odvod

Matematika

Fakulteta za druºbene vede

(FDV) Matematika 1 / 224

Vsebina

1 Uporaba odvoda pri prou£evanju funkcijNara²£anje in padanjeEkstremiVi²ji odvodiKonveksnost in konkavnostOdpravljanje nedolo£enosti


Uporaba odvoda pri prou£evanju funkcij Nara²£anje in padanje

Uporaba odvoda pri prou£evanju funkcij

Pri odvedljivi funkciji je odvod v tesni zvezi z njeno monotonostjo. Denimo,da je funkcija f (x) odvedljiva na intervalu (a, b). Tedaj velja:

£e je odvod (strogo) pozitiven f ′(x) ≥ 0 oziroma (f ′(x) > 0) za vsakx , je funkcija (strogo) nara²£ajo£a;

£e je odvod (strogo) negativen f ′(x) ≤ 0 oziroma (f ′(x) < 0) za vsakx , je funkcija (strogo) padajo£a;

funkcija je konstantna v to£ki, ko je njen odvod enak 0.

Primer

Funkcija ln x je de�nirana na intervalu (0,∞), njen odvod pa je enak1x,

zato je pozitiven na vsem de�nicijskem obmo£ju. Funkcija je torej povsodstrogo nara²£ajo£a.


Uporaba odvoda pri prou£evanju funkcij Ekstremi

Ekstremi funkcij

De�nicija

Naj bo dana funkcija f (x) in to£ka x0v njenem de�nicijskem obmo£ju. �eobstaja taka okolica to£ke x0, da vvsaki to£ki x 6= x0 velja f (x) < f (x0),pravimo, da ima funkcija v to£ki x0lokalni maksimum.

�e pa v vsaki x 6= x0 to£ki nekeokolice velja f (x) > f (x0), pravimo,da ima funkcija v to£ki x0 lokalniminimum.

V obeh primerih pravimo, da imafunkcija v to£ki x0 lokalni ekstrem.

Primer

-5-4-3-2-101234

-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2

f (x) = 2x3 − 3x2

Funkcija ima lokalni maksimum vto£ki 0 in lokalni minimum vto£ki 1.



Fermatov izrek

Pri iskanju ekstremov funkcij si pomagamo z naslednjim izrekom.

Izrek (Fermatov izrek)

�e ima odvedljiva funkcija f (x) v neki to£ki x0 svojega de�nicijskegaobmo£ja lokalni ekstrem, potem je odvod v tej to£ki enak 0.

Geometrijsko pomeni Fermatov izrek dejstvo, da v lokalnem ekstremufunkcija preide iz nara²£anja v padanje ali obratno, kar pomeni da sepredznak odvoda spremeni iz pozitivnega v negativni ali obratno. Vekstremni to£ki pa je zato odvod enak 0.

To£ko, v kateri ima odvod f ′(x) ni£lo, imenujemo stacionarna to£ka.Fermatov izrek pove, da je vsak lokalni ekstrem odvedljive funkcijestacionarna to£ka. Obratno pa ne drºi.



-3

-2

-1

0

1

2

3

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x3

Funkcija y = x3 ima v to£ki x0 = 0 odvod enak f ′(0) = 0, vendar v tejto£ki ni ekstrema.



Postopek iskanja lokalnih ekstremov odvedljive funkcije

Najprej poi²£emo stacionarne to£ke;

Nato ugotovimo, ali so v teh to£kahres ekstremi. Eden od na£inov zaprepoznavanje ekstrema je, daugotovimo, ali odvod funkcije v danito£ki spremeni predznak:

£e preide iz nara²£anja vpadanje, torej £e predznakpreide iz pozitivnega vnegativnega, je v to£kimaksimum;£e preide iz padanja vnara²£anje, torej £e predznakpreide iz negativnega vpozitivnega, je v to£kiminimum.

Primer

Funkcija f (x) = (x + 1)ex ima odvod enakf′(x) = (x + 2)ex . Ker faktor e

x nimani£el, je edina stacionarna to£ka x0 = −2.

