이학석사학 청구논문

MCG (Magnetocumulative Generator) 의

기자속 극 화 인덕턴스 변화 모델링

The enhance of initial magnetic flux and the

modelling of the inductance change for

magneto-cumulatrive generator

2008年 2月

인하 학교 학원

물리학과(이론 물성물리 공)

성 인 모

이학석사학 청구논문

MCG (Magnetocumulative Generator)의

기자속 극 화 인덕턴스 변화 모델링

The enhance of initial magnetic flux and the

modelling of the inductance change for

magneto-cumulatrive generator

2008年 2月

지도교수 유천열

이 논문을 석사학 논문으로 제출함

인하 학교 학원

물리학과(이론 물성물리 공)

성 인 모

이 논문을 성인모의 석사학 논문으로 인정함.

2008年 2月

주심

부심

원

요 약

MCG (Magnetocumulative Generator) 원리는 에너지 변화

과정 문에 적화는 에너지 증 를 가져 수

다. 그리고 스가 시스 에너지 연 어져 문에 시간

에 른 스 변화 연 가 필수적 다. 러한 들 문에 첫째

증가시키 해 에 연철 착하 다. 를 통해

칭 뜨 코 안쪽에 는 증가 었고

시뮬 결과 연철 착하지 않 에 비해 11% 에

너지 도가 증가하 다. 째 존 노 드에 한 스

pitch 또는 코 경 정한 상수 근사하 지만 는 실제

MCG에 코 복 한 형태를 갖고 문에 적절하 않다. 즉,

코 pitch가 아래에 는 효과적 사 하 하여 조

하고 어질수 증가하게 고, 코 께 또한 MCG

끝단 갈수 껍게 계하게 다. 라 러한 변수를 적절하게

고 하여 노 드 스를 개산할 수 는 새 운 시뮬

개 하 측정값과 치함 확 할 수 었다. 째

많 논문들에 어진 지수함수 적 감 한다는 존 단순한

스 전시키 하여 압 효과를 고 하 다. 존

지수함수 감 압 효과를 정확하게 고 하지 않았지만

MCG 시스 스는 에너지 문에 압 에

한 고 는 필수적 다. 효과를 고 하 해 한 하여

폭 과정동안 시간에 른 MCG에 스 변화를 시물 한 결

과 존 지수함수 감 적당함 확 할 수 었다.

Abstract

The principle of MCG(Magnetocumulative Generator) is the series of

the process of the conversion of the energy, therefore the modify of

initial magnetic flux density could derive the enhance of the output

energy and the study of the time dependent inductance is necessary

because the inductance is related to the energy. From the reasons,

first, in order to increase the initial magnetic flux density, I attached

soft ferromagnetic yoke to the permanent magnets. Due to the

asymmetric shape design of the yoke, the symmetry of magnetic flux

density is broken so that the flux density within the coil is increased.

As a result of the simulating using the finite element method, I found

11% of enhancement of the magnetic energy density with yokes

compared to the case of without yokes. Second, I suggest the new

inductance model of the solenoid in the MCG. Because many

inductance model in the articles have approximation regarding the

pitch and the radius of coil itself as constant; however, it is not easy

problem for the practically cases where the geometries of coil are

complex. The developed model that I suggest can calculate the

inductances of complicated coil geometries. Third, for the purpose of

improving the simple inductance model which the inductance decreases

exponentially as mentioned in many articles, I consider magnetic field

compression. In this simple model, however, the magnetic field

compression is not correctly treated. Since the inductance is related

with the magnetic energy, which is determined from the magnetic flux

density, the consideration of the magnetic field compression is

essential. In order to include the compression effect, I performed the

finite element method calculation for the time dependent inductance of

MCG and then I found that the simple exponential model is not proper

to describe the time dependent inductance during the explosion.

목 차

I. 서론 ·············································································································1

II. 본론 ············································································································2

1. MCG 내부 자기장에 한 해석 ·························································2

1.1 자기장 압축에 향을 미치는 요소 ············································2

가. 자기장 확산 ····················································································2

나. 라이 압축률 ················································································3

다. 도율 변화 ····················································································5

1.2 FEMLAB을 이용한 자속 도 분포 해석···································5

가. 일반 인 구자석에 의한 자속 도 분포 ······························6

나. 동일 모양의 연철을 단 구자석에 의한 자속 도 분포 ·· 11

다. 곡면 모양의 연철을 단 구자석에 의한 자속 도 분포 ·· 13

1.3 시뮬 이션 결과 ············································································14

2. MCG에서 솔 노이드의 인덕턴스 계산을 한 시뮬 이터 계발 15

2.1 기존이론··························································································15

2.2 벡터 포텐셜 이론··········································································16

2.3 자기장에 장된 에 지를 이용한 인덕턴스 계산 ················ 17

2.4 다양한 솔 노이드 구조에 한 시뮬 이터 용 ················ 19

가. 코일의 반지름에 따른 인덕턴스 변화····································19

나. 솔 노이드의 반지름에 따른 인덕턴스 변화························20

다. 코일 간격에 따른 인덕턴스 변화············································21

라. 감은수의 변화에 따른 인덕턴스 변화····································21

2.5 실제 MCG 구조에서의 시뮬 이터 용 ·································23

가. 실제 MCG에 용되는 솔 노이드 구조의 특징 ·················23

나. 앙 코일의 간격변화에 따른 인덕턴스 변화······················24

다. 양끝단의 코일의 간격변화에 따른 인덕턴스 변화··············25

2.6 시뮬 이션 결과 측정값과의 비교 ····································25

3. FEMLAB을 이용한 MCG 폭발과정 동안의 시간에 따른 인덕턴스

변화계산 ·······································································································26

3.1 기존이론··························································································26

3.2 유한 요소법을 이용한 모델링····················································27

가. MCG의 기본 인 동작원리·······················································27

나. MCG의 기하학 모델링 ···························································28

다. 물리 인 모델링··········································································30

라. 자기에 지와 류 도 분포 ····················································33

3.3 시뮬 이션 결과 결론 ··························································35

III. 결론 ········································································································38

IV. 참고문헌 ································································································39

그 림 표 목 차

<표 차례>

표 1-1 일반 인 구자석 모델의 하 역 ···················································8

표 1-2 구자석과 동일한 모양의 연철을 단 모델의 하 역 ·················8

표 1-3 자속 도와 자기에 지 도·······························································11

