1

UNIVERZITET U ISTONOM SARAJEVU ELEKTROTEHNIKI FAKULTET

redovni profesor dr Slavko Pokorni, dipl. in. el.

OSNOVI ELEKTROTEHNIKE 1

Vremenski konstantne elektrine struje

2011.

2

Sadraj

1. OSNOVNI POJMOVI I PRVI KIRHOFOV ZAKON ..................................................................... 4 1.1. O obrazovanju elektrine struje u vrstim i tenim provodnicima .......................................... 4 1.2. Gustina struje i intenzitet struje ............................................................................................... 6 1.3. Prvi Kirhofov zakon ................................................................................................................... 9 1.4. Osnovne integralne jednaine stacionarnog strujnog polja ................................................... 12

2. SPECIFINA PROVODNOST I SPECIFINA OTPORNOST .................................................................. 13 2.1. Definicija specifine provodnosti i specifine otpornosti ....................................................... 13 2.2. Specifina otpornost metalnih provodnika ............................................................................ 13 2.3. Pokretljivost elektrona u metalima......................................................................................... 14 2.4. Superprovodnici ...................................................................................................................... 14 2.5. Elektrina provodnost dielektrika ........................................................................................... 15 2.6. Gustina snage transformacije elektrine energije u provodnicima u toplotnu ..................... 16

3. OTPORNICI I OMOV ZAKON. DULOV ZAKON ................................................................................ 18 3.1. Otpornici i Omov zakon ........................................................................................................... 18 3.2. Dogovor o raunanju napona izmeu krajeva otpornika ....................................................... 19 3.3. Zavisnost otpornosti od temperature ..................................................................................... 20 3.4. Dulov zakon ........................................................................................................................... 20 3.5. Redna, paralelna i meovita veza otpornika ........................................................................... 21 3.6. Uzemljivai i otpornost uzemljenja. Napon koraka ................................................................ 24

4. ELEKTRINI GENERATORI I DRUGI KIRHOFOV ZAKON ................................................................... 27 4.1. Elektromotorna sila i unutranja otpornost generatora ........................................................ 29 4.2. Odreivanje jaine struje u elektrinom kolu sa jednim generatorom i otpornikom ........... 31 4.3. Uslov prenosa maksimalne snage ........................................................................................... 32 4.4. Napon izmeu prikljuaka generatora.................................................................................... 33 4.5. Odreivanje jaine struje u elektrinom kolu sa vie generatora i otpornika ....................... 35 4.6. Potencijal i napon u elektrinom kolu .................................................................................... 37 4.7. Elektrine mree i drugi Kirhofov zakon ................................................................................. 39 4.8. Strujni generatori .................................................................................................................... 39

5. METODE REAVANJA ELEKTRINIH MREA ................................................................................... 43 5.1. Graf elektrine mree .............................................................................................................. 43 5.2. Reavanje elektrinih mrea direktnom primenom Kirhofovih zakona ................................. 45 5.3. Metoda konturnih struja ......................................................................................................... 47 5.4. Metoda potencijala vorova ................................................................................................... 52 5.5. Ekvivalencija veze otpornika u zvezdu i trougao .................................................................... 55 5.6. Delitelj napona i strujni delitelj ............................................................................................... 56 5.7. Teoreme elektrinih mrea ..................................................................................................... 57

5.7.1. Teoreme linearnosti ......................................................................................................... 57 5.7.2. Teorema superpozicije ..................................................................................................... 58 5.7.3. Teorema reciprociteta (uzajamnosti) .............................................................................. 60 5.7.4. Tevenenova i Nortonov teorema (metoda ekvivalentnog generatora) .......................... 61 5.7.5. Teorema kompenzacije .................................................................................................... 65 5.7.6. Teorema odranja snage u elektrinim mreama ........................................................... 67

5.8. Reavanje posebnih oblika elektrinih mrea......................................................................... 68 Metoda proporcionalnih veliina ............................................................................................... 68 Korienje simetrije sistema ...................................................................................................... 68

5.9. Elementi nelinearnih elektrinih mrea .................................................................................. 70

3

6. ELEKTRINE MREE SA KONDENZATORIMA .................................................................................. 72 6.1. Mree sa otpornicima i kondenzatorima ................................................................................ 73 6.2. Elektrostatske mree ............................................................................................................... 74 6.3. Bilans energije u kolima sa kondenzatorima .......................................................................... 76

LITERATURA ........................................................................................................................................ 80

4

VREMENSKI KONSTANTNE ELEKTRINE STRUJE

1. OSNOVNI POJMOVI I PRVI KIRHOFOV ZAKON

Do sada smo posmatrali elektrostatiko odnosno elektrino polje koje potie od makroskopski nepokretnih elektrinih optereenja. U ovom drugom delu semestra emo prouavati sluajeve kada se veliki broj elektrinih optereenja, pod dejstvom elektrinog polja, kree, na organizovan nain, tj. usmereno, to se naziva elektrina struja.

Elektrina struja moe biti vremenski nepromenjiva, koja se naziva i vremenski konstantna struja elektrina struja ili stalna struja1.

Elektrina struja moe da postoji u svim vrstama provodnika, poluprovodnika, realnih (nesavrenih) izolatora (dielektrika), gasova i vakumu. Najjednostavnije za analizu su elektrine struje u vrstim i tenim provodnicima.

Iako veu tehniku primenu imaju vremenski promenjive struje, analiza vremenski konstantnih struja je jednostavnija, a metode analize se dobrim delom mogu koristiti i za vremenski promenjive struje, pa je vano dobro ih nauiti.

1.1. O obrazovanju elektrine struje u vrstim i tenim provodnicima

Posmatrajmo dva naelektrisana provodna tela koja se nalaze u vrstom ili tenom idealnom dielektriku. Dielektrik moe biti homogen ili nehomogen.

Optereenja na naelektrisanim provodnim telima stvaraju elektrino polje na svim takama dielektrika, pa je dielektrik polarizovan, ali kako u njemu nema slobodnih optereenja, nema ni optereenja koja se kreu pod dejstvom tog polja. Zamislimo da se jedno elementarno optereenje Q>0 pozitivno naelekrisanog tela I na neki nain udaljilo sa povri tela i nalo u taki M blizu povri provodnika (nalazi se u vakumu izmeu molekula dielektrika), slika 1.1.

Slika 1.1.

1 Uobiajen je i naziv jednosmerna struja, ali kao to emo videti u predmetu Osnovi elektrotehnike 2, u oblasti

vremenski promenjivih struja, jednosmerna struja nemora biti i vremenski konstantna.

5

Dalje kretanje tog optereenja e se odvijati pod dejstvom elektrinog polja2 koje stvaraju optereenja na naelektrisanim provodnim telima, ali i pod dejstvom elektrinog polja koje u svojoj okolini stvaraju elementarne estice atoma i molekula dielektrika u ijoj se blizini estica nalazi. Uproena analiza tog kretanja bila bi sledea: U taki M na Q deluje sila EQF = gde je E elektrino polje u toj taki. Pod dejstvom F optereenje Q se ubrzava u pravcu i smeru E . Kako se radi o vrstom ili tenom dielektriku, molekuli su vrlo blizu i posle kratkog puta Q e se ,,sudariti sa nekim neutralnim atomom (taka M) i ,,stati. Zatim e se opet ubrzati, ali u smeru E u taki M. Posle kratkog puta e se opet sudariti i stati u taki M. Makroskopski, Q e se kretati du jedne linije vektora E dok ne stigne do neke take N na telu II gdje e se neutralisati sa Q na telu II3. Pod ,,sudarom ne podrazumevamo neki stvarni sudar izmeu atoma i elektrona, jer do njega i ne moe da doe. Pod sudarom podrazumevamo da je u jednom kratkom vremenu elektron bio u sastavu atoma i predao mu tom prilikom dio svoje energije. Pod ,,zaustavljanjem se misli samo na komponentu brzine elektrona koju je stekao pod dejstvom elektrinog polja. Slian proces se odvija i u tenostima, samo to se tamo kreu joni. U poluprovodnicima su to elektroni i tzv. upljine. Ni u jednom sluaju ne dolazi do nagomilavanja optereenja, jer kad se jedno optereenje pomeri, na njegovo mesto dolazi susedno optereenje. Kako se slobodna optereenja kreu ka naelektrisanim telima, dolazi do postepene neutralizacije optereenja na naelektrisanim telima pa elektrino polje slabi i kretanje optereenja na kraju prestaje. Prema tome, ovo nije primer vremenski konstantne struje. Da bi se ostvarila vremenski konstantna struja, neophodno je da se naelektrisanje oba tela odrava stalnim i pored postepenog procesa neutralizacije, a to se moe izvesti na vie naina, ali se svi svode na to da se na primeer sa tela II stalno uzima pozitivno naelektrisanje i prenosi na telo I. Ako je ovaj process stalan, uspostavlja se ravnotea, izmeu naelektrisanih tela postoji vremenski nepromenjivo elektrino polje, pa e i kretanje naelektrisanja biti nepromenjivo. Iz opisanog procesa se mogu izvesti tri vana zakljuka:

1) Prilikom sudara sa nekom nenaelektrisanom esticom kinetika energija se prenosi na tu esticu zbog ega termiko kretanje estica u provodniku postaje intenzivnije (provodnik se zagreva), pa u svakom provodniku, u kome postoji elektrina struja, dolazi do pretvaranja elektrine energije u toplotnu. To se naziva Dulova pojava (efekat).

2) Za odravanje vremenski nepromenjive struje neophodno je elektrina optereenja na telima odravati konstantnim. To se moe ostvariti posredstvom neelektrinih (stranih) sila. Naprave unutar kojih postoje strane sile na elektrina optereenja nazivaju se izvori elektrine energije ili elektrini generator4 (slika 1.2)

3) Vri se ne samo pretvaranje energije generatora u drugi oblik, ve i prenoenje energije u sve take provodnika. Elektrino polje igra ulogu posrednika pri prenoenju energije od generatora do mesta gdje se elektrina energija pretvara u neki drugi vid energije, odnosno ono ima ulogu rezervoara energije. Energija sadrana u tom polju se stalno troi na mestu

2 U provodnim telima slobodni nosioci naelektrisanja mogu se kretati pod razliitim dejstvima (na primer difuzno kretanje). 3 Opisani model je jednostavan, ali uproen, pa i netaan, premda ipak dovoljan za dalju analizu. Za stvarni opis

potrebna je kvantna terija. Mikroskopski gledano, u provodnicima v u v odnosno dv ili u celom provodiku nije nula, kad nema spoljnjeg polja, I to se manifestuje, makroskopski, kao termiki um. 4 Delovi strunjnog kola gde su lokalizovane strane sile, nazivaju se generatorima.

6

prijema, ali se istovremeno stalno dopunjava od strane generatora i to veoma velikom brzinom.

Slika1.2.

U sluaju vremenski kontantne struje kroz neko provodno telo, raspodela optereenja na povrima provodnika ukljuenih u strujno kolo5 ostaje makroskopski nepromenjena u toku vremena (optereenja se kreu, ali na mesto onog koje je otilo dolazi drugo, pa njihova makroskopska gustina ostaje konstantna). Zbog toga je elektrino polje vremenski konstantnih struja isto kao elektrostatiko polje na isti nain raspodeljenih naelektrisanja. Zbog toga pojmovi iz elektrostatike vae i ovde (E,U,V). Jedina, ali vana razlika je da kod vremenski konstantnih struja elekrino polje postoji i u unutranjosti provodnika. Zbog toga povri provodnika sa vremenski konstantnim strujama nisu ekvipotencijalne. Elektrino polje igra ulogu porednika pri prenoenju energije od generatora do mesta gde se elektrina energija pretvara u neki drugi vid energije, odnosno ono ima ulogu rezervoara energije. Energija sadrana u elektrinom polju se stalno troi na mestu prijema, ali se istovremeno stalno dopunjava od tane generatora, i to brzinom koja moe bit ogromna. Sutina je u tome da je elektrino polje mali rezervoar energije, ali se praktino trenutno dopunjava, a brzina prenosa energije se moe menjati praktno trenutno na velikim rastojanjima. To nije sluaj ni sa jednim drugim sistemom za prenos energije (mehaniki, hidrauliki).

