Od Kopernika až po Keplerove zákonyKeplerove zákonyNewtonov gravitačný zákonVeličiny charakterizujúce gravitačné pole

intenzita, potenciálna energia, potenciál

Gravitačné pole

intenzita, potenciálna energia, potenciálPohyb telies v gravitačnom poli Slnka

1. a 2. kozmická rýchlosť

Doplnkové materiály k prednáškam z Fyziky I pre EF Dušan PUDIŠ (2013)

2

Ptolemaios + Aristoteles

geocentrický názor heliocentrický názor

Nicolaus Copernicus (1473-1543)Zem sa točí okolo osi aj okolo Slnka,planéty sa pohybujú okolo Slnka rovnakým smerom.Tycho Brahe (1546-1601)

Planéty sa pohybujú okolo Slnka,ale spolu so Slnkom rotujú okoloZeme, ktorá je stredom vesmíru

Giordano Bruno (1548-1600)Kopernikus+ navyše ani Slnko nie je stred vesmíru ale len jedna z hviezd

Od geocentrizmu k heliocentrizmu

stred vesmíru ale len jedna z hviezd

Johannes Kepler (1571-1630)zhrnul pozorovania TB a NC asformuloval Keplerove zákony,ako prvý dobre vysvetlil nezrovnalosti vpozorovaniach tým, že zaviedol eliptickédráhy

Galileo Galilei (1564-1642)zostrojil ďalekohľady s 30x zväčš.,podporil ešte viac heliocentrizmus

http://www.keplersdiscovery.com

3

Všetky planéty obiehajú okolo Slnka po eliptickýchdráhach, pričom Slnko je v ich spoločnom ohnisku

1. Keplerov zákon I

Pozn. elipsa má len málo odlišné dĺžky polosí (napr. Zem je v Apheliu 4. júla – 152.000.000km a v Periheliu 3. januára –149.600.000km)

pohľad zhora

Pluto bolo v roku 2006 vyradené zo zoznamu planét Slnečnej sústavy!

4 1. Keplerov zákon II

pohľad v rovine obežných dráh

5

Perihelion [AU] Aphelion [AU] Period [day] Mass [1024kg]

Mercury 0.31 0.47 88,96 0,335

Venus 0.72 0.73 224,54 4,89

Earth 0.98 1.02 365,25 5,98

Mars 1.38 1.67 687,50 0,646

Parametre planét a ich obežných dráh

Mars 1.38 1.67 687,50 0,646

Jupiter 4.95 5.45 4328,7 1900

Saturn 9.02 10.0 10822 569

Uranus 18.3 20.1 30555 87,3

Neptune 30.0 30.3 60417 103

Pluto 29.7 49.9 90509 5,4

1AUK priemerná vzdialenosť Zem-Slnko 152.000.000km

6

1v

2v21 vv >

2. Keplerov zákon, 3. Keplerov zákon

Sprievodič spájajúci Slnko s planétou opisuje zarovnaký čas rovnaké plochy

3

2

2

2

3

1

2

1

r

T

r

T= .

3

2

konštr

T=

7

(pomocou 3. Keplerovho zákona)

r

van

2

= r2ω= rT

22

=π

2

24

Trπ

=

a

rT 22 4π=

21F

2310.929,5 −−= ms

.43

2 konštar

r=π

3.K.z.

Newtonov gravitačný zákon

a

2

1

rka =

212r

mkmaF ==

221 ''r

MkMaF ==

12312 rFr

Mmκ−= 221110.671,6 −−= kg�mκ

12F

κmk ='κMk =

ar

8

Závislosť veľkosti gravitačnej sily od vzdialenosti od Zeme na hm. b. 1kg

6

8

10

F [

N]

2r

MmκF =

Gravitačná sila na Zemi

0 2 4 6 8 100

2

4F [

N]

r [Rz]

1kg

povrch Zeme

9

Porovnanie veľkosti gravitačnej sily na povrchu Mesiaca a Zeme

kgm 1=

1kg

2R

MmκF =

kgM M

2210.349,7= kgM Z

2410.974,5=

Gravitačná sila na Zemi a na Mesiaci

�FM 62,1= �FZ 81,9=

6≅M

Z

F

F

M

mRM

610.738,1=kgM Z 10.974,5=

mRZ

610.371,6=

10

m

FK =

M

m rF3r

Mmκ−=

rK3r

Mκ−=

Intenzita v okolí sústavy hm. b. a telesa

Intenzita gravitačného poľa

Intenzita v okolí sústavy hm. b. a telesa

m

FK =

m

nFFF +++=

...21

m

3m

2m

1m1F

2F

3F mmm

nFFF+++= ...21

nKKK +++= ...21

∑=

=n

i

i

1

KK ∑−= i

i

i

r

mκ r

3 ∫−= r3

d

r

mκ ∫−= τρd

3rκr

11

∫−=2

d

r

pE rF. ∫=2

3

dr

rmM

rr.κ

?=pE

z Newtonovho gravitačného zákona

∫=2

2

dr

rr

mMr

κ2

r

F

mM

1r2r

Práca v gravitačnom poli, potenciálna energia

AEp −=

∫1r

p ∫1

3

rr

2

1

1r

r

pr

mME

−= κ

∫1rr2

0+−=r

mMκ∞→1r

pEA =r

mMEp

1κ−=

−−=

12

11

rrmMκ

−−=

12

11

rrmMEp κ

12

m

EV

p=

[ ] 2222

smkg

skgm

kg

J −−

===V

Vr

0r

MV κ−=

Potenciál gravitačného poľa

∑−=i i

i

r

mV κpre sústavu hm. b. platí:

