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Chungbuk National University

제 2 장 인장 및 압축

하중을받고 있는구조물은힘의종류에따라인장, 압축, 전단, 비틀림및굽힘으로나눈다. 그 구조물을구성하고있는각 부재의역학적거동을파악하는것이며, 이것을다루는것이 바로재료(고체)역학이다.공업역학(정역학이나동역학)에서는주로질점(質點)이나 강체(剛體)에작용하는힘과 운동을다루지만고체역학에서는하중을받아 탄성변형을일으키는변형체내부에생기는응력과변형률을취급한다.본 장에서는물체에 인장, 압축과같은 힘이작용할때 재료내부에서발생되는응력(應力)과 변형률(變形率)의 개념을 자유물체도와평형방정식을 사용하여이해한다. 또한 탄성체역학(彈性體力學)의 가장 기초가되는Hooke의 법칙과그 응용을다루고, 인장시험을통한재료의기계적성질등을 파악한다.

학습목표


2-1 하중

(1) 작용방식에따른분류

① 축하중(axial load)

② 전단(剪斷)하중(shearing load)

③ 비틀림하중(twisting load)

④ 굽힘하중(bending load)

재료를 잡아당겨 늘리는인장하중(tensile load, 引張荷重)과 재료를압축하여 줄어들게하는 압축하중(compressive load, 壓縮荷重)

하중의작용선이재료의 축선과 수직(단면과평행)하게 물체를자르는형태로 작용하는 하중

축에 비틀림을 일으키는하중;비틀림모멘트(twisting moment)가 작용

재료의 축선에 수직으로 작용하여 굽힘을 일으키는 하중


힘의 종류 (5가지)

[그림 2-1] 하중의 작용방식에따른분류


가. 정하중(static load, 靜荷重)

(2) 작용시간에따른분류

나. 동하중(dynamic load, 動荷重)

① 사하중(dead load) : 자중(自重)과 같이 하중 크기와작용방향이일정한경우

② 점가하중(gradually increased load) : 어떤 크기까지하중이점차적으로서서히증가하는경우

① 반복하중(repeated load) :일정한 크기와방향을가진하중이반복되는경우

② 교번하중(alternative load) :하중의 크기와방향이변화하면서상호연속적으로반복되는하중

③ 충격하중(impulsive load) :외력이 순간적으로작용하여재료에충격을주는하중


(3) 분포상태에따른분류

나. 분포(分布)하중(distributed load)

가. 집중(集中)하중(concentrated load)

다. 이동(移動)하중(movable load);

하중이 한 점에 집중하여작용하거나아주짧은 거리에모여작용하는경우

하중이일정한길이또는 면적에분포되어작용하는경우

차량이다리 위를이동하는것과같이 하중의작용점이시간에따라 변하는경우


[그림 2-2] 하중의 분포상태에 따른 분류


2-2 인장응력과 인장변형률2-2 인장응력과 인장변형률

0:0 =−⋅=∑ PAPy σ (2-1)임의단면을갖는 균일단면봉이축하중을받을때, 그 단면에발생하는응력은식(2-1)에서 식(2-2)와 같이 구해진다.

A

P=σ (2-2)

그림 2-3 인장을받는 균일단면봉

(a) 봉이 힘을받아 늘어난상태

(b) mn단면에서의 FBD

외력P가 작용하는 균일 단면봉의 단면 mn을 절단하여자유물체도(free body diagram; FBD)를 그려보자. 그러면 절단면에서는 뉴턴(Newton)의 제3법칙에 의하여작용력(action force)과 반작용력(reaction force)은

같게 되므로 [그림(b)]와 같은 자유물체도에서 y방향방향의 힘의 평형방정식을 적용시키면 식(2-1)을얻을 수 있다.


