UNIVERSIDADE TECNOLGICA FEDERAL DO PARAN

PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM ENGENHARIA

ELTRICA

JEAN CARLOS GENTILINI

O COMPORTAMENTO DE DIELTRICOS NA

PRESENA DE CAMPOS ELTRICOS E A SUA

DESCRIO EM TERMOS DA FUNO RESPOSTA

DIELTRICA

DISSERTAO

PATO BRANCO

2012

JEAN CARLOS GENTILINI

O COMPORTAMENTO DE DIELTRICOS NA

PRESENA DE CAMPOS ELTRICOS E A SUA

DESCRIO EM TERMOS DA FUNO RESPOSTA

DIELTRICA

Dissertao apresentada ao Programa de Ps-

graduao em Engenharia Eltrica da Univer-

sidade Tecnolgica Federal do Paran como

requisito parcial para obteno do ttulo de

Mestre em Engenharia Eltrica rea de

Concentrao: Sistemas e Processamento de

Energia.

Orientador: Prof. Dr. Adriano Do Sotta

Gomes

PATO BRANCO

2012

Ficha Catalogrfica elaborada por Sulem Belmudes Cardoso CRB9/1630 Biblioteca da UTFPR Campus Pato Branco

G338c Gentilini, Jean Carlos. O comportamento de dieltricos na presena de campos eltricos e a

sua descrio em termos da funo resposta dieltrica / Jean Carlos Gentilini. -- Pato Branco: UTFPR, 2012.

89 f. : il. ; 30 cm

Orientador: Prof. Dr. Adriano Doff Sotta Gomes Dissertao (Mestrado) - Universidade Tecnolgica Federal do Paran.

Programa de Ps-Graduao em Engenharia Eltrica. Pato Branco, PR, 2012.

Bibliografia: f. 81-83.

1. Polarizao. 2. Materiais dieltricos. 3. Funo resposta dieltrica. 4. Modelo de Dissado e Hill. I. Gomes, Adriano Doff Sotta, orient. II. Universidade Tecnolgica Federal do Paran. Programa de Ps-Graduao em Engenharia Eltrica. III. Ttulo.

CDD 22. ed. 621.3

AGRADECIMENTOS

Primeiramente a Deus.

A minha famlia, em especial a minha noiva Dulce, meus pais Jandir e

Terezina e meus irmos Jeana e Alan, pelo apoio, motivao e compreenso.

Ao meu orientador por acreditar que seria possvel chegar at aqui.

A todos os meus colegas e amigos do Mestrado, em especial ao Newton,

Zamadei, Jacson, Carlos, Heberty, Felipe, Alcio e Onerio por muitas vezes compar-

tilharmos as alegrias e superarmos os muitos problemas.

A todos os amigos que de uma forma ou outra me ajudaram nesse perodo.

A todos os professores do programa, em especial aos professores Mrio L-

cio da Silva Martins, Jean Carlos Cardozo da Silva e Ivo de Loureno Junior pela

disponibilidade e consideraes.

A CAPES pelo aporte nanceiro.

RESUMO

GENTILINI, Jean Carlos. O COMPORTAMENTO DE DIELTRICOS NA PRE-

SENA DE CAMPOS ELTRICOS E A SUA DESCRIO EM TERMOS DA

FUNORESPOSTA DIELTRICA. 89 f. Dissertao Programa de Ps-graduao

em Engenharia Eltrica, Universidade Tecnolgica Federal do Paran. Pato Branco,

2012.

Com o avano da miniaturizao de componentes e dispositivos eletrnicos ocorrida

nos ltimos anos, a utilizao de materiais dieltricos e a necessidade de informaes

precisas sobre o comportamento dieltrico apresentado por estes materiais aumentou

consideravelmente. Neste trabalho apresentado inicialmente as motivaes para o

estudo do comportamento dieltrico e da modelagem da funo resposta dieltrica.

A partir da teoria proposta por Debye e identicando suas peculiaridades, so explo-

radas algumas extenses deste modelo e analisada a interpretao da funo resposta

proposta por estes. Muitos modelos assumiam a existncia de mltiplas interaes

envolvendo os dipolos com o meio dieltrico, as quais contribuam para a dinmica

do comportamento dieltrico, somente mais tarde que estas mltiplas interaes

ganharam uma conexo entre a resposta dieltrica observada com as propriedades

intrnsecas do material. Por meio do modelo proposto por Dissado e Hill e assumindo

dados experimentais disponveis na literatura para alguns materiais, foi testada a

validade da funo resposta resultante do modelo, na qual vericou-se a capacidade

da mesma em ajustar as curvas para as componentes real e imaginria da permissi-

vidade para uma grande variedade de materiais dieltricos. A partir das simulaes

e anlises realizadas, cou evidente a dependncia do comportamento dieltrico com

a temperatura, fato este que dever ser abordado em trabalhos futuros.

Palavras-chave: Polarizao, Materiais Dieltricos, Funo Resposta Dieltrica,

Modelo de Dissado e Hill.

ABSTRACT

GENTILINI, Jean Carlos. THE BEHAVIOR OF DIELECTRICS IN THE PRE-

SENCE OF ELECTRIC FIELDS AND YOUR DESCRIPTION IN TERMS OF

DIELECTRIC RESPONSE. 89 f. Dissertao Programa de Ps-graduao em

Engenharia Eltrica, Universidade Tecnolgica Federal do Paran. Pato Branco,

2012.

With the improvement of miniaturization of electronic components and devices oc-

curred in recent years, the use of dielectric materials and the need for accurate

information about the dielectric behavior displayed by these materials has increased

considerably. In this work is initially presented the motivations for the study of

dielectric behavior and the modeling of the dielectric response function. From the

theory proposed by Debye and identifying its peculiarities, are exploited some exten-

sions of this model and analyzed the interpretation of response function proposed by

these. Many models used to assume the existence of multiple interactions involving

the dipoles with the dielectric medium, which contributed to the dynamics of the di-

electric behavior, only later the multiple interactions won a connection between the

dielectric response observed with the intrinsic properties of the materials. Through

the model proposed by Dissado and Hill and assuming experimental data available

in bibliography for some materials, was tested the validity of the response function

resulting from the model, in which was veried the ability of the same to adjust the

curves for the real and imaginary components of permittivity to a wide variety of

dielectric materials. From the simulations and analyzes performed, was evident the

dependence of dielectric behavior with temperature, a fact that should be discussed

in future works.

Keywords: Polarization, Dielectric Materials, Dielectric Response Function, Dis-

sado and Hill Model.

LISTA DE FIGURAS

FIGURA 2.1 (a) Representao da molcula de gua H2O, molcula polar(LABFILTER.COM, 2011). (b) Representao da molcula de

Triuoreto de Boro BF3, molcula apolar (COMMONS., 2011). 19FIGURA 2.2 Grco da variao da polarizao com relao a frequncia

(REZENDE, 2004). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

FIGURA 2.3 Grco da componente real e imaginria da permissividade

em funo da frequncia (BTTECHER; BORDEWIJK,1987). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

FIGURA 2.4 Grco da polarizao observada ao campo eltrico aplicado. 29

FIGURA 2.5 Grco de um campo descrito por meio de um pulso de onda

quadrada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

FIGURA 3.1 Grcos das componentes e para o modelo de Debye emfuno da frequncia do campo aplicado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

FIGURA 3.2 Comparativo entre os grcos da componente real da permis-

sividade com relao a frequncia para os modelos de Cole-Cole

e Cole-Davidson, onde c = 1 103Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37FIGURA 3.3 Comparativo entre os grcos da dependncia da componente

imaginria da permissividade com relao a frequncia para os

modelos de Cole-Cole e Cole-Davidson, onde c = 1 103Hz. . . 38FIGURA 3.4 Grco comparativo da tan() do Cloreto de Sdio 358, 15Kobtida experimentalmente segundo (HIPPEL, 1954), com as cur-

vas obtidas por meio dos modelos de Debye e Cole-Cole. . . . . . . 39

FIGURA 3.5 Grco da disperso dieltrica () e o espectro de perda() da gua 273, 35K(BUCHNER; STAUBER, 1999). . . . . . 40FIGURA 3.6 Grco com os valores experimentais para a tan() obtidosda Figura 3.5 e a curva da tan() por meio da Equao (3.20)da gua 273, 35K(BUCHNER; STAUBER, 1999), ambas emfuno da frequncia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

FIGURA 4.1 Grco da componente real e imaginria de z0 em funo dafrequncia da fora harmnica aplicada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

FIGURA 4.2 Fotograa do dispositivo composto por uma bssola e um

solenoide, utilizado para a aquisio dos dados. . . . . . . . . . . . . . . . 46

FIGURA 4.3 Grco do tempo de relaxao associado a bssola 1. . . . . . . 47

FIGURA 4.4 Grcos dos tempos de relaxao associado ao conjunto de

quatro bssolas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

FIGURA 4.5 Grco do comportamento da componente , descrita naequao (4.18), para o conjunto de dados exibido na Tabela 4.1. 51

FIGURA 5.1 Disposio dos dipolos na ausncia de um campo aplicado

segundo a teoria de Debye. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

FIGURA 5.2 Comportamento dos dipolos frente a aplicao de um campo

magntico B(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56FIGURA 5.3 Disposio unidimensional dos dipolos na ausncia de um

campo aplicado segundo a teoria de Dissado e Hill. . . . . . . . . . . . 57

FIGURA 6.1 Grcos do comportamento da componente real e imagin-

ria da permissividade eltrica do Pentaclorotolueno tempera-tura de 246, 65K e os ajustes proporcionados pela equao (5.11),onde c = 3, 2 103Hz e k = 0, 23. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65FIGURA 6.2 Grcos do comportamento da componente real e imagin-

ria da permissividade eltrica do Pentaclorotolueno tempera-tura de 293, 15K e os ajustes proporcionados pela equao (5.11),onde c = 1, 2 105Hz e k = 0, 205. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66FIGURA 6.3 Grcos do comportamento da componente real e imagin-

ria da permissividade eltrica do Pentaclorotolueno tempera-tura de 333, 15K e os ajustes proporcionados pela equao (5.11),onde c = 1, 8 106Hz e k = 0, 18. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67FIGURA 6.4 Grco do comportamento da componente real da permissivi-

dade eltrica do Pentaclorotolueno e os ajustes proporcionadospela equao (5.11) para as temperaturas de 246, 65K, 293, 15K e333, 15K, em azul, vermelho e verde, respectivamente. Os dadosforam normalizadas em frequncia com c = 1, 2 105Hz. . . . . . . 67FIGURA 6.5 Grco do comportamento da componente imaginria da per-

missividade eltrica do Pentaclorotolueno e os ajustes propor-cionados pela equao (5.11) para as temperaturas de 246, 65K,293, 15K e 333, 15K, em azul, vermelho e verde, respectivamente.Os dados foram normalizadas com c = 1, 2 105Hz. . . . . . . . . . . 68FIGURA 6.6 Grcos do comportamento da componente real e imaginria

da permissividade eltrica e os ajustes proporcionados pela equa-

o (5.11) para o Cloroacetato de Polivinila 339, 15K, ondec = 350Hz e k = 1, 89. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69FIGURA 6.7 Grcos do comportamento da componente real e imaginria

da permissividade eltrica e os ajustes proporcionados pela equa-

o (5.11) para o Cloroacetato de Polivinila 343, 15K, ondec = 865Hz e k = 1, 84. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69FIGURA 6.8 Grco do comportamento da componente real da permissi-

vidade eltrica do Cloroacetato de Polivinila e os ajustes pro-porcionados pela equao (5.11) para as duas temperaturas, em

vermelho 339, 15K e em verde 343, 15K, normalizadas emc = 350Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70FIGURA 6.9 Grco do comportamento da componente imaginria da per-

missividade eltrica do Cloroacetato de Polivinila e os ajustesproporcionados pela equao (5.11) para as duas temperaturas,

em vermelho 339, 15K e em verde 343, 15K, normalizadas emc = 350Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70FIGURA 6.10 Grco do comportamento da componente imaginria da per-

missividade eltrica do Polipropileno e o ajuste proporcionadopela equao (5.11) para a temperatura de 290K, onde c =

