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RESUMO DO RELATÓRIO DE PESQUISA DO PROJETO
O CONHECIMENTO DE MATEMÁTICA DO PROFESSOR DA
ESCOLA BÁSICA PRODUZIDO NA FORMAÇÃO INICIAL
O CONHECIMENTO DE MATEMÁTICA DO PROFESSOR:
A FORMAÇÃO INICIAL E O CONCEITO DE FUNÇÃO
Vera Clotilde Garcia1
RESUMO: Este artigo traz resultados de pesquisa sobre o conhecimento sobre função,
necessário para o professor. Caracteriza função como eixo central de uma rede de
conexões no interior da matemática; com muitas facetas e representações, em diferentes
contextos e domínios. No entanto, para a escola e nos cursos de licenciatura o
significado predominante é limitado: função real de uma variável associadas a equações
e gráficos. Visando ampliar o conhecimento do professor, foi realizada investigação,
na modalidade experimento didático, com alunos de um curso de licenciatura, que
evidenciou evolução cognitiva, frente a atividades que introduziram novas informações
e conexões – funções complexas, transformações geométricas.
PALAVRAS-CHAVES: conhecimento de matemática do professor; formação de
professores de matemática; conceito de função.
MATHEMATICS TEACHER KNOWLEDGE: THE ROLE OF TEACHER’S
EDUCATION, CONSIDERING THE CONCEPT OF FUNCTION
ABSTRACT: This paper brings out some results of a research focused on the
mathematics knowledge about function necessary to teaching. It characterizes function
as central axis within mathematical knowledge, among many connections; showing
different facets, dominium and representations. At school and at pre-service curriculum,
function has a limited signification: real function of one real variable always represented
by equations or graphic. On this line, a didactic experiment was developed, to amplify
the concept and to contribute for positive changes into teacher education. It was verified
1 Instituto de Matemática, Universidade Federal do rio Grande do Sul
2
schemas changing and new constructions, in face of activities connecting complex
functions and geometric transformations.
KEY WORDS: concept of function; mathematics knowledge; mathematics teacher’s
education.
Introdução
Este artigo traz relato da primeira etapa de um projeto de pesquisa cujo foco é o
processo de formação inicial de professores e o conhecimento matemático ali
produzido.
Tratamos, aqui, da investigação restrita ao conceito de função, com as seguintes
questões norteadoras: 1) Quais são os conhecimentos a respeito de função necessários
para o professor ensinar? 2) Qual é o conhecimento desejável sobre função para o
professor ensinar, do ponto de vista da escola? 3) O que os futuros professores de
matemática estão aprendendo a respeito de ―função‖? Os conhecimentos de função
produzidos no Curso de Licenciatura são os conhecimentos necessários para o
professor ensinar? 4) Que intervenções podem ser feitas para contribuir positivamente
para a aprendizagem de funções, na licenciatura?
O texto desenvolve-se em quatro partes.
A primeira e a segunda consistem em estudo teórico com objetivo de elaborar
um referencial para a investigação; a terceira traz resultados de uma investigação
orientada para descrever os significados de função na escola e num curso de
licenciatura; a última relata um experimento didático, desenvolvido com estudantes da
licenciatura, planejado para ampliar o conhecimento a respeito de função.
Este trabalho foi guiado pelas orientações do Relatório do Grupo de Pesquisa
sobre Formação de Professores que Ensinam Matemática (Paiva e Nacarato, 2006) com
relação às características de uma pesquisa neste tema: partir de uma pergunta bem
definida (que justifique a pesquisa); evidenciar rigor metodológico; articular as
informações obtidas com o referencial teórico; trazer resultados que apresentem
produção de conhecimento para/sobre a formação de professores; revelar o modo de
qualificar a mudança de estado quanto à formação de professores.
Quais são os conhecimentos de matemática necessários para o professor ensinar?
Uma grande quantidade de pesquisas empíricas e ensaios teóricos têm sido
desenvolvidos, partindo desta questão, confirmando a relevância do tema e justificando
a pesquisa. Encontramos diversos textos com o estado da arte da produção teórica dos
3
últimos 20 anos (Ball, 1990; Selden & Selden, 1996; Ponte, 2000; Mewborn, 2001;
Bairral, 2003; Hill, Schilling e Ball, 2004; Palis, 2005; Fernandez, 2005), mostrando
que essa pergunta não tem uma resposta definitiva e que existem diferentes referenciais.
A literatura é vasta, mas a obra de Shulman (1986) é quase uma unanimidade.
Este autor define categorias do conhecimento básico, necessário para o professor
ensinar, incluindo conhecimento do conteúdo, que considera fundamental, pois, para
ensinar é necessário, antes de tudo, compreender. “O processo de ensino se inicia
necessariamente numa circunstância em que o professor compreende aquilo que o
aluno deve aprender e compreende como se deve ensinar”. (Shulman, 2005, p.9).
