o. caligaris - p. oliva riduzione di problemi ......140 o. caligaris - r oliva e gli archi sono...

Rend. Sem. Mat. Univ. Poi. Torino Voi. 54,2(1996)

O. Caligaris - P. Oliva

RIDUZIONE DI PROBLEMI ASSOCIATI A FUNZIONALI INTEGRALI MULTIDIMENSIONALI

Abstract. A problem of calculus of variations involving a multiple integrai can be reduced to another one which deals with a simple integrai if we consider arcs which take values in an infinite dimensionai space. In this paper we carry out this reduction when the domain of integration is simply the square [0,1] x [0,1].

Introduzione

Nel caso in cui fìcl2 sia un rettangolo la struttura dello spazio

H1'2(Q;R) = {ueL2(0,l;Y) : ti< e £2(0,1;W)}

ove

W=Z2(0,1;IR) V = A2(0,1;M)

risulta particolarmente semplice e si presta ad essere interpretato come un sottospazio di funzioni assolutamente continue, dipendenti da una sola variabile, a loro volta a valori in uno spazio di funzioni.

Questa osservazione consente di studiare un funzionale di calcolo delle variazioni su H1'2^-^) del tipo

In(u) = \(yu)+ A(t,sìu(t,s),ut(t,s),us(t,s))dtds

cioè relativo ad un integrale multiplo e ad archi che assumono valori reali, usando un integrale semplice del tipo

l(x) = £(x(0)(s),x(l){s)) + ! L(i,x(t),x(t))dt Jo

dove

L(t,x,v) = b(x(0),x(l))+ / A(t,sìx(s)ìv(s),xs(s))dt Jo

140 O. Caligaris - R Oliva

e gli archi sono considerati a valori nello spazio

H = {x e Ì 2 (0 ,1 ; V) : x G L2(0,1;W)}.

Si riconosce immediatamente che, in questa forma, il problema non si configura ancora come un problema di calcolo delle variazioni unidimensionale relativo ad archi che assumono valori in uno spazio di dimensione infinita in quanto gli elementi di H hanno valori in V e derivate in W.

Onde superare questa difficoltà è quindi opportuno osservare che

H1'2(Q;M.) = {ueL2(0,ì;V) : ut £ L2(0,1;W)}

. C{«GI 2 (0 ,1 ;W) : ut E L2(0,l;W)}

= W 0 L2(0,1; W) = A2(0,1; W)

Fatte queste premesse è possibile trattare un problema relativo ad un integrale multiplo del calcolo delle variazioni mediante un integrale monodimensionale. Ciò consente di ottenere significativi risultati di esistenza, ma non è di grande utilità per ricavare condizioni necessarie in quanto il procedimento prima illustrato introduce una estensione del funzionale dato che assume valori infiniti.

1. Notazioni e preliminari

Sia Q C Mn un insieme aperto connesso limitato con frontiera sufficientemente regolare; supponiamo cioè che T = dQ,\a frontiera di fì sia localmente lipschitziana e che Q stia localmente dalla stessa parte rispetto a T.

Più precisamente supponiamo che esistano r funzioni lipschitziane, ciascuna associata ad un opportuno sistema di riferimento,

(pi : A,- -* M

dove Ai = {x' e Mn _ 1 : \x'\ < c^} ed a,- € M+, tali che

T = dQ,C [JKx^x") e IT"1 x M : i ' € A,-, x" = <pi(x')} i=l

Osserviamo esplicitamente che le coordinate (V, x") G Mn sono in generale riferite, ciascuna, ad un proprio sistema di coordinate cartesiane.

Supponiamo inoltre che esistano dei valori # G M+ tali che gli insiemi

{(a?',*") G IT" 1 x R : i ' G A;, <pi(x') < x" < <pi(x') + A}

. { ( ^ « " l e l ^ x R : x'eAi, tpi{x') - fa < x" < ipi(x')}

Riduzione di problemi associati a funzionali integrali 141

siano uno contenuto in Ci e l'altro nel suo complementare Clc.

Nel seguito avremo particolare considerazione per il caso in cui Ci sia il quadrato di lato unitario in M2 e, in questo caso useremo le seguenti notazioni. Porremo Ci = (0,1) x (0,1) ed avremo ovviamente Ci = [0,1] x [0,1]. T = dCl sarà costituita da quattro segmenti paralleli agli assi coordinati nel piano; avremo cioè

r = {(*,0)GM2 : *G[0,1]}U{(M)<EM2 : < G [0,1]}

: U { ( M ) 6 l 2 : *e[0,l]}U{(0,*)GM2 : t e [0,1]}

E' evidente che ciascuno dei segmenti indicati può essere identificato con il grafico di una funzione <pi rispetto ad un opportuno sistema di riferimento cartesiano e che tale funzione risulta costante.

In generale, s e f ì c Mn è un aperto, indichiamo con V(Cl) l'insieme delle funzioni di classe C°°(Cl) aventi supporto compatto contenuto in CI, dotato della usuale topologia localmente convessa. Chiamiamo £(Cl) l'insieme delle funzioni di classe C°°(Cl) ed indichiamo con £^(Mn) il sottospazio di £(Cl) ottenuto considerando le restrizioni ad CI delle funzioni di £(Rn).

