ÖNERMELER MANTIĞI

Yılmaz KILIÇASLAN

Önermeler Mantığı - Bağlaçlar Yalnızca doğruluk değerleri üzerinden fonksiyonel

olarak tanımlanabilen bağlaçlar ve olumsuzluk operatörü, Önermeler Mantığı için Mantık Sabiti olabilirler. Örnekler:

(1) Ali kafasını duvara çarptı ve ağlıyor.

(2) Ali ağlıyor çünkü kafasını duvara çarptı.

(3) Ali ağlıyor.

(4) Ali kafasını duvara çarptı.

(5) Ali ağlıyor çünkü yağmur yağıyor.

(6) Yağmur yağıyor.

Önermeler Mantığı – Doğruluk Tabloları (1) OLUMSUZLUK:

φ ¬φ ----------------- 0 1

1 0

VE:

φ ψ (φ ψ) ----------------------- 0 0 0

0 1 0

1 0 0 1 1 1

Önermeler Mantığı – Doğruluk Tabloları (2) VEYA:

φ ψ (φ ψ) --------------------------- 0 0 0

0 1 1

1 0 1 1 1 1

İSE

φ ψ (φ ψ) ----------------------- 0 0 1

0 1 1

1 0 0 1 1 1

Önermeler Mantığı – Doğruluk Tabloları (3) ANCAK VE ANCAK:

φ ψ (φ ψ) --------------------------- 0 0 1

0 1 0

1 0 0 1 1 1

Önermeler Mantığı ve Küme Kuramı

Önermeler Mantığı – Bir Formel Dil-L0 (1) SÖZDİZİM:

A. Temel İfadeler

1. Mantık Sabitleri: ¬, , , , 2. Önerme Değişkenleri: p, q, r, p1, q1, r1, …

B. Oluşum Kuralları

1. Her önerme değişkeni L0’a ait bir formüldür.2. Eğer φ L0’a ait bir formül ise ¬φ da öyledir.3. Eğer φ ve ψ L0’a ait formül iseler

(φ ψ), (φ ψ), (φ ψ), (φ ψ) de öyledir.

4. Başka bir şey formül olamaz.

Önermeler Mantığı – Bir Formel Dil-L0 (2) L0 için bir BNF (Backus-Naur Form) Gramer:

Formül p | q | r

| p1

| q1

| r1 | …

Formül ¬ Formül | ( Formül Formül )

| ( Formül Formül ) | ( Formül Formül )

| ( Formül Formül )

Önermeler Mantığı – Bir Formel Dil-L0 (2) SEMANTİK:

L0 için modelimiz bütün önerme değişkenlerine 1 yada 0 değerini atayan bir F fonksiyonudur.

1. []F = F(), bütün önerme sabitleri için.

2. Eğer [φ]F = 0 ise [¬φ]F = 1’dir (ve diğer durumlarda [¬φ]F = 0’dır).

3. Eğer [φ]F = 1 veya [ψ]F = 1 ise [φ ψ]F = 1’dir.

4. Eğer [φ]F = 1 ve [ψ]F = 1 ise [φ ψ]F = 1’dir.

5. Eğer [φ]F = 0 veya [ψ]F = 1 ise [φ ψ]F = 1’dir.

6. Eğer [φ]F = 1 ve [ψ]F = 1 veya

[φ]F = 0 ve [ψ]F = 0 ise [φ ψ]F = 1’dir.

Semantik Geçerlilik Eğer φ1 … φn önermelerinin her birinin doğru olduğu

bütün modellerde ψ önermesi de doğruysa,

φ1 … φn / ψ

argümanına (semantik olarak) geçerli bir argümandenir.

Bu durumda ψ, φ1 … φn önermelerinin semantiksonucudur deriz:

φ1 … φn ╞ ψ

Alıştırma - 1

Aşağıdaki argümanının geçerliliğini semantik olarak gösteriniz.

p (q r), q ¬r / ¬p

Hep-Doğrular ve Hep-Yanlışlar

Dizimsel Çıkarım Kuralları - 1 Bağlacı İçin Ekleme Kuralı:

1. .

.

.

m1. φ

.

.

.

m2. ψ.

.

.

n. φ ψ E , m1, m2

Dizimsel Çıkarım Kuralları - 2 Bağlacı İçin Çıkarma Kuralı (i):

1. .

.

.

m. φ ψ .

.

.

n. φ Ç , m

Dizimsel Çıkarım Kuralları - 3 Bağlacı İçin Çıkarma Kuralı (ii):

1. .

.

.

m. φ ψ .

.

