o teorema das curvaturas principais e suas aplicações
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Universidade Federal da Bahia - UFBA
Instituto de Matematica - IM
Programa de Pos-Graduacao em Matematica - PGMAT
Dissertacao de Mestrado
O Teorema das Curvaturas Principais e Aplicacoes
Teles Araujo Fernandes
Salvador-Bahia
Fevereiro de 2010
O Teorema das Curvaturas Principais e Aplicacoes
Teles Araujo Fernandes
Dissertacao de Mestrado apresentada ao
Colegiado da Pos-Graduacao em Matematica da
Universidade Federal da Bahia como requisito
parcial para obtencao do tıtulo de Mestre em
Matematica.
Orientador: Prof. Dr. Ezio de Araujo Costa.
Salvador-Bahia
Fevereiro de 2010
Fernandes, Teles Araujo.
O Teorema das Curvaturas Principais e Aplicacoes /
Teles Araujo Fernandes. – Salvador: UFBA, 2010.
35 f.
Orientador: Prof. Dr. Ezio de Araujo Costa.
Dissertacao (mestrado) – Universidade Federal da Bahia, Instituto
de Matematica, Programa de Pos-graduacao em Matematica, 2010.
Referencias bibliograficas.
1. Geometria diferencial. 2. Variedades (Matematica). 3. Variedades
riemannianas. I. Costa, Ezio de Araujo. II. Universidade Federal da
Bahia, Instituto de Matematica. III. Tıtulo.
CDU : 514.764.2
O Teorema das Curvaturas Principais e Aplicacoes
Teles Araujo Fernandes
Dissertacao de Mestrado apresentada ao
Colegiado da Pos-Graduacao em Matematica da
Universidade Federal da Bahia como requisito
parcial para obtencao do tıtulo de Mestre em
Matematica, aprovada em 05 de fevereiro de
2010.
Banca examinadora:
Prof. Dr. Ezio de Araujo Costa (Orientador)
UFBA
Prof. Dr. Jose Nelson Bastos Barbosa
UFBA
Prof. Dr. Vicente Francisco de Sousa Neto
UNICAP
A minha mae Madalena
Araujo e minha noiva Manu-
ela Silva.
Agradecimentos
Agradeco a todos que, de forma direta ou indireta, me deu apoio na elaboracao
deste trabalho. Em particular, ao meu orientador Ezio Costa que me transferiu um
pouco da sua sabedoria, ao professor Jose Nelson Bastos que me deu grande apoio no
que envolveu a geometria riemanniana geral, a minha noiva Manuela Souza e minha mae
Madalena Araujo. Agradeco ao meu presidente Luiz Inacio Lula da Silva pois sem o seu
incentivo a educacao superior nao poderia me demitir, da empresa onde trabalhei, para
estudar matematica.
Existe apenas um bem, o sa-
ber, e apenas um mal, a ig-
norancia.
Socrates.
Resumo
Neste trabalho demonstramos um teorema devido a Brian Smyth e Frederico
Xavier, a saber: O Teorema das Curvaturas Principais. Entre aplicacoes desse
teorema, provamos uma generalizacao de Efimov: Nao existe hipersuperfıcie f : M3 −→R4 completa e orientavel com Ric ≤ −c tal que c > 0. De forma original, tambem
provamos que, esse resultado e verdadeiro quando substituimos a curvatura de Ricci pelas
curvaturas de Gauss-Kronecker e escalar.
Alem disso, ainda como consequencia deste teorema provamos que, para n ≥ 4
nao existe hipersuperfıcie f : Mn −→ Rn+1 completa e orientavel com Ric ≤ −c tal que
c > 0 e com as curvaturas seccionais nao assumindo todos os valores reais.
Palavras-chave: Hipersuperfıcies do Rn+1; imersao Isometrica; curvatura de Ricci; cur-
vatura seccional; curvatura Gauss-Kronecker; curvatura media; variedade riemanniana
completa.
Abstract
We demonstrated a theorem due to Brian Smyth and Frederico Xavier, namely:
The Principal Curvature Theorem. Among applications of this theorem, we prove a
generalization of Efimov: There are no complete and orientable hypersurfaces f : M3 −→R4 with Ric ≤ −c such that c > 0. In original form, also proved that this result is true
when we substitute the curvature of Ricc for curvature and Gauss-Kronecker scalar.
Moreover, even as a consequence of this theorem we prove that, to n ≥ 4, there
are no complete and orientable hypersurfaces f : Mn −→ Rn+1 with Ric ≤ −c such that
c > 0 and the sectional curvatures not taking all real values.
Keywords: Hipersurface in Rn+1; isometric immersions; Ricci curvature; sectional curva-
ture; Gauss-Kronecker curvature; mean curvature; completeness Riemannian manifolds.
Sumario
Introducao 1
1 Preliminares 2
1.1 Fatos Basicos da Geometria Riemanniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Variedades Riemannianas Completas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Hipersuperfıcies de Rn+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Hipersuperfıcies Convexas de Rn+1 12
2.1 Propriedade da Envoltoria Convexa da Hipersuperfıcie de Rn+1 . . . . . . . 12
3 O Teorema das Curvaturas Principais 21
4 Aplicacoes 27
Referencias 34
Introducao
E fato conhecido e provado por Nash [8] que toda variedade Riemanniana Mn pode
ser imersa isometricamente em algum espaco euclidiano Rm. Entretanto, sem = n+1 pode
existir obstrucao a existencia de tais imersoes (hipersuperfıcies). Por exemplo, o classico
Teorema de Hilbert [6] afirma que o plano hiperbolico nao pode ser imerso isometricamente
no espaco euclidiano R3. Em 1968, Efimov [4] foi mais alem e mostrou que uma superfıcie
completa com curvatura gaussiana menor ou igual a uma constante negativa nao pode
ser imersa isometricamente em R3. Reilly [10] propos: Se uma n-variedade completa
tem curvatura de Ricci menor ou igual a uma constante negativa entao essa variedade
nao pode ser imersa isometricamente no Rn+1. Smyth e Xavier [11] mostraram que este
resultado e verdadeiro para n = 3 e para n ≥ 4 com a hipotese adicional das curvaturas
seccionais nao asumirem todos os valores reais.
A prova do resultado de Smyth e Xavier se baseia no Teorema das Curvaturas
Principais que e nosso principal resultado. Em seguida damos aplicacoes do referido teo-
rema. Em particular, provamos que o resultado de Smyth e Xavier e valido em dimensao
n = 3 e tambem quando substituimos a curvatura de Ricci pela curvatura escalar ou pela
curvatura de Gauss-Kronecker.
Assim, o objetivo deste trabalho e demonstrar, com detalhes, o resultado em
[11] e acrescentar que esses resultados tambem sao validos para as curvaturas de Guass-
Kronecker e escalar. Para atingir nosso objetivo, dedicamos o primeiro capıtulo as nocoes
basicas da geometria Riemanniana que estao relacionada com o proposto. No segundo
capıtulo, apresentamos os conceitos de hipersuperfıcies convexas de Rn+1 e da propriedade
da envoltoria convexa das variedades. No terceiro capıtulo, demonstramos o Teorema
das Curvaturas Principais e, para finalizar este trabalho, o capıtulo quatro apresenta as
aplicacoes desse teorema.
1
Capıtulo 1
Preliminares
O objetivo deste capıtulo e familiarizar o leitor com a linguagem basica e alguns
resultados fundamentais da Geometria Riemanniana. Comecamos com conceitos basicos:
variedades diferenciaveis, metrica Riemanniana, conexao Riemanniana e curvatura. Em
seguida e apresentada a segunda secao, onde definimos uma distancia em uma variedade,
as curvas geodesicas e a completude de variedades. Na terceira secao, abordamos o con-
ceito e as principais equacoes das hipersuperfıcies de Rn+1.
1.1 Fatos Basicos da Geometria Riemanniana
Uma variedade diferenciavel de classe C∞ e de dimensao n, denotada por Mn, e
um conjunto conexo M e uma famılia de aplicacoes biunıvocas xα : Uα ⊂ Rn −→ M de
abertos Uα de Rn em M tais que:
(i)⋃α
xα(Uα) = M.
(ii) Para todo par α, β, com xα(Uα)∩ xβ(Uβ) = W 6= ∅, os conjuntos x−1α (W ) e x−1
β (W )
sao abertos em Rn e as aplicacoes x−1β xα sao diferenciaveis.
(iii) A famılia (Uα, xα) e maxima relativamente as condicoes (i) e (ii).
De agora em diante, quando indicarmos uma variedade diferencavel por M, esta-
remos considerando que sua dimensao e n, salvo mencao em contrario.
Dada uma variedade diferenciavel M definimos uma metrica Riemanniana como
uma funcao que associa cada p ∈ M um produto interno 〈, 〉p : TpM × TpM −→ Rsatisfazendo a seguinte propriedade: Se U e um aberto em M e X, Y sao campos de
vetores diferenciaveis em U , entao a funcao 〈X, Y 〉 : U −→ R dada por
〈X, Y 〉(p) = 〈X|p , Y|p〉p2
3
e diferenciavel em U .
Uma variedade Riemanniana e uma variedade diferenciavel com uma metrica
Riemanniana.
Sejam χ(M) o conjunto dos campos de vetores de classe C∞ em M e C(M) o anel
das funcoes reais de classe C∞ definidas em M. Uma conexao afim ∇ em uma variedade
diferenciavel M e uma aplicacao
∇ : χ(M)× χ(M) −→ χ(M)
(X, Y ) 7−→ ∇XY
que satisfaz as propriedades:
(i) ∇fX+gYZ = f∇XZ + g∇yZ,
(ii) ∇X(Y + Z) = ∇XY +∇XZ,
(iii) ∇X(fY ) = f∇XY +X(f)Y,
onde X, Y, Z ∈ χ(M) e f, g ∈ C(M).
