１．自分が受検する階級の問題用紙であるか確認してくださ

い。

２．検定開始の合図があるまで問題用紙を開かないでくださ

い。

３．この表紙の右下の欄に，氏名・受検番号を書いてくださ

い。

４．解答用紙の氏名・受検番号・生年月日の記入欄は，もれ

のないように書いてください。

５．解答はすべて解答用紙（No. ４まであります）に書き，解

法の過程がわかるように記述してください。ただし，問

題文に特別な指示がある場合は，それにしたがってくだ

さい。

６．問題１～５は選択問題です。２題を選択して，選択した

問題の番号の　をぬりつぶし，解答してください。選択

問題の解答は解いた順番に解答欄へ書いてもかまいませ

ん。ただし，３題以上解答した場合は採点されませんの

で，注意してください。問題６・７は，必須問題です。

７．電卓を使用することができます。

８．携帯電話は電源を切り，検定中に使用しないでください。

９．問題用紙に乱丁・落丁がありましたら検定監督官に申し

出てください。

10．出題内容に関する事項を当協会の許可なくインターネ

ットなどの不特定多数が閲覧できるような所に掲載する

ことを固く禁じます。 －

氏 名

受検番号

〔検定時間〕１２０分

検定上の注意

（無断転載・複製を禁ず）１級-２次

下記の「個人情報の取扱い」についてご同意いただいたうえでご提出ください。 【このフォームでお預かりするすべての個人情報の取り扱いについて】１．事業者の名称　　公益財団法人日本数学検定協会２．個人情報保護管理者の職名，所属および連絡先　　管理者職名：個人情報保護管理者　　所属部署：事務局　事務局次長　　連絡先：03-5812-8340３．個人情報の利用目的　　受検者情報の管理，採点，本人確認のため。

４．個人情報の第三者への提供　　団体窓口経由でお申込みの場合は，検定結果を通知するために，申し込み情報，氏名，受検階級，成績を，Web でのお知らせまたは FAX，送付，電子メール添付などにより，お申し込みもとの団体様に提供します。

５．個人情報取り扱いの委託　　前項利用目的の範囲に限って個人情報を外部に委託することがあります。

６．個人情報の開示等の請求　　ご本人様はご自身の個人情報の開示等に関して，下記の当協会お問い合わせ窓口に申し出ることができます。その際，当協会はご本人様を確認させていただいたうえで，合理的な対応を期間内にいたします。

　 【問い合わせ窓口】　公益財団法人日本数学検定協会　検定問い合わせ係　　〒110-0005 東京都台東区上野 5-1-1 文昌堂ビル 6階

TEL：03-5812-8340　電話問い合わせ時間 月～金 9:30-17:00 （祝日・年末年始・当協会の休業日を除く）７．個人情報を提供されることの任意性について　ご本人様が当協会に個人情報を提供されるかどうかは任意によるものです。ただし正しい情報をいただけない場合，適切な対応ができない場合があります。

