МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В...
TRANSCRIPT
![Page 1: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/1.jpg)
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
УНИВЕРСИТЕТ ИТМО
МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В ПАКЕТЕ MATHCAD 15
Часть II
Учебное пособие
Санкт-Петербург
2015
![Page 2: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/2.jpg)
УДК 536.71+512.11 ББК 22.1 Р 34
Методы оптимизации в примерах в пакете MathCad 15. Ч. II: Учеб. пособие / С.В. Рыков, И.В. Кудрявцева, С.А. Рыков, В.А. Ры-ков. – СПб.: Университет ИТМО, 2015. – 178 с. ISBN 978-5-9906483-1-9
Пособие содержит сведения об аналитических методах многомерной оптимиза-ции. Снабжено большим количеством примеров решения оптимизационных задач, рас-смотренных как аналитически при построчной реализации, так и с использованием па-кета MathCad 15. При этом реализация в пакете MathCad 15 имеет, как правило, более одного варианта исполнения.
Предназначено для самостоятельной работы студентов всех направлений очной и заочной форм обучения.
Рецензенты: кафедра химии и биотехнологии Санкт-Петербургского государственного торгово-экономического университета (зав. кафед-рой доктор техн. наук, доц. Ю.Г. Базарнова); кандидат техн. наук, проф. И.К. Пименов (Санкт-Петербургский государственный морской технический университет)
Рекомендовано к печати Советом факультета холодильной, криоген-ной техники и кондиционирования, протокол № 3 от 25.11.2015 г.
Университет ИТМО – ведущий вуз России в области информационных и фотонных технологий, один из немногих российских вузов, получивших в 2009 году статус национального исследовательского университета. С 2013 года Университет ИТМО – участник программы повышения конкурентоспособности российских университетов среди ведущих мировых научно-образовательных центров, известной как проект «5 – 100». Цель Университета ИТМО – становление исследовательского университета мирового уровня, предпринимательского по типу, ориентированного на интернационализацию всех направлений деятельности.
Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, 2015
Рыков С.В., Кудрявцева И.В., Рыков С.А., Рыков В.А., 2015
![Page 3: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/3.jpg)
3
ВВЕДЕНИЕ
Цель настоящего пособия – оказать студентам конкретную помощь в развитии умения решать задачи курсов «Компьютерное моделирование в теплофизике» и «Методы оптимизации». Каждый из разделов пособия содержит теоретические положения, подробное решение соответствую-щих задач как аналитически, так и с использованием пакета MathCad 15.
Первая часть пособия посвящена изложению основных терминов и определений, используемых при решении оптимизационных задач. Ма-териал излагается с учетом терминологии и обозначений, предусмотрен-ных программой вуза.
При пользовании пособием рекомендуется следующий порядок ра-боты. Сначала следует повторить теоретическую часть, которая изложена в начале каждого раздела пособия. Затем ознакомиться с пояснениями и решениями задач, содержащимися в пособии. И только после этого пе-рейти к выполнению контрольных упражнений, помещенных в конце ка-ждого раздела пособия.
![Page 4: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/4.jpg)
4
1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
1.1. Общая постановка задачи
Постановка задачи поиска минимума функции содержит:
• целевую функцию ( )f x , где ( )1 2, ,...,T
nx x x x= , определенную
на n -мерном евклидовом пространстве nR . Её значения характеризуют степень достижения цели, для которой поставлена или решается задача.
• множество допустимых решений nX R⊆ , среди элементов кото-рого осуществляется поиск.
Необходимо найти вектор *x из множества допустимых значений решений, которому соответствует минимальное значение целевой функ-ции на этом множестве:
*( ) min ( )x X
f x f x⊆
= .
Замечание 1.1. 1. Задача поиска максимума функции ( )f x сводится к задаче поиска
минимума путем замены знака перед функцией на противоположный:
[ ]*( ) max ( ) min ( )x X x X
f x f x f x⊆ ⊆
= = − − .
2. Задача поиска минимума и максимума целевой функции ( )f x на-зывается задачей поиска экстремума:
*( ) ( )x X
f x extr f x⊆
= .
3. Если множество допустимых решений X задается ограничениями (условиями), накладываемыми на вектор x , то решается задача поиска условного экстремума. Если nX R= , т. е. ограничения (условия) на век-тор x отсутствуют, решается задача поиска безусловного экстремума.
4. Решением задачи поиска экстремума является пара ( )( )*,x f x ,
включающая точку *x и значение в ней целевой функции. 5. Множество точек минимума (максимума) целевой функции ( )f x
на множестве X обозначим *X . Оно может содержать конечное число то-чек (в том числе одну), бесконечное число точек или быть пустым.
Определение 1.1. Точка *x X∈ называется точкой глобального (аб-солютного) минимума функции ( )f x на множестве X , если функция дос-тигает в точке своего наименьшего значения, т. е.
( ) ( )*x f x≤ x X∀ ∈ .
![Page 5: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/5.jpg)
5
Определение 1.2. Точка *x X∈ называется точкой локального (от-носительного) минимума функции ( )f x на множестве X , если сущест-
вует 0ε > , такое, что если *x X∈ и *x x− < ε , то ( ) ( )*f x f x≤ .
Здесь 2 2 21 2 ... nx x x x= + + + - евклидова норма вектора x .
Замечание 1.2. 1. В определении 1.1 точка *x сравнивается по величине функции со
всеми точками из множества допустимых решений X , а в опреде- лении 1.2 – только с принадлежащими ее ε -окрестности.
2. Если в определениях 1.1 и 1.2 знак неравенства «≤» заменить на «≥», то получатся определения глобального (абсолютного) и локально-го (относительного) максимумов.
3. Глобальный экстремум всегда является одновременно локальным, но не наоборот.
Определение 1.3. Поверхностью уровня функции ( )f x называется множество точек, в которых функция принимает постоянное значение, т. е. ( )f x const= . Если 2n = , поверхность уровня изображается линией
уровня на плоскости nR .
1.2. Градиент функции
Градиентом ( )f x∇ непрерывно дифференцируемой функции ( )f x в точке x называется вектор-столбец, элементами которого являются ча-стные производные первого порядка, вычисленные в данной точке:
1
1
( )
( )
( )
:
( )
n
f x
x
f x
xf x
f x
x
∂ ∂
∂ ∂∇ = ∂ ∂
.
Градиент функции направлен по нормали к поверхности функции, то есть перпендикулярно к касательной плоскости, проведенной в точке x , в сторону наибольшего возрастания функции в данной точке.
Вместе с градиентом можно определить вектор антиградиента, рав-ный по модулю вектору градиента, противоположный по направлению. Он направлен в сторону наибольшего убывания функции в данной точке.
![Page 6: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/6.jpg)
6
1.3. Матрица Гессе
Матрицей Гессе ( )H x дважды непрерывно дифференцируемой функции ( )f x в точке x называется матрица частных производных второ-го порядка, вычисленных в данной точке:
2 2 2
21 1 2 1
11 12 12 2 2
21 22 222 1 2 2
1 22 2 2
21 2
( ) ( ) ( )..
..( ) ( ) ( )
.. ..( )
. . . .. . . .
..( ) ( ) ( )
..
n
n
nn
n n nn
n n n
f x f x f x
x x x x xh h h
f x f x f xh h h
H x x x x x x
h h hf x f x f x
x x x x x
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
,
где 2 ( )
iji j
f xh
x x
∂=∂ ∂
, , 1,...,i j n=
Матрица Гессе является симметричной матрицей размером (n n× ).
1.4. Приращение функции
С помощью градиента и матрицы Гессе, используя разложение в ряд Тейлора, приращение функции ( )f x в точке x можно записать в форме:
( )21( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
2T Tf x f x x f x f x x x H x x x∆ = + ∆ − = ∇ ∆ + ∆ ∆ + ∆ , (1.1)
где 2
0( )x∆ - сумма всех членов разложения, имеющих порядок выше
второго; ( )Tx H x x∆ ⋅ ⋅ ∆ - квадратичная форма.
1.5. Квадратичная форма
Квадратичная форма ( )Tx H x x∆ ∆ (а также соответствующая ей матрица Гессе ( )H x ) называется:
• положительно определенной ( ( ) 0H x > ), если для любого не ну-
левого x∆ выполняется неравенство ( ) 0Tx H x x∆ ∆ > ;
• отрицательно определенной ( ( ) 0H x < ), если для любого не ну-
левого x∆ выполняется неравенство ( ) 0Tx H x x∆ ∆ < ;
![Page 7: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/7.jpg)
7
• положительно полуопределенной ( ( ) 0H x ≥ ), если для лю-
бого x∆ выполняется неравенство ( ) 0Tx H x x∆ ∆ ≥ и имеется отличный
от нуля вектор x∆ , для которого ( ) 0Tx H x x∆ ∆ = ;
• отрицательно полуопределенной ( ( ) 0H x < ), если для лю-
бого x∆ выполняется неравенство ( ) 0Tx H x x∆ ∆ ≤ и имеется отличный
от нуля вектор x∆ , для которого ( ) 0Tx H x x∆ ∆ = ;
• неопределенной ( ( ) или 0H x < > ), если существуют такие векто-
ры x∆ , x∆ɶ , для которых выполняется неравенство ( ) 0Tx H x x∆ ∆ > ,
( ) 0Tx H x x∆ ∆ >ɶ ɶ ;
• тождественно равной нулю ( ( ) 0H x = ) если для любого x∆ вы-
полняется неравенство ( ) 0Tx H x x∆ ∆ = .
1.6. Выпуклое множество
Множество nX R⊆ называется выпуклым, если оно содержит всякий отрезок, концы которого принадлежат X , то есть если для любых 1 2,x x X∈ и 0 1≤λ ≤ справедливо ( )1 21x x Xλ ⋅ + − λ ∈ .
Иными словами, выпуклыми являются множества, которые не со-держат «вмятин», «дырок» и состоят из одного куска. Примерами выпук-лых множеств служат также само пространство nR , отрезок, прямая, шар.
1.7. Выпуклые функции
1. Функция ( )f x , определенная на выпуклом множестве X , называ-ется выпуклой, если:
( )( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 21 1f x x f x f xλ + − λ ≤ λ + − λ , 1 2,x x X∀ ∈ , 0 1≤λ ≤ .
Функция ( )f x называется выпуклой, если она целиком лежит не выше отрезка, соединяющего две ее произвольные точки.
Если матрица Гессе ( ) 0H x ≥ nx R∀ ∈ , то функция выпуклая. 2. Функция ( )f x , определенная на выпуклом множестве X , называ-
ется строго выпуклой, если:
( )( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 21 1f x x f x f xλ + − λ < λ + − λ ,
1 2,x x X∀ ∈ , 1 2x x≠ , 0 1≤λ ≤ .
![Page 8: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/8.jpg)
8
Функция ( )f x называется строго выпуклой, если она целиком ле-жит ниже отрезка, соединяющего две ее произвольные, но не совпадаю-щие точки.
Если функция строго выпуклая, то она одновременно выпуклая. Если матрица Гессе ( ) 0H x > nx R∀ ∈ , то функция строго вы-
пуклая. 3. Функция ( )f x , определенная на выпуклом множестве X , называ-
ется сильно выпуклой с константой 0l > , если:
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 21 2 1 2 1 211 1 1
2f x x f x f x x xλ + − λ < λ + − λ − λ − λ −
1 2,x x X∀ ∈ , 1 2x x≠ , 0 1≤λ ≤ .
Если функция сильно выпуклая, то она одновременно строго вы-пуклая и выпуклая.
Если матрица Гессе ( )H x l E≥ ⋅ nx R∀ ∈ , где E - единичная матрица, то функция сильно выпуклая.
1.8. Минимум функции
1. Если ( )f x выпуклая функция на выпуклом множестве X , то всякая точка локального минимума является точкой его глобального минимума на X .
2. Если выпуклая функция достигает своего минимума в двух раз-личных точках, то она достигает минимума во всех точках отрезка, со-единяющего эти две точки.
3. Если ( )f x строго выпуклая функция на выпуклом множе- стве X , то она может достигать своего глобального минимума на X не более чем в одной точке.
1.9. Условие Липшица
Функция ( )f x удовлетворяет условию Липшица на отрезке [ ],a b ,
если существует такое число 0L > (константа Липшица), что
( ) ( )f x f x L x x′ ′′ ′ ′′− ≤ ⋅ − (1.2)
для всех x′ и x′′ , принадлежащих [ ],a b .
1. Если неравенства (1.2) выполняется с константой L , то оно спра-ведливо для бесконечного множества констант, больших L . Как правило, представляет интерес минимальная константа Липшица.
![Page 9: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/9.jpg)
9
2. Из условия (1.2) следует непрерывность функции ( )f x на от-
резке [ ],a b . Если кроме того функция имеет на [ ],a b непрерывную про-
изводную, то константа Липшица [ ],
max ( )x a b
L f x∈
′= .
3. Условие (1.2) означает, что модуль углового коэффициента любой хорды графика функции ( )f x не превосходит L .
1.10. Угловые и главные миноры матрицы Гессе
Определение 1.4. Рассмотрим определитель матрицы Гессе *( )H x ,
вычисленный в стационарной точке *x :
2 2 2
21 1 2 1
11 12 12 2 2
21 22 2* 22 1 2 2
1 22 2 2
21 2
( ) ( ) ( )..
..( ) ( ) ( )
.. ..det ( )
. . . .. . . .
..( ) ( ) ( )
..
n
n
nn
n n nn
n n n
f x f x f x
x x x x xh h h
f x f x f xh h h
H x x x x x x
h h hf x f x f x
x x x x x
∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂= =∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂
.
1. Определители вида
1 11h∆ = , 11 122
21 22
h h
h h∆ = , …,
11 12 1
21 22 2
1 2
..
..
. . . .
..
n
nn
n n nn
h h h
h h h
h h h
∆ =
называются угловыми минорами. 2. Определители m -го порядка (m n≤ ), получающиеся из определи-
теля матрицы *( )H x вычеркиванием каких-либо (n m− ) строк и (n m− ) столбцов с одними и теми же номерами, называются главными ми-норами.