표 1-4 구자석의 기하구조에 따른 자속 도와 자기에 지 비교········· 14

표 2-1 실험값과 노이만 공식(2-1), 시뮬 이터 값(2-8)과의 비교··········26

표 3-1 솔 노이드와 라이 사양 ···································································30

표 3-2 하 역별 기 자기 특성·······················································33

<그림 차례>

그림 1-1 무한 conductor로 확산되는 magnetic flux ································2

그림 1-2 일반 인 구자석 기하 구조 ···························································6

그림 1-3 곡면의 연철을 단 구자석 기하구조 ·············································7

그림 1-4 일반 구자석의 유한요소 분해7 ···················································9

그림 1-5 곡면의 연철을 단 구자석의 유한요소 분해 ·······························9

그림 1-6 일반 구자석 자속 도···································································10

그림 1-7 연철을 단 구자석 자속 도·························································10

그림 1-8 링형 구자석의 기하구조 ·······························································12

그림 1-9 계산결과·······························································································12

그림 1-10 링형 구자석의 기하구조 ·····························································13

그림 1-11 계산 결과···························································································14

그림 2-1 원형 류고리·······················································································17

그림 2-2 원형 류고리의더미·············································································18

그림 2-3 솔 노이드단면······················································································19

그림 2-4 코일 반경에 따른 인덕턴스······························································20

그림 2-5 솔 노이드 반경에 따른 인덕턴스·················································20

그림 2-6코일 간격에 따른 인덕턴스··································································21

그림2-7 감은수에 따른 인덕튼스········································································22

그림 2-8 은수에 따른 인덕턴스미분···································································23

그림 2-9 서로 다른 코일 간격을 갖은 솔 노이드·········································24

그림 2-10 심 코일 간격에 따른 인덕턴스····················································24

그림 2-11 끝단의 코일 간격에 따른 인덕턴스·················································25

그림 3-1 MCG의 기본 구조 ··············································································28

그림 3-2 기하구조 ·······························································································29

그림 3-3 진동수에 한 자기장 분포 ·····························································32

그림 3-4 계산 역의 유한 요소 분해 ·····························································34

그림 3-5 자기에 지와 자속 도 분포 ···························································35

그림 3-6 시간에 따른 인덕턴스 변화 ·····························································37

그림 3-7 시간에 따른 인덕턴스 미분 ·····························································37

- 1 -

I.서론

직 발진 EMP는 EMGF(Explosive Magnetic Generator of Frequency),

는 MCG(Magnetocumulative Generator)라고도 불리며, SMCG(Spiral

MCG)에 캐패시턴스 부하로 구성되어 있다. MCG의 경우 자기장을 효과

으로 압축하기 해서 여러 물리 인 변수와 상들을 고려하여야 한

다. 따라서 여러 변수들을 이상 인 경우로 가정하여 물리 인 상들을

찾아보고 그러한 상들을 실제 모델에 용하여 MCG 내부의 최종 자기

에 지가 최 가 되도록 최 화 시키고자 한다. MCG의 에 지 이득이

고정되어 있고 구 자석을 기 에 지원으로 사용하는 경우, 기 에

지는 자속의 제곱에 비례하므로 기에 높은 자속 도를 가질 경우 높은

출력 에 지를 얻을 수 있을 것으로 기 되므로 기자속을 높이는 방안

에 한 연구를 수행하 다. 한편, MCG는 솔 노이드와 라이 로 구성되

어 있으며, 라이 내부 폭약의 폭발로 인해 라이 가 팽창하면서, 솔 노

이드와 하게 되는데 솔 노이드와 라이 사이의 기 자속이 보존되

므로 라이 와 솔 노이드 사이의 어든 횡단면 만큼 자기장은 압축된

다. 이와 같은 과정은 등가회로상에서 시변L과 시변R 성분으로 표 된다.

이 시변 L과 시변R 성분이 고주 발진원인의 요한 요인이므로 정확

한 모델링을 해 시변 L성분을 유한요소법으로 분석하 다.

- 2 -

II.본론

1.MCG내부자기장에 한해석

1.1자기장압축에 향을미치는요소

이상 인 자기장 압축에 있어서는 단지 에 지 상태만이 제한 조건이

된다. 에 지 상태의 의미를 잘 분석하기 해서는 driven conductor에서

일어나는 폭발을 임펄스로써 해석해야만 한다. 폭발이 일어나면 도체는

기 운동에 지를 갖게 되지만 그것이 계속 지속되는 것은 아니다. 자기

장 압축에 있어서는 기 운동에 지가 모두 자기에 지로 바뀔 때까지

그 과정이 진행된다. 실제 시스템에서는 자기장 확산, 압축률, 도율 손

실에 의해서 큰 향을 받는다.

가. 자기장 확산

단면 이 인 실린더 모양의 용기에 인 자기장이 있을 때의 확산을

생각하면 용기 안의 flux는 이고 도체 안쪽으로 확산되는 선속

은 으로 다음 그림과 같다. ( : skin-layer depth)

그림 1-1 무한 conductor 확산 는 magnetic flux

- 3 -

도체의 크기가 무한하다면 용기안의 체선속은 페러데이 법칙에 의해서

다음과 같이 보존된다.

(1-1)

도체 크기가 무한하지 않다 하더라도 그 두께가 skin depth 보다 월등히

크다면 이 논리를 용하는데 큰 문제는 없다. 식들에 의해 자속보존

(flux conservation) 방정식은 다음과 같이 된다.

(1-2)

용기 안의 자기장은 가 어드는 비율이 가 늘어나는 비

율보다 커질 때 증가하게 된다. 그 기 때문에 압축속도 를 알 필요가

있다.

를 도체의 반경과 같다고 가정하고 다음을 정의한다.

(diffusion 되는 시간) (1-3)

(turnaround time) (1-4)

(Reynold's number) (1-5)

자기장이 축 되기 해서는 확산 되는 속도보다 운동에 지가 자기 에

지로 변환되는 속도가 훨씬 더 빨라야 한다. 결과 으로 다음 조건을 만

족해야 한다.

,

(1-6)

나. 라이 압축률

MCG에서 얻을 수 있는 자기장의 세기는 도체의 압축성

(compressibility)에 의해서 제한받는다. 이상 인 도체의 경우에도 운동에

지가 도체 내부에 지를 증가시키는데 쓰인다. 도체의 압축성에 의한

- 4 -

향을 분석하기 해서는 wave propagation개념이 사용되는데 가 도

체 안쪽으로 진행함에 따라 압축 는 격하게 증가하여 충격 가 된다.

turnaround point에서 압력 P는 같은 양의 magnetic pressure로 환된

다.