Definicao 1.1.1. Seja M uma variedade diferenciavel com uma conexao afim ∇ e uma
metrica Riemanniana 〈, 〉. A conexao e dita compatıvel com a metrica 〈, 〉 se
X〈Y, Z〉 = 〈∇XY, Z〉+ 〈Y,∇XZ〉, X, Y, Z ∈ χ(M).
Sejam X, Y campos diferenciaveis de vetores em uma variedade diferenciavel M.
E possıvel provar que existe um unico campo vetorial Z tal que, para todo f ∈ C(M),
Zf = (XY − Y X)f . O campo vetorial Z e chamado o colchete de X e Y e denotamos
[X, Y ] = XY − Y X.
Definicao 1.1.2. Uma conexao afim em uma variedade diferenciavel M e dita simetrica
quando
∇XY −∇YX = [X, Y ] para todo X, Y ∈ χ(M).
Um teorema de Levi-Civita mostra que dada uma variedade Riemanniana M,
existe uma unica conexao afim ∇ em M tal que ∇ e simetrica e compatıvel com a metrica
Riemanniana. Dizemos que essa conexao e a conexao Riemanniana de M.
A curvatura R de uma variedade Riemanniana M e uma correspondencia que
associa a cada par X, Y ∈ χ(M) uma aplicacao R(X, Y ) : χ(M) −→ χ(M) dada por
R(X, Y )Z = ∇Y∇XZ −∇X∇YZ +∇[X,Y ]Z, Z ∈ χ(M).
4
onde ∇ e conexao Riemanniana de M.
Intimamente relacionado com o operador curvatura esta a curvatura seccional
que definimos,
Definicao 1.1.3. (Curvatura seccional) Dado um ponto p ∈ Mn e um subespaco bi-
dimensional σ ⊂ TpMn o numero real Kp(u, v) = Kp(σ) =〈R(u, v)u, v〉|u ∧ v|2 onde u, v e uma
base qualquer de σ, e chamado curvatura seccional de σ em p.
Existem combinacoes importantes das curvatura seccionais, a saber:
Seja x = zn um vetor unitario em TpM, tomemos uma base ortonormal z1, ..., zn = xdo hiperplano de TpM ortogonal a x = zn.
A curvatura de Ricci, no ponto p, e na direcao x e
Ricp(x) =∑i 6=n
〈R(x, zi)x, zi〉.
A curvatura escalar, no ponto p e a soma das curvaturas de Ricci, i.e,
τ(p) =∑i
Ricp(zi) =∑ij
〈R(zi, zj)zi, zj〉, j = 1, ..., n.
1.2 Variedades Riemannianas Completas
Dados dois pontos p e q em M, dizemos que a distancia de p a q, denotada por
d(p, q), e o ınfimo dos comprimentos de todas as curvas diferenciaveis por partes ligando
p a q. Munido da metrica d, M e um espaco metrico completo e alem disso, a topologia
induzida por d em M coincide com a topologia inicial de M.
Dada uma curva parametrizada γ : I −→ M, dizemos que γ e uma geodesica seD
dt
(dγ
dy
)= 0 para todo t ∈ I onde,
D
dte a derivada covariante. Note que, se γ e uma
geodesica, entao
d
dt〈dγdt,dγ
dt〉 = 2〈D
dt
dγ
dt,dγ
dt〉 = 0.
Portanto, o comprimento do vetor tangentedγ
dte constante. O comprimento de arco s de
γ, a partir de uma origem fixa, digamos t = t0, e dado por
s(t) =
∫ t
t0
‖dγdt‖ dt = c(t− t0).
Se c = 1, dizemos que a geodesica γ esta normalizada.
Com o intuito de definir aplicacao exponencial e vizinhanca totalmente normal,
seguem duas proposicoes e suas demostracoes podem ser encontradas em [3].
5
Proposicao 1.2.1. Dado p ∈ M, existem uma vizinhanca V de p em M, um numero
real ε > 0 e uma aplicacao C∞, γ(−a, a) × U −→ M tal que t 7−→ γ(t, q, w) e a unica
geodesica de M que no instante t = 0 passa por q com velocidade w, para cada q ∈ V e
cada w ∈ TqM. Onde U = (q, w) ∈ TM; q ∈ V,w ∈ TqM, ‖w‖ < ε.
Seja p ∈ U ⊂ TM como acima. Entao a aplicacao exp : U −→ M dada por
exp(q, v) = γ
(‖v‖, q, v
‖v‖
)e chamada aplicacao exponencial em U . Dizemos que M e
geodesicamente completa se para todo p ∈M, a aplicacao exponencial expp, esta definida
para todo v ∈ TpM, i.e, se as geodesicas que partem de p estao definidas para todos os
valores de t ∈ R.
Proposicao 1.2.2. Para cada p ∈M existem uma vizinhanca W de p e um numero δ > 0,
tais que, para cada q ∈ W, expq e um difeomorfismo em Bδ(0) ⊂ TqM e expq(Bδ(0)) ⊃ W .
Dizemos que (W, δ) e uma vizinhanca totalmente normal de p.
Agora, definiremos variedade completa e curva divergente. Em seguida temos
um teorema, devido a Hopf e Rinow, que torna relevante o conceito de completeza. Na
sequencia, apresentamos uma caracterizacao de variedade completa.
Definicao 1.2.3. (Variedade Riemanniana completa) Diremos que M e uma variedade
riemanniana completa se M e geodesicamente completa.
Definicao 1.2.4. (Curva divergente) Dizemos que uma curva α : [0,+∞) −→ M e
divergente em M se para cada compacto K ⊂ M, ∃t0 ∈ [0,+∞) tal que α(t) 6∈ K, para
todo t > t0. O comprimento de uma curva divergente e dado por l(α) = lims→∞
∫ s
0
|α′(t)| dt.
Agora, segue um teorema devido a Hopf, sua prova pode ser encontrada em
[3] pag. 163. Este teorema possui um corolario seguinte que caracteriza as variedades
completas em funcao das curvas divergentes.
Teorema 1.2.5. Seja M uma variedade Riemmaniana e seja p ∈ M. As afirmacoes
seguintes sao equivalentes:
(i) expp esta definida em todo o TpM.
(ii) Os limitados e fechados de M sao compactos.
(iii) M e completa como espaco metrico.
(iv) M e geodesicamente completa.
(v) Existe uma sucessao de compactos Kn ⊂ M, Kn ⊂ intKn+1 e⋃n
Kn = M, tais que
se qn /∈ Kn entao d(p, qn) −−−→n→∞
∞.
6
Alem disso, cada uma das afirmacoes acima implica que
(vi) Para todo q ∈M existe uma geodesica γ ligando p a q com l(γ) = d(p, q).
Corolario 1.2.6. Uma variedade Riemanniana M e completa se, e somente se, o com-
primento de qualquer curva divergente e ilimitado.
Prova: Seja M uma variedade Riemanniana completa, pelo teorema 1.2.5 existe uma
sucessao de compactos Kn ⊂ M, Kn ⊂ intKn+1 e⋃n
Kn = M, tais que se qn /∈ Kn entao
d(p, qn) −−−→n→∞
∞, para todo p ∈ M. Seja α : [0,∞) −→ M uma curva divergente tal que
α(tn) = qn. Da definicao de distancia d em M seque que d(p, qn) ≤∫ s
0
|α′(t)| dt. Alem
disso, d(p, qn) −−−→n→∞
∞ logo
∫ s
0
|α′(t)| dt −−−→s→∞
∞. Portanto o comprmento de uma curva
divergente qualquer α e ilimitado.
Reciprocamente, se M e uma variedade Riemanniana nao completa entao existe
uma geodesica normalizada, γ, que nao esta definida para todo t ∈ R, i.e, γ nao se estende.
Vamos mostrar que γ se estende. Para isso, seja γ : [0, s0) −→ M com γ(0) = p.
Ja que l(γ) = s0, e suficiente demonstrar que γ sai de qualquer compacto.
Com efeito, pois caso contrario terıamos um compacto K tal que, para todo t0 e
algum t > t0, γ(t) ∈ K. Sendo assim, existiria uma sequencia snn∈N convergindo a s0
com sn < s0 e γ(sn) ∈ K. Portanto existe subsequencia γ(sk)k∈N′⊂N de γ(sn) tal que
γ(sk)→ q0 ∈ K.
Seja (W, δ) uma vizinhanca totalmente normal de q0. Da convergencia de snn∈N
podemos escolher um ındice n0 tal que, se n,m > n0 entao ‖sn−sm‖ < δ com γ(sn), γ(sm) ∈W . Da proposicao 1.2.1, existe uma unica geodesica η de comprimento menor que δ li-
gando s(tn) a s(tm). Portanto γ coincide com η onde γ esta definida. Como expγ(sn) e um
difeomorfismo em Bδ(0) e expγ(sn)(Bδ(0)) ⊃ W , η estende γ alem de q0. Isso mostra que
γ se estende o que e um absurdo pois estamos supondo que γ nao se estende. Portanto
M e completa.
1.3 Hipersuperfıcies de Rn+1
Iniciamos esta secao com alguns fatos gerais das imersoes isometricas. Em seguida
exibimos os principais conceitos das hipersuperfıcies de Rn+1.
