Нарзулло К^одиров

МАТЕМАТИКАКитоби

дарсй барои синфи

6

Нашри дуюм, бо тагйирот

Вазорати маорифи Ч,умдурии Точикистон тавсия кардааст

Душанбе«М атбуот»

2013

ББК 22.1 Я 72 + 74.262 к -75

Н. Код и ров. Математика (китоби дарси барои синфи 6- ум]7,Д уш анбе, «М атбуот» , 2013. 240 с.

Хонандаи азиз!Китоб манбаи донишу маърифат аст ва то метавонед аз он

бах,ра баред. Ш оиста бошад, агар онро мисли гавхдраки чашм эхдиёт намоед. Кушиш намоед, ки китобро тозаю озода нигох, доред, то солх,ои минбаъда хам дигарон истифода бурда тавонанд.

Чадвали исгифодаи иноравии китоб

№ Ному насаби хонанда Синф Соли

хониш

Холати китоб (бахои китобдор)Аввали

СОЛОхири

СОЛ12345

ISBN 978-99947-70-892© Н. Кодиров, 2013 © «Матбуот», 2013

САРСУХАН

Ин китоб мутобик,и барномаи таълими нашри соли 2002-ум, дар асоси омузиши китобхои дарсии пештара ва дар тачрибаи кории бисёрсола, ба хисоб гирифтани чихатхои хуби онх,о мураттаб шудааст. Мавзуъхо бо хдмдигар ва бо маводи таълимии синфхои 4-5-ум алокаманд баён гардидаанд.

Мисли он ки мардумаки чашм хама чизро мебинаду худро не, ададе мавчуд аст, ки ба хамаи ададхо таксим мешаваду ба худаш не. Ин адад нол аст! Онро баъзехо адади хоса гуфтаанд, ки комилан дуруст аст. Аммо, аксаран, онро адади чуфт номидаанд. Ш акли умумии навишти адади чуфт намуди 2п -ро дорад ва мегуянд, ки п хамаи киматхои бутунро кабул мекунад. Агар инро ба назар гирем, катори ин ададхо дар намуди •••,-8, - 6 , - 4 , - 2 ,0 ,2 ,4 , 6, 8, ••• навишта мешавад. Чунон ки мебинем, хдр як адади пасоянда аз адади пеш 2 вохид калон аст. Агар нолро аз ин катор дур намоем, он коида бекор мешавад. Мо коидае дорем, ки мувофики он суммаи ду адади ток адади чуфт мешавад. Пайваста ба ин, агар суммаи ду адади токи ба хамдигар мукобилро гирем, он ба нол баробар мешавад. Агар нолро ба катори ададхои чуфт дохил накунем, коидаи боло риоя намегардад. Суммаи ду адади чуфти мукобил хам ба нол баробар аст. Хдмин чизро ба эътибор гирифта, нолро ба катори ададхои чуфт дохил кардем, ки ин бояд малоли хотири хонандагон нагардад.

Дар китоб ба тарзхои гуногуни халли масъалахо ва баёни маводи назариявй чиддан диккат додем. Ин маънои онро надорад, ки шумо бояд хамаи он тарзхоро дар синф муоина намоед. Баъзеи онхоро берун аз даре муоина кардан мувофики максад аст. Ин, пеш аз хама, ба завки хонандаи китоб вобаста аст. Ба ошкор сохтани шартхои зиёдатии масъала низ диккат дода шудааст. Хамаи ин ба хубтар азхудкунии мавзуъхо, ба чудо кардани тарзи бехтарини халли масъалахо ва ривочи кобилияти эчодиатон мадад мекунад.

Мавзуи «Зарби каерхои оддй» аз нигохи дигар халлу фасл шудааст. Азбаски дар китоб дойр ба мавзуъхои «Аз руйи адади додашуда ёфтани хиссахои он» ва «Аз руи хиссахои додашудаи адад ёфтани он» масъалах,ои гуногун ной гирифтаанд, масъалахои халкардашуда ва барои хал низ бештар дода шудаанд.

3

Зарбу так,сими ададх,ои манфй низ аз нигохи дигар баррасй шудаанд, ки ин ба манфиати кор аст. Мавзуъхои «Касрхои дахии беохир» ва «Касрхои даврй» дар китобхои пештара нокифоя ва носахех баён шудаанд ва мо онхоро то хадде ба эътидол овардем. Мавзуи «Сохтани диаграммахо» аз китоби пештара берун мондааст ва мо ин корро низ ба чо овардем.

Дар охири хар як боб хитобаи «Худро бисанчед» омадааст ва ба воситаи он санчиши тестиро чорй намудем, ва илова бар ин, як ё ду кори мустакилона пешниход шудааст, ки хар кадом аз чор вариант иборат буда, онро худатон бояд хал кунед.

Дар охири китоб саволхои назоратй ва масъалахо барои такрор пешниход шудаанд, ки шумо ба онхо бояд чавоб дихед ва онхоро бояд хал кунед. Барои машгулиятхои берун аз даре низ масъалахои зиёде пешниход шудаанд. Баъзе масъалахои тавзехталаб дар чояшон хал карда шудаанд, ки баъди ин масъалахои ба онхо монанд меоянд.

Шумо бо мулохиза ва мехнати фикриатон, бо ёрии муаллим, донишро аз худ карда метавонед ва рагбати шумо ба омухтани илм зиёда мегардад ва мо ба шумо барори кор мехохем.

Барои мо мухим аст бифахмем, ки ин китоб то кадом дарача ба шумо мувофик омадааст. Хохишмандем, ки такризи худро ба нишонии зер фиристед: 734024, ш.Душанбе, кучаи Нисормухаммад 13а, М аркази тахия, нашр ва муомилоти китобхои дарей, илмию методй.

4

ТАКРОР ВА САВОЛХ.О

О И Д БА М А ВЗУ Ъ Х О И С И Н Ф И V

1. Ададхое, ки барои шуморидани ашё истифода мешаванд, ададх,ои натуралй ном доранд.

2. Дар адади 657 чанд сади, дахй ва вохид мавчуд аст?3. Нол адади натуралй нест.4. Адади дусаду панчоху хашт хазору серо бо ракамхо нависед.5. Ададеро бо раками чор ва хафт нол нависед ва онро хонед.6 . Бо ёрии аломати «хурд» ва «калон» нависед, ки адади 8 аз

адади 13 хурд аст ва адади 17 аз адади 12 калон аст.7. Суммаи ададхои 357 ва 0 ба 357 баробар аст.8 . Фарки 5 7 6 -0 ба чанд баробар аст?9. Баробарии 376-123 = 253 дуруст аст, зеро 253 + 123 = 376

мешавад.10. Бо ёрии амали чамъ санчед, ки оё баробарии 4 7 8 -2 1 4 = 154

дуруст аст?11. Кимати ифодаи 697 - у -ро, дар холати у = 697 будан, ёбед.12. Муодилаи х + \4 9 ~ 205 -ро хал кунед.13. Ифодаи 2119-(847 + 1129)-ро дар дафтаратон нависед ва

кимати онро бо тарзи мувофиктарин хисоб кунед.14. Хрсили зарби 19-3-ро дар намуди суммаи 19 + 19 + 19

навиштан мумкин аст.15. Суммаи 14 + 14 + 14 + 14 -ро дар намуди хосили зарб нависед.16. Адади 36-ро дар намуди хосили зарби ду зарбшавандаи

баробар навиштан мумкин аст, яъне 36 = 6 - 6 .17. Адади 64-ро дар намуди хосили зарби ду адади баробар нависед.18. Кимати хосили зарби 61-хдар холати х - 0 будан ба чанд

баробар аст? Дар холати х = 1 будан-чй?19. Хосили зарби ададхои 48 ва 25 ба 1200 баробар аст. Хосили

зарби ададхои 25 ва 48-ро ёбед.20. Бо тарзи кулайтарин хосили зарби 4- 5476- 25 -ро ёбед.21. Барои кадом кимати х баробарии 15-х = 45 дуруст

мешавад?22 . Кимати ифодаи 0 :8 ба чанд баробар аст?23. Агар таксимшаванда ва таксимкунанда ба якдигар баробар

бошанд, хосили таксим ба чанд баробар мешавад?24. Ягон ададро ба 0 таксим кардан мумкин нест.25. Амали 105:7 -ро ичро карда, натичаро бо зарб санчед.

5

26. Чумлаи «20 дона ручкаи хдр кадомаш 10-дирамй харида шуд»-ро дар намуди ифодаи ададй нависед.

27. Ч,умлаи «Суммаи адади 27 ва хосили зарби ададхои 5 ва 12»- ро дар намуди ифодаи ададй нависед.

2 328. Ифодахои 12 ва 15 -ро дар намуди хосили зарб нависед.29. Агар х = 14 бошад, фарки х - 11 -ро ёбед.30. Таксими бакиянок аз руйи формулаи а = £с + ги чро карда

мешавад, ки дар ин чо а -таксимшаванда, Ъ -таксим- кунанда, с-хосили таксим, r -бакия аст. Агар а = 47 Ъ - 5, с = 9 бошад, бакияро ёбед.

31. Бо ёрии кону ни таксимоти зарб кимати ифодаи 478- 69 + 522- 69 -ро хисоб кунед.

32. Конуни таксимотии зарбро татбик намуда, ифодаи 49а - 29а -ро ба хосили зарб табдил дихед.

33. Муодилаи 7 - х = 5 -ро ба дафтаратон нависед. Оё адади 3 решай ин муодила мешавад?

34. Сеяки порчаи дарозиаш 18 см ба чанд сантиметр баробар аст?35. Агар сурати каср ба 5 баробар бошад, касрхои у , у

касрхои нодуруст мешаванд. Дар кадом киматхои х касри

касри дуруст мешавад?

36. Кадоме аз касрхои у | , дар нури ададй

чаптар аз 1 ва кадомашон росттар аз он чойгиранд?С 'У П 1 1

37. Кимати ифодахои ~ + -у ва j j - y j 'Р ° ёбед.

38. Кимати ифодахои 1^ + 2-^ва 3 -^ -2 -ро хисоб кунед.

ft 839. Дар байни касрхои ^ ва ^ аломати “> ” ё “< ”-ро дуруст

гузоред.40. Суммаи 1,437+2,63 ва фарки 3,253 -1,47-ро хисоб кунед.41. Хрсили зарби ададхои 1,12 ва 2,03-ро ёбед.42. Кимати ифодаи 6,03:9 -ро хисоб кунед.43. Миёнаи арифметикии ададхои 2,7; 1,2; 1,02-ро ёбед.

о44 1%-и адади 53 ба баробар аст. 15%-и адади 53-ро ёбед.

45. 1%-и кадом адад ба 6 баробар аст?46. Адади 18 чанд фоизи адади 150-ро ташкил медихад?

6

Б О Б И I. ТАКС И М Ш А В И И А Д А Д Х О И Н А Т У РА Л Й

1. Гаксимкунандах,о ва карагихои ададхои натуралйАгар як адади натуралй ба адади натуралии дуюм бебак^ия

таксим шавад, он гох; адади дуюм тацсимкунандаи адади якум номида мешавад. Адади якум метавонад ба якчанд адад таксим шавад.

Масалан, адади 12 ба 1, 2, 3, 4, 6 ва 12 таксим мешавад. Дар ин чо хдр яке аз ададхои 1, 2, 3, 4, 6 ва 12-ро таксимкунандаи адади 12 мегуем. Дар навбати худ адади 12 ба ададхои 1, 2, 3, 4,6 ва 12 каратй аст, зеро адади 12 ба 12 карати адади 1 баробар аст. Он инчунин ба 6 карати адади 2, ба 4 карати адади 3, ба 3 карати адади 4, ба 2 карати адади 6 ва ба 1 карати худаш баробар аст. Адади 18 ба ададхои 1, 2, 3, 6 , 9 ва 18 каратй аст ва ададхои 1, 2, 3, 6 , 9 ва 18 таксимкунандахои адади 18-анд. Адади а ба адади b каратй мешавад, агар аба. b бебакия таксим шавад.

Ададх;ое, ки ба адади 2 каратианд, ададхои чуфт ном доранд. Адади нол хам ба катори ададхои чуфт дохил мешавад, зеро он хам ба 2 каратй аст: 0 :2 = 0. Х,амаи ададхои бокимонда ададхои ток, номида мешаванд.

Донистани таксимкунандахои адад дар хал кардани бисёр масъалахо мадад мерасонад.

Масалан, адади 12 таксимкунандахои 1, 2, 3, 4, 6 ва 12-ро дорад.

М а < ъ а л я. 12 хонандаро бо чанд тарз ба сафхои баробар чудо кардан мумкин аст?

Д ал. 1) ба як сафи 12-нафарй;2) ба ду сафи 6-нафарй;3) ба се сафи 4-нафарй;4) ба чор сафи 3-нафарй;5) ба шаш сафи 2-нафарй;6) ба 12 сафи 1- нафарй чудо кардан мумкин аст.

Аз мушохидаи боло аён мегардад, ки:а) барои хар як адади натуралй хурдтарин таксимкунанда

мавчуд аст, ки он адади 1 аст;б) барои хар як адади натуралии додашуда калонтарин

таксимкунанда мавчуд аст, ки он худи хамин адади додашуда мебошад;

в) таксимкунандахои дигари адади натуралии додашудаи п,агар онхо мавчуд бошанд, дар байни таксимкунандахои хурдтарину калонтарини он адади додашуда махдуданд;

7

г) микдори таксимкунандаи адади додашудаи п аз п зиёд нест;г) адади 1 факат як таксимкунанда дорад, ки он худи 1 аст;д) ададхои натуралие мавчуданд, ки факат ба 1 ва худашон

таксим мешаванд, яъне хамагй ду таксимкунанда доранд;е) ягона ададе, ки таксимкунандахои бешумор дорад, адади О

аст, ки ба хамаи ададхои натуралй таксим мешавад.Хамин гуна мулохизахоро оид ба хурдтарин каратии адади

натуралй низ баён кардан мумкин аст:а) хар як адади натуралй ба худаш хурдтарин каратй аст;б) хар як адади натуралии п каратихои бешумор дорад, яъне

адади п-ро ба хар як узви катори ададхои натуралй зарб карда, каратихои адади «-ро хосил мекунем, ки онхо 1 п, 2 п,3 п ва хоказоанд. Хулоса, х,ар як адади натуралй каратии калонтарин надорад;

в) нол ягона ададест, ки каратй надорад, зеро ягон адади натуралиро ба нол таксим кардан мумкин нест.

Агар адади натуралии т таксимкунандаи адади п бошаду хосили таксими п:т ба q баробар гардад, он гох q хам таксимкунандаи адади п мешавад. М асалан, 6 таксимкунандаи адади 18 бошад, яъне 18:6 = 3. Аён аст, ки 18 ба 3 хам бебакия таксим мешавад.1. Кадом адад каратии адади додашуда ном дорад?2. Кадом адад таксимкунандаи адади додашуда номида

мешавад?3 Якчанд адади ба: а) 3; б) 14; в) 64; г) 31 каратиро нишон дихед.4 Якчанд таксимкунандаи ададхои: а) 6; б) 18; в) 30; г) 42-ро

номбар кунед.5. Кадоме аз ададхои 1, 2, 3, 4, 5, 6 , 7, 8 , 9, 20 таксимкунандахои

ададхои зерин мешаванд?а) 9; б) 15; в) 35; г) 47; г) 48; д) 70; е) 72; ё) 130.

6 . Хамаи таксимкунандахои ададхои зеринро нишон дихед:а) 4; 6)9; в) 5; г) 12; г) 15; д) 36; е) 27; ё) 28.

7. Сетой адади дилхохро нависед, ки ададхои зерин таксимкунандахои онхо башанд:а) 3; 6)5; в) 7; г) 8; г) 11; д) 12; е) 20; ё) 22.

Н а м у н а и л; а /. г) адади 11 таксимкунандаи се адад, масалан, 0; 11 ва 22 ё 11; 22; 33 ва ё 22; 44; 55 аст.8 Дар мисолхои зерин оё яке аз ададхо таксимкунандаи адади

дигараш шуда метавонад?а )6 в а 1 8 ; б )4 5 в а1 5 ; в) 45 ва 9; г) 45 ва 25;г )2 0 в а1 5 ; д) 28 ва 7; е )7 2 ва1 8 ; ё )1 8 ва4 8 .

8

9. Х,амаи таксимкунандахои адади 90-ро ёбед ва онхоро ба тарики зиёдшавиашон нависед.

10. Се адади дилхохро нависед, ки ададхои зерин таксимкунандахои онхо бошанд:а) 4 ва 5; б )4 в а 1 0 ; в) 14 ва 6; г) 6 ва 12.

П . Се адади дилхохро нависед, ки ададхои зерин таксимкунандахои онхо бошанд:а) 3, 4 ва 6; б) 3, 5 ва 6; в) 1, 2 ва 3; г) 2, 4 ва 6 .

2. Таксимкунандахои умумии ададхоДу ё зиёда аз он ададхо дода шудаанд. Агар хамаи ин ададхо

ба ягон адади а таксим шаванд, он гох адади а-ро таксимкунандаи умумии он ададхо меномем.

Агар ададхои додашуда ба якчш1д ададхои а, Ь, с ва гайра таксим шаванд, он гох; ададхои а, Ь, с ва гайра такримкунанда- х;ои умумии он ададхои додашуда номида мешаванд.

Масалан, ададхои 4, 6 ва 12 ба 2 таксим мешаванд, пас адади 2 таксимкунандаи умумии ададхои 4, 6 ва 12 аст. Ададхои 4, 6 ва 12 дигар таксимкунандаи умумй надоранд. Аммо 12, 18 ва 36 таксимкунандахои умумии 2, 3, 6-ро доранд. Пас, ададхои 2, 3, 6 таксимкунандахои умумии ададхои 12, 18 ва 36-анд.

: 2. Таксимкунандахои умумии ададхои зеринро ёбед: а) 8 ва 12;б) 6 ва 14; в) 9 ва 27; г) 15 ва 25; г) 25 ва 10; д) 24 ва 66.

13. Таксимкунандахои умумии ададхои зеринро ёбед: а )4 в а 8 ; б )6 в а 1 2 ; в) 7 ва 14; г )1 0 в а2 0 ; г) 24 ва 96; д) 17 ва 51; е )1 8 в а 3 6 ; ё )2 7 в а8 1 .

14. Таксимкунандахои умумии ададхои зеринро ёбед: а) 3, 6 ва 9; б) 2, 4 ва 8; в) 4, 8 ва 12; г) 5, 10 ва 15; г) 1, 7 ва 14; д) 2, 5 ва 9.

15. Се ададеро нависед, ки таксимкунандахои умумиашон ададхои зерин бошанд:а) 4 ва 8; б) 4 ва 10; в) 7 ва 3; г) 6 ва 8; г) 2 ва 8; д) 3 ва 6 .

16. Се ададеро нависед, ки таксимкунандахои умумиашон ададхои зерин бошанд:а) 1, 2 ва 3; б) 2, 4 ва 6; в) 4, 6 ва 12;г) 6, 9 ва 10; г) 3, 6 в а 9 ; д) 3, 4 ва 6 .

9

3. Каратихои умумии ададхоАгар ба каратих,ои якчанд ададхои додашуда назар кунем,

мебинем, ки дар байни онхо ададхои баробар мавчуданд.Химии ададхои баробарро каратихои умумии ин ададхо меномем.Масалан, ба каратихои умумии ададхои 3,4 ва 6 назар мекунем:3, 6,9,12,15,18,21,24,27, 30, 33, 36, 39,42,45,48,45 ва хоказо;4, 8 , 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52 ва гайра;6 ,12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54 ва хоказо.Дар байни ин се гурухи ададхо мо ба ададхои 12, 24, 36, 48 ва

гайра вомехурем. Ин ададхо каратихои умумии ададхои 3, 4 ва 6-анд.

Якчанд каратихои умумии ададхои зеринро нишон дихед: а) 3 ва 5; б) 4 ва 7; в) 5 ва 8; г) 8 ва 12; г) 5 ва 10; д) 8 ва 6 . Якчанд каратихои умумии ададхои зеринро нишон дихед: а) 2, 3 ва 4; б) 2, 4 ва 6; в) 3, 6 ва 7; г) 3, 5 ва 6; г) 2, 4 ва 8;д) 1, 2 ва 3.Се ададеро нависед, ки каратихои умумиашон ададхои зерин бошанд: а) 24; 6)12; в) 14; г) 18; г) 25; д) 28.Пеш аз омузиши нишонахои таксимшавии ададхо аввал

баъзе хосиятхои таксимшавии сумма ва хосили зарбро шарх медихем.

4. \(.к и «1и таксимшавии сумма ва хосили зарб1. Агар хар яке аз чамъшавандахои сумма ба хамон як адад

таксим шавад, он гох сумма хам ба хамон адад таксим мешавад.i m о т I (12+ 20+ 28 + 92): 4 .

Аз як тараф, агар хар як чамъшавандаро ба 4 таксим кунем, 12:4 = 3, 20:4 = 5, 28:4 = 7, 92:4 = 23 ва 3 + 5 + 8 + 23 = 38 меша­вад. Аз тарафи дигар, агар аввал суммаро хисоб карда, баъд онро ба 4 таксим кунем, 152:4 = 38 мешавад. Баръакс, агар сумма ба ягон адад таксим шавад, чунин маъно надорад, ки хар як чамъшаванда хам ба хамон адад таксим мешуда бошад.

Масалан, 3 + 5 = 8 . Адади 8 ба 2 таксим мешавад, вале 3 ва 5 ба 2 таксим намешаванд.

2. Агар хар яке аз чамъшавандахои сумма, ба гайр аз яктоаш, ба хамон як адад таксим шавад, он гох сумма ба он адад таксим намешавад.

(12 + 20 + 28 + 91) :4.Аз чамъшавандахо факат 91 ба 4 таксим намешавад, пас

сумма низ ба 4 таксим намешавад. Дар хакикат, 12 + 20 + 28 +10

+ 91 = 151; агар 151-ро ба 4 таксим кунем, хосили таксим 37, яъне 37-4 = 148 ва бакия 151-148 = 3 мебарояд.

3. Агар тархшаванда ва тархкунанда ба ягон адад таксим шавад, он гох фарк хам ба хамон адад таксим мешавад. Масалан, ададхои 1309 ва 979 ба 11 таксим мешаванд. Инро, бевосита, бо тарзи ба 11 таксимкунии ададхои 1309 ва 979 санчидан мумкин аст: 1309:11 = 119; 979:11 = 89.

Акнун фарки онхоро меёбем: 1309-979 = 330. Адади 330-ро ба 11 таксим мекунем: 330:11 = 30.

4. Агар яке аз зарбшавандахо ба ягон адад таксим шавад, он гох хосили зарб низ ба хамон адад таксим мешавад.

М и с о л и 3. Дар хосили зарби 17-8- 27-4 зарбшавандаи 27 ба 9 таксим мешавад. Аз ин ру, бояд хосили зарб ба 9 таксим шавад. Дар хакикат, 17-8-27-4 = 14688 ва 14688:9 = 1632 мешавад, ё ки (17 • 8 • 27 • 4): 9 = (17 ■ 8 • 4)- 27:9 = (68 • 8)- (27:9) = 544 ■ 3 = 1632.20. Амалхоро ичро накарда, ба адади додашуда таксимшавии

сумма ва фаркро нишон дихед:а) (9 + 12 + 15 + 21) :3 ; б) (4 + 6 +10 + 18): 2;в) (12 + 24 + 30 + 42): 6; г) (7 + 14 + 28 + 49): 7;г) (26 + 39 + 65): 13; д) (18 + 27 + 63):9;е) (8645-5012): 7; ё) (9 9 -5 5 -2 2 ): 11.

21. Бо тарзи содатарин кимати ифодаи ададиро хисоб кунед: а) (36+ 48+ 60+ 72): 12; б) (27 + 45 + 99): 9;в) (22 + 44 + 77 +11): 11; г) (26 +52 + 91): 13.

22. Амалхоро ичро накарда, нишон дихед, ки хосили зарб ба адади додашуда таксим мешавад:а) 24-11-15-147 ба 12; б) 24-11-15-147 ба 7;в) 24-11-15-147 ба 21; г) 81- 42-15-17 ба 27.

23. Бо тарзи содатарин кимати ифодаи ададиро хисоб кунед: а) (19-7-27-10):9; б) (14-5-36-13): 18;в) (8-17-5-42):21; г) (8-17-5-42):42.

§. Нишонаи гаксимшавй ба адади 2

Адади 10 ва каратихои он ба 2 таксим мешаванд. Мо адади дуракамаро дар намуди ab = 10a+b, серакамаро дар намудиabc = 100а+10Ь+с ва монанди ин навишта метавонем. Х,амаи чамъшавандахо, ба гайр аз вохидхо, зарбшавандаи 10-ро

11

доранд. Пас, хдмаи онхо ба 2 таксим мешаванд. Бинобар инab = 10a+b ба 2 хдмон вакт таксим мешавад, ки агар b ба 2таксим шавад. Адади abc = 100а+10Ь+с хдмон вакт ба 2 таксим мешавад, ки агар с ба 2 таксим шавад ва хоказо. Аммо с раками охирин аст.

Хдмин тарик, ададхое ба 2 таксим мешаванд, ки агар раками охиринашон 0 бошад, ё ба 2 таксим шаванд. Мо медонем, ки ракамхои ба 2 таксимшаванда 2, 4, 6 ва 8-анд.

Ададхое, ки ба адади 2 таксим мешаванд, ададхои чуфт ном доранд.

Ададхои ба 2 таксимнашавандаро ададхои ток, меномем.Мувофики таърифи бол о адади 0-ро хам ба катори ададхои

чуфт дохил мекунем, зеро он ба 2 таксим мешавад. Ин амали мо дар якчанд маврид корамонро осон мегардонад. Масалан, агар адади 2я-ро дар холати киматхои 0 , 1, 2 , 3 ва гайра кабул кардани п пай дар пай нависем, 0, 2, 4, 6 ва гайра хосил мешавад, ки фарки байни адади пасоянда аз адади пеш хама вакт ба 2 баробар аст. Ба монанди хамин, агар адади 2и+7-ро дар киматхои п - 0, 1, 2, 3 ва гайра нависем, ададхои 1, 3, 5, 7 ва гайра хосил мешаванд, ки онхо ададхои токанд ва фарки ададхои пасояндаю пешояндаашон низ ба 2 баробар мешавад. Аз ин ру, ададхои чуфтро дар намуди умумии 2п ва ададхои токро 2п+1 менависем.

Рак,амх,ои 0, 2, 4, 6, 8-ро рак,амх,ои чуфт ва рак,амх,ои 1, 3, 5, 7,9-ро ракамхои ток, меномем.

Ба ин гуфтахо такя карда нишонаи ба адади 2- таксимшавиро ин тавр хам шарх додан мумкин аст:

Ададхои ба 2 таксимшаванда рак,амх,ои охирини чуфти 0, 2, 4,6, 8-ро доранд.

Оё ададхои зерин ба адади 2 таксим мешаванд?а) 12; б) 18; в) 28; г) 80; г) 20; д) 120; е) 36; ё) 34.Оё ададхои зерин ба адади 2 каратианд?а) 6; 6)9; в) 22; г) 35; г) 61; д) 62; е) 40; ё) 42 ж) 500.

26 Дар ададхои чорракамаи: а) 137*; 6) 269* ; в) 127*;г) 306* ба чойи рамзи * ракамеро гузоред, ки адади

хосилшуда ба 2 таксим шавад.Кадом ракамхоро чуфт ва кадом ракамхоро ток меноманд?Се адади чуфту се адади ток нависед.Аз байни адади зерин ададхои чуфтро алохида ва ададхои

12

токро алохдца чудо карда нависед: 372, 375, 451, 9622, 540, 504,733, 1001.

30. Микдори умумии хонандагони синфхои 6а ва 6^ ба 43 баробар аст. Оё хонандагони харду синф баробаранд?

31. Аз ракамхои 0, 3, 5 хамаи ададхои серакамаи аз ракамхои гуногун таркибёфтаро нависед, ки ба 2 таксим шаванд.

32. Кадом ададхои ба 2 каратй нобаробарии х<19-ро каноат кунонида метавонанд?

33. Оё 5-то тангаи 5-дирама пули дирамаш чуфтро ташкил медихад? 4-то чунин танга чй?

6. Нишонаи таксимшавй ба ададхои 5 ва 10

Чи хеле ки дар боло дидем, хамагуна адади бисёрракама дар намудхои зерин тасвир мешавад:

ab =10а+Ь=10 а+Ь;abc =100a+10b+c-10( 10a+b)+c=10 ab +с; abed =1000a+100b+10c+d=10( 100a+10b+c) +г/=10- abc л- d . Ададхои 10- a, \0 a b ,\0 abc ба 5 таксим мешаванд, зеро

онхо ба 5 каратианд. Пас, л;амон ададхое ба 5 таксим мешаванд, ки агар разами охиринашон ба 5 тацеим шавад, яъне разами охирин ё 5 ва ё 0 бошад.

Каратихои адади 10 ададхои 10, 20, 30, 40, 50, 60, ... мебошанд. Хамаи онхо бо раками 0 тамом шудаанд. Пас, ба 10 х;амон ададхое так сим мешаванд, ки разами охиринашон нол бошад.

34. Кадоме аз ададхои зерин ба 5 таксим мешаванд ва кадомашон хам ба 2 ва хам ба 5 таксим мешаванд?а) 20; 6)35; в) 80; г) 120; г) 170; д) 175; е) 104.

35. Дар ададхои чорракамаи зерин ба чои ситорача кадом ракамро гузоштан лозим аст, ки он ба 5 таксим шавад?а) 175*; 6)347*; в) 409*; г) 100*.

36. Дар машкхои зерин амалхоро ичро накарда муайян кунед, ки оё он ифодахо ба 5 таксим мешаванд?а) 135-74; 6)114-15; в) 142-102; г) 90-14;f) 115 + 210; д) 113 + 315; е) 410 -2 1 5 ; ё) 213 + 312.

37. Ададхои якракама, дуракама ва серакамаи калонтаринро нависед, ки онхо ба 5 таксим шаванд.

38. Хамаи ададхои серакамаеро нависед, ки онхо факат аз

13

ракамхои 0, 2 ва 5 таркиб ёфта: а) ба 2 таксим шаванд;б) ба 5 таксим шаванд;в) дар як вакт хдм ба 2 ва хдм ба 5 таксим шаванд.

39. Дар тарафи роста адади 329 ракамеро илова кунед, ки адади хосилшуда ба 5 таксим шавад.

40. Амалхоро ичро накарда, нишон дихед, ки фарки зерин ба 5 таксим мешавад ё не?а) 3472 - 122; б) 4745 - 390; в) 473 + 1262;г) 761 + 434; г) 1649 - 879; д) 467 - 336.

7. Нишонаи таксимшавй ба ададхои 3 ва 9Дар п .6 нишон додем, ки ададхоро дар намудхои зерин

тасвир кардан мумкин аст:ab = 10о + Ъ = 10-а + b 89 = 10-8 + 9;abc=100a+10b+c 357 = 100-3 + 10-5 + 7;abed =1000а+100b+10c+d 4532 = 1000-4+100-5 +10-3 + 2 .Дар ин чо амалхоро каме табдил медихем:ab -9а+ (а+ Ь );abc = (99а+9Ь) + (а+Ь+с);abed =(999a+99b+9c) + (a+b+c+d) ва гайра. Аён аст, ки хар

як чамъшавандаи кавсхои аввал ба 9 таксим мешавад. Бинобар ин агар суммаи чамъшавандахои кавсхои дуюм хам ба 9 таксим шавад, он гох худи адади abed ба 9 таксим мегардад. Аммочамъшавандахои кавсхои дуюм аз хамаи ракамхои адади abed иборатанд. Пас, ба 9 хамон ададхое таксим мешаванд, ки агар суммаи рацамхояшон ба 9 таксим шавад.

Масалан, азбаски суммаи ракамхои адади 29754, яъне 2+9+7+5+4=27 ба 9 таксим мешавад, бинобар ин худи адади 29754 хам ба 9 таксим мешавад. Дар хакикат, 29754:9=3306.

Агар адади а ба 9 таксим шуда хосили таксим b барояд, он гох а=Ь9 мешавад. Азбаски 9=33 аст, бинобар ин а = Ъ-ЪЪ = = (Зб)- 3 мешавад, яъне адади а ба адади 3 хам таксим мешавад. Пас, ба 3 я;амон ададхое тацеим мешаванд, ки суммаи рак,амх;о- яшон ба 3 тацсим шавад.

М и с о л и 1. Адади 1 000 000 009 653 ба 3 таксим мешавад, зеро суммаи ракамхои он 1+9+6+5+3=24 ба 3 таксим мешавад.

М и с о л и 2. Дар навишти 18*9 ба чойи ситорача кадом ракамро гузорем, ки адади хосилшуда ба 9 таксим шавад?

14

К 1 <• Ракамхои 0 ва 9-ро гузорем, адади х,осилшуда ба 9- таксим мешавад.

Кадоме аз ададхои зерин ба 3 ва кадомашон ба 9 таксим мешаванд?а) 12; 6)21; в) 27; г) 72; f ) 48; д) 84;е) 765; ё) 576; ж) 351; з) 531; и) 111; й) 333.Оё ададхои зерин ба 3 таксим мешаванд? а) 39; 6)158; в) 525; г) 98;г) 3030; д) 2071; е) 1205; ё) 2325.Оё ададхои зерин ба 9 таксим мешаванд? а) 72; 6)243; в) 117; г) 1008; г) 2007; д) 891; е)2106; ё) 555. Ба тарафи рости адади 214 ракамеро хамрох кунед, ки адади хосилшуда ба 3 таксим шавад. М асъала чанд хал дорад?Ба тарафи чапи адади 107 ракамеро хамрох кунед, ки адади хосилшуда ба 9 таксим шавад.Аз ракамхои 0, 3, 4, 5 адади чорракамае тартиб дихед, ки он хам ба 2 ва хам ба 3 таксим шавад. Масъала чанд хал дорад?Аз ракамхои 2, 0, 4, 3 адади чорракамае тартиб дихед, ки он хам ба 2, хам ба 3 ва хам ба 9 таксим шавад. М асъала чанд тарзи хал дорад?Амали тархро ичро накарда муайян намоед, ки оё фарки 378-192 ба 3 таксим мешавад?Амали чамъро ичро накарда муайян намоед, ки оё суммаи 315+423 ба 9 таксим мешавад?

Адади серакамаи калонтаринро нависед, ки он ба 9 таксим шавад. Адади серакамаи хурдгаринро нависед, ки он ба 9 таксим шавад.

-^ -Д ар навишти 13*5 ба чойи ситорача ракамеро гузоред, ки адади хосилшуда дар як вакт хам ба 3 ва хам ба 5 таксим шавад. Х,амаи халхоро ёбед.Оё адади 51-37 ба 3 таксим мешавад?Оё суммаи 211 +113 ба 3 ва ба 9 таксим мешавад?

8. Ададхои сода ва таркибйАдадхои натуралиро аз руйи микдори таксимкунандахояшон

ба се намуд чудо мекунанд.1) Адади натуралие, ки факат як таксимкунанда дорад. Ин

адад як (вохид) аст. Вай факат ба худаш таксим мешавад.2) Адади натуралие, ки факат ду таксимкунанда дорад, яъне

ба 1 ва ба худаш таксим мешавад. Масалан, ин ададхо 2, 3, 5, 7,11, 13, 17 ва гайра. Чунин ададхоро ададхои сода меноманд.

15

3) Ададхои натуралие, ки зиёда аз ду таксимкунанда доранд. Масалан, адади 4 се таксимкунанда дорад, ки онхо 1, 2, 4-анд. Адади 6 чор таксимкунанда дорад: 1, 2, 3, 6 . Адади 28 шаш таксимкунанда дорад: 1, 2, 4, 7, 14, 28. Ин гуна ададхоро ададхои таркибй мегуянд. Х,амин тарик, адади натуралй сода номида мешавад, агар он факрт ду таксимкунандаи гуногун дошта бошад ва таркибй номида мешавад, агар он зиёда аз ду таксимкунандаи гуногун дошта бошад. Адади 1 на ба ададхои сода тааллук дораду на ба ададхои таркибй.

Адади 2 ягона адади содаи чуфт аст. Он хурдтарин адади сода аст. Азбаски дар дарсхои минбаъда ададхои содаро бисёр истифода мебарем, бинобар ин, чадвали онхоро дар муковаи китоб навиштем, ки ин кори моро осон мекунад.

Мегуянд, ки адади чуфти аз 3 калонро дар намуди суммаи ду адади сода ва адади токи аз 5 калонро дар намуди суммаи се адади сода навиштан мумкин аст. Масалан, 4=2+2, 8=3+5, 7=2+2+3, 11=2+2+7, 11=3+3+5, 13=3+3+7, 13=3+5+5, 15=3+5+7 ва гайра.

Аз байни ададхои зерин кадомашон содаву кадомашон таркибианд? 2, 5, 8 , 11, 13, 15, 17, 21, 29, 39, 41, 49.Аз байни ададхои зерин ададхои содаро чудо карда ба даф- таратон нависед: 1, 4, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 23, 27, 31, 37, 49, 53.Оё 1 адади сода аст? Агар не, фахмонед, ки чаро?Нишон дихед, ки ададхои зерин таркибианд:9,96,172,1431,2547, 6800, 1325403.Дарозии тегаи куб адади натуралй аст. Оё хачми он адади сода мешавад?Дарозии тарафхои секунча бо ададхои сода ифода шудаанд. Оё периметри секунча адади сода шуда метавонад?Оё 301 адади сода буда метавонад?Оё хосили зарби 7 • 23 адади сода мешавад?Адади 46-ро дар намуди суммаи ду адади сода нависед.Адади 27-ро дар намуди суммаи се адади сода нависед.

6 ' Адади 38-ро бо чанд тарз дар намуди суммаи ду адади сода навиштан мумкин аст?

° Адади 31-ро бо чанд тарз дар намуди суммаи се адади сода навиштан мумкин аст?

16

9. Ба зарбшавандахои сода чудо кардани ададхои натуралй

Ба зарбшавандахои сода чудо кардани ададхои таркибй чунин маъно дорад, ки ин ададхоро дар намуди хосили зарби ададхои сода тасвир кардан имконпазир аст.

Барои ба зарбшавандахои сода чудо кардани ададхои таркибй лозим аст, ки, пеш аз хама, худи ададхои содаро, акаллан дар доираи аз 2 то 100 бишносем. Ин ададхо 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,29, 31, 37,41,43,47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97-анд.

Адади таркибй бо тарзи ягона ба зарбшавандахои сода чудо мешавад, яъне агар адади 18-ро ба 2 таксим кунем, 9 мебарояд ва 9 ба 3-3 чудо мешавад: 18 = 2-3-3; 18 = 3-2-3; 18 = 3 -3 -2 .

Чй хеле, ки мебинем, таксимкуниро аз 2 cap мекунем, ё аз 3 фарк надорад. Х,осили зарб хам аз зарбшавандахои 2, 3, 3 иборат аст. Бинобар ин, чустучуи зарбшавандахои содаро аз хурдтарини онхо cap мекунем. Масалан, бигзор ба зарбш аван­дахои сода чудо кардани адади 630 талаб карда шуда бошад.

Мувофики нишонаи таксимшавй ба 2 адади 2 таксимкунан­даи 630 аст. Адади 630-ро навишта, аз тарафи роста он, аз боло ба поён хати рост мекашем. Адади 2-ро аз тарафи роста ин хат менависем ва дар зери адади 630 хосили таксими 630:2, яъне адади 315-ро менависем. Адади 315 ба 2 таксим намешавад. Аз руйи нишонаи таксимшавй ба 3 муайян мекунем, ки 315

ба 3 таксим мешавад. Адади 3-ро аз тарафи рости 315 дар паси хати рост менависем. Хрсили таксими 315:3, яъне 105-ро дар зери 315 менависем. Мебинем, ки 105 ба 3 таксим мешавад, яъне 105:3 = 35. Адади 35-ро дар зери адади 105 менависем. Адади 35 ба 3 таксим намешавад, бинобар ин, адади содаи дарнавбатистодаи аз 3

калонро месанчем. Ин адад 5 аст. Адади 35 ба 5 таксим ме­шавад, яъне 35:5 = 7. Адади 7-ро дар зери адади 35 менависем. Адади 7 ба 5 таксим намешавад. Пас, дар навбат адади содаи 7 истодааст. Адади 7 ба 7 таксим мешавад, яъне 7 :7 = 1. Адади 1 - ро ба зери 7 менависем. Амали чустучуй тамом шуд. Мебинем, ки дар тарафи рости хат хамаи зарбшавандахои содаи адади 630 хосил шудаанд. Пас, 630 = 2 • 3 • 3 ■ 5 • 7 .

Ин тарзи муоинашудаи ба зарбшавандахои сода чудо кардани адади таркибиро тарзи умумй меноманд.

Мавзуи ояндаи мо содакунии раванди чудокунй ба зарбшавандахои сода аст.

6303151053571

67. Ададх,ои зеринро ба зарбшавандаи сода чудо кунед:а) 220, 351,456,256,234,924; б) 1018. 1128, 1539,2254. 1176;в) 21873, 20583, 10629, 15039, 19305.

68 . х,ар як адади зерин чандтой зарбшавандаи сода дорад? а) 62, 50, 61,69. 82; б) 121, 169,289, 102, 117.

69. Оё хосили таксими ду адади сода адади сода мешавад?70. Оё суммаи ду адади сода боз адади сода мешавад? Намунахо

нишон дихед.71. Оё суммаи ду адади таркибй адади сода мешавад? Намунахо

нишон дихед.72. Оё масохати квадрате, ки дарозии тарафаш адади сода аст,

адади сода шуда метавонад? Мисол биёред.73. Х,амаи он ададхои дуракамаеро нависед, ки онхо аз хосили

зарби ду адади содаи якхела иборат бошанд.74. Х,амаи он ададхои дуракамаеро нависед, ки онхо аз хосили

зарби се адади содаи якхела иборат бошанд.5- Хдр як адади дар сумма ва фаркомадаро ба зарбшавандахои сода

чудо карда, зарбшавандаи якхелаи онхоро аз кавс бароред:а) 255 + 90; б) 48 + 72; в) 2 7 -1 8 ; г) 168-160;г) 18а + 246; д) 64* - 80.у ; е) 16с-20 /с; ё) 80™ + ЮОи .

76. Оё чунин секунча мавчуд аст, ки дарозии тарафхояш ададхои содаи якракама бошанд? Масъала чанд хал дорад?

77. Оё чунин секунча мавчуд аст, ки дарозии тарафхояш ададхои содаи якракама бошанду периметраш адади таркибй? Масъала чанд хал дорад?

10. Осонтар кардани раванди чудокунй ба зарбшавандахои сода

Дар баъзе маврид ба зарбшавандахои сода чудокуниро осонтар намудан мумкин аст. Махсусан, дар холати ба зарбшавандахои сода чудокунии ададе, ки он квадрати адади дигар аст.

Масалан, адади 144-ро ба зарбкунандахои сода чудо кардан лозим аст. Адади 144 квадрати адади 12 аст. Адади 12-ро ба зарбшавандахои сода чудо мекунем, яъне 12 = 2 - 2 - 3 . Аммо 144 = 12 -12 аст. Аз хамин сабаб, мо метавонем ин тавр нависем: 144 = 12-12 = 2 - 2 - 3 - 2 - 2 - 3 = 2 - 2 - 2 - 2 - 3 - 3 .

Ё ки 625 квадрати 25 аст ва 25 = 5-5 аст. Аз ин ру, 625 = 25-25 = 5-5 -5 -5 менависем. Агар адади 220-ро ба зарбшавандахои сода чудо кардан лозим бошад, онро ба

18

намуди 22-10 менависем ва азбаски 22 = 2-11 ва 10=2-5 аст, бинобар ин 220 = 22-10= 2 -11- 2 - 5 = 2- 2 - 5 -11 мешавад.

Агар 2200-ро ба зарбшавандахои сода чудо кардан лозим бошад, онро ба намуди 22 • 100 менависем. Адади 22 ба хосили зарби 2 ва 11 баробар аст ва 100 ба хосили зарби дуто 2 ва дуто5 баробар аст, яъне 22 = 2-11, 100 = 2- 2- 5- 5. Бинобар ин, 2200 ба зарбшавандахои сода ин тавр чудо мешавад:

2200 = 2-2-2-5-5-11.Ин амалро ба таври схемавй низ ичро кардан мумкин аст:

Расми 1

78. Ададхои зеринро схемавй ба зарбшавандахои сода чудокунед:а) 56, 81, 72, 64, 48, 36, 49, 196, 225;б) 50, 70, 100, 140, 180, 200, 300, 600, 5000, 8000.

11. Калонтарин таксимкунандаи умумии якчанд ададхои натуралй

Азбаски калонтарин таксимкунандаи хар як адади натуралй аз худи ин адад калон нест, бинобар ин, микдори таксим- кунандахояш башумор аст. Пас, микдори таксимкунандахои умумии ду адади натуралй низ башумор аст.

Таксимкунандахои умумии ин ададхоро ба тарики зиёдша- виашон навишта, пайгирй мекунем, ки кадомаш калонтарин таксимкунандаи умумии хардуи он ададхост. М асалан, таксимкунандахои умумии ададхои 84 ва 63-ро менависем: 1, 3,7, 21. Калонтарини ин ададхо 21 аст. Пас, калонтарин таксимкунандаи умумии ададхои 84 ва 63 адади 21 будааст.

Калонтарин таксимкунандаи умумии (КТУ)-и ду адади додашуда гуфта х,амон адади калонтаринеро меномем, ки 6а он

19

Хар кадоми адади додашуда тацсим мешавад. Агар КТУ-и ду адад ба 1 баробар бошад, онхо ададхои байни хам сода номида мешаванд.

Масалан, КТУ(8,13)=1. Пас, ададхои 8 ва 13 байни хам соданд.

Агар яке аз ададхо ба адади дигар каратй бошад, он гох КТУ-и онхо ба адади дар байнашон хурд баробар аст.

Масалан, адади 48 ба 16 каратй аст. Пас, КТУ( 16,48)= 16.

79. КТУ-и ду адад гуфта чиро меномем?80. Бо тарзи интихобкунй таксимкунандахои умумии ададхои

зеринро ёбед:а) 36 ва 75; б) 36 ва 150; в) 36 ва 180; г) 16 ва 64.

81. Ба ададхои байни хам сода мисолхо биёред.82. Оё ду адади содаи гуногун байни хам сода мешаванд?83. Оё ду адади таркибй байни хам сода мешаванд?84. Чунин ду ададеро ёбед, ки суммаашон ба 210 баробар буда,

КТУ-и онхо адади 15 бошад. Х,амаи халхоро ёбед.85. Оё ададхои 25 ва 38 байни хам сода мешаванд? Ададхои 25

ва 70-чй?86 . Оё адади 13 КТУ-и ададхои 13 ва 52 мешавад?87. Аз 160 дона себ, 120 дона хурмо ва 100 дона нок микдори

зиёдтарини тухфахоро тайёр карданд. Ба хамаи тухфахо ба микдори баробар себ, хурмо ва нок андохтанд. Муайян кунед, ки микдори тухфахо чандто буд ва хар кадоми онхо чандтогй себ, хурмо ва нок дошт?

12. Тарзхои гуногуни ёфтани КТУ-и якчанд ададхои натуралй

КТУ-и ададхои натуралиро бо ду тарз ёфтан мумкин аст. Т а р з и я к у м и ёфтани калонтарин таксимкунандаи

умумии якчанд ададхо ба он асос карда шудааст, ки ададхои додашуда ба зарбшавандахои сода чудо карда мешаванд.

