oddělovací axiomy v bezbodové topologii
TRANSCRIPT
![Page 1: Oddělovací axiomy v bezbodové topologii](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022032223/55c53276bb61ebb0328b463b/html5/thumbnails/1.jpg)
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Oddelovacı axiomy v bezbodove topologii
Karel Ha
Matematicko-fyzikalnı fakulta,Univerzita Karlova v Praze
20. cervna 2013
![Page 2: Oddělovací axiomy v bezbodové topologii](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022032223/55c53276bb61ebb0328b463b/html5/thumbnails/2.jpg)
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Klasicky prıpadv bodove topologii
Oddelovacı axiomy Ti (pro i = 0, 1, 2, 3, 312 , 4) se tykajı
oddelovanı:
I bodu od jinych bodu
I bodu od uzavrenych mnozin
I uzavrenych mnozin od jinych uzavrenych mnozin
Vztahy v klasicke topologii
(T4)&(T1) =⇒ (T3 12)&(T1) =⇒ (T3)&(T1) =⇒
=⇒ (T2) =⇒ (T1) =⇒ (T0)
Prıdanı axiomu (T1) u tretı implikace je nezbytne!
![Page 3: Oddělovací axiomy v bezbodové topologii](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022032223/55c53276bb61ebb0328b463b/html5/thumbnails/3.jpg)
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Klasicky prıpadv bodove topologii
Oddelovacı axiomy Ti (pro i = 0, 1, 2, 3, 312 , 4) se tykajı
oddelovanı:
I bodu od jinych bodu
I bodu od uzavrenych mnozin
I uzavrenych mnozin od jinych uzavrenych mnozin
Vztahy v klasicke topologii
(T4)&(T1) =⇒ (T3 12)&(T1) =⇒ (T3)&(T1) =⇒
=⇒ (T2) =⇒ (T1) =⇒ (T0)
Prıdanı axiomu (T1) u tretı implikace je nezbytne!
![Page 4: Oddělovací axiomy v bezbodové topologii](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022032223/55c53276bb61ebb0328b463b/html5/thumbnails/4.jpg)
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Klasicky prıpadv bodove topologii
Oddelovacı axiomy Ti (pro i = 0, 1, 2, 3, 312 , 4) se tykajı
oddelovanı:
I bodu od jinych bodu
I bodu od uzavrenych mnozin
I uzavrenych mnozin od jinych uzavrenych mnozin
Vztahy v klasicke topologii
(T4)&(T1) =⇒ (T3 12)&(T1) =⇒ (T3)&(T1) =⇒
=⇒ (T2) =⇒ (T1) =⇒ (T0)
Prıdanı axiomu (T1) u tretı implikace je nezbytne!
![Page 5: Oddělovací axiomy v bezbodové topologii](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022032223/55c53276bb61ebb0328b463b/html5/thumbnails/5.jpg)
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Klasicky prıpadv bodove topologii
Oddelovacı axiomy Ti (pro i = 0, 1, 2, 3, 312 , 4) se tykajı
oddelovanı:
I bodu od jinych bodu
I bodu od uzavrenych mnozin
I uzavrenych mnozin od jinych uzavrenych mnozin
Vztahy v klasicke topologii
(T4)&(T1) =⇒ (T3 12)&(T1) =⇒ (T3)&(T1) =⇒
=⇒ (T2) =⇒ (T1) =⇒ (T0)
Prıdanı axiomu (T1) u tretı implikace je nezbytne!
![Page 6: Oddělovací axiomy v bezbodové topologii](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022032223/55c53276bb61ebb0328b463b/html5/thumbnails/6.jpg)
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Klasicky prıpadv bodove topologii
Oddelovacı axiomy Ti (pro i = 0, 1, 2, 3, 312 , 4) se tykajı
oddelovanı:
I bodu od jinych bodu
I bodu od uzavrenych mnozin
I uzavrenych mnozin od jinych uzavrenych mnozin
Vztahy v klasicke topologii
(T4)&(T1) =⇒ (T3 12)&(T1) =⇒ (T3)&(T1) =⇒
=⇒ (T2) =⇒ (T1) =⇒ (T0)
Prıdanı axiomu (T1) u tretı implikace je nezbytne!