1.2. Gustina struje i intenzitet struje

Elektrina struja, odnosno organizovano kretanje velikog broja elektrinih optereenja karakterie se pomou dve fizike veliine: - gustina struje koja je vektorska veliina i opisuje usmereno kretanje elektrinog optereenja u nekoj taki. - intenzitet ili jaina struje koja je skalarna veliina i opisuje kretanje elektrinog optereenja kroz neku makroskopsku povr. Dio prostora u kome postoji elektrina struja zove se strujno polje. Posmatrajmo jednu taku u nekom vremenski konstantnom strujnom polju (slika 1.3). Neka su slobodni nosioci naelektrisanja svi jednaki i neka je naelektrisanje jednog slobodnog nosioca Q (pozitivno ili negativno, Q je algebarska veliina). Odnos broja slobodnih nosilaca naelektrisanja i 5 Strujno kolo ili elektrino kolo je put kojim se zatvaraju strujnice (linije vektora gustine struje). Strujno polje postoji

samo u strujnom kolu, a elektrino polje i u strujnom kolu i izvan njega.

7

zapremine V jednak je N (naziva se i koncentracija slobodnih nosilaca naelektrisanja)6. Neka je v srednja brzina slobodnih naelektrisanja u posmatranoj taki zbog delovanja elektrinog polja. Tada je gustina elektrine struje u nekoj taki:

vNQJ = (vai za jednu vrstu slobodnih naelektrisanja)7

Po ovoj definiciji strujanje pozitivnih naelektrisanja u jednom smeru i strujanje istih ali negativnih u suprotnom smeru, daje istu gustinu struje

vNQvQN = ))((

U metalima su slobodni nosioci naelektrisanja elektroni pa je smer vektora J suprotan smeru vektora v .

Slika 1.3.

Vektor gustine struje J , opisuje lokalno keanje slobodnih nosilaca naelektrisanja. Analogno, vektor polarizacije P uvedenom u elektrostatici, opisuje kako je lokalno dielektrik polrazovan.

Ako ima vie razliitih slobodnih nosilaca naelektrisanja, na primer rastvor sa vie katjona i anjona, tada je vektor J:

=

=

n

kkkk vQNJ

1n-broj razliitih slobodnih nosilaca

Posmatrajmo malu ravnu povr povrine s u provodniku u kome postoji elekrina struja (slika 1.4).

Slika 1.4.

Oznake na slici imaju sledea znaenja: -

v je srednja brzina slobodnih naelektrisanja u takama povri,

- n

je jedinina normal na povr, - Q je naelektrisanje jednog slobodnog nosioca, - N je koncentracija nosioca,

6 NQ = zapreminska gustina slobodnih naelektrisanja.

7 Vektor gustine struje J se moe smatrati analognim vektoru polarizacije P u dieletricima. Proizvod vQ karakterie

naelektrisanu esticu.

8

- je ugao izmeu vektora n i v . Slobodni nosioci za vreme t preu put tv (u pravcu vektora v ). Sva optereenja koja su se u trenutku t nalazila ispod povri S na odstojanju tv proi e kroz povr S u intervalu tt + (slika 1.5).

Slika 1.5.

Kako je zapremina kosog paralelopipeda osnovica S puta visina ( costv ), tj. costSv , to za vreme t kroz element povri S proe koliina naelektrisanja

coscosdt za s kroz tSJtSVNQNQVQ pedaparalelopi === Jaina ili intenzitet struje kroz S se definie kao kolinik:

tQI

= t za S krozS kroz (*)

SJI = S kroz (**) Posmatrajmo sada neku veu povr S (slika 1.6):

Slika 1.6.

Povr S izdelemo na male povri s. Jaina struje se moe izraunati pomou relacija (*) i (**). Prema tome koliina elektriciteta koja u odnosu na normalu proe kroz S za vreme t je jednaka:

Jaina struje kroz povr S se definie kao:

9

Ako se J menja od take do take povri S, onda je I kroz S:

= sdJI krozS

Jedinica za intenzitet struje je s

C, a ta je jedinica nazvana A (amper).

Jedinica za gustinu struje je 2m

A to je mala jedinica pa se ee koristi 262 10

m

Amm

A= .

Treba uoiti da smo posmatrali zapreminske struje, iako je gustina struje povrinska ( 2m

A ),

tj. SIJ

= (povr normalna na J ). Struje kroz tanke provodnike nazivaju se linijske struje, i

opisuju se jainom struje I (jedinica A, amper). Postoje i povrinske i zapreminske struje (analogno linijskim, povrinskim i zapreminskim optereenjima). Ali za razliku od optereenja, povrinske struje se opisuju podunom (linijskom) gustinom struje (A/m), a zapreminske struje se opisuju povrinskom gustinom struje (A/m2), kako je ve napomenuto.

Umesto jaina struje esto se samo kae samo struja.

1.3. Prvi Kirhofov zakon

Zamislimo neku zatvorenu povr S u provodniku sa vremenski konstantnom strujom. Povr S moe i da iseca iz provodnika jedan njegov dio. Definicija za intenzitet struje vai i u tom sluaju. S obzirom da se makroskopsko kretanje i raspodela optereenja ne menjaju, odatle sledi da tano onoliko pozitivnih ili negativnih optereenja koje ue u povr S za vreme t mora iz nje i da izae. Ako to nebi bilo tako, dolo bi do stalnog porasta koliine pozitivnih ili negativnih optereenja u zatvovrenoj povri S, pa bi se raspodela optereenja menjala, zbog toga bi se menjalo i polje i onda ne bi bilo vremenski konstantne struje. Iz toga zakljuujemo da u sluaju vremenski konstantnih struja intenzitet struje kroz svaku zatvorenu povr mora biti jednak nuli8, tj.

0== S

sdJI

Gornja relacija predstavlja najoptiji iskaz prvog Kirhofovog zakona (I KZ).

8 Postoji optiji oblik ove relacije, koji vai za bilo kakve struje, tj. idtdQ

sdJ uSS

== . Za stacionarne struje

0=dt

dQuS. Iz relacije 0=

S

sdJ sledi da u unutranjosti homogenog provodnika nema vika slobodnih nosilaca

naelektrisanja, to se vidi iz 0===== SSSS

uS sdJsdJsdEsdDQ

, jer je 0=

S

sdJ.

10

Znak jaine struje kroz neki presek provodnika zavisi od proizvoljno odabranog smera normale na povr provodnika. Ilustrujmo to na primeru tanke metalne ice (slika 1.7): Oigledno da prikazanu povr, moemo orjentisati u jednu ili drugu stranu, pri emu jednu od te dve normale moemo smatrati za pozitivnu orjentaciju, pa za fluks vektora gustine struje moemo napisati dve relacije

Js cos0 Js cos

koje daju istu vrednost ali suprotan predznak.

Slika 1.7.

Prema tome jaina struje kroz provodnik je algebarska veliina. Jaina struje kroz presek nekog provodnika ima smisla samo ako je poznata pozitivna normala na popreni presek provodnika. Smer te pozitivne normale naziva se referentni smer struje i obino se oznaava strelicom pored provodnika (slika 1.8.), a moe i na provodniku. Umesto strelice oznaavanje referentnog smera je mogue indeksima uz oznaku struje, pri emu prvi indeks oznaava kraj provodnika u koji ulazi struja, u drugi indeks kraj provodnika iz koga izlazi struja odnosno pozitivna naelektrisanja.

Slika 1.8.

Posmatrajmo sada neku zatvorenu povr S koja preseca icu na mestima 1 i 2 (slika 1.9).

Slika 1.9.

Preme I KZ koliina naelektrisanja koja u nekom intervalu ue u zatvorenu povr S kroz presek 1 mora biti jednaka koliini elektriciteta koja mora da izae kroz presek 2. Na osnovu jednaine:

ttu S kroz

S kroz

=QI

sledi

21 S krozS kroz II = pod uslovom da su obe strane raunate u odnosu na razliite normale. Poto su ova dva preseka ice proizvoljna, odatle sledi da je intenzitet struje kroz svaki presek isti. Ovo je tano samo ako je pozitivan smer normale na svaki presek provodnika, odnosno

11

referentni smer isti du provodnika (ako nije razlika bi bila samo u predznaku). Ovo vai i ako je ica promenjivog preseka. Zbog toga umesto o jaini struje kroz neki presek provodnika, moemo da govorimo o intenzitetu struje kroz provodnik. esto se govori o smeru struje kroz provodnik. Kako je jaina struje skalarna veliina, ona nema smer, meutim, ipak joj se pridruuje smer, pa se I naziva usmerena skalarna veliina. Pod smerom struje se podrazumeva smer vektora gustine struje, tj. smer pozitivnog optereenja. Prvi KZ odnosi se obino na vie ianih provodnika iji su krajevi spojeni (slika 1.10.). Mesto gde su provodnici povezani naziva se vor.

Slika 1.10.

Primenimo I KZ na neku zatvorenu povr S koja obuhvata vor: Vektor gustine struje razliit je od nule ( 0J ) samo na mestima preseka povri S i provodnika (struja kroz vazduh ne tee, u normalnim uslovima). Ti preseci su u naem primeru (slika 9.) S1, S2, S3, S4. I KZ u ovom sluaju je:

+++==4321

43210SSSSS

sdJsdJsdJsdJsdJ

Svaki od ovih integrala predstavlja intenzitet struje kroz odgovarajui provodnik raunat u odnosu na spoljanju normalu (od vora), kao referentni smer. Posljednju jednainu sada moemo da piemo u obliku:

04321 =+ IIII Prema tome za vor u kome se stie n provodnika, zbir jaina struja, raunat za svaki vor u

odnosu na referentni smer od vora, mora biti nula, tj.

01

==

n

kkI

To je algebarski zbir struja. Ako struja izlazi iz vora, ima predznak +, u suprotnom -. Jedinica za intenzitet (jainu) struje je amper (za koji je oznaka A). Jaina struje kroz provodnike meri se instrumentom koji se naziva ampermetar. Merenje se obavlja tako to se provodnik prekine i ubaci ampermetar. Smrtonosni intenzitet struje kroz telo oveka je oko (0,2 0,6) A.

12

1.4. Osnovne integralne jednaine stacionarnog strujnog polja

Sada moemo konstatovati i osnovne integralne jednaine stacionarnog strujnog polja: 1. 0=

S

sdJ (odakle, kao to emo videti, sledi I Kirhofov zakon za vremenski konstantne

struje), 2. 0=

C

ldE (odakle sledi II Kirhofov zakon, kao to emo kasnije pokazati),

3. ( )EJJ = koja se naziva konstitutivnom relacijom. Za linearne sredine vai EJ = .

13

2. SPECIFINA PROVODNOST I SPECIFINA OTPORNOST

2.1. Definicija specifine provodnosti i specifine otpornosti

Za odravanje elektrine struje neophodno je da u svakoj taki provodnika postoji elektrino polje. Merenjem se dolazi do zakljuka da je vektor J srazmeran vektoru E u toj taki, tj.

EJ = -ovo je definicioni izraz za specifinu provodnost;

gde je specifina provodnost i razliita je za razliite provodnike. se moe menjati od take do take provodnika, pa je tada provodnik nehomogen ( .const ). Za homogen provodnik .const=

Jedinica za je

m

S.gde je S oznaava simens.

U praksi se koristi i obratna veza:

JJE

==

1

gde je

1= specifina otpornost.

Jedinica za je [ ]mAVm =

, to se ita om-metar.

