םיאלמ תונורתפ -104016 - ' מ 1 הרבגלא (10.01.02 ) ב סשת ... · 10.01.02...

$: םיאלמ תונורתפ -104016 - ' מ 1 הרבגלא (10.01.02 ) ב סשת ... · 10.01.02 ,רטסמס עצמא ןחבמל תונורתפ - מ \1 הרבגלא , 104016 קלמ הזילע$
10.01.02, פתרונות למבחן אמצע סמסטר-מ \1אלגברה , 104016

עליזה מלק

1

פתרונות מלאים -104016-' מ1אלגברה

)10.01.02 (ב"בחן אמצע סמסטר חורף תשס

:שם משפחה :שם פרטי

:סטודנט. מס :פקולטה

.שעתיים: משך הבחן את המשבצת x -וסמן ב. בחר תשובה נכונה לכל שאלה מבין האפשרויות הנתונות

תשובתך לשאלה זו , ר ממשבצת אחת לשאלה מסוימתאם תסומן יות. המתאימהלא תורדנה נקודות על תשובות לא . ענה על כולן. שאלות13בבחינה יש . תפסלתוכל לרשום בו את . בסוף הבחינה מצורף דף תשובות נוסף המיועד עבורך. נכונות

בתום הבחינה. נא לא לפרק השאלון. תשובותיך ולשמור לצורך בדיקת תשובותיךאסור להשתמש בכל חומר עזר כולל . יך להחזיר את כל השאלון פרט לדף האחרוןעל

..מחשבון

!ב ה צ ל ח ה

תשובה א ב ג ד ה

1שאלה 2שאלה 3שאלה 4שאלה 5שאלה 6שאלה 7שאלה 8שאלה 9שאלה 10שאלה

11שאלה

12שאלה

13שאלה

________ : כ"סה


עליזה מלק

2

1. שאלה מס

45 פתרון המשוואה 0Zיהי )1( iZ אז . הנמצא ברביע השני=−0

1Z

- שווה ל

.א522 5

1πcis

−

.ב582 10

1πcis

−

.ג534 5

1πcis

−

.ד562 5

1πcis

−

.ה542 10

1πcis

− θθθ: הערה ( sincos( icis +≡

:1פתרון שאלה מספר

(1-i)4 = ((1-i)2)2 = (1-2i-1)2 = (2i)2 = -4 ⇒ z5 = -4 ⇒ 5 4−=z -4 = 4cis180 ⇒ 4,3,2,1,0)7236(45

3601804 51

5 =+=+

= kkciskcisz z0 נמצא ברביע השני לכן הוא מתקבל עבור k = 1ולכן ,

1084)7236(4 51

51

0 ciscisz :מכאן כי. =+=

5341084))108(0(4

)108(401 5

11

511

51

51

0

πciscisciscis

cisz

−

−−

=

=−−

=

−=

.'לכן הסימון הוא ג, ולכן אפשר היה, נת המודולהוא היחיד שמתאים מבחי' שימו לב כי ג: הערה

... לחסוך את חישוב הזווית, במקרה זה

2. שאלה מס)(41420156נתון הפולינום 2345 −+−+−= zzzzzzp . אחת מהטענות הבאות

.סמן אותה. נכונהאיננה

.4 השונים זה מזה הוא בדיוק zp)(מספר השורשים של .א zp)(. של 2 הוא שורש מריבוי 1 .ב . שורשים לא ממשיים2לפולינום יש בדיוק .ג . הם שלמיםzp)(כל השורשים הממשיים של .ד 4-מכפלת שורשי הפולינום היא .ה


עליזה מלק

3


. עם מקדמים ממשיים) זוגית-אי (5הפולינום הנתון הוא פולינום ממעלה מבלי לחשב ישירות את השורשים , דוק אותםנבדוק תחילה את הסעיפים שקל לב

. ' ה-ו' סעיפים ב: של הפולינוםנגזור את הפולינום ). 0סכום המקדמים הוא (0 בפולינום ונקבל 1נציב : 'סעיף ב