Масалан, ададхои 180, 420 ва 1080-ро ба зарбшавандахои сода чудо мекунем:

180 = 2 - 2 - 3 - 3 - 5 ; 420= 2 -2 -3 - 5 - 7 ; 1080 = 2 - 2 - 2 - 3 -3 - 3 - 5 . Дар ин чудокунихо микдори камтарини зарбшавандахои

содаи ба хар кадоми онхо дохилшавандаро мегирем. Масалан, дар чудокунии адади 180 зарбшавандаи 2 ду маротиба, дар чудокунии адади 420 ду маротиба ва дар чудокунии адади 1080

20

се маротиба дохил мешавад. Мо дутой онро мегирем. Аз зарбшавандаи 3 якто ва аз зарбшавандаи 5 низ якто мегирем. Азбаски зарбшавандаи 7 факат ба чудокунии адади 420 дохил мешавад, онро намегирем. Х,амин тарик, КТУ-и ададхои 180, 420 ва 1080 ба хосили зарби 2 - 2 - 3 - 5 , яъне ба 60 баробар аст, ки онро ин тавр менависем:

КТУ(180, 420,1080)=60.Агар ёфтани КТУ-и ададхои 195 ва 104 талаб карда шуда

бошад, ин ададхоро ба зарбшавандахои сода чудо мекунем:195 = 3-5-13;104 = 2- 2- 2-13.КТУ(195, 104)=13.Т а р з и д у ю м и ёфтани КТУ-и ададхои натуралй ин тавр

чараён мегирад. Барои он ки осонтар мукоиса карда тавонем, боз хамон ададхои 195 ва 104-ро мегирем. Адади калон, яъне 195-ро ба адади хурд, яъне 104 таксим мекунем. Х,осили таксим ба 1 баробар шуда, 91 бакия мемонад. Акнун 104-ро ба 91 таксим мекунем. Х,осили таксим 1 ва бакия 13 мебарояд. Акнун 91-ро ба 13 таксим мекунем. Ин таксим бебакия ичро мешавад. Пас, адади 13 КТУ-и ададхои 195 ва 104 аст, ки мо онро ба тарзи якум низ ёфта будем. Ин равандро схемавй ин тавр ичро мекунем:

195 104 104 91 91 13104 1 ~ 91 1 91 7

91 Т У UХ,амин тарик, КТУ(195,104)=13.Умуман, барои ёфтани КТУ-и ду адад адади калонро ба

адади хурд таксим мекунем. Агар бакияи якум гайринолй бошад, он гох аз ду адади додашуда хурдашро ба ин бакия таксим мекунем. Агар баъди ин бакияи гайринолии дуюм хосил шавад, он гох бакияи якумро ба бакияи дуюм таксим мекунем ва бакияи дуюмро ба бакияи сеюм таксим мекунем. Ин амалро то бебакия таксим шудани бакияи пешоянда ба бакияи пасоянда давом медихем. Х,амин тарик, бакияи гайринолии охирин КТУ- и он ду адад мешавад.

Дар ёфтани КТУ-и ададхое, ки зарбшавандахои содаашон ададхои калонтаранд, татбики тарзи якум вакти зиёдро мегирад. Бинобар ин, кор фармудани тарзи дуюмро салох медонем.

21

М и с о л. КТУ-и ададх,ои 140537 ва 59783-ро меёбем:

140537 59783 59783120971 20971 17841 1784113130119566 2 419421 2 17841 1 156501 520971 17841 3130 5 2191

3130 2191 2191 939 939 3132191 1 1878 2 939 3939 313 0

Х,амин тарик,, муайян кардем, ки КТУ-и ададхои 140537 ва 59783 ба 313 баробар будааст, яъне КТУ(140537, 59783)=313.

М а с ъ а л а . 165 нафар коргар ба як мавзеъ ва 99 нафар ба мавзеи дигар сафарбар мешаванд. Барои ин максад аз дахто камтар автобусхои микдори чойи нишасташон якхела чудо карда шуданд. Баъди ба автобусхо нишастани коргарон маълум шуд, ки хамаи чойхои нишаст банд шуда, касе бе чой намонд. Муайян кунед, ки хамагй чанд автобус чудо карда шудааст ва автобусхоччанд чойи нишаст доранд.

Х а л . Ададхои 165 ва 99-ро ба зарбшавандахои сода чудо мекунем:

165 = 3-5-11 ва 99 = 3-3-11.Таксимкунандахои умумии он ададхо 3, 11 ва 33-анд. Яке аз

ин ададхо микдори чойи нишасти автобус аст. Агар микдори чойхо 11 бошад, он гох микдори автобусхо ба 3-5 + 3-3 = 24 баробар мешавад. Аммо микдори автобусхо аз 10-то кам буд. Пас, микдори чойхо дар як автобус 33-то буда, микдори автобусхо ба 5+3=8 баробар мешавад.

Х,амин тарик, 5 автобус ба мавзеи якум ва 3 автобус ба мавзеи дигар чудо карда шудааст.

88. Калонтарин таксимкунандаи умумии ададхои зеринро бо тарзхои гуногун ёбед:а) 75 ва 90; б) 150 ва 120; в) 140 ва 210; г) 330 ва 495;г ) 24 в а 128; д) 36 ва 144; е )104ва156; ё)512ва192.

89. Калонтарин таксимкунандаи умумии ададхои зеринро бо тарзхои гуногун ёбед:а) 5-24 + 7-16 ва 5 - 2 4 - 7 - 16 ;б) 16-13-13-13 ва 3-13+117-4;в) 15-17-15-6 ва 15-17 + 15-16;г) 81-17-15-81 ва 81-17 + 81-4.

22

90. Барои аз кон кашонидани 140 т ангишт ба як нохия ва 55 т ангишт ба нохияи дигар як чанд автомобилхои якхела чудо карданд. Муайян намоед, ки чандто автомобил чудо карда шудааст ва иктидори борбардориашон чй кадар аст.

91 . Бобои барфй ба хонандагони ду синфи 6-ум 185 дона себ, 111 дона нок ва 74 дона хурморо баробар таксим карда дод. Хонандагон чанд нафар буданд ва хар кадоми бачахо ба микдори баробар чанддонагй себ, нок ва хурмо гирифтанд?

13. Хурдтарин каратии умумии якчанд ададхои натуралй

Аз байни каратии умумии якчанд ададхо ба хамонаш таваччухи махсус зохир менамоем, ки он хурдтарин бошад.

Адади натуралии хурдтарине, ки ба х1амаи ададх;ои натуралии додашуда бебакия таксим мешавад, хурдтарин каратии умумии (ХКУ)-и он ададхои додашуда ном дорад.

Масалан, адади 60 хурдтарин каратии умумии ададхои 12, 15 ва 20 аст, чунки адади дигари аз 60 хурд мавчуд нест, ки хам ба 12, хам ба 15 ва хам ба 20 бебакия таксим шавад. Инро ин тавр ишорат мекунем:

ХКУ(12, 15, 20)=60.Тарзхои гуногуни ёфтани хурдтарин каратии умумии (ХКУ)-

и ададхои натуралй мавчуданд, ки онхоро шарх медихем.Т а р з и я к у м . Барои ёфтани ХКУ-и ададхо онхоро ба

зарбшавандахои сода чудо мекунем. Масалан, ХКУ-и ададхои 270 ва 756-ро меёбем:

270 = 2- 3- 3- 3- 5 ; 756 = 2-2-3-3-3-7 .Микдори зиёдтарини зарбшавандахои якхелаи дар ин

чудокунихо мавчудбударо мегирем. Масалан, 2 дар чудокунии 270 як маротиба ва дар чудокунии 756 ду маротиба дохил мешавад. Мо 2-2-ро чудо мекунем. Зарбшавандаи 3 дар он чудокунихо се маротиба дохил аст. Пас, 3-3-3 -ро мегирем. Дар чудокунии адади 270 зарбшавандаи 5 хает ва дар чудокунии адади 756 зарбшавандаи 7 хает. М о 5 ва 7-ро хам мегирем, зеро ХКУ-и онхо бояд ба 5 ва 7 хам таксим шавад. Хамин тарик, ХКУ(270, 756)= 2- 2- 3-3- 3-5- 7 = 3780 мешавад.

Т а р з и д у ю м Аввал алокамандии байни КТУ ва ХКУ-и ду ададхоро хосил карда, баъд дар асоси он ёфтани ХКУ-и ду ё зиёда аз он ададхоро мукаррар кардан мумкин аст. Ададхои 1260 ва 14850-ро ба зарбшавандахои сода чудо мекунем:

1260 = 2-2-3-3-5-7; 14850 = 2-3-3-3-5-5-11.23

Акнун КТУ ва ХКУ-и онхоро меёбем:КТУ (1260,14850) =2-3-3-5 = 90;ХКУ (1260,14850) =2-2-3-3-3-5-5-7-И = 207900.

Хосили зарби КТУ ва ХКУ-и хосил кардаамонро меёбем:КТУ (1260,14850) • ХКУ (1260,14850) = 90 • 207900 = 18711000.Адади 18711000 ба хосили зарби ададхои 1260 ва 14850

баробар аст. Пас,ХКУ (1260, 14850) =18711000: КТУ (1260, 14850) == 18711000:90 = 207900 мешавад.

,Ин хамон ададест, ки пештар ёфта будем. Хамин тарик, хулоса мекунем:

1) хосили зарби калонтарин таксимкунандаи умумй ва хурдтарин каратии умумии ду адади додашуда ба хосили зарби ин ададхо баробар аст;

2) барои ёфтани хурдтарин каратии умумии ду адади додашуда хосили зарби ин ададхоро ба калонтарин таксим­кунандаи умумии онхо таксим кардан кифоя аст.

Як мисоли дигарро муоина мекунем. ХКУ-и ададхои 168 ва 231 ёфта шавад. Ададхои додашударо ба зарбшавандахои сода чудо мекунем:

168 = 2- 2- 2- 3- 7 ва 231 = 3-7-11.КТУ (168,231) =3-7 = 21.

Акнун ХКУ-и он ададхоро бо тарзи дуюм меёбем:Х К У (168, 231) =168-231:21 = 168-11 = 1848.

Агар тарзи якумро татбик кунем,Х К У (168, 231) = 2 - 2 - 2 - 3 - 7 -11 = 1848 мешавад.Махсусан, агар ададхои додашударо ба зарбшавандахои сода

чудо кардан душворй оварад, он гох аввал бо рохи таксими пайдарпай КТУ-и он ададхоро меёбем. Баъди ин хосили зарби ададхои додашударо ба КТУ-и ёфтаамон таксим мекунем.

М и с о л. ХКУ-и ададхои 3780 ва 44550-ро меёбем.Амали таксими пайдарпайро ичро мекунем:

44550 3780 378012970 2970 810 810 540 5403780 11 29701 1 2430 3 540 1 540675037802970 ?

810 540 ? 270 0

24

Х,амин тарик, ХКУ (3780,44550) = 44550- 3780:270 = 44550-14 == 623700 мешавад. Кайд мекунем, ки 3780:270=14 аст.

Агар яке аз ададхо ба хамаи ададх,ои дигари додашуда бебакия таксим шавад, он год хдмин адад хурдтарин каратии умумии хамаи хамон ададхост. Масалан, ададхои 12, 24, 36 ва 72 дода шудаанд. Адади 72 ба ададхои 12, 24, 36 ва 72 бебакия таксим мешавад. Пас, 72 хурдтарин каратии умумии ададхои 12,24, 36 ва 72 аст.

Хурдтарин каратии умумии ду адади байнихам сода ба хосили зарби онхо баробар аст. М асалан, ададхои 9 ва 25 байни хам содаанд. Онхоро ба зарбшавандахои сода чудо мекунем:

9 = 3-3, 25 = 5-5, ХКУ (9, 25) = 3- 3- 5- 5 = 9- 25 = 225.92. Хурдтарин каратии умумии ду адад чист?93. Хурдтарин каратии умумии ду ададро бо чанд тарз меёбанд?94 . Ададхои зеринро ба зарбшавандахои сода чудо кунед:

35,27,61,49, 137, 169, 450, 792.95 . Хурдтарин каратии умумии ададхои зеринро бо тарзи ба

зарбшавандахои сода чудо кардани ададхои натуралй (тарзи якум) ёбед:а) 12 ва 20; б) 18 ва 48; в )12ва70 ; г) 30 ва 36;г ) 32ва48; д )27ва81 ; е) 36 ва 72; ё) 84 ва 63.

96. Хурдтарин каратии умумии ададхои зеринро ёбед: а) 40 ва 170; б) 260 ва 3 50; в) 220 ва 241;г) 55 ва 275; f) 61 ва 305; д) 41 ва 89.

97 . Хурдтарин каратии умумии ададхои зеринро бо тарзи дуюм ёбед:а) 260 ва 350; б) 40 ва 170; в) 55 ва 275;г) 220 ва 241; г) 305 ва 61; д ) 89ва41 .

98. Хурдтарин ададеро ёбед, ки он ба ададхои 15 ва 18 бебакия таксим шавад.

99. Се ададеро нишон дихед, ки хосили зарби онхо хурдтарин каратии умумиашон шавад.

100. Дар кадом маврид хосили зарби якчанд адад хурдтарин каратии умумии онхо мешавад?

101. Ду рафик ба микдори баробар анор доштанд. Рафики якум хамаи анорхояшро ба куттихои якхелае андохт, ки ба хар кадомаш 36-донагй анор чой шуд ва хамаи куттихояш пур шуда, анори зиёдатй намонд. Рафики дуюм анорхояшро 45-донагй ба куттихои якхела андохта пур карду анори зиёдатй намонд. Рафикон чандцонагй кутгй ва чандцонагй анор доштанд?

102. Аз ибтидои порчаи дарозиаш 1 м cap карда, бо ёрии паргор

25

аввал порчахои дарозиашон 7 см ва баъд порчахои дарозиашон 12 см-ро пайдарпай гузоштанд. Нуктахои таксимот чй кадар дуртар аз охири порчаи 1-метра болои хам меафтанд?

Худро бисанчедДар зери сарлавхаи «Худро бисанчед» Шумо минбаъд

супоришхоеро мегиред, ки чавоби онхо дар ду ё се намуд ба А, Б ё А, Б, В-и дар тарафи росташон сабт гардидаанд. Масалан, чунин супориш мегиред: Ба чойи ситорача кадом ададрогузоштан лозим аст, ки баробарии ■§ = — дуруст шавад?О *

Баъди ин навиштачоти зеринро мехонед:А) 8 В) 5 С) 24

ки яке аз ададхои навишташуда чавоби дурусти масъала буда, дутой дигараш галат аст. Дар ин чо хамон чавоб адади 24 аст, ки он дар пахлуи рости С навишта шудааст. Ш умо дар чавоб 24 не, балки С менависед.

Ин тарзи ицрои масъаларо ицрои теснит супориш мегуянд. Акнун якчанд супориши зеринро ичро кунед:

1. Калонтарин таксимкунандаи умумии ададхои 12 ва 15-ро нависед.

А) 27 В) 3 С) 202. Калонтарин таксимкунандаи умумии ададхои 18 ва 54-ро

нависед.А) 6 В) 9 С) 18

3. Калонтарин таксимкунандаи умумии ададхои 14 ва 25-ро ёбед.А) 350 В) 1 С) 70

4. Ададхои 18 ва 25 байни хам содаанд ё не?А) Ха, байни хам содаанд В) Не, байни хам сода нестанд

5. Адади сода чанд таксимкунанда дорад?А) Дуто В) Якто С) Бисёр

6 . Адади таркибй чанд таксимкунанда дорад?А) Дуто В) Якто С) Бисёр

7. Адади 6 сода аст ё таркибй?А) Таркибй В) Сода С) Н а содаву на таркибй

8 . Адади 1 сода аст ё таркибй?А) Сода В) На содаву на таркибй С) Таркибй

9. Адади дуракама бо раками 5 тамом мешавад. Оё ин адад метавонад, сода бошад?

А) Ха В) Не

26

Адади дуракама бо раками 2 тамом мешавад. Оё ин адад метавонад, сода бошад?

А) Х,а В) Не10. Адади содаи хурдтарин кадом аст?

А) 1 В) 2 С) 311. Хдмаи ададхои содаеро нишон дихед, ки онхо аз 40 калону

аз 50 хурд бошанд.А) 43, 47 В) 41, 43, 47 С) 41, 43, 47, 49

12. Баъди адади 60 кадом адади сода меояд?А) 63 В) 67 С) 61

13. Хурдтарин каратии умумии ададхои 4 ва 6-ро ёбед.А) 24 В) 12 С) 2

14. Оё адади ток ба адади чуфт таксим мешавад?А) Х,а В) Не

15. Оё адади чуфт ба адади ток каратй мешавад?А) Х,а В) Не

Машкхо барои кори мустакилонаи № 1 Варианты 1

1. Хамаи таксимкунандахои адади 28-ро ёбед.2. Адади 68-ро ба зарбшавандахои сода чудо кунед.3. Сето ададеро нависед, ки онхо ба адади 8 бебакия таксим

шаванд.Варианты 2

1. Х,амаи таксимкунандахои адади 36-ро ёбед.2. Адади 56-ро ба зарбшавандахои сода чудо кунед.3. Чорто ададеро нависед, ки онхо ба адади 7 бебакия таксим

шаванд.Варианты 3

1. Хамаи таксимкунандахои адади 42-ро ёбед.2. Адади 82-ро ба зарбшавандахои сода чудо кунед.3. Сето ададеро нависед, ки таксимкунандаи онхо адади 6

бошад.Варианты 4

1. Хамаи таксимкунандахои адади 69-ро ёбед.2. Адади 84-ро ба зарбшавандахои сода чудо кунед.3. Сето ададеро нависед, ки таксимкунандаи онхо адади 5

бошад.

27

М аш кхо барои кори м устакилонаи № 2Варианта /

1. Аз байни ададхои 264, 435, 426, 570, 1017 хамонхояшро чудо кунед, ки: а) ба 2; б) ба 3; в) хам ба 3 ва хам ба 5 таксим шаванд.

2. Кадоме аз хосилизарби зерин ба 10 бебакия таксим намешавад:

А) 12-14? В) 40-7? С) 8-45? D) 11-15?3. КТУ ва ХКУ-и ададхои 12 ва 18-ро ёбед.

Варианти 21. Аз байни ададхои 264, 435, 426, 570, 1017 хамонхояшро

чудо кунед, ки: а) ба 9; б) ба 5; в) хам ба 2 ва хам ба 3 таксим шаванд.

2. Кадоме аз хосилизарби зерин ба 10 бебакия таксим мешавад?

А) 13-15 В) 33-11 С) 19 - 45 D) 15-183. КТУ ва ХКУ-и ададхои 15 ва 42-ро ёбед.

Варианти 31. Аз байни ададхои 135, 150, 213, 156, 120 хамонхояшро чудо

кунед, ки: а) ба 2; б) ба 5; в) хам ба 3 ва хам ба 5 таксим шаванд.

2. Кадоме аз хосилизарби зерин ба 10 бебакия таксим намешавад?А) 12-5 В) 15-6 С) 20-7 D) 15-15

3. КТУ ва ХКУ-и ададхои 11 ва 33-ро ёбед.Варианти 4

1. Аз байни ададхои 90, 111, 1143, 135, 180 хамонхояшро чудо кунед, ки онхо: а) ба 3; б) ба 5; в) хам ба 5 ва хам ба 9 таксим шаванд.

2. Кадоме аз хосилизарби зерин ба 10 бебакия таксим мешавад?А) 23-5 В) 34-5 С) 3-5-2,5 D) 1,5-3-10

3. КТУ ва ХКУ-и ададхои 24 ва 36-ро ёбед.

М аълум оти таьрихй

Ба таксимшавии ададхои натуралй мактаби илмии Пифагор (асри VI пеш аз милод) машгул будааст. Д ар ин мактаб ба таксимкунандахои ададхои 6, 28 ва 496 диккати махсус дода, суммаи ин таксимкунандахоро (ба истиснои таксимкунандаи охирин, яъне, худи ин адад) хисоб кардаанд. Адади 6 чорто

28

таксимкунанда дорад, ки суммаи сетои аввали онхо: 1+2+3 ба 6 баробар аст. Адади 28 шашто таксимкунанда дорад, ки суммаи панчтои аввали онхо: 1+2+4+7+14 ба 28 баробар аст. Адади 496 дахто таксимкунанда дорад, ки суммаи ну^тои аввали онхо1 +2+4+8+16+31+62+124+248 ба 496 баробар аст. Чунин ададхоро ададхои мукаммал меноманд. Адади мукаммали чорум 8128 буда, адади мукаммали панчум 33550336 кашфиёти олими хамадони форсу точик Кутбиддини Шерозй (1236-1311) аст. Кутбиддини Шерозй дар сохди назарияи ададхо сахми босазо гузоштааст. Вай дар бораи ададхои бо хам дуст низ изхори акида кардааст.

Adadx,ou а ва b бо л;ял/ дуст номида мешаванд, агар д;ар яке аз онхо ба суммаи таксимкунандахои дигаре (ба истиснои худи адад) баробар бошад. Ин таъриф ба Пифагор мансуб аст. Ададхои 220 ва 284 мисоли чунин ададхо шуда метавонанд. Таксимкунандахои адади 220 (ба истиснои худаш) инхоянд: 1, 2,4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 ва 110. Суммаи ин таксимкунандахо ба 284 баробар аст. Таксимкунандахои адади 284 (ба истиснои худаш) ададхои 1 ,2 ,4 ,71 ,142-анд, ки суммаи онхо ба 220 баробар аст.

Ададхои 1184 ва 1210, 2620 ва 2924, 5020 ва 5564, 6232 ва 6368, 10744 ва 10856, 17296 ва 18416 ва гайра ададхои бо хам дустанд.

Кридаи ёфтани ададхои бо хам дустро аввалин маротиба Собит ибни Курро (асри IX) додааст, ки дар китобаш «Рисолаи бо тарзи осон ёфтани ададхои бо хам дуст» сабт шудааст.

Формулаи ёфтани ададхои бо хам дустро Кутбиддини Шерозй ва Гиёсиддин Ч,амшед ибни Масъуд ал-Кошй (асрхои XIV-XY) низ нишон додаанд. Ал-Кошй коидаи Собит ибни Курроро дар китобаш «Мифтох-ул-х,исоб» бо баъзе тагйирот, бе исбот овардааст.

Чуфти ададхои содаро ададхои дугоник меноманд, ки агар фарки онхо ба 2 вохид баробар бошад. Масалан, 3 ва 5; 5 ва 7; 11 ва 13; 17 ва19 ва гайра ададхои дугониканд. Аз байни ададхои калон чудо кардани ададхои дугоник он кадар осон нест. Ададхои 10016957 ва 10016959 хам ададхои дугониканд. Инчунин ададхои 1000000009649 ва 1000000009651 ададхои дугониканд. Холо мо намедонем, ки ададхои дугоник чандгоанд ва калонтаринашон кадом аст. Сабаб он аст, ки барои дарёфт кардани ададхои сода мехнати пурмашаккати хисобкунидоро паси cap кардан лозим меояд. Масалан, адади содаеро ошкор карданд, ки барои навиштани он 25692-то ракам лозим шуд. Агар ба хар як катаки дафтар 1-ракдмй нависем, он гох ба

29

навиштани он адади содаи 25692-ракдма як дафтари дувоздахдзарака лозим мешавад. Барои сода будани он ададро исбот кардан компутерхои зудамал якчанд хдфтах,о кор карданд. Дидед, ададхои сода худашонро чй тавр пинхон кардаанд?

Аз хамин сабаб кори донишмандон оид ба ёфтани ададхои сода ва ошкор кардани хусусият^ои онхо асрхои зиёд инчониб давом мекунад.

Онхо муайян кардаанд, ки адади содаи аз 3 калон бо формулаи 6/7 ± 1 навишта шуда метавонад. М асалан, 5 = 6 1 - 1 ,7 = 6 1 + 1, 11 = 6-2-1, 13 = 6-2 + 1, 307 = 6-51 + 1, 347 = 6-58-1 ва гайра. Аммо тасдики баръакс, ки гуё 6п ± 1 хама вакт адади сода бошад, нодуруст аст. Масалан, 49 = 6 -8+1 буда, вале 49 адади мураккаб аст: 49 = 7 ■ 7.

Олими рус П.Л.Чебишев (1821-1894) соли 1850 исбот кард, ки: «Барои адади натуралии дилхохи п > 1 аз байни ададхои и + 1, п + 2 , ..., 2п акалан якто адади содаро пайдо кардан мумкин аст».

Оид ба хосиятхои ададхои сода тахминхои зиёде мавчуданду шавковартарини онхо тахминкунии узви Академияи илмхои Петербург Х.Голдбах (1690-1764) аст. Вай мегуяд: «адади натуралии дилхохи аз ианч калонро чун суммаи се ададхои сода тасвир кардан мумкин аст».

Ин тахминро дар соли 1937 академики Академияи илмхои СССР И.М.Виноградов кисман исбот кард. Вай исбот кард, ки: хдмагуна адади токи кифоя калон аз суммаи се ададхои сода иборат аст.

Аз ин чо дигарон хулоса карданд, ки хдмагуна адади чуфти кифоя калонро дар намуди суммаи чор адади сода тасвир кардан мумкин аст. Далел он аст, ки аз адади чуфти дилхох, адади содаи 3 тарх карда мешавад ва адади токи бокимонда аз суммаи се адади сода иборат аст. Масалан, 4 0 - 3 = 37,

37=5+3+29=7+13+17=23+7+7=5+13+19==31+3+3=7+11 + 19=3+17+17=11 + 13+13.

Евклид медонистааст, ки ададхои мукаммалро дар байни ададхои бо формулаи у = 1 - (2" — l) додашуда чустан лозим аст, ба шарте ки адади дохили кавсхо дар киматхои натуралии п адади сода шаванд.

Адади мукаммали 23-юм 211212-(211212 — l) аст, ки барои навиштани он сахифахои зиёдеро пур кардан лозим аст. Хдмаи ададхои мукаммали ёфташуда ададхои чуфтанд. Аммо касе намедонад, ки ададхои мукаммали ток мавчуданд ё не.

30

Б О Б И II. Н А М Ь ВА Т А РХ И К А С Р Х О И О Д И

14. Хосияти асосии каср

Мо дар китоби дарсии «Математика 5» хосияти таксимро омухта, бо истифодаи он хосияти асосии касрхоро низ аз назар гузаронида будем. Хеле хам мухим будани мавзуи «хосияти асосии касрхо»-ро ба эътибор шрифта, онро бори дигар васеътар меомузем.

Дар мавзуи «хосияти асосии таксим» омухта будем, ки агар таксимшаванда ва таксимкунандаро ба хамон як адад зарб ё таксим кунем, бузургии хосили таксим дигар намешавад. Масалан, агар амали 8:4-ро ичро кунем, натича 2 мебарояд. Дар ин чо 8 ва 4- ро ба 3 зарб кунем, мувофикан ададхои 24 ва 12 хосил шуда, 24:12 боз ба хамон 2 баробар мешавад. Агар ададхои 8 ва 4-ро ба 2 так­сим кунем, мувофикан ададхои 4 ва 2 хосил шуда, хосили таксими4:2 боз ба 2 баробар мешавад. Азбаски навишти 8:4 ва ^ харду як

чизро мефахмонанд, бинобар ин, мо ин тавр навишта метавонем:2 = 8- 4 = - = — = — = 24'12 = 2'4 43 12 ’2 = 8- 4 = —= - = - = 4- 2 = 24 4:2 2

Инро бо истифодаи порчахо низ фахмонидан мумкин аст.Порчаи дарозиаш 8 вохидро ба 4 хиссахои баробар таксим

карда, мебинем, ки дарозии хар як хиссаи он ба 2 вохид баробар аст (расми 2).

I----------------1----------------1----------------1----------------10 2 4 6 8

Расми 2Порчаи дарозиаш ба 24 баробарро ба 12 хиссахои баробар

чудо кунем, низ мебинем, ки хар як хиссаи он ба 2 вохид баробар аст. Агар порчаи дарозиаш ба 4 вохид баробарро ба 2 хиссахои баробар чудо кунем, дарозии хар як хиссаи он хам ба 2 вохид баробар мешавад, ки дар расми 2 намоён аст.

Чи хеле ки мебинем, ба хамон як адади гайринолй зарб ё пищсим кардани сурату махраци каср бузургии касрро тагйир намедих,ад. Инро хосияти асосии каср меноманд.

Дар боло дидем, ки ба чои касри , касри jA g касри j -ро

гирифтан мумкин аст, яъне онхо баробаранд: |- = |4. = 4.. Агар

31

дутой ин касрхоро гирифта сурати касри якумро ба махрачи касри дуюм зарб кунем ва махрачи касри якумро ба сурати касри дуюм зарб кунем, ин хосили зарбхо ба хамдигар баробар мешаванд.

Масалан, касрхои ва j j -ро гирифта месанчем: 8 -12 = 96,

4-24 = 96.Пас, касрхои баробар ба хамин гуна хосият сохиб будаанд.М и с о л. Оё дуруст аст, ки касрхои зерин баробаранд?а ' >1=6- К\ 5 _ 35 ■ „л 4 _ Ц

4 8 ’ N 49’ ’ 9 12'Л «Л- а) 3-8 = 24, 4 - 6 = 24 . Пас, касрхои якум баробаранд.б) 5 - 49 = 245, 7 - 35 = 245 . Пас, касрхои дуюм низ баробаранд.в) 4-12 = 48, 9-11 = 99. Аммо 48 ба 99 баробар нест. Пас,

касрхои сеюм баробар нестанд.Хамин тарик ду касрхои додашуда хамон вакт ба хамдигар

баробар мешаванд, ки агар хосили зарби сурати касри якум ба махрачи касри дуюм ва хосили зарби махрачи касри якум басурати касри дуюм баробар шавад, яъне касри — ба — баробарЪ dбошад, яъне в- = 4 , он гох a - d = Ь- с мешавад.о а

Инро аломати баробарии касрро номидан мумкин аст.' Сурати касри | -ро ба 10 зарб кардем. Махрачи онро ба кадом

адад зарб кардан лозим аст, ки бузургии каср дигар нашавад?

Махрачи касри -ро ба 4 зарб кардем. Сурати онро ба кадом

адад зарб кардан лозим аст, ки бузургии каср дигар нашавад?

Касрхои ~ , у -ро бо амали зарб дар намудхои гуногун

тасвир кунед.Касрхои Щ , i f -, , 42.; l i _р0 go амали- таксим дар намудхои

4Ь 2о 12 63 25

гуногун тасвир кунед.! Хосияти асосии касрро дар намуди умумй бо ёрии харфхо

нависед.’ • Сурати касри ^ -ро ба 3 таксим кардем. Махрачи ин касрро

ба чанд бояд таксим кунем, ки кимати каср дигар нашавад?

32

109. Махрачи касри ^ -ро ба 7 таксим кардем. Сурати ин касрро28

ба чанд бояд таксим кунем, ки бузургии каср дигар нашавад?

110. Сето касрхои ба касри ^ баробарро нависед.

111. Сето касрхои ба касри баробарро нависед.

112. Ба чойи тагйирёбандахо чунин ададхоеро нависед, ки баробарихои зерин дуруст бошанд:я^4 = х . Л\А = !0 . 2 _ 4 . rl Z — 28 • 7T'i 56= M

N 9 ’ ) 6 у ' 3 * ’ 4 16 ’ z 27 '

113. Касри -ро дар намуди касри махрачаш 18, 24, 60, 120 тасвир6

кунед.114. Касри у -ро дар намуди касри махрачаш 28, 49, 70, 84 тасвир

кунед.

15. Ихтисори касрхо

Мувофики хосияти касрхо, агар сурат ва махрачи каср бахамон як адади гайринолй таксим карда шавад, бузургии касртагаир намеёбад, вале аз ин кор намуди каср содатар мегардад.Амалиёти мо хуб меанчомад, ки агар сурат ва махрачи касрро бакалонтарин таксимкунандаи умумии онхо таксим кунем. Масалан,

84 лсурат ва махрачи касри таксимкунандаи умумии 4-ро доранд;

? 1баъди ба 4 таксим кардани сурату махрач касри ~ пайдо

мешавад, ки вай нисбат ба касри аввала содатар аст. Аммо сурату21махрачи касри боз таксимкунандаи умумии 7-ро доранд. Баъди

ба 7 таксим кардани сурату махрачи касри -Ц касри намудаш

содаи j хосил мешавад. Касри -ро боз содатар кардан имкон

надорад, зеро сурату махрачи он ададхои байни хам содаанд. АгарОД

мо сурату махрачи касри -ро якбора ба калонтарин

таксимкунандаи умумиашон, яъне ба адади 4-7 = 28 таксим

мекардем, он гох боз хамон касри бо осонй хосил мешуд, яъне:

? 1

333 - 12

84 = 84:28 = 3 140 140:28 5 '

Хдмин амалиётро, яъне кимати касрро тагйир надода, ба намуди нисбатан сода овардани онро ихтисори каср меноманд.

Хдмин тарик,, барои он ки касрро ихтисор кунем, сурат ва махрачи онро ба калонтарин таксимкунандаи умумиашон таксим кардан лозим аст.

М и с о л и 1. Касри Щ -ро ихтисор мекунем. Аввал 336 ва

540-ро ба зарбшавандахои сода чудо мекунем:336 = 2-2-2-2-3-7 ; 540= 2-2-3-3-3-5 . Акнун КТУ-и адад­

хои 336 ва 540-ро меёбем: КТУ (336,540) = 2-2-3 = 12. Пас, сурат ва

махрачи касри -ро ба 12 таксим мекунем: - 2 |

М и с о л и 2. Касри Ш -р о ихтисор кардан лозим аст.189

175 = 5-5-7; 189=3-3-3-7 . К Т У (175,189) = 7 . Сурат ва махрачи касри |2 | -ро ба 7 таксим мекунем:

175 ^ 175:7 гг 25 189 189:7 27 'Мо метавонем ба хдмин натича бо тарики зерин хам сохлб

шавем: зарбшавандахои содаро мувофикан ба сурат ва махрачи каср навишта, зарбшавандахои якхелаи дар сурату махрач мавчуд- бударо мепартоем ва зарбшавандахои бокимондаро байни хам зарб мезанем.

jgf — yyyf — -ууз - 27 • Ин каср ихтисорнашаванда аст, зероададхои 25 ва 27 зарбшавандаи якхела надоранд.

Каср ихтисорнашаванда номида мешавад, агар сурат ва махраци он ададхои байни х,ам сода бошанд, яъне агар КТУ-и онхо ба1 баробар бошад.

Масалан, касри ихтисорнашаванда аст, зеро КТУ (10,27) = 1

мешавад.М а с ъ а л а. Аз 20 м матоъ 8-то чилди курпаи бачагона ва аз 18

м матоъ 12-то чилди болишт духтанд. Ба як чилди курпа чанд метр ва ба як чилди болишт чанд метр матоъ сарф шуд?

X а л . Барои ёфтани сарфи матоъ ба як чилди курпа 20 м-ро ба8 таксим мекунем: 20:8 = -2S = -Ц- = -| = 2,5 (м) хосил мешавад. Ба

34

F)<a<

a)

монанди хамин, 18 :12 = ±|- = Щ \ = 1,5 (м) мешавад. Х,амин тарик,12 6-2 2

чавоби масъала «2,5 м ва 1,5 м» аст.115. Касрхоро ихтисор кунед:

a\ _6_J 7__5__2__4_ . 6JL _6_.’ 12’ 14’ 25’ 18’ 10’ 9 ’ 12’ 30’

f i \ I 5 . 1 4 I 5 . 2 2 4 0 1 2 1 8 26.’ 27’ 21’ 40’ 66’ 64’ 48’ 39’ 39’

R\ -37_ _86_ _75_ _39_ _35_ _98_ _30_ _60_.M i l ’ 129’ 125’ 130’ 280’ 343’ 130’ 300’

тЛ 120 210 300 270 280 348 204 252.' 360’ 420’ 450’ 410’ 350’ 435’ 527’ 386’

2373 1150 165 250 1415 512 730 3503’ 4600’ 1320’ 1260’ 1981’ 1600’ 1460'

116. Касрхоро ихтисор кунед:3-7 ■ 2-5 . 8-7 . 46 . 1-3 .3-9 ’ 7-2 ’ 7-9 ’ 5-4 ’ 3-4 ’±7 . &± . Ш • . 23 .

' 3-2 ’ 11-8 ’ 5-6 ’ 3-8 ’ 6-5 ’67 . 8-5 . 1314 . 1S3 . 1718

’ 1412 ’ 10-16 ’ 42-26 ’ 9-25 ’ 72-51 '117. Сурати каср чй гуна бояд бошад, ки новобаста аз чигунагии

махрачаш касри ихтисорнашаванда гардад?118. Дар натичаи ба 4 ихтисоркунии кадом каср хосил шуд?

п119. Кадом касрро ба 7 ихтисор кунем, хосил мешавад?

120. Оё касрхои зерин баробаранд?а ) | в а | ; 6) 1 ва i ; в ) | в а ! | ; г ) | в а ^ .

121. Дар баробарихои зерин ба чойи ситорача ададхоро дурустгузоред:а — = — • 61 — = — • в! — = — • г) 3 _ 5

* 6 90’ 5 * ’ 9 6 ’ ' * 10 ‘122. Касрхоро ихтисор кунед:

„ч 11-3+5-11 . рл 9-14+15-14 . „ч 7-6-3-6 . гч 13-10-513 ' 22 ’ ' 24 ’ ’ 12 ’ ' 13-2+13-5 '

„ 8-7+16-7 _ 7 (8+16) _ 24 _ 64 _ лН а м у ч а й хал. 7.(9_з) 6 6

123. Се касреро нависед, ки ихтисоршаванда бошанд ва онхоро ихтисор кунед.

35

16. Ба махрани умуми овардани касрхо

Хосияти асосии касрро истифода бурда, метавонем касрх,ои махрацашон гуногунро ба касрхои махрацашон якхела иваз намоем. Ин амалиётро ба махраци умумй овардани касрх,ои махрацашон гуногун меноманд. Дар ин амалиёт бузургии каср дигар намешавад.

Фарз мекунем, ки касрхои -ро ба махрани умумй

овардан лозим аст. Барой ичрои ин вазифа каратихои умумии махрачхоро меёбем. Онхо ададхои 30, 60, 90 ,... -анд. Мо хурдтарини онхо 30-ро мегирем, ки ин кулайтар аст. Пас, касрхои додашударо ба касрхои махрачашон 30-и ба касрхои аввала баробар иваз кардан мумкин аст. Бо ин максад ХКУ, яъне адади 30-ро ба махрачхои 6 , 10 ва 15 таксим мекунем, ки дар натича ададхои 5, 3 ва 2 хосил мешаванд. Ин ададх;о зарбшавандах;ои иловагй номдоранд. Сурату махрачи касрхои ва y j -ро мувофикан ба 5,

3 ва 2 зарб мекунем: 4 = = ттт= тттт= чк » 77 = т ^ г = ™- F J 6 6-5 3 0 ’ 10 10-4 3 0 ’ 15 15-2 30

Хдмин тарик, ба чойи касрхои f ’ Yq ва 75 ба онхо

баробари махрачхояшон якхелаи ^ ^ ^ -ро хосил кардем.

Бояд кайд кард, ки агар касрхои додашуда ихтисоршаванда бошанд, пеш аз хама, онхоро ихтисор кардан лозим аст.

М и с о л и 1. Касрхои j-j- ва у -ро ба махрачи умумй меорем.

Хурдтарин каратии умумии ададхои 14 ва 7 худи адади 14 аст. Зарбшавандахои иловагиро меёбем: 14:14 = 1, 14:7 = 2. Хдмин тарик, барои касри якум зарбшавандаи иловагй 1 ва барои касри дуюм адади 2 мешавад. Пас, касри якум бетагйир мемонад. Сурат ва махрачи касри дуюмро ба 2 зарб карда, онро ба махрачи 14 меорем: 1 = 412 =;_8_.

7 7-2 14

\1 и с O . I и 2. Касрхои Щ ва | -ро ба махрачи умумй меоварем.

Сурат ва махрачи касри якумро ба зарбшавандахои сода чудо мекунем: 15 = 3- 5; 27 = 3-3-3. Пас, К ТУ (15,27) = 3 аст. Сурату махрачи касри якумро ба 3 ихтисор кардан мумкин аст, яъне Щ = у ~ - = ^ = | мешавад. Акнун касрхои | ва | -ро ба махрачи

умумй меоварем. ХКУ(9,6) = 18 аст. Хамии адад махрачи умумии

36

он касрх,о мешавад. Адади 18-ро ба 9 ва 6 таксим мекунем: 18:9 = 2, 18:6 = 3. Пас, зарбшавандахои иловагй ададхои 2 ва 3-анд, яъне зарбшавандаи иловагй барои махрачи касри якум адади 2 ва барои касри дуюм 3 мешавад. Сурату махрачи он касрхоро ба зарбшавандахои иловагии мувофикашон зарб карда, сохибикасрхои махрачашон баробар мешавем: i = 5v2 = i0; 5. _ *з ■_ ц .

^ г 9 9-2 18 6 6-3 18

М и с о л и 5. Касрхои -ро ба махрачи умумй меоварем.9 1 6

Ададхои 9 ва 16 байни хдм содаанд. Бииобар ин ХКУ-и онхо ба хосили зарбашон баробар аст: 9-16=144. Зарбшавандахои иловагии касри якум 16 ва касри дуюм 9 мешавад. Пас, касрхои додашуда намуди зеринро мегиранд:

8 = М 6 = 128- 7 7-9 639 9-16 144’ 16 16-9 144'

Х,амаи амалиёти гузаронидаи мо касрхоро ба хурдгарин махрачи умумй оварданд, зеро хурдгарин каратии умумии махрачхои касрхоро ба кор бурдем.

Хдмин тарик, барои ба хурдтарин махрачц умумй овардани касрхои ихтисорнашаванда лозим аст, ки аввал хурдтарин каратии умумии х;амаи махрацх;о ёфта, барои х;ар як махрац зарбшавандахои иловагии он муайян гардад ва сипас сурату махрачц х;ар як каср ба зарбшавандах;ои иловагиаш зарб карда шавад.

Агар мо ба хурдтарин махрачи умумй овардани касрхоро донем, минбаъд аз руи бузургиашон мукоиса кардани касрхо ва чамъу тархи онхо осон мегардад.

Дар машкхои 124-129 касрхоро ба хурдгарин махрачи умумй оваред.1 2 4 . а ) 1 в а | ; б) | в а - Ь в ) | в а 1 ; г) | ва | .

125.а)1 в а £ ; б) ± ва | ; в ) | в а ^ ; г ) - ^ в а | .

126' а ) 4 В а 10: б ) 6 В а 15 : В) | В а | ; Г ) 9 Ва | - Ш . а ) 1 1 в а 1 ; б) 1 , | ва 1; в) 1 ,1 ва i ;г) I 1 в а ^ .

'2S- a ) 12 “ 18- б ) 1 5 В а 2 0 ; В) И ВаИ ; Г) 1 5 Ва^ '

2’4 В а 8 : 6 ) М В а м ; В) 3’9 ВВ2 7 ; Г)М “ и130. Касрхои-^-, “ , 1 ва -ро аввал ба махрачи умумй оварда,

1 0 1 8 О 1 6

баъд онхоро ба тартиби зиёдшавиашон нависед.

37

131. Касрхои зеринро дар хиссахои садяки тасвир намоед:J7_ JLL _L _3_ 1 20 ’ 25 ’ 10 ’ 15 ’ 4 ‘

Н а м у ч а й х; ал. = -1 = = -2Q-15 5-3 5 5-20 100'

17. Мукоисаи касрхоКасрхои у ва у -ро мукоиса мекунем. Барои ин порчаи

вохидиро ба 7 хиссахои баробар таксим карда, аз он 3-то ва 5- тоашро чудо мекунем. Албатта 5-тои чудокардаамон аз 3-то калонмебошад. Пас, касри у аз касри у калон аст (расмиЗ).

1I----------- 1------------ 1----------- 1------------ 1------------1------------1------------i0 1 2 1 4 5 . 6 . 2

7 7 7 7 7 7 7Расми 3

Хамин тарик, аз ду касри махрацашоч якхела х^амочаш калоч аст, ки сураташ калоч бошад.

Акнун ду касри сураташон якхелаю махрачашон гуногунро7 7мукоиса мекунем: уу ва . Онхоро ба махрачи умуми меоварем.

ХКУ (12,20) = 60.

Зарбшавандахои иловагй 60:12 = 5, 60:20 = 3. Пас, -^ =

= 1м = § - 2 0 = Й = ! о ' Акнун I ва 60’р0 мукоиса мекунем'Махрачхои онхо якч ia буда, сурати касри якум аз сурати касридуюм калон аст. Пас. — > — ва вобаста ба ин — > — аст.

60 60 12 20Х,амин тарик, аз ду касри сураташоч якхелаю махрацашоч

гучогуч х;амочаш калоч аст, ки махрачаш хурд бошад ва баръакс,х^амочаш хурд аст, ки махрачаш калоч бошад.

Акнун касрхои хам суратхояшон гуногун ва хам махрачхо-яшон гуногунро муоина мекунем. Масалан, | | ва | у . Ин

касрхоро аввал ба махрачи умумй оварда, баъд мукоиса мекунем. Азбаски ададхои 13 ва 12 байнихам содаанд, бинобар ин ХКУ (13,12) = 13 • 12 = 156 . Зарбшавандахои иловагиро меёбем:156:13 = 12, 156:12 = 13. Пас, сурату махрачи касри якумро ба 12 ва сурату махрачи касри дуюмро ба 13 зарб мезанем:

38

Касри Щ аз касри Щ калон 156 156аст. Пас, Ц- > мешавад.

С аX у л о с а. Мо мукаррар кардем, ки ! > ! • - ! > ! _ • 1 2 > i i

7 7 ’ 12 20 * 13 12аст. Дар ин нобаробарихо хосили зарби сурати касри якум бар махрачи касри дуюм назар ба хосили зарби сурати касри дуюм бар махрачи касри якум калонтар аст.

132. Касрхои зеринро бо тартиби зиёдшавиашон нависед:а) 1 I Д i i l i 1 М ! ■

' 19 ’ 19 ’ 19 ’ 19 ’ 19 ’ 19 ’ 19 ’ 19 ’ к\ А И 1 0 2 8 1 8 1 ] 9 2 9

; 31’ 31’ 31 ’ 31 ’ 31’ 31’ 3 1 ’ 31 '133. Касрхои зеринро бо тартиби камшавиашон нависед:

; 23 ’ 23 ’ 23 ’ 23 ’ 23 ’ 23 ’ 23 ’ 23 ’m l l l l l l l l i

; 25 ’ 25 ’ 25 ’ 25 ’ 25 ’ 25 ’ 25 ’ 25 '134. Касрхои зеринро бо тартиби зиёдшавиашон нависед:

я \ 1 1 1 1 1 1 1 ! ■’ 15 ’ 16 ’ 14 ’ 11 ’ 17 ’ 12 ’ 10 ’ 13’

g\ 5 5 5 5 5 5 5 5 ' 9 ’ 6 ’ 19 ’ 11 ’ 10 ’ 13 ’ 27 ’ 31'

135. Касрхои зеринро бо тартиби камшавиашон нависед:a ^ A 8 J L J L J L _ 8_ J L J L -

’ 11’ 9 ’ 15 ’ 17 ’ 14 ’ 37 ’ 25 ’ 2 4 ’ 6 ^ 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

’ 23 ’ 11 ’ 13 ’ 29 ’ 31 ’ 24 ’ 47 ’ 49 '136. Нишон дихед, ки кадоме аз ду касрхои додашуда калон аст:

137. Касрхои зеринро ба махрачи умуми оварда мукоиса кунед:

QПас, агар % > - бошад, бояд a d >Ъ - с шавад.

b dd

39

Худро бисаннед1. Ба чойи ситорача кадом ададро навиштан лозим аст, ки

баробарии ^ = — дуруст шавад:

А )12? В )10? С ) 15?2. Касри 12. -ро ихтисор кунед.

А) 1 В) | С) |

3. Хурдтарин махрачи умумии касрхои ^ ва -ро ёбед.

А ) 70 В) 10 С ) 354. Касрхои у ва у -ро мукоиса кунед.