Sejam Mn e Mmvariedades Riemannianas. Dizemos que f : Mn −→ Mm
e uma
imersao se a diferencial dfx : TxM −→ TxM e injetiva para todo x ∈ M. O numero
p = m − n e chamado codimensao de f . Uma imersao f : Mn −→ Mn+pentre duas
7
variedades Riemannianas com metricas 〈; 〉M e 〈; 〉M, respectivamente, e chamada uma
imersao isometrica se:
〈X;Y 〉M = 〈dfxX; dfxY 〉M
para todo x ∈M e todo X, Y ∈ TxM.
Seja f : Mn −→ Mn+puma imersao isometrica. Em cada x ∈ M existe uma
vizinhanca U ⊂ M tal que a restricao de f a U e um mergulho em f(U). Portanto
podemos identificar U com sua imagem por f , isto e, f e localmente uma inclusao.
Dessa forma, podemos considerar o espaco tangente de M em x como um su-
bespaco do espaco tangente a M em x, e escrever
TxM = TxM⊕ TxM⊥,
onde TxM⊥ e o complemento ortogonal de TxM em TxM. Com esta decomposicao obtemos
um fibrado de vetores TM⊥ =⋃x∈M TxM⊥, chamado fibrado normal a M. Dessa maneira,
os vetores
TM|f(M)= X ∈ TM : π(X) ∈ f(M), onde π : TM −→M e a projecao
e uma soma direta do fibrado tangente TM com TM⊥, isto e,
TM|f(M)= TM⊕W TM⊥.
Com respeito a estas decomposicoes temos as projecoes
()T : TM|f(M)−→ TM
()⊥ : TM|f(M)−→ TM⊥,
as quais sao chamadas tangente e normal respectivamente.
Seja Mn+puma variedade Riemanniana com a conexao de Levi-Civita ∇, e seja
f : Mn −→ Mn+puma imersao isometrica. Dados campos de vetores X, Y ∈ TM, temos
que
∇XY = (∇XY )T + (∇XY )⊥.
Com a unicidade da conexao de Levi-Civita temos que ∇Te a conexao de Levi-Civita de
M, e sera denotada por ∇.
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Portanto, obtemos a formula de Gauss:
∇XY = ∇XY + α(X, Y ). (1.1)
A qual define uma funcao α : TM× TM −→ TM⊥ chamada segunda forma fundamental
de f . Pode-se concluir, com as propriedades das coneccoes de Levi-Civita ∇ e ∇, que α
e simetrica e bilinear sobre o anel C∞(M) das funcoes diferenciaveis em M.
Em particular, para algum ponto x ∈M e campos de vetores X, Y ∈ TM, a funcao
αx : TxM× TxM −→ TxM⊥
(X, Y ) 7−→ αx(X, Y ) = α(X, Y )(x)
depende apenas dos valores de X e de Y em x.
Seja X campos de vetores em TM e ξ de TM⊥, denote por AξX a componente
tangencial de −∇ξX, i.e.,
AξX = −(∇Xξ)T .
Portanto para cada Y ∈ TM temos
0 = X〈ξ, Y 〉 = 〈∇Xξ, Y 〉+ 〈ξ,∇XY 〉,
Da formula de Gauss segue que
〈AξX, Y 〉 = 〈α(X, Y ), ξ〉.
Em particular, a funcao
A : TM× TM⊥ −→ TM(X, ξ) 7−→ A(X, ξ) = AξX
e bilinear sobre C∞(M). Portanto, a funcao Aξ : TM −→ TM e linear sobre C∞(M) e
simetrica, isto e, 〈AξX, Y 〉 = 〈X,AξY 〉 para todo X, Y ∈ TM. Por abuso de notacao
chamaremos a funcao Aξ de segunda forma fundamental na direcao normal ξ.
A componente normal de ∇Xξ, denotada por ∇⊥Xξ, define uma conexao com-
patıvel no conjunto normal TM⊥. Dizemos que ∇⊥ e a conexao normal de f , e obtemos
a formula de Weingarten
∇Xξ = −AξX +∇⊥Xξ. (1.2)
Sejam X, Y, Z ∈ TM, entao
∇X∇YZ = ∇X∇YZ +∇Xα(Y, Z)
= ∇X∇YZ + α(X,∇YZ)− Aα(Y,Z)X +∇⊥Xα(Y, Z),(1.3)
9
onde a primeira equacao e dada por 1.1 e a ultima equacao segue de 1.1 e 1.2.
De maneira similar,
∇Y∇XZ = ∇Y∇XZ + α(Y,∇XZ)− Aα(X,Z)Y +∇⊥Y α(X,Z). (1.4)
Seguindo de 1.1 temos
∇[X,Y ]Z = ∇[X,Y ]Z + α([X, Y ], Z). (1.5)
Subtraindo 1.4 e 1.5 de 1.3, e tomando componentes tangenciais, obtemos a aquacao de
Gauss
〈R(X, Y )Z,W 〉 = 〈R(X, Y )Z,W 〉+ 〈α(X,W ), α(Y, Z)〉 − 〈α(X,Z), α(Y,W )〉,
onde R e R sao os operadores curvaturas de M e M respectivamente. Em particular, se
K(X, Y ) = 〈R(X, Y )Y,X〉 e K(X, Y ) = 〈R(X, Y )Y,X〉 sao as curvaturas seccionais do
plano gerado pelos vetores ortogonais X, Y ∈ TxM, a equacao de Gauss e
K(X, Y ) = K(X, Y ) + 〈α(X,X), α(Y, Y )〉 − ‖α(X, Y )‖2. (1.6)
Dado uma imersao isometrica f : Mn −→ Mmdizemos que f e uma hipersu-
perfıcie se a codimensao de f e igual a um.
Seja p ∈ M e ξ ∈ (TpM)⊥, |ξ| = 1. Como Aξ : TpM −→ TpM e simetrica, existe
uma base ortonormal de autovetores e1, ..., en de TpM com autovalores reais λ1, ..., λn,
i.e, Aξ(ei) = λiei, 1 ≤ i ≥ n. Se escolhemos uma orientacao para M e M, entao o vetor ξ
fica unicamente determinado se exigirmos que, sendo e1, ..., en uma base na orientacao
de M, e1, ..., en, ξ seja uma base na orientacao de Mm. Neste caso, denominamos os ei
direcoes principais e os λi curvaturas principais de f . Dizemos que Gp = λ1(p) · · · λn(p)
e a curvatura de Gauss-Kronecker de f e que Hp =1
n(λ1(p) + ... + λn(p)) e a curvatura
media de f .
Agora, seja f : Mn −→ Mmuma imersao isometrica e x ∈ M. Podemos conside-
rar, localmente, um campo diferenciavel de vetores normal e unitario, i.e, um campo de
vetores diferenciavel ξ em TM⊥ definido num aberto U de x tal que 〈ξy, ξy〉 = 1 para todo
y ∈ U . Na verdade, existe apenas duas possibilidades de escolha para ξ. Dado X ∈ TxMe Y ∈ TM e facil ver da forrmula de Gauss que
∇XY = ∇XY + 〈AξX, Y 〉ξ. (1.7)
10
Por outro lado, ja que ξ e um campo de vetor normal unitario, temos 〈∇Xξ, ξ〉 = 0,
consequentemente ∇⊥Xξ = 0 para todo X ∈ TM. Portanto, da formula de Weingarten
temos
∇Xξ = −AξX. (1.8)
Quando Mm= Rn+1, Aξ tem uma interpretacao geometrica interessante. Para
ver isto, definimos a aplicacao normal de Gauss.
Seja uma hipersuperfıcie orientavel f : M −→ Rn+1, seja ξ um campo normal
global unitario de vetores em TM⊥. A aplicacao normal de Gauss e definida por
φ : M −→ Sn
x 7−→ ξx
Onde Sn ⊂ Rn+1 e a esfera e ξx ∈ Sn denota a traslacao paralela do vetor ξx ∈ TxM⊥
para a origem do Rn+1.
Proposicao 1.3.1. Seja f : Mn −→ Rn+1 uma hipersuperfıcie orientavel com aplicacao
de Gauss φ : M −→ Sn. Entao, para cada x ∈M temos
dφx = −Aξx .
Prova: Dado X ∈ TxM, seja γ : (−ε,+ε) −→ M uma curva diferenciavel tal que
γ(0) = x e γ′(0) = X. Entao
dφx(X) =d
dt(φ γ)(t)|t=0 = ∇Xξ = −AξxX.
onde a ultima igualdade e dada por 1.8. Portanto −Aξ e a derivada da aplicacao normal
de Gauss.
A curvatura seccional das hipersuperfıcies admite uma expressao mais simples do
que aquela apresentada em 1.1.3.
De fato, sejam f : Mn −→ Mn+1uma hipersuperfıcie, p ∈ M e ξ ∈ (TpM)⊥,
|ξ| = 1. Considere uma base ortonormal e1, ..., en de TpM que diagonaliza Aξ. Se
λ1, ..., λn sao os autovalores de Aξ entao, de 1.1 e de 1.7 obtemos,
〈α(ei, ei), α(ej, ej)〉 = λiλj
Portanto a equacao 1.6 reduz-se a
K(X, Y )−K(X, Y ) = λiλj.
11
Se Mm= Rn+1 entao K(X, Y ) = λiλj. Consequentemente, a curvatura de Ricci
e a curvatura escalar sao respectivamente,
Ricp(x) =∑i 6=n
λiλj
τ(p) =∑i
∑i 6=n
λiλj
Definicao 1.3.2. Dada uma funcao f : M −→ R diferenciavel, dizemos que p ∈M e um
ponto crıtico se dfp nao e sobrejetiva. A imagem de um ponto crıtico e um valor crıtico.
Se a imagem de um ponto p nao e um valor crıtico, dizemos que e um valor regular e
em particular, segue do teorema da funcao implıcita que a imagem inversa de um valor
regular e uma hipersuperfıcie de M.