Fiorentini, Souza e Melo (1998) e Fiorentini (2004) complementam esta idéia,
salientando que, nos dias de hoje, espera-se que o professor seja investigador e crítico
em relação à prática e responsável, tanto pela produção de seus saberes, quanto pelo
desenvolvimento curricular da escola. Para corresponder a estes desafios, o professor
necessita de um conhecimento matemático amplo e profundo, que vá além das regras e
processos, para chegar à natureza e aos significados dos conceitos.
Diferentes autores produzem modelos teóricos. Ma (1999) relaciona o
conhecimento do professor com a noção de ―compreensão profunda da matemática
fundamental‖, a matemática composta por conceitos básicos para as aprendizagens
posteriores dos estudantes. Compreensão profunda refere-se à conexão entre diferentes
conceitos e a percepção de um, todo coerente e bem articulado. Para Ma e Kessel
(2002), o professor com compreensão profunda da matemática fundamental é capaz de
revelar e representar idéias e conexões entre as idéias matemáticas, traduzindo-as no
ensino ao dispor de múltiplas perspectivas para um mesmo tópico.
Veloso et al (2005), resumem os resultados de pesquisas e as tendências mais
atuais, da produção internacional:
―... o professor tem que ter conhecimentos relativos aos
conteúdos matemáticos e à natureza da matemática, de modo a
sentir-se à vontade quando a ensina, ser capaz de relacionar
idéias particulares ou procedimentos dentro da matemática...
Para isso o professor tem de ter uma compreensão profunda da
matemática, da sua natureza e da sua história, do papel da
matemática na sociedade e na formação do indivíduo...
...Conhecimento explícito matemático é mais do que enunciar
uma dada proposição ou procedimento, envolve sabermos as
razões e as relações, sermos capaz de explicar a outros por que
é assim, bem como relacionar idéias particulares ou
processos”. (VELOSO ET al, 2005, p.11)
4
Estes aportes indicam características para o conhecimento do professor -
amplo, profundo e bem conectado.
Encontramos mais subsídios em Sfard (1991) e Dubinsky e McDonald (2001).
Os autores questionam a natureza do conhecimento matemático, que é conceitual,
buscando entender como os conceitos emergem. Existe um consenso no sentido de que
uma mesma idéia pode assumir diferentes significados - operacional/estrutural, ou
ação/processo/objeto – que caracterizam diferentes níveis de abstração e que a
compreensão do conceito consiste na habilidade em tratá-lo das diferentes maneiras, na
resolução dos problemas propostos. Marois e Tall (1996) diferenciam as expressões
―conhecimento profundo‖ e ―conhecimento amplo‖. O primeiro inclui os diferentes
níveis de abstração; o segundo inclui as diferentes facetas, diferentes formas de
representação do conceito, em diferentes contextos. Todos estes autores concordam que
a construção do conhecimento ocorre na direção da construção de objetos mais
abstratos, o que é um processo longo e difícil, mas indispensável para alguém poder
afirmar que sabe matemática.
Com relação à aprendizagem, Hiebert e Carpenter (1992) enfatizam a idéia de
conhecimento conceitual como uma numa rede bem conectada de idéias, na qual todas
as partes estão unidas com múltiplas ligações. Compreensão consiste em conectar estas
idéias e aprendizagem ocorre com a ampliação da compreensão, o que pode ser obtido
com a introdução de novas informações e de novas relações, estendendo os limites
conceituais.
A partir destes estudos, delineamos axiomas para este trabalho.
Axioma A: O conhecimento de matemática essencial para o professor ensinar vai além
da matemática escolar e é necessário para que ele possa criar oportunidades de interação,
discussão e investigação na sala de aula, assim como para tornar-se agente de mudanças
curriculares.
Axioma B: O conhecimento de matemática necessário para o professor é conceitual,
profundo, amplo e bem conectado. Inclui diferentes níveis de abstração, diferentes
significados e diferentes facetas do mesmo conceito.
Axioma C: A construção do conhecimento é gradual e inclui ciclos ascendentes de
níveis de abstração.
Axioma D: Cabe aos cursos de formação inicial proporcionar ao estudante
oportunidades de aprendizagem dos conceitos matemáticos fundamentais. Tais
oportunidades podem ser planejadas incluindo a introdução de novas informações e o
5
estabelecimento de novas relações, para obter uma reconfiguração da rede de
conhecimento, na direção de níveis maiores de abstração.
Quais são os conhecimentos a respeito de função necessários para o professor
ensinar?
Hansson (2006) tratou desta questão e traz uma ampla e muito proveitosa
revisão de teorias e resultados de pesquisa a respeito do tema, destacando, o que já
vimos, que compreensão de um objeto matemático relaciona-se com conhecimento
conceitual bem desenvolvido.
