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Capítulo 5 Obtención de las Variables Estimadas

Capítulo 5: Obtención de las Variables Estimadas

Control DTC Síncrono aplicado a una MSIP 148



5. OBTENCIÓN DE LAS VARIABLES ESTIMADAS

5.1. INTRODUCCIÓN. En ocasiones, por razones económicas o tecnológicas, no es posible medir todas las variables de estado de un sistema. Este problema fue abordado por Luenberger [LUENB64] [LUENB66] [LUENB71], desarrollando el que se conoce como Observador de Luenberger y por Kalman y Bucy [KALM61], dando lugar a los denominados filtros de Kalman-Bucy. La primera de estas soluciones es más adecuada para sistemas donde las medidas no están contaminadas con ruido, mientras que los filtros de Kalman-Bucy se utilizan en el caso de trabajar con sistemas afectados de ruido. En este trabajo se entenderá por estimador, de un modo general, un sistema dinámico cuyas variables de estado son estimaciones de las variables de estado de otro sistema, que puede ser, por ejemplo, una máquina eléctrica. Existen básicamente dos formas de obtener las variables estimadas: mediante un esquema en lazo abierto o mediante uno en lazo cerrado. La diferencia entre ambos métodos se basa en la existencia o no de un término de corrección, relacionado con el error de la estimación, utilizado para ajustar la respuesta del estimador. A lo largo de este trabajo se entenderá por observador a estimador en lazo cerrado y estimador a uno en lazo abierto. Los estimadores en lazo abierto, especialmente a bajas velocidades, presentan problemas debido a las desviaciones de los valores de los parámetros, tanto en régimen permanente como en transitorio. Una forma de aumentar la robustez de las estimaciones frente a errores en los valores de los parámetros o de señales de ruido, es emplear un observador. Las propiedades que debe poseer un buen estimador son: robustez frente a errores en los parámetros del modelo y en las medidas, inmunidad al ruido, rapidez de convergencia y baja carga computacional [VAS98]. Algunas de estas propiedades entran en conflicto, como la rapidez de convergencia y la inmunidad al ruido, por lo que se suele optar por una solución de compromiso que dé prioridad a una de ellas, garantizando un nivel razonable para el resto. Así, los estimadores dan prioridad a la simplicidad. Los observadores se diseñan para optimizar la velocidad de convergencia (observadores de estado), existiendo adicionalmente la posibilidad de reducir la influencia del ruido (filtro de Kalman). El sistema a controlar puede ser representado de forma determinista o estocástica, deberá elegirse un observador del mismo tipo en cada caso [VAS93]. Los dos tipos de observadores más utilizados son el observador de Luenberger y el filtro de Kalman, siendo el primero de tipo determinista y el segundo de tipo estocástico. Estos dos observadores tienen su aplicación limitada a sistemas lineales, que además deberán ser invariables en el tiempo, para el caso de Luenberger. Por ello se aplican



cada vez más las versiones extendidas de ambos observadores que permiten la aplicación a sistemas no lineales. Un observador de Luenberger extendido se puede aplicar a sistemas deterministas no lineales y variables en el tiempo. Debido a su facilidad de ajuste es una alternativa a considerar para su implementación en sistemas industriales. El filtro de Kalman extendido (Extended Kalman Filter, EKF) proporciona no solo estimaciones de las variables de estado sino también de parámetros del sistema. Este sistema es un filtro recursivo que incorpora en la estimación los valores estadísticos de los ruidos asociados a los estados y a las medidas. Este observador presenta la ventaja de tratar el sistema de forma mas realista pero a su vez precisa de un mayor cálculo computacional. Este hecho se ha estudiado en [MORA01]. Otra posibilidad en este sentido es la aplicación de un observador de “gran-ganancia” (High-gain observer). Se trata de un observador extendido aplicable a sistemas no lineales y generalmente más sencillo de ajustar que un filtro de Kalman. Por último existe la posibilidad de emplear estimadores basados en inteligencia artificial. En este sentido se pueden considerar dos líneas básicas: soluciones basadas en redes neuronales artificiales (Artificial Neural Networks, ANN), y redes de lógica borrosa (fuzzy logic). Estas técnicas presentan ventajas como la no necesidad de conocer con gran precisión el sistema a controlar y se espera serán desarrolladas en el futuro. Para la aplicación de un control DTC es necesario conocer la estimación de dos variables: el par electromagnético y el flujo estatórico. Ambas variables no son accesibles físicamente, por lo que será necesario estimarlas u observarlas. En este capítulo se presentan en primer lugar estimadores del flujo estatórico y del par electromagnético. A continuación tres esquemas de estimadores en lazo cerrado (observadores) serán presentados: obsevador de estado de Luenberger, observador de “gran ganancia” y filtro de Kalman. Como se explicará en el capítulo 6 en el sistema experimental finalmente se implementó un estimador debido a restricciones temporales impuestas por la tarjeta de control empleada. Esto no impide realizar el estudio sobre las diferentes posibilidades para la obtención de las variables estimadas presentado aquí. En efecto, un trabajo futuro propuesto será la implementación del sistema de control DTC síncrono empleando un observador, siempre que no existan las limitaciones tecnológicas presentes en nuestro caso.

5.2. ESTIMADORES La medida directa del flujo del entrehierro incrementa el coste económico, reduce la fiabilidad del accionamiento, requiere de motores especiales y no es fácil de aplicar en máquinas convencionales. La alternativa a la medida directa del flujo es su estimación a partir de un modelo electromagnético y de las tensiones y las corrientes de línea. Los estimadores son simuladores en tiempo real de las ecuaciones dinámicas del modelo de la máquina. Tienen como ventaja fundamental su simplicidad, y como principal inconveniente su velocidad de convergencia limitada [VERGH88].



La obtención de la estimación del flujo estatórico se realiza a partir de la ecuación del fasor espacial de tensión estatórica, ya presentada en el capítulo 2 y repetida aquí:

( )s s s su R i dtφ = −∫r rr (0.1)

De esta expresión se pueden obtener las componentes del vector de flujo estatórico, en un sistema de referencia ligado al estator,

( )

( )s s s s

s s s s

u R i dt

u R i dt

α α α

β β β

φ

φ

= −

= −

∫∫

(0.2)

Las componentes (α,β) de las tensiones y corrientes estatóricas se pueden obtener a partir de los valores trifásicos medidos, y posteriormente transformados al sistema bifásico mediante la matriz T (ec. 2.10) presentada en el capítulo 2. En el esquema de control DTC Síncrono, desarrollado en el capítulo 4, se han empleado las componentes polares (módulo y ángulo) del vector sφ

r estimado, las

cuales se obtienen como:

2 2s s sα βφ φΦ = + (0.3)

1tan s

s

β

α

φγ

φ− ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(0.4)

En la Figura. 5.1 se muestra un diagrama de bloques del estimador de flujo estatórico en coordenadas (α,β) descrito en este apartado.

