Математическое моделирование в...

УНИВЕРСИТЕТ И ШКОЛА

Николай Николаевич Красовский

Академик Российской академии наук, профессор кафедры теоретической механики Уральского университета.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ШКОЛЕ

Образование в России переживает трудн ы е врем ена. М ожет быть, наиболее трудным является положение массового школьного обучения. В этих обстоятельствах расширяется система школ (государственных и частных) со специфическими программами и формами занятий. В том числе появляются лицеи, колледжи и другие учебные заведения с ориентацией на углубленное изучение словесности, математики, физики, истории, биологии, информатики и т.д. Автор далек от мысли считать элитарное обучение особо одаренных

МефистофельСперва хочу Вам в долг вменить На курсы логики ходить,Ваш ум, нетронутый доныне.На них приучат к дисциплине, Чтоб взял он направленъя ось,Не разбредаясь вкривь и вкось.

Гете. Фауст

детей панацеей. Более того, говоря модными теперь словами, у автора к этому неоднозначное отношение. Автор не готов принять отрыв одаренных ребят от общей массы школьников как благо, но должен признать, как, может быть, неизбежную меру.

В этой статье рассматривается в основном изучение информатики в средней школе. При этом информатика понимается как автоматизация рассуждений, вычислений, геометрических построений и т.д. при помощи ЭВМ. Всякая классификация условна. Но в соответст

12

1995 Известия УрГУ №4

вии с наиболее распространенными терминами можно различать две основные тесно связанные друг с другом ветви информатики: comp u te r science — компьютерную науку и computering — работу на компьютере. Вероятно, изучение инф орм атики в школе долж но включать, например, такие элементы: приобретение навыков общения с компьютером; работу с готовыми, не слишком сложными стандартными программными средствами (системными и предметными); самостоятельное программирование д л я конкретны х зад ач из школьных предметов; для более подготовленных учащихся — работу с более сложным фирменным матобеспечением и даже разработку новых элементов, дополняющих то или иное готовое матобеспечение; построение математических моделей, ориентированных на компьютерную реализацию. В связи с этим желательны обучение и тренировка в самостоятельном построении полной цепочки использования компьютеров: реальная ситуация, математическая модель, алгоритм, программа, симуляция решения, анализ результатов. Обсуждению именно этой стороны обучения информатике в школе и посвящена данная статья. При этом автор придерживается в основном той точки зрения, которая сложилась в Областном координационном научно-методическом совете по компьютеризации в Свердловске в процессе многолетней практической работы с учителями и школьниками. Она частично охарактеризована в статье А.Г.ГЪйна, В.Ф.Шо- лоховича «Десять лет спустя» в журнале «Информатика и образование» (1995. №2). Там говорится:

«Мы разделяем позицию, в которой главным звеном в изучении школьной информатики как дисциплины, посвященной применению ЭВМ для решения задач, является построение компьютерных моделей нечетко сформулированных (иногда говорят: «плохо поставленных») задач. С подобными задачами школьники не встречаются ни в одном из остальных предметов. Для учителей здесь тоже «terra incognita». (Может быть, осторож нее было бы сказать : не имеющие аккуратной формализации исходные проблемы встречаются школьникам реже, чем это было бы желательно; над учителем и школьником довлеют рекомендации работать с установившимся инструктивным материалом. — Н.К.) Но у этого подхода есть одна чрезвычайно привлекательная черта — он позволяет рассматривать задачи из разряда жизненных проблем, которые приходится решать каждому .-^Применение ЭВМ для решения именно «жизненных» задач играет большую мотивационную роль в и зучен и и курса ОИВТ».