, (1-7)

두 양이 같으므로 자기장의 크기는 다음과 같이 최 값이 정해진다.

(1-8)

하지만 자기장의 크기가 달라지면 다른 요소에 의해서 그 크기가 달라진

다.

maxH 가 10 MOe가 되면 운동에 지는 도체의 탄성에 지를 증가시키는

데 쓰이게 된다. 그 결과 다음과 같이 변환된다.

,

(1-9)

maxH 가 10∼100 MOe정도 되면 운동에 지는 도체의 열에 지를 증가시

키는데 쓰이게 된다. 그 결과 계식은 다음과 같이 변환된다.

(1-10)

내부 자기장과 운동에 지가 다음과 같은 조건을 만족하면 magnetic

compression은 일어날 것이다.

(1-11)

- 5 -

다. 도율 변화

MCG에 흐르는 류 도는 다음과 같이 암페어 법칙에 의해 알 수 있

다.

≈

, (1-12)

만약 10 ㎲동안의 유도 자기장 이 100 T 이라면 × 이

된다.

이 게 큰 류가 흐르게 되면 도체에 큰 열이 발생하게 된다. 그 결과

라이 의 표면에 유체역학 인 폭발이 일어나게 되는데 그 과정에서 압축

뒤쪽으로 희박한 가 발생하게 된다. 희박한 는 물체를

conducting medium에서 non-conducting medium으로 바꿔 진행 과정을

방해하게 된다. 하지만 희박한 는 항상 압축 뒤쪽에서 발생하기 때문

에 압축속도만 충분히 크다면 큰 문제를 발생시키지는 않는다.

1.2 FEMLAB을 이용한 자속 도 분포 해석

MCG(Magnetocumulative Generator)는 커패시턴스를 seed source로 하

는 경우 커패시턴스의 방 에 의해 솔 노이드에 흐르는 류가 기 자

속을 형성시킨다. 이때 라이 내부 폭약의 폭발에 의한 화학 에 지가

라이 팽창에 의한 운동에 지로 환되며 그 결과 솔 노이드 내부의

기 자속이 압축되어 자기에 지로 장된다. 한편 솔 노이드 내부의

시간에 따른 자속의 변화가 결국 기장을 발생시켜 결과 으로 폭발에

의한 화학에 지는 라이 팽창에 의해 자기 에 지로 축 되게 된다

[1][2]. 본 연구에서는 커패시턴스 신에 구자석을 seed source로 하기

때문에 구자석에 의한 기 자속이 크다면 에 지 환과정에 있어서

출력에 지는 보다 커질 것이다. 따라서 유한 요소법을 이용하여 구자

- 6 -

석의 변형을 통해 기 자속 도를 계산하고 증가시켜 MCG의 출력에

지를 높이고자 한다.

가. 연철을 부착한 구자석의 자속 도 분포

1) 기하구조

MCG의 기본 인 구성 요소 에서 우리는 기 자속 도에만 심을

두기 때문에 그림 1-2와 같이 솔 노이드와 구자석만을 기본 요소로

하 고, FEMLAB을 이용해서[3] 그림1-2와 같이 3차원 상에서 솔 노이

드외경을 8각기둥으로 근사 시키고 그 에 직사각형 형태의 (10 x 15 x

30 ) NdFeB 계열 구자석(2) 8개를 모델링하여 구자석만 있는 경

우와 그림1-3과 같이 요크(4)를 자석의 양단에 부착한 경우를 고려하여

기 선속의 변화를 요크의 구조의 함수로 연구하여 자속 도를 비교하

다.

그림 1-2 일반 인 구자석 기하 구조

- 7 -

그림 1-3 곡면의 연철을 단 구자석 기하구조

2) 물리 인 모델링

기하구조 각각의 역에서 고려한 변수는 아래 표1-1과 1-2와 같다.

구자석 역은 +z축 방향으로 를 × (Web/)로 주고, 솔 노

이드 내부와 외부 역은 진공으로 잡았다. 기하구조에서 원기둥 모양의

가장 바깥 역은 magnetic insulation으로 하 는데, 물리 으로 퍼텐셜

이 0인공간 즉, 기 이 되는 곳은 무한 로 하는 것이 타당하지만 모델링

하는데 있어서 계산의 편의상 임의로 유한한 크기를 가지며 구자석 자

속분포의 칭성을 고려하여 원기둥 모양으로 잡았다. 곡면의 연철을 단

구자석의 경우는 단지 연철부분만이 추가 되었다, 물질내부의 자기장은

기자기장과 자기편극률에 의존하는데, relative permeability =1+

이다. 진공에는 자화시킬 물질이 없으므로 =0이다. 따라서 =1이며 연

철의 경우 자기편극률을 고려한 relative permeability =5000 을 주었다.

구자석에 곡면의 연철을 단 이유는 구자석 자속은 z축을 심으로

칭성을 갖는데 그 칭성을 연철을 통해 깨뜨려서 자속이 더 효과 으로

솔 노이드 내부로 모이게 하여 기 자속을 높이기 함이다.

- 8 -

하 역 구조방정식 (Web/)

1(MCG내부) 1

2( 구자석) ×

3(계산 역) 1

1-1 적 하 역

하 역 구조방정식

(Web/)

1(MCG내부) 1

2( 구자석) ×

3(계산 역)

4(연철) 5000

1-2 과 동 한 양 연철 단 하 역

- 9 -

3) 자속 도 분포

그림 1-4와 1-5는 수치 해석 방법으로 해를 구하기 하여 그림 1-2

와 1-3 기하구조를 작은 요소의 집합체로 분할한 그림이다. 그림 1-6과

1-7은 본 연구를 통해 얻은 MCG내부의 자속 도 분포 값을 나타낸 것이

다.

그림 1-4 일반 구자석의 유한요소 분해

그림 1-5 곡면의 연철을 단 구자석의 유한요소 분해

- 10 -

그림 1-6 일반 구자석 자속 도

그림 1-7 연철을 단 구자석 자속 도

- 11 -

4) 결과 결론

모델링결과 자기장 압축에 직 인 향을 미치는 라이 와 솔 노이드

사이의 기 자속 도 분포를 일반 인 구자석과 곡면의 연철을 둔

구자석 각각 체 분한 결과는 표 1-3과 같다.

