s t i f f n e s s m a t r i x c o e f c i e n t s .

C M 1 , 2 E E 1 . 0 S e l e c t s s u p e r e l e m e n t m a s s m a t r i x c o e f c i e n t s .

C N S T R T B 1 C o n t r o l s r e s t a r t s f o r c o n s t r a i n t c h a n g e .

C O U P M A S S B E E - 1 G e n e r a t e s c o u p l e d r a t h e r t h a n l u m p e d m a s s m a t r i c e s .

C U R V E - 1 C o m p u t e s s t r e s s d a t a i n a m a t e r i a l c o o r d i n a t e s y s t e m .

C U R V P L O T E - 1 R e q u e s t s x - y ( c u r v e ) p l o t s .

D B D I C T B B B - 1 P r i n t s d a t a b a s e d i c t i o n a r y a t t h e e n d a n d b e g i n n i n g o f t h e r u n .

D B D R N L E E 0 P r i n t s d a t a b a s e d i c t i o n a r y i n t h e n o n l i n e a r l o o p ( S O L s 6 6 a n d 9 9 o n l y ) .

D L O A D B B B 0 I n d i c a t e s n o o t h e r c h a n g e s e x c e p t f o r l o a d s ( S O L s 6 4 t h r o u g h 9 9 o n l y ) .

D O P T E 0 C o n t r o l s x s p a c i n g o f c u r v e s f o r C U R V P L O T .

E R R O R E E - 1 T e r m i n a t e s r u n f o r s u p e r e l e m e n t e r r o r s .

E S T B E E 2 R e q u e s t s e l e m e n t m e a s u r e a n d v o l u m e c o m p u t a t i o n .

F A C T O R B B B 1 0 , 0 0 0 G e n e r a t e s S E Q I D o n S E Q G P e n t r y .

F K S Y M F A C B 1 . 0 C o n t r o l s s y m m e t r i z a t i o n o f s t i f f n e s s .

F O L L O W K E E Y E S I n c l u d e f o l l o w e r f o r c e s t i f f n e s s .

G P E C T B E E - 1 P r i n t s a l l e l e m e n t s c o n n e c t e d t o e a c h g r i d p o i n t .

G R D P N T B E E - 1 E x e c u t e s G r i d P o i n t W e i g h t G e n e r a t o r .

G E 0 . 0 S p e c i e s u n i f o r m s t r u c t u r a l d a m p i n g c o e f c i e n t .

I N R L M E 0 R e q u e s t s a p p e n d i n g o f i n e r t i a r e l i e f m o d e s .

K D I A G E 1 . 0 A p p l i e s v a l u e o f a s p r i n g c o n s t a n t t o n o n l i n e a r s t i f f n e s s m a t r i x d i a g o n a l s .

K 6 R O T E E E 1 0 0 . 0 A s s i g n s s t i f f n e s s t o n o r m a l r o t a t i o n o f C Q U A D 4 a n d C T R I A 3 e l e m e n t s .

L A N G L E E E 1 S e l e c t s g i m b a l a n g l e a p p r o a c h f o r l a r g e r o t a t i o n s i f 1 a n d r o t a t i o n

v e c t o r a p p r o a c h i f 2 .

L G D I S P E E - 1 S e l e c t s l a r g e d i s p l a c e m e n t e f f e c t s .

L O O P I D E E 0 S p e c i e s l o o p I D i n t h e d a t a b a s e f o r r e s t a r t s .

M A X L P E 5 M a x i m u m n u m b e r o f i t e r a t i o n s f o r i n t e r n a l l o o p .

M A X R A T I O E E E 1 . 0 E + 7 D e t e r m i n e s t h e s i n g u l a r i t y o f t h e s t i f f n e s s m a t r i x .

M O D E L B B B 0 S t o r e s s e v e r a l m o d e l s i n t h e d a t a b a s e .

M P C X B B B 0 C o n t r o l s M P C a n d r i g i d e l e m e n t p r o c e s s i n g o n r e s t a r t s . N D A M P E 0 . 0 2 5 S p e c i e s n u m e r i c a l d a m p i n g i n A D A P T m e t h o d .

N I N T P T S E 1 0 R e q u e s t s C U R V t o i n t e r p o l a t e o v e r a l l e l e m e n t s .

N L A Y E R S B B 5 S p e c i e s n u m b e r o f i n t e g r a t i o n p o i n t s t h r o u g h t h i c k n e s s f o r C Q U A D 4 a n d C T R I A 3 .

N L T O L B 2 S e t s a c c u r a c y t o l e r a n c e s

N M L O O P E 0 S a v e s t a n g e n t s t i f f n e s s i n S O L 1 0 6 f o r n o r m a l m o d e s a n d o t h e r l i n e a r s o l u t i o n s e q u e n c e s .

N O C O M P S E 1 S u p p r e s s e s c o m p o s i t e s t r e s s o u t p u t .








N O D A T A B B B 0 I n d i c a t e s n o c h a n g e s i n B u l k D a t a ( S O L s 6 4 t h r o u g h 9 9 o n l y ) .

N O T R E D E 0 C o n t r o l s t - s e t r e d u c t i o n ( S O L 9 9 o n l y ) .

O G E 0 C a l c u l a t e s s t r e s s / s t r a i n d a t a a t g r i d p o i n t s f o r C U R V .

O L D E L M B 1 C o m p u t e s e l e m e n t f o r c e s u s i n g o l d m e t h o d .

O U T O P T E 0 S e t s f o r m a t f o r o u t p u t q u a n t i t i e s c o m p u t e d b y C U R V .

O U T P U T B 0 J u m p s t o d a t a r e c o v e r y .

P D R M S G E 1 S u p p r e s s e s d a t a r e c o v e r y m e s s a g e s .

P L O T B E E 1 J u m p s t o u n d e f o r m e d p l o t .

P L O T S U P E E 0 M a k e s u n d e f o r m e d p l o t s f o r s u p e r e l e m e n t s .

P L T M S G E E 1 S u p p r e s s e s u n d e f o r m e d p l o t m e s s a g e s .

P O S T E E 1 S t o r e s p o s t - p r o c e s s i n g d a t a b l o c k s i n d a t a b a s e .

P R G P S T B E E Y E S S u p p r e s s e s s i n g u l a r i t y p r i n t o u t .

P R O U T B E E - 1 S u p p r e s s e s e x e c u t i o n a n d p r i n t o u t f r o m E L T P R T .

R E S D U A L E E 1 S k i p s t o n o n l i n e a r o p e r a t i o n s ( P h a s e 2 ) ( S O L s 6 6 t h r o u g h 9 9 o n l y ) .

S D A T A E 1 O b t a i n s a d d i t i o n a l s o l u t i o n s e t o u t p u t ( S O L 9 9 o n l y ) .

S E F I N A L B B - 1 I n d i c a t e s n o d a t a c h a n g e s i f c h a n g e S E F I N A L .

S E M A P B B S E M A P D e t e r m i n e s p a r t i t i o n i n g o f s u p e r e l e m e n t s .

S E M A P P R T B B 3 P r i n t s S E M A P t a b l e .

S E N A M E E E S E N A M E I d e n t i e s s u p e r e l e m e n t b y n a m e .

S E Q O U T B B B 0 C o n t r o l s o u t p u t o p t i o n s f o r O L D S E Q .

S K P L O A D E 1 S k i p s l o a d v e c t o r c a l c u l a t i o n . S K P M T R X E 1 S k i p s m a t r i x r e d u c t i o n a n d d e c o m p o s i t i o n .

S L O O P I D B 0 S p e c i e s l o o p I D f r o m S O L 6 6 d a t a b a s e f o r r e s t a r t .

S O L I D B B B 0 S t o r e s s e v e r a l s o l u t i o n s i n s a m e d a t a b a s e .

S P C G E N B E E 0 P l a c e s a u t o m a t i c S P C s i n S P C 1 f o r m a t .

S S G 3 B 0 S k i p s o p e r a t i o n s p r i o r t o F B S .

S T A R T B B B 0 D e n e s n u m b e r o f g r i d p o i n t s f o r O L D S E Q .

S T I M E E 0 . 0 S p e c i e s t i m e s t e p f o r r e s t a r t s .

S U B I D B E 1 S p e c i e s s u b c a s e I D f o r r e s t a r t s .

S U B S K P B 0 S k i p s a n u m b e r o f s u b c a s e s f o r r e s t a r t s .

S U P E R B B B 0 D e l e t e s u n g r o u p e d g r i d p o i n t s .

T A B I D E 2 C o n t r o l s p u n c h f o r r e s p o n s e s p e c t r a .

T A B S E 0 . 0 C o n v e r t s u n i t s o f t e m p e r a t u r e i n p u t t o a b s o l u t e .

T E S T N E G E E - 1 / - 2 / 1 T e s t s f o r n e g a t i v e t e r m s o n f a c t o r d i a g o n a l o f m a t r i x .

T E S T S E E 1 . 0 E + 3 6 T e s t s f o r s t r a i n e n e r g y f o r i t e r a t i o n c o n t r o l .

T S T A T I C E - 1 S e l e c t s s t a t i c s o l u t i o n w i t h T S T A T I C = 1 u s i n g A D A P T m e t h o d i n T S T E P N L .

U S E T P R T B E E - 1 S e l e c t s o u t p u t t y p e f o r d e g r e e s - o f - f r e e d o m .

U S E T S E L B E E 0 C o n t r o l s s e t s f o r r o w l i s t o u t p u t o p t i o n .

1 - 1 0 B a s i c N o n l i n e a r A n a l y s i s U s e r ’ s G u i d e







W T M A S S B E E 1 . 0 M u l t i p l i e s t e r m s o f s t r u c t u r a l m a s s m a t r i x b y v a l u e .

W 3 , W 4 E 0 . 0 S e l e c t s f r e q u e n c y f o r c o n v e r s i o n o f d a m p i n g .

N o t e

B = M u s t b e s p e c i e d i n t h e B u l k D a t a S e c t i o n o n l y .

E = M a y b e s p e c i e d i n e i t h e r t h e B u l k D a t a o r C a s e C o n t r o l S e c t i o n .

1 . 5 N o n l i n e a r E l e m e n t O u t p u t C o d e s f o r P l o t t i n g

N o n l i n e a r e l e m e n t s ( w h i c h r e f e r e n c e n o n l i n e a r g e o m e t r y a n d / o r m a t e r i a l ) h a v e d i f f e r e n t p l o t c o d e s t h a n l i n e a r e l e m e n t s .

S e e A l s o

• “ I t e m C o d e s ” i n t h e N X N a s t r a n Q u i c k R e f e r e n c e G u i d e

1 . 6 N o n l i n e a r C h a r a c t e r i s t i c s a n d G e n e r a l R e c o m m e n d a t i o n s

M o d e l i n g f o r n o n l i n e a r a n a l y s i s s h o u l d f o l l o w t h e g u i d e l i n e s f o r g o o d m o d e l i n g p r a c t i c e p e r t a i n i n g t o l i n e a r a n a l y s i s , w h i c h a r e s u m m a r i z e d a s f o l l o w s :

• T h e a n a l y s t s h o u l d h a v e s o m e i n s i g h t i n t o t h e b e h a v i o r o f t h e s t r u c t u r e t o b e m o d e l e d ; o t h e r w i s e , a s i m p l e m o d e l s h o u l d b e t h e s t a r t i n g p o i n t .

• S u b s t r u c t u r i n g s h o u l d b e c o n s i d e r e d f o r t h e m o d u l a r i t y o f t h e m o d e l a n d / o r s y n e r g i s m b e t w e e n p r o j e c t s a n d a g e n c i e s i n v o l v e d .

• T h e s i z e o f t h e m o d e l s h o u l d b e d e t e r m i n e d b a s e d o n t h e p u r p o s e o f t h e a n a l y s i s , t h e t r a d e - o f f s b e t w e e n a c c u r a c y a n d e f c i e n c y , a n d t h e s c h e d u l e d d e a d l i n e .

• P r i o r c o n t e m p l a t i o n o f t h e g e o m e t r i c m o d e l i n g w i l l i n c r e a s e e f c i e n c y i n t h e l o n g r u n . F a c t o r s t o b e c o n s i d e r e d i n c l u d e s e l e c t i o n o f c o o r d i n a t e s y s t e m s , s y m m e t r i c c o n s i d e r a t i o n s f o r s i m p l i c a t i o n , a n d s y s t e m a t i c n u m b e r i n g o f n o d a l p o i n t s a n d e l e m e n t s f o r e a s y c l a s s i c a t i o n

o f l o c a l i t y . • D i s c r e t i z a t i o n s h o u l d b e b a s e d o n t h e a n t i c i p a t e d s t r e s s g r a d i e n t , i . e . , a n e r m e s h i n t h e

a r e a o f s t r e s s c o n c e n t r a t i o n s .

• E l e m e n t t y p e s a n d t h e m e s h s i z e s h o u l d b e c a r e f u l l y c h o s e n . F o r e x a m p l e , a v o i d h i g h l y d i s t o r t e d a n d / o r s t r e t c h e d e l e m e n t s ( w i t h h i g h a s p e c t r a t i o ) ; u s e C T R I A 3 a n d C T E T R A o n l y f o r g e o m e t r i c o r t o p o l o g i c a l r e a s o n s .

• T h e m o d e l s h o u l d b e v e r i e d p r i o r t o t h e a n a l y s i s b y s o m e v i s u a l m e a n s , s u c h a s p l o t s a n d g r a p h i c d i s p l a y s .

B a s i c N o n l i n e a r A n a l y s i s U s e r ’ s G u i d e 1 - 1 1




N o n l i n e a r a n a l y s i s r e q u i r e s b e t t e r i n s i g h t i n t o s t r u c t u r a l b e h a v i o r . F i r s t o f a l l , t h e t y p e o f n o n l i n e a r i t i e s i n v o l v e d m u s t b e d e t e r m i n e d . I f t h e r e i s a c h a n g e i n c o n s t r a i n t s d u e t o c o n t a c t d u r i n g l o a d i n g , t h e p r o b l e m m a y b e c l a s s i e d a s a b o u n d a r y n o n l i n e a r p r o b l e m a n d w o u l d r e q u i r e C G A P e l e m e n t s o r s l i d e l i n e c o n t a c t a l g o r i t h m .

T h e m a t e r i a l n o n l i n e a r i t y i s c h a r a c t e r i z e d b y m a t e r i a l p r o p e r t i e s . H o w e v e r , t h e m a t e r i a l n o n l i n e a r e f f e c t s m a y o r m a y n o t b e s i g n i c a n t d e p e n d i n g o n t h e m a g n i t u d e a n d d u r a t i o n o f t h e l o a d i n g , a n d o c c a s i o n a l l y o n e n v i r o n m e n t a l c o n d i t i o n s . T h e a n t i c i p a t e d s t r e s s l e v e l w o u l d b e a k e y t o t h i s i s s u e .

T h e g e o m e t r i c n o n l i n e a r i t y i s c h a r a c t e r i z e d b y l a r g e r o t a t i o n s w h i c h u s u a l l y c a u s e l a r g e d i s p l a c e m e n t s . I n t u i t i v e l y , g e o m e t r i c n o n l i n e a r e f f e c t s s h o u l d b e s i g n i c a n t i f t h e d e f o r m e d s h a p e o f t h e s t r u c t u r e a p p e a r s d i s t i n c t i v e f r o m t h e o r i g i n a l g e o m e t r y w i t h o u t a m p l i f y i n g t h e d i s p l a c e m e n t s . T h e r e i s n o d i s t i n c t l i m i t f o r l a r g e d i s p l a c e m e n t s b e c a u s e g e o m e t r i c n o n l i n e a r e f f e c t s a r e r e l a t e d t o t h e d i m e n s i o n s o f t h e s t r u c t u r e a n d t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s . T h e k e y t o t h i s i s s u e i s t o k n o w w h e r e t h e l o a d i n g p o i n t i s i n t h e l o a d - d e e c t i o n c u r v e o f t h e c r i t i c a l a r e a .

S O L 1 0 6 o r S O L 1 2 9 m u s t b e u s e d i f t h e m o d e l c o n t a i n s a n y o f t h e f o l l o w i n g :

• A p a r a m e t e r L G D I S P ( f o r g e o m e t r i c n o n l i n e a r i t y ) .

• A n y h y p e r e l a s t i c e l e m e n t ( P L P L A N E o r P L S O L I D p r o p e r t y e n t r y , p o i n t i n g t o a M A T H P m a t e r i a l ) .

• A n y C G A P e l e m e n t ( C G A P a n d P G A P ) .

• S l i d e l i n e c o n t a c t ( B C O N P , B L S E G , a n d / o r B F R I C ) .

• A n y a c t i v e n o n l i n e a r m a t e r i a l d a t a ( s p e c i e d o n M A T S 1 a n d / o r C R E E P ) .

• A n y c o m b i n a t i o n o f t h e a b o v e .

T h e m o d e l m a y c o n s i s t o f s u p e r e l e m e n t s , b u t o n l y t h e r e s i d u a l s t r u c t u r e ( s u p e r e l e m e n t 0 ) m a y

c o n s i s t o f n o n l i n e a r e l e m e n t s m i x e d w i t h a n y t y p e o f l i n e a r e l e m e n t s . A l l t h e g a p s , s l i d e l i n e c o n t a c t r e g i o n s , a n d h y p e r e l a s t i c e l e m e n t s a r e a l w a y s a c t i v e l y n o n l i n e a r i f i n c l u d e d i n t h e r e s i d u a l s t r u c t u r e . H o w e v e r , o t h e r p o t e n t i a l l y n o n l i n e a r e l e m e n t s i n t h e r e s i d u a l s t r u c t u r e b e c o m e a c t i v e l y n o n l i n e a r o n l y i f a p a r a m e t e r , L G D I S P , i s u s e d a n d / o r i f t h e y u s e t h e n o n l i n e a r m a t e r i a l d a t a s p e c i e d o n t h e M A T S 1 a n d / o r C R E E P d a t a e n t r i e s .

T h e s u b c a s e s t r u c t u r e o f N X N a s t r a n m a y b e u s e d i n S O L s 1 0 6 a n d 1 2 9 t o c h a r a c t e r i z e a n o n p r o p o r t i o n a l l o a d i n g p a t h . C y c l i c l o a d i n g i s o n e e x a m p l e . S o m e n o n l i n e a r p r o b l e m s , s u c h a s p l a s t i c d e f o r m a t i o n , c r e e p d e f o r m a t i o n , a n d c o n t a c t p r o b l e m s w i t h f r i c t i o n a l f o r c e s , a r e p a t h - d e p e n d e n t ; o t h e r s , s u c h a s h y p e r e l a s t i c o r p u r e l y g e o m e t r i c n o n l i n e a r , a r e p a t h - i n d e p e n d e n t . A n i n c r e m e n t a l p r o c e s s m a y n o t b e r e q u i r e d f o r a p u r e l y g e o m e t r i c n o n l i n e a r p r o b l e m . F o r c o m p u t a t i o n a l e f c i e n c y , h o w e v e r , t h e a n a l y s i s o f s u c h a p r o b l e m d o e s f r e q u e n t l y n e e d i n c r e m e n t a l s o l u t i o n s .

N o t e :

• I d e n t i f y t h e t y p e o f n o n l i n e a r i t y a n d l o c a l i z e t h e n o n l i n e a r r e g i o n f o r c o m p u t a t i o n a l e f c i e n c y . I f u n s u r e , p e r f o r m a l i n e a r a n a l y s i s b y S O L 1 0 1 o r S O L 1 0 9 p r i o r t o t h e n o n l i n e a r a n a l y s i s b y S O L 1 0 6 o r S O L 1 2 9 , r e s p e c t i v e l y .

• S e g r e g a t e t h e l i n e a r r e g i o n b y u s i n g s u p e r e l e m e n t s a n d / o r l i n e a r e l e m e n t s i f p o s s i b l e . N o t i c e t h a t t h e p o t e n t i a l l y n o n l i n e a r e l e m e n t s c a n b e u s e d a s l i n e a r e l e m e n t s .

• T h e n o n l i n e a r r e g i o n u s u a l l y r e q u i r e s a n e r m e s h . U s e a n e r m e s h i f s e v e r e e l e m e n t d i s t o r t i o n s o r s t r e s s c o n c e n t r a t i o n s a r e a n t i c i p a t e d .





• B e p r e p a r e d f o r r e s t a r t s w i t h t h e d a t a b a s e p r o p e r l y s t o r e d i n c a s e s o f d i v e r g e n c e a n d c h a n g i n g c o n s t r a i n t s o r l o a d i n g p a t h s v i a s u b c a s e s .

• T h e s u b c a s e s t r u c t u r e s h o u l d b e u t i l i z e d p r o p e r l y t o d i v i d e t h e l o a d o r t i m e h i s t o r y f o r c o n v e n i e n c e i n r e s t a r t s , d a t a r e c o v e r y , a n d d a t a b a s e s t o r a g e c o n t r o l , n o t t o m e n t i o n c h a n g i n g c o n s t r a i n t s a n d l o a d i n g p a t h s .

• T h e l o a d o r t i m e f o r t h e s u b c a s e s h o u l d t h e n b e f u r t h e r d i v i d e d i n t o i n c r e m e n t s , n o t t o e x c e e d 2 0 l o a d s t e p s ( f o r S O L 1 0 6 ) o r 2 0 0 t i m e s t e p s ( f o r S O L 1 2 9 ) i n e a c h s u b c a s e .

• M a n y o p t i o n s a r e a v a i l a b l e i n s o l u t i o n m e t h o d s t o b e s p e c i e d o n N L P A R M ( f o r S O L 1 0 6 ) o r T S T E P N L ( f o r S O L 1 2 9 ) d a t a e n t r i e s . T h e d e f a u l t s s h o u l d b e u s e d o n a l l o p t i o n s b e f o r e g a i n i n g e x p e r i e n c e .

• U s e c a u t i o n w h e n s p e c i f y i n g C G A P e l e m e n t p r o p e r t i e s . I n p a r t i c u l a r , t h e c l o s e d g a p s t i f f n e s s s h o u l d n ’ t e x c e e d t h e s t i f f n e s s o f t h e a d j a c e n t d e g r e e - o f - f r e e d o m b y 1 0 0 0 t i m e s .

• N o r m a l r o t a t i o n f o r C Q U A D 4 a n d C T R I A 3 e l e m e n t s s h o u l d b e r e s t r a i n e d b y a p a r a m e t e r K 6 R O T w h e n t h e g e o m e t r i c n o n l i n e a r i t y i s i n v o l v e d . D e f a u l t v a l u e f o r p a r a m e t e r K 6 R O T i s 1 0 0 .

• U n d e r s t a n d t h e b a s i c t h e o r y o f p l a s t i c i t y o r c r e e p b e f o r e u s i n g t h e s e c a p a b i l i t i e s .

• U s e c a u t i o n w h e n p r e p a r i n g i n p u t d a t a f o r c r e e p , b e c a u s e i t i s u n i t d e p e n d e n t .

• F o r t h e t r a n s i e n t a n a l y s i s b y S O L 1 2 9 , s o m e d a m p i n g i s d e s i r a b l e a n d t h e m a s s l e s s d e g r e e - o f - f r e e d o m s h o u l d b e a v o i d e d .

• T h e t i m e s t e p s i z e f o r a t r a n s i e n t r e s p o n s e a n a l y s i s s h o u l d b e c a r e f u l l y d e t e r m i n e d b a s e d o n

t h e h i g h e s t n a t u r a l f r e q u e n c y o f i n t e r e s t b e c a u s e i t h a s s i g n i c a n t e f f e c t s o n t h e e f c i e n c y a s w e l l a s t h e a c c u r a c y .




C h a p t e r

2 E l e m e n t s f o r N o n l i n e a r A n a l y s i s

• O v e r v i e w o f N o n l i n e a r E l e m e n t s

• S m a l l S t r a i n E l e m e n t s

• F u l l y N o n l i n e a r H y p e r e l a s t i c E l e m e n t s

• B u s h i n g E l e m e n t s

• A d a p t i v e G a p E l e m e n t

2 . 1 O v e r v i e w o f N o n l i n e a r E l e m e n t s

T h e n o n l i n e a r e l e m e n t s c a n b e d i v i d e d i n t o t w o c a t e g o r i e s :

• P h y s i c a l e l e m e n t s , w h i c h h a v e a s s o c i a t e d m a t e r i a l p r o p e r t i e s .

• C o n t a c t e l e m e n t s , w h i c h d o n ’ t h a v e a n y a s s o c i a t e d m a t e r i a l p r o p e r t i e s .

P h y s i c a l E l e m e n t s

T h e n o n l i n e a r p h y s i c a l e l e m e n t s a r e l i s t e d i n T a b l e 2 - 1 a n d T a b l e 2 - 2 .

T h e C B U S H e l e m e n t m a y h a v e n o n l i n e a r f o r c e - d e e c t i o n p r o p e r t i e s d e n e d o n t h e P B U S H a n d P B U S H T p r o p e r t y e n t r i e s . T h e C B U S H e l e m e n t i s g e o m e t r i c l i n e a r ; t h e o r i e n t a t i o n i s n o t u p d a t e d i n c a s e o f l a r g e d e f o r m a t i o n . T h e C B U S H 1 D e l e m e n t i s b o t h g e o m e t r i c a n d m a t e r i a l n o n l i n e a r .

T h e e l e m e n t s C R O D , C O N R O D , a n d C T U B E m a y h a v e m a t e r i a l n o n l i n e a r e x t e n s i o n a l p r o p e r t i e s , w i t h l i n e a r t o r s i o n . Y o u m a y s u p p l y p l a s t i c o r n o n l i n e a r e l a s t i c m a t e r i a l p r o p e r t i e s . S i n c e t h e s t r e s s - s t r a i n c u r v e f o r c o m p r e s s i o n n e e d n o t b e t h e s a m e a s f o r t e n s i o n , t h i s e l e m e n t c a n , f o r e x a m p l e , b e u s e d t o m o d e l c a b l e s w h i c h c a n n o t c a r r y c o m p r e s s i o n .

T h e C B E A M e l e m e n t h a s b e e n m o d i e d t o p r o v i d e p l a s t i c h i n g e s a t t h e e n d s o f a n o t h e r w i s e e l a s t i c e l e m e n t . T h i s e l e m e n t i s i n t e n d e d f o r c o l l a p s e a n a l y s i s i n f r a m e w o r k s w i t h l o a d s a t t h e j o i n t s , a n d m a t e r i a l s w i t h s m a l l w o r k h a r d e n i n g . Y o u d o n ’ t n e e d t o s p e c i f y t h e c r o s s - s e c t i o n a x i s a b o u t w h i c h t h e y i e l d i n g o c c u r s , s i n c e t h e i m p l e m e n t a t i o n a l l o w s f o r c o m b i n a t i o n s o f b e n d i n g m o m e n t s i n t w o d i r e c t i o n s p l u s a n a x i a l l o a d . T h e e x i b i l i t y o f t h e p l a s t i c h i n g e i s b a s e d u p o n e i g h t i d e a l i z e d r o d s a t e a c h e n d , c h o s e n t o m a t c h t h e t o t a l a r e a , c e n t e r o f g r a v i t y a n d m o m e n t s o f i n e r t i a o f t h e c r o s s - s e c t i o n . A s i s s h o w n i n T a b l e 2 - 3 , t h e c a l c u l a t e d u l t i m a t e m o m e n t a g r e e s r e a s o n a b l y w e l l w i t h t h e t h e o r e t i c a l v a l u e f o r m a n y c r o s s - s e c t i o n s . T h e m a t e r i a l s p e c i e d o n a M A T S 1 B u l k D a t a e n t r y s h o u l d b e e l a s t i c - p e r f e c t l y p l a s t i c . U s e o f a n y n o n l i n e a r m a t e r i a l o t h e r t h a n e l a s t i c - p e r f e c t l y p l a s t i c w i l l g i v e i n a c c u r a t e r e s u l t s .




C h a p t e r 2 E l e m e n t s f o r N o n l i n e a r A n a l y s i s

T h e C Q U A D 4 a n d C T R I A 3 p l a t e e l e m e n t s a r e a v a i l a b l e f o r c o m b i n e d b e n d i n g a n d m e m b r a n e s t r a i n s f o u n d i n s h e l l s t r u c t u r e s a s w e l l a s f o r p l a n e s t r a i n a p p l i c a t i o n s . F o r s h e l l t y p e p r o b l e m s t h e s t a t e o f s t r e s s i s a s s u m e d t o b e c o n s t a n t i n e a c h o f a v a r i a b l e n u m b e r o f e q u a l l a y e r s . O n e l a y e r s h o u l d b e u s e d f o r p l a n e s t r a i n . Y o u r i n p u t i s t h e o n e - d i m e n s i o n a l s t r e s s - s t r a i n c u r v e f o r t e n s i o n . H i g h e r o r d e r C Q U A D 8 , C Q U A D , a n d C T R I A 6 e l e m e n t s e x i s t f o r f u l l y n o n l i n e a r ( i . e . , l a r g e s t r a i n a n d l a r g e r o t a t i o n ) h y p e r e l a s t i c p l a n e s t r a i n a n a l y s i s .

T h e C H E X A , C P E N T A , C P Y R A M , a n d C T E T R A e l e m e n t s a r e t y p i c a l l y u s e d t o m o d e l t h i c k - w a l l e d s t r u c t u r e s l i k e c a s t i n g s a n d f o r g i n g s . E a c h o f t h e s e e l e m e n t s h a s f u l l n o n l i n e a r c a p a b i l i t y e x c e p t f o r t h e C P Y R A M e l e m e n t w h i c h c a n n o t b e u s e d f o r h y p e r e l a s t i c i t y .

A x i s y m m e t r i c e l e m e n t s C Q U A D X a n d C T R I A X a r e a v a i l a b l e f o r f u l l y n o n l i n e a r a n a l y s i s w i t h t h e h y p e r e l a s t i c m a t e r i a l .

T a b l e 2 - 1 . P h y s i c a l E l e m e n t s f o r N o n l i n e a r A n a l y s i s – S m a l l S t r a i n E l e m e n t s

N a m e C h a r a c t e r i s t i c s N o n l i n e a r

E l a s t i c

E l a s t o -

P l a s t i c

G e o m e t r i c

N o n l i n e a r

C B U S H G e n e r a l i z e d 3 D s p r i n g d a m p e r w i t h 6 s t i f f n e s s e s f o r 3 t r a n s l a t i o n s a n d 3 r o t a t i o n s .

Y e s N o N o

C B U S H 1 D R o d - l i k e s p r i n g a n d d a m p e r w i t h g e n e r a l i z e d f o r c e f u n c t i o n f ( u , ) f o r a x i a l d i s p l a c e m e n t u a n d v e l o c i t y

.

Y e s N o Y e s

C R O D , C O N R O D , C T U B E E x t e n s i o n m a y b e p l a s t i c o r

n o n l i n e a r e l a s t i c . T o r s i o n i s e l a s t i c ( l i n e a r ) .

Y e s Y e s Y e s

C B E A M P l a s t i c h i n g e a t e a c h e n d , w h i c h c o u p l e s a x i a l m o t i o n a n d r o t a t i o n s .

L i n e a r m a t e r i a l f o r c e n t e r s e c t i o n , t r a v e r s e s h e a r , a n d t o r s i o n .

N o Y e s ( o n l y e l a s t i c - p e r f e c t l y p l a s t i c )

Y e s




E l e m e n t s f o r N o n l i n e a r A n a l y s i s



E l a s t i c

E l a s t o -

P l a s t i c

G e o m e t r i c

N o n l i n e a r

S h e l l a n d P l a t e

T w o - d i m e n s i o n a l p l a s t i c i t y w i t h F I V E l a y e r s f o r m e m b r a n e a n d b e n d i n g . 1 2 l a y e r s m a x i m u m ; 1 l a y e r m i n i m u m .

T r a n s v e r s e s h e a r i s l i n e a r .

Y e s Y e s Y e s

P l a n e S t r a i n

P S H E L L w i t h M I D 2 = - 1 a n d P A R A M , N L A Y E R = 1

Y e s Y e s Y e s

C Q U A D 4

P l a n e S t r e s s

M I D 2 = 0

N L A Y E R = 1

Y e s Y e s Y e s

S h e l l a n d P l a t e

T w o - d i m e n s i o n a l p l a s t i c i t y w i t h F I V E l a y e r s f o r m e m b r a n e a n d b e n d i n g . 1 2 l a y e r s m a x i m u m ; 1 l a y e r m i n i m u m . T r a n s v e r s e s h e a r i s l i n e a r .

Y e s Y e s Y e s

P l a n e S t r a i n

P S H E L L w i t h M I D 2 = - 1

a n d P A R A M , N L A Y E R = 1

Y e s Y e s Y e s

C T R I A 3

P l a n e S t r e s s

P S H E L L w i t h M I D 2 = 0

N L A Y E R = 1

Y e s Y e s Y e s

C H E X A M i d - s i d e n o d e s a r e a l l o w e d .

F o r a d d i t i o n a l n o n l i n e a r c h a r a c t e r i s t i c s , s e e P S O L I D i n t h e N X N a s t r a n

Q u i c k R e f e r e n c e G u i d e .

Y e s Y e s Y e s







E l a s t i c

E l a s t o -

P l a s t i c

G e o m e t r i c

N o n l i n e a r

C P E N T A M i d - s i d e n o d e s a r e a l l o w e d .



Y e s Y e s Y e s

C P Y R A M M i d - s i d e n o d e s a r e a l l o w e d .



Y e s Y e s Y e s

C T E T R A M i d - s i d e n o d e s a r e a l l o w e d .



Y e s Y e s Y e s

• O n e - d i m e n s i o n a l s t r e s s - s t r a i n c u r v e s u s e t h e M A T 1 e n t r y .

• A l l o t h e r e l e m e n t s m a y b e u s e d f o r n o n l i n e a r a n a l y s i s a s l o n g a s t h e y r e m a i n l i n e a r .

T a b l e 2 - 2 . P h y s i c a l E l e m e n t s f o r N o n l i n e a r A n a l y s i s — F u l l y N o n l i n e a r ( F i n i t e

D e f o r m a t i o n ) H y p e r e l a s t i c E l e m e n t s N a m e C h a r a c t e r i s t i c s G a u s s P o i n t ξ η ζ

C Q U A D , C Q U A D 4 , C Q U A D 8 , C Q U A D X P l a n e s t r a i n o r a x i s y m m e t r i c a n a l y s i s .

1 − a − a –





T a b l e 2 - 2 . P h y s i c a l E l e m e n t s f o r N o n l i n e a r A n a l y s i s — F u l l y N o n l i n e a r ( F i n i t e D e f o r m a t i o n ) H y p e r e l a s t i c E l e m e n t s

N a m e C h a r a c t e r i s t i c s G a u s s P o i n t ξ η ζ

L i n e a r i s o p a r a m e t r i c q u a d r i l a t e r a l w i t h c o n s t a n t p r e s s u r e . C o m p r e s s i b l e a n d n e a r l y i n c o m p r e s s i b l e a p p l i c a t i o n s .

F o u r G a u s s p o i n t s .

2

3

4

a

− a

a

− a

a

a

C Q U A D , C Q A U D 8 , C Q U A D X P l a n e s t r a i n o r a x i s y m m e t r i c a n a l y s i s .

Q u a d r a t i c i s o p a r a m e t r i c q u a d r i l a t e r a l w i t h l i n e a r p r e s s u r e . C o m p r e s s i b l e a n d n e a r l y i n c o m p r e s s i b l e a p p l i c a t i o n s . C e n t e r n o d e n o t a v a i l a b l e o n t h e C Q U A D 8 c o n n e c t i v i t y .

N i n e G a u s s p o i n t s .

1

2

3

4

5

6

7

8

9

− a

0

a

− a

0

a

− a

0

a

− a

− a

− a

0

0

0

0

a

a

–

C T R I A 3 , C T R I A 6 , C T R I A X P l a n e s t r a i n o r a x i s y m m e t r i c a n a l y s i s .

L i n e a r i s o p a r a m e t r i c t r i a n g l e w i t h c o n s t a n t p r e s s u r e . C o m p r e s s i b l e a n d n e a r l y i n c o m p r e s s i b l e a p p l i c a t i o n s .

O n e G a u s s p o i n t .

1 1 / 3 1 / 3 –

C T R I A 6 , C T R I A X P l a n e s t r a i n o r a x i s y m m e t r i c a n a l y s i s .

Q u a d r a t i c i s o p a r a m e t r i c t r i a n g l e w i t h c o n s t a n t p r e s s u r e . C o m p r e s s i b l e a n d n e a r l y i n c o m p r e s s i b l e a p p l i c a t i o n s .

T h r e e G a u s s p o i n t s .

1

2

3

1 / 6

2 / 3

1 / 6

1 / 6

1 / 6

2 / 3

–







C H E X A L i n e a r i s o p a r a m e t r i c h e x a h e d r o n w i t h c o n s t a n t p r e s s u r e . C o m p r e s s i b l e a n d n e a r l y i n c o m p r e s s i b l e a p p l i c a t i o n s .

E i g h t G a u s s p o i n t s .

1

2

3

4

5

6

7

8

a

− a

a

− a

a

− a

+ a

− a

a

a

− a

− a

a

a

− a

− a

a

a

a

a

− a

− a

− a

− a

C H E X A Q u a d r a t i c i s o p a r a m e t r i c h e x a h e d r o n w i t h l i n e a r p r e s s u r e . C o m p r e s s i b l e a n d n e a r l y i n c o m p r e s s i b l e a p p l i c a t i o n s .

T w e n t y - s e v e n G a u s s p o i n t s .

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 0

1 1

1 2

1 3

1 4

1 5

1 6

1 7

1 8

1 9

2 0

2 1

2 2

2 3

a

0

− a

a

0

− a

a

0

− a

a

0

− a

a

0

− a

a

0

− a

a

0

− a

a

0

a

a

a

0

0

0

− a

− a

− a

a

a

a

0

0

0

− a

− a

− a

a

a

a

0

0

a

a

a

a

a

a

a

a

a

0

0

0

0

0

0

0

0

0

− a

− a

− a

− a

− a







2 4

2 5

2 6

2 7

− a

a

0

− a

0

− a

− a

− a

− a

− a

− a

− a

C P E N T A L i n e a r i s o p a r a m e t r i c p e n t a h e d r o n w i t h c o n s t a n t p r e s s u r e . C o m p r e s s i b l e a n d n e a r l y i n c o m p r e s s i b l e a p p l i c a t i o n s .

S i x G a u s s p o i n t s .

1

2

3

4

5

6

1 / 2

1 / 2

0

1 / 2

1 / 2

0

0

1 / 2

1 / 2

0

1 / 2

1 / 2

C P E N T A Q u a d r a t i c i s o p a r a m e t r i c p e n t a h e d r o n w i t h l i n e a r p r e s s u r e . C o m p r e s s i b l e

a n d n e a r l y i n c o m p r e s s i b l e a p p l i c a t i o n s .

T w e n t y - o n e G a u s s p o i n t s .

a 1 = 0 . 0 5 9 7 1 5 8 7 1 7

b 1 = 0 . 4 7 0 1 4 2 0 6 4 1

a 2 = 0 . 7 9 7 4 2 6 9 8 5 3

b 2 = 0 . 1 0 1 2 8 6 5 0 7 3

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 0

1 1

1 2

1 3

1 4

1 5

1 6

1 7

1 / 3

a 1

b 1

b 1

a 2

b 2

b 2

1 / 3

a 1

b 1

b 1

a 2

b 2

b 2

1 / 3

a 1

b 1

1 / 3

b 1

a 1

b 1

b 2

a 2

b 2

1 / 3

b 1

a 1

b 1

b 2

a 2

b 2

1 / 3

b 1

a 1

0

0

0

0

0

0

0







1 8

1 9

2 0

2 1

b 1

a 2

b 2

b 2

b 1

b 2

a 2

b 2

C T E T R A L i n e a r i s o p a r a m e t r i c t e t r a h e d r o n w i t h c o n s t a n t p r e s s u r e . C o m p r e s s i b l e a n d n e a r l y i n c o m p r e s s i b l e a p p l i c a t i o n s .

O n e G a u s s p o i n t .

1 1 / 4 1 / 4 1 / 4

C T E T R A Q u a d r a t i c i s o p a r a m e t r i c t e t r a h e d r o n w i t h l i n e a r p r e s s u r e . C o m p r e s s i b l e a n d n e a r l y i n c o m p r e s s i b l e a p p l i c a t i o n s .

F i v e G a u s s p o i n t s .

1

2

3

4

5

1 / 6

1 / 2

1 / 6

1 / 6

1 / 4

1 / 6

1 / 6

1 / 2

1 / 6

1 / 4

1 / 6

1 / 6

1 / 6

1 / 2

1 / 4





T a b l e 2 - 3 . A c c u r a c y i n C a l c u l a t i o n o f U l t i m a t e M o m e n t i n Y i e l d e d S t a t e

S e c t i o n

M o m e n t A x i s h

A n y m u l t i p l e o f 4 5 ° f r o m y - a x i s . 9 4 8 1

M o m e n t A x i s h

y o r z . 9 8 5 6

h / w h f o r y - a x i s h f o r z - a x i s

0

. 5

1 . 0

2 . 0

∞

. 8 5 3 6

. 9 0 3 1

. 9 2 9 5

. 9 5 4 3

. 9 8 5 6

. 9 8 5 6

. 9 5 4 3

. 9 2 9 5

. 9 0 3 1

. 8 5 3 6

h t w / w t f h f o r y - a x i s h f o r z - a x i s

0

. 5

1 . 0

2 . 0

∞

. 8 5 3 6

. 8 8 2 6

. 9 0 3 1

. 9 2 9 5

. 9 8 5 6

. 9 8 5 6

1 . 1 0 2

1 . 2 0 7

1 . 3 9 4

C o n t a c t E l e m e n t s

T h e c o n t a c t ( i n t e r f a c e ) e l e m e n t s a r e l i s t e d i n T a b l e 2 - 4 .

T h e C G A P e l e m e n t i s i n t e n d e d t o m o d e l s u r f a c e s w h i c h m a y c o m e i n t o c o n t a c t . W h e n p o s i t i v e p r e s s u r e e x i s t s , t h e g a p c a n c a r r y a n y t r a n s v e r s e s h e a r l o a d w h i c h i s l e s s t h a n t h e c o e f c i e n t o f f r i c t i o n t i m e s t h e n o r m a l l o a d . T h e C G A P e l e m e n t c o n n e c t s t w o g r i d p o i n t s w h i c h m a y b e





i n i t i a l l y c o i n c i d e n t . T h e r e i s n o g e o m e t r i c n o n l i n e a r b e h a v i o r , w h i c h i m p l i e s t h a t t h e o r i e n t a t i o n o f t h e c o n t a c t p l a n e d o e s n o t c h a n g e d u r i n g d e e c t i o n . ( T h e p h y s i c a l s h a p e o f t h e t w o c o n t a c t s u r f a c e w o u l d h a v e t o b e s p e c i e d a n d i t w o u l d r e q u i r e t h e s o l u t i o n o f a d i f c u l t a n a l y t i c p r o b l e m t o d e t e r m i n e t h e l o c a t i o n o f t h e a c t u a l c o n t a c t p o i n t o r p o i n t s . )

D u e t o t h e r e q u i r e m e n t s o f t h e s o l u t i o n a l g o r i t h m , t h e r e m u s t b e a n i t e c o m p r e s s i o n s t i f f n e s s f o r t h e C G A P e l e m e n t . T h e v a l u e m u s t b e c a r e f u l l y c h o s e n , s i n c e a v e r y l a r g e v a l u e m a y l e a d t o n u m e r i c a l p r o b l e m s . A n i t e e x t e n s i o n a l s t i f f n e s s m a y b e u s e d t o p r e v e n t t h e d r i f t o f s t r u c t u r e s t h a t a r e s u p p o r t e d o n l y b y C G A P e l e m e n t s . Y o u m a y a l s o s u p p l y a n i n i t i a l o p e n i n g o f t h e g a p . A n o r i e n t a t i o n v e c t o r i s r e q u i r e d ( s e e C G A P e n t r y f o r d e t a i l s ) t o d e n e t h e t r a n s v e r s e a x e s , e v e n i f n o s h e a r i s t o b e c a r r i e d .

T h e s l i d e l i n e c o n t a c t i s c a p a b l e o f m o d e l i n g n o n l i n e a r c o n t a c t g e o m e t r y a n d i n e l a s t i c m a t e r i a l b e h a v i o r i n c l u d i n g l a r g e d e f o r m a t i o n . S l i d e l i n e c o n t a c t i s u s e f u l f o r t w o d i m e n s i o n a l g e o m e t r i e s , f o r e x a m p l e p l a n e s t r e s s , p l a n e s t r a i n a n d a x i s y m m e t r i c . T h e y c a n a l s o b e u s e d f o r t h r e e d i m e n s i o n a l g e o m e t r i e s p r o v i d e d t h e c o n t a c t b e t w e e n t h e t w o b o d i e s c a n b e d e n e d i n t e r m s o f p a r a l l e l p l a n e s c a l l e d t h e s l i d e l i n e p l a n e s . T h e s l i d i n g a n d s e p a r a t i o n o f t h e t w o b o d i e s i s r e s t r i c t e d t o t h e s l i d e l i n e p l a n e s . T h e b o d i e s c a n h a v e l a r g e r e l a t i v e m o t i o n s w i t h i n t h e s l i d e l i n e

p l a n e . H o w e v e r , r e l a t i v e m o t i o n s o u t s i d e t h e s l i d e l i n e p l a n e s a r e i g n o r e d ; t h e r e f o r e , t h e y m u s t b e s m a l l c o m p a r e d t o a t y p i c a l s l i d e l i n e e l e m e n t .

T a b l e 2 - 4 . C o n t a c t E l e m e n t s f o r N o n l i n e a r A n a l y s i s

N a m e C h a r a c t e r i s t i c s F r i c t i o n L a w G e o m e t r i c

N o n l i n e a r i t y

C G A P C o n t a c t b e t w e e n t w o p o i n t s .

E x t e n s i o n h a s d i f f e r e n t s p r i n g s f o r c o m p r e s s i o n a n d t e n s i o n .

S h e a r f o r c e i s l e s s t h a n t h e f r i c t i o n

c o e f c i e n t t i m e s t h e c o m p r e s s i o n . T r a n s v e r s e n i t e c o m p r e s s i o n s t i f f n e s s i s r e q u i r e d .

C o u l o m b ’ s L a w w i t h : k i n e t i c f r i c t i o n 0 s t a t i c f r i c t i o n

N o

S l i d e l i n e C o n t a c t b e t w e e n a p o i n t a n d a l i n e .

C o u l o m b ’ s L a w w i t h : k i n e t i c f r i c t i o n = s t a t i c f r i c t i o n

Y e s

2 . 2 S m a l l S t r a i n E l e m e n t s

A s u b s e t o f N X N a s t r a n ’ s e l e m e n t s f o r l i n e a r a n a l y s i s i s a v a i l a b l e f o r n o n l i n e a r s t r u c t u r a l

a n a l y s i s ( s e e T a b l e 2 - 5 ) . T h e n o n l i n e a r e l e m e n t s f o r s m a l l s t r a i n a n a l y s i s c a n h a n d l e m a t e r i a l o r g e o m e t r i c n o n l i n e a r i t i e s o r b o t h . I n g e o m e t r i c n o n l i n e a r a n a l y s i s , t h e e l e m e n t s m a y u n d e r g o l a r g e t o t a l d i s p l a c e m e n t s a n d r o t a t i o n s b u t t h e n e t d e f o r m a t i o n o f e a c h e l e m e n t h a s t o r e m a i n s m a l l , t h e r e f o r e t h e s e e l e m e n t s a r e c a l l e d “ s m a l l s t r a i n ” e l e m e n t s . F o r l i n e a r m a t e r i a l a n d i n n i t e s i m a l d e f o r m a t i o n , a n o n l i n e a r a n a l y s i s w i t h s m a l l s t r a i n e l e m e n t s g i v e s r e s u l t s w h i c h a r e i d e n t i c a l t o a l i n e a r a n a l y s i s . T h e s m a l l s t r a i n e l e m e n t s m a y b e c o m b i n e d w i t h a n y o t h e r t y p e o f e l e m e n t s , e . g . , h y p e r e l a s t i c e l e m e n t s a n d / o r l i n e a r e l e m e n t s .





a r e c h o s e n w i t h P A R A M , L A N G L E , i . T h e d e f a u l t i s t h e g i m b a l a n g l e d e n i t i o n , i = 1 . T h e 3 g i m b a l a n g l e c o m p o n e n t s a r e t h e 3 s u b s e q u e n t r o t a t i o n s a r o u n d t h e g l o b a l a x e s . T h e s e c o n d r o t a t i o n c o m p o n e n t r e f e r s t o t h e s e c o n d g l o b a l a x i s w h i c h h a s b e e n r o t a t e d o n c e b y t h e r s t r o t a t i o n . T h e t h i r d r o t a t i o n r e f e r s t o t h e t h i r d g l o b a l a x i s w h i c h h a s b e e n r o t a t e d t w i c e b y t h e r s t a n d s e c o n d r o t a t i o n . T h e r o t a t i o n v e c t o r d e n i t i o n i s c h o s e n w i t h i = 2 . T h e c o m p o n e n t s o f t h e r o t a t i o n v e c t o r r e f e r t o t h e x e d g l o b a l a x e s . T h e d i r e c t i o n o f t h e r o t a t i o n v e c t o r i s t h e p r i n c i p a l d i r e c t i o n o f t h e 3 - D r o t a t i o n . T h e m a g n i t u d e o f t h e r o t a t i o n v e c t o r i s t h e p r i n c i p a l v a l u e o f t h e 3 - D r o t a t i o n . T h e d i f f e r e n c e o f t h e t w o a n g l e d e n i t i o n s i n t h e o u t p u t o f t h e e l e m e n t s a p p e a r s o n l y f o r l a r g e 3 - D r o t a t i o n s .

O u t p u t

E l e m e n t s t r e s s a n d s t r a i n o u t p u t i s r e q u e s t e d w i t h t h e S T R E S S C a s e C o n t r o l c o m m a n d . T h e s t r e s s a n d s t r a i n o u t p u t f o r a l l n o n l i n e a r e l e m e n t s i s d i v i d e d i n t o a n o n l i n e a r a n d a l i n e a r f o r m a t . T h e n o n l i n e a r f o r m a t o u t p u t s s t r e s s e s t o g e t h e r w i t h s t r a i n s . C o m p a r e d t o t h e l i n e a r f o r m a t , t h e n o n l i n e a r f o r m a t p r o v i d e s m o r e i n f o r m a t i o n w i t h r e g a r d t o n o n l i n e a r m a t e r i a l l a w s ( e f f e c t i v e s t r a i n , e q u i v a l e n t s t r e s s e t c . ) . I n t h e l i n e a r f o r m a t , s t r a i n o u t p u t i s n o t a v a i l a b l e . T h e

s t r e s s e s a n d s t r a i n s o f t h e s m a l l s t r a i n e l e m e n t s r e f e r t o t h e u n d e f o r m e d a r e a a n d l e n g t h , r e s p e c t i v e l y . T h e c o m p o n e n t s o f t h e s t r e s s e s a n d s t r a i n s a r e i n t h e d e f o r m e d e l e m e n t c o o r d i n a t e s y s t e m w h i c h c o - r o t a t e s w i t h t h e e l e m e n t s ’ r i g i d b o d y d e f o r m a t i o n .

A v e r a g e d g r i d p o i n t s t r e s s e s a r e r e q u e s t e d w i t h t h e G P S T R E S S C a s e C o n t r o l c o m m a n d . A v e r a g e d g r i d p o i n t s t r e s s e s a r e a v a i l a b l e i n n o n l i n e a r s t a t i c a n a l y s i s b u t n o t i n n o n l i n e a r t r a n s i e n t a n a l y s i s . E l e m e n t f o r c e s a r e r e q u e s t e d w i t h t h e F O R C E o r E L F O R C E C a s e C o n t r o l c o m m a n d . E l e m e n t f o r c e s p e r u n i t l e n g t h r e f e r t o t h e u n d e f o r m e d l e n g t h . T h e c o m p o n e n t s o f t h e e l e m e n t f o r c e s a r e i n t h e d e f o r m e d e l e m e n t s y s t e m . E l e m e n t f o r c e s a r e a v a i l a b l e i n n o n l i n e a r s t a t i c a n a l y s i s b u t n o t i n n o n l i n e a r t r a n s i e n t a n a l y s i s .

