ГЕОМЕТРИЯ - bogomolov...

А. Л. Городенцев∗

Г Е О М Е Т Р И Я

1-й курс, 2-й семестр

МатФак ВШЭ2018/19 уч. год

∗ ВШЭ, НМУ, ИТЭФ, e-mail:[email protected] , http://gorod.bogomolov-lab.ru/

e-mail:[email protected]://gorod.bogomolov-lab.ru/

Оглавление

Оглавление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2§1 Пространство с билинейной формой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1 Соглашения и обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Билинейные формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Невырожденные формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Ортогоналы и ортогональные проекции . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5 Симметричные и кососимметричные формы . . . . . . . . . . . . . . 13

§2 Симметричные билинейные и квадратичные формы . . . . . . . . . . . . 162.1 Пространства со скалярным произведением . . . . . . . . . . . . . . 162.2 Изометрии и отражения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3 Квадратичные формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4 Автодуальные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

§3 Кососимметричные формы и грассмановы многочлены . . . . . . . . . . . 283.1 Симплектические пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2 Грассмановы многочлены . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.3 Грассманова алгебра векторного пространства . . . . . . . . . . . . 313.4 Пфаффиан . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

§4 Проективные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.1 Проективизация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.2 Проективные подпространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.3 Квадрики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.4 Проективные многообразия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

§5 Проективные преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.1 Линейные проективные изоморфизмы . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.2 Гомографии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.3 Двойное отношение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.4 Гомографии на гладкой конике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

§6 Геометрия гладких проективных квадрик . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.1 Полярное преобразование относительно гладкой квадрики . . . . . . 696.2 Подпространства, лежащие на гладкой квадрике . . . . . . . . . . . . 756.3 Классификация проективных квадрик . . . . . . . . . . . . . . . . . 766.4 Квадратичные поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.5 Квадрика Плюккера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

§7 Пучки квадрик . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 837.1 Базисное множество и спектр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 837.2 Невырожденные пучки коник . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 847.3 Касательное пространство к проективной гиперповерхности . . . . . 887.4 Гиперповерхность особых квадрик . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 897.5 Регулярные пучки квадрик . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

§8 Конформная геометрия вещественных коник . . . . . . . . . . . . . . . . 94

2

Оглавление 3

8.1 Комплексная проективизация вещественной плоскости . . . . . . . . 948.2 Гладкие непустые вещественные коники . . . . . . . . . . . . . . . . 968.3 Геометрия центральных коник . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 988.4 Геометрия парабол . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

§9 Аффинные квадрики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1079.1 Сравнение аффинной и проективной линейных групп . . . . . . . . . 1079.2 Проективное замыкание аффинной квадрики . . . . . . . . . . . . . 1089.3 Гладкие центральные квадрики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1099.4 Параболоиды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1109.5 Простые конусы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1119.6 Цилиндры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1129.7 Квадрики в евклидовом пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

§10 Линейные отображения евклидовых пространств . . . . . . . . . . . . . . 12210.1 Сингулярные числа и сингулярные направления . . . . . . . . . . . . 12210.2 Инвариантные углы между подпространствами . . . . . . . . . . . . 12610.3 Алгебраическое дополнение I: аннулирующие многочлены . . . . . . 12910.4 Алгебраическое дополнение II: функции от операторов . . . . . . . . 132

§11 Выпуклая геометрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13611.1 Напоминания из аффинной геометрии и топологии . . . . . . . . . . 13611.2 Опорные полупространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13911.3 Выпуклые многогранники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14311.4 Выпуклые многогранные конусы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14511.5 Проективный и асимптотический конусы многогранника . . . . . . 147

§12 Группы Кокстера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15012.1 Группы, порождённые отражениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15012.2 Простые отражения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15212.3 Приведённые слова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15612.4 Классификация групп Кокстера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

§13 Мёбиусовы преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16113.1 Сферы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16113.2 Инверсии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16713.3 Стереографическая проекция и инверсии на сфере . . . . . . . . . . 17113.4 Группы Мёбиуса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

§14 Эллиптическая геометрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17514.1 Эллиптическая пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17514.2 Изометрии эллиптического пространства . . . . . . . . . . . . . . . 18014.3 Треугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18214.4 Сферическая форма объёма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

§15 Гиперболическая геометрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18815.1 Пространство Лобачевского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18815.2 Линейная модель в единичном шаре . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19215.3 Группа изометрий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19415.4 Гиперболическая форма объёма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

4 Оглавление

15.5 Конформные модели гиперболического пространства . . . . . . . . . 200

Ответы и указания к некоторым упражнениям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

§1. Пространство с билинейной формой

1.1. Соглашенияиобозначения.Мырассматриваемконечномерноевекторноепространствонад произвольным полем 𝕜. Наборы 𝒗 = ( , , … , ) из векторов ∈ удобно воспри-нимать как матрицы-строки, элементами которых являются векторы. Если векторы из набора𝒖 = ( , , … , ) линейно выражаются через векторы из набора 𝒘 = ( , , … , ) поформулам = ∑ = + + ⋯ + , где ∈ 𝕜, то мы записываем это в ви-де матричного равенства 𝒖 = 𝒘 𝒘𝒖, где 𝒘𝒖 ∈ Mat × (𝕜) —матрица высоты иширины , в-том столбце которой стоят коэффициенты разложения вектора векторам𝒘. Мы называем

матрицу 𝒘𝒖 матрицей перехода от векторов 𝒖 к векторам𝒘.Упражнение 1.1. Убедитесь, что если набор векторов 𝒘 выражается через набор векторов 𝒗

по формуле 𝒘 = 𝒗 𝒗𝒘, а набор 𝒗 выражается через набор 𝒖 по формуле 𝒗 = 𝒖 𝒖𝒗, то𝒖𝒘 = 𝒖𝒗 𝒗𝒘.

Если задано линейное отображение ∶ → между векторными пространствами и , ивекторы 𝒖 = ( , , … , ) образуют базис в , а векторы𝒘 = ( , , … , ) — базис в ,то матрица перехода от векторов (𝒖) = ( � ( ), ( ), … , ( )) � к векторам 𝒘 называетсяматрицей отображения в базисах 𝒖, 𝒘 и обозначается 𝒘𝒖. Её -тый столбец состоит из ко-ординат вектора ( ) в базисе 𝒘. Таким образом, (𝒖) = 𝒘 𝒘𝒖. Вектор = 𝒖 со столбцомкоординат в базисе 𝒖 переводится отображением в вектор

( ) = (𝒖 ) = (𝒖) = 𝒘 𝒘𝒖

со столбцом координат 𝒘𝒖 в базисе𝒘.Двойственное к пространство линейных функций ∶ → 𝕜 обозначается через ∗. Эле-

менты этого пространства также называются ковекторами, линейными формами или линейны-ми функционалами на . Каждому базису 𝒆 = ( , , … , ) пространства отвечает двой-ственный базис 𝒆∗ = ( ∗, ∗, … , ∗ ) пространства ∗. Линейная функция ∗ ∶ → 𝕜 сопостав-ляет вектору ∈ его -тую координату в базисе 𝒆 и действует на базисные векторы поправилу

∗( ) = ≝{

при =при ≠ .

�

Упражнение 1.2. Убедитесь, -тая координата произвольной линейной функции ∶ → 𝕜 вбазисе 𝒆∗ равна значению этой функции на базисном векторе , т. е. = ∑ ∗ ⋅ ( ).