А ) | > | В) | < | С ) 7 = 55. Ресмони 15-метраро ба 6 кисми баробар таксим карданд.

Дарозии хар як кием чй кадар аст?А) А м В) 2 1 м С) | м

18. Чамъи касрхои махрачашон гуногун

Шумо дар синфи 5-ум чамъи касрхои махрачашон якхеларо омухта будед. Бар замми ин, аз хосияти таксим истифода бурда, чамъи баъзе касрхои махрачашон гуногун низ муоина шуда буданд. Акнун чамъи касрхои махрачашон гуногунро васеътар меомузем.

Барои чамъ кардани касрхои махрачашон гуногун онхоро ба хурдтарин махрачи умумй меоварем. Масалан, барои хисоб

9 7 3кардани суммаи ~ + з о 5 аввал махрачхои касрхоро якхела

мекунем, махрачи умумй адади 60 мешавад. Пас, зарбшавандаи иловагии касри якум ба 3, касри дуюм ба 2 ва касри сеюм ба 12

баробар мешавад. Х,амин тарик, ^ + ^ + f = ^ + ^ + f { f =

= тк + + Ш -Р° сохиб мешавем. Масъала ба чамъ кардани 60 60 60

138. Кадоме аз касрхо калон аст: а) | | |^ ё ? б) ё ?

40

касрх,ои махрачашон якхела оварда шуд. Хдмаи суратхоро чамъ карда ба сурат менависем ва хурдгарин махрачи умумй дар махрач Чой мегирад, яъне

9 7 3 27 , 14 . 36 27+14+36 _ 77 _ i 1720 30 5 60 60 60 60 60 60 '

Хамин тарик, барои цамъ кардани касрхои махрацашон гуногун аввал онх оро ба махраци умумй оварда, баъд суратх;оро цамъ карда, ба махрац махраци у му миро менависем.

Хднгоми чамъ кардани ададхои омехта кисми бутунро алохида ва кисмхои касриро алохдца чамъ менамоянд. Масалан,

3| + 4 4 + 9 |8 = 3 + 9 + 4 + ! + 9 + Т8 = 3 + 4 + 9 + 9 + ! + 18 = = 16 + М + М + И . = 16 + 20±ЭТ±14 = 16 + 61 = 1 6 + 1 2 5 = 1 7 25

4 4 4-9 №2 36 36 36 36

139. Касрхоро чамъ кунед:

“> ! + f б> и + и - Г>1Г + ТГ140. Касрхоро чамъ намуда, чавобро сода кунед:

а ) 9 + 9 ; б ) п + п ; В)П + П ; r , T5 + l ! ; гч 7 , 1 . ЯЧ 6 , 8 . рч 8 22 . —Г) Тб+ Тб’ Д ) 2Т+ 21” 15 1 5 ’ 5 5 '

141. Касрхоро чамъ карда, чавобро дар намуди ададхои омехтанависед:„ \ 6 , 3 . с \ 5 , 1 1 . 7 , 3 . г\ 13, 1 2 , 4

7 7 ~6 ~6 ’ 8 8 ’ Г ) 15 + 15 + 15-142. Касрхоро ба хурдтарин махрачи умумй оварда, баъд онхоро

чамъ кунед:а) 1 + § ; б) 1 + 1 ; , ) 2 + 4 ;

г ) | + 1 ; д ) | + 1 ; e ) i + i ; e ) i + 2 + i ;

ж> 1 + | ; э ) | + | ; и ) А + | ; й ) £ + £ + | .

143. Лола аз дехаи А ба дехаи В дар соат омада, хонаи сохиби

мактуберо дар ~ соат пурсучу карда ёфт ва дархол ба дехаи

С равон шуда, ба он чо баъди соат омада расид. Барои

хамаи ин Лола чанд соат вакт сарф кард?144. Парвиз сеяки маошро барои харидани орд ва чорякашро

41

барои харидани равган сарф кард. Барои хамаи ин магар ними маоши Парвиз харч шуд?

' Кореро як бригада дар 18 руз ва бригадаи дуюм дар 15 руз ичро карда метавонанд. Х,арду бригада дар 5 руз чанд хиссаи корро ичро карда метавонанд?

* 46. Ададх,ои омехтаро чамъ кунед:

a) 25-J + 28-]-; б) 2 9 -J+ 16-^-; в) 10^ + 3 4 + 1# ;4 4 ’ 12 12 ’ 7 7 7

Г>125 + 15; Г>2П +2Й ; Д> 'Й + 5§ + ;• > 1 2 & + 1 3 g ; 8) 2 Я + 151| ; Ж) 5± + 3П. + П .

3 7. Ададхои 2, 3, 5-ро бо тарзхои гуногун дар намуди суммаи ду каср ифода кунед.Н а м у н а и х, а л. 3 = 1 + 2 = 1 + 4 ; 3 = l - | + l 4 = | + 4 ;3 2 ’ 3 3 3 3 ’3 = 1 + 4 ; з - l + l + l + l

2 2 ’ 4 4 4 4 148. Духтарак барои шустушуйи либосхои оила \ ~ соат ва барои

пухтани хурок 1-j соат вакт сарф кард. Ба ин корхо духтарак

чй кадар вакт чудо кард? Ч,авобро бо соатхову дакикахо ифода намоед.

*49. Аз чор адади пай дар пай навишташуда якумаш буда, хар

кадоми дигар аз пешояндааш ба 1 калон аст. Адади

чорумро ёбед.150. Адади номаълуми д>ро ёбед:

• > - |3н = 4 6>* - п Г 8Ш'151. Агар ба як чамъшаванда Зуу ва ба чамъшавандаи дигар

2 -ро илова кунем, он гох сумма чй хел тагйир меёбад?

‘52. Кадом адад аз адади 6-1 ба зиёд аст?

153. Аз як галтак сим аввал 151 см, сонй 19 у см-ро бурида

гирифтанд, ки дар галтак боз 15 см бокй монд. Дар галтак чй кадар сим буд?

42

19. Тарх,и касрхо

Барои тарх кардани касрхои махрацашон якхела аз сурати касри тархшаванда сурати касри тархкунанадаро тарх карда ба сурат менависем ва махрачро бетагйир мемонем.

М и с о ли 1. 14 _ 11 _ 14-13 _ J_19 19 19 19

Агар касрхо махрачхои гуногун дошта бошанд, аввал онхоро бахурдтарин махрачи умумй меоварем ва сонй бо онхо хамчун бокасрхои махрачашон якхела амал мекунем.М и с о л и 2 ___ 6 ... 8-3 6 _ 24 6 _ 24-6 _ 18 _ 2-9 _ 2

' 15 45 15-3 45 45 45 45 45 5-9 5' Хднгоми тархи ададхои омехта аз кисми бутун кисми бутунро ва

аз кисми касрй кисми касриро тарх мекунем.М и с о л и 3. 7 | - 3 | - = 7 - 3 + 4 - | - = 4 + 4 - | :# = 4 + -М 1 =6 3 6 3 6 3-2 6

= 4 + 6 = 4 6 ’

Агар кисми касрии адади омехтаи тархдиаванда аз кисми касрии тархкунанда хурд бошад, он гох як вохиди кисми бутуни тархшавандаро ба касри мувофик табдил медихем ва онро ба кисми касрии тархшаванда зам мекунем.

М и с о л и 4. 5 - 2 ^ - . Кисми касрии ададхои омехтаро мукоиса5 О'У п

мекунем: ± ва -£■ . Х,осили зарби 3 - 8 = 24 аз хосили зарби 5 - 7 = 355 охурд аст. Бинобар ин, аз 5 бутун 1 бутунро чудо мекунем:

;15

- ? + М _ И - т I 64 35 ... т 64-35 _ 295-8 8-5 40 40 40 40 '

Барои аз адади бутун тарх кардани каср аввал як вохиди адади бутунро чудо карда, онро ба касри мувофик табдил медихем ва баъд тархро ичро менамоем.

М и с о л и 5. 3 - 4 = 2 + 1 - 4 = 2 + ^ - 4 = 2 + ^ = 2%.7 7 7 7 7 7Тархи каср аз адади бутунро хангоми мукоисаи касрхо истифода

бурдан мумкин аст. Масалан, талаб карда шудааст, ки касрхои Ц

1 Ява Ц мукоиса карда шаванд. Кадоме аз ин касрхо назар ба

дигараш ба адади 1 наздиктар бошад, хамонаш калон аст. Барои

43

хдл кардани ин масъала хдрдуи он касрх,оро бо навбат аз адади 1 T'TTYY TLfPTfVTTPTuT* 1 ^ 15 14 1 . 1 18 19 18 1тарх мекунем. 1 1 _ _ _ _ _ _ _ _ .

Азбаски у5 > аст’ бинобар ин касри назар ба касри ба

адади 1 наздиктар будааст. Пас, Ц- > аст. Инро дар расми 4 хам

мушохдда кардан мумкин аст. jА в Т? DI-------------------------------------------------------- 1------1 т ----- 1О С i 119

Расми 4

AD = \ , АВ = И , АС = | | , BD = ± , CD = ± , AC > АВ , яъне

Ц > | j - Ин тарзи мукоисаи касрхоро махсусан дар он холатхое

истифода бурдан мумкин аст, ки агар сурат ё махрачи касрхои мукоисашавандаро як хел кардан душвор бошад.

М а с ъ а л а и ! . Коргар рузи якум у хиссаи корро ичро

карда, рузи дуюм назар ба рузи якум хисса камтар кор кард.

Ёбед, ки чй кадар кор ба рузхои дигар мононда шуд.Х а л . Муайян мекунем, ки коргар дар рузи дуюм кадом

хиссаи хамаи корро ичро кард. Бо ин максад аз ~ касри yL .ро

тарх мекунем: = - КоРгаР ДаР ДУ РУ3 кадом

хиссаи корро ичро кард? ^ ч- = + _2_ = _Z М ° хамаи кор гуфта

як вохиди томро мефахмем. Бинобар ин, барои ба саволи масъала чавоб додан аз 1 касри _р0 харх мекунем: = =

Х,амин тарик, кори ба рузхои дигар мононидашуда ба ^

хиссаи хамаи кор баробар будааст.М а с ъ а л а и 2. Дар як халтача ^ кг ва дар халтачаи дигар

1 кг канд хает. Ба халтачаи сеюм чй кадар канд андохтан лозим

аст, ки дар се халтача 1 кг канд хосил шавад?

44

X а л. Дар халтачахои якуму дуюм чи кадар канд хает?i + I = -5- + -i- = JL (кг). Барои ба саволи масъала чавоб додан аз 4 5 20 20 20

адади 1 касри ^ - р о тарх мекунем: = = Дурустии

масъаларо месанчем: 1 + 1 + 1 1 = ^ + JL + i I = | U i . Пас,

масъала дуруст хал карда шудааст.М а с ъ а л а и 3. Х,авз ба воситаи як облула дар 2 соат пур

мешавад. Дар поёни хавз облулае хает, ки ба воситаи он хамаи оби хавзи пур аз об дар 3 соат берун мебарояд. Агар харду облуларо дар як вакт кушоем, хавз дар чанд вакт аз об пур мешавад?

Х, ал. Ба мо маълум нест, ки ба хавз чй кадар об мегунчад. Бинобар ин, хавзи пуробро 1 хиссаи том мегуем. Агар хавз дар 2соат пур шавад, пас дар 1 соат ними хавз, яъне хиссаи он пур

мешавад. Агар хавзи пур аз об дар 3 соат холй шавад, пас дар 1 соат сеяки хавз, яъне ^ хиссаи он холй мешавад. Хдмин тарик,

агар хардуи облуларо кушода монем, дар 1 соат кадом хиссаи хавзпур мешавад? 4- - 4- = 4 - -§- = 4-, яъне дар 1 соат ~ хиссаи хавз пур

2 3 6 6 6 6

мешавад. Хдмин тарик, агар дар 1 соат шашяки хавз пур шавад.пас тамоми хавз дар 6 соат пур мешавад.

154. Амали тархро ичро кунед:я\_7___4- 5^-2___5_. н\ 11 1 . г \ 6 8 . 1 .4 2 9 ’ 4 6 12’ ) 15 2 ’ ) 7 11 7 ’

е) i i _ 2 • e ) l l _ 5 + j _ .’ 20 3 0 ’ 36 2 7 ’ 18 9 ’ М 2 7 12’

ж) — — — ■ з) — — — ' и) —---— ' й) — —— + —' 6 3 ’ Мб 4 ’ 15 5 ; 5 15 5155. Фарки ададхои омехтаро ёбед:

a'l 3 — — 2 — • б ^ — - 3 — • bIR — — 6 — • г} 1*5— — 7 — ■8 8 ’ Ь ) 5 31 31’ 69 69 ’ 15 15 ’

Г) Х _ 4 . Д)_9__А- e) U —L- ё ) ^ - ММ 2 9 ’ ДМ 6 12’ М5 2 ’ ' 7 1 1 7 '

156. Хисоб кунед:а ) 5 | - 4 | ; б) 8 ^ - 5 ^ ; в) 1 2 |- 1 0 |± ;

r ) 9 l _ 5-2 - f ) 3I. — 2— • д) 1 - - 1 —7 Э3 ’ ; ^8 84 ’ а П 9 72 ’

45

1“ . Фарки байни ададх,ои бутун ва касриро ёбед:а) 1- 1 ; б ) 1- | ; в) 1 - у ; г) 1 -1 2 . ч 17,г > 2 - § ; д ) 3 - | 1 ; е) 5 - | ; ё) 7 - — . ’ 61

58, Кадоме аз касрхои додашуда калон аст ва чи кадар?

а) 1 ва 1 ; б) 1 ва | ; в) 5 в а | ; г ) | в а | .

41 Кимати ифодаро хисоб кунед:a ) 2 - l j + l | ; 6 ) 3 -

г ) 12 + Ы ; Г ) 8 - ' r t 3 4 “ 2 5 “ 20■60. Аз ададхои 1-| ва 1 ~ кадомаш хурд аст?

II <61 Ададеро ёбед, ки он аз адади ^ ба -§ хурд бошад.9 662. Муодилахоро хал кунед:

а) х + 2 — = 4 —' б) х + — = 1И4 ° J X+ 13 26'53 Номаълуми х -ро ёбед:

а) 16^- + * = 13^-; б) 23]- + х = 2 б £ .22 33 8 2754, Агар аз як чамъшаванда ~ -ро ва аз чамъшавандаи дигар 4 -6 5

ро тарх кунем, сумма чй гуна тагйир меёбад?IS5. Агар аз тархшаванда адади 12^ -ро тарх кунем ва ба

тархкунанда адади 8- | -ро чамъ кунем, фарк чй гуна тагйир

меёбад?" Агар аз адади додашуда адади 4-у-ро тарх кунем, он гох

ададе хосил мешавад, ки он аз адади 1^ - ба 2 \ зиёд аст. Ин28 4ададро ёбед.

*'6*? Китъаи заминро як трактор дар 6 соат ва трактори дуюм дар 9 соат шудгор мекунад. Трактори якум дар 4 соат зиёдтар шудгор мекунад ё трактори дуюм дар 5 соат?

Кимати ифодаи а - 2 ~ -ро хисоб кунед, ки агар кимати а ба

тарики зерин муайян карда шуда бошад:

46

а) а = 4 -Ь б ) а = з | ; в) а = 2^-; г ) а = 3.

169. Агар ба тархшаванда адади 1 7 -ро ва ба тархкунанда адади

13-^- -ро чамъ кунем, фарк чй кадар тагйир меёбад?16170. Китъаи заминро як трактор дар 6 соат ва трактори дуюм дар 9

соат шудгор карда метавонад. Агар харду трактор 3 соат кор кунад, чй кадар кисми замин шудгор нашуда мемонад? Масъаларо ба тарзхои гуногун хал кунед.

171. Периметри росткунча ба 12 м ва бараш ба 2 -| м баробар аст.

Дарозии росткунчаро ёбед.172. Як тарафи секунча ба 5 -| м баробар аст. Тарафи дуюм назар

ба тарафи якум lyL м кутох ва тарафи сеюм назар ба тарафи

дуюм 1 м кутохтар аст. Периметри секунчаро ёбед.

173. Агар аз сурат ва махрачи касри адади 5-ро тарх кунем, он

гох фаркн байни касрхои аввалаю охирин ба чй баробар мешавад?

174. Агар ба сурат ва махрачи касри Щ адади 2-ро чамъ кунем, он

гох касри хосилшуда аз касри аввала чй кадар зйёд мешавад?175. Толибилме рузи якум i хиссаи китобро, рузи дуюм хисса

ва рузи сеюм — хиссаи китобро хонд. Муайян кунед, ки чй 36

кадар хиссаи китоб нохонда монд?176. Периметри секунча ба 45 м баробар аст. Як тарафаш м ва

тарафи дигараш 14^ м дарозй дорад. Дарозии тарафи сеюми

секунча ба чй баробар аст?177 Амалхоро ичро намоед:

а , ( 5 1 - з 1 ) + ( з - , Я ) - ( 4 1 | - 3 ^ ) ;

6 ) ( 7 f - 5 i ) - ( 2 - l } ) + ( 9 f - 3 { l ) .

178. Тайёраи Ту-104 масофаи байни Маскав ва Владивостокро дар

47

7 111 Л) СОаТ Ва масоФаи байни Маскав ва Иркутскро дар 6 -соат мепаймуд. Вакти аз Маскав то Владивосток сарфшуда назар ба вакти аз Маскав то Иркутск сарфшуда чй кадар зиёд аст?

179. Суммаи ду адад ба 1 баробар аст. Агар яке аз чамъшавандахо

ба ^ баробар бошад, чамъшавандаи дуюмро ёбед.

180. Агар тархшаванда ба 3 ва тархкунанда ба 1у баробар бошад,

фарк ба чй баробар мешавад?'У

181. Касри | дар байни кадом касрхои иайдарпайи махрачашон 3

вокеъ аст?

182. Як литр карасин ^ кг ва 1 литр бензин ~ кг вазн дорад.

Карасин назар ба бензин чй кадар вазнинтар аст?183. Ададхои 247^- ва 204 до да шудаанд. Адади 198-| аз

суммаи ду ададхои аввала чй кадар кам аст?184. Барои тайёр кардани мучассамаи массааш 22^ кг як микдор

калъагй, 18у^ кг мис ва 2 - ^ кг рухро гудохтанд. Микдори

калъагй чй кадар буд?185. Агар ба сурат ва махрачи касри ^ адади 17 чамъ карда

шавад, каср зиёд мешавад ё кам?186. Инсон ба хисоби миёна хар 1 сония 1 м харакат мекунад,

кабутар назар ба фароштурук дар хар 1 сония 3 м зиёдтар

парвоз мекунад. Агар кабутар назар ба инсон дар хар 1 сония 22 у м зиёд масофа мепаймуда бошад, суръати харакати

фароштурукро ёбед.187. Агар ман ба адади фикркардаам фарки ададхои 19-^ ва

1 0 -ро чамъ кунам, адади 16^- хосил мешавад. Ман кадом

ададро фикр кардаам?

48

188. Амали чамъро ичро накарда, к,имати суммаи у + -ро бо

вохдц мукоиса кунед.1 1 ^Н а м у ч а й х; а л. -г + 4 • Азбаски -j аз ним зиёд аст, агар онро

ба чамъ кунем, натича аз 1 калон мешавад.

20. Мутобикшавии хосиятхои чамъу тарх ба ададхои касрй

Х,амаи конунхо ва хосиятхои амалхои чамъу тархд ададхои натуралй барои ададхои касрй хам мувофиканд.

Истифодаи он конунхо ва хосиятхо бисёр хдсобкунихоро осон мегардонад.

М а с ъ а л а . Одам ба хисоби миёна хар 1 сония 1 ~ м харакат

мекунад; фароштурук дар хар 1 сония назар ба одам 22 у м зиёд,

кабутар назар ба фароштурук дар хар 1 сония 3у м зиёдтар парвоз

мекунад; мошини сабукрав дар хар 1 сония назар ба кабутар 7 — м6

зиёдтар рохро тай мекунад. Суръати мошини сабукрав дар 1 сония чй кадар аст?

X а л. Суръати фароштурук дар хар 1 сония ба (i^ + 22-|)m

баробар аст. Суръати кабутар дар хар 1 сония ба (i^ + 22j]m +

+ 3 ^ м = (l-i- + 22 j + Зу)м ва суръати мошин дар хар 1 сония ба

П^ + 22^ + 3“- + 7-Чм баробар аст. Кдмати дохили кавсхоиv 9 3 3 6'охиринро хисоб мекунем:

1i + 22 f + 3 l + 7 l = ( 22 f + 3 i M 1i + 7 ? ) = 2 6 + 8A = 34A -яъне мошини сабукрав дар хар 1 сония 34-^-м рохро тай

1 О

мекардааст.М « СОл « / . 31 + 2 | + 11| + 4 | + 5 | + 8^ = (з1 + 5 | ) + ( 2 | + 4 | ) +

+ (i + 8 ) = 9 + 7 + 10 = 26.

494- 12

189. Бо истифодаи к,онунх,о ва хосиятхои амалхои чамъу тарх кимати ифодахоро хисоб кунед:а ) 3 5 ^ + 1 4 i - 3 3 ^ - 1 2 f ;

б ) 3 5 И - 1 4 П + 3 3 2 7 - 16б б ;

в> 42п - ( 32т ? + 41п ) + 35§ ’

г>(42га -351т)+(41й - 321т)

Худро бисанчед

1. Амали чамъро ичро кунед: ~ + --- .

A)I в)| C)i i2. Нишон дихед, ки дар кадом маврид чамъ дуруст ичро карда

шудааст?2 1+2

5 4-51 , 2 _1-5+2-4

А) 4 + 5 ~ 4-5 В) 1 + 1 = 4 5

1+24+5 С) 1 +

Кимати ифодаро хисоб кунед: у + -3-. 10

А ) 1Т В) 510 С) 7

10Суммаи касрхои 1

в а |-ро ёбед

А) п В) 11930 С) 3

10

5. Китобхои дар рафи якумбудаи китобхона 1 кисми хамаи

китобхо, дар рафи дуюмбуда ~ кисми хамаи китобхои

китобхонаро ташкил медихад. Дар рафи сеюм чи кадар кисми китобхои китобхона чой гирифтаавд?

A) 1 В) — С) —’ 3 7 10 15

6 . Як тарафи гулзори росткунчашакли назди хавлй 6 -|-м ва'У _

тарафи дигараш 4-f м кутохтар аз он аст. Периметри гулзорро

ёбед.А) 10-^-м В) 8уМ С ) 1 8 ^ м

7. Адади j -ро аз адади 2 тарх кунед.

А) 1 j В) 1 С) -у

8. Адади омехтаи 5у -ро ба касри нодуруст гардонед.

А) | В) f С) М

9. Кимати ифодаро хисоб кунед: ly +2 - j ^ .

А> 3Ш В> 3i f С> 1510 Цимати ифодаро хисоб кунед: 1 - j .

А)1 В ) Х С ) 1

11. Амали тархро ичро кунед: 5 - 1 -j.

А) 4 | В) 3± С) 4 1

12 Кимати ифодаро хисоб кунед: 3-j - 2 1 + —.4 8 8А) 2 В) | С) 1

13. Х,осили пахта ба хар 1 гектари як китъаи замин 271 -сентнерй

рост омада бошад, он дар китъаи дигари замин ба 231-

сентнерй рост омад. Х,осили китъаи дуюм назар ба хосили китъаи якум чй кадар паст буд?

А ) | с В) 4 | с С) 4 с

51

14. Амали чамъро ичро накарда, кимати суммаи у + -ро бо

вохдд мукоиса кунед.А) т + f < 1 B ) f + f > l С ) | + { = 1

15. Кимати ифодахои 8 - 1 ва 8 - 1 -ро мукоиса кунед.

А ) 8 - 1 > 8 - 1 В) 8 - 1 < 8 - 1

Машкх,о барои кори мустакилонаи № 1

Варианти 11. Касри ^ -ро ихтисор кунед.

4о

2. Касрхои 1 ва 1 -р0 мукоиса кунед.

3. Духтарак дар 1 соат тугмах,ои куртаашро шинонида, дар ^

соат куртаро дарзмол намуд. Барои ба тартиб овардани куртааш ба духтарак 1 соат вакт кифоя буд ё не?

Варианти 2ОТ

1. Касри -ро ихтисор кунед.

2. Касрхои у ва 1 -ро мукоиса кунед.

3. Духтарак дар у соат тугмах,ои куртаашро духта, дар соат

куртаро дарзмол кард. Оё ба духтарак ним соат вакт кифоя буд, ки ин корх,оро анчом дихдд?

Варианти 31. Касри Щ -ро ихтисор кунед.

2. Касри 1 калон аст ё касри ?5 6

3. Писарак сеяки вакти истирохатиашро ба туббозй ва чорякашро ба шиноварй сарф намуд. Дар ин муддат оё писарак ними вакти истирохдтиашро сарф карда тавонист? Аз ним зиёд буд ё кам?

Варианти 4ТС

1. Касри -ро ихтисор кунед.

52

2. Касри калон аст ё касри ?

3. Оё барои он ки писарак ^ соат туббозй кунаду ^ соат дам

гирад, 1 соат вакт кифоя аст?

Машкхо барои кори мустакилонаи № 2Варианты 11. Амалии чамъро ичро кунед: 2 у + 3 .

2. Амали тархро ичро кунед: Щ .

3. Ададеро ба кадри касри -у кам карданд, ки дар натича касри

хосил шуд. Он ададро ёбед.

Варианти 21. Адади 1 у -р о ба адади 2 ^ - чамъ кунед.

2. Адади -ро аз адади тарх кунед.О 16

3. Ададеро ба адади чамъ карданд, ки дар натича касри

хосил шуд. Он ададро ёбед.Варианти 31. Адади 4 -ро ба адади 7 чамъ кунед.

2. Амали тархро ичро кунед: jg - •

3. Ададеро ба кадри адади 1- | кам карданд, ки дар натича адади

l i хосил шуд. Он ададро ёбед.

Варианти 41. Амали чамъро ичро кунед: 2 ^ + 1-^-.

2. Адади 1 у -ро аз адади 3 тарх кунед.

3. Ададеро ба адади 4 чамъ карданд, ки дар натича адади 7-i-

хосил шуд. Он адад кадом аст?

53

Б О Б И III. З А Р Б ВА Т А ^ С И М И К А С Р Х О И О Д И

21. Зарби каср ба адади бутунЗарби каср ба адади бутунро хдмчун зарби адади бутун ба

адади бутун, яъне хдмчун чамъ кардани чамъшавандахои якхела фахмидан мумкин аст.

Масалан, зарб кардани касри ба адади 5 талаб карда

шудааст. Он гох —• 5 = 4 + \ + 4 + 4 + 4 = З+З+З+З+З =11 яъне 4 4 4 4 4 4 4 4

= мешавад.

Аммо 15 = 3-5 аст, бинобар ин — • 5 = — (1) мешавад.4 4Х,амин тарик, барои касрро ба адади бутун зарб кардан кифоя аст, ки сурати каср ба х,амон адади бутун зарб карда шуда, махрацаш бетагйир монад.

Хдмин корро бо раем хам нишон додан мумкин аст. Дар нури ададии ОА 4 катаки дафтарро ба сифати 1 вохид кабул

3мекунем, он гох касри дар охири катаки сеюм каид мешавад.

Пас 3 катакро 5 маротиба пай дар пай мегузорем ва мебинем, ки аз ибтидои нури ададй 15 катак дур рафтаем (расми 5). Ин адади^ -ро нишон медихад.

О АI— I— I— I— I------- 1------------ 1------------1------------1— >О 1 1 1 И

4 4 4Расми 5

Пас, 5 = будааст.

Баръакс, дар холати зарб кардани адади бутун ба каср мо гуфта наметавонем, ки адади бутунро ба каср чанд маротиба чамъ мекунем. Аз хамин сабаб ин мавзуъро низ бо ёрии раем баён мекунем. Бигзор зарб кардани адади 5 ба касри ^ талаб

карда шудааст, яъне 5- .

Мисли пештара дар нури ададй 4 катаки дафтарро ба сифати 1 вохид кабул мекунем, он гох адади 5 дар охири катаки 20-ум кайд мешавад. Яъне, дарозии порчаи мо аз 20-то катаки

54

дафтар иборат будааст. Акнун вазифаи мо ёфтани хиссаи

хдмин 20 катак аст. 20 катакро ба 4 таксим мекунем, 5 катак мебарояд. 5 катакро дар нури ададй 3 маротиба пай дар паймегузорем. Вай 15 катак мешаваду адади ^ -ро нишон медихдд

(расми 6).Пас, = ^ ёк и 5 = ^ . (2)

О АI— |------------1-------------- 1-------------- 1----------- 1----- 1--------1— ►0 1 1 2 3 15 4 5

4 4Расми 6

Тарафхои роста баробарихои (1) ва (2) ба якдигар баробаранд. Бинобар ин тарафхои чапашон низ баробар мешаванд, яъне

= О)Пас, конуни чойивазкунии зарби ададхои бутун барои зарби

каср ба адади бутун ва барои зарби адади бутун ба каср хам раво будааст, яъне аз иваз шудани чойи зарбшавандахо хосили зарб дигар намешавад.

М и с о л и 1. ^ - 3 4 = - ^ = 5-2 = 10.

М и с о л и 2. 1 7 - | = 15 1 = - т = 12т-4 4 4 4

М и с о л и 3. Агар нархи 1 м матоъ 1- сомонй бошад, барои

14 метри он чанд пул додан лозим аст?Х а л . Барои ба ин савол чавоб додан 1^ -ро ба 14 зарб

мекунем: 1-^-14 = ~ 14 = -У- = -у- = 24-i-.

Ч, а в о б. 24 сомонй.

М и с о л и 4. Нархи 1 м матои чомабоб 5 сомонй аст. 2 - |

метри он чанд пул меистад?Х а л . 5 -2 1 = 5 .И = Ш = 51 = 1з 1 ' 4 4 4 4 4

Ч а в о б . 1 3 | сомони.4

55

190. Амали зарби каср ба адади бутунро ичро намоед:а) § -4 ; б ) А - 6 ; “) м ' 12; г) § ■ «

191. Зарби адади бутун ба касрро ичро намоед:а) 5--1; 6 ) 7 . £ ; в) 9 -1 ; г) 12-1 ; г) 15-1 .

192. Барои пур кардани як зарф уу дакика вакт лозим аст. Барои

пур кардани 6 дона чунин зарф чй кадар вакт сарф мешавад?193. Барои тайёр кардани як дона куттича писарак ^ соат вакт

сарф кард. Вай барои тайёр кардани 12-то чунин куттича чй кадар вакт сарф мекунад?

194. Х,осили зарби ~ 8 -ро бо тарзхои гуногун хисоб кунед.

195. Х,осили зарби 7 -1 -ро бо тарзхои гуногун хисоб кунед.

196. Хочагии сахдомй ба уу хиссаи замин гандум ва ба 2

маротиба зиёдтар аз он сабзавот кишт кард. Ёбед, ки ба кадом хиссаи замин сабзавот кишт карда шудааст?

197. Дар 12 дакика j м рох асфалтпуш карда шуд. Дар 1 соат чй

кадар рох асфалтпуш карда мешавад?198. Дар вакти обхезй сатхи об дар хар як соат 1 метрй баланд

мебарояд. Дар 5 соати чунин обхезй сатхи об чй кадар бардошта мешавад?

199. Дарозии росткунча ба 12 м ва бараш ба м баробар аст.

Масохати росткунчаро ёбед.200. К^имати ифодахоро хисоб кунед:

а) 1 \ \ м — 318 см + 2%м — 9л*25 см ;4 5

б) га + 6150м2 - ±га + 2740м2 ;

в) - \ д м 3 - I j k 3 + З- -сл*3 ;4 2 8 4г) J- тонна + 26\ сентнер- 1576 килограмм.

О J

Н а м у н а и х; ал. 1 га + 75 м2 - 1 га - 3475 дм2 = 1 га - -у га +

56

+ 7500 дм2 - 3475 дм2 = ± г а + 4025дм2 = ± 1000000 дм2 + 4025 дм2 =

= 250000 дм2 + 4025 дм2 = 254025 дм2 .

201. Инсон ба хдсоби миёна дар хар як сония 1-i м рох меравад.

Инсон дар як соат чй кадар рох, тай мекунад?

22. Зарби каср ба каср

Зарби касри ^ ба адади 2 маънои онро дорад, ки касри ~

ду маротиба зиёд карда шавад. Зарби касри ба касри у чй

маънй дорад? Инро низ бо раем намоиш додан хубтар аст. Х,осили зарби махрачхои касрхои додашуда ба 12 баробар аст. Вобаста ба ин мо порчаи вохидиро иборат аз 12 катаки дафтар интихоб намуда, онро ба 4 хиссахои баробар чудо мекунем ва 3- тои онхоро мегирем (расми 7). Ин 3 хисса бо порчаи ОВ тасвир шудааст.

12 12

Расми 7Азбаски хар як катак ба касри yL мувофик аст, бинобар ин

порчаи ОВ, ки аз 9 катак иборат аст, ба ^ ё ки ^ мувофик

меояд. Зарби касри ^ ба маънии онро дорад, ки порчаи ОВ

ба 3 хиссаи баробар чудо карда шуда 2-тои онхо гирифта шаванд, ки ин порчаи ОС мебошад. Ба порчаи ОС касри

мувофик гузошта шудааст. Пас, хосили зарби ^ - у ба касри

мувофик меомадааст, яъне ^ мешУДааст- Агар 6-ро чун

3 - 2 ва 12-ро чун 4- 3 нависем, он гох • у = ~ мешавад.

Аз руи баробарии охирин гуфта метавонем, ки: барои каерро ба каср зарб кардан суратх;ои онхоро зарб карда ба сурат ва махрацх;ои онх;оро зарб карда ба махрац менависем.

57

М и с ол и 1. Касрхои |- ва -ро зарб мекунем:

~ ( х а н г о м и зарб ихтисоркунй хатмист).О У О* У 1 о

М н е о л и 2. i!" ц> = 12-ш = Ф2 = 8 ‘

и с о л и 3. Касри ~ ба касри ^ зарб карда шавад.

л. . Ин баробариро чун форму лай зарби каерх^о

кабул мекунем.1 / и с о л и 4. Касрхои j > у ва ^ -ро зарб мекунем:

2 1 7 _ 2-3-7 _ 2 5 7 9 5-7-9 15 '

Дар машкхои 202-204 амали зарбро ичро кунед.я 3. 2 . ) 5 7 ’ б) 5 7 .

6 ' И ’ в) 58

1 .6 ’ г) 8

174 .9 ’

г) 6 - Л- М 3 7 ’ д) 3 1 .

7 5 ’ е) 215

7 . 10 ’ ё) 6

1189 '

а1» 4 - 7 ■ а) 7 9 ’ б) 2 2 .

5 3 ’ в) 611

11 . 12 ’ г) 2

77 . 10 ’

г) 4 .3 . ' 5 8 ’ д) 8 3.

9 8 ’ е) 1113

4 .' 1Г ё) 1

1212 13 ‘

а \ 14.17 . ’ 17 18’ б) 5 12 .

24 15 ’ в) 611

22 . 24 ’ г) 4

1515 . 16’

Г) J _ . 32 . ’ 16 36 ’ д) 18 75 .

25 105 ’ е) 3041

82 . 95 ’ ё) 22

9331 66 '

а05 Дарозии росткунча j м ва бараш назар ба дарозиаш yL м

кутохтар аст. Масохати росткунчаро ёбед.Бари росткунча аз дарозиаш м кутохтар аст. Агар бари

росткунча -2- м бошад, масохати росткунчаро ёбед.

207. Кимати ифодахоро ёбед: a) ( l- | | ; б) Щ ^ .

\л fiannfТарафи квадрат ба - |м баробар аст. М асохати квадратро

ёбед.

58

23. Зарби ададхои омехга

Барои зарб кардани ададхои омехта, аввал онхоро ба касрхои нодуруст мегардонем ва баъд аз коидаи зарби касрхо истифода мебарем.

М и с о л и 1. Ададхои З у ва 2 ~ -ро зарб мекунем:

о ! 9_5_ = 22 49 _ 22-49 п 7 22 7 22 7-22

М и с о л и 2. К^имати ифодаро хисоб кунед: 2~- 2^-.2 15 6Аввал амали зинаи дуюмро ичро мекунем:

? ! ? — = — 32 _ 5-32 = 5-2-16 16 с 12 15 2 15 2-15 2-3-5 5 3 '

Акнун амали зинаи якумро ичро мекунем: 5:и зинаи якумро ичро мекунем

3 6> \6 в)М и с о л и 3. Кимати ифодаи 2 5- + 3-=р7-р-ро хисоб

4 6 4 6

мекунем.Аввал конуни таксимотии зарбро татбик менамоем:

3f - 2l +3T-7i = 3l - ( 2l + 7 z)- 4 6 4 6 4 ' 6 6 'Акнун амали зинаи якумро ичро мекунем:

24 + 7 | = 9^± i = 9 | = 10.6 6 6 6

Хрсили зарби 3-|- 10-ро меёбем:

-?! in -1 5 , ip 15-10 _ 15-2-5 _ 75 14 4 4 2-2 2 2 ’

Пас, бузургии ифодаи мазкур ба 37 ! баробар будааст.

М а с ъ а л а и 1. Дарахти туе 150 сол ва дарахти санавбар

2 ^ маротиба зиёдтар аз он умр мебинад. Дарахти санавбар

чанд сол умр мебинад?X а л. Бар

зарб мекунем:

Пас, дарахти санавбар 350 сол умр медидааст.

X а л. Барои ба саволи масъала чавоб додан 150-ро ба 2-|

150-2} = 150-f = ifflz = 1Ш. = 350.

59

М а с ъ а л а и 2. М ассаи 1 дм3 охдн 7 у кг аст. М ассаи куби

оханини тегааш 2 j дм ба чанд килограмм баробар аст?

а : а л. Аввал хачми кубро меёбем, ки он ба хосили зарби

2 -i- дм-2^г дм- 2\ дм иборат аст, яъне 4 -4 - 4 дм3 = дм3 =2 2 2 2 2 2 2-2-2= 1§^дм3. Азбаски ^ дм3 = 1 дм3 мебошад, бинобар ин ба

О О О

чойи 1 дм3 адади 7 ^ к г -р о гузош та, ба чавоби масъала ноил

мешавем. = = = = П ас, массаи кубио 5 о 5 о о о

оханини тегааш 2~ дм буда ба 121^ кг баробар будааст.2. ом а с ъ а л а и 3. М айдони сабзавоткори росткунчашакл

буда, дарозиаш 5 0 ^ -м ва бараш 38-| м мебошад. А гар барои

обёрии 1 метри квадратии майдон 24 литр об сарф шавад, он гох барои обёрии ин майдон чй кадар об лозим аст?

X а л. М асохати майдони сабзавоткориро хисоб мекунем: 501 .3 8 | = Ж .1 | 5 = 15|55 (м2).

Акнун микдори оби сарфшавандаро меёбем:24 = 15655- 3 = 46 965.

О

Ч, а в о б: 46 965 л.Хднгоми зарби ададхои омехта, дар баъзе маврид,

истифодаи конуни таксимотии зарб хисоби шифохиро осон мекунад. Масалан,

а) 3 ^ - 2 6 = (3 + y 0 26 = 3-26 + - 2 6 = 78 + 8 = 8 6 ;

б) 5-у-7 = 5 - 7 + -|-7 = 3 5 + 6 = 41 ва гайра.

209. Амали зарбро ичро кунед:

а ) 2 § . 1 ; б) 5| -| ; . ) 2 f - i ; г) 2 f f ;

D l f . a f ; Д) e ) l f 2 i ; ё) 4 l - 2 ^ .

210 . Кимати ифодаро ёбед:

■ ) 2 f 3 f f i . ) l f f - 5 l ;

60

5 " 7 2 9 ’ г> J ~l' ~5 29 ’ 2 3 ' 7 ' J 4 '2 1 1 . К^имати х,осили зарбро хисоб накарда, муайян кунед, ки

кадоме аз онхо аз 10 хурду кадомаш аз 10 калон аст?а )1 0 -| ; б) I f -Ю; в) 1 - 10 ;

212 .Цимати ифодаро хисоб кунед:а) | .(2 + 1 ); 6) 2 l . ( 5 l - 3 i ) ;

213.Вазни 1 л шир 1 - ^ кг аст. Вазни 5-^-л ширро ёбед.

214. Замин дар гирди Офтоб бо суръати 29 щ км/сония харакат

мекунад. Замин дар гирди Офтоб дар 25 сония чй кадар масофаро тай мекунад?

215.Чархи осиёи обй дар 1 даки ка 15 маротиба чарх мезанад ва дар хар чархзанй 25 г орд мепартояд. Ин чарх дар i l соат

чанд маротиба чарх мезанад ва дар ин мухлат чй кадар гандумро орд мекунад?

216.Автомобил дар хар 1 дакика 1у км рохро тай мекунад. Вай

дар 5 1 соат кадом масофаро тай мекунад?

217.Амалхои нишондодашударо ичро кунед:

а ) 131 +1ге)'11Г-(2я - 1з|)3в ) 2п ;

б ) Ц - 2 | ) '2 М 5 | - 4 | ) -п -218. Пиёдагард дар рохи хамвор 2 соат бо суръати 4I км/соат

ва дар рохи нишеб 3I соат бо суръати 5I км/соат рохро

тай кард. Пиёдагард хамагй чй кадар масофаро тай кард?219.Суммаи касрхои 2^ ва 1^-ро ба фарки онхо зарб кунед.

24. Ададхои ба хамдигар чаппа

Ду адади косили зарбашон ба 1 баробарро ададхои ба хамдигар чаппа меноманд. Масалан, адади 4. ба адади 1 чаппа аст, зеро

хосили зарби онхо ба 1 баробар мешавад, яъне 4.. 1 = М = j .

Адади 1 ба адади а чаппа мебошад, чунки аа - 1 = т- - 1 = ~ - = 1 мешавад ва баръакс а ба адади 1 чаппа аст; а 1 а \а адар ин чо а адади гайринолист.

Касрхои ~ ва — ба хамдигар чаппаанд: = \.Ь а г Ъ а Ъ-а

Ададеро меёбем, ки ба адади 2у чаппа бошад. Бо ин максад

адади омехтаи 2 у -р о ба касри нодуруст мегардонем:

2 у = - ' у "5 = мешавад. Пас, адади ба адади 2 у чаппа адади

мебошад, зеро 2 -|- ^ = = = 1 мешавад.

Чуноне, ки дар мисолхои овардашуда дидем, барои ёфтани адади чаппаи касри одй чойхои сурату махрачи ин касрро ивазкардан кифоя аст. Масалан, адади ба касри ^ чаппа касри у

мебошад, яъне дар касри додашуда чойхои сурату махрач иваз карда шудааст.

Барои ёфтани адади ба адади бутун чаппа аввал адади бутунро чун касри махрачаш 1 навишта, баъд чойхои сурату махрачро иваз мекунем. Масалан, барои ёфтани адади ба 4чаппа онро чун у менависем ва чойхои 4 ва 1-ро иваз мекунем.

Дар натича 1 хосил мешавад. Дар хакикат 4 - 1 = у ~ = 1 = 1

мешавад.Адади ба 1 чаппа худи 1 мебошад, зеро 1-1 = 1 аст.Х,еч ягон ададро ба нол зарб карда 1 хосил кардан мумкин

нест. Бинобар ин адади 0 адади ба худ чаппаро надорад. Ба хамаи ададхои дигар ададхои чаппа мавчудас.т

Мавзуи ададхои ба хамдигар чаппа дар хал кардани бисёр масъалахо истифода бурда мешавад.

М и с о л и 1. Муодилаи у х = 5-ро хал мекунем. Барои ин

адади ба у чаппаро нишон медихем, ки он у мешавад. Харду

62

тарафи муодилаи додашударо ба у зарб мекунем: j x - у = 5 -у ,

1 1 г —1 1 г - 3 5 - 1 1 27 3 1 3 ’ 3 3 '

М и с о л и 2. Муодилаи у х + -|х = 58 -ро х,ал мекунем. ХКУ-

и ададхои 5 ва 7 ба 35 баробар аст, бинобар ин зарбшавандаи иловагии чамъшавандаи якуми тарафи чапи муодилаи додашуда 7 ва аз они дуюмаш 5 мебошад. Хдмин тарик,у у х + у | х = 58, iy x + i| x = 58, | | х= 58 мешавад.

Адади ба Щ чаппа адади Щ мебошад. Бинобар ин харду

тарафи муодилаи охиринро ба адади Щ зарб мекунем:

2 9 r 3 5 _ So 29 29 35 58-3535 29 3 5 ’ 35 29 29 ‘

Азбаски — ■ 4 4 = 1 аст, бинобар ин х = 22У 5 ё ки х = 7035 29 29мебарояд.

М и с о л и 5. Адади ба 0,4 чаппаро меёбем:

0,4 = -^ = —. Адади ба касри у чаппа адади мебошад. Яъне,

-| ба 0,4 чаппа аст. Дар хакикат 0,4- - j - 1 мешавад.

220. Адади ба адади додашуда чаппаро нависед: а )| ; 6 ) 3 | ; в) 6 ; г) г) д ) 1 ;

е ) | ; ё )| ; ж ) -4-; з) и) 1 ; й ) ^ -

221 .Оё ададхои зерин ба хамдигар чаппаанд?а) | ва | ; б) | ва | ; в) | ва | ; г) ^ ва 10;7 .

5 ’ в) 22 ва з ;

4 . 11 ’ е) 25

102ва 4 : 5

л

г) f ва у-; д ) 2 | в а п ; e^ f o B a f ’222.Муодилахоро хал кунед:

а ) | х = 2 ; б )| у = | ; в )| х = ^ ; г )| | у = 1;

г) 4а = 3; д) 7 6 = { о ; е )| х = 2 ; ё)|б + |б = -|.

63

223.Номаълуми х-ро аз муодилахои зерин ёбед:

а ) | х + 7 = 31; б ) | х + 16=26 ; в ) | х - 1 3 = 3 ;

г ) ^ х + 15 = 29; г )| 1 х -1 7 = 16; д) 1 Ж_ 2 = 1 .

Машкхо барои кори мустакилонаВарианти 1

1. Касрх,ои ва -т^-ро зарб кунед.2 о 41)

2. Адади омехтаи 3-у-ро ба касри зарб кунед.

3. Кимати ифодаи (-| + ^|)-ро хисоб кунед.

4. Адади ба ^ чаппаро нависед.

Варианти 21. Касрхои ва -ро зарб кунед.

2. Адади омехтаи 4 4 -ро ба касри 4 зарб кунед.5 6

3. Кимати ифодаи l^ --U -fi-2 4-)-ро хисоб кунед.2 ' 1 о 2 >

4. Адади ба — чаппаро нависед.5

Варианти 31. Касрхои Л ва ~ -ро зарб кунед.

1 о 26

2. Адади омехтаи 5|--ро ба касри — зарб кунед.

3. Кимати ифодаи 5 1 • 3 - 1 -ро хисоб кунед.3 О О

4. Адади ба -2- чаппаро нависед.

Варианти 4

1. Касрхои Ц ва 20 "Р° заР® кУнеД-

2. Адади омехтаи 2 ^-ро ба касри ^ зарб кунед.о 21

3. Кимати ифодаи *Р° кУнеД-

4. Адади ба чаппаро нависед.

