Министерство образования и...

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«Нижневартовский государственный университет»

Факультет искусств и дизайна

УТВЕРЖДАЮ Декан факультета

_________________/А.А.Павловская/

(подпись) (Ф.И.О.)

«21» марта 2018 г.

Рабочая программа дисциплины

Б1.Б.7 МАТЕМАТИКА

Вид образования: Профессиональное образование

Уровень образования: Высшее образование бакалавриат

Квалификация выпускника: Бакалавр

Направление подготовки: 07.03.01 Архитектура

Направленность (профиль)

образовательной программы:

Архитектурное проектирование

Тип образовательной программы: Программа прикладного бакалавриата

Форма обучения: очная

Номер внутривузовской регистрации


07.03.01(101)-18-О

Нижневартовск

2018 г.

1. Цели и задачи освоения дисциплины:

- систематизация знаний о возникновении, настоящем состоянии и будущих тенденциях

развития высшей математики и ее практических приложений в строительстве и архитектуре,

- формирование у студентов основ математической культуры будущих специалистов,

которая является составляющей общечеловеческой культуры, а также выработка у студентов

знаний и умений логически мыслить, оперировать с абстрактными объектами и корректно

использовать математические понятия и методы в профессиональной деятельности. Задачи

курса

- накопление необходимого запаса сведений по математике (основные определения,

теоремы, правила), а также освоение математического аппарата, помогающего моделировать,

анализировать и решать практические задачи с использованием компьютерной техники и

информационных технологий;

- помощь в усвоении математических методов и моделей, дающих возможность изучать и

прогнозировать процессы и явления в ареале будущей деятельности студентов как

специалистов;

- развитие логического и алгоритмического мышления, способствование формированию

умений и навыков самостоятельного анализа исследования строительных, архитектурных и

других естественнонаучных проблем, а также развитие стремления к научному поиску путей

совершенствования своей работы.

2. Место дисциплины в структуре ОПОП бакалавриата

Данная дисциплина относится к базовой части. Для ее успешного изучения достаточно

знаний и умений, приобретенных в средней школе по дисциплинам «Алгебра», «Начала

анализа» и «Геометрия».

Освоение знаний по дисциплине необходимо для последующего изучения дисциплин

профессионального цикла по профилю данного направления.

3. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине.

3.1. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины

(модуля) согласно матрице соответствия компетенций и составляющих ОПОП:

ОК-1 - владеть культурой мышления, способностью к обобщению, анализу, восприятию

информации, постановке цели и выбору путей ее достижения;

ОК-11 - использовать основные законы естественнонаучных дисциплин в

профессиональной деятельности, применять методы анализа и моделирования,

теоретического и экспериментального исследования.

3.2. Планируемые результаты обучения по дисциплине (модулю), соотнесенные с

формируемыми компетенциями.

В результате освоения дисциплины обучающийся должен:

знать:

основные понятия, формулы и теоремы элементарной математики;

типовые методы и модели высшей математики, применяемые в архитектуре;

известную и новую литературу по методике научного исследования в области

архитектуры;

новейшие информационно-коммуникационные технологии;

уметь:

применять полученные математические знания в теоретических исследованиях и научной

работе;

применять полученные математические знания в практической работе, в т.ч. в

экспериментальных исследований в области архитектуры;

применять полученные математические знания и знания по информационным

технологиям в теоретических исследованиях и научной работе;

владеть:

информационными технологиями в научной деятельности;

современным инструментарием для совершенствования профессиональной деятельности;

методологией теоретических и экспериментальных исследований в области архитектуры;

информационно-коммуникационными технологиями в научной и практической

деятельности;

современным математическим инструментарием для совершенствования

профессиональной деятельности;

культурой научного исследования в области архитектуры, в т.ч. с использованием

новейших информационно-коммуникационных технологий.

4. Структура и содержание дисциплины (модуля)

Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетных единицы 108 часов.

4.1. Объем дисциплины и виды учебной работы:

Вид учебной деятельности Всего часов Семестры

1

Аудиторные занятия (всего) 30 30

В том числе:

Лекции 12 18

Практические занятия (ПЗ) 18 18

Лабораторные работы (ЛР)

Самостоятельная работа (всего) 78 78

Вид аттестации

(зачет, экзамен)

экзамен

Общая трудоемкость (часы)

108 108

Зачетные единицы 3 3

4.2. Разделы дисциплины и виды учебной работы

№

п/

п

Раздел

Дисциплины

Виды учебной работы, включая

самостоятельную работу

студентов и трудоемкость

Формы текущего

контроля

успеваемости (по

неделям семестра)

Форма

промежуточной

аттестации (по

семестрам)

Лек

ци

и

Сем

ин

ар

ски

е и

ла

бо

ра

тор

ны

е

зан

яти

я

Ку

рсо

вой

пр

оек

т

Са

мо

стоя

тел

ьн

ая

ра

бо

та

1 Тема 1. Линейная и векторная

алгебра.

1 3 12 Выступления на

семинаре.

Конспект.

Домашняя работа.

2 Тема 2. Аналитическая

геометрия

1 3 - 14 Выступления на

семинаре.

Конспект.


3 Тема 3. Введение в анализ. 2 3 - 12 Выступления на

семинаре.

Конспект.


4 Тема 4. Дифференциальное

исчисление.


семинаре.

Конспект.


5 Тема 5. Функции многих

переменных.


семинаре.

Реферат. Контрольная

работа.

6 Тема 6. Интегральное

исчисление.


семинаре.

Конспект.


Итог 14 18 - 78 Экзамен

4.3. Содержание учебного материала по разделам (темам)

Тема 1. Линейная и векторная алгебра.

1. Понятие матрицы. Линейные операции над матрицами. Произведение матриц.

Свойства операций сложения и произведения матриц.

2. Определители и их свойства. Правило Крамера решения систем линейных уравнений.

3. Миноры и алгебраические дополнения. Единичная и обратная матрицы. Методы

решений систем линейных уравнений: метод обратной матрицы, метод Гаусса.

4. Векторы и линейные операции над ними. Скалярное произведение. Длина вектора.

Прямоугольная система координат на плоскости и в трехмерном пространстве. Разложение

вектора по координатным ортам. Угол между векторами. Условия коллинеарности и

перпендикулярности векторов.

5. Векторное и смешанное произведения векторов, их геометрический смысл. N-мерные

векторы, линейная зависимость векторов, базис векторного пространства.

Тема 2. Аналитическая геометрия 6. Прямая на плоскости. Описание прямой, проходящей через заданную точку и с

заданным наклоном. Прямая, проходящая через две точки. Общее уравнение прямой на

плоскости. Условие параллельности и перпендикулярности прямых. Уравнение прямой в

отрезках. Расстояние от точки до прямой.

7. Плоскости и прямые в трехмерном пространстве. Векторное описание плоскости,

проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору. Общее уравнение

плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

8. Общее описание прямой в пространстве. Канонические уравнения прямой. Взаимное

расположение прямых и плоскостей в пространстве и их аналитическая характеристика.

9. Кривые на плоскости. Геометрические объекты второго порядка (эллипс, гипербола,

парабола). Специальные кривые (кардиоиды, лемнискаты, циклоиды…).

10. Поверхности в пространстве. Геометрические объекты второго порядка (эллипсоид,

гиперболоид, параболоид).

Тема 3. Введение в анализ.

11. Числовые функции. Их способы задания и классификация.

12. Предел числовой последовательности. Предельный переход в арифметических

операциях и неравенствах. Признаки существования предела для промежуточных и

монотонных последовательностей. Число е.

13. Два равносильных определения предела числовой функции в точке. Арифметические

свойства операции предельного перехода. Замечательные пределы. Сравнение функций.

14. Непрерывные функции. Непрерывность основных элементарных функций. Точки

разрыва и их классификация. Теоремы об экстремальных и промежуточных значениях

непрерывных функций.

Тема 4. Дифференциальное исчисление.

15. Три основных понятия дифференциального исчисления функции одного переменного

(производная, дифференцируемость, дифференциал) и их интерпретации в физике,

геометрии, экономике и др.