　整数列の密度の概念の１つとしてシュニレルマン（Schnirelmann）密度があります。

　集合Aは，０以上の整数全体からなる集合の部分集合で，０はAに属しており，A≠｛０｝

とします。また，A（n）を Aの要素のうち１以上 n以下（n＝１，２，…）の整数の個数，

A（０）＝０とするとき，シュニレルマン密度σ（A）は

　　σ（A）＝inf

で定義されます。これについて，次の問いに答えなさい。ただし，集合 Xのすべての要素

xに対して x≧aを満たす実数 aを Xの下界といい，最大の下界を infXで表すものとしま

す。 　（証明技能）

（１） 集合 Bを Aと同様に定義します。Aの要素を小さいものから順に０＝a 0＜a 1＜a 2＜

…とし，整数 k（k＝０，１，２，…）に対して a k＋1－ak－１＝ℓk とするとき

　　　　（A＋B）（n）≧A（n）＋σ（B）n－aA（n）＋　 ℓk

　　が成り立つことを示しなさい。ただし，集合 A＋B は

A＋B＝｛a＋b |a は Aの要素，b は B の要素｝

　　を表します。

（２）　次の不等式が成り立つことを示しなさい。

σ（A＋B）≧σ（A）＋σ（B）－σ（A）σ（B）

k＝0

A（n）－1

A（n）nn≧1

問題１．（選択）

２次：数理技能検定〔１級〕

１−２−１

　１辺の長さがℓの立方体を，その１頂点と重心を通る直線の周りに１回転させてできる

立体の体積は，もとの立方体の体積の何倍になりますか。

　定積分

　　Jn＝　　　　 　dx　（n＝０，１，２，…）

について，次の問いに答えなさい。

（１）　J1，J3 の値をそれぞれ求めなさい。

（２）　漸化式 Jn＝　　　 Jn－4（n≧４）が成り立つことを示しなさい。

（３）　J0，J2 はどちらも楕円積分（楕円の弧長や単振り子の周期を考える際にしばしばあら

われます）で，初等関数では表されませんが，積 J0J2 はよく知られた数で表されます。

その値を求めなさい。

xn

１－x 41

0

n－３n－１

問題３．（選択）

問題２．（選択）

１−２−２

　ある都市の小学生の習い事について，小学校低学

年（小学１～３年生）２００人，小学校高学年（小学

４～６年生）３００人をそれぞれ無作為に選び，通っ

ている習い事の数（種類）を調べました。右の表はそ

の結果です。このとき，小学生の学年と通っている

習い事の数のあいだに関係があるといえますか。有

意水準０.０５で検定しなさい。解答の際には，

１－２－６ページにあるχ2分布表の値を用いなさい。

高学年 合計９３ １６０１３５ ２４０７２ １００３００ ５００

低学年６７１０５２８２００

０種類１種類２種類以上合計

問題４．（選択）

　次のルールで行う石取りゲームについて考えます。

　　ゲームのルール

●黒の碁石，白の碁石をそれぞれ１個以上用意し，碁石の山を作る。

●２人で交互に，碁石の山から下の３つの取り方のうち，１つを

選んで碁石を取る。

・黒の碁石だけを１個以上取る。

・白の碁石だけを１個以上取る。

・黒と白の碁石を１個ずつ取る。

●最後に碁石を取った者を勝ちとする。

　このゲームには，「良形」とよばれる局面があります。「良形」とは，碁石を適切な方法で

取っていけば，相手がどのような方法で取ったとしても必ず勝てる状態のことをいいます。

　良形について，次のことが成り立ちます。

　（Ａ）良形の局面のとき，どのように碁石を取っても良形ではなくなる。

　　（Ｂ）良形でない局面のとき，適切に碁石を取ることにより良形にすることができる。

したがって，最初の局面が良形であれば後手必勝，良形でなければ先手必勝となります。

山に黒の碁石が x 個，白の碁石が y個ある局面（x，yは０以上の整数）について

　x＋yが３の倍数かつ｜x－y｜≦１　…（※）

を満たすとき，この局面が良形であることを示しなさい。 　（証明技能）

問題５．（選択）

１−２−３

　次の問いに答えなさい。 　（証明技能）

（１）　Vを n 次元実ベクトル空間とし，v 1，v 2，…，vm（m＜n）をVの１次独立な要素と

するとき，Vの適当な要素 vm＋1，vm＋2，…，v nを付け加えることによってVの基底

v 1，…，vm，vm＋1，…，v nが得られることを示しなさい。

（２）　Vを実数上の n 次元内積空間とし，v 1，v 2，…，v nをVの正規直交基底とします。

Vの要素 v が

　　　　v＝c 1v 1＋c 2v 2＋…＋cnv n　（c 1，c 2，…，cnは実数）

　　で表されるとき，c i＝v i・v（１≦ i≦n）が成り立つことを示しなさい。ただし，２つの

ベクトル a，bに対して，a・bは aと bの内積を表すものとします。

（３）　Vを実数上の n 次元内積空間とし，XをVの部分空間，X⊥をX の直交補空間（X の

すべての要素との内積が０であるVの要素全体の集合）とするとき，Vは Xと X⊥の直

和になること，すなわちVのすべての要素がXの要素と X⊥の要素の和で一意的に表さ

れることを示しなさい。

問題６．（必須）

１−２−４

　運動する物体にはたらく力の例として空気抵抗やマグヌス（Magnus）効果があります。

マグヌス効果は，回転しながら運動する円柱や球に揚力（運動する方向に垂直な力）がは

たらく現象のことであり，図１は，マグヌス効果の様子

を表しています。

　空気抵抗は，空気中を運動する物体に対してはたら

く力で，ここでは，運動する方向と逆方向にはたらく，

速さに比例する大きさの力とします。

　これらの力を踏まえて，図２のように鉛直面内の水

平方向と鉛直方向にそれぞれ x軸，y軸をとることに

よって，この座標平面上の原点から x軸の正の向きに

対して，θ ０＜θ＜　 の角の方向に初速度Vで投げ

た空気中のボールの運動について考えます。ボールの

質量をm，重力加速度を g，ボールの角速度をω，時

刻 t（ボールを投げた瞬間を t＝０とする）におけるボー

ルの位置を（x（t），y（t））として，次の運動方程式が成

り立ちます。

m　　＝－ω　 －　　 　 　　 ，　 （０）＝Vcosθ，　 （０）＝Vsinθ

m　　＝ω　 －　 －mg

　（運動方程式の右辺について，１項め，２項めはそれぞれマグヌス効果による揚力，空気

抵抗を表しています。）

　m＝１，V＝ ２，θ＝　 ，　 ＝u（t），　 ＝v（t）とするとき，u（t），v（t）をそれぞれ求

めなさい。ただし，g，ωはいずれも正の定数です。

x

y

θω

V

図２

角速度ω

揚力kω×v（kは定数）速度v

回転方向

図１

π２

d 2x

dt 2dy

dt

dx

dt dy

dt

dx

dtd 2y

dt 2dx

dt

dy

dt

dx

dt

π４

dy

dt

問題７．（必須）

１−２−５

１−２−６

※「数検」「数検／数学検定」「数検／Suken」は当協会に専用使用権が認められています。