G r i d p o i n t f o r c e s a r e r e q u e s t e d w i t h t h e G P F O R C E C a s e C o n t r o l c o m m a n d . G r i d p o i n t f o r c e s a r e n o t a v a i l a b l e i n n o n l i n e a r s t r u c t u r a l a n a l y s i s .

E l e m e n t f o r c e s a r e n ’ t a v a i l a b l e f o r s o l i d e l e m e n t s .

D e f o r m a t i o n s a r e r e q u e s t e d w i t h t h e D I S P C a s e C o n t r o l c o m m a n d . T h e o u t p u t o f d i s p l a c e m e n t s a n d r o t a t i o n s i s a v a i l a b l e f o r a l l t y p e s o f n o n l i n e a r s t r u c t u r a l a n a l y s i s .

C o - r o t a t i o n a l F o r m u l a t i o n i n G e o m e t r i c N o n l i n e a r A n a l y s i s

F o r s m a l l s t r a i n e l e m e n t s , a l a r g e d e f o r m a t i o n i s s p l i t i n t o e l e m e n t r i g i d b o d y d e f o r m a t i o n a n d e l e m e n t n e t d i s t o r t i o n . T h e r i g i d b o d y r o t a t i o n s o f t h e p o i n t s i n t h e e l e m e n t a r e a p p r o x i m a t e d b y t h e r o t a t i o n o f t h e l o c a l e l e m e n t t r i a d w h i c h f o l l o w s t h e e l e m e n t d e f o r m a t i o n , a s s h o w n i n F i g u r e 2 - 1 . F o r t h e r e m a i n i n g e l e m e n t n e t d i s t o r t i o n s , a l i n e a r s t r a i n m e a s u r e i s u s e d . T h e m e t h o d i s c a l l e d c o - r o t a t i o n a l f o r m u l a t i o n . T h e f o r m u l a t i o n i s c a p a b l e t o s i m u l a t e l a r g e t o t a l d e f o r m a t i o n s

i f a n e m e s h i s u s e d a n d t h e s t r e t c h e s r e m a i n s m a l l . I n g e o m e t r i c n o n l i n e a r a n a l y s i s w i t h N X N a s t r a n , t h e t a n g e n t s t i f f n e s s m a t r i x i s c a l c u l a t e d i n t w o s t e p s . F i r s t , t h e l i n e a r s t i f f n e s s o r n o n l i n e a r m a t e r i a l s t i f f n e s s i s c a l c u l a t e d . T h e l i n e a r s t i f f n e s s o r n o n l i n e a r m a t e r i a l s t i f f n e s s i s c o n s t r u c t e d f r o m t h e v a r i a t i o n o f t h e s t r e s s e s i n t h e v i r t u a l w o r k . S e c o n d , t h e d i f f e r e n t i a l s t i f f n e s s i s c a l c u l a t e d . T h e d i f f e r e n t i a l s t i f f n e s s i s c o n s t r u c t e d f r o m t h e v a r i a t i o n o f t h e s t r a i n s i n t h e v i r t u a l w o r k . T h e d i f f e r e n t i a l s t i f f n e s s i s a l s o c a l l e d g e o m e t r i c s t i f f n e s s .





F i g u r e 2 - 1 . C o - r o t a t i o n a l C o n c e p t f o r S m a l l S t r a i n E l e m e n t s i n G e o m e t r i c N o n l i n e a r A n a l y s i s

G u i d e l i n e s

L a r g e e l e m e n t n e t d e f o r m a t i o n s s h o u l d b e a v o i d e d . I n a r e a s o f t h e s t r u c t u r e w h e r e l a r g e t o t a l d e f o r m a t i o n s a r e e x p e c t e d , t h e m e s h m u s t b e n e e n o u g h t o k e e p t h e e l e m e n t n e t d e f o r m a t i o n s s m a l l . T h e e l e m e n t n e t r o t a t i o n s h o u l d n o t e x c e e d 2 0 d e g r e e s a n d t h e e l e m e n t s h o u l d n o t b e s t r e t c h e d b y m o r e t h a n 1 0 % . I f s t r e t c h e s e x c e e d 2 0 % , i t i s r e c o m m e n d e d t o u s e h y p e r e l a s t i c e l e m e n t s i f a p p l i c a b l e .

L i m i t a t i o n s

• T h e e l e m e n t n e t d i s t o r t i o n s h a v e t o r e m a i n s m a l l .

• R i g i d b o d y e l e m e n t s ( R B E i , R B A R , R R O D e n t r i e s , e t c . ) d o n o t r o t a t e i n g e o m e t r i c n o n l i n e a r a n a l y s i s .

• M u l t i p o i n t c o n s t r a i n t s ( M P C s ) r e m a i n l i n e a r , t h e u s e r - d e n e d c o n s t r a i n t e q u a t i o n s d o n ’ t c h a n g e a u t o m a t i c a l l y i n g e o m e t r i c n o n l i n e a r a n a l y s i s . I n n o n l i n e a r s t a t i c a n a l y s i s , y o u m a y c h a n g e t h e M P C s f r o m s u b c a s e t o s u b c a s e . T h e n , t h e c h a n g e s i n t h e M P C s a r e a c c o u n t e d f o r i n c r e m e n t a l l y .

• O f f s e t s i n t h e C B E A M , C T R I A 3 a n d C Q U A D 4 e l e m e n t s a r e n o t a l l o w e d i n c o m b i n a t i o n w i t h n o n l i n e a r m a t e r i a l .

• T h e r e s u l t s i n l i n e a r a n d n o n l i n e a r b u c k l i n g w i t h o f f s e t s m a y b e i n c o r r e c t .

• A t e m p e r a t u r e v a r i a t i o n o f t h e n o n l i n e a r m a t e r i a l c o n s t a n t s i n p l a s t i c i t y i s n o t a v a i l a b l e .





• F o r t h e C B E A M , t h e o n l y n o n l i n e a r m a t e r i a l a v a i l a b l e i s e l a s t i c - p e r f e c t l y p l a s t i c .

2 . 3 F u l l y N o n l i n e a r H y p e r e l a s t i c E l e m e n t s

T h e h y p e r e l a s t i c e l e m e n t s a r e f u l l y n o n l i n e a r n i t e d e f o r m a t i o n e l e m e n t s , i n c l u d i n g l a r g e s t r a i n a n d l a r g e r o t a t i o n . T h e f o l l o w i n g e l e m e n t s a r e a v a i l a b l e : p l a n e s t r a i n ( C Q U A D 4 , C Q U A D 8 , C Q U A D , C T R I A 3 , a n d C T R I A 6 ) , s o l i d ( C H E X A , C P E N T A , a n d C T E T R A ) a n d a x i s y m m e t r i c e l e m e n t s ( C Q U A D X a n d C T R I A X ) .

T h e f o l l o w i n g t a b l e s s u m m a r i z e t h e s u p p o r t e d p r o p e r t i e s f o r e l e m e n t s i n a n o n l i n e a r a n a l y s i s .

T a b l e 2 - 6 . S u m m a r y o f P r o p e r t i e s o f t h e N o n l i n e a r E l e m e n t s

C o n n e c t i v i t y P r o p e r t i e s N o . o f G R I D P o i n t s N o . o f G a u s s P o i n t s G e o m e t r i c N o n l i n e a r i t y

B C O N P

B L S E G

B W I D T H

B F R I C

v a r i a b l e X

P B E A M 3 1 6 * X C B E A M

P B C O M P

P B U S H 1 o r 2 C B U S H

P B U S H T

C B U S H 1 D P B U S H 1 D 1 o r 2 X

C G A P P G A P 3 0

P S O L I D 8 8 X C H E X A

P L S O L I D 8

2 0 ‡

8

2 7

X

C O N R O D — 2 1 X P S O L I D 6 6 X C P E N T A

P L S O L I D 6

1 5 ‡

6

2 1

X

P S H E L L 4 5 * X * *

P C O M P

C Q U A D 4

P L P L A N E 4 4 X

C Q U A D 8 P L P L A N E 8 ‡ 9 X

C Q U A D P L P L A N E 9 ‡ 9 X

C R O D P R O D 2 1 X

P S O L I D 4 , 1 0 1 X C T E T R A P L S O L I D 4

1 0 ‡

1

5

X

P S H E L L 3 5 * X * *

P C O M P

C T R I A 3

P L P L A N E 3 1 X

C T R I A 6 P L P L A N E 6 ‡ 3 X

C T U B E P T U B E 2 1 X





T a b l e 2 - 6 . S u m m a r y o f P r o p e r t i e s o f t h e N o n l i n e a r E l e m e n t s

C o n n e c t i v i t y P r o p e r t i e s N o . o f G R I D P o i n t s N o . o f G a u s s P o i n t s G e o m e t r i c N o n l i n e a r i t y

C Q U A D X P L P L A N E 4

9 ‡

4

9

X

C T R I A X P L P L A N E 3

6 ‡

1

3

X

N o t e

N o t e s o n P r o p e r t y T a b l e

• * M a y b e c h a n g e d b y y o u .

• * * A l w a y s i n e q u i l i b r i u m i n u p d a t e d s y s t e m .

• ‡ C e n t e r g r i d , i f a p p l i c a b l e , a n d m i d s i d e g r i d s m a y b e o m i t t e d . F o r h y p e r e l a s t i c e l e m e n t s i t i s r e c o m m e n d e d t h a t e i t h e r a l l o r n o m i d s i d e g r i d s b e o m i t t e d .

• E d g e n o d e s a r e n o t a p p l i c a b l e t o n o n l i n e a r e l e m e n t s , e x c e p t h y p e r e l a s t i c e l e m e n t s a n d t h e T E T 1 0 e l e m e n t .

T a b l e 2 - 7 . S u m m a r y o f M a t e r i a l P r o p e r t i e s o f t h e N o n l i n e a r E l e m e n t s

M a t e r i a l P r o p e r t y C o n n e c t i v i t y P r o p e r t i e s

N o n l i n e a r I s o t r o p i c A n i s o t r o p i c O r t h o t r o p i c

B C O N P

B L S E G

B W I D T H

B F R I C

P B E A M 1 † C B E A M

P B C O M P

P B U S H X X C B U S H

P B U S H T

C B U S H 1 D P B U S H 1 D X

C G A P P G A P

P S O L I D 1 9 C H E X A

P L S O L I D M A T H P

C O N R O D — 1

P S O L I D 1 9 C P E N T A P L S O L I D M A T H P

P S H E L L 1 2 8

P C O M P C Q U A D 4

P L P L A N E M A T H P

C Q U A D 8 P L P L A N E M A T H P

C Q U A D P L P L A N E M A T H P

C R O D P R O D 1





T a b l e 2 - 7 . S u m m a r y o f M a t e r i a l P r o p e r t i e s o f t h e N o n l i n e a r E l e m e n t s

M a t e r i a l P r o p e r t y C o n n e c t i v i t y P r o p e r t i e s

N o n l i n e a r I s o t r o p i c A n i s o t r o p i c O r t h o t r o p i c

P S O L I D 1 9 C T E T R A

P L S O L I D M A T H P

P S H E L L 1 2 8

P C O M P C T R I A 3

P L P L A N E M A T H P

C T R I A 6 P L P L A N E M A T H P

C T U B E P T U B E 1

C Q U A D X P L P L A N E M A T H P

C T R I A X P L P L A N E M A T H P

N o t e N o t e s o n P r o p e r t y T a b l e

• * M a y b e c h a n g e d b y y o u .

• † F o r t h e b e a m e l e m e n t , o n l y e l a s t i c - p e r f e c t l y p l a s t i c m a t e r i a l i s a v a i l a b l e .

• I n t e g e r s l i s t e d u n d e r M a t e r i a l p r o p e r t i e s i d e n t i f y ( i ) o n M A T i B u l k D a t a e n t r i e s .

• M A T S 1 a n d C R E E P m a y b e a t t a c h e d t o M A T 1 , M A T 2 , a n d M A T 9 .

T a b l e 2 - 8 . S u m m a r y o f S t a t i c L o a d P r o p e r t i e s o f t h e N o n l i n e a r E l e m e n t s S t a t i c L o a d s

C o n n e c t i v i t y P r o p e r t i e s T h e r m a l P r e s s u r e G r a v i t y

B C O N P

B L S E G

B W I D T H

B F R I C

P B E A M X X C B E A M

P B C O M P

P B U S H C B U S H

P B U S H T

C B U S H 1 D P B U S H 1 D

C G A P P G A P

P S O L I D X X X C H E X A

P L S O L I D X X X

C O N R O D — X X

P S O L I D X X X C P E N T A

P L S O L I D X X X





T a b l e 2 - 8 . S u m m a r y o f S t a t i c L o a d P r o p e r t i e s o f t h e N o n l i n e a r E l e m e n t s

S t a t i c L o a d s C o n n e c t i v i t y P r o p e r t i e s

T h e r m a l P r e s s u r e G r a v i t y

P S H E L L X X X


P L P L A N E X X

C Q U A D 8 P L P L A N E X X

C Q U A D P L P L A N E X X

C R O D P R O D X X

P S O L I D X X X C T E T R A

P L S O L I D X X X

P S H E L L X X X


P L P L A N E X X

C T R I A 6 P L P L A N E X X

C T U B E P T U B E X X

C Q U A D X P L P L A N E X X X

C T R I A X P L P L A N E X X X

T a b l e 2 - 9 . S u m m a r y o f D a t a R e c o v e r y P r o p e r t i e s o f t h e N o n l i n e a r E l e m e n t s

D A T A R e c o v e r y

C o n n e c t i v i t y P r o p e r t i e s S t r e s s

G r i d P o i n t

S t r e s s F o r c e S t r u c t u r e P l o t C o n t o u r P l o t

B C O N P

B L S E G

B W I D T H

B F R I C X X

P B E A M X X X C B E A M

P B C O M P

P B U S H X X X X C B U S H

P B U S H T

C B U S H 1 D P B U S H 1 D X X X X

C G A P P G A P X X

P S O L I D X X X C H E X A

P L S O L I D X X

C O N R O D — X X X X

P S O L I D X X X C P E N T A

P L S O L I D X X

P S H E L L X X X X X


P L P L A N E X X

C Q U A D 8 P L P L A N E X X

C Q U A D P L P L A N E X X





T a b l e 2 - 9 . S u m m a r y o f D a t a R e c o v e r y P r o p e r t i e s o f t h e N o n l i n e a r E l e m e n t s

D A T A R e c o v e r y

C o n n e c t i v i t y P r o p e r t i e s S t r e s s

G r i d P o i n t

S t r e s s

F o r c e S t r u c t u r e P l o t C o n t o u r P l o t

C R O D P R O D X X X

P S O L I D X X X C T E T R A

P L S O L I D X X

P S H E L L X X X X X


P L P L A N E X X

C T R I A 6 P L P L A N E X X

C T U B E P T U B E X X X

C Q U A D X P L P L A N E X X

C T R I A X P L P L A N E X X

T h e e l e m e n t f o r m u l a t i o n i s t o t a l L a g r a n g i a n i n u p d a t e d c o o r d i n a t e s . S e e F i g u r e 2 - 2 f o r a n i l l u s t r a t i o n o f t h e t o t a l L a g r a n g i a n c o n c e p t . A n o n l i n e a r s t r a i n m e a s u r e a n d p o i n t w i s e r o t a t i o n c o m p u t e d a t e a c h G a u s s p o i n t a r e e m p l o y e d . E q u i l i b r i u m i s s a t i s e d i n t h e d e f o r m e d c o n g u r a t i o n .





F i g u r e 2 - 2 . T o t a l L a g r a n g i a n C o n c e p t : D e f o r m a t i o n s a r e M e a s u r e d f r o m a n I n i t i a l U n d e f o r m e d S t a t e

T h e e l e m e n t s a r e e s p e c i a l l y d e s i g n e d t o a d d r e s s v o l u m e t r i c l o c k i n g a n d o t h e r r e l a t e d

p r o b l e m s s u c h a s i l l - c o n d i t i o n i n g o f t h e s t i f f n e s s m a t r i x , i n c o r r e c t s t r e s s e s e t c . , d u e t o n e a r i n c o m p r e s s i b i l i t y . T o t h i s e n d , a m i x e d f o r m u l a t i o n b a s e d o n a t h r e e e l d v a r i a t i o n a l p r i n c i p l e i n w h i c h t h e p r e s s u r e a n d t h e v o l u m e r a t i o a r e i n t e r p o l a t e d i n d e p e n d e n t l y f r o m t h e d i s p l a c e m e n t s i s e m p l o y e d . A t t h e i n c o m p r e s s i b l e l i m i t t h e b u l k m o d u l u s b e c o m e s i n n i t e a n d t h e v o l u m e t r i c s t r a i n J − 1 b e c o m e s z e r o s o t h a t t h e p r e s s u r e m a y n o l o n g e r b e o b t a i n e d f r o m t h e d i s p l a c e m e n t s t h r o u g h t h e c o n s t i t u t i v e e q u a t i o n . T h e p r e s s u r e a n d v o l u m e r a t i o i n t e r p o l a t i o n s a r e d i s c o n t i n u o u s b e t w e e n t h e e l e m e n t s .

T h e h y p e r e l a s t i c e l e m e n t s a r e s u p p o r t e d i n t h e n o n l i n e a r s o l u t i o n s , S O L s 1 0 6 a n d 1 2 9 . T h e y c a n b e r u n t h r o u g h S O L s 1 0 1 a n d 1 0 5 f o r m o d e l c h e c k o u t i n l i n e a r a n a l y s i s , t h e r e s u l t s , h o w e v e r ,





w i l l g e n e r a l l y n o t b e c o r r e c t . F o r b u c k l i n g a n a l y s i s , P A R A M , B U C K L E i n S O L 1 0 6 s h o u l d b e u s e d i n s t e a d .

U s e r I n t e r f a c e

B e c a u s e t h e r e ’ s n o d i f f e r e n c e i n g e o m e t r y , y o u d e n e t h e h y p e r e l a s t i c e l e m e n t s u s i n g t h e c u r r e n t C Q U A D 4 , C Q U A D 8 , C T R I A 3 , C T R I A 6 C H E X A , C P E N T A , a n d C T E T R A c o n n e c t i v i t y e n t r i e s . A d d i t i o n a l C Q U A D , C Q U A D X , a n d C T R I A X c o n n e c t i v i t y e n t r i e s a r e a v a i l a b l e f o r t h e h y p e r e l a s t i c e l e m e n t s . T h e P I D e l d o f t h e c o n n e c t i v i t y e n t r i e s f o r t h e p l a n e o r a x i s y m m e t r i c a n d f o r t h e s o l i d h y p e r e l a s t i c e l e m e n t s r e f e r e n c e s t h e P L P L A N E a n d P L S O L I D p r o p e r t y e n t r i e s , r e s p e c t i v e l y . T h e M I D e l d r e f e r e n c e s a M A T H P m a t e r i a l e n t r y t h a t d e n e s t h e h y p e r e l a s t i c m a t e r i a l . T h i s i s t h e o n l y m a t e r i a l m o d e l a v a i l a b l e f o r f u l l y n o n l i n e a r , n i t e d e f o r m a t i o n a n a l y s i s . S e e t h e N X N a s t r a n E l e m e n t L i b r a r y f o r m o r e i n f o r m a t i o n .

O u t p u t D e s c r i p t i o n

T h e n o n l i n e a r s t r e s s o u t p u t f o r t h e h y p e r e l a s t i c e l e m e n t s d i f f e r s f r o m o t h e r m a t e r i a l n o n l i n e a r s t r e s s o u t p u t . T h e h y p e r e l a s t i c s t r e s s o u t p u t c o n t a i n s t h e f o l l o w i n g q u a n t i t i e s , a t e a c h G a u s s p o i n t , i n t h e b a s i c c o o r d i n a t e s y s t e m f o r s o l i d a n d a x i s y m m e t r i c e l e m e n t s a n d i n t h e C I D c o o r d i n a t e s y s t e m , d e n e d o n a P L P L A N E e n t r y , f o r p l a n e s t r a i n e l e m e n t s :

C a u c h y s t r e s s e s , i . e . , c o m p o n e n t s o f t h e s t r e s s v e c t o r w h e r e d A i s a n i n n i t e s i m a l a r e a i n t h e d e f o r m e d c o n g u r a t i o n , a n d P i s t h e f o r c e .

• P r e s s u r e

• L o g a r i t h m i c s t r a i n s , i . e . , t h e c o m p o n e n t s o f

w h e r e l l a r e p r i n c i p a l s t r e t c h e s l / l 0 i n t h e p r i n c i p a l d i r e c t i o n s N l . S e e F i g u r e 2 - 3 . F o r c o m p a t i b i l i t y w i t h o t h e r N X N a s t r a n e l e m e n t s , t w i c e t h e s h e a r c o m p o n e n t s o f t h e l o g a r i t h m i c s t r a i n t e n s o r a r e p r i n t e d i n t h e o u t p u t .

N l

= p r i n c i p a l d i r e c t i o n s i n u n d e f o r m e d c o n g u r a t i o n ; n l

= R N l

= p r i n c i p a l d i r e c t i o n s i n d e f o r m e d c o n g u r a t i o n , o b t a i n e d f r o m N l b y a r i g i d b o d y r o t a t i o n . T h e d e f o r m a t i o n a l o n g N l i s a p u r e s t r e t c h , a f t e r t h e r i g i d b o d y m o t i o n h a s b e e n f a c t o r e d o u t .





F i g u r e 2 - 3 .

• V o l u m e t r i c s t r a i n

w h e r e J i s a n a p p r o x i m a t i o n t o t h e d e t e r m i n a n t o f t h e d e f o r m a t i o n g r a d i e n t d x / d X .

T h i s o u t p u t i s o b t a i n e d w i t h t h e S T R E S S ( o r E L S T R E S S ) C a s e C o n t r o l c o m m a n d . E x a m p l e s o f t h e n e w o u t p u t f o r t h e p l a n e , a x i s y m m e t r i c a n d s o l i d e l e m e n t s a r e s h o w n i n L i s t i n g 2 - 1 .

T h e l i n e a r o u t p u t c o n t a i n s p r i n c i p a l C a u c h y s t r e s s e s a n d d i r e c t i o n s w i t h r e s p e c t t o t h e b a s i c ( o r C I D ) c o o r d i n a t e s y s t e m . S e e L i s t i n g 2 - 2 .





L i s t i n g 2 - 1 .





L i s t i n g 2 - 2 .

G u i d e l i n e s

N X N a s t r a n p e r f o r m s a f u l l y n o n l i n e a r a n a l y s i s , i n c l u d i n g t h e e f f e c t o f l a r g e s t r a i n a n d l a r g e r o t a t i o n , i f a P L P L A N E a n d / o r P L S O L I D B u l k D a t a e n t r y a r e e n c o u n t e r e d . T h e h y p e r e l a s t i c m a t e r i a l i s d e n e d b y u s i n g t h e M A T H P B u l k D a t a e n t r y . A n o n l i n e a r a n a l y s i s i s a l w a y s p e r f o r m e d e x c e p t i n l i n e a r s o l u t i o n s w h e n a h y p e r e l a s t i c m a t e r i a l i s d e n e d .

I t i s b e s t t h a t t h e d i f f e r e n t i a l s t i f f n e s s P A R A M , L G D I S P , 1 b e u s e d i n a l l h y p e r e l a s t i c r u n s , b u t i t i s n o t t h e d e f a u l t . I f t h e s t r a i n s a n d t h e r o t a t i o n s a r e s m a l l , t h e n t h e h y p e r e l a s t i c a n a l y s i s s h o u l d c o m p a r e t o t h e l i n e a r e l a s t i c a n a l y s i s . H o w e v e r , f o r h y p e r e l a s t i c a n a l y s i s , i t i s a l w a y s b e s t t o u s e P A R A M , L G D I S P , 1 .

D u e t o t h e i n d e p e n d e n t p r e s s u r e i n t e r p o l a t i o n s , p a r t i c u l a r l y a t v e r y h i g h c o m p r e s s i v e v a l u e s o f t h e p r e s s u r e ( o f t h e o r d e r o f t h e b u l k m o d u l u s ) , i n d e n i t e n e s s o f t h e s t i f f n e s s m a t r i x m a y o c c u r , c a u s e d b y a n a p p a r e n t m a t e r i a l i n s t a b i l i t y . B y d e f a u l t i n s u c h i n s t a n c e s N X N a s t r a n w i l l i g n o r e t h e s o - c a l l e d d i f f e r e n t i a l s t i f f n e s s . A l t h o u g h i n d e n i t e n e s s o f t h e s t i f f n e s s m a t r i x i s p r o b a b l y n o t a s s o c i a t e d w i t h a g e o m e t r i c i n s t a b i l i t y , t h i s m a y i n d e e d h e l p , a s m a n y o f t h e t e r m s , w h i c h h e a v i l y d e p e n d o n t h e p r e s s u r e , a r e p a r t o f t h e d i f f e r e n t i a l s t i f f n e s s .


T h e f u l l y n o n l i n e a r h y p e r e l a s t i c C Q U A D , C Q U A D 4 , C Q U A D 8 , C T R I A 3 , a n d C T R I A 6 a r e p l a n e s t r a i n e l e m e n t s o n l y ; t h e y d o n o t c o n t a i n b e n d i n g p r o p e r t i e s , n o r c a n t h e y b e u s e d i n p l a n e s t r e s s a n a l y s i s . T h e r e f o r e , t h e y c a n n o t b e s u b j e c t t o o u t - o f - p l a n e l o a d i n g c o n d i t i o n s a n d d o n o t s u s t a i n a t h i c k n e s s . T h e e l e m e n t s a s s u m e a t h i c k n e s s o f 1 . 0 f o r m a s s c a l c u l a t i o n i n d y n a m i c a n a l y s e s .





T h e l o w e r o r d e r f u l l y n o n l i n e a r h y p e r e l a s t i c e l e m e n t s C Q U A D 4 , C T R I A 3 , 8 - n o d e d C H E X A , 6 - n o d e d C P E N T A a n d 4 - n o d e d C T E T R A a r e n o t i m m u n e t o s h e a r l o c k i n g a n d t h e r e f o r e a r e n o t s u i t a b l e f o r b e n d i n g t y p e l o a d i n g . T h e h i g h e r o r d e r e l e m e n t s C Q U A D 8 , 9 - n o d e d C Q U A D , C T R I A 6 , 2 0 - n o d e d C H E X A , 1 5 - n o d e d C P E N T A , a n d 1 0 - n o d e d C T E T R A s h o u l d b e u s e d i n s u c h s i t u a t i o n s . S e e E x a m p l e 1 : R u b b e r B u s h i n g P r o b l e m 2 - .

E v e n t h o u g h t h e f u l l y n o n l i n e a r e l e m e n t s a r e d e n e d u s i n g t h e c u r r e n t C Q U A D 4 , C Q U A D 8 , C T R I A 3 , C T R I A 6 , C H E X A , C P E N T A , a n d C T E T R A B u l k D a t a e n t r i e s , i n t e r n a l l y , N X N a s t r a n d e s i g n a t e s t h e m a s t h e s e p a r a t e e l e m e n t s , C Q U A D 4 F D , C H E X A F D ( f o r F i n i t e D e f o r m a t i o n ) e t c . , b e c a u s e o f t h e d i f f e r e n t e l e m e n t f o r m u l a t i o n s . T h i s d e s i g n a t i o n i s p r i n t e d i n a l l t h e o u t p u t i n w h i c h t h e e l e m e n t s a r e r e f e r e n c e d b y n a m e , s u c h a s P A R A M , E S T , P A R A M , G P E C T , t h e s e q u e n c e p r o c e s s o r , a n d t h e e l e m e n t s t r e s s o u t p u t .

G P S T R E S S a n d F O R C E o u t p u t i s n o t a v a i l a b l e f o r t h e f u l l y n o n l i n e a r h y p e r e l a s t i c e l e m e n t s .

T h e e l e m e n t t y p e s f o r t h e f u l l y n o n l i n e a r h y p e r e l a s t i c e l e m e n t s a r e a s f o l l o w s :

E l e m e n t E l e m e n t N u m b e r

E l e m e n t N u m b e r i n O E S N L D a t a B l o c k

C Q U A D 4 1 3 9 2 0 1

C Q U A D 8 ( R e v e r t s t o C Q U A D 4 w h e n a l l m i d s i d e g r i d s a r e o m i t t e d )

1 6 4 2 0 8

C Q U A D ( R e v e r t s t o C Q U A D 4 w h e n c e n t e r a n d a l l m i d s i d e g r i d s a r e o m i t t e d )

1 6 4 2 0 8

C T R I A 3 1 6 2 2 0 6

C T R I A 6 ( R e v e r t s t o C T R I A 3 w h e n a l l m i d s i d e g r i d s a r e o m i t t e d )

1 6 7 2 1 1

C H E X A w i t h 8 n o d e s 1 4 0 2 0 2

C H E X A ( R e v e r t s t o 8 - n o d e d C H E X A w h e n a l l m i d s i d e g r i d s a r e o m i t t e d ) 1 6 3 2 0 7

C P E N T A w i t h 6 g r i d s 1 6 0 2 0 4

C P E N T A ( R e v e r t s t o 6 - n o d e d C P E N T A w h e n a l l m i d s i d e g r i d s a r e o m i t t e d )

1 6 5 2 0 9

C T E T R A 1 6 1 2 0 5

C T E T R A ( R e v e r t s t o 4 - n o d e d C T E T R A w h e n a l l m i d s i d e g r i d s a r e o m i t t e d )

1 6 6 2 1 0

C Q U A D X 1 7 0 2 1 4

C Q U A D X ( R e v e r t s t o 4 - n o d e d C Q U A D X w h e n a l l m i d s i d e g r i d s a r e o m i t t e d )

1 7 1 2 1 5

C T R I A X 1 6 8 2 1 2

C T R I A X ( R e v e r t s t o 3 - n o d e d C T R I A X w h e n a l l m i d s i d e g r i d s a r e o m i t t e d )

1 6 9 2 1 3

E x a m p l e 1 : R u b b e r B u s h i n g P r o b l e m

T h e c r o s s s e c t i o n o f a r u b b e r b u s h i n g i s s h o w n i n F i g u r e 2 - 4 . I t i s a s s u m e d t h a t t h e f r a m e a n d i n t e r n a l s h a f t a r e r i g i d a n d t h e r u b b e r b u s h i n g i s p e r f e c t l y b o n d e d t o t h e s e c o m p o n e n t s . T h e r u b b e r m a t e r i a l i s a s s u m e d t o b e o f t h e M o o n e y - R i v l i n t y p e w i t h A 1 0 = 0 . 1 7 7 N / m m 2 , A 0 1





= 0 . 0 4 5 N / m m 2 , a n d D 1 = 3 3 3 N / m m 2 . C o n s i d e r i n g s y m m e t r i c c o n d i t i o n s , o n l y o n e - h a l f o f t h e r u b b e r b u s h i n g i s m o d e l e d w i t h 7 2 n i t e d e f o r m a t i o n 4 - n o d e d C Q U A D e l e m e n t s . T h e s a m e p r o b l e m i s a l s o m o d e l e d w i t h 7 2 h y p e r e l a s t i c 9 - n o d e d C Q U A D e l e m e n t s . T h e g r i d p o i n t s o n t h e o u t e r b o u n d a r y a r e f u l l y c o n s t r a i n e d t o s i m u l a t e t h e r u b b e r / f r a m e i n t e r f a c e . F o r t h e g r i d p o i n t s o n t h e i n n e r b o u n d a r y , o n l y t h e h o r i z o n t a l d e g r e e s - o f - f r e e d o m w e r e c o n s t r a i n e d , w h i l e t h e v e r t i c a l d e g r e e s - o f - f r e e d o m w e r e t i e d t o g e t h e r w i t h M P C s . F o r c e i s a p p l i e d t o t h e t o p g r i d p o i n t o n t h e i n n e r w a l l i n t h e v e r t i c a l d i r e c t i o n .

F i g u r e 2 - 4 . R u b b e r B u s h i n g

T h e g o a l o f t h e a n a l y s i s i s t o d e t e r m i n e t h e f o r c e - d i s p l a c e m e n t c u r v e o f t h e u n i t a n d c o m p a r e i t w i t h t h e s o l u t i o n i n t h e r e f e r e n c e . ( R e f e r e n c e : S u s s m a n , T . , a n d B a t h e , K . J . , “ A F i n i t e E l e m e n t F o r m u l a t i o n f o r N o n l i n e a r I n c o m p r e s s i b l e E l a s t i c a n d I n e l a s t i c A n a l y s i s , ” C o m p u t e r s

a n d S t r u c t u r e s ( 2 6 ) , p a g e s 3 5 7 - 4 0 9 , 1 9 8 7 . ) A n n o t a t e d B u l k D a t a i n p u t o f i n t e r e s t i s s h o w n i n L i s t i n g 2 - 3 .





L i s t i n g 2 - 3 .

T h e r e s u l t i n g f o r c e - d i s p l a c e m e n t c u r v e a t g r i d p o i n t 1 3 0 1 i s s h o w n i n F i g u r e 2 - 5 a n d t h e o r i g i n a l a n d d e f o r m e d m o d e l s a t a f o r c e o f 8 0 0 N a r e s h o w n i n F i g u r e 2 - 6 . T h e s o l u t i o n o b t a i n e d w i t h 4 - n o d e d C Q U A D e l e m e n t s i s o v e r l y s t i f f f o r a f o r c e g r e a t e r t h a n 2 0 0 N ( s h e a r l o c k i n g ) . T h e s h e a r

l o c k i n g p r o b l e m i s a d d r e s s e d w i t h t h e h i g h e r o r d e r 9 - n o d e d C Q U A D e l e m e n t s .





F i g u r e 2 - 5 . F o r c e - D i s p l a c e m e n t C u r v e o f a R u b b e r B u s h i n g

F i g u r e 2 - 6 . I n i t i a l a n d D e f o r m e d S h a p e s o f a R u b b e r B u s h i n g

T h e m o d e l l e f o r t h i s e x a m p l e i s b u s h i n g . d a t , w h i c h c a n b e f o u n d i n t h e e x a m p l e s d i r e c t o r y ( s e e N X N a s t r a n I n s t a l l a t i o n a n d O p e r a t i o n s G u i d e ) .





E x a m p l e 2 : P r e s s u r e o f a C i r c u l a r P l a t e

A c i r c u l a r p l a t e i s 1 5 i n . i n d i a m e t e r a n d 0 . 5 i n . t h i c k . I t i s s i m p l y s u p p o r t e d a l o n g t h e e d g e a n d i s s u b j e c t e d t o a u n i f o r m f o l l o w e r p r e s s u r e . T h e p l a t e i s m o d e l e d w i t h s o l i d ( C H E X A a n d C P E N T A ) a n d w i t h a x i s y m m e t r i c e l e m e n t s . T h e s o l i d m o d e l r e p r e s e n t s a 1 0 ° s e g m e n t . M a t e r i a l c o n s t a n t s a r e A 1 0 = 8 0 p s i , A 0 1 = 2 0 p s i , D 1 = 5 0 , 0 0 0 p s i .

R e f e r e n c e : J . T . O d e n , F i n i t e E l e m e n t s o f N o n l i n e a r C o n t i n u a , M c G r a w - H i l l , 1 9 7 2 .

A n n o t a t e d B u l k D a t a i n p u t o f i n t e r e s t f o r t h e w e d g e m o d e l i s s h o w n i n L i s t i n g 2 - 4 a n d f o r t h e a x i s y m m e t r i c m o d e l i s s h o w n i n L i s t i n g 2 - 5 .

B E G I N B U L K $ D E F I N E P A R A M E T E R S P A R A M , L G D I S P , 1 P A R A M , D B D R N L , - 1 P A R A M , P O S T , 0 N L P A R M 1 0 1 0 I T E R 1 1 0 0 + N L 1 0 + N L 1 0 - 3 . . .

$ D E F I N E G E O M E T R Y C O R D 2 C 1 0 . 0 . 0 . 0 . 0 . 1 . + C O R 1 + C O R 1 1 . 0 . 0 . G R D S E T 2 4 5 6 G R I D 1 0 1 1 0 . - 5 . - 0 . 2 5 1 1 2 4 5 6 G R I D 1 0 2 1 0 . 7 5 - 5 . - 0 . 2 5 1 G R I D 1 0 3 1 1 . 5 0 - 5 . - 0 . 2 5 1 . . . $ D E F I N E E L E M E N T S C H E X A 1 0 2 1 1 0 2 1 0 3 1 1 0 3 1 1 0 2 2 0 2 2 0 3 + H X 1 0 2 + H X 1 0 2 1 2 0 3 1 2 0 2 C H E X A 1 0 3 1 1 0 3 1 0 4 1 1 0 4 1 1 0 3 2 0 3 2 0 4 + H X 1 0 3 + H X 1 0 3 1 2 0 4 1 2 0 3 C H E X A 1 0 4 1 1 0 4 1 0 5 1 1 0 5 1 1 0 4 2 0 4 2 0 5 + H X 1 0 4 + H X 1 0 4 1 2 0 5 1 2 0 4 . . . C P E N T A 1 0 1 1 1 0 1 1 0 2 1 1 0 2 2 0 1 2 0 2 1 2 0 2 C P E N T A 2 0 1 1 2 0 1 2 0 2 1 2 0 2 3 0 1 3 0 2 1 3 0 2 C P E N T A 3 0 1 1 3 0 1 3 0 2 1 3 0 2 4 0 1 4 0 2 1 4 0 2 C P E N T A 4 0 1 1 4 0 1 4 0 2 1 4 0 2 5 0 1 5 0 2 1 5 0 2 . . . $ D E F I N E E L E M E N T A N D M A T E R I A L P R O P E R T I E S P L S O L I D 1 1 M A T H P 1 8 0 . 2 0 . 5 . + 4 $ D E F I N E L O A D I N G C O N D I T I O N S L O A D 3 1 . 3 . 1 L O A D 1 5 1 . 1 5 . 1 . . . L O A D 4 5 1 . 4 5 . 1 P L O A D 4 1 1 0 1 1 . 1 0 1 P L O A D 4 1 1 0 2 1 . 1 0 2 1 1 0 3 . . . $ D E F I N E C O N S T R A I N T S M P C 1 0 1 1 0 2 1 1 . 1 0 2 1 - 1 . M P C 1 0 1 1 0 2 3 1 . 1 0 2 3 - 1 .

.

.

. E N D D A T A

L i s t i n g 2 - 4 .





$ I N F L A T I O N O F A C I R C U L A R P L A T E $ A X I S Y M M E T R I C Q U A D 4 E L E M E N T S B E G I N B U L K $ D E F I N E P A R A M E T E R S P A R A M , L G D I S P , 1 P A R A M , P O S T , 0 N L P A R M 1 0 1 0 A U T O 1 + N L 1 0 + N L 1 0 - 3

.

.

. $ D E F I N E G E O M E T R Y G R D S E T 3 4 5 6 G R I D 1 0 1 0 . - 0 . 2 5 0 . 1 3 4 5 6 G R I D 1 0 2 0 . 7 5 - 0 . 2 5 0 . G R I D 1 0 3 1 . 5 0 - 0 . 2 5 0 . . . . $ D E F I N E E L E M E N T S C Q U A D X 1 0 1 1 1 0 1 1 0 2 2 0 2 2 0 1 C Q U A D X 1 0 2 1 1 0 2 1 0 3 2 0 3 2 0 2 C Q U A D X 1 0 3 1 1 0 3 1 0 4 2 0 4 2 0 3 . . . $ D E F I N E E L E M E N T A N D M A T E R I A L P R O P E R T I E S P L P L A N E 1 1 M A T H P 1 8 0 . 2 0 . 5 . + 4 $ D E F I N E L O A D I N G C O N D I T I O N S

P L O A D X 1 3 1 0 1 3 . 1 0 1 1 0 2 P L O A D X 1 3 1 0 2 3 . 1 0 2 1 0 3 . . . P L O A D X 1 4 5 1 1 0 4 5 . 1 1 0 1 1 1 E N D D A T A

L i s t i n g 2 - 5 .

O r i g i n a l a n d d e f o r m e d m o d e l s a r e s h o w n i n F i g u r e 2 - 7 a n d F i g u r e 2 - 8 .





F i g u r e 2 - 7 . D e f o r m e d S h a p e o f C i r c u l a r P l a t e U n d e r P r e s s u r e – C H E X A a n d C P E N T A H y p e r e l a s t i c E l e m e n t s





F i g u r e 2 - 8 . D e f o r m e d S h a p e o f C i r c u l a r P l a t e U n d e r P r e s s u r e – A x i s y m m e t r i c H y p e r e l a s t i c E l e m e n t s

T h e m o d e l l e s f o r t h i s e x a m p l e a r e p r p l t h . d a t a n d p r p l t g . d a t , w h i c h c a n b e f o u n d i n t h e e x a m p l e s d i r e c t o r y ( s e e N X N a s t r a n I n s t a l l a t i o n a n d O p e r a t i o n s G u i d e ) .

2 . 4 B u s h i n g E l e m e n t s

T h e C B U S H e l e m e n t i s a g e n e r a l i z e d s p r i n g a n d d a m p e r . S t i f f n e s s a n d d a m p i n g c a n b e s p e c i e d f o r 6 d e g r e e s - o f - f r e e d o m , 3 t r a n s l a t i o n s a n d 3 r o t a t i o n s . I n S O L 1 0 6 a n d 1 2 9 , y o u c a n s p e c i f y 6 n o n l i n e a r f o r c e - d e e c t i o n c u r v e s i n s t e a d o f c o m b i n e d s t i f f n e s s v a l u e s . T h e p r o p e r t i e s o f t h e C B U S H e l e m e n t a r e d e n e d o n t h e P B U S H a n d P B U S H i e n t r i e s . T h e P B U S H T e n t r y r e f e r s t o T A B L E D i e n t r i e s f o r f o r c e - d e e c t i o n c u r v e s . T h e C B U S H e l e m e n t i s g e o m e t r i c l i n e a r o n l y . T h e c i r c u l a t i o n i s n o t u p d a t e d .

T h e C B U S H 1 D e l e m e n t i s a r o d - t y p e s p r i n g a n d d a m p e r , i t i s a 1 D v e r s i o n o f t h e C B U S H e l e m e n t . T h e C B U S H 1 D e l e m e n t c a n b e g e o m e t r i c a n d m a t e r i a l n o n l i n e a r . G e n e r a l n o n l i n e a r

f u n c t i o n s o f t h e a x i a l f o r c e s v e r s u s a x i a l d i s p l a c e m e n t a n d f o r v e l o c i t y a r e d e n e d w i t h t h e P B U S H 1 D e n t r y . T h e C B U S H 1 D e l e m e n t i s t h e o n l y e l e m e n t w h i c h c a n m o d e l r o t a t i o n d a m p i n g . T h e e f f e c t i s d e m o n s t r a t e d i n t h e f o l l o w i n g e x a m p l e .

T h e C B U S H a n d C B U S H 1 D e l e m e n t s a r e r e c o m m e n d e d o v e r t h e C E L A S i , C V I S C , a n d C D A M P e l e m e n t s . T h e b u s h i n g e l e m e n t s a l w a y s i n s u r e r i g i d b o d y i n v a r i a n c e a n d t h e y o f f e r n o n l i n e a r c a p a b i l i t i e s .





S w i n g i n g P e n d u l u m

T h e s o l u t i o n t o a s w i n g i n g p e n d u l u m i s c a l c u l a t e d u s i n g S O L 1 2 9 o f N X N a s t r a n V e r s i o n 7 0 . 5 + . T h e p e n d u l u m h a s a l e n g t h o f 1 . 0 [ m ] . a n d h a s a c o n c e n t r a t e d m a s s o f M = 1 , 0 0 0 . 0 [ k g ] a t t h e f r e e e n d , s e e F i g u r e 2 - 9 . W e s t a r t t h e a n a l y s i s w i t h t h e p e n d u l u m a t r e s t i n h o r i z o n t a l p o s i t i o n .

T h e f r e e e n d i s l o a d e d w i t h a g r a v i t y i n d u c e d l o a d o f G = 1 0 , 0 0 0 . 0 [ N ] . T h e l e g o f t h e p e n d u l u m i s v e r y s t i f f , K = 1 . e + 7 [ N / m ] , s o t h a t t h e r e l a t i v e a x i a l d e f o r m a t i o n i s s m a l l c o m p a r e d t o t h e o v e r a l l m o t i o n o f t h e p e n d u l u m . L a r g e d e f o r m a t i o n e f f e c t s a r e t u r n e d o n w i t h P A R A M , L G D I S P , 1 .

F i g u r e 2 - 9 . S w i n g i n g P e n d u l u m

$

$ N a m e : a r 2 9 s r c 1

$

$ A s w i n g i n g p e n d u l u m i s m o d e l e d . T h e p e n d u l u m i s l o a d e d w i t h

$ g r a v i t y l o a d . T h e a n a l y s i s g o e s t h r o u g h o n e a n d a h a l f c y c l e s ,

$ s t a r t i n g i n h o r i z o n t a l p o s i t i o n . L a r g e d e f o r m a t i o n i s t u r n e d o n .

$

$ T h e p e n d u l u m i s m o d e l e d w i t h t w o s e p a r a t e s y s t e m s .

$ 1 . C R O D a n d C V I S C , C R O D r o t a t e s , C V I S C s t a y s i n h o r i z o n t a l

$ o r i e n t a t i o n .

$ 2 . C B U S H 1 D w i t h S P R I N G a n d D A M P E R , s p r i n g a n d d a m p e r r o t a t e .

$

T I M E 1 0 $

S O L 1 2 9 $ C E N D

$

T I T L E = a r 2 9 s r c 1 s w i n g i n g e l a s t i c p e n d u l u m

S U B T I T L E = d e m o n s t r a t e r o t a t i n g d a m p i n g

.

.

.

$

B E G I N B U L K

$

p a r a m , l g d i s p , 1

$





$ G E O M E T R Y

$

.

.

.

$ C B U S H 1 D s p r i n g a n d r o t a t i n g v i s c o u s d a m p e r

$ $ C B U S H 1 D , E I D , G A , G B , C I D

c b u s h 1 d , 1 0 8 , 2 0 8 , 4 1 , 4 2

$ P B U S H 1 D , P I D , K , C

p b u s h 1 d , 2 0 8 , 1 . e + 7 , 1 0 0 0 .

$

$ $ $ $ $ $ $ $ $ $

$ S O L U T I O N S T R A T E G Y

$

.

.

.

$

E N D D A T A

L i s t i n g 2 - 6 . N X N a s t r a n I n p u t F i l e f o r t h e S w i n g i n g P e n d u l u m

W e i n v e s t i g a t e t w o d i f f e r e n t m o d e l s o f t h e p e n d u l u m i n o n e r u n . I n t h e r s t m o d e l , w e u s e a R o d e l e m e n t f o r t h e s t i f f n e s s o f t h e l e g , K = 1 . e + 7 [ N / m ] , a n d a V i s c e l e m e n t f o r 5 % e q u i v a l e n t v i s c o u s d a m p i n g , C = 1 , 0 0 0 . 0 [ N s / m ] . T h e x - a n d z - d i s p l a c e m e n t s o f t h e f r e e e n d a r e s h o w n i n F i g u r e 2 - 1 0 . T h e R o d r o t a t e s w h i l e t h e v i s c o u s d a m p e r V i s c s t a y s x e d i n i t s i n i t i a l h o r i z o n t a l p o s i t i o n . T h e V i s c e l e m e n t i s l i n e a r a n d d o e s n o t f o l l o w l a r g e d e f o r m a t i o n s . T h e d i s p l a c e m e n t s a r e d a m p e d o u t b e c a u s e t h e v i s c o u s d a m p e r i s a c t i n g i n t h e x - d i r e c t i o n d u r i n g t h e w h o l e m o t i o n .





F i g u r e 2 - 1 0 . D i s p l a c e m e n t o f S w i n g i n g P e n d u l u m , M o d e l w i t h R o d / V i s c E l e m e n t V e r s u s M o d e l w i t h B U S H 1 D E l e m e n t

I n t h e s e c o n d m o d e l , w e u s e a B U S H 1 D e l e m e n t . T h e e l e m e n t h a s a l i n e a r s t i f f n e s s ( K ) a n d a v i s c o u s d a m p e r ( C ) w i t h t h e s a m e v a l u e s a s i n t h e r s t m o d e l . I n t h e B U S H 1 D e l e m e n t , t h e s p r i n g a n d d a m p e r r o t a t e . T h e r e l a t i v e a x i a l d i s p l a c e m e n t s a n d v e l o c i t i e s a r e s m a l l b e c a u s e o f t h e h i g h a x i a l s t i f f n e s s o f t h e e l e m e n t . T h e r o t a t i n g d a m p e r h a s n o n o t i c e a b l e e f f e c t o n t h e





o v e r a l l m o t i o n o f t h e p e n d u l u m b e c a u s e i t d a m p s o n l y t h e s m a l l r e l a t i v e d e f o r m a t i o n s . T h e x - a n d z - d i s p l a c e m e n t s o f t h e f r e e e n d a r e n o t d a m p e d , s e e F i g u r e 2 - 1 0 .

T h e e x a m p l e d e m o n s t r a t e s h o w t h e a n s w e r s c a n c h a n g e i f d a m p e r s r o t a t e w i t h t h e d e f o r m a t i o n c o m p a r e d t o d a m p e r s w h i c h s t a y x e d i n s p a c e .

2 . 5 A d a p t i v e G a p E l e m e n t

T h e g a p e l e m e n t i s u s e d i n N X N a s t r a n t o m o d e l s u r f a c e c o n t a c t p r o b l e m s . T h e a d a p t i v i t y i s b a s e d o n t h e s u b i n c r e m e n t a l s c h e m e w i t h t h e c a p a b i l i t y t o u p d a t e t h e s t i f f n e s s a t t h e p r o p e r t i m i n g , b i s e c t t h e i n c r e m e n t w h e n i t i s e x c e s s i v e , a n d a d j u s t t h e p e n a l t y s t i f f n e s s t o t h e p r o p e r v a l u e s . G e n e r a l l y , i n a n n o n - a d a p t i v e g a p e l e m e n t , t h e a x i a l s t i f f n e s s h a s t o b e p r o p e r l y c h o s e n i n o r d e r t o r e a c h c o n v e r g e n c e . H o w e v e r , t h e m a i n g o a l o f t h e s e l f - a d a p t i v e m e t h o d i s t o r e l i e v e u s e r s f r o m t h i s t r i a l a n d e r r o r m e t h o d a n d t o a c h i e v e c o n v e r g e n c e o n t h e r s t t r y . D u e t o t h e a d a p t i v e n a t u r e o f t h e a l g o r i t h m , t h e a d a p t i v e g a p m e t h o d c o s t s m o r e i n C P U t i m e w h e n c o m p a r e d t o t h e n o n - a d a p t i v e g a p e l e m e n t . H o w e v e r , t h e a d a p t i v e g a p m e t h o d a l l o w s a u s e r t o c h o o s e a w i d e r l a t i t u d e o f a x i a l s t i f f n e s s a n d y e t s t i l l a c h i e v e c o n v e r g e n c e . T h e r e f o r e , w i t h m o r e

e x p e r i e n c e , y o u c a n d e c r e a s e C P U t i m e b y n e - t u n i n g t h i s a x i a l s t i f f n e s s .

U s a g e

T h e g a p e l e m e n t i s u s e d i n n o n l i n e a r s t a t i c a n a l y s i s ( S O L 1 0 6 ) a n d n o n l i n e a r t r a n s i e n t a n a l y s i s ( S O L 1 2 9 ) . T h e g a p e l e m e n t p r o v i d e s p o i n t - t o - p o i n t c o n t a c t . W h e n t h e g a p e l e m e n t i s o p e n , t h e r e i s n o c o n t a c t a n d n o f r i c t i o n . W h e n t h e g a p e l e m e n t i s c l o s e d , t h e r e a r e t h r e e d i f f e r e n t c o n d i t i o n s . T h e r s t c a s e i s w h e n t h e g a p i s s l i d i n g ( n o f r i c t i o n ) . T h e s e c o n d c a s e o c c u r s w h e n t h e g a p e l e m e n t i s s t i c k i n g ( s t a t i c f r i c t i o n ) . T h e t h i r d c a s e o c c u r s w h e n t h e g a p e l e m e n t i s s l i p p i n g ( k i n e t i c f r i c t i o n ) . S o m e t i m e s , i t m a y b e d i f c u l t t o c o n v e r g e b e c a u s e o f t h e s w i t c h i n g a m o n g t h e s e c o n d i t i o n s .