Za x < −2 ima prvi faktor (x + 2)negativen predznak, predznak faktorjaex pa je vedno pozitiven. Torej je

predznak negativen;

za x > −2 pa je predznak pozitiven.

V to£ki x0 = 2 je torej minimum(x0, f (x0)) = (−2,−e

−2), saj funkcijapreide iz padanja v nara²£anje. To pa jetudi edini ekstrem te funkcije.


Uporaba odvoda pri prou£evanju funkcij Vi²ji odvodi

Vi²ji odvodi

Naj bo f (x) neka funkcija odvedljiva naodprtem intervalu I . �e je odvedljiva tudifunkcija f ′(x), imenujemo njen odvod drugiodvod funkcije f (x):

f ′′(x) = [f ′(x)]′.

�e je dobljena funkcija spet odvedljiva,lahko s tem postopkom nadaljujemo. Vsplo²nem de�niramo n-ti odvod funkcije kotodvod (n − 1)-tega odvoda:

f (n)(x) = [f (n−1)(x)]′.

Primer

Izra£unajmo vse odvodefunkcije y = x4: y ′ =4x3, y ′′ = 12x2, y ′′′ =24x , y ′′′′ = 24. Vsinadaljnji odvodi pa soenaki y (n) = 0, za n > 4.



Uporaba drugega odvoda pri iskanju ekstremov

S pomo£jo drugega odvoda lahko v£asih ugotovimo, kdaj je stacionarnato£ka ekstrem:

Izrek

�e je funkcija na nekem intervalu dvakrat odvedljiva in je v stacionarnito£ki drugi odvod negativen, potem ima v tej to£ki lokalni maksimum. �epa je v stacionarni to£ki drugi odvod pozitiven, ima v tej to£ki funkcijalokalni minimum.

�e je v stacionarni to£ki drugi odvod enak 0, potem na podlagi tegakriterija ne moremo ugotoviti, ali gre za ekstrem.



Primeri

Funkcija y = x3 − 3x2 − 9x + 3 ima odvod f ′(x) = 3x2 − 6x − 9, kiima ni£li v to£kah −1 in 3. Drugi odvod y ′′ = 6x − 6 ima v to£ki −1vrednost −12 zato je tam maksimum, v to£ki 3 pa ima vrednost 12,zato je v tej to£ki minimum.

Funkcija y = x4 ima v to£ki 0 minimum, vendar je njen drugi odvody ′′ = 12x2 v tej to£ki enak 0. Kriterij iz zadnjega izreka torej v tejto£ki odpove.

Tudi drugi odvod funkcije y = x3, ki je enak y ′′ = 6x , ima v to£ki 0vrednost 0, vendar pa v tej to£ki ni ekstrema.


Uporaba odvoda pri prou£evanju funkcij Konveksnost in konkavnost

Konveksnost in konkavnost

De�nicija

Funkcija f (x) je na nekem intervalu Ikonveksna, £e za poljubni to£ki x , ytega intervala velja, da zveznica medto£kama (x , f (x)) in (y , f (y)) leºinad grafom funkcije.

De�nicija

Funkcija f (x) je na nekem intervalu Ikonkavna, £e za poljubni to£ki x , ytega intervala velja, da zveznica medto£kama (x , f (x)) in (y , f (y)) leºipod grafom funkcije.

Konveksna funkcija

Konkavna funkcija



Uporaba drugega odvoda pri ugotavljanju konveksnosti in

konkavnosti

Naj bo funkcija f (x) naintervalu I dvakrat odvedljiva.

Funkcija je na temintervalu konveksnanatanko tedaj, ko je njendrugi odvod nenegativen:f ′′(x) ≥ 0 ∀x ∈ I .

Funkcija je na temintervalu konkavnanatanko tedaj, ko je njendrugi odvod nepozitiven:f ′′(x) ≤ 0 ∀x ∈ I .

Primer

Funkcija y = ex ima drugiodvod enak y ′′ = ex . Funkcijaje torej povsod konveksna.

