제 4 장 물질 속의 정전기장

4.1 편극밀도 4.1.1 유 전 체

4.1.2 유도된 쌍극자

4.1.3 극성분자의 정렬

4.1.4 편극밀도

4.2 편극된 물체가 만드는 전기장 4.2.1 속박전하

4.2.2 속박전하의 물리적 해석

4.2.3 유전체 속의 전기장

4.3 대체 전기장 4.3.1 유전체가 있을 때의 가우스의 법칙

4.3.2 잘못 알기 쉬운 비슷함

4.3.3 경계 조건

4.4 선형 유전체 4.4.1 편극률, 유전율, 유전상수

4.4.2 선형 유전체가 있는 경계값 문제

4.4.3 유전체 계의 에너지

4.4.4 유전체가 받는 힘

4.1 편극밀도

4.1.1 유 전 체

- 전기적 성질에 따른 물질의 분류

도체(conductor) ※ 금속 = 금속이온 + 자유전자(free electron)

반도체(semiconductor) ※ 중성 반도체 원자 + 불순물 이온 + 자유전자/양공

유전체(dielectric) ※ 심지이온(ion core) + 묶인(속박)전자(bound electron)

4.1.2 유도된 쌍극자

- 물음: 전기적으로 중성인 원자/분자를 고른 전기장 E 속에 두면 어떻게 되는가? 1. 원자 = 원자핵(양전하: ) + 전자(음전하: )

원자핵이 받는 힘: F E 전자가 받는 힘: F E “양전하와 음전하의 중심이 조금 어긋남” ⇒ 전기 쌍극자가 유도됨

원자편극성(atomic polarizability)

원자편극성의 값 (단위: )

2. 분자 = 모양이 복잡 ⇒ 비등방성

: 편극성 텐서 ( : 대칭텐서)

4.1.3 극성분자의 정렬

- 극성분자(polar molecule): 애초부터 전기 쌍극자가 있는 분자 [보기: 물분자 × C⋅m]

- 물음 1: 극성분자를 고른 전기장 E 속에 두면 어떻게 되는가?알짜 힘: F알짜 F F E E 회전력: N r×F r×F p×E (분자가 돌아 쌍극자가 전기장과 나란히 늘어섬)

- 물음 2: 극성분자를 고르지 않은 전기장 E 속에 두면 어떻게 되는가?알짜 힘: F알짜 Ed Ed d⋅∇E p⋅∇E (알짜 힘이 있다!)회전력: N p×E r×F

4.1.4 편극밀도

- 유전체 재료 한 조각을 전기장 속에 놓아두면 어떻게 되는가?

중성원자(비극성 분자)로 된 조각: 전기쌍극자가 생겨남

극성분자로 된 조각: 영구쌍극자가 회전력을 받아 전기장과 나란히 정렬됨 (열운동이 방해)

⇒ 유전체가 편극됨 (편극밀도):

4.2 편극된 물체가 만드는 전기장

4.2.1 속박전하

물음: 편극밀도 P인 물체가 만드는 전기장/전위? 전기쌍극자 p가 만드는 전위 (3.99)

물체가 만드는 전위

면전하부피전하

⇐

예제 4.2: 고르게 편극된 반지름 인 공이 만드는 전기장

속박 P⋅n cos

예제 3.9의 결과 참조

공 바깥 :

p⋅r

; p P

공 속 ≦:

cos

공 속의 전기장: E P : 어느 곳이나 같다.

4.2.2 속박전하의 물리적 해석

물음: 유전체가 편극되면 어떻게 해서 전하가 생기는가?