O n e o f t h e c o n t a c t s u r f a c e s s h o u l d n o t r o t a t e b y a l a r g e a n g l e b e c a u s e t h e g a p e l e m e n t o r i e n t a t i o n i s n o t u p d a t e d f o r l a r g e r o t a t i o n s .

H o w t o U s e t h e C G A P a n d P G A P B u l k D a t a E n t r i e s

O f t e n a m i s t a k e i s m a d e i n t h e o r i e n t a t i o n o f t h e g a p e l e m e n t , w h i c h i s d e n e d t h r o u g h G 0 o r X 1 , X 2 , a n d X 3 . I f t h e g r i d p o i n t s G A a n d G B a r e n o t c o i n c i d e n t , t h e n l i n e A B i s t h e e l e m e n t x - a x i s a n d t h e o r i e n t a t i o n v e c t o r l i e s i n t h e X - Y p l a n e . T h e u s e o f c o i n c i d e n t g r i d p o i n t s i s n o t r e c o m m e n d e d .

O n t h e P G A P B u l k D a t a e n t r y , U 0 a n d F 0 a r e t h e i n i t i a l g a p o p e n i n g a n d t h e p r e l o a d ,

r e s p e c t i v e l y . U 0 i s t h e s e p a r a t i o n o f t h e g a p e l e m e n t . I f y o u a r e u n s u r e a b o u t w h a t p r e l o a d t o u s e , u s e t h e d e f a u l t v a l u e o f z e r o . K A , K B , a n d K T a r e c a l l e d t h e p e n a l t y v a l u e s . K A i s t h e a x i a l s t i f f n e s s w h e n t h e g a p i s c l o s e d , K B i s t h e a x i a l s t i f f n e s s w h e n t h e g a p i s o p e n , a n d t h e K T i s t h e t r a n s v e r s e g a p s t i f f n e s s . A l l y o u n e e d t o i n p u t i s t h e K A v a l u e . K B i s d e f a u l t e d t o b e z e r o , a n d K T i s d e f a u l t e d a s a f u n c t i o n o f K A . T h e s e l e c t i o n o f K A o r a p e n a l t y v a l u e i s c r i t i c a l t o t h e c o n v e r g e n c e o f t h e p r o b l e m . T h e n o n - a d a p t i v e g a p d o e s n o t u p d a t e t h i s K A v a l u e . T h e n e w a d a p t i v e g a p u p d a t e s t h i s K A v a l u e i f y o u s p e c i f y a p o s i t i v e v a l u e f o r T M A X . T h e d e f a u l t o p t i o n f o r t h e n e w a d a p t i v e g a p i s N O a d a p t i v e s t i f f n e s s u p d a t e . T h i s i s w h e n t h e T M A X v a l u e i s e q u a l t o 0 . 0 . I f T M A X i s a n e g a t i v e n u m b e r , t h e n N X N a s t r a n u s e s t h e n o n - a d a p t i v e g a p f o r m u l a t i o n . A g o o d i n i t i a l K A s e l e c t i o n i s r o u g h l y 1 0 0 0 t i m e s t h e Y o u n g ’ s m o d u l u s o f t h e m a t e r i a l t h a t i s i n t h e n e i g h b o r h o o d o f t h e g a p e l e m e n t .





F i e l d s 8 a n d 9 a l s o r e q u i r e s o m e e x p l a n a t i o n . F o r t h e n e w a d a p t i v e v a l u e t h i s i s M U 1 , w h i c h i s t h e s t a t i c c o e f c i e n t o f f r i c t i o n , a n d M U 2 , w h i c h i s t h e d y n a m i c c o e f c i e n t o f f r i c t i o n . T h e n o n - a d a p t i v e g a p e l e m e n t s u s e M U Y a n d M U Z i n t h e s a m e e l d s i n s t e a d o f M U 1 a n d M U 2 v a l u e s . T h e r e f o r e , t o c o m p a r e t h e r e s u l t s u s i n g a d a p t i v e a n d n o n - a d a p t i v e g a p e l e m e n t s , s e t b o t h o f t h e s e e n t r i e s t o t h e s a m e v a l u e s . O n m o s t p r o b l e m s , y o u w i l l n o t k n o w h o w t o e s t i m a t e t h e p e n e t r a t i o n d e p t h o r e l d 2 o n t h e c o n t i n u a t i o n e n t r y . T h e r e f o r e , i f y o u s k i p t h e c o n t i n u a t i o n e n t r y , t h e d e f a u l t n e w a d a p t i v e g a p i s o b t a i n e d , w h i c h i s e v e r y t h i n g a d a p t i v e e x c e p t t h e K A u p d a t e .

T h e r e c o m m e n d e d a l l o w a b l e p e n e t r a t i o n o f T M A X i s 1 0 p e r c e n t o f t h e t h i c k n e s s f o r t h e s h e l l e l e m e n t , a n d f o r t h e s o l i d e l e m e n t i t i s r o u g h l y 1 / 1 0 , 0 0 0 o f t h e c h a r a c t e r i s t i c l e n g t h f o r t h e p r o b l e m . A s m a l l p o s i t i v e v a l u e w i l l t u r n o n t h e a d a p t i v e s t i f f n e s s u p d a t e , w h i c h w i l l t h e n c o n v e r g e a t a f a s t e r r a t e .

T h e m a x i m u m a d j u s t m e n t r a t i o o r M A R i n e l d 3 o f t h e c o n t i n u a t i o n e n t r y i s u s e d o n l y f o r t h e p e n a l t y v a l u e a d j u s t m e n t o f t h e a d a p t i v e g a p e l e m e n t . T h e d e f a u l t v a l u e o f 1 0 0 i s s u f c i e n t f o r m o s t p r o b l e m s .

O u t p u t

T h e g a p e l e m e n t o u t p u t i s o b t a i n e d b y t h e S T R E S S o u t p u t r e q u e s t i n t h e C a s e C o n t r o l . A n e x a m p l e o f t h e g a p o u t p u t f o r m a t i s s h o w n i n L i s t i n g 2 - 7 . T h e l o a d s t e p i s 1 . 9 5 o n t h e t o p l e f t - h a n d c o r n e r . T h e d i g i t o n t h e l e f t - h a n d s i d e o f t h e d e c i m a l i n d i c a t e s t h a t s u b c a s e 1 i s c o m p l e t e d . T h e d i g i t s o n t h e r i g h t - h a n d s i d e o f t h e d e c i m a l p o i n t i n d i c a t e t h a t 9 5 p e r c e n t o f s u b c a s e 2 i s c o m p l e t e d . T h e f a r l e f t c o l u m n l i s t s t h e g a p e l e m e n t n u m b e r s . T h e s e c o n d c o l u m n p r o v i d e s t h e f o r c e s i n t h e a x i a l d i r e c t i o n o f t h e g a p e l e m e n t . T h e t h i r d a n d t h e f o u r t h c o l u m n s r e p r e s e n t f o r c e s i n t h e Y a n d Z d i r e c t i o n . T h e s e f o r c e s s h o u l d b e z e r o i f t h e g a p i s i n t h e o p e n p o s i t i o n . C o l u m n s 5 t o 9 r e p r e s e n t t h e d i s p l a c e m e n t s o f t h e g a p i n i t s e l e m e n t c o o r d i n a t e s y s t e m . T h e l a s t c o l u m n i n d i c a t e s t h e s t a t u s o f t h e g a p . T h i s s t a t u s c a n b e “ o p e n ” , “ s t i c k ” , o r “ s l i p ” .





F i g u r e 2 - 1 1 . H e r t z C o n t a c t S t r e s s

U n i f o r m v e r t i c a l d i s p l a c e m e n t o f t h e s y m m e t r i c p l a n e i s m a i n t a i n e d b y c o n s t r a i n i n g t h e v e r t i c a l m o v e m e n t o f a l l t h e n o d e s o n t h e t o p p l a n e b y M P C r e l a t i o n s a t t h e c e n t e r l i n e . T h e r a d i u s o f t h e

s p h e r e i s 8 i n c h e s , Y o u n g ’ s m o d u l u s i s 1 0 0 0 p s i , a n d P o i s s o n ’ s r a t i o i s 0 . 3 . T h e s t a t i c a n a l y s i s i s p e r f o r m e d i n 1 7 i n c r e m e n t s u p t o t h e m a x i m u m l o a d i n g . T h e c h a r a c t e r i s t i c l e n g t h o f t h e p r o b l e m i s t h e d i a m e t e r o f t h e s p h e r e , i . e . , 1 6 i n c h e s . T h e r e f o r e , t h e T M A X v a l u e i s 1 6 / 1 0 0 0 0 , o r 0 . 0 0 1 6 . T h e i n i t i a l K A o r a x i a l g a p s t i f f n e s s i s s e l e c t e d t o b e 1 0 0 0 t i m e s Y o u n g ’ s m o d u l u s . T h e s e v a l u e s a r e i n s e r t e d i n t h e P G A P e n t r y a s s h o w n i n F i g u r e 2 - 1 2 .

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0

$ E I D P I D G A G B X 1 X 2 X 3

C G A P 2 0 0 1 1 1 0 5 3 0 1 1 . 0 . 0 .

$ P I D U 0 F 0 K A K B K T M U 1 M U 2

P G A P 1 . 0 2 2 1 . + 6 . 3 . 3 +

$ T M A X M A R T R M I N

+ 0 . 0 0 1 6

$ T M A X M A R T R M I N

+ 0 . 0 0 1 6

F i g u r e 2 - 1 2 . P a r t i a l I n p u t D a t a





D i s c u s s i o n o f R e s u l t s

T h e o b j e c t i v e o f t h i s e x a m p l e i s t o d e m o n s t r a t e t h a t t h e a d a p t i v e f e a t u r e s o f t h e g a p e l e m e n t a l l o w s y o u t o u s e a w i d e r r a n g e o f K A v a l u e s , a n d s t i l l g e t g o o d r e s u l t s . F i g u r e 2 - 1 3 s h o w s t h a t t h e i f t h e a d a p t i v e f e a t u r e s o f g a p e l e m e n t a r e u s e d , g o o d r e s u l t s a r e o b t a i n e d f o r K A v a l u e s

r a n g i n g f r o m 1 . 0 E 1 t o 1 . 0 E 6 . I f a d a p t i v e f e a t u r e s a r e n o t u s e d , g o o d r e s u l t s a r e o b t a i n e d f o r K A v a l u e s b e t w e e n 1 . 0 E 3 a n d 1 . 0 E 5 . F o r K A v a l u e s h i g h e r t h a n 1 . 0 E 5 n o n - a d a p t i v e g a p e l e m e n t f a i l e d t o c o n v e r g e , a n d b e l o w 1 . 0 E 3 , t h e a c c u r a c y d e c r e a s e d .

F i g u r e 2 - 1 3 . C o m p a r i s o n o f A x i a l S t i f f n e s s V a l u e s




C h a p t e r

3 M a t e r i a l a n d G e o m e t r i c N o n l i n e a r i t y

• U n d e r s t a n d i n g M a t e r i a l N o n l i n e a r i t y

• N o n l i n e a r E l a s t i c M a t e r i a l

• H y p e r e l a s t i c M a t e r i a l

• E l a s t i c - P l a s t i c M a t e r i a l

• V i s c o e l a s t i c M a t e r i a l i n N o n l i n e a r A n a l y s i s

• T e m p e r a t u r e - D e p e n d e n t M a t e r i a l

• U n d e r s t a n d i n g G e o m e t r i c N o n l i n e a r i t y




C h a p t e r 3 M a t e r i a l a n d G e o m e t r i c N o n l i n e a r i t y

3 . 1 U n d e r s t a n d i n g M a t e r i a l N o n l i n e a r i t y

M a t e r i a l n o n l i n e a r i t y b e c o m e s a n i s s u e i n y o u r a n a l y s i s i f t h e s t r e s s - s t r a i n r e l a t i o n s h i p i s n o n l i n e a r . C o n s t i t u t i v e e q u a t i o n s c h a r a c t e r i z e t h e m a c r o s c o p i c b e h a v i o r o f t h e m a t e r i a l , w h i c h s t e m s f r o m i t s m i c r o s c o p i c c o n s t i t u t i o n . A l l e n g i n e e r i n g m a t e r i a l s a r e i n h e r e n t l y n o n l i n e a r .

H o w e v e r , i t i s n ’ t f e a s i b l e t o c h a r a c t e r i z e a n o n l i n e a r m a t e r i a l b y a s i n g l e s e t o f e q u a t i o n s f o r t h e e n t i r e r a n g e o f e n v i r o n m e n t a l c o n d i t i o n s , s u c h a s l o a d i n g , t e m p e r a t u r e , a n d r a t e o f d e f o r m a t i o n . D e p e n d i n g o n t h e a p p l i c a t i o n o r t h e s i t u a t i o n , t h e m a t e r i a l b e h a v i o r m a y b e i d e a l i z e d o r s i m p l i e d t o a c c o u n t f o r c e r t a i n e f f e c t s , w h i c h a r e i m p o r t a n t i n t h e a n a l y s i s .

T h e l i n e a r e l a s t i c ( H o o k e a n ) m a t e r i a l i s t h e s i m p l e s t c a s e o f a l l . A s t h e s t r a i n e x c e e d s t h e i n n i t e s i m a l r a n g e , t h e m a t e r i a l e x h i b i t s n o n l i n e a r b e h a v i o r :

• n o n l i n e a r e l a s t i c b e h a v i o r i f i t i s r e c o v e r a b l e

• p l a s t i c b e h a v i o r i f i t i s i r r e c o v e r a b l e

I n N X N a s t r a n , y o u c a n u s e t h e f o l l o w i n g t y p e s o f n o n l i n e a r m a t e r i a l s :

• N o n l i n e a r e l a s t i c

• H y p e r e l a s t i c

• E l a s t i c - p l a s t i c

• V i s c o - e l a s t i c

• T e m p e r a t u r e d e p e n d e n t

3 . 2 N o n l i n e a r E l a s t i c M a t e r i a l

T y p i c a l s t r e s s - s t r a i n r e l a t i o n s h i p f o r a n o n l i n e a r e l a s t i c m a t e r i a l i s s h o w n i n F i g u r e 3 - 1 . N o t i c e t h a t b o t h t h e l o a d i n g a n d u n l o a d i n g o c c u r a l o n g t h e s a m e p a t h .

F i g u r e 3 - 1 . N o n l i n e a r E l a s t i c M a t e r i a l




M a t e r i a l a n d G e o m e t r i c N o n l i n e a r i t y

T h e n o n l i n e a r e l a s t i c t h e o r y i m p l e m e n t e d i s u s e f u l t o p r e d i c t m u l t i a x i a l s t r e s s s t a t e f o r m a t e r i a l s f o r w h i c h o n l y t h e t e n s i o n a n d c o m p r e s s i o n s t r e s s - s t r a i n d a t a i s a v a i l a b l e . T h e s t r e s s - s t r a i n d a t a i n t e n s i o n m a y b e d i f f e r e n t f r o m t h a t i n c o m p r e s s i o n .

T h e t h e o r y i m p l e m e n t e d i n N X N a s t r a n i s a d e q u a t e o n l y f o r s m a l l s t r a i n s ( l e s s t h a n 2 0 % ) i n

m u l t i a x i a l s t r e s s s t a t e a s i t i s n o t b a s e d o n t h e c l a s s i c a l t h e o r y o f n i t e e l a s t i c i t y . F o r l a r g e s t r a i n s i n m u l t i a x i a l s t a t e , y o u s h o u l d u s e a h y p e r e l a s t i c m a t e r i a l i n s t e a d .

D e n i n g N o n l i n e a r E l a s t i c M a t e r i a l s i n N X N a s t r a n

I n N X N a s t r a n , y o u c a n p e r f o r m n o n l i n e a r e l a s t i c m a t e r i a l a n a l y s e s u s i n g i s o t r o p i c m a t e r i a l s . T o d e n e t h e m a t e r i a l p r o p e r t i e s f o r a n o n l i n e a r e l a s t i c a n a l y s i s , u s e t h e M A T 1 b u l k d a t a e n t r y i n c o n j u n c t i o n w i t h t h e M A T S 1 a n d T A B L E S 1 e n t r i e s t o d e n e t h e s t r e s s - d e p e n d e n t m a t e r i a l p r o p e r t i e s . O n t h e M A T S 1 e n t r y , w h e n y o u ’ r e c r e a t i n g a n o n l i n e a r e l a s t i c m a t e r i a l , u s e e l d 4 t o s e t t h e T Y P E o p t i o n t o N L E L A S T .

S e e A l s o

• “ M A T 1 ” i n t h e N X N a s t r a n Q u i c k R e f e r e n c e G u i d e

• “ M A T S 1 ” i n t h e N X N a s t r a n Q u i c k R e f e r e n c e G u i d e

• “ T A B L E S 1 ” i n t h e N X N a s t r a n Q u i c k R e f e r e n c e G u i d e

3 . 3 H y p e r e l a s t i c M a t e r i a l

Y o u u s e t h e h y p e r e l a s t i c m a t e r i a l m o d e l t o a n a l y z e e l a s t o m e r s u p t o a l a r g e s t r a i n . E l a s t o m e r s a r e n a t u r a l o r s y n t h e t i c r u b b e r l i k e m a t e r i a l s t h a t h a v e t h e a b i l i t y t o u n d e r g o d e f o r m a t i o n u n d e r t h e i n u e n c e o f a f o r c e a n d r e g a i n t h e i r o r i g i n a l s h a p e o n c e t h e f o r c e i s r e m o v e d ( u n l e s s d a m a g e o c c u r s ) . T h e y a r e u s e d e x t e n s i v e l y i n m a n y i n d u s t r i e s , b e c a u s e o f t h e i r w i d e a v a i l a b i l i t y a n d l o w c o s t . F o r e x a m p l e , i n t h e a u t o m o t i v e i n d u s t r y , h y p e r e l a s t i c m a t e r i a l s w o u l d b e u s e d t o m o d e l p a r t s s u c h a s o - r i n g s , b u s h i n g s , g a s k e t s , s e a l s , r u b b e r b o o t s , a n d t i r e s .

T h e h y p e r e l a s t i c c o n s t i t u t i v e m o d e l a v a i l a b l e i n N X N a s t r a n i s b a s e d o n a g e n e r a l i z e d R i v l i n s t r a i n e n e r g y f u n c t i o n e x p r e s s e d a s f o l l o w s :

E q u a t i o n 3 - 1 .

w h e r e

¯ I 1 r s t d i s t o r t i o n a l s t r a i n i n v a r i a n t

¯ I 2 s e c o n d d i s t o r t i o n a l s t r a i n i n v a r i a n t

A i j m a t e r i a l c o n s t a n t s r e l a t e d t o s h e a r d e f o r m a t i o n ( d i s t o r t i o n )

D i m a t e r i a l c o n s t a n t s r e l a t e d t o v o l u m e t r i c d e f o r m a t i o n

T c u r r e n t t e m p e r a t u r e





T 0 i n i t i a l t e m p e r a t u r e

T h e s t r a i n e n e r g y f u n c t i o n i s a p o t e n t i a l f o r t h e s t r e s s e s . F o r e x a m p l e , t h e C a u c h y s t r e s s e s ; i . e . , c o m p o n e n t s o f t h e s t r e s s v e c t o r

w h e r e d A i s a n i n n i t e s i m a l a r e a i n t h e d e f o r m e d c o n g u r a t i o n a n d P i s t h e f o r c e , a r e o b t a i n e d a s f o l l o w s :

E q u a t i o n 3 - 2 .

w h e r e

F = d x / d X d e f o r m a t i o n g r a d i e n t

x p o s i t i o n o f a m a t e r i a l p o i n t i n t h e d e f o r m e d c o n g u r a t i o n

X p o s i t i o n o f a m a t e r i a l p o i n t i n t h e d e f o r m e d c o n g u r a t i o n

C = F T F i s t h e r i g h t C a u c h y - G r e e n d e f o r m a t i o n t e n s o r ; J = d e t F i s t h e v o l u m e r a t i o d V / d V 0 ; a n d ¯ I 1 a n d ¯ I 2 a r e t h e r s t a n d s e c o n d d i s t o r t i o n a l s t r a i n i n v a r i a n t s ,

E q u a t i o n 3 - 3 .

w h e r e

a r e p r i n c i p a l s t r e t c h e s l / l 0 o f t h e d i s t o r t i o n a l d e f o r m a t i o n ; l i s t h e c u r r e n t a n d l 0 i s t h e o r i g i n a l l e n g t h a l o n g a p r i n c i p a l d i r e c t i o n ;

a r e p r i n c i p a l v a l u e s o f

a v i s t h e v o l u m e t r i c c o e f c i e n t o f t h e r m a l e x p a n s i o n ; a v = 3 a , w h e r e a i s t h e c o e f c i e n t o f l i n e a r t h e r m a l e x p a n s i o n o f a n i s o t r o p i c m a t e r i a l ; T i s t h e c u r r e n t a n d T 0 i s t h e i n i t i a l t e m p e r a t u r e .

T h e u s e o f a s t r a i n e n e r g y f u n c t i o n i m p l i e s i s o t r o p y i n t h e u n d e f o r m e d c o n g u r a t i o n . T h e m o d e l c a n h a v e u p t o 2 5 m a t e r i a l c o n s t a n t s .

S p e c i a l C a s e s o f t h e M a t e r i a l L a w

S p e c i a l c a s e s o f t h e m a t e r i a l l a w a r e :

• M o o n e y - R i v l i n m a t e r i a l





• N e o - H o o k e a n m a t e r i a l

M o o n e y - R i v l i n M a t e r i a l

W i t h M o o n e y - R i v l i n m a t e r i a l s : N a = 1

I t i s a t w o p a r a m e t e r m o d e l t h a t r e s u l t s i n a c o n s t a n t s h e a r m o d u l u s G .

N e o - H o o k e a n M a t e r i a l

W i t h N e w - H o o k e a n m a t e r i a l s :

N a = 1 , A 0 1 = 0 . 0

I t i s a o n e p a r a m e t e r m o d e l t h a t r e s u l t s i n a c o n s t a n t s h e a r m o d u l u s G .

D e n i n g H y p e r e l a s t i c M a t e r i a l s i n N X N a s t r a n

Y o u u s e t h e M A T H P m a t e r i a l b u l k d a t a e n t r y t o d e n e a h y p e r e l a s t i c m a t e r i a l . T h e M A T H P e n t r y c o n s i s t s o f v e c o n t i n u a t i o n e n t r i e s t h a t d e n e t h e A i j a n d D i m a t e r i a l c o n s t a n t s o f t h e s t r a i n e n e r g y f u n c t i o n . T h e c o n t i n u a t i o n e n t r i e s a r e n o t r e q u i r e d i f y o u ’ r e m o d e l i n g a N e o - H o o k e a n o r a M o o n e y - R i v l i n m a t e r i a l .

Y o u s p e c i f y t h e o r d e r o f t h e s t r a i n e n e r g y p o l y n o m i a l f u n c t i o n u s i n g t h e N A a n d N D e l d s o f t h e M A T H P e n t r y f o r t h e d i s t o r t i o n a l a n d v o l u m e t r i c p a r t s , r e s p e c t i v e l y .

I f y o u d o n ’ t k n o w t h e v a l u e s f o r t h e m a t e r i a l c o n s t a n t s , y o u c a n u s e N X N a s t r a n ’ s c u r v e - t t i n g a l g o r i t h m t o d e t e r m i n e t h e m f r o m e x p e r i m e n t a l d a t a .

U s i n g t h e C u r v e F i t t i n g A l g o r i t h m t o D e t e r m i n e M a t e r i a l C o n s t a n t s

N X N a s t r a n h a s a c u r v e - t t i n g a l g o r i t h m b a s e d o n l e a s t s q u a r e s t t i n g t h a t l e t s y o u d e t e r m i n e t h e m a t e r i a l c o n s t a n t s A i j a n d D i b a s e d o n e x p e r i m e n t a l d a t a u p t o t h e f t h - o r d e r p o l y n o m i a l f o r m ( N a a n d / o r N d u p t o 5 ) . T o i n i t i a t e t h e c u r v e - t t i n g a l g o r i t h m , e n t e r e i t h e r T A B 1 , T A B 2 , T A B 3 , T A B 4 , o r T A B D i n t h e s i x t h c o n t i n u a t i o n e n t r y o f t h e M A T P b u l k d a t a e n t r y . T h e s e T A B i e l d s r e f e r e n c e e x p e r i m e n t a l d a t a t h a t i s c o n t a i n e d i n T A B L E S 1 e n t r i e s .

N X N a s t r a n u s e s T A B 1 , T A B 2 , T A B 3 , a n d T A B 4 t o o b t a i n t h e m a t e r i a l c o n s t a n t s A i j . N X N a s t r a n u s e s t h e T A B D o p t i o n ( v o l u m e t r i c c o m p r e s s i o n ) t o o b t a i n t h e m a t e r i a l c o n s t a n t s D i . I n o b t a i n i n g t h e m a t e r i a l c o n s t a n t s , t h e s o f t w a r e t a k e s c o m p r e s s i b i l i t y i n t o a c c o u n t , i n t h e c a s e o f s i m p l e t e n s i o n / c o m p r e s s i o n a n d e q u i b i a x i a l t e n s i o n , w h e n t h e v o l u m e t r i c p a r t o f t h e s t r a i n e n e r g y f u n c t i o n i s o f t h e o r d e r o f o n e .

O n c e t h e c u r v e - t t i n g a l g o r i t h m c o m p u t e s t h e m a t e r i a l c o n s t a n t , i t p r i n t s t h e r e s u l t s i n a n u p d a t e d M A T H P e n t r y i m a g e i n t h e o u t p u t l e . T h e i m a g e i s p r i n t e d u s i n g a 1 6 - c h a r a c t e r e l d . T h i s a l l o w s y o u t o d i r e c t l y i n p u t t h e p r o d u c e d M A T H P e n t r y i n t o a d a t a l e i n l a r g e - e l d f o r m a t . A n e x a m p l e o f t h e p r o d u c e d o u t p u t i s s h o w n i n L i s t i n g 3 - 1 .

S i m p l e T e n s i o n / C o m p r e s s i o n ( T A B 1 O p t i o n )

T h e s i m p l e t e n s i o n / c o m p r e s s i o n t e s t i s c h a r a c t e r i z e d b y a p r e s c r i b e d a x i a l f o r c e o r d i s p l a c e m e n t . X v a l u e s i n t h e T A B L E S 1 e n t r y w h i c h c o n t a i n s e x p e r i m e n t a l d a t a m u s t b e s t r e t c h r a t i o s l / l 0 . Y v a l u e s m u s t b e v a l u e s o f t h e e n g i n e e r i n g s t r e s s F / A 0 .





E q u i b i a x i a l T e n s i o n ( T A B 2 O p t i o n )

T h e e q u i b i a x i a l t e n s i o n t e s t i s c h a r a c t e r i z e d b y p r e s c r i b e d e q u a l t e n s i l e s t r e s s e s o r e l o n g a t i o n s i n t w o d i r e c t i o n s a n d i s t y p i c a l l y p r o d u c e d b y t h e p r e s s u r e o f a s p h e r i c a l m e m b r a n e . X v a l u e s i n t h e T A B L E S 1 e n t r y w h i c h c o n t a i n s e x p e r i m e n t a l d a t a m u s t b e s t r e t c h r a t i o s l / l 0 . Y v a l u e s

m u s t b e v a l u e s o f t h e e n g i n e e r i n g s t r e s s F / A 0 , l = c u r r e n t l e n g t h , F = c u r r e n t v a l u e o f t h e f o r c e , l 0 a n d A 0 = i n i t i a l l e n g t h a n d c r o s s - s e c t i o n a l a r e a , r e s p e c t i v e l y . I n t h e c a s e o f p r e s s u r e o f a s p h e r i c a l m e m b r a n e , t h e e n g i n e e r i n g s t r e s s i s g i v e n b y P r 0 l 2 / 2 t 0 w h e r e P = c u r r e n t v a l u e o f t h e p r e s s u r e a n d r 0 , t 0 = i n i t i a l r a d i u s a n d t h i c k n e s s .

S i m p l e S h e a r ( T A B 3 O p t i o n )

T h e s i m p l e s h e a r t e s t i s o b t a i n e d b y a p r e s c r i b e d s h e a r i n g f o r c e o r d i s p l a c e m e n t o f a c u b e . T h i s i s n o t a h o m o g e n e o u s d e f o r m a t i o n . I t i s a p p r o x i m a t e d b y o n e t h a t i s h o m o g e n e o u s i s o c h o r i c a s f o l l o w s :

E q u a t i o n 3 - 4 .

w h e r e x 1 , x 2 , x 3 a r e t h e c o o r d i n a t e s o f t h e d e f o r m e d b o d y a n d X 1 , X 2 , X 3 a r e t h e c o o r d i n a t e s o f t h e b o d y i n i t s u n d e f o r m e d c o n g u r a t i o n . Y o u s h o u l d b e a w a r e o f t h i s a p p r o x i m a t i o n . X v a l u e s i n t h e T A B L E S 1 b u l k d a t a e n t r y w h i c h c o n t a i n s e x p e r i m e n t a l d a t a m u s t b e v a l u e s o f t h e s h e a r t a n g e n t g . Y v a l u e s m u s t b e v a l u e s o f t h e e n g i n e e r i n g s h e a r s t r e s s F / A 0 . I t i s r e c o m m e n d e d t h a t s i m p l e s h e a r b e u s e d a l o n g w i t h a n o t h e r t e s t c a s e ; o t h e r w i s e , t h e c o e f c i e n t s c a n n o t b e d e t e r m i n e d u n i q u e l y .

P u r e S h e a r ( T A B 4 O p t i o n ) T h e p u r e s h e a r t e s t i s a m o r e d i r e c t w a y o f i m p o s i n g a s t a t e o f s h e a r d e f o r m a t i o n a n d i s o b t a i n e d b y a p r e s c r i b e d u n i f o r m s t r e t c h l 1 o f a s p e c i m e n , w h i c h i s l o n g i n t h e 2 - d i r e c t i o n l e a v i n g t h e 3 - d i r e c t i o n s t r e s s f r e e , o r b y h o l d i n g t h e 2 - d i r e c t i o n x e d w h i l e a p p l y i n g s t r a i n s i n t h e 1 - d i r e c t i o n o f a t h i n r e c t a n g u l a r s h e e t , a s i n t h e c l a s s i c a l e x p e r i m e n t s o f R i v l i n a n d S a u n d e r s . 1

I f t h e m a t e r i a l i s i n c o m p r e s s i b l e , t h i s r e s u l t s i n l 3 = 1 / l 1 , w h i c h i s c h a r a c t e r i s t i c o f a s t a t e o f

1 . R i v l i n , R . S . a n d S a u n d e r s , D . W . , “ L a r g e E l a s t i c D e f o r m a t i o n s o f I s o t r o p i c M a t e r i a l V I I : E x p e r i m e n t s o n t h e D e f o r m a t i o n o f R u b b e r , ” P h i l . T r a n s . R . S o c . L o n d o n , A 2 4 3 , 2 5 1 - 2 8 8 , 1 9 5 1 .





s h e a r d e f o r m a t i o n . I t i s r e c o m m e n d e d t h a t p u r e s h e a r b e u s e d a l o n g w i t h a n o t h e r t e s t c a s e ; o t h e r w i s e , t h e c o e f c i e n t s c a n n o t b e d e t e r m i n e d u n i q u e l y . X a n d Y v a l u e s , r e s p e c t i v e l y , i n t h e T A B L E S 1 e n t r y w h i c h c o n t a i n s e x p e r i m e n t a l d a t a m u s t b e s t r e t c h r a t i o s l 1 = I / I 0 a n d v a l u e s o f t h e n o m i n a l s t r e s s F / A 0 l = c u r r e n t l e n g t h , F = c u r r e n t v a l u e o f t h e f o r c e , l 0 a n d A 0 = i n i t i a l l e n g t h a n d c r o s s - s e c t i o n a l a r e a , r e s p e c t i v e l y i n t h e 1 - d i r e c t i o n .

V o l u m e t r i c C o m p r e s s i o n ( T A B D O p t i o n )

P u r e v o l u m e t r i c c o m p r e s s i o n d a t a m a y b e u s e d t o o b t a i n t t e d v a l u e s o f t h e m a t e r i a l c o n s t a n t s r e l a t e d t o v o l u m e t r i c d e f o r m a t i o n . X v a l u e s i n t h e T A B L E S 1 e n t r y w h i c h c o n t a i n s e x p e r i m e n t a l d a t a m u s t b e v a l u e s o f t h e v o l u m e r a t i o J = l 3 , w h e r e l = I / I 0 i s t h e s t r e t c h r a t i o i n a l l t h r e e d i r e c t i o n s ; Y v a l u e s m u s t b e v a l u e s o f t h e p r e s s u r e , a s s u m e d p o s i t i v e i n c o m p r e s s i o n .

G u i d e l i n e s f o r U s i n g H y p e r e l a s t i c M a t e r i a l s

• I f t h e s t r a i n s a r e s m a l l , t h e r e s u l t s o f t h e h y p e r e l a s t i c e l e m e n t s s h o u l d c o m p a r e w i t h t h o s e

o f t h e l i n e a r e l a s t i c e l e m e n t s w h e r e t h e s h e a r m o d u l u s a n d t h e b u l k m o d u l u s G ≈ 2 ( A 1 0 + A 0 1 ) a n d t h e b u l k m o d u l u s K ≈ 2 D 1 .

• C o n v e n t i o n a l M o o n e y - R i v l i n a n d N e o - H o o k e a n m a t e r i a l s a r e f u l l y i n c o m p r e s s i b l e . F u l l i n c o m p r e s s i b i l i t y i s n o t a v a i l a b l e b u t m a y b e s i m u l a t e d w i t h a l a r g e e n o u g h v a l u e o f D 1 . H o w e v e r , a v a l u e o f D 1 h i g h e r t h a n 1 0 3 · ( A 1 0 + A 0 1 ) i s n o t r e c o m m e n d e d .

• W h e n d e t e r m i n i n g t h e m a t e r i a l c o n s t a n t s f r o m e x p e r i m e n t a l d a t a , i t i s b e s t t o u s e d a t a f r o m m o r e t h a n o n e t e s t i n v o l v i n g d i f f e r e n t k i n d s o f d e f o r m a t i o n . A r a n k d e c i e n c y w a r n i n g m a y o c c u r i n t h e l e a s t s q u a r e s t t i n g a l g o r i t h m i f t h e r e i s i n s u f c i e n t e x p e r i m e n t a l d a t a . I t i s b e s t t o t r y t o a v o i d r a n k d e c i e n c y b y p r o v i d i n g m o r e e x p e r i m e n t a l d a t a o r b y l o w e r i n g t h e o r d e r o f t h e s t r a i n e n e r g y p o l y n o m i a l .

L i m i t a t i o n s o f U s i n g H y p e r e l a s t i c M a t e r i a l s

• I n g e n e r a l , P o i s s o n ’ s r a t i o f o r a h y p e r e l a s t i c m a t e r i a l s h o u l d b e n o g r e a t e r t h a n . 4 9 9 5 , o r , e q u i v a l e n t l y , t h a t D 1 / ( A 1 0 + A 0 1 ) d o e s n o t e x c e e d 1 0 0 0 . A s i n c o m p r e s s i b i l i t y i n c r e a s e s , c o n v e r g e n c e d i f c u l t i e s a n d / o r i l l c o n d i t i o n i n g o f t h e s t i f f n e s s m a t r i x o c c u r s .

• Y o u c a n ’ t d e n e a h y p e r e l a s t i c m a t e r i a l f o r a s m a l l s t r a i n e l e m e n t . F o r e x a m p l e , a h y p e r e l a s t i c m a t e r i a l c a n ’ t b e r e f e r e n c e d b y a P S H E L L o r P S O L I D B u l k D a t a e n t r y .

• N X N a s t r a n d o e s n ’ t s u p p o r t t e m p e r a t u r e d e p e n d e n c e o f t h e h y p e r e l a s t i c m a t e r i a l c o n s t a n t s .

E x a m p l e : C u r v e - F i t t i n g A l g o r i t h m

A n e x a m p l e c r e a t e d t o s o l v e a f u l l y n o n l i n e a r ( n i t e d e f o r m a t i o n ) C Q U A D 4 e l e m e n t u n d e r p u r e s h e a r w i t h m a t e r i a l c o n s t a n t s o b t a i n e d f r o m t h e s i m u l t a n e o u s t t i n g o f e x p e r i m e n t a l d a t a i n s i m p l e t e n s i o n , e q u i b i a x i a l t e n s i o n , a n d p u r e s h e a r . A n n o t a t e d B u l k D a t a i n p u t i s s h o w n i n t h e f o l l o w i n g l i s t i n g t h a t i l l u s t r a t e s t h e M A T H P a n d T A B L E S 1 e n t r i e s , w h i c h c o n t a i n t h e e x p e r i m e n t a l d a t a f o r c u r v e t t i n g .





L i s t i n g 3 - 1 .

N o t e

S e e R e f e r e n c e [ 1 ] . T h e d a t a w a s d i s c r e t i z e d f r o m p l o t s i n R e f e r e n c e [ 2 ] .

[ 1 ] T r e l o a r , L . R . G . T h e P h y s i c s o r R u b b e r E l a s t i c i t y , 3 r d e d . , O x f o r d : C l a r e n d o n P r e s s , 1 9 7 5 .

[ 2 ] O g d e n , R . W . “ E l a s t i c D e f o r m a t i o n s o f R u b b e r l i k e S o l i d s : i n “ M e c h a n i c s o f S o l i d s , ” T h e

R o d n e y H i l l 6 0 t h A n n i v e r s a r y V o l u m e , H . G . H o p k i n s a n d M . J . S e w e l l , e d s . , O x f o r d : P e r g a m o n P r e s s , p p . 4 9 9 - 5 3 7 .

T h e f o l l o w i n g l i s t i n g i l l u s t r a t e s t h e p r o d u c e d M A T H P e n t r y i m a g e t h a t i s p r i n t e d i n t h e o u t p u t j u s t a f t e r t h e E N D D A T A e n t r y i m a g e .

* * * S Y S T E M I N F O R M A T I O N M E S S A G E 6 4 1 0 ( I F P 8 ) . B E G I N P R O C E S S I N G O F M A T H P E N T R Y I D = 1 D I S T O R T I O N A L P A R A M E T E R F I T T I N G . S Q U A R E R O O T O F S U M O F T H E E R R O R S S Q U A R E D = 0 . 2 5 6 2 9 E + 0 1 U P D A T E D M A T H P E N T R Y

1 1 . 5 4 0 8 2 0 . 2 4 0 4 6 1 5 0 0 . 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 3 1

- 0 . 0 0 3 7 5 - 0 . 0 1 7 4 3 0 . 0 0 1 0 4 0 . 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 2 9 0 . 0 0 0 3 3 - 0 . 0 0 0 0 4 0 . 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0





F i g u r e 3 - 2 t h r o u g h F i g u r e 3 - 4 i l l u s t r a t e t h e c u r v e s o b t a i n e d f r o m t h i s a n d s i m i l a r d e c k s c o n t a i n i n g a l a r g e s t r a i n C H E X A i n s i m p l e a n d e q u i b i a x i a l t e n s i o n w i t h t h e m a t e r i a l c o n s t a n t s g e n e r a t e d f o r t h e r s t - , s e c o n d - , a n d t h i r d - o r d e r s t r a i n e n e r g y p o l y n o m i a l f u n c t i o n s f r o m s i m u l t a n e o u s t t i n g o f e x p e r i m e n t a l d a t a i n s i m p l e t e n s i o n , e q u i b i a x i a l t e n s i o n , a n d p u r e s h e a r .

F i g u r e 3 - 2 . N X N a s t r a n C u r v e - F i t t i n g A l g o r i t h m f o r H y p e r e l a s t i c M a t e r i a l s ( a )

F i g u r e 3 - 3 . N X N a s t r a n C u r v e - F i t t i n g A l g o r i t h m f o r H y p e r e l a s t i c M a t e r i a l s ( b )





F i g u r e 3 - 4 . N X N a s t r a n C u r v e - F i t t i n g A l g o r i t h m f o r H y p e r e l a s t i c M a t e r i a l s ( c )

3 . 4 E l a s t i c - P l a s t i c M a t e r i a l

B e f o r e d i s c u s s i n g t h e c o m p u t a t i o n a l a s p e c t s a s s o c i a t e d w i t h t h e v a r i o u s m o d e l s , t h e d e n i t i o n s o f s o m e o f t h e c o m m o n l y u s e d t e r m s i n p l a s t i c i t y a r e g i v e n b e l o w .

Y i e l d S t r e s s Y i e l d S t r e s s i s u s u a l l y m e a s u r e d a s t h e v a l u e o f s t r e s s w h i c h p r o d u c e s t h e s m a l l e s t m e a s u r a b l e p e r m a n e n t s t r a i n .

B a u s c h i n g e r E f f e c t W h e n a p l a s t i c a l l y d e f o r m e d s p e c i m e n i s u n l o a d e d , r e s i d u a l s t r e s s e s o n a m i c r o s c o p i c s c a l e r e m a i n a n d i n u e n c e t h e p l a s t i c y i e l d i n g f o r t h e d i f f e r e n t l o a d i n g . I f t h e p r e v i o u s s t r a i n w a s a u n i f o r m e x t e n s i o n a n d t h e s p e c i m e n i s t h e n r e l o a d e d i n c o m p r e s s i o n i n t h e o p p o s i t e d i r e c t i o n , i t i s o b s e r v e d t h a t y i e l d i n g o c c u r s a t a m u c h r e d u c e d s t r e s s . T h i s i s k n o w n a s t h e B a u s c h i n g e r E f f e c t .

T h e p h e n o m e n o n o f B a u s c h i n g e r e f f e c t c a n b e s t b e d e s c r i b e d w i t h r e f e r e n c e t o F i g u r e 3 - 5 w h i c h s h o w s a n i d e a l i z e d s t r e s s - s t r a i n

c u r v e o f a m e t a l r s t d e f o r m e d b y u n i f o r m t e n s i o n , t h e l o a d r e m o v e d a n d t h e n r e l o a d e d i n c o m p r e s s i o n . A c c o r d i n g t o o n e m o d e l ( w h i c h i s o n e e x t r e m e v i e w p o i n t ) , i t i s a s s u m e d t h a t t h e e l a s t i c u n l o a d i n g r a n g e w i l l b e d o u b l e t h e i n i t i a l y i e l d s t r e s s . I f t h e i n i t i a l y i e l d s t r e s s i n t e n s i o n i s s y a n d t h e s p e c i m e n i s l o a d e d u p t o a s t r e s s s 1 a n d u n l o a d e d , t h e p l a s t i c y i e l d i n g w i l l b e g i n i n c o m p r e s s i o n a t a s t r e s s s 2 g i v e n b y





E q u a t i o n 3 - 5 .

F i g u r e 3 - 5 . M a t e r i a l N o n l i n e a r M o d e l s

Y i e l d F u n c t i o n

N X N a s t r a n s u p p o r t s t h e f o l l o w i n g t y p e s o f y i e l d c r i t e r i a :

• v o n M i s e s ( d u c t i l e m a t e r i a l s )

• T r e s c a ( b r i t t l e a n d s o m e d u c t i l e m a t e r i a l s )

• D r u c k e r - P r a g e r ( s a n d a n d c o n c r e t e )

• M o h r - C o u l o m b ( r o c k m a t e r i a l )

A s s o c i a t e d w i t h t h e y i e l d c r i t e r i a , t h e r e e x i s t y i e l d f u n c t i o n s i n t h e f o r m o f

E q u a t i o n 3 - 6 .

w h e r e :

f ( s ) = a n e f f e c t i v e s t r e s s , a f u n c t i o n o f t h e s t r e s s s t a t e

= a t e n s i l e y i e l d s t r e s s , a f u n c t i o n o f t h e s t r e s s h a r d e n i n g .

G e o m e t r i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h e y i e l d f u n c t i o n i s a s u r f a c e i n t h e s t r e s s s p a c e ( s 1 − s 2 − s 3 c o o r d i n a t e s ) w h i c h i s c a l l e d a y i e l d s u r f a c e . T h e v o n M i s e s y i e l d s u r f a c e i s a c i r c u l a r c y l i n d e r a n d T r e s c a ’ s i s a h e x a g o n a l c y l i n d e r . T h e y i e l d s u r f a c e i s r e d u c e d t o t h e y i e l d l o c u s i n t h e c a s e





o f p l a n e s t r e s s , a s s h o w n i n F i g u r e 3 - 6 a n d F i g u r e 3 - 7 f o r t h e v o n M i s e s a n d T r e s c a c r i t e r i a , r e s p e c t i v e l y . T h e M o h r - C o u l o m b a n d D r u c k e r - P r a g e r y i e l d f u n c t i o n s r e p r e s e n t c o n i c a l s u r f a c e s a s s h o w n i n F i g u r e 3 - 8 a n d F i g u r e 3 - 9 .

F i g u r e 3 - 6 . v o n M i s e s Y i e l d L o c u s f o r P l a n e S t r e s s





F i g u r e 3 - 7 . T r e s c a ’ s Y i e l d L o c u s f o r P l a n e S t r e s s





F i g u r e 3 - 8 . S o m e I s o t r o p i c Y i e l d S u r f a c e s i n P r i n c i p a l S t r e s s S p a c e





F i g u r e 3 - 9 . S o m e I s o t r o p i c Y i e l d S u r f a c e s i n P r i n c i p a l S t r e s s S p a c e

D e n i n g E l a s t i c - P l a s t i c M a t e r i a l s i n N X N a s t r a n

I n N X N a s t r a n , y o u c a n p e r f o r m e l a s t i c - p l a s t i c m a t e r i a l a n a l y s e s u s i n g i s o t r o p i c m a t e r i a l s . T o d e n e t h e p r o p e r t i e s f o r a n e l a t i c - p l a s t i c m a t e r i a l , u s e t h e M A T 1 b u l k d a t a e n t r y i n c o n j u n c t i o n w i t h t h e M A T S 1 a n d T A B L E S 1 e n t r i e s t o d e n e t h e s t r e s s - d e p e n d e n t m a t e r i a l p r o p e r t i e s .

O n t h e M A T S 1 e n t r y , w h e n y o u ’ r e c r e a t i n g a n e l a s t i c - p l a s t i c m a t e r i a l , u s e e l d 4 t o s e t t h e T Y P E o p t i o n t o P L A S T I C . Y o u c a n t h e n s p e c i f y a d d i t i o n a l o p t i o n s f o r t h e w o r k h a r d e n i n g s l o p e , y i e l d f u n c t i o n , a n d h a r d e n i n g r u l e .

S e e A l s o








3 . 5 V i s c o e l a s t i c M a t e r i a l i n N o n l i n e a r A n a l y s i s

A v i s c o e l a s t i c a n a l y s i s l e t s y o u a n a l y z e s i t u a t i o n s i n w h i c h t h e s t r a i n r a t e h a s a s i g n i c a n t e f f e c t o n t h e m a t e r i a l r e s p o n s e . Y o u c a n a n a l y z e t h e q u a s i - s t a t i c b e h a v i o r o f a v i s c o e l a s t i c m a t e r i a l u s i n g t h e c r e e p c a p a b i l i t y o f N X N a s t r a n . I n N X N a s t r a n , y o u c a n p e r f o r m a c r e e p a n a l y s i s o n l i n e a r e l a s t i c i s o t r o p i c a n d e l a s t o p l a s t i c i s o t r o p i c m a t e r i a l s o n l y . Y o u c a n ’ t p e r f o r m a c r e e p a n a l y s i s o n a n i s o t r o p i c , n o n l i n e a r e l a s t i c , a n d h y p e r e l a s t i c m a t e r i a l s .

I n N X N a s t r a n , y o u c a n m o d e l p r i m a r y a n d s e c o n d a r y c r e e p , b u t n o t t e r t i a r y c r e e p . N X N a s t r a n u s e s t h e K e l v i n m o d e l f o r p r i m a r y c r e e p a n d t h e M a x w e l l m o d e l f o r s e c o n d a r y c r e e p .

N o t e : B e f o r e y o u c a n p e r f o r m a c r e e p a n a l y s i s , y o u m u s t r s t p e r f o r m a s t a t i c a n a l y s i s .

D e n i n g V i s c o e l a s t i c M a t e r i a l s i n N X N a s t r a n

Y o u c a n d e n e e l a s t o p l a s t i c p r o p e r t i e s t o c o n s i d e r p l a s t i c d e f o r m a t i o n u s i n g t h e M A T S 1 b u l k d a t a e n t r y i n c o n j u n c t i o n w i t h t h e M A T 1 b u l k d a t a e n t r y .

Y o u c a n d e n e v i s c o e l a s t i c p r o p e r t i e s ( l i n e a r o r n o n l i n e a r ) i n t e r m s o f r h e o l o g i c a l m o d e l p a r a m e t e r s ( K p , C p , a n d C s ) o f t h e M a x w e l l - K e l v i n m o d e l i n t h e C R E E P a n d T A B L E S 1 b u l k d a t a e n t r i e s . T h e n , y o u c a n p e r f o r m a q u a s i - s t a t i c a n a l y s i s o f t h e v i s c o e l a s t i c m a t e r i a l s b y s p e c i f y i n g t i m e i n c r e m e n t w i t h t h e N L P A R M b u l k d a t a e n t r y ( s e l e c t e d b y t h e s u b c a s e ) i n a S O L 1 0 6 a n a l y s i s .

S e e A l s o




• “ C R E E P ” i n t h e N X N a s t r a n Q u i c k R e f e r e n c e G u i d e

• H a n d b o o k f o r N o n l i n e a r A n a l y s i s

3 . 6 T e m p e r a t u r e - D e p e n d e n t M a t e r i a l

I n N X N a s t r a n , o n l y l i n e a r a n d n o n l i n e a r e l a s t i c m a t e r i a l s c a n b e t e m p e r a t u r e d e p e n d e n t . E l a s t i c - p l a s t i c a n d h y p e r e l a s t i c m a t e r i a l s c a n ’ t b e t e m p e r a t u r e d e p e n d e n t .

Y o u c a n s p e c i f y t e m p e r a t u r e - d e p e n d e n t p r o p e r t i e s f o r e l a s t i c a n d n o n l i n e a r e l a s t i c m a t e r i a l s b y u s i n g t h e M A T T i , T A B L E S T , a n d T A B L E S 1 b u l k d a t a e n t r i e s .

N o t e : A l i m i t e d t e m p e r a t u r e d e p e n d e n c e f o r c r e e p m a t e r i a l s i s a v a i l a b l e b a s e d o n t h e A r r h e n i u s e q u a t i o n .

S e e A l s o


• “ T A B L E S T ” i n t h e N X N a s t r a n Q u i c k R e f e r e n c e G u i d e





3 . 7 U n d e r s t a n d i n g G e o m e t r i c N o n l i n e a r i t y

G e o m e t r i c n o n l i n e a r i t i e s a r e m a n i f e s t e d i n p r o b l e m s i n v o l v i n g l a r g e r o t a t i o n s a n d l a r g e d e f o r m a t i o n . T h e c h a r a c t e r i s t i c s o f a g e o m e t r i c a l l y n o n l i n e a r p r o b l e m a r e :

• f o l l o w e r f o r c e s d u e t o l a r g e r o t a t i o n s

• g e o m e t r i c s t i f f e n i n g d u e t o i n i t i a l s t r e s s e f f e c t ( a s a r e s u l t o f l a r g e r o t a t i o n s )

• l a r g e s t r a i n s d u e t o l a r g e d e f o r m a t i o n

G e o m e t r i c n o n l i n e a r e f f e c t s s h o u l d b e s i g n i c a n t i f t h e d e f o r m e d s h a p e o f t h e s t r u c t u r e a p p e a r s d i s t i n c t i v e f r o m t h e o r i g i n a l g e o m e t r y w h e n y o u i n s p e c t i t v i s u a l l y .

A m o r e r i g o r o u s a n d q u a n t i t a t i v e d e n i t i o n f o r t h e l a r g e d i s p l a c e m e n t s c a n b e d e r i v e d f r o m t h e p l a t e t h e o r y o f K i r c h h o f f a n d L o v e , w h i c h s t a t e s t h a t t h e s m a l l d e e c t i o n t h e o r y i s v a l i d f o r a m a x i m u m d e e c t i o n o f l e s s t h a n 2 0 % o f t h e p l a t e t h i c k n e s s o r 2 % o f t h e s m a l l s p a n l e n g t h . H o w e v e r , t h i s d e n i t i o n s e e m s t o b e a l i t t l e c o n s e r v a t i v e f o r n u m e r i c a l a n a l y s i s . A d d i t i o n a l l y ,

t h e r e i s n o d i s t i n c t l i m i t f o r l a r g e d i s p l a c e m e n t s b e c a u s e g e o m e t r i c n o n l i n e a r e f f e c t s a r e r e l a t e d t o t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a s w e l l a s t h e d i m e n s i o n s o f t h e s t r u c t u r e . I f t h e l o a d - d e e c t i o n c u r v e o f t h e c r i t i c a l p o i n t c a n b e e s t i m a t e d , t h e l o a d i n g p o i n t s h o u l d b e i n t h e n o n l i n e a r p o r t i o n o f t h e c u r v e .