64

25. Таксими касрхои оди

Фарз мекунем, ки хал кардани муодилаи- • * = - ( 1)8 4 К ’

талаб карда шудааст. Мо хал кардани ин муодиларо медонем. Харду тарафи онро ба касри ба чаппа, яъне ба касри зарб

о 3

мекунем.1 . 1 . х = 2 . . Азбаски f = 1 аст, бинобар ин 3 о 4 3 3 о

* - Н - (2)Агар ба муодилаи (1) назар кунем, дар он хосили зарби

касри ба адади х адади маълум аст, яъне мебошад. Хосили

зарб ва яке аз зарбшавандахо маълум аст. Факат зарбшавандаи дуюм (х ) номаълум аст. Мо медонем, ки аз руи хосили зарби маълум ва яке аз зарбшавандахои маълум зарбшавандаи дуюмро ёфтан мумкин аст, яъне хосили зарбро ба зарбшавандаи маълум таксим мекунем. Х,амин тарик, хосил мешавад:

х = - - - (3)4 ' 8 К }

Тарафхои чапи баробарихои (3) ва (2) ба хамдигарбаробаранд, бинобар ин тарафхои росташон низ баробармешаванд:

3 . 3 = 3 . 8 /4 ч4 ' 8 4 3

Аз ин чо хулоса мекунем, ки барои касрро ба каср тацсим намудан касри тацсимшавандаро бетагйир гузошта аломати тацсимро ба аломати зарб иваз карда, касри тацсимкунандаро чаппа навиштан кифоя аст.

Ё ки ин тавр хам мегуянд: барои як касрро ба касри дигар тацсим кардан касри так^симшавандаро ба касри ба тацсимкунан- да чаппа зарб кардан кифоя аст.

Дар холати умумйа_.с__а_. d_ b d b e

мешавад.Барои адади омехтаро ба каср ё ба адади омехта таксим

кардан аввал адади омехтаро ба касри нодуруст табдил медихем ва баъд чун таксими каср ба каср амал мекунем.

655 - 12

М и с о л и 7. Касри & -ро ба касри |- таксим мекунем:7 О

6 . 3 = 6 8 68 2-3-8 16 ? 27 ' 8 7 3 7-3 7-3 7 7 '

М и с о л и 2. = ^ - - т = ^ т = ~гг? = 4 -25 5 25 1 251 5-5-1 5М и с о ч и J . 3 ! - 2 -L = ^ - . 2£ = H . ^ = .2 2 lH = 44 = i15

J 7 14 7 '14 7 29 7-29 29 2 9 ’М а с ь а л а и 1. Масохати росткунча ба7-| м2 ва дарозиаш

6a4 jM баробар аст. Бари росткунчаро меёбем.

-V а л. Азбаски масохати росткунча ба хосили зарби дарозии он ба бараш баробар аст, бинобар ин бари росткунчаро бо х ишорат карда, баробарии зеринро хосил мекунем:

4— х = 7—3 3 ’

Аз и н чо у — 7 2 . и 1 _ 23 . ! 3 _ 23 3 _ 23-3 _ 23 _ , 104 Х _ / 3 ' 3 “ 3 ' 3 _ 3 1 3 " 3-13 ~ 13 13 ’

Х,амин тарик, бари росткунча ба 1 ~ м баробар аст.

М а с ъ а л а и 2. Барои дар 4 соат тай намудани масофаи6ЗОу км мототсиклрон бояд бо кадом суръат харакат кунад?

X а л. Суръати мототсиклронро бо х ишорат мекунем. Азбаски хосили зарби суръату вакти сарфшуда ба масофаитайшуда баробар аст, бинобар ин 4- х = 30^ мешавад. Аз ин чо6 2r _ - i f ) 1 . 5 _ _ 61 6 _ 61-2-3 _ 183 _ т/: 3 М(.ТТПППП

2 ' б - - У П Т - Т ' 36! мешавад.

Х,амин тарик, суръати матлуб 36 j км/соат аст.

М а с ъ а л а и 3.Барои хосил намудани адади 1-| адади 2 у -

ро ба кадом адад зарб кардан лозим аст?Х а л . Агар адади номаълумро бо х ишорат кунем, он гох

баробарии зерин хосил мешавад: 2-| - х = 1 - j.

Азин чо х-ро меёбем: * = 1з : 2 5 = -з : ^ = -з']^ = з9 -9 0Пас, х = -^ будааст.

66

М а с ъ а л а и 4. Адади 7 у -ро ба кадом адад зарб кардан

лозим аст, ки адади 2 4 хосил шавад?6X, а л. Агар адади номаълумро бо х ишорат кунем, он гох

сохиби баробарии зерин мешавем: 7 у jc = 2-|.

Аз ин чо г — 2—• 7 - i— — • — — —А з и н ч о х - 2 6 . 7 3 - 6 • з - 6 22 ' 4 4 ’

яъне адади матлуб ба ^ баробар будааст.

М а с ъ а л а и 5. Суммаи ду адад ба 11- баробар буда, яке

аз он назар ба дигараш 3-у маротиба кал он аст. Ин ададхоро

ёбед.Х а л . Фарз мекунем, ки адади хурд х аст, он гох адади

калон ба 11-у-х баробар мешавад. Азбаски адади хурд назар ба

адади калон З-i- маротиба хурд аст, пас агар х-ро ба З у зарб

кунем, хосил и зарб ба адади калон баробар мешавад, яъне 3 ~ x = l l ^ - j t мешавад. Аз ин чо:

3 | i + jc= 11|, (3 i+ l)^ = l l i ,

i = 1l y : 4 | = y : l = y ~ = 2 ^ . Пас, адади хурд ба 2| баробар

будааст. Аз ин ру, адади калон ба l l - j - x =

= 11-^- 2 4 = = 8 -27г~ - = 8 Ц -, яъне ба 8-^ баробар мешавад.2 9 1о 18 18 18С а н ц и ш.Х,осили таксими адади калон ба адади хурд бояд

fh 3 1 fhrtnfhn ттптпт о 17 л 5 _ 161 . 23 _ 161-9 _ 23-7-9 _ 7 _ ч 1 • ба Зу баробар шавад. 8 _ . 2 - - — . у - — - у у у у - у - З у ,

пас, масъала дуруст хал шудааст.М а с ъ а л а и 6. Барои 55 j км масофаро дар j СОат тай

намудан автомобил бояд бо кадом суръат харакат кунад?Ин масъаларо бо тарзхои гуногун хал кардан мумкин аст.Т а р з и я к у м. Агар масофаи тайшавандаро ба вакти

сарфшуда таксим кунем, он гох суръати харакат мебарояд. Аз

67

ин ру, суръати хдракатро бо х ишорат намуда, онро ин тавр меёбем:

v - s s i - 4 _ l i i . 4 _ m 5 555 £п3 ЭЭ2 ' 5 ” 2 ‘ 5 _ 2 4 ~ 8 8 ’

яъне суръати матлуб 6 9 км/соат мешудааст.О

Т а р з и д у ю м . Азбаски хосили зарби суръат ба вакт ба масофа баробар аст, бинобар ин ^ -х = 55^ ва аз ин чо

* = 55^: у мешавад, ки давоми хдлро дар боло нишон до да

будем.

М а с ъ а л а и 7. Х,осили таксими ду адад ба 1-| баробар аст.

Суммаи ин ададхо аз фаркашон чанд маротиба зиёд аст?Х а л . Бигзор он ду адад а ва b бошанд, он гох мувофики

шарти масъала -f = l 4 мешавад, ки аз ин чо а =1 — 6 мебарояд.о 4 4'J т

Пас, суммаи а + b ба l ^ b + b = 2 ^ b баробар мешавад. Фаркаш-

он бошад. a - b = \ ^ b - b = ^b буданаш аён шуд. Барои ба

саволи масъала чавоб додан (а + /?)-ро ба а - b таксим мекунем,

яъне (а + b ) : ( a - b ) - 2 ^ b : ^ b = ^-b- = y = ■ Пас, суммаи он

ададхо аз фаркашон 3~ маротиба калон будааст.

224. Таксимро ичро кунед:а ) 1 ;4 -

2 . 5 ’

б) 1 - 4 -; 4 ■ 5 ’ в) 3

11. 1 .' 2 !) Г) 9 =

3 . 1Г

г) -J •1 . д ) ^ Д ; е) 9 . 3 . ё) — . 11 .' 4 2 ’ а ; 5 • 9 ’ 16 ’ 8 ’ 22 ‘ 12 ’

ж) 1 . 1 .' 3 ’

з) 1 - - L-’ 4 ‘ 1 6 ’и) 3 .

8 ’5

64 9 й> т ?. 1 ' 14 ■

225. Кимати ифодахоро хисоб кунед:

a ) 3 | : 4 з .5 ’ б) 3 ^ : 2 ]

4 .[5 ’ в) • 2 — •

5 ’ г) 1— : ч * 17

г) — :6 ч 30 А -9 ’ Д )7 5 | :1 2 | ; е) ■2 — ’

8 ’ 6 ) 1 2 1 ; 2 l ;

ж) 14^- • 9 ! •2 ’

з) З у : 4 13 .14 ’ и) 3 1 • ‘8 * "5 — •J 16 ’ Й) • 2 -• 1

68

226. Муодилахоро хал кунед:

a) f x = ^ ; б) П Х = 1 ; В^ 9 * = 15’ Г^ П Л:=8 ; г\ 21 v _ 35 . R\ 14 r _ 35 . 68 r _ _51_. 7 r _ 14Г ) 3 2 Х _ 4 8 ’ 27 3 6 ’ &) 7 5 X _ 6 4 ’ e j 9 X _ 17'

227. Муодилахоро хал кунед:

a) z 3 * = 4 5 ; б )2 | х = 15| ; в ) 5 | х = 4 | ;

г) 3 l x = 1 2 l ; г )4 -| х = 3-|; д )2 1 | х = 1 0 ^ .

228. Адади j -ро ба кадом адад зарб кунем, ки адади у хосил

шавад?229. Адади -ро ба кадом адад зарб кардан лозим аст, ки адади

4 хосил шавад?

230. Суммаи ду адад ба 6^ баробар аст. Яке аз ададхо назар ба

дигараш 1 j маротиба калон аст. Ин ададхоро ёбед.

231. Фарки ду адад ба 8-| баробар буда, яке аз он назар баО

дигараш 4^ маротиба хурд аст. Ин ададхоро ёбед.

232. Дарозии росткунча ба 35 -|м ва масохаташ ба 2071 ар

баробар аст. Бари росткунчаро бо тарзхои гуногун хисоб кунед.

233. Автомобили «Москвич» барои тай кардани 1 км рох ] qq л

бензин зарф мекунад. Агар барои тай кардани масофаи байни ш.Душанбе ва шДургонтеппа бензин

харочот карда бош ад, он масоф а чй кадар аст?

234. Аз 1 кг лаблабу ~ кг шакар истехсол* мешавад. Барои

хосил кардани 227у^хазор тонна шакар чй кадар лаблабу

лозим аст?235. бу-л бензин 4-Ц^ кг масса дорад. 9-|л бензин чй кадар

масса дорад? Масъаларо бо тарзхои гуногун хал намоед.

69

236. Адади -ро ба кадом адад зарб кунем, ки адади 12у

х,осил шавад?237. Рохи байни ду деха 44 км дарозй дошт. Косиди

велосипедсавор соати 7-и пагохй аз дехаи якум суйи дехаи дуюм ба рох баромад. Аз дехаи дуюм дар соати 8-у 8 дакикаи пагохй аспакие суйи дехаи якум харакат карда, дар соати 10 бо велосипедсавор вохурд. Агар суръатиаспакй назар ба суръати велосипедсавор 2 ~ км/соат кам

бошад, суръати хар кадоми онхоро ёбед.238. Адади ^ калон аст ё : j ?

239. Адади 4 калон аст ё 4 4 ?6 6 5

240. Хрсили таксими ду адад ба 2^ баробар аст. Суммаи ин

ададхо аз фаркашон чанд маротиба зиёд аст?241. Як адад аз адади дигар l| маротиба калон аст. Агар

суммаи ин ададхоро ба фаркашон таксим кунем, кадом адад хосил мешавад?

242. Суммаи ададхои 9^ ва 1-^-ро ба фарки ададхои 6-| ва 5-i-

таксим карда, хосили таксимро ёбед.243. Дар харита масофаи байни ду шахр ба 2 см ^ мм баробар

аст. Агар масштаби харита 1:1000000 бошад, масофаи хакикии байни ин шахрх,оро ёбед.

244. Кимати ифодаро хисоб кунед:

(83 - ( г | - 7 + 1 2 :5)): f ‘ " \ 4 4 _ 55I7 1.15 ЭЭ30 - 3 *

6т?г + 9 —12

245. Кимати ифодаро хисоб кунед:( l _ _ L + (_!__ J _ L ( _ L _ _ L + ( _ L _ 53" 14' 4 4 24 ' '24 34 ' '34 44/ 44 54 " ' 5 4 '

246. Амалхоро ичро кунед:

(3-^ соаАи + 26-|дак.):(3 соату 4 7 ^ - дак- - 1 \ соат). у 5 2 о

247. Ду нафар хонандаи синфи 6-ум барои харидани лавозимотитаълим 8-2- сомонй пул доштанд. Агар яке аз онхо ба

70

дигараш 1 сомони карз дихад, пулаш назар ба пули рафик,- аш 1- маротиба кам мешавад. Х,ар кадом хонанда чй ка-

дарй пул дорад? Масъаларо бо тарзхои гуногун хал кунед.

26. Таксими адади бутун ба каср

Барои адади бутунро ба каср таксим кардан аввал адади бутунро чун касри махрачаш 1 ва сураташ хдмон адади бутун тасвир карда, давоми амалро чун таксими каср ба каср ичро менамоем.

Масалан, 1) 4 :^ = 4 :4 . = 1 . 1 = 7 ;

2 ) 1 9 : 5 = 1 9 . 5 = 1 9 . 6 = 1И = 2 2 4 ' 6 1 6 1 5 5 5 ’

Ъ П ■ т 3 _ 12 . 15 _ 12-4 _ 3-4-4 _ 16 _ ? 1 4 1 ' 4 15 3-5 5 5 ’

Барои касрро ба адади бутун таксим кардан низ хамин хел рафтор менамоем:

Масалан, =

2) 2 - i 4 = ! - H = ! . X = J _ - ; 8 8 ' 1 8 14 16 ’

23 . 23 _ 23 J _ _ ±V 6 ‘ 1 “ 6 23 — 6 '

М а с ъ а л а . Адади 2у^-ро ба кадом адад зарб кунем, ки

адади 2 хосил шавад?Х а л . Адади номаълумро бо х ишорат мекунем. дс-ро ба

7 72 - jj зарб кунем, адади 2 хосил мешавад, яъне х- 2-^ = 2 .

Хосили зарб ва яке аз зарбшавандахо маълум аст. Пас, барои ёфтани зарбшавандаи номаълум хосили зарб, яъне 2-роба зарбшавандаи маълум, яъне 2-^ таксим кардан лозим аст:

2 . 37 _ 2 Ц _ 3 015 1 ' 15 1 37 37 ’

Хдмин тарик, зарбшавандаи номаълум ба баробар

будааст.

71

248. Адади бутунро ба каср таксим кунед:а) 3 : 1 ; 6 ) 5 : ^ ; в) 1 6 : ^ ; г) 1 2 :| ; г) 1 : 1 ;

д ) 3 : 1 ; е )3 6 :-| ; ё) 4 2 ; Н ; ж ) 7 : § ; з ) 2 1 : | .

249. Касрро ба адади бутун таксим кунед:а) | : 2 ; б ) | : 7 ; в) 1 : 1 4 ; г ) ^ : 1 1 ; г) : 24;

д ) 7 | : 6 2 ; е ) ^ : 1 4 ; ё ) | : 2 ; ж) 1 1 : 3 1 ; з) 1^ :33 .

250. Муодилах,оро хал кунед:a ) 3 l x = 13; б )8 | х = 106; в) l - j l * = 200;

r ) 3 l j t - 5 = 8; г) 8 | х + 6 = 1 1 2 ; д) l l - x - 4 8 = 152./ 6 19

251. Кимати ифодаро хисоб кунед:a ) ( l 7 l : 1 2 l + 36 : 6 l + 8 § f ) : ( l 0 i - 5 i ) ; .

252. Велосипедрон масофаи байни дехахои А ва В-ро бо суръати151 км/соат тай намуда, дар бозгашт бо рохи дигар, ки аз

рохи аввала 1 км дарозтар буд, бо суръати 181 км/соат

харакат кард. Агар вай дар бозгашт 20 дакика камтар вакт сарф карда бошад, хамаи рохи тайкардааш чй кадар аст?

253. Сайёхе аз махалли А ба махалли В, ки масофаи байнашон18 км аст, бо суръати 4 км/соат ба рох баромад. Пас аз l l

соат аз махалли В ба суйи махалли А сайёхи дигаре ба рох баромада, баъди l l соат бо сайёхи якум вохурд. Агар

онхо дар як вакт ба рох мебаромаданд, баъди 2 соат вомехурданд. Суръати хар як сайёхро ёбед. Оё масъала шарти зиёдатй дорад?

254. 90 кг себро ба се куттй андохтанд. Дар куттии якум назарба куттии дуюм l l маротиба зиёд, дар куттии сеюм назар

ба куттии дуюм 10 кг зиёд себ шуд. Х,ар як куттй чй кадар себ дорад?

72

255. 88 адад дастгохро чунон таксим карданд, ки корхонаи якумназар ба корхонаи сеюм 1-| маротиба зиёд ва корхонаи

дуюм назар ба корхонаи сеюм 20 адад зиёд дастгох гирифт. Х,ар як корхона сохиби чанд дастгох шуд?

256. Дар се раф 156 нусха китоб хает. Дар рафи якум назар барафи дуюм 1 у маротиба зиёд ва дар рафи сеюм назар ба

рафи дуюм 11 маротиба зиёд китоб хает. Китобхои хар як

рафро хисоб кунед.257. Аз се китъаи замин 124 т картошка гундоштанд. Аз китъаи

якум назар ба китъаи сеюм 1-i- маротиба зиёд ва аз китъаи

дуюм назар ба китъаи сеюм 20 т кам хосил гирифтанд. Хрсили хар як китъаи заминро хисоб кунед.

258. Автомобил масофаи 180 км-ро дар 2-i- соат тай кард.

Суръати вай дар 1 соати аввал назар ба вакти бокимонда1 маротиба зиёд буд. Суръати автомобил аввал чй кадар

16

буд? Масъаларо бо тарзхои гуногун хал кунед.259. Велосипедрон 1 соати аввал назар ба 1^ соати дигар бо

суръати 4 км/соат зиёд харакат кард. Агар вай дар 2 j

соат 39 км масофаро тай карда бошад, суръати охирини вай чй кадар буд?

260. Адади якум назар ба адади сеюм 1^ маротиба зиёд ва

адади дуюм назар ба адади сеюм 1-А- маротиба зиёд аст.

Агар суммаи ин ададхо ба 123 -2- баробар бошад, хар

кадоми онхоро ёбед.

Худро бисанчед1. Хрсили зарби j - -ро хисоб кунед.

А> ! в>п С> 1

73

2. Хосили зарби 2 0 -ро хисоб кунед.

А) ^ В) И С) 14

3. Кимати ифодаи 3-2-2- -ро хисоб кунед.

А) б| В) 8 С) 4

4. Пиёдагард дар 1 соат 4-| км рох рафт. Вай дар соат чй

кадар масофаро тай мекунад?

A) 4-i- км В) 3-J- км С) 4-з км

5. Кимати ифодаи (4 - 1-)- ~ -ро хисоб кунед.

А) 32 В > 4 ? С > |

6. Адади ба ^ чаппаро нишон дихед.

А) | В ) 2 с) |

7. Кимати ифодаи 1: j -ро хисоб кунед.

А) | В) | С) |

8. Хосили таксими у : ~ -ро хисоб кунед.

А) ^ В) 4 С) 1

9. Тасмаи дарозиаш 12 метрро ба кисмхои хар кадомаш

метрй буриданд. Аз чунин к,исмхо чандто хосил шуд?А) 9-то В) 16-то С )-^--то

10. Амад дар 5 соат 12 у км шино кард. Вай дар 1 соат чанд км

шино мекунад?А) 60у км В) 6 2 км С) 2 j км

11. Зарбшавандаи номаълумро аз баробарии 5 ■ х - 12 ёбед.

A ) j| В) 2 j С) 60

74

12. Барои бо бензин пур кардани 15-то зарфхои якхела 11-1

дакика вакт сарф шуд. Барои бо бензин пур кардани 18-то чунин зарфхо чй кадар вакт лозим аст?A) 1 3 j дакика В) 1981- дакика С) Ц- дакика

27. Ёфтани хиссахои адад

Шумо мавзуи «Хиссахои вохид»-ро дар синфи 5-ум хонда будед. Дар он чо дар бораи 1- хиссаи адад, 1 хиссаи адад ва

хоказо сухан мерафт. Барои хиссаи ададро ёфтан мо порчаеро гирифта, онро ба 3 хиссаи баробар чудо карда, яктои онро 1

хиссаи хамон порча мегуем (расми 8). Хар яки порчахои

А В С DI-----------------1----------------- 1----------------10 1 2 1

3 3 3Расми 8

АВ, ВС ва CD 1 хиссаи порчаи AD-po нишон медихад. Порчаи

AD метавонад як микдор пул бошад, як микдор мол бошад, як микдор кор бошад ва гайра. Бо хамин сабаб он номхоро ба забон нагирифта, ба таври умумй, порчаи AD-po порчаи вохидимегуем. Хамин тарик, порчаи АВ ба у хиссаи вохид, порчаи АС

ба j хиссаи вохид баробар мешавад. Барои ёфтани порчаи

бокимонда, яъне порчаи CD аз порчаи AD порчаи АС-ро тарх мекунем, яъне CD = A D - А С . Аммо, порчаи AD ба 1 ва порчаиАС ба j баробар аст, бинобар ин CD = 1 - j . Мо медонем, ки

порчаи CD ба -1 хиссаи порчаи вохидй баробар аст. Хамин

тарик, баробарии болой намуди -1 = 1 - -ро мегирад ва дуруст

хам мебошад.Масалан, агар ёфтани 1 хиссаи 24 сомонй лозим бошад,

он гох 24 сомониро ба 3 хиссаи баробар чудо карда яктои онро

75

_ 2 мегирем, ки ба 8 сомони баробар мешавад. Агар у хиссаашро

гирем, ба 16 сомони баробар мешавад. Мо метавонистем, ки хдмин 16 сомониро бо тарзи осон хосил кунем, Бо ин максад 24-

2ро ба — зарб мекунем:

2 _ 24-2 _ 3-8-2 3 ~ 3 - 3 _

3 чАгар — хиссаи 24 сомониро ёфтан лозим бошад, -ро ба 24

зарб мекунем, яъне -■ 24 = = 18 . Хдмин тарик,

хиссаи 24 сомони ба 18 сомони баробар будааст.

Хисса^ои ададро касри адад низ меноманд, яъне хиссаи 24 ё

2 _касри —-и 24 мегуянд. Хдмин тарик, барои ёфтани х;исса.\ои (ё

касри) адад х;амин х;иссах;о (каср)-ро ба адади додашуда зарб кардан лозим аст.

М а с ь а л а и 1. хиссаи 2 км-ро ёбед.О

X ал. 4 • 2км = -^-км = 4 км = 4 ’ 1000 м= 1250м.8 8 4 4

Дар хакикат, агар 2 км-ро ба метр гардонем 2000 м

мешавад, ки дар холати ба 8 хиссаи баробар таксим намудани

он 250 м мебарояд (расми 9)

А С В

0 250л< 1250л* 2000л«

Расми 9'У 1

М а с ъ а л а и 2. — хиссаи — км-ро ёбед.

X а 7. -1 км-ро дар раем бо порчаи АВ ишорат мекунем.

Ин порчаро ба 4 хиссаи баробар чудо мекунем (расми 10).Азбаски ^ : 4 = у : у = у--|- = | аст, бинобар ин хар як

таксимоти порчаи АВ ба -i- км мувофик гузошта шудааст.

76

Расми 10

Барои халли масъала аз ин таксимот мо 3-тоашро мегирем, ки он дар раем ба км мувофик, гузошта шудааст. Аммо ба

О О

хосили зарби -у • у баробар аст. Пас, барои ёфтани — хиссаи ~

1 1км мо бояд "2 -ро ба зарб кунем.

Хамин тарик,, барои ёфтани хиссаи адад он ададро ба бузургии х,иссаи нишондодашуда зарб кардан кифоя аст.

М и с о л и / .у хиссаи адади 14 ба 4 баробар аст, зеро

у - 14= 2-2-7 = 4 мебошад.

М и с о л и 2. хиссаи адади 500-ро меёбем:

-3- 500= 3-4-125 =375.4 4

М и с о л и 3. у хиссаи адади ^ -ро меёбем: = = - 1 .

М ас ъ ал а и 3. хиссаи адади 120 кал он астё у хиссаи адади 225?

Х а л . Аввал у х,иссаи адади 120-ро меёбем: ~ 120= 4'245 =

= 96 . Сонй 1 хиссаи адади 225-ро меёбем: 1- 225 = 4-25-9 = 100 .У У У

Азбаски 100>96 аст, бинобар ин у хиссаи адади 225 аз у

хиссаи адади 120 кал он аст.М а с ъ а л а и 4. Якчанд чуфт ададхоро менависем, ки -2

хиссаи яке ба хиссаи дигаре баробар шавад.

Х а л . Масалан, 14 ва 6; 21 ва 9; 7 ва 3 ва raftpa. Чунки, 2- 14 = 4 ва — 6 = 4 ; у - 21 = 6 ва у - 9 = 6 ; у - 7 = 2 ва

~ 3 = 2 мебошад.

М а с ъ а л а и 5. Китоб 224 сахдфа дорад. Талаба -| хиссаиО

онро хонд. Чанд сахифаи китоб нохонда монд?Ин масъала тарзхои гуногуни халро дорад.

Т а р з и я к у м. Агар 224-ро ба -| зарб кунем, чанд сахифаиО

китобро хондани талаба маълум мешавад, яъне вай 224-1 = --?4~3 _ 8-28-3 - 28 - 3 = 84 сахифаи китобро хондааст. Пас,

сахифахои нохондаи китоб ба 224 - 84 = 140 баробар аст.

Т а р з и д у ю м . Азбаски талаба I хиссаи китоброО

хондааст, бинобар ин кисми нохондаи китоб ба 1 - , яъне ба —8 8

хисса баробар мешавад. Аз ин ру, мо J- хиссаро ба 224 зарбО

карда, чавоби масъаларо меёбем:| -224 = - ^ М = 140.

Ч а в о б . 140 сахифа. М а с ъ а л а и 6. Замини хочагй 360 га буда, у хиссааш

замини обёришаванда, ~ хиссааш замини лалмй ва бокимонда-6

аш алафзор мебошад. Замини алафзор чй кадар аст?X а л. Т а р з и я к у м . Х,иссахои якчояи заминхои обию

лалмиро меёбем: 2 + 4 =-22. + 1 = 1 (Хисса). Барои ёфтани хиссаи3 о 3* 2 о 6

замини алафзор фарки 1 - 4 -ро меёбем, ки он 4 баробар аст.6 6

Пас, майдони алафзор ба 360 = = 60 (га) баробар аст.

Т а р з и д у ю м. Майдони замини обиро меёбем:— 360 = 240 (га). Майдони замини лалмиро меёбем: 4 - 3 6 0 = 603 6

(га). Майдони якчояи заминхои обиву лалмиро меёбем: 240++60=300 (га). Агар аз майдони умумй майдони якчояи заминхоиобию лалмиро тарх кунем, ба максад мерасем: 360-300=60 (га).

Ч а в о б. 60 га.

М и с о л и 4 . ^ хиссаи адади 12-ро меёбем: у •12 = = 8.

78

М и с о л и 5. ~ хиссаи адади 144-ро меёбем:О

| .1 4 4 = i± H = 9 0 .

М и с с л и 6. 1 хиссаи адади ~ -ро меёбем: ~

Инро бо раем шарх медихем. Порчаи вохидиро дар шаш катаки дафтар тасвир мекунем, ки хар як катак ба адади ^

мувофик меояд. Нисфи ин порчаро гирем вай ба адади 1

мувофик меояд (расми 11). Чй хеле аз раем мебинем, сеяки порчаи АС порчаи AD мебошад, ки дарозии он ба баробар

аст. Пас, = 4 мешавад.3 2 6

A D С Вб ± 1 1 * *1

6 6 2

Расми 11Масъалаи 7. Оила сохиби ду китъа замин гардид, ки

масохати умумиаш ба п метри квадрата баробар аст. Агармасохати китъаи дуюм ба ~ хиссаи масохати китъаи якум

О

баробар бошад, масохати хар як китъаи заминро ёбед. Дар холати: а) « = 5 0 , б) п = 75, в) и = 100 будан, масохати онро хисоб кунед.

X а л. Бо сабаби номаълум буданаш масохати китъаи якумро бо х ишорат мекунем, он гох масохати китъаи дуюм ба \ хОбаробар мешавад, хосили чамъи онхо баробари п аст:

х + ^ х = п , \^х = п', х = = = , яъне масохатио о о 1 о 1Ь

китъаи якум ба баробар будааст. Пас, масохати китъаи

дуюм ба яъне ба — баробар мешавад.О 15 15

Акнун дар киматхои ададии додашудаи п хисоббарорихо- ро ба но меоварем:

79

а) * = 50; f j = * f = f = 2 6 f ; % = ^ = f = 2 3 ± , яъне

масохати китъаи якум 26 ~ м2 ва масохати китъаи дуюм 23 у м2

будааст.С а н ц и ш. 26у м2+ 23-j м2= 49-М^м2= 50м 2;

9 з 1 - 9 л2 - 7 0 . 8 0 - 70 J _ _ l3 3 3 ’ 3 3 80 8 '

Х,амин тарик, хамаи шартхои масъала ичро шуд ва индурустии халли масъаларо нишон медихад.

Кисмхои б) ва в)-ро худатон ичро кунед.М а с ъ а л а и 8. Дар корхонае микдори занон ба ! хиссаи

микдори мардон баробар аст. Занон кадом хиссаи микдори умумии коргарони корхонаро ташкил медиханд?

X а л. I а р з и я к у м . Мувофики шарти масъала микдоримардон назар ба микдори занон 4 маротиба зиёд, яъне 4- ! = 1.

Пас, агар мо аввал микдори мардонро 1 хисса гуфта кабул кунем, он гох микдори занон ба ! хиссаи 1 баробар мешавад.

Хдмин тарик, микдори умумии коргарон ба (l + хиссаи

микдори занон баробар аст ва l + -L = l l = -|- = 5--i- мебарояд,

яъне микдори умумии коргарони корхона назар ба микдори умумии занон 5 маротиба зиёд аст. Пас, микдори занон у

хиссаи микдори умумии коргарони корхонаро ташкил медихад. Т а р з и д у ю м . Агар микдори мардонро бо х ишорат

кунем, он гох микдори занон ! х мешавад, ки онхо дар сумма

(х + 1д:]-ро ташкил медиханд. Аммо х + ^ х = ^ = 5-^ х аст. Пас,

микдори умумии коргарони корхона 5 баробари микдори занон будааст. Аз ин ру, микдори занон ба i хиссаи микдори умумии

коргарон баробар аст.Т а р з и с е ю м. Мувофики шарти масъала микдори мардон

4 баробари микдори занон мешавад. Пас, микдори умумии

80

коргарон 5 баробари микдори занон ва аз ин ру, микдори занон панчяки микдори умумии коргаронро ташкил медихдд.

Т а р з и ч о р у м. Чй хеле, ки дар боло дидем, 1 + 2

мешавад. Мехохем фахмем, ки дар касри ~ чанд маротиба

чойгир мешавад. Бо ин максад -ро ба таксим мекунем, ки

дар натича = 5 мебарояд. Пас микдори умумии коргарон 5

баробари микдори занон будааст, яъне занон j хиссаи микдори

умумии коргаронро ташкил медиханд.Т а р з и п а н ч у м. Шумо метавонед адади дилхохеро, ки он

ба 4 таксим мешавад, микдори мардон интихоб намоед. Масалан, бигзор микдори мардон 32 нафар бошад, он гох

микдори занон -^ = 8 ва микдори умумии коргарон 32+8=40

нафар мебарояд. Барои муайян кардани он ки микдори занон кадом хиссаи микдори умумии коргаронро ташкил медихад, 8- ро ба 40 таксим мекунед:

-777 = = 4- , яъне чавоби масъала хосил мешавад.40 8-5 5

М а с ъ а л а и 9 . Ададеро ёбед, ки сеяки \~ маротибаи он ба

40 баробар бошад.X, а л. Т а р з и я к у м . Адади номаълумро бо х ишорат

мекунем, он гох 1- j баробари он ба 1-i- х мусовй мешавад, ки

сеяки вай | - l| х мебошад. Мувофики шарти масъала

i . l i - x = 40 мешавад. Аз ин 40 , i - l y x = 40 , ^ х = 40 ва х = 80

мебарояд. Пас, адади матлуб 80 будааст.

Агар халро санчиданй бошем, 80-ро ба 1 у зарб мекунем, ки

80-1^- = 120 мешавад ва сеяки он ба 40 баробар аст. Пас,

масъала дуруст хал карда шудааст.

'6-1281

Т а р з и д у ю м. Азбаски i хиссаи ]~ ба баробар аст,

бинобар ин агар j хиссаи адад ба 40 баробар бошад, он гох

худи адад ба 2 - 40 , яъне ба 80 баробар мешавад.

261. а) 1 хиссаи адади 8-ро ёбед; б) ~ хиссаи адади 9-ро ёбед;

в) ^ хиссаи адади 40-ро ёбед; г) у хиссаи адади 60-ро ёбед;

г) 1 хиссаи адади 13-ро ёбед; д) у хиссаи адади 4-ро ёбед;

е) J- хиссаи адади 11-ро ёбед; ё) хиссаи адади 21-ро ёбед.

262. а) хиссаи адади -j -ро ёбед;

б) j хиссаи адади ~ -ро ёбед;

в) хиссаи адади -ро ёбед;

г) | хиссаи адади ^ -ро ёбед;

г) у хиссаи адади ^ -ро ёбед;

д) || хиссаи адади || -ро ёбед.

263. a) хиссаи адади 2048-ро ёбед;О

б) ^ хиссаи адади 1620-ро ёбед;

в) хиссаи адади 3599-ро ёбед;61

г) хиссаи адади 871-ро ёбед.

264. а) у хиссаи адади 3^-ро ёбед;

б) хиссаи адади 2-|-ро ёбед;7 о

в) ^ хиссаи адади 3 уу -ро ёбед;

г) 1 хиссаи адади 6-^ -ро ёбед.

82

265. а) Агар ~ хиссаи шабонаруз гузашта бошад, хозир соат

чанд аст? б) Агар ^ хиссаи шабонаруз гузашта бошад,

холо соат чанд аст? в) Агар хиссаи шабонаруз гузаштаО

бошад, хозир соат чанд аст? г) Агар ^ хиссаи шабона­

руз гузашта бошад, хозир соат чанд аст?266. Якчанд чуфт ададхоро нависед, ки:

а) 1 хиссаи яке ба у хиссаи дигаре баробар бошад;

б) у хиссаи яке ба yL- хиссаи дигаре баробар бошад;

в) 1 х,иссаи яке ба 2 хиссаи дигаре баробар бошад.

267. Хонандаи синфи 6-ум Щ- хиссаи китобро хонд. Агар китоб36

180 сахифа дошта бошад, хонанда чанд сахифаи дигари китобро холо нахондааст?

268. Муайян кунед, ки:а) ^ хиссаи адади 124 кал он аст ё у хиссаи адади 140?

б) 4 хиссаи адади 160 калон аст ё 4 хиссаи адади 162?5 6

в) 1 хиссаи адади 320 калон аст ё ~ хиссаи адади 320? о 9

269. Як сехи завод дорой 70 дастгох буда, сехи дигар у хиссаи

онро дорад. Сехи дигар чандто дастгох дорад?270. Гимназия 351 нафар хонанда дорад, ки у хиссаи он духтар-

он мебошанд. Дар гимназия чанд нафар писарон таълим мегиранд? Масъаларо бо тарзхои гуногун хал кунед.

271. Фермаи ширин наздишахрй хар руз 2000 л шир истехсол

карда, 1 хиссаи онро ба заводи шир месупорад. ФермаО

шири бокимондаро дар байни аъзоёнаш таксим мекунад. Аъзоёни ферма чй кадар шир мегиранд? Масъаларо бо тарзхои гуногун хал кунед.

83

272. Устою шогирд якчоя кор карда 420 сомони музд гирифтанд,ки у хиссаи он ба шогирд расид. Усто чанд пул кор

кардааст? Масъаларо бо тарзхои гуногун хал кунед.273. Аз 45500 сомони пуле, ки барои таъмиру харидани

тачхизоти мактаб чудо карда шуда буд, алхол уу хиссаи

он сарф карда шуд. Чй кадари ин пул сарф нашуда мондааст? Масъаларо бо тарзхои гуногун хал кунед.

274. Талаба ба у хиссаи пуле, ки барои вай чудо карда шуда

буд, китоб харид. Агар пули чудокардашуда 35 сомонй бошад дар дасти талаба чй кадар пул бокй монд?

275. 225 т маъдан истехсол карданд, ки хиссаи он охан аст.

Дар ин маъдан чй кадар охан хает?276. Агар ба ^ хиссаи адади номаълум 16-ро чамъ кунем, 76

хосил мешавад. у хиссаи адади номаълумро ёбед.

277. Вакте, ки поезд -§■ хиссаи масофаи байни ду махалроОгузашт, то ними рох боз 12 км масофа бокй монд. Масофаи байни махалхоро ёбед.

278. Сайёхон дар рузи якум хиссаи рохи пешбинишударо тай

карданд. Онхо дар рузи дуюм масофаеро тай карданд, ки он ба j хиссаи рохи дар рузи якум тай кардаашон

баробар аст. Агар сайёхон дар рузи дуюм 24 км рох тай карда бошанд, хамаи масофаи пешбинишуда чй кадар аст?

279. Х,аким ва Карим 21 сомонй пул доштанд. Вакте, ки Х,аким1 хиссаи пулашро ва Карим у хиссаи пулашро сарф кард,

пулхои бокимондаи онхо баробар шуд. Х,ар кадоми онхо чй кадарй пул доштанад?

280. Дар зарфе 1260 л об ва дар зарфи дигаре у хиссаи он об

хает. Дар зарфи дуюм чй кадар об хает?281. Дар соли 2005 дар Точикистон 380 хазор тонна арзис

истехсол карда шуд. Дар соли 2006 ин микдор ба Ц- хисса

84

зиёд мешавад. Ёбед, ки дар соли 2006 Точикистон чи кадар арзис истехсол кардааст?

282. -у хиссаи адади 63 аз 1 хиссаи 450 ба чанд вохид ва чанд

маротиба хурд аст?283. Дар соли 2005 хдчми маблаггузорй ба сохди маорифи

Точикистон 250 миллиону 100 хдзор сомониро ташкил дод.Дар соли 2006 ин микдор маротиба афзуд. Дар соли

2006 хдчми маблаггузорй ба сохаи маориф чанд сомониро ташкил дод?

284. Дар соли 2003 хдчми кумакпулихои беруна ба маорифи Точикистон 8766152 долларро ташкил дод. Ин кумакпулй дар соли 2005 якуним маротиба афзуд. Хдчми кумакпулй дар соли 2005 чй кадар будааст?

285. ~ хиссаи ахолии Точикистонро хонандагони мактабхои8таълимоти умумй ва донишчуёни макотиби тахсилоти ибтидой, миёна ва олии касбй ташкил медиханд. Муайян кунед, ки ин микдор чанд нафар аст, ба шарте, ки шумораи ахолии Точикистонро донед.

286. Яке аз зарбшавандахоро ба jL хисса зиёд ва зарбшавандаи

дуюмро ба yL х,исса кам кардем. Дар натича хосили зарб

чй кадар тагйир ёфт?287. Таксимшавандаро ба yL х,исса кам кардем ва таксимкунан-

даро ба yL х,исса зиёд кардем. Дар натича хосили таксим

чй кадар тагйир ёфт?288. Суммаи ду адад ба 27 баробар аст. Вакте, ки сеяки

чамъшавандаи якумро ба чоряки чамъшавандаи дуюм илова кардем, адади 8 хосил шуд. Ин ададхоро ёбед.

289. Дар гимназия 393 нафар талаба аст. Писарон назар бадухтарон 57 нафар зиёданд. хиссаи писарон ва J-

75 о

хиссаи духтарон факат бо бахои хубу аъло мехонанд. Хубу аълохонхои гимназия чанд нафаранд?

290. Нархи матоеро, ки 35 сомонй арзиш дошт, ба -у хиссаи

нархаш арзон карданд. Нархи нави маторо ёбед.

85

291. Аз j хиссаи печидаи матоъ куртахои занона ва аз ^

х,иссаи матои бокимонда либосхои бачагона духтанд. Кадом хиссаи печидаи матоъ зиёдатй монд?

292. Аз печидаи сим аввал у хиссаашро ва баъд 1 хиссаи

печидаи бокимондаро бурида гирифтанд. Кадом хиссаи печидаи сим боки монд?

293. Дар чадвали зерин навъи матохо, дарозии печида (ба хисоби метр) ва хиссахои истифодашудаи онхо нишон дода шудааст. Муайян кунед, ки аз кадом матоъ бештар истифода шудааст:

Навъи матоъ 1 II III IVДарозии печида, м 240 165 217 105Хиссаи истифодашудаи 1 3 2 2печида 4 10 7 5

28. Ёфтани адад аз руи хиссахои додашудаи он

Мо дар мавзуи гузашта аз руи адади додашуда хиссахои онро ёфта будем. Дар мисоли 1 мо у хиссаи адади 12-ро ёфта

будем, ки он ба 8 баробар шуд. Яъне -у • 12 = 8.

Акнун аз руи хиссахои додашудаи адад худи ададро муайян мекунем, яъне дар он мисол ба чои адади 12 номаълуми х-ро

мегузорем, ки у хиссаи он ба 8 баробар аст: у х = 8 .

Барои хал кардани ин масъала порчаи АВ-ро мегирем, ки дарозии он х вохид мебошад ва онро ба 3 хиссаи баробар таксим менамоем (расми 12). Мувофики шарти масъала дарозии 2-тои ин хисса ба 8 баробар аст, пас, дарозии яктояш баробари 4 мебошад. Аммо, порчаи х аз 3-то чунин порча иборат аст, пас, вай ба 3 - 4 , яъне ба 12 баробар мешавад.

О 4 8 *

Р а см и 12

Мо адади матлубро ёфтем, яъне дар муодилаи у х = 8

номаълуми х ба 12 баробар будааст. Дар муодилаи охирин

86

хосили зарб ва яке аз зарбшавандахо маълум аст. Пас, барои ёфтани зарбшавандаи номаълум хосили зарбро ба зарбша­вандаи маълум таксим мекунем.

х = 8 :| = 8 .| = 12.

Х,амин тарик, барои аз руи хиссахои (касри) маълум ёфтани адад коидае хосил шуд, ки он чунин аст:

Барои ёфтани адад аз руи кцмати додашудаи касри он лозим аст, ки ин кцмат ба каср тацсим карда шавад.

М а с ъ а л а и 1. Дар синф 15 нафар духтар мехонад, ки онхо1 хиссаи хамаи хонандагони синфро ташкил медиханд. Дар

синф чанд нафар талаба хает?Х, а л . Микдори талабагони синфро бо х ишорат мекунем.

Натичаи хосилшуда бо бузургии додашуда баробар мешавад:

§•* = 15; x=15:|=i|^=25.Х,амин тарик, дар синф 25 нафар талаба мехонад. М а с ъ а л а и 2. Ададеро меёбем, ки у хиссаи он ба 24

баробар аст.Х а л . Бигзор адади номаълум х бошад. Он гох мувофики

коидаи болой онро ба касри у зарб мекунем, ки дар натича ба

24 баробар мешавад:

-|x = 24 . Аз ин чо х = 2 4 : у = 24--| = 36 мешавад.

Х,амин тарик, адади матлуб 36 будааст.М а с ъ а л а и 3. Фарши хона росткунчашакл аст. 12 м2-и

онро ранг карданд, ки ин ба у хиссаи масохати умумии фарш

баробар аст. Кадом кисми фарши хона ранг нокарда монд?Х а л . Аввал хамаи масохати фарши хонаро бо х ишорат

карда, сипас онро меёбем: y * = 12; х = 12 :- j = 12 - 1 = 15,яъне ма­

сохати фарши хона ба 15 м2 баробар будааст ва аз он 12 м2-ро тарх кунем, кисми рангнокардаи фаршро меёбем: 15 - 12 = 3 (м2).

Ч, а в о б. 3 м2.М а с ъ а л а и 4. Ададе ёфта шавад, ки y j хиссаи он ба 84

баробар бошад.

87

X, а л. Адади номаълумро бо х ишорат мекунем, он гох

мувофики коидаи болой х = 84 :-^ мёшавад, ки онро хисоб

кунем 315 мебарояд.Ч, а в о б. 315.

Кдйд кардан лозим аст, ки дар ин намуд масъалахо кисми адад, инчунин худи адад, метавонад адади бутун, касрй ва омехта бошад. Агар кисми додашудаи адади номаълум бо касри дуруст ифода ёфта бошад, адади номаълум аз кисми маълумаш калон мешавад. Агар кисми маълуми адад бо касри нодуруст ифода шуда бошад, адади номаълум аз кисми додашудааш хурд мешавад.

М и с о л и 1. Агар хиссаи адади номаълум ба 25 баробар 16

бошад, адади номаълумро ёбед.

Х а л . Щ . х = 2 5 , х = 25:\1 = 2 5 М = Ц 6 = 2 б 1

Чй хеле ки мебинем, 26-j > 25 аст.

М и с о л и 2. Агар 1у хиссаи адади номаълум ба 25 баробар

бошад, он ададро ёбед.

Х а л . х - 25, x = 2 5 : l i = 2 5 :| = 25-| = -^ = 1б|.

Аз ин чо 16у< 25 аст. Ин ду мисоли халкардашуда дурустии

гуфтахои болоиро нишон медиханд.Масъалахое низ дучор меоянд, ки дар онхо кисми хиссахои

адади номаълум дода шудаанд.М а с ъ а л а и 5. у хиссаи ададеро ёбед, ки сеяки он ба 252

баробар аст.X а л. Адади номаълумро бо х ишорат мекунем, он гох

барои ёфтани он у - * = 252 менависем, ки аз ин чо л; =756

мебарояд. Акнун барои ёфтани халли масъала 756-ро ба у зарб

мекунем: 1 - 756= 3-108 7 =3-108 = 324-

М а с ъ а л а и 6. Вакте, ки \ хисса ва боз -f хиссаи3 6

бокимондаи ресмони ба фабрика овардашударо истифода

бурданд, 8 т ресмон боки монд. Ба фабрика чи кадар ресмон дохил шуда буд?

Х а л . Вакте ки 1 хиссаи ресмонро истифода бурданд, 1 - i ,

яъне 2 хиссаи он боки монд. Аз ин \ хисса боз 4 хиссаашро3 3 6

истифода бурданд, ки ин 2..1 = М = _5_ = А хиссаи хамаи3 6 3-6 3-3 9

ресмонро ташкил медихад, хамин тарик, (у + |) х,исса, яъне |

хиссаи хамаи ресмон истифода шудааст. Пас, ресмони истифоданашуда (l-| ) хисса, яъне I хиссаи хамаи ресмонро

ташкил медихад, ки он ба 8 т баробар аст ва агар хамаи ресмонро бо х ишорат кунем, он гох сохиби муодилаи ^ х = 8

мешавем. Х,алли ин муодила х = 72 т аст.Хдлли масъаларо месанчем: 1 хиссаи 72 т ба i - 72 = 24 (т)

баробар мешавад. Пас, 72-24=48 (т) ресмон боки монд, ки инмикдор 1 . 4 8 = 40(т) мешавад. П ас, хамагй 24+40=64 (т) мешавад,

6ки ин ба шарти масъала мувофик аст ва масъала дуруст хал карда шудааст.

