o-net math m63

สรปตว O-NET คณตศาสตร ม.6 2

1. เซต

พนฐานเซต

เซตเปนค าใหมทเราจะรจกตอนเรยนม.4ซงจรงๆแลวเซตกคอการบอกลกษณะทเปนกลมของอะไรสกอยางเชน เซตของจ านวนเฉพาะหมายถงกลมของจ านวนเฉพาะ

• การเขยนเซต

ในการเขยนเซตนนเราจะใชเครองหมาย{} แทนเซตและใสสมาชกทตองการไวขางในโดยใชเครองหมาย, คนระหวางสมาชกเชน{1,2,3,} หมายถงเซตของ1,2และ3

การเขยนเซตในโรงเรยนจะแบงออกเปนสองประเภทคอ

1. การเขยนเซตแบบแจกแจงสมาชก

เปนการเขยนแบบทสามารถเหนสมาชกในเซตเปนตวๆไดเลยและบอกไดทนทวาอะไรอยในเซตนนบางเชน{2,4,6,8}

2. การเขยนเซตแบบมเงอนไข

การเขยนเซตแบบมเงอนไขจะใชสญลกษณ{}

แทนเซตเหมอนกนแตสงทใสลงไปจะไมใชสมาชกรายตวแตเปนเงอนไขของการเปนสมาชกเชน

{x|xเปนจ านวนนบทนอยกวาเทากบ5}

เครองหมาย | จะแทนค าวาโดยทหรอค าวาเมอและx จะเปนตวแปรทแทนสงทจะอยในเซตนดงนนเซตนอานวาเซตของ x โดยท x เปนจ านวนนบทนอยกวาเทากบ5ซงจะไดวาสมาชกในเซตนคอ1,2,3,4และ5

ซงการอยในเซตเรยกวาเปนสมาชกสญลกษณคอ∈

และถาไมอยในเซตเรยกวาไมเปนสมาชกสญลกษณคอ∉


• จ านวนสมาชกในเซต

ในการหาจ านวนสมาชกในแตละเซตกคอการหาวาในเซตนนมสงทอยขางในกตวเทานนเองเชน

จ านวนสมาชกของ{2,4,6,8} คอ4จ านวน

• เซตจ ากดเซตอนนต

1. เซตจ ากด

คอ เซตทสามารถนบจ านวนสมาชกได

2. เซตอนนต

เซตอนนตคอเซตทมสมาชกเยอะมากจนนบไมไดหรอบอกไมไดวาสมาชกเปนเทาไหรกนแนเชน

{1,2,3,4,5,⋯}เราจะไมสามารถบอกไดวาสมาชกมเทาไหรกนแน

นอกจากน เราจะมการใหชอเซต หรอ สญลกษณแทนเซต เชนถาเราม {1,2,3,4,5} ถาเราตองการพดถงเซตนบอย ๆ จะท าใหยงยากในการกลาวถง และสบสนไดงาย ดงนนเราจะใหชอเซต โดยบอกวาA={1,2,3,4,5} และหลงจากนเราจะเรยกแค เซตAเทานน

ในการใหชอเซตนน ควรเปนตวอกษรภาษาองกฤษพมพใหญ เพอใหมความเขาใจทตรงกนและเปนสากล

จ านวนสมาชกของเซต A ใชสญลกษณ n(A)

เซตทมจ านวนสมาชกเปน0เรยกวาเซตวางสญลกษณคอ∅

แตจะตองระวงไมใชวาเจอ⋯

แลวจะเปนเซตอนนตเสมอเชน{1,2,3,⋯,9,10} เซตนมจ านวนสมาชกเทากบ 10 ดงนนเซตนจะตองเปนเซตจ ากด


• การเทากนของเซต

เชน {1,2,3,4,5} เทากบ {2,1,1,3,5,4}

• ยนเวอรส

เวลาเราพดสงกลมของอะไรสกอยางจะตองมการบอกขอบเขต

แผนภาพเวนน-ออยเลอร (Venn-Euler diagram) แผนภาพเวนน-ออยเลอร เปนแผนภาพแสดงความเกยวของของเซตตางๆ

ตวอยางการเขยนแผนภาพเวนน-ออยเลอร

ถาก าหนดให U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

A = {1,2,3} , B = {1,2,3,4,5} , C = {3,5,6,7}

เราจะเขยนแผนภาพเวนน-ออยเลอรไดแบบน

เซตทจะเทากนคอเซตทเหมอนกนทกอยาง

นนคอมจ านวนสมาชกเทากนและสมาชกทกตวเหมอนกน

ดงนนยนเวอสกคอขอบเขตในการกลาวถงกลมตางๆหรอเซตตางๆโดยสมาชกในเซตตางๆทกลาวถงนนจะตองอยภายใตยนเวอสนนๆ

http://www.tewfree.com/wp-content/uploads/2014/03/venn-euler-diagram-1.png


การด าเนนการของเซต

ตวอยางท 1 จากการสอบของนกเรยนชนหนง จ านวน 300 คน ปรากฏวา มนกเรยนสอบผานวชาคณตศาสตร 100 คน

สอบผานวชาวทยาศาสตร 150 คน สอบผานทงสองวชา 60 คน จงหา

1) จ านวนนกเรยนทสอบผานวชาคณตศาสตรแตไมผานวชาวทยาศาสตร 2) จ านวนนกเรยนทสอบผานวชาวทยาศาสตรแตไมผานวชาคณตศาสตร 3) จ านวนนกเรยนทสอบไมผานทงสองวชา

ตวอยางท 2 นกเรยนหองหนงม 50 คน ปรากฏวาชอบเลนฟตบอล 30 คน ชอบเลนปงปอง 10 คน ไมชอบเลนอะไรเลย 12 คน จงหา

1) จ านวนนกเรยนทชอบเลนฟตบอลอยางเดยว

2) จ านวนนกเรยนทชอบเลนปงปองอยางเดยว

3) จ านวนนกเรยนทชอบเลนทงฟตบอลและปงปอง

เอาสวนทเหมอนกน ไมเอาสวนทเหมอนกน

เอาทง A และ B เอา A แตไมเอา B


2. การใหเหตผล

การใหเหตผลแบบนรนย (Deductive Reasoning) การใหเหตผลแบบนรนยเปนการน าความรพนฐานซงอาจเปนความเชอ ขอตกลง กฎ

หรอบทนยาม ซงเปนสงทรมากอน และยอมรบวาเปนความจรงเพอหาเหตผลน าไปสขอสรป เปนการอางเหตผลทมขอสรปตามเนอหาสาระทอยภายในขอบเขตของขออางทก าหนด

ตวอยาง เหต 1.สตวเลยงทกตวเปนสตวไมดราย 2. แมวทกตวเปนสตวเลยง ผล แมวทกตวเปนสตวไมดราย จากตวอยางจะเหนวาการยอมรบความรพนฐานหรอความจรงบางอยางกอน แลวหาสงขอสรปจากสงทยอมรบแลวนน จะเรยกวาผล การสรปผลจะถกตองกตอเมอเปนการสรปได อยางสมเหตสมผล ตวอยาง เหต 1. เรอทกล าลอยน าได 2. ถงน าลอยน าได ผล ถงน าเปนเรอ

การสรปผลขางตนไมสมเหตสมผล แมวาขออางหรอเหตทงสองจะเปน แตการทเราทราบวาเรอทกล าลอยน าได กไมไดหมายความวาสงอนๆทลอยน าไดจะเปนเรอเสมอไป ขอสรปขางตนจงเปนการสรปทไมสมเหตสมผล หลกเกณฑและวธการอางเหตผลแบบนรนย เรยกวา ตรรกศาสตรนรนย ซงสงทส าคญในการใหเหตผลแบบนรนย คอ ตรรกบท (Syllogism) ซงประกอบดวยขอความ 3 ขอความ โดยท 2 ขอความแรกเปนขอตง และอกขอความหนงเปนขอยต