G e o m e t r i c n o n l i n e a r e f f e c t s i n t h e s t r u c t u r e i n v o l v i n g l a r g e r o t a t i o n s , w h e t h e r r i g i d b o d y r o t a t i o n s o r d e f o r m a t i o n i n d u c e d r o t a t i o n s , a r e s e l f - e v i d e n t . S t i f f e n i n g o f a m e m b r a n e , s t i f f n e s s i n a p e n d u l u m o r s n a p - t h r o u g h o f a n a r c h b e l o n g t o t h i s c a t e g o r y .

T h e m o t i o n o f a p e n d u l u m u n d e r g r a v i t y i s c a u s e d b y g e o m e t r i c ( d i f f e r e n t i a l ) s t i f f n e s s . F o l l o w e r f o r c e s a r e m a n i f e s t e d w h e n t h e a p p l i e d l o a d s a r e d i s p l a c e m e n t d e p e n d e n t , s u c h a s p r e s s u r e l o a d a n d t h e r m a l l o a d a p p l i e d o n t h e s u r f a c e t h a t r o t a t e s . C e n t r i f u g a l f o r c e i s a n o t h e r e x a m p l e o f f o l l o w e r f o r c e s .

L a r g e s t r a i n e f f e c t s a r e p r o n o u n c e d i n m e t a l f o r m i n g , r u b b e r a n d e l a s t o m e r a p p l i c a t i o n s . I n s u c h a p p l i c a t i o n s , t h e s t r a i n s e x c e e d 1 0 0 % . F i n i t e s t r a i n f o r m u l a t i o n i s r e q u i r e d t o t r e a t t h e p r o b l e m s i n t h i s c a t e g o r y .

N X N a s t r a n s u p p o r t s t h e l a r g e s t r a i n c a p a b i l i t y f o r r u b b e r s a n d e l a s t o m e r s . T h i s f o r m u l a t i o n c o n t a i n s t h e e f f e c t o f l a r g e s t r a i n a s w e l l a s g e o m e t r i c n o n l i n e a r i t y . H o w e v e r , N X N a s t r a n d o e s n ’ t s u p p o r t l a r g e s t r a i n f o r m u l a t i o n f o r m e t a l f o r m i n g a p p l i c a t i o n s . I n m o s t s t r u c t u r a l a p p l i c a t i o n s , h o w e v e r , m o d e r a t e l y l a r g e s t r a i n s ( 2 0 t o 3 0 % ) a p p e a r i n l o c a l a r e a s i f t h e r e i s a n y l a r g e d e f o r m a t i o n

O t h e r g e o m e t r i c n o n l i n e a r e f f e c t s a r e t r e a t e d b y u p d a t e d e l e m e n t c o o r d i n a t e s , g i m b a l a n g l e s ( o r r o t a t i o n v e c t o r ) , a n d t h e d i f f e r e n t i a l s t i f f n e s s [ K d ] .




C h a p t e r

4 O v e r v i e w o f L o a d s f o r N o n l i n e a r A n a l y s i s

• O v e r v i e w o f N o n l i n e a r S t a t i c L o a d s

• O v e r v i e w o f N o n l i n e a r T r a n s i e n t L o a d s




C h a p t e r 4 O v e r v i e w o f L o a d s f o r N o n l i n e a r A n a l y s i s

4 . 1 O v e r v i e w o f N o n l i n e a r S t a t i c L o a d s

T h e s t a t i c l o a d s i n n o n l i n e a r a n a l y s i s c o n s i s t o f a s u b s e t o f t h e t o t a l N X N a s t r a n s t a t i c l o a d s e t . M o s t o f t h e r e l e v a n t l o a d s d a t a a p p l i c a b l e t o t h e l i n e a r s t a t i c a n a l y s i s a r e a l s o a p p l i c a b l e t o n o n l i n e a r s t a t i c a n a l y s i s , e x c e p t f o r t h e B u l k D a t a e n t r y D E F O R M . T h e e n f o r c e d d i s p l a c e m e n t s

c a n b e a p p l i e d a s l o a d s u s i n g t h e B u l k D a t a e n t r y S P C D , w h i c h d e n e s a n e n f o r c e d m o t i o n o f a g r i d i n a s p e c i c x e d d i r e c t i o n . E a c h g r i d p o i n t w i t h a n e n f o r c e d d i s p l a c e m e n t m u s t a l s o a p p e a r o n a n S P C o r S P C 1 e n t r y .

T h e l o a d s a r e s e l e c t e d i n e a c h s u b c a s e b y t h e L O A D C a s e C o n t r o l c o m m a n d . T h e l o a d f o r a s u b c a s e i s s u b d i v i d e d i n t o t h e n u m b e r o f i n c r e m e n t s s p e c i e d f o r t h e s u b c a s e . T h e s o l u t i o n s t r a t e g y i n n o n l i n e a r i s t o a p p l y t h e l o a d s i n a n i n c r e m e n t a l f a s h i o n u n t i l t h e d e s i r e d l o a d l e v e l i s r e a c h e d . T h e a l g o r i t h m s “ r e m e m b e r ” t h e l o a d s f r o m o n e s u b c a s e t o t h e n e x t . I f t h e l o a d r e a c h e s t h e d e s i r e d l e v e l i n a s u b c a s e a n d i f t h e l o a d d e s c r i p t i o n i s l e f t o u t i n t h e s u b s e q u e n t s u b c a s e i n a d v e r t e n t l y , t h e n o n l i n e a r s o l u t i o n a l g o r i t h m w i l l b e g i n i n a n i n c r e m e n t a l f a s h i o n t o r e m o v e t h e l o a d . T h e l o a d s d e s c r i b e d b e l o w m a k e u p t h e v a l i d s u b s e t a p p l i c a b l e f o r n o n l i n e a r s t a t i c a n a l y s i s .

C o n c e n t r a t e d L o a d s

T h e c o n c e n t r a t e d l o a d s c o n s i s t o f t w o c a t e g o r i e s : t h o s e w h i c h a r e s t a t i o n a r y i n d i r e c t i o n t h r o u g h o u t t h e a n a l y s i s a n d t h o s e w h i c h f o l l o w t h e g r i d m o t i o n . T h e r s t c a t e g o r y c o n s i s t s o f t h e f o l l o w i n g :

F O R C E

M O M E N T

S L O A D

T h e s e c o n d c a t e g o r y c o n s i s t s o f t h e f o l l o w i n g :

F O R C E 1

F O R C E 2

M O M E N T !

M O M E N T 2

T h e t h r e e F O R C E e n t r i e s d i f f e r o n l y i n t h e m a n n e r i n w h i c h t h e d i r e c t i o n o f t h e f o r c e i s s p e c i e d . F O R C E u s e s t h e c o m p o n e n t s o f a v e c t o r . F O R C E 1 u s e s t w o g r i d p o i n t s , n o t n e c e s s a r i l y t h e s a m e a s t h e l o a d e d g r i d p o i n t s . F O R C E 2 d e n e s t h e d i r e c t i o n o f t h e f o r c e a s a v e c t o r w h i c h i s t h e v e c t o r p r o d u c t o f t w o o t h e r v e c t o r s . T h e d i s t i n c t i o n s b e t w e e n t h e t h r e e M O M E N T e n t r i e s a r e s i m i l a r . T h e S L O A D e n t r y i s u s e d t o a p p l y l o a d s t o s c a l a r p o i n t s .

D i s t r i b u t e d L o a d s

T h e d i s t r i b u t e d l o a d s c o n s i s t o f t w o c a t e g o r i e s :

• t h o s e w h i c h a r e s t a t i o n a r y i n d i r e c t i o n t h r o u g h o u t t h e a n a l y s i s ( P L O A D 1 )

• t h o s e w h i c h f o l l o w t h e e l e m e n t m o t i o n ( P L O A D , P L O A D 2 , P L O A D 4 )

L o a d s m a y b e a p p l i e d t o t h e i n t e r i o r s o f n i t e e l e m e n t s . T h e P L O A D 1 e n t r y d e n e s c o n c e n t r a t e d a n d l i n e a r l y d i s t r i b u t e d f o r c e s a n d m o m e n t s t o t h e C B E A M e l e m e n t . H o w e v e r , t h e s t r e s s c a l c u l a t i o n f o r n o n l i n e a r C B E A M e l e m e n t i g n o r e s t h e d i s t r i b u t e d l o a d s , b u t l u m p t h e m o n t o t h e n o d a l p o i n t s . T h e P L O A D e n t r y i s e x c e p t i o n a l i n t h a t i t r e f e r e n c e s t h r e e o r f o u r a r b i t r a r i l y l o c a t e d g r i d s r a t h e r t h a n a n e l e m e n t . T h e P L O A D 2 e n t r y d e n e s a u n i f o r m s t a t i c p r e s s u r e l o a d




O v e r v i e w o f L o a d s f o r N o n l i n e a r A n a l y s i s

a p p l i e d t o t h e C Q U A D 4 o r C T R I A 3 e l e m e n t s . T h e P L O A D 4 d e n e s a p r e s s u r e l o a d o n s u r f a c e s o f C H E X A , C P E N T A , C T E T R A , C T R I A 3 , a n d C Q U A D 4 e l e m e n t s w h i c h n e e d n o t b e n o r m a l t o t h e s u r f a c e . S i n c e t h e s u r f a c e h y p e r e l a s t i c e l e m e n t s C Q U A D 4 , C Q U A D 8 , C Q U A D , C T R I A 3 , a n d C T R I A 6 a r e p l a n e s t r a i n e l e m e n t s , n o p r e s s u r e l o a d m a y b e a p p l i e d o n t h e s e e l e m e n t s .

M a s s R e l a t e d L o a d s ( G R A V a n d R F O R C E E n t r i e s )

T h e m a s s r e l a t e d l o a d s a r e g r a v i t y a n d c e n t r i f u g a l l o a d s , w h i c h r e q u i r e s p e c i c a t i o n o f m a s s d a t a . T h e g r a v i t y l o a d s w h i c h c a n b e s p e c i e d o n t h e G R A V B u l k D a t a e n t r y a r e s t a t i o n a r y i n d i r e c t i o n t h r o u g h o u t t h e a n a l y s i s . T h e G R A V e n t r y i s u s e d t o d e n e t h e d i r e c t i o n a n d m a g n i t u d e o f t h e g r a v i t y v e c t o r i n s o m e i d e n t i e d c o o r d i n a t e s y s t e m . T h e c o m p o n e n t s o f t h e g r a v i t y v e c t o r a r e m u l t i p l i e d b y t h e m a s s m a t r i x t o o b t a i n t h e c o m p o n e n t s o f t h e g r a v i t y f o r c e a t e a c h g r i d p o i n t .

C e n t r i f u g a l l o a d s a r e s p e c i e d o n t h e R F O R C E B u l k D a t a e n t r y . R F O R C E d e n e s t h e c o m p o n e n t s o f a s p i n v e c t o r w h i c h i s u s e d i n t e r n a l l y t o c o m p u t e c e n t r i f u g a l f o r c e s . E a c h c o m p o n e n t o f t h e s p i n v e c t o r i s m u l t i p l i e d b y a s c a l e f a c t o r .

T h e r m a l L o a d s

T h e r m a l l o a d s a r e s e l e c t e d i n e a c h s u b c a s e b y t h e C a s e C o n t r o l c o m m a n d T E M P ( L O A D ) . T h e r m a l l o a d i n g w h i c h i s a f o l l o w e r l o a d i n g i s a c c o m p l i s h e d t h r o u g h t h e f o l l o w i n g e n t r i e s :

T E M P

T E M P D

T E M P P 1

T E M P P 3

T E M P R B

T h e T E M P a n d T E M P D p r o v i d e f o r g r i d p o i n t t e m p e r a t u r e s p e c i c a t i o n w h i c h a r e t h e n i n t e r p o l a t e d t o p o i n t s w i t h i n e l e m e n t s . F o r t h e n o n l i n e a r C Q U A D 4 a n d C T R I A 3 e l e m e n t s t h e T E M P P 1 p r o v i d e s f o r a n a v e r a g e t e m p e r a t u r e a n d t h e r m a l g r a d i e n t i n t h e t h i c k n e s s d i r e c t i o n a n d t h e T E M P P 3 p r o v i d e s f o r t e m p e r a t u r e a t p o i n t s t h r o u g h t h e t h i c k n e s s . T E M P P 1 a n d T E M P P 3 a r e n o t a v a i l a b l e f o r t h e p l a n e s t r a i n h y p e r e l a s t i c e l e m e n t s C Q U A D 4 , C Q U A D 8 , C Q U A D , C T R I A 3 , a n d C T R I A 6 . T h e T E M P R B p r o v i d e s f o r a v e r a g e t e m p e r a t u r e a t e n d s A a n d B f o r t h e C R O D a n d C B E A M e l e m e n t . A v e r a g e t e m p e r a t u r e s p e c i e d d i r e c t l y f o r a n e l e m e n t w i l l t a k e p r e c e d e n c e o v e r t h e t e m p e r a t u r e i n t e r p o l a t e d f r o m t h e e l e m e n t s c o n n e c t e d g r i d p o i n t s .

T h e C a s e C o n t r o l c o m m a n d T E M P ( I N I T ) i s r e q u i r e d a b o v e s u b c a s e l e v e l t o s p e c i f y a n i n i t i a l t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n . T h e u s e o f T E M P ( M A T ) o r T E M P ( B O T H ) w i l l c a u s e a f a t a l e r r o r . S u b c a s e s t h a t d o n o t c o n t a i n a T E M P ( L O A D ) w i l l d e f a u l t t o T E M P ( I N I T ) , w h i c h i m p l i e s n o t h e r m a l l o a d . T h e r m a l l o a d s a r e o f t e n u s e d t o p r o v i d e i n i t i a l s t r a i n s .

L o a d C o m b i n a t i o n s

V a r i o u s l o a d s p e c i c a t i o n s c a n b e c o m b i n e d u s i n g t h e L O A D , C L O A D , a n d L S E Q e n t r i e s .

T h e L O A D p r o v i d e s f o r t h e l i n e a r c o m b i n a t i o n o f s t a t i c l o a d s e t s . T h e s t a t i c l o a d s ( L O A D , F O R C E , e t c . ) a p p l i e d t o t h e u p s t r e a m s u p e r e l e m e n t s c a n n o t b e r e f e r e n c e d b y t h e L O A D C a s e C o n t r o l c o m m a n d . T h e C L O A D e n t r y i s d e s i g n e d t o a p p l y s t a t i c l o a d s t o u p s t r e a m s u p e r e l e m e n t s b y c o m b i n i n g l o a d s d e n e d i n L S E Q e n t r i e s . T h e ( C L O A D , L S E Q ) c o m b i n a t i o n a l l o w s t h e n o n l i n e a r a l g o r i t h m s t o a p p l y i n a n i n c r e m e n t a l f a s h i o n o n t h e u p s t r e a m s u p e r e l e m e n t l o a d s t o t h e b o u n d a r y o f t h e r e s i d u a l s t r u c t u r e .





T h e C L O A D d e n e s a s t a t i c l o a d c o m b i n a t i o n f o r s u p e r e l e m e n t l o a d s a c t i n g o n r e s i d u a l b o u n d a r y a n d t h e L S E Q d e n e s a s t a t i c l o a d c o m b i n a t i o n f o r s u p e r e l e m e n t u p s t r e a m l o a d s . T h e L S E Q a s s i g n s l o a d v e c t o r s t o t h e s u p e r e l e m e n t s a n d n u m e r i c a l l y l a b e l s t h e m v i a t h e D A R E A e l d e n t r y v a l u e . T h e L I D a n d T I D e l d e n t r i e s p o i n t t o t h e a p p r o p r i a t e l o a d a n d t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n e n t r i e s . T h e C L O A D d e n e s a s t a t i c l o a d a s a l i n e a r c o m b i n a t i o n o f p r e v i o u s l y c a l c u l a t e d s u p e r e l e m e n t l o a d s d e n e d b y t h e L S E Q . T h e I D V i e l d s c o r r e s p o n d d i r e c t l y t o t h e n u m e r i c l a b e l s d e n e d v i a t h e D A R E A e l d s o f t h e L S E Q e n t r i e s .

T h e C L O A D m u s t b e s e l e c t e d i n t h e r e s i d u a l s o l u t i o n s u b c a s e v i a t h e C a s e C o n t r o l c o m m a n d , C L O A D . T h e L S E Q i s s e l e c t e d b y a L O A D S E T C a s e C o n t r o l c o m m a n d a b o v e a n y r e s i d u a l s u b c a s e . O n l y o n e L O A D S E T m a y a p p e a r i n C a s e C o n t r o l . T h e h i e r a r c h y o f t h e l o a d s d a t a i s s h o w n s c h e m a t i c a l l y i n F i g u r e 4 - 1 . A n e x a m p l e f o r t h e C a s e C o n t r o l s e t - u p f o l l o w s :

S E A L L = A L L

L O A D S E T = 1 0 0 0

$ S e l e c t s L S E Q 1 0 0 0 f o r u p s t r e a m l o a d s

S U P E R = A L L $ I d e n t i f y S E s t o p r o c e s s

.

.

. . D I S P = A L L

.

.

.

.

.

.

$ N O N L I N E A R S O L U T I O N S F O R R E S I D U A L S U P E R E L E M E N T S

S U B C A S E 1 0

C L O A D = 1 0 0 1 $ R e f e r s t o C L O A D B u l k D a t a

N L P A R M = 1 2 $ I t e r a t i o n c o n t r o l

.

.

.

S U B C A S E 2 0

C L O A D = 1 0 0 2 L O A D = 1 0 $ R e s i d u a l S E l o a d

N L P A R M = 2 2





F i g u r e 4 - 1 . H i e r a r c h y o f L o a d D a t a

4 . 2 O v e r v i e w o f N o n l i n e a r T r a n s i e n t L o a d s

T h e m e t h o d s e m p l o y e d t o d e n e l o a d s i n n o n l i n e a r t r a n s i e n t a n a l y s i s a r e s i m i l a r t o t h o s e u s e d i n t h e l i n e a r s o l u t i o n s . A s i n g l e d e g r e e - o f - f r e e d o m o r a s e t o f g r i d p o i n t s m a y b e l o a d e d w i t h f o r c e p a t t e r n t h a t v a r i e s w i t h t i m e . F u n c t i o n s m a y b e t a b u l a r s u c h a s a n e a r t h q u a k e o r a b o o s t e r l i f t o f f , o r t h e y m a y b e s i m p l e a n a l y t i c f u n c t i o n s s u c h a s a s i n e w a v e . S i m p l e s t a t i c l o a d s e t s g e n e r a t e d i n b o t h u p s t r e a m s u p e r e l e m e n t s a n d t h e d e f a u l t r e s i d u a l m a y b e u s e d t o c r e a t e t h e d y n a m i c l o a d s . T h e y m a y b e s c a l e d a n d c o m b i n e d w i t h o t h e r l o a d s t o s i m u l a t e c o m p l e x l o a d i n g p r o b l e m s .





F o r s p e c i a l p r o b l e m s i n v o l v i n g s i m p l e s c a l a r n o n l i n e a r i t i e s , t h e t r a d i t i o n a l n o n l i n e a r l o a d s ( N O L I N i o p t i o n ) m a y b e u s e d i n b o t h t y p e s o f t r a n s i e n t s o l u t i o n s . T h e s e a r e u s e f u l f o r s i m u l a t i n g n o n l i n e a r d a m p i n g m e c h a n i s m s a n d r o t a t i o n a l c o u p l i n g n o t p r o v i d e d b y t h e C G A P e l e m e n t s .

T r a n s i e n t l o a d s d e n e t h e l o a d i n g s a s f u n c t i o n s o f t i m e a n d t h e l o c a t i o n . T h e y c a n b e a l o a d

a p p l i e d a t a p a r t i c u l a r d e g r e e - o f - f r e e d o m , p r e s s u r e o v e r t h e s u r f a c e a r e a , o r t h e b o d y f o r c e s i m u l a t i n g a n a c c e l e r a t i o n . T h e t i m e h i s t o r y i s p r o v i d e d b y t h e T L O A D i B u l k D a t a e n t r i e s a n d t h e s t a t i c l o a d s m a y b e c o n v e r t e d t o d y n a m i c l o a d s u s i n g L S E Q e n t r y . T h e t r a n s i e n t d y n a m i c l o a d s a r e s e l e c t e d i n t h e C a s e C o n t r o l S e c t i o n b y t h e f o l l o w i n g c o m m a n d s :

D L O A D S e l e c t s T L O A D i o r D L O A D B u l k D a t a e n t r i e s . E a c h s t a g e o f t h e t r a n s i e n t s o l u t i o n m a y b e d e n e d w i t h a s e p a r a t e S U B C A S E , e a c h w i t h i t s o w n D L O A D r e q u e s t . T h e D L O A D e n t r y i s r e s t r i c t e d t o a c t o n l y i n t h e t i m e d e n e d i n i t s s u b c a s e .

L O A D S E T S e l e c t s L S E Q e n t r i e s . M u s t b e p l a c e d a b o v e t h e s o l u t i o n s u b c a s e s a n d / o r i n t h e S u p e r e l e m e n t S u b c a s e s .

N O L I N E A R S e l e c t s N O L I N i e n t r i e s . M a y n o t b e c h a n g e d b e t w e e n s o l u t i o n s u b c a s e s .

N L L O A D R e q u i r e d f o r N O L I N i o u t p u t r e q u e s t .

B u l k D a t a e n t r i e s a s s o c i a t e d w i t h t h e t r a n s i e n t l o a d s i n S O L 1 2 9 a r e b r i e y d e s c r i b e d b e l o w :

T L O A D 1 ,

T L O A D 2

R e q u i r e d d a t a d e n i n g t h e c o u p l i n g b e t w e e n l o a d f a c t o r s ( D A R E A e n t r y ) a n d f u n c t i o n s o f t i m e ( T A B L E D i , D E L A Y , o r c o e f c i e n t s ) . S p e c i e s t h e t i m e f u n c t i o n s , F i ( t ) , f o r d y n a m i c l o a d i . T L O A D 1 d e n e s t h e l o a d h i s t o r y i n T A B L E D i f o r m a t w h i l e T L O A D 2 d e n e s t h e l o a d h i s t o r y b y a n a n a l y t i c e x p r e s s i o n . N o t e t h a t e a c h T L O A D i e n t r y m u s t h a v e a u n i q u e s e t i d e n t i c a t i o n n u m b e r .

D A R E A D e n e s l o a d s c a l e f a c t o r s , A i j , f o r e a c h d e g r e e - o f - f r e e d o m , u j r e q u e s t e d i n s e t i . T h e D A R E A f a c t o r s m a y a l s o b e d e r i v e d f r o m s t a t i c l o a d e n t r i e s w i t h t h e L S E Q B u l k D a t a e n t r y .

L S E Q G e n e r a t e s t r a n s i e n t l o a d h i s t o r y f o r s t a t i c l o a d s a n d c o n t r o l s t h e a s s e m b l y o f s t a t i c l o a d v e c t o r s t o b e u s e d i n d y n a m i c a n a l y s i s . E a c h s e t i s e q u i v a l e n t t o a s u b c a s e i n C a s e C o n t r o l . I t w i l l c a u s e a s t a t i c l o a d v e c t o r A j t o b e g e n e r a t e d a n d w i l l l a b e l i t w i t h t h e D A R E A i d e n t i c a t i o n . T h i s i s u s e f u l f o r m o d e l i n g p r o b l e m s w i t h d i s t r i b u t e d t r a n s i e n t l o a d i n g s u c h a s G R A V l o a d s o r p r e s s u r i z e d a r e a s .

D L O A D C o m b i n e s d i f f e r e n t T L O A D i f u n c t i o n s i n t o a s i n g l e s e t a n d s c a l e s e a c h b y a f a c t o r , C k i a s s h o w n i n E q . 4 - 1 2 . P e r f o r m s t h e s a m e f u n c t i o n a s t h e s t a t i c L O A D B u l k D a t a i n p u t . U n l i k e s t a t i c s , t h i s i s t h e o n l y

m e t h o d t o c o m b i n e l o a d s i n d y n a m i c a n a l y s i s .

T A B L E D i ,

i = 1 , 2 , 3 , 4

U s e d w i t h T L O A D 1 e n t r i e s t o s p e c i f y g e n e r a l t i m e v a r y i n g t a b u l a r f u n c t i o n s . S i n c e e x t r a p o l a t i o n i s u s e d b e y o n d t h e r a n g e o f d a t a , y o u s h o u l d b e c a r e f u l w i t h t h e e n d p o i n t s .





D E L A Y S p e c i e s t h e d e l a y t i m e f o r a p p l y i n g t h e f o r c i n g f u n c t i o n d e n e d i n T L O A D i t o e a c h G R I D p o i n t . T h e D E L A Y e n t r y i s a s s o c i a t e d w i t h t h e d e g r e e - o f - f r e e d o m a n d n o t t h e f o r c i n g f u n c t i o n i n e a c h T L O A D i . T h i s o p t i o n i s u s e f u l f o r d e n i n g l o a d s t h a t t r a v e l a c r o s s a s t r u c t u r e s u c h a s

a n o b l i q u e w a v e a l o n g a d a m o r a b u m p i n t h e r o a d e x c i t i n g t h e w h e e l s o f a t r a v e l i n g v e h i c l e . T h i s s a v e s t h e a n a l y s t t h e e f f o r t o f d e n i n g m u l t i p l e T L O A D i e n t r i e s f o r s i m p l e t i m e l a g s .

N O L I N i ,

i = 1 , 2 , 3 , 4

D e n e s p e c i c n o n l i n e a r s c a l a r l o a d s a s f u n c t i o n s o f v e l o c i t y a n d / o r d i s p l a c e m e n t . B a s i c a n a l o g n o n l i n e a r t r a n s f e r f u n c t i o n s a r e d e n e d . H o w e v e r , t h e s e f u n c t i o n s d o n o t g e n e r a t e t a n g e n t m a t r i x t e r m s a n d t h e N e w t o n i t e r a t i o n m e t h o d m a y e x p e r i e n c e d i f c u l t i e s i n c o n v e r g e n c e . L i n e s e a r c h a n d B F G S s o l u t i o n m e t h o d s a r e r e c o m m e n d e d f o r t h e s e m o d e l s .

N O L I N 1 N o n l i n e a r t r a n s i e n t l o a d a s a t a b u l a r f u n c t i o n .

N O L I N 2 N o n l i n e a r t r a n s i e n t l o a d a s p r o d u c t s o f t w o v a r i a b l e s .

N O L I N 3 N o n l i n e a r t r a n s i e n t l o a d a s a p o s i t i v e v a r i a b l e r a i s e d t o a p o w e r .

N O L I N 4 N o n l i n e a r t r a n s i e n t l o a d a s a n e g a t i v e v a r i a b l e r a i s e d t o a p o w e r .

N L R G A P T h e N L R G A P i s a n i d e a l i z a t i o n o f t h e c o n t a c t b e t w e e n a n y c i r c u l a r s h a f t e n c l o s e d b y a c i r c u l a r h o u s i n g ( F i g u r e 4 - 2 ) . I n t h i s i d e a l i z a t i o n , g r i d p o i n t A r e p r e s e n t s t h e o u t e r s u r f a c e o f t h e s h a f t w h i l e g r i d p o i n t B r e p r e s e n t s t h e i n n e r s u r f a c e o f t h e h o u s i n g . G r i d p o i n t s A a n d B a r e c o i n c i d e n t a n d m u s t h a v e a p a r a l l e l d i s p l a c e m e n t c o o r d i n a t e s y s t e m . A r u d i m e n t a r y f r i c t i o n c a p a b i l i t y i s i n c l u d e d t o a c c o u n t f o r t h e f r i c t i o n - i n d u c e d t o r q u e a n d f r i c t i o n - i n d u c e d l a t e r a l l o a d s t h a t

o c c u r w i t h a s p i n n i n g s h a f t . H o w e v e r , f r i c t i o n c a n b e n e g l e c t e d , i n





w h i c h c a s e t h e s o l u t i o n i s c o n s i s t e n t w i t h t h a t f o r a n o n r o t a t i n g s h a f t i n a f r i c t i o n l e s s h o u s i n g .

F i g u r e 4 - 2 . R a d i a l G a p O r i e n t a t i o n s a n d N o n l i n e a r L o a d S i g n C o n v e n t i o n s

N L R G A P

T h e e q u a t i o n s u n d e r l y i n g t h e N L R G A P m e a s u r e t h e r e l a t i v e r a d i a l d i s p l a c e m e n t b e t w e e n t h e s h a f t g r i d a n d t h e h o u s i n g g r i d i n t h e d i s p l a c e m e n t c o o r d i n a t e s y s t e m o f g r i d p o i n t s A a n d B . W h e n t h e r e l a t i v e r a d i a l d i s p l a c e m e n t i s g r e a t e r t h a n t h e c l e a r a n c e ( i . e . w h e n c o n t a c t h a s o c c u r r e d ) , c o n t a c t f o r c e s a s w e l l a s f r i c t i o n a l f o r c e s a r e a u t o m a t i c a l l y a p p l i e d t o t h e g r i d s . T h e c o n t a c t a n d f r i c t i o n a l f o r c e s a r e d e p e n d e n t o n t h e c o n t a c t s t i f f n e s s a n d t h e c o e f c i e n t o f f r i c t i o n .

D e n i t i o n s

K ( t , u ) C o n t a c t s t i f f n e s s , f u n c t i o n o f t i m e o r d i s p l a c e m e n t

G ( t ) R a d i a l c l e a r a n c e , f u n c t i o n o f t i m e

µ ( t ) C o e f c i e n t o f f r i c t i o n , f u n c t i o n o f t i m e . P o s i t i v e v a l u e i m p l i e s s h a f t r o t a t i o n f r o m a x i s 1 t o w a r d s a x i s 2 .

R S h a f t r a d i u s f o r f r i c t i o n i n d u c e d t o r q u e c a l c u l a t i o n





E q u a t i o n s

T h e N L R G A P i s i n t e r n a l l y c o m p o s e d o f t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n s . I t i s h e l p f u l t o v i s u a l i z e G r i d A a s b e l o n g i n g t o t h e s h a f t a n d G r i d B a s b e l o n g i n g t o t h e h o u s i n g . C o n s i d e r e a c h g r i d t o h a v e D O F 1 a n d 2 i n t h e p l a n e o f a c t i o n ( e . g . , D O F 1 = X a n d D O F 2 = Y f o r X Y o r i e n t a t i o n ) .

T h e e l e m e n t r e l a t i v e d i s p l a c e m e n t i n d i r e c t i o n s 1 a n d 2 a r e :

E q u a t i o n 4 - 1 .

E q u a t i o n 4 - 2 .

T h e r e l a t i v e r a d i a l d i s p l a c e m e n t i s :

E q u a t i o n 4 - 3 .

T h e f o r c e i n t h e g a p w h e n i t i s o p e n ( Δ r ≤ G ( t ) ) i s z e r o . W h e n t h e g a p i s c l o s e d ( Δ r > G ( t ) ) , t h e p e n e t r a t i o n i s d e n e d a s :

E q u a t i o n 4 - 4 . T h e n o n l i n e a r g a p f o r c e s a r e :

E q u a t i o n 4 - 5 .

E q u a t i o n 4 - 6 .

E q u a t i o n 4 - 7 .

E q u a t i o n 4 - 8 .





E q u a t i o n 4 - 9 .

I f t h e s h a f t r a d i u s R i s i n p u t , t h e n t h e f o l l o w i n g f r i c t i o n i n d u c e d t o r q u e l o a d s a r e g e n e r a t e d .

E q u a t i o n 4 - 1 0 .

E q u a t i o n 4 - 1 1 .

B e n e t N L R G A P l e t s y o u m o d e l c o n t a c t b e t w e e n t w o c o a x i a l c y l i n d e r s , f o r e x a m p l e s h a f t a n d h o u s i n g .

I n p u t

Y o u u s e t h e N L R G A P b u l k d a t a e n t r y t o m o d e l t h e r a d i a l g a p . T h e c o n t a c t s t i f f n e s s c a n b e i n p u t e i t h e r a s a f u n c t i o n o f t i m e o r a s a f u n c t i o n o f p e n e t r a t i o n . I n b o t h c a s e s , t h e s t i f f n e s s c u r v e s a r e i n p u t o n T A B L E D i B u l k D a t a e n t r i e s w h i c h a r e r e f e r e n c e d b y t h e N L R G A P e n t r y . I n p u t t i n g s t i f f n e s s a s a f u n c t i o n o f t i m e l e t s y o u m o d e l s p e c i a l s i t u a t i o n s w h e r e s t r u c t u r a l c h a n g e s o v e r t i m e c a u s e t h e c o n t a c t s t i f f n e s s t o v a r y o v e r t i m e . I n p u t t i n g s t i f f n e s s a s a f u n c t i o n o f p e n e t r a t i o n l e t s y o u i n p u t a n o n l i n e a r s t i f f n e s s c u r v e w h i c h m i g h t b e r e q u i r e d , f o r e x a m p l e , i f t h e s h a f t o r h o u s i n g w e r e c o v e r e d b y s o m e n o n l i n e a r - e l a s t i c m a t e r i a l .

A s w i t h s t i f f n e s s , b o t h t h e c o e f c i e n t o f f r i c t i o n a n d t h e c l e a r a n c e c a n b e f u n c t i o n s o f t i m e . T h e t i m e - v a r y i n g c o e f c i e n t o f f r i c t i o n m i g h t b e u s e d w h e r e t h e q u a l i t y o f l u b r i c a t i o n v a r i e d w i t h t i m e , o r i f e x p e r i m e n t a l d a t a s h o w e d t h a t t h e s u r f a c e c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e s h a f t a n d h o u s i n g v a r i e d w i t h t i m e . T h e c l e a r a n c e c a n b e i n p u t a s a f u n c t i o n o f t i m e t o m o d e l s i t u a t i o n s w h e r e a n a c c e l e r a t i n g , s p i n n i n g r o t o r e x p a n d s d u e t o c e n t r i p e t a l l o a d s .

T h e N L R G A P e n t r y c a n a l s o a p p r o x i m a t e t h e t o r q u e o n t h e s h a f t a n d h o u s i n g d u e t o f r i c t i o n . I f t h i s e f f e c t i s d e s i r e d , t h e R A D I U S e l d o f t h e N L R G A P m u s t b e s p e c i e d . I f n o t s p e c i e d , t h e n f r i c t i o n e f f e c t s w i l l s t i l l b e i n c l u d e d i n t h e l a t e r a l l o a d s a s s h o w n i n E q . 4 - 6 t h r o u g h E q . 4 - 9 . T h e t o r q u e l o a d s , E q . 4 - 1 0 a n d E q . 4 - 1 1 , w i l l n o t b e c o m p u t e d n o r a p p l i e d i f R A D I U S i s i n p u t a s 0 . 0 o r l e f t b l a n k .

A s w i t h t h e N O L I N s , t h e N L R G A P i s s e l e c t e d b y t h e N O N L I N E A R C a s e C o n t r o l c o m m a n d .

O u t p u t

T h e o u t p u t i s t h e n o n l i n e a r l o a d s a p p l i e d t o t h e N L R G A P g r i d s t o s i m u l a t e t h e c o n t a c t . T h e l o a d s c a n b e r e c o v e r e d w i t h t h e N L L O A D C a s e C o n t r o l c o m m a n d .

G u i d e l i n e s

• T h e r e s h o u l d b e m a s s o n b o t h g r i d s o f t h e N L R G A P . O t h e r w i s e e r r a t i c r e s u l t s a n d d i v e r g e n c e c a n o c c u r . A s m a l l a m o u n t o f d a m p i n g ( e . g . C D A M P i ) b e t w e e n t h e t w o g r i d s m a y i m p r o v e s t a b i l i t y f o r s o m e p r o b l e m s .





• T h e t w o g r i d s l i s t e d o n t h e N L R G A P s h o u l d b e c o i n c i d e n t a n d h a v e p a r a l l e l d i s p l a c e m e n t c o o r d i n a t e s y s t e m s .

• T h e f r i c t i o n c a p a b i l i t y i s s o m e w h a t a r b i t r a r y i n s i g n . R e f e r r i n g t o F i g u r e 4 - 2 , a p o s i t i v e c o e f c i e n t o f f r i c t i o n i s c o n s i s t e n t w i t h s h a f t r o t a t i o n f r o m a x i s 1 t o w a r d s a x i s 2 ( c o u n t e r - c l o c k w i s e ) . I f t h e s h a f t i s r o t a t i n g i n t h e o p p o s i t e d i r e c t i o n , t h e n a n e g a t i v e c o e f c i e n t o f f r i c t i o n m u s t b e i n p u t i n o r d e r f o r t h e f r i c t i o n i n d u c e d l o a d s t o h a v e t h e p r o p e r s i g n s .

• I n S O L 1 2 9 , s e t t i n g A D J U S T = 0 o n t h e T S T E P N L e n t r y w i l l t u r n o f f t h e a d a p t i v e t i m e s t e p . T h i s i s u s e f u l i f l a r g e c o n t a c t s t i f f n e s s i s c a u s i n g a n e x c e s s i v e l y s m a l l t i m e s t e p .

• A s w i t h t h e N O L I N s , t h e f o r c e s a p p l i e d t o t h e N L R G A P g r i d s t o s i m u l a t e t h e r a d i a l c o n t a c t a r e b a s e d u p o n t h e r e l a t i v e d i s p l a c e m e n t s o f t h e g r i d s f r o m t h e p r e v i o u s t i m e s t e p . T h e r e f o r e , t h e l a r g e r t h e c o n t a c t s t i f f n e s s , t h e s m a l l e r t h e n e c e s s a r y t i m e s t e p s . T h e s m a l l e r t h e c o n t a c t s t i f f n e s s , t h e l a r g e r t h e p e n e t r a t i o n . U s e t h e s m a l l e s t c o n t a c t s t i f f n e s s p o s s i b l e t o m o d e l t h e c o n t a c t t o t h e a c c u r a c y d e s i r e d . T h e t i m e s t e p m a y n e e d t o b e d e c r e a s e d b y 1 0

t i m e s o r m o r e c o m p a r e d t o t h e s a m e m o d e l w i t h o u t N L R G A P s a n d N O L I N s .

• T h e N L R G A P i s b a s e d u p o n s m a l l d i s p l a c e m e n t t h e o r y . T h e r e f o r e , f o r m o s t a c c u r a t e r e s u l t s , e s p e c i a l l y w i t h r e s p e c t t o f r i c t i o n i n d u c e d t o r q u e , t h e c l e a r a n c e s h o u l d b e s m a l l r e l a t i v e t o t h e h o u s i n g d i a m e t e r . T h e f r i c t i o n i n d u c e d t o r q u e a p p l i e d t o g r i d s A a n d B w i l l b e e q u a l a n d o p p o s i t e i n d i r e c t i o n .


• T h e N L R G A P c a n o n l y b e p o s i t i o n e d i n t h e X Y , Y Z o r Z X p l a n e o f t h e d i s p l a c e m e n t c o o r d i n a t e s o f t h e r e f e r e n c e d g r i d s .

• T h e D O F i n t h e p l a n e o f t h e N L R G A P m u s t b e i n t h e d - s e t . T h i s m e a n s t h a t t h e s e D O F c a n n o t b e c o n s t r a i n e d b y S P C s o r b e d e p e n d e n t D O F o n M P C s a n d R B E t y p e e l e m e n t s .

• T h e N L R G A P c a n o n l y b e u s e d i n S O L u t i o n s e q u e n c e s 1 0 9 a n d 1 2 9 .

A d i a g r a m o f i n p u t d a t a l i n k a g e s i s s h o w n i n F i g u r e 4 - 3 . T h e g e n e r a l f o r m o f t h e t r a n s i e n t l o a d , P k j , f o r e a c h d e g r e e - o f - f r e e d o m , u j , i s :

E q u a t i o n 4 - 1 2 .

w h e r e t h e f a c t o r s a r e d e n e d b y v a r i o u s B u l k D a t a e n t r i e s a s s h o w n i n F i g u r e 4 - 4 .





F i g u r e 4 - 3 . D y n a m i c L o a d s f o r T r a n s i e n t A n a l y s i s





F i g u r e 4 - 4 . E x a m p l e o f C o m b i n i n g L o a d s




C h a p t e r

5 N o n l i n e a r A n a l y s i s T y p e s

• 3 - D S l i d e L i n e C o n t a c t A n a l y s i s

• N o n l i n e a r S t a t i c A n a l y s i s

• N o n l i n e a r B u c k l i n g A n a l y s i s

• N o n l i n e a r M o d a l A n a l y s i s

• N o n l i n e a r T r a n s i e n t R e s p o n s e A n a l y s i s

• N o n l i n e a r A n a l y s i s W i t h S u p e r e l e m e n t s

• G r i d P o i n t F o r c e B a l a n c e a n d E l e m e n t S t r a i n E n e r g y i n N o n l i n e a r S t a t i c A n a l y s i s




C h a p t e r 5 N o n l i n e a r A n a l y s i s T y p e s

N X N a s t r a n : p r o v i d e s t h e f o l l o w i n g t y p e s o f b a s i c n o n l i n e a r a n a l y s i s c a p a b i l i t i e s :

• 3 - D s l i d e l i n e c o n t a c t

• n o n l i n e a r s t a t i c

• n o n l i n e a r b u c k l i n g

• n o n l i n e a r m o d a l

• n o n l i n e a r t r a n s i e n t r e s p o n s e

• n o n l i n e a r a n a l y s i s w i t h s u p e r e l e m e n t s

5 . 1 3 - D S l i d e L i n e C o n t a c t A n a l y s i s

S l i d e l i n e c o n t a c t l e t s y o u m o d e l i n t e r a c t i o n s b e t w e e n t w o d e f o r m a b l e b o d i e s . O n e o f t h e d e f o r m a b l e b o d i e s i s c a l l e d t h e m a s t e r a n d t h e o t h e r i s c a l l e d t h e s l a v e . T h e m o d e l i n g o f i n t e r a c t i o n r e q u i r e s t h a t y o u d e n e c o n t a c t r e g i o n s i n t e r m s o f s l i d e l i n e s . Y o u m a y s p e c i f y a s m a n y s l i d e l i n e s a s y o u n e e d .

A s l i d e l i n e c o n t a c t r e g i o n c o n s i s t s o f a m a s t e r l i n e a n d a s l a v e l i n e a s s h o w n i n F i g u r e 5 - 1 . A m a s t e r l i n e i s a l i s t o f g r i d p o i n t s i n t h e t o p o l o g i c a l o r d e r o n t h e m a s t e r b o d y . A s l a v e l i n e i s a l i s t o f g r i d p o i n t s i n t h e t o p o l o g i c a l o r d e r o n t h e s l a v e b o d y . T h e g r i d p o i n t s o n t h e m a s t e r l i n e a r e c a l l e d t h e m a s t e r n o d e s , a n d o n t h e s l a v e l i n e a r e c a l l e d t h e s l a v e n o d e s . A l i n e s e g m e n t j o i n i n g t w o c o n s e c u t i v e m a s t e r n o d e s i s c a l l e d a m a s t e r s e g m e n t . T h u s a m a s t e r l i n e , i n g e n e r a l , c o n s i s t s o f n u m b e r o f m a s t e r s e g m e n t s . A m i n i m u m o f o n e m a s t e r s e g m e n t c o n s i s t i n g o f t w o m a s t e r n o d e s a r e r e q u i r e d f o r t h e m a s t e r l i n e . S i m i l a r t o m a s t e r l i n e , a s l a v e l i n e , i n g e n e r a l ,

c o n s i s t o f a n u m b e r o f s l a v e s e g m e n t s . H o w e v e r , a s l a v e l i n e m a y n o t h a v e a n y s l a v e s e g m e n t s ; i t m a y h a v e j u s t o n e s l a v e n o d e .

F i g u r e 5 - 1 . T y p i c a l S l i d e l i n e C o n t a c t R e g i o n




N o n l i n e a r A n a l y s i s T y p e s

N o t e

• A r r o w s s h o w p o s i t i v e d i r e c t i o n f r o r n o r d e r i n g n o d e s , c o u n t e r c l o c k w i s e f r o m m a s t e r l i n e t o s l a v e l i n e .

• X - Y p l a n e i s t h e s l i d e l i n e p l a n e . u n i t n o r m a l i n t h e Z - d i r e c t i o n i s t h e s l i d e l i n e p l a n e v e c t o r .

• S l a v e a n d m a s t e r s e g m e n t n o r m a l s m u s t f a c e e a c h o t h e r ; i . e . t h e n o r m a l s m u s t b e i n t h e o p p o s i t e d i r e c t i o n .

T h e m a s t e r a n d t h e s l a v e n o d e s i n a c o n t a c t r e g i o n m u s t l i e i n a p l a n e c a l l e d t h e s l i d e l i n e p l a n e . T h e s l i d e l i n e p l a n e i s d e n e d b y a v e c t o r n o r m a l t o t h e p l a n e c a l l e d t h e s l i d e l i n e p l a n e v e c t o r . T h e m a s t e r a n d s l a v e c a n h a v e l a r g e r e l a t i v e m o t i o n s w i t h i n t h e s l i d e l i n e p l a n e . H o w e v e r , r e l a t i v e m o t i o n o u t s i d e t h e s l i d e l i n e p l a n e a r e i g n o r e d , t h e r e f o r e , m u s t b e s m a l l c o m p a r e d t o a t y p i c a l m a s t e r s e g m e n t . T h u s , s l i d e l i n e c o n t a c t i s i d e a l f o r m o d e l l i n g i n t e r a c t i o n s b e t w e e n t w o b o d i e s w h i c h m a y c o m e i n c o n t a c t i n s p e c i c p l a n e s . N X N a s t r a n c h e c k s t o m a k e s u r e t h a t

i n t h e i n i t i a l g e o m e t r y a l l t h e n o d e s o f a c o n t a c t r e g i o n l i e i n t h e s l i d e l i n e p l a n e . H o w e v e r , n o s u c h c h e c k i s m a d e d u r i n g a n a l y s i s .

I n g e n e r a l , c o n t a c t i s d e t e r m i n e d o n l y f o r s l a v e n o d e s a n d t h e m a s t e r l i n e . T h i s m a y r e s u l t i n m a s t e r n o d e s p e n e t r a t i n g t h e s l a v e l i n e . H o w e v e r , t h e e r r o r i n v o l v e d d e p e n d s o n l y o n t h e m e s h d i s c r e t i z a t i o n . A t t h e e x p e n s e o f i n c r e a s e i n C P U c o s t , a u s e r m a y w i s h t o d e t e r m i n e c o n t a c t b e t w e e n m a s t e r n o d e s a n d t h e s l a v e l i n e i n a d d i t i o n t o d e t e r m i n i n g c o n t a c t b e t w e e n s l a v e n o d e s a n d t h e m a s t e r l i n e . T h i s i s c a l l e d s y m m e t r i c p e n e t r a t i o n . T h u s , f o r s y m m e t r i c p e n e t r a t i o n , n o d i s t i n c t i o n i s m a d e b e t w e e n s l a v e a n d m a s t e r .

T o d e t e r m i n e c o n t a c t b e t w e e n t h e s l a v e n o d e s a n d t h e m a s t e r l i n e , a l o c a l c o o r d i n a t e s y s t e m i s c r e a t e d f o r e a c h m a s t e r s e g m e n t . T h e t a n g e n t d i r e c t i o n f o r t h e m a s t e r s e g m e n t i s g i v e n b y t h e v e c t o r f r o m i t s r s t n o d e t o t h e s e c o n d n o d e . R e m e m b e r t h a t t h e m a s t e r n o d e s a r e s p e c i e d i n t h e t o p o l o g i c a l o r d e r . T h e n o r m a l d i r e c t i o n t o t h e m a s t e r s e g m e n t i s d e t e r m i n e d b y t h e c r o s s

p r o d u c t b e t w e e n t h e s l i d e l i n e p l a n e v e c t o r a n d t h e t a n g e n t v e c t o r . T h i s n o r m a l d i r e c t i o n m u s t p o i n t f r o m m a s t e r l i n e t o t h e s l a v e l i n e . T h i s i s b e c a u s e N X N a s t r a n d e t e r m i n e s t h e c o n t a c t b e t w e e n s l a v e n o d e s a n d t h e m a s t e r l i n e b y m e a s u r i n g h o w c l o s e t h e s l a v e n o d e s a r e t o t h e m a s t e r s e g m e n t i n t h i s n o r m a l d i r e c t i o n .

F o r s y m m e t r i c p e n e t r a t i o n , s i m i l a r t o t h e m a s t e r s e g m e n t s , t a n g e n t a n d n o r m a l d i r e c t i o n s a r e a l s o d e n e d f o r s l a v e s e g m e n t s . N o w , t h e n o r m a l s o f m a s t e r s e g m e n t s a n d s l a v e s e g m e n t s m u s t f a c e e a c h o t h e r a s s h o w n i n F i g u r e 5 - 1 . T h i s i s g e n e r a l l y a c c o m p l i s h e d b y t r a v e r s i n g f o r m m a s t e r l i n e t o s l a v e l i n e i n a c o u n t e r - c l o c k w i s e f a s h i o n , o r c l o c k w i s e f a s h i o n d e p e n d i n g o n w h e t h e r t h e s l i d e l i n e p l a n e v e c t o r f o r m s a r i g h t h a n d o r a l e f t h a n d c o o r d i n a t e s y s t e m w i t h t h e s l i d e l i n e p l a n e . I t i s y o u r r e s p o n s i b i l i t y t o m a k e s u r e t h a t t h e n o r m a l s f a c e e a c h o t h e r . N X N a s t r a n c h e c k s i n d i r e c t l y t o m a k e s u r e t h a t t h e n o r m a l s f a c e e a c h o t h e r b y c a l c u l a t i n g t h e i n i t i a l g a p b e t w e e n t h e t w o b o d i e s . H o w e v e r , t h i s i s n o t a f o o l p r o o f c h e c k , e s p e c i a l l y w h e n t h e r e i s n o i n i t i a l c l e a r a n c e .

I n i t i a l p e n e t r a t i o n b e t w e e n t h e t w o b o d i e s i s n o t a l l o w e d . T h e i n i t i a l g a p s b e t w e e n t h e s l a v e n o d e s a n d t h e m a s t e r l i n e a r e c a l c u l a t e d b a s e d o n t h e c o o r d i n a t e s s p e c i e d f o r t h e s l a v e a n d t h e m a s t e r n o d e s . T h u s , i f t h e r e i s n o i n i t i a l g a p , N X N a s t r a n m a y c a l c u l a t e i n i t i a l p e n e t r a t i o n i f t h e c o o r d i n a t e s a r e n o t s p e c i e d a c c u r a t e l y . T o a v o i d h a v i n g y o u c a l c u l a t e t h e c o o r d i n a t e s v e r y a c c u r a t e l y , N X N a s t r a n a d j u s t s t h e c o o r d i n a t e s a u t o m a t i c a l l y a n d i s s u e s a w a r n i n g m e s s a g e i f t h e i n i t i a l p e n e t r a t i o n o f a s l a v e n o d e i s l e s s t h a n t e n p e r c e n t o f t h e l e n g t h o f t h e m a s t e r s e g m e n t t o w h i c h i t p r o j e c t s . H o w e v e r , i f t h e i n i t i a l p e n e t r a t i o n i s l a r g e r t h e n t e n p e r c e n t , t h e a n a l y s i s i s t e r m i n a t e d a n d a f a t a l m e s s a g e i s i s s u e d . S o m e t i m e s , t h e a n a l y s i s m a y b e t e r m i n a t e d w i t h t h i s m e s s a g e e v e n t h o u g h t h e r e i s a l a r g e i n i t i a l g a p b e t w e e n t h e t w o b o d i e s . T h i s i m p l i e s t h a t t h e n o r m a l s o f m a s t e r o r s l a v e s e g m e n t s a r e n o t p o i n t i n g i n t h e c o r r e c t d i r e c t i o n .