Линейное отображение → ∗∗, ↦ ev , сопоставляющее вектору ∈ функционал вычис-ления ev ∶ ∗ → 𝕜, ↦ ( ), переводит любой базис 𝒆 пространства в двойственный кбазису 𝒆∗ в ∗ базис пространства ∗∗ и, стало быть, является изоморфизмом.

Для подпространств ⊂ и ⊂ ∗ мы обозначаем через Ann ⊂ ∗ и Ann ⊂ иханнуляторы Ann ≝ { ∈ ∗ | ∀ ∈ ( ) = } и Ann ≝ { ∈ | ∀ ∈ ( ) = }.Соответствие ↦ Ann является инволютивной1 биекцией между векторными подпростран-ствами размерности в и векторными подпространствами размерности dim − в ∗. Эта

1Т. е. обратной самой себе. Это означает, что Ann Ann = для любого векторного подпростран-ства как в , так и в ∗.

5

6 §1Пространство с билинейной формой

биекция переводит суммы векторных подпространств в пересечения, а пересечения — в сум-мы1.

1.2. Билинейные формы.Отображение ∶ × → 𝕜 называется билинейной формой на про-странстве , если оно линейно по каждому из двух своих аргументов при фиксированном дру-гом, т. е. удовлетворяет равенству

( + , + ) = ∑, =

( , ) (1-1)

при всех , , , ∈ и , , , ∈ 𝕜.Упражнение 1.3. Убедитесь, что билинейные формы образуют векторное подпространство в

пространстве всех функций × → 𝕜.Если форма на пространстве зафиксирована, то её значение ( , ) ∈ 𝕜 на паре векторов

, ∈ иногда бывает удобно записывать в виде скалярного произведения ⋅ , принимаю-щего значения в поле 𝕜 и, вообще говоря, некоммутативного. Формула (1-1) утверждает, чтоэто произведение дистрибутивно по отношению к линейным комбинациям векторов, т. е. под-чиняется стандартным правилам раскрытия скобок.

1.2.1. Матрицы Грама. С любыми двумя наборами векторов

𝒖 = ( , , … , ) и 𝒘 = ( , , … , ) , где , ∈ ,

связанаматрицаихпопарных скалярныхпроизведений 𝒖𝒘 ≝ 𝒖 ⋅𝒘 ∈ Mat × (𝕜) с элементами= ⋅ = ( , ). Онаназываетсяматрицей Граманаборов𝒖,𝒘иформы .Когданаборы

совпадают: 𝒖 = 𝒘, мы пишем просто 𝒖 вместо 𝒖𝒖. В этом случае det 𝒖 ∈ 𝕜 называетсяопределителем Грама формы и набора векторов 𝒖.

Еслинаборывекторов𝒖и𝒘 линейновыражаютсячерезнаборы𝒆и𝒇поформулам𝒖 = 𝒆 𝒆𝒖и 𝒘 = 𝒇 𝒇𝒘, то 𝒖𝒘 = 𝒖 𝒘 = (𝒆 𝒆𝒖) (𝒇 𝒇𝒘) = 𝒆𝒖𝒆 𝒇 𝒇𝒘 = 𝒆𝒖 𝒆𝒇 𝒇𝒘. В частности, если𝒖 = 𝒘 𝒘𝒖, то

𝒖 = 𝒘𝒖 𝒘 𝒘𝒖 . (1-2)

Если векторы 𝒆 = ( , , … , ) образуют базис в , то скалярное произведение ( , ) любыхдвух векторов = 𝒆 и = 𝒆 однозначно выражается через столбцы , их координат вбазисе 𝒆 по формуле

⋅ = ⋅ = 𝒆 ⋅ 𝒆 = 𝒆 . (1-3)

Поскольку любая квадратная матрица 𝒆 ∈ Mat (𝕜) задаёт по этой формуле билинейную фор-му на пространстве , сопоставление билинейной форме её матрицы Грама в произвольно за-фиксированном базисе устанавливает биекцию между пространством билинейных форм на -мерном векторном пространстве и пространством матриц размера × .

Упражнение 1.4. Убедитесь, что эта биекция линейна.

1Доказательство всех этих фактов см. в лекции http://gorod.bogomolov-lab.ru/ps/stud/geom_ru/1617/lec_04.pdf, раздел 4.4.3, стр. 64.

http://gorod.bogomolov-lab.ru/ps/stud/geom_ru/1617/lec_04.pdfhttp://gorod.bogomolov-lab.ru/ps/stud/geom_ru/1617/lec_04.pdf

1.2. Билинейные формы 7

1.2.2. Корреляции. Задание билинейной формы ∶ × → 𝕜 эквивалентно заданию ли-нейного отображения

∧ ∶ → ∗ , ↦ (∗ , ) , (1-4)

переводящего вектор ∈ в линейную форму ↦ ( , ) на пространстве , задаваемуюправым скалярным умножением векторов из на . Линейное отображение (1-4) называетсяправой корреляцией билинейной формы . Форма однозначно восстанавливается из корреля-ции по формуле ( , ) = ∧( ) . Если зафиксировать в пространствах и ∗ двойственныебазисы 𝒆 = ( , , … , ) и 𝒆∗ = ( ∗, ∗, … , ∗ ), то матрица отображения ∧ в этих базисахсовпадёт с матрицей Грама формы в базисе 𝒆: ∧𝒆∗ 𝒆 = 𝒆.

Упражнение 1.5. Убедитесь в этом!

Таким образом, сопоставление билинейной форме её правой корреляции ∧ устанавлива-ет изоморфизм пространства билинейных форм на с пространством линейных отображенийиз в ∗. Симметричным образом, задание билинейной формы ∶ × → 𝕜 эквивалентнозаданию левой корреляции

∧ ∶ → ∗ , ↦ ( , ∗ ) , (1-5)

переводящей вектор ∈ в линейную форму левого скалярного умножения векторов изна : ↦ ⋅ = ( , ).

Упражнение 1.6. Убедитесь в том, что матрица левой корреляции в двойственных базисах 𝒆и 𝒆∗ пространств и ∗ равна 𝒆, и что левая корреляция билинейной формы являетсяправой корреляцией транспонированной формы ( , ) ≝ ( , ).1.2.3. Ядра, ранг и коранг. Векторные пространства

⊥ = ker ∧ = { ∈ | ∀ ∈ ( , ) = }⊥ = ker ∧ = { ∈ | ∀ ∈ ( , ) = }

(1-6)

называются, соответственно, правым и левым ядром билинейной формы . Вообще говоря,⊥ ≠ ⊥ , если форма не является симметричной или кососимметричной. Однако

dim ⊥ = dim ⊥ .

В самом деле, dim ker ∧ = dim − dim im ∧, dim ker ∧ = dim − dim im ∧ , и размерностиобразов операторов ∧, ∧ равны рангам их матриц в каких-либо двойственных друг другу ба-зисах 𝒆, 𝒆∗ пространств и ∗. Так как эти матрицы транспонированы друг другу по упр. 1.6,они имеют одинаковый ранг, равный рангу матрицы Грама 𝒆 базиса 𝒆 по упр. 1.5. Итак, обапространства в (1-6) имеют размерность dim −rk 𝒆. Это число называется корангом билиней-ной формы и обозначается cork . Ранг матрицы Грама, равный размерности образа каждойиз корреляций, не зависит от выбора базиса и называется рангом билинейной формы и обо-значается rk .

1.2.4. Изометрии. Линейное отображение ∶ → между векторными пространства-ми и , на которых заданы билинейные формы и , называется изометрическим1, еслидля любых векторов , ∈ выполняется равенство ( , ) = ( � ( ), ( )) �. Билиней-ные формы и называются изоморфными, если между пространствами и имеетсяизометрический линейный изоморфизм.

