Контрольная работа

по математике

для обучающихся 1 курса специальности38.05.01 "Экономическая безопасность"

ЗФО

1

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ

ЗАОЧНИКОВ СПЕЦИАЛЬНОСТИ 38.05.01 "Экономическая безопасность"

2 семестр

СОДЕРЖАНИЕВведение………………………………………………………………….Правила выполнения контрольной работы…………………………...

Программа курса высшей математики на второй семестр1 Функции нескольких переменных………………………………… 1.1 Функции нескольких независимых переменных……………... 1.2 Экстремум функции двух независимых переменных………...2 Дифференциальные уравнения………………………………………. 2.1 Основные теоретические сведения……………………………….. 2.1.1 Виды дифференциальных уравнений и их решения…………. 2.1.2 Однородные дифференциальные уравнения…………………. 2.1.3 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли……………………………………………………. 2.1.4 Дифференциальные уравнения высших порядков…………… 2.1.5 Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами………………………………………………. 3.2 Система дифференциальных уравнений…………………………..Задачи для контрольных заданийЛитература

2

ВВЕДЕНИЕ

Подготовка кадров квалифицированных специалистов, способных обеспечит все

ступени планирования обоснованными и наиболее выгодными расчетами возможна

только при поступлении этих расчетов на надежной математической основе. Поэтому

становиться необходимым улучшение уровня математических знаний студентов

экономических специальностей.

Этой цели служит издание методических указаний, отражающих специфику

программы по математике для экономических специальностей академии.

Предлагаемое методическое указание дает возможность студентам разных форм

обучения систематически закреплять полученные теоретические знания самостоятельным

решением примеров и задач по разделам: функции нескольких переменных и

дифференциальные уравнения.

Примеры и задачи в предлагаемом методическом указании расположены в

соответствии с изложением материала в учебниках для студентов экономических

специальностей.

Математическая подготовка экономиста имеет свои особенности, связанные со

спецификой экономических задач, а также с широким разнообразием подходов к

решению.

3

Общие организационно-методические указания

Основные задачи при изучении курса «Математика»:

освоение наиболее употребительных понятий и определений математики;

приобретение практических навыков в решении задач.

Учебными планами для студентов-заочников предусмотрены лекции, практические

занятия с преподавателями, самостоятельная работа и выполнение контрольных работ.

При изучении теоретического материала рекомендуется составлять краткие конспекты .

Тематический план первого семестра

1. Функции многих переменных.

2. Дифференциальные уравнения

Правила выполнения и оформления контрольных работ

Выполняются контрольные работы, вариант каждой задачи выбирается по последней цифре студенческого билета (зачетной книжки). При выполнении контрольных работ необходимо придерживаться указанных ниже правил. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, не зачитываются и возвращаются студенту для переработки.

1. Каждая контрольная работа должна быть выполнена в отдельной тетради в

клетку чернилами синего или черного цвета, кроме красного. Необходимо оставлять поля

шириной 4-5 см для замечаний рецензента.

2. В заголовке работы на обложке тетради должны быть ясно написаны

фамилия студента, его инициалы, учебный номер (номер зачетной книжки), название

дисциплины, номер контрольной работы; здесь же следует указать название учебного

заведения, дату отсылки работы в институт и адрес студента. В конце работы следует

поставить дату ее выполнения и подпись студента.

3. В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании, строго по

положенному варианту контрольной работы. Задания, содержащие не все задачи, а также

задачи не своего варианта, не зачитываются.

4. Решения задач надо располагать в порядке возрастания их номеров,

указанных в задании, сохраняя номера задач.

5. Перед решением каждой задачи надо полностью выписать ее условие. В том

случае, если несколько задач имеют общую формулировку, следует, переписывая условие

задачи, заменить общие данные конкретными, взятыми из соответствующего номера.

4

6. Решения задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и

мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи.

7. После получения прорецензированной работы, как не зачтенной, так и

зачтенной, студент должен исправить все отмеченные рецензентом ошибки и недочеты и

выполнить все рекомендации рецензента.

8. Если рецензент предлагает внести в решения задач исправления или

дополнения и прислать их для повторной проверки, то это следует сделать в короткий

срок.

9. В случае незачета работы и отсутствия прямого указания рецензента о том,

что студент может ограничиться представлением исправленных решений отдельных

задач, вся работа должна быть выполнена заново.

10. При высылаемых исправлениях должна обязательно находиться

прорецензированная работа и рецензия на нее. Поэтому рекомендуется при выполнении

контрольной работы оставлять в конце тетради несколько чистых листов для всех

дополнений и исправлений в соответствии с указаниями рецензента.

11. Вносить исправления в сам текст работы после ее рецензирования

запрещается.

5

Функции нескольких переменных

При рассмотрении функций нескольких переменных ограничимся подробным описанием функций двух переменных, т.к. все полученные результаты будут справедливы для функций произвольного числа переменных.

Определение: Если каждой паре независимых друг от друга чисел (х, у) из некоторого множества по какому - либо правилу ставится в соответствие одно или несколько значений переменной z, то переменная z называется функцией двух переменных.z = f(x, y)

Определение: Если паре чисел (х, у) соответствует одно значение z, то функция называется однозначной, а если более одного, то – многозначной.

Определение: Областью определения функции z называется совокупность пар (х, у), при которых функция z существует.

Определение: Окрестностью точки М0(х0, у0) радиуса r называется совокупность

всех точек (х, у), которые удовлетворяют условию √ (x−x0 )2+( y− y0 )

2<r .Определение: Число А называется пределом функции f(x, y) при стремлении

точки М(х, у) к точке М0(х0, у0), если для каждого числа > 0 найдется такое число r >0, что для любой точки М(х, у), для которых верно условиеMM0<r

также верно и условие |f ( x , y )−A|<ε .

Записывают: lim ¿ x→ x0 ¿

y→ y0 ¿¿ f (x , y )=A ¿

Определение: Пусть точка М0(х0, у0) принадлежит области определения функции f(x, y). Тогда функция z = f(x, y) называется непрерывной в точке М0(х0, у0), если

lim ¿ x→ x 0 ¿

y→ y0 ¿¿ f (x , y )= f ( x0 , y0)¿

(1)причем точка М(х, у) стремится к точке М0(х0, у0) произвольным образом.

Если в какой – либо точке условие (1) не выполняется, то эта точка называется точкой разрыва функции f(x, y). Это может быть в следующих случаях:1) Функция z = f(x, y) не определена в точке М0(х0, у0).

2) Не существует предел lim ¿ x→ x 0 ¿

y→ y0 ¿¿ f (x , y )¿

.3) Этот предел существует, но он не равен f( x0, y0).

Свойство. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой и ограниченной области D, то в этой области найдется по крайней мере одна точка N(x0, y0, …), такая, что для остальных точек верно неравенствоf(x0, y0, …) f(x, y, …)а также точка N1(x01, y01, …), такая, что для всех остальных точек верно неравенствоf(x01, y01, …) f(x, y, …)тогда f(x0, y0, …) = M – наибольшее значение функции, а f(x01, y01, …) = m – наименьшее значение функции f(x, y, …) в области D.

Непрерывная функция в замкнутой и ограниченной области D достигает по крайней мере один раз наибольшего значения и один раз наименьшего.

6

Свойство. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области D, а M и m – соответственно наибольшее и наименьшее значения функции в этой области, то для любой точки [m, M] существует точка N0(x0, y0, …) такая, что f(x0, y0, …) = .

Проще говоря, непрерывная функция принимает в области D все промежуточные значения между M и m. Следствием этого свойства может служить заключение, что если числа M и m разных знаков, то в области D функция по крайней мере один раз обращается в ноль.

Свойство. Функция f(x, y, …), непрерывная в замкнутой ограниченной области D, ограничена в этой области, если существует такое число К, что для всех точек области

верно неравенство |f ( x , y , .. .)|<K .Свойство. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой

ограниченной области D, то она равномерно непрерывна в этой области, т.е. для любого положительного числа существует такое число > 0, что для любых двух точек (х1, y1) и (х2, у2) области, находящихся на расстоянии, меньшем , выполнено неравенство|f ( x1 , y1 )− f ( x2 , y2 )|<ε

Производные и дифференциалы функцийнескольких переменных.

Определение. Пусть в некоторой области задана функция z = f(x, y). Возьмем произвольную точку М(х, у) и зададим приращение х к переменной х. Тогда величина xz = f( x + x, y) – f(x, y) называется частным приращением функции по х.

Можно записать Δx zΔx

=f ( x+Δx , y )−f ( x , y )

Δx .

Тогда limΔx→0

Δx zΔx называется частной производной функции z = f(x, y) по х.

Обозначение: ∂ z∂ x

; zx' ; ∂ f ( x , y )

∂ x; f x

' ( x , y ).

Аналогично определяется частная производная функции по у.∂ z∂ y

= limΔy→0

f ( x , y+Δy )−f ( x , y )Δy

Геометрическим смыслом частной производной (допустим

∂ z∂ x ) является тангенс

угла наклона касательной, проведенной в точке N0(x0, y0, z0) к сечению поверхности плоскостью у = у0.