.

n. ψ Ç , m

Dizimsel Çıkarım Kuralları - 4

Bağlacı İçin Çıkarma Kuralı:1. .

.

.

m1. φ ψ

.

.

.

m2. φ.

.

.

n. ψ Ç , m1, m2

Dizimsel Çıkarım Kuralları - 5

Bağlacı İçin Ekleme Kuralı:1. .

.

.

m. φ Varsayım.

.

.

n-1. ψ

n. φ ψ E

Dizimsel Çıkarım Kuralları - 6

Bağlacı İçin Ekleme Kuralı (i):1. .

.

.

m. φ.

.

.

n. φ ψ E , m

Dizimsel Çıkarım Kuralları - 7

Bağlacı İçin Ekleme Kuralı (ii):1. .

.

.

m. ψ.

.

.

n. φ ψ E , m

Dizimsel Çıkarım Kuralları - 8 Bağlacı İçin Çıkarma Kuralı:

1. .

.

.

m1. φ ψ

.

.

.

m2. φ X

.

.

.

m3. ψ X .

.

.

n. X Ç , m1, m2 , m3

Dizimsel Çıkarım Kuralları - 9 Bağlacı İçin Çıkarma Kuralı:

1. .

.

.

m. φ ψ

.

.

.

n. (Φ ψ) (Φ ψ) Ç , m

Dizimsel Çıkarım Kuralları - 10 Bağlacı İçin Ekleme Kuralı (i):

1. ...

m1. φ ψ ...

m2. ψ φ...

n. (Φ ψ) E , m1, m2

Dizimsel Çıkarım Kuralları - 11 Bağlacı İçin Ekleme Kuralı (ii):

1. ...

m1. φ ψ ...

m2. ψ φ...

n. (ψ φ) E , m1, m2

Dizimsel Çıkarım Kuralları - 12 ¬ Operatörü İçin Çıkarma Kuralı:

1. .

.

.

m1. ¬φ

.

.

.

m2. φ

.

.

.

n. ┴ Ç ¬, m1, m2

Dizimsel Çıkarım Kuralları - 13 ¬ Operatörü İçin Ekleme Kuralı:

1. .

.

.

m1. φ Varsayım.

.

.

n-1. ┴

n. ¬φ E ¬

ÖrnekHizmetçi kız tarafından işlendiyse, ancak salonda olması halinde cinayet, tabancayla gerçekleştirilmiştir. Fakat, salonda gerçekleşmemiş olması halinde, baş uşak suçsuz ise, cinayet hizmetçi kız tarafından işlenmiştir. Ancak tabancayla işlenmiş olması halinde cinayeti hizmetçi kız işlemiş iken, salonda gerçekleşmiş olması halinde baş uşak suçludur. Öyleyse, baş uşak suçludur.

1. p (q r) öncül

2. (¬p1 ¬r) p öncül

3. (p q) (r p1) öncül

4. ¬p1 varsayım

5. ¬r varsayım

6. ¬p1 ¬r E, 4, 5

7. p Ç, 2, 6

8. q r Ç, 1, 7

9. p q Ç, 3

10. q Ç, 7, 9

11. r Ç, 8, 10

12. ┴ Ǭ, 5, 11

13. r E¬

14. r p1 Ç, 3

15. p1 Ç, 3, 14

16. ┴ Ǭ, 4, 15

17. P1 E¬

Anahtar:

p: Cinayeti hizmetçi kız işledi.

q: Cinayet tabancayla işlendi.

r: Cinayet salonda işlendi.

p1: Cinayeti baş uşak işledi.

Alıştırmalar - 2

Aşağıdaki ifadelerin L0’a ait birer formül olup olmadığını gösteriniz.

1. ¬(¬p q)

2. (p ((p q)))

3. (p (q r))4. (¬p ¬¬p)

5. (p (p q) q)

Alıştırmalar - 3

Aşağıdaki cümleleri L0’ın ifadeleri olarak formüle ediniz.

1. Kimse gülmedi veya alkışlamadı.

2. Güneş parlarken yağmur yağarsa, gökkuşağı görünür.

3. Ahmet işe arabayla veya bisiklet ve trenle gider.

4. Annem ve babam birlikte giderlerse ben gitmeyeceğim, ama sadece babam giderse ben de gideceğim.

5. Yardımına ihtiyacım olduğunda bana yardım etmezsen, bana ihtiyacın olduğunda da ben sana yardım etmem.

Alıştırmalar - 3

Aşağıdaki teoremleri dizimsel çıkarım ile ispatlayınız:1. (p q) |-- (q p)2. (p q) r |-- (q p) r3. |-- ((p q) r) (p (q r))