1Или гомоморфизмом пространств с билинейными формами.


1.3. Невырожденныеформы.Билинейнаяформа называется невырожденной1, если она удо-влетворяет условиям следующего ниже предл. 1.1. Формы, не удовлетворяющие этим услови-ям, называются вырожденными или особыми.

Предложение 1.1 (критерии невырожденности)

Следующие свойства билинейной формы на конечномерном векторном пространстве рав-носильны друг другу:

1) в существует базис с ненулевым определителем Грама

2) любой базис в имеет ненулевой определитель Грама

3) левая корреляция ∧ ∶ ⥲ ∗ является изоморфизмом

4) правая корреляция ∧ ∶ ⥲ ∗ является изоморфизмом

5) для любого ненулевого вектора ∈ существует такой вектор ∈ , что ( , ) ≠

6) для любого ненулевого вектора ∈ существует такой вектор ∈ , что ( , ) ≠

7) для любой линейной функции ∶ → 𝕜 существует такой вектор ∈ , что ( ) == ( , ) для всех ∈

8) для любой линейной функции ∶ → 𝕜 существует такой вектор ∈ , что ( ) == ( , ) для всех ∈

причём при выполнении этих условий вектор в последних двух пунктах определяется фор-мой однозначно.

Доказательство. Поскольку dim = dim ∗, биективность, инъективность и сюрьективностьлинейного отображения → ∗ равносильны друг другу и тому, что это отображение задаёт-ся невырожденной матрицей в каких-нибудь базисах. Поэтому условия (3), (5), (7) и условия(4), (6), (8), утверждающие, соответственно, биективность, обращение в нуль ядра и сюрьек-тивность для операторов ∧ и ∧, равносильны между собой и условию (1), означающему, чтотранспонированные друг другу матрицы этих операторов обратимы. Условие (1) равносильноусловию (2) в силу форм. (1-2) на стр. 6, из которой вытекает, что определители Грама двухбазисов 𝒆 и 𝒇 связаны друг с другом по формуле det 𝒆 = det𝒇 ⋅ det 𝒇𝒆, где 𝒇𝒆 — матрица пе-рехода2 от базиса 𝒆 к базису 𝒇. �

Пример 1.1 (евклидова форма)

Симметричная билинейная форма на координатном пространстсве 𝕜 с единичной матрицейГрама в стандартном базисе называется евклидовой. Над полем 𝕜 = ℝ она задаёт евклидовуструктуру на пространствеℝ . Евклидоваформа невырождена. Однако над отличнымиотℝ по-лями её свойства могут отличаться от интуитивно привычных свойств евклидовой структуры.Например, над полем ℂ ненулевой вектор − ∈ ℂ имеет нулевой скалярный квадрат.

Упражнение 1.7. Приведите пример -мерного подпространства в ℂ , на которое евклидоваформа ограничивается в тождественно нулевую форму.

1А также неособой или регулярной.2См. n∘ 1.1 на стр. 5.

1.3.Невырожденные формы 9

Базисы, в которых матрица Грама евклидовой формы равна называются ортонормальными.Ниже1 мыувидим, что над алгебраически замкнутымполем𝕜 характеристики char𝕜 ≠ любаяневырожденная симметричная билинейная форма изометрически изоморфна евклидовой.

Пример 1.2 (гиперболическая форма)

Симметричная билинейная форма на чётномерном координатном пространстве 𝕜 , матри-ца Грама которой в стандартном базисе равна

= ( ) , (1-7)

где — единичная матрица размера × , называется гиперболической. Она невырождена инад алгебраически замкнутым полем изометрически изоморфна евклидовой форме: ортонор-мальный базис гиперболической формы состоит из векторов

− = ( − + )∕√− и = ( + + )∕√ , ⩽ ⩽ .

Над полями ℝ и ℚ гиперболическая форма не изоморфна евклидовой, поскольку евклидовыскалярные квадраты всех ненулевых векторов положительны, тогда как ограничение гипербо-лической формы на линейную оболочку первых базисных векторов тождественно нулевое.Базис, в котором матрица Грама гиперболической формы имеет вид (1-7), называется гипербо-лическим базисом.

Пример 1.3 (симплектическая форма)

Кососимметричная форма на чётномерном координатном пространстве 𝕜 , матрица Грамакоторой в стандартном базисе равна

= (− ) , (1-8)

где — единичная матрица размера × , называется симплектической. Матрица вида (1-8)называется симплектической единицей. Она имеет = − и det = . Таким образом, сим-плектическая форма невырождена. Базис, в которомматрица Грама кососимметричной формыравна , называется симплектическим базисом. Ниже2 мы покажем, что всякая невырожденнаясимметричная билинейная форма над любым полем изометрически изоморфна симплектиче-ской. Это означает, в частности, что размерность пространства с невырожденной кососиммет-ричной формой обязательно чётна.

Упражнение 1.8. Убедитесь в том, что все кососимметричные квадратные матрицы нечётногоразмера над полем 𝕜 характеристики char𝕜 ≠ вырождены.1.3.1. Левыйиправыйдвойственныйбазис.Если билинейнаяформа на пространстве

невырождена, то у любого базиса 𝒆 = ( , , … , ) в есть правый и левый двойственныебазисы 𝒆∨ = ( ∨, ∨, … , ∨) и ∨𝒆 = (∨ , ∨ , … , ∨ ), состоящие из прообразов векторов двой-ственного к 𝒆 базиса 𝒆∗ = ( ∗, ∗, … , ∗ ) в ∗ относительно правой и левой корреляций соот-ветственно. Они однозначно характеризуются соотношениями ортогональности

( , ∨) = (∨ , ) = , (1-9)

1См. сл. 1.1 на стр. 14.2См. теор. 1.2 на стр. 14.


которые на матричном языке имеют вид 𝒆𝒆∨ = ∨𝒆𝒆 = . Так как по формулам из n∘ 1.2.1

= 𝒆𝒆∨ = 𝒆 𝒆 ∨𝒆 и = ∨𝒆𝒆 = 𝒆 ∨𝒆 𝒆 ,

матрицы перехода от базисов 𝒆∨ и ∨𝒆 к базису 𝒆 обратны, соответственно, матрице Грама бази-са 𝒆 и транспонированной к ней матрице: 𝒆∨ = 𝒆 −𝒆 и ∨𝒆 = 𝒆 −𝒆 .

Знание двойственных к 𝒆 базисов позволяет раскладывать произвольный вектор ∈ побазису 𝒆 в виде

= ∑ (∨ , ) = ∑ ( ,

∨) . (1-10)

Упражнение 1.9. Убедитесь в этом!

1.3.2. Изотропные подпространства. Подпространство ⊂ называется изотропнымдля билинейнойформы , если этаформаограничивается нанего в тождественнонулевуюфор-му, т. е. когда ( , ) = для всех , ∈ . Например, каждое одномерное подпространствоявляется изотропным для любой кососимметричной формы, а линейные оболочки первыхи последних базисных векторов пространства 𝕜 изотропны для гиперболической формыиз прим. 1.2 и симплектической формы из прим. 1.3.

Предложение 1.2

Размерность изотропного подпространства невырожденной билинейной формы на простран-стве не превосходит dim ∕ .

Доказательство. Изотропность подпространства ⊂ означает, что корреляция ∧ ∶ ⥲ ∗отображает внутрь Ann ⊂ ∗. Так как корреляция невырожденной формы инъективна,dim ⩽ dim Ann = dim − dim , откуда dim ⩽ dim . �

Замечание 1.1. Примеры гиперболической и симплектической форм показывают, что оценкаиз предл. 1.2 в общем случае неулучшаема.

