МИНИСТЕРСТВО ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИДЕПАРТАМЕНТ КАДРОВ И УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ

САМАРСКИЙ ИНСТИТУТИНЖЕНЕРОВ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГОТРАНСПОРТА

Кафедра высшей математики

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ № 1 И 2«ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА»

ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯСПЕЦИАЛЬНОСТИ 071900 «ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ»

СОСТАВИТЕЛИ: Л.В.КАЙДАЛОВА, Н.М.ЛАТЫПОВА,Ф.С.МИРОНОВ

Cамара– 2002

УДК 002.6: 519.6: 075.5

Вычислительная математика: Методические указания, учебная программа и задания для контрольных работ № 1 и 2 «Вычислительная математика» для студентов заочной формы обучения специальности 071900 «Информационные системы» / Л.В. Кайдалова, Н.М. Латыпова, Ф.С. Миронов. - Самара: СамИИТ, 2002. - 34 с.

Утверждена на заседании кафедры протокол № 4 от 11.12.2001 г.

Печатается по решению редакционно-издательского совета института

Методические указания составлены в соответствии с Государственным образовательным стандартом, с действующей программой по высшей математике для технических специальностей и охватывают некоторые разделы вычислительной математики.

В пособии приведены индивидуальные задания, а также необходимые теоретические сведения и примеры решения задач.

Предназначено для студентов 2-ого курса специальности 071900 «Информационные системы» заочной формы обучения.

Ил. 12. Табл. 13. Библиогр.: 6 назв.

Составители: Л.В. Кайдалова, к. ф.-м. н.,Н.М. Латыпова, к. ф.-м. н., Ф.С. Миронов, к. ф.-м. н.

Рецензенты: д. ф.-м. н., проф. СамГТУ Радченко В.П.,к.т.н., доцент СамИИТ Шур В.Л.

Самарский институт инженеров железнодорожного транспорта, 2002

СамИИТ

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Турчак Л.И. Основы численных методов. М.: Наука, 1987. 320 с.2. Волков Е.А. Численные методы. М.: Наука, 1982. 256 c.3. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.: Физматгиз, 1966. Т.1. 464 с.4. Справочное пособие по приближенным методам решения задач высшей

математики / Бородич Л.И. и др. Минск: Высшая школа, 1986. 189 с.5. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Наука,

1970. 6. Киреев В.И., Пантелеев А.В. Численные методы в примерах и задачах. М.:

Изд-во МАИ, 2000.

С о д е р ж а н и е

У ч е б н а я п р о г р а м м а....................................................................................4Р Е К О М Е Н Д У Е М А Я Л И Т Е Р А Т У Р А.....................................................41. ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 1....................................................52. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 1....7

2.1. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ............................................................................72.2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.....................................................82.3. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ ЛАГРАНЖА И НЬЮТОНА...............122.4. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ..................................152.5. РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ВАРИАНТА КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 1........16

3. ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 2..................................................224. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 2. .23

4.1. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ.............................................................234.1.1. Постановка задачи.............................................................................234.1.2. Формулы прямоугольников................................................................234.1.3. Формула трапеций.............................................................................254.1.4. Формула Симпсона (формула парабол)...........................................25

4.2. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.................................................................................................274.2.1. Метод Эйлера.....................................................................................274.2.2. Метод Рунге-Кутта..............................................................................28

4.3. РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ВАРИАНТА КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 2........30БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК....................................................................34

34 3

У Ч Е Б Н А Я П Р О Г Р А М М А

1. Точные и приближенные числа. Источники и классификация погрешностей. Погрешность функций.

2. Приближенные методы решения алгебраических уравнений: метод половинного деления (метод бисекций), метод хорд, касательных (Ньютона); комбинированный; метод простых итераций.

3. Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений.

4. Интерполяция функций. Интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона.

5. Приближение функций полиномами Чебышева.6. Численное дифференцирование.7. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных

дифференциальных уравнений: метод Эйлера, метод Рунге-Кутта.8. Численное интегрирование: формулы прямоугольников,

трапеций, Симпсона, их погрешность.

Р Е К О М Е Н Д У Е М А Я Л И Т Е Р А Т У Р А

1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Лаборатория базовых знаний, 2001.