За 10 лет более или менее интенсивного внедрения компьютеров в школьную практику в нашей стране и выделения в школьных курсах предмета информатики произошли большие изменения. Эти изменения определялись главным образом развитием доступной для школ вычислительной техники и математического обеспечения. На первых порах обучение основной массы учителей и школьников сводилось к овладению основами программирования. На следующем этапе, благодаря появлению более совершенных персональных ком

13

Университет и школа

пьютеров и соответствующего системного и предметного математического обеспечения, объем обучения написанию home made (дома сделанных) программ естественно сокращался и расш ирялся объем обучения работе с готовым — рыночным —1 матобеспечением. Вряд ли можно не согласиться с тем, что в настоящее время главную часть предмета информатики в школе должно составлять обучение работе с системными и предметными ф и рм ен н ы м и ком пью терны м и средствами. Это объясняется тем, что эти средства сейчас имеют весьма высокое качество, очень эффективны в работе и находят практическое применение в науке, народном хозяйстве, здравоохранении, образовании и т.д. Кроме того, они постоянно разви ваю тся , и ш кольникам полезно научиться переходить ко все более и более прогрессивному их использованию.

Однако вряд ли можно согласиться с тем, что в школьной информатике все должно сводиться к работе только с готовыми рыночными средствами. Особенно трудно согласиться с обучением информатике только в форме отработки рутинных процедур. При этом порой даже предлагается полностью исключить из курса информатики сам о сто я тел ьн о е построение школьниками алгоритмов и написание программ и в том числе работу с такими задачами, которые требовали бы от школьников знаний и навыков в математике, физике и других школьных предметах, нетривиально связывающих эти дисциплины с информатикой.

В связи с этим представляется целесообразным включать в обучение в средней школе элементы ма

тематического моделирования в несколько большем объеме и с несколько более глубоким проникновением в суть моделей, чем это осущ ествляется во многих случаях сейчас. Вероятно, есть смысл делать это и в классах с повышенным уровнем подготовки, и в массовой школе с ее стандартной программой. Однако в классах без специального углубленного изучения математики, физики или информатики обращение к математическому м оделированию , н авер н о е , должно быть в меру дозированным и сбалансированным с интересами и возможностями учеников. В том числе и обучение программированию в массовой школе со стандартной программой должно, вероятно, ограничиваться составлением весьма небольшого числа программ. Это обучение самостоятельному программированию, пожалуй, можно ограничить типичными элементами несложных алгоритмов (линейный элемент, развилка по условию, цикл) и их реализацией на одной из стандартных версий языков программирования. Во всяком случае рядовой школьник, вероятно, должен уметь запрограммировать решение квадратного уравнения и решение типичной задачи из геометрии, физики и т.д. Можно надеяться, что и в массовой школе это, наряду с обучением классическим дисциплинам (словесность, математика, физика, биология, история), будет способствовать за щите естественного интеллекта школьников от разрушающего влияния технократических угроз современной цивилизации и, более того, вместе с классическими дисциплинами будет способствовать развитию естественных для чело

14


века качеств в их гуманных формах.

В классах с усиленной физико- математической подготовкой, пожалуй, сейчас можно идти на риск построения моделей с использованием довольно сложного математического аппарата.

В пользу расширения и углубления математического моделирования в курсах средней школы можно привести, например, следующие доводы.

Математическое моделирование становится все более действенным аппаратом познания и конструирования в современной науке, технике, естественно-научной и социальной практике. Особенно следует подчеркнуть стремительно возрастающие возможности вычислительной техники. Во избежание недоразумений заметим, что, разумеется, во все времена земной цивилизации математическое моделирование входило в арсенал средств науки и практики. Достаточно сослаться на Евклида, Архимеда и Пифагора.

Нелегко оспорить, что в цепи: реальная проблема, математическая модель, системное математическое обеспечение, программа, вычислительная процедура — одним из звеньев, вызывающих большие трудности, является как раз построение адекватной математической модели.

В настоящее время более интенсивное привлечение математических моделей в том или ином предмете обучения и симулирование соответствующих конструкций или процессов на компьютере будет способствовать пониманию школьником ценности абстракций математики и их связи с реальнос

тью. При этом выявится более убедительно ценность конкретны х знаний в области той или иной науки или практики (в физике, химии, биологии, экономике и т.д.).

