Международная конференция Современные ... · 2017-11-15 ·...
TRANSCRIPT
Математический институт им. В. А. СтекловаРоссийский фонд фундаментальных исследований
Международная конференция
“Современные проблемымеханики сплошной среды”
посвященная памяти академикаЛеонида Ивановича Седова
в связи со стодесятилетием со дня егорождения
Тезисы докладов
МИАН, Москва, 13–15 ноября 2017 г.
Председатели программного комитета:В.П. Карликов, В. В. Козлов, А. Г. Куликовский, В.А.Левин,В.А. Садовничий.
Организационный комитет:А.Г. Куликовский, А.Т. Ильичев, В. В. Марков, А. В. Аксенов,Н.Е. Афонина, А.Н. Богданов, П. Ю. Георгиевский,Ю.И. Димитриенко, Т.А. Журавская, А. Г. Калугин,М.С. Макарова, И. С. Мануйлович, А. В. Марченко,А.С. Савин, Н.И. Сидняев, А. М. Чайка
Программный комитет:С.В. Болотин, А.Н. Голубятников, М. В. Гордин,И. Г. Горячева, Д. А. Губайдуллин, Д. М. Климов,А.Н. Крайко, К. .В. Краснобаев, И. И. Липатов,Г.А. Любимов, О. Э. Мельник, Н.Ф. Морозов,Р.И. Нигматулин, Ю. М. Окунев, Ю. С. Осипов,А.Н. Осипцов, В.А. Полянский, С. Т. Суржиков,Г.А. Тирский, Д. В. Трещёв, В. Е. Фортов, С.Л. Чернышов,В.Н. Чубариков, М. Э. Эглит
В организации конференции принимают участие:
– Московский государственный университетим. М. В. Ломоносова, механико-математический факуль-тет,
– Научно-исследовательский институт механики МГУим. М.В. Ломоносова,
– Центральный аэрогидродинамический институтим. Н. Е. Жуковского.
E-mail: [email protected] site: http://www.mi.ras.ru/index.php?c=conf
Содержание
Alekseev G.A. Nonlinear interaction of strong gravitational andelectromagnetic waves in the expanding universe 12
Dryuma V. S. On equations of incompressible liquids in Lagrangianvariables 14
Dutykh D., Ляпидевский В. Ю. Математическая модель плот-ностного течения 16
Gavrilyuk S. Multi-dimensional shear shallow water flows and compres-sible turbulence 17
Sabelnikov V.A. Challenges in modeling supersonic reacting flowsand scramjet combustion simulation 18
Абруков Д.А., Кержаев А. П., Коваленко М.Д., Меньшо-ва И.В. Бигармоническая проблема теории упругости. Точныерешения 19
Аджиев С. З., Веденяпин В.В., Казанцева В. В. ЭкстремалиБольцмана и эргодическая проблема по Пуанкаре и Гиббсу 21
Азанов Г.М., Алексюк А.И., Осипцов А.Н. О новых способахэнергоразделения газовых потоков 23
Аксенов А.В. Симметрии фундаментальных решений и их при-менение в механике сплошной среды 26
Алексеев Г.В., Левин В. А., Спивак Ю. Э., Терешко Д. А.Моделирование и оптимизация в задачах дизайна тепловых обо-лочек 28
Алексеев М.В., Савенков Е.Б. Термомеханическая модель по-ведения непроницаемой пористой среды с химически активным
3
наполнителем 30
Андреев В.К. О влиянии нестационарного градиента температу-ры на движение жидкости в канале 32
Артемов М. А., Барановский Е. С., Переяславская И. И.Напряженно-деформированное состояние диска при тепловомвоздействии 33
Афанасьев А.А. Решение автомодельных задач фильтрации газав водонасыщенном пласте 35
Афанасьев А. А., Мельник О.Э., Уткин И.С. Вулканомеха-ника 37
Афонина Н. Е., Громов В. Г., Левин В.А., МануйловичИ.С., Марков В. В., Смехов Г.Д., Хмелевский А.Н. Кон-центрационные пределы распространения пламени в метановоз-душных смесях с углеводородными добавками 39
Афонина Н. Е., Громов В. Г., Левин В.А., МануйловичИ.С., Марков В.В., Хмелевский А.Н. Спектры сигналовпульсаций давления газа в соплах с дефлектором 41
Бабешко В. А., Бабешко О .М., Евдокимова О.В. Внешняяалгебра и внешний анализ в теории блочного элемента 42
Балапанов Д. М., Ведерников А.А. Точное решение для одно-мерного течения газа в гомобарическом приближении 44
Барановский Е.С. Задача о движении нелинейно-вязкой жидко-сти при условии проскальзывания порогового типа 46
Бахолдин И.Б. Анализ уравнений, описывающих волны в трубахс упругими стенками 49
Бобылев Д.Е. Математическое моделирование пористых пластов 50
Богачев И. В., Ватульян А.О. Об идентификации свойств функ-ционально-градиентного пьезополимерного цилиндра 52
Богданов А. Н. Некоторые аналитические подходы к исследова-нию задач газовой динамики, квалифицированных Л.И. Седо-вым, как трудные 53
4
Борисов В. Е., Иванов А.И., Критский Б. В., Меньшов И.С.,Савенков Е.Б. Математическая модель и вычислительные ал-горитмы для моделирования развития трещины ГРП в трехмер-ной постановке 55
Бризицкий Р.В. Анализ краевых и экстремальных задач для ста-ционарных моделей МГД 57
Бризицкий Р.В., Сарицкая Ж.Ю. Задачи восстановления ко-эффициентов для полулинейных моделей массопереноса 58
Брушлинский К. В., Стёпин Е.В. Ускорение плазмы в каналахкриволинейной формы в присутствии продольного магнитногополя 60
Брыкина И. Г., Тирский Г.А. Моделирование взаимодействияединого и дробящегося метеороида с атмосферой 62
Булатов В. В., Владимиров Ю.В. Моделирование волновой ди-намики стратифицированных сред 64
Веденеев В. В., Порошина А.Б. Устойчивость упругой трубкис протекающей внутри неньютоновской жидкостью, имеющейлокально ослабленный участок 66
Вигдорович И. И. Законы подобия для турбулентного погранич-ного слоя в сверхзвуковом потоке газа 68
Владимиров И.Ю., Корчагин Н. Н., Савин А.С. Гидродина-мическая реакция препятствия, обтекаемого двухслойным пото-ком 71
Газизова С.Е., Каюмов И.Р., Маклаков Д.В. О кавитирую-щих гидропрофилях оптимальной формы 71
Гайфуллин А.М., Свириденко Ю.Н. Вихревой след за само-летом. Модели и проблемы 74
Георгиевский П.Ю., Левин В.А. Подобие в задаче о сверх-звуковом обтекании тел при наличии области энерговклада внабегающем потоке 75
Георгиевский П. Ю., Левин В.А., Сутырин О. Г. Фокусиров-ка ударной волны при взаимодействии с цилиндрическим обла-ком мелкодисперсной пыли 77
5
Голубятников А.Н. Оптимизация ускорения вязкоупругого тела 79
Голубятников А. Н., Иванов О.О. Нелинейная диффузия пла-вящихся частиц 80
Голубятников А.Н., Любошиц Д.Б. Ударные волны анниги-ляции в динамике гравитирующего газа 82
Голушко И.Ю., Рошаль С. Б. Взаимодействия белков, индуци-рованные деформацией мембраны: мультипольный подход 83
Горбушин А. Р., Заметаев В. Б. Асимптотический анализ вяз-ких пульсаций в турбулентном пограничном слое 85
Гордеева Н.М., Юшканов А.А. Влияние параметров плазмына дебаевское экранирование 86
Губайдуллин Д.А. Особенности распространения волн в газока-пельных и пузырьковых средах 89
Доброхотов С.Ю. "Нестандартные" каустики в асимптотикахлинейных волн на воде, порожденных локализованными источ-никами 91
Дроздова Ю.А. Математическое моделирование волн в безна-порном участке трубопровода 93
Дружков К.П. Гидродинамические законы сохранения системуравнений одномерной и двумерной мелкой воды 93
Дудин Г.Н., Нейланд В. Я. Образование трехмерных теченийна режиме сильного взаимодействия 95
Егоров А. Г., Носулько К. Ю. Оптимальная по расходу форматрубы при ламинарном потоке в ней вязкой жидкости 97
Егорова Л.А., Лохин В.В. Моделирование фрагментации ме-теороидов и энерговыделения 99
Ефимова М. В. Решение задачи конвекции при малых числах Ма-рангони 101
Жуков А.В. Моделирование межфазных границ при необрати-мых процессах: влияние интенсивности фазовых превращенийна поверхностное натяжение и динамические условия на грани-це раздела фаз 102
6
Журавлева Е.Н., Карабут Е.А. Эволюция сингулярностей втечениях жидкости со свободной границей 104
Журавская Т.А., Левин В. А. Управление детонацией в сверх-звуковом потоке в плоском канале с сужением 105
Зайко Ю.С., Эглит М. Э., Якубенко А.Е. Моделированиесклоновых потоков с учетом неньютоновских свойств движу-щейся среды 106
Закиров Т.Р. Особенности двухфазного течения несмешиваемыхжидкостей в цифровом микротомографическом изображениипесчаника 108
Зубарев В.М. Турбулентное течение в диффузоре с неблагопри-ятным градиентом давления 109
Зубин М.А., Максимов Ф.А., Остапенко Н.А. О структуретечения в ударных слоях около V-образных крыльев при сверх-звуковых скоростях обтекания 112
Казаков А.Л., Орлов Св.С. Построение специальных точныхрешений квазилинейного уравнения теплопроводности 114
Казакова А.О., Микишанина Е.А., Терентьев А. Г. Матема-тическое моделирование в механике сплошных сред с использо-ванием полигармонических уравнений и их систем 116
Казакова А.О., Петров А. Г. Численный расчет течения вязкойжидкости между двумя движущимися цилиндрами 118
Калугин А. Г. Об ориентационной неустойчивости сдвиговых те-чений нематических жидких кристаллов 121
Калугин А. Г., Павлов Д.В. О периодических решениях в слоенематического жидкого кристалла 122
Каракин А.В. Принцип неполной связанности в моделях гидро-разрыва в верхних слоях коры 124
Карликов В.П., Нечаев А. Т., Толоконников С. Л. Об авто-колебательных режимах проникания свободных или затоплен-ных струй через поверхность жидкости 126
Карулин Е., Карулина М., Марченко А., Сахаров А., Чи-стяков П. Плоские задачи механики морского льда 126
7
Ковтанюк Л.В., Лемза А.О., Панченко Г.Л. Большие де-формации материалов в условиях ползучести и пластическоготечения 129
Ковыркина О. А., Остапенко В.В. Волновые течения, возни-кающие при подъеме бруса из мелкой воды 131
Колесников А.Ф., Сахаров В.И. Подобие теплообмена в стру-ях ВЧ-плазмотрона и в гиперзвуковых потоках молекулярныхгазов 133
Коровин В. М. Влияние перпендикулярного электрического поляна распад тонкого слоя диэлектрической жидкости, движуще-гося в газе 136
Краснобаев К.В., Тагирова Р.Р. Самоподдерживающиеся удар-ные волны в областях фотодиссоциации 137
Куликовский А. Г., Свешникова Е.И. Фронты затвердевания,задача о поршне 139
Левин В.А., Мануйлович И.С., Марков В.В. Численное мо-делирование детонации в изогнутом канале круглого сечения 141
Лежнев В. Г., Марковский А.Н. Cобственный вихрь 2D обла-сти, расширенная задача Стокса 142
Леонтьев Н.Е. Автомодельные решения в задаче о безнапорнойфильтрации в высокопористой среде 144
Липатов И. И., Чернышев C.Л. Леонид Иванович Седов. Годыработы в ЦАГИ. 1930-1947 гг. 145
Лопато А.И., Уткин П. С. Новые вычислительные технологиидля моделирования газовой детонации 146
Луценко Н.А., Фецов С.С. О численной модели движения газачерез слой капсулированного материала с фазовым переходом 148
Лущик В. Г., Макарова М. С., Решмин А.И. Численное ис-следование течения в плоском канале с конфузором 150
Любимов Г.А., Моисеева И. Н., Штейн А. А. Эффективныйметод математического моделирования клинических процедурдля определения механических характеристик глаза 152
8
Любимова О.Н., Морковин А.В. Напряжения и деформациив растущей диффузионной зоне при пайке стекла со сталью 154
Ляпидевский В. Ю., Чесноков А.А. Структура катящихсяволн в длинных каналах с податливыми стенками 155
Маклаков Д.В., Шарипов Р.Р. Почти предельные внутренниеволны на границе раздела двух жидкостей 158
Марченко А. В. Распространение волн под ледяным покровом:результаты натурных измерений, физические механизмы дис-сипации энергии и моделирование 158
Никитин Н.В., Пиманов В.О. О механизме пристенной турбу-лентности 162
Олейников А.И. Негладкие модели упругости композитов 164
Остапенко В.В. К обоснованию теории мелкой воды 165
Павельева Е.Б., Савин А. С. Установление поверхностных волнв слое жидкости конечной глубины 167
Панкратьева И. Л., Полянский В.А. Влияние эффекта Онза-гера на пристеночные заряженные слои в течениях слабопрово-дящей жидкости в плоских каналах 169
Петров А. Г. Нелинейные колебания маятника на пружине прирезонансе 1:1:2. Теория, эксперимент и физические аналогии 171
Роговой А. А., Столбова О. С. Конечные деформации в мате-риалах с памятью формы 173
Рождественская Т.И. Численное исследование свойств неодно-родных жидкостей при обтекании ими кругового цилиндра 175
Рощин Е. И. Одномерные течения суспензий в пористых средах собразованием конечного скачка пористости 176
Рудой Е.М., Щербаков В.В. Математический анализ разруше-ния для вариационной модели механики композитов 178
Рылов А.И. Спиральные течения на плоскости потенциала 180
Сальникова Т.В. Циклы Пуанкаре и неравновесная термодина-мика 181
9
Сидняев Н.И. Обтекание гиперзвуковых летательных аппаратовв условиях поверхностного разрушения 182
Сидорова Д.А. Осаждение частиц при течении суспензии черезпористые среды 184
Степанова И.В. О точных решениях уравнений термодиффузиипри различных зависимостях плотности 185
Стурова И.В., Ткачева Л. А. Движение области поверхностно-го давления в условиях неоднородного ледяного покрова 187
Тихомирова К.А. Эволюция фазово-структурной деформации вохлаждающемся пакете стержней из сплава с памятью формы 189
Трубаев Н.А. Об использовании Ньютоновского потенциала, рав-ного константе внутри односвязной области, при моделированииструй идеальной несжимаемой жидкости 191
Туник Ю.В. Численный анализ устойчивости контактного раз-рыва в задаче о взрыве 192
Тятюшкин А. Н. Неустановившееся электровращение капли в по-стоянном электрическом поле 195
Украинский Д.В. Трехволновой резонанс в задачах газовой ди-намики 197
Хохлов А. В. Анализ возможностей нелинейного соотношения на-следственности Работнова и линейного соотношения вязкоупру-гости 198
Хохлов А.В. Моделирование влияния температуры на кривыенагружения, ползучести и релаксации нелинейной модели типаМаксвелла 200
Худойназаров Х. Моделирование крутильных колебаний трех-слойной цилиндрической оболочки 202
Цыпкин Г. Г. Неустойчивость легкой жидкости над тяжелой в по-ристой среде 205
Чашечкин Ю.Д. Медленные, быстрые и сверхбыстрые компо-ненты процессов формирования и эволюции пространственноупорядоченных структур течений жидкостей 206
10
Чичерин И.С. Осесимметричное растекание пленки вязкой жид-кости вдоль супергидрофобной поверхности 210
Чичерина А.Д. Автомодельное решение задачи о течении ненью-тоновской жидкости вдоль наклонной плоскости 211
Чупахин А.П., Янченко А. А. Особый вихрь в релятивистскойгазовой динамике 211
Шамолин М. В. Негладкие первые интегралы в динамике твер-дого тела, взаимодействующего с сопротивляющейся средой 213
Штука В.И. Моделирование отклика упруго-вязко-пластическогонесжимаемого цилиндрического слоя на существенно нестацио-нарные граничные воздействия 216
11
Nonlinear interaction of strong gravitational andelectromagnetic waves in the expanding universe
G.A. AlekseevSteklov Mathematical Institute, Russian Ac. Sci.
Wonderful events – the long awaited direct observations of gravita-tional waves by LIGO collaboration, which happened at the turn ofthe century of General Relativity theory, and subsequent observationsof gravitational waves by LIGO-Virgo collaborations as well as theidentifications of the sources of the recorded signals with black holesand neutron stars mergers marked the beginning of a new era in thestudies of the Universe – the era of gravitational wave astronomy.In addition to the information which can be received now fromvarious parts of electromagnetic spectrum, a new information channelwas opened and it can bring important information about physicalprocesses in various (particularly – very distant) astrophysical objects,about the structure and evolution of the Universe.
The recorded gravitational wave signals showed that these waveswere produced at very large (in cosmological scale) distances in theprocesses of massive black holes as well as neutron stars close inspiralmotions and mergers, i.e. these waves originally had been createdwith large amplitudes and might pass throw the regions of stronggravitational and probably, electromagnetic fields. The existence ofelectromagnetic counterparts of the registered gravitational burstsobviously becomes a question of a present interest for observations.Possible sources of such electromagnetic signals can possess differentnature: these can arise from the interaction of strong gravitationalwaves with ionized plasma which may surround the inspiralling andmerging black holes and/or neutron stars, or as a result of a directinteraction of gravitational waves with strong external electromagneticfields or even with electromagnetic wave bursts of high energy whichalso may exist in the regions surrounding these objects or along thepaths of these waves from merging objects to the detectors.
The interaction of electromagnetic and gravitational fields andwaves is predicted by General Relativity (the Einstein - Maxwelltheory). The studies of these interactions possess a long historysince a pioneer work of M.E.Gertsenstein (1962) who showed thata gravitational wave can be exited during the propagation of electro-magnetic wave through a strong background electromagnetic field.
12
Later, periodic mutual transformations of gravitational and electro-magnetic waves in a strong external electromagnetic field had beendiscovered and studied in the papers of Zel’dovich, Braginskii&etal(model equations), Sibgatullin, GA&Sibgatullin and others (the Ein-stein-Maxwell equations). However, in these studies the interactionof waves was considered in linear approximation only.
In this talk we discuss different aspects of nonlinear interactionof arbitrary strong gravitational and electromagnetic waves using alarge class of exact solutions of Einstein - Maxwell equations foundby the author in [1]. These solutions describe a head-on collisionof plane linearly polarised waves – the soliton gravitational waveswith electromagnetic waves of arbitrary amplitudes and profiles.1 Themost interesting features of nonlinear interaction of these waves are
• In contrast to our posible intuitive expectations, an arbitrarystrong electromagnetic wave of any profile can’t destroy agravitational soliton wave.
• Constant parameters, which characterise the gravitational soli-ton before interaction, begin to evolve inside electromagneticwave and become constant again (with changed values) afterpassing the back front of this wave.
• During a collision, a partial mutual conversion of gravitationaland electromagnetic waves (similar to that known in the linearcase) takes place.
• After a collision, a gravitational soliton can change its profileso that, e.g., the "dark"soliton can become a "light"soliton.
• After a collision, a gravitational soliton gets its electromagneticcounterpart with a profile very similar to the gravitational one.
• A part of "energy"of gravitational soliton is scattered and agravitational wave which goes back and follows the electromag-netic wave is created.
Another process – a collision of electromagnetic soliton wave withanother electromagnetic wave of arbitrary profile, their mutual non-linear scattering and creation of gravitational waves in this collisionis also discussed in the talk.[1] G.A.Alekseev, “Collision of strong gravitational and electromagneticwaves in the expanding universe”, Phys.Rev. D 93, 061501(R) (2016)
1A choice of a homogeneous anisotropically expanding universe as abackground for waves (instead of e.g., Minkowski space-time) simplifies thesolutions considerably because it prevents the mutual focusing of waves andcreation of singularities on the caustics.
13
On equations of incompressible liquids inLagrangian variables
V. S. DryumaInstitute of Mathematics and Informatics of the AS of Moldova
1. The Euler system of equations of two-dimensional flows ofincompressible ideal fluid in Lagrangian variables has the form
xtt+puyv−pvyu = 0, ytt+xupv−xvpu = 0, xuyv−xvyu = 1, (1)
where the variables x = x(u, v, t), y = y(u, v, t), p = p(u, v, t) arethe coordinates and pressure of individual elements of fluid.
To construct of exact particular solutions of the system (1) findfrom it expressions to partial derivatives of function p = p(u, v)
pv = −yttyv − xvxtt, pu = −xuxtt − yuytt, (2)
in which it is necessary to substitute an explicit solutions of theequations of incompressibility of fluid
xuyv − xvyu = 1. (3)
As example of solution of undetermined equation (3) we choose afollowing x(u, v, t) = µ(v, t), y(u, v, t) = ν(v, t) − u
∂∂vµ(v,t)
, whichdepend from two arbitrary function µ(v, t) and ν(v, t).
Remark. Solutions of the equation (3) after hodograph trans-formations
x(u, v) = x, u− λ(x, v) = 0, xu = 1/λx, xv = −λv/λx,
y(u, v) = y, y − ρ(x, v) = 0, yu = ρxλx, yv = ρv − ρxλv/λx.
takes the form −ρv + λx = 0 and it has solution λ(x, v, t) =ψv, ρ(x, v, t) = ψx, where ψ(x, v, t) is arbitrary function or λ(x, v, t) =∫ρvdx+ F1 .
2. The Euler system of equations of three-dimensional flowsof incompressible ideal fluid in Lagrangian variables has the form
xtt + yuzvpw − yuzwpv − zuyvpw + zuywpv + puyvzw − puywzv = 0,
ytt + zuxvpw − zuxwpv − xuzvpw + xuzwpv + puxwzv − puxvzw = 0,
14
ztt + xuyvpw − xuywpv − yuxvpw + yuxwpv + puxvyw − puxwyv = 0,
xuyvzw − xuywzv − yuxvzw + yuxwzv + zuxvyw − zuxwyv = 1. (4)
From the system (4) follows expressions to the partial derivativeson the function pressure p = p(u, v, w, t)
pu = −zuztt − xuxtt − yuytt, pv = −xvxtt − yvytt − zvztt,
pw = −xwxtt − ywytt − zwztt, (5)
for which necessary to write the conditions of compatibilityThe system of equations consisted from the conditions of compa-
tibility and the equation of incompressibility
xuyvzw − xuywzv − yuxvzw + yuxwzv + zuxvyw − zuxwyv = 1, (6)
that together form full system of 3D equations of Lagrangian hydro-dynamics.
The equation (6) play key role in this theory and for solving of itcan be used presentation of the function and variables in parametricform [1]
x = a(τ, v, w, t), y = b(τ, v, w, t), z = c(τ, v, w, t), u = e(τ, v, w, t),
xu = aτ/eτ , xv = av−evaτ/eτ , xw = aw−ewaτ/eτ , xt = at−etaτ/eτ ,yu = bτ/eτ , yv = bv−evaτ/eτ , yw = aw−ewaτ/eτ , yt = at−etaτ/eτ ,zu = cτ/eτ , zv = av−evaτ/eτ , zw = aw−ewaτ/eτ , zt = at−etaτ/eτ ,
(7)where the variable τ is considered as parameter .
Substitution of the expressions (7) in the equation (6) leads to anundefined relationship, which allows find its solutions, dependent onarbitrary functions. These functions are used then to construction ofsolutions of the full system.
As example is the singular solution of the system (4)
y(u, v, w, t) = −2 at cos(u) cos(v), x(u, v, w, t) = −2 at sin(u) sin(v),
z(u, v, w, t) = −1/2w
a2t2 (cos(2u)− cos(2 v)),
p(u, v, w, t) = −3/8w2
(cos(v)2 − cos(u)2) (− cos(2u) + cos(2 v)) t6a4.
Литература
15
1. On solving of Euler equations of ideal incompressible liquid,Interntional Conference on Mathematical Control theory andMechanics, Suzdal, July’ 3-7 Abstracts: (2015), 166–168.
Математическая модель плотностного течения
1D. Dutykh, 2В.Ю. ЛяпидевскийИнститут гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН
Новосибирский государственный университетLAMA, UMR 5127 CNRS, Universite Savoie Mont Blanc, France
Плотностные течения представляют важный с теоретическойи практической точки зрения класс течений, широко распро-страненный в атмосфере и в океане. Влияние топографии, нали-чие осадков приводят к развитию таких высокоэнергетическихпроцессов как формирование снежных лавин и потоков взве-си, локальных присклоновых течений (Lac du Bourget), мощ-ных подводных "водопадов"и др. Основными механизмами разви-тия плотностных течений являются генерация турбулентности зафронтом течения, подъем и осаждение осадков, вовлечение в по-ток окружающей жидкости. При этом принципиальная проблемамоделирования состоит в определении скорости фронта течения.Несмотря на наличие большого экспериментального материала,связывающего скорость распространения потока с условиями егогенерации, вывести эти зависимости из общих принципов в рам-ках существующих моделей не удается.
В работе представлена многослойная модель мелкой воды сучетом массообмена между слоями в результате турбулентногоперемешивания и осаждения осадков, построенная на основе пол-ной системы законов сохранения [Ляпидевский, Тешуков, 2000].Эта модель позволяет более полно описать начальную стадиюразвития плотностного течения и найти граничные условия, опре-деляющие динамику потока. Кроме того, рассматриваемая схематечения, в которой скорость более плотной жидкости в придон-ном слое превосходит скорость фронта приводит к новым матема-тическим постановкам задач о структуре головной части и прави-
16
ле отбора скорости плотностного течения. Исследованы автомо-дельные решения и найдена их связь с асимптотическим поведе-нием нестационарных численных решений. Проведено сравнениес экспериментальными данными в задаче об эволюции термиканад склоном [Rastello, Hopfinger, 2004].
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект15-01-03942), а также Universite Savoie Mont Blanc (AAP Montagne2016, project AVAL).
Multi-dimensional shear shallow water flows andcompressible turbulence
S. GavrilyukAix–Marseille Universite, CNRS, IUSTI, UMR 7343, 5 rue E. Fermi,
13453 Marseille Cedex 13, [email protected]
The multi-dimensional equations of shear shallow water flowsrepresent a 2D hyperbolic non-conservative system of equationswhich is reminiscent of generic Reynolds averaged equations forbarotropic turbulent fluids. The model has three families of character-istics corresponding to the propagation of surface waves, shear wavesand average flow.
I present a new splitting technique to define the weak solutionsto this non-conservative system of equations. The full system is splitinto several subsystems for which the notion of the weak solutionis almost classical. Each split subsystem contains only one familyof waves (either surface or shear waves) and contact characteristics.The accuracy of such an approach is tested on the exact 2D solutionsdescribing the flow where the velocity is linear with respect to thespace variables (generalisation of L. I. Sedov’s and L. V. Ovsyannikov’ssolutions to the Euler equations of compressible fluids), and on thesolutions describing 1D roll waves. The capacity of the model todescribe multi-D experimentally observed phenomena was shown :‘fingering’ of plane one-dimensional wave fronts, and the formationof singularities in radially convergent flows.
I will also discuss the perspectives of such a ‘splitting approach’for the description of 3D compressible turbulent flows.
This is joint work with K. Ivanova and N. Favrie.
17
Литература
1. 2017 S. Gavrilyuk, K. Ivanova, N. Favrie, Multi-dimensionalshear shallow water flows : problems and solutions (submitted).
Challenges in modeling supersonic reacting flowsand scramjet combustion simulation
V.A. SabelnikovONERA–The French Aerospace Laboratory, Palaiseau, F-91761, France
TsAGI, 140180 Zhukovsky, Moscow Region, Russian [email protected]
The scramjet (supersonic combustion ramjet) engine is conceptuallya ramjet in which the compressed air flow from the inlet is keptsupersonic throughout the whole flowpath. These engines are designedfor air-breathing propulsion of vehicles at high Mach number values(above 5 or 6) where practical ramjet engines feature lower performance,especially in term of specific impulse. The corresponding conditionsconcern several fields of application including civil transport, spacelaunchers or missiles. In comparison with experimental investigations,which remain very challenging to conduct in such flow conditions,computational fluid dynamics (CFD) offers an attractive alternativeand nonetheless complementary tool for the study of such high-speedturbulent reactive flows.
The challenges to model high speed combustion in the frame ofRANS (the Reynolds-averaged Navier–Stokes equations) and LES(Large Eddy Simulation) approaches are summarized. The state ofthe art of CFD capabilities for predicting supersonic combustion ispresented. The models available to account for turbulence-chemistryinteractions (TCI) are critically described (flamelet model (FM),linear eddy mixing model (LEM), eddy dissipation concept (EDC),partially stirred reactor (PaSR) and extended (transported) PaSRmodels, probability density function (PDF) approach (transportedand assumed PDF)). The review shows that the description ofcombustion in high-speed turbulent flows where turbulent mixing,compressibility effects and chemical kinetics processes are competingstill remains a challenging issue for numerical simulations. The review
18
provides also short description and references to experimental databasesthat can be used for the validation, improvements and developmentof phenomenological TCI models for RANS, subgrid scale models forLES, and reduced-kinetics models.
The author was financially supported by ONERA and by theGrant of the Ministry of Education and Science of the RussianFederation (Contract No. 14.G39.31.0001 of 13.02.2017).
Бигармоническая проблема теории упругости.Точные решения
1Д.А. Абруков, 2А.П. Кержаев, 3М.Д. Коваленко,4И. В. Меньшова
1ЧГПУ2,3,4ИТПЗ РАН
[email protected][email protected]@inbox.ru
В виде рядов по собственным функциям Фадля–Папковича(однородным решениям) строятся точные решения краевых за-дач теории упругости и теории изгиба тонких прямоугольныхпластин. Функции Фадля–Папковича точно удовлетворяют ну-левым граничным условиям на двух противоположных сторонахпрямоугольника. Удовлетворяя граничным условиям на его тор-цах, приходим к проблеме разложения заданных здесь граничныхфункций в ряды по системам функций Фадля–Папковича (бигар-моническая проблема).
Функции Фадля–Папковича комплекснозначны и не образу-ют базиса на отрезке – торцах прямоугольника. Поэтому най-ти неизвестные коэффициенты разложений по ним, основыва-ясь на классических представлениях теории базиса функций,невозможно. Их нужно рассматривать как пример представляю-щих систем экспонент с комплексными показателями (А.Ф. Леон-тьев, Ю.Ф. Коробейник) и с вырожденной в отрезок областьюаналитичности. Основываясь на преобразовании Бореля в клас-се квазицелых функций экспоненциального типа, к функциям
19
Фадля–Папковича удается построить соответствующие биортого-нальные функции и затем найти простые явные выражения длякоэффициентов искомых разложений.
Вначале изучаются разложения одной функции в ряд по какой-либо одной системе функций Фадля–Папковича. При решениикраевых задач эти разложения играют ту же роль, какую ря-ды Фурье играют в известных периодических решениях Файло-на–Рибьера. Затем даются решения краевых задач, в том численеоднородных, смешанных, с разрывами сплошности.
Полученные точные решения обладают свойствами, не прису-щими известным точным решениям. Например, они не единствен-ны (впервые внимание на это обратил Е.И. Шемякин). Отсюда,как следствие, вытекает возможность описания этими решениямиостаточных напряжений.
Особое внимание уделяется физической стороне задачи. Вчастности, обсуждается глубокая связь между неединственно-стью, совместностью деформаций, поведением решений в окрест-ности угловых точек границы и т.д.
Неединственность связана не только с необходимостью про-должения заданных на торце полуполосы граничных функций сотрезка (торцов прямоугольника) на всю вещественную ось, нои с продолжением решения вдоль горизонтальных сторон пря-моугольника. Это значит, что угловые точки в прямоугольникерассматриваются не как геометрические объекты (например, какв решении для бесконечного клина), но как бесконечно малыеэлементы, подобные другим точкам области. От того, как выпол-нены эти продолжения, будет зависеть решение. Способ того илииного продолжения определяется из физических соображений.
Важной особенностью решений, описывающих остаточные на-пряжения, является то, что граничные условия в них ставятсястрого на прямолинейных границах полуполосы, а не «сносятсяна недеформированную поверхность». Как было показано Д.И.Шерманом, «снесение на недеформируемую поверхность» связа-но с добавлением недостающего (или удалением лишнего) мате-риала (создание «вкладок», по Н.И. Мусхелишвили). Благодаряэтому выполняются условия совместности деформаций. В полу-ченных точных решениях условия совместности не выполняются,и это означает лишь то, что стороны прямоугольника, прямоли-нейные до деформации, не остаются прямолинейными после при-ложения нагрузки.
20
Найденными точными решениями можно описывать остаточ-ные напряжения. Укажем, вытекающие из полученных результа-тов, несколько признаков, свидетельствующих о наличии оста-точных напряжений в какой либо конечной плоской области:1) знакопеременность напряжений, являющаяся следствием ихсамоуравновешенности; 2) значительные остаточные деформа-ции свободных поверхностей разрыва, возникающие в результатесброса остаточных напряжений; 3) фрагменты области, образо-вавшиеся вследствие ее разделения и сброса остаточных напря-жений, перемещаются и поворачиваются как абсолютно жесткие;4) их невозможно сложить вновь по поверхностям разрыва беззазоров.
Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ 15-41-02644 и 16-31-60028 мол_а_дк.
Экстремали Больцмана и эргодическаяпроблема по Пуанкаре и Гиббсу
1С.З. Аджиев, 2В.В. Веденяпин, 2В.В. Казанцева1Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
2ИПМ имени М.В. Келдыша РАН[email protected]
H-теорема впервые была рассмотрена Больцманом в [1]. Этутеорему, обосновывающую сходимость решений уравнений типаБольцмана к максвелловскому распределению, Больцман связалс законом возрастания энтропии [2]. Доказательство H-теоремыне только обосновывает 2-е начало термодинамики, но и дела-ет поведение решения уравнения понятным, так как позволяетузнать, куда сходится решение для данного уравнения при време-ни, стремящемся к бесконечности. Мы рассматриваем обобщенияуравнений химической кинетики, включающие в себя классиче-скую и квантовую химическую кинетику [3]. H-теорема для этихобобщений уравнений химической кинетики: (2) и (3), в случаенепрерывного времени исследовалась [3]. Были изучены обобщен-ное условие детального равновесия (баланса) и обобщённое усло-вие динамического равновесия (или обобщенное условие Штюк-кельберга–Батищевой–Пирогова), при выполнении которых спра-ведлива H-теорема. В работах [4,5] было показано, как выполня-ется закон роста энтропии для уравнений Лиувилля: энтропия
21
временного среднего больше или равна энтропии начального рас-пределения, хотя вдоль решения она сохраняется. В работах [6,7]показано, что временные средние для уравнения Лиувилля сов-падают с экстремалью Больцмана, там, где достигается услов-ный максимум энтропии при фиксированных законах сохранения.Мы доказываем это совпадение для представлений групп, вводяэнтропию и изучая ее свойства в теории представлений. Потоммы выясняем, что дает это для эргодической проблемы, получаяобобщение и уточнение эргодических теорем Рисса, Биркгофа-Хинчина, фон Неймана и Боголюбова с единой точки зрения.Это обосновывает, проясняет и уточняет метод Гиббса. Это так-же по-новому проясняет проблемы необратимости, в частности,парадоксы Лошмидта и Пуанкаре.
Литература
1. Л. Больцман, “Дальнейшие исследования теплового равно-весия между молекулами газа”, Избранные труды, Наука,М., 1984, 125–189.
2. Л. Больцман, “О связи между вторым началом механиче-ской теории теплоты и теорией вероятностей в теоремах отепловом равновесии”, Избранные труды, Наука, М., 1984,190–235.
3. В. В. Веденяпин, С. З. Аджиев, “Энтропия по Больцману иПуанкаре”, УМН, 69:6(420) (2014), 45–80.
4. Пуанкаре А., Замечания о кинетической теории газов, Пу-анкаре А. Избранные труды. Т.3. Наука, М., 1974.
5. Козлов В.В., Трещев Д.В., Слабая сходимость решений урав-нения Лиувилля для нелинейных гамильтоновых систем,ТМФ. 2003. 134:3. С.388–400.
6. Веденяпин В.В., Кинетическая теория по Максвеллу, Больц-ману и Власову, Конспект лекций. МГОУ, М., 2005.
7. Веденяпин В.В., Временные средние и экстремали по Больц-ману, Доклады Академии Наук, 2008, Т.422, 2, с.161-163.
22
О новых способах энергоразделения газовыхпотоков
1Г.М. Азанов, 2А.И. Алексюк, 3А.Н. Осипцов1,2Механико-математический факультет МГУ имени М.В.
Ломоносова3НИИ механики МГУ имени М.В. Ломоносова
Безмашинным энергоразделением газового потока называетсятакая организация течения, при которой однородный поток пре-образуется в два потока с существенно различающимися темпе-ратурами торможения без совершения работы или подвода теплаиз внешних источников. Наиболее известным способом безмашин-ного газодинамического энергоразделения является использова-ние вихревых трубок Ранка–Хилша [1]. Такие устройства могутобеспечить разность температур торможения выходящих пото-ков в десятки градусов, однако имеют существенный недостаток,связанный с высокими потерями полного давления. Несмотря набольшое число приближенных моделей вихревого эффекта Ран-ка, до сих пор отсутствует полное понимание физических меха-низмов безмашинного энергоразделения газовых потоков, что за-трудняет оптимизацию работы существующих энергоразделяю-щих устройств и создание более эффективных устройств, осно-ванных на новых схемах течения. Настоящая работа направленана исследование нескольких перспективных схем организации те-чения и общих механизмов газодинамического энергоразделения.
Для иллюстрации основных механизмов энергоразделения за-пишем уравнение переноса полной энтальпии для вязкого тепло-проводного газа:
di0dt
=1
ρ
∂p
∂t+
1
ρ∇j(τ
ijVi) +1
ρ∇ · (λ∇T )
Здесь τ ij — тензор вязких напряжений, λ — коэффициент тепло-проводности, остальные обозначения общепринятые. Видно, чтоизменение полной энтальпии (а следовательно, и температурыторможения T0) в жидкой частице связано с действием дисси-пативных механизмов (вязкости и теплопроводности), а также снестационарностью течения. В стационарном течении невязкогонетеплопроводного газа полная энтальпия i0 = cpT +V 2/2 = cpT0
23
сохраняется вдоль линии тока (интеграл Бернулли) и энергораз-деление невозможно.
В докладе рассмотрены примеры течений, в которых в про-цессе энергоразделения существенную роль могут играть как эф-фекты теплопроводности, так и нестационарность потока. В пер-вой части доклада обсуждаются пути повышения эффективностисхемы энергоразделения стационарного газового потока, предло-женной в [2]. В этой схеме часть газа, втекающего в энергораз-деляющее устройство, проходит через сопло Лаваля и разгоняет-ся до сверхзвуковой скорости. Далее, до- и сверхзвуковой пото-ки газа, имеющие одинаковые исходные параметры торможенияи разделенные тонкой цилиндрической перегородкой, движутсяв цилиндрическом канале. Вследствие теплообмена между до- исверхзвуковым потоками осредненные температуры торможенияна выходе из устройства в этих потоках могут различаться нанесколько процентов. Основное преимущество такой схемы — ма-лые потери полного давления. Эффект энергоразделения в дан-ном случае обусловлен теплообменом между потоками газа, име-ющими существенно различные скорости. В случае теплоизоли-рованной пластины, разделяющей течения в до- и сверхзвуковомпограничных слоях, температура восстановления на различныхсторонах пластины может заметно различаться. Соответственно,при замене теплоизолированной пластины теплопроводной пере-городкой происходит теплообмен между разделенными течения-ми, что приводит к появлению разности осредненных температурторможения в газе, прошедшем до- и сверхзвуковой погранич-ные слои. В докладе представлены результаты параметрическихчисленных расчетов течения в до- и сверхзвуковом ламинарныхпограничных слоях, разделенных теплоизолированной, а такжетеплопроводной плоской стенкой. Показано, что для течений чи-стого газа эффективность энергоразделения может быть суще-ственно повышена (разность средних температур торможения впотоках по обе стороны пластины, отнесенная к исходной темпе-ратуре торможения может достигать 7%) при использовании сме-сей газов с малыми числами Прандтля (Pr ∼ 0.2). Исследованавозможность резкого повышения эффективности энергораздеде-ния за счет примеси жидких капель в сверхзвуковом пограничномслое. Рассмотрены режимы течения с наличием и отсутствиемиспарения капель. На основании численных расчетов в рамкахмодели двухфазного пограничного слоя показано, что для нор-
24
мальных газов (с числами Прандтля, как у воздуха) присутствиедаже очень малых (порядка процентов) массовых концентрацийжидкой конденсированной фазы в высокоскоростном погранич-ном слое может приводить к значительному снижению темпера-туры восстановления на адиабатической стенке и резкой (до 10%)интенсификации процесса энергоразделения в случае теплопро-водной стенки [3-4] .
Во второй части доклада, на примере задачи поперечного об-текания круглого цилиндра сжимаемым вязким газом в режи-ме периодического схода вихрей в ближний след, исследуетсявлияние нестационарности течения на процесс энергоразделения.На основе прямого численного решения двумерных уравненийНавье–Стокса для чисел Маха 6 0.6 и чисел Рейнольдса 6 103
исследована динамика зон повышенной и пониженной температу-ры торможения в ближнем следе за цилиндром [5]. Подтверждени объяснен парадоксальный экспериментальный факт сниженияравновесной температуры поверхности адиабатического цилин-дра вблизи задней критической точки до температур ниже ста-тической температуры набегающего потока [6]. Проведен деталь-ный анализ роли различных диссипативных механизмов, а такженестационарности течения на распределение осредненной по вре-мени температуры торможения газа в ближнем следе. Сформу-лированы некоторые идеи о возможности управления процессомэнергоразделения в нестационарных газовых потоках.
Работа поддержана грантом РНФ 14-19-00699.
Литература
1. Eiasma-ard S., Promvonge P. Review of Ranque-Hilsch effectsin vortex tubes // Renewable and sustainable energy reviews.2008. V. 12. N7. P. 1822-1842.
2. Леонтьев А.И. Газодинамический метод энергоразделениягазовых потоков // Теплофизика высоких температур. 1997.Т. 35. 1. С. 157-159.
3. Азанов Г.М., Осипцов А.Н. Влияние мелких испаряющихсякапель на температуру адиабатической стенки в сжимаемомдвухфазном пограничном слое // Изв РАН. МЖГ. 2016. 4.С. 67-78.
4. Azanov G.M., Osiptsov A.N. The efficiency of one method ofmashineless gasdynamic energy stratification in a gas flow //Intern. J. Heat Mass Transfer. 2017. V. 106. P. 1125-1133.
25
5. Aleksyuk A.I., Osiptsov A.N. Direct numerical simulation ofenergy separation effect in the near wake behind a circularcylinder // Intern. J. Heat Mass Transfer. 2017 (in press).
6. Eckert E., Weise W., Messungen der Temperaturverteilung aufder Oberflache schnell angestromter unbeheizter Korper //Forschung im Ingenieurwesen. 1942. V 13. N6. P. 246-254.
Симметрии фундаментальных решений и ихприменение в механике сплошной среды
А.В. АксеновМосковский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Симметрии линейного уравнения с частными производнымис δ-функцией в правой части называются симметриями фунда-ментальных решений. Соответствующая им группа непрерывныхпреобразований переводит фундаментальное решение в фунда-ментальное. Отметим, что фундаментальные решения определе-ны с точностью до решения однородного уравнения. В работе [1]было показано, что симметрии фундаментальных решений обра-зуют подалгебру алгебры Ли симметрий однородного уравнения.В работе также были предложены метод нахождения симметрийфундаментальных решений и алгоритм построения инвариант-ных фундаментальных решений. В настоящей работе представле-ны примеры применения симметрий фундаментальных решенийв механике сплошной среды.
Показано, что симметрии фундаментальных решений линей-ного гиперболического уравнения второго порядка с двумя неза-висимыми переменными оставляют инвариантной функцию Ри-мана сопряженного уравнения. Предложен метод построения фун-кции Римана.
Система уравнений одномерной газовой динамики для степен-ной зависмости давления от плотности в переменных годогра-фа сводится к гиперболическому уравнению Эйлера–Пуассона–Дарбу (ЭПД). Найдены симметрии фундаментальных решений и
26
построено инвариантное фундаментальное решение гиперболиче-ского уравнения ЭПД. На основании симметрий фундаменталь-ных решений построена функция Римана гиперболического урав-нения ЭПД. Функция Римана описывает взаимодействие двухцентрированных волн Римана.
Система уравнений, описывающая распространение длинно-волновых возмущений в абсолютно неустойчивых средах, в пере-менных годографа сводится к эллиптическому уравнению ЭПД.Показано, что фундаментальные решения эллиптического урав-нения ЭПД описывают периодические по пространственной пере-менной решения системы уравнений, описывающей распростра-нение возмущений в абсолютно неустойчивых средах. Найденысимметрии фундаментальных решений и построено инвариант-ное фундаментальное решение эллиптического уравнения ЭПД.
В работе [2] для трансверсально изотропной линейно-упругойсреды система уравнений равновесия в перемещениях была реду-цирована к системе из трех линейных неоднородных уравненийотносительно трех компонент вектора перемещений. Однороднымуравнениям соответствуют канонические линейные дифференци-альные уравнения с частными производными четвертого поряд-ка. Полученные канонические уравнения являются обобщениембигармонического уравнения, описывающего перемещения изо-тропной линейно-упругой среды. Для нахождения перемещенийтрансверсально изотропной линейно-упругой среды при наличиизаданной объемной силы, необходимо знать фундаментальные ре-шения канонических уравнений. Показано, что полученные кано-нические уравнения можно свести к одному уравнению заменойзависимых и независимых переменных. В работе [3] найдены сим-метрии фундаментальных решений этого уравнения и построенов элементарных функциях инвариантное фундаментальное реше-ние.
Литература
1. Аксенов А.В. Симметрии линейных уравнений с частны-ми производными и фундаментальные решения // Докла-ды АН. 1995. Т. 342. 2. С. 151–153.
2. Георгиевский Д.В. Обобщенное представление Галёркинадля трансверсально изотропной линейно-упругой среды //Прикладная математика и механика. 2015. Т. 79. 6. С. 883–887.
27
3. Аксенов А.В. Фундаментальное решение уравнений в пере-мещениях для трасверсально изотропной упругой среды //Доклады АН. 2016. Т. 470. 5. С. 514–518.
Моделирование и оптимизация в задачахдизайна тепловых оболочек
1,2Г.В. Алексеев, 3В.А. Левин, 2Ю.Э. Спивак,1Д.А. Терешко
1Институт прикладной математики ДВО РАН2Дальневосточный федеральный университет
3Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова[email protected]
В последние годы интенсивно развивается новое направлениев тепломассопереносе, связанное с разработкой технологий ди-зайна специальных функциональных устройств, служащих дляуправления потоками тепла. Одним из важнейших таких функци-ональных тепловых устройств является тепловая оболочка, пред-ставляющая собой область, имеющую вид сферического слоя (иликольца на плоскости R2), заполненную неоднородной и анизо-тропной в общем случае средой. В зависимости от поставленнойцели указанная тепловая оболочка может служить для тепловоймаскировки любого объекта, помещенного внутрь ее, либо, на-оборот, для концентрирования тепла в ее внутренности [1,2]. Одругих возможных целях построения проектируемых тепловыхоболочек можно прочитать, например, в [3,4].
При решении задач дизайна средств тепловой маскировки ли-бо концентрирования тепла применяются как эксперименталь-ные, так и теоретические методы. Большинство эксперименталь-ных исследований в этой области направлено на изучение воз-можностей и способов управления тепловыми потоками с помо-щью специально разрабатываемых для этой цели новых матери-алов (см. [1]). Теоретические исследования направлены на раз-работку методов дизайна тепловых функциональных устройств,служащих для управления потоками тепла. Применение теоре-тических методов приводит к необходимости решения обратных
28
задач для соответствующей модели теплопереноса. Указанные за-дачи заключаются в выборе параметров среды, заполняющей обо-лочку с заданной топологией исходя из некоторой дополнитель-ной информации о создаваемом тепловом поле, вытекающей изцели проектируемого устройства.
При некоторых упрощающих предположениях задачи дизайнафункциональных тепловых устройств были рассмотрены в рядеработ (см., например, [3,4] и ссылки там), где предложен метод по-строения точных решений, основанный на методе Фурье. Однакоэтот метод применим лишь при выполнении жестких упрощаю-щих предположений, обеспечивающих построение в явном видеточного или приближенного решения прямой задачи теплопере-носа.
В настоящей работе исследуются задачи управления для ста-ционарной модели теплопереноса. Указанные задачи возникаютпри разработке технологий дизайна тепловых оболочек, предна-значенных для маскировки материальных тел или концентрациитепла внутри оболочки. Особое внимание уделяется анализу сло-истых оболочек, состоящих из конечного числа слоев, каждыйиз которых заполнен однородной изотропной либо анизотропнойсредой. В частном случае однослойной однородной анизотропнойоболочки приводится и анализируется точное решение. С помо-щью оптимизационного метода рассматриваемые обратные зада-чи сводятся к задачам управления. Для их решения используетсяразработанный в [5,6] численный алгоритм, основанный на мето-де роя частиц, обсуждаются результаты вычислительных экспе-риментов.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект16-01-00365-а) и РНФ (проект 14-11-00079).