Indichiamo, come d'uso, con V{Cl) lo spazio delle distribuzioni su CI, duale di V(Cl) e definiamo

H1'p(Q-m)={ueLp(Q;M) : VuELp(Cl;M)}

essendo Vu calcolato nel senso delle distribuzioni ed Lp(f2;lR) identificato con un sottospazio di V{Cl) nel modo usuale.

jEZ"1,p(fì;M). è uno spazio di Banach se p > 1 e uno spazio di Hilbert se p — 2; la sua norma può essere definita da

\ii\p — \ii\p 4- \\7ii\p

Definiamo inoltre

H^'p(Q-R) = V(a)

la chiusura essendo intesa rispetto alla convergenza forte in H1'P(Q;M).

E' noto (Ne?as [4]) che £(&), o meglio £^-(]Rn), è un sottospazio denso in iy1,p(Q;]R) e, d'altro canto, è ovvio che, se T = dQ è localmente lipschitziana, è lecito e banale considerare u\r, la restrizione di u alla frontiera T di Q per ogni elemento u 6 £(Q).

Possiamo pertanto definire la traccia di una funzione u e Hl>p(Q;M) prolungando per continuità l'operatore lineare di restrizione alla frontiera che è naturalmente definito per ogni u E £(Q).

142 O. Caligaris - P. Oliva

Se fi C Mn è un aperto limitato e connesso con frontiera sufficientemente regolare nel senso anzi precisato, possiamo considerare lo spazio Xp(r;IR) i cui elementi sono le funzioni

/ : r -» m

tali che

f \f\Pdtr = W \f(x', <pi(x'))\y/TTWvW\d*' € M

Fatte queste premesse si può dimostrare, si veda Necas [4], che

TEOREMA 1.1. Esìste un unico operatore lineare continuo

j : H1'2^^)-^ L2(T;R)

tale che

y(u) = u\r Vue£(ty.

Tornando al caso che ci interesserà di più, in cui Q, = (0,1) x (0,1), abbiamo già visto come sia particolarmente semplice caratterizzare la frontiera di Q, mediante quattro rappresentazioni locali. La restrizione di una funzione u E £(Q) a dQ, risulta pertanto completamente descritta mediante le funzioni

u(t,0) u(t,l), <G [0,1] ti(0,«)-ti(l,«), se [0,1];

avremo pertanto che, per tali u, j(u) coincide localmente con una delle restrizioni elencate e, risulta pertanto utile identificare ciascuna di tali restrizioni nella seguente maniera.

f7 i ( t i ) = t i ( - ,0 )

73(w) = w(-,l)

lA{u) = ti(0, •) 72 (u) = «(1,-)

e i corrispondenti pezzi di T mediante le notazioni Ti, 1^, T3, IV

Naturalmente manterremo le notazioni ji(u) anche nel caso in cui u £ H1,2(Q;M), pur non essendo più possibile dare un senso alle precedenti uguaglianze, in quanto ciascuna delle ji(u) è identificata come limite forte in L2(T; M) di una opportuna successione ji(un) con un E £(&), un —»• u fortemente in #1,2(fl;M).

E' utile ricordare anche come, nel caso del quadrato, considerare funzioni di L2(r;M) sia equivalente a considerare insiemi di quattro funzioni di Z>2(0,1;M) ciascuna riferita ad un proprio sistema di assi cartesiani.


Infine osserviamo che, per definizione,

7 K ) - > ? ( « ) in L2(T]M)

se e solo se

7i(un) - • li(u) in L2(0,1;M)

essendo ciascuno spazio L2(0,1; IR)'riferito ad un proprio sistema di assi.

E' ora essenziale, per i nostri scopi, dare una caratterizzazione dello spazio #1,2(fì;]R) seguendo l'impostazione data da Lions-Magenes in [3].

Consideriamo pertanto, da ora in poi, la situazione semplificata che abbiamo già precedentemente introdotto; consideriamo cioè Q — (0,1) x (0,1) ed adottiamo le notazioni, specifiche di questo caso, che siamo andati via via ponendo.

Definiamo inoltre

W=L2(0,1;M) V = A2(0,1;M)

essendo L2(0,l;ffi) lo spazio usuale di Lebesgue ed essendo A2(0,1;M) lo spazio delle funzioni assolutamente continue con derivata di quadrato sommabile.

Possiamo dimostrare, seguendo Lions-Magenes [3], che

TEOREMA 1.2. Si ha

H1'2(Ù\R) = {u'eL2(Oil'ty) : uteL2(0,ì;W)}

C{u<EL2(0,l;W) : u< G L2(0,1; W)} = W 0 £2(0,1; W)

Dimostrazione. Sia u e L2(0,1; V); poiché | j è una operazione lineare e continua

.. — : V ^ W OS

si ha

|2 \U slL2(ft;K)

f1

i l i * ) i l i * ? \ ÌO

- / IW*IL2(0,1;K)"^ ~ KlL2(0,l;.W) ^ COSÌ- ML2(0,1;V) J 0

= COSt. I \u\2Hh2i01.m)dt = COSÌ. I ( |w|Ì2 ( 0 ) 1 ; E ) + |«t | Ì2(0,l ; l)) dt

e, poiché per il teorema di Fubini, L2(0,1;W) = L2(fì;M) possiamo affermare che us e L2(Q]M).

