연속시간 신호의 시간영역 표현 -...

신호와 시스템 제2장

연속시간 신호의

시간영역 표현

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2.1 신호의 기본 연산

2.2 기저 함수로 사용되는 정현파와 복소 지수 함수

2.3 신호 해석에 많이 사용되는 함수

2.4 신호 표현의 예

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시간 천이 (time shift): x(t-t0)

• 신호를 시간축 상에서 t0 만큼 오른 쪽으로 이동

• t0 > 0: time delay

• t0 < 0: time advance (파형은 왼 쪽으로 이동)

신호의 기본 연산

( )x t

t0 3

( 1)x t

t0 41

( 1)x t

t1 2

0 1t

0 1t

1

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시간 반전 (time reversal; reflection): x(-t)

• mirror image

• 음반에 녹음된 음악을 반대 방향으로 재생시키는 것과 같은 조작


( )x t

t0 3

( )x t

t031 1

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시간 척도 변경 (time scaling): x(at)

• |a| > 1 : contraction ( 예: a=2 경우 2배속 재생)

• |a| < 1 : expansion (예: 음악을 느리게 재생)


( )x t

t2 2

2a

1

2a

(2 )x t

t1 1

( / 2)x t

t4 4

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2.2 기저 함수로 사용되는 정현파와 복소 지수함수



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Signal Decomposition

• 자연계에서 발생하는 신호들은 특정 함수들의 선형 조합(즉,

가중치가 있는 합)으로 표현할 수 있다.

• 여기서 선형 조합의 기본이 되는 특정 함수를 기저 함수(basis

function)라 한다.

• 정현파 신호 sinwt와 복소 지수함수 exp(jwt)는 대표적인 기저

함수로서 신호의 주파수 영역 해석의 근간이 된다.

• 향후 신호를 여러 주파수의 정현파 또는 복소 지수 함수의 선형

조합으로 표현할 것이며, 선형 조합의 가중치는 특정 주파수 성분이

얼마나 있는지를 나타내는 척도가 된다.

개요

( ) ( )n n

n

x t c t

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Sinusoidal Signal

• A: amplitude

• f0: frequency [Hz]

• w0: angular frequency [rad/sec]

• f0: initial phase [rad]

• Period:

정현파 함수

0 0( ) cos( ) cos(2 )x t A t A f tw f f

0 02 fw

0 0 01/ 2 /T f w

( )x t

t

0

f

w

0

A

A

0

0

2T

w

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지수 함수 (Exponential Function)

(1) s가 실수인 경우 : real exponential function

복소 지수 함수

( ) stx t e

( )x t ( )x t

0 0tt

1

(a) (b)

( )x t

0t

(c)

11

0s 0s 0s

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(2) s가 순허수인(s=jw0) 경우 : periodic complex exponential function

periodic with period T0 = 2/w0

는 복소 평면에서 반지름이 1인 원주 상을 등각속도 w0로

회전하는 신호이다. 즉 이며, 평균 전력이 1인 전력 신호이다.


( ) stx t e

0( )j t

x t ew

0( )j t

x t ew

0 1

j te

w

0 0 0 0( 2 / )2j t j t j tje e e ew w w w

Re

Im

1

0( )t t w

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• Euler 항등식

• Rectangular form으로 표현하면

• 정현파와 여현파는 다음과 같이 복소 지수 함수로 표현할 수 있다.


0

0 0( ) cos sinj t

x t e t j tw w w

cos sinje j

0 0 0

0 0 0

0

0

1 1cos Re

2 2

1 1sin Im

2 2

j t j t j t

j t j t j t

t e e e

t e e ej j

w w w

w w w

w

w

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(3) s가 일반적인 복소수인(s=s+jw0) 경우 : non-periodic complex

exponential function

실수부의 파형: s의 부호에 따라 진동하면서 진폭이 커지거나

진동하면서 진폭이 감쇠


( ) stx t e

0( )

0 0( ) cos sinj t t tx t e e t je t

s w s sw w

Re{ ( )}x t

t

(a)

t

(b)

0s 0s

Re{ ( )}x t

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정의: Unit Step Function

사용

• 전기회로의 분석에서 전원이 갑자기 가해지거나 제거되는 스위치

동작을 표현하는데 사용

• 신호의 분석에서 시구간의 일부를 절사(truncate)한 파형을

표현하는데 사용

Step Function

1 0( )

0 0

tu t

t

( )u t

t0

1

( ) ( ), ( ) ( )x t u t x t u t

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[예제 2.1]

• 다음 신호의 파형을 그려 보라.

[예제 2.2]

• Unit step function을 사용하여 표현하라.

Step Function

(a) ( ) ( 3)

(b) ( ) 2 ( 1)

(c) ( ) ( 1)

(d) ( ) ( 2) ( 4)

(e) ( ) cos ( ) ( 2 )

x t u t

x t u t

x t u t

x t u t u t

x t t u t u t

t1

1

3

2

1 2

1

( )x t

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[예제 2.1]

[예제 2.2]

Step Function

0

1

2t

( 3)u t

t0

1

3

2 ( 1)u t

t0

2

1

( 1)u t

t0

1

1

( 2) ( 4)u t u t

t2

1

4

cos ( ) ( 2 )t u t u t

( )a

( )e

( )d

( )c

( )b

1

( ) ( 1) ( ) ( 1) 2 ( 2) ( 3)x t u t u t u t u t u t

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정의: Unit Ramp Function

Unit step function과의 관계

Ramp Function

0( )

0 0

( )

t tr t

t

t u t

( )r t

t0

1

1

( ) ( )

( ) ( )t

du t r t

dt

r t u d

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정의: Unit Impulse Function

Impulse의 weight

Impulse Function

2

11 2( ) ( ) (0), 0

i) ( ) 0 for 0

ii) (0)

iii) ( ) 1 for any >0

iv) ( ) ( ) i.e. even function

t

tx t t dt x t t

t t

t dt

t t

( )k t

( )k t dt k

( )t

t0

(1)

( )k t

t0

1 ( )k

(a) (b)

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Unit impulse 함수의 근사화

• 단위 면적을 가지고 폭이 좁은 사각 펄스로 근사화된다 .