![Page 7: Oddělovací axiomy v bezbodové topologii](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022032223/55c53276bb61ebb0328b463b/html5/thumbnails/7.jpg)
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Klasicky prıpadv bodove topologii
Oddelovacı axiomy Ti (pro i = 0, 1, 2, 3, 312 , 4) se tykajı
oddelovanı:
I bodu od jinych bodu
I bodu od uzavrenych mnozin
I uzavrenych mnozin od jinych uzavrenych mnozin
Vztahy v klasicke topologii
(T4)&(T1) =⇒ (T3 12)&(T1) =⇒ (T3)&(T1) =⇒
=⇒ (T2) =⇒ (T1) =⇒ (T0)
Prıdanı axiomu (T1) u tretı implikace je nezbytne!
![Page 8: Oddělovací axiomy v bezbodové topologii](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022032223/55c53276bb61ebb0328b463b/html5/thumbnails/8.jpg)
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Klasicky prıpadv bodove topologii
Oddelovacı axiomy Ti (pro i = 0, 1, 2, 3, 312 , 4) se tykajı
oddelovanı:
I bodu od jinych bodu
I bodu od uzavrenych mnozin
I uzavrenych mnozin od jinych uzavrenych mnozin
Vztahy v klasicke topologii
(T4)&(T1) =⇒ (T3 12)&(T1) =⇒ (T3)&(T1) =⇒
=⇒ (T2) =⇒ (T1) =⇒ (T0)
Prıdanı axiomu (T1) u tretı implikace je nezbytne!
![Page 9: Oddělovací axiomy v bezbodové topologii](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022032223/55c53276bb61ebb0328b463b/html5/thumbnails/9.jpg)
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Co je to “frame”?
Motivace
I casto stacı aproximace
I konstruktivnı formy dukazu (axiom vyberu na“vytvarenı” bodu)
Bezbodovy prıstup: mısto bodu pouze otevrene mnoziny
Definice
Frame je uplny svaz L splnujıcı
a ∧∨B =
∨a ∧ b | b ∈ B
pro a ∈ L a B ⊆ L.
Prıklad
Svaz otevrenych mnozin Ω(X) topologickeho prostoru Xtvorı frame.
![Page 10: Oddělovací axiomy v bezbodové topologii](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022032223/55c53276bb61ebb0328b463b/html5/thumbnails/10.jpg)
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Co je to “frame”?
Motivace
I casto stacı aproximace
I konstruktivnı formy dukazu (axiom vyberu na“vytvarenı” bodu)
Bezbodovy prıstup: mısto bodu pouze otevrene mnoziny
Definice
Frame je uplny svaz L splnujıcı
a ∧∨B =
∨a ∧ b | b ∈ B
pro a ∈ L a B ⊆ L.
Prıklad
Svaz otevrenych mnozin Ω(X) topologickeho prostoru Xtvorı frame.
![Page 11: Oddělovací axiomy v bezbodové topologii](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022032223/55c53276bb61ebb0328b463b/html5/thumbnails/11.jpg)
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Co je to “frame”?
Motivace
I casto stacı aproximace
I konstruktivnı formy dukazu (axiom vyberu na“vytvarenı” bodu)
Bezbodovy prıstup: mısto bodu pouze otevrene mnoziny
Definice
Frame je uplny svaz L splnujıcı
a ∧∨B =
∨a ∧ b | b ∈ B
pro a ∈ L a B ⊆ L.
Prıklad
Svaz otevrenych mnozin Ω(X) topologickeho prostoru Xtvorı frame.
