GEOMETRİ

ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK12. SINIF OKULA YARDIMCI

KONU ANLATIMLISORU BANKASI

ÇEMBERİN ANALİTİK İNCELENMESİDÖNÜŞÜMLERLE GEOMETRİ

› ÇEMBERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

Çemberin Standart Denklemi

Çemberin Genel Denklemi

Nokta ile Çember

Doğru ile Çember

› DÖNÜŞÜMLERLE GEOMETRİ

Öteleme Dönüşümü

Dönme Dönüşümü

Yansıma Dönüşümü

ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK12. SINIF OKULA YARDIMCI

KONU ANLATIMLI SORU BANKASI

ISBN978 – 605 – 2273 - 59 - 3

DizgiÇAP Dizgi Birimi

Kapak TasarımÖzgür OFLAZ

2. BaskıAğustos 2018

İLETİŞİMÇAP YAYINLARI

Ostim Mah. 1207 Sokak No: 3/C–DOstim / Ankara

Tel: 0312 395 13 36Fax: 0312 394 10 04

www.capyayinlari.com.trbilgi@capyayinlari.com.trtwitter.com/capyayinlari

facebook.com/capyayinlariinstagram.com/capyayinlari

Bu kitabın her hakkı Çap Yayınları’na aittir. 5846 ve 2936 sayılı Fikir ve

Sanat Eserleri Yasası’na göre Çap Yayınları’nın yazılı izni olmaksızın,

kitabın tamamı veya bir kısmı herhangi bir yöntemle basılamaz, yayınlanamaz,

bilgisayarda depolanamaz, çoğaltılamaz ve dağıtım yapılamaz.

SUNU

Sevgili Öğrenciler,

Gelecekteki hayatınızı şekillendirmek, düşlediğiniz bir yaşamı kur-mak için üniversite sınavını başarıyla atlatmanız gerektiğini biliyorsu-nuz. Bu bilinçle yoğun bir ders çalışma sürecinden geçmektesiniz. Böy-lesine önemli bir sınavı başarıyla atlatmanın en temel şartlarından biri sınavın ruhunu anlamak ve bu çizgide hazırlanmış kitaplardan yeterince faydalanmaktır.

Bizlerde gayretlerinize destek olmak, çalışmalarınızı daha verimli hâle getirmek amacıyla sınav ruhuna uygun elinizdeki fasikülleri hazır-ladık.

Kitaplarımız, Talim Terbiye Kurulu’nun en son yayımladığı öğretim programında yer alan kazanımlar dikkate alınarak hazırlanmıştır. Özgün bir yaklaşım ve titiz bir çalışmanın ürünü olan eserlerimizin ana yapısı şu şekildedir:

Kazanımlara ait bilgiler konu sayfasında verilmiştir. Özet konu an-latımından sonra örnek çözümlerine geçilmiş ve bu bölüm standart so-rular ve çözümleri ile ÖSYM tarzı sorular ve çözümleri olmak üzere iki kısımdan oluşturulmuştur. Buradaki amacımız konu ile ilgili soru çeşitle-rine hâkim olduktan sonra ÖSYM'nin son yıllarda sorduğu ve sınavlarda çıkma olasılığı yüksek soru türlerine yer vermektir. Örnek çözümlerin-den sonra da pekiştirme testleri bulunmaktadır. Bölümün tamamı bitti-ğinde ise tüm ünitenin özetini bulabilirsiniz. Konuyu özetledikten sonra Acemi, Amatör, Uzman ve Profesyonel adı altında dört farklı zorluk dü-zeyinde çoktan seçmeli soruların bulunduğu karma testlere yer verilmiş-tir. Arkasından ÖSYM'den Seçmeler adı altında geçmiş yıllarda üniver-site giriş sınavlarında sorulmuş seçme sorular yer almaktadır.

Kitabımızdaki testlerin tamamını VİDEO ÇÖZÜMLÜ hazırladık. Yayınevimize ait olan akıllı telefon uygulamasını (çApp) kullanarakvideo çözümlerine ulaşabilirsiniz.

Kitaplarımızın eğitim öğretim faaliyetlerinizde sizlere faydalı olması ümidiyle, hepinize başarılı, sağlıklı ve mutlu bir gelecek dileriz.

ÇAP YAYINLARI

KİTABIMIZI TANIYALIM

KONU

12

56

7

3

4

KARMA TESTLER

ÖSYMʼden SEÇMELER

STANDART SORULAR VE ÇÖZÜMLERİ

PEKİŞTİRME TESTLERİÜNİTE ÖZETİ

ÖSYM TARZISORULAR VE ÇÖZÜMLERİ

Konuya ilişkin bilgilerin özet halinde verildiği, “Aklında Olsun”,

“Hatırlatma”, “Uyarı” gibi pratik notların da olduğu alan…

İşlenen konuyla ilgili standart soru tiplerinin görülebileceği, çözümlü soruların olduğu alan…

Son yıllarda ÖSYMʼnin

sınavlarında sorduğu soru tarzları; sınavlarda

çıkabilecek seçici ve ayırt edici soruların olduğu alan…

Hem standart hem de ÖSYM tarzı sorulardan oluşan, kendinizi sınamanızı sağlayan, konuyu iyice

kavramanıza yardımcı özgün soruların olduğu alan…

Konunun tamamının özelliklerini, formüllerini

özet halinde bir arada bulabileceğiniz alan…

Dört ayrı zorluk düzeyine göre düzenlenmiş, “Acemi, Amatör,

Uzman ve Profesyonel” seviyelerinde tüm ünite ile ilgili karma, özgün

soruların olduğu alan…

ÖSYM çıkmış sınav sorularından seçilen ve işlenen konularla

paralel, yıl sıralamasına göre oluşturulan alan…

İÇİNDEKİLERBÖLÜM 1: ÇEMBERİN ANALİTİK İNCELENMESİÇemberin Standart Denklemi ............................................................................................................................ 6Standart Sorular ve Çözümleri ............................................................................................................................. 8ÖSYM Tarzı Sorular ve Çözümleri ..................................................................................................................... 12Konu Pekiştirme 1, 2 .......................................................................................................................................... 15Çemberin Genel Denklemi ............................................................................................................................... 19Standart Sorular ve Çözümleri ........................................................................................................................... 20ÖSYM Tarzı Sorular ve Çözümleri ..................................................................................................................... 24Konu Pekiştirme 3, 4 .......................................................................................................................................... 28Bir Nokta ile Bir Çemberin Konumları ........................................................................................................... 32Standart Sorular ve Çözümleri ........................................................................................................................... 33ÖSYM Tarzı Sorular ve Çözümleri ..................................................................................................................... 34Konu Pekiştirme 5 .............................................................................................................................................. 35Bir Doğru ile Bir Çemberin Birbirine Göre Konumları .................................................................................. 37Standart Sorular ve Çözümleri ........................................................................................................................... 38ÖSYM Tarzı Sorular ve Çözümleri ..................................................................................................................... 40Konu Pekiştirme 6 .............................................................................................................................................. 42Ünite Özeti .......................................................................................................................................................... 44Acemi Testleri 1, 2 .............................................................................................................................................. 46Amatör Testleri 1, 2, 3 ........................................................................................................................................ 50Uzman Testleri 1, 2, 3 ........................................................................................................................................ 56Profesyonel Testleri 1 ......................................................................................................................................... 62ÖSYM'den Seçmeler .......................................................................................................................................... 64

