제1장 벡터 - chonbukrobotics.chonbuk.ac.kr/courses/2012spring_linearalgebra/...- 7 - [예제 2]...
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제1장 벡터
1.1 공학과 수학에서의 벡터와 행렬 및 -공간
스칼라와 벡터
- 속도
- 힘
- 변위
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- 벡터를 , , , ,
동치벡터
- 제한벡터(bound vector), 자유벡터(free vector)
- 두 벡터 와 가 상등(equal) 또는 동치(equivalent)
: 와 가 동치벡터 로 표기
․ 영벡터(zero vector)
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벡터덧셈
- 벡터덧셈의 평행사변형규칙
- 벡터덧셈의 삼각규칙
- 평행이동으로서의 벡터덧셈
․ 를 각각 의 에 의한 평행이동(translation)
또는 의 에 의한 평행이동
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[예제 1] 물리학과 공학에서의 벡터덧셈
벡터뺄셈
- 의 덧셈역원(negative) :
- 에서 까지의 차이(difference)
- 스칼라곱
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좌표계에서의 벡터
- 2-공간의 직교좌표계
․ 의 좌표(coordinate) :
- 3-공간의 직교좌표계 : 왼손 좌표계, 오른손 좌표계
․ 순서 3-짝의 수들을 의 좌표:
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- 의 좌표계에 대한 성분(component)
시점이 원점에 있지 않은 벡터들의 성분
<정리 1.1.1>
(a) 2-공간에서 시점이 , 끝점
(b) 3-공간에서 시점이 , 끝점
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[예제 2] 시점이 원점에 있지 않은 벡터의 성분
시점 , 끝점
의 벡터
<정의 1.1.2> 양수 에 대하여 순서 -짝(ordered -tuple)이란 개의 실수들의 수열 을 뜻한다.
이러한 순서 -짝들을 모두 모아놓은 집합을 -공간이라
하고 으로 표기한다.
- , , 을 가시공간(visible space)
- , , …를 고차원 공간(higher-dimensional space)
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[예제 3] 고차원 공간 내의 벡터들의 보기
실험데이터 : 실험의 결과 벡터
창고관리 : 관리창고에 있는 트럭의 분포
전기회로 : 입력벡터 를 출력벡터
으로 변환
그래픽 이미지 : 하나의 칼라이미지는 와 같
은 형태로 주어지는 5-짝들의 모임, 와
는 화면의 각 화소의 좌표이고 , ,
는 화소의 색상, 채도, 명도 값
경제 : 전체 경제가 산출하는 원화가치는
역학계 : 좌표가 각각 ,,…,이고 속도가 각각
…
시각 일 때의 상태(state)
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벡터의 상등(equality)
<정의 1.1.3> 의 벡터 과
이 동치(또는 상등)(equivalent, equal)
<정의 1.1.4> 내의 두 벡터 과 과 임의의 스칼라
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<정리 1.1.15> ,,가 의 벡터들, 와 이 스칼라
증명(b) , ,
<정리 1.1.16> 가 내의 벡터이고 가 스칼라이면
셋 또는 그 이상의 벡터들의 합
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평행한 벡터와 동일직선 상의 벡터
<정의 1.1.7> 의 두 벡터가 평행하다(parallel) 또는 동일직선 상에 있다(collinear)란 한 벡터가 다른 벡터의 스칼라배수인 경우를 뜻한다. 양의 스칼라배수이면 이 두 벡터는 같은 방향, 음의 스칼라배수이면 이들은 반대방향.