2 103Hz e k = 6, 25. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71FIGURA 6.11 Grcos dos comportamentos da componente imaginria da

permissividade eltrica do Polipropileno e os ajustes proporcio-nados pela equao (5.11) para as temperaturas de 285K e 295K.Para a temperatura de 285K, c = 400Hz e k = 6, 24. Para atemperatura de 295K, c = 7, 5 103Hz e k = 6, 20. . . . . . . . . . . . 71FIGURA 6.12 Grco do comportamento da componente imaginria da per-

missividade eltrica do Polipropileno e o ajuste proporcionadopela equao (5.11) para as temperaturas de 285K, 290K e 295K,em azul, vermelho e verde, respectivamente. Os dados foram

normalizados em frequncia com c = 2 103Hz. . . . . . . . . . . . . . . 72FIGURA 6.13 Grco do comportamento da componente imaginria da per-

missividade eltrica temperatura de 273, 15K do Brometo ndocosil e o ajuste do modelo, para c = 5, 7109Hz e k = 0, 0032. 73FIGURA 6.14 Grcos do comportamento da componente imaginria da per-

missividade eltrica s temperaturas de 243, 15K e 293, 15K parao Brometo n docosil em conjunto com os ajustes do modelo.Para a temperatura de 243, 15K, c = 3, 9 109Hz e k = 0, 00241.Para a temperatura de 293, 15K, c = 6, 6109Hz e k = 0, 00407. 73FIGURA 6.15 Grco do comportamento da componente imaginria da per-

missividade eltrica do Brometo n docosil e os ajustes do mo-delo para as trs temperaturas, em azul 243, 15K, em verme-lho 273, 15K e em verde 293, 15K, normalizadas com c =5, 7 109Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74FIGURA 6.16 Grco do comportamento da componente imaginria da per-

missividade eltrica para o BaTi7MgO16 e a forma prevista pelomodelo para a temperatura de 230, 15K, onde c = 7, 5 105Hz ek = 2, 45. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75FIGURA 6.17 Grcos do comportamento da componente imaginria da per-

missividade eltrica s temperaturas de 213, 15K e 248, 15K parao BaTi7MgO16 e os ajustes do modelo. Para a temperatura de213, 15K, c = 3, 8 105Hz e k = 2, 35. Para a temperatura de248, 15K, c = 1, 45 106Hz e k = 2, 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75FIGURA 6.18 Grco do comportamento da componente imaginria da per-

missividade eltrica do BaTi7MgO16 e os ajustes do modelo paraas trs temperaturas, em azul 213, 15K, em vermelho 230, 15Ke em verde 248, 15K, normalizadas com c = 7, 5 105Hz. . . . 76FIGURA 6.19 Grcos do comportamento da componente imaginria da per-

missividade eltrica prevista pela equao (5.11) para dois casos

hipotticos em que n = 0, 40. Em azul o comportamento pre-visto para m = 0, 40 e em verde o comportamento previsto param = 0, 60. Em ambos o valor assumido por k foi o mesmo. . . . 77

LISTA DE TABELAS

TABELA 4.1 Resultados das medidas para de cada bssola obtidas apartir da Figura 4.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

TABELA 6.1 Valores dos parmetros m e n da equao (5.12) para algunsmateriais segundo (HILL, 1981). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

TABELA A.1 Valores para a tan() multiplicados por 104, em funo dafrequncia em Hz(HIPPEL, 1954). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84TABELA A.2 Tabela descrita por (HILL, 1981) com algumas modicaes,

apresenta os valores dos parmetros m e n da equao (5.12)para alguns materiais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

TABELA A.3 Tabela descrita por (HILL, 1981) com algumas modicaes,

apresenta os valores dos parmetros m e n da equao (5.12)para alguns materiais. (Continuao) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

TABELA A.4 Tabela descrita por (HILL, 1981) com algumas modicaes,

apresenta os valores dos parmetros m e n da equao (5.12)para alguns materiais. (Continuao) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

LISTA DE SIMBOLOS

Q Fator de qualidade.q Vetor de onda.p Vetor momento de dipolo.q Carga positiva do dipolo.d Distancia entre as cargas positiva e negativa do dipolo.v Variacao de volume.N Numero de dipolos.n Numero de dipolos por unidade de volume. Susceptibilidade complexa.0 Susceptibilidade eletrica na ausencia de um campo eletrico. Susceptibilidade eletrica.() Componente real da Susceptibilidade eletrica com relacao a frequencia.() Componente imaginaria da Susceptibilidade eletrica com relacao a

frequencia. Permissividade eletrica complexa. Permissividade no equilbrio assintotico.0 Permissividade eletrica no vacuo. Permissividade eletrica.2 Permissividade eletrica em frequencias intermediarias.() Componente real da permissividade eletrica com relacao a frequencia.() Componente imaginaria da permissividade eletrica com relacao a

frequencia.k Constante de proporcionalidade entre e 0. Tempo de relaxacao dieletrica.1 Tempo de relaxacao dieletrica associado ao primeiro pico.2 Tempo de relaxacao dieletrica associado ao segundo pico. Constante de amortecimento ou tempo de relaxacao para um dado os-

cilador.c Raio de relaxacao constante do dieletrico.q Raio de relaxacao do dieletrico dependente do campo aplicado.l Raio de relaxacao do dieletrico dependente das interacoes com o meio.0 Frequencia natural de oscilacao. Frequencia angular.t Variacao de tempo.D0 Vetor deslocamento eletrico no vacuo.D(t) Vetor deslocamento eletrico.E0 Amplitude do campo eletrico aplicado no vacuo.E(t) Campo eletrico dependente do tempo.P Polarizacao Constante.P (t) Polarizacao dependente do tempo.

P (t) Potencia media no tempo.

P Polarizacao complexa.Z Impedancia.Y Admitancia. Defasagem entre o campo e a resposta do dieletrico.() Atraso da resposta dieletrica da aplicacao do campo dependente da

frequencia.tan() Perda dieletrica.S(t t) Funcao degrau unitario.fp(tt) Funcao resposta a aplicacao de campo da forma impulso.r Funcao resposta dieletrica.c(t) Valor esperado para a funcao resposta dieletrica.F (t) Forca dependente do tempo.F0 Amplitude da forca aplicada.A Amplitude de oscilacao.m Massa de uma particula acoplada a um oscilador harmonico.c Constante elastica de uma mola.

P (t) Potencia media dissipada.B0 Campo magnetico da terra.B(t) Campo magnetico harmonico dependente do tempo.Bs Campo magnetico no interior de um solenoide. Constante de fase no movimento harmonico. Posicao angular.0 Posicao angular de equilbrio.q(t) Termo responsavel pelo banho termico na forma classica da equacao de

Dissado-Hill.l Termo responsavel pelo banho termico na equacao quantica de Dissado-

Hill.

nr Indice de refracao. Parametro da equacao de Cole-Cole relacionada ao material dieletrico

com valor compreendido entre 0 e 1. Parametro da equacao de Cole-Davidson relacionada ao material

dieletrico com valor compreendido entre 0 e 1.aq Variavel responsavel pela evolucao da resposta dieletrica no modelo de

Dissado-Hill dependente do momento q transferido pelo campo aplicado.aq(t) Variavel responsavel pela evolucao dinamica da resposta dieletrica no

modelo de Dissado-Hill dependente do momento q transferido pelo campoaplicado.

al(t),aK

Variaveis responsaveis pela resposta dieletrica no modelo de Dissado-Hillrelacionadas a estados intermediarios K e l.

a0(t) Variavel responsavel pela evolucao dinamica da resposta dieletrica nomodelo de Dissado-Hill para q = 0.

k Constante multiplicativa responsavel pela amplitude da respostadieletrica no modelo de Dissado e Hill.

T Temperatura.m Parametro associado as interacoes extra-cluster no modelo de Dissado-

Hill.

n Parametro associado as interacoes intra-cluster no modelo de Dissado-Hill.

Infinito.e exponencial. Comprimento de correlacao. Frequencia de oscilacao do cluster.h Constante de Planck.VKq Intensidade de interacao entre os modos da rede.al Operador de aniquilacao.

al Operador de criacao.C(t) Funcao de correlacao.F Forca em Newtons, entre duas cargas puntiformes q1 e q2.C Capacitancia.R Resistencia eletrica.X Reatancia.

