ode problema di cauchy in 1-d sia f : i x r r, i r. cerchiamo y: i r con y derivabile in i: x i (1)...
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ODEPROBLEMA DI CAUCHY IN 1-D
Sia f : I x RR, I R. Cerchiamo y: I R con y derivabile in I:
00)(
))(,('
yxy
xyxfy x I (1)
Se x t tale problema è detto PROBLEMA AI VALORI INIZIALI.
Supponiamo che siano verificate le condizioni di esistenza e unicità della soluzione.
Teorema di esistenza e unicità
Sia G n+1 un dominio e f : G n una funzione continua che soddisfi la condizione di Lipschitz:
vuLvxfuxf ),(),(
(x,u),(x,v) G e qualche costante L > 0.
(x0,u0) G [x0-a, x0+a] con a > 0 tale che il problema
abbia soluzione unica in tale intervallo.
00 )(
),('
uxu
uxfu
SUCCESSIONE DI APPROSSIMAZIONI DELLA y
Esistono metodi numerici ad un passo o a più passi. DEF: Un metodo numerico si dice ad un passo se n 0, yn+1 dipende solo da yn.
METODI AD UN PASSO
Sviluppo in serie di Taylor di y(x) attorno xi.Supponendo che y(x) sia sufficientemente regolare
tronchiamo al k-esimo termine :
...)(''2
)(')()(2
1 iiii xyh
xhyxyxy
)(!
...)(''2
)(');,(
);,(
)(1
1
ik
k
iiiik
iikii
xyk
hxy
hxyhyxT
con
hyxhTyy
Poiché è richiesto il calcolo delle derivate non è conveniente. E’ meglio usare metodi ad un passo che utilizzano l’informazione al passo precedente per calcolare la soluzione al passo successivo.
);,(1 hyxhyy iiii
METODO DI EULERO
Ponendo k = 1 si ottiene :
che è il metodo di Eulero in avanti o esplicito. Oppure
che è il metodo di Eulero all’indietro o implicito.
DEF: Un metodo si dice esplicito se yi+1 dipende solo dai valori ai passi precedenti.Un metodo si dice implicito se yi+1 dipende da se stessa attraverso f. Questi ultimi richiedono la risoluzione di un problema non lineare se f non è lineare in y.
),(
),(
111
1
iiii
iiii
yxhfyy
yxhfyy
METODO DEI TRAPEZI
][2 11 iiii ffh
yy
dove si è posto . La suddetta formula è stata ricavata integrando la (1) ed applicando il metodo del trapezio.
La formula appena esposta è stata ricavata applicando il metodo del trapezio ed utilizzando il metodo di Eulero in avanti per calcolare le yi+1.
),( iii yxff
METODO DI HEUN
))],(,([2 11 iiiiiii yxhfyxffh
yy
ANALISI DEI METODI AD UN PASSO
Indicando, come prima, con y(xi+1) la soluzione in xi+1 e con yi+1 la soluzione approssimata in xi+1 si ha :
dove è l’errore al passo i+1. Riscriviamolo come
La quantità τi+1(h) è detta errore di troncamento locale.Definiamo, invece, errore di troncamento globale la quantità
τ dipende dalla soluzione del problema di Cauchy.
11
1
));(,()()(
);,(
iiiii
iiii
hxyxhxyxy
hyxhyy
)(11 hh ii
)(max)( 110
hh iNi
La funzione incremento caratterizza completamente il metodo ad un passo ed è tale che
Pertanto, poiché , si ha :
che dà la consistenza del metodo numerico con il problema di Cauchy.
Un metodo di dice consistente quando .
Un metodo si dice consistente di ordine p se , h0. ES.:Dimostrare la consistenza dei metodi di Eulero ed Heun.
))(,()());(,(lim0
iiiiih
xyxfxyhxyy
)(')()(
lim 1
0i
ii
hxy
h
xyxy
0)(lim0
hih
da cui . 0)(lim0
hh
0)(lim0
hh
)()( phh
ZERO - STABILITA’Un metodo numerico del tipo
si dice zero-stabile se
dove Zi e yi sono le soluzioni di : con
Tale stabilità riguarda il comportamento del metodo numerico quando h0. Essa assicura che il metodo sia poco sensibile alle piccole perturbazioni.
