Oι νόμοι του Νεύτωνα1ος Νόμος

2ος Νόμος

3ος Νόμος

Αν η ολική εξωτερική δύναμη (Fολ) που ασκείται πάνω σε ένα σώμα είναι μηδέν τότε το σώμα κινείται με σταθερή ταχύτητα

•Ομαλή ευθύγραμμη κίνηση u=σταθερή•Ακινησία u=0

Aν σε ένα σώμα ασκείται συνολική εξωτερική δύναμη Fx τότε το σώμα αποκτά επιτάχυνση κατα την ίδια διεύθυνση:

Fx=max

Ορισμός μάζας (αδρανείας):

Το φυσικό μέγεθος που εκφράζει την αντίστασης του σώματος στην αλλαγή της φυσικής του κατάστασης

Τρόπος μέτρησης μάζας:111

000

amFamF

⋅=⋅= 0

1

01 m

aam ⋅=

Av το σώμα Α ασκεί δύναμη στο σώμα Β τότε το σώμα Β ασκεί δύναμη στο σώμα Α ίσου μέτρου και αντίθετης φοράς

Ο 1ος νόμος του ΝεύτωναΈνα σώμα κινείται με σταθερή ταχύτητα (κατά μέτρο και διεύθυνση) εκτός και αν μια μη μηδενική ολική δύναμη ασκηθεί επάνω του

Καθημερινή εμπειρία: Ένα αυτοκίνητο που κινείται με σταθερή ταχύτητα και επάνω του δεν ασκείται δύναμη δεν θα συνεχίσει να κινείται αλλά αντίθετα θα σταματήσει. ΓΙΑΤΙ ? Απάντηση: στην πραγματικότητα

ασκείται επάνω του μια δύναμη (η τριβή) αντίθετης φοράς από την κίνησή του η οποία προκαλεί την επιβράδυνσή του.

Αν ένα σώμα παρεκλίνει από ευθεία κίνηση

η ταχύτητά του δεν ειναι σταθερή

Ασκείται επάνω του μία δύναμη F

Ο 1ος νόμος του Νεύτωνα

Μπορεί ένα σώμα να επιταχύνεται ενώ το μέτρο της ταχύτητάς του παραμένει σταθερό ?

ΝΑΙ αν αλλάζει η διεύθυνση της ταχύτητάς του ( Η επιτάχυνση είναι η μεταβολή του διανύσματος της ταχύτητας

Ο 1ος νόμος του Νεύτωνα

Μπορεί ένα σώμα να επιταχύνεται ενώ το μέτρο της ταχύτητάς του παραμένει σταθερό ?

ΝΑΙ αν αλλάζει η διεύθυνση της ταχύτητάς του ( Η επιτάχυνση είναι η μεταβολή του διανύσματος της ταχύτητας

Ο 2ος νόμος του Νεύτωνα

Όταν ένα σώμα επιταχύνεται σημαίνει ότι μια δύναμη ασκείται επάνω του. Αυτή η δύναμη είναι η συνισταμένη όλων των δυνάμεων που ασκούνται επάνω στο σώμα

amF ⋅=

2

2

dtrdm

dtudmF

⋅=⋅=

....)(

...)(==

trtu

Kανόνες για την εφαρμογή των νόμων του Νεύτωνα στο χώρο

•Επιλογή συστήματος συντεταγμένων•Φτιάχνουμε τα διαγράμματα ελεύθερου σώματος για κάθε σώμα •Για κάθε σώμα χωριστά βρίσκουμε τις δυνάμεις που ασκούνται επάνω του.( Βρίσκουμε και τις δυνάμεις που συνδέονται μέσω δράσης-αντίδρασης •Αναλύουμε τις δυνάμεις στους άξονες•Εφαρμόζουμε τον 2ο νόμο του Νεύτωνα σε κάθε άξονα για κάθε σώμα χωριστά