144 O. CaUgaris - P. Oliva

D'altro canto, poiché u € £2(0,1;V) anche u,ut G L2(Q;R) e si può concludere

c h e w G t f 1 ' 2 ^ ; ! ) .

Se viceversasi ha u,ut,us G L2(Q;M) = £2(0,1;W) allora per quasi ogni s G [0,1]

<,s)eL2 (0, l ; l ) , tit(-,*)e£2(0,i;ffi)

e quindi

w(-,s)Giy1 , 2(0, l ;M)

Inoltre

/ K-»*)l/ri.2(o,i;ffi)rfs= / ( / u2(tìs)ds+ I u2(t,s)dsjdt < + 0 0

e

MGÌ 2 (0 ,1 ;V) •

Ora, se

tiG^1»2(fì;ffi) = {wGL 2 (0 , l ;V) : « G l 2 ( 0 , l ; W ) } c W ® i 2 ( 0 , l ; W )

avremo

s(*) = u(0) + / «(r)rfi W ( t ) = M(U) + / U(T)dT 0

essendo l'integrale inteso in W nel senso di Bochner.

Si ha

t i ( i )GW = I 2 ( 0 , l ; R )

u(t)(s) == u(t, s)

u(t)(s) = u(0, s) + I ù(r, s)dr — u(0, s) + / ut(r, s)dr Jo Jo

D'altro canto, poiché it G #1,2(f2;]K) esiste una successione un G £(£l), un —• u

fortemente in ^1-»2(fì;M) e per gli elementi di tale successione potremo usare il teorema

fondamentale del calcolo integrale per asserire che

,(t,s) = un(Q,s) + / (un)t(T,s)dT = y4(un)(s)+ / (un)t(T,s)dì Jo Jo

Ora poiché

'un(t, s) —• u(t, s) q.o — Q pt pt

/ (un)t(r, s)dr-> / ui(rìs)dr q.o - £1 Jo Jo un(0, s) = y4(un)(s) -+ 74(«)(5) ?-° ~ r 4 = [0,1]


possiamo affermare che

u(t,s) = j4(u)(s)-\- / ut(r,s)dT ue# 1 , 2 ( f ì ;M) io

non appena si sia convenuto che la funzione u è definita sui punti di T4 in accordo con le risultanze del limite di 74(wn); ciò non modifica la funzione u in quanto F4 è un insieme di misura nulla in M2 ed inoltre assicura che 74(1/) = u(-, s) G L2(0, l;M)-= W

2. Un lemma tecnico

Proviamo a questo punto un risultato che ha significato esclusivamente tecnico e che consente di provare la normalità di integrande definite esse stesse in termini di integrali.

LEMMA 2.1 Sia / : [0,1] x [0,1] x Mn - > 1 U {+00} una integrando, normale, tale che

inf f(tìSìv) ></;(*, s,r) , ^ ( v , r ) € ^([0,1] x [0,1];R) Vr > 0. | f | < r

Allora F : [0,1] x A2(0, l;ffin) -+ K U {+00} flfe/Smta da

F(t,x) = f f(t,s,x(S))ds io

è integrando normale.

Dimostrazione. La debole sequenziale semicontinuità inferiore di F in x segue facilmente dal lemma di Fatou: infatti, debolmente in A"(0,l;Mn) si ha \xn(t)\ < r e xn(t) -+ .x-(tf) Vt G [0,1], da cui

F(t,x)= / f(tìs,x(s))ds < / liminf f(t,s,xn(s))ds io io

< liminf / /(tf,s,a?n(s))e?s = liminf F(t,xn) . io

Per provare che F è misurabile cominciamo con il supporre che

(2. LA) / ( • , - , ) s/<2 semicontinua inferiormente e non negativa.

In tal caso F(-, •) risulta semicontinua inferiormente: infatti, se tfn —> / e a;n —»• a? debolmente in A2(0, l;Mn)), si ha ajn(s) -> a?(s) Vs G [0,1], e per il lemma di Fatou

liminfF(tn, xn) = liminf / f(tn, s, xn(s))ds > / /(*, s, x(s))ds = F(t, x). io io


Pertanto

gph epi Ft = {(t,x,a) G [0,1] x A2(0, l;Mn) x M : F(t,x) < a}

è un chiuso, quindi C x ^-misurabile, e poiché A2(0, l;Mn) è separabile, F è integranda normale [6].

(2.1.B) Supponiamo ora che

0</(*,*, t ; ) '<Àf V(*,«,t;) G [0,1] x [0,1] x l n .

In virtù del teorema 2F di [8] esiste una successione crescente di insiemi Tm C [0,1] x [0,1] tali che

VmGN Tm è chiuso, mis Tm > 1 - I/m , f è s.c.i. su Tm x l n .

