Fakultät für Physik und Geowissenschaften Physikalisches Grundpraktikum

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O8 „Brechzahl von Gasen (Rayleigh-Loewe-Interferometer)“ Aufgaben 1. Messen Sie ein Rayleigh-Loewe-Interferometer mit Licht bekannter Wellenlänge ein. Die Einmesskurve ist durch ein Polynom zweiten Grades anzupassen. 2. Bestimmen Sie die Änderung der Brechzahldifferenz Δn = n - nv von Luft in Abhängigkeit vom Druck p für etwa zehn verschiedene Drücke. Stellen Sie die Messreihe Δn(p) graphisch dar, und ermitteln Sie über den Anstieg des Graphen den Wert n0 (Brechzahl unter Normalbedingungen) für Luft. Das Ergebnis ist als Brechkraft β0=(n0-1)∙106 anzugeben. 3. Bestimmen Sie für Kohlendioxid analog zu Aufgabe 2 die Brechzahl n0. Literatur Physikalisches Praktikum, 13. Auflage, Hrsg. W. Schenk, F. Kremer, Optik, 2.0.2, 2.0.3, 2.2, 3.3 Gerthsen Physik, D. Meschede, 22. Auflage, 6.2.3, 10.1.2, 10.3.2, 10.3.3 Zubehör Laborinterferometer nach Rayleigh und Loewe, Glühlampe, Na-Spektrallampe (λ = 589 nm), Digitalmanometer, Druckgasflasche Schwerpunkte zur Vorbereitung - Interferenz, Kohärenzbedingung, Interferenz durch Beugung am Doppelspalt - Bedingungen für Auslöschung und Verstärkung - optische Weglänge, Gangunterschied, Phasendifferenz - Brechzahl in Gasen, Gleichung nach Clausius und Mossotti, Herleitung der Gleichung für die Druckabhängigkeit der Brechzahl - Aufbau und Prinzip des Rayleigh-Löwe-Interferometers

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Bemerkungen Zum Laborinterferometer nach Rayleigh und Loewe Das Laborinterferometer verwendet das Interferenzprinzip nach Rayleigh und Löwe. Dabei beleuchtet das von der Lichtquelle ausgehende Lichtbündel über einen Kondensor einen schmalen Beleuchtungsspalt und verläuft nach Durchdringen des Kollimatorobjektivs parallel. An den Rändern der dicht hinter dem Objektiv befindlichen Doppelblende (Doppelspalt) wird das Licht gebeugt und es können Interferenzstreifen beobachtet werden, sofern die für räumlich ausgedehnte Lichtquellen geforderte Kohärenzbedingung erfüllt wird:

tan2 2yg b

λϕ = << . (1)

Überprüfen Sie mit den bekannten Daten für die Breite des Beleuchtungsspaltes y = 3 μm, den Abstand Beleuchtungsspalt - Doppelspalt g = 0.315 m, den Doppelspaltabstand b = 10 mm und die Wellenlänge λ = 589 nm die Erfüllung der Kohärenzbedingung. Abb. 1. 1 Beleuchtungseinrichtung 2 Messtrommel 3 Ableselupe 4 Okular mit Okularmuschel 5 Fernrohr 6 Deckel (Messkammern) Abb. 1 zeigt den äußeren Aufbau des Laborinterferometers LI 3. An den Rohrkörper sind einerseits der Kollimator mit der Beleuchtungseinrichtung, andererseits das Fernrohr und die Messeinrichtung angesetzt. Aus der schematischen Darstellung in Abb. 2 ist der optische Aufbau des Laborinterferometers zu erkennen. Das von einer Glühlampe (1) durch den Kondensor (2) auf den Spalt (3) fallende und vom Kollimatorobjektiv (4) parallel gerichtete Lichtbündel tritt durch die Doppelblende (5). Die oberen Hälften der Lichtbündel gelangen durch die Kammer (6) bestehend aus der Mess- sowie der Vergleichsküvette und die Kompensatorplatten (7) in das Fernrohrobjektiv (9) und erscheinen im Okular (12) als das obere Streifensystem. Die unterhalb der Kammer verlaufenden Hälften der Lichtbündel erkennt man als unteres Interferenzstreifensystem. Diese werden vor dem Eintritt in das Fernrohr von der Hilfsplatte (8) so nach oben versetzt, dass beide Streifensysteme nur durch eine schmale, waagerechte Linie getrennt sind. Das untere Streifensystem bleibt von der Füllung der Kammer unbeeinflusst und bewahrt stets seine feste Lage und sein gleiches Aussehen. Dagegen ist die Lage des oberen Streifensystems stark von der Kammerfüllung abhängig. Mit einer Linse werden die beiden Strahlen, die die Mess- und die Vergleichsküvette passiert haben, vereinigt.