종류 구자석곡면의 연철

을 둔 경우

자속 도

(Web)× ×

자기에 지

도(J/) 0.647 0.716

표 1-3 자속 도와 자기에 지 도

유한요소법을 이용한 계산결과 표 1-3과 같이 일반 인 구자석보다 곡

면 모양의 연철을 단 경우가 자속 도 측면에서는 약 17%가 증가 하

고, 자기에 지 도 측면에서는 약 11% 정도가 증가하 다. 따라서

MCG의 경우 얻을 수 있는 최종 출력에 지는 이득이 고정된 경우 기

에 지에 비례하므로 구자석의 자속을 최 화 하여 MCG의 출력에 지

를 증가시킬 수 있을 것으로 기 된다.

나. 하나의 고리형 구자석에 의한 자속 도 분포

1) 기하구조

더 큰 자속 도와 기 에 지를 얻기 해서 이번에는 원통형 칭성을

가지는 링형 구자석에 해서 계산을 수행하 다. 아래 그림 26-8과 같

이 솔 노이드의 외경과 같은 내경을 가지는 링 형태의 구자석을 가정

하여 자기에 지를 계산하 다.

- 12 -

그림 1-8 링형 구자석의 기하구조

2) 계산 결과

아래 그림 1-9는 링형자석에 한 자기장의 분포를 보여주는 그림인데,

앞서의 직사각형 모양의 구자석과는 달리 자기장의 분포 원통 칭성

을 가지고 있으므로 단면의 방향에서 보여 지는 그림을 도식하 다. 이때

링 형 구자석의 한 쪽 극에서 발생한 자기장은 링의 외부와 내부를 통

과하여 반 쪽 극으로 들어가는 모형을 나타내므로 솔 노이드 내부로 높

은 자속을 얻을 수 있다.

그림 1-9 계산결과

- 13 -

다. 두 개의 고리형 구자석에 의한 자속 도 분포

1) 기하구조

아래 그림 1-10과 같이 두 개의 링 형 구 자석을 나란히 배열한 경우

에 해서도 계산을 수행하 다. 두 개의 링 형 자석이 있는 경우는 두

자석의 거리에 의해서 약간씩 자속 도의 변화를 측할 수 있었지만 그

향이 그리 크지는 않으므로 여기서는 한 가지 경우에 해서만 기술 하

도록 하겠다.

그림 1-10 링형 구자석의 기하구조

2) 계산 결과

두 개의 링 형 자석이 있는 경우도 앞에서와 마찬가지로 원통형 칭성

을 가지고 있기 때문에 앞의 그림 1-9 와 1-11의 그림은 매우 유사해 보

인다. 그 지만 두 개의 링 형 자석의 경우는 단일 링형의 경우에 비해서

좀 더 넓은 범 에서 원통의 축 방향으로 나란한 자기장의 성분을 많이

가지고 있음을 확인 할 수 있었고, 이 경우 실제 코일이 감긴 부분에 균

일하면서도 강한 기 자기장을 형성할 수 있을 것으로 기 된다.

- 14 -

구자석

자석과

동일한

연철부착

곡면형

연철부착

링 1

구자석

링 2

구자석

자속 도

× × × × ×

자기에

지

도

표 1-4 구자석의 기하구조에 따른 자속 도와 자기에 지 비교

그림 1-11 계산 결과

1.3 결과

모델링결과 자기장 압축에 직 인 향을 미치는 라이 와 솔 노이드

사이의 기 자속 도 분포를 일반 인 구자석과 자석과 곡면의 연철을

부착한 구자석, 링 1 타입의 구자석, 링 2 타입의 구자석에 해서

각각 체 분한 결과는 표 1-4와 같다.

유한요소법을 이용한 계산결과 표 1-4와 같이 일반 인 구자석보다

연철을 부착하거나 링형 구자석을 사용하는 경우 자속 도와 자기에

지 도 면에서는 큰 증가를 확인하 다. 이는 직사각형 자석의 체 부

- 15 -

피가 링 형 자석의 체 부피에 비해서 작다는 에서도 쉽게 이해 할 수

있다. 링 형 자석의 경우 원통 칭성에 의해서 자연스럽게 솔 노이

드 외부와 내부의 칭성이 깨어지고, 솔 노이드 내부 쪽으로 더 높은

자속 도를 얻을 수 있게 된다. 한 두 개의 링 형 자석을 배치하거나

혹은 원통 길이 방향으로 충분히 긴 링 형 자석을 사용할 경우 원통의 축

방향에 평행한 큰 자기장 성분을 용이하게 얻을 수 있으므로 기 자속

에 지를 증 시키는데 매우 유리하다. 따라서 MCG의 경우 얻을 수 있

는 최종 출력에 지는 이득이 고정된 경우 기 에 지에 비례하므로

구자석의 자속을 최 화 하여 MCG의 출력에 지를 증가시킬 수 있을 것

으로 기 된다.

2. MCG에서 솔 노이드의 인덕턴스 계산을 한 시뮬 이터 개발

2.1 기존이론

솔 노이드는 공학과 자연과학의 다양한 분야에서 사용되는 부품으로 그

응용범 가 매우 넓다. 구 자석을 이용한 자장 압축 발 기(Magneto

Cumulative Generator)에서 코일에 유도된 류는 기 자속과 솔 노이

드의 인덕턴스에 의해 결정되므로, 인덕턴스의 계산은 MCG에서 필수

인 부분이다[4]. 솔 노이드의 인덕턴스를 계산하는 것은 공학 으로 매우

요하고 계산 방법이 잘 알려진 자기학 문제이지만, 실제 MCG에서

인덕턴스는 코일의 크기, 모양, 그리고 상 치에 따라 정해지는 기하

학 인 양이기 때문에 노인만 공식(Neumann formula)를 사용해 계산하

기는 쉽지 않다[4]. 따라서 솔 노이드의 여러 가지 기하구조에 한 인덕

턴스를 정확하게 계산하기 한 많은 연구가 있었다[5][6]. 하지만 지 까

지의 계산은 주로 근사 인 방법으로 단순한 모델을 이용해 이루어져 왔

다. 즉, 코일의 반지름을 무시하거나, 코일의 상 인 치나 간격 등의

- 16 -

기하학 구조를 단순화해 계산을 수행했다. 하지만 이러한 기하학 변

수는 계산에 있어서 요한 요소임에 틀림없다. 일반 으로 솔 노이드의

인덕턴스는 다음과 같이 구할 수 있다.[7]

(2-1)

여기서 과 A는 각각 솔 노이드의 길이와 단면 이고 은 솔 노이드의

단 길이 당 코일의 턴수 이다. 의 식 (2-1)은 솔 노이드가 충분

히 길고 코일과 코일의 간격이 조 하게 감겨 있어 솔 노이드 외부로 자

기장의 설이 없고 솔 노이드 내부의 자기장이 균일 할 때만 성립한다.

