obecný rovinný pohyb

Obecný rovinný pohyb

Rozklad pohybu

Technická mechanika8.přednáška

Technická mechanika8.přednáška

Obecný rovinný pohyb je pohyb, který :- je rovinný,- není ani posuvný ani rotační.


obecný rovinnýpohyb

druhotný (relativní) rotační pohyb (kolem referenčního bodu)

rovinný pohyb :

Všechny body tělesa opisují rovinné trajektorie, které leží ve vzájemně rovnoběžných rovinách. Proto pro popis rovinného pohybu stačí popisovat průmět tělesa do jedné z těchto rovin, kterou si libovolně zvolíme za základní. Tak místo trojrozměrného tělesa vyšetřujeme pohyb plošného útvaru v rovině.

posuvný pohyb (určený pohybem referenčního bodu)

Těleso, které koná obecný rovinný pohyb, může mít 1, 2 nebo 3 stupně volnosti.

posuv

posuv

rotace

1 stupeň volnosti

2 stupně volnosti

3 stupně volnosti


posuv

rotace

Technická mechanika 8.přednáška

např.: těleso pohybující se v jednom posuvném směru

těleso pohybující se v jednom posuvném směru s možností otáčení

těleso pohybující ve dvou posuvných směrech s možností otáčení

1 stupeň volnosti

jeden nezávislý pohyb

valení bez prokluzu



x, v, a

, ,

posuv

rotacer


Jedním z jednodušších obecných rovinných pohybůje valení válcového tělesa po pevné vodorovné podložce.

Analytické řešení.

Řešení rychlostí pólovou konstrukcí.

Řešení základním rozkladem.

Kinematika se zabývá poměry rychlostí a zrychlení.



Metody řešení:

Nebudeme se zabývat


pólová konstrukce

Pólová konstrukce je založena na existencizvláštního bodu – tzv. pólu pohybu (značíme jej π),kterým lze jednoduše určit rychlosti bodů tělesa při rovinném pohybu.

xA

yB

A

B

BB a ,v

AA a ,v

nB

nA

π


Pól pohybu leží na společném průsečíkunormál trajektorií všech bodů.

Pro pól pohybu platí, že rychlosti všech bodů při obecném rovinném pohybu jsou stejné, jako kdyby těleso rotovalo okolo tohoto pólu.


Pólová konstrukce

Tyč AB délky se pohybuje tak, že bod A se pohybuje (smýká) po vodorovné podlaze rychlostí vA,bod B se pohybuje (smýká) po svislé stěně rychlostí vB.

Bod A se pohybuje po vodorovné přímce, normála této trajektorie nA je svislá.Bod B se pohybuje po svislé přímce, normála této trajektorie nB je vodorovná.Na průsečíku těchto normál leží pól pohybu π

je založena na existenci zvláštního bodu - pólu pohybu (značíme jej ).Pro pól pohybu platí že rychlosti všech bodůpři obecném rovinném pohybu jsou stejné,jako kdyby těleso rotovalo okolo tohoto pólu.Pól pohybu leží na společném průsečíkunormál trajektorií všech bodů.

Rychlosti všech bodů můžeme vyšetřit tak, jako bychom řešili rotaci okolo pólu π.

xA

yB

A

B

Bv

vA

nB

nA



B

AA

y

v

A

v

B

AAAB y

xvxBv

B

AAB y

xvv

Pólová konstrukceRychlosti všech bodů můžeme vyšetřit tak,jako bychom řešili rotaci okolo pólu .

xA

yB

A

B

Bv

vA

nB

nA

π

xA

yB

A

B

nA

nB

Bv

Av


π

Aπ = poloměrotáčení bodu A

Bπ = poloměr otáčení bodu B

AvA .Při rotačním pohybu:


Použití pólového bodu platí pouze pro určení rychlosti bodů tělesa!

Rychlosti všech bodů můžeme vyšetřit tak,jako bychom řešili rotaci okolo pólu .

To platí pro všechny body tělesa, ne jen pro body A a B.

Pólová konstrukce


yB

A

B

C

nC

nB

nA

Cv

Av

Bv

xA

xC

yC

CvC

22 )()(. CBACC yyxxCv

22 )()( CBAC yyxxC


Neplatí pro zrychlení !

Pólová konstrukce

A

B

Bv

vA

nB

nA

π

A

B

nA

nB

Bv

Av

aBn=0

aAn=0

bod A se pohybuje po přímce

bo

d B

se

po

hyb

uje

po

pří

mce

Bna

Ana


Použití pólového bodu platí pouze pro určení rychlosti bodů tělesa!

Normálové zrychlení an mění směr rychlosti,

musí proto u přímočarého pohybu být nulové.

Normálové zrychlení podle pólové konstrukce, tzn. pro rotační pohyb by mělo hodnotu např. pro bod A:

A

va A

An

2

V tomto případě to není pravda!!!

Obecný rovinný pohybkinematická geometriePři obecném rovinném pohybu je pólem pohybu v každém okamžiku jiný bod – poloha pólu se mění s časem. Proto se určují křivky, které jsou množinami poloh těchto bodů při pohybu.

Množina bodů, které byly, jsounebo budou pólem, vynesenýchdo pevného (nehybného) prostoru,se nazývá polódie pevná.