Se f : M −→ R e uma funcao diferenciavel, e possıvel provar que o conjunto dos
valores crıticos de f tem medida nula em R. Esse resultado e devido a Sard e sua prova
pode ser encontrada em [7].
Capıtulo 2
Hipersuperfıcies Convexas de Rn+1
Aqui, apresentaremos sem demonstracoes, o teorema de H. Wu [12] e o teorema
de Sacksteder-van Heijenoort [12]. O primeiro garante que uma hipersuperfıcie convexa
e homeomorfa ao Rn e o grafico de uma funcao convexa nao negativa. O segundo mostra
basicamente que uma hipersuperfıcie completa de Rn+1, com curvatura seccional nao
negativa e nao identicamente nula, e convexa. Antes de exibir esses resultados, veremos
o conceito da envoltoria convexa e o teorema de Robert Osserman.
2.1 Propriedade da Envoltoria Convexa da Hipersu-
perfıcie de Rn+1
Nesta secao definiremos a propriedade da envoltoria convexa da hipersuperfıcie de
Rn+1 e demostraremos o teorema de Robert Osserman. Este teorema e uma caracterizacao
das variedades com tal propriedade e tem grande relevancia na demonstracao do teorema
das curvaturas principais.
Definicao 2.1.1. (Envoltoria convexa) Dado E ⊂ Rn, a envoltoria convexa de E, que
sera denotada por Env(E), e a interseccao de todos os subespacos convexos que contem
E.
Definicao 2.1.2. Dada uma hipersuperfıcie f : Mn −→ Rn+1, dizemos que f tem a
propriedade da envoltoria convexa se, para todo domınio D em M, com f(D) limitado em
Rn+1, tivermos f(D) ⊂ Env(∂f(D)).
Observacao 2.1.3. Se, na definicao acima, D e relativamente compacto entao os valores
de fronteira de f(D) conincidem com a imagem da fronteira, i.e, ∂f(D) = f(∂D).
A seguir, provamos o teorema de Osserman, este da uma estimativa para as
curvaturas principais em um determinado ponto. Para isto, apresentamos o lema que
segue.12
13
Lema 2.1.4. Seja f : M −→ Rn+1 uma hipersuperfıcie com segunda forma fundamental
A na direcao ξ. Denote os autovalores de A por λ1 ≥ ... ≥ λn. Para cada R > 0 seja
BR(cR) a bola de raio R e centro em c = f(p) +Rξ.
(i) Se Vp e uma vizinhanca de p em M e f(Vp) ⊂ BR(c) entao λn ≥1
R.
(ii) Se λn >1
Rentao existe vizinhanca de p em M tal que f(Vp) ⊂ BR(c).
Prova: Inicialmente vamos provar (i). Seja x : U ⊂ Rn −→M uma parametrizacao em
p, com x(p) = 0.
Em TpM, seja ∂
∂u1
(p), ...,∂
∂un(p) uma base ortonormal que diagonaliza Ap.
Defina a aplicacao
g : U ⊂ Rn −→ Ru 7−→ ||f x(u)− c||2
Aplicando a formula de Taylor a g, obtemos:
g(u) = g(0) + dg(0)u+1
2d2g(0)u2 + ||u||2ρ(u) (2.1)
Com limu→0
ρ(u) = 0. Note que,
dg(0) = 2〈 ∂∂ui
f x(u)|0 ; f x(u)〉
= 2〈 ∂∂ui
(p);−Rξ0〉 = 0
d2g(0) =∂
∂uj2〈 ∂
∂uif x(u)|0 ; f x(u)〉|0
= 2〈 ∂2
∂ui∂ujf x(u);−Rξ0〉|0 + 2〈 ∂
∂uif x(u);
∂
∂ujf x(u)〉|0
= −2Rλjδij + 2δij
= 2δij(1−Rλj)
Portanto, da equacao 2.1
14
g(u) = g(0) +1
2
n∑i,j=1
∂2g(0)
∂uiujuiuj + ||u||2ρ(u)
= R2 +n∑
i,j=1
δij(1−Rλj)uiuj + ||u||2ρ(u)
= R2 +n∑j=1
(1−Rλj)ujuj + ||u||2ρ(u)
= R2 +n∑j=1
1−Rλj + ρ(u)u2j (2.2)
Suponha que existe vizinhanca Vp de p em M tal que f(Vp) ⊂ BR(c). Entao para
todo u ∈ U segue de 2.2
0 ≥ g(u)−R2 =n∑j=1
1−Rλj + ρ(u)u2j (2.3)
Em particular para u = (0, ..., t) obtemos,
0 ≥ g(0, ..., t)−R2 = (1−Rλn + ρ(0, ..., t))t2
Como limu→0
ρ(u) = 0 temos que λn ≥1
R.
Para provar (ii) suponha que existe ε0 ≥ 0 tal que
λ1 ≥ ... ≥ λn =1
R+ε0
R
Donde temos
−ε0 + ρ(u) = 1−Rλn + ρ(u) ≥ ... ≥ 1−Rλ1 + ρ(u)
E da equacao 2.3
g(u)−R2 ≤n∑j=1
−ε0 + ρ(u)u2j
Ja que limu→0
ρ(u) = 0, dado ε = ε0 existe δ ≥ 0 tal que ||u|| ≤ δ temos ρ(u) ≤ ||ρ(u)|| < ε.
Portanto, para todo u tal que ||u|| ≤ δ temos
g(u)−R2 ≤n∑j=1
−ε0 + ρ(u)u2j ≤ 0
15
logo,
||f x(u)− c||2 −R2 ≤ 0
Isso mostra que existe vizinhanca Vp = x(U) tal que f(Vp) ⊂ BR(c) concluindo a prova
de (ii).
Teorema 2.1.5. (Robert Osserman) Seja f : M −→ Rn+1 uma hipersuperfıcie, f tem
a propriedade da envoltoria convexa se, e somente se, para todo ponto de M, nao existe
direcao normal ξ tal que a segunda forma fundamental de f , Aξ tem todos os autovalores
positivos.
Prova: Inicialmente, suponha que existe p ∈ M e um vetor normal unitario ξ0 em M,
no ponto p, tal que todas as curvaturas principais sao positivas, ou equivalentemente,
como no lema anterior, λn > 0. Escolha R > 0 tal que λn >1R
. Por 2.1.4 (ii), existe Vp
vizinhanca de p em M, tal que f(Vp) ⊂ BR(c). Sendo f uma imersao, podemos restringir
Vp (se necessario) a uma vizinhanca V′p tal que f : V ′
p −→ f(V ′p ) seja bijetora.
Note que, sendo V′p uma vizinhanca de p entao p /∈ ∂V
′p e como f|
V′p
e bijetora
obtemos que f(p) /∈ f(∂V′p ).
Da continuidade de f e da compacidade de ∂V′p vem que E = f(∂V ′p) e compacto
em BR − f(p).
Defina a funcao
h : ∂V′p −→ Rx 7−→ 〈f(x)− f(p); ξ0〉
Note que h e nao negativa pois,
h(x) = 〈f(x)− f(p); ξ0〉
= 〈f(x)− c+Rξ0; ξ0〉
= 〈f(x)− c; ξ0〉+R
= ||f(x)− c|| cosf(x)− c; ξ0+R
≥ −||f(x)− c||+R
e como f(p) /∈ f(∂V′p ) e f(V
′p ) ⊂ BR(c) obtemos que −||f(x)− c||+R > 0.
16
Alem disso, h(x) 6= 0 caso contrario existiria x ∈ ∂V ′p tal que 〈f(x)−f(p); ξ0〉 = 0.
Reescrevendo esta igualdede temos,
〈f(x)− c; ξ0〉 = 〈f(p)− c; ξ0〉 = −R
Portanto,
〈f(x)− c; ξ0〉 = ||f(x)− c||||ξ0||cosf(x)− c; ξ0 = −R.
Obtemos entao cosf(x) − c; ξ0 = −1 e ||f(x) − c|| = R e temos f(x) − c = ±Rξ0. Se
f(x)−c = −Rξ0 entao f(x)−c = f(p)−c e temos f(x) = f(p). Como f|V′p
e bijetora, x = p
o que e um absurdo pois p /∈ ∂V ′p . Se f(x)− c = Rξ0 entao f(x)− c = −(f(p)− c) o que
implica f(x)−f(p) = −2f(p)−c = −2Rξ0. Portanto 〈f(x)−f(p); ξ0〉 = 〈−2Rξ0; ξ0〉 =
−2R 6= 0 que e um absurdo pois estamos supondo que h(x) = 0. Isto conclui que h nao
se anula.
Da continuidade de h e da compacidade da ∂V′p vem que h possui um mınimo
positivo em E, digamos ω. Portanto f(∂V′p ) ⊂ S = x ∈ Rn+1 : 〈x− f(p); ξ0〉 ≥ ω > 0 e
temos claramente que f(p) /∈ S. Logo existe um subespaco convexo S que contem f(∂V′p )
mas nao contem f(V′p ). Segue que f(V
′p ) 6⊂ Env(f(∂V
′p )). Como V
′p e relativamente
compacto, da observacao 2.1.3 temos que f(V′p ) 6⊂ Env(∂f(V
′p )). Isto mostra que f nao
tem a propriedade da envoltoria convexa.
Reciprocamente, suponha que f nao tem a propriedade da envoltooria convexa.
Entao existe um domınio D ∈M, com f(D) limitado mas f(D) 6⊂ Env(∂f(D)). Portanto,
existe um subespaco convexo S = x ∈ Rn+1 : 〈x, v〉 ≤ a, ‖v‖ = 1 com ∂f(D) ⊂ S e
f(D) 6⊂ S. Logo existe p0 ∈ D tal que 〈f(p0), v〉 = b > a.