Литература
1. Narayana S., Sato Y. Heat flux manipulation with engineeredthermal materials // Phys. Rev. Lett. 2012. V. 108. 214303.
2. Guenneau S., Amra C., Veynante D. Transformation thermody-namics: cloaking and concentrating heat flux // Opt. Express.2012. V. 20. 8207.
3. Han T., Qiu C.-W. Transformation Laplacian metamaterials:recent advances in manipulating thermal and dc fields // Opt.2016. V. 18. 044003.
29
4. Алексеев Г.В. Проблема невидимости в акустике, оптике итеплопереносе. Владивосток: Дальнаука, 2016.
5. Алексеев Г.В., Левин В.А., Терешко Д.А. Оптимизацион-ный анализ задачи тепловой маскировки цилиндрическоготела // Докл. АН. 2017. Т. 472, N 4. С. 398–402.
6. Алексеев Г.В., Левин В.А., Терешко Д.А. Оптимизацион-ный метод в задачах дизайна сферических слоистых тепло-вых оболочек // Докл. АН. 2017. Т. 476, N 5.
Термомеханическая модель поведениянепроницаемой пористой среды с химически
активным наполнителем
М.В. Алексеев, Е.Б. СавенковФГУ ФИЦ «Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша
В работе рассматривается самосогласованная математическаямодель термомеханического поведения упругой среды, содержа-щей пустоты, заполненные химически активным веществом [1,2].
Для описания поведения вмещающей пустоты (поры) средыиспользуются уравнения термомеханики, описывающие совмест-ную эволюцию механических и температурных полей.
Процессы в порах описываются сосредоточенной моделью сучетом энерговыделения, химических реакций и условий фазо-вого равновесия. Модель состояния вещества в порах позволяетучитывать произвольное число компонент, которые могут нахо-диться в твердой и трех подвижных фазах (жидкой и газооб-разной углеводородных и водной). Распределение компонент пофазам определяется термодинамически согласованным способом,при этом любой подвижный компонент может присутствовать влюбой из подвижных фаз. Для описания термодинамического по-ведения компонент и фаз с учетом фазовых переходов использу-ются кубические уравнения состояния, распространенные в ин-женерной практике.
30
Указанные группы уравнений дополняются условиями согла-сования на границах пустот, которые имеют вид условий непре-рывности потоков энергии и импульса.
В силу допущений модели поведение системы описываетсядифференциальными уравнениями законов сохранения массы ком-понент и энергии, дополненными алгебраическими уравнениями,описывающими фазовое равновесие системы. Массы компонентизменяются за счет химических реакций, а внутренняя энергиясмеси изменяется благодаря притоку тепла из вмещающей сре-ды и тепловому эффекту химических реакций, протекающих впорах. Приток массы через границу пор в данной модели не рас-сматривается.
Таким образом, полная система уравнений для определениярешения задачи состоит из уравнений, описывающих состояниесреды; уравнений, описывающих состояние вещества в пустотахи условий согласования на границах пустот. При этом в матри-це рассматривается пространственное распределение параметров,описывающих состояние среды, а в пустотах соответствующие па-раметры являются сосредоточенными. Полная задача описываетпроцессы с существенно отличающимися характерными времена-ми, протекающие в областях различной пространственной раз-мерности, и является жесткой.
Для численного решения построенной системы уравнений пред-ложен вычислительный алгоритм на основе комбинации методадекомпозиции области и метода расщепления по физическим про-цессам. При этом для аппроксимации уравнений термоупругостииспользуется метод конечных элементов.
Схема алгоритма для одного шага по времени имеет следую-щий вид:
1) рассчитывается поле температуры в матрице путем инте-грирования уравнения теплопроводности термоупругой модели сизвестными граничными и начальными условиями;
2) по полученному полю температуры, а также известным дав-лениям в пустотах и граничным условиям определяются поля пе-ремещений, деформаций и напряжений в среде;
3) производится расчет объема пор исходя из полученного по-ля перемещений;
4) производится расчет изменения внутренней энергии веще-ства в порах с использованием ранее рассчитанного на шаге 1)поля температур;
31
5) производится расчет равновесного состава фаз, температу-ры и давления вещества в порах, насыщенности фаз и их компо-нентного состава.
В работе представлены результаты моделирования с исполь-зованием разработанного подхода.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российскогофонда фундаментальных исследований, проект 16-29-15078 офи_м.
Литература
1. Алексеев М.В., Кулешов А.А., Савенков Е.Б. Математи-ческая модель поведения непроницаемой пористой средыпри температурном воздействии //Препринты ИПМ им.М.В.Келдыша. 2017. N 35. 34 с.
2. Алексеев М.В., Кулешов А.А., Савенков Е.Б. Термомеха-ническая модель непроницаемой пористой среды с химиче-ски активным наполнителем // Математическое моделиро-вание, 2018 (принята к печати).
О влиянии нестационарного градиентатемпературы на движение жидкости в канале
В.К. АндреевИнститут вычислительного моделирования СО РАН, Красноярск
Изучаются однонаправленные движения жидкости в плоскомканале, описываемые формулами
u = (U(y, t)0, 0), θ = −A(y, t)x+ T (y, t),
p = −B(y, t)x+ P (y, t).(1)
Стационарные течения при A ≡ const исследованы уже давнои носят название решений Остроумова – Бириха [1]. В докладерешения вида (1) применяются для анализа движений в моде-ли Обербека – Буссинеска: а) одной жидкости в плоском каналес твёрдыми стенками или верхней свободной границей; б) двух
32
несмешивающихся жидкостей с общей границей раздела. На сво-бодной границе и поверхности раздела учтено влияние термока-пиллярных сил. Вид решения (1) позволяет на нижней твёрдойстенке (подложке y = 0) задавать произвольным образом неста-ционарный градиент температуры и тем самым управлять движе-нием жидкости в канале. Возникающие начально-краевые задачидля функций U(y, t), A(y, t) (для движений с поверхностью раз-дела Uj(y, t), Aj(y, t), j = 1, 2) являются обратными, посколькусодержат неизвестный градиент давления. Для этих задач полу-чены априорные оценки решения в равномерной метрике и указа-ны условия на входные данные, когда эти решения с ростом вре-мени выходят на стационарный режим. Численными методамипрослежена эволюция скоростей и температур для конкретныхжидкостей и толщины канала для различных заданий градиентаA(y, t) на твёрдых стенках.
Литература
1. Andreev V.K., Gaponenko Yu.A., Goncharova O.N., Pukhna-chev V.V. Mathematical Models of Convection. Berlin/Boston,Walter de Gruyter GmbH & CO KG, 2012.
Напряженно-деформированное состояние дискапри тепловом воздействии
М.А. Артемов, Е.С. Барановский, И.И. ПереяславскаяВоронежский государственный университет
Рассматривается задача определения напряженного и дефор-мированного состояния тонкого кругового диска, проявляющегоупругие и пластические свойства при тепловом воздействии.
В центральной области диска температурное поле являетсяоднородным и может изменяться. Температурное поле в дискеопределяется с учетом теплоотдачи на его границах. Изменениетемпературы по толщине диска не учитывается. Процесс измене-ния состояния диска считается квазистатическим. Принимаетсягипотеза о естественном состоянии диска.
33
Задача решается в рамках теории течения при выборе кусочно-линейного пластического потенциала общего вида, что позволяетучитывать пластическую сжимаемость. Принимается ассоцииро-ванный закон пластического течения и учитывается зависимостьпредела пластичности от температуры. Выбор кусочно-линейногопластического потенциала позволяет получить аналитическое ре-шение.
В области 0 6 r 6 a, где температура T = const, реализуютсяоднородные поля напряжений и деформаций.
Алгоритм решения задачи включает несколько шагов.Шаг 1. По формулам для упругого состояния диска и выбран-
ного условия пластичности в зависимости от величины радиусадиска определяем значения Tin и Tex температур центральнойобласти диска 0 6 r 6 a, для которых пластическая область за-рождается в области 0 6 r 6 a или на внешней границе дискаr = b.
Шаг 2. Из равенства Tin = Tex находим формулу для вы-числения значения радиуса диска bk, для которого пластическаяобласть одновременно зарождается в области 0 6 r 6 a и на гра-нице r = b.
Шаг 3. Если T < Tin и b > bk, или T < Tex и b < bk, то дискбудет находиться в упругом состоянии. Выполняем вычисленияи построение интересующих графиков.
Шаг 4. Если b > bk, то вычисляем температуру T2, при кото-рой на границе r = b выполняется условие пластичности.
4.1) Если Tin 6 T 6 T2, то вычисляем радиус упруго-пласти-ческой границы r = cin. В области 0 6 r 6 cin диск будет на-ходиться в пластическом состоянии, а в области cin 6 r 6 b —в упругом. В области 0 6 r 6 a выполняется условие полнойпластичности σr = σϕ = −k. В области a 6 r 6 cin выполняютсясмежные режимы пластичности. Например, для условия пластич-ности Треска — режим σϕ = −k. Режимы пластичности, соот-ветствующие сингулярным точкам кривой пластичности (кромережима σr = σϕ = −k) не реализуются.
4.2) Если T2 < T , то вычисляем радиусы упругопластическихграниц для внутренней и внешней пластических зон: cin и cex.Упругое состояние реализуется в области cin 6 r 6 cex, а в обла-стях 0 6 r 6 cin и cex 6 r 6 b — пластическое состояние.
Шаг 5. Если b < bk, то вычисляем температуру T1, при кото-рой на границе r = a выполняется условие σr = σϕ = −k.
34
5.1) Если справедливы неравенства Tex < T < T1, то вычис-ляем cex. В области 0 6 r 6 cex — упругое состояние, в областиcex 6 r 6 b — пластическое состояние. На границе k = b реализу-ется режим, определяемый давлением p на внешней границe.
5.2) Если T1 < T , то вычисляем cin и cex. Как и на шаге 4.2,в области cin 6 r 6 cex реализуется упругое состояние.
Для верификации результатов строятся графики для эквива-лентного напряжения, соответствующего допустимым режимампластичности, и график годографа вектора напряжений.
Предложенный алгоритм является общим для целого клас-са подобных задач. Аналогичная задача рассматривалась ранеедругими авторами для конкретных условий пластичности (Трес-ка, Шмидта), например, [1,2]. Однако практически не обсуждалсявопрос, связанный с определением полей пластических деформа-ций и наличием разрывов на границах, соответствующих сингу-лярным точкам кривых пластичности.
Важным элементом предложенного алгоритма является вери-фикация полученных результатов.
Литература
1. Orcan Y., Garner U. Elastic-plastic deformation of a centrallyheated cylinder // Acta Mechanica. 1991. Vol. 90. P. 61–80.
2. Dats E., Murashkin Е. On unsteady heat effect in center ofthe elastic-plastic disk // Lecture Notes in Engineering andComputer Science. 2016. Vol. 1. P. 69–72.
Решение автомодельных задач фильтрации газав водонасыщенном пласте
А.А. АфанасьевНИИ механики МГУ имени М.В. Ломоносова
Глобальное потепление – острая проблема, стоящая перед че-ловечеством. Для смягчения его последствий и уменьшения кли-матических изменений перспективной считается технология захо-ронения парниковых газов, в частности углекислого газа (CO2),
35
в проницаемых недрах Земли. Закачка газа в водонасыщенныйпласт приводит к многофазным неизотермическим течениям, со-пряжённых с фазовыми переходами. Нагнетаемый через вер-тикальную скважину газ, как более лёгкая фаза, поднимаетсявверх, скапливаясь и растекаясь вдоль кровли пласта. Исследо-вание данных нелинейных процессов также осложняется около-критическим термодинамическим состоянием газа. В настоящейработе в полной нелинейной постановке решены две автомодель-ные задачи, описывающие распространение газа от скважины впласт.
Во-первых, в пренебрежении силой тяжести решена одно-мерная краевая задача Римана в полупространстве (задача опоршне), описывающая неизотермическое течение CO2 от нагне-тательной скважины в водонасыщенный пласт. Для смешаннойсистемы уравнений фильтрации предложен асимптотический ме-тод исследования нелинейных волн – возможных волновых кар-тин, описывающих многофазное течение в пласте. Метод основы-вается на рассмотрении фильтрации при устремлении проницае-мости пласта к бесконечности. Решение задачи может состоять из3-х эволюционных фазовых разрывов, на каждом из которых вы-полняется условие Жуге, и 3-х простых волн Римана. На фазовойплоскости ограничены области качественно различных решений,взаимное расположение которых определяется околокритическимтермодинамическим состоянием CO2. Сравнение с численным ре-шением задачи в полной постановке подтвердило хорошую точ-ность построенной асимптотики.
Во-вторых, решена двухмерная нестационарная задача, опи-сывающая накопление лёгкой фазы газа у кровли пласта на на-чальном этапе закачки. В случае общего положения осесиммет-ричное течение CO2 и пластовой воды в окрестности вертикаль-ной скважины зависит от времени и двух пространственных пе-ременных – расстояния от скважины и глубины. В работе найде-ны нелинейные асимптотические решения данной задачи, зави-сящие только от двух автомодельных переменных, являющихсякомбинациями отмеченных размерных переменных. Асимптотикастроится в предположении значительной мощности пласта, еслипроцессы у его подошвы не влияют на течение газа вдоль кровли.В предположении несмешивающегося изотермического вытесне-ния определены параметры подобия. Показано, что тип двухмер-ной волновой картины в окрестности скважины зависит только
36
от двух безразмерных чисел и функций относительной фазовойпроницаемости. Первое из безразмерных чисел есть отношениевязкостей пластового флюида и газа, а второе – сложное безраз-мерное отношение абсолютных проницаемостей породы в верти-кальном и горизонтальном направлениях и других параметровзадачи. Методом прямого численного моделирования исследова-ны двухмерные волновые картины, описывающие распределениенасыщенности газа. Построены оценки для размеров области на-копления газа в зависимости от параметров подобия течения.
Исследования выполнены при финансовой поддержке РФФИ(проект 15-31-20585).
Вулканомеханика
А.А. Афанасьев, О. Э. Мельник, И. С. УткинНИИ механики МГУ имени М.В. Ломоносова
В докладе будут рассмотрены три модели вулканических из-вержений, учитывающие взаимодействие магмы с вмещающимипородами в процессе извержения.
В процессе экструзивных извержений происходит медленноевыдавливание лавового купола. Скорости подъема магмы неве-лики, поэтому существенны кристаллизация магмы и отделениегаза в свободную фазу. Существующие модели либо рассматрива-ли фильтрацию газа сквозь магму, либо в упрощенной постановке- отток газа в окружающие породы. В докладе будет представле-на совместная модель течения магмы в канале вулканы и геотер-мальной системы, окружающей канал [1]. Показано, что интен-сивность оттока вулканических газов в породы сравнима с ин-тенсивностью их переноса вместе с поднимающейся магмой. Учётоттока газа из магмы существенно влияет на динамику изверже-ния, в частности на период колебаний расхода магмы. Объясненоотсутствие корреляции измеряемых на поверхности расходов маг-мы и газа, наблюдаемое на многих вулканах.
Измерение деформаций земной поверхности, происходящие впроцессе вулканического извержения, являются одним из основ-ных методов мониторинга активных вулканов. Источником де-формаций служат процессы в системе очаг–канал, а также в
37
геотермальных системах, прогреваемых магмой. Роль очага и,в меньшей степени, канала при деформировании окружающихпород достаточно хорошо изучена теоретически, однако влияниегеотермальной системы на измеряемые деформации в процессевулканического извержения ранее не рассматривалось. В [2] срав-ниваются деформации от двух инициирующих деформации ис-точников: щелевого канала с заданным избыточным давлением игеотермальной системы, прогрев которой осуществлялся за счеттечения магмы. Показано, что вертикальные деформации вслед-ствие активности геотермальной системы могут в разы превосхо-дить деформации, связанные с течением магмы. Пространствен-ное распределение деформаций также существенно различается.При деформациях, вызванных геотермальной системой, макси-мум вертикального перемещения находится над щелевым кана-лом, в случае же изменения давления в канале над ним наблюда-ется локальное опускание поверхности, а ее максимальное подня-тие располагается на расстоянии, примерно вдвое превышающемглубину залегания верхней части щелевого канала. Влияние гео-термальной системы необходимо учитывать при интерпретацииданных мониторинга активных вулканов.
Вулканическая активность часто проявляется в виде цикловкоротких взрывных извержений, сопровождающихся выбросомпепла и газа в атмосферу; в промежутках между извержениямиактивности практически не наблюдается. Извержения такого ти-па происходят на вулканах Santiaguito в Гватемале, Карымскийна Камчатке и некоторых других. Канал вулкана при таких из-вержениях большую часть времени закрыт твёрдой лавовой проб-кой, образующейся в результате дегазации и охлаждения столбамагмы. В магме под пробкой растворено большое количество газа,который при падении давления образует свободную фазу и филь-труется через пузырьки, образующиеся в магме. Циклический ха-рактер извержений можно объяснить наличием газовой полостипод пробкой. Газ фильтруется в эту полость, давление под проб-кой растёт до некоторого критического значения. Тогда пробканачинает подниматься вверх, освобождая каналы для движениягаза. За короткое время в атмосферу выбрасывается большое ко-личество газа, давление под пробкой падает. Даление в полостибудет падать до значения, при котором произойдет обратное дви-жение пробки: она опускается вниз, и на этом цикл завершается.
38
Литература
1. О.Э. Мельник, А.А. Афанасьев, Г.А. Зарин. Дегазация маг-мы при подъёме по каналу вулкана, пересекающему водона-сыщенные породы. Доклады Академии наук, 468(2):162–165,2016.
2. Г.А. Зарин, О.Э. Мельник, Ю.Д. Цветкова, А.А. Афанасьев.О влиянии геотермальной системы на деформации земнойповерхности во время вулканического извержения. Вычис-лительная механика сплошных сред, 8(1):16–23, 2015.
Концентрационные пределы распространенияпламени в метановоздушных смесях с
углеводородными добавками
1Н. Е. Афонина, 2В. Г. Громов, 3В.А. Левин,4И. С. Мануйлович, 5В.В. Марков, 6Г.Д. Смехов,
7А.Н. Хмелевский1,2,3,4,6,7НИИ механики МГУ имени М.В. Ломоносова
3,4,5,7ЦАГИ имени Н.Е. Жуковского5МИАН имени В.А. Стеклова РАН
[email protected]@[email protected]
Взрывоопасность работ по добыче и переработке угля, нефтии газа обусловлена рядом факторов, в числе которых одним изопределяющих является превышение концентрационных преде-лов распространения (КПР) пламени. При этом основным горю-чим компонентом, содержащимся во взрывоопасной смеси, явля-ется метан, а содержание других дополнительных горючих ком-понентов может изменяться в зависимости от месторождения. На-личие углеводородов приводит к расширению диапазона взрыво-опасных концентраций метановоздушной смеси.
39
В работе представлены результаты исследования концентра-ционных пределов распространения (КПР) пламени в метановоз-душных смесях с добавками водорода, ацетилена и бутана, кото-рые могут содержаться в составе рудничного газа. Исследованияпроводились в сферической камере сгорания. Все опыты выпол-нены при начальном атмосферном давлении, комнатной темпе-ратуре и нормальной влажности воздуха. В экспериментах ис-пользовался метан высокой чистоты, содержащий не более 0.07%примесей азота. Абсолютная точность приготовления компонен-тов смеси в исследуемом составе составляла по объемной концен-трации 0.04%. Горение смесей инициировалось в центре сферывзрывом проволочки. Основным измеряемым параметром явля-лось давление, регистрируемое в процессе распространения пла-мени датчиками, установленными в экваториальной плоскостина стенке сферической камеры сгорания. Считалось, что пламясформировалось (был достигнут КПР пламени), если начальноедавления в смеси после завершения горения возрастало на 5% иболее.
В результате проведенного исследования установлено, что:1. Нижние концентрационные пределы распространения пла-
мени для бинарных топлив метан-водород, метан-ацетилен, итрехкомпонентного топлива метан-ацетилен-бутан с 16% точно-стью соответствуют значениям КПР пламени, предсказываемымправилом А. Ле-Шателье с различными наборами констант.
2. Временные развертки сигналов давления разделяются надва характерных класса по виду кривой нарастания давления домаксимума: с наличием и отсутствием явно выраженного изломана развертке. Сформулирован критерий появления характерногоизлома на записи развертки давления и получено соответствую-щее ему пороговое значение средней скорости распространенияпламени.
3. Результаты измерений времен сгорания можно представитьв безразмерных координатах. Получена универсальная экспери-ментальная кривая зависимости нормированного времени сгора-ния метановоздушных смесей от значения числа А. Ле-Шательееё состава. Она позволяет определить время сгорания смеси присферическом распространении пламени в камерах произвольногорадиуса.
Работа выполнена в соответствии с планом исследований НИИмеханики МГУ при частичной финансовой поддержке гранта Ми-
40
нистерства образования и науки РФ (договор 14.G39.31.0001 от13.02.2017 г.), Совета по грантам Президента РФ (проект НШ-8425.2016.1) и Российского фонда фундаментальных исследова-ний (проект 16-29-01092).
Спектры сигналов пульсаций давления газа всоплах с дефлектором
1Н. Е. Афонина, 2В. Г. Громов, 3В.А. Левин,4И.С. Мануйлович, 5В.В. Марков, 6А.Н. Хмелевский
1,2,3,4,6НИИ механики МГУ имени М.В. Ломоносова3,4,5,6ЦАГИ имени Н.Е. Жуковского5МИАН имени В.А. Стеклова РАН
[email protected]@[email protected]
Кольцевые и линейные двух щелевые сопла с внутренним де-флектором рассматриваются в качестве перспективных для ре-ализации пульсирующего, в том числе детонационного, режи-ма сжигания топлив. Исследование спектров сигналов пульсацийдавления газа в них представляет интерес для выяснения зави-симости спектрального состава пульсаций от геометрических па-раметров сопел и условий течения в них с целью управления ча-стотой процесса.
В работе представлены результаты расчетно-эксперименталь-ного исследования зависимости частоты и амплитуды колебанийдавления газа на стенке дефлектора от условий на входе и выходеиз сопла и его геометрии. Расчеты проведены с использованиемхимически неравновесной термохимической модели, включающейвсе основные продукты горения стехиометрической смеси ацети-лена в воздухе. Эксперименты с кольцевыми соплами выполненыв импульсном аэродинамическом стенде с использованием в каче-стве рабочего газа воздуха и продуктов сгорания ацетиленовоз-душной смеси. В экспериментах стартовые возмущения давленияна тяговой стенке после запуска сопла не затухали, а переходи-ли в квазипериодический режим. Аналогичные режимы течений
41
были получены и в расчетах, выполненных на основе уравненийНавье-Стокса для многокомпонентной реагирующей газовой сре-ды.
В результате проведенного исследования для базовой конфи-гурации кольцевого сопла экспериментально установлена основ-ная доминирующая частота спектра (22 кгц), качественно под-твержденная расчетами (30 кгц). Численное исследование зави-симости частоты и амплитуды колебаний параметров течения вуказанных соплах показало, что управление основной доминиру-ющей частотой наиболее эффективно может осуществляться какза счет пропорционального увеличения масштаба сопла (часто-та уменьшается пропорционально), так и размера критическогосечения и высоты дефлектора, независимо от высоты полета –противодавления в пространстве истечения. Использование ука-занных регулировок позволило продемонстрировать возможностьизменения основной доминирующей частоты пульсаций давленияв исследованных соплах в пределах 7–30 кгц.
В расчетах впервые предсказано существование квазиперио-дических пульсирующих режимов течения газа в линейных двухщелевых соплах и определёна основная доминирующая частотапульсаций (≈25 кгц) давления газа на тяговой стенке сопла.
Работа выполнена в соответствии с планом исследований НИИмеханики МГУ при частичной финансовой поддержке гранта Ми-нистерства образования и науки РФ (договор 14.G39.31.0001 от13.02.2017 г.), Совета по грантам Президента РФ (проект НШ-8425.2016.1) и Российского фонда фундаментальных исследова-ний (проект 16-29-01092).
Внешняя алгебра и внешний анализ в теорииблочного элемента
В.А. Бабешко, О .М. Бабешко, О. В. ЕвдокимоваКубанский государственный университет
Понятие «внешняя алгебра» впервые было введено Грассма-ном. Внешняя алгебра — это алгебраический аппарат для описа-ния порождения многомерных пространств одномерными. При-менение внешней алгебры для исследования и решения гранич-
42
ных задач для систем дифференциальных уравнений в част-ных производных топологическим методом в областях с границейвпервые было осуществлено в работе [1]. До выхода этой работыни в отечественной, ни в зарубежной печати не было опублико-вано работ, посвященных применению одновременно топологиче-ских и факторизационных методов, в граничных задачах, что де-тально разъяснено в [2]. В работе [1] внешняя алгебра послужилалишь средством, позволившим свести систему дифференциаль-ных уравнений в частных производных к новому типу функци-ональных уравнений. В процессе этих построений были исполь-зованы внешние формы. Дальнейшие преобразования в этой ра-боте были связаны уже не с внешней алгеброй, а с математиче-ским анализом нового типа функциональных уравнений, потре-бовавших разработки методов дифференциальной факторизацииматриц-функций, с элементами, зависящими от нескольких ком-плексных переменных, преобразованных внешних форм в резуль-тате вычисления форм-вычетов Лере, реализации автоморфизма,построение псевдодифференциальных уравнений, их исследова-ние, извлечение из них интегральных уравнений и разработкиспособов их решения. Все это уже никак не вкладывается в за-дачи и возможности внешней алгебры. Поэтому все повторяющи-еся однотипные действия при применении топологических мето-дов в граничных задачах, начиная от факторизации функций иматриц-функций, вычисления форм-вычетов Лере, и вплоть допостроения представлений решений граничных задач названо ав-торами «внешним анализом».
Внешний анализ был применен в большом числе работ, какчисто теоретических, так и прикладных. Следующим этапом ис-следований в этой области, также использующим внешний ана-лиз, явилось построение метода блочного элемента [3], подхо-да, позволяющего строить решение граничных задач для системдифференциальных уравнений в частных производных с посто-янными или переменными коэффициентами в областях, являю-щихся результатом разделения области задания граничной зада-чи на части, с последующим «склеиванием» (построение фактор-топологий соответствующих топологических пространств) полу-ченных на них решений. Наиболее важные прикладные результа-ты получены при исследовании блочных структур, среди которыхзадачи для тел с покрытиями, имеющими скрытые дефекты. Сприменением внешнего анализа обнаружен новый тип землетря-
43
сения, названного стартовым, поскольку оно может произойти дотого, как сближающиеся литосферные плиты начнут взаимодей-ствовать. Разрушение происходит в связи с появлением в зонеконцентрации контактных напряжений сблизившихся литосфер-ных плит сингулярных составляющих [4]. В докладе излагаютсяновые результаты применения внешней алгебры и внешнего ана-лиза в проблеме оценки возможности стартового землетрясенияпри вертикальных и горизонтальных воздействиях на литосфер-ные плиты.
Отдельные фрагменты работы выполнены в рамках реали-зации Госзадания на 2017 г. проекты (9.8753.2017/БЧ) и приподдержке грантов РФФИ (15-01-01379), (15-08-01377), (16-41-230214), (16-41-230218), (16-48-230216), (17-08-00323).
Литература
1. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Метод факторизации решениянекоторых краевых задач // ДАН. 2003. Т. 389. 2. С.184–188
2. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М. О связифакторизационных методов с другими подходами в теориидифференциальных и интегральных уравнений // ДАН.2015. 2015. N 463, 1. C. 32–35
3. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В. К теорииблочного элемента // ДАН. т. 427, 2, 2009. С. 183–186
4. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М. К проблемефизико-механического предвестника стартового землетря-сения: место, время, интенсивность // ДАН. 2016. Т. 466. 6. С. 664–669.
Точное решение для одномерного течения газав гомобарическом приближении
Д.М. Балапанов, А.А. ВедерниковMicrogravity Research Center, Universite libre de Bruxelles, Belgium
44
Принято считать, что сжимаемые среды ведут себя аналогич-но несжимаемым при малых числах Маха. Однако, можно приве-сти ряд течений свойственных только газам, но вызванных мед-ленными, по сравнению с распространением звука, изменениямиплотности. Среди них: установившиеся течения с подвижнымиили проницаемыми границами; тепловое расширение/сжатие устенки с переменной температурой; потоки типа Стефановско-го, вызванные химическими реакциями и фазовыми переходамина стенках или взвешенных частицах. Найдены точные аналити-ческие решения, описывающие динамику газов при медленныхизменениях плотности.
Решения найдены для одномерной геометрии, что характер-но для условий микрогравитации, и симметричных источникови границ. При медленном изменении плотности газа давление вгазе можно считать однородным (гомобарическое приближение).При указанных допущениях, уравнение импульса удовлетворяет-ся автоматически [1]. В предположении, что конвективный пере-нос тепла пренебрежим по сравнению с молекулярным, уравне-ние энергии переходит в уравнение теплопроводности и решаетсянезависимо относительно температуры.
Давление находится из условия сохранения массы во всем объ-еме среды с использованием уравнение состояния идеального газадля связи плотности с давлением. Явное выражение получаетсякак следствие того, что давление не зависит от координаты и вы-ходит из-под знака интегрирования. Выражение для скорости га-за получается из условия сохранения массы в выделенном объеме,как для скорости поверхности, заключающей постоянную массугаза. Таким образом, получаются общие решения для давления искорости, включающие подвижные границы, источники массы ипеременную температуру газа.
В качестве наглядного примера приведем решение для тече-ния газа в плоской щели ширины L, вызванного изменением тем-пературы стенок T1(t) и T2(t) во времени [2]. Источники массыотсутствуют. При больших числах Фурье профиль температурылинейный и решение для скорости имеет вид
u = L
(T
ln(T/T1)
ln(T2/T1)− xT2
)T2/T2 − T1/T1
T2 − T1, (1)
где точкой обозначено дифференцирование по времени t, а 0 6x 6 1 это безразмерная координата поперек щели. Показано, что
45
при небольших ∆T профиль скорости упрощается до параболи-ческого:
u =T2 − T1
2T2 T (x− 1)xL, (2)
В работе найдены частные решения для различных термиче-ских граничных условий, для подвижных и проницаемых стенок,для объемных источников массы, а также для ряда комбинацийданных эффектов. Полученные решения могут быть полезны длявалидации численных методов в динамике сжимаемых сред прималых числах Маха. Результаты работы имеют приложение вточных измерениях кинетических коэффициентов и транспорт-ных свойств частиц. Предложенная методика наглядна, и можетбыть включена в университетские курсы механики сплошной сре-ды, поскольку позволяет получать частные точные решения дляряда постановок с использованием лишь интегрального исчисле-ния. Все полученные решения совпадают с аналогичными чис-ленными решениями полной системы уравнений сохранения, вы-полненными в пакете ANSYS Fluent.
Авторы признательны за поддержку Европейскому Космиче-скому Агентству и Бельгийскому Федеральному Министерствунауки и культуры.
Литература
1. С.Г. Черкасов. Теплофизика высоких температур, Т. 48,Вып. 3, СС. 422–426.
2. A. Vedernikov and D. Balapanov, Phys. Rev. E 94, 053121,2016.
Задача о движении нелинейно-вязкой жидкостипри условии проскальзывания порогового типа
Е.С. БарановскийВоронежский государственный университет
46
Рассмотрим краевую задачу, описывающую стационарное те-чение несжимаемой нелинейно-вязкой жидкости в ограниченнойобласти Ω ⊂ R3 с непроницаемой твердой границей Γ при усло-вии проскальзывания порогового типа [1] на участке границы Γ0
и условии прилипания на Γ \ Γ0:
(v · ∇)v − div(ψ(I2[v])Dv
)+∇p = f в Ω, (1)
∇ · v = 0 в Ω, (2)
v = 0 на Γ \ Γ0, (3)
v · n = 0, |(Sn)tan| 6 q на Γ0, (4)
|(Sn)tan| < q =⇒ vtan = 0 на Γ0, (5)
|(Sn)tan| = q =⇒ vtan ↑↓ (Sn)tan на Γ0, (6)
где v — скорость, p — давление, f — объемные силы, Dv — тензорскоростей деформации, Dv =
(∇v + (∇v)T
)/2, функция I2[v] —
второй инвариант Dv, I2[v] = |Dv|2, через S обозначен девиатортензора напряжений, S = ψ(I2[v])Dv, ψ : [0,+∞) → [0,+∞) иq : Γ0 → (0,+∞) — заданные функции, n — единичный векторвнешней нормали к Γ, vtan = v− (v ·n)n. Запись ↑↓ используетсядля обозначения противоположно направленных векторов.
Примем следующие предположения:(i) граница области Ω локально-липшицева и meas(Γ\Γ0) > 0;(ii) имеют место включения: f ∈ L2(Ω) и q ∈ L2(Γ0);(iii) функция ψ непрерывна и существуют константы a1 и a2
такие, что 0 < a1 6 ψ(r) 6 a2, r ∈ [0,+∞);(iv) для любых симметрических 3× 3-матриц A и B выпол-
нено неравенство:
3∑i,j=1
(ψ(|A|2)Aij − ψ(|B|2)Bij
)(Aij −Bij) > 0.
Нас будут интересовать слабые (обобщенные) решения крае-вой задачи (1)–(6). Введем гильбертово пространство
X(Ω) = u ∈ H1(Ω) : ∇ · u = 0, u|Γ · n = 0, u|Γ\Γ0= 0,
где H1(Ω) — пространство Соболева вектор-функций u : Ω → R3.
47
Определение. Слабым решением краевой задачи (1)–(6) на-зовем вектор-функцию v ∈ X(Ω), удовлетворяющую неравенству
−3∑i=1
(viv,
∂(u− v)
∂xi
)L2(Ω)
+(ψ(I2[v])Dv,D(u− v)
)L2(Ω)
+
∫Γ0
q|u| dΓ0 > (f ,u− v)L2(Ω) +
∫Γ0
q|v| dΓ0 ∀u ∈ X(Ω). (7)
Замечание 1. Если вектор-функция v и функция p удовле-творяют соотношениям (1)–(6), то нетрудно проверить, что вы-полнено неравенство (7) и, следовательно, v является слабым ре-шением. С другой стороны, если слабое решение v0 окажется до-статочно регулярным, то найдется функция p0 такая, что пара(v0, p0) будет удовлетворять (1)–(6).
Замечание 2. Различные постановки краевых задач (в томчисле задач со свободным пристенным скольжением) для урав-нений нелинейно-вязких жидкостей приводятся в [2,3].
Сформулируем теперь основной результат работы.Теорема. Пусть выполнены условия (i)–(iv). Тогда:a) задача (1)–(6) имеет по крайней мере одно слабое решение,b) любое слабое решение v удовлетворяет равенству:∫
Ω
ψ(I2[v]
)I2[v] dx+
∫Γ0
q|v| dΓ0 =
∫Ω
f · v dx.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фунда-ментальных исследований, проект 16-31-00182 мол_а.
Литература
1. Fujita H. A mathematical analysis of motions of viscous in-compressible fluid under leak or slip boundary conditions //RIMS Kokyuroku. 1994. Vol. 888(1). P. 199–216.
2. Литвинов В. Г. Движение нелинейно-вязкой жидкости. М.:Наука, 1982.
3. Baranovskii E. S., Artemov M. A. Existence of optimal controlfor a nonlinear-viscous fluid model // Int. J. Differ. Equ. 2016.Vol. 2016. Article ID 9428128. P. 1–6.
48
Анализ уравнений, описывающих волны втрубах с упругими стенками
И.Б. БахолдинИПМ им. М.В.Келдыша РАН, Москва
Рассматриваются одномерные уравнения, описывающие осе-симметричные течения в трубах с упругими стенками. Уравнениядвижения стенок трубы были получены на основе полных урав-нений мембраны с использованием начальной Лагранжевой про-дольная координата. Для материала стенок применялась нели-нейная модель гиперупругого тела. Такая модель обычно исполь-зуется в тех случаях, когда образец можно растянуть многократ-но без его разрушения, в данном случае это могут быть крове-носные сосуды или трубки из резиноподобных материалов. За-висимость напряжения от растяжения определяется потенциа-лом, подбираемым на основе экспериментальных данных. Обыч-ная линейная и нелинейная упругость также может быть описанас помощью такого потенциала, таким образом, теоретические ре-зультаты исследования могут применяться и для обычных метал-лических трубопроводов. Предложено дополнительно учитыватьжесткость стенок трубы на изгиб на основе локальной линеари-зации уравнений. Это позволяет добиваться корректности урав-нений и в случае продольного сжатия стенок трубы. Предложе-ны способы учета сжимаемости материала стенок трубы, учетавязкости материала стенок и наполнителя. Рассмотрены случаизаполнения трубы жидкостью и газом. Частным случаем газона-полненной трубы можно считать модель с контролируемым дав-лением. Анализируется число и вид дисперсионных кривых длякаждого случая. На основе этого анализа делаются предположе-ния о возможном характере решений задачи о распаде произволь-ного разрыва.
Численно решена задача о распаде произвольного разрыва вслучае контролируемого давления, заполнения трубы жидкостьюи заполнения газом. Во всех случаях полученные результаты со-ответствуют ранеее разработанной теории обратимых и слабодис-сипативных структур разрывов. Обнаружены все основные ти-пы обратимых структур разрывов. Для случая контролируемогодавления также численно исследована устойчивость уединенныхволн.
49
Анализируется возможность опрокидывания волн. В резуль-тате этого анализа делается вывод о том, что упругие волны мо-гут опрокидываться, и это допустимо с физической точки зрения,и в случае контролируемого давления такие решения пригодныдля описания реальных явлений. Гидродинамические и газодина-мические волны не опрокидываются.
Применялись численные схемы, опробованные ранее на боль-шом числе уравнений, описывающих среды со сложной дисперси-ей: трехслойная схема типа "крест"и двухслойная схема предик-тор-корретор с аппроксимацией временных производных по мето-ду Рунге-Кутты. В случае контролируемого давления и заполне-ния газом при расчете аппроксимируются непосредственно исход-ные уравнения и применяются явные схемы. В случае заполненияжидкостью делается преобразование уравнений для исключениядавления и применяется неявная схема. Для решения уравнений,описывающих распространения волн в трубах, была разработанаметодика коррекции численных схем посредством добавления вуравнения членов с высшими производными. При данной методи-ке не меняется порядок аппроксимации. Методика обеспечиваетнизкую схемную диссипацию и может применяться для нахожде-ния решений широкого круга уравнений с дисперсией недиссипа-тивного типа или со слабой диссипацией.
Для случаев заполнения жидкостью и газом и для случая кон-тролируемого давления выведены упрощенные гиперболическиеуравнения длинных волн. Для таких уравнений возможно опро-кидывание газодинамических и гидродинамических волн, требу-ющее учета физической вязкости или использования специаль-ных численных методов, позволяющих находить обобщенные ре-шения с разрывами необратимого типа. Для случаев заполненияжидкостью и газом выведены уравнения волн малой амплиту-ды без учета продольных упругих волн, аналогичные уравнениямБуссинеска. В этом случае опрокидывания нет и можно приме-нять стандартные метода расчета недиссипативных систем урав-нений. Расчет и анализ решений уравнений такого типа проводил-ся ранее при разработке теории обратимых структур разрывов.
Работа поддержана Российским фондом фундаментальныхисследований, номер проекта 15-01-04357а.
50
Математическое моделирование пористыхпластов
Д.Е. БобылевКриворожский национальный университет, Украина
Математическое моделирование процесса разработки нефтя-ного месторождения, смоделированного кусочно-однородным огра-ниченным пористым пластом, заключается в составлении и реше-нии системы дифференциальных уравнений в частных производ-ных, которая его описывает и дополненной начальными условия-ми (существовавшими до начала разработки), краевыми услови-ями (на поверхностях, ограничивающих полости с внешних сто-рон, и на стенках скважины внутри пласта) и условиями контактамежду зонами, имеют различные, но постоянные физические ха-рактеристики. Предположив, что толщина пласта и ее изменениедовольно малы по сравнению с его размерами в горизонтальнойплоскости вдоль осей, вертикальной составляющей скорости дви-жения жидкости можно пренебречь и решать двумерные уравне-ния движения для протяженных пластов с переменной толщиной.Основная распространенная сегодня модель однородного по па-раметрам неограниченного пласта не всегда адекватно описываетреальную среду и процессы, происходящие в нем при разработкенефтяного месторождения. Для оценки влияния изменения ко-эффициентов гидро- и пъезопроводности различных зон необхо-димо рассматривать модель кусочно-однородного ограниченногопласта.
Построена математическая модель изменения во времени дав-ления в двумерном кусочно-однородном пористом пласте с кри-волинейной границей с учетом идеального контакта на границераздела сред. Для нахождения решения задачи использован ме-тод граничных элементов совместно с временной схемой последо-вательности начальных условий, что позволило точно удовлетво-рить уравнения во всей исследуемой области и контролироватьпогрешность удовлетворения граничных условий на ее границахи на границах раздела сред. Осуществлена программная реализа-ция предложенного численно-аналитического подхода и проведенряд исследований влияния физических и временных параметровна распределение давления в пласте.
51
Об идентификации свойствфункционально-градиентногопьезополимерного цилиндра
И.В. Богачев, А.О. ВатульянЮжный федеральный университет
В современной промышленности активно используются слож-ные многосоставные материалы и конструктивные элементы, об-ладающие свойствами пьезокерамики, металлов и полимеров. Ктаким материалам относятся функционально-градиентные пьезо-электрики (ФГПЭ), которые широко используются в устройствахумных систем в авиастроении, космических технологиях, атомнойэнергетике, медицине и других отраслях науки и промышленно-сти. Важным свойством ФГПЭ является непрерывное изменениеэлектрических и механических свойств, зависящих от координат,причем свойства могут варьироваться в довольно больших диа-пазонах, что позволяет создавать материалы, применимые длярешения многих практических задач. Также, значительное вни-мание посвящено функционально-градиентным пьезополимерам(ФГПП), отличительными свойствами которых являются значи-тельные коэффициенты затухания, низкая теплопроводность, на-дежность и долговечность при циклических нагружениях, явля-ющихся одними из самых распространенных на практике. Важ-ной практической задачей при использовании таких материаловявляется решение задач идентификации законов изменения ихсвойств по данным о компонентах электрических и механическихполей.
В настоящем исследовании представлено решение новой об-ратной задачи идентификации свойств функционально-градиент-ного пьезокерамического цилиндра с радиальной поляризаци-ей при наличии эффекта затухания. При моделировании счи-талось, что неоднородные законы изменения физических харак-теристик (комплексных аналогов упругих модулей и электриче-ских характеристик) являются функциями радиальной координа-ты. Определяющие соотношения электроупругости для пьезопо-лимера сформулированы на основе концепции комплексных мо-дулей аналогично с использованием принципа соответствия и мо-дели стандартного вязкоупругого тела. Рассматривался случай,
52
при котором электроды на поверхности цилиндра отсутствуют,установившиеся колебания возбуждаются нормальной механиче-ской нагрузкой, приложенной к боковой поверхности цилиндра.В связи с этим после исключения компоненты электрическогопотенциала (путем интегрирования уравнения электростатики)из основных уравнений электроупругости была получена крае-вая задача второго порядка относительно радиального смещенияи комплексных модулей, характеризующих механические свой-ства цилиндра. Обратная задача заключалась в идентификациимгновенных и длительных модулей, входящих в состав исходныхкомплексных модулей, по дополнительной информации о значе-ниях функции смещения в некоторой точке поверхности цилин-дра в наборе частот. Для решения обратной задачи представленспециальный подход - метод алгебраизации, при котором иско-мые функции представлялись в виде разложений по некоторымсистемам линейно независимых функций. После подстановки раз-ложений в исходные уравнения колебаний обратная задача сво-дилась к решению системы линейных уравнений относительнокоэффициентов разложения функции смещения и последующемрешении системы нелинейных уравнений относительно коэффи-циентов разложения функций мгновенных и длительных моду-лей. Представлены результаты вычислительных экспериментовпо восстановлению функций различного характера, демонстри-рующих эффективность предложенного подхода.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фунда-ментальных исследований (проект 16-01-00354 А) и МинобрнаукиРФ (проект 9.4726.2017/8.9).
Некоторые аналитические подходы кисследованию задач газовой динамики,квалифицированных Л.И. Седовым, как
трудные
А.Н. БогдановМосковский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Рассматривается возможность аналитического подхода к ис-следованию задач динамики ударных волн в газовых средах (в
53
том числе задачи о поршне). Анализируются известные и пред-лагаются оригинальные аналитические методы исследования.
Задача о поршне в газовой динамике является классической.Л.И. Седовым она отнесена к числу трудных и в общем случаепри непрерывных ускоренных движениях газа решаемой толькос помощью численных расчетов на машинах [1].
Автором доклада предлагается аналитических подход к по-лучению решения задачи в общем случае вдвижения поршня вобъем, занимаемый газом. Предлагаемый метод основан на инте-грировании малых отклонений параметров процесса как откли-ков на малые изменения скорости движения поршня.
Такой метод возможно применить к исследованию других за-дач динамики ударных волн при произвольном изменении пара-метров среды распространения разрыва, начальных и граничныхусловий процесса. В частности, указанным методом может бытьполучена аналитическая зависимость скорости ударной волны,при ее распространении в среде со стратификацией плотности итемпературы, как функции плотности перед фронтом волны.
Результаты исследования динамики ударных волн в неодно-родных средах также приведены [2], однако только для частногослучая, а примененный метод нахождения решения оставлял во-просы о справедливости полученных результатов.
Имеющиеся автомодельные решения [2] отвечают частнымслучаям распространения ударной волны по среде с монотоннымизменением плотности по степенному или экспоненциальному за-кону.
Исследование [3], посвященное безударному сжатию в слои-стых системах оболочек, проведено несколько для других целейи в других условиях. Именно, слои считаются несжимаемыми,скорости в них постоянными по пространству, противодавлениена свободных границах отсутствует, в возникающем течении всевещество в рассматриваемой области за характерное время кол-лапсируется в одной точке, необходимым условием, определяю-щим организуемое течение, является со-хранение энтропии длявысокой экономичности процесса и т.д. Результатом проведенногоисследования является определение величины кумулирующейсяэнергии и выявление ее зависимости от параметров конструкцийи способов энерговложения.
Работа выполнена по плану исследований НИИ механики МГУпри частичной финансовой поддержке гранта Министерства Об-
54
разования и Науки РФ (договор 14.G39.31.0001 от 13.02.2017г.),Совета по грантам Президента РФ (проект НШ 8425.2016.1) иРФФИ (проект 16 29 01092).
Литература
1. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т.1. – М.: Наука,1976.
2. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. – М.: Мир, 1977.3. Долголева Г.В., Забродин А.В. Кумуляция энергии в сло-
истых системах и реализация безударного сжатия. – М.:ФИЗМАТЛИТ, 2004.
Математическая модель и вычислительныеалгоритмы для моделирования развитиятрещины ГРП в трехмерной постановке
В.Е. Борисов, А. И. Иванов, Б. В. Критский,И.С. Меньшов, Е.Б. Савенков
Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН[email protected]
Гидравлический разры пласта (ГРП) является одним из наи-более распространенных методов увеличения нефтеотдачи. По су-ществу процедура ГРП заключается в создании крупномасштаб-ной (длина ∼ 100м, высота ∼ 10м) трещины в толще нефтегазо-носного пласта путем закчки в пласт специальной жидкости раз-рыва. Созданная трещина играет роль высокопроводящего кана-ла, обеспечивающего интенсивный приток пластового флюида кскважине. Анализ и предсказание геометрических и фильтраци-онных свойств трещины ГРП является в настоящее время важнойи не до конца решенной задачей. Существующие процедуры дляанализа эволюции трещины ГРП в основном используют сильноупрощенные математические модели.
В настоящей работе предлагается математичекая модель раз-вития трещины ГРП в полностью трехмерной постановке, с уче-том всех основных механических процессов, сопровождающих
55
развитие трещины и соответствующий комплекс вычислительныхалгоритмов. Предложенные модели и алгоритмы могут быть ис-пользованы для решения комплекса прикладных задач разработ-ки месторождений, связанных как с развитием трещины, так ис влиянием ее наличия на фильтрационные и механические про-цессы в пласте.
Состояние пласта описывается в рамках пороупругой моделиБио, связывающей процессы фильтрации в пласте и его дефор-мацию. Геометрическая модель трещины позволяет задавать еепроизвольной достаточно гладкой поверхностью с краем. Тече-ние в трещине опсиывается в рамках модели смазочного слоя ипозволяет использовать как классическую ньютоновскую реоло-гию флюида в трещине, так и неньютоновкую реологию, специ-фичную для современных жидкостей разрыва пласта. Указанныемодели связаны набором условий согласования на границе «тре-щина»/«пласт», выражающих условия непрерывности консерва-тивных величин.