);,(1 hyxhyy iiii
CyZCh ii :00 ],0[ 0hh
00
1
000
11
)(
);,(
]);,([
yxy
hyxhyy
yZ
hZxhZZ
iiii
iiiii
i
DEF.: Un metodo si dice convergente se i
Un metodo si dice convergente di ordine p se i
)()( hCyxy ii p
ii Chyxy )(
TEOREMA DI CONVERGENZA
Ip:-y(x) sia soluzione di -yi+1 sia soluzione approssimata, - sia Lipschitziana nella 2a variabile
- -sia
00 )(
))(,('
yxy
xyxfy
);,(1 hyxhyy iiii
vuLhvxhux );,();,(
n
abhvuabh
bax
,,,0
],[
iiiiii hhxyxhxyxy ));(,()()(,max 1
Ts:
Dim.
ma con . Da cui la tesi.
]1[)( )( 0 xxLjjj
jlL
yxyl
Nj ,...,1
nn
nn
n
ii
iiiiii
iiiiiii
iii
l
hL
hLhlhLl
hLhlhLhlhLl
hlhLlhlhLl
hhyxhxyxhl
hyxhyhhxyxhxy
yxyl
)1(
1)1()1(
...
)]1(1[)1()1(
)1()1(
)];,());(,([
);,());(,()(
)(
0
02
12
011
111
0,0 0 l
Poiché la condizione di consistenza è 0 per h0, si ha:
TEOREMA: Un metodo ad un passo è convergente se e solo se è consistente.
Analizziamo più in dettaglio l’errore del metodo di Eulero esplicito. Sia:
l’errore globale, cioè la differenza tra la soluzione analitica e quella approssimata, e sia:
la soluzione ottenuta con un passo del metodo di Eulero esplicito.
),(
)(
*1
11
iiii
iii
yxhfyy
yxyl
INTERPRETAZIONE GEOMETRICA DEGLI ERRORI PER METODI AD UN
PASSO
Vediamo come è possibile controllare gli errori nei metodi ad un passo.
Sia y(x) la soluzione di:
y’ = f(x,y)
y (x0) = y0
e sia yi una approssimazione ad y(xi) in qualche xi.
y(xi)-yi rappresenta l’errore globale che è quello che vogliamo tenere limitato da una certa accuratezza e che è difficile da stimare.
Ciò che vogliamo fare è controllare l’errore globale controllando l’errore locale.
• INSERIRE DISEGNO
Vediamo cos’e l’errore locale.
ottenuto con il metodo.
u(x) è una curva integrale di y’=f(x,y) che passa per yi, quindi soddisfa
u’ = f(x, u)
u(xi) = yi
L’errore locale è quindi: u(xi+1)- yi+1
Esso quindi ci dice quanto bene può essere seguita la curva u(x) con un passo. Pertanto l’errore globale e locale sono correlati da:
y(xi+1)-yi+1=[y(xi+1)-u(xi+1)]+[u(xi+1)-yi]
),,(1 hyxhyy iiii
L’errore globale ha quindi due componenti:
i. y(xi+1)-u(xi+1) misura di quanto distano le due curve
integrali y(x) e u(x) (dipende quindi dalla ODE ed è legata alla “Stabilità” del problema);
ii. u(xi+1)-yi misura quanto bene il metodo risolve u’=f(x,u).
u(xi)=yi, è legato al metodo e può essere reso piccolo
aumentando l’accuratezza del metodo (decrescendo il passo h oppure aumentando l’ordine del metodo).
Ricaviamo u(xi+1)-yi:
u(xi+1) = u(xi)+hΦ(xi, u(xi), h)+ht
ma u(xi)=y => yi+1 = u(xi)+hΦ(xi, yi, h)+ht
=> u(xi+1)-yi+1= ht
Supponiamo di usare due metodi, uno di ordine p e uno di ordine q, e vediamo di stimare l’errore locale:
Partiamo per entrambi da (xi, yi):
yi+1 = yi+hФ1(xi, yi, h) p
y’i+1 = yi+hФ2(xi, yi, h) q p<qSi ha:
u(xi+1)=u(xi)+hФ1(xi, u(xi); h)+ht
u(xi+1)=u(xi)+hФ2(xi, u(xi); h) +ht’
yi+1-y’i+1=ht – ht’ ovvero
yi+1-y’i+1=ht+O(hq+1) =>
ht ~ yi+1-y’i+1 e quindi:
u(xi+1)-yi+1≈ y’i+1-yi+1
ASSOLUTA STABILITA’
Tale tipo di stabilità riguarda la propagazione degli errori dei passi precedenti.
Un metodo è assolutamente stabile se, per h fissato, yi è limitato per xi .