: 1למציאת ריבוי של P’(z) = 5z4-24z3+45z2-40z+14

בדוק נ; הוא שרש של הנגזרת1 לכן 0סכום המקדמים של הנגזרת הראשונה הוא :נגזרת שנייה

P’’(z) = 20z3-72z2+90z-40 ולכן , הוא לא שורש של הנגזרת השניה1לכן , 0 ולא -2הפעם סכום המקדמים הוא

.וסעיף זה נכון, 2 הוא 1לפי משפט הריבוי של של פולינום ממעלה ) , xn …x1, (מכפלת השורשים , לפי נוסחאות וייאטה: 'סעיף ה

n: P(x) = anxn + … a1x + a0 an ≠ 0

: היא

n

nn

jj

a

ax 0

1

)1(−=∏

=

:ונקבל, נציב בנוסחה . a5 = 1 - וn = 5 , a0 = -4: במקרה שלנו

41)4()1( 55

1

=−−

=∏=j

jx

.... ואין צורך לחשב את שורשי הפולינום , לא נכון' לכן סעיף ה .'ה: סימון נכון

לכן ניתן לחלק את 2שורש מריבוי הוא 1ידוע כי : לחישוב השורשים: הערהי "מוצאים שורש נוסף ע. 3 ולקבל פולינום ממעלה 2 = z2-2z+1(z-1) -הפולינום ב

. אותו לא קשה לפתור2ושוב מחלקים לקבלת פולינום ממעלה , ניחוש אינטליגנטי

3. שאלה מס נתונה מערכת המשוואות

+−=+++−=+++−=++

3132333232131

2122323222121

1112313212111

222

(*)aaxaxaxa

aaxaxaxa

aaxaxaxa

)(כך שמטריצת המקדמים jiaA )(1 - שונה מאפס ו= ≠Ar . נתון ש

101

פתרון של

אז(*)


עליזה מלק

4

הוא מהצורה (*) הפתרון הכללי של . א

+121

α

α כאשר αכל שהוא

. ב

−

−

101

(*) הוא גם פתרון של

. ג

−

021

(*) הוא גם פתרון של

הוא (*) הפתרון הכללי של . ד

=−=

11

23

1

xx

x

הוא מהצורה (*) הפתרון הכללי של . ה

−α

α

α3 כל שהואα כאשר


: או שיש לה פתרון יחיד שהוא: ולכן המערכת פתירה, נתון שלמערכת יש פתרון

, לפי הנתון. או שיש לה אינסוף פתרונות , (1,0,1)

3

2

1

xxx

A שווה לעמודה הראשונה

הוא (1 ,-2 , 0) = (x1, x2, x3) ולכן גם, פחות פעמיים העמודה השניה שלהAשל הרי שיש לה אינסוף , מאחר ולמערכת יש שני פתרונות שונים, מכאן. פתרון

r(A) ≠ 1שימו לב כי . (n – r(A) = 3 – 2 = 1: מספר דרגות החופש הוא. פתרונותהפתרון הכללי של , לכן). כי למערכת אינסוף פתרונותr(A) ≠ 3לפי נתון וכן

פתרון כללי של המערכת + פתרון פרטי למערכת הלא הומוגנית : הואהמערכת ידוע שהפרש של שני פתרונות של המערכת הלא הומוגנית . ההומוגנית המתאימה

.הוא פתרון למערכת ההומוגנית :לכן הפתרון הוא

(1,0,1)+α[(1,0,1)-(1,-2,0)]= (1,0,1)+α(0,2,1) = (1, 2α, 1+α)

. נכון' מכאן כי סעיף א

י בחירת הפתרון הפרטי "כי אפשר היה להציג את הפתרון הכללי גם ע, שימו לבשל ) 1- -למשל ב(השני של המערכת הלא הומוגנית או לקחת כפולה בסקלר


עליזה מלק

5

(*) -כלומר ניתן היה לרשום את הפתרון הכללי ל, הפתרון של המערכת ההומוגנית α[(1, 0, 1)-(1, –2, 0)] = (0, 2, 1)+α(0, 2, 1)=(0, 2+2α,2) + (1 ,2 ,0): כך

לא נכונים כי כפולה בסקלר של פתרון למערכת לא הומוגנית לא נותן ' ג-ו' סעיף ב אז ) Ay=b ( הוא פתרוןyכי אם , פתרון נוסף למערכת הלא הומוגנית