Полное приращение и полный дифференциал.Определение. Для функции f(x, y) выражение z = f( x + x, y + y) – f(x, y)

называется полным приращением.Если функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные, то

Δz= f ( x+Δx , y+Δy)−f ( x , y )+f (x , y+Δy )−f ( x , y+Δy )=[ f ( x+Δx , y+Δy )−f (x , y+Δy )]++[ f ( x , y+Δy )−f ( x , y )]

Применим теорему Лагранжа (см. Теорема Л агранжа. ) к выражениям, стоящим в квадратных скобках.

f ( x , y+Δy )−f ( x , y )=Δy ∂ f ( x , y )∂ y

7

f ( x+Δx , y+Δy)−f ( x , y+Δy )=Δx ∂ f ( x , y+Δy )∂ x

здесь y∈( y , y+Δy ); x∈( x , x+Δx )Тогда получаем

Δz=Δx ∂ f ( x , y+Δy )∂ x

+Δy ∂ f ( x , y )∂ y

Т.к. частные производные непрерывны, то можно записать равенства:

lim ¿ Δx→0 ¿Δy→0 ¿

¿∂ f ( x , y+Δy )

∂ x=∂ f ( x , y )

∂ x¿

lim ¿ Δx→0 ¿Δy→0 ¿

¿∂ f (x , y )

∂ y=∂ f ( x , y )

∂ y¿

Определение. Выражение Δz=∂ f ( x , y )

∂ xΔx+ ∂ f ( x , y )

∂ yΔy+α 1 Δx+α 2 Δy

называется полным приращением функции f(x, y) в некоторой точке (х, у), где 1 и 2 – бесконечно малые функции при х 0 и у 0 соответственно.

Определение: Полным дифференциалом функции z = f(x, y) называется главная линейная относительно х и у приращения функции z в точке (х, у).dz=f x

' ( x , y )dx+ f y' ( x , y )dy

Для функции произвольного числа переменных:

df ( x , y , z ,. .. , t )= ∂ f∂ x

dx+ ∂ f∂ y

dy+.. .+ ∂ f∂ t

dt

Пример. Найти полный дифференциал функции u=x y2 z.

du=∂u∂ x

dx+ ∂u∂ y

dy+ ∂u∂ z

dz

∂u∂ x

= y2 zx y 2 z−1 ; ∂u∂ y

=x y2 z ln x⋅2 yz ; ∂ u∂ z

=x y2z ln x⋅y2;

du= y2 zx y 2 z−1 dx+2 x y2 z yz ln xdy+ y2 x y2 z ln xdz

Пример. Найти полный дифференциал функции z= y

x2− y2.

∂ z∂ x

= −2 yx( x2− y2 )2

∂ z∂ y

=y '( x2− y2 )− y (−2 y )

( x2− y2 )2= x2− y2+2 y2

( x2− y2 )2= x2+ y2

(x2− y2 )2

dz=− 2 xy( x2− y2 )

dx+ x2+ y2

( x2− y2 )2dy

8

Геометрический смысл полного дифференциала.Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

нормаль

N N0

касательная плоскость

Пусть N и N0 – точки данной поверхности. Проведем прямую NN0. Плоскость, которая проходит через точку N0, называется касательной плоскостью к поверхности, если угол между секущей NN0 и этой плоскостью стремится к нулю, когда стремится к нулю расстояние NN0.

Определение. Нормалью к поверхности в точке N0 называется прямая, проходящая через точку N0 перпендикулярно касательной плоскости к этой поверхности.

В какой – либо точке поверхность имеет, либо только одну касательную плоскость, либо не имеет ее вовсе.

Если поверхность задана уравнением z = f(x, y), где f(x, y) – функция, дифференцируемая в точке М0(х0, у0), касательная плоскость в точке N0(x0,y0,(x0,y0)) существует и имеет уравнение:z−f ( x0 , y0)= f x

' ( x0 , y0)( x−x0)+ f y' (x0 , y0)( y− y0 ).

Уравнение нормали к поверхности в этой точке:x−x0

f x' ( x0 y0 )

=y− y0

f y' ( x0 , y0 )

=z−z0

−1Геометрическим смыслом полного дифференциала функции двух переменных

f(x, y) в точке (х0, у0) является приращение аппликаты (координаты z) касательной плоскости к поверхности при переходе от точки (х0, у0) к точке (х0+х, у0+у).

Как видно, геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных является пространственным аналогом геометрического смысла дифференциала функции одной переменной.

Пример. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

9

z=x2−2 xy+ y2−x+2 yв точке М(1, 1, 1).

∂ z∂ x

=2x−2 y−1; ∂ z∂ y

=−2 x+2 y+2

∂ z∂ x

|M=−1; ∂ z∂ y

|M=2;

Уравнение касательной плоскости:z−1=−( x−1 )+2( y−1) ; x−2 y+z=0 ;

Уравнение нормали:x−1−1

= y−12

= z−1−1

;

Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала.

Пусть функция f(x, y) дифференцируема в точке (х, у). Найдем полное приращение этой функции:Δz=f ( x+Δx , y+Δy)− f ( x , y )

f ( x+Δx , y+ Δy)=f ( x , y )+Δz

Если подставить в эту формулу выражение

Δz≈dz=∂ f∂ x

Δx+ ∂ f∂ y

Δy

то получим приближенную формулу:

f ( x+Δx , y+Δy )≈ f (x , y )+ ∂ f ( x , y )∂ x

Δx+ ∂ f ( x , y )∂ y

Δy

Пример. Вычислить приближенно значение √1 ,041, 99+ ln1 ,02 , исходя из значения

функции u=√x y+ln z при x = 1, y = 2, z = 1.

Из заданного выражения определим x = 1,04 – 1 = 0,04, y = 1,99 – 2 = -0,01,z = 1,02 – 1 = 0,02.

Найдем значение функции u(x, y, z) = √12+ ln1=1Находим частные производные:∂u∂ x

= y⋅x y−1

2√ x y+ ln z= 2⋅1

2√1=1

∂u∂ y

= x y ln x2√x y+ ln z

=0

∂u∂ z

=

1z

2√x y+ln z=1

2Полный дифференциал функции u равен:

du=0 , 04⋅∂u∂ x

−0 ,01⋅∂ u∂ y

+0 , 02⋅∂u∂ z

=1⋅0 , 04−0⋅0 ,01+ 12⋅0 ,02=0 ,04+0 ,01=0 , 05

10

√1 ,041, 99+ ln1 ,02¿u(1,2,1)+du=1+0 , 05=1 ,05

Точное значение этого выражения: 1,049275225687319176.

Частные производные высших порядков.

Если функция f(x, y) определена в некоторой области D, то ее частные

производные f x' ( x , y ) и f y

' ( x , y ) тоже будут определены в той же области или ее части. Будем называть эти производные частными производными первого порядка.

Производные этих функций будут частными производными второго порядка.

∂2 z∂ x2=f xx

' ' (x , y ); ∂2 z∂ y2=f yy

' ' ( x , y );

∂2 z∂ x ∂ y

=f xy' ' ( x , y ) ; ∂2 z

∂ y ∂ x=f yx

' ' ( x , y ) ;

Продолжая дифференцировать полученные равенства, получим частные производные более высоких порядков.

Определение. Частные производные вида

∂2 z∂ x ∂ y

; ∂2 z∂ y ∂ x

; ∂3 z∂ x ∂ y ∂ x

; ∂3 z∂ x ∂ y ∂ y и т.д.

называются смешанными производными.

Теорема. Если функция f(x, y) и ее частные производные f x' , f y

' , f xy' ' , f yx

' '

определены и непрерывны в точке М(х, у) и ее окрестности, то верно соотношение:∂2 f

∂ x ∂ y= ∂2 f∂ y ∂ x .Т.е. частные производные высших порядков не зависят от порядка

дифференцирования.Аналогично определяются дифференциалы высших порядков.

dz= f x' ( x , y )dx+ f y

' ( x , y )

d2 z=d [ f x' ( x , y )dx+ f y

' (x , y )dy ]=fx2' ' ( x , y )(dx )2+2 f xy

' ' ( x , y )dxdy+fy2' ' (x , y )(dy )2

d3 z=fx3' ' ' ( x , y )(dx )3+3 f

x2 y' ' ' ( x , y )(dx )2 dy+3 f

xy2' ' ' ( x , y )dx (dy )2+f

y3' ' ' ( x , y )(dy )3

…………………

dn z=( ∂∂ xdx+ ∂

∂ ydy )

nf ( x , y )

Здесь n – символическая степень производной, на которую заменяется реальная степень после возведения в нее стоящего с скобках выражения.

Экстремум функции нескольких переменных.

Определение. Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М0(х0, у0) верно неравенствоf ( x0 , y0)> f ( x , y )

то точка М0 называется точкой максимума.

11

Определение. Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М0(х0, у0) верно неравенствоf ( x0 , y0 )< f ( x , y )

то точка М0 называется точкой минимума.Теорема. (Необходимые условия экстремума). Если функция f(x,y) в точке (х0, у0) имеет экстремум, то в этой точке либо обе ее

частные производные первого порядка равны нулю f x' ( x0 , y 0)=0 , f y

' ( x0 , y0)=0 , либо хотя бы одна из них не существует.

Эту точку (х0, у0) будем называть критической точкой.Теорема. (Достаточные условия экстремума). Пусть в окрестности критической точки (х0, у0) функция f(x, y) имеет непрерывные

частные производные до второго порядка включительно. Рассмотрим выражение:D( x , y )=f

x 2' ' ( x , y )⋅f

y2' ' ( x , y )−[ f xy

' ' (x , y )]2

1) Если D(x0, y0) > 0, то в точке (х0, у0) функция f(x, y) имеет экстремум, если f

x 2' ' ( x0 , y0)<0 - максимум, если f x 2

' ' ( x0 , y0)>0 - минимум.2) Если D(x0, y0) < 0, то в точке (х0, у0) функция f(x, y) не имеет экстремума

В случае, если D = 0, вывод о наличии экстремума сделать нельзя.

Условный экстремум.Условный экстремум находится, когда переменные х и у, входящие в функцию u

= f( x, y), не являются независимыми, т.е. существует некоторое соотношение (х, у) = 0, которое называется уравнением связи.

Тогда из переменных х и у только одна будет независимой, т.к. другая может быть выражена через нее из уравнения связи.

Тогда u = f(x, y(x)).dudx

=∂ f∂ x

+ ∂ f∂ y

dydx

В точках экстремума:

dudx=∂ f∂ x

+ ∂ f∂ y

dydx =0 (1)

Кроме того:

∂ ϕ∂ x

+∂ ϕ∂ y

dydx

=0 (2)

Умножим равенство (2) на число и сложим с равенством (1).