Ч, а в о б. 72 т.М а с ъ а л а и 7. Ададеро ёбед, ки хиссаи он ба 1 хиссаи

адади 416 баробар бошад.Х а л . Аввал ^ хиссаи адади 416-ро меёбем, ки он ба 104

баробар аст. Адади 104 ба хиссаи адади номаълум баробар

аст. Пас, барои ёфтани адади номаълум онро бо х ишорат

карда, уу-* = 104-ро хосил мекунем, ки аз ин чо д: = 1 0 4 : ^ =

_ Ю413 _ i 3_ 1 з = 169 мебарояд. Х,амин тарик, адади матлуб 1698

будааст.М а с ъ а л а и 8. Ду писарак 5 сомониву 40 дирам пул

доранд. Агар ~ хиссаи пули писараки якум ба ~ хиссаи пули

писараки дуюм баробар бошад, хар кадоми онхо чй кадарй пул доранд?

89

X, а л. Аввал 5 сомониро ба дирам мегардонем, ки он 500 дирам мешавад. Бинобар ин 5 сомониву 40 дирам ба 540 дирам баробар аст. Пули писараки якумро бо х ишорат м.екунем, он

гох, пули писараки дуюм (540 - х) дирам мешавад. Аз ин ру, у

хиссаи пули писараки якум у х ва 1 хиссаи пули писараки

дуюм у ( 5 4 0 - х ) шуда, мувофики шарти масъала ин ифодахо бо

якдигар баробаранд, яъне= | ( 5 4 0 - х ) , 1 * + ! * = 1 - 5 4 0 , М х + ± | х = 135, А х = 1 3 5 .

х = 1 3 5 : ^ = 1 3 5 - ^ = ^ | ^ = = 15-20 = 300.

Пас, пули писараки якум 300 дирам, ё 3 сомонй ва пули писараки дуюм 5 4 0 -3 0 0 = 240 (дирам), ё ки 2 сомониву 40 дирам аст.

Ч, а в о б. 3 сомонй; 2 сомониву 40 дирам.

294. Номаълуми х -ро аз баробарии зерин ёбед:

а) у х = 18; б) 4-х = 12; в ) ^ х = 35; r ) i | x = 84;

г) - ^х = 63; д) | х = 4 2 ; е)-|х = 9 5 ; ё)-|х = 55.

295. Дар баробарии зерин адади х ба чй баробар аст?а ) - ^ х = 45 ; б)-^-х = 2 6 ; в ) ^ - х = 36; г ) 1 1 х = 1б1 ;’ 32 ' 1 3 23 ’ 25 2

r ) 1 6 * = 7 4 ; д> 4 7 * = 5 ! ; е )| § * = 1 5 6 ; ё ) { 1 * = 30.296. Аз баробарии зерин номаълуми онро ёбед:

г,\ 65 у —130 ■ б) — х - — • в 109 г - ^27 . 5 л! .111 43 47 ’ 175Х _ 3 5 0 ’ Г) 8 Х _ 4 8 ’

г) 32 3 2 . д \ 1Х = 6. \ _5_ 5.. g) J9_x = 4 I J 5 5 Х 5 5 ’ Л) 6 Х 5 ’ 18 6 ’ е) 2 0 Х V

297. Муодилахои зеринро хал кунед:а) у х + 14 = 34 ; б )| х + 17 = 25 ; в ) | х + 16 = 28 ;

г) у х - 21 = 11; г )| | х -4 2 = 23; д ) ^ х - 1 2 = 35.

1 6

мешавад. Он ададро ёбед.

298. Агар аз у хиссаи ададе адади 12-ро тарх кунем, 18 хосил

90

299. Агар ба у - хиссаи ададе адади 23-ро чамъ кунем, 100 хосил

мешавад. Он ададро ёбед.300. Ададеро ёбед, ки нухяки он ба 6 баробар бошад.301. Ададеро ёбед, ки шашяки он ба 63 баробар шавад.302. у хиссаи як адад ба 73 ва Ц хиссаи адади дигар ба 92

баробар аст. Кадоме аз ин ададхо калон аст?303. Дарозии порчаеро ёбед, ки агар:

а) у хиссаи дарозии он ба 4 см;

б) у хиссаи дарозии он ба 9 см;

в) 1 хиссаи дарозии он ба 12 см;

г) у хиссаи дарозии он ба 5 см;

г) у хиссаи дарозии он ба 6 см;

д) ^ хиссаи дарозии он ба 36 см;

е) у хиссаи дарозии он ба 30 см;

ё) у хиссаи дарозии он ба 18 см

баробар бошад.304. Талабаи мактаби рассомй 48 адад расми кашидаашро ба

4намоиш гузошт, ки ин у хиссаи хамаи расмхои кашида­

ашро ташкил медод. Талаба чанд дона раем кашидааст ва чй кадарашро ба намоиш нагузоштааст?

305. То ба марра расидани варзишгар 300 м масофа бокй монд,ки ин хиссаи масофаи тайшавандаро ташкил медихад.

Масофаи тайшаванда чй кадар аст ва варзишгар чй кадари онро тай кардааст?

306. Рохбари хонаи маданият изхор дошт, ки 12 адад асбобимусикй дорад ва ин у хиссаи хамаи асбобхои лозимаро

ташкил медихад. Ба хонаи маданият чанд адад асбобхои мусикй лозим буд?

91

307. Дар синфи шашуми А 18 нафар мехонанд, ки ин ^ хиссаи

хамаи хонандагони синфхои шашуми мактабро ташкил медихад. Дар синфхои шашум чанд нафар талаба мехонад?

308. Ададеро ёбед, ки: а) у хиссаи он ба у баробар бошад;

б) у хиссаи он ба у баробар бошад;

в) хиссаи он ба 1-| баробар бошад;'I Q

г) ~ хиссаи он ба баробар бошад.

309. Автомобил то бозистодан у хиссаи хамаи рохро тай кард

ва то охири рох боз 64 км масофа боки монд. Хамаи рох чй кадар аст?

310. Табиб то нисфирузй хиссаи ба табобат ниёзмандонро

кабул кард. 6 нафари дигар ба кабули баъди нисфирузй монданд. Мухточони табобат чанд нафар буданд?

311. Ба хиссаи замин картошка, ба ^ хиссаи он галладона ва

ба 6 гектари бокимонда пахта кишт карданд. Хамаи замин чй кадар аст?

312. Рузи якум 240 кг тармеваи ба магоза воридшударо

фурухтанд, ки ин у хиссаи хамаи тармева аст. Рузи дуюм

у хиссаи тармеваи аз рузи якум бокимонда ба фуруш

рафт. Ёбед, ки ба рузи сеюм чй кадар тармева монд? Масъаларо бо тарзхои гуногун хал кунед.

313. Ба у хиссаи замини хочагй гандум, ба у хиссаи он карам

коштанд. Ба кисми бокимондаи замин, ки 140 га буд, пун- бадона кишт карданд. Хамаи замини хочагй чй кадар буд?

314. Падар 42-сола аст. у хиссаи синни падар ба у хиссаи

синни писар баробар аст. Писар чандсола бошад?315. Коргарон дар 5 соат алафи 2 га заминро даравиданд, ки ин

у хиссаи хамаи алафзорро ташкил медод. Хамаи алафзор

чанд гектар аст? Оё масъала шарти зиёдати дорад? Кадом аст он шарт?

316. Ададеро ёбед, ки дахяки он ба у хиссаи адади 80 баробар

бошад.317. Ададеро ёбед, ки у хиссаи он ба у хиссаи адади 28

баробар бошад.318. Духтар 10-сола буда, ин 2 хиссаи синни модарро ташкил

медихад. Модар чандсола аст?319. Муодилахоро хал кунед: а) ( х - 5 )--| = 3 ; б) (5 + х )-| = 3.

О О

320. Ададеро ёбед, ки у х,иссаи он ба 1 баробар бошад.

321. у хиссаи як адад ба у х,иссаи адади дигар баробар аст.

Кадоме аз ин ададхо калон аст. Якчанд чуфти чунин ададхоро нишон дихед. Ч,авобатонро бо расми 13 мукоиса кунед. Масъаларо бо тарзхои гуногун хал намоед.

3Ч------------------- ‘ I 1------------------- ►

а !----------------- .------------------ ,----------------- 1----------------- -вс а с = \ а в4

FП1--------------1--------------1--------------1--------------1-------------- 1 F л_ _____________. 4 ______________ _ D F - % D E

5 5Расми 13

322. Коргари истгохи барки хиссаи мохонаашро ба ичора-

пулии хона месупорад, ки ин баробари 45 сомонй аст. Мохонаи коргар чй кадар мебошад?

323. Гурухи коргарони заминкан дар 15 руз у хиссаи хамаи

корро ба чо овард. Барои ба анчом расонидани кор ба онхо боз чанд руз лозим аст?

324. Яке аз челонгарон у хиссаи кор ва дигараш кисми боки-

мондаи онро ба итмом расонид. Агар челонгари аввал назар ба дуюмй 20 сомонй зиёд музд гирифта бошад,

93

музди умумии кор чи кадар буд ва хар кадоми онхо чанд пули кор карданд?

325. -у хиссаи супоришро ичро карда, коргар ба рухсатии

мехнатй рафт. Коргари дигар кисми бокимондаи супоришро ичро карда, барои ин кор 84 сомонй хдкгирифт. Ёбед, ки коргари якум барои ичрои у хиссаи

хамон супориш чанд пул музд гирифта буд?326. Хангоми хушккунй сабзавот у хиссаи массаашро гум

мекунад. Барои хосил кардани 36 кг хушкаи сабзавот чй кадар сабзавоти тару тоза лозим аст?

327. Шакар хангоми аз вай тайёр кардани канди сафед

хиссаи массаашро гум мекунад. Барои хосил кардани 65 кг канд чй кадар шакар лозим аст?

328. Дар замони сулолаи Аврангзеб дар Х^ндустон барои сохтани Тахти Товус он кадар пулхои тиллой сарфкарданд, ки 2 хиссаи он ба 48 миллион суми тилло

баробар буд. Барои сохтани Тахти Товус чй кадар пул сарф кардаанд?

329. Хаво дар таркибаш ^ хисса об дорад. Аз чй кадар хаво 3

кг об хосил кардан мумкин аст?330. i хиссаи гандум, ки дар Арабистони Саъудй истехсол

мешавад, ба 80 хазор тонна баробар аст. Хамаи гандуми дар он чо истехсолшаванда чй кадар аст?

331. Китоби мукаддаси зардуштиён «Авасто» дар он кадарпусти барзагов бо оби тилло навишта шудааст, ки -2-

хиссаи он ба 1600 баробар аст. «Авасто» дар чанд пуст тасвир шудааст?

332. Давлати Сосониён он кадар солхо арзи вучуд кардааст, кихиссаи он ба 16 сол баробар аст. Сосониён чанд сол

хукмронй кардаанд?

94

333. Баландии девори химоявии Самарканди кадим он кадар хдм баланд будааст, ки у хиссаи он ба 8 м баробар аст. Он

девор чй кадар баланд будааст?334. Пахнии (бари) девори химоявии Самарканди кадим он гуна

будааст, ки J- хиссаи он 6 м-ро ташкил медихдд. Бари онОдеворро ёбед.

335. Инсон аз оташ истифодабариро хеле пеш ёд гирифта будааст. Агар солхои аз он вакт то замони мо гузаштарох,исоб кунем, J- хиссааш ба 333335 баробар мешавад.6Инсон чанд сол пеш аз ин аввалин маротиба оташро истифода бурдааст?

336. Шаршараи баландтарини Точикистон Овчуг (дар нохияи Калъаи Хумб) 70 м баландй дошта, он аз шаршараибаландтарини дунё - Анхел (дар Амрикои Чднубй)

маротиба паст аст. Баландии шаршараи Анхелро ёбед.337. Абумансури Хиравй дар асри X истифодаи 585 намуд

доруро зикр кардааст. Абуалй Сино дар амалияи тибякчанд номгуй доруро истифода мебурдааст, ки -2- хиссаи2оон ба 84 номгуй баробар аст. Ёбед, ки Абуалй Сино чанд намуд доруро кор мефармудааст? Оё масъала шарти зиёдатй дорад?

338. Хосили хиссаи алафи хушки 1 гектар чангалзори

Зарафшону Бадахшон ва Дарвозу Хисор ба алафи хушки 1 га буттазори пахнбарг баробар аст. Агар аз 1 га буттазор 12 сентнер алафи хушк хосил шавад, пас аз 1 га чангалзор чй кадар алафи хушк гирифтан мумкин аст?

339. ^ хиссаи шумораи умумии хамаи кулхои хавзаи дарёи

Зарафшон ба 21 баробар аст. Шумораи умумии он кулхоро ёбед.

340. ^ хиссаи хачми умумии оби кулхои Хазорчашма, Маргзор

(Хафткул) ва Нофини хавзаи дарёи Зарафшон ба 18 млн м3 баробар аст. Хачми умумии оби он кулхоро ёбед.

95

341. Ба Точикистон 6 намуд булбул меояд, ки он у хиссаи хамаи

намуди булбулонро ташкил медихад. Дар чахон чанд намуд булбул хает?

342. Майдони дарахтони мевааш донакдори Точикистон 315487887га буда, хиссаи тамоми боготи Точикистонро

ташкил медихад. Боготи Точикистон чй кадар аст?

Масъалахои кадимаи зеринро хал кунед:343. Масъалаи Баховаддини Омули (асри XVI). А,пади 10-ро ба

чунин ду кием чудо кунед, ки фаркаш ба 5 баробар шавад.344. Масъала аз Папируси асри VI. Шахсе хиссаи ганчи

хазинаро гирифт. Шахси дигар \ хиссаи бокимондаро

гирифт, ки баъди ин дар хазина 150 адад ганч бокй монд. Мо мехохем донем, ки дар хазина аз аввал чй кадар ганч буд?

345. Масъалаи Герон Александрийский (асри I). Ба хавзи хачмаш 12 вохиди кубй аз ду облула об мерезад. Аз облулаи якум дар хар 1 соат 1 вохиди кубй ва аз облуулаи дуюм дар хар 1 соат 4 вохиди кубй об медарояд. Дар холати якчоя амал кардани харду облулахо хавз дар чанд вакт пур мешавад?

346. Масъала аз китоби «Косс»-и Адам Ризе (асри XVI). Се

шахе як микдор пул буриданд. Насиби шахси якум -L

хисса ва насиби шахси дуюм у хиссаи он пулхо шуд ва ба

шахси сеюм 17 флорин пул монд. Хамаи пули бурд чй кадар буд?

347. Масъала аз китоби «Косс»-и К.Рудолф (асри XVI). Шахсе розй шуд, ки ба ивази сару либос ва 10 флорин пул як сол кор кунад. Аммо, баъди 7 мох корро бас карда, сару либос ва 2 флорин музд гирифт. Сару либос чй кадар нарх дошт?

96

Худро бисанчед1. у хиссаи адади 45-ро ёбед.

А) 44 5 В) 225 с ) 18

2. Ададеро ёбед, ки у хиссаи он ба 9 баробар бошад.

A) J y В) 27 С) 32

3. Дар зарфе 10 л шир буд, ки у хиссаи онро барои истеъмол

гирифтанд. Чй кадар шир сарф шуд?

А ) ^ л В) 15 л С) 6| л

4. у хиссаи дарозии чуби чортарошро бурида гирифтанд. Агар

дарозии чуби бурида гирифташуда у м бошад, дарозии

худи чуб чй кадар буд?А) уу м В) 1 м С) 4 м

5. Кимати ифодаи у - + у : у -ро хисоб кунед.

А> Й в > I с > 1То

6. Кимати ифодаи (з - -||- (у - у)-ро ёбед.

А) уу В) 27 С) 2у

7. Дар як куттй 6 у кг себ ва дар куттии дигар 4 маротиба

зиёдтар аз он себ буд. Дар харду куттй чй кадар себ буд?А) 26 кг В) кг С) 3 2 1 кг

О Z

8. Аз печидаи матое, ки дарозиаш 8у м буд, у хиссаашро

бурида гирифтанд. Дар печида чй кадар матоъ бокй монд?

A) 11-jy м В) 2 | м С) } м

9. Муодилаи у х = 16 -ро хал кунед.

А) х = 15у В) л: = 12у С ) х = 20

977 - 1 2

10. 4 хиссаи адади 35 калон аст ё 4 х,иссаи адади 34?Ь О

A) 4 хиссаи адади 35 > 4 хиссаи адади 345 6B) 4 хиссаи адади 34 > 4 хиссаи адади 35.

6 5

Машкхо барои кори мустакилонаВарианты 1

о 3 31. Кимати ифодахоро ёбед: а) -jy : 4 ; б) ^ : у .

2. Суммаи ду адад ба 4-| баробар буда, яке аз онхо нисба-

ти дигараш 1у маротиба калон аст. Ин ададхоро ёбед.

3. Муодилаи 2у х + 3 = 4 -ро хал кунед.

Варианты 21. Кимати ифодахоро ёбед: а) уу : 14 ; б) | ~ .

2. Суммаи ду адад ба 4 -у баробар аст. Адади якум нисбат

ба адади дуюм маротиба зиёд аст. Ин ададхоро ёбед.

3. Муодилаи -|-х + у = у -ро хал кунед.

Варианты 31. Кимати ифодахоро ёбед: а ) 5 : - | ; б) у :уу.

2. Фарки ду адад ба 1у баробар аст. Адади дуюм назар ба

адади якум 1у маротиба хурд аст. Ин ададхоро ёбед.

3. Муодилаи 1-|х + 1у = 2у- ро хал кунед.

Варианты 41. Кимати ифодахоро ёбед: а) : у ; б) 6 : 1у .

2. Фарки ду адад ба 4 баробар аст. Адади дуюм назар ба адади якум 9 у маротиба хурд аст. Ин ададхоро ёбед.

3. Муодилаи y X - ^ = l-i--po хал кунед.

98

Маьлумоти таърихи

Одамон бо мафхуми касрхо аз замонхои кадим ошно буданд. Хднуз Ситсерон, ки дар солхои 150-44 то милод зиндагй кардааст, мегуяд: «бе донистани касрхо х,еч кас наметавонад, ки хамчун донандаи арифметика эътироф шавад».

Тахмин мекунанд, ки аввалин касри пайдошуда ним (нисф)

аст. Баъди он касрхои -j > i > тт ва гайра, ки хар яки пасоянда4 8 16

ба нисфи пешоянда баробар мебошад, пайдо шудаанд. Баъдтаркасрхои \ ~ , -L ва гайра ба вучуд омадаанд. Хамаи онхо

3 6 12

касрхои воадцй ном доранд.Юнонихои асри V-и пеш аз милод бо касрхои одй хамаи

амалхоро гузаронида метавонистанд. Он замон касрхоро бокалимахо ифода мекарданд. Охиста-охиста ишоракунихо пайдошуданд. Херон ва Диофант барои касрхо хатча (-)-ро истифодабурдаанд, вале навишти онхо ба навишти хозираи мо чаппабудааст. Яъне мо касри ^ -ро ба кадом маънй фахмем, онхо ба

h.хамин маъни касри — -ро мефахмидаанд.

Хиндухо касрхоро ба монанди мо менавиштаанд, вале бе, 1

хати каср. Масалан, -ро дар шакли менавиштанд. Онхоо 6

2

адади омехтаи 2^-ро дар намуди 1 , яъне кисми бутунро дар6

болои каср мегузоштанд. Хамин гуна навиштачот дар асархои Абулхасан Алй ибни Ахмад ан-Насавй (асрхои X -X I) низ дучор меояд.

Китоби риёзидони форснажод Мухаммад ибни Мусой Хоразмй «Хисоб-ул-хинд» ном дошта, дар он масъалахои зиёди математикй тахкику кашф карда шудааст. Ин китоб соли 825 таълиф ва бо забонхои гуногун тарчума шуда, асрхои зиёд хизмат кардааст. Дар ин китоб масъалахои зиёде, аз кабили масъалаи касрхо ва амалхо бо онхо, мавриди омузиш карор гирифтаанд. Таъсири ин китоб ба риёзидонхои минбаъда, аз кабили Кушиёри Гелонй, Абулхасани Насавй, Умари Хайём, Чамшеди Кошй (Кошонй) ва дигарон хеле калон будааст. Дар

99

асри 12 ба забони лотинй тарчума шудани ин китоб таконе буд ба инкишофи математика дар Аврупо.

Асад ибни Ах,мад ал-Бай хдкй (асрхои X I -X I I ) кисми дуюми «Китоби муфид»-ашро ба омузиши касрхои одй бахшидааст.

Рисолае, ки Махмуд ибни ал-Вусудй (асрхои X II-X III) бо номи «Лубоб-ал-хисоб» навиштааст, аз ду китоб иборат буда, китоби якум аз ду кием таркиб ёфтааст. Дар кисми дуюми китоби якум касрхои одй иншо шудаанд. Аввал, сухан дар бораи зарурати донистани касрхо меравад ва махсусан, каерхое, ки дар муайян кардани хиссахои дирхам истифода бурда мешаванд. Муаллиф нишон медихад, ки 1 дирхам (тангаи нукра- гин, ки 3,12 г вазн дорад) ба 6 донг, ба 12 нимдонг, 24 тасу, 48хабба чудо мешавад, яъне дар ин чо касрхои нисф: ! , — , - L ,

6 12 24

татбик шудаанд. Касрхои махрачашон якхела, махрачашон

гуногун ва амалхо бо онхо омухта мешаванд. Дар ин китоб зарбу таксими:

1) каср ба каср;2) каср ба адади бутун;3) каср ба адади омехта;4) адади бутун ба адади омехта;5) адади омехта ба адади омехта

мукаммал тасвир шудааст.Пешгузаштагони ан-Насавй, ба мисли Мусо ал-Хоразмй

(асрхои V III-IX), Гиёсиддин Абулфатх Умар ибни Иброхим ал- Хайём ва дигарон оид ба касрхои одй маълумоти пурра доштанд.

Абутохир Мухаммад ибни Махмуд Сачовандй яке аз олимони машхури асрхои X II-X III-и Осиёи Миёна буд, ки китобе бо номи «Фароизи Сачовандй» (Коидаи васика) навиштааст ва дар он хдкку хукуки мерос пурра тасвир шудааст. Ин масъала бе донистани касрхои одй хал шуда наметавонист. Ин китоб борхо дар Калкутта, Лондон, Кохира ва дигар чойхо ба чоп расидааст.

Баъдтар назарияи касри одй дар корхои Гиёсиддин Чдмшед ал-Кошй (асрхои XIV -XV ), Аловаддин ибни Мухаммад Алй Кушчй (асрхои XV -XVI), Латиф Мухаммад ибни Бобои Самаркандй (асри XVI), Баховаддини Омулй (асрхои XVI- XV II) ва дигарон инкишоф ёфтааст.

100

Талаботи илмии ал-Коширо касрхои одй конеъ гардонида наметавонад, бинобар ин вай р охдои дигарро мечуяд ва муяссараш мегардад, ки касрхои дахиро ихтироъ намояд.

Алй Цушчй дар соли 1435 китоби «Рисолаи каср»-ро дар Самарканд бо забони форсй менависад. Дар рисола масъалахои зерин оид ба касрхо баён ёфтаанд: ёфтани махрачи умумй; ба хиссахо чудо кардани адад; чудо кардани кисми бутун; дучандкунй; ба ду чудокунй; чамъу тарх; гузаронидани каср аз як махрач ба махрачи дигар; зарбу таксим.

Баъди кушта шудани Улугбек Алй Кушчй аввал ба Эрон, баъд ба Туркия меравад. Дар Туркия бо забони арабй китоби Математикаро менависад, ки он дар асри XV барои мадрасахои Шарки Миёнаву Наздик китоби дарсй мегардад.

Китобхо оид ба математика, ки хамчун китобхои бехтарини дарсй дар мадрасахои асрхои IX -X IX истифода шудаанд, инхо буданд:

1. «Ал-китоб ал-мухтасар фи хисоб ал-чабр в-ал мукобала»-и ал-Хоразмй (асри IX).

2. «Лубоб-ал-хисоб»-и Махмуд ибни Вусудй (асрхои X II- X III).

3. «Чдмъ ал-хисоб бо ал-тахт ва-л туроб»-и Насируддини Туей (асри XIII).

4. «Шамсият ул-хисоб»-и Низомиддини Нишопурй (асрхои X III-X IV ).

5. «Мифтох ул-хисоб»-и Гиёсиддин ал-Кошй (асри XV).6. «Китоб ал-Мухаммадия»-и Аловаддин Алй Кушчй (асри

XV).7. «Хулосат ул-хисоб»-и Баховадцин Омулй (асри XVI).8. «Рисолаи чабр ва мукобала»-и Начмиддини Алихон (асри

XVI).Ба ин китобхо такя карда, барои мадрасахои асри X IX

китоби «Дафтари хисоб ва масохат» навишта шуда буд, ки муаллифаш маълум нест.

Барои ба вучуд омадани касрхо чен кардани бузургихо сабаб шудаанд.

101

БОБИIV. НИСБАТ ВА ТАНОСУБ

29. Мафхуми нисбат

Нисбат лафзи арабй буда, маънояш мукоиса кардан аст. Дар математика ду тарзи мукоисакунй мавчуд аст. Дар тарзи якум мепурсанд, ки як адад аз адади дигар чанд вохид калон аст? Масалан, мегуем, ки адади 17 нисбат ба адади 12 чанд вохид зиёд аст? Дар тарзи дуюм мепурсанд, ки як адад нисбат ба адади дигар чанд маротиба калон (хурд) аст? Ё ки як адад аз кадом хиссаи адади дигар таркиб ёфтааст? Дар мавзуи хозира нисбатро ба маънии дуюми он баён мекунем. Агар 12:4=3 нависем, маънияш ин аст, ки адади 12 нисбат ба адади 4 се маротиба калон аст, ё ки нисбати адади дувоздах ба адади 4 ба 3 баробар аст. Дар ин чо адади 3 натичаи таксими 12 ба 4 ё кимати насбати 12:4 аст. Онроба тарики ■ ■ = 3 хам навишта метавонем. Натичаи таксим адади

касрй хам шуда метавонад. Масалан, у = , -у = 3| ва гайра.

Дар намуди умумй ^ = с (b ф 0) менависем. Аз навиштахои бол о

чунин хулоса мебарояд, ки мо ~ -ро метавонем, таксим, каср ва ёОнисбат номем. Чй номида шудани онхо аз мазмуни масъалаи муоинашаванда бармеояд. Ададхои а ва b -ро узвхои нисбат меномем, с -ро кимати нисбат меномем.

Нисбат дар зиндагии хамаруза ва истехсолот васеъ истифода бурда мешавад. Масалан, аз ду намуди гуногуни орд пухтани нонхои зебо ва хуштамъ дар хамаи оилахо мушохида мешавад. Хднгоми сохтани девор аз куму семент лойи омехта тайёр мекунанд, ки таркибаш аз 7 хисса кум ва 2 хисса семент иборат аст. Пас, барои тайёр кардани лой 7 бел кум ва 2 бел семент ё вобаста ба микдори лой 7 сатил кум ва 2 сатил семент гирифтан лозим аст. Бо чунин нисбат кор кардан осон аст. Аммо бо нисбатхои,масалан, 17:41 ва ё 3-|-:5|- омехта тайёр кардан кори осон нест.

7 о

Дар чунин мавридхо, агар имконпазир бошад, лозим меояд, ки нисбат сода карда шавад. Масалан, бигзор нисбатхои ~ дода

шуда бошанд. Агар узвхои нисбати якум ба 5 ва узвхои нисбати дуюм ба 8 таксим карда шаванд, он гох натичахои = у-; ^ j

102

хосил мешаванд. Нисбатхои хосилшудаи 2:5, 3:7 назар ба нисбатхои аввала содатаранд. Чунин содакуниро ихтисори узвх;ои нисбат меномем ва он аз ихтисори касрхо фарк надорад.

Агар нисбати 3^ : 1-| дода шуда бошад, аввал узвхои нисбатро

ба касрхои нодуруст табдил медихем. Баъд, чун таксими каср ба каср амал мекунем:

• j l . i 2 _ 7 . 7 _ 7 5 _ 5 х v u с.л 3 2 Л 5 - 2 ' 5 - 2 ' 7 - 2 еКИ52'Чунин содакунии нисбатро ивазкунии нисбати ададхои омехта

ба нисбати ададхои бутун меномем.Нисбатхои ^ ва ^ -ро нисбатхои ба хамдигар чаппа меномем

ва хосили зарби онхо ба 1 баробар аст.

Дар машкхои 348-352 кимати нисбатро ёбед.348. а) 18:16; 6)28:4; в) 3:9; г) 20:60; г) 4:5.

3 4 9 . a ) 2 l : 3 l ; б) 7 | :5 | ; в) 3^:11 ;

г> 4 5 : 2 ш ; г> 6 5 : 1 7 ’ д> 1 8 : 2 ? 'а) 2 м:5 см; б) 2 м:5 мм; в) 2 м:2 дм;г) 2 дм:5 см; г) 2 дм: 10 мм; д) 2 дм:2 дм.

б) 1 м2:5 дм2; в) 1 м2:20 см2;г) 1 м2:10 мм2; д) 1 м2:100 мм2,б) 1 м3:20 дм3; в) 1 м3:1000 дм3;

г) 1 м3:100 см3; f) 1 м3:1000 см3; д) 1 м3:1000000 мм3.353. Нисбатро ихтисор кунед:

а) 36:8; 6)21:28; в) 30:45; г) 1300:65;г) 300:45; д) 7:42; е) 5:500; ё) 4:4000.

354. Нисбати ададхои касрй ба нисбати ададхои бутун иваз кардашавад:я'i дл 7 . 3 . п \ 5 . 5 . г \ 6 . 4 .

25 ‘ 5 ’ М 2 ‘ 1 6 ’ 12 * 28 ’ ’ 2 7 ' 9 ’

351. а) 1 м2:1 дм2 г) 1 м2:1 см2

352. а) 1 м3:1 дм3

г ) 2 1 : 3 | ; д ) 3 | :4 | ; е) 5 ^ : 2 1 ; S ) 5 £ : 5 f

[Гуммаи узвхои нисбат ба К

аст. Узвхои нисбатро ёбед.

\гар ким;

ро ёбед.

4 5 ’ 7 5 ’ 9 3

355. Суммаи узвхои нисбат ба 10 ва кимати нисбат ба ^ баробар

356. Агар кимати нисбати -f ба 2 ва а ба Ъ + 4 баробар бошад, а -О

103

30. Таносуб ва хосиятхои он

Ду нисбати кцмапщояшон баробарро, ки бо аломати баробари пайваст шудаанд, таносуб меномем.

Масалан, нисбатхои 8:4 ва 46:23 киматхои якхелаи ба 2 баробар доранд; онхоро бо аломати баробари пайваст карда,таносуби 8 :4 = 46:23 ёки ^ -ро хосил мекунем. Дар намуди

умумй, агар кимати нисбати а:Ь ба кимати нисбати с : d баробар

бошад, он гох a :b = c :d ё ки = ~ таносуб мешавад. Ино атаносубро ин тавр мехонем: а ба b чун с ба d нисбат дорад. Дар таносуби болой а ва d узвх,ои канории таносуб, Ъ ва с узвх,ои мобайнии таносуб ном доранд.

Дар асоси хосияти асосии касрхо мо метавонем чунин нависем:а _ a d с _ с-b Ь b d ’ d d b '

Аз ин чо, таносуби — = ■% -ро ба таносуби Щ- = Щ- иваз кардан b a bd bdмумкин аст. Мо ду касри махрачхояшон якхеларо хосил кардем.Аз ин ру, суратхояшон низ баробар мешаванд, яъне

ad = bc. (1)Хамин тарик, дар таносуб хосили зарби узвхои канорй ба хосили

зарби узвхои мобайнй баробар аст.Инро хосияти асосии таносуб меноманд.Формулаи (1) имконият медихад, ки дар холати маълум будани

се узви дилхохи таносуб узви номаълуми он ёфта шавад.М и с о л и 1. Узви мобайнии номаълуми таносуби 15:3 = х : 4

ёфта шавад.Мувофики формулаи (1) меёбем:

3jc = 15-4, Зх = 60, .V = 60:3 = 20 .М и с о л и 2. Номаълуми х ёфта шавад: 1 2 :х = 24 : 6 .

Дар асоси формулаи (1) меёбем:24-х = 12-6, 24х = 72, х = 72 :24 = 3.

М и с о л и 3. Узви номаълуми таносуби зерин ёфта шавад:18 : * = 6 : 3 .

Мувофики формулаи (1) меёбем:6х = 18-3, 6х = 54, х = 54 : 6 = 9 .

М и с о л и 4. Таносуби 30 : 7 = 5 : * -ро хал кунед.

104

X а л. Дар асоси баробарии (1) меёбем:ЗОх = 7 - 5, ЗОх = 35 , x = |£ = l = l l

3U о о

Якчанд мисоли дигарро дида мебароем, ки дар онхо узвхои таносуб ададхои омехта хам мебошанд. Дар ин маврид ададхои омехтаро ба касрхои нодуруст мегардонем:

М и с о л и 5. -2-:1-| = 6 :х

х - ро дар асоси коидаи умумй меёбем:

& ХШЦ - 6 ' А * ' ! ' 6 ’ ^ Х = Ю;

М и с о л и 6. 6 ^ : х = 3 ~ : 2 \ .О 3 2

55 . Г _ Ц . 5. И. 55 ,5 11 _ 275 .8 3 ' 2 ’ 3 8 2 ’ 3 1 6 ’ т _ 275 .11 _ 275-3 _ 75 ... 1 11

16 ' 3 1611 16 1 6 ‘

М и с о л и 7. 6 : 3 у = х : 3 .

6 . 1 7 _ г .т 1 7 . r _ f i o г _ 1Я. 1 7 _ 1 8 - 5 _ 9 0 _ с 5 Т _ ’ Т ’ ~5~~~ТУ~~ Г7 — 17 ’

М и с о л и 8. х:^- = 4-^:б4-.2 6 4

*-•±= 2 5 . 2 5 25 Г = 1 25 25 г = 2 5 . г = 25 . 25 = 25-4 = 1 ' 2 6 ' 4 ’ 4 2 6 ’ 4 1 2 ’ 12 ' 4 12-25 3 ’

Якчанд мисол хал мекунем, ки дар онхо нисбатхои таносуб дар намуди каср дода шудаанд.

М и с о л и 9. Таносуби 20. = Ш -р0 хал кунед.

Дар ин таносуб узвхои канорй 20 ва 2, узвхои мобайнй х ва 10 мебошанд. Пас, 10х = 20- 2 мешавад, ки аз ин чо х = 4 мебарояд.

М и с о л и 10. Щ- = — .7 х

Дар ин таносуб узвхои канорй 12 ва л:, узвхои мобайнй 7 ва 24 мебошанд. Бинобар ин, 12х = 7 • 24 ва аз ин чо х = 14 мебарояд.

357. Аз хосияти асосии таносуб истифода бурда, бисанчед, ки баробарихои зерин дурустанд:а) 8:4=16:8; 6)12:3=20:5; в) 3:5=6:10;г) 21:4=42:8; г) 152:19=48:6; д) 1:1 = 13:13.

358. Аз хосияти асосии таносуб истифода бурда, бисанчед, ки баробарихои зерин таносубанд:

105

г ) 8 = 16; д , 13 = » ; e>18= 3 ® P холати „ = 12.Узви номаълуми таносубро ёбед: а) 3: х = 1 :2 ;

б) 9 :3 = х : 5 ; в ) 5 : х = 3 : 6 ; г ) 5 : 1 5 = х : 3 ;г) 18:6 = х : 2; д ) 6 3 : 2 1 = 3 : х ; е) 45 : 9 = 2 5 : х .

Муодилахоро хал кунед: а) 25: х = 12 ~ : 2 ;

361 Аз ададх,ои 3, 5, 9, 15 таносубхо тартиб дихед.Н и н у на. 15:5 = 9 : 3 .

Аз ададхои 2, 3, 8, 12 таносубхо тартиб дихед.Оё аз нисбатхои 15:5 ва 9:3 таносуб тартиб додан мумкин аст?

Аз 7:56 ва 8:64-чй?Агар дар таносуби 12:4 = 75:25 харду узвхои нисбати якумро

ба 2 ва харду узвхои нисбати дуюмро ба 5 таксим кунем, оё таносуб вайрон мешавад?

• »5, Узвхои канории таносуб ба 18 ва 28 баробаранд. Агар яке аз узвхои мобайнй ба 32 баробар бошад, узви мобайнии дигарро ёбед.

366, Таносуби (х + 5): х = 4 :3 -ро хал кунед.

Масъалахои дар поён муоинашавандаро, дар чое, ки имкон- пазир бошад, бо ду тарз хал мекунем.

М а с ъ а л а и 1. Агар ходаи вертикалии дарозиаш 6 м ба замин 7,2 м соя гузорад, он гох ходаи дарозиаш чанд метр 15 м соя меафканад?

Х а л . Т а р з и я к у м. Барои чавоб додан ба саволи «1 м хода чй кадар соя меафканад?» 7,2-ро ба 6 таксим мекунем: 7,2:6= 1,2, яъне 1 м хода 1,2 м соя меафканад. Акнун, барои фахмидани он ки 15 м сояи чанд метр хода аст, 15-ро ба 1,2 таксим мекунем: 15:1,2=12,5. Пас, 12,5 м хода 15 м соя меафканад.

Т а р з и д у ю м. Маълумоти масъаларо бо тарзи схемавй менависем, ки дар он номаълум бо X ишорат шудааст.

6)13 : х = 26:2; в ) 5 : х = 3 :2 | ; г) 5-Jr: 3^ = * : 3 ;3 О о

F ) 4 l : l l = 6 : x ; д ) х : 5 -j = 12 : 2 ; е) 2 -| : | = 16: х .

31. Халли масъалахо дойр ба ганосуб

106

6 м 7,2 м(1)

15 мНисбати дарозихои хода ва нисбати сояхои мувофики онхоро

тартиб медихем: 6 : х = 7,2:15 .Мувофики хосияти таносуб хосил мекунем:

Аз ин чо 7,2х = 90 мебарояд ва х - 90 :7,2 = 900:72 = 12,5 мешавад.

Дар китобхои дарсии химия, ки шумо минбаъд мехонед, схемаи (1)-ро ин тавр тасвир мекунанд:

Ин маънии онро дорад, ки 6 ба 15 ва X ба 7,2 зарб карда мешаванд. Баъд, дар байни ин хосили зарбхо аломати баробарй мегузоранд, яъне баробарии (2)-ро хосил мекунанд, ки давоми хал ба мо маълум аст.

М а с ъ а л а и 2. Узвхои канории таносуб ба 9 ва 14 ва яке аз узвхои мобайнй ба 16 баробар аст. Узви мобайнии номаълум ёфта шавад.

X а л. Узви номаълумро бо х ишорат мекунем, он гох таносуб дар намуди 9 : jc = 16 : 14 ё 9 : 16 = х : 14 навишта мешавад, ки аз ин чо мувофики хосияти таносуб ба 16 - х = 9 -14 сохиб мешавем. Пас,

х = = Q = j l яъне x = l \ мешавад.1 0 O' Z о о о

М а с ъ а л а и 3. Аз 88,5 м мохути бараш 1,05 м буда 25 адад палтои якхела духтанд. Аз 315 м мохути бараш 1,18 м чанд адад палтои хамонхела духтан мумкин аст?

X, ал. Т а р з и я к у м . Азбаски мохут шакли росткунча дорад, аввал масохати харду намуди мохутро меёбем:

1) 88,5-1.05 = 92,925 (м2) ; 2) 315-1,18 = 371,7 (м2).Акнун, меёбем, ки хар 1 палто аз чй кадар мохут духта

шудааст: 92,925: 25 = 3,717 (м2). Х,амин тарик, як палто аз 3,717 м2 мохут духта шудааст. Акнун, барои ба саволи масъала чавоб додан 371,7 м2-ро ба 3,717 м2 таксим мекунем: 371,7 :3,717 = 100 .

Х,амин тарик, аз 315 м мохути бараш 1,18 м буда 100 адад палто духтан мумкин будааст.

7,2х = 6-15 (2)

6 м 7,2 м

15 мх

Расми 14

I07

7 ар з и д у ю м . Аз 92,925 м2 мохут 25 адад палто ва аз 371,7 м2 мохут х адад палто духта мешавад. Пас, таносуби 92,925:371,7 = = 25: х -ро тартиб дода, аз он х -ро меёбем:

92 925-х= 371 7-25 х - 371’7’25 - 371>7-25 _ 371,7 _’ X i l l , l ZD, X - 92 925 - 3j717.2 5 - 3;717- 1UU-

V/ а с ъ а л а и 4. Аз хар 1 га замин 70-сентнерй гандум гундоштанд, ки аз он хдсса орд хосил мешавад ва хангоми

нонпазй хисса намй зам мешавад. Аз хосили гандуми аз 2 -у га

замин гундошташуда чй кадар нон пухтан мумкин аст?X а л. Аввал муайян мекунем, ки аз 70 сентнер гандум чй кадар

орд тайёр мешавад. Бинобар ин 70 сентнерро 1 хисса гуфта кабул мекунем. Он гох схемаи зерин хосил мешавад:

I X 70

10

Пас, х = 70 • ■— = 63 (с) хосил мешавад, ки ин микдори орди аз

70 с гандум хосилшуда мебошад. Агар 63 с ордро 1 хисса гуфта кабул кунем, он гох нони аз вай хосилмешуда (l + -j), яъне 1-j

хиссаи ордро ташкил медихад. Бинобар ин, ба таносуби зерин сохиб мешавем:

1 хисса - 63 с'у

1 j хисса - х .

Аз ин чо 1-х = 63- l j = 63- 1 = ^ j i = 88j , яъне х = 88|- с

мешавад, ки ин нони аз гандуми 1 га замин хосилшуда иборат мебошад. Онро ба 2^ зарб кунем, ба максад мерасем:

8 8 i .2 | = 4|M = 220| ,5 2 5 2 2 ’

яъне, нони аз гандуми 2 j га замин хосилмешуда ба 220^- сентнер

баробар будааст.М а с ъ а л а и 5. Аз 17 кг олучаи тару тоза 8,88 кг олучаи хушк

хосил мешавад. Барои хосил кардани 2,22 кг олучаи хушк чй кадар олучаи тару тоза гирифтан лозим аст?

108

X, а л. Т а р з и я к ум. Аз 17 кг тар 8,8 8 кгхушкх тар 2,22 кг хушк.

Пас, 1 7 : х = 8,8 8 : 2 , 2 2 , 8,88-х = 17-2,22,17 Т ТО 1 7 Т ОТ 1 г. . .

х = ggg' - = 4.2 22 ~ 4 = ^ 4 ’ яънех = 4 ^ кг олучаи тару тоза

лозим будааст.Т а р з и д у ю м . Азбаски 2,22 назар ба 8,88 чор маротиба хурд

мебошад, бинобар ин олучаи тар хам 4 маротиба камтар талаб карда мешавад, яъне 1 7 : 4 = 4,25 (кг).

М а с ъ а л а и 6. Палто 60 сомонй нарх дошт. Сонитар онро 12 сомонй арзон карданд. Нархи палто чанд фоиз поён фуромад?

X а л. Нархи аввалаи палторо, яъне 60 сомониро 100% гуфта кабул мекунем. 12 сомониро х фоиз гуфта таносуб тартиб медихем:

100% :х = 60:12.

Аз ин чо 60- х = 100%-12 ва х = 1 1 2 = 20% мебарояд. Дар6Uхакикат, 12 ба панчяки 60 баробар аст.

М а с ъ а л а и 7. Адади 18-ро ба чунин се кием чудо намоед, ки онхо чун 1:2:3 нисбат дошта бошанд.

Х а л . Порчаеро гирифта, онро дар хати рост бо АВ ишорат мекунем. Аз паси он порчаи ВС-и ба 2 - АВ баробар ва баъд порчаи CD-и ба 3 • АВ баробарро мегузорем (расми 15) ва тасав-

А В С DI I ......... I-------------------------------------- 1—

Расми 15

вур мекунем, ки дарозии порчаи AD ба 18 баробар аст. Агар дарозии порчаи АВ-ро бо х ишорат кунем, он гох ВС = 2 х , CD = Зх мешавад. Бинобар ин х + 2 х + 3х = 18-ро сохиб мешавем. Пас, 6х = 18, х = 3 мебарояд. Аз ин ру, ВС = 2х = 2 • 3 = 6 ва CD = Зх = 3-3 = 9 мешавад. Дар хакикат, ададхои 3, 6 ва 9 ба хам­дигар чун 1:2:3 нисбат доранд ва суммаашон ба 18 баробар аст.

Мо ин тавр хам амал карда метавонем: агар адади якумро бо х ишорат кунем, он гох адади дуюм 2х ва адади сеюм Зх шуда, суммаи онхо х + 2х + Зх ба 18 баробар мешавад, ки давоми халро медонем.

367. Аз у га замин 1 у т галла гундоштанд. Аз 1 га замин чй кадар

галла мегиранд?

109

368. ^ хиссаи галтакхои даруни кутти 697 адад аст. Дар кутти чи

кадар галтак хает?369. Бригадаи тракторчиён дар як руз 1 хиссаи замини хочагиро

шудгор кард, ки ин 63 гектари хамаи замини хочагиро ташкил медихад. Х,амаи майдони хочагй чй кадар аст? Масъаларо бо тарзхои гуногун хал кунед.

370. Нархи ^ кг канд 5~ сомонй аст. Нархи 3 килограмми чунин

канд чанд сомонй аст?371. Аз ноки тару тоза 18% хушкидаи он хосил мешавад. Барои

хосил кардани 45 кг ноки хушкида чй кадар ноки тару тоза гирифтан лозим аст?

372. Барои сохтани 8 адад асбоб 12 кг металлхои ранга сарф мешавад. Барои тайёр кардани 6 адад чунин асбоб чй кадар металл лозим аст?

373. Аз ададхои 4, 6, 10. 15 таносуби 6:4=15:10-ро тартиб додем. Оёаз ин ададхо таносуби дигар тартиб додан мумкин аст?

374. 4 кг мохй 4,5 сомонй арзиш дорад. 1 кг мохй чанд сомонй4

арзиш дорад? Ба 1,5 сомонй чй кадар мохй харидан мумкин аст?

375. Вакте ки 378 адад нихол шинониданд, речаи нихолшинонй 72% ичро шуд. Аз руйи накша бояд чй кадар нихол шинонанд?

376. Аз олуи тар 35% олуи хушк хосил карданд. Барои хосил кардани 11.2 кг олуи хушк чй кадар олуи тар бояд гирифт?

377. Аз 6 кг металл 4 адад асбоб тайёр карданд. Аз 21 кг металлчанд асбоб тайёр мешавад? Масъаларо бо тарзхои гуногун хал кунед.

378. Аз 11 кг барги тари чой 0,46 кг чойи хушк хосил мешавад. Аз55 кг барги тар чй кадар чойи хушк хосил мешавад?

379. Аз хар 1 га замини кишт 60 сентнер гандум гирифтанд, ки азон 90% орд хосил мешавад. Х,ангоми нонпазй намии орд 35%зиёд мешавад. Аз хосили гандуми 3^ га замин чй кадар нон

пухтан мумкин аст?380. Картошка хангоми хушккунй 86%-и массаашро гум мекунад.

Аз 125 кг картошкаи тар чй кадар картошкаи хушк гирифтан мумкин аст?

381. Барои тайёр кардани 12 адад асбоб 400 г нукра лозим шуд.Барои тайёр кардани 9 адад асбоб чй кадар нукра сарф мешавад?

110

382. Аз 45 кг гандум 40,5 кг орд хосил шуд. Аз 225 кг гандум чйкадар орд хосил мешавад? Масъаларо бо тарзхои гуногун хал намоед.

383. Ба 2-i- сомонй кг хдсиб хариданд. 1 кг хасиб чанд пул4 о

меистад? Ба 3 сомонй чй кадар хасиб харидан мумкин аст?384. Вакте, ки 102 чуфт пойафзолро таъмир карданд, маълум шуд,

ки накшаи корй 85% ичро шудааст. Аз руйи накша чй кадар пойафзолро таъмир кардан лозим буд?