2. Турчак Л.И. Основы численных методов. М.: Наука, 1987.3. Волков Е.А. Численные методы. М.: Наука, 1987.4. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978.5. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989.6. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной

математики. М.: Наука, 1970.7. Кальницкий Л.А., Добротин Д.А., Жевержеев В.Ф. Специальный

курс высшей математики для втузов. М.: Высшая школа, 1976.8. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы

анализа. М.: Наука, 1967.9. Супрун А.Н., Найденко В.В. Вычислительная математика. М.:

Наука, 1996.10. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в

упражнениях и задачах. Часть 2. М.: Высшая школа, 2001.11. Киреев В.И., Пантелеев А.В. Численные методы в примерах и

задачах. М.: Изд-во МАИ, 2000.

Очевидно, что левая часть равенства (4.16) не превосходит 0,001. Поэтому с точностью до 0,001 представляет искомую функцию.

На рис. 4.7 приведен график, соответствующий расчетам по методу Рунге-Кутта.

–1,0

–0,8

–0,6

–0,4

–0,2

0

0,2

y

0,1 x0,90,3 0,4 0,5 0,6 0,80,2

4 33

Р и с. 4.7

= = 0,105;

= = 0,1048;

= = 0,1095.Имеем

= –0,8952.

Далее

,

где = 0,1095; = 0,1140; = 0,1138; = 0,1181. Следовательно,

= – 0,7813.

Аналогично вычисляем –0,6592; –0,5297; –0,3935; –0,2512; –0,1034; 0,0493; 0,2066; 0,3679.

Уменьшим шаг в два раза, т.е. выберем h = 0,05, теперь n = 20. Результаты вычислений запишем в табл. 4.2.

Таблица 4.2–

–1 –1 0–0,9488

–0,8952 –0,8952 0–0,8393

–0,7813 –0,7813 0–0,7212

–0,6592 –0,6592 0–0,5953

–0,5297 –0,5297 0–0,4624

–0,3935 –0,3935 0–0,3231

–0,2512 –0,2512 0–0,178

–0,1034 –0,1034 0–0,0276

0,0493 0,0493 00,1274

0,2066 0,2066 00,2867

0,3678 0,3679 –0,001

1. ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 1

1–10. Вычисление погрешности функции. Вычислить предельную погрешность функции, заданной табл. 1.1, и

линейную оценку погрешности функции для значения . Погрешность вычисления принять равной: а) ; б) . Сравнить результаты вычислений, сделать выводы.

Таблица 1.1№ №

1. 1,2 6. 3,2

2. 1,4 7. –1,5

3. –4 8. 9,5

4. 1 9. 1,2

5. 3,5 10. 4,8

11–20. Методы решения нелинейных уравнений.Найти корни нелинейного уравнения : а) методом хорд; б)

методом Ньютона (методом касательных) с точностью = 0,001. Сравнить число итераций до достижения заданной точности в первом и втором методах. Сделать проверку найденного решения. Варианты заданий приведены в табл.1.2.

Таблица 1.2№ №11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

32 5

21–30. Интерполирование функций.Провести интерполяцию многочленом Лагранжа функции, заданной

табл.1.3.

Таблица 1.3№ 1 2 3 4 5

21.1 2 3 4 5

–2 1 0 2 –1

22.–1 0 1 2 3

3 2 0 –1 1

23.0 1 2 3 4

–1 2 1 0 3

24.–2 –1 0 1 2

1 2 0 –3 –1

25.–3 –2 –1 0 1

0 1 –2 3 2

26.–4 –3 –2 –1 0

2 0 1 –1 –3

27.2 3 4 5 6

–3 –1 0 2 1

28.3 4 5 6 7

3 1 0 –2 2

29.4 5 6 7 8

0 –2 1 3 –1

30.–4 –3 –2 –1 0

–1 2 0 –2 1

31–40. Численное дифференцирование.Провести в точке (табл. 1.4) численное дифференцирование

функции, заданной в табл. 1.3 (см. п. 21 – 30), записав интерполяционный многочлен в форме Ньютона.

Таблица 1.4№ 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40.

2 1 3 –1 –2 –3 4 5 7 –4

Точное же значение интеграла

2,5.

Задание 2. Решить методами Эйлера и Рунге-Кутта задачу Коши на отрезке для уравнения с начальным условием с шагом h = 0,1.

Решение. а) Метод Эйлера. . По формуле (4.11) находим

значения;

= –0,790;

=–0,671;

= –0,544;

= –0,410;

= –0,269;

= –0,122;

= 0,030;

= 0,187;

= 0,349.Таким образом получаем табл. 4.1.