응력(stress, σ)1. 정의 : 단위 면적당의힘의세기

2. 종류

인장응력(tensile stress) : 하중 P에 의해 봉이신장되는경우의응력압축응력(compressive stress) : 하중 P에 의해 봉이 압축되는경우의응력수직응력( normal stress) : 단면에 수직인응력단순응력상태 : 인장 또는 압축만을받을때 횡단면에는균일한수직응력이

생기며, 이 수직응력의합력이 P가 되는 응력상태

3. 단위

미터계단위(Meter System Unit) :

USCS 단위(U.S. Customary System) :

SI 단위(International System of Unit) :

22 /,/ cmkgfmmkgf

)(/ 2 psiinlb

GPaMPakPaPaPascalmN ,,),,(/ 2

1psi는 약 7,000Pa이며, 1ksi=103 psi, 1kPa=103 psi, 1MPa=106 Pa,1GPa=109Pa이다.본서에서는위의 3가지단위계들을혼용하여사용함으로써독자들이여러단위계에익숙해지게하고자한다.USCS(U.S. Customary System / unit)의 약자.


변형률(strain, ε)

1. 정의

외력 P에 의해 길이 l인 봉이 힘의 방향으로 δ만큼 늘어났다고가정할때, 원래 길이 l에 대한 신장량 δ의 비로 식(2-3)과 같이 정의된다.

l

δε = (2-3)

2. 종류

인장변형률(tensile strain) : 봉이 인장될때의 변형률

압축변형률(compressive strain) : 봉이 압축될때의 변형률

수직변형률(normal strain) : 수직응력과관계되는변형률

3. 단위

무차원량(dimensionless)으로서어떤 단위계가사용되던지

숫자로만나타남 따라서사용하기가가장 용이함


제 3 장 전단

본 장에서는절단기로물체를절단할때와같이 접선방향으로작용하는

전단응력(Shearing stress)에 대해 알아보고이때 일어나는열 응력과

크리프(creep)를 알고 힘의평형과부정정문제를풀어본다.

학습목표


3-1 전단응력과 전단변형률

전단응력(shearing stress, τ)

그림3-1 리벳의전단

: 수평으로 전단하려는 전단력(shearing stress) P가 작용하여

리벳의 단면 ab에 발생하는 응력

2 2( / , / )P

kgf cm N mA

τ = (3-1)

단순전단(simple shear)

: 전단응력이 리벳을 직접 절단시키도록 된 경우


이중전단(double shear)

: 전단은 평면 A를 아래위로 감싸는

평면 B에서 일어난다. 이 경우

리벳 B는 이중전단상태이다.

그림 3-2 U형 링크된볼트의이중전단상태

2

F P

A Aτ = = (3-2)

P=2F

그림 3-3 리벳의전단면의확대

순수전단(pure shear)상태

: 오직 전단응력의 영향을 받는상태.

전단응력에 의해 그림(a)의 정사각형은

그림(b)와 같이 마름모꼴로 변형된다.

이때, 상대적 변형량 δ는 다음 식과 같다.

tanl lδ γ γ= ≅


전단변형률(shearing strain, γ)

: 전단을 받을 때도 인장(압축)때와 같이 후크 법칙이 성립하며,

식(3-3)로 표현된다. γ는 단위길이에 대한 변화량(미끄럼량)

이므로 변화율이 된다.

Gτ γ= ⋅

전단탄성계수 (shear modulus, G)

:횡탄성계수또는 강성율(modulus of rigidity)이라 하며,

재료의 탄성적 성질을 나타내는 중요한 정수.

Ex) 구조용강의탄성계수

4 20.81 10 /G kgf mm= ×

10 2 11 20.81 10 9.8 / 0.79 10 / 79G N m N m GPa= × × = × =

(미터계단위)

(SI단위)

(3-3)


그림 3-4 짝힘으로작용하는전단응력

일반적으로, 재료의 요소에 작용하는 전단응력은 서로 직각을 이루는 면에서

그 크기가 같고 방향이 반대인 쪽으로 발생한다. 그림 3-4 에서 τ1의 작용면에

수직인 면(BCGF)(ADHE)에도 τ2가 존재하여 τ2dy∙dz의 전단력이 생기고 , 이는

[(τ2∙dy∙dz)∙dx]의 짝힘이 되어 식(3-4)처럼 서로 평형을 유지해야 한다.

1 2( ) ( )dxdy dz dydz dxτ τ⋅ = ⋅

1 2τ τ∴ =

(3-4)

즉, 한 면에 τ가 있으면이와 직각인면에는

반드시크기가같고작용방향이반대인 τ가

존재한다.