2.2. Specifina otpornost metalnih provodnika

Metalni provodnici su najvanija klasa provodnika, na primer bakar (Cu), srebro (Ag), zlato (Au), aluminijum (Al). Za najvei broj provodnika, pa i metalnih, i ne zavise od E, osim ako je jaina polja izuzetno velika. Za takve provodnike se kae da su linearni. Meutim i u velikoj meri zavise od temperature provodnika. Ako opseg promene temperature nije veliki, t na nekoj temperaturi t (C)9 moe se priblino izraziti preko 0 istog provodnika na 0 C, i ako se to tako uradi onda je

( )tt += 10 gde su: t temperature, - temperarueni koeficijent specifine otpornosti. Za vee opsege teperatura ili za odreivanje t sa veom tanou, tanija aproksimacija je sledea: ( )220 1 tttt +++= 9 Temperatura se, prema meunardnom sistemu jedinica, izraava u kelvinima (K), a ranije se izraavala u stepenima

Celzijusa (C).

14

gde su , , - temperaturni koeficijenti i odreuju se eksperimentalno. uglavnom ima pozitivnu vrednost. Postoje metali sa

15

postaje superprovodnik na 7,3 K, tantal na 4,38 K, iva na 4,2 K, aluminijum na 1,14 K, ugljenik 60 na 106 K (-171 oC)10. Primena superprovodnika je mnogobrojna i raznovrsna. Struje protiu bez utroka energije, tako se mogu ostvariti velika magnetska polja. Superprovodnost je otkrivena 1911. godine.

Slika 2.1.

Dakle savreni provodnici su materijali kod kojih je =0, pa . U savrenom provodniku E=0, bez obzira da li postoji struja ili ne (jer je 0== JE , jer je =0 (vai ako je

J . Kod savrenog izolatora je =0, pa . Kod savrenih provodnika i savrenih izolatora nema Dulovih gubitaka.

2.5. Elektrina provodnost dielektrika

U prirodi nema dielektrika (izolatora) koji su savreni. Svaki dielektrik ima neku konanu specifinu provodnost (obino malu), odnosno veoma veliku ali ne i beskonano veliku otpornost. to se tie mehanizma provoenja elektrine struje, postoje dve grupe dielektrika: - dielektrici koji imaju izvestan broj slobodnih elektrona, koji su se otrgnuli iz molekula dielektrika pod dejstvom nekog spoljanjeg uzroka (na primer veoma jako elektrino polje), - dielektrici sa molekulima raspadnutim na jone, kao na primer elektroliti. Jaine struje u dielektricima su male. Samo pri velikim poljima struje mogu biti znaajne. najveeg broja izotropnih dielektrika ne zavisi od E pa se se oni mogu smatrati loim, ali linearnim provodnicima. dielektrika, koji su, po mehanizmu provoenja struje, slini elektrolitima, bitno se smanjuje sa temperaturom. Pri jakim poljima u dieletriku moe doi do dovoljno velikih struja, da unutranjost dielektrika pone da se zagrijava. Kako su dielektrici loi toplotni provodnici, razvijena toplota se sporo odvodi, a zagrijani dielektrik ima manje , pa je zbog toga struja jo vea, pa se dielektrik jo vie zagrijava, pa na kraju moe doi do topljenja ili do hemijskog raspadanja, pri emu se izolatorska svojstva gube i dielektrik postaje dobar provodnik. Ta pojava se naziva toplotni proboj dielektrika. Osim temperature, na mnogo utie i prisustvo neistoe, nehomogenost strukture, vlanost itd. Zbog toga se definie povrinska specifina otpornost. Po vlanoj povri dielektrika mogu da postoje znatno vee struje nego kroz unutranjost.

10

Sa ugljenikom 60 pomeanim sa hloroformom (naziva se fuleren), 2002. godine, u Belovim laboratorijama superprovodljivost je postignuta na -106 oC.

16

2.6. Gustina snage transformacije elektrine energije u provodnicima u toplotnu

Posmatrajmo neki provodnik u kome je koncentracija slobodnih nosilaca N, i neka su svi isti, a naelektrisanje svakog je Q, a srednja brzina je v u taki gdje je elektrino polje E. E i v su istog pravca, ali mogu biti istog ili suprotnog smera, u zavisnosti da li je Q>0 ili je Q

17

Oigledno da ako se struja I poveava, toplota po jedinici zapremine u delu 2 provodnika e uvek biti n2 puta vea nego u delu 1. Zbog toga e se deo 2 zagrijavati mnogo bre od dela 1, i pri velikim strujama e se istopiti mnogo pre nego to e se deo 1 znatnije zagrijati. Ovo se koristi za automatsko prekidanje strujnog kola u sluaju nedozvoljeno velikih struja. Tanki delovi provodnika se nazivaju topljivi osigurai.

18

3. OTPORNICI I OMOV ZAKON. DULOV ZAKON

3.1. Otpornici i Omov zakon

Posmatrajmo veoma dug, prav provodnik, konstantnog, iako proizvoljnog poprenog preseka S. Neka je provodnik homogen11, specifine otpornosti i jaine struje I (slika 3.1). Pokazali smo da je unutar ovakvog provodnika elektrino polje homogeno a vektor elektrinog polja paralelan osi provodnika. Zbog toga je svaki popreni presek provodnika ekvipotencijalna povr.

Slika 3.1.

Uoimo dva proizvoljna poprena preseka 1 i 2. Potencijalna razlika (napon) izmeu njih je

EldlEEdlldEVVU ===== 2

2

2

2

02

22112 0cos

Koristei relaciju JE = i SIJ = , dolazimo do relacije S

IE = , a zatim i do relacije za napon

ISll

SIU ==12

Oigledno, napon izmeu bilo koje dve take provodnika srazmeran je jaini struje kroz nju, tj.

RIU =

gde je SlR =

.

Izraz RIU = smo izveli za prav homogen provodnik duine l, specifine otpornosti , i povrine poprenog preseka S. Ovaj izraz se naziva Omov zakon. Konstanta proporcionalnosti R naziva se elektrina otpornost. Iako smo izraz izveli za prav homogen provodnik on vai i u drugim sluajevima. Om je do njega doao eksperimentalno. 11

=const., odnosno =const., tj, isto u svim takama.

19

Jedinica za elektrinu otpornost je

[ ] (om) =

==

AV

IUR

to se ita om. Oznake otpornika na emama su kao na slici 3.2. Nova oznaka je na slici 3.2a. esta oznaka, koja se koristi i kao oznaka za impedansu (uvest emo je kao pojam u Elektrotehnici 2) je na slici 3.2b. Oznaka koja se davno koristile je na slici 3.2c. Na slici 3.2d je otpornik (prijemnik) ija se vrednost moe menjati (promenjivi otpornik), pa oznaka R nema znaaj vrednosti otpornika.

Slika 3.2.

esto se umesto R za opisivanje otpornika koristi reciprona vrednost

RG 1=

ili 1=GR

pa se moe pisati i

GUI = ili

GIU =

G se naziva se provodnost otpornika. Jedinica za provodnost je

[ ] (simens) 1 SVA

=

=

3.2. Dogovor o raunanju napona izmeu krajeva otpornika

Za relaciju RIU =

se podrazumevaju tzv. usaglaeni referentni smerovi za napon na otporniku i struju kroz otpornik (slika 3.3). Referentni kraj za napon (pozitivan kraj, +) je tamo gde struja ulazi u otpornik.

Slika 3.3.

20

Ukoliko referentni smerovi za napon i struju nisu usaglaeni, relacije za napon bi izgledale kao na slici 3.4.

Slika 3.4.

3.3. Zavisnost otpornosti od temperature

Posmatrajmo otpornik proizvoljnog oblika, ali od linearnog i homogenog otpornog materijala =const.

SlR =

Videli smo da je funkcija temperature. Iako se dimenzije otpornika neto menjaju sa temperaturom to se moe zanemariti, pa se R otpornika nainjenog od homogenog, otpornog materijala menja na isti nain kao i tog istog materijala, tj.

( )tRRt += 10 Izraz vai za manji opseg temperatura. Ako se radi o veem opsegu temperatura, moe se koristiti taniji izraz ( )320 1 tttRRt +++= R0 je otpornost na nekoj poetnoj temperaturi, 0 oC, a moe biti i na 20 oC. Ako otpornik nije od homogenog materijala ove formule ne vae.

3.4. Dulov zakon

Pod Dulovim zakonom podrazumeva se izraz pomou koga moe da se izrauna energija pretvorena u nekom otporniku u toplotu u izvesnom intervalu vremena. Do ovog zakona se takoe dolo eksperimentalno.

21

Posmatrajmo proizvoljan provodnik otpornosti R, struje I i napona izmeu prikljuaka U. U nekom vremenskom intervalu t kroz otpornik je protekla koliina elektriciteta12

RIU =

To optereenje su kroz otpornik prenele elektrine sile, pri emu se izvesna energija elektrinog polja pretvorila u otporniku u toplotu. Prema definiciji napona elektrine sile, pri prenoenju koliine elektriciteta Q kroz otpornik, izvrile su rad

= ldEQA sila el.

UItQUA ==sila el.

Po zakonu odranja energije, energija brojno jednaka ovom radu pretvorila se u otporniku u toplotu, tj.

tR

UtRIRIItUItW

22

====

Poto je proces pretvaranja elektrine energije u toplotnu po pretpostavci, snaga te transformacije je

RURIUIP

22

===

To su varijante izraza za snagu otpornika (ili prijemnika). Snaga otpornika se moe pisati i u obliku

GIGUUIP

22

===

Snaga otpornika esto podrazumeva najveu snagu koja se u otporniku moe pretvoriti u toplotu bez oteenja otpornika.

Za vremenski konstantnu struju vai PtW = , jer je .constP = Jedinica za energiju je dul (J). Utroena elektrina energija u elektroenergetici se izraava u kilovatasovima (kWh). Ranije se za energiju koristila i jedinica koja se nazivala kalorija (cal). Odnos kalorije i dula je 1 cal = 4,186 J.

3.5. Redna, paralelna i meovita veza otpornika

Elektrina kola se prikazuju elektrinim emama. Elektrine eme su pojednostavljen slikovni prikaz kola, gde se elementi prikazuju svojim simbolima, a ne detaljima konstrukcije. U elektrinim kolima se elementi (na elektrinim emama njihovi simboli) povezuju provodnicima (na emama su to linije). Na provodniku nema pada napona u elektrinim emama, tj. napon izmeu krajeva provodnika jednak je nuli. Oblik i duina linija (provodnika za povezivanje) na elektrinim emama ne moraju odgovarati geometriji stvarnog provodnika u elektrinim kolima (realnog kola).

12

Struja se definie kao brzina proticanja naelektrisanja kroz povr S (pov poprenog preseka otpornika), tj.

t

QI

= , odnosno dtdQI =

. Odatle je ItdtIIdtQ === .

22

Svaka veza otpornika koja ima dva kraja moe da se posmatra kao jedan ekvivalentni otpornik za datu grupu otpornika. Razlikujemo redne, paralelne i meovite veze (kombinacija rednih i paralenih veza) otpornika, i veze otpornika u zvezdu (trokraku) i trougao.

Redna ili serijska veza otpornika (ija elektrina ema je prikazana na slici 3.5). Prema I KZ jaina struje kroz sve otpornike redne veze je ista, pa je prema tome

IRU R 11 = , IRU R 22 = , ., IRU nRn =

Slika 3.5.

Napon izmeu krajeva (taaka) A i B jednak je zbiru napona nRRRAB

UUUU +++= ....21

IRIRIRU nAB +++= ....21 ( )IRRRU nAB +++= ....21

U skladu sa slikom 3.6, gde je grupa otpornika u rednoj vezi sa slike 3.5 zamenjena sa jednim ekvivalentnim otpornikom, dolazi se relacije za ekvivalentnu otpornost redne veze otpornika

IRU ekvAB = gde je

=

=+++=n

iinekv RRRRR

121 ....