![Page 12: Oddělovací axiomy v bezbodové topologii](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022032223/55c53276bb61ebb0328b463b/html5/thumbnails/12.jpg)
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Co je to “frame”?
Motivace
I casto stacı aproximace
I konstruktivnı formy dukazu (axiom vyberu na“vytvarenı” bodu)
Bezbodovy prıstup: mısto bodu pouze otevrene mnoziny
Definice
Frame je uplny svaz L splnujıcı
a ∧∨B =
∨a ∧ b | b ∈ B
pro a ∈ L a B ⊆ L.
Prıklad
Svaz otevrenych mnozin Ω(X) topologickeho prostoru Xtvorı frame.
![Page 13: Oddělovací axiomy v bezbodové topologii](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022032223/55c53276bb61ebb0328b463b/html5/thumbnails/13.jpg)
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Co je to “frame”?
Motivace
I casto stacı aproximace
I konstruktivnı formy dukazu (axiom vyberu na“vytvarenı” bodu)
Bezbodovy prıstup: mısto bodu pouze otevrene mnoziny
Definice
Frame je uplny svaz L splnujıcı
a ∧∨B =
∨a ∧ b | b ∈ B
pro a ∈ L a B ⊆ L.
Prıklad
Svaz otevrenych mnozin Ω(X) topologickeho prostoru Xtvorı frame.
![Page 14: Oddělovací axiomy v bezbodové topologii](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022032223/55c53276bb61ebb0328b463b/html5/thumbnails/14.jpg)
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Co je to “frame”?
Motivace
I casto stacı aproximace
I konstruktivnı formy dukazu (axiom vyberu na“vytvarenı” bodu)
Bezbodovy prıstup: mısto bodu pouze otevrene mnoziny
Definice
Frame je uplny svaz L splnujıcı
a ∧∨B =
∨a ∧ b | b ∈ B
pro a ∈ L a B ⊆ L.
Prıklad
Svaz otevrenych mnozin Ω(X) topologickeho prostoru Xtvorı frame.
![Page 15: Oddělovací axiomy v bezbodové topologii](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022032223/55c53276bb61ebb0328b463b/html5/thumbnails/15.jpg)
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Axiom T0
Definice (T0)
Pro kazda x 6= y existuje otevrena mnozina U takova, zex ∈ U 63 y nebo x 6∈ U 3 y.
x y
U
x y
U
nebo
Predpokladejme, ze je vzdy splnen.(Ztotoznenı bodu nerozlisitelnych otevrenymi mnozinami.)
![Page 16: Oddělovací axiomy v bezbodové topologii](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022032223/55c53276bb61ebb0328b463b/html5/thumbnails/16.jpg)
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Axiom T0
Definice (T0)
Pro kazda x 6= y existuje otevrena mnozina U takova, zex ∈ U 63 y nebo x 6∈ U 3 y.
x y
U
x y
U
nebo
Predpokladejme, ze je vzdy splnen.(Ztotoznenı bodu nerozlisitelnych otevrenymi mnozinami.)
![Page 17: Oddělovací axiomy v bezbodové topologii](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022032223/55c53276bb61ebb0328b463b/html5/thumbnails/17.jpg)
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Subfitness
Definice (T1)
Pro kazda x 6= y existuje otevrena mnozina Ux takova, zex ∈ Ux 63 y.
x yUxUy
Definice (Sfit)
a 6≤ b ⇒ ∃c, a ∨ c = 1 6= b ∨ c
Slabsı vlastnost: (T1)⇒ (Sfit)
![Page 18: Oddělovací axiomy v bezbodové topologii](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022032223/55c53276bb61ebb0328b463b/html5/thumbnails/18.jpg)
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Subfitness
Definice (T1)
Pro kazda x 6= y existuje otevrena mnozina Ux takova, zex ∈ Ux 63 y.