• 이 펄스의 폭 D가 좁을수록 펄스의 크기 1/D는 커지며,

펄스 폭 D 0의 극한이 취해지면 단위 임펄스 함수가 된다.

Impulse Function

( )tD

t

2

D

2

D

1

D

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Step function과의 관계

Impulse Function

( )( )

( ) ( )t

du tt

dt

d u t

( )t

t

2

2

1

( )u t

t

1d

dtt

d

( )u t

t0

1

( )t

t

(1)d

dtt

d

0

lim

0lim

0

2

2

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Sampling property

Sifting property

Impulse Function

0 0 0

( ) ( ) (0) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

x t t x t

x t t t x t t t

0 0 0 0

( ) ( ) (0) ( ) (0)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

x t t dt x t dt x

x t t t dt x t t t dt x t

2

1

0 1 0 2

0

( ),( ) ( )

otherwise0,

t

t

x t t t tx t t t dt

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Convolution property

Scaling property

Impulse Function

0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

x t d x t t x t

x t t t x t t

1( ) ( )

1( )

at ta

bat b t

a a

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[예제 2.3]

• 풀이

Impulse Function

23

4

43

1

(a) 2 ( 3)

(b) 2 ( 3)

(c) exp 3 (2 6)

t t t dt

t t t dt

t t dt

0

33

3

(a) 3 4, 2 0

(b) 2 6 27 33

1 1(c) exp 3

2 2

t

t

t

t t

t

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크기가 1이고 펄스 폭이 1인 사각 펄스(구형파)

• 크기가 A이고 펄스 폭이 인 사각 펄스:

Rectangular Pulse

1 1

2 21 for

( )

0 otherwise

1 1

2 2

tt

u t u t

( )t

t1

2

1

2

1

( / )A t

t

2

2

A

( / )A t

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크기가 1이고 펄스 폭이 2인 삼각 펄스

• 크기가 A이고 펄스 폭이 2인 삼각 펄스:

Triangular Pulse

1 for 1 1( )

0 otherwise

t tt

( / )A t

( )t

t

11

1

( / )A t

t

A

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Sa 함수와 sinc 함수

Sampling Function

Sa( )t

t

1

03 2 32

sinc( )t

t

1

103 2 1 32

sinSa( )

tt

t

sinsinc( ) Sa( )

tt t

t

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[예제 2.4]

• 신호 x(t)를 미분한 신호 dx(t)/dt의 파형을 그리고, 단위 계단함수와

단위 임펄스 함수를 사용하여 수식으로 표현하라.

신호의 표현

( )x t

t

1

3 1 1 3 41

2

( )2 ( 3) ( 1) 2 ( 1) 2 ( 3) ( 4)

dx tt t t t t

dt

( )dx t

dt

t

(1)

3 1 1 3 4

(1)

(2)

(2)

(2)

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[예제 2.5]

• 신호 x(t)와 이를 미분한 신호 dx(t)/dt의 파형을 그리고, 단위

계단함수와 단위 임펄스 함수를 사용하여 수식으로 표현하라.

신호의 표현

(a)

(b) 4

1 0 1

2 1 2

(c) ( ) 1 2 4

3 4 5

0 elsewhere

t

t

t

t t

x t t

t t

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[예제 2.5] 풀이

신호의 표현

( )x t

0t

1

t

1

( )dx t

dt

1

( )x t

0t

1

22t

22

( )dx t

dt

(1)

(1)

( ) 1

( ) 2 ( ) ( )dx t

u t u t u tdt

( )( 2) ( 2)

dx tt t

dt

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[예제 2.5] 풀이

신호의 표현

( )x t

0t

1

2

2

( )dx t

dt3

1 41

5 0t

2

2

1 41

5

(1)

(4)

(2)

( )2 ( 1) 2 ( 2) ( 4) ( 5) ( ) 4 ( 2) 2 ( 5)

dx tu t u t u t u t t t t

dt

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[예제 2.6]

• 신호 x(t)와 이의 1, 2차 도함수 파형을 그리고, 정현파 신호와 단위

계단함수 및 단위 임펄스 함수를 사용하여 수식으로 표현하라.

신호의 표현

( ) sin ( ) ( 2 )x t t u t u t

( )x t

0t

1

2

1

sin t

( )dx t

dt

0t

1

2

1

cos t

0t

2

1

2

2

( )d x t

dt

(1)

(1)

sin t

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[예제 2.6]

신호의 표현

2

2

( )sin ( ) ( 2 ) sin ( ) ( 2 )

cos ( ) ( 2 ) sin ( ) ( 2 ) cos ( ) ( 2 )

( )cos ( ) ( 2 ) cos ( ) ( 2 )

sin ( ) ( 2 ) cos ( ) ( 2 )

dx tt u t u t t u t u t

dt

t u t u t t t t t u t u t

d x tt u t u t t u t u t

dt

t u t u t t t t

sin ( ) ( 2 ) ( ) ( 2 )t u t u t t t

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