385. Хднгоми тайёр кардани силос 12% массаи алафи тар гум мешавад. Аз 175 т алафи тар чй кадар силос хосил мешавад? Масъаларо бо тарзхои гуногун хал намоед.

386. То нисфирузй комбайнчй 24 т гандум латкард. ки ин 60%-игандуми тамоми руз лат кардаи вайро ташкил медихад. Комбайнчй тамоми руз чй кадар гандум лат кард?

387. Аз олуи тар 32% хушколу гирифтанд. Барои тайёр кардани 4кг хушколу чй кадар олуи тар лозим аст? Масъаларо бо тарзхои гуногун хал намоед.

388. Аз ададхои 3, 4, 18, 24 таносуби 3:4=18:24-ро тартиб додем. Оёаз ин ададхо боз таносуб тартиб додан мумкин аст?

389. Аз 5 кг орд 7 кг нон мепазанд. Барои пухтани 210 кг нон чйкадар орд лозим аст? Масъаларо бо тарзхои гуногун хал намоед.

390. Адади 48-ро ба се кисмхо чунон чудо кунед, ки онхо ба хамдигар чун 1:2:3 нисбат дошта бошанд.

391. Адади 49-ро ба чунин се кисмхо чудо кунед, ки онхо ба хамдигар чун 1:2:4 нисбат дошта бошанд.

32. Бузурги^ои мутаносибии роста

Хамаи он чи ки чен карда мешаваду бо адад ифода меёбад, дар математика бузургй ном дорад. Масалан, вакт. масофа, масса, нарх ва гайра мисолхои бузургихо мебошанд.

Одатан бузургихо аз хамдигар вобастаанд. Масалан, микдори пули барои мол сарфшаванда аз нархи он вобаста аст: 1 кг канд 3 сомонй бошад, 5 кг канд 15 сомонй мешавад. Автомобил бо суръати доимии 60 км/соат харакат кунад, он гох вай дар 3 соат 180 км масофаро тай мекунад. Хдмин тарик, массаи канд зиёд шавад. пули ба он сарфшаванда зиёд мешавад; вакти харакат зиёд шавад, вобаста ба он, масофаи зиёд тай карда мешавад.

111

Масъалаи 5. Ададе ёфта шавад, ки р %-и он ба q баробар бошад. X а л. Адади номаълумро бо х ишорат карда, масъаларо хал

мекунем:х _ _ _ 100%

Ч _ _ Р %о/ шло/ л 9 -1 0 0% 100- qх - p% = q - 100%. Аз ин чо х = - —^— = ----- - мешавад, ки ин

р % рформуларо мо дар синфи 5-ум хангоми баёни мавзуи «Аз руи фоизи додашудааш ёфтани адад» хосил карда будем.

М а с ъ а л а и 6. Аз 250 бех нихоли шинонидашуда 35 бехаш хушк шуд. Чанд фоизи нихолхои шинонидашуда сабзида аст?

X а л. Аз 250 бех нихол 250 - 35 - 215 бехаш сабзида аст. 250 бехро 100% кабул карда, таносуб тартиб медихем:

250 _____ 100%

215 -------- х

215: 250 = х : 100. Азинчо х = ^ > 10°. = 86 (%).

Пас, 86%-и нихолхои шинонидашуда сабзидааст.

392. Дар сохтмони иморат як усто 10 руз ва устои дигар 15 руз коркарда, якчоя 100 сомонй музд гирифтанд. Бо иктидори кории якхела хар кадоми онхо чй кадарй хак гирифтанд?

393. Суммаи се адад ба 324 баробар аст. Ин ададхоро ёбед, ки агаронхо чун 5:9:13 нисбат дошта бошанд.

394. Аз 20 кг орди гандум 27 ~ кг нон пухтанд. Аз чанд кило­

грамм чунин орд 32 кг нон пухта гирифтан мумкин аст?395. Агар барои гундоштани хосили 25 га замин 12 нафар коргар

кифоя бошад, он гох барои гундоштани хосили 62,5 га замин чанд нафар коргар лозим аст?

396 .14 дм3 пораи охан 119,2 кг масса дорад. Массаи 10 дм3 чунин охан чй кадар мешавад?

397. Барои лобидани девори дарозиаш 9 м ва баландиаш 4 м сарфи400 кг гач пешбинй шудааст. Барои лобидани девори дарози­аш 12 м ва баландиаш 3,75 м чй кадар гач лозим аст?

398. Ду усто якчоя бо иктидори якхела кор карда 108 сомонй муздгирифтанд. Агар устои якум 4 руз 6 соатй ва устои дуюм 6 руз 5 соатй кор карда бошанд, хар кадоми онхо чй кадарй пул гирифтанд?

114

399. 16 сахифаи китоб 1 чузъи чопи мешавад. Китобе, ки 232 сахифа дорад, 14- чузъи чопй аст. Китобе, ки 180 сахифа

дорад, аз чанд чузъи чопй иборат аст? Оё масъала шарти зиёдатй дорад? Кадом аст он?

400. Дар раем китъаи замин дар намуди росткунчаи дарозиаш 2,5см ва бараш 1,5 см тасвир шудааст. Агар дарозии хакикии замин 500 м бошад, бари он чй кадар аст?

401. 53,5 м сим 8 кг масса дорад. Массаи чанд метр сим 500 кг мешавад?

402.4 насоси якхела дар 5 соат 2500 л обро кашида баровард. 5 насоси хамонхела дар 4 соат чй кадар обро кашида мебарорад?

403. 3of бо суръати 50 км/соат ва соч бо суръати 74 км/соат парвозмекунад. Агар зог 74 км масофаро тай кунад, дар хамин мудцат соч кадом масофаро тай мекунад?

404. Вакте, ки музди коргарро ба хисса зиёд карданд, вай мохе

166 сомонй мегирифт. Музди мехнати коргар чанд сомонй зиёд шуд?

405. Дар китобхонаи шахей 5100 нусха китобу мачаллахо мавчуд- аст, ки ~ хиссаи он мачалла аст. Дар китобхона чанд нусха

мачалла хает? Масъаларо бо тарзхои гуногун хал намоед.406. Адади 160-ро дар нисбати 3:5 ба ду кием чудо кунед.407. Адади 240-ро дар нисбати 2:3:5 ба се кием чудо кунед.408. Аз мису рух биринчй тайёр карданд, ки массааш 1 кг 440 г аст.

Дар ин биринчй мис ба рух чун 3:2 нисбат дорад. Массаи миеро муайян кунед.

409. Ба се заводи нонпазй орд таксим карданд. Заводи якум ^

хиссаи хамон ордро гирифт. Микдори орди заводи сеюм ба микдори орди заводи дуюм чун 1 нисбат дорад. Агар

J О

заводи якум назар ба заводи дуюм 24 т зиёдтар орд гирифта бошад, он гох хар як завод чй кадарй орд гирифт?

410. Аз 1200 т лаблабу 180 т шакар хосил мешавад. Аз 20 миллионтонна лаблабу чй кадар шакар гирифтан мумкин аст?

411. Винт дар 50 тобхурй 26 мм пеш меравад. Барои 5^ мм пеш

рафтан винт бояд чанд бор тоб хурад? Масъаларо бо тарзхои гуногун хал намоед.

115

412. Барои ба девори хона часпонидани когази гулдор 96 м когазибараш 0,5 м лозим шуд. Агар бари когаз 0,4 м мебуд, барои девори хамон хона чй кадар когаз сарф мешуд?

413. Аз 13,56 кг ресмон як туп матоъ бофтанд, ки дарозиаш 65 м вабараш 1,12 м мебошад. Барои бофтани хдмин хел матои дарозиаш 13 м чй кадар ресмон сарф мешавад?

414. Пучок, зардй ва сафедаи тухми M ypF ба хамдигар чун 1:3:5 нисбат доранд. Агар массаи 1 дона тухм 58,5 г бошад, пучоки 2000 дона тухм чй кадар масса дорад?

415. Аз 21 кг чигит 5-щ кг равган мегиранд. Аз чанд килограмм

чигит 17 кг равган хосил мешавад?416. Дар сексияи гимнастика 40 нафар писарону духтарон

иштирок мекунанд, ки микдори онхо чун 2:3 нисбат дорад. Дар сексия чанд нафар писар иштирок мекунад?

417. Аз 100 дона нахуди шинонидашуда 85-тоаш сабзида баромад.Чанд фоизи нахуд насабзидааст?

418. Барои пухтани карамшурбо ба хар 50 г гушт 30 г лаблабу мегиранд. Ба 500 г гушт чй кадар лаблабу мувофик меояд? Масъаларо бо тарзхои гуногун хал намоед.

419. Дар таркиби 40 кг картошка 7 кг охар мавчуд аст. 1 т картошка чй кадар охар дорад? Масъаларо бо тарзхои гуногун хал намоед.

420. 5,4 кг миси тозаро бо як микдор калъагй гудохтанд, ки массаион 6 кг шуд. Дар чунин гудохтаи массааш 5 кг чй кадар миси тоза хает?

33. Бузургих,ои мутаносиби чаппа

Агар х^ангоми тагйир ёфтани як бузургй бузургии дигар чунин тагйир ёбад, ки х;осили зарби кцматх,ои мувофикц онх;о бетагйир монад, он гох; онх;оро бузурги\ои мутаносиби чаппа меноманд.

Мисолхр меорем:1) Агар кореро гурухи 12 нафара дар 8 руз ичро кунад, гурухи

24 нафара дар 4 руз ва гурухи 6 нафара дар 16 руз ичро мекунад, яъне 2 маротибагй каму зиёд мешавад.

2) Агар ба 40 сомонй меваи хар як килограммаш 2 сомонй бихарем, 20 кг мева аз они мо мешавад, вале агар нархи мева 2 маротиба боло равад, яъне хар як килограммаш 4 сомонй шавад, он гох ба 40 сомонй 2 маротиба камтар, яъне 10 кг мева мехарем.

3) Агар хуроки захира кардашудаи чорво барои 15 cap ба 1 мох расад, барои 30 cap ба ним мох мерасад.

116

4) Агар дар холати бетагйир мондани масохати росткунча бари онро 2 маротиба зиёд кунем, лозим меояд, ки дарозиашро 2 маротиба кам намоем. Дар хакикдт, агар дарозии росткунчаро бо х , барашро бо у ишорат кунем, он гох масохаташ S - x - y мешавад, ки дар холати х -ро ба 2х иваз кардан шояд, ки у -ро ба

■~у иваз намоем: S = 2х-^у = 2-^ху = х у , зеро дар хамин холат

масохат бетагйир мемонад ва хоказо.Х,амаи ин мисолхо гувохи медиханд, ки вобастагии

бузургихои мутаносиби чаппа мавчуд аст.М а с ъ а л я я 1. Супоришеро 18 нафар коргар дар 28 руз ичро

мекунад. Хдмин супоришро 24 нафар коргар дар чанд руз ба чо меоварад?

X, а л. Супориши 18 нафар коргар дар 28 руз ичро мекардаро як нафар коргар дар 18-28 руз ичро мекунад. Барои ёфтани он ки хамин корро 24 нафар коргар дар чанд руз ичро мекунад, адади 18-28-ро ба 24 таксим мекунем. Агар адади номаълумро бо х ишорат кунем, он гох

мешавад. Аз баробарии (1) таносуби

-ро сохиб мешавем, ки онро дар намудид:: 28 = 18: 24 (3)

хам навиштан мумкин аст. Агар ба таври схемавй нависем,

18 нафар 28 руз

мешавад, ки онро бо таносуби (3) мукоиса карда, тарзи хосил карданашро нишон медихем:

Нисбати 18-ро ба 24 мегирем, вале нисбати дуюм чаппа аст, яъне нисбати х-ро ба 28 мегирем, ки дар натича таносуби (3) хосил

24 нафар х руз

(4)Расми 16

117

мешавад, ки аз он х = = 21 -ро меёбем, яъне хдмон супоришро

24 нафар коргар дар 21 руз инро мекардааст.М а с ъ а л а и 2. Хошоки ба 25 cap чорво захира кардашуда ба

54 руз мерасад. Хамин хошокро 15 cap чорво чанд руз мехурад?X, а л. Схемаи намуди (4)-ро тартиб медихем:

25 cap 54 руз А

V 15 cap х руз

Расми 17ё ки 25:15 = л::54.

Аз ин чо х = 2^ 4 = 90 -ро хосил мекунем, яъне хамон захираи

хошокро 15 cap чорво 90 руз мехурдааст.М а с ъ а л а и 3. Се насоси обкаши якхела хавзро дар 4 соат

пур мекунад. Ду хамин гуна насос хавзро дар чанд соат пур мекунад?

X а л. Т а р з и я к у м . Оби дар 4 соат кашидаи 3 насоси якхеларо як насоси хамонхела дар 3 - 4 , яъне дар 12 соат мекашад. Пас хамон кадар обро 2 насос дар 6 соат мекашад.

Т а р з и д у ю м . Вакти кори 2 насосро бо х ишорат мекунем. Он гох схемаи зеринро тартиб медихем:

3 насос 4 соатА

V 2 насос х соат

Таносуби мувофикро тартиб медихем: 3 :2 = х : 4 Аз ин чо 2х = 3 - 4 ва х = 6 , яъне 2 насос дар 6 соат хавзро пур

мекунад.М а с ъ а л а и 4. Адади 75-ро ба кисмхои ба ададхои 2 ва 3

чаппа мутаносиб чудо кунед..V а л. Адади 2 ва 3 ба ададхои | ва | чаппаанд. Бинобар ин

75-ро ба кисмхои ба у ва у роста мутаносиб таксим мекунем. Бо

ин максад таносуби х : у = у : 1 тартиб медихем. Нисбати ададхои

касриро ба нисбати ададхои бутун ин тавр иваз мекунем:

4 :4 - = -М-: -~г = 1 ; -2 = 3 : 2 . Пас, таносуби мо намуди х: у = 3 :2 -ро1 J I'D У 2. 6 6

мегирад. Азбаски 3+2=5 аст, бинобар ин аввал адади 75-ро ба 5

118

таксим карда, сони кисмхои таносубиро меёбем: 75 :5 = 15; 15-3 = 45, 15-2 = 30.

Агар ба мисолхои 1 - 4 зехн монем, мебинем, ки дар онхо хосили зарбхои мувофик байни худ баробаранд:

дар мисоли 1: 12-8 = 24-4 = 6-16; дар мисоли 2: 2- 20 = 4-10; дар мисоли 3: 15-30 = 30-15;дар мисоли 4: х- у = 2х --Ly

ва дар масъалахои хал кардашуда низ хосили зарбхои мувофики баробарро мушохида мекунем.

Хдмин тарик, дар таносуби чаппа хосили зарбхои мувофик ба хамдигар баробар мешавад. Агар зарбшавандахои хосили зарбро бо х , у ва натичаи зарбро бо к ишорат кунем, он гох х- у = к мешавад. к -ро коэффитсиенти мутаносибй меноманд. Дар масъалаи 1, * = 18, у = 28 ва £ = 504 мешавад Хосили зарби дуюм 24- х = к ё ки 24х = 504 шуда, аз ин чо х= 21 мебарояд, ки ин аз баробарии (1) хам намоён аст ва гайра.

М а с ъ а л а и 5. Адади 36-ро ба ду адади натуралии ба хамдигар мутаносиби чаппа чудо кунед.

Х а л . Агар адади якумро бо х ва адади дуюмро бо у ишораткунем, он гох 36 = х- у хосил мешавад. Хдлро дар чадвал давом медихем.

X 1 2 3 4 6 9 12 18 36У 36 18 12 9 6 4 3 2 1

421. Масофаи байни ду махалро поезд бо суръати 40 км/соат дар3^ соат тай намуда метавонад. Агар вай бо суръати 50

км/соат харакат кунад, хамон масофаро дар чанд соат тай мекунад? Масъаларо бо тарзхои гуногун хал намоед.

422. Росткунча 8 м дарозй ва 5 м бар дорад. Росткунчаи дигар 16 мдарозй дорад. Бари он чй кадар бошад, ки масохаташ ба масохати росткунчаи аввал баробар бошад?

423. 6 трактори кудрати кориаш якхела шудгори зимистонаро дар12 руз ба итмом мерасонад. Шудгори зимистонаро 8 трактори хамонхела дар чанд руз тамом мекунад?

424. Масофаи байни ду шахрро велосипедсавор ба суръати 12 км/соат дар 10 соат тай мекунад. Вай бо кадом суръат бояд харакат кунад, ки хамон масофаро дар 8 соат тай намояд?

119

425. Агар ба хар як сахифаи китоб 32 сатр чой дода шавад, китоб аз 180 сахифа иборат мешавад. Ба хар як сахифа чанд сатр чой дода шавад, китоб аз 160 сахифа таркиб ёбад?

426. Автомобил масофаи байни ду шахрро бо суръати 40 км/соат дар 8 соат тай мекунад. Агар вай бо суръати 50 км/соат харакат кунад, хамон масофаро дар чанд соат тай мекунад?

427. Оила барои дар зимистон гарм кардани хона ангиштсанг захира кард. Агар хар руз 12 кг ангиштсанг сарф карда шавад, он гох захира ба 125 руз мерасад. Агар хар руз 15 кг ангиштсанг истифода шавад, захираи ангиштсанг ба чанд руз мерасад?

428. Масофаи 200 км-ро автобус дар 2,5 соат тай кард. Агар вай хамон масофаро дар 4 соат тай менамуд, бояд бо кадом суръат харакат мекард?

429. Барои кашонидани як микдор нафт 40 систернаи 24 тоннагй чудо карданд. Барои кашонидани хамон микдор нафт чанд систернаи 60 тоннагй лозим мешуд?

430. Адади 45-ро ба кисмхои ба ададхои 3 ва 2 чаппа мутаносиб чудо кунед.

431. Адади 60-ро ба ду кисме чудо кунед, ки онхо ба ададхои 4 ва 6чаппа мутаносиб бошанд.

432. Пиёдагард 5 соат бо суръати 4,2 км/соат рох рафт. Вай бо суръати 4,5 км/соат хамон рохро дар чанд соат тай мекард?

433. Чор нафар коргар супоришеро дар 16 соат ичро мекунанд. Агар шумораи коргарон 4 маротиба зиёд шавад, барои ичрои хамон супориш чанд соат вакт лозим мешавад?

434. 10 нафар дуредгар кореро дар 16 руз ичро мекунанд. Х,амин корро 16 нафар дар чанд руз ба поён мерасонанд?

435. Оё вакти барои шудгори 200 га замин сарфшуда ва микдори тракторхои иктидорашон якхелаи шудгоркунанда бузурги- хои мутаносиби чаппа мешаванд?

436. Дар машкхои зерин коэффитсиенти мутаносибиро ёбед:а) х у - 9 ; б) у = ^ ; в) у = А. -

Г> У = 1 ’ Г ) У = 4-Х’437. Масохати росткунча ба 18 см2 баробар, бараш х ва дарозиаш у

мебошад. Аз руйи ин маълумот чадвали зеринро пур кунед.

X 1 3 4 6 9 18У 2 6 3 8 12

120

438. 6 нафар коргар супоришеро дар 9 руз ичро мекунанд. Шумораи коргаронро бо х ва микдори рузи кориро бо уишора карда, аз руи ин маълумот чадвали зеринро пур кунед:

X 6 3 9 2 27У 9 18 27 1

439. Вобастагии байни микдори коргарон ва вакти барои ичрои супориши муайян сарф мешуда мутаносиби роста аст ё чаппа?

34. Давра

Дар хдмворй нуктаеро кайд карда, нуги пояи сузандори паргорро ба он зер мекунем ва нуги пояи каламдорашро аз ягон нуктаи хдмворй cap карда, чунон чарх мезанонем, ки боз ба нуктаи аввала баргашта ояд. Мебинем, ки хати сарбаста хосил мешавад (расми 18). Хамин хатро давра меноманд. Нуктаи О-ро маркази давра мегуем. Порчае, ки маркази давраро бо нуктаи давра пайваст мекунад, радиуси давра номида мешавад. Масалан, порчаи ОА радиуси давра аст. Х,ама гуна порчае, ки ду нуктаи давраро аз дарун пайваст мекунад, хорда ном дорад. Хордаи калонтарин аз маркази давра мегузарад, ки онро диаметры давра мегуем. Давраро диаметри он ба ду хиссахои баробар чудо мекунад. Порчахои АВ ва CD хордахо мебошанд. Азбаски хордаи CD аз маркази давра мегузарад, вай диаметр аст (расми 19). Дарозии диаметр ба дарозии ду радиус баробар аст, яъне радиусро бо R (ёг) ва диаметрро бо d (ё D) ишорат кунем, он гох d=2R (ё d=2r) мешавад.

Аq I диаметр

О

Расми 19 Расми 20

Хаты росте, ки бо давра фщат якто нуктаи умумй дошта дар х;амвории он мехобад, хати рости ба давра расанда номыда мешавад.

Масалан, хати рости а дар нуктаи А ба давра расанда аст (расми 20). Кисми давраро камоны давра меноманд.

121

440. Бо радиуси дилхох давра кашед ва бо хаткашаки таксимотдордарозии радиус ва диаметри онро чен кунед.

441. Бо радиуси: а) 4 см; б) 7 см; в) 2,5 см;

г) 2 см 3 мм; д) 0,5 дм; е) 0,7 дм;

ж) | дм; з) yL м; И) _L_ м;

давра кашед ва диаметри онро хисоб кунед.442. Диаметри давра ба: а) 3 см; б) 4 см;

г) 4 дм; f ) 2,5 дм;е) 1,5 м; ё) 1,5 км;

баробар аст. Радиуси онро ёбед.443. Давраи радиусаш ба 3 см баробарро кашед ва якчанд

диаметри онро гузаронед.444. Давраи радиусаш ба 0,5 дм баробарро кашед ва ду хордаеро

гузаронед, ки дар ду тарафи маркази давра мавкеъ гирифта бошад.

445. Давраи радиусаш дилхохро кашед. Аз як нуктаи он ду хордагузаронед ва кунчи ташкилдихандаи онхоро ба воситаи транспортир чен кунед.

446. Давраи радиусаш дилхохро кашед. Ду хордае гузаронед, кионхо ба радиуси давра баробар бошанд.

447. Давраи радиусаш дилхохро кашед. Диаметри онро гузаронед.Аз як нуги диаметр се хордаи ба радиус баробарро пай дар пай гузаронед.

448. Давраи радиусаш дилхохро кашед. Ду хати рости ба даврарасандаро гузаронед.

35. Дарозии давраНисбати дарозии давра С ба диаметраш d барои хамаи

даврахо бузургии доимй аст. Ин бузургии доимиро бо харфиюнонии л («пи») ишорат мекунанд, яъне = тг . Аз ин чо С = nd.

Азбаски d = 2г аст, бинобар ин С = 2 я г мешавад ва ин формулаи хисобкунии дарозии давра мебошад, яъне дарозии давра ба бузургии радиуси он вобаста аст. Адади л-ро дар амалияи хисобкунй ба 3,14 баробар медонанд, ки ин кимати такрибй аст, яъне л ~ 3,14.

М а с ъ а л а и 1. Дарозии радиуси давра ба 8,5 см баробар аст. Адади л-ро то дахякй яклухт карда, дарозии давраро хисоб кунед.

г) 1,6 см;... 1е) - дм;

й) ^ дм.

в) 8 см;д) 2 м; ж) 2,4 км

122

Х а л . Мувофики шарти масъала г =8,5 см, л ~ 3,1 аст. Формулаи хисобкунии дарозии давраро истифода мебарем.

С = 2 л г = 2- 3,1- 8,5 = 6,2- 8,5 = 52,7 (см).М а с ъ а л а и 2. Дарозии давра ба 23,55 дм баробар аст.

Адади л-ро то садякй яклухт карда, диаметри давраро ёбед.X а л. Дар формулаи С = 2 л г адади 2г -ро ба d -диаметр

иваз карда С = nd менависем ва мувофики шарти масъала23,55 = 3,14-с/ ва аз ин 40 d = 23,55 :3,14 -ро хосил мекунем, ки натичааш d - 7,5 дм мебарояд.

М а с ъ а л а и 3. Агар радиуси давра 3 маротиба дароз карда шавад, он гох дарозии давра чй хел тагйир меёбад?

Х а л . Агар дарозии давра С = 2 к г бошад ва ба чои г сечандаи он, яъне Ъг -ро гузорем, он гох 2 л • Ъг -ро хосил мекунем. Аз ин чо 2 л ■ Ъг - 3 • 2 л г = ЗС хосил мешавад, зеро 2 л г = С буд. Пас, агар радиуси давра 3 маротиба дароз шавад, дарозии давра 3 маротиба зиёд мешудааст.

М а с ъ а л а и 4. Барои он ки дарозии радиуси давра ба л см баробар шавад, радиуси он чй гуна бояд бошад?

Х а л . Мувофики шарти масъала дарозии давра, яъне С ба л баробар аст. Бинобар ин дар формулаи дарозии давра ба чойи С бузургии л-ро мегузорем ва аз баробарии хосилшуда г -ро меёбем: л = 2 л г, г = л :2 л = 0 ,5 . Пас, барои он ки дарозии давра ба л см баробар шавад, бояд ки радиус кимати ба 0,5 см баробарро кабул кунад.449. Агар радиус ба 50 см баробар бошад, дарозии давраро ёбед.

Адади л-ро то садякй яклухт кунед.450. Дарозии давра чй гуна аст, агар радиуси он ба 2 м баробар

бошад? Адади л-ро то дахякй яклухт кунед.451. Дарозии давраро ёбед, ки агар радиуси он ба 13,8 см баробар

бошад. Адади л-ро то садякй яклухт кунед.452. Агар дарозии давра 55,8 дм бошад, диаметри онро ёбед.

Адади л-ро то дахякй яклухт кунед.453. Агар дарозии радиус 2 маротиба кутох карда шавад, дарозии

давра чй хел бояд тагйир ёбад?454. Барои он ки дарозии давра ба 2л см баробар шавад. радиуси

он кадом киматро бояд кабул кунад?455. Агар дарозии давра ба 31,4 м баробар бошад, дарозии

диаметри онро ёбед. Адади л-ро то садякй яклухт кунед.

123

456. Истаконро ба руи когаз гузошта дар гирди он давра кашед вадарозии диаметри онро такрибан хисоб кунед.

457. Аввал давраи радиусаш дилхохро кашиданд, баъд радиусионро 1 см зиёд карда, бо хамон марказ давраи дигареросохтанд. Фарки байни дарозихои ин ду давраро ёбед.

36. Дойра ва масохати онАгар даврае созем, вай хамвориро ба ду кием чудо мекунад,

ки яке аз онхо кисми аз давра берун мебошад. Кисми дигар якчоя бо худи давра номи доираро мегирад (расми 21). Хдмон марказ, радиус ва диаметри давра инчунин марказ, радиус ва диаметри дойра мешавад. Масофаи байни маркази дойра ва нуктаи дилхохл он аз радиус зиёд шуда наметавонад. Агар М нуктаи дилхохи дойра бошад, он гох ОМ < г мешавад.

'уМасохати доираро бо формулаи S = я -г хисоб мекунанд.

Расми 21 Расми 22

458. Ба расми 22 нигаред. Аз нуктахои дар он кайдшуда кадомхо-яшон ба давра ва кадомхояш ба дойра тааллук дорад.

459. Масохати доираро ёбед, ки агар дарозии радиуси он ба 3,75дм баробар бошад.

460. Дар холати чй гуна будани радиуси дойра масохати он ба лдм2 баробар мешавад?

461. Дарозии давраи дойра ба 9,42 м баробар аст. Масохати доираи бо ин давра махдудшударо ёбед. Кимати л-ро то дахлкй яклухт кунед.

462. Дарозии радиуси давра ба 1 м баробар аст. Масохати доираибо ин давра махдудшударо ёбед.

463. Агар дарозии радиуси дойра 2 маротиба хурд карда шавад,масохати он чанд маротиба тагйир меёбад?

124

464. Агар диаметри давраи дойра ба 6,9 см баробар бошад, масо­хати доираро ёбед. Кимати л-ро то дахдкй яклухт кунед.

465. Дарозии давраи дойра ба 47,1 м баробар аст. Масох,ати доираро ёбед.

466. Диаметри доираро ёбед, ки агар дарозии давраи он ба 15,7 мбаробар бошад. Кимати л-ро то садякй яклухт кунед.

467. Агар дарозии радиуси дойра 5 маротиба кутох карда шавад,масохати дойра чанд маротиба кам мешавад?

468. Манораи Конибодом дар маркази шахр вокеъ буда, 15 м бапандй дорад ва диаметри асосаш 4,2 м мебошад. Масоха­ти асоси манораро ёбед. Оё масъала шарти зиёдатй дорад?

469. Баландии манораи шахраки Айнии нохдяи Айнй холо 13,5 мбуда, диаметри доираи болояш ба 2 м баробар аст. Масохати доираи болои манораро ёбед. Оё масъала шарти зиёдатй дорад?

470. Баландии Манораи Кал они шахри Бухоро, ки дар соли 1127сохта шудааст, 55,6 м буда, диаметри доираи болояш ба 6 м баробар аст. Масохати доираи болои манораро ёбед. Оё масъала шарти зиёдатй дорад?

471. Дар расми 23 квадрате тасвир ёфтааст, ки тарафхояш ба дойрарасандаанд. Нисбати масохати квадрат ва масохати доираро ёбед, ки агар дарозии радиуси дойра ба 2 см баробар бошад.

472. Тиреза шакли дар расми 24 тасвиршударо дорад, ки он аз квадрат ва нимдоира таркиб ёфтааст. Агар дарозии тарафи квадрат ба 1,2 м баробар бошад, масохати тирезаи оинабандишударо ёбед.

125

37. Кура ва сфераШумо туббозй кардаед, себу тарбуз хурдаед. Инхо ба кура

монанданд. Ч,ойи ишголкардаи тухми себ дар дохили себ маркази кура барин аст. Тарбуз, себ, каду бо пардаи тунуке руйкаш шудаанд. Х,амин пардаи руйкашшуда, ки гафсй надорад, сфераи кура ном дорад.

Масофаи байни маркази кура ва нуктахои сфера радиуси кура номида мешавад. Марказ ва радиуси кура барои сфера низ марказу радиус аст. Сфераи кураро с а/щи кура х,ам мегуянд. Порчае, ки аз маркази кура гузашта ду нукриш сфераро пайваст мекунад, диаметри кура номида мешавад. Дарозии диаметри кура ба дарозии ду радиуси он баробар аст. Агар кураи чубинро арра кунем, дар буриш дойра хосил мешавад (расми 25). Агар буриш аз

маркази кура гузарад, он гох доираи калонро сохиб мешавем, ки радиуси он ба радиуси кура баробар аст. Заминро барои он кураи Замин меноманд, ки вай курашакл аст. Сатхи Замин сфераи вай мебошад. Радиуси кураи Заминро такрибан ба 6370 км баробар хисоб карданд. Глобусро чун кураи Замин хурд кашидашуда тасаввур мекунем.

473. Агар радиуси кура ба: а) 7 см; б) 2 см; в) 6,2 см;г) 4,8 дм; г) 6370 км

баробар бошад, диаметри онро ёбед.474. Радиуси кураро ёбед, ки агар диаметри он ба:

а) 3,6 см; б) 6,5 дм; в) 1,2 м; г) 1535 кмбаробар бошад.

475.Туби футбол калон аст ё туби волейбол?476. Радиуси кураи Замин ба 6370 км баробар аст. Масохати

буриши калонтарини кураро ёбед.477. Дарозии давраи буриши калонтарини кура бо хамворй ба

12,56 см баробар аст. Радиуси кураро ёбед.478. Кураро бо ду хамворй буридаанд. Дарозии давраи буриши

калон аз дарозии давраи буриши хурд 8 маротиба калон аст. Нисбати дарозии радиуси буриши хурд ба дарозии радиуси буриши калонро ёбед.

126

Худро бисанчед1. Аз нисбати х : 0,5 = 2 узви номаълумро ёбед.

А )10 В)1 С )42. Аз нисбати 2,4: х = 0,3 узви номаълумро ёбед.

А) 8 В) 7,2 С) 0,1253. Узви номаълуми таносуби х : 4 = 15:3 -ро ёбед.

А) | В) 20 C ) f4. Узви номаълуми таносуби 20:3 = 20: х -ро ёбед.

А) 3 В) 1200 С ) 4М

5. Поезд дар 5 соат 300 км масофаро тай мекунад. Вай дар 3 соат чй кадар масофаро тай мекунад?

А) 20 км В) 180 км С) 500 км6. Адади 94-ро ба кисмхои ба ададхои 4 у ва Зу мутаносиби

роста таксим намоед.А) 40 ва 54 В)54ва40 С)12ва82

7. Адади 75-ро ба кисмхои ба ададхои 2 ва 3 мутаносиби чаппа чудо кунед.

А) 45 ва 30 В) 30 ва 45 С) 12,5 ва 62,58. Дарозии давра бо кадом формула хисоб карда мешавад?

2А) яг В) 2яг С) яг

9. Масохати дойра бо кадом формула хисоб карда мешавад?

А) я г 2 В) 2л г С) m l10. Кимати адади я -ро бо се ракам нависед.

А) 3,41 В) 3,14 С) 3,4211. Радиуси давра ба 1 см баробар аст. Диаметри давраро ёбед.

А) 1 см В) 0,5 см С) 2 см12. Диаметри давра ба 2 дм баробар аст. Радиуси давраро ёбед.

А) 4 дм В) 1 дм С) 2 дм13. Дарозии давра ба я баробар аст. Радиуси давраро ёбед.

A) i В) 2 С) 312

14. Нисбати 20 дакикаро ба 2 соат ёбед.

А) 1:6 В) 10:1 С) 6:1

127

Машкхо барои кори мустакилонаВарианты 11. Узви номаълуми таносубро ёбед:

х :4 = 15:3 .2. Массаи 64 м сим 9 кг аст. Чанд метр сим 500 кг масса дорад?3. Супоришеро 3 нафар дар 20 соат ичро мекунанд. Хамин

супоришро 12 нафар дар чанд соат ичро мекунанд?Варианти 21. Узви номаълуми таносубро ёбед:

3: jc = 5 :15 .2:*4,5 м матоъро ба 18 сомонй хариданд. Барои 22,5 м матоъ чанд

пул додан лозим аст?3. 5 насоси якхела хдвзро дар 6 соат пуроб мекунад. 8-то чунин

насос хамон хавзро дар чанд соат пуроб мекунад?Варианти 31. Узви номаълуми таносубро ёбед:

4 : 7 = х : 1 4 .2. Аз 5 кг олуи тар 1,5 кг олуи хушк хосил шуд. Аз 18 кг олуи тар

чй кадар олуи хушк гирифтан мумкин аст?3. 3 трактор майдонеро дар 7 соат шудгор карданд. 7 трактор

хамин майдонро дар чанд соат шудгор мекунад?Варианти 41. Узви номаълуми таносубро ёбед: 7 :3 = 21: х .2. Массаи 34 л карасин ба 27,2 кг баробар аст. Массаи 24 л

карасин чанд килограмм мешавад?3. Хошоки дар 3 руз мехурдагии 6 cap говро 9 cap гов дар чанд

руз мехурад?

Маълумоти таърихйДар замонхои кадим нисбати ду ададро адад хисоб

намекардаанд. Аввапин бор дар корхои олимони мо - Мусо ал- Хоразмй (солхои 787-850), Умари Хайём (1048-1131) ва Насируддини Туей (1201-1274) ба маънии адад истифода шудани нисбат мушохида мешавад. Барои мисол ду масъалахои зерини Мусо ал-Хоразмиро меоварем:

1) «Ду ададеро ёбед, ки суммаашон ба 10 ва нисбаташон ба 4 баробар бошад».

2) «Фарки ду адад ба 2 баробар, нисбати онхо ба адади ба 2 чаппа баробар аст. Ин ададхоро ёбед».

128

Яъне, дар ин чо «нисбат» ба маънии адад кор фармуда шудааст.

Дар китоби VII-и «Ибтидо»-и Евклид назарияи нисбат ва таносуб барои ададхои бутун баён ёфтааст. Евклид таносуби a : b - c : d -ро навишта аз он хосил кардани таносубхои навро баён кардааст. Хосияти асосии таносубро исбот кардааст: Хрсили зарби узвхои канории таносуб ба хосили зарби узвхои мобайнии он баробар аст.

Дар замонхои гуногун таносубро бо максадхои гуногун истифода кардаанд. Таносуб дар математика, таксими мерос, меъморй, санъат ва гайрахо ба таври васеъ истифода бурда мешуд ва истифода бурда мешавад.

Мафхуми давра дар замонхои пеш аз солшумории мо мавчуд будааст. Истиловдои радиус ва диаметр низ аз кадим маълум будаанд. Хатт° дар асрхои VII-VI-и пеш аз мил од Фалеси Милетй кашф кардааст, ки диаметр давра ва доираро ба ду кисмхои баробар чудо мекунад. Радиус лафзи лотинй буда, маънояш «нур» аст. Дар асри VI Боэтсий ба чойи «радиус» истилохи «нимдиаметр»-ро истифода кардааст. Ситсерон (асрхои II-1-и то милод) гуфтааст, ки «кура аз радиусхои (нурхои) баробари аз як нукта бароянда ташкил мешавад». Лафзи «хорда» юнонй буда, маънояш «тор» аст ва он дар асрхои XII-XIII аз тарафи олимони аврупой дохил карда шудааст. Ба расандаи давра дар нуктаи расиш перпендикуляр будани радиуси ба ин нукта гузаронидашударо Архит Таренский (солхои 430-365 то милод) медонистааст.

Бо харфи я ишорат кардани нисбати дарозии давра ба диаметрро дар соли 1748 Леонард Эйлер пешниход кардааст.

Ба хисобкунии кимати я аз замонхои пеш аз милод бисёрихо машгул шудаанд, ки аз хисобкунии дарозии давра ва масохати дойра вобаста аст. Мисрихои кадим барои я кимати 3,1605-ро нишон додаанд. Донишманди чинй Чжан-Хен л =3,162 нишондодааст. Архимед (287-212 то милод) я -ро дар байни ададхои З у |

ва Зу махдуд карда, 3 yj- < /г < 3 у навиштааст. Ин натичаи

Архимедро истифода бурда, риёзидони фаронсавй Виет (1540- 1603) 9 раками я--ро хисоб кардааст ва гайра. Х,оло дар бисёр хисобкунихо кимати я -ро ба 3,1416 баробар мегиранд.

Гиёсиддин Чамшеди Кошй барои я кимати 3,1415926535897932- ро нишон додааст.

БОБИ V. АДАДХОИ МУСБАТ ВА МАНФИ.

Амалхо бо ададхои мусбат ва манфи

38. Ададхои мусбат ва манфйТо хол мо бо ададх,ои натуралй ва хиссахои онхо сару кор

доштем, ки минбаъд онхоро ададхои мусбат мегуем. Адади нол хам ба мо ошност. Бар замми ин ададхо, бо такозои ёфтани халли масъалахо, ададхои дигар лозим шуда монданд, ки онхо номи «ададхои манфй»-ро гирифтанд. Дар параграфи 15-и китоби дарсии «Математика 5» мо дар бораи ин ададхо маълумот дода, онхоро факат барои аз ададхои хурд тарх кардани ададхои калон истифода бурда будем. Аммо ададхои манфй табиати гуногун доранд. Мо маънохои бузургихои афзоиш, даромад, бурд, фоида, дорой, гармиро медонем ва агар онхоро бузургихои мусбат гуфта кабул кунем, он гох лозим меояд, ки бузургихои камшавй, харочот, бохт, зарар, карз, хунукиро бузургихои манфй номем. Барои ишораткунии ададхои манфй аломати минус истифода

'Убурда мешавад: -3; -2,5; -0,1; - =- ин ададхоро «минус 3», «минус 2

бутуну аз дах 5» гуфта мехонанд. Аломати минус на хама вакт маънои тархро мефахмонад. Масалан, агар хунукии хаво ба 7° баробар бошад, онро -7° менависем. Хдмин тарик, ададхои манфй хама вакт бо аломати минус навишта мешавад. Аммо адади мусбат-бе аломат ё бо аломати + сабт мегардад, яъне + 6 - 6 аст. Адади нол на ба ададхои мусбат тааллук дорад ва на ба ададхои манфй. Ададхои +0, - 0 , 0 хамон як адади 0-ро ифода мекунад.479.Ададхои -4; 3; -1,2; - 2 ; + 1 ^ ; 4-|-ро хонед.

3 2 о480. Ададхои мусбатро алохида ва ададхои манфиро алохида

нависед: -1; 4; | ; -5; 7; 3,8; -0,7; 0,7; -0,1.

481. Адади 0 мусбат аст ё манфй?482. Агар хдроратсанч аз 0° поён 8° -ро нишон дихад, хаво хунук

аст ё гарм?483. Аз гуфтори ман ададхои мусбату манфиро чудо кунед:

а) 15 сомонй пул доштам. Ба 7 сомониаш китоб харидам;б) дар бозии шохмот 2 бозиро буридаму 1 бозиро бохтам;в) аз фуруши анор 70 сомонй даромад гирифтаму 30

сомониашро барои шудгори замин ба тракторчй додам;

130

г) аз Нодир 17 сомони пул кдрз гирифтаму боз гардонида додам.

39. Тасвири ададхо дар хати рост. Координатам нуктаХати ростро гирифта дар он нуктаи 0-ро ба сифати нуктаи

сархисоб кабул мекунем ва дар тарафхои чапу роста он нурхои ададй месозем (расми 26).

В О А —--------.-------р-------1-------.-------.-------.------->-------.----------------— ►

- 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4

Расми 26Ин нурхо хамдигарро то хати рост пур мекунанд. Дар нури

ададии тарафи рост ададхои мусбатро чой медихем ва дар нури ададии тарафи чап ададхои манфиро менависем. Дар ин хати рост ба хар як адад як нукта мувофик меояд. Масалан, ба адади 2 нуктаи А, ба адади - 3 нуктаи В, ба адади 0 нуктаи О мувофик меояд.

Хати росте, ки нуцтах,ояш ададх;оро тасвир мекунад, хати рости ададй ё тири ададй номида мешавад.

ж Ба хар як нукта дар хати рости ададй як адад2 мувофик меояд. Самти нури ОА, ки дар он ададхои

мусбат тасвир шудааст, самти мусбат номида мешавад. 1 ■ Самти нури ОВ-ро самти манфй мегуем. Самти мусбат,0 . одатан, аз нуктаи сархисоб ба тарафи рост (расми 26) ё

ба боло (расми 27) равона карда мешавад.Ададеро, ки мавкеи ин ё он нуктаро дар хати рости

_2 . ададй муайян мекунад, координатаи хамин нукта меномем. Аз ин ру, хати рости ададиро тири координата хам мегуянд. Координатаи нуктаро баъди ишорати нукта дар кавсхо менависем. Масалан, А(2), В

Расми 27 (-3), С (0,5), Д (-1,2) ва гайра. Агар координатаи нукта маълум бошад, вай дар тири ададй додашуда хисоб меёбад.

М и с о л и 1. Нуктахои0(0), A(l,5), В(0,2), с(^), D(-2,5),

Е(-0,5) ва F(-l,3)-po дар хати рости ададй чойгир мекунем.А" я л. 4 катаки дафтарро ба сифати порчаи вохидй кабул

карда, тири ададй месозем ва дар нуктахои нишон додашуда кайд мекунем (расми 28).

131

D F E О В С A ----- ,---- 1------1—i---- 1---- • i-----►—i---- 1---- 1—►-2,5 -2 -1,3-1 -0,5 0 0,2 3 1 1,5 2

Расми 28 4

М и с о л и 2. Як катаки дафтарро ба сифати 30 порчаи вохидй кабул карда, тири ададй созед ва дар он нуктахои А(210), В(-300), С(-210), D(240), Е(-90), F( -150), G(-30)-po тасвир кунед.

X а л. Аввал тири ададиро месозем ва баъд нуктахои нишон- додашударо дар он кайд мекунем (расми 29).

В__________С______ F______ Е______ G , А р-Ж ) -210 -150 ^90 "ЗО S 30 210 240'"

Расми 29484. Ду катаки дафтарро порчаи вохидй кабул карда, тири ададй

созед ва дар он нуктахои А(3), В( 4), С(-3,5), D(0), E(-l,5), F(- 2,6), G( 1,5)-ро тасвир кунед.

485. Координатахои нуктахои дар расми 30 тасвиршударо ба дафтаратон нависед.

С В H E G . A P F ^- 2 - 1 0 1 2

Расми 30

486. Дах катаки дафтарро порчаи вохидй кабул карда, тири ададйсозед ва дар он нуктахои К(-0,5), L(0,5), М(-0,9), 0(0),

Р(0,3), Q(-0,7), R(-0,8)-po кайд кунед.487. Як катаки дафтарро ба сифати 20 порчаи вохид кабул карда,

тири ададй созед ва дар он нуктахои S(200), Т(-180), U(-150), W(130), Х(-120), Y(140), Z(-70)-po чойгир кунед.

488. Шкалаи хароратсанчро кашед ва дар он 2° гармй, 3° хунукй,5° гармй, 7° хунукй, 4° хунукй, 4° гармиро тасвир кунед.

489. Тири координатиро сохта, дар он нуктаи А(1)-ро тасвир кунедва координатаи нуктахои В, С, D, Е, F-po худатон гузошта, онхоро дар тири координата кайд кунед.

490. Дар тири координатй нуктаи А(-1)-ро кайд карда, нуктахои В,С, D, Е-ро чунон тасвир кунед, ки:

а) нуктаи В аз нуктаи А дар самти манфй 3 вохид дур бошад;б) нуктаи С аз нуктаи А дар самти мусбат 2 вохдц дур бошад;в) нуктаи D аз нуктаи В дар самти мусбат 6 вохид дур бошад;г) нуктаи Е аз нуктаи D дар самти манфй 0,5 вохид дур бошад. Муайян кунед, ки координатахои нуктахои В, С, D, Е кадом ададхо мебошанд.

132

40. Ададхои мукобил

Ба ду ададе, ки факат бо аломаташ фарк мекуна д, дар тири ададй ду нуктае мувофик меояд, ки онхо дар ду тарафи нуктаи сархисоб мавкеъ гирифта, аз он дар масофахои якхела вокеъанд. Масалан, ададхои -5 ва 5; 2,4 ва -2,4 ва гайра хамин гуна ададхоянд. Чунин чуфти ададхо ададхои мукрбил номида мешавад. Аломатхои + ва - хам ба хамдигар мукобил номида мешавад. Адади -7 ба адади 7 ва адади 7 ба адади -7 мувофикан мукобил мебошад. Барои хар як адад танхо як адади мукобил мавчуд аст. Адади 0 ба худаш мукобил аст. Ба ададхои натуралии 1, 2, 3, 4, ... ададхои -1, -2, -3, -4, ... мукобил мебошанд. Инро дар тири ададй тасвир мекунем (расми 31).

-Н------ 1------ 1-------1--------1------- 1------- 1------- 1------- 1------- 1------- 1---*.- 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4

Расми 31Ададхои натуралй, ададхои ба онхо мукобил ва адади нолро

дар якцоягй ададхои бутун меноманд.Ба хамаи ададхои мусбат ададхои мукобилашон мавчуданд. Ададхои мусбат, ададхои ба онхо мукобил ва адади нол дар

якцоягй ададхои ратсионалй номида мешаванд.М и с о л и 1. Ададхои ба ададхои -2; 3; -5; -0,5; 4; 7; -2,7; -

4,5; 0; - 21 мукобилро нависед.

Х а л . Аз як тараф адади -2 мукобил ба адади 2 аст. Аз тарафи дигар адади -2 мукобил ба адади -(-2) аст. Пас, - (-2) =2 мешавад. Ба адади 3 адади -3 мукобил аст. Ба адади 5 адади -5 мукобил; ба -0,5 адади 0,5 мукобил; ба 4 адади -4, ба 7 адади -7, ба -2,7 адади -(-2,7) ё адади 2,7 мукобил, ба -4,5 адади -(-4,5) ё 4,5мукобил, ба 0 худаш мукобил, ба - 2 — адади - ( - 2 - ) ё адади 2 ^2 ' 2 ' 2мукобил аст. Дар хотир нигох медорем, ки ададхои -(-2), -(-2,7), -(-4,5), - (- 21) ададхои мусбат мебошанд.