SUMRIO

1 INTRODUO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.1 OBJETIVOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.1.1 Objetivo geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.1.2 Objetivos Especcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 REVISO BIBLIOGRFICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1 INTRODUO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2 A POLARIZAO DOS MATERIAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.1 Polarizao Orientacional ou Dipolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3 A POLARIZAO E A SUA DEPENDNCIA COM O CAMPO EL-

TRICO APLICADO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4 A FUNO RESPOSTA DIELTRICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4.1 Funes Resposta Dieltricas: Casos Particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 A FUNO RESPOSTA DIELTRICA: O MODELO DE DEBYE

E SUAS EXTENSES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.1 INTRODUO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2 O MODELO DE DEBYE PARA A POLARIZAO DE MEIOS DIEL-

TRICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3 AS EQUAES DE COLE-COLE E COLE-DAVIDSON PARA A DES-

CRIO DA RELAXAO DIELTRICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4 DINMICA DE RELAXAO EMMEIOS DIELTRICOS: UMA

APLICAO ENVOLVENDO OSCILADORES HARMNICOS

42

4.1 INTRODUO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.2 O OSCILADOR AMORTECIDO E FORADO REVISITADO . . . . . . . . . . 43

4.3 OSCILAES AMORTECIDAS E FORADAS DA AGULHA DE UMA

BSSOLA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.4 A INTERPRETAO FSICA DOS PARMETROS DA EQUAO DE

DEBYE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.5 A DINMICA DE RELAXAO EMMEIOS DIELTRICOS: UM EXEM-

PLO ENVOLVENDO OSCILADORES HARMNICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5 O MODELO DE DISSADO E HILL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.1 INTRODUO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.2 OS PRINCIPAIS ASPECTOS DO MODELO DE DISSADO E HILL . . . . 55

5.3 A FUNO RESPOSTA DE DISSADO E HILL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6 ALGUNS RESULTADOS DO MODELO DE DISSADO E HILL 63

6.1 INTRODUO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6.2 OS PARMETROS DO MODELO E A DESCRIO DA RESPOSTA

DIELTRICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

7 CONCLUSES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

7.1 SUGESTO PARA TRABALHOS FUTUROS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

REFERNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Anexo A -- ANEXOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

A.1 A EQUAO DE COLE-COLE PARA A DESCRIO DA RELAXAO

DIELTRICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

A.2 O MODELO DE COLE-DAVIDSON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

14

1 INTRODUO

Dentre os materiais disponveis para fabricao de dispositivos eletrnicos

destacam-se os chamados condutores, supercondutores, semicondutores e isolantes.

Uma distino mais precisa entre estes tipos de materiais segue a partir da anlise

do espectro de bandas de energia associada a tais materiais (REZENDE, 2004).

Materiais isolantes apresentam uma grande importncia para a eletrnica,

pois muitas vezes so utilizados para montar ou isolar eletricamente os e partes

de dispositivos e circuitos. Os materiais mais utilizados nestas aplicaes consistem

de cermicas, resinas e uma grande variedade de polmeros, os quais so materiais

formados por macromolculas compostas por muitas unidades de repetio denomi-

nadas meros, ligados por ligaes covalentes (CANEVAROLO, 2002).

Eltrons livres no so os nicos responsveis pela resposta dos materiais

frente a aplicao de um campo eltrico externo, alguns materiais assim como os

materiais isolantes possuem ons ou molculas que sob a ao de um campo eltrico

externo sofrem pequenos deslocamentos ou reorientaes, mesmo sem produzir cor-

rente eltrica estes materiais apresentam uma resposta a ao de um campo eltrico

aplicado, sendo assim classicados como materiais dieltricos.

Dentre as aplicaes mais tradicionais de materiais dieltricos esto a fabri-

cao dos mais variados tipos de capacitores, dentre eles os capacitores cermicos

multicamadas MLCC e os capacitores MOS, bastante empregados em circuitos inte-

grados. No entanto, dieltricos vm sendo muito utilizados em sistemas de comuni-

cao global e terrestre no desenvolvimento de componentes como ltros e antenas,

por meio da utilizao dos dieltricos ressonantes DRs. Devido s propriedades como

alto fator de qualidade Q, diretamente associado a tangente de perda, permissivi-

dade relativa r e frequncia de ressonncia termicamente estvel f apresentadas

por alguns destes dieltricos que os avanos na miniaturizao dos dispositivos

15

eletrnicos pde ocorrer (MAILADIL, 2008). Outras aplicaes consistem na fabri-

cao de dispositivos, dentre estes pode-se destacar aqueles baseados em materiais

piezoeltricos, sendo que a piezoeletricidade uma propriedade que alguns materiais

dieltricos apresentam quando submetidos a uma tenso mecnica ou eltrica (RE-

ZENDE, 2004). De forma geral, o potencial que estes materiais proporcionam para

a confeco dos mais variados tipos de sensores e componentes bastante grande.

No tocante das aplicaes, ocorre a necessidade de um conhecimento mais

elaborado do chamado processo de relaxao dieltrica que estes materiais podem

sofrer. Conforme MAILADIL (2008) e LICARI (2003) apontam, devido a mini-

aturizao de componentes como capacitores cermicos, que so empregados em

dispositivos eletrnicos de alta preciso, desejvel que estes materiais apresentem

uma perda dieltrica baixa. Como no possvel testar experimentalmente todos

os materiais dieltricos disponveis, torna-se interessante pelo menos a uma classe de

substncias polimricas ou cermicas um conhecimento mais detalhado a respeito

da resposta dieltrica frente a aplicao de um campo eltrico.

A determinao da resposta de um material dieltrico em funo do campo

aplicado um problema antigo, ainda em aberto e que tm levado a publicao de

muitos trabalhos cientcos. Inicialmente, DEBYE (1929) props que o movimento

orientacional dos dipolos pertencentes ao dieltrico, da aplicao de um campo el-

trico, poderia ser descrito por meio de uma equao diferencial de primeira ordem,

devido a sua suposio de que as interaes entre os dipolos eram desprezveis. Neste

sentido muitos modelos surgiram para descrever comportamentos no descritos pelo

modelo de Debye, em grande maioria estes modelos assumiam a existncia de inte-

raes envolvendo os dipolos. Sem identicar os signicados fsicos destas interaes

e as suas consequncias na resposta observada, os autores buscavam descrever os

comportamentos observados experimentalmente de forma adequada para classes de

materiais, devido a falta de realidade fsica, estes modelos eram considerados mode-

los empricos.

A proposta deste trabalho apresentar os conceitos e ferramentas necess-

rias para a anlise do problema descrito e por meio do modelo proposto por Dissado e

Hill descrever de forma adequada o comportamento dieltrico para alguns materiais,

de modo que posteriormente possa ser feira uma anlise detalhada do comporta-

mento dieltrico de materiais de interesse para a Eletrnica.

16

O presente trabalho segue organizado da seguinte forma. No Captulo 2,

so apresentados alguns conceitos e ferramentas necessrios para a caracterizao

da polarizao de materiais dieltricos e atravs de alguns exemplos introduzida a

noo de resposta dieltrica por meio da funo resposta dieltrica. No Captulo 3

apresentada uma breve reviso da literatura especializada com alguns dos modelos

propostos para a descrio da funo resposta dieltrica, onde so indicadas as prin-

cipais caractersticas e distines destes modelos. No Captulo 4, so apresentados

alguns resultados, em particular os resultados do trabalho (DOFF et al., 2011), onde

realizada uma discusso geral a respeito dos princpios fsicos envolvidos na elabo-

rao de funes resposta dieltrica e a inuncia de se considerar uma distribuio

de tempos de relaxao para a representao da polarizao e relaxao de um meio

dieltrico. O Captulo 5 destinado a apresentao do modelo de Dissado e Hill,

sendo apresentadas as motivaes para o desenvolvimento do modelo e as princi-

pais caractersticas e contribuies para o estudo do comportamento dieltrico dos

materiais. No Captulo 6, por meio de dados experimentais de alguns materiais so

apresentados resultados de simulao, as quais representam os ajustes previstos pelo

modelo de Dissado e Hill para as curvas das componentes real e imaginria da per-

missividade eltrica destes materiais. No Captulo 7, so apresentadas as concluses

da realizao deste trabalho e as sugestes para a realizao de trabalhos futuros,

as quais giram em torno da inuncia da temperatura na dinmica de relaxao de

materiais dieltricos de interesse para a Engenharia Eltrica e a Eletrnica e da des-

crio da resposta dieltrica de compostos dopados em relao ao comportamento

de cada composto.

1.1 OBJETIVOS

1.1.1 OBJETIVO GERAL

A proposta inicial deste trabalho apresentar os conceitos e ferramentas

necessrias para a anlise do problema da descrio da resposta dieltrica quando

da aplicao de um campo eltrico externo, visto a grande utilizao destes materiais

na indstria e que cujos comportamentos ainda carecem de estudos.

Num segundo momento o objetivo por meio da funo resposta dieltrica

17

proposta por (DISSADO; HILL, 1984) realizar simulaes de modo a vericar a

adequao da funo com os dados experimentais apresentados por alguns mate-

riais, dentre eles, polmeros e cermica. Percebidos os ajustes proporcionados e as

relaes envolvendo os parmetros desta funo, motivar um estudo elaborado envol-

vendo materiais empregados atualmente e sua dinmica de comportamento dieltrico

quando da variao da temperatura.

Os resultados deste trabalho visam proporcionar informaes do ponto de

vista acadmico e tecnolgico, visto que a permissividade e a perda dieltrica do ma-

terial em funo da frequncia em determinadas temperaturas so as caractersticas

principais observadas em um dieltrico para a aplicao dos mesmos na elaborao

de componentes e dispositivos eletrnicos.

1.1.2 OBJETIVOS ESPECFICOS

- Apresentar os conceitos e ferramentas necessrias para iniciar a anlise do

problema.

- Apresentar alguns dos modelos utilizados na literatura para a descrio da

resposta dieltrica, de modo que que claro quais os processos e fenmenos envolvidos

tanto na polarizao quanto na relaxao de um dieltrico e as suas inuncias na

resposta.

- Encontrar materiais dieltricos cujos dados experimentais quanto a res-

posta dieltrica so disponveis em publicaes, para que sejam feitas as simulaes.

- Por meio do modelo proposto por (DISSADO; HILL, 1984) realizar simu-

laes de modo a identicar os parmetros para a funo resposta dieltrica que

melhor se adequam aos dados experimentais dos materiais dieltricos encontrados.

- De posse das simulaes e dos parmetros da funo de Dissado e Hill

relacionados, classicar os materiais quanto ao comportamento dieltrico apresen-

tado.

18

2 REVISO BIBLIOGRFICA

2.1 INTRODUO

A mais importante caracterstica dos materiais dieltricos a propriedade de

se polarizarem sob a ao de um campo eltrico. A ideia de polarizao de dieltricos

surgiu pela primeira vez com Michael Faraday em meados de 1830. O processo

de polarizao de um material dieltrico frente a aplicao de um campo eltrico

externo, corresponde a um processo de interao entre as cargas eltricas presentes

no meio dieltrico e o campo aplicado, de certa forma pode-se resumir a polarizao

como sendo a mudana no arranjo ou posio das partculas eletricamente carregadas

que compem o material dieltrico.

A polarizao e a forma com que materiais dieltricos respondem frente a

aplicao de um campo eltrico, so questes de extrema importncia no estudo

dos materiais e das suas propriedades como componentes aplicados eletrnica e a

indstria em geral. Desta forma, um estudo detalhado da polarizao em dieltricos

e dos efeitos associados fazem-se necessrio.

