幾何学の応用を考える -...

幾何学の応用を考える— 結晶構造と離散幾何学 —

内藤久資

名古屋大学多元数理科学研究科

亡き妻, 裕美子に捧ぐ

October 17, 2015

11th Home Coming Day, Nagoya University

内藤久資 (名古屋大学多元数理) 幾何学の応用を考える Oct. 17, 2015 1 / 51

Introduction

幾何学とは

天文学と並び, 最も古い学問の一つと考えられている

「図形」の性質を調べる学問▶ 図形の性質を「対称性」などの言葉で記述する▶ ユークリッド幾何学は, 平面内の図形を対象とした学問

図形の「対称性」とは▶ 折り返し, 回転, 平行移動などで図形が変わらないこと▶ これらの「対称移動」は「群」をなす▶ 幾何学では「対称性」は「群」の言葉で記述される

２０世紀以後の幾何学：より抽象的な「図形」が研究対象


Introduction

幾何学がどう役立つのか

コンピュータグラフィックスへの応用（１９８０年頃から）▶ 空間内の図形を平面にあらわす：射影幾何学▶ いかに滑らかな曲線を描くか：微分幾何学

位相幾何学的データ解析（２０００年頃から）▶ ガラスやタンパク質の中の構造を調べる▶ センサーの効率的な配置を求める

結晶学への応用（１９世紀後半頃から）▶ この講演では「離散幾何学の結晶学への応用」を考える


全体の流れ

1 結晶とはなにか – 古典的な話 –

2 結晶構造と変分原理

3 炭素が作る構造

4 曲面の曲がり方を考える – 微分幾何学 –

5 離散幾何学の視点から炭素構造を考え直す


結晶構造

結晶構造


結晶構造

図形の対称性と群とは

「対称性」：鏡映, 回転, 平行移動などで図形が変わらないこと

これらの「対称移動」は「群」をなす


結晶構造

結晶構造とは

空間内に規則正しく配置された原子のなす構造

=空間内に「点」が規則正しく配置された構造∼=空間内に「図形」が規則正しく配置された構造

「規則正しく」とは：３方向への「平行移動で不変」

「結晶」(crystal) と「ガラス」(glass) は対立する概念


結晶構造

２次元結晶構造

平面を埋め尽くす図形

平面を規則的に埋め尽くす図形にはどんなものがあるか？

２方向への「平行移動で不変」な図形

正多角形で平面を埋め尽くすことが可能な多角形：

正三角形, 正方形（正四角形）, 正六角形に限る


結晶構造


平面を六角形で埋め尽くした図形

一つの六角形に注目して▶ ６本の対称軸に関する対称移動▶ ６０度の回転

で図形は変わらない（図形は不変）

２方向の平行移動で図形は不変

これらの変換のなす群で図形は不変


結晶構造


２次元結晶群

平面を規則的に埋め尽くす図形の対称性を表す群▶ 埋め尽くした図形は「タイリング」と呼ばれる▶ 対称性を表す群は

２次元空間群, 文様群, 壁紙群とも呼ばれる

２次元結晶群：１７種類（１９世紀後半）

スペイン・グラナダのアルハンブラ宮殿のイスラムモザイク

平行移動（並進）, 回転, 鏡映, 映進などの操作が含まれる

６０度, ９０度, １２０度回転（と１８０度回転）のみが許される▶ 回転対称性は（２回）３回, ４回, ６回に限る


結晶構造


タイリングと結晶群 (p6mm)

基本領域：青の平行四辺形

赤：６０度回転中心, 緑：１２０度回転中心, 青：１８０度回転中心

青：鏡映 (reflection), 赤：映進 (glide-reflection)


結晶構造


タイリングと結晶群 (p3m1)

基本領域：青の平行四辺形

赤：６０度回転中心, 緑：１２０度回転中心, 青：１８０度回転中心

青：鏡映 (reflection), 赤：映進 (glide-reflection)


結晶構造


五角形によるタイリング

正五角形でのタイリングは不可能

現在までに１５種類の五角形タイリングが知られている▶ 最新の発見は２０１５年

カイロ・タイリング (p4)


結晶構造


ちょっとだけ脇道：準結晶

結晶構造ではない, 平面や空間全体にわたるタイリング

ペンローズ・タイル：平面準結晶の例 (1974)

▶ ２種類の菱形を使ったタイリング

準結晶物質の発見: D.Shechtman (2011年ノーベル化学賞)

５回の回転対称性を持つ

ペンローズ・タイル準結晶物質(Ho-Mg-Zn 合金)