1.3.3. Группа изометрий. Линейный оператор ∶ → является изометрией1 билиней-ной формы если и только если для произвольного базиса 𝒆 в набор векторов (𝒆) = 𝒆 𝒆имеет ту же матрицу Грама (𝒆) = (𝒆) ⋅ 𝒆, что и базис 𝒆, т. е.

𝒆 𝒆 𝒆 = 𝒆 . (1-11)

Если форма невырождена, то беря определители обеих частей, получаем det 𝒆 = , откудаdet 𝒆 = ± . Поэтомулюбаяизометрияконечномерногопространства сневырожденнойбили-нейной формой обратима. Так как композиция изометрий и обратное к изометрии отображе-ние тоже являются изометриями, изометрические преобразования пространства образуютгруппу. Она обозначается O ( ) и называется группой изометрий2 невырожденной билиней-ной формы . Изометрии определителя называются специальными и образуют в группе всехизометрий подгруппу, обозначаемую SO ( ).

Из равенства (1-11) вытекает, что обратная к изометрии изометрия имеет матрицу

−𝒆 = −𝒆 𝒆 𝒆 . (1-12)

1См. n∘ 1.2.4 на стр. 7.2А также ортогональной группой или группой автоморфизмов.

1.3.Невырожденные формы 11

Пример 1.4 (изометрии вещественной гиперболической плоскости)

Оператор ∶ → , имеющий в стандартном гиперболическом базисе , ∈ матрицу

= ( ) ,

является изометрическим тогда и только тогда, когда

( ) ⋅ ( ) ⋅ ( ) = ( ) ,

что равносильно уравнениям = = и + = , имеющим два семейства решений:

= ( − ) и ̃ = ( − ) , где ∈ 𝕜∗ = 𝕜 ∖ { }. (1-13)

Над полем ℝ оператор является собственным, и при > называется гиперболическим по-воротом, т. к. каждый вектор = ( , ), обе координаты которого ненулевые, движется придействии на него операторов с ∈ ( , ∞) по гиперболе = const. Если положить =и перейти к ортогональному базису из векторов = ( + ) ∕ √ , = ( − ) ∕ √ , тооператор запишется в нём матрицей, похожей на матрицу евклидова поворота

(∕√ ∕√∕√ − ∕√ )

⋅ ( − ) ⋅ (∕√ ∕√∕√ − ∕√ )

= (ch shsh ch ) ,

где ch ≝ ( + − )∕ и sh ≝ ( − − )∕ называются гиперболическими косинусоми синусом ве-щественного числа . Оператор с < является композицией гиперболического поворота ицентральной симметрии. Несобственный оператор ̃ является композицией гиперболическо-го поворота с отражением относительно пересекающей ветви оси гиперболы.

1.3.4. Биекциямеждуформамии операторами.На пространстве с билинейнойформой∶ × → 𝕜 каждому линейному оператору ∶ → можно сопоставить билинейную фор-

му ( , ) ≝ ( , ) с матрицей Грама 𝒆 ⋅ (𝒆) = 𝒆 ⋅ 𝒆 𝒆 = 𝒆 𝒆 в произвольно выбранномбазисе 𝒆 пространства . Поскольку на языке матриц отображение ↦ заключается в ле-вом умножении матрицы оператора на матрицу Грама: 𝒆 ↦ 𝒆 𝒆, оно линейно и обратимо,если форма невырождена. Обратное отображение задаётся умножением матрицы оператораслева на обратную кматрице Грамаматрицу. Поэтому каждая билинейная форма ∶ × → 𝕜на конечномерном векторном пространстве с фиксированной невырожденной билинейнойформой имеет вид ( , ) = ( , ) для некоторого линейного оператора ∶ → ,однозначно определяемого формой . Матрица 𝒆 оператора в произвольном базисе 𝒆 про-странства выражается через матрицы Грама 𝒆 и 𝒆 форм и в том же базисе по формуле

𝒆 = −𝒆 𝒆.

Пример 1.5 (канонический оператор)

Биекция между формами и операторами сопоставляет транспонированной к билинейнойформе ( , ) ≝ ( , ) оператор ∶ → , который называется каноническим операто-ром невырожденной билинейной формы . Он однозначно характеризуется свойством

∀ , ∈ ( , ) = ( , ) , (1-14)


а его матрица 𝒆 в произвольном базисе 𝒆 пространства выражается через матрицу Грама 𝒆формы по формуле 𝒆 = −𝒆 𝒆.

Упражнение 1.10. Убедитесь, что при замене матрицы Грама по правилу ↦ , где ∈∈ GL (𝕜), матрица = − меняется по правилу ↦ − , т. е. канонические опера-торы изоморфных билинейных форм подобны.

Так как ( , ) = ( , ) = ( , ) для всех , ∈ , канонический оператор являетсяизометрическим.

1.4. Ортогоналыиортогональныепроекции.Скаждымподпространством векторногопро-странства с билинейной формой ∶ × → 𝕜 связаны левый и правый ортогоналы

⊥ = { ∈ | ∀ ∈ ( , ) = } ,⊥ = { ∈ | ∀ ∈ ( , ) = } .

(1-15)

Вообще говоря, это два разных подпространства в .


Если билинейная форма на конечномерном пространстве невырождена, то для всех под-пространств ⊂ выполняются равенства

dim ⊥ = dim − dim = dim ⊥ и (⊥ )⊥ = = ⊥( ⊥) .

Доказательство. Первые два равенства верны, так как ортогоналы (1-15) суть прообразы под-пространства Ann ⊂ ∗ при изоморфизмах ∧ , ∧ ∶ ⥲ ∗, и dim Ann = dim − dim .Вторые два равенства вытекают из первых, поскольку оба подпространства (⊥ )⊥ и ⊥( ⊥) со-держат и имеют размерность dim . �


Пусть билинейная форма на произвольном1 векторном пространстве ограничивается наконечномерное подпространство ⊂ в невырожденную на этом подпространстве форму.Тогда = ⊕ ⊥, и проекция ∈ каждого вектора ∈ на подпространство вдоль ⊥однозначно определяется тем, что ( , ) = ( , ) для всех ∈ . Вектор выражаетсячерез произвольный базис 𝒖 = ( , , … , ) пространства по формуле

= ∑=

(∨ , ) , (1-16)

где ∨𝒖 = (∨ , ∨ , … , ∨ ) — левый двойственный к 𝒖 относительно формы базис в .

Доказательство. Так как ограничение формы на невырождено, для любого вектора ∈существует единственный такой вектор ∈ , что линейная функция ↦ ( , ) на про-странстве задаётся правым скалярным умножением векторов из на этот вектор , т. е. длявсех ∈ выполняется равенство ( , ) = ( , ). Поэтому разность − ∈ ⊥. Такимобразом, каждый вектор ∈ представляется в виде суммы = + ( − ) с ∈ и

− ∈ ⊥. Поскольку в любом разложения = ′ + с ′ ∈ и ∈ ⊥ для всех ∈выполняется равенство ( , ) = ( , ′ ), имеем равенство ′ = , а значит и равенство

1Возможно даже бесконечномерном.

1.5. Симметричные и кососимметричные формы 13

= − ′ = − , что доказывает первые два утверждения предложения. Последнее утвер-ждение вытекает из форм. (1-10) на стр. 10: = ∑ (∨ , ) = ∑ (∨ , ) . �

Упражнение 1.11. Докажите симметричное утверждение: = ⊥ ⊕ , где проекция каж-дого вектора ∈ на вдоль ⊥ находится по формуле = ∑ ( , ∨) и однозначноопределяется тем, что ( , ) = ( , ) для всех ∈ .