A(αy) = αAy = αb ≠ b . . x3 – x2 = 1: לא מקיים את המשוואה(0 ,2 ,1) לא נכון כי הפתרון 'סעיף ד הוא פתרון למערכת לא הומוגנית(0 ,0 ,0) - נקבל שα=0 לא נכון כי עבור 'סעיף ה

.וזה כמובן לא יתכן .'א: סימון נכון

4. שאלה מס : אז×33 מטריצות מסדר B ו Aיהיו

. נכונותכל התשובות האחרות אינן .א)()(6אם .ב =+ BrAr אז למערכת ( ) 0=+ xBAיש פתרון טריביאלי בלבד . )(3אם .ג =+ BAr 3 אז)( =Ar 3 או)( =Br. )()(2אם .ד == BrAr אז כל עמודה של B0מערכת הוא פתרון של ה=Ax. )()(3אם .ה >+ BrAr אז יש עמודה של B שאיננה פותרת את המערכת

0=Ax.


. 3 לכן לכל אחת דרגה קטנה או שווה 3×3 מטריצות B - וA: לא נכון'סעיף ב x=0(A+B)אם למערכת . r(A) = r(B) = 3 -הרי ש, r(A) + r(B) = 6 -מאחר ו

אז B = -I3 - וA = I3למשל קחו . וזה לא נכון, r(A+B)=3 -הרי ש, פתרון יחידr(A+B)=r(0)=0ולמערכת אינסוף פתרונות ולא פתרון יחיד .

: למשל, לא נכון'סעיף ג3)(2)(1)(

100010000

000000001

3

=+==

=+

=

=

BArBrAr

IBABA

. 1=3-2: הואAx=0 לכן מימד מרחב הפתרונות של r(A) = 2. לא נכון'סעיף דאז ישנם אינסוף וקטורים , Ax=0 בסיס למרחב הפתרונות של המערכת vאם

ומתוכם נוכל vכלומר שאינם כפולה של , שאינם במרחב הפתרונות של המערכת . Bלמצוא לפחות שנים בלתי תלויים שיהוו עמודות של המטריצה

:לדוגמא


עליזה מלק

6

=⇒=⇒

=

000010101

)1,0,0(000010001

BvA

). v כפולות של ן אינןכי ה (Ax=0 אינה פתרון של המערכת Bואף עמודה של :r(A)+r(B) > 3 - שךנבחן את כל האופציות כ. נכון'סעיף ה

אז מימד מרחב הפתרונות של ) r(A)+r(B) > 3כי (r(B)=3 אז r(A)=1אם . 1Ax=0 מאחר ודרגת ). 2=3-1 (2 הואB הרי שאם כל עמודה של , 3 היאB היא

וזה סתירה 3 הוא Ax=0 ינבע כי מימד מרחב הפתרונות של Ax=0פתרון של .Ax=0 שאינה פותרת את המערכת Bלכן קיימת עמודה של , 2לכך שהמימד

). 1=3-2 (1 הוא Ax=0מימד מרחב הפתרונות של . r(B)=2,3 אז r(A)= 2אם . 2 ינבע Ax=0 היא פתרון של B הרי שאם כל עמודה של ,3 או 2 היא Bמאחר ודרגת

לכן , 1 וזה סתירה לכך שהמימד 3 או 2 הוא Ax=0כי מימד מרחב הפתרונות של .Ax=0 שאינה פותרת את המערכת Bקיימת עמודה של

ומאחר , וויאליי רק הפתרון הטרAx=0 -ל. r(B)= 1, 2, 3 אז r(A) = 3אם . 3 והיא לא, עמודת אפסים שאינהB שקיימת עמודה של הרי, B ≠ 0והמטריצה

).שיש לה פתרון טריוויאלי בלבד (Ax=0פותרת את המערכת . נכון' לא נכון כי ה' סעיף א . 'ה: נכוןסימון

5. שאלה מס : סימטרית אזB -אנטי סימטרית וA - כך ש×nn מטריצות מסדר Bו Aתהיינה

. אנטי סימטריתBABA .אBAAB .ב . סימטרית− . סימטריתABABA .גnIAB .ד . אנטי סימטרית+) .ה ) ABAAB . אנטי סימטרית+⋅