Primer

Funkcija y = ln x ima drugi

odvod enak y ′′ = − 1x2

.

Funkcija je torej povsod nade�nicijskem obmo£jukonkavna.



Prevoj ali obra£aj

Funkcija ima v to£ki x0 prevoj ali obra£aj, £e je na eni strani te to£kekonveksna, na drugi pa konkavna. Torej:

Dvakrat odvedljiva funkcija ima v to£ki x0 prevoj natanko tedaj, ko se priprehodu skozi to to£ko spremeni predznak drugega odvoda.

�e je v prevoju funkcija dvakrat odvedljiva, ima drugi odvod vrednost 0.

Primer

Funkcija y = x3 ima drugi odvod y ′′ = 6x . Funkcija je torej na intervalu(−∞, 0) konkavna, na intervalu (0,∞) konveksna, v to£ki 0 pa ima prevoj.


Uporaba odvoda pri prou£evanju funkcij Odpravljanje nedolo£enosti

Vrste nedolo£enosti

V£asih se zgodi, da vrednost funkcije v neki to£ki ni de�nirana, vendar pa v tej to£kiobstaja limita. Iskanju te limite pravimo odpravljanje nedolo£enosti.

Naj bo dana funkcija

f (x) =u(x)

v(x).

�e imata ²tevec in imenovalec v kaki to£ki skupno ni£lo, pravimo, da ima funkcija

v tej to£ki nedolo£enost tipa00.

Kvocient funkcij je lahko nedolo£en tudi tako, da gresta oba preko vseh meja, kose x pribliºuje neki vrednosti. V tem primeru govorimo o nedolo£enosti tipa

∞∞ .

O nedolo£enosti lahko govorimo tudi v primeru funkcije oblike u(x)v(x), pri £emervelja denimo limx→x0 u(x) = 0 in limx→x0 v(x) =∞. Tako funkcijo lahko

prevedemo na enega od prej²njih primerov, £e vzamemou(x)

1/v(x)ali

v(x)

1/u(x).



Odpravljanje nedolo£enosti

Doslej smo ºe spoznali nekaj na£inov odpravljanja nedolo£enosti.

Primer

Funkcija f (x) =x3 − 1x2 − 1

ima v to£ki 1 nedolo£enost tipa00. To

nedolo£enost odpravimo s kraj²anjem z (x − 1), od koder dobimo

f (x) =x2 + x + 1

x + 1. Zato ima funkcija v to£ki 1 limito

32.

Primer

Funkcija f (x) =ln x1/x

ima v to£ki 0 nedolo£enost tipa∞∞

. Da je limita te

funkcije v to£ki 0 enaka 0, se je teºje prepri£ati.



L'Hospitalovo pravilo

Izrek (L'Hospitalovo pravilo)

Naj bosta funkciji u(x) in v(x) odvedljivi v neki okolici to£ke x0, v kateriv(x) in v ′(x) nimata ni£le, razen morda v to£ki x0. �e je tedaju(x0) = v(x0) = 0 in £e obstaja limita

limx→x0

u′(x)

v ′(x),

potem obstaja tudi limita

limx→x0

u(x)

v(x)

in sta ti dve limiti enaki.



V primeru nedolo£enosti tipa∞∞

pa imamo pravilo

Izrek

Naj bosta funkciji u(x) in v(x) odvedljivi v neki okolici to£ke x0 razenmorda v to£ki x0. �e je tedaj u(x0) = v(x0) = ±∞ in £e obstaja limita

limx→x0

u′(x)

v ′(x),

potem obstaja tudi limita

limx→x0

u(x)

v(x)

in sta ti dve limiti enaki.

V obeh primerih je to£ka x0 lahko tudi ∞ ali −∞.



Primeri

limx→1

x3 − 1x2 − 1

= limx→1

3x2

2x=

32;

limx→0

ln x1/x

= limx→0

1/x−1/x2

= limx→0

−x = 0.


odvod

Documents