1.5. Симметричные и кососимметричныеформы. Билинейная форма называется симмет-ричной, если ( , ) = ( , ) для всех , ∈ , и кососимметричной — если ( , ) = длявсех ∈ . В последнем случае для любых , ∈ выполняется равенство

= ( + , + ) = ( , ) + ( , ) ,откуда ( , ) = − ( , ).

Упражнение 1.12. Убедитесь, что над полем характеристики char𝕜 ≠ равенство ( , ) == − ( , ) всех , ∈ равносильно равенству ( , ) = для всех ∈ . Убедитесьтакже, что формы ( , ) и ( , ) = ( , ) пропорциональны ровно в двух случаях:когда = ± .

Если char𝕜 = , каждая кососимметричная форма автоматически симметрична, но не наобо-рот. Если char𝕜 ≠ , пространства симметричных и кососимметричных билинейныхформ име-ют нулевое пересечение, и каждая билинейная форма однозначно раскладывается в сумму

= + + −симметричной и кососимметричной форм

+( , ) =( , ) + ( , )

и −( , ) =( , ) − ( , )

.

Левая и правая корреляции симметричной билинейной формы совпадают друг с другом, имы будем обозначать этот оператор через ̂ ≝ ∧ = ∧ ∶ → ∗ и называть просто корреляци-ей. Напомню, корреляция переводит вектор ∈ , в линейную функцию

̂( )∶ → 𝕜 , ↦ ( , ) = ( , ) .Для кососимметричной формы мы полагаем ̂ ≝ ∧ = −∧ , ↦ ̂( )∶ ↦ ( , ).

1.5.1. Ортогоналы и проекции. Если форма на пространстве (косо) симметрична, толевый и правый ортогоналы к любому подпространству ⊂ совпадают друг с другом и обо-значаются через ⊥. Если (косо) симметричная форма ограничивается на подпространство

⊂ в невырожденную на этом подпространстве форму, то = ⊕ ⊥ по предл. 1.4. В этомслучае подпространство ⊥ называется ортогональным дополнением кподпространству .Про-екция вектора ∈ на вдоль ⊥ называется ортогональной проекцией на относительноформы . Вектор однозначно характеризуется тем, что его левое и правое скалярное произ-ведение со всеми векторами из такие же, как и у вектора .

Если форма невырождена на всём пространстве , то dim ⊥ = dim − dim и ⊥⊥ =для всех подпространств ⊂ по предл. 1.4. В этом случае ограничение формы на подпро-странство ⊂ невырождено тогда и только тогда, когда невырождено её ограничение на ⊥.Теорема 1.1 (теорема Лагранжа)

Каждое конечномерное векторное пространство с симметричной билинейной формой надлюбым полем 𝕜 характеристики char𝕜 ≠ обладает базисом с диагональной матрицей Грама1.

1Такие базисы называются ортогональными.


Доказательство. Если dim = или форма нулевая, то матрица Грама любого базиса диа-гональна. Если форма ненулевая, то найдётся вектор ∈ с ( , ) ≠ , ибо в противномслучае ( , ) = ( + , + ) − ( , ) − ( , )) = для всех , ∈ . Возьмём та-кой вектор в качестве первого вектора искомого базиса. Поскольку ограничение формы наодномерное подпространство = 𝕜 ⋅ невырождено, пространство распадается в прямуюортогональную сумму ⊕ ⊥. По индукции, в ⊥ есть базис с диагональной матрицей Грама.Добавляя к нему , получаем искомый базис в . �

Пример 1.6 (ортогональный базис гиперболического пространства)

В гиперболическом пространстве1 𝕜 с гиперболическим базисом ( , … , , + , … , )над произвольным полем 𝕜 характеристики char(𝕜) ≠ в качестве ортогонального базисаможно, например, взять векторы = + + и = − + со скалярными квадратами

( , ) = и ( , ) = − .

Следствие 1.1

Над алгебраически замкнутым полем 𝕜 характеристики char(𝕜) ≠ две симметричных били-нейных формы изометрически изоморфны если и только если их матрицы Грама имеют одина-ковый ранг.

Доказательство. Над алгебраически замкнутым полем каждый ненулевой диагональный эле-мент матрицы Грама ортогонального базиса можно сделать единичным, заменив соответству-ющий ему базисный вектор на ∕√ ( , ). �

Теорема 1.2 (теорема Дарбу)

Надпроизвольнымполем𝕜 любойхарактеристикивсякое конечномерное векторноепростран-ство с невырожденной кососимметричной билинейнойформой изометрическиизоморфносимплектическому пространству2. В частности, размерность пространства чётна.

Доказательство. Для начала построим в базис, матрица Грама которого состоит из располо-женных на главной диагонали × -блоков вида

(− ) . (1-17)

В качестве первого базисного вектора возьмём произвольный ненулевой вектор ∈ . Таккак форма невырождена, найдётся такой вектор ∈ , что ( , ) = ≠ . Положим

= ∕ . Поскольку ( , ) = , векторы и не пропорциональны и порождают двумер-ное подпространство ⊂ . Матрица Грама ограничения формы на это подпространство вбазисе ( , ) имеет вид (1-17). Так как ограничение формы на невырождено, = ⊕ ⊥и ограничение формы на ⊥ тоже невырождено. Индукция по dim позволяет считать, что вподпространстве ⊥ требуемый базис уже имеется. Добавляя к нему , , получаем искомыйбазис , , … , − , в = ⊕ ⊥. Симплектический базис формы получается из по-строенного перестановкой векторов: сначала надо написать подряд все векторы с нечётныминомерами, а потом— с чётными. �

1См. прим. 1.2 на стр. 9.2См. прим. 1.3 на стр. 9.

1.5. Симметричные и кососимметричные формы 15

1.5.2. Ядро. Левое и правое ядро (косо)симметричной формы совпадают друг с другом иназываются просто ядром этой формы. Мы обозначаем это пространство через

ker ≝ ker ̂ = ker ∧ = ker ∧ = { ∈ | ∀ ∈ ( , ) = } .


Ограничение (косо) симметричной формы на любое дополнительное к ядру ker подпро-странство ⊂ невырождено.

Доказательство. Пусть подпространство ⊂ таково, что = ker ⊕ , а вектор ∈удовлетворяет для всех ∈ соотношению ( , ) = . Записывая произвольный вектор

∈ в виде = + , где ∈ ker и ∈ , получаем ( , ) = ( , ) + ( , ) = , откуда∈ ∩ ker = . �

Предостережение 1.1. Для произвольной билинейной формы, которая не является симметрич-ной или кососимметричной, предл. 1.5, вообще говоря, неверно.

§2. Симметричные билинейные и квадратичные формы

В этом параграфе мы по умолчанию считаем, что основное поле 𝕜 имеет char(𝕜) ≠ .

2.1. Пространства со скалярным произведением. Будем называть пространством со скаляр-ным произведением конечномерное векторное пространство над произвольным полем 𝕜 ха-рактеристики char𝕜 ≠ с зафиксированной на нём невырожденной1 симметричной билиней-ной формой ∶ × → 𝕜. В этом и следующем разделах буква по умолчанию обозначаетименно такое пространство.

2.1.1. Ортогональныепрямые суммы.Из двух пространств , со скалярнымипроизве-дениями , можно изготовить пространство ⊕ со скалярным произведением ∔ ,относительно которого слагаемые ортогональны друг другу и которое ограничивается наи в и . Это скалярное произведение задаётся формулой

[ ∔ ] ( �( , ), ( , )) � ≝ ( , ) + ( , ) .