∑∑

=

=

yy

xx

maF

maF ....)(...)(

==

txtux

....)(...)(

=

=

tytuy

Ένα ηλεκτρόνιο κινείται σε ευθύγραμμη τροχιά και επιταχύνεται με σταθερή επιτάχυνση. Η ταχύτητά του μεταβάλλεται από 0 έως τελική ταχύτητα σε απόσταση 1cm : 6x106 m/sYπολογίστε τη δύναμη που ασκείται στο ηλεκτρόνιο. Δίδεται η μάζα του ηλεκτρονίου :9.1x10-31 Kg

amF ⋅=

tαυ =2

21 atx = x

a2

2υ= x

mF2

2υ⋅=

msmKg

xmF 2

22122312

102/106101.9

2 −

−

××××

=⋅=υ

Βρείτε τη δύναμη σε (gr cm )/h2

Yπολογίστε την αρχική προς τα πάνω επιτάχυνση πυραύλου μάζας 1.3x104 Kg αν η αρχική προς τα πάνω δύναμη του κινητήρα είναι: 2.6x105 Ν

maBFFo =−=λ

mmgFa −

=Kg

smKgNa 4

245

103.1/10103.1106.2

×⋅×−×

=

2/10 sma =

Βρείτε την επιτάχυνση σε Km/h2

Σε σώμα μάζας m επιδρουν δύο δυνάμεις F1 και F2 κάθετες μεταξύ τους. Βρείτε τη διανυσματική επιτάχυνση αν m=5Kg F1=3N F2=4N

mFmF

y

x

1

2

=

=

α

α

22

12

222 /1 smm

FFaaaa yx =

+=⇒+=

0

2

1 3775.0tan =⇒=== φαα

φFF

y

y

F1

F2

φ

Fολ

Αντικείμενο 8.5Kg περνά από την αρχή των αξόνων με ταχύτητα 30m/s παράλληλα προς τον άξονα x. Δέχεται σταθερή δύναμη 17Ν στη διεύθυνση του θετικού άξονα x. Περιγράψτε την προκύπτουσα κίνηση και υπολογίστε την ταχύτητα και τη θέση του μετά από 15s

Fυ0

Η δύναμη που δρα πάνω στο σώμα είναι σταθερήΆρα εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση

2/2 smmF==α

20

0

21 tatx

t

⋅+⋅=

⋅+=

υ

αυυ

Για t=15s

mxsm

675/60

==υ

Σώμα μάζας m δέχεται μια δύναμη βαρύτητας προς τα κάτω και μια οριζόντια σταθερή δύναμη F. Βρείτε την επιτάχυνσή της και την ταχύτητά της σαν συνάρτηση του χρόνου υποθέτοντας ότι ξεκινά από την ηρεμία.

F

B R

22 BFR +=

H συνισταμένη δύναμη είναι:

Η επιτάχυνση είναι:m

gmFmR 222 +==α

FΒ

=φtan

φ

Παράδειγμα: Έστω αντικείμενο στο οποίο ασκούνται οι δυνάμεις που φαίνονται στο σχήμα: Πόση είναι η δύναμη Α που ασκείται στο αντικείμενο προκειμένου να κινείται με σταθερή ταχύτητα? Πόση είναι η δύναμη Α αν το αντικείμενο επιταχύνεται με επιτάχυνση α=0.16ms-2 Δίδονται: Τ1=Τ2=Τ=1100Ν και η μάζα του αντικείμένου ίση με 3700Κg

U=σταθερό:

Τ

Τ

Α φ

Τ

Τ

Α φ χ

yKατά χ:

...25cos2025cos25cos

0

00

=⇒=

⇒=−+

ATAATT

Aν το σώμα επιταχύνεται κατά τον άξονα χ:

...25cos225cos25cos

0

00

=⇒−=

⇒=−+

AmaTAmATT α

α=0

έστω η μάζα του κύβου είναι m και η γωνία είναι φ. Βρείτε την τάση στο σκοινί και την κάθετη δύναμη που εξασκείται στον κύβο. Αν το σκοινί κοπει βρείτε την επιτάχυνση του κύβου

xy FN

mg

φφ

mgcosφ

mgsinφ 0cos0sin

=−Ν=−

φφ

mgmgF

...cos...sin==Ν==

φφ

mgmgF

Αν σπάσει το σκοινί η δύναμη F θα γίνει 0

...sin =⇒= ααφ mmg

Βρείτε την τάση στο σκοινί και την επιτάχυνση των δύο κύβων

m1

m2

m2g

T

amTgm ⋅=− 22

α

amT ⋅= 1

( )21

211 mm

gmmamT+

⋅=⋅=

amamgm ⋅=⋅− 212 ( )21

2

mmgma

+=

amT ⋅= 1

A

B

Σώμα Α

Σώμα Β:

Σώμα Α:

m1g

N

T

Σώμα Β

F=60NM1=20Kg M2=20Kg

M3=30Kg

T1 T2

Βρείτε τις Τ1 και Τ2 και την επιτάχυνση

M1=20Kg

am11 =Τ

T2

T1

T1 am212 =Τ−Τ

T2

F

amF 32 =Τ−

( )

( )321

321

mmmFa

ammmF

++=

⇒++=

...11 ==Τ am

...212 =+Τ=Τ am

Παράδειγμα: Να βρεθούν οι τάσεις των σκοινιών που συγκρατούν το σώμα του σχήματος . Γνωστά: η μάζα του σώματος

Τ2

Στον άξονα χ :

W=mg

θ=8ο

Τ1χ

y

TTTTTTT xx ==⇒⋅=⋅⇒= 210

20

121 8cos8cos

Στον άξονα y : 000

21 8sin28sin28sin20 mgWTWTWTT yy ==⇒=⇒=−+

Να βρεθούν οι δυνάμεις πάνω στα δύο σώματα του σχήματος

Α

Β

Α

Β

Στο σώμα Α

•Το βάρος του WΑ•H ελαστική δύναμη N που του ασκεί το σώμα ΒWΑ=mΑg

N

Στο σώμα B

•To βάρος του WB• H ελαστική δύναμη Ν’ που του ασκεί το σώμα Α •Η ελαστική δύναμη Ν’’ που του ασκεί το πάτωμα

WΒ=mΒgΝ’’

Ν’

Δυνάμεις δράσης-αντίδρασης:Ν-Ν’

Να βρεθούν οι δυνάμεις πάνω στα δύο σώματα του σχήματος

x

y

Wa=mg

Α

Β

•Το βάρος του Wa•H ελαστική δύναμη N που του ασκεί το σώμα Β

N

Way=Wa sinθ=N

Στο σώμα ΑWayWaxθ

Στο σώμα B

•Το βάρος του WΒ•H ελαστική δύναμη N’’ που του ασκεί το έδαφος•Η ελαστική δύναμη Ν’ που του ασκεί το σώμα•Είναι Ν’=Ν (3ος νόμος του Νεύτωνα)W=mg

Ν’’ Ν’

x

y

Aμαξίδιο μάζας 11Kg έχει κολημένο στη μια άκρη του ξύλο μάζας 1.8Κg. Να βρεθούν η δύναμη Τ1 με την οποία σπρώχνεται το ξύλο και η Τ2 με την οποία το ξύλο σπρώχνει το αμαξίδιο. Το αμαξίδιο αποκτά επιτάχυνση 2.3 m/s2

α= 2.3 m/s2

Τ1

Τ2

Τ1 Τ’2 Δυνάμεις στο ξύλο:•Τ1 δύναμη ώθησης•Τ’2 δύναμη που ασκεί το αμαξίδιο στο ξύλο

αξ ⋅=Τ′− mT 21

Δυνάμεις στο αμαξίδιο:•Τ2 δύναμη που ασκεί το ξύλο στο αμαξίδιο

Τ2

Ν=⋅=⇒⋅= 3.253.21122 TmT αα

22 Τ′−=T

( ) Ν=⋅+= 4.291 αξα mmT

1)

2)