하지만 실제 MCG에서 사용되는 솔 노이드의 모델과는 맞지 않는다. 따

라서 실제 MCG 상황에 맞는 다양한 형태의 솔 노이드에 용하기 해

서는 벡터 퍼텐셜(Vector potentail)을 사용해서 인덕턴스를 구해야 한다.

2.2 벡터 퍼텐셜 이론

원형의 단일 코일에 흐르는 류에 의한 자기장은 임의의 치에서의 벡

터 퍼텐셜(Vector potential)의 컬(Curl)로 나타낼 수 있다[8]. 그리고 벡터

퍼텐셜 를 아래의 그림 2-1과 같은 원통 칭성(Cylindrical

symmectry)이 있는 원형 류 고리(circular current roop)에 용하면 다

음 식 (2-3)과 같다[8].

∇× (2-2)

(2-3)

- 17 -

그림 2-1 Circular current loop

×

(2-4)

여기서 는 류가 흐르는 코일의 치, 는 찰 의 구

면 좌표이고, 는 코일에 흐르는 류, 는 진공의 자기 투자율

(permeability), 과 은 각각 제 1종 제 2종 완 타원 분

이다. 그리고

로 주어진다.

2.3 자기장에 장된 에 지로부터 인덕턴스의 계산

그림 2-1과 같이 원형 도선에 흐르는 류는 자기장을 형성하고, 이 자

기장에 장된 에 지로부터 인덕턴스를 구할 수 있다. 즉, 인덕턴스는

류 도와 식 (2-4)에서 구한 벡터 퍼텐셜의 곱을 분하고 류로 나 어

주면 구할 수 있다. 이는 식 (2-5)과 같이 구할 수 있다.

- 18 -

⋅

(2-5)

그림 2-2와 같이 코일이 일정한 간격 로 쌓여있는 경우의 총 인덕턴스는

솔 노이드를 이루고 있는 각 각의 코일의 자체 인덕턴스와 상호 인덕턴

스의 합이므로 이를 식 (2-6)과 같이 나타낼 수 있다.

y

z

x

a

d

y

z

x

a

d

그림 2-2 Stacked current loops

(2-6)

여기서 은 코일의 감은 수이고, 자체 인덕턴스 은 식 (2-4)의 근사식

으로 다음과 같이 주어진다.

- 19 -

x

d

m , j= 0

m ,j= 12 a

2 b

x

dd

m , j= 0

m ,j= 12 a

2 b

그림2-3 Cross section of solenoid

(2-7)

, 상호 인덕턴스 은

×

(2-8)

으로 나타낼 수 있다.

2.4 솔 노이드의 구조에 따른 모델링

가. 코일의 반지름에 따른 인덕턴스의 변화

식 (2-8)을 이용하면 그림 2-3에서 주어진 구조의 솔 노이드의 인덕턴

스를 수치 으로 모델링할 수 있다. 그림 2-4는 솔 노이드의 반지름 각

각 85,65,55 mm로 하고 코일 두께 변화에 따른 인덕턴스 변화를 나타낸

그래 이다. 코일의 두께는 0.01 mm부터 1 mm까지0.001 mm간격으로 변

화를 주었다. 코일의 간격 는 1mm, 코일의 턴수 은 50으로 하 다. 그

림 2-4에서 코일 두께에 따른 인덕턴스의 변화는 솔 노이드의 반지름이

클수록 많은 향을 받고, 코일의 반지름이 0.2 mm 이상에서는 인덕턴스

- 20 -

에 향을 거의 주지 않는 것을 볼 수 있다.

그림 2-4 Inductance as a function of coil radiusfor constant number of turns and coil pitch.

그림 2-5 Inductance as a function of solenoidradius for constant number of turns, coil pitchand radius

나. 솔 노이드의 반지름에 따른 인덕턴스의 변화

그림 2-5는 코일의 두께를 0.01 mm, 코일 간격을 1 mm, 코일을 50회

감았을 때 솔 노이드 반지름 의 변화에 따른 인덕턴스를 보여 다. 그

- 21 -

림 2-5에서 솔 노이드의 반지름과 인덕턴스는 선형 인 계를 확인 할

수 있다. 이는 식 (2-7)에서 항은 천천히 변화하므로 상되는 결과이

다.

다. 코일 간격에 따른 인덕턴스의 변화

그림 2-6은 코일의 두께를 0.01 mm, 솔 노이드 반지름 85 mm, 코일을

50회 감고 코일의 간격을 0.5 mm씩 증가 시켰을 때 솔 노이드의 인덕턴

스 변화를 나타낸다. 코일의 간격을 크게 하면 인덕턴스가 작아지고 기

에 격한 변화를 보이다가 코일 간격이 커질수록 변화는 작아진다.

그림 2-6 Inductance as a function of coil pitchfor constant number of turns, solenoid and coilradius.

라. 턴수(Number of turns)의 변화에 따른 인덕턴스의 변화

그림 2-7은 와 조건을 같게 하고, 코일의 턴수를 을 증가시키면서

인덕턴스를 계산한 그래 이고, 그림 2-8은 인덕턴스의 코일 턴수 에

- 22 -

한 도함수(dashed line) 의 그래 이다. 인덕턴스가 에 비례한

다면 그림 2-8은 원 을 지나는 직선이 되어야 한다. 그러나 값이 작을

때 직선이 아니므로 이 작으면 인덕턴스는 에 비례하지 않는다. 이

작을 때 인덕턴스가 에 비례하지 않는 것은 식 (2-1)에서 가정한 솔

노이드 외부로 자기장이 설되기 때문이다.

그림2-7 Inductance as a function of number ofturns for constant coil pitch , solenoid and coilradius.