Consideriamo il Problema Test:
1)
Sol:
y(t) = et se Re(λ)<0 => lim |y(t)| =0
1)0(
)('
y
tyy
t->0
DEF: Un metodo numerico è assolutamente stabile se yi, soluzione di 1) è tale che:
yi 0 per ti 2)
Poiché yi è funzione di hλ si ha:
Regione di Assoluta Stabilità ≡ {z = hλ є C vera la 2)}
METODO DI EULERO IN AVANTI
Applichiamo il metodo alla 1):
yi+1=yi+hλyi
y0=1 =>
yi=(1+hλ)i
la 2) è vera se: |1+h λ|<1
R.A per Eulero in Avanti:
hλ є C- 0<h<(2/|λ|)
C-={z є C : Re(z)<0}
Per ogni hλ non appartiene a {zєC: |z-1|<1}
METODO DI EULERO INDIETRO
ii hy
)1(
1
METODI DI RUNGE-KUTTA
Tutti i metodi ad un passo possono essere dedotti, come già detto, dallo sviluppo in serie di Taylor:
yi+1=yi+hTk(xi, yi; h)
dove:
Tk(xi, yi, h)=y’(xi)+h/2y’’(xi)+…+h^(k-1)/k! h(k)(xi)
Il calcolo delle derivate di f può essere oneroso. D’altronde, i metodi visti precedentemente sono di basso ordine. Un buon compromesso tra la semplicità dei metodi di basso ordine e la serie di Taylor troncata ad un alto ordine è dato dai metodi di Runge-Kutta.
Rispetto ai metodi Multi-Step, che vedremo più avanti, si ha lo svantaggio che occorrono molte valutazioni della f per raggiungere la stessa accuratezza. L’idea dei metodi di R-K è di costruire formule del tipo:
yi+1= yi+hΦ(xi, yi, h)
Con Φ coincidente con Tk per un certo numero di termini senza l’utilizzo esplicito delle derivate. Per un certo metodi di ordine K:
Φ(xi, yi, h)=A1f(θ1, γ1)+…+Akf(θk, γk)
Per il metodo di Eulero, che può essere interpretato come R-K del 1° ordine, il punto (θ1, γ1) ≡ (x0, y0)
Nei R-K del 2° ordine si hanno i punti:
(xi, yi), (xi+αh, yi+αhf(xi, yi)) =>
Espandiamo f(xi+αh, yi+αhf(xi, yi)) attorno ad (xi,yi):
da cui:
ma:
))],(,(),([ 211 iiiiiiii yxhfyhxfAyxfAhyy
))](),(),(),((),([
)(),(),(),(),(
)),(,(
211
2
iiiiyiixiiiiii
iiiiyiixii
iiii
yxfyxhfyxfyxfAyxfAhyy
hOyxfyxhfyxhfyxf
yxhfyhxf
][2
),()();,( 21 fffh
yxfAAhyx yxiiii
][2
),();,( fffh
yxfhyxT yxiiiik
Quindi, perché si abbia Φ = T2 si deve avere:
A1+A2= 1
αA2 =
che danno luogo ad una famiglia di metodi R-K del 2° ordine. I più noti di tali metodi sono quelli di Eulero modificato, di Heun e di Raltson.
Eulero modificato: α = A2 = 1 A1 = 0
2
1
2
1
)) y,f(x 2
h y,
2
hhf(xyy iiiii1i
Che è equivalente a calcolare con Eulero:
Calcolare la pendenza:
ed usarla per tutto l’intervallo
Disegno
2
hi
y
),(22
1 iiii
yxfh
yy
),('2
1
2
1
2
1
iii
yxfy
),(2
1
2
111
ii
i yxhfyy
Poiché tali metodi sono ad un passo e’ semplice rendere tale passo adattativo, cioè tale da ridurre l’errore.
Per ridurre l’errore e’ necessario poterlo stimare. Ciò può essere fatto in due modi:
1. stesso metodo con due passi diversi (h, 2h)
2. due metodi di ordine diverso ma con lo stesso numero di stadi
)()()( 2111
pp
nnn hhyxyy
METODI DI RUNGE-KUTTA A PASSO VARIABILE
caso 1)
Metodo di ordine p. Partendo dal dato esatto: y(xn) = yn l’errore locale sia minore di ε. Si ha:
dove Φ(yn) è una funzione incognita.