16. Формулы дифференцирования арифметических операций, сложной и обратной

функций.

17. Производные и дифференциал высших порядков. Формула Тейлора.

18. Основные теоремы дифференциального исчисления (Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши).

19. Приложение дифференциального исчисления к исследованию качественных свойств

числовых функций.

20. Асимптоты графика функции. Правило Лопиталя. Схема исследования функций.

Тема 5. Функции многих переменных.

21. Функции многих переменных. Понятие их предела и непрерывности. Частные

производные, дифференцируемость и дифференциал. Высшее дифференцирование.

Формулы дифференцирования неявных функций.

22. Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции многих

переменных.

23. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.

Тема 6. Интегральное исчисление.

24. Первообразная и неопределенный интеграл. Простейшие свойства неопределенного

интегрирования. Таблица интегралов.

25. Методы замены переменного и интегрирования по частям. Интегрирование

рациональных и иррациональных функций.

26. Определённый интеграл и его свойства. Теорема о среднем значении. Интеграл с

переменным верхним пределом. Условия его непрерывности и дифференцируемости.

Формула Ньютона-Лейбница.

27. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.

Несобственные интегралы. Приложения определенного интеграла.

5. Образовательные технологии

Технологии: проблемное обучение, проектная технология, рейтинговая технология.

Методы: дискуссия, групповая работа, решение нестандартных задач, аудиторные

индивидуальные задания, внеаудиторные индивидуальные задания.

При освоении разделов дисциплины используется сочетание видов образовательной

деятельности – лекция, лабораторная работа, самостоятельная работа – с различными

методами ее активизации.

Методы активного обучения Лекция Семинар Самостоятельная

работа

IT-методы + + +

Работа в команде + +

Проблемное обучение + +

Контекстное обучение + +

Обучение на основе опыта + +

Индивидуальное обучение +

Междисциплинарное обучение + + +

Опережающее обучение +

От общего количества аудиторных занятий доля лекционных занятий составляет не более

40%, а доля интерактивных – не менее 60%.

6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов.

(см. Приложение 1).

(см. Приложение 2).

7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля)

7.1. Основная и дополнительная литература

Распределение

учебных изданий**

(включая учебники и

учебные пособия): О -

Основное /

Д - Дополнительное

(О / Д)

Автор, название,

издательство, год

издания учебной и

учебно-методической

литературы

Год

издания

Форма

издания:

печатное /

электронное

Места хранения

(печатные

издания) / Ссылка

на ресурс

(электронные

издания)

1 2 3 4 5

О Кузнецов Б.Т.

Математика

[Электронный ресурс]:

учебник/ Кузнецов

Б.Т.— Электрон.

текстовые данные. —

М.: ЮНИТИ-ДАНА,

2012. — 719 c.

2012 электронное http://www.iprbooks

hop.ru/8092

Д Карпов В.В.

Математическое

моделирование и

расчет элементов

строительных

конструкций


учебное пособие/

Карпов В.В., Панин

А.Н.— Электрон.

текстовые данные. —

СПб.: Санкт-

Петербургский

государственный

архитектурно-

строительный

университет, ЭБС

АСВ, 2013. — 176 c.


hop.ru/19335

Д Светлов В.А.

Философия

математики



Светлов В.А.—

Электрон. текстовые

данные. — Саратов:

Ай Пи Эр Медиа,

2012. — 109 c.


hop.ru/8250

Д Бугров Я.С. Сборник

задач по высшей

математике



Бугров Я.С.,


hop.ru/24967

Никольский С.М.—

Электрон. текстовые

данные. — М.:

ФИЗМАТЛИТ, 2001.

— 301 c.

7.2. Программное обеспечение и Интернет-ресурсы № Наименование

используемого

программного

обеспечения

Документы, подтверждающие право использования

программного обеспечения

1. 7-Zip Лицензия GNU v.3. Бесплатное ПО

2. Abbyy FineReader 10 Счет-фактура № Tr019369 от 09.06.2010 ЗАО "СофтЛайн Трейд"

3. Adobe Reader Лицензия Adobe Systems. Бесплатное ПО.

4. Google Chrome Лицензия Google. Бесплатное ПО.

5. Интернет Цензор Лицензия ООО "Интернет Цензор". Бесплатное ПО.

6. Mozilla FireFox Лицензия Mozilla Corporation. Бесплатное ПО.

7. MS Office 2010 Лицензии Майкрософт №№: 60339642, 60339642, 60497930,

60497930, 60905228, 60905228, 61308389, 61308389, 62181716,

62181716, 48976042, 48976042

8. MS Windows 7 Proffesional Академическая подписка Майкрософт DreamSpark Premium,

Идентификаторы подписок: ИиМПИ 700585848, ФИиД

1204009385, ФДО 1204009382, ФКиС 1204009383, ФФКиС

1204009384, ГФ: 1204009385

9. Антивирус касперского 10 Лицензия № 1B52-140423-093000

10. Opera Лицензия Opera Software. Бесплатное ПО.

11. PTC Mathcad Счет-фактура № Tr019369 от 09.06.2010 ЗАО "СофтЛайн Трейд"

8. Материально-техническое обеспечение дисциплины

Номер

аудито

рии

Наименование оборудованных

учебных кабинетов, объектов для

проведения практических

занятий, объектов физической

культуры и спорта с перечнем

основного оборудования

Адрес (местоположение)

учебных кабинетов,

объектов для проведения

практических занятий,

объектов физической

культуры и спорта (с

указанием номера

помещения в соответствии

с документами бюро

технической

инвентаризации)

Собственность

или иное

вещное право

(оперативное

управление,

хозяйственное

ведение),

аренда,

субаренда,

безвозмездное

пользование

Документ -

основание

возникновен

ия права

(указываютс

я реквизиты

и сроки

действия)

404 Доска меловая аудиторная – 1шт

Стол студенческий 2-х местный 25

шт

Стул ученический 6 ростовой

группы - 57шт

Шкаф лабораторный пристенный

секционный - 5шт

Шкаф для учебных пособий – 3шт

Стол демонстрационный – 1шт

Стол преподавателя - 3шт

628611, Тюменская область,

Ханты-Мансийский

автономный округ -Югра,

город Нижневартовск, улица

Дзержинского, д. 11,

четвертый этаж , помещение

50.

Оперативное

управление

Свидетельств

о о

государствен

ной

регистрации

права

оперативного

управления

№86-АБ

708564 от

Стул офисный поворотный - 1шт

Системный блок ICL-КПО RAY

MidiTower/Intel Pentium

D930/2x2Mb L2 -Cache/800MHz FS

– 1шт

Доска интерактивная PS S080

IQBoard - 1шт

Проектор Optoma "EX605ST" - 1шт

Кабель видео D-SUB – 1шт

Кабель питания Euro. 15 м – 1шт

Стенд-планшет 0.55х2.4(полистирол

3 мм.Нильсен)-1шт

Стенды по алгебре-1шт

11.11.2013г.

Срок

действия –

бессрочно.

Рабочая программа составлена на основании федерального государственного

образовательного стандарта высшего образования (специальности) 07.03.01 «Архитектура»,

утвержденного приказом Министерства образования и науки Российской Федерации №463

от «21» апреля 2016 г.

Составитель рабочей программы: Абрамова Нина Васильевна, доцент кафедры

информатики и методики преподавания информатики

Рабочая программа одобрена на заседании кафедры Архитектуры, дизайна и декоративного

искусства

Протокол № 3 от «01» марта 2018 г.

Заведующий кафедрой ____ ________/Кравченко С.Н./ (подпись) (Ф.И.О.)

Дополнения и изменения

в рабочей программе дисциплины на 20__/20__ учебный год

В рабочую программу вносятся следующие изменения:

1) …………………………………..;

2) …………………………………...

Рабочая программа пересмотрена на заседании кафедры ____________________

Протокол № ____ от «____» _____________ 20___ г.

Заведующий кафедрой _________________ /_______________/ (подпись) (Ф.И.О.)