Таблица 4.1x y x y0 –1 0,6 –0,269

0,1 –0,90 0,7 –0,1220,2 –0,790 0,8 0,0300,3 –0,671 0,9 0,1870,4 –0,544 1,0 0,3490,5 –0,410

б) Метод Рунге-Кутта. . По формулам (4.12), (4.13)

находим значения

,

где = = 0,1;

6 31

Таким образом, расчет по второй сетке позволяет оценить погрешность расчета по первой сетке.

Отметим, что при использовании правила Рунге практически достаточно применять формулу оценки погрешности в виде

,где и – приближенные значения решения уравнения в одной и той же точке, полученные с шагом h и h/2, так как величина

вносит незначительную погрешность в (4.16). При этом требуемая точность считается достигнутой, если величина R не превышает заданной погрешности во всех совпадающих узлах.

4.3. РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ВАРИАНТА КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 2

Задание 1. Вычислить по формулам прямоугольников, трапеций и Симпсона

определенный интеграл с шагом h = 0,1.

Решение. Имеем ; ; ; ;

; 0,5; ; ; ;

; ; ; ;

; ;

; ; ;

; ; ;

.а) Формула прямоугольников. По формуле (4.3) получаем

= 2,45,

а по формуле (4.4) –

= 2,55.

б) Формула трапеций. По формуле трапеций получаем

=

= 2,5. в) Формула Симпсона. По формуле парабол получаем

2. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ

КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 1

2.1. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ

Пусть – точное значение аргумента функции , – погрешность задания , – известное приближение к , а – соответствующее значение функции. Тогда величина

(2.1)называется предельной абсолютной погрешностью функции.

Величина (2.2)

называется линейной оценкой погрешности функции. В общем случае и могут существенно различаться. При этом для определения погрешности

функции необходимо использовать величину , дающую правильное значение погрешности функции.

Пример 2.1. Вычислить предельную погрешность и линейную оценку

погрешности функции в точке . Принять .

Решение. Для вычисления находим величины;

;.

Выясним, существует ли локальный экстремум функции на интервале . Для этого вычислим производную функции и

приравняем ее к нулю:

.

Таким образом, на интервале экстремум функции отсутствует и и являются соответственно минимальным и максимальным

значениями функции на отрезке .

Находим по формуле (2.1), т.е. беря максимальную (по модулю) разность между и значениями из множества . Получим

.Находим по формуле (2.2)

.Учитывая, что и существенное отличие от , в качестве

погрешности определения функции следует взять .

2.2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

При определении корней уравнения(2.3)

полезно использовать следующую теорему.

Теорема 1. Если функция принимает значения разных знаков на концах отрезка , первая производная сохраняет знак на интервале , то внутри отрезка существует единственный корень уравнения , (рис. 2.1).

Р и с. 2.1

Таким образом, при нахождении корней вначале необходимо разбить область определения функции на отрезки, внутри которых находится один корень уравнения (2.3).

y

0 xa

bf(x)

baxxf ,0

30 7

Пусть требуется найти решение на отрезке . Разобьем его на

систему равноотстоящих узлов , где h – шаг интегрирования. Уточнение расчетов по методу Рунге-Кутта достигается за счет специального подбора координат четырех точек, в которых вычисляется первая производная

. Формулы интегрирования по этому методу на i-ом шаге имеют вид

, (4.12)

где,

,

, (4.13)

,

.Метод Рунге-Кутта легко алгоритмизуется. Точность метода Рунге-

Кутта пропорциональна и имеет вид [1, 2]. (4.14)

Одним из наиболее эффективных методов оценки погрешности является правило Рунге. Суть его заключается в следующем.

Пусть имеется приближенная формула для вычисления величины по значениям на равномерной сетке и остаточный член этой формулы

(4.15)имеет вид (4.14), т.е.

.Выполним теперь расчет по той же приближенной формуле для той

же точки х, но используя равномерную сетку с другим шагом ( . Тогда полученное приближенное решение связано с точным решением соотношением

.Имея два расчета и на разных сетках, нетрудно

оценить величину погрешности:.

Из полученного соотношения с учетом формул (4.14), (4.15) получаем формулу Рунге

. (4.16)

8 29

имеющей угловой коэффициент . На рис. 4.5 через

обозначена ошибка в вычислении функции при замене интегральной кривой (I) отрезком касательной (II), проведенной в точке

.В целом геометрический смысл метода Эйлера иллюстрируется рис.

