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运动学
本章内容 Contents chapter 1
质点运动的描述
质点运动的两类基本问题
圆周运动及刚体转动的描述
相对运动与伽利略变换
description of particle motion
two basic kinds of particle motion problem
descriptions of circular motion and rigid body motion
relative motion and Galileo transformation
第一节质点运动的描述
1 - 1
Description of particle motion
固联在参考系上的正交数轴组成的系统,可定量描述物体的位置及运动。如直角坐标系、自然坐标系等。
坐标系
r
φ
θ 卫星
法线
切线
运动质点
τ n
自然坐标系
由运动曲线上任
一点的法线和切
线组成
矢量知识
有大小、有方向,且服从平行四边形运算法则的量。
A
线段长度(大小);箭头(方向)。
手书 A
印刷
(附有箭头)
(用黑体字,不附箭头)
矢量表示式
X
分别为 X、Y 轴的
单位矢量(大小为1,方向
Y
0
A j
i x
y
i j 、
分别沿 X、Y 轴正向)。
在 X-Y 平面上的某矢量 A 该矢量 A 的坐标式
手书
A = x i + y j
印刷
= x + y
在课本中惯用印刷形式。
在本演示课件中,为了
配合同学做手书作业,采
用手书形式。
矢量加法
反向为 减法相当于将一矢量反向后再相加。
服从平行四边形法则
为邻边 为对角线
若
则
矢量乘法
两矢量点乘的结果是标量
在直角坐标中
等于对应坐标乘积的代数和
例如
两矢量的点乘 = 两量大小与它们夹角余弦的乘积
叉乘 两矢量叉乘的结果是矢量
大小
角转向叉号后矢量的旋进方向。
方向 垂直于两矢量决定的平面,指向
按右螺旋从叉号前的矢量沿小于
的方向
两矢量所在平面
用一个三阶行列式
若 的空间坐标式为
表示
位置矢量
运动学方程
随时间变化
其投影式
称为
参 数 方 程
位移
平均速度
瞬时速度
平均加速度
瞬时加速度
自然坐标系
速度加速度
切向加速度
法向加速度
物理量小结
随堂练习一 由运动学方程 投影式 消去
得轨迹方程
由 运动学方程 坐标式
位矢
运动学方程投影式
质点的轨迹方程 ;
第 2 秒 末的位矢;
第 2 秒 末的速度
和加速度 。
随堂练习二
得 9.8
20× 30.6(m)
由法向加速度大小
最高点处 cos30º
足球运动轨迹最高点处
的曲率半径 ρ
30 º
(备选例一)
(备选例二)
随堂小议
一质点作曲线运动,
r 表示位矢,
s 表示路程,
v 表示速度,
aτ 表示切向加速度,
下列四种表达式中,
正确的是
(请点击你要选择的项目)
(1)
(2)
(4)
(3)
一质点作曲线运动,
r 表示位矢,
s 表示路程,
v 表示速度,
aτ 表示切向加速度,
下列四种表达式中,
正确的是
(请点击你要选择的项目)
(链接1) (1)
(2)
(4)
(3)
一质点作曲线运动,
r 表示位矢,
s 表示路程,
v 表示速度,
aτ 表示切向加速度,
下列四种表达式中,
正确的是
(请点击你要选择的项目)
(链接2) (1)
(2)
(4)
(3)
一质点作曲线运动,
r 表示位矢,
s 表示路程,
v 表示速度,
aτ 表示切向加速度,
下列四种表达式中,
正确的是
(请点击你要选择的项目)
(链接3) (1)
(2)
(4)
(3)
一质点作曲线运动,
r 表示位矢,
s 表示路程,
v 表示速度,
aτ 表示切向加速度,
下列四种表达式中,
正确的是
(请点击你要选择的项目)
(链接4) (1)
(2)
(4)
(3)
第二节 两类问题
1 - 2
由初始条件定积分常量
随堂练习一
随堂练习二 跳伞运动员下落加速度大小的变化规律为 均为大于零的常量
式中
任一时刻运动员下落速度大小 的表达式
及 时
对本题的一维情况有
由
分离变量求积分
注意到
得
(备选例一)
(备选例二)
(备选例三)
(备选例四)
(续选例四)
(备选例五)
第三节圆周、刚体运动
descriptions of circular motion
1 - 3
and rigid body motion
约定:反时针为正
一质点A作圆周运动
角坐标、角位移
约定:反时针为正 约定:反时针为正
角速度
角加速度
一般方法 求解圆周运动问题的一般方法
角线量关系
证明题
续证明
角线关系简例
刚体及其平动
形状固定的质点系(含无数
刚 体
质点、不形变、理想体。)
平 动
刚体任意两点的连线保持方
向不变。各点的
相同,可当作质点处理。
刚体定轴转动
刚体的定轴转动
刚体每点绕同一
轴线作圆周运动,
且该转轴空间位置
及方向不变。
定轴转动参量
刚体定轴转动的运动方程
用矢量表示 或
时,它们与 刚体的转动方向采用右螺旋定则
1. 角位置
描述刚体(上某点)的位置
2. 角位移
描述刚体转过的大小和方向
刚体
转轴
转动平面 (包含p并与转轴垂直)
(t)
参考方向
刚体中任一点
(t+△t)
3. 角速度
静止
常量 匀角速 变角速
描述刚体转动的快慢和方向,
常量
是转动状态量。
刚体定轴转动的运动方程
用矢量表示 或
时,它们与 刚体的转动方向采用右螺旋定则
1. 角位置
描述刚体(上某点)的位置
2. 角位移
描述刚体转过的大小和方向
刚体
转轴
转动平面 (包含p并与转轴垂直)
(t)
参考方向
刚体中任一点
(t+△t)
3. 角速度
静止
常量 匀角速 变角速
描述刚体转动的快慢和方向,
常量
是转动状态量。
续参量
描述刚体转动状态改变
4. 角加速度
的快慢和改变的方向
常量 匀角加速
匀角速
变角加速 常量
因刚体上任意两点的
距离不变,故刚体上各点
的 相同。
定轴转动的 只有
同 和反 两个方向,故
也可用标量
中的正和负表方向代替矢量。
随堂练习
一质点作圆周运动
半径 R = 0.1 m
其运动学方程为
θ = 2 + 4 t 3 (SI)
t = 2 s 时, 质点的
切向加速度
法向加速度
τ a
n a
关键是设法求 线速率
若由 τ a n a
关键是设法求 角速率
若由 a τ n a
本题很易求
12 t t = 2 48 (rad·s-1)
12 t
24 t t = 2 48 (rad·s-2)
a τ 4.8 ( m · s-2 )
n a 230.4 ( m · s-2 )
第四节
relative motion and Galileo transformation
1 - 4
相对运动
运动具有相对性
球作曲线运动
球垂直往返
如何变换?