ตรรกบท 1 ตรรกบท คอ การอางเหตผลทประกอบดวยพจน 3 พจน โดยมพจน 2 พจนทมความสมพนธกบพจนท 3 ในรปของภาคประธาน หรอภาคแสดงตอกนดวย เชน เหต 1.สตวเลยงลกดวยนมเปนสตวเลอดอน 2.สนขเลยงลกดวยนม ผล สนขเปนสตวเลอดอน การตรวจสอบความสมเหตสมผล

ในการใหเหตผลแบบนรนย จะเหนวา การยอมรบความรพนฐาน หรอความจรงบางอยางกอน แลวหาขอสรปจากสงทยอมรบ ซงจะเรยกวา ผล การสรปผลจะสรปไดถกตอง กตอเมอเปนการสรปไดอยาง สมเหตสมผล (Valid)

การตรวจสอบขอความวาสมเหตสมผลนน สามารถท าไดหลายวธ ในทน จะน าเสนออย 2 วธ คอ การใชแผนภาพเวนน – ออยเลอรในการตรวจสอบและการใชความสมพนธระหวางขอความตรวจสอบ

การใชแผนภาพของเวนน-ออยเลอร

สรป การใหเหตผลแบบนรนย ผลหรอขอสรปจะถกตองกตอเมอ ยอมรบเหต

เปนจรงทกขอ และการสรปนนสมเหตสมผล

ในการตรวจสอบจะตองตรวจสอบแผนภาพทกแผนภาพทเปนไปไดทกกรณวา แสดงผลตามทก าหนดไวหรอไม ถาเปนไปไดในทกกรณ แสดงวาการสรปผลนนสมเหตสมผล แตถามบางกรณทไมสอดคลองกบผลสรป แสดงวาการสรปผลนนไมสมเหตสมผล


ตวอยางของขอความและแผนภาพทแสดงความหมายของขอความทใชในการอางเหตผล

ขอความ แผนภาพ

1) สมาชกของ A ทกตวเปนสมาชกของ B

ตวอยาง สตวเลยงลกดวยนมทกตวเปนสตวเลอดอน

2) ไมมสมาชกของ A ตวใดเปนสมาชกของ B

ตวอยาง ไมมงตวใดทมขา

3) มสมาชกของ A บางตวเปนสมาชกของ B

ตวอยาง รถโดยสารบางคนเปนรถปรบอากาศ

4) สมาชกของ A บางตวไมเปนสมาชกของ B

ตวอยาง รถโดยสารบางคนไมไดเปนรถปรบอากาศ

5) มสมาชกของ A หนงตวทเปนสมาชกของ B

ตวอยาง สนขของฉนเปนสนขพนธไทยแท

6) มสมาชกของ A หนงตวไมเปนสมาชกของ B

ตวอยาง สนขของพมไมใชสนขพนธไทยแท


ตวอยางท 1 จงพจารณาขอความตอไปนวาสมเหตสมผลหรอไม เหต นกกฬาทกคนมสขภาพด ตกตาสขภาพด ผล ตกตาเปนนกกฬา วธท า ก าหนดให H แทนเซตของคนทมสขภาพด

S แทนเซตของนกกฬา

ตวอยางท 2 จงพจารณาขอความตอไปนวาสมเหตสมผลหรอไม

เหต เดกไทยทกคนเปนคนด เจาจกเปนคนไทย ผล เจาจกเปนคนด

https://sites.google.com/site/jirapornsringam/1-kar-chi-phaen-phaph-wen-n-xxy-lex-r-ni-kar-trwc-sxb-khwam-sm-hetu-sm-phl-1/1.png?attredirects=0


วธท า เขยนแผนภาพเวนน-ออยเลอรไดดงน

ดงนนขอสรปทกลาววาเจาจกเปนคนดนน สมเหตสมผล ขอจ ากดของการใหเหตผลแบบอปนย 1. ขอสรปทไดจากการใหเหตผลแบบอปนยทยอมรบวาเปนจรงนนอาจจะเกดขอขดแยงกบขอความทเปนเหตเรายงไมไดอางไวกอนเพราะขอความทเปนเหตยงมอยอกมากมจ านวนไมจ ากด 2. จากการสงเกตขอเทจจรงจากเหตหรอสมมตฐานในเหตการณหรอตวอยางทหามา แลวน ามาสรปเปนการวางนยทวไปอาจจะไมใชขอสรปทถกตองกไดเพราะอาจมตวอยางทไมเปนไปตามขอสรปทไดมาใหมแนนอนกวาท าใหขอสรปนนผดไป 3. ขอสรปทมาจากการใหเหตผลแบบอปนย เปนการวางนยทวไปซงไมไดใหความจรงกบเราไดรอยเปอรเซนตขอสรปนอาจจะถกตองหรอผดกไดและเปนเพยงขอสรปทมความจรงวาจะเปนสงทจะถกตองเทานน

https://sites.google.com/site/jirapornsringam/1-kar-chi-phaen-phaph-wen-n-xxy-lex-r-ni-kar-trwc-sxb-khwam-sm-hetu-sm-phl-1/2.png?attredirects=0


การใหเหตผลแบบอปนย (Inductive Reasoning) การใหเหตผลแบบอปนย เปนวธการสรปผลมาจากการคนหาความจรงจากการสงเกต หรอการทดลองหลายครงจากกรณยอยๆ แลวน ามาสรปเปนความรแบบทวไป โดยไมจ าเปนตองถกตองทกครง เนองจาก เปนการสรปผลเกดจากหลกฐานขอเทจจรงทมอย ดงนนขอสรปจะเชอถอไดมากนอยเพยงใดนนขนอยกบลกษณะของขอมล ตวอยาง จงหาวา ผลคณของจ านวนนบสองจ านวนทเปนจ านวนค จะเปนจ านวนคหรอจ านวนค โดยการใหเหตผลแบบอปนย วธท า ลองหาผลคณของจ านวนนบทเปนจ านวนคหลาย ๆ จ านวนดงน 1 x 3 = 3 3 x 5 = 15 5 x 7 = 35 7 x 9 = 63 1 x 5 = 5 3 x 7 = 21 5 x 9 = 45 7 x 11 = 77 1 x 7 = 7 3 x 9 = 27 5 x11 = 55 7 x 13 = 91 1 x 9 = 9 3 x11 = 33 5 x13 = 65 7 x 15 = 105 จากการหาผลคณดงกลาว โดยการอปนย จะพบวา ผลคณทไดเปนจ านวนค สรป ผลคณของจ านวนนบสองจ านวนทเปนจ านวนค จะเปนจ านวนค โดยการใหเหตผลแบบอปนย ตวอยาง ใหเลอกจ านวนนบมาหนงจ านวน และปฏบตตามขนตอนดงน 1. คณจ านวนนบทเลอกไวดวย 4 2. บวกผลลพธในขอ 1. ดวย 6 3. หารผลบวกในขอ 2.ดวย 2 4. ลบผลหารในขอ 3. ดวย 3


เชน ถาเลอก 5 1. คณจ านวนทเลอกไวดวย 4 จะได 5 x 4 = 20 2. บวกผลลพธในขอ 1. ดวย 6 จะได 20 + 6 = 26 3. หารผลบวกในขอ 2. ดวย 2 จะได = 13 4. ลบผลหารในขอ 3. ดวย 3 จะได 13 – 3 = 10 จะพบวาจากจ านวนทเลอก คอ 5 จะไดค าตอบสดทายเทากบ 10 ซงจะมคาเทากบสองเทาของจ านวนทเลอกไวครงแรกเสมอ