М и с о л и 2. Ададхоеро нависед, ки ба ададхои -3; 5; -1,7; 2,3; 0; мукобил бошанд.

Х а л . Адади ба -3 мукобил адади 3 аст. Ин тавр хосил мекунем: - ( -3 )= 3 . Барои ададхои дигари нишондодашуда хам хамин хел амал менамоем:

-(5) =-5; -(-1,7) =1,7; -(2,3) —2,3; -0=0.

133

М и с о л и 3. Агар: а) х = 2,3 ; б) х - 13; в) х = -7 ; г) х = -0,5 бошад, - х ёфта шавад.

X, ал. а) х = 2,3 . Ба адади х адади - х мукобил, ба адади 2,3 адади -2,3 мукобил аст. Пас, - х = -2,3 ;

б) х = 13 . Ба адади х адади - х мукобил, ба адади 13 адади - 13 мукобил аст. Пас, - х = -13;

в) х = -7 . Ба адади -7 адади -(-7), яъне адади 7 мукобил аст. Пас, - х = 7;

г) х = -0,5. Ба адади -0,5 адади -(-0,5), яъне 0,5 мукобил аст. Пас, - х = 0,5 .

491. Ададхоеро ёбед, ки ба ададхои зерин мукобил бошанд:а) 5; б) —3; в) -1,6; г) -(-2); г) -(-0,1); д)-(-(-1)); е) 2,1; ё)0.

492. Агар а = - 2; 7; -12; -14; 4; 0 бошад, кимати - а ёфта шавад.493. Агар Ь = 17; 7,2; -2.4; 0 бошад, кимати - ( - b) ёфта шавад.494. Катакхои холии чадвали зеринро пур карда, хамаи ададхои

хосилшударо дар хати рости координата тасвир намоед:

X -1 3 од -1,3 5 -12- X 2 -5 6 -1 7

495. Муодилахои зеринро хал кунед:а) - х = 6; б) — х — +(- 2); в) - у = -1,3;г) - у - Ъ , 2 \ f ) - j = -5 ; д ) - ( - г ) = 1;

е) -* = -(+ 3); ё) —t = 2,9; ж ) - | х = 1-|.

496. Координатахои нуктахои А, В, С ва D-и дар расми 32 нишон- додашударо ёфта, ададхои ба онхо мукобилро нависед:

А | В | | | С , р , »-1 0 1

Расми 32497. Ч,ойхои холии чадвали зеринро пур карда, хамаи ададхои

хосилшударо дар хати рости координата тасвир намоед:

У 5 0,2 -7 -2 -8- у -1 -1,5 -5 -4

498. Аз байни ададхои зерин: а) ададхои мусбати бутун; б) ададхои манфии бутун; в ) ададхои бутун; г) ададхои мусбати касрй; f ) ададхои манфии касрй; д) ададхои касриро чудо кунед:

134

-4; -3,5;-2; -1,2; 0; 1; 1,6; 3; 4± ;5 ; б | .

499. Агар адади х: а) манфй; б) нол; в) мусбат бошад, адади- (- ( - х)) чй гуна мешавад?

500. Дар хати рости ададй нуктахои А(2,5) ва в (- 2у )-ро кайд

кунед ва чунин нуктахои С ва D-po созед, ки координатахои онхо ба координатахои нуктахои А ва В мукобил бошад.

41. Модули адад

Ду адади ба хамдигар мукобил, масалан, ададхои 6 ва -6 бо ракамхои якхела навишта мешаванд, факат бо аломаташон аз хамдигар фарк мекунанд. Вале, агар онхоро дар хати рости ададй тасвир кунем, онхо аз нуктаи сархисоб дар масофахои баробар, вале самтхои гуногун чойгир мешаванд. Масофаи байни нуктаи А(6) ва нуктаи сархисоб ба 6 порчаи вохидй баробар аст. Масофаи байни нуктаи В(-6) ва нуктаи сархисоб хам ба 6 порчаи вохидй баробар аст (расми 33). Азбаски масофаро хамеша бо адади

В , | А

- 6 - 4 ^ 2 0 2 4 6 ~

Расми 33мусбат ифода мекунем, бинобар ин мегуянд, ки ададхои -6 ва 6 модули якхела доранд, ё ки сохиби киматхои мутлаки баробар мебошанд. Инро ин тавр ишорат мекунанд: |- б| = 6, |б| = 6 , яъне модули адади мусбат ба худи хамин адад, вале модули адади манфй хамеша адади мусбат аст. Х,амин тарик, \а\ = а мешавад, киагар а > 0 бошад; |а| = -а мешавад, ки агар а <0 бошад; |о| = 0 .

Умуман, модули адади мусбат ва нол ба худи х,амон адад ва модули адади манфй ба адади ба он мукобил баробар аст.

Масалан. I- 3| = 3, I- 5| = 5, I- 5,б| = 5,6, 0 = 0, 47

Д у адад ба х1амдигар баробар номида мешавад, ки агар модули онх;о баробар буда, аломатх1ои якхела дошта бошанд: 5 = 5,-5 = -5 .

М и с о л и 7. Агар х - 3 ; -4,5; -6; -15,7; 0 бошад, |х|-роёбед.

Хал. |з| = 3; |-4,5| = 4,5; |—б| = 6; |—15,7| = 15,7; |0| = 0 .

135

М и с о л и 2. Нуктаи А дар хати роста ададй аз нуктаи сархисоб 5,4 вохид дар тарафи чаи ва нуктаи В аз нуктаи сархисоб 4,2 вохид дар тарафи рост тасвир шудааст. Координатаи он нуктахоро муайян карда, модулашонро хисоб кунед.

Х а л . Азбаски нуктаи А дар тарафи чапи нуктаи сархисоб мавкеъ гирифтааст, бинобар ин координатаи вай адади манфии - 5,4 мешавад. Нуктаи В аз нуктаи сархисоб дар тарафи рост вокеъ аст. Бинобар ин координатаи вай адади 4,2 мебошад. Модули онхоро хисоб мекунем: |- 5,4| = 5,4; |4,2| = 4,2 мешавад.

М и с о л и 3. Муодилаи |- jc| = 5 -ро хал кунед.

Х а л . Агар х = 5 бошад, он гох |-5| = 5 ва агар х = -5 бошад,

|- ( - 5 | = |5| = 5 мешавад, яъне муодиларо хам х = 5 ва хам х = -5 каноат мекунонад. Хамин тарик, муодила ду реша дорад.

М и с о л и 4. Муодилаи |х - 3| = -ро хал кунед.

Х а л . Аз як тараф х - 3 = -| ва аз ин чо х = 3-| мебарояд. Аз

тарафи дигар х -3 = —| ва аз ин чо х = 2-| мебарояд. Харду

киматхои х хам муодиларо каноат мекунонанд, зеро |х -3 | =1 мешавад.

501. Модули ададхои зеринро ёбед: -5; 2; -1,6; -7,7; 0; 3; -2,9.502. Агар х = -0 ,7; 3,6; -4; - у бошад, |х)-роёбед.

503. Масофаи байни нуктаи сархисоб ва нуктахои А, В, С, D-po азруи расми 34 ёбед.

А , в [ , | С , , | D , >-1 0 1

Расми 34

504. Модули кадом адад ба: 5; 3,2; -4,1; — -у; —5; 3; 0; -2 баробар

мешавад?505. Х,амон ададхоеро нависед, ки модулашон ба 3; 2 ва 0 баробар

бошад.506. Нуктахои А(6,7) ва В( 10) аз нуктаи сархисоб дар кадом

масофа чойгир аст. Масофаи байни нуктахои А ва В ба чанд баробар аст?

136

з | - з 3 = 1 ва Ьс-3| = 2 | - 3 35 5 5 1 1 5 5

507. Кимати ифодахоро хисоб кунед:а) |— 5| — 5; б) - 7 + 5 ; в) 2-10| + 2 ;

г) 2 4 :6 -3 ; г) |— 24|: 8 — 2 ; д) i \ - - ч508. Агар: а) х - -28 ; б) х = 4,2 ; в) х = 0 бошад, кимати ифодаи

|х|: 7 -ро ёбед.509. Агар а) х = -35 ; б) х = -4,9; в) х = -6,3; г) х = -7,7 бошад,

кимати ифодаи |- х |: 7 -ро ёбед.510. А гара) х = -42,5 , ^ = 212,5; б) х = -31,2, ^ = -155 бошад,

кимати ифодаи 5|х| - |j | -ро хисоб кунед.511. Барои кадом киматхои х баробарихои: а) |х| = х ; б) |х| = 0;

в) |х| = - х ; г) |- х| = -х чой доранд?512. Муодилахоро хал кунед:

а) |х| = 2,5; б) |- х| = 2,5; в) |х| = —j ; г) |х| = 0.

513. Муодилахоро хал кунед:а) |х - 1| = 2; б ) |1 -у | = 5; b ) | z + 2| = 4 ; г) | f - l | = 0.

514. Модули кадоме аз ададхои зерин калон аст? а) -17 ва 15;б) - 0,25 ва -0,5; в)-300ва0; г)-7 ,5ва7;г) 3,52 ва -6,52; д) -4,76 ва -5; е) -125,3 ва 125,3.

42. Мукоисаи ададхо

Мукоисаи ададхои мусбатро мо дар синфи 5-ум ва п.17-и китоби дар дастатон буда хонда будем. Масалан, мо медонем, ки2<4; 5,3<5,4; у < у ва хоказо мебошад. Агар ин ададхоро дар

хати рости ададй чой дихем, мебинем, ки дар он чо адади хурд чаптари адади калон мавкеъ мегирад. Адади 0 чаптари хамаи ададхои мусбат чойгир шудааст. Бинобар ин хамаи ададхои мусбат аз нол калон аст, яъне дар холати мусбат будани адади а инро а > 0 менависем.

Акнун ададхои манфиро мукоиса мекунем. Х,ароратсанчро кундаланг монда назар кунем -15° чаптари -10°, -8° чаптари- 4° , -1° чаптари 0° мавкеъ гирифтааст.

Агар ба хати рости ададй хам назар кунем (расми 35), -15 чаптари -1 0 , - 8 чаптари - 4 , -1 чаптари 0 чой гирифтааст.

137

Бинобар ин шарт мекунем, ки —15<—10, -8<-4, -1<0 мебошад. Бинобар ин хамаи ададхои манфй аз нол

-------1-------------------1------- 1--------------- 1----------- 1— I— I-----15 -10 - 8 - 4 - 1 0 1

Расми 35хурданд. Мо -15<-10-ро гирифта мебинем, ки модули адади -15 аз модули адади -10 калон аст. Пас, аз ду адади манфй х;амонаш хурд аст, ки вай модули калон дошта бошад ва х^амонаш калон аст, ки вай модули хурд дошта бошад.

М а с а л а н . - 9 < - 7 , -5>-6.Дар хати рости ададй мушохида карда, ба осонй мебинем, ки

адади манфии дилхох аз адади мусбати дилхох ва 0 хурд аст, яъне агар а адади манфй бошад, навишти кутохаш а <0 аст. Агар а адади мусбат набошад, пас вай адади манфист ё ба 0 баробар аст. Инро дар намуди а < 0 менависем. Агар а адади манфй набошад, пас адади мусбат аст ё баробари 0 мебошад, ки навишти кутохаш намуди а > 0 -ро дорад.

Мисолхои хал кардани нобаробарихои дучанда ва модулдорро, ки онхо аслан нобаробарихои дучандаанд, муоина мекунем.

М и с о л и 1. Чунин киматхои бутуни х -ро ёбед, ки онхо нобаробарии -4,1 < х <2-ро каноат кунонад.

Ха л . Маълум, ки киматхои бутуни х дар байни ададхои -4,1 ва 2 махдуд шудаанд. Агар инро дар хати рости ададй тасвир кунем, матлаби мо дурусттар аён мешавад (расми 36). Ададхои бутуни -4, -3, -2, -1, 0, 1 дар байни ададхои -4,1 ва 2

-4,1 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2Расми 36

махдуд гардидаанд. Бинобар ин онхо халхои масъалаи мо мешаванд.

М и с о л и 2. Чунин киматхои бутуни х -ро ёбед, ки онхо нобаробарии |х| <3,2-ро каноат кунонад.

X, ал. Агар х манфй бошад, он гох - х <3,2 менависем, ки аз ин чо -3,2< х , яъне х > -3,2 мебарояд. Агар х мусбат бошад, он гох х<3,2 мешавад. Пас, мо сохиби нобаробарии дучандаи— 3,2 < х < 3,2 мешавем. Агар инро дар хати рости ададй тасвир

138

намоем, чи хеле ки медонем, ададхои -3, -2, —1, 0, 1, 2, 3 халли масъалаи мо мешаванд.515. Кадоме аз ададхои нишондодашуда калон аст?

а) -2 ва -1; б) -0,5 ва 0,2; в) -1,8 ва 0;г)-12ва-15; г) -16,1 ва 15,1; д)0ва0,1.

516. Хдмаи он ададхои бутунеро нависед, ки онхо дар тири ададйдар байни ададхои зерин мавчуд бошанд: а ) -3,6 ва 1,5; б)-5,7ва0; в)0ва1,5;г)-5 ва5 ; г )-9,2 в а -2,2; д )-Зва-2 ,8 .

5П. Ба чои ситорача яке аз аломатхои >, =, <-ро дуруст гузоред: а) -47 * -52; б) -437 *-639; в )-900 *-1000;г) -549 * -449; г) -107 * -96; д) -88 * -88.

518. Агар: а) х >0; б) х <0 бошад, муайян кунед, ки х мусбат аст ёманфй.

519. Самти мусбати тири ададиро аз чап ба рост интихоб намуда,муайян кунед, ки аз ду нуктаи додашуда кадомаш чаптари дигараш мавкеъ гирифтааст?а) А(-3) ва В(-4); б) С(-9) ва D(-8); в) Е(0) ва F(-5); г) G(-3,6) ва Н(-4); г) К(-1) ва L(2); д) М(-7,2) ва N(1);е) Р(2^) ва Q(3,l); ё) R(-2) ва S(2).

520. Оё дуруст аст, ки: а) -4<-3; б) -7>-8; в) —6, К —15;г)-9>-2 мебошад?

521. Дар нобаробарихои зерин ба чои ситорача ракамхоеро гузоред, ки аломати нобаробарй дигар нашавад:а) -247<-24*; б)-65*>-659; В) 4*6<^86;г)-2587>-25*7; г)-*345>-2345.

522. Ададхои: 3,5; -0,2; -1,6; |— 2,5|; 0,7; -3,2; |—1,8|; 0-роботартиби зиёдшавиашон нависед.

523. Ададхои: 2; 1; -1; -3; 4; -5; -7-ро дар хати рости ададй ботартиби зиёдшавиашон тасвир намоед. Оё масъала шарти зиёдатй дорад?

524. Ба чои ситорача яке аз аломатхои >, = ё <-ро дуруст гузоред:а ) - 2 - | * - | ; 6 ) 1 *-5; в ) - 2 * | ; г ) - § * - 0 ,6 ;

Г) 7 * 4 ; д) - 7 * - Ь е)-0,635 *-0,634; ё) -3± * - 2 ±о / о 7 2 2525. Аввал ададхои -6; -5,5; -4; -3; -1,5; 0; 1; 3; 3,6; 5,5; 6-ро дар

хати рости ададй тасвир намуда, сонй ададхои зерини нишондодашударо мукоиса кунед:

139

а) -6 ва 0; б) -4 ва 3; в) -5,5 ва 5,5; г) -3 ва 3; г)-1,5ва1; д )-6 ва6 ; е)-ЗваЗ,6; ё )-5,5 в а -1,5. Чунин киматхои бутуни хдрфхоро нишон дихед, ки онхо нобаробарии зеринро ба нобаробарии дуруст табдил диханд:а)-5,1<х<4,1; б)^6,1<>><0; в)-3,6< z< 2,1;г)-4 < t <0; г)-0,2< 5 < 3; д)-201< /><-198.Чунин киматхои бутуни х-ро нишон дихед, ки аломати нобаробариро тагйир надиханд:а) |х| <3; б) |х|<2,7; в) |х| <5; г) |jc| < 4,1.

43. Ч,амъ кардани ду адади манфй

Мо чамъ кардани ду адади мусбатро медонем. Аммо, ба чамъ кардани ду адади манфй кордор нашудаем. Хрло ба ин масъала машгул мешавем. Масалан, ададхои -6 ва -4-ро чамъ мекунем, яъне мебинем, ки суммаи (-6)+(-4) ба чй баробар мешавад. Инро дар хати рости координата ичро мекунем. Адади- 6 -ро дар хати рости координата бо нуктаи А тасвир мекунем (расми 37). Акнун барои хосил кардани суммаи

V■'3-1

А

> - 6 <

В А -------- 1-------- 1-------- > ...... -I" t о *— -------------------------- ------------------------------------------------------ ---------------------------------------------------------1----------------------------1---------------------------1---------------------------- 1---------------------------1-------------------------- — ►

-10 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 -1 0Расми 37

(-б )+ (-4 ) нуктаи А-ро 4 вохид ба тарафи чап чой иваз мекунонем, ки вай ба нуктаи В-и координатааш -10 мегузарад. Пас, (-б ) + (-4 ) = -10 мешавад. Адади -10 аз суммаи модулхои ададхои -6 ва -4 хосил шуда, дар пешаш аломати минус гузошта шудааст. Хамин тарик, барои цамъ кардани ду адади манфй модулхои онхоро цамъ карда ба пеши сумма аломати «минус» мондан кифоя аст.

Кайд мекунем, ки адади якумро ба кавс гирифтан шарт нест. Мо метавонистем, ки (-б )+ (-4 )-р о дар намуди - 6 + (-4 ) нависем.

Ми с о л и 1. Ададхои -17 ва -63-ро чамъ кунед.Хал. -17 + (-63)= -(17 + 63)= -80.

М и с о л и 2. Ададхои - 4 ва - 4 -ро чамъ кунед.4 6

140

х « л. 4 4 ! М м М т^ { ? Ь - { ! = - > -194 ' \ 6 ' 4 6 ' 4 2 ' 1 2 ' 12 *12

М и с о л и 3. Ададхои-0,127 в а -1 ,073-ро чамъ кунед. Л: а л. - 0,127 + (-1,073) = -(0,121 + 1,073) = - 1,2 .

528. Дар расми 38 кадом ададх,о чамъ карда шудааст?<•..................................... <................

В--- 1------- 1------ А--------1------- 1------- 1------- ------- 1-------- 8 5 - 4 -3 -1

Расми 38529. Амалхои чамъро ичро кунед:

а) — 14 -+- (— 7), -21 + ( - l l ) , -16 + ( - 8);б) -5 0 + (-35), -6 7 + (-33), -81 +(-39);в) —130 + (— 70), -266+ (-134), -848+ (-152).

530. Кимати ифодахоро хдсоб кунед:1 +7 V 1Г 35 ’ \ 35

б ) - 1 | + (-0 ,25), -3,67+ (-4,03)

531. Дар расми 39 кадом ададхо чамъ карда шудааст?

< .............................................. < ................

2. + (-15).11 V 22 '’-0,675+ (-0,125).

- 2 -1Расми 39

532. Кимати ифодахоро хисоб кунед:

б) - | 4 , 2 )

■» -1 4 ^

■2\ +И )-U )

17--S-+19

4 #(-# )•

533. Кимати ифодаи а + Ъ + (- 4) -ро хисоб кунед, ки агар:а) я = -12,5, b = -17,3 бошад;

б) а = - 2 4 , Ъ — —1~ бошад.4 4534. Климата ифодаи - 7,6 + ( - b) -ро хисоб кунед, ки агар:

a ) i = 3 l ; б) 6 = 7- бошад.6535. Кимати ифодаи - с + ( - с/)-ро хдсоб кунед, ки агар:

141

а) с = 0,632, d = 0,368 бошад; б) с = 1,742 , d = 0,258 бошад.536. Ададхои -7; -0,5; -1-ро дар хати рости ададй чамъ намоед.437. Ба суммаи ададхои -3 ва -4,2 адади -12-ро чамъ кунед.538 Ба суммаи ададхои -1,2 ва -2,8 суммаи ададхои -3 ва -5-ро

чамъ кунед.539 Кимати ифодахоро ёбед:

а) -12 + (-6 + (-1,5)); б) - 3 + (-3,4 + (-1,б)).540. Хар кадоми ададхои -9; -10; -12; -13,2; -16,4; -7,3 аз чамъ

шудани ду адади баробар хосил шудаанд. Ададхои чамъшавандаро ёбед.

44, Ч,амъ кардани ду адади аломаташон гуногунБарои чамъ кардани ададхои - 4 ва +6 дар хати рости

координатй аз нуктаи сархисоб аввал 4 вохид ба тарафи чап чой иваз карда, баъд аз нуктаи тасвиркунандаи адади -4 ба тарафи рост 6 вохид иваз чой мекунему мебинем, ки ба нуктаи тасвиркунандаи адади 2 омадаем. Пас, - 4 + 6 = 2 мешавад (расми 40).

6 .................>

/ .............. _ 4 0 1W

г

Расми 40Барои чамъ кардани ададхои - 9 ва +5 низ мисли болой

амал карда, дар натича мебинем, ки ба нуктаи тасвиркунандаи адади -4 сохиб шудаем. Пас, - 9 + 5 = -4 (расми 41).

< .......................................... - 9

5 .......>

■ о1"3-1

Расми 41Барои хосил кардани адади -4 кифоя буд, ки аз модули адади

-9 модули адади 5-ро тарх карда, дар назди адади хосилшуда аломати чамъшавандаи модулаш калонро гузорем, яъне - 9 + 5 == -0 - 9| —15|) = -(9 - 5) = -4.

Хамин тарик, барои цамъ кардани ду адади аломаташон гуногун аз модули калон модули хурдро тарх; карда, дар неши

142

натичаи хосилшуда аломати цамъшавандаи модулаш калонро гузоштан кифоя аст.

Якчанд мисолро муоина мекунем:а) -2 8 +15 = -(28-15) = -13 ; б) 23 +(-14)= 23-14 = 9 ;в) 12 + (— 1 б) = —(l6 — 12) = —4 ; г) -2 2 + 22 = 0;г) - 0,5 + 0,42 = -(0,5 - 0,42) = -0,08.Суммаи ду адади мукобил, масалан, -7 ва +7 ба нол баробар

аст (расми 42):

< ............. - 7

- 7+ 7

-1.................>

0 1

Расми 42Агар яке аз чамъшавандахо нол бошад, он гох, сумма ба

чамъшавандаи дуюм баробар мешавад: а) 0 + (- б) = -( |- б| - 10|)= -(б - О) = - 6 ; б) - 2,5 + 0 = -2,5.

541.Х,арорати хаво шабона -7 ° буд, то пагохй ба + 5° тагйир ёфт. Пагохй хдрорати хдво ба чанд дарача расид?542. Суммахои зеринро хисоб кунед:

а )-12+6; б) -18+13; в) 5+(-5); г) -71+71; г)-10+0;д) 0+(-15); е) 23+(-25); ё)41+(-36); ж )-9+9; з )-26+26.

543. Суммахои зеринро хисоб кунед:а) 21,5+(—19; 6); б) 42,9+(-45,7); в )-12,5+13,5; г) 13,5-12,5; г)-13,5+12,5; д) 11,4+(—11,3); е) 0,63+(-0,83); ё) 135,7+(-137,8).

544. Дар расми 43 чамъ кардани кадом ададхо акс ёфтааст?< .....................................................

1 1 1 15 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 s 3 *

Расми 43545. Ба суммаи ададхои -7 ва 9 адади -15-ро чамъ кунед.546. Ба суммаи ададхои -11 ва 8 адади 17-ро чамъ кунед.547. Ба суммаи ададхои 8,1 ва -9,2 суммаи ададхои -6,3 ва 7,2-ро

чамъ кунед.548. Кимати ифодахоро хисоб кунед:

а ) _ Н ; 6) “ 8 + 7 ’

143

r ) - l + i ; д) - { + } ; e)l + ( - i ) ; « ) - | + f549. Кимати ифодахоро ёбед:

a ) - 3 | + 2 i ; 6 ) - 5 i + 5i ; в ) 81 + ( - 4 ^ ) ;

r ) - 4 7 | + ( - 5 9 l ) ; + д ) - 6 + з | .

550. Муодилахоро хал кунед:а) -3,1 + х = -4,3; б ) - 6 + х = 14; в) -0 ,5 + х = -0,4 .

551. Решай муодилахоро шифохй ёбеду дурустиашро санчед:а) — 9 + х = —7 ; б) — 2,7 + у = —2,2 .

552. Кимати ифодахоро ёбед:а) —17 + (— 8 +10); б) 24 + (5 + (-7 )).

553. Кимати ифодаи а + b - 4,1 -ро ёбед, ки агар:а) а = -24,7, Ъ = 26,4 бошад; б) а = l 4 , b = - 1-J бошад.6 3

554. Ба чойи ситорачахо аломати «+» ё «-»-ро чунон гузоред, киаломати баробарй дигар нашавад:а) *9 + (*13) = -4 ; б)*3 + (*3)=0;в) *41 + (*20)=21; г) *30 + (*20) = 10.

555. Кимати ифодахоро хисоб кунед:а) (-15+ 12)+(15-12); б) 32-19 + (l9 + (-32)).

556. Суммаи ду ададеро ёбед, ки чамъшавандахояш дучандаи адади бутуни серакамаи манфии калонтарин ва сечандаи адади бутуни дуракамаи мусбати хурдтарин бошанд.

45. Конунхои амали чамъДар чамъ кардани ададхои ратсионалй низ конунхои

чойивазкунй ва гурухбандии чамъ барчо мемонад.К,онуни цойивазкунй. Х,ар кадом чамъшавандаи суммаро, бо

нигох доштани аломаташ, бо чамъшавандаи дигари сумма чой иваз кунонидан мумкин аст, яъне барои ду адади дилхохн а ва b

a + b = b + aмешавад. Масалан, 3 + ( - 7) = -7 + 3 .

К,онуни гуруфандй. Барои се адади дилхохи а , b ва с баробарии

(а + b)+ с - а + (b + с) хакконист. Масалан, 5 + ( -б )+ (-4 )= 5 + ((-б )+ (-4 )) =

144

= 5 + (-(б + 4)) = 5 + (-10) = -5 .Татбики конуни чойивазкунй ва гурухбандии чамъ имконият

медихад, ки хисобкунй осон гардонида шавад. Масалан, агар сумма аз якчанд чамъшавандахои мусбату манфй иборат бошад, хамаи чамъшавандахои мусбатро ба як гурух ва чамъшавандахои дигарро ба гурухи дуюм муттахид мекунем.

М и с о л и 1. Суммаи -18 +14 + (-8 )+ 7 + (-14)+ (-б )+ 5 + (-4 ) -ро хисоб мекунем.

Азбаски суммаи ду адади мукобил ба нол баробар аст, бинобар ин чамъшавандахои 14 ва (-14)-ро партофта, кисмхои бокимондаро, бо ба инобат гирифтани конуни чойивазкунй, гурухбандй мекунем:

-1 8 + ( -8 ) + ( -6 ) + ( -4 )+ (7 + 5 )= -(l8 + 8 + 6 + 4)+12 == -36+ 12 = -(36-12) =-24.М и с о л и 2. 8-13,2 + (-2,1) +13,2 (-4 ,6) + 7 + (-13,5)== 8 + 7 + (-2,1 + (-4,6) + (-13,5))= 15 + ( - (2,1 + 4,6 + 13,5))== 15- 20,2 = -(20,2 -15)= -5,2.М и с о л и 3. 5 + 11 + (— 1 б)+ 7 +14 + (— 21)+ 29 + (— 28).Дар баъзе мавридхо конунхои чамъро истифода набурда, пай

дар пай хисобкунй хам аз фоида холй несг. Дар мисоли 3 5 + 11 + (— 1 б) = 16 + (— 1 б) = 0, 7 + 14 + (— 2 1)= 21 + (— 2 1) = 0 шуда, барои мо хисобкунии 29+ (-28) боки мемонад, ки вай ба 1 баробар аст.

М и с о л и 4. - 4 + 7 + (_з)+ (_5)+ 8 + (-4 )+ (-3 )+ 5 == -4 + (-3 )+ 7 + (-5 )+ 5 + 8 + ( -3 )+ (-4 ) = -(4 + 3 )+ 7 + 8 -— (3 + 4) = —7 + 7 + 8 — 7 = 0 + 1 = 1.

557. Кимати суммаро ёбед:а) —12 + 7 + (— 9) +12; б) 18 + (-4 )+ (-2 0 )+ 2 0 + (-14);в) -13 + ((-5 )+ 28); г) -8 ,2 + (7,8+ 4,2);f) 8+12 + (-12); д) -2 ,8 + (-5 ,4)+ (-4 ,6)+12,8 .

558. Кимати ифодахоро хдсоб кунед:а) -21 +(-9)+14 +(-11)+9 + (-12)+ 6 + (-7 )+ 7 ;б) 3 + 6 + (-9 )+ 7 + 11 + (-18)+(-14)+14 + (-2 );в) - 3 + 7 + (- 4) + 9 + (-1 )+ (- 8) + 5 + (-13)+ ( - 8);

14510-12

г) 47 + (-45 )+ 2 + (—19)+(-13)+12.559. Кимати суммаро хисоб кунед:

а) - 30 + ( - 10)+ 21 + ( - 20)+ 50;в) 54 + ( - 33)+ 26 + ( - 35)+ (-12);б) 43 + (- 65)+ 37 + ( - 5)+ ( - 52);г) 35 + (—14)+8 + 6 + (— 22) +13 .

560. Кимати ифодах,оро ёбед:а) -44 ,2+ (-31,4)+56,6;в) 1432,9 + ( - 432,9)+ 611 + ( - 500)+ (-111);б) 127,05+ (-249,7)+163,95;г) 143,29 + ( - 43,29)+ 6,11 + ( - 5,l)+(-1,01).

561. Кимати ифодахоро хисоб кунед:

а)1т+( - 1 т Н ; б>‘> 4 2 ^ ) 4 #

(-£)•- И ) +|H ) +1; г>!+( И М ;( - # h(- 'n )4 п )+2+|1 -1 )4

562. Се бригадаи тракторчихо дар як руз 52,2 га заминро шудгор карданд. Бригадаи дуюм назар ба бригадаи якум 0,5 га камтар ва бригадаи сеюм назар ба бригадаи дуюм 0,8 га камтар заминро шудгор кард. Х,ар як бригада чй кадарй замин шудгор кардааст?

563. Ба замини хочагй 600 бех нихолхои себ, нок ва зардолу шинониданд, ки 0,15 хиссаи он нихолхои себ буд. Агар микдори нихолхои себ назар ба нихолхои нок 140 бех кам бошад, нихолхои зардолу чанд бех будааст?

564. Аз 1 т пахта 2700 м газвор, 114 кг равган ва 16 кг собун истехсол мекунанд. Агар 1 т пахта 6 кг чанг дошта бошад, 1 м газвори истехсолшуда чй кадар масса дорад?

46. Тархи ададхои мусбат ва манфй

Тарх амалест, ки ба воситаи он аз руйи сумма ва яке аз чамъшавандахо чамъшавандаи дуюм ёфта мешавад. Инро ба воситаи муодилаи

a + x = b ( 1)

146

фахмидан осонтар аст. Суммаи адади а ва х маълум аст, яъне ба b баробар ва яке аз чамъшавандахо а маълум мебошад.Ч,амъшавандаи номаълуми х -ро ёфтан лозим аст. Барои ададхои а ва b холатхои зеринро мушохида мекунем:

а) а >0, b >0, Ъ > а ;б) а >0, b >0, b = а ;в) а >0, b >0, b < а ;г) а <0, b >0;г) а <0, b <0, b > а ;д) а <0, b <0, b < а .Барои ин холатхо намунаи муодилахои мувофикашон чунин

аст:а) 3 + х = 4 ; (2)б) а + х = а ; (3)в) 3 + х = 2 ; (4)г) - 3 + х = 4; (5)г) - 3 + х = -2 ; (6)д) - 3 + х = -4 . (7)Аз байни ин муодилахо мо махсусан муодилаи (4)-ро муоина

мекунем (муодилахои бокимондаро худатон хал кунед). Аз муодилаи (4) х -ро меёбем: аз як тараф х = 2 - 3 ва аз тарафи дигар, агар ба харду кисми муодилаи (4) адада ба 3 мукобил, яъне - 3 -ро чамъ кунем, 3 + х + (-3 ) = 2 + (-3 ) ва аз ин чо х = 2 + (-3 ) хосил мешавад, яъне 2 -3 = 2 + (-3 ) = -1 мешудааст. Пас, мо метавонем нависем, ки 5 —10 = 5 + (—10)= —5 ; 7 — 15 = 7 + (—15)=—8; 0 - 2 = 0 + + ( - 2)= -2 ва гайра. Аз нол кадом ададе тарх карда шавад, натича ба худи хамон адад баробар мешавад.

Хдмин тарик, барои аз як адад тарх кардани адади дигар ба тархшаванда адади ба тархкунанда мукобилро чамъ кардан лозим аст.

М и с о л х о. а) -1 2 -1 7 = -12 + (-1 7 )= -2 9 ;б) 7 3 -(-4 8 )= 73 + 48 = 121.

X у л о с а. Ифодахоеро, ки аломатхои чамъу тарх доранд, хамчун сумма муоина кардан мумкин аст.

Умуман тарх дар холатхои зерин такозо мешавад:а) аз адади мусбати калон адади мусбати хурд тарх карда мешавад, мисол 7 -5 = 2;

147

б) аз адади мусбати хурд адади мусбати калон тарх карда мешавад, мисол 5 - 7 = -2 ;в) аз адади мусбат адади манфй тарх карда мешавад, мисол

4 - ( - 2 ) = 6 ;г) аз адади манфй адади манфй тарх карда мешавад, мисол а)

— 7 — (— 5) = —2; б ) - 5 - ( - 7 ) = 2 ;г) аз адади манфй адади мусбат тарх карда мешавад, мисол

-1 8 -2 1 = —39.

565. Кадом вакт фарки ду адад: а) мусбат; б) манфй; в) баробаринол мешавад?

566. Кимати ифодахоро хисоб кунед:а) 4-2; 6)6-4; в) 3-7; г) 9-16; г) 12-21;Д) 5 4 3); е) 7—(—13); ё)-3-(-4); ж)-7-(-9); з)-17-8; и )-25-15; и) 0-5; й)0-(-2); к) 0-7; к) 04-14).

567. Фаркро дар намуди сумма ифода кунед:а) 21-(-12); 6)45-27; в) 18-(-5); г) 31-28;г)-144-14); д )-37-27; е)-524-50); ё )-14-13.

568. Ададхои: 18; 13; 8; 10; 5; 0; -7; -15; -21-ро 12 вохидй кам кунед.569. Тархро ба чамъ табдил дихед: а) 12—13; б) 3,46-4,36;

в) 1,2-0,3; г) 15-14,2; г) 89,3-93,7; д) 0-7,2.570. Ададхои: -10; 14,3; 8,7; -7,8; -13,1; 0; -11,2; -27-ро 12 вохидй

зиёд кунед.571. Муодилахоро хал кунед: а) х + 63 = 81; б) у + 7,2 = 3,1;

в) z - 42,5 = -55,6; г) -19,3 + 1 = -22,5 .572. Кимати ифодахоро хисоб кунед:

г ) f> H ; д> п - ( - А ) '573. Аз адади бутуни серакамаи калонтарин адади бутуни манфии

дуракамаи хурдтаринро тарх кунед.574. Аз адади бутуни дуракамаи калонтарин адади бутуни манфии

серакамаи калонтаринро тарх кунед.575. Оё дуруст аст, ки агар а >0 бошад:

а) 5 - а <5; б )8 + а<8; в) 4,2- а <4,2;г) х - а < х ; г ) -2 ,1 - а >-2,1; д ) а + а = 0;е) Ь - а < - Ь ; ё) b - а > - b ; ж) - у - а < - у

мешавад?

148

47. Хисоб кардани дарозии порча дар хати рости координатй

Бигзор нуктахои А (а) ва В(ь) дар хати рости координатй кайд карда шуда бошад. Дарозии порчаи АВ нишон медихад, ки барои ба нуктаи В гузоштани нуктаи А нуктаи А-ро ба чанд вохидй дарозй кучонидан лозим аст, яъне агар дарозии порчаи АВ-ро бо х ишор кунем, он гох а + х = Ь мешавад. Х,алли ин муодила х = Ь - а аст, яъне барои ёфтани дарозии порча аз координатаи нуги рости АВ координатаи нуги чапи онро тарх кардан кифоя аст (расми 44).

А________ О _________ В~~а ' ' ' М 5 1 ь *

Расми 44М и с о л и 7. Нуктахои А (-3 ) ва В (8) дар хати рости

координатй кайд шудааст. Дарозии порчаи АВ-ро меёбем.X, ал. АВ = 6 - а = 8 - ( -3 ) = 8 + 3 = 11. Дар хакикат, аз нуктаи

сархисоб аввал 3 вохид ба тарафи чап рафта, нуктаи А-ро кайд мекунем. Сипае аз нуктаи сархисоб 8 вохид ба тарафи рост меравем ва нуктаи В-ро кайд мекунем (расми 45). Мебинем, ки аз нуктаи А то нуктаи В 11 порчаи вохидй мавкеъ гирифтааст, яъне дарозии порчаи АВ ба 11 вохидй дарозй баробар аст.

А В--------1---- 1---- 1---- 1---- 1---- 1---- 1---- 1---- 1---- 1---- 1---- 1----- ►

- 3 0 1 8 Расми 45

М и с о л и 2. Дарозии порчаи CD-po меёбем, ки агар С(-4) ва D(-7) бошад.

Х а л . Азбаски нуктаи D чаптари нуктаи С мавкеъ гирифтааст, бинобар ин нуги чапи порча нуктаи D ва нуги росташ нуктаи С мебошад. Бинобар ин барои ёфтани дарозии порчаи DC аз координатаи нуктаи С координатаи нуктаи D-po тарх мекунем: - 4 - ( - 7 ) = -4 + 7 = 3. Пас, дарозии порчаи DC ба 3 вохидй дарозй баробар аст.

М и с о л и 3. Дар хати рости координатй нуктаи А(-3) кайд шудааст. Дар ин хати рост порчаи АВ-и дарозиаш ба 6 вохидй дарозй баробарро бо чанд тарз кайд кардан мумкин аст?

Х а л . Нуктаи А(-3)-ро ба 6 вохидй дарозй ба самти мусбат чой иваз мекунонем ва мебинем, ки вай дар нуктаи В-и координатааш ба 3 баробар карор мегирад, яъне координатаи

149

нуктаи В адади 3 мешавад. Дар хакикат, АВ = 3 — ( - 3) = 3 + 3 = 6 аст. Хдмин амалро ба самти манфй ичро карда мебинем, ки координатаи нуктаи Bi адади -9 мешавад. Азбаски нуктаи Bi(-9) аз тарафи чапи нуктаи А(-3) чой гирифтааст, бинобар ин ABi = -3 - ( - 9) = -3 + 9 = 6 мешавад. Пас, масъала ду хал доштааст (расми 46).

В\ А В— I--------- 1--------- 1--------- 1--------- 1--------- 1--------- 1--------- 1--------- 1--------- 1--------- 1--------- 1--------- 1-----------►

- 9 - 3 0 1 3Расми 46

576.Дарозии порчаи АВ-ро ёбед, ки агар охирхояш нуктахои А(-4) ва В(5) бошанд.

577.Дарозии порчаи CD-po ёбед, ки агар нугхояш нуктахои С(-9) ва D (-l) бошанд.

578. Масофаи байни нуктахои Е(а) ва F(&) -ро ёбед, ки агар:а) а = 3, Ь = 10 бошад; б) а = 1, Ъ = - 4 бошад;в) а = -2 , Ъ = 6 бошад; г) а = 47 , b = -47 бошад;г) а = -12 , Ъ = -18 бошад; д) а - -3,7 , b = -16 бошад.

579. Масофаи байни ду нуктаи додашударо шифохй хисоб кунед:а) А(-1) ва В(7); б) С(-5) ва D( 1); в) Е(5) ва F(3);г) Н(-6) ва К(-1); г) L(0) ва М(-12); д) N(-4) ва Р(-8); е) Q(l) ва R(-l); ё) S(0) ва Т(20).

580. Дар хати рости координата нуктаи А(-1) кайд карда шудааст.Порчаи АВ-и дарозиаш ба 5 вохиди дарозй баробарро дар ин хати рост бо чанд тарз тасвир кардан мумкин аст?

581. Масофаи байни ду нуктаи зерини хати рости координаторе хисоб кунед: а) А(-4,5) ва В(6); б) С(2,3) ва D( 1,5);в) Е(-1,2) ва F(2,1); г) Н(-0,5) ва К(-1,5);г) L(—7,1) ва М(-1,06); д) N(0) ва Р(-3,9).

48. Кушодани кавсхоАмали бе цавсх о навиштани ифодахои кавсдорро кушодани

цавс%о меномем. Коидахои кушодани кавсхоро нишон медихем. М и с о л и 1. Кимати ифодаи 5 + (б + 2)-ро ёбед.X, а л. Аввал суммаи дохили кавсхоро хисоб карда, баъд

натичаро ба 5 чамъ мекунем: 6 + 2 = 8, 5 + 8 = 13.Акнун кимати ифодаи 5 + 6 + 2 -ро хисоб кунем, вай ба 13 баробар мешавад.

150

М и с о л и 2.Кимати ифодаи 3 + (б- 2 ) -ро ёбед.X, ал. 6 - 2 = 4, 3 + 4 = 7. Акнун кимати ифодаи 3 + 6 - 2 -ро

хисоб кунем, вай ба 7 баробар мешавад.Хдмин тарик, агар дар пеши к,авсх;о аломати плюс истода

бошад, к/авсхоро партофта, хамаи цамъшавандахои дожили щвс^оро бо аломати худашон навиштан лозим аст.

М и с о л и 3. Кимати ифодаи 12 - (4 + 5) -ро ёбед.Х а л . Аввал суммаи дохили кавсхоро меёбем ва баъд

натичароаз 12тархменамоем: 4+5 = 9 , 12 -9 = 3.Акнун кимати ифодаи 12-4-5-ро хисоб кунем, боз адади 3

хосил мешавад. Пас, 12 — (4 + 5)=12 — 4 — 5 будааст.М и с о л и 4. Кимати ифодаи 15 — (12 — 9) -ро хисоб мекунем. X а л. Аввал фарки дохили кавсхоро ёфта, баъд натичаро аз

адади 15 тарх мекунем: 12-9 = 3 , 15-3 = 12.Акнун кимати ифодаи 15-12+9 -ро меёбем:15-12 + 9 = 3 + 9 = 1 2 .Пас, 15-(12 — 9)= 15-12 +9 будааст.

Хамин тарик, агар дар пеши кавсх1о аломати минус истода бошад, цавсхоро партофта, хамаи цамъшавандахои дохили щвсхоро бо аломати мукрбилшион навиштан лозим аст.

582. Кавсхоро кушода, кимати ифодахоро ёбед:а)19 + (4 + 7); б) 3,2 + (l,9 + 4,l);в ) -4 ,2 + (1,1+ 2); г) 3,5+ (3,2-1,9);г) -1,5+ (-2 ,3+ 1,7); д) -0 ,6 + (4,1-6,2); е) - 2,1 + (-1,6 - 3,4); ё) -1,2 + (8,6 - 5,б).

583. Кавсхоро кушода, кимати ифодахоро хисоб кунед:а) 23 — (14 + б); б) 2,3-(1,4 + 1,б);в) 16 -(-7 ,7 + 9,3); г) 31 -(14,2-15);г) -1 9 - (1 1,6-35,6); д) —17 — (—10 + 4,3);е) 20-(12,1-9,2); ё) - (2,5 - 1,б)-1,1.

584. Кавсхоро кушоед:а) 135 — (400 +100); б) 234-(600-25);в) 849 - (762 - 238); г) 1050 - ( - 550 + 600).

585. Кавсхоро кушоед:a) a - ( b + с - d); б) b - ( a - c + d);в) с - ( - a + b - d ) \ г) d - ( - a - b - c ) .

151

Худро бисанчед1. Адади ба адади 5 мукобил кадом аст?

А) 5 В) (-5) С) I

2. Кимати х -ро аз баробарии - х = - ( - 3) ёбед.А) 3 В) (-3)

3. Кимати ифодаи |- 7| +1 -ро ёбед.А) (-6) В) 8 С) 6

4. Ададх,ои - 2 -j ва -1 у -ро мукоиса кунед.

A ) ( - 2 i } » - l l В ) ( - 2 } ) < - 1 |

5. Кима™ ифодаи |- 3| ■ 3 + 1- 3| -ро ёбед.А) (-6) В) 12 С) 9

6. Ададхои - у ва - ~ -ро чамъ кунед.

А) И ) B )(-I) С)(-1)о 1

7. Ададхои 2 J ва - 3 ^ -ро чамъ кунед.

А )Ц ) В )5А С) (-11)

8. Суммаи -1 + 2 -3 + 4 -5 + 6 -р о ё б е д .А) 3 В) (-21) С) 21

9. Кимати ифодаи - 5 - (-12) -ро ёбед.А) (-17) В) 7 С) (-7)

10. Решай муодилаи х+ 5 = -2,5 -ро ёбед.А) 2,5 В) (-2,5) С) (-7,5)

11. Дар ифодаи -3 ,1 -(2 ,5 -3 ,1 -5 ,2 ) кавсхоро кушода, кимати ифодаро хисоб кунед.

А) 1,5 В) (-2,7) С) 2,712. Масофаи байни нуктахои А ва В-и дар расми 47 тасвир-

шударо ёбед.А) (-9) В) (-5) С) 5А В■---—Г------1------- 1-------1------- 1-------1------- 1-------1------- 1----- ►

- 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 Расми 47

152

Машкхо барои кори мустакилонаВарианти 1

1. Ададхои - у ва - у -ро мукоиса кунед.

2. Кимати ифодаи a - { b - 7,2 + а )-ро хангоми а = -425,37 ва Ъ = 5,2 будан хисоб кунед.

3. Кимати ифодаи 5-1— 3| — |— 8| -ро ёбед.4. Масофаи байни нуктахои А(0) ва В(-3) чй кадар аст?

Варианти 21. Ададхои - j ва -ро мукоиса кунед.

2. Кимати ифодаи c - { d - c + 4)-ро хангоми с - 3 ва d = О будан хисоб кунед.

3. Кимати ифодаи — 5 • |— 3| — |— 2,l| -ро ёбед.4. Масофаи байни нуктахои С(-5) ва D(0)-po хисоб кунед.

Варианти 31. Ададхои -0,5 ва -0,49-ро мукоиса кунед.2. Кавсхои ифодаи -4+(-2,1-5,4+6)-ро кушода, кимати онро

ёбед.3. Кимати ифодаи 2 ■ |- 3,l| - 1-1,5| • 2 -ро хисоб кунед.4. Масофаи байни нуктахои Е(14) ва F(l)-po ёбед.

Варианти 41. Ададхои у в а -2 ,1-ро мукоиса кунед.

2. Кавсхоро кушода, кимати ифодаи а - {Ь + 4,2 - 1,6 + а) ++ b -ро хангоми а = 0 ва Ь = () будан хисоб кунед.

3. Кимати ифодаи |- 3,9| + 2 - 12,4| ■ 2 -ро ёбед.4. Масофаи байни нуктахои G(-2,l) ва Н(1,9) ба чй баробар

аст?