(∂ f∂ x

+ ∂ f∂ y

dydx )+λ(∂ ϕ

∂ x+ ∂ϕ∂ y

dydx )=0

( ∂ f∂ x

+ λ ∂ ϕ∂ x )+( ∂ f

∂ y+ λ ∂ ϕ

∂ y ) dydx

=0

Для выполнения этого условия во всех точках найдем неопределенный коэффициент так, чтобы выполнялась система трех уравнений:

12

{∂ f∂ x

+λ∂ ϕ∂ x

=0 ¿ {∂ f∂ y

+λ ∂ϕ∂ y

=0¿ ¿¿¿Полученная система уравнений является необходимыми условиями условного

экстремума. Однако это условие не является достаточным. Поэтому при нахождении критических точек требуется их дополнительное исследование на экстремум.

Выражение u = f(x, y) + (x, y) называется функцией Лагранжа.Пример. Найти экстремум функции f(x, y) = xy, если уравнение связи:

2x + 3y – 5 = 0

u=xy+ λ(2 x+3 y−5)

∂u∂ x

= y+2 λ ; ∂ u∂ y

=x+3 λ ;

{ y+2 λ=0 ¿ {x+3 λ=0 ¿¿¿¿λ=− 5

12; x=5

4; y=5

6;

Таким образом, функция имеет экстремум в точке ( 5

4; 5

6 ) .Использование функции Лагранжа для нахождения точек экстремума функции

называется также методом множителей Лагранжа. Выше мы рассмотрели функцию двух переменных, однако, все рассуждения

относительно условного экстремума могут быть распространены на функции большего числа переменных.

Производная по направлению.Рассмотрим функцию u(x, y, z) в точке М( x, y, z) и точке М1( x + x, y + y, z + z).

Проведем через точки М и М1 вектор S . Углы наклона этого вектора к направлению координатных осей х, у, z обозначим соответственно , , . Косинусы этих

углов называются направляющими косинусами вектора S .

Расстояние между точками М и М1 на векторе S обозначим S.

ΔS=√Δx2+Δy2+Δz2

Высказанные выше предположения, проиллюстрируем на рисунке: z

M

ΔS

13

M1

S

y

x

Далее предположим, что функция u(x, y, z) непрерывна и имеет непрерывные частные производные по переменным х, у и z. Тогда правомерно записать следующее выражение:

Δu=∂ u∂ x

Δx+ ∂ u∂ y

Δy+∂ u∂ z

Δz+ε1 Δx+ε2 Δy+ε3 Δz,

где величины 1, 2, 3 – бесконечно малые при ΔS→0 . Из геометрических соображений очевидно:

ΔxΔS

=cosα ; ΔyΔS

=cos β; ΔzΔS

=cosγ ;

Таким образом, приведенные выше равенства могут быть представлены следующим образом:

ΔuΔS

=∂u∂ x

cosα+ ∂u∂ y

cos β+ ∂u∂ z

cosγ+ε 1cosα+ε2cos β+ε2 cosγ;

∂u∂ s

= limΔS→0

ΔuΔS

=∂u∂ x

cos α+ ∂u∂ y

cos β+∂u∂ z

cos γ

Заметим, что величина s является скалярной. Она лишь определяет направление

вектора S .Из этого уравнения следует следующее определение:

Определение: Предел limΔS→0

ΔuΔS называется производной функции u(x, y, z) по

направлению вектора S в точке с координатами ( x, y, z).Поясним значение изложенных выше равенств на примере.Пример. Вычислить производную функции z = x2 + y2x в точке А(1, 2) по

направлению вектора АВ . В (3, 0).Решение. Прежде всего необходимо определить координаты вектора АВ .

АВ =(3-1; 0-2) = (2; -2) = 2 i−2 j .Далее определяем модуль этого вектора:

14

|AB|=√8=2√2Находим частные производные функции z в общем виде:

∂ z∂ x

=2 x+ y2 ; ∂ z∂ y

=2 yx ;

Значения этих величин в точке А :

∂ z∂ x

=6 ; ∂ z∂ y

=4 ;

Для нахождения направляющих косинусов вектора АВ производим следующие преобразования:

S =

AB|AB|

=i cosα+ j cos β= 22√2

i− 22√2

j

За величину S принимается произвольный вектор, направленный вдоль заданного вектора, т.е. определяющего направление дифференцирования. Отсюда получаем значения направляющих косинусов вектора АВ :

cos = √22 ; cos = -

√22

Окончательно получаем:

∂ z∂ s

=6⋅√22−4⋅√2

2=√2

- значение производной заданной функции по направлению вектора АВ .

Градиент.Определение: Если в некоторой области D задана функция u = u(x, y, z) и

некоторый вектор, проекции которого на координатные оси равны значениям функции u в

соответствующей точке

∂u∂ x

; ∂u∂ y

; ∂u∂ z , то этот вектор называется градиентом функции

u.

gradu= ∂u∂ x

i+ ∂udy

j+ ∂ u∂ z

k

Связь градиента с производной по направлению.

Теорема: Пусть задана функция u = u(x, y, z) и поле градиентов

gradu= ∂u∂ x

i+ ∂udy

j+ ∂ u∂ z

k.

Тогда производная

∂u∂ s по направлению некоторого вектора S равняется проекции

вектора gradu на вектор S .

Доказательство: Рассмотрим единичный вектор S= i cos α+ j cos β+ k cos γ и

некоторую функцию u = u(x, y, z) и найдем скалярное произведение векторов S и gradu.

gradu⋅S=∂u∂ x

cosα+ ∂u∂ y

cos β+ ∂u∂ z

cos γ

15

Выражение, стоящее в правой части этого равенства является производной функции u по направлению s.

Т.е. gradu⋅S=∂u

∂ s . Если угол между векторами gradu и S обозначить через , то скалярное произведение можно записать в виде произведения модулей этих векторов на

косинус угла между ними. С учетом того, что вектор S единичный, т.е. его модуль равен единице, можно записать:

|gradu|⋅cosϕ=∂ u∂ s

Выражение, стоящее в правой части этого равенства и является проекцией вектора

gradu на вектор S .Теорема доказана.

Для иллюстрации геометрического и физического смысла градиента скажем, что градиент – вектор, показывающий направление наискорейшего изменения некоторого скалярного поля u в какой- либо точке. В физике существуют такие понятия как градиент температуры, градиент давления и т.п. Т.е. направление градиента есть направление наиболее быстрого роста функции.

С точки зрения геометрического представления градиент перпендикулярен поверхности уровня функции.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Решение различных геометрических, физических и инженерных задач часто приводят к уравнениям, которые связывают независимые переменные, характеризующие ту ил иную задачу, с какой – либо функцией этих переменных и производными этой функции различных порядков.

В качестве примера можно рассмотреть простейший случай равноускоренного движения материальной точки.

Известно, что перемещение материальной точки при равноускоренном движении является функцией времени и выражается по формуле:

S=V 0 t+ at 2

2В свою очередь ускорение a является производной по времени t от скорости V,

которая также является производной по времени t от перемещения S. Т.е.

V=dSdt

; a=dVdt

=d2 Sdt 2 ;

Тогда получаем: S=f ( t )=V 0 t+ f ' ' ( t )⋅t

2 - уравнение связывает функцию f(t) с независимой переменной t и производной второго порядка функции f(t).

Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функции и производные (или дифференциалы) этой функции.

Определение. Если дифференциальное уравнение имеет одну независимую переменную, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением, если

16

же независимых переменных две или более, то такое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.

Определение. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция y = (x, C), которая при подстановке в исходное уравнение вместо неизвестной функции обращает уравнение в тождество.

Свойства общего решения.1) Т.к. постоянная С – произвольная величина, то вообще говоря

дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений.

2) При каких- либо начальных условиях х = х0, у(х0) = у0 существует такое значение С = С0, при котором решением дифференциального уравнения является функция у = (х, С0).

Определение. Решение вида у = (х, С0) называется частным решением дифференциального уравнения.

Определение. Задачей Коши (Огюстен Луи Коши (1789-1857)- французский математик) называется нахождение любого частного решения дифференциального уравнения вида у = (х, С0), удовлетворяющего начальным условиям у(х0) = у0.

Теорема Коши. (теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения 1- го порядка)

Если функция f(x, y) непрерывна в некоторой области D в плоскости XOY и имеет в этой области непрерывную частную производную y '= f ( x , y ) , то какова бы не была точка (х0, у0) в области D, существует единственное решение y=ϕ ( x ) уравнения y '=f ( x , y ) , определенное в некотором интервале, содержащем точку х0, принимающее при х = х0 значение (х0) = у0, т.е. существует единственное решение дифференциального уравнения.

Определение. Интегралом дифференциального уравнения называется любое уравнение, не содержащее производных, для которого данное дифференциальное уравнение является следствием.

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения x y '+ y=0 .Общее решение дифференциального уравнения ищется с помощью интегрирования

левой и правой частей уравнения, которое предварительно преобразовано следующим образом:

x dydx

+ y=0

xdy=− ydxdyy=−dx

x

Теперь интегрируем: ∫ dy

y=−∫ dx

xln y=−ln x+C0ln y+ ln x=C0

ln xy=C0

xy=eC0=C

17

y=C

x - это общее решение исходного дифференциального уравнения.

Допустим, заданы некоторые начальные условия: x0 = 1; y0 = 2, тогда имеем

2=С1

; C=2;

При подстановке полученного значения постоянной в общее решение получаем частное решение при заданных начальных условиях (решение задачи Коши).

y=2x

Определение. Интегральной кривой называется график y = (x) решения дифференциального уравнения на плоскости ХОY.

Определение. Особым решением дифференциального уравнения называется такое решение, во всех точках которого условие единственности Коши (см. Теор е ма Коши. ) не выполняется, т.е. в окрестности некоторой точки (х, у) существует не менее двух интегральных кривых.