1)+2) αα αξ ⋅+⋅=Τ+ mmT 21

3)3) ( ) Ν=⋅+= 4.291 αξβ mmT

Η δύναμη της τριβής

F

F=δύναμη που ασκούμε για να κινήσουμε ένα σώμα το οποίο αρχικά ηρεμείΤs= στατική τριβή (όσο το σώμα είναι ακίνητο)Τκ= τριβή ολίσθησης

Τ

Το σώμαπαραμένει ακίνητο Το σώμα

ολισθαίνει

Τsmax

F=Ts

Τκ

F=Τsmax

Τsmax =μς Ν

Συντελεστής στατικής τριβής

Ελαστική δύναμη

Τκ =μκ Ν

Συντελεστής τριβής ολίσθησης

μs >μκ

Η δύναμη της τριβής

Tριβές: Αν το σώμα δεν ολισθαίνει : στατική τριβή που δίδεται από τη σχέση : Τs<μs N

Αν το σώμα ολισθαίνει : τριβή ολίσθησης που δίδεται από τη σχέση : Τκ=μκ N

Παράδειγμα: χάρις στην τριβή περπατάμε.

F

•To πόδι ασκεί στο έδαφος δύναμη F

•To έδαφος «ανταποδίδει» μια δύναμη F’

•H F’ αναλύεται στην κάθετη αντίδραση Ν και στην στατική τριβή Τs

F’N

Ts

Το σώμα Β του σχήματος είναι ακίνητο πάνω στο Α , δηλαδή επιταχύνεται μαζί με το Α. Η δύναμη που το επιταχύνει είναι η τριβή

Α

Τ

F

B

Είναι σωστή η διεύθυνση της τριβής επάνω στο Β και αν ναι γιατί?

Για ποιά τιμή της δύναμης F το επάνω κιβώτιο θα αρχίσει να ολισθαίνει ?

Το Α : Πριν αρχίσει την ολίσθηση κινείται μαζί με το B(λόγω της στατικής τριβής μεταξύ τους). Συνεπώς μπορούμε να τα θεωρήσουμε ως ένα σώμα μάζας MA+MB

N= (MA+MB) )g

Α Τs

FB N

aMMTF BAk ⋅+=− )(

BA

BAk

MMgMMF

++−

=)(µα

Η επιτάχυνση του Α (μαζί με το Β) οφείλεται στη δύναμη της στατικής τριβής Ts : BA

BAks MM

gMMFMaMT++−

⋅=⋅= ΑΑ)(µ

Ν= ΚµkT

To σώμα Α θα αρχίσει να ολισθαίνει όταν Τs=Tsmax

..)('max

=⇒++−

⋅=

==⋅= ΑΑ

FMM

gMMFM

MgMNT

BA

BAkA

sss

µ

αµµ

N’

( )gMMT BAk += Κµ

Τ’sΤκ

Η επιτάχυνση είναι:

Όταν αρχίσει να κινείται:

Η θέση του σώματος:

Πριν αρχίσει να κινείται:

Εστω κιβώτιο πάνω σε τραίνο που κινείται όπως στο σχήμα. Ο συντελεστής τριβής μεταξύ κιβωτίου και πλατφόρμας είναι μ=0.5 Ποιά είναι η μέγιστη επιβράδυνση ώστε το κιβώτιο να μην ολισθαίνει . Σε πόση απόσταση θα σταματήσει το τραίνο;

U=48Km/h

+

αaaa ίί == ουκιβωτνουτρα

Τ-Τ=-mα Τ=mα

mg

N

N=mg

Ν⋅≤ µT

g⋅≤ µα

g⋅= µαmax

aux2

20

max =

Αντικείμενο βρίσκεται σε απόσταση 10cm από το κέντρο περιστρεφόμενου δίσκου.Ο δίσκος περιστρέφεται με συχνότητα 33 στροφές/min. Ποιός ο συντελεστής τριβής μεταξύ αντικειμένου και δίσκου

Β

Ν

Τ

Η Τριβή είναι κεντρομόλος δύναμη (Fk)

