国土を測る技術の基礎...7 第1 章はじめに...

国土を測る技術の基礎測量，画像計測，リモートセンシング，地理情報システムの基礎とデータ処理の実際

高木　方隆

2008年 1月 7日

3

目次

第 1章はじめに 7

第 2章数学基礎 11

2.1 点と直線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 角度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3 三角形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4 実数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.5 座標 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.6 方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.7 複素数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.8 関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.9 微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.10 偏微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.11 積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.12 ベクトル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.13 行列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.14 媒介変数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.15 空間幾何 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.16 円錐曲線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

第 3章データ処理 61

3.1 データの統計量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.2 正規分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.3 計測値の精度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.4 誤差伝搬の法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.5 最小二乗法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.6 回帰分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.7 座標変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.8 非線形方程式の計算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4 目次

3.9 テイラー展開 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.10 オイラーの公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.11 フーリエ変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.12 ベクトル解析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

第 4章測量機器による位置計測 89

4.1 測度の基準 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.2 測量機器とセッティング . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.3 測距と測角 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.4 基準点測量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.5 水準測量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

第 5章画像を用いた位置計測 107

5.1 光の反射・屈折 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.2 レンズの幾何学 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.3 カメラキャリブレーション . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.4 三次元計測 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

5.5 ステレオ幾何モデル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

第 6章地球規模での位置決定 123

6.1 天体の運行と暦 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

6.2 天球上での天体の位置 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

6.3 緯度・経度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

6.4 地球を球体とする緯度経度の座標変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

6.5 地理緯度と地心緯度との関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

6.6 地球を回転楕円体とする緯度経度の座標変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

第 7章衛星リモートセンシングによる位置計測 137

7.1 力学基礎 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

7.2 ケプラーの法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

7.3 人工衛星位置推算の基礎 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

7.4 人工衛星位置推算の実際 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

7.5 地球観測衛星の軌道 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

7.6 人工衛星画像の幾何学 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

7.7 GPS測量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

第 8章衛星リモートセンシングによる物体判読の基礎 167

8.1 電磁気学基礎 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

8.2 電磁波の基礎 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

5

8.3 電磁波と物質の相互作用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

8.4 リモートセンシングにおける電磁波の観測 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

第 9章画像処理 199

9.1 コンピュータにおける画像ファイル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

9.2 放射量補正 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

9.3 濃度補正 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

9.4 空間フィルタ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

9.5 フーリエ変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

9.6 分類 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

9.7 幾何補正 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

9.8 画像マッチング . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

第 10章地理情報システム 235

10.1 データモデル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

10.2 地図投影 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

10.3 メタデータ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

10.4 データ変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

10.5 空間解析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

10.6 三次元データの処理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

7

第 1章

はじめに

測るという行為は，真の姿を捉えるためになされる．そして学問は，真の姿を捉えるために構築さ

れた理論体系である．人類は古くより正確に測るための技術に取り組んでいるが，真の値を得ること

は現代においても到底不可能である．どんなに科学技術が発達し，計測機器の性能が向上したとして

も，誤差を 0にすることはできない．ただ，計測精度が向上することによって，科学の世界において

は，新しい理論が展開されている．一方，工学の世界においては，計測精度が向上することによって，

様々な精密機器や巨大構造物が生み出されている．測るということは，科学技術の基本であるといえ

る．また，測るという行為自身は，学問の一部と位置づけることができる．

数学は，測ることを行う者にとって避けて通ることのできない重要な学問である．特に初等数学は，

測るために生まれてきたと言えるのではないだろうか．例えば点や直線，曲線は数学的な概念である

とともに，測る基本的な対象物である．にもかかわらず自然界において点や直線はどこにも見当たら

ない．測る場合や物を作る場合には，点や直線を想像し，それを拠り所にしなければ先に進まない．

極めて重要な重要な概念である．また，三角関数を筆頭に微分・積分，線形代数，統計などの様々な

数学の要素は，測る手法や測った後のデータ処理において生かされている．計測機器の進歩によって，

機器の操作さえマスターすれば，測量において数学の知識は必要ないと思ってしまいそうな世の中で

ある．そして現在は，測量ができるということと，測量を理解しているということは別物になってい

るようだ．測量機器が発達し，操作さえ修得すれば誰でも測量はできる時代である．しかし土木・建

築分野に限らず計測情報や地理情報を取り扱う技術者は，必ず測量を理解しておく必要がある．測量

手法からその成果における問題点を的確に把握するためには，測量の本質を理解するとともに，数学

の知識は欠かせない．

地球科学において研究者は，古くより地球の形やその大きさを測ることに挑戦しており，今なお続

いている．それは測量の担うべき重要な役割で，測量は自然科学そのものとも言える．測るためには，

座標の原点をどこにするのか，座標軸の向きはどうするのかといった測度の基準を確立することは極

めて重要である．現在は GPSを利用すれば簡単に緯度・経度を導くことができるが，緯度・経度の

決定法は非常に奥が深い．地球の形を球で表現した時代から，回転楕円体で表現する時代となり，そ

れを基準に緯度・経度が決定される．現在の数学教育において，楕円や空間幾何を扱うことが少なく

なっているが，極めて重要な分野である．ケプラーの法則においても，天体の運動を円軌道から楕円

8 第 1章はじめに

軌道へ展開することで精緻な軌道予測ができるようになった．これは，地球を周回する人工衛星の運

動についても同様である．

物理学においてはニュートンにより，ケプラーの法則を包含した万有引力の法則が生み出され，古

典力学が確立された．そして電磁気学・統計力学・量子力学へと発展し，その間，相対性理論が登場

した．計測精度が向上するに連れて，古い理論では説明できないようなズレが計測値に発見され，新

しい理論へと展開されることが多かったが，現代では相対性理論に代表されるように，理論が先行し，

計測による実証は後追いとなっている場合が多くなった．現在までに多くの計測技術の進歩が，相対

性理論を色々な角度から裏付けている状況である．そして，現在では物理学における様々な理論から

新しい計測機器が生み出されている．電磁波を利用した計測はその代表例であり，画像計測・レー

ザー計測・マイクロ波計測等，計測機器は物理学を応用した機器と言える．そのような機器を使う以

上，電磁波についてもある程度の知識は必要である．

繰り返すが，現代は計測機器の発展のおかげで，測ること自体が簡単になり，専門的な知識・技術

を必要としなくなりつつある．そして，たくさんのデータが整備されつつあるので，自分以外の他人

が測った外部の計測データと融合させて解析する場合も多い．そんな時，コンピュータを用いてデー

タの形式を変換したり，異なる座標系を統一させたりしなければならない．最近は，優れた解析ソフ

トウェアが登場しているが，そのソフトウェアに適したデータ形式やデータモデルに変換する必要が

ある．つまり測ることと同時にデータ変換の知識が要求される時代となっている．さらに変換式の妥

当性や，変換後の誤差の状況をきっちり把握する能力が極めて重要である．生み出された解析結果が，

どの程度の信頼性を有しているのか解らないようであれば，役に立つ結果が生まれるはずはないであ

ろう．測ることにおいて誤差の評価は，以前にも増して重要な項目となっている．

現在測量は，土木工学や建築学の分野として知られているが，地球科学や地理学をはじめ環境分野

においても重要な技術である．GPS 衛星を利用した測量をはじめ，レーザーを用いた測量，デジタ

ルカメラによる測量，航空写真や人工衛星画像を用いた地図作製等，たくさんの技術が駆使されてい

る．したがって現代の測量技術者は，様々な技術に対する理解と，それを駆使する能力が必要とされ

ている．

本書は，現代の国土を測る技術の基礎について，詳述を試みる．内容は，数学基礎から始まり，局

所地域における測量や画像計測について解説し，続けて地球規模での計測と人工衛星を用いた計測を

解説した．基礎となるものは，地球科学，力学，電磁気学である，そして最後にコンピュータを用い

た画像処理，地理情報システムの技術について解説した．この並び順は，測る技術を学ぶ上での優先

順位を意識して構成したが，改めてこの順序を見ると，完全ではないが科学技術の発展の歴史順に並

んでいる．科学技術自身，歴史とともに積み上げられたものなので，当然とも言えよう．

現在は，様々な学問分野があり，それぞれの学問分野は，その中で閉じた体系を構築している．し

かし基礎の部分は共通の部分が多い．数学や物理は，今では別の分野として扱われているが，古くは

区別されていなかったはずである．最近では，複数の学問分野をまたがる分野を学際領域と呼んでい

る．例えば，自然災害科学や社会システム学が学際領域にあたる．リモートセンシングも学際分野の

一つであろう．一方で，各学問分野において，元を辿れば基礎の部分は共通部分が出てくるので，全

てが学際領域といっても良いのかもしれない．分野や領域は，人間社会の偏見で作られているものな

9

ので，分野にこだわらず，基礎はきっちりと身に付けなければならないと感じている．

測量やリモートセンシングを解説するには，様々な公式を用いる必要がある．本書ではその公式

が，天下り的に式が突然出てくることの無いよう，なぜこの様な式になるのかについて，筆者の知り

得る範囲ではあるが解説したつもりである．公式は，それを使って様々な解析ができれば，導くこと

ができなくても問題ないと思われるかもしれない．しかし，公式の意味を理解していなければ，間

違った利用の仕方をしてしまう可能性もある．したがって本書は，中学校で学習する公式であっても

再確認の意味で記した．十分理解している読者の方は，どんどん読み飛ばして頂いて大丈夫である．

そして本書は，式が非常に多くなってしまった．本書を参考に自分自身でデータ処理や画像処理のコ

ンピュータプログラムが書けるようになることを念頭に置いたためである．大学生にとって，卒業論

文や修士論文等を仕上げる際，プログラムを自分自身で書かなければ，オリジナリティのある解析は

困難である．こと研究と名のつく作業で，既成ソフトウェアのみで済まされることとは，まずないで

あろう．それは技術者にとっても同様のことが言える．本書ではプログラムの書き方は割愛したが，

プログラミングで必要とされる計算手法については，解説したつもりである．

この資料を作成するにあたり，大変参考になった書籍を紹介したい．

吉田武「オイラーの贈り物」海鳴社：この書籍は，筆者の研究室において数学の教科書として利用

させてもらっている．恐らく高校生が読んでも読破できるほど，丁寧に解説している．私がこ

の資料を作成するのに非常に影響を受けた．この他に著者は，数々の数学・物理に関する参考

書・読み物を書いており，何れも興味深いものである．特に「はやぶさ」幻冬舎新書は，人工

衛星「はやぶさ」についての物語でありながら，基本の重要性を再確認させられた．

「ファインマン物理学」岩波書店：非常に有名な物理学の参考書である．非常に詳しい解説がなさ

れているので，じっくりと読んでほしい．筆者は，学生時代に「ご冗談でしょうファインマン

さん」という書籍を読んで，一気にファインマンのファンになってしまった．

長沼伸一郎，「物理数学の直感的方法」通商産業研究社：テイラー展開，ベクトル解析，フーリエ変

換等について，その意味を言及している．それぞれの数学的ツールは，使うことはできても意

味は良く解ってないという場合があるが，この書籍はそれを克服させてくれる．

高木幹雄・下田陽久　監修「新編　画像解析ハンドブック」東京大学出版会：画像処理やリモート

センシングにおけるデータ処理のバイブルと言っていいだろう．高価だが，内容は非常に濃い

ので，我々専門家にも必携の書籍である．この本を読めば，様々な画像処理プログラムを自分

で組むことができるであろう．

日本リモートセンシング研究会編「図解リモートセンシング」日本測量協会：先の画像解析ハンド

ブックは難しすぎるというときの解説書として読めば良いのではないだろうか．各項目が見開

き２ページで簡潔に解りやすく解説されている．

中村英夫・清水英範，「測量学」技報堂出版：数ある測量に関する書籍の中でも非常に詳細な解説

が施されている．特に誤差に関する部分においては，正規分布も誘導しており，非常に参考に

なる．ただ，数学の予備知識がなければ難しい内容と思われる．本書が，その理解の手助けに

なれば幸いである．

10 第 1章はじめに

日本写真測量学会，「解析写真測量」日本写真測量学会：写真測量の基礎から実際の解析までを学

ぶには，この本が最も良いと思われる．この本を読めば，実際に写真測量のプログラムを書く

ことができるだろう．ただ，一般の書店では扱われておらず，直接に本写真測量学会に申し込

まなければならないのが難点である．

田島稔・小牧和雄，「最小二乗法の理論とその応用」東洋書店：題名通り，最小二乗法について詳述

しているもので，誤差の調整には非常に役に立つ情報が得られる．

長沢工「天体の位置計算」地人書館：天体の軌道情報からある時刻の天体の位置を計算する方法を

解説している．人工衛星を用いた計測が出来るようになった昨今である．人工衛星の位置計算

は，思うほど難しくないので，是非チャレンジしてほしい．その昔，軌道計算は球面三角法を

マスターしていなければ困難という感があった．しかし，本書はベクトルと行列を用いて解説

しているため非常に解りやすくなっている．

柴田清孝，「光の気象学」朝倉書店：電磁波一般ではなく，光について詳述している書籍はあまり

見かけない．リモートセンシングにおいては，太陽光と大気との関係を把握しなければならな

いので，本書はその要求に応えてくれる良書である，

この他にも最近では解りやすくためになる参考書が多く出版されている．私が学生の頃に今のよう

な解りやすい参考書が豊富にあれば，もっと楽に勉強できただろうにと感じてならない．現代は，解

らないことがあればインターネットで調べて済ましてしまうことが多い．インターネットを利用した

問題の解決法は，問題点だけに的を絞って調べることができるので，非常に効率の良い手法である．

しかし一方で，解りやすい参考書も相変わらず多く出版されている．書籍を購入し，それをじっくり

と読むことで著者の伝えたいことを感じつつ，問題を解決することができれば，得られる価値は非常

に大きい．ときにはスローな勉強をし，自分にとってのバイブルとなるような書籍にたくさん出逢い

たいものである．

本書では，数式の中にギリシャ文字を利用する．表 1.1は，ギリシャ文字とその読み方である．出

来るだけ読み方は覚えておいてほしい．

表 1.1 ギリシャ文字

Α α アルファ Β β ベータ Γ γ ガンマ

∆ δ デルタ Ε ε インプシロン Ζ ζ ゼータ

Η η イータ Θ θ シータ Ι ι イオタ

Κ κ カッパ Λ λ ラムダ Μ µ ミュー

Ν ν ニュー Ξ ξ グザイ Ο o オミクロン

Π π パイ Ρ ρ ロー Σ σ シグマ

Τ τ タウ Υ υ ユプシロン Φ φ ファイ

Χ χ カイ Ψ ψ プサイ Ω ω オメガ

11

第 2章

数学基礎

本章では，測ったり，測った値を解析するときに必要な数学の知識についてまとめた．測量やリ

モートセンシング，地理情報処理を身を学ぶためには，高校までの数学に少しの大学数学の知識を加

えた程度で充分であるので，本章で扱う項目は必ずマスターしておきたい．小学校の算数で習う項目

もあるが，測るということを通してみると非常に重要なので，これらの数学の基礎について復習して

おこう．

特に三次元の空間ベクトルについては極めて重要な項目なので，しっかり理解してほしい．それに

関連する空間直線や空間平面については，今の高校や大学の教育課程であまり取り上げられなくなっ

ているようである．しかし，測ったり，測った結果を処理する際には欠かせない基礎である．また，

楕円・放物線・双曲線といった円錐曲線も重要な項目であるが，あまり教育課程では取り上げられて

いない．地球の形，人工衛星の軌道は楕円で近似できるので，非常に重要な項目である．詳細は，各

専門書を参考にして頂くこととして，ここでは測ることに関連する重要な項目に絞って解説した．

2.1 点と直線

測る時には，点が拠り所となる．数学的には点 (Point)は面積を持たないものと定義されているが，

実際には円形や十字線の印によって代用している．そして距離を測る時は，点と点の間の直線間の距

離を測る．複雑な形状を測る際には，多くの点を配置させて，それらの点の位置を測る．その後，点

同士を直線 (Line)や曲線 (Curved Line)でつなげて表現するのである．配置させる点数が多ければ

多いほど詳細な形状を表現できる．

ところで，我々の住まいは，柱・壁・屋根等により構成されているため，小さい頃から身の回りの

点・直線・多角形・平面を見て慣れ親しんでいる．ところが，自然界においては点・直線・多角形・平

面はあまり存在しない．かろうじてあるのは，太陽や月の形の円形である．したがって，点・直線・

多角形・平面等は，我々の頭の中で生まれた抽象的な概念である．

数学の一つの分野である幾何学において，点・直線・平面等の概念は，ユークリッドが紀元前 3

世紀年頃に定義しており，５つの公理と公準をもとに幾何学の論理を展開している．それをユーク

リッド幾何学と呼んでいる．なお定義 (Definition)とは，物事を理解する上での約束事である．公理

12 第 2章数学基礎

(Axiom)とは，全ての研究における必要な仮定であり，公準 (Postulation )とは，特殊な研究におけ

る必要な仮定のこととされている．真実は解らないものという立場に立てば，物を定義し，何かを仮

定しなければ，先に進まないのである．現在までに生まれた様々な定理や公式，そして理論は，何ら

かの仮定に基づいているので，その仮定が間違っていれば，全てが覆される．

さて，ユークリッド幾何学における定義の一部は，以下のとおりである．

1. 点とは，部分を持たないものである．

2. 線とは，幅を持たない長さである．

3. 線の端は点である．

4. 直線とは，その上に点が平等にのっている線である．

5. 面とは，長さと幅だけを持っているものである．

6. 面の端は．線である．

7. 平面とは，直線がその上に平等にのっている面である．

8. 平行線とは，同一平面上にあって，その両方の側へどれほど延長しても，何れの側でも交わる

ことのない直線のことである．

他にも角度や円や三角形に関する定義がある．これらについては各章において適宜解説する．そして

公理は，以下のとおりである．

1. 同一のものに等しいものは，また互いに等しい．

2. 等しいものに等しいものを加えれば，全体は等しい．

3. 等しいものから等しいものを引けば，残りは等しい．

4. 互いに一致するものは，互いに等しい．

5. 全体は部分より大きい．

さらに公準は，以下のとおりである．

1. 任意の点から，他の任意の点へ，ただ一本の直線を引くことが出来る．

2. 一つの有限の直線は，これが直線になるように，その続きに延長することが出来る．

3. 任意の点を中心として，任意の長さを半径として円を描くことが出来る．

4. 直角は全てお互いに等しい．

5. 与えられた直線上にない，与えられた一点を通って，与えられた直線に平行な直線は，一本

あって，一本に限る．（プレーフェイアによる）

ユークリッド幾何学は，平面上の点や直線について論理が展開されているが，地物を測量して結果を

整理すると，地球は丸いために実際には地表面は平面ではないという問題が出てくる．さらに細かく

見ると，重力によって空間が歪んでいるという問題もある．しかし，多くのユークリッド幾何学は，

狭い範囲においては実用上問題ないので，現在もその定義や公準に基づいた理論が応用されている．

2.2 角度 13

2.2 角度

直線と直線が交差すると，交点 (Intersection)において４つの角度 (Angle)が出来る．下図は，そ

れを示したもので，直線 L1 と直線 L2 によって，角度 A, B, A’, Bが存在している．このうち，Aと

A’，Bと B’は，対頂角 (opposite angle)の関係にあり，それぞれ角度が等しい．

A

A'

B

B'

L1

L2

L3C

C'

D

D'

直線 L2 に平行な直線 L3 も描いてある．平行 (parallel)とは，ユークリッド幾何学においては，同一

平面上にあって，その両方の側へどれほど延長しても，何れの側でも交わることのない直線と定義さ

れている．したがって，直線 L2 と直線 L3 によってできる４つの角度は，直線 L1 と直線 L2 によって

出来る角度と同じでなければならない．つまり，角度Aと角度 Cは同じであれば，２つの直線は交わ

らない．角度 Aと角度 Cは，同位角 (corresponding angle)の関係にあるという．角度 Aと角度 A’

が等しく角度 Aと角度 Cも等しいので，角度 A’と角度 Cも同じとなる．角度 A’と角度 Cは，錯

角 (alternate angle)の関係にあるという．これら，平行線を横切る直線が作る角度については，BC5

世紀頃，既にギリシャのターレスによって証明された三角形の合同条件より導くことができる．

角度は，一般に 0～360°の度数法で表現されている．これは古来，1年が 360日程度であると思わ

れていたため，地球が太陽の周りを回る角度として１日１°と定義されていたことによるらしい．な

お，90°は，特に直角 (perpendicular)と呼ばれており，地球の位置としては春分・夏至・秋分・冬

至にあたる．

度数法の他にも多くの角度を表す単位がある．中でも弧度法（ラジアン）は数学的に非常に重要な

角度の単位であるが，これについては後述する．

2.3 三角形

面の形状を測る場合も，線と同様に多くの点を配置させ，多角形として形状を把握する場合が多い．

この多角形は，三角形 (triangle)を基本としている．例えば，四角形は２つの三角形が組合わさった

ものであり，五角形は３つの三角形が組合わさったものと考えれば良い．三角形は，後述するピタゴ

ラスの定理，三角比，正弦・余弦定理，三角関数等，様々な計算が可能であることからも重要な形状

である．

三角形の内角の和は 180°であるが，それは以下のように証明できる．下図は，三角形 ABCの点

Aにおいて線分 BCに平行な直線 LL’を描いている．


A

B C

L'L

点 B の内角は，錯角の関係から∠ LABと等しく，点 C の内角は，同様に∠ L’ACと等しい．した

がって，三角形の各頂点の角を貼り合わせると一直線となり，三角形の内角の和は 180°といえる．

2.3.1 三角形の合同と相似

三本の棒の端同士をつなげれば三角形が出来る．つなげるときには，それぞれの棒の端をピンでと

め，関節のようにピンのまわりで自由に回転できるようにして三角形を作る．できた三角形に力を与

えても，その形は変えようとはしない．これが四角形以上の多角形であれば，少しの力で形が自由に

変わってしまう．したがって，構造的にも三角形は強い形といえる．さて，同じ長さの三本の棒を用

いて，同様につなげると，先と全く同じ形で同じ大きさの三角形が出来る．このように２組の同じ大

きさで同じ形の三角形は，合同 (congruence)と呼ばれる．三角形の合同条件は，以下の３つである．

• 三辺の長さが等しい• 二辺の長さとその間の角が等しい• 一辺の長さとその両端の角が等しい

この合同条件については，先にも述べたように，BC5世紀頃ギリシャのターレスが証明したと言われ

ている．合同三角形を利用すれば，直接測ることが困難な二点間の距離を間接的に測ることが出来る．

B C

D E

B' C'

m

nA

上図は，点 DE間の距離を測る際に，池が邪魔になって直接測れないとき，合同三角形を使って測る

例を示している．まず点 Aを設けて，三角形 ADEに合同な三角形 ABCを作り，BC間の距離を測

れば，DE間の距離となる．

大きさは異なっても同じ形の三角形もあるが，それを相似 (similar)と呼ぶ．三角形の内角が全て

等しい場合，相似三角形となる．相似三角形を用いても様々な距離が測れる．同じ大きさの三角形に

限らないため，大きさの比さえ解れば，小さな三角形を用いて測ることが出来るため，有効な手法と

いえる．上図には，三角形 ADE と相似の小さな三角形 AB’C’ を描いている．三角形の大きさの比

(m : n)が解れば，B’C’の距離を測ることで，DEの距離も計算できる．

2.3 三角形 15

2.3.2 ピタゴラスの定理

直角三角形 (right triangle)は，測量の基本と言える．直角三角形でない三角形も存在するが，どん

な三角形でも補助線を設けることで，二つの直角三角形に分割することが出来る．ここが重要なポイ

ントである．直角三角形から三角比が定義され，正弦定理や余弦定理等，測量において多用される公

式が導かれる．

下図は，その直角三角形 ABCを表している．頂点 Cが直角であり，辺 BCを底辺 (base)，辺 AC

を高さ (height)，辺 ABを斜辺 (hypotenuse)と呼んでいる．

A

B Ca

bc

ピタゴラスの定理は，直角三角形の辺の長さについての定理で，底辺の長さを a，高さを b，斜辺の長

さを cとすると，次式で表される．c2 = a2 + b2 (2.1)

ここで，なぜピタゴラスの定理が成り立つのかを考える．各辺の二乗に関する式なので，各辺を一辺

とする正方形の大きさに関する式といえる．そこでまず，下図の左のように斜辺から出来る正方形の

周りに同じ三角形を４つ（1番から 4番）配置させる．すると，一辺が a + bの正方形が描かれ，真

ん中には斜辺から構成される面積 c2 が表現されている．

a b

c

c

c

c

a

b

a

a

b

b

c2

a b

a

b

a

b

a2

b2

次に，3番の三角形をスライドさせて 1番の斜辺とつなげ，4番の三角形をスライドさせて 2番の斜

辺とつなげると，上図の右のようになる．すると，c2 の空間が a2 + b2 の空間に変わる．外枠の大き

さは a + bで変化していないので，ピタゴラスの定理は証明される．

このピタゴラスの定理を式を用いて導くには，三角形の相似を用る．下図のように点 Aより半径が

bの円を描くと，点 Cで接する円が描ける．ABと円の交点を P，ABの延長線と円との交点を Qと

する．


A

B Ca

bc

bP

Qb

θ

θ

2θ

90 − θ

90 −

θ

∠ACP = θ とすると，三角形 ACPは二等辺三角形なので，∠APC = θ となり，∠QAC = 2θ とな

る．三角形 ACQ も二等辺三角形なので，∠AQC = ∠ACQ = 90 − θ となる．一方，∠ACB = 90

なので，∠PCB = 90 − θ となり，三角形 QBCと三角形 PBCは，相似三角形となる．したがって，

PB : CB = CB : QBが得られる．この各辺の長さを a, b, cで表すと，次式のようになり，整理すれ

ばピタゴラスの定理が導かれる．

(c − b) : a = a : (c + b)

a2 = (c − b)(c + b)

a2 + b2 = c2 (2.2)

ピタゴラスの定理は，紀元前 4世紀ころに生まれているようで，ピタゴラスが発見したというより，

ピタゴラスが証明し，一般的なものにしたと言われている．とにかく，この定理は測量においても重

要であるし，三角関数を始めとする様々なところで活用される．身近なところで言えば，グランドに

直角のラインを引くのに，巻き尺で 3m，4m，5mの辺からなる三角形をつくって直角を出すことは，

一般にやられていることであろう．

2.4 実数

物を数えるための数は，自然数 (Natural Number)と呼ばれている．したがって，自然数は 1, 2, 3,

...とカウントされる．その自然数を拡張し，0と負の数も含めた数は，整数 (Integer Number)と呼

ばれている．整数同士の足し算・引き算・かけ算は整数となるが，割り算は小数が含まれる場合があ

る．その小数部分は，ある桁で割り切れる有限小数 (Finite Decimal)の場合もあれば，割り切れずに

循環小数 (Circulating Decimal)になる場合もある．何れにしても，ある数同士の足し算・引き算・か

け算・割り算によって得られる答えは，有理数 (Rational Number)と呼ばれる数に分類されている．

測量において，測って得られる値は基本的に小数が含まれる．このような値は，実数 (Real Number)

と呼ばれている．実数に有理数は含まれているが，ある長さを測ったとき，いくらぴったり 1cmだと

言えども測った値は整数とは言えない．例えば，単位をmにした途端，0.01mとなり小数を含んでし

まう．長さの単位もメートルを元にした単位だけでなくインチを元にした単位もある．単位が変換で

きるような値は，実数と言って良いだろう．

数学では，単位はあまり重要視されていないため，単位を意識した計算は扱われない．しかし数学

2.5 座標 17

以外の自然科学の分野での値には単位がつきものである．座標であろうがグラフであろうが，単位を

忘れてはならない．

なお，実数には無理数 (Irrational Number)も含まれている．無理数とは，π や e，√

2,√

3等の循

環小数ではなく無限に小数部の続くような値を言う．

2.5 座標

座標 (Coordinate)は，位置を表現するのに極めて重要で，17世紀にデカルトによって生み出され

た概念である．原点を設定し，それに対して２つの直交する軸を設ける．数学においては xy座標で

表すことが多い．そして座標は，x軸座標と y軸座標の値として表す．ある点の x軸座標は y軸から

その点までの x軸に平行な距離で表し，y軸座標は x軸からその点までの y軸に平行な距離で表す．

下図において，点 Aの座標は A(3,2)と表し，点 Bの座標は B(-1, 0.5)と表す．

x

y

A(3, 2)

B(-1, 0.5)

通常，地上の地物を表現する時は，ある点を原点とし，東西方向，南北方向を x軸や y軸に合わせて

座標系を設定している．

原点から各点までの距離の二乗 d2 は，座標が (x, y) のとき，ピタゴラスの定理より次式で表さ

れる．d2 = x2 + y2 (2.3)

2.6 方程式

変数を幾つか設定して式をたてることがよくある．ある値が解らないとき，それをある文字で置き

換えて式を立てるが，その文字が変数 (Variable) である．例えば，等速運動をしている物体におい

て，移動距離 xは，速度 v と時間 tという変数を設定すれば，次式で表すことができる．

x = vt (2.4)

変数を含む式においては，変数の値が解っている場合と解らない場合とがある．値の解っている変数

は，定数 (Constant)と呼ばれ，解らない変数は，未知数 (Unkown)と呼ばれている．例えば速度 v


の値が決まっている場合は，それは定数であり，残りの移動距離 xと時間 tは，未知数となる．この

とき，この式における未知数は，ある特定の場合にしか成り立たない．つまり速度 v = 50(km/h)の

場合，1時間での移動距離は 50kmという値しか存在しない．このような式を方程式 (Equation)と

呼んでいる．そして，式を成立させるための未知数における特定の値は，根 (Root)や解 (Solution)

と呼ばれている．

一方，式においては，恒等式 (Identical equation)と呼ばれるものもある．恒等式は，未知数がど

んな値とうろうが，その式が成り立つものである．例えば，三角比においては角度を θ とすると，以

下の式が成り立つ．sin2 θ + cos2 θ = 1 (2.5)

この式は，角度 θ がどんな値であっても成り立つものである．公式 (Formula)と一般に呼ばれてい

る式の中には，このような恒等式が多い．

2.6.1 線形方程式

直線を表す方程式は，変数を x, y，係数を a, bとおくと，y = ax + bと表現できる．この式は，か

け算と足し算のみで表現している．このような方程式を，線形方程式 (Linear Equation)と呼んでい

る．方程式をグラフで表したときに，直線で表現されることに由来する．下図は a = 12 , b = 1のグラ

フである．

x

y

y =12x + 1 (2.6)

このグラフの傾き (gradient) は，変数 x の係数 a である．ある一定範囲の x の増分に対応する y

の増分の比は，常に等しい．そして傾きは，y の増分を x の増分で割ったものである．b は，切片

(Intercept)と呼ばれ，この直線が y軸と交差する点の y軸上の y座標の値に相当する．

2.6.2 連立方程式とその解法

方程式は，一般に解を求めたい場合にたてるが，その方程式に含まれる未知数が多くなると解を求

めることは困難である．前節の移動距離 x，速度 v，時間 tとの関係式 2.4において，3つの変数全て

2.6 方程式 19

が未知数の場合は，解の求めようがない．移動距離 xを求めたいならば，速度 v と時間 tが必要とな

る．したがって，一つの方程式に一つの未知数の場合は解を求めることが簡単であり，この場合以下

の３つの式を連立させて解いていることになる．x = vt

v = 50(km/h)t = 1(h)

(2.7)

このように，未知数の数だけ方程式がなければ解を求めることは困難である．

次に一般的な連立方程式の解法について考えてみる．例えば未知数が x1, x2, x3 の 3 個のときは，

3つの方程式が必要になる．係数が a11, · · · , a34 の連立方程式 (Simultaneous Equation)が，以下の

ようにあるとき，連立方程式は，代入法や係数比較法によって解くことができる．

a11x1 + a12x2 + a13x3 = a14 (2.8)

a21x1 + a22x2 + a23x3 = a24 (2.9)

a31x1 + a32x2 + a33x3 = a34 (2.10)

ここでは，Gauss の消去法について解説する．この方法は，係数比較法の一種で，その名のとおり

Gaussが考案した．アルゴリズムが単純なのでコンピュータプログラムで表現することも簡単なこと

から，現在でも広く利用されている手法である．

まず，変数 x1 を消去するために，式 2.8 ×a21a11から式 2.9を引き，式 2.8 ×a31

a11から式 2.10を引く．

すると，未知数が２つの連立方程式が新しくできる．新しくできた連立方程式の係数を b22, · · · , b34

とすると，以下のようになる．

a11x1 + a12x2 + a13x3 = a14 (2.11)

b22x2 + b23x3 = b24 (2.12)

b32x2 + b33x3 = b34 (2.13)

さらに，変数 x2 を消去するために，式 2.12 × b32b21から式 2.13を引と，未知数が１つの方程式が新し

くできる．新しくできた連立方程式の係数を c33, c34 とすると，以下のようになる．

a11x1 + a12x2 + a13x3 = a14 (2.14)

b22x2 + b23x3 = b24 (2.15)

c33x3 = c34 (2.16)

これで，式 2.16を用いて x3 の解が求まり，それを式 2.15に代入して，x2 を求め，最終的にすべて

の未知数の解が求まる．未知数の数が多くなったとしても同様の手法で解くことができる．

2.6.3 非線形方程式

方程式には，かけ算と足し算では表せないものもある．例えば円や放物線，楕円，双曲線は変数 x

の二乗の項が出現する．x2 の項が含まれる方程式は二次方程式 (Quadratic Equation)，x3 の項が含


まれる方程式は，三次方程式 (Cubic Equation)と呼ばれている．また，その他にも後述する三角関

数，指数，対数等がある．このような方程式は非線形方程式 (Nonlinear equation)と呼ばれている．

下のグラフは，y = x(x + 2)のグラフである．下に凸の放物線を描いている．この放物線は，座標

(-1, -1)に頂点を持ち，x軸とは 0と-2において交点を持っている．

x

y

頂点の座標を求めるためには，後に述べる微分法を用いる．x軸との交点を求めるには，y座標が 0

における xの値なので，y = 0とおき，xの解を求めれば良い．二次方程式の解の求め方は，次節で

解説する．

2.6.4 二次方程式の解

一般に非線形方程式の解を求めるのは，困難である．したがって次章で述べる Newton-Raphson

法等により，繰り返し計算を行うことで，解の近似値を求めるのが一般的である．しかし二次方程式

については，解析的に解ける．

例えば，x2 − 4 = 0の二次方程式は，因数分解により，(x + 2)(x − 2) = 0となり，x = ±2と簡

単に計算できる．一方，この二次方程式は，x2 = 4 と変形して，x = ±412 とも書ける．この 1

2 乗

は，特に √という記号を用いて表現し，平方根と呼んでいる．つまり，x = ±√

4となる．そして，√

4 = 2である．ところで，√

2 = 1.41421356 · · · となり，ぴったりの数にはならない．そして循環小数でもない．このような数は先にも述べたように，無理数と呼ばれている．

日本ではこれを単にルートと呼んでいる場合が多いが，ルートを直訳すると根，つまり解という意

味なので，少々問題である．できるだけ正確に，平方根 (Square Root)と呼ぶべきであろう．

一般の二次方程式には，解の公式がある．例えば，係数が a, b, cで変数が xの二次方程式が次式で

与えられているとする．ax2 + bx + c = 0 (2.17)

2.7 複素数 21

このとき，方程式の解は，以下の式で計算できる．

x2 +b

ax +

c

a= 0 両辺を aで割る

x2 +b

ax = − c

a

c

aを右辺に移項

x2 +b

ax +

(b

2a

)2

=(

b

2a

)2

− c

a両辺に

(b

2a

)2

を加える(x +

b

2a

)2

=b2 − 4ac

4a2左辺を因数分解し，右辺を整理する

x +b

2a= ±

√b2 − 4ac

4a2

x = − b

2a±

√b2 − 4ac

4a2

=−b ±

√b2 − 4ac

2a(2.18)

2.7 複素数

ある値 xの平方根は， 12 乗の値，つまり

√xであった．ところで，二次方程式の解の公式である式

2.18において，平方根の中の b2 − 4acの値が，負の値になることもある．したがって，x2 = −1とな

る xの値は存在するのかということが問題となる．数学や物理では，とりあえずあるとしている．今

後解説する三角関数や指数関数において非常に便利なものへと発展する．とにかく，x2 = −1を手順

通り解くと，x =√−1となる．そして

√−1は，iと表現する．これを虚数単位 (Imagenary Unit)

と呼んでいる．虚数という言葉は，17世紀にデカルトが名付けたようである，虚数は，いわゆる想像

上の数である．負の数にしても想像上の数だが，虚数は特に想像しづらい．しかし，数学・物理にお

いては，積極的に利用されているので慣れておく必要がある．

さて，虚数は実数ではないが，虚数単位と実数 a, b を組み合わせた数として以下のように表現さ

れる．a + bi (2.19)

これを複素数 (Complex Number)と呼び，虚数を含む数を表現している．

二次方程式の解を表現するのに，b2 − 4ac < 0の場合，複素数が使われる．例えば，x2 + x + 1 = 0

の解は，以下のように表現できる．

x =−1 ±

√12 − 4 × 1 × 12 × 1

=−1 ±

√−3

2

= −12±

√3

2i (2.20)


実数部分である − 12 に対して，虚数部分は ±

√3

2 iと２つ持っている．このように虚数部分について

符号が異なる複素数を特に共役複素数 (Complex Conjugate Number)と呼んでいる．複素数は，次

章で解説するオイラーの公式やフーリエ変換において極めて重要な役割を演じている．

2.8 関数

関数 (Function)は，変数 xに値を入力すると，その値に基づいて計算した結果を一つ返す機能を

持つものである．この言葉は，17世紀に微積分で活躍したライプニッツが定義したものである．一般

に関数を f で表し，f(x)と表現する場合が多いが，これは 18世紀にオイラーが表記したことから始

まるものである．

この関数に入力する変数は，一つに限ったものではなく，いくつの変数を設定しても構わない．し

たがって，三次元座標のデータ x, y, z を入力するような関数は，f(x, y, z)と表現される．この括弧

の中の入力される変数は，引数 (Argument)と呼ばれている．コンピュータのプログラムにおける関

数も入力される変数が括弧の中で表現されるが，同様に引数と呼ばれている．

2.8.1 一次関数，二次関数

直線を表す方程式は，変数を x, y，係数を a, bとおくと，y = ax + bと表現できた．これは，変数

xの値を入力すると，y の値が一つ求まるので関数で表現することも可能である．このとき，次のよ

うに関数として表現できる．f(x) = ax + b (2.21)

二次関数は，変数 xにおいて二乗の項が含まれているものである．したがって，次のような関数で

表現される．f(x) = ax2 + bx + c (2.22)

方程式は，解を求める意味合いが強いときに用いられ，関数は様々な変数に対する値を見るときに使

われる．関数のグラフを見るという具合に用いられる．

一般に変数 xに対応する値 y を関数を用いて，y = f(x)と表現することが多い．

2.8.2 三角関数

三角比

直角三角形は，前節で述べたようにピタゴラスの定理が成り立つ．さらに，一つの角度が直角なの

で，もう一つの角度が決まるだけで三角形の形が決まる．言い換えれば，直角三角形の直角でない一

つの角度が決まれば，三角形の辺の長さの比も決まるのである．そこで，直角三角形の辺同士の長さ

の比と角度との関係を定義し，様々な計算の助けとしている．これが三角比であり，三角関数へと発

展する．

2.8 関数 23

A

B Ca

bc

θ

上図において，斜辺と底辺とのなす角度を θ とすれば，次の３つの三角比が定義されている．

sin θ ≡ b

c, cos θ ≡ a

c, tan θ ≡ b

a(2.23)

なお，≡は，右辺を左辺と定義するという意味である．sinは，サインと読み，日本語では正弦と訳

されている．cos は，コサインと読み，日本語では余弦と訳されている．tanは，タンジェントと読

み，日本語では正接と訳されている．下図のように頭文字の筆記体の書き方と辺の分母分子を関連さ

せれば，これら３つの三角比を覚えやすい．

θsin

θcos

θ tan

３つの三角比は，お互いに関係を持っている．まず，次の式が成り立つ．

tan θ =sin θ

cos θ(2.24)

なぜなら右辺は，bcac

= ba となるからである．さらに，以下の式が成り立つ．

sin2 θ + cos2 θ = 1 (2.25)

なぜなら左辺は， b2

c2 + a2

c2 = a2+b2

c2 となる．そして，ピタゴラスの定理より，a2 + b2 = c2 からa2+b2

c2 = 1となる．

三角比の正弦は，半径 r の円において，それぞれの中心角での弦の長さの半分である．この弦の長

さと中心角との関係は，紀元前 2世紀頃，Hipparchus（ヒッパルコス）が三角法による測量を行うの

に用いたとされている．そして，sin, cos が利用され始めたのは 17 世紀になってからで，18 世紀に

Euler（オイラー）が三角関数として利用できるように体系化したようである．

加法定理

加法定理は，sin(α + β)及び sin(α + β)に関する定理である．これを導くのに，下図のように二つ

の直角三角形を利用する．まず，直角三角形 OABにおいて，∠AOB = αとする．この三角形の斜

辺 OBの上に，OBを底辺とする直角三角形 OBCを描いた．ここで ∠BOC = β とする．


O

1

αβ

sin

βco

s β

sin

α

α

cos β cos α

sin

β co

s α

sin β sin α

cos β

A

B

P

Q

C

R

sin(α + β)は，Cより OAに向けて垂線を描いたときの長さに相当する．ここで，この垂線と OAと

の交点を P，OBとの交点を Qとする．さらに Bから CPに向けて垂線を描き，その交点を Rとす

る．する．三角形 OABと三角形 OPQは相似であり，続いて三角形 OPQと三角形 BCQも相似で

ある．したがって，∠BCR = αとなる．

さて，OC の辺の長さを 1 とすると，求める sin(α + β) は，CP の長さに等しい．したがって，

sin(α + β) = AB + CRといえる．ここで，OCの長さが 1なので，BCの長さは sinβ となり，CR

の長さは，sinβ cos α となる．また，OB の長さは cos β となり，AB は，cos β sinα となる．した

がって，以下の式を導くことが出来る．

sin(α + β) = sin α cos β + cos α sinβ (2.26)

一方，cos(α + β)は，OPの長さに等しい．したがって，cos(α + β) = OA − PAといえる．ここ

で先と同様に，OBの長さが cos β なので OAの長さは，cos β cos αとなり，BCの長さが sinβ なの

で BRの長さは．sinβ sinαとなる．したがって，以下の式を導くことが出来る．

cos(α + β) = cos α cos β − sinα sin β (2.27)

加法だけでなく，減法についても導き，まとめると次式が得られる．sin(α + β) = sin α cos β ± cos α sinβ

cos(α + β) = cos α cos β ∓ sin α sinβ(2.28)

正弦・余弦定理

直角三角形以外の三角形でも辺の長さと角度の関係が解ると，応用範囲が広がる．特に測量におい

ては，直角三角形を作ること自体が困難なので，一般的な三角形において成り立つ定理が必要とされ

る．正弦定理は，その一つである．下図のように三角形 ABCにおいて，各頂点の内角を A,B,C，各

辺の長さを a, b, cとする．

2.8 関数 25

A B

C

Dc

b a

三角比は直角三角形においてのみ成り立つので，頂点 Cより底辺 ABに向けて垂線をおろし，二つの

直角三角形を作る．頂点 Cからの垂線と底辺との交点を Dとすると，∠Aと ∠B の正弦は，以下の

ようになる．

sinA =CD

b, sinB =

CD

a(2.29)

したがって，b sin A = a sinB = CD となり， asin A = b

sin B が成り立つ．また，頂点 Aから BCに

向けて垂線を伸ばし，同様に ∠B と ∠C の正弦について解くと， bsin B = c

sin C が成り立つ．したがっ

て，最終的には，以下の式が成り立つ．これが正弦定理である．

a

sinA=

b

sin B=

c

sinC(2.30)

この正弦定理を利用すれば，３つの角度が解っていれば，一つの辺が求まった時点で，他の二辺の長

さを計算できる．

余弦定理は，余弦を使った一般の三角形に関する定理である．正弦定理で用いた図をここでも利用

して解説する．直角三角形 BCD において，ピタゴラスの定理より a2 = CD2 + BD2 が成り立つ．

ここで，CD = b sinA,BD = c − b cos A より，次式を得る．

a2 = b2 sin2 A + (c − b cos A)2

= b2 sin2 A + c2 − 2bc cos A + b2 cos2 A

= b2(sin2 A + cos2 A) + c2 − 2bc cos A

= b2 + c2 − 2bc cos A (2.31)

これが，余弦定理である．この定理は，二辺（b, c）とその間の角（∠A）が決まれば，他の辺（a）

の長さが求まることを意味する．また式を変形し，cos A = b2+c2−a2

2bc とすれば，三辺の長さから角度

が求まることを意味する．

なお，ここでは a2 =の式になっているが，他の辺についても同様に導くことが出来，以下の式が

成り立つ． a2 = b2 + c2 − 2bc cos A

b2 = c2 + a2 − 2ca cos B

c2 = a2 + b2 − 2ab cos C

(2.32)


弧度法，単位円，三角関数

角度は，0～360°の度数法によって表現することが多い．しかし，度数法は，数学的に意味を持っ

ているわけではない．そこで，物理・数学においては弧度法が一般に用いられている．弧度法は，半

径が 1の円において，弧の長さによって角度を表す．単位はラジアン (rad)を用いる．

1

0 0 rad

90 π/2 rad

90πrad

270 3π/2 rad

360 2π radθ x

y

θ rad

360°は，円周の長さに一致し，2π(rad)であり，180°は，半円の弧の長さなので π(rad)となる．度

数法と弧度法との関係は，比例関係なので，度数で表された角度を弧度に変換するには， π180 を掛け，

弧度で表された角度を度数に変換するには， 180π を掛ければ良い．ラジアンが便利なのは，半径 r の

弧の長さを計算するのに r · θ で計算できる点である．半径が 1の円は，特に単位円と呼ばれている．この円周上の点の座標 (x, y)は，角度 θ と三角比を

用いれば以下の式で表すことが出来る． x = cos θ

y = sin θ(2.33)

あらゆる角度 θ における三角比を三角関数としてグラフ化すると，下図のようになる．

θ

f(θ)

π/2 π 3π/2 2π−π/2−π−3π/2−2π

cos(θ)

sin(θ)

cos θ, sin θ ともに，振幅が 1の周期性のある関数である．cosは縦軸に対して線対象のグラフで偶関

数であり，sinは原点に対して点対称のグラフで奇関数である．cosと sinの関数は，グラフの形は同

じであるが，横軸 θ が π2 だけずれており，cos θ + π

2 = sin θ となっている．

2.8 関数 27

2.8.3 逆関数

変数 xに対応する値 y を関数を用いて，y = f(x)と表現するが，逆に y の値から xを導く関数を

逆関数 (Inverse Function)と呼び，x = f−1(y)と表現する．

例えば，y = f(x) = ax + bのとき，x = y−ba なので，逆関数は，次式で表現できる．

f−1(y) =y − b

a(2.34)

三角関数における逆関数は，辺の比より角度を求める関数となる．

A

B Ca

bc

θ

上図における角度 θ は，逆三角関数を用いて，以下のように表現する．

θ = sin−1 b

c, θ = cos−1 a

c, θ = tan−1 b

a(2.35)

(-1)乗を表記することによって逆三角関数を表している．sin−1 をアークサイン，cos−1 をアークコ

サイン，tan−1 をアークタンジェントと読む．

2.8.4 指数関数，対数関数

指数関数 (Exponential Function)は，ある定数 aにおける変数 xのべき乗で表される．

f(x) = ax (2.36)

定数 a は，底 (Base)，変数 x は指数 (Expornent) と呼ばれている．極めて大きい数値や極めて小

さい数値を表現するには，底に 10 を選ぶと便利である．例えば，123000000 という値であれば，

1.23 × 108 と表現することができ，0.0000000123という値であれば，1.23 × 10−8 と表現することが

できる．底が同じ指数同士の演算は，次のような性質がある．

ax × ay = ax+y

(ax)y = axy

下図は，aが様々な値における指数関数のグラフを表したものである．どのグラフも x = 0におい

て y = 1を通っている．つまり，底がどのような値をとろうとも 0乗は 1となる．


x

y y=2xy=3x y=1.5x

y=0.5x

対数関数 (Logarithmic Function)は，指数関数の逆関数である．指数関数は，y = ax で表したが，

逆に xを求めるための関数が対数である．それを表すのに logという記号を用いている．底が aの対

数関数は，以下のように表される．f(x) = loga x (2.37)

底に 10 を選んだ対数は，特に常用対数と呼ばれている．例えば，x = 8 を指数関数に入力する

と，f(8) = 108 となり，f(8) の値は 100000000 である．この値を常用対数の関数に入力すると，

log10 100000000となり，この関数が返す値は 8となる．底が同じ対数同士の演算は，次のような性

質がある．

log10 x + log10 y = log10 xy

log10 x − log10 y =log10 x

log10 y

log10 xy = y log10 x

loga x =logb x

logb a

極めて小さい数値から極めて大きい数値に散らばっているデータを圧縮してグラフに表示する場合

には，この常用対数を用いることが多い．例えば，log10 100000000 = 8，log10 0.00000001 = −8と

なるので，常用対数をとって，一つのグラフに表すことが可能である．惑星や恒星の距離をまとめた

り，粘土粒子から岩石等の大きさをまとめてグラフ化するのに対数グラフが利用されている．

下図は，aが様々な値における対数関数のグラフを表したものである．

y = loge x

y = log5 x

y = log10 x

x

y

2.9 微分 29

2.9 微分

ある関数 y = f(x)において，ある点 x0 での傾きmは，xの増分∆xとそれに対する yの増分∆y

から，以下の式で計算できる．

m =f(x0 + ∆x) − f(x0)

∆x(2.38)

関数が，下図のように線形であれば，x0 をどこにとっても，∆x もどれだけとっても傾きは変わら

ない．

x

y

x0

∆x

∆y

しかし，下図のように関数が非線形の場合，x0 の場所によって傾きが異なる．例えば，x1 において

は，傾きが 0であるが，それ以外では異なった傾きを持つ．また ∆xの幅が大きくなると，本来の傾

きの値から外れてしまう．

x

y

x0

x1


そこで，まず ∆xの大きさが限りなく 0に近づけなければならない．したがって，次のような式で表

現する．

m = lim∆x0→0

=f(x0 + ∆x) − f(x)

∆x(2.39)

limは，添字で示している変数をある値に限りなく近づけるという意味で用いられ，極限値を求める

ための表記法である．この場合，∆xを 0に限りなく近づけることを示している．求まったmは，微

分係数と呼ばれている．

ある点での傾きを求めるだけではなく，あらゆる点での傾きが求まるのが好ましい．したがって，

傾きを関数で表現することができれば，非常に有効に使える．その関数を導関数 (Derived Function)

と呼んでいる．そして導関数を求めることを微分 (Differentiation) すると呼んでいる．この導関数

は， dydx と表し，以下の式を用いて計算することができる．

dy

dx= lim

∆x→0

∆y

∆x= lim

∆x→0

f(x) + ∆x) − f(x)∆x

(2.40)

なおこの式は，yを xで微分することを意味している． dydx という表記は，ライプニッツ流の書き方で

ある．微分積分は，17世紀にニュートンとライプニッツが別々に発明したとされている．また，導関

数を単に y′, f ′(x)と書く表記法もあり，ラグランジュ流である．ラグランジュは，オイラーと並んで

18世紀の学者で数学・物理に貢献している．

上図は，y = x2 + 2xのグラフであるが，この導関数は，以下のように求めることができる．

dy

dx= lim

∆x→0

(x + ∆x)2 + 2(x + ∆x) − (x2 + 2x)∆x

= lim∆x→0

(2x + 2)∆ + (∆x)2

∆x= lim

∆x→02x + 2 + ∆x

= 2x + 2 (2.41)

この導関数を用いれば，特定の傾きを持つ xの値を求めることが可能である．例えば，傾きが 0の点

は極値に相当する．したがって，極値を持つ xの値を計算するには，導関数が 0となる xを求めるこ

とになり，この例では，2x + 2 = 0を満たす x = −1において極値を持つことが解る．したがって，

二次関数であれば，最大値や最小値を求めるのに導関数が役に立つのである．

導関数を求める基本は，式 2.40を用いれば良いが，幾つかの便利な公式があるのでそれを記してお

く．導くには大変なものもあるが，数学関係の書籍を参考にしてほしい．

2.9 微分 31

元の関数導関数

y = a dydx = 0

y = ax dydx = a

y = ax2 dydx = 2ax

y = xa dydx = axa−1

y = sin x dydx = cos x

y = cos x dydx = − sinx

y = tan x dydx = 1

cos2 x

y = sin−1 x dydx = 1√

1−x2

y = cos−1 x dydx = −1√

1−x2

y = tan−1 x dydx = 1

1+x2

y = ex dydx = ex

y = ax dydx = ax ln a

y = ln x dydx = 1

x

ここで，指数関数の微分について述べておく．指数関数 y = ax の微分は，式 2.40を用いれば，次の

ように計算できる．

dy

dx= lim

∆x→0

ax+∆x − ax

∆x

= lim∆x→0

a∆x − 1∆x

ax

= Cax なお lim∆x→0

a∆x − 1∆x

= C とおいた (2.42)

したがって，C = 1 となる底 a の値もあるのではないかと想像される．その値を e と表し，ネイピ

アの数と呼ばれている．したがって y = ex は，微分しても変わらない非常に特殊な指数関数である．

なお，この数は，ネイピアという名がついているが，オイラーが発見したものである．eの値につい

ては，テイラー級数によって求めることができ，それについては次章で解説する．

底を eとする対数関数は，自然対数 (Natural Logarithm)と呼ばれ，loge であるが，特に lnと表

現する場合が多い．

さらに，複雑な導関数を求める公式がいくつかあるので紹介しておく，これらの誘導はさほど難し

くないので，式 2.40を用いて確認してほしい．

元の関数導関数

y = f(x) ± g(x) dydx = df

dx ± dgdx

y = f(x)g(x) dydx = df

dxg + f dgdx

y = f(x)g(x)

dydx = 1

g2

(dfdxg − f dg

dx

)y = f(u), u = g(x) dy

dx = dydu

dudx


2.10 偏微分

高校までの数学では，関数として f(x)を定義し，微分や積分を行い様々な問題を解いていた．関

数において，変数は xで，たった一つであった．一方，二次元以上の関数等を取り扱う場合，多くの

変数を用いて関数を定義しなければならない．例えば，変数が x, y と２つあり，これらの変数より z

が求まる関数を考えてみる．関数を用いると z = f(x, y)と表現できる．ここで，次式で関数が与え

られている場合を考える．なお，a, b, cは係数を表し，正の値とする．

z = ax2 + bxy + cy2 (2.43)

この関数において，z の最小値を求める場合，微分して導関数が 0となる x, y を計算するが，変数が

２つあるので通常の微分ではなく，偏微分を行う．ある変数での偏微分は，その変数以外の変数は定

数として取り扱う微分のやり方である．ここで，z を変数 xによって偏微分を行う例を示す．微分で

は dzdx と，dで微分を示したが，偏微分は ∂ を用い， ∂z

∂x と表す．∂ は，ラウンド・ディーと読む．x

で偏微分するので，それ以外の y は定数と見なされる．したがって，次式を得る．

∂z

∂x= 2ax + by (2.44)

y についても同様に偏微分すると，次式を得る．

∂z

∂y= bx + 2cy (2.45)