1.11. Собственные значения матрицы Гессе
Определение 1.5. Собственные значения iλ , 1, 2,...,i n= , матри-
цы *( )H x размера (n n× ) находятся как корни характеристического урав-нения (алгебраического уравнения n -й степени):
![Page 10: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/10.jpg)
10
11 12 1
21 22 2*
1 2
..
..( ) 0
. . . .
..
n
n
n n nn
h h h
h h hH x E
h h h
− λ− λ
− λ = =
− λ
.
Собственные значения вещественной симметричной матрицы *( )H x вещественны.
1.12. Практические примеры
Пример 1.1. Выбрать выпуклые множества среди изображенных на рис. 1.1.
а
б
в
г
Рис. 1.1. Виды множеств
Ответ: на рис. 1.1 а, в множества выпуклые, так как удовлетворяют определению в параграфе «Выпуклое множество».
Пример 1.2. Классифицировать квадратичную форму и матрицу
Гессе 2 0
0 2H
=
.
Решение. Вычислить квадратичную форму:
( ) 1 2 21 2 1 2
2
2 02 2
0 2T x
x H x x x x xx
∆ ∆ ∆ = ∆ ∆ = ∆ + ∆ ∆
.
Очевидно, 0Tx H x∆ ∆ > для любого не нулевого 1
2
xx
x
∆ ∆ = ∆
, т. е. од-
новременно 1x∆ и 2x∆ не равны нулю. Листинг программы в пакете MathCad 15 приведен в прил. А –
рис. А 1. При выполнении примера студент должен знать следующие разделы
MathCad 15: • Ввод переменных, переменных с нижним индексом, сопроводи-
тельного текста.
![Page 11: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/11.jpg)
11
• Размещение переменных в сопроводительном тексте. • Просмотр результатов расчета. • Определение однострочной функции и ее вызов. • Символьное вычисление функции. • Операции с матрицами. • Дискретный аргумент. Пример 1.3. Для функции 2 2
1 2( )f x x x= + необходимо: - вычислить градиент в точках:
( )0 0;1T
x = , 1 1 1;
2 2
T
x =
, ( )2 1; 0T
x = , ( )3 0; 1T
x = − ;
- найти матрицу Гессе для каждой точки; - построить на графике линию уровня и нанести градиенты в этих
точках. Решение. 1. Общее выражение для градиента функции в точке x рав-
но ( )1 2( ) 2 ; 2T
f x x x∇ = .
2. Значения градиентов функции в расчетных точках равны:
( )0( ) 0; 2T
f x∇ = , ( )1( ) 2; 2T
f x∇ = , ( )2( ) 2; 0T
f x∇ = , ( )3( ) 0; 2T
f x∇ = − .
3. Матрица Гессе в общем виде имеет вид:
2 2
21 1 2
2 2
22 1 2
( ) ( )2 0
( )0 2
( ) ( )
f x f xx x x
H x
f x f xx x x
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = ∂ ∂
∂ ∂ ∂
,
не зависит от переменных и постоянна во всех расчетных точках. Листинг программы и график в пакете MathCad 15 приведен
в прил. А – рис. А 2. При выполнении примера студент должен знать следующие разделы
MathCad 15: • Ввод переменных, переменных с нижним индексом, сопроводи-
тельного текста. • Размещение переменных в сопроводительном тексте. • Просмотр результатов расчета и редактирование числа выводи-
мых десятичных знаков. • Определение однострочной функции и ее вызов.
![Page 12: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/12.jpg)
12
• Векторизация. • Доступ к элементам массива, в том числе блочного массива. • Символьное преобразование уравнений. • Символьное вычисление производных и градиента функции. • Дискретный аргумент. • Построение и редактирование двумерных графиков. Нанесение
на один график нескольких кривых. Для получения графика в виде, приведенном в листинге программы,
необходимо настроить вкладки диалогового окна (вызывается двойным щелчком мышки на графике) Formatting Currently Selected X–Y Plot как показано на рис. 1.2 – 1.5 и откорректировать на графике диапазоны выводимых значений, как показано на рис. 1.6.
Рис. 1.2. Настройка вкладки X–Y Axes (пример 1.3)
![Page 13: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/13.jpg)
13
Рис. 1.3. Настройка вкладки Traces (пример 1.3)
![Page 14: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/14.jpg)
14
Рис. 1.4. Настройка вкладки Number Format (пример 1.3)
![Page 15: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/15.jpg)
15
Рис. 1.5. Настройка вкладки Labels (пример 1.3)
![Page 16: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/16.jpg)
16
Диапазоны значений
Рис. 1.6. Редактирование диапазонов выводимых значений на графике (пример 1.3)
Пример 1.4. Для функции 2 41 2( )f x x x= + необходимо:
- вычислить градиент в точках:
( )0 0; 0T
x = , ( )1 1;1T
x = , ( )2 1,3; 0,746T
x = − ;
- найти матрицу Гессе в расчетных точках; - построить на графике линию уровня и нанести градиенты в расчет-
ных точках. Решение. 1. Общее выражение для градиента функции в любой расчетной точ-
ке равно ( )31 2( ) 2 ; 4f x x x∇ = .
2. Значения градиентов функции в расчетных точках равны:
( )0( ) 0; 0T
f x∇ = , ( )1( ) 2; 4T
f x∇ = , ( )2( ) 2,6; 1,662T
f x∇ = − .
![Page 17: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/17.jpg)
17
3. Матрица Гессе в общем случае имеет вид:
2 2
21 1 2
22 22
22 1 2
( ) ( )2 0
( )0 12
( ) ( )
f x f xx x x
H xx
f x f xx x x
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = ∂ ∂
∂ ∂ ∂
.
4. Значения матриц Гессе в расчетных точках:
0 2 0( )
0 0H x
=
, 1 2 0( )
0 12H x
=
, 1 2 0( )
0 6,681H x
=
.
Листинг программы и график в пакете MathCad 15 приведен в прил. А – рис. А 3.
При выполнении примера студент должен знать следующие разделы MathCad 15:
• Ввод переменных, переменных с нижним индексом, сопроводи-тельного текста.
• Размещение переменных в сопроводительном тексте. • Просмотр результатов расчета и редактирование числа выводи-
мых десятичных знаков. • Определение однострочной функции и ее вызов. • Векторизация. • Доступ к элементам массива, в том числе блочного массива. • Символьное преобразование уравнений. • Символьное вычисление производных и градиента функции. • Дискретный аргумент. • Построение и редактирование двумерных графиков. Нанесение
на один график нескольких кривых (см. пример 1.2). Пример 1.5. Проверить, удовлетворяют ли условию Липшица сле-
дующие функции: а) ( ) 2f x x= на интервале [0; 1], б) ( ) sin( )f x x= на ин-
тервале [0; π], в) ( )f x x= на интервале [0; 1]. Решение. По определению для того, чтобы функция удовлетворяла условию
Липшица необходимо, чтобы функция ( )f x и ее производная ( )f x′ были
непрерывны на интервале [а; b], а константа Липшица [ ],
max ( )x a б
L f x∈
′= .
а) функция ( ) 2f x x= и ее производная ( ) 2f x′ = непрерывны на ин-тервале [0; 1].
![Page 18: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/18.jpg)
18
Константа Липшица [ ]0,1
max ( ) 2x
L f x∈
′= = .
Вывод. Функция ( ) 2f x x= удовлетворяет условию Липшица на интервале [0; 1].
б) функция ( ) sin( )f x x= и ее производная ( ) cos( )f x x′ = непрерыв-
ны на интервале [0; π]. Константа Липшица
[ ]0,1max ( ) 1x
L f x∈
′= = .
Вывод. Функция ( ) sin( )f x x= удовлетворяет условию Липшица
на интервале [0; π].
в) функция ( )f x x= и ее производная 1
( )2
f xx
′ =⋅
непрерывны
на интервале [0; 1]. Константа Липшица
[ ]0,1max ( )x
L f x∈
′= = ∞ (в точке 0x = ).
Вывод. Функция ( )f x x= не удовлетворяет условию Липшица на интервале [0; 1].
Листинг программы в пакете MathCad 15 приведен в прил. А – рис. А 4.
При выполнении примера студент должен знать следующие разделы MathCad 15:
• Ввод переменных, переменных с нижним индексом, сопроводи-тельного текста.
• Размещение переменных в сопроводительном тексте. • Выравнивание текста и формул. • Просмотр результатов расчета и редактирование числа выводи-
мых десятичных знаков. • Определение однострочной функции и ее вызов. • Векторизация. • Доступ к элементам массива. • Символьное преобразование уравнений. • Символьное вычисление производных. • Дискретный аргумент. • Вычисление пределов. • Построение и редактирование двумерных графиков. Нанесение
на один график нескольких кривых (см. пример 1.2).
![Page 19: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/19.jpg)
19
1.13. Задачи для самостоятельного решения
1. Проверить знакоопределенность матрицы Гессе целевой функ-
ции 3 31 2 1 2( ) 3f x x x x x= + − в точке ( )0; 0
T.
Ответ. Матрица Гессе и соответствующая квадратичная форма не-определенные.
2. Проверить знакоопределенность матрицы Гессе целевой функ-
ции 2
212( )
4
xf x x= + . Исследовать функцию на выпуклость.
Ответ. Матрица Гессе положительно определенная. Функция явля-
ется сильно выпуклой, так как ( )H x l E≥ ⋅ при 1
02
l< < .
3. Проверить знакоопределенность матрицы Гессе целевой функ- ции 2 2
1 2 1 2( ) 4 4f x x x x x= + − . Исследовать ее выпуклость. Ответ. Матрица Гессе положительно определенная. Функция явля-
ется выпуклой. 4. Найти матрицу Гессе функции 2 2
1 2( )f x x x= − . Классифицировать квадратичную форму и матрицу Гессе.
Ответ. Матрица Гессе 2 0
0 2H
= −
, квадратичная форма и матрица
Гессе неопределенные. 5. Классифицировать квадратичную форму и матрицу
Гессе 2 0
0 0H
=
.
Ответ. Квадратичная форма и матрица Гессе положительно полуоп-ределена.
![Page 20: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/20.jpg)
20
2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПОИСКА БЕЗУСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА
2.1. Постановка задачи Функция ( )f x непрерывна и дважды дифференцируема на множе-
стве nX R= . Требуется найти экстремум, т. е. определить точки * nx R∈ ее локальных минимумов и максимумов:
*( ) max ( )nx R
f x f x∈
= ; *( ) min ( )nx R
f x f x∈
= . (2.1)
Точки *x локальных экстремумов находятся с помощью необходи-мых условий первого и второго порядка и достаточных условий безуслов-ного локального экстремума. Порядок условий определяется порядком используемых производных. Затем вычисляются значения функции *( )f x
в найденных точках *x локального экстремума.
2.1.1. Необходимые условия безусловного экстремума первого порядка
Если * nx R∈ является точкой локального минимума (максимума) функции ( )f x на множестве nR и ( )f x дифференцируема в точке *x ,
то градиент функции ( )f x в точке *x равен нулю, т. е.:
*( ) 0f x∇ = (2.2)
или
*( )
0, 1,2,...i
f xi n
x
∂ = =∂
. (2.3)
Точки *x , удовлетворяющие условию (2.2) или (2.3), называются стационарными.
2.1.2. Необходимые условия второго порядка
Если *x есть точка локального минимума (максимума) функ- ции ( )f x на множестве nR . Тогда матрица Гессе функции ( )f x , вычис-
ленная в точке *x , является положительно полуопределенной (отрица-тельно полуопределенной), т. е.:
*( ) 0H x ≥ (2.4)
или
*( ) 0H x ≤ . (2.5)
![Page 21: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/21.jpg)
21
2.1.3. Достаточные условия второго порядка
Если *x является точкой локального минимума (максимума) функ- ции ( )f x на множестве nR , тогда матрица Гессе функции ( )f x , вычис-
ленная в точке *x , является положительно определенной (отрицательно определенной), т. е.:
*( ) 0H x > (2.6)
или
*( ) 0H x < . (2.7)
2.2. Критерии проверки условий экстремума
1. Достаточные условия экстремума с использованием угловых ми-норов. Критерий Сильвестра.
1.1. Для того чтобы матрица Гессе *( )H x была положительно опре-
деленной ( *( ) 0H x > ) и точка *x являлась точкой локального минимума, необходимо и достаточно, чтобы знаки определителей угловых миноров были строго положительны:
1 0∆ > , 2 0∆ > , …, 0n∆ > .
1.2. Для того чтобы матрица Гессе *( )H x была отрицательно опре-
деленной ( *( ) 0H x < ) и точка *x являлась точкой локального максимума, необходимо и достаточно, чтобы знаки определителей угловых миноров чередовались, начиная с отрицательного:
1 0∆ < , 2 0∆ > , …, ( 1) 0nn− ∆ > .
2. Необходимые условия второго порядка с использованием главных миноров.
2.1. Для того чтобы матрица Гессе *( )H x была положительно полу-
определенной ( *( ) 0H x ≥ ) и точка *x являлась точкой локального мини-мума, необходимо и достаточно, чтобы определители всех главных мино-ров матрицы Гессе были неотрицательны.
2.2. Для того чтобы матрица Гессе *( )H x была отрицательно полу-
определенной ( *( ) 0H x ≤ ) и точка *x являлась точкой локального макси-мума, необходимо и достаточно, чтобы определители всех главных мино-ров матрицы Гессе были неположительны.
![Page 22: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/22.jpg)
22
3. Достаточные условия экстремума с использованием собственных значений.
3.1. Для того чтобы матрица Гессе *( )H x была положительно опре-
деленной ( *( ) 0H x > ) и точка *x являлась точкой локального минимума, необходимо и достаточно, чтобы знаки собственных значений матрицы Гессе были строго положительны:
1 0λ > , 2 0λ > , …, 0nλ > .
3.2. Для того чтобы матрица Гессе *( )H x была отрицательно опре-
деленной ( *( ) 0H x < ) и точка *x являлась точкой локального максимума, необходимо и достаточно, чтобы знаки собственных значений матрицы Гессе были строго отрицательны:
1 0λ < , 2 0λ < , …, 0nλ < .