∫ ˆsΦ

γ

+

+

-

-

su α

su β

sR

sR

si α

si β

sαφ

sβφ∫

2 2s sα βφ φ+

( )1tan /s sα βφ φ−

Figura. 5.1. Diagrama de bloques de un estimador de flujo estatórico.

La precisión de la estimación depende de varios factores. Por un lado es importante el método de integración elegido y las condiciones en que se realiza, debido a posibles errores de cuantización en el sistema digital. Al utilizar un estimador, en cada paso de cálculo se genera una constante de integración que no es tenida en cuenta para la estimación. Esta constante provocará un error acumulativo en los valores estimados que no podrá ser compensado en este esquema.

( ) ( ) ( )( )ˆ k T

ss k s k s kk

u R i k+∆

Φ = − +∫ (0.5)



Este es un problema típico de los estimadores, que se resuelve con el empleo de un esquema en lazo cerrado. Una solución propuesta en la literatura [VAS98] es sustituir los integradores en lazo abierto de la Figura. 5.1 por integradores en lazo cerrado o por filtros paso bajo donde se reemplaza la integración pura “1/s” por “T/(1+sT)”, donde T es una constante de tiempo. Otro factor a tener en cuenta es la precisión en la obtención de las tensiones y corrientes estatóricas, y en los factores de conversión aplicados a las mismas. Por último la estimación también será sensible al valor considerado de los parámetros del motor, especialmente la resistencia estatórica para el estimador de la Figura. 5.1 y sus posibles variaciones debido a las condiciones térmicas del sistema. En la parte experimental de esta tesis se ha implementado un estimador en coordenadas (d,q) como el representado en la Figura. 5.2. La razón de esta elección se basa en limitaciones técnicas impuestas por la tarjeta de control utilizada en relación a la frecuencia máxima de trabajo. En esta referencia ligada al rotor la frecuencia de trabajo puede ser inferior que en las coordenadas (α,β), ya que en régimen permanente seniodal las variables en ejes (d,q) tendrán valores constantes, lo cual no sucede en la referencia ligada al estator. Estas limitaciones tecnológicas serán explicadas en detalle en el capítulo 6, en la descripción del sistema físico.

2 2sd sqφ φ+

ˆsΦ

δ

+sdi

sqi

fΦ

sdφ

sqφ ( )1tan /sq sdφ φ−

(a,b,c)a

(d,q)

+Ls

γ

rθLs

sai

sbi

sci +

+

Figura. 5.2. Estimador en coordenadas (d,q)

Se puede observar del esquema de la Figura. 5.2 que existirá una dependencia de los parámetros de la máquina: Ls (inductancia de una fase estatórica) y Φf (flujo creado por los imanes permanentes). Se considerará que este último parámetro no varia significativamente y a continuación se mostrará un estudio de sensibilidad únicamente relacionado con la influencia de la variación de Ls, debido a la dependencia de su valor con el nivel de saturación de la máquina.

5.2.1. ESTUDIO DE SENSIBILIDAD FRENTE A VARIACIONES PARAMÉTRICAS. En el capítulo 4 fué presentado un estudio de la influencia de los errores en la estimación del flujo estatórico y del ángulo interno sobre el método de control DTC a frecuencia constante. Aquí se va a estudiar la sensibilidad a la variación paramétrica de Ls cuando se emplea un estimador como el mostrado en la Figura. 5.2. Al igual que en el estudio del capítulo 4 se definirán los errores de estimación como:



sn sLs

sn

L LL

ε −= (0.6)

ˆδ

δ δεδ−

= (0.7)

ˆs s

s

εΦΦ −Φ

=Φ

(0.8)

siendo Lsn el valor nominal de la inductancia estatórica y (Φs ,δ) los valores medidos del modelo del motor. Se ha provocado una variación de εLs entre -100% a +50%, es decir, de Ls = 2Lsn a Ls

= 0.5Lsn. Para cada valor de εLs se ha realizado una simulación en régimen permanente sin incluir el modelo del inversor trifásico a fin de evitar los errores derivados del mismo. En el esquema de simulación se ha incluido el esquema de control DTC síncrono, con entradas directas de las consignas de flujo estatórico y ángulo de carga, fijos a los valores: Φs

# = Φf y δ# = 0.14. Los valores tomados para la realimentación son los obtenidos de la salida del estimador ( ˆ

sΦ y δ ). Los resultados obtenidos se muestran en la Figura. 5.3.

-100 -50 0 50-1

0

1

2

3

eps Ls en %

eps Phis en %

(a)

-100 -50 0 50-100

-50

0

50

eps Ls en %

epsdeltaen%

(b)

Figura. 5.3. Errores en la estimación del (a) módulo del flujo estatórico y (b) ángulo delta, en función de la variación de la inductancia estatórica Ls.

Se puede constatar que el error de estimación del flujo εΦ es poco sensible a la variación de Ls mientras que el error del ángulo delta es mucho más sensible ya que su error varia entre el -100% y el +50%. Estos resultados se pueden relacionar con los obtenidos en el estudio realizado en el capítulo 4 sobre la influencia de los posibles errores de estimación de Φs y δ. Entonces se extrajo la conclusión de que los errores de convergencia del flujo estatórico y del ángulo interno son poco dependientes de un error en la estimación del ángulo delta, siendo mayor su sensibilidad a errores en la estimación del módulo del flujo estatórico. En la Figura. 5.4 se han representado, en función de εLs , la evolución de los errores relativos de ambas variables definidos como:

#

#

ˆ_ s s

s

error Φ −ΦΦ =

Φ y

#

#

ˆ_error δ δδ

δ−

= (0.9)



-100 -50 0 50-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

eps Ls en %

error Phis en %

(a)

-100 -50 0 502

2.2

2.4

2.6

2.8

eps Ls en %

error delta en %

(b)

Figura. 5.4. Evolución de (a) error_Φs y (b) error_δ en función de εLs.

De la figura anterior se observa que para una variación de εLs de -100% a +50% el error_Φ varia de [-0.4%, 0.4%], y el error_δ lo hace entre [2%, 2.6%]. Ambos valores son reducidos, siéndolo sobre todo el error_Φ principalmente influenciado por Φ. El error_δ es algo superior, pero se ve poco afectado por las variaciones paramétricas, por lo que se considerará también aceptable. Estos resultados nos permiten afirmar que los errores de estimación de las variables debidos a la variación del parámetro Ls no son muy significativos, por lo que el empleo de un estimador puede considerarse como adecuado.