結晶構造

３次元結晶構造


３次元結晶：３方向への「平行移動で不変」な図形

３次元結晶群：２３０種類（２０世紀前半）

回転対称性：（２回）３回, ４回, ６回に限る

ダイアモンド構造


結晶構造



各炭素原子は４つの炭素原子と共有結合で結合▶ 炭素の最外殻電子数は４▶ sp3 混成軌道での結合（他の４つの炭素原子と結合）

ダイアモンドの構造：３次元結晶群 Fd3m


結晶構造と変分原理




結晶群で結晶の構造は分かったのか？

結晶群：原子配置の対称性のみを記述している

原子同士の結合の様子は記述していない

原子同士の結合も含めた結晶の記述▶ 原子（頂点）と結合（辺）からなる数学的構造である

「グラフ」を利用する

抽象的な六角格子

この中でもっとも対称性の高い配置は？



変分原理

自然界では「エネルギーが最小」となる現象が選択される

光は「２点間を最短時間で進む経路」をたどる▶ 「２点間を結ぶ曲線を光が進む時間」を最小化▶ 媒質が等質 =⇒ 光の速度が一定 =⇒ 直線を進む▶ 「スネルの法則」 sin θ1

sin θ2=

v1v2

θ1

θ2

v1

v2




結晶構造も変分原理から導くことができる

「結晶格子の標準実現」（小谷元子＆砂田利一, 2000）

与えられたグラフ構造の中で最も対称性の高い配置を求める

E =∑

頂点 v の隣接点

|vi − v|2

標準実現：▶ 「格子」の体積を一定に保つ条件の下で E を最小とする配置▶ E を最小とする配置を平行移動することによって得られる▶ 最も対称性が高い配置



グラフェン構造

各炭素原子は３つの炭素原子と共有結合で結合▶ sp2 混成軌道での結合▶ 各炭素原子につき一つの電子が余っている =⇒ 電気伝導性

グラフェンの構造：２次元空間群 p6mm

▶ 正三角形の頂点と重心にある４原子を平行移動した構造



グラフェン構造

各炭素原子は３つの炭素原子と共有結合で結合▶ sp2 混成軌道での結合▶ 各炭素原子につき一つの電子が余っている =⇒ 電気伝導性

グラフェンの構造：２次元空間群 p6mm

▶ 正三角形の頂点と重心にある４原子を平行移動した構造

a1

a2




各炭素原子は４つの炭素原子と共有結合で結合▶ 炭素の最外殻電子数は４▶ sp3 混成軌道での結合

ダイアモンドの構造：３次元空間群 Fd3m

▶ 正四面体の頂点と重心にある５原子を平行移動した構造


炭素構造

炭素構造


炭素構造

炭素同素体

炭素のみからなる結晶構造または分子構造

古くから知られているもの

グラファイトダイアモンド電気伝導性あり電気伝導性なし柔らかい非常に硬い


炭素構造

近年発見された炭素同素体

グラフェンカーボンナノチューブフラーレン (C60)A.Geim, K.Novoselov S.Iijima R.F.Curl, H.W.Kroto, R.E.Smalley

2010年ノーベル物理学賞 2002年フランクリンメダル 1996年ノーベル化学賞


炭素構造

単層カーボンナノチューブ

各炭素原子は３つの炭素原子と sp2 混成軌道での共有結合で結合

単層ナノチューブの構造：▶ グラフェン構造を「円筒形に丸めた」もの▶ c = (c1, c2)：カイラル指数

（原点と c の位置にある原子を同一視する）

(4,2)

(0,0)

(4,−5)

c

t a1

a2


炭素構造

単層ナノチューブのカイラル指数

カイラル指数 (c1, c2)

▶ c1 ≡ c2 (mod 3) =⇒ 金属▶ c1 ̸≡ c2 (mod 3) =⇒ 半導体

▶ (c1, c2) = (n, n) =⇒ アームチェア型▶ (c1, c2) = (n, 0) =⇒ ジグザグ型

c = (12, 0) c = (12, 8) c = (12, 12)ジグザグ型カイラル型アームチェア型


炭素構造

C60 フラーレン

各炭素原子は３つの炭素原子と sp2 混成軌道での共有結合で結合

原子位置：切頂二十面体（サッカーボール型）の頂点▶ 正二十面体群の作用で不変▶ 並進対称性を持たない

“fullerene”と呼ばれる理由：

R. Buckminster Fuller 設計の Geodesic Dome に形が似ている


炭素構造

新しい炭素構造の可能性を探る

幾何学的な視点から新しい構造を探す▶ 高い対称性をもつ構造を探す▶ いろいろな幾何学的視点から新しい構造を探す

第一原理計算▶ コンピュータによって物質の性質を計算する

▶ 物質が安定に存在するかを知ることができる

▶ 物質の電気伝導性などの性質がわかる

▶ W.Kohn, J.A.Pople: 1998年ノーベル化学賞


炭素構造

高い対称性をもつ炭素構造

K4 グラフから標準実現を作る

極めて高い対称性をもつ

炭素 K4 は電気伝導性をもつ準安定構造（第一原理計算）Itoh-Kotani-Naito-Sunada-Kawazoe-Adschiri (2009)

K4 グラフ K4 構造の基本パーツ


炭素構造

K4 格子


炭素構造

ペンタグラフェン

五角形タイリングからグラフェンのようなものを作る

透明半導体となる安定構造（第一原理計算）▶ 負のポアソン比をもつ▶ 超伝導体となる可能性をもつ

ペンタナノチューブも安定構造（半導体）となる

Zhang-Zhou-Wang-Chen-Kawazoe-Jena, PNAS, Vol.112, pp.2372-2377 (2015)