4. Необходимые условия второго порядка с использованием собст-венных значений.
4.1. Для того чтобы матрица Гессе *( )H x была положительно полу-
определенной ( *( ) 0H x ≥ ) и точка *x являлась точкой локального мини-мума, необходимо и достаточно, чтобы собственные значения матрицы Гессе были не отрицательны:
1 0λ ≥ , 2 0λ ≥ , …, 0nλ ≥ .
4.2. Для того чтобы матрица Гессе *( )H x была отрицательно полу-
определенной ( *( ) 0H x ≥ ) и точка *x являлась точкой локального макси-мума, необходимо и достаточно, чтобы собственные значения матрицы Гессе были не положительны:
1 0λ ≤ , 2 0λ ≤ , …, 0nλ ≤ .
2.2.1. Дополнительные исследования стационарных точек
При выполнении необходимых условий второго порядка рекоменду-ется проводить дополнительные исследования для подтверждения того, что стационарная точка является точкой экстремума.
Возможные варианты дополнительных исследований: 1. Доказать, что исследуемая функция выпуклая на выпуклом мно-
жестве. В этом случае стационарная точка будет одновременно локальным и глобальным минимумом,
2. Графически показать, что стационарная точка является точкой экстремума.
![Page 23: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/23.jpg)
23
3. Рассчитать значения функции в малой окрестности стационарной точки и сравнить их со значением функции в этой точке. Если все рассчи-танные значения функции в локальной области больше значения функции в стационарной точке, то эта точка – точка локального минимума. Если наоборот – точка локального максимума.
2.2.2. Алгоритм решения задачи
Шаг 1. Записать необходимые условия экстремума первого порядка в форме (2.2) или (2.3) и найти стационарные точки *x .
Шаг 2. В найденных стационарных точках *x проверить выполнение достаточных (2.6) или (2.7), а если они не выполняются, то необхо- димых (2.4) или (2.5) условий второго порядка.
Шаг 3. Вычислить значение *( )f x в точках экстремума. Данный алгоритм отображен в виде схемы на рис. 2.1. Продолжение
исследований, которые требуются в ряде случаев (см. табл. 2.1) при реше-нии практических задач, как правило, не проводятся за исключением не-большого числа модельных задач.
Если требуется определить глобальные экстремумы, то они находят-ся в результате сравнения значений функций в точках локальных миниму-мов и максимумов с учетом ограничений на функции.
Необходимые условия экстремума первого порядка
Достаточные условия экстремума
Нет экстремума
Вычислить значения функции в точках экстремума
Необходимые условия экстремума второго порядка
Продолжение исследований
Нет экстремума
Да Нет
Да
Да
Нет
Нет
Рис. 2.1. Алгоритм поиска безусловного экстремума
![Page 24: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/24.jpg)
24
Таблица 2.1
Критерии проверки условий второго порядка при поиске безусловного экстремума
№ п/п
Условие первого порядка
*( )f x∇∇∇∇
*( )H x Условия второго порядка
Первый способ
Второй способ.
Собственные значения
Тип точки *x
1 0 >0 Достаточ-ные
Угловые миноры
1 0,∆ >
2 0,∆ > ..,
0n∆ >
1 0,λ >
2 0,λ > ..,
0nλ >
Локальный минимум
2 0 <0 Достаточ-ные
Угловые миноры
1 0,∆ <
2 0,∆ > ..,
( 1) 0nn− ∆ >
1 0,λ <
2 0,λ < ..,
0nλ <
Локальный максимум
3 0 ≥0 Необхо-димые
Главные миноры
1 0,гл
∆ ≥
2 0,гл
∆ ≥ ..,
. 0гл n∆ ≥
1 0,λ ≥
2 0,λ ≥ ..,
0nλ ≥
Может быть локальный минимум. Требуются дополнитель-
ные исследования
4 0 ≤0 Необхо-димые
Главные миноры
1 0,гл
∆ ≤
2 0,гл
∆ ≥ ..,
.( 1) 0nгл n− ∆ ≤
1 0,λ ≤
2 0,λ ≤ ..,
0nλ ≤
Может быть локальный максимум. Требуются дополнитель-
ные исследования
5 0 =0 Необхо-димые
Матрица Гессе состоит
из нулевых элементов
1 0,λ =
2 0,λ = ..,
0nλ =
Требуются дополнитель-
ные исследования
6 0 , 0> < Необхо-димые
не выпол-няются п. 1-5
Разные знаки
iλ Нет
экстремума
![Page 25: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/25.jpg)
25
2.3. Практические примеры
Пример 2.1. Проверить, является ли точка ( )* 0 0 0Т
x = точкой
безусловного экстремума функции:
2 2 21 2 3 1 2 1 3 2 3( ) 2 3 6 8 4f x x x x x x x x x x= + − − + − .
Рассчитать: - матрицу Гессе функции в стационарных точках; - стационарные точки; - все угловые миноры определителя матрицы Гессе в стационарной
точке; - все главные миноры определителя матрицы Гессе в стационарной
точке; - собственные значения матрицы Гессе в стационарной точке.
1. Матрица Гессе функции
2 6 8
( ) 6 4 4
8 4 6
H x
− = − − − −
.
2. Угловые миноры матрицы Гессе:
1 2∆ = , 2
2 6
6 4
− ∆ = −
, 3
2 6 8
6 4 4
8 4 6
− ∆ = − − − −
.
Значения определителей угловых миноров:
1 2∆ = , 2 28∆ = − , 3 264∆ = .
Вывод. Знаки определителей угловых миноров матрицы Гессе чере-дуются, начиная с положительного. Необходимые условия экстремума второго порядка не выполняются. Следовательно, исследуемая точка не является точкой локального экстремума. Дальнейшие исследования не обязательны, но проведем их в целях обучения.
3. Необходимые условия второго порядка с помощью главных ми-норов матрицы Гессе.
Главные миноры матрицы Гессе. 3.1. Главные миноры первого порядка:
( ) ( ) ( )1_1 1_ 2 1_ 36 , 4 , 2гл гл гл
∆ = − ∆ = ∆ = .
Значения определителей главных миноров первого порядка:
1_1 1_ 2 1_ 36, 4, 2гл гл гл
∆ = − ∆ = ∆ = .
![Page 26: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/26.jpg)
26
3.2. Главные миноры второго порядка:
2 _1
4 4
4 6гл
− ∆ = − −
, 2 _ 2
2 8
8 6гл
∆ = −
, 2 _ 3
2 6
6 4гл
− ∆ = −
.
Значения определителей главных миноров второго порядка:
2 _1 1_ 2 1_ 340, 76, 28гл гл гл
∆ = − ∆ = − ∆ = − .
3.3. Главный минор третьего порядка:
3
2 6 8
6 4 4
8 4 6гл
− ∆ = − − − −
.
Значение определителя главного минора третьего порядка:
3 264гл
∆ = .
Вывод. Знаки определителей главных миноров матрицы Гессе чере-дуются. Достаточные условия экстремума второго порядка не выполняют-ся. Следовательно, исследуемая точка не является точкой локального экстремума.
4. Достаточные условия второго порядка с помощью собственных значений матрицы Гессе.
Собственные значения матрицы Гессе. Характеристическое уравнение (в общем виде) для собственных
значений матрицы Гессе имеет вид:
3264 144 0H E− λ = + λ − λ = .
Собственные значения матрицы Гессе:
( )12,829 1,879 10,949Tλ = − − .
Вывод. Собственные значения матрицы Гессе знакопеременны. Не-обходимые условия экстремума второго порядка не выполняются. Следо-вательно, исследуемая точка не является точкой локального экстремума.
Общий вывод. Исследуемая точка ( )* 0 0 0Т
x = не является точ-
кой безусловного экстремума функции:
2 2 21 2 3 1 2 1 3 2 3( ) 2 3 6 8 4f x x x x x x x x x x= + − − + − .
Листинг программы в пакете MathCad 15 приведен в прил. Б – рис. Б 1.
![Page 27: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/27.jpg)
27
Листинг с описанием пользовательских функций для расчета глав-ных миноров матрицы Гессе, использованных в программе, приведен в прил. Б – рис. Б 2.
При выполнении примера студент должен знать следующие разделы MathCad 15:
• Ввод переменных, переменных с нижним индексом, сопроводи-тельного текста.
• Размещение переменных в сопроводительном тексте. • Просмотр результатов расчета, редактирование числа выводимых
десятичных знаков и формата вывода целых чисел. • Определение однострочной функции и многострочной функций
и их вызов. • Загрузка файла с формулами в текст программы. • Векторизация. • Доступ к столбцам и элементам массива. • Символьные операции с производными и матрицами. • Матричные операции и функции. • Дискретный аргумент. Пример 2.2. Найти экстремум функции:
3 2 21 2 3 2 3 1 2( ) 3 6 2f x x x x x x x x= + + + − + + .
Рассчитать: - стационарные точки; - матрицу Гессе функции в стационарных точках; - классифицировать стационарные точки, используя: • угловые миноры определителя матрицы Гессе в стационарных
точках; • главные миноры определителя матрицы Гессе в стационарных
точках; • собственные значения матрицы Гессе в стационарных точках. 1. Необходимые условия экстремума первого порядка:
21
1
2 32
3 23
( ) 3 3 0;
( ) 2 6 0;
( ) 2 0.
f x xx
f x x xx
f x x xx
∂ = − =∂ ∂ = + + =∂ ∂ = + =∂
![Page 28: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/28.jpg)
28
Решение системы уравнений дало две стационарные точки:
( )*1 1 4 2T
x = − , ( )*2 1 4 2T
x = − − .
2. Проверить выполнение достаточных и необходимых условий вто-рого порядка в каждой стационарной точке, используя два метода (методы миноров и собственных значений).
2.1. Первая стационарная точка ( )*1 1 4 2T
x = − .
а) Первый способ. Проверить выполнение достаточных условий второго порядка, используя угловые миноры.
Матрица Гессе в точке *1x имеет вид:
*
6 0 0
( 1 ) 0 2 1
0 1 2
H x
=
.
Угловые миноры имеют вид:
( )1 6∆ = , 2
6 0
0 2
∆ =
, 3
6 0 0
0 2 1
0 1 2
∆ =
.
Определители угловых миноров равны:
1 6 0∆ = > , 2 12 0∆ = > , 3 18 0∆ = > .
Так как все определители угловых миноров матрицы Гессе строго положительные, то по критерию Сильвестра стационарная
точка ( )*1 1 4 2T
x = − является точкой минимума.
б) Второй способ. Проверить выполнение достаточных условий вто-рого порядка, используя собственные значения матрицы Гессе.
Собственные значения λ матрицы Гессе можно найти, решая харак-теристическое уравнение:
( ) ( )2
6 0 0
0 2 1 6 2 1 0
0 1 2
− λ − λ = − λ − λ − =
− λ.
Собственные значения равны:
1 6 0λ = > , 2 3 0λ = > , 3 1 0λ = > .
![Page 29: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/29.jpg)
29
Собственные значения λ матрицы Гессе строго положительные,
следовательно, стационарная точка ( )*1 1 4 2T
x = − является точкой ми-
нимума.
2.2. Вторая стационарная точка ( )*2 1 4 2T
x = − − .
а) Первый способ. Проверить выполнение достаточных условий второго порядка, используя угловые миноры.
Матрица Гессе в точке *2x имеет вид:
*
6 0 0
( 2 ) 0 2 1
0 1 2
H x
− =
.
Угловые миноры имеют вид:
( )1 6∆ = − , 2
6 0
0 2
− ∆ =
, 3
6 0 0
0 2 1
0 1 2
− ∆ =
.
Определители угловых миноров равны:
1 6 0∆ = − < , 2 12 0∆ = − < , 3 18 0∆ = − < .
Так как все определители угловых миноров матрицы Гессе отрица-тельны, то критерий Сильвестра не выполняется.
б) Поверить необходимые условия второго порядка, используя глав-ные миноры.
Главные миноры первого порядка ( 1m = ) получаются из матрицы Гессе
*
6 0 0
( 2 ) 0 2 1
0 1 2
H x
− =
в результате вычеркивания 3 1 2n m− = − = -х строк и 2-х столбцов с оди-наковыми номерами:
( ) ( ) ( )1_1 1_ 2 1_ 32 , 2 , 6гл гл гл
∆ = ∆ = ∆ = − .
Определители главных миноров первого порядка равны:
1_1 1_ 2 1_ 32, 2, 6гл гл гл
∆ = ∆ = ∆ = − .
![Page 30: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/30.jpg)
30
Главные миноры второго порядка ( 2m = ) получаются из мат- рицы Гессе
*
6 0 0
( 2 ) 0 2 1
0 1 2
H x
− =
путем вычеркивания 3 2 1n m− = − = -й строки и 1-го столбца с одинако-выми номерами:
2 _1 2 _ 2 2 _ 3
2 1 6 0 6 0, ,
1 2 0 2 0 2гл гл гл
− − ∆ = ∆ = ∆ =
.
Определители главных миноров первого порядка равны:
2 _1 2 _ 2 2 _ 33, 12, 12гл гл гл
∆ = ∆ = − ∆ = − .
Главные миноры третьего порядка ( 3m = ) получаются из матрицы Гессе
*
6 0 0
( 2 ) 0 2 1
0 1 2
H x
− =
в результате вычеркивания 3 3 0n m− = − = -й строки и 0-го столбца:
3_1
6 0 0
0 2 1
0 1 2гл
− ∆ =
.
Определитель главного минора первого порядка равен:
3_1 18гл
∆ = − .
Определители главных миноров матрицы Гессе знакопеременны, необходимые условия второго порядка не выполняются. Стационарная
точка ( )*2 1 4 2T
x = − − не является точкой минимума.
в) Второй способ. Проверить выполнение достаточных условий вто-рого порядка, используя собственные значения матрицы Гессе.
Собственные значения λ матрицы Гессе можно найти, решая харак-теристическое уравнение
( ) ( )2
6 0 0
0 2 1 6 2 1 0
0 1 2
− − λ − λ = − − λ − λ − =
− λ.