Как показывает опыт, построение математического образа для какой-либо реальной проблемы, даже если это очень упрощенная (и, может быть, с целью упрощения — даже специально сказочная) задача, вызывает^у многих учащихся, а порой и у некоторых учителей, серьезные затруднения. Тем большие затруднения часто вызывает построение уж е более или менее развитой модели, особенно если требуется привлечь не слишком привычный математический аппарат. З ас та в л яя ш кольника прилагать умственные усилия при построении математической модели для задачи, которая не сразу подпадает под стандартные рыночные процедуры математического обеспечения, а тем более — при построении математических моделей для задач сугубо оригинальных, учитель получает в руки хорошее предохранительное средство против полного поглощения естественного мироощущения мироощущением телевизионно-компьютерным.

Основываясь на собственном опыте, автор может высказать следующие соображения о содержании и характере занятий с учащимися в области математического моделирования. Отмечу, например, такое положение, как трактовка математической модели в виде неизбежной карикатуры на действительность даже в случае серьезной реальной проблемы. Тем более — признание естественности такой трактовки в случае учебной зада

15


чи. Ведь именно карикатура часто выявляет наиболее важные и интересные черты своего объекта.

Примером такой задачи-карикатуры, которую автор эксплуатировал в работе со школьниками в течение ряда лет, является задача о моделировании некоторого процесса принятия решений на основе голосования по большинству. Это моделирование пародирует следующий серьезный факт. В математической модели неоднородного социально-экономического общества, состоящего из группировок с несовпадающими интересами, при ограниченной памяти членов и при их ограниченном кругозоре (все это аксиоматически ф орм ализуется должным образом) оказы вается возможным установить такое явление. Пусть некий реформатор хотел бы перевести общество из сложившегося состояния А в гипотетическое состояние Ъ. Но априори ясно, что голосование о переводе прямо из А в Ъ даст отрицательный результат. Тем не менее оказы вается возможным составить цепочку из промежуточных преобразований: из Л в В, из В в С, ..., из X в У, из У в Ъ — такую, что на каждом этапе голосование будет положительным. Соответствующая п ародирую щ ая модель описана автором в журнале «Урал» (1993. №9). Модель такова. Страна Цик- лония имеет форму круга. По окружности расселены N обывателей. Их достатки составляют арифметическую прогрессию от 1 «цибика» до N «цибиков». Достатки возрастают в направлении против часовой стрелки. Предлагается обывателям голосованием по большинству принять следующее преобразование. Каждый обыватель пере

дает свой достаток правому соседу. За организацию процедуры реформатор получает от каждого обогатившегося 1/п часть.прибыли. Кроме того, тому, чей достаток после преобразования окаж ется больше, чем определенный ценз а, реформатор обеспечивает внешний бизнес: обыватель может вложить в какое-то дело Ь-ю часть его средств, превышающих ценз а. По истечении циклонного месяца гарантируется с вероятностями р /? р2, р3 возвращение вклада, соответственно увеличенного в к раз, уменьшенного в к раз или без изменения. Известно, что при голосовании каждый обыватель голосует «за» в том и только в том случае, когда сразу после передачи достатка слева направо улучшается материальное положение у него и у т его ближайших левых соседей, и у I его ближайших правых соседей. Хитрость состоит в том, что по истечении месяца реформатор снова предлагает голосование по аналогичной процедуре. В зависимости от выбора параметров Ы, п, а, Ь, р,, р2, р3, ку т, 1у £ по истечении 5 месяцев возможны, как показывает симулирование модели на компьютере, самые различные исходы: от обогащения общества в целом до его разорения. Интересным оказы вается такж е то или иное расслоение общества. Программирование этого моделирования было предложено школьникам на компьютерном ф естивале во время одной из олимпиад по информатике. Симулирование процесса вызывает определенный интерес. Например, симулирование процесса при N = 100, п = 5, а=20, Ь=1, Р,=0.4, р г=0.2, р,=0.4, к=1.3, тп = 1, 1=1, £ = 80 дало следующие

16


результаты. Общее благосостояние страны уменьшилось с 5050 до 3700.8. Благосостояние аппарата реформатора увеличилось с 0 до 5786.7, благосостояние самого богатого обывателя увеличилось со 100 до 154.1. Голосовало «за» на первом этапе 97 обывателей, позже число голосовавших «за» колебалось, но общая тенденция состояла в постепенном уменьшении голосующих «за». На последнем этапе «за» голосовало 67 обывателей. Полезная особенность данного моделирования состоит в демонстрации на конкретной (пусть сказочной) социально-экономической системе весьма характерной для таких (уже и реальных) систем неустойчивости: малые изменения параметров могут существенным образом изменять окончательный исход реформаций. Таким образом, получается учебный пример, показывающий, как осторожно должны планироваться реформы и сколь важно проверять их возможные последствия на более или менее адекватных математических моделях и с помощью их компьютерного симулирования.