Definiamo

. (f(t,s,v) , (t,s)eTr

/m(v , •) risulta s.c.i. su [0,1] x [0,1] x M.n ed inoltre, se

E =• U{Tm : m G N} , B = {t G [0,1] : mis {s G [0,1] : (t, s) G E} = 1}

si ha

mis E —\ , mis B = ì.

Ora se (t, a;) G 5 x A2(0,1;-Mn) si ha

/m(*,s,a:(s)) ->f(t,s,x(s)) q.o. - s G [0,1],

infatti, per 2 G 5 , si ha per definizione, (t,s) e E q.o. — s,e quindi (£, s) G Tm ed / m — / definitivamente.

Pertanto per il teorema di convergenza dominata si ha

/ fm(t,s,x(s))ds-+ / f(t,s,x(s))ds . vo Jo

Ma fm è s.c.i. e positiva per cui 2.1.A si può applicare e

/ fm(t,s,x(s))ds Jo

è C x ^-misurabile; se ne può allora dedurre che tale risulta anche F(t, x).

Riduzione di problemi associati a funzionali integrali

(2.Ì.C) Supponiamo ancora

0 < f(t, s, v) \/(t, s, v) G [0,1] x [0, l ] x l n ,

Definiamo

fk(t,sìv) = mm{f(tìsìv),k} k G N;

fk è integranda normale ed inoltre

0 < /jb_i(t,s,v) < / fc(*,s,v) -»• f(t,s,v)

Per il teorema di convergenza monotona

/ fk(t,s,x(s))ds^r f(t,s,x(s))ds Jo Jo

e si conclude come prima, tenendo conto che fk soddisfa (2.1 .B).

Siamo ora in grado di concludere

Definiamo,

fp(t, s, v) = f(t, s, v) + iS(o,p)(v) p G N,

ove 5(0,p) = {v G Mn : |u| < p}, / p è integranda normale ed inoltre

fp(t,s,v)-<j)(t,s,p)>0

quindi (2.Ì.C) è soddisfatta.

Avremo allora che

/ (/p(*,s,a;(s))-<KM,p))cfc Jo

è £ x # - misurabile, ed inoltre per il teorema di Fubini, anche

/ ^(tìs,p)di Jo '0

è C x B - misurabile, pertanto tale risulta anche

/ fp(t,s,x(s))di Jo

Ora, se (t, x) G [0,1] x A2(0, l;Mn), posto r = \x\A, risulta

Ut,s,x(s)) = f(t,s,x(s)) Vp>r


da cui

/ fp(tìs,x(s))ds —• / /(tf,s, x(s))ds Jo Jo

e si conclude come nel punto precedente. •

3. Il problema astratto

In base al teorema 1.2, se Q = (0,1) x (0,1), è possibile rappresentare lo spazio tf1'2^;^) mediamela

(3.1) ^1 ,2(fì;M)=:{wGL2(0,l;V) : tit € i2(0,1;W)}

dove

W=L2(0,1;]R) V=-A2(0,1;M)

e ciò suggerisce la possibilità di studiare i problemi di esistenza del minimo per funzionali integrali multidimensionali usando come ambiente di lavoro uno spazio del tipo

A2(0,1;X) = {uGL2(0,l;X) : ut G L2(0,1;X)} = X© L2(0,1;X) ;

è evidente che ciò non può essere realizzato senza tenere conto che nella (3.1) u G L2(0,1; V) mentre ut G L2(0,1; W) e che

vcw.

l'immersione essendo continua e densa.

Onde ricondurci al caso noto possiamo però osservare che

H1'2(Q]R) = {u GL2(0,1;V) : ut e L2(0,l;W)}

C { « e I 2 ( 0 , l ; W ) : « t e I 2 ( 0 , l ; W ) }

= W 0 £2(0,1; W) = A2(0,1; W)

e possiamo prolungare il funzionale integrale ad A2(0,1;W) modificando la funzione integranda in modo che esso valga +oo in W \ V;

In questo paragrafo ci occuperemo di mostrare sotto quali condizioni il problema originale ed il problema esteso sono equivalenti.

Consideriamo pertanto la seguente situazione

Siano V, W spazi di Banach riflessivi e separabili e sia

ve w


con immersione densa e continua e poniamo

M = {x e L2(0,1; V) : x e L2(0,1; W)}

dove con x si intende la derivata distribuzionale.

Si ha HI C A2(0,1; W) e se x e H avremo x(t) e W per ogni * e [0,1].

Sia inoltre

M x W - + M U { + o o }

una funzione debolmente sequenzialmente semicontinua inferiormente e sia

L : [0,1] x V x W-+KU{+oo}

una integranda normale nel senso dato da Rockafellar in [6], debolmente sequenzialmente semicontinua inferiormente rispetto alle variabili in V x W e si consideri il funzionale

I(x) =£(x(0),x(l))+ / L(t,x(t),x(t))dt

definito sullo spazio H, con x(0) e x(ì) intesi come valori di W.

Osserviamo che nel caso che ci interessa, e che abbiamo indicato all'inizio del paragrafo, si ha u e Hl'2(Q;R) e A2(0,1;W) per cui se definiamo x(t) = u(t, •), avremo x € L2(0,1; V), x e L2(0,1;W) e x(t) E L2(0,1;M) per ogni t € [0,1]; inoltre x(0) = l4(u),x(l) = l2(u) E L2(0,1;È) = W.