Его матрица Грама в любом базисе, первые dim векторов которого образуют базис в сматрицей Грама , а последние dim векторов — базис в с матрицей Грама , имеетблочный вид

( ) .

Пространство ⊕ со скалярным произведением ∔ обозначается ∔ и называетсяортогональной прямой суммой пространств и .

Упражнение 2.1. Обозначим через гиперболическое пространство2 размерности . По-стройте изометрический изоморфизм3 ∔ ⥲ ( + ).2.1.2. Изотропные и анизотропные подпространства. Ненулевой вектор ∈ называ-

ется изотропным, если ( , ) = . Подпространство ⊂ , целиком состоящее из изотропныхвекторов, изотропно в смысле n∘ 1.3.2 на стр. 10, т. е. ( , ) = для всех , ∈ , поскольку

( , ) = ( + , + ) − ( , ) − ( , ) = .

Подпространство ⊂ называется анизотропным, если в нём нет изотропных векторов. Ска-лярное произведение на называется анизотропным, если анизотропно всё пространство .Например, евклидово скалярное произведение на вещественном векторном пространстве ани-зотропно. Так как анизотропная форма обладает свойствами (5,6) из предл. 1.1 на стр. 8, каж-дая анизотропная форма невырождена. Поэтому для любого анизотропного подпространства

⊂ имеет место ортогональное разложение = ⊕ ⊥ из предл. 1.4 на стр. 12.


Каждоеизотропноеподпространство впространстве со скалярнымпроизведением содер-жится в некотором гиперболическом подпространстве ⊂ размерности dim = dim .При этом любой базис подпространства дополняется до гиперболического базиса простран-ства .

1См. предл. 1.1 на стр. 8.2См. прим. 1.2 на стр. 9.3См. n∘ 1.2.4 на стр. 7.

16

2.1.Пространства со скалярным произведением 17

Доказательство. Рассмотрим произвольный базис , , … , в , дополним его до базисав и обозначим через ∨, ∨, … , ∨ первые векторов ортогонально двойственного базиса.Тогда

( , ∨) ={

при =при ≠ ,

� (2-1)

и эти соотношения ортогональности не нарушаются при добавлении к любому из векторов ∨

произвольной линейной комбинации векторов . Заменим каждый из векторов ∨ на вектор

= ∨ − ∑=

( ∨, ∨) ⋅ .

Векторы , , … , по-прежнему удовлетворяют соотношениям (2-1) и вдобавок

( , ) = ( ∨, ∨) − ( ∨, ∨) − ( ∨, ∨) = ,

т. е. векторов , , ⩽ , ⩽ , образуют гиперболический базис в своей линейнойоболочке, которую мы и возьмём в качестве . �

Теорема 2.1

Каждое пространство со скалярным произведением распадается в прямую ортогональнуюсумму = ⊕ , первое слагаемое которой гиперболическое и может быть нулевым илисовпадать со всем пространством , а второе слагаемое = ⊥ анизотропно.

Доказательство. Индукция по dim . Если анизотропно (что так при dim = ), доказыватьнечего. Если существует ненулевой изотропный вектор ∈ , то по предл. 2.1 он лежит в неко-торой гиперболической плоскости ⊂ , и = ⊕ ⊥ согласно предл. 1.4. По индукции,

⊥ = ⊕ , где = ⊥ анизотропно. Поэтому = + ⊕ и = ⊥ + . �

Замечание 2.1. Ниже, в теор. 2.4 на стр. 20, мы увидим, что разложение из теор. 2.1 единствен-но в следующем смысле: если = ∔ = ∔ , где и анизотропны, то = исуществует изометрический изоморфизм ⥲ .


Cледующие свойства пространства со скалярным произведением эквивалентны:

1) изометрически изоморфно гиперболическому пространству

2) является прямой суммой двух изотропных подпространств

3) dim чётна, и в имеется изотропное подпространство половинной размерности.

Доказательство. Импликация (1)⇒(2) очевидна. Пусть выполнено (2). По предл. 1.2 размер-ность каждого из из двух изотропных прямых слагаемых не превышает половины размерно-сти , что возможно только если обе эти размерности равны dim . Тем самым, (2)⇒(3). Попредл. 2.1 на стр. 16 каждое изотропное подпространство размерности dim содержится в ги-перболическом подпространстве размерности dim , которое таким образом совпадает со всемпространством , что даёт импликацию (3)⇒(1). �

18 §2Симметричные билинейные и квадратичные формы

2.2. Изометрии и отражения. Всякий анизотропный вектор ∈ задаёт разложение про-странства в прямую ортогональную сумму = 𝕜 ⋅ ⊕ ⊥. Линейный оператор ∶ → ,тождественно действующий на гиперплоскости ⊥ и переводящий вектор в − , называетсяотражением в гиперплоскости ⊥, см. рис. 2⋄1. Произвольный вектор = + ⊥ ∈ , где

= ( , ) ∕ ( , ) это проекция вектора на одномерное подпространство 𝕜 ⋅ вдоль ги-перплоскости1 ⊥, а ⊥ = − ∈ ⊥, переходит при этом в вектор

( ) = − + ⊥ = − = − ( , )( , ) ⋅ (2-2)

Упражнение 2.2. Убедитесь, что ∈ O ( ) и = Id , и докажите для любых изометрии∈ O( ) и анизотропного вектора ∈ равенство ∘ ∘ − = ( ).

𝑜

𝜎 𝑣 𝑣

𝑒−𝑒

𝑒⊥𝑣 = ( , )( , ) 𝑒

𝑂

𝑢 𝑣

𝑢 + 𝑣

𝑢 − 𝑣

−𝑣Рис. 2⋄1. Отражение . Рис. 2⋄2. Отражения в ромбе.

Лемма 2.1

В любом пространстве со скалярным произведением для каждой пары различных анизо-тропных векторов , с равными скалярными квадратами ( , ) = ( , ) ≠ существуетотражение, переводящее либо в , либо в − .

Доказательство. Если и коллинеарны, то искомым отражением является = . Еслии не коллинеарны, то хотя бы одна из двух диагоналей + , − натянутого на них ромба(см. рис. 2⋄2) анизотропна, поскольку эти диагонали ортогональны:

( + , − ) = ( , ) − ( , ) = ,

и их линейная оболочка содержит анизотропные векторы , . Тем самым, хотя бы одно из от-ражений − , + определено. При этом − ( ) = , а + ( ) = − . �

Упражнение 2.3. Проверьте, последние два равенства.

Теорема 2.2

Всякая изометрия -мерного пространства со скалярным произведением является композици-ей не более чем отражений.

1Мы воспользовались форм. (1-16) на стр. 12: вектор ∨ = ∕ ( , ) является двойственным котносительно формы базисным вектором одномерного пространства = 𝕜 ⋅ , и = (∨ , ) .

2.2.Изометрии и отражения 19

Доказательство. Индукция по . Ортогональная группа одномерного пространства состоит изтождественного оператора и отражения − . Пусть > и ∶ → — изометрия. Выбе-рем в какой-нибудь анизотропный вектор и обозначим через отражение, переводящее

( ) в или в − . Композиция переводит в ± , а значит, переводит в себя ( − )-мернуюгиперплоскость ⊥. По индукции, действие на ⊥ является композицией не более −отражений в гиперплоскостях внутри ⊥. Продолжим их до отражений всего пространства ,добавив в зеркало каждого отражения вектор . Композиция полученных отражений совпадаетс на гиперплоскости ⊥, а её действие на либо такое же, как у (при ( ) = ), либо от-личается от него знаком (при ( ) = − ). Поэтому , как оператор на всём пространстве ,есть композиция построенных − отражений и, возможно, ещё одного отражения в гипер-плоскости ⊥. Следовательно, = это композиция не более отражений. �

Упражнение 2.4. Покажите, что в анизотропном пространстве в условиях лем. 2.1 всегданайдётся отражение, переводящее в точности в , и выведите отсюда, что любая изомет-рия -мерного анизотропного пространства является композицией не более отражений.