Вернемся от данного примера к общим соображениям.

Моделируя, школьник на практике осознает важную роль конкретных знаний из соответствующей области науки или техники. Например, эту роль играет владение законами Ньютона при моделировании в механике, знание геометрии в случае пространственных построений, знание фигур логики и знание хотя бы простейших понятий математической логики при построении математической модели из любой области знаний или практики и т.д. В связи с этим труд

но удержаться от критики увлечения тезисом: кто владеет системным подходом, тому конкретные знания не потребуются, т.к. системный подход — панацея «от всех недостатков узкого конкретного мастерства». (Не следует путать бесплодное жонглирование словами по поводу так называемого системного подхода с полезным делом — системным программированием и его актуальным продуктом — системным математическим обеспечением.)

А втор этого т е к с т а упорно предпочитает на первых шагах учеб& индуктивный путь .Разумеется, мы имеем в виду постепенный переход к усилению роли дедукции. Все это является проявлением вряд ли устаревшего принципа: от простого к сложному, от частной задачи к обобщению, а потом обратно — от общего к частному. Возражая против того, что идти индуктивно от конкретной задачи значит суж ать кругозор школьника, можно заметить, что в грехе сужения кругозора особенно виновен, например, Ньютон, великое произведение которого «Математические начала натуральной философии» суть не что иное, как переход от конкретных упрощенных модельных задач к созданию мощных средств естествознания — дифференциального и интегрального исчисления и т.д., важность которых с каждым годом возрастала и продолжает возрастать и которые являю тся сильнейш им уже дедуктивным средством.

Математическое моделирование на базе классических знаний и притом с ориентацией на теоретические и технические средства информатики способствует прежде всего

17


совершенствованию знаний в основных традиционных для школы разделах математики, особенно в тех, в которых сейчас во многих случаях явно ощущаются слабости. Н апример, ученики нередко недостаточно сильны в геометрии. Порой у них слабо развито пространственное воображение,, пространственная интуиция. С другой стороны, порой сильно проявляются изъяны в формально-логических построениях той же геометрии.

В то же время математическое- моделирование позволяет в конкретной форме познакомить школьников с нетрадиционными дл^ш ко- лы разделами математики. Например, это могут быть элементы теории вероятностей ( в том числе — метода М онте-Карло), элементы теории изгибания поверхностей, оптико-механическая аналогия и т.д.

Н ап р и м ер , опыт учит, что школьник, познакомившись с элементами теории вероятностей (за 4-8 часов занятий), с пользой и интересом моделирует геометрические вероятности — в том числе симулирует вероятностные процессы, ведущие к вычислению числа л. Это открывает дорогу к различным задачам, которые можно, решать уже на основе более или менее трудны х процедур методом Монте-Карло.

Примером ознакомления с изгибанием поверхностей служат задачи о плоских выкройках боковых поверхностей патрубков различной формы. Поучительным представляется такж е построение выкроек для решения задачи о кратчайшем пути на той или иной поверхности вращ ения. П одходящ ая цепочка таких выкроек представляет раз

вертку этой поверхности на плоскости. Более сложным примером является программирование и симулирование изгибания поверхности геликоида в катеноид.

Примером оптико-механической аналогии является аналогия между движением по брахистрохроне и распространением света в среде с переменной скоростью распространения. Тот и другой процессы программируются и симулируются на базе одинаковых математических моделей.

Вернемся еще к одному общему соображению. Представляется весьма полезной работа с задачами из области принятия решений.