Особые решения не зависят от постоянной С.Особые решения нельзя получить из общего решения ни при каких значениях

постоянной С. Если построить семейство интегральных кривых дифференциального уравнения, то особое решение будет изображаться линией, которая в каждой своей точке касается по крайней мере одной интегральной кривой.

Отметим, что не каждое дифференциальное уравнение имеет особые решения.Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения: y '+ y=0 . Найти

особое решение, если оно существует.dydx

=− y

dyy=−dx

∫ dyy=−∫dx

ln y=−x+Cy=e−x⋅eC

y=C1⋅e−x

Данное дифференциальное уравнение имеет также особое решение у = 0. Это решение невозможно получить из общего, однако при подстановке в исходное уравнение получаем тождество. Мнение, что решение y = 0 можно получить из общего решения при С1 = 0 ошибочно, ведь C1 = eC 0.

Далее рассмотрим подробнее приемы и методы, которые используются при решении дифференциальных уравнений различных типов.

Дифференциальные уравнения первого порядка.Определение. Дифференциальным уравнением первого порядка называется

соотношение, связывающее функцию, ее первую производную и независимую переменную, т.е. соотношение вида:

F (x , y , y ' )=0

Если такое соотношение преобразовать к виду y '=f ( x , y ) то это дифференциальное уравнение первого порядка будет называться уравнением, разрешенным относительно производной.

18

Преобразуем такое выражение далее:dydx

=f (x , y ) ; dy= f ( x , y )dx ; f ( x , y )dx−dy=0 ;

Функцию f(x,y) представим в виде: f ( x , y )=− P( x , y )

Q( x , y ), Q( x , y )≠0 ;

тогда при подстановке в полученное выше уравнение имеем:

P( x , y )dx+Q ( x , y )dy=0- это так называемая дифференциальная форма уравнения первого порядка.

Далее рассмотрим подробнее типы уравнений первого порядка и методы их решения.

Уравнения вида y ’ = f ( x ).

Пусть функция f(x) – определена и непрерывна на некотором интервалеa < x < b. В таком случае все решения данного дифференциального уравнения находятся

как y=∫ f ( x )dx+C . Если заданы начальные условия х0 и у0, то можно определить постоянную С.

Уравнения с разделяющимися переменными

Определение. Дифференциальное уравнение y '=f ( x , y )называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно записать в виде

y '=α ( x ) β( y ).Такое уравнение можно представить также в виде:

y '−α ( x ) β( y )=0 ; dy−α (x )β ( y )dx=0 ; dyβ ( y )

−α ( x )dx=0 при β ( y )≠0 ;

Перейдем к новым обозначениям α ( x )=−X ( x ) ; 1

β ( y )=Y ( y );

Получаем: X ( x )dx+Y ( y )dy=0 ;

∫ X ( x )dx+∫Y ( y )dy=C

После нахождения соответствующих интегралов получается общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

Если заданы начальные условия, то при их подстановке в общее решение находится постоянная величина С, а, соответственно, и частное решение.

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения: y y '=−2 x

cos y

y cos y⋅dydx=−2 x

y cos ydy=−2 xdx∫ y cos ydy=−2∫ xdx

Интеграл, стоящий в левой части, берется по частям (см. Интегрирован и е по частям. ):

19

∫ y cos ydy=¿ {u= y ; dv=cos ydy ; ¿ }¿{}= y sin y−∫ sin ydy= y sin y+cos y

y sin y+cos y=−x2+Cy sin y+cos y+x2+C=0

- это есть общий интеграл исходного дифференциального уравнения, т.к. искомая функция и не выражена через независимую переменную. В этом и заключается отличие общего (частного) интеграла от общего (частного) решения.

Чтобы проверить правильность полученного ответа продифференцируем его по переменной х.

y ' sin y+ y y ' cos y− y ' sin y+2 x=0

y y '=− 2 xcos y - верно

Пример. Найти решение дифференциального уравнения

yy '=ln y

при условии у(2) = 1.

ydxdy

=ln y

dx= ln ydyy

∫ dx=∫ ln ydyy

x+C=∫ ln yd ( ln y )

x+C=ln2 y2

при у(2) = 1 получаем 2+C=ln 21

2; ⇒ 2+C=0; ⇒ C=−2;

Итого: 2( x−2 )=ln2 y ; или y=e±√2 x−4 - частное решение;

Проверка: y '=e±√2 x−4⋅ 2

±2√2 x−4 , итого

yy '=

e±√2 x−4 (±√2 x−4 )e±√2 x−4

=±√2 x−4=ln y - верно.

Пример. Решить уравнение y '= y2

3 .

dydx= y

23

y−2

3 dy=dx

∫ y−2

3dy=∫ dx

3 y1

3=x+C

20

27 y=( x+C )3 - общий интеграл

y= 1

27( x+C )3

- общее решение

Пример. Решить уравнение y'=x ( y2+1 ).

dyy2+1

=dx ; ∫ dyy2+1

=∫ dx ;

arctgy= x2

2+C ; y=tg( x2

2+C );

Пример. Решить уравнение y y '

x+e y=0

при условии у(1) = 0.ydydx

+xe y=0

ydy+xe y dx=0; ye y

dy=−xdx ;

∫ ye y

dy=−∫ xdx ;

∫ ye− y dy=¿ {u= y ; e− y dy=dv ; ¿}¿{}=−e y y−∫−e y dy=−e− y y−e− y=−e− y ( y+1) ;

e− y ( y+1)= x2

2+C0 ;

2 e− y( y+1 )=x2+C

Если у(1) = 0, то 2 e0(0+1 )=1+C ; ⇒ 2=1+C ; ⇒ C=1 ;

Итого, частный интеграл: 2 e− y( y+1 )=x 2+1 .Пример. Решить уравнение y

'+sin( x+ y )=sin( x− y ) .

y '+sin( x+ y )−sin( x− y )=0

y '−2 sin x− y−x− y2

cos x− y+x+ y2

=0

y '−2sin (− y )cos x=0y '+2sin y cos x=0

dysin y

=−2 cos xdx; ∫ dysin y

=−2∫ cos xdx;

Для нахождения интеграла, стоящего в левой части уравнения см. Таблица основных интегралов. п.16. Получаем общий интеграл:

21

ln|tg y2|=−2sin x+C

Пример. Решить уравнение 2 xe−x 2

+ y'

y=0

Преобразуем заданное уравнение:

2 xe−x 2+ dy

ydx=0

2 xe−x 2dx+ dy

y=0

∫2 xe−x 2dx+∫ dy

y=C

−e− x2+ln|y|=C

Получили общий интеграл данного дифференциального уравнения. Если из этого соотношения выразить искомую функцию у, то получим общее решение.

Пример. Решить уравнение y'=x ( y2+1 ).

dydx=x ( y2+1)

dyy2+1

=xdx

∫ dyy2+1

=∫ xdx;

arctgy= x2

2+C

;

y=tg( x2

2+C)

Допустим, заданы некоторые начальные условия х0 и у0. Тогда:

arctgy0=x0

2

2+C0 ; ⇒ C0=arctgy0−

x02

2;

Получаем частное решение y=tg( x2

2 +arctgy0−x0

2

2 ).Однородные уравнения.

Определение. Функция f(x, y) называется однородной n – го измерения относительно своих аргументов х и у, если для любого значения параметра t (кроме нуля) выполняется тождество:

f ( tx ,ty )=tn f ( x , y ).

Пример. Является ли однородной функция f ( x , y )=x3+3 x2 y?f ( tx ,ty )=( tx )3+3( tx )2 ty=t3 x3+3 t3 x2 y=t3 ( x3+3 x2 y )=t 3 f ( x , y )

22

Таким образом, функция f(x, y) является однородной 3- го порядка.Определение. Дифференциальное уравнение вида y '=f ( x , y )называется

однородным, если его правая часть f(x, y) есть однородная функция нулевого измерения относительно своих аргументов.

Любое уравнение вида P( x , y )dx+Q ( x , y )dy=0 является однородным, если функции P(x, y) и Q(x, y) – однородные функции одинакового измерения.

Решение любого однородного уравнения основано на приведении этого уравнения к уравнению с разделяющимися переменными.

Рассмотрим однородное уравнение y'=f ( x , y ) .

Т.к. функция f(x, y) – однородная нулевого измерения, то можно записать:f ( tx ,ty )=f ( x , y ).

Т.к. параметр t вообще говоря произвольный, предположим, что t=1

x . Получаем:

f ( x , y )=f (1, yx )

Правая часть полученного равенства зависит фактически только от одного

аргумента u= y

x , т.е.

f ( x , y )=ϕ ( yx )=ϕ (u );

Исходное дифференциальное уравнение таким образом можно записать в виде:y '=ϕ(u )

Далее заменяем y = ux, y'=u' x+u x '

.

u' x+u x '=ϕ (u ); u' x+u=ϕ (u ); u'=ϕ(u )−u

x;

таким образом, получили уравнение с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции u.

duϕ (u)−u

=dxx

; ∫ duϕ(u )−u

=∫ dxx+C ;

Далее, заменив вспомогательную функцию u на ее выражение через х и у и найдя интегралы, получим общее решение однородного дифференциального уравнения.

Пример. Решить уравнение y '= y

x ( ln yx+1)

.Введем вспомогательную функцию u.

u= yx

; y=ux ; y '=u' x+u.

Отметим, что введенная нами функция u всегда положительна, т.к. в противном

случае теряет смысл исходное дифференциальное уравнение, содержащее ln u=ln y

x .Подставляем в исходное уравнение:

u' x+u=u( lnu+1 ); u' x+u=u ln u+u; u' x=u lnu ;

Разделяем переменные:

duu lnu

=dxx

; ∫ duu ln u

=∫ dxx

;

23

Интегрируя, получаем: ln|lnu|=ln|x|+C ; ln u=Cx ; u=eCx ;Переходя от вспомогательной функции обратно к функции у, получаем общее решение:

y=xeCx .Уравнения, приводящиеся к однородным.

