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Sistemas no lineales, caos y
fractales
Objetivos
• Comprender la diferencia entre simplicidad y complejidad.
• Demostrar como nace el caos a partir de sistemas determinísticos sencillos.
• Obtener una visión de los modelos no lineales caóticos en biología, fisiología y anatomía.
• Comprender la relación entre el caos y los fractales.
• Analizar algunos ejemplos interesantes de la aparición de estructuras fractales en la naturaleza.
Observación
• Caos no es una técnica de modelización, es
una propiedad matemática de algunas
ecuaciones determinísticas.
Organización
• Introducción y Motivación
• Simplicidad vs Complejidad
• Estabilidad y Caos.
• Caos en sistemas discretos:
– La ecuación logística.
• Caos en sistemas continuos
• Fractales.
¿Quién creo el caos?
• Un médico, un ingeniero civil y una informática estaban discutiendo
acerca de cuál era la profesión más antigua del mundo. El médico
señaló: “Bueno, en la Biblia dice que Dios creó a Eva de una costilla
que le quitó a Adán. Evidentemente, esto requirió cirugía, y por eso
bien puedo afirmar que la mía es la profesión más antigua de mundo.”
El ingeniero civil interrumpió y dijo: “Pero incluso antes, en el
Génesis, se dice que Dios creó el orden de los cielos y la tierra a partir
de caos. Esta fue la primera y desde luego la más espectacular
aplicación de la ingeniería civil. Por lo tanto, querido doctor, está usted
equivocado: la mía es la más antigua de las profesiones.” La
informática se reclinó en su silla, sonrió, y dijo tranquilamente: “Pero
bueno, ¿quién piensan que creó el caos?”
G. Booch, Complejidad.
Caos vs Cosmos
• Caos (“χάος”) es el estado sin forma y
vacio que precede a la formación del
cosmos en las cosmogonías antiguas.
• Cosmos (“κόσμος”) es un sistema
ordenado o armonioso. Deriva del
término griego que significa orden.
Es la antítesis del caos.
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Del Caos al Cosmos
• Auto-génesis (p.ej. Egipcios) vs Creación.
• “En el principio era el verbo y el verbo
estaba en Dios, y el verbo era Dios. Todas
las cosas fueron hechas por Él y sin Él no
se hizo nada de todo lo que existe.” (Jn 1:1)
Notas históricas
• 500 a.C.: Leucipo de Mileto
– Determinación ontológica:
• “Nada sucede porque sí, sino que todo sucede con
razón y por necesidad”,
• Esta formulación es la que ha pasado a la
Filosofía con el nombre de principio de
causalidad o principio de razón
suficiente.
Notas históricas
• 1776: El determinismo laplaciano
– Laplace, matemático francés, afirmaba que, si
se conociera la velocidad y la posición de todas
las partículas del Universo en un instante, se
podría predecir su pasado y su futuro.
Notas históricas
• 1903: El cuestionamiento de Poincaré
– Henri Poincaré, matemático francés, fue el
primero en pensar en la posibilidad del caos, en
el sentido de comportamiento que dependiera
sensiblemente en las condiciones iniciales.
“El azar no es más que la medida de
la ignorancia del hombre”
Notas históricas
• 1920: El debate Bohr-Einstein
– Aparece la teoría cuántica y toma fuerza el
indeterminismo. Se retoma la discusión acerca
de la existencia de un azar objetivo y no
meramente epistemológico. Se cuestiona el
principio de causalidad.
Einstein: “Dios no juega a los dados”,
Bohr: “Señor Einstein, ¡deje de decirle a
Dios lo que debe hacer!”
Notas históricas
• 1961: Edward Lorenz (meteorólogo MIT): – Realizó predicciones con 12 ecuaciones y 6 cifras decimales.
– Luego utilizó sólo 3 cifras decimales.
– Encontró diferencias significativas en los pronósticos.
– Simplificó el sistema a sólo tres ecuaciones.
– Encontró sensibilidad importante a las condiciones iniciales.
– Comportamiento que parecía aleatorio con ecuaciones determinísticas.
Descubrimiento “casual”
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Notas históricas
• 1961: Edward Lorenz (meteorólogo MIT): – Graficó la salida obteniendo un espiral doble, un número 8
“acostado”, como las “alas de una mariposa”.