Теорема 2.3 (лемма Витта)

Пусть четыре пространства , , , со скалярными произведениями таковы, что неко-торые два из трёх пространств , ∔ , изометрически изоморфны соответствующейпаре пространств из тройки , ∔ , . Тогда оставшиеся третьи элементы троек тожеизометрически изоморфны.

Доказательство. Если есть изометрические изоморфизмы ∶ ⥲ и ∶ ⥲ , тоих прямая сумма ⊕ ∶ ∔ → ∔ , ( , ) ↦ ( ( ), ( )), является требуемымизометричеким изоморфизмом. Оставшиеся два случая симметричны, и мы разберём один изних. Пусть имеются изометрические изоморфизмы

∶ ⥲ и ∶ ∔ ⥲ ∔ .

Изометрический изоморфизм ∶ ⥲ строится индукцией по dim = dim . Если про-странство одномерно с базисом , то вектор анизотропен. Поэтому векторы ( ) и ( , )тоже анизотропны и имеют одинаковые скалярные квадраты. Обозначим через отражениепространства ∔ , переводящее ( , ) в ( �± ( ), ) �. Композиция

∶ ∔ ⥲ ∔

изометрично отображает одномерное подпространство первой суммы на одномерное под-пространство второй, а значит, изометрично отображает ортогональное дополнение к впервой сумме на ортогональное дополнение к во второй, что и даёт требуемый изоморфизм

| ∶ ⥲ . Пусть теперь dim > . Выберем в любой анизотропный вектор ирассмотрим ортогональные разложения

∔ = 𝕜 ⋅ ∔ ⊥ ∔ и ∔ = 𝕜 ⋅ ( ) ∔ ( )⊥ ∔ ,

в которых ⊥ ⊂ и ( )⊥ ⊂ означают ортогональные дополнения к анизотропным векто-рам и ( ) внутри и соответственно. Так как пространства𝕜⋅ и𝕜⋅ ( )изометрическиизоморфны, по уже доказанному существуют изометрии

′ ∶ ⊥ ⥲ ( )⊥ и ′ ∶ ⊥ ∔ ⥲ ( )⊥ ∔ ,

к которым применимо индуктивное предположение. �


Теорема 2.4

Построенное в теор. 2.1 разложение пространства со скалярным произведением в прямуюортогональную сумму гиперболического и анизотропного подпространств единственно в томсмысле, что для любых двух таких разложений = ∔ = ∔ имеет место равенство

= и существует изометрический изоморфизм ≃ .

Доказательство. Пусть ⩾ , так что = ∔ ( − ). Тождественное отображениеId∶ → задаёт изометрический изоморфизм ∔ ⥲ ∔ ( − ) ∔ . По лемме Виттасуществует изометрическийизоморфизм ⥲ ( − )∔ . Так как анизотропно, ( − ) =(иначе в будет ненулевой изотропный вектор), откуда = и ≃ . �

Теорема 2.5

Если скалярное произведение на пространстве невырожденно ограничивается на подпро-странства , ⊂ и существует изометрическийизоморфизм ∶ ⥲ , то он продолжается(неоднозначно) до такого изометрического автоморфизма ∈ O( ), что | = .

Доказательство. Если есть хоть какой-нибудь изометрический изоморфизм ∶ ⊥ ⥲ ⊥, тоизометрия = ⊕ ∶ ⊕ ⊥ ⥲ ⊕ ⊥, ( , ′) ↦ ( � ( ′), ( ′)) � является требуемымавтоморфизмом пространства . В силу сделанных предположений имеются изометрическиеизоморфизмы ∶ ∔ ⊥ ⥲ , ( , ′) ↦ + ′, и ∶ ∔ ⊥ ⥲ , ( , ′) ↦ ( ) + ′.Композиция − ∶ ∔ ⊥ ⥲ ∔ ⊥ тоже изометрический изоморфизм. Так что по леммеВитта1 ортогоналы ⊥ и ⊥ изометрически изоморфны. �


Для каждого натурального числа в диапазоне ⩽ ⩽ dim ∕ группа изометрий O( ) тран-зитивно действует на -мерных изотропных и -мерных гиперболических подпространствахв .

Доказательство.Утверждениепро гиперболическиеподпространства вытекает непосредствен-но из теор. 2.5, а про изотропные— получается из него применением предл. 2.1. �

2.3. Квадратичные формы. Функция ∶ → 𝕜 на -мерном векторном пространстве надполем𝕜называется квадратичной формой, еслиона является однородныммногочленомвторойстепени от координат в некотором базисе, т. е. существуют такие базис 𝒆 = ( , , … , ) в иоднородный многочлен второй степени 𝒆 ∈ 𝕜[ , , … , ], что

( + + ⋯ + ) = 𝒆( , , … , )

для всех ( , , … , ) ∈ 𝕜 . Если char(𝕜) ≠ , то многочлен 𝒆 можно записать в виде

𝒆( , , … , ) = ∑, =

, (2-3)

где суммирование происходит по всем парам индексов ⩽ , ⩽ , а коэффициенты сим-метричны по и , т. е. при ≠ число = равно половине2 фактического коэффициента

1См. теор. 2.3 на стр. 19.2Обратите внимание, что над полем характеристики многочлен не записывается в виде (2-3).

2.3. Квадратичные формы 21

при в многочлене 𝒆, получающегося после приведения подобных слагаемых в (2-3). Ес-ли организовать числа в симметричную матрицу 𝒆 = ( ), которую мы будем называтьматрицей Грама многочлена 𝒆, и обозначить через и = ( , , … , ) столбец и строку,составленные из переменных, то (2-3) можно переписать в виде

( , , … , ) = ∑, =

= 𝒆 . (2-4)

Сравнивая это с форм. (1-3) на стр. 6, мы заключаем, что ( ) = ̃( , ), где ̃∶ × → 𝕜—симметричная билинейная форма с матрицей Грама 𝒆 в базисе 𝒆. Поскольку

( + ) − ( ) − ( ) = ̃( + , + ) − ̃( , ) − ̃( , ) = ̃( , ) ,

симметричная билинейнаяформа ̃ со свойством ̃( , ) = ( ) однозначно определяется квад-ратичной формой , если char𝕜 ≠ . Симметричная билинейная форма ̃называется поляриза-цией квадратичной формы . Обратите внимание, что взаимно однозначное соответствие меж-ду квадратичными и симметричными билинейными формами

̃( , ) ↦ ( ) = ̃( , )

( ) ↦ ̃( , ) = ( � ( + ) − ( ) − ( )) �(2-5)

не зависят от базиса 𝒆 в . В частности, для любого базиса 𝒇 = 𝒆 𝒆𝒇 в значение ( ) являетсяоднородным многочленом второй степени 𝒇 от координат вектора в базисе 𝒇, причём мат-рица Грама этого многочлена, равная матрице Грама билинейной формы ̃ в базисе 𝒇, будетравна1 𝒇 = 𝒆𝒇 𝒆 𝒆𝒇.