Stesso calcolo con passo 2h a partire da xn-1
Sottraendo:
)()()( 2111
pp
nnn hhyxyy
)()2)(()( 211
^1
pp
nnn hhyxyy
12~)(
)()()1(2
1
^11
11
2^11
11p
pnn
nn
pnnn
p
yyyxy
hyyyh
Se |ξ| < ε si prosegue altrimenti si dimezza il passo. In generale, il passo raddoppia se
caso 2)
come già visto, usando 2 schemi di ordine p є p+1 la differenza tra le soluzioni approssimate dà una stima dell’errore di troncamento locale per lo schema di ordine inferiore.
Metodo di Heun, α=1, A1=A2=½
è usato per rendere esplicito il metodo dei trapezi
12 p
))],(.(),([21 iiiiiiii yxfyhxhfyxfh
yy
Metodo di Ralston, α=3/4, A1=⅓, A2=⅔
tale metodo da il minimo errore di troncamento
yi+1=yi+(h/3)(k1+2k2)
k1=f(xi, yi)
k2=f(xi+(3/4)h, yi+(3/4)hk1)
Metodi R-K espliciti generali
yi+1= yi+h
k1=f(xi, yi), kj=f(xi+ αjh, yi+h ) per j=2,…n
m
jji kc
1
1
1
j
lljl k
Il metodo più noto è quello del 4° ordine:
Metodi di ordine maggiore non sono convenienti poiché richiedono un numero troppo grande di valutazioni della f.
),(
)2
,2
(
)2
,2
(
),(
)22(6
34
23
12
1
43211
khyhxfk
kh
yh
xfk
kh
yh
xfk
yxfk
kkkkh
yy
ii
ii
ii
ii
ii
METODI MULTISTEP
Integriamo la ODE tra tn-j e tn+k
e applichiamo una quadratica di Newton-Cotes poiché supponiamo la suddivisione uniforme dell’intervallo.Utilizziamo q+1 punti: tn-q, tn-q+1, …, tn
e costruiamo il polinomio di Lagrange, integrando poi in [tn-j, tn+k]
kn
jn
t
t
jnkn dttytftyty ))(,()()(
q
il
l lnin
lni
q
i iinin
xx
xxxL
xLytfxpq
0
0
)(
)(),()(
Integrando il polinomio si ha:
k, j q determinano vari metodi multistep
k=1 j=0 ADAMS- BASHFORTH esplicitik=0 j=1 ADAMS- MOULTON implicitik=1 j=1 NYSTRÖM
k
j
q
il
l
t
t
iqi
lll
q
iinqijnkn
dxli
lxdttL
q
ytff
fhyy
kn
jn0
0
)(1
),(
Metodi Adams-Bashforth (espliciti)Sono basati sulla quadratura interpolatoria dell’integrale:k=1, j=0
Se q=0 EULERO ESPLICITO : yn+1=yn+hfn
Metodi Adams-Moulton (impliciti)Sono basati sulla quadratura interpolatoria dell’integrale:k=0, j=1
preferibile riscriverlo come
Se q=0 EULERO IMPLICITO: yn+1=yn+hfn+1
Se q=1 CRANK-NICHOLSON (TRAPEZI):
in
q
i qinn fhyy 01
101 in
q
i qinn fhyy
in
q
i qinn fhyy 01
][2 11 nnnn ffh
yy
Metodi di Nyströmk=1, j=1
Se q=0 METODO DEL PUNTO MEDIO
METODI PREDICTOR-CORRECTOR
Risolvendo un problema di Cauchy non lineare con uno schema implicito è richiesto, ad ogni passo, la risoluzione di un’equazione non lineare. Si possono usare: metodi di Punto Fisso, metodo di Newton, … Ciò richiederà un guess iniziale vicino alla soluzione sia per problemi di convergenza, sia per diminuire il numero di iterazioni. Ciò può essere ottenuto usando in coppia un metodo
in
q
i qinn fhyy 011
),(211 nnnn ythfyy
Ciò può essere ottenuto usando in coppia un metodo esplicito (predictor) che fornisce un buon dato iniziale per il metodo implicito (corrector) che è generalmente più stabile.Un esempio di tale metodo è quello di Heun
in cui il predictor è Eulero in avanti e il corrector è il metodo di Crank-Nicholson
P.
C.
L’ordine di convergenza è q se p ha ordine q-1 e c ha ordine q.Generalmente si usano i metodi di Adams in coppia (2-3, 3-4) per ottenere PC di ordine pari a quello del corrector.