:נבחן את כל הסעיפים. n×nמטריצות , Bt = B - וAt = -Aנתון

?t = -(BABA)(BABA)האם : 'סעיף א

(BABA)t = AtBtAtBt = (-A)B(-A)B = ABAB ≠ -(BABA) ?t = AB – BA(AB – BA) האם : 'סעיף ב

(AB – BA)t = (AB)t – (BA)t = BtAt – AtBt = B(-A) – (-A)B = -BA + AB = AB – BA

? t = ABABA(ABABA)האם : 'סעיף ג(ABABA)t = AtBtAtBtAt = (-A)B(-A)B(-A) = -ABABA ≠ ABABA

?t = -(AB + I)(AB + I)האם : 'סעיף ד(AB + I)t = (AB)t + It = BtAt + I = B(-A) + I = -BA + I = -(BA-I) ≠

-(AB + I)


עליזה מלק

7

? t = (ABA + BAA)t = -(ABA + BAA)[A(AB + BA)]האם : 'סעיף ה(ABA + BAA)t = (ABA)t + (BAA)t = AtBtAt + AtAtBt = (-A)B(-A) + (-A)(-A)B = ABA + AAB ≠ -(ABA + BAA)

. 'ב: סימון נכון

6. שאלה מס

}תהי } 323

22

21321 1:),,( RxxxxxxS י " הנפרש ע3R התת מרחב של W ויהי =+−=⊃

:אז . S -הוקטורים ב

SW .א .3R בעצמה תת מרחב של S כי = הוא מישורW .ב הוא ישרW .ג3RW .ד = } .ה }0=W


כי (v = (1, 0, 0) ∈ Sכי למשל , לא מרחב וקטוריS לא נכון כי 'סעיף א

.לכן אין סגירות לכפל בסקלר) 1≠22+0-0כי (2v = (2, 0, 0) ∉Sאבל ) 1=12+0-0 יש לראות כמה וקטורים בלתי , הוא נכון' ה–' כדי לקבוע איזה מבין הסעיפים ב

. S -יניארית יש בתלויים ל : שלושה וקטורים בלתי תלויים ליניאריתS -קל לראות שיש ב

v1 = (1, 0, 0) , v2 = (0, 1, 0) ; v3 = (0, 2 , 1) שלושה וקטורים בלתי Wהרי שיש בקבוצה הפורשת של , W = sp{S}אם , לכן

לא יתכן כי 3 -כמובן שיותר מ (dimW = 3 = dimR3מכאן כי , תלויים ליניאריתWמרחב של - תתR3 ,לכן) 3 -לכן מימדו קטן או שווה ל ,W = R3 .

. 'ד: סימון נכון

7. שאלה מס אילו מבין המטריצות הבאות הן שקולות שורה

=

−−=

−=

211642431

2400120002104321

1411417200004172

CBA


עליזה מלק

8

−−=

−=

110312321

436214121

ED

E וD. א B ו A. ב C ו B. ג E ו C. ד D ו C. ה


בפרט (צריך להיות להם להן אותה קנונית , כדי שהמטריצות יהיו שקולות שורה ).כמובן, ואותה דרגהאותו סדר

.נחשב קנוניות לכל אחת ונקבע למי אותו מרחב שורה אין אותה צורה B - ולA -ולכן ברור כי ל, r(B) = 3 ואילו r(A) = 2ות כי קל לרא .לכן אין טעם לחשב להן קנוניות, קנונית

→

→→

−−=

→

→→

−=

→

→→

=

000110101

000110321

110312321

000290121

436214121

000110101

000110431

211642431

L

LL

L

E

D

C

. שקולות שורהE - וCלכן

לא חושבה שכן ברור שיש בצורה זו שברים לכן היא Dהצורה הקנונית של : הערהוהיה נמשך אלמלא קיבלנו כי , הדרוג הופסק. Cשל איננה שווה לצורה הקנונית