การตรวจสอบวาขอสรปสมเหตสมผลหรอไมนนสามารถตรวจสอบไดหลายวธ แลวแตลกษณะของขอความทก าหนดใหมา

ขอจ ากดของการใหเหตผลแบบนรนย

1. การใหเหตผลแบบนรนยเปนการใหเหตผลทมขนาดใหญซงก าหนด เปนการวางนยทวไปและมเหตรองเปน เหตการณเฉพาะเพอน าไปสขอสรป ดงนนเหตจะเปนขอความหรอสมมตฐานฐานใด ๆ ทอาจเปนจรงหรอไมจรงในชวตประจ าวนกได แตถาขอความนนไมจรงกจะท าใหเกดขอเสยหายแกขอสรป เนองจากเหตผลแบบนรนยจะสรปผลในขอบเขตของเหตทก าหนดไวเทานน

2. การใหเหตผลแบบนรนยไมสามารถสรปผลตามทคาดหวงไวไดตองสรปใหเปนไปตามเหตการณตาง ๆทก าหนดไวเทานน ดงเชน

เหต 1. นกทกชนดบนได

2. เพนกวน เปนนกชนดหนง

ผลสรป นกเพนกวนบนได

3. เมอเราใชวธการใหเหตผลแบบนรนยเพยงอยางเดยวจะท าใหวทยาการตาง ๆกาวหนาไดอยางชามากหรอไมกาวหนาเลยเพราะวาความรทวไปทจะมาเปนการวางนยทวไปจะใชเวลาทยาวนานมากเพราะเปนความรทถกตองจากผรในสมยกอนๆ ซงมอยไมมากนกการ

ใชความรทมอยแบบเดมมาใชโดยไมกอใหเกดความรใหมเพมเตมนนจะเปนผลใหไมเกดความกาวหนาทางวทยาการหรอกาวหนาไดอยางชามาก


ตวอยางการใหเหตผลแบบนรนย

ตวอยางท 1 เหต 1. สตวทกชนดตองตาย

2. มนษยเปนสตว

3. ด าเปนมนษย

ผลสรป ด าตองตาย

ตวอยางท 2 เหต 1. จ านวนทหารดวย 2 ไมลงตว เรยกวา จ านวนค

2. X เปนจ านวนทหารดวย 2 ลงตว

ผลสรป x ไมเปนจ านวนค

ตวอยางท 3 เหต 1. เดกทขาดสารไอโอดน ทกคนเปนโรคคอพอก

2. เดกทอยในทองถนทหางไกลจากทะเลทกคนขาดสารไอโอดน

3. หมบาน ก อยหางไกลจากทะเล

4. เดกชายตน อยในหมบาน ก

ผลสรป เดกชายตนเปนโรคคอพอก

ตวอยางท 4 เหต 1. รปสามเหลยมหนาจวเปนรปสามเหลยมทมมมทฐานมขนาดเทากน 2 มม

2. รปสามเหลยมมมฉากเปนรปสามเหลยมทมขนาดเทากน 2 มม

ผลสรป รปสามเหลยมมมฉากเปนรปสามเหลยมหนาจว


3. ระบบจ านวนจรง

จ านวนตรรกยะ คอ จ านวนทสามารถเขยนในรปทศนยมซ าได

และสามารถเขยนในรปเศษสวน ทเศษเปนจ านวนเตมได (สวนไมเทากบ 0)

เชน -1.5 หรอมนกคอ -1.50... จะเขยนในรปทศนยมซ าไดเปน 1.50˙

จ านวนตรรกยะทไมใชจ านวนเตม

เชน -1.5 , 3.3˙ , 5.623˙ , 22

7 , −

7

9

จ านวนเตม

จ านวนเตมบวก (จ านวนนบ) เชน 1,2,3,4,5,…

จ านวนเตมศนย เชน 0 , 0

5

จ านวนเตมลบ เชน -1 , -2 , -3 , -4

จ านวนอตรรกยะ คอ จ านวนทไมสามารถเขยนในรปของทศนยมซ าได และ ไมสามารถเขยนในรปเศษสวน ทเศษเปนจ านวน

เตม และสวนเปนจ านวนเตมได เชน √2 = 1.4142135...


การแกสมการ และอสมการ

การแกสมการ

การแกสมการพหนามรปทวไป เชน xxx 1242 24

ขนท 1

ยายขางใหขางนงของสมการมคาเปน 0 และ อกขาง ให ส.ป.ส. หนาตวแปรยกก าลงสงสดมคาเปนบวก

จะได 01242 24 xxx

ขนท 2

ถาพหนามมตวรวมดงออกมาเลย และถาเปนคาคงตวหารตลอดไดสมการเลย (แตตวแปรหามหารตลอดสมการ เพราะตวแปรมคาเปน0ได ซงตวสวนเปน0หาคาไมไดนะ)

ซงจะเหนวา xxx 12142 24 ม 2x เปนตวรวม ดงออกมาเลย จะได 0)67(2 3 xxx น า 2 หารตลอดสมการ แตหามน าx หารตลอดสมการจะได 0)67( 3 xxx

ขนท 3

แยกแฟกเตอร (หลงจากแยกแฟกเตอรและ ส.ป.ส. หนา ตวแปรตองมคาบวก) แยกแฟกเตอร

673 xx ท าโดยขนตอนดงน

3.1) หาคาทแทนใน x แลวท าให 673 xx มคาเปน 0 ควรลองคางายๆแทนดกอน เชน 1,-1,2,-2,... ลองเอา 1 แทนดกอน จะได 06716)1(713 ดงนนจะไดวา (x-1) เปนตวประกอบนงของ

673 xx เขยนไดวา )6)(1(67 23 xxxxx

3.2) หาตวประกอบทเหลอโดยการหารยาว


การแกอสมการ

ถาน าคาลบมาคณหรอหารทงสองขางของอสมการ เครองหมายอสมการตองกลบขางเชน

การยกก าลงสองทงสองขางของอสมการ

ให a < b

จะได a2 < b2 ถา a และ b เปนคาบวกทงค ( a เปน 0 กได )

จะได a2 > b2 ถา a และ b เปนคาลบทงค ( b เปน 0 กได )

***แตถา a เปนลบ และ b เปนบวก จะบอกไมไดวา a2 < b2 หรอ a2 > b2

การแกอสมการพหนามรปทวไป

ท าขนตอนเหมอนแกสมการพหนามรปทวไปจนแยกแฟกเตอรเสรจ (ส.ป.ส. หนาตวแปรตองเปนบวกทงหมด)

เชน ( x – a )( x – b ) < 0


น าค าทท าใหพหนามเปน 0 มาเขยนบนเสนจ านวนกคอ คา a , b


คาสมบรณและสมบตของคาสมบรณ

ให a เปนคาจ านวนจรงใดๆ

คาสมบรณของ a หรอ │a│คอระยะทางจากจด a ถง 0 ซงระยะทางจะมคาบวกเสมอ

เชน│3│หรอ │-3│ จะมคาเทากนคอ 3

สมบตของคาสมบรณ


การแกอสมการคาสมบรณ

ถอดเครองหมายคาสมบรณ ท าได 3 วธ

วธท1 ยกก าลงสองทงสองขาง

เปลยนจาก |x| ไปเปน x 2 แลวยกก าลงสองทงสองขางของอสมการเพอให หายไป

*** วธนตองใชกบอสมการทมนใจวา ซาย – ขวา เปนบวกทงค หรอ ซาย – ขวา เปนลบทงค

ยกก าลงสองทงสองขางแลวจะไดรวาเครองหมายอสมการตองเปนยงไง

*** วธนไมเหมาะถาในสมการตวแปรก าลงมากกวาหนง


4. ความสมพนธและฟงกชน คอนดบ (Order Pair)