5.3. OBSERVADORES En los estimadores la rapidez de convergencia viene determinada por los autovalores de las ecuaciones dinámicas del modelo, y son dependientes de la velocidad, considerada esta última como parámetro. Con el fin de acelerar la convergencia del estimador se incluye un término correctivo proporcional al error de la predicción entre una variable medida y su valor estimado. Hablamos entonces de observadores. En el filtro de Kalman, se emplea esta configuración con la diferencia de que el diseño de la ganancia del término correctivo se realiza mediante criterios estocásticos basados en la minimización del ruido presente en la estimación. Para reducir la influencia de los errores o variaciones de los parámetros (resistencia e inductancia estatórica, saturación del flujo rotórico) en la estimación del flujo, se suelen emplear algoritmos de estimación para aquellos parámetros más relevantes. De esta forma es posible adaptar en tiempo real el valor de los parámetros en el estimador de flujo, incrementando considerablemente su robustez [ZAMOR97]. A continuación se presentarán los diferentes observadores desarrollados a partir del modelo de la máquina síncrona de imanes permanentes.

5.3.1. OBSERVADOR DE ESTADO DE LUENBERGER Como se ha mencionado anteriormente el observador de Luenberger es aplicable únicamente a sistemas deterministas lineales e invariantes en el tiempo. El observador de Luenberger extendido se puede aplicar a sistemas deterministas no lineales y variables en el tiempo. El observador mas empleado para la determinación conjunta de variables de estado y parámetros ha sido estos últimos años el observador de Kalman extendido. Sin embargo este estimador presenta desventajas en situaciones donde el contenido de ruido entre el sistema y las medidas asociadas es demasiado bajo. Pero el principal inconveniente del EKF es la imposibilidad de ajustar su respuesta dinámica sin afectar a la respuesta en régimen estacionario. Si el observador se emplea para estimar todas las variables de estado del sistema, independientemente de si se pueden medir o no, se le denomina observador de orden completo. En otras ocasiones esto no será necesario, pues habrá variables de estado medibles de forma directa. Las variables de estado y las de salida están relacionadas, y ya que estas últimas son medibles, solo será necesario observar (n-m) variables de estado, donde n es la dimensión del vector de estado y m es la dimensión del vector de salida. Cuando el observador únicamente estima el número mínimo de variables de estado, se le denomina observador de estado de orden mínimo. En determinadas ocasiones puede resultar mas sencilla la aplicación de un observador de orden mínimo, cuando el número de variables del sistema es muy elevado [BRIZ95]. Para una máquina síncrona de imanes permanentes las variables de estado normalmente consideradas para el observador son las intensidades de ejes (d,q), la velocidad del rotor y la posición del mismo. Esto se aplica a sistemas en los que se realiza algun tipo de control vectorial y no se tiene acceso a la medida de la



velocidad/posición. Por tanto el vector de estado del observador de orden completo es: x=[isd, isq, ωr, θr ]’. En un estimador de orden reducido, no será necesario realizar la estimación de las variables a cuya medida se tenga acceso. El vector de estado se separa entonces en dos partes, variables de estado accesibles (xa) y no accesibles (xb). Unicamente se estiman por tanto las variables a las que no se tiene acceso (xb), y el vector de estado anterior, en un caso donde no se mide la velocidad (sensorless) general será: x=[xa1, xa2, xb1, xb2]’=[isd, isq, ωr, θr ]’. Vemos que las variables de estado no cambian, pero si cambiará su tratamiento, como se detalla en el apartado en el que se describe el observador de orden mínimo. En un sistema de control basado en DTC es necesaria la estimación de las componentes del vector de flujo estatórico y, si no se dispone de su medida, de la velocidad y posición rotórica. Por tanto, para un sistema completo se considerará como vector de estado: x=[φsd, φsq, ωr, θr ]’. En esta tesis se dispone de un sensor mecánico para realizar la medida de la velocidad del rotor de la máquina, por lo que solo será necesario estimar el valor de las componentes del vector de flujo estatórico. A continuación se presenta el modelo de estado de la MSIP empleado en el diseño del observador empleado. El siguiente apartado presenta de forma breve la formulación correspondiente a un observador de estado de orden mínimo, que no será necesario aplicar con el sistema de control aqui tratado. Un observador de estado genera las variables observadas a partir de la medición de las variables de salida y de control del modelo dinámico de la planta. Debe destacarse que el diseño de observadores de estado no es posible si el sistema no es observable. Por tanto, deben de cumplirse las condiciones de observabilidad [OGAT93].

5.3.1.1. OBSERVADOR DE ORDEN COMPLETO El observador básico de Luenberger se aplica para la estimación de variables de estado de un sistema lineal, invariante en el tiempo representado como:

( ) ( ) ( )( ) ( )

x t Ax t Bu t

y t Cx t

= +

=

& (0.10)

donde: x es el vector de variables de estado (dimensión n).

y es el vector de variables de salida (dimensión m). u es el vector de variables de entrada. A es la matriz de estado (dimensión nxn). B es la matriz de relación estado-entrada C es la matriz de relación estado-salida (dimensión mxn).

MODELO DE ESTADO EN TIEMPO CONTINUO. A partir de las ecuaciones del modelo dinámico en ejes d,q de la MSIP presentadas en el capítulo 2, se realizará un cambio de variable de estado que simplificará notablemente la formulación del estimador. Este cambio introduce una nueva



variable de estado denominada dfφ , que será definida como: df sd fφ φ= −Φ . De esta forma el modelo de la MSIP en tiempo continuo queda:

dfsd s sd r sq

sqsq s sq r df r f

du R i

dtd

u R idt

φω φ

φω φ ω

= + −

= + + + Φ

(0.11)

df s sd sd f

sq s sq

L i

L i

φ φ

φ

= = −Φ

= (0.12)

Siendo el vector de estado x = [φdf φsq]’ ,el vector de entradas es u = [usd usq Φf ]’ considerando el flujo creado por los imanes (Φf ) fijo y conocido; y el vector de salidas y = [isd isq]’ . Las matrices de estado del modelo son:

sr

s

sr

s

RL

ARL

ω

ω

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦

; 1 0 00 1 r

Bω

⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

;

1 0

10

s

s

LC

L

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

; (0.13)

En cuanto a las condiciones de observabilidad para sistemas lineales, se dice que el sistema es completamente observable, si cada estado x(to) se puede determinar a partir de la observación de y(t) en un intervalo de tiempo finito to≤t≤t1. El sistema será completamente observable si cada transición del estado afecta a cada elemento del vector de salida. La condición de observabilidad se puede comprobar matemáticamente y se cumplirá cuando la matriz de observabilidad sea de rango completo. Esta matriz se define como:

2

1n

CCA

O CA

CA −

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

M

(0.14)

Asumiendo que solo los vectores de entrada u(k) y salida y(k) pueden ser medidos y que el sistema es observable, se puede obtener un observador a partir de un modelo idéntico al de la planta, conectado en paralelo, como se muestra en la Figura. 5.5. La corrección de los estados estimados se obtiene considerando el término de error entre el vector de salidas estimadas y medidas,

( ) ( ) ( )ˆe t y t y t= − (0.15) y la matriz de ganancia del observador (Ke).



1/s

A

B C

1/s

A

B C

Ke

( )u t ( )y t

ˆ( )y tˆ( )x t

( )x t+

-

+

+

+

+

+

Planta

Observador

Figura. 5.5. Esquema de bloques del observador de orden completo de Luenberger.

