o le décor : - un cercle de centre o o a b c le décor : - un triangle abc inscrit

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Page 1: O Le décor : - un cercle de centre O O A B C Le décor : - un triangle ABC inscrit
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O

Le décor :

- un cercle de centre O

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O

A

B C

Le décor :

- un triangle ABC inscrit

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O

A

KB C

I

Le décor :

- la bissectrice de l’angle A

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O

A

KB C

L

H

I

Le décor :

- les projetés orthogonaux

de K sur [AB] et [AC]

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O

A

KB C

L

H

I

La demande :Prouver que les deux triangles gris réunis

ont la même aire

que le triangle

jaune…

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O

A

KB C

L

H

I

ou aussi :

que le quadrilatère AHIL

a la même aire

que le triangle

ABC…

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O

A

KB C

L

H

I

soit finalement :

que le triangle

ALI

a une aire égaleà la moitié de

celle de ABC

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O

A

KB C

L

H

I

en considérant le point P, projeté orthogonal de I sur [AC]

P

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O

A

KB C

L

H

I

P

en considérant le point P, projeté orthogonal de I sur [AC]

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O

A

KB C

L

H

I

P

en considérant le point P, projeté orthogonal de I sur [AC]

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O

A

KB C

L

H

I

P

en considérant le point P, projeté orthogonal de I sur [AC]

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O

A

KB C

L

H

I

P

en considérant le point P, projeté orthogonal de I sur [AC]

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O

A

KB C

L

H

I

P

en considérant le point P, projeté orthogonal de I sur [AC]

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O

A

KB C

L

H

I

P

en considérant le point P, projeté orthogonal de I sur [AC]

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O

A

KB C

L

H

I

P

on se ramène au triangle AKP

en considérant le point P, projeté orthogonal de I sur [AC]

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O

A

KB C

L

H

I

on fait alors glisser le côté droit

P

de [AP]

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O

A

KB C

L

H

I

P

on fait alors glisser le côté droit

de [AP]

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O

A

KB C

L

H

I

P

on fait alors glisser le côté droit

de [AP]

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O

A

KB C

L

H

I

P

on fait alors glisser le côté droit

de [AP]

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O

A

KB C

L

H

I

P

on fait alors glisser le côté droit

de [AP]

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O

A

KB C

L

H

I

P

on fait alors glisser le côté droit

de [AP]

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O

A

KB C

L

H

I

Ppour se ramener au triangle EKC

E

jusqu’à [EC]

( on a EC = AP et aussi AE = PC )

on fait alors glisser le côté droit

de [AP]

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O

A

KB C

L

H

I

P

E

A’

on trace [EA’] où A’ désigne le milieu

de [BC]

Si [AK] et [EA’] sont bien

parallèles, alors…

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O

A

KB C

L

H

I

P

E

A’

le triangle EKC peut être échangé

contre

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O

A

KB C

L

H

I

P

E

A’

le triangle EKC peut être échangé

contre

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O

A

KB C

L

H

I

P

E

A’

le triangle EKC peut être échangé

contre

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O

A

KB C

L

H

I

P

E

A’

le triangle EKC peut être échangé

contre

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O

A

KB C

L

H

I

P

E

A’

le triangle EKC peut être échangé

contre

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O

A

KB C

L

H

I

P

E

A’

le triangle EKC peut être échangé

contre

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O

A

KB C

L

H

I

P

E

A’

le triangle EKC peut être échangé

contre

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O

A

KB C

L

H

I

P

E

A’

le triangle EKC peut être échangé

contre

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O

A

KB C

L

H

I

P

E

A’

le triangle EKC peut être échangé

contre

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O

A

KB C

L

H

I

P

E

A’

le triangle AA’C !!!

qui recouvre bien la moitié du triangle ABC

le triangle EKC peut être échangé

contre

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O

A

KB C

L

H

I

O

A

KB C

L

H

I

P

O

A

KB C

L

H

I

P

E

O

A

KB C

L

H

I

E

A’

En résumé

Ces 4 triangles ont la même aire, à savoir : la moitié de celle de ABC

encore faut-il prouver que [AK] et

[EA’] sont parallèles …

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O

A

KB C

I

A’P

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O

A

KB C

I

A’P

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A

KB C

I

A’P

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A

KB C

I

A’P

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A

KB C

I

A’P

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A

KB C

I

A’P

B’

A’

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A

KB C

I

P

B’

A’

E

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A

KB C

L

H

A’

I