เปนการจบคสงของโดยถอล าดบเปนส าคญ เชน คอนดบ a, b จะเขยนแทนดวย (a, b) เรยก a วาเปนสมาชกตวหนา และเรยก b วาเปนสมาชกตวหลง (การเทากบของคอนดบ) (a, b) = (c, d) กตอเมอ a = c และ b = d ผลคณคารทเชยน (Cartesian Product)

ผลคณคารทเซยนของเซต A และเซต B คอ เซตของคอนดบ (a, b) ทงหมด โดยท a เปนสมาชกของเซต A และ b เปนสมาชกของเซต B สญลกษณ

ผลคณคารทเซยนของเซต A และเซต B เขยนแทนดวย A x B หรอ เขยนในรปเซตแบบบอกเงอนไขจะไดวา

ความสมพนธ (Relation) r เปนความสมพนธจาก A ไป B กตอเมอ r เปนสบเซตของ A x B โดเมน (Domain) และ เรนจ (พสย) (Range)

1. โดเมน (Domain) ของความสมพนธ r คอ เซตทมสมาชกตวหนาของทกคอนดบในความสมพนธ r ใชสญลกษณแทนดวย Dr ดงนน Dr = {x | (x, y) ε r}

2. เรนจ (Range) ของความสมพนธ r คอ เซตทมสมาชกตวหลงของทกคอนดบในความสมพนธ r ใชสญลกษณแทนดวย R rดงนน Rr = {y | (x, y) ε r}

https://kruaun.files.wordpress.com/2011/06/cartesian.jpg



https://kruaun.files.wordpress.com/2011/06/20090719131351.jpg


หล ก เกณฑ ใ นการพ จา รณ าหาโด เมนและ เรน จ ในคว ามส มพ น ธ R

ลกษณะของความสมพนธ วธหาโดเมน วธหาเรนจ

เซตแบบแจกแจงสมาชก พจารณาสมาชกตวหนาของทกคอนดบในความสมพนธ r

พจารณาสมาชกตวหลงของทกคอนดบในความสมพนธ r

เซตแบบบอกเงอนไข

1. เปลยนเปนเซตแบบแจกแจงสมาชกแลวพจารณาสมาชกตวหนาของทกคอนดบในความสมพนธ r

2. พจารณารปแบบของเงอนไขแลวจด y ใหอยในรป x แลวหาคา x ทท าให y เปนจรงตามเงอนไข

3. เปลยนเปนเซตแบบแจกแจงสมาชกแลวพจารณาสมาชกตวหลงของทกคอนดบในความสมพนธ r

4. พจารณารปแบบของเงอนไขแลวจด x ใหอยในรป y แลวหาคา y ทท าให x เปนจรงตามเงอนไข

กราฟ พจารณาคาของ x ทงหมดบนแกน X ทใชในการเขยนกราฟ

พจารณาคาของ y ทงหมดบนแกน Y ทใชในการเขยนกราฟ


อนเวอรสของความสมพนธ r

คอ ความสมพนธซงเกดจากการสลบทของสมาชกตวหนาและสมาชกตวหลงในแตละคอนดบทเปนสมาชกของ r สญลกษณ

อนเวอรสของความสมพนธ r เขยนแทนดวย r-1 เขยน r-1 ในรปเซตแบบบอกเงอนไขไดดงน r-1 = {(x, y) | (y, x) ε r} ถา r เปนความสมพนธจาก A ไป B แลว r-1 จะเปนความสมพนธจาก B ไป A ฟงกชน (Function)

คอ ความสมพนธ ซงในสองคอนดบใด ๆ ของความสมพนธนน ถามสมาชกตวหนาเทากนแลว สมาชกตวหลงตองไมแตกตางกน หรอ ฟงกชน คอ ความสมพนธ ซงในสองคอนดบใด ๆ ของความสมพนธนน ถาสมาชกตวหนาเทากน สมาชกตวหลงตองเทากนดวย นนคอ ความสมพนธ f จะเปนฟงกชน กตอเมอ ถา (x, y1) ε f และ (x, y2) ε f แลว y1 = y2


วธตรวจสอบความเปนฟงกชน วธท 1 ถา r เปนความสมพนธซงประกอบดวยคอนดบ (x, y) และมเงอนไข r(x, y) แลว ใหน าเงอนไข r(x, y) มาเขยนใหมโดยเขยน y ในรปของ x และพจารณาดงน 1) ถาแตละคาของ x หาคา y ไดเพยงคาเดยว สรปวา r เปนฟงกชน 2) ถามบางคาของ x ทท าใหหาคา y ไดมากกวาหนงคา สรปวา r ไมเปนฟงกชน วธท 2 เมอก าหนดความสมพนธ r ซงประกอบดวยคอนดบ (x, y) และมเงอนไข r(x, y) สมมตให (x, y) ε r และ (x, z) ε r ดงนนจะไดเงอนไข r(x, y) และ r(x, z) พจารณา 1) ถาสามารถแสดงไดวา y = z จะไดวา r เปนฟงกชน 2) ถากรณทม y ε z จะไดวา r ไมเปนฟงกชน วธท 3 โดยใชกราฟ ก าหนดกราฟความสมพนธ r ใหลากเสนตรงทขนานกบแกน Y และใหตดกราฟของความสมพนธ r พจารณา 1) ถาเสนตรงแตละเสนตดกราฟของ r ไดเพยงจดเดยวเทานน จะไดวา r เปนฟงกชน 2) ถามเสนตรงบางเสนตดกราฟของ r มากกวาหนงจด จะไดวา r จะไมเปนฟงกชน ก าหนดให f เปนฟงกชน


ตะลยโจทยความสมพนธและฟงกชน


♦ พาราโบลา พาราโบลา คอเซตของจดบนพนระนาบซงมระยะหางจากจดคงท เทากบระยะทหางจากเสนคงท

สามารถสรปสมการพาราโบลาออกมาไดดงน

สวนใหญโจทยมกจะตองการใหวาดกราฟเปน รจดยอด รแกนสมมาตร เพอตรวจสอบความเปนฟงกชน หรอดวาเงอนไขทโจทยใหมาสอดคลองกบสมการพาราโบลาหรอไม


5. เลขยกก าลงและฟงกชนเอกซโพเนนเชยล

สมบตของเลขยกก าลง

1.

2. เมอ a ≠ 0

3.

4.

5. เมอ b ≠ 0

6. เมอ a ≠ 0

7. เมอ a ≠ 0

8.

ฐานเดยวกน หารกน ไดยกก าลงลบ

ยกก าลงอยดานนอกคณเขาในได



จ านวนยกก าลง ศนย ไดเทากบ 1

จ านวนยกก าลงลบ

ไดเทากบ 1 / จ านวนนน

ฐานเดยวกน ก าลงคณกนได น าก าลงมาบวกกน


ตวอยาง ท าใหอยในรปเลขยกก าลง ในรปผลส าเรจ

วธท า

จาก 5 x 5 = 25


ฐานเดยวกน ก าลงคณกน ได ก าลงบวก

ตวอยาง ท าใหอยในรปเลขยกก าลง ในรปผลส าเรจ

วธท า

มอง ใหเปนกลม

ยกก าลงอยดานนอกคณ ยกก าลงเขาใน


การแกสมการเอกซโพแนนเชยล

1. ท าฐานใหเทากน

หลกการคอเมอท าฐานทงสองขางไดเทากนแลว จะไดวาเลขชก าลงของทงสองขางตองเทากนดวย

ตวอยางการแกสมการเอกซโพเนนเชยลโดยการท าฐานใหเทากน

โจทย 2x=162x วธท า ท าฐานทงสองขางใหเทากน นนคอฐาน 2 ดงน

2x = 16

2x = 24

เมอฐานทงสองขางเทากน แสดงวาเลขชก าลงตองเทากนดวย จะได x = 4

ตอบ x = 4

2. ท าเลขชก าลงใหเทากน

เมอเลขชก าลงทงสองขางเทากน แตฐานกลบไมเทากน เชน

ax = bx

จะไดวาเปนจรงเพยงกรณเดยวคอ x=0 เพราะ a0 = 1 = b0

ตวอยางการแกสมการเอกซโพเนนเชยลโดยการท าเลขชก าลงใหเทากน

โจทย 3x−5 = 710−2x

วธท า จะเหนวา ฐานเปนจ านวนเฉพาะไมสามารถจดรปไดแลว จงจดเลขชก าลง

3x-5 = 7 10-2x

3x-5 = 7 -2(x-5)