Комплекс вычислительных алгоритмов основан для примене-нии «расширенного» метода конечных элементов (X-FEM) длярасчета напряженно-деформированного состояния пласта [1] испециальных методов решения уравнений смазочного слоя, за-данных на произвольной гладкой поверхности с краем. В отличииот стандартно используемого в рамках X-FEM метода поверхно-стей уровня для представления геометрии поверхности трещи-ны [2,3], в настоящей работе использован подход, основанный наметоде проекции ближайшей точки. Этот же метод использует-ся для аппроксимации уравнений смазочного слоя в трещине [4].Результирующая систему уравнений решается методом итерациймежду группами уравнений, что позволяет гибко адаптироватьиспользуемую модель в зависимости от конкретной задачи.
Работоспособность предлагаемой методики моделирования де-монстрируется рядом тестовых расчетов.
Работы выполнена при поддержке Российского научного фон-да, проект N 15-11-00021.
Литература
1. Moes, N., Dolbow, J., Belytschko, T. A finite element methodfor crack growth without remeshing // Int. J. Numer. Meth.Engng. 1999. 46(1): 131-150.
56
2. Moes N., Gravouil A., Belytschko T. Non-planar 3D crackgrowth by the extended finite element and level sets — PartI: Mechanical model // Int. J. Numer. Meth. Engng. 2002.;53:2549-2568.
3. Gravouil A., Moes N., Belytschko T. Non-planar 3D crackgrowth by the extended finite element and level sets — Part II:Level set update // Int. J. Numer. Meth. Engng. 2002. 53:2569-2586.
4. Ruuth, S.J., Merriman, B. A simple embedding me thod forsolving partial differential equations on surfaces // J. Comput.Phys., 2008. 227(3):1943-1961.
Анализ краевых и экстремальных задач длястационарных моделей МГД
Р.В. БризицкийИнститут прикладной математики ДВО РАН
Дальневосточный федеральный университет[email protected]
В ограниченной области Ω ⊂ R3 с границей ∂Ω состоящей издвух частей Σν и Στ рассматривается краевая задача для стаци-онарных уравнений магнитной гидродинамики вязкой жидкости
−ν∆u+ (u · ∇)u+∇p− ærotH×H = f , divu = 0 в Ω, (1)
ν1rotH− ρ−10 E+æH× u = ν1j, divH = 0, rotE = 0 в Ω, (2)
u|∂Ω = g, H · n|Στ = q, H× n|Σν = 0, E× n|Στ = k. (3)
Здесь u – вектор скорости, H и E – напряженность магнитногои электрического полей, соответственно, p = P/ρ0, где P – дав-ление, ρ0 = const – плотность жидкости, æ = µ/ρ0, ν1 = 1/ρ0σ =æνm, ν и νm – постоянные коэффициенты кинематической и маг-нитной вязкости, σ – постоянная проводимость, µ – постояннаямагнитная проницаемость, n – вектор единичной внешней норма-ли к ∂Ω, j – плотность внешних токов. С физической точки зре-ния условия (3) отвечают ситуации, когда участок границы Σν –
57
идеальный изолятор О разрешимости краевой задачи (1)–(3) см.[1,2].
Для модели (1)–(3) исследованы задачи управления, в слу-чае, когда роль управлений играют граничные функции g и qи плотность внешних токов j. При минимальных требованиях куказанным функциям, в частности, q ∈ L2(Στ ), доказана раз-решимость соответствующих экстремальных задач и полученысистемы оптимальности. С использованием систем оптимально-сти выведены оценки устойчивости решений задач управленияотносительно возмущений как функционалов качества, так и за-данных функций задачи (1)–(3), не являющихся управлениями.Интерес к минимальным требованиям на управления, связан стем, что соответсующие нормы этих функций входят в миними-зируемые функционалы в качестве регуляризаторов.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российскогофонда фундаментальных исследований (код проекта 16-01-00365-a) и Российского научного фонда (код проекта 14-11-00079).
Литература
1. Alekseev G., Brizitskii R. Solvability of the boundary valueproblem for stationary magnetohydrodynamic equations undermixed boundary conditions for the magnetic field // AppliedMathematics Letters. 2014. V. 32. P. 13–18.
2. Алексеев Г.В. Смешанные краевые задачи для стационар-ных уравнений магнитной гидродинамики вязкой несжима-емой жидкости. ЖВМ. 2016. Т. 56. 8. С. 1441–1454.
Задачи восстановления коэффициентов дляполулинейных моделей массопереноса
1Р.В. Бризицкий, 2Ж.Ю. Сарицкая1,2Дальневосточный федеральный университет
1Институт прикладной математики ДВО РАН[email protected]@icloud.com
58
В ограниченной области Ω ⊂ R3 с границей Γ, состоящей издвух частей ΓD и ΓN , рассматривается краевая задача
−div(λ∇φ) + u · ∇φ+ kφ = f в Ω, (1)
φ = ψ на ΓD, λ(∂φ/∂n+ αφ) = χ. (2)
Здесь φ – концентрация вещества, u – заданный вектор скорости,f – объемная плотность внешних источников (загрязняющего)вещества, λ = λ(x) – коэффициент диффузии, k = k(φ,x) – ко-эффициент реакции, α = α(φ,x) – коэффициент массообмена, ψи χ – заданные на ΓD и ΓN функции.
Глобальная разрешимость задачи (1), (2) доказана по схеме,разработанной в [1–3] в случае, когда коэффициенты реакции имассообмена k и α достаточно произвольно зависят как от кон-центрации вещества φ, так и от пространственных переменных.В частности, рассматриваются следующие коэффициенты реак-ции и массообмена: k = β1(x)φ
4 + β2(x)φ2|φ| + β3(x)φ
2 + ... иα = γ1(x)φ
2 + γ2(x)|φ|+ γ3(x).Обратная коэффициентная задача заключается в восстанов-
лении коэффициента диффузии λ, скорости u, а так же функцийβi(x) и γi(x) по дополнительной информации о решении задачи(1), (2). Указанная задача сведена к задаче мультипликативно-го управления, разрешимость которой доказана при достаточнообщих функционалах качества. При конкретных функционалахкачества и коэффициентах реакции выведены оценки локальнойустойчивости решений экстремальных задач относительно малыхвозмущений как функционалов качества, так и исходных данныхзадачи (1), (2).
Отметим работу [4], в которой была исследована устойчивостьрешения экстремальной задачи при k = β(x)φ2.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российскогофонда фундаментальных исследований (код проекта 16-01-00365-a) и Российского научного фонда (код проекта 14-11-00079).
Литература
1. Алексеев Г.В., Бризицкий Р.В., Сарицкая Ж. Ю. Оценкиустойчивости решений экстремальных задач для нелинейно-го уравнения конвекции–диффузии–реакции // Сиб. журн.индустр. матем. 2016. Т. 19, 2. С. 3–16.
59
2. Бризицкий Р.В., Сарицкая Ж. Ю. Оценки устойчивости ре-шений экстремальных задач для нелинейного уравненияконвекции–диффузии–реакции // Журн. вычисл. матем.матем. физики. 2016. Т. 56, 12. С. 60–71.
3. Бризицкий Р.В., Сарицкая Ж.Ю. Об устойчивость решенийзадач управления для уравнения конвекции–диффузии–ре-акции с сильной нелинейностью // Дифференц. уравнения.2017. Т. 53, 4. С. 493–504.
4. Бризицкий Р.В., Сарицкая Ж.Ю. Обратные коэффициент-ные задачи для нелинейного уравнения конвекции–диф-фузии–реакции // Известия РАН. Серия математическая.2018 (в печати).
Ускорение плазмы в каналах криволинейнойформы в присутствии продольного магнитного
поля
1К. В. Брушлинский, 2Е.В. СтёпинИнститут прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН
Несколько поколений плазменных ускорителей созданы и ис-следованы во второй половине XX века по инициативе, под руко-водством и при участии А.И. Морозова с весьма широким диа-пазоном характеристик. Маломощные стационарные плазменныедвигатели (СПД) с длительным ресурсом работы [1] давно ис-пользуются для коррекции орбит спутников Земли. Ускорителибольшой мощности представлены квазистационарным сильноточ-ным плазменным ускорителем (КСПУ), продемонстрировавшимрекордные показатели скорости и энергии плазменной струи навыходе [2]. Здесь ускорение плазмы в канале, образованном двумякоаксиальными электродами, обязано амперовой силе взаимодей-ствия радиального электрического тока с азимутальным, т.е. по-перечным по отношению к течению, магнитным полем. Теория ирасчёты процесса ускорения в МГД-приближении представленыв [3–5] с необходимой библиографией.
60
Менее изучены течения плазмы в каналах, где дополнительноприсутствует продольное магнитное поле, созданное, например,внешними проводниками с током. Математическая модель и ре-зультаты первых расчётов стационарных МГД-течений в тех жеканалах с продольным магнитным полем изложены в [5]. Полу-ченные результаты касаются классификации течений и некото-рых их свойств, но они ограничены геометрией каналов, слабо от-личающейся от цилиндрической. В продолжение и развитие этихработ в докладе представлены исследования течений в каналах итрубках, образованных электродами криволинейной формы. Рас-смотрена роль кривизны каждого из электродов в отдельности.Основное внимание уделено сверхальфвеновским трансзвуковымтечениям с ускорением в каналах соплообразной формы. Расчётыпроведены в двумерной МГД-модели, стационарные режимы по-лучены установлением во времени. Отдельные детали течения вузких трубках между двумя близкими траекториями исследова-ны в квазиодномерном приближении. Здесь стационарные тече-ния описываются первыми интегралами МГД-уравнений, и нужные результаты получены в процессе решения системы линейныхалгебраических уравнений.
В серии расчётов найдены распределения плотности и скоро-сти плазмы, а также электрического тока в сечении канала и вузких трубках течения для различных вариантов геометрии. Вли-яние продольного поля на эти распределения определяется срав-нением результатов с аналогичными расчётами без него. Уста-новлено, что каналы с профилированным центральным электро-дом и цилиндрическим внешним обеспечивают более эффектив-ное ускорение, чем противоположный вариант геометрии. Этотрезультат служит обоснованием выбранной формы канала КС-ПУ.
Полученные в последнее время результаты частично опубли-кованы в [6].
Работы, представленные в докладе, выполнены при поддерж-ке РФФИ (проект 15–01–03085).
Литература
1. Morozov A.I., Savelyev V.V. // Reviews of Plasma Physics /Ed. by B.B. Kadomtsev and V.D. Shafranov. — NY, Boston,Dordrecht, London, Moscow: Consultants Bureau, 2000. — V.21. — P. 203–391.
61
2. Морозов А.И., Брушлинский К.В., Терёшин В.И., БеланВ.Г., Асташинский В.М. и др. Серия статей // Физ. плазмы.— 1990. — Т. 16, Вып. 2. — С. 131–196.
3. Морозов А.И., Соловьёв Л.С. // Энциклопедия низкотем-пературной плазмы / Под ред. В.Е. Фортова. - М: Янус-К,2007. — Серия Б. — Т. IX-2. — С. 292–333.
4. Брушлинский К.В., Морозов А.И. // Там же. — С. 334–369.5. Брушлинский К.В. Математические и вычислительные за-
дачи магнитной газодинамики. - М: БИНОМ. Лабораториязнаний, 2009. — 200 с.
6. Брушлинский К.В., Жданова Н.С., Стёпин Е.В. // Пре-принты ИПМ им. М.В. Келдыша. — 2017. — 42. — 19с.
Моделирование взаимодействия единого идробящегося метеороида с атмосферой
1И.Г. Брыкина, 2Г.А. ТирскийНИИ механики МГУ имени М.В. Ломоносова
Предлагается метод моделирования взаимодействия с атмо-сферой крупного метеороида, когда он движется как единое икак дробящееся тело; этим методом исследуется взаимодействиес атмосферой Земли Челябинского болида 15 февраля 2013 г.Большинство крупных каменных и железных метеороидов раз-рушается во время входа в атмосферу. Можно выделить два ос-новных подхода к моделированию дробления метеороида. В пер-вом предполагается, что фрагменты двигаются независимо (мо-дели дробления на достаточно крупные куски или прогрессив-ной фрагментации). Другой подход - дробление метеороида намелкие осколки, движущиеся, объединенные общей ударной вол-ной, как единое тело, которое под действием аэродинамическихнагрузок расплющивается, т.е. расширятся в поперечном движе-нию направлении и сжимается в продольном. Такая <жидкост-ная> модель была предложена [1] для малых метеороидов, затем
62
подробно разработана [2] для крупных; аналогичные модели, по-лучившие название «блин» (был введен термин «pancake» [3]),применялись и в других paботax ([3,4] и др.)
В данном исследовании разработана модель фрагментации ватмосфере крупного метеороида с применением второго подхо-да. Предполагается, что до начала разрушения метеороид имеетформу сферы, затем он движется как облако фрагментов, мелкихиспаряющихся частиц и паров с единой ударной волной. Рассмат-риваются два процесса: расплющивание дробящегося метеороида,при этом сфера трансформируется в сплюснутый эллипсоид вра-щения, и уменьшение его плотности за счет увеличения проме-жутков между фрагментами, заполненных парами. Предложен-ная модель дробления отличается от других моделей «блин» тем,что учитывает уменьшение плотности раздробленного метеорои-да вдоль траектории и зависимость скорости увеличения радиусапоперечного сечения облака фрагментов от значения этого ради-уса.
Взаимодействие метеороида с атмосферой исследуется в рам-ках уравнений физической теории метеоров [5], описывающих еготорможение и абляцию, в которые входят коэффициенты сопро-тивления и теплопередачи. Для коэффициента сопротивления эл-липсоида вращения получено выражение в зависимости от отно-шения его осей. Для коэффициента радиационной теплопередачидля эллипсоида вращения с использованием литературных дан-ных получено выражение в зависимости от его скорости, размера,отношения осей и плотности атмосферы. Проведена оценка об-ластей преобладающего влияния конвективного и радиационноготепловых потоков. Найдены при некоторых предположениях ана-литические решения уравнений физической теории метеоров дляуноса массы единого и фрагментированного метеороида, скоро-сти, энерговыделения, световой кривой и высоты максимальногоэнерговыделения. Проведено сравнение аналитического решенияс численными расчетами.
Рассматривается взаимодействие с атмосферой Земли Челя-бинского болида с использованием предложенной модели фраг-ментации и найденных решений. Проведено моделирование из-менения массы метеороида вдоль траектории, энерговыделенияи световой кривой. Оценивается влияние определяющих пара-метров на характеристики взаимодействия болида с атмосферой.Проводится сравнение полученного решения с наблюдательными
63
данными: кривой энерговыделения [6] и световыми кривыми, по-строенными по разным видеозаписям [7,8].
Литература
1. Opik E.J. Physics of meteor flight in the atmosphere. NewYork, Interscience Publishers Inc., 1958. 174 p.
2. Григорян С.С. Движение и разрушение метеоритов в пла-нетных атмосферах Космич. исслед. 1979. Т. 17. 6. С.875-893.
3. Melosh H.J. Atmospheric breakup of terrestrial impactors Proc.Lunar Planet. Sci., 12A.1981. P. 29-35.
4. Hills J.G., Goda M.P. The fragmentation of small asteroids inthe atmosphere Astronomical J. 1993. Vol. 105. No 3. P. 1114-1144.
5. Бронштэн В.А. Физика метеорных явлений. М.: Наука,1981. 416 с.
6. Brown P.G., Assink J.D., Astiz L., et al. A 500-kiloton airburstover Chelyabinsk and an enhanced hazard from small impactors
7. Borovicka J., Spumy P., Brown P., et al. The trajectory,structure and origin of the Chelyabinsk asteroidal impactor.Nature. 2013. Vol. 503. P. 235-237.
8. Попова О.П., Дженнискенс П., Глазачев Д.О. Фрагмен-тация Челябинского метеороида. Динамические процессыв геосферах. Cборник научных трудов ИДГ РАН. Вып. 5.Геофизические эффекты падения Челябинского метеорои-да. М.: ГЕОС, 2014. С. 59-78.
Моделирование волновой динамикистратифицированных сред
1В.В. Булатов, 2Ю.В. ВладимировИнститут проблем механики им.А.Ю.Ишлинского РАН
64
Доклад посвящен изложению фундаментальных проблемамматематического моделирования волновой динамики природныхстратифицированных сред (океан, атмосфера). В докладе пред-ставлены основные математические модели, описывающие про-цессы возбуждения и распространения внутренних и поверхност-ных гравитационных волн в стратифицированных по вертикали,неоднородных по горизонтали и нестационарных средах, изложе-ны асимптотические методы, являющихся обобщением простран-ственно временного лучевого метода (метода геометрической оп-тики, метода ВКБ). Внутренние и поверхностные гравитацион-ные волны изучаются уже достаточно давно, и по данной тема-тике опубликовано значительное число работ. В настоящее времявозникают новые направления в математическом исследованииэтих волн. Во-первых, стало понятным, что в поле внутренних иповерхностных волн могут появляться аномально большие корот-коживущие волны-убийцы, природа которых напоминает приро-ду волн-убийц на поверхности моря. Во-вторых, сдвиговые тече-ния внутренних волн приводят к большим изгибающим моментамна опоры морских платформ, что уже приводит к деформацииподводных технологических конструкций в ряде районов Миро-вого океана. В стадии разработки находится система мониторингаинтенсивных внутренних и поверхностных волн (аналогичная си-стеме мониторинга цунами), которая основана на фундаменталь-ных результатах математического моделирования волновой гене-рации. В-третьих, внутренние волны способны вызвать транспортдонных наносов в глубоководных районах, где эффект поверх-ностных волн на дно минимален. Наконец, классические зада-чи гидродинамики о взаимодействии внутренних и поверхност-ных гравитационных волн по-прежнему остаются актуальными.На распространение внутренних и поверхностных гравитацион-ных волн существенное влияние оказывают как неоднородностьи нестационарность гидрофизических полей, так и изменение ре-льефа дна. При этом точные аналитические решения основныхволновых задач получаются только в случае, если распределениеплотности морской воды (рельеф дна) описываются достаточнопростыми модельными функциями. Когда характеристики океа-нической среды (форма профиля дна) произвольны, можно по-строить только численные решения соответствующих задач. Од-нако последнее не позволяет качественно анализировать харак-теристики волновых полей, особенно на больших расстояниях,
65
что необходимо для решения, например, проблемы обнаружениявнутренних волн дистанционными методами, в том числе с помо-щью средств аэрокосмической радиолокации. В этом случае опи-сание и анализ волновой динамики можно осуществить толькона основе асимптотических моделей и аналитических методов ихрешения, изложенных в докладе. Построенные математическиемодели волновой динамики позволяют описывать поля внутрен-них и поверхностных волн для реальных гидрофизических пара-метров сред. Универсальный характер предложенных асимпто-тических методов моделирования волновой динамики позволяетне только эффективно рассчитывать волновые поля, но и, крометого, качественно анализировать полученные решения. Тем са-мым открываются широкие возможности анализа волновых кар-тин в целом, что важно и для правильной постановки математи-ческих моделей волновой динамики, и для проведения экспрессоценок при натурных измерениях волновых полей. Особая рольразработанных асимптотических методов обусловлена тем обсто-ятельством, что основные параметры природных стратифициро-ванных сред (океан, атмосфера), как правило, известны прибли-женно, и попытки их точного численного решения по исходнымуравнениям гидродинамики с использованием таких параметровмогут привести к заметной потере точности получаемых резуль-татов. Помимо фундаментального интереса построенные матема-тические модели представляют значительную ценность для прак-тики, поскольку позволяют решать задачи моделирования вол-новых гидрофизических полей в широком классе приложений(В.В.Булатов, Ю.В.Владимиров. Волны в стратифицированныхсредах. М.: Наука, 2015).
Устойчивость упругой трубки с протекающейвнутри неньютоновской жидкостью, имеющей
локально ослабленный участок
В.В. Веденеев, А. Б. ПорошинаМосковский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Задача об устойчивости упругих трубок, содержащих теку-щую жидкость, имеет ряд практических приложений. Изгибные
66
колебания таких трубок могут иметь место в различых охлажда-ющих устройствах (радиаторах), в т.ч. в ядерной промышленно-сти [1,2]. Колебания, имеющие вид схлопывания трубок с сохра-нением прямолинейности их оси, могут иметь место в биомехани-ке кровеносных сосудов [3,4]. Возникновение последних связанос отрывом потока от стенок трубки и неосесимметричным харак-тером схлопывания [5,6,7].
В настоящей работе исследуется потеря устойчивости трубок,не связанная с отрывом потока. Движение трубки предполага-ется осесимметричным, текущая внутри жидкость описываетсястепенным реологическим законом, в случае чистого сдвига име-ющим вид
τ12 = µ
(dv1dx2
)n,
где τ12 — сдвиговое напряжение, v — вектор скорости, µ — ко-эффициет вязкости, n — параметр степенного закона. Линейно-вязкой жидкости соответствует случай n = 1. Интегрированиемуравнений движения по сечению выводится одномерное уравне-ние движения трубки, которое исследуется на устойчивость.
В первой части работы проведён анализ дисперсионного урав-нения в случае однородной трубки и показано, что неустойчи-вость может иметь место при показателе степенного закона n <0.611, причём она может быть абсолютной при n < 1/3. Границыпростой и абсолютной неустойчивостей получены в явном виде.
Во второй части работы рассматривается трубка с перемен-ной по длине жёсткостью, такой что в некотором участке онамала, и локально имеет место неустойчивость, а вне него труб-ка локально устойчива. Исследуется существование глобальныхрастущих собственных мод. В предположении о медленном изме-нении жёсткости по длине задача решается методом ВКБ. Иссле-дована структура линий Стокса и показано, что трубка в целомможет быть неустойчива, только если локальная неустойчивостьв ослабленном участке абсолютная. Получено достаточное усло-вие глобальной неустойчивости.
Работа поддержана грантом РНФ 14-50-00005.
Литература
1. Paidoussis, M.P. Fluid-structure interactions: slender structuresand axial flow. Vol. 1. Academic press, 1998.
67
2. Gorshkov, A.G., Morozov, V.I., Ponomarev, A.T., Shklyarchuk,F.N. Аэрогидроупругось конструкций. М.: Физматлит, 2000.
3. Shapiro, A.H. Physiologic and medical aspects of flow in collapsibletubes// Proc. 6th Canadian Congress on Applied Mechanics, p.883–906, 1977.
4. Pedley, T.J., Brook, B.S., Seymour, R.S, Blood pressure andflow rate in the giraffe jugular vein// Philos. Trans. R. Soc.Lond. B. Biol. Sci. V. 351, p. 855–866, 1996.
5. Pedley, T.J. Arterial and Venous Fluid Dynamics// Cardiovascularfluid mechanics (ed. G. Pedrizzetti, K. Perktold). Chap. 1, p.1–72. Springer, 2003.
6. Grotberg, J.B., Jensen, O.E.. Biofluid mechanics in flexibletubes// Ann. Rev. Fluid Mech. V. 36, p. 121–147, 2004.
7. Heil, M., Hazel, A.L.. Fluid-Structure Interaction in InternalPhysiological Flows// Ann. Rev. Fluid Mech. V. 43, p. 141–162, 2011.
Законы подобия для турбулентногопограничного слоя в сверхзвуковом потоке газа
И.И. ВигдоровичНИИ механики МГУ имени М.В. Ломоносова
Доклад посвящен описанию течения в турбулентном погра-ничном слое на пластине при нулевом продольном градиенте дав-ления в терминах законов подобия для основных гидродинамиче-ских и тепловых величин. Для течения несжимаемой жидкоститакие законы подобия надежно установлены. К ним относятсязакон стенки Прандтля, законы дефекта скорости и трения Кар-мана и аналогичные соотношения для температуры и тепловогопотока на стенке. В промежуточной пристеночной области погра-ничного слоя профили скорости и температуры удовлетворяютизвестному логарифмическому закону.
Обобщение закона стенки для профиля скорости на случайтурбулентного течения сжимаемого газа принадлежит Ван Дри-сту [1]. В своем анализе, однако, он, как и его последователи,
68
просто использовал формулу пути смешения Прандтля. Поэтомуэтот результат нельзя считать в такой же степени обоснованнымкак соотношения для несжимаемой жидкости, которые, факти-чески, получены из первых принципов. Более того, известно, чтоформула Ван Дриста заметно хуже согласуется с эксперименталь-ными данными, чем ее аналог для несжимаемого течения. Рас-хождения особенно существенны при наличии теплопередачи настенке.
Цель настоящей работы — объяснить причину рассогласова-ния формулы Ван Дриста с результатами измерений и выве-сти новые законы подобия для скорости и температуры, кото-рые являются точными асимптотическими решениями уравненийРейнольдса для сжимаемого газа. Тот факт, что рассматривае-мое течение зависит от конечного числа определяющих парамет-ров, позволяет сформулировать условия замыкания, связываю-щие турбулентное касательное напряжение и турбулентный по-ток тепла с градиентами усредненной скорости и энтальпии. Идеясуществования таких связей в случае, когда задача зависит от ко-нечного числа параметров, впервые была сформулирована в [2] изатем для несжимаемых течений использовалась, например, в ра-ботах [3–7]. Замкнутые таким образом уравнения Рейнольдса ре-шаются методом сращиваемых асимптотических разложений дляразличных характерных областей течения, в число которых вхо-дят: вязкий подcлой, логарифмический подслой и внешняя об-ласть пограничного слоя. Малый параметр теории — число Ма-ха, вычисленное по динамической скорости и энтальпии газа настенке. Рассматриваются все возможные случаи теплопередачина обтекаемой поверхности — охлаждаемая, теплоизолированнаяи нагреваемая стенка.
Показано, что в вязком подслое пограничного слоя сжима-емого газа безразмерный профиль скорости такой же, как длянесжимаемой жидкости, а профиль температуры — суперпозицияизвестного профиля для несжимаемой жидкости при нулевом ки-нетическом нагреве и профиля температуры, соответствующегочастному случаю теплоизолированной пластины, когда кинетиче-ский нагрев не равен нулю. Решение задачи в логарифмическомподслое и асимптотическое сращивание с решением для вязкогоподслоя дают связь между температурой и скоростью (интегралКрокко) и законы стенки для скорости и температуры. Главныйчлен асимптотики для профиля скорости соответствует извест-
69
ной формуле Ван Дриста. Однако полученное решение содержитдополнительные слагаемые порядка единицы, что объясняет рас-хождение формулы Ван Дриста с экспериментальными данны-ми. Аналогичную структуру имеет закон стенки для температу-ры, который для сжимаемого течения сформулирован впервые.Кроме постоянной Кармана и турбулентного числа Прандтля влогарифмической области, известных для течения несжимаемойжидкости, полученные соотношения содержат три новые универ-сальные константы, которые не зависят от молекулярных свойстви отношения теплоемкостей газа. Сращивание решений для лога-рифмического подслоя и внешней области дает законы трения итеплообмена, выражения для коэффициентов восстановления ианалогии Рейнольдса, законы дефекта скорости и температурыдля внешней области пограничного слоя.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (16-01-00172).
Литература
1. Van Driest E. R. J. Aeronaut. Sci. 1951. V. 18. P. 145–160.2. Вигдорович И. И. ДАН. 2003. Т. 392. 3. С. 340–345.3. Вигдорович И. И. ЖЭТФ. 2013. Т. 144. Вып. 2(8). С. 413–
427.4. Вигдорович И. И. ЖЭТФ. 2014. Т. 146. Вып. 5(11). С. 1062–
1089.5. Vigdorovich I. I. Int. J. Heat Mass Transfer. 2015. V. 84. No.
5. P. 653–659.6. Вигдорович И. И. ДАН. 2016. Т. 466. 4. С. 412–417.7. Vigdorovich I. I. Physics of Fluids. 2016. V. 28. No. 8. P. 085102-
1–7.
70
Гидродинамическая реакция препятствия,обтекаемого двухслойным потоком
1И.Ю. Владимиров, 2Н. Н. Корчагин, 3А.С. Савин1,2Институт океанологии им. П.П. Ширшова РАН
3МГТУ им. Н.Э. Баумана[email protected]
[email protected]@list.ru
Получены выражения для гидродинамической нагрузки напрепятствие при его циркуляционном обтекании потоком двух-слойной жидкости конечной глубины. В качестве подводного пре-пятствия рассматривался горизонтально протяженный элементинженерной конструкции (например, транспортного трубопрово-да), смоделированный точечным диполем. Рассмотрены вариан-ты локализации диполя вблизи скачка плотности как над, так ипод ним. Исследованы зависимости волнового сопротивления иподъемной силы, действующих на препятствие, от скорости по-тока и циркуляции, а также параметров морской среды. Полу-ченные результаты модельных расчетов показали, что учет цир-куляции может значительно изменить величину гидродинамиче-ской реакции диполя. Выявлены особенности в характере измене-ния реакций на обтекаемое препятствие, а также условия их зна-чительного усиления. Обнаружен эффект резкого (реверсивного)изменения направления действия подъемной силы в относительноузком диапазоне скорости обтекания моделируемого диполем эле-мента трубопровода. Поэтому данный эффект необходимо учиты-вать при проектировании подводных инженерных конструкций втолще морских вод и на дне моря.
О кавитирующих гидропрофилях оптимальнойформы
1С.Е. Газизова, 2И.Р. Каюмов, 3Д.В. МаклаковКазанский федеральный университет
[email protected]@kpfu.ru
71
В докладе продолжаются исследования, начатые в работах[1,2]. Предположим, что имеется профиль, обтекаемый устано-вившимся безвихревым потоком идеальной несжимаемой жид-кости со скоростью v0 на бесконечности по схеме Гельмгольца–Кирхгофа (рис. 1).
Согласно этой модели течения поток отделяется от поверхно-сти профиля в точках отрыва A и B, за профилем образуетсябесконечная каверна с постоянным давлением, равным давлениюв набегающем потоке, скорость на свободных поверхностях AI иBI постоянна и равна скорости на бесконечности v0. Точку разде-ления потока обозначим через O. Дуговую абсциссу отсчитываемот точки A.
Формулы для подъемной силы L и сопротивления D профилябыли получены недавно в работе [1]:
L = ρv0
l∫0
(v · τ ) logv0vds, D =
ρv04π
l∫0
v√φ
logv0vds
2
, (1)
где v – вектор скорости, τ ) – единичный вектор касательной, l –длина дуги AOB омываемой части профиля, φ = φ(s) – распре-деление потенциала скорости вдоль AOB:
φ =
l1∫s
v(s)ds при 0 6 s 6 l1, φ =
s∫l1
v(s)ds, при l1 6 s 6 l,
l1 – дуговая абсцисса точки разделения потока O.Введем отнесенные к l коэффициенты подъемной силы CL =
2L/(ρv20l) и сопротивления CD = 2D/(ρv20l). Как видно из (1),для определения подъемной силы и сопротивления профиля необ-ходимо знать лишь распределение скорости по его поверхностикак функцию дуговой абсциссы s. Таким образом, формулы (1)вполне аналогичны теореме Кутты-Жуковского, сыгравшей вы-дающуюся роль в теории безотрывного обтекания профилей.
Модель Гельмгольца–Кирхгофа в настоящее время трактует-ся как предельная схема кавитационного обтекания, когда дав-ление в набегающем потоке совпадает с давлением в каверне, аразмеры каверны бесконечно велики. В теории кавитационныхтечений известно первое условие Бриллуэна: давление в каверне
72
Рис. 1: Профиль, обтекаемый по схеме Гельмгольца–Кирхгофа
минимально. Тогда скорость на свободных поверхностях AI и BI– максимальна, и следовательно
v(s) 6 v0, 0 6 s 6 l. (2)
Отсюда вытекает, что в формулах (1) множитель log v0v > 0.
Простота формул (1) позволяет ставить различные задачи поопределению распределений скорости на кавитирующем профи-ле, обеспечивающих максимальную подъемную силу при выпол-нении условия Бриллуэна (2). Одна из таких задач была реше-на в статье [2], именно, были найдены распределения скоростина поверхности кавитирующего профиля, которые при заданнойподъемной силе L обеспечивают максимальное гидродинамиче-ское качество κ = L/D при выполнении условия Бриллуэна (2)(ограничение сверху на скорость обтекания). С точки зрения фи-зической реализуемости профиля большой интерес представля-ет аналогичная задача с ограничениями на скорость обтеканияи сверху, и снизу. Именно такая задача и исследуется в настоя-щем докладе. С помощью теории меры и теоремы Хелли найденоее точное аналитическое решение. По полученным формулам по-строены оптимальные гидропрофили.
Литература
1. Dmitri V. Maklakov. On the lift and drag of cavitating profilesand the maximum lift and drag // Journal of Fluid Mechanics,687 (2011), 360–375.
73
2. D.V. Maklakov, I.R. Kayumov. Exact bounds for lift-to-dragratios of profiles in the Helmholtz-Kirchhoff flow // EuropeanJournal of Applied Mathematics, 25 (2014), 231–254.
Вихревой след за самолетом. Модели ипроблемы
1А.М. Гайфуллин, 2Ю.Н. СвириденкоЦентральный аэрогидродинамический институт им. проф. Н.Е.
Жуковского[email protected]
Сходящая с самолета вихревая пелена образует вихревой след,который живет за летательным аппаратом с крылом большогоудлинения достаточно длительное время: около одной-двух ми-нут. За это время самолет успевает пролететь расстояние поряд-ка десяти километров. Постоянная тенденция к утяжелению ве-са самолета породила проблему предсказания времени жизни иинтенсивности вихревого следа за самолетом еще на стадии егопроектирования. Увеличение габаритов самолетов ведет к увели-чению времени жизни следа за ним, а, следовательно, к требова-нию увеличения расстояния между самолетами. Известны случаикатастроф и серьезных последствий из-за попадания самолета ввихревой след от другого самолета. В работе рассматриваютсятри проблемы: определение характеристик вихревого следа за са-молетом, определение сил и моментов на самолет, попавший в зо-ну влияния вихревого следа и моделирование полета самолета взоне влияния вихревого следа на пилотажном стенде.
На характеристики вихревого следа в основном влияет турбу-лентная диффузия поля скоростей и температуры, а также раз-витие неустойчивости к возмущениям различной частоты. Пер-вое приводит к росту турбулентного ядра и падению максималь-ной окружной скорости по мере удаления от самолета, второе -к длинноволновой неустойчивости. Математическая модель вих-ревого следа, которая предлагается в данной работе, состоит изследующих подмоделей: определение характеристик течения око-ло самолета и ближнего следа за ним, диффузия дальнего следа,
74
длинноволновая неустойчивость дальнего следа. Результаты рас-четов по данной модели показали хорошее соответствие с экспе-риментальными данными, что указывает на ее приемлемость дляописания турбулентного течения в вихревом следе за самолетоми для определения времени жизни интенсивного вихревого следа.Из измерений характеристик следа с помощью лидаров известно,что циркуляция правой (или левой) половины следа с течениемвремени уменьшается по абсолютной величине. С помощью ана-литического решения задачи о диффузии двух вихрей в работераскрыт физический механизм потери циркуляции.
Определение характеристик вихревого следа позволило ре-шить следующие практически важные проблемы: определениесил и моментов, действующих на самолет, случайно или предна-меренно попавший в зону влияния вихревого следа, и математи-ческое моделирование движения самолета, попавшего в вихревойслед, на пилотажном стенде в режиме реального времени. Реше-ние последней задачи стало возможным благодаря использова-нию нейронных сетей. Данная математическая модель установ-лена на пилотажных стендах ЦАГИ, РСК МИГ, ФАЛТ МФТИ иимеет целью обучение управлением самолета при его случайномили преднамеренном (например, на режиме дозаправки) попада-нии в зону влияния вихревого следа.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 16-01-00128).
Подобие в задаче о сверхзвуковом обтеканиител при наличии области энерговклада в
набегающем потоке
П.Ю. Георгиевский, В. А. ЛевинНИИ механики МГУ имени М.В. Ломоносова
В своей замечательной книге «Методы подобия и размерностив механике» Л. И. Седов указывал сколь важно выделять универ-сальные параметры подобия для исследуемого класса физическихявлений. При этом он отмечал, что «наиболее существенные и по-лезные результаты получаются путем комбинирования соображе-ний теории размерности с общефизическими предположениями».
75
В аэродинамике яркими примерами такого подхода, основанно-го на ясных (хотя и не совсем строгих) физических соображе-ниях, являются закон гиперзвукового подобия, гипотеза плоскихсечений и правило площадей, которые широко применялись приконструировании сверхзвуковых летательных аппаратов.
Еще в самой первой нашей работе (Письма в ЖТФ, 1988,14(8): 684) было отмечено, что основной причиной снижения вол-нового сопротивления тел при локальном тепловом воздействиина набегающий поток является формирование передних отрыв-ных зон. В настоящем докладе изучено влияние числа Маха по-тока, интенсивности энерговклада и размера области энерговкла-да на геометрические характеристики передних отрывных зон иэффективность снижения сопротивления для затупленных тел.
Сформулирован универсальный критерий подобия: интенсив-ность энерговклада должна быть обратно пропорциональна ли-нейному размеру энергоисточника и прямо пропорциональна чис-лу Маха набегающего потока. Первое условие является прямымследствием теории размерностей – точным условием подобиядля задачи об обтекании энергоисточника сверхзвуковым пото-ком, которое обеспечивает сохранение параметров температурно-го следа при изменении размеров энергоисточника. Второе усло-вие явлется физическим, оно означает, что жидкая частица завремя движения через область энерговклада получает при раз-ных скоростях набегающего потока примерно одинаковое коли-чество тепла (чем меньше время пролета, тем выше должна бытьинтенсивность энерговклада).
На первом этапе проведена серия расчетов для задачи об об-текании энергоисточника сверхзвуковым потоком. Оказалось, чтопри соблюдении критерия подобия один из основных параметров– коэффициент мощности энерговклада (отношение подведенноймощности к потоку энтальпии через поперечное сечение энерго-источника) остается примерно постоянным. Более того, что приразличных числах Маха набегающего потока распределение плот-ности в дальнем следе в поперечном направлении остается оди-наковым с высокой точностью (в пределах погрешности вычисле-ний). А ведь согласно С. В. Гувернюку (ДАН, 2007, 413(2): 188)именно параметры следа оказывают определяющее воздействиена формирование изобарических отрывных зон.
На втором этапе проведена серия численных расчетов неста-ционарного обтекания сферы при наличии в набегающем пото-
76
ке энергоисточников. В соответствии с концепцией «тепловой иг-лы» при динамическом уменьшении размеров энергоисточника ссоблюдением критерия подобия форма передней отрывной зоныизменяется, приближаясь к форме конуса с малым затуплением,но при этом статическое давление в отрывной зоне не изменя-ется, и снижение сопротивления остается постоянным. Важнымрезультатом оказалось, что для различных чисел Маха формиру-ются передние отрывные зоны практически одинаковой геомет-рии и, соответственно, снижение сопротивления также остаетсяпримерно одинаковым.
Получена и проверена в численных расчетах простая форму-ла для коэффициента эффективности снижения сопротивления(определяется как отношение сэкономленной мощности к вложен-ной). Показано, что при выполнении критерия подобия коэффи-циент эффективности пропорционален числу Маха в квадрате иобратно пропорционален линейному размеру области энерговкла-да в квадрате. В расчетах зафиксировано снижение волнового со-противления 30%, а коэффициент эффективности при числе Ма-ха 5 превысил 1000 (для сферического энергоисточника радиускоторого в 50 раз меньше радиуса сферы).
Работа выполнена в соответствии с планом научных исследо-ваний НИИ механики МГУ при частичной финансовой поддерж-ке Совета по грантам Президента РФ (проект НШ-8425.2016.1) иРоссийского фонда фундаментальных исследований (проект 16-29-01092).
Фокусировка ударной волны привзаимодействии с цилиндрическим облаком
мелкодисперсной пыли
П. Ю. Георгиевский, В. А. Левин, О. Г. СутыринНИИ механики МГУ имени М.В. Ломоносова
Распространение ударных волн по запыленному газу имеет ме-сто в широком круге задач, важными примерами которых явля-ются процессы в межзвездной среде, взрывобезопасность уголь-ных шахт и импульсные методы нанесения порошковых покры-
77
тий. Ключевую роль играет взаимодействие ударных волн с ло-кальными облаками взвешенных частиц. В работе численно моде-лируется взаимодействие ударной волны с цилиндрическим обла-ком кварцевой пыли небольшой концентрации. Используется рав-новесная односкоростная и однотемпературная модель пылегазо-вой смеси, построенная на основе уравнений Эйлера [1]. Описанпроцесс преломления падающей ударной волны, формированияпоперечных скачков уплотнения и тройных точек, а также фо-кусировки поперечных скачков на плоскости симметрии задачи.Обнаружены два качественно различных режима взаимодействияреализующиеся в зависимости от концентрации пыли в облаке. Впервом режиме – внешнем, реализующемся при меньших концен-трациях пыли, – поперечные скачки и тройные точки выходят изоблака до того, как достигнут плоскости симметрии. Во второмрежиме – внутреннем – скачки схлопываются внутри пылевогооблака.
Определена зависимость положения пиковой точки фокуси-ровки и интенсивности фокусировки волн от объемной концен-трации пыли в диапазоне от 0.01% до 0.15%. При повышенииконцентрации пыли точка фокусировки приближается к границеи смещается внутрь облака, а интенсивность фокусировки немо-нотонно возрастает.
Работа выполнена в НИИ механики МГУ им. М.В. Ломоно-сова с использованием ресурсов суперкомпьютерного комплексаМГУ им. М.В. Ломоносова при частичной финансовой поддерж-ке Совета по грантам Президента РФ (проект НШ-8425.2016.1) иРоссийского фонда фундаментальных исследований (проект 16-29-01092).
Литература
1. Георгиевский П. Ю., Левин В. А., Сутырин О. Г. Фокусиров-ка ударной волны при взаимодействии ударной волны с ци-линдрическим облаком пыли. Письма в "Журнал техниче-ской физики". 2016. Т. 42. 18. С. 17–24.
78
Рис. 1: Ранняя стадия взаимодействия, изолинии плотности. is –падающая ударная волна, ic – граница облака, ts – волна внутри
облака, rs – отраженная волна.
Рис. 2: Зависимость удаления точки пиковой фокусировки (Xfoc) идавления в этой точке (Pfoc) от концентрации пыли в облаке. I и II –
области внешнего и внутреннего режимов фокусировкисоответственно.
Оптимизация ускорения вязкоупругого тела
А.Н. ГолубятниковМосковский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Проблема управляемого ускорения мягких металлических обо-лочек, в частности с образованием кумулятивных струй, иссле-дуется теоретически и экспериментально уже более века. В част-ности достигнут прогресс в обеспечении устойчивости движениятонкой оболочки за счет учета упругого упрочнения материала,фактически проявляющего жидкокристаллические свойтва (Го-лубятников А.Н., Зоненко С.И., Черный Г.Г. Прикладная мате-матика и механика, 2007). Интересно также влияние вязкости ма-териала. В настоящем докладе представлено точное решение осе-симметричной задачи об оптимизации ускорения вязкоупругогооднородного несжимаемого тела Фойхта из состояния покоя под-
79
ходящим распределением поверхностных сил. Заданы масса тела,объем, время его движения, коэффициент необходимого попереч-ного обжатия k и приобретаемый телом импульс. Плотность дис-сипации — гладкая выпуклая функция от компонет скорости де-формации, а удельная внутренняя энергия — функция лагранже-вых компонент метрического тензора, выпуклая по дисторсии (вчастности квадратичные функции). Требуется минимизироватьсумму работы поверхностных сил и энергии возможного началь-ного удара.
Важно, что в интегральное уравнение кинетической энергии,записанное в конечный момент, входит интеграл по времени отдиссипации, который минимизируется независимо. Это приводитк движению с однородной деформацией, причем совместному сдифференциальными уравнениями движения, которые в данномслучае сводятся к уравнениям идеальной жидкости и определяюттолько распределение давления. Кроме этого, остается еще однапроизвольная функция от времени, выбор которой позволяет пол-ностью определить движение материала и вычислить энерию на-чального удара, обязательно ненулевую. Далее минимизируетсяконечная кинетическая энергия, что приводит к начальной форметела в виде сплющенного эллипсоида вращения с соотношениемпродольной и поперечной осей 0,5 k3, обычно относительно тон-кого.
Полученный результат позволяет проводить сравнение с дви-жением тел других форм. Близкое значение затрат энергии в 1,05от наименьшего дает оптимизация в классе прямых круговых ци-линдров, ускорение которых может быть обеспечено действиемнормальной нагрузки (давлением). Аналогичные результаты по-лучаются и в теории вязкоупругости Максвелла.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проек-ты 15-01-00361, 17-01-00037).
Нелинейная диффузия плавящихся частиц
А.Н. Голубятников, О.О. ИвановМосковский государственный университет имени М.В. Ломоносова
80
Методами статистической механики строится модель сплош-ной среды, состоящей из большой системы невзаимодействующихплавящихся частиц, находящихся в своем перегретом расплаве.
Выделятся три характерных масштаба: окрестность частицы,где решаются задачи плавления и обтекания сферической части-цы с вычислением действующей на нее силы; объем, связанныйсо статистическим осреднением по большому ансамблю частиц;переход к описанию сплошной среды как смеси частиц и распла-ва. В результате выводится уравнение диффузии, коэффициенткоторого зависит от температуры расплава, переменного радиу-са частиц и их плотности. Характерной особенностью являетсяпоявление реактивной силы, превосходящей в случае достаточнобольшой температуры расплава силу гидродинамического сопро-тивления.
Сначала решается автомодельная сферически-симметричнаязадача о плавлении частицы в неподвижной несжимаемой тепло-проводной жидкости, когда плотности частицы и расплава одина-ковы. Далее используется малый параметр, связанный с неболь-шой положительной, характерной для металлов, разностью этихплотностей, с помощью которого находится величина расхода, и вприближении Стокса решается задача квазистационарного уско-ренного поступательного обтекания частицы однородным пото-ком вязкой жидкости с вычислением действующей на частицусилы.
С учетом силы вязкого сопротивления, реактивной силы иприсоединенной массы решаются уравнения движения частицы,допускающие интеграл, который можно назвать “интегралом из-менения энергии”. Он далее используется в статистической тео-рии. Здесь можно феноменологически учесть и квадратичный поскорости член, который сначала тормозит частицу, но затем помере уменьшения радиуса перестает играть существенную роль,передавая ее силе Стокса. В результате малые частицы могутнеограниченно ускоряться, уменьшаясь вплоть до молекулярныхразмеров, причем процесс плавления заканчивается за конечноевремя.
Явно решается уравнение Лиувилля для плотности вероят-ности распределения невзаимодействующих частиц одинаковогорадиуса по скоростям центров масс. В предположении однородно-го термодинамического равновесия считается, что статистическаятемпература движения частиц совпадает с температурой распла-
81
ва. На основании формул статистической физики определяетсякоэффициент диффузии, обратно пропорциональный плотностичисла частиц, квадрату радиуса и достаточно сложно зависящийот температуры.
В рамках механики сплошной среды составляются уравнениетак называемой “сверхбыстрой диффузии” , которое учитываетмакромасштабы изменения скорости и температуры расплава.
Проводится исследование свойств, классификация и решение,как правило, в неявном виде, инвариантно-групповых одномер-ных задач полученного нелинейного уравнения диффузии в по-коящемся изотермическом расплаве. В случае распространенияплоских волн дополнительно найдено пробразование, переводя-щее уравнение в себя при перестановке значений искомой функ-ции (числа частиц) и пространственной координаты, что позво-ляет строить новые решения.
Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ (гранты 15.01.00361, 17.01.00037).
Ударные волны аннигиляции в динамикегравитирующего газа
1А.Н. Голубятников, 2Д.Б. ЛюбошицМосковский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Строится точное сферически-симметричное решение уравне-ний общей теории относительности, представляющее собой склей-ку решения А. Фридмана, которое описывает однородный изэн-тропический разлет газа, с предварительным параболическим (снулевой скоростью на бесконечности) сжатием смеси частиц и ан-тичастиц без противодавления. Ударная волна, на которой идетреакция полной аннигиляции античастиц, образуется по мере до-стижения определенной конечной плотности смеси. Причем урав-нение для закона движения ударной волны сводится к линейномудифференциальному уравнению первого порядка при произволь-ном уравнении состояния газа, которое интегрируется. Выбирает-ся комбинированное уравнение состояния, имеющее асимптотики
82
больших и малых плотностей массы покоя, проводятся расчеты.Направленным по радиусу излучением, учет которого возможен(Голубятников А.Н., Любошиц Д.Б. Гравитация и космология,2016), пренебрегается. Оно рассматривается как вторичное.
Постановка такой задачи о волне аннигиляции может бытьобоснована, в частности, в рамках ньютоновской механики, гдеоднозначно известно определение энергии, необходимостью пере-вода части массы системы в энергию гиперболического разлета(с ненулевой скоростью на бесконечности), наблюдающегося в на-стоящее время, например, при расширении Вселенной. ОткрытиеА. Риссом и др. (1998) небольшого ускорения разлета на дальнихрубежах Вселенной может быть интерпретировно как достижениесредствами наблюдения структуры расходящейся ударной волны.А закон однородного разлета по Э. Хабблу, как известно, типи-чен для задач о взрыве, даже в неоднородной среде (Л. И. Седов,1946).