曲面の曲がり方を考える – 微分幾何学 –




曲線の曲率

曲線の「曲率」：曲線の曲がり具合を表す量

曲線の点 p での曲率が 1/r であるとは：▶ p で曲線に（２次で）接する円の半径が r

▶ r を「曲率半径」と呼ぶ

半径 r の円の曲率：1/r

直線の曲率： 0



曲線の曲率（続き）

鈴鹿サーキットの “130R”: 曲率半径が 130m の円

道路の曲線が直線と円を組み合わせると▶ 曲率半径 r の円を運動する物体にかかる遠心力：mv2/r

▶ 物体にかかる力が急激に変化する

曲率が長さに比例する曲線：クロソイド曲線▶ 高速道路のカーブはクロソイド曲線などになっている



曲面とその曲率

空間内の「曲面」の「曲率」：曲面の曲がり具合を表す量

曲面の点 p での曲率を求めるには▶ p を通る曲面上の曲線の p での曲率の最大値 R と最小値 r

▶ 符号は曲線がどちら側にあるかによって定める

曲面の点 p でのガウス曲率 K(p) = Rr

曲面の点 p での平均曲率 H(p) = (R+ r)/2

K > 0 K = 0 K < 0



曲面とその曲率

全ての点で K = 0, H = 0 ならば平面

半径 r の球面：K = 1/r2, H = 1/r

全ての点で K = 0 である曲面：「曲がっていない」曲面▶ ２つの曲面のガウス曲率が全ての点で等しい

=⇒ ２つの曲面は「等長」と呼ばれる

ガウス曲率 K の意味：▶ 勝手な２点間の距離が等しい地図を作ることができる

⇐⇒ ２つの曲面が「等長」▶ 地球: K > 0, 平面: K = 0

▶ 地球の等長地図を作ることはできない



オイラー数

全曲率 K: 曲面上でガウス曲率 K の値を積分した値

K = 2π(2− 2g) = 2πχ が成り立つ▶ χ を曲面のオイラー数と呼ぶ▶ χ は曲面の「位相不変量」

g: 曲面の穴の数

球面トーラス２つ穴トーラスg = 0, χ = 2 g = 1, χ = 0 g = 2, χ = −2



平均曲率の意味

全ての点で H = 0 の曲面を「極小曲面」と呼ぶ

針金の枠に張る石鹸膜のなす曲面

平面以外の極小曲面は K < 0

懸垂面



周期的な極小曲面

シュワルツ P 曲面▶ 三重周期的な極小曲面▶ g = 3, χ = −4, K < 0


離散幾何学の視点から炭素構造を考える




炭素構造と離散幾何学

いくつかの炭素構造は「曲面」を作っているようにみえる

グラフェンカーボンナノチューブフラーレン (C60)平面円筒球面

K = 0, (χ = 0) K = 0, (χ = 0) K > 0, χ = 2

これら炭素構造の作る「曲面」を「離散曲面」と呼ぼう

これら炭素構造はすべて sp2 構造：「三分岐離散曲面」

K < 0 の曲面に対応する三分岐離散曲面は存在するか？



炭素構造とオイラー数

離散曲面に対して χ = V − E + F をオイラー数と呼ぶ▶ V : 頂点の数, E: 辺の数, F : 面の数

三分岐離散曲面が k 角形を Nk 個もつと▶

∑k(1− k/6)Nk = 2− 2g = χ = 1

2πK

▶ 六角形はオイラー数に影響を与えない

炭素構造のオイラー数N5 N6 V E F χ K

C60 12 60 60 90 32 2 正単層ナノチューブ c = (6, 6) 0 12 24 36 12 0 0



負曲率炭素構造

負曲率炭素構造のモデルとなる曲面：▶ シュワルツ P 曲面（三重周期極小曲面）

Mackay 結晶 (Mackay-Terrones (1994))



Mackay 結晶

Mackay 結晶のオイラー数N6 N8 V E F χ K

90 12 192 288 102 3 負

安定な半導体構造（第一原理計算）

他の Mackay 型結晶

Tagami-Liang-Naito-Kawazoe-Kotani, Carbon, Vol.76, pp.266-274 (2014)


まとめ

まとめ


まとめ

まとめ

幾何学的な視点から, 新しい炭素構造の可能性を示唆した

物質材料科学での物質の探索は試行錯誤であった

数学的な（幾何学的な）視点を取り入れることにより,

物質探索に新たな方法を導入できる可能性がある

「数理材料科学」が始まりつつある


まとめ

興味を持った方は

砂田利一, 「ダイアモンドはなぜ美しい」,

シュプリンガー数学リーディングス, 2006

内藤久資, 「化学と幾何学 — 離散幾何学と炭素構造 —」,

雑誌「数理科学」2015年 6月号

小谷元子, 「数学, 化学と出会う」,

雑誌「現代化学」2015年 10月号からの連載


まとめ

図の出典

p.14(左), p.25(左), :

Wikipedia (Public Domain )

p.14(右), p.25(右), p.29(右):

Wikipedia (CC BY-SA )


ご清聴ありがとうございました


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