– A este comportamiento se le dio el nombre de “efecto mariposa”.
– Surge teoría del caos.
"el aleteo de las alas de una mariposa
puede provocar un tornado al otro
lado del mundo"
Notas históricas
• 1997: Ilya Prigogine (Premio Nobel 1977):
– Publica su libro “El fin de las certidumbres”: afirma que el determinismo no es una creencia científica viable, es fundamentalmente una negación de la “flecha” del tiempo y pierde su poder explicativo frente a la irreversibilidad y la inestabilidad (por ej. en sistemas caóticos).
– Otro libro “Explorando la Complejidad”
“Cuanto más sabemos acerca de nuestro
universo, más difícil se vuelve a creer en
el determinismo.”
Complejidad vs simplicidad
• No hay una definición unánime acerca del significado del término “complejidad”.
• Proviene del latín “complectere”, cuya raíz “plectere” significa trenzar, enlazar. El prefijo “com” añade el sentido de la dualidad de dos elementos opuestos que se enlazan íntimamente, pero sin anular su dualidad.
• Se utiliza para caracterizar algo (i.e. un sistema) con muchas partes, de índole diversa, que forman un arreglo intrincado y que interactúan entre sí.
Complejidad vs simplicidad
• Enfoque clásico “lineal” y reduccionista de la causalidad:
– sólo mediante las leyes probabilísticas es posible obtener conocimiento científico “causal”,
– grandes causas se corresponden siempre con grandes efectos y viceversa.
• Enfoque “de la complejidad”:
– la causalidad surge y se diluye en una topología de redes de interacciones no lineales distribuidas,
– emergencia de fenómenos de auto-organización.
Complejidad vs simplicidad
• El enfoque “de la complejidad” está llamado a transformar profundamente el marco teórico y conceptual de la ciencia:
– distinguir cuándo nos enfrentamos a un problema complejo o a uno lineal,
– reconocer cuando uno se transforma en el otro;
– reconocer leyes, principios y categorías que rigen la causalidad en la complejidad,
– construir modelos matemáticos para el estudio de los sistemas complejos,
No todos los sistemas complejos generan caos
Estabilidad, orden y caos
• Generalmente tendemos a tratar con situaciones estables.
• En caso contrario:
– Si los cambios duran muy poco tiempo en relación a los períodos estables los ignoramos.
– Si los cambios duran un cierto tiempo tratamos de encontrar alguna regularidad en ellos y de no encontrar ningún patrón estable los encasillamos dentro de los ruidos o los tratamos como fenómenos aleatorios.
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Estabilidad, orden y caos
• La teoría del caos retoma estos últimos
casos: – Ciertos sistemas no lineales muestran un
comportamiento impredecible a pesar de no
tener ninguna influencia del azar y ser
enteramente determinísticos.
– Llamativamente esto puede suceder en sistemas
extremadamente simples.
Estabilidad, orden y caos
• En estos sistemas no lineales puede identificarse un parámetro del cual depende su comportamiento.
• Cuando este parámetro cambia podemos encontrarnos con un comportamiento: – Ordenado: puntos fijos o ciclos límite en el
espacio de fase. – Desordenado: atractores extraños en el espacio
de fase.
Preguntas importantes
• ¿Qué es un atractor?
• ¿Qué es una bifurcación?
• ¿Qué son los mapas iterados?
• ¿Qué son los exponentes de Lyapunov?
• ¿Qué sistemas pueden producir caos?
• ¿Como identificar el caos?
Atractor
• Un atractor es un objeto matemático en el
cual la dinámica de un sistema queda
eventualmente confinada.
• Cualitativamente, el objeto es el conjunto de
soluciones de las ecuaciones dinámicas
cuando al sistema se le permite “correr”
durante mucho tiempo.
Tipos de Atractores
• Punto fijo: es sólo un nombre
elegante para un punto de equilibrio.
• Ciclo límite: es una curva cerrada
que representa las soluciones
repetitivas.
• Toroidal: es una superficie en el
espacio de fase en forma de anillo,
que puede ser estirada y retorcida.
• Extraño: es una superficie similar
pero más complicada a la que las
soluciones se limitan.