Seguimos, examinando as origens, as estruturas e princípios da organização do
conceito de função, buscando a construção de um todo coerente.
O conceito tem origens nos fundamentos da matemática (Caraça, 1998):
contagem, medida, forma, conjunto, coleção, correspondência, classificação,
comparação, variação, interdependência, movimento, lei natural. Nessa perspectiva,
percebe-se a influência desta idéia na construção dos conjuntos numéricos e na
produção das primeiras leis da Física. No entanto, o termo ―função‖ tem sua gênese em
questões geométricas e gráficas, alvo inicial do Cálculo Diferencial e Integral, sendo
parte da estrutura desta área, o que justifica a importância dada às definições que
envolvem equações e relação entre variáveis numéricas. A evolução do conceito
serviu de base à formação de novos conceitos e possibilitou a formalização de noções
inicialmente intuitivas como contagem (cardinalidade de conjuntos), medidas (em
espaços métricos) e lei natural (modelos matemáticos) e teve como efeitos, também, a
evolução da Álgebra e da Geometria. Nas diferentes áreas da Matemática, função se
apresenta em diferentes facetas (Kleiner, 1989; Eves, 1995).
O conceito de função é primário (depende apenas das noções intuitivas de
relação, univocidade e conjunto), central, estruturante (participa e está nos fundamentos
de todas as áreas), e articulador (espécie de elo conectando a matemática internamente
e a matemática com as outras ciências). Faz parte da construção de estruturas e dá
origem a uma vasta rede de conceitos relacionados.
O conhecimento de função consiste na capacidade de entrelaçar todas as suas
facetas e representações, formando uma totalidade, e tecer uma rede de conexões no
interior da matemática; por outro lado, cada faceta que a função assume, nos diferentes
contextos, relacionando diferentes domínios, como por exemplo, função real de
variável real ou transformação geométrica de figuras planas, traz consigo uma coleção
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própria de representações, problemas e procedimentos de resolução. Compreensão
ampla inclui o entendimento e a possibilidade de operar em cada uma e em todas, nas
suas semelhanças e diferenças, e conhecimento profundo implica alcançar diferentes
níveis de abstração.
Qual é o conhecimento a respeito de função desejável para o professor ensinar na
escola? O que os futuros professores de matemática estão aprendendo a respeito de
“função” no Curso de Licenciatura em Matemática da UFRGS2?
Resumimos aqui, resultados de análise foucaultiana do discurso (Foucault, 1983,
1995), para descrever significados deste conceito que circulam na escola.
Consideramos documentos produzidos no Ministério da Educação, artigos diversos que
tratam do tema, e os trabalhos de Ardenghi (2008), com análise de 46 pesquisas, e de
Silva (2007), com livros didáticos atuais, ambos enfocando o conceito de função.
Da análise do discurso, emergiu uma coleção de enunciados complementares. A
escola está em crise; o ensino de Matemática deve contribuir para a melhoria da escola,
afastando-se dos conceitos abstrato para ser centrado nas aplicações; o ensino de
função na escola básica deve ficar restrito às funções reais de variável real e às suas
representações; basta saber que função é uma relação especial entre variáveis
numéricas. Esta definição, hoje, tem mais destaque do que aquela que se refere à relação
entre conjuntos quaisquer, que é considerada muito abstrata.
No caso do ensino de função, Zuffi e Pacca (2000) mostram a confusão dos
professores, divididos entre a definição tradicional - com conjuntos - e a tendência atual
– relação entre variáveis. Pode-se pensar que o professor sequer esteja ciente das
peculiaridades envolvidas no conceito de função.
Concluímos que o significado desejável, para a noção de função, na escola,
limita-se à relação de dependência entre variáveis numéricas, e ao conjunto de
representações, problemas e procedimentos associados. Mas, mesmo se propondo a
trabalhar com esta única concepção, existem professores que não compreendem aquilo
que tentam ensinar. Cabe perguntar sobre o conhecimento de função que está sendo
produzido nos cursos de licenciatura.
2 Conceito 5 no ENADE-2005 e IDD +1,33.
7
Fizemos análise do currículo de um curso de licenciatura3. O conjunto das
disciplinas totaliza 2.900 horas: 1380 horas de disciplinas de conteúdo de Matemática e
de Física; 1520 horas de disciplinas de Educação Matemática, Educação, práticas e
atividades complementares.
Investigamos as disciplinas que, de algum modo, tratam do tema função. O
corpus foi constituído por súmulas, planos de ensino, bibliografia e fala de professores.
Ao final, identificamos um conjunto de enunciados diferentes para o objeto ―função‖,
produzidos por grupos disciplinares, que definimos como grupo do Cálculo/Aplicações
(900 horas), grupo da Álgebra (60 horas) e grupo das Transformações (120 horas).