O n c e a c o n t a c t b e t w e e n a n o d e a n d a b o d y i s d e t e c t e d , a t h r e e n o d e s l i d e l i n e e l e m e n t a s s h o w n i n F i g u r e 5 - 2 i s a u t o m a t i c a l l y c r e a t e d . T h e r s t n o d e o f t h i s e l e m e n t i s t h e s l a v e n o d e a n d t h e l a s t t w o n o d e s a r e t h e m a s t e r n o d e s o f t h e m a s t e r s e g m e n t w i t h w h i c h t h e s l a v e n o d e i s i n c o n t a c t . T h e s l a v e n o d e i s f o r c e d t o s l i d e o n t h e m a s t e r l i n e a f t e r c o n t a c t a n d m u s t r e m a i n o n t h e m a s t e r l i n e u n t i l a t e n s i l e f o r c e d e v e l o p s .

F i g u r e 5 - 2 . G e o m e t r y a n d D e n i t i o n o f a T y p i c a l T h r e e N o d e S l i d e L i n e E l e m e n t

I n N X N a s t r a n t h e c o n t a c t a n d t r a c t i o n f o r c e s / s t r e s s e s a r e a l w a y s a s s o c i a t e d w i t h s l a v e n o d e s . I n o r d e r t o c o m p u t e t h e c o n t a c t a n d t r a c t i o n s t r e s s e s , a n a r e a i s a s s o c i a t e d w i t h e a c h s l a v e n o d e , b a s e d o n t h e c o n t r i b u t o r y l e n g t h a n d t h e w i d t h / t h i c k n e s s f r o m t h e a d j a c e n t s l a v e s e g m e n t s .





T h e r e f o r e , y o u n e e d t o s p e c i f y w i d t h s a s s o c i a t e d w i t h s l a v e l i n e i n a t h r e e d i m e n s i o n a l m o d e l o r t h i c k n e s s a s s o c i a t e d w i t h s l a v e l i n e i n a t w o d i m e n s i o n a l m o d e l .

Y o u c a n r e q u e s t t o o u t p u t r e s u l t s f o r a n y n u m b e r o f s l a v e n o d e s i n a n y n u m b e r o f s l i d e l i n e c o n t a c t r e g i o n s . T h e o u t p u t f o r a s l a v e n o d e c o n s i s t s o f ( a ) t h e s l i d e l i n e c o n t a c t r e g i o n

i d e n t i c a t i o n n u m b e r , ( b ) t h e m a s t e r s e g m e n t t o w h i c h i t p r o j e c t s , ( c ) t h e p a r a m e t r i c s u r f a c e c o o r d i n a t e t o i d e n t i f y t h e e x a c t p r o j e c t i o n o f s l a v e n o d e r e l a t i v e t o t h e t w o m a s t e r n o d e s o f t h e m a s t e r s e g m e n t , ( d ) c o n t a c t a n d t a n g e n t i a l f o r c e s a n d s t r e s s e s i n t h e e l e m e n t c o o r d i n a t e s y s t e m , a n d ( e ) a s l i p r a t i o t o i n d i c a t e w h e t h e r t h e s l a v e n o d e i s s t i c k i n g , s l i p p i n g o r s l i d i n g . T h e s l i p r a t i o i s d e n e d a s t h e ( s h e a r f o r c e ) / ( c o e f c i e n t o f f u n c t i o n * n o r m a l f o r c e ) . T h u s , a r a t i o o f 0 . i n d i c a t e s n o s h e a r o r n o c o n t a c t . A s l i p r a t i o o f 1 . i n d i c a t e s s l i p p i n g . A v a l u e b e t w e e n 0 . a n d 1 . i s a n o r m a l i z e d v a l u e w h i c h i n d i c a t e s h o w c l o s e t h e v a l u e o f t h e s h e a r f o r c e i s t o i m p e n d i n g s l i p p i n g .

T h e s l i d e l i n e c o n t a c t f o r m u l a t i o n i s b a s e d o n t h e p e n a l t y m e t h o d w h i c h u s e s a n a r t i c i a l s t i f f n e s s v a l u e . H o w e v e r , y o u d o n ’ t n e e d t o p r o v i d e p e n a l t y v a l u e s . N X N a s t r a n a u t o m a t i c a l l y c a l c u l a t e s t h e a p p r o p r i a t e n u m b e r s . Y o u h a v e t h e o p t i o n t o s c a l e t h e c a l c u l a t e d p e n a l t y v a l u e s . I t i s p o s s i b l e t h a t t h e a u t o m a t i c a l l y c a l c u l a t e d p e n a l t y v a l u e s , m a y s o m e t i m e s , c a u s e c o n v e r g e n c e d i f c u l t i e s . H o w e v e r , y o u c a n o v e r c o m e t h e c o n v e r g e n c e p r o b l e m s b y r e s t a r t i n g t h e

a n a l y s i s f r o m a n y p r e v i o u s c o n v e r g e d s o l u t i o n a n d s c a l i n g d o w n t h e p e n a l t y v a l u e s . G e n e r a l l y , i t i s r e c o m m e n d e d t o s c a l e d o w n t h e p e n a l t y v a l u e s b y o n e o r d e r o f m a g n i t u d e a t a t i m e .

D i a g n o s t i c O u t p u t

D i a g n o s t i c o u t p u t r e l a t e d t o 3 - D s l i d e l i n e c o n t a c t c a n b e o b t a i n e d b y s e t t i n g t h e e x e c u t i v e c o n t r o l s t a t e m e n t D I A G t o 3 5 .

D I A G 3 5 P r i n t s c u r r e n t c o o r d i n a t e s o f c o n t a c t n o d e a n d o t h e r i n f o r m a t i o n a s s o c i a t e d w i t h s l a v e n o d e s t o d e b u g s l i d e l i n e c o n t a c t a l g o r i t h m f o r e a c h i t e r a t i o n f o r s l i d e l i n e c o n t a c t .


T h e s l i d e l i n e c a p a b i l i t y i s o n l y a v a i l a b l e f o r S O L 1 0 6 a n d S O L 1 2 9 . F o r a l l o t h e r s o l u t i o n s e q u e n c e s a l l t h e B u l k D a t a e n t r i e s a n d C a s e C o n t r o l c o m m a n d s r e l a t e d t o s l i d e l i n e c o n t a c t a r e i g n o r e d .

C o n t a c t s t r e s s o r f o r c e f o r a n y s l a v e n o d e c o u l d b e p l o t t e d u s i n g X Y P L O T B O U T R E S P c o m m a n d . T h e g r i d I D i s t h e s l a v e n o d e e x t e r n a l g r i d I D . H o w e v e r , t h e s l a v e n o d e r e q u e s t e d f o r p l o t t i n g m u s t a l s o b e r e q u e s t e d f o r p r i n t o u t v i a t h e B O U T P U T C a s e C o n t r o l c o m m a n d .

D e n i n g 3 D S l i d e l i n e C o n t a c t i n t h e I n p u t F i l e

T a b l e 5 - 1 s h o w s h o w t h e s l i d e l i n e i n p u t d a t a i s g i v e n t o N X N a s t r a n t h r o u g h e x e c u t i v e a n d c a s e c o n t r o l a s w e l l a s t h e b u l k d a t a e n t r i e s . F o r a c o m p l e t e l i s t o f t h e s e i n p u t e n t r i e s , s e e t h e N X N a s t r a n Q u i c k R e f e r e n c e G u i d e .

T a b l e 5 - 1 . N X N a s t r a n I n p u t f o r N o n l i n e a r S l i d e l i n e C o n t a c t

S l i d e l i n e I n p u t N X N a s t r a n I n p u t

A n a l y s i s T y p e a n d D i a g n o s t i c s R e q u e s t

E x e c u t i v e C o n t r o l P a r a m e t e r s :





T a b l e 5 - 1 . N X N a s t r a n I n p u t f o r N o n l i n e a r S l i d e l i n e C o n t a c t

S l i d e l i n e I n p u t N X N a s t r a n I n p u t

• N o n l i n e a r S t a t i c s

• N o n l i n e a r D y n a m i c s

• S l i d e l i n e D i a g n o s t i c s

• S O L 1 0 6

• S O L 1 2 9

• D I A G 3 5 – P r o v i d e s e x t e n d e d s l i d e l i n e d i a g n o s t i c s o u t p u t .

S l i d e l i n e O u t p u t R e q u e s t C a s e C o n t r o l P a r a m e t e r s :

B O U T P U T – S e l e c t s t h e c o n t a c t r e g i o n s f o r h i s t o r y o u t p u t .

B u l k D a t a E n t r i e s :

C o n t a c t P a r a m e t e r s B C O N P – D e n e s t h e p a r a m e t e r s f o r c o n t a c t b e t w e e n t w o b o d i e s .

B o u n d a r y L i n e S e g m e n t s B L S E G – D e n e s t h e c u r v e , w h i c h c o n s i s t s o f a n u m b e r o f l i n e s e g m e n t s v i a g r i d p o i n t n u m b e r s t h a t m a y c o m e i n c o n t a c t w i t h o t h e r b o d y .

B o u n d a r y L i n e S e g m e n t s

W i d t h / T h i c k n e s s

B W I D T H – D e n e s w i d t h / t h i c k n e s s f o r l i n e s e g m e n t s i n 3 - D / 2 - D s l i d e l i n e c o n t a c t d e n e d i n t h e c o r r e s p o n d i n g B L S E G B u l k D a t a e n t r y .

C o n t a c t F r i c t i o n B F R I C – D e n e s f r i c t i o n a l p r o p e r t i e s b e t w e e n t w o b o d i e s i n c o n t a c t .

C o n t a c t O u t p u t B O U T P U T – D e n e s t h e s l a v e n o d e s a t w h i c h t h e o u t p u t i s r e q u e s t e d .

U s e r C o n t r o l a n d R e s u l t s P r o c e s s i n g ; P a r a m e t e r s

A D P C O N – ( D e f a u l t = 1 . 0 ) ; A u t o m a t i c a l l y c a l c u l a t e d p e n a l t y v a l u e s c a n b e s c a l e d b y s p e c i f y i n g a r e a l v a l u e f o r t h e A D P C O N . T h i s i s u s e f u l f o r c h a n g i n g t h e p e n a l t y v a l u e s o n r e s t a r t . T h i s w i l l c h a n g e t h e p e n a l t y v a l u e t o b e e q u a l t o a n u m b e r c a l c u l a t e d b y N X N a s t r a n t i m e s S F A C v a l u e s p e c i e d i n B C O N P B u l k D a t a e n t r y t i m e s | A D P C O N | . A D P C O N i s a p p l i e d t o a l l t h e c o n t a c t r e g i o n s .

T h e s l i d e l i n e c o n t a c t f o r m u l a t i o n i s b a s e d o n t h e p e n a l t y m e t h o d , w h i c h u s e s a n a r t i c i a l s t i f f n e s s v a l u e . N X N a s t r a n w i l l a u t o m a t i c a l l y c a l c u l a t e t h e a p p r o p r i a t e n u m b e r s b a s e d o n l o c a l s t i f f n e s s . Y o u h a v e t h e o p t i o n t o s c a l e t h e c a l c u l a t e d p e n a l t y v a l u e s . T h e a u t o m a t i c a l l y c a l c u l a t e d p e n a l t y v a l u e s m a y s o m e t i m e s c a u s e c o n v e r g e n c e d i f c u l t i e s . H o w e v e r , y o u c a n

o v e r c o m e t h e c o n v e r g e n c e p r o b l e m s b y r e s t a r t i n g t h e a n a l y s i s f r o m a n y p r e v i o u s c o n v e r g e d s o l u t i o n a n d s c a l i n g d o w n t h e p e n a l t y v a l u e . G e n e r a l l y , y o u s h o u l d d e c r e a s e t h e p e n a l t y v a l u e s b y o n e o r d e r o f m a g n i t u d e a t a t i m e .

3 D S l i d e l i n e C o n t a c t E x a m p l e

A n e l a s t i c s p h e r e i n c o n t a c t w i t h a r i g i d p l a n e i s p r e s s e d d o w n w i t h a u n i f o r m p r e s s u r e a t t h e t o p . N o f r i c t i o n i s a s s u m e d b e t w e e n t h e s p h e r e a n d t h e r i g i d p l a n e . T h e a n a l y t i c a l s o l u t i o n t o t h i s p r o b l e m w e r e r s t p u b l i s h e d b y T i m o s h e n k o , S . P . , a n d G o o d i e r , J . N . , T h e o r y o f E l a s t i c i t y , M c G r a w - H i l l B o o k C o m p a n y , 1 9 7 0 , p g s . 4 0 9 - 4 2 0 .





F o r d e m o n s t r a t i o n p u r p o s e s , a s y m m e t r i c h a l f o f a t e n d e g r e e s e c t o r o f t h e s p h e r e i s m o d e l e d b y C H E X A a n d C P E N T A e l e m e n t s w i t h a x i s y m m e t r i c b o u n d a r y c o n d i t i o n s ( s e e F i g u r e 5 - 3 ) . U n i f o r m v e r t i c a l d i s p l a c e m e n t s o f t h e s y m m e t r y p l a n e i s m a i n t a i n e d b y t y i n g t h e v e r t i c a l d i s p l a c e m e n t s o f a l l t h e g r i d p o i n t s o n t h e t o p p l a n e ( l o a d i n g p l a n e ) b y M P C r e l a t i o n s t o t h e o n e a t t h e c e n t e r l i n e ( z - a x i s ) . A t o t a l l o a d o f 2 1 6 0 i s a p p l i e d a t t h e t o p o f s p h e r e . B e c a u s e o n l y a t e n d e g r e e s e c t o r i s m o d e l e d a n d b e c a u s e o f t h e M P C r e l a t i o n s h i p s , a l o a d o f o n l y 6 0 i s a p p l i e d a t t h e t o p c e n t e r g r i d p o i n t . T h i s l o a d i s a p p l i e d i n t h r e e s u b c a s e s w i t h v e l o a d i n c r e m e n t s p e r s u b c a s e .

F i g u r e 5 - 3 . M o d e l o f a S p h e r e i n C o n t a c t w i t h R i g i d P l a n e

T o m o d e l t h e c o n t a c t , t w o s l i d e l i n e r e g i o n s a r e d e n e d v i a t h e B C O N P B u l k D a t a e n t r y . T h e r s t s l i d e l i n e c o n t a c t r e g i o n m o d e l s t h e c o n t a c t b e t w e e n t h e o u t e r g r i d p o i n t s o f t h e s p h e r e a t q = 0 °





a n d t h e r i g i d p l a n e a s s h o w n i n F i g u r e 5 - 4 . T h e o u t e r g r i d p o i n t s o f t h e s p h e r e ( 1 4 8 , 1 1 6 , 1 1 4 , 1 1 2 , 1 1 0 , 1 0 8 , 1 0 5 ) a r e u s e d t o d e n e t h e s l a v e l i n e . T o d e n e t h e m a s t e r l i n e a g r i d p o i n t 3 1 3 a t q = 0 ° i s d e n e d o n t h e r i g i d p l a n e . T h e m a s t e r l i n e i s d e n e d b y t h e l o w e r m o s t c e n t e r g r i d p o i n t o f t h e s p h e r e ( g r i d p o i n t 1 0 6 ) a n d t h e g r i d p o i n t 3 1 3 . N o t i c e t h a t t h e g r i d p o i n t s o n t h e m a s t e r a n d s l a v e a r e d e n e d i n t o p o l o g i c a l o r d e r t r a v e r s i n g i n c o u n t e r - c l o c k w i s e f o r m t h e m a s t e r l i n e t o t h e s l a v e l i n e ( s e e B C O N P w i t h I D = 1 0 , B L S E G w i t h I D ’ s = 1 0 a n d 2 0 i n t h e e x a m p l e i n p u t ) . T h i s i s b e c a u s e t h e s l i d e l i n e p l a n e i s t h e R - Z p l a n e a t q = 0 ° a n d t h e s l i d e l i n e p l a n e v e c t o r f o r m s a r i g h t h a n d s y s t e m w i t h t h e s l i d e l i n e p l a n e ( s e e C O R D 2 R w i t h I D = 1 i n t h e e x a m p l e l i s t i n g ) .

F i g u r e 5 - 4 . S l i d e L i n e C o n t a c t R e g i o n O n e

T h e s e c o n d s l i d e l i n e c o n t a c t r e g i o n m o d e l s t h e c o n t a c t b e t w e e n t h e o u t e r g r i d p o i n t s o f t h e s p h e r e a t q = 0 ° a n d t h e r i g i d p l a n e a s s h o w n i n F i g u r e 5 - 5 . A n o t h e r g r i d p o i n t 3 1 4 a t q = 1 0 ° o n t h e r i g i d p l a n e i s d e n e d t o m o d e l t h e m a s t e r l i n e . T h i s t i m e w e t r a v e r s e c l o c k w i s e f o r m t h e m a s t e r l i n e t o t h e s l a v e l i n e i n t o p o l o g i c a l o r d e r ( s e e B C O N P w i t h I D = 2 0 a n d B L S E G w i t h I D ’ s = 3 0 a n d 4 0 i n t h e e x a m p l e i n p u t ) b e c a u s e t h e s l i d e l i n e p l a n e v e c t o r f o r m s a l e f t h a n d s y s t e m w i t h t h e s l i d e l i n e p l a n e ( s e e C O R D 2 R w i t h I D = 3 i n t h e e x a m p l e i n p u t ) .





F i g u r e 5 - 5 . S l i d e L i n e C o n t a c t R e g i o n T w o

T h e m o s t i m p o r t a n t i s s u e i s t o m a k e s u r e t h a t t h e n o r m a l s o f m a s t e r a n d s l a v e l i n e p o i n t t o w a r d s e a c h o t h e r . T h e n o r m a l t o a s e g m e n t i s o b t a i n e d b y e 3 × t . e 3 i s t h e u n i t v e c t o r i n t h e z - d i r e c t i o n o f t h e c o o r d i n a t e s y s t e m u s e d i n e l d C I D o f B C O N P B u l k D a t a e n t r y . t i s t h e t a n g e n t i a l v e c t o r f o r m n o d e 1 t o n o d e 2 o f t h e l i n e i n t h e o r d e r s p e c i e d i n t h e B L S E G B u l k D a t a e n t r y .

T I M E 3 0 0 $

S O L 1 0 6 $ C E N D

$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ H E R T Z I A N C O N T A C T O F A S P H E R E O N A F L A T S U R F A C E $

$ T W O U N S Y M M E T R I C A L S L I D E L I N E S $

$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ T I T L E = N O N L I N E A R S T A T I C C O N T A C T O F A S P H E R E O N A R I G I D P L A N E W I T H O U T F R I C T I O N

S E T 3 3 3 = 1 0 3 , 1 1 7 , 1 2 4 , 1 3 1 , 1 3 8 , 1 5 1 , 1 5 2 , 1 0 5 , 1 0 8 , 1 1 0 , 1 1 2 , 1 1 4 , 1 1 6 , 1 4 8 , 1 4 9 , 1 5 0 , 1 6 8 , 1 6 7

S E T 4 4 4 = 1 0 6 , 3 0 1 T H R U 3 1 4 S E T 5 5 5 = 9 0 0 1 , 9 0 0 2

$ $ u s e B O U T P U T t o r e q u e s t o u t p u t f o r c o n t a c t r e g i o n s

$ B O U T P U T ( S O R T 1 ) = A L L

$ D I S P = 3 3 3

S P C F = 4 4 4

S T R E S S = 5 5 5 S P C = 4

M P C = 1 0 0 S U B C A S E 1 $ 2 0 L B S

N L P A R M = 4 1 0





L O A D = 1 0 0 S U B C A S E 2 $ 4 0 L B S

N L P A R M = 4 2 0 L O A D = 2 0 0

S U B C A S E 3 $ 6 0 L B S N L P A R M = 4 3 0

L O A D = 3 0 0

O U T P U T ( X Y P L O T )

X T I T L E = L O A D A F C T O R Y T I T L E = C O N T A C T N O R M A L F O R C E X Y P L O T B O U T P U T R E S P / 1 0 8 ( 6 )

X Y P L O T B O U T P U T R E S P / 1 0 5 ( 6 ) Y T I T I L E B O U T P U T E L E M E N T S N O R M A L S T R E S S - X

X Y P L O T B O U T P U T R E S P / 9 0 0 1 ( 6 ) , 9 0 0 2 ( 6 ) B E G I N B U L K

$ $ S L I D E L l N E C O N T A C T r e l a t e d b u l k d a t a e n t r i e s

$

B C O N P , 1 , 1 0 , 2 0 , , , , 1 , 1 B C O N P , 2 , 3 0 , 4 0 , , , , 1 , 3

B L S E G , 1 0 , 1 4 8 , 1 1 6 , 1 1 4 , 1 1 2 , 1 1 0 , 1 0 8 , 1 0 5 $ B L S E G , 2 0 , 1 0 6 , 3 1 3 $

B L S E G , 3 0 , 1 7 0 , 1 7 2 , 1 7 4 , 1 7 6 , 1 7 8 , 1 8 0 , 2 0 8 $ B L S E G , 4 0 , 3 1 4 , 1 0 6 $

$ $ C O O R D I N A T E S Y S T E M F O R S L I D E L I N E P L A N E V E C T O R

$ C O R D 2 R , 1 , 2 , 0 . , . 0 , . 0 , 1 . , - 9 0 . , . 0 , + C 2

+ C 2 , 1 . , 0 . , 0 . 0

C O R D 2 R , 3 , 2 , 0 . , 0 . 0 , . 0 , 1 . , 1 0 0 . , . 0 , + C 3

+ C 3 , 1 . , 0 . , . 0

L i s t i n g 5 - 1 . S l i d e l i n e E x a m p l e P r o b l e m o f S p h e r e C o n t a c t i n g a F l a t P l a t e

O u t p u t F o r m a t s

S o r t 1 O u t p u t

S O R T 2 O u t p u t





5 . 2 N o n l i n e a r S t a t i c A n a l y s i s

I n N X N a s t r a n , y o u c a n p e r f o r m n o n l i n e a r s t a t i c a n a l y s i s u s i n g S O L s 1 0 6 , o r 1 5 3 . M o d e l i n g o p t i o n s a r e c o m p a t i b l e w i t h l i n e a r a n a l y s i s . F o r e x a m p l e , y o u c a n c o n v e r t a S O L 1 0 1 m o d e l t o a S O L 1 0 6 a n a l y s i s b y a d d i n g a f e w b u l k d a t a e n t r i e s r e l e v a n t t o t h e n o n l i n e a r a n a l y s i s t o

y o u r i n p u t l e .

T h e s e n o n l i n e a r p r o p e r t i e s a n d / o r e f f e c t s a r e d e n e d b y n o n l i n e a r m a t e r i a l d a t a ( e . g . , M A T S 1 , M A T H P , C R E E P , a n d T A B L E S 1 ) , g a p e l e m e n t s ( G A P ) , s l i d e l i n e c o n t a c t ( B C O N P , B L S E G a n d B F R I C ) f o r n o n l i n e a r i n t e r f a c e , a n d P A R A M e t e r L G D I S P f o r g e o m e t r i c n o n l i n e a r i t y .

C a s e C o n t r o l

E a c h s u b c a s e d e n e s a s e t o f l o a d i n g a n d b o u n d a r y c o n d i t i o n s w h i c h c a n b e s u b d i v i d e d i n t o a n u m b e r o f i n c r e m e n t s . L o a d i n g c o n d i t i o n s a r e s p e c i e d u s i n g t h e s a m e l o a d s a s i n l i n e a r s t a t i c a n a l y s i s , i . e . , F O R C E i , M O M E N T i , P L O A D i , G R A V , T E M P , e t c . C o n s t r a i n t s c a n b e s p e c i e d u s i n g S P C s a n d M P C s , w h i c h c a n b e c h a n g e d f r o m s u b c a s e t o s u b c a s e . T h e e n f o r c e d m o t i o n

c a n b e a p p l i e d u s i n g S P C D o r n o n z e r o v a l u e i n S P C . T h e s p e c i e d v a l u e f o r S P C D o r S P C i s a m e a s u r e o f d i s p l a c e m e n t w i t h r e f e r e n c e t o t h e u n d e f o r m e d p o s i t i o n . T h e e n f o r c e d m o t i o n i s a l s o s u b d i v i d e d i n t h e s u b c a s e l i k e t h e i n c r e m e n t a l l o a d s . T h e u n i q u e d a t a r e q u i r e d f o r S O L 1 0 6 i s s u p p l i e d o n t h e N L P A R M e n t r y , w h i c h c o n t r o l s t h e i n c r e m e n t a l a n d i t e r a t i v e s o l u t i o n p r o c e s s e s . T h e s n a p - t h r o u g h a n a l y s i s o r p o s t - b u c k l i n g a n a l y s i s c a n b e p e r f o r m e d u s i n g a r c - l e n g t h m e t h o d s w h i c h a r e c o n t r o l l e d b y p a r a m e t e r s i n t h e N L P C I B u l k D a t a e n t r y .

T h e l o a d s t e p i s l a b e l e d b y t h e c u m u l a t i v e l o a d f a c t o r . T h e l o a d f a c t o r v a r i e s f r o m 0 t o 1 i n e a c h s u b c a s e . T h e n t h e l o a d s t e p w i l l e n d w i t h 1 , 2 , 3 , e t c . f o r t h e r s t , t h e s e c o n d a n d t h e t h i r d s u b c a s e , r e s p e c t i v e l y . T h e r e a r e a d v a n t a g e s t o d i v i d e t h e e n t i r e l o a d i n g h i s t o r y i n t o m a n y s u b c a s e s s o t h a t e a c h s u b c a s e d o e s n o t h a v e e x c e s s i v e n u m b e r o f i n c r e m e n t s , e . g . , n o t t o e x c e e d 2 0 s t e p s . T h e d a t a b l o c k s c o n t a i n i n g s o l u t i o n s c a n b e g e n e r a t e d a t e a c h i n c r e m e n t o r t h e e n d o f e a c h s u b c a s e d e p e n d i n g o n t h e i n t e r m e d i a t e o u t p u t o p t i o n s p e c i e d i n t h e I N T O U T e l d o f

N L P A R M d a t a e n t r y . D a t a b l o c k s a r e s t o r e d i n t h e d a t a b a s e f o r o u t p u t p r o c e s s a n d r e s t a r t s . A s s u c h , t h e d a t a b a s e s i z e o r t h e o u t p u t q u a n t i t i e s a r e b e t t e r c o n t r o l l e d w i t h m u l t i p l e s u b c a s e s . F u r t h e r m o r e , t h e n o n p r o p o r t i o n a l l o a d i n g c a n o n l y b e a c h i e v e d b y u s i n g m u l t i p l e s u b c a s e s .

O u t p u t r e q u e s t s f o r e a c h s u b c a s e a r e p r o c e s s e d i n d e p e n d e n t l y . R e q u e s t e d o u t p u t q u a n t i t i e s f o r a l l t h e s u b c a s e s a r e a p p e n d e d a f t e r t h e c o m p u t a t i o n a l p r o c e s s f o r a c t u a l o u t p u t o p e r a t i o n . A v a i l a b l e o u t p u t s a r e D I S P L A C E M E N T , O L O A D , S T R E S S , F O R C E , G P S T R E S S , a n d S P C F O R C E . H o w e v e r , F O R C E a n d G P S T R E S S o u t p u t a r e a v a i l a b l e o n l y f o r l i n e a r e l e m e n t s . I t s h o u l d b e n o t e d t h a t t h e S T R E S S o r S T R E S S ( P L O T ) c o m m a n d w i l l c a u s e t h e n o n l i n e a r s t r e s s t o b e p r i n t e d . I n o t h e r w o r d s , t h e S T R E S S ( P L O T ) c o m m a n d s u p p r e s s e s t h e c o m b i n e d l i n e a r / n o n l i n e a r s t r e s s o u t p u t o n l y .

R e s t a r t s a r e c o n t r o l l e d b y p a r a m e t e r s ( L O O P I D a n d S U B I D ) w h i c h c a n b e s p e c i e d e i t h e r i n t h e C a s e C o n t r o l S e c t i o n o r B u l k D a t a S e c t i o n . S o m e o p t i o n a l p a r a m e t e r s ( A D P C O N ,

B U C K L E , L A N G L E , M A X L P , N M L O O P ) a r e p r o v i d e d f o r a d d i t i o n a l c o n t r o l o r c a p a b i l i t i e s . A l l t h e s u p e r e l e m e n t m o d e l g e n e r a t i o n o p t i o n s a n d m a t r i x r e d u c t i o n o p t i o n s a r e a l l o w e d f o r t h e l i n e a r p o r t i o n o f t h e s t r u c t u r e .

R e s t r i c t i o n s a n d L i m i t a t i o n s i n S O L 1 0 6

• O n l y C R O D , C O N R O D , C T U B E , C B E A M , C G A P , C Q U A D 4 , C Q U A D 8 , C Q U A D X , C T R I A 3 , C T R I A 6 , C T R I A X , C H E X A , C P E N T A , a n d C T E T R A e l e m e n t s m a y b e d e n e d w i t h m a t e r i a l o r g e o m e t r i c n o n l i n e a r p r o p e r t i e s . A l l o t h e r e l e m e n t s w i l l b e t r e a t e d a s h a v i n g s m a l l d i s p l a c e m e n t s a n d l i n e a r m a t e r i a l s .





• T h e C B E A M i s a s s u m e d t o h a v e i t s n o n l i n e a r r e g i o n c o n c e n t r a t e d a t t h e e n d s . T a p e r i s a l l o w e d b u t p i n j o i n t s a r e i l l e g a l f o r m a t e r i a l n o n l i n e a r i t y . H o w e v e r , p i n j o i n t s c a n b e u s e d i f t h e o n l y n o n l i n e a r i t y i s g e o m e t r i c .

• C o n s t r a i n t s a p p l y o n l y t o t h e n o n - r o t a t e d d i s p l a c e m e n t s a t a g r i d p o i n t . I n p a r t i c u l a r , m u l t i p o i n t c o n s t r a i n t s a n d r i g i d e l e m e n t s m a y c a u s e p r o b l e m s i f t h e c o n n e c t e d g r i d p o i n t s u n d e r g o l a r g e m o t i o n s . H o w e v e r , a l s o n o t e t h a t r e p l a c e m e n t o f t h e c o n s t r a i n t s w i t h o v e r l y s t i f f e l e m e n t s c a n r e s u l t i n c o n v e r g e n c e p r o b l e m s .

• L a r g e d e f o r m a t i o n s o f t h e e l e m e n t s m a y c a u s e n o n - e q u i l i b r i u m l o a d i n g e f f e c t s . T h e e l e m e n t s a r e a s s u m e d t o h a v e c o n s t a n t l e n g t h , a r e a , a n d v o l u m e , e x c e p t f o r h y p e r e l a s t i c e l e m e n t s .

• A l l r e s t a r t s w i t h g r i d p o i n t o r e l e m e n t c h a n g e s m u s t s t a r t o v e r a t t h e r s t s u b c a s e .

• F o r l a r g e d i s p l a c e m e n t a n a l y s i s , t h e r e a r e t w o d i f f e r e n t a p p r o a c h e s f o r t h e a n g u l a r m o t i o n s : g i m b a l a n g l e a n d r o t a t i o n v e c t o r a p p r o a c h . I n G i m b a l a n g l e a p p r o a c h a n g u l a r m o t i o n s a r e t r e a t e d a s t h r e e o r d e r e d r o t a t i o n s a b o u t t h e z , y , a n d x a x e s . I n r o t a t i o n v e c t o r a p p r o a c h t h e

t h r e e a n g u l a r m o t i o n s a r e t r e a t e d a s a v e c t o r . T h e r o t a t i o n i s a b o u t t h e r o t a t i o n a x i s a n d t h e m a g n i t u d e o f r o t a t i o n i s e q u a l t o t h e a m p l i t u d e o f r o t a t i o n v e c t o r .

• T h e C G A P e l e m e n t c o n t a c t p l a n e s d o n o t r o t a t e a s a f u n c t i o n o f d i s p l a c e m e n t . T h e a c t u a l s h a p e s o f t h e c o n t a c t i n g s u r f a c e s w o u l d b e r e q u i r e d f o r s u c h c a l c u l a t i o n s .

• S i n c e t h e s o l u t i o n t o a p a r t i c u l a r l o a d i n v o l v e s a n o n l i n e a r s e a r c h p r o c e d u r e , s o l u t i o n i s n o t g u a r a n t e e d . C a r e m u s t b e u s e d i n s e l e c t i n g t h e s e a r c h p r o c e d u r e s o n t h e N L P A R M d a t a . Y o u c a n o v e r r i d e n e a r l y a l l i t e r a t i o n c o n t r o l r e s t r i c t i o n s .

• F o l l o w e r f o r c e e f f e c t s a r e c a l c u l a t e d f o r l o a d s w h i c h c h a n g e d i r e c t i o n w i t h g r i d p o i n t m o t i o n .

• A l l c o l d - s t a r t r u n s a r e a s s u m e d t o s t a r t i n a s t r e s s - f r e e c o n d i t i o n w i t h z e r o d i s p l a c e m e n t s a n d r o t a t i o n s . P r e s t r e s s e d a n d p r e - l o a d e d c a s e s m u s t b e s i m u l a t e d b y r u n n i n g t h e m a s t h e i n i t i a l l o a d c a s e , f o l l o w e d b y t h e d e s i r e d s o l u t i o n s u b c a s e .

• E v e r y s u b c a s e m u s t d e n e a n e w t o t a l l o a d o r e n f o r c e d b o u n d a r y d i s p l a c e m e n t . T h i s i s n e c e s s a r y b e c a u s e e r r o r r a t i o s a r e m e a s u r e d w i t h r e s p e c t t o t h e l o a d c h a n g e .

• A l l s u p e r e l e m e n t s , e x c e p t f o r t h e r e s i d u a l ( S E = 0 ) , a r e a s s u m e d t o b e l i n e a r . A l l e x i s t i n g s u p e r e l e m e n t r e s t r i c t i o n s a l s o a p p l y h e r e .

• A n y c h a n g e s t o a n o n - r e s i d u a l s u p e r e l e m e n t r e q u i r e s t h e u s e o f t h e a p p r o p r i a t e S E M G , S E M A , S E L A , e t c . , c a s e c o n t r o l r e q u e s t f o r e f c i e n t r e s t a r t s ( s e e a l s o “ P e r f o r m i n g N o n l i n e a r

A n a l y s i s W i t h S u p e r e l e m e n t s ” ) . • O n l y t h e r e s i d u a l s u p e r e l e m e n t h a s a u t o m a t i c o u t p u t d a t a p r o c e s s i n g . U p s t r e a m

s u p e r e l e m e n t s m a y b e l o a d e d o n l y v i a L S E Q a n d C L O A D d a t a .

• I n p o s t b u c k l i n g a n a l y s i s w i t h a r c - l e n g t h m e t h o d s ( N L P C I B u l k D a t a e n t r y ) , t h e i t e r a t i o n a l g o r i t h m m a y j u m p b e t w e e n d i f f e r e n t b u c k l i n g m o d e s w h e n m u l t i p l e b i f u r c a t i o n p o i n t s a r e p r e s e n t i n t h e s t r u c t u r e . I t i s r e c o m m e n d e d t o c h e c k a l l p o s s i b l e b u c k l i n g m o d e s w i t h t h e l i n e a r b u c k l i n g s o l u t i o n s e q u e n c e S O L 1 0 5 b e f o r e m a k i n g a r u n w i t h S O L 1 0 6 . Y o u h a v e t o i n t r o d u c e i n i t i a l i m p e r f e c t i o n s ( l o a d s o r e n f o r c e d d i s p l a c e m e n t s ) t o k e e p t h e s t r u c t u r e i n t h e i n t e n d e d b u c k l i n g m o d e .





C o n t r o l l i n g I t e r a t i o n s w i t h t h e N L P A R M E n t r y

T h e m o s t c r u c i a l d a t a f o r s u c c e s s f u l n o n l i n e a r s t a t i c s o l u t i o n s a r e c o n t a i n e d i n t h e N L P A R M b u l k d a t a e n t r y . N L P A R M d e n e s s t r a t e g i e s f o r t h e i n c r e m e n t a l a n d i t e r a t i v e s o l u t i o n p r o c e s s e s . I t i s d i f c u l t t o c h o o s e t h e o p t i m a l c o m b i n a t i o n o f a l l t h e o p t i o n s f o r a s p e c i c p r o b l e m . H o w e v e r ,

b a s e d o n a c o n s i d e r a b l e n u m b e r o f n u m e r i c a l e x p e r i m e n t s , t h e d e f a u l t o p t i o n w a s i n t e n d e d t o p r o v i d e t h e b e s t w o r k a b l e m e t h o d f o r a g e n e r a l c l a s s o f p r o b l e m s . T h e r e f o r e , i f y o u h a v e l i t t l e i n s i g h t o r e x p e r i e n c e i n a s p e c i c a p p l i c a t i o n , y o u s h o u l d s t a r t w i t h t h e d e f a u l t o p t i o n . H o w e v e r , i f y o u h a v e s o m e e x p e r i e n c e a n d i n s i g h t i n a s p e c i c p r o b l e m , y o u c a n c h a n g e t h e d e f a u l t v a l u e s , i f y o u k e e p i n m i n d t h e f o l l o w i n g g u i d e l i n e s :

• C o m p u t i n g c o s t f o r e a c h l i n e s e a r c h i s c o m p a r a b l e t o t h a t o f a n i t e r a t i o n .

• T h e S E M I m e t h o d u s u a l l y p r o v i d e s b e t t e r c o n v e r g e n c e t h a n t h e A U T O m e t h o d a t t h e e x p e n s e o f h i g h e r c o m p u t i n g c o s t .

• D e f a u l t t o l e r a n c e s f o r t h e c o n v e r g e n c e c r i t e r i a m a y b e s o m e w h a t c o n s e r v a t i v e . H o w e v e r , l o o s e t o l e r a n c e s m a y c a u s e d i f c u l t i e s i n t h e s u b s e q u e n t s t e p s .

• T h e q u a s i - N e w t o n m e t h o d i s e f f e c t i v e i n m o s t p r o b l e m s . H o w e v e r , i t s e e m s t o h a v e a d v e r s e e f f e c t s i n s o m e p r o b l e m s , e . g . , c r e e p a n a l y s i s .

• T h e l i n e s e a r c h m e t h o d i s e f f e c t i v e t o c o p e w i t h d i f c u l t i e s i n c o n v e r g e n c e i n s o m e p r o b l e m s . M o r e e x t e n s i v e l i n e s e a r c h e s m a y b e e x e r c i s e d b y a l a r g e v a l u e o f M A X L S a n d / o r a s m a l l e r v a l u e o f L S T O L . O n t h e o t h e r h a n d , l i n e s e a r c h e s m a y h a v e a d v e r s e e f f e c t s i n s o m e p r o b l e m s , e . g . , p l a n e s t r e s s p l a s t i c i t y .

• T h e a r c - l e n g t h m e t h o d s h o u l d b e u s e d i f t h e p r o b l e m i n v o l v e s s n a p - t h r o u g h o r p o s t b u c k l i n g d e f o r m a t i o n . T h e n t h e B u l k D a t a e n t r y N L P C I m u s t b e a t t a c h e d .

T h e N L P A R M e n t r y f o r m a t i s s h o w n b e l o w w i t h d e f a u l t v a l u e s w h e r e v e r a p p l i c a b l e :

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0

$ N L P A R M I D N I N C D T K M E T H O D K S T E P M A X I T E R C O N V I N T O U T

N L P A R M 0 . 0 A U T O 5 2 5 P W N O

$ E P S U E P S P E P S W M A X D I V M A X Q N M A X L S F S T R E S S L S T O L

1 . 0 E - 3 1 . 0 E - 3 1 . 0 E - 7 3 M A X I T E R 4 0 . 2 0 . 5

$ M A X B I S M A X R R T O L B

5 2 0 . 2 0 .

T h e I D e l d i s r e f e r e n c e d b y t h e N L P A R M C a s e C o n t r o l c o m m a n d . T h e N I N C e l d i s a n i n t e g e r w h i c h s p e c i e s t h e n u m b e r o f i n c r e m e n t s t o b e p r o c e s s e d i n t h e s u b c a s e . T h e t o t a l l o a d s p e c i e d i n t h e s u b c a s e m i n u s t h e l o a d s p e c i e d i n t h e p r e c e d i n g s u b c a s e i s e q u a l l y d i v i d e d b y t h i s i n t e g e r ( N I N C ) t o o b t a i n t h e i n c r e m e n t a l l o a d f o r t h e c u r r e n t s u b c a s e . A n o t h e r s u b c a s e s h o u l d b e d e n e d t o c h a n g e c o n s t r a i n t s o r l o a d i n g p a t h s . H o w e v e r , m u l t i p l e s u b c a s e s m a y b e r e q u i r e d i n t h e a b s e n c e o f a n y c h a n g e s i n c o n s t r a i n t s o r l o a d s t o u s e a m o d e r a t e v a l u e ( e . g . , n o t t o e x c e e d 2 0 ) f o r N I N C . U s e o f a m o d e r a t e v a l u e h a s a d v a n t a g e s i n c o n t r o l l i n g d a t a b a s e s i z e , o u t p u t s i z e , a n d r e s t a r t s .

T h e D T e l d r e q u i r e s a r e a l n u m b e r s p e c i f y i n g t h e t i m e i n c r e m e n t f o r e a c h l o a d s t e p i n t h e c a s e o f c r e e p a n a l y s i s . T h e t i m e u n i t m u s t b e c o n s i s t e n t w i t h t h e u n i t u s e d i n t h e C R E E P d a t a t o d e n e t h e c r e e p c h a r a c t e r i s t i c s . T h e c r e e p t i m e i n c r e m e n t s h o u l d b e d e t e r m i n e d p r o p e r l y f o r e f c i e n c y





a n d a c c u r a c y b a s e d o n t h e c r e e p r a t e r e p r e s e n t e d b y t h e c r e e p l a w t o b e u s e d . T h e l a r g e r t h e c r e e p r a t e , t h e s m a l l e r t h e t i m e i n c r e m e n t s h o u l d b e . N o c r e e p d e f o r m a t i o n i s c o n s i d e r e d w i t h t h e d e f a u l t v a l u e o f 0 . I t i s n o t e d t h a t a c r e e p a n a l y s i s s h o u l d b e p r e c e d e d b y a s t a t i c a n a l y s i s w i t h a t l e a s t o n e s u b c a s e , b e c a u s e t h e c r e e p d e f o r m a t i o n r e q u i r e s s t r e s s e s i n t h e m a t e r i a l .

S t i f f n e s s m a t r i x u p d a t e s t r a t e g i e s a r e d e t e r m i n e d b y a c o m b i n a t i o n o f t h e d a t a s p e c i e d i n t h e t w o e l d s K M E T H O D a n d K S T E P . O p t i o n s f o r K M E T H O D a r e A U T O , S E M I , o r I T E R . T h e K S T E P e l d , w h i c h i s a n a u x i l i a r y t o t h e K M E T H O D e l d , s h o u l d h a v e a n i n t e g e r e q u a l t o o r g r e a t e r t h a n 1 . W i t h t h e A U T O o p t i o n , t h e p r o g r a m a u t o m a t i c a l l y d e t e r m i n e s w h e n t o r e e v a l u a t e t h e s t i f f n e s s m a t r i x b a s e d o n t h e r a t e o f c o n v e r g e n c e . A t e a c h i t e r a t i o n , t h e c o m p u t i n g t i m e f o r c o n v e r g e n c e w i t h o u t t h e s t i f f n e s s m a t r i x u p d a t e i s e s t i m a t e d a n d c o m p a r e d w i t h t h e c o m p u t i n g t i m e f o r t h e m a t r i x u p d a t e i n o r d e r t o d e t e r m i n e w h e t h e r t h e u p d a t e i s m o r e e f c i e n t . T h i s d e c i s i o n i s d e f e r r e d i n t h e r s t t w o i t e r a t i o n s a f t e r a n e w s t i f f n e s s i s o b t a i n e d . I f t h e s o l u t i o n t e n d s t o d i v e r g e , h o w e v e r , t h e u p d a t e d e c i s i o n w i l l b e m a d e e f f e c t i v e i m m e d i a t e l y . T h e s t i f f n e s s m a t r i x w i l l b e u p d a t e d u p o n c o n v e r g e n c e i f t h e n u m b e r o f i t e r a t i o n s r e q u i r e d f o r c o n v e r g e n c e i s g r e a t e r t h a n K S T E P . T h e S E M I o p t i o n i s i d e n t i c a l t o t h e A U T O o p t i o n e x c e p t f o r o n e a d d i t i o n a l s t i f f n e s s u p d a t e a f t e r t h e r s t i t e r a t i o n w h i c h a l w a y s o c c u r s u n l e s s t h e s o l u t i o n c o n v e r g e s i n a s i n g l e i t e r a t i o n . W i t h t h e I T E R o p t i o n , t h e s t i f f n e s s m a t r i x i s u p d a t e d a t e v e r y

K S T E P i t e r a t i o n s . T h u s , t h e f u l l N e w t o n - R a p h s o n i t e r a t i o n i s e x e r c i s e d i f K S T E P i s 1 . I f K S T E P > M A X I T E R , t h e s t i f f n e s s w i l l n e v e r b e u p d a t e d .

T h e M A X I T E R e l d i s a n i n t e g e r r e p r e s e n t i n g t h e n u m b e r o f i t e r a t i o n s a l l o w e d f o r e a c h l o a d i n c r e m e n t . I f t h e n u m b e r o f i t e r a t i o n s r e a c h e s M A X I T E R w i t h o u t c o n v e r g e n c e , t h e l o a d i n c r e m e n t i s b i s e c t e d a n d t h e a n a l y s i s i s r e p e a t e d . I f t h e l o a d i n c r e m e n t c a n n o t b e b i s e c t e d ( i . e . , M A X B I S i s r e a c h e d o r M A X B I S = 0 ) a n d M A X D I V i s p o s i t i v e , t h e b e s t a t t a i n a b l e s o l u t i o n i s c o m p u t e d a n d t h e a n a l y s i s i s c o n t i n u e d t o t h e n e x t l o a d i n c r e m e n t . I f M A X D I V i s n e g a t i v e , t h e a n a l y s i s i s t e r m i n a t e d .

N X N a s t r a n p e r f o r m s t h e c o n v e r g e n c e t e s t a t e v e r y i t e r a t i o n w i t h t h e c r i t e r i a y o u s p e c i f y i n t h e C O N V e l d . Y o u c a n s p e c i f y a n y c o m b i n a t i o n o f U ( f o r d i s p l a c e m e n t ) , P ( f o r l o a d ) , a n d W ( f o r w o r k ) . A l l t h e s p e c i e d c r i t e r i a m u s t b e s a t i s e d t o a c h i e v e c o n v e r g e n c e , e x c e p t f o r a n

a b s o l u t e c o n v e r g e n c e c o n d i t i o n , u n d e r w h i c h t h e s o l u t i o n i s c o n v e r g e d r e g a r d l e s s o f c r i t e r i a . T h e c o n v e r g e n c e t o l e r a n c e s a r e s p e c i e d i n t h e e l d s E P S U , E P S P , a n d E P S W f o r U , P , a n d W c r i t e r i a , r e s p e c t i v e l y .

D e f a u l t n o n l i n e a r t o l e r a n c e s i n S o l u t i o n s 1 0 6 a n d 1 5 3 w i l l v a r y a c c o r d i n g t o t h e m o d e l , a n a l y s i s t y p e , a n d u s e r - d e n e d p r e c i s i o n . A l t h o u g h y o u c a n o v e r r i d e d e f a u l t t o l e r a n c e s b y e n t e r i n g v a l u e s o f C O N V , E P S U , E P S P , a n d E P S W o n t h e N L P A R M e n t r y , y o u c a n a p p l y d e f a u l t t o l e r a n c e s w i t h a s i n g l e p a r a m e t e r , l e a v i n g t h e a b o v e e l d s o n t h e N L P A R M e n t r y b l a n k . D e p e n d i n g o n t h e d e s i r e d l e v e l o f a c c u r a c y a n d r u n t i m e s , v a r i o u s d e f a u l t t o l e r a n c e s e t s m a y b e s e l e c t e d . T h e s e t o l e r a n c e s a r e d e s i g n a t e d a s “ v e r y h i g h , ” “ h i g h , ” “ e n g i n e e r i n g d e s i g n , ” a n d “ p r e l i m i n a r y d e s i g n ” a n d a r e c o n t r o l l e d w i t h t h e p a r a m e t e r :

P A R A M , N L T O L , I T O L

w h e r e I T O L i s a n i n t e g e r v a l u e r a n g i n g f r o m 0 ( v e r y h i g h ) t o 3 ( p r e l i m i n a r y d e s i g n ) . T h e d e f a u l t i s 2 ( e n g i n e e r i n g a c c u r a c y ) f o r n o n l i n e a r s t a t i c a n a l y s i s a n d 0 ( v e r y h i g h ) f o r n o n l i n e a r h e a t t r a n s f e r a n d d y n a m i c a n a l y s e s .

S e e A l s o

• N L T O L i n t h e N X N a s t r a n Q u i c k R e f e r e n c e G u i d e

T h e N X N a s t r a n Q u i c k R e f e r e n c e G u i d e l i s t s t h e t o l e r a n c e s s e t b y N X N a s t r a n i f y o u l e a v e t h e C O N V , E P S U , E P S P , a n d E P S W e l d s o n t h e N L P A R M e n t r y b l a n k . S e e R e m a r k 1 6 o f t h e N L P A R M e n t r y f o r f u r t h e r d e t a i l s .





T o u s e t h e s e d e f a u l t t o l e r a n c e s , l e a v e t h e C O N V , E P S U , E P S P , a n d E P S W e l d s o n t h e N L P A R M e n t r y b l a n k . I n a d d i t i o n , t h e N I N C e l d m u s t a l s o e i t h e r b e b l a n k o r h a v e a v a l u e o f 1 0 o r l a r g e r . T h e r e a r e t w o r e a s o n s f o r t h i s :

• I n g e n e r a l , a p p r o x i m a t e l y 1 0 l o a d s t e p s o r m o r e a r e r e q u i r e d f o r p r o p e r a c c u r a c y a n d

c o n v e r g e n c e w i t h t h e d e f a u l t t o l e r a n c e s .

• S o m e u s e r s m a y h a v e a l r e a d y “ c a l i b r a t e d ” a m o d e l a s t o t h e n u m b e r o f l o a d s t e p s n e c e s s a r y f o r g o o d r e s u l t s t h e “ v e r y h i g h ” a c c u r a c y t o l e r a n c e .

T h e r e f o r e , i f y o u s e t N I N C b e t w e e n 1 a n d 9 , t h e s o f t w a r e u s e s t h e “ v e r y h i g h ” a c c u r a c y t o l e r a n c e .

I f y o u d o n ’ t s p e c i f y P A R A M , N L T O L , t h e n t h e d e f a u l t c o n v e r g e n c e t o l e r a n c e s a r e t h e s a m e a s i f y o u h a d e n t e r e d P A R A M , N L T O L , 2 e x c e p t f o r h e a t t r a n s f e r p r o b l e m s , f o r w h i c h t h e d e f a u l t i s P A R A M , N L T O L , 0 . T h e t y p e o f a n a l y s i s w i l l b e d e t e c t e d a u t o m a t i c a l l y b y N X N a s t r a n a n d t h e d e f a u l t t o l e r a n c e s a d j u s t e d a c c o r d i n g l y .

D y n a m i c p r o b l e m s u s i n g S O L 1 2 9 a n d 1 5 9 r e t a i n t h e d e f a u l t t o l e r a n c e s a s d e s c r i b e d i n :

• “ T S T E P N L ” i n t h e N X N a s t r a n Q u i c k R e f e r e n c e G u i d e

I f y o u h a v e a g o o d i d e a o f w h a t t o u s e f o r t h e d e f a u l t t o l e r a n c e s a n d / o r n u m b e r o f i n c r e m e n t s , t h e n y o u s h o u l d u s e t h e s e . I f t h e p r o b l e m i s n e a r l y l i n e a r , a v a l u e o f N I N C = 1 s o m e t i m e s y i e l d s a c c e p t a b l e r e s u l t s . F o r s m a l l p r o b l e m s , y o u s h o u l d u s e t h e “ v e r y h i g h ” t o l e r a n c e o p t i o n b e c a u s e r u n t i m e s a r e g e n e r a l l y n o t s i g n i c a n t .