Bifurcaciones
• Una estructura se bifurca cuando se divide
en dos ramas, como en los caminos o las
ramas de los árboles.
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Bifurcaciones
• La palabra se aplica a ecuaciones ya que
cualitativamente se puede representar a las
posibles soluciones de una ecuación como
un camino por el que atravesamos, no a
través del tiempo o espacio físico, sino a
través del espacio de los parámetros.
• El parámetro que se altera es llamado el
parámetro de control.
Del orden al caos: Bifurcaciones
• Cuando variamos continuamente este
parámetro encontramos que existe un
período en el que el sistema pasa de la
estabilidad al caos.
• Las bifurcaciones consisten en una pérdida
de la estabilidad de una solución atractiva
dando lugar a otra de periodicidad doble.
Diagrama de Bifurcaciones
• Los efectos del parámetro de control sobre
la dinámica cualitativa están representados
en el diagrama de bifurcación, que es una
gráfica x-y con el parámetro de control en el
eje de abscisas y los valores a largo plazo de
la variable de estado en la ordenada.
Algoritmo p/Diagrama de
Bifurcaciones 1. Establecer valor inicial y máximo del parámetro y N° de
valores a muestrear.
2. Ejecutar la simulación durante M pasos de tiempo (para
que el sistema se establezca en el comportamiento de largo plazo).
3. Mientras que el valor del parámetro sea inferior al
máximo, hacer:
1. Ejecutar la simulación durante M pasos de tiempo adicionales.
2. Guardar una muestra de la dinámica [por ejemplo, encontrar los
picos (caso continuo), o guardar el valor actual (caso discreto)].
3. Incrementar el valor del parámetro y volver al paso 1.
M ~ 200 a veces más, diferentes condiciones iniciales…
Ecuaciones de recurrencia
• Podemos expresar en forma genérica la solución
de una ecuación en diferencias de primer orden y
tiempo discreto mediante la siguiente expresión:
donde k es algún parámetro de la función F.
x F xn k n 1 ( )
Ecuaciones de recurrencia
• La iteración de un sistema lineal sólo puede dar
lugar a una sucesión creciente, o a una sucesión
que converge a cero.
• La dinámica iterativa de ecuaciones no lineales
puede dar lugar a comportamientos “extraños”.
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Recurrencia con la calculadora...
• Ponga el modo radianes para la unidad angular.
• Elija un número inicial cualquiera.
• Pulse una y otra vez el botón de la función coseno.
• La serie de números que aparece en la pantalla oscilará y al cabo de un cierto número de pasos se aproximará a un valor estable y no habrá más cambios:
• Dicha serie de números recibe el nombre de órbita, y el punto final se llama punto fijo estable.
3.00000000000000000000000000000000
-0.98999249660044545727157279473126
0.548696133603097038516641574908931
0.85320531150574707016222532057684
...
0.739085128310922996144139146959862
Mapas iterados
• Una forma de representar la
evolución de un sistema
dinámico discreto es a través de
mapas iterados o diagramas de
recurrencia.
• Colocamos en las abcisas los
valores de xn+1 (=y) y en las
ordenadas los de xn (=x).
• Luego dibujamos la función yA=
g(x) = F(xn) y la recta yB=x que
representa xn+1= xn.
Punto fijo
x F xn k n 1 ( )
Mapa iterado del coseno
1 cos( )n nx x
0.739085128310922996144139146959862
x
n
x
y
Atractor o punto fijo estable
• En el siguiente mapa iterado se encuentra nuevamente un punto fijo estable o atractor para la salida del sistema.
• En este caso también se cumple que cuando t la salida del sistema se aproxima a la intersección de la recta yB=x con la función yA=g(x).
• En este caso, el punto fijo del mapa de recurrencia se corresponde con un punto crítico estable en el plano de fase del sistema dinámico equivalente.
Puntos fijos inestables Condición de estabilidad
• La condición de estabilidad de un punto fijo
xn* es:
• La derivada F’ puede calcularse derivando a
F o por medio de:
F xn '( *) 1
F xF x F x
nn n
' ( ) = lím( ) ( )
0
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Una medida del caos
• En las dinámicas caóticas encontramos existe una gran dependencia de las condiciones iniciales.
• La separación de órbitas vecinas está dada en promedio por una función exponencial (no necesariamente exacta).