BÖLÜM 2: DÖNÜŞÜMLERLE GEOMETRİÖteleme Dönüşümü .......................................................................................................................................... 68Standart Sorular ve Çözümleri ........................................................................................................................... 69ÖSYM Tarzı Sorular ve Çözümleri ..................................................................................................................... 71Konu Pekiştirme 1 .............................................................................................................................................. 72Düzlemde Dönme Dönüşümü .......................................................................................................................... 74Standart Sorular ve Çözümleri ........................................................................................................................... 75ÖSYM Tarzı Sorular ve Çözümleri ..................................................................................................................... 79Konu Pekiştirme 2, 3 .......................................................................................................................................... 83Yansıma (Simetri) Dönüşümü ......................................................................................................................... 87Standart Sorular ve Çözümleri ........................................................................................................................... 90ÖSYM Tarzı Sorular ve Çözümleri ..................................................................................................................... 92Konu Pekiştirme 4 .............................................................................................................................................. 94Ünite Özeti .......................................................................................................................................................... 96Acemi Testi 1 ...................................................................................................................................................... 97Amatör Testleri 1, 2 ............................................................................................................................................ 99Uzman Testleri 1, 2 .......................................................................................................................................... 103Profesyonel Testleri 1 ....................................................................................................................................... 107ÖSYM'den Seçmeler ........................................................................................................................................ 109

2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018

YGS LYS YGS LYS YGS LYS YGS LYS YGS LYS YGS LYS YGS LYS YGS LYS TYT AYT

1 2 1 1 2 1 1 1

ÇEMBER ANALİTİK İNCELENMESİ KONUSUNUNÖSYM SINAVLARINDAKİ SORU DAĞILIMI

Değerli hocalarımız;

Hasibe KILIÇ, Kamil ŞEN, Orhan EKTAŞ veTuran KIRBAŞ'a katkılarından dolayı teşekkür ederiz.

ÇEMBERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

BÖLÜM

1

GEOMETRİ

6

● Düzlemde sabit bir noktadan eşit uzaklıktaki noktaların oluşturduğu kümeye çember denir.

● Sabit noktaya çemberin merkezi ve sabit uzaklığa da çemberin yarıçapı denir.

● Yandaki şekilde; M noktası çemberin merkezi ve|MA| = |MB| = |MC| = r çemberin yarıçapıdır.

● Analitik düzlemde M(a,b) merkezli ve r yarıçaplı çember üzerinde P(x,y) noktası alalım.

● İki nokta arasındaki uzaklık formülün-den,

( ) ( )

( ) ( )

MP x a y b

r x a y b

2 2

2 2 2

= - + -

= - + -

elde edilir.

● (x – a)2 + (y – b)2 = r2 denklemine M(a,b) merkezli, r yarıçaplı çemberin stan-dart denklemi denir.

Örneğin; M(1,2) merkezli, r = 3 birim yarıçaplı çemberin standart denklemi

(x – 1)2 + (y – 2)2 = 9 dur.

Örneğin; (x + 2)2 + (y – 3)2 = 4 denklemi ile verilen çemberin;

merkezi M(–2, 3), yarıçapı r = 2 dir.

Merkezil Çember

● Merkezi başlangıç noktası olan çem-bere merkezil çember denir.

● Merkezil çemberin standart denklemi(x – 0)2 + (y – 0)2 = r2 ise

x y r2 2 2+ = dir.

Örneğin; Merkezi, analitik düzlemin baş-langıç noktasında olan ve r = 4 birim yarıçaplı

çemberin standart denklemi x2 + y2 = 16 dır.

y

x

r

aO

bM(a,b)

P(x,y)

Bir çemberin denklemini ya-zabilmek için,

1) Merkezinin koordinatlarını

2) Yarıçapının uzunluğunu

bilmeliyiz.

AKLINDA OLSUN

1) A(x1, y1) ve B(x2, y2) noktaları arasındaki uzaklık;y

xO

y1

x1 x2

y2 – y1

x2 – x1

y2B

A

( ) ( )AB x x y y2 12

2 12= − + −

şeklinde bulunur.

2) A(x1, y1) B(x2, y2)

C(x, y)

[AB] nin orta noktasının ko-ordinatları,

( , ) , .C x y Cx x y y

dir2 21 2 1 2

=++

c m

HATIRLATMA

Merkezi orjinde olup yarı-çapı 1 birim olan çembere birim çember denir.

UYARI

r

r0(0, 0)x

y

–r

–r

Çemberin Standart DenklemiKONU

CA

B

M

r r

r

Standart Sorular ve Çözümleri

8

GEOMETRİ

10.1

Merkezinin koordinatları M(1, 2) olan ve P(4, 5) noktasından geçen çemberin denklemi aşağıda-kilerden hangisidir?

A) (x – 1)2 + (y – 2)2 = 18

B) (x – 4)2 + (y – 5)2 = 9

C) (x – 1)2 + (y + 2)2 = 18

D) (x – 4)2 + (y – 5)2 = 18

E) (x – 1)2 + (y – 2)2 = 9

P(4, 5)

M(1, 2)

M(1,2) merkezli çember P(4, 5) noktasından geçtiği-ne göre, çemberin yarıçapı |MP| dir.

İki nokta arasındaki uzaklık formülünden;

( ) ( )MP r br4 1 5 2 9 9 3 22 2= = - + - = + =

O hâlde çemberin denklemi,

(x – 1)2 + (y – 2)2 = 18 dir.Yanıt A

10.2

A(2, m – 1) noktası (x – 1)2 + (y – 3)2 = 37 çembe-rinin üzerinde olduğuna göre, m'nin alabileceği değerler çarpımı kaçtır?

A) –36 B) –30 C) –20 D) –24 E) –18

A noktası çemberin üzerinde ise bu noktanın koordi-natları çember denklemini sağlar.

(2 – 1)2 + (m – 1 – 3)2 = 37

1 + (m – 4)2 = 37 ⇒ (m – 4)2 = 36

m – 4 = 6 veya m – 4 = –6

m = 10 m = –2

Değerler çarpımı 10.(–2) = –20 olur.Yanıt C

10.3

A(2, –3) ve B(–4, 1) olmak üzere, [AB] çaplı çem-berin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?A) (x + 2)2 + (y + 2)2 = 13B) (x + 1)2 + (y + 1)2 = 13C) (x + 2)2 + (y – 2)2 = 26D) (x + 1)2 + (y – 1)2 = 26E) (x – 1)2 + (y + 1)2 = 13

A(2, –3) B(–4, 1)M

[AB] nin orta noktası çembe-rin merkezi olur.

,M 22 4

23 1- - +

c m ⇒ M(–1, –1) olur.

Ayrıca |MA| = |MB| = r olduğundan

(( ) ) (( ) ( ))

( )

MA r 1 2 1 3

3 2 9 4 13

2 2

2 2

= = - - + - - -

= - + = + =

Çemberin denklemi (x + 1)2 + (y + 1)2 = 13 olur.

Yanıt B

10.4

Merkezi2x – 3y = 6 ve x + 3y = 3

doğruları üzerinde ve yarıçapı 2 birim olan çem-berin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) x2 + (y – 3)2 = 4 B) (x + 3)2 + y2 = 4

C) x2 + y2 = 4 D) x2 + (y + 3)2 = 4

E) (x – 3)2 + y2 = 4

Çemberin merkezi, doğruların kesim noktasıdır.2x – 3y = 6 x + 3y = 3+3x + 0 = 9 ⇒ 3x = 9 ⇒ x = 3

Taraf tarafa toplayalım.

x = 3 için x + 3y = 3 denkleminde yerine yazalım.y y y3 3 3 0 03 & &+ = = =

O halde çemberin merkezi M(3,0) ve yarıçapı r = 2 dir.Çemberin denklemi ise(x – 3)2 + (y – 0)2 = 22 ¡ (x – 3)2 + y2 = 4 olur.

Yanıt E

ÖSYM Tarzı Sorular ve Çözümleri

12

GEOMETRİ

13

A ve B kümeleri

A = {(x, y) | y – x2 ≤ 0 , x, y ŒR}

B = {(x, y) | x2 + y2 – 4 ≤ 0 , x, y ŒR}

olduğuna göre, B / A kümesi aşağıdaki taralı böl-gelerden hangisidir?