3x-5 = (7 -2)x-5


3x-5 = (1

49) 𝑥−5

ดงนน x - 5 = 0

x = 5

ตอบ x = 5

3. จดใหอยในรปสมการพหนามก าลงสอง

เราจะท าใหอยในรปสมการพหนามก าลงสอง เพอแยกตวประกอบหรอใชสตร

𝑧 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

ตวอยางการแกสมการเอกซโพเนนเชยลโดยการท าใหอยในรปสมการพหนามก าลงสอง

โจทย 22x+4⋅2x-5 = 0

วธท า จะเหนวา 22x สามารถจดใหอยในรป (2x )2ได ดงนน

(2x)2+4⋅2x-5 = 0

(2x+5)(2x-1) = 0

2x = -5,1

แต 2x ตดลบไมได ดงนน 2x = 1

X = 0

ตอบ x = 0


4. ใชการ Take log

จะใชวธนเมอไมสามารถจดทงฐานและเลขชก าลงใหเทากนไดเลย แตวธนจ าเปนตองรคา loglog ดวย

ตวอยางการแกสมการเอกซโพเนนเชยลโดยการ take log

โจทย 3x = 7x+2

วธท า จะเหนวา เราไมสามารถจดฐานใหเทากนได และไมสามารถจดเลขชก าลงใหเทากนไดเชนกน

จงท าการ take log ทงสองขาง เพอให x ลงมาอยดานลาง

log3x=log7x+2

xlog3 = (x+2)log7

(log3)x = (log7)x +2log7

-2log7 = (log7-log3)x

ตอบ x= -4.5929

แทนคา log3 = 0.4771 และ log7 = 0.8451

-2(0.8451) =(0.8451−0.4771)x

-1.6902=0.3680x

-4.5929=x


การเทยบคาเลขยกก าลง

โจทย อสมการขอใดตอไปนเปนจรง

1. 210000 < 3600 < 10300

2. 3600 < 210000< 10300

3. 3600< 10300< 210000

4. 10300< 210000 < 3600

5. 10300< 3600< 210000

ทกตวจะยกก าลงทม 100 เปนสวนหนง เราจงสามารถน ามาจดรปไดดงน

210000 = (210)100

3600 = (36)100

10300 = (103)100

จงสามารถน ามาคดแค 210 103

210 = 1024

36 = 729

103 =1000

ดงนนจงสามารถเรยงล าดบไดดงน

3600< 10300< 210000

การสมมตคาตวแปร


การสมมตตวแปลขนมาเพอใหงายตอการค านวณ เมอไดคาของตวแปลแลวจงน ากลบมาหาคาทแทจรงทเราตองการ

ตวอยาง ผลบวกของสมการทงหมดของสมการ 3x + 32 (1/3) =

วธท ำ 3x + 32 (1/3) = 4(3)1/2

3x + (9/3X) = 4(3)1/2

แทน 3x = A A + 9/A =

A2 + 9 = A

A2 – A + 9 = 0

=

=

=

=

= =

แทนคน 3X = 31 X 31/X 3X = 31/2

3x = 33/2 X2 =

X 1 =

X1 + X2 = + = = 2

ตอบ 2

34

34

34

34

2

)9(4)34(34 2

2

)3648(34

2

3234

a

acbbx

2

42

2

)3648(34

2

36

2

32

2

32

1

2

3

2

1

2

4


6. ตรโกณมต

คามมตรโกณทควรจ า

ฟงกชนตรโกณ


ความยาวดานและมมของรปสามเหลยมมมฉากทควรจ า

5 3

4

1 2

√𝟑

√𝟐

1

1

13 5

12

25

7

24

17

8

15

40

5


โจทยตวอยาง

1.

12

35


2.


3.


4.


7. ล าดบและอนกรม

ประเภทของล าดบ

ล าดบ แบงเปน 2 ชนด

1.เลขคณต : KEY! มผลตางรวม (d)

จากล าดบ a1 , a2 , a3 , ... , an โดย d = a2 - a1 = a3 - a2 => “หลงลบหนาเทากบด”

หรอเขยนอกรปดงน a1 , a1+d , a1+d+d , .. , a1+ n(d)

จะเขยนสตรไดวา an = a1 + (n-1)d หรอ am = an + (m-n)d

*ขอสงเกต* ไมจ าเปนตองเรมจากพจนแรก

ตวอยาง ก าหนดใหล าดบเลขคณต a+12 , 3a-7 , 2a+4 จงหาพจนทวไปของล าดบน

KEY! มผลตางรวม d = d โดย “หลงลบหนาเทากบด”

(3a-7) – (a+12) = (2a+4) – (3a-7)

2a – 19 = 11 – a

a = 10

เขยนล าดบไดดงน 22 , 23 , 24 เมอ แทนคา a = 10 และ d = 1

หาพจนทวไปไดจาก สตร an = a1 + (n-1)d

an = 22 + (n-1)1

an = 21 + n

พจนทวไปคอ an = 21 + n


2.เรขาคณต : KEY! มผลหารรวม (r)

จากล าดบ a1 , a2 , a3 , ... , an โดย r = 𝐚𝟐

𝐚𝟏 =

𝐚𝟑

𝐚𝟐 => “หลงหารหนาเทากบอา”

หรอเขยนอกรปดงน a1 , a1r , a1r2 , .. , a1rn

จะเขยนสตรไดวา an = a1rn-1 หรอ am = anrm-n

*ขอสงเกต* ไมจ าเปนตองเรมจากพจนแรก

ตวอยาง ล าดบเรขาคณตหนงมผลบวกและผลคณของ 3 พจนแรกเปน 23 และ -64 ตามล าดบ ถา r เปน

อตราสวนรวมของล าดบนแลว r+ 𝟏

𝒓 มคาเทากบขอใดตอไปน

ก าหนดให a1 , a2 , a3 เปน 3 พจนแรกตามล าดบเรขาคณต สามารถเขยนอกรปแบบไดดงน 𝑎1

𝑟 ,

a1 , a1r ; ถา a1+ a2 + a3 = 23 และ a1a2a3 = -64 จะเขยนไดอกรปแบบไดดงน 𝑎1

𝑟 + a1 + a1r = 23 และ

( 𝑎1

𝑟)(a1)(a1r) = -64

จากสมการ ( 𝑎1

𝑟)(a1)(a1r) = -64

จะได a13 = -64

a1 = -4

จากสมการ 𝑎1

𝑟 + a1 + a1r = 23

a1{ 1

𝑟 + 1 + r } = 23

-4{ 1

𝑟 + 1 + r } = 23 ; a1 = -4

{ 1

𝑟 + 1 + r } =

23

−4

น า -1 ลบทง 2 ขางของสมการ 1

𝑟 + r =

−27

4


อนกรม

1.อนกรมเลขคณต : KEY! มผลตางรวม (d)

จากล าดบ a1 , a2 , a3 , ... , an โดย d = a2 – a1 = a3 – a2 => “หลงลบหนาเทากบด”