B e c a u s e n o n l i n e a r t o l e r a n c e s d e p e n d o n N L T O L , N I N C ( o n t h e N L P A R M e n t r y ) , a n d o t h e r p o s s i b l e N L P A R M o v e r r i d e s , c o n v e r g e n c e t o l e r a n c e s a c t u a l l y u s e d b y t h e c o d e a r e e c h o e d i n t h e o u t p u t l e ( r i g h t a f t e r t h e B u l k D a t a e c h o , i f a n y ) a s s h o w n i n t h e f o l l o w i n g e x a m p l e :

D E F A U L T N O N L I N E A R T O L E R A N C E S

N L P A R M I D 1 0

N I N C 1 0

E P S U 1 . 0 0 0 0 0 E - 0 3 ( n o t n o r m a l l y u s e d )

E P S P 1 . 0 0 0 0 0 E - 0 3 E P S W 1 . 0 0 0 0 0 E - 0 5

B A S E D O N

M O D E L H A S G A P S A N D / O R L I N E C O N T A C T

( V A L U E S Y O U E N T E R O V E R R I D E T H E A B O V E D E F A U L T S )

E x a m p l e s o f C o n v e r g e n c e T o l e r a n c e s

A v e r y l a r g e n o n l i n e a r m o d e l c o n s i s t i n g o f a p p r o x i m a t e l y 9 5 0 , 0 0 0 D O F s w a s s t u d i e d e x t e n s i v e l y t o d e t e r m i n e t h e e f f e c t o f v a r i o u s t o l e r a n c e s o n r u n t i m e a n d a c c u r a c y . T h i s p a r t i c u l a r m o d e l d i d n o t e m p l o y h e a t t r a n s f e r , g a p s , o r c o n t a c t . R e s u l t s o f t h e s t u d y s h o w e d t h a t c o m p a r e d t o t h e p r e s e n t “ v e r y h i g h a c c u r a c y ” s o l u t i o n , a c c e p t a b l e a c c u r a c y c a n b e a c h i e v e d f o r b o t h t h e “ h i g h a c c u r a c y ” a n d “ e n g i n e e r i n g a c c u r a c y ” d e s i g n a t i o n s . T h e “ p r e l i m i n a r y d e s i g n ” a c c u r a c y

t o l e r a n c e s p r o d u c e s r e s u l t s w i t h t h e s a m e g e n e r a l t r e n d s a s o t h e r r e a s o n a b l e t o l e r a n c e s , b u t t h e a n s w e r s w e r e c o n s i d e r e d t o o i n e x a c t f o r a n a l y s e s o t h e r t h a n p r e l i m i n a r y d e s i g n t r a d e - o f f s t u d i e s . T h e f o l l o w i n g t a b l e s u m m a r i z e s t h e e f f e c t t h e t o l e r a n c e s f o r t h i s l a r g e m o d e l .

T o l e r a n c e s A c c u r a c y T y p e

E P S P E P S W

R u n t i m e C P U

h o u r s A c c u r a c y f o r t h e l a r g e m o d e l

V e r y h i g h 0 . 0 0 1 1 . 0 E - 7 1 6 3 . 2 V e r y G o o d

H i g h 0 . 0 1 0 . 0 0 1 1 0 . 3 5 % o r l e s s a c c u r a t e

E n g i n e e r i n g D e s i g n 0 . 0 1 0 . 0 1 7 . 0 1 0 % o r l e s s a c c u r a t e





T o l e r a n c e s A c c u r a c y T y p e

E P S P E P S W

R u n t i m e C P U

h o u r s A c c u r a c y f o r t h e l a r g e m o d e l

P r e l i m i n a r y D e s i g n 0 . 1 0 . 1 2 . 9 1 0 % t o 2 0 % l e s s a c c u r a t e

M a n y t e s t c a s e s — i n c l u d i n g s t a n d a r d n o n l i n e a r Q A t e s t c a s e s — w e r e a l s o a n a l y z e d u s i n g t h e d e f a u l t t o l e r a n c e s . F o r a l l m o d e l s r u n t o d a t e , s a t i s f a c t o r y r e s u l t s w e r e o b t a i n e d . F o r t h o s e m o d e l s t h a t i n v o k e d t h e n e w “ e n g i n e e r i n g d e s i g n ” t o l e r a n c e s ( b e c a u s e N I N C , C O N V , E P S U , E P S P a n d E P S W w e r e b l a n k ) r e s u l t s c h a n g e d a s e x p e c t e d . T y p i c a l l y , s u c h c h a n g e s w e r e l a r g e s t , o n a p e r c e n t a g e b a s i s , f o r t h e s m a l l e s t r e s p o n s e s i n t h e m o d e l . M a x i m u m r e s p o n s e v a l u e s e x p e r i e n c e d l i t t l e c h a n g e . F o r e x a m p l e , i f t h e l a r g e s t d i s p l a c e m e n t w a s 0 . 0 1 , t h e n d i s p l a c e m e n t s w i t h v a l u e s a r o u n d 0 . 0 1 c h a n g e d b y a b o u t 1 % o r l e s s , b u t d i s p l a c e m e n t s t h a t w e r e o r i g i n a l l y 0 . 0 0 0 1 m i g h t c h a n g e b y 2 0 % o r e v e n m o r e . I f t h e m a x i m u m s t r e s s w a s 2 0 , 0 0 0 , t h e n s t r e s s e s a r o u n d 2 0 , 0 0 0 w o u l d c h a n g e b y 1 % o r l e s s , b u t s t r e s s e s a r o u n d 1 0 0 0 m i g h t c h a n g e b y 2 0 % o r m o r e . I f t h e p r o b l e m p r o d u c e d p r i m a r i l y d i s p l a c e m e n t s i n t h e Y d i r e c t i o n , t h e n u s i n g t h e “ e n g i n e e r i n g t o l e r a n c e s ” g i v e s l a r g e r c r o s s - a x i s r e s p o n s e i n t h e X a n d Z d i r e c t i o n s t h a n d o t h e “ v e r y h i g h ” a c c u r a c y t o l e r a n c e s . S t r e s s e s b e h a v e i n a s i m i l a r m a n n e r . H o w e v e r , d e f o r m e d

c o n t o u r p l o t s o f m o s t m o d e l s u s i n g t h e t w o a c c u r a c y v a l u e s s h o w l i t t l e o r n o d i f f e r e n c e . I f c r o s s - a x i s r e s p o n s e s o r i f s t r e s s e s a w a y f r o m t h e m o s t h i g h l y s t r e s s e d r e g i o n s a r e i m p o r t a n t , o r i f t h e n o n l i n e a r m a t e r i a l p r o p e r t i e s o f t h e m o d e l a r e k n o w n w i t h g r e a t p r e c i s i o n , t h e “ v e r y h i g h ” a c c u r a c y t o l e r a n c e s s h o u l d b e u s e d . H o w e v e r f o r m o s t a n a l y s e s , t h e “ e n g i n e e r i n g d e s i g n ” t o l e r a n c e s w i l l o f t e n s u f c e .

T h e I N T O U T e l d r e q u i r e s a s p e c i c a t i o n o f Y E S , N O o r A L L . I f Y E S i s s p e c i e d , t h e o u t p u t r e q u e s t s ( D I S P L A C E M E N T , F O R C E , S T R E S S , e t c . ) , s p e c i e d i n t h e C a s e C o n t r o l D a t a , w i l l b e p r o c e s s e d f o r e v e r y c o m p u t e d c o n v e r g e d s o l u t i o n i n t h e s u b c a s e . I f N O i s s p e c i e d , t h e o u t p u t r e q u e s t s w i l l b e p r o c e s s e d o n l y f o r t h e l a s t l o a d s t e p o f t h e s u b c a s e . I f A L L i s s p e c i e d , t h e o u t p u t r e q u e s t s a r e p r o c e s s e d f o r e v e r y c o m p u t e d a n d u s e r - s p e c i e d l o a d i n c r e m e n t . F o r N e w t o n ’ s i t e r a t i o n m e t h o d s ( i . e . , w i t h o u t N L P C I ) , t h e o p t i o n A L L i s e q u i v a l e n t t o t h e o p t i o n Y E S , s i n c e t h e c o m p u t e d l o a d i n c r e m e n t i s e q u a l t o l o a d i n c r e m e n t y o u s p e c i e d . F o r a r c - l e n g t h

m e t h o d s ( i . e . , N L P C I c o m m a n d i s s p e c i e d ) , t h e c o m p u t e d l o a d i n c r e m e n t i n g e n e r a l i s n o t t h e s a m e a s t h e u s e r - s p e c i e d l o a d i n c r e m e n t , a n d i s n o t k n o w n i n a d v a n c e . T h e o p t i o n A L L a l l o w s y o u t o o b t a i n s o l u t i o n s a t t h e d e s i r e d i n t e r m e d i a t e l o a d i n c r e m e n t s . W i t h a s m a l l d a t a b a s e o p t i o n , t h e d a t a b a s e w i l l r e t a i n o n l y t h o s e d a t a b l o c k s c o r r e s p o n d i n g t o t h e i n c r e m e n t a l l o a d s t e p s f o r w h i c h o u t p u t i s r e q u e s t e d b y a n I N T O U T e l d . T h e n , t h e r e s t a r t s w i l l b e r e s t r i c t e d t o t h o s e s t a r t i n g f r o m t h e s e s t e p s . H o w e v e r , i f t h e j o b i s t e r m i n a t e d w i t h a n i n c o m p l e t e s u b c a s e f o r s o m e r e a s o n ( e . g . , d i v e r g i n g , t i m e e x p i r a t i o n , e t c . ) , d a t a b l o c k s f o r a l l t h e i n t e r i m s t e p s o f t h a t s u b c a s e a r e s t o r e d i n t h e d a t a b a s e t o a l l o w e x i b l e r e s t a r t s .

T h e M A X D I V e l d r e q u i r e s a n i n t e g e r t o s p e c i f y a l i m i t o n t h e p r o b a b l e d i v e r g e n c e c o n d i t i o n s a l l o w e d f o r e a c h i t e r a t i o n t o c o n t i n u e . T h e r e a r e t w o c l a s s i c a t i o n s i n t h e d i v e r g e n c e c o n d i t i o n : p r o b a b l e a n d a b s o l u t e . T h e a b s o l u t e d i v e r g e n c e i s t r e a t e d a s t w o o c c u r r e n c e s o f t h e p r o b a b l e d i v e r g e n c e . W h e n t h e p r o b a b l e d i v e r g e n c e o c c u r s M A X D I V t i m e s o r m o r e a n d i f M A X D I V

i s p o s i t i v e , t h e c u r r e n t s o l u t i o n b a s e ( d i s p l a c e m e n t s ) i s r e t r a c t e d a n d t h e s t i f f n e s s m a t r i x i s u p d a t e d i n r e f e r e n c e t o t h e p r e c e d i n g i t e r a t i o n s t e p . I f t h e s o l u t i o n d i v e r g e s a g a i n i n t h e s a m e l o a d i n c r e m e n t w h i l e M A X D I V i s p o s i t i v e , t h e b e s t a t t a i n a b l e s o l u t i o n i s c o m p u t e d a n d t h e a n a l y s i s i s c o n t i n u e d t o t h e n e x t l o a d i n c r e m e n t . I f M A X D I V i s n e g a t i v e , t h e a n a l y s i s i s t e r m i n a t e d o n s e c o n d d i v e r g e n c e .

T h e M A X Q N e l d r e q u i r e s a n i n t e g e r t o s p e c i f y t h e m a x i m u m n u m b e r o f q u a s i - N e w t o n v e c t o r s t o b e s a v e d i n t h e d a t a b a s e . Q u a s i - N e w t o n v e c t o r s a r e a c c u m u l a t e d , i f d e s i r e d , u n t i l M A X Q N i s r e a c h e d . I f t h e n u m b e r o f a c c u m u l a t e d Q N v e c t o r s i s g r e a t e r t h a n o r c l o s e t o M A X Q N u p o n c o n v e r g e n c e , t h e s t i f f n e s s m a t r i x w i l l b e u p d a t e d b e f o r e t h e n e x t i n c r e m e n t i s p r o c e s s e d . A l l t h e Q N v e c t o r s a l r e a d y a c c u m u l a t e d a r e p u r g e d u p o n a s t i f f n e s s u p d a t e a n d t h e a c c u m u l a t i o n i s





r e i n i t i a t e d . T h e q u a s i - N e w t o n u p d a t e m a y b e s u p p r e s s e d w i t h a v a l u e o f 0 f o r M A X Q N . D e t a i l s o f t h e q u a s i - N e w t o n m e t h o d w i l l b e p r e s e n t e d i n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n .

T h e l i n e s e a r c h i s c o n t r o l l e d b y t h e e l d s M A X L S a n d L S T O L . T h e m a x i m u m n u m b e r o f l i n e s e a r c h e s a l l o w e d f o r e a c h i t e r a t i o n i s s p e c i e d i n t h e M A X L S e l d . T h e l i n e s e a r c h p r o c e s s

m a y b e s u p p r e s s e d w i t h a v a l u e o f 0 f o r M A X L S . T h e L S T O L e l d r e q u i r e s a r e a l n u m b e r b e t w e e n 0 . 0 1 a n d 0 . 9 t o s p e c i f y a t o l e r a n c e f o r t h e l i n e s e a r c h o p e r a t i o n . T h e l i n e s e a r c h o p e r a t i o n w i l l b e c o n d u c t e d i f t h e e r r o r d e n i n g t h e d i v e r g e n c e r a t e i s g r e a t e r t h a n L S T O L . I f t h e l i n e s e a r c h c o n v e r g e n c e i s n o t a c h i e v e d , t h e l i n e s e a r c h c o n t i n u e s u n t i l t h e n u m b e r o f l i n e s e a r c h e s r e a c h e s M A X L S .

T h e F S T R E S S e l d r e q u i r e s a r e a l n u m b e r ( 0 . 0 < F S T R E S S < 1 . 0 ) , r e p r e s e n t i n g a f r a c t i o n o f t h e e f f e c t i v e s t r e s s ( ) u s e d t o l i m i t t h e s u b i n c r e m e n t s i z e i n t h e m a t e r i a l r o u t i n e s . T h e n u m b e r o f s u b i n c r e m e n t s i n t h e m a t e r i a l r o u t i n e s f o r e l a s t o - p l a s t i c o r c r e e p d e f o r m a t i o n p r o c e s s e s i s d e t e r m i n e d s u c h t h a t a s u b i n c r e m e n t i n t h e e f f e c t i v e s t r e s s i s a p p r o x i m a t e l y F S T R E S S · . T h i s d a t a i s a l s o u s e d t o e s t a b l i s h a n e r r o r t o l e r a n c e i n t h e y i e l d f u n c t i o n t o a l l e v i a t e a c c u m u l a t i o n a n d p r o p a g a t i o n o f t h e e r r o r . I f t h e e r r o r i n t h e y i e l d f u n c t i o n e x c e e d s F S T R E S S · a t t h e c o n v e r g i n g s t a t e , t h e p r o g r a m w i l l t e r m i n a t e t h e j o b w i t h a f a t a l e r r o r m e s s a g e “ E R R O R E X C E E D E D 2 0 % O F C U R R E N T Y I E L D S T R E S S . ” I f t h e b i s e c t i o n o p t i o n i s s e l e c t e d , b i s e c t i o n w i l l b e a c t i v a t e d u n d e r t h i s c o n d i t i o n .

T h e M A X B I S e l d r e q u i r e s a n i n t e g e r t o s p e c i f y t h e n u m b e r o f b i s e c t i o n s a l l o w e d f o r a l o a d o r a r c - l e n g t h i n c r e m e n t . W h e n t h e s o l u t i o n d i v e r g e s , d i f f e r e n t a c t i o n s a r e t a k e n d e p e n d i n g o n t h e s i g n o f M A X B I S . I f M A X B I S i s p o s i t i v e , t h e s t i f f n e s s m a t r i x i s u p d a t e d o n t h e r s t d i v e r g e n c e a n d t h e l o a d i n c r e m e n t i s b i s e c t e d o n t h e s e c o n d d i v e r g e n c e . I f M A X B I S i s n e g a t i v e , t h e l o a d i n c r e m e n t i s b i s e c t e d e v e r y t i m e t h e s o l u t i o n d i v e r g e s u n t i l t h e l i m i t o n b i s e c t i o n i s r e a c h e d . I f t h e s o l u t i o n d o e s n o t c o n v e r g e a f t e r | M A X B I S | b i s e c t i o n s , t h e a n a l y s i s i s c o n t i n u e d o r t e r m i n a t e d d e p e n d i n g o n t h e s i g n o f M A X D I V .

T h e M A X R e l d r e q u i r e s a r e a l n u m b e r t o s p e c i f y t h e b o u n d s o n t h e r a t i o o f t h e a d j u s t e d a r c - l e n g t h i n c r e m e n t r e l a t i v e t o t h e i n i t i a l v a l u e . I n t h e a d a p t i v e l o a d / a r c - l e n g t h i n c r e m e n t , t h e

o v e r a l l u p p e r a n d l o w e r b o u n d s o n t h e l o a d / a r c - l e n g t h i n c r e m e n t i n t h e s u b c a s e a r e d e n e d a s

E q u a t i o n 5 - 1 .

w h e r e Δ l n i s t h e a r c - l e n g t h a t s t e p n a n d Δ l 0 i s t h e o r i g i n a l a r c - l e n g t h . T h e a r c - l e n g t h m e t h o d f o r l o a d i n c r e m e n t s i s s e l e c t e d b y t h e N L P C I B u l k D a t a e n t r y , w h i c h m u s t h a v e t h e s a m e I D a s t h e N L P A R M B u l k D a t a e n t r y .

T h e R T O L B e l d r e q u i r e s a r e a l n u m b e r t o s p e c i f y t h e i n c r e m e n t a l r o t a t i o n ( i n d e g r e e s ) a l l o w e d p e r i t e r a t i o n . T h e b i s e c t i o n i s a c t i v a t e d i f t h e i n c r e m e n t a l r o t a t i o n f o r a n y d e g r e e - o f - f r e e d o m ( Δ q x , Δ q y o r Δ q z ) e x c e e d s t h e v a l u e s p e c i e d f o r R T O L B . T h i s b i s e c t i o n s t r a t e g y b a s e d o n t h e i n c r e m e n t a l r o t a t i o n i s c o n t r o l l e d b y t h e M A X B I S e l d .

U s e r I n t e r f a c e f o r A r c - L e n g t h M e t h o d s : N L P C I E n t r y

M o s t o f t h e p a r a m e t e r s i n t h e N L P A R M B u l k D a t a e n t r y a r e u s e d t o c o n t r o l t h e i t e r a t i o n s t r a t e g y f o r a r c - l e n g t h m e t h o d s . H o w e v e r , M A X L S i s n o t a p p l i c a b l e b e c a u s e t h e l i n e s e a r c h p r o c e d u r e i s n o t c o u p l e d w i t h a r c - l e n g t h m e t h o d s c u r r e n t l y . T h e p a r a m e t e r s w h i c h a r e a p p l i c a b l e o n l y t o t h e a r c - l e n g t h m e t h o d s a r e s p e c i e d i n t h e B u l k D a t a e n t r y N L P C I , i n





c o n n e c t i o n w i t h t h e N L P A R M d a t a b y t h e s a m e I D . T h e N L P C I e n t r y i s s h o w n b e l o w w i t h d e f a u l t v a l u e s , f o l l o w e d b y b r i e f d e s c r i p t i o n o f t h e e l d s :

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0

N L P C I I D T Y P E M I N A L R M A X A L R S C A L E D E S I T E R M X I N C

N L P C I C R I S 0 . 2 5 4 . 0 . 0 1 2

I D M u s t b e i d e n t i c a l t o I D o f N L P A R M t o b e a c t i v e .

T Y P E C o n s t r a i n t t y p e ( C R I S f o r C r i s e l d , R I K S f o r R i k s , o r M R I K S f o r m o d i e d R i k s m e t h o d )

M I N A L R , M A X A L R F o r v a r i a b l e a r c - l e n g t h m e t h o d , t h e a r c - l e n g t h i s b o u n d e d b y

w h e r e M I N A L R ≤ 1 . a n d M A X A L R ≥ 1 . T h e a u t o m a t i c a d j u s t m e n t i s n o t a c t i v a t e d i f M A X A L R = M I N A L R = 1 .

S C A L E S c a l i n g f a c t o r f o r t h e m a g n i t u d e o f t h e l o a d t e r m i n a r c l e n g t h . R e a l > 0 D e f a u l t = 0 . T h e c o n s t r a i n t e q u a t i o n h a s a d i s p a r i t y i n t h e d i m e n s i o n b y m i x i n g t h e d i s p l a c e m e n t s w i t h t h e l o a d f a c t o r . T h e s c a l i n g f a c t o r ( w ) i s i n t r o d u c e d a s u s e r i n p u t s o t h a t y o u c a n m a k e c o n s t r a i n t e q u a t i o n u n i t - i n d e p e n d e n t b y a p r o p e r s c a l i n g o f t h e l o a d f a c t o r , µ . A s t h e v a l u e o f w i s i n c r e a s e d , t h e c o n s t r a i n t e q u a t i o n i s g r a d u a l l y d o m i n a t e d b y t h e l o a d t e r m . I n t h e l i m i t i n g c a s e o f i n n i t e w , t h e a r c - l e n g t h m e t h o d w o u l d b e d e g e n e r a t e d t o t h e c o n v e n t i o n a l N e w t o n ’ s m e t h o d .

D E S I T E R D e s i r e d n u m b e r o f i t e r a t i o n s f o r c o n v e r g e n c e t o b e u s e d f o r a d a p t i v e a r c - l e n g t h a d j u s t m e n t .

M X I N C M a x i m u m n u m b e r o f c o n t r o l l e d i n c r e m e n t s a l l o w e d w i t h i n t h e s p e c i e d l o a d s t e p . T h e r e c a n b e c a s e s w h e r e t h e s t r u c t u r e n e v e r s n a p s b a c k a n d c o l l a p s e s t o f a i l u r e . I n t h e s e c a s e s , t h e a n a l y s i s c a n n o t b e c o m p l e t e d w i t h o u t b o u n d i n g t h e m a x i m u m n u m b e r o f i n c r e m e n t s . F o r s u c h c a s e s , t h i s v a l u e s h o u l d b e c o n n e d t o a r e a s o n a b l e l i m i t , e . g . , l e s s t h a n 1 0 0 , t o p r e v e n t i n a d v e r t e n t d e p l e t i o n o f t h e c o m p u t i n g r e s o u r c e s .

I t e r a t i o n R e l a t e d O u t p u t D a t a

A t t h e e n d o f e v e r y i t e r a t i o n , t h e r e l e v a n t d a t a f r o m t h e i t e r a t i o n p r o c e s s a r e p r i n t e d u n d e r t h e f o l l o w i n g h e a d i n g . T h e s e c t i o n n u m b e r s i n p a r e n t h e s e s r e f e r t o s e c t i o n s i n t h e N X N a s t r a n H a n d b o o k f o r N o n l i n e a r A n a l y s i s .

I T E R A T I O N i t e r a t i o n c o u n t i .

E U I r e l a t i v e e r r o r i n t e r m s o f d i s p l a c e m e n t s ( s e e S e c t i o n 3 . 6 . 3 ) .





E P I r e l a t i v e e r r o r i n t e r m s o f l o a d s ( s e e S e c t i o n 3 . 6 . 3 ) .

E W I r e l a t i v e e r r o r i n t e r m s o f w o r k ( s e e S e c t i o n 3 . 6 . 3 ) .

L A M B D A r a t e o f c o n v e r g e n c e ( d e n e d i n S e c t i o n 3 . 3 . 1 ) .

D L M A G a b s o l u t e n o r m o f t h e l o a d e r r o r v e c t o r .

F A C T O R n a l v a l u e o f t h e l i n e s e a r c h p a r a m e t e r ( s e e S e c t i o n 3 . 4 ) .

E - F I R S T d i v e r g e n c e r a t e , i n i t i a l e r r o r b e f o r e l i n e s e a r c h ( s e e S e c t i o n 3 . 4 . 3 ) .

E - F I N A L e r r o r a t t h e e n d o f l i n e s e a r c h ( s e e S e c t i o n 3 . 4 . 3 ) .

N - Q N V n u m b e r o f q u a s i - N e w t o n v e c t o r s a p p e n d e d ( s e e S e c t i o n 3 . 5 . 3 ) .

N - L S n u m b e r o f l i n e s e a r c h e s p e r f o r m e d d u r i n g t h e i t e r a t i o n .

E N I C e x p e c t e d n u m b e r o f i t e r a t i o n s f o r c o n v e r g e n c e ( s e e S e c t i o n 3 . 3 . 1 ) .

N D V n u m b e r o f o c c u r r e n c e s o f p r o b a b l e d i v e r g e n c e d u r i n g t h e i t e r a t i o n ( s e e S e c t i o n 3 . 3 . 2 ) .

M D V n u m b e r o f o c c u r r e n c e s o f b i s e c t i o n c o n d i t i o n s i n t h e m a t e r i a l r o u t i n e ( e x c e s s i v e s t r e s s i n c r e m e n t ) o r i n t h e r o t a t i o n a n g l e ( e x c e s s i v e r o t a t i o n ) d u r i n g t h e i t e r a t i o n .

L o a d s O v e r v i e w

T h e s t a t i c l o a d s i n n o n l i n e a r a n a l y s i s c o n s i s t o f a s u b s e t o f t h e t o t a l N X N a s t r a n s t a t i c l o a d s e t . M o s t o f t h e r e l e v a n t l o a d s d a t a a p p l i c a b l e t o t h e l i n e a r s t a t i c a n a l y s i s a r e a l s o a p p l i c a b l e t o n o n l i n e a r s t a t i c a n a l y s i s e x c e p t f o r t h e B u l k D a t a e n t r y D E F O R M . T h e e n f o r c e d d i s p l a c e m e n t s c a n b e a p p l i e d a s l o a d s u s i n g t h e B u l k D a t a e n t r y S P C D , w h i c h d e n e s a n e n f o r c e d m o t i o n o f a g r i d i n a s p e c i c x e d d i r e c t i o n . E a c h g r i d p o i n t w i t h a n e n f o r c e d d i s p l a c e m e n t m u s t a l s o

a p p e a r o n a n S P C o r S P C 1 e n t r y . T h e l o a d s a r e s e l e c t e d i n e a c h s u b c a s e b y a C a s e C o n t r o l c o m m a n d L O A D . T h e l o a d f o r a s u b c a s e i s s u b d i v i d e d i n t o t h e n u m b e r o f i n c r e m e n t s s p e c i e d f o r t h e s u b c a s e . T h e s o l u t i o n s t r a t e g y i n n o n l i n e a r i s t o a p p l y t h e l o a d s i n a n i n c r e m e n t a l f a s h i o n u n t i l t h e d e s i r e d l o a d l e v e l i s r e a c h e d . T h e a l g o r i t h m s “ r e m e m b e r ” t h e l o a d s f r o m o n e s u b c a s e t o t h e n e x t . I f t h e l o a d r e a c h e s t h e d e s i r e d l e v e l i n a s u b c a s e a n d i f t h e l o a d d e s c r i p t i o n i s l e f t o u t i n t h e s u b s e q u e n t s u b c a s e i n a d v e r t e n t l y , t h e n o n l i n e a r s o l u t i o n a l g o r i t h m w i l l b e g i n i n a n i n c r e m e n t a l f a s h i o n t o r e m o v e t h e l o a d . T h e l o a d s d e s c r i b e d b e l o w m a k e u p t h e v a l i d s u b s e t a p p l i c a b l e f o r n o n l i n e a r s t a t i c a n a l y s i s .

C o n c e n t r a t e d L o a d s

T h e c o n c e n t r a t e d l o a d s c o n s i s t o f t w o c a t e g o r i e s : t h o s e w h i c h a r e s t a t i o n a r y i n d i r e c t i o n t h r o u g h

o u t t h e a n a l y s i s a n d t h o s e w h i c h f o l l o w t h e g r i d m o t i o n . T h e r s t c a t e g o r y c o n s i s t s o f t h e f o l l o w i n g : F O R C E , M O M E N T , a n d S L O A D .

T h e s e c o n d c a t e g o r y c o n s i s t s o f t h e f o l l o w i n g : F O R C E 1 , F O R C E 2 , M O M E N T 1 , a n d M O M E N T 2 . T h e t h r e e F O R C E e n t r i e s d i f f e r o n l y i n t h e m a n n e r i n w h i c h t h e d i r e c t i o n o f t h e f o r c e i s s p e c i e d . F O R C E u s e s t h e c o m p o n e n t s o f a v e c t o r . F O R C E 1 u s e s t w o g r i d p o i n t s , n o t n e c e s s a r i l y t h e s a m e a s t h e l o a d e d g r i d p o i n t s . F O R C E 2 d e n e s t h e d i r e c t i o n o f t h e f o r c e a s a v e c t o r w h i c h i s t h e v e c t o r p r o d u c t o f t w o o t h e r v e c t o r s . T h e d i s t i n c t i o n s b e t w e e n t h e t h r e e M O M E N T e n t r i e s a r e s i m i l a r . T h e s e l o a d s a r e f o l l o w e r l o a d s i n n o n l i n e a r a n d p r o d u c e f o l l o w e r s t i f f n e s s t e r m s .





D i s t r i b u t e d L o a d s

T h e d i s t r i b u t e d l o a d s c o n s i s t o f t w o c a t e g o r i e s : t h o s e w h i c h a r e s t a t i o n a r y i n d i r e c t i o n t h r o u g h o u t t h e a n a l y s i s a n d t h o s e w h i c h f o l l o w t h e e l e m e n t m o t i o n . T h e r s t c a t e g o r y c o n s i s t s o f t h e P L O A D 1 .

T h e s e c o n d c a t e g o r y c o n s i s t s o f t h e f o l l o w i n g : P L O A D , P L O A D 2 , a n d P L O A D 4 .

L o a d s m a y b e a p p l i e d t o t h e i n t e r i o r s o f n i t e e l e m e n t s . T h e P L O A D 1 e n t r y d e n e s c o n c e n t r a t e d a n d l i n e a r l y d i s t r i b u t e d f o r c e s a n d m o m e n t s t o t h e C B E A M e l e m e n t . H o w e v e r , t h e s t r e s s c a l c u l a t i o n f o r n o n l i n e a r C B E A M e l e m e n t i g n o r e s t h e d i s t r i b u t e d l o a d s , b u t l u m p s t h e m o n t o t h e n o d a l p o i n t s . T h e P L O A D e n t r y i s e x c e p t i o n a l i n t h a t i t r e f e r e n c e s t h r e e o r f o u r a r b i t r a r i l y l o c a t e d g r i d s r a t h e r t h a n a n e l e m e n t . T h e P L O A D 2 e n t r y d e n e s a u n i f o r m s t a t i c p r e s s u r e l o a d a p p l i e d t o t h e C Q U A D 4 o r C T R I A 3 e l e m e n t s . T h e P L O A D 4 d e n e s a p r e s s u r e l o a d o n s u r f a c e s o f C H E X A , C P E N T A , C T R I A 3 , a n d C Q U A D 4 e l e m e n t s w h i c h n e e d n o t b e n o r m a l t o t h e s u r f a c e . W h e n n o r m a l t o t h e s u r f a c e , t h e P L O A D 4 i s a f o l l o w e r l o a d .

M a s s R e l a t e d L o a d s

T h e m a s s r e l a t e d l o a d s a r e g r a v i t y a n d c e n t r i f u g a l l o a d s , w h i c h r e q u i r e s p e c i c a t i o n o f m a s s d a t a . T h e g r a v i t y l o a d s w h i c h c a n b e s p e c i e d i n t h e G R A V B u l k D a t a e n t r y a r e s t a t i o n a r y i n d i r e c t i o n t h r o u g h o u t t h e a n a l y s i s . I t i s u s e d t o d e n e t h e d i r e c t i o n a n d m a g n i t u d e o f t h e g r a v i t y v e c t o r i n s o m e i d e n t i e d c o o r d i n a t e s y s t e m . T h e c o m p o n e n t s o f t h e g r a v i t y v e c t o r a r e m u l t i p l i e d b y t h e m a s s m a t r i x t o o b t a i n t h e c o m p o n e n t s o f t h e g r a v i t y f o r c e a t e a c h g r i d p o i n t .

T h e c e n t r i f u g a l l o a d s t o b e s p e c i e d i n t h e R F O R C E B u l k D a t a e n t r y i s u s e d t o d e n e t h e c o m p o n e n t s o f a s p i n v e c t o r w h i c h i s u s e d i n t e r n a l l y t o c o m p u t e c e n t r i f u g a l f o r c e s . E a c h c o m p o n e n t o f t h e s p i n v e c t o r i s m u l t i p l i e d b y a s c a l e f a c t o r .

T h e r m a l L o a d s

Y o u s e l e c t t h e r m a l l o a d s i n e a c h s u b c a s e w i t h t h e T E M P ( L O A D ) C a s e C o n t r o l c o m m a n d . T h e r m a l l o a d i n g w h i c h i s a f o l l o w e r l o a d i n g i s a c c o m p l i s h e d t h r o u g h t h e f o l l o w i n g e n t r i e s : T E M P , T E M P D , T E M P P 1 , T E M P P 3 , a n d T E M P R B . T h e T E M P a n d T E M P D p r o v i d e f o r g r i d p o i n t t e m p e r a t u r e s p e c i c a t i o n w h i c h a r e t h e n i n t e r p o l a t e d t o p o i n t s w i t h i n e l e m e n t s . F o r t h e n o n l i n e a r C Q U A D 4 a n d C T R I A 3 e l e m e n t s t h e T E M P P 1 p r o v i d e s f o r a n a v e r a g e t e m p e r a t u r e a n d t h e r m a l g r a d i e n t i n t h e t h i c k n e s s d i r e c t i o n a n d t h e T E M P P 3 p r o v i d e s f o r t e m p e r a t u r e a t p o i n t s t h r o u g h t h e t h i c k n e s s . T h e T E M P R B p r o v i d e s f o r a v e r a g e t e m p e r a t u r e a t e n d s A a n d B f o r t h e C R O D a n d C B E A M e l e m e n t . A v e r a g e t e m p e r a t u r e s p e c i e d d i r e c t l y f o r a n e l e m e n t w i l l t a k e p r e c e d e n c e o v e r t h e t e m p e r a t u r e i n t e r p o l a t e d f r o m t h e e l e m e n t s c o n n e c t e d g r i d p o i n t s .

T h e C a s e C o n t r o l T E M P ( I N I T ) i s r e q u i r e d a b o v e t h e s u b c a s e l e v e l . F o r n o n l i n e a r s t a t i c a n a l y s i s T E M P ( M A T ) o r T E M P ( B O T H ) a r e n o t a p p l i c a b l e . T h e u s e o f T E M P ( M A T ) o r T E M P ( B O T H ) w i l l c a u s e a f a t a l e r r o r . S u b c a s e s t h a t d o n o t c o n t a i n a T E M P ( L O A D ) w i l l d e f a u l t t o T E M P ( I N I T ) , w h i c h i m p l i e s n o t h e r m a l l o a d . T h e r m a l l o a d s a r e o f t e n u s e d t o p r o v i d e i n i t i a l s t r a i n s .

L o a d s C o m b i n a t i o n

V a r i o u s l o a d s p e c i c a t i o n s c a n b e c o m b i n e d u s i n g L O A D a n d ( C L O A D , L S E Q ) .

T h e L O A D p r o v i d e s f o r t h e l i n e a r c o m b i n a t i o n o f s t a t i c l o a d s e t s . T h e s t a t i c l o a d s ( L O A D , F O R C E , e t c . ) a p p l i e d t o t h e u p s t r e a m s u p e r e l e m e n t s c a n n o t b e r e f e r e n c e d b y a C a s e C o n t r o l c o m m a n d L O A D . T h e C L O A D e n t r y i s d e s i g n e d t o a p p l y s t a t i c l o a d s t o u p s t r e a m s u p e r e l e m e n t s b y c o m b i n i n g l o a d s d e n e d i n L S E Q e n t r i e s . T h e ( C L O A D , L S E Q ) c o m b i n a t i o n a l l o w s t h e n o n l i n e a r a l g o r i t h m s t o a p p l y i n a n i n c r e m e n t a l f a s h i o n o n t h e u p s t r e a m s u p e r e l e m e n t l o a d s t o t h e b o u n d a r y o f t h e r e s i d u a l s t r u c t u r e .





T h e C L O A D d e n e s a s t a t i c l o a d c o m b i n a t i o n f o r s u p e r e l e m e n t l o a d s a c t i n g o n r e s i d u a l b o u n d a r y a n d t h e L S E Q d e n e s a s t a t i c l o a d c o m b i n a t i o n f o r s u p e r e l e m e n t u p s t r e a m l o a d s . T h e L S E Q a s s i g n s l o a d v e c t o r s t o t h e s u p e r e l e m e n t s a n d n u m e r i c a l l y l a b e l s t h e m v i a t h e D A R E A e l d e n t r y v a l u e . T h e L I D a n d T I D e l d e n t r i e s p o i n t t o t h e a p p r o p r i a t e l o a d a n d t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n e n t r i e s . T h e C L O A D d e n e s a s t a t i c l o a d a s a l i n e a r c o m b i n a t i o n o f p r e v i o u s l y c a l c u l a t e d s u p e r e l e m e n t l o a d s d e n e d b y t h e L S E Q . T h e I D V i e l d s c o r r e s p o n d d i r e c t l y t o t h e n u m e r i c l a b e l s d e n e d v i a t h e D A R E A e l d s o f t h e L S E Q e n t r i e s .

T h e C L O A D m u s t b e s e l e c t e d i n t h e r e s i d u a l s o l u t i o n s u b c a s e v i a t h e c a s e c o n t r o l C L O A D e n t r y . O n l y o n e L O A D S E T m a y a p p e a r i n C a s e C o n t r o l . T h e h i e r a r c h y o f t h e l o a d s d a t a i s s h o w n s c h e m a t i c a l l y i n F i g u r e 5 - 6 . A n e x a m p l e C a s e C o n t r o l S e c t i o n i s s h o w n b e l o w :

.

.

.

S E A L L = A L L $

L O A D S E T = 1 0 0 0 $ S e l e c t s L S E Q 1 0 0 0 f o r u p s t r e a m l o a d s

S U P E R = A L L $ I d e n t i f y S E s t o p r o c e s s

.

.

.

D I S P = A L L

.

.

.

.

.

.

.

.

.

$ N O N L I N E A R S O L U T I O N S F O R R E S I D U A L S U P E R E L E M E N T S

S U B C A S E 1 0

C L O A D = 1 0 0 1 $ R e f e r s t o C L O A D B u l k D a t a

N L P A R M = 1 2 $ I t e r a t i o n c o n t r o l

. .

.

S U B C A S E 2 0

C L O A D = 1 0 0 2

L O A D = 1 0 $ R e s i d u a l S E l o a d

N L P A R M = 2 2

.

.

.





F i g u r e 5 - 6 . H i e r a r c h y o f L o a d D a t a

R e s t a r t s f o r N o n l i n e a r S t a t i c A n a l y s i s

A n y r e s t a r t i n S O L 1 0 6 m u s t h a v e t h e F M S c o m m a n d R E S T A R T a n d t h e t w o p a r a m e t e r s P A R A M , S U B I D , v a l u e a n d P A R A M , L O O P I D , v a l u e .

T h e S U B I D i s t h e s e q u e n t i a l n u m b e r o f a s u b c a s e . I t i s r e c o m m e n d e d t h a t t h e S U B I D v a l u e a l w a y s b e i n c r e m e n t e d b y o n e a n d p o i n t t o a n e w s u b c a s e . T h e n e w S u b c a s e s h o u l d c o n t a i n a n y s t a n d a r d s u b c a s e c o m m a n d s r e q u i r e d .

T h e L O O P I D i s t h e i d e n t i e r o f t h e c o n v e r g e d s o l u t i o n f r o m w h i c h t h e r e s t a r t i s t o t a k e p l a c e . A n y c o n v e r g e d a n d s a v e d s o l u t i o n a l w a y s g i v e s t h e m e s s a g e s :

* * * U S E R I N F O R M A T I O N M E S S A G E 6 1 8 6 ,

* * * S O L U T I O N H A S C O N V E R G E D * * *

S U B I D 7 L O A D I N C 5 L O O P I D 6 7 L O A D S T E P 7 . 0 0 0 L O A D F A C T O R 1 . 0 0 0 0 0

^ ^ ^ D M A P I N F O R M A T I O N M E S S A G E 9 0 0 5 ( N L S T A T I C ) - T H E S O L U T I O N F O R L O O P I D = 6 7

I S S A V E D F O R R E S T A R T

T o r e s t a r t f r o m t h e a b o v e r u n , t h e r e s t a r t m i g h t l o o k l i k e :

R E S T A R T





T I M E 1 0 0 0 0

S O L 1 0 6

D I A G 5 0

C E N D

T I T L E = S A M P L E R E S T A R T

P A R A M , S U B I D , 8

P A R A M , L O O P I D , 6 7 S P C = 2 0 0

M P C = 2 5 0

S E T 1 = 1 1 1 8

D I S P L A C E M E N T = 1

S P C F = 1

S U B C A S E 1

L O A D = 1 0 1

N L P A R M = 5 1

.

.

.

S U B C A S E 7

L O A D = 1 0 7

N L P A R M = 5 7

S U B C A S E 8

L O A D = 1 0 8 N L P A R M = 5 8

B E G I N B U L K

N L P A R M 5 8 5 A U T O 2 0 2 0 P W Y E S

1 - 3 1 - 3 1 - 7 - 3

S P C D 1 0 8 1 1 1 8 3 0 . 0 2 5

F O R C E 1 0 8 1 1 1 8 0 . 0 . 0 . 1 .

E N D D A T A

F o r a f u l l d a t a r e c o v e r y r e s t a r t a f t e r t h e c o m p l e t i o n o f a c o m p l e t e a n a l y s i s p r o c e e d a s a b o v e b u t d o n o t a c t u a l l y a d d t h e n e w S u b c a s e i n C a s e C o n t r o l . F o r e x a m p l e , a s s u m e t h e a n a l y s i s h a s e n d e d i n s u b c a s e 8 a b o v e w i t h t h e f o l l o w i n g m e s s a g e s :

* * * U S E R I N F O R M A T I O N M E S S A G E 6 1 8 6 ,

* * * S O L U T I O N H A S C O N V E R G E D * * *

S U B I D 8 L O A D I N C 5 L O O P I D 7 2 L O A D S T E P 8 . 0 0 0 L O A D F A C T O R 1 . 0 0 0 0 0

^ ^ ^ D M A P I N F O R M A T I O N M E S S A G E 9 0 0 5 ( N L S T A T I C ) - T H E S O L U T I O N F O R L O O P I D = 7 2

I S S A V E D F O R R E S T A R T

P e r f o r m a f u l l d a t a r e c o v e r y r e s t a r t a s f o l l o w s :

R E S T A R T

T I M E 1 0 0 0 0

S O L 1 0 6

D I A G 5 0

C E N D

T I T L E = F U L L D A T A R E C O V E R Y R E S T A R T

M A X L I N E S = 1 0 0 0 0 0 0 0

$ P O I N T T O A N E W S U B C A S E B U T D O N O T A C T U A L L Y A D D A N E W S U B C A S E

P A R A M , S U B I D , 9

P A R A M , L O O P I D , 7 2 S P C = 2 0 0

M P C = 2 5 0

S E T 1 = 1 1 1 8

$ D I S P L A C E M E N T = 1

$ A D D D I S P L A C E M E N T A N D S T R E S S R E Q U E S T S F O R D A T A R E C O V E R Y

D I S P L A C E M E N T = A L L

S T R E S S = A L L

S P C F = 1

S U B C A S E 1

L O A D = 1 0 1

N L P A R M = 5 1

.





.

.

S U B C A S E 7

L O A D = 1 0 7

N L P A R M = 5 7

S U B C A S E 8

L O A D = 1 0 8 N L P A R M = 5 8

B E G I N B U L K

E N D D A T A

N o t e t h a t i n t h e a b o v e , t h e r e i s n o S U B C A S E 9 a d d e d .

T h e r e s u l t o f t h i s l a s t r e s t a r t w i l l b e t h e c o m p l e t e d i s p l a c e m e n t a n d s t r e s s r e s u l t s o u t p u t f o r e a c h c o n v e r g e d s o l u t i o n s a v e d o n t h e d a t a b a s e s t a r t i n g w i t h t h e r s t c o n v e r g e d s o l u t i o n a n d e n d i n g w i t h t h e r e s u l t s o f t h e c o n v e r g e d s o l u t i o n a t L O O P I D = 7 2 .

5 . 3 N o n l i n e a r B u c k l i n g A n a l y s i s

A s i m p l e a p p r o a c h t o n o n l i n e a r b u c k l i n g a n a l y s i s e x i s t s i n S O L 1 0 6 b y u s i n g a q u a d r a t i c e x t r a p o l a t i o n . A s i m i l a r a p p r o a c h t o t h e l i m i t p o i n t c a l c u l a t i o n s w a s p u b l i s h e d b y F u j i k a k e . T h e d i s t i n c t i o n i s t h a t N X N a s t r a n u s e s t w o c o n v e r g e d s o l u t i o n s i n t h e v i c i n i t y o f t h e b u c k l i n g p o i n t t o f o r m a d i f f e r e n t i a l s t i f f n e s s [ Δ K ] , w h e r e a s F u j i k a k e u s e s a c o n v e r g e d p o i n t a n d a n e s t i m a t e d d a t a p o i n t b e y o n d t h e b u c k l i n g p o i n t . T o n d a n i n s t a b i l i t y p o i n t w i t h i n a s m a l l r a n g e o f n o n l i n e a r d o m a i n , t w o m e t h o d s o f i d e a l i z a t i o n c a n b e c o n s i d e r e d :

1 . T h e t a n g e n t s t i f f n e s s m a t r i x i s p r o p o r t i o n a l t o t h e e x t e r n a l l o a d s , w h i c h i m p l i e s t h a t t h e c r i t i c a l l o a d m a y b e l i n e a r l y i n t e r p o l a t e d b y P c r = P n + l · Δ P .

2 . T h e t a n g e n t s t i f f n e s s m a t r i x i s p r o p o r t i o n a l t o t h e d i s p l a c e m e n t i n c r e m e n t s , w h i c h i m p l i e s t h a t t h e c r i t i c a l d i s p l a c e m e n t s m a y b e o b t a i n e d b y e x t r a p o l a t i n g f r o m t h e c u r r e n t s t a t e , i . e . , U c r = U n + l · Δ U .

I t a p p e a r s t h a t F u j i k a k e u s e s t h e r s t a p p r o a c h . N X N a s t r a n u s e s t h e s e c o n d a p p r o a c h . S i n c e t h e t a n g e n t m a t r i x i s a s s u m e d t o c h a n g e l i n e a r l y , t h e i n t e r n a l l o a d s a r e a q u a d r a t i c f u n c t i o n o f t h e d i s p l a c e m e n t s . T h e d i s t i n c t i o n b e t w e e n t h e t w o a p p r o a c h e s d i s a p p e a r s i n t h e l i n e a r b i f u r c a t i o n p r o b l e m .

N o n l i n e a r B u c k l i n g F o r m u l a t i o n

T h e e i g e n v a l u e p r o b l e m f o r a n o n l i n e a r b u c k l i n g a n a l y s i s i s a p p r o x i m a t e d b y

w i t h

w h e r e K n a n d K n - 1 a r e t h e s t i f f n e s s m a t r i c e s e v a l u a t e d a t t h e k n o w n s o l u t i o n p o i n t s i n t h e v i c i n i t y o f t h e i n s t a b i l i t y .

T h e c r i t i c a l d i s p l a c e m e n t s u p o n i n s t a b i l i t y a r e e s t i m a t e d a s

w i t h

.





B a s e d o n t h e v i r t u a l w o r k p r i n c i p l e ,

w h e r e

T h e c r i t i c a l b u c k l i n g l o a d m a y b e e s t i m a t e d a s

w h e r e P n i s t h e l a t e s t l o a d v a l u e w h i c h r e s u l t e d i n c o n v e r g e n c e , a n d

w h e r e P n - 1

i s t h e p r e v i o u s l o a d v a l u e w h i c h r e s u l t e d i n c o n v e r g e n c e , a n d

w h e r e l i s a l i n e a r b u c k l i n g l o a d f a c t o r c o m p u t e d f r o m a l i n e a r b u c k l i n g a n a l y s i s i n w h i c h P n w a s u s e d a s t h e a p p l i e d l o a d . T h e l i n e a r b u c k l i n g a n a l y s i s c a n b e r e q u e s t e d i n a n y n o n l i n e a r b u c k l i n g s u b c a s e , a n d o c c u r s a f t e r a l l o f t h e n o n l i n e a r l o a d s t e p s i n t h e s u b c a s e h a v e b e e n a p p l i e d .

R e s t a r t i s r e q u i r e d f o r a n o n l i n e a r b u c k l i n g a n a l y s i s a f t e r t h e n o n - p o s i t i v e d e n i t e s t i f f n e s s m a t r i x i s d e t e c t e d . S i n c e t h e m o d i e d N e w t o n ’ s m e t h o d i s e m p l o y e d w i t h q u a s i - N e w t o n u p d a t e s i n t h e g e n e r a l p u r p o s e p r o g r a m , t a n g e n t i a l s t i f f n e s s m a t r i c e s i n t h e t w o s u c c e s s i v e i n c r e m e n t s a r e n o t i m m e d i a t e l y a v a i l a b l e i n g e n e r a l .

N o n l i n e a r b u c k l i n g i s r e q u e s t e d w i t h t h e p a r a m e t e r B U C K L E s e t t o + 1 . T h e o p e r a t i o n a l s t e p s a r e t h e n :

1 . R u n S O L 1 0 6 f o r s t a t i c a n a l y s i s a n d c r e a t e a d a t a b a s e f o r r e s t a r t s . I t i s r e c o m m e n d e d t o c o n t i n u e t h e n o n l i n e a r s t a t i c a n a l y s i s w i t h s m a l l s t e p s u n t i l a n e g a t i v e d e t e r m i n a n t o f t h e s t i f f n e s s m a t r i x i s e n c o u n t e r e d .

2 . M a k e a r e s t a r t r u n a s f o l l o w s :

a . S e l e c t P A R A M e n t r i e s S U B I D a n d L O O P I D f o r r e s t a r t .

b . P r o v i d e t w o s m a l l l o a d i n g s t e p s ( b e l o w b u c k l i n g ) . T h i s m a y b e p r o v i d e d b y a d d i n g a n e w s u b c a s e , s k i p p i n g t h e r e s t o f t h e i n c r e m e n t s o f t h e s u b c a s e i n w h i c h t h e s t i f f n e s s m a t r i x b e c o m e s s i n g u l a r .

c . K e e p “ K S T E P = 1 ” i n t h e N L P R A M e n t r y f o r t w o l o a d s t e p s t o b e s o l v e d s o t h a t t h e s t i f f n e s s m a t r i x i s u p d a t e d f o r e a c h s o l u t i o n .

d . I n c l u d e a E I G B B u l k D a t a e n t r y w i t h a M E T H O D c o m m a n d i n t h e C a s e C o n t r o l S e c t i o n f o r t h e e i g e n v a l u e a n a l y s i s . T h e S I N V m e t h o d i s r e c o m m e n d e d f o r t h e e i g e n v a l u e e x t r a c t i o n .

e . P r o v i d e m o d e s h a p e P L O T d a t a i f d e s i r e d .

f . I n c l u d e P A R A M , B U C K L E , 1 .





T o p r o v i d e a m o r e c o n v e n i e n t a n d v e r s a t i l e c a p a b i l i t y f o r n o n l i n e a r b u c k l i n g a n a l y s i s , a n o p t i o n f o r a b u c k l i n g a n a l y s i s u s i n g a c o l d - s t a r t r u n w i t h P A R A M , B U C K L E , 2 w a s i n t r o d u c e d . T h i s o p t i o n a l l o w s b u c k l i n g a n a l y s i s i n a n y s u b c a s e t h a t h a s a M E T H O D c o m m a n d s p e c i e d f o r a n e i g e n v a l u e a n a l y s i s .

E x a m p l e ( N L S O L I D B . D A T )

T h e f o l l o w i n g i n p u t l e s h o w s h o w a n o n l i n e a r b u c k l i n g a n a l y s i s c a n b e p e r f o r m e d i n a c o l d s t a r t r u n . T h e c o m p l e t e i n p u t l e n l s o l i d b . d a t f o r t h i s e x a m p l e i s i n c l u d e d a t i n s t a l l a t i o n _ p a t h / n x n r / n a s t / t p l .