일차결합
<정의 1.1.8> 의 벡터 가 벡터 , ,…,의 일차결
합(linear combination)이란
스칼라 , ,…,은 일차결합의 계수(coefficient)
인 경우 : , 가 의 일차결합은 가 의
스칼라배수
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컴퓨터 색상모델로의 응용
- RGB 색상모델(RGB color model)
․ 모든 색벡터들의 집합을 RGB공간 또는 RGB 색정육면
체
․ 색정육면체 내의 각 색벡터 는 ≤ ≤ 인 다음 일
차결합
회색
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벡터의 다른 표기방식
의 벡터의 표기 : 괄호표기(comma-delimited) 형식
행벡터(row-vector) 형식
열벡터(column-vector) 형식
행렬
- 행렬(matrix)을 성분(entry)
․ 행렬이 개의 행과 개의 열 : 크기(size) = ×
․ 한 개의 행, 행벡터(row vector)
․ 한 개의 열, 열벡터(column vector)
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- 연결성 그래프(connectivity graph)/ 그래프
⇐ 꼭지점(vertex)와 변(edge)
- 유향그래프 : 인접성행렬(adjacency matrix)로 표시가능
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1.2 점곱과 직교성
벡터의 길이
- 또는 에서의 벡터 의 길이는 보통
<정의 1.2.1> 가 의 벡터, 의 길이
(length) 또는 놈(norm) 혹은 크기(magnitude)는
[예제 1] 길이의 계산
의 벡터 의 길이
의 벡터 의 길이
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<정리 1.2.2> 가 의 벡터이고 가 임의의 스칼라
단위벡터
- 길이가 1인 벡터를 단위벡터(unit vector)
․ 의 정규화(normalizing)
[예제 2] 벡터의 정규화
와 같은 방향을 갖는 단위벡터
(풀이) 벡터 의 길이는
[개념문제] 단위벡터는 2-공간 또는 3-공간에서 방향을
나타낼 때 사용
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표준단위벡터
- 나 의 직교좌표계에서 좌표축의 양의 방향의 단위
벡터들을 기본단위벡터 (standard unit vectors)
- 에서는
- 의 모든 벡터 는 기본단위벡터들로 표현
- 에서의 기본단위벡터는
- 의 벡터
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내의 점들 간의 거리
- 과 가 또는 상의 점이면 벡터 의 길이
는 두 점간 거리
- 과 가 의 점이라면
<정의 1.2.3> 과 이 의
점이면 이들 와 사이의 거리(distance)를
<정리 1.2.4> 와가 의 점이라면
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점곱
<정의 1.2.5> 와 가 의 벡
터이면 와 의 점곱(dot product) 또는 와 의 Euclid 내적 (Euclidean inner product)은 ⋅
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[예제 3] 점곱의 ISBN에의 응용
국제 표준 서적번호 (International Standard Book
Number) 또는 ISBN이라 하는 10자리 숫자가 부여, 처음
아홉자리는 세 부분으로 나뉘는데, 처음 부분은 책이 기원
된 나라나 나라의 집단, 두 번째 부분은 출판사, 세 번째
부분은 책 제목 자체에 부여, 열 번째 마지막 자리수는 확
인자리수(check digit)
ISBN의 처음 아홉자리수를 의 벡터 라 하고
벡터
확인자리수 는 다음 과정을 통해 계산
①점곱 ⋅를 계산
②⋅를 11로 나누어 그 나머지를 . 는 0보다 크거나
같고 10보다 작거나 같은 수. 를 확인자리수. 이 되
는 경우는 로 표기.
Howard Anton이 저술한 미적분학 개정 6판의 ISBN
∴ 확인자리수는 9
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점곱의 대수적 성질
<정리 1.2.6> 만약 ,,가 의 벡터이고 가 실수
<정리 1.2.7> 만약 ,,가 의 벡터이고 가 스칼라
와 의 벡터의 사이각
- 와 의 사이각(angle)
: 의 라디안 값은 ≤≤
: 에서는 각 는 시계반대방향의 각도
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<정리 1.2.8> 와 가 또는 의 벡터들이고 가 이들 벡터의 사이각이라 하면
[예제 5] 사이각 공식의 응용
정육면체의 대각선과 한변이 이루는 사이각 를 구하라.
(풀이)
는 정육면체의 대각선
벡터 , ,
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[예제 6] 에서 주어진 벡터와 수직인 벡터 구하기
에서 영이 아닌 벡터 와 수직인 영이 아닌 벡터
(풀이)∙
가 수직인 벡터
도 수직인 벡터
의 임의의 스칼라배수도 수직
직교성
<정의 1.2.9> 의 벡터 와 가 직교한다(orthogonal)란
⋅ , 공집합이 아닌 의 벡터들의 집합이 직교집합(orthogonal set)이란 이 집합의 임의의 서로 다른 한쌍의 벡터가 직교
- 가 공집합이 아닌 의 벡터들의 집합이고 가 의
모든 벡터들과 직교한다면 가 와 직교한다
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정규직교집합
<정의 1.2.10> 의 두 벡터 와 가 정규직교(orthonomal)한다란 이들이 직교하고 길이가 1인 경우를 뜻하고, 벡터들의 집합이 정규직교집합(orthonomal set)이란 이 집합의 모든 벡터들의 길이가 1이고 이 집합 속의 서로 다른 임의의 한 쌍의 벡터들이 직교
[예제 10] 의 정규직교집합
다음 벡터들은 에서 정규직교집합
과
에서의 Euclid 기하학
<정리 1.2.11> (Pythagoras 정리) 와 가 의 직교하는 벡터이면
증명
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<정리 1.2.12> (에서의 Cauchy-Schwarz 부등식) 와
가 의 벡터이면
(제곱근을 취해주면) 동치적으로
<정리 1.2.13> (벡터에 관한 삼각부등식) ,,가 의 벡터이면
<정리 1.2.14> (벡터에 관한 평행사변형 등식) ,,가
의 벡터이면
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<정리 1.2.15> (거리의 삼각부등식) ,,가 의 점이라면
[미리보기] 에서의 길이, 사이각, 거리 등은 점곱(또는
Euclid 내적)을 사용하여 표현
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1.3 직선과 평면의 벡터방정식
직선의 벡터방정식과 매개방정식
- 또는 의 직선은 그 위의 한점 와 직선에 평행
한 영이 아닌 벡터
- →
- 를 지나고 와 평행한 직선의 벡터방정식
․ 인 경우
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- 매개방정식(parametric equation)
: 를 점 를 지나고 벡터 에
평행한 직선
- 매개방정식
- 를 점 를 지나고 벡터
에 평행한 직선 상의 일반적인 점
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[예제 1] 직선의 벡터방정식
(a) 상에서 원점을 지나고 벡터 에 평행한 직
선의 벡터 및 매개방정식을 구하여라.