หรอเขยนอกรปเปนอนกรมดงน (a1) + (a1+d) + (a1+d+d) + .. + (a1+ n(d))

จงเขยนสตรไดดงน Sn = 𝒏𝟐

(a1+an) = 𝒏𝟐

(2a1+(n-1)d)

ตวอยาง จงหาผลบวก n พจนแรกของอนกรมเลขคณต 3+9+15+21+…

จากโจทยอนกรมทก าหนดใหม a1= 3 และ d = 6 จาก สตร Sn =

n

2(2a1+(n-1)d)

Sn = 𝑛

2[2×3+(n-1)×6]

= 𝑛

2[6+(n-1)×6]

= 𝑛

2(6n)

= 3n2

1.อนกรมเรขาคณต : KEY! มผลหารรวม (r)

จากล าดบ a1 , a2 , a3 , ... , an โดย r = 𝐚𝟐

𝐚𝟏 =

𝐚𝟑

𝐚𝟐 => “หลงหารหนาเทากบอา”

หรอเขยนอกรปเปนอนกรมดงน a1 + a1r + a1r2 + .. + a1rn

จงเขยนเปนสตรไดดงน Sn = 𝐚𝟏(𝟏−𝑟𝑛)

𝟏−𝐫


ตวอยาง อนกรมเรขาคณตมคา a3=80 และ S3=65 จงหาพจนแรก และอตราสวนรวม

จากสตรของล าดบเรขาคณต an=a1rn−1และ สตรของอนกรมเรขาคณต Sn = a1(1−r3)

1−r

80 = a 3= a1r2 ⋯(5)

65 = s3 = a1(1−r3)

1−r = a1(1+r+r2) ⋯(6)

น า (6) หารดวย (5) จะได

(1+r+r2)

r2 = a1(1+r+r2)

a1r2 = 65

80 =

13

16

นนคอเราจะไดสมการ

3r2+16r+16 = (3r+4)(r+4) = 0

ดงนน r = -4 หรอ −4

3

เมอน าคา rไปแทนคาใน (5) เมอ r = -4 จะได a1 = 5

เมอ r = −4

3 จะได a1= 45

https://www.opendurian.com/learn/geometric_progression/#(6)




8. ความนาจะเปน

พนฐานความนาจะเปน

พนฐานความนาจะเปน แบงออกเปน กฎการบวกและกฎการคณ โดยกฎทง 2 อยางนมความแตกตางกนคอ ถาโจทยมค าวา “และ” แสดงวาความนาจะเปนทงหมดเกดจากการน าจ านวนเหตการณทงหมดมาคณกน แตถาโจทยมค าวา “หรอ” แสดงวาความนาจะเปนทงหมดเกดจากการน าจ านวนเหตการณทงหมดมาบวกกน

ตวอยางท 1 ถาการทครอบครวจะมลกชายหรอลกสาวมโอกาสเทาๆกน แลวจ านวนสมาชกของเหตการณทครอบครวทมลก 4 คน มลกคนทสองเปนหญง และลกคนทสเปนชาย เทากบเทาใด วธท า ขนแรก วาดกลองขนมา 4 ใบ โดย กลองแตละใบแทนลก 1 คน

ขนทสอง เมอกลองแตละใบแทนลก 1 คน และลกแตละคนเปนไดทงหญงและชาย ดงนนใหใสเลข 2 แทนเพศของลกลงกลองทกใบ

ขนทสาม จากโจทยก าหนดใหลกคนทสองเปนหญง และลกคนทสเปนชาย ดงนน กลองใบท 2 ตองเปนหญง และ กลองใบท 4 ตองเปนชายเทานน ใหใสเลข 1 ลงกลองใบท 2 และ 4

ขนสดทาย จากโจทยจะเหนค าวา “และ” ดงนนตามกฎการคณตองน าจ านวนทงหมดมาคณ จะได 2 x 1 x 2 x 1 = 4

ดงนน จ านวนเหตการณทครอบครวทมลก 4 คน มลกคนทสองเปนหญงและลกคนทสเปนชาย คอ 4

2 2

2

2

2 1 2 1


ตวอยางท 2 มถนน 2 สายทเชอมระหวางบานของสมชายกบโรงเรยนของเขา ถาความนาจะเปนทสมชายเดนทางไปโรงเรยนโดยใชถนนสายท 1 มคาเทากบ 0.7 และความนาจะเปนทสมชายเดนทางกลบจากโรงเรยนโดยใชถนนสายท 2 มคาเทากบ 0.6 แลวความนาจะเปนทเขาจะเดนทางไปและกลบระหวางบานกบโรงเรยนโดยใชถนนสายเดยวกนเทากบเทาใด

วธท า ขนแรก หาความนาจะเปนทสมชายจะเดนทางไปกลบโรงเรยนโดยถนนแตละสาย

โจทยก าหนดให ความนาจะเปนทสมชาย เดนทางไปโรงเรยนโดยใชถนนสายท 1 มค าเทากบ 0.7 แสดงวา

ความนาจะเปนทสมชายเดนทางไปโรงเรยนโดยใชถนนสายท 2 มคาเทากบ 0.3 เนองจากมถนนใหสมชายเลอกแค 2 สาย และสายท 1 เอาไปแลว 0.7 สายท 2 กจะตองมความนาจะเปน 1 - 0.7 = 0.3

โจทยก าหนดให ความนาจะเปนทสมชายเดนทางกลบจากโรงเรยนโดยใชถนนสายท 2 มคาเทากบ 0.6 แสดงวา

ความนาจะเปนทสมชายเดนทางกลบจากโรงเรยนโดยใชถนนสายท 1 มคาเทากบ 0.4 เนองจากม

ถนนใหสมชายเลอกแค 2 สาย และสายท 2 เอาไปแลว 0.6 สายท 2 กจะตองมความนาจะเปน

1 - 0.4 = 0.6

ขนทสอง หาความนาจะเปนทสมชายเดนทางไปกลบโรงเรยนดวยถนนสายเดยวกน

การทสมชายเดนทางไปกลบโดยถนนสายเดยวกนแบงไดเปน 2 กรณ คอ เดนทางไปกลบโดยถนนสาย

ท 1 หรอ เดนทางไปกลบโดยถนนสายท 2 ถาเหนค าวา “หรอ” ใหน าจ านวนความนาจะเปนทงหมดมาบวก

- กรณสมชายเดนทางไปกลบโดยถนนสายท 1 ความนาจะเปนเทากบ 0.7 x 0.4 = 0.28

- กรณสมชายเดนทางไปกลบโดยถนนสายท 2 ความนาจะเปนเทากบ 0.3 x 0.6=0.18

ดงนน ความนาจะเปนทสมชายเดนทางไปกลบโรงเรยนดวยถนนสายเดยวกนคอ 0.28 + 0.18 = 0.46


ความนาจะเปนของเหตการณ

P(E) แทน ความนาจะเปนของเหตการณ

n(E) แทน จ านวนเหตการณทสนใจ

n(S) แทน จ านวนเหตการณทงหมด

ตวอยางท 3 ผลการส ารวจขนาดของเสอยดส าหรบนกเรยนชน ม.6 จ านวน 250 คน เปนดงน

ขนาด จ านวนนกเรยน (คน)

S 28

M 96

L 73

XL 39

XXL 14

รวม 250

ถาสมเลอกนกเรยนกลมนมา 1 คน ความนาจะเปนทนกเรยนคนนจะสวมเสอยดขนาด M หรอ XL เทากบเทาใด

วธท า จากสตร P(E) = n(E)

n(S)

เหตการณทเราสนใจ (E) คอ นกเรยนทสวมเสอยดขนาด M หรอ XL ซงมจ านวนทงหมด คอ

สตร P(E) = n(E)

n(S)