Кроме уравнений, описанных выше, существует класс уравнений, которые с помощью определенных подстановок могут приведены к однородным.

Это уравнения вида y '= f ( ax+by+c

a1 x+b1 y+c1 ).Если определитель

|a ba1 b1

|≠0 , то переменные могут быть разделены подстановкой

x=u+α ; y=v+β ;

где и - решения системы уравнений {ax+by+c=0¿ ¿¿¿

Пример. Решить уравнение ( x−2 y+3)dy+(2 x+ y−1 )dx=0 .

Получаем ( x−2 y+3) dy

dx=−2 x− y+1; dy

dx=−2 x− y+1

x−2 y+3;

Находим значение определителя |−2 −1

1 −2|=4+1=5≠0

.

Решаем систему уравнений {−2 x− y+1=0 ¿ ¿¿¿

Применяем подстановку x=u−1/5; y=v+7 /5 ; в исходное уравнение:

(u−1 /5−2 v−14 /5+3 )dv+(2u−2/5+v+7 /5−1 )du=0 ;(u−2 v )dv+(2u+v )du=0 ;

dvdu= 2u+v

2 v−u= 2+v /u

2 v /u−1;

Заменяем переменную

vu=t ; v=ut ; v '=t ' u+t ;

при подстановке в выражение, записанное выше, имеем:

t ' u+t= 2+t2t−1

Разделяем переменные: dtdu

u= 2+ t2t−1

−t= 2+t−2 t2+ t2 t−1

=2(1+ t−t2 )

2 t−1;

duu=−1

2⋅ 1−2t

1+t−t2 dt ; ∫ duu=−1

2∫(1−2 t )dt

1+ t−t2 ;

24

−12

ln|1+t−t 2|=ln|u|+ ln C1

ln|1+t−t 2|=−2 ln|C1u|

ln|1+t−t2|=ln|C2

u2|; 1+t−t2=C2

u2 ;

Переходим теперь к первоначальной функции у и переменной х.

t= vu= y−7 /5

x+1 /5= 5 y−7

5 x+1; u=x+1/5 ;

1+ 5 y−75x+1

−( 5 y−75 x+1 )

2=

25 C2

(5 x+1 )2;

(5 x+1 )2+(5 y−7)(5 x+1)−(5 y−7 )2=25C2

25 x2+10 x+1+25 xy+5 y−35 x−7−25 y2+70 y−49=25C2

25 x2−25 x+25 xy+75 y−25 y2=25C2+49−1+7

x2−x+xy+3 y− y2=C2+5525

=C ;

Итого, выражение x2−x+xy+3 y− y2=C является общим интегралом исходного

дифференциального уравнения.

В случае если в исходном уравнении вида y '=f ( ax+by+c

a1 x+b1 y+c1 ) определитель

|a ba1 b1

|=0 , то переменные могут быть разделены подстановкой

ax+by=t .

Пример. Решить уравнение 2( x+ y )dy+(3 x+3 y−1)dx=0.

Получаем 2( x+ y ) dy

dx=−3 x−3 y+1 ; dy

dx=−3 x−3 y+1

2 x+2 y=−3 x+3 y−1

2 x+2 y;

Находим значение определителя |−3 −3

2 2|=−6+6=0 ;

Применяем подстановку 3 x+3 y=t .dydx= t '

3−1;

Подставляем это выражение в исходное уравнение:t'

3−1=−

3( t−1 )2 t

; 2t ( t '−3)=−9 t+9; 2 t t '=6 t−9 t+9 ; 2t t'=−3 t+9 ;

Разделяем переменные:

2 t−3 t+9

dt=dx ; tt−3

dt=− 32

dx ;

∫(1+ 3t−3 )dt=− 3

2∫dx ;

25

t+3 ln|t−3|=−32

x+C1

Далее возвращаемся к первоначальной функции у и переменной х.2 x+2 y+2 ln|3( x+ y−1 )|=−x+C2 ;3 x+2 y+2 ln 3+2 ln|x+ y−1|=C2 ;

3 x+2 y+2 ln|x+ y−1|=C ;таким образом, мы получили общий интеграл исходного дифференциального уравнения.

Линейные уравнения.Определение. Дифференциальное уравнение называется линейным относительно

неизвестной функции и ее производной, если оно может быть записано в виде:y '+P( x ) y=Q( x ) ,

при этом, если правая часть Q(x) равна нулю, то такое уравнение называется линейным однородным дифференциальным уравнением, если правая часть Q(x) не равна нулю, то такое уравнение называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением.

P(x) и Q(x)- функции непрерывные на некотором промежутке a < x < b.

Линейные однородные дифференциальные уравнения.

Рассмотрим методы нахождения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения первого порядка вида

y '+P( x ) y=0 .

Для этого типа дифференциальных уравнений разделение переменных не представляет сложностей.

dyy=−P( x )dx

ln|y|=−∫P( x )dx+ln|C|;

ln| yC|=−∫ P( x )dx ;

Общее решение: y=Ce−∫ P( x )dx

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения.

Для интегрирования линейных неоднородных уравнений (Q(x)0) применяются в основном два метода: метод Бернулли и метод Лагранжа.

Метод Бернулли.

(Якоб Бернулли (1654-1705) – швейцарский математик.)

Суть метода заключается в том, что искомая функция представляется в виде произведения двух функций y=uv .

При этом очевидно, что y '=u⋅dv

dx+v⋅du

dx - дифференцирование по частям.

Подставляя в исходное уравнение, получаем:

26

u dvdx

+v dudx

+P( x )uv=Q( x )

u dvdx+v ( du

dx+P (x )u)=Q (x )

Далее следует важное замечание – т.к. первоначальная функция была представлена нами в виде произведения, то каждый из сомножителей, входящих в это произведение, может быть произвольным, выбранным по нашему усмотрению.

Например, функция y=2 x2 может быть представлена как y=1⋅2 x2 ; y=2⋅x2 ;

y=2 x⋅x ; и т.п. Таким образом, можно одну из составляющих произведение функций выбрать так,

что выражение

dudx+P( x )u=0

.Таким образом, возможно получить функцию u, проинтегрировав, полученное

соотношение как однородное дифференциальное уравнение по описанной выше схеме:

duu=−P( x )dx ; ∫ du

u=−∫P( x )dx ; ln|u|=−∫ P( x )dx ;

ln|C1|+ ln|u|=−∫P ( x )dx; u=Ce−∫ P( x )dx ; C=1/C1 ;

Для нахождения второй неизвестной функции v подставим поученное выражение

для функции u в исходное уравнение u dv

dx+v ( du

dx+P (x )u)=Q (x )

с учетом того, что выражение, стоящее в скобках, равно нулю.

Сe−∫ P ( x )dx dvdx=Q(x ); Cdv=Q (x )e∫ P( x )dx dx;

Интегрируя, можем найти функцию v:

Cv=∫Q( x )e∫P (x )dx dx+C1; v= 1

C∫Q( x )e∫ P(x )dx dx+C2;

Т.е. была получена вторая составляющая произведения y=uv , которое и определяет искомую функцию.

Подставляя полученные значения, получаем:

y=uv=Ce−∫ P( x )dx⋅1C (∫Q ( x )e∫ P(x )dx dx+C2)

Окончательно получаем формулу:

y=e−∫ P (x )dx⋅(∫Q( x )e∫ P( x )dx dx+C2) , С2 - произвольный коэффициент.Это соотношение может считаться решением неоднородного линейного дифференциального уравнения в общем виде по способу Бернулли.

Метод Лагранжа.( Ларганж Жозеф Луи (1736-1813) - французский математик, през. Берлинской АН,

поч. чл. Пет. АН (1776)).

27

Метод Лагранжа решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений еще называют методом вариации произвольной постоянной.

Вернемся к поставленной задаче:y '+P( x ) y=Q( x )

Первый шаг данного метода состоит в отбрасывании правой части уравнения и замене ее нулем.

y '+P( x ) y=0Далее находится решение получившегося однородного дифференциального

уравнения:

y=C1 e−∫ P( x )dx.

Для того, чтобы найти соответствующее решение неоднородного дифференциального уравнения, будем считать постоянную С1 некоторой функцией от х.

Тогда по правилам дифференцирования произведения функций получаем:

y '=dydx=

dC1( x )dx

e−∫ P( x )dx+C1( x )e−∫P ( x )dx⋅(−P( x )) ;

Подставляем полученное соотношение в исходное уравнение

dC 1( x )dx

e−∫ P(x )dx −C1 ( x )P( x )e−∫ P( x )dx+P( x )C1( x )e−∫ P( x )dx=Q( x )

dC1( x )dx

e−∫ P ( x )dx=Q (x );

Из этого уравнения определим переменную функцию С1(х):

dC1( x )=Q( x )e∫ P (x )dx dx ;Интегрируя, получаем:

C1=∫Q( x )e∫ P(x )dx dx+C ;Подставляя это значение в исходное уравнение, получаем:

y=e−∫ P (x )dx (∫Q( x )e∫ P (x )dx dx+C ) .Таким образом, мы получили результат, полностью совпадающий с результатом

расчета по методу Бернулли.

При выборе метода решения линейных дифференциальных уравнений следует руководствоваться простотой интегрирования функций, входящих в исходный интеграл.

Далее рассмотрим примеры решения различных дифференциальных уравнений различными методами и сравним результаты.

Пример. Решить уравнение x2 y '+ y=ax 2e

1x .

28

Сначала приведем данное уравнение к стандартному виду: y '+ 1

x2 y=ae1x .

Применим полученную выше формулу: P= 1

x2 ; Q=ae1x ;

y=e−∫ 1

x 2 dx (∫ ae1x e∫ 1

x2 dx

dx+C)y=e

1x (∫ ae

1x e

− 1x dx+C)=e

1x (∫adx+C )

y=e1x ( ax+C ) .