• Es por esto que en la práctica se hace imposible predecir el comportamiento futuro.
• Estas ideas pueden ser cuantificadas mediante la utilización de los exponentes de Lyapunov.
Exponentes de Lyapunov
• La iteración de una ecuación de recurrencia
a partir de los valores iniciales x0 y x0 + da
como resultado:
• Supongamos que existe un k tal que:
F x F xkn
kn( ) y ( + )0 0
.
0 0( + ) ( ) . knn n
k kF x F x e
n: iteración, k: parámetro
Exponentes de Lyapunov
• A medida que 0 y n siempre que también 0, tendremos:
que expresa la separación exponencial promedio entre la órbita partiendo de x0 y la órbita partiendo de x0 + .
.. kne
.0( ) k
nnk
n
dF xe
dx
Exponentes de Lyapunov
• Luego podemos escribir:
• Si este límite existe, k es una medida de la separación exponencial promedio de las órbitas vecinas a todos los puntos de una órbita alrededor de un atractor.
01 2 0
( )1 1lím ln lím ln '( ). '( )... '( )
n
kk k n k n k
n nn
dF xF x F x F x
n dx n
1
0
1lím ln '( )
n
k k in
i
F xn
Regla de la Cadena
Exponentes de Lyapunov
• Separación exponencial promedio de las órbitas vecinas a todos los puntos de una órbita alrededor de un atractor.
Exponentes de Lyapunov
• Para ciclos estables k < 0 y las órbitas convergen.
• Para atractores extraños encontramos que k > 0 y
las órbitas no convergen.
• Siendo cuando ocurre una bifurcación
tenemos entonces k= 0.
• Se llaman ciclos superestables cuando k - ya
que en estos casos y la velocidad de
convergencia a la estabilidad es máxima.
'( ) 1k nF x
'( ) 0k nF x
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Caos en sistemas discretos
La ecuación logística
Ejemplo: la ecuación logística
• Una de las ecuaciones más sencillas que describen sistemas caóticos.
• Está inspirada en un modelo poblacional (Lotka-Verhulst):
Población de N(t) individuos y recursos limitados dados por r
dN
dtr N
N
N
1
Ejemplo: la ecuación logística
• Si discretizamos esta ecuación utilizando el método de Euler podemos llegar a:
Nt +1 = k Nt (1- Nt ) , 0 < N < 1,
donde k juega el papel de r.
• Esta ecuación de recurrencia se denomina ecuación logística.
Nt +1 = k (-Nt2 + Nt ), 0 < N < 1,
Ejemplo: la ecuación logística
(•) 2 - (•)
No linealidad
z -1
k -
Ganancia
Retardo
Nt+1
Nt
Sistema no lineal de control realimentado con retardo
Ejemplo: la ecuación logística
• Observación:
– Este modelo demográfico simple de tiempo
discreto podemos considerarlo basado en
generaciones.
– Puede considerarse que cada 20 años aparece
una nueva generación, por lo que no es
necesario considerar los instantes de tiempo
intermedios.
¿Que pasa cuando cambiamos k?
Ejemplo: la ecuación logística
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Ejemplo: la ecuación logística
• En la notación anterior:
• En este caso tendremos puntos fijos de la
recurrencia cuando:
F N k N Nk t t t( ) ( ) . 1
F N N k N kNk t t t t( ) ( - ) + 121 0
Ejemplo: la ecuación logística
• Para k < 1 (mortandad mayor que natalidad)
la ecuación anterior posee una única
solución Nt(1)=0.
• Para k >1 encontramos dos soluciones:
(1) (2) 10 y =t t
kN N
k
• Para k = 2.9 tenemos el siguiente resultado:
Ejemplo: la ecuación logística Ejemplo: la ecuación logística
• En el contexto demográfico:
– la vida no aparece espontáneamente de la nada,
pero si hay una cantidad de individuos, por
pequeña que sea, la especie no desaparecerá (en
este modelo simple), sino que tenderá a un
valor estacionario no nulo que dependerá de la
cantidad de alimento disponible.
Ejemplo: la ecuación logística
• Para llegar a un punto fijo estable en la
recurrencia debe cumplirse que:
• Entonces:
F N k Nk t t'( *) ( *) 1 2 1.