Пример такой задачи — сказочная задача о ваучерах. Некая организация является посредником в использовании ваучеров. Она имеет £ клиентов. Например, £ = 1000. Полученные от клиентов £ ваучеров организация распределяет срег ди п предприятий. Например, п=3. Перенумеруем эти предприятия числами х=1,...,п. Известно, что в течение года некоторые предприятия преуспеют, другие — прогорят. Какие преуспеют, какие прогорят — заранее неизвестно. Известно лишь, что прогорит не более чем 771 предприятий, т<п. Условия выплаты дивидендов таковы. В случае, если прогорят предприятия с номерами х/,...,х*и,г;<=т, то в конце года х-е предприятие возвращает посреднику за каждый вложенный ваучер денег. Таблица извсех чисел а^х,,....,^/, известна. Цена ваучера равна Ь денег. Преуспевшее х-е (х^, п р е д п р и я ти е в о зв р ащ ае та[х,х1,....,х1>]>Ь денег. Прогоревшее х-е предп риятие возвращ аета/х,х,,....,ху]<Ь денег. Требуется соста-

18


вить программу для компьютера, которая в ответ на ввод данных S, п, b, га, вычисляет, как надораспределить ваучеры, т.е. сколько ваучеров х., ı = l,...,n следует вложить в i-e предприятие, чтобы в конце года средний доход от ваучеров оказался при самом неблагоп риятн ом стечени и обстоятельств наибольшим.

К сожалению, учащиеся испытывают большие трудности с моделированием, отвечающим этой задаче. Большинство не знает, как можно формализовать требование «наибольшего дохода при самом неблагоприятном стечении обстоятельств» (в предложенном тексте это условие намеренно изложено не в строгих терминах). Тем более построение алгоритма для решения задачи и составление программы для симулирования оказываются д л я многих непосильны ми. П редставляется, что отмеченные трудности являю тся следствием недостаточного знакомства современных учащихся с такими актуальными сейчас понятиями, как критерии оптимальности по максимуму, минимуму, минимаксу. Чувствуется недостаток знакомства с элементами теории игр: понятиями чистой стратегии, смешанной стратегии, цены игры, седловой точки и т.д. Заметим еще, что данная задача и моделирование ее решения могут быть развиты в форме тех или иных вероятностных конструкций.

Вернемся к общим соображениям. Ориентируя математическую модель на компьютерную симуляцию, школьник должен столкнуться с малознакомой ему разницей между дескриптивной математикой и конструктивной информатикой, осуществимой в компьютере.

Примером, который помогает разобраться в этом вопросе, является моделирование решения такой последовательности задач возрастающей трудности.

Дан треугольник (указаны координаты его верш ин — целые числа).

Случай 1: даны координаты некоторой точки — целые числа. Требуется составить программу, отвечающую на вопрос, принадлежит ли точка треугольнику (т.е. лежит ли она внутри или на границе данного треугольника).

Случай 2: даны уравнения двух прямых с целочисленными коэффициентами. Требуется составить программу, которая проверяет, принадлежит ли точка пересечения прямых треугольнику. -

Случай 3: даны уравнения двух окружностей — координаты их центров и радиусы суть целые числа. Требуемая программа должна проверить, принадлежат ли точки их пересечения (одна или обе) треугольнику.

Во всех трех случаях ответ должен иметь форму: «да» или «нет». В первом случае для решения достаточна стандартная арифметика компьютера. Во втором случае требуется дополнение к стандарту, арифметики рациональных чисел. В третьем случае полезна ариф метика подходящего поля, включающего* элемент с радикалом.

Изучая тот или иной раздел физики, биологии, словесности, истории и т.д, школьник получает новое сильное средство познания на базе доступного теперь вычислительного эксперимента в органической связи с критическим анализом этого эксперимента. Каждый конкретный случай предоставляет

19


к тому же возможность познакомиться в доступной форме с тем или иным разделом прикладной математики. Кроме того, моделирование решений из различных областей знаний дает учащемуся возможность потренироваться в компьютерной графике.

С наиболее подготовленными школьниками, вероятно, целесообразно использовать уже и одну из высших форм моделирования — моделирование менее привычных абстракций на базе более привычных абстракций.