보기 1. 선전하밀도

양 끝의 알짜 전하는 떼어낼 수 없어서 “속박전하”

보기 2. 표면전하밀도

통의 오른쪽 끝에 쌓인 전하

표면전하밀도(수직하게 벤 면)

표면전하밀도(비스듬히 벤 면)

보기 3. 부피전하밀도

단위면적의 겉면을 통해 밀려난 전하량

남아있는 속박전하량

부피전하밀도 (-: 남는 것이 음전하이므로)

예제 4.3: 고르게 편극된 공을 분석하는 방법

풀이: 공속(두 공이 포개진 곳)의 전기장 (문제 2.18)

E d

전기쌍극자와 편극밀도 사이의 관계

d ≡ p P

따라서

E P

공바깥의 전기장

E ∇p⋅ [쌍극자 p가 만드는 전기장]

≈ 분자 크기의 약 천배

※ ∇안

∇바깥

4.2.3 유전체 속의 전기장

미시적 전기장과 거시적 전기장

미시적 전기장 - 전자, 양성자 등이 굉장한 속도로 끊임없이 움직이는 것에 따라 변화하는 전기장

거시적 전기장 - 미시적 전기장의 시․공간적 평균값

거시적 전기장 셈하기

r에서의 전기장:: 공 바깥의 쌍극자들이 r에 만드는 전기장

: 공 안의 쌍극자들이 만드는 평균 전기장

그러므로 (유전체 전체에 대한 적분)

4.3 대체 전기장

4.3.1 유전체가 있을 때의 가우스의 법칙

- 자유전하에 대한 유전체의 반응: 자유전하 ⇒ 전기장 ⇒ 편극(편극밀도 변화) ⇒ 속박전하(유도전하)

총 전하밀도:

가우스 법칙: ⇒

대체 전기장 (electric displacement): ●

D를 써서 나타낸 가우스 법칙 (미분꼴) (적분꼴)

예제 4.4: 고무(반지름 )로 둘러 싸인 도선(선전하밀도 ) 주위의 D? 반지름 인 원통에 대한 가우스 법칙 ⇒

전기장 1) 고무 속 : P를 모르기 때문에 E를 결정할 수 없음

2) 고무 바깥 : P 이므로

4.3.2 잘못 알기 쉬운 비슷함

물음: 전기장 E와 대체전기장 D는 비슷한 양인가?비슷함(발산) ※

다름(회전) ⇒ ※

결론: D에 대해서는 쿨롱의 법칙이 성립하지 않음 (전위를 정의할 수 없음)

4.3.3 경계 조건

유전체가 있을 때의 대체전기장 D의 경계조건수직성분 ⇐

평행성분 ⇐

4.4 선형 유전체

4.4.1 편극률, 유전율, 유전상수

- 유전체에 생기는 편극밀도: 전기장 때문에 분리된 양전하와 음전하 또는 정렬된 원/분자 전기 쌍극자

선형 유전체: : 전기편극률(電氣偏極率, electric susceptibility)

대체전기장과 전기장:

: 유전율(誘電率:permittivity)

유전상수(誘電常數: dielectric constant) ≥ (보통)

※ 상태 인 물질이 있음 (metamaterials)

예제 4.5 유전체 껍질로 둘러싸인 쇠공 중심의 전위

(쇠공: 반지름 , 전하량 ; 유전체 껍질: 바깥반지름 , 유전율 )

생각: ∞

′⋅′ 를 셈하려면 E을 알아야 함∇⋅E

E을 셈하려면 자유 속박 을 알아야 함정확히 아는 전하는 쇠공의 (자유)전하 뿐 ⇒

D⋅a D는 알 수 있음 ∇⋅D 자유

D를 먼저 셈한 다음, E D E, P P 전기E를 차례로 셈하면 됨

풀이: 1. 대체 전기장 D

쇠공 속

r 쇠공 바깥

2. 전기장 E

쇠공속

r 유전체껍질속

r 유전체껍질바깥

3. 전위 ∞

′⋅′ ∞

4. 편극밀도 P 전기E

쇠공속

전기

r 유전체껍질속

전기 r 유전체껍질바깥

5. 속박전하 속박 ∇⋅P

속박 P⋅n

전기

유전체공안쪽면

전기

유전체공바깥면

- 유전체 속에 전하가 있을 때의 전기장 (유전체의 효과)