96 + 39 = 135 เหตการณ

เหตการณทงหมด คอ นกเรยนชนม. 6 ทกคน ซงมจ านวน 250 เหตการณ

ดงนน ความนาจะเปนทนกเรยนทสวมเสอยดขนาด M หรอ XL คอ

P(E) = 135

250

P(E) = 0.54

การเรยงสบเปลยน

การเรยงสบเปลยนนน ล าดบมความส าคญ ดงนน การหยบกอนหยบหลงหรอการหยบสลบกนจะถอเปนวธใหม

มของ n สง น ามาเรยงทละ r ชน ได Pn,r วธ

ตวอยางท 4 ในการแขงขนวงระยะทาง 100 เมตร มผแขงขน 8 คนจะมกวธทผแขงขนไดรบเหรยญทอง เหรยญเงน และเหรยญทองแดง ถาผแขงขนมโอกาสทจะชนะเทาๆกนทกคน

วธท า เนองจาก ผแขงขนทไดรางวลทง 3 รางวลจะไมสามารถสลบรางวลกนได

จ านวนวธทเกดขนคอ Pn,r = 8!

(8−3)!

Pn,r = 8!

5! = 8 × 7 × 6 = 336 วธ

ดงนน ม 336 วธทผแขงขนไดรบเหรยญทอง เหรยญเงน และเหรยญทองแดง

สตร Pn,r = n!

(n−r)!


การจดหม

การจดหมนน ล าดบไมมความส าคญ ดงนนการหยบกอนหยบหลงหรอการหยบสลบกนถอวาเหมอนกน

มของ n ชน เลอก r ชน ได Cn,r วธ

ตวอยางท 5 มหนงสอทไมแตกตางกน 5 เลม ถาใหเดกยมได 3 เลม เดกคนหนงจะมวธเลอกไดกวธ

วธท า จากสตร Cn,r = n!

(n−r)!r!

C5,2 = 5!

(5−3)!3! =

5 ×4

2 = 10 วธ

ดงนน เดกคนหนงจะมวธเลอกได 10 วธ

รปแบบการค านวณตางๆ

1. การจดเรยงของ

รปแบบ จ านวนวธ

ของ n ชน เรยงสบเปลยนเชงเสน n!

ของ n ชน เรยงสบเปลยนเปนวงกลม (n - 1)!

ของ n ชน เรยงสบเปลยนเปนวงกลม (พลกได) (n − 1)!

2

ของ n ชน ซ ากน p ชน n!

p!

ของ n ชน อยางหนงซ ากน p ชน อกอยางซ ากน q ชน n!

p! q!

สตร Cn,r = n!

(n−r)!r!


2. การแบงของ


แบงของ (m + n) สง ออกเปนกลมๆละ m และ n สง (m + n)!

m! n!

แบงของ (m + n) สง ออกเปนกลมๆละ m, n, p สง (m + n + p)!

m! n! p!

3. การเลอก “อยางนอย”


เลอกอยางนอยหนงสงจากของ n สง 2n - 1

4. แนวคด “ของตด”

รปแบบ หลกการ

ของตดกน มดของทตองการใหตดกนเปน 1 สง

(ถาของตางกนตองสลบทภายในมดดวย)

ของแยกกน (ไมใหตดกน) เรยงตวทไมมปญหากอน เพอใชเปนไมกนตวปญหาทไมยอมอยตดกน จากนนจงแทรกตวปญหาลงไปทหลง

การกระท าระหวางเหตการณ

1. ยเนยนของเหตกาณ

ถา E1 และ E2 เปนเหตการณสองเหตการณแลว E1 ∪ E2 คอ เหตการณทประกอบดวยสมาชกของเหตการณ E1 หรอเหตการณของ E2 หรอทงสองเหตการณ


2. อนเตอรเซกชนของเหตการณ

ถา E1 และ E2 เปนเหตการณสองเหตการณแลว E1 ∩ E2 คอ เหตการณทประกอบดวยสมาชกทอยในทงสองเหตการณ

3 ผลตางของเหตการณ

ถา E1 และ E2 เปนเหตการณสองเหตการณแลว E1 - E2 คอ เหตการณทประกอบดวยสมาชกทอยในเหตการณ E1 แตไมอยในเหตการณ E2

4. คอมพลเมนตของเหตการณ

ถา S เปนแซมเปลสเปซ และ E เปนเหตการณท เปนสบเซตของ S แลว E’ คอเหตการณทประกอบดวยสมาชกทอยในแซมเปลสเปซ (S) แตไมอยในเหตการณ (E)

ตวอยางท 6 ถา A และ B เปนเหตการณท P(A) = 0.4, P(B) = 0.5 และ P(A′∩ B′) = 0.2 แลว P(A∩B) เทากบขอใดตอไปน

วธท า ขนแรก หาคา P(A∩B)

เนองจาก A′∩B′ = (A∪B)′

จะไดวา 0.2 = P(A′∩B′)

0.2 = P((A∪B)′)

0.2 = 1 - P(A∪B)

P(A∪B) = 1 - 0.2 = 0.8

จากสตร ความนาจะเปนยเนยนสองเซต คอ P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

จากโจทย P(A) = 0.4

P(B) = 0.5

P(A∪B) =0 .8

ในสตรความนาจะเปนสองเซต จะได

0.8 = 0.4 + 0.5 - P(A∩B) ดงนน P(A∩B) = 0.1


9. สถต

สถตเชงบรรยาย

สถต เปนกระบวนการของการรวบรวมขอมล น าเสนอจอมล วเคราะหขอมล และการตความขอมล

ขอมล คอขอเทจจรงทไดจากการรวบรวมหรอการสงเกต อาจเปนตวเลขหรอไมเปนตวเลขกได

ขอมลแบงเปน 2 ประเภท (จ าแนกตามวธการเกบรวมรวม) 1. ขอมลปฐมภม หมายถง ขอมลทไดมาจากการลงพนทไปเกบขอมลโดยตรง ตวอยางเชน ขอมลนกเรยนทไดจากการตอบแบบสอบถามหรอการสมภาษณ 2. ขอมลทตยภม หมายถง ขอมลทไดมาจากทๆรวบรวมหรอบนทกไวแลว ตวอยางเชน รายงานตางๆของหนวยงานราชการ เชน ทะเบยนประวต

ขอมลแบงเปน2ประเภท (จ าแนกตามลกษณะของขอมล) 1.ขอมลเชงคณภาพ เปนขอมลทบงบอกโดยใชคณสมบต ลกษณะ สภาพ ฐานะ ตวอยางเชน รองเทา อาชพ เชอชาต ทอย จดเปนขอมลเชงคณภาพ 2.ขอมลเชงปรมาณ เปนขอมลทไดจากการ ชง ตวง วด สามารถน ามาเปรยบเทยบมากนอยได ตวอยางเชน น าหนก สวนสง เงนเดอน จดเปนขอมลเขงประมาณ

การเกบรวบรวมขอมล ท าได2วธ คอ 1.การส ามะโน เปนการรวบรวมขอมลอยางละเอยดจากทกหนวยของสงทเราอยากร เชน การส ามะโนประชากร 2.การส ารวจจากกลมตวอยาง เปนการรวบรวมขอมลจากกลมตวอยางเพอใชเปนตวแทนของขอมล

ในทางปฏบต การส ารวจปฐมภมท าได5วธคอ การสมภาษณ การสอบถามทางไปรษณยหรอโทรศพท การสงเกตและการทดลอง


คากลางของขอมล

คาเฉลยเลขคณต หรอ คาเฉลย คอ จ านวนทไดจากผลรวมของขอมลทงหมดหารดวยจ านวนชดของ

ขอมล สญลกษณทใชแทนคาเฉลยคอ x =ε×

N

ตวอยาง (คาเฉลยเลขคณต)