Neste captulo so apresentados os principais tipos de polarizao, dando

enfoque a polarizao orientacional ou dipolar por ocorrer em frequncias de interesse

para a eletrnica. Neste mesmo momento iniciada a caracterizao da funo

resposta por meio de casos especcos visando a apresentao de uma descrio de

modelos mais complexos de funes resposta dieltrica a serem dadas posteriormente.

2.2 A POLARIZAO DOS MATERIAIS

Dentre os materiais disponveis para a elaborao de dispositivos eltricos

alm dos semicondutores e supercondutores, destacam-se os condutores e isolantes.

Os materiais isolantes de forma geral possuem ons ou molculas que quando expos-

19

tos a ao de um campo eltrico externo mesmo produzindo uma corrente eltrica

desprezvel sofrem pequenos deslocamentos ou reorientaes, tal efeito denominado

Polarizao e tais materiais so caracterizados como dieltricos.

Dentre os materiais dieltricos, existem aqueles formados por substncias

polares e os formados por substncias apolares. Substncias polares so aquelas

formadas por molculas polares, ou seja, que possuem um momento de dipolo per-

manente. O caso mais simples de molcula polar a gua H2O, a molcula de gua

formada por dois tomos de Hidrognio e um de Oxignio, devido a este ltimo

ser mais eletronegativo e das ligaes entre os tomos de Hidrognio e Oxignio

formarem um ngulo de aproximadamente 1050, tal separao representa um dipolo

eltrico, por ser intrnseco diz-se que a gua possui um momento de dipolo perma-

nente. Outras molculas como as de Fosgnio COCl2 e a Amnia NH3 tambm

so exemplos de molculas polares. Substncias apolares so aquelas que no apre-

sentam esta congurao dipolar, como exemplo, a molcula de Triuoreto de Boro

BF3, nesta molcula h trs tomos de Flor e um de Boro, sendo o Flor o mais

eletronegativo, porm como a congurao da molcula trigonal planar, onde as

ligaes entre os tomos de Flor e o de Boro formam ngulos de 1200, no h uma

separao de cargas congurando uma forma dipolar, sendo assim uma molcula

apolar. Nas partes (a) e (b) da Figura 2.1 so representadas as molculas de gua

H2O e a de Triuoreto de Boro BF3, representando uma molcula de congurao

polar e uma de congurao apolar, respectivamente.

(a) (b)

Figura 2.1: (a) Representao da molcula de gua H2O, molcula polar (LAB-FILTER.COM, 2011). (b) Representao da molcula de Triuoreto de Boro

BF3, molcula apolar (COMMONS., 2011).

Identicando o vetor deslocamento como

~d, orientado na direo de qpara +q, o vetor momento de dipolo ~p associado a cada molcula descrito pelo

20

produto

~p = q~d. (2.1)

Na ausncia de um campo eltrico aplicado, cada elemento de volume do dieltrico

no possui um momento de dipolo, uma vez que a soma algbrica de todas as cargas

zero (TAREEV, 1979). A aplicao de um campo eltrico provoca no dieltrico

uma reorganizao das molculas, neste caso, um elemento de volume do dieltrico

ter um momento de dipolo diferente de zero e igual a soma algbrica dos momentos

de dipolo de todas as molculas polarizadas neste elemento de volume. Se N o

nmero de dipolos em um volume v, ento n = N/v representa o nmero de

dipolos por unidade de volume no material considerado, considerando um volume

V , tem-se

ptotal =Ni=1

pi (2.2)

onde cada pi pode ser diferente. A polarizao P ento denida como o limite

descrito abaixo

P = limV0

1

V

Ni=1

pi (2.3)

cuja dimenso de Coulomb por metro quadrado (HAYT WILLIAM H., 1983).

Com relao ao campo eltrico aplicado a um material dieltrico, o processo

de polarizao tambm ir depender da intensidade e frequncia deste campo. De

acordo com a frequncia do campo que um determinado tipo de polarizao ir ser

predominante, pode se separar as contribuies dos tipos de polarizao em funo

da frequncia segundo a Figura 2.2.

Na Figura 2.2, P representa o tipo da polarizao predominante em um ma-

terial dieltrico em funo da frequncia. Como pode ser observado, existem vrias

faixas de frequncia em destaque, cada uma compreendendo um tipo de polarizao

em especial. Entre as frequncias f1 e f2 a polarizao predominante a dipolar, a

de interesse e que ser melhor descrita na sequncia. Entre as frequncias f2 e f3 (da

ordem de 1012 1015Hz) a polarizao identicada a inica, que consiste no des-

locamento mtuo dos ons que formam uma molcula heteropolar (Inica), ou seja,

21

Figura 2.2: Grco da variao da polarizao com relao a frequncia (RE-

ZENDE, 2004).

na presena do campo eltrico, os ons positivos e negativos sofrem deslocamentos

em relao uns aos outros, induzindo momentos de dipolos (HECHT, 1990). Em

frequncias acima de f3 (acima de 1015Hz) a polarizao a eletrnica, neste caso

o campo eltrico aplicado distorce a nuvem eletrnica, deslocando-a em relao aos

ncleos e assim produzindo um momento de dipolo (HECHT, 1990).

Pode ser observado que a contribuio proveniente da polarizao dipo-

lar ocorre em frequncias mais baixas, de certa forma necessitando menos energia

para ocorrer, alm de representar a contribuio mais signicativa da polarizao no

material dieltrico, nestas frequncias o campo orienta os dipolos que compem o

material na direo em que aplicado, por este motivo a polarizao denominada

orientacional ou dipolar. Em frequncias mais elevadas, h somente a ocorrncia da

polarizao inica e eletrnica, ditas polarizaes por deslocamento, visto que nestes

processos h separao ou transporte de cargas.

2.2.1 POLARIZAO ORIENTACIONAL OU DIPOLAR

Dieltricos polares possuem uma tendncia a polarizao orientacional quando

da aplicao de um campo eltrico, a qual pode ocorrer em frequncias at da or-

dem de 1012Hz. Se considerada uma molcula dipolar e um campo eltrico aplicado

perpendicularmente a linha imaginria que liga a carga positiva a negativa do di-

polo, devido a ao do campo sobre tal congurao dipolar a tendncia ocorrer

uma orientao ou deslocamento angular na direo em que o campo eltrico apli-

cado. sabido que uma substncia qualquer formada por molculas que esto em

22

constante movimento trmico, quando a polarizao dipolar ocorre, o movimento

associado as molculas tambm devido a estes movimentos trmicos. Desta forma

a polarizao em sua descrio completa esta diretamente ligada ao comportamento

trmico das molculas e a intensidade do campo eltrico aplicado, neste estudo no

ser considerada diretamente a contribuio dos efeitos trmicos para a polariza-

o, visto que para descrever estes fenmenos seriam necessrios muitas variveis e

tal problema seria extremamente complexo (BTTECHER; BORDEWIJK, 1987)

(TAREEV, 1979).

A polarizao em materiais dieltricos pode ainda ser dividida em dois ca-

sos com relao as caractersticas do campo aplicado, podendo ser dita Esttica ou

Dinmica. A Polarizao Esttica a polarizao provocada por um campo eltrico

externo constante ou que devido ao tempo que o material esta submetido aos efeitos

do campo, esta em equilbrio com o mesmo, ou seja, o campo eltrico j no causa

mais mudanas na ordem estrutural das molculas e ons do material dieltrico. A

Polarizao Dinmica por sua vez a polarizao resultante da aplicao de um

campo eltrico varivel no tempo, ou seja E = E(t), consequentemente a polariza-

o no estar necessariamente em equilbrio com o campo, sendo dependente do

tempo e dada por P = P (t).

2.3 A POLARIZAO E A SUA DEPENDNCIA COM O CAMPO ELTRICO

APLICADO

Como visto anteriormente, os vrios tipos de polarizao ocorrem predo-

minantemente em faixas de frequncias distintas. Nesta seo ser identicada a

conexo existente entre a polarizao observada e o campo eltrico aplicado. Inici-

almente o interesse descrever de forma simplicada os efeitos do campo eltrico

em um meio dieltrico, ou seja, a polarizao do dieltrico, para que posteriormente

seja feita uma descrio mais detalhada sobre este processo.

Uma vez denido o conceito de polarizao, como visto, consiste da reor-

ganizao espacial de cargas, ou seja, do somatrio dos momentos de dipolos por

unidade de volume resultante da aplicao de um campo, pode ser ento estabelecida

a relao entre a polarizao e o campo eltrico aplicado. Para isso deve-se notar que

os movimentos de reordenao associados as partculas microscpicas, necessitam de

23

um certo tempo para que ocorram, assim se a variao do campo eltrico se der de

forma mais rpida do que a resposta do meio, ento a polarizao deste meio ser

varivel com o tempo e dependente das propriedades de interao entre o campo

aplicado e as molculas do qual o meio dieltrico formado, pois cada uma apre-

senta um tempo de relaxao de resposta, estes ainda podendo variar de acordo

com as condies em que o dieltrico se encontra, bem como presso e temperatura.

Se as variaes do campo eltrico ocorrerem de forma mais lenta que o

movimento das partculas microscpicas, ento neste caso a polarizao e o campo

eltrico aplicado estaro em equilbrio em um dado instante t, dessa forma o estado

de polarizao do material quase esttico (BTTECHER; BORDEWIJK, 1987).

No caso de um dieltrico isotrpico linear, h uma proporcionalidade direta entre a

polarizao e o campo eltrico aplicado, fato este dado experimentalmente, podendo-

se assim expressar P em funo do campo por meio de uma equao linear

P (t) = E(t). (2.4)

Neste caso considerada a susceptibilidade eltrica 1 constante, porm se o interesse

fosse descrever de forma mais completa o processo, a mesma deveria ser descrita

levando-se em considerao algumas condies do material, bem como temperatura,

presso e composio, tornando a abordagem um tanto complexa.

Quando o interesse estudar as propriedades de um campo eltrico E(t)

em um dado material, como em um dieltrico por exemplo, introduzido o conceito

de vetor deslocamento eltrico D(t), este por sua vez representa o campo eltrico

aplicado no material. A relao entre o vetor deslocamento e o campo eltrico

aplicado pode ser descrita por meio da seguinte equao para o caso quase esttico

D(t) = E(t), onde = 4pi+ 1 (2.5)

e representa a permissividade eltrica relacionada diretamente com a susceptibili-

dade eltrica do material. Uma discusso a respeito da permissividade apresen-

tada na sequncia.

Em eletrosttica, a permissividade eltrica do vcuo 0, surge como uma

1

Representa o quo susceptivo um material aos efeitos de um campo eltrico, ou seja, o quo

polarizvel ele .