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проек-ты 15-01-00361, 17-01-00037).
Взаимодействия белков, индуцированныедеформацией мембраны: мультипольный
подход
1И. Ю. Голушко, 2С.Б. РошальЮжный федеральный университет
Трубчатые липидные мембраны (ТЛМ), сформированные извезикул, часто используются в качестве модельных систем приизучении взаимодействий между индуцирующими кривизну бел-ками и мембранами с развитой морфологией in vitro. Мы рассмат-риваем, вызванные деформацией клеточной мембраны, анизо-тропные взаимодействия между адсорбированными на поверхно-сти ТЛМ белками.Энергия упругой деформации мембраны, рас-сматривается в рамках классической теории упругости липидногобислоя Хелфриха (Helfrich).Свободная энергия системы задается
83
выражением:
Φ =k
2
∫ (1
R1+
1
R2− 2C0
)2
dS + σ
∫dS
−∫
Π(ϕ, z)ur(ϕ, z)dS − FL+Φchem
где k — изгибная жесткость, R1 и R2 — главные кривизны, а C0 —собственная кривизна липидного бислоя (spontaneous curvature).σ —поверхностное натяжение и L— длина ТЛМ. Продольная силаприложенная к ТЛМ — F , dV and dS — дифференциалы объе-ма и площади соответственно. ur(ϕ, z) — поле радиальных сме-щений, Π(ϕ, z) — радиальные напряжения вызванные адсорбиро-ванными белками, Φchem — энергия химического взаимодействиямежду липидами мембраны и белками. Последний член учитыва-ет, что адсорбция белков понижает общую энергию системы. Мысчитаем, что вклад в энергию Φchem отрицателен и пропорциона-лен числу адсорбированных молекул белка на поверхности ТЛМ.При этом мы полагаем, что он не зависит ни от координат при-крепления белков, ни от внешних параметров системы. Действиеотдельных индуцирующих кривизну белков на липидный бислоймоделируется при помощи мультиполей, представляющих собойсуперпозиции точечных дельта-подобных сил. В дальнейшем вме-сто самих функций радиальных смещений ur(ϕ, z) и напряженийΠϕ,z, вызванных адсорбированными белками, мы используем ихразложения по ортонормированным собственным функциям, удо-влетворяющим рассматриваемым граничным условиям.
Предложенный подход, описывающий действие адсорбирован-ных протеинов на липидный бислой при помощи мультиполей, яв-ляется мощным инструментом для моделирования механическиханизотропных взаимодействий между белками.
Для мультиполей, состоящих из трех или большего количе-ства сил, поле напряжений может быть локализовано в областисравнимой с характерными размерами белковой молекулы, кото-рые обычно меньше радиуса ТЛМ.
Наша теория позволяет сконструировать мультиполи, взаимо-действующие друг с другом таким образом, что равновесное рас-стояние между парой мультиполей оказывается больше их раз-мера. Таким образом, в этом случае теория не требует введениядополнительных отталкивающих потенциалов, для описания бел-ков конечного размера.
84
Наряду с исследованием системы с периодическими гранич-ными условиями, используемыми в подавляющем большинстверабот рассматривающих ТЛМ, мы проанализировали поведениешарнирно закрепленной на концах ТЛМ. В результате было по-казано, что на концах мембраны возникают области, в которыхадсорбция белковых молекул является гораздо более энергетиче-ски выгодной, чем на остальной поверхности ТЛМ.
Работа выполнена при поддержке РНФ, грант 15-12-10004.
Асимптотический анализ вязких пульсаций втурбулентном пограничном слое
1А.Р. Горбушин, 2В.Б. ЗаметаевМосковский Физико-Технический Институт, г. Жуковский
[email protected]@mipt.ru
В работе построена асимптотическая теория двухмерного тур-булентного пограничного слоя на плоской пластине при боль-ших числах Рейнольдса. Подтверждено, что турбулентный погра-ничный слой делится на основную невязкую часть, содержащуюбыстрые пульсации относительно основного (осредненного) про-филя продольной скорости и вязкий ламинарный подслой. Одна-ко найдено, что вязкий ламинарный подслой не является тради-ционным тонким слоем, а состоит из набора малых квадратных (втом смысле, что размеры по обоим направлениям одного порядкавеличины) подобластей, решение в которых удовлетворяет пол-ным уравнениям Навье-Стокса. Определены асимптотические ве-личины толщины турбулентного пограничного слоя и ламинарно-го подслоя. Найден механизм взаимодействия основной, пульса-ционной части турбулентного пограничного слоя и малой вязкойобласти на обтекаемой поверхности. Это взаимодействие описы-вается спектром решений уравнения Гамеля с большим значени-ем параметра и означает интенсивный обмен жидкостью междуэтими областями. Решение оказывается быстро осциллирующейфункцией, которая описывает множество тонких струек, как вте-кающих в вязкую пристенную область, так и вытекающих из нее.
85
Данное решение предлагает механизм генерации мелкомасштаб-ной завихренности (турбулентности) в двухмерных уравненияхНавье-Стокса.
Для анализа полных нестационарных уравнений Навье-Стоксаиспользуется метод многих масштабов при стремлении числа Рей-нольдса к бесконечности, а неизвестной заранее толщины погра-ничного слоя к нулю. В качестве основы для рассмотрения ис-пользуются результаты работы Заметаева и Горбушина, посвя-щенной развитию крупномасштабных пульсаций (вихрей) в ла-минарных или турбулентных пограничных слоях в рамках невяз-кой постановки. В частности используется найденный факт, чтомалые возмущения относительно основного (осредненного) про-филя продольной скорости состоят из суммы сносимых (тради-ционных решений Рэлея) возмущений и так называемого сингу-лярного возмущения, которое отвечает за взаимодействие вих-рей со стенкой. Показано, что найденные сингулярные аналити-ческие пульсации качественно соответствуют поведению пульса-ций в турбулентных пограничных слоях, описанных Райхардтом,а теоретический коэффициент корреляции пульсаций близок повеличине к экспериментальному значению. Вблизи стенки опи-сана вязкая малая ламинарная область, решение в которой удо-влетворяет полным уравнениям Навье-Стокса, но эта область неявляется тонким слоем, а имеет квадратную форму. Таким об-разом, в каждой точке по медленной переменной вдоль пласти-ны, происходит взаимодействие крупномасштабных пульсаций впограничном слое со своей малой вязкой ламинарной областьюна дне пограничного слоя. То есть быстрое решение имеет слож-ную форму по времени и пространству, но в результате дает свойвклад в эволюцию осредненного профиля скорости в турбулент-ном пограничном слое.
Литература
1. Zametaev V. B., Gorbushin A. R. Evolution of vortices in 2Dboundary layer and in the Couette flow // AIP ConferenceProceedings 1770, 030044 (2016) doi: 10.1063/1.4963986.
2. Reichardt H. Messungen turbulenter Schwankungen // Natur-wissenschaften 404 (1938).
86
Влияние параметров плазмы на дебаевскоеэкранирование
1Н.М. Гордеева, 2А.А. ЮшкановМГТУ им. Н.Э. Баумана, МГОУ
[email protected]@inbox.ru
Рассматривается влияние высокочастотного электрическогополя на слой электронной плазмы с произвольной степенью вы-рождения. Для одномерного случая, когда все величины зависяттолько от одной переменной x, получено аналитическое решениедля напряженности индуцированного в слое поля [1]. В обезраз-меренном виде это выглядит так: e(x) = eas(x) + ed(x) + ec(x).
Слагаемые eas(x), ed(x), ec(x) представляют из себя моды Дру-де, Дебая и Ван Кампена соответственно. Мода Дебая описываетэкранировку внешнего поля в плазме и распространение плазмен-ных колебаний. Но она не всегда присутствует в разложении пособственным решениям, а только когда у дисперсионной функцииимеется корень при заданных параметрах плазмы (частоте внеш-него электрического поля и частоте столкновений в плазме). Дляопределения наличия корня используется принцип аргумента. Врезультате комплексная плоскость параметров делится на обла-сти, в одной из которых искомый корень существует, в другой —отсутствует.
На рисунках: D+ — область существования корня и D− — об-ласть, где не существует корня. Эти две области разделяет криваяL(α), которая определяется параметрическими уравнениями:
L(α) : Ω =√L1(µ, α), ε =
√L2(µ, α), 0 6 µ 6 +∞,
где
L1(µ, α) =s0(α)
s2(α)· µ
2[λ0(µ, α)(1 + λ0(µ, α)) + s2(µ, α)]2
[−λ0(µ, α)][(1 + λ0(µ, α))2 + s2(µ, α)],
L2(µ, α) =s0(α)
s2(α)· µ2s2(µ, α)
[−λ0(µ, α)][(1 + λ0(µ, α))2 + s2(µ, α)].
Здесь Ω — обезразмеренная частота внешнего поля, ε — обез-размеренная частота столкновений в плазме, α — обезразмерен-ный коэффициент вырождения плазмы. На рисунке 1 можно ви-деть, как меняются параметрические кривые с изменением коэф-фициента вырождения плазмы α.
87
0 0,5 1 1,5 2 2,5
0,5
1
1,5
2
2,5
ε
Ω
D+
D−
Рис. 1: Кривая L при α от -5 до 5
0 0,5 1 1,5 2 2,5
0,5
1
1,5
2
2,5
ε
Ω
D−
D+
α1=-5
α2=-3
α3=0
α4=3
α5=5
Рис. 2: Кривая L при α = 30
Видно, что при уменьшении коэффициента вырождения гра-фики практически не отличаются, например при α = −3 иα = −5. Более того, было проверено, что график для максвел-ловской плазмы, где α = −∞, практически совпадает с графикомдля α = −5.
А при росте α график обнаруживает интересную особенность.Правая ветвь кривой все больше изгибается и появляются об-ласти, при которых искомый корень дисперсионной функции (азначит и дебаевская мода) то появляется, то исчезает. На рисунке2 изображена кривая L, соответствующая коэффициенту вырож-дения плазмы α = 30. Видно, что при ε = 1, 5 при возрастании
88
частоты внешнего поля получается следующая картина: мода Де-бая сначала существует, потом она пропадает, потом опять появ-ляется, потом пропадает вновь.
Примерно при ε = 1, 8 подкоренное выражение для кривой Lвсегда обращается в ноль, т.е. график всегда будет касаться осиε. При α = +∞ (полностью вырожденная плазма) ширина петлина графике будет стремиться к нулю.
Литература
1. А.В. Латышев, Н.М. Гордеева, Поведение плазмы с про-извольной степенью вырождения электронного газа в слоепроводящей среды, ТМФ, 192:3 (2017), 506-522; Theoret. andMath. Phys., 192:3 (2017), 1234-1249.
Особенности распространения волн вгазокапельных и пузырьковых средах
Д.А. ГубайдуллинИММ КазНЦ РАН
Рассмотрены особенности волновой динамики и акустики па-рогазовых капельных и пузырьковых сред. Из последних публи-каций по этой теме отметим работы [1-5].
С единых позиций механики сплошных гетерогенных сред раз-вита континуальная теория распространения линейных волн в па-рогазовых полидисперсных (с произвольной функцией распреде-ления включений по размерам) и дискретных многофракцион-ных капельных и пузырьковых средах с фазовыми превращени-ями. Представлены математические модели, получены дисперси-онные соотношения, изучены высоко- и низкочастотные асимпто-тики коэффициента затухания, обсуждаются области примени-мости развитых теорий.
Проанализированы некоторые эффекты и особенности рас-пространения акустических возмущений в дисперсных средах.Среди них эффекты немонотонной зависимости затухания волн
89
от массового содержания капель и концентрации паровой ком-поненты в парогазокапельной среде, эффект немонотонной зави-симости затухания волн от радиуса пузырьков в пузырьковыхжидкостях.
Для смеси воздуха с паром, каплями воды и частицами пес-ка и сажи рассчитаны дисперсионные кривые и распространениеимпульсных возмущений. Показано, что наличие загрязняющихпримесей существенно влияет на динамику слабых волн в воз-душных туманах.
Для смеси воды с паровоздушными пузырьками и пузырькамигелия или углекислого газа рассчитаны дисперсионные кривые идинамика слабых импульсов давления. Установлено, что заменачасти паровоздушных пузырьков в пузырьковой смеси с фазовы-ми переходами на пузырьки с инертным гелием и парами водыможет приводить к существенному увеличению затухания волн внизкочастотной области частот. Показано хорошее согласие тео-рии с опубликованными экспериментальными данными другихавторов.
Разработан теоретический метод расчета искажения акусти-ческого сигнала при его взаимодействии с многослойной прегра-дой, содержащей слой полидисперсной пузырьковой жидкости.Получено хорошее согласование результатов теоретических рас-четов с данными эксперимента. Установлено, что особые диспер-сионные и диссипативные свойства слоя пузырьковой жидкостисущественно влияют на динамику акустического сигнала в мно-гослойной среде.
На основе результатов расчетов отражения акустической вол-ны от слоя конечной толщины, содержащей газовзвесь или пу-зырьковую жидкость, установлены соотношения между длинойволны и толщиной слоя, при которых коэффициент отраженияпринимает экстремальные значения. Приводится сопоставлениетеории и эксперимента.
Изучены нелинейные колебания аэрозолей и динамика частицв трубах в ударно- и безударно волновом режимах. Установленрезонансный характер осаждения капель от частоты акустическо-го поля и возможность эффективного акустического осаждениянаиболее проблемных для экологии субмикронных капель.
Литература
1. Губайдуллин Д.А., Федоров Ю.В. Звуковые волны в жидко-
90
стях с полидисперсными парогазовыми и газовыми пузырь-ками // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2015. 1. С. 67-77.
2. Губайдуллин Д.А., Федоров Ю.В. Звуковые волны в жидко-сти с полидисперсными парогазовыми пузырьками // Аку-стический журнал. 2016. Т. 62. 2. С. 178-186.
3. Губайдуллин Д.А., Федоров Ю.В. Падение акустическойволны на многослойную среду, содержащую слой пузырь-ковой жидкости // Известия РАН. Механика жидкости игаза. 2017. 1. С. 109-116.
4. Губайдуллин Д.А., Никифоров А.А. Взаимодействие аку-стического сигнала с неподвижной дискретно-слоистой сре-дой, содержащей слой пузырьковой жидкости // Теплофи-зика высоких температур. 2017. Т. 55. 1. С.102-107.
5. Губайдуллин Д.А., Зарипов Р.Г., Ткаченко Л.А., Шайдул-лин Л.Р. Экспериментальное исследование коагуляции иосаждения газовзвеси в закрытой трубе при переходе кударно-волновому режиму // Теплофизика высоких темпе-ратур. 2017. Т.55. 3. С.484-486.
"Нестандартные" каустики в асимптотикахлинейных волн на воде, порожденных
локализованными источниками
С. Ю. ДоброхотовИнститут проблем механики им А.Ю.Ишлинского РАН
Московский физико-технический институт[email protected]
Рассматривается задача о распространении линейных волнна воде в бассейне переменной глубины y = D(x), x = (x1, x2),порожденных пространственно-локализованными источниками.Исспользуя подходы, основанные на недавно полученных моди-фикациях канонического оператора Маслова мы даем эффек-тивные асимптотические формулы для описания превышениясвободной поверхности, включая волны в окрестности передне-го фронта. Эти формулы основаны на семействе решений p =
91
P (α, t), x = X(α, t) гамильтоновой системы p = −Hx, x = Hp,H =√|p|g tanh(D(x)|p|), p|t=0 = α, x|t=0 = 0, в 4-ч мерном фа-
зовом пространстве с координатами p = (p1, p2), x = (x1, x2).Здесь α = (α1, α2) ∈ R2. Уравнения p = P (α, t), x = X(α, t) длякаждого фиксированного времени t определяют геометрическиеобъекты- Лагранжевы многообразия Λ2
t , параметры α1, α2- этокоординаты на них. В стандартной теории Маслова многообра-зия Λ2
t предполагаются гладкими и существует алгоритм (кано-нический оператор Маслова) построения волнового поля по Λ2
t ,при этом асимптотики имеют разные структуры в окрестностирегулярных точек, где det ∂X∂α = 0 и сингулярных, где det ∂X∂α = 0.Последние образуют каустики, где амплитуда волн много большечем в регулярных точках. В рассматриваемой ситуации многооб-разие Λ2
t для t > 0 становится негладким при α → 0 и стандарт-ные формулы Маслова не работают в окрестности соответству-ющей кривой γt = x = X(t, 0), которая на самом деле можетбыть определена при интегрировании гамильтоновой системы сгамильтонианом H0 =
√gD(x)|p|, описывающим характеристики
2-мерного “предельного” волнового уравнения. Эта кривая γt опи-сывает передний фронт и волны в ее окрестности- один и наиболееинтересных объектов задачи. Наше наблюдение состоит в том,что фронт γt -“нестандартная” каустика (или нестандартнаялагранжева особенность) и что в его окрестности можно и нуж-но использовать полученные недавно в работах С.Доброхотова,В.Назайкинского и А.Шафаревича (2016) новые интегральныепредставления для канонического оператора Маслова. В резуль-тате мы даем эффективное описание головной волны в окрестно-сти переднегот фронта в случае начальных возмущений с ши-роким диапазоном их горизонтального размера. Эти формулы1) сравнительно легко и явно позволяют оценить вклад в ам-плитуду глубины бассейна, расходимость лучей, дисперсионныхэффектов и структуры начального возмущения, 2) показывают,что в окрестности переденого фронта для описания волнового по-ля можно ограничится линеаризованным уравнением Буссинеска.Как частные случаи они включают в себя (и имеют более пран-матичную и эффективную форму) формулы полученные ранеев работах В.А.Боровикова и М.Кельберта (1984), С.Доброхотова,В.Кузьминой, П.Жевандрова (1993), М.Берри (2007), С.Секерж-Зеньковича (2013).
Эта работа выполнена совместно с В.Назайкинским и А.Тол-
92
ченниковым и поддержана грантом РНФ 16-11-10282.
Математическое моделирование волн вбезнапорном участке трубопровода
Ю.А. ДроздоваРоссийский государственный университет нефти и газа имени И.М.
Губкина[email protected]
Известно, что на некоторых участках трубопроводов течениенефтепродуктов происходит в режиме неполного заполнения се-чения трубы. При этом продольный градиент давления отсут-ствует, а движущей силой является сила тяжести. На поверхностибезнапорного потока могут возникать волны, связанные с изме-нением режима компрессорных и насосных станций, с другимитехногенными или стихийными воздействиями, а также с имею-щей иногда место неустойчивостью потока. Возникновение волнприводит к дополнительному сопротивлению. Отражение волн отграниц участков с полным заполнением, взаимодействие с верх-ней границей трубы, происходящее в случае, когда амплитудаволн достаточно велика, приводит к возмущениям во всем тру-бопроводе. В силу указанных причин изучение таких волн пред-ставляется важным. В данной работе с использованием метода,предложенного в [1], выводятся уравнения, описывающие длин-ные нелинейные волны в круглой трубе при неполном заполне-нии сечения с учетом поперечного ускорения частиц жидкости(приближение Буссинеска). При этом малость амплитуд волн непредполагается.
Литература
1. Дроздова Ю. А. , Куликовский А. Г. Об описании длинныхнелинейных волн в каналах // Изв. РАН. Механика жидко-сти и газа. 1996. N 5. С. 136 - 145.
93
Гидродинамические законы сохранения системуравнений одномерной и двумерной мелкой
воды
К.П. ДружковМосковский государственный университет имени М.В. Ломоносова
В безразмерных переменных система уравнений одномерноймелкой воды над неровным дном y = h(x) имеет вид [1]
ut + uux + ηx = 0 ,
ux(η + h) + u(ηx + hx) + ηt = 0 .(1)
Под гидродинамическими законами сохранения системы (1)будем понимать пары функций (P ;R), такие что(
Dx(P ) +Dt(R))|(1) = 0 ,
где P и R зависят от x, t, u, η.В работе [2] было получено:Утверждение 1. При любой гладкой функции h(x) система
(1) обладает дополнительным законом сохранения
P = u(η + h(x)
)(u2 + 2η
),
R =(η + h(x)
)(u2 + η − h(x)
),
(2)
В безразмерных переменных система уравнений двумерноймелкой воды над неровным дном z = h(x, y) имеет вид [1]
ut + uux + vuy + ηx = 0 ,
vt + uvx + vvy + ηy = 0 ,
ux(η + h) + u(ηx + hx) + vy(η + h) + v(ηy + hy) + ηt = 0 .
(3)
Под гидродинамическими законами сохранения системы (3)будем понимать тройки функций (P ;Q;R), такие что(
Dx(P ) +Dy(Q) +Dt(R))|(3) = 0 ,
где P , Q и R зависят от x, y, t, u, v, η.
94
В настоящей работе получено:Утверждение 2. При любой гладкой функции h(x, y) систе-
ма (3) обладает дополнительным законом сохранения
P = u(η + h(x, y)
)(u2 + v2 + 2η
),
Q = v(η + h(x, y)
)(u2 + v2 + 2η
),
R =(η + h(x, y)
)(u2 + v2 + η − h(x, y)
),
(4)
который аналогичен закону сохранения (2).В работе также получены расширения системы базовых зако-
нов сохранения в случаях специальных видов функции h(x, y).
Литература
1. Стокер Д.Д. Волны на воде: Математическая теория и при-ложения М.: Изд-во ИЛ. 1959.
2. Aksenov A.V., Druzhkov K.P. Conservation laws and symmetriesof the shallow water system above rough bottom // J. Phys.:Conf. Ser. 2016. V. 722. P. 1–7.
Образование трехмерных течений на режимесильного взаимодействия1Г.Н. Дудин, 2В.Я. Нейланд
Центральный Аэрогидродинамический институт им. проф. Н.Е.Жуковского
[email protected]@tsagi.ru
Исследования двумерных течений около плоской пластины,оканчивающейся донным срезом, показали, что на режиме силь-ного вязко-невязкого взаимодействия разложение функций тече-ния в окрестности передней кромки не является единственным,а содержит неизвестную константу [1,2,3]. При этом предполага-лось, что дополнительное условие на задней кромке (например,донное давление) является постоянной величиной и не изменяет-ся по поперечной координате. В работе [1], в которой впервые
95
было установлен этот факт для определения индуцированногодавления была использована формула "касательного клина а в[3] в более точной постановке, рассматривался ударный слой. Внастоящей работе рассматривается обтекание под нулевыми угла-ми атаки и скольжения бесконечной плоской пластины конечнойдлины (по направлению набегающего потока) на режиме силь-ного взаимодействия при заданной температуре ей поверхности.Предполагается, что на задней кромке пластины может задавать-ся дополнительное условие, которое является функцией от попе-речной координаты. В соответствии с обычными оценками дляламинарного пограничного слоя в гиперзвуковом потоке вводят-ся безразмерные переменные и функции течения, и использует-ся преобразование А. А. Дородницына. Вводится преобразова-ние переменных, которое позволяет учесть особенности поведе-ния функций течения в окрестности передней кромки [2] и фор-мулируется краевая задача для пространственного пограничногослоя с заданной зависимостью давления от поперечной координа-ты на задней кромке пластины. В окрестности передней кромкипроводится разложение функций течения в степенные ряды дляопределения функций течения на кромке и собственных чисел. Вэти разложения входит свободный параметр, который являетсяфункцией от поперечной координаты. В разложение для попереч-ной компоненты скорости входит производная от этого параметрапо поперечной координате. В результате получаются две крае-вые задача. Одна - для нахождения главных членов разложениядля компонент скорости в продольном и нормальном направле-ниях, и энтальпии (автомодельная система уравнений). Вторая- для нахождения коэффициентов в членах разложениях, содер-жащих собственное число (неавтомодельная система уравнений).При этом уравнение для поперечной компоненты скорости отде-ляется от указанных краевых задач и может быть решено посленахождения значения собственного числа. В результате числен-ного решения первой краевой задачи (автомодельной) определе-ны профили компонент скорости в продольном и нормальном на-правлениях, а также энтальпии для различных значений темпе-ратурного фактора, показателя адиабаты и числа Прандтля. Врезультате решения неавтомодельной системы уравнений вычис-лены соответствующие коэффициенты в разложениях и найденысобственные числа в зависимости от указанных выше параметровтечения. Используя автомодельные профили функций течения и
96
соответствующие им собственные числа, решена краевая задачадля определения профиля поперечной компоненты скорости. По-казано сильное влияние показателя адиабаты и температурногофактора на образование пространственного течения в рассмот-ренном случае.
Литература
1. Нейланд В.Я. Распространение возмущений вверх по тече-нию при взаимодействии гиперзвукового потока с погранич-ным слоем // Изв. АН СССР. МЖГ. 1970. 3. С. 40-49.
2. Нейланд В.Я., Боголепов В.В., Дудин Г.Н., Липатов И.И.Асимптотическая теория сверхзвуковых течений вязкого га-за. - М.: Физматлит, 2003. - 456 с.
3. Brown S.N., Stewartson K. A non-uniqueness of the hypersonicboundary layer // Q J Mech. appl. Math. 1975. V. XXVIII, Pt.1. P75-90.
Оптимальная по расходу форма трубы приламинарном потоке в ней вязкой жидкости
1А.Г. Егоров, 2К.Ю. НосулькоКазанский (Приволжский) федеральный университет
Рассматривается режим двухфазного установившегося тече-ния – ламинарный стратифицированный поток [1,2] жидкости вгоризонтальной трубе, при котором в нижней части трубы те-чет более тяжелая фаза (вода), в верхней – легкая (нефть). Длятруб круглого поперечного сечения этот режим рассматривалсяво многих работах [3,4,5]. В данных работах было установлено,что зависимость расхода нефти от доли воды в потоке немонотон-на. Следствием немонотонности является принципиальная воз-можность повышения эффективности перекачки вязкой нефти вкруглых трубах за счет добавления в поток некоторого количе-ства воды, выполняющей роль жидкой смазки.
97
В настоящей работе был определен максимальный выигрышпо расходу нефти для труб круглого поперечного сечения с до-бавлением оптимального количества воды в поток относительнополностью заполненных нефтью труб. Результат был получен дляразличных заданных значений отношения вязкости фаз. Нарядус вышеописанным способом в представленной работе предложенаеще одна возможность повышения расхода нефти за счет оптими-зации формы поперечного сечения трубы заданного периметра.Главный интерес состоял в том, чтобы выяснить степень выиг-рыша по расходу нефти при использовании оптимальной трубыотносительно трубы круглого поперечного сечения.
В результате была определена форма и площадь поперечногосечения оптимальной трубы при различных заданных значени-ях отношения вязкости фаз. Для обоих случаев круглого и оп-тимального поперечного сечения представлен ряд характеристиктечения, при которых достигнут максимум расхода по нефти: до-ля воды в потоке; угол, определяющий положение границы разде-ла фаз; длина границы области, занятой водой; площадь сечения,занятого водой. Проведен их сравнительный анализ. Решение по-ставленных оптимизационных задач осуществлялось численнымиметодами при помощи пакета Matlab.
Литература
1. Angeli P. and Hewitt G.F. Flow structure in horizontal oil-waterflow // International Journal Multiphase Flow, Vol. 26. 2000.No. 7. Pp. 1117-1140.
2. Brauner N. and Moalem Maron D. Flow pattern transitionsin two phase liquid-liquid horizontal tubes // InternationalJournal of Multiphase Flow, Vol. 18. 1992. No. 1. Pp. 123-140.
3. Ng T.S., Lawrence C.J., Hewitt G.F. Laminar stratified pipeflow// International Journal Multiphase Flow, Vol. 28. 2002. No. 6.Pp. 963-996.
4. Bentwich M. Two-phase axial flow in pipe // Trans. of theASME, Vol. D 84 1964. No. 4. Pp. 669-672.
5. Brauner N., Rovinsky J. and Moalem Maron D. Analyticalsolution for laminar-laminar two-phase stratified flow in circularconduits // Chemical Engineering Communications, Vols. 141-142. 1996. Pp. 103-143.
98
Моделирование фрагментации метеороидов иэнерговыделения
Л.А. Егорова, В.В. ЛохинНИИ механики МГУ имени М.В. Ломоносова
Взаимодействие метеороида с атмосферой и дальнейшие по-следствия его входа зависят от размера тела, его скорости и со-става (прочности). Тела размером порядка 1 км и более, входкоторых представляет опасность для человечества можно опре-делить системами наблюдения заранее [1]. Расчет последствийвнедрения в атмосферу тел размерами десятки и сотни метров(болидов) имеет практическую ценность, так как они могут вы-зывать локальные и региональные катастрофы, но не обнару-живаются вне атмосферы. Наблюдениязаполетомметеорныхтел-спомощьюназемныхиорбитальныхстанций фиксируют интенсив-ность их свечения вдоль траектории. Результаты наблюденияобычно представляются в виде графика - кривой светимости. Принаблюдении за болидами часто регистрируется увеличение свече-ния в конце полета, так называемая «конечная вспышка», сви-детельствующее о его разрушении под действием аэродинамиче-ских сил. В настоящее время все больше работ моделируют входи разрушение метеорных тел в атмосфере и вычисление высво-бождаемой энергии [2,3]. В [2] рассмотрено явление «воздушногогигантского болида или воздушный ” взрыв метеора“(когда про-дукты полностью распадающегося и испаренного метеорного телазамедляются в атмосфере и не достигают поверхности Земли, ноударная волна и тепловое излучение производят заметное разру-шение и пожары». Для условий Челябинского болида рассмотре-но полное испарение и формирование высокоскоростной газовойструи, которая затем моделировалась численно. В работе [3] пред-ложены численные методы решения уравнений движения и испа-рения метеорных тел для различных моделей дробления. Выбравсвободные параметры задачи, удалось получить совпадение с на-блюдательными данными. Эти работы дают хорошо моделируютрезультаты наблюдений и полезны для практики, однако не даютобъяснений по поводу источника высвобожденной тепловой энер-гии после дробления. Поэтому мы предложили модель разруше-ния и переход кинетической энергии в тепловую. Мы предполага-ли разрушение метеороида на множество фрагментов. В отличие
99
от классической работы [4] осколки различны и движутся неза-висимо. После дробления фрагментов разрушенного тела за ко-роткий промежуток времени (полета) некоторое количество газа(окружающего воздуха и паров тела) нагревается до высокой тем-пературы. Кинетическая энергия движущихся частиц метеорноготела переходит в тепловую энергию объема газа, в котором проис-ходит их движение. Мывычислилитемпературуоблакагазовыхча-стицпометодикеиз[5,6].Впредыдущих работах мы вычислили све-тимость аналитически через соотношение светимости и уравне-ния физической теории метеоров. Распределение масс фрагмен-тов, данноев [7]позволяет вычислитьинтегральные соотношени-ядлявсего наборачастиц. В настоящей работе используя закон со-хранения энергии мы нашли температуру облакапослефрагмента-ции.НеобходимыеданныедляслучаяЧелябинскогоболидабыли взя-ты из [8]. Таким образом, полагая известным распределение фраг-ментов метеороида по массам после дробления, получена темпе-ратура в облаке газа и частиц для конкретных условий Челябин-ского события. Высокая температура газа позволяет говорить оявлении «теплового взрыва», как и предлагается в [1,2].
Литература
1. Катастрофические воздействия космических тел. Под ред.В.В. Адушкина и И.В. Немчинова. М. : ИКЦ «Академкни-га», 2005, 310 c.
2. Шувалов В. В., Светцов В. В., Трубецкая И. А. Оценка раз-мера зоны разрушений, производимых на поверхности зем-ли ударами астероидов размером 10 300 метров Астрономи-ческий вестник. - 2013. - Т. 47. - . 4. - С. 284-291.
3. Register P. J., Mathias D. L., Wheeler L. F. Asteroid fragmen-tation approaches for modeling atmospheric energy depositionIcarus. - 2017. - Т. 284. - С. 157-166.
4. Григорян С. С. О движении и разрушении метеоритов в ат-мосферах планет //Космические исследования. – 1979. – Т.17. – . 6. – С. 875-893.
5. Egorova L., Lokhin V. On the mechanism of crushing meteoroidwith end flash effect. EPSC //Moon and Planets. - Т. 95. - С.303-319.
6. Егорова Л. А., Лохин В. В. О двустадийном разрушенииметеороида с концевой вспышкой Вестник Московского уни-
100
верситета. Серия 1: Математика. Механика. 2016. - 4. - С.43-47.
7. Немчинов И. В., Попова О. П., Тетерев А. В. Внедрениекрупных метеороидов в атмосферу: теория и наблюдения(Обзор) Инж-физ. журн. - 1999. - Т. 72. - С. 1233-1265
8. Popova O. P. et al. Chelyabinsk airburst, damage assessment,meteorite recovery, and characterization Science. - 2013. - Т.342. . 6162. - С. 1069-1073.
Решение задачи конвекции при малых числахМарангони
М.В. ЕфимоваИнститут вычислительного моделирования СО РАН
В данной работе исследуется двумерная нестационарная зада-ча о течении двухслойной системы бинарная смесь-вязкая тепло-проводная жидкость с общей поверхностью раздела. Считается,что бинарная смесь заполняет слой |x| < ∞, 0 < y < l1(x, t).Сверху этого слоя имеется слой вязкой теплопроводной жидко-сти |x| < ∞, l1(x, t) < y < l2. Система жидкостей ограниченанепроницаемыми твердыми стенками с заданным распределениемтемпературы. Полагаем отсутствие потока вещества через твер-дую стенку и поверхность раздела. На границе раздела заданалинейная зависимость поверхностного натяжения от температу-ры и концентрации σ(θ1, C) = σ0 − æ1θ1 − æ2C.
Математическое моделирование течений жидкостей проводит-ся на основе системы уравнений Навье-Стокса в приближенииОбербека- Буссинеска [1]. Для описания процессов в нижнем слоесистема уравнений должна быть дополнена уравнением диффу-зии.
Для нахождения точного решения, описывающего конвектив-ное течение бинарной смеси и вязкой теплопроводной жидкости,использовался класс решений, в котором скорости течения жид-костей линейно зависят от горизонтальных координат, а коэффи-циенты при координатах - от поперечной координаты и времени.
101
Концентрация в слое с бинарной смесью, температура и давлениеявляются квадратичными формами относительно продольной ко-ординаты
uj = Uj(η, τ)ξ, vj = Vj(η, τ);
θj = Aj(η, τ)ξ2 +Bj(η, τ), c1 = H1(η, τ)ξ
2 + E1(η, τ),
pj = P (ξ, η, τ).
(1)
Cпециальный вид решения позволяет описывать движениявблизи локальных экстремумов температуры на твердых стенкахи границе раздела.
Получены следующие результаты: 1) предполагая, что движе-ние в слоях является ползущим, построено точное стационарноерешение конвективного течения системы жидкостей; 2) построеностационарное решение задачи с учетом влияния энергии межфаз-ного теплообмена; 3) получены априорные оценки нестационар-ного решения и определены условия распределения температурывдоль твердых стенок, при котором движение стабилизируется; 4)получено решение нестационарной задачи в квадратурах методомпреобразования Лапласа.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российскогофонда фундаментальных исследований (код проекта 17-01-00229).
Литература
1. Андреев В.К., Захватаев В.Е., Рябицкий Е.А. Термокапил-лярная неустойчивость. Новосибирск: Наука, 2000, 280.
Моделирование межфазных границ принеобратимых процессах: влияние интенсивности
фазовых превращений на поверхностноенатяжение и динамические условия на границе
раздела фаз
А.В. ЖуковНИИ механики МГУ имени М.В. Ломоносова
102
Известно, что при постановке задач о распространении фрон-тов фазовых превращений в сплошных средах во многих случаях,кроме условий непрерывности потоков массы, импульса и энер-гии, необходимы дополнительные соотношения на поверхностиразрыва (например, условия непрерывности обобщенного хими-ческого потенциала или уравнения, определяющие интенсивностьфазовых превращений).
Эти дополнительные соотношения могут быть получены врамках термодинамики необратимых процессов из анализа урав-нения для производства энтропии при описании границы раз-дела фаз как двумерной сплошной среды (D. Bedeaux, A. M.Albano, P. Mazur, 1976). Обобщение этой теории в рамках расши-ренной неравновесной термодинамики учитывает зависимость по-верхностной энтропии от поверхностных потоков массы и энергии(L. M. C. Sagis, 2010). Однако эти модели не позволяют описатьзависимость поверхностного натяжения от потока массы черезмежфазную границу, наблюдаемую при численном моделирова-нии процессов испарения и конденсации методами молекулярнойдинамики (S. I. Anisimov et al., 1999).
В настоящей работе граница раздела фаз рассматривается какдвумерная система с нулевой поверхностной плотностью, облада-ющая внутренней энергией, температурой и энтропией. На основеуравнения для производства энтропии и вариационного уравне-ния Л. И. Седова, где в число дополнительных определяющихпараметров входит интенсивность фазовых превращений, постро-ена уточненная модель движущейся границы раздела жидкостей.Получены определяющие уравнения, условия на границе разделаи кинетические соотношения в рамках данной модели. В частно-сти, получено дополнительное соотношение, связывающее скачокобобщенного химического потенциала на границе раздела фаз искорость изменения потока массы через данную границу.
В изотермическом приближении численно решена задача оструктуре движущейся плоской межфазной границы, что позво-ляет найти уравнения состояния двумерной среды и кинетическиекоэффициенты. При этом внутри межфазного слоя используетсяуравнение состояния, основанное на обобщенной модели Ван дерВаальса с учетом градиентов плотности. Для некоторых значе-ний определяющих параметров задача допускает точное аналити-ческое решение. Поверхностные плотности экстенсивных физиче-ских величин определяются по Гиббсу с помощью введения разде-
103
ляющей поверхности и вычисления избыточных величин для со-ответствующих объемных плотностей. Найдена зависимость по-верхностной свободной энергии и поверхностного натяжения отинтенсивности фазовых превращений и получены асимптотиче-ские выражения для этих функций при малых потоках массычерез межфазную границу.
Зависимость поверхностного натяжения от интенсивности фа-зовых превращений приводит к модификации дополнительногосоотношения на разрыве, что влияет на движение фронтов фазо-вых переходов, в том числе для одномерных движений с плоски-ми волнами. Для таких движений решена задача об устойчивостифронта фазового перехода, движущегося с дозвуковой скоростью.
В качестве приложения рассмотрен ряд задач о движениифронтов испарения и конденсации в жидкостях — сферическисимметричная задача о движении парового пузырька в вязкойтеплопроводной несжимаемой жидкости и задача об испарениисферически симметричного тела в вакуум.
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ-(проекты 16-01-00157 и 17-01-00037).
Эволюция сингулярностей в течениях жидкостисо свободной границей
Е.Н. Журавлева, Е. А. КарабутИнститут гидродинамики СО РАН
Рассматриваются нестационарные плоские потенциальные те-чения идеальной несжимаемой жидкости со свободной границейв отсутствии силы тяжести и поверхностного натяжения. Несмот-ря на простоту постановки в таких задачах известно мало точныхрешений.
Для более простого случая стационарных течений существуетметод Кирхофа и с его использованием найдено много струйныхрешений. Один из вариантов метода Кирхофа основан фактиче-ски на угадывании решения путем анализа нулей и особых точекрешения. Нельзя ли такой подход обобщить на нестационарныйслучай? Это сделать труднее, поскольку в нестационарном случаенули и сингулярности решения будут уже подвижными.
104
Важность исследования особенностей решения связана такжес гипотезой об интегрируемости плоской нестационарной зада-чи со свободной границей, высказанной в ряде работ академикомВ.Е. Захаровым. В большей степени эта гипотеза основана на на-блюдении, что движущиеся нули и сингулярности решения могутгенерировать дополнительные законы сохранения.
В докладе будут представлены новые аналитические и полуа-налитические результаты о характере движения и типе встреча-ющихся особенностей. В результате удается построить несколь-ко точных решений. Обнаружена коалесценция двух или трехособенностей. Зафиксирован выход сингулярностей на свободнуюграницу.
Управление детонацией в сверхзвуковом потокев плоском канале с сужением
1Т.А. Журавская, 2В. А. Левин1,2НИИ механики МГУ имени М.В. Ломоносова
1,2ЦАГИ2ИАПУ ДВО РАН
Используя детальный кинетический механизм химическоговзаимодействия, изучено детонационное горение стехиометриче-ской водородно-воздушной смеси, поступающей со сверхзвуковойскоростью, превышающей скорость распространения самоподдер-живающейся детонации, в плоский симметричный канал с суже-нием (пережатием). Цель исследования – определение условий,обеспечивающих формирование в канале создающего тягу тече-ния со стабилизированной детонационной волной, а также выяв-ление механизмов управления положением детонации в потоке сцелью повышения эффективности детонационного сжигания га-зовой смеси.
Продолжая начатое ранее исследование (Журавская Т.А., Ле-вин В.А. МЖГ. 2012. 6. С. 126-136), в работе рассмотрены усло-вия стабилизации инициируемой энергоподводом детонационнойволны в канале с сужением, выходное сечение которого большевходного. Определены условия, обеспечивающие формирование в
105
канале создающего тягу течения с детонационной волной, стаби-лизирующейся в расширяющейся части канала.
Изучено влияние изменений числа Маха входящего потока,добавок в поступающую в канал горючую смесь (например, мел-ких инертных частиц пыли) и геометрических параметров каналана положение стабилизированной в потоке волны. Предложен рядспособов управления положением детонации с целью увеличениясоздаваемой потоком тяги.
Установлена возможность формирования создающего тягу те-чения со стабилизированной детонацией без затрат энергии в слу-чае формирования детонационной волны в потоке перед препят-ствием, расположенным в определенном месте канала и существу-ющим в течение некоторого времени.
Работа выполнена в соответствии с планом исследований НИИмеханики МГУ при финансовой поддержке Министерства образо-вания и науки РФ (договор 14.G39.31.0001 от 13.02.2017г.), Со-вета по грантам Президента РФ (проект НШ-8425.2016.1), Про-граммы фундаментальных научных исследований ПрезидиумаРАН (Программа I.31) и Российского фонда фундаментальныхисследований (проект 16-29-01092). Исследования выполненыс использованием ресурсов суперкомпьютерного комплекса МГУимени М.В. Ломоносова.
Моделирование склоновых потоков с учетомненьютоновских свойств движущейся среды
1Ю.С. Зайко, 2М.Э. Эглит, 3А.Е. Якубенко1,2Московский государственный университет имени М.В.
Ломоносова1,3НИИ механики МГУ имени М.В. Ломоносова
Рассматриваются природные геофизические потоки, движу-щиеся по склонам под действием силы тяжести, такие как снеж-ные лавины, сели, быстрые оползни. Знание их динамических па-раметров и границ распространения необходимо для организациизащиты различных объектов в горах. Большая часть существу-ющих математических моделей геофизических склоновых пото-ков основана на уравнениях, осредненных по толщине потока. В
106
этой работе строятся и исследуются модели склоновых потоковс использованием полных (не осредненных по толщине) уравне-ний механики сплошных сред. Модели учитывают следующие триважных фактора: сложные нелинейные реологические свойствадвижущегося материала, захват потоком подстилающего матери-ала и возможность турбулентного режима движения. Предпола-гается, что захват донного материала происходит вдоль нижнейповерхности потока, когда касательное напряжение на дне потокадостигает значения предела прочности на сдвиг материала дна.Для задания реологических свойств среды используются моделиХершеля - Балкли, которые при надлежащем выборе входящихпараметров соответствуют ньютоновской (линейно-вязкой) жид-кости, жидкости с нелинейной зависимостью эффективной вяз-кости от скорости деформации, а также средам, характеризую-щимся наличием предела текучести. Для описания турбулентныххарактеристик предлагается трехпараметрическая модель турбу-лентности, предложенная В.Г. Лущиком, А.А. Павельевым и А.Е.Якубенко для расчетов движения жидкостей и газов вдоль прони-цаемых и непроницаемых стенок в присутствии градиента давле-ния, массообмена и других процессов. Сформулированные моде-ли используются для исследования влияния перечисленных трехфакторов на динамику потока и величину скорости вовлечениядонного материала на примере движения по длинному однород-ному склону с постоянным уклоном, в предположении, что всепараметры потока не зависят от продольной координаты. В част-ности, показано, что, как в ламинарных, так и в турбулентныхпотоках, при движении по длинному однородному склону с за-хватом подстилающего материала скорость и толщина потока прибольших временах растут пропорционально времени, а скоростьзахвата донного материала стремится к константе. Величина этойконстанты зависит только от свойств движущегося материала исклона и от режима течения, и не зависит от величины среднейскорости или толщины потока.
Работа поддержана РФФИ (проекты 15-01-00361, 15-01-08023)
107
Особенности двухфазного течениянесмешиваемых жидкостей в цифровом
микротомографическом изображении песчаника
Т.Р. ЗакировКазанский (Приволжский) федеральный университет
Особенности многофазных течений жидкостей в пористыхсредах являются предметом большого интереса у исследовате-лей, работающих во многих областях науки и техники. Поведе-ние таких потоков зависит от множества параметров, таких какгеометрия порового пространства, скорость вытеснения, вязкостьи плотность флюидов, поверхностное натяжение и краевой уголсмачивания, которые различны для каждой рассматриваемой за-дачи. При рассмотрении многофазных потоков в масштабе пор,как правило,размеры расчетной области составляют несколькомиллиметров, а образцу керна ставится в соответствие его цифро-вой аналог, который состоит из заполненных флюидом или твер-дой фазой упорядоченных вокселей. Получить цифровую моделькерна высокого разрешения (несколько мкм) можно при помо-щи рентгеновской компьютерной микротомографии. Цель дан-ной работы заключается в исследовании особенностей двухфаз-ного течения в трехмерном микротомографическом изображенииприродного песчаника при различных параметрах многофазногопотока.
Для математического описания двухфазного течения жидко-стей в масштабе пор в данной работе используются решеточныеуравнения Больцмана, а явления на границе раздела фаз описы-ваются при помощи модели градиента цветового поля.
Ранее исследователями было выявлено, что число капилляр-ности Ca и соотношение вязкости несмачивающей и смачивающейжидкостей M контролируют поведение совместного течения. На-ми была проведена серия из более чем 20 численных расчетов понесмешиваемому вытеснению смачивающей жидкости несмачива-ющей (дренирование) при различных значениях данных парамет-ров. Для численного описания структуры течения был постро-ен график зависимости насыщенности образца несмачивающейфазой от координаты наиболее близкой к выходному сечению еефронта, согласно которому было выделено три типа вытеснения.
108
При преобладании сравнительно высоких значениях logCa >−2, и logM < −0.5 кривая на графике имеет монотонный возрас-тающий характер. Эффективность заполнения несмачивающейфазой низка, т.е. при достижении нагнетаемой жидкости выход-ного сечения образец заполнен ею лишь на 20-30 %. В поровых ка-налах, вследствие слабости поверхностного натяжения, наблюда-ется образование изолированных глобул нагнетаемой жидкости.В каналах, куда проникла несмачивающая фаза, присутствуетзначительное количество контактирующей с поверхностью скеле-та смачивающей жидкости к моменту прорыва нагнетаемой фазычерез выходное сечение. Для такого набора параметров вытесне-ния присуще формирование так называемых «вязких» пальцев.
При logCa < −3, и −1 < logM < 1, в отличие от режима фор-мирования «вязких» пальцев, распространение несмачивающейфазы наблюдается по всем направлениям, в том числе и противо-положно градиенту гидродинамического давления. График име-ет возрастающий характер, однако, в отличие от первого случая,наблюдаются вертикальные участки, что указывает на временноепрекращение перемещения фронта, однако количество нагнетае-мой жидкости в образце увеличивается. В таком режиме теченияобразуются «капиллярные» пальцы. Эффективность заполнениянагнетаемой фазой по сравнению с первым режимом выше и со-ставляет более 40%.
При промежуточных значениях logCa и logM наблюдают-ся эффекты, свойственные как режиму формирования «вязких»,так и «капиллярных» пальцев. Эффективность заполнения поро-вого пространства при прорыве нагнетаемой фазы через выход-ное сечение выше, чем в первом режиме, но ниже, чем во втором.Это так называемый режим «стабильного» вытеснения.
По окончании серии расчетов была построена диаграмма, гдепо оси OX отложен logM , а по оси OY – logCa. На диаграммудля каждой пары чисел, для которых были произведены расче-ты, нанесены значения насыщенности образца нагнетаемой фазойпри ее достижении выходного сечения. Определены границы длятрех типов течения.
Работа выполнена частично при поддержке гранта РФФИмол_а 16-35-00155.
109
Турбулентное течение в диффузоре снеблагоприятным градиентом давления
В.М. ЗубаревИнститут проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН
В данной работе численным методом исследовалось течениев пограничном слое несжимаемой жидкости в диффузоре с увели-чивающимся продольным (неблагоприятным) градиентом давле-ния. В эксперименте F0141A [1] были измерены различные осред-ненные и турбулентные величины в пограничном слое. При чис-ленном моделировании применялась пристеночная модель тур-булентности [2,3], полученнная для полной скорости диссипацииэнергии турбулентности. Эта модель использовалась ранее в ра-ботах [4,5] при исследовании ламинарно-турбулентного переходав пограничном слое при большой степени интенсивности турбу-лентности и показала результаты, совпадающие с эксперимен-том. Детально изучено численными методами особенности те-чения F0141A в диффузоре. Результаты расчетов сопоставленыс данными эксперимента по профилям средней скорости, значе-ниям кинетической энергии турбулентности.