运动的合成
动系(运动参考系 S )的量。
描述运动三参量合成的约定
绝对量
静系(不动参考系 S)的量。
相对量
牵连量
动系对静系的量。
O
静系
Z
Y
(S)
X
位矢的合成 位矢的合成
r 绝
r 牵
S 相对 S 作平动
对空间任一点 P
绝 对 位 矢 S : r 绝
相 对 位 矢 S : r 相
r 绝 相 r 牵 r 位矢合成定理
牵 连 位 矢 r 牵
S 相对 S : ( OO )
r 相
P
Y
动系 (S )
X O
Z
v
速度的合成 速度的合成
r 绝 相 r 牵 r 将位矢合成公式 对时间求一次导数
r 绝 相 r 牵 r
v 绝 相 v 牵 v
速度合成定理
v 绝 绝 对 速 度 在 S 观测到P点的速度:
相 对 速 度 在S 观测到P点的速度:
牵 连 速度 S 相对 S 的速度: 牵 v 相 v
加速度的合成 加速度的合成
a 绝 绝对加速度 在 S 观测到P点的加速度:
相对加速 度 在S 观测到P点的加速度:
牵连加速度 S 相对 S 的速加度: 牵 a 相 a
将位矢合成公式 对时间求一次导数 v 绝 相 v 牵 v
v 绝 相 v 牵 v
加速度合成定理
a 绝 相 a 牵 a
伽利略变换
O
静系
Z
Y
(S)
X
Y
动系 (S )
X O
Z
v P
(x, y, z) (x, y, z )
伽利略变换是反映两个相对作
S 相对于S 作匀速直线运动。
( 这里设S 相对S 沿X 轴方向以
v 速率 作匀速直线运动。)
t = 0 时动(S )静(S)两系重合。
匀速直线运动的参考系(惯性系)
之间的 坐标、速度、加速度 变换。
约定:
坐标变换
O
静系
Z
Y
(S)
X
Y
动系 (S )
X O
Z
v P
(x, y, z) (x, y, z )
伽利略变换是反映两个相对作
S 相对于S 作匀速直线运动。
( 这里设S 相对S 沿X 轴方向以
v 速率 作匀速直线运动。)
t = 0 时动(S )静(S)两系重合。
匀速直线运动的参考系(惯性系)
之间的 坐标、速度、加速度 变换。
约定:
坐标变换
这就是经典力学的时空观,认为空间和时间是绝对的,互不相关的。时间与观测坐标系是否运动无关。
加速度变换
O
静系
Z
Y
(S)
X
Y
动系 (S )
X O
Z
v P
(x, y, z) (x, y, z )
速度变换
将坐标变换式对时间求一次导,得
加速度变换
或
将速度变换式对时间求一次导,并
注意到匀速 求导为零 ,得
相对性原理 伽利略的相对性原理
由于任意两个惯性系都可以由伽利略变换联系起来,故
力学规律在一切惯性系中具有相同的
形式,因而是等价的。
这一原理称为伽利略的相对性原理
伽利略的加速度变换 表明,在两个相互作
匀速直线运动的参考系(惯性系)中,观测同一质点的力
学运动,其加速度大小和方向,两系观测结果都是一样的。
也就是说,做一切力学实验都无法判断实验者所在系统是
绝对静止还是在作绝对匀速直线运动。
随堂练习
续练习
45°
(相)
(牵)
(绝)
45°
7.07 2.07 ( m s )
大小 : 7.07 2.07
( m s ) 7.37 方向 :
7.07
2.07 arctg 16.32
即来自西偏北(吹向东偏南) 16.32
α
5
-10 2
2
10 2
2
-2.07
7.07
作业 HOME WORK
1 - 9 1 - 1 3
1 - 1 8
2 - 2 5 1 - 2 1