![Page 31: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/31.jpg)
31
Собственные значения равны:
1 6 0λ = − < , 2 3 0λ = > , 3 1 0λ = > .
Собственные значения λ матрицы Гессе имеют разные знаки, сле-
довательно, стационарная точка ( )*2 1 4 2T
x = − − не является точкой
минимума. Значение функции в точке *1x *( 1 ) 12f x = − . Листинг программы в пакете MathCad 15 приведен в прил. Б –
рис. Б 3. Листинг с описанием пользовательских функций для расчета глав-
ных миноров матрицы Гессе, использованных в программе приведен в прил. Б – рис. Б 2.
При выполнении примера студент должен знать следующие разделы MathCad 15:
• Ввод переменных, переменных с нижним индексом, сопроводи-тельного текста.
• Размещение переменных в сопроводительном тексте. • Просмотр результатов расчета, редактирование числа выводимых
десятичных знаков и формата вывода целых чисел. • Определение однострочной функции и многострочной функций
и их вызов. • Загрузка файла с формулами в текст программы. • Векторизация. • Доступ к столбцам и элементам массива. • Блочные массивы и операции с ними. • Символьный расчет градиента функции. • Символьное решение уравнений (команда solve). • Численное решение уравнений (команда polyroots и блок
Given–Find). • Символьные операции с производными и матрицами. • Матричные операции и функции. • Дискретный аргумент. Пример 2.3. Найти экстремум функции:
2 21 2 1 2 1( ) 4 3 4f x x x x x x= ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ + .
Рассчитать: - стационарные точки; - матрицу Гессе функции в стационарных точках;
![Page 32: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/32.jpg)
32
- классифицировать стационарные точки, используя: • угловые миноры определителя матрицы Гессе в стационарных
точках; • главные миноры определителя матрицы Гессе в стационарных
точках; • собственные значения матрицы Гессе в стационарных точках; - построить график функции и нанести стационарные точки. 1. Необходимые условия экстремума первого порядка:
21 2
1
2 12
( ) 8 4 1 0,
( ) 6 4 0.
f x x xx
f x x xx
∂ = − + =∂ ∂ = − =∂
Решение системы уравнений дало одну стационарную точку:
( )*1 0,188 0,125T
x = − − .
2. Проверить выполнение достаточных и необходимых условий вто-рого порядка в стационарной точке, используя два метода (методы мино-ров и собственных значений).
2.1. Проверить достаточные условия. а) Первый способ. Проверить выполнение достаточных условий
второго порядка, используя угловые миноры. Матрица Гессе в точке *1x имеет вид:
* 8 0( 1 )
0 0H x
=
.
Угловые миноры имеют вид:
( )1 8∆ = , 2
8 0
0 0
∆ =
.
Определители угловых миноров равны:
1 8 0∆ = > , 2 0∆ = .
Все определители угловых миноров матрицы Гессе неотрицательны, не строго положительны. Достаточные условия экстремума не выполня-
ются в стационарной точке ( )*1 0,188 0,125T
x = − − . Требуются дополни-
тельные исследования.
![Page 33: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/33.jpg)
33
б) Второй способ. Проверить выполнение достаточных условий вто-рого порядка, используя собственные значения матрицы Гессе.
Собственные значения λ матрицы Гессе можно найти, решая харак-теристическое уравнение:
28 08 0
0
− λ= − λ + λ =
−λ.
Собственные значения равны:
1 0λ = , 2 8 0λ = > .
Собственные значения λ матрицы Гессе не строго положительные, неотрицательные. Достаточные условия экстремума не выполняются
в стационарной точке ( )*1 0,188 0,125T
x = − − , но выполняются необходи-
мые условия второго порядка. Следовательно, стационарная точка может быть точкой локального минимума. Требуются дополнительные исследо-вания.
2.2. Проверить необходимые условия второго порядка с помощью главных миноров матрицы Гессе.
Главные миноры первого порядка ( 1m = ) получаются из матрицы Гессе
* 8 0( 1 )
0 0H x
=
в результате вычеркивания 2 1 1n m− = − = -й строки и 1-го столбца с оди-наковыми номерами:
( ) ( )1_1 1_ 20 , 8гл гл
∆ = ∆ = .
Определители главных миноров первого порядка равны:
1_1 1_ 20, 8гл гл
∆ = ∆ = .
Главные миноры второго порядка ( 2m = ) получаются из матрицы Гессе
* 8 0( 1 )
0 0H x
=
в результате вычеркивания 2 2 0n m− = − = -й строки и 0-го столбца с оди-наковыми номерами:
2 _1
8 0
0 0гл
∆ =
.
![Page 34: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/34.jpg)
34
Определители главных миноров первого порядка равны:
2 _1 0гл
∆ = .
Определители главных миноров матрицы Гессе не отрица- тельны, необходимые условия второго порядка не выполняются. Необходимые условия экстремума выполняются в стационарной
точке ( )*1 0.188 0.125T
x = − − . Стационарная точка может быть точкой ло-
кального минимума. Требуются дополнительные исследования. 2.3. Дополнительные исследования стационарной точки. Матрица Гессе положительно полуопределена (матрица Гессе по-
стоянна на всем выпуклом множестве nR (не зависит от переменных)). Следовательно, функция ( )f x является выпуклой функцией и имеет одну точку глобального минимума. Учитывая сказанное, стационарная
точка ( )*1 0,188 0,125T
x = − − является точкой как локального, так и гло-
бального минимума.
Общий вывод. Исследуемая точка ( )*1 0,188 0,125T
x = − − является
точкой глобального минимума функции 2 21 2 1 2 1( ) 4 3 4f x x x x x x= + − + .
Листинг программы в пакете MathCad 15 приведен в прил. Б – рис. Б 4.
Листинг с описанием пользовательских функций для расчета глав-ных миноров матрицы Гессе, использованных в программе приведен в прил. Б – рис. Б 2.
При выполнении примера студент должен знать следующие разделы MathCad 15:
• Ввод переменных, переменных с нижним индексом, сопроводи-тельного текста.
• Размещение переменных в сопроводительном тексте. • Просмотр результатов расчета, редактирование числа выводимых
десятичных знаков и формата вывода целых чисел. • Определение однострочной функции и многострочной функций
и их вызов. • Загрузка файла с формулами в текст программы. • Векторизация. • Доступ к столбцам и элементам массива. • Символьный расчет градиента функции. • Символьное решение уравнений (команда solve). • Решение системы линейных уравнений с помощью матриц.
![Page 35: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/35.jpg)
35
• Численное решение уравнений (команда polyroots, блок Given–Find).
• Блочные массивы и операции с ними. • Вычисление единичной матрицы командой identity() . • Символьные функции coeff, series. • Символьные операции с производными и матрицами. • Матричные операции и функции. • Дискретный аргумент. • Построение и редактирование трехмерных графиков. Нанесение
на график точек. Для получения графика в виде, приведенном на листинге програм-
мы, необходимо настроить вкладки диалогового окна (вызывается двой-ным щелчком мышки на графике) 3D Plot Formt.
Настройка первого графика, изображенного на рис. Б 4, приведена на рис. 2.2–2.13. Настройка второго графика, изображенного на рис. Б 4, приведена на рис. 2.14–2.15, остальные вкладки настраиваются по анало-гии с настройками первого графика.
Рис. 2.2. Настройка вкладки General, вкладка Plot 1 (пример 2.3)
![Page 36: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/36.jpg)
36
Рис. 2.3. Настройка вкладки General, вкладка Plot 2 (пример 2.3)
Рис. 2.4. Настройка вкладки Axis, вкладка X-Axis (пример 2.3)
![Page 37: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/37.jpg)
37
Рис. 2.5. Настройка вкладки Axis, вкладка Y-Axis (пример 2.3)
Рис. 2.6. Настройка вкладки Axis, вкладка Z-Axis (пример 2.3)
![Page 38: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/38.jpg)
38
Рис. 2.7. Настройка вкладки Appearance, вкладка Plot 1 (пример 2.3)
Рис. 2.8. Настройка вкладки Appearance, вкладка Plot 2 (пример 2.3)
![Page 39: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/39.jpg)
39
Рис. 2.9. Настройка вкладки Backplanes, вкладка X-Y Backplane (пример 2.3)
Рис. 2.10. Настройка вкладки Backplanes, вкладка Y-Z Backplane (пример 2.3)
![Page 40: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/40.jpg)
40
Рис. 2.11. Настройка вкладки Backplanes, вкладка X-Z Backplane (пример 2.3)
Рис. 2.12. Настройка вкладки Special, вкладка Plot 1 (пример 2.3)
![Page 41: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/41.jpg)
41
Рис. 2.13. Настройка вкладки Special, вкладка Plot 2 (пример 2.3)
Рис. 2.14. Настройка вкладки General, вкладка Plot 1 (пример 2.3)
![Page 42: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/42.jpg)
42
Рис. 2.15. Настройка вкладки General, вкладка Plot 2 (пример 2.3)
Пример 2.4. Найти минимум функции Розенброка:
2 21 2 1 2 1( ) 4 3 4f x x x x x x= + − + ,
используя функции MathCad, двумя способами, с помощью блока Given–MinErr и функции Minimize.
Построить график функции и нанести точку минимума. Листинг программы в пакете MathCad 15 приведен в прил. Б –
рис. Б 5. При выполнении примера студент должен знать следующие разделы
MathCad 15: • Ввод переменных, переменных с нижним индексом, сопроводи-
тельного текста. • Размещение переменных в сопроводительном тексте. • Просмотр результатов расчета, редактирование числа выводимых
десятичных знаков и формата вывода целых чисел. • Определение однострочной функции и ее вызов. • Доступ элементам массива. • Блочные массивы и операции с ними. • Численное решение уравнений (команда Minimize и блок
Given–MinErr ). Настройку метода расчета корней уравнения в блоке Given–MinErr см. на рис. 2.16.
![Page 43: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/43.jpg)
43
• Численные операции с производными и матрицами. • Матричные операции. • Дискретный аргумент. • Для получения графика в виде, приведенном на листинге про-
граммы, необходимо настроить вкладки диалогового окна (вызывается двойным щелчком мышки на графике) 3D Plot Format. Проделать само-стоятельно (см. пример 2.3). Следует отметить, что для получения вида поверхности, изображенного на графике (рис. Б 5) необходимо установить диапазон значений по оси z в интервале от - 10 до 60.
Рис. 2.16. Настройка метода нахождения корней уравнения в блоке Given–MinErr (пример 2.4)
Пример 2.5. Найти минимум функции Хаммельблау:
( ) ( )2 22 2( , ) 11 7f x y x y x y= + − + + − ,
используя функции MathCad: блок Given–MinErr и блок Given–Maximize. Построить графики (поверхность и линии уровня) функции и нанес-
ти точку минимума. Листинг программы в пакете MathCad 15 приведен в прил. Б –
рис. Б 6. При выполнении примера студент должен знать следующие разделы
MathCad 15:
![Page 44: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/44.jpg)
44
• Ввод переменных, переменных с нижним индексом, сопроводи-тельного текста.
• Размещение переменных в сопроводительном тексте. • Просмотр результатов расчета, редактирование числа выводимых
десятичных знаков и формата вывода целых чисел. • Определение однострочной функции и ее вызов. • Доступ элементам массива. • Блочные массивы и операции с ними. • Численное решение уравнений (блок Given–Minimize и блок
Given–MinErr ). • Численные и символьные операции с производными. • Матричные операции. • Блочные матрицы и их просмотр. • Векторизация. • Дискретный аргумент. • Для получения графика в виде, приведенном на листинге про-
граммы, необходимо настроить вкладки диалогового окна (вызывается двойным щелчком мышки на графике) 3D Plot Formt. Проделать само-стоятельно (см. пример 2.3).
2.4. Задачи для самостоятельного решения
1. Найти безусловный экстремум целевой функции:
3 31 2 1 2( ) 3f x x x x x= + −
аналитическим методом, построить график функции и нанести на него расчетные точки.
2. Найти безусловный экстремум целевой функции 2 21 2( )f x x x= +
аналитическим методом, построить график функции и нанести на него расчетные точки.
Ответ. ( )0 0T
x = является точкой локального минимума.
3. Найти безусловный экстремум целевой функции 2 21 2( )f x x x= −
аналитическим методом, построить график функции и нанести на него расчетные точки.
Ответ. ( )0 0T
x = является точкой локального минимума.
4. Найти безусловный экстремум целевой функции 2 21 2( )f x x x= +
аналитическим методом, построить график функции и нанести на него расчетные точки.
![Page 45: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/45.jpg)
45
Ответ. ( )0 0T
x = не является точкой минимума или максимума,
а является седловой точкой. 5. Найти безусловный экстремум целевой функции 2 4
1 2( )f x x x= + аналитическим методом, построить график функции и нанести на него расчетные точки.
Ответ. ( )0 0T
x = является точкой глобального минимума.
6. Найти безусловный экстремум целевой функции:
( ) ( )2 2
1 2 1( ) 1 10f x x x x= − + −
аналитическим методом, построить график функции и нанести на него расчетные точки.
Ответ. ( )1 1T
x = является точкой глобального минимума.
7. Найти безусловный экстремум целевой функции:
2 2 21 2 3 1 1 2 3( ) 2f x x x x x x x x= − − − − + +
аналитическим методом.
Ответ. 2 1
13 3
T
x = − −
является точкой локального максимума.
8. Найти безусловный экстремум целевой функции:
2 2 21 2 1 2 3( ) 2 4f x x x x x x= − − + −
аналитическим методом, построить график функции и нанести на него расчетные точки.
Ответ. Бесконечное множество стационарных точек * *1 2x x= , *
3 0x = является точками глобального максимума.
9. Найти безусловный экстремум целевой функции:
3 2 21 1 2 1 2 2( ) 2 4 10f x x x x x x x= + − +
аналитическим методом, построить график функции и нанести на него расчетные точки.