Nas disciplinas do primeiro grupo, define-se função como relação entre variáveis
ou entre conjuntos, focalizando as funções com domínio real,r epresentadas por
equações algébricas ou gráficos. Função também é vista como uma ferramenta analítica
para resolver problemas das mais diversas áreas, envolvendo números reais.
Existe apenas uma disciplina de Álgebra, que trata de função em termos de
produto cartesiano e pares ordenados. Entre os exemplos incluem domínios com
objetos não numéricos e funções sem representação matemática.
O grupo das Transformações inclui apenas duas disciplinas – Geometria I e
Álgebra Linear - que relacionam explicitamente função com transformações
geométricas, cujo domínio é o plano ou o espaço.
Analisando, porém, os planos de ensino, vemos que no grupo do Cálculo, função
é conceito central; na Álgebra é secundário; na Geometria a definição de
transformação geométrica não é formalizada – o conceito é trabalhado com softwares de
geometria dinâmica, associados a movimentos ou transformações observáveis, no plano;
e em Álgebra Linear, o estudo de transformações lineares tem base nas matrizes. Ou
seja, o discurso predominante no Curso é o de função como uma relação unívoca entre
conjuntos numéricos ou variáveis numéricas e o foco do ensino é a função que tem
representação algébrica ou gráfica e suas aplicações.
Destaca-se também a compartimentalização das disciplinas, crítica que consta
nos subsídios para as licenciaturas, da Sociedade Brasileira de Educação Matemática:
“uma boa seleção de conteúdos não basta; é importante que
estes sejam organizados de forma não compartimentada. Conteúdos
3 UFRGS http://euler.mat.ufrgs.br/~comgradmat/resolucoes/licmat_projeto.pdf
8
apresentados de forma estanque, isolados dos demais, têm pouca
possibilidade de contribuir para uma formação consistente.” (SBEM,
2002, p.15).
Nesta linha, conclui-se que o conhecimento desenvolvido no Curso não é
amplo, nem profundo, nem bem conectado, nem contempla todas as facetas de função.
É preciso lembrar que estas práticas são produzidas pela repetição e dispersão
de discursos, e dependem de diferentes fontes de locução. Uma destas fontes é o corpo
de resultados de pesquisas, nacionais e internacionais, que tomam o conceito e o ensino
de função como objeto e enfatizam o ensino de cálculo. Recentemente, Carlson,
Oehrtman & Thompson (2007) propõem a concepção de ―função como processo‖, uma
transformação dinâmica de um conjunto de partida (input) num conjunto de chegada
(output). No entanto, o fazem com objetivo de melhorar a aprendizagem do Cálculo,
deixando de lado os outros contextos.
Outra fonte da produção do discurso do Curso, sobre função e ensino de função,
está na história, na gênese da matemática:
“Era comum desenhar-se a matemática com a forma de uma
árvore, em geral um carvalho. ... Das raízes erguia-se o robusto
tronco onde estava gravado “cálculo”. Sobre o tronco
finalmente a copa formada de numerosos galhos ... variáveis
complexas, variáveis reais, cálculo de variações, probabilidades
... a trilha que o estudante deveria seguir para internar-se no
seu estudo.” (Eves, 1995, p. 694)
Buscando o conhecimento dos alunos, encontramos os resultados da pesquisa de
Carneiro, Fantinel e Silva (2003), com estudantes formandos do Curso, atendendo
questões sobre funções. As autoras identificaram campos de significados produzidos a
respeito da noção de função restritos a conjuntos numéricos sem relações com
transformações geométricas.
Pode-se concluir que o conhecimento produzido no Curso não contribui para
formar um professor com conhecimento conceitual bem desenvolvido, porém, parece
que o conhecimento ali produzido, nas suas limitações, atende ao esperado pela escola.
O papel da formação na produção de conhecimento: propostas de mudança
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Se o conhecimento do professor deve ser amplo, profundo e bem conectado, no
caso de função, isto significa estar consciente das suas múltiplas facetas, indo além do
conhecimento operacional para abstrair o conceito, na sua centralidade e nas suas
múltiplas conexões.
Nessa perspectiva, para contribuir positivamente com a formação docente no
Curso de Licenciatura, implementamos um experimento didático desenvolvido com
estudantes do Curso de Licenciatura, cujo objetivo é conectar funções com
transformações geométricas. É preciso alertar que o relato, completo e detalhado, deste
experimento mereceria um artigo exclusivo, porém, o objetivo aqui é mostrar uma
seqüência de ações que fazem parte e completam um projeto de pesquisa, maior, a
respeito do conhecimento do professor.
Experimento didático
Adaptamos a proposta de Steffe e Thompson (2000), que definem experimento
de ensino como uma ferramenta conceitual de pesquisa que organiza investigações
direcionadas para compreender o progresso do aluno, para explorar e para explicar sua
atividade matemática, num certo período.