.C שווה לזו שלEהצורה הקנונית של .'ד: סימון נכון

8. שאלה מס} ויהי n מרחב וקטורי ממימד Vיהי }nvv ,,1 Kבסיס ל - V . יהיVv∈: i

n

ii vv ∑

=

=1α 0כך שלפחות≠kα עבור איזה שהוא nk נסמן . 1≥≥

{ }vvvvvS nkk ,,,,,, 111 KK : אז =−+


עליזה מלק

9

.נכונות) ג(ו ) ב(תשובות .א בלתי תלויה ליניאריתS .ב .V פורשת את S .ג . תלויה ליניאריתS .ד .נכונות) ב(ו ) א( תשובות .ה


).v - בvkכי הוחלף (n החדשה הוא S ברור כי מספר האיברים בקבוצה

. תלויה ליניארית לפי הגדרהSנבדוק האם הקבוצה - סקלרים כך שβ1, …, βk-1, βk+1, …, βn, βיו יה

00111

=+⇒=+ ∑∑∑=

≠=

≠=

n

jjj

n

kjj

jjn

kjj

jj vvvv αββββ

: מחוץ לסוגרים ונקבלvjנוציא

0)()()()()()(

111

111222111

=++++

++++++++

+++

−−−

nnnkkk

kkkkk

vv

vvvv

βαββαββαβαββαββαβ

K

K לכן כל המקדמים , היא בלתי תלויה ליניארית{v1 , … , vn}אבל נתון כי הקבוצה

:כלומר, 0β1+βα1=0 , β2+βα2=0 , … , βk-1+βαk-1=0 , βαk=0 , βk+1+βαk+1=0 …..

נציב בשאר . β = 0 נובע כיβαk = 0 לכן מהמשוואה αk ≠ 0אבל נתון כי קיבלנו כי . β=β1=…=βn=0 : כלומר0ות הן -β-המשוואות ונקבל כי גם כל שאר ה

מאחר ויש בה , בנוסף. בלתי תלויה ליניאריתSלכן הקבוצה , 0כל המקדמים הם nרי שהיא בסיס לה, וקטורים- V) כי נתון שמימדV הוא n( , ובפרט פורשת אתV .

:ולכן, נכונים' ג-ו' לכן סעיפים ב .'הסימון הנכון הוא א

. נכונות' ד-ו' תשובות ב: שהיה אמור להיות' בטור זה נפלה טעות בסעיף ה: הערה .נכון' יוצא כי גם סעיף ה, בגלל הטעות

9. שאלה מס

אזAB=0 נתון כי ×kn מטריצה מסדר B - ו×nm מטריצה מסדר Aתהי

.כל התשובות האחרות אינן נכונות .א BA=0 .ב .Ax=0רחב הפתרונות של המערכת מוכל במBמרחב העמודות של .ג .Bx=0 מוכל במרחב הפתרונות של המערכת Aמרחב העמודות של .ד .Ax=0 הוא גם פתרון של המערכת Bx=0כל פתרון של המערכת .ה


עליזה מלק

10


. Am×nBn×k=0נתון : למשל. לא נכון' סעיף ב

00100

0001

0100,00

000100

0001

0100,00

01

≠

=

=

=

=

=

=

BAAB

BA

, כידוע, שווהCית של -j- אז העמודה הAB = C נכון כי אם נסמן 'סעיף ג כפול העמודה A - הרי שC = 0 -כיוון ש. Bית של -j- כפול העמודה הAלמטריצה

פותרת את המערכת Bית של -j-כלומר העמודה ה, נותן עמודת אפסיםBית של -j-הAx=0 ולכן מרחב העמודה של B מוכל במרחב הפתרונות של המערכת Ax=0 . נקבל Bx=0אם נפתור את המערכת ', למשל בדוגמא שבסעיף ב, ו נכוןנ אי'סעיף ד

. (x, 0) הוא Aואילו מרחב העמודות של , (y ,0)כי מרחב הפתרונות שלה הוא : למשל ניקח, ן אינו נכו'סעיף ה

=

−−

=⇒

−−=

= 00

001122

2121

1122,21

21ABBA

איננו (1- ,1) אבל x(1, -1) = (x, -x) הוא Bx=0מרחב הפתרונות של המערכת

: כי מרחב הפתרונות של מערכת זו הוא, Ax=0פתרון של המערכת (-2x, x) = x(-2, 1) .