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«Нижневартовский государственный университет»

Кафедра архитектуры, дизайна и декоративного искусства

Фонд оценочных средств дисциплины

Б1.Б.7 МАТЕМАТИКА

1 курс, 1 семестр

Вид образования: Профессиональное образование

Уровень образования: Высшее образование бакалавриат

Квалификация выпускника: Бакалавр

Направление подготовки: 07.03.01 Архитектура

Направленность (профиль)


Архитектурное проектирование

Тип образовательной программы: Программа прикладного бакалавриата

Форма обучения: очная

Срок освоения образовательной

программы:

5 лет

Номер внутривузовской регистрации


07.03.01(101)-18-О

г. Нижневартовск

2018 г.

Технологическая карта

Сроки Компет

енции

Наименование оценочного средства с указанием

темы (раздела)

Количество баллов

Минимал

ьное

(порогово

е)

Максимал

ьное

Текущая аттестация

Сентябрь

(1 неделя)

ОПК-1

Конспект лекций,

контрольный опрос,

самостоятельная работа.

1

1

1

1

3

3

Сентябрь

(2 неделя)

ОПК-1

Контрольный опрос,

домашняя работа по теме «Элементы высшей

алгебра».

1

1

1

3

Сентябрь

(3 неделя)

ОПК-1




1

1

1

1

3

3

Сентябрь

(4 неделя)

ОПК-1


домашняя работа «Элементы векторной алгебра».

1

1

1

3

Октябрь

(1 неделя)

ОПК-1




1

1

1

1

3

3

Октябрь

(2 неделя)

ОПК-1


домашняя работа по теме «Аналитическая

геометрия на плоскости».

1

1

1

3

Октябрь

(3 неделя)

ОПК-1




1

1

1

1

3

3

Октябрь

(4 неделя)

ОПК-1


домашняя работа по теме «Аналитическая

геометрия в пространстве».

1

1

1

3

Ноябрь

(1 ноябрь)

ОПК-1




1

1

1

1

3

3

Ноябрь

(2 ноябрь)

ОПК-1


домашняя работа по теме «Элементы теории

пределов».

1

1

1

3

Ноябрь

(3 неделя)

ОПК-1




1

1

1

1

3

3

Ноябрь

(4 неделя)

ОПК-1


домашняя работа по теме «Техника

дифференцирования».

1

1

1

3

Декабрь

(1 неделя)

ОПК-1


домашняя работа по теме «Техника

интегрирования».

1

1

1

3

Декабрь

(2 неделя)

ОПК-1


домашняя работа по теме «Приложения

математического анализа».

1

1

1

3

Декабрь

(3 неделя)

ОПК-1


итоговая контрольная работа

2

4

4

7

Посещение занятий. 15 15

Итого: 55 100

Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной

аттестации по итогам освоения дисциплины.

Данной рабочей программой предусмотрена самостоятельная работа в объеме 78 часов. В

соответствии с Положением о самостоятельной работе студентов в ФБГОУ ВО

«Нижневартовский государственный университет», под самостоятельной работой студентов

(в дальнейшем СРС) понимается «учебная, научно-исследовательская и общественно-

значимая деятельность студентов, направленная на развитие общих и профессиональных

компетенций, которая осуществляется без непосредственного участия преподавателя, хотя и

направляется им».

СРС проводится с целью формирования общекультурных и профессиональных

компетенций, понимаемых как способность применять знания, умения и личностные

качества для успешной деятельности в определенной области, в том числе:

формирования умений по поиску и использованию справочной и специальной

литературы, а также других источников информации;

качественного освоения и систематизации полученных теоретических знаний, их

углубления и расширения по применению на уровне межпредметных связей;

формирования умения применять полученные знания на практике (в

профессиональной деятельности) и закрепления практических умений студентов;

развития познавательных способностей студентов, формирования

самостоятельности мышления;

развития активности студентов, творческой инициативы, самостоятельности,

ответственности и организованности;

формирования способностей к саморазвитию (самопознанию, самоопределению,

самообразованию, самосовершенствованию, самореализации, саморегуляции);

развития научно-исследовательских навыков;

развития навыков межличностных отношений.

Студентам предлагаются следующие формы СРС:

изучение обязательной и дополнительной литературы;

выполнение самостоятельных заданий;

самоконтроль и взаимоконтроль выполненных заданий;

выполнение самостоятельных заданий на лабораторных занятиях;

решение задач;

подготовка ко всем видам контрольных испытаний, в том числе к текущему

контролю успеваемости (в течение семестра), промежуточной аттестации (по окончании

семестра);

подготовка к итоговой государственной аттестации, в том числе подготовка к

государственным экзаменам, выполнение выпускной квалификационной работы;

подготовка к сдаче зачета.

Формы текущего контроля и промежуточной аттестации по итогам освоения

дисциплины

В качестве форм текущей аттестации используются такие формы, как проверка

контрольных работ, решение задач, устные опросы.

Промежуточный контроль имеет форму контрольных работ. Уровень решения задач в

них оценивается как уровень овладения обучающимися знаний по данному предмету.

В соответствии с Положением о бально-рейтинговой системе (БРС) оценки успеваемости

студентов во время последней контрольной недели семестра преподаватель подводит итоги

работы каждого студента и объявляет результаты студентам.

Однако, если студент желает улучшить свой рейтинг по дисциплине, то ему

предоставляется право набрать дополнительные баллы, а именно, пересдать лабораторные

работы, решить задачи, выполнить дополнительные задания и т.п.

Поскольку дисциплина преподается в течение одного семестра, для выставления итоговой

оценки на зачете выводится средний балл по дисциплине. В случае если средний балл

составляет от 40 до 60, студенту предоставляется право сдавать зачет и оценка выставляется

непосредственно по его результатам.

Зачет проводится в устно-письменной форме. Он включает письменную часть – решение

задач по теме. Устная часть оценивает полученные знания по дисциплине путем

собеседования с преподавателем.

Вопросы к экзамену

1) Матрицы. Понятие матрицы. Линейные операции над матрицами и их свойства

2) Произведение матриц. Свойства произведения матриц.

3) Определители и их свойства. Правило Крамера.

4) Единичная и обратная матрицы. Решение СЛАУ матричным методом.

5) Решение СЛАУ методом Гаусса.

6) Решение СЛАУ методом Гаусса-Жордана.

7) Векторы, действия над ними. Координаты вектора (теорема о базисе плоскости).

8) Скалярное произведение векторов. Свойства и геометрические приложения.

9) Расстояние между точками. Деление отрезка в данном отношении.

10) Векторы в пространстве (теорема о базисе пространства).

11) Векторное произведение векторов. Свойства и геометрические приложения.

12) Смешанное произведение векторов. Свойства и геометрические приложения.

13) Прямая на плоскости. Прямая, проходящая через две точки.

14) Описание прямой, проходящей через заданную точку и с заданным угловым

коэффициентом. Условие параллельности и перпендикулярности прямых.

15) Общее уравнение прямой на плоскости. Условие параллельности и

перпендикулярности прямых. Уравнение прямой в отрезках.

16) Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой.

17) Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей в пространстве

18) Линии второго порядка на плоскости и их общее описание.

19) Каноническое уравнение эллипса, геометрическая характеристика, построение.

20) Каноническое уравнение гиперболы, геометрическая характеристика, построение.

21) Каноническое уравнение параболы, геометрическая характеристика, построение.

22) Прямые в трехмерном пространстве.

23) Векторное описание плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно

заданному вектору.

24) Векторное описание плоскости, проходящей через три точки.

25) Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

26) Общее уравнение поверхности. Цилиндрическая поверхность.

27) Эллипсоид, гиперболоид, параболоид, конус

28) Множества и действия над ними.

29) Элементарные функции. Свойства. Графики. Преобразование графиков.

30) Предел функции в точке. Раскрытие неопределенностей.

31) Замечательные пределы.

32) Непрерывность функции в точке.

33) Непрерывность функции на отрезке.

34) Производная функции, её геометрический смысл.

35) Правила дифференцирования. Таблица производных.

36) Основные теоремы дифференциального исчисления (Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши).

37) Исследование функции на монотонность и экстремумы.