- 23 -

그림 2-8 Derivative of inductance L respect to N

2.5 실제 MCG 솔 노이드의 모델링

가. 실제 MCG에 사용되는 솔 노이드의 특징

지 까지의 계산에서는 코일 간격이 일정한 경우만 생각했다. 그러나 실

제 MCG에서는 다양한 기하구조의 솔 노이드가 연구된다. 를 들면, 솔

노이드 심의 균일한 자속을 최 한 활용하기 해서 솔 노이드 앙

의 코일을 조 하게 감으며 양 끝에서는 과 류에 의한 향을 최소화하

기 해서 느슨하게 감는다. 그림 2-9는 이러한 MCG의 특성을 나타낸

것으로 솔 노이드를 세 부분으로 나 고, 앙 부분의 코일 간격과 양쪽

끝의 코일 간격이 다른 경우이다.

- 24 -

Z

Central Term of coil

Z

Central Term of coil

그림 2-9 A diagram of solenoid ofinhomogeneous coil pitch.

나. 앙 코일의 간격 변화에 따른 인덕턴스의 변화

그림 2-10은 솔 노이드의 반지름과 코일의 두께를 고정하고 앙의 코

일 간격을 일정하게 늘려가며 에서 인덕턴스를 계산한 결

과이다. 코일의 두께 mm로 하고 양 끝은 일 때의 계산

결과이다.

그림 2-10 Inductance as a function of central coilpitch.

- 25 -

다. 양끝 코일의 간격 변화에 따른 인덕턴스의 변화

그림 2-11은 그림 2-10과 같이 솔 노이드의 반지름과 코일의 반지름을

고정하고 솔 노이드의 양쪽 끝의 코일의 간격을 일정하게 증가시키면서

일 때의 인덕턴스를 계산한 결과이다. 그림 2-10과 2-11의 일

반 인 경향은 그림 2-6과 같으나 그림 2-10에서 주의할 은 솔 노이

드 앙의 코일의 턴수가 클수록 기울기가 커지는 것이다. , 그림 2-11

에서는 코일이 게 감김 쪽의 코일 간격 변화는 인덕턴스에 큰 변화를

주지 않는 것을 볼 수 있다.

그림 2-11 Inductance as a function of side coil pitch.

2.6 시뮬 이션 결과 실험결과와의 비교

의 시뮬 이션 결과에서는 코일 두께에 따른 인덕턴스의 변화는 솔

노이드의 반지름이 클수록 많은 향을 받고, 코일의 반지름이 0.2 mm

이상에서는 인덕턴스에 행을 거의 주지 않는 것을 볼 수 있다. 그리고

코일의 간격에 따라 값이 크게 변하는 것을 알 수 있다. , 코일의 턴수

의 제곱에 비례하는 인덕턴스의 변화와, 솔 노이드 반지름에 따른 선형

인 변화를 확인 할 수 있다. 코일의 간격이 일정하지 않을 때는 코일이

- 26 -

많이 감긴 쪽의 간격 변화가 인덕턴스에 주로 향을 미치고, 게 잠긴

쪽의 간격 변화는 인덕턴스에 향을 거의 주지 않는 다는 것을 의 시

뮬 이션 결과에서 알 수 있다. 이 결과는 실제 MCG의 설계 시뮬

이션에서 응용할 수 있다. 직 제작한 솔 노이드와 L값과 비교를 해보

면 다음 표 2-1과 같다. 솔 노이드의 직경은 75mm로 동일하다.

솔 노이드 스펙단순식

(2-1)식 (2-8) 실험값

솔 노이드

A길이: 11cm, 피치:1mm 0.6107mH

0.4693m

H0.492mH

솔 노이드

B길이: 11cm, 피치:2mm 0.1527mH

0.1196m

H0.129mH

솔 노이드

C길이: 6.5cm, 피치:2mm 0.0902mH

0.0621m

H0.069mH

표 2-1 실험값과 노이만 공식(2-1), 시뮬 이터 값(2-8)과의 비교

3. 유한요소법을 이용한 MCG 폭발과정동안의 시간에 따른 인덕턴스 변화 계

산

3.1 기존이론

MCG (Magnetocumulative Generator)는 솔 노이드에 류를 흘려

기 자속을 형성시키는 seed source의 역할을 하는 축 기(capacitor)와 폭

약으로 채워진 라이 (liner)라 불리는 속이 빈 도체 그리고 항으로 구

성되어 있다. 라이 내부 폭약의 폭발로 인해 라이 는 팽창하게 되는데,

이 때 솔 노이드와 라이 사이의 기 자속이 보존 되므로 라이 와 솔

노이드 사이의 어든 횡단면 만큼 자기장은 압축되게 된다. 솔 노

이드 내부 자속의 시간에 따른 변화에 따른 유도기 력은 결국 기장을

발생시키게 된다. 결과 으로 폭발에 의한 화학 에 지는 라이 팽창을

통해 자기 에 지로 변환되게 된다[9]. 이 때 코일에 유도되는 류는

- 27 -

계식 i( t) = Φ0/L(t)에 의해 기 자속과 MCG 시스템의 시간에 따른 인

덕턴스의 변화에 의해 결정되게 된다. 따라서 시간에 따른 인덕턴스 변

화는 MCG 설계의 기본 요소가 된다. 기존의 많은 연구에서

L( t) = L 0exp(-t/τ L)와 같이 인덕턴스가 단순히 지수 으로 감소하는 모

델을 제시하고 있으며, 이는 MCG 폭발과정 동안 라이 팽창에 따른 인

덕턴스 변화의 하지 않은 근사 인 표 이지만 리 받아들여지고 있

다[1]. 여기서 은 시 상수(time constant)로 라이 팽창 속도로부터 결

정된다. MCG의 폭발과정에서 인덕턴스와 자기에 지, 자속 도는 상호연

되어져 있기 때문에 자기압축 효과에 한 고려는 필수 이다. 하지만

기존의 단순한 인덕턴스 변화 모델은 자기압축에 의한 향을 정확하게

다루고 있지 않다. 본 연구에서는 이러한 요소를 효율 으로 계산하기

해서 유한요소법(Finite Element Method)을 이용하여, 자기압축 효과를

고려한 MCG에서의 인덕턴스 변화의 계산을 수행하 다.