Ответ. В точке ( )*1 1 1
Tx = находится локальный минимум, в точ-
ке ( )*2 0 0
Tx = нет экстремума, так как не выполняются необходимые ус-
ловия экстремума второго порядка. 10. Найти безусловный экстремум целевой функции:
3 21 1 2 2 1 2( ) 2 3 4f x x x x x x x= − + − + −
![Page 46: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/46.jpg)
46
аналитическим методом, построить график функции и нанести на него расчетные точки.
Ответ. В точке *1
1 5
2 4
T
x = −
находится локальный минимум,
в точке *1
1 5
3 3
T
x = − −
нет экстремума, так как не выполняются необхо-
димые условия экстремума второго порядка. 11. Найти безусловный экстремум целевой функции:
( ) ( )4 2
1 2( ) 1 3f x x x= − + −
аналитическим методом, построить график функции и нанести на него расчетные точки.
Ответ. В точке ( )*1 1 3
Tx = выполняются необходимые условия экс-
тремума второго порядка, т. е. *1( ) 0H x ≥ . Так как для любых 2x R∈ спра-
ведливо соотношение *1( ) 0 ( )f x f x= ≤ , то точка *
1x является точкой гло-бального минимума.
12. Найти безусловный экстремум целевой функции:
( ) ( )2 222 1 1( ) 1f x x x x= − + −
аналитическим методом, построить график функции и нанести на него расчетные точки.
Ответ. ( )*1 1 1
Tx = является точкой локального минимума.
13. Проверить является ли точка ( )*1 1 1
Tx = точкой безусловного
минимума целевой функции ( ) ( ) ( )2 2 222 1 1 2( ) 1 10 1f x x x x x= − + − + − анали-
тическим методом, построить график функции и нанести на него расчет-ные точки.
Ответ. ( )*1 1 1
Tx = является точкой безусловного минимума.
14. Найти безусловный экстремум целевой функции:
2 21 2 1 2 1 2( ) 3f x x x x x x x= − −
аналитическим методом, построить график функции и нанести на него расчетные точки.
Ответ. ( )*1 1 1
Tx = является локальным минимумом, в точ-
ке ( )*2 0 0
Tx = нет экстремума.
![Page 47: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/47.jpg)
47
15. Проверить, являются ли точки ( )*1 0 0
Tx = , ( )*
2 1 1T
x = ,
( )*3 1 1
Tx = − − точками безусловного минимума целевой функ-
ции ( )24 41 2 1 2( )f x x x x x= + − + аналитическим методом, построить график
функции и нанести на него расчетные точки.
Ответ. Точка ( )*1 0 0
Tx = не является точкой безусловного локаль-
ного минимума. Точки ( )*2 1 1
Tx = и ( )*
3 1 1T
x = − − являются точками без-
условного локального минимума.
16. Проверить, является ли точки ( )*1 2 0 1
Tx = , ( )*
2 0 0 0T
x =
точками экстремума целевой функции:
2 2 21 2 3 1 2 2 3 1 3( ) 5 3 4 2 2f x x x x x x x x x x= + + + − −
аналитическим методом.
Ответ. Точка ( )*2 0 0 0
Tx = является локальным и одновременно
глобальным минимумом, не является точкой безусловного локального ми-
нимума. Точки ( )*2 1 1
Tx = и ( )*
3 1 1T
x = − − являются точками безусловно-
го локального минимума, так как *1( ) 0H x > и функция, следовательно,
строго выпуклая и одновременно выпуклая. В точке ( )*1 2 0 1
Tx = нет
экстремума, так как в ней не выполняются необходимые условия экстре-мума первого порядка.
![Page 48: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/48.jpg)
48
3. АППРОКСИМАЦИЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
3.1. Аппроксимация данных
Одно из практических применений методов решения оптимизацион-ных задач это нахождение коэффициентов функции, аппроксимирующей экспериментальные данные. В результате проведения эксперимента по определению значений функции y от аргумента x получается дискретное множество значений этих величин. Так как в большинстве случаев зави-симость, связывающая x и y , нам неизвестна, то мы не можем определить значения функции в точках отличных от экспериментальных. Получить значения в искомых точках мы можем только с помощью нового экспери-мента, который может быть сложным и ресурсоемким. Для решения этой задачи необходимо получить функцию ( )f x , которая имеет минимальные отклонения от реальной зависимости y от x . Это и является задачей ап-проксимации. При проведении эксперимента измеряемые данные опреде-ляются с ошибками, которые могут быть вызваны дефектами оборудова-ния, случайными факторами и т. д., поэтому аппроксимирующая функ- ция ( )f x может и не проходить через экспериментальные точки. Таким образом, в конкретном случае задача аппроксимации сводится к нахожде-нию приближенной зависимости ( )f x , которая как можно лучше описы-
вает данные y (см. рис 3.1). При этом расчетные значения ( )if x должны
быть как можно ближе к опытным данным iy .
3.2. Метод наименьших квадратов
В качестве характеристики того насколько хорошо функция ( )f x описывает экспериментальные данные в методе наименьших квадратов используется сумма квадратов разностей между расчетными значениями и экспериментальными:
( )( )2
0 10
, , , ,n
i m ii
F f x C C C y=
= −∑ … ,
где ix , iy – экспериментальные данные; ( )0 1, , , ,i mf x C C C… – аппрокси-
мирующая функция; 0 1, , , mC C C… – неизвестные коэффициенты. Так как функция F всегда положительна, то наилучшим вариантом
будет тот, при котором она будет минимальной. Поэтому неизвестные ко-эффициенты iC ( 0,1, ,i m= … ) находятся из условия минимума функ-
![Page 49: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/49.jpg)
49
ции F . Для этого необходимо найти частные производные функции F по iC и приравнять их нулю. После дифференцирования получается сле-дующая система уравнений:
1
2
0;
0;
;
0.m
F
C
F
C
F
C
∂ =∂
∂ =∂
∂ =∂
…
В результате решения полученной системы уравнений находятся ис-комые коэффициенты iC . Одним из способов решения систем линейных алгебраических уравнений является метод Гаусса.
-30
-20
-10
0
10
20
30
-4 -2 0 2 x
y
x1 x2
y1
y2
f(x1)
f(x2)
f(x)
Рис. 3.1. Аппроксимация экспериментальных данных
![Page 50: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/50.jpg)
50
3.3. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса
Метод Гаусса заключается в приведении системы уравнений:
0,0 0 0,1 1 0, 0
1,0 0 1,1 1 1, 1
,0 0 ,1 1 ,
;
;n n
n n
n n n n n n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
+ + + = + + + = + + + =
…
…
…
…
к треугольному виду путем последовательного исключения неизвест- ных x . Сначала используя первое уравнение необходимо исключить неиз-вестную 0x из остальных уравнений. Затем с помощью второго уравнения избавиться от неизвестной 1x из всех уравнений кроме первого и т. д. Данный алгоритм называется прямым ходом метода Гаусса.
Обратный ход метода Гаусса заключается в нахождении неизвест-ных ix из треугольной системы. Из последнего уравнения находится одно-значное значение неизвестной nx . Затем, подставляя значение nx в пред-последнее уравнение, вычисляется переменная 1nx − и т. д.
3.3.1. Прямой ход метода Гаусса
Привести к треугольному виду систему линейных алгебраических уравнений:
0,0 0 0,1 1 0,2 2 0
1,0 0 1,1 1 1,2 2 1
2,0 0 2,1 1 2,2 2 2
;
;
.
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
+ + =
+ + = + + =
1. Избавимся от неизвестной 0x из второго уравнения. 1.1. Необходимо получить коэффициент у 0x в первом уравнении
равным 1,0a . Для этого умножаем первое уравнение на 1,0 0,0a a :
1,0 1,0 1,0 1,00,0 0 0,1 1 0,2 2 0
0,0 0,0 0,0 0,0
a a a aa x a x a x b
a a a a+ + = ,
1,0 1,0 1,01,0 0 0,1 1 0,2 2 0
0,0 0,0 0,0
a a aa x a x a x b
a a a+ + = .
![Page 51: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/51.jpg)
51
1.2. Вычтем полученное уравнение из второго:
1,0 1,0 1,01,0 0 1,1 1 1,2 2 1,0 0 0,1 1 0,2 2 1 0
0,0 0,0 0,0
a a aa x a x a x a x a x a x b b
a a a+ + − − − = − ,
1,0 0a x 1,1 1 1,2 2 1,0 0a x a x a x+ + − 1,0 1,0 1,00,1 1 0,2 2 1 0
0,0 0,0 0,0
a a aa x a x b b
a a a− − = − ,
1,0 1,0 1,01,1 0,1 1 1,2 0,2 2 1 0
0,0 0,0 0,0
a a aa a x a a x b b
a a a
− + − = −
. (3.1)
Произведем замену:
1,01,1 1,1 0,1
0,0
ac a a
a= − , 1,0
1,2 1,2 0,20,0
ac a a
a= − , 1,0
1 1 00,0
ad b b
a= − .
После замены уравнение (3.1) примет вид:
1,1 1 1,2 2 1c x c x d+ = .
2. Избавимся от неизвестной 0x из третьего уравнения. 2.1. Умножим первое уравнение на 2,0 0,0a a :
2,0 2,0 2,0 2,00,0 0 0,1 1 0,2 2 0
0,0 0,0 0,0 0,0
a a a aa x a x a x b
a a a a+ + = ,
2,0 2,0 2,02,0 0 0,1 1 0,2 2 0
0,0 0,0 0,0
a a aa x a x a x b
a a a+ + = .
2.2. Вычтем полученное уравнение из третьего:
2,0 2,0 2,02,0 0 2,1 1 2,2 2 2,0 0 0,1 1 0,2 2 2 0
0,0 0,0 0,0
a a aa x a x a x a x a x a x b b
a a a+ + − − − = − ,
2,0 0a x 2,1 1 2,2 2 2,0 0a x a x a x+ + − 2,0 2,0 2,00,1 1 0,2 2 2 0
0,0 0,0 0,0
a a aa x a x b b
a a a− − = − ,
2,0 2,0 2,02,1 0,1 1 2,2 0,2 2 2 0
0,0 0,0 0,0
a a aa a x a a x b b
a a a
− + − = −
. (3.2)
Произведем замену:
2,02,1 2,1 0,1
0,0
ac a a
a= − , 2,0
2,2 2,2 0,20,0
ac a a
a= − , 2,0
2 2 00,0
ad b b
a= − .
![Page 52: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/52.jpg)
52
После замены уравнение (3.2) примет вид:
2,1 1 2,2 2 2c x c x d+ = .
В результате преобразований система уравнений примет вид:
0,0 0 0,1 1 0,2 2 0
1,1 1 1,2 2 1
2,1 1 2,2 2 2
;
;
.
a x a x a x b
c x c x d
c x c x d
+ + =
+ = + =
(3.3)
3. Избавимся от неизвестной 1x из третьего уравнения. 3.1. Умножим второе уравнение системы (3.3) на 2,1 1,1c c :
2,1 2,1 2,11,1 1 1,2 2 1
1,1 1,1 1,1
c c cc x c x d
c c c+ = ,
2,1 2,12,1 1 1,2 2 1
1,1 1,1
c cc x c x d
c c+ = .
3.2. Вычтем полученное уравнение из третьего:
2,1 2,12,1 1 2,2 2 2,1 1 1,2 2 2 1
1,1 1,1
c cc x c x c x c x d d
c c+ − − = − ,
2,1 1c x 2,2 2 2,1 1c x c x+ − 2,1 2,11,2 2 2 1
1,1 1,1
c cc x d d
c c− = − ,
2,1 2,12,2 1,2 2 2 1
1,1 1,1
c cc c x d d
c c
− = −
. (3.4)
Произведем замену:
2,12,2 2,2 1,2
1,1
ce c c
c= − , 2,1
2 2 11,1
cg d d
c= − .
После замены уравнение (3.4) примет вид:
2,2 2 2e x g= .
В результате всех преобразований система уравнений примет вид:
0,0 0 0,1 1 0,2 2 0
1,1 1 1,2 2 1
2,2 2 2
;
;
.
a x a x a x b
c x c x d
e x g
+ + =
+ = =
(3.5)
![Page 53: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/53.jpg)
53
3.3.2. Обратный ход метода Гаусса
1. Из третьего уравнения системы (3.5) найдем значение 2x :
0,0 0 0,1 1 0,2 2 0
1,1 1 1,2 2 1
22
2,2
;
;
.
a x a x a x b
c x c x d
gx
e
+ + = + = =
2. Подставим значение 2x во второе уравнение:
0,0 0 0,1 1 0,2 2 0
21,1 1 1,2 1
2,2
22
2,2
;
;
.
a x a x a x b
gc x c d
e
gx
e
+ + = + = =
3. Из второго уравнения найдем значение неизвестной 1x :
0,0 0 0,1 1 0,2 2 0
1 1,2 2 2,21
1,1
22
2,2
;
;
.
a x a x a x b
d c g ex
c
gx
e
+ + = − = =
4. Подставим значения 1x и 2x в первое уравнение:
1 1,2 2 2,2 20,0 0 0,1 0,2 0
1,1 2,2
1 1,2 2 2,21
1,1
22
2,2
;
;
.
d c g e ga x a a b
c e
d c g ex
c
gx
e
− + + = − =
=
![Page 54: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/54.jpg)
54
5. Из первого уравнения найдем значение неизвестной 0x :
( )0 0,1 1 1,2 2 2,2 1,1 0,2 2 2,2
00,0
1 1,2 2 2,21
1,1
22
2,2
;
;
.
b a d c g e c a g ex
a
d c g ex
c
gx
e
− − +=
− = =
Рассчитанные значения x являются коэффициентами искомой ап-проксимирующей функции. Полученная зависимость ( )f x позволяет рас-считывать значения во всем диапазоне экспериментальных данных x .
3.4. Практические примеры
Пример 3.1. Определить методом наименьших квадратов коэффи-циенты функции, описывающей экспериментальные данные (табл. 3.1). В качестве аппроксимирующей функции использовать полином второй степени.
Таблица 3.1 Экспериментальные данные
k 0 1 2 3
kx 1 2 3 4
ky 10 12 14 17
1. Выражение аппроксимирующей функции:
( )2
0 1 20 1 2
0
ii
i
f x C x C x C x C x=
= = + +∑ .