I D N L S O L I D B

$

$ D E S C R I P T I O N - E L A S T I C - P L A S T I C B U C K L I N G O F I M P E R F E C T S P H E R I C A L S H E L L $ H Y D R O S T A T I C P R E S S U R E A P P L I E D , P E R I P H E R Y C L A M P E D

$ M a t e r i a l d e f i n i t i o n : E L A S T I C - P L A S T I C $ E l e m e n t t y p e s : C H E X A

$ $ S O L U T I O N - 1 0 6

$ $ O U T P U T - D I S P L A C E M E N T , O L O A D

$

$ H I S T O R Y - A u g - 5 - 2 0 0 9 M R G , G e n e s i s $

$ * $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $

S O L 1 0 6 C E N D

T I T L E = E L A S T I C - P L A S T I C B U C K L I N G O F I M P E R F E C T S P H E R I C A L S H E L L S U B T I T L E = H Y D R O S T A T I C P R E S S U R E A P P L I E D , P E R I P H E R Y C L A M P E D

S E T 1 0 = 1 0 0 , 2 0 0 , 1 0 9 , 2 0 9 , 1 1 9 , 2 1 9 , 1 3 1 , 2 3 1 S E T 2 0 = 1 0 , 1 1 , 1 5 , 2 0 , 2 5

s e t 3 0 = 1 0 0 0 E C H O = U N S O R T

D I S P = 1 0 o l o a d = 3 0

S P C = 1 0

P A R A M B U C K L E 2 S U B C A S E 1

L O A D = 1 0 N L P A R M = 1 0

S U B C A S E 2 L O A D = 2 0

N L P A R M = 2 0

M E T H O D = 3 0 S K I P O N S U B C A S E 3

L O A D = 3 0

N L P A R M = 3 0 s k i p o f f

S U B C A S E 4 $ S U B C A S E F O R B U C K L I N G A N A L Y S I S L O A D = 4 0

N L P A R M = 4 0 M E T H O D = 3 0

S K I P O F F B E G I N B U L K

$ F O R B U C K L I N G A N A L Y S I S E I G B 3 0 S I N V 0 . 0 2 . 2 0 2 2

$ P R O P E R T I E S

M A T 1 1 1 0 . 8 + 6 0 . 3 + M A T 1 M A T S 1 1 P L A S T I C 1 . 2 2 5 + 6 1 2 7 . 8 + 4

P S O L I D 1 1 1 0 0 B U B B L E $ P A R A M E T E R S

$ p a r a m p o s t 0 P A R A M L G D I S P 1

N L P A R M 1 0 2 A U T O 7 3 0 y e s + N L 1 0

+ N L 1 0 5 2 0 3 N L P A R M 2 0 5 A U T O 1 3 0 y e s + N L 2 0 + N L 2 0 5 2 0 3

N L P A R M 3 0 8 A U T O 7 3 0 + N L 3 0 + N L 3 0 5 2 0 3

N L P A R M 4 0 2 A U T O 1 y e s

$ B O U N D A R Y C O N D I T I O N S P C 1 1 0 1 2 3 4 5 6 1 3 1 1 3 2 2 3 1 2 3 2

G R D S E T 1 0 0 3 4 5 6 $ L O A D I N G

L O A D 1 0 1 . 2 . 1 2 . 2 L O A D 2 0 1 . 3 . 1 3 . 2

L O A D 3 0 1 . 3 . 8 1 3 . 8 2 L O A D 4 0 1 . 3 . 5 1 3 . 5 2

P L O A D 4 1 1 0 1 0 0 0 . 1 0 0 . . .

$ G E O M E T R Y A N D C O N N E C T I V I T Y





C O R D 2 S 1 0 0 0 . 0 . 0 . 0 . 0 . 1 . + C 2 S 1

+ C 2 S 1 1 . 0 . 1 . C O R D 2 S 2 0 0 0 . 0 . - . 3 2 9 0 8 0 . 0 . 1 . + C 2 S 2

+ C 2 S 2 1 . 0 . 1 . G R I D 1 0 0 0 0 . 0 . 0 . 1 2 3 4 5 6

f o r c e 2 1 0 0 0 1 0 0 0 . 0 . 0 . 1 . G R I D 1 0 0 2 0 0 1 . 1 6 3 1 5 0 . 0 . 0 1 2 4 5 6

. . .

C H E X A 1 1 1 1 0 1 1 0 3 1 0 4 1 0 2 2 0 1 2 0 3 + H X 1 1 + H X 1 1 2 0 4 2 0 2 . . .

E N D D A T A

T h e b u c k l i n g a n a l y s i s i s r e q u e s t e d i n S u b c a s e s 2 a n d 4 i n t h e e x a m p l e . N o t i c e t h a t t h e K S T E P e l d o n e a c h o f t h e N L P A R M e n t r i e s f o r b o t h S u b c a s e s 2 a n d 4 a r e s e t t o 1 t o f o r c e a s t i f f n e s s m a t r i x u p d a t e a t e v e r y s o l u t i o n s t e p . T h e P A R A M , B U C K L E , 2 i s p l a c e d a b o v e S u b c a s e 1 , b u t i t c o u l d b e p l a c e d i n t h e B u l k D a t a S e c t i o n o r u n d e r t h e d e s i r e d s u b c a s e s . T h e b u c k l i n g s o l u t i o n s i n S u b c a s e s 2 a n d 4 w i l l b e d i f f e r e n t b e c a u s e t h e n o n l i n e a r b u c k l i n g s o l u t i o n i s a n a p p r o x i m a t e s o l u t i o n b a s e d o n e x t r a p o l a t i o n o f t w o c o n s e c u t i v e i n c r e m e n t a l s o l u t i o n s . T h e b u c k l i n g s o l u t i o n t e n d s t o b e m o r e a c c u r a t e w h e n t h e s e t w o c o n s e c u t i v e i n c r e m e n t a l s t e p s a r e c l o s e r t o t h e b u c k l i n g p o i n t . H o w e v e r , y o u d o n ’ t k n o w w h e r e t h e b u c k l i n g p o i n t i s u n t i l t h e a n a l y s i s i s p e r f o r m e d . F o r t h i s r e a s o n , y o u m a y w a n t t o d i v i d e t h e l o a d i n t o a n u m b e r o f s u b c a s e s a n d

p e r f o r m b u c k l i n g a n a l y s i s i n m u l t i p l e s u b c a s e s . I n t h i s e x a m p l e , t h e r s t s u b c a s e b r i n g s t h e p r e s s u r e l o a d u p t o 2 0 0 0 . 0 i n 2 i n c r e m e n t s . I n t h e . f 0 6 o u t p u t , t h e p r i n t e d l o a d f a c t o r i n d i c a t e s t h e i n c r e m e n t a l l o a d s t e p s f o r a p a r t i c u l a r s u b c a s e . S i n c e t h e r e a r e 2 i n c r e m e n t s d e n e d o n t h e N L P A R M f o r s u b c a s e 1 , t h e l o a d f a c t o r s i n t h e . f 0 6 o u t p u t f o r t h i s s u b c a s e a r e . 5 a n d 1 . 0 c o r r e s p o n d i n g t o t h e l o a d s 1 0 0 0 . 0 a n d 2 0 0 0 . 0 , r e s p e c t i v e l y .

T h e s e c o n d s u b c a s e b e g i n s w i t h t h e 2 0 0 0 . 0 p r e s s u r e l o a d f r o m s u b c a s e 1 a n d b r i n g s t h e p r e s s u r e l o a d u p t o 3 0 0 0 . 0 . S i n c e t h e r e a r e 5 i n c r e m e n t s d e n e d o n t h e N L P A R M f o r s u b c a s e 2 , t h e l o a d f a c t o r s i n t h e . f 0 6 o u t p u t f o r t h i s s u b c a s e a r e . 2 , . 4 , . 6 , . 8 , a n d 1 . 0 c o r r e s p o n d i n g t o t h e l o a d s 2 2 0 0 . 0 , 2 4 0 0 . 0 , 2 6 0 0 . 0 , 2 8 0 0 . 0 , a n d 3 0 0 0 . 0 , r e s p e c t i v e l y .

A t t h e e n d o f t h e s e c o n d s u b c a s e , a n e i g e n v a l u e a n a l y s i s i s p e r f o r m e d d u e t o P A R A M , B U C K L E , 2 , w h i c h r e s u l t s i n a = 0 . 3 2 4 0 . S i n c e P n = 3 0 0 0 . 0 a n d P n - 1 = 2 8 0 0 . 0 , Δ P f o r t h e s e c o n d s u b c a s e i s 2 0 0 .

T h e c r i t i c a l b u c k l i n g l o a d i s c a l c u l a t e d a s :

P c r = P n + a Δ P = 3 0 0 0 + 0 . 3 2 4 0 · 2 0 0 = 3 0 6 4 . 8

E q u a t i o n 5 - 2 .

T h e f o u r t h s u b c a s e a p p l i e s a p r e s s u r e l o a d o f 3 5 0 0 i n t w o i n c r e m e n t s , f o l l o w e d b y a b u c k l i n g a n a l y s i s .

T h e b u c k l i n g a n a l y s i s r e s u l t e d i n a = . 0 6 5 4 7 , a n d t h e b u c k l i n g l o a d f r o m t h i s s e c o n d e i g e n v a l u e a n a l y s i s y i e l d s

P c r = P n + a Δ P = 3 5 0 0 + . 0 6 5 4 7 · 2 5 0 = 3 5 1 6 . 3 7

E q u a t i o n 5 - 3 .

I f t h i s b u c k l i n g a n a l y s i s i s r e p e a t e d b y a r e s t a r t r u n i n t o s u b c a s e 4 u s i n g P A R A M , B U C K L E , 1 , t h e e i g e n v a l u e a n a l y s i s s h o u l d g i v e a n i d e n t i c a l s o l u t i o n w i t h i n r o u n d - o f f e r r o r .

D i s c u s s i o n

L e t u s r e t u r n t o t h e e x a m p l e l i s t o f t h e i n p u t d a t a f o r a r e v i e w . N o t i c e t h e O L O A D r e q u e s t f o r g r i d p o i n t 1 0 0 0 t h a t i s x e d i n s p a c e . H o w e v e r , a f o r c e o f 1 0 0 0 i s a p p l i e d t o t h i s d u m m y n o d e w i t h t h e s a m e s c a l i n g i n t h e L O A D B u l k D a t a a s t h e p r e s s u r e l o a d . T h i s O L O A D r e q u e s t p r i n t s t h e a p p l i e d l o a d f o r G R I D 1 0 0 0 a t t h e e i g e n v a l u e s o l u t i o n s t e p u n d e r t h e h e a d i n g L O A D





V E C T O R . T h i s a p p l i e d l o a d a t b u c k l i n g i s i d e n t i c a l t o t h e c r i t i c a l b u c k l i n g l o a d c a l c u l a t e d a b o v e . O n e c a n u s e t h i s v a l u e a s t h e c r i t i c a l b u c k l i n g l o a d i n s t e a d o f p e r f o r m i n g t h e a b o v e c a l c u l a t i o n .

T h e r e a r e t w o m o r e w a y s t o e s t i m a t e t h e c r i t i c a l b u c k l i n g l o a d . O n e m e t h o d i s t h e a r c l e n g t h m e t h o d t h a t c a n p r o v i d e s o l u t i o n s p a s t t h e c r i t i c a l b u c k l i n g l o a d i n t o t h e p o s t - b u c k l i n g s t a t e .

U s i n g t h e a r c l e n g t h m e t h o d , t h e n o d a l d i s p l a c e m e n t o f a p o i n t w i t h t h e m o s t n o t i c e a b l e m o t i o n s h o u l d b e t r a c e d t o d e t e c t t h e p e a k l o a d . T h e a p p l i e d l o a d a t t h i s p e a k r e s e m b l e s t h e c r i t i c a l b u c k l i n g l o a d . A n o t h e r m e t h o d i s t o u s e t h e N e w t o n ’ s m e t h o d u n t i l t h e s o l u t i o n c a n n o t b e o b t a i n e d d u e t o d i v e r g e n c e , i n w h i c h c a s e a d a p t i v e b i s e c t i o n m e t h o d i s a c t i v a t e d i n t h e v i c i n i t y o f t h e c r i t i c a l b u c k l i n g l o a d a n d s t o p s a t t h e l i m i t l o a d c l o s e t o t h e c r i t i c a l b u c k l i n g l o a d . W h e n t h e e x a m p l e p r o b l e m w a s a n a l y z e d u s i n g a n a r c l e n g t h m e t h o d ( C R I S ) , t h e s o l u t i o n w e n t t h r o u g h t h e p e a k l o a d o f 3 5 5 9 . 2 . W h e n t h e s a m e p r o b l e m w a s a n a l y z e d u s i n g t h e N e w t o n ’ s m e t h o d w i t h b i s e c t i o n p r o c e d u r e , t h e s o l u t i o n t r a c e d u p t o t h e m a x i m u m l o a d o f 3 5 4 0 . 6 3 b e f o r e d i v e r g i n g d u e t o i n s t a b i l i t y . W h e n t h e m o d e l w a s r e m e s h e d w i t h a b o u t 1 0 0 t i m e s m o r e e l e m e n t s , t h e b u c k l i n g a n a l y s i s p r o c e d u r e p r e d i c t e d a c r i t i c a l b u c k l i n g l o a d a t 3 5 4 5 . 4 3 . I n t h i s r e n e d m o d e l , N e w t o n ’ s m e t h o d w i t h b i s e c t i o n c o n v e r g e d u p t o 3 5 4 6 . 8 8 a n d t h e a r c l e n g t h m e t h o d p e a k e d a t 3 5 5 5 . 7 2 .

C o n c l u d i n g R e m a r k s

T h e f o l l o w i n g c o n c l u s i o n c a n b e d r a w n f r o m t h i s e x a m p l e . M o r e r e n e d m o d e l s g e n e r a l l y r e s u l t i n m o r e a c c u r a t e s o l u t i o n s a s t h e e i g e n v a l u e a n a l y s i s p r e d i c t s a m o r e a c c u r a t e b u c k l i n g p o i n t a s t h e t w o s o u l t i o n p o i n t s f o r e x t r a p o l a t i o n a p p r o a c h t h e a c t u a l b u c k i n g p o i n t . C o m p a r i s o n o f t h e r e s u l t s c o n r m s t h a t t h e l i m i t l o a d o b t a i n e d f r o m N e w t o n ’ s m e t h o d w i t h a d a p t i v e b i s e c t i o n p r o c e s s c l o s e l y p r e d i c t s t h e c r i t i c a l b u c k l i n g l o a d . T h e a r c l e n g t h m e t h o d t e n d s t o p r e d i c t a s l i g h t l y h i g h e r v a l u e f o r t h e b u c k l i n g l o a d .

5 . 4 N o n l i n e a r M o d a l A n a l y s i s

Y o u c a n r e q u e s t p r e s t r e s s e d n o r m a l m o d e s a t t h e e n d o f e a c h s u b c a s e i n S O L 1 0 6 b y a d d i n g

t h e f o l l o w i n g i t e m s t o t h e i n p u t l e . • A d d M E T H O D = S I D i n t h e s u b c a s e o f i n t e r e s t . A p r e s t r e s s e d n o r m a l m o d e a n a l y s i s w i l l t h e n

b e p e r f o r m e d a t t h e e n d o f t h i s s u b c a s e . T h e M E T H O D c o m m a n d p o i n t s t o a n E I G R L o r E I G R B u l k D a t a e n t r y w h i c h t h e n s e l e c t s a n e i g e n v a l u e m e t h o d .

• F o r m u l t i p l e n o r m a l m o d e a n a l y s e s i n S O L 1 0 6 , t h e M E T H O D c o m m a n d m a y a p p e a r i n m o r e t h a n o n e s u b c a s e o r a b o v e a l l s u b c a s e s . I n t h e l a t t e r c a s e , a n o r m a l m o d e a n a l y s i s i s p e r f o r m e d a t t h e e n d o f e a c h s u b c a s e . T h e s t i f f n e s s u s e d f o r m o d a l a n a l y s i s c o r r e s p o n d s t o t h e l a s t s t e p o f t h e s u b c a s e . M o d a l a n a l y s i s c a n n o t b e p e r f o r m e d a t i n t e r m e d i a t e s o l u t i o n s t e p .

• A P A R A M , N M L O O P , l o o p i d c o m m a n d m u s t a p p e a r i n t h e C a s e C o n t r o l o r B u l k D a t a S e c t i o n t o r e q u e s t a n o r m a l m o d e a n a l y s i s a t t h e e n d o f t h o s e s u b c a s e s w i t h a M E T H O D c o m m a n d . T h e a c t u a l v a l u e o f l o o p i d i s u n i m p o r t a n t a s l o n g a s i t i s a p o s i t i v e i n t e g e r . T h i s a l l e v i a t e s t h e c u m b e r s o m e t a s k o f g u r i n g o u t t h e e x a c t l o o p i d .

• A d d t h e a p p r o p r i a t e E I G R L o r E I G R e n t r y i n t h e B u l k D a t a S e c t i o n o f t h e N X N a s t r a n Q u i c k R e f e r e n c e G u i d e .

E x a m p l e ( T U R B I N E 1 . D A T )

T h e f o l l o w i n g e x a m p l e i s a n o r m a l m o d e a n a l y s i s o f a p r e s t r e s s e d t u r b i n e b l a d e . ( S e e F i g u r e 5 - 7 ) T h e b l a d e i s m o d e l e d w i t h C H E X A e l e m e n t s a n d l o a d e d w i t h c e n t r i f u g a l f o r c e s ( R F O R C E ) . T h e d e f a u l t i t e r a t i o n s t r a t e g y i s s e l e c t e d o n t h e N L P A R M B u l k D a t a e n t r y . T h e s o f t w a r e





a u t o m a t i c a l l y u p d a t e s t h e s t i f f n e s s m a t r i x a t t h e e n d o f t h e s u b c a s e i f a M E T H O D C a s e C o n t r o l c o m m a n d a p p e a r s i n t h e s u b c a s e .

F i g u r e 5 - 7 . P r e s t r e s s e d M o d e s o f a T u r b i n e B l a d e

A n e x c e r p t o f t h e i n p u t l e i s s h o w n b e l o w .

S O L 1 0 6 D I A G 8

C E N D T I T L E = T u r b i n e B l a d e

E C H O = S O R T , P U N C H

S P C = 2 0 0 L O A D = 3 0 0

N L P A R = 4 0 0 M E T H O = 5 0 0

D I S P ( P L O T ) = A L L E L S T ( P L O T ) = A L L

N L S T R E S S = N O N E B E G I N B U L K

P S O L I D 1 0 0 1 0 0 M A T 1 1 0 0 1 . + 7 . 3 1 .

R F O R C E 3 0 0 . 5 1 . 2

N L P A R M 4 0 0 1 2 0 0 + N + N 1 . - 6 1 . - 1 2 + B

+ B 0 E I G R L 5 0 0 6

P A R A M C O U P M A S S 1 P A R A M L G D I S P 1

P A R A M N M L O O P 1 P A R A M P O S T 0

$ C H E X A 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 + M 0 0 0 0 0

+ M 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 G R I D 1 9 3 2 4 4 4 . 4 . 5 - . 2 4 5 6

S P C 1 2 0 0 1 2 3 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 2 0 0 1 0 3 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 + M 0 0 6 4 8

+ M 0 0 6 4 8 1 1 2 0 0 1 1 3 0 0 1 2 0 0 0 1 2 1 0 0 1 2 2 0 0 1 2 3 0 0 1 3 0 0 0 1 3 1 0 0 + M 0 0 6 4 9 + M 0 0 6 4 9 1 3 2 0 0 1 3 3 0 0 1 4 0 0 0 1 4 1 0 0 1 4 2 0 0 1 4 3 0 0 1 5 0 0 0 1 5 1 0 0 + M 0 0 6 5 0

+ M 0 0 6 5 0 1 5 2 0 0 1 5 3 0 0 1 6 0 0 0 1 6 1 0 0 1 6 2 0 0 1 6 3 0 0 1 7 0 0 0 1 7 1 0 0 + M 0 0 6 5 1 + M 0 0 6 5 1 1 7 2 0 0 1 7 3 0 0 1 8 0 0 0 1 8 1 0 0 1 8 2 0 0 1 8 3 0 0 1 9 0 0 0 1 9 1 0 0 + M 0 0 6 5 2

+ M 0 0 6 5 2 1 9 2 0 0 1 9 3 0 0 $

$ P L U S T H E R E S T O F T H E M O D E L $

E N D D A T A

R e s t a r t i n g f r o m S O L 1 0 6 i n t o S O L 1 0 3 o r i n t o A n o t h e r L i n e a r S o l u t i o n S e q u e n c e

F o r t h e p u r p o s e o f a p r e s t r e s s e d n o r m a l m o d e s a n a l y s i s , y o u c a n r e s t a r t f r o m a S O L 1 0 6 r u n i n t o a n o t h e r S O L 1 0 6 r u n t o p e r f o r m t h e p r e s t r e s s e d n o r m a l m o d e s c a l c u l a t i o n .

R e s t a r t s f r o m S O L 1 0 6 i n t o l i n e a r s o l u t i o n s e q u e n c e s a r e n o t r e c o m m e n d e d t o t h e n o v i c e u s e r b e c a u s e o f s e v e r a l l i m i t a t i o n s . T h e r e s u l t s o f t h e l i n e a r r e s t a r t a r e i n c r e m e n t a l v a l u e s w i t h





r e s p e c t t o t h e p r e l o a d , n o t t o t a l v a l u e s . H o w e v e r , s o m e e x p e r i e n c e d u s e r s r e s t a r t f r o m S O L 1 0 6 i n t o S O L 1 0 3 t o p e r f o r m p r e s t r e s s e d m o d a l a n a l y s i s w i t h c h a n g i n g b o u n d a r y c o n d i t i o n s , o r r e s t a r t i n t o a n o t h e r l i n e a r s o l u t i o n s e q u e n c e t o p e r f o r m a p e r t u r b e d l i n e a r s o l u t i o n o n a p r e l o a d e d s t r u c t u r e . I n t h e S O L 1 0 6 c o l d s t a r t r u n , K M E T H O D = ’ I T E R ’ o r ‘ A U T O ’ a n d K S T E P = 1 m u s t b e s p e c i e d o n t h e N L P A R M B u l k D a t a e n t r y i n o r d e r t o r e s t a r t f r o m t h e e n d o f t h e s u b c a s e . W i t h t h e s e p a r a m e t e r s , a l l n o n l i n e a r i n f o r m a t i o n i s s t o r e d o n t h e d a t a b a s e s o t h a t t h e n o n l i n e a r t a n g e n t s t i f f n e s s c a n b e r e c o v e r e d i n t h e l i n e a r r e s t a r t r u n . T h e f o l l o w i n g c o m m a n d m u s t b e i n c l u d e d i n t h e l i n e a r r e s t a r t r u n :

P A R A M , N M L O O P , l o o p i d i n t h e C a s e C o n t r o l o r

B u l k D a t a S e c t i o n , w h e r e l o o p i d i s t h e l o a d s t e p i d a t

t h e e n d o f a s u b c a s e f r o m t h e S O L 1 0 6 c o l d s t a r t r u n .

R e s t a r t s a r e a l s o a l l o w e d a t i n t e r m e d i a t e s t e p s w i t h i n a s u b c a s e . T h e p a r a m e t e r I N T O U T o n t h e N L P A R M e n t r y m u s t b e s e t t o ‘ Y E S ’ o r ‘ A L L ’ i n t h e S O L 1 0 6 c o l d s t a r t r u n t o s t o r e i n t e r m e d i a t e s t e p s o n t h e d a t a b a s e f o r r e s t a r t p u r p o s e s . H o w e v e r , t h e f o l l o w e r f o r c e s t i f f n e s s m a y n o t b e u p d a t e d a t i n t e r m e d i a t e s t e p s . T h e r e f o r e , y o u s h o u l d r e s t a r t f r o m t h e e n d o f a s u b c a s e i f t h e e f f e c t o f f o l l o w e r f o r c e s t i f f n e s s i s i m p o r t a n t .

D i f f e r e n t i a l S t i f f n e s s a n d F o l l o w e r F o r c e S t i f f n e s s i n L i n e a r a n d N o n l i n e a r S o l u t i o n S e q u e n c e s

F o r p r e s t r e s s e d n o r m a l m o d e a n a l y s i s , i t i s u s e f u l t o k n o w w h i c h s t i f f n e s s c o n t r i b u t i o n s a r e i n c l u d e d . T h e t a b l e b e l o w s u m m a r i z e s t h e a c t i o n o f t h e p a r a m e t e r s L G D I S P a n d F O L L O W K i n S O L 1 0 6 a s c o m p a r e d t o t h e a c t i o n o f F O L L O W K i n l i n e a r s o l u t i o n s e q u e n c e s . I n s o m e c a s e s , t h e d e f a u l t s e t t i n g s f o r l i n e a r a n d n o n l i n e a r s o l u t i o n s e q u e n c e s a r e n o t t h e s a m e . I n n o n l i n e a r s t a t i c a n a l y s i s ( S O L 1 0 6 ) , f o r t h e d e f a u l t o f L G D I S P = - 1 ( g e o m e t r i c l i n e a r ) , t h e p a r a m e t e r F O L L O W K ( f o l l o w e r f o r c e s t i f f n e s s ) i s i g n o r e d . F o r L G D I S P = 1 , F O L L O W K i s s e t t o Y E S b y d e f a u l t . I n t h e l i n e a r s o l u t i o n s e q u e n c e s , F O L L O W K = Y E S i s t h e d e f a u l t , s e e C a s e N o . 3 i n T a b l e 5 - 2 .

I n t h e o r y , t h e f o l l o w e r f o r c e s t i f f n e s s i s u n s y m m e t r i c . T h e l i n e a r s o l u t i o n s e q u e n c e s a l w a y s

s y m m e t r i z e t h e f o l l o w e r f o r c e s t i f f n e s s . B y d e f a u l t , S O L 1 0 6 u s e s t h e s y m m e t r i z e d f o l l o w e r f o r c e s t i f f n e s s t o i m p r o v e p e r f o r m a n c e . Y o u c a n u s e t h e p a r a m e t e r F K S Y N F A C t o s p e c i f y u n s y m m e t r i c f o l l o w e r f o r c e s t i f f n e s s .

S e e A l s o

• “ F K S Y M F A C ” i n t h e N X N a s t r a n Q u i c k R e f e r e n c e G u i d e

I n g e n e r a l , y o u s h o u l d u s e t h e s y m m e t r i z e d f o l l o w e r f o r c e s t i f f n e s s b e c a u s e i t g i v e s s u f c i e n t a c c u r a t e r e s u l t s w i t h s u b s t a n t i a l p e r f o r m a n c e i m p r o v e m e n t .

I n S O L 1 2 9 , f o l l o w e r f o r c e s a r e i n c l u d e d , h o w e v e r , t h e f o l l o w e r f o r c e s t i f f n e s s i s n e v e r c a l c u l a t e d .

T a b l e 5 - 2 . D i f f e r e n t i a l S t i f f n e s s a n d F o l l o w e r F o r c e S t i f f n e s s C o n t r i b u t i o n

P a r a m e t e r s S O L 1 0 6 C o l d S t a r t o r R e s t a r t R e s t a r t f r o m S O L

1 0 6 i n t o S O L 1 0 3

S O L 1 0 3 C o l d

S t a r t U s i n g

S T A T S U B

L G D I S P F O L L O W K N o n l i n e a r

E l e m e n t F o r c e S t i f f n e s s S t i f f n e s s S t i f f n e s s

1 1 Y E S L + M + D + F L + M + D + F L + M + D + F L + D ’ + F ’

2 1 N O L + M + D + F L + M + D L + M + D L + D ’

3 - 1 Y E S L + M L + M L + M + D ’ + F ’ L + D ’ + F ’





T a b l e 5 - 2 . D i f f e r e n t i a l S t i f f n e s s a n d F o l l o w e r F o r c e S t i f f n e s s C o n t r i b u t i o n

P a r a m e t e r s S O L 1 0 6 C o l d S t a r t o r R e s t a r t R e s t a r t f r o m S O L

1 0 6 i n t o S O L 1 0 3

S O L 1 0 3 C o l d

S t a r t U s i n g

S T A T S U B

L G D I S P F O L L O W K N o n l i n e a r

E l e m e n t F o r c e S t i f f n e s s S t i f f n e s s S t i f f n e s s

4 - 1 N O L + M L + M L + M + D ’ L + D ’

5 2 Y E S L + M + D L + M + D + F L + M + D + F L + D ’ + F ’

6 2 N O L + M + D L + M + D L + M + D L + D ’

w h e r e :

L = l i n e a r p a r t o f e l e m e n t f o r c e o r s t i f f n e s s

M = m a t e r i a l n o n l i n e a r p a r t o f e l e m e n t f o r c e o r s t i f f n e s s

D = d i f f e r e n t i a l o r g e o m e t r i c n o n l i n e a r p a r t o f e l e m e n t f o r c e o r s t i f f n e s s

D ’ = d i f f e r e n t i a l p a r t o f s t i f f n e s s f o r s m a l l d e f o r m a t i o n s

F = f o l l o w e r f o r c e p a r t o f e l e m e n t f o r c e o r s t i f f n e s s

F ’ = f o l l o w e r f o r c e p a r t o f s t i f f n e s s f o r s m a l l d e f o r m a t i o n s

A l l o t h e r l i n e a r s o l u t i o n s e q u e n c e s ( e . g . , S O L 1 0 5 , 1 0 8 , e t c . ) h a v e t h e s a m e d e f a u l t a s S O L 1 0 3 .

5 . 5 N o n l i n e a r T r a n s i e n t R e s p o n s e A n a l y s i s

T h e i n p u t d a t a r e q u i r e d f o r S O L 1 2 9 i s a c o m b i n a t i o n o f d i r e c t t i m e i n t e g r a t i o n c o n t r o l d a t a , s i m i l a r t o S O L 1 0 9 ( f o r d i r e c t l i n e a r t r a n s i e n t w i t h s u p e r e l e m e n t s ) , a n d n o n l i n e a r m o d e l i n g d a t a s i m i l a r t o S O L 1 0 6 ( f o r n o n l i n e a r s t a t i c s ) . T h e n o n l i n e a r p r o p e r t i e s a n d / o r e f f e c t s a r e d e n e d b y n o n l i n e a r m a t e r i a l d a t a ( M A T S 1 , M A T H P , a n d T A B L E S 1 ) , g a p e l e m e n t s ( G A P ) o r s l i d e l i n e c o n t a c t ( B C O N P , B L S E G , a n d B F R I C ) f o r n o n l i n e a r i n t e r f a c e , a n d P A R A M e t e r L G D I S P f o r g e o m e t r i c n o n l i n e a r i t y . T h e t r a n s i e n t e f f e c t s a r e p r o d u c e d b y t i m e - d e p e n d e n t l o a d i n g f u n c t i o n s ( T L O A D i , D A R E A , L S E Q , e t c . ) , d a m p i n g ( p a r a m e t e r s , e l e m e n t s a n d m a t e r i a l d a t a ) , a n d m a s s p r o p e r t i e s . M a s s l e s s d e g r e e - o f - f r e e d o m s h o u l d b e a v o i d e d f o r n u m e r i c a l s t a b i l i t y a n d t h e s m a l l d a m p i n g i s a l s o r e c o m m e n d e d .

T h e u n i q u e d a t a r e q u i r e d f o r S O L 1 2 9 i s s u p p l i e d o n t h e T S T E P N L B u l k D a t a e n t r y . T h e T S T E P N L e n t r y i n i t s e l f i s a c o m b i n a t i o n o f t h e T S T E P e n t r y f o r d i r e c t t i m e i n t e g r a t i o n a n d t h e N L P A R M e n t r y f o r n o n l i n e a r i t e r a t i o n c o n t r o l . R e s t a r t s a r e c o n t r o l l e d b y p a r a m e t e r s ( L O O P I D , S T I M E , S L O O P I D , a n d S D A T A ) w h i c h c a n b e s p e c i e d e i t h e r i n t h e C a s e C o n t r o l S e c t i o n o r B u l k D a t a S e c t i o n . S o m e o p t i o n a l p a r a m e t e r s ( T S T A T I C , N D A M P ) a r e p r o v i d e d f o r a d d i t i o n a l c o n t r o l o r c a p a b i l i t i e s .

C a s e C o n t r o l

E a c h s u b c a s e d e n e s a t i m e i n t e r v a l s t a r t i n g f r o m t h e l a s t t i m e s t e p o f t h e p r e v i o u s s u b c a s e a n d t h e i n t e r v a l i s s u b d i v i d e d i n t o s m a l l t i m e s t e p s . T h e o u t p u t t i m e i s l a b e l e d b y t h e c u m u l a t i v e t i m e , i n c l u d i n g a l l p r e v i o u s s u b c a s e s . T h e r e a r e a d v a n t a g e s t o d i v i d e t h e t o t a l d u r a t i o n o f a n a l y s i s i n t o m a n y s u b c a s e s s o t h a t e a c h s u b c a s e d o e s n o t h a v e e x c e s s i v e n u m b e r o f t i m e s t e p s ,





e . g . , n o t t o e x c e e d 2 0 0 s t e p s . T h e d a t a b l o c k s c o n t a i n i n g s o l u t i o n s a r e g e n e r a t e d a t t h e e n d o f e a c h s u b c a s e t o s t o r e i n t h e d a t a b a s e f o r o u t p u t p r o c e s s a n d r e s t a r t s . A s s u c h , c o n v e r g e d s o l u t i o n s a r e a p t t o b e s a v e d a t m a n y i n t e r m e d i a t e s t e p s i n c a s e o f d i v e r g e n c e a n d m o r e e x i b l e c o n t r o l b e c o m e s p o s s i b l e w i t h m u l t i p l e s u b c a s e s .

T h e i n p u t l o a d i n g f u n c t i o n s m a y b e c h a n g e d f o r e a c h s u b c a s e o r c o n t i n u e d b y r e p e a t i n g t h e s a m e D L O A D c o m m a n d . H o w e v e r , i t i s r e c o m m e n d e d t o u s e t h e s a m e T L O A D i B u l k D a t a f o r a l l t h e s u b c a s e s i n o r d e r t o m a i n t a i n t h e c o n t i n u i t y b e t w e e n s u b c a s e s , b e c a u s e T L O A D i e n t r i e s d e n e t h e l o a d i n g h i s t o r y a s a f u n c t i o n o f c u m u l a t i v e t i m e . S t a t i c l o a d s ( P L O A D i , F O R C E i , M O M E N T i ) m a y b e a s s o c i a t e d w i t h t i m e - d e p e n d e n t f u n c t i o n s b y t h e L S E Q B u l k D a t a e n t r y t h a t c a n b e s e l e c t e d b y a C a s e C o n t r o l c o m m a n d L O A D S E T . H o w e v e r , t h e r m a l l o a d s o r e n f o r c e d d i s p l a c e m e n t s ( S P C D ) a r e n o t a l l o w e d i n t h e n o n l i n e a r t r a n s i e n t a n a l y s i s . N o n l i n e a r f o r c e s a s f u n c t i o n o f d i s p l a c e m e n t s o r v e l o c i t i e s ( N O L I N i ) m a y b e s e l e c t e d a n d p r i n t e d b y C a s e C o n t r o l c o m m a n d s N O N L I N E A R a n d N L L O A D , r e s p e c t i v e l y . E a c h s u b c a s e m a y h a v e a d i f f e r e n t t i m e s t e p s i z e , t i m e i n t e r v a l , a n d i t e r a t i o n c o n t r o l s e l e c t e d b y t h e T S T E P N L r e q u e s t . T h e C a s e C o n t r o l c o m m a n d s w h i c h m a y n o t b e c h a n g e d a f t e r t h e r s t s u b c a s e a r e : S P C , M P C , D M I G , a n d T F .

O u t p u t r e q u e s t s f o r S T R E S S , S D I S P L A C E M E N T , S V E L O C I T Y , S A C C E L E R A T I O N ,

a n d N O N L I N E A R m a y b e s p e c i e d w i t h i n a s u b c a s e . D I S P L A C E M E N T , V E L O C I T Y , A C C E L E R A T I O N , O L O A D , F O R C E , a n d S P C F O R C E m u s t b e s p e c i e d a b o v e t h e s u b c a s e l e v e l . H o w e v e r , F O R C E o u t p u t a n d G P S T R E S S o u t p u t a r e n o t a v a i l a b l e f o r n o n l i n e a r e l e m e n t s .

I n i t i a l c o n d i t i o n s ( d i s p l a c e m e n t o r v e l o c i t y ) c a n b e s p e c i e d b y t h e B u l k D a t a T I C s e l e c t a b l e b y t h e C a s e C o n t r o l c o m m a n d I C . I f i n i t i a l c o n d i t i o n s w e r e g i v e n , a l l o f t h e n o n l i n e a r e l e m e n t f o r c e s a n d s t r e s s e s m u s t b e c o m p u t e d t o s a t i s f y e q u i l i b r i u m w i t h t h e p r e s c r i b e d i n i t i a l c o n d i t i o n s . O n t h e o t h e r h a n d , i n i t i a l c o n d i t i o n s c o u l d b e a p a r t o f t h e n o n l i n e a r a n a l y s i s b y a p p l y i n g s t a t i c a n a l y s i s f o r t h e p r e l o a d u s i n g P A R A M , T S T A T I C i n t h e r s t s u b c a s e . T h e n t h e t r a n s i e n t a n a l y s i s c a n b e p e r f o r m e d i n t h e e n s u i n g s u b c a s e s . A s s o c i a t e d w i t h t h e a d a p t i v e t i m e s t e p p i n g m e t h o d , t h e P A R A M e t e r N D A M P i s u s e d t o c o n t r o l t h e s t a b i l i t y i n t h e A D A P T m e t h o d . T h e p a r a m e t e r N D A M P r e p r e s e n t s t h e n u m e r i c a l d a m p i n g ( r e c o m m e n d e d v a l u e f o r u s u a l c a s e i s 0 . 0 1 ) w h i c h o f t e n r e q u i r e d t o i m p r o v e t h e s t a b i l i t y a n d c o n v e r g e n c e i n t h e c o n t a c t p r o b l e m s .

A l l t h e s u p e r e l e m e n t m o d e l g e n e r a t i o n o p t i o n s a n d m a t r i x r e d u c t i o n o p t i o n s a r e a l l o w e d f o r t h e l i n e a r p o r t i o n o f t h e s t r u c t u r e . T h e c o m p o n e n t m o d e s y n t h e s i s a n d G u y a n r e d u c t i o n m a y b e p e r f o r m e d f o r u p s t r e a m s u p e r e l e m e n t s . T h e r e s i d u a l s u p e r e l e m e n t m a y c o n t a i n s c a l a r d e g r e e - o f - f r e e d o m r e p r e s e n t i n g l i n e a r m o d a l f o r m u l a t i o n s .

L i m i t a t i o n s o f N o n l i n e a r T r a n s i e n t R e s p o n s e A n a l y s i s

1 . N o c o n s t r a i n t s e t c h a r g e s a r e a l l o w e d b e t w e e n s u b c a s e s o r i n r e s t a r t s .

2 . N o i n i t i a l p r e l o a d s s u c h a s c l o s e d g a p s o r t e r m i n a l l o a d s a r e a l l o w e d i n a c o l d s t a r t . S e e P A R A M , L O O P I D u n d e r “ R e s t a r t s ” i n t h i s s e c t i o n .

3 . O v e r a l l s t r u c t u r e d a m p i n g ( P A R A M , G ) i s n o t p r o v i d e d i n n o n l i n e a r e l e m e n t s . U s e t h e d a m p i n g e l d i n t h e m a t e r i a l ( M A T i ) d a t a e n t r y a n d t h e P A R A M e t e r W 4 t o s u p p l y d a m p i n g b a s e d o n t h e l i n e a r p r o p e r t i e s .

4 . E l e m e n t f o r c e s a r e n o t c o m p u t e d f o r n o n l i n e a r e l e m e n t s . O u t p u t r e q u e s t s w i l l b e i g n o r e d .

5 . W h e n m u l t i p l e s u b c a s e s a r e s p e c i e d , i t i s r e c o m m e n d e d t h a t a s i n g l e t i m e f u n c t i o n ( s e e t h e T L O A D i B u l k D a t a e n t r y d e s c r i p t i o n ) b e a s s i g n e d t o a n a p p l i e d l o a d t h r o u g h o u t t h e e n t i r e t i m e s p a n o f t h e s o l u t i o n . T h i s t i m e f u n c t i o n c a n b e u s e d f o r a l l s u b c a s e s . I f d i f f e r e n t t i m e f u n c t i o n s a r e t o b e u s e d b e t w e e n s u b c a s e s , e n s u r e t h a t t h e t i m e f u n c t i o n s a r e c o n t i n u o u s b e t w e e n s u b c a s e s .





6 . E l e m e n t s t r e s s e s f o r n o n l i n e a r e l e m e n t s a r e c o m p u t e d a n d p r i n t e d d u r i n g t h e n o n l i n e a r i t e r a t i o n p h a s e o n l y . T h e y a r e n o t m e r g e d w i t h t h o s e o f t h e l i n e a r e l e m e n t s .

D i r e c t T i m e I n t e g r a t i o n

I f t h e e f f e c t s o f i n e r t i a a n d d a m p i n g f o r c e s a r e t o b e i n c l u d e d i n t h e n o n l i n e a r a n a l y s i s , t h e n o n l i n e a r t r a n s i e n t r e s p o n s e i s a n a l y z e d b y a s t e p - b y - s t e p i n t e g r a t i o n o f a n e q u a t i o n o f m o t i o n , i . e . ,

E q u a t i o n 5 - 4 .

B y d i r e c t n u m e r i c a l i n t e g r a t i o n , t h e e q u i l i b r i u m o f E q . 5 - 4 i s s a t i s e d a t d i s c r e t e t i m e s t e p s w i t h a n i n t e r v a l o f Δ t . T h e e q u i l i b r i u m i s e n s u r e d b y i t e r a t i o n s u n t i l t h e s o l u t i o n c o n v e r g e s t o t h e p r e s e t e r r o r t o l e r a n c e .

P r o c e d u r e s , s u c h a s t h e q u a s i - N e w t o n u p d a t e a n d l i n e s e a r c h p r o c e s s , p r o v i d e u s e r s w i t h a d d i t i o n a l o p t i o n s t o a d j u s t i n c r e m e n t a l a n d i t e r a t i v e p r o c e s s e s i n s e a r c h o f m o r e e f c i e n t a n d e f f e c t i v e s t r a t e g y f o r o b t a i n i n g s o l u t i o n s . A s e l f - a d a p t i v e t i m e s t e p p i n g m e t h o d t h a t a d j u s t s t i m e s t e p a u t o m a t i c a l l y d u r i n g a n a l y s i s i s a v a i l a b l e .

N e w m a r k ’ s d i r e c t t i m e i n t e g r a t i o n m e t h o d i s i m p l e m e n t e d u s i n g t h e t w o - p o i n t r e c u r r e n c e ( o r o n e - s t e p ) f o r m u l a a s a f o u n d a t i o n o f t h i s s e l f - a d a p t i v e t i m e s t e p p i n g a l g o r i t h m . T h e o p t i m a l t i m e s t e p s i z e , w h i c h i s r e q u i r e d f o r a c c u r a c y a n d e f c i e n c y , c h a n g e s c o n t i n u o u s l y i n t h e t r a n s i e n t d y n a m i c e n v i r o n m e n t . T h e p r i m a r y c o n c e p t o f a u t o m a t i c t i m e s t e p a d j u s t m e n t i s t h a t t h e p r o p e r s i z e o f t h e t i m e s t e p c a n b e p r e d i c t e d b a s e d o n t h e d o m i n a n t f r e q u e n c y i n t h e i n c r e m e n t a l d e f o r m a t i o n p a t t e r n a t t h e p r e v i o u s t i m e s t e p . T h i s c o n c e p t p r e s e n t s a d e c i e n c y o f t i m e l a g i n v o l v e d i n t h e p r e d i c t i o n p r o c e s s . F u r t h e r m o r e , c h a n g e s i n n o n l i n e a r i t y c a n n o t b e p r e d i c t e d f r o m t h e d e f o r m a t i o n p a t t e r n a t t h e p r e v i o u s t i m e s t e p . T h i s d e c i e n c y i s o v e r c o m e

b y t h e b i s e c t i o n p r o c e s s , w h i c h i s a c t i v a t e d w h e n a n y d i f c u l t i e s a r i s e i n t e r m s o f c o n v e r g e n c e d u r i n g t h e i t e r a t i o n .

F r e q u e n t d e c o m p o s i t i o n o f t h e d y n a m i c s t i f f n e s s m a t r i x i s i n e v i t a b l e i n a d a p t i v e t i m e s t e p p i n g u s i n g t h e i m p l i c i t i n t e g r a t i o n m e t h o d . E f f o r t s h a v e b e e n m a d e t o m i n i m i z e t h e t h r a s h i n g i n t h e a l g o r i t h m ( e . g . , t o o f r e q u e n t o r r e p e t i t i v e a d j u s t m e n t o f t h e t i m e s t e p s i z e ) a n d y e t t o p r o v i d e a s o l u t i o n r e l i a b l y t o a n y t y p e o f p r o b l e m . T h e i t e r a t i o n p r o c e s s f o r t h e e q u i l i b r i u m e m p l o y s e x p e d i t i o u s m e t h o d s s u c h a s B F G S u p d a t e s a n d l i n e s e a r c h e s a s w e l l a s a n a d a p t i v e s t i f f n e s s m a t r i x u p d a t e s t r a t e g y . T h e p r e s e n t s e l f - a d a p t i v e t i m e s t e p p i n g a l g o r i t h m f o r t h e n o n l i n e a r t r a n s i e n t a n a l y s i s i s p r o v i n g t o b e a r o b u s t a n d p r a c t i c a l m e t h o d , a i m e d a t e f c i e n c y , e f f e c t i v e n e s s , a n d u s e r f r i e n d l i n e s s .

T h e t r a n s i e n t r e s p o n s e a n a l y s i s c a p a b i l i t y i s p r o v i d e d i n t h e s e l f - c o n t a i n e d s o l u t i o n s e q u e n c e S O L 1 2 9 . S O L 1 2 9 i s a s t r u c t u r e d D M A P . A l t h o u g h t h i s s o l u t i o n s e q u e n c e i s d e v e l o p e d f o r n o n l i n e a r t r a n s i e n t r e s p o n s e a n a l y s i s , l i n e a r t r a n s i e n t r e s p o n s e a n a l y s i s c a n b e p e r f o r m e d i n t h i s s o l u t i o n s e q u e n c e i n o r d e r t o t a k e a d v a n t a g e o f t h e a u t o m a t i c t i m e s t e p p i n g a n d r e s t a r t c a p a b i l i t i e s . T h e c o r e p a r t s o f S O L 1 2 9 a r e t h e n o n l i n e a r m o d u l e s ( N L T R D 2 a n d N L T R D ) w h i c h p e r f o r m t h e i n c r e m e n t a l a n d i t e r a t i v e p r o c e s s e s f o r i m p l i c i t d i r e c t t i m e i n t e g r a t i o n .

I m p l i c i t I n t e g r a t i o n C o n t r o l : T S T E P N L D a t a E n t r y

T h e i n p u t e l d s o f t h e T S T E P N L B u l k D a t a e n t r y s p e c i f y t h e t i m e s t e p s i z e , t h e n u m b e r o f s t e p s , a n d t h e o u t p u t i n t e r v a l a s w e l l a s t h e n o n l i n e a r i t e r a t i o n o p t i o n s . T h e T S T E P N L B u l k D a t a i s s e l e c t a b l e b y t h e C a s e C o n t r o l c o m m a n d T S T E P N L . A l t h o u g h t h e s a m e T S T E P N L B u l k D a t a





m a y b e s e l e c t e d b y m o r e t h a n o n e s u b c a s e , i t i s r e c o m m e n d e d t o s e l e c t d i f f e r e n t T S T E P N L e n t r y f o r e a c h s u b c a s e i n p r e p a r a t i o n f o r c h a n g e s i n t h e r e s t a r t s .

T h e c h o i c e o f t i m e s t e p s i z e i s d e t e r m i n e d p r i m a r i l y b y t h e f r e q u e n c y c o n t e n t o f t h e i n p u t l o a d a n d t h e h i g h e s t f r e q u e n c y m o d e - o f - i n t e r e s t . A g e n e r a l g u i d e l i n e i s t h a t s e v e n o r m o r e s t e p s p e r

c y c l e b e p r o v i d e d f o r r e a s o n a b l e a c c u r a c y . M o d e s w i t h s h o r t e r p e r i o d s ( h i g h e r f r e q u e n c y ) w i l l b e a t t e n u a t e d b y t h e n u m e r i c a l p r o c e s s . H i g h l y n o n l i n e a r p r o b l e m s m a y r e q u i r e s m a l l e r s t e p s i z e . H o w e v e r , t h e a d a p t i v e t i m e s t e p p i n g c a p a b i l i t y i s t h e v i t a l p a r t o f 1 2 9 a n d i s r e c o m m e n d e d f o r a n y p r o b l e m ( l i n e a r o r n o n l i n e a r ) . N e v e r t h e l e s s , y o u s h o u l d u s e t h e s e p r i n c i p l e s t o e s t i m a t e t h e i n i t i a l t i m e s t e p s i z e .

A c a u t i o n i s n e c e s s a r y i n u s i n g t h e a u t o m a t i c t i m e s t e p a d j u s t m e n t i f t h e f o r c i n g f u n c t i o n i s a s h o r t d u r a t i o n p u l s e . S i n c e t h e a u t o m a t i c t i m e s t e p a d j u s t m e n t a l g o r i t h m d o e s n o t c o n s i d e r t h e l o a d i n g h i s t o r y , s h o r t p u l s e s c o u l d b e s k i p p e d i f t h e t i m e s t e p i s a u t o m a t i c a l l y a d j u s t e d t o a l a r g e r v a l u e t h a n t h e p u l s e d u r a t i o n . I t i s a d v i s e d t h a t a d r a s t i c c h a n g e i n t h e t i m e s t e p s i z e b e t w e e n s u b c a s e s b e a v o i d e d . T h e d r a s t i c c h a n g e , e . g . , a r a t i o e x c e e d i n g 1 0 0 0 , c o u l d c a u s e a l o s s o f a c c u r a c y u p o n s u b c a s e s w i t c h . I n s u c h c a s e , a n i n t e r m e d i a t e s u b c a s e s h o u l d b e p r o v i d e d f o r a t r a n s i t i o n p e r i o d o f s h o r t i n t e r v a l t o r e d u c e t h e r a t i o .

T h e p a r a m e t e r s f o r c o n t r o l l i n g t h e a c c u r a c y a n d s t a b i l i t y o f t h e i n c r e m e n t a l a n d i t e r a t i v e p r o c e s s c a n b e s p e c i e d i n t h e T S T E P N L B u l k D a t a e n t r y . T h e c o n t r o l s a r e a p p l i c a b l e t o t h e a u t o m a t i c t i m e s t e p a d j u s t m e n t a n d b i s e c t i o n p r o c e s s i n a d d i t i o n t o s t i f f n e s s m a t r i x u p d a t e s , B F G S u p d a t e s a n d l i n e s e a r c h e s s i m i l a r t o t h o s e o n t h e N L P A R M B u l k D a t a e n t r y . S i n c e d e f a u l t v a l u e s a r e r e s u l t e d f r o m n u m e r o u s t e s t r u n s , t h e a n a l y s i s s h o u l d b e s t a r t e d w i t h t h e d e f a u l t s e t t i n g a n d c h a n g e d i f n e c e s s a r y . T h e T S T E P N L d a t a f o r m a t i s s h o w n b e l o w w i t h d e f a u l t v a l u e s :

F o r m a t :

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0

T S T E P N L I D N D T D T N O K S T E P M A X I T E R C O N V

E P S U E P S P E P S W M A X D I V M A X Q N M A X L S F S T R E S S

M A X B I S A D J U S T M S T E P R B M A X R U T O L R T O L B

E x a m p l e W i t h D e f a u l t s :

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0

T S T E P N L 2 5 0 1 0 0 . 0 1 1 2 1 0 P W

1 . E - 2 1 . E - 3 1 . E - 6 2 1 0 2 0 . 2

5 5 0 . 7 5 1 6 . 0 0 . 1 2 0 .