No planejamento, baseamo-nos em Hiebert e Carpenter (1992). Conhecimento
consiste numa rede de informações e conexões, e é limitado, se esta rede inclui poucas
informações, poucas idéias e poucas ou fracas conexões entre elas. Planejamos uma
seqüência de ensino para ampliar a compreensão de função, introduzindo novas
informações e construindo novas relações entre diferentes idéias, visando a
reorganização da rede.
Com esta fundamentação, o experimento foi planejado para: a) introduzir noções
sobre funções complexas; b) relacionar a função complexa y=ax+b com as
transformações geométricas euclidianas: c) conectar diferentes idéias relacionadas com
a mesma representação, y = ax+b; d) desenvolver uma concepção de função como uma
transformação, cujo domínio não é necessariamente numérico.
Para analisar as mudanças cognitivas que poderiam ocorrer, acompanhamos o
processo de aprendizagem perseguindo as espirais previstas na teoria APOS (action/
process/ object/ schema) desenvolvida por Dubinsky & McDonald (2001) e sugerida
numa investigação sobre funções, por Breidenbach, Hawks e Nichols (1992).
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Dubinsky & McDonald (2001) prevêem ciclos evolutivos no desenvolvimento
do conhecimento conceitual. Frente a um problema, envolvendo determinado conceito,
o sujeito primeiramente mobiliza um esquema prévio, aquilo que ele pode fazer, uma
coleção individual de ações, processos e objetos e outros esquemas e que vêm à tona
quando solicitados. Ação é a manipulação repetível, física ou mental, que transforma
objetos, percebidos individualmente, como números ou figuras geométricas, para obter
outros objetos; processo é a construção mental que decorre da repetição de uma mesma
ação e que permite pensar nas operações com objetos sem realmente realizá-las, é ação
interiorizada. A construção de um novo objeto ocorre a partir de um processo, quando o
estudante o percebe na sua totalidade e amplitude, lidando com algo sobre o qual se
pode agir, transformar, modificar, sem perder sua essência, é o processo encapsulado
num objeto. Finalmente, emerge um novo esquema, mais avançado, para resolver
problemas: aprendizagem implica evolução dos esquemas existentes.
Com esta base teórica, os objetivos da investigação foram: a) verificar as
mudanças que ocorrem nos esquemas prévios, relativos ao conceito de função,
especificamente considerando a função cuja expressão é y = ax+b; b) identificar
construções de novos esquemas, frente a atividades matemáticas que introduzem
novas informações e estabelecem novas conexões.
Delineamos também hipóteses que guiam as intenções gerais da pesquisa: a)
as questões propostas têm potencial para desafiar a imaginação e gerar atividades
matemáticas, mobilizando esquemas anteriores; b) as novas informações e conexões
podem modificar esquemas anteriores; c) o esquema final envolve a construção de
objetos matemáticos mais abstratos e demonstra a ampliação da rede de conhecimento a
respeito de função.
A investigação focalizou os esquemas já construídos e as novas construções
decorrentes das atividades.
O experimento foi constituído por cinco episódios e é importante, neste relato,
contemplar a todos, pois juntos, em seqüência, demonstram o ciclo de evolução
cognitiva descrito na teoria APOS. Um único episódio não representaria o ciclo.
Relato do experimento
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O experimento envolveu cinco alunos (3 meninas e 2 rapazes) do 5° semestre
do Curso de Licenciatura, voluntários. O episódio 1 transcorreu em um encontro de 4
horas/aula (uma tarde), os episódios 2 e 3 ocuparam 4 horas e os episódios 4 e 5 mais 4
horas. Foram três tardes, nas férias de verão de 2008. A sala era espaçosa, os alunos e a
professora sentavam-se juntos, em torno de uma mesa, na qual foi colocada uma câmera
digital, monitorada por outra pessoa. Os encontros foram parcialmente filmados e
gravados, o material produzido pelos alunos foi coletado e analisado, anotamos
observações particulares, reflexões sobre as intervenções e sobre as interações,
comentários e observações, o que caracteriza a pesquisa como qualitativa.
Os sujeitos da pesquisa já haviam concluído, com sucesso, as disciplinas de
Cálculo, Fundamentos, Física e Geometria. Tinham noções sobre números complexos,
mas não tinham conhecimento sobre funções complexas, tiveram contato com
transformações geométricas euclidianas, utilizando o software Cabri Geometre, e não
conheciam (ou não lembravam) a interpretação geométrica, no plano, das
transformações lineares.
Antes do início dos episódios, perguntamos: O que você entende sobre função?
Como você define função? Dê exemplos de função. Toda função tem expressão
algébrica? As respostas foram aquelas esperadas: função é relação entre variáveis ou
correspondência entre conjuntos. Os exemplos foram de função real com uma variável
apresentados por equações ou gráficos. Após alguma discussão, houve um acordo sobre
a existência de funções que não têm representação algébrica, pois muitos gráficos
encontrados nos jornais e revistas não podem ser modelados, porém, parecia-lhes que
sempre deveria haver alguma forma de representação.