Поскольку при переходе от базиса к базису определитель Грама умножается на квадратопределителя матрицы перехода, класс числа det 𝒆 ∈ 𝕜 по модулю умножения на ненулевыеквадратыиз поля𝕜не зависит от выбора базиса𝒆.Мыбудемобозначать этот класс det ∈ 𝕜∕𝕜∗и называть его определителем Грама квадратичной формы . Квадратичная форма называет-ся вырожденной, если det = . Формы с det ≠ называются невырожденными. Таким обра-зом, невырожденность квадратичнойформы означает в точности тоже, чтоневырожденностьеё поляризации2 ̃. Под рангом квадратичной формы мы понимаем ранг её поляризации ̃,равный рангу матрицы Грама 𝒆 в любом базисе 𝒆. Также, как и для симметричных билиней-ныхформ,мыбудемназыватьненулевой вектор ∈ изотропным для квадратичнойформы ,если ( ) = . Квадратичная форма называется анизотропной, если ( ) ≠ при ≠ .

Из доказанных выше результатов про симметричные билинейные формы немедленно по-лучаются аналогичные результаты про квадратичные формы.

Следствие 2.3 (из теор. 2.1 на стр. 17)

Всякая квадратичная форма над произвольным полем 𝕜 характеристики char𝕜 ≠ в подхо-дящих координатах записывается в виде + + + + ⋯ + + ( + , + … , ),где = rk( ) и ( ) ≠ при ≠ . �

Следствие 2.4 (из теор. 1.1 на стр. 13)

Всякая квадратичная форма над произвольным полем 𝕜 характеристики char𝕜 ≠ линейнойобратимой заменой переменных приводится к виду ∑ . �

1См. формулу (1-2) на стр. 6.2См. предл. 1.1 на стр. 8.


Следствие 2.5 (из сл. 1.1 на стр. 14)

Два однородных многочлена второй степени , ∈ 𝕜[ , , … , ] над алгебраически за-мкнутым полем 𝕜 характеристики char(𝕜) ≠ тогда и только тогда переводятся друг в дру-га линейными обратимыми заменами переменных, когда задаваемые им квадратичные фор-мы , ∶ 𝕜 → 𝕜 имеют одинаковый ранг. �

Пример 2.1 (квадратичные формы от двух переменных)

Согласно сл. 2.4, ненулевая квадратичная форма от двух переменных

(𝒙) = + + = ( , ) ( ) ( ) (2-6)

подходящей линейной заменой координат приводятся либо к виду c ≠ , либо к виду

+ , где ≠ .

Условимся писать ∼ для чисел , ∈ 𝕜, если = для какого-нибудь ненулевого ∈ 𝕜.Тогда в первом случае − ∼ det ∼ ⋅ = , т. е. форма вырождена, а во втором случае

− ∼ det ∼ ≠ и форма невырождена. Тем самым, вырожденность ненулевойквадратичной формы (2-6) означает, что с точностью до постоянного множителя она являет-ся полным квадратом линейной формы ∈ ∗. Такая форма зануляется вдоль одномерногоподпространства Ann( ) ⊂ и отлична от нуля на всех остальных векторах.

Если форма (2-6) невырождена, и у неё есть ненулевой изотропный вектор = ( , ), тоиз равенства + = вытекает, что ≠ и − det ∼ − ∼ − ∕ = ( ∕ ) являетсяквадратом в поле 𝕜. В этом случае многочлен

+ = ( + ) ( − )

раскладывается над полем 𝕜 в произведение двух непропорциональных линейных форм. По-этому квадратичная форма , у которой − det является ненулевым квадратом, тождественнозануляется на двух одномерных подпространствах и отлична от нуля на всех прочих векторах.Мы будем называть такие формы гиперболическими1. Если же − det не квадрат, то формаанизотропна. Число − det( ) = − часто обозначают через ∕ и называют дискрими-нантом квадратичной формы (2-6).

2.3.1. Вещественные квадратичные формы.Из сл. 2.4 вытекает, что любая квадратичнаяформа на вещественном вектором пространстве в подходящем базисе записывается в виде

( ) = + + ⋯ + − + − + − ⋯ − + . (2-7)

Для этого надо перейти к базису с диагональной матрицей Грама и поделить каждый базис-ный вектор с ( ) ≠ на √| ( )|. Числа и в представлении (2-7) называются поло-жительным и отрицательным индексами инерции, упорядоченная пара ( , ) — сигнатурой,а разность − —просто индексом вещественной квадратичной формы .

Теорема 2.6

Числа и в представлении (2-7) не зависят от выбора базиса, в котором квадратичная формаимеет вид (2-7).

1Поскольку поляризация такой формы является гиперболическим скалярным произведением.

2.3. Квадратичные формы 23

Доказательство. Будем считать, что ⩾ , поскольку противоположный случай сводится кэтому заменой на − . Сумма + = rk равна рангу билинейной формы ̃ и не зависитот выбора базиса. Линейная оболочка базисных векторов с номерами > + являетсяядром билинейной формы ̃. Классы [ ] остальных базисных векторов по модулю ker ̃ обра-зуют базис фактор пространства = ∕ker ̃. Форма ̃ корректно задаёт на симметричнуюбилинейную форму r̃ed([ ], [ ]) = ̃( , ), поскольку ̃( + , + ) = ̃( , ) для любых

, ∈ ker ̃. В базисе из классов [ ] с ⩽ ⩽ + , форма red по-прежнему задаётся форму-лой (2-7). В частности, онаневырождена. Каждаяпара базисных векторов [ ], [ + ]порождаетгиперболическуюплоскость с гиперболическим базисомиз векторов ([ ] ± [ + ])∕√ . Поэто-му форма r̃ed является прямой ортогональной суммой гиперболического пространства ,натянутого на классы [ ], [ + ] с ⩽ ⩽ , и анизотропного пространства размерности

− , натянутого на оставшиеся классы [ ] с < ⩽ . По теор. 2.4 на стр. 20 размерностигиперболического и анизотропного слагаемых не зависят от выбора разложения пространствасо скалярным произведением в ортогональную сумму гиперболического и анизотропного. По-этому индекс − и отрицательныйиндекс инерции не зависят от выбора базиса, в которомформа имеет вид (2-7). �

Следствие 2.6 (из доказательства теор. 2.6)

Для каждого на пространстве ℝ с точностью до изометрического изоморфизма имеютсяровно два анизотропных скалярных произведения— евклидово и антиевклидово, получающе-еся из евклидова сменой знака. Вещественные квадратичные формы положительного индек-са имеют ненулевое евклидово анизотропное слагаемое, а формы отрицательного индекса —ненулевое антиевклидово анизотропное слагаемое, размерности которых равны абсолютнойвеличине индекса. Гиперболичность невырожденной вещественной квадратичной формы рав-носильна тому, что её индекс равен нулю. �


Два однородных многочлена второй степени , ∈ ℝ[ , , … , ] тогда и только тогда пе-реводятся друг в друга линейными обратимыми заменами переменных, когда задаваемые имквадратичные формы , ∶ ℝ → ℝ имеют одинаковый ранг и индекс. �

2.3.2. Отыскание сигнатуры вещественной формы. Зафиксируем в пространстве ба-зис и обозначим через ⊂ линейную оболочку первых базисных вектров , , … , ,а через их определитель Грама, т. е. главный угловой × минор матрицы Грама выбран-ного базиса, сосредоточенный в первых строках и первых столбцах, и рассматриваемыйпо модулю умножения на ненулевые положительные числа (ненулевые квадраты поля ℝ). Ес-ли он нулевой, ограничение | особо, и в частности, обладает изотро

ГЕОМЕТРИЯ - bogomolov...

Documents