Afirmacao 2.1.6. Existem p ∈ D, ξ direcao normal em p e BR(cR) (com cR = f(p)+Rξ)
tal que f(D) ⊂ BR(cR).
Prova: Para a provar essa afirmacao, considere os lemas que seguem:
Lema 2.1.7. Seja Br(cr) o fecho da bola de raio r e centro cr, onde 〈cr; v〉 = a e f(D) ⊂Br(cr) . Para cada t > r, se Bt(ct) e o fecho da bola de raio t e centro ct = cr + v
√t2 − r2
entao ∂f(D) ⊂ Bt(ct).
Prova: Para todo valor de fronteira x de f(D),
‖x− ct‖2 = 〈x− cr + v√t2 − r2;x− cr + v
√t2 − r2〉
= ‖x− cr‖2 + 2√t2 − r2〈x− cr, v〉+ t2 − r2
< r2 + 2√t2 − r2〈x− cr, v〉+ t2 − r2
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Ja que f(D) ⊂ Br(cr), 〈x, v〉 ≤ a e 〈cr, v〉 = a, segue que
r2 + 2√t2 − r2〈x− cr, v〉+ t2 − r2 ≤ t2.
Portanto,
‖x− ct‖2 ≤ t2.
Lema 2.1.8. Se (2b− 2a)√t2 − r2 > 2r2 entao f(p) nao pertence a Bt(ct).
Prova:
‖f(p)− ct‖2 = 〈f(p)− cr + v√t2 − r2; f(p)− cr + v
√t2 − r2〉
= 〈f(p)− cr, f(p)− cr〉+ 2〈f(p)− cr, v√t2 − r2〉+ t2 − r2
> t2 − 2r2 + 2〈f(p)− cr, v√t2 − r2〉
= t2 − 2r2 + 2〈f(p)− cr, v〉√t2 − r2 − 2〈r, v〉
√t2 − r2
= t2 − 2r2 + (2b− 2a)√t2 − r2 > t2
Lema 2.1.9. Existe t = R tal que f(D) ⊂ BR(cR) e existe q = f(p) ∈ f(D) tal que
q ∈ ∂BR(cR).
Prova: Considere o conjunto
Θ = t ≥ r : f(D) ⊂ Bt(ct).
Para mostrar que, para algum valor de t => 0, f(D) ⊂ Bt(ct), e suficiente que Θ 6= ∅.Isso e dado diretamente da definicao de Br(cr), pois f(D) ⊂ Br(cr), consideremos entao
t = r = R. Agora mostremos que algum q = f(p) em f(D) esta na fronteira de BR(cR).
Pela afirmacao 2.1.8 Θ e limitado superiormente logo existe supΘ = t0. Seja
(tk)k∈N uma sequencia em Θ tal que tk −−−→k→∞
t0. Para todo k e todo x ∈ f(D) segue da
definicao de Θ que
‖x− ctk‖ ≤ tk
Da continuidade da norma temos ‖x − ct0‖ ≤ t0. Isto prova que f(D) ⊂ Bt0(ct0) logo
t0 ∈ Θ.
Agora, suponha que nao existe ponto de f(D) em ∂Bt0(ct0). Entao, pela compa-
cidade de f(D), existiria t′> t0 com f(D) ⊂ Bt′ (ct′ ) o que e uma contradicao ja que t0 e
supremo. Portanto existe y ∈ f(D) tal que y ∈ ∂Bt0(ct0).
18
Seja (xk)k∈N uma sequencia em D tal que f(xk) −−−→k→∞
y. E fato que, (xk)k∈N e
convergente pois se nao fosse y estaria na fronteira de f(D). Pela afirmacao 2.1.7, terıamos
y ∈ Bt0(ct0) que e uma contradicao pois y ∈ ∂Bt0(ct0). Portanto (xk)k∈N e convergente,
digamos a x ∈ D. Assim,
y = limk→∞
f(xk) = f(x) ∈ f(D)
Lema 2.1.10. Existe R > 0 tal que ξ =cR − f(p)
Re uma direcao unitaria e normal a f
em p.
Prova: Seja α : (−ε, ε) −→ f(D) uma curva diferenciavel tal que α(0) = f(p).
Como f(p) ∈ ∂BR(cR) (lema 2.1.9) entao ‖α(s) − cR‖2 assume o maximo em
s = 0 pois, α(s) ⊂ f(D) ⊂ f(D) ⊂ BR(cR) e R = ‖α(s)− cR‖ = ‖f(p)− cR‖. Logo,
d
dt(‖α(s)− cR‖2)|0 = 0
ou seja,
〈α′(0), α(0)− cR〉 = 0.
Seja agora ξ =α(0)− cR
Rentao 〈α′(0), ξ〉 = 0 e ‖ξ‖ =
‖α(0)− cR‖R
= 1. Isto
prova que ξ e um vetor unitario e normal a f em p.
Portanto, obtemos que existem p ∈ D, ξ direcao normal em p e BR(cR) (com
cR = f(p) +Rξ) tal que f(D) ⊂ BR(cR).
Agora e so aplicar o lema 2.1.4 (i) para concluir que os autovalores de Aξ sao
λ1 ≥ ... ≥ λn ≥1
R> 0.
Corolario 2.1.11. Seja f : M −→ Rn+1 uma hipersuperfıcie com segunda forma funda-
mental A na direcao ξ. Se f possui a propriedade da envoltoria convexa entao M nao e
compacta.
Prova: Pelo teorema anterior Aξ possui autovalores positivo e negativo em cada ponto
de M. Pela proposicao 1.3 em [2] obtemos o desejado.
Agora, abordaremos o conceito das hipersuperfıcies convexas e os teoremas de
Sacksteder-van Heijenoort e H. Wu. A demonstracao desses resultados podem ser vistas
em [12].
Definicao 2.1.12. (hipersuperfıcie convexa) Uma hipersuperfıcie f : Mn −→ Rn+1, e
dita convexa se f(M) = ∂C onde C ⊂ Rn+1 e um conjunto convexo fechado com interior
nao vazio.
19
Teorema 2.1.13. (Sacksteder-van Heijenoort) Seja f : Mn −→ Rn+1 uma hipersuperfıcie
completa e orientavel, A a segunda forma fundamental de f . Se a curvatura seccional de
M e nao negativa e nao identicamente nula, entao temos:
(i) f e um mergulho e f e uma hipersuperfıcie convexa.
(ii) Se r = maxposto de Ap, p ∈M (necessariamente 2 ≤ r ≤ n) entao Rn+1 pode ser
decomposto em soma direta ortogonal Rn+1 = Rr+1 ⊕ Rn−r tal que f(M) ∼= M1 ⊕Rn−r. Mr
1 e uma hipersuperfıcie convexa em Rr+1 com segunda forma fundamental
de posto r em algum ponto de M1.
Teorema 2.1.14. (H. Wu) Seja f : Mn −→ Rn+1 uma hipersuperfıcie e A a segunda
forma fundamental de f com respeito a ξ : Mn −→ Sn−1. Temos:
(i) Se o interior de ξ(M), relativo a Sn−1, e nao vazio e M nao e compacta entao M e
homeomorfa ao Rn.
(ii) Se f (com f(M) = ∂C) e convexa e M e homeomorfa ao Rn entao as coordenadas
podem ser escolhidas tal que H0 = x = (x1, ..., xn+1) ∈ Rn+1 : xn+1 = 0 e o hiper-
plano suporte de C na origem.
Alem disso,
(ii.1) Se Π : Rn+1 −→ H0 e a projecao ortogonal entao M e o grafico de uma funcao
convexa nao negativa h : intΠ(C) −→ R.
(ii.2) Para todo a na fronteira de Π(C) teremos que M ∩ Π−1(a) e um segmento de reta.
(ii.3) Se o interior de ξ(M), relativo a Sn−1, e nao vazio entao para cada c > 0, f(M)∩Hc
e difeomorfo a Sn, onde Hc = x = (x1, ..., xn+1) ∈ Rn+1 : xn+1 = c .
Corolario 2.1.15. Seja f : M −→ Rn+1 uma hipersuperfıcie convexa homeomorfa a Rn
satisfazendo (ii.1) e (ii.3) do teorema de Wu. Se Πn+1 : Rn+1 −→ R e a ultima projecao
de Rn+1 entao Πn+1 f(M) := (Πn+1)|f(M): f(M) −→ R e uma aplicacao propria.
Prova: Inicialmente, notemos que Π : Hc ∩ f(M) −→ Υ = Π(Hc ∩ f(M)) e um
difeorfismo. Para todo c > 0, Hc ∩ f(M) e difeomorfo a Sn logo Υ = Π(Hc ∩ f(M)) e Sn
sao difeomorfos.
Como Πn+1 f(M) e contınua, resta mostrar que (Πn+1 f)−1(K) e compacto
em f(M) para todo compacto K em R. Note que, se K e compacto em R entao K ⊂[−c, c] para algum c ∈ R. Como f(M) e grafico de uma funcao nao negativa entao
K ⊂ [0, c]. Portanto e suficiente mostrar que (Πn+1 f)−1([0, c]) e compacto em f(M).
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Como (Πn+1 f)−1([0, c]) e fechado, resta mostar que (Πn+1 f)−1([0, c]) e limitado em
f(M).