(b) 상에서 점 을 지나고 벡터 에
평행한 직선의 벡터 및 매개방정식을 구하여라.
(c) 항목 (b)에서 구한 벡터방정식을 사용하여 와는 다
른 직선 상의 두 점을 구하여라.
(풀이 a) ,
(풀이 b)
(풀이 c)
을 취해주면 : 점 이면 점 , 이면 점
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두 점을 지나는 직선
- 과 이 또는 의 서로 다른
두 점이라면 이들 점을 지나는 직선
은 벡터 와 평행
- 와 을 지나는 직선의 두 점 벡터방정식(two-point
vector equation)
- 가 구간 ≤ ≤로 제한되었다면 에서 까지의 선
분(line segment)
[예제 2]
상의 점 과 점 을 지나는 직선의 벡터 및
매개방정식을 구하여라.
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평면의 점-법선형 방정식
- 내의 평면은 이 평면 안의 한 점
과 평면에 수직인 벡터 에 의하
여 유일
․ 벡터 을 평면의 법선벡터(normal)
- 벡터 은 과 직교
- 가 을 지나고 를 법선
벡터로 갖는 평면 위의 점
- 평면의 일반적인 방정식(general equation)
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[예제 3] 평면의 점-법선형 방정식 구하기
한 점 을 지나고 법선벡터가 인 평면
의 점-법선형방정식과 일반적인 방정식을 구하여라.
(풀이)
평면의 벡터 및 매개방정식
- 평면 는 내의 한점 와 서로 스칼라배수가 되지
않고 에 평행한 두 벡터 과 에 의하여 유일하게
결정
․
․
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- 을 지나고 과 에 평행한 평면은 다음 방정식으로
표현
․ 을 지나고 과 에 평행한 평면의 벡터방정식
[예제 4] 평면의 벡터 및 매개방정식
(a) 상의 원점을 지나고 벡터 과
와 평행한 평면의 벡터 및 매개방정식을
구하여라.
(b) 항목 (a)에서 구한 평면에 있는 세 점을 구하여라.
(풀이 a) 평면의 벡터방정식은
[예제 5] 세 점을 지나는 평면
평면은 동일직선 상에 있지 않은 세 점으로 유일하게 결
정된다. ,,가 그러한 세 점이라면 벡터 과
은 평면과 평행하게 되어서 (그림을 그려라),
(20)으로 부터 평면의 벡터방정식
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세 점 , , 을 지나는 평면
의 벡터 및 매개방정식을 구하여라.
(풀이) ,,를 각각 점 , ,
[예제 6] 매개방정식으로부터 벡터방정식 구하기
(풀이)
점 을 지나고 벡터 , 과 평행
한 평면의 벡터방정식
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[예제 7] 일반적인 방정식으로 부터 매개방정식 구하기
평면 의 매개방정식을 구하여라.
(풀이)
에서의 직선과 평면
<정의 1.3.1>
(a) 이 의 벡터이고 가 에서 영이 아닌 벡터라
하면 을 지나고 에 평행한 직선
(b) 이 의 벡터이고 과 가 에서 영이 아니고 하나가 다른 하나의 스칼라배수가 아닌 벡터라 하면 을 지나고 과 에 평행한 평면
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[예제 8] 의 직선과 평면의 매개방정식
(a) 의 원점을 지나고 벡터 과 평행한 직선
의 벡터 및 매개방정식
(b) 에서 점 을 지나고 벡터 와
과 평행한 평면의 벡터 및 매개방정식
(풀이 a) 라 놓으면 벡터방정식 는
(풀이 b) 벡터방정식 는
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용어에 대한 설명
vector 가 직선 L에 있다는 의미