38) Нахождение направлений выпуклости и точек перегиба графика функции.

39) Правило Лопиталя.

40) Асимптоты графика функции.

41) Формула Тейлора и ее применение.

42) Функция двух переменных, её область определения и график.

43) Частные производные функции двух переменных.

44) Экстремум функции двух переменных: необходимое условие, достаточное условие

существования.

45) Условный экстремум. Задача Дидоны. Функция Лагранжа.

46) Глобальный экстремум функции двух переменных в замкнутой области.

47) Неопределённый интеграл и его свойства.

48) Таблица неопределённых интегралов.

49) Метод замены переменной в неопределённом интеграле.

50) Формула интегрирования по частям в неопределённом интеграле.

51) Интегрирование рациональных дробей.

52) Интегрирование некоторых трансцендентных функций.

53) Определённый интеграл и его свойства. Формула Ньютона – Лейбница.

54) Геометрические приложения определённого интеграла.

Тесты по математике

1. Вычислить 32

15

a) 13

b) -13

c) 6

2. Указать точку, через которую проходит прямая 2x+3y=24

a) (9, 1)

b) (-9, 2)

c) (9, 2)

3. Найти длину высоты ВD треугольника с вершинами A(-4, -3), В(0, 2), С(1, -3)

a) 3

b) 2

c) 5

4. Найти объем тетраэдра, ограниченного плоскостью 2x-3y+4z=24 и координатными

плоскостями

a) 192

b) 576

c) 24

5. Найти предел функции 2

3lim

2

0

x

x

x

a) 2

3

b) 2

3

с) 3

2

6. Найти производную функции 3

12

xy

a) 39

3 xx

b) 3

x

c) 3

2x

7. Найти первообразную функции xxy )1( 2

a) 13 2 x

b) 22

24 xx

c) 24

24 xx

8. Найти уравнение с угловым коэффициентом и смещением, соответствующее

уравнению прямой 2x+3y=24

a) 82

3 xy

b) 82

3 xy

с) 83

2 xy

9. Найти угол между прямыми x=0 и x=5

a) 2/

b) 0

c) 2/

10. Найти угол между прямыми x=2 и y=3

a) 0

b) 4/

c) 2/

11. Указать пару параллельных прямых

K: y=2x+1 L: 2x+y=3 M: 2x-y=6

a) K, L

b) нет параллельных

с) K, M

12. Указать пару ортогональных прямых

K: y=-x+2 L: 2x+2y=3 M: 3x-3y=5

a) K, M

b) нет ортогональных

с) K, L

13. Указать прямую, параллельную прямой y=-3x+2 и проходящую через точку М(0,

-2)

a) y=-2x-3

b) y=-3x-2

c) y=3x-2

14. Указать прямую, перпендикулярную прямой y=-3x+2 и проходящую через точку

М(0, -2)

a) y=2x-3

b) 23

1 xy

c) 23

1 xy

15. Найти длину высоты ВD треугольника с вершинами

A(-4, -3), В(0, 2), С(1, -3)

a) 3

b) 2

c) 5

16. Указать точку, через которую проходит плоскость 2x-3y+4z=24

a) (8, 0, -2)

b) (0, 8, 2)

c) (8, 0, 2)

17. Указать нормальный вектор плоскости 2x-3y+4z=24

a) (2, 3, 4))

b) (2, -3, 4)

c) (-2, 3, 4)

18. Найти расстояние от начала координат до плоскости 2x-3y+4z=24

a) 29

1

b) 29

24

c) 24

19. Найти уравнение в отрезках, соответствующее уравнению плоскости

2x-3y+4z=24

a) 16812

zyx

b) 11286

zyx

c) 16812

zyx

20. Найти объем тетраэдра, ограниченного плоскостью 2x-3y+4z=24 и координатными

плоскостями

a) 192

b) 576

c) 24

21. Найти угол между плоскостями x=0 и x=5

a) 2

b) 0

c) 2

22. Найти угол между плоскостями x=2 и y=3

a) 0

b) 4

c) 2

23. Указать пару параллельных плоскостей

K: 2x+y-3z=1 L: x+y-3z=3 M: 4x+2y-6z=5

a) K, L

b) нет параллельных

c) K, M

24. Указать пару ортогональных плоскостей

K: x+y-3z=2 L: 3x+z=3 M: 2x-y=5

a) K, M

b) L, M

c) K, L

25. Указать плоскость, параллельную плоскости 3x+y+5z=2 и проходящую через

точку М(0, -1, 1)

a) 3x+y+5z=4

b) 9x+3y-15z=9

c) 3x+3y-15z=-2

26. Указать прямую, перпендикулярную плоскости 3x+2y-z=8 и проходящую через

точку М(0,8,6)

a) 9x+3y-15z=-2

b) 14123

zyx

c) 2123

zyx

27. Найти длину средней линии MN ║ АВ треугольника ABС с вершинами

A(-6, -3, -2), В(0, 3, 2), С(2, -3, -4)

a) 18

b) 21

c) 22

Контрольные задания по математике

1. Разложить вектор X по векторам P, Q, R. Систему решить 1) методом Крамера, 2)

матричным методом, 3) методом Гаусса-Жордана

2. Треугольник АВС задан своими вершинами А, B, C. Найти: 1) уравнения сторон, 2)

внутренние углы треугольника, 3) уравнение и длину высоты из точки А на сторону ВС, 4)

уравнение и длину медианы из точки В на сторону АС, 5) площадь треугольника

3. Тетраэдр АВСD задан своими вершинами А, B, C, D. Найти: 1) уравнения граней,

2) уравнение и длину высоты из точки А на грань BCD, 3) уравнение средней линии грани

АВС, 4) объем тетраэдра

4. Найти пределы функций

5. Исследовать функции и построить графики

6. Найти дифференциалы 1-го и 2-го порядков

7. Отыскать условный экстремум и сделать рисунок

№ Вариант 0

1 X=(1,7,1) P(-1,0,2) Q(0,-2,1) R(3,1,0)

2 A(2,1) B(4,-3) C(-3,0)

3 A(2,1,4) B(-2,1,0) C(0,-3,-5) D(1,0,-3)

4 x

xxx xx

x

x

xx 2

0

2

2)

41(lim)3

2sin

7lim)2

84

2lim)1

5

x

xyxxy

23 4

)246)1

6

yx

xzxyxz

2

4)232)1

22

7 6284622 yxyxyxz


1 X=(4,-3,4) P(0,1,2) Q(1,1,0) R(3,-1,1)

2 A(3,1) B(4,-1) C(-3,5)

3 A(1,1,4) B(-2,3,0) C(0,-3,-1) D(4,0,-3)

4 x

xxx xx

x

x

xx 2

0

2

2)

51(lim)3

2sin

4lim)2

126

23lim)1

5

x

xyxxy

ln)252)1 3

6

yx

xzxyxz

2

4)232)1

22

7 6284622 yxyxyxz


1 X=(-2,2,3) P(-1,0,2) Q(0,-2,1) R(3,1,0)

2 A(3,0) B(4,-2) C(-4,6)

3 A(-1,1,4) B(-1,3,0) C(0,-4,-1) D(4,0,-5)

4 x

xxx xx

x

x

xx 2

0

2

3)

41(lim)3

2sin

6lim)2

62

6lim)1

5

3

1)213)1 23

x

xyxxy

6

yx

xzxyxz

2

4)232)1

22

7 6241062 22 yxyxyxz


1 X=(6,0,6) P(0,1,2) Q(1,1,0) R(3,-1,1)

2 A(3,0) B(4,-1) C(-4,1)

3 A(2,1,5) B(-4,3,0) C(0,-2,-1) D(4,0,-4)

4 x

xxx xx

x

x

xx 3

0

2

4)

21(lim)3

8sin

4lim)2

4

43lim)1

5

x

xyxxy

3)24)1

23

6

yx

xzxyxz

2

4)232)1

22

7 6284622 yxyxyxz

Вариант 4

1 X=(9,-1,2) P(-1,0,2) Q(0,-2,1) R(3,1,0)

2 A(3,-2) B(4,-1) C(-3,6)

3 A(1,-1,4) B(-2,3,0) C(0,-3,1) D(4,0,-2)

4 x

xxx xx

x

x

xx 2

0

2

2)