Уравнение Бернулли.

Определение. Уравнением Бернулли называется уравнение видаy '+Py=Q⋅yn ,

где P и Q – функции от х или постоянные числа, а n – постоянное число, не равное 1.

Для решения уравнения Бернулли применяют подстановку z= 1

yn−1, с помощью

которой, уравнение Бернулли приводится к линейному.Для этого разделим исходное уравнение на yn.

y '

yn+P 1yn−1=Q ;

Применим подстановку, учтя, что z '=−

(n−1) yn−2

y2n−2 ⋅y '=−(n−1 ) y '

yn.

− z '

n−1+Pz=Q

z '−(n−1)Pz=−(n−1)QТ.е. получилось линейное уравнение относительно неизвестной функции z.Решение этого уравнения будем искать в виде:

z=e−∫ Pdx (∫Q1 e∫P1dx

dx+C )Q1=−(n−1)Q ; P1=−(n−1)P .

Пример. Решить уравнение x y '+ y=xy 2 ln x .

Разделим уравнение на xy2:

y '

y2+1x⋅1

y= ln x .

Полагаем z= 1

y; z '=− y '

y2 .

29

−z '+ 1x

z=ln x ; z '−1x

z=−ln x.

Полагаем P=−1

x, Q=−ln x .

z=e∫ dx

x (∫− ln xe−∫ dx

x dx+C); z=e ln x (∫− ln xe−ln x dx+C );z=x (∫−ln x⋅dx

x+C ); z=x (−∫ ln xd ( ln x )+C ) ;

z=x (−ln2 x2

+C)Произведя обратную подстановку, получаем:

1y=x(−ln2 x

2+C) .

Пример. Решить уравнение x y '−4 y=x2 √ y .

Разделим обе части уравнения на x √ y .1√ y

dydx−4

x √ y=x .

Полагаем z=√ y ; z'= 1

2√ yy ' ; y '=2√ y z ' ;

1√ y

2√ y z'− 4x

z= x ; dzdx−2 z

x= x

2;

Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Рассмотрим соответствующее ему линейное однородное уравнение:

dzdx−2 z

x=0 ; dz

dx=2 z

x; dz

z=2 dx

x;

∫ dzz=2∫ dx

x+C1 ; ln z=2 ln x+ln C ; z=Cx2 ;

Полагаем C = C(x) и подставляем полученный результат в линейное неоднородное уравнение, с учетом того, что:

dzdx=2xC ( x )+x2 dC( x )

dx;

2 xC( x )+x2 dC ( x )dx

−2 x2C( x )

x= x

2;

dC (x )dx

= 12 x

; C (x )=12

ln x+C2 ;

Получаем: z=x2(C2+

12

ln x );

30

Применяя обратную подстановку, получаем окончательный ответ:

y=x 4(C2+12

ln x )2;

Уравнения в полных дифференциалах (тотальные).

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка вида:M ( x , y )dx+N ( x , y )dy=0

называется уравнением в полных дифференциалах, если левая часть этого уравнения представляет собой полный дифференциал некоторой функции u=F ( x , y ).

Интегрирование такого уравнения сводится к нахождению функции u, после чего решение легко находится в виде: du=0 ; u=C .

Таким образом, для решения надо определить:1) в каком случае левая часть уравнения представляет собой полный дифференциал функции u;2) как найти эту функцию.

Если дифференциальная форма M ( x , y )dx+N ( x , y )dy является полным дифференциалом некоторой функции u, то можно записать:

du=M ( x , y )dx+N ( x , y )dy=∂u∂ x

dx+ ∂ u∂ y

dy .

Т.е. {∂u∂ x

=M ( x , y )¿ ¿ ¿¿.

Найдем смешанные производные второго порядка, продифференцировав первое уравнение по у, а второе – по х:

{∂2 u∂ x ∂ y

=∂M ( x , y )∂ y

¿ ¿¿¿Приравнивая левые части уравнений, получаем необходимое и достаточное

условие того, что левая часть дифференциального уравнения является полным дифференциалом. Это условие также называется условием тотальности.

∂M ( x , y )∂ y

=∂N ( x , y )

∂ xТеперь рассмотрим вопрос о нахождении собственно функции u.

Проинтегрируем равенство

∂u∂ x

=M ( x , y ):

u=∫M ( x , y )dx+C( y ).Вследствие интегрирования получаем не постоянную величину С, а некоторую

функцию С(у), т.к. при интегрировании переменная у полагается постоянным параметром.Определим функцию С(у).

Продифференцируем полученное равенство по у.

31

∂u∂ y

=N ( x , y )= ∂∂ y∫M ( x , y )dx+C ' ( y ) .

Откуда получаем: C '( y )=N ( x , y )− ∂

∂ y∫M ( x , y )dx .

Для нахождения функции С(у) необходимо проинтегрировать приведенное выше равенство. Однако, перед интегрированием надо доказать, что функция С(у) не зависит от х. Это условие будет выполнено, если производная этой функции по х равна нулю.

[С '( y )]x ′=

∂N ( x , y )∂ x

−∂∂ x

∂∂ y ∫M ( x , y )dx=∂N ( x , y )

∂ x−∂∂ y (∂∂ x∫M (x , y )dx)=

¿∂N (x , y )∂ x

−∂M ( x , y )∂ y

=0 .

Теперь определяем функцию С(у):

C ( y )=∫ [N ( x , y )− ∂∂ y∫M ( x , y )dx ]dy+C

Подставляя этот результат в выражение для функции u, получаем:

u=∫M ( x , y )dx+∫ [N (x , y )− ∂∂ y

M ( x , y )dx ]dy+C .

Тогда общий интеграл исходного дифференциального уравнения будет иметь вид:

∫M ( x , y )dx+∫ [N ( x , y )− ∂∂ y

M ( x , y )dx ]dy=C .

Следует отметить, что при решении уравнений в полных дифференциалах не обязательно использовать полученную формулу. Решение может получиться более компактным, если просто следовать методу, которым формула была получена.

Пример. Решить уравнение (3 x2+10 xy )dx+(5 x2−1 )dy=0

Проверим условие тотальности:

∂M ( x , y )∂ y

=∂(3 x 2+10 xy )

∂ y=10 x;

∂N ( x , y )∂ x

=∂(5 x2−1 )

∂ x=10 x .

Условие тотальности выполняется, следовательно, исходное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.Определим функцию u.

u=∫M ( x , y )dx+C( y )=∫(3 x2+10 xy )dx+C ( y )=x3+5 x2 y+C ( y ) ;∂u∂ y

=5 x2+C '( y )=N ( x , y )=5 x2−1 ;

C '( y )=−1 ; C( y )=∫(−1)dy=− y+C1 ;

Итого, u=x3+5 x2 y− y+C1 .Находим общий интеграл исходного дифференциального уравнения:

u=x3+5 x2 y− y+C1=С2 ; .

x3+5 x2 y− y=C .

32

Уравнения вида y = f ( y ’) и x = f ( y ’) .

Решение уравнений, не содержащих в одном случае аргумента х, а в другом – функции у, ищем в параметрической форме, принимая за параметр производную неизвестной функции.

y '=p .

Для уравнения первого типа получаем: y=f ( p ); y '=f ' ( p) dp

dx.

Делая замену, получаем: p=f ' ( p) dp

dx;

В результате этих преобразований имеем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

dx= f '( p )p

dp ; x=∫ f ' ( p )p

dp+C .

Общий интеграл в параметрической форме представляется системой уравнений:

{x=∫ f ' ( p )p

dp+C ¿ ¿¿¿

Исключив из этой системы параметр р, получим общий интеграл и не в параметрической форме.

Для дифференциального уравнения вида x = f(y’) с помощью той же самой подстановки и аналогичных рассуждений получаем результат:

{ y=∫ p f ' ( p)dp+C ¿¿¿¿

Уравнения Лагранжа и Клеро.( Алекси Клод Клеро (1713 – 1765) французский математик

ин. поч. член Петерб. АН )

Определение. Уравнением Лагранжа называется дифференциальное уравнение, линейное относительно х и у, коэффициенты которого являются функциями от y’.

P( y ' ) x+Q( y ' ) y+R( y ' )=0Для нахождения общего решение применяется подстановка p = y’.

y=xf ( p )+ϕ ( p ), f ( p )=− P ( y' )Q( y ' )

, ϕ ( p )=− R( y ' )Q( y ' )

.

Дифференцируя это уравнение,c учетом того, что dy=pdx , получаем:pdx=f ( p )dx+x f '( p )dp+ϕ ' ( p )dp .

Если решение этого (линейного относительно х) уравнения есть x=F ( p ,C ) ,то общее решение уравнения Лагранжа может быть записано в виде:

33

{x=F ( p ,C ) ¿ ¿¿¿Определение. Уравнением Клеро называется уравнение первой степени (т.е.

линейное) относительно функции и аргумента вида:y=x y '+ϕ ( y ' ).

Вообще говоря, уравнение Клеро является частным случаем уравнения Лагранжа.С учетом замены y

'=p , уравнение принимает вид:y=xp+ϕ ( p) .

y '=p+x dpdx+ϕ' ( p ) dp

dx;

p=p+x dpdx+ϕ '( p ) dp

dx;

[ x+ϕ ' ( p )] dpdx

=0 ;

Это уравнение имеет два возможных решения:dp=0 или x+ϕ ' ( p )=0.

В первом случае: p=c ;y=cx+ϕ (c )

Видно, что общий интеграл уравнения Клеро представляет собой семейство прямых линий.Во втором случае решение в параметрической форме выражается системой уравнений:

{ y=xp+ϕ ( p )¿ ¿¿¿Исключая параметр р, получаем второе решение F(x, y) = 0. Это решение не

содержит произвольной постоянной и не получено из общего решения, следовательно, не является частным решением.