4.6. Здесь интегральная кривая (I) заменяется ломаной (II), звенья которой имеют постоянную проекцию на ось Ох. Первое звено касается истинной интегральной кривой (точного решения) в точке .

Р и с. 4.5

Р и с. 4.6

4.2.2. Метод Рунге-Кутта

Точность метода Эйлера невелика и пропорциональна величине шага h. Для повышения точности решения дифференциальных уравнений разработана целая группа методов, обобщенных названием метод Рунге-Кутта. Рассмотрим классический метод Рунге-Кутта решения задачи Коши для дифференциального уравнения (4.7) с начальным условием (4.8).

Отрезок, содержащий корень можно найти графически. Для этого уравнение переписывается в виде

,где и более простые функции, чем . Построив графики функций

и , находим отрезок, содержащий значение (абсциссу точки пересечения этих графиков), если корень существует.

а) в методе хорд рассмотрим один из таких отрезков , на концах которого функция имеет разные знаки (рис. 2.2).

Р и с. 2.2

Значение корня находится внутри отрезка . На первом этапе через точки А(а, ) и В( ) проводим хорду , уравнение которой записывается в виде

. (2.4)

Найдем точку пересечения хорды с осью абсцисс. Для этого положим в (2.4) , тогда

. (2.5)

За первое приближение корня уравнения (2.3) примем точку . Далее

выберем тот из отрезков , , на концах которого функция принимает значения разных знаков. В рассматриваемом случае (см. рис. 2.2) это будет отрезок , который принимаем за новый отрезок. Используя для этого отрезка формулу (2.5), получим

x0 x0

y0

y1

y

x1

I

y0

II

x0 x0

y0

y1

y

x1

II

y0

I

xx0 x1 x2 x30

y0

y

I

II

x

y

0 a

A

x2 x1

B1

B

b

B2

28 9

,

где является значением корня во втором приближении. Продолжая этот процесс, для -ого приближения получим

. (2.6)

В качестве начального приближения в (2.6) принимается значение .

При этом корень находится внутри отрезка .Неподвижным концом при последовательном уточнении

приближенного значения корня могут быть как точка а, так и точка b первоначального отрезка. Для выяснения этого факта предположим, что при сохраняет знак. Доказано, что во всех случаях приближенное значение корня лежит между точным его значением и тем концом отрезка , в котором знаки и противоположны [4, 6]. Поэтому, если известно (n – 1)-ое приближение корня, то его n-ое приближение можно вычислить по формуле

(2.7)

для случая > 0 (неподвижным остается левый конец отрезка) или по формуле

(2.8)

для случая > 0 (неподвижным остается правый конец отрезка).На практике итерационный процесс вычисления приближенных

значений продолжается до тех пор, пока для двух последовательных приближений и не будет выполняться условие

,где – заданная точность.

Пример 2.2. Найти корни уравнения (2.9)

методом хорд с точностью = 0,01.Решение. Для нашего примера примем

; .Графики этих функций изображены на рис. 2.3.

Как видно, . Рассмотрим отрезок . Имеем

; ; .

4.2. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

4.2.1. Метод Эйлера

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка (4.7)

с начальным условием . (4.8)

Область непрерывного изменения аргумента (если в качестве начального значения аргумента взята левая граничная точка) заменяем дискретным множеством точек

, (4.9)где – некоторое малое число, называемое шагом интегрирования.

Множество называют сеткой, точки – узлами сетки. Если

все , сетка называется равномерной, в противном случае – неравномерной.

Для решения задачи Коши (4.7), (4.8) нужно найти приближенные значения точного решения уравнения (4.7) соответственно

при значениях аргумента Введем обозначение . Будем

считать, что сетка (4.9) является равномерной, т.е. .

Заменяя производную в (4.7) при приближенным соотношением, получим

. (4.10)

Тогда с учетом правой части уравнения (4.7) из (4.10) имеем (i = ). (4.11)

Таким образом, полагая согласно (4.8) , с помощью (4.11)

можно последовательно найти все значения (i = ).Рассмотрим геометрическую интерпретацию метода Эйлера. При

i = 0 из (4.11) и (4.7) имеем,

т.е. на отрезке интегральная кривая заменяется отрезком прямой,

которая является отрезком касательной, проведенной в точке и

параболы, т.е. функция аппроксимируется параболой вида .