Oigledn, vai iekv RR >

Slika 3.6.

Ovo moemo da napiemo i preko provodnosti

23

nekv GGGG1

...

11121

+++=

Paralelna veza otpornika (slika 3.7.). Napon UAB izmeu krajeva svih otpornika je isti, pa je

11 R

UI AB= , 2

2 RUI AB=

n

ABn R

UI =

Slika 3.7.

Po I KZ ukupna struja I kroz prikljuke jednaka je zbiru struja kroz provodnike

nIIII +++= ....21 odnosno

+++=

n

AB RRRUI 1...11

21

Kako je

ekv

AB

RUI =

to je

nekv RRRR1

...

11121

+++=

odnosno

n

ekv

RRR

R 1...

111

21

+++=

24

ili preko provodnosti

=

=+++=n

iinekv GGGGG

121 ....

Meovita veza otpornika (primer na slici 3.8 i 3.9 sa postupkom ekvivalentiranja). Postupak ekvivalentiranja se odvija tako da se postepeno reavaju veze koje su isto redne

ili paralelne, dok se na kraju ne doe do ekvivalentnog otpornika 4RRekv = . Do ovog rezultata bi

trebalo da moete da doete samostalno. Daemo samo meurezultate: 43

1RRekv = , 4

72

RRekv = ,

327

3RRekv = .

Slika 3.8.

Slika 3.9.

3.6. Uzemljivai i otpornost uzemljenja. Napon koraka

Najvei broj prijemnika se uzemljuje tj. vezuje jednim provodnikom za zemlju. Jedan od razloga je bezbednost. Na primer, kod metalnog oklopa poreta ako doe do neeljenog spoja sa vodom pod visokim naponom, uzemljenje spreava da on bude na tom visokom potencijalu opasnom po ivot. Uzemljenje se izvodi tako to se u zemlju zakopa ili zabije dobar provodnik relativno velike povrine (debeo metalni tap koji se zakopa u zemlju). To se naziva uzemljiva. Ureaj koji elimo da uzemljimo vezuje se za njega provodnikom (slika 3.10).

25

Slika 3.10.

Zemlju sa uzemljivaima prijemnika i generatora moemo da posmatramo kao neki otpornik. Njegova otpornost se naziva otpornost uzemljenja. Uzemljiva generatora je obino bolje izveden od uzemljivaa prijemnika. Neka je i to polulopta.

zemljeuzemlj

26

=

=

baI

ababIVV ba

1122 pi

pi

Uz uslov ab >> , tj. ba11

>> , konano se dobija

a

IVV ba pi

2

Prilikom udara groma kroz uzemljiva postoji struja i vie hiljada ampera. Ako je sredina u kojoj je uzemljiva relativno slab provodnik, elektrino polje u takama blizu uzemljivaa moe imati velike vrednosti. To vai i za take na povri zemlje. Taj napon moe biti opasan po ivot. Napon na povri zemlje u okolini uzemljivaa izmeu dve take na rastojanju ovejeg koraka naziva se napon koraka za dati uzemljiva (slika 3.12), i dobija se relacijom.

( )daaId

daaIU AB +

=

+=

pi

pi

2

112

Slika 3.12.

Napon koraka zavisi od vrste uzemljivaa, jaine struje kroz njega i zemlje.Ovaj napon moe biti i nekoliko hiljada volti.

Primer: Neka je: specifina otpornost zemlje mz = 210 , poluprenik uzemljivaa a=1m, a struja kroz uzemljiva I=1500A. Odrediti otpornost uzemljenja. Za otpornost uzemljenja dobija se

=== 92,152 uz

ba RaI

VVpi

27

4. ELEKTRINI GENERATORI I DRUGI KIRHOFOV ZAKON

Do sada smo smatrali da na slobodne elektrone deluju samo elektrina sila, koja je posledica postojanja elektrinog polja u provodniku (polje vika naelektrisanja), osim kda smo govorili o generatorima. Meutim na slobdne nosioce mogu, u pojedinim delovima stujnog polja, delovati i druge sile. Od posebnog tehnikog znaaja su sile koje deluju u generatorima (koji se nazivaju i izvorima struje, ili izvorima napajanja), jer se u njima jedna vrsta energije (hemijske, mehanike, svetlosne) pretvara u elektrini rad. Na primer akumulatori, baterije obrtni generatori.

Te sile, koje deluju u generatorima, nisu u relaciji sa elektrinim poljem i nazivaju se i stranim ili pobudnim silama.

Bez generatora ne bi mogla postojati struja, jer mora postojati izvor energije koji nadoknauje ulove gubitke, a koji neminovno postoje kad god postoji struja.

U hemijskim izvorima struje (baterijama ili akumulatorima) na slobodne nosioce naelektrisanja deluju elektrohemijske sile. U elektrodinamikim generatorima (obrtni generatori) na nosioce deluju sile koje nastaju usled elektromagnetske indukcije (pr promene magnetske indukcije u funkciji vremena, ili pri kretanju provodnika u magnetskom polju)13.

Dakle, to smo i ranije pokazali, za odravanje vremenski konstantne elektrine struje u provodnicima nephodno prisustvo stranih sila (neelektrinih) posredstvom kojih se elektrina optereenja mogu pomerati u smeru suprotnom od smera delovanja elektrinih sila. Stranu silu koja deluje na jedno naelektrisanje oznaiemo sa strF . Strane sile se ukljuuju u analizu strujnog polja na sledei nain: U prostoru u kome postoje strane sile, postoji u optem sluaju i elektrino polje ( E ) usled vika naelektrisanja. Zbog toga na jedan slobodni nosilac naelektrisanja Q deluje i strF i EQF e = . Rezultanta sila koje deluje na nosilac je

strstre FEQFF +=+

Da bi se strane sile ukljuile u jednaine formalno na isti nain kao i elektrine sile, uvodi se (matematiki) veliina koja se naziva stranim (pobudnim) poljem. Oznaava se sa strE , a definie relacijom

strstr EQF = , odnosno QFE strstr =

Definicija je analogna definiciji vektora jaine elektrino polja, uvedenog u elektrostatici

QFE e=

Sada je ( )strstre EEQFF +=+

U prostoru gde postoji samo elektrino polje vika naelektrisanja, sila koja deluje na jedan nosilac je EQ . U prostoru u kome postoje i strane sile (u generatoru), sila je ( )strEEQ + . Dakle, kod generatora se formalno javlja zbir strEE + , umesto samo E . Zbog toga kod linearnih

13

O elektromagnetskoj indukciji emo govoriti u predmetu Osnovi elektrotehnike 2, u delu prvo delu koji nosi nazov elektromagnetizam.

28

materijala, u domenu u kome postoje strane sile, mora se pisati ( )strEEJ += , koja sada predstavlja konstitutivnu relaciju. Ako je sredina u kojoj postoje strane sile savreno provodna (tj. ), pri konanoj jaini struje, mora biti 0=+ strEE . Ako je sredina konano velike provodnosti, ali je 0=J (u generatoru nema struje, odnosno generator je u praznom hodu), i tada je u generatoru 0=+ strEE , odnosno strEE = .

U optem sluaju je 0+ strEE . Kao primer generatora posmatrajmo elektronsku cev (diodu), slika 4.1. Usled zagrevanja katode neki elektroni dobijaju toliku srednju kinetiku energiju da mogu savladati elektrine sile koje ih dre i izau iz povri metala (termojonska emisija). Deo elektrona koji su napustii katodu (K) koja se zagreva dospevaju na drugu elektrodu, anodu (A, koja se ne zagreva). Zbog toga anoda postaje pozitvno naelektrisana, a izmeu anode i kaode nastaje elektrino polje koje tei da sprei elektrone da dou na anodu (kaemo da ih koi). Proces prelaenja elektrona prestaje kada rad koji treba da se izvri protiv elektrinih sila postane vei od poetne kinetike enegije elektrona, tj. kada napon izmeu A i K dostigne vrednost datu jednainom

eUmv =2021

Slika 4.1.

Ako bi A i K povezali provodnikom, kroz njega bi poela da tee struja. Ali tada, bi se smanjilo naelektrisanje A i K, pa bi se smanjilo i poetno elektrino polje izmeu njih, pa bi poetna brzina elektrona v0 opet postala dovoljna da elektroni mogu da stignu do A i pored koee elektrine sile. Na kraju bi se uspostavilo stacionarno stanje u kome onoliko elektrona koliko u nekom vremenskom intervalu dospe sa K na A kroz vakum (unutar cevi), napusti A kroz provodnik i vrati se na K.

Neelektrine sile koje u ovom sluaju pomeraju elektrina optereenja nasuprot delovanju elektrinih sila su sile inercije elektrona. U ovom generatoru te sile deluju na celom putu od jedne do druge elektrode generatora. To nije uvek sluaj. U naem primeru je elektrina sila EeF e = , a strana sila amF str = , gde je a ubrzanje elektrona u posatranom trenutku, a m masa elektrona. Slino, i dve eletrode od odgovarajueg razliitog materijala, koje se nalaze u odgovarajuem rastvoru) se ponaaju kao elektrini generator. Neelektrine sile, u ovom sluaju, su hemijske sile, koje deluju samo na dodirnoj povrini elektroda i rastvora, i tee da spoje jone iz rastvora i atome materijala elektroda u neko novo jedinjenje.

29

4.1. Elektromotorna sila i unutranja otpornost generatora

Ponaanje elektrinih generatora u odnosu na njihove prikljuke, bez obzira na prirodu stranih sila, opisuje se sa dve veliine: '- elektromotorna sila i - unutranja otpornost. Posmatrajmo generator ematski prikazan na slici 4.2.

Slika 4.2. Napomena: umesto F na slici treba da stoji E.

Prikljuci N i P nisu vezani provodnikom pa kroz generator nema struje tj. kaemo da je generator otvoren ili u praznom hodu. Pod dejsvom strE pozitivna optereenja e se nagomilavati na elektrodi P a negativna na elektrodi N. Time se stvara elektrino polje koje se suprostavlja daljem naelektrisanju prikljuka generatora. Proces naelektrisanja prestaje kada je ukupna sila na naelektrisanje jednaka nuli, tj.

00 =+== estruk FFF

Kako je po definiciji EQF e = , a strstr EQF =

odatle sledi

0=+ strEE

u svim takama otvorenog generatora gde deluju strane sile.

Elektromotorna sila nekog generatora se definie kao kolinik rada koji izvre strane sile u generatoru pri prenoenju kroz generator naelektrisanja Q sa negativne na pozitivnu elektrodu.

Rad stranih sila

==N

P

str

N

P

str ldEQldFA

Elektromotorna sila (ems), koju emo oznaiti velikim slovom E (ne treba meati sa intenzitetom vektora elektronog polja) se definie na sedei nain

30

==N

P

str ldEQAE

Ova jednaina vai za bilo koji reim rada generatora. U sluaju praznog hoda vai 0=+ strEE a to znai EE str = , pa je

NP

N

P

N

P

N

P

P

N

VVEdlEdlldEldEE =====

jer je ( ) pi= ldE . Dakle konano je NP VVE =

Ovo vai za generator u praznom hodu, pa se naziva i napon praznog hoda.. Ems je skalarna veliina. Ipak se uvodi pojam smera ems, pri emu se podrazumeva smer delovanja stranih sila u generatoru na pozitivna optereenja tj. od N ka P. Kako je rad stranih sila u generatoru pri prenoenju Q sa N na P po definiciji

QEAg = ako je jaina vremenski kostantne struje I a njen stvarni smer kroz generator od N ka P tada je

tIQ =

gde je t- vremenski interval za koji proe koliina naelektrisanja Q, pa je tIEAg =

Obino se, umesto rad stranih sila u generatoru, kae rad generatora. Prema prethodnoj jednaini snaga generatora (rad stranih sila) je

EIPg = Relacija vai pod pretpostavkom da je referentni smer struje takav da izlazi iz pozitivne

elektrode (slika 4.3), levo su usaglaen smerovi za generator, a desno, radi poreenja, za otpornik.