Это решение будет являться особым интегралом. ( См. Особое решение. )Далее рассмотрим примеры решения различных типов дифференциальных

уравнений первого порядка.

Пример. Решить уравнение с заданными начальными условиями.

y '− yx=x+1 ; y (1)=0 .

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка.Решим соответствующее ему однородное уравнение.

y '− yx=0 ; y '= y

x; dy

dx= y

x; dy

y=dx

x;

∫ dyy=∫ dx

x; ln y=ln x+ ln C ;

y=Cx ;Для неоднородного уравнения общее решение имеет вид:

y=C ( x ) x ;Дифференцируя, получаем: y '=C '( x )x+C( x );Для нахождения функции С(х) подставляем полученное значение в исходное дифференциальное уравнение:

C '( x ) x+C( x )−C( x )=x+1xC ' ( x )=x+1

34

C '( x )=1+ 1x

; C ( x )=∫ (1+ 1x )dx+C ;

C ( x )=x+ln x+C ;

Итого, общее решение: y=x ( x+ln x+C ).

C учетом начального условия y (1)=0определяем постоянный коэффициент C.0=1+ln 1+C ; C=−1 .

Окончательно получаем: y=x2+ x ln x−x .Для проверки подставим полученный результат в исходное дифференциальное уравнение:

2 x+ ln x+x⋅1x−1−x−ln x+1=x+1;

верноНиже показан график интегральной кривой уравнения.

Пример. Найти общий интеграл уравнения x ( y2−1)dx+ y (x2−1)dy=0 .

Это уравнение с разделяющимися переменными.xdx

x2−1+ ydy

y2−1=0 ; ∫ xdx

x2−1=−∫ ydy

y2−1;

ln|x2−1|+ln|y2−1|=ln C ;

Общий интеграл имеет вид: ( x2−1 )( y2−1)=C .

Пример. Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

y ' cos x=( y+1 )sin x ; y (0)=0 .

Это уравнение с разделяющимися переменными.y '

y+1=sin x

cos x; dy

y+1=tgxdx ;

∫ dyy+1

=∫ tgxdx ; ln|y+1|=−ln|cos x|+ ln C ;

ln|( y+1)cos x|= lnC ; ( y+1 )cos x=C ;

0.5 1 1.5 2

-0.5

0.5

1

1.5

35

Общее решение имеет вид: y= C

cos x−1 .

Найдем частное решение при заданном начальном условии у(0) = 0.

0=С1−1 ; C=1.

Окончательно получаем: y= 1

cos x−1 .

Пример. Решить предыдущий пример другим способом.

Действительно, уравнение y' cos x=( y+1 )sin x может быть рассмотрено как

линейное неоднородное дифференциальное уравнение.y ' cos x− y sin x=sin x .

Решим соответствующее ему линейное однородное уравнение.

y ' cos x− y sin x=0 ; y ' cos x= y sin x ; dyy= tgxdx;

∫ dyy=∫ tgxdx+ lnC ; ln|y|=−ln|cos x|+ ln C ; y cos x=C ;

y= Ccos x

.

Решение неоднородного уравнения будет иметь вид:y=C ( x )

cos x.

Тогда y '=

C' ( x )cos x+C( x )sin xcos2 x

.

Подставляя в исходное уравнение, получаем:

[C' ( x )cos x+C( x )sin x ]⋅cos xcos2 x

−C ( x )sin xcos x

=sin x ;

C' ( x )cos xcos x

=sin x ; C ' x )=sin x ; C ( x )=∫sin xdx=−cos x+C ;

Итого y=−cos x+C

cos x;

y= Ccos x

−1 ;

С учетом начального условия у(0) = 0 получаем y= 1

cos x−1 ;

Как видно результаты, полученные при решении данного дифференциального уравнения различными способами, совпадают.

При решении дифференциальных уравнений бывает возможно выбирать метод решения, исходя из сложности преобразований.

36

Пример. Решить уравнение y '+ y cos x=1

2sin 2 x

с начальным условием у(0) = 0.

Это линейное неоднородное уравнение. Решим соответствующее ему однородное уравнение.

y '+ y cos x=0 ; dyy=−cos xdx ; ln|y|=−sin x+C1 ;

y=e−sin x⋅eC1 ; y=Ce−sin x ;

Для линейного неоднородного уравнения общее решение будет иметь вид:y=C ( x )e−sin x ;

Для определения функции С(х) найдем производную функции у и подставим ее в исходное дифференциальное уравнение.

y '=C '( x )e−sin x−C ( x )e−sin x cos x ;C '( x )e−sin x−C ( x )e−sin x cos x+C( x )e−sin x cos x=sin xcos x ;

C '( x )e−sin x=sin x cos x; C ' ( x )=esin x sin x cos x ;

С ( x )=∫esin xsin x cos xdx=¿ {V=esin x ; dU=cos xdx; ¿}¿ {}=esin x sin x−∫ esin x cos xdx==e sin x sin x−esin x+C .

Итого y=e−sin x (esin xsin x−esin x+C ) ; y=sin x−1+Ce−sin x ;

Проверим полученное общее решение подстановкой в исходное дифференциальное уравнение.

cos x+Ce−sin x(−cos x )+sin x cos x−cos x+Ce−sin x cos x=sin x cos x ; (верно)

Найдем частное решение при у(0) = 0.0=sin 0−1+Ce0 ; C=1 .

Окончательно y=sin x+e−sin x−1 .Пример. Найти решение дифференциального уравнения

20 xdx−3 ydy=3 x2 ydy−5 xy 2 dxс начальным условием у(1) = 1.

Это уравнение может быть преобразовано и представлено как уравнение с разделенными переменными.

20 x−3 y y '=3 x2 y y '−5 xy2 ; 3 y y ' ( x2+1)=5 x ( y2+4 ) ;

y ' 3 yy2+4

= 5 xx2+1

; 3 yy2+4

dy= 5 xx2+1

dx ;

∫ 3 yy2+4

dy=∫ 5 xx2+1

dx ;

32

ln ( y2+4 )=52

ln ( x2+1 )+ ln C1

37

( y2+4 )3=C⋅( x2+1)5 ; y2+4=C⋅3√( x2+1 )2 ;

y2=C( x2+1)53−4 ;

y=√C ( x2+1)53−4 ;

С учетом начального условия:

1=√С⋅253−4=√С 3√32−4 ; 1=2C 3√4−4 ; 5=2 C 3√4 ; 125=8C3⋅4 ; C3=125

32;

C= 52 3√4

.

Окончательно y=√5( x2+1

2 )53−4 .

Пример. Решить дифференциальное уравнение x y '+ y=x+1 с начальным условием у(1) = 0.

Это линейное неоднородное уравнение.Решим соответствующее ему однородное уравнение.

x y '+ y=0 ; xdydx

=− y ; dyy=−dx

x; ln|y|=− ln|x|+ ln C ;

xy=C ; y=Cx

;

Решение неоднородного уравнения будет иметь вид:

y=C ( x )x

;

Подставим в исходное уравнение:

x C '( x ) x−C ( x )x2 +

C( x )x

=x+1 ; C' ( x ) xx

=x+1 ; C' ( x )=x+1 ;

C ( x )= x2

2+x+C ;

Общее решение будет иметь вид: y= x

2+1+C

x;

C учетом начального условия у(1) = 0: 0=1

2+1+C ; C=−3

2;

Частное решение: y= x

2− 3

2 x+1 ;

38

Пример. Найти решение дифференциального уравнения x y '= y ln ( y

x ) с начальным условием у(1) = е.

Это уравнение может быть приведено к виду уравнения с разделяющимися переменными с помощью замены переменных.

Обозначим: ln ( y

x )=u ; yx=eu ; y=xeu ; y '=x u' eu+eu ;

Уравнение принимает вид:xu ' eu+eu=eu u; xu '+1=u; xu'=u−1 ;

Получили уравнение с разделяющимися переменными.

x dudx

=u−1 ; duu−1

= dxx

;

∫ duu−1

=∫ dxx

; ln|u−1|=ln|x|+ lnC ; u−1=Cx ;

Сделаем обратную замену: Cx=ln ( y

x )−1; ln ( yx )=Cx+1 ; y

x=eCx+1 ;

Общее решение: y=xeCx+1 ;

C учетом начального условия у(1) = е: e=eC+1 ; C=0;Частное решение: y=ex;

Второй способ решения.

x y '= y ln yx

;

x y '= y ln y− y ln x ;

y '−yx

ln y=− yx

ln x ;

Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Соответствующее однородное:

y '− yx

ln y=0;

y '= yx

ln y ; dyy ln y

=dxx

; ∫ d ( ln y )ln y

=∫ dxx

;

ln|ln y|=ln|x|+ lnC ; ln y=Cx ; y=eCx ;

Решение исходного уравнения ищем в виде: y=eC (x ) x ;

Тогда y '=eC( x )x (C '( x ) x+C( x )) ;Подставим полученные результаты в исходное уравнение:

xeC( x ) x (C' ( x ) x+C ( x ))=eC (x )x ln eC(x ) x

x;

39

x2C' ( x )+xC ( x )=C ( x )x−ln x ;

x2C' ( x )=−ln x ; C ' ( x )=− ln xx2

;

C ( x )=−∫ ln xx2 dx=¿ {u= ln x ; dv=dx

x2 ; ¿}¿{}=−[−ln xx −∫−dx

x2 ]=ln xx +

1x +C ;

y=eC (x )x=e ln x+1+Cx=xeCx+1 ;

Получаем общее решение: y=xeCx+1 ;

Пример. Решить дифференциальное уравнение y '+e

yx− y

x=0

с начальным условием у(1)=0.