x yUxUy
Definice (Sfit)
a 6≤ b ⇒ ∃c, a ∨ c = 1 6= b ∨ c
Slabsı vlastnost: (T1)⇒ (Sfit)
![Page 19: Oddělovací axiomy v bezbodové topologii](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022032223/55c53276bb61ebb0328b463b/html5/thumbnails/19.jpg)
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Subfitness
Definice (T1)
Pro kazda x 6= y existuje otevrena mnozina Ux takova, zex ∈ Ux 63 y.
x yUxUy
Definice (Sfit)
a 6≤ b ⇒ ∃c, a ∨ c = 1 6= b ∨ c
Slabsı vlastnost: (T1)⇒ (Sfit)
![Page 20: Oddělovací axiomy v bezbodové topologii](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022032223/55c53276bb61ebb0328b463b/html5/thumbnails/20.jpg)
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Hausdorffuv axiom
Definice (T2)
Pro kazda x 6= y existujı disjunktnı otevrene mnoziny U, Vtakove, ze x ∈ U, y ∈ V .
x yUV
V bezbodove topologii je nekolik alternativ...
![Page 21: Oddělovací axiomy v bezbodové topologii](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022032223/55c53276bb61ebb0328b463b/html5/thumbnails/21.jpg)
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Hausdorffuv axiom
Definice (T2)
Pro kazda x 6= y existujı disjunktnı otevrene mnoziny U, Vtakove, ze x ∈ U, y ∈ V .
x yUV
V bezbodove topologii je nekolik alternativ...
![Page 22: Oddělovací axiomy v bezbodové topologii](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022032223/55c53276bb61ebb0328b463b/html5/thumbnails/22.jpg)
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Axiomy Hausdorffova typu
Dowker-Straussuv prıstup:
Definice (DS-Haus)
a 6≤ b, a 6≥ b ⇒ ∃u 6≤ a, v 6≤ b, u ∧ v = 0
Isbelluv prıstup:
Definice (I-Haus)
Existuje zobrazenı α : L→↑ ∆(0) takove, ze
α∇ = (U 7→ U ∨∆(0))
Zobrazenı ∆,∇ blıze popsany v bakalarske praci.
Platı (I-Haus)⇒ (DS-Haus).
![Page 23: Oddělovací axiomy v bezbodové topologii](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022032223/55c53276bb61ebb0328b463b/html5/thumbnails/23.jpg)
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Axiomy Hausdorffova typu
Dowker-Straussuv prıstup:
Definice (DS-Haus)
a 6≤ b, a 6≥ b ⇒ ∃u 6≤ a, v 6≤ b, u ∧ v = 0
Isbelluv prıstup:
Definice (I-Haus)
Existuje zobrazenı α : L→↑ ∆(0) takove, ze
α∇ = (U 7→ U ∨∆(0))
Zobrazenı ∆,∇ blıze popsany v bakalarske praci.
Platı (I-Haus)⇒ (DS-Haus).
![Page 24: Oddělovací axiomy v bezbodové topologii](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022032223/55c53276bb61ebb0328b463b/html5/thumbnails/24.jpg)
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Axiomy Hausdorffova typu
Dowker-Straussuv prıstup:
Definice (DS-Haus)
a 6≤ b, a 6≥ b ⇒ ∃u 6≤ a, v 6≤ b, u ∧ v = 0
Isbelluv prıstup:
Definice (I-Haus)
Existuje zobrazenı α : L→↑ ∆(0) takove, ze
α∇ = (U 7→ U ∨∆(0))
Zobrazenı ∆,∇ blıze popsany v bakalarske praci.
Platı (I-Haus)⇒ (DS-Haus).