繰り返すが，このように偏微分する変数以外を定数と見なして微分を行うことを偏微分と呼んでいる．

z の最小値を求めるには，偏微分により得られた偏導関数が 0となる x, y を計算する．変数が２つ

で偏導関数も２つあるので，以下の連立方程式を解くことで求めることが出来る．2ax + by = 0bx + 2cy = 0

(2.46)

2.11 積分

積分 (Integration)は，グラフで表された関数において，ある範囲の面積を求めるのに利用したり，

微分によって導関数を求めたが，積分によって導関数からもとの関数したりすることに利用される．

微分は，微小区間 ∆xでの傾きを計算したのに対して，積分は，微小区間 ∆xにおける関数の値を足

し合わすことによって面積を求めるという概念である．

この積分計算について考えてみる．下図のような関数 f(x) = x2 において，0から xまでの関数と

x軸とが囲む面積を S(x)で表すと，微小区間 ∆xだけ加えられた面積は，S(x + ∆x)となる．

2.11 積分 33

x

y

S(x)

x ∆x

f(x)

ところで，S(x + ∆x) − S(x)は，∆x ∗ f(x)とほぼ同じである．したがって，以下の式を得る．

S(x + ∆x) − S(x) ≈ ∆xf(x) 両辺を∆xで割る

S(x + ∆x) − S(x)∆x

≈ f(x) (2.47)

この式において，∆xが限りなく 0に近づくと誤差が小さくなっていき，次式で表現できる．

lim∆x→0

S(x + ∆x) − S(x)∆x

= f(x) (2.48)

この式において，左辺は導関数を求める式と同じである．したがって，微分して f(x)となる関数が

S(x)であることを意味している．この関数 S(x)は，原始関数と呼ばれている．これを積分記号を用

いて表現すると，以下のようになる．

S(x) =∫

f(x)dx (2.49)

上図における関数は，f(x) = x2なので，微分してその関数になるもとの関数 S(x)は，S(x) = 13x3+C

となる．なお C は定数である．定数はどんな値であろうとも微分すると 0になる．したがって，原始

関数は，積分によって求めても C が未知数として残ってしまう．

次に下図のような関数 f(x) = x2 において，x0 から xn までの区間の関数と x軸とが囲む面積 S

を求める場合は次のように表現する．

S =∫ xn

x0

f(x)dx (2.50)

この積分は，区間 x0 から xn までと決まっているので，定積分と呼ばれている．面積は，導かれた原

始関数 S(x)より，S(xn) − S(x0)を計算すれば，面積が求まる．定積分の場合は，この計算により


定数 C は消えるので問題ない．これを式で表すと，以下のようになる．

S =∫ xn

x0

x2dx

=[13x3 + C

]xn

x0

=13x3

n − 13x3

0 (2.51)

このように積分は，面積を計算するのに非常に役に立つ．面積だけでなく，三次元に拡張すれば，

体積の計算も可能となる．

2.12 ベクトル

2.12.1 ベクトルとは

ベクトル (Vector)は，19世紀にイギリスのハミルトンによってスカラー (Scalar)と共に確立され

た概念である．ある座標系において，向きと大きさを持つものである．したがってベクトルは，運動

するものに適用することが多いが，位置関係をベクトルで表現したり，様々な特徴量をベクトルを用

いて表現したりすることができ，非常に便利なものである．これに対してスカラーは，方向を持たな

い量のみを表す概念である．

点 A(xa, ya)と点 B(xb, yb)があり，点 Aから Bへ向かうベクトルは，ベクトル−−→AB と表す，これ

を成分で表現すると，−−→AB = (xb − xa, yb − ya)と表される．

x

y

なおベクトルは，座標の出発点が違えども同じ向きで同じ大きさのものは等しいということになる，

例えば，上図においては−−→AB =

−−→CDとなる．したがってベクトルを表現するのに点同士をつなげる意

味の−−→AB よりもこれを一つのベクトルとしてある文字で表現した方が簡単で分かりやすい．たとえば

−−→AB を aを使って表現する場合，~aと表現したり，単に太字の英字（小文字）で aと表現したりする．

ここでは，ベクトルを英字（小文字）の太字で表現することとする．また，高校までの数学では，ベ

2.12 ベクトル 35

クトルの成分は横方向に表現していたが，一般には縦方向で表す．つまり，以下のように表現する．

a =(

xb − xa

yb − ya

)(2.52)

後に続く，行列とベクトルの演算や連立方程式の表現に便利だからである．なお，三次元以上のベク

トルについては，単に成分を増やすだけで表現できる． m次元のベクトル aを成分 (a1, a2, · · · , am)

で表現すると，以下のようになる．

a =

a1

a2

...am

(2.53)

2.12.2 ベクトルの定数倍

二次元のベクトル aがあり，これに定数 kをかける場合，次式のように単に各成分に kをかけるだ

けでよい．m次元のベクトルについても同様である．定数倍することによって，ベクトルの長さや向

きを反転させることが出来る．

a =(

xa

ya

), ka =

(kxa

kya

)(2.54)

2.12.3 ベクトルの足し算

下図のように，二次元のベクトル a と b があり，ベクトル同士を足し算することが出来る．つま

り，aの終点に bの始点をおき，a始点から bの終点を結ぶベクトル cが足し算の結果となる．

x

y

a

b

c

ベクトルの足し算を計算するには，単に成分同士を足し算すればよく，次式で表すことが出来る．

a =(

xa

ya

), b =

(xb

yb

), a + b =

(xa + xb

ya + yb

)(2.55)

多次元のベクトル同士の足し算も同様である．ベクトル同士のかけ算については，内積や外積があ

り，少々複雑でなので後述する．


2.12.4 ベクトルの大きさ

ベクトルは，向きと大きさを持つものであるが，大きさは，ベクトルの成分を用いてピタゴラスの

定理により計算できる．例えばベクトル aの大きさは，絶対値記号を用いて |a|で表し，次式で計算できる．

|a| =√

x2a + y2

a (2.56)

三次元以上のベクトルについても同様に，各成分の二乗和を平方根すれば算出できる．m次元のベク

トル aにおいて，成分 (a1, a2, · · · , am)のとき，その大きさは以下のようになる．

|a| =√

a21 + a2

1 + · · · + a2m (2.57)

なお，特に大きさが 1のベクトルは，単位ベクトルと呼ばれている．

2.12.5 ベクトルの内積

二つのベクトルのかけ算には，内積と外積の二種類ある．ここでは内積について解説する．内積

(Inner Product)は，スカラー積とも呼ばれている．ベクトル aとベクトル bがあり，それらのベク

トルのなす角度が θ のとき，内積は次の式で定義される．

a · b ≡ |a||b| cos θ (2.58)

なお，一般に内積の演算子はピリオドで表現している．

bθ

a

|b|cos θ

上の図を使って内積の意味を考えると，aに bの先から垂線を下ろした大きさ |b| cos θ と |a|の積ということになる．これは，bに aの垂線をおろした場合でも同様である．したがって，ベクトルの

内積は，交換法則も成り立つ．なお，ベクトルのなす角度 θ = 90 のときは内積は 0ということにな

り，角度 θ = 0 のときは内積の値が最大となる．

ここで，なぜわざわざ a · b ≡ |a||b| cos θ と定義すると便利なのかを考えてみる．下図は，a, bか

ら作られる三角形を描いている．この三角形において，角度 θ の対辺は，a − bと表現できる．

bθ

a

a-b

2.12 ベクトル 37

そこで，余弦定理により a − bの長さを計算すると，以下のようになる．

|a − b|2 = |a|2 + |b|2 − 2|a||b| cos θ (2.59)

なお，|a − b|2 は，(a − b) · (a − b)とも表現できるので，式を展開すると，以下のようになる．

|a − b|2 = (a − b) · (a − b) = |a|2 + |b|2 − 2a · b (2.60)

したがって，これら２つの式を比較すれば，a · b = |a||b| cos θ でなければならないことが判る．

さて，今度は内積をベクトルの成分を用いて解く方法を考えてみる．ベクトルの成分は，それぞ

れ a = (ax, ay, az)と b = (bx, by, bz)とする（ここでは紙面の都合上，行ベクトルで表現している）．

このとき x 軸方向の向きを表す単位ベクトル ex = (1, 0, 0) と y 軸方向の向きを表す単位ベクトル

ey = (0, 1, 0)，z軸方向の向きを表す単位ベクトル ez = (0, 0, 1)を組み込んでベクトルを表すと，a

は以下のように表すことができる．

a = axex + ayey + azez (2.61)

これをもとにベクトルの内積を成分を用いて計算すると，以下のようになる．

a · b = (axex + ayey + azez) · (bxex + byey + bzez)= axex · bxex + axex · byey + axex · bzez

+ ayey · bxex + ayey · byey + ayey · bzez

+ azez · bxex + azez · byey + azez · bzez (2.62)

ここで，cos θ の値から，直行する単位ベクトル同士の内積は 0，同じ単位ベクトル同士の内積は 1

となる． ex · ey = ex · ez = ey · ez = 0ex · ex = ey · ey = ez · ez = 1

(2.63)

したがって，これらを代入すれば，成分で表した内積の計算は，次のようになる．

a · b = axbx + ayby + azbz (2.64)

ベクトルの内積を求めるのに，ベクトル同士のなす角度が分からなくてもベクトルの成分が分かっ

ていれば，簡単に内積を計算することができる．

内積を用いれば，二つのベクトルの成分から角度を計算できることも意味し，測量ではこれを積極

的に利用することができる．下の式は，ベクトルのなす角度を求めるものである．

cos θ =a · b|a||b|

(2.65)

ところで，ベクトルの内積は，ベクトルの成分同士の積を足し合わせていることに他ならない．し

たがって，行列のかけ算によって次のように表現することが出来る．

(ax ay az

) bx

by

bz

= axbx + ayby + azbz (2.66)

行列のかけ算において，各要素の値は，行ベクトルと列ベクトルの内積であることを意味する．


2.12.6 ベクトルの外積

外積 (Outer Product)は，ベクトル積とも呼ばれている．ベクトル aとベクトル bがあり，それ

らのベクトルのなす角度が θ のとき，外積は次の式で定義される．

a × b ≡ |a||b| sin θk (2.67)

なお，一般に外積の演算子は，内積と区別するため，×で表現している．

b

θa

|b|sin θk

ここで，kは向きを示す単位ベクトルである．この向きは，ベクトル aとベクトル bが作る面に垂

直で，ベクトル a をベクトル b に向けるための回転の方向に対して，右ねじの指す向きを表してい

る．つまり法線ベクトルである．そして外積の大きさは，ベクトル aとベクトル bが作る平行四辺形

の面積を表している．

内積の時と同様に，外積をベクトルの成分を用いて解く方法を考えてみる．ベクトルの成分は，そ

れぞれ a = (ax, ay, az)と b = (bx, by, bz)とする（ここでは紙面の都合上，行ベクトルで表現してい

る）．このとき x軸方向の向きを表す単位ベクトル ex = (1, 0, 0)と y軸方向の向きを表す単位ベクト

ル ey = (0, 1, 0)，z軸方向の向きを表す単位ベクトル ez = (0, 0, 1)を組み込んでベクトルを表すと，

a × bは以下のように表すことができる．

a × b = (axex + ayey + azez) × (bxex + byey + bzez)= axex × bxex + axex × byey + axex × bzez

+ ayey × bxex + ayey × byey + ayey × bzez

+ azez × bxex + azez × byey + azez × bzez (2.68)

ここで，sin θ の値から，直行する単位ベクトル同士の外積は 1，同じ単位ベクトル同士の外積は 0

となる．

ex × ey = ez

ey × ez = ex

ez × ex = ey

ey × ex = −ez

ez × ey = −ex

ex × ez = −ey

ex × ex = ey × ey = ez × ez = 0

(2.69)

2.13 行列 39

したがって，これらを代入すれば，成分で表した外積の計算は，次のようになる．

a × b = axbyez − axbzey − aybxez + aybzex + azbxey − azbyex (2.70)

= (aybz − azby)ex + (azbx − axbz)ey + (axby − aybx)ez

この式を用いると，二つのベクトルで作られる面に垂直なベクトル（法線ベクトル）が，ベクトルの

成分を用いて簡単に計算することができる．計算結果を成分で表すと，次式で表すことが出来る．

a × b =

aybz − azby

azbx − axbz

axby − aybx

(2.71)

このベクトルの大きさが，２つのベクトルで作られる平行四辺形の面積に相当する．

ここで xy平面におけるベクトルについて，この式を適用する．a = (ax, ay)と b = (bx, by)とす

ると，外積は次式で求められる．a × b = (axby − aybx)ez (2.72)

したがって，２つのベクトルで作られる平行四辺形の面積は，(axby − aybx)により極めて簡単に計

算できる．

2.13 行列

行列（matrix）は，ベクトルを拡張したものといえる．具体的には数値を縦横に配置し，括弧でく

くったものである．これを一つの文字で表すときには，英字（大文字）の太字で Aと表したり Aと

表したりする．ここでは，英字（大文字）の太字Aと表す．

A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

......

...am1 am2 · · · amn

(2.73)

横方向を行 (column)，縦方向を列 (row)と呼んでいる．そして行列の中の各値 aij を要素と呼んで

いる．なお，i, j は，第 i行目，第 j 列目を意味している．横方向の

(a11, a12, · · · , a1n)...

(am1, am2, · · · , amn) (2.74)

は，行ベクトルと呼ばれ，縦方向の a11

a21

...am1

· · ·

a1n

a2n

...amn

(2.75)

は，列ベクトルと呼ばれている．

ところで，行と列の数が一致する行列は，特に正方行列と呼ばれている．


2.13.1 行列の定数倍

行列 Aがあり，これに定数 k をかける場合，次式のように単に要素に k をかけるだけでよい．い

かなる大きさの行列についても同様である．

A =(

a bc d

), kA =

(ka kbkc kd

)(2.76)

2.13.2 行列の足し算

行列の足し算は，行と列の数が一致するもの同士であれば，各要素を足し算するだけの単純なもの

である．例えば，2× 2の行列同士の足し算は，以下のように計算できる．(a bc d

)+

(e fg h

)=

(a + e b + fc + g d + h

)(2.77)

2.13.3 行列のかけ算

行列 A,B のかけ算は，Aの行ベクトルと B の列ベクトルの積和で表現される．したがって，A

における行ベクトルの要素数と B における列ベクトルの要素数が同じでなければ計算できない．以

下に 3 × 3行列同士のかけ算の例を示す．

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

, B =

b11 b12 b13

b21 b22 b23

b31 b32 b33

AB =

a11b11 + a12b21 + a13b31 a11b12 + a12b22 + a13b32 a11b13 + a12b23 + a13b33



(2.78)

式で表現すると解りにくいが，行ベクトルと列ベクトルにおける各成分の積を足し算している．つま

り第 i行，第 j 列の要素は，第 i行目の行ベクトルと第 j 列目の列ベクトルの成分同士をかけ算し，

足し合わせたものである．これは，後述するベクトルの内積と同じ意味を持つ．

m × nのAと n × k のB のかけ算において，計算結果は，m × k となる．そして第 i行，第 j 列

の要素 cij の計算を式で表すと以下のようになる．

cij =n∑

l=1

ailblj (2.79)

なお，AB 6= BAなので注意しなければならない．順序を逆にしてかけ算する際には，m = pで

なければできないし，m = pであったとしても計算結果は異なり，交換則は成り立たない．上の式を

見て想像しても分かる通り，交換することで別の部分のかけ算をしてしまうからである．

2.13 行列 41

2.13.4 単位行列

対角行列の要素が 1で，その他が 0の行列を単位行列 E という．

E =

1 0 · · · 00 1 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · 1

(2.80)

ある行列 Aに対し，この単位行列 E をかけても，行列の要素は変わらないという特徴を持つ．単

位行列においては，交換の法則が成り立つ．

2 × 2のある行列Aに対して単位行列 E をかけあわせる例を以下に示す．(a11 a12

a21 a22

)(1 00 1

)=

(a11 a12

a21 a22

)(2.81)

2.13.5 転置行列

ある行列において，行と列の要素をそっくり入れ替えたものを転置行列という．Aの転置行列は，

AT と表現する．

例えば，(

a b cd e f

)の転置行列は，

a db ec f

となる (2.82)

転置行列を使えば，ベクトルの長さを計算したり，内積を計算するのを簡単に表現できる．例えば，

ベクトル aの長さの二乗 d2 は，aT aで計算できる．

d2 = aT a

=(

xa ya za

) xa

ya

za

= x2

a + y2a + z2

a (2.83)

2.13.6 逆行列

逆行列は，ある行列 Aに対し，特別な行列 A−1 をかけると単位行列 E になるものがある．この

特別な行列を逆行列と呼んでいる．つまり A−1A = E となる．2 × 2行列 Aの逆行列をX とする

と，以下のように表現できる．(a11 a12

a21 a22

)(x11 x12

x21 x22

)=

(1 00 1

)(2.84)


そこで，この行列を展開し，以下の四つの連立方程式をつくる．a11x11 + a12x21 = 1a21x11 + a22x21 = 0a11x12 + a12x22 = 0a21x12 + a22x22 = 1

(2.85)

この連立方程式を x11, · · · , x22 について解くと，以下の式を得る．(x11 x12

x21 x22

)=

1a11a22 − a12a21

(a22 −a12

−a21 a11

)(2.86)

したがって，2 × 2のAの逆行列は，以下の式で計算できる．

A−1 =1

a11a22 − a12a21

(a22 −a12

−a21 a11

)(2.87)

実際に逆行列をかけて単位行列になるか確かめると，以下のようになる．

1a11a22 − a12a21

(a22 −a12

−a21 a11

)(a11 a12

a21 a22

)=

(1 00 1

)(2.88)

この 2 × 2の逆行列の公式は，覚える必要はないが，電卓しかない場で連立方程式を解く場合には

覚えていると便利である．

3 × 3行列以上の逆行列は，このように単純な公式とはならないが，基本的には方程式の解を解く

ことと同じことなので，Gaussの消去法等を用いてコンピュータプログラムによって簡単に計算する

ことができる．

2.13.7 行列とベクトルで表す方程式

前節では，逆行列を解くことは，連立方程式を解くことであることを示したが，逆に行列を用いれ

ば，方程式を簡単に表すことができる．例えば次の２元連立方程式があったとする．a1x + a2y = a3

b1x + b2y = b3

(2.89)

これを行列で表すと，以下のようになる．(a1 a2

b1 b2

)(xy

)=

(a3

b3

)(2.90)

この方程式の解を求めるには，両辺について左から逆行列をかければよい．すると以下のように

なる． (a1 a2

b1 b2

)−1 (a1 a2

b1 b2

)(xy

)=

(a1 a2

b1 b2

)−1 (a3

b3

)(

1 00 1

)(xy

)=

(a1 a2

b1 b2

)−1 (a3

b3

)(

xy

)=

1a1b2 − a2b1

(b2 −a2

−b1 a1

)(a3

b3

)(2.91)

つまり，逆行列を用いることで連立方程式を解くこともできるのである．

2.14 媒介変数 43

2.14 媒介変数

x

y

θ

点 (x0, y0)を通り，ベクトル a = (xa, ya)に平行な直線の式は，媒介変数 tを用いると，以下のよ

うに表すことができる． x = xa · t + x0

y = ya · t + y0

(2.92)

媒介変数 tは，ベクトル aの大きさを単位とするパラメータと言える．

点 (x0, y0)と点 (x1, y1)を通る直線の式は，点 (x0, y0)を通り，ベクトル a = (x1 − x2, y1 − y2)に

平行な直線であるから，以下の式で表すことができる．x = (x1 − x0)t + x0

y = (y1 − y0)t + y0

(2.93)

2.14.1 ２直線の交点

点 (x0, y0)と点 (x1, y1)を通る直線と点 (x2, y2)と点 (x3, y3)を通る直線の交点の座標計算につい

て考える．まず，点 (x2, y2)と点 (x3, y3)を通る直線の式は，次のようになる．x = (x3 − x2)s + x2

y = (y3 − y2)s + y2

(2.94)

ここで，媒介変数は sとおいた．方向を表すベクトルの大きさが等しい場合は，同じ媒介変数を利

用することができるが，大きさが異なる場合は，同じ媒介変数を使えないからである．

交点を求めるために式 2.93と式 2.94について，xに関する式と y に関する式を連立させて整理す

ると以下の式となる． (x1 − x0)t + x0 = (x3 − x2)s + x2

(y1 − y0)t + y0 = (y3 − y2)s + y2

(2.95)

これを行列を用いて表す．(x1 − x0 x2 − x3

y1 − y0 y2 − y3

)(ts

)=

(x2 − x0

y2 − y0

)(2.96)


逆行列を計算することで，t, sを求め，求まった tを直線の式に代入すれば，交点の座標が計算で

きる．(ts

)=

1(x1 − x0)(y2 − y3) − (x2 − x3)(y1 − y0)

(y2 − y3 x3 − x2

y0 − y1 x1 − x0

)(x2 − x0

y2 − y0

)(2.97)

t =(x2 − x0)(y2 − y3) − (x2 − x3)(y2 − y0)(x1 − x0)(y2 − y3) − (x2 − x3)(y1 − y0)

(2.98)

x = (x1 − x0)

(x2 − x0)(y2 − y3) − (x2 − x3)(y2 − y0)(x1 − x0)(y2 − y3) − (x2 − x3)(y1 − y0)

+ x0

y = (y1 − y0)(x2 − x0)(y2 − y3) − (x2 − x3)(y2 − y0)(x1 − x0)(y2 − y3) − (x2 − x3)(y1 − y0)

+ y0

(2.99)

2.14.2 直線と点との最短距離

微分法を用いた計算

点 (x0, y0)を通り，ベクトル a = (xa, ya)に平行な直線と点 P(xp, yp)との最短距離を求める．ま

ず，直線と点 Pとの距離の二乗は，媒介変数 tを用いると，以下の式で表すことができる．

D2 = (xat + x0 − xp)2 + (yat + y0 − yp)2 (2.100)

この距離が最短となる tの値が求まれば良い．上式は変数 tの下に凸な二次関数なので，tで微分

し，その式が 0となる tが最短距離となる直線上の点となる．

dD2

dt= 0

2xa(xat + x0 − xp) + 2ya(yat + y0 − yp) = 0

(x2a + y2

a)t = xa(xp − x0) + ya(yp − y0)

t =xa(xp − x0) + ya(yp − y0)

x2a + y2

a

(2.101)

算出された tより直線上の点の座標を求め，続いて (xp, yp)との距離を求めれば，それが点と直線

との最短距離となる．

内積を用いた計算

点 P(xp, yp)から直線へ向かうベクトルは，(xat + x0 − xp, yat + y0 − yp)となる．このベクトル

と直線の方向ベクトルとの内積を計算し，内積が 0となる点が直行する点，すなわち最短距離となる

点となる．

2.15 空間幾何 45

xa(xat + x0 − xp) + ya(yat + y0 − yp) = 0

(x2a + y2

a)t = xa(xp − x0) + ya(yp − y0)

t =xa(xp − x0) + ya(yp − y0)

x2a + y2

a

(2.102)

このように，微分を用いて求めた tと同じ式となる．

2.15 空間幾何

2.15.1 三次元空間での直線の表現

点 (x0, y0, z0)を通り，ベクトル (vx, vy, vz)で向きが表されている空間での直線は，方程式型で表

現すると以下の式となる．ベクトル (vx, vy, vz)は方向ベクトルと呼ばれている．

x − x0

vx=

y − y0

vy=

z − z0

vz(2.103)

この式から空間直線をイメージすることは困難であるが，この式 2.103 = tとおいて，式を整理する

と次式を得る． x = x0 + vxt

y = y0 + vyt

z = z0 + vzt

(2.104)

tは，媒介変数であり，このれがパラメータ型の空間直線の式である．

パラメータ型であれば，この式が空間直線であることもイメージしやすい．媒介変数 t を用いて，

x, y, z の各成分が一次式で表されている．ここで，媒介変数の意味について考える．t = 0のときの

座標は，出発点 (x0, y0, z0)であり，t = 1の時は，(x0 + vx, y0 + vy, z0 + vz)となる．したがって，t

はベクトルの大きさを単位としている．

方向ベクトル (vx, vy, vz)の大きさは，任意で構わないが，ベクトルの大きさが 1の単位ベクトルの

時は，vx は x軸と直線との傾きの余弦，vy は y軸と直線との傾きの余弦，vz は z軸と直線との傾き

の余弦を表し，方向余弦と呼ばれている．


x

y

z

vc

ba

上図のように，ベクトル v の方向について，x軸と v のなす角度を a，y軸とのなす角度を b，，y軸

とのなす角度を cとすると，次式が成り立つ．vx = cos a

vy = cos b

vz = cos c

(2.105)

方向余弦と呼ばれる所以である．

ところで，パラメータ型で直線を表すことが出来れば，次元を拡張することも簡単であり，線分を

表現することも簡単である．コンピュータで扱う図形などの情報は，方程式や関数での表現よりパラ

メータ型で表現している例の方が非常に多い．また，統計の世界では n次元のベクトルも登場するた

め n次元空間での直線の式も登場する．パラメータ型は極めて重要な表現方法である．

2.15.2 点と線分との関係

線分における分点

点 A(xa, ya, za)と点 B(xb, yb, zb)をm : nに内分する点の座標 (x, y, z)を求める．点 Aを出発点

とする直線の式は，以下の通りである．x = xa + (xb − xa)ty = ya + (yb − ya)tz = za + (zb − za)t

(2.106)

t = 0のとき点 Aとなり，t = 1のとき点 Bとなる．つまり tは点 A, B間の距離を 1とする単位

といえる．したがって，点 A, Bをm : nに内分する点は，t = mm+n のときの座標を求めることにな

り，次式を得る．

2.15 空間幾何 47

x = xa + (xb − xa)m

m + n=

nxa + mxb

m + n

y = ya + (yb − ya)m

m + n=

nya + myb

m + n

z = za + (zb − za)m

m + n=

nza + mzb

m + n

(2.107)

点と直線との距離

点 (xa, ya, za)を通り，ベクトル (vx, vy, vz)で向きが表されている空間直線と，点 B(xb, yb, zb)と

の最短距離を求める．最短距離は，点 Bから直線へ下ろした垂線の長さと等しい．そこで，まず点 B

から直線上の任意の点に向かうベクトルを求める．

((xa + vxt) − xb, (ya + vyt) − yb, (za + vzt) − zb) (2.108)

このベクトルと直線の方向ベクトル (vx, vy, vz)は直交するので，これらのベクトルの内積は 0と

なる．したがって，それを満たす tを求めれば，垂線の足の座標が求まり，続いて最短距離を得る．

vx(xa + vxt) − xb + vy(ya + vyt) − yb + vz(za + vzt) − zb) = 0

(v2x + v2

y + v2z)t = vx(xb − xa) + vy(yb − ya) + vz(zb − za)

t =vx(xb − xa) + vy(yb − ya) + vz(zb − za)

v2x + v2

y + v2z

(2.109)

2.15.3 空間における面の表現

面の表現

空間平面の式は，方程式型で表すと以下のようになる．

ax + by + cz = 1 (2.110)

この式は，任意の x, y の値について必ず１つの z が存在することを示している．空間平面を

ax + by + cz = d とおいても構わないが，両辺を d で割ると，adx + b

dy + cdz = 1 となるので，式

2.110で表したので十分であることが解る．平面の式を求めるためには，平面上の三点の座標が解れ

ば，連立一次方程式により係数 a, b, cを求めることが出来る．


k(a, b, c)

x

y

z

1/a

1/b

1/c

なお，(a, b, c)は法線ベクトルと呼ばれ，平面に垂直なベクトルを表す．また， 1a は x軸と平面との

交点， 1b は y軸と平面との交点， 1

c は z軸と平面との交点の値を表す．空間平面を媒介変数 s, tによ

りパラメータ型で表すと以下の式となる．x = x0 + vx1s + vx2t

y = y0 + vy1s + vy2t

z = z0 + vz1s + vz2t

(2.111)

空間平面は，平面上の二つの異なるベクトルよりパラメータ型で定義できる．ここで，(x0, y0, z0)は

平面上のある点の座標を表し，v1(vx1, vy1, vz1),v2(vx2, vy2, vz2)は平面上の二つのベクトルを表す．

したがって，平面内の三つの座標の値から，２つのベクトルを求めることによって，連立方程式を解

くことも無く平面の式を立てることが出来る．特に三角形平面や平行四辺形平面を表現するのに適し

ている．下図は，その状況を図に表したものである．なお kは，法線ベクトルを表している．

k(a, b, c)

v1(vx1, vy1, vz1)

v2(vx2, vy2, vz2)

(0 < s + t < 1) の範囲においては二つのベクトルで構成される三角形の内部を表し，(0 < s <

1) ∩ (0 < t < 1)の範囲においては二つのベクトルで構成される平行四辺形の内部を表している．

パラメータ型の平面の式より法線ベクトル (a, b, c)を求めるには，平面が x軸，y軸，z軸と交わる

座標を求めれば，導くことができる．例えば x軸と交わる座標は，y = 0, z = 0を満たす s, tを求め

れば計算できる．したがって，計算された x座標の逆数が法線ベクトルにおける x成分の aとなる．

b, cにおいても同様に計算できる．

法線ベクトルは，２つのベクトルの外積を計算することでも求めることが出来る．v1,v2 の外積

は，次式で計算できる．

v1 × v2 = (vy1vz2 − vz1vy2, vz1vx2 − vx1vz2, vx1vy2 − vy1vx2) (2.112)

2.16 円錐曲線 49

外積により求まった法線ベクトルは，平面の式の法線ベクトル (a, b, c)と方向は同じであるが，大き

さは異なる．したがって，出発点の (x0, y0, z0)を面の式に代入して，外積で求まった法線ベクトルの

大きさを調整しなければならない．

2.15.4 面と点，直線との関係

直線と面との関係

パラメータ型で表された直線と方程式型で表された面との交点を求めるには，まず直線の式の

x, y, z を面の式に代入し，tを求める．

a(x0 + vxt) + b(y0 + vyt) + c(z0 + vzt) = 1

(avx + bvy + cvz)t = 1 − (ax0 + by0 + cz0)

t =1 − ax0 − by0 − cz0

avx + bvy + cvz(2.113)

これにより求まった tを直線の式に代入すると，交点の座標が求まる．

点と面と最短距離

まず，ある方程式型で表された平面への垂線の足の座標を求める．面の法線ベクトル (a, b, c)と一

致する方向ベクトルを有する直線で点 (x0, y0, z0)を通る直線の式は，次のようになる．x = x0 + at

y = y0 + bt

z = z0 + ct

(2.114)

この直線と面との交点を求めれば良い．先と同様に直線の式を面の式に代入し，tを求める．

a(x0 + at) + b(y0 + bt) + c(z0 + ct) = 1

(a2 + b2 + c2)t = 1 − (ax0 + by0 + cz0)

t =1 − ax0 − by0 − cz0

a2 + b2 + c2(2.115)

これにより求まった tを直線の式に代入すると，垂線の足の座標が求まり，続いて最短距離が求まる．

2.16 円錐曲線

円・楕円・放物線・双曲線は，何れも二次曲線であり，円錐曲線の仲間である．円錐曲線 (conic

section)は，下図に示す通り，円錐形をまっすぐ切った切り口の形である．例えば，円錐形の軸に対

して直角に切ると，切り口は円形となり，母線に対して平行に切ると，切り口は放物線となる．斜め

に切ると，楕円か双曲線になるが，軸から母線の傾きまでの角度で切ると，双曲線になり，軸に対し

て母線の傾きよりも大きい角度で切ると，楕円になる．


円錐曲線は，測量の分野において，非常に重要なものである．例えば，地球の形を楕円で近似したり，

物体の運動は，楕円・放物線・双曲線で近似したりしている．本章では，その円錐曲線について詳述

する．

2.16.1 円と球

円 (circle)は，中心から同じ長さの点を繋いだものである．下図のように中心が原点で，半径 r の

円を描いた．

r-r

r

-r

P

θx

y

この円上の点 Pは，下の方程式を満足する点であり，ピタゴラスの定理（式 2.1）と同じ式となる．

x2 + y2 = r2 (2.116)

また，点 Pは，x軸からの角度 θ を用いて，三角関数で以下のように表すこともできる．x = r cos θ

y = r sin θ(2.117)

なお θは，いわゆる媒介変数である．つまり点 Pの位置は，(x, y)直交座標（デカルト座標）でなく，

半径と角度の (r, θ)で表すこともできる．このような座標は極座標と呼ばれている．この極座標を使

えば，円の周長や円の面積を積分で求めることが簡単になる．

2.16 円錐曲線 51

半径 rの円周の長さ Lは，L = 2πrという公式であるが，積分を用いて計算することができる．微

小角度 dθ を用いると，弧の長さは rdθ で計算できるので，角度を 0から 2π まで積分すれば求まる．

L =∫ 2π

0

rdθ

= [rθ]2π0

= 2πr (2.118)

円の面積 S は，半径 0から rまで円周の長さ 2πr を積分すれば求まる．

S =∫ r

0

2πrdr

=[2π

12r2θ

]r

0

= πr2 (2.119)

続いて，球の表面積と体積の計算について解説する．下図は，XYZの三次元の直交座標を設定し，

半径 rの半球を描いたものである．

Z

θ

r cosθ

r dθ

r

X

Y

球面を Z軸に対して直角に切ったときの切り口の円の半径は，XY平面からの角度を θ としたとき，

r cos θ となるので，その円周の長さは 2πr cos θ となる．そしてその円周に弧の長さ rdθ をかけたも

のが微小なドーナツ形の面積となる．これを 0から π2 まで積分したものが半球の面積となり，球の面

積 S は，それを 2倍したものである．

S = 2∫ π

2

0

2πr cos θrdθ

= 4πr2 [− sin θ]π20

= 4πr2 (2.120)

円の表面積は，後に述べる電場や磁場の強さを計算するときに用いられるので覚えておいた方が良い．


球の体積 V は，表面積が求まったので，半径 0から rまでの球の表面積を積分すれば求まる．

V = 2∫ r

0

4πr2dr

=[43πr3

]r

0

=43πr3 (2.121)

2.16.2 楕円

楕円の方程式

楕円 (Ellipsoid)には，二つの焦点 (Focal Point)F と F ′ があり，２つの焦点から距離の和が同じ

点を繋いだものである．例えば，一本のひもの両端を結んで輪を作り，２つの焦点にその輪をかけ，

鉛筆でその輪をピンと張った状態で鉛筆を動かせば楕円が描ける．下図のように楕円の中心を原点と

し，焦点を X軸上に設けたとき，X軸方向は半径が長く，y軸方向は半径が短い．長い半径を長半径

(Semi-major Axsis)といい aで表し，短い半径を短半径 (Semi-minor Axis)といい bで表す．楕円

上の点 P は，それぞれの焦点との距離 PF と PF ′ の合計は，常に 2aで一定である．なぜなら，点

P が x軸上にあるとき，PF = a − c，PF ′ = a + cであるから，PF + PF ′ = 2aとなるからであ

る．また，y 軸上に来たときは，PF = PF ′ となり，その長さは aとなる．したがって，ピタゴラス

の定理より，b2 + c2 = a2 が成り立つ．

a-a

b

-b

c-cFF'

P

PF と PF ′ の距離を楕円上の座標 P (x, y)と a, cを用いて表す．

PF =√

(x − c)2 + y2 (2.122)

PF ′ =√

(x + c)2 + y2 (2.123)

したがって，PF + PF ′ = 2aより次式を得る．√(x − c)2 + y2 +

√(x + c)2 + y2 = 2a√

(x − c)2 + y2 = 2a −√

(x + c)2 + y2 (2.124)

2.16 円錐曲線 53

この式の両辺を二乗して整理すると，

a√

(x + c)2 + y2 = a2 + cx (2.125)

さらに二乗して整理すると，(a2 − c2)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2) (2.126)

次に，両辺を a2(a2 − c2)で割ると，x2

a2+

y2

a2 − c2= 1 (2.127)

ここで，先の b2 + c2 = a2 より，x2

a2+

y2

b2= 1 (2.128)

楕円を媒介変数で表す

半径 aの円の方程式を媒介変数（パラメータ）で表す．下図において，半径 aの円周上の点 P ′ は，

x軸からの角度 θ をパラメータとすれば，x, y の座標は次式で表される．x = a cos θ

y = a sin θ(2.129)

a-a

a

-a

b

-b

c-cFF'

PP'

θ

次に，P ′ の x軸への垂線の足と楕円との交点 P について考える．x座標は変わらないが，y 座標は，

P ′ と比べると ba だけ短くなっている．したがって，パラメータ形式で楕円は，次式で表すことがで

きる． x = a cos θ

y = b sin θ(2.130)

これを証明してみよう．まず上式の両辺を二乗し，整理すると．x2

a2= cos2 θ

y2

b2= sin2 θ

(2.131)

sin2 θ + cos2 θ = 1より，x2

a2 + y2

b2 = 1が導かれる．


楕円の面積

楕円の面積は，方程式型の楕円の式より導く．式 2.128より yについて整理すると以下の式となる．

y = ± b

a

√a2 − x2 (2.132)

したがって，これを 0から aまで積分すれば，楕円の 1/4の面積が計算できる．したがって，楕円の

面積 S は，以下のように計算できる．

S = 4∫ a

0

b

a

√a2 − x2dx

= 4b

a

∫ a

0

√a2 − x2dx

= 4b

a

πa2

4ここで

√a2 − x2 は半径 aの円の式と同じ

= πab (2.133)

扁平率

楕円は，長半径 a と短半径 b の比により楕円の形が決まる．a と b の差が大きいほど細長い形と

なる．そこで，楕円の形を表現するのに扁平率 (Oblateness)が使われる．扁平率 f は，次式で表さ

れる．

f =a − b

a(2.134)

地球楕円体を表すときに扁平率が使われることが多い．

離心率

楕円の形を表すのに焦点の位置を使うことも出来る．楕円は，焦点が中心から離れるほど細長く，

中心に近いほど円に近づく．したがって，長半径 a と焦点の位置 c の比によっても楕円の形が決ま

る．この比を離心率 (Eccentricity)と呼んでいる．離心率 eは，次式で表される．

e =c

a=

√(a2 − b2)

a(2.135)

人工衛星の軌道や惑星の軌道を表す時は一般に離心率が使われる．楕円の焦点の位置が天体力学にお

いて極めて重要な位置であることに由来するからであろう．離心率 e は，0 に近いほど円に近く，1

に近づくほど細長い．ちなみに，eが 1のときは放物線 (Parabola)となり，1を越えるときは双曲線

(Hyperbola) となる．したがって，離心率から考えると，円と放物線は，非常に特殊な形と言える．

そして，円・楕円・放物線・双曲線は，円錐曲線 (Conic Section)と呼ばれている．

楕円の接線・法線

楕円上の点 P (xp, yp)における接線と法線について考察する．下の図は，P において接線 TT ′ と法

線 PS を描いた．

2.16 円錐曲線 55

a-a

b

-b

c-cFF'

P

x

y

T

T'

S

楕円上の法線ベクトル (Nx, Ny)は，方程式型で表した楕円の関数を偏微分することによって導くこ

とができる．まず，楕円の関数 f(x, y)は，次式となる．

f(x, y) =x2

a2+

y2

b2− 1 (2.136)

この関数について，x, y でそれぞれ偏微分する．∂f(x, y)

∂x=

2x

a2

∂f(x, y)∂y

=2y

b2

(2.137)

点 Pの座標は，媒介変数を用いると (a cos θ, b sin θ)なのでこれを代入し，法線ベクトル (Nx, Ny)が

得られる． Nx =

2 cos θ

a

Ny =2 sin θ

b

(2.138)

したがって，法線の式をパラメータ tで表すと以下の式を得る．x =

2 cos θ

at + a cos θ

y =2 sin θ

bt + b sin θ

(2.139)


ここで，S の xs 座標を求めるため，上式において y = 0とおき，tの値を求める．すると t = − b2

2

となり，xs 座標は，以下の式で計算できる．

xs =b2

acos θ + a cos θ

= cos θ

(a2 − b2

a

)cos θ =

xp

aより

=a2 − b2

a2xp 離心率 eを用いると式 2.135より

= e2xp (2.140)

すると，F ′S 及び FS の長さは，以下の式で表すことができる．

F ′S = ae + e2xp = e(a + exp) (2.141)

FS = ae − e2xp = e(a − exp) (2.142)

また，式 2.125より以下の式を得る．

F ′P = a + exp (2.143)

FP = a − exp (2.144)

したがって，F ′S = eF ′P，FS = eFP となり，PS は ∠FPF ′ を二等分することを意味する．とこ

ろで，光や電波が平面で反射するときは，入射角と反射角が等しいという性質を持つ．これについて

は，5章で解説する．もし，F ′ に光源があるとすると，そこから四方八方に出た光は，楕円によって

反射された後，全てもう一方の焦点 F に集まることを意味する．

2.16.3 双曲線

双曲線の方程式

楕円は，焦点が長半径 aより大きくなることはないが，双曲線 (Hyperbola)は，aの外側に焦点を

持つ．したがって，離心率 eは 1を越える．また双曲線は，楕円と描き方が異なり，２つの焦点から

距離の差が同じとなる点を繋いだものである．下図のように焦点を x軸上に設けたとき，それぞれの

焦点と双曲線上の点 Pの距離 PF と PF ′ の差は，常に 2aで一定となるような曲線が双曲線である．

2.16 円錐曲線 57

c-c

P

FF'x

y

a-a

PF と PF ′ の距離を楕円上の座標 P (x, y)と a, cを用いて表す．

PF =√

(x − c)2 + y2 (2.145)

PF ′ =√

(x + c)2 + y2 (2.146)

したがって，PF − PF ′ = ±2aより次式を得る．√(x − c)2 + y2 −

√(x + c)2 + y2 = ±2a√

(x − c)2 + y2 = ±2a +√

(x + c)2 + y2 (2.147)

この式の両辺を二乗して整理すると，

∓a√

(x + c)2 + y2 = a2 + cx (2.148)

さらに二乗して整理すると，(c2 − a2)x2 − a2y2 = a2(c2 − a2) (2.149)

ここで，b2 = c2 − a2 とおくと，

b2x2 − a2y2 = a2b2

x2

a2− y2

b2= 1 (2.150)

双曲線を媒介変数で表す

半径 aの円の方程式を媒介変数（パラメータ）で表す．下図において，原点を中心とし，半径 aの

円周上に点 P ′ をおいた．P ′ において接線を引き，x軸との交点を Qとする．


P

x

y

θa

P'

O Q

P’への角度 θ をパラメータとすれば，x座標は次式で表される．

x =a

cos θ(2.151)

次に，y 座標について考える．x = acos θ を双曲線の式 2.150に代入すると以下のように計算できる．

1cos2 θ

− y2

b2= 1

y2 = b2

(1 − 1

cos2

)= b2

(cos2 θ − 1

cos2

)= b2 tan2 θ

y = b tan θ (2.152)

したがって，媒介変数 θ で双曲線を表すと，以下の式となる．x = a sec θ

y = b tan θ(2.153)

2.16.4 放物線

放物線の方程式

放物線 (Parabola)は，離心率 eが 0のときの曲線である．下図は，その放物線を描いたものであ

る．放物線上の点 P は，PF の長さと PQの長さが等しい．

2.16 円錐曲線 59

cx

y

P

F

Q

-c

PF と PQの長さを式で表すと，次のようになる．

PQ = x + c (2.154)

PF =√

(x − c)2 + y2 (2.155)

PQ = PF なので，放物線は，以下の式で表すことができる．√(x − c)2 + y2 = x + c

(x − c)2 + y2 = (x + c)2

y2 = 4cx (2.156)

放物線の接線

放物線上の点 P (xp, yp)における接線について考察する．下の図は，P において接線 TT ′ と x軸に

平行な QQ′ を描いた．


cx

y

P

F

Q

T

T'

Q'

放物線の方程式は y2 = 4cxである．y についての式にすると右辺に平方根が現れ，計算が複雑にな

るため，xについて整理した方が都合が良い．すると放物線の方程式は，以下のようになる．

x =14c

y2 (2.157)

この xについて，y で微分することによって，接線の傾きを計算することができる．

dx

dy=

12c

y (2.158)

したがって，P (xp, yp)における接線の傾きは， 12cyp となる．この傾きを持つ接線の方程式は，x軸

との切片を bとすると，x = 12cypy + bとなる．この接線は，P (xp, yp)を通るので，この座標を接線

の方程式に代入し，切片 bを求めると，以下のようになる．

xp =12c

y2p + b

b = xp − 12c

y2p

= xp − 2xp

= −xp (2.159)

したがって，TF の長さは，xp + cとなる．また，PQの長さも xp + cであり，これは PF とも等し

い．よって三角形 TFP は二等辺三角形といえる．さらに ∠TPQ′ と ∠PTF は，同位角の関係にあ

るため等しいことから，∠TPQ′ = ∠TPF となる．ところで，楕円の項でも述べたが，光や電波が平

面で反射するときは，入射角と反射角が等しいという性質を持つ．このことは，x軸に平行に飛んで

くる光や電波は，放物線にぶつかると，すべて焦点に集まることを意味する．遠くから飛んで来る光

や電波は，ほぼ平行に飛んでいるといえ，衛星放送を受信するためのアンテナの形状が放物線となっ

ているのは，電波を焦点に集めるためである．

61

第 3章

データ処理

測った結果として得られるデータは，何らかの処理を施すのが普通である．同じものを複数回測っ

たとしても，同じ結果が得られることは無く，ばらつきを持った値となる．したがってこのような場

合には，平均値や標準偏差等の統計量を求める必要がある．また，計測結果から目的とする値に変換

することも必要となる．そこで本章ではまず，統計の基礎について解説する．正規分布から始まり，

最小二乗法や回帰分析等である．それと同時に，測った結果がどのような精度を持っているのかをあ

らかじめ予測しておかなければ，得られた成果を評価できない．そこで精度と計測値についても解説

する．

ところで，データ処理においては，方程式を解かなければならない場合がある．その方程式が線形

であれば，前章で解説した掃き出し法等により簡単に解くことができるが，非線形であれば特殊な解

法が必要である．そこで非線形方程式を解くための数学的な要素についても解説する．

「データ処理」という章立てになっているが，「数学基礎」の延長といっても良いかもしれない．た

だ，測量やリモートセンシングのデータ処理に欠かせない数学的ツールである．

3.1 データの統計量

3.1.1 データとヒストグラム

大量のデータが与えられたとき，そのデータの状況を見た目で判断しやすくするためには，ヒスト

グラム (Histogram)を用いると良い．まず N 個のデータが以下のように変数 xで与えられていたと

する．(x1, x2, · · · , xN ) (3.1)

これを階級 (Rank) ごとのデータとして整理する．例えば，データの値が a0 ∼ a1 の範囲に何個の

データがあるかカウントする．カウントされたデータ数は，度数 (Frequency)あるいは頻度と呼ばれ

ている．ここで階級は，以下のように n個の階級で区切られたとする．

(a0 ∼ a1, a1 ∼ a2, · · · , an−1 ∼ an) (3.2)

62 第 3章データ処理

また各階級における度数は，変数 f を用いて表すと以下のようになる．

(f1, f2, · · · , fn) (3.3)

そして，階級を横軸，度数を縦軸に棒グラフで表したものがヒストグラムと呼ばれている．データの

分布状況を捉えるのに便利なグラフである．ここで，N = f1 + f2 + · · · + fn となる．

40 50 60302010

10

20

30

40

50

種類の異なるデータを度数を基にしたヒストグラムを用いて比較する場合，データ数 N が大きく異

なるデータ同士を比較するには，相対度数 (Relative Frequency)を用いてヒストグラム化するのが良

い．相対度数は，以下のように各度数をデータ数で除すことで，相対度数の合計が 1となり，比較が

容易になる．この相対度数に 100を乗ずれば，パーセントの単位となる．(f1

N,f2

N, · · · ,

fn

N

)(3.4)

3.1.2 平均，メディアン，モード

平均計算は，測量データの整理においても極めて重要である．平均値 (Mean)xは，以下の式で計

算することができる．

x =

N∑i=1

xi

N(3.5)

ヒストグラムで与えられたデータのみから平均値を計算するには，各階級に対応する代表値と度数を

用いて計算する．各階級に対応する代表値が (m1,m2, · · · ,mn)で与えられたとすると，以下の式に

より計算できる．

x =

n∑i=1

mifi

N(3.6)

メディアン (Median)は，中央値と呼ばれる．データ xi を小さい順に並び替え， N/2番目のデー

タが中央値となる．N が奇数の場合は，N/2の値が半端になるので，前後の値を平均化することで求

3.1 データの統計量 63

める．ヒストグラムで与えられたデータのメディアンは，階級の中央値となる．階級の刻み幅が大き

すぎるヒストグラムの場合は，データから導かれるメディアンとの差が大きく生じてしまい，あまり

意味を持たない場合がある．

モード (Mode)は，最も頻度の大きい階級の代表値である．したがって，モードはヒストグラムで

表されていなければ導かれない．モードの場合，階級の刻み幅が小さすぎると，余り意味を持たない

ときがある．

3.1.3 分散と標準偏差

データのばらつきを判定するのに，分散や標準偏差を用いることが多い．平均値から離れたデータ

がどれだけ存在するかを判断できる．したがって，各データと平均値との差を基に計算する．単に各

データと平均値の差の値（偏差という）を合計すると 0になるので，偏差の二乗を合計し，データ数

で除したものが分散 (Variance)S2 である．

S2 =

N∑i=1

(xi − x)2

N(3.7)

ヒストグラムで与えられたデータのみから分散を計算するには，以下の式となる．

S2 =

n∑i=1

(mi − x)2fi

N(3.8)

標準偏差 (Standard Deviation)は，分散の平方根のことを言い，ここではとりあえず二乗の単位

だったのを元に戻して分かりやい値にしたと思って構わない．分散・標準偏差が大きいデータはばら

つきの大きいデータと言え，小さいデータはばらつきの小さいデータと言える．同じものを測って測

量したデータから標準偏差を計算したとき，標準偏差の小さいデータは精度の高いデータと言える．

3.1.4 歪度

歪度 (Skew)は，非対称度とも呼ばれ，ヒストグラムの分布の形が，平均より右よりか左よりかを

判定するのに使われる．平均より右か左かを判定するために偏差の符号が重要となる．したがって，

偏差の三乗を用いて以下の式により計算される．

Ss =

N∑i=1

(xi − x)3

NS3(3.9)

この値が 0に近いほど左右対称の分布と言え，正の値のときは右寄り，負の値のときは左寄りの分布

と判定できる．


3.1.5 尖度

尖度 (Kurtosis)は，分布のとがり具合を判定することができる．この場合，偏差の四乗を用いて以

下の式により計算される．

Sk =

N∑i=1

(xi − x)4

NS4(3.10)

この値が 3に近いほど次節の正規分布に近く，3より大きいと尖った分布，3より小さいとなだらか

な分布と判定できる．

3.2 正規分布

3.2.1 順列と組み合わせ

順列は，例えばトランプのカードを順番に並べるのに何通りあるかを算出する方法である．並べる

順番まで考慮に入れる．ここで，1～13 までのカードを全て並べる並べ方は，まず最初は，13 枚の

カードから選ぶので 13通り，2番目は 12通り，3番目は 11通りとなり，以下の式で計算できる．

13 × 12 × 11 × · · · × 2 × 1 = 13! (3.11)

ここで，!は階乗 (Factorial)と呼ばれる演算子である．したがって，n枚のカードを全て並べる並べ

方は，n!通りあると言える．また，13枚のカードから５枚並べるには，以下の式で計算できる．

13 × 12 × 11 × 10 × 9 =13!8!

(3.12)

したがって，n 枚のカードから r 枚抜いて並べる並べ方は， n!(n−r)! 通りあると言える．この計算を

nPr という記号で表し，順列の計算に用いられている．Pは，Permutationの頭文字である．

nPr =n!

(n − r)!(3.13)

組み合わせは，順番を考慮しないもので，カードで言えば並べるのではなく，とにかく受け取る場

合の数である．例えば，1～13までのカードから，5枚抜く場合の数を計算することに相当する．し

たがって，並べ方の場合の数 r!を考慮すれば，nPr

r! で計算できる．この計算を nCr という記号で表

し，順列の計算に用いられている．Cは，Combinationの頭文字である．

nCr =n!

r!(n − r)!(3.14)

3.2.2 二項分布

ある２つの事柄（事象）の起る確率を考えるとき，一方の起る確率を pとすると，他方の起る確率

は 1− pとなる．例えばコインを投げて，表が出る確率が 12 とすると，裏が出る確率は

12 となる．そ

3.2 正規分布 65

してコインを 5回投げて，5回とも表の出る確率は，( 12 )5 と簡単に計算できる．次にコインを 5回投

げて 1回だけ表の出る確率は，1回だけ表の出る場合の数は 5通りあるので，5 × ( 12 )5 となる．5回

投げて 2回表の出る確率は，5C2 通り表の出る場合の数があるので，5C2 × ( 12 )5 となる．この例は，

表も裏も確率 12 であるが，表と裏とで確率が異なる場合，n回投げて r回の表が出る確率 f(r)は，以

下の式で計算することができる．

f(r) = nCrpr(1 − p)(n−r) (3.15)

これを二項分布 (Binomial Distribution)と呼んでいる．

3.2.3 正規分布

正規分布 (Normal Distribution) は，ランダムな誤差を持つデータの分布を関数で表したもので，

平均値を µ，標準偏差を σ としたとき，確率密度関数 f(x)は，以下の式で与えられる．ガウス分布

とも呼ばれている．

f(x) =1

σ√

2πe−

12 ( x−µ

σ )2 (3.16)

なぜ，このような複雑な式が正規分布を表すのか，ここで簡単に述べておくが，詳細は他の書籍を参考

にしてほしい．まず左右対称で x = 0のときにピークになるような関数を考えると，f(x) = Ce−h2x2

が当てはまる，この関数は，17世紀に Gaussや Hagenが導いた．二項分布をもとに極限を用いて計

算することが出来る．

さて，誤差の三公理は，以下のとおりである．正規分布は，この公理に沿った関数である必要が

ある．

1. 絶対値の小さい誤差の生じる確率は，大きい誤差の生じる確率よりも大きい．

2. 絶対値の等しい正負の誤差は，同じ確率で生じる．

3. 絶対値の非常に大きい誤差は，ほとんど生じない．

第二公理に従えば，二項分布において，ある事象の起る確率 pは，12 となる．そして誤差量 xは，無

限小の誤差原子 εからなるものと仮定する．つまり誤差量の大きい誤差は，たくさんの誤差原子から

成り立っているといえる．したがって，誤差が n回分全て正の誤差原子 εにより構成されて発生した

とすると，その誤差量 xは nεであり，その確率 y は ( 12 )n となる．よって，nが十分大きくなれば，

第三公理に従い，非常に大きい誤差はほとんど生じないことになる．

n回のうち，r 回が負の誤差原子より誤差が構成されているとすると，その誤差量 xは以下の式で

計算できる．

x = (n − r)ε − rε

= (n − 2r)ε (3.17)

その確率 y は二項分布より以下の式で計算できる．

y = nCr

(12

)n

=n!

r!(n − r)!