При этом выполняются условия , (4.5)

где (рис. 4.4).

Р и с. 4.4

Можно доказать (см. [3, 4]) справедливость следующего равенства:

. (4.6)

С учетом равенства (4.6) и условий (4.5) имеем приближенное равенство

Эта формула называется элементарной формулой Симпсона.Разобьем отрезок на четное число равных отрезков ,

при этом – точки деления ( ).

Обозначим через середины отрезков , ,

и т.д. Применив для каждого отрезка разбиения элементарную формулу Симпсона, получим формулу парабол (формулу Симпсона) [3, 4]

10 27

Р и с. 2.3

Таким образом, на отрезке функция удовлетворяет условиям теоремы 1 и на этом отрезке имеет единственный корень. Рассмотрим интервалы и :

,т.е. на этих интервалах функция не меняет знак, следовательно, корней на них нет.

Найдем корень на отрезке . Так как , то в качестве неподвижной точки выбираем правый конец отрезка

, т.е. . Полагая , из формулы (2.8) получим

.

Далее

;.

Таким образом, . Для проверки результатов расчетов вычислим : , т.е. корень найден верно .

Рассмотрим теперь нахождение корня уравнения (2.3) методом Ньютона (методом касательных). Пусть на отрезке имеется единственный корень. Тогда нахождение этого корня осуществляется по рекуррентной формуле [5, 6]

(2.10)

x0

y

a b

y = f(x)

c

y = P(x)

x0

y

y = x3

1 2–1–2

1

2

3

y = 1 – х

–1

26 11

если выполняются условия следующей теоремы.

Теорема 2. Если функция имеет на концах отрезка значения разных знаков, т.е. < 0, а производные и

сохраняют знаки на отрезке , то исходя из начального приближения , удовлетворяющего условию

, (2.11)можно построить последовательность (2.10), сходящуюся к единственному на

решению уравнения .

Пример 2.3. Найти корни уравнения (2.9)

методом Ньютона с точностью = 0,01.Решение. , , ,

, . В качестве начального приближения выбираем точку , для которой выполняются условия теоремы 2. Тогда можно

воспользоваться формулой (2.10). Имеем

(2.12)и

,

.Таким образом, значение корня приближенно равно . Нахождение

корня по методу Ньютона потребовало три итерации, а по методу хорд – шесть.

2.3. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ ЛАГРАНЖА И НЬЮТОНА

Пусть даны значений аргумента и для функции точно известны

лишь соответствующие значения.

Если требуется найти значение функции , то о

задаче нахождения на интервале говорят как о задаче

интерполирования функции . Точки , , …,

4.1.3. Формула трапеций

Эта формула аналогична формулам прямоугольников, но функция заменяется на каждом отрезке длиной х отрезком

прямой (рис. 4.3). Очевидно, что площадь заштрихованной фигуры равна сумме площадей трапеций, причем на отрезке имеем

,

где .

Р и с. 4.3

Заменяя далее приближенно площадь криволинейной трапеции под графиком площадью заштрихованной фигуры, получим

Окончательно формула трапеций принимает вид

.

4.1.4. Формула Симпсона (формула парабол)

Эта формула предложена английским математиком Симпсоном и основана на замене подынтегральной функции на отрезке дугой

.Окончательно получаем приближенную формулу

, (4.3)

называемую первой формулой прямоугольников.Если же в точке присвоить значение , т.е.

правую точку отрезка, то из формулы (4.2) получаем

,

или окончательно

. (4.4)

Эта формула называется второй формулой прямоугольников.Формулы (4.3), (4.4) допускают простое геометрическое истолкование

для . Известно, что интеграл (4.1) представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , осью Ох и прямыми х = а, х = b. Формулы же (4.3) и (4.4) задают площади ступенчатых фигур, изображенных на рис. 4.1 и 4.2 соответственно.

0

y

xa=x0 x1 x2 xn-1 b=xn

y = f(x)

a=x0 x1 x2 xn-1 b=xn

nxa=x0

yy = f(x)

0 a=x0

x1 x2 xn-1 b=xn xa=x0

y

y = f(x)

0

12 25

Р и с. 4.1 Р и с. 4.2

Очевидно, что с увеличением n (уменьшением х) приближенные значения интегралов (4.3), (4.4) стремятся к точному значению.