La ecuación del observador de Luenberger de orden completo se escribe entonces:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆex t Ax t Bu t K y t Cx t= + + ⎡ − ⎤⎣ ⎦& (0.16)

donde ( )x t es el vector de estado estimado. Para el modelo de la MSIP anterior se expresa como:

1 0ˆ ˆ ˆ1 0 0ˆ ˆ0 1 1ˆ 0

sr sd

df df sd dfs ssq e

sqrs sq sqsq r fss

Ru

iL Lu K

iRLL

ωφ φ φ

ωφ φφ ω

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤− ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= + + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥− − Φ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

&

& (0.17)

La matriz eK debe ser elegida de forma que se cumpla:

( ) ( )ˆlimt

x t x t→∞

= (0.18)

La relación (0.16) se puede escribir también en forma de ecuación homogénea en diferencias, para dos instantes de tiempo consecutivos como,

( ) [ ] ( )ex t t A K C x t∆ + ∆ = − ∆ (0.19) Su evolución dependerá entonces solo de las condiciones iniciales, pero no de las entradas del sistema. Para que el observador sea estable se deben posicionar todas las raices de su ecuación característica en el semiplano negativo. La dinámica del observador será determinada entonces por un posicionamiento de polos de la matriz Ke adecuado.

5.3.1.2. OBSERVADOR DE ORDEN MÍNIMO Un observador de estado de orden mínimo se emplea para estimar únicamente las variables de estado que no pueden ser medidas directamente. Es decir, ya que las



variables de estado son combinaciones lineales de las variables de salida, si la dimensión del vector de estado es n y la del vector de salida es m, entonces sólo será necesario estimar (n-m) variables de estado. Un ejemplo de la aplicación de este observador se puede encontrar en [TATEM98]. En la formulación de este observador se considera que se puede dividir el vector de las variables de estado en dos partes que representan las variables que se miden directamente de la salida (xa) y que, por tanto, son conocidas; y las que es necesario estimar (xb). La formulación de estado queda:

a aa ab a a

b ba bb b b

x A A x Bu

x A A x B

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

& M

K L L L K K

& M

(0.20)

[ ]0a

b

xy I

x

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

M K (0.21)

Para obtener la ecuación del observador de orden mínimo, se deberá separar la parte de variables de estado medibles y las que deben estimarse. Para la parte de variables medidas se tiene:

a aa a a ab bx A x B u A x− − =& (0.22) donde se han agrupado las magnitudes conocidas en la parte izquierda de la igualdad. Ésta se considera como la ecuación de salida del observador de orden mínimo. La parte de las variables no conocidas servirá para obtener la ecuación de estado del observador. Esta parte se expresa como:

b bb b ba a bx A x A x B u= + +& (0.23) Se obtendrá ahora la ecuación del observador de orden mínimo a partir de la ecuación empleada anteriormente para el observador de orden completo (0.16). Realizando una serie de transformaciones se llega a la ecuación del observador de orden mínimo:

( ) ( )ˆ ˆb bb e ab b ba a b e a aa a ax A K A x A x B u K x A x B u= − + + + − −& & (0.24) Si ahora se considera ax y= , y llamando a una nueva variable: ˆ ˆb ex K yη = − la ecuación que define el observador de orden mínimo se obtiene, reagrupando los términos de la ecuación (0.24):

( ) ( ) ( )ˆ ˆbb e ab bb e ab e ba e aa b e aA K A A K A K A K A y B K B uη η= − + ⎡ − + − ⎤ + −⎣ ⎦& (0.25)

El objetivo de este último paso es hacer desaparecer la variable ax& , de manera que no sea necesario derivar las variables de salida. La relación a la que se llega entonces es:

( )ˆ ˆb bb e ab b ba a b e ab bx A K A x A x B u K A x= − + + +& (0.26)



De donde se puede deducir la ecuación de error del observador, siendo

ˆ ˆb be x x η η= − = − :

( )bb e abe A K A e= −& (0.27) Existe una equivalencia directa entre las expresiones obtenidas para el observador de orden completo y para el de orden mínimo. Las expresiones válidas en cada caso se muestran en la Tabla. 5.I.

Observador orden completo Observador orden mínimo x ˆbx A bbA

Bu ba bA B u+ y

a aa a ax A x B u− −& C abA

eK eK

Tabla. 5.I. Equivalencia entre las expresiones de los observadores de Luenberger de orden completo y orden reducido.

5.3.2. FILTRO DE KALMAN EXTENDIDO Un filtro de Kalman extendido (Extended Kalman Filter) es un estimador óptimo de estado, de cálculo recursivo, utilizado en sistemas dinámicos no lineales. Su denominación de “extendido” se refiere a la inclusión de estimación de parámetros del sistema junto con la de variables de estado. En esta estimación se tienen en cuenta señales de ruido que representan inexactitudes en el proceso y en las medidas, y que tienen una distribución aleatoria de manera que se asegura la no-correlación entre estas dos señales de ruido [FODOR02][COMN00]. Este algoritmo realiza el cálculo de las variables estimadas en varias etapas. En un primer paso se calcula una predicción de las variables a estimar, a partir de un modelo matemático del sistema (modelo del MSIP, en este caso) que contiene los valores estimados en el paso anterior de cálculo (k). En la siguiente fase se obtienen los valores estimados para el siguiente paso de cálculo (k+1) a partir de una corrección de los resultados de la predicción obtenidos anteriormente. Esta corrección es realizada por un término proporcional al error entre las variables de salida medidas y las estimadas. El EKF genera entonces una salida óptima de la estimación de las variables de estado para el próximo paso de cálculo (k+1).

5.3.2.1. EKF APLICADO A UNA MSIP En este apartado se desarrolla un EKF para una máquina síncrona de imanes permanentes superficiales, donde se estimarán las componentes del vector de flujo



estatórico ( ˆ ˆ,sd sqφ φ ) a partir de los valores también estimados de la intensidad

estatórica en ejes d,q ( ˆ ˆ,sd sqi i ). El vector de estado será extendido, por simplicidad, al valor inverso de la inductacia estatórica (1/Ls), siendo entonces: x = [isd isq 1/Ls]’. Se ha elegido este parámetro al ser el más susceptible de variar debido a la saturación magnética del motor. Además, se seguirá así una coherencia con el estudio de sensibilidad realizado para el estimador. El vector de entradas es u = [usd usq Φf ]’ considerando el flujo creado por los imanes (Φf ) fijo y conocido; y el vector de salidas y = [isd isq]’.