Podem-se interpretar tais informações, recorrendo aos aportes de Breidenbach,
Hawks e Nichols (1992) que investigaram as concepções do aluno sobre função,
concluindo que, em geral, função é vista como ação. Neste caso, mesmo conhecendo as
definições clássicas, os sujeitos estão limitados a pensar sobre fórmulas, envolvendo
letras que podem ser manipuladas ou substituídas por números, ou ficam restritos aos
gráficos vistos como fotografias.
Pedimos também que ligassem entre si, palavras dadas em cartões (figura 1)
Colando os cartões, criaram uma rede que mostra a ausência de conexões entre alguns
objetos, o que nos levou a considerar as diretrizes de Hiebert e Carpenter (1992), no
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sentido que o conhecimento limitado mostra poucas conexões e que pode-se ampliá-lo
introduzindo novas informações e construindo novas relações.
Figura 1
Análise das atividades
O primeiro elemento extraído das nossas análises diz respeito ao interesse que a
matemática, como exercício intelectual, independente das suas aplicações, pode causar
no aluno, futuro professor. Ver conteúdos de outras formas, estabelecer conexões entre
diferentes domínios – geometria, álgebra, cálculo, conjuntos numéricos – e conhecer
novos conceitos – funções complexas - desafiam a imaginação matemática e geram
atividades matemáticas. Nas falas gravadas, muitas vezes apareceram colocações neste
sentido: “Eu nunca ouvi falar nisto?” “Porque não aprendemos isto?” “Eu nunca
tinha percebido que dava para ver assim (rotações no plano como função)!‖
O segundo elemento diz respeito à análise do raciocínio dos alunos.
Percebemos que desafios propostos em novos contextos e em ambiente interativo
permitem o desenvolvimento de novos esquemas. Essas situações ocorreram quando os
alunos estabeleceram conexão entre função e transformações geométricas, com auxílio
de uma nova informação: função complexa. Neste momento os esquemas anteriormente
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construídos para tratar com funções e com transformações mostraram-se insuficientes
para atenderem os questionamentos e novas construções ocorreram.
No episódio 1, introduzimos uma nova informação, ao propor questões de
aplicação da função complexa y = ax+b, sobre um quadrado do plano. A resolução da
questão (a) mostrou a concepção de função como ação e mostrou um esquema prévio
para responder problemas, nos domínios numéricos e no sistema cartesiano de eixos:
fazer cálculos; dado um complexo de entrada, obter um complexo de saída; representar
números complexos como pares ordenados, no plano. A questão (b) favoreceu uma
nova relação: produto complexo e rotação. Inicialmente, não trouxe problemas, pois os
alunos estavam mobilizando apenas o esquema do cálculo algébrico com representação
geométrica. A questão foi resolvida , como mostra a figura 2.
Figura 2
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Breidenbach, Hawks e Nichols (1992) sugerem que, na concepção de função
como ação encontramos uma atividade de transformação de objetos, ― feita passo a
passo, e os passos estão somente relacionados com a fórmula e não com qualquer outra
relação existente na mente do sujeito‖ (p.251). Foi o que ocorreu, inicialmente, os
alunos observaram apenas os números, não dando importância à figura, até que a
rotação chamou atenção. Estabeleceram pela primeira vez conexão entre a função e uma
transformação geométrica. Neste momento, passaram a estabelecer conexão com outros
esquemas anteriores criados para resolver problemas de Geometria com utilização de
softwares dinâmicos: rotação é um movimento visível no plano.
― Mas, é uma rotação!‖ ― E teve um movimento. Pode ser uma translação?”
“Daria para ver melhor, num software.”. “Mas não no Cabri. Talvez, no
Geogebra, usando pares ordenados.”
Iniciaram ali reflexão sobre as mudanças operadas nas figuras. Voltaram atrás.
Propuseram novos exemplos. Recordaram a Fórmula de Moivre para multiplicação de
complexos, associando o produto com rotação. Ficou claro o início da construção de
outro modo de agir para resolução de problemas que envolvem a função y=ax+b: não
mais fazer cálculos, mas, sim, produzir diferentes imagens para a figura, dada a função,
identificar transformações geométricas e relacioná-las com os parâmetros ―a‖ e ―b‖.
Confirmou-se aqui a teoria de Hiebert e Carpenter (1992), a rede de conhecimentos
amplia-se, formando novas conexões, quando uma nova informação é introduzida: no
caso a função complexa y = ax+b.
No episódio 2, questão 1, a idéia foi reforçar a conexão entre a função complexa
y = ax+b e transformações geométricas, com o traçado de imagens de figuras
geométricas planas, no plano complexo, e com a aplicação de funções representadas
por y = ax + b, sem fazer cálculos sobre os vértices.