называют при этом узлами интерполирования. Получающийся полином степени вида

, (2.13)

приближенно описывающий функцию на интервале и

совпадающий с в узлах интерполяции, называется интерполяционным многочленом Лагранжа.

Если известен аналитический вид функции , то можно найти

– погрешность отклонения многочлена от :

, (2.14)

где обеспечивает максимальное (по модулю) значение на

отрезке , а . При этом

предполагается, что на отрезке существуют производные до

-ого порядка включительно.

Пример 2.4. Вычислить значение функции при , используя интерполяционный многочлен Лагранжа при n = 3. Оценить погрешность вычисления.

Решение. Точное значение известно при следующих трех ближайших к значениях : , , . Находим

соответствующие им значения : , , . Подставляя эти значения в формулу (2.13), найдем интерполяционный многочлен

Найдем

Оценим погрешность вычисления

.

По формуле (2.14) найдем погрешность .Вычисление на калькуляторе дает: …, что отличается

от в третьем знаке после запятой.Таким образом, вычисленная погрешность отражает реальную ошибку

расчета.

Если все узлы интерполяции располагаются друг от друга на одинаковом расстоянии , то удобнее пользоваться одним из следующих двух выражений для интерполирующего многочлена:

(2.15)

где , а величины , называемые конечными разностями -ого порядка, определяются из рекуррентных формул

(2.16)

где , а конечные разности определяются из рекуррентных формул

.

Формулы (2.15) и (2.16) называются соответственно первой и второй интерполяционными функциями (многочленами) Ньютона.

Конечные разности удобно вычислять, пользуясь следующей таблицей, называемой диагональной таблицей конечных разностей (табл. 2.1).

24 13

61. 2 3 2

62. 2 3 1

63. 1 2 1

4. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ

КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 2

4.1. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

4.1.1. Постановка задачи

Формула Ньютона-Лейбница

(4.1)

позволяет вычислить определенный интеграл, если удается найти первообразную подынтегральной функции . Это возможно далеко не во всех случаях. Например, если подынтегральная функция не допускает непосредственного интегрирования, задана не аналитически, а таблично или в виде ряда. В этих случаях применяется приближенное численное интегрирование.

В определении определенного интеграла, как пределе интегральной суммы, уже заложена основная идея численного интегрирования:

,

где . Откуда

. (4.2)

4.1.2. Формулы прямоугольников

Формула прямоугольников основана на замене подынтегральной функции f (x) кусочно-постоянной функцией. Разобьем отрезок [a, b] на n частей равной длины , ( ),

. Выберем на отрезке точку , т.е. левую точку отрезка. Тогда из формулы (4.2) имеем14 23

Следовательно, производная функции, заданной в табличном виде, в точке равна 4/3.

3. ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 2

41–50. Численное интегрирование. Вычислить методом прямоугольников, трапеций и Симпсона

определенный интеграл с шагом h = 0,1. Варианты заданий

приведены в табл. 3.1.

Таблица 3.1№ а b № а b41. 0 1 46. 1 2

42. 1 2 47. 1 2

43. 0 1 48. 0 1

44. 1 2 49. 1 2

45. 0 1 50. 0 1

51–60. Численное решение дифференциальных уравнений. Решить уравнение с начальными условиями , на

отрезке с шагом h = 0,1 методами Эйлера и Рунге-Кутта и изобразить соответствующие значения на графике. Варианты заданий приведены в табл. 3.2.

Таблица 3.2№ а b64. 1 2 1

65. 1 2 2

66. 0 1 0

67. 0 1 0

68. 0 1 0

69. 1 2 0

70. 0 1 1

Таблица 2.1

Каждая следующая конечная разность вычисляется как разность

двух предыдущих конечных разностей и

, расположенных в столбце левее чуть ниже и чуть выше . Например,

;

;

.

2.4. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ

Если функция задана в табличном виде, то численное дифферен- цирование функции заменяется на дифференцирование многочлена, интерполирующего данную функцию. В случае произвольного расположения интерполяционных узлов можно принять

,

где – интерполяционный многочлен Лагранжа.Если интерполяционные узлы располагаются друг от друга на одинаковом

расстоянии, то удобнее использовать формулу (2.15) или (2.16) и тогда.

Пример 2.5. Вычислить в точке производную функции , заданной в табл. 2.2.

Таблица 2.2–1 0 1 2

1 2 4 0

22 15

Решение. Так как для всех , то для интерполяции функции можно использовать, например, многочлен (2.15).