MODELO DE ESTADO EN TIEMPO DISCRETO. Para la implementación del EKF en un sistema digital será necesario realizar una discretización del modelo de la máquina presentado. El modelo en tiempo discreto, para un período de muestreo Te se puede expresar como:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 d d

d

x k A x k B k u k

y k C k x k

+ = +

= (0.28)

donde:

[ ] ( ) ( ) 21exp2d e e eA AT I A k T A k T= ≅ + + ⎡ ⎤⎣ ⎦ (0.29)

( ) ( )12d e eB T I T A k B k⎡ ⎤≅ +⎢ ⎥⎣ ⎦

(0.30)

siendo I la matriz identidad de dimensión 3x3 en este caso. Estas matrices, calculadas en (0.13), se pueden escribir empleando un parámetro (σ) definido como σ = Rs/Ls. Escritas de forma discreta y para el modelo extendido quedan de la siguiente forma:

( ) ( )

( ) ( )

22 2

22 2

1 1 02

1 1 02

0 0 1

⎡ ⎤− + − −⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥

= − − − + −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

ee r e r e

ed e r e e r

TT T T

TA T T T

σ σ ω ω σ

ω σ σ σ ω (0.31)

2 22

2

12 2 2

1 1 12 2 20 0 0

⎡ ⎤⎛ ⎞− −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥

⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥= − − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

e e ee r r

e e ed r e r e

s

T T TT

T T TB T T

L

σ ω ω

ω σ ω σ (0.32)

1 0 00 1 0⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

dC (0.33)



La formulación de Kalman tiene en cuenta la influencia del ruido en las ecuaciones de estado, quedando:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 d d

d

x k A x k B u k v k

y k C x k w k

+ = + +

= + (0.34)

donde v(k) y w(k) son los vectores de ruido del proceso y de las medidas (salidas), respectivamente. Estos vectores son de ruido blanco gaussiano de media cero y matrices de covarianza Q y R, respectivamente. Las dimensiones de ambas matrices de covarianza son Q(3x3) y R(2x2) en nuestro ejemplo, lo que requiere el conocimiento de 13 elementos. No obstante, si se considera que las señales de ruido no están correladas, ambas matrices son diagonales, por lo que solo deben determinarse 5 elementos. Adicionalmente, los parámetros de los ejes directo y en cuadratura son los mismos, lo que significa que los dos primeros elementos de la matriz Q, que sirven a la convergnecia de las intensidades, son iguales (q11=q22), y de forma análoga para la matriz R, (r11=r22). Restará el terber elemento de la matriz Q (q33) relacionado con la convergencia del término 1/Ls. Por tanto, el número de elementos a determinar para las matrices de covarianza se reduce a 3. Por otro lado existe la matriz P, que representa la matriz de covarianza de los estados (predicción de los estados). En la Figura. 5.6 se muestra un esquema de bloques del EKF.

Ke

( )u k

( )y k

ˆ( )y kˆ( )x k

( )x k+

+

+

+

+-+

Planta

Observador

+ +

+

v w

z-1

z-1

dA

dB dC

dCdB

dA

Figura. 5.6. Esquema de bloques de un observador extendido de Kalman donde se muestran las relaciones entre las distintas variables de la planta y

del observador.

Los diferentes cálculos necesarios se realizan utilizando expresiones recursivas. Este algoritmo precisa de un intenso cálculo computacional y los resultados dependerán en gran medida de la precisión de los parámetros del modelo utilizados. Igualmente será crítica la elección de los valores iniciales para las matrices de covarianza. Estos valores se pueden obtener considerando propiedades estocásticas de los diferentes vectores de ruido.



ALGORITMO DE CÁLCULO DEL EKF El algoritmo de EKF posee dos etapas principales, una etapa de predicción y una etapa de filtrado. En la primera etapa se determinarán los estado “predichos” para el siguiente paso de cálculo [representados como ( )1x k +% ], y la matriz de covarianza de las predicciones P. Para esta etapa se utilizarán los valores de los estados estimados en el paso anterior [ ( )x k ] y la matriz de covarianza Q. En la segunda etapa de filtrado se obtienen los valores estimados [representados como ( )ˆ 1x k + ], a partir de los estados predichos en la primera etapa, corregidos por un término, que es un producto de la ganancia del observador por el error entre las variables de salida medidas y estimadas. A continuación se presenta el algoritmo de cálculo de EKF con los diferentes pasos a seguir:

Paso I: Inicialización. El algoritmo comienza con la determinación de los valores iniciales del vector de estado x0=x(t0), y de las matrices de covarianzas Q0 y R0. Igualmente será necesario inicializar la matriz P (P0), la cual se considerará diagonal con todos sus elementos iguales, los cuales representan el grado de conocimiento inicial que se tiene de los estados. Cuanto más grandes sean estos valores, menos exacta es la información que se tiene sobre los estados iniciales. Esto implica que se dará mayor peso a los nuevos valores medidos y la convergencia será más rápida. Por otro lado existe un límite superior para estos valores debido a problemas de divergencias por oscilaciones de los valores estimados inicialmente, en torno a los verdaderos valores. Paso II: Predicción. La predicción de los estados para el paso (k+1) se obtiene a partir de los valores de las entradas en el paso k, u(k) y de los valores estimados en el paso previo ( )x k :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 d dx k A k x k B k u k+ = +% (0.35) La estimación de la matriz de covarianza de la predicción se obtiene como:

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1TP k f k P k f k Q+ = + + + (0.36) donde

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )ˆ

1 d d

x x k

A k x k B k u kf k

x=

∂ ⎡ + ⎤⎣ ⎦+ =∂

(0.37)

Para el caso de un filtro no extendido de Kalman obtendríamos:

( ) ( ) ( ) ( )1 Td dP k A k P k A k Q+ = + (0.38)

y:



( ) ( ) ( )ˆ1 d x x k

f k A k=

+ = (0.39)

Paso III: Cálculo de la matriz de ganancia Ke. La matriz de ganancia del filtro de Kalman se calcula según la expresión:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11 1 1 1 1 1T T

eK k P k h k h k P k h k R−

⎡ ⎤+ = + + + + + +⎣ ⎦ (0.40) siendo:

( )( ) ( )

( )1

1 d

x x k

C k x kh k

x= +

∂ ⎡ ⎤⎣ ⎦+ =∂

%

(0.41)

En un filtro no extendido ( ) ( )1 dh k C k+ = , y la ecuación (0.40) se reduce a:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11 1 1T T

e d d dK k P k C k C k P k C k R−

⎡ ⎤+ = + + +⎣ ⎦ (0.42) Paso IV: Estimación. La última fase del algoritmo es la estimación de los estados para el instante (k+1). Esta estimación se calcula a partir de los valores predichos en el Paso II, a los que se añade el término de corrección. Los estados estimados son entonces:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆ1 1 1 1 1ex k x k K k y k y k+ = + + + ⎡ + − + ⎤⎣ ⎦% (0.43) donde se ha tomado:

( ) ( ) ( )ˆ 1 1 1dy k C k x k+ = + +% (0.44) Finalmente queda actualizar el valor de la matriz de covarianza,