(12

)n

(3.18)


したがって，第一公理の条件も満たされている．

次に，微積分を用いて正規分布を誘導するため，r + 1回が負の誤差原子より誤差が構成されてい

るとすると，その誤差量 x1 は以下の式となる．

x1 = (n − r − 1)ε − (r + 1)ε

= (n − 2r − 2)ε (3.19)

その確率 y1 は二項分布より以下の式となる．

y1 = nCr+1

(12

)n

=n!

(r + 1)!(n − r − 1)!

(12

)n

(3.20)

となる．したがって，誤差量の変化 ∆xは，以下の式で計算できる．

∆x = (n − 2r)ε − (n − 2r − 2)ε

= 2ε (3.21)

一方，確率の変化 ∆y は，以下の式で計算できる．

∆y = nCr

(12

)n

− nCr+1

(12

)n

=(

n(n − 1) · · · (n − r + 1)r!

− n(n − 1) · · · (n − r)(r + 1)!

) (12

)n

=(

n(n − 1) · · · (n − r + 1)r!

− n(n − 1) · · · (n − r)/(r + 1)(r + 1)!/(r + 1)

)(12

)n

=(

1 − n − r

r + 1

)(n(n − 1) · · · (n − r + 1)

r!

) (12

)n

=(

2r − n + r

r + 1

)nCr

(12

)n

=(

2r − n + r

r + 1

)y

=(

−2x + 2ε

(n + 2)ε − x

)y 式 3.17より，r =

nε − x

2εを代入

≈ −2xy

nεnは十分大きく εは十分小さいことを考慮する (3.22)

したがって，次式を得る．

∆y

∆x= − 2xy

2nε2(3.23)

ここで，nは無限大へ，εは 0に限りなく近づいたとき，式 3.23の分母 2nε2 が 1h2 に近づくとする

と，次式が成り立つ．

dy

dx= −2h2xy

dy

y= −2h2xdx (3.24)

3.2 正規分布 67

次に両辺を積分する ∫1ydy =

∫−2h2xdx

log y = −h2x2 + C

y = Ce−h2x2(3.25)

f(x) = e−x2式のグラフを描くと，下図のようになる．

x

y

確かに左右対称の偶関数で中心 x = 0においてピークがあり，中心極限定理も満たしている．

さて，この関数における定数 C, h を求めなければならない．正規分布は，確率密度関数なので，

−∞から −∞まで積分した値が 1となる必要がある．すると，C = h√πが導かれ，次式を得る．

y =h√π

e−h2x2(3.26)

次にこの式の二階微分を計算する．

dy

dx= −2h3

√π

e−h2x2x

d2y

dx2= −2h3

√π

e−h2x2+

4h5

√π

e−h2x2x2

= −2h3

√π

e−h2x2(1 − 2h2x2) (3.27)

したがって，この関数は 1 − 2h2x2 = 0を満たす xにおいて変曲点を持つ．つまり x = ± 1√2hにお

いて変曲点が存在する．この変曲点が標準偏差 σ に相当する．したがって，標準偏差 σ = 1√2hより，

h = 1√2σを式 3.26に代入すれば，次式が得られる．

f(x) =1

σ√

2πe−

12 ( x

σ )2 (3.28)

これは，平均値が 0の時の式なので，平均値 µを考慮すると，式 3.16が導かれる．下図は平均値

が 0，標準偏差が 1の時の正規分布のグラフである．


x

y

0 1 2 3-1-2-3

上図の正規分布の面積全体において，標準偏差 −σ～+σ の範囲が占める割合は約 0.6827で，標準偏

差−2σ～+2σの範囲が占める割合は約 0.9545，標準偏差−3σ～+3σの範囲が占める割合は約 0.9973

である．計測機器の精度を標準偏差で表しているものもあるが，その機器で測った場合，標準偏差を

越える誤差で測ってしまう確率は，1-0.6827，つまり 3割程度の確率で発生するので，注意が必要で

ある．したがって誤差は，標準偏差の 2倍，3倍を見積もったうえで測らなければならない．

測量データの誤差は，次節で述べるように過失誤差・系統誤差・偶然誤差に分類されるが，偶然誤

差は正規分布に従うものである．つまり，同じものを繰り返し計測して得られたデータの分布が正規

分布にならない場合は，偶然誤差以外の要因が含まれると推察される．

3.3 計測値の精度

3.3.1 誤差の種類と最確値

誤差のない計測というものはあり得ない．常に計測値には誤差がつきものである．誤差とは，真値

から計測値を差し引いたものである．この誤差は，大きく次の３つに分類することが出来る．

1. 過失誤差

2. 系統的誤差

3. 偶然誤差

過失誤差は，過誤とも呼ばれ，数値の読み取りミスや視準ミス等によって発生するものである．ミ

スによる誤差は，調整のしようがなく，再測せざるを得ない．系統的誤差は，誤差の発生機構が解っ

ており，ある程度補正が可能な誤差である．温度による計測値のズレやレンズの歪みや大気の影響な

どによる誤差がこれに当たる．これらの誤差は，キャリブレーションによりある程度低減させること

が出来る．キャリブレーションとは，誤差とその発生要因との関係を求め，計測値に対して補正する

ことをいう．偶然誤差は，過失誤差や系統誤差以外の誤差であり，確率統計的な手段で誤差の調整が

可能である．例えば，同じ対象を何度も測り，平均値を算出することで真値に近づけることが可能で

ある．この平均値は，真値に近いものの真値とはいえないことから最確値と呼んでいる．そして，こ

の最確値と計測値との差は，残差と呼ばれ，真値からの差の誤差とは区別している．

3.4 誤差伝搬の法則 69

3.3.2 平均二乗誤差

下図は，誤差と残差の概念をグラフで示したものである．ある XY座標を計測した結果を黒丸で示

している．n個の計測結果が (x1, y1), (x2, y2), · · · , (xn, yn)と得られた場合，これらの点を使って最

確値 (x, y)を求めたとしても，図に示したように最確値は真値 (X,Y )とは異なる．この図には極端

な例を示しているが，このように最確値が真値と大きく異なる場合がある．このように誤差を調整し

ても真値との差が非常に大きい場合は，系統的な誤差が含まれていると考えるべきであろう．

X

Y

(xi, yi)

(x, y)

(X, Y)

計測結果の評価を行う場合，真値が解らないことがほとんどである．そこで，計測値の分散や標準

偏差を用いて評価することがしばしばある．X座標における残差の標準偏差 σx は，以下の式で表す

ことが出来る．

σx =

√√√√ n∑i=1

(x − xi)/n (3.29)

しかし，この標準偏差は，残差の散らばりを示しており，先の図に示したように，誤差を評価してい

ることにはならない．そこで計測結果を評価する場合は，別の方法や異なる機器，異なる位置から計

測し，その結果を踏まえて評価した方が良い．例えば，高精度の機器を用いて計測し，それを真値と

仮定するのも一つの方法である．例えば，高精度の機器で測られたデータを真値と仮定し，その真値

との差を評価する．平均二乗誤差は，RMSE(Root Mean Square Error)と呼ばれ，その評価指標の

一つである．式で表すと以下のようになる．

RMSE =

√√√√ n∑i=1

(X − xi)/n (3.30)

計算式は，標準偏差の計算とほぼ同じで，最確値の値が真値となったにすぎない．計測結果の評価は，

このような平均二乗誤差を用いることが好ましい．

3.4 誤差伝搬の法則

結果を得るのに，測量や計測を行うが，測量成果をそのまま使うことはまれで，測量成果を計算処

理することによって結果を導くのが普通である．また測量自体には，計測器の精度や計測器のセッ


ティングや視準において，様々な誤差が含まれている．したがって，たくさんの測量成果を用いる場

合には，得られた結果がどの程度の精度を持っているか把握しておく必要がある．その計算に誤差伝

搬の法則が適用される．

通常，精密な計測器には，精度が仕様として表示されている．この精度は，標準偏差で表される場

合が多い．つまり，同じものを繰り返し計測した場合，同じ測定結果が得られることはなく，結果に

ばらつきが生じる．このばらつきは，標準偏差で表すことができる．ここで，計測値を xi，その標準

偏差を精度をと呼び，σxi で表す，計測値を用いた計算結果を y とすると，y は関数 f を用いて次式

で表すことができる．y = f(x1, x2, · · · , xn) (3.31)

そして計測値を用いた計算結果 y の精度 σy は，誤差伝搬の法則により次式で計算できる．多変数

なので偏微分を利用している．

σ2y =

(∂f

∂x1

)2

σ2x1 +

(∂f

∂x2

)2

σ2x2 + · · · +

(∂f

∂xn

)2

σ2xn (3.32)

なお，この法則が成り立つのは，計測値 (x1, x2, · · · , xn)が互いに独立な場合である．もし独立では

なく，何らかの相関関係がある場合は，共分散を考慮する必要がある．

3.4.1 誤差のある計測値の定数倍における精度

誤差のある計測値の定数倍における精度を誤差伝搬の法則により計算する．例えば歩測によって距

離を求める場合，直感的に距離が長いほど誤差が大きくなることが予測される．歩行における一歩幅

の長さとその標準偏差が求まっていれば，その結果に見込まれる精度は，誤差伝搬の法則によって予

測することができる．ここで一歩幅を xとし，歩数を aとすれば，距離 y は，y = axにより計算で

きる．このとき一歩幅の精度が σx だとすると，y の精度 σy は，以下のように計算できる．

σ2y =

(dy

dx

)2

σ2x

= a2σ2x

(3.33)

上式において，y を求める変数が xの一つであるため，偏微分でなく通常の微分が適用される．した

がって，以下の式を得る．

σy = aσx (3.34)

直感通り，歩数が多くなるほど誤差が大きくなることがいえる．例えば，一歩幅の精度が 5cm のと

き，これで 100歩分の距離を測ったときには，5mの誤差が含まれていることになる．

3.4.2 誤差のある計測値同士のたし算における精度

誤差のある計測値同士のたし算における精度を誤差伝搬の法則により計算する．例えばある区間を

２つに分割し，別々の方法で測った場合がこれにあたる．一方の区間の距離が x1 で，その精度が σx1

3.4 誤差伝搬の法則 71

とし，もう一方の区間の距離が x2 で，その精度が σx2 とする場合，距離 yは，y = x1 + x2 により計

算できる．このとき y の精度 σy は，以下のように計算できる．

σ2y =

(dy

dx1

)2

σ2x1 +

(dy

dx2

)2

σ2x2

= σ2x1 + σ2

x2 (3.35)

(3.36)

したがって，以下の式を得る．

σy =√

σ2x1 + σ2

x2 (3.37)

足し算においては，単純に精度の二乗和の平方根をとれば良いこととなる．例えば，精度が 1cm同士

で同じ場合には，トータルで 1.41cmの誤差となり，倍までにはならないものの，誤差が少し積み重

なることになる．また，一方の区間の精度が 1cm で，もう一方の区間の精度が 0.1cm の場合には，

1.0049cmの精度となり，精度の悪い計測値に引きずられ，1cmより良くなることはない．

3.4.3 誤差のある計測値同士のかけ算における精度

誤差のある計測値同士のかけ算における精度を誤差伝搬の法則により計算する．例えば長方形の面

積を求める場合，二辺の長さを求めて面積を計算する．辺の長さに誤差が含まれていると，当然計算

で求められた面積にもその誤差が影響する．その求められた面積の誤差を誤差伝搬の法則によって予

測する．ここで二辺の長さを xa, xb とすれば，面積 y は，y = xaxb により計算できる．このとき y

の精度 σy は，二辺の長さの精度がそれぞれ σa, σb だとすると，以下のように計算できる．

σ2y =

(∂y

∂xa

)2

σ2a +

(∂y

∂xb

)2

σ2b

= x2bσ

2a + x2

aσ2b

(3.38)


σy =√

x2bσ

2a + x2

aσ2b (3.39)

かけ算においては，足し算のような二乗和だけでなく，長さも影響する．したがって，かける数に

よって誤差が増大するので注意しなければならない．

3.4.4 複数回同じ機器で測った平均値の精度

誤差のある計測機器で測るとき，複数回測った平均値を利用すれば精度が上がると考えられる．何

回計測すれば，どれだけ精度が向上するかを予測するのにも，誤差伝搬の法則が適用できる．ここで，


ある対象物を同じ計測機器で n回測り，得られたデータは，(x1, · · · , xn)とする．各データに含まれ

る誤差は，同じ計測機器なので σx とする．このとき平均値 xは，以下の式で求めることができる．

x =n∑

i=1

xi

n(3.40)

次に，計算された xの精度を誤差伝搬の法則によって導く．

σ2x =

n∑i=1

(∂x

∂xi

)2

σ2x

=n∑

i=1

(1n

)2

σ2x

=1n

σ2x (3.41)


σx =1√n

σx (3.42)

つまり，精度は 1√n小さくなる．10回，20回と測れば，精度は良くなるが，100回，1000回と測っ

たところで，格段に精度が良くなるわけではないことを意味する．

3.4.5 計測値を用いた計算

計測値を用いた計算においては，誤差だけでなく有効数字を考慮しながら計算を進めなければなら

ない．特に桁落ちには気をつけなければ，計算途中で精度が極端に悪くなることがある．特に電卓を

用いた計算においては，8桁か 10桁程度の有効数字しか扱えない点には注意が必要である．

計測値には，必ず誤差が含まれていることは何度も述べた．アナログの機器の場合，目盛りを読み

取るが，読み取る際には最小目盛りよりも一桁小さい数値を目分量で読み取る．最小目盛りが 1mm

の物差しで長さを測る場合，0.1mmの桁まで読み取るが，その桁には誤差が含まれている．デジタル

機器の場合でも，示された数値の最小桁においては誤差が含まれている．有効数字は，誤差の含まれ

ている最小桁の数値も含めて，何桁分の数値が計算に考慮すべきかを桁数で表す．幾つかの例を下表

に示す．

桁落ちは，例えば，有効数字 5桁の２つの計測値に対して 1.2345 − 1.2344のような計算をした場

合，答えは，0.0001となり有効数字が 1桁となってしまう．この現象を桁落ちと呼んでいる．このよ

うに桁落ちした値をさらに用いて計算する場合は，精度が極端に悪くなってしまうので注意が必要で

ある．計測が問題なく行われ，系統的な誤差もなかったにもかかわらず，解析結果が誤差伝搬の法則

によって推測される精度を満足しなかった場合，桁落ちによる精度低下がないかどうかチェックすべ

きである．なお桁落ちは，計算過程においても起こりうるので，10桁の計算能力しかない電卓を用い

た計算では，特に注意が必要である．

電卓を用いた計算では，計算過程を保存する機能に乏しいので，数値をノートに書き留めて，再度

その数値を手入力することが強いられる．再度数値を入力する時は，有効数字の桁数＋１桁以上の数

3.5 最小二乗法 73

表 3.1 有効数字

計測値有効数字備考

1.234 4桁

123.45 5桁

0.00123 3桁小数において 1以上の数字の現れた桁から数える

100 1桁小数点がない場合は，精度が不明となる

1.00 × 102 3桁有効数字が分かりやす一般的な表記法

値を入力しなければ，計算精度が悪くなってしまうので注意が必要である．例えば有効数字 3桁同士

のかけ算において，2.55 × 1.47 = 3.7485という結果を得た場合，計算結果は有効数字を揃えると 4

桁目を四捨五入し，3.75となる，しかし，その値にさらに 5.66をかけるような場合，入力する数値の

桁数が変わると計算結果に影響が及ぶ．下は，その状況を示したものである．

1.66 × 3.75 = 6.225 3桁のみ使う場合

1.66 × 3.749 = 6.22334 4桁使う場合

1.66 × 3.77485 = 6.22251 全桁使う場合 (3.43)

3桁のみであれば，最終的な計算結果は，6.23となる．ところが，4桁以上で計算すると，6.22とな

り答えが異なる．精度的には当然 4桁以上で計算した方が良い．したがって，有効数字の桁数＋１桁

以上の数値を入力して計算して行き，最終的な答えとしては，有効数字の桁数で揃えて結果を表記す

ることが好ましい．なお，円周率 π や重力加速度，万有引力定数等の定数を入力する場合，その定数

の有効数字も考慮しなければならない．この場合も有効数字の桁数＋１以上の数値を入力しなければ

ならない．

コンピュータを用いる場合には，表計算ソフトを使う場合でもプログラミング言語を使う場合でも

計算過程の数値は，ソフト内部の変数の記憶桁数に依存する．したがって，電卓の場合のような配慮

は少なくなる．ただ，計算し得る最大の桁数は把握していなければ，正しい計算結果が得られている

かどうか解らなくなるので，注意が必要である．例えばプログラミング言語の C言語においては，実

数の変数として，float型と double型が用意されている．処理プロセッサによって異なるが，float型

で計算可能か，double型で計算可能かを判断しなければならない．

3.5 最小二乗法

最小二乗法は，誤差が含まれたデータを用いて，最確値や最も確からしい関数を求める方法の一つ

である．この最小二乗法も正規分布と同様に 18世紀末に Gaussが考案したものである．最確値や関

数を変数を用いて表現し，その変数と各データとで計算される残差の二乗和が最小となる変数を求め

る手法である．測量だけでなく，様々な分野で利用されており，極めて重要な手法である．ここでは

最確値を求める例を示しながら最小二乗法について解説する．


3.5.1 同一区間を複数回計測した場合

求める最確値をX とし，n回計測した計測値を (x1, x2, · · ·xn)とすると，各計測値の残差はX−xi

と表すことが出来る．最小二乗法は，この残差の二乗和が最小となる X を求めることである．残差

の二乗和の関数 Φは，以下の式で表すことが出来る．

Φ =n∑

i=1

(X − xi)2 (3.44)

この誤差関数 Φは，下向きに凸の形をしているので Φの最小値を求めるには，X で微分し，それが

0となる X を求めれば良い．したがって，以下の式を得る．

dΦdX

= 2n∑

i=1

(X − xi) = 0

nX −n∑

i=1

xi = 0

X =n∑

i=1

xi/n (3.45)

つまり，平均値を求める式と同じ式が得られたことになる．

3.5.2 複数の区間を複数回計測した場合

下図のように，ABと BCの二区間長について，AB間が x1, x2，BC間が y，AC間が z という計

測結果が得られたとき，ABと BCの長さの最確値を最小二乗法を使ってどのように求めるか考える．

x1 y

z

A B C

x2

まず，ABと BCの長さの最確値を X,Y とおく．すると残差の二乗和の関数は，以下の式で表すこ

とが出来る．Φ = (X − x1)2 + (X − x2)2 + (Y − y)2 + (X + Y − z)2 (3.46)

先と同様に Φの最小値を求めるが，このとき変数が X,Y の二個あるので偏微分により最小値を求め

る．すなわち，Φを X と Y とでそれぞれ偏微分し，それが 0となる X,Y を計算する．∂Φ∂X

= 2(X − x1) + 2(X − x2) + 2(X + Y − z) = 0

∂Φ∂Y

= 2(Y − y) + 2(X + Y − z) = 0(3.47)

3.6 回帰分析 75

これを整理すると，以下の式を得る．3X + Y = x1 + x2 + z

X + 2Y = y + z(3.48)

この連立方程式を解けば，最確値 X,Y が求まる．

3.6 回帰分析

前節では最確値を求めるのに最小二乗法を適用した．本節では関数を求めるのに最小二乗法を適用

する．

回帰式の計算

下図のように (x, y) のデータをプロットしたとき，x, y に比例関係が成り立ちそうな場合がある．

このデータにぴったり当てはまる直線の式 y = ax + bを決定するのに最小二乗法が適用できる．こ

のような，二つの変数の間の関係式を求める分析を回帰分析と呼んでいる．ここでは一次関数を適用

しているが，様々な関数について回帰分析を行うことが出来る．

x

y

y=ax+b

(x1, y1)

(x2, y2)

(xn, yn)

求める関数を直線と仮定し，それを y = ax+ bとおく．n個のデータを (x1, y1), (x2, y2), · · · (xn, yn)

とすると，各計測値の残差は axi + b − yi と表すことが出来る．最小二乗法を適用するには，この残

差の二乗和が最小となる a, bを求めることである．残差の二乗和の関数 Φは，以下の式で表すことが

出来る．

Φ =n∑

i=1

(axi + b − yi)2 (3.49)

Φの最小値を求めるが，このとき変数が X,Y の二個あるので偏微分により最小値を求める．すな

わち，Φを X と Y とでそれぞれ偏微分し，それが 0となる X,Y を計算する．∂Φ∂a

= 2n∑

i=1

xi(axi + b − yi) = 0

∂Φ∂b

= 2n∑

i=1

(axi + b − yi) = 0

(3.50)

これを行列を用いて整理すると，以下の式を得る．なお総和記号∑は，ガウスの総和記号 []で代用

した．


( [x2

i

][xi]

[xi] n

)(ab

)=

([xiyi][yi]

)(3.51)

この連立方程式を解けば，最確値 a, bが求まる．

ここでは，直線のグラフで表す線形関数を例としたが，非線形関数においても同様の最小二乗法が

適用できる．ただ，線形の連立方程式であればとくのは簡単であるが，非線形の連立方程式を解くの

は難しい．非線形方程式の解法は，ニュートンラフソン法等の非線形方程式を解く方法があったり，

テイラー展開を用いた方法がある．これらについては，後述する．

相関係数

回帰分析によって求まった式が，どの程度の正確かを表すのに相関係数が一般に利用されている．

相関係数は，分散と共分散を用いて計算できる．xの平均 (x)分散 (vx)，yの平均 (y)分散 (vy)，x, y

の共分散 (vxy)は，以下の式で表すことが出来る．

vx =n∑

i=1

(x − xi)2/n (3.52)

vy =n∑

i=1

(y − yi)2/n (3.53)

vxy =n∑

i=1

(x − xi)(y − yi)/n (3.54)

共分散は，x, y の散らばりの関係を表すものである．そして相関係数 (r)は，以下の式で表される．

r =vxy√vx√

vy(3.55)

相関係数は，−1 5 r 5 1の範囲で，1に近いほど正の相関が高く，0に近いほど無相関，-1に近いほ

ど負の相関が高いといえる．下図においては，右側のグラフは相関が高く，左のグラフは相関が低い．

x-xi

y-yiy-yi

x-xi

共分散が相関係数の値を左右しており，ランダムな点の集まりであれば，(x − xi)の項と (y − yi)

の項の符号はランダムに出現し，最終的に共分散の値は小さくなる．逆に共分散の値が大きくなる場

合は，(x − xi)の項と (y − yi)の項の符号プラス同士かマイナス同士で同じ場合である．

また共分散の数学的な意味は，ベクトルの内積と同じである．(x−xi)の項を ai，(y−yi)の項を bi

とおき，n個全てのデータを n次元のベクトル a(a1, a2, a3, · · · , an)とベクトル b(b1, b2, b3, · · · , bn)

とみなす．するとそれらの内積は，a1b1+a2b2+a3b3+· · ·+anbnとなり，それを nで割ったものが共分

3.7 座標変換 77

散である．一方，分散はベクトルの大きさと意味が同じである．つまり，a2 = (a21+a2

2+a23+· · ·+a2

n)

となるからである．したがって相関係数 r は，２つのベクトルのなす角度 θ の余弦といえ，その値は

−1 5 r 5 1の範囲となる．

r =a · b|a||b|

= cos θ (3.56)

したがって，相関係数が高いほど，二つのベクトルの方向が同じであるといえる．

3.7 座標変換

画像等における座標 (u, v)を地上等の別の座標 (x, y)に変換したり，逆に地上座標 (x, y)を画像座

標 (u, v)に変換することを座標変換という．座標変換の関数 fx, fy を使って式で表すとすると，以下

のように表現できる． x = fx(u, v)y = fy(u, v)

(3.57)

様々な関数が考えられるが，目的に応じて適した変換式を適用する必要がある．

3.7.1 二次元回転行列

β

α

C(x2, y2)

B(x1, y1)

A(r, 0)x

y

上図のように，A(r, 0)が，αだけ回転した時の座標 B(x1, y1)を αと rで表す．

x1 = r cos α (3.58)

y1 = r sin α (3.59)

B(x1, y1)が，β だけ回転した時の座標 C(x2, y2)を α, β, rで表し，加法定理を適用した後，x1, y1 で

整理する．

x2 = r cos(α + β) = r cos α · cos β − r sinα · sinβ = x1 cos β − y1 sinβ (3.60)

y2 = r sin(α + β) = r sinα · cos β + r cos α · sinβ = x1 sinβ + y1 cos β (3.61)


すると，B(x1, y1)から C(x2, y2)への回転を表す変換を行列で表すことができる．(x2

y2

)=

(cos β − sinβsinβ cos β

)(x1

y1

)(3.62)

3.7.2 三次元回転行列

先に導いた二次元の回転行列を三次元に拡張すると，次式を得る．

X軸回りの回転 1 0 00 cos θ − sin θ0 sin θ cos θ

xyz

(3.63)

Y軸回りの回転 cos θ 0 sin θ0 1 0

− sin θ 0 cos θ

xyz

(3.64)

Z軸回りの回転 cos θ − sin θ 0sin θ cos θ 0

0 0 1

xyz

(3.65)

なお，三次元座標における回転行列において，回転角度の正方向は下図の通りで，右ねじの方向が正

となる．

3.7.3 ヘルマート変換

ヘルマート変換は，原点移動，回転，縮尺を任意に変換することが出来る．変換係数を a, b, c, dと

すると，以下の式で表現できる． x = au − bv + c

y = bu + av + d(3.66)

ここで，変換係数 c, dは，原点移動を表し，縮尺は√

a2 + b2 となる．この変換は，スキャナ等で画

像化された地図を地上座標に変換する際等に利用できる．二次元の座標回転（式 3.62における cos β

が係数 aに相当し，sinβ が係数 bに相当する．cos sin共に，値は-1～1であるが，a, bはその範囲に

限らない実数なので，拡大と縮小を考慮できる変換式となる．

3.7 座標変換 79

U

V

X

Y

3.7.4 アフィン変換

アフィン変換は，原点移動，回転，縮尺の他にスキューを任意に変換することが出来る．変換係数

を a, b, c, d, e, f とすると，以下の式で表現できる．x = au + bv + c

y = du + ev + f(3.67)

この変換は，スキャナ等で画像化された地図を地上座標に変換する際等に利用できる．この変換は，

人工衛星画像のうち，衛星の直下を狭い範囲で画像化しているデータを地上座標に変換する際等に利

用できる．

U

V

X

Y

3.7.5 射影変換

二次元射影変換は，平面に配置されている物体をデジタルカメラ等で画像化されたデータを変換す

ることが出来る．変換係数を a1, a2, · · · , a8 とすると，以下の式で表現できる．u =

a1x + a2y + a3

a7x + a8y + 1

v =a4x + a5y + a6

a7x + a8y + 1

(3.68)


U

V

X

Y

三次元射影変換は，三次元に配置されている物体をデジタルカメラ等で画像化されたデータを変換

することが出来る．変換係数を a1, a2, · · · , a11 とすると，以下の式で表現できる．u =

a1x + a2y + a3z + a4

a9x + a10y + a11z + 1

v =a5x + a6y + a7z + a8

a9x + a10y + a11z + 1

(3.69)

二次元射影変換や三次元射影変換が，なぜこのような分数関数で表されるかについては，第五章の画

像を用いた位置計測において解説する．とにかく，上式を用いれば，簡単に変換が可能である．

U

V

X

Y

Z

3.7.6 座標変換の実際

実際に画像データに座標変換を適用したい場合，変換式における変換係数を求める必要がある．そ

のためには基準点データが必要になる．地上基準点とは，あらかじめ地上での座標の値が解っている

点 (xi, yi) のことを言う．それらの点が画像上に投影されている場合，対応する画像座標 (ui, vi) が

存在し，これを画像基準点という．これら，地上座標と画像座標を一組とするデータセットを基準点

データという．これらの基準点データを変換式に代入すると，基準点の数だけ変換係数を変数とする

方程式が立てられる．それらの方程式を連立させれば，変換係数が求められる．

例えば，アフィン変換の変換式を導く場合，一つの変換式において 3つの変換係数があるため，少

なくとも 3つの基準点データが必要になる．3つを越える数の基準点を利用して変換係数を導くには，

既に述べた最小二乗法を利用して解く．詳細は，画像処理の章において解説する．

3.8 非線形方程式の計算 81

3.8 非線形方程式の計算

線形な連立一次方程式の解を求めるには，前節で解説したように，逆行列を求めることによって解

析的な方法で行えるが，非線形方程式の場合，解を求めるのは非常に難しい．そこで，近似計算に

よって解く方法が考案されている．近似計算の方法は，数々考案されているが，最も簡単で理解しや

すいニュートン・ラフソン法について解説する．

非線形関数 f(x) = 0 を満たす x を求める場合，まず初期値 x = x0 を設定する．初期値 x = x0

における f(x) 上の点を設定し，この点における f(x) の接線を求める．この接線が x 軸と交わる

x = x1 の値が１回目の近似値となる．この近似値は，まだ精度が悪いので，さらに初期値 x = x1 に

おける f(x)上の点を設定し，この点における f(x)の接線より２回目の近似値 x2 を得る．これを精

度が十分高くなるまで繰り返し計算をすれば近似解が求まる．精度はとなりあう f(xi)と f(xi+1)の

値を比較し，その差が十分小さければ精度が高いと言える．

x0

f(x)

x1x2

x

y

これを式で表すと，初期値 x = x0 における接線と x軸と交わる x = x1 は，接線の傾きから以下の

式ですことが出来る．

f ′(x0) =f(x0)

x0 − x1(3.70)

したがって１回目の近似値 x1 が計算でき，続いて２回目，３回目と以下のように計算できる．

x1 = x0 −f(x0)f ′(x0)

x2 = x1 −f(x1)f ′(x1)

x3 = x2 −f(x2)f ′(x2)

· · · (3.71)

ここで，f(x) = x2 − 5において f(x) = 0となる解をニュートン・ラフソン法で解いてみる．解析

的に解くと解は，√

5と得られるが，その値までは計算できないのでニュートン・ラフソン法が有効


である．まず，接線の傾きを求めるために f(x) = x2 − 5を微分すると f ′(x) = 2xが得られる．初

期値を x0 = 3とすれば，近似計算は以下のようになる．

x1 = 3 − 32 − 52 × 3

= 2.3333333

x2 = 2.3333333 − 2.33333332 − 52 × 2.3333333

= 2.2380952

x3 = 2.2380952 − 2.23809522 − 52 × 2.2380952

= 2.2360689

x4 = 2.2360689 − 2.23606892 − 52 × 2.2360689

= 2.2360680 (3.72)

電卓によると√

5 = 2.236067977なので，４回の近似計算で８桁の精度で計算できており，有効な手

法といえる．

近似計算による解法は，初期値を必要としており，適切な初期値を与えなければ近似計算の回数が

多くなるだけでなく，計算できない場合も発生する．有効な初期値をどういう計算で探すかが重要で

ある．

3.9 テイラー展開

級数展開を使えば，微分可能な関数であれば，複雑な式も単純な計算で導ける．非線形関数を最小

二乗法で求めることは非常に困難であるが，テイラー級数に展開し，線形化すれば解くことが可能と

なる．ここでは，テイラー級数とマクローリン級数について学び，有名なオイラーの公式を導く．

3.9.1 テイラー (Taylor)級数

関数 f(x)に関して，テイラー級数に展開すると以下のようになる．

f(x) = f(a) +f (1)(a)

1!(x − a) +

f (2)(a)2!

(x − a)2 +f (3)(a)

3!(x − a)3 + · · · (3.73)

ここで，f (n)(a)は，f(a)の n階導関数を表している．

3.9.2 マクローリン (Maclaurin)級数

テイラー展開によって得られる級数に関して，特に a = 0のときの級数は，マクローリン級数と呼

ばれている．

f(x) = f(0) +f (1)(0)

1!x +

f (2)(0)2!

x2 +f (3)(0)

3!x3 + · · · (3.74)

3.10 オイラーの公式 83

3.9.3 テイラー展開による三角関数・指数関数の計算

例えば，三角関数に関して，マクローリン級数に展開すると以下のようになる．

sin(x) = 0 +11!

x +02!

x2 +−13!

x3 +04!

x4 +15!

x5 + · · ·

=11!

x − 13!

x3 +15!

x5 − 17!

x7 + · · · (3.75)

cos(x) = 1 +01!

x +−12!

x2 +03!

x3 +14!

x4 +05!

x5 + · · ·

= 1 − 12!

x2 +14!

x4 − 16!

x6 + · · · (3.76)

したがって，任意の角度 x(radian)での三角関数の値を計算できることになる．例えば，sin(

π4

)を

求めるとき，7階導関数までで近似させると，以下のようになる．

sin(π

4

)≈ 1

1!

(π

4

)− 1

3!

(π

4

)3

+15!

(π

4

)5

− 17!

(π

4

)7

(3.77)

≈ 0.785398163 − 0.080745512 + 0.002490395 − 0.00003658

≈ 0.70710647 (3.78)

なお電卓では，sin(

π4

)= 0.707106781という値であった．したがって，小数第六位まで近似でき

ている．また，逆三角関数を用いれば，マクローリン級数によって π の値も導くことができる．

次に指数関数 ex について，マクローリン級数により展開すると，以下の式を得る．

ex = 1 +11!

x +12!

x2 +13!

x3 +14!

x4 +15!

x5 + · · · (3.79)

x = 1 を入力すれば，ネイピアの数 e を求めることができる．e = 2.718281828459 · · · という値となる．

テイラー展開を用いることによって，微分可能であれば複雑な関数の値も解くことができる．写真

測量や画像処理においては，複雑な座標変換を行うのに積極的に利用されているので，必ずマスター

すべき数学的なツールである．

3.10 オイラーの公式

オイラーの公式は，三角関数と指数関数そして複素数との関係を表すものである．級数展開された

sin, cosを足し合わせたものと指数関数は，非常に似ていることに着目すれば，導くことができる．

それにはまず，eix の関数を考える．なお，この関数は複素数を変数に持ち，値も複素数となる．こ

のような関数を複素関数 (Function of Complex Variable)と呼んでいる．さて，eix をマクローリン

級数で展開し，実数部と虚部に分ける．すると，実数部は cosの級数展開，虚部は sinの級数展開と


同じになり，オイラーの公式を導くことが出来る．

eix = 1 +11!

(ix) +12!

(ix)2 +13!

(ix)3 +14!

(ix)4 +15!

(ix)5 + · · ·

= 1 − 12!

x2 +14!

x4 − 16!

x6 + · · · + i(

11!

x − 13!

x3 +15!

x5 − 17!

x7 + · · ·)

= cos x + i sin x (3.80)

同様に e−ix についても解くと，e−ix = cos x − i sin xを得る．したがって，オイラーの公式は以下の

ようにまとめることができる．e±ix = cosx ± i sin x (3.81)

特に x = π のときは，eiπ = −1となる．

底が eの複素指数関数は，微分しても変わらないので，sin, cosで表している関数を複素関数を用

いて表現できれば，微分・積分を非常に簡単に解けるという利点がある．

このオイラーの公式を用いて，さらに様々な公式を導くことができる．例えば，(eix)n = einx より

以下の式が導ける．(cos x + i sin x)n = cos nx + i sinnx (3.82)

これは，ド・モアブルの定理である．

また，ei(α+β) = cos(α + β) + i sin(α + β)であるが，以下の式が導ける．

ei(α+β) = eiα · eiβ

= (cos α + i sin α)(cos β + i sin β)

= cosα cos β − sinα sinβ + i(sinα cos β + cos α sinβ) (3.83)

これは，加法定理を表している．

さらに，sinx, cos xを複素関数で表すこともできる．

eix + e−ix = (cos x + i sinx) + (cos x − i sin x)

= 2 cos x (3.84)

eix − e−ix = (cos x + i sinx) − (cos x − i sin x)

= 2i sin x (3.85)

したがって，次式を得る．

cos x =eix + e−ix

2(3.86)

sinx =eix − e−ix

2i(3.87)

さて，このオイラーの公式の意味を考えてみる．変数 xを角度 θとして考えると，eiθ = cos θ+i sin θ

となり，実数部分を横軸にとり，虚数部分を縦軸にとって図を描くと，下のようになる．

3.11 フーリエ変換 85

θcosθ

sinθ

このように実数部分を横軸にとり，虚数部分を縦軸にとった平面は，複素平面 (Complex Plane)と呼

ばれている．この複素平面において，eiθ は，半径 1の円上の点の位置を表していると言える．

3.11 フーリエ変換

テイラー展開は，高次関数を高階導関数を用いた級数に展開することによって難しい関数の値を導

くのに有効な手法であった．それに対して，フーリエ変換は，複雑な周期関数を様々な周期の正弦関

数と余弦関数の集まりとして級数に展開して近似する手法である．

周期関数 f(x)の周期が 2π とすると，フーリエ級数は以下の式で表現できる．

f(x) =a0

2+

∞∑n=1

(an cos nx + bn sinnx) (3.88)

ここで，an, bn はフーリエ係数と呼ばれる係数である．nが大きくなると周期 2πn という短い周期の

波を表していることになる．そして，an, bn はそれぞれの周期での振幅を表している．an, bn は，次

式によって計算できる．

an =1π

∫ π

−π

f(x) cos nxdx (n = 0, 1, 2, · · · ) (3.89)

bn =1π

∫ π

−π

f(x) sinnxdx (n = 1, 2, 3, · · · ) (3.90)

フーリエ級数，フーリエ係数は，三角関数を用いて表現されているが，オイラーの公式を用いて複素

関数で表現することもできる．

まず，式 3.88の括弧の中を複素関数で表現すると，次のようになる．

an cos nx + bn sin nx = aneix + e−ix

2+ bn

eix − e−ix

2i

= aneix + e−ix

2− ibn

eix − e−ix

2

=an − ibn

2eix +

an + ibn

2e−ix (3.91)


ここで，C0 = a02 , Cn = an−ibn

2 , C−n = an+ibn

2 とおくと，式 3.88は，次のように表現できる．

f(x) = C0 +∞∑

n=−∞Cneinx (3.92)

また，フーリエ係数は，Cn = an−ibn

2 とおいたので，以下のように表現できる．

Cn =12an − i

12bn

=12π

∫ π

−π

f(x) cos nxdx − i12π

∫ π

−π

f(x) sinnxdx

=12π

∫ π

−π

f(x)(cos nx − i sin nx)dx

=12π

∫ π

−π

f(x)e−inxdx (3.93)

複素関数で表したフーリエ係数 Cn と C−n を掛け合わせたものは，周期が 2πn での振幅の大きさを

表すものである．これをパワースペクトルと呼んでいる．このパワースペクトルを an, bn で表現する

と，以下のようになる．

Cn · C−n =an − ibn

2· an + ibn

2

=a2

n + b2n

4(3.94)

an, bn が同じ大きさのときは，余弦派も正弦波も同じ振幅であるが，振幅の大きさがそれぞれ違う

ことが普通で，その違いを位相スペクトル θn と呼ばれる値で示す．位相スペクトルは，以下の式で

表す．

θn = tan−1

(−bn

an

)(3.95)

さて，このフーリエ級数は，周期が 2π のときに限定された場合のものなので，これをあらゆる周

期の関数，あるいは周期が変化したり，周期性のないあらゆる関数についても展開できる拡張が求め

られる．そしてフーリエ変換は，あらゆる関数について級数に展開するでものである．ある関数 f(x)

について，フーリエ変換により変換された関数 g(s)に変換されるときは，次式で表される．

g(s) =1√2π

∫ ∞

−∞f(x)e−isxdx (3.96)

逆に，フーリエ変換によって変換された関数 g(s)を元の関数 f(t)に戻すフーリエ逆変換は，次式で

表される．

f(x) =1√2π

∫ ∞

−∞g(s)eisxds (3.97)

これら式の導き方については，多くの専門書が出版されているので，そちらに委ねたい．

このフーリエ変換は，信号処理や画像処理において極めて重要である．画像の濃淡の変化を関数と

見なして周期性の状況をフーリエ変換によって解析し，画像の特徴を把握することができる．また，

3.12 ベクトル解析 87

周期的なノイズのある画像に対しては，フーリエ変換によってノイズの周期性を特定し，特定された

周期の濃度をカットした上で，フーリエ逆変換すれば，ノイズの軽減された画像となる．さらにフー

リエ変換によってデータを圧縮する等，様々な用途に活用することができる．

3.12 ベクトル解析

ベクトル解析は，ベクトルを微分して解析することと思って差し支えない．動かないものを扱う場

合は，ベクトル解析を使う必要はあまり無いが，動くものを扱う場合には必要となる．また，ある空

間において一様なものを扱うのではなく，場所によって状況が異なるものを扱う場合にも必要となる．

風や温度などを解析することをイメージすれば分かりやすいだろう．

三次元空間において，点 Pの座標が (xp, yp, zp)と点として与えられたとき，スカラー場と呼んで

いる．一方，点 Pの座標 (xp, yp, zp)にベクトル (vx, vy, vz)が与えられたとき，ベクトル場と呼んで

いる

3.12.1 勾配

一般に，関数の勾配 (gradient)は，微分によって求めることができる．変数が一つの場合には単純

に微分して求まるが，多変数の場合には各変数で偏微分する必要がある．例えば，xyz座標の三次元

空間におけるベクトルの微分においては，xyzの各変数で偏微分する．したがってスカラー場 φの勾

配は，次式で表される． (∂φ

∂x,∂φ

∂y,∂φ

∂z

)(3.98)

これを∇記号を用いて，次式のように表す．

∇φ =(

∂φ

∂x,∂φ

∂y,∂φ

∂z

)(3.99)

∇は，ナブラと読む．なお ∇φは，gradφと表記されることもある．勾配を計算することによって，

スカラー場がベクトル場になる．

標高がある関数 φ によって表現できるとき，ある点の標高は，スカラー量である．その点の勾配

は，方向と向きを持つベクトルである．このような演算に ∇が活用される．意味はともかく，計算において ∇は，次のようなベクトルと考えると分かりやすい．

∇ =(

∂

∂x,

∂

∂y,

∂

∂z

)(3.100)

3.12.2 発散

発散 (divergence) は，ナブラとベクトル場の内積を表す．三次元空間におけるベクトル場を

A(Ax, Ay, Az)とすると，発散は，次式で表される．

∇ · A =∂Ax

∂x+

∂Ay

∂y+

∂Az

∂z(3.101)


∇ · Aは，divAと表記されることもある．発散は，内積計算となるので，ベクトル場がスカラー場

となる．標高がある関数 φによって表現できるとき，ある点の勾配ベクトル (Ax, Ay, Az)において，

勾配の変化ベクトルとの内積であり，勾配変化の総量と見なすことができる．

3.12.3 回転

回転 (rotation) は，ナブラとベクトル場の外積を表す．三次元空間におけるベクトルを

A(Ax, Ay, Az)とすると，回転は，次式で表される．

∇× A =(

∂Az

∂y− ∂Ay

∂z,∂Ax

∂z− ∂Az

∂x,∂Ay

∂x− ∂Ax

∂y

)(3.102)

∇× Aは，rotAと表記されることもある．回転は，外積計算となるので，ベクトル場はベクトル場

のままとなる．標高がある関数 φによって表現できるとき，ある点の勾配ベクトル (Ax, Ay, Az) に

おいて，勾配の変化ベクトルとの外積であり，勾配変化の量と向きを表す．２つのベクトルの外積は，

７章の力学基礎で扱う回転力（モーメント）の計算も意味し，ナブラとベクトル場の外積が回転と称

される所以でもある．

3.12.4 ラプラシアン

ラプラシアン (Laplacian)は，二階偏微分演算子である．スカラー場 φの勾配 ∇φの発散 ∇ · ∇φ

を計算すると，次式を得る．

∇ · ∇φ =(

∂

∂x,

∂

∂y,

∂

∂z

)·(

∂φ

∂x,∂φ

∂y,∂φ

∂z

)=

(∂2φ

∂x2+

∂2φ

∂y2+

∂2φ

∂z2

)(3.103)

= = ∇2φ (3.104)

この ∇2 をラプラシアンと呼んでいる．ラプラシアンは，波動方程式や画像処理において活用されて

いる．

89

第 4章

測量機器による位置計測

本章では，実際に測量機器による計測の基礎について解説する．これまで解説した数学の知識が身

に付いていれば理解は容易であろう．本章ではトランシット等の測角のための機器，トータルステー

ション等の測角と測距が同時に行える機器，そしてレベル等の高低差を測る機器を用いた計測を中心

に解説する．

測量学で取り扱うのは，ものを測るだけでなく，計画したり設置したりすることも含まれている．

例えば道路を設計する路線測量には，道路の線形を決定したり，道路を設置する際のくい打ち等の測

量等である．この他に，土木測量として地形測量，深浅測量，地積測量等があるが，これらに関して

は測量の専門書に委ねることとした．

画像計測や人工衛星による計測のように，間接的に測ることが主流になりつつあるが，精度検証や

現場観測のときには，必ず測量の技術が要求される．したがって自分自身で測量機器をセッティング

し，実際に測ることのできるようにしておきたい．

4.1 測度の基準

測るというときには，物差し等，必ず基準となるものが必要である．そして，測った値には必ず単

位が付く．単位は測る上で重要な基準を示している．長さであれば，メートル，尺，フィート，マイ

ルなどの様々な単位がある．その他にも地域によって固有の単位が存在したりするわけだが，それぞ

れの単位にはそれなりの定義がなされているものである．例えば尺は，手の大きさをもとにしていた

り，フィートは足の長さをもととしていたりする．しかし一方で，人間が勝手に定義して利用してい

るだけであって，科学的には何の意味も持たないとも言える．ただ，色々な単位が混在すると，情報

交換をする上では非常に大きな障害となる．そこで，国際的に共通して使える単位が必要となる．理

工学の分野においては，SI単位 (International System of Units)というものを標準として利用して

いる．そしてその中でもMKSA単位が一般的である．Mは長さの単位のメートル，Kは質量の単位

のキログラム，Sは時間の単位の秒，Aは電流量のアンペアを表している．その他にも力やエネルギ，

放射量等，様々な標準的な単位が，それぞれしっかり定義された上で用いられている．

長さの単位のメートルは，古くは地球の子午線の長さの 4千万分の 1と定義されていた．しかし地

90 第 4章測量機器による位置計測

球の子午線の長さ自体を精密に測ることは困難なので，十分な定義とは言えない．そこで，メートル

原器という 1mの長さを示した白金製の物差しを作り，そのメートル原器のコピーを各国で利用して

いた．しかし，メートル原器ではマイクロメートル (µm)，ナノメートル (nm)のオーダーでの計測

には不十分である．したがって，安定した高精度の物差しが必要となる．この物差しに最近は光（電

磁波）が利用されている．光は，真空中において最も速く進み，その速度を上回るものは未だ発見さ

れていない．その速さを測ることのできる時計があれば，光の進んだ時間により距離を測ることが出

来る．光の速さを計れる時計として，原子時計がある．原子時計については，６章で解説するが，91

億分の 1秒の精度を持つ．これを用いて 1mを定義できるわけである．現在 1mとは，真空中を光が

1/299,792,458秒間に進む距離と定義されている．一般に光は，299,792,458(m/s)で進むと表現され

る場合があるが，1m自体が 1秒間に光の進む距離で定義してるわけであるから，妙な感じである．

現在，光波やレーザー等を用いて高精度で距離を測る装置が開発され，便利に利用しているが，こ

れらは何れも電磁波を利用してるものである．しかも精度の高い時計が同時に利用されている．時間

を正確に測るためには，厳密な時刻の定義が必要となる．時間や時刻の定義についても６章で解説す

るが，地球の自転と公転が基準となっている．

物体の位置を測るときは，距離を測ると同時に角度も測る場合が多い．角度は，２章で述べたよう

に数学においてはラジアンの単位が一般に用いられている．しかし値の範囲が 0～2π であり，高精度

が要求される場合は小数点以下の桁が多くなり，読み取りミスが発生しやすくなる．そこで，測量機

器のほとんどは，度分秒で表現している．度は度数法における 0～360°であり，分は 60分を 1°と

し，1°=60′ と表記する．秒は 60秒を 1′ とし，1°=3600”と表記する．例えば，10.5°の場合は，

10° 30’00”と表されることになる．

4.2 測量機器とセッティング

4.2.1 トータルステーション

トータルステーションと呼ばれる機器は，水平角・鉛直角とともに距離を測る機能を持つ．距離を

測る機能を持たない機器もあるが，それはトランシットという機器である．効率よい測量のために

は，距離計測は極めて重要であり，1箇所から測るだけで物体の三次元計測が簡単にできることから，

現在はトータルステーションが一般に利用されている．下図は，あるトータルステーションの外観で

ある．

4.2 測量機器とセッティング 91

角度はロータリーエンコーダーと呼ばれる装置で電気的に読み取り，デジタルで値が表示される．

距離は光波を利用するタイプとレーザーを利用するタイプとがある．光波を利用するタイプは，距離

を測るのに反射プリズムが必要となり，トータルステーションから反射プリズムまでの距離が測れる．

レーザーを利用するタイプは，近距離では反射プリズムを必要とせず，直接物体から反射して返って

来るレーザーを測ることで距離を算出している．なお，遠距離の場合や電磁波を吸収するような黒い

物体の場合は直接測れないため反射プリズムを置く必要がある．

4.2.2 GPS

GPSは，カーナビにおける位置計測のパーツに組み込まれている．複数の人工衛星からの電波を利

用して測るもので，位置計測の原理については７章で解説する．この機器は，複数の人工衛星の電波

が届く場所であれば，アンテナの位置を正確に測ることが出来る．下図は，ある GPSの外観である．

トータルステーションは，ある箇所に据え付けて，様々な部分の三次元的な位置を計測していくもの

に対して，GPSは，アンテナ自身の位置のみが計測される．多点を測る場合には，GPS自身を移動

させながら測ることになる．

GPSによる計測においては，様々な方法で高精度を実現できる．高精度での計測のためには，基地

局となる GPSと移動局となるGPSとで同時に観測する必要がある．基地局としては，国土地理院が

全国に設置している電子基準点が利用できる．電子基準点においては，常時 GPS観測がなされてい

るので，その情報をもとに高精度での移動観測が可能となる．


4.2.3 機器のセッティング

測量機器を使った計測において，始めに注意しなければならないことは，機器のセッティングであ

る．例えば，ある測点上に正確に機器を据え付ける必要があり，機器の姿勢も水平にする必要もあ

る．測量機器は，測る機器そのものとそれを取り付ける整準台と三脚の３つのパーツに分けることが

できる．

まず三脚を設置するが，このとき求心器という錘を整準台の取り付け部分からぶら下げてれば，三

脚を正確に測点上に設置することができる．このとき三脚上部の面がほぼ水平になっていることも重

要な設置要件である．

さらに，測量機器の操作に支障がないように次の点に気を使う必要がある．

• 測るターゲットを確認して十分観測できる位置か？• 地盤が柔らかく，計測中に沈み込むことの無いようにしっかりと踏み込んでいるか？• 望遠鏡を覗いたり，値を読み取るのに楽な高さであるか？• 測る際の自分の立つ位置に三脚の足が邪魔となっていないか？

次に整準台 (Levering Plate)を取り付けるが，これは，機器を正確に測点上に，そして水平に据え

付けるために調整するためのものである，整準台には，３つの水平出し用の調整ねじと，機器の中心

の位置を確認するための小さな望遠鏡が取り付けられている．なお，この段階でこの望遠鏡を覗いて

も，整準台によって水平に調整されていないので意味がない．まずは，水平にセッティングすること

が重要である．

３つの調整ねじを用いて，整準台を水平にセッティングするが，このとき２つのねじを結ぶ方向を

x軸方向，それに直角な方向を y 軸とした場合，最初に x軸方向を調整する．気泡管を x軸と平行に

した上で，下図のに示すように右と左のねじを同時に逆回転させながら気泡管の泡の位置が真ん中に

来るように調整する．その後，気泡管を y 軸と平行にして，上側のねじのみで気泡管の泡の位置が真

ん中に来るように調整する．

4.3 測距と測角 93

x x

y y

この動作を何回か繰り返し，機器を正確に水平にセッティングするのである．

水平になっていることを確認後，機器の中心が測点の真上に来ているかどうかを望遠鏡で確認する．

このとき，中心に測点が来ていなかった場合は，整準台の取り付けねじを緩めて，測点が中央に来る

ように平行移動させ，再度水平になるよう調整し，さらに望遠鏡で中心を確認する．この作業を満足

のいく状況になるまで繰り返す必要がある．

機器のセッティングは，測量機器を用いる場合や繰り返し観測を行う場合には極めて需要なので，

細心の注意を払いながら行わなければならない．そして，計測の途中で三脚に外力を与えないように

し，もし足や体が当たった場合は，即座にセッティングを確認しなければならない．

4.3 測距と測角

測量機器を用いて水平方向の角度を測る場合，下図のようにある基準となる方向（x軸方向）を設

定し，そこから右回りの角度 Aを測る．鉛直角は，水平面からの角度 hを測る．

X

Z

P

A

h

対象物 P までの斜距離 rが，光波やレーザーで測ることが出来れば，P の三次元座標を計算すること

ができる．なお，通常右手系の座標系の場合，角度の回転方向は左回りが正の値であるので，回転行

列を用いて計算するとき，右回りを測る Aを用いる場合は，負の値に変換して計算する必要がある．

下は，計測値より三次元座標に変換する式を表している．x = r cos h cos(−A)y = r cos h sin(−A)z = r sinh

(4.1)

4.3.1 反復計測と精度

測量機器には，固有の仕様があり，その仕様に従って精度がある程度決まる．そして，その精度を

確保するには，1度の観測ではなく，複数回観測しなければならない．ただ，同じ状況で複数回測っ


たとしても誤差の相殺は余り期待できない．なぜなら，セッティングの状況や機器自身の状況などを

由来とする誤差もあるからである．そこで，まずは機器自身の誤差を小さくするために，視準する望

遠鏡を 180°反転させた上で角度を測り直す．この角度を通常の状態で測った正読みの角度に対し

て，反読みの角度と呼んでいる．

X

P

視準望遠鏡を 180°回転させなければ，角度を測るのに使用した角度検出器においては，常に同じ部

分が利用されるために誤差の調整が余り期待できない l．しかし，望遠鏡を 180°反転させることに

よって，角度検出器において，正読みにとは別の部分を使うことができることとによる調整と，機器

内部の偏心による誤差についても調整が可能である．

さらに誤差を調整するためには，機器のセッティングによる誤差についても考慮するべきである．

そのためには，セッティング自体をやり直して測ることも重要である．

ところで，同じ計測を複数回行うことにより，誤差を小さくすることができるのは想像にやさしい．

では，何回計測するのが良いのであろうか．これには，誤差伝搬の法則を用いて予測することができ

る．これについては，前章において予測式を導いた．式 3.42である．この式に計測器の精度（標準偏

差）と計測回数を代入すれば，期待できる精度が計算できる．下図は，精度 5cmの場合と精度 2cm

の場合について，計測回数と期待できる精度との関係についてグラフ化したものである．

5

4

5

3

2

1

2 4 6 8 100

このグラフから，4回程度計測すれば，精度が大きく向上するが，それ以上計測しても大きな精度向

上は期待できないことが解る．ただ，複数回計測が如何に重要であるか，このグラフから読み取るこ

とができる．

4.4 基準点測量 95

4.4 基準点測量

測量では，トランシットやトータルステーション等の測量機器を設置し，必要とされる地物を計測

して行く．このとき，測量機器を設置した点の座標と方位角の基準となる方向が解っていなければな

らない．測量における基準点とは，この測量機器を設置する点のことをいう．この基準点を設置する

ためには，あらかじめ座標が与えられている点が必要であり，この点も基準点である．日本において

は，三角点と呼ばれる国家基準点がいたる所に設置されている．ここで解説するトラバース測量，次

に解説する三角測量は，基準点を設置するための測量，すなわち基準点測量である．

4.4.1 緯距・経距

観測点において方位角と距離を計測すれば，求点の座標を求めることができる．このとき観測点を

原点とし，北方向を x軸，東方向を y軸とするローカルな座標系で表現する．この座標系において x

座標を緯距，y座標を経距と呼んでいる．

∆y

∆x

r

X

Y

上図を見ても解るように，注意すべきは，x座標が上方向で，y座標が右方向となっており，数学

で通常慣れ親しんだ座標系ではない．いわゆる左手系の座標系となっている．これは，後述する地図

投影における座標系が横メルカトル図法を基準としているため，測量においてはこの座標系が採用さ

れている．この座標系において，方位角 θ，距離 rのときの緯距と経距は，下の式で計算できる．∆x = r cos θ

∆y = r sin θ(4.2)