Здесь характерная длина была D = 1м, скорость – V∞ =0.222639·102 м/с, число Рейнольдса набегающего потока было Re∞= V∞D/ν = 1.76 · 106. Для проверки моделирования парамет-ров турбулентности на рисунках приведено сравнение расчетногои экспериментального профиля средней скорости u(y) (рис. 1)при x = 3.04м и энергии турбулентности k(y) (рис. 2) при x =3.39м в области близкой к концу измерений.
Харастеристики динамического пограничного слоя и парамет-ров турбулентности детально изучены при наличии продольно-го градиента давления. Представленные расчетные результатыпоказали их хорошее соответствие экспериментальным даннымпо профилям средней скорости и кинетической энергии турбу-лентности.
Литература
1. Simpson R.,Samuel A. Increasingly adverse pressure gradientflow // Proc. 1980–81 AFOSR-HTTM-Stanford Conf. on Comp-lex Turbul. Flows : Comparison of Computation and Experiment,
110
0
10
20
30
10-1 100 101 102 103 y+
u+
Рис. 1: Профиль средней cкорости u(y) в логарифмическихкоординатах при x = 3.04м. расчет,
⊙— экспериментальные
точки
0
4
8
10-2 10-1 100 101 y/D√R
e
∞¬
k/U∞2√R
e
∞¬
Рис. 2: Кинетическая энергия турбулентности k(y) при x = 3.39м.расчет, — экспериментальные точки
Stanford, CA, 3–6 Sept. 1980 / Eds. S. J Kline, B. J Cantwell,G. M Lilley, Mech. Eng. Dept., Stanford Univ., v. 1, 1981,p. 259–261.
2. Myong H. K., Kasagi N. A new proposal for a k-ε turbulencemodel and its evaluation. 1st report, development of the model// Trans. Japan Soc. Mech. Eng, 1988, B 54, p. 3003–3009.
3. Myong H. K., Kasagi N. A new proposal for a k-ε turbulencemodel and its evaluation. 2nd report, evaluation of the model// Trans. Japan Soc. Mech. Eng., 1988, B 54, p. 3512–3520.
4. Зубарев В. М. Исследование совместного влияния парамет-ров турбулентности набегающего потока на переход тече-ния в пограничном слое // Тепл. процессы в техн., 2016, т. 8, 1, с. 4–16.
111
5. Zubarev V.M. Comparative analysis of various k-ε turbulencemodels for laminar-turbulent transition // Препринт ИПМехРАН. М. : Институт проблем механики им. А .Ю. Ишлин-ского РАН, 1997, Препринт 601. – 52с.
О структуре течения в ударных слоях околоV-образных крыльев при сверхзвуковых
скоростях обтекания1М. А. Зубин, 2Ф.А. Максимов, 3Н.А. Остапенко
НИИ механики МГУ имени М.В. Ломоносова[email protected]
[email protected]@imec.msu.ru
Представлены результаты комплексного теоретического и экс-периментального исследования структуры обтекания V-образныхкрыльев при сверхзвуковых скоростях обтекания.
Показана возможность распространения ранее установленныхкритериев существования невязких вихревых структур (вихре-вых особенностей Ферри) в ударных слоях около V-образных кры-льев [Зубин М.А., Максимов Ф.А., Остапенко Н.А. ДАН. Т.434.3. С.282-288.] на случай образования контактного разрыва со-ответствующей интенсивности, исходящего из точки ветвленияλ-конфигурации ударных волн, сопровождающей отрыв турбу-лентного пограничного слоя под воздействием внутреннего скач-ка уплотнения, падающего на одну из консолей крыла. В рам-ках модели идеального газа рассмотрены режимы течения как сударными волнами, присоединенными к передним кромкам, таки с центрированной волной разрежения на передней кромке под-ветренной консоли, реализующиеся при несимметричном обтека-нии крыла с нулевым углом стреловидности передних кромок иуглом раскрытия 2π/3 потоком с числом Маха M = 3. С ис-пользованием результатов численных расчетов, точного расчетаточек ветвления на головной ударной волне и разработанной ра-нее эффективной полуэмпирической методики расчета интенсив-ности контактного разрыва, исходящего из точки ветвления λ-конфигурации ударных волн, а также экспериментальных дан-ных, полученных с помощью различных методов, установлено,
112
что при интенсивности контактных разрывов, исходящих из то-чек ветвления головной ударной волны и λ-конфигурации удар-ных волн, большей порогового значения, над наветренной консо-лью крыла существуют невязкие вихревые структуры – вихревыеособенности Ферри.
Приведены результаты численного исследования несиммет-ричного обтекания ромбовидного крыла с углами раскрытия γ =240 и при вершине консолей β = 45 на режимах со сверхзвуко-выми передними кромками при числах Маха M = 3–6.
Обнаружены неизвестные ранее разнообразные схемы тече-ния в ударном слое в зависимости от числа Маха, углов атакии скольжения, обусловленные наличием точки излома попереч-ного контура крыла. При обтекании со скольжением на режимахс дозвуковым (поперечным) течением в окрестности центральнойхорды крыла наблюдается срыв потока с наветренной консоли собразованием вихря на подветренной консоли. Увеличение угласкольжения приводит к возникновению транс- и сверхзвуковоготечения по обводу вихря и в возвратном потоке около стенки под-ветренной консоли с образованием ударных волн. При реализа-ции в окрестности точки излома контура условий, допускающихсуществование центрированной волны разрежения, вихрь сдвига-ется вниз от точки излома контура вдоль поверхности крыла, аперед ним образуется ударная волна.
В экспериментах при числе M = 3 с использованием различ-ных методов, в частности – специального теневого метода длявизуализации конических течений, подтверждено существованиесхем обтекания с образованием вихря на подветренной консоликрыла в окрестности центральной хорды. В возвратном пото-ке внутри вихря обнаружен отрыв турбулентного пограничногослоя, который существует при дозвуковой скорости возвратноготечения и исчезает при достижении ею скорости звука.
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФ-ФИ (проект 15-01-02361).
113
Построение специальных точных решенийквазилинейного уравнения теплопроводности
1А.Л. Казаков, 2Св.С. ОрловИнститут динамики систем и теории управления имени
В.М. Матросова СО РАН, Иркутск[email protected]
Рассматривается квазилинейное параболическое уравнение
Tt = ∇x · (k(T )∇xT ), k(T ) = k0Tσ, (1)
которое, как известно, встречается при описании процессов горе-ния, тепло- и массопереноса, фильтрации в сплошных нелиней-ных средах [1]. В литературе (1) именуется нелинейным уравне-нием теплопроводности (фильтрации) [2,3], а также уравнениемпористой среды (the porous medium equation) [4].
Будем считать, что T , T (t,x) : R+×Rν+1 → R+, ν ∈ 0, 1, 2,k0, σ ∈ R+. В предположении наличия пространственных (плос-кой, осевой и сферической) симметрий уравнение (1) серией невы-рожденных преобразований приводится к одномерному виду
ut = uuρρ +u2ρσ
+νu
ρuρ, (2)
в котором u — новая искомая функция времени t > 0 и неотри-цательной скалярной переменной ρ = ||x||ν , (
∑ν+1i=1 x
2i )
1/2.Авторами исследуется проблема поиска точных решений типа
тепловой волны уравнения (2), удовлетворяющих специальномукраевому условию
u(t, ρ)|ρ=f(t) = 0. (3)
Здесь ρ = f(t) — некоторая функция, обладающая достаточнойстепенью гладкости. Ее график определяет в плоскости перемен-ных (t, ρ) фронт тепловой волны.
Настоящая работа включает в себя три основных этапа.A. Поиск точных решений уравнения (2) в виде
u(t, ρ) = ψ(t, ρ)v(ξ), ξ , ξ(t, ρ), ψ ξtξρ ≡ 0 (4)
(прямой метод Кларксона–Крускала) [5]. Структура анзаца [4]предполагает редукцию к ОДУ относительно v(ξ). В формулу
114
[4], в частности, укладываются такие важные для приложенийклассы точных решений, как автомодельные, типа бегущей вол-ны [6,7].
B. Согласование найденных семейств решений с краевым усло-вием (3). Выделение решений типа тепловой волны. Переход кзадачам Коши для ОДУ 2-го порядка.
C. Качественное исследование свойств решений задач Коши.Идентификация поведения решений типа тепловой волны.
Итак, авторами получены новые классы точных решений нели-нейного уравнения теплопроводности (2), имеющих вид тепловойволны. Проводится подробный качественный анализ, позволяю-щий определить поведение и свойства этих решений.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российскогофонда фундаментальных исследований (проекты 16-01-00608, 16-31-00291).
Литература
1. Самарский А. А., Галактионов В. А., Курдюмов С. П., Ми-хайлов А. П. Режимы с обострением в задачах для квазили-нейных параболических уравнений. М.: Наука, 1987.
2. Годунов С. К. Уравнения математической физики. М.: Нау-ка, 1979.
3. Сидоров А. Ф. Избранные труды: Математика. Механика.М.: Физматлит, 2001.
4. Vazquez J. L. The Porous Medium Equation: MathematicalTheory. Oxford: Claredon Press, 2007.
5. Olver P. J. Direct reduction and differential constraints // Proc.Roy. Soc. (London). 1994. Ser. A, V. 444. P. 509-523.
6. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.:Наука, 1977.
7. Баренблатт Г.И. Подобие, автомодельность, промежуточ-ная асимптотика. Л.: Гидрометеоиздат, 1978.
115
Математическое моделирование в механикесплошных сред с использованием
полигармонических уравнений и их систем
1А.О. Казакова, 2Е.А. Микишанина, 3А.Г. ТерентьевЧувашский государственный университет
Полигармоническим уравнением n - го порядка называетсяуравнение вида
∆nu = 0. (1)
где ∆ - оператор Лапласа, n ∈ N . Многие задачи теории упруго-сти и гидродинамики сводятся к решению гармонических (n = 1)и бигармонических (n = 2) уравнений. Однако удобные аналити-ческие выражения могут быть получены только для некоторыхобластей частного вида. В остальных случаях применяются чис-ленные методы.
В [1] для решения краевых задач для уравнения (1) предло-жен численный метод граничных элементов, который заключа-ется в аппроксимации границы области системой конечного чис-ла малых элементов и в аппроксимации вспомогательных функ-ций uk = ∆ku (k = 0, n− 1) и их нормальных производныхvk = ∂uk
∂n на каждом элементе. Тогда система интегральных урав-нений Грина для этих функций может быть сведена к системелинейных уравнений относительно их значений в контрольныхточках (середины граничных элементов). Если контур разбива-ется на N элементов, то эта система представляет систему Nnлинейных алгебраических уравнений относительно 2Nn компо-нент, из которых Nn компонент задаются граничными условия-ми. Эти условия классифицируются по аналогии с краевыми за-дачами для гармонического уравнения: 1) условия Дирихле, еслина границе заданы функции uk ; 2) условия Неймана, если заданынормальные производные vk ; 3) смешанные условия, если заданачасть функций uk и часть функций vk .
В докладе также рассматриваются системы вида∆nu = v,∆mv = 0.
(2)
116
Возможны два случая: 1) v является заданной m-гармоническойфункцией; 2) v является решением m-гармонического уравнения.
Применяя к первому уравнению системы (2) m раз операторЛапласа, получаем одно полигармоническое уравнение порядкаm + n , для решения которого необходимы m + n граничныхусловий. Первые n граничных условий совпадают с граничны-ми условиями для первого уравнения системы (2). Если функцияv задана, то оставшиеся m условий могут быть найдены из неенепосредственным дифференцированием. Если v неизвестна, тооставшиеся m условий совпадают с граничными условиями длявторого уравнения системы (2).
К решению краевых задач для систем дифференциальныхуравнений сводятся многие задачи теории упругости, например,исследование изгиба пластин, в том числе многослойных, и тон-ких оболочек приводит к системе вида (2). Чистый изгиб пласти-ны в некторых случаях описывает система:
∆2u(x, y) = q(x, y),∆mq(x, y) = 0,
(3)
где q(x, y) определяется нагрузкой на пластину, а также ее физи-ческими и геометрическими характеристиками. Граничные усло-вия для решения системы (3) задаются в зависимости от способазакрепления контура пластины и степени определенности функ-ции q(x, y). В докладе рассматриваются случаи жесткой заделкии свободного опирания края пластины.
В качестве приложения в гидродинамике можно рассмотретьплоскую модель Стокса движения цилиндра в ограниченной вяз-кой жидкости. Задача сводится к нахождению бигармоническойфункции тока ψ, через которую выражаются скорости точек жид-кости и все другие гидродинамические характеристики. Гранич-ные условия получаются из условий прилипания: на контурахскорость жидкости совпадает со скоростью контуров. Далее отэтих граничных условий можно перейти к граничным условиямдля функции тока – на границах будут заданы сама функцияψ и ее нормальная производная (основная краевая задача длябигармонического уравнения). Численный метод решения такойпостановки рассмотрен в работе [2]. Тестовые примеры, рассмот-реные для задач о движении круглого цилиндра (точные решениязадач получены, например, в работах [3,4]), подтверждают высо-кую точность предложенного алгоритма. Проведены расчеты для
117
цилиндров эллиптического и прямоугольного сечений.
Литература
1. Казакова А.О., Терентьев А.Г. Численное решение крае-вых задач для полигармонического уравнения // Журналвычислительной математики и математической физики. –2012.– Т.52. – 1. – C. 2050-2059.
2. Терентьев А.Г., Казакова А.О. Численное решение плоскойзадачи теории упругости в многосвязной области // Вест-ник ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельно-го состояния. – 2016.– 2(28). – C. 34-47.
3. Терентьев А.Г., Терентьев А.А. Движение цилиндра в вяз-кой жидкости при малых числах Рейнольдса // ИзвестияНАНИ ЧР. – 2002.– 2. – C. 44-62.
4. Казакова А.О., Петров А.Г. О поле скоростей вязкой жид-кости между двумя цилиндрами, вращающимися и движу-щимися поступательно // Изв. РАН. МЖГ. – 2016.– 3. –C. 16-25.
Численный расчет течения вязкой жидкостимежду двумя движущимися цилиндрами
1А.О. Казакова, 2А.Г. Петров1Чувашский государственный университет
2ИПМех им. А.Ю. Ишлинского РАН[email protected]@gmail.ru
Построен алгоритм численного решения плоской задачи гид-родинамики между двумя произвольно движущимися цилиндра-ми произвольного сечения. Предполагается малость числа Рей-нольдса, и уравнения движения жидкости решаются в линейномприближении Стокса. Пусть жидкость заключена между дву-мя цилиндрическими телами с сечением произвольной формы:в плоскости z = x + iy контур ∂D0 находится внутри контура∂D1. Если жидкость несжимаема, то компоненты ее скорости вы-ражаются через функцию тока, которая в приближении Стокса
118
удовлетворяет бигармоническому уравнению ∆2Ψ = 0, и, исполь-зуя условия прилипания на границах, можно перейти к основнойкраевой задаче для этого уравнения в двусвязной плоской обла-сти.
Теорема Гурса: любая бигармоническая функция Ψ можетбыть представлена с помощью двух гармонических функций φи ψ: Ψ = φ(x, y) + x · ψ(x, y). Граничные условия тогда примутвид:
φ|∂Dk+ xk(s)ψ|∂Dk
= g(k)(s), k = 0, 1,
(∂φ/∂n)|∂Dk+ xk(s) (∂ψ/∂n)|∂Dk
+ ψ|∂Dkdyk/ds = g
(k)n (s).
(1)
Каждая из гармонических функций φ и ψ удовлетворяет гра-ничным интегральным уравнениям вида:
Aφn(s) +Bφ(s) = 2πφ(s) (M ∈ ∂D0) ,Aφn(s) +Bφ(s) = 0 (M ∈ ∂D1) ,
(2)
где A и B - линейные операторы:
Aφn(s) = −∫∂D
G (s, s′)φn(s′)ds′,
Bφ(s) =∫∂D
Gn (s, s′) (φ(s′)− φ(s)) ds′,
G (s, s′) = ln (r (s, s′)), r2 (s, s′) = (x− x′)2+ (y − y′)
2.Уравнения (1) и (2) представляют систему восьми уравнений
с неизвестными φ(k), ψ(k), φ(k)n , ψ(k)
n (k = 0, 1).Для проведения численных расчетов используется модифика-
ция метода граничных элементов – схема без насыщения, подроб-но описанная в [1]. Вводится дискретизация контуров конечнымчислом точек M
(0)i (i = 1, N0), M
(1)i (i = 1, N1). Тогда система
граничных уравнений (1), (2) сводится к системе линейных алгеб-раических уравнений относительно значений функций φ(k), ψ(k),φ(k)n , ψ(k)
n (k = 0, 1) в точкахM (k)i . К ней необходимо присоединить
дискретизированные условия∫∂D
(∂φ/∂n) ds =0,∫∂D
(∂ψ/∂n) ds =0
для нахождения неопределенных констант интегрирования, вхо-дящих в правые части граничных условий (1). Решив полученнуюсистему, определяем неизвестные граничные значения искомыхфункций, зная которые можно приближенно определить значе-ние бигармонической функции тока Ψ в любой точке области D.
119
Рис. 1: Линии тока для модели миксера (N0 = 120, N1 = 180).Вертикальное положение
Рис. 2: Линии тока для модели миксера (N0 = 120, N1 = 180).Горизонтальное положение
На тестовых примерах для случая круговых цилиндров (точ-ное аналитическое решения получено в [2]) показана эффектив-ность предложенного алгоритма. C его помощью проведены чис-ленные расчеты для модели миксера для различных форм ло-патки при различных ее положениях. В частности, на рис. 1 и 2представлены линии тока Ψ = const для вертикального и гори-зонального положений лопатки сложной формы, вращающейся сугловой скоростью ω = 1, параметры контуров показаны на ри-сунках.
Работа выполнена при поддержке гранта РНФ 14-19-01633.
Литература
1. Petrov A.G. Quadrature Formulas for Periodic Functions andTheir Application to the Boundary Element Method // Compu-tational Mathematics and Mathematical Physics. – 2008.– V.48.– No. 8. – pp. 1266-1283.
2. Казакова А.О., Петров А.Г. О поле скоростей вязкой жид-кости между двумя цилиндрами, вращающимися и движу-
120
щимися поступательно // Изв. РАН. МЖГ. – 2016.– 3. –C. 16-25.
Об ориентационной неустойчивости сдвиговыхтечений нематических жидких кристаллов
А.Г. КалугинМосковский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Нематические жидкие кристаллы (нематики) – среды, облада-ющие дополнительным макроскопическим параметром – единич-ным вектором ориентации (директором) n, описывающим среднеенаправление длинных осей молекул в частице среды. Используяэтот параметр и свойства симметрии среды, можно ввести ани-зотропную свободную энергию – энергию упругости ориентацииФранка, которая с точностью до тождественных преобразованийв общем случае принимает вид
2FV = K1(divn)2 +K2(n, rotn)2 +K3|[n, rotn]|2+
+K24
(∇inj∇jni − (∇kn
k)2),
где Ki – постоянные Франка. Также нематики обладают анизо-тропным тензором вязких напряжений.
Для нематических жидких кристаллов характерна ориента-ционная неустойчивость, которая наблюдается, например, в ди-намических процессах. В частности, для сдвиговых потоков ря-дом авторов экспериментально обнаружено и теоретически иссле-довалось образование периодических структур поля директора.В представленной работе рассматривается задача об устойчиво-сти сдвиговых течений слоя нематика в случае, когда на грани-це среды для директора применяется модель слабого сцепления.Для такой модели ориентация директора на границе находитсяиз условия минимума поверхностной энергии. В докладе рассмат-ривается случай, когда минимум достигается при параллельномстенкам директоре. При этом в энергии Франка необходимо учи-тывать слагаемое с коэффициентомK24 которое имеет дивергент-ную форму и поэтому не входит в уравнения движения среды и
121
эволюции вектора ориентации, но существенно влияет на гранич-ные условия.
В докладе рассматриваются стационарные плоскопараллель-ные течения типа Куэтта и Пуазейля, когда вектор ориентациисонаправлен с вектором скорости потока. Показано, что учет ди-вергентного слагаемого позволяет обнаружить новый тип ориен-тационной неустойчивости потока, выражающейся в появлениипериодических отклонений директора от невозмущенного с вол-новым вектором, лежащим перпендикулярно вектору скорости ипараллельно границам слоя нематика. Определено, в каком диа-пазоне значений K24 объемная энергия Франка периодическойконфигурации меньше, чем для однородной и, соответственно,решения с постоянным директором неустойчивы. Для линеари-зованной задачи о возмущениях выведена зависимость волново-го числа таких периодических решений от толщины слоя и кон-стант Франка. На основании полученных соотношений и имею-щихся в литературе экспериментальных данных определена ве-личина K24 для некоторых типов нематических жидких кристал-лов. Также на основе оценок характерного времени релаксациивозмущений скорости и вектора ориентации дано теоретическоеобъяснение причин, осложняющих экспериментальное обнаруже-ние таких эффектов.
Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант 15-01-00361.
О периодических решениях в слоенематического жидкого кристалла
1А.Г. Калугин, 2Д. В. ПавловМосковский государственный университет имени М.В. Ломоносова
В работе рассматривается модель нематического жидкого кри-сталла - сплошной среды, анизотропные свойства которой описы-ваются единичным вектором (директором) n. Наличие дополни-тельного макроскопического параметра среды приводит к появ-лению анизотропной части свободной энергии, квадратичное раз-ложение которой по градиенту директора имеет вид
122
2FV = K1(divn)2 +K2(n · rotn)2 +K3|[n× rotn]|2+
+K24
(∇inj∇jni − (∇kn
k)2)
где Ki — постоянные коэффициенты Франка, причем слагаемое скоэффициентомK24 имеет дивергентную форму и не дает вклада,например, в уравнения равновесия внутри объема, но влияет награничные условия.
Граничные условия определяются моделью слабого сцепле-ния, когда ориентация директора на границе нематика находитсяиз условия минимума поверхностной энергии, для которой рас-смотрено приближение Рапини-Папулара
2FS = 2γ +W (1− (n, m)2)
где γ, W — постоянные коэффициенты, m — ось легкого ориен-тирования. При этом m может вращаться по конусу с заданнымуглом между образующей и осью — вектором нормали к границе.
В докладе рассматривается задача о равновесии планарно (па-раллельно границам) ориентированного плоского слоя нематиче-ского жидкого кристалла. Показано, что учет дивергентных сла-гаемых в свободной энергии упругости ориентации Франка позво-ляет получить нетривиальные периодические решения задачи омалых возмущениях директора с волновым вектором, лежащим вплоскости слоя и перпендикулярным невозмущенной планарнойориентации директора.
При этом получена связь между параметрами среды, толщи-ной слоя H и волновым числом k возмущенного решения в виде
±(K2 −K1)HK224k
2 + kK24(4K1K2 −K24(K1 +K2))sh(kH)+
+2W (ch(kH)± 1)K1K2 = 0
Также проведен анализ этого соотношения. Для параметров ти-пичного нематического жидкого кристалла МББА найден диа-пазон значений K24 при которых такие периодические решениясуществуют, исследована зависимость k от толщины слояH. Кро-ме того, предложена новая интерпретация наблюдавшихся ранееэкспериментально эффектов, на основании данных которых по-лучена количественная оценка K24 для МББА.
123
Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант 15-01-00361.
Принцип неполной связанности в моделяхгидроразрыва в верхних слоях коры
А.В. КаракинИПМ им. М.В. Келдыша РАН
Рассматривается класс неполно связанных плоских аналити-ческих задач о медленных движениях равновесной трещины ГРПв пороупругой среде земной коры при наличии в ней разломов.Аналитическими методами исследуются вязкие движения жид-кости в самой трещине и вызванные этими движениями дефор-мации и фильтрация во внешней среде. Движения создаются за-качкой жидкости в скважину. Течение в трещине описываетсяуравнениями гидродинамики Стокса в приближении смазочногослоя. Внешняя задача описывается уравнениями пороупругости.Жидкость может фильтроваться через стенки трещины. Этомуисследованию посвящен цикл публикаций. Цель указанных ра-бот состоит в том, чтобы понять суть геомеханических процессов,происходящих при гидроразрыве в пороупругих средах, а такжебыть тестом для численных моделей.
Областью определения однородных и изотропных уравненийпороупругости является плоскость с разрезами. Границы трещи-ны являются проницаемыми. В клюве трещины задается условиеИрвина. Как внешняя, так и внутренняя задачи содержат малыйпараметр ε, который имеет смысл величины раскрытия трещины,а также упругой деформации ε = θ∗. Здесь θ обозначает объем-ную деформацию среды, звездочка – ее максимальное значение.На бесконечности возмущения затухают. Специфика пороупру-гих задач состоит в том, что около трещины возникает тонкийпограничный слой, в котором возникают интенсивные фильтра-ционные процессы.
Основной метод решения состоит в том, что производится рас-щепление решения на упругую и фильтрационную составляющие.Это расщепление удовлетворяет принципу неполной связанности,
124
т.е. решаются отдельные независимые задачи о течении в тре-щине, о пороупругих деформациях во внешней области и о филь-трации в тонком пограничном слое. Тем не менее, задача оста-ется связанной. Исследуются частные случаи автомодельных за-дач, которые решаются аналитически. Отдельно рассматриваетсякрестообразная трещина, которая имеет целью качественно ис-следовать слоисто-неоднородную трещиноватую структуру сре-ды при наличии в ней разломов. Рассматриваются два крайнихрежима движения трещины ГРП – toughness-dominated и viscous-dominated режимы.
Режим toughness-dominated допускает наиболее полное иссле-дование без ограничений на форму движения во времени. Ре-жим viscous-dominated содержит больше степеней свободы. По-этому для получения конечного решения для прямолинейной тре-щины следует ограничиться автомодельным режимом закачки.Крестообразная трещина также исследовалась в двух режимах –toughness-dominated и viscous-dominated. В обоих случаях исполь-зовался аппарат комплексных переменных и конформного пре-образования аналитических функций. В первом случае решениебыло представлено в виде конечного аналитического выражения.Во втором случае решение получено в виде ряда.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского на-учного фонда, проект 15-11-00021.
Литература
1. Белоусов Т.П., Куртасов С.Ф., Мухамедиев Ш.А. Дели-мость земной коры и палеонапряжения в сейсмоактивныхнефтегазоносных регионах Земли. М.: ОИФЗ РАН, 1997.
2. Каракин А.В. Принцип неполной связанности в моделяхпороупругих сред // Математическое моделирование, 18:2(2006), 24–42.
3. Каракин А.В., Рамазанов М.М., Борисов В.Е. Проблеманеполной связанности уравнений гидроразрыва // Матема-тическое моделирование, 29:6 (2017), 115–134.
4. Лаврентьев М.М., Шабат Б.В. Методы теории функцийкомплексного переменного. М.: Наука, 1973.
5. Рамазанов М.М., Каракин А.В., Борисов В.Е., МеньшовИ.С., Савенков Е.Б. Автомодельное решение задачи о тре-щине ГРП для пороупругой среды // Математическое мо-делирование, 29:4 (2017), 59–74.
125
Об автоколебательных режимах прониканиясвободных или затопленных струй через
поверхность жидкости1В.П. Карликов, 2А.Т. Нечаев, 3С.Л. Толоконников
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова[email protected]@[email protected]
Представлен краткий обзор наиболее существенных резуль-татов выполненных в Институте механики МГУ исследованийнового класса нестационарных течений несжимаемой жидкости,возникающих при проникании затопленных или свободных тур-булентных струй разной формы через поверхность покоящей-ся жидкости. Изучались проникание вертикальных затопленныхили свободных плоских и осесимметричных водяных струй черезповерхность воды, находящейся в относительно узких каналах, атакже проникание через поверхность воды в сосуде прямоуголь-ной формы свободных тонкостенных водяных струй, вытекающихиз конического щелевого сопла с вертикальной осью.
Обнаружено существование широких диапазонов значений оп-ределяющих параметров, при которых в жидкости формируютсянеизвестные ранее автоколебательные режимы течений. Описаныразные механизмы возникновения таких режимов и характерныеособенности найденных экспериментально и численно зависимо-стей периода автоколебаний от основных определяющих парамет-ров. Указаны возможные приложения полученных результатов.
Плоские задачи механики морского льда1Е. Карулин, 2М. Карулина, 3А. Марченко, 4А. Сахаров,
5П. Чистяков1,2Крыловский государственный научный центр, Санкт-Петербург3Университетский центр на Свальбарде, Лонгирбюен, Норвегия
4,5Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
126
Для нахождения предельных нагрузок воздействия морскогольда на шельфовые сооружения необходимо построение механи-ческих моделей его деформирования и разрушения на основе экс-периментальных данных. Температура льда в естественных усло-виях близка к точке плавления, в связи с этим полная механиче-ская модель деформирования и разрушения льда должна учиты-вать его вязко-упруго-пластические свойства и их зависимости оттемпературы и солености льда, а также от его структуры [1]. Экс-перименты по определению предельных нагрузок, приводящих кразрушению образцов плавающего морского льда, регулярно про-водятся на Шпицбергене с 2011 года. Оригинальная геометриче-ская конфигурация образцов и разработанное оборудование, поз-воляющее прикладывать нагрузку по всей толщине льда, даютвозможность определить прочности льда на сжатие, растяжение,срез и изгиб, а также сопротивление льда при внедрении цилин-дрического индентора [2–8]. Эксперименты проводились на льдутолщиной от 30 до 80 см. Хотя геометрическая конфигурация ис-пытуемых образов льда двумерна, наличие вертикального гради-ента свойств льда влияет на характеристики его деформированияи разрушения. В частности, обнаружены масштабные эффектыуменьшение прочности льда на сжатие и растяжение по сравне-нию с лабораторными экспериментами и получены зависимостиизгибной прочности от направления приложения нагрузки.
В ряде экспериментов на растяжение и сдвиг, где нагрузкаприкладывалась в плоскости льда, разрушение носило двумер-ных характер и происходило с образованием вертикальных тре-щин, проходящих сквозь толщину пластины льда. Для интерпре-тации результатов этих экспериментов в данной работе теорети-чески исследуются две задачи предельного равновесия в услови-ях плоского напряженного состояния, в которых свойства льдапо вертикали полагаются однородными. Лед моделируется изо-тропным материалом, а предельная поверхность в пространственапряжений, задаваемая в виде объединения конуса и цилиндра,соосных гидростатической оси, зависит только от гидростатиче-ского давления p, температуры и солености s льда. На плоскостиглавных напряжений предельная кривая состоит из дуги эллип-са, соответствующего критерию Мизеса при высоких давленияхp > pc, и дуги параболы, соответствующей критерию разрушенияпри наличии сдвигов [9]. Эллипс определяется параметром, нахо-дящимся из эксперимента на двухосное сжатие. Парабола опре-
127
деляется двумя параметрами из экспериментов на одноосное рас-тяжение и сжатие.
Первая задача о равновесии клина, равномерно нагруженно-го по боковой грани, решается в предположении осесимметрии.Для задачи предельного равновесия существуют две ветви реше-ний. Первое решение приводит к равномерным полям напряже-ний и в случае острого клина к разрывному решению. В натур-ных экспериментах [10] разрушение острых клиньев происходитв основном за счет развития трещины отрыва, поскольку вели-ка доля изгибной составляющей в напряженном состоянии. Дляклиньев с углами большими π/3 можно ожидать реализации сце-нария, отвечающего представленному решению. В случае тупо-го клина построено непрерывное решение для напряжений, гдеобласти равномерного напряженного состояния, примыкающие ксторонам клина, сопрягаются с помощью второй ветви решений.Вторая задача о растяжении пластинки с круговыми боковымивырезами относится к эллиптическому типу и допускает простоерешение для напряжений в полярной системе координат.
Литература
1. Sanderson T.J.O., 1988. Ice Mechanics – Risks to OffshoreStructures. Graham and Trotman.
2. Chistyakov, P., Karulin, E., Marchenko, A., Sakharov, A.,Lishman, B., 2016. The tensile strength of saline and freshwaterice in field tests. Proc. of the 23rd IAHR Symposium on Ice,Ann Arbor, Michigan, paper 4872921.
3. Karulin, E., Marchenko, A., Karulina, M., Chistyakov, P., Sakharov,A., Ervik, A., Sodhi, D., 2014. Field Indentation Tests ofVertical Semi-Cylinder on First-Year Ice. Proc. of the 22thIAHR Symposium on Ice, Singapore, paper 1125.
4. Karulina, M., Marchenko, A., Sakharov, A., Karulin, E.,Chistyakov,P., 2016. Experimental Studies of Fracture Mechanics for VariousIce Types. Proc. of the 23rd IAHR Symposium on Ice, AnnArbor, Michigan, paper 4869357.
5. Konstantinova, M., Marchenko, A., Karulina, M., Sakharov, A.,Karulin, E., Chistyakov, P., 2016. In-situ investigations of icedeformations and loads in indentation tests. Proc. of the 23rdIAHR Symposium on Ice, Ann Arbor, Michigan, paper 4870465.
128
6. Marchenko, A., Karulin, E., Chistyakov, P., Sodhi, S., Karulina,M., Sakharov, A., 2014. Three dimensional fracture effects intests with cantilever and fixed ends beams. Proc. of the 22thIAHR Symposium on Ice, Singapore, paper 1178.
7. Murdza, A., Marchenko, A., Chistyakov, P., Karulin, E., Sakharov,A., Karulina, M., 2016. Test with L-shaped cantilever beam forcomplex shear and bending strength. Proc. of the 23rd IAHRSymposium on Ice, Ann Arbor, Michigan, paper 4855605.
8. Sakharov, A., Karulin, E., Marchenko, A., Karulina, M., Sodhi,D., Chistyakov, P., 2015. Failure envelope of the brittle strengthof ice in the fixed-ends beam test (two scenarios). POAC15-00230, Trondheim, Norway, 8 pp.
9. Schulson, E.M., Duval, P., 2009. Creep and Fracture of Ice.Cambridge University Press.
10. Karulina, M., Marchenko, A., Sakharov, A., Karulin, E.,Chistyakov,P., 2016. A Study of Ice Oblique Drift Action onto the StructurePartially Sheltered by another Object. POAC17, Busan, Korea,v.185, p.1-10.
Большие деформации материалов в условияхползучести и пластического течения
1Л.В. Ковтанюк, 2А.О. Лемза, 3Г.Л. Панченко1Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН
1,2Дальневосточный федеральный университет3Институт машиноведения и металлургии ДВО РАН
3Владивостокский государственный университет экономики исервиса
Для ряда конструкционных материалов холодная формовка,основанная на медленном процессе ползучести, оказывается наи-более перспективной технологией получения крупногабаритныхизделий [1]. Присутствующие в этом случае области пластиче-ского течения существенно изменяют поле напряжений, а значит,и основной процесс ползучести. При этом хотя бы необратимые
129
деформации нельзя положить малыми. Таким образом, адекват-ной процессу формовки оказывается модель больших деформа-ций материалов с упругими, пластическими и вязкими свойства-ми. Предлагаемая здесь модель последовательного накоплениябольших необратимых деформаций сначала в условиях ползуче-сти, а затем и пластического течения основана на более раннихпредложениях [2,3], где обратимые eij и необратимые pij состав-ляющие полных деформаций Альманси dij определяются диф-ференциальными уравнениями изменения, а компоненты тензоранапряжений Эйлера-Коши σij — аналогом формулы Мурнагана.
Диссипативный механизм деформирования, определяющий на-копление необратимых деформаций, связан с пластическими иреологическими свойствами материалов. Далее считаем, что вяз-кие свойства среды проявляются на всех этапах процесса дефор-мирования, необратимые деформации pij не разделяются на пла-стические и деформации ползучести, накапливаются в материалес начала процесса деформирования, а накопленные к моменту на-чала пластического течения необратимые деформации ползуче-сти являются начальными значениями для их дальнейшего ростав области течения. Их различие связано с различием в механиз-мах их накопления. В областях, где напряжённое состояние ещёне достигло поверхности текучести или где пластическое течениепроисходило, но прекратилось, полагаем скорости необратимыхдеформаций γij равными скоростям деформаций ползучести ενij .Соответствующий диссипативный механизм деформирования за-дадим, например, введя потенциал V (σij) в форме степенного за-кона получести Нортона:
V (σij) = BΣn, Σ = max |σi − σj | , γij = ενij =∂V (Σ)
∂σij. (1)
Здесь σi — главные значения тензора напряжений, B и n — па-раметры ползучести.
Когда напряжённое состояние в материале достигает поверх-ности нагружения, диссипативный механизм деформированияменяется, появляется и развивается область пластического тече-ния. В этой области γij = εpij , связь скоростей пластических де-формаций εpij с напряжениями устанавливается ассоциированнымзаконом пластического течения, а для учёта вязких свойств сре-ды при пластическом течении используется обобщённое условие
130
пластичности Треска:
γij = εpij = λ∂f
∂σij+ αij , f(σij , ε
pij) = 0, λ > 0, αij = εν0ij ,
max |σi − σj | = 2k + 2ηmax |εpk − αk| , αk = εν0k ,
(2)
где εpk — главные значения тензора скоростей пластических де-формаций, εν0ij — компоненты тензора скоростей деформаций пол-зучести в момент начала пластического течения, εν0k — его глав-ные значения, k и η — предел текучести и вязкость материала.
Предложенная модель иллюстрируется решением краевых за-дач о прямолинейном и вискозиметрическом деформировании споследующим пластическим течением.
Литература
1. Олейников А. И., Пекарш А. И. Интегрированное проекти-рование процессов изготовления монолитных панелей. – М. :Эком, 2009. – 109 с.
2. Буренин А. А., Быковцев Г. И., Ковтанюк Л. В. Об однойпростой модели для упругопластической среды при конеч-ных деформациях // ДАН. – 1996. – Т. 347. – 2. – С. 199–201.
3. Буренин А. А., Ковтанюк Л. В. Большие необратимые де-формации и упругое последействие. – Владивосток : Даль-наука, 2013. – 312 с.
Волновые течения, возникающие при подъемебруса из мелкой воды
1О.А. Ковыркина, 2В. В. Остапенко1,2Институт гидродинамики СО РАН, Новосибирск
2Новосибирский государственный университет[email protected]
Подъем тела с поверхности жидкости и возникающее при этомтечение представляют интерес как с теоретической, так и с при-кладной точек зрения. Физические явления, которые необходимо
131
учитывать при моделировании такого подъема, находятся в ста-дии предварительного анализа. Теоретические, эксперименталь-ные и численные исследования подъема тел с поверхности глу-бокой жидкости без учета влияния дна проведены в [1–3]. Экс-периментальное изучение подъема стеклянного круглого диска споверхности воды, целью которого было объяснить процесс лака-ния кошачьими, выполнено в [1]. Для теоретического объясненияэтих результатов в [3] предложена линеаризованная модель дан-ного процесса, основанная на эвристическом предположении, чтоскорость движения границы области контакта жидкости пропор-циональна местной скорости течения. В [4–6] в рамках первогоприближения теории мелкой воды изучены волновые течения,возникающие при вертикальном подъеме прямоугольного бру-са, частично погруженного в воду, заполняющую прямоугольныйпризматический канал с горизонтальным дном. На первом этапе,подробно исследованном в [4], нижняя поверхность бруса полно-стью находится под водой. Течение жидкости на втором этапе,когда нижняя поверхность бруса начинает выходить из воды, су-щественно зависит от знака функции G = R2−R′, где R = H ′/H,H = H(t) — заданный закон подъема бруса.
При G > 0 брус препятствует свободному подъему жидко-сти за ним и граница смоченной части нижней поверхности бру-са движется с докритической скоростью [5]. При G = 0 брус невлияет на течение жидкости на втором этапе и граница его смо-ченной части движется вдоль характеристики системы уравнениймелкой воды [6]. В этих двух случаях отрыв жидкости от брусапроисходит при глубине равной начальной глубине жидкости внебруса. При G < 0 брус ускоряет подъем жидкости, примыкающейк нему на втором этапе, и граница его смоченной части движетсяс критической скоростью, вдоль линии, огибающей уходящие снее характеристики [6]. В этом случае отрыв жидкости от брусаможет происходить при глубине существенно превосходящей на-чальную глубину жидкости вне бруса. Получены явные формулыдля скорости течения жидкости в области, примыкающей к бру-су, а также для скорости движения границы области контактабруса и жидкости на втором этапе. Течение жидкости в областивне бруса находилось путем численных расчетов по разностнойсхеме КАБАРЕ второго порядка аппроксимации [7].
Литература
132
1. Reis P.M., Jung S., Aristoff J. M., Stocker R. How cats lap:water uptake by Felis catus. Science. 2010. V. 330. P. 1231–1234.
2. Tassin, A., Piro, D. J., Korobkin, A. A., Maki, K. J., Cooker, M. J.Two-dimensional water entry and exit of a body whose shapevaries in time. J. Fluids and Structures. 2013. V. 40, P. 317-336.
3. Korobkin A. A. A linearized model of water exit. J. Fluid Mech.2013. V. 737. P. 368–386.
4. Кузнецова В. В., Остапенко В. В. Волновые течения, возни-кающие при вертикальном подъеме из мелкой воды прямо-угольного бруса. ПМТФ. 2015. Т. 56. 5. С. 102–110.
5. Кузнецова В. В., Остапенко В. В. Волновые течения, возни-кающие при подъеме прямоугольного бруса, частично по-груженного в мелкую воду. ДАН. 2016. Т. 467. 2. С. 163–167.
6. Ostapenko V. V., Kovyrkina O. A. Wave flows induced by liftingof a rectangular beam partly immersed into shallow water. J.Fluid Mech. 2017. V. 816. P. 442–467.
7. Головизнин В. М., Зайцев М. А., Карабасов С.А., Корот-кин И. А. Новые алгоритмы вычислительной гидродина-мики для многопроцессорных вычислительных комплексов.М.: Изд. МГУ, 2013.
Подобие теплообмена в струях ВЧ-плазмотронаи в гиперзвуковых потоках молекулярных газов
1А.Ф. Колесников, 2В.И. Сахаров1ИПМ имени А.Ю. Ишлинского РАН
2НИИ механики МГУ имени М.В. Ломоносова[email protected]
ВЧ-плазмотрон ВГУ-4 (ИПМех РАН) мощностью 100 кВт —многофункциональная установка для исследований теплофизики
133
высокоэнтальпийных течений газов, теплообмена и термохимиче-ского взаимодействия потоков диссоциированных газов с поверх-ностью [1]. Установка может работать на воздухе, азоте, кисло-роде, углекислом газе и аргоне в режимах до- и сверхзвуково-го истечения плазмы из разрядного канала. Использование чи-стых плазменных струй индукционных плазмотронов позволяетнаиболее полно моделировать термохимическое взаимодействиедиссоциированного пограничного слоя с поверхностью материа-лов тепловой защиты в окрестности носового затупления спус-каемых аппаратов. Теплообмен с поверхностью в сверхзвуковыхструях индукционного плазмотрона изучался экспериментальнои численно в ряде работ. В результате получены согласующиесяэкспериментальные и расчетные данные по тепловым потокам идавлению в точке торможения на цилиндрической модели с плос-ким носком в первой сверхзвуковой зоне недорасширенных струйдиссоциированных газов [2-4].
При анализе экспериментальных и расчетных данных по теп-лообмену возникает вопрос, какие параметры входа затупленноготела в атмосферу Земли или Марса соответствуют условиям теп-лообмена в точке торможения цилиндрической водоохлаждаемоймодели с плоским торцом, находящейся на некотором расстоя-нии от среза звукового сопла при обтекании ее недорасширеннойструей диссоциированного газа. Ответ на него может быть полу-чен из условий локального моделирования теплообмена в крити-ческой точке, сформулированных впервые в [5] на основе теорииламинарного диссоциированного пограничного слоя. Эти усло-вия представляют собой равенства полных энтальпий, давленийторможения и градиентов скорости на внешних границах погра-ничных слоев на обтекаемом затупленном теле и модели. Из нихпо параметрам сверхзвукового обтекания молекулярными газамицилиндрических моделей с плоским торцом радиуса Rm, располо-женных на расстоянии Zm от среза разрядного канала в плазмот-роне, можно определить параметры обтекания сфер соответству-ющего радиуса Rw0 гиперзвуковыми равномерными потоками ватмосферах Земли или Марса. При этом тепловые потоки в точ-ках торможения цилиндрических моделей в струях плазмотронамогут быть пересчитаны в тепловые потоки к сферам при соот-ветствующих параметрах обтекания гиперзвуковыми потоками.
Численное моделирование течений в разрядном канале плаз-мотрона с индукционным нагревом газов и в истекающих недо-
134
расширенных струях диссоцированных и частично ионизованныхмолекулярных газов проводилось для ряда режимов работы уста-новки ВГУ-4. Применялась технология, основанная на комплек-се программ численного интегрирования уравнений Навье-Стокса[6] и специальных программ-генераторов, взаимодействующих сбазами данных по термодинамическим и переносным свойстваминдивидуальных газовых веществ.
Установлено, что нормированные зависимости тепловых по-токов в точках торможения на модели и сфере от эффективногокоэффициента каталитической рекомбинации атомов для условийэкспериментов на ВЧ-плазмотроне и соответствующих условийвхода сферы в атмосферы планет, связанных условиями локаль-ного моделирования теплообмена, подобны. Это ведет к формуледля экстраполяции тепловых потоков к модели в плазмотроне наусловия гиперзвукового обтекания сферы при ее полете в атмо-сферах Земли или Марса.
Данная работа выполнена при поддержке гранта РФФИ 17-01-00054.
Литература
1. Гордеев А.Н., Колесников А.Ф. Высокочастотные индукци-онные плазмотроны серии ВГУ. Сб. Актуальные проблемымеханики: Физико-химическая механика жидкостей и газов.Москва, Наука, 2010, с. 151-177.
2. Афонина Н.Е., Васильевский С.А., Громов В.Г., КолесниковА.Ф., Першин И.С., Сахаров В.И., Якушин М.И. Течение итеплообмен в недорасширенных струях воздуха, истекаю-щих из звукового сопла плазмотрона // Изв. РАН. МЖГ.2002. 5. С. 156-168.
3. Cахаров В.И. Численное моделирование термически и хими-чески неравновесных течений и теплообмена в недорасши-ренных струях индукционного плазмоторона // Изв. РАН.МЖГ. 2007. 6. С. 157-168.
4. Гордеев А.Н., Колесников А.Ф., Сахаров В.И. Течение и теп-лообмен в недорасширенных струях индукционного плаз-мотрона // Изв. РАН. МЖГ. 2011. 4. С. 130 – 142.
5. Колесников А.Ф. Условия моделирования в дозвуковых те-чениях теплопередачи от высокоэнтальпийного потока к
135
критической точке затупленного тела // Изв. РАН, МЖГ.1993. 1. С. 172-180.
6. Afonina N.E., Gromov V.G., Sakharov V. I. HIGHTEMP tech-nique of high temperature gas flows numerical simulations //Proc. 5th Europ. Symp. on Aerothermodyn. Spase Vehicles.Cologne, Germany, 2004. SP 563. Noordwijk: ESTEC, 2004. P.323-328.
Влияние перпендикулярного электрическогополя на распад тонкого слоя диэлектрической
жидкости, движущегося в газе
В.М. КоровинНИИ механики МГУ имени М.В. Ломоносова
Моделирование распада струй топлива в воздушных потоках,возникающего под действием аэродинамических сил, в настоя-щее время [1] проводят в рамках линейной теории устойчивости.Впервые задача о неустойчивости тонкого слоя невязкой жид-кости с параллельными границами, движущегося с постояннойскоростью в покоящемся газе, была рассмотрена в [2]. В [3] набазе уравнений и граничных условий гидромеханики и электро-статики исследовано влияние однородного продольного электри-ческого поля на развитие неустойчивости тонкого плоского слоядиэлектрической жидкости, движущегося в потоке газа. Нерав-ные по величине скорости жидкости и газа параллельны полю.Установлено, что поляризационные силы, локализованные на гра-ницах слоя, оказывают стабилизирующее воздействие. В работеизучен эффект, вызываемый поляризационными силами в слу-чае однородного внешнего электрического поля перпендикуляр-ного границам слоя. Вдали от жидкости газ покоится. Как и в[2,3] силой тяжести пренебрегается. Исследовано влияние опре-деляющих параметров на скорость роста амплитуд волн, гребникоторых перпендикулярны направлению движения слоя. Вычис-лена длина λm наиболее быстро растущей волны. По порядкувеличины длина λm представляет характерный размер фрагмен-тов, образующихся при первичном, по терминологии [1], распаде
136
слоя с параллельными границами. Показано, что в случае жид-костей с достаточно большой диэлектрической проницаемостьювоздействие перпендикулярного электрического поля умереннойнапряженности приводит к существенному уменьшению λm. Ра-бота выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 17-01-00037).
Литература
1. Погребная Т.В., Свириденков А.А., Третьяков В.В. Моде-лирование распыливания жидкости воздушным потоком.Модели и методы аэродинамики. Материалы ПятнадцатойМеждународной школы-семинара. МЦНМО. Москва. 2015.С. 121-122.