T h e T S T E P N L B u l k D a t a e n t r y i s s e l e c t e d u s i n g I D b y t h e C a s e C o n t r o l c o m m a n d T S T E P N L . E a c h s u b c a s e ( r e s i d u a l s u p e r e l e m e n t s o l u t i o n s o n l y ) r e q u i r e s a T S T E P N L e n t r y . M u l t i p l e

s u b c a s e s a r e a s s u m e d t o o c c u r s e q u e n t i a l l y i n t i m e . T h e r e f o r e , t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s o f e a c h s u b c a s e a r e d e n e d b y t h e e n d c o n d i t i o n s o f t h e p r e v i o u s s u b c a s e .

T h e N D T e l d s p e c i e s t h e n u m b e r o f t i m e s t e p s w i t h D T a s t h e s i z e o f e a c h t i m e s t e p . T h e t o t a l d u r a t i o n f o r t h e s u b c a s e c a n b e a s s e s s e d b y m u l t i p l y i n g N D T w i t h D T ( i . e . , N D T · D T ) . T h e t i m e i n c r e m e n t ( Δ , t ) r e m a i n s c o n s t a n t d u r i n g t h e a n a l y s i s i n A U T O a n d T S T E P o p t i o n s , a n d i s e q u a l t o D T . H o w e v e r , t h e t i m e i n c r e m e n t ( Δ , t ) c h a n g e s d u r i n g t h e a n a l y s i s i n t h e A D A P T o p t i o n a n d t h e a c t u a l n u m b e r o f t i m e s t e p s w i l l n o t b e e q u a l t o N D T . I n A D A P T o p t i o n D T i s u s e d a s a n i n i t i a l v a l u e f o r Δ , t .

T h e N O e l d s p e c i e s t h e t i m e s t e p i n t e r v a l f o r o u t p u t , i . e . , e v e r y N O t h s t e p s o l u t i o n i s s a v e d f o r o u t p u t . T h e d a t a w i l l b e o u t p u t a t s t e p s 0 , N O , . . . , e t c . , a n d t h e l a s t c o n v e r g e d s t e p f o r p r i n t i n g





a n d p l o t t i n g p u r p o s e s . T h e C a s e C o n t r o l c o m m a n d O T I M E m a y a l s o b e u s e d t o c o n t r o l t h e o u t p u t p o i n t s .

T h e p r o g r a m a u t o m a t i c a l l y a d j u s t s t h e i n c r e m e n t a l t i m e a n d u s e s t h e b i s e c t i o n a l g o r i t h m i n c a s e o f d i v e r g e n c e . D u r i n g t h e b i s e c t i o n p r o c e s s t h e s t i f f n e s s i s u p d a t e d a t e v e r y K S T E P t h

s u c c e s s f u l b i s e c t i o n . T h e s t i f f n e s s m a t r i x i s a l w a y s u p d a t e d f o r a n e w s u b c a s e o r r e s t a r t , i r r e s p e c t i v e o f t h e o p t i o n s e l e c t e d .

T h e n u m b e r o f i t e r a t i o n s f o r a t i m e s t e p i s l i m i t e d t o M A X I T E R . I f t h e s o l u t i o n d o e s n o t c o n v e r g e i n M A X I T E R i t e r a t i o n s , t h e p r o c e s s i s t r e a t e d a s a d i v e r g e n t p r o c e s s , i . e . , e i t h e r a b i s e c t i o n o r s t i f f n e s s m a t r i x u p d a t e t a k e s p l a c e b a s e d o n t h e v a l u e o f M A X B I S . T h e s i g n o f M A X I T E R p r o v i d e s a c o n t r o l o v e r t h e u l t i m a t e r e c o u r s e ( r e i t e r a t i o n ) i n c a s e o f f a i l u r e i n c o n v e r g e n c e o r b i s e c t i o n . I f t h e M A X I T E R i s n e g a t i v e , t h e a n a l y s i s i s t e r m i n a t e d w h e n t h e d i v e r g e n c e c o n d i t i o n i s e n c o u n t e r e d t w i c e d u r i n g t h e s a m e t i m e s t e p o r t h e s o l u t i o n d i v e r g e s f o r v e c o n s e c u t i v e t i m e s t e p s . I f M A X I T E R i s p o s i t i v e , t h e p r o g r a m c o m p u t e s t h e b e s t a t t a i n a b l e s o l u t i o n a n d c o n t i n u e s t h e a n a l y s i s o n s e c o n d d i v e r g e n c e .

T h e c o n v e r g e n c e t e s t i s c o n t r o l l e d b y c o n v e r g e n c e t e s t a g s ( U f o r d i s p l a c e m e n t e r r o r t e s t , P f o r

l o a d e q u i l i b r i u m e r r o r t e s t , W f o r w o r k e r r o r t e s t ) a n d t h e e r r o r t o l e r a n c e s ( E P S U , E P S P a n d E P S W ) w h i c h d e n e t h e c o n v e r g e n c e c r i t e r i a . A l l r e q u e s t e d c r i t e r i a ( c o m b i n a t i o n o f U , P , a n d / o r W ) a r e s a t i s e d u p o n c o n v e r g e n c e . I t s h o u l d b e n o t e d t h a t a t l e a s t t w o i t e r a t i o n s a r e n e c e s s a r y t o c h e c k t h e d i s p l a c e m e n t c o n v e r g e n c e c r i t e r i o n .

T h e M A X D I V e l d p r o v i d e s c o n t r o l o v e r d i v e r g i n g s o l u t i o n s . D e p e n d i n g o n t h e r a t e o f d i v e r g e n c e , t h e n u m b e r o f d i v e r g i n g s o l u t i o n s ( N D I V ) i s i n c r e m e n t e d b y 1 o r 2 . T h e s o l u t i o n i s a s s u m e d t o b e d i v e r g e n t w h e n N D I V r e a c h e s M A X D I V d u r i n g t h e i t e r a t i o n . I f t h e b i s e c t i o n o p t i o n i s u s e d , t h e t i m e s t e p i s b i s e c t e d u p o n d i v e r g e n c e . O t h e r w i s e , t h e s o l u t i o n f o r t h e t i m e s t e p i s r e p e a t e d w i t h a n e w s t i f f n e s s b a s e d o n t h e c o n v e r g e d s t a t e a t t h e b e g i n n i n g o f t h e t i m e s t e p . I f N D I V r e a c h e s M A X D I V t w i c e w i t h i n t h e s a m e t i m e s t e p , t h e a n a l y s i s i s t e r m i n a t e d w i t h a f a t a l m e s s a g e .

T h e B E G S q u a s i - N e w t o n u p d a t e s a n d t h e l i n e s e a r c h p r o c e s s w o r k i n t h e w a y a s i n s t a t i c a n a l y s i s e x c e p t f o r t h e d e f a u l t s e t t i n g . T h e M A X Q N e l d d e n e s t h e m a x i m u m n u m b e r o f

q u a s i - N e w t o n v e c t o r s t o b e s a v e d o n t h e d a t a b a s e a n d t h e M A X L S d e n e s t h e n u m b e r o f l i n e s e a r c h e s a l l o w e d p e r i t e r a t i o n . N o n z e r o v a l u e s o f M A X Q N a n d M A X L S a c t i v a t e t h e q u a s i - N e w t o n u p d a t e a n d t h e l i n e s e a r c h p r o c e s s , r e s p e c t i v e l y .

T h e F S T R E S S e l d d e n e s a f r a c t i o n o f t h e e f f e c t i v e s t r e s s ( ) w h i c h i s u s e d t o l i m i t t h e s u b i n c r e m e n t s i z e i n t h e m a t e r i a l r o u t i n e . T h e n u m b e r o f s u b i n c r e m e n t s i n t h e m a t e r i a l r o u t i n e s i s d e t e r m i n e d s u c h t h a t t h e s u b i n c r e m e n t s i z e i s a p p r o x i m a t e l y F S T R E S S · s ( e q u i v a l e n t s t r e s s ) . F S T R E S S i s a l s o u s e d t o e s t a b l i s h a t o l e r a n c e f o r e r r o r c o r r e c t i o n i n t h e e l a s t o - p l a s t i c m a t e r i a l , i . e . ,

E q u a t i o n 5 - 5 .

I f t h e l i m i t i s e x c e e d e d a t t h e c o n v e r g i n g s t a t e , t h e p r o g r a m w i l l e x i t w i t h a f a t a l e r r o r m e s s a g e . O t h e r w i s e , t h e s t r e s s s t a t e i s a d j u s t e d t o t h e c u r r e n t y i e l d s u r f a c e .

M A X B I S i s t h e m a x i m u m n u m b e r o f b i s e c t i o n s a l l o w e d f o r e a c h t i m e s t e p ( − 9 ≤ M A X B I S ≤ 9 ) . T h e b i s e c t i o n p r o c e s s i s a c t i v a t e d w h e n d i v e r g e n c e o c c u r s a n d M A X B I S ≠ 0 . T h e n u m b e r o f b i s e c t i o n s f o r a t i m e i n c r e m e n t i s l i m i t e d t o | M A X B I S | . I f M A X B I S i s p o s i t i v e a n d t h e s o l u t i o n d o e s n o t c o n v e r g e a f t e r M A X B I S b i s e c t i o n s , t h e b e s t s o l u t i o n i s c o m p u t e d a n d t h e a n a l y s i s i s c o n t i n u e d t o t h e n e x t t i m e s t e p . I f M A X B I S i s n e g a t i v e a n d t h e s o l u t i o n d o e s n o t c o n v e r g e i n | M A X B I S | b i s e c t i o n , t h e a n a l y s i s i s t e r m i n a t e d .





T h e p a r a m e t e r A D J U S T l e t s y o u c o n t r o l t h e a u t o m a t i c t i m e s t e p p i n g i n t h e A D A P T o p t i o n . A v a l u e o f z e r o f o r A D J U S T t u r n s o f f t h e a u t o m a t i c a d j u s t m e n t c o m p l e t e l y . I f A D J U S T i s p o s i t i v e , t h e t i m e i n c r e m e n t i s c o n t i n u a l l y a d j u s t e d f o r t h e r s t f e w s t e p s u n t i l a g o o d v a l u e o f Δ t i s o b t a i n e d . A f t e r t h i s i n i t i a l a d j u s t m e n t , t h e t i m e i n c r e m e n t i s a d j u s t e d e v e r y A D J U S T t i m e s t e p s o n l y . A v a l u e o f A D J U S T a n o r d e r g r e a t e r t h a n N D T w i l l t u r n o f f a d j u s t m e n t a f t e r t h e i n i t i a l a d j u s t m e n t . S i n c e t h e a u t o m a t i c t i m e s t e p a d j u s t m e n t i s b a s e d o n t h e m o d e o f r e s p o n s e a n d n o t o n t h e l o a d i n g p a t t e r n , i t m a y b e n e c e s s a r y t o l i m i t t h e a d j u s t a b l e s t e p s i z e w h e n t h e p e r i o d o f t h e f o r c i n g f u n c t i o n i s m u c h s h o r t e r t h a n t h e p e r i o d o f d o m i n a n t r e s p o n s e f r e q u e n c y o f t h e s t r u c t u r e . I t i s y o u r r e s p o n s i b i l i t y t o e n s u r e t h a t t h e l o a d i n g h i s t o r y i s p r o p e r l y t r a c e d w i t h A D J U S T o p t i o n . T h e A D J U S T o p t i o n s h o u l d b e s u p p r e s s e d f o r t h e d u r a t i o n o f s h o r t p u l s e l o a d i n g . I f u n s u r e , s t a r t w i t h D T w h i c h i s m u c h s m a l l e r t h a n t h e p u l s e d u r a t i o n i n o r d e r t o p r o p e r l y r e p r e s e n t t h e l o a d i n g p a t t e r n .

M S T E P d e n e s t h e d e s i r e d n u m b e r o f t i m e s t e p s t o o b t a i n t h e d o m i n a n t p e r i o d r e s p o n s e a c c u r a t e l y ( 1 0 ≤ I n t e g e r ≤ 2 0 0 ) . R B d e n e s b o u n d s f o r m a i n t a i n i n g t h e s a m e t i m e s t e p f o r t h e s t e p p i n g f u n c t i o n i n t h e a u t o m a t i c t i m e s t e p a d j u s t m e n t m e t h o d ( 0 . 1 ≤ R e a l ≤ 1 . 0 ) . P a r a m e t e r s M S T E P a n d R B a r e u s e d t o a d j u s t t h e t i m e i n c r e m e n t d u r i n g t h e a n a l y s i s i n t h e A D A P T o p t i o n . T h e a d j u s t m e n t i s b a s e d o n t h e n u m b e r o f t i m e s t e p s d e s i r e d t o c a p t u r e t h e d o m i n a n t f r e q u e n c y

r e s p o n s e a c c u r a t e l y . T h e t i m e i n c r e m e n t i s a d j u s t e d a s f o l l o w s :

E q u a t i o n 5 - 6 .

w h e r e :

r =

w i t h : f = 0 . 2 5 f o r r < 0 . 5 · R B

f = 0 . 5 f o r 0 . 5 · R B < r < R B

f = 1 . 0 f o r R B < r < 2

f = 2 . 0 f o r 2 . ≤ r < 3 . / R B

f = 4 . 0 f o r r > 3 . / R B

T h e r e c o m m e n d e d v a l u e o f M S T E P f o r n e a r l y l i n e a r p r o b l e m s i s 2 0 . A l a r g e r v a l u e ( e . g . , 4 0 ) i s r e q u i r e d f o r h i g h l y n o n l i n e a r p r o b l e m s . I n t h e d e f a u l t o p t i o n , t h e p r o g r a m a u t o m a t i c a l l y c o m p u t e s t h e v a l u e o f M S T E P b a s e d o n t h e c h a n g e s i n t h e s t i f f n e s s .

T h e M A X R e l d d e n e s t h e m a x i m u m r a t i o f o r t h e a d j u s t e d i n c r e m e n t a l t i m e r e l a t i v e t o D T a l l o w e d f o r t i m e s t e p a d j u s t m e n t ( 1 . 0 ≤ R e a l ≤ 3 2 . 0 ) . M A X R i s u s e d t o d e n e t h e u p p e r a n d l o w e r b o u n d s f o r a d j u s t e d t i m e s t e p s i z e , i . e . ,

E q u a t i o n 5 - 7 .





T h e U T O L e l d d e n e s t h e t o l e r a n c e o n d i s p l a c e m e n t i n c r e m e n t b e l o w w h i c h t h e r e i s n o t i m e s t e p a d j u s t m e n t ( 0 . 0 0 1 < R e a l ≤ 1 . 0 ) . U T O L i s u s e d t o l t e r u n d e s i r a b l e t i m e s t e p a d j u s t m e n t , i . e . , n o t i m e s t e p a d j u s t m e n t i s p e r f o r m e d i f

E q u a t i o n 5 - 8 .

T h e R T O L B e l d d e n e s t h e m a x i m u m v a l u e o f i n c r e m e n t a l r o t a t i o n ( i n d e g r e e s ) a l l o w e d p e r i t e r a t i o n t o a c t i v a t e b i s e c t i o n ( R e a l > 2 . 0 ) . T h e b i s e c t i o n i s a c t i v a t e d i f t h e i n c r e m e n t a l r o t a t i o n f o r a n y d e g r e e - o f - f r e e d o m ( Δ q x , Δ q y o r Δ q z ) e x c e e d s t h e v a l u e s p e c i e d f o r R T O L B . T h i s b i s e c t i o n s t r a t e g y b a s e d o n t h e i n c r e m e n t a l r o t a t i o n i s c o n t r o l l e d b y M A X B I S e l d .

I t e r a t i o n R e l a t e d O u t p u t D a t a

D u r i n g t h e i n c r e m e n t a l a n d i t e r a t i v e c o m p u t a t i o n , t h e p r o c e s s i n f o r m a t i o n c o n s i s t i n g o f i t e r a t i o n d a t a i s p r i n t e d a t t h e e n d o f e a c h i t e r a t i o n o r t i m e s t e p . T h e y a r e p r i n t e d u n d e r t h e f o l l o w i n g h e a d i n g :

T I M E C u m u l a t i v e t i m e f o r t h e d u r a t i o n o f t h e a n a l y s i s .

I T E R I t e r a t i o n c o u n t f o r e a c h t i m e s t e p .

D I S P R e l a t i v e e r r o r i n t e r m s o f d i s p l a c e m e n t s d e n e d a s

E q u a t i o n 5 - 9 .

E q u a t i o n 5 - 1 0 .

w h e r e u m a x = m a x ( | | u 1 | | , | | u 2 | | , . . . , | | u n | | )





L O A D R e l a t i v e e r r o r i n t e r m s o f l o a d v e c t o r s d e n e d a s

E q u a t i o n 5 - 1 1 .

E q u a t i o n 5 - 1 2 .

w h e r e a n d a r e t h r e e - p o i n t a v e r a g e v a l u e s f o r i n t e r n a l a n d e x t e r n a l f o r c e s , r e s p e c t i v e l y .

W O R K R e l a t i v e e r r o r i n t e r m s o f w o r k d e n e d a s

E q u a t i o n 5 - 1 3 .

L A M B D A ( I ) R a t e o f C o n v e r g e n c e i n i t e r a t i o n w h e r e

E q u a t i o n 5 - 1 4 .

L A M B D A ( T ) R a t i o o f t h e l o a d e r r o r f o r t w o c o n s e c u t i v e t i m e s t e p s c o m p u t e d o n l y f o r A U T O o r T S T E P m e t h o d

E q u a t i o n 5 - 1 5 .

L A M B D A - B A R A v e r a g e o f L A M B D A ( T ) o v e r t h e l a s t 3 s t e p s , c o m p u t e d o n l y f o r A U T O o r T S T E P m e t h o d .

D L M A G A b s o l u t e n o r m o f t h e l o a d v e c t o r , | | R | | . T h e a b s o l u t e c o n v e r g e n c e i s d e n e d u s i n g D L M A G b y | | R | | < 1 0 − 1 2 .

F A C T O R F i n a l v a l u e o f t h e l i n e s e a r c h p a r a m e t e r .





E - F I R S T D i v e r g e n c e r a t e , e r r o r b e f o r e l i n e s e a r c h .

E - F I N A L E r r o r a t t h e e n d o f l i n e s e a r c h .

N Q N V N u m b e r o f q u a s i - N e w t o n v e c t o r s a p p e n d e d .

N L S N u m b e r o f l i n e s e a r c h e s p e r f o r m e d d u r i n g t h e i t e r a t i o n .

I T R D I V N u m b e r o f o c c u r r e n c e s o f d i v e r g e n c e d e t e c t e d d u r i n g t h e a d a p t i v e i t e r a t i o n b y t h e i t e r a t i o n m o d u l e N L T R D 2 .

M A T D I V N u m b e r o f o c c u r r e n c e s o f b i s e c t i o n c o n d i t i o n s i n t h e m a t e r i a l r o u t i n e ( e x c e s s i v e s t r e s s i n c r e m e n t ) o r i n t h e r o t a t i o n a n g l e ( e x c e s s i v e r o t a t i o n ) d u r i n g t h e i t e r a t i o n u s i n g t h e A D A P T m e t h o d .

N O . B I S N u m b e r o f b i s e c t i o n s e x e c u t e d f o r t h e c u r r e n t t i m e i n t e r v a l .

A D J U S T R a t i o o f t i m e s t e p a d j u s t m e n t r e l a t i v e t o D T w i t h i n a s u b c a s e .

R e s t a r t s

S i n c e S O L 1 0 6 a n d S O L 1 2 9 s h a r e t h e s a m e d a t a b a s e s t o r a g e f o r n o n l i n e a r t a b l e s a n d m a t r i c e s , t h e r e s t a r t s y s t e m f o r t r a n s i e n t a n a l y s i s c a n u s e e i t h e r a p r e v i o u s s t a t i c o r t r a n s i e n t n o n l i n e a r a n a l y s i s a s i t s i n i t i a l c o n d i t i o n s . A r e s t a r t f r o m S O L 1 2 9 i n t o S O L 1 0 6 i s n o t a v a i l a b l e .

R e s t a r t i n g f r o m S O L 1 0 6 i n t o S O L 1 2 9

T h e o p t i o n s f o r a r e s t a r t f r o m S O L 1 0 6 i n t o S O L 1 2 9 a r e s t a t i c t o s t a t i c a n d s t a t i c t o d y n a m i c a n a l y s i s . F o r a r e s t a r t f r o m a p r e v i o u s s t a t i c a n a l y s i s , o n l y t h e r s t s u b c a s e i s a f f e c t e d . S i m p l y p r o v i d e a d a t a b a s e c r e a t e d i n S O L 1 0 6 ( o r 1 2 9 ) a n d s p e c i f y t h e p a r a m e t e r P A R A M , S L O O P I D , N w h e r e N i s t h e p r i n t e d v a l u e o f L O O P I D f o r t h e d e s i r e d s t a t i c s o l u t i o n . T h e i n i t i a l t r a n s i e n t l o a d s h o u l d b e i d e n t i c a l t o s t a t i c l o a d s a t t h e r e s t a r t s t a t e . C o n s t r a i n t s e t s , d i r e c t i n p u t m a t r i c e s , m a s s , a n d d a m p i n g m a y b e c h a n g e d .

R e s t a r t i n g w i t h i n S O L 1 2 9

R e s t a r t i n g w i t h i n S O L 1 2 9 a l l o w s s t a t i c t o s t a t i c , s t a t i c t o d y n a m i c , a n d d y n a m i c t o d y n a m i c a n a l y s i s . R e s t a r t s f r o m a p r e v i o u s n o n l i n e a r t r a n s i e n t e x e c u t i o n a r e a v a i l a b l e f o r a n u m b e r o f c a s e s . I f t h e s a m e m o d e l i s t o b e r e - e x e c u t e d , o n l y t h e r e s i d u a l s u p e r e l e m e n t n e e d s t o b e r e a s s e m b l e d . I f t h e n a l r e s u l t s f r o m t h e p r e v i o u s t r a n s i e n t r u n a r e t o b e u s e d a s t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s a t t = 0 , a d d N d u m m y S U B C A S E c o m m a n d s t o s t a r t t h e r e s i d u a l C a s e C o n t r o l e x e c u t i o n a n d S T I M E = 0 .

T h e n o r m a l r e s t a r t f o r a t r a n s i e n t r u n i s t o b e c o n t i n u e d f r o m t h e l a s t s t e p o f a p r e v i o u s s u b c a s e

w i t h d i f f e r e n t l o a d s a n d / o r T S T E P N L d a t a . F o r t h e n o r m a l r e s t a r t p r o v i d e t h e f o l l o w i n g p a r a m e t e r s :

L O O P I D = N : S t a r t f r o m t h e N t h s u b c a s e

S T I M E = t : S t a r t f r o m t i m e t

N o t e t h a t c o n s t r a i n t s e t s s h o u l d n o t b e c h a n g e d t o a v o i d i n c o m p a t i b l e m a t r i x s i z e s . T h e v a l u e s o f L O O P I D a n d S T I M E , w h i c h a r e p r i n t e d w i t h t h e i t e r a t i o n i n f o r m a t i o n f o r e a c h s u b c a s e , c a n b e d i r e c t l y r e a d f r o m t h e p r i n t o u t o f t h e p r e v i o u s r u n . I f t h e a d a p t i v e t i m e s t e p p i n g a l g o r i t h m i s n o t a c t i v a t e d , t h e v a l u e o f t m a y a l s o b e c a l c u l a t e d b y t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n :





E q u a t i o n 5 - 1 6 .

w h e r e N D T i a n d D T i a r e t h e n u m b e r o f t i m e s t e p s a n d t h e t i m e i n c r e m e n t o f t h e i - t h s u b c a s e , r e s p e c t i v e l y .

I f a S O L 1 2 9 r u n i s t e r m i n a t e d a b n o r m a l l y i n t h e m i d d l e o f a s u b c a s e , i t m a y o r m a y n o t b e r e s t a r t a b l e d e p e n d i n g u p o n t h e c a u s e o f t h e a b n o r m a l e x i t . I f t h e j o b i s s t o p p e d d u e t o a d i v e r g i n g s o l u t i o n , i t c a n b e r e s t a r t e d e i t h e r f r o m t h e e n d o f a p r e v i o u s s u b c a s e o r f r o m t h e l a s t s a v e d s o l u t i o n s t e p . T h e r e s t a r t p r o c e d u r e f o r t h e f o r m e r i s i d e n t i c a l t o t h a t f o r t h e n o r m a l r e s t a r t a s d e s c r i b e d i n t h e p r e c e d i n g p a r a g r a p h . T h e l a t t e r c a s e a l s o r e q u i r e s p a r a m e t e r s L O O P I D a n d S T I M E , h o w e v e r , t h e i n p u t v a l u e f o r S T I M E d i f f e r s d e p e n d i n g o n t h e v a l u e o f M E T H O D s p e c i e d o n t h e T S T E P N L e n t r y . I f M E T H O D = A U T O o r T S T E P ( t h e N L T R D m o d u l e ) , S T I M E i s t h e t i m e c o r r e s p o n d i n g t o t h e l a s t o u t p u t s t e p w h i c h m a y b e c a l c u l a t e d

b a s e d o n t h e o u t p u t s k i p f a c t o r ( i . e . , t h e N O o n t h e T S T E P N L e n t r y ) . I f M E T H O D = A D A P T ( N L T R D 2 m o d u l e ) t h e l a s t c o n v e r g e d s o l u t i o n i s t r e a t e d a s a n o u t p u t s t e p a n d i s a l w a y s s a v e d f o r t h e r e s t a r t s o t h a t S T I M E c a n b e t h e t i m e o f t h e l a s t c o n v e r g e d s t e p . T h e v a l u e s o f S T I M E a n d L O O P I D c a n a l s o b e f o u n d i n t h e p r i n t o u t , i f t h e A D A P T m e t h o d i s u s e d . O n c e S T I M E a n d L O O P I D a r e k n o w n , d e t e r m i n e t h e n u m b e r o f r e m a i n i n g t i m e s t e p s i n t h e s u b c a s e a n d c r e a t e a n e w T S T E P N L e n t r y f o r t h e r e m a i n i n g t i m e . I n s e r t a n e w s u b c a s e w h i c h r e f e r e n c e s t h e n e w T S T E P N L e n t r y p r i o r t o t h e r e m a i n i n g s u b c a s e s i n t h e C a s e C o n t r o l S e c t i o n .

A s o l u t i o n m a y b e t e r m i n a t e d i n t h e m i d d l e o f a s u b c a s e d u e t o i n s u f c i e n t C P U t i m e : ( 1 ) t h e C P U t i m e s p e c i e d i n t h e E x e c u t i v e C o n t r o l S e c t i o n i s i n s u f c i e n t s o t h e r u n i s f o r c e d t o e x i t b y t h e p r o g r a m , o r ( 2 ) t h e C P U t i m e e x c e e d s t h e l i m i t s p e c i e d i n t h e c o m p u t e r s y s t e m w h i c h l e a d s t o a s u d d e n j o b a b o r t i o n b y t h e s y s t e m . I n t h e r s t c a s e , N X N a s t r a n i s a b l e t o d e t e c t t h e s p e c i e d C P U t i m e i n t h e E x e c u t i v e C o n t r o l S e c t i o n a n d a u t o m a t i c a l l y a c t i v a t e t h e w r a p p i n g - u p

p r o c e d u r e b e f o r e t i m e e x p i r a t i o n . W h e n c o m p l e t e d , t h e s o l u t i o n c a n b e r e s t a r t e d f r o m t h e t e r m i n a t i o n p o i n t a s i n t h e s o l u t i o n d i v e r g i n g c a s e . I n t h e s e c o n d c a s e t h e s o l u t i o n c a n o n l y b e r e s t a r t e d f r o m t h e e n d o f a s u b c a s e .

R e s t a r t s m a y a l s o b e p e r f o r m e d s o l e l y f o r d a t a r e c o v e r y b y p r o v i d i n g t h e f o l l o w i n g p a r a m e t e r s :

S D A T A = – 1 : R e c o v e r d a t a w i t h o u t r u n n i n g t h e s o l u t i o n m o d u l e L O O P I D = N : f r o m t h e 1 s t t h r o u g h t h e N - t h s u b c a s e s .

N o t e t h a t s o l u t i o n s e t s D I S P , V E L O , A C C E , O L O A D , S P C F ( p r i n t o u t a n d p l o t t i n g ) a n d N L L O A D ( p l o t t i n g o n l y ) a r e r e c o v e r a b l e w h i l e S T R E S S , S D I S P , S V E L O a n d S A C C E s e t s a r e n o t .

E x a m p l e

A s i m p l y s u p p o r t e d e l a s t i c b e a m i s s u b j e c t e d t o a s i n g l e c y c l e o f a s i n u s o i d a l f o r c i n g f u n c t i o n a t t h e q u a r t e r s p a n a s i l l u s t r a t e d i n F i g u r e 5 - 8 . T h e b e a m i s m o d e l e d u s i n g 2 0 l i n e a r C B E A M e l e m e n t s . A s t o p p e r ( s n u b b e r ) i s p r e s e n t u n d e r n e a t h t h e c e n t e r o f t h e b e a m w i t h a c l e a r a n c e o f 0 . 0 2 i n c h e s . T h i s g a p i s s i m u l a t e d b y a d i s p l a c e m e n t d e p e n d e n t f o r c e w h i c h i s a c t i v e o n l y w h e n t h e b e a m i s i n c o n t a c t w i t h t h e s n u b b e r . T h e p r o b l e m i s l i n e a r e x c e p t f o r t h e e f f e c t o f t h e s t o p p e r . T h e i n p u t d a t a f o r t h i s p r o b l e m i s g i v e n i n L i s t i n g 5 - 2 .

O n e s u b c a s e w i t h 1 0 0 t i m e s t e p s a n d a n i n i t i a l t i m e s t e p s i z e o f 0 . 1 m s e c w a s a n a l y z e d i n t h e c o l d s t a r t r u n . S i n c e t h e a d a p t i v e t i m e s t e p p i n g a l g o r i t h m w a s a c t i v a t e d , t h e j o b r a n t o c o m p l e t i o n a t 9 . 7 m s e c i n s t e a d o f t h e s p e c i e d t i m e s p a n , 1 0 0 x 0 . 1 = 1 0 m s e c . A n e w s u b c a s e w i t h 6 0 0 t i m e s t e p s w a s a d d e d i n t h e r s t r e s t a r t r u n t o e x t e n d t h e t i m e s p a n f o r a n o t h e r 3 0 m s e c . T h e a d a p t i v e t i m e s t e p p i n g m e t h o d w a s t u r n e d o f f a n d t h e e x e c u t i o n t i m e w a s s p e c i e d t o b e 0 . 8





m i n . A s e x p e c t e d , t h e r u n w a s a b o r t e d a t 3 6 m s e c d u e t o i n s u f c i e n t t i m e . I n t h e s e c o n d r e s t a r t r u n , t h e e x e c u t i o n t i m e w a s c h a n g e d t o 5 . 0 m i n . a n d a n o t h e r s u b c a s e w i t h 1 6 4 t i m e s t e p s a n d a t i m e i n c r e m e n t o f 0 . 1 m s e c w a s a d d e d t o e x t e n d t h e a n a l y s i s t i m e s p a n u p t o 4 0 m s e c . T h e t h i r d r e s t a r t w a s s i m p l y t o r e c o v e r t h e D I S P , V E L O , A C C E , O L O A D , N L L O A D a n d S P C o u t p u t . T h e r e s p o n s e a t t h e l o a d i n g p o i n t o f t h e b e a m i s s h o w n i n F i g u r e 5 - 9 .

F i g u r e 5 - 8 . S i m p l y S u p p o r t e d B e a m W i t h a R e s t r a i n e d M o t i o n





F i g u r e 5 - 9 . S i m p l y S u p p o r t e d B e a m : L o a d i n g P o i n t R e s p o n s e

$ R E S T A R T $ * * * a d d e d f o r t h e r e s t a r t r u n s

I D T N O L I N , V 6 6 $ S S H 7 / 1 0 / 9 1 T I M E $ $

S O L 9 9 $ N O N L I N E A R T R A N S I E N T A N A L Y S I S D I A G 8 , 5 0 $ P R I N T M A T R I X T R A I L E R S A N D I T E R A T I O N S

C E N D T I T L E = D Y N A M I C S H A N D B O O K D E M O N S T R A T I O N P R O B L E M D 9 9 1 8

S U B T I T L E = D I R E C T T R A N S I E N T R E S P O N S E , N O N L I N E A R F O R C E L A B E L = N O L I N I N S O L 9 9

S E A L L = A L L

E C H O = U N S O R T S E T 1 = 1 0 0 0 5

S E T 2 = 1 0 0 1 0 S E T 3 = 1 0 0 0 0

S P C = 1 0 0 2

$ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - $ P A R A M , L O O P I D , 1 * * * u s e d f o r t h e 1 s t r e s t a r t $ P A R A M , S T I M E , 0 . 0 0 9 3

$ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - $ P A R A M , L O O P I D , 2 * * * u s e d f o r t h e 2 n d r e s t a r t

$ P A R A M , S T I M E , 0 . 0 2 3 6

$ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - $ D I S P L = 2

$ V E L O = 2 * * * u s e d f o r t h e 3 r d r e s t a r t $ A C C E L = 2

$ O L O A D = 1 $ N L L O A D = 2

$ S P C F = 3 $ P A R A M , L O O P I D , 3

$ P A R A M , S D A T A , - 1 $ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

S U B C A S E 1





D L O A D = 3 0

T S T E P N L = 1 0 N O N L I N E A R = 1 3 $ S E L E C T N O N L I N E A R F O R C E

S U B C A S E 2 D L O A D = 3 0

T S T E P N L = 2 0

N O N L I N E A R = 1 3 $ S E L E C T N O N L I N E A R F O R C E S U B C A S E 3

D L O A D = 3 0 T S T E P N L = 3 0

N O N L I N E A R = 1 3 $ S E L E C T N O N L I N E A R F O R C E B E G I N B U L K

$ M O D E L I N G I N F O R M A T I O N F O R B E A M O N L Y C B A R 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 . 0 . 1 .

C B A R 1 0 2 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 2 0 . 0 . 1 . C B A R 1 0 3 1 0 0 1 0 0 0 2 1 0 0 0 3 0 . 0 . 1 .

C B A R 1 0 4 1 0 0 1 0 0 0 3 1 0 0 0 4 0 . 0 . 1 .

C B A R 1 0 5 1 0 0 1 0 0 0 4 1 0 0 0 5 0 . 0 . 1 : C B A R 1 0 6 1 0 0 1 0 0 0 5 1 0 0 0 6 0 . 0 . 1 .

C B A R 1 0 7 1 0 0 1 0 0 0 6 1 0 0 0 7 0 . 0 . 1 . C B A R 1 0 8 1 0 0 1 0 0 0 7 1 0 0 0 8 0 . 0 . 1 .

C B A R 1 0 9 1 0 0 1 0 0 0 8 1 0 0 0 9 0 . 0 . 1 . C B A R 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 9 1 0 0 1 0 0 . 0 . 1 .

C B A R 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 . 0 . 1 . C B A R 1 1 2 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 2 0 . 0 . 1 .

C B A R 1 1 3 1 0 0 1 0 0 1 2 1 0 0 1 3 0 . 0 . 1 . C B A R 1 1 4 1 0 0 1 0 0 1 3 1 0 0 1 4 0 . 0 . 1 .

C B A R 1 1 5 1 0 0 1 0 0 1 4 1 0 0 1 5 0 . 0 . 1 . C B A R 1 1 6 1 0 0 1 0 0 1 5 1 0 0 1 6 0 . 0 . 1 .

C B A R 1 1 7 1 0 0 1 0 0 1 6 1 0 0 1 7 0 . 0 . 1 .

C B A R 1 1 8 1 0 0 1 0 0 1 7 1 0 0 1 8 0 . 0 . 1 . C B A R 1 1 9 1 0 0 1 0 0 1 8 1 0 0 1 9 0 . 0 . 1 .

C B A R 1 2 0 1 0 0 1 0 0 1 9 1 0 0 2 0 0 . 0 . 1 . C O N M 2 1 2 1 0 0 1 0 . 1

G R I D 1 0 5 0 . - 1 . G R I D 1 0 0 0 0 0 . 0 . 0 . 1 2 4 6

G R I D 1 0 0 0 1 5 . 0 . 0 . 1 2 4 6 G R I D 1 0 0 0 2 1 0 . 0 . 0 . 1 2 4 6

G R I D 1 0 0 0 3 1 5 . 0 . 0 . 1 2 4 6 G R I D 1 0 0 0 4 2 0 . 0 . 0 . 1 2 4 6

G R I D 1 0 0 0 5 2 5 . 0 . 0 . 1 2 4 6

G R I D 1 0 0 0 6 3 0 . 0 . 0 . 1 2 4 6 G R I D 1 0 0 0 7 3 5 . 0 . 0 . 1 2 4 6

G R I D 1 0 0 0 8 4 0 . 0 . 0 . 1 2 4 6 G R I D 1 0 0 0 9 4 5 . 0 . 0 . 1 2 4 6

G R I D 1 0 0 1 0 5 0 . 0 . 0 . 1 2 4 6 G R I D 1 0 0 1 1 5 5 . 0 . 0 . 1 2 4 6

G R I D 1 0 0 1 2 6 0 . 0 . 0 . 1 2 4 6 G R I D 1 0 0 1 3 6 5 . 0 . 0 . 1 2 4 6

G R I D 1 0 0 1 4 7 0 . 0 . 0 . 1 2 4 6 G R I D 1 0 0 1 5 7 5 . 0 . 0 . 1 2 4 6

G R I D 1 0 0 1 6 8 0 . 0 . 0 . 1 2 4 6

G R I D 1 0 0 1 7 8 5 . 0 . 0 . 1 2 4 6 G R I D 1 0 0 1 8 9 0 . 0 . 0 . 1 2 4 6

G R I D 1 0 0 1 9 9 5 . 0 . 0 . 1 2 4 6 G R I D 1 0 0 2 0 1 0 0 . 0 . 0 . 1 2 4 6

M A T l 1 0 0 0 3 . + 7 . 3 . 3 P A R A M G R D P N T 1 0 0 1 0

P A R A M W T M A S S . 0 0 2 5 8 8 P B A R 1 0 0 1 0 0 0 . 3 1 4 1 6 . 1 5 7 0 8 + P B l

+ P B l 1 . 0 . S P C 1 0 0 2 1 0 1 2 3 4 5 6

S P C 1 0 0 2 1 0 0 2 0 3 1 0 0 0 0 3 $

$ M O D E L I N G I N F O R M A T I O N F O R C E N T E R S P R I N G

C R O D 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 M A T l 1 0 1 0 . 0 .

P R O D 1 0 1 0 1 . M A T S l 1 0 P L A S T I C 0 . 1 1 3 . + 8

$ L O A D I N G A N D S O L U T I O N I N F O R M A T I O N T L O A D 2 3 0 3 3 0 . . 0 1 1 4 5 1 8 7 . 3 3 - 9 0 .

D A R E A 3 3 1 0 0 0 5 3 4 7 . 2 T S T E P N L 1 0 1 0 0 . 0 0 0 1 1 A D A P T

T S T E P N L 2 0 6 0 0 . 0 0 0 0 5 1 A D A P T + T 5 2 1

+ T 5 2 1 + T 5 2 2 + T 5 2 2 0

T S T E P N L 3 0 1 6 4 . 0 0 0 1 0 1 A D A P T + T 5 3 1 + T 5 3 1 + T 5 3 2

+ T 5 3 2 0 $

$ M O D E L I N G I N F O R M A T I O N F O R N O N L I N E A R S P R I N G N O L I N l 1 3 1 0 0 1 0 3 1 . 1 0 0 1 0 3 1 3

T A B L E D l 1 3 + T A B + T A B - 2 . 5 - 2 4 . 9 5 - 2 . 0 - 2 0 . 0 . 0 . E N D T

$ E N D D A T A

L i s t i n g 5 - 2 . I n p u t D a t a L i s t i n g f o r S i m p l y S u p p o r t e d B e a m





5 . 6 N o n l i n e a r A n a l y s i s W i t h S u p e r e l e m e n t s

I n n o n l i n e a r a n a l y s i s w i t h s u p e r e l e m e n t s , t h e n o n l i n e a r m o d e l m u s t b e i n t h e r e s i d u a l m o d e l ( S u p e r e l e m e n t = 0 ) . A l l b a s i c s u p e r e l e m e n t r u l e s a p p l y w i t h t h e e x c e p t i o n t h a t a n o n l i n e a r e l e m e n t c a n n o t h a v e a n y o f i t s d e g r e e s - o f - f r e e d o m i n t h e “ o - s e t ” .

T h e u n i q u e f e a t u r e p e r t a i n i n g t o l o a d a p p l i c a t i o n f o r s u p e r e l e m e n t s a r e l i s t e d i n “ P e r f o r m i n g a 3 - D S l i d e L i n e C o n t a c t A n a l y s i s ”

5 . 7 G r i d P o i n t F o r c e B a l a n c e a n d E l e m e n t S t r a i n E n e r g y i n N o n l i n e a r S t a t i c A n a l y s i s

I n n o n l i n e a r a n a l y s i s , t h e s t r a i n e n e r g y , E , f o r a n e l e m e n t i s d e n e d b y i n t e g r a t i n g t h e s p e c i c e n e r g y r a t e , t h e i n n e r p r o d u c t o f s t r a i n r a t e a n d s t r e s s , o v e r e l e m e n t v o l u m e a n d t i m e

E q u a t i o n 5 - 1 7 .

w h e r e :

s = s t r e s s t e n s o r

= s t r a i n r a t e

V = e l e m e n t v o l u m e

t = a c t u a l t i m e i n t h e l o a d h i s t o r y

T h e i n t e g r a t i o n o v e r t i m e l e a d s t o t h e f o l l o w i n g r e c u r s i v e f o r m u l a u s i n g t h e t r a p e z o i d a l r u l e

E q u a t i o n 5 - 1 8 .

w h e r e :

n + 1 = c u r r e n t l o a d s t e p

n = p r e v i o u s l o a d s t e p

Δ E = s t r a i n e n e r g y i n c r e m e n t

Δ = s t r a i n - i n c r e m e n t

T h e s t e p s n a n d n + 1 a r e c o n v e r g e d s o l u t i o n s t e p s .

B y i n t e g r a t i n g E q . 5 - 1 8 o v e r t h e e l e m e n t v o l u m e , w e g e t





E q u a t i o n 5 - 1 9 .

w h e r e :

f = i n t e r n a l e l e m e n t f o r c e s

Δ u = d i s p l a c e m e n t i n c r e m e n t f r o m n t o n + 1

F o r c o m p u t a t i o n a l c o n v e n i e n c e , N X N a s t r a n u s e s E q . 5 - 1 9 t o c a l c u l a t e t h e e l e m e n t s t r a i n e n e r g y . T h e i n t e r n a l e l e m e n t f o r c e s a r e r e a d i l y a v a i l a b l e i n e v e r y s t e p b e c a u s e t h e y a r e n e e d e d f o r t h e f o r c e e q u i l i b r i u m . N o t e t h a t t e m p e r a t u r e e f f e c t s a r e i n c l u d e d i n t h e i n t e r n a l e l e m e n t f o r c e s .

W h e n l o a d s f r o m t e m p e r a t u r e d i f f e r e n c e s o r e l e m e n t d e f o r m a t i o n a r e p r e s e n t , t h e d e f a u l t d e n i t i o n o f e l e m e n t s t r a i n e n e r g y f o r l i n e a r e l e m e n t s d i f f e r f r o m t h e d e n i t i o n f o r n o n l i n e a r e l e m e n t s . F o r l i n e a r e l e m e n t s , t h e e l e m e n t s t r a i n e n e r g y i s d e n e d a s

E q u a t i o n 5 - 2 0 .

w h e r e P e t i s t h e e l e m e n t l o a d v e c t o r f o r t e m p e r a t u r e l o a d s a n d e l e m e n t d e f o r m a t i o n . E q . 5 - 2 0 a s s u m e s t h a t t h e t e m p e r a t u r e s a r e c o n s t a n t w i t h i n a s u b c a s e . F o r n o n l i n e a r e l e m e n t s , t h e d e n i t i o n o f E q . 5 - 1 7 i s u s e d . I n t h e c a s e o f l i n e a r m a t e r i a l a n d g e o m e t r y , E q . 5 - 1 7 b e c o m e s

E q u a t i o n 5 - 2 1 .

E q . 5 - 2 1 a s s u m e s t h a t t h e t e m p e r a t u r e v a r i e s l i n e a r l y w i t h i n a s u b c a s e . Y o u m a y r e q u e s t t h e d e n i t i o n o f E q . 5 - 2 1 t o b e a p p l i e d t o l i n e a r e l e m e n t s b y a d d i n g P A R A M , X F L A G , 2 t o t h e i n p u t l e .

U s e r I n p u t

T h e o u t p u t o f g r i d p o i n t f o r c e b a l a n c e a n d s t r a i n e n e r g y i n n o n l i n e a r a n a l y s i s i s r e q u e s t e d w i t h t h e e x i s t i n g G P F O R C E a n d E S E C a s e C o n t r o l c o m m a n d s , r e s p e c t i v e l y . T h e C a s e C o n t r o l

c o m m a n d s r e m a i n u n c h a n g e d .

P r i n t e d O u t p u t

T h e o u t p u t i s t h e s a m e a s i n l i n e a r a n a l y s i s . A n e x a m p l e a p p e a r s b e l o w .

E x a m p l e

T h e f o l l o w i n g N a s t r a n i n p u t d e c k r e p r e s e n t s a s i m p l i e d m o d e l o f a m e c h a n i c a l c l u t c h t h a t c o n s i s t s o f s p r i n g s , b e a m s , r i g i d e l e m e n t s , a n d g a p e l e m e n t s . A g e o m e t r i c n o n l i n e a r a n a l y s i s i s p e r f o r m e d . B o t h G P F O R C E a n d E S E o u t p u t r e q u e s t s a r e a p p l i e d a b o v e a l l s u b c a s e s . T h i s i s a





g o o d e x a m p l e t o s h o w t h e g r i d p o i n t f o r c e b a l a n c e w i t h b o t h l i n e a r a n d n o n l i n e a r e l e m e n t s , t h a t i n c l u d e s :

• a p p l i e d l o a d s

• e l e m e n t f o r c e s

• S P C f o r c e s

• M P C f o r c e s .

T h e m o d e l i s s h o w n i n F i g u r e 5 - 1 0 . F o r c l a r i t y , o n l y t h e e l e m e n t s a r e d i s p l a y e d .

F i g u r e 5 - 1 0 .

T h e d a s h e d l i n e s r e p r e s e n t r i g i d e l e m e n t s , t h e r e s t a r e g a p a n d b e a m e l e m e n t s . S p r i n g e l e m e n t s a r e l o c a t e d a t t h e i n t e r s e c t i o n p o i n t o f a l l d a s h e d l i n e s a n d a r e n o t v i s i b l e i n t h e g u r e b e c a u s e t h e i r c o n n e c t i o n p o i n t s a r e c o i n c i d e n t .

G r i d P o i n t F o r c e O u t p u t





E l e m e n t S t r a i n E n e r g y O u t p u t

R e m a r k s

• L i n e a r a n d n o n l i n e a r e l e m e n t s c a n b e m i x e d . T h e o u t p u t f o r g r i d p o i n t f o r c e a n d e l e m e n t s t r a i n e n e r g y i n n o n l i n e a r a n a l y s i s f o l l o w t h e s a m e f o r m a t a s i n l i n e a r a n a l y s i s .

• T h e r e f e r e n c e s y s t e m f o r t h e g r i d p o i n t f o r c e o u t p u t i s t h e g r i d p o i n t g l o b a l c o o r d i n a t e s y s t e m . Y o u c a n ’ t s p e c i f y a n o t h e r o u t p u t c o o r d i n a t e s y s t e m . I n n o n l i n e a r , t h e g r i d p o i n t f o r c e s a r e n o t a l i g n e d w i t h e l e m e n t e d g e s . T h e r e f o r e , P A R A M , N O E L O F a n d P A R A M , N O E L O P a r e i g n o r e d i n n o n l i n e a r a n a l y s i s .

• I n n o n l i n e a r a n a l y s i s , t h e e l e m e n t s t r a i n e n e r g y m u s t b e c a l c u l a t e d f o r e a c h i n t e r m e d i a t e l o a d s t e p e v e n i f t h e o u t p u t i s r e q u e s t e d o n l y i n t h e l a s t l o a d s t e p . T o s a v e c o m p u t a t i o n s , t h e e l e m e n t s t r a i n e n e r g y i s o n l y c a l c u l a t e d u p o n u s e r r e q u e s t . T h e C a s e C o n t r o l c o m m a n d s , G P F O R C E o r E S E m u s t b e p r e s e n t t o a c t i v a t e g r i d p o i n t f o r c e o u t p u t o r e l e m e n t s t r a i n e n e r g y c a l c u l a t i o n s a n d o u t p u t . I f y o u w a n t t o s a v e t h e g r i d p o i n t f o r c e s a n d e l e m e n t s t r a i n

e n e r g y o n t h e d a t a b a s e a n d w a n t a n o u t p u t l a t e r i n a n e v e n t u a l r e s t a r t r u n , y o u m u s t s p e c i f y t h e C a s e C o n t r o l c o m m a n d s , G P F O R C E ( P L O T ) o r E S E ( P L O T ) i n t h e c o l d s t a r t r u n .

• B y d e f a u l t , i f G P F O R C E o r E S E i s p r e s e n t , t h e n t h e o u t p u t o f g r i d p o i n t f o r c e s o r e l e m e n t s t r a i n e n e r g y i s o n l y a v a i l a b l e a t t h e e n d o f e a c h s u b c a s e . F o r o u t p u t o f i n t e r m e d i a t e s t e p s , t h e p a r a m e t e r I N T O U T o n t h e N L P A R M B u l k D a t a e n t r y m u s t b e s e t t o Y E S o r A L L .

• F o r a m o d e l w i t h s u p e r e l e m e n t s , t h e g r i d p o i n t f o r c e b a l a n c e i s n o t i n e q u i l i b r i u m a l o n g t h e b o u n d a r y o f t h e r e s i d u a l a n d u p s t r e a m s u p e r e l e m e n t s . T h i s i s b e c a u s e t h e a p p l i e d l o a d i n t h e r e s i d u a l d o e s n o t i n c l u d e t h e l o a d c o n t r i b u t e d f r o m u p s t r e a m s u p e r e l e m e n t s w h e n t h e g r i d p o i n t f o r c e b a l a n c e i s c o m p u t e d . T h e s a m e s i t u a t i o n a l s o o c c u r s i n e a c h u p s t r e a m s u p e r e l e m e n t w h o s e a p p l i e d l o a d d o e s n o t i n c l u d e t h e c o n t r i b u t i o n f r o m o t h e r s u p e r e l e m e n t s a n d t h e r e s i d u a l . W h e n t h e t o t a l o f t h e g r i d f o r c e b a l a n c e s o f a l l s u p e r e l e m e n t s i s a d d e d

t o g e t h e r , e q u i l i b r i u m i s r e a c h e d .

F o r e x a m p l e , g r i d p o i n t 1 2 3 i s l o c a t e d a t t h e b o u n d a r y b e t w e e n t h e r e s i d u a l ( s u p e r e l e m e n t I D = 0 ) a n d a n u p s t r e a m s u p e r e l e m e n t ( I D = 1 0 ) a n d i s c o n n e c t e d t o t w o Q U A D 4 e l e m e n t s ( I D 2 2 a n d 2 1 ) . T h e o u t p u t o f t h e g r i d p o i n t f o r c e b a l a n c e i s s h o w n b e l o w .





L i s t i n g 5 - 3 .

O b v i o u s l y , n e i t h e r t h e r e s i d u a l n o r t h e u p s t r e a m s u p e r e l e m e n t h a s t h e b a l a n c e d g r i d p o i n t f o r c e . H o w e v e r , i f b o t h s i d e s a r e a d d e d t o g e t h e r , t h e b a l a n c e w i l l b e r e a c h e d .

• C o m p u t a t i o n a l t i m e a n d m e m o r y r e q u i r e m e n t i n c r e a s e w h e n g r i d p o i n t f o r c e b a l a n c e o r e l e m e n t s t r a i n e n e r g y o u t p u t i s r e q u e s t e d . F o r a l a r g e n o n l i n e a r m o d e l , a l l o c a t i o n o f s u f c i e n t m e m o r y i s i m p o r t a n t . S p i l l l o g i c i s b u i l t i n t h e c o d e , b u t i t m a y i n c r e a s e t h e o v e r a l l c o m p u t a t i o n a l t i m e .

nx nastran 8 basic nonlinear analysis user's guide

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