このように測量においては，x座標を緯距，y座標を経距と呼んでいるが，数学で取り扱う通常の右

手系でないため混乱してしまう．そこで本講義においては，今後以下のように y座標を緯距，x座標

を経距として取り扱う．したがって，方位角は x軸からの角度 θ で表せば，同じ式によって緯距・経

距を計算できる．

r

X

Y


4.4.2 トラバース測量

開トラバース

トラバース測量は，多角測量とも呼ばれ，二点間の距離と角度を計測することで各点の座標を求め

ていくような測量のことである．下図のように座標が既知の点 Aを出発し，求点 Bまでの距離と方

位角を計測する．次に Bを観測点とし，次の求点 Cまでの距離と方位角を計測する．その後，順次

求点までの距離と角度を計測することで各点の座標を求めることが出来る．

A

B

C

D

EX

Y

θ1

θ2

θ3

θ4r1

r2r3

r4

点 Aにおいて計測された距離と角度から，点 Bと点 Aの座標の差 (∆x1,∆y1)と点 Bの座標 (xb, yb)

は，以下のように計算できる． ∆x1 = r1 cos θ1

∆y1 = r1 sin θ1

xb = ∆x1

yb = ∆y1

(4.3)

さらに，点 Bにおいて計測された距離と角度から，点 Bと点 Cの座標の差 (∆x2,∆y2)と点 Cの座

標 (xc, yc)は，以下のように計算できる．∆x2 = r2 cos(θ1 + θ2 − π)∆y2 = r2 sin(θ1 + θ2 − π)

xc = ∆x1 + ∆x2

yc = ∆y1 + ∆y2

(4.4)

なお角度 θ2 は，上図においては下側の角度が示されているが，上側の角度が計測されることもある．

この場合は，異なる式で計算しなければならないため，注意が必要である．

このトラバース測量においては，誤差の確認とその調整が極めて重要である．つまり，点 Bにおい

て点 Cを計測するが，点 Bの座標には点 Aで計測した誤差が含まれており，その座標を用いて点 C

の座標を求めているからである．したがって，点数が増えれば増えるほど誤差が重なって行く．この

誤差量は誤差伝搬の法則によって推定できるが，実際の誤差と比較できなければ計測結果が妥当な値

を示しているか否かを判断できない上，誤差の調整も出来ない．よって，幾つかの既知点を通るよう

な多角形を組むか，次に述べる閉合トラバースを組んで，誤差調整が出来る状態でのトラバース測量

が望ましい．

閉合トラバース

閉合トラバースは，下図のように多角形の最後が出発点に戻ってくるような，閉じた多角形のトラ

バースをいう．出発点に戻ってくるため，誤差の調整が可能である．


A

B

C

D

E

F

θ2

θ3

θ5

θ4

θ6

θ1

r2

r3

r4

r5r6

r1

X

Y

4.4.3 閉合差・閉合比

角の閉合差

先の閉合トラバースにおいては，すべて多角形の内角を計測している．n 角形の内角の和は，

(n − 2)π となるので，計測された内角の和と比較し，その差 δ は以下の式で表すことが出来る．

δ = (n − 2)π −n∑

i=1

θi (4.5)

この δ を角の閉合差と呼んでいる．閉合差は，計測結果の信頼性を測る上で重要な値である．誤差伝

搬の法則により，受け入れられる結果であるか判断しなければならない．

信頼される結果の場合，閉合差を用いて計測値を調整しなければならない．各点における角度の補

正値 vi は，単純に閉合差を当分に配分することで調整できる．

vi =1n

δ (4.6)

座標の閉合差

閉合トラバースにおいて，原点を出発し，原点に戻ってくる場合には，次の式が成り立つ必要が

ある．

n∑i=1

∆xi = 0 (4.7)

n∑i=1

∆yi = 0 (4.8)


しかし，各計測においては誤差が含まれているので，0とはならず，その値自体が誤差となる．x軸

方向の誤差を εx，y軸方向の誤差を εy とすると，以下の式で表される．

εx =n∑

i=1

∆xi (4.9)

εy =n∑

i=1

∆yi (4.10)

そして，閉合差 εは，以下の式で計算できる．

ε =√

ε2x + ε2y (4.11)

この閉合差は，測点間の距離と測点数が多くなると大きくなる傾向にあるため，総延長距離による比

で表すことがある．これを閉合比 εr といい，次式で計算できる．

εr =ε∑ri

(4.12)

コンパス法による誤差の調整：誤差量の x成分と y成分ごとに補正量 vxi, vyi を計算し，計測結果

を調整しなければならない．このとき，各測線の長さに誤差量が比例すると仮定すれば，トラバース

の総延長距離の比で補正量を求めることが出来る．以下の式は，x成分の補正量計算式の例である．

vxi =ri∑ri

εx (4.13)

この手法は，コンパス法と呼ばれている．

トランシット法による誤差の調整：コンパス法は，各測線の長さによって誤差を配分したが，トラ

ンシット法では，測線の長さを x成分と y成分に分けて考える．長さで考えるため，各成分の絶対値

を利用し，補正量計算式は，以下のようになる．

vxi =|∆xi|

|∑

∆xi|εx (4.14)

4.4.4 三角・三辺測量

三角測量

基準点を設置する上で，三角形を配置することは，非常に有効である．三角形であれば，内角の和

が π であるとともに，正弦定理・余弦定理を用いて辺長や角度の計算が可能だからである．従来より

三角測量においては，三角網を設置し，三角形の内角全てを計測する．すると，相似三角網を描くこ

とが出来る．ここで，ある一辺の長さが正確に求まれば，相似三角網の大きさが規定され，各三角形

の形とともに大きさが決まる．具体的な計算においては，正弦定理により全ての辺長を求めることが

出来る．さらに，2点の正確な座標が求まれば，その座標を用いて三角網を平行移動させ，回転させ

ることが出来，全ての点の座標が求まる．これが三角測量の原理である．なお，あらかじめ正確な座

標を持った 2点を結んで出来る直線は，基線と呼ばれている．


この三角測量は，測角を基本とする測量方法である．現在の光波やレーザーを使った精密な測距が

困難であった時代においては，極めて重要な測量方法であった．17世紀の初めにスネル (Snell)が実

用化したのが最初と言われている．三角網を配置することで，角度の誤差調整を容易かつ精密に行う

ことが出来るからである．

A B

C

D

E

F

上図においては，基線となる点 AB間の距離を正確に求めた上で，角 A, B, Cを計測する．角 A, B,

Cの内角の和は πなので，角 A, B, Cの計測値の和を求め，閉合差を計算する．求まった閉合差によ

り角度の補正量を求め，角度の最確値を計算する．次に正弦定理により，AC間，BC間の距離が求ま

る．続いて三角形 BCDについては，BC間の距離が求まっているので，測角した結果のみから，辺

長が計算できる．

日本全国には，三角点と呼ばれる基準点が多く設置されている．国土地理院が発行している 2万 5

千分の 1や 5万分の 1地形図には，多くの三角点が配置されている．この三角点は，もともと三角測

量によって測量された国家基準点である．現在は，測量機器の発達に伴って，次に述べる三辺測量に

基づき正確な基準点測量がなされている．

三辺測量

三辺測量は，その名のごとく三角形の辺長を計測して行く測量方法である．現在は光波やレーザー

を用いて長い距離を正確に測ることが可能となっているので，最近ではこの方法も利用される．三角

形の三辺の長さが決まれば，それぞれの内角は余弦定理を用いて計算することが出来る．近年では

GPS測量によって正確な二点間の距離を計測できるようになっており，重要な測量方法である．

A B

C

D

E

F


4.4.5 二つの基準点を利用した方位角計算

一つの基準点を使って直接方位角を測定するには，正確に北の方向を決定する必要があり，方位磁

針を使うにしても非常に難しい．したがって実際には，二つの基準点を使って方位角を計算により求

めることが通常なされている．二つの基準点を用いれば，方位角を求めることは簡単である．下図の

ように，点 A，Bは基準点であり，それぞれ座標が A(Xa, Ya)，B(Xb, Yb)と与えられている．点 A

に観測機器を設置し，観測対象 Qまでの距離 S と角度 αが測られたものとする．

X

Y

A(xa, ya)

B(xb, yb)

Q

φSθ α

このとき，点 Aにおける点 Bの方位角 φは，φ = tan−1 xa − xb

ya − ybとなる．したがって，観測対象

Qの方位角 θ = φ − αとなる．

4.4.6 二つの基準点を利用した座標変換

前節では，二つの基準点より方位角を求める方法を示したが，求める点の座標を二つの基準点デー

タを用いて一気に変換する手法について解説する．

下図において，点 A，Bは基準点であり，それぞれ座標が A(xa, ya)，B(xb, yb)と与えられている．

点 Aに観測機器を設置し，観測対象 Qまでの距離 rと角度 αが測られたものとする．

4.4 基準点測量 101

U

u

V

vr

A(xa, ya)

B(xb, yb)

Q(xq, yq)

X

Y

観測対象 Qの座標 (xq, yq)を求めるには，まず観測点 Aを原点とし，基準点 Bをある座標軸とす

る座標系を設定する．この座標系を例えば U-V座標とすると，点 Qの UV座標は，以下の式で与え

られる． u = r cos α

v = r sin α(4.15)

この U-V座標系で表された座標を X-Y座標系に変換するには，X軸と U軸とのなす角度 θ だけ

回転させ，基準点 Aの座標分平行移動させればよい．したがって求める座標 (xq, yq)は，次式で表す

ことができる． (xq

yq

)=

(cos θ − sin θsin θ cos θ

)(uv

)+

(xa

ya

)(4.16)

なお，θ は次式により計算できる．

θ = tan−1 ya − yb

xa − xb(4.17)

ここで重要なのは，θ の符号であるが，計算により算出された値をそのまま代入すれば良い．この

図においては θ は正の値となる．右手系の座標系では，物体の座標を回転させる場合，左回りが正方

向となる．この図の場合，座標軸を右回りに回転させるので，点 Qは結果的に左回りとなる．混乱し

ないように注意されたい．


4.5 水準測量

4.5.1 水準儀による測量

高低差は，レベル（水準儀）と呼ばれる機器を用いて計測するのが普通である．このレベルは，2点

間の高低差を計測できる．レベルに据え付けられた視準用の望遠鏡は，水平方向にしか回転しない．

そこで下図のように，二つの測点にスタッフ（標尺）とよばれる目盛りのついた物差しを鉛直に設置

し，測点の間にレベルを据え付け，それぞれの標尺の目盛りを読み取れば，2点間の高低差が算出で

きる．このように対象物に直接標尺をおいて測量する方法を直接水準測量と呼んでいる．

∆H = Ha − Hb (4.18)

ここで，水準測量の出発点となる基準点は，ベンチマークと呼ばれ，BMと略されて使われることが

多い．またレベルを設置し，ベンチマーク側のスタッフを視準することを前視，測量対象側のスタッ

フを視準することを後視と呼んでいる．

Ha

Hb

∆H

見通しがきかなかったり，標尺の長さ以上に高低差が大きい場合には，１度に計測するのではなく何

回かに分割して計測しなければならない．また，水準測量においてもトラバース測量と同様に多点観

測を行うことが一般で，閉合差をみて計測の妥当性を判断し，その閉合差によって誤差調整によって

各点の補正量を求める．下図は，高低差が H の BM1から BM2へ向かって n − 1個の点を設けて水

準測量を実施した場合の例を模式化したものである．hi は，各測点間での高低差を示している．実際

の高低差 H と水準測量によって得られる高低差との差が閉合差となり，この閉合差を ∆とすると，

以下の式で表すことが出来る．

∆ = H −n∑

i=1

hi (4.19)

s1

s2

sn

h1

h2

hn

hn-1 H

4.5 水準測量 103

各点における補正量は，水準測量の路線延長距離に比例して大きくなると仮定できる．つまり，BM1

に近い所は補正量が小さく，BM2に近づくに連れて ∆に近い補正量と予測される．したがって，各

測点間の距離が si とすると，補正量 δi は，以下の式で計算できる．

δi =

i∑j=1

sj

n∑j=1

sj

∆ (4.20)

4.5.2 トランシットによる測量

崖等が存在する急峻な山の高さなどは，標尺を置いての直接計測は極めて困難である．したがって，

このような場合は間接的に計測する間接水準測量が必要となる．間接的に測るには，下図のようにト

ランシットなどで，対象物の仰角 θ を計測すれば良い．あと必要な計測は，対象物までの水平距離 B

か，斜距離 Aで，高さ H は，以下の式で計算できる．

H = B tan θ (4.21)

H = A sin θ (4.22)

H

B

A

θ

山などの場合，１箇所から水平距離 B を計測するのは極めて困難である．そこで水平距離 B は，下

図のように基線を設け，三角測量によって二箇所から計測することによって求める．


4.5.3 高さの基準

水準点

ここで，高さとは何かについて考えてみたい．地球は平面ではないので，高さといってもその意味

は非常に深い．

三角点は，平面的な位置の基準点であった．この水準点は，高さの基準点といえる．したがって，

標高は水準面からの法線上の距離と距離と定義される．日本の水準原点は国会議事堂のそばにある

が，東京湾の平均海面に基づいて測定されたものである（測地水準点）．そして，全国の海岸線に沿っ

て，また幹線道路に沿って，たくさんの水準点が設置されている．

水準面

水準点は海岸沿いに設置されているので，沿岸部での高度計測は比較的簡単であるが，内陸部にな

ると厄介な問題となってしまう．海岸部の水準点から丹念に測量をしていけば単純に標高が求まると

思われがちである．しかし，計測区間が長くなると大気による影響や地球の丸みの影響を考慮する必

要が有り，海岸部から離れるに伴って誤差が積み上げられてしまう．特に海などを鋏んでの計測は非

常に難しい．したがって水準面という基準をしっかりと設けておくと都合が良い．

地球楕円体

地球が真の球形であれば，同じ高さの点は，地球の中心からの距離も同じといえる．しかし，地球

の形は真の球ではない．地図を作る上では，地球の形は回転楕円体と仮定している．地球は自転の影

響で，極方向に比べて赤道方向の方が約 21長い回転楕円形に近い形をしている．したがって地球に

最も近い回転楕円体の定数を決め，その回転楕円体を水準面とみなすこともできる．

地球楕円体については，計測が非常に困難であったため，その決定自体が学問領域であった．地球

の半径自体は，紀元前 3世紀頃にエラトステネス (Eratosthenes)が初めて測ったとされており，その

後 17世紀にフランスが高緯度地方と低緯度地方において経度方向の距離を測量することで，地球の

形が楕円体であることを実証した．

19世紀に入って楕円体の定数（赤道半径と逆偏平率）について活発な計測と議論がなされている．

そして近年，人工衛星による計測が可能になったことをきっかけに楕円体の計測が非常に精密にでき

るようになった．米国では，既に新しい計測によるWGS84という楕円体常数を用いており，多くの

国国がそれに同調している．これに対して日本では，2000年までベッセル（Bessel 1841）楕円体を

用いていた．かなり古い定数を用いており，精度は今となっては悪いと言わざるをえない．その差は，

400m程度である．そこで 2000年に楕円体の変更がなされた．測地系 2000と呼ばれ，GRS80とい

う楕円体常数を用いている．WGS84との差は，数 cmなので，WGS84との併用に関して実用上は

差し支えない．

現在，日本では先に述べたようにベッセルの楕円体に準拠した地図と GRS80の楕円体に準拠した

地図の 2種類が混在している．したがって，位置を表す緯度経度のデータや平面直角座標に変換され

4.5 水準測量 105

た座標のデータを取り扱う際には，細心の注意が必要である．特に古い地図と新しい地図を重ね合わ

せて解析したいという場合には重要である．地図の範囲の図画もズレている場合がある．国土地理院

発行の 1:25000地形図は，現在 GRS80に準拠している．1:25000地形図は，緯度経度の値により図

画が決まっているので，古い地形図と新しい地形図とで図画が変わってしまう．しかし今のところ図

画については，古いベッセルの楕円体にあわせた図画でも発行されている．

ジオイド

地球楕円体を水準面とみなしても少々不都合が生じる．海岸線の標高が 0mとならないのである．

海岸の堤防などを設計・施工する際には標高を計測しなければならないが，海岸線が 0mとなってい

た方が都合が良いといえる．しかし厄介なのは，海面を計測することによって求めた基準でも，少々

問題が含まれている．海面の高さは重力の影響を受けており，その重力は地球規模で見ると一様では

ない．したがって，ある海域で得た水準面と，違う海域で得た水準面とは一致しないのである．つま

り地球の形はでこぼこしている．地球に陸地はなく，海面で全て覆われていたとしてもでこぼこして

いる．その高さは，地球の重力に左右されている．

すべての海域の高さを基準とすべく，高さの基準として現在最も現実的な水準面がジオイドであ

る．ジオイドとは，地球上が全て海だったとしたときの海面の形といえる．学問的な言葉に置き換え

れば，地球重力の等ポテンシャル面のうち平均海水面に一致するものといえる．このジオイドは地球

規模で見ると重力異常の影響で意外と凹凸が有り，最高点と最低点の高さの差は 150mに達する．

ジオイド面においては，すべての海岸線の標高は 0mとなり，現実世界と一致していることで狭い

範囲での計測には便利な基準といえる．ジオイド面という概念は，非常に合理的であるが，その精密

な計測は非常に難しい．従来は天文観測や重力測定でジオイドを推定して来た．最近では，人工衛星

を用いて計測している．人工衛星の運動は重力の影響を受けており，それを解析すれば重力ポテン

シャルを求めることができる．また，人工衛星から海面までの距離を計測することによっても，海面

におけるジオイドは決定できる．

107

第 5章

画像を用いた位置計測

レンズは光を集める性質を持つ．そして画像として物体を投影する．そこで望遠鏡や顕微鏡，カメ

ラ等多くの製品が生まれている．ここではレンズを通してできる画像を用いた計測について解説す

る．画像を用いた計測は，いわゆる写真測量が原点である．写真はフィルムに撮影されるのが一般的

であったが，現在はデジタルカメラが一般的となり，既にフィルムカメラを使う人はほとんど見かけ

なくなってきた．

フィルムカメラの場合，フィルム上に写った物体の座標をコンパレータという機器を用いて計測し

なければならず，一般には利用できないものであった．しかしデジタルカメラの場合，画像が画素

（ピクセル）単位で構成されているため，画素に番号を与えることで画像座標として利用できるため非

常に簡単に取り扱うことができる．それ以外は，フィルムカメラとデジタルカメラとで計測手法の基

本的な違いはほとんどないので，本章ではデジタルカメラを例に解説する．

5.1 光の反射・屈折

光が，媒質によって屈折したり反射したりする．光が空気や水，ガラス等の媒質に当たると，媒質

表面で反射する成分と媒質の中に侵入する成分とに分かれる．下図において，光の侵入方向は，媒質

表面に垂直な軸からの角度 θ1 で表し，入射角 (Incidence Angle)と呼んでいる．それに対して，反射

の方向も媒質表面に垂直な軸からの角度 θ2 で表し，反射角 (Reflection Angle)と呼んでいる．この

とき，入射角と反射角は等しく，θ1 = θ2 となる．これを反射の法則と呼んでいる．

θ1 θ2

θ3

A

B

OP

108 第 5章画像を用いた位置計測

光が媒質に侵入すると，向きが多少変化するが，これを屈折 (Refraction) と呼んでいる．屈折角

(Refracting Angle)も同様に媒質表面に垂直な軸からの角度 θ3 で表す．屈折についての法則を発見

したのは，スネル (Snell)であり，17世紀の初めの頃である．スネルの法則は，屈折率の概念を導入

して光の経路の変化を表したもので，上側の媒質の屈折率を n1，下側の媒質の屈折率を n3 としたと

き，入射角 θ1 と屈折角 θ3 との関係は，以下の式で表される．

sin θ1

sin θ3=

n3

n1(5.1)

スネルは，前章でも述べたように三角測量も実用化した人物であるが，このスネルの法則の方が非常に

有名である．そしてこの法則の論理的な説明は，後にフェルマー (Fermat)やホイヘンス (Huygens)

が行った．

光は，媒質の中を直進する性質を持っている．真空中で最も早く進み，299,792,458(m/s) である

ことは，既に述べた．真空以外の媒質を通るときは，速度が遅くなる．この伝わり方について，フェ

ルマーは，光は最短時間で到達する経路を伝わるということを 1661年に発表した．これは，フェル

マーの原理とも呼ばれおり，幾何光学の立場からの理論である．上図において，点 Aから Bへの経

路を考えたとき，媒質が同じであれば，破線で結ばれた直線の経路をたどる．しかし，途中で媒質が

変化すると，直線的に行くよりも屈折した方が速く Bにたどり着くことができる．つまり，直線の場

合 PB間において進む速さは遅くなるが，速く進める媒質 1において Oまで行ってから Bに向かえ

ば，遅い媒質を進む区間が短くて済むからである．

さらにホイヘンスは，光が波動的な振る舞いをすることに着目し，波動光学の立場から反射と屈折

に関する理論を構築した．基本的に光は，点光源の場合，一点から球面状に広がる．光源から離れた

所では，その波の一部分は，一団となって平行に進んでいると見なして良い．下図は，光の波の一団

が進んでいる様子を二次元的に表したもので，P1, · · · ,P5 の波が進んでいる状態である．P1 が，滑

らかな表面上の Aに到達したとき，P5 は，まだ Bにいる．その後 P1 は，Aにおいて反射し，球面

的に広がっていく．P5 が，表面上の Cに到達したとき，Aで反射する光は，距離 BCの長さを半径

とする円上に位置することになる．下図には，P2 から P4 についても同様に，P5 が，表面上の Cに

到達したときの半径の広がりを図示した．すると，各円の共通接線（包絡線）が描ける．この包絡線

の進む方向が光の進む方向となる．反射の場合，媒質に変化はないため光の進む速度は代わらず，距

離 BCと半径 DAは等しくなる．さらに AEも半径を表しているため，三角形 ABCと三角形 CEA

は合同となり，入射角 θ1 と反射角 θ2 は等しいことになる．

θ2θ1

P1 P2 P3 P4 P5

A

B

CD

E

一方屈折の法則について，同様に考えてみる．P1, · · · ,P5 の光の波が進んでいる状態である．P1

が，滑らかな表面上の Aに到達したとき，P5 は，まだ Bにいる．その後 P1 は，媒質３の中に侵入

5.2 レンズの幾何学 109

し，球面的に広がっていくが，媒質の影響により光の速さが変化する．媒質３が媒質１より密度の高

い物質であるとするなら，光の速度は遅くなる．例えば，P5 が，表面上の Cに到達したとき，Aで

媒質３に侵入した光は，距離 AEの長さを半径とする円上に位置することになる．P2 から P4 につい

ても同様に，P5 が，表面上の Cに到達したときの半径の広がりを図示した．すると，各円の共通接

線（包絡線）が描ける．この包絡線の進む方向が光の進む方向となる．したがって屈折角は θ3 で表す

ことができる．

θ1

θ3

P1 P2 P3 P4 P5

A

B

CD

E

5.2 レンズの幾何学

5.2.1 レンズの焦点

画像を得るには，フィルムにしても CCDにしてもレンズが必要になる．レンズとは，光を集める

ものと考えて良い．レンズは光の屈折を利用し，平行な光がレンズに対して垂直に入ると，その光は

焦点と呼ばれる一点に集まるように設計されている．

レンズに垂直で，レンズの中心を通る線を光軸 (Axis of Lens)と呼ばれている．下図は，レンズに

よって対象物がどのように投影されるかを図に示したものである．対象物から放たれた光のうち，光

軸に対して平行なものは Aを通り，焦点 Fに向かう．レンズの中心 Cを通るものは，そのまま直進

し，対象物側の焦点 F’を通るものは，Bにおいて光軸に対して平行な光となる．投影像は，それらが

集まる所で最も明るくなり，この位置がピントのあった位置（合焦）となる．

a b

A

C

B

FF'

レンズと対象物との距離を a，レンズと投影像との距離を bとすると， PACと P’BCは相似な

ので，次式が成り立つ．AC

a=

BC

b(5.2)

FC間の距離はレンズの焦点距離で f とすると， ACFと ABP’も相似なので，次式が成り立つ．

AC

f=

AC + BC

b(5.3)


この式に先の式から得られる BC = AC ba を代入し，整理すると，最終的に，以下の式が導かれる．

1f

=1a

+1b

(5.4)

この式は，対象物がレンズから離れると，投影像は焦点に近づくことを意味している．下図はその状

況を図に示したものであるが，投影像が焦点に近づいている．

a b

A

C

B

FF'

対象物がレンズから十分離れ，無限大と見なせる場合は， 1a = 0で， 1

f = 1b となり，投影像は焦点に

結像される．

投影像の大きさは，焦点距離に依存する．下図は，焦点距離を伸ばした場合での結像状況を示した

ものである．

a b

A

C

B

F

F'

焦点距離が長くなるので，レンズと投影像との距離を bも長くなり，投影像が大きくなる．つまり，

焦点距離は倍率に関わる重要な仕様である．物体を大きく投影したい場合には，焦点距離の長いレン

ズが必要となる．

5.2.2 レンズの分解能

分解能 (Resolution)は，物体を空間的に識別する能力をいう．大きなレンズほど，その分解能は高

く，細かいものを分離させてみることができる．分解能は，光の波長とレンズ口径に依存する．レン

ズ口径 (Aperture)とは，レンズの直径のことである．物体判読の賞で解説するが，光は電磁波の一

種であり，波の性質と粒子の性質を併せ持つ．人間の目で認識できる電磁波は可視光 (Visible Light)

と呼ばれ，およそ 0.4 µm～0.8 µmの波長帯域である．色によって電磁波の波長は異なり，青いは短

い波長で赤は長い波長となっている．

下図は，口径 D のレンズを用いて光軸から ∆x離れた位置 Pに物体が投影された様子を示したも

のである．

5.2 レンズの幾何学 111

D

f

θ

C t1

C t2

∆xP

光が Pに到達する経路は，レンズの上側を通る経路とレンズの下側を通る経路とがある．それぞれの

経路は距離が異なるため Pに到達する時間も異なる．光の速さを C，レンズから Pに到達するまで

の時間を t1, t2 としたとき，経路の長さは，Ct1,Ct2 となる．この長さが光の波長 λよりも短くなる

と物体を分離させることができない．したがって，分離させるためには次式を満足する必要がある．

Ct2 − Ct1 > λ (5.5)

分解能を焦点距離 f と∆xの比で表すと，∆xf = λ

D となるが，実際にはそれより大きくなる．その

大きさは，レイリー (Rayleigh)が 19世紀末に Bessel関数を用いて理論的に導き，現在でも次式が利

用されている．∆x

f= 1.22

λ

D(5.6)

この式を用いれば，遠くからカメラで撮影したとき，どれくらいの物体を識別できるかを予測するこ

とができる．

分解能の点から考えると，一般には，レンズ口径が大きいほど性能が良いと言える．望遠鏡や双眼

鏡等を選ぶ際には，焦点距離や倍率よりもレンズ口径の大きさで決めるべきである．望遠鏡の場合，

倍率は接眼レンズを換えれば様々な倍率を得ることができるが，対物レンズは交換ができない．した

がって出来るだけ大口径のレンズを選ぶ必要がある．

MTF

5.2.3 レンズの明るさ

レンズによって結像される投影像の明るさは，非常に重要な仕様である．撮像される CCDの感度

にもよるが，その感度が一定の場合，投影像が明るいほど速いシャッタースピードで良好な画像を得

ることができる．シャッタースピードが速ければ，ブレの心配も軽減されるためである．

投影像の明るさは，レンズ口径と焦点距離に依存する．レンズ口径は，大きいほど多くの光を集め

ることができるので，明るい投影像を得ることができる．一方，焦点距離は，短いほど明るい画像と

なる．同じレンズ口径で光を集めたとき，焦点距離が長いと投影像は大きくなるので，その分投影像

が暗くなるのである．したがって，レンズ口径が大きく，焦点距離の短いレンズが明るいレンズとい

うことが言える．

レンズの明るさを表す指標として Fナンバーが広く使われている．レンズ口径 D と焦点距離 f よ

り，次式で定義されている．

F ≡ f

D(5.7)


レンズのカタログには必ず記述されているので，レンズを購入する際には，必ずチェックすべき項目

である．

5.2.4 ピントの許容量

ピントの合う位置の許容量もレンズ口径と焦点距離に依存する．さらにカメラには絞りによって口

径を小さくする機能もある．この絞りは，主に明るさを調節するために使われるものであるが，ピン

トにも影響を与える．ここではピントの合う位置の許容量について解説する．

まず，レンズ口径の違いによるピントの合う位置の許容量について考えてみる．下図は，その概念

図を表したものである．投影面において，ピントの許容量を εと設定している．

D1

f

D2ε

d1

d2

許容量 εに対して，ピントの合う範囲はレンズの口径によって異なる．このピントの合う範囲は，焦

点深度 (Depth of Focus)と呼ばれている．小さい口径 D1 の場合，焦点深度は d1 の範囲となり，大

きい口径 D2 の場合に比べて長い．したがって，大口径のレンズは，慎重に高い精度でピントを合わ

せる必要がある．

次に絞りによる効果について考えてみる．下図は，レンズと焦点との間に絞りを置き，口径を小さ

くした場合の概念図である．

D

f

ε

d1

d2

絞りによって口径が小さくなるので，当然焦点深度は長くなり，ピントの許容範囲は広い．

焦点深度は，対象物とレンズとの距離にも同様に影響する．つまり焦点深度が短いと，対象物とレ

ンズとの距離が少し変わるだけでピント位置も変えなければならない．対象物側のピントの合う範囲

は，被写界深度 (Depth of Field)と呼ばれている．レンズの絞りを絞り込むことによって，様々な距

離の対象物に対して同一のピント位置でピントを合わせることができる．

ところで，プロの写真家が大口径レンズを好んで持つのは，分解能や明るさの点だけではなく，そ

れなりの理由がある．大口径だけにピント位置はシビアになるが，対象物にのみピントが合い，その

5.3 カメラキャリブレーション 113

周りがボケる傾向にある．したがって，対象物を浮き立たせる効果もあるのである．

5.2.5 投影画像の幾何

紙地図は，一般に平行投影で描かれている．したがって，下図に示すように高さのあるものであっ

てもその状況は表現出来ない．一方，画像は中心投影 (Central Projection)であり，立体的に写る．

したがって，航空写真等をそのまま地図に利用することは出来ない．

下図は，平行投影と中心投影それぞれの幾何学を模式化したものである．中心投影の場合は，投影面

が地上と平行で，かつ対象物の高さが解らなければ計測が困難であることが解る．

5.3 カメラキャリブレーション

5.3.1 内部標定

デジタルカメラ等の画像を用いて計測するには，まずカメラ内部にあるレンズの焦点距離，CCD

の大きさや，CCDにおける投影中心の位置を知っておく必要がある．カメラを購入すると，説明書

にレンズの焦点距離等の情報が載っているが，これらの値を直接使うのでは，高い精度で計測できな

い．特に投影中心位置は CCDの中心からずれている場合が多い．さらにレンズには画像の中心から

離れるに従って歪みが生じている．特にコンパクトタイプのデジタルカメラは歪みが大きい．計測の

ために必要なカメラ内部の情報は，以下のとおりである．

• 焦点距離 f

• 撮像面の大きさW × H

• 撮像面における画素数 Column × Raw

• 撮像面に置ける投影中心の位置 U, V

• レンズ歪みの定式化


そこで，これらの正確な値を方眼用紙や立体基準点を撮影して求めなければならないが，このことを

内部標定と呼んでいる．

レンズ歪みは色々あるが，特に放射方向の歪曲収差が大きい．これは，下図に示すとおり，レンズ

の中心から離れるに従って，歪みが大きくなる現象である．

θ

dr

投影面上のある点において，中心からの距離 rと歪みの量 dとの関係は，補正係数を a1, a3, a5, a7 と

すると，以下の多項式で近似できる．

d = a1r + a3r3 + a5r

5 + a7r7 (5.8)

なお，レンズ歪みは，ピント位置によって撮像面での歪みの状況が変わる．したがってレンズのピ

ント位置を固定した状態でレンズ歪みを定式化し，計測のときも同じ状態で撮影しなければならない．

市販のデジタルカメラは，ピントを自動で合わし，ズーム機能も備えている．しかし計測のために

は，ピントを無限大の位置に固定し，最広角か最望遠の状態で内部標定を行わなければならない．

5.3.2 外部標定

プラットフォームの姿勢

カメラを用いて計測する場合，カメラを何に搭載して計測するかは様々である．手にカメラを持っ

て撮影する場合から，飛行機や人工衛星に搭載する場合もある．このようにカメラを搭載するものを

プラットフォームと呼んでいる．計測する際には，このプラットフォームの位置と姿勢が解らなけれ

ば計測できない．プラットフォームの位置は，三次元の平面直角座標 (X0, Y0, Z0)で表すことが出来

る．プラットフォームの姿勢は，各座標軸の回転角で表し，それぞれ (ω, φ, κ)で表す．

自動車や飛行機・人工衛星等，移動体をプラットフォームとする時は，プラットフォームの姿勢を

表すために，進行方向を u軸とし，それに対して水平で進行方向に向かって右方向を v軸，天頂方向

を w軸としている．そして，それぞれの軸に関する角度は，ローリング角 ω，ピッチング角 φ，ヨー

イング角 κで表すことが多い．それぞれの角度は，地上座標での X軸，Y軸，Z軸からの角度で表

す．下図は，その概念図を示したものである．


w v wu

vu

ω φ κ

プラットフォームの位置を原点とするプラットフォームの座標系 (u, v, w) で示されているベクトル

を，地上座標系 (x, y, z)で表すには，回転行列を用いて以下の式で表すことが出来る． uvw

=

1 0 00 cos ω − sin ω0 sin ω cos ω

cos ϕ 0 sin ϕ0 1 0

− sinϕ 0 cos ϕ

cos κ − sinκ 0sin κ cos κ 0

0 0 1

xyz

(5.9)

ここで，注意しなければならないのが回転の順番と角度の符号である．特に行列演算においては，交

換の法則が成り立たないため注意が必要で，この場合 Z 軸，Y 軸，X 軸の順で回転させている．逆

に地上座標系 (x, y, z)をプラットフォームの座標系 (u, v, w)で表すには，逆行列を用いれば良いが，

直交座標系の回転行列においては，逆向きの角度で逆の順に回転させることと同等になる．したがっ

て，次式を用いて表すことが出来る． xyz

=

cos(−κ) − sin(−κ) 0sin(−κ) cos(−κ) 0

0 0 1

cos(−ϕ) 0 sin(−ϕ)0 1 0

− sin(−ϕ) 0 cos(−ϕ)

(5.10)

1 0 00 cos(−ω) − sin(−ω)0 sin(−ω) cos(−ω)

uvw

共線条件式

三次元の地上座標で与えられたある物体の位置 P(Xp, Yp, Zp)をカメラで撮影した場合，カメラの

投影中心を原点とするカメラ座標においては，(up, vp, wp)となり，レンズの焦点距離を cとすると投

影面上では (u, v,−c)に投影される．下の図は，その概念を示したものである．


u

vw

O(X0,Y0,Z0)

O(0,0,0)

P(Xp,Yp,Zp)P(up,vp,wp)

P'(u,v,-c)

(0,0,-c)

c

X

ω Y

Z

φ

κ

この地上座標 (Xp, Yp, Zp) とカメラ座標 (up, vp, wp) との関係は，地上座標系でのカメラの位置

O(X0, Y0, Z0)，姿勢つまり各座標軸における回転角 (ω, ϕ, κ) が解れば変換式を導くことが出来る．

つまり，カメラの投影中心から撮影された物体へのベクトルを考えると，カメラ座標系でのベクトル

の成分 (up, vp, wp)と地上座標系でのベクトルの成分 (Xp −X0, Yp − Y0, Zp −Z0)は，以下の関係が

成り立つ． up

vp

wp

=

1 0 00 cos ω − sinω0 sin ω cos ω


− sinϕ 0 cos ϕ

cos κ − sinκ 0sin κ cos κ 0

0 0 1

Xp − X0

Yp − Y0

Zp − Z0

この変換式を単純化するために，三軸それぞれの回転行列を a11～a33 を要素とする一つの行列で

表すと，以下の式となる． up

vp

wp

=

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

Xp − X0

Yp − Y0

Zp − Z0

(5.11)

次に，レンズの焦点距離 cにしたがって，物体 Pが投影面上のどこに現れるかを計算する．投影面

上の Pの位置 (u, v)は，−−→OP 上にあり，その比は c

wpとなる．カメラの座標系において w軸が上向き

の場合，焦点距離 cによる投影面の位置は，負の方向に置いた方が考えやすいため，この状況を想定

すると，以下の式を得る．

u = − c

wpup = −c

a11(xp − x0) + a12(yp − y0) + a13(zp − z0)a31(xp − x0) + a32(yp − y0) + a33(zp − z0)

(5.12)

v = − c

wpvp = −c

a21(xp − x0) + a22(yp − y0) + a23(zp − z0)a31(xp − x0) + a32(yp − y0) + a33(zp − z0)

(5.13)

この式は，共線条件式と呼ばれており，写真測量においては極めて重要な式である．この式におけ

るカメラの位置 (x0, y0, z0)と姿勢の値 (ω, ϕ, κ)は，未知数であるため，基準点データを用いて求め

ることが一般的である．基準点データは，撮影された物体のカメラ座標 (u, v,−f)と対応する地上座


標 (xp, yp, zp)が既知の点が少なくとも 3個必要となる．基準点データを共線条件式に代入しても非

線形の方程式のため，通常の連立方程式で解くことは出来ない．したがって，テイラー展開を使って

逐次計算をすることにより近似値を求めることになる．テイラー級数への展開は式（3.73）であった．

テイラー級数に展開するためにはまず，変換式を次のように関数として置き換える．

Fu(x0, y0, z0, ω, ϕ, κ) = −ca11(xp − x0) + a12(yp − y0) + a13(zp − z0)a31(xp − x0) + a32(yp − y0) + a33(zp − z0)

− u (5.14)

Fv(x0, y0, z0, ω, ϕ, κ) = −ca21(xp − x0) + a22(yp − y0) + a23(zp − z0)a31(xp − x0) + a32(yp − y0) + a33(zp − z0)

− v (5.15)

各未知係数の近似値を x00, y00, z00, ω0, ϕ0, κ0 とし，各補正量を∆x0,∆y0,∆z0,∆ω, ∆ϕ,∆κとす

ると，未知係数は，以下の式で表すことが出来る．

x0 = x00 − ∆x0 (5.16)

y0 = y00 − ∆y0 (5.17)

z0 = z00 − ∆z0 (5.18)

ω = ω0 − ∆ω (5.19)

ϕ = ϕ0 − ∆ϕ (5.20)

κ = κ0 − ∆κ (5.21)

関数 Fu, Fv において，近似値の周りにテイラー展開する．つまりテイラー級数（式 3.73）におい

て，x = x0, a = x00 とおく．すると，x0 − x00 = −∆x0 となる．他の変数 y0, z0, ω, ϕ, κについても

同様に考え，多変数の関数なので偏微分を用いると以下の式が得られる．なお，級数における二階導

関数の項以降は無視できるものとしている．

Fu(x0, ω, ϕ, κ) ≈ Fu(x00, y00, z00, ω0, ϕ0, κ0)

− ∂Fu

∂x0∆x0 −

∂Fu

∂y0∆y0 −

∂Fu

∂z0∆z0 −

∂Fu

∂ω∆ω − ∂Fu

∂ϕ∆ϕ − ∂Fu

∂κ∆κ (5.22)

Fv(y0, ω, ϕ, κ) ≈ Fv(x00, y00, z00, ω0, ϕ0, κ0)

− ∂Fv

∂x0∆x0 −

∂Fv

∂y0∆y0 −

∂Fv

∂z0∆z0 −

∂Fv

∂ω∆ω − ∂Fv

∂ϕ∆ϕ − ∂Fv

∂κ∆κ (5.23)

テイラー展開による微係数は，以下の式を用いることができる．各微係数は，基本的に偏微分する

ことによって求められるが，計算結果は非常に複雑になる．この計算は，一気に完全な解を求めるの

ではなく，補正量を求めて繰り返し計算によって解を求めるので，補正量にある程度誤差が含まれて


も問題はない．そこで，以下のような近似式で一般に代用されている．

∂Fu

∂x0=

ca11 + ua31

a31(xp − x0) + a32(yp − y0) + a33(zp − z0)(5.24)

∂Fu

∂y0=

ca12 + ua32

a31(xp − x0) + a32(yp − y0) + a33(zp − z0)(5.25)

∂Fu

∂z0=

ca13 + ua33

a31(xp − x0) + a32(yp − y0) + a33(zp − z0)(5.26)

∂Fu

∂ω=

uv

c(5.27)

∂Fu

∂ϕ= −u2

ccos ω − u sinω − c cos ω (5.28)

∂Fu

∂κ=

∂Fu

∂x0(yp − y0) −

∂Fu

∂y0(xp − x0) (5.29)

∂Fv

∂x0=

ca21 + va31

a31(xp − x0) + a32(yp − y0) + a33(zp − z0)(5.30)

∂Fv

∂y0=

ca22 + va32

a31(xp − x0) + a32(yp − y0) + a33(zp − z0)(5.31)

∂Fv

∂z0=

ca23 + va33

a31(xp − x0) + a32(yp − y0) + a33(zp − z0)(5.32)

∂Fv

∂ω= c +

v2

c(5.33)

∂Fv

∂ϕ= u sin ω − uv

ccos ω (5.34)

∂Fv

∂κ=

∂Fv

∂x0(yp − y0) −

∂Fv

∂y0(xp − x0) (5.35)

(5.36)

x00, y00, z00, ω0, ϕ0, κ0 の初期値と基準点データを式 5.22，式 5.23に代入し，最小二乗法を適用す

れば，補正量 ∆x0,∆y0,∆z0,∆ω, ∆ϕ,∆κが求まる．

三次元射影変換

共線条件式である式 5.12, 5.13において変数は，内部標定要素である焦点距離 cを除くと，カメラ

の位置 (x0, y0, z0)，カメラの姿勢 (ω, φ, κ)の 6つである．しかしこの式は複雑なので，簡潔に表した

ものが三次元射影変換である．既に第三章において式 3.69に記したが，改めて以下に表す．u =

a1x + a2y + a3z + a4

a9x + a10y + a11z + 1

v =a5x + a6y + a7z + a8

a9x + a10y + a11z + 1

(5.37)

変数が，11に増えたが，式自体は簡単である．したがってこの式を三次元計測に利用することも可能

である．この式は，分数関数で非線形に見えるが，右辺の分母を両辺にかけて線形化することができ

る．線形化すれば，基準点データを用いて変数を求めるとき，直接最小二乗法を適用することができ

る．なお，二次元射影変換は，二次元平面状なので，上式において z = 0を代入したものにすぎない．

5.4 三次元計測 119

5.4 三次元計測

5.4.1 立体視

θa

θb

人間の目が 2つあるのは，奥行きの感覚を得るためである．したがって，右目用

の写真，左目用の写真を用意し（ステレオペア写真と呼ぶ），右目で右写真，左目で

左写真を見れば奥行き感のあるものとなる．これを立体視という．何の装置も使わ

ず立体視するには訓練が必要だが，立体視鏡を利用すれば簡単に立体視ができる．

対象物までの距離と右目写真・左目写真を撮影する間隔は奥行き感に影響を与える．

当然，左右の間隔が大きいほど奥行き感を得ることができるが，立体視するのが難

しくなる．

左右の間隔が大きいと立体視するのが難しいと述べたが，これは両眼視差による

ものである．右図において点 B を見る時，左右の目とも網膜の中心に投影される

ように目が動く．この時点 Aは，右目と左目で投影される場所が大きくずれてしま

う．これを両眼視差といい θa − θb で表される．これが大きすぎると，心地好く立

体視することができない．

5.5 ステレオ幾何モデル

三次元ステレオ幾何モデルを示す．図は，地上の対象物 Pのステレオ画像が得られた時の幾何モデ

ルを表したものである．外部標定において解説した図が二つになったにすぎない．左右の画像におけ

る外部標定結果を用いて対象物 Pの地上座標 (Xp, Yp, Zp)を求めることが，カメラによる三次元計測

である．左側のカメラの位置が (XL0, YL0, ZL0)，姿勢が (ωL0, φL0, κL0)であり，右側のカメラの位

置が (XR0, YR0, ZR0)，姿勢が (ωR0, φR0, κR0)であったとする．対象物 Pは，左右の画像において，

それぞれ (uL0, vL0,−c)(uR0, vR0,−c)という画像座標に投影されるが，対象物 Pの地上座標はこの

とき未知なので，どこに投影されるかは計算できない．したがって，対象物 Pが投影されたそれぞれ

の画像座標を決定することが，三次元計測においては重要である．具体的には，対象物 Pがそれぞれ

の画像上のどこに写っているのかを探し，その画像座標を正確に取得しなければならない．これら左

右の画像座標は，ステレオ対応点と呼ばれ，目視判読で取得したり，画像処理手法によって取得した

りする．画像処理を用いる場合は，対象物 Pが含まれる左画像の小領域が，右画像においてはどこに

相当するのかを画像マッチングの手法により決定できる．この手法は，ステレオマッチングとも呼ば

れ，様々な手法が提案されている．これについては，画像処理の項目において解説する．何れにして

もステレオ対応点の画像座標が正確でなければ，三次元計測において大きな誤差を生じさせることに

なる．


u

vw

(XL0,YL0,ZL0)

P(Xp,Yp,Zp)

(uL1,vL1,-f)

c

u

vw

c

(XR0,YR0,ZR0)

(XL1,YL1,ZL1) (XR1,YR1,ZR1)(uR1,vR1,-f)

ステレオ対応点の画像座標が決定されれば，対象物 Pの地上座標を求めることは，さほど難しいもの

ではない．つまり，左カメラの投影中心から対応点へのベクトルの延長線上に対象物 Pがあり，右カ

メラについても投影中心から対応点へのベクトルの延長線上に対象物 Pがある．したがって，三次元

空間における二直線の交点を計算すれば良いことになる．

具体的には，まず対応点の画像座標を地上座標に変換しなければならない．，左画像の場合，対応点

の画像座標 (uL0, vL0,−c)を地上座標 (XL1, YL1, ZL1)に変換するには，カメラの姿勢による回転行

列をとカメラの位置 (XL0, YL0, ZL0)を用いて表すと，以下のようになる． uL1

vL1

−c

=

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

XL1 − XL0

YL1 − YL0

ZL1 − ZL0

(5.38)

上式はカメラの位置から対象物 Pが画像上に投影された座標へのベクトルについての関係式である．

地上座標系でのベクトルを求めるには，逆行列を利用し，以下の式で計算できる． XL1 − XL0

YL1 − YL0

ZL1 − ZL0

=

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

−1 uL1

vL1

−c

(5.39)

このベクトルを用いて，空間直線の式は，媒介変数 tを用いて以下のように表すことが出来る．X = (XL1 − XL0)t + XL0

Y = (YL1 − YL0)t + YL0

Z = (ZL1 − ZL0)t + ZL0

(5.40)

5.5 ステレオ幾何モデル 121

右画像についても同様に空間直線の式をたてるが，このとき媒介変数を s とすると，以下のように

なる． X = (XR1 − XR0)s + XR0

Y = (YR1 − YR0)s + YR0

Z = (ZR1 − ZR0)s + ZR0

(5.41)

これら，２直線の交点を求めるわけであるが，空間直線に誤差が含まれているので２直線が交わるこ

とはない．したがって，２直線間の距離が最も近い部分が，求めたい地上座標といえる．その座標を

求めるには，様々な方法があるが，簡単な方法としては，２直線間の距離の関数より求めることが出

来る．つまり，２直線間の距離の二乗 L2 は，以下の式で表すことが出来る．

L2 = (XL1 − XL0)t + XL0 − (XR1 − XR0)s − XR02

= (YL1 − YL0)t + YL0 − (YR1 − YR0)s − YR02

= (ZL1 − ZL0)t + ZL0 − (ZR1 − ZR0)s − ZR02 (5.42)

距離 Lが最小となる媒介変数 s, tを求めれば良いので，この距離 Lの関数を s, tで偏微分し，それら

が 0となる s, tを求める．つまり，∂L2

∂s = 0, ∂L2

∂t = 0を計算し，連立一次方程式を解くことになる．

s, tが求まれば，それぞれの空間直線の式に代入し，最も距離の近い場所が２点求まる．それら２点

の中点が求める三次元座標となる．

123

第 6章

地球規模での位置決定

局所的な位置関係を測るのであれば，地球上の表面のある部分は平面と見なして，測量や画像によ

る計測によって得られる成果を用いたので十分であるが，対象範囲が広くなって来ると地球の丸みを

考慮しなければならない．そうなって来ると，地球の形や大きさをまずは決めて，緯度経度の概念で

もって地球上の位置を表現する必要がある．地球の大きさと形については，第四章の水準測量におい

て少し触れた．本章では，緯度経度の定義とその測り方の基礎について解説する．

6.1 天体の運行と暦

地球上において位置を表現するのに緯度経度を利用しているが，本来緯度経度を測るには天体の日

周運動や年周運動をもとに決定される．特に経度の決定においては，正確な時刻が判っていなければ

ならない．したがって，暦に対する理解も必要である．ここでは天体の運行と暦について，天文観測

を通じて緯度経度を計測するうえで必要となる事柄について解説しておく．

6.1.1 観測点における天体の位置の表現

観測点を中心におき，地平面を円で表し，東西・南北方向の軸を設定する観測点において，地平面

に対する法線方向を天頂 (Zenith)と呼んでいる．また，地平線上の北，天頂，地平線上の南を通る大

円を子午線と読んでいる．

124 第 6章地球規模での位置決定

SW

EN

Z

P

Α

h

z

ある天体の位置は，上図に示されているように方位角と高度で表す．方位角は，南から西回りの角度

Aで，高度は地平線からの角度 hで表すのが一般的である．高度を表すのに天頂角を用いることもあ

る．天頂角は，天頂からの角度 z で表す．

恒星は，地球が自転していることから，時間とともに見かけの位置が動く．これを日周運動と呼ん

でいる．日周運動において，天体が子午線を通過するときを正中と呼んでいる．特に南側の子午線を

通過する時は南中，北側の子午線を通過する時は北中と呼ぶことがある．

6.1.2 太陽時

太陽時は，我々にとって慣れ親しんでいる暦である．太陽の日周運動を基準に１日を定義しており，

太陽が正中してから次の正中までの時間を１日としている．これが時刻の基準である．１日の長さを

24で割ったものを１時間とし，１時間が 60分，１分が 60秒と定義されている．

正中する時刻は，地域によって異なるために標準時が設けられている．ちなみに世界標準時は，グ

リニッジにおける時刻を基準としている．グリニッジ天文台では，12 時にほぼ太陽が正中する．し

かし丸い地球においてグリニッジの反対側の地域では，深夜 0時に太陽が正中することになる．した

がって，世界標準時を各国に適用すると，生活時間帯が国によってバラバラになるのが問題である．

そこで各国では，およそ太陽が正中しているときが正午となるような標準時を設けている．日本にお

いては，東経 135度線にある明石における時刻を日本標準時としている．それでもなお，標準時が設

定された地点と観測点では太陽の正中時刻にズレが生じるのは否めない．各観測点での地方時と標準

時にズレがあるのである．例えば，東京が観測点の場合，東京での太陽の正中時刻は，明石よりも東

に位置するため 12時よりも早くなる．

ところで，地球の自転１回転と１日の長さは，若干異なる．それは，地球が自転しているとともに

公転しているためで，下図を参照すれば判ってもらえるであろう．太陽が正中した時点での地球上の

位置を基準とし，地球が一回転した時点で基準となる位置においては，太陽はまだ正中していない．

もうすこし自転しなければ，１日とはならないのである．したがって，公転の影響により１日の長さ

は，地球一回転よりも若干長くなるのである．

6.1 天体の運行と暦 125

一年とは

一年は，地球の公転一回分の時間をさす．つまり太陽がある点を通過し，再び通過するまでの時間

と定義されている．現在は１年＝ 365.2425日とされており，端数が生じているために閏年を利用し

て１年の長さを調整している．閏年とは，１年の長さを 366 日にする年のことである．通常は１年

365日であるが，４年ごとに 366日とすることで，365+1/4=365.25日となる．しかし，これでは精

度的に不十分なので 100年目は閏年ではないようにすることで，365+1/4-1/100=265.24日となる．

さらに精度良くするため，400年目は閏年にすることで，365+1/4-1/100+1/400=365.2425日とな

り，現在，1/10000 の精度で１年間の日数が調整されている．古いカレンダーがあれば，2000 年が

400年に１度の特例で閏年となっていることを確認できる．

１秒とは

１秒は，１日の長さを基準としているので，先にも述べたように，あくまでも 1秒=1/(24時間*60

分*60秒)日である．この定義に一致する時計が必要なのである．古代より正確な時計が必要とされ

ており，日時計，砂時計，振り子時計，ゼンマイ時計，水晶（Quartz）発振時計と進化して来た．水

晶は，特別な加工を施した後に電圧をかけると歪む性質がある．そこで交流電圧を流すことで，水晶

の共振する周波数を発振器として利用できるのである．この発振器により現在では，1ヶ月あたり数

秒の精度を持つ時計が開発されている．

科学の分野においては，水晶発振時計では不十分であり，極めて高い精度が要求される．現在最も

正確な時計として，原子時計が利用されている．原子時計は，133Cs（セシウム）原子が発振器となっ

ている．この 133Csは，放射性物質であり，超高速で原子を回る電子の軌道が変化しており，それが

発振器として利用されている．現在原子時計における 1秒は，133Csの基底状態の 2つの超微細準位

の間の遷移に対応する放射 9,192,631,770周期の継続時間と定義されている．つまり，91億分の 1秒

の精度を持つ時計ということになる．この原子時計を利用すれば，光の速さも測れるという高精度さ

である．このように原子時計は，正確に時を刻み，１秒が定義されているが，１年の長さと同様に１

秒の長さにおける原子時計の発振器の周期には，端数が生じているために，やはり定期的に調整しな

ければならない．したがって数年に一度，閏秒を導入し，調整している．


6.1.3 恒星時

恒星時は，地球の自転を基準に定義している．つまり太陽時の１日に比べて，恒星時は若干短く，

１恒星日＝ 23時間 56分 04.09秒とされている．この時間が，地球の自転一回転分の時間である．こ

の暦は，人工衛星や惑星の動き等を星座の上で表現するときに必要となる．

地球の自転軸と公転軸の向きは一致していない．自転軸は，公転軸に対して約 23.4度傾いている．

その傾きは，ほぼ一定のまま公転しているので，日本においては夏の太陽は高い高度で正中し，冬の

太陽は低い高度で正中する．下図は，地球の公転軌道と自転軸の傾きを模式化したものである．

公転軌道の周りには黄道 12星座を配置させた．黄道とは地球の公転面にあたり，地球から見ると太

陽が星座上を通る道筋ともいえる．図中における地球の位置は，夏至の状態にあり，地球から見ると

太陽はふたご座に位置している．なお，公転・自転ともに運動の方向は，左回りとなっている．図中

における春分点については，次節で解説する．

6.2 天球上での天体の位置

恒星までの距離は，太陽系の大きさに比べて極めて大きい．下図は地球の公転軌道，太陽系の大き

さ，最も近い恒星までの距離を模式化したものである．太陽と地球との距離を 1AU（天文単位）とす

ると，最も近い恒星までの距離は 28万倍となる．つまり 280m離れた所から 1mmの動きを見るよ

うなものである．したがって，地球が太陽の周りを公転していても恒星の見かけの位置は，地球の自

転による日周運動のみで回転運動しているように見れる．

6.2 天球上での天体の位置 127

このように恒星が，地球から極めて遠いことを考えれば，天球という概念を取り入れて恒星の位置

を表すことができる．下図のように恒星を天球上に配置させ，地球はその中心で自転しているという

概念である．

したがって天球は，地球の自転に合わせて回転していると見なせる．いわゆる天動説の概念であるが，

恒星の日周運動を表現するには十分である．

天の北極・南極・赤道は，地球の北極．南極・赤道と相対的な位置関係は変わらない．つまり，地

球上の同一観測地点において，恒星は常に同じ経路を辿りながら日周運動をしていることになる．例

えば，北極星はほぼ天の北極に位置しているため，常にほぼ同じ位置に見える．ところが太陽は，冬

は低く，夏は高い．このことは先にも述べた．この太陽の見かけの位置を天球上にプロットし，線で

表したものが黄道である．この黄道と天の赤道とは，２箇所で交差する．このうち太陽が赤道の南か

ら北へ昇っていく点を春分点と呼んでいる．暦の上での春分の日は，太陽が春分点を通過する日のこ


とである．年によって春分の日が異なることがあるが，これは１年が 365.2425日と半端なためであ

る．閏年として４年ごとに調整するのではなく，太陽が春分点を通過する日はいつかという観点で春

分の日が定められている．

恒星の位置を天球を使って表すことが出来る．地球上の位置を緯度経度を使って表すのと同じ概念

である．天球において緯度にあたるのが赤緯 δ，経度にあたるのが赤経 αである．赤緯 δ は，恒星と

天球の中心との線分が赤道面となす角度で表し，北向きを＋としている．赤経 α は，恒星が通る子

午線と春分点を通る子午線のなす角度で表す．子午線とは，北極・南極を通る大円のことである．赤

経 αは，東向きが＋の角度で表すこともあるが，360度を 24時間とする時刻で表すことが一般的で

ある．

6.3 緯度・経度

　地球上での位置は，緯度 φ・経度 λで表すのが普通である．恒星の位置を表す赤緯同様，緯度は

赤道．経度の基準であるグリニッジ子午線からの角度で表される．グニッジ子午線は，イギリスにあ

るグリニッジ天文台を通る子午線のことである．この子午線より東向きに東経，西向きに西経を用い

ている．

λφ

P

6.3.1 緯度の計測法

緯度の概略値を知るには北極星の高度を計測するのも良いが誤差が含まれている．つまり，北極星

は真の北極に位置していないのである．したがって，位置（特に赤緯）の解っている天体の南中高度

（子午線通過時の高度）を測れば，緯度を導くことができる．もちろん，北極星の赤緯も既知なので，

その南中高度を測っても結果は得られる．

6.3 緯度・経度 129

上図は，緯度を測るための概念図を示したものである．赤緯 δ の恒星は，地球の赤道面に対して角度

δ の傾きで光が地球に届けられる．図中の破線は，その光の傾きを表している．恒星は極めて遠い位

置から光を放っているため，光の傾きは地球上においては平行と見なすことが出来る．観測点 Pの緯

度が φで，Pにおける恒星の正中高度が θ のとき，φ, δ, θ の関係は，以下の式で表すことが出来る．

φ = δ +πrad

2− θ (6.1)