2. Squire H.B. Investigation of the instability of a moving liquidfilm. Br. J. Appl. Phys. 1953. Vol. 4. P. 167-169.
3. El-Sayed M.F. Electro-aerodynamic instability of a thin dielectricliquid sheet sprayed with an air stream. Phys. Rev. E. 1999. Vol.60. No. 6. P. 7588-7591.
Самоподдерживающиеся ударные волны вобластях фотодиссоциации
1К.В. Краснобаев, 2Р.Р. Тагирова1Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
2Институт космических исследований РАН[email protected]
В средах с объемными источниками тепла может происходитьсамопроизвольное возникновение и нарастание амплитуды удар-ных волн [1–5]. Примером таких сред в космических условияхслужат области фотодиссоциации в облаках молекулярного меж-звездного водорода, где наблюдаются процессы активного звездо-образования. Тепловой баланс в облаках поддерживается за счетпоглощения излучения молодых звезд и высвечивания в линияхпримесных атомов и ионов. Критерий роста малых возмущений
137
в области фотодиссоциации следует из общей теории тепловойнеустойчивости и имеет вид
QT |p0 =
(QT − ρQρ
T)
)ρ0,T0
> 0− энтропийная мода (1)
QT |S0=
(QT +
ρQρ(γ − 1)T
)ρ0,T0
> 0−изоэнтропическая мода (2)
где ρ, T,Q(ρ, T ) - соответственно плотность, температура и мощ-ность притока тепла к единице массы среды, Q(ρ0, T0) = 0; p -давление, S - энтропия. Физически согласно критерию (1) присжатии газа его давление убывает с ростом плотности, а привыполнении критерия (2) к единице массы газа в фазе сжатияподводится тепло. Для выполнения неравенства (2) и, следова-тельно, для образования и усиления ударных волн необходимо,чтобы темп нагрева возрастал с ростом ρ и T , в то время кактемп охлаждения слабо зависел бы от этих параметров. Приме-нительно к тем частям областей фотодиссоциации, где степеньдиссоциации невелика, в [6] было найдено, что неравенство (2)удовлетворяется. Оно справедливо и для той зоны области фо-тодиссоциации, где преобладает атомарный водород [4]. Однаков ранее проводившихся расчетах рассматривался лишь неболь-шой диапазон изменения концентрации атомов водорода n ≈ 103
см−3 и интенсивностей ультрафиолетового излучения G0 ≈ 102
(в единицах Хабинга). Поэтому авторами настоящей работы реа-лизована новая модель атомарной области фотодиссоциации [5],учитывающая изменения на несколько порядков интенсивностиизлучения, концентрации и температуры газа, а также вариацииоптической толщины зоны. Согласно модели, нагрев обусловленфотоэлектрической эмиссией электронов с поверхности пылинок,а охлаждение газа происходит путем возбуждения и последующе-го высвечивания уровней атомов кислорода и ионов углерода. Врамках сформулированной модели получены следующие резуль-таты: исследована зависимость Q(ρ, T ) = 0 и определены областинеустойчивости акустических волн ; установлено, что в интервале4.5×104 < n < 106 см−3, 103 < G0 < 106 преобладает охлаждениев линиях кислорода и возможно распространение самоподдержи-вающихся ударных волн (автоволн), амплитуда которых в режи-ме насыщения практически не зависит от величины и масштабаначальных возмущений; столкновения автоволн не приводят к
138
изменению их структуры. Определены инкременты нарастанияавтоволн для ряда наблюдаемых областей фотодиссоциации. По-казано, что присутствием автоволн можно объяснить сетчатую(ячеистую) структуру среды на периферии областиHII RCW 120и коротковолновые (порядка толщины ударного фронта) вариа-ции скорости в туманности Ориона.
Литература
1. И. А. К и р и л л о в, В. Д. Р у с а н о в, А. А. Ф р и д м ан. Хим. физика 4, 132 (1985).
2. К. В. К р а с н о б а е в, В. Ю. Т а р е в. Астрон. журн. 64,1210 (1987).
3. К. В. К р а с н о б а е в, Н. Е. С ы с о е в, В. Ю. Т а р е в.Ядерная физика, физика космических излучений, астроно-мия (М.: Изд-во МГУ, 1994,), с. 222.
4. N. E. M o l e v i c h et al. Astrophys. Space Sci. 334, 35 (2011).5. K. V. K r a s n o b a e v and R. R. T a g i r o v a. MNRAS
469, 1403 (2017).6. O p p e n h e i m e r. ApJ, 211, 400 (1977).
Фронты затвердевания, задача о поршне
А.Г. Куликовский, Е.И. СвешниковаМатематический институт им. В.А.Стеклова РАН
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова[email protected]
В работе рассматриваются фронты затвердевания, при про-хождении через которые среда, не выдерживающая касательныхнапряжений, (например, состоящая из невзаимодействующих ча-стиц или идеальная жидкость) превращается в анизотропнуюупругую среду. Строится решение автомодельной задачи о плос-ких волнах при наличии фронта затвердевания. На поверхностифронта затвердевания, кроме основных условий, следующих изинтегральных законов типа законов сохранения, граничные усло-вия содержат также дополнительные соотношения.
139
Ранее при весьма общих предположениях относительно урав-нений, используемых при описании структуры разрыва, было по-казано, что требование существования решения для структурыприводит именно к такому числу дополнительных условий [1].
Если число величин, характеризующих состояние за разры-вом, более чем на единицу превосходит число основных усло-вий на разрыве,то в определенных диапазонах изменения ско-рости разрыва могут возникать многопараметрические разрывы,то есть такие, состояние за которыми при заданном состоянииперед ними характеризуется более чем одним свободным пара-метром [2]. Иначе говоря, в этом случае в фазовом пространствепараметров состояния размерность ударной адиабаты с учетомдополнительных соотношений превосходит единицу.
В предлагаемой работе особенности разрывов с несколькимидополнительными соотношениями, а также поведение решений,содержащих такие разрывы, демонстрируются на примере фрон-тов затвердевания [2-4] путем исследования автомодельной зада-чи "о поршне".
В рассматриваемом случае считается, что за фронтом затвер-девания образуется нелинейно упругая несжимаемая анизотроп-ная среда, в которой нелинейность и анизотропия принимаютсямалыми. Исследование структуры фронтов затвердевания прово-дится на базе уравнений модели вязкоупругой среды Кельвина-Фойхта отдельно для сред с разными типами нелинейности [3,4].
Используются лагранжевы декартовы переменные, в которыхось x ортогональна фронту. Искомыми величинами являютсякомпоненты деформации сдвига ui(x, t) = ∂wi/∂x, i = 1, 2. Здесьt – время, wi – компоненты смещение частиц среды в плоскостяхx = cost. Скорость фронта затвердевания W может приниматьпроизвольные значения и рассматривается как произвольный па-раметр.
Проводится исследование структуры фронтов затвердевания,в результате чего находятся дополнительные соотношения нафронте. С их учетом в пространстве W,u1, u2 построено множе-ство состояний за фронтом затвердевания – ударная адиабата длясред с разными типами нелинейности [2-4].
Ударная адиабата содержит части трех, двух и одного измере-ний в зависимости от соотношений между W и скоростями мед-ленных (c1) и быстрых (c2) малых возмущений непосредственно
140
за фронтом
1)W < c(u1, u2), 2)c1(u1, u2) < W < c2(u1, u2), 3)W > c2(u1, u2)
В случае 1) фронт затвердевания медленный, дополнительныхсоотношений нет, в случае 2) – быстрый, одно дополнительноесоотношение, в случае 3) – сверхбыстрый, два дополнительныхсоотношения.
Решение задачи о поршне однозначно строится по значениямu1 = u∗1 и u2 = u∗2, задающим граничные условия на поршне и со-стоит из фронта затвердевания и следующих за ним нелинейныхупругих волн.
Литература
1. Куликовский А.Г. О поверхностях разрыва, разделяющихидеальные среды с разными свойствами. Волны рекомбина-ции. // ПММ. 1968. Т.32. Вып.6. С. 1125–1131.
2. Куликовский А.Г. О многопараметрических фронтах силь-ных разрывов в механике сплошных сред // ПММ. 2011.Т.75. Вып.4. С. 531–550.
3. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Образование анизо-тропной упругой среды на фронте уплотнения потока ча-стиц // ПММ. 2015. Т.79. Вып.6. С. 739–755.
4. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Фронты образованиянелинейной упругой среды из среды дез касательных на-пряжений // Вестн.Моск. ун-та. Серия 1, математика, ме-ханика. 2017. 3. С. 48–54.
Численное моделирование детонации визогнутом канале круглого сечения
В.А. Левин, И.С. Мануйлович, В. В. МарковНИИ механики МГУ имени М.В. Ломоносова
Центральный аэрогидродинамический институт имени Н.Е.Жуковского (ЦАГИ)
Математический институт имени В.А. Стеклова РАН[email protected]
141
Рассмотрена задача об инициировании детонации в сверхзву-ковом потоке стехиометрической пропановоздушной смеси в трёх-мерном канале круглого сечения постоянной ширины с изгибом.В зоне изгиба стенка канала имеет форму тора. Длина торооб-разной секции определяется заданным углом поворота канала.Исследование проводится в рамках одностадийной кинетики го-рения численным методом, основанным на схеме С.К. Годуно-ва, в оригинальном программном комплексе, разработанном дляпроведения многопараметрических расчётов и визуализации те-чений. Инициирование детонации происходит в результате фор-мирования в канале ударно-волновых конфигураций, связанныхс поворотом потока. Получены нестационарные картины теченияи исследована их зависимость от параметров задачи – скоростинабегающего потока, угла поворота канала, его ширины и радиу-сов кривизны стенок. Получены диапазоны определяющих пара-метров, соответствующие различным режимам течения. Полученрежим течения без детонации, режим с детонационной волной,выходящей из канала через входное сечение, и режим со стаци-онарной детонацией. Проведено сравнение с результатами, полу-ченными в аналогичной плоской задаче о детонации в канале сизгибом. Расчёты проведены на суперкомпьютере МГУ «Ломо-носов» при финансовой поддержке гранта Министерства образо-вания и науки РФ (договор 14.G39.31.0001 от 13.02.2017 г.).
Cобственный вихрь 2D области, расширеннаязадача Стокса
1В. Г. Лежнев, 1А.Н. МарковскийКубанский государственный университет
[email protected]@kubsu.ru
1. Рассмотрим вихрь u(x), функция тока которого ψ(x) естьрешение краевой задачи, где q∗(x) – плотность потенциала Робе-на:
∆2ψ(x)∣∣Q= 0, ψ(x)|S = 0,
∂ψ(x)
∂n
∣∣∣∣S
= q∗(x).
142
Обозначим g∗ = ∆ψ. В области Q функция
ψ∗(x) =
∫∫Q
g∗(y)E(x− y)dy, x ∈ Q,
как функция тока, определяет присоединенный вихрь теченияРобена во внешней к Q области; E(x) – фундаментальное ре-шение уравнения Лапласа. Этот вихрь с плотностью вихрей g∗
будем называть собственным вихрем области Q.Пространство L2(Q) раскладывается в прямую сумму [1]:
L2(Q) = N(Q)⊕G(Q) = N(Q)⊕ g∗ ⊕G∗(Q),
где G(Q)–подпространство гармонических функций.2. При формулировке краевых задач гидродинамики не всегда
может быть указана скорость искомого течения на границе, как,например, в задаче Стокса, где искомая плотность вихрей опреде-ляется в подпространсве гармонических функций. Но единствен-ное решение может быть получено в естественном классе регу-лярных минимальных вихрей только по граничным значениямфункции тока таким, которые исключают присутствие собствен-ного вихря.
Рассмотрим расширенную постановку задачи определения век-торного поля u(x) в ограниченной области Q по граничным зна-чениям его функции тока ψ, а также алгоритм ее решения.
Задача U. Найти в ограниченной области векторное поле ско-ростей u(x) несжимаемой жидкости с минимальной плотностьювихрей в Q, если заданы на границе S значения функции тока,ψ(x)|S = f(x).
Решение определяется логарифмическим потенциалом ψ(x),искомая плотность потенциала g принадлежит подпространствугармонических функций G∗(Q).
3. Подпространство гармонических функций G(Q), оснащен-ное полной системой потенциалов, представляет собой достаточ-но эффективный инструмент решения различных 2D и 3D задачгидродинамики [2]. Кроме этого построены сходящиеся проекци-онные алгоритмы метода базисных потенциалов, использующеготакже полные системы потенциалов в L2(S) [3].
Расширенную постановку предполагается применить для ана-лиза задач гидродинамической и газовой смазки, задач вихревогообтекания профиля и др.
143
Литература
1. Новиков П.С. Об единственности решения обратной задачипотенциала // Докл. АН СССР, 18:3 (1938), 165–168.
2. Лежнев В.Г., Марковский А.Н. Метод базисных потенци-алов для неоднородного бигармонического уравнения //Вестник Самарского госуниверситета – Естественно науч-ная серия, 8/1(67), 2008, С.127-139.
3. Лежнев В.Г. Системы потенциалов, полные на границе обла-сти // Тр. Конф. Математическая физика. Владимиров-90,МИАН, 2013.
Автомодельные решения в задаче обезнапорной фильтрации в высокопористой
среде
Н.Е. ЛеонтьевМосковский государственный университет имени М.В. Ломоносова
В докладе изучается течение тонкого слоя вязкой несжима-емой жидкости со свободной поверхностью внутри высокопори-стой среды над горизонтальным непроницаемым основанием. Та-кие задачи могут возникать в некоторых практических приложе-ниях, например при пропитке пористых сред при производствекомпозиционных материалов.
Течение предполагается медленным, так что можно прене-бречь инерционными эффектами и для описания фильтрации ис-пользовать уравнение Бринкмана. На нижней границе слоя ста-вится условие проскальзывания Навье [Леонтьев Н. Е. Изв. РАН.МЖГ, 2014, 2]. В качестве эвристической гипотезы на сво-бодной поверхности ставятся (1) условие непрерывности давле-ния (поверхность предполагается пологой, влиянием поверхност-ного натяжения пренебрегается) и (2) условие для тензора ско-ростей деформаций, вычисленного по скорости фильтрации, ко-торое формально аналогично условию отсутствия касательных
144
напряжений на свободной поверхности в свободной вязкой жид-кости. В принципе возможны обобщения рассматриваемых усло-вий, моделирующие влияние капиллярной каймы на свободнойповерхности с помощью касательных напряжений, приложенныхк верхней границе слоя (известно качественно аналогичное демп-фирующее влияние пены на поверхности жидкости).
При этих предположениях выведено уравнение для толщи-ны слоя жидкости, которое оказывается частным случаем нели-нейного уравнения теплопроводности, а также получено условиена слабых разрывах. При стремлении толщины слоя к нулю вслучае прилипания на дне уравнение асимптотически переходитв известное уравнение течения тонкой пленки вязкой жидкости[Leal L. G. Advanced transport phenomena. Fluid mechanics andconvective transport processes, 2007], а с ростом толщины слояуравнение асимптотически переходит в уравнение Буссинеска дляпологой безнапорной фильтрации в рамках закона Дарси [Полу-баринова-Кочина П. Я. Теория движения грунтовых вод, 1977].
На примере плоских течений строятся автомодельные реше-ния, описывающие течение от источника. По-видимому, впервыена существование решений такого вида (в случае уравнения теп-лопроводности с нестепенной зависимостью коэффициента теп-лопроводности от температуры) обратил внимание Н. А. Дмит-риев [Зельдович Я. Б., Компанеец А.С. Сборник, посвященный70-летию акад. А. Ф. Иоффе, 1950], впоследствии аналогичныеавтомодельные решения для нелинейных параболических урав-нений рассматривались многими авторами.
Находятся асимптотические разложения решений в окрестно-сти передней границы растекающейся жидкости (точки касаниясвободной поверхности и подстилающей поверхности). В случаяхприлипания и проскальзывания показатели степени в разложе-ниях толщины пленки как функции от расстояния до переднейграницы растекающейся жидкости (в рамках принятой модели)оказываются различными (соответственно 1/3 и 1/2), что можноиспользовать как диагностический признак при анализе экспери-ментальных данных.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проекты 15-01-00361,17-01-00037).
145
Леонид Иванович Седов. Годы работы в ЦАГИ.1930-1947 гг.
И.И. Липатов, C. Л. ЧернышевЦентральный Аэрогидродинамический Институт, Жуковский
Представлены материалы, иллюстрирующие деятельность Л.И.Седова в Центральном Аэрогидродинамическом институте. С са-мого начала своей работы в ЦАГИ он был участником знамени-тых теоретических семинаров, проводившихся под руководствомС.А. Чаплыгина.
Во время работы в институте Л.И. Седовым разработана мате-матическая теория глиссирования на поверхности тяжёлой жид-кости. Было дано решение задач об ударе тел о воду и глисси-ровании. Выведены формулы аэродинамических сил и моментовдля деформируемых крыльев, получены формулы аэродинамиче-ских сил при неустановившемся движении крыльев, в частности,при их вибрациях. Л.И. Седов обобщил теорему Жуковского наслучай произвольных движений крыла, построил новый матема-тический метод решения задач об обтекании профилей крыльеви применил этот метод в теории тонкого крыла, а затем в теорииволн, теории упругости, теории фильтрации. Им было полученорешение задачи о восстановлении аналитической функции в об-ласти ее регулярности по заданию на одних участках границыэтой области действительной, а на других – мнимой частей ана-литической функции.
В докладе также представлены результаты современных ис-следований, проводящихся в ЦАГИ, продолжающих и использу-ющих результаты Л.И. Седова.
Новые вычислительные технологии длямоделирования газовой детонации
1А.И. Лопато, 2П.С. УткинИнститут автоматизации проектирования РАН, МФТИ
[email protected] [email protected]
146
Первые результаты численного моделирования распростране-ния одномерной пульсирующей волны газовой детонации, а такжемногомерной ячеистой структуры детонации, относятся к 1960-ым (У. Фикетт) и 1970-ым годам (В.В. Марков, Т. Фудживара) со-ответственно. С тех пор с развитием численных методов решенийзадач газовой динамики, совершенствованием кинетических схеми ростом доступных вычислительных мощностей происходило по-стоянное уточнение качественных (например, получение трехмер-ного спинового режима распространения, тонкой структуры яче-истой детонации) и количественных (например, детонационныепределы) характеристик процесса. Текущее понимание механиз-мов распространения детонационной волны (ДВ) во многом на-ходится в зависимости от максимальной достигнутой на данныймомент производительности вычислительной техники. В то жевремя, развитие вычислительных мощностей и, как следствие,возможности проводить расчеты со все более и более детальнымпространственно-временным разрешением выявили ряд необыч-ных эффектов при моделировании детонации, полного объясне-ния которым нет до сих пор. К их числу относится возможноезатухание детонации для параметров кинетики, близких к угле-водородным топливам, в двумерных расчетах длительного рас-пространения ДВ в плоском канале [1]. Таким образом, несмотряна, казалось бы, почти сорокалетнюю историю расчетных работ вобласти детонации, остается еще ряд фундаментальных вопросовматематического моделирования ДВ.
В работе представлены две оригинальные вычислительныетехнологии для исследования течений с волнами детонации. Раз-работан вычислительный алгоритм второго порядка аппрокси-мации для исследования одномерной пульсирующей ДВ в систе-ме координат, связанной с лидирующим скачком [2]. Для случаяустойчивой, слабо неустойчивой, нерегулярной и сильно неустой-чивой детонации проведено качественное и количественное сопо-ставление результатов расчетов с использованием разработаннойметодики и при моделировании привычным способом в лабора-торной системе координат. Получены оценки занижения давле-ния за фронтом лидирующей волны в расчетах в лабораторнойсистеме координат за счет численного размазывания лидирующе-го скачка.
Исследована возможность моделирования двумерных тече-ний с волнами детонации на полностью неструктурированных
147
расчетных сетках с треугольными ячейками. Построен робаст-ный конечно-объемный алгоритм второго порядка аппроксима-ции. Проведено моделирование ячеистой структуры ДВ в плос-ком канале для случая устойчивой детонации при варьированиисеточного разрешения и порядка аппроксимации алгоритма [3].
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты 16-31-00408 и 15-31-70004).
Литература
1. Semenov I.V., Utkin P.S., Akhmedyanov I. Mathematical mode-ling of detonation initiation via flow cumulation effects //Progress in Propulsion Physics. 2016. 8. 389-406.
2. Лопато А.И., Уткин П.С. Детальное математическое мо-делирование пульсирующей детонационной волны в систе-ме координат, связанной с лидирующим скачком // Жур-нал вычислительной математики и математической физики.2016. 56, 5. 856-868.
3. Лопато А.И., Уткин П.С. Особенности математическогомоделирования течений с волнами детонации на неструкту-рированных расчетных сетках // Вычислительные методыи программирование. 2017. 18, 4 (в печати).
О численной модели движения газа через слойкапсулированного материала с фазовым
переходом1Н.А. Луценко, 2С.С. Фецов
1,2Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН1,2Дальневосточный федеральный университет
Одним из путей повышения надежности, стабильности и эф-фективности энергетических систем является использование хра-нилищ энергии, которые позволяют накапливать излишки энер-гии и отдавать их при пиковом энергопотреблении. Особеннонеобходимыми такие устройства становятся при использовании
148
нетрадиционной энергетики (солнечной, ветряной), которая от-личается сильно неравномерным производством энергии. Однимиз видов аккумулирующих энергию устройств являются накопи-тели энергии сжатого воздуха (Compressed Air Energy Storage,CAES). Эта технология характеризуется высокой надежностьюи экономичностью, низким воздействием на окружающую сре-ду, при этом допускает создание как малых, так и крупномас-штабных хранилищ высокой энергоемкости [1]. Перспективнымразвитием уже существующих CAES являются накопители энер-гии сжатого воздуха адиабатического типа (Advanced AdiabaticCompressed Air Energy Storage, AA-CAES), в которых процес-сы сжатия и расширения газа происходят адиабатически, то естьтепло сжатого воздуха не теряется и остается в процессе использо-вания при выработке электроэнергии. Адиабатичность AA-CAESможет быть достигнута за счет использования в них накопите-лей тепловой энергии (Thermal Energy Storage, TES) на основекапсулированного теплоаккумулирующего материала с фазовымпереходом (Phase Change Materials, PCM).
В случае относительно малого размера капсул с PCM, TES мо-гут быть представлены как насыщенные газом пористые среды имоделироваться с использованием методов механики сплошныхгетерогенных сред [2]. В задачах такого типа невозможно поста-вить классическую задачу Стефана из-за отсутствия четко выде-ленной границы фазового перехода, следовательно, невозможноиспользовать широкий класс известных численных методов длярешения задач плавления/кристаллизации [3]. Поэтому в насто-ящей работе на основе предложенных в [4] модели и численно-го метода для расчета течений газа через пористые саморазогре-вающиеся объекты разработана численная модель для описаниянестационарных течений газового теплоносителя через слой кап-сулированного PCM. Фазовый переход учитывается в уравненииэнергии твердой среды в виде слагаемого с неизвестной функ-цией f, которая равна степени фазового превращения в рассмат-риваемой точке среды. Предлагаемая модель может описыватьпроцессы, когда фазовые превращения происходят не мгновенно,то есть не требует наличия четкой границы фазовых переходов,как в классической задаче Стефана. Разработанный алгоритм нетребует выделения зоны фазового перехода во время вычислений,автоматически рассчитывая ее в процессе сквозного счета.
Проведено сравнение проведенных расчетов течения газа че-
149
рез слой капсулированного PCM с экспериментальными данными[5,6], показано хорошее совпадение результатов.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант16-01-00103-а), ДВО РАН (проект 15-I-4-021).
Литература
1. Venkataramani G., Parankustan P., Ramalingam V., WangJ. A review on compressed air energy storage – a pathwayfor smart grid and polygeneration. Renuable and Sustainableenergy reviews. 2016. Vol. 62. Pp. 895-907.
2. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. М.:Наука, 1978. 336 с.
3. Самарский А. А., Вабищевич П.Н. Вычислительная тепло-передача. М.: Эдиториал УРСС, 2003, 784 с.
4. Луценко Н. А. Нестационарные режимы охлаждения пори-стого тепловыделяющего элемента. Математическое моде-лирование. 2005. Т. 17. 3. C. 120-128.
5. Izquierdo-Barrientos M. A., Sobrino C., Almendros-Ibanez J. A.Thermal energy storage in a fluidized bed of PCM. ChemicalEngineering Journal. 2013. Vol. 230. Pp. 573-583.
6. Peng H., Li R., Ling X., Dong H. Modeling on heat storageperformance of compressed air in a packed bed system. AppliedEnergy. 2015. Vol. 160. Pp. 1-9.
Численное исследование течения в плоскомканале с конфузором
1В. Г. Лущик, 2М.С. Макарова, 3А. И. РешминНИИ механики МГУ имени М.В. Ломоносова
[email protected]@rambler.ru
Продольный градиент давления является параметром, кото-рый оказывает существенное влияние на турбулентное течение,приводя в пределе в случае отрицательного градиента давления к
150
ламинаризации пограничного слоя. В инженерной практике про-точный тракт энергоустановок состоит из участков как постоян-ного, так и переменного сечения, в частности, и из конфузорныхучастков. Знание режима течения на этих участках проточноготракта имеет большое значение при определении гидравлическиххарактеристик энергоустановки.
Целью настоящей работы является численное исследованиетечения с отрицательным градиентом давления в плоском каналес конфузором при постоянном числе Рейнольдса. Для решениязадачи использовались уравнения неразрывности и движения вприближении узкого канала и трехпараметрическая дифферен-циальная модель турбулентности.
Рассмотрен плоский конфузор, в котором было реализованотечение с отрицательным градиентом давления. Входу в кон-фузор предшествовал участок стабилизации, на котором уста-навливалось развитое турбулентное течение при заданном числеРейнольдса. Далее следовал конфузор с горизонтальной нижнейстенкой и наклонной верхней стенкой с линейно изменяющейсявысотой, в котором при любом угле наклона стенки число Рей-нольдса Re оставалось постоянным. За конфузором следовал уча-сток постоянного сечения и высотой, равной высоте конфузорана выходе, на котором устанавливалось развитое турбулентноетечение при заданном числе Рейнольдса. Расчеты проведены длячисел Рейнольдса Re = 3000, 5000 и 10000. Параметрами задачиявляются: тангенс угла наклона верхней стенки конфузора, чис-ло Рейнольдса Re и так называемый параметр ламинаризациипотока (безразмерный градиент давления) в конфузоре K.
Получены продольные и поперечные распределения интеграль-ных и локальных характеристик течения. Показано, при какихусловиях наступает ламинаризация потока в конфузоре и далее вканале постоянного сечения режим ламинарного течения сохра-няется. Проведенное численное исследование показало, что длярассмотренного конфузора длиной 200 мм ламинаризация насту-пает при значении параметра K = 2 ·10−5. Дальнейшее уменьше-ние параметра K, при котором наступает ламинаризация, связанос увеличением длины конфузора, т.е. увеличением времени воз-действия отрицательного градиента давления на течение.
Работа поддержана РФФИ (17-08-00115) и Советом по гран-там Президента РФ (МК-6025.2016.8).
151
Эффективный метод математическогомоделирования клинических процедур для
определения механических характеристик глаза
1Г.А. Любимов, 2И.Н. Моисеева, 3А.А. ШтейнНИИ механики МГУ имени М.В. Ломоносова
Глаз представляет собой сложную механическую систему, вклю-чающую различные ткани и жидкости. Для решения многих за-дач глазное яблоко может быть схематично представлено дефор-мируемой оболочкой, состоящей из роговицы и склеры и распи-раемой изнутри давлением заключенной в ней жидкости. Внут-риглазное давление оказывает существенное влияние на проте-кающие в глазу процессы, и его оценка имеет большое значениедля диагностики. В клинике внутриглазное давление оцениваетсякосвенно на основании различных методов тонометрии, базирую-щихся на измерении упругого отклика глазной оболочки, обыч-но роговицы, на внешние воздействия. Упругие свойства глазныхтканей демонстрируют существенную пространственную неодно-родность и анизотропию, и их точное определение в опыте затруд-нительно. Кроме того, они существенно различаются для разныхиндивидуумов, что делает осредненные данные малопригоднымидля корректной интерпретации клинических измерений. Поэто-му требующие задания множества параметров громоздкие чис-ленные расчеты не дают эффективного решения практическихзадач.
Многие задачи механики глаза, включая задачи тонометрии,рассматривают процессы, в основном разыгрывающиеся в обла-сти роговицы, тогда как склеральная область вовлечена в нихлишь через перераспределение внутриглазной жидкости. Крометого, данные экспериментов и анализ структуры роговицы даютоснование предполагать, что она слабо сопротивляется изгибу. Всоответствии с этим нами разработана максимально упрощеннаямодель, в которой роговица представлена безмоментной (мягкой)упругой поверхностью, а склеральная область заменяется упру-гим элементом, откликающимся изменением объема на изменениедавления. Если считать роговицу линейно упругой и по упругим
152
свойствам пространственно однородной и изотропной, такая мо-дель характеризуется лишь тремя упругими константами. Речьидет, конечно, лишь о свойствах роговицы как поверхности: тре-тье измерение в модели отсутствует. В задачах с нагружением, неслишком отклоняющимся от изотропного, основных определяю-щих констант оказывается еще меньше: две.
Простота модели позволяет эффективно ставить и решать за-дачу об определении в клинических испытаниях как истинноговнутриглазного давления (т.е. давления в не нагруженном извнеглазу), так и индивидуальных упругих характеристик, которые,как показывают клинические исследования, имеют самостоятель-ную диагностическую ценность. Замена трехмерного тела поверх-ностью делает метод не применимым к задачам, характерныймасштаб которых сопоставим с толщиной роговицы, что имеетместо, например при популярном методе тонометрии по Гольд-ману.
Зависимости, рассчитанные на основе предложенной модели,хорошо согласуются с осредненными по множеству глаз эмпи-рическими зависимостями, полученными в результате исследова-ний, направленных на тарировку тонометров Маклакова (нагру-жение плоским тяжелым штампом) и Шиотца (нагружение тон-ким стержнем роговицы, предварительно нагруженной вогнутымштампом). Вместе с тем, они существенно меняются при значи-тельном отклонении упругих констант от средних значений.
Показано, что надежная оценка истинного внутриглазногодавления и индивидуальных упругих констант с помощью стати-ческих тонометров одного типа (хотя бы и с разными нагружаю-щими весами) невозможна, что связано с близостью зависимостидавления от веса груза к линейной функции. Для этого необходи-мо использование комбинации тонометров, осуществляющих на-гружение существенно различным образом, например, плоскогои сильно выпуклого штампов или плоского штампа и тонометраШиотца.
Первоначально при расчетах мы считали роговицу линейноупругой, изотропной в тангенциальном направлении и простран-ственно однородной, а склеральный элемент линейно упругим.В большинстве случаев такое приближение достаточно для опи-сания статической тонометрии. Между тем, применяемый методпозволяет отказываться от частных допущений по мере необходи-мости в соответствии с решаемой задачей при сохранении общего
153
подхода. В числе возможных обобщений: учет нелинейности упру-гого поведения (при большом внутриглазном давлении); быстройфойгтовской и медленной максвелловской вязкоупругости (дляизучения нестационарного нагружения измерительными устрой-ствами и длительных перестроечных процессов соответственно);пространственной неоднородности роговицы (как в норме, так ивозникающей в результате хирургического воздействия).
Работа поддержана РФФИ (проект 17-01-00380).
Напряжения и деформации в растущейдиффузионной зоне при пайке стекла со сталью
О.Н. Любимова, А. В. МорковинДальневосточный федеральный университет
В работе предлагается к рассмотрению моделирование техно-логических процессов изготовления слоистого композиционногоматериала — стеклометаллокомпозита на основе стекла и стали[1,2]. Не смотря на то, что этот материал является спаем сжа-тия, технология изготовления которых известна в электротех-нике, температурный режим получения стеклометаллокомпози-та на основе стекла и стали имеет особенности, например, приразных технологических режимах соединение стекла с металломможет варьироваться от соединения внатяг до спая с развитойдиффузионной зоной на границе контакта. Экспериментально до-казано, что высокими прочностными характеристиками облада-ют экспериментальные образцы с развитой диффузионной зонойна границе соединения стекла и стали [3]. При проведении экс-периментальных исследований замечено также, что причиной инепосредственным участником диффузионных процессов являет-ся оксидный слой на стальной поверхности, образование соедине-ния стекло-сталь включает формирование полного физическогоконтакта и диффузионные процессы, связанные с растворениемоксидного слоя на стали в стекле и последующей диффузией же-леза в стекло [2,3]. Математическому моделированию диффузи-онных процессов посвящено огромное количество работ, однако,для каждой технологической задачи при оптимизации экспери-ментальных исследований актуальной остается проблема выборасоответствующей модели и ее корректировки.
154
Целью данной работы является математическое моделирова-ние диффузии и эволюции напряженно-деформированного состо-яния при изменяющихся свойствах диффузионной зоны при со-единении стекла и стали.
Задача моделирования усложняется тем, что температурнаяобработка и разница в коэффициентах линейного температурно-го расширения стекла, диффузионной зоны и стали могут бытьпричиной пластических деформаций в стали, которую необходи-мо учитывать, как и реологические особенности стекла и диффу-зионной зоны. В диффузионной зоне при описании деформацийследует учитывать не только вязкоупругие и температурные де-формации, но и концентрационное расширение. Поскольку темпе-ратурный режим содержит температуры размягчения и стекло-вания, формирование уравнений состояния в стекле и диффузи-онной зоне осложняется необходимостью учета структурных из-менений, связанных со стеклованием.
На первых итерациях при моделировании такой сложной имногоплановой задачи предлагается решать сопряженную тер-мовязкоупругопластическую задачу, на основе алгоритмов мето-да Тула-Нарайанасвами-Мойнихана-Мазурина в теории стекло-вания (стекло и диффузионная зона) и классического метода тео-рии пластичности, с использованием условия пластического тече-ния Треска–Сен-Венана (сталь).
Литература
1. Пикуль В.В. Перспективы создания слоистого композитана основе стекломатериалов // Перспективные материалы.1999. 1. С. 34-42.
2. O. N. Lyubimova, E. V. Lyubimov, E. P. Solonenko, A. V.Morkovin and S. A. Dryuk Research of Structure, Mechanicaland Operation Properties of Glass-Metal Composites // InternationalConference on Advanced Materials with Hierarchical Structurefor New Technologies and Reliable Structures.-2016.-Vol. 1783.-020141-1 20141-4.
3. Любимова О.Н., Морковин А.В., Дрюк С.А. Особенностиструктуры зоны соединения стекла и стали в технологииполучения стеклометаллокомпозита // Материаловедение.-2017,-4.- С.3-7.
155
Структура катящихся волн в длинных каналахс податливыми стенками
1В.Ю. Ляпидевский, 2А.А. ЧесноковИнститут гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН
Новосибирский государственный университет[email protected]
Изучение течения жидкости в каналах с упругими стенкамипредставляет прикладной (задачи биомеханики) и теоретическийинтерес. Достаточно подробный обзор основных приложений иматематических моделей приведен в работе Heil & Jensen, 2003.Одной из основных задач теории описания совместного движенияжидкости и канала с податливыми стенками является моделиро-вание распространения пульсовой волны. Для исследования по-добных волновых процессов широко распространено применениеодномерной модели, сходной по своей структуре с уравнениямитеории мелкой воды и газовой динамики. Замыкающим соотно-шением («уравнением состояния») в этом случае служит связьдавления с площадью поперечного сечения просвета канала. Дляканала круглого сечения при положительной разности давленийв жидкости и окружающей среде уравнение состояния являет-ся выпуклым и газодинамическая модель достаточно адекват-но описывает распространение пульсационных волн (Formaggia,Lamponi & Quarteroni, 2003). Однако при отрицательном пере-паде давлений возможно резкое схлопывание трубки и развитиеавтоколебаний большой амплитуды.
В представленном докладе основное внимание уделяется изу-чению возникновения и развития режима течения, соответствую-щего катящимся волнам (квазипериодическое движение, в кото-ром плавные участки течения разделены сильными разрывами).Особенностью таких течений является переход от докритическо-го течения к сверхкритическому режиму в системе координат,движущейся вместе с волной. Несмотря на давние исследованияв этой области, остается ряд открытых вопросов, связанных сформированием квазипериодических режимов течения в рамкахмоделей с невыпуклым уравнением состояния.
Нелинейные уравнения газодинамического типа
ht + (uh) = 0, (uh)t + (u2h+ P (h))x = αh− cfu2 (1)
156
при P = (gh2/2) cosφ и α = g sinφ сводятся к модели движениятонкого слоя жидкости в открытом наклонном канале с учетомтурбулентного трения, в рамках которой была построена матема-тическая теория катящихся волн (Dressler, 1949). Уравнения вида(1) с невыпуклой, как правило, функцией P (h) используются дляописания течений в каналах и трубках с тонкими упругими стен-ками (см. Педли, 1983; Brook, Falle, Pedley, 1999). Особый интереспредставляет моделирование автоколебаний большой амплитудыи схлопывания трубки. При выполнении критерия Уизема дляпостоянных начальных данных, соответствующих состоянию рав-новесия (αh0 = cfu
20), в процессе эволюции течения формируются
квазипериодические волны конечной амплитуды.В работе изучается структура и свойства катящихся волн,
описываемых системой (1) с используемой в гемодинамике за-висимостью давления от нормированного сечения канала видаp = h10−ha при a = −3/2, а также при a = −5/2, что соответству-ет невыпуклой функции p(h). Между двумя рассматриваемымислучаями имеется отличие, состоящее в том, что в терминах пе-ременной τ = 1/h функция P (τ) = P (h), связанная с давлением вжидкости p соотношением P ′(h) = hp′(h), является выпуклой приa = −3/2 и невыпуклой при a = −5/2. Это обстоятельство при-водит к совершенной различному типу решений уравнений (1).Результаты аналитического и численного исследования показы-вают, что в первом случае реализуются регулярные катящиесяволны (Dressler, 1949). Для невыпуклой функции P формирует-ся аномальный квазипериодический режим течения, в которомформа катящейся волны существенно отличается от классиче-ской. Возможность существования таких режимов течения в от-крытых каналах произвольной формы показана в работе Boudlal& Liapidevskii, 2004, но для течений в эластичных трубках ониисследованы аналитически и реализованы в численных расчетахвпервые. В классе бегущих волн построено двухпараметрическоесемейство периодических решений, соответствующих регулярными аномальным катящимся волнам. Получены диаграммы катя-щихся волн, определяющие возможные допустимые параметрыпотока, при которых могут формироваться квазипериодическиережимы течения.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект16-01-00156) и в рамках программы поддержки ведущих научныхшкол РФ (грант НШ-8146.2016.1).
157
Почти предельные внутренние волны награнице раздела двух жидкостей
1Д.В. Маклаков, 2Р.Р. ШариповКазанский федеральный университет
[email protected]@5354.ru
Разработан новый метод расчета внутренних гравитационныхволн, основанный на сведении задачи к определению кусочно-аналитической функции с неизвестной линией скачка, на которойодновременно задаются условия задачи о скачке и условия задачиГильберта. Метод применен к расчету внутренних периодическихволн, возникающих на границе раздела двух безграничных средразной плотности.
С помощью леммы Хопфа строго доказано, что максимальныйугол наклона θmax линии раздела внутренних волн меньше 180,а предельная величина θmax = 180 является недостижимой. Рас-считаны почти предельные конфигурации внутренних волн, длякоторых θmax почти равен 180. Одна из таких почти предельныхконфигураций, когда отношение плотностей в слоях ρ1/ρ2 = 0.1и θmax = 179, 99 показана на рис. 1.
На рис. 2 для ρ1/ρ2 = 0.1 приведена зависимость парамет-ра µ = 2πc2/λ, определяющего скорость распространения волныc, от крутизны волны s = (ymax − ymin)/λ, где λ – длина вол-ны, ymax и ymin максимальное и минимальное возвышения линиираздела, соответственно. Для сравнения на рис. 3 приведен ана-логичный график, заимствованный из статьи [1]. Сравнение по-казывает полное рассогласование в полученных результатах длякрутых волн.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российскогофонда фундаментальных исследований (проект 15-01-06029).
Литература
1. Turner R. E. L., Vanden-Broeck J.-M. The limiting configurationof interfacial gravity waves. Phys. Fluids. 1986. V. 29, 2.P. 372–375.
158
x
y
-3 -2 -1 0 1 2
0
1
Рис. 1
s
µ
0.2 0.21 0.221.1
1.13
1.16
1.19
Рис. 2
Рис. 3
Распространение волн под ледяным покровом:результаты натурных измерений, физические
механизмы диссипации энергии имоделирование
А.В. МарченкоУниверситетский центр на Свальбарде, Норвегия
Государственный океанографический институт имени Н.Н. Зубова,Россия
При распространении волн из свободных ото льда областейокеана в области, находящиеся под ледяным покровом, происхо-дит изменение спектра волн и затухание их амплитуды. Воздей-ствие волн на сплошной лед может привести к его разделению нанебольшие льдины на достаточно обширной площади в течениенескольких часов. По сравнению со сплошным льдом битый лед
159
менее устойчив к термическому воздействию и более подвижен.Эти эффекты вызывают интерес в связи с уменьшением площадильда в Арктике и прилегающих морях, освоением арктическогошельфа и развитием навигации в высоких широтах.
Регистрация волн проводилась в нескольких экспедициях вБаренцево море с 2004 года по настоящее время. Измерения про-водились с помощью акустического измерителя скоростей частицводы (ADV SonTek, 5 MHz), закрепленного на дрейфующем льду,на глубине порядка 1 м подо льдом. В экспериментах использова-лась частота измерений от 1 до 10 Гц. Дополнительные измеренияпроводились двумя датчиками давления воды (SBE-39), подве-шенными на тросе на различной глубине, и с помощью закреп-ленных на льду акселерометров, измеряющих углы отклоненияих осей от вектора магнитной индукции Земли, угловые скоростии линейные ускорения в собственной системе координат. Частотаизмерений давления — 1 Гц, частота измерений акселерометров -5 Гц. Измерения, проведенные тремя методами, показывают ана-логичные спектральные характеристики измеряемых величин.
По результатам натурных измерениям восстанавливается ам-плитуда, частота и длина волн в точке измерений. Высокочастот-ные измерения скоростей воды в подледном слое дают возмож-ность расчета напряжений Рейнольдса и коэффициента вихревойвязкости в подледном слое. Характерные периоды волн, наблю-давшихся в Баренцевом море под ледяным покровом, находилисьв интервале 10–12 секунд соответствующем волнам зыби. Мак-симальные амплитуды волн не превышали 30 см и, как прави-ло, были меньше 10 см. Коэффициенты вихревой вязкости изме-нялись в широких пределах. При этом их максимальные значе-ния превышали 100 см2/с. Корреляция между амплитудой волни вихревой вязкостью не замечена. Установлено, что вихреваявязкость и кинетическая энергия флуктуаций средних течений вподледном слое пропорциональны средней скорости дрейфа льдаотносительно воды. Высокие значения вихревой вязкости былиполучены для районов интенсивного дрейфа льда в Баренцевомморе, возникающего вследствие воздействия ветра и приливов.
Влияние упругости льда на волны периодом 10–12 секунд ма-ло, когда толщина льда менее 1 м (в Баренцевом море толщинадрейфующего льда обычно не превышает 60 см). Поэтому основ-ное влияние на изменение спектра и амплитуд волн оказываетпроцесс диссипации энергии в пограничном слое воды около льда.
160
Простейшая модель состоит в использовании решения Стокса,описывающего пограничный слой около осциллирующей пласти-ны. В случае волн решение вне пограничного слоя описываетсяизвестным решением, описывающим линейную гравитационнуюволну, а решение внутри пограничного слоя зависит от коэффи-циента вихревой вязкости и движения льда относительно воды.Использование этой модели объясняет затухание высокочастот-ных волн и смещение спектрального максимума в область низко-частотных волн с периодом порядка 10 секунд и более.
При распространении волн в более толстых льдах влияниевязкости льда на затухание волн может оказаться существенным.Для оценок использованы результаты экспериментов по цикли-ческому нагружению образцов льда, показывающие, что энергиядиссипации не превышает 5 процентов упругой энергии льда принапряжениях сжатия-растяжения меньших 0.5 МПа. Эта оценкаобычно выполняется для напряжений, вызванных изгибом льда,не приводящим к его разрушению.
Литература
1. Collins, C,O., Rogers, W.A., Marchenko, A., Babanin, A.V.,2015. In situ measurements of an energetic waves event in theArctic marginal ice zone. Geoph. Res. Letters, 42, 6, 1863–1870.
2. Marchenko, A.V., Gorbatsky, V.V., Turnbull, I.D., 2015. Cha-racteristics of under-ice ocean currents measured during wavepropagation events in the Barents Sea. POAC15-00171, Trond-heim, Norway, 11 pp.
3. Marchenko, A.V., Morozov, E.G., 2016.Surface manifestationof the waves in the ocean covered with the ice. Russian Journalof Earth Sciences, Vol. 16, ES1001, doi:10.2205/2016ES000561.
4. Marchenko, A., 2016. Damping of surface waves propagatingbelow solid ice. Proceedings of the Twenty-sixth InternationalOcean and Polar Engineering Conference ISOPE, Rhodes, Gree-ce, 16TPC-0680, 8pp.
5. Marchenko, A., Rabault, J., Sutherland, G., Collins III, C.O.,Wadhams, P., Chumakov, M., 2017. Field observations andpreliminary investigations of a wave event in solid drift ice inthe Barents Sea. POAC17-087, 13pp.
6. Marchenko, A., Cole, D., 2017. Three Physical Mechanisms ofWave Energy Dissipation in Solid Ice. POAC17-086, 9pp.
161
О механизме пристенной турбулентности
Н.В. Никитин, В. О. ПимановНИИ механики МГУ имени М.В. Ломоносова
Движение жидкости и газа в окружающей природе, а такжев большом числе технических устройств происходит при боль-ших скоростях, при которых реализуется турбулентный режимтечения. Турбулентность характеризуется наличием случайныхво времени и в пространсте пульсаций гидродинамических па-раметров, большим разбросом динамически важных масштабоввовлеченных в движение вихрей. Переход к турбулентности со-провождается как правило кардинальным изменением основныххарактернистик потока. Например, при течении вдоль твердойповерхности происходит многократное повышением сопротивле-ния трения. Существуют оценки, согласно которым до 20% всейвырабатываемой в мире энергии расходуется в конечном итогена преодоление турбулентного трения в транспортных системахи в магистральных трубопроводах. Нет сомнений, что появлениесредств снижения турбулентного трения сулило бы в мировоммасштабе невероятную по объему экономию энергии, повыше-ние производительности огромного числа технических устройств,улучшение экологической обстановки. Поиск средств снижениятурбулентного трения и, что более обще, поиск методов описания,предсказания и прогнозирования свойств турбулентных потоковактивно ведется во многих странах.
Серьезный импульс исследование турбулентности получилос появлением мощных компьютеров и, в частности, многопро-цессорных вычислительных систем. Появилась возможность чис-ленного моделирования турбулентных течений на основе реше-ния основных уравнений движения вязкой жидкости — уравне-ний Навье—Стокса. Если в конце 20 века основным в численныхрасчетах было доказательство пригодности детерминированнойсистемы уравнений Навье—Стокса для описания стохастическихтурбулентных процессов, то в наши дни, прямое численное моде-лирование заслужило статус равноправного и надежного инстру-мента исследования турбулентности и все шире применяется длярасчета конкретных течений, а главное для изучения фундамен-тальных свойств турбулентности, недоступных для исследованияболее традиционными экспериментальными методами.
162
В докладе будут представлены последние результаты числен-ного исследования механизма самоподдержания турбулентноготечения вблизи твердой стенки. Удивительно, что несмотря на по-чти полуторавековую историю изучения явление пристенной тур-булентности на сегодняшний день в значительной степени остает-ся непонятым. Мы не можем теоретически обосновать даже про-стейшие, хорошо известные из экспериментов зависимости, та-кие, например, как турбулентный закон сопротивления в круг-лой трубе. Основная проблема состоит в том, что среднее течениев пристенных потоках оказывается устойчивым к малым возму-щениям, таким образом, передача энергии пульсационному дви-жению является сугубо нелинейным процессом. Со времен пер-вых экспериментов О.Рейнольдса известно, что турбулентностьв трубах на пороге своего возникновения проявляется в виде ло-кализованных в пространстве структур, разделенных участкамиламинарного потока. Мы называем такие структуры турбулент-ными порывами. Турбулентный порыв может рассматриватьсякак своеобразная единица турбулентности, содержащая внутрисебя все необходимые элементы для выживания и самоподдержа-ния. В этом отношении турбулентный порыв является уникаль-ным объектом для исследования. Турбулентный порыв адекватнореализуется в численных расчетах. Однако, несмотря на свою ло-кализованность в пространстве, он все же остается чрезвычайносложным для исследования из-за стохастичности происходящихвнутри него процессов. Нам удалось численно реализовать реше-ния уравнений Навье—Стокса в некотором смысле аппроксими-рующие турбулентный порыв, однако обладающие гораздо болеепростой пространственно-временной структурой. Благодаря это-му мы смогли полностью изучить механизмы их самоподдержа-ния, в частности, выявить способ передачи энергии от среднеготечения к пульсационному. Мы надеемся, что найденные намимеханизмы ответственны за возникновение и поддержание тур-булентности в пристенных течениях.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ(гранты17-01-00140-а и 16-31-00522-мол-а). Расчеты проводились на су-перкомпьютерах МГУ "Чебышев" и "Ломоносов".