2. Минимизируемая функция от коэффициентов 0C , 1C , 2C для ме-тода наименьших квадратов:
( ) ( )
( ) ( )( )
23 2 20 1 20 1 2 0 0 1 0 2 0 0
0 0
2 20 1 2 0 1 20 1 1 1 2 1 1 0 2 1 2 2 2 2
20 1 20 3 1 3 2 3 3
, ,
.
ii k k
k i
F C C C C x y C x C x C x y
C x C x C x y C x C x C x y
C x C x C x y
= =
= − = + + − +
+ + + − + + + − +
+ + + −
∑ ∑
![Page 55: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/55.jpg)
55
3. Общий вид частной производной по nC ( 0 2n = … ):
( ) 3 2
0 1 2
0 0
, ,2 i n
i k k kk in
F C C CC x y x
C = =
∂ = − ∂ ∑ ∑ .
4. Система линейных алгебраических уравнений в общем виде:
( )
( )
( )
3 20 1 2 0
0 00
3 20 1 2 1
0 01
3 20 1 2 2
0 02
, ,2 0;
, ,2 0;
, ,2 0.
ii k k k
k i
ii k k k
k i
ii k k k
k i
F C C CC x y x
C
F C C CC x y x
C
F C C CC x y x
C
= =
= =
= =
∂ = − = ∂ ∂ = − = ∂ ∂ = − = ∂
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
4.1. Упростим выражения для производной по 0C :
( ) ( )
( ) ( )( )
3 20 1 2 0 0 1 2 0
0 1 20 00
0 1 2 0 0 1 2 00 1 2 0 1 2
0 1 2 00 1 2
0 1 2 0 1 2 0 1 2
0 1 2 0 1
, ,2 2 1 1 1 10 1
2 2 2 2 12 2 2 3 3 3 14 3
2 4 4 4 17 4
10 2 4 12 3 9 14
4 16 17 4 10
ii k k k
k i
F C C CC x y x C C C
C
C C C C C C
C C C
C C C C C C C C C
C C C C C
= =
∂ = − = + + − + ∂
+ + + − + + + − +
+ + + − =
= + + − + + + − + + + − ++ + + − = +
∑ ∑
230 53.C+ −
4.2. Упростим выражения для производной по 1C :
( ) ( )
( ) ( )( )
3 20 1 2 1 0 1 2 1
0 1 20 01
0 1 2 1 0 1 2 10 1 2 0 1 2
0 1 2 10 1 2
0 1 2 0 1 2 0 1 2
0 1 2
, ,2 2 1 1 1 10 1
2 2 2 2 12 2 2 3 3 3 14 3
2 4 4 4 17 4
10 2 4 8 24 3 9 27 42
4 16 64 68 10
ii k k k
k i
F C C CC x y x C C C
C
C C C C C C
C C C
C C C C C C C C C
C C C C
= =
∂ = − = + + − + ∂
+ + + − + + + − +
+ + + − =
= + + − + + + − + + + − ++ + + − =
∑ ∑
0 1 230 100 144.C C+ + −
![Page 56: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/56.jpg)
56
4.3. Упростим выражения для производной по 2C :
( ) ( )
( ) ( )( )
3 20 1 2 2 0 1 2 2
0 1 20 02
0 1 2 2 0 1 2 20 1 2 0 1 2
0 1 2 20 1 2
0 1 2 0 1 2 0 1 2
0 1 2
, ,2 2 1 1 1 10 1
2 2 2 2 12 2 2 3 3 3 14 3
2 4 4 4 17 4
10 4 8 16 48 9 27 81 126
16 64 256 2
ii k k k
k i
F C C CC x y x C C C
C
C C C C C C
C C C
C C C C C C C C C
C C C
= =
∂ = − = + + − + ∂
+ + + − + + + − +
+ + + − =
= + + − + + + − + + + − ++ + + −
∑ ∑
0 1 272 30 100 354 456.C C C= + + −
4.4. Окончательный вид системы уравнений:
0 1 2
0 1 2
0 1 2
4 10 30 53;
10 30 100 144;
30 100 354 456.
C C C
C C C
C C C
+ + = + + = + + =
(3.6)
5. Решим полученную систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.
5.1. Прямой ход метода Гаусса. 5.1.1. Умножаем первое уравнение на 10 4 и вычитаем из второго
уравнения:
( )0 1 2
0 1 2 0 1 2
0 1 2
4 10 30 53;
10 1010 30 100 4 10 30 144 53 ;
4 430 100 354 456.
C C C
C C C C C C
C C C
+ + = + + − − − = − ⋅
+ + =
0 1 2
0
4 10 30 53;
10
C C C
C
+ + =
010C− 1 1 2 2
0 1 2
30 25 100 75 144 132,5;
30 100 354 456,
C C C C
C C C
+ − + − = − + + =
0 1 2
1 2
0 1 2
4 10 30 53;
5 25 11,5;
30 100 354 456.
C C C
C C
C C C
+ + = + = + + =
![Page 57: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/57.jpg)
57
5.1.2. Умножаем первое уравнение на 30 4 и вычитаем из третьего уравнения:
( )
0 1 2
1 2
0 1 2 0 1 2
4 10 30 53;
5 25 11,5;
30 3030 100 354 4 10 30 456 ,
4 4
C C C
C C
C C C C C C
+ + =
+ = + + − + + = ⋅
0 1 2
1 2
0
4 10 30 53;
5 25 11,5;
30
C C C
C C
C
+ + =+ =
030C− 1 1 2 2100 75 354 225 456 397,5,C C C C
+ − + − = −
0 1 2
1 2
1 2
4 10 30 53;
5 25 11,5;
25 129 58,5.
C C C
C C
C C
+ + = + = + =
5.1.3. Умножаем второе уравнение на 25 5и вычитаем из третьего уравнения:
( )
0 1 2
1 2
1 2 1 2
4 10 30 53;
5 25 11,5;
25 2525 129 5 25 58,5 11,5 ,
5 5
C C C
C C
C C C C
+ + =
+ = + − + = − ⋅
0 1 2
1 2
1
4 10 30 53;
5 25 11,5;
25
C C C
C C
C
+ + =+ =
125C− 2 2129 125 58,5 57,5,C C
+ − = −
0 1 2
1 2
2
4 10 30 53;
5 25 11,5;
4 1.
C C C
C C
C
+ + = + = =
![Page 58: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/58.jpg)
58
5.2. Обратный ход метода Гаусса. 5.2.1. Из третьего уравнения находим значение неизвестной 2C :
0 1 2
1 2
2
4 10 30 53;
5 25 11,5;
10,25.
4
C C C
C C
C
+ + = + = = =
5.2.2. Подставляем переменную 2C во второе уравнение и находим значение 1C :
0 1 2
1
2
4 10 30 53;
5 25 0,25 11,5;
0,25,
C C C
C
C
+ + = + ⋅ = =
0 1 2
1
2
4 10 30 53;
11,5 25 0,251,05;
50,25.
C C C
C
C
+ + = − ⋅ = =
=
5.2.3. Подставляем переменные 1C и 2C в первое уравнение и нахо-дим значение 0C :
0
1
2
4 10 1,05 30 0,25 53;
1,05;
0,25,
C
C
C
+ ⋅ + ⋅ = = =
0
1
2
53 10 1,05 30 0,258,75;
41,05;
0,25,
C
C
C
− ⋅ − ⋅ = = = =
0
1
2
8,75;
1,05;
0,25.
C
C
C
= = =
6. Уравнение аппроксимирующей функции ( )f x принимает вид:
( ) 0 1 28,75 1,05 0,25f x x x x= + + . (3.6)
![Page 59: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/59.jpg)
59
7. Оценим точность описания экспериментальных данных функ- цией (3.6) и построим следующие графики: а) график функции ( )f x и экспериментальных данных; б) абсолютных отклонений между функци-ей (3.6) и экспериментальными данными; в) относительных отклонений между функцией (3.6) и экспериментальными данными. Рассчитаем ин-декс детерминации.
7.1. График функции ( )f x с нанесенными на него эксперименталь-ными данными представлен на рис. 3.2.
7.2. Абсолютные отклонения между аппроксимирующей функцией и экспериментальными данными вычисляются по формуле:
( )y f x y∆ = − . (3.7)
Значения абсолютной погрешности, рассчитанные по уравнен- ию (3.7), представлены на рис. 3.3.
7.3. Относительные отклонения между аппроксимирующей функци-ей и экспериментальными данными вычисляются по формуле:
( )
( ) 100%f x y
yf x
−δ = ⋅ . (3.8)
Значения относительной погрешности, рассчитанные по уравнен- ию (3.8), представлены на рис. 3.4.
9
10
11
12
13
14
15
16
17
0 1 2 3 4 x
y
1
2
Рис. 3.2. Аппроксимация экспериментальных данных: 1 – экспериментальные данные; 2 – аппроксимирующая функция ( )f x
![Page 60: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/60.jpg)
60
-0,2
-0,15
-0,1
-0,05
0
0,05
0,1
0,15
0 1 2 3 4 x
∆y
Рис. 3.3. Абсолютные отклонения между функцией ( )f x и экспериментальными данными
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
0 1 2 3 4 x
δy , %
Рис. 3.4. Относительные отклонения между функцией ( )f x и экспериментальными данными
7.4. Индекс детерминации вычисляется по формуле:
( )
( )
2
2 0
2
0
( )1 0,99813
k
i ii
k
ii
y f xR
y y
=
=
−= − =
−
∑
∑,
где y – среднее арифметическое значений y .
![Page 61: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/61.jpg)
61
Листинг программы в пакете MathCad 15 приведен в прил. В – рис. В 1.
Листинг функции с методом наименьших квадратов в пакете MathCad 15 приведен в прил. В – рис. В 2.
Листинг функции с методом Гаусса в пакете MathCad 15 приведен в прил. В – рис. В 3.
Пример 3.2. Использовали закваску, приготовленную на чистых
культурах мезофильных лактококков, температура сквашивания 32 °С. За указанное время образовывался плотный сгусток с отделением про-зрачной сыворотки, готовый к дальнейшей обработке. Динамика кислото-накопления при сквашивании смесей с различными соотношениями сухо-го обезжиренного молока (СОМ) и изолята соевого белка (ИСБ) приведена в табл. 3.2.
Необходимо найти: а) зависимости титруемой кислотности от продолжительности сквашивания для каждой серии эксперимента, ис-пользуя полином третьей степени; б) зависимости титруемой кислотности от продолжительности сквашивания и соотношения СОМ и ИСБ для каж- дой серии эксперимента, используя полином третьей степени.
Таблица 3.2
Динамика кислотонакопления при сквашивании образцов опытных смесей
Титруемая кислотность ph, °Т при продолжительности сквашивания t, ч
Соотношение СОМ и ИСБ n,
%
Кислотность смеси ph, °Т
1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 75:25 12 15 17 21 24 30 36 43 49 54 50:50 10 13 14 17 19 23 29 34 39 39 25:75 8 10 13 16 18 23 28 30 31 31
1. Определение зависимости титруемой кислотности от продол-жительности сквашивания.
1.1. Вид аппроксимирующей функции:
( )3
0 1 2 30 1 2 3
0
ii
i
f x C x C x C x C x C x=
= = + + +∑ .
1.2. Определение коэффициентов iC для разных соотношений СОМ и ИСБ методом наименьших квадратов (см. пример 3.1).
Соотношение СОМ и ИСБ 75:25:
( ) 0 1 2 375:25 12,333 0,841 2,927 0,213f x x x x x= − + − .
![Page 62: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/62.jpg)
62
Соотношение СОМ и ИСБ 50:50:
( ) 0 1 2 350:50 10,641 1,878 3,066 0,299f x x x x x= − + − .
Соотношение СОМ и ИСБ 25:75:
( ) 0 1 2 325:75 8,23 1,89 3,859 0,513f x x x x x= − + − .
2. Определение зависимости титруемой кислотности от продолжи-тельности сквашивания и соотношения СОМ и ИСБ.
2.1. В данном случае функция ( )f x зависит от двух переменных и имеет вид:
( ) 1 2 0 3 0 2 0 1 1 1 2 1
0 1 2 3 4 5
0 0 1 0 2 0 2 0 3 06 7 8 9 10
,
,
f x y C x y C x y C x y C x y C x y C x y
C x y C x y C x y C x y C x y
= + + + + + +
+ + + + + (3.9)
где x – продолжительность сквашивания; y – соотношение СОМ и ИСБ. 2.2. Алгоритм определения коэффициентов iC функции двух пере-
менных (3.9) аналогичен алгоритму для функции одной переменной (см. пример 3.1).
2.3. Построим график аппроксимирующей функции ( ),f x y и нане-
сем на него экспериментальные данные (рис. 3.5). Из рис. 3.5 видно, что аппроксимирующая функция при соотноше-
нии СОМ и ИСБ 75:25 и 50:50 на интервале времени от нуля до единицы имеет минимум. В соответствии с теорией зависимость титруемой кислот-ности от времени не должна иметь точек экстремума на всем интервале. Попробуем максимально привести вид аппроксимирующей функции в со-ответствие с теорией. Для этого используем взвешенный метод наимень-ших квадратов.
2.4. Определение зависимости титруемой кислотности от продолжи-тельности сквашивания и соотношения СОМ и ИСБ взвешенным методом наименьших квадратов.
2.4.1. Минимизируемая функция для взвешенного метода наимень-ших квадратов:
( ) ( )( )9
2
0
,k k k kk
F C f x y z w=
= −∑ ,
где z – титруемая кислотность; w – вес точки. Суть метода заключается в том, что в зависимости от веса точки она
дает разный вклад в минимизируемую функцию. При нулевом весе точка не учитывается при аппроксимации. С увеличением веса увеличивается и вклад точки. Если необходимо, чтобы аппроксимирующая функция
![Page 63: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/63.jpg)
63
прошла ближе к экспериментальной точке, то ее вес увеличивается. В слу-чае, когда экспериментальная точка определена с большой погрешностью, то ее вес уменьшается или обнуляется. При равенстве весов всех точек единице реализуется обычный метод наименьших квадратов.