Например, определенный интерес у школьников вызывает разбор модели Пуанкаре для геометрии Лобачевского на основе геометрии Евклида.

Вернемся к общим соображениям.

О собенно хоч ется отм етить роль изучения логики в современной школе.

На взгляд автора, логика в последние годы оказалась одним из предметов, который (наряду, например, с геометрией) оказался в некоторое пренебреж ении. Это относится и к логике как отдельному предмету, так и к элементам логики в курсах словесности, математики, да, может быть, и некоторых других . Между тем и классические системы логики сохраняют свою ценность, и логики математические, и «прикладнь^е» конструктивные логики приобретают все большую популярность. Поэтому в связи с предстоящей кампанией стандартизации минимума для массового и специализированного образования появляется естественное желание высказаться об этом. Р а зу м е е т с я , важ н ейш и м средством разви ти я логического

мышления на здоровой основе является словесность. Но об этом предмете и о возможностях его в совершенствовании логики учащихся автор предпочитае.т не высказываться по причине малой профессиональной компетентности. В то же время желание высказаться об обучении логике на базе тех предметов, где автор имеет профессиональный опыт работы и преподавания, представляется ему естественным. Это желание усиливается уже упомянутой выше наблюдаемой подчас эйфорией по поводу всесилия информационных технологий. На практике эта эйфория может привести к разрушению естественного логического мыш ления. Но парадокс состоит в том, что именно новые информационные технологии позволяют совершенствовать естественные способности школьника к логическому мышлению и на этой основе уже строить автоматизированные системы логических умозаключений.

Примером математического моделирования, которое требует и конкретных предметных знаний и тренирует логику, является следующая известная задача, которую автор эксплуатирует в работе со школьниками уже в течение многих лет. Здесь математическое моделирование тем более уместно, что по своей сути — это математическая задача. Она имеет шуточную формулировку, однако весьма содержательна. Ее решение прослеживает типичные этапы моделирования — от словесного «реального» образа до вычислений на компьютере и анализа результатов. Моделируя, учащийся тренируется в арифметике, логике, программировании и т.д. Задача такова.

20


Некто сообщил первому мудрецу число а, произведение двух натуральных чисел х и у. Известно только, что х^2,у^2. Второму мудрецу Некто сообщил сумму Ь этих же чисел х, у. Просил мудрецов, не обмениваясь знанием чисел а и Ь, назвать числа х и у. Они не смогли. Затем состоялся диалог. Первый мудрец сказал: «Я числа назвать не могу». Второй заявил: «А я и знал, что Вы не можете». Первый ответил: «Тогда я могу». Второй сказал: «Тогда и я могу». Требуется определить числа а и Ь, которые назвал Некто. Основой для решения является теорема о разложении натурального числа на простые множители. Из нее вытекает перевод диалога на язы к арифметики. Этот перевод — уже чисто математический образ задачи. Например, первое утверждение первого мудреца означает, что а не есть произведение двух простых чисел или а не есть произведение трех одинаковых простых чисел и т.д. Решение получается моделированием селекции в согласии со всеми арифметическими условиями, которые отвечают высказываниям мудрецов. Достаточно объемный компьютерный эксперимент показы вает, что сущ ествует не одна пара чисел а и Ь, которые удовлетворяют всем условиям. Работая по несложной переборной программе, написанной на привычном для школьника языке (например, на Бейсике или Паскале), компьютер находит первые пары искомых чисел а и Ь достаточно быстро. Первую пару чисел а=52, Ъ=17 (х=13, у =4) вообще можно довольно быстро найти в уме. Но поучительное свойство данной задачи состоит в следующем. Нужная селек