Составляем таблицу для вычислений конечных разностей (см. табл. 2.3).

Таблица 2.3

–1 1 1

0 22

1–7

1 4–4

–6

2 0

В таблице используются лишь величины (обведены в табл. 2.3).

Записываем полином

=

где .Вычисляем производную в точке по правилу дифференцирования

сложной функции

Таким образом .

2.5. РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ВАРИАНТА КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 1

Задание 1. Вычислить предельную погрешность функции и линейную оценку погрешности функции для заданного значения . Погрешность определения принять равной: а) ; б) . Сравнить результаты вычислений, сделать выводы.

.

16 21

Решение. Запишем первую форму интерполяционного многочлена Ньютона (2.15)

Это можно сделать, поскольку все интерполяционные узлы расположены на одинаковом расстоянии друг от друга. Имеем

= .

Найдем конечные разности , используя диагональную таблицу конечных разностей (см. табл. 2.6).

Таблица 2.6

3–2

11

3–8

2–4

–510

18

–21

5

–1

Имеем.

Записываем

Найдем производную , пользуясь формулой дифференцирования

сложной функции:

Решение. Используя формулу (2.13), запишем интерполяционный многочлен Лагранжа

Делаем проверку вычислений, убеждаясь, что в интерполяционных узлах совпадает с : ; , т.е. вычисления

сделаны без ошибок.

Задание 4. Провести в точке численное дифференцирование функции, заданной в табл. 2.5, записав интерполяционный многочлен в форме Ньютона.

Таблица 2.5–2 0 2 4 6

3 1 2 –2 –1

Решение. Найдем максимальное значение разности на отрезке . Так как производная функции на

данном отрезке, то локальный экстремум внутри отрезка отсутствует и достаточно вычислить значения функции на концах отрезка. Имеем

а)

;

.По формуле (2.1) находим предельную абсолютную погрешность

.По формуле (2.2) находим линейную оценку погрешности функции

.

б) ;

;.

В первом случае величины и существенно различаются и для определения погрешности функции необходимо пользоваться формулой (2.1). Во втором случае и примерно равны, и для оценки погрешности функции можно пользоваться формулой (2.2).

Задание 2. Найти корни нелинейного уравнения

а) методом хорд; б) методом Ньютона с точностью = 0,001. Сравнить число итераций до достижения заданной точности в первом и втором методах. Сделать проверку найденного решения.

Решение. Перепишем уравнение в виде

.

Примем и построим графики функций и

(рис. 2.4).

Р и с. 2.4

По точкам пересечения графиков этих функций приближенно найдем отрезки, содержащие корни. Как видно из рис. 2.4 это будут симметричные отрезки и . Рассмотрим отрезок :

, т.е. на отрезке функция меняет знак.

При этом производная . Таким образом,

выполняются условия теоремы 1 и на отрезке имеется один корень. Так как не меняет знака на интервалах и , то на этих интервалах корней нет. Учитывая, что – четная функция, получаем, что второй корень находится на отрезке симметрично первому корню относительно начала координат. Таким образом, достаточно рассмотреть нахождение корня на отрезке .

а) Метод хорд. Так как , то функция является

возрастающей. Поскольку , то функция

является вогнутой на и схематически имеет вид, изображенный на рис. 2.5.

Р и с. 2.5

A

B

x1

y

x21

0

y = f(x)

x0

y

y1

1 2–1–2

2

3

y2

y2 1

–

20 17

Как видно из рис. 2.5, неподвижным будет правый конец отрезка – точка b, поэтому по формуле (2.8) имеем

;

.Таким образом, . Второй корень равен . Сделаем

проверку, подставив и в уравнение

.Таким образом, корень найден верно. Для достижения заданной точности

потребовалось пять итераций.

б) метод Ньютона. Ограничимся нахождением положительного значения корня. В качестве начального приближения возьмем правую точку отрезка

= 2. Имеем . Все

условия теоремы 2 выполняются и, следовательно, для нахождения корня на отрезке можно использовать формулу (2.10)

,

,.

Таким образом, . Значение корня, вычисленное методом хорд и методом Ньютона, совпало. Количество итераций для достижения заданной точности по первому способу (k = 5) больше, чем по второму (k = 3).

Задание 3. Провести интерполяцию многочленом Лагранжа функции, заданной в табл. 2.4.

Таблица 2.4–2 0 2 4 6

3 1 2 –2 –1

18 19