1 1F N kk t'( )(1)
1 2 1F N kk t'( )(2)
Ejemplo: la ecuación logística
• Para k > 3 ambos puntos
fijos son inestables.
• La desestabilización de Nt(1)
cuando k=1 se produce
porque F1’(0)=1.
• Para Nt(2) en k=3 tenemos
F1’(0)= -1. Así en k=3 se
produce la bifurcación o
duplicación de período.
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• Para k = 3.1 se produce la bifurcación:
Ejemplo: la ecuación logística
• Ahora la comida ha aumentado hasta el punto en que una generación pequeña dispone de tanto alimento que tiene un rápido crecimiento de forma súbita, mientras que en la siguiente generación hay demasiados individuos pero una cantidad insuficiente de comida, por lo que la población vuelve a bajar en la siguiente generación, y así sucesivamente.
• Este comportamiento estable puede observarse en algunas colonias de bacterias.
Ejemplo: la ecuación logística
• Si seguimos aumentando k, este ciclo de periodo 2 se convierte en un ciclo de periodo 4, después en uno de periodo 8, y así sucesivamente.
• En cada bifurcación, el sistema sufre un cambio drástico en su comportamiento a largo plazo.
• Para k > 3.5699 el sistema ya no sigue un ciclo periódico, sino que siempre varía sin repetirse a sí mismo.
• Este comportamiento recibe el nombre de caos.
Ejemplo: la ecuación logística
• Para k = 3.9 tenemos:
Ejemplo: la ecuación logística
• Si representamos los puntos fijos estables, o los puntos
pertencientes a ciclos estables, en función de k, se puede
ver que cada uno de los ciclos se bifurca en otro de periodo
doble que el original.
Ejemplo: la ecuación logística
N,k
k Diagrama de bifurcación
• Por encima de k=3.5699 el comportamiento es caótico, por
lo que un continuo puntos corresponden a un mismo valor
de k (la órbita ya no es periódica, y toma infinitos valores
de Nt).
• Se puede apreciar la “autosemejanza” típica de las
estructuras fractales.
Ejemplo: la ecuación logística
N,k
k Diagrama de bifurcación
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Ejemplo: la ecuación logística
N,k
k
k
• Existen ventanas de comportamiento periódico en la zona
caótica. El exponente de Lyapunov predice éstas
haciéndose repentinamente negativo.
• Las bifurcaciones se corresponden con los k=0.
Ejemplo: la ecuación logística
• Conclusión: Un sistema tan sencillo como el descripto
por la ecuación logística puede presentar, bajo ciertas
condiciones, comportamiento caótico y estructura fractal.
N,k
k
Otros ejemplos relacionados
• Regulación de la densidad de Neutrófilos.
• Variabilidad Cardiovascular.
• Ritmos Circadianos.
Complex Dynamics in Physiological Control Systems (Cap. 10)
Caos vs inestabilidad numérica
Condiciones iniciales Observación
• Si las condiciones iniciales fueran
exactamente las mismas, las trayectorias
también serían exactamente iguales porque
las ecuaciones siguen siendo
determinísticas.
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Caos en sistemas continuos
Vance / Lorenz
Caos en sistemas continuos
• La discusión anterior se basó en ecuaciones
en diferencias finitas, es posible también
que surja caos en sistemas continuos.
• Pero el sistema debe tener por lo menos tres
variables de estado.
Caos en sistemas continuos
• Ejemplo: Modelo de dos presas y un
predador (Vance 1978)
Caos en sistemas continuos
Ecuaciones de Lorenz
Identificando el caos
Series de tiempo
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“Firmas” del caos
• Es sorprendentemente difícil determinar sin
ambigüedad la existencia de caos en series
de tiempo teóricas o empíricas.
“Firmas” del caos
“Firmas” del caos “Firmas” del caos
“Firmas” del caos
• Sugihara (1994):
1. Patrones en la serie de tiempo (o su espectro).
2. Estructura en el espacio de fase (atractores).
3. Dimensionalidad de esta estructura (fractal).
4. Sensibilidad a condiciones iniciales.
5. Controlabilidad de la serie de tiempo.
“Firmas” del caos
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“Firmas” del caos “Firmas” del caos
• Dimensionalidad de la estructura:
– Dimensión de correlación (Mullin 1993).