Neste momento, ficou claro que, a última ação - comparação de transformações com os
parâmetros - muitas vezes repetida, evoluiu para a construção de um processo (segunda
parte do ciclo da teoria APOS): a função complexa, y = ax+b transforma figuras
geométricas e basta analisar os parâmetros para decidir sobre os efeitos desta
transformação. A ação foi interiorizada neste processo. Na figura 3, observam-se erros
nas medidas das figuras transformadas, mas aparentemente os alunos estavam
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produzindo uma nova concepção de função, coincidindo com os aportes de
Breidenbach, Hawks e Nichols (1992): num processo ―somente é necessário que a
transformação seja imaginada, na mente do sujeito, como uma possibilidade‖(p.251).Na
questão 2, os alunos mostraram que, a partir da aplicação do processo – dada y= ax +b,
encontrar a transformação geométrica da figura - obtiveram outro, revertendo-o – dada
uma transformação de figuras, encontrar a equação - e também compondo
transformações, o que fica mais claro no episódio 3, figura 4.
Figura 3
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Figura 44
No episódio 3, identificamos um novo objeto matemático (terceira parte do
ciclo da APOS): a função complexa y=ax+b é uma transformação geométrica do plano.
Esta construção corresponde a um nível mais alto de abstração e ocorreu quando o
estudante percebeu a amplitude do que estava fazendo, lidando com a função como
algo sobre o qual se pode agir, transformar, modificar, compor, sem perder sua essência
de transformação geométrica.
A construção da função y = ax+b como um novo objeto, uma transformação,
fica mais clara no episódio 4. Neste episódio, a generalização foi alcançada, com a
construção de um quadro, relacionando valores dos parâmetros com as correspondentes
transformações geométricas, no domínio complexo. Para Dubinsky & McDonald
(2001) com a construção de um objeto, delineia-se um novo esquema na mente do
indivíduo.
O episódio 5 indica a presença deste novo esquema de comportamento, quando
surgem questões que envolvem uma função cuja representação é y=ax+b,
independente do domínio. Os alunos traçaram gráficos, repetindo inicialmente o
esquema para trato das funções reais, mas passaram a analisar a relação entre os
4 Há erro, nos últimos desenhos. As duas diagonais medem 4 e o aluno marcou a diagonal horizontal com
medida 2, porque fez desenhos sem escala. Para nós importa a aplicação de transformações geométricas.
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intervalos domínio e imagem, como segmentos da reta, indicando a transformação
obtida como efeito da função. Igualmente, transportaram o novo esquema para três
dimensões, num exemplo limitado à expansão e translação (Figura 5).
Figura 5
Percebe-se assim o objeto – a função dada pela expressão y = ax+b, num
domínio geométrico, é uma transformação – e um novo esquema (a última etapa da
evolução prevista na APOS), que veio à tona quando apareceu um problema que
envolvia novas relações, em outro contexto.
Finalmente, os alunos revisaram e completaram o quadro de conexões feito no
primeiro encontro. Tomaram os cartões, colaram numa folha, com outra configuração,
mostrando que, como sugere a teoria do conhecimento em rede de Hiebert e Carpenter
(1992), houve ampliação e reorganização, na rede de conhecimentos, e que função
assume seu papel de centralidade (Figura 6).
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Figura 6
Nossas hipóteses foram validadas, no experimento. A discussão do tema
mostrou-se interessante e gerou atividades matemáticas, que deixaram emergir
esquemas anteriores e que favoreceram mudanças. A proposta trouxe um novo contexto
para ação – geometria e números complexos - que exigiu a construção de novos
esquemas. Ao final, a matemática desenvolvida ampliou a rede de conhecimentos
anteriores.
Considerações finais
A vasta literatura a respeito do tema – conhecimento do professor – e a
centralidade do conceito de função, na Matemática evidenciam a relevância e justificam
a pesquisa. Partimos de questões bem definidas, sobre os conhecimentos a respeito de
função necessários para o professor ensinar, aqueles exigidos na escola e aqueles
produzidos no Curso de Licenciatura; e sobre possíveis intervenções feitas para
contribuir para a aprendizagem de funções, na licenciatura.
Para responder as questões iniciais, desenvolvemos análise foucaultiana do
discurso (Foucault, 1986, 1993), deixando emergir o conhecimento sobre função
19
produzido na escola e na formação dos professores. Para buscar ampliação deste
conhecimento, implementamos uma investigação do tipo experimento didático (Steffe e
Thompson, 2000). Também definimos referenciais teóricos, elaborando axiomas de
partida e criando categorias para análise de dados empíricos.
As análises de discurso e os resultados do experimento sugerem novos
conhecimentos sobre e para a formação de professores. Por outro lado, a proposta de
ensino, contida no experimento, procura mostrar modos de qualificar a mudança de
estado quanto à formação de professores.