3.2 유한요소법을 이용한 모델링

가. MCG의 기본 인 동작원리

MCG는 그림 3-1(a)과 같이 폭약으로 채워진 긴 속 라이 (liner)가

솔 노이드 안에 치해 있으며, capacitor bank가 방 되면서 솔 노이드

에 류가 인가되어, 솔 노이드와 라이 사이의 공간에 자기장이 형성

된다. 이 때, load switch가 닫 있어서 load를 통해 류가 흐르지 못하

도록 한다. 그림 3-1(b)와 같이 한쪽 끝에서 폭약이 폭발하면, 라이 가

긴 풍선이 부풀어 지는 것처럼 팽창한다. 이 때, 라이 와 솔 노이드 사

이 공간의 부피가 감소하면서 자속(magnetic flux)이 압축되고, 자속보존

(Conservation of magnetic flux)의 결과로 인해 자기장의 세기가 증가하

여 솔 노이드에 큰 유도 류가 흐르게 된다. 그림 3-1(c)와 같이 자속

- 28 -

압축이 최고 에 이르 을 때, load switch를 열면 최 유도 류가 load

에 인가되어 진다.

Capacitor

Bank

Solenoid

Metal Liner

Load

Load switch

High

Explosive

(a)

(b)

(c)

그림 3-1 MCG의 기본 구조

나. MCG의 기하학 모델링

인덕턴스는 MCG 시스템의 라이 와 솔 노이드의 기하구조에

으로 의존하는 기하학 양이다. 따라서 솔 노이드와 라이 의 기하학

- 29 -

구조가 유한요소법을 이용한 MCG 폭발의 모델링의 심이 된다. MCG

폭발의 유한요소법을 이용한 모델링을 해서 상용 유한요소해석 소 트웨

어인 COMSOL MULTIPHYSICS[3]를 이용하 다. 그림 3-2와 같이 2차원

상에서 솔 노이드를 링형태의 코일(1)로 근사시키고, 그 안에 직사각형

형태의 라이 (2)를 모델링하 다.

그림 3-2 기하구조

(1-솔 노이드, 2-라이 , 3-계산 역)

- 30 -

시뮬 이션 수행에 있어 솔 노이드의 코일 감은 수는 75 turns 이지만,

실제 그림으로 나타내면 링형태의 코일이 무 조 하여 2차원 상에서 나

타낼 수가 없기 때문에 편의상 15 turns 으로만 나타내고, 코일과 코일

사이의 자세한 정보를 표시하기 해 2개의 코일만 확 하여 구성요소를

나타내었다. 자세한 기하구조 사양은 아래 표 3-1과 같다.

구 성 요 소 사 양

라이 폭 ( w) 25 mm

라이 높이 ( h) 120 mm

솔 노이드 반지름 ( r) 39.76 mm

솔 노이드 간격 ( p) 1.5 mm

솔 노이드 자체 직경 ( d) 0.03 mm

솔 노이드 감은수 75 turns

표 3-1 솔 노이드와 라이 사양

유한요소법은 계산 역을 세 하게 분할한 후 각각의 에서 편미분방

정식의 해를 계산하는 수치해석 방법 하나이다. 따라서 MCG와 같이

복잡한 기하구조에서의 용은 용이 하지만 우수한 성능의 고가의 하드웨

어가 필요하고 계산 시간이 오래 걸리는 단 이 있다. 본 연구에서는 유

한요소법의 이런한 단 을 보완하고 계산상의 부담을 최소화하기 해 2

차원 평면에서 인 축을 심으로 칭성을 두어 계산후 3차원 공

간으로 확 하 다.

다. 물리 인 모델링

그림 3-2와 같은 기하구조의 MCG에서 각각의 역에서 고려한 변수

- 31 -

는 아래 표 3-2와 같다. 고려된 변수 물질의 특성은 구리(copper)로

만들어진 라이 와 솔 노이드의 자기학 특성을 포함하고 있으며, 그

외에 솔 노이드 내부와 외부 역은 자유공간(free space)으로 설정하

다. 그리고 기하구조에서 반원 모양(3)의 가장 바깥 역은 magnetic

insulation으로 하 다. 물리 으로 퍼텐셜이 0인 공간인 기 은 무한

로 하는 것이 타당하지만, 수치해석 모델링의 한계로 인해 자속분포의

칭성을 고려하여 충분한 크기를 갖는 반원 모양으로 설정하 다.

MCG 내부의 폭발에 의해 라이 가 팽창하는 동안 라이 에 유도되는

류는 이상 인 도체의 경우 얇은 도체 표면에 집 되어지고 도체 내부

로 침투하지 않는다. 그러나 도체가 특정한 항을 가지고 있다면 류가

흐르는 표면층의 두께가 증가하는데, 이 두께를 skin-depth라 하고, 진동

수가 커질수록 작아진다. 자기장이 skin-depth까지 침투하는 시간을

skin-time이라고 한다. 라이 가 폭발에 의해 팽창되는 시간이 skin-time

보다 작으면 작을수록, 자기에 지와 자기장의 세기가 강해지며 동반되는

자기압축효과는 커진다. 이와 같이 자기장이 속의 내부에 깊이 침투

하지 못하는 상은 교류가 흐르는 도선 내부의 자기장 분포에도 향

을 다. 교류가 흐르는 도선의 표면 부분의 기장은 강하지만 내부로

들어갈수록 그 세기는 약해진다. 따라서 skin-depth에 의한 향을 물리

으로 시뮬 이션 하기 해 솔 노이드에 교류 류를 인가하 으며, 진

동수에 따라 skin-depth, 라이 팽창속도에 따른 자기압축효과를 고려해

본 결과, 50 Hz에서는 skin-depth가 60 mm, 50000 Hz에서는 2 mm 로

타나나다. 따라서 교류 류의 진동수는 50000 Hz 이상에서 효과 임을 확

인했다. 진동수에 따라 자기장이 침투하는 정도를 나타낸 것은 아래 그림

3-3과 같다.