Suponha por absurdo que (Πn+1 f)−1([0, c]) e ilimitado. Como 0 ≤ xn+1 ≤ c
para todo (x1, ..., xn, xn+1) = x ∈ (Πn+1f)−1([0, c]) entao existe x ∈ (Πn+1f)−1([0, c]) tal
que Π(x) esta na componente ilimitada de H0, i.e, Π(x) ∈ H0\Υ. Como 0, Π(x) ∈ Π(C)
e Π(C) e convexo entao existe t0 ∈ (0, 1) tal que t0Π(x) = z ∈ Υ. Alem disso, f(M) e
grafico sobre intΠ(C), logo existe um unico (w1, ..., wn+1) = w0 ∈ f(M), com wn+1 = c
tal que w0 = (z, h(z)).
Como 0, x ∈ ∂C e C e conexo, entao w = t0x ∈ int C. Portanto, temos w ∈ int Ce (z, 0) ∈ Rn+1\int C. Logo o segmento que liga w a (z, 0) intersecta ∂C = f(M) em
algum ponto, digamos w. Note que w = (z, wn+1) com wn+1 < t0wn+1 < c. Ja que f(M)
e grafico de h entao w = (z, h(z)) = w0. Portanto, wn+1 = wn+1 = c o que e um absurdo
pois wn+1 < c. Logo (Πn+1 f)−1([0, c]) e limitado e Πn+1 f(M) e propria.
Capıtulo 3
O Teorema das Curvaturas
Principais
Dedicamos este capıtulo a demonstracao do Teorema das Curvaturas Principais.
Este teorema determina o comportamento das curvaturas principais das hipersuperfıcies
euclidianas completas. A tecnica usada por Brian Smyth e Frederico Xavier, na demons-
tracao desse teorema, foi criar uma perturbacao adequada na hipersuperfıcie dada (com
segunda forma fundamental A) obtendo uma hipersuperfıcie (com segunda forma funda-
mental A) com curvatura seccional nao negativa. Dai, foi usado o teorema de Sacksteder-
van Heijenoort garantindo que a hipersuperfıcie perturbada e uma hipersuperfıcie convexa.
Alem disso, o conjunto de autovalores de A coincide com o de A. Para concluir a demons-
tracao foi usado o teorema de Hung-Hsi Wu para hipersuperfıcie convexa. Interessantes
consequencias saem do teorema das curvaturas principais, essas consequencias sao tema
do proximo capıtulo.
Inicialmente provamos o lema que segue:
Lema 3.0.16. Sejam f : Mn −→ Rn+1 uma hipersuperfıcie completa e orientavel e A a
segunda forma fundamental de f com respeito ao compo normal unitario ξ : Mn −→ Sn−1.
Considere Λ ⊂ R o conjunto dos autovalores nao nulos de A e Λ± = Λ ∩ R±. Se Λ+,Λ−
sao ambos nao vazios e inf Λ+ 6= 0 ou supΛ+ 6= 0 entao, para cada ponto de M, A possui
autovalores positivo e negativo. Em particular f tem a propriedade da envoltoria convexa.
Prova: Primeiro mostremos que, em cada ponto de M, A possui um autovalor positivo.
Equivalentemente, se N = p ∈Mn : λi(p) > 0 para algum i ∈ (1, ..., n) entao Mn = N .
Com efeito, N 6= ∅ ja que Λ+ 6= ∅, i.e, existe p1 ∈ Mn e existe i ∈ (1, ...n) tal
que λi(p1) > 0. Dado que uma inclusao e obvia, provemos que Mn ⊂ N . Suponha que
M 6⊂ N , i.e, existe p2 ∈ Mn tal que, para todo i ∈ (1, ..., n) temos λi(p2) ≤ 0. Considere
uma curva C que liga p1 a p2.
21
22
Da conexidade de M e da continuidade de λi : Mn −→ R, obtemos que λi(C) e
um intervalo com extremos em λi(p2) ≤ 0 e λi(p1) > 0. Portanto existe sequencia (pk)k∈N
em C com λi(pk) > 0 tal que λi(pk) −−−→k→∞
0. Isto e uma contradicao pois estamos supondo
que inf Λ+ > 0. Portanto Mn = N e A possui um autovalor positivo em cada ponto de
M.
Para concluir a prova do lema, suponha por absurdo que existe um ponto p0 ∈Mn
tal que λi(p0) > 0 para todo i. Da hipotese Λ− 6= ∅ e com os mesmos argumentos de
conexidade de M e continuidade de λi, obtemos sequencia (pk)k∈N tal que λi(pk) −−−→k→∞
0
contradizendo que inf Λ+ 6= 0. Portanto para todo ponto p ∈ Mn existe i tal que
λi(p) < 0.
Concluimos entao que, para cada ponto de M, A possui autovalores positivo e
negativo. Pelo teorema 2.1.5, f tem a propriedade da envoltoria convexa.
A prova deste resultado segue de forma analoga se supormos que supΛ+ 6= 0.
Teorema 3.0.17. (Curvaturas Principais) Sejam f : Mn −→ Rn+1 uma hipersuperfıcie
e seja A a segunda forma fundamental de f com respeito a um campo normal unitario
global ξ : Mn −→ Sn−1 . Considere Λ ⊂ R o conjunto dos autovalores nao nulos de A e
Λ± = Λ ∩ R±. Se Λ+ e Λ− sao nao vazios entao inf Λ+ = sup λ− = 0.
Demonstracao:
Suponha por absurdo que infΛ+ = 2c > 0. Seja t0 = 1/c e defina
f = f + toξ : Mn −→ Rn+1
Afirmacao 3.0.18. Seja 〈, 〉 a metrica induzida por f . Entao a aplicacao f e uma
hipersuperfıcie com a metrica dada por 〈u; v〉 = 〈(I − t0A)2u; v〉.
Prova: Para todo ponto p ∈ M, a aplicacao dfp : TpM −→ Tf (p)M e injetiva. Caso
contrario existiria q ∈M e TqM 3 v 6= 0 tal que
0 = df q(v) = dfq(v) + t0dξq(v) = dfq(v)− t0dfq(Aqv) = dfq(v − t0λqv).
Onde a terceira igualdade e dada por 1.3.1. Da injetividade de dfq vem que v− t0λpv = 0
donde temos λ(p) = 1t0
= c e isto e um absurdo pois inf Λ+ = 2c. Portanto v = 0 e dfp e
injetiva.
Alem disso,
〈u; v〉 = 〈(I − t0A)2u; v〉
= 〈u; v〉 − 2t0〈Au; v〉+ t20〈A2u, v〉.
23
Por outro lado,
〈dfpu; dfp(v)〉 = 〈dfp(u)− t0dfp(Au); dfp(v)− t0dfp(Av)〉
= 〈dfp(u); dfp(v)〉 − 2t0〈λu, v〉f + t20〈λu;λv〉
= 〈dfp(u); dfp(v)〉 − 2t0〈Au, v〉+ t20〈Au;Av〉.
Usando que A e um opearador auto-adjunto, obtemos
〈dfpu; dfp(v)〉 = 〈u; v〉 − 2t0〈Au; v〉+ t20〈A2u, v〉.
Portanto 〈u; v〉 = 〈dfp(u); dfp(v)〉 e f e uma isometria.
Note que, se λ sao os autovalores do operador I − t0A entao λ e maior ou igual
a unidade em valor absoluto.
De fato, (I − t0A)v = λv ⇔ v − t0λv = λv ⇔ 1 − t0λ = λ. Se supormos que
|λ| < 1 entao −2 < −t0λ < 0 e teriamos 0 < λ < 2t0
= 2c o que e um absurdo pois
inf Λ+ = 2c. Portanto |λ| > 1.
Afirmacao 3.0.19. Munida da metrica 〈u; v〉, M e completa.
Prova: Seja α : [0,+∞) −→ M uma curva divergente. De acordo com 1.2.6, se l(α) e
o comprimento de α com respeito a metica 〈; 〉, basta mostrar que l(α) e ilimitado. Para
cada t ∈ [0,+∞), seja e1(t), ...en(t) uma base ortonormal de Tα(t)M que diagonaliza o
operador P = I − t0A e tem λ1, ..., λn como autovalores associados. Podemos escrever
α′(t) =
n∑i=1
αi(t)ei(t)
Assim, teremos
|α′(t)|2
= 〈α′(t);α′(t)〉
= 〈(I − t0A)α′(t); (I − t0A)α
′(t)〉
= 〈Pα′(t);Pα′(t)〉
= 〈n∑i=1
αi(t)Pei(t);n∑i=1
αj(t)Pej(t)〉
=n∑i=1
(αi(t))2(λi)
2
≥n∑i=1
(αi(t))2 (pois |λi| ≥ 1)
= |α′(t)|2
24
Portanto,
l(α) = lims→∞
∫ s
0
|α′(t)| dt ≥ l(α) = lims→∞
∫ s
0
|α′(t)| dt
Sendo M, com a metrica 〈; 〉, uma variedade completa segue que l(α) e ilimitado.
Afirmacao 3.0.20. A imersao f possui segunda forma fundamental A = (I − t0A)−1A
com respeito ao mesmo campo de vetores normal unitario ξ. Alem disso, se K e a cur-
vatura seccional de f(M) entao K > 0.
Prova: Para mostrar que o campo global, normal e unitario com respeito a A e ξ,
assumiremos que A = (I − t0A)−1A. Esta igualdade sera provada em seguida.
Se N e o campo global, normal e unitario com respeito a A entao,
dN = −df(A)
= −(df + t0dξ)A
= −df(A) + t0df(AA)
= −df(A− t0AA)
= −df((I − t0A)A)
= −df(A)
= dξ
portanto ξ = N.