Slika 4.3.

Kada kroz generator postoji struja I, u njemu samom dolazi do pretvaranja jednog dela energije elektrnog polja u toplotu pa je, kao kod otpornika, snaga Dulovih gubitaka srazmerna kvadratu struje.

2gen.u j IRP g=

Rg se esto ne moe izraunati, a naziva se unutranja otpornost generatora. Snaga dulovih gubitaka, je uvek pozitivna.

31

4.2. Odreivanje jaine struje u elektrinom kolu sa jednim generatorom i otpornikom

Posmatrajmo generator ems E i unutranje otpornosti Rg. Neka je za prikljuke generatora vezan otpornik otpornosti R (slika 4.4).

Slika 4.4.

Ovakva veza naziva se elektrino kolo. Kroz kolo postoji jaina struje koju za sada ne znamo, a moe se odrediti na sledei nain: Pretpostavimo da je jaina struje kroz kolo I

EIPg = Snaga Dulovih gubitaka u generatoru i spoljanjem kolu (otporniku) jednaka je

2gen.u j IRP g=

2Ru j RIP =

Po zakonu o odranju energije snaga generatora mora biti jednaka ukupnoj snazi gubitaka, tj. 22 RIIREI g += ( )RRIRIIRE gg +=+=

Oodakle je

RREI

g +=

(*)

Iz ove jednaine slede dva vana zakljuka: 1) Ako stavimo R=0 kaemo da je generator kratko spojen, onda je

gREI =sp. kr.

Kako je elektromotorna sila generatora E=UPh onda se Rg moe dobiti merenjem

sp. kr.IERg =

gde je phUE =

Ovo je najprostiji nain odreivanja Rg ali je esto praktino nemogue ostvariti uslove kratkog spoja dovoljno dugo za merenje struje kratkog spoja, a da se generator oteti. Zbog toga se

32

za prikljuke generatora vee otpornik tano poznate otpornosti pa se izmeri struja kolo, a zatim se izrauna Rg koristei (*).

IRIERg

=

2) Podruje u kome se u generatoru elektrina energija pretvara u toplotu, siurno se bar delimino preklapa sa podrujem u kome deluju strane sile. To znai da se unutranja otpornost u stvarnosti nalazi u samom generatoru. Ali prema relaciji

RREI

g += elektrino kolo se moe shvatiti

i kao generator bez unutranje otpornosti, vezan na rednu vezu otpornika otpornosti gR i R . To znai da, formalno, svaki generator moemo predstaviti u vidu redne vez tzv. idealnog naponskog generatora (ING, generator ija je unutranja otpornost jednaka nuli), i otpornika ija je otpornost jednaka gR . Prema Omovom zakonu, ovako predstavljen generator u odnosu na svoje prikljuke ima iste osobine kao realni naponski generator (RNG). To se ematski predstavlja na sledei nain:

Desne dve slike su stariji nain oznaavanja naponskog generatora na elektrinim emama. Crta kroz krug oznaava da generator nema unutranju otpornost. Znak + oznaav referentni kraj (elektrodu) generatora, koji je po pretpostavci na viem potencijalu (referentni smer je od neobeleenog ka obeleenom kraju). Kod starijeg naina oznaavanja se podrazumeva sa dua crta predstavlja referentni kraj, pa znak + i nije neophodan.

4.3. Uslov prenosa maksimalne snage

Daje odgovor na pitanje koliku otpornost treba da ima otpornik prikljuen na krajevima generatora da bi snaga Dulovih gubitaka u otporniku bila maksimalna mogua. Posmatrajmo prosto kolo kao na slici 4.5.

Slika 4.5.

Struja u kolu data je izrazom

33

xg RREI+

=

Snaga Dulovih gubitaka na otporniku je

( )222 xgx

xR RRREIRP

x +==

Oigledno da je za i , pa pretpostavljamo da negde izmeu moe da postoji maksimum (slika 4.6).

Slika 4.6.

Najvea snaga dobija se iz uslova

0=x

R

dRdP

x

odakle sledi gx RR = Odavde sledi da su pri prenosu maksimalne snage (prilagoenje po snazi) snage Dulovih gubitaka u generatoru i otporniku Rx iste. Ovo je nepovoljan uslov za prenos velikih snaga i tada se ne koristi. Najee se prilagoenje koristi pri prenosu malih snaga.

Koeficijent korisnog dejstva Definie se kao kolinik korisne i uloene snage, tj.

ERI

EIRI

PP

g

R===

2

Kako je RREI

g += , to se dobija RR

R

g +=

.

Pri prilgoenju ( RRg = ), dobija se 5,021

2===

RR

PR , ili 50%. Uoite da je na slici 4.5 nepoznati otpornik prikljuen na realni naponski generator. Kako se bilo koji deo mree moe zameniti naponskim generatorom (to emo videti kada budemo radili Tevenenovu teoermu, odeljak 5.7.4), to umesto otpornika moemo posmatrati i granu neke mree, a ta grana moe biti i generator, i traiti prilagoenje takve grane na ostatak mree.

4.4. Napon izmeu prikljuaka generatora

Posmatramo prosto kolo kao na slici 4.5. Najprostiji je sluaj kad je Rg zanemarljivo, teorijski jednako nuli (slika 4.7). Tada je jednaina struje u kolu

34

RE

RREI

g

=

+=

Slika 4.7.

U tom sluaju je napon izmeu krajeva otpornika i krajeva generatora ERIUR ==

bez obzira na jainu struje kroz generator. Dakle napon izmeu krajeva idealnog generatora uvek je isti i jednak elektromotornoj sili. Ovakvi generatori se nazivaju idealni naponski generatori (ING). Idealni naponski generatori mogu da se opiu karakteristikom kao na slici 4.8, a ematski kao na slici 4.9.

Slika 4.8.

Slika 4.9.

Relacije za vezu napona izmeu krajeva generatora i elektromotorne sile generatora su EEVVU BAAB =+==

EVVU ABBA == Na viem potencijalu je uvek kraj oznaen sa plus (+) bez obzira na smer struje. Posmatrajmo sada realni naponski generator (Rg 0). Izraunavanje napona izmeu prikljuaka generatora se svodi na algebarsko sabiranje napona na krajevima idealnog generatora i otpornika Rg . esto se grei je se ne vodi rauna o referentnom smeru struje. Mogu biti dva sluaja:

1. Referentni smer struje je isti kao i referentni smer elektromotorne sile (slika 4.10).

35

Slika 4.10.

U tom sluaju za napon izmeu krajeva A i B moemo pisati ( ) ( ) EIRUUVVVVVVU gCBACBCCABAAB +=+=+==

( ) ( ) IREUUVVVVU gCABCACCBBA +=+=+=

2. Referentni smer struje je suprotan referentnom smeru elektromotorne sile (slika 4.11).

Slika 4.11.

U ovom sluaju za napon izmeu krajeva A i B moemo pisati EIRUUU gCBACAB +=+=

Treba uoiti razliku u predznaku za elektromotornu silu E u jednom i drugom sluaju.

4.5. Odreivanje jaine struje u elektrinom kolu sa vie generatora i otpornika

Neka elektrino kolo sadri proizvoljan broj generatora i otpornika vezanih u red (slika 4.12). U sluaju jednog generatora u kolu smer struje mora biti isti kao i smer elektromotorne sile. Usluaju kao na slici 35., nemoemo nita unapred rei o stvarnom smeru struje, jer on zavisi od smerova i vrednosti elektromotornih sila svih generatora. Zbog toga proizvoljno usvajamo jedan od dva mogua smera struje za referentni. Kako je elektrino polje vremenski konstantnih struja isto kao elektrostatiko polje onda mora vaiti da je

0=C

ldE

36

Slika 4.12.

Kontura za cirkulaciju vektora elektrinog polja E moe biti, na primer, sledea faefdecdbcab

C

UUUUUUldE +++++== 0 Kako je

22 EIRU gab += IRUbc 1= i tako dalje.

To za cirkuaciju vektora E moemo pisati IREIRIREIRIREIR ggg 1133321220 ++++++= ( )3213211320 ggg RRRRRRIEEE ++++++= (1)

odakle je

321321

321

ggg RRRRRREEEI

+++++

+=

odnosno, u optem obliku zapisano ( )

=

RE

I

Plus (+) za elektromotornu silu se uzima ako se smer elektromotorne sile poklapa sa referentnim smerom struje, u suprotnom se stavlja minus (-). Ako je u razmatranom kolu stvarni smer struje isti kao referentni, tada je sjer struje kroz generatore E1 u E3 u smeru njihove elektromotorne sile, a u generatoru E2 suprotan. To znai da generator E2 ne radi kao generator, ve kao potroa, jer se u njemu optereenja pomeraju nasuprot smeru delovanja spoljanjih sila (ako se radi o akumulatorima, oni bi se punili). Po zakonu o odranju energije, zbir snaga svih generatora koji rade kao generatori mora biti jednak zbiru Dulovih gubitaka u svim otpornicima i snaga uzetih sa predznakom plus (+) onih generatora koji rade kao prijemnici. Ako relaciju (1) pomnoimo sa strujom I, dobijamo, u stvari, ukupnu snagu generatora i otpornika, o emu emo govoriti kasnije (videti odeljak 5.7.6). ( ) 23213211320 IRRRRRRIEIEIE ggg ++++++=

37

4.6. Potencijal i napon u elektrinom kolu

Posmatrajmo sledee elektrino kolo (slika 4.13).

Slika 4.13.

Napon izmeu bilo koje dve take u kolu jednak je zbiru napona izmeu prikljuaka pojedinih otpornika i generatora koji se nalaze izmeu te dve take. Taj napon ne zavisi od putanje kojom ga raunamo. Na primer, odredimo napon izmeu taaka C i G. Za referentni smer obilaska du kola usvojimo smer CDEFG,.kao na slici 36.

IREIRIREIRUUUUU ggFGEFDECDCG 433223 ++++=+++= Odredimo sada napon izmeu taaka C i G, ali za referentni smer obilaska usvojimo smer CBAG:

IRIREIRUUUU gAGBACBCG 1112 +=++= Ovaj postupak izraunavanja se moe ematizovati. Pri izraunavanju napona u kolu postoje 3 smera o kojima treba voditi rauna:

1. smer elektromotorne sile pojedinih generatora 2. referentni smer struje 3. smer du kola, kojim pri izraunavanju napona idemo od take jedan do take 2 u kolu.

Tako imamo - u sluaju kretanja od take A ka taki B ( )

B kaA od = ERIU AB Ako se smer putanje od take A ka taki B i referentni smer struje kroz otpornik, odnosno smer elektromotorne sile generatora, poklapaju, RI odnosno E uzimaju se sa pozitivnim predznakom, imajui u vidu da minus (-) iz formule ostaje. U suprotnom se uzimaju sa negativnim predznakom, a - u sluaju kretanja od take B ka taki A ( )

A ka B od = RIEU AB I ovde vai isto pravilo, ali ako se smer putanje od B do A poklapa sa referentim smerom struje.

38

Napomena: ni jedna od ove dve relacije nemoe se primeniti ako putanja prelazi preko ISG. Tada treba primeniti relaciju

= UU ab Postoji potreba da se izrauna potencijal neke take u kolu u odnosu na referentnu taku. Ta taka se obino uzemljuje (slika 4.14).

Slika 4.14.