ция прямым перебором требует большой затраты компьютерного ресурса, если ж елательно получить не слишком мало пар искомых чисел. Однако хорошее знание уже высших разделов ариф метики позволяет сильно сократить перебор. Из теории чисел выясняется, что решениями задачи могут быть только пары чисел а и Ь определенной структуры. Таким образом, учащемуся демонстрируется парадокс: кто знает много, тот при решении может обойтись малым. Кроме того, подчеркивается, что п ро ф есси о н ал ьн о е зн ан и е предмета, к которому относится задача, дает более глубокое решение. Пример рассуждений, которые связывают рассматриваемую задачу с некоторыми результатами из теории чисел, дан в статье С.Артемова, Ю.Гиматова, В.Федорова «Много битов из ничего» (Квант. 1995. №2). Но в то же время нельзя не признать, что, переводя решение задачи на переборные рельсы при современных возможностях computer science и com putering’a, рядовой пользователь получает возможность решать ее практически достаточно полно при стандартных знаниях обычной арифметики. В связи с этим отметим следующее. Анализируя задачу, можно пойти дальше компьютерным путем. По сути дела данная задача является проблемой поиска объекта с нужными свойствами (пары чисел а и Ь) в определенной базе данных (среди всех возможных пар натуральн ы х чисел). В случае арифметики поиск сильно облегчается весьма компактным описанием базы данных на основе законов арифметики. Это дает хорошую редукцию информации и обработ

21


ки этой информации. Прояснить это можно сравнением с аналогичной задачей, где операции умножения и сложения заменяются произвольными предикатами а(х,у) и Ъ(х,у) с аргументами х уу из какой-либо базы данных {а,Ь,х,у}. Например, а — профессия, Ь — место рождения, х — имя, у — фамилия служащего какой-либо фирмы. При этом задание от Некто мудрецам, диалог мудрецов и вопрос о значениях а и Ь остаются прежними. Здесь уже нельзя воспользоваться редуцирующими законами, подобными арифметическим, ибо не предполагается хорошо формализуемая связь между а, Ь, х и у. Поэтому средством решения целесообразно выбрать язык логического программирования. При этом алгоритм строит «сам» (автоматически по законам языка) логические цепочки из блоков, отвечающих селектирую щ им условиям. Может быть, приведенный пример покажется читателю примером пустого препровождения времени в игре с придуманными несерьезными образами. Однако автор предпочитает такие методы обучения, когда дорога к серьезным проблемам мостится из упрощенных, пусть даже сказочных и шуточных, задач.

Автор полагает, что удобным средством тренировки в логике я в л яется программирование на языке Пролог в его различных модификациях. Этим путем при решении конкретных задач учащийся может лучше уяснить роль той или иной фигуры классической или математической логики, роль той или иной логической предпосылки, правила вывода и т.д. и на этой основе выяснить более четко структуру того или иного способа логи

ческих рассуждений. Сильным подспорьем в таком процессе обучения является компьютерное формирование поиска реш ения для многих известных логических за дач. Например, формирование программы на Прологе для решения классической задачи о трех мудрецах и пяти колпаках (трех белых и двух черных) позволяет убедиться, что многие общеупотреби- мые формулировки этой задачи в статической форме некорректны. Такое программирование убеждает, что корректные постановка и решение этой задачи получаются, если трактовать ее как задачу об эволюции некоторой логической системы во времени, разбитом на несколько этапов последовательного принятия решений каждым из мудрецов и соответствующей информации для всех мудрецов о решениях, принятых тем или иным из них на предыдущих этапах. При этом о к азы вается и н тересн ы м сравнить два варианта постановки проблемы. Первый вариант предполагает равноправие всех участников — мудрецов. В этом варианте свое решение все мудрецы объявляют после каждого этапа на основании доступной им на этом этапе информации одновременно. Во втором варианте предполагается иерархия мудрецов в порядке возрастания их прав. Тогда по постановке задачи объявляет свое решение на первом этапе имеющий минимум прав. На втором этапе объявляет свое решение второй по правовым возможностям мудрец и т.д. При этом каждый в дополнение к визуальной информации уже может учитывать информацию, которую он извлечет из предыдущих заявлений его коллег. Важно

22


подчеркнуть следующий факт. Решение такой логической задачи на базе «естественного интеллекта» опирается на дескриптивную логику и особенно на дескриптивную математическую индукцию с ее аксиоматическими элементами (база, аксиоматический переход отп кп + 1 и завершающее аксиоматическое утверж дение о справедливости нужного суждения при любом М). Решение этой же задачи на основе компьютерной программы, автоматизирующей построение логической цепочки, по сути дела является уже симуляцией индукции в конструктивной форме. То есть все шаги индукции от первого базового шага до интересующего нас шага N осуществляются последовательно один за другим в компьютере. Аналогичные уточнения задачи требуются в подобной же шуточной задаче о так называемых неверных женах. И в этой задаче известное дескриптивное ее решение на основе аксиоматической дескриптивной индукции (переход от п к п + 1) при симуляции на компьютере развертывается конструктивно в последовательном осуществлении всех шагов от п = 1 до n=N.