Рис. 3.5. Аппроксимация методом наименьших квадратов.
Точками обозначены экспериментальные данные, линиями – аппроксимирующие функции
2.4.2. Построим график аппроксимирующей функции ( ),f x y , полу-
ченной взвешенным методом наименьших квадратов, и нанесем на него экспериментальные данные (рис. 3.6).
Из рис. 3.6 видно, что с правильно подобранными весами удалось получить аппроксимирующую функцию ( ),f x y в виде максимально со-
ответствующем теории. Листинг программы в пакете MathCad 15 приведен в прил. В –
рис. В 4. Листинг функции с взвешенным методом наименьших квадратов
в пакете MathCad 15 приведен в прил. В – рис. В 5. Листинг функции с методом Гаусса в пакете MathCad 15 приведен
в прил. В – рис. В 3.
![Page 64: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/64.jpg)
64
Рис. 3.6. Аппроксимация взвешенным методом наименьших квадратов.
Точками обозначены экспериментальные данные, линиями – аппроксимирующие функции
Пример 3.3. Аппроксимировать экспериментальные данные о тем-
пературе и плотности хладона R218 на жидкостной ветви линии фазового равновесия уравнением:
( ) ( ) 51 2 2
0 1 2 34
1 iss c i
i
T T x c c c cβ δ β δ−α β
=
ρ = − ∆ρ + ∆ρ + ∆ρ + ∆ρ + ∆ρ
∑ ,
где cT – критическая температура; 1c∆ρ = ρ ρ − – приведенная плотность; ρ – плотность; cρ – критическая плотность; 1δ = γ β + ; α , β , γ и δ – кри-тические индексы; ic ( 1 5i = … ) – коэффициенты уравнения.
Листинг программы в пакете MathCad 15 приведен в прил. В – рис. В 6.
Листинг функции с методом Гаусса в пакете MathCad 15 приведен в прил. В – рис. В 3.
![Page 65: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/65.jpg)
65
3.5. Задачи для самостоятельного решения
1. Аппроксимировать экспериментальные данные x и y функцией вида:
( ) 0 1 20 1 2f x C x C x C x= + + .
Значения x и y приведены в табл. 3.3.
Таблица 3.3
Экспериментальные данные для одномерной аппроксимации
i № варианта Данные
1 2 3 4 5 6 xi 4 6 8 10 12 14
1 yi 12 15 17 18 14 12 xi 8 7 6 5 4 3
2 yi 3 8 12 12 9 8 xi 2 4 5 7 9 11
3 yi 13 12 11 7 5 6 xi 2 3 6 10 12 13
4 yi 12 14 17 20 25 32 xi 4 5 6 8 10 11
5 yi 11 10 8 5 3 1 xi 4 5 7 9 10 13
6 yi 13 14 17 20 25 33 xi 12 15 17 19 20 21
7 yi 24 18 15 12 11 10 xi 23 25 27 30 31 33
8 yi 15 16 12 15 19 20 xi 1 3 4 9 11 12
9 yi 3 7 12 17 20 25 xi 6 8 9 12 14 15
10 yi 14 12 9 5 2 1
2. Аппроксимировать экспериментальные данные x , y и z функци-
ей вида:
( ) 0 0 1 0 1 1 2 0 0 1 0 20 1 2 3 4 3,f x y C x y C x y C x y C x y C x y C x y= + + + + + .
Значения x и y приведены в табл. 3.4.
![Page 66: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/66.jpg)
66
Таблица 3.4
Экспериментальные данные для многомерной аппроксимации
i № варианта Данные
1 2 3 4 5 6 xi 4 6 8 10 12 14 yi 12 15 17 18 14 12 1 zi 7 9 10 11 12 13 xi 8 7 6 5 4 3 yi 3 8 12 12 9 8 2 zi 5 6 7 8 9 10 xi 2 4 5 7 9 11 yi 13 12 11 7 5 6 3 zi 10 9 8 7 6 5 xi 2 3 6 10 12 13 yi 12 14 17 20 25 32 4 zi 6 5 4 3 2 1 xi 4 5 6 8 10 11 yi 11 10 8 5 3 1 5 zi 15 14 13 12 11 10
![Page 67: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/67.jpg)
67
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Васильков Ю.В., Василькова Н.Н. Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании: Учеб. пособие. – М.: Фи-нансы и статистика, 1999. – 256 с.
2. Дьяконов В.П. MathCAD 11/12/13 в математике: Справ. – М.: Го-рячая линия. – Телеком, 2007. – 958 с.
3. Использование MathCAD в теории матриц: Метод. указания / И.В. Кудрявцева, В.А. Рыков, С.А. Рыков, С.В. Рыков. – СПб.: СПбГУНиПТ, 2011. – 50 с.
4. Методы оптимизации в примерах в пакете MathCAD 15. Ч. I: Учеб. пособие / И.В. Кудрявцева, С.А. Рыков, С.В. Рыков, Е.Д. Ско-бов. – СПб.: НИУ ИТМО, ИХиБТ, 2014. – 166 с.
5. Охорзин В.А. Прикладная математика в системе MathCAD: Учеб. пособие. 2-е изд., испр. и доп. – СПб.: Лань, 2008. – 352 с.
6. Пантелеев А.В., Летова Т.А. Методы оптимизации в примерах и задачах: Учеб. пособие. 2-е изд., испр. – М.: Высш. шк., 2005. – 544 с.
7. Практикум по работе в математическом пакете MathCAD: Учеб. пособие / С.В. Рыков, И.В. Кудрявцева, С.А. Рыков, В.А. Ры-ков. – СПб.: Университет ИТМО, ИХиБТ, 2015. – 87 с.
8. Практические занятия в пакете MathCAD по исследованию систем линейных алгебраических уравнений: Учеб. пособие / В.А. Рыков, С.А. Рыков, И.В. Кудрявцева, С.В. Рыков. – СПб.: СПбГУНиПТ, 2009. – 107 с.
9. Расчет линии фазового равновесия диоксида углерода / И.В. Куд-рявцева, В.И. Камоцкий, С.В. Рыков, В.А. Рыков // Научный журнал НИУ ИТМО. Серия: Процессы и аппараты пищевых производств. 2013. № 4. С. 11.
10. Реклейтис Г., Рейвиндран А., Рэгстел К. Оптимизация в техни-ке. В 2 кн. Кн. 1. – М.: Мир, 1986. – 349 с.
11. Рыков А.В., Кудрявцева И.В., Рыков С.В. Уравнение линии насыщения, удовлетворяющее модифицированному правилу криволиней-ного диаметра // Научный журнал НИУ ИТМО. Серия: Холодильная тех-ника и кондиционирование. 2013. № 2. С. 9.
12. Рыков А.В., Кудрявцева И.В., Рыков С.В. Уравнения линии насыщения и упругости хладона R218 // Вестник Международной акаде-мии холода. 2013. № 4. С. 54–57.
13. Рыков С.В. Фундаментальное уравнение состояния, учитываю-щее асимметрию жидкости // Научно-технический вестник Поволжья. 2014. № 1. С. 33–36.
![Page 68: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/68.jpg)
68
14. Рыков С.В., Камоцкий В.И., Рыков В.А. Расчет паровой ветви линии насыщения перфторпропана в пакете MathCad // Научный журнал НИУ ИТМО. Серия: Процессы и аппараты пищевых производств. 2014. № 2. С. 23.
15. Рыков С.В., Кудрявцева И.В. Непараметрическое масштабное уравнение и феноменологическая теория критических явлений // Фунда-ментальные исследования. 2014. № 9 (8). С. 1687–1692.
16. Рыков С.В., Кудрявцева И.В., Киселев С.В. Расчет жидкостной ветви линии насыщения R218 в пакете MathCad // Научный журнал НИУ ИТМО. Серия: Холодильная техника и кондиционирование. 2014. № 1. С. 11.
17. Рыков С.В. Правило криволинейного диаметра и масштабное уравнение в переменных давление–температура // Вестник Международ-ной академии холода. 2015. № 1. С. 65–68.
18. Рыков С.В., Рябова Т.В. Расчет линии фазового равновесия ам-миака в пакете MathCad // Научный журнал НИУ ИТМО. Серия: Холо-дильная техника и кондиционирование. 2013. № 2. С. 8.
19. Рыков С.В., Самолетов В.А., Рыков В.А. Линия насыщения аммиака // Вестник Международной академии холода. 2008. № 4. С. 20–21.
20. Скейлинговые модели для описания термодинамических свойств вещества на линии насыщения: перспективы и ограничения / Е.Е. Устю-жанин, В.В. Шишаков, П.В. Попов, В.А. Рыков, М.Л. Френкель // Вестник Московского энергетического института. 2011. № 6. С. 167–179.
21. Скейлинговые модели для описания термодинамических свойств на линии насыщения: характеристики и критерии / Е.Е. Устюжанин, И.М. Абдулагатов, П.В. Попов, В.В. Шишаков, В.А. Рыков // Ультразвук и термодинамические свойства вещества. 2009. № 36. С. 110–112.
22. Скейлинговые модели для описания термодинамических свойств на линии насыщения: проблемы и некоторые решения / Е.Е. Устюжанин, В.В. Шишаков, И.М. Абдулагатов, П.В. Попов, В.А. Рыков, М.Л. Френ-кель // Сверхкритические флюиды: Теория и практика. 2012. Т. 7. № 3. С. 30–55.
23. Хаммельблау Д. Прикладное нелинейное программирова- ние. – М.: МИР, 1975. – 534 с.
![Page 69: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/69.jpg)
69
ПРИЛОЖЕНИЕ А
ЛИСТИНГИ ПРИМЕРОВ В MATHCAD 15 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Рис. А 1. Листинг программы классификации квадратичной формы и матрицы Гессе
![Page 70: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/70.jpg)
70
Рис. А 2. Листинг программы расчета градиента функции и матрицы Гессе
![Page 71: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/71.jpg)
71
Рис. А 2. Листинг программы расчета градиента функции и матрицы Гессе (продолжение)
![Page 72: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/72.jpg)
72
Рис. А 2. Листинг программы расчета градиента функции и матрицы Гессе (продолжение)
![Page 73: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/73.jpg)
73
Рис. А 2. Листинг программы расчета градиента функции и матрицы Гессе (продолжение)
![Page 74: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/74.jpg)
74
Рис. А 2. Листинг программы расчета градиента функции и матрицы Гессе (окончание)
![Page 75: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/75.jpg)
75
Рис. А 3. Листинг программы расчета градиента функции и матрицы Гессе
![Page 76: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/76.jpg)
76
Рис. А 3. Листинг программы расчета градиента функции и матрицы Гессе (продолжение)
![Page 77: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/77.jpg)
77
Рис. А 3. Листинг программы расчета градиента функции и матрицы Гессе (продолжение)
![Page 78: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/78.jpg)
78
Рис. А 3. Листинг программы расчета градиента функции и матрицы Гессе (продолжение)
![Page 79: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/79.jpg)
79
Рис. А 3. Листинг программы расчета градиента функции и матрицы Гессе (окончание)
![Page 80: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/80.jpg)
80
Рис. А 4. Листинг программы проверки выполнения условия Липшица
![Page 81: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/81.jpg)
81
Рис. А 4. Листинг программы проверки выполнения условия Липшица (продолжение)
![Page 82: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/82.jpg)
82
Рис. А 4. Листинг программы проверки выполнения условия Липшица (окончание)
![Page 83: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/83.jpg)
83
ПРИЛОЖЕНИЕ Б
ЛИСТИНГИ ПРИМЕРОВ В MATHCAD 15 БЕЗУСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
Рис. Б 1. Листинг программы идентификации точки с использованием угловых, главных миноров и собственных значений матрицы Гессе
![Page 84: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/84.jpg)
84
Рис. Б 1. Листинг программы идентификации точки с использованием угловых, главных миноров и собственных значений матрицы Гессе (продолжение)
![Page 85: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/85.jpg)
85
Рис. Б 1. Листинг программы идентификации точки с использованием угловых, главных миноров и собственных значений матрицы Гессе (продолжение)
![Page 86: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/86.jpg)
86
Рис. Б 1. Листинг программы идентификации точки с использованием угловых, главных миноров и собственных значений матрицы Гессе (продолжение)
![Page 87: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/87.jpg)
87
Рис. Б 1. Листинг программы идентификации точки с использованием угловых, главных миноров и собственных значений матрицы Гессе (продолжение)
![Page 88: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/88.jpg)
88
Рис. Б 1. Листинг программы идентификации точки с использованием угловых, главных миноров и собственных значений матрицы Гессе (окончание)
![Page 89: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/89.jpg)
89
Рис. Б 2. Листинг программы с описанием функций, используемых при расчете главных миноров матрицы Гессе
![Page 90: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/90.jpg)
90
Рис. Б 2. Листинг программы с описанием функций, используемых при расчете главных миноров матрицы Гессе (продолжение)
![Page 91: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/91.jpg)
91
Рис. Б 2. Листинг программы с описанием функций, используемых при расчете главных миноров матрицы Гессе (продолжение)
![Page 92: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/92.jpg)
92
Рис. Б 2. Листинг программы с описанием функций, используемых при расчете главных миноров матрицы Гессе (продолжение)
![Page 93: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/93.jpg)
93
Рис. Б 2. Листинг программы с описанием функций, используемых при расчете главных миноров матрицы Гессе (продолжение)
![Page 94: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/94.jpg)
94
Рис. Б 2. Листинг программы с описанием функций, используемых при расчете главных миноров матрицы Гессе (продолжение)
![Page 95: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/95.jpg)
95
Рис. Б 2. Листинг программы с описанием функций, используемых при расчете главных миноров матрицы Гессе (продолжение)
![Page 96: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/96.jpg)
96
Рис. Б 2. Листинг программы с описанием функций, используемых при расчете главных миноров матрицы Гессе (окончание)
![Page 97: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/97.jpg)
97
Рис. Б 3. Листинг программы поиска безусловного экстремума
![Page 98: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/98.jpg)
98
Рис. Б 3. Листинг программы поиска безусловного экстремума (продолжение)
![Page 99: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/99.jpg)
99
Рис. Б 3. Листинг программы поиска безусловного экстремума (продолжение)
![Page 100: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/100.jpg)
100
Рис. Б 3. Листинг программы поиска безусловного экстремума (продолжение)
![Page 101: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/101.jpg)
101
Рис. Б 3. Листинг программы поиска безусловного экстремума (продолжение)
![Page 102: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/102.jpg)
102
Рис. Б 3. Листинг программы поиска безусловного экстремума (продолжение)
![Page 103: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/103.jpg)
103
Рис. Б 3. Листинг программы поиска безусловного экстремума (продолжение)
![Page 104: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/104.jpg)
104
Рис. Б 3. Листинг программы поиска безусловного экстремума (продолжение)
![Page 105: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/105.jpg)
105
Рис. Б 3. Листинг программы поиска безусловного экстремума (продолжение)
![Page 106: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/106.jpg)
106
Рис. Б 3. Листинг программы поиска безусловного экстремума (продолжение)
![Page 107: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/107.jpg)
107
Рис. Б 3. Листинг программы поиска безусловного экстремума (окончание)
![Page 108: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/108.jpg)
108
Рис. Б 4. Листинг программы поиска безусловного экстремума функции
![Page 109: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/109.jpg)
109
Рис. Б 4. Листинг программы поиска безусловного экстремума функции (продолжение)
![Page 110: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/110.jpg)
110
Рис. Б 4. Листинг программы поиска безусловного экстремума функции (продолжение)
![Page 111: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/111.jpg)
111
Рис. Б 4. Листинг программы поиска безусловного экстремума функции (продолжение)
![Page 112: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/112.jpg)
112
Рис. Б 4. Листинг программы поиска безусловного экстремума функции (продолжение)
![Page 113: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/113.jpg)
113
Рис. Б 4. Листинг программы поиска безусловного экстремума функции (продолжение)
![Page 114: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/114.jpg)
114
Рис. Б 4. Листинг программы поиска безусловного экстремума функции (продолжение)
![Page 115: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/115.jpg)
115
Рис. Б 4. Листинг программы поиска безусловного экстремума функции (продолжение)
![Page 116: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/116.jpg)
116
Рис. Б 4. Листинг программы поиска безусловного экстремума функции (продолжение)