A)

x

2

2–2

–2

2

2–2

–2

2

2–2

–2

2

2–2

–2

2

2O

O O

O

O

–2

y B)

x

y

C)

x

y D)

x

y

E)

x

y

A kümesi (y ≤ x2) y = x2 parabolünün alt tarafıdır.

y ifadesi x2 den küçük olduğundan parabolün alt bölgesini gösterir.

B kümesi, merkezi orijin ve yarıçapı 2 birim olan çemberin iç bölgesidir.

xB

A

A

x2 + y2

2

A

A BB

B

y

BB

B / A kümesi B kümesinin elemanı olup A kümesinin elemanı olmayan bölgedir.

Dolayısıyla bu bölge yalnız B yazan bölge olduğun-dan yanıt D dir.

Yanıt D

14

Dik koordinat düzleminde (4,0) noktasından geçen bir çember y – eksenine (0,8) noktasında teğettir.

Buna göre, bu çemberin yarıçapı kaç birimdir?

A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 15

y

xO 4 r – 4

88

rr

Şekildeki gibi koordinat düzleminde çemberi çiz-diğimizde oluşturduğu-muz dik üçgende pisagor yaparak yarıçapı bulalım.

( )

.

r r

r r r

r r buluruz

8 4

64 8 16

8 80 10

2 2 2

2 2

&

= + -

= + - +

= =

Yanıt C

15

Yarıçapı 3 birim, merkezi y = –x doğrusu üzerinde bulunan ve koordinat eksenlerine teğet olan çem-berin denklemi aşağıdakilerden hangisi olabilir?

A) (x – 3)2 + (y – 3)2 = 9

B) (x + 3)2 + (y + 3)2 = 9

C) (x – 3)2 + (y – 3)2 = 3

D) (x + 3)2 + (y – 3)2 = 9

E) (x + 3)2 + (y – 3)2 = 3

3

a O

bM(a,b)

y = –x y

x

Çember koordinat eksen-lerine teğet olarak çizilir-se yandaki gibi şekiller elde edilir.

Çemberin merkezi olan M(a,b) noktası y = –x doğru-su üzerinde olduğundan a ve b nin işaretleri tersi işaretli olmak zorundadır. Seçenekler incelendiğinde a = –3 ve b = 3 olacak şekilde II. bölgede M(–3, 3) ve r = 3 br yarıçaplı çember elde edilir. Dolayısıyla çemberin denklemi (x + 3)2 + (y – 3)2 = 9 dur.

Yanıt D

Konu Pekiştirme - 1

15

“Çemberin Analitiği”

1. Merkezi, M(–3, 4) olan ve orijinden geçen çem-berin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?A) (x + 3)2 + (y – 4)2 = 9B) (x + 3)2 + (y – 4)2 = 16C) (x – 3)2 + (y + 4)2 = 16D) (x + 3)2 + (y – 4)2 = 25E) (x – 3)2 + (y – 4)2 = 25

2. Merkezi, M(2, –3) olan ve x eksenine teğet olan çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?A) (x – 2)2 + (y + 3)2 = 9B) (x – 2)2 + (y + 3)2 = 4C) (x – 2)2 + (y – 3)2 = 9D) (x + 2)2 + (y + 3)2 = 4E) (x + 2)2 + (y – 3)2 = 9

3. Yarıçarı r birim olan ve eksenlere teğet olan çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisi olamaz?A) (x – r)2 + (y – r)2 = r2

B) (x + r)2 + (y – r)2 = r2

C) (x + r)2 + (y + r)2 = r2

D) (x – r)2 + (y + r)2 = r2

E) x2 + y2 = r2

4.

OBx

A(–8, 4)

y

AO AB=6 6@ @ ve A(–8, 4) olduğuna göre, [OB] çaplı çemberin denklemi aşağıdakilerden han-gisidir?

A) (x + 4)2 + y2 = 16

B) (x + 5)2 + y2 = 25

C) (x + 4)2 + y2 = 25

D) (x + 8)2 + y2 = 25

E) (x + 5)2 + y2 = 16

5. 4x + 3y – 24 = 0

doğrusunun eksenleri kestiği noktalar A ve B dir.

Buna göre, [AB] çaplı çemberin denklemi aşa-ğıdakilerden hangisidir?

A) (x – 3)2 + (y – 4)2 = 9

B) (x – 3)2 + (y – 4)2 = 16

C) (x – 3)2 + (y – 4)2 = 25

D) (x + 3)2 + (y + 4)2 = 16

E) (x + 3)2 + (y + 4)2 = 25

6. x2 + (y – 3)2 = 9

denklemi ile verilen çember için aşağıdakiler-den hangisi yanlıştır?

A) Merkezi y - ekseni üzerindedir.B) x - eksenine teğettir.C) Yarıçapı 3 birimdir.D) Merkezi M(0, 3) noktasıdır.E) y eksenine teğettir.

7.

O–2

M(–4, 0)x

y

Merkezi x ekseni üzerindeki M(–4, 0) noktası olan çemberin grafiği verilmiştir.

Çember (–2, 0) noktasından geçmektedir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) Yarıçapı 2 birimdir.

B) x = –6 doğrusuna teğettir.

C) y = –2 doğrusuna teğettir.

D) Çemberin orijine en uzak noktası 6 birim uzak-lıktadır.

E) y = 3 doğrusu çemberi iki noktada keser.

ÜNİTE ÖZETİ

44

GEOMETRİ

3) x - EKSENİNE TEĞET OLAN ÇEMBERİN DENKLEMİ

xO

r

a

y

M

Merkezi m(a, r) ve ya-rıçapı r birim olan çem-berin denklemi(x – a)2 + (y – r)2 = r2

dir.

5) EKSENLERE TEĞET OLAN ÇEMBERLERİN DENKLEMİ

x

M2(–r, r)

M3(–r, –r) M4(r, –r)

M1(r, r)

y Merkezi

1. Bölgede ¡ (x – r)2 + (y – r)2 = r2 , M1 (r, r)

2. Bölgede ¡ (x + r)2 + (y – r)2 = r2 , M2 (–r, r)

3. Bölgede ¡ (x + r)2 + (y + r)2 = r2 , M3 (–r, –r)

4. Bölgede ¡ (x – r)2 + (y + r)2 = r2, M4 (r, –r)

1) ÇEMBERİN STANDART DENKLEMİ

x

P(x, y)

O

y

b

a

M

Merkezi M(a, b), yarıça-pı r birim olan çemberin standart denklemi iki nokta arasındaki uzaklık formülünden

(x – a)2 + (y – b)2 = r2 dir.

2) MERKEZİL ÇEMBER

–r

–r

Mr

rMerkezi orjinde olan çembere merkezil çember denir.

Yani M(0, 0) ve yarıça-pı r birim olan çembe-rin denklemix2 + y2 = r2 dir.

Yarıçapı 1 birim olan merkezil çembere birim çem-ber denir. Denklemi x2 + y2 = 1 dir.

4) y - EKSENİNE TEĞET OLAN ÇEMBERİN DENKLEMİ

x

b

r

y

M

Merkezi M(r, b) ve yarı-çapı r birim olan çembe-rin denklemi

(x – r)2 + (y – b)2 = r2 dir.

GEOGEOMETMETRİRİ

6) ÇEMBERİN GENEL DENKLEMİ

Merkezi M(a, b), yarıçapı r birim olan çemberin denklemi (x – a)2 + (y – b)2 = r2 idi. Bu denklemde kare açılımlarını yaparsak

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

¡ x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0–2a = D, –2b = E ve a2 + b2 – r2 = F olsun.Dolayısıyla genel denklem;x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 dır.Genel denklemi verilen çemberin,Merkezi ,M D E

2 2- -c m,

yarıçapı .dirr D E F21 42 2= + -

7) ÜÇ NOKTASI BİLİNEN ÇEMBERDENKLEMİ

A(x1, y1)

B(x2, y2)

C(x3, y3)

A, B ve C noktalarından geçen çember denklemini bulmak için noktalar tek tek x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0dekleminde yerine yazılarak D, E ve F katsayı bu-lunur ve çember denklemi oluşur.