11(lim)3

2sin

10lim)2

2

23lim)1

5

x

xyxxy

5)252)1

224

6

yx

xzxyxz

2

4)232)1

22

7 628464 22 yxyxyxz

№

Вариант 5

1 X=(4,-3,4) P(0,1,2) Q(1,1,0) R(3,-1,1)

2 A(3,1) B(4,-1) C(-3,5)

3 A(1,1,4) B(-2,3,0) C(0,-3,-1) D(4,0,-3)

4 x

xxx xx

x

x

xx 2

0

2

2)

51(lim)3

2sin

4lim)2

126

23lim)1

5

1

ln)252)1 3

x

xyxxy

6

yx

xzxyxz

2

4)232)1

22

7 6284622 yxyxyxz

№

Вариант 6

1 X=(-5,2,2) P(-1,0,2) Q(0,-2,1) R(3,1,0)

2 A(3,0) B(4,-2) C(-4,6)

3 A(-1,1,4) B(-1,3,0) C(0,-4,-1) D(4,0,-5)

4 x

xxx xx

x

x

xx 2

0

2

3)

41(lim)3

2sin

6lim)2

62

6lim)1

5

3

1)213)1 23

x

xyxxy

6

yx

xzxyxz

2

4)232)1

22

7 6284622 yxyxyxz


1 X=(-5,-7,7) P(-1,0,2) Q(0,-2,1) R(3,1,0)

2 A(3,-2) B(4,-1) C(-3,6)

3 A(1,-1,4) B(-2,3,0) C(0,-3,1) D(4,0,-2)

4 x

xxx xx

x

x

xx 2

0

2

2)

11(lim)3

2sin

10lim)2

2

23lim)1

5

x

xyxxy

5)252)1

224

6

yx

xzxyxz

2

4)232)1

22

7 82104622 yxyxyxz


1 X=(4,-1,-1) P(0,1,2) Q(1,1,0) R(3,-1,1)

2 A(3,0) B(4,-1) C(-4,1)

3 A(2,1,5) B(-4,3,0) C(0,-2,-1) D(4,0,-4)

4 x

xxx xx

x

x

xx 3

0

2

4)

21(lim)3

8sin

4lim)2

4

43lim)1

5

x

xyxxy

3)24)1

23

6

yx

xzxyxz

2

4)232)1

22

7 6284622 yxyxyxz


1 X=(-5,-7,7) P(-1,0,2) Q(0,-2,1) R(3,1,0)

2 A(3,0) B(4,-2) C(-4,6)

3 A(-1,1,4) B(-1,3,0) C(0,-4,-1) D(4,0,-5)

4 x

xxx xx

x

x

xx 2

0

2

3)

41(lim)3

2sin

6lim)2

62

6lim)1

5

3

1)213)1 23

x

xyxxy

6

yx

xzxyxz

2

4)232)1

22

7 6224622 yxyxyxz


1 X=(4,5,2) P(0,1,2) Q(1,1,0) R(3,-1,1)

2 A(3,0) B(4,-2) C(-4,6)

3 A(-1,1,4) B(-1,3,0) C(0,-4,-1) D(4,0,-5)

4 x

xxx xx

x

x

xx 2

0

2

3)

41(lim)3

2sin

6lim)2

62

6lim)1

5

3

1)213)1 23

x

xyxxy

6

yx

xzxyxz

2

4)232)1

22

7 6284622 yxyxyxz


1 X=(-5,-2,11) P(-1,0,2) Q(0,-2,1) R(3,1,0)

2 A(3,0) B(4,-1) C(-4,1)

3 A(2,1,5) B(-4,3,0) C(0,-2,-1) D(4,0,-4)

4 x

xxx xx

x

x

xx 3

0

2

4)

21(lim)3

8sin

4lim)2

4

43lim)1

5

x

xyxxy

3)24)1

23

6

yx

xzxyxz

2

4)232)1

22

7 6864 22 yxyxyxz


1 X=(1,3,4) P(0,1,2) Q(1,1,0) R(3,-1,1)

2 A(3,-2) B(4,-1) C(-3,6)

3 A(1,-1,4) B(-2,3,0) C(0,-3,1) D(4,0,-2)

4 x

xxx xx

x

x

xx 2

0

2

2)

11(lim)3

2sin

10lim)2

2

23lim)1

5

x

xyxxy

5)252)1

224

6

yx

xzxyxz

2

4)232)1

22

7 6284622 yxyxyxz


1 X=(2,1,2) P(-1,0,2) Q(0,-2,1) R(3,1,0)

2 A(3,1) B(4,-1) C(-3,5)

3 A(1,1,4) B(-2,3,0) C(0,-3,-1) D(4,0,-3)

4 x

xxx xx

x

x

xx 2

0

2

2)

51(lim)3

2sin

4lim)2

126

23lim)1

5 xxeyxxy 23 )252)1

6

yx

xzxyxz

2

4)232)1

22

7 6284622 yxyxyxz


1 X=(1,2,2) P(0,1,2) Q(1,1,0) R(3,-1,1)

2 A(3,0) B(4,-2) C(-4,6)

3 A(-1,1,4) B(-1,3,0) C(0,-4,-1) D(4,0,-5)

4 x

xxx xx

x

x

xx 2

0

2

3)

41(lim)3

2sin

6lim)2

62

6lim)1

5

3

1)213)1 23

x

xyxxy

6

yx

xzxyxz

2

4)232)1

22

7 1023462 22 yxyxyxz


1 X=(-5,-7,7) P(-1,0,2) Q(0,-2,1) R(3,1,0)

2 A(3,0) B(4,-1) C(-4,1)

3 A(2,1,5) B(-4,3,0) C(0,-2,-1) D(4,0,-4)

4 x

xxx xx

x

x

xx 3

0

2

4)

21(lim)3

8sin

4lim)2

4

43lim)1

5

x

xyxxy

3)24)1

23

6

yx

xzxyxz

2

4)232)1

22

7 6284622 yxyxyxz


1 X=(4,-3,4) P(0,1,2) Q(1,1,0) R(3,-1,1)

2 A(3,-2) B(4,-1) C(-3,6)

3 A(1,-1,4) B(-2,3,0) C(0,-3,1) D(4,0,-2)

4 x

xxx xx

x

x

xx 2

0

2

2)

11(lim)3

2sin

10lim)2

2

23lim)1

5

x

xyxxy

8)252)1

224

6

yx

xzxyxz

2

4)232)1

22

7 6284622 yxyxyxz


1 X=(2,-1,3) P(-1,0,2) Q(0,-2,1) R(3,1,0)

2 A(3,1) B(4,-1) C(-3,5)

3 A(1,1,4) B(-2,3,0) C(0,-3,-1) D(4,0,-3)

4 x

xxx xx

x

x

xx 2

0

2

2)

51(lim)3

2sin

4lim)2

126

23lim)1

5

x

xyxxy

)3ln()252)1 3

6

yx

xzxyxz

2

4)232)1

22

7 621663 22 yxyxyxz


1 X=(4,1,3) P(0,1,2) Q(1,1,0) R(3,-1,1)

2 A(3,0) B(4,-2) C(-4,6)

3 A(-1,1,4) B(-1,3,0) C(0,-4,-1) D(4,0,-5)

4 x

xxx xx

x

x

xx 2

0

2

3)

41(lim)3

2sin

6lim)2

62

6lim)1

5

3

1)213)1 23

x

xyxxy

6

yx

xzxyxz

2

4)232)1

22

7 622622 yxyxyxz


1 X=(-5,-7,7) P(3,1,0) Q(0,-2,1) R(-1,0,2)

2 A(3,0) B(4,-1) C(-4,1)

3 A(2,1,5) B(-4,3,0) C(0,-2,-1) D(4,0,-4)

4 x

xxx xx

x

x

xx 3

0

2

4)