В этом уравнении также удобно применить замену переменных.

eyx=u; y

x=ln u ; y=x ln u ; y '= lnu+ xu '

u;

Уравнение принимает вид: ln u+ xu'

u+u− lnu=0 ; x u'+u2=0 ;

xu '=−u2 ; duu2=− dx

x; ∫ du

u2=−∫ dx

x;

1u=ln|x|+ lnC ; 1

u= lnCx ;

Делаем обратную подстановку: e−

yx= lnCx ; − y

x=ln ( lnCx );

Общее решение: y=−x ln( lnCx ) ;

C учетом начального условия у(1) = 0: 0=−ln( lnC ) ; C=e ;

Частное решение: y=−x ln( ln ex ) ;Второй способ решения.

y '+eyx− y

x=0

Замена переменной: u= y

x; y=ux ; y '=u' x+u ;

u' x+u+eu−u=0u' x+eu=0dudx

x=−eu

−e−u du=dxx

40

−∫e−u du=∫ dxx

;

e−u=ln|x|+ lnC ; e−u=ln|Cx|;−u=ln ( ln|Cx|); u=−ln ( ln|Cx|);

Общее решение: y=−x ln( lnCx ) ;

41

Задание № 1. Дана функция z=f ( x ; y ). Показать, что

F (x ; y ; z ; ∂ z∂ x

; ∂ z∂ y

; ∂2 z∂ x2 ; ∂

2 z∂ y2 ; ∂2

∂ x∂ y )≡0 .

1.z= y / (x2− y2 ); F= 1

x∂ z∂ x

+ 1y∂ z∂ y

− zy2

.

2.z= y2 /(3 x )+arcsin ( xy ); F=x2 ∂ z

∂ x−xy ∂ z

∂ y+ y2.

3.z=ln ( x2+ y2+2 x+1); F=∂2 z

∂ x2+∂2 z∂ y2 .

4.z=exy ; F=x2 ∂

2 z∂ x2−2 xy ∂2 z

∂ x∂ y+ y2 ∂

2 z∂ y2+2 xyz .

5.z=ln ( x+e− y) ; F=∂ z

∂ x∂2 z

∂ x ∂ y− ∂ z∂ y

∂2 z∂ x2 .

6.z=x / y ; F=x ∂2 z

∂ z ∂ y− ∂ z∂ y

.

7. z=x y ; F= y ∂2 z

∂ x ∂ y−(1+ y ln x ) ∂ z

∂ x.

8. z=xe y / x ; F=x2 ∂

2 z∂ x2+2 xy ∂2 z

∂ x∂ y+ y2 ∂

2 z∂ y2 .

9. z=sin (x+ay ); F= ∂2 z

∂ y2−a2 ∂2 z∂ x2 .

10. z=cos y+( y−x )sin y ; F=( x− y ) ∂2 z

∂ y∂ x− ∂ z∂ y

.

42

Задание № 2Дана функция z=f ( x ; y )и две точки A( x0 ; y0 ) и B( x1 ; y1) . Требуется: 1)

вычислить значение z1 в точке B ; 2) вычислить приближённое значение z1

функции в точке B , исходя из значения z0 функции в точке A и заменив приращение функции при переходе от точки A к B точке дифференциалом; 3) оценить в процентах относительную погрешность, получающуюся при замене приращения функции её дифференциалом; 4) составить уравнение касательной

плоскости z= f ( x ; y )в точкеC ( x0 ; y0; z0 ).

1.z=x2+xy+ y2 ; A (1 ; 2) , B(1 ,02 ; 1 , 96) .

2.z=3 x2−xy+ x+ y ; A (1 ; 3 ) , B (1 , 06 ; 2 ,92) .

3.z=x2+3 xy−6 y ; A (4 ;1 ) , B(3 ,96 ; 1 , 03 ).

4.z=x2− y2+6 x+3 y ; A (2 ; 3) , B(2 , 02; 2 ,97 ).

5.z=x2+2 xy+3 y2 ; A (2 ;1) , B(1 , 96 ; 1 ,04 ) .

6. z=x2+ y2+2 x+ y−1; A (2; 4 ) , B(1 , 98 ; 3 , 91) .

7. z=3 x2+2 y2−xy; A (−1;3 ) , B(−0 ,98 ; 2 , 97 ).

8. z=x2− y2+5 x+4 y ; A (3;2 ) , B (3 ,05 ; 1 , 98 ).

9. z=2 xy+3 y2−5 x ; A(3 ; 4 ), B(3 , 04 ; 3 , 95 ).

10. z=xy+2 y2−2x ; A(1 ;2) , B(0 , 97 ; 2 ,03) .

Задание № 3. Найти наименьшее и наибольшее значения функции z=f ( x ; y )в замкнутой области D , заданной системой неравенств. Сделать чертёж.

1. z=x2+ y2−9 xy+27 ; 0≤x≤3 , 0≤ y≤3 .

2. z=x2+2 y2+1 ; x≥0 , y≥0 , x+ y≤3 .

3. z=3−2x2−xy− y 2 ; x≤1 , y≥0 , y≤x .

4. z=x2+3 y2+ x− y ; x≥1 , y≥−1 , x+ y≤1 .

5. z=x22 xy+2 y2 ; −1≤x≤1,0≤ y≤2 .

6. z=5 x2−3 xy+ y2+4 ; x≥−1 , y≥−1 , x+ y≤1.

7. z=10+2 xy−x2 ; 0≤ y≤4−x2 .

8. z=x2+2 xy− y2+4 x ; x≤0; y≤0 , x+ y+2 y≥0.

9. z=x2+xy−2; 4 x2−4≤ y≤0 .

10. z=x2+xy ; −1≤x≤1,0≤ y≤3 .

Задание № 4 Исследовать функцию на экстремум.

1.

2.

),( yxfz

68236 22 xxyyz

168 33 xyyxz

43

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Задание № 5 Экспериментально получены пять значений функции при пяти значениях аргумента, записаны в таблице:

x 1 2 3 4 5y

Методом наименьших квадратов найти функцию вида , выражающую приближенно (аппроксимирующую) функцию . Сделать чертеж, на котором в декартовом прямоугольной системе координат построить экспериментальные точки и график аппроксимирующей функции .

1. y| |

2. y| |

3. y| |

4. y| |

5. y| |

6. y| |

7. y| |

8. y| |

9. y| |

10. y| |

xyyxz 323

yxxyz 242

82222 yxyxz

2263 yxyxyxz

206922 yxyxyxz

10232 22 yxxyz

2223 52 yxxyxz

106922 yxyxyxz

44

Дифференциальные уравненияЗадача 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения. (Ответ

представить в виде .)

1.1.

1.2.

1.3.

1.4.

1.5.

1.6.

1.7.

1.8.

1.9.

1.10.

1.11.

1.12.

1.13.

1.14.

1.15.

1.16.

1.17.

45

1.18.

1.19.

1.20.

Задача 2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

2.1. 2.2.

2.3. 2.4.

2.5. 2.6.

2.7. 2.8.

2.9. 2.10.

2.11. 2.12.

2.13. 2.14.

2.15. 2.16.

2.17. 2.18.

2.19. 2.20.

Задача 3. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

46

3.1. 3.2.

3.3. 3.4.

3.5. 3.6.

3.7. 3.8.

3.9. 3.10.

3.11. 3.12.

3.13. 3.14.

3.15. 3.16.

3.17. 3.18.

3.19. 3.20.

Задача 4. Найти решение задачи Коши.

4.1.

4.2.

4.3.

4.4.

47

4.5.

4.6.

4.7.

4.8.

4.9.

4.10.

4.11.

4.12.

4.13.

4.14.

4.15.

4.16.

4.17.

4.18.

48

4.19.

4.20.

Задача 6. Найти решение задачи Коши.

6.1.

6.2.

6.3.

6.4.

6.5.

6.6.

6.7.

6.8.

6.9.

6.10.

6.11.

6.12.

6.13.

6.14.

6.15.

6.16.

6.17.

49

6.18.

6.19.

6.20.

Задача 7. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

7.1.

7.2.

7.3.

7.4.

7.5.

7.6.

7.7.

7.8.

7.9.

7.10.

7.11.

7.12.

50

7.13. 7.14.

7.15. 7.16.

7.17.

7.18. 7.19.

7.20.

7.21.

Задача 11. Найти решение задачи Коши.

11.1.

11.2.

11.3.

11.4.

11.5.

11.6.

11.7.

11.8.

11.9.

11.10.

51

11.11.

11.12.

11.13.

11.14.

11.15.

11.16.

11.17.

11.18.

11.19.

11.20.

11.21.

Задача 12. Найти общее решение дифференциального уравнения.

12.1.

12.2.

12.3.

12.4.

12.5.

12.6.

12.7.

12.8.

12.9.

52

12.10.

12.11.

12.12.

12.13.

12.14.

12.15.

12.16.

12.17.

12.18.

12.19.

12.20.

Задача 13. Найти общее решение дифференциального уравнения.

13.1.

13.2.

13.3.

13.4.

13.5.

13.6.

13.7.

13.8.

13.9.

13.10.

53

13.11.

13.12.

13.13.

13.14.

13.15.

13.16.

13.17.

13.18.

13.19.

13.20.

13.21.

13.22.

13.23.

13.24.

13.25.

13.26.

13.27.

13.28.

13.29.

13.30.

13.31.

54

Задача 14. Найти общее решение дифференциального уравнения.

14.1.

14.2.

14.3.

14.4.

14.5.

14.6.

14.7.

14.8.

14.9.

14.10.

14.11.

14.12.

14.13.

14.14.

14.15.

14.16.

14.17.

14.18.

14.19.

14.20.

55

ЛИТЕРАТУРА

1. Высшая математика для экономистов: Учебник / Под ред. профессора Н. Ш.

Кремера. - М.: Банки и биржи, 1998. - 465 с.

2. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник/Под ред. В. И.

Ермакова. - М.: ИНФРА- М, 1999. - 656 с.

3. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие/Под

ред. В.И. Ермакова. - М.: ИНФРА - М, 2001. - 575 с.

56