.נכון' לא נכון כי ג'סעיף א .'ג: הסימון הנכון

10. שאלה מס

nRVיהא : הבאים V שני תתי מרחבים של W ו U ויהיו =

{ }0:),,( 211 =+++∈= nn xxxVxxU KK

{ }nn xxxVxxW ===∈= LK 211 :),,(

:אז

ד אינן נכונות–כל התשובות א .אWUV .ב ⊕= WUV .ג אך הסכום אינו ישר=+nWU .ד <+ )dim(

nWU .ה >+ dimdim


עליזה מלק

11


וכן W - וU -יוצא כי יש לבדוק מימד ל, מסוג השאלות המופיעות בסעיפים השונים .U∩W -ל

U : ב- U יש nנעלמים ,n, x… , 2, x1x1לכן , ותנאי אחד- n=dimU . W : ב- W יש nנעלמים ,n, x… , 2, x1x1 - ו–n ל" בת, תנאים שונים,

.dimU = n - (n-1) = 1לכן , )x1 = x2 , x1 = x3 ,…,x1=xn: התנאים הם(W∩U : איבר כללי ב- W ונסמן , נציב את התנאים( הואx = 1x:(

(x, x, … , x) . למציאתU∩W של נאלץ על האיבר הכלליW את התנאי של U נציב חזרה באיבר הכללי של . nx = 0 ⇐ x = 0: לכןx+x+…+x = 0: ונקבל

Wלכן , ונקבל איבר כללי בחיתוךU∩W = (0, 0, … , 0) .

W+ U : n= 0 -1+1-n) = W∩U( dim–dimW + dimU ) = W+ U (dim . . U + W = Rn, לכןdim(U + W) = dimRn = n: כלומר

. Rn = U ⊕ W לכן U∩W = {0}ראינו כי , בנוסף . 'ב: הסימון הנכון

11. שאלה מס]יהא ]xRV } יהא =4 }0)2()1(:)( ==∈= ppVxpU

:אז

2][ .א xRUV ⊕=. ) ][xRn = מרחב הפולינומים ממעלה לכל היותרn.(

.2 ממימד V תת מרחב של U .ב .V איננו תת מרחב של U .ג1][ .ד xRUV ⊕=. 1][ .ה xRUV . אך הסכום אינו ישר=+


. V = R4[x]מרחבים של - הפעם יש לנו תתאך, 10שאלה זו דומה לשאלה . W = R2[x]: נסמן

:'סעיף אW : המימד של]x[2R 3 הוא; U : המימד שלU כי3 הוא :

U = {a+bx+cx2+dx3+ex4 | a+b+c+d+e = 0 , a+2b+4c+8d+16e=0 }

:לכן, ושני תנאים בלתי תלויים, )a, b, c, d, e( נעלמים U 5 -יש בdimU = 5-2 = 3 .


עליזה מלק

12

U∩W : נבדוק מימד שלU + W : dim(W+U)= dimW + dimU – dim(W∩U) = 3 + 3 – dim(W∩U) < 5

1 לפחות 6 - כי יש להוריד מdim(W∩U) > 1שוויון האחרון נובע כי -מהאי

. 5 - שלא יכול להיות יותר מW+Uלקבלת המימד של

, U - ו W היה הסכום של Vגם אם , כן לW∩U ≠ 0 - לא נכון כי ראינו ש'סעיף א . הרי שסכום זה לא היה סכום ישר

. dimU = 3 - לא נכון כי ראינו ש'סעיף ב באמצעות מערכת משוואות U של כי ניתן לבטא את התנאי , לא נכון'סעיף ג

. V הוא תת מרחב של Uלכן , ליניארית והומוגנית . נכון'סעיף ד

dimR1[x] = 2: כידוע .dimU = 3: ראינו

R1[x] ונאלץ עליו את התנאים של U -ניקח איבר כללי ב: נבדוק את מימד החיתוך :1 -הוא ממעלה קטנה או שווה לגם וU -כלומר הפולינום נמצא ב

U = {a+bx+cx2+dx3+ex4 | a+b+c+d+e = 0 , a+2b+4c+8d+16e=0 } לכן פולינום . c = d = e = 0: נדרוש גם1 -כדי שהמעלה תהייה קטנה או שווה ל

p(x) = a+bx+cx2+dx3+ex4 ם הוא מקיים את המשוואות" שייך לחיתוך אם :