A

B

(t-t)

(t+t)

(t)

(t)

A

B(t-t)

(t+t)

Pohyblivá polódie

Množina bodů, které byly, jsounebo budou pólem, vynesenýchdo tělesového (pohybujícího se) prostoru,se nazývá polódie pohyblivá.


Křivka - množina bodů, které byly, jsou nebo budou pólem se nazývá polódie.

Pevná polódiespojuje polohy pólů určených ve vztažné soustavě nehybně spojené s rovinou,ve které se pohyb uskutečňuje.

spojuje polohy pólů určených ve vztažné soustavě nehybně spojené s tělesem.


A

B

(t-t)

(t+t)

(t)

pevná polódie

pohyblivá polódie

kinematická geometrie

Obě polódie se navzájem dotýkají v pólu pohybu.


Obecný rovinný pohybkinematická geometrie

Při obecném rovinném pohybu se pohyblivá polódie odvaluje po polódii pevné.

A

B

(t-t)

(t+t)

(t)

pevná polódie

pohyblivá polódie

CD

E


Obecný rovinný pohybkinematická geometrie

Obecný rovinný pohyb lze chápat jako valení pohyblivé polódie po polódii pevné.

Bpevná polódie

bod A se pohybuje po přímcebo

d B

se

poh

ybuj

e po

pří

mce

valení

pohyblivá polódie

AA

B

(t-t)

(t+t)

(t)

pevná polódie

pohyblivá polódie

CD

E



(t)

tečna polódií

tp

kinematická geometrie

Společná tečna pevné a pohyblivé polódie se nazývá tečna polódií tp.



,

rv


pevná polódie

pohyblivá polódie

pól pohybu

v

r


Jednoduché je určení polódií u valení válce nebo koule: Hybnou polódií je obvodová kružnice válce (popř. hlavní kružnice koule).Pevnou polódií je průsečnice plochy, po které se válec (koule) valí, s rovinou pohybu.

Obecný rovinný pohybzákladní rozklad

posuv rotace

Základní rozklad je umělá myšlenková konstrukce - představa obecného rovinného

pohybu jako „složeniny“ ze dvou současných pohybů - posuvu a rotace.

superposice posuvného a rotačního pohybu

A

B

A

B vposuv

vA A

B

vrotace

vB

vA

+



BAAB vvv

rotaceBposuvBB vvv __

BAAB aaa

Základní rozklad - představa obecného rovinného pohybu jako „složeniny“ ze dvou současných pohybů: - posuvného (určený pohybem referenčního bodu)- a rotačního (relativního) pohybu kolem tohoto (referenčního) bodu.

A

B

vB

vA

superposice (skládání) posuvného a rotačního pohybu

Referenční bod určuje oba současné pohyby :Posuv - posuv ve směru pohybu referenčního bodu.Rotace - rotace okolo referenčního bodu.Za referenční bod si zvolíme bod, pohybující se po jednoduché trajektorii (přímka, kružnice, ...).


posuv

rotace

A

B vposuv

vrotace

vB

vA

=vBA

=vA

A – referenční bod

Podobně i pro zrychlení


Av

BAv

Bv

vA

vBvBA AB

sinA

BA

vv

sinABA vv

A

B

Technická mechanika 8. přednáška

vektorový součet

posuv + rotace

Rychlost u rotačního pohybu je tečna k trajektorii pohybu vBA AB

tg

vv A

B

vA

vB

rychlost pohybu

Ze zákonitostí trojúhelníku:


BBAA aaa

BAna

Ba

aB

aA

aBAt AB

BAta

aBAn AB

22

BABAn

va

BAta

Aa

A

B

0aaa BAtBAnA sincos

BBAtBAn aaa cossin


zrychlení pohybu

normálová a tečná složka

ω

tečné zrychlení má směr rychlosti

Ve směru x:

Ve směru y:

tga

tg

aa BAn

AB

cossin

tg

aaa BAnA

BAt sin

Jestliže

tg

1

sin

cos

tg

aaaaa BAnABAnA

BAt

sinsin

cos.

aBA

Obecný rovinný pohybzákladní rozkladrvA


,

vA,aA

BA

raA

A –

re

fere

nč

ní b

od BAAB vvv

posuv + rotace

BAv

Av

Bv

ABC

BC

x

y

bvBA

rb

r

vA


bod C je okamžitýmbodem otáčení

22ByBxB vvv

Bx

By

v

varctg

BAxABx vvv BAyBy vv

cos brvBx sin bvBy

cos1

r

bvv ABx

sinr

bvv ABy



vA,aA

BA

A –

re

fere

nč

ní b

od

posuv + rotace

AB

AB

C

x

y

rb

BAAB aaa

Aa

Ba

rvA

,

raA

r

aAr

vA


BAnBAtAB aaaa

baBAt baBAn 2BAta

BAna

BAnxBAtxABx aaaa BAnyBAtyBy aaa

sincos 2 bbraBx

cossin 2 bbaBy

22ByBxB aaa

Bx

By

a

aarctg

aBA



vA,aA

BA

A –

re

fere

nč

ní b

od

posuv + rotace

C

xrb

BAAB aaa

BC

y

Ba

BC

rvA

,

raA


BAnBAtAB aaaa

baBAt

baBAn 2Bta

Bna

Bx

By

a

aarctg

22ByBxB aaa

cosBBt aa

sinBBn aa

aBt je odkloněno od osy x o úhel ψ

jako rychlost vB (má stejný směr)

obecný rovinný pohyb

Documents