24

constante de proporcionalidade ao se introduzir a Lei de Coulomb entre duas cargas

eltricas no vcuo (HALLIDAY et al., 1996), que em unidades Gaussianas assumem

a forma

~F =1

4pi0

q1q2r3

~r (2.6)

onde

~F a fora em Newtons, 0 a permissividade eltrica no vcuo, r a distncia

entre as cargas puntiformes q1 e q2 e ~r o vetor que indica a direo da fora.

Entretanto, se as cargas esto imersas em um meio material, como em um dieltrico

por exemplo, a fora de interao entre as cargas diminui e este fato acomodado

pela denio de permissividade eltrica do meio, = k0. A medida da constante

k pode ser obtida de forma simples para campos eltricos estacionrios, uma vez que

um capacitor seja preenchido com um dado material dieltrico, a sua capacitncia

pode ser medida com o auxlio de um Capacitmetro, como C = k0F (g), onde

F (g) depende da forma do capacitor, possvel determinar k e consequentemente

a partir desta expresso para um dado material.

Todavia, se o campo aplicado varivel no tempo, em particular para al-

tas frequncias, no interior do capacitor (FEYNMAN; SANDS, 2008) existir alm

das caractersticas capacitivas, tambm a incluso de efeitos resistivos e indutivos,

de forma que neste caso o comportamento do capacitor mapeado pela chamada

admitncia Y (ALEXANDER; SADIKU, 2003), denida por

Y =1

Z=

1

R + iX(2.7)

Sendo que Z a impedncia, a qual ir apresentar componentes real e imaginria, R

e X, respectivamente. Sendo R a resistncia e X a reatncia, se X < 0 a reatncia

capacitiva, por outro lado se X > 0, a reatncia apresenta carter indutivo. Desta

forma, na situao mais geral possvel, a permissividade do dieltrico inserido em

um capacitor sujeito a ao de um campo varivel no tempo, a altas frequncias,

dever apresentar partes real e imaginria , sendo

= i (2.8)

onde se espera que para um campo eltrico aplicado constante, ou seja, = 0 se

tenha = 0.

25

Como o interesse estudar a polarizao dinmica, cuja variao do campo

eltrico se d de forma mais rpida que o tempo caracterstico dos movimentos

moleculares, ou seja, o movimento orientacional no sucientemente rpido para

acompanhar o campo. Considerando a aplicao em um material dieltrico de um

campo eltrico harmnico varivel no tempo, cuja forma representada por:

E(t) = E0 cos(t). (2.9)

Para o caso de um dieltrico isotrpico linear, o vetor deslocamento eltrico devido

a aplicao do campo harmnico, pode ser determinado considerando a frequncia

deste campo e uma constante de atraso representando o atraso entre a aplicao

e a resposta do meio ao campo. Neste caso pode-se escrever que

D(t) = D0 cos(t ) (2.10)

onde D0 a variao da amplitude do sinal cossenoidal. O termo que representa

o atraso entre a interao e a resposta do material, tambm apresenta dependncia

com a frequncia do campo aplicado. Como = (), a equao (2.10) pode ser

reescrita como:

D(t) = D0 cos () cos(t) +D0 sin () sin(t) (2.11)

introduzindo a notao:

cos () = ()E0/D0 (2.12)

sin () = ()E0/D0 (2.13)

as quais, () e () representam a parte real e imaginria da permissividade em

funo da frequncia, respectivamente. Das equaes (2.12) e (2.13), a equao

(2.11) pode ser reescrita da forma:

D(t) = ()E0 cos(t) + ()E0 sin(t) (2.14)

26

Das equaes (2.12) e (2.13) tem-se que:

tan () =sin ()

cos ()=()()

E0.D0E0.D0(2.15)

tan () =()()

. (2.16)

Das equaes (2.5) (2.16) sabe-se que:

E(t) = E0eit(2.17)

D(t) = D0ei(t)(2.18)

D(t) = E(t). (2.19)

Se considerado o vcuo, onde = 0 = 1 e

= i, onde = 0 e = 0. (2.20)

Pode ser observado que:

tan () =

= 0, no vcuo. (2.21)

Como no h interao do campo com o meio, no h energia do campo sendo

cedida, assim pode ser observado que () representa que o atraso entre a interao

do campo com o meio nula. Devido a este fato nota-se que a componente () esta

relacionada as perdas de energia do campo, tal perda diz respeito a energia cedida

pelo campo ao meio, a qual pode vir a polariz-lo, como no h meio, no caso do

vcuo, = 0. Em baixas frequncias, onde o processo de polarizao quasi-

esttico, se = 0, da equao (2.14) encontrado que D(t) = 0E0, comparando

com as equaes (2.11) e (2.12) percebido que (0) = e da equao (2.16)

conclui-se que (0) = 0.

Na Figura 2.3 apresentado o grco das componentes real e imaginria

da permissividade eltrica em funo da frequncia para um caso hipottico. Neste

grco possvel observar a permissividade eltrica de uma substncia polar hipo-

ttica em funo da frequncia do campo eltrico. A partir da Figura 2.3 pode ser

notado que a parte real da permissividade eltrica superior a imaginria ,

porm a medida que a frequncia torna-se maior, ocorrem picos de , picos estes,

ocorrendo em frequncias onde a tem forma varivel. De fato, a componente

27

descreve a absoro de energia do campo pelo dieltrico, como pode ser observado

na Figura 2.3 em duas regies de frequncias, ditas bandas de absoro, estes picos

de absoro podem ser identicados. A componente , neste caso pode ser utilizada

para a caracterizao das propriedades ticas do material, bem como o ndice de

refrao nr, uma vez que nr2 = 1

2( +

+ ), que como observado apresenta

comportamentos distintos para < 0 e > 0.

^

Figura 2.3: Grco da componente real e imaginria da permissividade emfuno da frequncia (BTTECHER; BORDEWIJK, 1987).

O interesse deste trabalho conforme citado anteriormente a anlise do

comportamento de dieltricos em frequncias onde a polarizao existente a ori-

entacional, visto que em frequncias mais elevadas os processos de polarizao pre-

dominantes, inica e eletrnica so de difcil caracterizao devido a complexidade

dos fenmenos envolvidos por se tratarem de processos de carcter atmico.

2.4 A FUNO RESPOSTA DIELTRICA

Em geral o comportamento da resposta dieltrica de um material a interao

com o campo aplicado ir depender alm das caractersticas do campo, das propri-

edades dos dipolos eltricos microscpicos que compem o material, que podem ser

permanentes ou induzidos pelo campo eltrico. Nesta seo sero descritas funes

resposta dieltrica hipotticas, descrevendo a polarizao orientacional de um meio

devido a aplicao do campo eltrico, de forma que posteriormente a utilizao de

28

modelos mais complexos se d de forma natural.

2.4.1 FUNES RESPOSTA DIELTRICAS: CASOS PARTICULARES

Considerando um determinado material dieltrico o qual est sob os efeitos

de um campo eltrico varivel no tempo descrito pela equao:

E(t) = E1 + (E2 E1)S(t t) (2.22)

onde S(t t) a funo degrau unitrio, sendo 1 quando t t e 0 quando t > t,ou seja, no instante de tempo t = t tem-se o campo constante E2 e para um tempo

t < t, o campo atuante E1. Tal comportamento pode ser descrito por meio da

ilustrao apresentada na Figura 2.4.

Como so considerados materiais dieltricos lineares

2

, a polarizao em um

determinado instante t0 devido a aplicao de um campo eltrico varivel no tempo

pode ser determinada pela combinao linear das contribuies anteriores da pola-

rizao. Assim P (t) = P (t) + P (t) e da mesma forma E(t) = E(t) + E (t), ou

seja, o campo eltrico num dado momento pode ser descrito por meio da combinao

linear:

E(t) = E2 + E(t), onde E (t) = (E1 E2)(1 S(t t)) (2.23)

Como a polarizao dada por P (t) = E(t), tem-se:

P (t) = E2 + (E1 E2)(1 S(t t)) (2.24)

desta forma para t < t, a polarizao constante e dada por P (t) = E1 e para

t t, S(t t) = 1, portanto P (t) = E2. Assim pode ser observado que a funo(1S(tt)) descreve o comportamento da polarizao frente a aplicao do campo,assim:

Fp(t t) = 1 S(t t) (2.25)

onde, Fp a funo resposta dieltrica para este caso hipottico. Sabe-se que o

campo eltrico determinado por S(t t), entretanto, a resposta da polarizao descrita pela funo Fp(t t) = 1 S(t t). Esta relao sugere que ocorreum atraso(delay) entre a aplicao do campo e a resposta da polarizao. Este

um resultado esperado, uma vez que o efeito de polarizao deve ser precedido pela

2

Dieltricos para os quais o princpio da superposio vlido.

29

causa, a aplicao do campo eltrico. Na Figura 2.4 pode ser observada a polarizao

P (t) em funo do tempo, frente a aplicao de um campo da forma degrau.

Figura 2.4: Grco da polarizao observada ao campo eltrico aplicado.

Como pode ser observado na Figura 2.4, a polarizao devida ao campo

E2 no se d de forma instantnea, havendo uma defasagem na polarizao em

relao ao campo. De igual maneira pode ser observado que para um tempo muito

grande sob os efeitos do campo a polarizao do material estar em equilbrio com

o campo, ou seja Fp() = 0.

Se ao invs de considerada a aplicao de um campo da forma degrau fosse

um campo cuja forma descrita por uma funo de onda quadrada denida por:

E(t) = E1S(t (t1 t)) E1S(t t1) (2.26)

neste caso E(t) ser E1 para tempos t tais que t1 t t < t1 e 0 para valor det tais que t < t1 t, ou t t1, conforme ilustrao na Figura 2.5.

Na Figura 2.5 pode-se observar que para t < t1 t o campo E(t) = 0,pois S(t (t1 t)) = S(t t1) = 0, de mesma forma E(t) = 0 para t t1, serdiferente de zero e no caso igual a E1 se t for tal que t1 t t < t1. Bem comono caso anterior havia um campo da forma degrau a partir do qual foi denida uma

30

Figura 2.5: Grco de um campo descrito por meio de um pulso de onda

quadrada.

funo resposta Fp(t t) = 1 S(t t), de maneira semelhante, neste caso tem-seque:

Fp(t t1) = 1 S(t t1) e Fp(t t1 + t) = 1 S(t t1 + t) (2.27)

Logo como a polarizao P denida P (t) = E(t), ento temos:

P (t) = E1(Fp(t t1 + t) + Fp(t t1)) (2.28)

Estes resultados podem ser expandido para uma situao envolvendo um

campo cuja forma uma srie de pulsos quadrados ocorrendo periodicamente, para

um caso deste a polarizao ser dada por:

P (t) = ni=1

E1(Fp(t ti + t) + Fp(t ti)) (2.29)

onde P (t) a combinao linear de todos os n campos E1 o qual o meio dieltrico

foi submetido. Pode-se ainda reescrever a equao anterior como:

P (t) = ni=1

E1t (Fp(t ti + t) + Fp(t ti))

t(2.30)

considerando o limite do contnuo, ou seja, t 0, obtido que:

P (t) =

t

E(t)[

limt0

(Fp(t ti + t) Fp(t ti))t

]dt (2.31)

31

como

limx0

f(x+ x) f(x)x

=df(x)

dx(2.32)

ento

limt0

Fp(t t + t) Fp(t t)t

= Fp(t t)

t(2.33)

denindo

fp(t t) = Fp(t t)

t(2.34)

conclui-se que:

P (t) =

t

E(t)fp(t t)dt (2.35)

Apesar da ltima igualdade ser o resultado de uma situao particular, ela ser

vlida para outras funes resposta na descrio da polarizao de um meio devido

a aplicao de um campo E(t) (BTTECHER; BORDEWIJK, 1987).