}0{][)0,0,0,0,0(),,,,(][)(

00

020

000

0168420

1

1432

=∩=⇔∩∈++++=

==

=+=+⇒

===

=++++=++++

xRUedcbaxRUexdxcxbxaxp

ba

baba

edc

edcbaedcba

צריך גם . אינו מספיק לסכום ישר0חיתוך שווה , כידוע (נחשב את מימד הסכום

:...)שיהיה סכוםdim(U+R1[x]) = dimU+dimR1[x]-dim(U∩R1[x]) = 3+2–0 = 5 = dimR4[x]

. R4[x] = U ⊕ R1[x] לכן U∩R1[x] ={0} ובנוסף R4[x]=U+R1[x] :לכן

, רשהסכום הוא סכום ילכן dim(U∩R1[x]) = 0 - שכי ראינו לא נכון'סעיף ה .סעיף זה לא נכוןו

.'ד: סימון נכון


עליזה מלק

13

12. שאלה מס .4מימד מרחב וקטורי מVיהי

Vvvvvvיהיו ∈54321 321ידוע כי . V וקטורים שונים מאפס הפורשים את ,,,, ,, vvv :תלויים ליניארית אז

} .א }( ) 3,,,dim 4321 =vvvvSp

5432 .ב ,,, vvvv פורשים את V. 543121 .ג ,,, vvvvvv .Vשים את פור++54321כל אחד מהוקטורים .ד ,,,, vvvvvהוא צירוף ליניארי של האחרים . 54321 מתוך הוקטורים Vלא ניתן לבחור בסיס של .ה ,,,, vvvvv


קטור אחד תלוי ליניארית רק ו{v1, …, v5} כי מתוך הקבוצה ,מהנתונים נובע וקטורים בלתי תלויים 4ולכן מכילה , 4שכן הקבוצה פורשת מרחב ממימד , באחרים

תלויים ליניארית לכן בהכרח הוקטור התלוי הוא v1 , v2, v3נתון כי . ליניארית . אחד מהם

וי אינו תלv4וכן , רק שניים הם בלתי תלוייםv1 , v2, v3 נכון כי מתוך 'סעיף א הם 3, הוקטורים4לכן מתוך ) v1 , v2, v3כי כאמור התלות היא בין (ליניארית בהם

dimSp{ v1 , v2, v3 , v4} = 3בלתי תלויים לכן v3 - וv2 -ב הוא בהכרח תלוי ליניארית v1 -ש מנסים לטעון כי לא נכון 'סעיף ב

ב כי אכן לפי משפט שימו ל(עדין נשארה קבוצה פורשת , אחרי שהשמטנו אותוכי ; v1אך זה לא בהכרח , קיים וקטור שהוא קומבינציה ליניארית של הבאים אחריו

, מהקבוצה תשאיר את הקבוצה תלויהv1 תלויים ולכן הורדת v2, v3יתכן כי רק ). V תלויים לא יכולים לפרוש את 4ואז

ל בלתי תלויה "נהרי שאז בהכרח הקבוצה ה, לא נכון כי אם היה נכון'סעיף ג היא בסיס לכן בפרט בלתי V וקטורים שפורשת את 4כי קבוצה בת ( ליניארית

רק אחד תלוי {v1, v2 , v3}למשל כיוון שמתוך , וזה לא בהכרח נכון)לתויה : ואז הקבוצה הנתונהv1 = -v2יתכן למשל כי , ליניארית באחרים

{v1+v2 , v1+v3, v4, v5} אינה פורשת ולכן, תלויהלכן, 0 - וקטורים שמכילה את וקטור ה4היא קבוצה בת

.3 ד קטן או שווהממיממרחב אלא , Vאת הרי ', את התנאי שהובא בסעיף ג, למשל, לא נכון כי אם הקבוצה מקיימת'סעיף ד

. תלויים ליניארית ולא כל וקטור הוא צרוף ליניארי של האחריםv2 - וv1שאז רק כי התלות ( באחרים ליניארית אינם תלוייםv5 - וv4 מהנתונים נובע כי ,וסףנב

.)v1 , v2 , v3היא רק בין אך ,תלויים ליניארית v1 , v2, v3ידוע כי , נכון כי כאמור בהתחלהלא 'סעיף ה

