소프트웨어학과 원성현 교수 1

12장 알고리즘을 통한 문제해결

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• 알고리즘의 특성 • 입력(input) 문제를 풀기 위한 입력이 있어야 함(내부 입력이라도 있어야 함) • 출력(output) : 문제를 해결한 결과가 생성되어야 함 • 유한성(finiteness) : 유한 번의 명령이 실행되고 난 후에는 실행이 종료되어야 함 • 정확성(correctness) : 주어진 문제를 올바르게 해결해야 함 • 확정성(definiteness) : 일정한 단계가 실행되고 난 후에는 결과가 확정되어야 함 • 일반성(generality) : 같은 유형의 문제에 모두 적용할 수 있어야 함 • 효율성(effectiveness) : 문제 해결을 위한 여러 방법론 중 가장 효율적인 방법이어야 함

• 알고리즘 표현 방법 • 순서도(flow chart), 유사 코드(pseudo code), 프로그래밍 언어(programming language) 등

1. 알고리즘이란 무엇인가?

알고리즘

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• 알고리즘의 효율성을 결정하는 두 가지 중요 요인 • 실행 속도 • 메모리 요구량

2. 알고리즘의 효율성

알고리즘의 효율성

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• 알고리즘의 효율성 분석 • 효율성 분석의 핵심

• 알고리즘이 수행되는데 필요한 비용의 최소화 • 비용이란 금전적 비용을 의미하는 것이 아니라 주로 알고리즘이 수행되는데 소요되는 시간과 메모리 요구량을 의미함

• 시간 복잡성(time complexity) : 알고리즘이 실행되는데 소요되는 시간이 얼마나 짧은가?

• 프로그램이 실행되는 하드웨어의 성능에 따라 다르기 때문에 합리적인 판단 도구가 있어야 함 • 일반적으로 알고리즘이 처리하는 데이터의 수를 n으로 놓고 n에 대한 함수를 분석함으로써 효율성을 분석함

• 공간 복잡성(space complexity) : 알고리즘이 실행되는데 소요되는 메모리 용량이 얼마나 적은가?

• 메모리 용량의 크기가 계속해서 커지고 있기 때문에 최근에는 큰 의미를 두지 않는 경향도 있음

3. 알고리즘 분석

효율성 분석

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• 알고리즘의 효율성 분석 예 • 다음과 같이 n개의 양의 정수 중에서 가장 작은 수를 찾는 알고리즘에서 기억장소의 크기와 수행 회수를 분석해보자.

3. 알고리즘 분석

Find_MIN(int array[], int MIN) { int i; MIN=array[0]; for(i=1; i<n; i++) if(MIN>array[i]) MIN=array[i]; return(MIN); }

100 300 200 500 400

[0] [1] [2] [3] [4]

array

1. 기억장소의 크기 • 짧은 정수(short integer) 1개를 저장하는

데 2바이트가 필요하다고 가정하면 변수 MIN을 위해 2바이트, 배열 array를 위해 2바이트ⅹ5=10바이트, 반복문 제어 변수 i를 위해 2바이트 등 총 14바이트가 필요함. 일반화하면 2(n+2) 바이트가 필요함

2. 수행 시간 • MIN=array[0]은 1회 수행됨 • return(MIN)은 1회 수행됨 • If(MIN>array[i]는 4회 수행되는데 지금은

데이터가 5개 있었기 때문에 4회이고, 데이터가 10개 있었다면 9회, 20개 있었다면 19회 수행되므로 일반화하면 n-1회 수행됨

<n이 5인 경우, 즉 데이터가 5개인 경우>

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3. 알고리즘 분석

• 알고리즘의 효율성 분석 결과에 대한 해석 • 동일한 결과가 얻어지는 2개 이상의 알고리즘이 존재한다면 수행 회수가 적은 알고리즘이 효율적인 것으로 평가함 • 동일한 알고리즘이라 하더라도 처리되는 데이터의 개수에 따라 수행회수가 다를 수 있으므로 데이터의 수에 따라 효율적인 알고리즘을 달리 선택하는 것도 좋은 전략임

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• 알고리즘의 복잡성 분석 도구 • 1892년 독일의 수학자 바흐만이 처음 소개하고, 그 후 린다우가 처음으로 사용하기 시작한 도구로 빅 오우(Big O) 표기법을 사용하고, 알파벳 대문자 O를 이텔릭체로 표현한 O 뒤에 수행 회수를 넣어 표기함

• 예 : O(n), O(n2) • 빅 오우 표기법은 차수가 다른 항이 여러 개 일 때 차수가 가장 높은 항만 살리고 나머지 항은 모두 삭제하며, 계수가 있는 경우에는 계수도 삭제함

• 만일 어떤 알고리즘이 처리해야 하는 데이터의 개수가 n개이고, 특정 명령 수행 회수가 3n3+2n2+1이라면 3차항 이하의 2n2+1은 모두 삭제하고, 최고차 항인 3차항의 계수 3도 삭제한 후 n3만 살려서 O(n3)이라고 함 • 알고리즘의 복잡도로 O(n!), O(2n)과 같은 결과가 나온다면 처리 불능할 정도로 시간이 많이 걸림

4. 알고리즘의 복잡성

알고리즘의 복잡성

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• 데이터의 수에 따른 함수의 증가값(그림 1) • 데이터의 수 증가에 따른 각 함수의 증가 비율(그림 2)