기본 방정식: , ※ , (진공)

진공에서의 전기장과 D를 비교하면

그러므로 유전체 속에서의 전기장은

(진공에서의 전기장 보다 유전상수의 역수만큼 약해짐)

- 보기: 유전상수 인 물질 속에 있는 점전하가 만드는 전기장

- 예제 4.6 축전기에 유전체를 채우면 생기는 효과

4.4.2 선형 유전체가 있는 경계값 문제

- 고른 선형 유전체에서 속박전하와 자유전하의 관계

※ 반대 부호, 조금 작다

- 자유전하가 없는 유전체를 다루는 문제

전위에 대한 라플라스 방정식 + 경계조건(자유전하를 써서 나타내는 것이 편리)

, ⇐

∇ 안바깥

예제 4.7 고른 전기장 E 속에 놓인 선형 유전체 공 주위의 전기장 (참고 예제 3.8: 전하가 없는 도체공) 물리적 과정: E ⇒ 선형 유전체 공에 전기쌍극자가 유도됨 ⇒ P 전기E ※ E ≠ E

문제: 라플라스 방정식 (x푸아송 방정식) + 경계조건:

풀이: 공 안팎에서의 라플라스 방정식의 일반해 [공 바깥에서는 (iii)의 조건 적용]

경계조건: 공 껍질

(i) 전위가 연속

(ii) D⊥가 연속

(i), (ii)의 두 조건에서

(i)' (ii)'

(i)'와 (ii)'를 모아 정리하면

공 안에서의 전위와 전기장

전위

전기장

⇐

⇐

4.4.3 유전체 계의 에너지

복습 1. 축전기에 저장되는 에너지 (용량 인 축전기에 전압 를 걸어 충전시킬 때):

2. 축전기의 용량 변화 (축전기에 유전상수 상대인 선형 유전체를 채운 뒤): (왜?)

3. 정전기 계에 저장되는 에너지:

물음: 선형 유전체가 있는 정전기 계에 저장되는 에너지 ⇒ ?

유전체는 고정시킨 채, 자유전하 를 가져올 때 하는 일

⇐

따라서, 자유전하가 없는 상태에서 마지막 상태로 채울 때까지 한 일에너지: ●

4.4.4 유전체가 받는 힘

전기장 속에 유전체를 두면 어떻게 되나?

충전된 평행판 축전기에 유전체 판을 조금 끼우면, 안으로 끌려 들어감

1) 유전체 판이 받는 힘의 크기와 방향?

2) 힘의 근원?

평행판 축전기 속의 전기장

전극 가운데에서는 전기장이 전극에 수직

가장자리에서는 전극에 나란한 성분도 있음: 가두리장(fringing field)

유전체 판을 끼웠을 때, 전기용량 , 이 받는 힘 F과 축전기에 저장된 에너지 , ,

유전체 판이 움직이면, 전기용량과 전압은 변하지만 전하량은 불변

※ 축전기에 전지를 연결할 때: 전압이 일정하게 유지되며, 역학적 에너지와 전기적 에너지가 함께 변화

,

문제 4.28 기름통에 세운 동축 이중 금속 원통

안쪽 관의 전위는 (일정), 바깥쪽 관은 접지; 기름이 올라오는 높이 ?

풀이: 높이 결정 조건: 정전기력 중력

정전기력

, ⇐

중력 ⋅ ⋅

: 1. 단위길이의 동축 원통의 전기용량을 셈하고,

이것을 써서 유전체가 높이 만큼 올라온 원통의 을 셈한다.

1) 공기가 든 부분:

⇒

⇒ 공기 ln

2) 기름이 든 부분:

⇒

⇒ 기름 ln

전체 전기용량: 공기 기름 ln

⋅ ln

⋅ 전기

힘의 평형조건: ⋅ ⋅ ln

⋅전기⋅

높이: ln⋅ ⋅⋅전기

⋅