46

GEOMETRİ

ACEMİ

TEST

1. Analitik düzlemde, A(2, –3) noktasına 2 birim uzaklıktaki noktaların geometrik yer denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) (x – 2)2 + (y + 3)2 = 2

B) (x – 2)2 + (y + 3)2 = 4

C) (x + 2)2 + (y – 3)2 = 2

D) (x + 2)2 + (y – 3)2 = 4

E) (x – 2)2 + (y – 3)2 = 4

2. A(–1, –2) noktasından geçen ve merkezi (0, –3) noktası olan çemberin denklemi aşağıdakiler-den hangisidir?

A) (x + 1)2 + (y + 2)2 = 2

B) (x + 1)2 + (y + 2)2 = 26

C) x2 + (y + 3)2 = 2

D) x2 + (y + 3)2 = 26

E) (x + 3)2 + y2 = 2

3. x2 + y2 – 8x = 0

çemberinin yarıçapı kaç birimdir?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

4. K(–1, 3) ve L(3, –1) noktaları bir çemberin üze-rindeki en uzak iki nokta olduğuna göre, çem-berin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) (x + 1)2 + (y – 1)2 = 8

B) (x + 1)2 + (y – 3)2 = 32

C) (x + 1)2 + (y + 1)2 = 8

D) (x – 1)2 + (y – 1)2 = 32

E) (x – 1)2 + (y – 1)2 = 8

5. x2 + y2 – 4x + 2y + m = 0

çemberinin yarıçapı §3 birim olduğuna göre,m değeri kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

6. Analitik düzlemde merkezi M(2, –5) olup x ekse-nine teğet olan çemberin denklemi aşağıdaki-lerden hangisidir?

A) (x – 2)2 + (y + 5)2 = 25

B) (x – 2)2 + (y + 5)2 = 4

C) (x + 2)2 + (y – 5)2 = 25

D) (x + 2)2 + (y + 5)2 = 25

E) (x + 2)2 + (y – 5)2 = 4

7.

xA(–4, 0)

B(0, –6)

y Şekildeki dik koordi-nat sisteminde, A(–4, 0), B(0, –6) ve orijinden geçen çem-berin denklemi aşa-ğıdakilerden hangi-sidir?

A) (x + 2)2 + (y + 3)2 = 52

B) (x + 2)2 + (y + 3)2 = 13

C) (x – 2)2 + (y – 3)2 = 52

D) (x – 2)2 + (y – 3)2 = 13

E) (x + 4)2 + (y + 6)2 = 13

1

50

GEOMETRİ

AMATÖR

TEST

11. Merkezi M(6, –3) olan çember x = 2 doğrusuna

teğet olduğuna göre, bu çemberin çevresi kaç birimdir?

A) 4 B) 8 C) 4r D) 8r E) 16r

2. y = x + 1

doğrusunun, x2 + y2 = 25 çemberi üzerinde ayır-dığı kirişi çap kabul eden çemberin yarıçapı kaç birimdir?

A) 7§2 B) 2§7 C) §27

D) §2

7 2 E) 27

3. Merkezi y = x ve x = 4 doğruları üzerinde olan ve A(3, 1) noktasından geçen çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) (x – 4)2 + (y – 4)2 = 16

B) (x – 4)2 + y2 = 16

C) (x – 3)2 + (y + 1)2 = 10

D) (x – 3)2 + (y + 1)2 = 16

E) (x – 4)2 + (y – 4)2 = 10

4. Analitik düzlemde bir çember, x eksenini (–10, 0) ve (2, 0) noktalarında; y eksenini (0, –4) noktasında kesmektedir.

Buna göre, çemberin eksenleri kestiği noktaları köşe kabul eden dörtgenin alanı kaç br2 dir?

A) 46 B) 48 C) 50 D) 52 E) 54

5. x2 + y2 – 6x + 4y + m = 0

denklemi bir sanal çember belirttiğine göre, m'nin alabileceği en küçük tam sayı değeri kaç-tır?

A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15

6. A(1, 2) noktası

x2 + y2 + 10x – 12y + m = 0

çemberinin dış bölgesinde olduğuna göre, m'nin değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

A) ,9 3^ h B) ,93-^ h C) ,61 3^ h

D) (9, 61) E) ,613-^ h

7.

xO

d

B

A

y

M

Yukarıdaki şekilde d doğrusu M merkezli çembere B(2, 4) noktasında teğettir.

M merkezli çember y - eksenine teğet olduğuna göre, sin(MA∑B) değeri kaçtır?

A) 135 B) 13

12 C) 53 D) 5

4 E) 21

56

GEOMETRİ

UZMAN

TEST

11. Analitik düzlemde verilen

(b + 1)x2 + (a + b – 6)xy + (a – 3)y2 – 2y – 3 = 0

denklemi reel çember belirttiğine göre, a . b çarpımı kaçtır?

A) 10 B) 9 C) 8 D) 6 E) 5

2. Analitik düzlemde,

(x – 2)2 + (y + 3)2 = 16

çemberinin 4 birim uzunluğundaki kirişlerinin orta noktalarının geometrik yer denklemi aşağı-dakilerden hangisidir?

A) (x + 2)2 + (y – 3)2 = 12

B) (x – 4)2 + (y + 1)2 = 16

C) (x – 2)2 + (y + 3)2 = 12

D) (x + 4)2 + (y + 1)2 = 16

E) (x – 2)2 + (y + 3)2 = 9

3. A(–3, p) noktası yarıçapı 4 birim olan, merkezi II. bölgede bulunan ve her iki eksene de teğet olan çemberin üzerinde olduğuna göre, p aşağıdaki-lerden hangisi olabilir?

A) æ15 B) 4 – æ15 C) 2 – æ15

D) 2 + æ15 E) 2æ15

4. x2 + y2 – mx + 2y + 5 = 0

denklemi reel çember belirtmediğine göre, m'nin alabileceği değer aralığı aşağıdakilerden hangi-sidir?

A) [–4, 4] B) ,4 4–" , C) (–4, 4)

D) [–2§3, 2§3] E) (–2§3, 2§3)

5.

x

y

OD

B

AC

Analitik düzlemde verilen çember BC doğrusuna ve x - eksenine B ve A noktalarında teğet-tir.

A(2§3 + 2, 0), C(0, –2§3), D(2, 0)

Yukarıdaki verilere göre, çemberin yarıçapı kaç birimdir?

A) §3 B) 2 C) §2 D) 2§3 E) 1

6. (x + 1)2 + (y – 2)2 = 4

çemberine üzerindeki noktalardan çizilen teğet-lerin değme noktalarından 1 birim uzaklıktaki noktaların geometrik yeri aşağıdakilerden han-gisi olabilir?A) 2x – 3y = 1B) (x + 1)2 + (y – 2)2 = 3C) (x + 1)2 + (y – 2)2 = 2D) (x + 1)2 + (y – 2)2 = 1E) 3x + 2y = 1

7. x2 + y2 – 2x – 6y + 6 = 0

çemberinin P(1, 3 – §3) noktasından geçen en kısa kirişini üzerinde bulunduran doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) y = 0 B) x = 1 C) x = 0

D) y = 3 E) y = 3 – §3

62

GEOMETRİ

PROFESYONEL

TEST

11.

2O

d1

d2

T4

4

–8

x

y Şekildeki d1 ve d2 doğru-larının kesim noktası çem-berin merke-zidir.