なお，ここでは地球を真の球とみなして得られる緯度であるが，実際には地球の形は球でなく回転

楕円体に近い．それについては，水準測量の節において既に述べた．下図は，地球の形を楕円として

模式化したものである．地球が球であれば，地球中心から観測点 Pへのベクトルが，観測点 Pにおけ

る天頂方向と一致する．しかし楕円の場合，観測点 Pにおける天頂の方向は，楕円体の接線に対する

法線ベクトルの方向となるため，地球中心から観測点 Pへのベクトルとは一致しない．したがって，

この計測によって得られる緯度は，下図においては φとなる．この緯度を地理緯度と呼び，地球の中

心と観測点を通る角度の φ′ とは異なる．φ′ は特に地心緯度と呼ばれている．我々が一般に地図など

で用いている測地緯度は，天体を測って得られる地理緯度を基本としている．


P

φ

O

φ'

地理緯度と地心緯度の相互関係については，後述する．

6.3.2 経度の計測法

経度は，恒星の位置を測るだけで求めるのは困難である．経度を知るには天体が正中する時刻を測

ることによって求まる．太陽は見かけ上，24時間かけて日周運動をしており，1時間あたり 15°動

く．例えば，グリニッジにおいて太陽が 12時に正中したとする．日本の明石は東経 135°なので，時

差は 9時間となるので，明石において太陽が正中するのは世界時 3時である．このように太陽の正中

時刻を測ることによって経度が求められるのである．

高知の経度は，東経 133° 33’33”=133.5592°で，明石の東経 135°よりも 1.4408°西側に位置し

ている．したがって高知と明石の時差は， 1.440815 = 0.096055時間=5分 46秒となる．つまり高知で

太陽が正中するのは，12 時 5 分 46 秒と計算できる．ところが厳密には計算通りに行かない．それ

は，地球の軌道が円軌道ではなく，楕円軌道であることに由来し，それに伴って地球の公転速度が変

化しているためである．これについては，後に天体の軌道について解説するので，そこで学んでもら

いたい．

ところで，古来より各地に天文台が建設されてきた．これは，暦を作り，天文台自身の地球上の位

置を計測する役割があったのである．

6.4 地球を球体とする緯度経度の座標変換

経緯度座標系は，地球上の位置を表現するのには向いているが，人工衛星などの宇宙空間での位置

を表すのには向いていない．宇宙空間における見かけの位置は赤道座標系（赤緯赤経）で表すことも

できるが，あくまでもそれは天球上に投影された見かけ上の位置である．特に動く天体の位置を推算

する時は，XYZの直交座標系で表した方が便利である．ここでは，地球を球体と見なして緯度経度

6.4 地球を球体とする緯度経度の座標変換 131

と直交座標系の変換について解説する．

地心直交座標系は，人工衛星などの地球を中心にまわる天体を表すのに用いる．地心直交座標系に

おける各軸の方向は，次の通りで，単位は m等の長さの単位を用いる．

• X軸：東経 0°の方向

• Y軸：東経 90°の方向

• Z軸：北極の方向

λ

φ

X

Y

Z

P

O

r

なお，惑星など，太陽系天体の位置を表すには，太陽と中心とする直交座標系（日心直交座標系）

を用いる．

6.4.1 地心直交座標系から緯度経度への変換

経度への変換

XY平面を考える．λ = tan−1 y

x(6.2)

緯度への変換

XY平面に投影された Pと原点との距離は，√

x2 + y2 である．

次に点 Pを通る子午面を考え，φ = tan−1 z√

x2 + y2(6.3)

6.4.2 緯経度から地心直交座標系への変換

まず，基準となる点を設定し，Pに到達するようにその点を回転させることによって計算する．

基準となる点を，グリニッジ子午線と赤道とが交差する点におくと，この点は地球の半径を r とすれ

ば，XYZの直交座標で表すと (r, 0, 0)となる．この基準となる点を Y軸まわりに φ回転させ，次に

Z軸まわりに λ回転させれば，Pに到達する．なお，回転の順序と回転角の符号には注意しなければ


ならない．Z軸回りに先に回転させると，次に回転させるべき軸は X軸でも Y軸でもない状態とな

る．行列のかけ算において，交換の法則が成り立たない所以でもある．回転角の符号は，右手系は右

回りが正となるので，Pが北半球にある場合，Y軸まわりに −φ回転させることになる． xyz

=

cos λ − sin λ 0sin λ cos λ 0

0 0 1

cos φ 0 sin φ0 1 0

− sinφ 0 cos φ

r00

(6.4)

したがって，次式を得る． xyz

=

r cos φ cos λr cos φ sinλ−r sinφ

(6.5)

6.5 地理緯度と地心緯度との関係

地球の形が回転楕円体とすると，下図において点 Pにおける緯度は，地心緯度と地理緯度の２つあ

ることは既に述べた．地心緯度は，楕円体の中心を基準とする φ′ である．一方地理緯度は，点 Pに

おける天頂の方向を逆に伸ばして出来る角度 φである．

a-a

b

-b

c-c

Zenith

P

θφ'

φ

O

G

この天頂方向のベクトルは，楕円体上の P における接平面の法線方向に等しい．したがって，地理

緯度と地心緯度の関係を導くためには，楕円体上の法線ベクトルを求める計算からしなければならな

い．その後，点 Pと点 Gとの距離を計算し，地理緯度 φから点 Pの座標を求めることができる．

6.5 地理緯度と地心緯度との関係 133

6.5.1 楕円体上の法線ベクトルを求める

楕円体上の法線ベクトル (Nx, Ny)は，方程式型で表した楕円の関数を偏微分することによって導

くことができる．まず，楕円の関数 f(x, y)は，次式となる．

f(x, y) =x2

a2+

y2

b2− 1 (6.6)

この関数をグラフ化すると．以下のような曲面になる．f(x, y) = 0なる曲線が，元の楕円である．

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-20-15

-10-5

0 5

10 15

20

-100

0

100

200

300

400

500

600

Z axis

3D Surface

x*x/3+y*y/1-1

X axis

Y axis

Z axis

この曲面において，x, y でそれぞれ偏微分すると，∂f(x, y)

∂x=

2x

a2

∂f(x, y)∂y

=2y

b2

(6.7)

点 Pの座標は，(a cos θ, b sin θ)なのでこれを代入し，法線ベクトル (Nx, Ny)が得られる．Nx =

2 cos θ

a

Ny =2 sin θ

b

(6.8)

したがって，法線の式をパラメータ tで表すと以下の式を得る．x =

2 cos θ

at + a cos θ

y =2 sin θ

bt + b sin θ

(6.9)

6.5.2 PG間の距離を求める

　地理緯度 φから点 Pの座標を求めるには，下図のように Pを通る法線において，y 軸との交点

Gと Pとの距離 N が必要となる．


a-a

b

-b

c-c

Zenith

P

φ

N

O

G

T

SQ

それにはまずGの座標を求めなければならない．Gの x 座標は 0なので，法線の式において x = 0

を満たす tを求め，それを y の式に代入すれば良い．すると y座標の値は，次式を得る．

y =(b2 − a2) sin θ

b(6.10)

したがって，Gを原点とすると，Pの x座標は a cos θ，y 座標は b sin θ − (b2 − a2) sin θ

bとなり，

N の長さは以下のように導くことができる．

N2 = (a cos θ)2 +(

b sin θ − (b2 − a2) sin θ

b

)2

= a2

(b2 cos2 θ − a2 sin2 θ

b2

)(6.11)

上式において，N は θで表されている．最終的には，地理緯度 φで表す必要があるため，ここで φ

と θ の関係を求めておく．それには，法線の傾きと tanφが等しいことを利用すると，次式を導くこ

とが出来る．

tanφ =

2 sin θ

b2 cos θ

a

=a

btan θ (6.12)

さらにこの式を整理すると，以下の式を得る．

b2 cos2 θ =a2b2 cot2 φ

b2 + a2 cot2 φ(6.13)

a2 sin2 θ =a2b2 tan2 φ

a2 + b2 tan2 φ(6.14)

b2 cos2 θ − a2 sin2 θ

b2=

a2

a2 cos2 φ − b2 sin2 φ(6.15)

6.6 地球を回転楕円体とする緯度経度の座標変換 135

したがって，上式を式 6.11に代入し，離心率 eを用いて整理すると，次式を得る．

N2 =a2

1 − e2 sin2 φ(6.16)

6.5.3 点 Pの座標を φを用いて計算する

　次に求まった N を用いて，T の長さを求める．T は，Pにおける法線において，Pと x軸の交

点 Sとの距離である．これを求めるには，三角形 PSQとその相似三角形 OGSの比を用いる．まず，

OG:PQは，y 座標の値を利用して次式で表される．

b2 − a2

bsin θ : b sin θ = (b2 − a2) : b2 (6.17)

ここで，a2 > b2 のときは，(a2 − b2) : b2 となる．したがって，

(a2 − b2) : b2 = (N − T ) : T (6.18)

これを整理すれば，次式を得る．

T =b2

a2N (6.19)

最終的に点 Pの座標を N と φで表すと，以下のようになる．x = N cos φ

y = b2

a2 N sinφ(6.20)

したがって地理緯度 φと地心緯度 φ′ の関係は，tanφ′ = yx より，次式が導かれる．

tanφ′ =b2

a2 N sin φ

N cos φ(6.21)

6.6 地球を回転楕円体とする緯度経度の座標変換

地理緯度を用いて子午線の面における座標計算が出来るようになったので，地理座標で表された緯

度経度を三次元直角座標に変換することへと展開できる．三次元直角座標における各軸は，前節と同

様，以下の図のようになっている．つまり，x軸は子午線と赤道との交点への方向，y 軸は経度 90°

と赤道との交点への方向，z 軸は北極方向とする．

λ

φ

X

Y

Z

P

O

r


回転楕円体上の点 P の地理緯度が φ，経度が λ のとき，点 P の三次元座標 (x, y, z) を求めた

い，このとき，点 P を y 軸回りに −φ 回転させて x − z 平面と一致させたときの点 P の座標は，

(N cos φ, 0,− b2

a2N sinφ) である．したがって，この座標を z 軸回りに +λ 回転させて，元の位置に

戻せば良い．これを回転行列を用いて表すと，以下のようになる． xyz

=

cos λ − sin λ 0sinλ cos λ 0

0 0 1

N cos φ

0

− b2

a2N sinφ

(6.22)

したがって， xyz

=

N cos φ cos λN cos φ sinλ

− b2

a2N sinφ

(6.23)

これにより，地理緯度と経度の値より，回転楕円体においても座標変換が可能である．

137

第 7章

衛星リモートセンシングによる位置計測

リモートセンシングは，いわゆる非接触での物体判読の技術である．例えば溶鉱炉の中の温度を非

接触で測るのに，光の色や強さを測って温度を求める手法は，まさにリモートセンシングである．そ

して衛星リモートセンシングは，1970年代に生まれた技術で，気象の状態や地表の状態を測るための

ものである．アメリカの海洋気象衛星 NOAAや陸域観測衛星 Landsatは，この時代に登場した．こ

れらの衛星リモートセンシングの目的は，位置を測る目的ではないが，その後ステレオ画像を取得で

きる人工衛星の登場により，三次元での位置計測が可能となっている．フランスの SPOTはその代

表例である．

本章では，衛星による位置計測について解説する．基本的には第五章の画像を用いた位置計測に準

ずる．一般に写真測量においては，外部標定要素であるカメラの位置と姿勢を基準点を用いて求める

必要がある．航空写真の場合には，最近では GPSによりカメラの位置をリアルタイムに近い状態で

求め，慣性計測装置（加速度計の組み込まれたもので Inertial Measurement Unit: IMUと呼ばれて

いる）により，姿勢も基準点を用いずに求めることが，できるようになってきた．人工衛星の場合に

も GPSを搭載し，スタートラッキングと呼ばれる人工衛星からいくつかの恒星を観測することで衛

星の姿勢を求めることも可能となってきた．もともと，人工衛星は航空機に比べて軌道が安定してい

るため，軌道情報が解れば人工衛星の位置を推定することができる．そこで本章では，まず始めに人

工衛星の軌道を学ぶために必要な基礎的な力学について解説する．

7.1 力学基礎

人工衛星を用いて測る場合，人工衛星の位置を推算することが第一に重要となる．その後は画像計

測の延長線上にあると言える．そこで本節では人工衛星の位置推算において基礎となる力学について

解説する．

7.1.1 運動の法則

静止している物体に力を加えると，運動したり，変形したりする．物体の運動のみについて考える

ため，ひとまず変形しないものを扱えば，加わった力は全て運動のために働く．つまり力によって速

138 第 7章衛星リモートセンシングによる位置計測

度が与えられ，変化する．速度 (Velocity)とは，単位時間あたりの距離の変化量である．そして，速

度の時間的な変化は，加速すると表現している．加速度 (Acceleration)とは，単位時間あたりの速度

の変化量である．したがって，速度 v は距離の変化量 xを時間 tで微分したものと定義され，加速度

αは速度 v を時間 tで微分したものと定義できる．

v =dx

dt(7.1)

α =dv

dt

=d2x

dt2(7.2)

ある一定の速度で運動している物体は，力が加わらない限り速度の変化はない．その速度で動き続

けようとする．これを慣性の法則と呼んでいる．慣性の法則は，ニュートンが運動の法則として挙げ

ている３つの法則のうちの第一法則である．1687 年にニュートンが発表したプリンキピアという書

物に，この運動の法則についても記されている．

ある一定の速度 v0 で直線上に進んでいる物体があるとする．いわゆる等速運動である．時刻 t = 0

において物体が x0 を通過したとき，ある時刻 tにおける物体の位置 xは，tの関数で次式のように表

すことができる．x = v0t + x0 (7.3)

もともと速度とは，単位時間あたりの位置の変化なので，距離の変化量を時間で微分することで得ら

れた．したがって，逆に移動後の位置を求めるには，速度 v0 について，tで積分すれば良いこととな

り，上式となるわけである．

次に速度が変化するような加速度運動を考える．速度の変化が時間的に一定のときは，加速度が一

定で，いわゆる等加速度運動となる．ある一定の加速度 αで直線上に進んでいる物体があるとする．

時刻 t = 0において物体の速度が v0 のとき，ある時刻 tにおける物体の速度 v は，tの関数で次式の

ように表すことができる．v = αt + v0 (7.4)

時刻 t = 0において物体が x0 を通過したとき，ある時刻 tにおける物体の位置 xは，上式を tで積

分した関数で次式のように表すことができる．

x =12αt2 + v0t + x0 (7.5)

さて，以上のことを踏まえて，ボールを投げたときの軌跡について考えてみる．ボールを投げると

き，ボールが加速を受けるのは，振りかぶってボールが手から離れるまでの瞬間である．その後ボー

ルは慣性の法則に従って等速運動をしようとするが，重力の作用によって落下する（ここでは，空気

抵抗は無視することとする）．重力は地球の中心に向かって物体を引っ張る力で，引力とも呼ばれて

いる．したがって重力は，速度を変化させているので，立派に力といえる．そして重力は，地表にお

いてはほぼ一定なので，ボールに対して下向きの加速度を常にもたらす．例えば，斜め上にボールを

投げたとすると，手から離れた瞬間のボールの速度 v0 は，ベクトルで水平方向の x成分と鉛直方向

7.1 力学基礎 139

の y 成分に分解することができる．投げ上げる角度を x軸から角度 θで表すと，それぞれの速度成分

は，次式で表すことができる． vx = v0 cos θ

vy = v0 sin θ(7.6)

x成分については，慣性の法則に従い，そのままの速度を保つが，y成分については，重力が下向きに

働く．したがって y成分の速度は，時間とともに変化する．重力加速度 (Gravitational Acceleration)

の値を g としたとき，向きは下向きなので，それぞれの速度成分は，次式で表すことができる．vx = v0 cos θ

vy = −gt + v0 sin θ(7.7)

この式は，数学でいえば tを媒介変数として表している連立方程式である．ボールの位置は，上式を

tで積分すればよいので，次式で表すことができる．なお，原点は手を離れた瞬間の位置としている．x = v0 cos θt

y = − 12gt2 + v0t sin θ

(7.8)

下のグラフは，v0 =30 m/s（108 km/h)，θ =45°のときのボールの奇跡を上式に従って描いたも

のである．グラフにおける矢印は，各点における速度の成分を示した．なお，重力加速度 g の値は，

9.8m/s2 を利用したが，重力加速度については，万有引力の法則の項でさらに解説する．

vx

vy v0

y

xθ

このグラフより，放物線を描き，飛距離は約 90mであることが解る．

さて，次に力について解説する．力と運動の法則が，ニュートンの運動の法則においては第二法則

として記されている．物体の質量を m，それを動かすときの加速度を αとすると，力 (Force) F は，

次式で表される．F = mα (7.9)

力は質量と加速度のかけ算で表している．同じ加速度で動かすのに，質量の大きいものは大きな力が

必要であることを示している．力の単位としては N（ニュートン）が利用されている．質量が 1kgの

物体に 1m/s2 の加速度を与える力を 1Nとしている．ところで，力と加速度は，それぞれ向きと大き

さを持つので，ベクトルで表現し，F = mαとも表現できる．

ここで質量 (Mass)とは，重さを表す指標である．人間が感じる重さは，重力や浮力の作用によっ

て，同じ物体であっても異なる．5kgの鉄アレイでも，重力の小さい宇宙ステーションの中では非常

に軽く持ち上げることができる．したがって，重力の作用に関わらない重さの指標が必要であり，そ


れが質量である．バネばかりは，重力の作用を利用した重さを測る道具である．したがって重力の異

なる場においては，値が異なる．天秤ばかりは，分銅等の測る基準と比べることによって得られる値

なので，重力の作用によらず，相対的な重さの違いを測ることができ，質量を測る上では重要な機器

である．

運動の法則において第三法則は，作用・反作用の法則である．ある物体に力を与えた場合，その物

体からも力を返し，その大きさは等しいというものである．Aから Bに与えた力を Fa，Bから Aに

返って来た力を Fb とすると，次式で表すことができる．

Fa + Fb = 0 (7.10)

力は，ベクトルで表現しており，Fa と Fb は，逆向きであるため，その和はゼロとなる．これは，運

動量の保存則を示している．

運動量 (Momentum)pは，次式のように質量mと速度 v の積によって表現される．

p = mv (7.11)

この運動量と力との関係をみると，F = mαで，速度 v を時間 tで微分したものが加速度 αである

から，次のように表すことができる．

F =d

dt(mv) (7.12)

つまり，運動量を時間で微分したものが力であるといえる．運動量が変化するということは，力が働

いているということである．この運動量が保存されるということを考える場合，例えば速度が一定の

場合，その運動量も一定で，F = 0となる．したがって，力が与えられない限り速度は一定を保つこ

ととなり，慣性の法則を表している．

物体に力を与えて，どれだけの距離を動かしたかで仕事量が求まる．仕事 (Work) W は，力 F と

移動距離 r との積で次式のように表すことができる．

W = F · r (7.13)

ここで積というのは，内積を表している．下図は，ある物体を力 F によって移動させた図を描いて

いる．

r

F

θ

力の方向と移動距離の方向とが異なる場合，内積で表すと |F ||r| cos θとなり，矛盾はない．しかも仕

事は，方向を持たないスカラー量となる．仕事の単位は J（ジュール）であり，1Jは 1Nの力で 1m移

7.1 力学基礎 141

動させる仕事量としている．また仕事には時間がかかるが，単位時間あたりの仕事を仕事率 (Power)

と呼んでいる．仕事率の単位はW（ワット）であり，1Wは 1秒間あたり 1Jの仕事率としている．

仕事によって，物体にエネルギーが蓄えられることがある．エネルギーの定義は，様々なものがあ

るのできちんとした表現は困難であるが，重力が下向きに働いている場において，物体を上に移動さ

せる仕事をすると，その仕事量は物体に位置エネルギー (Potential Energy)として蓄えられる．つま

り，エネルギーの単位は仕事の単位Wと同じと見なせる．そして手を離せば，物体は落下し始める．

その後，物体は速度を増し，元の位置に達したとき，蓄えられたエネルギーは，全て運動エネルギー

(Kinetic Energy)に変換されている．

ここで，運動エネルギーについて考える．仕事量は，式 7.13で与えられていた．仕事量は，力を移

動距離で積分したものといえる．したがって，運動の方程式である F = mαを用いて，移動距離 r

で積分すると，以下のようになる．

W =∫

mαdr

=∫

mdv

dtdr v =

dr

dtより

=∫

mvdv

=12mv2 (7.14)

なお，v2 = v · v であり，スカラー量となる．

位置エネルギーと運動エネルギーとの和は，力学的エネルギー (Mechanical Energy)と呼ばれてい

る．この力学的エネルギーは常に一定になろうとする性質を持っている．

7.1.2 円運動

下図のように原点を中心とし，半径 r の円周上を周回している物体 Pを考える．

r-r

r

-r

P

θx

y

このとき，Pの座標は，半径 r と角度 θ を用いて次式で計算することができる．x = r cos θ

y = r sin θ(7.15)


この物体が等速円運動をしているとき，単位時間あたりに進む角度が一定である．そこで角速度を定

義し，利用する．角速度 (Angular Velocity)ω とは，単位時間 tあたりの角度 θ の変化量のことであ

り，次式で表すことができる．

ω =dθ

dt(7.16)

この角速度 ω が一定であれば，角度は θ = ωtとなる．したがって，等速円運動をしている物体の座

標は，次式で表現することができる． x = r cos ωt

y = r sin ωt(7.17)

円周上の位置の変化量は，角度がラジアンの単位であれば，rθとなる．よって速度 v は次式で計算

できる．

v =d(rθ)

dt= r

dθ

dt= rω (7.18)

一方，これを成分で表すと，各成分での位置の変化量を時間で微分すれば良いので，次式となる．vx = dx

dt = −rω sin ωt = −ωy

vy = dydt = rω cos ωt = ωx

(7.19)

ここで，成分に分解されている速度を合成し，大きさを求めると，以下のようになる．

v =√

v2x + v2

y = ω√

(−y)2 + x2 = rω (7.20)

したがって，矛盾はない．

さらに加速度は，速度の変化量を時間で微分して，次式を得る．αx = dvx

dt = −rω2 cos ωt = −ω2x

αy = dvy

dt = −rω2 sinωt = −ω2y(7.21)

これをベクトルで表現すると，次式を得る．

a = −rω2 (7.22)

等速円運動をしている物体は，周期的に同じ位置を通過する．ある点を通過し，再びその点を通過

するまでの時間を周期 (Period) とよぶ．周期の単位は，一般に時刻の単位が使われる．周期 T は，

角速度 ω より求めることができる．回転により移動した角度 θ は，ωtより計算でき，この角度が 2π

となる tを求めれば良いので次式を得る．

T =2π

ω(7.23)

周期は，一周に要した時間であるのに対して，一定時間に何回周回したかを表すこともあり，これを

振動数 (Frequency)と呼んでいる．1秒あたりの周回数は，Hz（ヘルツ）という単位で表現している．

振動数 ν と周期 T との関係は，逆数の関係にあり，次式で表現される．

ν =1T

(7.24)

角速度や周期，振動数等のパラメータは，回転運動だけでなく振動する現象においても使われる重要

なものである．

7.1 力学基礎 143

7.1.3 角運動量

回転させる力は，モーメント (moment)やトルク (torque)と呼ばれている．例えば，下図のように

Oから離れた所に力 F がかかっている状態を示している．

r

FO

点 Oの周りのモーメントN は，Oからの距離 rとそれに直角方向の力 F との積によって計算するこ

とができる．N = Fr (7.25)

同じ力でも r が大きくなれば，大きなモーメントを与えることを意味している．例えば，栓抜きの柄

の長さは，長いほど小さな力で栓を抜くことができるが，これこそモーメントの実例である．

次に，力が直角でなく，斜めに働いているときはどうなるかを考えてみる．下図は，その状態を表

したもので，ベクトルで表された r の位置に斜め向きの力 F がかかっており，その力もベクトルで

表現されている．

F

r

Fx

Fy

x

y

Fx

Fy

rx

ry

このとき，原点を中心とするモーメントは，F を x成分と y成分に分解し，それぞれの軸上でのモー

メントを考えれば良い．x軸においては，Fy の力が上向きに働いており，y軸においては，Fx の力が

右向きに働いている．第三章の三次元回転行列で示したように，回転の方向は左回りが正なので，x

軸におけるモーメントは Fyrx となり，y軸におけるモーメントは Fxry となる．したがって，原点周

りのモーメントの合計は，次のようになる．

N = Fyrx − Fxry (7.26)

この式は，ベクトルの外積と同じ計算である．再度，式 2.72を確認してほしい．改めて外積を用いて

モーメントを表現すると，次のようになる．

N = F × r (7.27)


三次元空間においても成り立つので，非常に便利である．

運動量は，p = mv で表した．角運動量 (Angular Momentum)は，運動量 pと位置ベクトル r と

の外積で定義される．したがって，角運動量 Lは次式で表される．

L = p × r (7.28)

下図は，角運動量の概念を示したもので，ある方向に等速直線運動をしている物体を考えたとき，角

運動量の大きさは，運動量 pと位置ベクトル r とが作る面積に等しい．

p = mv

r

x

y

O

この物体がどんどん進んで行ったとしても，外積の大きさは変わらないので，角運動量が保存されて

いると言える．等速円運動においても常に一定の角運動量で運動しており，やはり角運動量は保存さ

れている．

さて，角運動量を表す式に着目する．質量をm，速度を v とすると，運動量 p = mv である．そし

て，速度 v を角速度 ω と半径 r を用いれば，v = ωr である．したがって，角運動量は，次式のよう

に表すことができる．

L = mvr

= mr2ω (7.29)

運動量は速度かける質量で，角運動量は，角速度かける mr2 といえる．このmr2 を慣性モーメント

(moment of inertia)と呼び I で表す．慣性モーメントは，回転のしやすさを表す指標となる．

この慣性モーメントは，構造力学でいう断面二次モーメント (geometrical moment of inertia)に

相当する．断面二次モーメントの場合は，ある断面において質量を面積で表したものにすぎない．

7.1.4 万有引力の法則

ニュートンは，1687年「プリンキピア］において万有引力の法則を解説している．惑星や衛星の運

動が，直線運動ではなく，太陽に引き寄せられるようになりながら円錐曲線の軌道を保って運動して

いること等から，引力の存在を導いた．惑星と太陽，木星の衛星と木星，月と地球等の２つの物体の

間には，引っ張る力が及ぼし合っている．そしてその引力は，２つの物体間の距離の二乗に反比例す

るというものである．

7.1 力学基礎 145

m MF F

r

上図において，２つの物体の質量を m, M，物体間の距離を r とすると，引っ張り合う力は，次式で

表される．これが，万有引力を表す式である．

F = GMm

r2(7.30)

ここで Gは万有引力定数であり，一定の値とされている．一般に次の値が用いられている．

G = 6.672 × 1010m3/kg/s2

この式 7.30において，太陽の周りを回る惑星の運動に適用するため，太陽の質量M を入力するが，

その値を入力したときの GM も定数となり，日心重力定数 Gs と呼ばれている．地球の周りを回る衛

星の運動においても同様で，その定数は地心重力定数 Ge と呼ばれている．それぞれの値は，以下の

通りである．（天文年鑑より）．

Gs = 1.32712438 × 1020m3/s2

Ge = 3.986005 × 1014m3/s2

運動の法則である F = mαとの関係を考えると，万有引力の法則における加速度の項は，GMr2 とな

る．したがって，地球の中心から地球表面までの距離，つまり地球の半径の値を入力すれば，地表での

重力加速度 g が求まる．例えば，地球の赤道半径として 6378140mを入力すると，g = 9.79827m/s2

となり，高校での物理の授業で利用した重力加速度である 9.8m/s2 に一致する．

ところで，初めて万有引力定数が求まったのは，万有引力の法則の発見から 100年余り後の 18世

紀の終わりのことである．1798年にキャベンディッシュ (Cavendish)が２つの錘の引力を測ること

に成功したことから，後年に万有引力定数が導かれた．それまで地球の質量は求められていなかった

が，万有引力定数が求まったことで，地球の半径，重力加速度より，地球の質量を求めることが可能

となった．

太陽の質量についても同様で，地球の公転周期から円運動での加速度が求まり，太陽と地球の距離

が解れば，太陽の質量も求まる．ただ，太陽と地球との距離は，非常に遠いために直接測ることは困

難である．地球の半径分の長さの基線を使って三角測量により間接的に測るにしても視差は，0.00243

°と僅かのため，十分な精度で測ることは困難である．精度の高い測量機器で，0.000278程度の精度

なので，これを用いて測ったとしても 1/10の精度でしか測ることができない．太陽と地球との距離

は困難であるが，火星であれば大接近時に比較的近い距離を通過するので三角測量によりそれを測る

ことは可能である．地球と火星との距離の計測に成功したのはカッシーニ (Cassini)で，フランスの

パリとギアナのカイエンヌとを基線として三角測量により求めた．1672 年のことである．この測量

において重要なのは，火星は動いているため，パリとギアナから同時に観測する必要がある．電話も


なく正確な時計もなかった当時の同期観測には，木星の衛星が利用されていた．木星の衛星のうち，

４つは非常に大きく，比較的小さな望遠鏡でも見ることができる．したがって，４つの衛星の運動を

観測することができ，その運動の状況を時計代わりに利用するのである．これにより地球と火星まで

の距離を測ったと言われている．

当時，次節で解説するケプラーの法則により，太陽と惑星との距離は，相対的な値は求まっていた．

地球と火星との距離が求まったことで，それを絶対値で表すことができ，太陽と地球との距離も間接

的であるが求めることができたのである．太陽と地球との距離が求まったことで，万有引力の法則を

用いて，太陽の質量を始め各惑星の質量も求まった．現在でも太陽と地球との距離は，直接測ってい

ない．レーザーを用いて金星までの距離を精密に測り，それをもとに太陽と地球との距離を求めて

いる．

7.2 ケプラーの法則

太陽の周りを運動する惑星，地球の周りを運動する衛星は，何れもケプラーの法則に則っている．

1619年にケプラーは，火星と地球と太陽の見かけの動きから，惑星の運行に関する三つの重要な法則

を発表した．その後ニュートンは，1687 年「プリンキピア］において万有引力の法則を用いてケプ

ラーの法則を理論的に説明している．ここでは，そのケプラーの法則について，人工衛星の運動を例

に万有引力の法則を用いながら解説する．

7.2.1 ケプラーの第一法則

　地球を周回する人工衛星は，楕円軌道を描き，地球の重心は，楕円軌道の一つの焦点に位置する．

これがケプラーの第一法則である．楕円軌道の長半径は a，離心率は eで表す．

a-a

b

-b

c-c

太陽の周りを回る惑星も同様である．この法則が発見されるまで，惑星は円運動していると考えられ

ていた．しかし，円運動として惑星の軌道を決定し，地球から見る惑星の位置を予測したとしても誤

差が発生してしまうため，天動説を完全に覆すことは出来なかった．ところが，ケプラーがこの法則

を発見してから，非常に正確に惑星の位置を計算できるようになったのである．

7.2 ケプラーの法則 147

7.2.2 ケプラーの第二法則

人工衛星が円軌道を描く場合は，その運動は等速円運動となる．ところが，楕円軌道を描くときは，

ケプラーの第１法則より，地球の重心が楕円軌道の一つの焦点に位置するため，軌道上の場所によっ

て重力の大きさが変化する．重力 F は，ニュートンの万有引力の法則により，以下の式で与えられて

いた．

F = GMm

r2(7.31)

ここでGは万有引力定数，M は地球の質量，mは人工衛星の質量，rは人工衛星と地球との距離であ

る．この式より重力は，地球に近いとき大きく，遠いとき小さくなる．そして，角運動量保存則から

みても，地球と人工衛星の経路から描ける面積が単位時間あたり一定という面積速度一定のケプラー

の第二法則が導かれる．下図はその様子を図に示したものである．塗りつぶされた部分の面積は同じ

となるように描いている．このように人工衛星は，単位時間あたり地球と人工衛星の描く軌道とで描

かれる面積が同じで，地球に近いほど速度が速く，地球から遠いほど速度が遅いことになる．

角運動量保存則を適用すると，この面積速度一定は既に導かれているが，ここでは，図解的に面積速

度一定について解説する．下図において点 Oは地球の位置を表し，人工衛星が A, B, C, Dと通過し

て行く様子が描かれている．

O A

C C'

B

DD'


人工衛星が地球の重力の影響を受けない場合は，A から B を通過後もまっすぐ進み，C’ に向かう．

このとき重力を受けない場合でも点 Oにおいて描かれる面積速度 OABと OBCは等しい．点 O

と直線 AB，BCとの垂直距離は変わらないからである．ここで，地球の重力を考慮してみる．点 B

において重力により C’から Cに引き戻されたと考えて良い．このとき，引き戻される方向は，点 B

において点 Oに向かう方向である．したがって，OBと CC’は平行であるから， OBC’と OBC

も等しい，これは，点 Dに向かう時も同様である．したがって，面積速度一定と見なされる．

それでは，ケプラーの第２法則を式で表してみよう．そのためには，下図において人工衛星が Aか

ら Pへ動く面積 CAPを求めなければならない．

P'

P

vA

EM

b

aC

衛星の位置を円軌道に投影した P’を考え，その角度を E（ラジアン）とおくと，扇型面積 OAP’は

以下の式で求められる．

OAP ′ = πa2 E

2π=

12a2E (7.32)

楕円の扇型面積 OAPは扇形面積 OAP’の ba なので，楕円の扇形面積 OAPは以下の式となる．

OAP = πa2 E

2π

b

a=

12abE (7.33)

したがって，地球を中心とする楕円の扇形面積 CAPは，楕円の扇形面積 OAPから三角形 OCPを

引けば求まる．OCの距離は離心率 eを用いると aeなので，

CAP =12abE − 1

2aeb sinE =

12ab(E − e sinE) (7.34)

この扇形面積 CAPが単位時間あたり一定なので，人工衛星の公転周期を T，Aから Pへ移動するの

に要した時間を tとすると，楕円軌道の面積と公転周期を分母にすると，以下の式を得る．

12ab(E − e sinE)

πab=

t

T(7.35)

7.2 ケプラーの法則 149

この式を整理すると，

E − e sinE =2π

Tt (7.36)

ここで，E は離心近点角と呼ばれている．また 2πT tは角度を意味し，平均近点角M と呼ばれている．

この平均近点角M は，人工衛星が円軌道を描くときの位置と見なすことができる．したがってこの

式は，半径 aの円軌道を描く人工衛星の公転周期と長半径が aの楕円軌道を描く人工衛星の公転周期

は同じであることも示している．

7.2.3 ケプラーの第三法則

ケプラーの第三法則は，軌道半径と周期との関係に関するものである．円軌道を考えた場合，軌道

半径 rの人工衛星のスピード v は，公転周期を T，振動数を ν，角速度を ω とすると以下の式で表さ

れる．

v =2πr

T= 2πrν = rω (7.37)

なお，振動数とは単位時間あたりの公転回数であり，T = 1/ν である．また，角速度は単位時間あた

りの角度（ラジアン）である．

次に等速円運動における加速度 αを求める．既に等速円運動の加速度については求めたが，ここで

は図解的に求める．まず重力がなければ，慣性の法則に従い天体は等速直線運動となるが，円運動の

場合，速度が一定であっても速度の方向が変化するので，その分加速度も発生している．下図は，速

度 v で等速円運動している人工衛星が点 Aから点 Bに動いた時の速度の方向と大きさを示している．

何れも接線方向の速度ベクトルである．図の右側には，点 Aと点 Bにおける人工衛星の速度ベクト

ルを出発点を同じにして描いた．この二つのベクトルのなす角度は，∠ AOBつまりこの図より速度

の変化は，∆θ に等しい．そして速度ベクトルの変化は，∆v だけ発生したことになる．

r∆θ

v

v

vv∆θ

∆v

∆θ

A

B

時間あたりの速度の変化が解れば，加速度は求まる．点 Aから点 Bに移動するまでの時間が∆tだっ


たとすると，加速度 αは，以下の式で表される．

α =∆v

∆t(7.38)

ここで，∆θ が小さい時は，∆v は半径 v の弧の長さで近似できることから ∆v ≈ v∆θ で表すことが

出来る．また，∆θを角速度 ω を使って表すと，∆θ = ω∆tとなる．したがって，加速度 αは以下の

ように表すことが出来る．

α =∆v

∆t=

v∆θ

∆t= vω =

v2

r=

4π2r

T 2(7.39)

式 7.22と同じ結果となった．

一方，式 7.30の万有引力の法則は，F = mαを利用し，以下の式が成り立つ．

m4π2r

T 2= G

Mm

r2(7.40)

式を整理すると次式を得る．r3

T 2=

GM

4π2(7.41)

これが，ケプラーの第三法則である．この意味は，公転周期の二乗と軌道半径の三乗とが比例関係に

あるというものである．つまり，軌道半径が分かれば，公転周期が求まることを意味する．ケプラー

が発見した法則をニュートンが見出した万有引力の法則によって説明することが出来た．

ところで，楕円運動でもケプラーの法則は成り立つのか心配であるが，同じ長半径の楕円軌道を描

くものにおいては，細長くても円に近くても同じ周期となる．円運動の場合，地球の位置は円の中心

となる．楕円となった場合，地球は一つの焦点に位置し，ケプラーの第二法則によって地球に近い時

は速く，遠い時は遅く運動する．つまり，結果として長半径を円の半径とする軌道の周期と同じにな

るのである．したがってケプラーの第三法則は，公転周期の二乗と軌道長半径の三乗とが比例関係に

あるということである．

7.3 人工衛星位置推算の基礎

7.3.1 天体の軌道

天体の軌道は，様々な傾きを持つため，幾つかのパラメータを定義したうえで軌道を表現している．

太陽の周りを周回する惑星も地球の周りを回る人工衛星も万有引力の法則にそって運動しているので

同じと考えて良い．そこで本節においては，人工衛星に焦点を絞り，軌道パラメータを用いて，ある

時刻に人工衛星がどこに位置しているかを計算する手法について解説する．下図は，その概念図を表

したものである．

7.3 人工衛星位置推算の基礎 151

a

a e

ω

Ω

v

i

幾つかの専門用語があるので，それについてまず解説しておく，人工衛星の軌道は，既に述べたよう

に楕円軌道である．したがって，地球に最も近づく点と最も遠ざかる点がある．最も近づく点を近地

点 (Perigee)，最も遠ざかる点を遠地点 (Apogee)と呼んでいる．そして，人工衛星の軌道面は，地球

の赤道面と一致していないため，角度がついている．そのため，人工衛星の周回運動においては，赤

道面を２回通過する．このうち，南から北に横切る点を昇交点 (Ascending node)，北から南に横切る

点を降交点 (Descending node)と呼んでいる．下表は，位置推算に必要な軌道パラメータを表したも

のである．

表 7.1 軌道パラメータ

パラメータ意味単位

元期 ET 軌道要素を確定した時刻 days

近地点引数 ω 近地点と昇交点のなす角 degree

軌道傾斜角 i 人工衛星の軌道面と赤道面とのなす角度 degree

昇交点赤経 Ω 春分点と昇交点のなす角度 degree

離心率 e 楕円の形を表す数値無次元

平均近点角M0 元期における人工衛星の位置を表す角度 degree

平均運動M1 人工衛星の一日あたりの周回数 rev/day

平均運動変化係数M2 平均運動の変化割合 rev/day2

7.3.2 軌道面上の位置

軌道長半径の計算

　軌道面上の位置を求めるには，まず楕円軌道の形を決定する軌道長半径 a と離心率 e が必要と

なる．楕円軌道における実際の衛星の位置 P(xp, yp)は，Pを円軌道に投影した P’の位置，つまり，


∠AOP’がわかれば計算できる．∠AOP’は先にも述べたが，離心近点角 E である．xp = a cos E

yp = b sinE = a√

1 − e2 sinE(7.42)

P'

P

vA

EM

b

ae a

離心近点角 E は，ケプラーの第２法則により求めることができるが，その前に軌道長半径 aを計算

する必要がある．公転周期 T が分かれば，次式のケプラーの第３法則により，軌道長半径 aを計算で

きる．a3

T 2=

GM

4π2(7.43)

なお，係数 GM は，地球周回軌道の人工衛星の場合，次の値となっている．

GM = 3.986005 × 1014(m3/s2)

= 2.975537 × 1015(km3/day2) (7.44)

ニュートンラフソン法による離心近点角 E の計算

次にケプラーの第２法則により E を求める．次式はその第２法則を式で表したものである．

E − e sinE =2π

Tt = M (7.45)

ケプラーの第２法則において，人工衛星が最も地球に近づく位置（近地点 A）を t = 0とすると，そ

のときの通過時刻が分かれば，任意の時刻における軌道面上の衛星の位置を計算することができる．

また，ケプラーの第２法則の右辺の平均近点角M は，人工衛星が円軌道を描くときの軌道上の位

置とみなすことができ，それと対応する時刻の楕円軌道上の位置を離心近点角 E で表すことができ

る．したがって，ある時刻におけるM の値が分かれば，任意の時刻における軌道面上の衛星の位置

を計算することができる．

7.3 人工衛星位置推算の基礎 153

彗星などの放物軌道や細長い楕円軌道の場合は，近地点通過時刻が与えられる場合が多く，人工衛

星などの円軌道に近い楕円軌道の場合は，ある時刻における平均近点角が与えられる場合が多い．

実際に軌道面上の位置を求めるには，ある時刻における平均近点角M が与えられ，求めたい時刻

の離心近点角 E を計算するわけであるが，ケプラーの第２法則の式は非線形方程式のために単純に解

を求めることはできず，近似計算によって解を求めなければならない．

近似計算の方法は，数々考案されているが，最も簡単に解けるニュートン・ラフソン法を用いるこ

とが出来る．この方法については，既に解説した．このニュートン・ラフソン法を用いてケプラーの

第２法則を解くが，このとき関数は次式で与えられる．

f(E) = M − E + e sinE (7.46)

この関数 f(E) = 0を満たす E を求めることになる．そのためには，まず初期値 E0 を設定し，接

線を求めるが，この接線の傾きは，関数 f(E)を微分することによって求まる．

f ′(E) = e cos E − 1 (7.47)

近似解 E1 は，E0 から解に ∆E0 だけ近づく．その近づく量は，接線の傾き f ′(E0)より次式にて求

まる．

f ′(E0) =f(E0)∆E0

(7.48)

したがって∆E0 が求まるので，E1 = E0 −∆E0 を計算し，次の近似解を求める．この近似解を求め

て行くための各 ∆E の計算は，以下のように表現できる．

∆E0 =f(E0)f ′(E0)

∆E1 =f(E0 − ∆E0)f ′(E0 − ∆E0)

∆E2 =f(E0 − ∆E0 − ∆E1)f ′(E0 − ∆E0 − ∆E1)

(7.49)

これによりＥを求め，人工衛星の軌道上の座標が計算できる．

軌道面上座標の計算

人工衛星の軌道面上の座標 (U, V )は，離心近点角 E が求まれば，簡単に計算できる．座標の原点

が，楕円の中心に位置し，軌道長半径に沿って U軸方向，短半径に沿って V軸方向を設定すれば，以

下の式を得る． U = a cos E

V = b sinE = a√

1 − e2 sinE(7.50)

しかし，以下の図のように地球の中心を原点とする座標系の方が，地球から見た人工衛星の位置を決

定するには都合が良い．


P'

P

E

ae U

V

この座標系において人工衛星の軌道面上の座標 (U, V )は，以下のようになる．U = a cos E − ae

V = a√

1 − e2 sin E(7.51)

7.3.3 地球中心を原点とする三次元座標

人工衛星の軌道面上の座標 (U, V )は，離心近点角 E が求まれば，次に地球中心を原点とする三次

元座標を計算する．この計算のためには，地球と人工衛星の軌道との関係を決定するパラメータが必

要となる．そのリストを以下に示す．

• 近地点引数 ω (Argument of perigee)：軌道面の平面 UVにおける軌道の傾きと言える．つま

り，平面 UVに対して，鉛直方向のW軸を考えたときのW軸回りの回転角と言える．

• 軌道傾斜角 i (inclination angle)：地球の赤道面に対する軌道面の傾きを表す．軌道傾斜角が 0

°のときは赤道軌道，軌道傾斜角が 90°のときは極軌道である．この角度は，地球中心の三次

元直角座標を考えた場合，x軸回りの回転と言える．

• 昇交点赤経 Ω (right ascension of ascending node)：人工衛星が地球の赤道面を横切る昇交点

の位置を赤経で表したものである．この角度は，地球中心の三次元直角座標を考えた場合，z

軸回りの回転と言える．

7.4 人工衛星位置推算の実際 155

i

v

x

y

z

UV

P

O

これらのパラメータより，人工衛星の軌道面上の位置 (U, V ) を地球中心の三次元直角座標 (x, y, z)

へ変換することができる．この変換には，三次元回転行列を用いる．まず (U, V )を z軸回りに ω 回

転させ，続いて x軸まわりに i，最後に再度 z軸回りに Ω回転させる．これを式で表すと，以下のよ

うになる． xyz

=

cosΩ − sinΩ 0sin Ω cosΩ 0

0 0 1

1 0 00 cos i − sin i0 sin i cos i

cos ω − sinω 0sinω cos ω 0

0 0 1

UV0

(7.52)

7.4 人工衛星位置推算の実際

7.4.1 軌道要素の入手

軍事衛星でなければ，軌道要素は公開されているので，”Space Track”などのホームページより軌

道要素のデータはダウンロードできる．2006年 1月に打ち上げられた地球観測衛星 ALOSの軌道要

素は，次の通りである．

この軌道要素を用いて ALOSの位置を計算する．観測時刻として 2006年 5月 15日 11時 (JST)

を設定し，具体的な計算例を示す．

7.4.2 軌道長半径 aの計算

まず，観測時刻が元期から何日経過しているかを計算しなければならない．観測時刻は日本標準時

で与えられているので，それを世界時 (UT)で表すと 5月 15日 2時ということになる．これを 2006

年の 1月 1日からの日数に直すと，135.0833333日という結果が得られる．したがって，元期からの

経過日数 ∆tは 14.36055804日となる．

次に軌道長半径 aをケプラーの第３法則により計算する．そのためには公転周期 T が必要である

が，軌道要素においては，平均運動M1 が与えられている．平均運動は，一日に公転を何回 (rev)す


表 7.2 ALOSの軌道パラメータ

パラメータ値

元期 ET 2006年 120.72277529日 (UT)

近地点引数 ω ω0 = 14.7699

軌道傾斜角 i i = 98.2104

昇交点赤経 Ω Ω0 = 195.1270

離心率 e e = 0.0001679

平均近点角M0 M0 = 345.3549

平均運動M1 M1 = 14.59544429(rev/day)

平均運動変化係数M2 M2 = 0.00000232(rev/day2)

るかを表しているので，その逆数が公転周期 (day)となる．したがって軌道長半径 aは，以下の式で

計算できる．

a =(

GM

4π2M21

) 13

(7.53)

ただ，平均運動はその変化係数が与えられている通り，毎日変化している．なぜなら地球は回転楕円

体に近い形をしており，低軌道の場合，地球を周回中，重力の大きい赤道付近や重力の小さい極付近

を通過し，重力が一定でないことから安定した軌道とならないのである．したがって元期からの経過

日数 ∆tより観測時刻の平均運動Mm を変化係数を用いて以下のように計算しなければならない．

Mm = M1 + M2∆t

= 14.59544429 + 0.00000232 × 14.36055804

= 14.59547761(rev/day) (7.54)

式 (1)における係数 GM は，地球周回軌道の人工衛星の場合，次の値となっている．

GM = 2.975537 × 1015(km3/day2) (7.55)

この値を利用し，ALOSの平均運動を代入して軌道長半径を求めると，以下のようになる．

a =(

2.975537 × 1015

4π2 × 14.595477612

) 13

= 7072.772117(km) (7.56)

得られた値から地球の赤道半径の値を引いて，ALOSの高度を求めると，約 694.612 (km)上空を周

回しているという結果が得られる．

7.4.3 離心近点角 E の計算

次にケプラーの第２法則により離心近点角 E を求める．そのためには観測時刻の平均近点角M を

求めなければならない．軌道要素で与えられているのは，元期における平均近点角なので，平均運動


の値とその変化係数を用いて計算する．平均運動を求めた式 (2)を積分し，積分定数としてM0 を与

えれば，観測時刻の平均近点角が求まる．なお，軌道要素における平均近点角M0 は，角度で与えら

れているのでこれを 1回転を 1とする単位 (rev)に変換しなければならない．

M = M0 + M1∆t +12M2∆t2

=345.3549

360+ 14.59544429 × 14.36055804 +

0.000002322

× 14.360558042

= 210.5582833(rev) (7.57)

ここで，計算された平均近点角M は，単位 (rev)で与えられているので，これを角度に変換する．そ

のためには，小数部に 360 をかければよい．したがって，平均近点角M = 200.9819819 を得る．

求まった平均近点角M と離心率 eから離心近点角 E が求まる．

E − e sin E = M (7.58)

ニュートン・ラフソン法により，離心近点角を求めると，E = 200.9785378 を得る．

7.4.4 地球を中心とする人工衛星の三次元座標計算

離心近点角 E が求まれば，人工衛星の軌道面上の座標 (U, V )は，以下の式で計算できる．

U = a cos E − ae = −6605.13811(km) (7.59)

V = a√

1 − e2 sinE = −2532.181238(km) (7.60)

次に近地点引数 ω，軌道傾斜角 i，昇交点赤経 Ω より三次元直角座標を計算する．この座標系は，

地球重心を原点とし，赤道面を x-y平面，x軸を春分点の方向，z軸を北極の方向とする右手系であ

る．近地点引数 ω と昇交点赤経 Ω は，平均運動と同様に人工衛星が非常に地球に近い軌道なので，

日々変化している．その変化は，軌道傾斜角 iと軌道長半径 aと地球の半径 r との比の関数で以下の

式で与えられている．

ω = ω0 +180 × 0.174(2 − 2.5 sin2 i)

π(ar )3.5

∆t = −29.99869264 (7.61)

Ω = Ω0 −180 × 0.174 cos i

π(ar )3.5

∆t = 209.3656112 (7.62)

観測時刻における値を求めた後，人工衛星の軌道面上の位置 (U, V ) を地球中心の三次元直角座標

(x, y, z)へ変換する．この座標変換には，三次元回転行列を用いる．まず (U, V )を z軸回りに ω 回

転させ，続いて x軸まわりに i，最後に再度 z軸回りに Ω回転させる．これを式で表すと，以下のよ

うになる． xyz

=

cosΩ − sinΩ 0sin Ω cosΩ 0

0 0 1

1 0 00 cos i − sin i0 sin i cos i

cos ω − sinω 0sinω cos ω 0

0 0 1

UV0

=

6010.9501613564.0476621098.104593

(7.63)