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Abb. 2. Schematische Darstellung des Laborinterferometers Seitenansicht Draufsicht

1 Lichtquelle 5 Doppelblende 9 Fernrohrobjektiv 2 Kondensor 6 Kammer 10 Messtrommel 3 Beleuchtungsspalt 7 Kompensatorplatte 11 Zylinderlinse 4 Kollimatorobjektiv 8 Hilfsplatte 12 Okular

In der Brennebene tritt die Beugungsfigur eines Doppelspalts auf, für deren Maxima die Bedingung

sin kb k nlα λ= + Δ (2) gilt, wobei b den Doppelspaltabstand, α den Winkel zur optischen Achse, λ die Wellenlänge, Δn den Brechzahlunterschied zwischen Mess- und Vergleichsküvette, l die Länge der Küvetten sowie k die Ordnung des Interferenzmaximums bezeichnen. Je nach Größe des Brechzahlunterschieds zwischen beiden Küvetten wird ein völliges Verschwinden (Abb. 3a), eine geringe (Abb. 3b) bzw. gar keine Verschiebung (Abb. 3c) des oberen Interferenzstreifensystems eintreten. Durch Drehen einer der Kompensatorplatten (7 in Abb. 2) ändert man den Lichtweg innerhalb derselben und kann damit einen Ausgleich für die Verschiebung des oberen Streifensystems herbeiführen (Abb. 3c). Diese Einstellung auf genau gleiche Lage und gleiches Aussehen beider Interferenzstreifensysteme geschieht über einen die Kompensatorplatte bewegenden Hebelarm, der durch Drehen der Messtrommel (10 in Abb. 2) verstellt wird. Abb. 3. Schematische Darstellung der Interferenzstreifensysteme von Mess- (oben) und Vergleichssystem (unten)

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Hinweise zur Durchführung Vor Beginn der Messungen sind die Schläuche und Küvetten mit dem entsprechenden Versuchsgas gut durchzuspülen. Das zu untersuchende Gas (Luft, CO2) soll sich auch in der Vergleichsküvette befinden. Zur Bestimmung des Nullpunkts (Messtrommelstellung t0) herrscht bei der Messung mit Luft sowohl in der Mess- als auch in der Vergleichsküvette atmosphärischer Luftdruck. Die Vergleichsküvette wird dann verschlossen, um die Teilchenzahl in ihr während der Messung konstant zu halten. Bei den Messungen mit CO2 ist analog zu verfahren. Anschließend werden mit einer Luftpumpe oder einer CO2-Druckgasflasche etwa zehn verschiedenen Überdrücke in der Messküvette erzeugt. Die Einmessung des Interferometers ist für den größtmöglichen Messbereich tmax ≈ 3000, wobei t die Skalenteile der Messtrommel sind, im Abstand von etwa je fünf Interferenzordnungen durchzuführen. Zu Beginn dieser Messung ist die Bestimmung des Nullpunktes t0 mit weißem Licht durchzuführen. Anschließend erfolgt mit monochromatischem Licht (Na, λ = 589 nm) die Einmessung des Interferometers. Für die Messungen zur Druckabhängigkeit der Brechzahl wird wieder weißes Glühlampenlicht verwendet. Die vorgegebene maximale Druckdifferenz gegen den äußeren Luftdruck pmax hängt von der Gasart und der Küvettenlänge l ab: l = (500±0.1) mm Luft: pmax= 300 mbar CO2: pmax= 200 mbar Vor Benutzung der Druckgasflasche ist eine Unterweisung im Umgang mit Druckgasflaschen und in die Bedienung der Ventile und Hähne durch den Betreuungsassistenten erforderlich. Die Glashähne mit Kugelschliff sind gefühlvoll mit zwei Händen zu bedienen, wobei eine Hand den Glasschaft beim Zu- bzw. Aufdrehen des Hahnes stützen soll, um ein Abbrechen des Hahnes zu verhindern. Der verschlossene Hahn ist bereits nach wenigen Umdrehungen geöffnet. Nach Beendigung der Messung ist der Überdruck in den Schläuchen gegen den äußeren Luftdruck auszugleichen. Die Anpassung an eine Parabel der Form h(t) = h1 t + h2 t