คาเฉลยของคะแนนสอบของนกเรยนชาย 6 คน และนกเรยนหญง 4 คน เปน 51 คะแนน

1) จงหาคะแนนรวมของคะแนนสอบของนกเรยนทง 10 คนน

วธท า คะแนนรวมของนกเรยน 10 คน =51x10=510 นนคอ นกเรยน 10 คนมคะแนนรวมกน 510 คะแนน

2) ถาคะแนนเฉลยของคะแนนสอบของนกเรยนชายเปน 49 จงหาคาเฉลยของคะแนนสอบของนกเรยนหญง

วธท า คะแนนเฉลยของคะแนนสอบของนกเรยนชายเปน 49 ดงนน คะแนนรวมของคะแนนสอบของนกเรยนชายคอ 49×6=294 นนคอ คะแนนรวมของคะแนนสอบของนกเรยนหญงคอ 510−294 = 216

มธยฐาน ก าหนดขอมลชดหนงมาให มธยฐานของขอมลชดนน คอขอมลทอยตรงกลางของขอมลทงหมด โดยตองเรยงขอมลกอน อาจจะเรยงจากมากไปหานอยหรอ เรยงจากนอยไปหามากกได

ตวอยาง (มธยฐาน)

1. จงหาคามธยฐานของขอมลตอไปน 4, 5, 7, 4, 8, 8, 9, 5, 3, 7, 9

วธท า กอนทจะหามธยฐานของขอมลไดตองน าขอมลมาเรยงกนกอน อาจจะเรยงจากนอยไปหามาก หรอ จากมากไปหานอยกได ในกรณนเรยงจากนอยไปหามาก

3, 4, 4, 5, 5, 7, 7, 8, 8, 9, 9

จะเหนวาขอมลทอยตรงกลางของขอมลทงหมด คอ 7

ดงนนมธยฐานคอ 7


2. จงหาคามธยฐานของ 8, 7, 9 ,17, 14, 10, 12

วธท า น าขอมลมาเรยงกนกอน จะได

7, 8, 9 ,10 ,12, 14, 17

จะเหนวาขอมลทอยตรงกลางมสองตวคอ 10 กบ 12 ดงนนในการหามธยฐานของขอมลชดนคอตองหาคาเฉลยของขอมลสองตวนคอ น ามาบวกกนแลวหารดวยสอง จะได

10+12

2 =11

ดงนนมธยฐานของขอมลชดนคอ 11

ฐานนยมของขอมล คอ ขอมลทมความถสงสด หรอพดงายๆกคอขอมลทซ ากนมากทสด

ตวอยาง (ฐานนยม)

คะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนชนมธยมศกษาปท 3 จ านวน 15 คน โรงเรยนแหงหนงซงมคะแนนเตม 10 คะแนนเปนดงน

8 , 7 , 6 , 5 , 4 , 9 , 7 ,4 , 2 , 6 , 5 , 6 , 8 , 9 , 6 จงหาฐานนยมของขอมลชดน

วธท า จากขอมลคะแนนทก าหนดใหจะเหนวาตวทมความถสงสดหรอซ ากนมากทสดคอ 6 ดงนนฐานนยมของขอมลชดน คอ 6

ขอควรระวง !!!

1.ถาขอมลชดหนง มขอมลแตละตวมความถเทากนหมดจะถอวาขอมลนนไมมฐานนยม

2.ถาขอมลชดหนง มขอมลทมความถสงสดเทากนมากกวาหนงขอมล ในทนจะไมพจารณาหาฐานนยม


แบบฝกหด

1.พนกงานในบรษทผลตสอสงพมพแหงหนงมรายไดตอเดอนเปนดงตารางตอไปน

รายไดตอเดอน(บาท) 120,000 50,000 15,000 12,000 10,000 8,500

จ านวนพนกงาน(คน) 1 3 10 12 16 8

1) จงหาคาเฉลยเลขคณต มธยฐาน และฐานนยม

ตอบ คาเฉลยเลยคณต คอ

x = (120000×1)+(50000×3)+(15000×10)+(12000×12)+(10000×16)+(8500×8)

1+3+10+12+16+8

= 15,840

มธยฐาน คอ 12,000

ฐานนยม คอ 10,000

2) ถามการเจรจาเพอตกลงเรองการปรบเงนเดอนของพนกงาน โดยมผเกยวของ 3 ฝาย คอ เจาของบรษท ตวแทนพนกงานและคนกลางผไกลเกลย นกเรยนคดวาแตละฝาย นาจะเลอกคากลางคาใดเปนขออางในการเจรจา จงอธบาย

ตอบ คาเฉลยเลขคณต เพราะเปนรายไดทมความแตกตางกนนอยทสด

3) รานขายเสอส าเรจรปของสตรแหงหนง จ าหนายเสอขนาดตามเบอรตางๆ ในหนงสปดาหไดดงตาราง

เบอรเสอ 9 10 11 12 13 14 15

จ านวนทจ าหนายได 7 5 6 10 8 3 3

จงตอบค าถามตอไปน

1) คนสวนใหญซอเสอเบอรอะไร

ตอบ เบอร 12

2) เฉลยแลวในแตละวนขายเสอไดกตว

ตอบ 7+5+6+10+8+3+3

7 = 6 ตว


การหาคาควอไทล เดไซล และเปอรเซนตไทล

ตวอยาง เดกกลมหนงจานวน 7 คน มอายดงน 14, 13, 19, 12, 17, 14 และ 16 ป จงหา Q1,Q3 ,D5

วธท า ด าเนนตามขนตอนดงน ขนท 1 เรยงลาดบขอมลจากนอยไปหามากไดดงน

12 13 14 14 16 17 19

ขนท 2 หาต าแหนงทตองการ

ขนท 3 ค านวณคาในต าแหนงทตองการ

คาทอยในต าแหนงท 2 ตรงกบ 13 พอด ดงนน Q1 =13 ป คาทอยในต าแหนงท 6 ตรงกบ 17 พอด ดงนน Q3 =17 ป คาทอยในต าแหนงท 4 ตรงกบ 14 พอด ดงนน D5 =14 ป

https://sites.google.com/site/sthitiit63/kar-wad-ta-haen-ng-khxng-khxmul-measures-of-position/kar-ha-kha-kh-wx-thil-de-sil-laea-pexr-sen-t-thil/capture-20140222-143741.png?attredirects=0



แบบฝกหด

1 .ในการสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยน 44 คน ไดคะแนนเรยงตามล าดบดงน 11, 12, 13, 18, 19, 24, 27, 28, 32, 32, 33, 33, 34, 34, 35, 35, 36, 36, 37, 38, 38, 39, 40, 41, 41, 42, 43, 44, 45, 45, 46, 47, 50, 54, 54, 55, 55, 56, 46, 56, 58, 58, 59, 60 จงหาเปอรเซนไทลท 75

P₇₅ = 75(44+1)

100 = 33.75

ต าแหนงท 33.75 อยระหวาง ต าแหนงท 33 กบ 34 ต าแหนงท 33 คอ 50 ต าแหนงท 34 คอ 54 ดงนนต าแหนงท 33.75 หมายความวาเลย 33 มา 0.75 โดยชวงความหางของตวเลขคอ 54-50 = 4 ดงนนจะได 0.75(4) = 3

ดงนนต าแหนง P₇₅ คอ 50+3 = 53

ฝากก าลงใจ : ทองสตรแลวจ าไมไดไมเปนไรคอยๆเรยนรเพราะเวลาอยากลมใครแตท าไมไดมนทรมานกวา

*** ขอใหเพอนๆโชคดในการสอบ***


o-net math m63

Education