7.4.5 観測時刻におけるグリニッジ子午線の赤経計算

先にも述べたが，三次元座標における x軸は春分点の方向を表している．したがって，人工衛星の

位置を緯度と経度で表すためには，観測時刻にグリニッジ子午線がどこを向いているかを赤経で表す

必要がある．この赤経の値は角度であるが，360°を 24時間とする時刻で表し，これをグリニッジ恒

星時と呼んでいる．なおグリニッジ恒星時は，理科年表や天文年鑑などで調べることができる．地球

の自転周期は 23時間 56分 4.09053秒なので，地球は一日あたり 1.002737909回転 (rev/day)して

いることになる．ある時刻のグリニッジ恒星時が分かれば，それを回転数 θ0(rev)で表す．その時刻

から観測時刻までの日数∆T を求めると，観測時刻のグリニッジ恒星時が回転数の単位 θG(rev)で計

算できる．θG = θ0 + 1.002737909∆T (7.64)

天文年鑑によると，2006年 1月 1日 0時のグリニッジ恒星時は 6時 38.08分なので，それを回転

数で表すと θ0 = 0.276444444(rev) となる．観測時刻を 2006年の 1月 1日 0時 (UT)からの経過日

数に直すと，135.0833333 - 1日なので，上式より回転数で表された観測時刻のグリニッジ恒星時は，

θG = 134.7268858(rev) と計算される．したがって，観測時刻におけるグリニッジ子午線の赤経は，

θG の小数部に 360°をかければ，角度で表される．計算結果は，θG = 261.6788848 となる．

7.4.6 人工衛星の緯度・経度計算

観測時刻におけるグリニッジ子午線の赤経が計算できたので，先に計算した人工衛星の三次元座標

を赤道面におけるグリニッジ子午線の方向を x軸とする座標に変換できる．この変換は，単に z軸回

りの回転により表すことができる．なお，注意すべきは回転の方向で，座標軸を回転させるので負の

向きに回転させなければならない． XYZ

=

cos(−θG) − sin(−θG) 0sin(−θG) cos(−θG) 0

0 0 1

xyz

=

−4396.4371095431.8779741098.104593

(7.65)

さて，緯度経度と三次元座標との関係は，地球を球形とし，人工衛星の地球重心からの距離を r と

すると，以下の通りである． X = r cos φ cos λ

Y = r cos φ sinλ

Z = r sinφ

(7.66)

したがって，緯度は rと z座標より計算でき，経度は YX = tan λより計算できる．

φ = sin−1 Z√X2 + Y 2 + Z2

= sin−1 1098.1045937073.880921

= 8.9303 (7.67)

λ = tan−1 Y

X= tan−1 5506.701512

−4302.347736= −51.0141 (7.68)


ここで注意しなければ鳴らないのは，tan−1 の計算結果は，−π2～

π2 の値しか返さないことであ

る．この計算例では，X がマイナス，Y がプラスなので，XY 平面において人工衛星は第二象限

にあるはずであるが，結果は第四象限を示している．したがって計算結果に 180°をプラスし，

180 − 51.9997 = 128.0003が答えとなる．なお，プログラム言語や表計算ソフトには，tan−1 の計

算結果を −π～π の値の値で返す関数が用意されている場合が多い．通常 atan2(x, y)という名前で

用意されている．これを使えば，象限を考慮することなく計算結果がそのまま利用できる．

最終的に，観測時刻において ALOSは，北緯 8.9303°，東経 128.9859°に位置していると導かれ

た．今回は，地球を球形と見なして計算しているが，地球を回転楕円体として解くこともできるよう

にしておこう．

7.4.7 観測点における人工衛星の方位角と高度

観測点において，人工衛星がどこにいるかを計算するには，観測点から人工衛星へのベクトルを計

算するところから始める．前項において，人工衛星の位置は，グリニッジ子午線の方向を x軸とする

直角座標系で P (X,Y, Z)と求まった．次に観測点の座標を求める必要がある．観測点の緯度 φと経

度 λと標高 H が与えられていれば，座標は次式で求めることができる． XYZ

=

(N + H) cos φ cos λ(N + H) cos φ sinλ

(− b2

a2N + H) sinφ

(7.69)

この計算法については既に前章において解説した．式 6.23を確認してほしい．求まった，観測点の座

標を A(Xa, Ya, Za)とすると，下図に示したように観測点 Aから人工衛星 Pへのベクトルが計算で

きる．

E

x

y

z

φ

λ

N

P

O

A


このベクトル (∆X, ∆Y,∆Z)を成分で表すと，以下のとおりである． ∆X∆Y∆Z

=

X − Xa

Y − Ya

Z − Za

(7.70)

このベクトルは，グリニッジ子午線の方向を x軸とする直角座標系なので，観測点と地球との接平面

の座標系 (u, v, w)に変換しなければならない．変換後の座標は，回転行列を用いて，次式で計算する

ことができる． uvw

=

cos(π2 − φ) 0 sin(π

2 − φ)0 1 0

− sin(π2 − φ) 0 cos(π

2 − φ)

cos λ − sinλ 0sinλ cos λ 0

0 0 1

∆X∆Y∆Z

(7.71)

南向きが u軸となっているので，人工衛星の方位角は，南から東周りの角度 Aとして次式で計算で

きる．A = tan−1 v

u(7.72)

高度 hについては，次式で計算できる．

h = sin−1 w√u2 + v2 + w2)

(7.73)

hが負つまり wが負のときは地平線よりも下に人工衛星が位置しており，人工衛星を見ることができ

ない．

7.5 地球観測衛星の軌道

人工衛星は，観測対象によって特徴のある軌道により運用されている．ここでは，観測対象と軌道

について解説する．

7.5.1 赤道軌道と極軌道

まず，軌道傾斜角によって軌道を分類すると，下図に示すように，赤道軌道 (equatorial orbit)，傾

斜軌道 (inclined orbit)，極軌道 (polar orbit)とに分類できる．赤道軌道は，軌道傾斜角がほぼ 0で

あり，極軌道の場合は軌道傾斜角がほぼ 90°である．

地球観測衛星の多くは，極軌道か傾斜軌道で運用されている．極軌道であれば，地球自身が自転し

ていることを利用して，全球を観測することができるからである．地球観測衛星の高度は，約 450～

7.5 地球観測衛星の軌道 161

800kmで，地球の半径が約 6370km であることを考えれば，非常に地球に近い軌道で運用されてい

る．この高度であれば，比較的小さな望遠鏡でも高分解能で観測できるという利点もある．レンズの

分解能から試算すると，600kmの高さから 1m程度の分解能を得るには，口径 40cmの望遠鏡で十分

である．ところで，この高度での軌道周期は，ケプラーの第三法則によると約 1.6時間である．ある

場所を観測して，1.6時間後に人工衛星が帰って来たとき，その場所は自転により移動しているため，

別の場所を観測することになる．同じところを連続して観測する回帰周期となると，衛星センサの仕

様にもよるが，1週間以上にもなるものがある．したがって，極軌道の地球観測衛星で即時対応の観

測を行うためには，1機での運用ではなく，数機体制での運用が必要となる．防衛省が，高分解能の

偵察衛星を運用しているが，1機では不十分のために 2007年現在は 2機体制で運用しているのは，即

時対応のためである．

赤道軌道で低い高度の場合，赤道付近しか観測できないという欠点がある．しかし，静止軌道と呼

ばれる軌道は，赤道軌道となっている．静止軌道は，地球の自転周期と人工衛星の軌道周期とが一致

する軌道で，これもケプラーの第三法則によって計算すると，高度は約 36000kmの彼方となる．こ

の軌道周期で赤道軌道で運用すると，地上から見た人工衛星飲みかけの位置は，常に同じところにな

り，静止しているように見える．この軌道は，ある場所から常に同じ位置に見えているため，通信や

放送に積極的に利用されている．また，常時観測も可能である．ただ，非常に遠い軌道のために低分

解能での観測となるが，気象衛星として利用されている．気象衛星「ひまわり」や BS衛星，CS衛星

は，我々にとって身近な衛星であり，全て静止軌道である．

7.5.2 太陽同期軌道

地球観測衛星は，極軌道で運用されていると解説したが，完璧な極軌道ではない．この理由につい

て解説する．基本的に衛星の軌道面の傾きは，地球か公転したとしても同じ向きを保つ．したがって，

下図に示している通り，ある時点で軌道面が太陽を向いた状態であっても，公転により太陽を向かな

くなってしまう．

地球観測衛星の場合，軌道面は常に太陽を向いた状態の方が好ましい．太陽の正中する時刻に常に観

測すると，観測点では太陽高度が高いために，観測に有利だからである．夕方観測されると，太陽高


度が低く，影が多い画像になるばかりでなく，地表面の輝度も低い値となってしまう．したがって，

常に太陽の方向を向くような工夫が必要である．つまり，昇交点赤経 Ωを太陽を向くように常に変化

させなければならない．軌道の傾きを変化させるためには，ロケットにより強制的に変化させること

もできるが，ロケット燃料が尽きると運用できなくなるため，困難である．この問題に対して，人工

衛星の軌道が不安定であることを逆に利用して解決することができる．

前節でも述べたように，低高度の人工衛星は，地球が回転楕円体に近いために軌道が安定していな

い．特に平均運動M0，昇交点赤経 Ω，近地点引数 ω が常に変化する．この変化量は，軌道傾斜角に

依存している．赤道軌道は，地球表面と人工衛星との距離がほぼ同じため，重力がほぼ一定なので，

軌道は比較的安定している．しかし，傾斜軌道になると，地球表面と人工衛星との距離が変化するた

めに安定した軌道にならないのである．これを利用して昇交点赤経 Ωの変化が，太陽の方向を常に向

くような軌道傾斜角を探す必要がある．前節で計算した ALOS衛星の場合，軌道傾斜角 iが約 98°

であれば，昇交点赤経 Ωの変化が，ちょうど太陽を向き続ける軌道となっている．

常に太陽の方向を向くような軌道は，太陽同期軌道 (Sun Synchronous Orbit)と呼ばれ，地球観測

衛星においては，極めて重要な軌道である．その太陽同期軌道を地球が回転楕円体であることによる

軌道の不安定さを利用して実現している．科学技術の奥深さに驚くばかりである．

7.6 人工衛星画像の幾何学

地球観測衛星は，様々なセンサを利用している．多くは，デジタルカメラに利用されているような

CCDが用いられている．ただデジタルカメラの CCDは，面的に二次元で配置されており，マトリ

クスアレイセンサ (Matrix Array Sensor)と呼ばれている．一方，人工衛星に搭載されている画像セ

ンサは，マトリクスアレイセンサではなく，リニアアレイセンサ (Linear Array Sensor)が用いられ

ている．リニアアレイセンサは，直線上に CCDが配置されているもので，身近なものではコピー機

やファックス，イメージスキャナ等に利用されている．これらの機器は，センサが直線上に動いたり，

撮影されるもの自身が直線上に動くことによって，直線上に配置されている CCDでも面的な画像を

取得できる．人工衛星は，常に移動しているため，リニアアレイセンサで観測が可能である．

マトリクスアレイセンサは，分解能を高めるのに，面的に CCDを配置させる必要があるため，非

常に多くの CCDが必要である．それに対して，リニアアレイセンサは，横方向の画素数を増やすこ

とと画像を取得する時間的なスピードを速めることで高分解能化が可能である．さらに，精密な計測

のためには，CCD個々の感度を調整したり，補正したりする必要もあり，マトリクスアレイセンサの

ように非常に多くの CCDがある場合，調整や補正が非常に困難な一方，リニアアレイセンサは CCD

の数が少ないので調整や補正において有利でもある．

地球観測衛星は，通常衛星の直下を観測する．下図は，その様子を表したものである．

7.6 人工衛星画像の幾何学 163

リニアアレイセンサの場合，センサの配置している方向は中心投影であるが，人工衛星の動いている

方向は，平行投影となる．エリアセンサの場合は，第三章の座標変換，第五章のカメラキャリブレー

ションでも述べたように，中心投影の幾何学により三次元射影変換（式 3.69）で表すことができるが，

リニアアレイセンサの場合には，厳密には表すことができない．現在，各人工衛星センサの幾何モデ

ルとして，RPCモデル (rational polynomial coefficient model)が利用されている．人工衛星画像の

座標を (u, v)，地上座標を (x, y, z)とし，高次多項式の関数 fu, gu, fv, gv を用いると，RPCモデル

は，次式で表すことができるというものである．u = fu(x,y,z)

gu(x,y,z)

v = fv(x,y,z)gv(x,y,z)

(7.74)

RPCモデルは，近年打ち上げられた IKONOSや Quick Bird等の高分解能商業衛星や日本の ALOS

に搭載された PRISMのセンサの場合，データ配布元が提供している．これらの衛星は，GPS 衛星

によって衛星自身の位置を高精度で側位するとともに，衛星から恒星の位置を観測することによって

センサの姿勢を検知するスタートラッカーと呼ばれる機能を有することから，これらの情報を元に

RPCモデルが構築される．なお，入手した RPCモデルにも誤差は含まれているので，精密な計測が

要求される場合には，地上基準点などを用いて補正しなければならない．

RPCモデルが無いセンサの場合には，ユーザー自ら幾何変換のモデルを構築しなければならない．

地上分解能が 30m以上と低く，衛星の直下を観測しているようなセンサの場合は，アフィン変換（式

3.67）が利用できる．衛星の直下ではなく，傾きを持ったセンサや，地上分解能が高く標高の影響を

受けるようなセンサの場合には，三次元射影変換（式 3.69）などでも対応可能である．しかし，先に

も述べたように人工衛星の進行方向は，平行投影なので厳密には三次元射影変換を適用することはで

きない．そこで，人工衛星画像の座標を (u, v)，地上座標を (x, y, z)としたとき，u方向は射影変換


で，v 方向は線形変換で変換する式を用いることができる．この式は Gupta-Hartleyモデルとよばれ

ている．変換係数を a1 · · · a11 とすると，次式で表すことができる．u = a1x+a2y+a3z+a4

a5x+a6y+a7z+1

v = a8x + a9y + a10z + a11

(7.75)

何れにしてもユーザ自ら変換モデルを構築する場合には，変換式における係数は，多数の地上基準

点を用いて最小二乗法により求めなければならない．地上基準点 (gound control point)とは，画像

状に投影された地物の画像座標 (u, v)とその地上座標 (x, y, z)のデータベースのことである．地上基

準点を用いた変換式の構築手法については第九章の画像処理における幾何補正の項で解説する．

人工衛星画像により三次元計測を行うためには，写真測量と同様にステレオ画像が必要となる．ス

テレオ画像を取得するのに，衛星の直下の画像だけでは困難である．そのため，進行方向に対してセ

ンサを回転（ローリング）させて異なる角度で画像を取得し，ステレオ画像を得る手法がある．例え

ば，一回目の観測で衛星直下を撮影し，その後二回目に斜めから同じ場所を撮影してステレオ画像を

得る．この手法で三次元計測を行える人工衛星は，フランスの SPOTが代表的である．

これに対して，同時にステレオ画像を取得する技術も実用化されている．例えば，直下を撮影する

だけでなく，前方あるいは後方を同時に撮影するセンサもある．下図は，直下と後方を同時に撮影し

ているセンサの概念図を示したものである．

Pg

PbPn

O1 O2

地上における Pg は，直下視では衛星が O1 のときに，Pn に投影される．そして後方視では衛星が

O2 のときに，Pb に投影される．Pg の撮影ラインにおいて Pg よりも標高の高い地点は，後方視では

衛星が O2 に達する前に撮影される．この視差を利用して三次元座標が計算できるのである．この手

法で三次元計測を行える人工衛星は，アメリカの Terra ASTERや日本の ALOS PRISMが代表的で

ある．

7.7 GPS測量 165

直下視と後方視の画像より三次元計測を行うためには，ステレオ対応点が求まっている必要がある．

ステレオ対応点とは，ある地上の物体が画像上に写っているとき，直下視画像における座標 (un, vn)

と，後方視画像における座標 (ub, vb)のそれぞれに対応する点のことである．そして，直下視の幾何

モデルと直下視の幾何モデルが次式のように与えられるとすると，三次元座標が計算できる．un = fu(x, y, z)vn = fv(x, y, z)ub = gu(x, y, z)vb = gv(x, y, z)

(7.76)

上式にステレオ対応点の座標を代入すると，未知数は地上座標の (x, y, z)となる．したがって，三つ

の未知数に対して四つの式なので，最小二乗法によって地上座標を求めることができる．直下視と後

方視だけでなく，前方視野画像もあれば，三つの未知数に対して六つの式となり，誤差が丸められて

精度の高い座標が計算できると期待できる．なお，計算精度は幾何モデルの精度だけではなく，ステ

レオ対応点の座標の精度にも大きく依存する．ステレオ対応点は，目視で取得するのではなく，画像

処理手法の画像マッチングなどを利用して精度良く，多数の点を取得することが重要である．画像

マッチング手法については，第九章で解説する．

7.7 GPS測量

GPS

(x1, y1, z1)

(x2, y2, z2)

(x3, y3, z3)

(x4, y4, z4)

(xp, yp, zp)

r1

r2

r3

r4

167

第 8章

衛星リモートセンシングによる物体判読の基礎

先にも述べたが，当初の衛星リモートセンシングの目的は，位置を測る目的ではなく，気象の状態

や地表の状態を測るためのものであった．よって衛星リモートセンシングは，画像を強調したり，画

像を用いて何らかの分類をしたりという画像処理機能がメインであった．画像処理については次の章

で解説するが，その前に本章では，電磁波と物質の相互作用について解説する．

我々の目にする光は，電磁波の一種である．その電磁波が物質に衝突したときの様々な振る舞いの

結果が我々の目にする風景となる．昼間の外であれば，太陽から放たれた電磁波，夜間の室内であれ

ば，電燈から放たれた電磁波の振る舞いが我々の目に飛び込んでいるのである．画像処理は，コン

ピュータを用いれば簡単に結果が得られる．しかし処理結果の意味するものをきちんと把握しておか

なければ次の処理へとつながらない．したがって，電磁波のことをある程度解っていなければ，画像

を解析する際に過ちを犯す可能性もある．基本的には，今までに解説した数学の知識に加えて電磁気

学の知識が備われば十分理解できると思われる．

8.1 電磁気学基礎

衛星リモートセンシングでは，様々な電磁波（光）の情報を利用する．そこで，その電磁波の基礎

についてここで解説する．

8.1.1 電界

電気については，18 世紀に入ってから様々な研究がなされ始めた．摩擦により静電気 (static

electricity) が生まれる．その静電気は，モノを引き寄せる力がある．プラスチック製の下敷きをナ

イロンのシャツ等で擦ると静電気が発生する．その下敷きを髪の毛に近づけると，髪の毛が下敷きに

くっつくようになることは，よく知られている．これは，物質によって電気を溜めやすいものと溜め

にくいものがあり，擦ることによって溜めやすい物質に電気が移動すると考えられていた．なぜ擦る

ことで電気が移動するかについては，20世紀に入って，原子や分子の構造が把握できるようになり，

168 第 8章衛星リモートセンシングによる物体判読の基礎

その理由が明らかとなった．その原理については，著者自身も十分把握できていないので，他の文献

に委ねたい．とにかく，電気が溜まる方をプラス，少なくなる方をマイナスと定義している．そして，

電気の溜まったモノと，少ないモノは，互いに吸い寄せられる傾向にある．毛皮やナイロンはプラス

になりやすく，アクリルやセルロイド，セロファンは，マイナスになりやすい．それゆえ，マイナス

となったプラスチック製の下敷きは，プラスの毛髪とくっつくような現象が発生する．

電気の量は，電荷 (electric charge)という用語で表現する．２つの物体 A,Bの電荷を qa, qb とし，

物体間の距離が rのとき，２つの物体に働く力 F は，次式で表すことが出来る．

F = kqaqb

r2(8.1)

ここで k は，係数を表している．下図は，その関係を図に表したものである．

qaqb

F F

r

この式は，ニュートンの万有引力の法則と全く同じ式である．式 7.30と比べると，質量の部分が，電

荷に置き換わったにすぎない．この法則は，18世紀後期にフランスのクーロン (Coulomb)が発見し，

クーロンの法則と呼ばれている．クーロンは，物理学者であるだけなく土木についても研究しており，

特に土質力学においては，土の破壊基準について大きな成果を残している．

式 8.1における力の単位は N（ニュートン）だが，それに対応する電荷の単位が必要となる．電荷

の単位は C（クーロン）で定義されており，２つの等しい電荷があり，距離 rが 1mのとき，9× 109N

の力が働くときの電荷を 1Cと定義している．これより，係数 k は，9 × 109Nm2/C2 となる．

さて，電磁気学においては，式 8.1における k qa

r2 をまとめて，電界（電場）(Electric Field)の強さ

E として表す．すると次式のように表すことが出来る．

F = qbE (8.2)

電界の強さ E は，電荷 qa から距離 r 離れたところで，qa の電荷によって qb が，どれだけの影響を

受けるかを表す指標となる．単位は，N/Cである．例えば，ある電荷の値の解っている物体があった

とき，作用する力を求めることが出来れば，電場の量が求まる．

下図は，電界の概念を表したものである．ある電荷 qa があったとき，その電荷に近いほど大きい

力を受ける．ここで，電荷から放射状に作用する電気力線 (electric flux line) の概念を取り入れる．

電荷の強さの大小は，電荷から出る電気力線の数で表現する．電荷の強いものは，電気力線の数も多

い．したがって，ある部分において，電気力線の密度が高い部分ほど強い電界と言える．

8.1 電磁気学基礎 169

qa

E

この電界の強さは，電荷からの距離 r の二乗に反比例するが，電荷を中心とする半径 r の球の面積に

依存すると表現した方が的確である．電界の強さは，電気力線の密度と考えたが，r 離れた部分での

電界の強さ E に球の表面積である 4πr2 を乗ずると一定となり，電気力線の数を示す指標となる．こ

の指標を式で表すと，以下のようになる．

E × 4πr2 = kqa

r2× 4πr2

= 4πkqa (8.3)

この式の通り，電気力線の数を示す指標は，4πkqa で，定数となっている．この式は，電荷と電界の

強さについての関係だけでなく，光源と光の強さの関係においても同様で，明るい光源を持つものも

遠くでは弱いが，光源を中心とする球の面積によって光の強さを積分すると一定となる．この法則は，

1835年にガウスが発見し，ガウスの法則と呼ばれている．

ここで，4πk は 1ε0で表し，ε0 は誘電率 (permittivity)と呼ばれている．この誘電率を使って先の

式を書き換えると，電気力線の数を表す指標は， qa

ε0となる．したがって，電界の強さを式で表すと，

次式となる．

4πr2E =qa

ε0

E =qa

4πr2ε0(8.4)

この式において， qa

4πr2 は，電束密度 (electric flux density)Dと呼び，次式で表すことが出来る．

D = ε0E (8.5)

磁束密度の単位は，誘電率 ε0 の単位が C2/Nm2，電界の強さ E の単位が N/C なので，C/m2 と

なる．

さて，電荷と力の関係がクーロンの法則だったが，つぎに力の行う仕事量を導く．電荷 qb がクーロ

ン力によって qa まで移動したとすると，仕事をしたことになる．仕事W は，既に力学の基礎で述べ

たように，式 7.13によりW = F · rであった．電磁気でも同様に考えると，次式を得る．

W = F · r= qbEr (8.6)

= qbqa

4πrε0


上式において，Erの部分は，電位 (electric potential)と呼ばれている．逆に電位の勾配，つまり電位

を距離で微分したものが電界の強さということになる．また，２点間の電位の差が電位差 (difference

of potential)であり，電圧 (power voltage)V に対応する．

8.1.2 磁界

ニュートンの万有引力の法則の式は，２つの電荷の間のクーロン力だけでなく，磁石における２つ

の磁極の間に働く力においても成り立つ極めて重要な式である．磁石はご存知のように N極と S極

に分かれ，お互いに引っ張り合う力を生じる．

電気の量は，電荷という用語で表現したが，磁気において対応する量は，磁極の強さと呼んでいる．

２つの物体 A,Bの磁極の強さを pn, ps とし，物体間の距離が r のとき，２つの物体に働く力 F は，

次式で表すことが出来る．F = k

pnps

r2(8.7)

ここで k は，係数を表している．

電荷の単位は C（クーロン）で定義されていたが，磁極の強さは，Wb（ウェーバー）という単位で

定義されている．２つの等しい磁極があり，距離 r が 1mのとき， 107

(4π)2 = 6.33 × 104Nの力が働く

ときの電荷を 1Wbと定義している．これより，係数 k は，6.33 × 104Nm2/Wb2 となる．

電荷においては電界という概念を導入し，電荷の影響を表すことが出来た．同様に，磁極において

は，磁界 (magnetic field)H という概念を導入して磁極の影響を表すことが出来る．下図は，その概

念を表したものである．ある磁極 pn, ps があったとき，その磁極に近いほど大きい力を受ける．ここ

で，磁極から放射状に作用する磁束線 (magnetic flux line)の概念を取り入れる．磁極の強さの大小

は，磁極から出る磁束線の数で表現する．磁極の強いものは，磁束線の数も多い．したがって，ある

部分において，磁束線の密度が高い部分ほど強い磁界と言える．

N

S

H

磁界においてもガウスの法則が成り立つ．

磁界は磁石により発生するだけでなく，電気によっても発生する．理科の実験等で，豆電球を導線

を使って乾電池に繋いで光らせることはよくやられている．このとき，方位磁針をその導線に近づけ

ると，方位磁針の針の向きが変化する．このことは，電気によって磁界が発生することを示しており，


1820年にデンマークのエルステッド (Ørsted)が発見した．

その後，フランスのアンペール (Ampere)が詳しく実験をし，電流 I と磁界 H との関係を導いた．

それが以下の式である．アンペールの法則と呼ばれている．

H =I

2πr(8.8)

電流 I については後述するが，電荷の流れを表すものであり，単位は A（アンペア）である．した

がって磁界 H の単位は，A/mとなる．この法則は，磁界の強さが電流に比例し，導線からの距離に

反比例することを意味している．下図はその概念図である．磁力線の向きは，電流の方向に対して右

回りで，一般的な木ねじの向きに等しい．

I

Hr

なお電流による磁界は，単に導線からの距離 r に反比例するというよりむしろ，導線を中心とする半

径 r の円周の長さに反比例しているといえる．点電荷による電界は，ガウスの法則により球の表面積

に反比例していた．導線により発生する磁界は，点ではなく，線なので円柱上で同じ磁界が発生する．

導線が十分長ければ，この式の通り，電界は円周の長さに反比例することになる．一方，導線が短い

場合は，点に近くなるため円の表面積に反比例する．微小な導線の長さを ∆sとすると，電流による

磁界は，次式で表すことが出来る．

H =I∆s

4πr2(8.9)

この式は，フランスのビオとサバールが発見したため，ビオ・サバールの法則と呼ばれている．

電気によって強い磁界を発生させるには，導線を筒状にグルグルと巻いてコイルをつくれば良い．

コイルによって磁束線の数を増やすことが出来るからである．さらにコイルの中に磁化しやすい金属

の棒を挿入すれば，さらに磁力を大きくすることが出来る．これを利用すれば，強い磁石を電気で作

れることになり，色々な活用がなされている．いわゆる電磁石である．

さて，電界 E においては誘電率 ε を用いて電束密度 D が定義されていた．磁界 H においては同

様に透磁率 (magnetic permeability)µ0 を用いて磁束密度 (magnetic flux density)B が定義されて

いる．B = µ0H (8.10)

磁束密度の単位は，電束密度の単位と同様に導くと，Wb/m2 となる．透磁率 µ0 の単位は，誘電率

と同様に N/A2 であり，真空中では 4π × 10−7N/A2 である．


8.1.3 電流

ここで，電流 (electrical current)について解説しておく．電流は，電荷の流れをさしている．厳密

な定義は，単位時間にある断面を通過する電気量とされている．そして 1A（アンペア）とは，1秒間

に 1Cの電荷が流れる量を表している．電荷粒子の密度を ρ，電荷粒子の平均速度を v，断面積を S

とすると，電流 I は次式で表すことが出来る．

I = ρvSq (8.11)

この式における電荷粒子の平均速度 v を他の式で置き換えてみる．電荷粒子の質量を m とし，加

速度を α とすると，その力は F = ma で表される．一方，式 8.2 より F = qE なので，加速度は，

α = qEm で表すことが出来る．そして速度 v は時間を T とすると v = qE

m T となり，式 8.11は，次式

のように表すことが出来る．

I = ρqE

mSq

=ρq2S

mE (8.12)

したがって，電位 E と電流 I は比例関係にあることが分かる．

電気回路においては，電流 I，電圧 V，抵抗 Rの関係は，次式で表している．

I =V

R(8.13)

この式は，オームの法則と呼ばれている．これは，先に 8.12 における電位 E を電圧 V に置き換え

て，比例係数を 1R で表している．

8.1.4 電流と磁界の関係

ローレンツ力

電流が流れると，磁界を発生させるが，磁界の中に電流を流すと力が発生する．この現象は，アン

ペールの力，或はローレンツ力と呼ばれている．磁束密度 B，電流 I，力 F の関係は，下図のように

なっている．

I

F

B


それぞれ異なる方向を持っている．これらの関係をベクトルを用いて式で表すと，次式のように簡単

に表すことが出来る．F = (I × B)l (8.14)

ここで，lは電流方向の長さであり，ベクトル積（外積）を用いて表している．力 F の方向は，電流

I と磁束密度 B とが作る平面に垂直な法線方向となっている．それぞれの方向の覚え方については，

下図のようにフレミングの左手の法則で知られている．

I

F

B

親指を力，人差し指を磁界，中指を電流として，それぞれの方向を表している．

このローレンツ力は，モーターに利用されている．磁石の中でコイル状の導線をおき，電流を流す

ことでローレンツ力を回転する力に変えているのがモーターである．

電磁誘導

電流と磁界によって力が発生し，モーターが開発された．逆に磁界と力によって電流を発生させる

ことも出来る．いわゆる発電機である．磁界と力というより，磁界の変化といった方が適切である．

下図に示したように，コイルに磁石を近づけると電流が発生する．

これを発見したのはファラデー (Faraday)で，1831年のことである．この現象を電磁誘導 (electro-

magnetic induction)と呼んでいる．電磁誘導によって得られる誘導起電力 V は，磁束の変化量 ∆φ

と変化時間 ∆tより，次式で与えられる．

V = −∆φ

∆t(8.15)

磁束 φは，磁束密度 B に面積 S をかけたものである．これをファラデーの法則と呼んでいる．符号

がマイナスになっているが，これは，磁束の変化する方向とは逆向きに電圧が発生することを意味し

ている．マイナスの起電力が発生することで，逆向きの磁束が新たに発生し，バランスを保つように

なっている．


電磁誘導は，発電機だけではなく様々な用途に利用されている．例えば，金属探知器は金属の移動

によって磁界が変化するため誘導起電力が得られる．空港のセキュリティチェックのゲートにおいて

は，ゲート自身が大きなコイルであり，そこを金属が通過すると誘導起電力が発生するので，金属を

持っているかどうかを判別できる．また IH(Induction Heating)に代表される電磁調理器も電磁誘導

が利用されている．これはパネルのしたに埋め込まれたコイルによって磁気を変化させ，金属鍋に誘

導起電力を発生させることによって鍋を温めるものである．

8.1.5 マックスウェル方程式

イギリスのマックスウェル (Maxwell)は，1864年に電場と磁場におけるガウスの法則，アンペー

ルの法則，ファラデーの法則を定式化した．それがマックスウェル方程式と呼ばれている．そして重

要なことは，マックスウェル方程式によると，電磁波の存在が予測されていたことである．

電場におけるガウスの法則

電場におけるガウスの法則は，式 8.4に示したように 4πr2E = qa

ε0であった．これは電荷を中心と

し，半径 r の球の表面積×電界の強さは一定であることを示していた．なお電界の強さは，電気力線

の密度に対応する．したがって半径 r の球の表面積×電界の強さは，電気力線の数に対応している．

ここでは，この球面を任意の閉曲面（立体的に閉じた面）における式に拡張する．下図の左に示すよ

うな，電荷を取り囲む閉曲面 aにおいても，曲面から出て行く電気力線の数は球面と変わらないため，

任意の閉曲面の面積×電界の強さは qa

ε0の値となる．一方，電荷を取り囲んでいない閉曲面 bの場合

には，電気力線が閉曲面に入るものと出て行くものがあるので，電気力線の総和は 0となる．

qa

E

θ

E

∆S

n

さて，任意の閉曲面の内部に電荷があるときの電気力線の本数を表す式を立てるのに，閉曲面の微

小表面を用いて積分で表す．上図の右は，閉曲面 a の一部の微小表面を取り出したものである．こ

の微小表面のの面積を ∆S とし，この断面を横切る電界の強さをベクトル E で表している．微小表

面と E とは垂直とは限らず傾きを持っている．その傾きを θ とすると，微小表面に垂直な成分は，

|E| cos θとなる．これは，微小表面の単位法線ベクトルを nとすると，内積を用いてE · nと表すこ

とができる．なぜなら，E · n = |E||n| cos θ で，|n| = 1だからである．したがって，任意の閉曲面

での 8.4は，次のようになる． ∫s

E · ndS =qa

ε0(8.16)


電荷に体積がある場合は，電荷密度 (electric charge density)ρ の概念を導入すれば，電荷 qa =∫vρdv と表すことができる．したがって，上式は以下のように表される．

ε0

∫s

E · ndS =∫

v

ρdv (8.17)

これが，４つのマックスウェル方程式のうちの一つである．

磁界におけるガウスの法則

磁界におけるガウスの法則は，考え方としては電界の場合と同じである．ただ，磁界における磁力

線は，必ず出て行くものと入って来るものとがある．下図のように Nの磁極を取り囲むような閉曲面

であっても出て行く磁力線だけでなく，磁石内部から多くの磁力線が入ってくる．

N

S

H

したがって，磁力線の総和は 0となる．磁界の強さをベクトルH で表し，電界におけるガウスの法

則と同様に考えると，µ0

∫sH · ndS = 0となり，次式を得る．∫

s

B · ndS = 0 (8.18)

これが，磁界におけるガウスの法則を表したマックスウェル方程式である．

アンペールの法則

アンペールの法則は，式 8.8に示したように H = I2πr であった．磁束密度 B で表すと，B = µ0I

2πr

となり，2πrB = µ0I と書ける．ガウスの法則は，点から球場に広がる様子をイメージしているが，

アンペールの法則においては，導線から円筒状に広がるイメージである．したがって，導線を囲む閉

曲線（閉曲面は三次元空間における面による閉じた空間を指すが，閉曲線は二次元平面における閉じ

た平面をさす）で積分したものとなる．したがって，次式で表すことができる．なお∮記号は積分を

表すが，特に閉曲線において一周分の積分をするときに用いられる．∮Bdr = µ0I (8.19)

導線の断面の断面積あたりの電流の密度を j とし，その断面の微小断面積を∆S とすると，I =∫

jdS

となる．したがって上式は，次式で書き表される．∮Bdr = µ0

∫s

jdS (8.20)


これが，アンペールの法則を表したマックスウェル方程式の原型である．

マックスウェルは，この方程式に変位電流の項を加えた．アンペールの法則は，電流が流れたとき

に磁界が発生するというものであるが，電界の変化によっても磁界が発生する．例えば，コンデンサ

は２つの離れた電極板に電荷を溜めるものである．この電荷が溜まる過程において，電界が大きくな

り，これに伴ってコンデンサのまわりにも下図のように磁界が発生する．

I

BdE/dt

S

ある点における電界の時間的変化は，dEdt で表すことができる．これを閉曲面で積分すると

∫s

dEdt dS

となる．これを電束密度で表すと ε0∫

sdEdt dS となり，これは変位電流密度と呼ばれている．この項を

式 8.20に加えてアンペールの法則を拡張すると，次式を得る．∮Bdr = µ0

∫s

(j + ε0

dE

dt

)dS (8.21)

これをアンペール・マックスウェルの法則と呼んでいる．さらに，この式をベクトルで表すと，次の

ようになる． ∮Bdr = µ0

∫s

(j + ε0

∂E

∂t

)· ndS (8.22)

これが，アンペールの法則を拡張したマックスウェル方程式の一つである．

ファラデーの法則

ファラデーの法則は，式 8.15に示したように V = −∆φ∆t であった．電圧 V は，式 8.6に示したよ

うに．電界 E と電荷の移動距離 r の積で表すことができる．コイルのある部分における電界を E，

その部分の長さを ∆r とすると，その部分での電圧は，V = E∆r となる．これを閉曲線全体に拡張

し，コイルの両端での電圧は，V =∮

Edr となる．

∆rE

φ

V

8.2 電磁波の基礎 177

磁束 φは，磁束密度 B に面積 S をかけたものと同じなので，φ =∫

sBdS と表され．ファラデーの

法則は，次式で表すことができる． ∮Edr = − d

dt

∫s

BdS (8.23)

これをベクトルで表すと，次式を得る．∮Edr = −

∫s

∂B

∂t· ndS (8.24)

これが，ファラデーの法則についてのマックスウェル方程式である．

微分形式によるマックスウェル方程式

マックスウェル方程式は，式 8.17，式 8.22，式 8.18，式 8.24の４つの基本方程式で構成されてい

る．改めて書き表すと，以下のとおりである．

ε0

∫s

E · ndS =∫

v

ρdv 電界におけるガウスの法則∮Bdr = µ0

∫s

(j + ε0

∂E

∂t

)· ndS アンペール・マックスウェルの法則∫

s

B · ndS = 0 磁界におけるガウスの法則∮Edr = −

∫s

∂B

∂t· ndS ファラデーの法則

これらの方程式は，積分で表されており，閉曲線や閉曲面全体での電界や磁界についてまとめられて

いる．全体での電界や磁界の状態は，この式で十分説明できるが，ある点での状態を表現するために

は，不十分である．したがって，これらの式を微分で表す式が必要となる．ベクトルの微分を利用し

てマックスルェル方程式を表現すると，次式のようになる．

∇ · E =ρ

ε0電界におけるガウスの法則 (8.25)

∇× B = µ0

(j + ε0

∂E

∂t

)アンペール・マックスウェルの法則 (8.26)

∇ · B = 0 磁界におけるガウスの法則 (8.27)

∇× E =∂B

∂tファラデーの法則 (8.28)

このように，すっきりとした方程式で表すことができる．これらのマックスウェル方程式は，電子回

路の中での電界や磁界の状況を把握することができるだけでなく，電磁波に関しても説明することが

できる．

8.2 電磁波の基礎

8.2.1 電磁波の種類

電磁波 (electromagnetic waves)は，電波と略されたりするが，現在様々な用途に活用されている．


ラジオ，テレビ，携帯電話，リモコン，電子レンジなどが代表例である．光も電磁波の一種である．

電磁波は，波の性質と粒子の性質を兼ね備えている．したがって，波長 (wave length)λをもとに電

磁波が分類されている．波の伝わる速さは，光速と等しいが，どの波長の電磁波であろうと同じ速度

c である．このことから，波長が決まると周期 (period)T と振動数 (frequency)ν も決まる．周期 T

は，一つの波が通過するのに要する時間である．つまり光速 c = λ/T と計算でき，波長が長くなれ

ば，周期も長くなる．振動数 ν は，1秒間に何個の波が通過するかを意味し，ν = 1/T となる．よっ

て c = νλが導かれ，波長が長くなれば，振動数は少なくなる．なお，振動数は，周波数という言葉

で表現されることもある．ラジオやテレビの電磁波は，波長でなく周波数で表現される場合が多い．

現在までに解っている電磁波は，周波数にして 10−5～1022Hzの範囲にある．波長の短いものから

順にγ線，エックス線，紫外線，可視光線，赤外線，電波等と俗に呼ばれている．下図は，波長ごと

に電磁波を分類した概念図である．可視域は，0.4～0.7µmで非常に狭い範囲を人間の目は感知して

いることになる．

0.1nm 10nm 1µm 100µm 10mm 1m 100m 10km

Xγ

幅広く分布している電磁波のうち，リモートセンシングで用いられている電磁波の波長は，紫外線の

一部（0.3～0.4µm），可視光（0.4～0.7µm），赤外の一部（0.7～14µm）とマイクロ波（約 1mm～1m）

である．特にこれらを，可視反射赤外リモートセンシング，熱赤外リモートセンシング，マイクロ波

リモートセンシングと大別することが多い．

8.2.2 電磁波の波動方程式

電磁波は，マックスウェル方程式によってその生成過程を説明することができる．そのために，ま

ず何もない真空中において，マックスウェル方程式はどうなるか考えてみる．電界におけるガウスの

法則においては，閉曲面の中に電荷が含まれているときのものであった．真空中には電荷は存在しな

いため，磁界におけるガウスの法則と同様に ∇ · E = 0となる．また，アンペール・マックスウェル

の法則においては，真空中には電流が存在しないため，∇×B = µ0ε0∂E∂t となる．したがって真空中


におけるマックスウェルの方程式は，次のように表現できる．

∇ · H = 0 (8.29)

∇ · E = 0 (8.30)

∇× H = ε0∂E

∂t(8.31)

∇× E = µ0∂H

∂t(8.32)

なお，磁束密度 B は，磁界H で書き直した．真空中においては，さらにすっきりとした方程式に

なっている．電界の変化は磁界を発生させ，その磁界の向きは電界に対して垂直方向となる．このこ

とを外積と偏微分を使って式 8.31で表現している．同様に磁界の変化は電界を発生させ，その電界の

向きは磁界に対して垂直方向となる．これを式 8.32で表現している．したがって，下図のように電界

の変化が，磁界を発生させ，それがまた電界を発生させるという無限の連鎖反応が生じる．これが電

磁波の正体のようである．

電磁波は，電界と磁界が相互に発生しながら伝搬されて行く．したがって，伝搬される状況を式で

表現する必要がある．下図はその概念図で，波の関数 f()が z方向に伝搬される様子を表したもので

ある．時刻についての軸を tとし，奥行き方向にとっている．関数 f()で表される波が速度 v で右方

向に進んでいる．ある時刻 t0 において波が z0 を通過し，∆t後には z1 に達している．この位置関係

を速度 v を用いると，z0 = z1 − v∆tと表すことができる．

x

z

z

t

z0 z1t0

∆t

v∆t

t1

f(z0-vt0)

f(z1-vt1)

伝搬する波は，f(z − vt)で表現することができる．その理由は，次式より説明できる．

f(z1 − vt1) = f(z1 − v(t0 + ∆t))

= f(z1 − vt0 − v∆t) z0 = z1 − v∆tより

= f(z0 − vt0) (8.33)

つまり，f(z1 − vt1) = f(z0 − vt0)となり，f(z − vt)の形が維持されており，時間とともに f()の波

が右に移動する様子が表現される．移動方向が逆の左の場合は，f(z + vt)となる．


次に，伝搬する波の形を正弦波 (sine wave)と仮定して表す．正弦波は，sin関数で表される波のこ

とで，sinxの場合，波長が 2πの無限に続く波が移動している状況である．波長 λ，振幅 aとすると，

波の関数 u(z, t)は次式となる．

u(z, t) = a sin2π

λ(z − vt) (8.34)

一つの波が通過し次の波が来るまでの時間，つまり周期を T とすると，波の進行速度 v より λ = vT

となる．したがって上式は，次のようになる．

u(z, t) = a sin 2π(z

λ− t

T) (8.35)

ここで， 2πλ は波の数を表しており，波数 (wave number)とよび，それを k とおく．また 2π

T は角振

動数を表しており，ω とおくことができる．したがって，波の関数は次式で表すことができる．

u(z, t) = a sin(kz − ωt) (8.36)

さらにこの式を三次元空間の任意の方向に進む波に拡張する．このとき波は平面波 (plane wave)を

仮定する．平面波は，波の集団が平面上に分布し，それが一段となって同一方向に進むような波であ

る．例えば，太陽からの電磁波は，非常に遠いところから放射されており，地球上においては平面波

と見なすことができる．

任意の方向に進む平面波を表現するとき，波の進む方向をベクトルで表す必要がある．そこで，波

数 k をベクトル k = (kx, ky, kz)で表現する．下図は，平面波の概念図を表したものである．

x

z

y

r

kn

上図においては，k の単位ベクトルを n と，任意の平面上の点へのベクトル r を図示している．n

は，平面の単位法線ベクトルに相当する．この波の関数はベクトル r となり，次式で表現することが

できる．

u(r, t) = a sin(k · r − ωt)

= a sin(kxx + kyy + kzz − ωt) (8.37)

さらにオイラーの公式 3.81により複素関数で表現することも可能である．そのためには，正弦波で

表していた波を余弦波に書き換える必要がある．正弦波を余弦波に直しても，位相が π2 ずれるのみな

ので，波の本質的な違いは無い．それを次式に示す．

u(r, t) = aei(k·r−ωt) (8.38)

iは虚数単位を表している．上式を改めて三角関数で表現すると，次式のようになる．

u(r, t) = a cos(k · r − ωt) + i sin(k · r − ωt) (8.39)


実数部と虚数部のうち，実数部のみ取り扱うことで実用上は問題ない．複素関数で表現するととによ

り，計算が簡単になるという利点がある．

さて，電磁波における電界と磁界を元に戻って正弦波を用いて表現し．波動方程式を求めたい．こ

のとき，任意のベクトルを想定すると複雑になるため，単純に z軸方向に伝搬するものとする．そし

て，下図のように電界は xz平面に沿って振動し，磁界は yz平面に沿って振動しているものとする．

Ex

x

z

y

Hy

z軸上のある点における電界の強さを Ex，磁界の強さを Hy とすると，次式で表すことができる．

Ex = E0 sin(kz − ωt) (8.40)

Hy = H0 sin(kz − ωt) (8.41)

ところで，式 8.31は，任意のベクトルを対象としたものであったが，上図のように z軸上を伝搬する

場合，次式で表すことができる．∂Hy

∂z= ε0

∂Ex

∂t(8.42)

式 8.32についても同様に，次式で表すことができる．

∂Ex

∂z= µ0

∂Hy

∂t(8.43)

次に，式 8.42の両辺を z で偏微分し，整理すると次式を得る．

∂2Hy

∂z2= ε0

∂Ex

∂t

∂Hy

∂z

= ε0µ0∂2Hy

∂t2式 8.43より (8.44)

これが磁界に関する波動方程式 (wave equation) である．また電界についても，式 8.43 の両辺を z

で偏微分し，整理すると次式を得る．

∂2Ex

∂z2= µ0

∂Hy

∂t

∂Ex

∂z

= ε0µ0∂2Ex

∂t2式 8.42より (8.45)


これが電界に関する波動方程式 (wave equation)である．式 8.45に式 8.40を代入し，整理すると次

式を導くことができる．

∂2(E0 sin(kz − ωt))∂z2

= ε0µ0∂2(E0 sin(kz − ωt))

∂t2

k∂(E0 cos(kz − ωt))

∂z= −ωε0µ0

∂(E0 cos(kz − ωt))∂t

−k2(E0 sin(kz − ωt)) = −ω2ε0µ0(E0 sin(kz − ωt))

k2 = ω2ε0µ0

k2

ω2= ε0µ0 (8.46)

ここで，k = 2πλ ，ω = 2π

T なので，波の速度 v = λT は，v = ω

k となる．なお，電磁波の伝搬速度は光

速 cに等しい．したがって光速 cは，次式で表すことができる．

c =ω

λ

=1

√ε0µ0

(8.47)

このように光速 cは，真空での誘電率 ε0 と透磁率 µ0 から計算できることを意味しており，非常に興

味深い．

一般的な波動方程式は，x軸方向に向かって伝搬するもので表し，次式のように，速度 v を用いて

次式で表すことが多いようである．∂2y

∂x2=

1v2

∂2y

∂t2(8.48)

電磁波の波動方程式は求まったので，ここで電界と磁界との関係について把握しておく．電界E も

磁界H もベクトルであり，互いに直交する．そして電磁波の進む方向 S は，外積を用いて次式で計

算することができる．S = E × H (8.49)

このベクトル S は，ポインティングペクトル (pointing vector)と呼ばれている．

次に，電界 E と磁界H の大きさの関係について計算する．まず，8.40，式 8.41を式 8.42，式 8.43

のそれぞれに代入し，偏微分すると次式を得る．

kH0 cos(kz − ωt) = ε0ωE0 cos(kz − ωt) (8.50)

kE0 cos(kz − ωt) = µ0ωH0 cos(kz − ωt) (8.51)

kω を左辺に移項して整理すると次式を得る．

k

ω= ε0

E0 cos(kz − ωt)H0 cos(kz − ωt)

(8.52)

k

ω= µ0

H0 cos(kz − ωt)E0 cos(kz − ωt)

(8.53)

8.3 電磁波と物質の相互作用 183

したがって，上の二式は等しいので，それを整理すると，次のようになる．

µ0H0 cos(kz − ωt)2 = ε0E0 cos(kz − ωt)2

H0 cos(kz − ωt)2 =ε0µ0

E0 cos(kz − ωt)2

H20 =

ε0µ0

E20

H0 =√

ε0µ0

E0 (8.54)

図では，電界 E と磁界 H の振幅を同じ程度で描き表したが，実際には透磁率 ν0 の方が誘電率 ε0 よ

りも極めて大きいので，磁界の振幅 H0 は電界の振幅 E0 に比べて実際には非常に小さい．

8.3 電磁波と物質の相互作用

8.3.1 電磁波の反射，屈折，偏光

第５章において，光の反射と屈折についてはスネルの法則に従うことを解説した．ここでは波の方

程式を用いて反射と屈折の現象を定式化し，スネルの法則を導くとともに，偏光についても言及する．

電磁波は電界と磁界が直交し，それが伝搬する．電界と磁界の波が伝搬するそれぞれの振動面は，

様々な方向を向いているものである．下図は，電界の振動する面が縦方向と横方向の場合の反射と屈

折の様子を図示したものである．下図において電磁波は，zx平面に沿って左上から右下に向かって進

んでおり，yz平面より上側と下側とで媒質が異なっている．上側の媒質の誘電率は ε1，透磁率は µ1，

下側の媒質の誘電率は ε2，透磁率は µ2 としている．

z

x

Ehi Ehr

EhtEvt

z

x

EviEvr

θi θr

θt

θi θr

θt

ε1, µ1

ε2, µ2

ε1, µ1

ε2, µ2Y Y

左側の図は，電界の振動面が zx平面に平行となっており，媒質の境界面に対して垂直に振動している

様子を表している．この状況で，入射する電磁波の電界を Evi，屈折後は Evt，反射後は Evr とする．

そして入射角は θi，屈折角は θt，反射角は θr で，それぞれ x軸からの角度で表している．一方右側

の図は，電界の振動面が zx平面に直角となっており，媒質の境界面に対して平行に振動している様

子を表している．この状況で，入射する電磁波の電界を Ehi，屈折後は Eht，反射後は Ehr とする．

媒質の境界面に対して垂直に振動している入射電界は，複素関数を用いると Eivei(k1n·r−ωt) と

表すことができる．ここで，n は入射電界の進行方向を表し，成分にすると下図の左に示すように

(sin θi,− cos θi)である．rは zx平面上なので (z, x)で表すことができ，入射電界 uiv(z, x, t)は次式


となる．なお，上側の媒質における波数を k1 とおく．

uiv(z, x, t) = Eivei(k1z sin θi−k1x cos θi−ωt) (8.55)

また，入射電界の振幅の z軸方向成分 Eivz は，下図の左に示すように Eivz = Eiv cos θi となる．こ

れに対する磁界は，n × E の方向となり，紙面に対して向こう向きの y軸に沿う向きとなる．右手

系の座標においては，y座標の向きは紙面に対して手前向きであるため，磁界の y軸の成分は負の値

をとることになる．その大きさは，式 8.54より計算できるので，入射磁界の y軸方向成分 Hivy は，

Hivy = −√

ε1µ1

Eiv となる．磁界は y軸方向の振動なので，z成分も x成分も発生せず，入射角に依

存しない．これらの式を改めて示すと以下のようになる．Eivz = Eiv cos θi

Hivy = −√

ε1µ1

Eiv(8.56)

sinθi

cosθi

θi

sinθi

cosθi

Eiv

z

x

n

Hiv sinθi

cosθi

θi

sinθi

cosθi

Eih

z

x

n

Hih

媒質の境界面に対して平行に振動している入射電界の場合，入射電界の振幅の y軸方向成分 Eihy は，

上図の右に示すように入射角に依存しないため Eihy = −Ehi となる（上図右のように先の磁界のと

きと同じ向きとした）．入射磁界の方向Hih は，n× E の方向となり，左下向きになる．したがって，

その z軸方向の成分 Hiz は，Hihz = −√

ε1µ1

Eih cos θi となる．これらの式を改めて示すと以下のよ

うになる． Eihy = −Eih

Hihz = −√

ε1µ1

Eih cos θi(8.57)

次に，反射電界について同様に考える．媒質の境界面に対して垂直に振動している反射電界

urv(z, x, t)は次式で表される．

urv(z, x, t) = Ervei(k1z sin θr−k1x cos θr−ωt) (8.58)

そして，反射電界の振幅の z軸方向成分 Ervz と，これに対する反射磁界の y軸方向成分Hrvy は，次

式で表すことができる（下図の左参照）．Ervz = −Erv cos θr

Hrvy = −√

ε1µ1

Erv(8.59)


sinθr

cosθr

θr sinθr

cosθr

Erv

z

x

n

Hrv

z

x

sinθr

cosθr

θr sinθr

cosθr

Hrhn

Erh

媒質の境界面に対して平行に振動している反射電界において，反射電界の y方向成分 Erhy と，これ

に対する反射磁界の z軸方向成分 Hrhz は，次式で表すことができる（上図の右参照）．Erhy = −Erh

Hrhz =√

ε1µ1

Erh(8.60)

次に，透過電界について同様に考える．媒質の境界面に対して垂直に振動している透過電界

utv(z, x, t)は次式で表される．なお，下側の媒質における波数を k2 とおく．

utv(z, x, t) = Etvei(k2z sin θr−k2x cos θt−ωt) (8.61)

そして，透過電界の振幅の z軸方向成分 Etvz と，これに対する透過磁界の y軸方向成分Htvy は，次

式で表すことができる（下図の左参照）．Etvz = Etv cos θt

Htvy = −√

ε2µ2

Etv(8.62)

sinθt

cosθt

θt

sinθt

cosθt

Etv

zx

n

Htv

x

sinθt

cosθt

sinθt

cosθt

Eth

z

n

Hth

媒質の境界面に対して平行に振動している透過電界において，反射電界の y方向成分 Ethy と，これ

に対する透過磁界の z軸方向成分 Hthz は，次式で表すことができる（上図の右参照）．Ethy = −Eth

Hthz = −√

ε2µ2

Eth(8.63)

さて，媒質の境界面においては，入射電場と反射電界の合計が透過電界と釣り合わなければならな

い．そこで，式 8.55，8.58，8.61の z軸成分を対象とし，境界面なので x = 0を代入すると，境界面


に対して垂直な電界も平行な電界も次式で表すことができる．なお，ωtの項は省略した．Eivzeik1z sin θi + Ervzeik1z sin θr = Etvzeik2z sin θt

Eihyeik1z sin θi + Erhyeik1z sin θr = Ethyeik2z sin θt(8.64)