)~,(),([2
),(~
)],(),([2
111
1
11
nnnnnn
nnnn
nnnnnnn
ytfytfh
yy
ythfyy
hfytfytfh
yy
Metodi BDF (Backward Differentiating Formula)
Famiglia di schemi complementari a quelli di Adams. Lì si usa una quadratura per approssimare l’integrale, nei BDF si approssima la y’.Se si hanno q+1 punti e si conosce un’approssimazione della soluzione nei punti n-q+1, …, n+1 si può determinare una pq la cui derivata interpola la y’.Calcoliamo la derivata in uno dei nodi tk
Se k=n, il metodo è esplicito; se k=n+1, implicito. In generale:
ESPLICITO
IMPLICITO11
0
10
nin
q
i
li
nin
q
i
li
hfy
hfy
)y ,f(t )(tp’ kkk
1,...,1 nqnl
dove i coefficienti sono dati dalle derivate del polinomio di Lagrange.Es.: q=1 Eulero avanti q=2 Punto Medio q=3 Instabile
LMM (LINEAR MULTISTEP METHODS)
Una generalizzazione dei metodi multistep che include i metodi di Adams e i metodi BDF, è data dalla famiglia dei metodi multistep lineari.Un metodo multistep lineare ha la forma:
q
in
q
iiini fhy
01
0
CONVERGENZA
L’analisi della convergenza è più complicata poiché:1. La sol. approssimata è influenzata pure dagli errori nei valori
di partenza:
lj = yj - y(xj) j=0,..,k-1
Tali valori si dicono CONSISTENTI se
j=0,..,k-1.
2. I metodi M-S possono essere instabili. Per mostrare ciò, vediamo un esempio:
y
yy'
0)()(lim0
jj
hxyhy
222
221
2
12
1
1
012
2
hhr
hhr
xhx
hfyy nnn
Soluzione: y(x)=ex. Tale problema è detto Problema Test. Per >0 il problema è instabile. Analizziamo il comportamento di qualche metodo multistep nel caso <0.Consideriamo il metodo del Punto Medio
che ha l’equazione, alle diff. associata:
le cui soluzioni sono:
)(12
)(112
1
33
22
12
22
22
21
22111
210
2211
hOh
er
hOh
re
rrey
y
rry
h
h
h
nnn
che ha sol. generale
Ricaviamo 1 e 2 :
per h0, 11, 20
per >0, | r1|>| r2|>0 termine dominante: 1 r1n
per <0, 0<r1<1, r2<-1 termine dominante: 2 r2n
Pertanto per <0 la soluzione diverge da quella vera.
Questo perché la ODE ha una sola soluzione mentre l’equazione alle differenze di ordine K ha k soluzioni di cui una corrisponde alla vera soluzione per aversi convergenza è quindi necessario che le altre soluzione rimangano limitate. Analizziamo quindi il comportamento delle equazioni alle differenze relativamente al problema della stabilità.
DEF: L’equazione alle differenze
con coefficienti a0,…,ak-1 costanti è detta stabile se tutte le sue soluzioni sono limitate.
1
0
0k
mmnmkn zaZ ,...1,0n
Per cercare delle condizioni facilmente verificabili per stabilire la convergenza di un metodo MS partiamo dall’errore locale di discretizzazione
Abbiamo visto che il metodo è consistente se 0 per h0.E’ detto di ordine p se:
Se y(x) è sufficientemente differenziabile si può esprimere h come
Infatti espandendo y(x+hj) e y’(x+hj) attorno x si ha
...2
)()(''')('')(')('
...2
)()('')(')()(
...)(...)(')(
)(')(
2
2
)(10
0 0
hjxyxhjyxyhjxy
hjxyxhjyxyhjxy
xyhcxhycxych
hjxyhhjxyh
ppp
k
j
k
jjj
)( 1 phOh
che dà h se poniamo
Se c0=c1=…..=cp=0, cp+10, il metodo è di ordine p.
Vediamo le proprietà di un metodo convergente.
Se il metodo multistep converge, c0 deve essere nullo.
...
)...2()!1(
1)...2(
!
1
...
)...(...2
...