Possiamo ora provare che

TEOREMA 3.1. Supponiamo che L : [0,1] x V x W —• M. U {+00} sia una integranda normale, debolmente sequenzialmente semicontinua inferiormente rispetto alle variabili inV x W e supponiamo che

esista una funzione U : [0,1] x V —+ IR tale che (HP1) L(tìx\v)>U(t,x)

e che (/(t, •) abbia i livelli debolmente compatti q.o.—t.

Definiamo

Le : [0,1] x W x W -> R U {+00}

(L(tìUìv) , « e v

Allora Le è una integranda normale debolmente sequenzialmente semicontinua inferiormente.


Dimostrazione. L'integranda Le(t, •, •) risulta debolmente sequenzialmente semicontinua inferiormente: infatti siano un —»• u e vn —*. v debolmente in W; se liminf Le(t, un,vn) = +00 non c'è nulla da dimostrare; supponiamo allora che

liniinf Le(t, un, vn) < +00

in tal caso, a meno di passare ad una estratta,

liminf Le(t,un,vn) = \imLe(t,un,vn) G M

Perciò « „ £ V e per l'ipotesi di crescita posta su L, \un\ è compatta.

Esisterà allora una estratta, che indicheremo ancora con un, tale che un —»• u debolmente in V e perciò un —* u debolmente in W.

Quindi

\imLe(t,un,vn) — \imL(t,un,vn) > L(t,u,v) - Le(t,u,v).

Per quanto riguarda la misurabilità di Le osserviamo che, essendo L una integranda normale si possono trovare, [6],

( u n , v „ , a n ) : . [ 0 , l ] - > V x W x R

misurabili tali che

ci ({(«n(<),«n(0,a„(0):nGN}nepiL(*, •••)) = epi M*»-.-) Vi <E [0, l]

e l'insieme

{teT: («n(<),i;n(<),flnW) G epi L(t, -, •)} è misurabile Vn e N.

Supponiamo ora che (u, v, a) Gepi Le(f, -, •), (u, v, a) Gepi L(t, -, •), per cui esiste

una successione (ui,Vi,ai) —• (u,v,a).

Inoltre

{ i 6 T : (w„(<),«nW.anW) G epi Lc(*, -,-)} = { ^ T : («„(*)> "nW>an CO) G epi L(t, -, •)}

per cui la famiglia (unìvnìan) : T - + W x W x l soddisfa le condizioni richieste in [6] ed Le è integranda normale. •


TEOREMA 3.2. Supponiamo che L : [ 0 , l ] x V x W - + K U {+°°} sia una integranda normale, debolmente sequenzialmente semicontinua inferiormente rispetto alle variabili in V x W; sia

l : W x W -+ M U {+00}

debolmente sequenzialmente semicontinua inferiormente.

Supponiamo che sia verificata (HP1) ed inoltre che

Vy G L2(0,1; W) tale che 3v G L2(0,1; W) per cui

(HP2) L^y^v^e^XO^R) si ha y £ L2(0,1; V)

e definiamo

l{x) = £(x(0),x(l)) + f L(t,x(t),x(t))dt Jo

Allora minimizzare I su M = {x G L2(0,1; V) : i 'G L2(0,1; W)} è equivalente a minimizzare

le(x) = t(x(0)tx(l))+ f Le(i,x(t),x(t))dt Jo

su A2(0,1;W).

Dimostrazione. E' intanto ovvio che, se x G H, si ha

x e L2(0,1; V) C £2(0, 1; W), x G £2(0,1; W)

ovvero x G A2(0,1; W) e /(a;) = 7e(^)-

Viceversa sia « 6 A2(0,1; W) tale che Ie(x) < +00; allora

Le{t,x(t),x(t))<+00 q.o.-te [0,1]

per cui #(/) G V.

Poiché

£(*,*(*),*(*)) = Le(<,ar(<),*W) e ^(0,1;M)

per le ipotesi si ha x G £2(0,1;V), a; G H e ie(^) = I(x). •


4. Il problema multidimensionale

Consideriamo ora un funzionale integrale relativo ad un integrale doppio sul quadrato Q = (0,1) x (0,1) = T x S e vediamo sotto quali condizioni esso può essere ricondotto ad un funzionale integrale unidimensionale.

Sia

A : f ì x l x l x l - ^ 1 U {+00}

una integranda normale e sia

A :L2(r;M)->]RU{+oo}

una funzione debolmente semicontinua inferiormente.

Consideriamo il funzionale integrale

In(u) = A(7ti) + A(tìs,u(t,s),ut(t,s),us(t,s))dtds

per ogni «eJ!if1 , 2( l] ; l )e supponiamo che

A(7(ti)) '= i(72(ti),74(ti)) +/?(7i(t0,7s(t0)

= £(y2(u),y4(u)) + / 6(71(«)(0,73(ti)(<))*

dove I : W x W - + l U {+00} e è : l x l ^ l U {+00} sono funzioni debolmente sequenzialmente semicontinue inferiormente.