Izraunavanje potencijala se svodi na izraunavanje razlike potencijala izmeu posmatrane i referentne take i vai ve izloeni postupak. Ako referentnu taku oznaimo sa R onda je potencijal neke take A ( )

A do R od = RIEVA odnosno ( )

R doA od = ERIVA Za predznake vae ista pravila kao kod odreivanja napona. Ako za referentnu taku izaberemo taku G (slika 36.) onda je napon UCG istovremeno i potencijal take C. Zbog toga se ponekad govori o naponu neke take u kolu. Ponekad se koristi i naziv pad potencijala ili pad napona na otporniku, pri emu se misli na razliku potencijala izmeu njegovih plus i minus krajeva. Dosta oigledna predstava o promeni potencijala du elektrinog kola (ili jednog njegovog dela) dobija se crtanjem tzv. potencijalnog dijagrama (slika 4.15). To je dijagram u kome se u odgovarajuoj razmeri po horizontalnoj osi nanose take du kola (srazmerno otpornostima, gornja slika 37., ili bez razmere, donja slika 4.15), a po vertikalnoj osi se nanosi potencijal taaka. Ako je razmera na horizontalnoj osi proporcionalna otpornostima tada nagib dui u dijagramu mora biti srazmeran jaini struje kroz posmatrani element.

Slika 4.15.

39

4.7. Elektrine mree i drugi Kirhofov zakon

U praksi se mnogo ee koriste sloene veze generatora i otpornika i nazivaju se elektrine mree ili sloena elektrina kola (slika 4.16).

Slika 4.16.

Ako mrea sadri generator kae se da je aktivna mrea, a ako nema generator kae se da je pasivna. Mrea je linearna ako sadri samo linearne elemente, a nelinearna ako sadri bar jedan nelinearan element. Kod elektrinih mrea razlikujemo:

- - VOR taka u kojoj se stiu dva ili vie provodnika, - - GRANA mree je redna veza otpornika i generatora izmeu dva vora, izmeu kojih nema

grananja. Ako su struje u granama vremenski konstantne elektrino polje postoji unutar i u okolini elemenata od kojih je mrea nainjena i ima sve osobine elektrostatikog polja. Prema tome mora da vai

0=C

ldE

(ovo predstavlja drugi Kihofov zakon u najoptijem obliku) U teoriji mrea je uobiajeno da se ovaj integral izraava preko napona, izmeu krajeva otpornika i generatora, koji se nalazi u granama i obrazuju konturu. Pa se predhodna jednaina moe pisati

0= RIE (drugi Kirhofov zakon, vai za svaku zatvorenu konturu)

Ispred E i RI se podrazumeva predznak plus (+) ako je smer elektromotorne sile, odnosno referentni smer struje isti kao smer obilaenja konture (uoite da minus (-) u formuli ostaje). U suprotnom je predznak minus (-).

4.8. Strujni generatori

Generator koji ima osobinu da jaina struje kroz njega ne zavisi od otpornosti otpornika koji je prikljuen na njegove krajeve, pod uslovom da se ta otpornost kree u izvesnim granicama,

40

ponaa se kao generator konstantne struje, i naziva se idealni strujni generator (ISG). Na primer, za geneator na slici 4.17a, pretpostavimo da je Rg >>R, pa je tada

s

gg

IRE

RREI =+

=

Slika 4.17.

U literature se sree vie oznaka za ISG, a mi emo koristiti oznaku kao na slici 4.18.

Slika 4.18.

Strelica (slika 4.18) pokazuje referentni sme struje kroz generator u odnosu na koji se daje jaina struje sI generatora. Vano je uoiti da u je grani u kojoj deluje ISG, jaina struje uvek jednaka struji ISG, bez obzira na veliinu otponosti otpornika ili ems naponskih generator koji su, eventualno, vezani na red sa takvim ISG, pa je jaina struje u grani uvek unapred poznata. Snaga iSG jednaka je proizvodu jaine struje kroz njega I napona izmeu negovih prikljuaka. Jaina struje kroz generator je data, ali napon zavisi od naina prikljuivanja generator i mora se odrediti posebno za svaki sluaj. Radi toga se odabire neka kontura u kojoj su poznati naponi na krajevima svih elemenata osim posmatanog strujnog generator, I taj napon se odredi pomou II Kirhofovog zakona (II KZ). Usklaeni referentni smerovi za napon i struju ISG su prikazani na slici 4.19 (+ napona je na kraju gde struja izlazi iz prikljuka generator).

Slika 4.19.

41

Izmeu idealnog naponskog generatora ( ING) i ISG nema i nemoe biti ekvivalentnosti, jer su oni po definiciji razliiti. ING odrava stalan napon izmeu prikljuaka bez obzira na struju kroz njega, a ISG odrava stalnu struju kroz sebe bez obzira na napon izmeu svojih prikljuaka (slika 4.20).

Slika 4.20

Ekvivalentnost postoji izmeu realnog naponskog generator (RNG) i realnog strujnog generatora (RSG). Ekvivalentnost znai da se ponaaju isto u odnosu na prijemnik proizvoljne otpornosti R (daju istu struju I isti napon u odnosu na prikljuke). To znai da se uvek moe nai RSG koji je ekvivalentan RNG i obrnuto (slika 4.21). Odredimo uslove ekvivalencije.

Slika 4.21.

U sluaju RNG struja kroz otpornik otpornosti R je

RREI

g +=

(1)

U sluaju RSG napon izmeu prikljuaka generator je

RRRRIU

s

ss +

=

pa je struja kroz R

RRRI

RUI

s

ss +

== (2)

(Napomena: paralelna veza Rs I R se moe posmatrati kao strujni delitelj.) Da bi u oba sluaja (relacije 1 i 2) jaina struje bila ista, mora biti ispunjen uslov:

gs RR = i ERI ss = Odatle sledi da je

EGREI g

gs ==

42

Dakle gs RR = i EGREI g

gs == su elementi RSG koji je ekvivalentan RNG iji su

elementi E i Rg. Ako su poznati elementi RSG (Is i Rs), elementi RNG se dobijaju relacijama sg RR = i ss IRE =

Ako Rg 0 (RNG se svodi na ING), onda i Rs 0, pa bi prikljuci strujnog generatora bili kratko spojeni, a to znai da, u takvom sluaju, ne postoji strujni generator koji je ekvivalentan naponskom.

Posmatrajui sliku 4.21, zakljuuje se da ako su prikljuci SG otvoreni, kroz njegovu unutranju otpornost Rs postoji struja. To znai da bi u ovakvm generatoru teorijski dolazilo do stalnog pretvaranja elektrine energije u toplotu. Ovo je ipak samo posledica usvojenog modela RSG, ali ne i njegova stvarna (fizika) osobina. Od vrste generatora u mrei donekle zavisi nain na koji se reava mrea, tj. odreivanje struje u njenim granama (to e se videti kod metode konturnih struja i metode napona vorova). Napomenimo da postoje neregularne (nedozvoljene) veze ING i ISG. Na primer ne mogu dva ili vie ISG biti u rednoj vezi (jer onda nije jasno koja je struja u toj rednoj vezi, slika 4.22 desno). ING se mogu nalaziti u paralenoj vezi samo ako su ems svih generatora iste (nije dozvoljena veza ako su ems razliite, jer opet nije jasno koji je onda napon na krajevima te veze, slika 4.23 desno.). Nisu dozvoljene veze ni kratkospojeni krajevi ING (slika 4.23 levo) i otvoreni krajevi ISG (slika 4.22 levo).

Slika 4.22.

Slika 4.23.

43

5. METODE REAVANJA ELEKTRINIH MREA

5.1. Graf elektrine mree

Za svaku elektrinu mreu postoje dve njene karakteristike: - vrsta elemenata u mrei, i - njena geometrijska struktura.

Kada se radi o geometrisjkoj strukturi, od interesa je samo nain na koji su pojedini elementi meusobno povezani, a ne i dimenzije i oblik spojnih provodnika ili samih elemenata. Da bi se istakla geometrijska struktura mree, uobiajeno je da se mrea crta samo pomou linija koje predstavljaju njene grane, i taaka (ili kruia) koji oznaavaju vorove mree, tj. mesta gde su dva ili vie elemenata mree meusobno povezani. Takav ematski prikaz mree naziva se graf. Primer mree i njenog grafa prikazan je na slici 5.1a i b.

. a) b)

Slika 5.1. a) elektrina mrea, b) dva oblika grafa elektrine mree sa slike a)

Graf se karakterie samo brojem grana i vorova i nainom kako su povezani, a ne i oblikom crtanja grana, to se moe uoiti sa slike 5.1b. Graf je planaran ako se grane (linije) ne seku kada se graf crta u jednoj ravni

Graf je povezan ako izmeu bilo koja dva vora uvek postoji putanja. Na osnovu grafa elektrine mree moe se doi do optih informacija o mrei, koje nisu

vezane za tip elemenata. Pokazaemo, na osnovu grafa mree, koliko se nezavisnih jednaina moe postaviti po I

Kirhofovom zakonu (I KZ), a koliko po II Kirhofovom zakonu (II KZ). Ako mrea ima n vorova, za svaki vor se moe postaviti jednaina po I KZ. Pokazaemo

da je od njih n meusobno nezavisno (n -1) jednaina. Posmatrajmo graf mree na slici 5.2. Za pisanje I KZ treba uvesti referentne smerove struja

u granama. I KZ za vor znai sabrati sve struje kroz zatvorenu povr S1. Isto za vor 2. ta fiziki znai sabrati jednaine za vor 1 i vor 2?. Struje grana koje spajaju vorove 1 i 2

javie se u zbiru dva puta, jednom sa pozitivnim, a drugi put sa negativnim predznakom, pa e se ponititi. Prema tome sabiranje jednaina po I KZ za dva vora je ekvivalentno primeni I KZ na povr koja obuhvata istovremeno oba vora (povr S12 na slici 5.2).

Nastavljajui ovako dolazimo do toga da primena I KZ na povr 1

nS , koja obuhvata sve vorove osim jednog (n tog), daje zbir jednaina dobijenih za svih (n -1) vorova unutar te povri.Sa slike 5.1.2 se vidi da taj zbir daje jednainu

0321 =+ III

44

Ako primenimo I KZ na preostali vor, dobijamo jednainu istu kao pethodna, ali sa izmenjenim predznacima, tj.

0321 =+ III a to znai da se jednaina za poslednji vor moe dobiti sabiranjem jednaina za prethodnih (n -1) vorova, tj. da je psledica svih prethodnih, te da nije nezavisna. Time je pokazano da se ze mree sa n vorova moe primeniti samo (n -1) nezavisnih jednaina po I KZ.

Slika 5.2.

Odredimo broj nezavisnih jednaina koji se moe postaviti po II KZ. U tu svrhu posmatrajno graf na slici 5.3a.

Slika 5.3. a) graf elektrine mree, b) dva primera stabala mree na slici a)

Grane u grafu, koje spajaju sve vorove, ali ne formiraju ni jednu zatvorenu konturu, nazivaju se grane stabla, a njihova struktura stablo. Svaka mrea ima vie stabala (na slici 5.3b su prikazana dva od moguih stabala mree na slici 5.3a). Preostale grane u mrei (crtkane, slika 5.3b) nazivaju se spojnice ili spone.

Neka je broj grana mree ng, pa imamo u mrei ukupno spojnica ( )1 g nn . Svaka spojnica dodata stablu obrazuje jednu zatvorenu konturu (ne sme se proidva puta istim putem). Jednaine dobijene po II KZ za sve konture koje obrazuje jedna spojnica i odgovarajue grane stabla su sigurno meusobno nezavisne, jer takve konture sadre jednu granu (tu spojnicu) koja ne pripada ni jendoj drugoj konturi. Takve konture se nazivaju nezavisne konture ili petlje i njihov broj koji se, u mrei, moe odabrati je

( )1=gk nnn

45

Pored ovakvih nk kontura, u svakoj mrei je mogue odabrati proizvoljan broj drugaijih kontura, koje obrazuju dve ili vie spojnica i odgovarajue grane stabla, ali one nisu nezavisne, pa jednaine po II KZ slede iz jednaina za nezavise konture.