12
1121
10211
100
knn
knn
n
kk
n
kn
kn
c
kc
c
Sia dato il problema
sol: y(x)=1
Fissiamo e verifichiamo n ed h:
0Supponiamo il metodo convergente (non alla soluzione y=1):
per h0
0jk k fissato
k
jjnj y
y
y
0
0
1)0(
0'
x
0)( xhknx
)()(
)(
hxyy
xyy
jsn
kn
0)(lim0
hjh
0
Dimostriamo ora che un metodo convergente alla soluzione ha ordine almeno 1. Sia dato il problema:
sol: y(x)=x
0
)()(0
0)()(
0
00
0 0
c
xyxy
hxy
k
jj
k
jj
k
j
k
jjjj
k
j
k
jjjnj hy
y
y
0 0
0)0(
1'
Una soluzione è data da : con
Se
E poiché la soluzione è y(x)=x :
Un metodo che è almeno di ordine 1 è detto consistente allora una condizione necessaria per la convergenza è la consistenza ma essa non è sufficiente. Solo se anche la condizione della radice è soddisfatta allora si ha convergenza.
ihMyi
k
jj
k
jj
jM
0
0
hMkny
hknx
kn )(
)(
k
jj
k
jj cjM
01
0
01
Infatti, se il metodo è convergente, lo è pure per il problema
sol.: y(x)=0
che è soddisfatta da:
dove ri è soluzione del polinomio caratteristico.
Poiché si abbia convergenza, si deve avere:
ma yn+k=h(ri)n+k
k
jjnj y
y
y
0
0
0)0(
0'
mim rhy )(
10)(
)(
0
ikn
kn
rxyy
xyy
h
Se ri non è uno zero semplice, ma ha molteplicità m:
Per j = n+k:
ma
La condizione della radice è:
1) se ri è uno zero semplice del polinomio caratteristico
2) se ri non è uno zero semplice del polinomio caratteristico
ji
qjj rhy )( ,...1,0j 1mq
xknh )(
10
ikn ry
n
kni
qkn rknhy
)()(
1ir1ir
Per un metodo consistente, il polinomio caratteristico ha una radice r1=1 detta radice principale. Infatti, in tal caso
I metodi
hanno p(x) = x2-1 e quindi soddisfano il criterio della radice. Sono consistenti e quindi convergenti. Eppure non sono buoni da usare in pratica. Abbiamo già visto che per i MS non basta la sola convergenza poiché le equazioni alle differenze hanno soluzioni in più rispetto alla ODE. Tali soluzioni, dette Parasitiche, devono rimanere piccole rispetto alla radice principale e ciò porta al concetto di stabilità relativa.
]4[3
2
0)1(0
212
12
00
nnnnn
nnn
k
jj
fffh
yy
hfyy
pc
Applicando il metodo al problema test:
sol: y(x)=ex
si ha
Soluzione del Problema Test:
Quindi ym è una buona approssimazione di y(xm) se: 1y0, i0 i=2,…,k 2) ri<<ex i=2,…,k
• E’ soddisfatto se i valori di partenza sono buoni• E’ relativo alla stabilità relativa
mhm
pmkk
mmhm
eyxy
hrrey
y
yy
0
1221
)(
)()(....)(
1)0(
'
Un metodo MS si dirà relativamente stabile se:
|r1|>|ri| i=2,..,k
L’intervallo di stabilità relativa è il più grande intervallo (,), tale che il metodo è R.S. h (,). Se è grande, h dovrà essere piccolo. Con tale tipo di stabilità si controlla l’errore relativo.Infatti:
Stabilità assolutaSpesso è importante fare un’analisi di stabilità tenendo il passo h fissato, e ciò permette di controllare l’errore assoluto, un metodo è assolutamente stabile se gli errori ai passi precedenti non aumentano.
].....1[)(111
2
1
211
m
kk
m
mm r
r
r
rry
Tale concetto si applica anche ai metodi onestep, come abbiamo già visto applicando il metodo M-S
al problema test
t>0
Si ha:
1
0 0
),(k
j
k
jjnjnjjnjkn yxfhyy
0)(
1)0(
)()('
0
1
0 0
jn
k
jjj
k
j
k
jjnjjnjkn
yh
yhyy
y
tyty
Per x=xn, si ha:
e sottraendo
E quindi gli errori soddisfano un’equazione alle differenze le cui soluzioni sono:
njn
k
jjj
njn
k
jjj
hlh
hxyh
)(
)()(
0
0
k
jj
mkk
mm
h
hrrl
0
11 )(....)(
Diremo che un metodo M-S soddisfa la condizione assoluta delle radici se esiste h0>0:
|rj(h)|<1 j=0,..,k hh0
Pertanto C.N.S. affinché un metodo M-S sia assolutamente stabile, ovvero che
|yn|0 per tn
è che esso soddisfi la condizione assoluta delle radici.
L’assoluta stabilità implica la zero stabilità, mentre il viceversa non è vero.