Definiamo inoltre, in quanto ci sarà utile nel seguito,

S(t,-«,«,p,-g)= sup {(pìw) + (qìz)-A(t,8ìu,wìz)} (w,z)em2

la coniugata di A rispetto alle ultime due variabili

Ora se osserviamo che per x E V =• A2(0,1;M) è possibile calcolare x(0),x(l) possiamo definire una funzione

L : T x V x W - * l

mediante la

L(*,JB,W) = 6(a?(0),a?(l)) + / A(t,s,x(s),v(s),xs(s))ds - ; ' Jo

e possiamo considerare il funzionale

I : H -»- IR U {+00}


definito da

l{x) = t(x(0)(s),x(l)(s)) + f L(ttx(t),i(t))dt Jo

= /(«(0)(«),*(l)(«))+ / b(x(t)(0),x(t)(l))dt Jo

+ [ [ A(tìS,x(t)(s),xt(t)(s),xs(t)(s))dsdt Jo Jo

Ora, se come già precedentemente osservato, poniamo per ogni u G ff1,2(fì;M)

x(t)(s) = u(t,s)

in modo che si abbia

*(<) = »(<)(.) = «(<,•) e L2(0,1;V)

X(t) = x(t)(-) = ut(tr)eL2(0,l;W)

x(0) = x(0)(.) = T4(ti) = «(0,-) G L2(0,1; V)

*(1) = *(1)(.) = 72(«) = ti(l, •) G Z2(0,1; V)

y(0 = ar(<)(0) = 7i(«) = ti(t,0) G L2(0,1; V)

z(t) = s(*)(l) = 73(ti) = '«(*, 1) € L2(0,1; V)

è immediato riconoscere che preso w G #1,2(fì;]R) ed identificatolo come sopra con x G H si ha

fo(^) = MTM) + / A(t,s,u(t,s),ut(tìs),us(t}s))dtds

= £(x(0)(s),x(l)(s)) + I b(x(t)(0),x(i)(l))dt Jo

+ / / A{t,sìx(t)(s),xt{t)(s)ìxs(t)(s))dsdt = J(x) Jo Jo

su M = #1,2(fì;IR) non appena si sia verificata la normalità della ihtegranda L e si sia provato che è lecito decomporre l'integrale doppio del primo membro nei due integrali semplici del secondo membro.

Nel successivo teorema si ottiene l'equivalenza dei problemi di minimo relativi ai due funzionali sui rispettivi spazi, ma è opportuno ricordare che, compiuto questo passo, deve essere applicato il risultato del teorema 3.2 per riportare il problema ottenuto, che è definito su M ad un problema astratto, definito su A2(0,1; W).

Ricordiamo che per far questo sarà necessario definire

Le : [0,1] x W x W -+ M U {+00}


(L{t,u,v) , ueV LJt.u.v) = < V J l + o o , w G W \ V

(a) = £(a;(0)(fi),a;(l)(s))+ / L(t,a;(<),à(t))(ft

ed

/e

Le notazioni precedenti saranno indispensabili per definire condizioni sufficienti per l'esistenza del minimo nel successivo paragrafo 5.

TEOREMA 4.1. Supponiamo che a : W x W -+ 1 U {+oo}, 6 : l x M ^ lU{ - foo} siano due funzioni debolmente sequenzialmente semicontinue inferiormente, supponiamo inoltre che A sia integranda normale e che

S(«,a,ti,p,g) < A\{p,q)\2 + B\u$\p\ + \q$ + C\u\2 + D(t,s) conDG.L1^!]* [0,1];M)"

dov£ 3 è la coniugata della funzione A rispetto alle ultime due variabili. Allora

Minimizzare {/n(«) : u € #1,2(fl;M)}

è equivalente a

Minimizzare \J{x) : « G ì }

Dimostrazione. Definiamo

I : [ 0 , l ] x V x W ^ K U {+oo} definita da

L(t,x,v) = b(x(0),x(ì)) + / A(£,s,x(s),v(s),x(s)) ds

Jo

e proviamo che L è integranda normale.

Osserviamo innanzi tutto che b è semicontinua inferiormente; con le precedenti notazioni, per le ipotesi poste su S e per [7], per ogni I E V , I Ì E W

/ L(t,sìx(s),v(s)ìx(s))ds Jo

= sup < / q(s)x(s)ds + I p(s)v(s)ds — I S(t,s,#(s),p(s),<ji(s))<is : pì q £ C(R) > .

Siano ora p,q € C(R) fissati e consideriamo la funzione

/ : [0,1] x [ 0 , l ] x l ^ M U {+00}

definita da

f(t>s,x) = -E(t,sìx,p(s),q(s)) ;


/ è integranda normale (la semicontinuità superiore di E in x si può provare ad esempio come in [2]); pertanto, per il lemma 2.1

F(t,x) = - E(t,s,x(s)ìp(s),q(s))ds Jo

è Cx ^-misurabile in [0,1] x A2(0,1;M), per ogni p,qe C(R).