![Page 117: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/117.jpg)
117
Рис. Б 4. Листинг программы поиска безусловного экстремума функции (окончание)
![Page 118: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/118.jpg)
118
Рис. Б 5. Листинг программы поиска безусловного экстремума функции Розенброка
![Page 119: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/119.jpg)
119
Рис. Б 5. Листинг программы поиска безусловного экстремума функции Розенброка (продолжение)
![Page 120: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/120.jpg)
120
Рис. Б 5. Листинг программы поиска безусловного экстремума функции Розенброка (продолжение)
![Page 121: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/121.jpg)
121
Рис. Б 5. Листинг программы поиска безусловного экстремума функции Розенброка (продолжение)
![Page 122: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/122.jpg)
122
Рис. Б 5. Листинг программы поиска безусловного экстремума функции Розенброка (окончание)
![Page 123: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/123.jpg)
123
Рис. Б 6. Листинг программы поиска безусловного экстремума функции Хаммельблау
![Page 124: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/124.jpg)
124
Рис. Б 6. Листинг программы поиска безусловного экстремума функции Хаммельблау (продолжение)
![Page 125: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/125.jpg)
125
Рис. Б 6. Листинг программы поиска безусловного экстремума функции Хаммельблау (продолжение)
![Page 126: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/126.jpg)
126
Рис. Б 6. Листинг программы поиска безусловного экстремума функции Хаммельблау (продолжение)
![Page 127: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/127.jpg)
127
Рис. Б 6. Листинг программы поиска безусловного экстремума функции Хаммельблау (продолжение)
![Page 128: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/128.jpg)
128
Рис. Б 6. Листинг программы поиска безусловного экстремума функции Хаммельблау (окончание)
![Page 129: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/129.jpg)
129
ПРИЛОЖЕНИЕ В
ЛИСТИНГИ ПРИМЕРОВ В MATHCAD 15 МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
Рис. В 1. Листинг программы поиска коэффициентов функции одной переменной
![Page 130: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/130.jpg)
130
Рис. В 1. Листинг программы поиска коэффициентов функции одной переменной (продолжение)
![Page 131: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/131.jpg)
131
Рис. В 1. Листинг программы поиска коэффициентов функции одной переменной (продолжение)
![Page 132: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/132.jpg)
132
Рис. В 1. Листинг программы поиска коэффициентов функции одной переменной (продолжение)
![Page 133: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/133.jpg)
133
Рис. В 1. Листинг программы поиска коэффициентов функции одной переменной (продолжение)
![Page 134: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/134.jpg)
134
Рис. В 1. Листинг программы поиска коэффициентов функции одной переменной (продолжение)
![Page 135: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/135.jpg)
135
Рис. В 1. Листинг программы поиска коэффициентов функции одной переменной (продолжение)
![Page 136: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/136.jpg)
136
Рис. В 1. Листинг программы поиска коэффициентов функции одной переменной (окончание)
![Page 137: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/137.jpg)
137
Рис. В 2. Листинг программы вычисления коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений методом наименьших квадратов
![Page 138: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/138.jpg)
138
Рис. В 3. Листинг программы решения системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса
![Page 139: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/139.jpg)
139
Рис. В 4. Листинг программы поиска коэффициентов функции двух переменных
![Page 140: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/140.jpg)
140
Рис. В 4. Листинг программы поиска коэффициентов функции двух переменных (продолжение)
![Page 141: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/141.jpg)
141
Рис. В 4. Листинг программы поиска коэффициентов функции двух переменных (продолжение)
![Page 142: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/142.jpg)
142
Рис. В 4. Листинг программы поиска коэффициентов функции двух переменных (продолжение)
![Page 143: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/143.jpg)
143
Рис. В 4. Листинг программы поиска коэффициентов функции двух переменных (продолжение)
![Page 144: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/144.jpg)
144
Рис. В 4. Листинг программы поиска коэффициентов функции двух переменных (продолжение)
![Page 145: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/145.jpg)
145
Рис. В 4. Листинг программы поиска коэффициентов функции двух переменных (продолжение)
![Page 146: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/146.jpg)
146
Рис. В 4. Листинг программы поиска коэффициентов функции двух переменных (продолжение)
![Page 147: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/147.jpg)
147
Рис. В 4. Листинг программы поиска коэффициентов функции двух переменных (продолжение)
![Page 148: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/148.jpg)
148
Рис. В 4. Листинг программы поиска коэффициентов функции двух переменных (продолжение)
![Page 149: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/149.jpg)
149
Рис. В 4. Листинг программы поиска коэффициентов функции двух переменных (продолжение)
![Page 150: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/150.jpg)
150
Рис. В 4. Листинг программы поиска коэффициентов функции двух переменных (продолжение)
![Page 151: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/151.jpg)
151
Рис. В 4. Листинг программы поиска коэффициентов функции двух переменных (продолжение)
![Page 152: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/152.jpg)
152
Рис. В 4. Листинг программы поиска коэффициентов функции двух переменных (продолжение)
![Page 153: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/153.jpg)
153
Рис. В 4. Листинг программы поиска коэффициентов функции двух переменных (продолжение)
![Page 154: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/154.jpg)
154
Рис. В 4. Листинг программы поиска коэффициентов функции двух переменных (продолжение)
![Page 155: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/155.jpg)
155
Рис. В 4. Листинг программы поиска коэффициентов функции двух переменных (окончание)
![Page 156: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/156.jpg)
156
Рис. В 5. Листинг программы вычисления коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений взвешенным методом наименьших квадратов
![Page 157: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/157.jpg)
157
Рис. В 6. Листинг программы поиска коэффициентов жидкостной ветви линии фазового равновесия
![Page 158: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/158.jpg)
158
Рис. В 6. Листинг программы поиска коэффициентов жидкостной ветви линии фазового равновесия (продолжение)
![Page 159: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/159.jpg)
159
Рис. В 6. Листинг программы поиска коэффициентов жидкостной ветви линии фазового равновесия (продолжение)
![Page 160: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/160.jpg)
160
Рис. В 6. Листинг программы поиска коэффициентов жидкостной ветви линии фазового равновесия (продолжение)
![Page 161: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/161.jpg)
161
Рис. В 6. Листинг программы поиска коэффициентов жидкостной ветви линии фазового равновесия (продолжение)
![Page 162: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/162.jpg)
162
Рис. В 6. Листинг программы поиска коэффициентов жидкостной ветви линии фазового равновесия (продолжение)
![Page 163: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/163.jpg)
163
Рис. В 6. Листинг программы поиска коэффициентов жидкостной ветви линии фазового равновесия (продолжение)
![Page 164: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/164.jpg)
164
Рис. В 6. Листинг программы поиска коэффициентов жидкостной ветви линии фазового равновесия (продолжение)
![Page 165: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/165.jpg)
165
Рис. В 6. Листинг программы поиска коэффициентов жидкостной ветви линии фазового равновесия (продолжение)
![Page 166: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/166.jpg)
166
Рис. В 6. Листинг программы поиска коэффициентов жидкостной ветви линии фазового равновесия (продолжение)
![Page 167: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/167.jpg)
167
Рис. В 6. Листинг программы поиска коэффициентов жидкостной ветви линии фазового равновесия (продолжение)
![Page 168: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/168.jpg)
168
Рис. В 6. Листинг программы поиска коэффициентов жидкостной ветви линии фазового равновесия (продолжение)
![Page 169: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/169.jpg)
169
Рис. В 6. Листинг программы поиска коэффициентов жидкостной ветви линии фазового равновесия (продолжение)
![Page 170: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/170.jpg)
170
Рис. В 6. Листинг программы поиска коэффициентов жидкостной ветви линии фазового равновесия (продолжение)
![Page 171: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/171.jpg)
171
Рис. В 6. Листинг программы поиска коэффициентов жидкостной ветви линии фазового равновесия (продолжение)
![Page 172: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/172.jpg)
172
Рис. В 6. Листинг программы поиска коэффициентов жидкостной ветви линии фазового равновесия (продолжение)
![Page 173: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/173.jpg)
173
Рис. В 6. Листинг программы поиска коэффициентов жидкостной ветви линии фазового равновесия (продолжение)
![Page 174: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/174.jpg)
174
Рис. В 6. Листинг программы поиска коэффициентов жидкостной ветви линии фазового равновесия (продолжение)
![Page 175: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/175.jpg)
175
Рис. В 6. Листинг программы поиска коэффициентов жидкостной ветви линии фазового равновесия (окончание)
![Page 176: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/176.jpg)
176
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ .........................................................................................................3 1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ .....................................................................4
1.1. Общая постановка задачи .......................................................................4 1.2. Градиент функции ...................................................................................5 1.3. Матрица Гессе..........................................................................................6 1.4. Приращение функции .............................................................................6 1.5. Квадратичная форма ...............................................................................6 1.6. Выпуклое множество ..............................................................................7 1.7. Выпуклые функции .................................................................................7 1.8. Минимум функции ..................................................................................8 1.9. Условие Липшица....................................................................................8 1.10. Угловые и главные миноры матрицы Гессе .......................................9 1.11. Собственные значения матрицы Гессе ...............................................9 1.12. Практические примеры.......................................................................10 1.13. Задачи для самостоятельного решения .............................................19
2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПОИСКА БЕЗУСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА ............................................................................................20 2.1. Постановка задачи.................................................................................20
2.1.1. Необходимые условия безусловного экстремума первого порядка .........................................................................20
2.1.2. Необходимые условия второго порядка ...................................20 2.1.3. Достаточные условия второго порядка ....................................21
2.2. Критерии проверки условий экстремума............................................21 2.2.1. Дополнительные исследования стационарных точек .............22 2.2.2. Алгоритм решения задачи..........................................................23
2.3. Практические примеры .........................................................................25 2.4. Задачи для самостоятельного решения ...............................................44
3. АППРОКСИМАЦИЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ............................................48 3.1. Аппроксимация данных........................................................................48 3.2. Метод наименьших квадратов .............................................................48 3.3. Решение системы линейных алгебраических уравнений
методом Гаусса .....................................................................................50 3.3.1. Прямой ход метода Гаусса .........................................................50 3.3.2. Обратный ход метода Гаусса .....................................................53
3.4. Практические примеры .........................................................................54 3.5. Задачи для самостоятельного решения ...............................................65
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ................................................................................67
![Page 177: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/177.jpg)
177
ПРИЛОЖЕНИЕ А. ЛИСТИНГИ ПРИМЕРОВ В MATHCAD 15 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ...................................................................69
ПРИЛОЖЕНИЕ Б. ЛИСТИНГИ ПРИМЕРОВ В MATHCAD 15 БЕЗУСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ................................................................83
ПРИЛОЖЕНИЕ В. ЛИСТИНГИ ПРИМЕРОВ В MATHCAD 15 МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ ................................................129
![Page 178: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В …books.ifmo.ru/file/pdf/1896.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070716/5edb9acfad6a402d6665e906/html5/thumbnails/178.jpg)
Рыков Сергей Владимирович Кудрявцева Ирина Владимировна
Рыков Сергей Алексеевич Рыков Владимир Алексеевич
МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В ПАКЕТЕ MATHCAD 15
Часть II
Учебное пособие
Ответственный редактор Т.Г. Смирнова
Титульный редактор
Т.В. Белянкина
Компьютерная верстка С.В. Рыков
Дизайн обложки Н.А. Потехина
Печатается
в авторской редакции
Подписано в печать 30.12.2015. Формат 60×84 1/16 Усл. печ. л. 10,46. Печ. л. 11,25. Уч.-изд. л. 11,0
Тираж 100 экз. Заказ № С 108
Университет ИТМО. 197101, Санкт-Петербург, Кронверкский пр., 49
Издательско-информационный комплекс 191002, Санкт-Петербург, ул. Ломоносова, 9