Çember T noktasında x - eksenine teğet olduğu-na göre, denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) (x – 3)2 + (y + 2)2 = 4B) (x – 3)2 + (y + 2)2 = 1C) (x – 2)2 + (y + 3)2 = 9D) (x + 3)2 + (y – 2)2 = 4E) (x + 2)2 + (y – 3)2 = 9

2.

O M(3,0) x

yO ve M merkez olmak üzere, dik koordinat sisteminde verilen çember denklemleri-ne göre, taralı bölge-yi gösteren eşitsizlik sistemi aşağıdakiler-den hangisidir?

A) x2 + y2 < 9 B) x2 + y2 ≤ 9 (x – 3)2 + y2 < 9 (x – 3)2 + y2 ≥ 9

C) x2 + y2 ≥ 9 D) x2 + y2 ≤ 9 (x – 3)2 + y2 ≤ 9 (x – 3)2 + y2 ≤ 9

E) x2 + y2 ≥ 9 (x – 3)2 + y2 ≥ 9

3. x2 + y2 + 4x – 6y – 4 = 0

denklemi ile verilen çemberin merkezinin,mx + (m + 1)y – 6 = 0 doğrularına göre simetrik-lerinin geometrik yer denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) (x + 2)2 + (y – 3)2 = 36B) (x + 6)2 + (y – 6)2 = 25C) (x + 2)2 + (y – 3)2 = 25D) (x + 6)2 + (y – 6)2 = 36E) (x – 6)2 + (y + 6)2 = 25

4.

Ox

y

BC

A

EM(3,0)

D

Yukarıdaki şekle göre

≥

( ) ≤

y x x

x y

3

3 9

2

2 2

-

- +4

eşitsizlik sistemini sağlayan (x, y) ikililerine karşılık gelen noktalardan biri aşağıdakilerden hangisidir?

A) A B) B C) C D) D E) E

5.

x

yDik koordinat sistemin-de dört adet birim çem-ber eksenlere teğettir.

Buna göre bu çem-berlere teğet olan en büyük çemberin yarı-çapının en küçük çemberin yarıçapına oranı kaçtır?

A) §2 + 1 B) §2 + 2 C) 2§2 + 1

D) 2§2 +1 E) 3 + 2§2

6. I

AE

B C

D

FG

II

III Şekildeki çemberlerin denklemleri

I. x2 + y2 + 2x + y – 5 = 0

II. x2 + y2 – 6x + 4y – 1 = 0

III. x2 + y2 – 4x – 2y – 3 = 0

olduğuna göre, O(0, 0), P(3, 1) ve K(–2, 1) nok-taları harflerle belirlenen bölgelerden hangile-rinde bulunur?

A) B, C ve E B) B, C ve D C) A, F ve G

D) A, B ve C E) A, D ve G

ÖSYM’den SEÇMELER

64

GEOMETRİ

1. Dik koordinat düzleminde birinin merkezi (12,0) noktası, diğerinin merkezi ise (0,9) noktası olan iki çember sadece (4,6) noktasında kesişmektedir.

Bu çemberlerin orijine en yakın olan noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

A) §5 B) æ10 C) æ13

D) 2§5 E) 2æ10

2018 / AYT

2. Dik koordinat düzleminde, x2 + y2 = 26 çemberi-nin 6 birim uzunluğundaki kirişlerinin orta nok-talarının geometrik yer denklemi aşağıdakiler-den hangisidir?

A) x2 + y2 = 11 B) x2 + y2 = 14

C) x2 + y2 = 17 D) x2 + y2 = 20

E) x2 + y2 = 23

2016 / LYS

3. Dik koordinat düzleminde merkezleri sırasıyla (9, 0) ve (13, 0) noktaları olan ve orijinden geçen iki çem-ber veriliyor.

Sonra; büyük çemberin küçük çembere teğet ve y eksenine paralel olan kirişi çiziliyor.

Bu kirişin uzunluğu kaç birimdir?

A) 18 B) 20 C) 21 D) 22 E) 24

2015 / LYS

4. y = (x – 1)2 parabolü ile (x – 1)2 + (y – a)2 = 9 çem-beri üç farklı noktada kesişiyor.

Buna göre, a kaçtır?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

2014 / LYS

5. Dik koordinat düzleminde, x = 3 ve x = – 4 doğ-rularının x2 + y2 = 25 çemberini kestiği noktaları köşe kabul eden kirişler dörtgeninin alanı kaç birim karedir?

A) 42 B) 48 C) 49 D) 50 E) 56

2014 / LYS

6. Dik koordinat düzleminde, merkezi x = 1 doğru-su üzerinde olan bir çemberin y eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık 3 birim olduğuna göre, bu çemberin çevresi kaç birimdir?

A) 11 r B) 13 r C) 15 r

D) 3 2 r E) 2 3 r

2012 / YGS

7. y = x2 + x – 2

y = – x2 – x + 10

parabollerinin kesim noktalarını birleştiren doğru parçalarını çap kabul eden çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) ( ) ( )x y21 2

49– –2 2+ =

B) ( ) ( )x y21 4

425–2 2+ + =

C) ( ) ( )x y21 4

492 2+ + + =

D) ( ) ( )x y41 1

49– –2 2+ =

E) ( ) ( )x y41 2

4252 2+ + + =

2012 / LYS

8. Merkezi (3, 4) noktası ve yarıçapı 4 birim olan çembere dıştan teğet olan 3 birim yarıçaplı çemberlerin merkezlerinin geometrik yerinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) x2 + (y – 4)2 = 16

B) (x – 3)2 + y2 = 36

C) (x – 3)2 + (y – 1)2 = 16

D) (x – 3)2 + (y – 4)2 = 9

E) (x – 3)2 + (y – 4)2 = 49

2011 / LYS

DÖNÜŞÜMLERLE GEOMETRİBÖLÜM

2

2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018

YGS LYS YGS LYS YGS LYS YGS LYS YGS LYS YGS LYS YGS LYS YGS LYS TYT AYT

1 1 1 2 2 1 2 1

DÖNÜŞÜMLERLE GEOMETRİ KONUSUNUNÖSYM SINAVLARINDAKİ SORU DAĞILIMI

KONU

GEOMETRİ

68

Öteleme Dönüşümü

Düzlemde bir nesneye ait tüm noktaları bir yerden başka bir yere belirli bir yön ve

doğrultuda taşıma işlemine öteleme dönüşümü denir.

Analitik düzlemde A(a,b) noktasının

● x ekseni boyunda pozitif yönde sağa k birim ötelenmesi A'(a + k, b) ile bulunur.

● x ekseni boyunca negatif yönde sola k birim ötelenmesi A'(a – k, b) ile bulunur.

● y ekseni boyunca pozitif yönde yukarı k birim ötelenmesi A'(a, b + k) ile bulunur.

● y ekseni boyunca negatif yönde aşağı k birim ötelenmesi A'(a, b – k) ile bulunur.

Bazı temel öteleme dönüşümleri

A

A

D CC

BB xx

yy

D'

A' B'

C'

A'

B'

C'

Denklemi verilen bir fonksiyona öteleme dönüşümü yapılırken;

● x ekseni boyunca k birim sağa ötelenmesi isteniliyorsa, denklemde x yerine x – k yazılır.

● x ekseni boyunca k birim sola ötelenmesi isteniliyorsa, denklemde x yerine x + k yazılır.

● y ekseni boyunca k birim yukarı (pozitif yönde) ötelenmesi isteniliyorsa, denklem-de y yerine y – k yazılır.

● y ekseni boyunca k birim aşağı (negatif yönde) ötelenmesi isteniliyorsa, denklem-de y yerine y + k yazılır.