21(lim)3

8sin

4lim)2

4

43lim)1

5

x

xyxxy

3)24)1

23

6

yx

xzxyxz

2

4)232)1

22

7 6284622 yxyxyxz


1 X=(4,-3,4) P(1,1,0) Q(0,1,2) R(3,-1,1)

2 A(3,-2) B(4,-1) C(-3,6)

3 A(1,-1,4) B(-2,3,0) C(0,-3,1) D(4,0,-2)

4 x

xxx xx

x

x

xx 2

0

2

2)

11(lim)3

2sin

10lim)2

2

23lim)1

5

3

5)252)1

224

x

xyxxy

6

yx

xzxyxz

2

4)232)1

22

7 6284622 yxyxyxz


1 X=(-5,7-,7) P(0,1,-2) Q(3,0,1) R(-1,2,0)

2 A(3,1) B(4,-1) C(-3,5)

3 A(1,1,4) B(-2,3,0) C(0,-3,-1) D(4,0,-3)

4 x

xxx xx

x

x

xx 2

0

2

2)

51(lim)3

2sin

4lim)2

126

23lim)1

5

3

ln)252)1 3

x

xyxxy

6

yx

xzxyxz

2

4)232)1

22

7 2463 22 yxyxyxz


1 X=(-3,4,4) P(1,0,2) Q(1,1,0) R(-1,3,1)

2 A(3,0) B(4,-2) C(-4,6)

3 A(-1,1,4) B(-1,3,0) C(0,-4,-1) D(4,0,-5)

4 x

xxx xx

x

x

xx 2

0

2

3)

41(lim)3

2sin

6lim)2

62

6lim)1

5

3

3)213)1 23

x

xyxxy

6

yx

xzxyxz

2

4)232)1

22

7 6284622 yxyxyxz


1 X=(-7,-5,7) P(0,-1,2) Q(-2,0,1) R(1,3,0)

2 A(3,0) B(4,-1) C(-4,1)

3 A(2,1,5) B(-4,3,0) C(0,-2,-1) D(4,0,-4)

4 x

xxx xx

x

x

xx 3

0

2

4)

21(lim)3

8sin

4lim)2

4

43lim)1

5

x

xyxxy

3)24)1

23

6

yx

xzxyxz

2

4)232)1

22

7 8284622 yxyxyxz


1 X=(4,-3,4) P(0,1,2) Q(1,1,0) R(3,-1,1)

2 A(3,-2) B(4,-1) C(-3,6)

3 A(1,-1,4) B(-2,3,0) C(0,-3,1) D(4,0,-2)

4 x

xxx xx

x

x

xx 2

0

2

2)

11(lim)3

2sin

10lim)2

2

23lim)1

5

x

xyxxy

5)252)1

224

6

yx

xzxyxz

2

4)232)1

22

7 6284622 yxyxyxz


1 X=(-5,-7,7) P(-1,0,2) Q(0,-2,1) R(3,1,0)

2 A(3,-2) B(4,-1) C(-3,6)

3 A(1,-1,4) B(-2,3,0) C(0,-3,1) D(4,0,-2)

4 x

xxx xx

x

x

xx 2

0

2

2)

11(lim)3

2sin

10lim)2

2

23lim)1

5

5

5)252)1

224

x

xyxxy

6

yx

xzxyxz

2

4)232)1

22

7 3462 22 yxyxyxz


1 X=(5,-3,9) P(3,-1,0) Q(0,-2,1) R(-1,0,-2)

2 A(3,5) B(4,-1) C(-4,2)

3 A(-2,1,5) B(-4,-3,0) C(0,2,-1) D(4,0,6)

4 x

xxx xx

x

x

xx 3

0

2

4)

21(lim)3

8sin

24lim)2

4

43lim)1

5

x

xyxxy

9)26)1

23

6

yx

xzxyxz

2

4)232)1

22

7 6284622 yxyxyxz

Вариант 27

1 X=(4,-3,4) P(0,1,2) Q(1,1,0) R(3,-1,1)

2 A(3,1) B(4,-1) C(-3,5)

3 A(1,1,4) B(-2,3,0) C(0,-3,-1) D(4,0,-3)

4 x

xxx xx

x

x

xx 2

0

2

2)

51(lim)3

2sin

4lim)2

126

23lim)1

5

x

xyxxy

ln)252)1 3

6

yx

xzxyxz

2

4)232)1

22

7 10258462 22 yxyxyxz


1 X=(-2,2,3) P(-1,0,2) Q(0,-2,1) R(3,1,0)

2 A(3,0) B(4,-2) C(-4,6)

3 A(-1,1,4) B(-1,3,0) C(0,-4,-1) D(4,0,-5)

4 x

xxx xx

x

x

xx 2

0

2

3)

41(lim)3

2sin

6lim)2

62

6lim)1

5

3

1)213)1 23

x

xyxxy

6

yx

xzxyxz

2

4)232)1

22

7 6284622 yxyxyxz

Составитель приложения 1: Дмитриев Николай Пименович, доцент кафедры ФМО

Приложение 2.

Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля)

Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний, умений,

навыков, характеризующих этапы формирования компетенций

Текущий контроль осуществляется в форме письменных контрольных работ,

тестирования и проверки домашних заданий.

Промежуточный контроль освоения дисциплины осуществляется в рамках рейтинговой

системы оценки. Экзаменационная оценка студента в рамках балльно-рейтинговой системы

(БРС) является интегрированной оценкой выполнения студентом заданий во время

практических занятий, выполнения домашних заданий, выполнения контрольных работ,

сдачи коллоквиумов и результатов тестирования. Эта оценка характеризует уровень знаний,

умений и навыков, приобретенных студентом в ходе изучения дисциплины.

По дисциплине приняты следующие критерии оценки:

Устные ответы:

- 1 балл выставляется студенту, если он излагает материал на уровне воспроизведения;

- 2 балла выставляется студенту, если он излагает материал на уровне понимания;

- 3 балла выставляется студенту, если он излагает материал на уровне применения

Решение задач:

- 1 балл выставляется студенту, если он знает формулы необходимые для расчета

экономических показателей;

- 2 балла выставляется студенту, если он умеет сделать выбор моделей и формул для

решения поставленной задачи;

- 3 балла выставляется студенту, если он анализирует и интерпретирует полученные

результаты в соответствии с поставленной задачей.

Тесты:

Тест итогового контроля оценивается в 5 баллов (он состоит из теоретических вопросов и

задач).

Доклады:

- 2 балла выставляется студенту, если он сумел подобрать необходимую литературу, но

представляемая информация не систематизирована, не показал достаточно полного владения

используемой терминологией;

- 4 балла выставляется студенту, если он сумел подобрать необходимую литературу,

показал достаточно полное владение используемой терминологией, но представляемая

информация не систематизирована.

- 6 баллов выставляется студенту, если он показал полное владение используемой

терминологией, представляемая информация систематизирована, последовательна и

логически связана, выводы обоснованы.

Контрольные работы:

– каждая оценивается в 3 балла (в соответствии с критериями оценки решения задач).

Максимальная сумма баллов, которую студент может набрать по дисциплине за семестр в

ходе текущего контроля (за три контрольных недели) составляет 100 баллов, которые

переводятся в традиционные оценки, согласно принятой в институте шкале перевода.

Студенты, набравшие по итогам работы в семестре менее 35 баллов, не допускаются к

сдаче экзамена. Для получения допуска они должны добрать недостающее до 35 количество

баллов, выполняя те текущие задания, которые они не выполнили в течение семестра.

Студенты, получившие по итогам работы в семестре не менее 61 балла, получают оценку

за экзамен по дисциплине автоматически в соответствии со шкалой перевода баллов в

оценки, принятой в НВГУ. Студенты, не получившие оценку за экзамен по дисциплине

автоматически, или желающие улучшить полученную оценку, должны сдавать экзамен. В

этом случае экзаменационная оценка студента выставляется в рамках традиционной четырех

бальной системы оценки на основе ответа студента на теоретические вопросы, а также

правильности решения предложенных задач.