163
Негладкие модели упругости композитов
А.И. ОлейниковЦАГИ имени профессора Н.Е. Жуковского
Развиваются модели гетерогенно–упругих изотропных и ани-зотропных сред в механике композитов [1,2]. Исследуется вза-имосвязь между моделями и возможность предельных перехо-дов по параметрам, характеризующих влияние типа напряженно-деформированного состояния и перекрестных эффектов. Приве-дены аналитические расчетные зависимости оценки жесткостейи прочности пакета монослоев, представлены результаты сходи-мости расчетных и экспериментальных данных, проведено срав-нение с существующими критериями разрушения. Установленовлияние зависимости жесткостей от вида напряженного состо-яния на эффекты симметричного и сбалансированного армиро-вания. Проанализированы результаты расчета стадий послойно-го разрушения углепластика в условиях растяжения, сжатия исдвига. Паспортные характеристики упругости монослоев совре-менных композитов указывают на неравенство продольных и по-перечных модулей на сжатие и растяжение. Необходимость уче-та данного неравенства возникает при обеспечении высокоточно-го решения, например, для прецизионной интерпретации испы-таний на изгиб при определении из них жесткости на изгиб илипрочности на сжатие композита. В зависимости от способа за-дания упругих характеристик монослоев–на сжатие, растяжениеили с учетом данных неравенств–расходимость расчетных оценокпрочности пакета может достигать более 20% [3]. Прямой учетданных отклонений от закона Гука приводит к негладкой моде-ли упругого тела. Дается общая постановка задачи о структуренегладких материальных функций и разложении потенциала на-пряжений вблизи естественного ненапряженного состояния. Дляслучая квазиизотропного армирования разложение представляетсобой ряд Фурье по системе сферических функций и обеспечи-вает вывод в главном приближении закона Гука и одновремен-но в следующих приближениях, которые являются негладкими,дает поправки, систематически учитывающие влияние типа де-формации. При неустойчивости волокон или разрушении мат-рицы некоторые жесткости композита при определенном типе
164
деформации обращаются в ноль, что приводит к нестрого вы-пуклым потенциалам напряжений. При этом напряжения под-чиняются определенным внутренним связям–предельным усло-виям [1,4]. Развита теория двойственности невогнутых негладкихпотенциалов, которая дает уравнение предельной поверхности ипринцип минимума. Предложены негладкие определяющие соот-ношения моделей упругости трансверсально-изотропных и орто-тропных композитов, некратные собственные значения тензоражесткости которых зависят от знаков коэффициентов разложе-ния тензора напряжений в базисе собственных тензоров. Обсуж-дается и предлагается классификация негладких моделей упруго-сти по структуре определяющего соотношения, параметрам типанапряженно-деформированного состояния и вида перекрестныхэффектов между его инвариантами. Развиваются и эксперимен-тально обосновываются простейшие аналитические расчетные за-висимости приближенной оценки жесткостей и прочности орто-тропного симметричного пакета монослоев, в которых основнойвклад в жесткость дает модуль упругости вдоль волокон, а проч-ность обусловлена прочностью волокон на разрыв или их неустой-чивостью, и также прочностью связующего. Даны критерии раз-рушения монослоя при сложном напряженном состоянии пакета.Обсуждаются некоторые приложения построенных моделей в ме-ханике авиационных конструкций.
Литература
1. Мясников В.П., Олейников А.И. Основы механики гетерогенно-сопротивляющихся сред. Владивосток: Дальнаука, 2007. 172с.
2. Олейников А.И. Оценка жесткости и прочности слоистыхкомпозитов // Композиты и наноструктуры, 2017, т.9, N2, с. 77–79.
3. Гришин В.И., Дзюба А.С., Дударьков Ю.И. Прочность иустойчивость элементов и соединений авиационных кон-струкций из композитов. М.: Физматлит, 2013. 272 с.
4. Олейников А.И. О модели разномодульной среды с ограни-чениями// Доклады РАН, 1994, т.334, N 3, с. 314–316.
165
К обоснованию теории мелкой воды
В. В. ОстапенкоИнститут гидродинамики СО РАН, Новосибирск
Новосибирский государственный университет[email protected]
Уравнения теории мелкой воды выведены [1] из уравненийнеразрывности и Эйлера в рамках длинноволнового приближенияH/L≪ 1, где H – характерная глубина потока, а L – характернаядлина поверхностных волн. В то же время уравнения этой теориииспользуются не только для описания медленно меняющихся те-чений с гладкой свободной поверхностью (таких как паводковыетечения в реках), но также широко применяются для модели-рования быстро протекающих волновых процессов, связанных сраспространением гидравлических боров, возникающих при раз-рушении плотины гидросооружения [2] или при выходе крупныхморских волн типа цунами на мелководье и наклонный берег [3].В последнем случае эти уравнения используются в форме гипер-болической системы законов сохранения с выпуклым расшире-нием, допускающей разрывные решения с ударными (прерывны-ми) волнами [4], которыми моделируются гидравлические борыреального течения. Однако на фронтах ударных волн простран-ственная производная уровня свободной поверхности жидкостиhx = ∞, что противоречит условию длинноволнового приближе-ния [2], в силу которого |hx| ≪ 1. Для разрешения этого про-тиворечия в рамках классической теории необходимо считать,что ударными волнами описываются переходные области, шири-на которых L0 много больше характерной глубины потока [5].Однако натурные наблюдения и результаты лабораторного моде-лирования показывают[2,3,5–8] что поперечные размеры реаль-ных гидравлических боров сравнимы с характерными глубинамирассматриваемых потоков, в силу чего соответствующие им пе-реходные области, как правило, не удовлетворяют условию длин-новолнового приближения H/L0 ≪ 1.
Поэтому в [9] предлагается другой подход для преодоленияданного противоречия теории мелкой воды. Этот подход связанс выводом базисных уравнений этой теории из многомерных ин-тегральных законов сохранения массы и полного импульса. Воз-никающие при этом ограничения на параметры течения имеют
166
интегральную форму и непосредственно не связаны с классиче-ским условием длинноволнового приближения H/L≪ 1. В насто-ящей работе вводится гидростатическое приближение w2/c2 ≪ 1,где w — вертикальная скорость жидкости, а c =
√gh — ско-
рость распространения малых возмущений в фиксированной точ-ке рассматриваемого течения. Понятие гидростатического при-ближения является локальным, обобщает понятие длинноволно-вого приближения и применяется для обоснования применимоститеории мелкой воды при моделировании волновых течений жид-кости с гидравлическими борами.
Литература
1. Friedrichs K. O. On the derivation of shallow water theory.Comm. Pure Appl. Math. 1948. V. 1. P. 109–134.
2. Стокер Дж. Дж. Волны на воде. Математическая теорияи приложения. М.: Изд-во иностр. лит., 1959.
3. Yeh H., Liu P., Synolakis C. E. Long-wave runup models. Singapore:World Sci. Publ., 1996.
4. Lax P.D. Hyperbolic systems of conservation laws and themathematical theory of shock waves. Philadelphia: SIAM, 1972.
5. Остапенко В.В. Модифицированные уравнения теории мел-кой воды, допускающие распространение прерывных волн посухому руслу. ПМТФ. 2007. Т. 48. 6. С. 22–43.
6. Stansby P.K., Chegini A., Barnes T. C. The initial stages ofdam-break flow J. Fluid Mech. 1998. V. 374. P. 407–424.
7. Букреев В. И., Гусев А. В., Остапенко В.В. Распад разрывасвободной поверхности жидкости над уступом дна канала.Изв. РАН. МЖГ. 2003. 6. С. 72–83.
8. Гусев А. В., Остапенко В. В., Малышева А. А., Малыше-ва И. А. Волны в открытом канале, образующиеся при про-хождении прерывной волны над ступенькой дна. ПМТФ.2008. Т. 49. 1. С. 31–44.
9. Остапенко В. В. О законах сохранения теории мелкой воды.Докл. АН. 2015. Т. 464. 5. С. 558–561.
167
Установление поверхностных волн в слоежидкости конечной глубины
1Е.Б. Павельева, 2А.С. СавинМосковский государственный технический университет имени Н.Э.
Баумана[email protected]
В работе [1] Л.Н. Сретенский рассмотрел задачу о пульсиру-ющем источнике, находящемся в жидкости конечной глубины. Впредположении о существовании установившегося волнового ре-жима, Л. Н. Сретенский получил некоторое множество решенийэтой задачи. Он также выписал решение, которое назвал истин-ным, считая, что именно это решение является решением задачиоб установлении поверхностных волн в слое жидкости конечнойглубины. В конце работы Л. Н. Сретенский отметил, что постав-ленная им задача о волнах, возбуждаемых пульсирующим источ-ником, не имеет единственного решения. Для выделения един-ственного решения следует рассмотреть задачу о неустановив-шемся волновом движении, которое создаётся в покоящейся жид-кости источником, начинающим свою работу в некоторый моментвремени. Предельное течение жидкости по истечении большогопромежутка времени следует считать истинным решением зада-чи. В заключение своего анализа Л.Н. Сретенский заметил, чтопоставленная таким образом задача вызывает большие трудностипри своем решении.
Истинная природа таких трудностей была выявлена позже[2,3]. Оказалось, что предельный переход в решении некоторыхнестационарных задач об установлении волнового режима не мо-жет быть осуществлен в рамках математического аппарата клас-сической гидродинамики, для решения этих задач потребовалосьпривлечь теорию обобщенных функций. В настоящей работе с по-мощью обобщенных функций получено корректное решение зада-чи Л. Н. Сретенского о пульсирующем источнике в слое жидкостиконечной глубины. Это решение получено как предел в бесконеч-ном будущем волнового режима, вызываемого источником, кото-рый в некоторый момент времени начинает совершать пульсациив изначально неподвижной жидкости.
Литература
168
1. Сретенский Л.Н. Теория волновых движений жидкости. //М.: Наука. – 1977. – 815 с.
2. Савин А.С. Установление поверхностных волн, вызываемыхгидродинамическими особенностями в плоском потоке //Изв. РАН. Механика жидкости и газа. – 2002. – 3. – С. 78-81.
3. Ильичев А. Т., Савин А. С. О характере процесса установ-ления поверхностных волн в плоском потоке. // Изв. РАН.Механика жидкости и газа. – 2004. – 4. – С. 75-83.
Влияние эффекта Онзагера на пристеночныезаряженные слои в течениях слабопроводящей
жидкости в плоских каналах
И.Л. Панкратьева, В.А. ПолянскийНИИ Механики МГУ имени М.В. Ломоносова
Рассматривается влияние сильных неоднородных электриче-ских полей на образование нескомпенсированного объемного за-ряда (электризацию) слабопроводящих жидкостей при их тече-ниях в плоских микроканалах. Анализируются эффекты, обу-словленные непосредственным воздействием поля на диссоциа-цию нейтральных молекул среды на положительные и отрица-тельные ионы, так называемый эффект Онзагера.
Интерес к электрогидродинамике течений в каналах микрои нано размеров связан с потребностью управлять поведениемсверхмалых объемов жидкостей в устройствах, применяемых вбиологических исследованиях, медицине, фармацевтике, биотех-нологии и т. д.
Доклад посвящен исследованию влияния сильных неоднород-ных электрических полей на объемную электрохимическую ки-нетику в слабопроводящих жидких смесях при их течениях вплоских микроканалах. Рассматриваются умеренные числа Де-бая, когда дебаевское расстояние имеет порядок характерного
169
гидродинамического размера. Электрическое поле в слабопрово-дящих химически реагирующих средах может влиять на иониза-цию как непосредственно, за счет увеличения кинетической ско-рости ионизации, так и косвенно, путем перераспределения реа-гирующих заряженных компонент. В первом случае в пристеноч-ных слоях с сильной неоднородностью поля образуются биполяр-ные структуры нескомпенсированного объемного заряда, которы-ми можно управлять приложенным электрическим полем. Приэтом в продольном поле наличие слоев с разными знаками объем-ного заряда обуславливает появление точек перегиба в профилескорости течения среды. Это может привести к неустойчивоститечения и тем самым способствовать перемешиванию жидкостив микро канале.
Рассматривается двумерное течение многокомпонентной жид-кой среды, содержащей заряженные частицы двух сортов: с поло-жительным и отрицательным знаком заряда. Учитывается диф-фузия и дрейф в электрическом поле каждого сорта частиц сзарядом, объемные реакции ионизации и рекомбинации, а так-же поверхностные электрохимические процессы с рождением ипоглощением заряженных частиц [1]. Зависимость объемного ис-точника ионов от поля теоретически исследовалась в [2,3]. В пред-ставленных в докладе расчетах используется соотношение Френ-келя. Обсуждается механизм электризации среды в неоднород-ных электрических полях при учете эффекта Онзагера.
Проведенное исследование структуры межэлектродного про-странства в плоском канале с заданной между стенками разно-стью электрических потенциалов показывает, что влияние поляна скорость диссоциации молекул среды на положительные и от-рицательные ионы существенно перераспределяет концентрацииэтих частиц. При этом в областях сильного неоднородного ин-дуцированного поля вблизи стенок могут возникать биполярныеструктуры с локальными экстремумами поля. В этих структурахкулоновские силы имеют противоположные направления. Это об-стоятельство можно использовать для объяснения механизма об-разования экспериментально наблюдавшихся микровихрей вбли-зи стенок канала.
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФ-ФИ, проект 16-01-00157.
Литература
170
1. Панкратьева И.Л., Полянский В.А. Моделирование элек-трогидродинамических течений в слабопроводящих жидко-стях. // ПМТФ, 1995, т. 36, 4, с. 36–44.
2. Френкель Я.И. К теории электрического пробоя в диэлек-триках и электронных полупроводниках. // ЖЭТФ, 1938,т. 8, 12, с. 1292–1301.
3. Onsager L. Deviation from Ohm’s law in weak electrolytes. //J. Chem. Phys., 1934, V. 2, N 9, pp. 599–615.
Нелинейные колебания маятника на пружинепри резонансе 1:1:2. Теория, эксперимент и
физические аналогии
А.Г. ПетровИПМех им. А.Ю. Ишлинского РАН
Рассматриваются нелинейные пространственные колебания ма-териальной точки на невесомом упругом подвесе (маятник напружине - рис. 1). Частота вертикальных колебаний предполага-ется равной удвоенной частоте качаний (резонанс 1:1:2). В этомслучае колебания по вертикали неустойчивы, что приводит к пе-рекачке энергии вертикальных колебаний в энергию качаний ма-ятника. Колебания материальной точки по вертикали прекраща-ются, и через определенный период времени маятник начинаетсовершать качания в некоторой вертикальной плоскости. Эти ка-чания также неустойчивы, что приводит к обратной перекачкеэнергии в вертикальную моду колебаний. Опять повторяются ко-лебания по вертикали. Однако после вторичной перекачки энер-гии вертикальных колебаний в энергию качания видимая плос-кость качания поворачивается на некоторый угол. В проекции нагоризонтальную плоскость точка маятника движется по траекто-рии близкой к отрезкам прямых, расположенных под постояннымуглом друг к другу (рис. 2). Эти эффекты описаны аналитиче-ски: найден период перекачки энергии, получены зависимости отвремени амплитуд обеих мод и угла видимой плоскости колеба-ний.
171
Рис. 1: Маятник на пружине
Рис. 2: Проекция орбиты на горизонтальную плоскость
Рис. 3: Переход от вертикальных колебаний к горизонтальным
Асимптотическое решение для траектории материальной точ-ки построено путем точного интегрирования уравнений в элемен-тах орбиты. В проекции на горизонтальную плоскость матери-альная точка движется по траектории, близкой к эллиптической.Полуоси эллипса медленно меняются со временем так, что ихпроизведение остается постоянным, а большая полуось соверша-ет медленное вращение с постоянной секториальной скоростью(рис. 3). Найденные аналитические зависимости полуосей эллип-са и угла прецессии от времени с большой точностью согласуютсяс проведенными численными расчетами и подтверждаются про-демонстрированным во время доклада экспериментом [1].
Установлена аналогия свободных и вынужденных колебанийпружинного мятника с нелинейными колебаниями газового пу-
172
зырька в жидкости под действием переменного давления. Вибра-ции точки подвеса маятника соответствует переменное давление вжидкости, вертикальной моде колебаний – колебания радиальноймоды пузырька, а горизонтальной моде колебаний – колебания де-формационной моды, которая находится в соответствующем ре-зонансе с радиальной модой. При перекачке энергии радиальныхколебаний происходит аномальное увеличение амплитуды резо-нансной деформационной моды. Этот эффект позволяет раздро-бить пузырек в жидкости при достаточно малых энергетическихзатратах на подачу переменного внешнего поля давления [2].
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фунда-ментальных исследований (17-01-00901).
Литература
1. Петров А.Г. О повороте видимой плоскости колебаний ма-ятника на пружине при резонансе 1:2:2// Изв. РАН, МТТ.2017 г. N3. C. 18-30.
2. Вановский В.В., Петров А.Г. Пружинная аналогия свобод-ных и вынужденных нелинейных колебаний газового пу-зырька в жидкости при резонансе//ПММ. 2017г. Т. 81. Вып.4.
Конечные деформации в материалах с памятьюформы
1А.А. Роговой, 2О.С. СтолбоваИнститут механики сплошных сред УрО РАН — филиал Пермского
федерального исследовательского центра УрО РАН, Пермь[email protected]@icmm.ru
Определяющие соотношения для сложных сред при малых де-формациях могут быть построены, используя простой, но эффек-тивный подход, основанный на возможности представить полнуюдеформацию суммой упругих, неупругих и температурных де-формаций. Аналогичный подход может быть положен в основупостроения определяющих соотношений термо-упруго-неупругих
173
процессов при конечных деформациях. Для этого необходимо вве-сти, помимо начальной и текущей конфигураций, еще и промежу-точную конфигурацию, близкую к текущей и трактовать термо-упруго-неупругий процесс как упругий с напряженной отсчетнойконфигурацией. В качестве последней принимается промежуточ-ная упругая конфигурация, близкая к текущей, и получающая-ся из последней малой упругой разгрузкой. Формализацией ука-занной близости является введение малого положительного пара-метра у вектора перемещения, определяющего положение точекв текущей конфигурации по отношению к промежуточной. Этопозволяет представить все кинематические величины в виде ря-дов по этому малому параметру с удержанием только линейныхслагаемых и, в результате, построить для любого закона упру-гости определяющие уравнения с начальными напряжениями ифункциями отклика материала на малые упругие деформацииотносительно промежуточной конфигурации. Последние опреде-ляются как разность между малыми полными деформациями ималыми температурными и неупругими деформациями, перево-дящими промежуточную конфигурацию в близкую текущую.
Для всех, рассмотренных ниже материалов, малые темпера-турные деформации описываются законом линейного темпера-турного расширения.
Неупругие деформации в сплавах с памятью формы — этодеформации аустенитно-мартенситного фазового перехода. Приэтом, в результате охлаждения в определенном температурноминтервале, происходит сдвиг атомной плоскости, приводящий кперестройке исходной атомной решетки и возникновению дефор-маций превращения высокотемпературной фазы (аустенита) внизкотемпературную фазу (мартенсит). Такой переход называет-ся прямым. Последующий нагрев (обратный переход) возвращаетатомную решетку в первоначальное состояние (память формы)в другом более высоком температурном интервале (наблюдаетсягистерезис превращения).
В полимерах с памятью формы неупругие деформации — этодеформации высокоэластичной фазы, «замороженные» в процес-се релаксационного перехода из высокоэластичного состояния взастеклованное при охлаждении материала. При этом деформа-ции, возникающие в застеклованной фазе при дальнейшем дефор-мировании, накладываются на эти «замороженные». При нагре-вании последние постепенно «размораживаются».
174
В настоящей работе построены определяющие уравнений дляконечных деформаций материалов, испытывающих аустенитно-мартенситный фазовый переход (сплавы с памятью формы), фер-ромагнитных материалов, испытывающих фазовый переход аусте-нит — мартенсит, вызванный магнитным полем (ферромагнитныесплавы с памятью формы) и полимеров, испытывающих релак-сационный переход из высокоэластичного состояния в застекло-ванное (полимеры с памятью формы). Полученные соотношенияаттестованы на задачах о конечных деформациях простых кон-струкций при прямом и обратном переходах.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты 14-01-00080 и 16-31-00161 мол_а).
Численное исследование свойств неоднородныхжидкостей при обтекании ими кругового
цилиндра
Т.И. Рождественская
Поскольку течения неоднородной жидкости очень часто встре-чаются в природе и в технике, необходимо их тщательное изуче-ние, для которого одних экспериментальных методов недостаточ-но. Поэтому для более глубокого их исследования необходимо со-здание численных методов, и, в частности, методов визуализацииструктуры и особенностей таких течений.
При визуализации результатов вычислительного эксперимен-та удаётся выявить такие особенности течений неоднородной жид-кости, какие не всегда возможно, а иногда и вообще невозможноувидеть в обычном эксперименте.
В работе исследуются двумерные и трёхмерные течения неод-нородной жидкости около кругового цилиндра с помощью создан-ного автором представленной работы комплекса программ длячисленного моделирования и визуализации течений жидкостейс различной степенью стратификации. Данный вычислительныйкомплекс был разработан для машин с параллельной архитекту-рой.
Для программной реализации этого метода был создан эф-фективный механизм параллельного счёта. Для двумерных тече-ний впервые были численно промоделированы слои повышенной
175
плотности за телом, возникающие при обтекании его неоднород-ной жидкостью. Ранее они были обнаружены только эксперимен-тально. Другие особенности течений неоднородной жидкости (за-стойная зона - блокировка жидкости перед препятствием) и воз-никновение внутренних волн тяжести), не свойственные течениямоднородной жидкости, так же были промоделированы. Результа-ты численных расчётов находятся в хорошем соответствии с экс-периментальными данными. Кроме того, обнаружена необычная,в виде «гребня», форма линий равной солёности в опережающемвозмущении течения перед цилиндром, и застойные зоны в следеза цилиндром при малых скоростях течения.
В трёхмерных течениях при отсутствии экспериментальныхданных были обнаружена зависимость размера области, занятойвнутренними волнами в набегающем потоке вверх от переднейкритической точки цилиндра, от скорости течения (в данной по-становке задачи - от числа Re).
Одномерные течения суспензий в пористыхсредах с образованием конечного скачка
пористости
Е.И. РощинМосковский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Настоящая работа посвящается численному изучению одно-мерных течений малоконцентрированных суспензий через пори-стые материалы при оседании взвешенных частиц на пористыйскелет с образованием подвижного сильного разрыва — скачкаконцентрации и малого конечного скачка пористости. Такие яв-ления встречаются, например, в нефтепромысловой области (из-менение свойств околоскважинной зоны пласта под воздействиемтехнологических жидкостей), гидрогеологии (утилизация содер-жащих загрязняющие вещества промышленных отходов в под-земныx резервуарах; отток жидкости через дно водоемов с уче-том кольматации), промышленной водоподготовке и фильтрова-нии (очистка загрязненных флюидов; транспорт вирусов, бакте-рий и простейших в водоносных горизонтах).
176
В некоторых имеющихся работах (Santos A., Bedrikovetsky P.,2004, DOI: 10.1590/S0101-82052004000200009; Altoe J.E. et al.,2004, SPE 90083), связанных с этой тематикой, отмечается от-ставание передней передней границы распространения взвешен-ных частиц от передней границы несущей их жидкости. Од-ним из возможных вариантов математического описания это-го явления является односкоростная (скорость несущей средыи переносимой фазы совпадают) гиперболическая модель с ма-лым конечным скачком пористости (Леонтьев Н.Е., 2009, DOI:10.3103/S0027133009050070).
В настоящей работе решается задача об одномерном прямо-линейно–параллельном потоке суспензии при ее закачке в пер-воначально незагрязненный пористый пласт в рамках классиче-ского феноменологического подхода (Herzig J.P., Leclerc D.M.,Le Goff P., 1970, DOI: 10.1021/ie50725a003).
Численное решение задачи строится с применением метода яв-ного выделения скачка (shock-fitting method), при этом использу-ется деформирующаяся система координат, связанная с положе-нием разрыва. Преимущество такого подхода по сравнению с ши-роко распространенными методами сквозного счета заключаетсяв отсутствии нефизичных и трудноинтерпретируемых («размазы-вание» разрыва) результатов (Куликовский А.Г., Погорелов Н.В.,Семенов А.Ю., Математические вопросы численного решения ги-перболических систем уравнений, 2001).
В гладкой области исходные нелинейные уравнения аппрок-симируются схемой с центральной разностью, имеющей второйпорядок точности по временной и пространственной переменной.
Предложенная методика применима для течений, описывае-мых произвольными уравнениями, задающими кинетику засоре-ния пласта. Для корректности вычислений при начале расчетаиспользуется метод разложения решения в степенные ряды попространственной и временной переменной.
Для случая нулевого и малого конечного скачка пористостиприводятся численные решения для пористости и концентрации,строятся закон и скорость движения фронта засорения. Показы-вается наличие теоретически предсказанного замедления движе-ния скачка и дается возможная физическая интерпретация воз-никновения данного явления.
Для верификации результатов производится сравнение чис-ленного решения с известными аналитическими (Леонтьев Н.Е.,
177
2009) в рамках простейшей кинетики засорения. Демонстрирует-ся высокая точность вычисления параметров за фронтом.
В завершении приводится возможный путь обобщения даннойзадачи — рассмотрение двухскоростной гиперболической модели,в которой скорости несущей среды и переносимой фазы не совпа-дают (Леонтьев Н.Е., 2017, DOI: 10.1134/S0015462817010161).
Автор выражает благодарность Леонтьеву Н.Е. за полезныезамечания и обсуждение данной работы.
Математический анализ разрушения длявариационной модели механики композитов
1Е.М. Рудой, 2В.В. ЩербаковИнститут гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН
Новосибирский государственный университет[email protected]
В последние десятилетия широкое распространение в авиации,космонавтике, автомобилестроении получили искусственные ма-териалы — волокнистые композиты, состоящие из упругой мат-рицы, армированной высокопрочными тонкими волокнами. Ис-пользование композиционных материалов обусловлено их уни-кальными свойствами: высокой прочностью, малым весом, боль-шой сопротивляемостью агрессивным средам. Опыт показывает,что уже на стадии изготовления или же на ранней стадии экс-плуатации волокнистых композитов в них появляются трещино-подобные дефекты, которые оказывают существенное влияние напрочностные характеристики материалов и механизмы их разру-шения.
В докладе представлены результаты исследования нелинейнойкраевой задачи о равновесии композита, армированного тонкимупругим волокном при наличии трещины отслоения. Для описа-ния вертикальных прогибов волокна используется полулинейноеуравнение типа Кирхгофа — Бергера с нелокальным коэффици-ентом. На берегах трещины задаются краевые условия, имеющиевид равенств и неравенств и исключающие взаимное прониканиеточек упругой матрицы и волокна, что приводит к слабой по-становке задачи в виде эллиптического вариационного неравен-ства. На основе метода малых регулярных возмущений формы
178
области развит математический аппарат, позволяющий проана-лизировать зависимость решения от длины трещины и получитьформулы для скорости высвобождения энергии при продвиже-нии трещины вдоль направления армирования. Показано, что вслучаях, соответствующих локальному сдвигу и растяжению тре-щины, формулы для скоростей высвобождения энергии допуска-ют представление в виде инвариантных интегралов, не завися-щих от гладких замкнутых кривых, окружающих одну или обевершины трещины. Тем самым, найдены аналоги основополага-ющих понятий механики разрушения (формулы Гриффитса, J-интеграла Эшелби — Черепанова — Райса и M -интеграла Ноулса— Стернберга) и установлена их связь друг с другом. Необходимоотметить, что полученные формулы отличаются от классическихналичием слагаемых, зависящих от перемещений волокна. Крометого, предложен итерационный алгоритм численного решения за-дачи, основанный на методе декомпозиции области и алгоритмеУдзавы решения вариационных неравенств. Приведены резуль-таты расчетов, иллюстрирующие эффективность предложенно-го алгоритма. Наша работа продолжает исследования, начатые в[1,2,3].
Работа выполнена при поддержке Российского научного фон-да ( 17-71-10171).
Литература
1. Хлуднев А. М., Щербаков В. В. Сингулярные инвариантныеинтегралы для упругих тел с тонкими упругими включени-ями и трещинами // Доклады Академии наук. 2016. Т. 471, 4. С. 425–429.
2. Khludnev A. M., Shcherbakov V.V. Singular path-independentenergy integrals for elastic bodies with Euler—Bernoulli inclusi-ons // Mathematics and Mechanics of Solids. Published aheadof print 29 August 2016. DOI 10.1177/1081286516664208.
3. Rudoy E. Domain decomposition method for crack problemswith nonpenetration condition // ESAIM: Mathematical Model-ling and Numerical Analysis. 2016. Vol. 50, No. 4, pp. 99–1009.
179
Спиральные течения на плоскости потенциала
А.И. РыловИнститут математики им. С.Л. Соболева СО РАН
Рассматривется плоское потенциальное спиральное течениеТоллмина, в котором, как известно, изобары являются логариф-мическими спиралями [1]. Важной особенностью работы [1] какраз и является то, что в качестве одного из семейств координат-ных линий изначально использовались логарифмические спира-ли. В настоящей же работе принципиальной особенностью явля-ется использование плоскости потенциала и возможных точныхрешений на этой плоскости.
В основе доклада лежит относительно мало известная системауравнений газовой динамики
kUφ − Vψ = 0, Uψ + Vφ = 0 (1)
Эта система создавалась в свое время для анализа линий уров-ня нулевых компонент вектора ускорения [2,3]. Соответственно,зависимые переменные системы (1) являются некоторыми комби-нациями производных от газодинамических параметров, взятыхвдоль линии тока. Детали построения системы (1) и соответству-ющие обозначения приведены в [2,3].
В рассматриваемом случае система (1) интересна тем, что онаимеет очевидное частное решение для произвольной постояннойµ
U = µψ, V = −µφ (2)
Совместный анализ системы (1) и решения (2) показывает, чтона плоскости потенциала решению (2) отвечает веер лучей (он жевеер изобар) λ = ψ/φ, что достаточно очевидно. Но более деталь-ный анализ показывает, что на физической плоскости каждомуиз этих лучей отвечает своя логарифмическая спираль.
При переходе от луча к лучу производная zλ имеет вид
zλ =dz
dλ= − 1
µ(kλ2 + 1)(3)
Здесь
z = z(q) =
∫ρ
qdq, k = k(z) =
1−M2
ρ2
180
Равенство (3) полезно как при анализе особенностей рассмат-риваемого спирального течения, так и при численном анализе.В частности, на предельном луче, на котором zλ = ±∞, имеем:M > 1, k < 0, а также
kλ2 + 1 = 0, λ2 = −k−1
Детали изложены в недавней статье [4].
Литература
1. W.Tollmien, Z. angew. Math. Mech. 17 (1937), pp. 117-136.2. Рылов А.И. Сибирский журнал индустриальной математи-
ки. 1998. Т.1. 2. С.169-174.3. Рылов А.И. Прикладная математика и механика (ПММ),
2006, Т.70. В. 3. С. 400-411.4. Рылов А.И. ДАН, 2017, том 472, 2.
Циклы Пуанкаре и неравновеснаятермодинамика
Т.В. СальниковаМосковский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Анри Пуанкаре рассматривает бесстолкновительную сплош-ную среду на отрезке прямой с упругими отражениями от концовотрезка - одномерный газ. Независимо от начального распределе-ния газ необратимо стремится равномерно заполнить интервал.Каждая молекула газа возвращается к своему начальному состо-янию бесконечно много раз. Однако эта индивидуальная возвра-щаемость не является равномерной, что приводит к необратимо-му поведению рассматриваемой системы.
Пусть к находящемуся в равновесии одномерному газу при-ближено гравитирующее тело, а после того, как газ снова придетв состояние равновесия, тело убирается. После этого газ снова
181
стремится равномерно заполнить интервал. Итак, газ осуществ-ляет замкнутый цикл, который В.В.Козлов определил как циклПуанкаре, подобно циклу Карно. Но в отличие от цикла Карноцикл Пуанкаре неравновесный и необратимый.
Мы рассматриваем начальную функцию плотности вероят-ности распределения по скоростям, пропорциональную квадра-ту скорости. В частности, распределение Максвелла не удовле-творяет этому условию. Добавим силовое поле и подождем, покасистема придет в состояние равновесия. Затем уберем силовое по-ле и снова дождемся равновесного состояния. Повторяя эти цик-лы, мы получим различные промежуточные типы плотности и ееасимптотическое поведение. Оказывается, что при многократномповторении циклов Пуанкаре плотность распределения вероятно-сти необратимо стремится к распределению Максвелла.
Обтекание гиперзвуковых летательныхаппаратов в условиях поверхностного
разрушения
Н.И. СидняевМГТУ имени Н.Э. Баумана
В работе рассматривается влияние продуктов разложения раз-личных компонентов несущей поверхности летательных аппара-тов, движущихся в воздухе с гиперзвуковой скоростью, на те-чение в ударном слое в достаточно широком диапазоне чиселРейнольдса. При этом учитываются такие важные физическиеэффекты, как неравновесные физико-химические превращения,торможение газа в головной ударной волне, неоднородность внеш-него потока. Представлены современные подходы к решению про-блемы полета гиперзвуковых летательных аппаратов, основан-ные на совместном рассмотрении задач динамики, аэромеханикии теплообмена. Разработаны математические модели, численныеалгоритмы для расчета газодинамических параметров пристеноч-ного слоя обтекаемых поверхностей высокоскоростных летатель-ных аппаратов в условиях поверхностного тепломассообмена. По-казана существенная роль эффекта поверхностного массообмена
182
при определении аэродинамических характеристик комбиниро-ванных тел вращения. При этом учитываются такие важные фи-зические эффекты, как неравновесные физико-химические пре-вращения, торможение газа в головной ударной волне, неоднород-ность внешнего потока. Предложены физические и математиче-ские модели исследуемых многофазных течений с учетом физико-химических превращений и разработаны численные методы рас-чета стационарного и нестационарного сверхзвукового обтеканиятел различных конфигураций в условиях тепломассопереноса.
В докладе сформулированы и обоснованы основные требова-ния, предъявляемые к управляющим системам, когда массооб-менный эффект оттесняет пограничный слой. Созданы методикирасчета при тепломассообмене, позволившие провести оптимиза-цию нестационарных динамических характеристик. Исследованообтекание различных моделей тел сложной геометрической фор-мы с учетом физико-химических превращений, распределенийдавлений и тепловых потоков по их поверхности, а также газоди-намических характеристик тел как в условиях распределенногоповерхностного массообмена, так и при сосредоточенном.
Автором представлены исследования по обтеканию различ-ных тел гиперзвуковым потоком газа, испытывающих значитель-ный аэродинамический нагрев, различные способы защиты от на-грева и соответствующие физические модели, обусловленные раз-нообразием конструкций теплонагруженных поверхностей. Ма-тематические модели, численные алгоритмы и методы решенияуравнений газовой динамики, основанные на разностном пред-ставлении уравнений, и соответствующие расчеты характеристикударного и пограничного слоев при обтекании комбинированныхтел вращения в условиях разрушения поверхности. Методикии программы численной реализации задачи сверхзвукового об-текания сублимирующей стенки с истекающей газовой струей,основанная на построении разностной схемы, а также резуль-таты исследований газодинамических характеристик взаимодей-ствия системы "сублимирующая стенка - сверхзвуковой поток- струя"для установившихся движений. Математические моделиобтекания колеблющегося в потоке гиперзвукового летательно-го аппарата в рамках системы уравнений Навье-Стокса с учетомвлияния распределенного массообмена на динамическую устой-чивость осесимметричных тел вращения, распределение давленияпо поверхности комбинированных тел и на вращательные произ-
183
водные с учетом амплитуды колебаний модели [1] на различныхуглах атаки. Математические модели обтекания затупленных тел,основанные на совместном рассмотрении задач гиперзвуковоготечения газа и гетерогенных каталитических процессов в рамкахтеории пограничного слоя. Результаты численного моделирова-ния по определению параметров пограничного слоя в дозвуковоми сверхзвуковом потоках для затупленных тел при произвольныхскоростях химических реакций с учетом массообмена различныхкомпонентов через поверхность тела, обтекаемого высокотемпе-ратурным газом.
Литература
1. Сидняев Н.И. Метод расчета нестационарного обтекания те-ла вращения с поверхностным массообменом в рамках па-раболизированных уравнений Навье-Стокса // Математи-ческое моделирование. -2004, т.16, 5, С.55-65.
Осаждение частиц при течении суспензии черезпористые среды
Д.А. СидороваМосковский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Доклад посвящен изучению процесса фильтрации взвеси твер-дых частиц при течении в пористой среде. Интерес к этой те-матике связан с тем, что фильтрация суспензий встречается вразличных областях жизнедеятельности человека, в частности внефтяной индустрии, гидрогеологии и в задачах промышленнойочистки жидкостей [Шехтман Ю.М. Фильтрации малоконцентри-рованных суспензий. М.: Изд-во АН СССР, 1961; Herzig J.P., Le-clerc D.M., Le Goff P. Flow of suspensions through porous media.Application to deep filtration // Industrial and Engineering Che-mistry, 1970, Vol. 62, No. 5, P. 8–35].
Рассмотрена задача о засорении пористого пласта при закачкемалоконцентрированной суспензии с учетом оседания частиц на
184
скелет. Получено общее аналитическое решение начальной зада-чи Коши для нелинейной системы, описывающей одномерные (сплоскими волнами) течения. Указан ряд решений, выражающих-ся в элементарных функциях [Леонтьев Н.Е., Татаренкова Д.А.Точные решения нелинейных уравнений течения суспензии в по-ристой среде // Вестник Московского университета. Сер. 1. Ма-тематика. Механика. 2015, 3, с. 49–54]. Кроме этого, в докладеобсуждаются некоторые вопросы, связанные с численным реше-нием задачи с учетом образования скачка концентрации. Опи-сываются вариант конечно-разностной схемы для расчета одно-мерных течений и результаты ее тестирования (численная оценкапорядка сходимости, тестирование на точных решениях).
О точных решениях уравнений термодиффузиипри различных зависимостях плотности
И.В. СтепановаИнститут вычислительного моделирования, Красноярск
Работа посвящена построению и анализу точных решенийуравнений термодиффузионной конвекции, описывающих одно-направленные стационарные течения бинарных смесей. Течениятакого типа могут быть реализованы в достаточно протяженныхвертикальных и горизонтальных слоях, границы которых поддер-живаются при разных постоянных или меняющихся по заданномузакону температурах.
Математическая модель. Рассматривается бинарная смесьс уравнением состояния
ρ = ρ0F (T, C),
где ρ0 — плотность смеси при средних значениях температурыT0 и концентрации C0, T и C — отклонения от средних значе-ний. Предполагается, что C — концентрация легкой компоненты.Уравнения движения при заданном уравнении состояния имеютвид
ut + (u · ∇)u = −ρ−10 ∇p+ νu+ F (T, C)g,
Tt + u · ∇T = χT, Ct + u · ∇C = DC +DTT, (1)
divu = 0.
185
В системе (1) все обозначения стандартны, ν, χ, D, DT – коэффи-циенты кинематической вязкости, температуропроводности, диф-фузии и термодиффузии соответственно. При нормальной (ано-мальной) термодиффузии легкий компонент накапливается в бо-лее нагретой (более холодной) области, что соответствует DT < 0(DT > 0).
Точные решения системы (1). Поскольку в уравнениях (1)содержится произвольная функция F (T,C), система становитсянезамкнутой. Для конкретных расчетов можно использовать экс-периментальные зависимости или, следуя работам Л.В. Овсянни-кова [1] и его учеников, искать функцию F с помощью техникигруппового анализа. Так, в работе автора [2] посредством методасимметрий вычислены возможные представления функции F до-пускаемые при этих зависимостях преобразования переменных всистеме (1). Вычисленные преобразования позволяют уменьшитьчисло зависимых и/или независимых переменных в системе и,сведя ее к более простому виду, построить точные решения.
В данной работе представлены два класса решений. Первый –для описания стационарного однонаправленного течения в верти-кальном слое в случае линейной зависимости силы плавучести отконцентрации и произвольной от температуры. Общее решениеуравнений (1) построено в квадратурах. Для случая, когда зави-симость F от температуры квадратичная, решение поставленнойкраевой задачи демонстрирует конвективное течение, состоящееиз трех частей разной интенсивности: вблизи стенок жидкостьопускается вниз, в центре понимается вверх, что соответству-ет большим у стенок и малым в центре значениям функции F .Второй класс решений соответствует описанию горизонтальныхтечений при заданных законах распределения температуры натвердых стенках. Рассмотрены обобщения решения Остроумова–Бириха [3] на случай экспоненциального и квадратичного распре-деления температуры на стенках. Такая постановка граничныхусловий налагает ограничения на вид функции F . Для обеих за-висимостей построены точные решения поставленных краевых за-дач, проанализированы возникающие частные случаи. Показано,что полученные режимы конвективного течения являются обоб-щениями известных ранее решений, описывающих течения с по-стоянным продольным градиентом температуры.
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Прези-дента РФ (МК-4519.2016.1).
186
Литература
1. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальныхуравнений. М.: Наука, 1978.
2. Stepanova I.V. Group classification for equations of thermodiffu-sion in binary mixture// Commun Nonlinear Sci Numer Simulat,18, 2013, P. 1341–1346.
3. Бирих Р.В. О термокапиллярной конвекции в горизонталь-ном слое жидкости// ПМТФ, 3, 1966, С. 69–72.
Движение области поверхностного давления вусловиях неоднородного ледяного покрова
1И. В. Стурова, 2Л.А. ТкачеваИнститут гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН,
Новосибирск[email protected]
Задача о поведении ледяного покрова под действием движу-щейся нагрузки изучается с одной стороны с целью разрушенияледяного покрова с помощью судов на воздушной подушке [1],а с другой – использования ледяного покрова в качестве пере-прав и плавающих платформ различного назначения. В послед-нем случае необходимо знать несущую способность ледяного по-крова. В настоящее время наиболее полно изучена задача о дви-жении внешней нагрузки по безграничному однородному ледя-ному покрову [2]. Ледяной покров моделируется тонкой упругойпластиной, плавающей на поверхности воды. Однако в реальныхусловиях ледяной покров не является однородным, так как можетпокрывать не всю верхнюю границу жидкости, а только ее часть,а также в нем могут существовать трещины и разводья. Влия-ние таких сложных граничных условий на поведение волновогодвижения находится в начальной стадии изучения.
Ранее в двумерной постановке исследованы волновые движе-ния, возникающие при колебаниях погруженного горизонтально-го цилиндра в случаях ледяного покрова как конечной, так и
187
полубесконечной ширины, а также разводья между двумя полу-безграничными ледовыми полями с различными свойствами [3,4].Получены аналитические решения трехмерных задач о поведенииполубесконечного ледяного покрова, а также бесконечного ледя-ного покрова с прямолинейной частично смерзшейся трещинойпод действием локализованной периодической по времени внеш-ней нагрузки [5].
В данной работе представлено решение трехмерной стацио-нарной задачи о поведении полубесконечного ледяного покровапод действием локализованной внешней нагрузки, движущейся спостоянной скоростью вдоль его прямолинейного края. Рассмот-рены три случая: 1) вне ледяного покрова поверхность жидкостиявляется свободной, 2) две полубесконечные ледяные пластиныс различными свойствами и свободными краями разделены тре-щиной, 3) жидкость ограничена твердой вертикальной стенкой икрай ледяного покрова, примыкающий к стенке, может быть какзащемленным, так и свободным. Задача решается в линейной по-становке, жидкость предполагается идеальной и несжимаемой, аее движение – потенциальным.
Решения получены с использованием преобразования Фурьедвумя способами: методом Винера–Хопфа и сращиванием разло-жений по вертикальным собственным функциям. Сопоставлениерезультатов показало их хорошее согласование. Определены воз-вышения ледяного покрова и свободной поверхности при различ-ных скоростях движения внешней нагрузки прямоугольной фор-мы. Исследовано влияние скорости нагрузки на характер волно-вого движения при докритическом и сверхкритическом режимах,а также на силы и момент, действующие на внешнюю нагрузку.
Литература
1. Экспериментально-теоретические исследования зависимо-сти параметров распространяющихся в плавающей пла-стине изгибно-гравитационных волн от условий их воз-буждения. Под ред. В. М. Козина. Новосибирск: Изд-во СОРАН. 2016.
2. Squire V.A., Hosking R. J., Kerr A. D., Langhorne P. J., MovingLoads on Ice Plates. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1996.
3. Sturova I. V. Radiation of waves by a cylinder submerged inwater with ice floe or polynya. J. Fluid Mech. 2015. V. 784.P. 373–395.
188
4. Ткачева Л. А. Колебания цилиндрического тела, погружен-ного в жидкость, при наличии ледяного покрова. ПМТФ.2015. Т. 56. . 6. С. 173–186.
5. Ткачева Л. А. Краевые волны в жидкости под ледяным по-кровом с трещиной. ДАН. 2017. Т. 473. . 5. С. 545–551.
Эволюция фазово-структурной деформации вохлаждающемся пакете стержней из сплава с
памятью формы
К.А. ТихомироваИМСС УрО РАН, Пермь[email protected]
Рассматривается задача об охлаждении пакета стержней изсплава с памятью формы, находящихся изначально в недефор-мированном аустенитном состоянии при температуре Т1 и име-ющих одинаковую длину. Стержни расположены горизонтальнодруг над другом, их края соединены шарнирно с жесткими стен-ками, ограничивающими пакет. Учтена возможность воздействияна боковые стенки управляющей нагрузки (продольная сила, из-гибающий момент). Предполагается, что трение между стерж-нями и поперечные усилия отсутствуют, а деформация изменя-ется линейно по высоте пакета, что соответствует возможностижесткого горизонтального смещения и поворота боковых стенок.При этом каждый стержень испытывает одноосное растяжениеили сжатие. Охлаждение происходит через поверхность крайне-го стержня за счет теплообмена с окружающей средой (гранич-ные условия III рода), имеющей температуру Т2, такую что послеустановления теплового равновесия все стержни находятся в мар-тенситном состоянии. Остальные поверхности теплоизолированы.Считается, что в процессе охлаждения температура одинаковавнутри каждого стержня и изменяется от стержня к стержню повысоте пакета, при этом переход каждого стержня в мартенсит-ное состояние осуществляется постепенно в интервале температурпрямого превращения. Теплота, выделяемая в процессе фазовогоперехода, также оказывает влияние на изменение температурного
189
поля. Неоднородность поля температур приводит к неравномер-ному распределению фазовой деформации по высоте пакета, что,в свою очередь, вызывает перераспределение усилий в стержняхи может приводить к структурному деформированию образовав-шегося ранее мартенсита.
Для расчета используется феноменологическая модель [1], яв-ляющаяся отчасти интегральным аналогом дифференциальноймодели А.А. Мовчана [2], но по-иному описывающая процессыструктурного деформирования, ориентированного превращенияи обратного фазового перехода. Интегральная модель [1] позво-ляет учесть полную историю деформирования материала, чтоважно при описании явлений, связанных с фазовым переходомпод действием изменяющегося напряжения. Учитывается воз-можность протекания в стержнях следующих процессов: обра-зование температурного мартенсита (при охлаждении) и мартен-сита напряжения (при возрастании нагрузки), а также смещениехарактерных температур превращения от действия напряжения;полное или частичное обратное превращение при снижении на-грузки; структурное превращение при увеличении (по модулю)нагрузки того же знака или при изменении знака нагрузки; ори-ентированное превращение при охлаждении под снизившейся (помодулю) нагрузкой. Кроме того, учтена асимметрия накопленияфазово-структурной деформации в сплавах с памятью формыпри растяжении и сжатии.
Задача решена методом конечных разностей, проведено прак-тическое исследование сходимости численного решения. При вы-числении деформации используется суммирование упругой и фа-зово-структурной ее составляющих. В результате получена за-висимость напряжения и фазово-структурной деформации длякаждого стержня от времени, а также распределение напряже-ний и деформаций по высоте пакета в каждый момент време-ни в процессе охлаждения. Сделан вывод о необходимости уче-та деформации структурного и ориентированного превращенияпри анализе эволюции напряженно-деформированного состоянияконструкции.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант16-31-00161-мол_а).
Литература
1. Тихомирова К.А. Разработка и численная реализация одно-
190
мерной феноменологической модели фазовой деформации всплавах с памятью формы // Вычисл. мех. сплош. сред. -2016. - Т. 9, 2. - С. 192-206.
2. Мишустин И.В., Мовчан А.А. Моделирование фазовых иструктурных превращений в сплавах с памятью формы,происходящих под действием немонотонно меняющихся на-пряжений // Изв. РАН. МТТ. - 2014. - 1. - С. 37-53.