Ν=ΤΝ=Βµ

mgµµ =Β=Τ

gmamgF kk

καµµ =⇒==Τ=

sέ

sέέf ςστροφςστροφςστροφ 55.0

6033

min33 ===

..)2( 22 =⋅=⋅= RfRak πω ...=µ

Την χρονική στιγμή t=0 μια δύναμη μέτρου F=ct ( όπου c σταθερά αρχίζει να εφαρμόζεται υπό σταθερή γωνία φ ως προς το οριζόντιο επίπεδο πάνω σε σώμα μάζα m που ακινητεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο.Να υπολογιστούν: η ταχύτητα του σώματος την χρονική στιγμή που εγκαταλείπει την οριζόντια επιφάνεια και την απόσταση που διανύεει το σώμα μέχρι εκείνη την στιγμή.

Fy

Fxφ

F

2

0 0cos

2)(cos

cos

tmctutdt

mcdu

dtdumctmaF

u t

x

⋅=⇒⋅

=

⇒=⋅⇒=

∫ ∫ φφ

φ

Στον άξονα y:

00 =−+⇒= mgFNF yy

Όταν το σώμα εγκαταλείπει την επιφάνεια Ν=0

φφ

sinsin

cmgtmgtcmgFy =′⇒=′⇒=

φφφφ

sintan2sincos

2

2

22

22

cmg

cgm

mcu ==

Στo σώμα του σχήματος ασκείται δύναμη F η οποία σχηματίζει γωνία θ με την κατακόρυφο. Πόσο πρέπει να είναι το μέτρο της ώστε να κινηθεί το σώμα με σταθερή ταχύτητα? Δίδεται ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μ

θ

Ν

Β

υ=σταθερό α=0

Στον άξονα χ:

Στον άξονα y:

T θθ sin0sin FTF =⇒=Τ−

mgFNFN +=⇒=Β−− θθ cos0cos

Ν=Τ µ)cos(sin mgFF +=Ν= θµµθ

θµθµ

cossin −=

mgF

θ

F

Ποιά είναι η δύναμη F που πρέπει να εφαρμοστεί στο σώμα μάζας m2 ώστε το σώμα μάζας m1 να μην ολισθαίνει ?

F

Για το σώμα μάζας m1 :

m1g

θ

θ

Κατά χ:

Κατά y:

amN 1sin =θ

gmN 1cos =θ

N

θtanga =

Αφού το σώμα δεν ολισθαίνει ως προς το κάτω σώμα, έπεται ότι τα δύο σώματα μπορούν να θεωρηθούν ως ένα σώμα μάζας m1+m2

θtan)()( 2121 gmmammF +=+=

m1

m2

Ν

Β

Τ

Το σώμα επιταχύνεται με επιτάχυνση α=0.11m/s2

Yπολογίστε τον συντελεστή τριβής ολίσθησης μ.

φ

φ

Βcosφ Βsinφ

Bρείτε την επιτάχυνση των δύο μαζών και την τάση του νήματος. To νήμα είναι μη εκτατό και συνεπώς τα δύο σώματα έχουν την ίδια επιτάχυνση

θm1

m2

θ

Σώμα m1

Σώμα m2

0cossin

2

22

=−=Σ=Τ−=Σθ

θgmNF

amgmF

y

x

m1 g

T

amgmTFF

y

x

11

0=−=Σ

=Σ

m2 g

NT

θ

θ

m2 gsinθm2 gcosθ

amgmTFF

y

x

11

0=−=Σ

=Σ

0cossin

2

22

=−=Σ=Τ−=Σθ

θgmNF

amgmF

y

x

gmamT 11 +=

21

12 sinmm

gmgma+

−=

θ

gmmm

gmgmmT 121

121

sin+

+−

⋅=θ

m1 :

m2 :

Το τραπέζι είναι λείο. Oι μάζες m και Μ συνδέονται με αβαρές και μη εκτατό σκοινί. Ποιά είναι η συνθήκη για την οποία η μάζα m περιστρέφεται με τέτοιον τρόπο ώστε η μάζα Μ να είναι ακίνητη

m

M

T

To M πρέπει να ισορροπεί άρα:

Β

Τ=Β=Μg

Στο σώμα μάζας m η τάση του σκοινιού παίζει το ρόλο κεντρομόλου δύναμης. Αρα:

rmuT

2

=

mMg

ruMg

rmuT =⇒==

22

Ζύγιση σώματος μέσα σε ανελκυστήρα

Έστω ότι ο ανελκυστήρας ακινητεί

Δυνάμεις πάνω στο σώμα

Β

•Ν=δύναμη που ασκεί η ζυγαριά•Β= βάρος του σώματος

Ν

Δυνάμεις πάνω στη ζυγαριά:Η δύναμη F που ασκεί το σώμα στη ζυγαριά και που δίνει την ένδειξη της ζυγαριάς

F

Έστω ότι ο ανελκυστήρας κινείται με σταθερή επιτάχυνση προς τα επάνω

mgmaFmgmaBmaNmaBNma

+=⇒+=+=⇒=−⇒=Β+Ν

+

Έστω ότι ο ανελκυστήρας κινείται με σταθερή επιτάχυνση προς τα kάτω

mamgFmamgmaBNmaBNma

−=⇒−=−=⇒−=−⇒=Β+Ν

Ν=F

Δυνάμεις δράσης-αντίδρασης

Συμπληρωματικές ασκήσεις

amgmT 11 −=−

amgmT 22 =−

21

21 )(mm

gmma+−

=

+

O συντελεστής τριβης ολίσθησης είναι μ=0.2.Ποια είναι η επιτάχυνση του κύβου

Δίδεται: φ=60ο

2/5.7)cos(sincossin

smgmgmamg

=−=

⇒⋅=−

φµφα

φµφ

σ

σ

Ν⋅=Τ=Ν⇒=−

−=Τ⇒=Τ−Β

σµφφφφ

cos0cossinsin

mgBNmamgma

Θέλουμε να βρούμε τους συντελεστές στατικής τριβής και τριβής ολίσθησης ενός κιβωτίου και μιας σανίδας. Τοποθετούμε το κιβώτιο στη σανίδα και αρχίζουμε να την ανυψώνουμε σιγά σιγά.΄Οταν η γωνία κλίσης ως προς την οριζόντιο γίνει 30ο το κιβώτιο αρχίζει να ολισθαίνει και διανύει 4m μέσα σε 4 s. Ποίοι είναι οι συντελεστές τριβής

Όταν το σώμα δεν κινείται έχουμε στατική τριβή και:

Ν⋅≤Τ=Ν⇒=−

=Τ⇒=Τ−Β

σµφφ

φφcos0cos

sin0sinmgBN

mg

φµφ σ cossin mgmg ⋅≤ φµφ σ cossin ≤

σµφ ≤tan

Όταν η γωνία γίνει μέγιστη φ=30ο

58.0tan =⇒= σσ µµφ

Όταν το κιβώτιο ολισθαίνει κάνει κίνηση ομαλά επιταχυνόμενη με σταθερή επιτάχυνση προς τα κάτω

Ν==Ν⇒=−

−=Τ⇒=Τ−Β

0

cos0cossinsin

µφφφφ

TmgBN

mamgma

φµαφ cossin 0mgmmg =−

φαφµcos

tan0 g−=

Υπολογισμός επιτάχυνσης:

2222

2 /5.04

42221 sm

sm

txaatx =

⋅==⇒=

φαφµcos

tan0 g−=

52.030cos/8.9

/5.030tan 02

20

0 =−=sm

smµ

sµµ <0 Όπως προβλέπει η θεωρία

Κύβος 10Κg ηρεμεί πάνω σε τραπέζι. Ο συντελεστής στατικής τριβής μεταξύ κύβου και τραπεζιού είναι 0.5. Ποιό είναι το μέτρο της οριζόντιας δύναμης που επιτρέπει στον κύβο μόλις να κινηθεί ;