• Sensibilidad a las condiciones iniciales:
– Exponentes de Lyapunov.
– Predictibilidad.
• Controlabilidad:
– Control de un sistema caótico (Ott y Yorke
1990).
“Firmas” del caos “Firmas” del caos
Ejemplo: Escarabajos Tribolium Ejemplo: Escarabajos Tribolium
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Ejemplo: Escarabajos Tribolium Caos en biología
• ¿Existe el caos biológico o sólo existe el
caos matemático?
• En el caso que exista, ¿Es algo común en la
naturaleza?
• ¿Puede aparecer caos en un sistema
fisiológico saludable o indica la presencia
de enfermedad?
Fractales Definición de Fractal
• Un fractal es un “objeto” cuya estructura básica,
fragmentada o irregular, se repite a diferentes
escalas.
• La propiedad matemática clave es que su
dimensión métrica fractal es un número no entero.
• Deriva del latín fractus, que significa quebrado o
fracturado.
• El término fue propuesto por Mandelbrot
en 1975.
Fractales en el arte y la cultura
• Cruz germana (o
recrucetada):
– significa la
propagación del
evangelio a las cuatro
puntos cardinales.
Muy usada en
heráldica.
Fractales en el arte y la cultura
• Iglesia romana de
Santa María del
Trastevere:
– Mosaico que
reproduce hasta cinco
niveles de uno de los
fractales más
conocidos: triángulo
de Sierpinski.
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Fractales en el arte y la cultura
• Dios el Geómetra:
grabado medieval…
Fractales en la naturaleza
• “Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, y la
luz no viaja en línea recta. La complejidad de las
estructuras de la naturaleza difiere en tipo, no meramente
en grado, de aquella proveniente de las formas de la
geometría ordinaria”.
Mandelbrot, “Introduction to the Fractal Geometry of Nature”
Fractales en la naturaleza Fractales en la
naturaleza
Fractales en la naturaleza
Brocoli Romanesco
Marismas
Girasol
Fractales en la naturaleza
• Montañas
“fractales”
sintéticas y
reales…
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Fractales en la naturaleza
• También es posible
modelizar mediante
geometría fractal
diversos procesos
naturales como, por
ejemplo, los
procesos erosivos
sobre un terreno.
Fractales en la naturaleza
• Un ejemplo clásico de estructura fractal se
observa en hidrodinámica cuando un fluido
poco viscoso desplaza a otro más viscoso. La
interfase que se crea tiene estructura
compleja.
Fractales en Fisiología
• Estructura del árbol bronquial.
Fractales en Fisiología
• Estructura del árbol arterial.
Fractales en Fisiología
• Estructura del cerebro.
Señales Fractales
• Señal artificial.
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Fractales en Fisiología
• Señal de EEG.
Fractales en Fisiología
• Señal de
VFC.
Fractales en Biología
• Crecimiento
bacteriano en
una cápsula
de Petri.
Fractales en las Matemáticas
• Desde principios del siglo XX matemáticos
como Cantor , Poincaré o Julia , se
interesaron por el estudio de objetos extraños
(“monstruos matemáticos”) que no encajaban
en las ideas de la geometría clásica.
• Muchos de estos objetos se construían
mediante algoritmos iterativos, partiendo de
un “iniciador” y aplicando reiterativamente un
conjunto de transformaciones.
Fractales en las Matemáticas
• De esta forma se
pueden definir gran
cantidad de objetos
matemáticos con
propiedades comunes,
como la
autosemejanza .
Longitud infinita encerrada en
un área finita!!!!
Fractales: el conjunto de
Mandelbrot • Si consideramos ahora
iteraciones de la función z2+c, para distintos valores de c (complejo).
• Y graficamos aquellos valores de c donde la órbita está acotada.
• Encontramos un objeto que posee estructura a cualquier escala y contiene copias de sí mismo.
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Fractales: el conjunto de
Mandelbrot Como generar el Conjunto de Mandelbrot
• Se genera estudiando el comportamiento de la iteración de la ecuación
compleja :
Zn+1 = Zn2 + C
• donde Z, C son complejos, la condicion inicial es Z = 0 + 0i y a C se le asignan
todos los puntos del plano complejo.