Nos captulos seguintes sero apresentados diversos modelos para a funo

resposta dieltrica fp(tt) = r propostos na literatura, tais funes visam descrevero comportamento do meio frente a aplicao do campo.

32

3 A FUNO RESPOSTA DIELTRICA: O MODELO DE DEBYE

E SUAS EXTENSES

3.1 INTRODUO

Na ltima seo do captulo anterior foi obtida a Equao (2.35), que es-

tabelece a relao entre a polarizao e o campo em termos da resposta do meio,

que pode ser parametrizada atravs da fp(t t) = r(t), chamada funo respostadieltrica.

No decorrer dos anos muitas funes resposta que so capazes de descrever o

comportamento dieltrico de alguns materiais foram propostas na literatura, dentre

estas podem ser citados (DEBYE, 1929), (FUOSS; KIRKWOOD, 1941), (HAVRI-

LIAK; NEGAMI, 1966), (WILLIAMS; WATTS, 1970), e (DISSADO; HILL, 1984),

na maioria das situaes estas funes foram obtidas a partir de ajustes numricos de

funes partindo de resultados experimentais. Neste Captulo sero apresentados al-

guns dos principais modelos propostos na literatura para a funo resposta dieltrica

e que se aplicam na descrio do comportamento dieltrico de alguns materiais.

3.2 O MODELO DE DEBYE PARA A POLARIZAO DE MEIOS DIELTRI-

COS

O primeiro modelo proposto para a descrio da polarizao de materiais

dieltricos foi desenvolvido por Peter Josephus Wilhelmus Debye, ganhador do pr-

mio Nobel de Qumica em 1936. Em Seu Livro Polar Molecules DEBYE (1929)

admitiu que em materiais formados por molculas contendo um momento de di-

polo permanente onde as molculas se encontravam afastadas umas das outras, no

apresentavam forte interao entre os dipolos e assim poderiam ser negligenciadas.

Neste sentido Debye props que na ausncia de um campo aplicado, o processo de

relaxao dieltrica poderia ser governado por uma equao diferencial de primeira

33

ordem do tipo

dP (t)

dt+ cP (t) = 0. (3.1)

Esta equao uma consequncia da suposio feita em desprezar as interaes entre

os dipolos, neste caso a polarizao do meio num instante futuro t proporcional a

polarizao do meio no instante anterior t, ou seja

dP

dt P (t). (3.2)

Para que a equao (3.1) seja consistente necessrio que a constante c tenha di-

menso de inverso de tempo, assim pode ser identicado que c = 1, onde o tempo

de relaxao caracterstico do dipolo. Consequentemente neste caso a soluo desta

equao assume a forma

P (t) = P0et/(3.3)

Na presena de um campo eltrico harmnico externo E(t) = E0 cos(t), o

processo de interesse deixa de ser a relaxao e passa a ser a polarizao induzida,

sendo descrita por

dP (t)

dt+P

=0E0 cos(t) (3.4)

onde 0 a susceptibilidade eltrica na ausncia de um campo externo. A m de

resolver esta equao diferencial foi utilizado um artifcio desenvolvido por (FEYN-

MAN; SANDS, 2008), por apresentar uma abordagem mais rpida e prtica do que

os mtodos de resoluo convencionais. Considerando que P pode ser representado

pelo equivalente complexo P , a equao acima assume a seguinte forma

dP

dt+P

=0E0e

it. (3.5)

Como a polarizao proporcional ao campo aplicado pode-se escrever que

P = E0eit(3.6)

assim substituindo a expresso acima na Equao (3.5) obtm-se

=0

1 + i(3.7)

A partir desta ltima equao pode-se identicar as componentes real e

34

imaginria da susceptibilidade como sendo

=0

(1 + 22)(3.8)

=0

(1 + 22)(3.9)

De forma que para = 0, ou seja, na ausncia de um campo aplicado = 0 e

= 0 = constante. Um outro limite que deve ser notado consiste em assumir o

limite assinttico, ou seja , neste caso = = 0. Esta situao caracterizao equilbrio intermolecular, no sentido que a polarizao induzida devido a ao do

campo aplicado por si s adaptar-se-a ao campo aplicado, nesta situao P 0.

Com a meta de efetuar a conexo entre a discusso apresentada e os resulta-

dos descritos no captulo 2, deve-se notar a existncia da seguinte relao por meio da

Transformada de Fourier entre a funo resposta dieltrica r(t) e a permissividade

eltrica complexa

= + ( )

0

eitr(t

)dt, (3.10)

sendo que esta relao segue a partir da equao (2.35), assumindo um campo el-

trico harmnico da forma descrita na equao (3.5) (BTTECHER; BORDEWIJK,

1987). Nesta expresso, designa a permissividade eltrica no equilbrio assint-

tico, ou seja, na situao em que a polarizao e o campo aplicado esto em equilbrio.

Nas linhas abaixo mostrado que a funo resposta dieltrica atribuda ao modelo

de Debye assume a forma

r(t) =et/

, (3.11)

considerando esta relao e tomando a Equao (3.10), obtem-se a seguinte expresso

para

= + ( ) 11 + i(3.12)

Como

= i

Podemos escrever que:

= +( )

(1 + 22)(3.13)

=( )(1 + 22)(3.14)

35

possvel ainda relacionar as componentes real e imaginria da suscepti-

bilidade em funo das componentes real e imaginria da permissividade eltrica

segundo (RAJU, 2003)

= (3.15) = (3.16)

Assumindo as equaes (3.15) e (3.16) pode ser vericado que a equao (3.11), de

fato representa a funo resposta dieltrica para o modelo de Debye. Se retomados

os limites discutidos, em = 0 so identicados = = constante e = 0, e da

equao (3.16), segue imediatamente a concordncia = 0 e = 0 = constante,

que foi o resultado que havia sido obtido anteriormente. Por outro lado, na situao

em que , ganha-se = 0 e = , caracterizando a situao de equilbrioassinttico da polarizao induzida com o campo aplicado, levando a um resultado

anlogo ao obtido anteriormente, uma vez que neste caso = constante assim

= = 0.

A partir das equaes (3.8), (3.9) e das equaes (3.13) (3.16), pode ser

identicado que na teoria de Debye a funo resposta dieltrica descrita pela

equao (3.11). Na literatura o mais usual apresentar a descrio da resposta

dieltrica em termos da equao (3.10) e efetuar o grco das componentes real e

imaginria da permissividade eltrica. No caso do modelo de Debye, as equaes

(3.13) e (3.14), fornecem o grco descrito na Figura 3.1.

Figura 3.1: Grcos das componentes e para o modelo de Debye emfuno da frequncia do campo aplicado.

O modelo de Debye capaz de descrever o comportamento da resposta

36

dieltrica de algumas substncias. Entretanto, o modelo no capaz de descrever

de forma adequada o comportamento da resposta dieltrica associado a maioria das

substncias slidas de interesse, bem como materiais polimricos e cermicas, uma

vez que estes materiais em sua maioria apresentam picos na componente imaginria

mais distribudos ou deslocados a mais altas frequncias, alm de em alguns casos

a existncia de mais de um pico, caractersticas estas no descritas pelo modelo.

Nas sees seguintes sero apresentados alguns modelos que foram propostos para

proporcionarem uma melhor descrio do comportamento dieltrico do que o modelo

de Debye e que se aplicam a alguns materiais slidos e lquidos. Conforme sero

observados, estes modelos descrevem para alguns casos especiais o comportamento

dieltrico semelhante ao observado experimentalmente.

3.3 AS EQUAES DE COLE-COLE E COLE-DAVIDSON PARA A DESCRI-

O DA RELAXAO DIELTRICA

Como comentado na seo anterior, o modelo de Debye no capaz de

descrever o comportamento da relaxao observada na maioria das substncias di-

eltricas. COLE; COLE (1941) e COLE; DAVIDSON (1952) buscando variaes

do modelo proposto por Debye de modo a descrever, ao menos empiricamente o

comportamento dieltrico observado em certas substncias, propuseram as seguin-

tes expresses empricas para

= + ( ) 1(1 + (i)1)(3.17)

= + ( ) 1(1 + i)

, (3.18)

onde as equaes (3.17) e (3.18) so as propostas por Cole-Cole e Cole-Davidson, res-

pectivamente. Sendo os parmetros e com valores compreendidos nos intervalos

0 < 1 e 0 < 1.

As equaes (3.17) e (3.18) foram propostas a m de ajustarem-se ao com-

portamento dieltrico observado para algumas substncias, os valores dos parmetros

e so escolhidos de forma a proporcionar um melhor ajuste para com os resulta-

dos experimentais das componentes real e imaginria da permissividade eltrica.

possvel ainda notar que para o modelo de Cole-Cole, quando assumido o limite em

que = 0 recuperado o modelo de Debye. De maneira semelhante para o modelo

37

de Cole-Davidson, quando o valor limite de = 1 assumido, o modelo de Debye

tambm recuperado. Como os parmetros e so nmeros fracionais, as equa-

es de Cole-Cole e Cole-Davidson so entendidas no sentido de uma distribuio de

tempos de relaxao molecular (BTTECHER; BORDEWIJK, 1987). Uma melhor

descrio de cada um destes modelos apresentada nas sees A.1 e A.2 dos anexos.

Nas Figuras 3.2 e 3.3 apresentada uma comparao entre os modelos pro-

postos por (COLE; COLE, 1941) e (COLE; DAVIDSON, 1952), onde pode ser ob-

servado claramente as distines com relao as componentes real e imaginria. O

modelo proposto por Cole-Davidson de certa forma considera uma distribuio de

tempos de relaxao deslocada a mais altas frequncias, diferentemente do caso de

Cole-Cole onde o pico ocorre em frequncias mais baixas. Apesar de tais peculiari-

dades os modelos no descrevem de forma correta o comportamento da maioria dos

materiais dieltricos.