Ademais, como a derivada covariante do Rn+1, com respeito ao campo de vetores
X e unica, vem que
−df(AX) = DXξ = −df(AX)
= −(df(AX)− t0df(AAX))
= −df(AX − t0AAX)
= −df((I − t0A)AX)
Sendo f uma imersao, (I − t0A)AX = AX e portanto AX = (I − t0A)−1AX.
Provemos que K > 0. Se λ e um autovalor de A entao podemos escrever
λ =λ
1− t0λ=
λc
c− λ.
Se λ ≤ 0 entao λc ≤ 0 e c − λ > 0 logo λ ≤ 0. Caso λ ≥ 0 teremos λc ≥ 0 e como
25
inf Λ+ = 2c segue que c−λ < 0 logo λ ≤ 0. Portanto a curvatura seccional K = λiλj ≥ 0.
Do lema 3.0.16, A possui posto r ≥ 2 e como A tem o mesmo posto de A concluı-se que
K nao e identicamente nula.
Podemos aplicar o teorema 2.1.13 a f . Assim, f e uma hipersuperfıcie convexa
em Rn+1 e podemos decompor M e f (veja [5] pag. 1) como segue:
M = Mr1 × Rn−r e f = f 1 × f 2
Tal que,
f 1 : Mr1 −→ Rr+1 e f 2 : Rn−r −→ Rn−r
Onde f 2 e a aplicacao identidade e f 1 e uma hipersuperfıcie convexa em Rr+1. A segunda
forma fundamental A1 com respeito a f 2 tem posto r em algum ponto de Mr1. Portanto
podemos escrever A = A1 × A0 em que A0 e a segunda forma fundamental com respeito
a f 2. Segue que A0 = 0 e como o posto de A e igual ao posto de A, podemos supor que
r = n.
Afirmacao 3.0.21. A imagem da aplicacao de Gauss ξ : Mn −→ Sn com relacao a
imersao f , tem interior nao vazio.
Prova: Do paragrafo anterior, existe p ∈ M tal que Ap possui posto n, i.e, λi(p) 6= 0
para todo i = 1, ..., n. Da continuidade de λi, existe vizinhanca de p, Vi ⊂ M, tal que
λi(p) 6= 0 ∀q ∈ Vi.
Se U =n⋂i=1
Vi entao a aplicacao de Gauss ξ : U −→ Sn e um difeomorfismo sobre
sua imagem.
De fato, dξp = dfp(−Ap) logo, se v ∈ TpM e dξp(v) = dfp(−Ap(v)) = 0 entao,
da injetividade de dfp temos que −Ap(v) = 0. Como o posto de A|U e igual a n, obtemos
que v = 0. Portanto dξp e injetiva e do teorema da funcao inversa ξ|U e um difeomorfismo
sobre sua imagem. Ja que um difeomorfismo e uma aplicacao aberta, ξ(M) tem interior
nao vazio.
Do corolario 2.1.11 e do teorema 2.1.14, M e homeomorfa ao Rn. Podemos entao
aplicar o corolario 2.1.15 a hipersuperfıcie f e concluir que Πn+1 f(M) e propria.
Afirmacao 3.0.22. Πn+1 f := (Πn+1)|f(|M): f(M) −→ R e propria.
Prova: Como Πn+1 f e contınua, e suficiente mostrar que (Πn+1 f)−1(K) e compacto
em f(M), para qualquer compacto K ∈ R. Ja que (Πn+1 f)−1(K) esta contido em Rn+1,
basta mostrar que (Πn+1 f)−1(K) e sequencialmente compacto.
26
Seja (xn)n∈N sequencia em (Πn+1 f)−1(K). Sabemos que, para ξ = (ξ1, ...ξn+1)
Πn+1 f(xn) = Πn+1 f(xn) + t0ξn+1(xn).
Como Πn+1 f(xn) ∈ K e ‖ξn+1‖ ≤ 1 segue que Πn+1 f(xn) pertence a um compacto
K′. Sendo assim, existe subsequencia (xnk
) de (xn)n∈N tal que Πn+1 f(xnk) converge. Se
Πn+1 f e uma aplicacao propria entao (xnk) tambem e convergente, digamos a x.
Ademais, da continuidade de Πn+1 f obtemos que Πn+1 f(xnk) converge a
Πn+1 f(x). Como Πn+1 f(xnk) ∈ K temos Πn+1 f(x) ∈ K logo x ∈ (Πn+1 f)−1(K)
provando que (Πn+1 f)−1(K) e sequencialmente compacto.
Decorre do teorema de Sard [7] e do teorema da funcao implıcita que, para quase
todo valor regular a > 0 de Πn+1 f : M −→ R, temos que (Πn+1 f)−1(a) e uma
hipersuperfıcie de M. Seja entao a > 0 um valor regular de Πn+1 f e seja M1 =
(Πn+1 f)−1(a). Ja que Πn+1 f e propria, entao M1 e uma hipersuperfıcie compacta de
Mn que podemos assumir que e conexa (caso contrario, consideramos uma componente
conexa de M1).
Considere agora o homeomorfismo h : Mn −→ Rn e note que h(M1) e uma
hipersuperfıcie (topologica) compacta de Rn. Uma generalizacao do teorema de Jordan
nos permite afirmar que h(M1) decompoe o Rn em dois abertos L1 e Rn \ L1, onde L1 e
relativamente compacto e Rn \ L1 e ilimitado.
Seja entao Ω = h−1(L1). Observe que Ω e um aberto relativamente compacto em
Mn e que,
h(M1) = ∂L1 = ∂h(Ω) = h(∂Ω).
Portanto,
∂Ω = M1 = (Πn+1 f)−1(a) = f−1(Π−1n+1(a)).
Assim, f(∂Ω) = Π−1n+1(a) = Ha. Em particular Envf(∂Ω) = Env(Ha) = Ha. Pelo
lema 3.0.16 f tem a propriedade da envoltoria convexa. Segue que f(Ω) ⊂ Env(f(∂Ω)).
Portanto f(Ω) ⊂ Ha (hiperplano) e f possui segunda forma fundamental nula em Ω. Isto
e uma contradicao pois estamos supondo que infΛ+ 6= 0.
Para provar que supΛ− = 0, basta supor por absurdo que supΛ− = −2c < 0 e
proceder de forma analoga ao acima.
Capıtulo 4
Aplicacoes
Aqui, usamos o Teorema das Curvaturas Principais para provar que: Se n = 3 e
Mn e uma variedade completa e orientavel com curvatura de Ricci menor ou igual a uma
constante negativa entao, essa variedade nao pode ser imersa isometricamente no R4. E
para n ≥ 4, isso tambem e valido se, a curvatura seccional nao assume todos os valores
reais. Isto pode ser enunciado de forma equivalente, a saber, se M e uma variedade
completa e orientavel, de dimensao tres, com curvatura de Ricci nao positiva entao, a
curvatura de Ricci esta proxima de zero quanto se queira, i.e, o ınfimo da curvatura de
Ricci e igual a zero. E, se a dimensao e maior ou igual a quatro, isso tambem e valido se
a curvatura seccional nao assume todos os valores reais.
Acrescentamos a este resultado, obtido por Smyth e Xavier [11], que isso e
tambem valido para as curvaturas de Gaus-Kronecker e escalar.
Para demonstrar o proposto em dimensao tres, necessitamos do proximo teorema.
Teorema 4.0.23. Seja f : Mn −→ Rn+1 uma hipersuperfıcie completa e orientavel com
curvatura de Ricci nao positiva e A a segunda forma fundamental de f . Suponha que A
possui assinatura, i.e, A tem um autovalor positivo e n− 1 autovalores negativos, ou vice
versa, para todo p ∈M. Entao
infp∈M‖Ap‖ := inf ‖A‖ = 0
infp∈M
v∈TpM
‖Ricp(v)‖ := inf ‖Ric‖ = 0
Prova: Sejam λ1(p), λ2(p), ..., λn(p) os autovalores de Ap, escolhamos uma orientacao
para M tal que Ap possua um autovalor positivo e n−1 autovalores negativos. Da hipotese
sobre a curvatura de Ricci temos
Ricp(v) ≤ 0⇔∑i 6=j
Kp(ei, ej) ≤ 0.
27
28
Segue da equacao de Gauss que
Kp(ei, ej) = λi(p)λj(p),
donde temos que
∑i 6=j
Kp(ei, ej) ≤ 0⇒
∑i 6=j
λi(p)λj(p) ≤ 0⇒
λi(p)∑i 6=j
λj(p) ≤ 0
Assim, obtemos que
λi(p)n∑j=1
(λj(p)− λi(p)) ≤ 0.
Note que, para i = 2,
λ2(p)n∑j=1
(λj(p)− λ2(p)) ≤ 0⇒
λ2(p)λ1(p) + λ2(p)n∑j=3
λj(p) ≤ 0⇒
λ1(p) ≥ −n∑j=3
λj(p) =n∑j=3
‖λj(p)‖.
Portanto,
λ1(p) ≥ ‖λj(p)‖ para todo j 6= 2.
De forma analoga, para i = 3,
λ1(p) ≥ ‖λj(p)‖ para todo j 6= 3.
Segue que
λ1(p) ≥ ‖λj(p)‖ para todo j.
29
Do Teorema das Curvaturas Principais, inf Λ+ = infp∈M
λ1(p) = 0. Logo existe uma
sequencia (pk)k∈N em M, tal que λ1(pk) −−−→k→∞
0. Como λ1(p) ≥ ‖λj(p)‖ para todo j entao,
ao longo dessa mesma sequencia λj(pk) −−−→k→∞
0.
Ademais, para todo p ∈M,
‖Ap‖2 =n∑j=1
(λj(p))2.
Em particular para pk,
‖Apk‖2 =
n∑j=1
(λj(pk))2 −−−→k→∞
0.