( ) ( ) ( ) ( )ˆ 1 1 1 1eP k P k I K k h k+ = + ⎡ − + + ⎤⎣ ⎦ (0.45) el bucle de cálculo se cierra con: k=k+1, x(k)=x(k-1) y P(k)=P(k-1) , y el algoritmo comienza de nuevo a partir del Paso II. La implantación del algoritmo de EKF se deberá llevar a cabo en un procesador de señal (DSP) de altas prestaciones, ya que todas las operaciones de cálculo implicadas deben realizarse dentro de un periodo de muestreo. Igualmente debe prestarse especial atención a los valores de los parámetros de la máquina y de las componentes de las matrices de covarianza empleadas en el algoritmo. Estos valores deberán actualizarse cada paso de cálculo a fin de obtener una estimación óptima de las variables de estado. Se puede comprobar la similitud de la estructura entre los esquemas de los observadores presentados. Como se ha mencionado una diferencia entre ambos



estimadores es la aplicabilidad a sistemas de carácter determinista (Luenberger) o a sistemas de carácter estocástico (EKF). La elección entre la utilización de uno u otro estimador depende en gran medida del grado de conocimiento que tengamos del sistema, la naturaleza del mismo y de su entorno de aplicación.

5.3.2.2. RESULTADO DE LAS SIMULACIONES. El funcionamiento del flitro de Kalman extendido aquí presentado ha sido comprobado en simulación, empleando la máquina síncrona de imanes permanentes de P=1.56 kW, p=3, Rs = 2.06 Ω, Ls = 9.15 mH y Φf = 0.29. Las condiciones elegidas en las simulaciones han sido las mismas que las empleadas en el ensayo de sensibilidad de parámetros presentado en el capítulo 4, dentro de las posibles fuentes de error del método de control DTC síncrono, es decir: # 0.29s fΦ =Φ = y # 0.14δ = . Al igual que en este caso no se ha incluido un modelo del inversor trifásico en la simulación a fin de eliminar los posibles errores debidos a la influencia del mismo. En todas las formas de onda mostradas los valores en azul corresponden a valores bien de consigna, bien medidos directamente del modelo del motor; y las ondas en rojo representan siempre variables o bien observadas (Ls, intensidades ejes d,q) o bien calculadas empleando los valores observados (flujo estatórico y ángulo delta). En la Figura 5.7 se muestran las formas de onda de las dos variables de estado correspondientes de las intensidades isd e isq [Figura 5.7(a) y (b)]. Se puede apreciar que prácticamente no existe diferencia entre la señal medida del modelo del motor (azul) y la obtenida a partir del observador EKF (rojo), siendo el tiempo de convergencia del orden de ms.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

isd , isd obser. (A)

tiempo (s) (a)

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

delta, delta obser. (rad)

tiempo (s) (c)

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

2

4

6

8

isq , isq obser. (A)

tiempo (s) (b)

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50.285

0.29

0.295

Phis, Phis obser (Wb)

tiempo (s) (d)

Figura 5.7. Resultado de las simulaciones de un observador EKF con un valor de Ls un 20% superior al nominal. (a) Intensidad de eje d medida y observada, (b) Intensidad de eje q medida y observada,

(c) Angulo delta medido y observado, (d) Flujo estatórico medido y observado.

En la Figura 5.7(c) y (d) se muestran las ondas de módulo del flujo emectromagnético y del ángulo delta estimados y calculados a partir de variables medidas del motor. Su convergencia es rápida (del orden de 0.2 s) y no existe un error permanente en niguna de las dos variables.



En la simulación realizada para evaluar el funcionamiento del observador se ha supuesto en el modelo del motor un valor de la inductancia estatórica Ls un 20% superior del valor nominal. Por el contrario, el observador ha mantenido el valor nominal de dicha inductancia, adaptando posteriormente la estimación de su valor al encontrado en el motor. La evolución de esta inductancia estimada se muestra en la Figura 5.8, para un valor un 20% del nominal (izquierda) y para otra simulación donde se ha tomado un valor un 20% inferior al nominal (derecha). Se puede apreciar en ambos casos que el valor de la inductancia estimada parte siempre del valor nominal (9.15 mH), para converger posteriormente al valor real de Ls presente en el motor. Un caso como este representa una posible identificación incorrecta de los parámetros de la máquina, o un régimen de funcionamiento de la misma donde el parámetro Ls ha variado hasta un 20% respecto a su valor nominal.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50.009

0.0095

0.01

0.0105

0.011

0.0115

Lsobser(H)

tiempo (s) 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

7

7.5

8

8.5

9

9.5

10x 10-3

Ls,Lsobser(H)

tiempo (s)

Figura 5.8. Estimación del parámetro Ls empleando el EKF, con un valor un 20% superior (izq.) y un 20% inferior (der.).

Por tanto se puede concluir que este observador proporciona una buena estimación de las variables de estado y de las variables necesarias para implementar el control DTC síncrono. Además permite un seguimiento de las posibles variaciones de la inductancia estatórica de la máquina.

5.3.3. OBSERVADOR DE “GRAN GANANCIA” Un observador de “gran ganancia” (High-Gain Observer) es un obsevador no lineal y su aplicación se adapta a un tipo concreto de sistemas no lineales. Estos sistemas deben cumplir la condición de ser observables para todas las entradas [ZHANG01]. El empleo de este tipo de observadores es un método sistemático y constructivo para una estimación en tiempo real, con una convergencia global garantizada. El ajuste de la ganancia de este observador es más simple que el de un filtro de Kalman Extendido (EKF) que será presentado en el siguiente apartado. Esta ganancia, que depende del estado del sistema, tiene un carácter estocástico y tiende a optimizar la convergencia de las variables estimadas.



En este apartado se va a hacer uso de los resultados obtenidos en [BORN91] para la presentación del observador de gran ganancia. Igualmente se ha tenido en cuenta el estudio de León-Morales en [LEONM00] Porteriormente se mostrará un ejemplo aplicado a la MSIP. La formulación del sistema no lineal se expresa como:

( ) ( )( )

x f x g x u

y h x

= +

=

& (0.46)

siendo f(x) y g(x) las matrices de estado y cumpliéndose que: nx∈ , mu∈ e

sy∈ . Asumiendo que el sistema es observable y que existe un cambio de coordenadas posible z=Γ(x) que transforma el sistema (0.46) en un sistema lineal:

( ),z Az u zy Cz

ϕ= +

=

& (0.47)

donde A= diag(A1,…,As) y C = diag(C1,…,Cs) son matrices diagonales y Ak y Ck son respectivamente matrices de dimensiones (nk x nk) y (1 x nk) de la forma:

0 1 0

10 0

kA

⎡ ⎤⎢ ⎥⋅ ⋅⎢ ⎥=⎢ ⎥⋅⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

M M y [ ]1,0,...,0kC = (0.48)

para k= 1,…,p con 1

p

kk

n n=

=∑ .

