o mundo não é unidimensional a física em 2 e 3 dimensões
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O mundo não é unidimensional
A Física em 2 e 3 dimensões
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• Referências:• “Mecânica Vetorial para Engenheiros”• F.P. Beer &E.R. Johnston Jr.• 5ª
edição seção11.13 e 11.14 e 12.11
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• Exemplos clássicos:– Lançamento oblíquo– Movimento de uma carga em um campo
magnético– Elétron em torno do núcleo– O sistema solar
• Para descrever, explicar estes movimentos precisamos de um sistema de referência
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• Porque diferentes sistemas de coordenadas?
PARA SIMPLIFICAR!A escolha do sistema de coordenadas vai
depender das forças de interação entre os componentes e da geometria.
Nem sempre o sistema cartesiano tradicional com os eixos x,y,z será o melhor
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Um exemplo do ensino médio: o plano inclinado
Fx =max ;; Fy =max
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A necessidade de um novo sistema de coordenadas
• O pêndulo simples:
Duas forças atuam sobre a massa m. Tensão na corda e força peso. A força peso é constante, mas a tensão varia com o tempo, pois sua direção varia com o tempo.
Qual o melhor sistema de referência para este caso?
MMM
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MMM
x
y
Não parece muito bom pois as coordenadas x e y da bolinha mudam. Teremos x(t) e y(t).
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Coordenadas polares
x
ϴ
y Pr
Para determinar a posição P precisamos de dois números, ou x e y ou r e ϴ.
x = r cos(ϴ) .. y=rsen(ϴ)
A escolha depende do sistema. Qualquer sistema pode ser escolhido, mas em um deles a solução ( encontrar a posição como função do tempo) é mais fácil.
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A segunda lei de Newton em coordenadas polares
• A velocidadecomo passar de vx
re
rr re
Mas muda com o tempo!
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( )
mas:
rr r
r
r
r rr r r
d ed d drv r re e rdt d dt dt
d e edd e ed
d e d edr dr d dr dv e r e r e r edt dt dt d dt dt dt
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ˆ ˆcos( ) ( )ˆ ˆ( ) cos( ) (perpendicular a )
ˆ ˆ ˆ ˆ( cos( ) ( )) [ ( ) cos( )]
r
r
r
r
e i jsen
e isen j ede d di jsen isen jdt dt dtd e ed
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2
2
2
2
2
( ) ( 2 ) ( )
( )
( )
igual a
já resolvemos!.Movimento oscilatório!
ra r r e r r e r e
mL mgsen
d g gsendt L LÉ
d x kxdtque
Voltando ao pêndulo
MMM
ϴF r =0 F ϴ =mg sen(ϴ) e r é constante
2( ) ( 2 )ra r r e r r e
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Outro exemplo
• Forças centrais
Força depende somente da distância entre os objetos e atua somente na direção que une os objetos.
.
2
2
22
2 2 3
22
3
2 2
3 2
( )
( ) ( 2 )
( 2 ) 0
constante=L
( ) ( )
1( ) ( ( ) )2
r
r
r
F F r e
a r r e r r e
r r
mr
L Lrmr m r
Lma m r r mr F rmr
L d Lmr F r V rmr dr mr
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2
2
a força for central:
( 2 ) 01( ) 02
1 constante2
Se
r rd rdt
r
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• O que isto significa:
rdϴ
r
d ϴ
Área =basexaltura/2
dA=1/2 r r dϴ
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2
2
2
a força for central:
( 2 ) 01( ) 02
1 constante2
cosntante!
constante
L=mr(r )
( expressão correta é L=mr constante)
Se
r rd rdt
r
dAdtL m r
dradt
Segunda lei de Kepler: A linha que une um planeta até o Sol percorre áreas iguais em tempos iguais.
Para um objeto sob a ação de uma força central o momento angular é constante!
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• A equação radial
2
2
2
22
2 3
22
3
( )
( )
( )
constante=L
( ) ( )
r
r
r
r
F F r e
a r r e
a r r
mr
L Lrmr mr
Lma m r r mr F rmr
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• A equação radial2
23
2
3
2
2
( ) ( ) ( )
( )
( ( ) )2
rLma m r r m r F rmr
Lmr F rmr
d Lmr V rdr mr
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• V=-k/r• 1...força gravitacional -sempre atrativa• 2. força eletrostática -repulsiva ou atrativa
22
3
2
3
2
2
( ) ( ) ( )
( )
( )2
Vamos analisar os dois "potenciais"
rLma m r r m r F rmr
Lmr F rmr
d k Lmrdr r mr
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V=-1/rV
-120
-100
-80
-60
-40
-20
00 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Atrativo. Partícula irá para a origem. (Terra cai no Sol- elétron- colapsa no núcleo!)
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V=1/r2
V
0
100
200
300
400
500
600
700
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Repulsivo , partícula vai para o infinito. Nada fica em “órbita”
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Os dois simultaneamente!V
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
0 0,5 1 1,5 2 2,5
Agora temos um ponto de mínimo diferente de zero e diferente de infinito!
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• Voltando para a segunda lei de Newton e a equação diferencial:
22
2 3
22
3
2
22
2 2
( ) ( )
1( )
1[ ] [ ] [ ( )]
1 1( ) ( )
r
L Lrmr mr
Lma m r r mr F rmr
dr dr d L dr L drdt d dt mr d m d rd dr d dr d d L drdt dt d dt dt d m d rL drm r d r
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2 2 2 32 2
2
2
2 2
2
2
2
fazendo u=1/r
( )
( )
:
cos( )
1 [1 cos( )]
L d L uu u kum d md ku u md LSolução
ku C mL
ouk m
r LCLk
Seções cônicas!!. Hypatia de Alexandria!