Se poi consideriamo, fissati (t.x) 6 [0,1] x A2(0,1;M), la funzione

# : C{R) x C(R) - ^ 1 U {±00}

definita da

y(P,<l)= Z(t,s,x(s),p(s),q(s))ds Jo

essa risulta convessa e propria e, per le ipotesi poste su S, se |(p, <z)|c(i) < r> risulta

®(Pi <?) < m> c i o e ^ e continua, e allora

/ L(t,s,x(s),v(s),x(s))ds = sup {(qtx) + (p, v) - ^(p,q)} Jo p,qec(m)

essendo l'estremo superiore esteso ad un qualunque insieme denso e numerabile in quanto C(M) è separabile.

Pertanto, essendo estremo superiore numerabile di integrande normali, il primo membro è a sua volta integranda normale.

Affinchè i due problemi siano equivalenti occorre infine verificare che si può applicare il teorema di decomposizione di Fubini; ciò può essere fatto tenendo conto che dalla (CO) si ha

A(*, s, w, w, z) > -E(t, s, u, 0,0) > -C\u\2 - D(t, s)

e quindi, se x G £2(0,1; W) l'integranda è minorata da una funzione sommabile. •

5. Qualche condizione sufficiente per la riduzione del problema

Il teorema 4.1 del precedente paragrafo permette di ridurre un problema di calcolo delle variazioni su H1,2(£l;M) ad un problema astratto su M ed il teorema 3.2 permette di ricondurre un tale problema ad un problema astratto su A2(0,1; W) non appena siano soddisfatte (HP1), (HP2)e (CO). Appare quindi interessante esaminare le relazioni che intercorrono tra tali condizioni e fornire condizioni sufficienti affinchè sia assicurato il verificarsi delle condizioni sopra dette.

LEMMA 5.1. La condizione (CO) è sufficiente per la condizione (HP2)


Dimostrazione. Infatti, per (CO),

4A A(«, s, u, «,, z) > •°«{(l(»'.')l-BH)a.O} _ C M , _ D(tt s )

e quindi, se a; € L2(0,1; W) e se

L(t, x(t), v(t)) = A(t,sìx(tìs),v(t,s)ìxs(t,s))df: JQ

è sommabile su [0,1] x [0,1], risulta

mEix{($xs,v)\~B\u$,0}eL2(Q;m)

ovvero (xs,v) € L2(ft;M), cioè « G L2(0,1;V). •

LEMMA 5.2. Posto

L0(t, s, x, v) = sup{{q, v) - E(t, s, x, 0, q) : q 6 !&}

56

(D0) ò(a?(0),a:(l))+ / L0(*,»,a;(«),a?(s))ds

Aa i /we//« compatti in A (0,1;M) per q.o.—t

allora la condizione (HP1) è soddisfatta.

Dimostrazione. Osserviamo che

L(t,x,v) = b(x(0),x(l)) + I A(t,s,x(s), v(s),x(s)) ds Jo

= 6(à(0),a?(l)) + / sup {(p,i>) + v?,à)-3(*,s,a?,p,g)} •/O (p ,g)€WxW

>6(ar(0),x(l))+ / s u p { ( g , i ) - S f r a t o , ? ) } •

Onde poter ottenere un teorema di esistenza sarà necessario conoscere condizioni sotto le quali il funzionale ridotto

( D 1 ) £(x(0,s),x(0,s))+ f Le(t,x(t),x(t))dt

abbia i livelli compatti in A2(0,1;W)

In sostanza, tenendo conto delle precedenti affermazioni, dovranno esse verificate le condizioni (CO) - (DO) - (DI). Tuttavia tali condizioni non sono completamente disgiunte

Riduzione dì problemi associati a funzionali integrali 157

ed inoltre le condizioni (DO) - (DI), riguardanti la compattezza di un funzionale integrale, possono essere esplicitate abbastanza facilmente se si usano risultati del tipo stabilito in [5].

Supporremo pertanto che valga la seguente condizione

^U, »7) > ^o|^|2 -h /̂ i|?7|2 -f /*2^| + /̂ 4

6(f,r))> m0|£|2 + mx\r)\2 + ra2|£| + m3\rj\ + ?TI4

(EO) E(t, fi> u,p, q) < A$p,q)\2 + B\ù\(\p\ + \q$ + C'|i/,|2

+M(\q\ + \p\) + N\x\ + D(t,s)

con A, B,C, M,N>0,De L1^, l;M).

Osserviamo che la condizione (EO) è sufficiente per la condizione (CO).

Possiamo ora provare che

LEMMA 5.3. Supponiamo verificata (EO), definiamo

H0(t, s, x,q) = sup{(g,t;) - Z0(tf,s,a;,i;) : v e M} = E(tf, s, x,0,q)

e, per (t,p) E [0,1] x W fissati, poniamo

g{t, s, x,p) = A|p|2 + S|*||p| + M\p\ + £>(*,,*)

£<lP(s, a?, «) = inf {A(t, s, x, v, u) - (p(s), v) + g(t, s, x,p(s))}

Ht,P(8> xi «) = SUP{(?> M) ~ Lt,P(s> x> u)ì

Risulta allora

H0(t, s, x, q) < A\q\2 + B\x\\q\ + C\x\2 + M\q\ + N\x\ + £>(*, 5)

ed inoltre

Ht,P(s, £> <?) < ^kl2 + #MM + C M 2 + M M + # |x |


Dimostrazione. La prima delle disuguaglianze è immediata conseguenza delle ipotesi, mentre la seconda segue non appena si ricordi che