Об использовании Ньютоновского потенциала,равного константе внутри односвязной области,
при моделировании струй идеальнойнесжимаемой жидкости
Н.А. ТрубаевРоссийский университет транспорта (МИИТ)
Представление гармонической функции, равной константе внут-ри односвязной области, Ньютоновским потенциалом простогослоя V (ξ) (1), заданным на поверхности S, являющейся грани-цей области, единственно [1]:
V (ξ) =1
2π
∫S
ξ(q)
r(p, q)dSq , (1)
где r(p, q) - расстояние между точками p и q, ξ - функция плот-ности.
Предельные значения (1) изнутри области (индекс ′+′) и сна-ружи области (индекс ′−′):[
∂V (ξ)
∂n
]±= ±ξ(p) + 1
2π
∫S
∂
∂n
(ξ(q)
r(p, q)
)dSq . (2)
Из (2) очевидно, что если V (ξ) равен константе внутри области,то предельные значения изнутри области раны нулю, а снаружиобласти - удвоенной плотности ξ с обратным знаком.
Пусть нужно смоделировать поток идеальной несжимаемойжидкости вблизи трехмерной незамкнутой поверхности S, на ко-торой нужно обеспечить выполнение условия непротекания - ра-венства нулю нормальной к поверхности компоненты скорости
191
потока. Если мы дополним поверхность S до поверхности неко-торой односвязной области, на которой задан потенциал V (ξ),равный внутри области константе, так чтобы предельные значе-ния на S его нормальной производной снаружи области имеливеличины нормальной компоненты скорости невозмущенного по-тока, то разность гармонической функции, градиент которой -скорость невозмущенного потока, и потенциала V (ξ), будет зада-вать функцию, градиент которой - скорость потока обтекающегоповерхность S.
В докладе приводится геометрический способ построения функ-ции плотности ξ потенциала V (ξ), равного константе внутри про-извольной односвязной области, и обобщение способа на плоскийслучай для логарифмического потенциала. Указываются особен-ности поведения искомой функции плотности вблизи угловых иконических точек. Приводятся примеры применения способа примоделировании задач: о падении косой струи на плоскость, о за-топленной струе, об обтекании угловой стенки с завихренной зо-ной вблизи вершины угла.
Литература
1. Сретенский Л.Н. Теория ньютоновского потенциала. —М.Л.:Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1946.
2. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Проблемы гидродинамикии их математические модели. —М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1973.
3. Биркгоф Г., Сарантонелло Э. Струи, следы и каверны. —М.: Мир, 1964.
Численный анализ устойчивости контактногоразрыва в задаче о взрыве
Ю.В. ТуникНИИ механики МГУ имени М.В. Ломоносова
Задача о взрыве впервые была поставлена и решена Л.И. Се-довым в предположении о точечном источнике инициирования и
192
высокой интенсивности ударной волны [1,2]. В последующих ра-ботах изучаются различные аспекты взрывных процессов. Исто-рия теории взрыва подробно изложена в [3,4]. Появление конечно-разностных численных методов сквозного счета позволило моде-лировать разрывные решения уравнений гидродинамики и спо-собствовало развитию исследований. В настоящее время задачао взрыве стала рассматриваться в качестве одной из тестовыхдля современных численных схем высокого порядка точности.Выполненные на их основе расчеты с учетом противодавленияи конечной области инициирования взрыва указывают на раз-витие неустойчивости контактного разрыва (см., например, [5]).Утверждается, что это проявление неустойчивости Рихтмайера -Мешкова [6].
В данной работе для решения задачи о цилиндрическом взры-ве с учетом противодавления и конечного размера области иници-ирования используются разработанные модификации схемы С.К.Годунова, повышающие точность расчетов по пространственнымпеременным. Применительно к системе уравнений распростране-ния плоских звуковых волн эти схемы исследуются на неубываниеэнтропии, что позволяет надеяться на получения физически обос-нованных численных решений. Решены тестовые задачи о распа-де разрыва в трубе и о трансформации неоднородности в потокеневязкого газа.
Анализ численных решений задачи о взрыве в полярной си-стеме координат не подтверждает развития неустойчивости кон-тактного разрыва, имеющего форму окружности в начальный мо-мент (рис. 1). В случае первоначально возмущенного контактногоразрыва изменение его формы обусловлено, в основном, неустой-чивостью Тейлора [7] (рис. 2), а не Рихтмайера - Мешкова.
Литература
1. Седов Л.И. Теория подобия и размерности в механике. 3-еизд. Гостехиздат. 1954. 328 с.
2. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.:Наука. 1967. 428 с.
3. Коробейников В.П. Задачи теории точечного взрыва. М.:Наука. Гл. редакция физико-математической литературы.1985. 400с.
193
Рис. 1: Изохоры на фоне числа Маха при круговой формеконтактного разрыва в начальный момент времени
Рис. 2: Изохоры на фоне давления в случае синусоидальноговозмущения контактного разрыва в начальный момент времени
4. Седов Л.И., Коробейников В.П., Марков В.В. Теория рас-пространения взрывных волн. Теоретическая и математи-ческая физика. Сборник обзорных статей 3. Труды МИАНСССР. 175. 1986. C. 178-216.
5. Liska R., Wendroff B. Comparison of several different schemeson 1D and 2D test problem for the Euler equations. SIAMJournal on Scientific Computing. (Society for Industrial andApplied Mathematics). 2003. V. 25. No. 3. Pp. 995-1017.
6. Мешков Е.Е. Неустойчивость границы раздела двух газов,ускоряемой ударной волной. Изв. АН СССР. МЖГ. 1969.5. С. 151-158.
7. Taylor J. The instability of liquid surfaces when accelerated ina direction perpendicular to their planes. I. Proc. Roy Soc. J.Lond. 1950. Ser. A, vol. 201. No 1065. Pp. 192-196.
194
Неустановившееся электровращение капли впостоянном электрическом поле
А.Н. ТятюшкинНИИ механики МГУ имени М.В. Ломоносова
Теоретически исследуется изменение формы капли вязкой сла-бопроводящей поляризующейся жидкости, взвешенной в несме-шивающейся с ней вязкой слабопроводящей поляризующейся жид-кости, в постоянном электрическом поле. Под действием прило-женного электрического поля в капле и в окружающей ее жидко-сти возникают электрогидродинамические течения. Кроме того,при определенных условиях имеет место электровращение капли.В результате в постоянном электрическом поле капля, деформи-руясь, либо стремиться принять некоторую стационарную форму,либо совершает деформационные колебания.
Аналитически решается задача о неустановившемся электро-гидродинамическом течении внутри и вне капли и ее электровра-щении в приложенном однородном постоянном электрическом по-ле с учетом влияния как поверхностного тока проводимости, таки поверхностного конвективного электротока. Отношение вязко-сти капли к вязкости окружающей жидкости считается достаточ-но большим. Рассматриваются малые нестационарные деформа-ции с достаточно большим характерным временем, для которыхможно считать каплю сферической и использовать приближенияквазистационарного электрического поля и квазиустановившего-ся течения при расчете поля и течения.
Напряженность электрического поля, а также скорость и дав-ление в электрогидродинамическом течении найдены для случаяпроизвольного отношения вязкости капли к вязкости окружаю-щей жидкости в виде рядов с коэффициентами, зависящими отвремени, для которых получены соотношения, позволяющие ихопределить. С использованием этих соотношений коэффициентыищутся в виде асимптотических разложений по малому парамет-ру, соответствующему большому отношению вязкости жидкостикапли к вязкости окружающей ее жидкости. Установлено, что сточностью до членов нулевого порядка электрическое поле опре-деляется дипольным моментом капли, а поправки первого поряд-ка к полю определяются поправкой первого порядка к диполь-ному моменту и октупольным моментом. Получены соотношения
195
для членов нулевого, первого и второго порядков асимптотиче-ских разложений коэффициентов, определяющих электрическоеполе. Для асимптотических разложений коэффициентов, опреде-ляющих течение и форму капли, получены соотношения для чле-нов нулевого, первого и второго порядка. В частности полученыдифференциальные уравнения, позволяющие найти с точностьюдо членов первого порядка электрические дипольный и октуполь-ный моменты капли и угловую скорость электровращения, и диф-ференциальные уравнения, определяющие форму капли с точно-стью до членов второго порядка. Найдены в явном виде стацио-нарные решения этих уравнений и исследована их устойчивость.
Установлено, что кроме всегда существующего стационарно-го решения без электровращения при выполнении определенныхусловий существуют также и стационарные решения с электро-вращением, которые определены с точностью до направлениявектора угловой скорости электровращения. Если выполняютсяусловия существования решений с элекровращением, то все этирешения являются устойчивыми, а решение без электровращения— неустойчиво. Если же условия существования решений с элек-тровращением не выполняются, то решение без электровращенияявляется устойчивым. Таким образом, всегда существует устой-чивое стационарное решение. Отсюда можно сделать вывод о том,что при выполнении условий применения используемых при ре-шении задачи приближения малых деформаций и приближенияквазиустановившегося течения наблюдавшегося в экспериментахперехода к деформационным колебаниям не происходит.
Установлено, что с точностью до членов первого порядка ста-ционарная форма капли представляет собой эллипсоид общеговида, средняя ось которого направлена вдоль вектора угловойскорости капли, а малая и большая образуют с вектором на-пряженности приложенного электрического поля некоторые уг-лы. Получены явные выражения для этих углов. С точностью дочленов второго порядка капля принимает форму, которая описы-вается уравнением четвертого порядка.
Работа частично поддержана РФФИ (проекты 16-01-00157-аи 14-01-00056-а).
196
Трехволновой резонанс в задачах газовойдинамики
Д.В. УкраинскийМосковский государственный университет имени М.В. Ломоносова
В гиперболических системах уравнений с низшей квадратич-ной степенью нелинейности характерной является проблема вза-имодействия трех бегущих волн с медленно изменяющимися ам-плитудами и фазами, сумма «гармонических» фаз которых точноравна нулю [1,2]. В рамках изэнтропического движения совершен-ного идеального газа на постоянном однородном фоне решают-ся следующие две задачи: одномерная нестационарная задача сплоскими волнами и двумерная стационарная задача с потенци-альным сверхзвуковым полем скорости. Возмущения фона счи-таются относительно малыми. Волны вызываются подходящимикраевыми условиями: специальным движением поршня или фор-мой обтекаемой поверхности. Выведены уравнения изменения ам-плитуд и фаз волн, проведены аналитические исследования их ре-шений. В общем случае решение представляется в эллиптическихфункциях или, при определенных условиях, — в элементарномвиде. Ключевым является эффект резонансного взаимодействияамплитуд и фаз мод. Как правило, данный процесс периодичен.Решения существуют на временах движения частиц газа, обратнопропорциональных амплитуде волны. В стационарном случае ре-шение задачи соответствует известным экспериментальным кар-тинам. В одномерной нестационарной задаче обсуждаются вопро-сы, связанные с неоднородностью фона. Автор выражает благо-дарность профессору А.Н. Голубятникову за постановку задачии постоянное внимание к работе.
Литература
1. Филлипс О.М. Взаимодействия волн // Нелинейные волны.Под редакцией С. Лейбовича, А. Сибасса. Перевод с англий-ского языка под редакцией А.В. Гапонова, Л.А. Островско-го. М.: Мир. 1977. Глава 7. Страницы 197–220.
2. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис Х. Солитоныи нелинейные волновые уравнения. Перевод с английскогоязыка В.И. Мацаева, В.П. Гурария, под редакцией А.Б. Ша-бата. М.: Мир. 1988.
197
Анализ возможностей нелинейногосоотношения наследственности Работнова и
линейного соотношения вязкоупругостиА.В. Хохлов
НИИ механики МГУ имени М.В. Ломоносова[email protected]
Исследуются линейное определяющее соотношение (ОС) вяз-коупругости Больцмана-Вольтерры с произвольной функцией пол-зучести Π(t) и обобщающее его нелинейное соотношение Ю.Н.Работнова [1,2] с двумя материальными функциями (МФ)
φ(ε(t)) =
∫ t
0
Π(t− τ)dσ(τ), σ(t) =
∫ t
0
R(t− τ)φ′(ε(t))dε(τ) (1)
c целью уточнения и сравнения их областей применимости, спек-тров моделируемых ими реологических эффектов, наблюдаемыхв испытаниях реономных материалов, и способов идентификации,настройки и верификации. При минимальных ограничениях наМФ Π и φ ОС (1) (для линейного ОС φ(u) = u) выведены и ана-литически изучены [3-7] уравнения семейств порождаемых этимидвумя ОС базовых квазистатических кривых: кривых релакса-ции и ползучести с произвольной начальной стадией нагружения,ползучести при ступенчатых нагружениях, длительной прочно-сти, диаграмм деформирования и разгрузки при постоянных икусочно постоянных скоростях деформирования (или нагруже-ния) и при циклическом нагружении и др. Исследованы общиесвойства кривых в зависимости от МФ и параметров программнагружения: интервалы монотонности и выпуклости, скачки иизломы, асимптотики и двусторонние оценки, характер сходимо-сти семейств кривых при стремлении параметров программ на-гружения (скорости деформирования или нагружения, длитель-ности начальной стадии и др.) к нулю и бесконечности, условиязатухания памяти, влияние перестановки ступеней нагруженияна асимптотику кривых и остаточную деформацию и т.п.
На основе сопоставления общих свойств теоретических кри-вых ОС с набором основных качественных свойств типичных экс-периментальных кривых вязкоупругопластичных материалов (сцелевым списком моделируемых эффектов) выведены минималь-ные необходимые ограничения на МФ, обеспечивающие адекват-ное описание кривых испытаний, изучено влияние характеристик
198
МФ на свойства теоретических кривых, которыми можно управ-лять. Выявлены эффекты, которые ОС (1) принципиально не мо-жет описать ни при каких МФ (например, убывание диаграммыдеформирования, отрицательная скоростная чувствительность),и эффекты, которые могут быть описаны при определённых до-полнительных ограничениях, наложенных на МФ (наличие точекперегиба на кривых ползучести и деформирования, ускоряюща-яся ползучесть, эффект Кольрауша, затухание памяти, асимпто-тическая коммутативность, (не)ограниченное накопление пласти-ческой деформации при циклических нагружениях и т.п.).
Проведённый анализ позволил очертить область применимо-сти и арсенал возможностей нелинейного ОС (1) по описанию по-ведения реономных материалов, сопоставить его с арсеналом ли-нейного ОС вязкоупругости, указать как наследуемые свойства,так и дополнительные возможности нелинейного ОС по сравне-нию с линейным и выявить характерные особенности поведениякривых ОС (1), которые могут служить индикаторами примени-мости ОС, удобными для экспериментальной проверки.
Работа поддержана РФФИ (грант 17-08-01146 a)
Литература
1. Работнов Ю.Н. Некоторые вопросы теории ползучести //Вестник МГУ. 1948. 10. С. 81-91.
2. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: На-ука, 1966. 752 с.
3. Хохлов А.В. Кривые ползучести и релаксации нелинейно-го определяющего соотношения Работнова для вязкоупру-гопластичных материалов // Проблемы прочности и пла-стичности. 2016. Вып. 78. 4. С.452-466.
4. Хохлов А.В. Анализ общих свойств кривых ползучести приступенчатом нагружении, порождаемых нелинейным соот-ношением Работнова для вязкоупругопластичных материа-лов // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественныенауки. 2017. 3. С.93-123.
5. Хохлов А.В. Свойства семейства диаграмм деформирова-ния, порождаемых нелинейным соотношением Работновадля вязкоупругопластичных материалов // Изв. РАН. МТТ(в печати).
199
6. Хохлов А.В. Характерные особенности семейств кривых де-формирования линейных моделей вязкоупругости // Про-блемы прочности и пластичности. 2015. Вып. 77. 2. С.139-154.
7. Хохлов А.В. Качественный анализ общих свойств теорети-ческих кривых линейного определяющего соотношения вяз-коупругости // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Бау-мана. Электрон. журн. 2016. 5. С.187-245.http://technomag.edu.ru/doc/840650.html.
8. Khokhlov A.V. General properties of relaxation curves in thecase of the initial stage of strain with a constant rate inthe linear heredity theory // Moscow University MechanicsBulletin. 2017. Vol. 72, no. 3. P. 55–58.
Моделирование влияния температуры накривые нагружения, ползучести и релаксации
нелинейной модели типа Максвелла
А.В. ХохловНИИ механики МГУ имени М.В. Ломоносова
Доклад продолжает цикл статей [1–5] по системному исследо-ванию физически нелинейного определяющего соотношения (ОС)
ε(t) = E−1F (σ(t)) + η−1
∫ t
0
V (σ(τ))dτ, t > 0, (1)
для изотермических процессов деформирования реономных ма-териалов: по аналитическому изучению общих свойств кривыхрелаксации, ползучести, длительной прочности и циклическогонагружения, порождаемых ОС (1), комплекса моделируемых имреологических эффектов, способов идентификации и настройки.
ОС (1) содержит две материальные функции (МФ): F (x),V (x), x ∈ (ω−, ω+), ω− < 0, ω+ > 0; F задаёт упругую дефор-мацию, V – вязкопластическую. Минимальные ограничения наМФ: F (x) – непрерывная строго возрастающая кусочно-гладкая
200
функция , V (x) – непрерывная (нестрого) возрастающая функ-ция, V (0) = 0, F (0) = 0. Они обеспечивают, в частности, возрас-тание кривых нагружения и ползучести, убывание кривых релак-сации и длительной прочности и положительность работы напря-жения и неотрицательность диссипации в произвольном процесседеформирования [1,2]. Параметры E > 0 и η > 0 выделены из МФдля удобства учёта влияния температуры в форме E(T ) и η(T ).
В результате анализа свойств кривых ползучести, релакса-ции и нагружения ОС (1) и их сравнения с типичными свойства-ми кривых квазистатических испытаний вязкоупругопластичныхматериалов при разных температурах (свидетельствующих о воз-растании податливости, скорости диссипации и скоростной чув-ствительности с ростом T ) выявлены ограничения на E(T ) и η(T ).Доказано [3], что кривые, порождаемые ОС (1), ведут себя каче-ственно так же, как и кривые испытаний большинства стабиль-ных материалов на ползучесть, релаксацию, нагружение с посто-янной скоростью, усталость и рэтчетинг, лишь при условии, чтоE, η и τ = η/E – убывающие функциии температуры. Из их убы-вания следует, что рост температуры вызывает следующие изме-нения в поведении модели (1) [3]: 1) мощность диссипации и рабо-та напряжения для любой программы нагружения возрастают; 2)скорости релаксации и ползучести растут; 3) кривые ползучестиОС (1) при растяжении смещаются вверх; 4) кривые релаксациии нагружения (с постоянными скоростями деформирования илинагружения) смещаются вниз, касательный модуль и предел те-кучести убывают, а скоростная чувствительность усиливается; 5)напряжение течения и мгновенный модуль (при фиксированнойскорости деформирования) понижаются; 6) накопленная пласти-ческая деформация возрастает; 7) рэтчетинг ускоряется.
Анализ показал [1–5], что ОС (1) можно применять для описа-ния комплекса реологических эффектов, типичных для материа-лов с памятью и положительной скоростной чувствительностью,для которых характерны ползучесть с постоянной скоростью, вы-раженная площадка текучести на диаграммах деформирования,неограниченное нарастание пластической деформации при цик-лическом нагружении (рэтчетинг без стабилизации и приспособ-ляемости) и увеличение податливости, скоростной чувствитель-ности, скоростей диссипации, релаксации, ползучести и рэтче-тинга с ростом температуры. Подобное поведение демонстриру-ют многие полимеры, их расплавы и растворы, твёрдые топлива,
201
асфальтобетоны, льды, титановые и алюминиевые сплавы, мате-риалы в режимах сверхпластического деформирования.
Литература
1. Khokhlov А.V. Properties of a Nonlinear ViscoelastoplasticModel of Maxwell Type with Two Material Functions. MoscowUniversity Mechanics Bulletin. 2016. Vol. 71, no. 6. P. 132–136.
2. Хохлов А.В. Кривые длительной прочности нелинейной мо-дели вязкоупругопластичности типа Максвелла и правилосуммирования поврежденности при ступенчатых нагруже-ниях. Вестник Самарского гос. техн. ун-та. Сер. физ.-мат. науки. 2016. 20, 3. С. 524–543.
3. Хохлов А.В. Нелинейная модель вязкоупругопластичноститипа Максвелла: моделирование влияния температуры накривые деформирования, релаксации и ползучести. Вест-ник Самарского гос.техн.ун-та. Сер. физ.-мат. науки. 2017.Т.21. 1.С. 160–179.
4. Хохлов А.В. Нелинейная модель вязкоупругопластичноститипа Максвелла: скорость накопления пластической дефор-мации при циклических нагружениях. Деформация и разру-шение материалов. 2017. 7. С. 7–19.
5. Хохлов А.В. Идентификация нелинейной модели упруговяз-копластичности типа Максвелла по кривым ползучести сначальной стадией нагружения. Часть 2. Методики. Дефор-мация и разрушение материалов. 2017. 10. С. 2–9.
Моделирование крутильных колебанийтрехслойной цилиндрической оболочки
Х. ХудойназаровТашкентский гос.техн.университет, Узбекистан
В цилиндрической системе координат рассматривается трех-слойная круговая цилиндрическая оболочка бесконечной длины
202
из вязкоупругого материала. При этом, в общем случае, матери-алы слоев – разные. Ось Oz направлена по оси симметрии обо-лочки и слои пронумерованы в порядке 1, 0, 2 от центра попе-речного сечения. Пусть r1, r2 – внутренний и внешний радиу-сы оболочки, а r∗1 , r
∗2 – внутренний и внешний радиусы слоя-
заполнителя; µm – упругие постоянные материалов слоев; ρm –плотности слоев. При крутильных колебаниях оболочки отлич-ными от нуля будут только смещения U
(m)θ = U
(m)θ (r, z, t)) и на-
пряжения σ(m)rθ = σ
(m)rθ (r, z, t) , σ
(m)zθ = σ
(m)zθ (r, z, t) которые для
точек каждого слоя должны удовлетворять волновым уравнени-ям относительно потенциальных функций ψm
Mm (∆ψm) = ρm∂2ψm∂r2
, (m = 0, 1, 2) . (1)
При этом зависимости напряжений от деформаций в точкахслоев оболочки описываются линейными операторами в виде ин-тегральных соотношений Больцмана-Волтерра [1].
Предполагается, что при t < 0 оболочка находилась в покое,а в момент t = 0 к ее граничным r = ri, (i = 1, 2) поверхностямприкладываются динамические воздействия
σ(i)rθ (r, z, t)
∣∣∣r=ri
= f(i)rθ (z, t) ; σ
(i)rθ (r, z, t)
∣∣∣r=ri
= f(i)rθ (z, t) , (2)
а на поверхностях r = r•i , (i = 1, 2) между слоями должны вы-полнятся условия жесткого контакта
U(0)θ
∣∣∣r=r•i
= U(i)θ
∣∣∣r=r•i
; σ(0)rθ
∣∣∣r=r•i
= σ(i)rθ
∣∣∣r=r•i
. (3)
Начальные условия задачи считаются нулевыми.Для решения задачи функции внешних воздействий представ-
лены в виде
f(i)rθ (z, t) =
∫ ∞
0
sin kz− cos kz
dk
∫(l)
f(i0)rθ (k, p) eptdp, (i = 1, 2) (4)
где f (i0)rθ (k, p), (i = 1, 2) регулярные и аналитические функции внекоторой области, определенной [2].
Представив потенциальные функции ψm также как (4) и под-ставив их в уравнения (1) для преобразованных ψ
(0)m получены
203
обыкновенные дифференциальные уравнения Бесселя, через об-щие решения которых выражены преобразованные по (4) смеще-ния слоев.
За искомые величины приняты смещения и напряжения в точ-ках промежуточной поверхности срединного слоя оболочки [3].
Представив выражения для преобразованного смещения сре-динного слоя в виде степенных рядов по степеням радиальнойкоординаты r, ограничиваясь нулевым приближением в разло-жениях введены две новые функции, через которые, используяконтактные условия, выражены все постоянные интегрирования.Подстановка полученных выражений постоянных интегрирова-ния в граничные условия (2) приводит к двум общим уравнени-ям колебания гиперболического типа, относительно двух искомыхфункций, которые являются главными частями смещений точекпромежуточной поверхности срединного слоя.
Считая выполненными условия [1], при которых можно огра-ничиться конечным числом слагаемых бесконечных рядов в полу-ченных общих уравнениях колебания, выписаны интегро-диффе-ренциальные уравнения в нулевом приближении.
Полученные уравнения учитывают внешние усилия, прило-женные к поверхностям оболочки r = ri, (i = 1, 2), а так-же комбинации вязкоупругих операторов Mm (m = 0, 1, 2) . ПриMm = µm из них следуют уравнения для упругой оболочки. Приr1 = 0 из них следует уравнение крутильных колебаний трехслой-ного вязкоупругого круглого стержня.
Наряду с уравнениями колебания разработан алгоритм, поз-воляющий по результатам решения разрешаюших уравнений од-нозначно определить напряженно-деформированное состояние то-чек произвольного сечения оболочки для любого момента време-ни. На основе полученных уравнений колебания решена задача освободных колебаниях трехслойной цилиндрической оболочки.
Литература
1. Худойназаров Х.Х. Нестационарное взаимодействие круго-вых цилиндрических упругих и вязкоупругих оболочек истержней с деформируемой средой. – Ташкент: «Изд-во им.Абу Али ибн Сино», 2003. – 325с.
2. Петрашень Г.И., Хинен Э.В. Об инженерных уравнениях ко-лебаний неидеально-упругих пластин // Труды МИАН. Т.95. – Л.: Наука, 1968. – С. 151 – 183.
204
3. Филиппов И. Г., Худойназаров Х. Уточнение уравненийпродольно-радиальных колебаний круговой цилиндрическойвязкоупругой оболочки // Прикл. механика. – 1990. – 26,2. С. 63 –71.
Неустойчивость легкой жидкости над тяжелойв пористой среде
Г. Г. ЦыпкинИнститут проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН
Движение воды и пара в почвах и грунтах имеют определя-ющее значение для многих природных процессов и жизнедея-тельности. В последние годы растущий интерес к таким задачамфильтрации обусловлен ухудшением экологической обстановкиво многих регионах Земли. Изменение климата меняет также ре-жим испарения грунтовых вод, перенос и выпадение в осадок рас-творенной примеси, динамику уровня грунтовых вод и т.д., чтоможет приводить к экологическим катастрофам. Такие явления,зачастую, связаны с неустойчивостью процессов переноса, проте-кающих в грунтах.
В настоящей работе методом нормальных мод исследуетсяустойчивость поверхностей испарения и конденсации грунтовыхвод, когда легкая жидкость (влажный воздух) находится надтяжелой (вода). Представлено базовое стационарное решение споверхностью фазового перехода, соответствующее испарениюили конденсации. Показано, что в режиме испарения существу-ет только одно стационарное решение, а в режиме конденсации –два решения для положения поверхности фазового перехода.
Найдено, что поверхность испарения может быть неустойчи-вой только при существовании градиента капиллярного давле-ния. В этом случае реализуется единственный тип перехода кнеустойчивости, когда дестабилизация происходит одновременнопри всех волновых числах. Результаты расчетов показывают, чтонезначительные градиенты и абсолютные величины капиллярно-го давления вызывают неустойчивость конфигурации, когда лег-кая жидкость находится над тяжелой.
205
В режиме конденсации одно решение, соответствующее мень-шей глубине, всегда неустойчиво. Другое решение может бытькак устойчивым, так и неустойчивым. Найдены два сценарияразвития неустойчивости поверхности раздела. Первый сценарийхарактеризуется переходом к неустойчивости при всех волновыхчислах и качественно аналогичен переходу при испарении. Приреализации второго сценария происходит сближение и слияниедвух решений и в сверхкритической области решение стационар-ной задачи перестает существовать. В этом случае при слияниирешений потеря устойчивости происходит при нулевом волновомчисле. Последний сценарий реализуется также в нейтральной сре-де с нулевым капиллярным давлением.
Работа выполнена при поддержке гранта Российского научно-го фонда 16-11-10195.
Медленные, быстрые и сверхбыстрыекомпоненты процессов формирования и
эволюции пространственно упорядоченныхструктур течений жидкостей
Ю. Д. ЧашечкинИПМех РАН
Пространственно-упорядоченные структуры в картинах рас-пределения вещества и других физических свойств сплошныхсред, включающих жидкости, газы и плазму, наблюдаются вовсем доступном для регистрации диапазоне масштабов – от мик-роскопических до галактических. Структуры непрерывно эволю-ционируют, меняются их геометрические характеристики, в нихпоявляются новые компоненты и исчезает часть старых. Одначасть структурных элементов (волны) существует продолжитель-ное время, позволяющая провести классификацию форм, другаябыстро развивается и исчезает. Типичные примеры структуриро-ванных сред – стратифицированные атмосфера и со струйнымитечениями, вихрями (облаками), волнами различной природы игидросфера Земли.
206
Развиваемый универсальный подход к описанию неравновес-ных систем проводится в модели «сплошной среды», которая ха-рактеризуется неоднородным и непрерывным распределениямивсех физических величин: термодинамических (потенциалов иих производных – плотности, давления, энтропии, температуры,концентрации), кинетических (коэффициентов переноса), дина-мических (плотности – здесь мера инерции и гравитационногопритяжения, импульса, полной и внутренней энергии). Атомно-молекулярное строение вещества в модели учитывается при пара-метризации процессов на макро- и микромасштабах. На большихмасштабах характерные времена изменчивости процессов опреде-ляются механическими и диффузионными параметрами теченийВ структурных элементах малых масштабов (порядка размероватомно-молекулярных кластеров см или атомных слоев толщи-ной см ) темп обменов определяется атомно-молекулярными вза-имодействиями, которые обеспечивают сверхбыстрое преобразо-вание доступной потенциальной энергии (в слоях с градиентамиконцентрации – доступной химической энергии, на контактныхграницах – поверхностной потенциальной энергии) в тепловую имеханическую энергию движения.
Основу теоретического анализа и принципов построения ме-тодик опытов составляют уравнения состояния (выражения длятермодинамических потенциалов, эмпирические формулы свя-зи между плотностью, давлением, температурой, концентрациейсоставляющих веществ, характеризующие изучаемые среды), атакже дифференциальные уравнения переноса вещества (нераз-рывности), импульса (Навье – Стокса, энергии или температуры(Фурье), концентрации (Фика), которые описывают динамику иструктуру течений в выбранном диапазоне параметров. Уравне-ния дополняются физически обоснованными начальными и гра-ничными условиями на контактных поверхностях. Анализ прово-дится с учетом условия совместности, определяющего ранг нели-нейной системы уравнений, порядок ее линеаризованной формы,степень характеристического (дисперсионного) уравнения. Систе-ма уравнений с начальными и граничными условиями характе-ризуется набором собственных временных и пространственныхмасштабов, отношения которых образуют безразмерные комби-нации, включающие как традиционные (числа Рейнольдса. Фру-да, Пекле в задачах обтекания препятствий или Рэлея, Прандт-ля, Нуссельта в задачах конвекции), так и новые, не вошедшие
207
в традиционные описания. Медленные процессы в слабодиссипа-тивных средах, к которым относятся многие жидкости и газы,анализируются методами теории сингулярных возмущений, поз-воляющими одновременно изучать и крупные, слабо затухающиекомпоненты, размеры которых задаются геометрией и динамикойзадачи, и тонкие компоненты, характеризующие границы струк-турных элементов. Малые масштабы определяются значениямикинетических коэффициентов и характерной частотой или ско-ростью процесса. Поскольку характерные скорости или частотымогут достигать больших значений, тонкие масштабы могут бытьвесьма малыми и приближаться к кластерным (атомарным) раз-мерам. Влияние таких локализованных интенсивных возмущений(к которым, в частности, принадлежат, линейные предшественни-ки ударных или детонационных волн) на перенос энергии и ве-щества нуждается в тщательном изучении с учетом и макро-, имикрокомпонент течений.
В рамках единого подхода теоретически (аналитически и чис-ленно) и экспериментально изучены процессы установления иэволюции таких течений, как "индуцированные диффузией натопографии"– возникающих на покоящихся препятствиях раз-личной формы, погруженных в неподвижную стратифицирован-ную жидкость; генерации, распространения, отражения и нели-нейного взаимодействия пучков внутренних волн; обтекания пре-пятствий в диапазоне переходных и нестационарных режимов;свободной многокомпонентной конвекции над источниками теп-ла различной размерности (точка, линия, плоскость). Впервыеэкспериментально изучен процесс формирования структур в пер-воначально однородной суспензии при развитии собственных ко-лебаний (мод) в прямоугольном сосуде с гладкими и деформи-рованными стенками, в составном вихре, а также при падениикапель в принимающую жидкость. В течениях во всех случаяхпроисходит филаментизация (расщепление на волокна) компакт-ных объемов растворимых примесей. Аналитические, численныеи экспериментальные результаты независимо выполненных работсогласуются количественно и качественно.
Обсуждается возможности стандартизации описания теченийжидкостей, экстраполяции полученных данных на условия ат-мосферы, гидросферы и некоторые объекты техносферы, вклю-чая аэродинамические трубы и экспериментальные установки дляизучения управляемых термоядерных реакций.
208
Литература
1. Chashechkin Yu. D. Differential fluid mechanics – harmonizationof analytical, numerical and laboratory models of flows. //Mathematical Modeling and Optimization of Complex Struc-tures. Springer Series “Computational Methods in Applied Sci-ences” V. 40. 2016. P. 61-91. DOI: 10.1007/978-3-319-23564-6-5.
2. Димитриева Н.Ф., Чашечкин Ю.Д. Структура индуциро-ванных диффузией течений на клине с искривленными гра-нями // Морской гидрофизический журнал. 2016. 3. С.77-86. DOI: 10.22449/0233-7584-2016-3-77-86.
3. Кистович А.В. и Чашечкин Ю.Д. Тонкая структура кони-ческого пучка периодических внутренних волн в стратифи-цированном океане и атмосфере // Известия РАН. Физи-ка атмосферы и океана. 2014. Т. 50. . 1. С. 117-125. DOI:10.1134/S1028335814010017.
4. Ильиных А.Ю., Чашечкин Ю.Д. Гидродинамика погружа-ющейся капли: линейчатые структуры на поверхности венца// Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2017. 2. С.152–165. DOI: 10.1134/S0015462817020144.
5. Чашечкин Ю.Д., Прохоров В.Е. Акустика и гидродинамикаудара капли о водную поверхность // Акустический жур-нал. 2017. Т. 63. No. 1. С. 38–49. DOI: 10.1134/S1063771016060038.
6. Чашечкин Ю.Д., Прохоров В.Е. Структура первичного зву-кового сигнала при столкновении свободно падающей каплис поверхностью воды // ЖЭТФ. 2016. Т. 149. 4. С. 864-875. DOI: 10.1134/S1063776116020175.
7. Загуменный Я.В., Чашечкин Ю.Д. Нестационарная вихре-вая картина обтекания пластины с нулевым углом атаки(двумерная задача) // Известия РАН. Механика жидкостии газа. 2016. 3. С. 48–65. DOI: 10.7868/S056852811603018X.
209
Осесимметричное растекание пленки вязкойжидкости вдоль супергидрофобной поверхности
И.С. ЧичеринМосковский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Исследуется нестационарное растекание тонкого слоя тяже-лой вязкой несжимаемой жидкости вдоль горизонтальной супер-гидрофобной поверхности с учетом поверхностного натяжения.На твердой поверхности используется условие Навье [1]. Рассмат-ривается растекание жидкости из точечного источника с задан-ным массоподводом. Исследуется осесимметричное течение вдольглавного направления тензора скольжения супергидрофобной по-верхности, когда соответствующая компонента является степен-ной функцией пространственной координаты. Получено уравне-ние толщины пленки с учетом поверхностного натяжения, зави-сящего от пространственной координаты. Решена задача группо-вой классификации. Для специального вида коэффициента по-верхностного натяжения построены автомодельное и инвариант-ное решения для соответственно степенного и экспоненциальногопо времени законов массоподвода. Проведено сравнение получен-ных решений с решениями для случая отсутствия поверхностногонатяжения [2]. Показано, что поверхностное натяжение оказыва-ет существенное влияние на характер растекания.
Литература
1. Bazant M.Z., Vinogradova O.I. Tensorial hydrodynamic slip //J. Fluid Mech. 2008. V. 613. P. 125–134.
2. Агеев И.А., Осипцов А.Н. Автомодельные режимы расте-кания тонкого слоя жидкости вдоль супергидрофобной по-верхности // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2014. 3. С. 516–520.
210
Автомодельное решение задачи о теченииненьютоновской жидкости вдоль наклонной
плоскости
А.Д. ЧичеринаМосковский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Задача о движении тонкого слоя тяжелой вязкой жидкости понаклонной плоскости решена в [1]. Однако в различных приложе-ниях возникает необходимость рассматривать движения ненью-тоновских жидкостей. Такие жидкости часто встречаются в при-роде и используются в химической промышленности. Примерамианомально вязких жидкостей могут быть сели, вулканическая ла-ва, нефть, краски и лаки, растворы и расплавы полимеров. Рео-логически сложные жидкости характеризуются тем, что скоростьсдвига в каждой точке жидкости является нелинейной функциейнапряжения сдвига в той же точке. Одно из первых описаний ос-новных положений ламинарного движения неньютоновских среддано в [2]. Обзор реологических уравнений для различных мате-риалов представлен в [3].
В настоящей работе, следуя [1], рассматривается медленное те-чение движущейся по наклонной плоскости пленки несжимаемойненьютоновской жидкости под действием силы тяжести при за-данном локализованном массоподводе. Поверхностное натяжениене учитывается. В качестве реологического уравнения состояниявыбран степенной закон для трехмерных течений, сформулиро-ванный в инвариантной форме [3]. Получено эволюционное урав-нение толщины слоя жидкости. Найдено автомодельное решениезадачи.
Литература
1. P.C. Smith. A similarity solution for slow viscous flow down aninclined plane // J. Fluid Mech. 1973. V. 58. P. 257–288.
2. Шульман З.П., Байков В.И. Реодинамика и тепломассооб-мен в пленочных течениях. Минск: Наука и техника. 1979.
3. Малкин А.Я., Исаев А.И. Реология: концепции, методы,приложения. Пер. с англ. Спб: Профессия. 2007.
211
Особый вихрь в релятивистской газовойдинамике
1А.П. Чупахин, 2А.А. ЯнченкоИнститут гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН
Новосибирский государственный университет[email protected]@protonmail.com
Уравнения релятивистской газовой динамики имеют вид [1]
(Γρ)t + · (Γρu) = 0,
(Γ2ρwu)t + · (Γ2ρwu× u) + p = 0,
(Γ2ρw − p)t + · (Γ2ρwu) = 0.
(1)
В (1) u — скорость газа в лабораторной системе отсчета, p, ρ— давление и плотность, w = 1 + γ
γ−1 (p/ρ) — энтальпия, Γ =
(1− |u|2)−1/2 — фактор Лоренца являются функциями времени tи пространственных координат x = (x1, x2, x3). Единицы измере-ния выбраны так, что скорость света c = 1,|u| = (
∑3i=1 u
i2)1/2 < 1.В работе получено точное решение уравнений (1), являюще-
еся частично инвариантным [2] относительно группы вращенийSO(3) в пространстве R3(x) × R3(u), допускаемой системой (1).Это решение обобщает для релятивистской газовой динамики со-ответствующее решение типа «особый вихрь» (вихрь Овсяннико-ва), открытое в [2] и исследованное в [3,4].
В работе получено представление решения «релятивистскийособый вихрь» (РОВ), приведена в инволюцию переопределеннаясистема, показано, что система для не инвариантной функции ин-тегрируется в конечном виде. Доказано существование обобщен-ного потенциала решения, такого что имеет место представлениевсех инвариантных функций (радиальной компоненты скоростии модуля касательной, фактора Лоренца и термодинамическихфункций).
Обобщенный потенциал h в случае стационарного РОВ явля-ется решением неявного дифференциального уравнения
F (R, h, p;m0, s0) ≡ q3/2 −R2p(3m0 + s0
p2
1 + h2
)q+
3m20R
4p2q1/2 −m30R
6p3 = 0,
(2)
212
где R = R0|x| > 1, s0 > 0, 0 < m0 < 1 — нормализован-ное расстояние, постоянные характеризующие физику задачи;q(R, h, p) = R2(R2 − 1)p2 − (1 + h2)2, p = dh/dR. Теория неявныхуравнений изложена в [5,6]. Аналитическое исследование уравне-ния (2) представляет значительные трудности. Для его анализаиспользуются программы символьных и численных вычислений.
Исследована геометрия поверхности уравнения (2) F = 0, за-дающая многообразие, на котором расположены интегральныекривые уравнения. Найдено многообразие ветвления решенийуравнения (2), называемое криминантой. Оно определяется кри-вой F = Fp = 0 в R3(R, h, p). Доказано, что на криминанте всегданаходится так называемая сложенная особая точка уравнения (2)типа фокус. Исследовано поведение интегральных кривых урав-нения (2), дается физическая интерпретация решения.
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РНФ 17-11-01156.
Литература
1. Landau L D, Lifshitz E M 1959 Fluid Mechanics, Course intheoretical physics Vol. 6 (Pergamon press)
2. Ovsyannikov L V 1982 Group analysis of Differential Equations(New York: Academic Press)
3. Ovsyannikov L V 1995 J. Appl. Mech. Tech. Phys. 36 3 45-524. Cherevko A A, Chupakhin A P 2005 Lavrentyev Institute of
Hydrodynamics SB RAS Preprint N 15. Arnold V I 2006 Ordinary differential equations (Universitext,
Springer-Verlag Berlin Heidelberg)6. Remizov A O 2006 Contemp. Math. Fundam. Direct. 19 131-
170
Негладкие первые интегралы в динамикетвердого тела, взаимодействующего с
сопротивляющейся средой
М.В. ШамолинМосковский государственный университет имени М.В. Ломоносова
213
Настоящая работа посвящена развитию качественных мето-дов в теории неконсервативных систем, возникающих, например,в таких областях науки, как динамика твердого тела, взаимодей-ствующего с сопротивляющейся средой, теория колебаний и др. Впринципе, данный материал может быть интересен как специали-стам по качественной теории обыкновенных дифференциальныхуравнений, динамики твердого тела, так и механики жидкости игаза, поскольку в работе используются свойства движения твер-дого тела в среде в условиях струйного обтекания.
Получен ряд случаев полной интегрируемости неконсерватив-ных динамических систем, описывающих динамику твердого телав сопротивляющейся среде. При этом во многих случаях каждыйиз первых интегралов выражается через конечную комбинациюэлементарных функций, являясь одновременно трансцендентнойфункцией своих переменных. Трансцендентность в данном слу-чае понимается в смысле комплексного анализа, когда после про-должения данных функций в комплексную область у них имеют-ся существенно особые точки. Последний факт обуславливаетсяналичием в системе притягивающих и отталкивающих предель-ных множеств (как, например, притягивающих и отталкивающихфокусов).
Получены новые семейства фазовых портретов систем с пере-менной диссипацией на маломерных и многомерных многообра-зиях. Обсуждаются вопросы их абсолютной или относительнойгрубости. Обнаружены новые интегрируемые случаи движениятвердого тела, в том числе в классической задаче о движениисферического маятника, помещенного в поток набегающей сре-ды.
Понятие интегрируемости, вообще говоря, достаточно рас-плывчатое. При его построении необходимо учитывать в какомсмысле оно понимается, в классе каких функций ищутся первыеинтегралы и т.д. В данной работе принимается такой подход, ко-торый учитывает в качестве класса функций как первых инте-гралов трансцендентные функции, причем элементарные. Здесьтрансцендентность понимается не в смысле теории элементарныхфункций (например тригонометрических), а в смысле наличияу них существенно особых точек (в силу классификации, приня-той в теории функций комплексного переменного, когда функцияимеет существенно особые точки) [1].
В [1,2] уже была показана полная интегрируемость уравнений
214
пространственного движения тела в сопротивляющейся среде, ко-гда у системы динамических уравнений существует полный набортрансцендентных первых интегралов. Здесь предполагалось, чтовсе взаимодействие среды с телом сосредоточено на той частиповерхности тела, которая имеет форму плоского диска.
В данной работе сначала рассматривается геодезический по-ток на касательном расслоении гладкого двумерного многообра-зия (система в отсутствии внешнего поля сил). Строится переходк удобным координатам касательного пространства. В дальней-шем сначала вводятся внешние силовые поля, которые являютсяпотенциальными, и рассматриваемые системы четвертого поряд-ка обладают полным набором (тремя) гладких первых интегра-лов. А затем в таких системах вводятся дополнительные члены,в результате чего системы перестают быть консервативными, аточнее, становятся системами со знакопеременной диссипацией[1,2,3]. При этом при некоторых условиях они обладают полнымнабором (негладких) трансцендентных первых интегралов, в рядеслучаев выражающихся через конечную комбинацию элементар-ных функций.
К примеру, наличие диссипации (вообще говоря, знакопере-менной) характеризует коэффициент bg(α), b > 0, в первом урав-нении системы (1) (при b = 0 рассматриваемая система являет-ся консервативной и обладает полным набором (тремя) гладкихнезависмых первых интегралов). Рассматриваемая система на ка-сательном расслоении T∗M2z2, z1;α, β примет вид
α = −z2 + bg(α), z2 = F (α) + Γαββ(α, β)f2(α)z21 ,
z1 =[2Γβαβ(α, β) +
d ln |f(α)|dα
]z1z2, β = z1f(α).
(1)
При некоторых естественных условиях система (1) обладаетполным набором (тремя) независимых трансцендентных первыхинтегралов.
Работа поддержана Российским фондом фундаментальныхисследований, проект 15–01–00848.
Литература
1. Шамолин М.В. Динамические системы с переменной дисси-пацией: подходы, методы, приложения // Фундам. и прикл.матем. — 2008. — Т. 14. — Вып. 3. — С. 3–237.
215
2. Шамолин М.В. Многообразие случаев интегрируемости вдинамике маломерного и многомерного твердого тела в некон-сервативном поле сил // Итоги науки и техники. Сер. «Со-временная математика и ее приложения. Тематические об-зоры». — Т. 125. — М.: ВИНИТИ, 2013. С. 5–254.
3. Шамолин М.В. Интегрируемые системы с переменной дис-сипацией на касательном расслоении к многомерной сфереи приложения // Фундам. и прикл. матем. — 2015. — Т. 20.— Вып. 4. — С. 3–231.
Моделирование откликаупруго-вязко-пластического несжимаемого
цилиндрического слоя на существеннонестационарные граничные воздействия
В.И. ШтукаИнститут автоматики и процессов управления
С целью адекватного описания поведения несжимаемого упру-го-вязко-пластического материала при существенных граничныхвоздействиях была избрана модель больших необратимых дефор-маций [1], которая позволила определить напряжённо-деформи-рованное состояния цилиндрического слоя за движущимися по-верхностями разрывов деформаций (ударными волнами) с помо-щью модифицированного метода лучевых рядов и специальнойрасчётной схемы. Условие пластичности (расширенный критерийГубера-Мизеса) выполняется непосредственно с началом нагру-жения, чему способствует предварительное состояние слоя. Вви-ду означенных факторов рассматривать ударные волны необхо-димо только в зоне вязко-пластического ядра, граница которойсовпадает с положением волны нагрузки.
Условия совместности, выполняющиеся на поверхностях раз-рывов, различий с упругой задачей [2] не проявляют за счётнепрерывности необратимых деформаций, поэтому волновая кар-тина выглядит следующим образом: впереди движется волна на-грузки, обуславливая появление необратимых деформаций (за
216
Рис. 1: Результаты численного моделирования дляупруго-вязко-пластического цилиндрического слоя спредварительными скручивающими деформациями
счёт возникновения разрыва скоростей необратимых деформа-ций), следом – волна круговой поляризации. Вязкость существен-ным образом влияет на качественные характеристики такого ди-намического процесса, снижая уровень интенсивностей волн.
На рис. 1 представлены эпюры (всего 10 штук, с указаниеммоментов времени, для которых они показаны) осевого смещенияu, компоненты тензора необратимых деформаций prz, получен-ные по результатам численного моделирования отклика слоя спредварительными скручивающими деформациями на интенсив-ное антиплоское воздействие [3]. Геометрия слоя, краевые условияи упругие характеристики материала избраны аналогичными [4],вязкие – K = 1.01µ, η = 2, 6 · 106 Па/с.
Литература
1. Буренин А. А., Ковтанюк Л. В. Большие необратимые де-
217
формации и упругое последействие. Владивосток : Дальна-ука, 2013. – 312 с. ISBN 978-5-8044-1423-9.
2. Буренин А. А., Севастьянов Г. М., Штука В. И. О выделенииразрывов в расчётах динамики несжимаемой упругой среды// Вычислительная механика сплошных сред, 2016. – Т 9, 4. С. 400–411. DOI: 10.7242/1999-6691/2016.9.4.33.
3. Лурье А. И. Нелинейная теория упругости. М. : Наука, 1980.– 512 с.
4. Штука. В. И. Применение лучевого метода в задаче опре-деления напряжённо-деформированного состояния предва-риетльно продеформированного упругого слоя // Учёныезаписки КнАГТУ, 2017. – II – 1 (30). С. 40–44.
218