Таким образом, автор полагает, что уяснению структуры и качества те̂ с или иных логических умозаключений из математики и других классических дисциплин весьма способствует составление программ для конструирования цепочки этих умозаключений на базе того или иного автоматизированного средства логического программирования. Этим путем создаются определенные предпосылки для того, чтобы преодолеть упоминавшуюся великим геометром Фелик

сом Клейном трудность обучения школьников логическим рассуждениям. Речь идет о его суждении, что учащийся, как правило, может запомнить последовательность логических фигур, которые составляют путь от исходных данных к нужному утверж дению . Однако редко ш кольнику удается ясно понять, почему эта цепочка, фигур строится именно так, а не как-то иначе.

Для примера возьмем две теоремы из стереометрии, с которыми школьники старш их классов знакомятся в начале изучения этого предмета. Одна из этих теорем отлично известна всем. Она утверждает следующее. Если прямая а не лежит в плоскости Р и параллельна прямой Ь, которая принадлежит этой плоскости, то прямая а параллельна плоскости Р. В некоторых учебниках эта теорема доказывается на основе противоречия такой лемме. Если прямая а имеет с плоскостью Р одну и только одну общую точку, то всякая прямая Ь, параллельная прямой а, тоже имеет с плоскостью Р одну и только одну общую точку. Эта лемма доказывается с использованием пятого постулата Евклида. Таким образом, в цепочку умозаключений, составляющую доказательство обсуждаемой теоремы, включается пятый постулат Евклида. Между тем теорема верна и в геометриях, где не постулируется эта аксиома Евклида. Получается, что цепочка умозаключений делает излишнюю петлю. Разумеется, это можно проверить, составляя в уме аккуратную цепочку умозаключений только из действительно существенных для данной теоремы аксиом. Наверное, на это полезно обратить вни

23


мание учащегося. Но, кроме того, представляется весьма полезным и еще раз убеждающим моделирование доказательства на основе того или иного средства логического программирования. Следует согласи ться , что програм м ирование автоматического поиска хорошей цепочки умозаключений, например, на основе языка Пролог, посильно лишь ,для достаточно подготовленного учащегося. Но зато опыт такой работы не пропадет для него даром. При этом обсуждение указанного казуса с теоремой и соответствую щ ее моделирование открывает дополнительные пути к геометрии Лобачевского. Заметим, кстати, что обсуждаемая теорема получает особенно наглядную форму в модели Пуанкаре для геометрии Лобачевского. Другая хорошо известная теорема гласит: если две пересекающиеся прямые, лежащие на плоскости Р, соответственно параллельны двум пересекающимся прямым, лежащим на плоскости ф, отличной от Р, то плоскости Р и (3 параллельны. В учебниках, о ко

торых идет речь, эта теорема также доказывается с использованием упомянутой выше леммы. Здесь это уже не представляется столь же неловким, как в предыдущей теореме, потому что доказательство второй теоремы уже в самом деле нуждается в пятом постулате Евклида, в чем учащийся может убедиться в наглядной форме, рассматривая модель Пуанкаре для геометрии Лобачевского, а также составляя в уме соответствующие цепочки умозаключений или моделируя автоматический поиск этих цепочек на основе программы, написанной, например, на языке Пролог.

Таким образом, занимаясь логическим п рограм м ирован ием , школьник на конкретном материале, опираясь на собственный опыт, сможет разобраться, что действительно является содержательным и полезным в различении понятий «естественного» и «искусственного» интеллектов, а что в этой области является модным наукообразием.

Математическое моделирование в...

Documents