El observador debe satisfacer el siguiente teorema [BORN91]: i.) La función ϕ es globalmente Lipschiziana en relación a x y uniformemente en

relación a u. Sea K= diag(K1,…,Kp) una matriz de la dimensión adecuada donde se cumple que, para cada bloque k, la matriz (Ak-KkCk) tiene todos sus autovalores con parte real negativa.

Suponiendo que se pueden encontrar dos grupos de enteros 1,..., n Zσ σ ∈ y

*1 0,..., 0p Nδ δ> > ∈ tales que:

ii.) 1k kh h rµ µσ σ δ+ + −= + (0.49)

iii.) ( ), 0ii j

j

u zzϕ σ σ∂

≠ ⇒ ≥∂

para i,j = 1,…,n (0.50)

Entonces se cumplirá el teorema enunciado por [GAUTH92] según el cual, asumiendo que el sistema propuesto cumple las condiciones (0.49) y (0.50), el sistema dinámico:



( ) ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ,z Az z u K Cz yθϕ −= + − Λ −& (0.51)

donde: 0

0

k

k k

kn

δ

θδ

θ

θ

⎡ ⎤⎢ ⎥Λ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(0.52)

siendo θ > 0 un parámetro y obteniendo δk de (0.49) y (0.50), es un observador exponencial para el sistema (0.47), para valores suficientemente grandes de θ. Haciendo de nuevo el cambio de variable inversa para volver al sistema no lineal inicial, el observador para el sistema (0.46) se escribe como:

( ) ( ) ( )( ) ( )( )1

1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆx f x g x u x t S h x yx θ

−−∂Γ⎛ ⎞= + − −⎜ ⎟∂⎝ ⎠

& (0.53)

donde: x es el valor estimado de x

Γ es una aplicación n n→ definida como: ( ) ( ) ( )( ) ( )( )1, ,..., n

f fx h x L h x L h x−⎡ ⎤Γ = ⎣ ⎦ y donde Sθ debe cumplir la condición de Liapunov: 0T TS S A S S A C Cθ θ θ θθ= − − − + =& Esta demostración se puede encontrar en [BORN91]. La observación según (0.53) se obtiene en dos etapas, al igual que en filtro de Kalman, una de predicción, ( ) ( )ˆ ˆf x g x u+ , y una de corrección,

( )( ) ( )( )1

1ˆ ˆx t S h x yx θ

−−∂Γ⎛ ⎞ −⎜ ⎟∂⎝ ⎠

. La diferencia en relación al filtro de Kalman extendido

reside en la ganancia que multiplica el error entre las variables observadas y medidas. El ajuste de la dinámica del observador se hace únicamente a partir de los valores de los parámetros θk, que corresponden a la ganancia del observador. Una correcta elección de estos valores puede “enmascarar” en cierto modo la no linealidad del sistema, favoreciendo los valores de la corrección frente a los de las medidas. Por tanto, si θ es suficientemente grande el tiempo de convergencia se reduce, pero la observación se hace más sensible a posibles ruidos de las medidas o perturbaciones en los sensores. Un valor demasiado pequeño de θ producirá el efecto inverso.

5.3.3.1. OBSERVADOR DE GRAN GANANCIA APLICADO A UNA MSIP. Las ecuaciones de la máquina síncrona son:

1sd ssd r sq sd

s s

di R i i udt L L

ω= − + + (0.54)

1sq s rsq r sd sq f

s s s

di R i i udt L L L

ωω= − − + + Φ (0.55)



Se tomarán como variables de estado las dos componentes de la intensidad en coordenadas (d,q), extendiendo la estimación al parámetro (1/Ls) al igual que se hizo en el caso del EKF. Las variables de entrada serán las tensiones (usd, usq) junto con los enlaces de flujo rotóricos (Φf). Estos vectores se escriben entonces:

[ ]1 2 31⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

tt

sd sqs

x x x i iL

y [ ]1 2 3 ⎡ ⎤= Φ⎣ ⎦tt

sd sq fu u u u u (0.56)

El modelo sobre el que se va a construir el observador de gran ganancia es:

13 1 2 3 1

23 2 1 3 2 3 3

3 0

s r

s r r

dx R x x x x udtdx R x x x x u x udt

dxdt

ω

ω ω

⎧ = − + +⎪⎪⎪ = − − + +⎨⎪⎪

=⎪⎩

(0.57)

Se definirán:

1

2

3

ˆˆ ˆ

ˆ

xx x

x

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

; ( ) 1

2

ˆˆ

ˆx

h xx⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

; 1

2

xy

x⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

; (0.58)

y el cambio de variables aplicado al modelo no lineal será:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 2

tt sq

f sd sq

dix h x h x L h x i i

dt⎡ ⎤

⎡ ⎤Γ = = ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

(0.59)

a partir del cual se obtiene:

( )3

1 0 0ˆ( ) 0 1 0

ˆr s

x tx

R xω

⎡ ⎤∂Γ⎡ ⎤ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂⎣ ⎦ ⎢ ⎥− − −∆⎣ ⎦

(0.60)

siendo: 2 2ˆs r fR x u ω∆ = − + Φ . Para el cálculo de las ganancias del observador, se deberá invertir la matriz (0.60), obteniéndose [BOUM01]:

( )1

3

1 0 0ˆ( ) 0 1 0

ˆ1sr

x tx

R xω

−

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥∂Γ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎢ ⎥∂⎣ ⎦ ⎢ ⎥− − −⎢ ⎥∆ ∆ ∆⎣ ⎦

y 1

1 22 2

2 32 2

2 0 00 20

Sθ

θθ θθ θ

−

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(0.61)

A partir de las cuales se puede escribir la ecuación del observador:



( )1 3 1 2 3 1 1 1 11

22 3 2 1 3 2 3 3 2 2 2 2

2 32 23

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 0 0ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) 0 2

ˆ0 0 0 0ˆ

s r

s r r

x R x x x x u x xx R x x x x u x u x t x x

xx

ω θω ω θ θ

θ θ

−⎡ ⎤ ⎛ ⎞− + +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ∂Γ ⎜ ⎟⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − − + + − −⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

&

&

&

(0.62)

La cual tiene la misma estructura que la presentada en (0.53). Empleando estas variables observadas se pueden calcular fácilmente el valor del flujo estatórico y del ángulo interno (γ) a partir de las ecuaciones de flujo:

( )2 2

1

ˆ ˆˆˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆtan /

s sd sqsd s sd f

sq s sq sq sd

L i

L i

φ φφ

φ γ φ φ−

⎧⎧ Φ = += +Φ⎪ ⎪⎯⎯→⎨ ⎨= =⎪ ⎪⎩ ⎩

(0.63)

y eventualmente también el par electromagnético: ˆe f sqt p i= Φ .

