ocw tema 12 diagrama bode asintotico 1

ANÁLISIS FRECUENCIAL

Diagrama de Bode asintótico.

1. Diagrama asintótico de Bode de términos constantes.2. Diagrama asintótico de Bode de polos/ceros en el

origen.3. Diagrama asintótico de Bode de polos/ceros reales

negativos.4. Diagrama asintótico de Bode de polos/ceros reales

positivos.5. Diagrama asintótico de Bode de polos/ceros complejos

negativos.6. Diagrama asintótico de Bode de polos/ceros

imaginarios.7. Diagrama asintótico de Bode de sistemas complejos.8. Interpretación de un Diagrama de Bode.

Universidad Carlos III de Madrid Señales y Sistemas

Dolores Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Miguel Ángel Salichs

Bibliografía

� Ogata, K., "Ingeniería de control moderna", Ed. Prentice-Hall.� Capítulo 8

� Dorf, R.C., "Sistemas modernos de control", Ed. Addison-Wesley.� Capítulo

� Kuo, B.C.,"Sistemas de control automático", Ed. Prentice Hall.� Capítulo 9

� F. Matía y A. Jiménez, “Teoría de Sistemas”, Sección de Publicaciones Universidad Politécnica de Madrid� Capítulo 9



DIAGRAMA DE BODE

� El diagrama de Bode se puede obtener como suma de los diagramas de Bode de cada uno de los factores de la función de transferencia

( )

( )

G s ks z

s p

G j kj z

j p

G j kj z

j p

G j k j z j p

G j k j z j p

G j k j z

i

i

i

i

i

i

i i

i i

i

( )( )

( )

( )( )

( )

( ) | || |

| |

a rg ( ) a rg ( ) arg ( ) arg ( )

log ( ) log | | log | | log | |

a rg ( ) a rg ( ) arg ( )

=−−

=−−

⇒

⇒=

−−

= + − − −

⇒

⇒= + − − −= + −

∏∏

∏∏

∏∏

∑ ∑

∑ ∑

ωωω

ωωω

ω ω ω

ω ω ωω ω∑ ∑− −

arg ( )j p iω



DIAGRAMA DE BODE

� Una vez factorizada la F.T., el diagrama de Bode total es la suma de losdiagramas de Bode sencillos.



TÉRMINOS CONSTANTES

k

k

k k dB

k

k

== =

=><

| | | | log| |20

0 0

180 0

0

0ϕ



TÉRMINOS CONSTANTES

� Ganancia

� Desfase

ω (log)

0 º ( k > 0 )

180 º ( k < 0 )

: ( ) 1 0 ( ) 1 0 ( ) 1 0 1 0

2 0 lo g ( ) 2 0 lo g (1 0 ) 2 0

E j G s G j G j

G j d B

ω ωω

= → = ⇒ = =

= =

ω (log)

20log |k| dB



POLOS/CEROS EN EL ORIGEN

1

s n

11

2 0

9 0 0( )

| | lo g ( )

j

n dB

nn

n

ω ωω

ϕ= = = −

= −

0

1 120 log 20 log 20 log 20 log( )1

( )( )

90

n

n n

n

n dBj

jn

ω ωω ω

ωϕ

−= = = −=

= −



� Ganancia

� Desfase

POLOS/CEROS EN EL ORIGEN

ω (log)1

n = 1n = 2

0 dB -20 dB/dec

-40 dB/dec

ω (log)

-90 º

-180 ºn = 1

n = 2



POLOS/CEROS REALES NEGATIVOS

1

1( )+ T s n

1

1

0 10

0

11

20

90

0

0

( )

| |

( )

| |( )

log ( )

+=

=

→ ===

→ ∞ == = −

= −

T j

dB

T jT

n T dB

n

n

n

n

ω

ωϕ

ωω

ωω

ϕ

0

0

(1 )

| | 00 1

0

| | ( ) 2 0 lo g ( )( )

9 0

n

n

n

T j

d B

T n T d BT j

n

ω

ωϕ

ω ωω ωϕ

+ =

=→ = ==

= = → ∞ = = +




� Frecuencia de corteCorte de las dos asíntotas

0 2 0 l o g ( )

l o g ( ) 0 1

1

c

c c

c

d b T

T T

T

ωω ω

ω

= −= ⇒ =

=




11 0

( ) 1, 0 . 1

1G s T

T s= =

+

-20 dB/dec

11 0 /

0 . 1

1c d

Tr a sω = = =




� Diagrama de Fase( )

1 11

1 11

0 1 ( )