Методические указания к выполнению варианта 0 контрольной работы

Задача 1. Разложение вектора X=(1,7,1) по векторам P(-1,0,2), Q(0,-2,1,)

R(3,1,0) имеет вид:

X=άP+βQ+γR

Распишем это векторное уравнение покоординатно, т.е. сначала приравняем абсциссы,

затем ординаты, а потом аппликаты. В результате получим систему трех линейных

алгебраических уравнений с тремя неизвестными ά, β, γ:

)1(

12

72

13

1) Решим систему (1) методом Крамера. Для этого подсчитаем 4 определителя: главный

∆ и 3 вспомогательных ∆ά, ∆β, ∆γ. Напомним, что главный определитель составляется из

коэффициентов при неизвестных ά, β, γ. Вспомогательные определители формируются из

главного заменой соответствующего столбца столбцом свободных членов.

Главный определитель вычислим методом Лапласа с помощью разложения, например,

по первой строке:

)2(1343)1()1(12

203

01

12)1(

012

120

301

Аналогично вычисляются вспомогательные определители.

2693111

273

01

121

011

127

301

39)14(3)2(1)1()1(12

703

02

101

01

17)1(

012

170

311

134)9()1(12

201

11

72)1(

112

720

101

Неизвестные ά, β, γ находятся как отношения соответствующих вспомогательных

определителей к главному:

213

26

313

39

113

13

2) Решим систему (1) матричным методом. Очевидно, что

X=A-1

B,

где A-1

– обратная матрица по отношению к матрице коэффициентов системы, B – столбец

свободных членов.

Найдем обратную матрицу по схеме:

A → A* → (A

*)T → (A

*)T/∆=A

-1

где A – исходная матрица,

A* - присоединенная матрица (состоящая из алгебраических дополнений каждого

элемента исходной матрицы),

(A*)T – транспонированная матрица относительно присоединенной матрицы A

*,

∆ - определитель матрицы А

Напомним, что для нахождения присоединенной матрицы необходимо отыскать

алгебраические дополнения всех элементов исходной матрицы. Алгебраическое дополнение

элемента матрицы – это определитель, получающийся вычеркиванием строки и столбца, на

пересечении которых находится данный элемент. Знак такого определителя меняется на

противоположный, если сумма номеров строки и столбца нечетна.

Алгебраическим дополнением элемента (-1), находящегося на пересечении первой строки

и первого столбца, является определитель

101

1211

A

Алгебраическим дополнением элемента 0, находящегося на пересечении первой строки и

второго столбца, является определитель

202

1012 A

Знак определителя изменен на противоположный, так как 1+2=3 – нечетное число.

Аналогично отыскиваются алгебраические дополнения других элементов исходной

матрицы.

Итак,

216

163

421*A

В результате транспонирования получаем

214

162

631

)( * TA

Определитель исходной матрицы был подсчитан ранее, а именно (см. формулу (2)), ∆=13.

Таким образом,

214

162

631

13

11A

Умножая справа на столбец свободных членов, находим

1

3

2

13

39

26

13

1

1

7

1

214

162

631

13

1

X

или ά=2, β=-3, γ=1.

Решим систему методом Гаусса. Составим расширенную матрицу

1

7

1

012

120

301

A

Пусть разрешающим элементом будет a23=1, а разрешающей строкой – вторая строка. С

помощью выбранной второй строки элементарными преобразованиями исключим

переменную γ, т.е. добьемся того, чтобы все элементы третьего столбца, кроме

разрешающего, оказались равными 0. А именно, если к первой строке добавить вторую,

умноженную на (-3), то получим

1

7

20

012

120

061

A

Пусть теперь разрешающим элементом будет a32=1, а разрешающей строкой – третья

строка. С помощью выбранной третьей строки элементарными преобразованиями исключим

переменную β, т.е. добьемся того, чтобы все элементы второго столбца, кроме

разрешающего, оказались равными 0. А именно, если к первой строке добавить третью,

умноженную на (-6), а ко второй – третью, умноженную на 2, то получим

1

9

26

012

104

0013

A

Сократим все элементы первого столбца на (-13):

1

9

2

012

104

001

A

Выберем в качестве разрешающего элемент a11=1. Прибавим ко второй строке первую,

умноженную на (-4), а к третьей – первую, умноженную на (-2). После такого

преобразования получаем

3

1

2

010

100

001

A

Отсюда снова получаем ά=2, β=-3, γ=1.

Итак, разложение вектора X=(1,7,1) по векторам P(-1,0,2), Q(0,-2,1,) R(3,1,0)

имеет вид:

X=2P-3Q+R

Задача 2. Треугольник АВС задан своими вершинами

А(2,1), B(4,-3), C(-3,0).

1) Найдем уравнение стороны АВ, для чего воспользуемся уравнением прямой,

проходящей через две точки:

AB

A

AB

A

yy

yy

xx

xx

Подставляя координаты точек А и В, получаем уравнение:

13

1

24

2:

yxAB

Итак, каноническое уравнение прямой АВ имеет вид:

4

1

2

2:

yxAB

Приведем это уравнение к общему виду. По правилу пропорции получаем:

-4(x-2)=2(y-1). Раскрывая скобки, приходим к общему уравнению прямой АВ:

2x+y=5

Изолируем y и получим уравнение прямой с угловым коэффициентом:

y=-2x+5

Аналогично находятся уравнения других сторон. Каноническое уравнение прямой ВС:

3

3

7

4:

yxBС

Общее уравнение прямой ВС:

3x+7y+9=0

Уравнение прямой ВС с угловым коэффициентом:

7

9

7

3 xy

Каноническое уравнение прямой АС:

1

1

5

2:

yxАС

Общее уравнение прямой АС:

x-5y+3=0

Уравнение прямой АС с угловым коэффициентом:

5

3

5

1 xy

2) Найдем уравнение и длину высоты AD из точки А на сторону ВС. Из канонического

уравнения стороны ВС получаем направляющий вектор

qВС=(-7, 3)

Этот вектор можно принять в качестве нормального вектора прямой AD:

nAD=(-7, 3)

Следовательно, уравнение прямой AD, проходящей через точку А и имеющей

нормальный вектор nAD, имеет вид:

-7(x-2)+3(y-1)=0

Раскроем скобки и приведем к общему виду:

-7x+3y+11=0

Уравнение медианы AD в явной форме имеет вид:

3

11

3

7 xy

Далее найдем координаты точки D, для чего необходимо совместно решить уравнения

прямой ВС и медианы AD:

1137

973

yx

yx

Решим эту систему методом Гаусса (алгебраического сложения). Умножим первое

уравнение на 7, а второе на 3. После сложения этих уравнений переменная x исключается,

что позволяет найти y. А именно,

y=-48/29

Теперь умножим первое уравнение на -3, а второе на 7. После сложения этих уравнений

переменная y исключается, что позволяет найти x. А именно,

x=25/29

Проверим правильность решения системы линейных уравнений с помощью пакета

символьных преобразований Maple:

> first:=-7*x+3*y=-11:

> second:=3*x+7*y=-9:

> sys:={first,second};

> solve(sys);

Итак, D(25/29, -48/29). Длину медианы AD находим по формуле расстояния между

двумя точками:

828,3)129

48()2

29

25( 22 AD

3) Для вычисления площади треугольника найдем длину стороны ВС:

616,7)30()43( 22 ВС

Тогда площадь треугольника ABC равна

577,14616,7828,35,02

1BCAD

Задача 3. Тетраэдр АВСD задан своими вершинами

А(2,1 4), B(-2,1,0), C(0,-3,-5), D(1,0,-3).

1) Найдем уравнение грани ABC через смешанное произведение векторов AB, AC и AM,

где М(x,y,z) – произвольная точка грани:

0

412

942

404

zyx

Разлагая определитель по третьей строке, получаем

-16(x-2)-28(y-1)+16(z-4)=0

или

ABC: 4x+7y-4z+1=0

Аналогично находятся уравнения других граней.