この式が，どのような z の値であろうと成り立つためには次式が満たされなければならない．

k1 sin θi = k1 sin θr = k2 sin θt (8.65)

したがって，θi = θr と k1 sin θr = k2 sin θt というスネルの法則が導かれる．k1, k2 が屈折率に相当

し，k1 = ω√

ε1µ1

, k2 = ω√

ε2µ2である．この式が満たされれば，8.64は次式のように簡単な式で表す

ことができる． Eivz + Ervz = Etvz

Eihy + Erhy = Ethy

(8.66)

磁界についても同様に考えると，次式を得る．Hivy + Hrvy = Htvy

Hihz + Hrhz = Hthz

(8.67)

これらの式に式 8.56，8.57，8.59，8.60，8.62，8.63を代入すると次式を得る．

Eiv cos θi − Erv cos θr = Etv cos θt

−Eih − Erh = −Eth

−√

ε1µ1

Eiv + −√

ε1µ1

Erv = −√

ε2µ2

Etv

−√

ε1µ1

Eih cos θi +√

ε1µ1

Erh = −√

ε2µ2

Eth

(8.68)

これらの式とスネルの法則を用いて，入射電界と反射電界の比を求める．この比はいわゆる振幅反射

率に相当する．媒質の境界に対して垂直に振動する電界の場合には，次式のようになる．なお屈折率

の比は nで表した．つまり n =√

ε2µ2

/√

ε1µ1を用いた．

Erv

Eiv=

cos θi − n cos θt

cos θi + n cos θt(8.69)

媒質の境界に対して垂直に振動する電界の場合には，次式のようになる．

Erh

Eih=

n cos θi − cos θt

n cos θi + cos θt(8.70)

次に入射電界と透過電界の比を求める．この比はいわゆる振幅透過率に相当する．媒質の境界に対し

て垂直に振動する電界の場合には，次式のようになる．

Etv

Eiv=

2 cos θi

cos θi + n cos θt(8.71)

媒質の境界に対して垂直に振動する電界の場合には，次式のようになる．

Eth

Eih=

2 cos θi

n cos θi + cos θt(8.72)


これら式 8.69～8.72 は，フレネルの式と呼ばれている．振幅反射率の式をみると，媒質の境界面に

対して垂直の振動している場合，分子の値は小さくなり，反射後の振幅は非常に小さくなることが

分かる．特に入射角度 θi によっては分子の値が 0になる場合もある．この角度をブリュースター角

(Brewster’s angle)と呼んでいる．

太陽から降り注ぐ光（電磁波）において，電界面はあらゆる方向を向いている．この光が何かに反射

すると，反射面に対して垂直に振動する電界面を持つ光は非常に弱くなり，平行に振動する電界面を

持つ光が卓越することになる．このように，ある一定方向に電界面が偏った光を偏光 (polarisation)

と呼んでいる．サングラスの中には，偏光サングラスというものもある．これはレンズにたくさんの

スリットを入れることによって入ってくる光の量を少なくしている．そして，単に光の量が少なくな

るだけでなく，特定の振動面を持つ光をカットすることができる．つまり，スリットに対して直角方

向の電界面を持つ光は，透過できない．例えば，水面やガラスに反射する光は，特定の向きの電界面

を持つものが多いので，偏光サングラスによってそれらをカットし，水面の中やガラスの中を見やす

くする機能もある．

8.3.2 電磁波に関する物理量

電磁波が発生し，四方八方に伝搬して行くことを放射 (radiation)と呼んでいる．電磁波の放射は，

エネルギを持っている．放射エネルギ (radiant energy)の単位は (J)である．単位時間あたりの放射

エネルギ (J/s)は，放射束 (radiant flux)あるいは光束と呼ばれ，単位は (W)に相当する．実用単位

としてルーメン (lm)が一般に利用されている．身近なところでは，プロジェクタの明るさを表すの

に利用されている．

放射束を単位面積あたりの値に換算したものが放射発散度 (radiant exitance)である．つまり放射

発散度は，放射源から射出される単位時間，単位面積あたりのエネルギといえる．これに対して，放

射源から，ある面に対して照射される単位時間，単位面積あたりのエネルギは，放射照度 (irradiance)

呼ばれている．放射発散度Me と放射束 Φの関係は，面積を S とすると，次式で表される．

Me =dΦdS

(8.73)

単位は (W/m2)となる．実用単位はルクス (lx = lm/m2)が一般に利用されている．

放射源が点の場合には，放射源から離れるに従って，放射照度は小さくなる．そこで放射束を立

体角あたりの値に換算した放射強度 (radiant intensity) が使いやすい．下図は，その様子を表して

いる．

dΩ ΦI

放射強度 Ie と放射束 Φとは，立体角を Ωとすると次式で表される．

Ie =dΦdΩ

(8.74)

放射強度 Ie の単位は (W/sr) となる．実用単位はカンデラ (cd = lm/sr) が一般に利用されている．


立体角は，三次元での角度を表すのに利用されているもので，下図に示すように円錐の頂点の三次元

角度の概念である．円錐の中心軸と母線との平面上の角度は αであるが，立体角はこれとは異なる．

S

rα

立体角 Ωは，円錐の底面が接する球面上の面積 S と母線の長さ r の関数で以下のように表すことが

出来る．

Ω =S

r2(8.75)

単位は sr，ステラジアンと呼んでいる．球の表面積は，4πr2なので，全球の立体角は，4π(sr)となる．

次に，放射源が面的に広がっている場合を考える．面積がある場合，放射面に対して法線方向から

得られるエネルギは最大となるが，斜めになるとそのエネルギは小さくなる．下図のように，ある微

小面積 dS を考えた場合，法線からの角度 θ 傾いたときの微小面積は，dS cos θ となる．

dS

dS cos θ

θ

そこで放射源が面の場合には，単位面積あたりの放射強度に換算された放射輝度 (radiance)が用いら

れる．放射輝度 Le は，放射強度 Ie を用いて次式で計算される．

Le =dIe

dS cos θ(8.76)

さらに，放射束で放射輝度を表すには，Ie = dΦdΩ より，次式が得られる．

Le =d2Φ

dΩdS cos θ(8.77)

放射輝度の単位は，(W/sr · m2)となる．実用単位はスチルブ (cd/cm2)が一般に利用されている．

8.3.3 電磁波の放射と吸収

黒体放射

物質は電磁波を放射 (radiation)しており，特にその放射が熱に依存しているものを熱放射と呼ん

でいる．逆に，熱を持っている物質はすべて熱放射 (heat radiation)しているといえる．物質が熱を


持つと色が変化する．例えば電熱線を用いたヒーターは，温度が上昇するに連れて赤からオレンジ，

黄色へと変化し，明るさも増す．つまり熱を持つほどに放射の量も多くなる．この熱放射は，通常物

質ごとに放射特性を持っている．ある電磁波の波長帯は放射効率が高く，ある波長帯は放射効率が低

いという，選択的放射体がほとんどである．また，入射する電磁波をよく吸収するものほど，よく放

射するという性質を持つ．黒い服は太陽の光を吸収しやすく，暖かくなるのはこのためである．した

がって完全吸収体の場合は，温度だけで放射量が一意的に決まることになる．このような物体を黒体

(black body)と呼び，黒体の熱放射を黒体放射 (black body radiation)という．つまり黒体は，入射

するすべての電磁波を完全に吸収し，反射も透過もしない物質で，ある温度において，他のどの物質よ

りも大きい放射をするものである．このことは，1859年にロシア生まれのキルヒホッフ (Kirchhoff)

によって発見された．熱放射の量は，波長 λと温度 T にのみに依存するというものである．この法則

は，温度は色を測ることによって推算できることを示しており，現在ではサーモグラフィーなどに利

用されている．

キルヒホッフの熱放射則を理論的に導くことに成功したのは，ドイツのプランク (Planck)で 1900

年のことである．プランクは，オーストリアのボルツマンの発見した統計力学の法則を利用した．光

をはじめとする電磁波は，つまるところ，たくさん存在する電子の振る舞いによるものなので，その

振る舞いは統計的に説明できるということに基づいている．このことから，電磁気学は，統計力学へ

と発展することになる．さて，電磁波は，時間的に変化する．ボルツマンは，温度 T によるエネル

ギーの時間平均 < E >は，< E >= 12kT で表されることを示した．ここで k は定数であり，ボル

ツマン定数と呼ばれている．そして，ある一定時間内において，エネルギー状態 E にあるときの回数

P (E)は，次式で表されることを統計計算によって導いた．

P (E) = Ae−Ekt (8.78)

ここで，Aは定数であり，eは自然対数である．この式は正規分布を導くときに出て来た式 3.25と非

常に似ている．この式をプランクは利用した．このとき，電磁波の持つエネルギ E は，E = nhν で

表されるものとしている．hはプランク定数と呼ばれる定数で，ν は電磁波の振動数，nは整数であ

る．振動数が大きいほどエネルギーも大きくなることを表している．nが 0, 1, 2, · · · という整数であるところが妙なところであるが，このことを導入すれば，熱放射の理論と実測とが合致するのである．

n = 0, 1, 2, · · · のときのエネルギー状態にある回数は，P (0), P (1), P (2), · · · となり，エネルギの総和は，次式で求めることができる．

0hνP (0) + 1hνP (1hν) + 2hνP (2hν) + · · · (8.79)


これをエネルギー状態ごとの回数の総和で割ると，エネルギーの平均値が算出される．

< E > =0hνP (0) + 1hνP (1hν) + 2hνP (2hν) + · · ·

P (0) + P (1hν) + P (2hν) + · · ·

=hν(0 + e−

hνkt + 2e−

2hνkt + · · ·

e0 + e−hνkt + e−

2hνkt + · · ·

= hν0 + x + 2x2 + · · ·1 + x + x2 + · · ·

x = e−hνkt とおいた

= hνx

1 − x

=hν

x − 1

=hν

e−hνkt − 1

(8.80)

この式により，電磁波の振動数ごとでのエネルギーを計算することができる．エネルギーで表したこ

と式を放射発散度Me(λ, T )に直すと，次式となる．cは光速であり，c = νλである．

Me(λ, T ) =2πhc2

λ5

1

e−hc

kλT − 1(8.81)

この式を利用し，T =300[K]から 5000[K]における各波長ごとの放射発散度を計算すると下図のよう

になる．

102

104

106

108

1010

1012

1014

0.1µm 1µm 10µm 100µm 1mm

300(K)

600(K)

1000(K)

5000(K)

温度が上がるに連れて，放射のピークが赤外域より可視域に移りつつ，その量も多くなっている．太

陽は約 5900[K]の黒体と近似されており，可視域の黄色い部分にピークを持つ放射源となっている．

黒体の放射発散度 Me から放射輝度 Le に変換する．このとき黒体の放射輝度を特別に B で表す

と，次式となる．

B(λ, T ) =2hc2

λ5

1

e−hc

kλT − 1(8.82)

プランクの法則で基本的に黒体の放射エネルギーを計算できるが，振動数が大きい場合，小さい

場合とで近似式を導くことができる．例えば，振動数が大きいとき，つまり波長が短い場合には，


hνkT À 1より，e−

hνkt − 1 ; e−

hνkt が得られ，次式を得る．

B(λ, T ) =2hc2

λ5

1

e−hc

kλT

(8.83)

これをウィーン (Wien)の放射法則といい，λ＝ 0.9 ∼ 10µm，T にして常温から約 3200までの

範囲で使用できる．

一方，振動数が小さいとき，つまり波長が長い場合には，hνkT ¿ 1より，e−

hνkt − 1 ; hν

kT が得られ，

次式を得る．

B(λ, T ) =2c

λ4kT (8.84)

これをレーリー・ジーンズ (Rayleigh-Jeans)の放射法則という．λ = 3mm ∼ 30mmのマイクロ波の

範囲で使用できる．

放射の原理

真空に近い状態で，ある気体が封入されたガラス管の中に電極があり，電極間に電圧をかけると，

気体特有の色の発光現象が見られる．これは真空放電 (vacuum discharge)と呼ばれている．蛍光灯

の原型とも言えるが，この光は，特有の波長をもった電磁波として捉えられる．この電磁波の放射に

ついて，水素原子を例に説明すると，次のようになる．

水素原子は下図のように，１個の原子核と１個の電子から構成される．そして電子はとびとびの軌

道上に存在する．半径が中途半端な軌道というものは無いようで，この理由は良く解っていないらし

い．一番内側の軌道を電子が周回するときと，外側の軌道を周回するときでは，運動する電子のもつ

エネルギーが異なり，外側ほどエネルギーが大きい．これは，1913年にデンマークのボーア (Bohr)

が提唱した量子条件によって説明している．

1

2

3

E2

E1

上図では，2番目の軌道上にある電子が，1番目の軌道に移る状況を示したものである．2番目の軌道

にある電子の方が，1番目の軌道にある電子よりもエネルギー準位 (energy level)は高い．2番目の軌

道にあるときのエネルギーが E2，1番目の軌道にあるときのエネルギーが E1 とすると，軌道が 1番

目に移ることで E2 − E1 のエネルギーが減り，減ったエネルギー分が電磁波として放射 (radiation)

される．つまり，真空に近いガラス管の内部は，エネルギー準位の高い水素があり，電圧をかけるこ


とによってガラス管の内部の電子の数が増え，水素原子上を回る電子とぶつかることによってエネル

ギー準位が低くなり，光が放たれる．エネルギー準位が高い状態のことを励起 (Excitation)状態と呼

んでる．なお，電子の軌道が内側に移動するときは電磁波が放射されるが，逆に外側に移動するとき

は電磁波が吸収 (absorption)される．

真空放電において放射される電磁波は，移る軌道に応じて特徴的な波長（振動数）を持っている．

水素原子については，1890年にスウェーデンのリュードベリ (Rydberg)が波長と移動する軌道との

関係を明らかにした．n番目の軌道からm番目の軌道に移るときに放射される電磁波の波長 λ（振動

数 ν）は，次式で表すことができる．

1λ

=ν

c= R

(1n2

− 1m2

)(8.85)

ここで，Rは定数であり，リュードベリ定数と呼ばれている．

黒体放射の項においても解説したが，電磁波のエネルギー E は，次式で与えられる．

E =hcλ

= hν (8.86)

プランクは E = nhν としたが，1905 年，ドイツのアインシュタイン (Einstein) は，光量子仮説を

提唱し上の式を導いた．電磁波が一つ一つの粒によって構成されているというもので，その粒は光子

(photon)と呼ばれている．つまり上式におけるエネルギーは，光子一つの持つエネルギーと解釈し，

矛盾を無くしている．

8.4 リモートセンシングにおける電磁波の観測

8.4.1 可視近赤外リモートセンシング

可視反射赤外リモートセンシングは，太陽光の反射を利用している．太陽光は 0.5µmをピークに持

つ放射源である．一方物質からの放射は 10µmをピークに持つ．当然，太陽光の反射と物質の放射と

が混在する部分が存在し，それらが 3µm付近で均衡状態となっている．したがって反射赤外域は 0.7

～3µmの範囲とされている．この領域のリモートセンシングは，地上物質の反射特性の違いから物体

の判別を行うものである．すべての物質は，それぞれ固有の性質として電磁波を反射吸収透過し，そ

れ自身放射する．われわれは目である程度その特徴を見ることができる．たとえば植物が緑にみえる

のは葉中のクロロフィルが青赤の光を吸収し緑をよく反射するからである．このように電磁波に対す

る物質固有の波長特性を分光特性と呼ぶ．

大気による電磁波の吸収と散乱

可視近赤外リモートセンシングでは，太陽からの放射された電磁波が地球表面で反射し，再度大気

を透過してくる電磁波を受けている．したがって大気による電磁波の吸収と散乱の現象を把握してお

くことは非常に重要である．一般に，大気による吸収・散乱は，電磁波を減衰させることを意味し，

消散と呼ばれる．特に消散の割合を消散係数という．

8.4 リモートセンシングにおける電磁波の観測 193

大気は，大きく分子とエアロゾル（aerosol）で構成されている．分子は，窒素（N2），酸素（O2）

の他炭酸ガス（CO2）やオゾン（O3），などが該当し，粒径が小さい．一方エアロゾルは，霧や霞み

などの水蒸気，スモッグ，塵などが該当し，粒径の大きいものをさしている．これら大気中の分子や

エアロゾルは，電磁波を吸収・散乱するが，波長帯によってその割合が異なる．なお，N2，O2，Ar

等は，ほとんど吸収に寄与していない．

電磁波の減衰は，散乱によっても大きな影響を与えられている．一般に分子による散乱をレーリー

散乱 (Rayleigh scattering) ，エアロゾルによる散乱をミー散乱 (Mie scattering) 散乱と呼んでいる．

レーリー散乱において，１個の粒子における散乱光の強さ Is は，αを分極率，θを散乱角，λを波長，

Ii を入射光の強さ，dω を立体角，dω′ 散乱光束の立体角とすると，次式で表される．

Is =(

128π5

3λ4α2/dω

)· 34(Ii + cos2 θ)

dω′

4π(8.87)

この式は，波長の 1/10以下の微粒子の場合に適用できる．ρを大気の密度，N を単位体積あたりの

微粒子の数，γ を大気の屈折率とすると，レーリー散乱による消散係数 (extinction coefficient)Kλ は

次式となる．

Kλ =8π3(γ2 − 1)2

3λ4Nρ(8.88)

消散係数は，散乱による放射強度の減衰率を表すものである．消散係数を見ると，散乱光の強さは，

波長 λ の 4 乗に反比例していることから，波長が長いものほど散乱光の放射強度は弱く，あまり散

乱しないことを示している．逆に波長が短いものほど散乱光の放射強度が強い．空の色が青いのは，

レーリー散乱によるもので，太陽光のうち，青く短い波長の光が散乱しているためである．

レーリー散乱において，粒子の大きさが波長よりも大きい場合，理論値と実測値にずれが生じてく

る．粒子の形状を表す項が含まれていないからである．そこでミーは，消散係数に散乱断面積係数を

導入した．bを粒子の半径，K()を散乱断面積係数としると，次式で表すことができる．

Kλ = πb2K

(2πb

λ, γ

)(8.89)

水蒸気による散乱は，白っぽくなる．よって光の波長には依存していない．つまり，粒子が大きいた

めどのような波長の波も散乱するためである．

光学式センサで観測した場合，取得できる情報は，地上から反射・放射される電磁波のほかに，大

気の散乱による電磁波も存在する．この散乱による入射をパスラジアンスと呼んでいる．

放射伝達

放射伝達とは，電磁波が大気の影響を受けながら伝播する過程をいう．大気の影響には電磁波を減

衰させる働きのある乗法性因子と，増幅させる働きのある加法性因子とがある．乗法性因子は消散

(extinction)を意味し，電磁波の吸収および散乱によって生じる．先にも述べたように，大気中の分

子が特定波長域の電磁波を吸収する．散乱による消散は，対象物からセンサに向かう電磁波のエネル

ギーが散乱によって方向を曲げられることによる．特に短波長域で散乱は顕著に生じる．


一方加法性因子は射出 (emission) を意味し，電磁波の放射および散乱によって生じる．センサは

対象物からの放射を受けるだけでなく，大気中の分子・エアロゾルからの放射も受ける．この放射現

象は先にも述べたようにプランクの放射法則に基づく．また熱放射はどの方向にも一様な大きさで射

出される．散乱による射出エネルギーは，散乱体の形及び大きさ，入射方向・散乱方向に依存する．

そしてその方向は対象物からセンサに向かう方向以外からの電磁波の散乱に依存するため一様では

ない．

熱力学的に平衡状態にあるときは，射出量と消散量が一致しており，その比はプランク関数によっ

て表現できる．これはキルヒホッフの法則と呼ばれている．ある波長 λにおける射出係数を jλ，消散

係数を kλ とすると，次式で表される．jλ

kλ= B(λ, T ) (8.90)

電磁波が媒質を通ったとき，消散によって放射輝度 Iλ がどの程度減衰するかは，媒質を通る経路

長 dsに依存する．経路が長いほど消散の量も大きい．媒質の密度を ρとすると，放射輝度の変化量

dIλ は，次式で表すことができる．dIλ = −kλρIλds (8.91)

射出についても同様に，次式で表すことができる．

dIλ = jλρds (8.92)

以上の消散・射出現象は同時に生じるため，その両者を同時に表さなければならない．それが放射

伝達式である．なお式 8.90より，jλ = kλB(λ, T )となり，熱放射のプランク関数を一般的な放射源

の関数として Jλ で表すと，jλ = kλJλ となる．したがって，放射伝達式は次のように表すことがで

きる．

dIλ = −kλρIλds + jλρds

= −kλρIλds + kλJλρds

dIλ

ρkλds= −Iλ + Jλ (8.93)

放射伝達モデルを実際に解くのは，非常に困難であるが，それを組み込んでいるシミュレーションソ

フトが幾つかある．その一つが，LOWTRANである．これはアメリカAFGL（Air Force Geophisics

Laboratory）が開発したもので，モデルや大気パラメータに応じて大気の分光透過率や放射量を計算

できることができる．現在は，MODTRANとよばれるシミュレーションソフトに拡張されている．

また 6s(Second Simulation of the Satellite Signal in the Solar Spectrum)というシミュレーション

ソフトもある．こちらは主な人工衛星のセンサ情報も組み込まれており，センサごとに放射量等をシ

ミュレートすることができる．

分光反射特性

分光反射特性は一般に，波長ごとの反射率を表す．反射率は，ある面への入射光束に対する反射光

束の比率であり，0から 1の範囲で表現される．本来は白色光の半球全方向の入射と反射の比率のこ


とをいい，太陽光を入射光とした場合の反射率は特にアルベドと呼ばれる．また，同義語として反射

係数がある．これは完全拡散面からの反射光束との比率である．なお完全拡散面とは，方向によって

反射光束の量が変わらない均等拡散面で，反射率が 1の面のことである．

地表面は大まかに植物・土壌・水で構成される．下図はそれらの分光反射率を表している．

µ

0

10

20

30

40

50

60

1.0 2.0 3.00.5 0.7

この図において最も特徴的なのは植物の分光反射特性である．近赤外の領域で最も強く反射し，可視

の赤の領域の反射は非常に弱いことが解る．この特徴を利用し，センサに入射する近赤外域のカウン

ト値と可視域のカウント値の比を用いて植生指標を算出することができる（後述)．もちろん，植物の

種類に応じて分光反射率に違いは生じるが，波に含まれるクロロフィルの量が反射率に影響を及ぼし

ているため傾向は同一である．

水は，透明度の善し悪しに関わらず赤外域では反射しない特徴を持つ．ただし濁った水は反射率が

高くなる傾向がある．

土壌は波長が長くなるにつれて次第に反射率が大きくなる．土壌もそれぞれ種類があり，それ毎に

微妙に分光反射特性は変わってくる．また構成される粘土鉱物，水分量に依存する．なお岩石・粘土

鉱物の分光反射率は，微妙な違いはあるものの明白な違いは少ない．したがって，岩石・鉱物を識別

するにはスペクトル分解能の非常に高いセンサが望まれる．もっとも土壌は，それを構成する物質は

単一でなく水分量によっても分光特性は極端に変わる．一般に水を含むと反射率は下がる傾向にあ

る．水が，赤外域において電磁波を吸収する特性に依存している．したがって，状況によって分光反

射特性に変化が見られ，リモートセンシングによる土壌の判別は困難を極める．

8.4.2 熱赤外リモートセンシング

熱赤外リモートセンシングは，物体の放射する電磁波を検知することによって行われる．対象とな

る電磁波の波長域は，先に述べた反射赤外域よりも長い波長の 3～14µmの範囲である．放射量は温

度に依存するため熱赤外と呼ばれ，海水面温度を推定するのに利用されている．


8.4.3 マイクロ波リモートセンシング

マイクロ波リモートセンシングは，さらに長い波長帯域を利用するものである．この領域になると

物質からの放射は少なくなる．したがって，物体からの放射量を測定する受動型センサの他に，セン

サ自身がマイクロ波を発射し地上で散乱されて戻ってきた受信電力を測定する能動型センサがある．

受動型センサは，先の熱赤外リモートセンシングと同様，対象物体の出す放射輝度を測定するが，能

動型センサは，センサの出す電波の対象物体による後方散乱成分を測定する．

電磁波が入射し，境界面でのみ散乱が生じる現象を表面散乱と呼ぶ．これに対して，媒質中で散乱

が生じる現象を体積散乱と呼ぶ．地表面や水面によるマイクロ波の散乱は表面散乱である．したがっ

てここでは表面散乱について解説する．　表面散乱の強さは，媒質表面の複素誘電率の増加とともに

強くなり，その散乱角特性は，表面の粗さによって決まる．表面が滑らかである（表面の粗さが波長

に比べて小さい場合）と鏡面反射となり，入射波と反対の方向に大きな散乱成分を持つ．その反射の

大きさはフレネルの反射係数で表すことができる．一方，表面が粗くなると散乱の成分が多くなる．

特に鏡面反射の成分はコヒーレント成分と呼び，散乱の成分はインコヒーレント成分と呼ぶ．インコ

ヒーレント成分はあらゆる方向性をもっている．ランダムな表面散乱の程度は，使用する電磁波の

波長と観測する物体の表面の粗さのスケールの相対関係によって決まる．表面の粗さの指標として，

レーリーの基準とフラウンフォーファーの基準がある．レーリーの基準は，ある面に入射角 θ で電磁

波を当てた場合，次式で表すことができる．

∆φ = 2k∆h cos θ <π

2(8.94)

∆h <λ

8 cos θ

λ：電磁波の波長，∆h：表面の粗さの標準偏差，k(= 2π/λ)：波数となり，この式は二つの反射波

の位相差 ∆Φ が π/2ラジアン以下であれば，表面は滑らかであることを意味する．一方，フラウン

フォーファーの基準では，

∆φ = 2k∆h cos θ <π

8(8.95)

∆h <λ

32 cos θ

となる．こちらの基準の方が厳しく，使いやすいといわれている．

衛星搭載の合成開口レーダやマイクロ波散乱計によって観測できる散乱は，入射方向のものに限定

される．この入射方向の散乱を特に後方散乱という．レーダ断面積 σ は次式で表すことができる．

∑σi =

Pr(4π)3R4

PtG2λ2(8.96)

Pt：レーダの送信電力， λ：波長，R：レーダからの距離，　 G：アンテナの利得，Pr：受信電力


散乱面の面積がAのとき，単位面積あたりの平均散乱断面積 σ0 = σi/Aiを後方散乱係数（backscat-

tering coefficient）と呼び，表面の粗さによって異なった入射角依存性を持つ．したがってマイクロ

波データは，この粗さが画像化されるものである．

199

第 9章

画像処理

これまで，国土を測る技術の基礎となる理論を数学や物理・地学の学問分野を通して解説した．本

章からは，実際にコンピュータを用いて処理する手法の基礎を解説する．コンピュータは，もともと

計算機と呼ばれていた．その名の通り，計算をさせる目的でしか利用されていなかったのである．あ

る手計算では困難な解析目的のために，各自プログラムを組んで，それを走らせるという利用の仕

方である．したがって，プログラムを組むことのできる人しか利用できなかった．ところが，コン

ピュータの能力向上に伴って，計算だけではなく，文書を保存したり印刷したりするワープロ機能や，

インターネットを始めとするネットワーク機能が備わることで，コンピュータが文房具の一つとなっ

た．さらには電子メールによる情報交換やネット検索といったことも可能となるだけでなく，画像や

音楽，動画の保存と編集機能まで備わっており，コンピュータは文房具の枠をも越えた我々にとって

不可欠なツールとなっている．

計測の分野においてもコンピュータは，非常に大きな影響を与えており，測量機器を使った計測結

果の解析だけでなく，画像を用いた計測も可能となってきた．本章では，その画像処理について解説

する．第五章において，カメラを用いた位置計測について解説したが，もともとフィルムカメラ時代

に確立された技術である．フィルムといっても 35mm版の一般的なフィルムではなく，フィルムサイ

ズが非常に大きい特殊な計測カメラである．それが今や CCDを用いたデジタルカメラでも，ある程

度の精度が期待できる時代となってきた．トランシットやトータルステーションの測角精度は，安価

なもので 5”～10”の読み取りが可能である．この程度の角度分解能は，10Mピクセルのデジタルカメ

ラでも実現可能な状態である．

さて，画像処理は，「Photoshop」等の一般的なソフトウェアに加えて，リモートセンシングの画像

処理に特化した「ERDAS」や「ENVI」等の様々な専用ソフトウェアも数多く登場している．さらに

は，デジタルカメラによる三次元計測のためのソフトウェアも存在する．したがって，専門家でなく

ともある程度の画像解析が可能な時代となっている．しかしながら，専用ソフトウェアには備わって

いない機能もあり，その場合には自分で処理プログラムを書かなければならない．プログラム言語を

修得することは，専門家にとっては未だに重要なことである．本書をヒントに自分で画像処理プログ

ラムの作成に挑んでもらいたい．

200 第 9章画像処理

9.1 コンピュータにおける画像ファイル

コンピュータで扱うことのできるファイルは，基本的には 0と 1の情報で記述され，バイナリデー

タと呼ばれている．バイナリとは，２進数という意味である．したがって，文字，図形，画像等を 0

と 1の記号に置き換えて保存しているのである．

一方，コンピュータは 1byte（8bit）を一つの単位としてデータを処理する．つまり８桁の２進数

を基本として処理がなされている．例えば，この 1バイトで整数を表現するとすれば，0～255の値

を表現することができる．文字情報のみのテキストデータも実はバイナリで表現されている．英数字

は，ASCIIコードによって，1バイトの値と文字とが対応付けられている．

1byteを表現するのに，一般に 16進数が用いられている．1byte（8bit）を 4bitづつに分割し，2つ

の値で表す．4bitで 0～15の値を表現できるので，16× 16＝ 256の表で表現できる．なお，16進数

は，10～15をアルファベット A～Fで表す．表 9.1はその ASCIIコード表である．例えば，ASCII

コードにおける Kは．上位バイト 4，下位バイト Bに位置し，16進数で 4B，10進数で 75，2進数

で 1001011としてコンピュータ上では表現される．

表 9.1 ASCIIコード表

上位バイト

0 1 2 3 4 5 6 7

0 NUL DLE SP 0 @ P ‘ p

1 SOH DC1 ! 1 A Q a q

2 STX DC2 ” 2 B R b r

3 ETX DC3 # 3 C S c s

下 4 EOT DC4 $ 4 D T d t

位 5 ENQ NAC % 5 E U e u

バ 6 ACK SYN & 6 F V f v

イ 7 BEL ETB ’ 7 G W g w

ト 8 BS CAN ( 8 H X h x

9 HT EM ) 9 I Y i y

A LF/NL SUB * : J Z j z

B VT ESC + ; K [ k C FF FS , < L \ l —

D CR GS - = M ] m E SO RS . > N ˆ n ˜

F SI US / ? O o DEL

テキストファイルとは，この ASCIIコードにしたがって，記述されているファイルを指している．

9.1 コンピュータにおける画像ファイル 201

ところで，漢字は文字の種類が極めて多いので，1byteでは表現しきれない．そこで，2byteのコー

ドで漢字を表現しており，別のコードで漢字の対応表が規定されている．現在は，JIS，Shift-JIS,

EUC, 区点等のコードがある．Windows 系の OS では Shift-JIS コードが，携帯電話などでは区点

コード，UNIX系の OSでは EUCコードが採用されており，適宜コードー変換が必要である．多く

の電子メールは，メールソフト自身が漢字コード変換の機能を有しているため，ローカルの OSに対

応した漢字変換が自動的になされる．

画像ファイルは，通常バイナリ形式で格納されており，明るさ（輝度）の情報を数値で示している．

9.1.1 ラスタデータとベクタデータ

画像のデータモデルの形式は大きくラスタ型とベクタ型に分類することができる．下図に各データ

モデルそれぞれの概念図を示す．

(2.13, 2.75)

(2.50, 0.75)

(4.50, 2.75)

ラスタ型のデータは，格子状に対象領域を区切り，その格子点毎にデータが納められている形式であ

る．画像の取得に用いられる CCD等を用いたセンサは，通常ラスタデータを出力する．位置情報は

直接データ内に表現されていないが，格子点の座標から投影面での位置座標を導くことができる．一

方，ベクタ（ベクトル）型は，座標情報と属性情報（点か線か多角形か？線の太さは？等，データに

付随する情報）のデータが納められている．

位置情報の精度は，ラスタ型の場合，格子点間隔を細かくすることで高精度化が可能であるが，高

精度化に伴ってデータ量が膨大なものとなる．したがって対象領域が広く非常に高い精度が要求され

るデータのモデルとしては適さない．これに対してベクタ型は，位置座標を直接記述することができ

るため簡単に高精度のデータを構築することが可能である．データのハンドリングに関しては，ラス

タ型の方が有利である．位置座標が固定化されているため構造が単純で，ある空間におけるデータを

時系列処理するとき等，変化の状況を把握するには都合のいいデータ型といえる．

9.1.2 量子化と標本化

画像は，ある領域を格子で区切り，その格子点ごとに輝度の情報が収められている．このとき，格

子で領域を区切って情報を取得することを標本化（sampling），その情報を数値に変換することを量

子化（quantization）と呼んでいる．そして，標本化された最小単位を画素（Pixel）と呼んでいる．

画像は，一般に CCD等を用いて取得される．このとき，CCDの解像度とレンズの焦点距離，物体

までの距離で標本化が規定される．また，輝度情報は，量子化ビットの数によって輝度レベルの細か


さが規定される．例えば，量子化ビットが 8ビットの場合は，256階調で輝度が表現される．

9.1.3 色の表現

コンピュータのモニタにおいて，色を表現するには，光の 3原色である赤 (R)，緑 (G)，青 (B)の

組み合わせを利用する．それぞれの色について量子化された輝度情報が，色情報と結びつく．例えば，

量子化ビットが 8ビットの情報において，R=0, G=0, B=0のときは黒，R=128, G=128, B=128の

ときは灰，R=255, G=255, B=255のときは白となる．このような，色の表現法を加法混色という．

通常のモニタは RGB各 8bitの階調を映し出すことができ，その色の数は，2563=16,777,216色と

なる．人間の目で識別するのには，十分な色数と言え，RGB各 8bitの階調で表現される画像は，フ

ルカラー画像とも呼ばれる．なお，コンピュータのビデオメモリ（VRAM）には，RGB8bitづつに

対応していないものもある．例えば，3万 2000色しか表示できないコンピュータもあり，この場合

RGB各 4bitの階調（32階調）しかビデオ用のメモリを持っていない．

アナログテレビにおいては，RGB 信号が直接電波に乗って受信されていると思いがちであるが，

電波で送られてくる信号は YCCと呼ばれる表現方法である．白黒テレビとの互換性が必要とされて

いたため，明るさの情報と色の情報を分けて表現している．デジタルテレビにおいては，RGBの動

画を圧縮した信号を受信している．YCCのうち，Y が明るさ（輝度）を表し，色は C1, C2 で表され

る．RGBを YCCで表すと以下のようになる．R = Y + C1

G = Y − 0.2999C1 + 0.114C2

0.587B = Y + C2

(9.1)

また逆変換は，以下のようになる．Y = 0.299R + 0.587G + 0.114BC1 = R − Y = 0.701R − 0.587G − 0.114BC2 = B − Y = −0.299R − 0.587G + 0.886B

(9.2)

プリンターやカラーコピーにおいて，色を表現するには，色彩の三原色であるシアン (C)，マゼン

ダ (M)，イエロー (Y)，ブラック (B)の CMYBの組み合わせを利用する．白い紙に各トナーを塗る

ことによって色が表現されるため，減法混色と呼ばれている．

色の表現法には，その他に HSIによる方法もある．Hは色相（Hue），Sは彩度（Saturation），Iは

明度（Intensity）と呼ばれ，YCCと HSIとの関係は，以下のようになる．H = tan−1 C1

C2

S =√

C21 + C2

2

I = Y

(9.3)

9.1 コンピュータにおける画像ファイル 203

9.1.4 画像フォーマット

画像ファイルに最低限必要な情報は，全画素における輝度の情報である．カラー画像であれば，一

つの画素について RGB，３つの輝度情報が必要である．画像ファイルは，この輝度情報が画像の左

上から順に記録されている．したがって，単純に考えて，カラー画像のファイル容量は，モノクロ画

像の 3倍必要となる．

基本的には，輝度情報が画像ファイルに納められているが，画像の質，利用目的，ファイルの圧縮

性に応じて様々なフォーマットが存在する．利用頻度の多いファイルフォーマットについて，以下に

説明する．

BMP (Bitmap)

Windows系の OSにおいて主に利用されているフォーマット，256色とフルカラーでの表現が可能

である．ただ，画像圧縮の機能がないため，ファイルの容量が非常に大きい．拡張子は BMPとなる．

TIFF (Tag Image File Format)

Aldus社が考案し，様々なアプリケーションで利用されているフォーマット，256色とフルカラー

での表現に加えて，ベクトルデータの保存も可能である．LZWと呼ばれる圧縮方式によってデータ

が圧縮される．この LZW方式での圧縮は，可逆圧縮と呼ばれ，圧縮後に画像を復元する際，データ

は元の状態に戻る．拡張子は TIFとなる．

JPEG (Joint Photographic Expert Group)

ISOでも定められたカラー画像フォーマット．フルカラーで表現された画像に適している．離散コ

サイン変換 (DCT)を利用した画像圧縮の機能を有し，極めて高い圧縮性を実現している．そのため，

ネットワーク上ではこのフォーマットの画像が流通されている．ただし，この圧縮方法は，非可逆圧

縮のため，圧縮後に画像を復元する際，画像が劣化する．高画質を維持するためには圧縮性を低く，

低画質で良ければ圧縮性を高く設定できる．なお，離散コサイン変換 (DCT)は 8× 8画素の空間に

対して実行されるため，非常に細くコントラストの高い線が 8× 8画像中にある場合は，それが滲ん

でしまう（ブロックノイズ）．したがって，図形が表現されている画像には向かない．

GIF (Graphic Interchange Format)

アメリカのネットワーク会社 Compu Serveが考案したフォーマット．全ての画像は，256色で表

現されるため，フルカラーの画像は劣化する．ただし，JPEGで発生するブロックノイズがないこと

から，ドロー系のソフトウェアで作成された図形画像の保存には，積極的に利用されている．


RAW

　廉価なデジタルカメラにおいては，JPEG形式や TIFF形式が採用されているものがほとんどで

あるが，高価なものになると RAW形式での保存も可能となっている．高価なデジタルカメラにおい

ては，量子化の際に 10bit や 12bit の輝度情報で保存される．通常の画像フォーマットは 8bit なの

で，JPEG や TIFF ではカメラの性能よりも劣る画像で保存されてしまう．このためカメラで取得

された生の情報を保存する機能として RAW形式が存在する．ただ，RAW形式は各社様々なフォー

マットで記録されるため，カメラメーカーの提供している特殊なソフトウェアを利用するか，フォー

マット仕様書を見て独自で読み込むプログラムを作成しなければならない．ただ，RAW形式は単純

なフォーマットで記録されているものがほとんどなので，複雑なプログラムとはならない．RAW形

式の画像を読み取るには，画像サイズ (Column数と Row数)，輝度情報のデータサイズ（バイト数），

RGBデータの並び順，画像ファイルにおける画像データの開始位置が解れば良い．RGBの並び順に

ついては，以下に示すように３種類存在する．

BIP形式

BIPは，Band Interleaved by Pixel の略で，ピクセルごとに RGB情報が並んでいる形式である．

つまり，画像の左上の一番目から，R, G, B, R, G, B, R, G, B, ...と並んでいる形式である．BMP

形式でも採用されているものである．ただ，BMP形式は画像の右下の画素を一番目として，逆順に

データが格納されている．

BIL形式

BILは，Band Interleaved by Line の略で，ラインごとに RGB情報が並んでいる形式である．

BSQ形式

BSQは，Band Sequential の略で，画像ごとに RGB情報が並んでいる形式である．

下図に，４×４画素の場合の BIP，BIL，BSQの並び順の概念を示す．

9.2 放射量補正 205

RRRRR

GGGGG

BBBBB

RRRRR

GGGGG

BBBBB

RRRRR

GGGGG

BBBBB

RRRRR

GGGGG

BBBBB

R R R RG G G GB B B B

B B B B

R R R RG G G G

R R R R


R R R R


R R R R

G G G G

G

BB B B

G G G GG G G

R R R RR R R RR R R RR R R R

GG G G

BB B BBB B BBB B B

BIP

BIL BSQ

9.2 放射量補正

リモートセンシングによって得られるデータは，量子化されたものである．コンピュータ処理を念

頭に生データは，整数値で表されることが多い．量子化ビットが 8ビットの場合には，0～255のデー

タが修められている．このデータは，Digital Number (DN)と呼ばれている．このデータより，輝度

を計算したり，反射率を計算したりして解析をする．また，このとき様々な系統的な誤差を消去する

ために，補正を施す必要があり，これを放射量補正 (radiometric correction)と呼んでいる．

9.2.1 センサ感度の補正

9.2.2 光源の位置と地形の補正

9.2.3 大気の補正

9.3 濃度補正

9.3.1 画像の統計量

画像は輝度情報の集まりであるが，その輝度情報は統計量で表すことが出来る．下図の左は衛星画

像の原画像を示したもので，非常に暗い画像である．それに対して，濃度変換を施し，明るい画像に

したものが右の画像である．画像の濃度変換は，このように画像の明るさを関数を利用することで変

化させることである．その関数を設定するのに，画像の統計量を確認ことは非常に重要である．


下図は，上の画像における輝度値のヒストグラムを示したものである．ヒストグラムの横軸は輝度

値を示し，0～255の範囲である．255に近いほど明るい状態である．原画像のヒストグラムは，平均

が約 54であり，暗い輝度値に偏っていることが解る．それに対して，濃度変換を施した画像のヒス

トグラムにおいては，平均が約 129であり，輝度が 0～255にまんべんなく分布している．

標準偏差を見ても，原画像の標準偏差が 13.5 なのに対して，濃度変換後の標準偏差は 49.9 となり，

非常に広く分布していることが，数値からも読み取れる．

9.3.2 リニアストレッチ

明るさやコントラストの調節は，原画像の各画素の輝度を変更することに他ならない．この輝度値

を変更する手法は数々あるが，もっとも簡単な手法は，線形変換（Linear Strech）である．原画像の

輝度値を P，一次変換によって得られる輝度値を Qとすると，次式で表すことができる．

Q = aP + b (9.4)

ここで，a, bは変換係数を表す．一般に aはゲイン (gain)，bはオフセット (offset)と呼ばれるが，

ゲインによってコントラストが，オフセットによって明るさが調節される．つまり画像の統計量にお

いて，ゲインは分布の幅（標準偏差）が調整され，オフセットは平均値が調整される．

Photoshopなどのフォトレタッチソフトウェアにおいて，明るさやコントラストの調節は，目視に

よる適当な調節で実現されるが，大量の画像を一度に処理をする場合において，ゲインやオフセット

の値を自動的に決定することは重要である．ゲインは統計量の分布幅を調節することから，原画像に

おける輝度の最小値が Pmin，最大値が Pmax のとき，変換によって Qmin，Qmax にしたいとき，次

式によってゲインを決定できる．

a =Qmax − Qmin

Pmax − Pmin(9.5)

9.3 濃度補正 207

オフセットは，原画像の最小値にゲインをかけたとき，それが変換後の最小値になるように設定する

必要があるため，次式で表される．

b = Qmin − aPmin =QminPmax − QmaxPmin

Pmax − Pmin(9.6)

ここで，コンピュータに表示させるときは，Qmin = 0, Qmax = 255の値を代入することになる．ま

た，Pmin, Pmax は，統計量の値をそのまま代入してもかまわないが，輝度の低いノイズや高いノイズ

等を含む画像の場合は，ノイズを考慮して設定しなければならない．したがって，ヒストグラムの両

端何パーセントかをカットして，Pmin, Pmax を決定する場合もある．

また，平均値と標準偏差を用いてゲインとオフセットを設定する方法もある．ゲインは，分布の幅

に影響するので標準偏差の比を用いることが出来る．つまり，原画像の標準偏差を Pstd，変換後の標

準偏差を Qstd とすると，ゲインは次式で表される．

a =Qstd

Pstd(9.7)

オフセットは，平均値を用いる．原画像の平均値を Pave，変換後の平均値を Qave とすると，オフ

セットは次式で表される．

b = Qave − aPave =QavePstd − QstdPave

Pstd(9.8)

この手法は，画像の統計量が正規分布に近い場合に有効であり，特にいくつかの画像において統計量

を一致させたいときに利用できる．

カラー画像を対象とする場合，RGBそれぞれに対して線形変換を行う方法と，RGBをまとめて線

形変換を行う方法とがある．RGBそれぞれに対して線形変換を行う場合は，カラーバランスが崩れ

てしまうので，注意が必要である．人工衛星画像など，人間の目に見えない光をカラー合成する場合

に適用される．

原画像の Pmin, Pmax の差が非常に小さくコントラストの非常に低い画像は，この処理によってコ

ントラストを高くすることは出来るが，もともと差が小さいのでそれを引き伸ばしても諧調が大きく

なる訳ではない．諧調すなわち色数はそのままで，単に明暗の差が大きくなるに過ぎない．前節にお

いて，濃度変換を施した後のヒストグラムを見ても解るように，ヒストグラムが飛び飛びの状態で，

輝度値のない部分が発生してしまう．したがって，濃度変換に頼るよりも如何に質の良い原画像を取

得するかが重要である．

9.3.3 ヒストグラム平滑化

線形変換の他に，原画像の統計量のヒストグラムを平坦にさせる変換も存在する．これはヒストグ

ラム平滑化 (Histogram Equalization) とも呼ばれている．変換後のヒストグラムを設定し，一様分

布になるよう変換する．このとき，変換後のヒストグラムの階級数M は，原画像のヒストグラムの

階級数 N よりも少なくなければ，平滑化は困難である．設定が完了すれば，輝度値の小さいもの P0

から順に平滑化の目標となる頻度まで，最も小さい階級 Q0 のヒストグラムに入れ込んでいく．目標


となる頻度は，全画素数をM で除したものとなる．目標の頻度に達すれば，次の階級Q1 に移り，同

様に目標の頻度まで加算していく．このような過程によってヒストグラム平滑化が実行できる．

9.4 空間フィルタ

通常の装置における電気信号は，時間軸に対する電圧の高さで表現される．したがって一次元デー

タとして処理される．特にフィルタ処理は，入力信号に対して，ノイズ除去や特徴抽出に利用される．

画像における入力信号は，基本的には光，電磁波である．電磁波は波の性質を持つため，この入力信

号に対して，フィルタを通して量子化することも可能である．ある一定の波長帯の電磁波しか量子化

しないような，バンドパスフィルタ等もあるある．

画像は，輝度情報の 2次元配列と考えて良い．したがって，輝度情報は，x方向，y方向の輝度情

報の集まりと考えることもできる．二次元，つまり空間での信号処理を適用する必要があり，それを

空間フィルタリングと呼んでいる．空間フィルタは，信号処理と同様，画像のノイズを軽減したり，

エッジを強調したりすることができ，非常に重要な手法である．

9.4.1 移動平均とメディアン

f(x)

f(x)

f(x)

x

x

x

x1 x2 x3 x4 x5

x1 x2 x3 x4 x5

x1 x2 x3 x4 x5

画像における空間フィルタは，基本的に画素の隣同士の値を計算す

ることによって実現している．例えば，対象の画素において，右隣と

左隣の画素の平均値とする計算をさせると，横方向の輝度の平均画

像が出来る．しかし，隣同士の値を計算した時，その求まった値は，

2 つの画素の間の位置となってしまうので，0.5 画素分ずれた位置の

平均画像が出来る．それでは問題なので，通常 3 画素分をまとめて

フィルタリングの対象とすることが多い．例えば右図のように原画

像において，横に並んだ 3 画素の値が左から順に (x1, x2, x3) という

データがあったとき，この 3画素の中心 x2 における輝度の平均値は，

(x1 + x2 + x3)/3で計算できる．次に，x3 における輝度の平均値は，

(x2 + x3 + x4)/3で計算できる．このように，順に 1画素ずつ横に移

動させながら平均計算を行うことを移動平均と呼んでいる．移動平均

を計算することで，ノイズがある程度軽減される．

先の計算を別の式で表すと，(x1, x2, x3) に対して (1/3, 1/3, 1/3) をかけてたし合わせても良い．

つまり，それぞれの要素をベクトルで考えると，内積を計算したといえる．フィルタ処理において，

この計算手法はたたみ込み計算と呼ばれ，(1/3, 1/3, 1/3)はたたみ込み計算のオペレータと呼ばれて

いる．このようにフィルタリングは，様々なオペレータで表すことができる．例えば，横方向隣同士

の輝度の差を計算するときは，オペレータとして，(−1, 0, 1)を用いてたたみ込み計算できる．

ノイズを軽減させる別の方法として，メディアンフィルタがある．メディアンフィルタは，たたみ込

み計算で表現できないが，横方向 3画素の輝度値のうち，中央の値で置き換える処理である．例えば，

(x1, x2, x3) に対応する輝度値が (f(x1), f(x2), f(x3)) で，その大小関係が f(x2) > f(x1) > f(x3)

9.4 空間フィルタ 209

のとき，x2 における輝度は f(x1)で置き換わる．この処理だと，ノイズが完全に除去され，ノイズの

隣の画素にノイズの影響が及ぼされないという特徴を持つ．

なお，先の例では横方向の隣同士を計算させたが，画像は二次元なので横方向 3画素，縦方向 3画

素の 3× 3画素を対象にフィルタリングすることが多い．その他に 5× 5ウィンドウが利用される場

合もある．現在では，様々なパターンのオペレータが用意されており，ノイズ軽減やエッジ抽出，画

像のシャープ化等をさせることが出来る．


9.4.2 Laplacianフィルタとシャープ化フィルタ

f'(i) = f(i) - f(i-1)

f''(i) = f(i+1) - f(i)

f(x)

f(x)

f(x)

f(x)

x

x

x

x

エッジを抽出する Laplacianフィルターについて，その仕組みを解

説する．まず，理解を早めるため，X軸方向のみを考える．右図のよ

うな輝度 f(i)を持つ原画像が与えられたとき，1次微分は，以下の式

で表される．f ′(i) = f(i) − f(i − 1) (9.9)

対象画素の左側の輝度値との差が表されている．1次微分によって，

輝度値に変化のあった部分が画像として抽出される．つぎに，2次微

分を施すが，このときは以下の式を用いる．

f ′′(i) = f ′(i + 1) − f(i) (9.10)

1次微分のときは，左側の画素に着目したので，今度は，右側の画素

に着目して 1次微分画像の輝度値の差を計算する．この式は，以下の

ように展開される．

f ′(i) = (f ′(i + 1) − f(i)) − (f ′(i) − f(i − 1))

= f(i − 1) − 2f(i) + f(i + 1) (9.11)

したがって，たたみ込み計算のためのオペレータは，（1, -2, 1）とな

る．これが Laplacian フィルタと呼ばれている．この 2次微分の画像を原画像から減算すると，エッ

ジ部分が強調される．このとき，式は以下のようになる．

f(i) − (f(i − 1) − 2f(i) + f(i + 1))

= −f(i − 1) + 3f(i) − f(i + 1) (9.12)

したがって，たたみ込み計算のためのオペレータは，（-1, 3, -1）となる．　ここで，このフィルタリ

ングを 2 次元に拡張する．まず，2 次微分のオペレータは，X 方向と同様に Y 方向も同じであるか

ら，以下のようになる．

0 0 0

0 0 01 -2 1

0 1 0

0 1 00 -2 0

0 1 0

0 1 01 -4 1+ =

これを Laplacianフィルタと呼んでいる．さらに，Laplacianフィルターは，原画像から減算するこ

とで，エッジ部分が強調され，画像をシャープにすることができる．オペレータは，以下のように

なる．

0 0 0

0 0 00 1 0

0 1 0

0 1 01 -4 1

0 -1 0

0 -1 0-1 5 -1- =

9.5 フーリエ変換 211

下図は，空間フィルタを施した例で，左はオリジナル画像，中央は Laplacianフィルタを施したも

の，右はシャープ化フィルタを施したものである．

9.5 フーリエ変換

9.6 分類

農業や環境の分野において，人工衛星画像を用いて土地被覆の分類を行うことが求められている．

各画素の地目が，森林か草地か裸地か水域かというような分類である．目視によって判読することも

なされているが，人工衛星は様々な電磁波の波長域を捉えているので，画像処理を利用した自動分類

がある程度可能である．しかし，自動分類という処理は，元来困難なものである．例えば，地表には

人間が判断しても森林と草地の区別のつき辛いものも多い．水域と裸地との区別にしても一つの画素

の中に水域と裸地が混在している場合もある．このように実際にも区別のつき辛い部分があるので，

自動での画像分類は困難である．分類は，基本的に人間の都合によって行われるものなので，話が厄

介である．画像分類に限らず，惑星と小惑星の分類でも同様で，以前まで惑星と分類されていた冥王

星は，矮惑星という項目に降格された．とかく自然界は，白か黒かはっきりと区別することはできな

いのが普通で，グレーの部分が多く存在する．このようなことから，筆者自身は分類すること自身が

あまり好きではない．だが，様々な分野から求められている技術でもあるので本節において簡単に解

説する．

9.6.1 バンド間演算

衛星画像は，多数の電磁波波長帯の放射量を計測している．その波長域は，可視光の領域から熱赤

外の領域までを計測する場合が多い．そして太陽光の反射は，物質によって特徴を持っている．下図

は，電磁波の波長別の反射率を代表的な地目ごとにグラフ化したもので，分光反射特性と呼ばれてい

る．可視光の波長帯は，およそ 0.4～0.7µmの範囲であり，それより長い波長は，いわゆる赤外であ

る．植物は人間の目には緑に見えるが，それは可視光において緑の波長帯域にピークを持っているか

らである．さらに植物は近赤外域で非常に反射率が高い．コンクリートの反射率をも遥かに越えるも

のであり，近赤外域では極めて反射率が高いことが解る．一方，人工衛星は可視光とは異なる波長域


も観測しているので，物質によって特徴のある観測波長帯を利用して物体判読を行うことが出来る．

下図には，人工衛星 Terraの搭載する ASTER AVNIRセンサのもつ３つの波長帯域も示した．衛星

センサの検出できる各波長帯域はバンドと呼ばれ，短い波長から番号が割り振られている．ASTER

において最も短い観測波長域は可視光の緑に対応し，Band1 と呼ばれている．Band2は可視光の赤

に対応し，Band3は近赤外域に対応している．

0

10

20

30

40

50

60

0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Vegetation

Soil

Water

Concrete

Wave Length (µm)

Ref

lect

ance

Per

cent

age

B1 B2 B3ASTER VNIR

分光反射特性を用いて，地目を分類するのに最も簡便な方法は，バンド間演算と呼ばれるものであ

る．バンド間演算は，人工衛星センサにより得られた各バンドの値同士について演算処理を施すもの

である．特にバンドの比を計算することが多い．例えば，植物は近赤外域で高い反射をし，可視光の

赤では低い反射となっている．この特徴を利用し，近赤外域と可視光の赤のバンドの比は植物が強調

されることとなる．したの式は，植物を強調するためのバンド間演算の例であり，正規化植生指標

(NDVI)と呼ばれている．

NDV I =IR − V R

IR − V R(9.13)

ここで，IR は近赤外でのバンドの値であり，V R は可視の赤のバンドの値である．ASTER VNIR

センサにおいて，IRは Band3に対応し，V Rは Band2に対応する．人工衛星のセンサによって観

測波長帯とバンド名は異なるので注意が必要である．NDV I の値は，-1.0～1.0の範囲をとり，大き

い値ほど植物が多いといえる．下図は，NDVIを計算し，画像化したものである．明るい部分ほど植

物が多いと推測される．

9.6 分類 213

植生以外の地目についても，例えば土の場合は 1.4µmより長い赤外のバンドと可視のバンドとのバ

ンド間演算で強調することが出来る．水の場合は土の場合の逆で，可視のバンドと比較的長い波長域

の赤外バンドとのバンド間演算が有効である．

放射量補正の節において述べたように，人工衛星センサにより得られた各バンドの値は，Digital

Number(DN)と呼ばれている．いわゆる生データである．通常，この DNは，センサごとに設定さ

れた変換式により，放射量に変換される．さらにその放射量は，大気によって影響を受けているので，

大気補正を施す必要がある．DNそのものを用いることもなされているようだが，多時期のデータを

用いて変化の状態を解析する場合は，必ず何らかの大気補正を施す必要がある．

そもそも NDVI 等のバンド間演算によって得られる計算結果の示すものは，あくまでも指標であ

る．例えば NDVIは，植物の量を示すものではない．バンド間演算によって植物の存在する地域が強

調されているにすぎない．バンド間演算によって植物の量が計算できるというメカニズムには根拠が

無いのである．したがって，NDVIを安易に植物の量と見なして解析を進めるには注意を要する．

9.6.2 閾値処理

レベルスライス

レベルスライスは，画像の値に応じて分類を行う方法の一つである．例えば，NDVIの画像におい

て，NDVIの値が 0を越える部分と 0以下の部分に分類する時，0というレベルで分けることからレ

ベルスライスと呼ばれる．下図はその例で，NDVIが 0を越える部分を白，0以下の部分を黒で表現

した．


レベルスライスにおいて，境界値（上の例では 0）は，閾値とも呼ばれている．閾値が一つで，二つ

の項目に分類することは，特に二値化と呼ばれている．

閾値の決定は，非常に重要である．意味のある値を閾値に選ぶことが重要であり，なぜその値が閾

値となり得るのかを説明できなければならない．特に時系列データを扱う場合は，時期によって閾値

を変化させる必要もあり，システマティックな閾値決定手法を構築しなければならない．

ディシジョンツリー

ディシジョンツリーは，レベルスライスの発展形といえる．レベルスライスは，1バンドのデータ

を閾値を用いて幾つかに分類することであった．ディシジョンツリーは，if then のルールにより多

バンドのデータを用いた分類する手法である．下図は，その例を示したものである．３つのバンドの

データを利用し，４つのルールにより分類している．

if Band1 > 128

START

if Band2 > 128

if Band3 > 128

Class 1

if Band2 > 128

Class 4

Class 5

Class 3

Class 2

レベルスライスと同様に閾値の決定は重要で，ディシジョンツリーではさらにルールの組み立て手法

も意味付けられるものであることが望まれる．

9.6 分類 215

9.6.3 教師データを用いた分類

統計的な手法に基づく分類について解説する．例えば分類項目として，植生，裸地，水域を設定し

た場合，画像情報における各分類項目の典型的な統計量を求め，その統計量に基づいて各画素を分類

する．このとき，各分類項目の典型的な統計量を求めることが重要である．実際には，ある画像を対

象に分類する場合，その画像上で確実にその分類項目に合致すると思われる画素を多数抽出し，各分

類項目の統計量を求める．この統計量は教師データと呼ばれ，分類の拠り所となるものである．多バ

ンドのデータを取り扱う場合は，多次元の統計量となる．なお，教師データは，トレーニングデータ

と呼ばれることもある．

ユークリッド距離

ユークリッド距離は，統計量の平均値のみを用いて分類する方法である．教師データの平均値と各

画素の値を比較し，その距離を求め，最も近い距離の分類項目に割り当てる方法である．

バンド数が k の画像において，各画素の値はベクトル xで表すことができる．xは，k 次元のベク

トルで以下のように表すことができる．

x =

x1

x2

...xk

(9.14)

そして，ある分類項目の教師データとして n個の画素があるものとする．教師データを行列 Y で表

し，各要素は以下のように yij で表す．ここで iは画素の番号，j はバンドの番号を表す．

Y =

y11 y12 · · · y1n

y21 y22 · · · y2n

......