Figura 3.2: Comparativo entre os grcos da componente real da permissivi-

dade com relao a frequncia para os modelos de Cole-Cole e Cole-Davidson,

onde c = 1 103Hz.

Para que fossem geradas as Figuras 3.2 e 3.3 foram considerados como pa-

rmetros de entrada, = 0, 3 e = 0, 5, estes valores foram assumidos para evi-

denciar a diferena entre os dois modelos. BTTECHER; BORDEWIJK (1987)

disponibilizam uma srie de valores para estes parmetros que so utilizados para

caracterizar a resposta de muitas substncias no estado lquido, como o 1-chloro-2-

methylpropano que bem descrito pelo modelo proposto por Cole-Davidson para

= 0, 5 T = 102, 15K e o 1-bromo-2-methyl-butano para = 0, 5 T = 116, 15K,

cabe lembrar porm que nestes materiais provavelmente o frequncia de pico c seja

38

Figura 3.3: Comparativo entre os grcos da dependncia da componente ima-

ginria da permissividade com relao a frequncia para os modelos de Cole-

Cole e Cole-Davidson, onde c = 1 103Hz.

diferente daquela considerada para a comparao dos modelos.

Como possvel notar nas Figuras 3.2 e 3.3 os comportamentos dieltricos

mapeados so distintos e ambos podem ser associados a distribuies de tempos de

relaxao distintas. Assim, a comparao entre as guras reforam o comentrio feito

no incio da segunda seo de que as diferentes interaes dos dipolos moleculares

com o meio material pertencente contribuem para a denio da resposta dieltrica

do material a aplicao do campo.

Para um melhor entendimento de que os modelos discutidos no indicam

uma resposta adequada do comportamento dieltrico para a maioria dos materiais,

podem ser considerados os valores da tan() em funo da frequncia do Cloreto de

Sdio temperatura de 358, 15K segundo (HIPPEL, 1954) descrito na tabela A.1

dos Anexos. De posse destes valores da tan(), pde ser feito na Figura 3.4 a curva

da tan() em funo da frequncia para tais dados e na mesma gura as curvas

para a tan() em funo de e considerando os modelos propostos por Debye e

Cole-Cole.

Para a obteno das curvas da tan() para os modelos de Debye e Cole-

Cole foi considerada a frequncia inicial de 100Hz e a de 1000Hz com os seus

correspondentes experimentais da tan() para assim serem obtidos os parmetros

e de cada um dos modelos propostos.

Com relao a curva dos dados experimentais e das curvas para a tan()

39

Figura 3.4: Grco comparativo da tan() do Cloreto de Sdio 358, 15Kobtida experimentalmente segundo (HIPPEL, 1954), com as curvas obtidas

por meio dos modelos de Debye e Cole-Cole.

propostas pelos modelos, ca evidente que ao considerar um nico tempo de rela-

xao associado ao material dieltrico, o modelo de Debye descreve que a tan()

tem comportamento linear em funo da frequncia, o que no ocorre. No modelo

proposto por Cole-Cole a curva determinada pelos parmetros e , onde ambos

so ajustados de modo a se obter um melhor ajuste aos dados experimentais, porm,

de mesma forma que no modelo de Debye, tal modelo no caracteriza materiais os

quais a tan() diminui com a frequncia como o caso considerado na Figura 3.4,

apesar de no modelo proposto por Cole-Cole a curva ter uma certa aproximao

com alguns dados experimentais, o seu comportamento no descreve por completo

o comportamento observado da tan() em funo frequncia para este material.

Das discusses anteriores surge naturalmente o questionamento sobre a apli-

cabilidade dos modelos de Debye e Cole-Cole para a descrio do comportamento

dieltrico de materiais dieltricos. Em estudo realizado sobre o processo de relaxao

da gua a temperaturas entre 273, 15K e 308, 15K, (BUCHNER; STAUBER, 1999)

identicaram por meio dos dados experimentais que o comportamento da permis-

sividade real () e imaginria e () com a frequncia variando de 0, 2GHz at

410GHz apresentavam um comportamento que poderia ser mapeado por meio de

um modelo o qual considera uma sobreposio de duas equaes de Debye, ou seja,

onde:

() = 2

1 + i1+2 1 + i2

+ (3.19)

A considerao de uma sobreposio de duas equaes de Debye de que

40

h dois picos de absoro na faixa de frequncia observada e consequentemente dois

tempos de relaxao 1 e 2 associados ao material. Na Figura 3.5 so apresentados

os grcos com as componentes real e a imaginria da permissividade eltrica de

acordo com a frequncia para a gua 273, 35K, na ilustrao os smbolos repre-

sentam os dados experimentais, a linha pontilhada a curva para o modelo de Debye

considerando um nico tempo de relaxao e a linha contnua a curva para o modelo

proposto na equao (3.19).

Figura 3.5: Grco da disperso dieltrica () e o espectro de perda ()da gua 273, 35K(BUCHNER; STAUBER, 1999).

A partir da equao (3.19) e do grco da Figura 3.5 foi possvel obter a

curva da tan() para os dados experimentais e compar-los com a curva da tan()

que pela equao (3.19) da forma:

tan() =(1 + 22

2)( 2)1 + (1 + 212)(2 )2( 2)(1 + 222) + (2 )(1 + 212) (3.20)

Neste caso 1 e 2 so os tempos de relaxao caractersticos aos dois picos de ab-

soro, , 2 e so a permissividade dieltrica da gua, a permissividade para

frequncias intermedirias entre um pico de absoro e outro e a permissividade no

equilbrio assinttico, respectivamente. Na Figura 3.6 pode ser observado o grco

da tan() com a frequncia dos dados experimentais obtidos pela Figura 3.5 e a

curva da tan() pela frequncia por meio da equao (3.20).

Neste ltimo exemplo pode ser observado que o comportamento dieltrico

da gua a baixas temperaturas pode ser mapeado por meio da equao Debye e

que o fato de no considerar uma distribuio de tempos de relaxao, pode mesmo

assim descrever o comportamento dieltrico de alguns lquidos e gases a baixas tem-

peraturas, como observado neste exemplo.

41

Figura 3.6: Grco com os valores experimentais para a tan() obtidos daFigura 3.5 e a curva da tan() por meio da Equao (3.20) da gua 273, 35K(BUCHNER; STAUBER, 1999), ambas em funo da frequncia.

Um ponto que deve ser frisado que estes modelos caracterizam bem al-

gumas substncias na fase lquida, porm conforme ser discutido posteriormente,

substncias slidas como cristais, cermicas e polmeros no so descritas adequa-

damente por este tipo de formalismo, uma vez que podem apresentar mais do que

um pico de absoro na componente imaginria da permissividade, algo que ambos

os modelos no conseguem descrever.

No captulo seguinte so apresentados os principais aspectos do modelo pro-

posto por MAKOSZ; URBANOWICZ (2002), o qual assume uma descrio baseada

na dinmica de um oscilador harmnico amortecido em conjunto com uma dis-

tribuio de tempos de relaxao para o comportamento dieltrico, descrevendo e

justicando a existncia de mais de um pico de absoro na componente imaginria

identicados em alguns materiais.

42

4 DINMICA DE RELAXAO EM MEIOS DIELTRICOS: UMA

APLICAO ENVOLVENDO OSCILADORES HARMNICOS

4.1 INTRODUO

Conforme discutido no captulo anterior, muitas funes resposta surgiram

ao longo dos anos com o objetivo de descrever de forma adequada o comportamento

dieltrico apresentado pelos materiais. Inicialmente com Debye, a funo assumia a

existncia de um nico tempo de relaxao e que a resposta dos dipolos ao campo

eltrico se dava de forma idntica e sem interao entre os mesmos. Com o passar

dos anos vrias outras funes foram propostas de modo a considerar ajustes no

modelo de Debye, sob a premissa fundamental de que a dinmica de polarizao e

relaxao no era governada por um nico tempo de relaxao, devido a inuncia

entre os dipolos e a existncia de fenmenos inerentes a matria. A considerao de

uma distribuio de tempos de relaxao para a funo resposta levou a uma melhor

descrio do comportamento dieltrico observado.

Fenmenos oscilatrios so de extremo interesse em todos os campos da En-

genharia e Fsica. A ttulo de exemplicao de sistemas fsicos que so governados

por uma equao do tipo oscilador harmnico amortecido e forado um circuito

RLC submetido a uma tenso peridica. Neste captulo ser explorado um modelo

para descrio da polarizao de alguns meios dieltricos baseado em uma distribui-

o de tempos de relaxao na dinmica de relaxao de um oscilador amortecido

sujeito a ao de uma fora harmnica.

O movimento da agulha da bssola sob o efeito da ao de um campo mag-

ntico harmnico pode ser utilizado para ilustrar o movimento orientacional de um

dipolo eltrico sujeito a ao de foras dissipativas, desta forma aproveitado os

tpicos abordados para que se promova a interpretao dos parmetros que surgem

na equao de Debye descrita no Captulo 3. Com o objetivo de ilustrar a aplicabili-

43

dade das ideias associadas as oscilaes harmnicas foradas na descrio de sistemas

mais complexos, so apresentados os aspectos gerais do modelo (MAKOSZ; URBA-

NOWICZ, 2002), onde assumido justamente uma descrio baseada na dinmica

de um oscilador harmnico amortecido para o comportamento da polarizao orien-

tacional de algumas substncias que apresentam propriedades dieltricas (DOFF et

al., 2011).