2) Уравнение средней линии грани АВС будем искать в следующей последовательности:

сначала вычислим координаты точек P, Q – середин сторон АВ и АС. А именно, по

формулам

)(2

1),(

2

1BAPBAP yyyxxx

находим: P(0,1,2). По аналогичным формулам Q(1,-1,-0.5). Уравнение средней линии PQ

запишем в канонической форме:

25.0

2

11

1

01

0

zyx

или

5.2

2

2

1

1

zyx

3) Объем тетраэдра вычислим по формуле

),,(6

1ADACABV

где (AB,AC,AD) – смешанное произведение этих трех векторов. Итак,

333.113

34)24194mod(

6

1

)11

424

71

944mod(

6

1

711

942

404

6

1

V

Задача 4. Найти пределы функций:

x

xxx xx

x

x

xx 2

0

2

2)

41(lim)3

2sin

7lim)2

84

2lim)1

1) Сначала подставим предельную точку x=2: числитель и знаменатель дроби равны

нулю. Значит, мы имеем неопределенность первого типа

0

0. По теореме Виета или через

дискриминант найдем корни квадратичной формы в числителе и разложим ее на линейные

множители:

x2-x-2=(x-2)(x+1)

Теперь предел можно записать так:

4

3)1lim(

4

1

)2(

)1)(2(lim

4

1

84

2lim

2

2

x

x

xx

x

xx

x

2) Воспользуемся таблицей эквивалентных бесконечно малых, а именно,

sin2x~2x

(Это следствие из первого замечательного предела)

Тогда

5.32

7

2

7lim

2sin

7lim

0

x

x

x

x

x

Решим эту же задачу по правилу Лопиталя. Напомним, что по этому правилу отношение

дифференцируемых бесконечно малых можно заменить отношением их производных. Тогда

4

3

4

12lim

84

2lim

2

2

x

x

xx

x

3) Сделаем следующие преобразования:

xx

x xx

22 )

4

11lim()

41(lim

Обозначим v=x/4 и снова воспользуемся таблицей эквивалентных бесконечно малых, а

именно,

ev

v

v

)

11(lim

(Это второй замечательный предел).

Тогда

8/8)/2(22 lim)1

1lim()1

1lim()4

1(lim eevvx

xxvxvxx

x

Задача 5. Исследовать функции и построить графики

x

xyxxy

23 4

)246)1

Исследование функций проведем по следующей схеме:

А) общие характеристики

область определения

нули

четность

периодичность

особые точки

асимптоты

В) дифференциальные характеристики

монотонность

экстремумы

выпуклость

перегибы

1) Рассмотрим сначала функцию

область определения – вся числовая прямая: D(y)=R

нули – точки, в которых значение функции равно нулю. Очевидно, что один корень

x1=2. Разделим (например, уголком) кубическую форму в правой части функции на

линейный множитель (x-2) для отыскания еще двух других корней. Получим

x3-6x+4=(x-2)(x

2+2x-2)

Квадратичная форма x2+2x-2 (по теореме Виета или через дискриминант) имеет два

корня x2=-1-√3, x3=-1+√3. Таким образом,

D0={-1-√3, -1+√3, 2}

Очевидно, что это функция общего вида, т.е. не обладает свойством четности

y(x) = y(-x)

или нечетности

y(x) = - y(-x)

Функция не является периодической, т.е. не найдется такого Т, что

y(x)=y(x+Т)

Особые точки: y(0)=4. Значит, график функции пересекает ось ординат в точке

(0,4).

Вертикальных асимптот нет, так как функция не имеет точек существенного

разрыва (разрыва второго рода) хотя бы с одним односторонним бесконечным пределом.

Убедимся, что нет и наклонных асимптот. Действительно, угловой коэффициент асимптоты

равен

x

xxk

x

46lim

3

Исследуем функцию на монотонность. Для этого вычислим критические точки

первого рода, т.е. точки, в которых производная равна нулю или не существует. Найдем

производную

y’=3x

2-6

и приравняем нулю:

x2-2=0.

Критические точки: -√2, √2. Они делят область определения на три участка

монотонности:

D=(-∞, -√2)U(-√2, √2)U(√2, ∞)

Исследуем направление монотонности с помощью таблицы

x (-∞, -√2) (-√2, √2) (√2, ∞)

y’

+ - +

y ↑ ↓ ↑

Итак, участки монотонности:

(-∞, -√2) – участок возрастания функции

(-√2, √2) – участок убывания функции

(√2, ∞) - участок возрастания функции

Из таблицы легко определить точки экстремума. А именно, x=-√2 – точка локального

максимума функции, а x=√2 – точка локального минимума функции

Исследуем функцию на выпуклость. Для этого вычислим критические точки второго

рода, т.е. точки, в которых производная второго порядка равна нулю или не существует.

Найдем производную второго порядка

y’’=6x

Приравнивая нулю, получаем одну точку x=0. Она делит область определения функции

на два участка:

D=(-∞, 0)U(0, ∞)

Исследуем направление выпуклости с помощью таблицы

x (-∞, 0) (0, ∞)

y’’

- +

y ∩ U

Итак, участки выпуклости:

(-∞, 0) – участок выпуклости вверх

(0, ∞) - участок выпуклости вниз

Из таблицы легко определить точку перегиба. А именно, x=0 – точка перегиба

функции

Используя полученную информацию, построим график заданной функции с помощью

пакета Maple.

plot(x^3-6*x+4,x=-3..3);

2) Рассмотрим теперь функцию x

xy

24

область определения – все точки числовой прямой, за исключением точки x=0:

D(y)=R\{0}

нули – точки, в которых значение функции равно нулю. Приравнивая нулю числитель,

получаем

D0={-2, 2}

Очевидно, что это нечетная функция. В самом деле,

)(4)(4

)(22

xyx

x

x

xxy

Значит, график функции симметричен относительно начала координат.

Функция также не является периодической, т.е. не найдется такого Т, что

y(x)=y(x+Т)

Особые точки: x=0. Найдем односторонние пределы в этой точке:

x

x

x

x

xx

2

00

2

00

4lim,

4lim

Полученные значения односторонних пределов позволяются сделать вывод, что

функция имеет вертикальную асимптоту x=0. Убедимся, что функция имеет и наклонную

асимптоту y=kx+b. Действительно,

14

lim2

2

x

xk

x

Следовательно, y=-x+b. Найдем параметр b.

04

lim)4

(lim2

x

xx

xb

xx

Итак, наклонная асимптота заданной функции такова: y=-x

Исследуем функцию на монотонность. Для этого вычислим критические точки

первого рода. Найдем производную

2

2

2

22

2

'2'2' 442)4()4(

x

x

x

xx

x

xxxxy

Проверим правильность дифференцирования в среде Maple:

> diff((4-x^2)/x,x);

Критическая точка: 0. Она не входит в область определения функции, но является

граничной для нее. Область определения в этом случае естественным образом

представляется объединением двух участков монотонности:

D=(-∞,0)U(0, ∞)

Исследуем направление монотонности с помощью таблицы

x (-∞, 0) (0, ∞)

y’

- -

y ↓ ↓

Итак, участки монотонности:

(-∞, 0) – участок убывания функции

(0, ∞) - участок убывания функции

Из таблицы видно, что экстремумов функция не имеет

Исследуем функцию на выпуклость. Для этого вычислим критические точки второго

рода. Найдем производную второго порядка

34

33

4

'222'2'

2

2'' 8822))(4()4(

)4

(xx

xxx

x

xxxx

x

xy

Проверим правильность дифференцирования в среде Maple:

> diff(-(x^2+4)/(x^2),x);

Критическая точка: x=0. Она делит область определения функции на те же два участка:

D=(-∞, 0)U(0, ∞)

Исследуем направление выпуклости с помощью таблицы

x (-∞, 0) (0, ∞)

y’’

- +

y ∩ U

Итак, участки выпуклости:

(-∞, 0) – участок выпуклости вверх

(0, ∞) - участок выпуклости вниз

Точка x=0 не является точкой перегиба, так как она не входит в область определения

функции и в ней не существует производная второго порядка.

Используя полученную информацию, построим график заданной функции

Составитель приложения 2: Дмитриев Николай Пименович, доцент кафедры ФМО

Министерство образования и...

Documents