...yk1 yk2 · · · ykn

(9.15)

すると，教師データの各バンドの平均値 µは以下のように計算できる．

µ =

µ1

µ2

...µk

=

n∑i=1

yi1/n

n∑i=1

yi2/n

...n∑

i=1

yik/n

(9.16)

このとき，分類したい各画素 xと教師データの平均値 µとの距離 d2 は，次式で表すことが出来る．

d2 = (x − µ)T · (x − µ) (9.17)


ここで，添字 tは転置行列を表す．ベクトルの転置行列を掛けることによって，ベクトルの各要素の

二乗和を計算することが出来る．つまり，次式と等価である．

d2 = (x1 − µ1)2 + (x1 − µ1)2 + · · · + (xk − µk)2 (9.18)

各分類項目ごとにユークリッド距離を計算するが，求まった距離のうち，最も距離の近い分類項目が，

その画素の分類結果である可能性が高い．これが，ユークリッド距離に基づく分類手法である．

標準ユークリッド距離

ユークリッド距離は，統計量の分散が考慮されていない．そこで，統計量の分散を考慮した標準

ユークリッド距離を用いれば，誤分類が少なくなる．分散が大きい項目は，分散が小さい項目に比べ

て，ユークリッド距離に比べて距離を小さくなったほうが現実的である．下図は，その様子を表した

ものである．画素値 xは，二つの分類項目の統計量の平均値と比較した場合，分類項目 1の µ1 との

距離の方が小さい．しかし，分類項目 2の分布幅は非常に大きいため，画素値 xは，分類項目 2であ

る確率の方が高い．

x µ2µ1

したがって，各バンドの分散行列の逆数を掛けることにより標準化された距離により評価した方が良

い．ある分類項目の教師データ Y における各バンドの分散 s = (s1, s2, · · · , sk)は，各バンドの平均

値を µとすると，次式で計算できる．

s =

s1

s2

...sk

=

n∑i=1

(yi1 − µ1)2/n

n∑i=1

(yi2 − µ2)2/n

...n∑

i=1

(yik − µk)2/n

(9.19)

この分散ベクトルを行列 S で表すと，次式となる．

S =

s1 0 · · · 00 s2 · · · 0...

......

0 0 · · · sk

(9.20)

9.6 分類 217

行列で分散を表すことによって，標準ユークリッド距離の計算式が解りやすく表現できる．つまり，

標準ユークリッド距離 d2 は，分散行列 S の逆行列を用いて，次式で表すことが出来る．

d2 = (x − µ)T · S−1 · (x − µ) (9.21)

マハラノビス距離

標準ユークリッド距離で統計量の分散が考慮され他が，各バンド間での共分散は考慮されていない．

下図は，その様子を示したものである．分類項目 2は，バンド 1とバンド 2において強い相関を持っ

ている．したがって，画素値 xと平均値との距離は，分類項目 1の µ1 の方が近いが，相関関係を見

ると分類項目 2に分類される確率の方が高いといえる．

x

µ2µ1

そこで，統計量の共分散を考慮したマハラノビス距離を用いれば，さらに誤分類が少なくなる．なお，

ある分類項目の教師データ Y におけるバンド 1とバンド 2の共分散 s12 は，次式で計算できる．

s12 =n∑

i=1

(yi1 − µ1)(yi2 − µ2)/n (9.22)

したがって，共分散行列 Σは，次式で表すことができる．

Σ =

s11 s12 · · · s1k

s21 s22 · · · s2k

......

...sk1 sk1 · · · skk

(9.23)

標準ユークリッド距離と同様に，各バンドの共分散行列の逆数を掛けることにより共分散が考慮され

たマハラノビス距離が計算できる．つまり，マハラノビス距離 d2 は，共分散行列 Σの逆行列を用い

て，次式で表すことが出来る．

d2 = (x − µ)T · Σ−1 · (x − µ) (9.24)


オブジェクト指向分類

教師データに基づく分類において，これまでは，各画素をいずれかの分類項目に割り当てる手法で

あった．つまり，画素単位で統計量を比較して分類する手法である．画素単位では細かすぎて誤分類

が多くなるのも事実であろう．そこで，ある一定の範囲を対象に，そこの統計量と教師データの統計

量とを比較して分類する方法もある．これをオブジェクト指向分類と呼んでいる．一定の範囲をオブ

ジェクトとして扱うためである．ただ，一定の範囲をどのように決めるかが問題で，田畑等の農地で

あれば区画が決まっているので簡単であるが，自然植生や無秩序に乱立するものが含まれている地域

においては，非常に難しい．

9.6.4 ミクセル分析

教師データに基づく分類にしてもオブジェクト指向分類にしても，各画素の中身までは考慮されて

いない．しかし細かく考えると，各画素の中身が，いずれかの分類項目のみで構成されていることは，

海洋や砂漠を除いてあまりない．ほとんどの画素は，様々な地目で構成されている．このような画素

をミクセルと呼んでいる．mixed pixelの略である．下図は，その状況を示したもので，この場合，一

つの画素の中には，水域，植生，裸地で構成されている．

画素の輝度値が，各地目の面積に依存するものであれば，輝度を求めるモデルを構築することが出来

る．上図における水域の面積を aw，植生の面積を av，裸地の面積を as とし，線形モデルが適用でき

るとすると，次式で輝度値 I を表すことが出来る．

I = cwaw + cvaw + csas (9.25)

ここで，cw, cv, cs は，変換係数である．この変換係数をどのように決定するかが重要な問題となる．

現地調査結果や非常に高分解能のデータを用いれば，各地目の面積 aw, av, as は求まる．3つ以上の

画素において各地目の面積と輝度値を上式に入力すれば，最小二乗法により変換係数を求めることが

出来る．求まった変換係数より，次に輝度値から逆に各地目の面積を求めるには，一つの式では求め

られない．この場合，3つの未知数があるので，少なくとも 3つの式が必要になる．したがって，3つ

のバンドを持つものであれば，3つの地目の面積を推定することが可能である．つまり，3つのバン

9.7 幾何補正 219

ドの場合，次式で各バンドの輝度値を表すことが出来る．I1 = cw1aw + cv1aw + cs1as

I2 = cw2aw + cv2aw + cs2as

I3 = cw3aw + cv3aw + cs3as

(9.26)

各変換係数が求まっていれば，各バンドの輝度値 I1, I2, I3 を上式に代入すれば，各地目の面積

aw, av, as は求まる．これを求めるのには，連立方程式を解く方法が最も簡単であるが，バンド間の

相関が高い場合は解が不安定となる．したがって，別の方法で最適解を見つけなければならない．コ

ンピュタプログラムを用いるのであれば，各地目の面積を少しずつ変化させながら，最も輝度の値に

近づくものを探す方法がある．処理時間はかかるものの安定した解が得られる．

9.7 幾何補正

9.7.1 地上基準点と画像基準点

リモートセンシングによって得られるデータは，基本的に画像座標であり，それを地上座標に変換

する必要がある．これを幾何補正 (geometric correction)と呼んでいる．実際に画像データに座標変

換を適用したい場合，変換式における変換係数を求める必要がある．そのためには基準点データが必

要になる．地上基準点 (ground control point) とは，あらかじめ地上での座標の値が解っている点

(xi, yi)のことを言う．それらの点が画像上に投影されている場合，対応する画像座標 (ui, vi)が存在

し，これを画像基準点 (image control point)という．これら，地上座標と画像座標を一組とするデー

タセットを基準点データという．これらの基準点データを変換式に代入すると，基準点の数だけ変換

係数を変数とする方程式が立てられる．それらの方程式を連立させれば，変換係数が求められる．

例えば，アフィン変換の変換式を導く場合，一つの変換式において 3つの変換係数があるため，少

なくとも 3つの基準点データが必要になる．3つを越える数の基準点を利用して変換係数を導くには，

最小二乗法を利用して解く．

誤差の調整という観点で考えると，基準点の数は多い方が良い．また，基準点の配置は重要で，狭

い範囲に偏った基準点の場合，基準点から離れた場所においては誤差が大きくなる．また，一直線上

に基準点が配置される場合も変換式に含まれる誤差は大きくなる．したがって，対象範囲において広

い範囲をまんべんなくカバーするような基準点データが必要である．

基準点の精度が，座標変換の精度に直接関わるので，正確な基準点データが必要である．画像基準

点として，1画素程度の精度では十分ではなく，1/5画素以上の精度が望ましい．対応する地上基準

点も同様で，1画素あたり何mの画像かによるが，1画素あたり 10mの衛星画像の場合，やはりその

1/5の 2mの精度での地上基準点が必要である．地上基準点は，測量等により正確に測ることは比較

的容易である．しかし，対応する画像座標は，測量した地点を画像において 1/5画素の精度で特定す

ることは困難である．したがって，画像マッチング等の画像処理手法を用いて画像座標を求めること

が望まれる．


9.7.2 最小二乗法による線形変換

n 個の地上基準点のデータ (x1, y1), (x2, y2), · · · , (xn, yn) とそれに対応する画像基準点のデータ

(u1, v1), (u2, v2), · · · , (un, vn)があるとき，最小二乗法を用いて変換式を導く手法について解説する．

アフィン変換

アフィン変換（式 3.67）は，xと y に関する変換係数が独立なので，xと y は別々に解くことが出

来る．ここでは xに関する式を例に挙げる．まず，i番目の基準点のデータをアフィン変換の式に代

入すると，xi = aui + bvi + cとなるが，導かれる変換式には誤差が存在するために，この式は成立

しない．その誤差量 δi は，単純に右辺から左辺を引いたものとなり，δi = aui + bvi + c − xi といえ

る．ここでは n個の基準点データがあるので，n個の誤差量に関する式を立てることが出来る．最小

二乗法は，それらの誤差量の二乗和を最小にする式を導くものなので，二乗和の誤差関数 Φは，以下

の式で表すことが出来る．

Φ =n∑

i=1

δ2i

=n∑

i=1

(aui + bvi + c − xi)2 (9.27)

この関数 Φは二次関数なので，この関数が最小となる a, b, cを求めるには，まずこの式を a, b, cで偏

微分する．偏微分すると，誤差関数の勾配を表す関数となるので，偏微分した関数が 0となるところ

が極小値であり，それは最小値でもある．下の式は，偏微分した式である．

∂Φ∂a

= 2n∑

i=1

ui(aui + bvi + c − xi) = 0 (9.28)

∂Φ∂b

= 2n∑

i=1

vi(aui + bvi + c − xi) = 0 (9.29)

∂Φ∂c

= 2n∑

i=1

(aui + bvi + c − xi) = 0 (9.30)

これらの式は，連立一次方程式なので，これらを行列を用いて整理すると，以下の式を得る．なお総

和記号∑は，簡単に表記するためガウスの総和記号 []で代用した． [

u2i

][uivi] [ui]

[uivi][v2

i

][ui]

[ui] [vi] n

abc

=

[xiui][xivi][xi]

(9.31)

この連立方程式を解けば，最確値 a, b, cが求まる．y についても同様に解けば良い．

ヘルマート変換

ヘルマート変換（式 3.66）においては，二つの式を別々に解いてしまうと，a, bの値が別々に求ま

り，同じ値を示さない．これではアフィン変換と変わらなくなってしまう．そこで，このような場合

9.7 幾何補正 221

には xと y のそれぞれの二乗和の誤差関数の和を最小とするように解かなければならない．したがっ

て，二乗和の誤差関数 Φは，以下の式で表すことが出来る．

Φ =n∑

i=1

(aui − bvi + c − xi)2 + (bui + avi + d − yi)2 (9.32)

この式を a, b, c, dで偏微分し，それが 0となる方程式を立てる．

∂Φ∂a

= 2n∑

i=1

ui(aui − bvi + c − xi) + vi(bui + avi + d − yi) = 0 (9.33)

∂Φ∂b

= 2n∑

i=1

−vi(aui − bvi + c − xi) + ui(bui + avi + d − yi) = 0 (9.34)

∂Φ∂c

= 2n∑

i=1

(aui − bvi + c − xi) = 0 (9.35)

∂Φ∂d

= 2n∑

i=1

(bui + avi + d − yi) = 0 (9.36)

アフィン変換の場合と同様に，これらを行列を用いて整理すると，以下の式を得る．[u2

i + v2i

]0 [ui] [vi]

0[u2

i + v2i

]− [vi] [ui]

[ui] − [vi] n 0[vi] [ui] 0 n

abcd

=

[xiui + yivi]

[−xivi + yiui][xi][yi]

(9.37)

この連立方程式を解けば，最確値 a, b, c, dが求まる．

この他，射影変換においては分数関数であるが，分母の式を両辺にかけて分母をはらい，線形化し

た後に誤差関数を立てれば，同様に解くことが出来る．

9.7.3 最小二乗法による非線形変換

二次元回転変換

画像の座標ではなく，測量した値を座標変換する場合は，縮尺を考慮する必要がないので，回転と

原点移動だけの変換で十分である．これを式で表すと以下のようになる．x = u cos κ − v sinκ + x0

y = u sinκ + v cos κ + y0

(9.38)

したがって，未知数の個数は 3 個となり，最低 2 個の基準点データで変換式を決定できることにな

る．しかし，アフィン変換やヘルマート変換が線形の式であったのに対し，座標回転を導入すると三

角関数が含まれる非線形の式となる，基準点 2個のデータより回転角を求めるのは簡単であるが，2

個を越える基準点データから最小二乗法を用いて回転角を求めるには，非線形方程式なので通常の連

立方程式で解くことは出来ない．したがって，テイラー展開を使って逐次計算をすることにより近似

値を求めることになる．


そのためにはまず，変換式を次のように関数として置き換える．

Fx(x0, κ) = u cos κ − v sinκ + x0 − x (9.39)

Fy(y0, κ) = u sinκ + v cos κ + y0 − y (9.40)

各未知係数の近似値を x00, y00, κ0 とし，各補正量を∆x0,∆y0,∆κとすると，未知係数は，以下の

式で表すことが出来る．

x0 = x00 − ∆x0 (9.41)

y0 = y00 − ∆y0 (9.42)

κ = κ0 − ∆κ (9.43)

関数 Fx, Fy において，近似値の周りにテイラー展開する．つまりテイラー級数（式 3.73）におい

て，x = x0, a = x00 とおく．すると，x0 − x00 = −∆x0 となる．他の変数 y0, κについても同様に

考え，多変数の関数なので偏微分を用いると以下の式が得られる．なお，級数における二階導関数の

項以降は無視できるものとしている．

Fx(x0, κ) ≈ Fx(x00, κ0) −∂Fx

∂x0∆x0 −

∂Fx

∂κ∆κ (9.44)

Fy(y0, κ) ≈ Fy(y00, κ0) −∂Fy

∂y0∆y0 −

∂Fy

∂κ∆κ (9.45)

テイラー展開による微係数は，以下のように計算される．

∂Fx

∂x0= 1 (9.46)

∂Fy

∂y0= 1 (9.47)

∂Fx

∂κ= −u sin κ − v cos κ (9.48)

∂Fy

∂κ= u cos κ − v sinκ (9.49)

したがって，

Fx(x0, κ) ≈ Fx(x00, κ0) − ∆x0 + (u sin κ + v cos κ)∆κ (9.50)

Fy(y0, κ) ≈ Fy(y00, κ0) − ∆y0 − (u cos κ − v sinκ)∆κ (9.51)

さて，n個の基準点データ (u1, v1, x1, y1), · · · , (un, vn, xn, yn)を用いて，最小二乗法と逐次計算に

より x0, y0, κを求める手順について解説する．

まず，x00, y00, κ0の初期値と基準点データを式 22, 23に代入する．なお微係数の式にも x00, y00, κ0

の初期値を代入する．すると，Fx, Fy それぞれについて，n個の式が出来る．基準点に誤差がなけれ

ば，Fx = 0, Fy = 0となるが，誤差は必ず存在する．そして誤差の値は，計算された Fx, Fy の値そ

のものとなる．この誤差の二乗和が最小となるような ∆x0,∆y0,∆κを求めなければならない．ここ

9.7 幾何補正 223

で，この誤差関数 E は，以下の式となる．

E =n∑

i=1

Fx(x00, κ0) − ∆x0 + (ui sinκ0 + vi cos κ0)∆κ

2

+n∑

i=1

Fy(y00, κ0) − ∆y0 − (ui cos κ0 − vi sinκ0)∆κ

2 (9.52)

したがって，この誤差関数を∆x0,∆y0,∆κで偏微分し，偏微分した関数の値が 0となる∆x0,∆y0,∆κ

を連立方程式を解くことによって求めれば良い．

∂E

∂∆x0= −2

n∑i=1

Fx(x00, κ0) − ∆x0 + (ui sinκ0 + vi cos κ0)∆κ

= 0 (9.53)

∂E

∂∆y0= −2

n∑i=1

Fy(y00, κ0) − ∆y0 − (ui cos κ0 − vi sin κ0)∆κ

= 0 (9.54)

∂E

∂∆κ= −2

n∑i=1

(ui cos κ0 − vi sinκ0)(Fx(x00, κ0) − ∆x0 + (ui sin κ0 + vi cos κ0)∆κ)

− 2

n∑i=1

(ui sinκ0 + vi cos κ0)(Fy(y00, κ0) − ∆y0 − (ui cos κ0 − vi sin κ0)∆κ)

= 0

(9.55)

ここで，問題となるのが初期値の値である．x00, y00 については，最初の基準点座標の差を利用す

ることが出来る．また κは，二つの基準点座標から，その線分の傾きの差を利用する．

x00 = x1 − u1 (9.56)

y00 = y1 − uv (9.57)

κ0 = tan−1 y2 − y1

x2 − x1− tan−1 v2 − v1

v2 − v1(9.58)

初期値を代入して，最小二乗法により求まった補正量 ∆x0,∆y0,∆κが求まれば，初期値から補正

量を差し引くことで，１回目の近似値が求まる．さらにこの近似値を用いて２回目の補正量を求め，

さらに近似値を求めて行く．この繰り返し計算を求める解の精度を満足するまで行う．

三次元回転変換

三次元データ (u, v, w)を (x, y, z)に変換するには，以下のように三次元アフィン変換のような線形

変換でも表現できる． xyz

=

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

uvw

+

x0

y0

z0

(9.59)

この変換式には，a11～a33 と (x0, y0, z0)の 12個の未知数が存在しする．これらの未知数を導くた

めには，式が 3つなので，最低 4個の基準点データが必要となる．しかし，(u, v, w)と (x, y, z)が共

に同じ単位の地上座標で与えられている場合，つまり縮尺を考慮しなくて良い場合，a11～a33 の行列


は，座標回転によって得られる．(u, v, w)と (x, y, z)は，それぞれレーザースキャナや写真測量にお

いて得られたが，それぞれローカルな座標系であった場合を想定する．この時，x軸回りの回転を ω，

y 軸回りの回転を ϕ，z 軸回りの回転を κとすると，以下の式で回転行列を表すことが出来る． a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

=

1 0 00 cos ω − sinω0 sinω cos ω


− sinϕ 0 cos ϕ

cos κ − sinκ 0sinκ cos κ 0

0 0 1

=

cos ϕ cos κ − cos ϕ sinκ sinϕcos ω sin κ + sinω sin ϕ cos κ cos ω cos κ − sinω sinϕ sinκ − sinω cos ϕsinω sinκ − cos ω sin ϕ cos κ sinω cos κ + cos ω sinϕ sinκ cos ω cos ϕ

(9.60)

したがって，未知数の個数は 6個となり，最低 2個の基準点データで変換式を決定できることにな

る．しかし，三次元アフィン変換が線形の式であったのに対し，三軸の座標回転を導入すると三角関

数が含まれる非線形の式となり，通常の連立方程式で解くことは出来ない．したがって，テイラー展

開を使って逐次計算をすることにより近似値を求めることになる．

そのためにはまず，変換式を次のように関数として置き換える．

Fx(x0, ω, ϕ, κ) = a11u + a12v + a13w + x0 − x

= (cos ϕ cos κ)u − (cos ϕ sinκ)v + (sinϕ)w + x0 − x (9.61)

Fy(y0, ω, ϕ, κ) = a21u + a22v + a23w + y0 − y

= (cos ω sinκ + sinω sinϕ cos κ)u + (cos ω cos κ − sinω sinϕ sinκ)v

+ (− sinω cos ϕ)w + y0 − y (9.62)

Fz(z0, ω, ϕ, κ) = a31u + a32v + a33w + z0 − z

= (sin ω sinκ − cos ω sinϕ cos κ)u + (sinω cos κ + cos ω sinϕ sinκ)v

+ (cos ω cos ϕ)w + z0 − z (9.63)

各未知係数の近似値を x00, y00, z00, ω0, ϕ0, κ0 とし，各補正量を∆x0,∆y0,∆z0,∆ω, ∆ϕ, ∆κとす

ると，未知係数は，以下の式で表すことが出来る．

x0 = x00 − ∆x0 (9.64)

y0 = y00 − ∆y0 (9.65)

z0 = z00 − ∆z0 (9.66)

ω = ω0 − ∆ω (9.67)

ϕ = ϕ0 − ∆ϕ (9.68)

κ = κ0 − ∆κ (9.69)

関数 Fx, Fy, Fz において，近似値の周りにテイラー展開する．つまりテイラー級数（式 1）におい

て，x = x0, a = x00 とおく．すると，x0 − x00 = −∆x0 となる．他の変数 y0, z0, ω, ϕ, κについても

同様に考え，多変数の関数なので偏微分を用いると以下の式が得られる．なお，級数における二階導

9.7 幾何補正 225

関数の項以降は無視できるものとしている．

Fx(x0, ω, ϕ, κ) ≈ Fx(x00, ω0, ϕ0, κ0) −∂Fx

∂x0∆x0 −

∂Fx

∂ω∆ω − ∂Fx

∂ϕ∆ϕ − ∂Fx

∂κ∆κ (9.70)

Fy(y0, ω, ϕ, κ) ≈ Fy(y00, ω0, ϕ0, κ0) −∂Fy

∂y0∆y0 −

∂Fy

∂ω∆ω − ∂Fy

∂ϕ∆ϕ − ∂Fy

∂κ∆κ (9.71)

Fz(z0, ω, ϕ, κ) ≈ Fz(z00, ω0, ϕ0, κ0) −∂Fz

∂z0∆z0 −

∂Fz

∂ω∆ω − ∂Fz

∂ϕ∆ϕ − ∂Fz

∂κ∆κ (9.72)

テイラー展開による微係数は，以下のように計算される．

∂Fx

∂x0= 1,

∂Fy

∂y0= 1,

∂Fz

∂z0= 1,

∂Fx

∂ω= 0 (9.73)

∂Fx

∂ϕ= −(sinϕ cos κ)u + (sinϕ sinκ)v + (cos ϕ)w (9.74)

∂Fx

∂κ= −(cos ϕ sinκ)u − (cos ϕ cos κ)v (9.75)

∂Fy

∂ω= (− sin ω sin κ + cos ω sinϕ cos κ)u + (− sinω cos κ − cos ω sin ϕ sin κ)v − (cos ω cos ϕ)w

(9.76)∂Fy

∂ϕ= (sinω cos ϕ cos κ)u + (sinω cos ϕ sinκ)v + (sin ω sin ϕ)w (9.77)

∂Fy

∂κ= (cos ω cos κ − sinω sinϕ sinκ)u + (− cos ω sinκ − sinω sinϕ cos κ)v (9.78)

∂Fz

∂ω= (cos ω sinκ + sinω sin ϕ cos κ)u + (cos ω cos κ − sin ω sinϕ sinκ)v − (sinω cos ϕ)w

(9.79)∂Fz

∂ϕ= (− cos ω cos ϕ cos κ)u + (cos ω cos ϕ sinκ)v − (cos ω sin ϕ)w (9.80)

∂Fz

∂κ= (sinω cos κ + cos ω sinϕ sinκ)u + (− sinω sinκ + cos ω sinϕ cos κ)v (9.81)

x00, y00, z00, ω0, ϕ0, κ0 の初期値と基準点データを式 20～21 に代入し，最小二乗法を適用すれ

ば，補正量 ∆x0,∆y0,∆z0,∆ω, ∆ϕ,∆κ が求まる．ここで，問題となるのが初期値の値である．も

し三次元データ (u, v, w) と (x, y, z) が，共に整準された計測機器によって測られたものであれば，

ω0 = 0, ϕ0 = 0とおくことが出来る．

9.7.4 平均二乗誤差による変換式の評価

基準点データによる評価

最小二乗法によって得られた変換式については，確からしい変換が可能かどうか評価しなけれ

ばならない．一般に，変換式にどの程度誤差が含まれているのかは，平均二乗誤差 (root mean

square error)で評価することができる．画像基準点の座標 (ui, vi)を変換式に代入すると，地上座標

(fx(ui, vi), fy(ui, vi))が得られる．しかしこの座標は，実際の地上基準点の座標 (xi, yi)とは若干異

なる．基準点のデータが正しいとするならば，これらの差は誤差といえる．全基準点を用いて以下の


式により平均二乗誤差 RMSEx, RMSEy を求めることが出来る．

RMSEx =

√√√√ n∑i=1

(xi − fx(ui, vi))2 (9.82)

RMSEy =

√√√√ n∑i=1

(yi − fy(ui, vi))2 (9.83)

この平均二乗誤差を計算した上で，画素の単位にして 1 画素以上の誤差が発生しているようであれ

ば，基準点データの信頼性を疑わなければならない．信頼できる基準点データにも関わらす誤差が大

きい場合は，変換式自体に問題がある可能性があるので，十分な検討が必要である．

検証点データによる評価

基準点データによる平均二乗誤差に問題がなかったとしても，それで十分とは言えない場合がある．

そこで，基準点データ以外に検証点を用いて評価することが好ましい．基準点から離れたところに検

証点を配置させ，誤差の状況を確認すべきである．このときの誤差の評価方法は，検証点を使った平

均二乗誤差により可能である．

9.7.5 画像の再配列

変換式に従って，原画像を幾何学的に変換させて新しい画像を作成することを再配列 (resampling)

と呼んでいる．この再配列は，通常地上座標系に従って画像を生成し，他の画像や計測データと重ね

合わせが可能となるために行う．例えば，たくさんの衛星画像は，それぞれの画像座標を持ち，直接

重ね合わせても位置がずれているので，再配列が必要なのである．再配列の際には，まず地上座標に

おいて画像化する範囲と 1ピクセルあたりの大きさを決める必要がある．そしてこれらの決められた

情報は，作成された画像とともに正確に保存しておかなければならない．このような情報はメタデー

タ (meta data)と呼ばれており，第十章の地理情報システムで，改めて解説する．通常，リモートセ

ンシングのソフトウェアや地理情報システムのソフトウェアで扱う画像でなければ，画像には地上座

標の情報が付与されていないので，自作ソフトで画像を再配列させるときには，メタデータを独自で

保存しておくべきである．

それではここで，アフィン変換を用いた場合の再配列法について解説する．アフィン変換は，これ

まで次式で表してきた． x = au + bv + c

y = du + ev + f(9.84)

基準点データより変換係数である a, b, c, d, e, f が求まれば，画像座標 (u, v)から地上座標 (x, y)を計

算することが出来る．この式に従って，各画像の値を地上座標上にプロットすると，下図のようなイ

メージで変換される．

9.7 幾何補正 227

U

V

X

Y

したがって，地上座標に沿って等間隔の画像とはならず，斜めに歪んだ画像となってしまう．そこで

地上座標系に従った画像を生成しようとした場合，地上座標 (x, y)を画像座標 (u, v)に変換する式を

利用する方が簡単である．つまり，次式のような変換式を用いるのが一般的である．u = ax + by + c

v = dx + ey + f(9.85)

単に (x, y)と (u, v)を入れ替えただけである．この式のもと，基準点データより変換係数を求める．

変換式が立てられれば，地上座標 (x, y)は，画像座標のどこに対応するかが計算できるのである．下

図は，再配列のイメージを表したもので，地上座標系に沿って等間隔に画素を配置させ，それぞれの

画素が画像ではどの位置に来るかを示している．

P(ui+1, vj)

P(ui+1, vj+1)

U

V X

Y

Q(u, v)

P(ui, vj)

P(ui, vj+1)

ここで問題となるのが，地上座標での画素の位置と画像座標での画素の位置が一対一で対応せず，中

途半端な位置に来てしまうことである．この問題を解決するためにいくつかの手法が存在する．

Nearest Neighbor法

Nearest Neighbor法は，最近隣法と訳されている．この手法は，位置の最も近い画素の値で代用す

る手法である．ある地上座標 (x, y)が画像においては (u, v)で与えられたとき，その画像上の周りの

４つの画素の値がそれぞれ P (ui, vj), P (ui+1, vj), P (ui, vj+1), P (ui+1, vj+1)だったとき，地上座標

(x, y)の画素の値 Q(x, y)は，最も近い値で表す．上図の場合では，P (ui, vj)となる．式では，次の


ように表すことが出来る．

Q(x, y) = P (u, v) (9.86)

u = int(ax + by + c + 0.5)

v = int(dx + ey + f + 0.5)

ここで，int()は，計算された値から整数部のみを返す関数を表している．変換式によって計算された

値に 0.5を加えることにより，小数第一位で四捨五入して得られる値と等しくなるようにしている．

この手法は，簡単なアルゴリズムであり，元の画素の値が壊されないことから，衛星画像の最配列

には多用されている．

Bi-Linear法

Bi-Linear法は，共一次内挿法と訳されている．この手法は，周囲の４つの画素を利用して，線形

近似を行うものである．画像は二次元であるが，簡単に考えるため u方向の一次元平面で考える．下

図は，v 座標が vi における P (ui, vj), P (ui+1, vj)を通る断面での状況をグラフに表したものである．

求めたい点Q(u, vi)が，P (ui, vj)と P (ui+1, vj)の間にあるとき，P (ui, vj)と P (ui+1, vj)を直線で

繋ぎ，その直線上の値でもって Q(u, vi)の値として内挿することが出来る．このような内挿法は，線

形内挿とも呼ばれている．

P(ui+1, vj)

Q(u, vi)

P(ui, vj)

P

u1

u - uiui+1- u

P(ui+1, vj)

P(ui+1, vj+1)

Q(u, v)

P(ui, vj)

P(ui, vj+1)

Q(u, vj)

P(u, vj+1)

u - ui ui+1- u

v - vi

vi+1- v

u, v ともに画素の単位なので，画素間の距離は１とすることが出来る．そうすると u方向の距離を用

いて，比例配分に従うと，Q(u, vj)は次式で表すことが出来る．

Q(u, vj) = (ui+1 − u)P (ui, vj) + (u − ui)P (ui+1, vj) (9.87)

v 座標が vj+1 のときも同様で，内挿後の値 Q(u, vj+1 は，次式で表すことが出来る．

Q(u, vj+1) = (ui+1 − u)P (ui, vj+1) + (u − ui)P (ui+1, vj+1) (9.88)

これを二次元に拡張するため，今度は Q(u, vj) と Q(u, vj+1) 間において v 方向の内挿を考えると，

9.8 画像マッチング 229

Q(u, v)は次式で表すことが出来る．

Q(u, v) = (vj+1 − v)Q(u, vj) + (v − vj)Q(u, vj+1)

= (ui+1 − u)(vj+1 − v)P (ui, vj) + (u − ui)(vj+1 − v)P (ui+1, vj)

+ (ui+1 − u)(v − vj)P (ui, vj+1) + (u − ui)(v − vj)(ui+1, vj+1) (9.89)

この手法により画像を再配列させると，最近隣法に比べて画像にシャープさが無くなるというデメ

リットがある．したがって衛星画像の最配列にはあまり利用されていない．画像ではなく，標高デー

タの場合には，このような手法で内挿することが多い．

最配列は，ケースバイケースで手法を決定する必要がある．Bi-Linear法の他にも線形内挿では無

く，非線形の関数を用いた内挿手法もある．例えば，三次関数を利用した Cubic Convolution（三次

たたみ込み法）が有名である．しかし衛星画像の解析においては，画素の値を出来るだけ壊さない方

が良いと言えるので，ここでは Nearest Neighbor 法を勧める．Cubic Convolution 法については，

他の文献を参考にしてほしい．

9.8 画像マッチング

画像マッチングは，同じ領域が撮影された異なる画像において，画像上のある部分が，他方の画像

上においてはどこに相当するかを画像処理を用いて行うことである．ステレオ画像を用いて三次元計

測を行う際には，どことどこが対応するかを決定する必要がある．このようなときに画像マッチング

が利用される．

ここでは，ステレオ画像を例に解説する．下図のように左画像と右画像があり，右画像の中のある

部分が左画像のどこに相当するかを画像マッチングによって求める．

L(u, v) R(u, v)

T(i, j)

右画像のある部分を切り出した狭い範囲の画像は，テンプレート画像と呼び，そのテンプレート画像

を左画像の上に重ねて，重なった部分の画素同士を比較することにより，画像の類似度を算出する．

下図のように左上から１ピクセルずつずらしながら類似度を算出し，最も類似度の高い点がマッチン

グポイントと言える．


T(i, j)

L(u, v)

(u0, v0)

類似度の算出法，画像マッチングの方法は，幾つかあるが，ここでは代表的な以下に述べる三つの手

法について解説する．

9.8.1 SSDA法

SSDA法は，単純に画素同士の値の差の絶対値を計算し，最も差の小さい点をマッチングポイント

とする手法である．テンプレートの画像の大きさを m × n，テンプレート内の座標 (i, j)における画

素の値を T (i, j)とする．一方，左画像上の座標を (u, v)で表し，計算開始点の座標を (u0, v0)，画素

の値を L(u, v)とすると，テンプレート内の差の絶対値の合計 d(u0, v0)は，次式で表すことが出来る．

d(u0, v0) =n∑

j=0

m∑i=0

|T (i, j) − L(u0 + i, v0 + j)| (9.90)

アルゴリズムが単純なので，高速処理が可能である．ただし，テンプレート画像と左画像との関係が，

同じ縮尺で，回転等の歪みのない画像同士に限られる．通常のステレオ画像は，全くゆがみのない状

態で撮影することは困難なので，この手法の適用は困難である．直下視を常に観測する衛星画像同士

の幾何補正であれば，縮尺は常に同じで，傾きも一定なので，この手法を適用することが出来る．

9.8.2 相関法

相関法は，画像同士の相関係数を計算することにより類似度を求めるものである．相関係数につい

ては，第三章の回帰分析で解説した．相関係数は，-1～1の値をとり，相関が高いほど値が大きい．テ

ンプレート画像の画素値の平均値を T とし，左画像においてテンプレートと重なった範囲の画素値の

平均値を Lとすると，相関係数 r(u0, v0)は，次式で表すことが出来る．

r(u0, v0) =

n∑j=0

m∑i=0

(T − T (i, j))(L − L(u0 + i, v0 + j))√√√√ n∑j=0

m∑i=0

(T − T (i, j))2

√√√√ n∑j=0

m∑i=0

(L − L(u0 + i, v0 + j))2

(9.91)

単純な差を求める SSDA法よりも精度は高いが，SSDAと同様にテンプレート画像と左画像との関係

が，同じ縮尺で，回転等の歪みのない画像同士に限られる．


9.8.3 最小二乗マッチング

最小二乗マッチングは，SSDA法や相関法と異なり，下図のように，画像間で縮尺の違いや回転に

よるズレがあっても適用できるものである．また，SSDA 法や相関法は１画素ごとずらしながら類

似度を計算するために，マッチング結果は１画素の単位でしか得られない．しかし最小二乗マッチン

グは，類似度を計算するのではなく，最もマッチする位置を最小二乗法を用いて計算する手法のた

め，求まる答えは実数となり高精度でのマッチングが可能である．下図に，そのイメージを示した．

m×n画素で構成されるテンプレートがあり，その中のある画素の値を T (i, j)とする．そして，この

テンプレート画像の中心は，(ic, jc)とする．このテンプレート画像の中心は，左画像の座標 (uc, vc)

に対応し，テンプレートの形は，左画像においては，矩形ではなく幾何学的に変形している様子を表

している．

L(u, v) R(u, v)T(i, j)

(ic, jc)(uc, vc)

上図においては，テンプレート画像と対応する左画像上の範囲が一致している．ただし，画像同士の

濃度差が存在するため，完全に一致させるには濃度補正が必要となる．その濃度補正がリニアスト

レッチで表現することが出来るとすると，次式で表すことが出来る．

T (i, j) = aL(u, v) + b (9.92)

ここで，a, bは濃度変換の係数を表している．さらにテンプレートの座標と左画像の座標との間の幾

何変換が線形のアフィン変換で表現できるとすると，画像座標の関係は次式で表すことが出来る．u = c1(i − ic) + c2(j − jc) + uc

v = c3(i − ic) + c4(j − jc) + vc

(9.93)

ここで，c1, c2, c3, c4 は，変換係数である．したがって，両者を一致させるためには，未知数である

a, b, c1, c2, c3, c4, uc, vc を求める必要がある．それには，非線形の最小二乗法を適用する．つまり式

9.92を関数化し，テイラー展開によって線形化させ，近似値の補正量を求める計算を繰り返し行いな

がら未知数の最確値を求める必要がある．式 9.92を関数 Fを用いて表すと，次式のようになる．

F (a, b, c1, c2, c3, c4, uc, vc) = T (i, j) − aL(u, v) − b (9.94)


未知数の初期値を a0, b0, c10, c20, c30, c40, uc0, vc0とし，補正量を∆a,∆b,∆c1,∆c2,∆c3,∆c4,∆uc,∆vc

とし，近似値の周りでテイラー展開すると次式を得る．

F (a, b, c1, c2, c3, c4, uc, vc) ≈ F (a0, b0, c10, c20, c30, c40, uc0, vc0)

− ∂F

∂a∆a − ∂F

∂b∆b − ∂F

∂u∆u − ∂F

∂v∆v (9.95)

普通に考えると，c1, c2, c3, c4, uc, vc による偏微分係数が必要になるが，これらは，すべて u, v のパ

ラメータなので，u, v でまとめて表現した．各偏微分係数は，次の通りである．

∂F

∂a= −L(u, v) (9.96)

∂F

∂b= −1 (9.97)

∂F

∂u= a

∂L(u, v)∂u

= aL(u + 1, v) − L(u − 1, v)

2(9.98)

∂F

∂v= a

∂L(u, v)∂v

= aL(u, v + 1) − L(u, v − 1)

2(9.99)

式 9.98，式 9.99における偏微分係数は，L(u, v)が画像であることを利用し，隣の画素の値の差をそ

のまま利用した．ここで，Lu = L(u+1,v)−L(u−1,v)2 , Lv = L(u,v+1)−L(u,v−1)

2 とおくこととする．ま

た，∆u, ∆v については，次式で表すことが出来る．∆u = ∆c1(i − ic) + ∆c2(j − jc) + ∆uc

∆v = ∆c3(i − ic) + ∆c4(j − jc) + ∆vc

(9.100)

したがって，式 9.95は，次式のように表現できる．

F (a, b, c1, c2, c3, c4, uc, vc) ≈ F (a0, b0, c10, c20, c30, c40, uc0, vc0) + L(u, v)∆a + ∆b

− a0Lu∆c1(i − ic) + ∆c2(j − jc) + ∆uc− a0Lv∆c3(i − ic) + ∆c4(j − jc) + ∆vc (9.101)

この式にテンプレート画像のm× n個の画素と対応する左画像の画素のデータを代入し，最小二乗法

を利用すれば，補正量 ∆a, ∆b,∆c1,∆c2,∆c3,∆c4,∆uc,∆vc が求まる．最小二乗法における二乗誤

差の関数 Eは，次式で表すことが出来る．

E =n∑

j=0

m∑i=0

[F (a0, b0, c10, c20, c30, c40, uc0, vc0) + L(u, v)∆a + ∆b

− a0Lu∆c1(i − ic) + ∆c2(j − jc) + ∆uc− a0Lv∆c3(i − ic) + ∆c4(j − jc) + ∆vc]2 (9.102)

これは，線形方程式での最小二乗法なので，解き方は省略する．最小二乗法で求まった補正量を用い

れば，１回目の近似値が求まる．この近似値を用いて，同様の計算を行えば，さらに補正量が求まり，

２回目の近似値が求まる．この繰り返し計算を行うことで，近似値は最確値に近づく．何回の繰り返

し計算で十分かは，補正量の値が十分小さくなることを見極めなければならない．


この最小二乗マッチングで重要なのは，初期値をどう与えるかである．左右の画像で濃淡の違いや

回転や拡大率の差が少ない場合には，a = 1, b = 0, c1 = 1, c2 = 0, c3 = 0, c4 = 1とし，uc, vc につい

ては，目視で与えたり，先の画像相関等の方法で得た値を与えてもよいであろう．この例では，幾何

変換式にアフィン変換を利用したが，より複雑な変換式を適用することも出来る．ただ，複雑な変換

式は，より正確な初期値を与えなければ，解が収束しないこともあり，注意を要する．

236 第 10章地理情報システム

第 10章

地理情報システム

10.1 データモデル

10.1.1 点

10.1.2 線

10.1.3 面

10.1.4 グリッド

10.2 地図投影

10.3 メタデータ

10.4 データ変換

10.4.1 ラスタ・ベクタ変換

10.4.2 データ内挿

10.5 空間解析

10.5.1 オーバーレイ

10.5.2 距離解析

10.5.3 バッファリング

10.6 三次元データの処理

10.6.1 データモデル

a.　ラスター型モデル (1)　グリッド　グリッド型はラスター型の典型的なモデルで，13. 2. 1で

述べたように格子状に対象領域を区切り，その格子点毎にデータが納められているものである．これ

10.6 三次元データの処理 237

で 3次元データを表現する場合，格子点におけるデータは標高値など高さを表現したデータとなる．

このグリッド型の 3 次元データモデルで最も一般的なものに，数値標高モデル (Digital Elevation

Model)がある．国土地理院発行の数値地図（50mメッシュ標高）は，格子点の間隔が 50mのグリッ

ド型モデルの典型である．地形を表現するデータモデルとしてポピュラーなものである．この他に地

形を表現するデータモデルとして，TIN(Triangulated Irregular Network)やサーフェスモデルがあ

るが，これはベクター型のモデルであり後述する．　このグリッドモデルは，非常に単純な構造で扱

い易いモデルであるが，大きな欠点が存在する．例えば，空中に浮いている物体あるいは，えぐれて

いる崖等のオーバーハングしている物体は表現できない点である．2次元空間における値を高さで表

現するようなモデルとして主に用いられる．(2)　ボクセル　ボクセル型はグリッド型を拡張したモ

デルである．グリッド型は 2次元平面を格子（微少正方形）で区切るのに対し，ボクセル型は 3次元

空間を微少立方体で区切るものである（図 13. 3. 1）．ボクセルの名は，グリッド型データにおける

各格子をピクセルと表現するのに対し，3次元空間における微小立方体”Volume Pixel”を表す．　こ

のデータモデルは，データ量が膨大になる欠点を持つ．特に空間分解能を高めると，その傾向は顕著

になる．しかし，複雑な自然状態を表現するには最も適したモデルである．

b.　ベクター型モデル (1)　ポイントクラウド　 3次元の対象物の輪郭を直線あるいは曲線によっ

て表現したものである（図 13. 3. 2）．つまり，骨組みだけで構成される．したがって，複雑な内部構

造を持つものは表現できない．また，対象物は見かけ上透過してしまうため物体同士が交差したり接

したりしているところを表現できない．データ数やデータ構造が単純なため，高速処理が要求される

ものに対して適用されてきた．しかし，計算機の処理能力が飛躍的に向上した昨今では，ワイヤーフ

レームモデルが用いられる例は急激に減少している．(2)　 TIN 　 3次元の対象物を多角形の面（局

面も含む）によって表現したものである（図 13. 3. 3）．対象物を構成する面毎に色やテクスチャを

与えることが出きるため見かけ上透過せず，ワイヤーフレームと比べるとリアルなものを作ることが

できる．対象物を分割する面の数を増やすことによってリアルさは増す．また，面毎に光の状態を表

現するシェーディングと呼ばれる技法を用いることができ，よりリアルな表現が可能である．　この

モデルの欠点は，拡大・縮小などの変形をこのモデルを使って行うとき，構成しているそれぞれの面

を拡大・縮小するだけでは接点・接線に矛盾が生じ，問題となることである．しかし，物体の計測を

目的とする我々の分野では，モデル自体を変形さすことは少なく，変形するものを対象とする場合は

変化毎に再計測を行えば問題無い．

10.6.2 地形解析

10.6.3 シェーディング

シェーディングとは，対象物に濃淡付けを施し，よりリアルに表現するものである．光源を設け，

その光源の輝度と位置（方向）・対象物の面の向きや材質・視点の位置が決まれば濃淡をシェーディン

グモデルより計算することができる．なお，光源による陰影付けとは異なるので注意していただきた

い．次式は最も一般的なシェーディングモデルである．L = Ld + Lr + Lc L:対象物の明るさ，Ld:

光源の散乱輝度，Lr:光源の反射輝度，Lc:周囲の散乱輝度光源・視点・対象物の位置関係が（図 13.

238 第 10章地理情報システム

4. 3）に示す場合，Ld，Lr，Lcはそれぞれ次式で表すことができる．Ld = Rd Lin cos θ i Rd:拡

散反射係数 (0～1)，Lr = Lin ω (θ i) cosn(γ) n:光沢性 (1～10)，ω (θ i):反射率，γ:反射光と視

点との角度 Lc = La Rd La:周囲環境の強さそれぞれのパラメータは，対象物によって異なるため適

宜変更しなければならない．　計算された輝度 L は，グレーで表現する場合 0～255 の値に量子化

し，対応する画素に割り当てる．一方対象物が既に色を持っている場合，その色を H（Hue:色相），S

（Saturation:彩度），I（Intensity:明度）で表現した後，Iにシェーディング計算によって得られた値

で割り当てる．一般の計算機は色を RGB で表現しているので RGB → HSI 変換，HSI → RGB 変

換をしなければならない．この変換については第 3 章で既に解説済みであるので参照されたい．　

　シェーディングの計算自体は，それほど難しいものではないが，同じ対象物でも計算の対象となる

場所やその数によって表現力は異なる．以下に主なシェーディング手法について解説する．(1)　コ

ンスタントシェーディング　コンスタントシェーディングは最も簡単な手法で，対象物を構成する面

毎にシェーディングを施すものである．曲面は，微少多角形の面で構成される場合が多いが，それら

の面は，小さければ小さいほどリアルなシェーディングが可能である．一方面が大きい場合は，面と

面が接する部分の角度が大きくなり，角張ったものになってしまう．このようにコンスタントシェー

ディングは，滑らかな物体を表現するには向かないが，高速処理を要するものに対しては有効である．

(2)　グローシェーディング　これは，H.Gouraudが考案した滑らかな物体に対するシェーディング

手法である．まず，対象物を構成する面のすべての頂点についてシェーディング計算を行う．このと

き頂点の方向ベクターに関して計算を行うが，このベクターは頂点を共有するすべての面の法線ベク

ターを求める．計算された頂点のシェーディング結果より，色情報（HSI）が計算される．対象面内

部の各画素における値は，色情報の明度 I（Intensity）の内挿によって得られる．内挿は対象点の周

りの頂点の値より，距離による重み付平均による．コンスタントシェーディングに比べてスムーズな

結果を実現できる．(3) 　フォンシェーディング　この手法は，Phong Bui-Tuong がグローシェー

ディングを拡張したものである．グローシェーディングが頂点におけるシェーディング結果の色情報

を内挿しているのに対して，フォンシェーディングは頂点の方向ベクターを内挿し，それを使って

シェーディングを計算する手法である．計算ステップが増えるため処理時間は長くなるが，ハイライ

ト部（輝きの集中する部分）を忠実に表現できるため非常にリアルなシェーディングが可能である．

(4)　マッピング　マッピングは 3次元モデルの表面に色や模様を貼り付けることを指す．色を付け

るのは簡単にできるが，模様を貼り付けるのはあらかじめ用意した模様の形と貼り付けられる面の形

とが一致してない場合がほとんどなので，ある種の投影が必要とされる．代表的な投影法として，平

行投影・極座標投影・円筒極座標投影等がある．　色や模様を貼り付けるだけでなく，凹凸の情報を

貼り付けることもある．色や模様を貼り付けることをテクスチャマッピングというのに対して，凹凸

の情報を貼り付けることをバンプマッピングという．細かな凹凸があるようなものに適用されるが，

濃淡・陰影の計算が複雑になってしまう．

10.6 三次元データの処理 239

10.6.4 鳥瞰図

　前節では，3 次元データのモデルについて解説した．通常 3 次元データを表現するには，投影，

隠面（線）処理，シェーディング，マッピングという過程を経る．この一連の過程は，レンダリング

とも呼ばれている．したがって本節では，3次元データのレンダリングについて解説する．ところで，

投影・隠面（線）処理・シェーディング・マッピングという独立した過程でなく，直接光線を追跡して

一連の過程を投影面の画素毎に一気に計算するレイトレーシング法による表示法が一般化してきた．

またこれらの手法は，サーフェスモデル・ソリッドモデルのデータに対する表示手法だが，近年ボク

セルモデルによる表示法であるボリュームレンダリングも確立されつつある．したがって，それらの

手法についても解説する．

　 3 次元データは，2 次元平面上に投影しなければディスプレイ上に表現することはできない．

様々な投影法があるが，それらは大きく平行投影法・中心投影法の二種類に分類できる．(1)　平行

投影法　平行投影法は，対象物と投影面とを結ぶ視線がそれぞれ平行線となり，視点と対象物との距

離は無限大となっている（図 13. 3. 6）．対象物の空間座標を xyz，投影面の平面座標を uvのとき，

対象物における任意の点（xp，yp，zp）が投影面（up，vp）に投影される投影式を以下に示す．up

= (x0 - xp) sin α - (y0 - yp) cos α vp = (x0 - xp) cos α cos β + (y0 - yp) sin α cos β - (z0

- zp) sin βなお（x0，y0，z0）は，投影面における原点の座標αβは視線方向を示す（α：z軸回り

の回転角，β：y軸回りの回転角）．　この投影法は，視点と対象物との距離が無限大であるため遠近

感が表現できない．したがって，対象物に接近できないため迫力あるアニメーション作成には向かな

い．しかし，変換式が単純であるため高速処理が要求される場合に適用されることがある．(2)　中

心投影法　一方，中心投影法は対象物，投影面，視点が直線で結ばれるものである（図 13. 3. 7）．先

の平行投影法と同じく，対象物における任意の点を（xp，yp，zp），視点の座標（x0，y0，z0），さら

に視点を原点とし，視線方向を z軸とする x’y’z’空間を定義したとき，次式が成り立つ．* そして，

投影面での座標（up，vp）は，次式で表すことができる．up = - f x’ / z’ vp = - f y’ / z’ なおｆは

視点と投影面との距離を示す（焦点距離）．　中心投影法は入力パラメータが多く，計算式も複雑にな

り，それに伴って処理時間も平行投影法に比べて長くなる．しかし，対象物に近づいたり，焦点距離

を変化させて遠近感を強調したり，様々な表現が可能である．

国土を測る技術の基礎...7 第1 章 はじめに...

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