∫−=r

mV

dκpre teleso so spojite

rozloženou hmotnosťou platí:

0rr

m

md

13

KF m= gF mg =

M−=

gK mm =

( )2hR

Mκgh

+=

gK =

Gravitačné zrýchlenie

rK3r

Mκ−= g=

( )vo výške h nad zemským povrchom

20R

Mκg = na povrchu Zeme

( )2

26

242211 818.9

10.371.6

10.974.510.671.6 −−− =−= ms

m

kgm�kggZem

2623.1 −= msgMesiac

05.6=Mesiac

Zem

g

g

14

mR

mR

M

p

e

kg

6

6

24

10.36,6

10.38,6

10.974,5

=

=

=

Re

Rp

Mκg =

Mκg =

Gravitačné zrýchlenie na rovníku a na póloch

? odstredivá sila

2

e

eR

Mκg =

2

p

pR

Mκg =

( )26

242211

10.36,6

10.974,510.671,6

m

kgkg�mg p

−−=( )26

242211

10.38,6

10.974,510.671,6

m

kgkg�mge

−−=

286,9 −= msg p

280,9 −= msge

2

22

62

2

2

77,986400

10.38,6.48,3980,9

4' −− =−=−= ms

s

mms

T

Rgg e

ee

π286,9` −= msg p

0=opF2

24

T

RF e

oe

π=

15

Zem

Kozmické rýchlosti1. kozm. rýchlosť – obežnica Zeme

2. kozm. rýchlosť – opustenie gr. poľa Zeme

3. kozm. rýchlosť – opustenie Slnečnej sústavy

vmmg =

2

1

hv1

og FF =Fg

Fo

Pohyby v gravitačnom poli Slnka – 1. kozmická rýchlosť

1912.7 −= kms

hR

vmmg

+= 1

( ) hR

v

hR

Rg

+=

+

2

1

2

2

0

hR

gRv

+= 0

1 01 Rgv =

na povrchu Zeme 0=h

20R

Mκg −=

( )2hR

Mκg

+=

( )22

0hR

Rgg

+=

16 Obežné dráhy pre rôzne rýchlosti

14 −= kmsv 16 −= kmsv

18 −= kmsv 18 −> kmsvsource: http://www.glenbrook.k12.il.us/gbssci/phys/mmedia/vectors/sat.html

17 Medzinárodná vesmírna stanica ISS

Date MagStarts Max. altitude Ends

Time Alt. Az. Time Alt. Az. Time Alt. Az.

17 Mar -1.9 19:27:42 10 W 19:30:17 30 SSW 19:31:05 25 S

18 Mar -3.1 18:16:57 10 WNW 18:19:49 66 SSW 18:22:40 10 ESE

18 Mar -0.6 19:53:10 10 WSW 19:54:34 13 SW 19:54:59 13 SSW

19 Mar -1.7 18:41:39 10 W 18:44:13 29 SSW 18:46:46 10 SSE

20 Mar -0.3 19:07:05 10 WSW 19:08:24 12 SW 19:09:42 10 SSW

22 Mar -0.1 18:20:51 10 WSW 18:22:02 12 SW 18:23:13 10 SSW

location: Zilina, 49.2170°N, 18.7330°E

Sun (about 400 000 times brighter than full Moon!)

-26.7

Full Moon -12.7

Brightest Iridium flares -8

Venus (at brightest) -4.4

International Space Station -2

Sirius (brightest star) -1.44

Limit of human eye +6 to +7

Limit of 10x50 binoculars +9

Pluto +14

N (0°), NNE (22.5°), NE (45°), ENE (67.5°), E (90°), ESE (112.5°), SE (135°), SSE (157.5°), S (180°), SSW (202.5°), SW (225°), WSW (247.5°), W (270°), WNW (292.5°), NW (315°), NNW (337.5°)

Magnitude

http://heavens-above.com

Limit of Hubble Space Telescope +30

18

00 pkpk EEEE +=+ ∞∞

0 0

15.0 −= kmsvequatorrýchlosť rotácie Zeme na rovníku

rýchlosť rotácie Zeme okolo Slnka18.29 −= kmsvaroundSun

pohyb Slnečnej sústavy v galaxii Mliečna dráha

1250 −= kmsvMilkyway

pk EE +

0=h ∞=h

Pohyby v gravitačnom poli Slnka – 2. kozmická rýchlosť

R

mMEp κ=∞

12.11 −= kms

00 pkpk EEEE +=+ ∞∞

2

202

1mvEk =

2

22

1mv

R

mM=κ

R

Mv

κ22 =