Standart Sorular ve Çözümleri

69

“Dönüşümlerle Geometri”

10.1

Analitik düzlemde A(–2, 3) noktasının x ekseni boyunca pozitif yönde 5 birim, y ekseni boyunca pozitif yönde 1 birim ötelenmesi ile elde edilen nokta aşağıdakilerden hangisidir?A) (8, –1) B) (4, 3) C) (–7, 2)

D) (3, 4) E) (2, –7)

( , ) ( , ) ( , )

( , ) .t r

2 3 5 1 2 5 3 1

3 4 ü

- + = - + +

=

Yanıt D

10.2

Analitik düzlemde A(–3, –2) noktasının x ekseni boyunca 7 birim sağa ve y ekseni boyunca 4 birim yukarı ötelenmesi sonucunda elde edilen nokta aşağıdakilerden hangisidir?

A) (5, 1) B) (4, –6) C) (4, 2)

D) (–2, 4) E) (5, –1)

O

A

–3

2

–2

4

A'

A"(4, 2)

7 birim

4 birim x

y

A(–3, –2) noktası x ekseni boyunca 7 br sağa ötele-nirse elde edilen nokta;

A'(–3 + 7, –2) = A'(4, –2) olur.

A'(4, –2) noktası y ekseni boyunca 4 birim yukarı ötelenirse;

A''(4, –2 + 4) = A''(4, 2) noktası elde edilir.Yanıt C

10.3

A(3, 4) noktasına aşağıdaki ötelemelerden hangi-si uygulanırsa A'(–2, 1) noktası elde edilir?

A) x ekseni boyunca negatif yönde 5 birim y ekseni boyunca negatif yönde 3 birim

B) x ekseni boyunca pozitif yönde 5 birim y ekseni boyunca pozitif yönde 3 birim

C) x ekseni boyunca negatif yönde 5 birim y ekseni boyunca pozitif yönde 3 birim

D) x ekseni boyunca pozitif yönde 5 birim y ekseni boyunca negatif yönde 3 birim

E) x ekseni boyunca negatif yönde 3 birim y ekseni boyunca negatif yönde 5 birim

A noktasının apsisi 3 ve A' noktasının apsisi –2 oldu-ğundan;3 + a = –2 ¡ a = –5 tir.A noktası, x ekseni boyunca negatif yönde 5 birim ötelenmiş demektir.A noktasının ordinatı 4 ve A' noktasının ordinatı 1 olduğundan;4 + b = 1 Ş b = –3 tür.A' noktası y ekseni boyunca negatif yönde 3 birim ötelenmiş demektir.

Yanıt A

10.4

A(–4, 5) noktasının x ekseni boyunca negatif yönde art arda üç defa 3 birim ötelenmesi sonucu elde edilen noktanın koordinatları toplamı kaçtır?

A) –2 B) –5 C) –6D) –8 E) –10

A noktası 1. kez ötelenirse;A'(–4 – 3, 5) = A'(–7, 5) elde edilir.A' noktası tekrar ötelenirseA''(–7 – 3, 5) = A''(–10, 5) elde edilir.A'' noktası son kez ötelenirseA'''(–10 – 3, 5) = A''(–13, 5) noktası elde edilir.Koordinatları toplamı –13 + 5 = –8 olur.

Yanıt D

ÖSYM Tarzı Sorular ve Çözümleri

71

“Dönüşümlerle Geometri”

9

x + y – 1 = 0 doğrusunun eksenleri kestiği noktalar

K ve L; x – y + 1 = 0 doğrusunun x - eksenini kestiği

nokta M dir.

Buna göre KLM üçgeninin diklik merkezinin koor-

dinatlarının O(0, 0) olabilmesi için KLM üçgenine

aşağıdaki ötelemelerden hangisinin uygulanması

gerekir?

A) x ekseni boyunca pozitif yönde 1 br

y ekseni boyunca pozitif yönde 1 br

B) y ekseni boyunca pozitif yönde 1 br

C) y ekseni boyunca negatif yönde 1 br

D) x ekseni boyunca pozitif yönde 1 br

E) x ekseni boyunca negatif yönde 1 br

x + y – 1 = 0 ¡x = 0 için y = 1

x = 0 için y = 1

y = 0 için x = 1

y = 0 için x = –1x – y + 1 = 0 ¡

Doğruların grafiklerini çizelim.

xM L

1

–1 1

K

45° 45°1

1 1

y

Doğruların eksenleri kestiği noktalar ile oluşan KLM üçgeninde m(K) = 90° olduğundan diklik merkezi K(0, 1) olan noktasıdır. Bu noktanın orijin olabilmesi için KLM üçgeninin y - ekseni boyunca 1 birim aşağı ötelenmesi gerekir.

Yanıt C

10

O

B

C

A

x

y

Yukarıdaki şekilde verilen OABC dörtgenininB köşesine aşağıdaki ötelemelerden hangisi uygulanırsa OAB'C dörtgeni bir yamuk olur?A) y ekseni boyunca negatif yönde 3 birimB) y ekseni boyunca pozitif yönde 3 birimC) x ekseni boyunca pozitif yönde 3 birimD) x ekseni boyunca negatif yönde 3 birimE) Hem x hem de y eksenleri boyunca negatif yön-

de 3 birim

O

B

CB'

A

x

y

OAB'C dörtgeninin yamuk olabilmesi için[OA] // [B'C] olmalıdır.[OA] // [B'C] olacağından eğimleri eşittir.Yani mOA = mB'C dir.

.m YatayDikey

olur62

31

OA = = =

m 31

'B C = olacağından

m YatayDikey

kk3'B C = = olacaktır.

B noktası 3 birim aşağı ötelendiğinde m 31

'B C = olur.

Dolayısıyla B noktası y ekseni boyunca negatif yönde 3 birim aşağı ötelenmelidir.

Yanıt A

Konu Pekiştirme - 1

72

GEOMETRİ

1. A(k,1) noktasının x ekseni boyunca pozitif yön-de 2 birim ve y ekseni boyunca negatif yönde 5 birim ötelenmesi sonucunda oluşan nokta y ekseni üzerinde olduğuna göre, k kaçtır?

A) –3 B) –2 C) 1 D) 2 E) 3

2.

2

6

8

O 3

D(3,6)

A(1,2)

B(5,t)

C(k,8)

1 5x

y

Yukarıdaki şekilde verilen ABCD paralalkenarı-nın ağırlık merkezinin orijin olabilmesi için bu paralelkenara aşağıdaki ötelemelerden hangi-sinin uygulanması gerekir?

A) x ve y eksenleri boyunca negatif yönde sırasıyla 3 br ve 2 br

B) x ve y eksenleri boyunca negatif yönde sırasıyla 2 br ve 6 br

C) x ve y eksenleri boyunca negatif yönde sırasıyla 4 br ve 5 br

D) x ve y eksenleri boyunca negatif yönde sırasıyla 5 br

E) x ve y eksenleri boyunca negatif yönde sırasıyla 4 br ve 7 br

3. f(x) = x2 – 2x + 3 parabölü ile bu parabolünx ekseni boyunca negatif yönde 4 birim ve y ek-seni boyunca negatif yönde 1 birim ötelenmesi ile oluşan parabolün tepe noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

A) 2§3 B) 4 C) 2§6 D) æ17 E) 2æ13

4. Köşelerinin koordinatları A(–1, 2), B(3, 1) veC(2, –5) olan ABC üçgeni, x ekseni boyunca ne-gatif yönde 1 br ve y ekseni boyunca pozitif yönde 1 br ötelenerek A' B' C' üçgeni elde ediliyor.

Buna göre, A' B' C' üçgeninin köşelerinin ordi-natlar toplamı kaçtır?

A) –1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3

5. Analitik düzlemde x ekseni y ekseni boyunca 3 birim yukarı ötelenerek x¢ ekseni, y ekseni ise x ekseni boyunca 2 birim sağa ötelenerek y¢ ekseni elde ediliyor.