• Se convierte para cada pixel de la pantalla a coordenadas del plano complejo,
se le asigna a C este punto y se comienza a iterar la ecuación.
• Si |Z|>2 y no se supero MaxIterations, se sale del bucle y se le asigna a ese
pixel un color de acuerdo al número de iteraciones realizadas, entonces ese
pixel esta fuera del Conjunto de Mandelbrot.
• Si se alcanza el número máximo de iteraciones MaxIterations, y el módulo
sigue siendo |Z|<2 entonces se asume que el pixel esta dentro del Conjunto de
Mandelbrot, y le asignamos el color negro.
Formalización del concepto de
Fractal • La geometría fractal permite estudiar fenómenos
irregulares que no pueden ser caracterizados con las
teorías geométricas clásicas.
• Invarianza a cambios de escala: Misma estructura
(determinística o estadística) a cualquier escala.
¿Cuál es el largo de la costa de
Gran Bretaña?
Dimensión fractal
La dimensión fractal
• El desarrollo de la geometría fractal ha permitido
obtener parámetros cuantitativos para definir el
“grado de irregularidad ” de un determinado objeto.
• Uno de los parámetros más representativos es el de
dimensión fractal , una generalización de la
dimensión euclídea para objetos autosemejantes.
La dimensión fractal
• El concepto de dimensión euclídea asigna un
número natural a los distintos objetos geométricos
que pueden definirse en un espacio dado.
• Este concepto de dimensión tiene diversas
interpretaciones intuitivas como: el número de
parámetros necesarios para definir un objeto.
La dimensión fractal
• Otra forma: Si partimos de un segmento de longitud 1, y lo partimos
en segmentos de longitud L obtendremos N(L) partes, de manera que
N(L).L1 = 1, cualquiera que sea L.
• Si el objeto inicial es un cuadrado de superficie 1, y lo comparamos
con unidades cuadradas, cuyo lado tenga de longitud L, el número de
unidades que es necesario para recubrirlo N(L), cumple N(L).L2 = 1.
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La dimensión fractal
• De todo esto podemos generalizar que la dimensión de un objeto
geométrico es el número D que cumple:
N(L).LD = 1, y D = log(N(L))/log(1/L)
• donde N(L) es el número de objetos elementales, o de unidades, de
tamaño L que recubren el objeto.
Ejemplo:
Al reducir la escala de la curva de
Koch a 1/3, nos encontramos con
que se descompone en 4 partes.
D = log 4 / log 3 = 1, 2618. . .
La dimensión fractal
• Otros ejemplos:
La dimensión fractal
• Demostración:
coast\coast.exe
¿Cómo construyo un modelo
fractal o caótico? • Ejemplo: 1) Detecto si el fenómeno
posee estas características (medidas).
2) Recojo datos experimentales.
3) “Armo” mi modelo.
4) Encuentro parámetros o soluciono el problema inverso (por ej: Algoritmos Evolutivos).
La complejidad de los problemas
hace que, en la práctica, pueda ser
necesario utilizar algún tipo de
estrategia híbrida para resolverlos.
Bibliografía
• James W. Haefner, “Modeling Biological Systems”, 2nd
Ed., 2005 (Cap. 18).
• Cambel, A. B., “Applied Chaos Theory”. Academic
Press, 1993.
• Wiggins, Stephen, “Introduction to applied nonlinear
dynamical systems and chaos”. Springer-Verlag, 1990.
• Drazin, P.G., “Nonlinear systems”. Cambridge
University Press, 1992.
• Verhulst, Ferdinand, “Nonlinear differential equations
and dynamical systems”. Springer-Verlag, 1990.
Bibliografía
• Michael C. K. Khoo, “Physiological Control Systems:
Analysis, Simulation, and Estimation”, Wiley-IEEE Press,
1999 (Cap. 10).
• Mandelbrot, Benoit B., “The fractal geometry of nature”.
W. H. Freeman, 1982.
• Peitgen, H. O. - Ritcher, P. H., “The beauty of fractals:
images of complex dynamical systems”. Springer Verlag,
1986.
• Ilya Prigogine, “El fin de las certidumbres”. Andrés Bello,
1996.
• Gutiérreza Cabria, Segundo. “Dios: ciencia y azar”.
Madrid, BAC, 2003.