地球上真實的幾何學

義守大學

通識教育中心 助理教授

溫武男

E-mail: wunan@isu.edu.tw

mailto:wunan@isu.edu.tw

零. 想一想

‧

有一隻熊離開家，往南走100公

里，休息一下後，往西直直走

了100公里，之後牠掉頭往北

走，結果這隻熊嚇了一跳，牠

發現牠回到家了。

‧請問：這隻熊是什麼顏色？

回答下列問題

‧在紙上畫出這隻熊的旅程。

‧這隻熊最後有可能會回到牠原本出 發的地方嗎？

回答下列問題

‧1.在地球儀上畫出這隻熊的旅程。

‧2.這隻熊最後有可能會回到牠原本出發 的地方嗎？

‧3.這隻熊住哪裡？

‧4.這隻熊是什麼顏色？

你是否有注意到：

‧1.故事結尾，這隻熊有著很不一樣的 結果？

‧2.使用不同的表面，會有不同的結 果？

＊平面

＊球體

今日主題：二條線間有幾個點？

當二條不同的線在平面或球面上交叉，會有 一個點或是更多。

‧探討平面上二線的交點。

‧探討球面上二個大圓的交點。

‧觀察並解釋在平面上和球面上二條平行線。

壹. 在平面上作畫‧步驟一：畫一條直線，標上l。‧步驟二：再畫另一條直線，和直線l沒交點，

標上a。‧步驟三：再畫另一條直線，和直線l只有

一個交點，標上b。‧步驟四：再畫另一條直線，和直線l只有二個交點，

標上c。‧步驟五：再畫另一條直線，和直線l的交點

超過二個以上，標上d。

探討

1.哪些作法有可能發生在平面上？

2.你畫的哪些線是平行的？為什麼？

3.描述在平面上二條不同的線相交有

幾種不同的方法。

猜猜看

你的結論對於球面上的直線也是一

樣的嗎？

問題：何謂地球表面上的直線? 畫畫看!

註：我們把球面上像赤道那樣，圓心在球心 的圓稱之為＂大圓＂

貳. 在球面上作圖

1.完成你在平面上作圖的相同步驟，

把直線換成大圓，紀錄球面上可能

發生的作法。

探討

1.描述球面上二個不同的大圓相交

的所有方法。

2.二個大圓有可能是平行的嗎？

叁. 比較平面和球面

1.關於平面上二線相交和球面上二

大圓相交，你可以做出多少的觀察

結果，將它們紀錄作成一張比較的

表格。

二線相交

平面上 球面上

2.你認為平面上二線相交比較簡單，還是 球面上比較簡單？哪種情況比較有趣？ 為什麼？

3.現在試著反述你的論點，將你上題沒有 選擇的那一個，給個理由說明，在平面 (或球面)上二線相交比較簡單或是比較 有趣。

肆. 進一步探索

1.想像一對鐵軌可以環繞整個地球，這對 鐵軌可以代表平行線嗎？

2.平面上的平行線總有相同的間距，畫一 個大圓在你的球面上，然後從這個大

圓，以相同的間距再畫不同的圖形。‧a.描述這個圖形。

‧b.決定這個圖形是否為一個大圓。

3.一艘船從距離赤道五十公里的地

方航行，解釋為什麼這艘船不航行

於二點之間最直接的路徑。

4.歐幾里得(BC 325 ~ BC 265)是一位古希臘

的數學家，他以第一 位組織幾何學概念而 聞名，在他的著作

《幾何原本》中，歐 幾里得列出一系列幾 何學的原理，歐幾里 得原理陳述的是他所 相信的明顯事實。

http://zh.wikipedia.org/zh/%E6%AC%A7%E5%87%A0%E9%87%8C%E5%BE%97

http://zh.wikipedia.org/wiki/File:Euklid-von-Alexandria_1.jpg

有些內容是未經證實，但他 稱之為「不證自明的事實」 (公設)。將近二千五百年之 後，我們仍然用之為平面幾 何的基礎。然而，他最後一 條平行公設，近兩百年來總 是被公開辯論。歐幾里得的 平行公設：一條直線，和一 個不在這條線上的點，我們 一定可以畫一條(且是唯一的)

穿過那個點的直線，會平行 於之前那條直線。

牛津大學自然歷史博物館的歐幾里

德雕像http://zh.wikipedia.org/zh/%E6% AC%A7%E5%87%A0%E9%87%8C%E5%BE%97

http://zh.wikipedia.org/wiki/File:EuclidStatueOxford.jpghttp://zh.wikipedia.org/zh/%E6%

‧a.在一張紙上畫一條直線，和一個不在 這條線上的點。盡你所能的畫出穿過這 個點的線，並且平行於之前那條線。用 你所畫的來解釋為什麼歐幾里得的平行 公設在平面上是有道理的。

‧b.把“直線＂換成“大圓＂，重寫在 球面上的平行公設，然後在你的球面 上作圖，就像你剛剛在平面上畫的一 樣。現在請解釋為什麼歐幾里得的平 行公設在球面上是不合理的。

‧c.寫下你自己在球面幾何學中的平行 公設。

5.描述可以使三個不同的大圓相交

的所有方法

。

伍. 今日的心得感想

謝謝大家!!

投影片編號 1零. 想一想回答下列問題回答下列問題你是否有注意到：今日主題：二條線間有幾個點？壹. 在平面上作畫 探討猜猜看貳. 在球面上作圖探討叁. 比較平面和球面二線相交投影片編號 14肆. 進一步探索投影片編號 16投影片編號 17投影片編號 18投影片編號 19投影片編號 20投影片編號 21伍. 今日的心得感想謝謝大家!!