Buna göre, xy düzlemindeki koordinatları A(3, –3) olan noktanın x' y' düzlemindeki koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?

A) (0, 1) B) (6, –2) C) (3, 2)

D) (1, –5) E) (1, –6)

6. A(4, 20)

D(4, 15)

C(4, 4)

B(16, 20)

y

O

E

x

G

Yukarıdaki koordinat düzlemindeki G yükü, uzunlu-ğu sabit bir ip ile B noktasında bulunan, büyüklüğü önemsiz bir makara yardımıyla asılıyor. İpin başlan-gıç noktası C noktası iken, C noktası D noktasına öteleniyor.

Buna göre, son durumda E noktasına aşağıdaki ötelemelerden hangisi uygulanmış olur?

A) y ekseni boyunca negatif yönde 11 br

B) y ekseni boyunca negatif yönde 10 br

C) y ekseni boyunca negatif yönde 13 br

D) y ekseni boyunca negatif yönde 7 br

E) y ekseni boyunca negatif yönde 8 br

ÜNİTE ÖZETİ

96

GEOMETRİ

ÖTELEME DÖNÜŞÜMÜ

● Analitik düzlemde A(x,y) noktasının x ekseni boyunca pozitif yönde a birim ötelenmiş haliA'(x + a, y) noktasıdır.

● Analitik düzlemde A(x, y) noktasının x ekseni boyunca negatif yönde a birim ötelenmiş hâli A'(x – a, y) noktasıdır.

● Analitik düzlemde A(x, y) noktasının y ekseni boyunca pozitif yönde b birim ötelenmiş hâli A'(x, y + b) noktasıdır.

● Analitik düzlemde A(x, y) noktasının y ekseni boyunca negatif yönde b birim ötelenmiş hâli A'(x, y – b) noktasıdır.

DÖNME DÖNÜŞÜMÜA(x, y) noktasının orijin etrafında pozitif yönde a açısı kadar dönmesi

Ra(x,y) = (x . Cosa – y . Sina, x . Sina + y . Cosa)

dır.

● R90°(x, y) = (–y , x)

● R180°(x, y) = (–x, –y)

● R270°(x, y) = (y, –x)

● (Ra o Rq)(x, y) = Ra + q(x, y) dir.

YANSIMA DÖNÜŞÜMÜDüzlemde A noktasının B noktasına göre yansıma-sı SB

(A) yansıma dönüşümü ile ifade edilir.

A(x, y) noktasının

● B(a, b) noktasına göre yansımasıA'(2a – x, 2b –y) dir.

● Orijine göre yansıması A'(–x, –y)dir.

A(x, y) noktasının ● x eksenine göre yansıması A'(x, –y)

● y eksenine göre yansıması A'(–x, y)

● x = a doğrusuna göre yansıması A'(2a – x, y)

● y = b doğrusuna göre yansıması A'(x, 2b – y)

● y = x doğrusuna göre yansıması A'(y, x)

● y = –x doğrusuna göre yansıması A'(–y, –x)

ax + by + c = 0 doğrusunun

● A(x1 , y1) noktasına göre yansıması

a.(2x1 –x) + b (2y1 – y) + c = 0 dır.

ACEMİ

TEST

97

“Dönüşümlerle Geometri”

11. A(5, –2) noktasının orijin etrafında pozitif yönde

90° döndürülmesi ile elde edilen noktanın koor-dinatları aşağıdakilerden hangisidir?

A) (–2, 5) B) (5, 2) C) (2, 5)

D) (2, –5) E) (–5, –2)

2. Analitik düzlemde K(m, n) noktasının x ekseni boyunca 4 birim sola, y ekseni boyunca 3 birim yukarı ötelenmesi sonucu oluşan nokta L(–6, 5) olduğuna göre, m . n çarpımı kaçtır?

A) –16 B) –15 C) –9 D) –4 E) 12

3. Analitik düzlemde A(4, 0) noktasının R120°(A)

dönüşümü altındaki görüntüsü aşağıdakilerden hangisidir?

A) (–2, 2§3) B) (–2§3, 2) C) (2§3, –2)

D) (–2, –2§3) E) (–2§3, –2)

4. A(–2, 5) noktası orijin etrafında pozitif yönde 130° derece döndürüldükten sonra orijin etrafında nega-tif yönde 40° daha döndürülüyor.

Elde edilen nokta aşağıdakilerden hangisidir?

A) (2, –5) B) (5, –2) C) (–5, –2)

D) (–5, 2) E) (5, 2)

5. Analitik düzlemde köşelerinin koordinatları A(4, 3) , B(–2, 5) ve C(k, 1) olan ABC üçgeninin orijin etrafında pozitif yönde 180° döndürülmesi ile elde edilen A'B'C' üçgeninin ağırlık merkezi y ekseni üzerinde olduğuna göre, k kaçtır?

A) –4 B) –3 C) –2 D) 2 E) 3

6. A(1, 2) noktasının y = 0 doğrusuna göre yansı-ması x + 2y + 3p = 0 doğrusu üzerinde olduğuna göre, x + 2y + 3p = 0 doğrusunun Oy eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?

A) 23− B) 2

1 C) 32 D) 1 E) 3

4

7. A(3, –k) noktasının (0, 1) noktasına göre yansı-ması ile elde edilen nokta x ekseni üzerinde olduğuna göre, k kaçtır?

A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2

8. A(5, –2) noktasının orijine göre yansıması B,B noktasının x – y = 0 doğrusuna göre yansıma-sı C noktası olduğuna göre, |AC| kaç br dir?

A) 3 B) 3§2 C) 5 D) 6 E) 5§2

AMATÖR

TEST

1

99

“Dönüşümlerle Geometri”

1. A(–3, 4) noktasının x ekseni boyunca pozitif yönde 4 br ve y ekseni boyunca negatif yönde3 br ötelendikten sonra elde edilen noktanın R90° dönme dönüşümü altındaki görüntüsü ana-litik düzlemde kaçıncı bölgededir?

A) I. Bölge B) II. Bölge C) III. BölgeD) IV. Bölge E) Orijin

2.

D

O

A(–2, –4) B(6, –4)

C(6, 2)

y

x

Yukarıda koordinat düzleminde verilen ABCD dikdörtgeninin B köşesi orijine ötelendiğinde elde edilen yeni dikdörtgenin simetri merkezi aşağıdakilerden hangisidir?

A) (–4, 3) B) (–2 , 4) C) (–3, 4)

D)(–3, 2) E) (–4, 2)

3. A(–1, 2) noktasının y = x doğrusuna göre yansı-ması B, y = –x doğrusuna göre yansıması C olduğuna göre, |BC| uzunluğu kaç birimdir?

A) 2§3 B) æ15 C) 4 D) 2§5 E) 2§6

4. A(k, –2) noktasının orijin etrafında negatif yönde 90° döndürülmesiyle elde edilen nokta3x – 2y + 6 = 0 doğrusu üzerinde olduğuna göre, k kaçtır?

A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2

5.

B(–3, 0)

y

D C

Ax

y = –x

Şekildeki ABCD karesinin D köşesi orijin etra-fında pozitif yönde 90° döndürülürse aşağıdaki noktalardan hangisi elde edilir?

A) (–6, 3) B) (–3, 6) C) (3, –6)D) (–6, –3) E) (–3, –6)

6. A(3, 4)

B(4, 3)

y

Ox

Yukarıdaki koordinat düzleminde verilen AOB üçgeni için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?A) AOB üçgeni ikizkenardır.B) A ve B noktaları y = x doğrusuna göre simetrik-

tir.C) B noktası orijin etrafında pozitif yönde 90° dön-

dürülürse B¢ (–3, 4) noktası elde edilir.