2 erfolgt mit den bezüglich des Nullpunktes t0 korrigierten t-Werten unter Verwendung eines Regressionsprogrammes. Bei unserer Versuchsanordnung wurde als Messküvette diejenige Küvette gewählt, vor der sich die verstellbare Kompensatorplatte befindet. Diese ist so angeordnet, dass bei steigenden Messtrommelwerten der Lichtweg in der Kompensatorplatte kleiner wird. Zur Theorie der Brechzahl in Gasen Die Brechzahl eines Mediums ist gegeben durch 0 /n c c= , wobei c0 die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum und c die Lichtgeschwindigkeit im betrachteten Stoff bedeuten. Nach der Maxwellschen Theorie des Lichts als elektromagnetische Welle folgt für die Ausbreitungsgeschwindigkeit der

Lichtwellen im Vakuum aus den Maxwellschen Gleichungen ( ) 1/2

0 0 0c ε μ −= , wobei ε0 die elektrische

und μ0 die magnetische Feldkonstante sind. Für die Ausbreitungsgeschwindigkeit in einem Dielektrikum ohne Absorption mit der relativen Dielelektrizitätszahl εr und einer relativen

Permeabilität μr folgt aus denselben Gleichungen ( ) 1/2

r 0 r 0c ε ε μ μ −= . Für die meisten Stoffe (außer

Ferromagnetika) gilt μr ≈ 1 und somit 0 r/c c ε= . Damit erhält man die sogenannte Maxwell-

Relation rn ε= . Für manche Stoffe ist εr in einem weiten Frequenzbereich zwischen dem

Radiowellengebiet und dem sichtbaren Spektralbereich nahezu frequenzunabhängig. Für Luft ist n in einem sehr großen Frequenzbereich nahezu konstant. Bei CO2 gibt es schon merkliche

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Abweichungen, die sich dadurch erklären, dass n bzw. εr nur dann von der Frequenz unabhängig sind, wenn die betrachteten Lichtfrequenzen weit weg sind von Eigenfrequenzen der Atome bzw. Moleküle des Dielektrikums, was bei Luft offensichtlich besser erfüllt ist als bei CO2. Eigenfrequenzen werden berücksichtigt, indem man die Atome bzw. Moleküle als ungedämpfte harmonische Oszillatoren mit verschiedenen Eigenfrequenzen behandelt. In Frequenzbereichen außerhalb der Absorptionsübergänge erhält man die Beziehung nach Clausius und Mossotti

A

0

1 12 3 p

NM

ε ραε ε− =+

, (3)

wobei αp die Polarisierbarkeit, ρ die Dichte, M die Molmasse und NA die Avogadro-Konstante sind. Die Clausius-Mossotti-Beziehung wird oft auch als Korrelation zwischen Brechzahl und Polarisierbarkeit (Lorentz-Lorenzsche Formel)

2

20

1 12 3 p

nN

nα

ε− =+

(4)

geschrieben, wobei N = ( NA ρ / M) die Teilchendichte ist. Für Gase bei nicht zu hohem Druck ist n ≈ 1, so dass man in Gl. (2) die Näherungen n2 - 1 = (n + 1)(n - 1) ≈ 2(n - 1) und n2 + 2 ≈ 3 anwenden kann.

Daraus folgt die Relation 1n N− ∝ bei konstantem αp. Für ideale Gase gilt Nρ ∝ und 2 2 1

1 1 2

p Tp T

ρρ

= ⋅ .

Damit ergibt sich die Beziehung

( ) ( )0 00 , ,

0

1 1 1 (1 )p T p T

p pTn n n

T p pγ ϑ− = − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ + , (5)

mit der man die druck- und temperaturabhängige Brechzahl np,T auf Normbedingungen (p0 = 1013.25 hPa, T0 =1/γ = 273.15 K, ϑ = ΔT = T-T0) umrechnen kann. Der Wert von n0 ist dann nur noch von der Substanz und der Frequenz des Lichts abhängig. Wegen der sehr geringen Änderung der Brechzahl von Gasen bei Veränderung des Drucks bestimmt man im Experiment die Differenz der Brechzahl Δn= np,T –nRef , wobei nRef der Brechungsindex eines Gases bei konstantem Druck und bei konstanter Temperatur in der Vergleichsküvette ist:

( ), 0 Ref0

1 ( 1)(1 )p T

pn n n

p γ ϑ∆ = − ⋅ − −

+. (6)

Über den Anstieg d(Δnp,T /dp) des Graphen Δnp,T (p) kann der Wert für n0 eines Gases ermittelt werden.