![Page 25: Oddělovací axiomy v bezbodové topologii](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022032223/55c53276bb61ebb0328b463b/html5/thumbnails/25.jpg)
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Axiomy Hausdorffova typu
Dowker-Straussuv prıstup:
Definice (DS-Haus)
a 6≤ b, a 6≥ b ⇒ ∃u 6≤ a, v 6≤ b, u ∧ v = 0
Isbelluv prıstup:
Definice (I-Haus)
Existuje zobrazenı α : L→↑ ∆(0) takove, ze
α∇ = (U 7→ U ∨∆(0))
Zobrazenı ∆,∇ blıze popsany v bakalarske praci.
Platı (I-Haus)⇒ (DS-Haus).
![Page 26: Oddělovací axiomy v bezbodové topologii](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022032223/55c53276bb61ebb0328b463b/html5/thumbnails/26.jpg)
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Axiomy Hausdorffova typu
Dowker-Straussuv prıstup:
Definice (DS-Haus)
a 6≤ b, a 6≥ b ⇒ ∃u 6≤ a, v 6≤ b, u ∧ v = 0
Isbelluv prıstup:
Definice (I-Haus)
Existuje zobrazenı α : L→↑ ∆(0) takove, ze
α∇ = (U 7→ U ∨∆(0))
Zobrazenı ∆,∇ blıze popsany v bakalarske praci.
Platı (I-Haus)⇒ (DS-Haus).
![Page 27: Oddělovací axiomy v bezbodové topologii](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022032223/55c53276bb61ebb0328b463b/html5/thumbnails/27.jpg)
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Dalsı varianty
(T<)&(S2)
(T 2) ≡ (T<) (S2)
(T ′2) (DS-Haus)
(S<)
(S) (Sw)
(Sww) (S′2)
![Page 28: Oddělovací axiomy v bezbodové topologii](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022032223/55c53276bb61ebb0328b463b/html5/thumbnails/28.jpg)
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Dalsı varianty
(T<)&(S2)
(T 2) ≡ (T<) (S2)
(T ′2) (DS-Haus)
(S<)
(S) (Sw)
(Sww) (S′2)
![Page 29: Oddělovací axiomy v bezbodové topologii](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022032223/55c53276bb61ebb0328b463b/html5/thumbnails/29.jpg)
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Regularita
Definice (T3)
Pro kazde x a kazdou uzavrenou A 63 x existujı disjunktnıotevrene mnoziny V1, V2 takove, ze x ∈ V1, A ⊆ V2.
x AV1
V2
Pozorovanı:
(T3)⇐⇒ ∀U ∈ Ω(X) : U =⋃V ∈ Ω(X) | V ⊆ U
![Page 30: Oddělovací axiomy v bezbodové topologii](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022032223/55c53276bb61ebb0328b463b/html5/thumbnails/30.jpg)
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Regularita
Definice (T3)
Pro kazde x a kazdou uzavrenou A 63 x existujı disjunktnıotevrene mnoziny V1, V2 takove, ze x ∈ V1, A ⊆ V2.
x AV1
V2
Pozorovanı:
(T3)⇐⇒ ∀U ∈ Ω(X) : U =⋃V ∈ Ω(X) | V ⊆ U
![Page 31: Oddělovací axiomy v bezbodové topologii](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022032223/55c53276bb61ebb0328b463b/html5/thumbnails/31.jpg)
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Regularita
Znacenı V ≺ U pro V ⊆ U
(lze popsat bezbodove)
Definice (Reg)
Frame L je regularnı, pokud
a =∨x ∈ L | x ≺ a
pro a ∈ L.
![Page 32: Oddělovací axiomy v bezbodové topologii](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022032223/55c53276bb61ebb0328b463b/html5/thumbnails/32.jpg)
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Regularita
Znacenı V ≺ U pro V ⊆ U (lze popsat bezbodove)
Definice (Reg)
Frame L je regularnı, pokud
a =∨x ∈ L | x ≺ a
pro a ∈ L.