D) A noktası x ve y eksenleri boyunca negatif yön-lerde sırasıyla 3 br ve 4 br ötelenirse orijin elde edilir.

E) [OA] ve [OB] yi taşıyan doğruların eğimleri çar-pımı –1 dir.

7. 3x –4y + 8 = 0 doğrusunun (–1, k) noktasına göre yansıması olan doğru orijinden geçtiğine göre, k kaçtır?

A) 0 B) 41 C) 1 D) 4

5 E) 2

UZMAN

TEST

103

“Dönüşümlerle Geometri”

1. A(0,7)

–7 –3

B C

Yukarıdaki koordinat düzleminde verilen ABC üçgeni x ekseni boyunca pozitif yönde 3 br ve y ekseni boyunca pozitif yönde 1 br ötelendi-ğinde I. bölgede kalan alanın II. bölgede kalan alana oranı kaç olur?

A) 43 B) 1 C) 3

4 D) 35 E) 2

2.

B(4, 0)x

y

A(4, –4)

Yukarıdaki koordinat düzleminde verilen [AB] doğru parçası orijin etrafında pozitif veya nega-tif yönde en az kaç derece döndürülürse y ekseni ile ortak bir noktası olur?

A) 15 B) 45 C) 60 D) 90 E) 135

3. Dik koordinat sisteminde ağırlık merkezi orijin-de bulunan ve bir köşesinin koordinatlarıA(–2, 2) olan karenin orijin etrafında 90° döndü-rülmesi ile karenin tüm köşelerinin aldığı top-lam yol kaç birimdir?

A) 4 B) 2§2 C) 4p§2D) 2p§2 E) 4p

4. y = xy = –x

x

y

I

III

IV

II

V

Yukarıdaki şekilde y = x ve y = –x doğrularının gra-fikleri verilmiştir.

(–3, 1) noktasının y = –2 doğrusuna göre yansı-ması grafikteki bölgelerden hangisinde bulunur?

A) I B) II C) III D) IV E) V

5. Verilen bir ABC eşkanar üçgeni için aşağıdaki adımlar izleniyor.

I. Adım: [BC] kenarı üzerinde m(BA∑D) = 22° olarak şekilde D noktası alınıyor.

II. Adım: ABD üçgeninin [AD] doğru parçası bo-yunca yansıması alınarak ADB¢ üçgeni elde ediliyor.

III. Adım: 'BC A EB+ =6 6@ @ " , işaretleniyor.

Buna göre, m(AE ∑C) kaç derecedir?

A) 112 B) 104 C) 96 D) 88 E) 82

6.

G

B(3, 4)

A(–2, 1)

C(2, 6)

Şekildeki ABC üçgeninde G ağırlık merkezidir. G noktasının A noktasına göre yansıması A'G noktasının B noktasına göre yansıması B'G noktasının C noktasına göre yansıması C'

olduğuna göre, A'B'C' üçgeninin alanı kaç birimkaredir?

A) 18 B) 20 C) 22 D) 24 E) 26

1

PROFESYONEL

TEST

107

“Dönüşümlerle Geometri”

11.

A(5, 4)

B(–4, –3)

x

y = 1

y

N

K

Koordinat düzleminde x ekseni üzerinde değişken bir K noktası ve y = 1 doğrusu üzerinde değişken bir N noktası alınıyor.

A(5, 4) ve B(–4, –3) olduğuna göre,

|AK| + |KN| + |BN|

toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

A) 6§2 B) 9 C) 12 D) 9§2 E) 15

2. Düzlemde A(3, –2) ve B(3, –6) olmak üzere, [AB] doğru parçası orijin etrafında 180° döndürülerek görüntüsü olan [A' B'] doğru parçası elde ediliyor.

Buna göre, ABA'B' dörtgenin alanı kaç br2 dir?

A) 12 B) 16 C) 18 D) 20 E) 24

3.

A

B

x

y

C

O6

Koordinat düzleminde alanı 48 br2 olan OABC dikdörtgeni x ekseni boyunca negatif yönde 4 br ve y ekseni boyunca pozitif yönde 2 br ötelenerek O'A'B'C' dikdörtgeni elde ediliyor.

Buna göre, oluşan arakesitin alanı kaç br2 dir?

A) 9 B) 10 C) 12 D) 15 E) 18

4.

A C

E

L MKDB

Yukarıda birim karelere ayrılmış analitik düzlem-de A noktasının y = 3 doğrusuna göre yansımasıB, x = –2 doğrusuna göre yansıması C noktasıdır.

Buna göre, düzlemin orijini aşağıdakilerden hangisidir?

A) B B) E C) K D) L E) M

5. Koordinat düzleminde A(5, 8) ve B(–2, 3) noktaları veriliyor.

A noktasının B noktası etrafında negatif yönde 90° döndürülmesiyle elde edilen nokta aşağıda-kilerden hangisidir?

A) (3, –4) B) (3, –2) C) (–1, –4) D) (4, –3) E) (3, –3)

6. Analitik düzlemde verilen A(–3, 5) noktası orijin etra-fında negatif yönde 30° döndürüldükten sonra dik koordinat sistemi de pozitif yönde 60° döndürülüyor.

Buna göre, son durumda elde edilen noktanın yeni koordinat düzlemindeki koordinatları aşa-ğıdakilerden hangisidir?

A) (3, –5) B) (5, 3) C) (–5, –3) D) (–5, 3) E) (3, 5)

109

ÖSYM’den SEÇMELER

"ÖSYM'den Seçmeler"

1. Dik koordinat düzleminde köşe noktalarının koor-dinatları

A(–1, –1) , B(1, –1) , C(1, 1), D(–1,1)

olan ABCD karesi aşağıda verilmiştir,

Bu kareye sırasıyla• orijin etrafında saat yönünün tersine 45° dön-

dürme,• y-eksenine göre yansıma,• orijin etrafında saat yönünde 45° döndürme

dönüşümleri uygulanıyor.

Son durumda bu karenin koordinatları değiş-meyen köşe noktaları aşağıdakilerden hangi-sidir?A) A ve B B) A ve C C) A ve D

D) B ve C E) C ve D

2018 / AYT

2. Dik koordinat düzleminde A(6, 3) noktasının y = x doğrusuna göre simetriği olan B noktası işaretle-niyor.

Ardından B noktasının x = – 1 doğrusuna göre simetriği C noktası işaretleniyor.

Buna göre C noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1

2016 / LYS

3. Dik koordinat düzleminde (0, 2), (4, 2), ve (4, 4) noktalarında bulunan üç karınca birer doğrultu seçip aynı anda ve eşit hızlarla yürümeye başlı-yor.

Bir süre sonra bu üç karınca aynı anda bir P nok-tasında buluşuyor.

Buna göre, P noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

2016 / LYS

4.

P(a,1)

O

y

x20°

Dik koordinat düzleminde verilen P(a , 1) nokta-sıyla orijini birleştiren doğru parçası şekilde gös-terilmiştir.

P noktasının y = ax doğrusuna göre simetriği olan R noktası işaretleniyor.

Buna göre, POR% açısının ölçüsü kaç derece-

dir?

A) 80 B) 90 C) 100 D) 110 E) 130

2015 / LYS

5. Eşit alanlı R, S ve T üçgensel kartonları aşağıda-ki gibi dik koordinat düzlemine yerleştiriliyor.

x

y

1

1OR

x

y

1

1O

S

x

y

1

1O

T

Bu kartonlar, koordinat düzleminde kalacak bi-çimde O noktası etrafında 360° döndürülüyor.

Kartonların taradıkları bölgelerin alanları sıra-sıyla AR , AS ve AT olduğuna göre, bunlar arasındaki ilişki aşağıdakilerden hagisidir?

A) AR < AT < AS B) AR < AS = ATC) AR = AT < AS D) AR < AS < AT

E) AR = AS = AT

2014 / LYS