Concluímos que professor necessita deter um conhecimento de matemática profundo,
amplo e bem conectado e que, nesta ótica, há um descompasso entre o conhecimento
desejável sobre função e aquele que é produzido na escola e no curso de formação. Este
conhecimento é limitado, o professor não consegue perceber a generalidade e a força do
conceito de função. Nessa perspectiva, o experimento didático teve como principal objetivo
a ampliação do conhecimento do conceito de função, fundamentando-se em duas propostas
teóricas.
Uma delas, a teoria do conhecimento em rede (Hiebert e Carpenter , 1992) que prevê
ampliação do conhecimento quando ocorre a disponibilização de novas informações e são
estabelecidas novas conexões. Com esta fundamentação, o experimento foi planejado para
introduzir noções sobre funções complexas e relacioná-las com as transformações
geométricas euclidianas, chegando a uma concepção de função como uma
transformação, cujo domínio não é necessariamente numérico.
A teoria APOS (Dubinsky & McDonald, 2001), dos ciclos cognitivos, sugere
que ampliar o conhecimento a respeito de um conceito consiste na evolução de
esquemas (um conjunto pessoal de ações, processos e objetos) mobilizados para
enfrentar problemas que o envolvem. Com este objetivo, planejamos cinco episódios
que dizem respeito à função expressa pela equação y = ax+b, desenhados num ciclo
crescente de abstração. Percebemos que, no esquema primário, a própria função é vista
como uma ação. Para atender questões sobre funções, os alunos agem manipulando
fórmulas, números ou gráficos. Neste esquema, a função representada pela equação
y=ax+b é uma fórmula que transforma números em números, com cálculos feitos passo
a passo.
Com a seqüência de atividades, os estudantes construíram um esquema
posterior, em que função é vista como processo, uma transformação de objetos em
outros, não necessariamente numéricos, uma transformação que existe na mente do
20
sujeito e que não exige cálculos. Neste novo esquema, foi construído um novo objeto. A
função representada pela equação y=ax+b é uma transformação de figuras geométricas
(que podem ser segmentos da reta, figuras planas ou espaciais). É possível olhar para a
equação, analisar os parâmetros e visualizar mentalmente a transformação que ocorre,
sem fazer cálculos.
Dados empíricos demonstram a construção de uma nova concepção de função,
ampliando o conhecimento do futuro professor.
Preparamos este artigo apoiados em recomendações da área de Educação
Matemática, no sentido da necessidade de investigar o currículo de formação de
professores e propor melhorias. Assumimos, com esta investigação, as
responsabilidades que são hoje atribuídas a todos nós professores, como destacadas por
Fiorentini, Souza e Melo (1998):
―espera-se dele uma atitude investigadora e crítica em relação à
prática pedagógica e aos saberes historicamente produzidos;...
passa a ser responsável pela produção de seus saberes e pelo
desenvolvimento curricular‖ (FIORENTINI, SOUZA E MELO,
p.332).
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ANEXO
Episódio 1
Considere que o domínio da função y = ax + b agora é o conjunto dos números
complexos:
a) Localize os pontos 0, 1, 1+i, i, no plano complexo, una-os. Você
obtém um quadrado Q. Calcule a imagem do quadrado, pela função
complexa
y = 3x + 2. Descreva.
b) As constantes a e b podem ser números complexos. Procure a
imagem do quadrado pela função y = (1 + i) x + (2 + i) dos números
complexos
Descreva-a.
25
Episódio 2
1) O triângulo eqüilátero de lado 1 é transformado pela função
y = (√3 + 1i) x + (1 – 2i). Mostre a imagem, sem calcular ponto a ponto.
2) Crie valores para os lados dos retângulos e invente uma função complexa que
transforma a figura A na figura B?
Episódio 3
1) Dê exemplos de três funções complexas que correspondam, cada uma a:
rotação; expansão; translação. Qual o resultado da composição das três.
Aplique-a sobre Q.
Episódio 4
2) Analise os parâmetros da equação complexa y = ax + b. Quais são as
condições para que a equação represente uma:
a) rotação?
b) translação?
26
c) homotetia, ampliação ou contração?
d) Relembrando o que você sabe sobre números complexos, é
possível construir equações para a simetria com relação à origem e para a
reflexão com relação ao eixo dos XX?
Episódio 5
1) Considere a função real expressa pela equação y = ax + b.
Mostre, geometricamente e descreva a transformação que ocorre no
segmento representado pelo intervalo real (1,10) sob ação da função y =
10x + 1.
2) Invente uma função cujo domínio é o espaço R3 e que corresponda a
uma ampliação e a uma translação. Sob efeito desta função, que
transformação ocorre num cubo de lado 1, cuja base é o conjunto de
pontos [0,1] x [0,1].
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29