4.2 O OSCILADOR AMORTECIDO E FORADO REVISITADO

notada a importncia e o interesse de fenmenos oscilatrios em se tra-

tando de sistemas fsicos envolvendo foras harmnicas. Como nestes sistemas fsicos

h dissipao de energia, a equao responsvel pela dinmica do movimento ser a

de um oscilador harmnico amortecido sujeito a uma fora externa dependente do

tempo denotada por F (t), dada por:

x+ x+ 20x =F (t)

m(4.1)

onde pode ser identicado que = bm ,

20 =

cm , sendo 0 a frequncia natural

de oscilao do sistema, c a constante elstica da mola, m a massa acoplada ao

oscilador e b o coeciente de amortecimento. A soluo geral desta equao pode

ser escrita com uma combinao linear formada pela soluo homognea xh(t), ob-

tida assumindo F (t) = 0 e pela soluo particular x(t)p. Se considerada a fora

externa F (t) como sendo harmnica, ou seja, supondo F (t) = Fo cos(t), pode-se

obter uma forma para a soluo particular considerando o mtodo empregado por

(FEYNMAN; SANDS, 2008), substituindo na ltima expresso, x(t) pelo equiva-

lente complexo z(t), sendo ento a soluo da equao particular identicada como

xp(t) = Re[z(t)]. Neste caso, tem-se F (t) = Fo exp (it) e a equao (4.1) pode ser

reescrita na seguinte forma

z + z + 20z =F0meit. (4.2)

Propondo uma soluo da forma z(t) = z0eitsubstituindo na equao (4.2) obtido

z0 =

(F0m

)1

(20 2 + i)(4.3)

44

Portanto, a soluo para a equao (4.2) pode ser escrita na forma

z(t) =

(F0m

)eit

(20 2 + i). (4.4)

A introduo da fora harmnica externa F (t) dever compensar a dissipao devido

a atuao da fora de atrito e o sistema dever oscilar harmonicamente, todavia,

esperasse que o movimento resultante esteja defasado em relao a fora harmnica

aplicada ao oscilador, uma vez que os efeitos devido a dissipao resultaro em um

atraso do movimento frente a fora aplicada. A constante de fase pode ento

ser incorporada a soluo descrita na equao (4.4). Como a constante z0 pode ser

escrita em termos de uma nova constante, denida segundo z0 = Aei, da equao

(4.3) tem-se

Aei = A(cos() + i sin()) =

[(20 2)

((20 2)2 + ()2)i

((20 2)2 + ()2)](

F0m

). (4.5)

Desta ltima equao identicado que

tan() = (20 2)

. (4.6)

A partir da equao (4.5) possvel determinar |z0|2 = A2 e o quadrado daamplitude A2 assume a forma

A2 =

(F0m

)21

((20 2)2 + ()2), (4.7)

e nalmente, a soluo particular xp(t) = Re[z(t)] pode ser escrita como

xp(t) = A() cos(t+ ()). (4.8)

Na Figura 4.1, no quadro superior direita identicado o grco da com-

ponente real de z0, Re[z0] = A cos() em funo da frequncia , no quadro principal

descrito o comportamento da componente imaginria Im[z0] = A sin() em termos

da frequncia. Para obteno destes grcos foi considerada a seguinte troca de va-

rivel x = ln(), de modo a ser obtida uma melhor visualizao e os valores a seguir

foram os atribudos nos parmetros que surgem nestas expresses:

F0m = 1[m.s

2],

0 = 2[rad.s1] e = 2[s1].

45

Figura 4.1: Grco da componente real e imaginria de z0 em funo dafrequncia da fora harmnica aplicada.

De modo a interpretar os grcos obtidos, ser efetuado primeiramente o

clculo da potncia mdia fornecida pela fora F (t), que dissipada no meio onde

o oscilador est imerso devido a presena das foras de atrito, ou seja

P (t) = xp(t)F (t) = 2pi

2pi/0

xp(t)F (t)dt

= 2A()F0 sin(), (4.9)

como Im[z0] = A() sin(), a equao descrita pode ser rescrita na forma

P (t) = 2F0Im[z0] (4.10)

a qual leva a

P (t) =2F 20

2m((20 2)2 + ()2). (4.11)

O grco descrito na Figura 4.1 do painel central representa uma gura

tpica de ressonncia, se considerada a equao (4.10) possvel vericar que a com-

ponente imaginria de z0, A() sin() est associada a dissipao, uma vez que na

condio de ressonncia ( = 0) se tem a taxa mxima de energia sendo transfe-

rida para o oscilador e consequentemente dissipada no meio onde o oscilador est

imerso. Em contraste, o quadro exibido no canto superior direito da Figura 4.1,

mostra como se d a defasagem do movimento em relao a fora aplicada, como

possvel vericar, a partir desta gura para frequncias maiores que a frequncia de

ressonncia, > 0, h uma inverso na fase do movimento.

46

4.3 OSCILAES AMORTECIDAS E FORADAS DAAGULHADE UMABS-

SOLA

Antes de ser apresentada uma discusso a respeito de algumas ideias asso-

ciadas a dinmica do processo de relaxao em meios dieltricos, nesta seo ser

considerado o comportamento da agulha de uma bssola na presena de um campo

magntico harmnico como anlogo ao comportamento de um dipolo a aplicao de

um campo eltrico.

Na Figura 4.2, apresentada uma foto do dispositivo utilizado para aquisi-

o do dados, consistindo de uma bssola convencional disposta em um solenoide.

A agulha da bssola se orienta inicialmente de acordo com o campo magntico da

terra, designado B0.

Figura 4.2: Fotograa do dispositivo composto por uma bssola e um solenoide,

utilizado para a aquisio dos dados.

No procedimento experimental descrito por (DOFF et al., 2011), o solenoide orien-

tado perpendicularmente ao campo da terra conectado a um gerador de frequncias

produzindo um campo harmnico do tipo B(t) = Bs cos(t), fazendo com que a agu-

lha de bssola passasse a oscilar harmonicamente em funo deste campo B(t). Aps

desligado o gerador, a agulha da bssola passou ento a diminuir a sua amplitude de

oscilao retornando a posio de equilbrio, caracterizada por sua orientao com

os polos magnticos da terra na ausncia de algum outro campo externo.

Com base na gravao do experimento e por meio do programa Tracker

(BROWN, 2011) foi possvel gerar a Figura 4.3, a qual descreve o tempo de relaxao

associado a bssola 1. Na Figura 4.4, so apresentados os resultados obtidos para

quatro bssolas similares, de mesmas propores e visualmente idnticas, porm,

47

como possvel notar o tempo de relaxao obtido para as quatro bssolas no

o mesmo, uma vez que provavelmente o atrito associado ao movimento oscilatrio

de cada uma sobre seu eixo de rotao no o mesmo, tal fato ser discutido

posteriormente.

Figura 4.3: Grco do tempo de relaxao associado a bssola 1.

Figura 4.4: Grcos dos tempos de relaxao associado ao conjunto de quatro

bssolas.

48

4.4 A INTERPRETAO FSICA DOS PARMETROS DA EQUAO DE

DEBYE

Na seo 3.2, a equao (3.1) de primeira ordem, enquanto que a equao

(4.1) uma equao de segunda ordem, que como visto, rege o comportamento

de uma agulha de bssola sob a ao de um campo magntico harmnico. Este

movimento pode ainda ser entendido como o de um dipolo magntico sujeito a

ao das mesmas foras atuantes em um oscilador harmnico amortecido e forado,

se observada a similaridade existente entre os grcos exibidos nas Figuras 3.1 e

4.1, surge o questionamento se no seria possvel descrever a polarizao de um

determinado dieltrico assumindo uma equao na forma da equao (4.1).

No tratamento clssico da interao da radiao com a matria, uma boa

discusso apresentada por REZENDE (2004), o qual assume uma interao do tipo

oscilador harmnico amortecido para a descrio da polarizao atmica induzida

frente a aplicao de um campo eltrico harmnico, de forma que ento possvel

determinar neste caso a dependncia com a frequncia para a constante dieltrica

do material (). Com base na discusso apresentada nos dois ltimos pargrafos e

aproveitando os resultados descritos na seo 4.2, pode se fazer uma interpretao do

signicado fsico das componentes e da permissividade eltrica apresentadas

na Figura 3.1.

A componente complexa como j discutido anteriormente ir descrever

a absoro de energia do campo pelo dieltrico, isso pode ser facilmente percebido

comparando o pico descrito na Figura 4.1, que como visto na seo 4.2 corresponde

a situao onde se tem a mxima potncia sendo transferida pela fora externa ao

oscilador, com o pico descrito na Figura 3.1 chamado aqui de pico de absoro.

No caso da componente real conforme j comentado no Captulo 2, poder ser

usada para a caracterizao das propriedades ticas do material, o ndice de refrao

nr, uma vez que nr2 = 1

2( +

+ ), e notadamente a componente apresenta

comportamentos distintos para < 0 e > 0 .

Por m, deve-se notar que o equivalente da equao (4.6), obtida para a

descrio da polarizao de um meio

tan() =

(4.12)

49

pode ento ser utilizado para a caracterizao das propriedades dieltricas de um

dado material, conforme comentado no Captulo 2, uma vez que, como no caso do

oscilador a fase ir depender das interaes dos dipolos com o meio.

O modelo de Debye fornece uma descrio adequada para o comportamento

da polarizao orientacional de muitas substncias, porm, h o conhecimento da

existncia de uma gama de materiais dieltricos que no so caracterizados apenas

por um nico tempo de relaxao como proposto por Debye. Desta forma, na seo

seguinte ser ilustrada a situao considerando um modelo para a polarizao de

certas substncias que ento baseado em uma equao do tipo oscilador harmnico

amortecido forado.

4.5 A DINMICA DE RELAXAO EM MEIOS DIELTRICOS: UM EXEM-

PLO ENVOLVENDO OSCILADORES HARMNICOS

No Captulo 2 foi mostrado ser possvel de descrever a polarizao de

um material dieltrico em termos de uma funo r, denominada de funo resposta

dieltrica, que refere-se a resposta do meio frente a aplicao de um campo externo

E(t) segundo

P (t) =

t

r(t t)E(t)dt. (4.13)

A m de caracterizar as propriedades dieltricas de muitas substncias, v-

rias funes resposta foram propostas empiricamente no decorrer dos anos, tais quais

as descritas no Captulo 3. O comportamento orientacional da polarizao de mui-

tos dieltricos na fase condensada so bem descrito por distribuies de tempos de

relaxao e muitos dos resultados obtidos com o uso de funes resposta empri-

cas hoje so compreendidos neste contexto (BTTECHER; BORDEWIJK, 1987;

RAJU, 2003). Para ilustrar este fato, por convenincia ser assumida a descrio da

polarizao orientacional apresentada em (MAKOSZ; URBANOWICZ, 2002).

No modelo proposto por MAKOSZ; URBANOWICZ (2002), os autores as-

sumem uma equao do tipo oscilador harmnico amortecido forado para a descri-

o da polarizao orientacional associada a algumas substncias, dada por:

P + P + 20P = 020E(t). (4.14)

Esta equao pode ser resolvida empregando o mtodo apresentado na seo 4.2, de

50

forma que usando novamente a identicao P (t) = E(t), e E(t) = E0eit, tem-se

=0

20(

20 2)

((20 2)2 + ()2)(4.15)

=0

20

((20 2)2 + ()2). (4.16)

Porm, ao invs de considerar uma nica constante de amortecimento para todas as

molculas os autores supem uma distribuio de constantes de amortecimento, que

resultam nas seguintes expresses para e

=i

bi020(

20 2)

((20 2)2 + (i)2)(4.17)

=i

bii020

((20 2)2 + (i)2)(4.18)

onde bi uma constante de normalizao. Do exemplo envolvendo o oscilador harm-

nico foi visto que dene o tempo de relaxao para um dado oscilador, de forma

que a distribuio i ir estar associada a uma distribuio de tempos caractersticos

de relaxao. Neste trabalho so assumidas funes de distribuio Gaussianas para

as constantes