כיוון שתמיד ניתן לבחור שניים בלתי . קיימים שניים בלתי תלויים3 –מתוך ה הרי שניתן , )פשוט לוקחים שניים לא פרופורציונלים (3תלויים מתוך קבוצה של

שימו לב כי לא ניתן . v5 -ו v4 ולהם יש להוסיף את v1 , v2, v3לבחור שניים מתוך נוכל לבחור v1 , v2, v3 אך בהינתן v1 , v2, v3לומר מיהם הבלתי תלויים מתוך

. שניים לא פרופורציונלים .'א: סימון נכון


עליזה מלק

14

13. שאלה מס3)(יהי RMV קבוצות -נגדיר את ארבע התת. ×33 מרחב המטריצות הממשיות =

:Vהבאות של 1S -כל המטריצות ב - V 2 מדרגה לכל היותר. 2S -כל המטריצות ב -V0 - שסכום איבריהם בשורה הראשונה שווה ל. 3S - כל המטריצות Aב - V 0 המקיימות=Au עבור וקטור קבוע u. 4S - כל המטריצות Aב - V המקיימות BAAB .B עבור מטריצה קבועה =

.ן הקבוצות הבאות אז בי

.V איננה תת מרחב של 1Sרק .א .Vמרחבים של - תת3S ו 2Sרק .ב .Vמרחבים של - תת4S ו 3Sרק .ג .Vמרחבים של - תת4S ו 2Sרק .ד .Vמרחבים של -כל הקבוצות הם תת .ה


ואז נבחר את 3×3נבדק אלו מהקבצות הנתונות הן תת מרחב של המטריצות :הסעיף הנכון

S1 – ניקח : לא תת מרחב כי אין סגירות לחיבור: 2 מטריצות לכל היותר מדרגה :3נחבר ונקבל מטריצה מדרגה , 2שתי מטריצות מדרגה לכל היותר

3

100000000

000010001

I=

+

S2 –כי ניתן להציג את התנאי להיות ב, כן מרחב וקטורי- S2 באמצעות מערכת :רכת הומוגנית הוא תמיד מרחב וקטוריפתרון של מע, וכידוע, הומוגנית

=++

= 02 cba

khgfedcba

S

S3 – כן מרחב וקטורי מאותה סיבה כמו S2) משוואות 3נקבל מערכת הומוגנית של כלומר( הוא קבוע נתון u = (u1, u2, u3) הוקטור .)… a, b, c, d: נעלמים9 -ו : באופן הבאS3שום את לכן ניתן לר, )ים אינם נעלמים אלא מספרים נתונים-u-ה

=++=++=++

=

=

=

000

000

321

321

321

3

2

1

2

kuhugufueuducubuau

khgfedcba

uuu

khgfedcba

khgfedcba

S


עליזה מלק

15

S4 –התכונות3נוכיח את . כן תת מרחב וקטורי : . 0B=B0=0 כי S4 ∋ 0 .אצריך , DB = BD - וAB = BAכלומר , S4 - מטריצות בD - וAיהיו . ב .ב

:B = B(A+D)(A+D): כלומר צריך להוכיח כיS4 - בA+Dלהוכיח כי (A+D)B= AB+DB = BA+BD = B(A+D)

αAצריך להוכיח כי , סקלרα - וAB=BAכלומר , S4 - מטריצה בAתהי .ג :αAB=B(αA): כלומר צריך להוכיח כיS4 -ב

αAB = αBA = B(αA) .

:לכן, כל הקבוצות הן תת מרחב וקטורי, S1 -קיבלנו כי פרט ל . 'א: סימון נכון


עליזה מלק

16

דף תשובות

.אין צורך להחזיר דף זה עם הבחינה. שימושךדף זה מיועד ל

תשובה א ב ג ד ה

1שאלה × 2שאלה × 3שאלה × 4שאלה × 5שאלה × 6שאלה × 7שאלה × 8שאלה × 9שאלה × 10שאלה ×

11שאלה ×

12שאלה ×

13שאלה ×

םיאלמ תונורתפ -104016 - ' מ 1 הרבגלא (10.01.02 ) ב סשת ... · 10.01.02...

Documents