HitP(s,x,q) = sup{(g,u) - Lt)P(s,z,u)}

= sup {{q, u).+ {p(s), v) - A(t, s, x, v, u) - g(t, s, x,p(s)) (u,v)em2

= E(t,s,x,p(s),q)-g(tys,xìp(s))

<A\q\2-+B\x\\q\ + C\x\2 + M\q\ + N\x\ •

Occorre infine occuparsi di (DI) e cioè dare condizioni sufficienti affinchè i livelli di Ie siano compatti debolmente; conviene a questo scopo ricordare alcune condizioni sufficienti, desunte da [5], per garantire la compattezza debole dei livelli del funzionale associato alla funzione (p(t, x,v) coniugata della funzione

W, x,p) = A\p\2 + £|x||p| + C\x\2 + Af |p| + N\x\

TEOREMA 5.4. Sia ti : W x W - ^ l U {+°°} una funzione debolmente sequenzialmente semicontinua inferiormente esiaip : [ 0 , l ] x W x W - ^ l U {+°°} "Wfl integranda normale debolmente sequenzialmente semicontinua inferiormente tali che

sup{(v,p) - <p(t,x, v)} < A\p\2 + B\x\\p\ + CV|2 + M\p\ + N\x\

0(Ì,rì) > ho\t\2 + * i H 2 + ^2|f| + h3\?j\ + h4

Sia inoltre J : A2(0,1; W) —• M U {+00} il funzionale integrale ad esse associato

J(x) = ti(x(0)ìx(l)) + I (<p(t,x(t),x(t))dt Jo

Allora J ha i livelli debolmente compatti se

du

/

h0

•hi > 1 4Au2 + 2B\u\ + C

(CO) oppure, nel caso C = h\ — ho — 0, se

'h3 du > 1 /

« 3

•hs B\u\ + N


LEMMA 5.5. Supponiamo verificate le ipotesi (EO) e supponiamo che

du

• m i

> 1 _ 4Ati2 + 2B|u| + C

(CI) oppure, nel caso C = mi = mo = 0

(/ti

allora esiste una costante CQ E M tale che

He(t,x,p) < A\p\2 + B\x\\p(+M\p\ + I D(t,s)ds~c0 JT

Dimostrazione. Dalla definizione di Le

He(t,x,p) = sup{(p, v) - Le{t,x,v) : w 6 W}

= sup < I {p(s),v(s))ds— I A(tìs,x(s),v(s),x(s))ds - b(x(0),x(l))>

= - inf { / (AtM^W^M^WJ-^W^Wl^ + W)»^))}

= - \ inf{A(tisìx(s)ìvìx(s))-(p(s),v)}d8-{-b(x(0)ìx(ì))

i inf {A(t, s, a?(s), v, x(s)) - (p(t), v) + g(t, s, x(s),p(s))})ds

r0 v$

g(t,s,x(s),p(s)}ds

/ Lttp(sìx(s),x(s))ds-\-b(x(0),x(ì)))i- g(t,s,x(s),p(s))dt

Poiché vale (CI) il funzionale

x e V ^ / L<iP(a,ar(*),i(«))d* + 6(a?(0),a;(l)) ./o

ha i livelli compatti ed ammette un minorante CQ indipendente da (t,p) poiché, per il lemma HtìP ammette un maggiorante indipendente da tali variabili.

La tesi segue non appena si ricordi la definizione di g, per ogni (t^x^p) 6 [0,1] xL2(0, l ;K) xL2(0,l;M)

H0(t,x,p) < -c0 + A\p\2 + B\x\\p\ + M|p| + / D(t,s)ds • JT


Osservazione - Le ipotesi usate richiedono A,B,C,M,N > 0; tutto ciò non è strettamente necessario, tuttavia le condizioni precedenti sono così molto semplificate.

Possiamo inoltre osservare che M, N potrebbero anche essere scelte dipendenti da t. Tale scelta, seppur possibile, porterebbe ulteriori complicazioni. Può essere utile a questo riguardo ricordare che

S{t)\x\ < eW2 + ^

per ogni e > 0.

Concludiamo enunciando un teorema di esistenza del minimo diretta conseguenza dei risultati provati.

TEOREMA 5.6. Supponiamo verificate le ipotesi (EO) supponiamo che

du

/

TìlQ

• m i

> 1 _ 4Au2 + 2B\u\ + C

(CI) oppure, nel caso C = mi = rao = 0

du r J ^ - ^ > i .m2B\u\ + N

e supponiamo inoltre che

du

/

/io

> 1 + 25|t<| + C

(CO) oppure, nel caso C — h\ — ho — 0

du > 1

[h* — J-h2 B\u\ <] + N

Allora minimizzare

In(u) = \(yu)+ / L(tìsyu(t,s)ìUi(i,s),ua(tìs))dtdi

è equivalente a minimizzare

le(a) = *(jc(0),a;(l))+ / Le{t,x(t),x(t))dt JQ

su A2(0,1; W); inoltre il minimo esiste.


BIBLIOGRAFIA

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