![Page 33: Oddělovací axiomy v bezbodové topologii](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022032223/55c53276bb61ebb0328b463b/html5/thumbnails/33.jpg)
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Regularita
Znacenı V ≺ U pro V ⊆ U (lze popsat bezbodove)
Definice (Reg)
Frame L je regularnı, pokud
a =∨x ∈ L | x ≺ a
pro a ∈ L.
![Page 34: Oddělovací axiomy v bezbodové topologii](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022032223/55c53276bb61ebb0328b463b/html5/thumbnails/34.jpg)
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Uplna regularita
Definice (T3 12)
Pro kazde x a kazdou uzavrenou A 63 x existuje spojitafunkce ϕ : X → I takova, ze
1. ϕ(x) = 0
2. ϕ[A] = 1
Definice (CReg)
Frame L je uplne regularnı, pokud
a =∨x ∈ L | x ≺≺ a
pro a ∈ L.
![Page 35: Oddělovací axiomy v bezbodové topologii](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022032223/55c53276bb61ebb0328b463b/html5/thumbnails/35.jpg)
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Uplna regularita
Definice (T3 12)
Pro kazde x a kazdou uzavrenou A 63 x existuje spojitafunkce ϕ : X → I takova, ze
1. ϕ(x) = 0
2. ϕ[A] = 1
Definice (CReg)
Frame L je uplne regularnı, pokud
a =∨x ∈ L | x ≺≺ a
pro a ∈ L.
![Page 36: Oddělovací axiomy v bezbodové topologii](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022032223/55c53276bb61ebb0328b463b/html5/thumbnails/36.jpg)
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Normalita
Definice (T4)
Pro kazde dve disjunktnı uzavrene A,B existujı disjunktnıotevrene mnoziny V1, V2 takove, ze A ⊆ V1, B ⊆ V2.
A BV1
V2
Prımocary preklad. . .
Definice (Norm)
a∨b = 1 ⇒ ∃u, v : u∧v = 0 & a∨u = 1 = b∨v
![Page 37: Oddělovací axiomy v bezbodové topologii](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022032223/55c53276bb61ebb0328b463b/html5/thumbnails/37.jpg)
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Normalita
Definice (T4)
Pro kazde dve disjunktnı uzavrene A,B existujı disjunktnıotevrene mnoziny V1, V2 takove, ze A ⊆ V1, B ⊆ V2.
A BV1
V2
Prımocary preklad. . .
Definice (Norm)
a∨b = 1 ⇒ ∃u, v : u∧v = 0 & a∨u = 1 = b∨v
![Page 38: Oddělovací axiomy v bezbodové topologii](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022032223/55c53276bb61ebb0328b463b/html5/thumbnails/38.jpg)
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Normalita
Definice (T4)
Pro kazde dve disjunktnı uzavrene A,B existujı disjunktnıotevrene mnoziny V1, V2 takove, ze A ⊆ V1, B ⊆ V2.
A BV1
V2
Prımocary preklad. . .