Ν≤=⇒=−=⇒=Τ−

σµTBNBN

FTF00

BF σµ≤

Για να κινηθεί ο κύβος πρέπει

NsmKgmgF 49/81.9105.0 2 =⋅⋅== σµ

Κύβος 10Κg ηρεμεί πάνω σε τραπέζι. Ο συντελεστής στατικής τριβής μεταξύ κύβου και τραπεζιού είναι 0.5. Ποιό είναι το μέτρο της δύναμης που επενεργώντας πάνω στον κύβο υπο γωνία 60ο κάτω από την οριζόντιο επιτρέπει στον κύβο μόλις να κινηθεί ;

Ν≤+=⇒=−−

=⇒=Τ−

σµφφ

φφ

TmgFNBFN

FTFsin0sin

cos0cos

NsmKgF 75487.05.05.0

/81.9105.0 2

=⋅−

⋅⋅=

Για να κινηθεί ο κύβος πρέπει

φµφµ

σ

σ

sincos ⋅−≤

mgF

φµφµ

σ

σ

sincos ⋅−=

mgF

Κύβος 10 Kg ηρεμεί σε οριζόντιο τραπέζι. Ο συντελεστής τριβής μεταξυ κύβου και τραπεζιού είναι 0.5. Ποιό είναι το μέτρο της οριζόντιας δύναμης που επιτρέπει στον κύβο να κινηθεί ?

Ν⋅≤=⇒=−=Τ⇒=−

σµTBNBN

FTF00

NmgF 49=⋅= σµΓια να κινηθεί ο κύβος πρέπει:

O κύβος Β έχει βάρος 710Ν. Ο συντελεστής τριβής μεταξύ του κύβου και του τραπεζιού είναι 0.25. Βρείτε το μέγιστο βάρος που μπορεί να έχει ο κύβος Α χωρίς να ανατραπεί η ισορροπία του συστήματος.

Σώμα Α

22

22

FFBF′=

=222 BFF =′=

Από την συνθήκη ισορροπίας του κόμβου των σκοινιών:

φφ

φφ

cos0cos

sin0sin

3113

3223

FFFF

FFFF

=′⇒=′−

=′⇒=′−

φφ tantan22

1BFF =

′=′

Απο τη συνθήκη ισορροπίας του κύβου B ισχύεi

Ν≤Β=Ν⇒=−

=Τ⇒=−

µTBN

FTF

11

11

00

11 BF µ≤

φφ tantan22

1BFF =

′=′

11 FF ′=

φtan2

1BF =

φµµφ

tantan 121

2 ⋅≤Β⇒Β≤Β B

Mέγιστο βάρος του Β2 ειναι: φµ tan12 ⋅=Β B

Δύο μάζες m1 και m2 συνδεονται με αβαρή ράβδο . Ημάζα m2 ρυμουλκει την μάζα m1. H γωνία κλίσης είναι θ=30ο . Ο συντελεστής τριβής για το σωμα m1 είναι η1=0.225 και για το σώμα m2 είναι h2=0.113. Υπολογίστε την τάση στη ράβδο που συνδέει τις δυο μάζες και την κοινή τους επιτάχυνση

Σώμα Α μαζας m1

111

1111

111111

cos0cossinsin

Ν==⇒=−

−Β+=Τ⇒=+−

ηφφ

φφ

TBNBN

amFamBTF

φφ

η

cossin 1111

111

gmnamFgmT

=−+

⇒Ν=

Σώμα Β μάζας m2

222

2211

222222

cos0cossinsin

Ν==⇒=−

−−Β=Τ⇒=−−

ηφφ

φφ

TBNBN

amFamTFB

φφ

η

cossin 2222

222

gmnamFgmT

=−−

⇒Ν=

A

B

φφ

η

cossin 2222

222

gmnamFgmT

=−−

⇒Ν=

φφ

η

cossin 1111

111

gmnamFgmT

=−+

⇒Ν=

α=...F=..