Na kraju moemo zakljuiti: 1 za svaku mreu koja ima n vorova moe se postaviti (n -1) nezavisnh jednaina po I

KZ, 2 ako posmatrana mrea ima ng grana, po II KZ se moe postaviti ( )1= gk nnn

nezavisnih jednaina, 3 od ng jaina struja u ng grana nezavisno je nk struja, a struje u preostalih (n -1) grana

mree moemo oderditi rek tih nk struja, 4 od ng napona izmeu krajeva ng grana mree nezavisno je (n -1) napona, tj. naponi

izmeu krajeva preostalih nk grana mogu se izraziti preko tih (n -1) napona.

5.2. Reavanje elektrinih mrea direktnom primenom Kirhofovih zakona

Pod reavanjem neke elektrine mree podrazumeva se odreivanje struja u svim njenim granama ili napona izmeu krajeva svih grana.

Postupak direktnom primenom I i II KZ je sledei. Na osnovu broja grana i vorova mree odredi se broj jednaina koje se mogu napisti po I i II KZ:

1

n I KZ

( )1=gk nnn II KZ

to ini ukupno ng jednaina, gde su nepoznate struje ng grana. Zatim se nacrta graf mree i odabere jedno stablo. Dodaje se jedna po jedna spojnica granama stabla i za svaku konturu, koja se pri tom dobije, napie jednaian po II kZ. Tako se dobija nk jednaina. Preostalih (n -1) jednaina, pie se po I KZ za bilo kojih (n -1) vorova mree. Zatim se taj sistem jednaina reava i nalaze jaine struja kroz sve grane mree. Nedostatak direktne primene I i II kZ je veliki broj jednaina koje treba reavati. Postoje i druge metode kojima se reava manji broj jednaina:

- metoda napona vorova, reava se 1n jednaina, i - metoda konturnih struja, reava se ( )1= gk nnn jednaina.

Kod obe ove metode jednaine se piu na ematizovn nain. Reavanje elektrinih mrea direktnom primenom I i II KZ ilustrovaemo na primeru mree

sa slika 5.4a.

Slika 5.4a.

46

Postupak reavanja: 1- obeleimo i usvojimo smerove struja grana (broj grana ng = 6), sa I1, I2, I3, I4, I5, i I6 (slika

5.4b), 2- obeleimo vorove (broj vorova n = 4), sa 1, 2, 3 i 4 (slika 5.4b) 3- odaberemo vorove za koje piemo I KZ, neka su to vorovi 1,2 i 3, 4- nactamo graf mree (slika 5.4c levo), i odaberemo jedno od moguih stabala14, zatim

nezavisne konture i orjentiemo ih (slika 5.4c desno, broj nezavisnih kontura je ( ) ( ) 31461 ===

gk nnn

5- piu se jednaine po I i II KZ.

Slika 5.4b.

Slika 5.4c. Graf mree i jedno od stabala sa oznaenim i orjentisanim konturama

Jednaine po I KZ: vor 1 0431 =+ III vor 2 0542 =+ III

14

Studenti nerado koriste ovaj metod, ve radije koriste tzv. heuristiki metod, tj. odoka odreuju nezavisne konture, ali je taj nain ne dovodi uvek do dobrog rezultata.

47

vor 3 0631 =++ III

Jednaine po II KZ15: Kontura I 033111 = IRIRE Kontura II ( ) ( ) 0665544111 = IRIRIRIRE Kontura III ( ) 055222 = IRIRE

Dobijen je sistem od 6 lineranih jednaina sa 6 nepoznatih (I1, I2, I3, I4, I5, i I6). Ovaj sistem se moe napisati i u obliku

0000 431 =++++ III

0000 542 =++++ III 0000 631 =+++++ III

13311 0000 EIRIR =+++++ 16655441 00 EIRIRIRIR =+++

25522 0000 EIRIR =+++

Sistem ovih jednaina je oblika

j

n

kkjk bIa

g

==1

, j = 1, 2, ..., ng Koeficijenti ajk i bj su poznati, a Ik nepoznate. Ovakav obik sistema jednaina se dobija i kod

nekih drugih metoda. Reavanje oog sistema jednaina se obavlja bilo kojom metodom (zamena, determinante).

5.3. Metoda konturnih struja

Primena I i II KZ za izraunavanje struja grana u elektrinoj mrei zahteva reavanje relativno velikog sistema jednaina Jednaine napisane po I KZ imaju prost oblik i dozvoljavaju da se pomou njih odmah eliminie (n -1) nepoznatih struja, ijom se zamenom u jednaine poII KZ sistem svodi na ( )1= gk nnn jednaina po isto toliko nepoznatih struja. Za prethodni primer, izvrimo eliminaciju struja I1, I5 i I6 koje nisu struje nezavisnih grana, a preostale struje nezavisnih grana obeleimo sa

III =3 , IIII =4 i IIIII =2 Prema I KZ je

01 =+ III III odakle sledi III III =1

15 Jednaine se mogu pisati po nekom od ranije objanjenih modela, na primer, po modelu 0= RIE (nesme se pisati po ovom modelu za konuru koja prolazi korz ISG), ili 0=U (ako se prvo naie na referentni kraj uzima se predznak -.

48

05 =+ III IIIII odakle sledi IIIII III =5 061 =++ III I odakle sledi IIIIII IIIII ==6

Posle zamene tako dobijenih relacija u jednaine po II KZ i sreivanja, dobija se ( ) 1131 0 EIRIRR III =++

( ) 1565411 EIRIRRRRIR IIIIII =++++ ( ) 25250 EIRRIR IIIII =++

Dobijeni sistem jednaina ime sleei opti oblik: 111131211 ... EIRIRIRIR nnIIIIII =++++

222232221 ... EIRIRIRIR nnIIIIII =++++

333333231 ... EIRIRIRIR nnIIIIII =++++ .

.

.

nnnnnIIInIInIn EIRIRIRIR =++++ ... 321 i nazivaju se jednaine konturnih struja. U ovim jednainama nepoznate struje II,...,In su struje nezavisnih grana kontura (konturne struje), tj. struje nezavisnih kontura koje bi inile prosto kolo (slika 5.5).

Kao to smo ranije napomenuli, metoda konturnih struja omoguuje da se na ematizovan nain napie ( )1= gk nnn jednaina u kojima su nepoznate konturne struje. Poreenjem opteg oblika jednaina sa jednainama izvedenim u primeru, dolazi se do sledeih pravila za direktno formiranje jednaina po metodi konturnih struja, gde su:

Ij jaina struje u konturi j, j=I, II, ..., n, Rjj zbir otpornosti grana koje ine konturu j, Rjk=Rkj (jk) algebarski zb ir otpornosti grana koje su zajednike za konture j i k, k=I, II,

..., n; o u zbiru se uzima predznak + ako su smerovi kontura j i k u grani isti, a u

suprotnom se uzima -; o ako dve konture nemaju zajedniku granu Rjk=0,

Ejj - algebarski zbir ems grana koje ine konturu j, o u zbiru se uzima predznak + ako su smer ems i konture isti, a u suprotnom se

uzima -; o ako dve konture nemaju zajedniku granu Rjk=0,

Slika 5.5.

49

Ova metoda se naziva i metoda nezavisnih struja. Sistem jednaina je oblika

jj

n

kkjk EIR =

=1, j = 1, 2, ..., n=nk

Ako se ovaj sistem jednaina reava metodom determinanti, konturna struja II je

DDI I 1= , odnosno u konturi k D

DI kK = gde su:

- D determinanta sistema (obrazovana od konstanti uz nepoznate sistema jednaina), - D1 determinanta gde su lanovi prve kolone zamenjeni sa slobodnim lanovima (u Dk su

lanovi k-te kolone zamenjeni slobodnim lanovima)

nnnn

n

n

RRR

RRRRRR

D

...

......

......

...

...

11

22221

11211

=

nnnnn

n

n

RRE

RRERRE

D

...

......

......

...

...

1

22222

11211

1 =

Razvojem detrminante D1 po prvoj koloni dobija se 1212211111 , ... , nnn DEDEDED +++=

odnosno posle zamene izraza za D1 u izraz za II, je

nn

I EDDE

DDE

DDI 122211111 , ... , +++=

Na slian nain konturna struja Ik dobija se relacijom

nnkkk

k EDDE

DDE

DDI +++= , ... ,222111 , k =1, 2, ..., n

gde su Djk kofaktori ili algebaski komplementi determinante D (j-ta vrsta i k-ta kolona se izostavljaju), tj.

nnnn

n

n

RRR

RRRRRR

D

...

......

......

...

...

32

33332

22322

11 =

nnnn

n

n

RRR

RRRRRR

D

...

......

......

...

...

32

33332

11312

21 =

odnosno

=

=

n

kkjk DaD

1, gde je ( ) kjjka += 1

50

Na osnovu izraunatih konturnih struja moe se izraunati struja bilo koje grane, kao algebarski zbir konturnih struja kontura kojima prpada posmatrana grana, tj.

konturag II = alg gde se u zbiru uzima predznak + ako su smer konturne struje poklapa sa smerom strue grane, a u suprotnom se uzima -.

Na primer, u napred izvedenom primeru, struja u grani I1 je III III =1

Izvedeni sistem jednaina vai za mree sa naponskim generatorima. Metoda konturnih struja se moe primeniti i na mree sa strujnim generatorima uz sledee napomene:

- Ako mrea ne sadri ISG ve samo RSG, onda se svi RSG mogu pretvoriti u RNG, i metoda KS primeniti na ve opisani nain,

- Ako mrea sadri ISG onda se mogu struje tih strujnih generatora smatrati konturnim strujama, koje su tada poznate (i jednake struji ISG), ali grana sa ISG nesme da pripada nekoj drugoj konturi (mora biti nezavisna grana). Tada se ne piu jednaine za tu konturu, ali se te konturne struje strujnih generatora moraju uzeti u obzir. Broj jednaina je tada

( ) sk nnn 1 gde je ns broj konturnih struja jednakih strujama ISG.

Na primer, ako bi u prethodnom primeru, u grani sa R3 bio ISG sa strujom Is1 (sa smerom na gore), slika 5.6., bilo bi

11 sII = a sistem jednaina bi glasio16

222322121 EIRIRIR IIIIIs =++

333332131 EIRIRIR IIIIIs =++

Slika 5.6.

16 Treba uoiti da se u ovom sluaju prva jednaina ne pie (poznata je konturna struja II i jednaka Is1.Meutim u preostalim jednainama postoje lanovi sa konturnom strujom . Poto je ta struja poznata, ti lanovi e, pri sreivanju jednaina, prei u slobodne lanove sa desne strane jednaina. Oigledno je da se sada piu samo dve jednaine. esta greka je da se napie opti oblik sa dve jednaine, pa trae koeficijenti tih jednaina. U takvom sluaju se ne zmu u obzir konturne struje koje su poznate. Preporuujem da se napie potpun sistem jednaina (znai u ovom primeru tri jednaine), a zatim obriu one jednaine ije su konturne struje poznate (u ovom lsuaju to je prva jednaina). Ta e u preostalim jednainama ostati lanovi sa poznatim konturnim strujama i nee biti greke.

51

U nekim primerima strujni generator moe biti vezan preko vie grana (slika 5.6a, pa se moe postupiti na nain kao na slici 5.6b i c.

Slika 5.6a

Slika 5.6b

Slika 5.6c

Do opteg oblika jednaina za metodu KS moe se doi i primenom II KZ na konturu. Na primer za konturu I, u prvobitnom primeru, je ( ) ( ) ( ) 0

konture za zajednike grane du1 3 = IIiIIkontureduIkonturedu RIRIE ili ( ) ( ) ( )

IkontureduIIiIIkonturedu ERIRI konture za . zajedni grane du1 3 =

52

5.4. Metoda potencijala vorova

Ranije smo zakljuili da od ng napona izmeu krajeva ng grana neke mree nezavisno je (n -1) napona. Metona napona vorova (N) omoguava da se na ematizovan nain napie (n -1) jednaina po I KZ u kojima figuriu potencijali (n -1) vorova kao nepoznate. Jedan vor se uzima za referentnu taku potencijala.