1 1( ) (1) 4 5

1 0 1 01 0 ( ) (0 .1) 6 0

1 0 1 01 0 ( ) (1 0 ) 8 4 9 0

c

c

c

a r c tg j T a r c tg T

a r c tg T a r c tgT T



ϕ ω ω

ω ω ϕ

ω ω ϕ

ω ω ϕ

− −−

= − + = −

= = ⇒ = − ⋅ = − = −

= = ⇒ = − ⋅ = − = − ≈

= = ⇒ = − ⋅ = − = − ≈

�

� �

� �

0

-45

-90

0.1/T 1/T 10/T




ω (log)1/T

n = 1

n = 2

0 dB

-40 dB/dec

-20 dB/dec

ω (log)0,1/T 10/T

n = 1

n = 2-180 º

-90 º

0 º

-90 º/dec

-45 º/dec



Diagrama de Bode de polos reales negativos



Diagrama de Bode de ceros reales negativos



POLOS/CEROS REALES

0

1

11 / 10 /

1

c

c

T

rad s rad s

ω

ω

=

= = =

110c radω ω −⇒ =

Para la fase:

- Empieza en 0

- Comienza a caer una década antes de

- En ω=ωc , ha caído -45º

- Termina la caída ( en -90º ) una década después de 110c radω ω⇒ =

1

1

+S



Diagrama de BodePolos/ceros reales

( )( )

2 2

2 2

2 2

1 120 log 20log 20log 1

1 1

1, 20log 1 20log 2 ( ) 3c c

TT T

T dB dBT

ωω ω

ω ω

⋅ = = − + + +

= − + = − ≈ −

1

1

+S



POLOS/CEROS COMPLEJOS CON PARTE REAL NEGATIVA

1

12

0 10

0

4 0

2 9 0 1 8 0

2

0

22

0 0

+ +

=

=

→ ===

→ ∞

= =

= −

= − = −

−−

ζω

ω ωω

ωϕ

ω ωω

ωω

ωω

ϕ

n n

n

n

n

n

n

n

jj

d B

j n d B

n n

| |

| | lo g ( )

2

22 2

1

22

1

n

n n

n

n ns ss

sζω ω

ω

ωζ

ω

+ +

=

+

+




� Frecuencia de corteCorte de las dos asíntotas

0 40 log( )

log( ) 0 1

n

n n

c n

db n dBωω

ω ωω ω

ω ω

= −

= ⇒ =

=




( )2 0.707nω ζ= =

22

22 ++ SS



POLOS COMPLEJOS CON PARTE REAL NEGATIVA

ω (log)ωn

n = 1

n = 2

0 dB

-80 dB/dec

-40 dB/dec

ω (log)

n = 1

n = 2-360 º

-180 º

0 º

-180 º/dec

-90 º/dec

0.1ωn 10ωn



CEROS COMPLEJOS CON PARTE REAL NEGATIVA

Ganancia Desfase

ωn ω (log)

n = 2

n = 1

0 dB

40 dB/dec

80 dB/dec

n = 2

n = 1180 º

360 º

0 º

180 º/dec

90 º/dec

0.1ωn 10ωnω (log)




� Frecuencia de resonancia wr

� Wr existe cuando:

� Pico de resonancia en función de ξ

( )21 2 0 0 . 7 0 7r nω ω ξ ξ= − < <

2 11 2 0 0 . 7 0 7

2ξ ξ− > ⇒ < =

( )max 2

1( ) ( ) 0 0, 707

2 1r rG j G j Mω ω ξ

ξ ξ= = = < <

−



Diagrama de Bode de polos/ceros positivos



• En general el diagrama en amplitudes es el mismo que con signo negativo y la pendiente en fase es la misa pero de signo contrario.

Diagrama de Bode de polos/ceros positivos

nTs)1(

1

−

=

−===

−∞→

==

=→

=−

0

0

90

)log(20)(

1||

)(

1

0

0||10

)1(

1

n

dBTnT

Tj

dB

Tjn

n

n

ϕ

ωω

ωω

ϕω

ω

ω (log)1/T

n = 1

n = 2

0 dB

-40 dB/dec

-20 dB/dec

Ganancia Desfase

ω (log)0,1/T 10/T

n = 2

n = 190 º

180 º

0 º

90 º/dec

45 º/dec



POLOS/CEROS REALES POSITIVOS

1( )

1G s

s=

−



POLOS/CEROS COMPLEJOS CON PARTE REAL POSITIVA

2

1

2 2S S+ +

2

1

2 2S S− +2

1

2 2S S+ +



Diagrama de Bode de polos imaginarios

n

n

s

+

2

1

1

ω

Ganancia Desfase

−=−=→

=→→

−=−=

−=

==

∞→

==

=→

=

+

+

−

−−

00

0

00

22

0

2

180902

0

180902

)log(40||

0

0||10

1

1

nn

nn

dBnj

dB

j

n

n

n

n

n

n

n

nn

n

ϕωωϕωω

ωω

ϕωω

ωω

ωωω

ϕω

ωω

ω (log)ωn

n = 1

0 dB

-40 dB/dec

ω (log)

n = 1-180 º

0 º

-90 º/dec

0.1ωn 10ωnωn



DIAGRAMA DE BODE DE UN SISTEMA COMPLEJO



Diagrama de Bode de un sistema: conjunto de polos y ceros



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log

20 dbdec

lt