[예제 3-1] 펀치를 사용해서, 두께 4mm의 연강판(軟鋼板)에 지름 15mm의

구멍을 내고 싶다. 필요한 하중 P 및 펀치에 작용하는 평균압축응력 σ를

구하라. 단, 연강의 전단강도 τ = 220MPa이다.

풀이 판의 두께 t, 원공의 지름 d라면 하중 P는 다음 식으로 된다.

그림 1

SI 단위로 고쳐 쓰면

윗 식에 대입하면 하중 P는 다음과

같이 된다.


평균압축응력 σ는 다음과 같다.


[예제 3-2] 그림 2처럼 네 개의 볼트에 의해 플렌지 이음을 한 두 개의 축에

비틀림 모멘트 To = 10kN∙m가 전달되고 있다. 볼트 중심거리d=150mm이면,

볼트(db = 20mm)에 걸리는 평균전단응력 τ는 얼마인가?

풀이 볼트 한 개에 걸리는 힘을 P, 볼트의 단면적을 A라 하면

02

dT P= ⋅ 0 4

2

p dT

⋅= ×

2

4bdA

π=

0

02 2 2

2 2(10 )2 106(150 )(20 )

4b b

TTP kN md MPa

dA dd mm mmτ

π π π

⋅∴ = = = = =

(볼트 한 개에 대한 것) (볼트 네 개에 대한 것)

그림 2 FBD


제4장 비틀림(Torsion)

본 장에서는동력을전달하는경우에많이생기는비틀림(torsion)상태

를 배운다. 즉 기계의축 또는 회전축의응력과변형률에관계되는식을

후크 법칙이성립하는탄성한계내에서유도하며임의단면에관한비틀

림에 대해서도알아본다.

학습목표


4-1 원봉의 비틀림

봉의 한 쪽 끝을 고정시키고 다른 쪽 끝을 비틀었을 때 상대적인

비틀림이 생기게 하는 모멘트를 비틀림모멘트(twisting moment)

또는 회전모멘트(torque)라 한다.

정의 -

그림 4-1 비틀림과 전단응력 (1)

1. 원형단면일 경우 비틀어진 후에

도 평면이고 원형단면이다.(단면

의 강체적 회전만 존재한다.)

2. 횡단면상의 반지름은 비틀어진

후에도 직선인 채로 있다.

가정 -

φ : 비틀림각(angle of twist)

l

ρφγγ =≈tan (4-1)


미소요소 dx를생각하면,

21

2

CB

CC ′′=γ

dx

dφργ =

φρdCC =′′2

dxCB =21

이므로,

dx

dφθ =단위길이당의 비틀림각(angle of twist per unit length) :

ρθφρ

γ ==dx

d

l

ρφρθγ ==

(4-2)

(4-3)순수비틀림

(pure torsion)


그림 4-1 비틀림과 전단응력 (2)


그림 4-2

식 (4-5)와 그림 4-2 (a) 에서 전단변형률 및 전단응력의 최대

값은 바깥 표면상에 존재함을 확인할 수 있다.

비틀림모멘트는 그림 (b)의 미소 원환요소에 작용하는 전단력

에 반지름을 곱한 것이므로 다음 식이 성립한다.

∫∫ ∫ ⋅==⋅=⋅⋅=r

p

r r

IGdAGdAGdAT0

2

0 0)( θρθρρθρτ

∫= dAI p2ρ여기서,

식 (4-7)은 4-7절에서 다시 취급할 것이다.

ρθγτ GG == (4-5)

(4-7)

(4-6)



pGI

T

l==

φθ

pGI

Tl=φ

θ

TGI p = : 비틀림 강성(torsional rigidity)으로 축 강성 AE 에 대응된

다.

식 (4-9)는 후크의 법칙AE

Pl=δ 에 대응된다.

rI

T

p

=τ 단,232

44 rdI p

ππ==

TdZ

Tr

I

T

tp3max

16

πτ ===

max

3

16τ

πdT =또는

단,r

IZ

p

t = :비틀림의 단면계수 (torsional section modulus)

(4-8)

(4-9)

(4-10)

(4-11)


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