Definice (Norm)
a∨b = 1 ⇒ ∃u, v : u∧v = 0 & a∨u = 1 = b∨v
![Page 39: Oddělovací axiomy v bezbodové topologii](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022032223/55c53276bb61ebb0328b463b/html5/thumbnails/39.jpg)
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Situacev bezbodove topologii
Vztahy v bezbodovem kontextu
(Norm)&(Sfit)
⇒ (CReg) ⇒ (Reg) ⇒⇒ (I-Haus)&(Sfit) ⇒⇒ (DS-Haus)&(Sfit) ⇒⇒ ostatnı axiomy Hausdorffova typu
Subfitness v podobne roli jako (T1)
![Page 40: Oddělovací axiomy v bezbodové topologii](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022032223/55c53276bb61ebb0328b463b/html5/thumbnails/40.jpg)
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Situacev bezbodove topologii
Vztahy v bezbodovem kontextu
(Norm)&(Sfit)
⇒ (CReg) ⇒ (Reg) ⇒⇒ (I-Haus)&(Sfit) ⇒⇒ (DS-Haus)&(Sfit) ⇒⇒ ostatnı axiomy Hausdorffova typu
Subfitness v podobne roli jako (T1)
![Page 41: Oddělovací axiomy v bezbodové topologii](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022032223/55c53276bb61ebb0328b463b/html5/thumbnails/41.jpg)
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Situacev bezbodove topologii
Vztahy v bezbodovem kontextu
(Norm)&(Sfit) ⇒ (CReg)
⇒ (Reg) ⇒⇒ (I-Haus)&(Sfit) ⇒⇒ (DS-Haus)&(Sfit) ⇒⇒ ostatnı axiomy Hausdorffova typu
Subfitness v podobne roli jako (T1)
![Page 42: Oddělovací axiomy v bezbodové topologii](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022032223/55c53276bb61ebb0328b463b/html5/thumbnails/42.jpg)
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Situacev bezbodove topologii
Vztahy v bezbodovem kontextu
(Norm)&(Sfit) ⇒ (CReg) ⇒ (Reg)
⇒⇒ (I-Haus)&(Sfit) ⇒⇒ (DS-Haus)&(Sfit) ⇒⇒ ostatnı axiomy Hausdorffova typu
Subfitness v podobne roli jako (T1)
![Page 43: Oddělovací axiomy v bezbodové topologii](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022032223/55c53276bb61ebb0328b463b/html5/thumbnails/43.jpg)
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Situacev bezbodove topologii
Vztahy v bezbodovem kontextu
(Norm)&(Sfit) ⇒ (CReg) ⇒ (Reg) ⇒⇒ (I-Haus)&(Sfit)
⇒⇒ (DS-Haus)&(Sfit) ⇒⇒ ostatnı axiomy Hausdorffova typu
Subfitness v podobne roli jako (T1)
![Page 44: Oddělovací axiomy v bezbodové topologii](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022032223/55c53276bb61ebb0328b463b/html5/thumbnails/44.jpg)
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Situacev bezbodove topologii
Vztahy v bezbodovem kontextu
(Norm)&(Sfit) ⇒ (CReg) ⇒ (Reg) ⇒⇒ (I-Haus)&(Sfit) ⇒⇒ (DS-Haus)&(Sfit)
⇒⇒ ostatnı axiomy Hausdorffova typu
Subfitness v podobne roli jako (T1)
![Page 45: Oddělovací axiomy v bezbodové topologii](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022032223/55c53276bb61ebb0328b463b/html5/thumbnails/45.jpg)
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Situacev bezbodove topologii
Vztahy v bezbodovem kontextu
(Norm)&(Sfit) ⇒ (CReg) ⇒ (Reg) ⇒⇒ (I-Haus)&(Sfit) ⇒⇒ (DS-Haus)&(Sfit) ⇒⇒ ostatnı axiomy Hausdorffova typu
Subfitness v podobne roli jako (T1)
![Page 46: Oddělovací axiomy v bezbodové topologii](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022032223/55c53276bb61ebb0328b463b/html5/thumbnails/46.jpg)
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Situacev bezbodove topologii
Vztahy v bezbodovem kontextu
(Norm)&(Sfit) ⇒ (CReg) ⇒ (Reg) ⇒⇒ (I-Haus)&(Sfit) ⇒⇒ (DS-Haus)&(Sfit) ⇒⇒ ostatnı axiomy Hausdorffova typu
Subfitness v podobne roli jako (T1)
![Page 47: Oddělovací axiomy v bezbodové topologii](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022032223/55c53276bb61ebb0328b463b/html5/thumbnails/47.jpg)
Oddelovacı axiomy
Karel Ha
Uvod
Klasicky prıpad
Definice “frame”
Axiomy oddelovanı
T0Subfitness
Hausdorffovavlastnost
(Uplna) regularita
Normalita
Zaver
Dekujiza
pozornost!