5.3.3.2. RESULTADO DE LAS SIMULACIONES. Se han realizado las mismas simulaciones sobre el sistema que para el caso del observador EKF ( # 0.29s fΦ =Φ = y # 0.14δ = ), a fin de obtener un criterio de comparación entre ambos algoritmos. Igualmente se representarán el azul las variables medidas del modelo del motor o calculadas a partir del mismo y el rojo las variables observadas o calculadas a partir de las mismas. La simulación cuyos resultados se muestran en la Figura 5.9 corresponde a una situación en la que el valor de la inductancia estatórica en el modelo del motor es un 20% al valor nominal de la misma. Por tanto existen errores en las estimaciones de las variables durante el transitorio en el cual el observador no ha estimado correctamente el valor de dicho parámetro. En cualquier caso el tiempo de convergencia es rápido, principalmente para las señales de módulo de flujo estatórico y ángulo delta [Figura 5.9(d) y (c), respectivamente].

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

isd, isd obser (A)

tiempo (s) (a)

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

delta, delta obser. (rad)

tiempo (s) (c)

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

2

4

6

8

isq, isq obser (A)

tiempo (s) (b)

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50.285

0.29

0.295

Phis, Phis obser. (Wb)

tiempo (s) (d)

Figura 5.9. Resultado de las simulaciones de un observador de gran ganancia con un valor de Ls un 20% superior al nominal. (a) Intensidad de eje d medida y observada, (b) Intensidad de eje q medida y

observada, (c) Angulo delta medido y observado, (d) Flujo estatórico medido y observado.



Al igual que en el caso anterior se ha realizado una segunda simulación en la que la inductancia estatórica presente en el modelo del motor tiene un valor un 20% inferior al valor nominal presente en el observador. De esta forma se estudia la convergencia de la estimación de este parámetro, como se muestra en la Figura 5.10. En relación a los resultado obtenidos empleando el filtro de Kalman extendido, aquí los tiempos de convergencia son menores (en torno a 0.15 s).

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50.009

0.0095

0.01

0.0105

0.011

0.0115

Ls, Ls obser (H)

tiempo (s) 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

7

7.5

8

8.5

9

9.5

10

10.5

11x 10-3

Ls, Ls obser (H)

tiempo (s)

Figura 5.10. Estimación del parámetro Ls empleando el observador de gran ganancia, con un valor un 20% superior (izq.) y un 20% inferior (der.).

Este observador proporciona por tanto resultados muy satisfactorios a la hora de obtener las variables observadas necearias para la implementación del sistema del control. Por otro lado añade como ventaja su facilidad de ajuste, donde únicamente intervienen los parámetros 1θ y 2θ .

5.4. ESTIMACIÓN DEL PAR ELECROMAGNÉTICO La determinación del par electromagnético se hará a través de un estimador en bucle abierto, empleando los valores de las corrientes estatóricas y del flujo estatórico. A partir de los valores medidos o estimados se puede determinar el par electromagnético, existiendo varias posibilidades para ello. Una de ellas es emplear los valores de las corrientes estatóricas medidas y del flujo estatórico estimado. Se recuerda ahora la ecuación de par en ejes (d,q) presentada en el capítulo 2:

( )e sd sq sq sdt p i iφ φ= − (0.64) donde p es el número de pares de polos de la máquina. Esta expresión es igualmente válida en una referencia ligada (α,β) al estator de la máquina, ( )e s s s st p i iα β β αφ φ= − . El valor de te puede obtenerse igualmente a partir únicamente de los valores de los flujos rotorico y estatórico, y del ángulo de carga δ. En este caso cabe diferenciar entre una máquina de imanes permanentes superficiales y una de imanes interiores. Para la máquina de imanes superficiales:



( )e f ss

pt senL

δ= Φ Φ (0.65)

y para una máquina de imanes interiores:

( ) ( ) ( )1 22e s f sq s sq sd

sd sq

pt L sen L L senL L

δ δ⎡ ⎤= Φ Φ − Φ −⎢ ⎥⎣ ⎦ (0.66)

donde Lsd, Lsq son las inductancias síncronas de ejes directo y transverso, cuyo valor se debe conocer precisamente, asi como sus posibles variaciones en todo el rango de funcionamiento. Existe todavia otra técnica que no precisa del conocimiento de los valores de las inductancias que consiste en generar una tabla con los valores medidos en operación de las corrientes estatóricas y de la posición rotórica. A partir de estos valores se crea una característica de la máquina par-velocidad-intensidad que puede generar los valores del par durante el funcionamiento de la máquina, únicamente a partir de los valores medidos. Esta técnica será aconsejable cuando se trabaje siempre con la misma máquina bajo condiciones de funcionamiento conocidas.

5.5. CONCLUSIONES En este capítulo se han estudiado diferentes posibilidades para la obtención de las variables estimadas necesarias en los diferentes métodos de control propuestos en la capítulo 4. La opción más sencilla está representada por la implementación de un estimador, siendo en este caso mayor la sensibilidad de la estimación a las variaciones paramétricas, como se ha demostrado con el estudio realizado en el apartado 5.2.1. En cualquier caso la opción elegida para la implementación en la parte experimental ha sido un estimador en coordenadas (d,q), debido a limitaciones de tiempo de cálculo y frecuencia de trabajo impuestas por la tarjeta de control utilizada. Esta circunstancia será tratada en mayor detalle en el capítulo 6. La siguiente opción, más adecuada a nivel de la calidad de los resultados obtenidos, es la implantación de un observador. En este capítulo se han presentado hasta tres observadores, siendo los más interesantes el filtro de Kalman extendido y el observador de gran ganancia, al extender su estimación al parámetro Ls. Esto significa que en la obtención de las variables observadas se han tenido en cuenta las posibles variaciones de este parámetro debido a un funcionamiento normal de la máquina. Se han mostrado asímismismo resultados de simulación de ambos observadores, mostrando que su implementación sería posible y adecuada, siempre y cuando se superasen las limitaciones técnicas impuestas por el sistema experimental actual. La elección del observador que sería más adecuado implementar para un control y un sistema dados no es sencilla. En nuestro caso se han obtenido resultados muy satisfactorios para los dos observadores estudiados.



El observador de gran-ganancia, en relación al EKF, contiene un número inferior de parámetros a ajustar, lo que facilita su optimización. Además, el número de ecuaciones a resolver es inferior, lo cual disminuye considerablemente el tiempo de cálculo. Por otro lado se puede observar de los resultados de las simulaciones que su tiempo de convergencia es muy rápido y menos que el del EKF. Por estas razones este observador se considerará como el más adecuado a implementar, en el caso de no encontrar las limitaciones tecnológicas ya mencionadas. En el contexto de un sistema de carácter estocástico, para el cual la naturaleza estadística del ruido es conocida (lo cual en la práctica es muy poco habitual), será más eficaz aplicar un filtro de Kalman extendido. Este observador se ajusta a través de diferentes matrices de covarianza (sistema, salidas y predicción de estados) y proporciona una estimación óptima de las variables de estado. Esta condición implica por otro lado una flexibilidad limitada a la hora de cumplir requisitos adicionales como velocidad de respuesta, etc.

obtención de las variables estimadas - insa de...

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