Kada se odrede potencijali vorova, struje kroz sve grane se odreuju pomou II KZ. Metoda N se naziva i metoda napona izmeu vorova, metoda nezavisnih napona i metoda

potencijala vorova. Posmatrajmo granu iji su krajevi u vorovima j i k (grana sadri jedan generator i otpornik,

a smer ems je od vora j ka voru k), slika 5.7.

Slika 5.7.

Na osnovu definicije razlike potencijala

j dok od

=

j

kjk

j

kkj RIEVV

je ( ) RIERIEVV kj +==

Odakle je jaina struje u grani17

( )kjjk VVERI +=1

(*) ili

( )kjjk VVEGI += (**), RG1

=

Prema tome moemo izraunati struju u nekoj grani ako znamo potencijale njenih krajeva i elemente grane. A potencijale krajeva grane upravo dobijamo metodom N. Da bismo doli do pravila za pisanje jednaina po metodi N, kao primer posmatrajmo vor 1 na slici 5.8.

Slika 5.8. 17

Napomena: ako je R=0, ova jednaina se nemoe pisati, jer je G=, pa je i I=. Takoe uoite da ako je referentni smer ems obrnut od onog na slici 5.7, u relaciji bi ispred E bio predznak -.

53

Za vor 1 vai I KZ

01312 =+ sIII odnosno koristei relaciju (*), dobijamo

02

31

1

211=

++

sIRVV

RVVE

ili koristei relaciju (**), dobijamo ( ) ( ) 0312211 =++ sIVVGVVEG

Posle sreivanja, dobija se ( ) sIEGVGVGVGG +=+ 113221121

Posmatrajmo sada mreu sa ng grana i n vorova.Prema II KZ moemo napisati n -1 neavisnih jednaina oblika

0=+ sg II za n -1 vorova. Ako izaberemo n vor, za koji nismo napisali jednainu po I KZ, za referentni vor (sa potencijalom nula), i obeleimo ga sa nula (0), a preostale vorove brojevima od 1 do n -1, i ako svaku struju grane zamenimo relacijom (**), dobijamo potuni nezavisni sistem od n -1 jednaina, u kojima e nepoznate biti potencijali vorova V1, V2, ..., oblika:

11313212111 ... nn IVGVGVGVG =++++ 22323222121 ... nn IVGVGVGVG =++++

.

.

nnnnnnn IVGVGVGVG =++++ ... 332211

gde su Vj potencijal vora j, j=1, 2, ..., n, Gjj zbir povodnosti svih grana koje se stiu u voru j, Gjk=Gkj (jk) zbir provodnosti svih grana izmeu vorova j i k, k=1, 2, ..., n, uzet sa

negativnim predznakom,

( )js IGEI j ++ - algebarski zbir proizvoda ems generatora u granama koje se stiu u voru j i provodnosti odgovarajue grane (GE ), i zbir struja svih strujnih geeratora koji se stiu u voru j ( sI ).

o za GE , ems sa smerom ka voru j uzima se sa predznakom + i obratno; o za sI , Is sa smerom ka voru j uzima se sa predznakom + i obratno;

Ako mrea sadri grane koje obrazuju samo ING, proizvod GE za takve grane je beskonano veliki, jer je G= (Rg=0), pametoda N nemoe direktno da se primeni. Meutim, napon takve grane je konstantan bez obzira na vrednost struje kroz granu. Za primenu metode N, potrebno je kao referentni vor uzeti jedan kraj (vor) ING, pa je potencijal drugog kraja (vora) poznat i jednak ems ING, pa za taj vor ne treba pisati jednainu po metodi N18. 18

U vezi greaka koje se ine kod pisanja jednaina, u ovom sluaju, pogledati napomenu kod metode KS.

54

Ilustrujmo primenu metode N na primeru mree na slici 5.9. mrea ima 3 vora, pa je potrebno napisati sistem od dve jedaine, iji opti oblik glasi:

1212111 IVGVG =+ 2222121 IVGVG =+

Posle odreivanja koeficijenata i slobodnih lanova, na nain kako je objanjeno19, i uvrtavanja u opti oblik jednaina, dobijamo

( ) ( ) 22126216421 EGIVGGVGGGG s =++++ ( ) ( ) 332226532162 EGEGVGGGGVGG =+++++

gde su nepoznate veliine potencijali vorova V1 i V2.

Slika 5.9.

Kao ilustraciju primera mree se ING i primenom metode N, zamenimo u prethodnom primeru ISG sa ING, pri emu dobijamo mreu kao na slici 5.10 U ovom sluaju potrebno je pisati samo jednu jednainu, jer je poznat potencijal vora 1, V1=E1. Jednaina koja se dobija je ( ) ( ) 332226532162 EGEGVGGGGEGG =+++++ gde je nepoznata veiina samo potencijal V2.

Slika 5.10.

Od metoda KS i N pogodnija je ona koja zahteva manje jednaina za reavanje. Metoda N treba n -1 jednaina

Metoda KS treba ng ( n -1) jednaina 19

Uoite da provodnost otpornika redno vezanog sa ISG nije uzeta pri prraunu koeficijenata jkG ili jjG .

55

5.5. Ekvivalencija veze otpornika u zvezdu i trougao

Do sada smo zamenjivali redne, paralelne i kombinovane redno-paralelne veze otpotrika sa ekvivalentnim otpornikom. Uslov ekvivalencije je bio da pri istom naponu izmeu prikljuaka cele grupe otpornika i ekvivalentnog otpornika, jaina struje kroz prikljuke bude ista u oba sluaja (time se ne remeti stanje u ostalom delu mree, ako je to deo mree). U elektrinim mreama se esto susreu veze tri otpornika (ili neka druga elementa) u tzv. (trokraku) zvezdu (slika 5.11a, i trougao (slika 5.11b).

Slika 5.11.

Uslov ekvivalencije e, oigledno, biti zadovoljen ako jednakim strujama Ia, Ib i Ic u oba sluaja odgovaraju isti potencijali Va, Vb i Vc. Polazei od ovih uslova, mogu se na vie naina izvesti relacije kojima se veza otpornika u zvezdu transformie u vezu u trougao i obrnuto. S ozirom da to zahteva dosta vremena, neemo izvoditi. Neka su otpornosti otpornika u spoju u zvezdu Ra, Ra i Rc, odnosno njihove provodnosti Ga, G i Gc, a otpornosti otpornika u spoju u trougao Rab, Rbc i Rca, odnosno njihove provodnosti Gab, Gbc i Gca, pri emu je Gi=1/Ri. Ako su poznati otpornosti otpornika u spoju u zvezdu Ra, Rb i Rc, odnosno njihove provodnosti Ga, Gb i Gc, onda se otpornosti odnosno provodnosti otpornika ekvivalentnog spoja u trougao nalaze sledeim relacijama:

c

babaab R

RRRRR ++=

a

cbcbbc R

RRRRR ++=

b

acacca R

RRRRR ++=

cba

baab GGG

GGG++

=

cba

cbbc GGG

GGG++

=

cba

acca GGG

GGG++

=

Ako su poznate otpornosti otpornika u spoju u trougao Rab, Rbc i Rca, odnosno njihove provodnosti Gab, Gbc i Gca, onda se otpornosti odnosno provodnosti otpornika ekvivalentnog spoja u zvezdu nalaze sledeim relacijama:

cabcab

caaba RRR

RRR++

=

cabcab

bcabb RRR

RRR++

=

cabcab

bccac RRR

RRR++

=

56

bc

caabcaaba G

GGGGG ++=

ca

abbcabbcb G

GGGGG ++=

ab

bccabcccc G

GGGGG ++=

Primer 1. Neka je Ra = Ra = Rc = Rz (simetrina zvezda), tada se na osnovu relacija ekvivalencije za otpornike trougla dobija Rab = Rbc = Rca = 3Rz = Rt.

Primer 2. Neka je Rab = Rbc = Rca = Rt (simetrini trougao), tada se na osnovu relacija ekvivalencije za otpornike zvezde dobija Ra = Rb = Rc = Rt/3 = Rz.

5.6. Delitelj napona i strujni delitelj

Poznavanje ovih jednostavnih veza je veoma korisno kod reavanja zadataka. Delitelj napona (razdelnik napona) ine redno vezani otpornici (slika 5.12a). Poznate su

otpornosti otpornika R1 i R2, i napon U izmeu krajeva delitelja. Treba odrediti napon izmeu krajeva pojedinih otpornika. Oigledno za ovu vezu vae sledee relacije:

21 RRUI+

= 11 IRU = 22 IRU =

Posle zamene relacije za I u relacije za U1 i U2, dobija se:

21

11 RR

RUU+

= , i 21

22 RR

RUU+

=

Korisno je uoiti da se u imeniocu krajnjih relacija nalazi zbir otpornosti redno vezanih otpornila, a u brojiocu otpornost onog otpornika izmeu ijih krajeva se trai napon.

Slika 5.12.

Strujni delitelj (razdelnik) ine paralelno vezani otpornici (slika 5.12b). Poznate su otpornosti otpornika R1 i R2, i struja I kroz prikljuke delitelja. Treba odrediti struje kroz svaki od otpornika. Oigledno za ovu vezu vae sledee relacije po I KZ i II KZ:

2211 IRIR = 21 III +=

Reavanjem ovog sistema jednaina dolazi se do relacija za I1 i I2:

21

21 RR

RII+

= , i 21

12 RR

RII+

=

Korisno je uoiti da se u imeniocu krajnjih relacija nalazi zbir otpornosti otpornila u paralelnim granama, a u brojiocu otpornost onog otpornika kroz koji se struja ne trai.

57

5.7. Teoreme elektrinih mrea

Svi zadaci u elektrinim mreama se mogu reiti direktnom primenom I i II KZ, ali to zahteva reavanje mnogo jednaina. Bre se moe reiti primeom ematizovanih postupaka kao to su metoda KS i metoda N, ili uproavanjem mree pogodnim transformacijama (meu kojima su i transfiguracija zvezda trougao i obrnuto), mada se i ovi postupci zasnivaju na Kirhofovim zakonima. Osim ovoga postoji i vie teorema koje slede iz Kirhofovih zakona i jednaina koje opisuju elemente odnosno grane kola. Neke teoreme su opteg karaktera (teorema kompenzacije i teorema odranja snage u elektrinim mreama), dok ostale vae samo za linearna kola (teorema lineranosti, Tevenenova i Nortonova terorema, teorema reciprociteta). Osnovna namena teorema je olakavanje reavanja mrea. Pored toga neke omoguavaju sagledavanje nekih optih osobina linearnih elektrinih mrea (teoreme linearnost i reciprociteta), a neke fizikih ogranienja (teorema odranja snage). Neke vae za kola sa samo jednim generatorom (teorema uzajamnosti, neke varijante teoreme linearnosti)), a neke za kola sa vie generatora (terorema superpozicije). U praksi se esto koriste Tevenenova i Nortonova teorema).

5.7.1. Teoreme linearnosti Teoreme linearnosti vae iskljuivo, kako im i sa naziv kae, za linearna kola20. Ima ih vie varijanti. Iskazuju injenicu da izmeu odziva u kolu (napona i struja) i pobude odnosno eksitacije (elektromotornih sila naponskih generatora i struja strujnih generatora) postoje linearne veze. To su teorema proporcionalnosti, teorema superpozicije (koja se obino obrauje u literaturi kao odvojena, pa emo i mi tako postupiti), teorema linearnosti za kolo sa vie pobuda, teorema linearne zavisnosti odziva od pobude za kola sa vie pobuda, pri emu se posebno posmatra dejstvo jedne pobude.

Teorema proporcionalnosti Vai za kolo u kome postoji samo jedan generator (naponski ili strujni), odnosno samo jedna pobuda. Tada je bilo koji odziv u kolu srazmeran toj pobudi21 Ako je pobuda odnos