- 32 -

50 Hz

Magnetic field norm

Arc-length

50000 Hz

Arc-length

Magnetic field norm

라 너

r(m)

r(m)

그림 3-3 진동수에 한 자기장 분포

- 33 -

하 역 구조방정식μ r

(Relative permeability)

1(솔 노이드)

B= μ0μrH 12(라이 )

3(계산 역)

하 역 구조방정식εr

(Relativepermittivity)

σ

(Electricalconductivity)

1(솔 노이드)

D= ε0εrE

1 5.998×10 7

2(라이 ) 1 5.998×10 7

3(계산 역) 1 0

표 3-2 하 역별 기 자기 특성

라. 자기에 지와 류 도 분포

아래의 그림 3-4는 시간에 따른 인덕턴스 변화를 유한요소법을 이용

하여 해를 구하기 하여 라이 팽창 구간 한구간의 기하구조를 작은

요소의 집합체로 분할한 그림이다. 솔 노이드와 라이 에서 진동수에 의

한 skin-depth의 향을 충분히 계산하기 해서는 코일 내부 계산 역의

분할이 상당히 미세해야 한다. 따라서 코일 내부의 grid를 미세하게 설정

하 다. 코일 내부 grid의 미세한 정도를 확인하기 해서, 조 하여 구분

할 수 없는 솔 노이드 부분을 확 하고, 코일 한가각 내부의 계산 역

을 따로 분리하여 확인한 결과 충분히 미세함을 확인할 수 있다.

- 34 -

12

3

그림 3-4 계산 역의 유한 요소 분해

(1-코일단면, 2-라이 , 3-계산 역)

아래의 그림 3-5는 본 연구를 통해 얻은 MCG 내부의 자기에 지와 표

면 류 도, 자속 도 분포를 나타낸 것이다. 상했던 바와 같이 표면

류 도가 코일과 라이 의 표면에 분포하고 있으며, 자속이 라이 안

으로 스며들지 못함을 확인할 수 있다.

- 35 -

1

2

3

그림 3-5 자기에 지와 자속 도 분포

(1-솔 노이드, 2-라이 , 3-계산 역)

3.3 시뮬 이션 결과

시뮬 이션 결과로 얻은 자기에 지와 류 도 그리고 자기에 지와

류 도의 계식 W=LI2/4을 이용하여 인덕턴스를 구했다. 그리고 라

- 36 -

이 의 방향(지름 방향)의 팽창속도와 솔 노이드 반지름으로부터 시상

수 을 결정했다. , 라이 의 방향(폭발의 진행 방향)의 팽창속도와

팽창거리로부터 팽창시간을 결정하여 시간에 따른 인덕턴스변화를 구한

결과 그림 3-6과 같이 기존의 모델과는 상당히 차이가 나는 것을 알 수

있었다. 따라서 라이 팽창에 따른 자기압축 효과가 시간에 따른 인덕턴

스 변화 모델에 요한 향을 미치는 것을 확인할 수 있었다. 솔 노이

드에 유도 류를 발생시키는 유도기 력은 인덕턴스의 시간에 한 미분

값과 련되기 때문에 요한 의미를 갖는다. 그림 3-7에서는 시간에

한 인덕턴스의 미분 값을 보여주는데 기존의 이론과 뚜렷한 차이가 있음

을 확인할 수 있다.

× 이후 구간에서 유한요소법으로 구한 인덕턴스 값이 없는 이유

는 유한요소법의 특성상 공간상에서 계산 역이 없어지는 기하구조에서는

오류가 생긴다. 따라서 이를 피하기 해서, 라이 가 팽창할 때 팽창된

라이 가 솔 노이드에 직 닿지 않도록 설정하고 시뮬 이션을 수행했

기 때문이다.

- 37 -

(sec)

그림 3-6 시간에 따른 인덕턴스 변화

(sec)

그림 3-7 시간에 따른 인덕턴스 미분

- 38 -

III. 결론

연구를 진행하면서 자료수집 연구교류활동을 통해 습득한 자료와 이

론을 바탕으로 MCG의 동작원리를 악하고 MCG의 기자속을 증 시

키는 방안으로 직각평면형 구자석에 곡면형 연철을 부착하는 방안을 제

시하 다. 이 방안을 채택할 경우에 FEMLAB에 의한 모델링 결과 기

자속이 구자석에 비해 27% 정도 증가했고 에 지 측면에서는 63% 정

도 증가하 다. 한편 구자석을 링의 형태로 개량할 경우 MCG 설계가

비교 손쉬워지며 에 지 측면에서도 기존의 자석배열에 의한 구조보다

개선됨을 확인 할 수 있었다. 따라서 MCG 설계방향에 따라서 한 자

석의 기하구조와 배열을 통해서 기 자속을 최 화 할 수 있음을 확인할

수 있었다. 자속 압축으로 인한 에 지 변환과정에 의해 솔 노이드에 유

도되는 류는, 기 자속과 MCG의 인덕턴스에 의해 결정되기 때문에

시간에 따른 인덕턴스변화는 MCG 설계의 기본요소가 되었다. 따라서 실

제 MCG 시스템에서 실제 용할 수 있도록 하기 해 다양한 pitch와 코

일의 반경을 고려한 솔 노이드의 인덕턴스를 계산할 수 있는 도구를 개

발하 다. 한편 부분의 연구에서 일반 으로 받아들여지는 인덕턴스의

시간에 따른 지수함수 감소모델은 자기압축에 의한 향을 정확하게 다루

고 있지 않기 때문에 우리는 이를 물리 으로 시뮬 이션 하기 해 교류

류를 솔 노이드에 인가를 통해 자기압축효과를 고려한 결과, 기존의

모델과 상당히 차이가 나는 것을 확인하 고 측정한 결과와 일치하는 경

향성을 확인 할 수 있었다.

- 39 -

V. 참고문헌

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.2-56, 1999.

[2] Lyudaev R.Z. Elementary theory of magnetic cumulation, MEGAGAUSS

and megaampere pulse technology and applications, pp. 82-111, 1996.

August.

[3] COMSOL AB, FEMLAB User's Guide, 2004 (http://www.comsol.com).

[4] D. J. Griffiths, "Introduction to Electrodynamics", Prentice Hall, Inc 2nd

Edition, 1992

[5] G. R. Turner, "Inductance Calculation For Helical Magnetocumulative

Generators", Electromagnetic Phenomena, Vol. 3, Number3(11), Sept. 2003.

[6] H. E. Knoepfel, "Magnetic fields", John Wiley & Sons, Inc. 2000.

[7] D. Halliday, R. Resnick, "Fundamentals of Physics", John Wiley & Sons, Inc.

2nd Edition, 1986

[8] J. D. Jackson,"Classical Electrodynamics", John Wiley & Sons, Inc. 3rd

Edition, 1998.

[9] Superstrong Magnetic Fields: Physics, Techniques, and Applications (eds.V.M. Titov and G.A. Shvetsov), Nauka, Moscow, 1984.