4. 알고리즘의 복잡성

<그림 1> <그림 2>

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5. 재귀 함수의 복잡성

재귀 함수의 복잡성

int sum(int n) { if(n!=0) return(1+sum(n-1)); else return(0); }

1. 재귀 함수 sum은 n이 0인지 아닌지를 if문으로 체크하여 만일 0이 아니면 n의 값을 n-1로 하여 다시 자신을 호출함. 만일 n이 0이면 0을 반환함 2. f(0)은 단 1개의 문장을 수행하므로 f(0)=1이 되고, 이를 일반화하면 f(0)=1, f(n)=1+f(n-1), 단 n≥1임

• f(0)=1, f(1)=f(0)+1=1+1, f(2)=f(1)+1=1+1+1, f(n)=f(n-1)+1=n+1

∴ O(n)

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• 탐색(search) • 주어진 데이터 집합에서 원하는 데이터의 존재 유무를 확인하는 과정

• 알고리즘 분석 • 순차 탐색 알고리즘 : O(n) 알고리즘 • 데이터가 정렬되어 있지 않은 상태에서 탐색 가능

6. 탐색 알고리즘

탐색

int seq_search(int array[], int search_num, int n) { int i; array[n]=search_num; for(i=0; array[i]!=search_num; i++); return((i<n)?i:-1); }

i<n이면 i를 리턴하고, i=n이면 -1을 리턴함

100 300 200 500 400 찾으려는 값을 저장

[0] [1] [2] [3] [4]

array

<n이 5인 경우, 즉 데이터가 5개인 경우>

[5]

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• 이진 탐색 알고리즘 : O(log2n) 알고리즘 • 정렬되어 있는 배열의 중간에 위치한 데이터를 첫 번째 비교 대상으로 삼고, 찾고자 하는 데이터의 값이 그보다 작으면 반대편 절반을 포기하고 남은 절반을 이용하여 계속 동일한 작업을 반복함 • 전체집합을 반으로 줄여서 결과를 얻어 내는 분할과 정복 기법(divide & conquer)을 사용함

6. 탐색 알고리즘

int binary_search(int array[], int search_num, int left, int right) { int middle; while(left≤right) { middle=(left+right)/2; if(array[middle]<search_num) left=middle+1; elseif(array[middle]>search_num) right=middle-1; else return(middle); } return(-1); }

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6. 탐색 알고리즘

1 2 8 9 11 19 29

• 11을 검색하는 경우

1 2 8 9 11 19 29 ① 11>9

1 2 8 9 11 19 29 ② 11<19

1 2 8 9 11 19 29 ③ 11=11

리스트의 중간에 있는 기준 값(9)보다 11이 크므로 리스트의 왼쪽 반을 버리고 오른쪽 반으로 계속 검색 오른쪽 리스트의 중간에 있는 기준 값(19)보다 11이 작으므로 리스트의 오른쪽 반을 버리고 왼쪽 반으로 계속 검색

왼쪽 리스트의 중간에 있는 기준 값(11)과 11이 같으므로 검색 종료

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6]

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• 이진 탐색 트리(Binary Search Tree : BST) • 다음과 같은 조건을 만족하는 이진 트리

• 모든 원소의 키(key)는 유일하다. • 왼쪽 서브 트리의 키들은 루트의 키보다 작다. • 오른쪽 서브 트리의 키들은 루트의 키보다 크다. • 왼쪽과 오른쪽 서브 트리도 이진 탐색 트리이다.

A

< <

left subtree

(루트보다 작은 값)

right subtree

(루트보다 큰 값)

18

7

3

26

12

27

31

6. 탐색 알고리즘

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• 이진 탐색 트리에서의 탐색 • 루트와 제일 먼저 비교

• 탐색값과 루트가 일치하면 탐색 종료 • 탐색값이 루트보다 작으면 왼쪽 서브 트리로 이동하여 왼쪽 서브 트리의 루트와 다시 비교 • 탐색값이 루트보다 크면 오른쪽 서브 트리로 이동하여 오른쪽 서브 트리의 루트와 다시 비교

searchBST(bsT,x) p←bsT; if(p=null) then return null; if(x=p.key) then return p; if(x<p.key) then return searchBST(p.left,x); else return searchBST(p.right,x); end searchBST()

순환함수에 의한 이진 탐색 트리의 탐색

6. 탐색 알고리즘

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• 정렬(sort) • 데이터들을 일련의 순서로 늘어놓는 것 • 내부 정렬(internal sort) : 정렬할 데이터가 주기억장치에 있는 경우 • 외부 정렬(external sort) : 정렬할 데이터가 주기억장치와 보조기억장치에 분산 저장된 경우

• 알고리즘 분석 • 버블 정렬(bubble sort) 알고리즘 : O(n2) 알고리즘

7. 정렬 알고리즘

정렬

void bubble_sort(int array[], int n) { int i, j, temp; for(i=0; i<n-1; i++) for(j=0; j<n-1;j++) if(array[j]>array[j+1]) { temp=array[j]; array[j]=array[j+1]; array[j+1]=temp; } }

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• 버블 정렬(bubble sort)이란? • 인접한 2개의 데이터를 비교하여 자리를 교환하는 방식으로 첫 번째 데이터부터 마지막 데이터까지 반복하면 가장 큰 데이터가 마지막 자리에 오게 됨

버블 정렬의 이해

69 10 30 2 16 8 31 22 10 30 2 16 8 31 22 69

10 2 16 8 30 22 31 69 2 10 8 16 22 30 31 69

Original List [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7]

7. 정렬 알고리즘

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2 8 10 16 22 30 31 69 2 8 10 16 22 30 31 69

2 8 10 16 22 30 31 69 2 8 10 16 22 30 31 69

2 8 10 16 22 30 31 69

Final List [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7]

2 8 10 16 22 30 31 69

7. 정렬 알고리즘