Portanto,
inf ‖A‖ = 0.
Alem disso, se vk e uma sequencia em TpkM obtemos
Ricpk(vk) =
∑ik 6=jk
Kpk(eik , ejk) =
∑ik 6=jk
λik(pk)λjk(pk) −−−→k→∞
0.
Portanto,
inf ‖Ric‖ = 0.
Com esse teorema vimos que, as hipersuperfıcies completas e orientaveis com
curvatura de Ricci nao positiva, que possui segunda forma fundamental com assinatura,
tem ınfimo da curvatura de Ricci igual a zero. Nessas condicoes, as hipersuperfıcies de
uma variedade de dimensao tres tem automaticamente segunda forma fundamental com
assinatura. Isso pode ser facilmente provado pelo lema que segue.
Lema 4.0.24. Seja f : M3 −→ R4 uma hipersuperfıcie com curvatura de Ricci negativa
e A a segunda forma fundamental de f . Entao A possui assinatura.
Prova: Sejam λ1(p), λ2(p) e λ3(p) os autovalores de Ap. Da hipotese sobre a curvatura
de Ricci temos,
Ricp(v) < 0⇒ λi(p)∑i 6=j
λj(p) < 0
.
Para i = 1, λ1(p)∑i 6=j
λj(p) < 0 e supondo λ1(p) > 0 teremos λ2(p) + λ3(p) < 0 o
que nos da λ2(p) < 0 ou λ3(p) < 0.
Se λ2(p) < 0 e λ3(p) < 0 nada a fazer. Caso λ2(p) < 0 e λ3(p) > 0 mudamos a
orientacao de M obtendo λ1(p) < 0, λ2(p) > 0 e λ3(p) < 0.
30
Se λ1(p) < 0 o resultado e analogo. Portanto Ap possue um autovalor positivo e
n− 1 autovalores negativos.
Com esse lema podemos provar a generalizacao de Efimov [4] em dimensao tres,
a saber,
Teorema 4.0.25. Se f : M3 −→ R4 e uma hipersuperfıcie completa e orientavel com
curvatura de Ricci negativa entao inf ‖Ric‖ = 0.
Prova: Seja f : M3 −→ Rn+1 uma hipersuperfıcie e A a segunda forma fundamental de
f . Pelo lema 4.0.24 A possui assinatura e pelo teorema 4.0.23 inf ‖Ric‖ = 0.
Nos adicionamos ao trabalho de Smyth e Xavier [11] que este ultimo resultado
tambem e valido para as curvaturas de Gauss-Kronecker e escalar. Como podemos ver
nos dois proximos teoremas.
Teorema 4.0.26. Seja f : M3 −→ R4 uma hipersuperfıcie completa e orientavel com
curvatura de Ricci nao positiva entao infp∈M|Gp| = 0. Em particular se Gp = cte para todo
p ∈M3, teremos G ≡ 0.
Prova: Pela afirmacao 4.0.24 A possui um autovalor positivo e dois autovalores nega-
tivos ou vice-versa. Da demonstracao de 4.0.23 existe sequencia em M, (pk)k∈N, tal que
λi(pk) −−−→k→∞
0 para todo i ∈ 1, 2, 3.
Portanto,
limk→∞
G(pk) = limk→∞
3∏i=1
λi(pk) = 0.
Logo,
infp∈M|Gp| = 0.
31
Teorema 4.0.27. Seja f : M3 −→ R4 uma hipersuperfıcie completa e orientavel com
curvatura de Ricci nao positiva entao infp∈M|τ(p)| = 0. Em particular se τ(p) = cte para
todo p ∈M3, teremos τ ≡ 0.
Prova: Do teorema 4.0.23, Ricpk(vk) −−−→
k→∞0. Entao ao longo desta mesma sequencia,
τ(pk) =3∑j
Ricpk(vj) −−−→
k→∞0.
Logo,
infp∈M|τ(p)| = 0.
Agora, apresentamos um teorema o qual mostra que uma hipersuperfıcie com-
pleta e orientavel, com curvatura de Ricci nao positiva, pode ser um cilindro. Alem disso,
mostra uma relacao entre a curvatura media e a curvatura de Ricci. Esta relacao sera
usada para mostrar uma generalizacao de Efimov para n ≥ 4.
Teorema 4.0.28. Seja f : M3 −→ Rn+1 uma hipersuperfıcie completa e orientavel com
curvatura de Ricci nao positiva e H a curvatura media de M.
(i) Ou infp∈M|Hp| = inf ‖H‖ := 0 ou f(M) e um cilindro sobre uma curva plana em Rn+1.
(ii) Se inf H 6= −∞ ou supH 6= +∞ entao inf ‖Ric‖ = 0.
Em particular, se H = constante 6= 0 entao f(M)e um cilindro.
Prova: Para a prova de (i), suponhamos inicialmente que Λ+ ou Λ−e vazio. Se Λ+ =
Λ− = ∅ entao Me um hiperplano e H ≡ 0.
Caso Λ+ = ∅ e Λ− 6= ∅, da hipotese sobre a curvatura de Ricci sabemos que
λi(p)∑i 6=j
λj(p) ≤ 0. entao∑i 6=j
λj(p) ≥ 0 o que nos da λj(p) = 0 para todo j 6= i.
Dessa forma, Kp(ei, ej) = λi(p)λj(p) = 0 para todo p ∈ M. Por Hartman-
Niremberg [2] pag. 72, f(M) e um cilindro sobre uma curva plana.
Supondo que nem Λ+ nem Λ− sao vazios, assuma por absurdo que infp∈M|Hp| 6= 0.
Se Hp ≥ ε > 0, da condicao sobre a curvatura de Ricci λ(p)(nHp − λ(p)) ≤ 0 para todo
λ(p) ∈ Λ o que nos da n · Hp ≤ λ(p) para todo λ(p) ∈ Λ+. Do teorema das curvaturas
principais infp∈M
n ·Hp ≤ inf Λ+ = 0. Isto e um absurdo pois estamos supondo infp∈M
Hp 6= 0.
32
Caso Hp ≤ −ε < 0, teremos que n · Hp ≥ λ(p) para todo λ(p) ∈ Λ−. Analoga-
mente, usando o teorema das curvaturas principais chegamos a uma contradicao.
Portanto inf H = 0 e isto conclui a prova de (i).
Para provar (ii) suponha que existe c ∈ R tal que Ricp(v) ≤ −c2, equivalente-
mente, λ(p)(nHp − λ(p)) ≤ −c2 para todo λ(p) ∈ Λ. Disto segue que nHp ≤ −c2
λ(p)+ λ(p)
para todo λ(p) ∈ Λ+.
Como inf Λ+ = 0 existe uma sequencia (pk)k∈N em M tal que λ(pk) −−−→k→∞
0.
Portanto limk→∞
(−c2
λ(pk)+ λ(pk)) = −∞ e ao longo dessa mesma sequencia H −−−→
k→∞−∞.
Analogamente, usando que nHp ≥ −c2λ(p)
+ λ(p) para todo λ(p) ∈ Λ− e que
sup Λ− = 0, obtemos que supH = +∞.
Teorema 4.0.29. Seja f : Mn −→ Rn+1 (n ≥ 4) uma hipersuperfıcie completa e ori-
entavel com curvatura de Ricci negativa. Se a curvatura seccional de M nao assume todos
os valores reais entao infp∈M‖Ricp‖ = 0.
Prova: Inicialmente vamos provar que, nas condicoes do teorema, supK 6= +∞.
Com efeito, suponha que inf K = −∞. Da continuidade da funcao curvatura
seccional e da hipotese sobre sua imagem temos que supK 6= +∞.
Caso inf K 6= −∞ suponha por absurdo que supK = +∞. Entao, existem sequencias
(pk)k∈N e (vk, uk)k∈N em M e TpkM respectivamente, onde lim
k→∞Kpk
(eik , ejk) = +∞. Alem
disso, existe c > 0 tal que inf K ≥ −c.Da hipotese sobre a curvatura de Ricci,∑
ik 6=jk
Kpk(eik , ejk) < 0⇒
∑K>0
Kpk(eik , ejk) +
∑K<0
Kpk(eik , ejk) < 0.
E portanto, ∑K>0
Kpk(eik,ejk
) < −∑K<0
Kpk(eik,ejk
) ≤ c.
Isto e um absurdo pois estamos supondo que supK = +∞.
Provemos o teorema: se a segunda forma fundamental de M tem um autovalor
positivo e n− 1 autovalores negativos o resultado segue do teorema 4.0.23.
Caso contrario A possui pelo menos dois autovalores positivos e dois autovalores
negativos. Como λ(p)(nHp − λp) < 0 para todo λ ∈ Λ entao nHp < λ(p) para λ(p) > 0.
Digamos que λi1(p) e λi2(p) sao dois autovalores positivos de AP .
33
Entao, para Hp > 0 nHp < λi1(p)
nHp < λi2(p).
Portanto,
λi1(p) · λi2(p) ≥ n2(Hp)2 ⇒ Kp(ei1 , ei2) ≥ n2(Hp)
2.
Logo,
+∞ 6= supK ≥ supKp(ei1 , ei2) ≥ supH.
Do teorema 4.0.28 (ii),
infp∈M‖Ricp‖ = 0.
Referencias
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clidean space, J. Differential Geometry, v. 11, no. 1, p. 47-57, 1976.
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Universidade Federal da Bahia - UFBA
Instituto de Matematica / Colegiado da Pos-Graduacao em Matematica
Av. Adhemar de Barros, s/n, Campus Universitario de Ondina, Salvador - BA
CEP: 40170 -110
<http://www.pgmat.ufba.br>