49. Зарби ду адади аломаташ гуногунМо медонем, ки хамагуна ададро чун хосшти зарби вохид ба

худи адад тасвир кардан мумкин аст: 5 = 1-5; 2,1 = 1-2,1; - 3 == —(з)= —(l • 3)= —1 ■ 3 ва гайра. Адади -2,7-ро ба 5 зарб мекунем. Ин маънои онро дорад, ки -2,7 худ ба худаш 5 маротиба чамъ мешавад, яъне -2 ,7 -5 = -2,7+ (-2 ,7 )+ (-2 ,7 )+ (-2 ,7)+ (-2,7) =

153

= -13,5. Агар ба таври зерин амал кунем, низ ба хдмин натича сохиб мешавем:

- 2,7- 5 = -(2,7> 5 = -(1- 2,7)- 5 = -1- 2,7- 5 = -1-13,5 == -1 • (2,7 • 5) = - М 3,5 = - (1 • 13,5)=-13,5.Хамин тарик,, коидаи зерин хосил мешавад.Барои зарб кардани ду адади аломаташ гуногун модукщои

он\оро зарб карда, ба пеши натича аломати минус гузоштан кифоя аст. Боз гуфта метавонем, ки хосили зарби ду адади аломаташ гуногун адади манфй аст.

М и с о л и 1. (-3} 2,1 = -|3 |• |2,1| = -3- 2,1 = -6,3.М и с о л и 2. 1,7- (- 2,6) = -1,7- 2,6 = -4,42 .

586. Хосили зарбро ёбед:а ) -2 -3 ; б) 2-(— 3); в ) -1,1-5; г) 0,2-(-б);г ) -2,4-13; д) 1,1-(-12,5); е) (-3,7> 100; ё) 1,42-(-7,01);ж) 0,5-(-0,2); з) 7-(-1,01); и ) -0 ,6 0,6; й) (-0,15)-2,03.

587.Х°СИЛИ зарбро хисоб кунед:а ) - | - 3 ; б) -1 у • 1,2 ; в ) - 5 - | ; г ) ( - 7 > | ;

г) f (-5 ); д ) | - ( - | ) ; е) 4 -(-16); ё)588.Суммаро ба намуди хосили зарб нависед:

а) ( -* )+ ( - .* )+ ( -* )+ ( -* )+ ( -* ) ;б) (- 2у) + (- 2у) + ( - 2у) + (- 2у) + (- 2у ) ;в) — 3z — 3z — 3z — 3z — 6z ;r) 2 - 1 + 2 - 1 + 2 - 1 + 2 - 1 + 2 - 1 + 2 - 1 .

589.Кимати ифодаи 2- ( - l)+ 3- (-2 )+ 2- ( - 3)-po ёбед.590. Кимати ифодахоро ёбед:

а) (-12+ 5-16 + 8)-2,8; б) (1 7 -4 +11-19)-(-5);в) (37,2-17,2)-(-18 + 11); г) (44,3-4 5 > (13,1 + 12,9).

591. Ба чойи ситорача яке аз аломатхои >, =, <-ро гузоред, ки баробарй ё нобаробарии дуруст хосил шавад:а) (-3)- 2,1*0; б ) -5 -3 ,2 * (- 1б); в) 3-2,1*0;г ) -7,4-1,2*(-7,4); г ) -6 ,3 -4*(-50); д) 0-(-42,5)*0.

592. Кимати ифодаи — 4jc — 5 -ро хисоб кунед.593. Кимати ифодаи За + 46 -ро хисоб кунед, ки агар:

а) а = -1,2 , Ъ = -2,5 бошад; б) а = -3,1, b = -4 бошад.154

594.Ч,адвалро пур кунед:

X >1 3 2 4916 6 5 12 15

- I х

50. Зарби ададхои манфиМо медонем, ки -(-8)=8 аст, яъне адади ба адади (-8)

мукобил адади 8 мешавад. Аз як тараф, —(—8)= — 1 • (— 8) ва азтарафи дигар -(-8)=8 мебошад. Пас, -1 • (- 8) =8, яъне хосили зарби адади (-1) ба адади (-8) ба адади мусбати 8 баробар аст.

Дар хамин асос адади (-5)-ро ба адади (-9) зарб мекунем: (-5 )-(-9 )= 5 -(- l)-(-9 )= 5 -9 = 45, чунки ( - l) - ( -9 )= 9 мебошад. Чй хеле, ки мебинем, адади 45 аз хосили зарби модулхои зарбшавандахои (-5) ва (-9) хосил шуд.

Хдмин тарик, хосили зарби ду адади манфй ба хосили зарби модулхояшон баробар аст ва боз гуфта метавонем, ки хосили зарби ду адади манфй адади мусбат аст.

М и с о л и 1. (-3)-(-2,6)=3-2,6 = 7,8 .

М и с о л и 2 . 1 21 . ( - з ! Ц 1 . з 4 4 - ^ = ^ = 8.' Ъ> v 7' 3 7 3 7 3-7

Агар яке аз зарбшавандахо баробари нол бошад, он гох хосили зарб ба нол баробар мешавад: (-5)-0 = 0; 2,7-0 = 0; 0-(-0,451) = 0.

Агар хосили зарб баробари нол бошад, он гох акалан яке аз зарбшавандахо ба нол баробар мешавад. Агар халли масъала такозо кунад, харду зарбшаванда хам баробари нол шуда метавонад.

М и с о л и 3. Аз Зх = 0 бар меояд, ки х = 0 аст.М и с ол и 4. { З х - 5 \ х + 2)= 0 . (1)

Агар Зх - 5 = 0 нависем, х = |- мешавад ва ин кимати х

ифодаи дохили кавсхои якуми баробарии (1)-ро ба нол табдил медихад ва нолро ба ифодаи дохили кавсхои дуюм зарб кунем, 0=0, яъне баробарии дуруст хосил мешавад. Агар х + 2 = 0 гирем, он гох х = - 2 мебарояд, ки ин кимати х хам баробарии (1)-ро каноат мекунонад.

155

Агар дар як вакт З х -5 = 0 ва х + 2 = О нависем, тарафи чапи баробарии (1) ба 0 0 табдил меёбад, ки он 0 аст. Хамин тарик,

'убаробарии (1)-ро киматхои х = 1^ ва х - - 2 каноат мекунонанд.

595. Хосили зарбро ёбед:а) ( - 4 ( -7 ) ; б) -11-(—12); в ) -0 ,7-(-0 ,45);г ) -18,4-(-5); г ) -8 ,6 (-60,5); д ) -12,5-(-12,5);е ) - 6,9-0; ё ) -459,7-0; ж) 0-(-1252,6).

596. Хосили зарбро хисоб кунед:a) б ) - 1 - ( - 1 ) ; в) —у*(—7); г ) - 1 - ( - б ) ;

3 )0 -Ц ) ; и ) - ■ ! • ( - 3 i ) .

597. Суммаро ба намуди хосили зарб нависед:а) 2 х - ( -2 х )-( -2 х )-( -2 х )-( -2 х ) ;б) - ( у - 2 ) - ( у - 2 ) - ( у - 2 ) - { у - 2 ) .

598. Кимати ифодахоро хисоб кунед:а) - 2- ( - 3)+ ( - 5)- (-1 ,2)+(- 0,6)- (-10);б) -(4,5 -6 ,7 ) - ( -5 + 4,1).

599. Ба чойи ситорача яке аз аломатхои >, = ва <-ро дурустгузоред:а ) -5 -7 * 0 ; б ) - 5 - 7*(-25); в ) - 5 - 7*(-40);г) - 4 - (-3)*0 ; f) - 4-(-3)*10; д ) -4 - (-3 )* 1 2 .

600. Кимати ифодаи - 8х -ро барои киматхои зерини х ёбед:а) х = —1; б )х = -2 ; в )х = -3 ; г )х = 0; г )х = -0,1;д) х = -2,5; е) х = 2,5 ; ё) х = -3,3 ; ж) х = -5,25 .

601. Кимати хосили зарбро хисоб кунед:а ) -2,5-(6,1-7,6); б) - 4 - (0,25-0,75); в ) -( l,6 -2 ,6 );г) (4,7 - 5,4)- (- 4,1 + 3,6); г) (-19,8 +15,8)- (15,8-19,8).

602. Решай муодилахоро ёбед:а )-3 ,6 -х = 0; б ) - 7 - х - 0 ; в ) - з 1 - х = 0; г)0 -х = 0;

г)4-(х + 5) = 0; д ) -0 ,2 - (2 х -4 )= 0 ; е )-3 ,7 -(5 х -5 )= 0 .603. Решай муодилахоро ёбед:

a) (x - l) - (x -2 ) = 0; б) (x -l)-(x + 2) = 0;156

в) х-(х + 5)= 0;д) (х + 0,1)-(х-2,б) =

604. Ч,адвалро пур кунед:0;

г) 0-(х-12) = 0;е) (х - ОД)- (х + 2,б) = О

X -3 -2 -1 0 1 2 3- 4 - З х

605. Ададхои 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121 ва 144-ро чунхосили зарби ду адади баробар нависед. Масъала чанд хал дорад?

606. Ададхои -1 ,-4 , -9, -16, -25, -36, -49, -64, -81, -100, -121, -144-ро чун хосили зарби ду адади гуногуналомати модулхояш баробар нависед.

51. Конунхои чойивазкунй ва гурухбандии зарб барои ададхои ратсионалй

Крнунхои чойивазкунй ва гурухбандии зарб барои ададхои мусбат чигунае, ки бошад, барои зарбшавандахои манфй низ хамон тавр мемонад, зеро хосили зарби ададхои манфй аз модулхои онхо таркиб меёбад. Пас, барои ададхои ратсионалй конунхои a - b - b - a (чойивазкунй) ва (a - b)- с = а ■ (b ■ с ) -гурух- бандй ичрошавандааст. Ин конунхо имконият медихад, ки зарбшавандахо мувофики салохдиди мо чой иваз кунад ва ё гурухбандй шавад.

М и с о л и ! . (-14)-|-(-15>10 = (-14-10)-(|-(-15))=

= -140-(- б)=840.

М и с о л и 2. 2 . ( _ i 8 ) . ( - l ) ( _ l ) = ( - l } | . ( - 1 8 ) - ( - l ) =

= _ l . | . l 8 . i = ^ I . 2 = - l .4 3 9 2

Дар машкхои 607-611 кимати ифодаро хисоб кунед.607. а) 7-5-(-2 ); б ) -5 -2 -5 ; в) 2-(4,7>(-2,5);

г) 6-(-0,5)-3,71; д) 250-(-0,31)-4; ё ) - 13-(-0,8)-(-25).

б ) -0 ,6 - ^ - ( - 1 0 0 ) ; в ) -6 - 1 1 - ( - |) ;

1

г) 4-19-(-2,5); е) 21-(-1,25)-8;

608. а) -L. (_о,5). 20;

г )1 -(-1 б )- ( -б ) ; г ) - 7 - 7 - ^ ; д )^ - 1 ,5 - ( -5 ) .

157

609. а) 2 ±2 . ( - 2 ) . Ц ) ; • ) * (

г ) ( - *» ш - ё •0,35; д)

610. а ) | - : 5,2. ( - 2 1 ) ( -5 ); 6 ) 2 | . ( - 5 > | 2 . ' 5 ’

в) 7,1 г) 0,5- (- у)- ( - 10)- 2,8.

611. а) ОД25-(-2,5)-(-8)-(-4);б) ( - 3). ( - 2)- ( - 1)- ( - 0,6)- (-10);в)( -5 0 > 3 -(-8 0 > (-2 > (-5 );г) (_!).(_ 2> (-0 ,5 ) (-4> (-0,25).

612. Х,осили зарби ададхои:а) ду манфй ва як мусбат;б) як манфй ва ду мусбат;в) се манфй ва се мусбат адади мусбат мешавад ё манфй?

52. К^онуни таксимотии зарб нисбат ба чамъ

Крнуни таксимотии зарб (а + b \ с = а ■ с + Ъ ■ с , ки дурусти-ашро барои ададхои мусбат нишон дода будем, барои ададхои манфй низ дуруст аст.

М и с о л и 1. Аз як тараф, (-13 + 8)- 5 = ( - 5)- 5 = -25 ва аз тарафи дигар (-13 + 8)-5 = -13-5 + 8-5 = -65 + 40 = -25 мешавад. Пас, (-13 + 8)-5 = -13-5 +8-5 мешавад.

М и с о л и 2. ( -3 -5 )- 6 = -8- 6 = -48 ,( -3 -5 ) - 6 = ((-3)+ (-5))- 6 = -3■ 6 + (-5 )-6 = - 1 8 - 3 0 = -4 8 .

Пас, ( - 3 - 5)- 6 = ( - 3)- 6 + ( - 5)- 6 мешавад.М и с о л и 3. (7 -1 5 > (-2 )= (-8 > (-2 )= 1 6 ,

(7 —15)- (— 2)=(7+(—15))- (— 2 )= 7 -(-2 )+ (-1 5 > (-2 )= -1 4 + 3 0 = 16. Бинобар ин (7 -15)- (- 2)= 7- ( - 2 )+ ( -15)- (-2 ) .

Татбики конуни таксимотии зарб аз микдори чамъшаванда­хои дохили кавсхо вобаста нест.

М и с о л и 4. ( -7 + 6 -2 ) -(-3 ) = ((-7 )+ 6 + (-2 ))-(-3 )== (-7 > (-3 )+ 6 -(-3 )+ (-2 )-(-3 )= 21-18 + 6 = 9,( - 7 + 6 -2 ) - (— 3 )= ( - З)- ( - 3)= 9.

158

Дар баъзе маврид, барои осон кардани кор, зарбшавандаро ба сумма ё ба фарк табдил дода, ба натича конуни таксимотиро татбик менамоем.

М и с о л и 5. -309-(-21) =-(300 + 9)-(-21) =-(300-(-21)++ 9 - (- 21)) = -<-6300- 189) = - ( - 6489) = 6489 .

Ё ки — 309-(— 2 l)= (300+ 9)- 21 = 300- 21 + 9- 21 = 6489.М и с о л и 6. (-237 +117)-13 = (-120)-13 = -(100 + 20)-13 =

= -(100-13 + 20-13) = -(1300+ 260) = -1560.

613. Конуни таксимотии зарбро истифода бурда, кдвсхоро кушоед:а ) -3 (а + 5); б) 7 (6 -2 ); в ) -5(2x + l);г ) -2 (4 с -3 ) ; г) 8(-2_у + 5); д) 3 (-2 г-9 ).

614. Конуни таксимотии зарбро истифода бурда, кавсхоро кушоед: а) - 3(— 2 + а - 5); б) 4(3 - а + 2b) ; в) (2х + 5у - 4)- 7;г) 5(l — 4с + с/); г) -(-£? + 5 / — 6); д) (2s- 3 t- 1)-(-9 ) .

615. Бо истифодаи конуни таксимотии зарб кавсхоро кушоед:а) - 1,2(а- 2b + 1); б) ( - 2х+ 3у - 7)- ( - 4);в) (2я-36 + 4 с -2 )-( -2 ); г) -о ( -2 6 + З с -4 ).

616. Аввал зарбшавандаи умумиро аз кавсхо бароварда, сипас кимати ифодахоро хисоб кунед:

а) 13-147-87-13; б ) -16-13-16-27 ;в) 96-27-106-27; г) 12-17-48-9 .

617. Аввал конуни таксимотии зарбро истифода бурда, баъд ифодахоро содда намоед:

а) 5 (За-4 )+ 2(-7я + 10); б) -3 (2 х -5 ) - (7 -4 х ) -1,5;в) -4 ( lly + 10)+(22j-15)-(-2); г) 8 (2 z - ll) - (3 z + ll)- 4.

53. Таксими ду адади аломаташ гуногун

Аз руйи хосили зарби маълум ва яке аз зарбшавандахои маълум ёфпшни зарбшавандаи номаълумро амали тщсим меноманд.

Масалан, адади -15-ро ба адади 3 таксим кардан ин ёфтани чунин адади номаълуми х аст, ки дар холати онро ба 3 зарб кардан (-15) хосил шавад, яъне

3- х = -15 . (1)Агар ба баробарии (1) ба чойи х адади (-5) гузорем,

баробарии дуруст хосил мешавад, яъне 3 - (-5 )= -15 . Агар модули

159

-15-ро ба модули 3 таксим карда, ба пеши натича аломати минус мегузоштем, низ адади -5 хосил мешуд, яъне

х ~ —(| 15|: |3|)= -(15:3)= -5 . 'Мо метавонистем хамин натичаро аз руи баробарии (1) ба

таври зерин ба даст орем:х = :=|1 = ~15-1 = -1 5 -1 = -5 , ё мухтасар карда гуем, 15-ро ба

3 таксим мекунему пеш аз хосили таксим, яъне адади 5, аломати минус мегузорем.

Дар бисёр маврид хисобкунй такозо менамояд, ки хосили таксим дар намуди касри дахй навишта шавад.

М и с о л и 1. Г 15’9 - _ 5 33

Чй хеле, ки мебинем, аломати минуси дар сурати каср бударо—15 9 15 9ба пеши хати каср навиштан мумкин аст, яъне —~ = — у - = -5,3

мешавад.Агар аломати минус дар махрач бошад хам, хамин тавр амал

3 3мекунем:

М и с о л и 2. ^ 2 - - - _4 96 -5 5 ’ ‘

Хамин тарик, хосили таксими ду адади аломаташ гуногун баХосили пищсими модулхои онхо, ки бо аломати минус гирифташудааст, баробар мебошад.618. Натичаи таксимро шифохй хисоб кунед:

а ) - 6 : 3 ; б ) -1 2 :4 ; в ) -2 0 :5 ; г ) -3 6 :1 2 ;г )8 :( -4 ) ; д )1 8 :( -б ); е) 24 :(-8 ); ё) 28 :(-7 ).

619. Хосили таксимро ёбед:а) -4 9 : 7; б ) -65 :13 ; в ) -8 1 :2 7 ; г ) -121:11;г ) -4 ,9 :7 ; д ) -6 ,5 :13 ; е ) -8 ,1 :27 ; ё ) -12,1:11;

ж) 130: (-6,5); з) 144: (-1,2); и) 155:(—15,5);й) 450:(-0,9); к) 218:(—109); л) 143:(-1,3).

620. Кимати ифодахоро хисоб кунед:

а) - ~2: 4 ’ б ) - Г 9 ; в ) _ 6 : 4 ; г) “ 5 : 7 ’

F ) i :( - | ) ; е) “ i : 1 2 ; ё ) 5 : (“ 7)-

160

621. Ададеро фикр карда, онро аввал ба 2,5 зарб ва сонй аз натича2,5-ро тарх, намудам, ки хосилаш -10 баромад. Адади фикр кардаи маро ёбед.

622. Ададеро фикр карда, аз он 7-ро тарх ва натичаро ба 6 таксимнамуда, ба хосили таксим адади (-5)-ро чамъ кардам, адади - 7 хосил шуд. Адади фикркардаи маро ёбед.

54. Таксими ду адади манфйАгар дар баробарии

- 5 - jc = -30 (1)ба чойи х адади 6-ро гузорем он гох, баробарии (1) ба баробарии дурусти -5 -6 = -30 табдил меёбад, яъне х = 6 аст. Агар модули адади (-ЗО)-ро ба модули адади (-5) таксим кунем, низ адади 6 хосил мешавад, яъне

jc = |- 30| :|—5| = 6Агар коидаи аз руйи хосили зарб ва яке аз зарбшавандаи

маълум ёфтани зарбшавандаи номаълумро татбик кунем, х = (-30):(-5 ) мешавад. Пас, (— 30): (— 5) = |— 30|: |— 5| = 30:5 = 6мебарояд, яъне барои пищсим кардани ададхои манфй кифоя аст, ки модули тщсимшавандаро ба модули тацсимкунанда тацсим намоем.

М и с о л и L =Ц- = -у- = 5 .

М и а о л и 2, f ^ = ^ = 0,32.

Азбаски аломатх,ои манфии дар сурату махрач бударо ба пеши хати каср навиштан мумкин аст, бинобар ин таксими ду адади манфиро ба таври зерин хам нишон додан мумкин аст:

-7 _ -7 _ ( 7 )-12 12 V 12/'

Адади ^ 2 ба адади “ Г 12) баР°баР аст> яъне -(-у у )= у у

аст. Пас, ^ 2 ~ \ 2 мешавад-Хдмин тарик, хосили пищсими ду адади манфй ба х;осили

тацсими модул^ои онх;о баробар аст ва адади мусбат мебошад.Агар тщсимшаванда баробари нол ва пищсимкунанда

гайринолй бошад, х осили таксим низ ба нол баробар мешавад.

11 - 12161

623. Ададаои зеринро шифохи таксим намоед:а) -8:(-4); б)-1:(-1); в)-9:(-3); г)-10:(-5);г)-16:(-8); д) —24:(—8); е)-24:(-6); ё)-28:(-7).

624. Хосили таксими ададхоро ёбед:а)-3,5:(-0,7); б) ^6,5:(-1,3); в)-34,4:(-17,2);г) -0,45:(-0,09); г)-12,3:Н,1); д)-5,25:(-0,05).

625. Хисоб кунед:

а> ~ Н - й ) -

r ) - 8 : ( - l | ) ; r t - 4 i :( - 3 i ) .

626. Кимати касрхоро хисоб кунед:

55. Ба касри одди баргардонидани касри дахи ва ба касри дахи табдил додани касри оддй

Мо касрхои дахдро аз касрхои оддии махрачашон бо Г ва нолхо навишташаванда хосил карда будем. Масалан, = 0,36;

3 71 — = 1,3; 2 | оооо ~ 2,0007 ва гайра навишта мешуд. Таъкид

мекунем, ки барои хосил кардани 2 10qqq мо дар сурати каср, пеш

аз 7 се нолро мегузоштем, яъне 2 у ^ ~ = 2,0007 мешавад. Ин

маънои онро дорад, ки агар ракамхои сурати каср аз микдори нолхои махрач чандто кам бошад, ба пеши ракамхои сурат хамон кадар нол менависем.

Акнун мо мехохем, ки касрхои оддии дилхохро ба касрхои дахй бигард онем. Агар махрачи касрхои оддй факат аз зарбшавандахои соддаи 2 ва 5 таркиб ёфта бошад, он гох ин касри оддиро ба касри дахии охирнок табдил додан мумкин аст.

М а с а л а н ,а ) 1 = | | = 1|= 0 ,5 ; 6) 1 = ± |= А = а д ;

B4 l = M 2 5 = J25_ = 0 1 2 <5 - гч 3 _ 3-4 _ 1 2 _ П П .’ 8 8-125 1000 > 25 25-4 100 ’ ’

Г) 2§0 = 2§^4= Т ОО = 0'012 ВагаЙРа'Сурату махрачи касри оддии додашударо, агар мумкин

бошад, ихтисор карда, касри ихтисорнашавандаро хосил мекунем.162

Барои ба касри дахи табдил додаии ин каср як тарзи онро нишон додем.

Тарзи дуюмаш аз пай дар пай таксим кардани сурат ва махрач иборат аст. Масалан, а) ™ ; б) ^ ; в)-|-; г) -ро ба касрхои

дахи табдил медихем: а) 5 4 б) 4,0 5 в) 7,0 8 г) 21,0 40

1,25 40 0,8 64 0,875 200 0,525о 60 100

”56 80_40 200

40 2000 0

яъне -| = 1,25; у = 0,8; - = 0,875; ^ = 0,525 мешавад.

Агар ба махрачхои касрхои болой назар кунем, мебинем, ки онхо аз каратихои ададхои соддаи 2 ва 5 таркиб ёфтаанд ва он касрхо ба касрхои дахии охирнок табдил шуданд. Агар махрачи касри оддй ба гайр аз зарбшавандахои соддаи 2 ва 5 боз зарбшавандахои соддаи дигарро дошта бошад, он гох масъаларанги дигар мегирад. Масалан, касри ^ - ро ба касри дахй табдил

5 0| 5 доданием. Махрачи каср - адади 6 ба зарбшаванда-~48 |0,833... хои соддаи 2 ва 3 чудо мешавад, яъне махрач ба_20 гайр аз зарбшавандаи 2 боз зарбшавандаи 3-ро

1& дорад. Мебинем, ки таксимро ба поён расонида_20 наметавонем. Дар ин маврид чй бояд кард? Ба ин■ 18 ■ савол дар мавзуи оянда чавоб хохем дод.

627. Касрхои зеринро ба касри дахи табдил дихед:а\ _3_. ел_1б_- В Л _ . r\ J 2 L . 230.

; 10 ’ ’ 100 ’ ’ 100 ’ 4 1000 ’ ’ 100 ’

д)13. еч_61. а 9 . V 90000. 3) 11- А ) 10 ’ 4 100 ’ ’ 10000 ’ ; 10000 ’ ’ 10 ’

и) -LQ7 ■ к ) 1 ^ - - л ) 4 _ iZ _М 0 0 0 ’ М О ’ ; 10’ ; 1000 '

628. Касрхои зеринро бо тарзи ба хамон як адади бутун зарб кардани сурату махрач ба касрхои дахй табдил дихед:

163

а) 4 ; 6)1 ; г) 4 . } 5 ’

г) 2 .’ 5 ’

д) — ■ а> 16 ’ е ) § ; ё )1 ; Ж) 2 0 ’ з) 3— • ’ 40 ’и)41- ; 80 ’ Й)Т25; К) 5 0 ; Л) 41 .; 64Касрхои зеринро бо тарзи таксим кардани сурат ба махрач бакасри дахй табдил дихед:а ) { ; д ) 1

е)! ё) ! | ж ) | 3>1 и> | г й)§

M)i i н)ё ° > Й *630. Касрхои одциро ба дахд ё ки касрхои дахиро ба одди гардонда,

амалхоро бо тарзхои мувофик ичро намоед:а) ((2,37 + 3,03): 0,03 +131: i - (s7.9 + ±§J: 0,5;

б)(з4,17:1,7 + 3 | + 0 ,2 5 ) : |- 1 2 ^ .

56. Касрхои даврй

Агар махрачи каср ба гайр аз зарбшавандахои соддаи 2 ва 5 боз зарбшавандаи соддаи дигар дошта бошад, ин касрро ба касри дахии охирнок табдил додан мумкин нест. Масалан, хамон касри| -ро мегирем. Чй хеле, ки мебинем, поён додани амали таксим

имкон надорад, яъне = 0,833...6Чунин каср\оро касрхои дахии беохир меноманд.Касрхои дахии беохире, ки дар онхо як ё якчанд ракам якзайл

такрор мешавад, касрхои дахии даврй ном доранд. Дар навишти| = 0,833... раками 3 якзайл такрор шуда истодааст. Ин касрро

касри дахии даврии давраш 3 мегуем ва дар намуди 0,8(з) менависем, яъне даврашро ба кавс мегирем. Пас, 0,833... = 0,8(3) навиштан мумкин аст.

Касри даврие, ки давраш хдтман баъди вергул cap мешавад, касри даврии асил ном дорад. Масалан, касри 4,242424... = 4,(24) касри даврии асил аст. Касри даврие, ки дар он байни вергул ва даврй якум як ё ки якчанд ракамхои такрорнашавандаро мебинем,

164

касри даврии омехта номида мешавад. Масалан, касри 0,56123123... касри омехта аст, ки онро дар намуди 0,56(123) менависем.

Агар касри ихтисорнашавандаи оддй ба касри дахии беохир табдил ёбад, ду маврид мушохида мешавад:

1) Махрачи касри оддй зарбшавандахои 2 ва 5-ро надорад. Дар ин маврид, касри даврии асил хосил мешавад.

2) Махрачи касри оддй зарбшавандаи 2 ё 5 ва ё хам 2 ва хам 5-ро дорад. Дар ин маврид, касри даврии омехта хосил мешавад. Таъкид мекунем, ки махрач факат аз зарбшавндахои 2 ва 5 иборат набошад, яъне зарбшавандаи дигар хам зухур ёбад.

7 . гЛ 7 . .л 13М т т ^т a) -Z-; 18’ ^ 1 5 ’ ^ 3 0 ро муоина мекунем:

а) 7,0637063

0,77...=0,(7)б) 7,0

5416014416

180,388...=0,3(8)

в) 7,0601009010

150,466... =0,4(6)

г) 13,0~120

100 _ 90

300,433... =0,4(3)

10

Ба мисолхои зерин зехн монда, коидаи ба касри оддй табдил додани касри давриро ёд гиред;

а) 0 2(3l)= 231-2 -2 2 9 . б) 0 31(22)- 3122~31 - 3091 - 2&1- ' ’ V / 990 9 9 0 ’ ' и ,-3 oonn оопп о о п ’9900 9900 990 ’

в) 3 , Ц 6 ) = З ^ М = 3Ш = 311; r ) 0 ,( ,8 9 )= lg = _L.

Даври касри дахии охирнок ба нол боробар аст. Масалан, 9 - 0,9(0). Чунин касрхоро касрх;ои дахии сах ех; меноманд.10

631! Кадоме аз касрхои оддии зерин ба касрхои дахии сахех, даврии асил, даврии омехта табдил ёфта метавонанд?

а) 1 - К\ I I - тЛ I I • тл _32_- г\ 5.. тт\ i 2 . а \ Ц .в) П - 19’

г) J2 .. ' 125’

С| 80 ’ Ж) l j 5 ; 3> 2 | ; И> 1|0 ;

Г ) | ;

й> |г

д) 3 7 ; 40’37 • л» 67

' 250’ ' 120'

165

632. Касрхои зеринро ба касрхои дахи табдил дихед:а) 1 .

9 ’ б) 4.9 ’ B )J ; г) -L- ' 99’

г) 35.99’ д) 23 .

999’ е) _!_•’ 999’ ё) 19 9999

633. Касрхои дахии охирноки зеринро дар намуди касрхои даври тасвир намоед:

а) 0,32; 6)2,1; в) 0,031; г) 3; г) 0,2; д)0,9.634. Касрхои даврии зеринро ба касрхои оддй гардонед:

а) 0,(7); 6) 0,(6); в) 0,1(4); г) 0,2(3); г) 0,12(4); д) 0,15(2); е) 0,14(11); ё) 0,17(07); ж) 0,02(03); з) 0,(125); и) 0,7(113).

635. Хочагии сабзавоткорй сохиби 120 га замин буда, ба -L

хиссааш карам, ба 0,(б) хиссааш картошка ва ба 0,08(3) хиссааш сабзй кишт кардааст. Ба хар намуд сабзавот чй кадарй замин чудо карда шудааст? Оё масъала шарти зиёдатй дорад?

Худро бисанчед

1 ■ Адади ба -5 мукобилро нависед.А) 5 В )1 С) (-5)

2. Кимати |- 4\ ба чй баробар аст?А) 4 В) И )

3. Ададхои -4,2 ва 4,02-ро мукоиса кунед.А) —4,2>^4,02 В) -4,2<-4,02 С) -4Д=-4,02

4. Суммаи ададхои -1,2 ва -2,8-ро ёбед.А) 4 В) 1,6 С)-4

5. Суммаи ададхои 2— ва (-2 у )- ро хисоб кунед.3 ^

А) 4 у В) 0 п 1OJ

|ю

6. Ададхои 3 ва -7-ро зарб кунед.А)-21 В) 21 С )-4

1, Ададхои -2,5 ва -6-ро зарб кунед.А )-15 В )15 С) 150

8. Дар суммаи -5 + 6 чойи чамъшавандахоро иваз кунед.А)-6 + 5 В) 6-5 С) 6+ 5

9. Адади - Зу - ро ба 0,5 таксим кунед.

А)-0,7 В)-7 С) 7166

10. Адади -2,5-ро ба адади -2 таксим кунед.А)-1,25 В) 5 С) 1,25

И. Касри дахии 1,35-ро ба касри оддй табдил дих,ед.

А> 'ТОО В> 'ТО С> 10012. Касри -ро ба касри дахй табдил дихед.

А) 0,17 В) 0,85 С) 1,713. Касри -ро ба намуди касри даврй оваред.

А) 0,(73) В) 0,7(3) С) 0,7(33)14. Касри даврии 2,15(6)-ро ба касри оддй гардонед.

д\ 647 m 47 /""i т 47’ 300 ' 300 ' 330

Машкхо барои кори мустакилонаВарианти 11. Хосили зарбро хисоб кунед:

а ) -2 ,5 -9 ; б ) - А - ( - М ) . .

2. Хрсили таксимро ёбед: а) -3 9 :( - 3);

в) -121:(-0,121); г) -10,06:(-100б).3. Муодиларо хал кунед:

а) -3 - (х -1 )= 0 ; б) 5(х - 0,25)- (2 у -1,2) = 0.4. Касрхоро ба касри дахй табдил дихед:

а ) | ; б) I f ; в ) 1 .Варианти 21 • Хрсили зарбро ёбед:

а) 3,5-(-2); 6 ) - i . ( - i ) .

2. Хосили таксимро хисоб кунед: а) -2 8 :( -4 ) ; б)

в) -16,1:(-1,61); г ) - | : ( - ^ - ) .

3. Муодиларо хал кунед:а) 0,6-(х+1,2)=0; б) (x + 0 ,5 > (l,2 j-6 ) = 0.

167

4. Касрхоро ба касри дахи табдил дихед: а) б) I I ; в) JL.

Варианты 31. Кимати ифодаро ёбед:

а ) -1,5-10; б ) - 1 - ( - | ) .

2. Хрсили таксимро ёбед:а) -4 4 :(-1 1 ); б ) - 1 : ( - £ ) ;

в) -23,5 :(-235); г ) - | : Ц ) .

3. Муодиларо хал кунед:a) - l ,6 - ( - r + l) = 0; б) -4(х+1,б)-(д>-2)=0.

4. Касрхоро ба касри дахй табдил дихед: а) 1 ; б) в) I I .

Варианты 41. Хосили зарбро ёбед:

а) -1,6-0,5; б ) -

2. Кимати ифодаро ёбед:а) -66:(-1,1); б) - 1 :( - ^ ) ;

в ) -4,13:(-41,3); г ) - 2 5 :( - - ^ ) .

3. Муодиларо хал кунед:а) 0,81-(л -4,1)= 0; б) 0,5-(-х + 5 )-(х -4 ,2 )= 0 .

4. Касрхоро ба касри дахй табдил дихед:а) f ; б) А ; в) 11

Маълумоти гаьрихи Вобаста ба хал кардани муодилахо лозим омад, ки ба

математика ададхои манфй дохил карда шавад. Дар асрхои II-I пеш аз милод дар Хитой ва дар асрхои IY-V дар Хиндустон барои хал кардани масъалахои гуногун ададхои манфиро васеъ истифода мебурданд. Онхо ададхои мусбатро чун дорой - мол мефахмиданду ададхои манфиро чун карз. Хиндухо зарбу таксими ададхои манфиро хам медонистаанд.

168

Риёзидони асри VII-и хиндухо Брахмагупта адади манфиро карз ва адади мусбатро мол номида, амалхои чамъу тархи ададхои мусбату манфиро чунин маънидод кардааст: «Суммаи ду мол мол аст. Суммаи ду карз карз аст. Суммаи мол ва карз фарки онхост. Суммаи мол ва карзи ба он баробар нол аст. Суммаи нол ва карз карз аст. Суммаи мол ва нол мол аст. Суммаи ду нол ба нол баробар аст. Хурд аз калон, мол аз мол ва карз аз карз тарх карда мешавад. Аммо агар калон аз хурд тарх карда шавад, кимати барзиёдй дигар мешавад. Карз аз нол тарх карда шавад, мол хосил мешавад. Мол аз нол тарх карда шавад, карз хосил мешавад.»

Чй хеле, ки мебинем, коидахои чамъу тархи ададхои мусбату манфй баён ёфтаанд; коидахои зарбу таксими он ададхо бароварда нашудаанд. Факат дар асри XII математики дигари Хиндустон Бхаскара ин коидахоро баён намуда гуфтааст, ки «хосили зарби ду мол ва ё ду карз мол аст; хосили зарби мол ва карз карз аст. Ин коида дар холати таксим хам бачост». Ване кайд кардааст, ки «Мардум ададхои манфиро намеписанданд». Ададхои манфиро дар кашфиёти худ бузургони форснажод Абул Вафо (асри X), Мухаммад ибни Абубакр ибни Алй ан-Насафй (асрхои X-XI) ва дигарон истифода бурдаанд.

Ал-Хоразмй (асрхои VIII-IX) бошад, ададхои мусбат ва манфиро бо истилоххои «зоид» ва «нокис» кор фармуда аст.

Пешгузаштагони мо ал-Карачй (асрхои X-XI), У мари Хайём (асрхои XI-XII), Насируддини Туей (асри XIII) дар тадкикотхояшон ададхои манфиро истифода бурдаанд.

Ададхои манфиро дар Fap6 аввалин шуда дар асри XIII Леонардо Пизанский (Фибоначчй) дар корхояш истифода бурдааст. Баъдтар Л.Пачиолй, М.ИГтифел, Ч-Кардано ва дигарон бо ададхои манфй сару кор доштаанд, вале аксари онхо ададхои манфиро ададхои «дуругин» гуфтаанд. Агар М.Штифел ададхои манфиро «ададхои аз хеч хурд», яъне аз нол хурд, номида бошад, Р.Декарт онхоро чун порчахои самташон ба самти порчахои тасвиркунандаи ададхои мусбат мукобил тасаввур кард, ки ин таконе буд ба фахмиши нави мафхуми ададхои манфй. Аммо, ададхои манфй танхо дар асри XIX хукук пайдо карданд, ки дар катори ададхои мусбат ва нол бошанд. Бо хамин мафхуми адац васеътар шуд.

169

БОБИ VI. ХАЛЛИ МУОДИЛАХО

57. Табдилдихии содаи ифодахо

Табдилдихии ифодахо гуфта аз як намуд ба намуди дигар гардонидани он ифодахоро меномем. Бо табдилдихии баъзе ифодахо кайхост, ки мо шинос хастем. Масалан, кушодани кавсхо табдилдихй аст. Мо медонем, ки агар дар пеши кавсхо аломати плюс истода бошад, хангоми кушодани онхо аломати чамъшавандахои дохили кавсхо тагйир намеёбад, вале агар аломати пеши кавсхо минус бошад, аломати хар як чамъшавандаи дохили кавсхо ба мукобилаш иваз мешавад.

М и с о л и i. (-5х + 4) = -5х + 4 ;М и с о л и 2. - (- 5х + 4) = 5х - 4;М и с о л и 3 .- ( - 5 х - 4 ) = 5х + 4.Намуди дигари табдилдихии ифодахо ислох кардани

Чамъшавандахои монанд мебошад.М и с о л и 4. Дар ифодаи 4х + 5 -7 х + 14 + х - 5 чамъшаван­

дахои 4х, - 7 х , х монанданд; чамъшавандахои 5, 1 4 ,-5 низ монанданд. Пас, онхоро мувофикан чамъ карда, хосил мекунем:

4 х -7 х + х = -2 х , 5 + 14-5 = 14.Хдмин тарик, 4х + 5 - 7х + 14 + х - 5 = -2х +14 мешавад.Як намуди табдилдихй татбики конунхои чамъ, яъне

конунхои чойивазкунй, гурухбандй ва таксимотии зарб нисбат ба чамъ мебошад. Мувофики конуни таксимотии зарб 4(х + 5)=4 х + 4-5 мешавад. Агар чойхои чапу ростро иваз карда нависем, хар як узви тарафи чапи баробарии охирин зарбшавандаи 4-ро дорад. Агар ба тарафи рост назар кунем, хамин зарбшаванда аз кавсхо бароварда шудааст. Бинобар ин баръакси крнуни таксимотии зарбро к оидаи аз к,авсх;о баровардани зарбшавандаи умумй низ мегуянд.

М и с о л и 5. Дар ифодаи 5х+ 5 зарбшавандаи умумй, яъне5-ро аз кавсхо мебарорем: 5х + 5 = 5- х + 5-1 = 5(х + 1).

М и с о л и 6. 5x + 5 + 3x + 3 = 5(x + l)+3(x + l) = (x + lX5 + 3) == 8(x+l).

Агар чамъшавандахои монандро ислох намоем, 5х + 5 + Зх + + 3 = 5х + Зх + 5 + 3 = 8х + 8 = 8(х + 1) мешавад.

170

М и с о л и 7.Зарбшавандаи умумиро аз кавсхо бароред:6х^ -З х + 4 х - 2 = Зх■ 2 х - 3 х -1 + 2- 2х -2 -1 = 3x(2x-l)+ 2 (2 х -1) Чй хеле, ки мебинем, раванди хал тамом нашудааст.

Чамъшавандахои 3x(2x-l) ва 2(2jc — l) боз зарбшавандахои умумии (2 x -l)-p o доранд, пас онро низ аз кавсхо баровардан

лозим аст, яъне 6х2 - Зх + 4х - 2 = (2х- lX3x + 2) мешавад.Намуди дигари табдилдихии ифодахо ба кавсхо дохил

кардани зарбшаванда аст.М и с о л и S. К^имати ифодаи 12(l + ~ + l^j-po меёбем.

V2 4 s Я 1 ! °Зарбшавандаи 12-ро ба кавсхр дохид карда, х ар р ; чамъшавандаро ба он зарб м ^ру^^: 9! ■ >

12-1 +12-1 +12-1 = Ц- + Ь ^ ,+ * 6 Hi 9 +16 = 31.

Конуни таксиМбтии зарбро дар хаЛлй масъалахои амалй васеъ истифода бурДан мумкйн act.

М и с о л и 9. Х,осилй! зарби ’ 804-117 -ро Хисоб мекунем. Барои ин 804-ро д;ар намуди суммаи 800+ 4 тасвир карда, 804-117 = (800 +4) 117= 800-^7,+,4 117= 93600+468 = 94068 менависем ё агар хосили зарби 792-117-ро хисоб кардан лозим бошад, 792 • 117 = (800 - 8)> 1 17 = Ы - И 7 - 8 117 = 93600- 936 = = 92664 менависем.

Аз кавсхо баровардани зарбшавандаи умумй низ як намуди табдилдихии ифодахост.

М и с о jf и 10. Зарбшавандаи умумиро аз кавсхо бароварда, баъд кимати ифодаро хисоб мекунем:

а) 14-27 +16-27 = 27-(14 +16)= 27-30 = 810;б) 41-32-21-32 = 32-(41-21)= 32-20 = 640;в) 7-13 +14-13 = 7-13-1 + 7-13-2 = 7-13-(1 + 2)= 91-3 = 273.Дар ифодахои харфй хам зарбшавандаи умумиро аз кавсхо

бароварда, содакунии ифодахоро осон мегардонем.М и с о л и 11. 15аЬ + 25Ь = 5Ь-За + 5Ь-5 = 5Ь(За + 5).

636. Кавсхоро шифохй кушоед:а) (4 х -5 ); б )(5 -4 х ) ; в ) - ( 4 х - 5 ) ;

г ) - (5 -4 х ) ; д> -(2 + | );

171

(-4 ,5 + 1); ж) - ( -0 ,0 9 -0 ,0 9 ) ;

( -1 4 ,5 -1 1 ); й) - ( - 2 JL+ o,ooi).

'3 3 '

637. Чамъшавандах,ои монандро ислох кунед: а) 8 а -З а + 4а + 7 - 2 ; 6)126 + 26-146;в) 1,2 — 4л: + 6,1 + 4,1л:; г) 1,2л: — 4 + 6,1л + 4,1;г) 1 \у + 2 у - 4 у - 1 у ; д) 6 + 5z + 7 - 3 z - 2 z - 1 3 .

6.38. Ч,амъшавандах,ои монандро ислох, намоед:а) 5а + 4 b - 6 a + 5 - 2 b + a + b\ 6) - х + 4 + 6у + 5 х - З у - 1 ;в) в а - 5 а + 1Ь-Ь + \ - а \ г) - 5 у + 4 х - 2 - З у + З х + 1 .

639. Ифодаро аввал сода карда, баъд киматашро хисоб намоед,ки агар:а) 5 -4 х ; х = -3 ; х = 3 бошад;б) - 5х + 4; х = 3 ; х = - 1 бошад;в) 6 х - 1 у ; л: = -2,1; у = -2 бошад;г) 0,5х + 0,5>>; х - 2 \ у = - 12 бошад.

640. Аввал кавсхоро кушода, баъд чамъшавандахои монандро ислох намоед:а) 3 (х -2 )+ 6 ; б) 3(х-3)+6х;в) 4 + (2*-1> 2; г) - 5 у - 2 ( у - 4 ) - 7 ;г) - 4 ( у + 3 ) + 2 у - \ 2 ; д) 2z-(5 + 2z)-0,5;е) - ( - z - 5)- ( - 2)+10 + 2z . ё) — 5(l — 2х)- 66х + 5.

641. Кдвсхоро кушода чамъшавандахои монандро ислох кунед:а) 12х-3(4х-2); б) -4 (х+ 3)-12 + 4х + 25 ;в) 14-(x + j)- 10+6х + 10у; г) -2 (2 x - j)+ 4 (y -2 x )+ 5 ;г) - (2х - 3,5)+ 2 - (2,5 - х } 2 ; д) 5 - (1,2* - 2,5)- 3 + (4х - 7).

642. Муодилахоро хал кунед:а) Зх + 4 х - 1 ; б) х-2(Зх+5)+5х+16 = 1,5х;в) 12-(7х + 4>3 = -4 2 ; г) 7 + (4 j-3 ,5> 2 + у = 2,7 .

643. Порчаи АВ= 5х см ва порчаи АС = (7х + 3) см дарозй дорад(расми 48). Дарозии порчаи ВС-ро ёбед, ки агар х = 3,5 бошад.

А В С > ■ ■■ --- ■ ■ 1 <Ррбми 48

172

644. Порчаи АВ=13 см ва порчаи ВС=6 см дарозй дорад. Дарозии порчаи АС-ро ёбед. Масъала чанд хал дорад?

645. Дарозии порчаи AD ба 1 Зх см, дарозии порчаи CD ба 8х смбаробар аст. Агар дарозии BD ба бхсм баробар бошад, дар холати х - 2 будан дарозии порчаи СВ-ро ёбед (расми 49). Оё масъала шарти зиёдатй дорад?

£ ___________________£ ____________________ 2 ____________ 3

Расми 49646. Хрсили зарбхоро бо истифодаи конуни таксимотии зарб

нисбат ба чамъ хисоб кунед:а)27х-13; б)32х-17; в) 106j-123;г) 301j>- 97 ; г) 1003z- 875 ; д) 5007z-1214;е) 4998z- 5437; ё) 1921*- 86; ж) 7 lit-1935.

647. Кавсхоро кушода, чамъшавандаи монандро нишон дихед ва онхоро ислох намоед:а) 4я -(2 а + 3 )+ 5 а -2 ; б) 2а + 2Ь- (а + Ь + 5);в) - 2,6х + 4,7у - (l,4x +1,3 - 2,5у ) ; г) -4(14х-5д>)+(Зх-5);

F) y X - ( |x + | x + 2 )-x ; д) з ( у - ^ у + ± у - 2 ) + 3 - 2 у .

648» Зарбшавандаи умумиро аз кавсхо бароред:а) 6-12 + 6-8; 6)12-15 + 12-45; в) 11-17 + 11-83;г) 14-67 — 14- 57 ; г) 31-105-31-103; д) 8-499-8-495 .

649. Зарбшавандаи умумиро аз кавсхо бароред:а) 5а + 5Ь', б) la + 146; в) 6а+ 96; г) 2аЬ + 4а',г )4 х - 4 у ; д) 12х-18 у ; e ) l l x - 2 2 j ; ё)8ху-24>>.

650. Зарбшавандаи умумиро аз кавсхо бароред:a )6 x + 9 j + 15; б) 5x + 5 j - 5 ; в) 2 х - 6 у + 8;г ) -9 x + 1 2 j-1 8 ; г )-1 6 а + 486 + 32; д ) - 7 а - 1 4 6 - 2 8 .

58. Муодилахо. Муодилахои баробаркувва

Мо аз синфхои ибтидой cap карда, то хол бо мафхуми муодила, хал кардани онхо, татбикашон ба хал кардани масъалахои матнии зиёд шинос хастем. Вале, мафхуми муодила он кадар васеъ аст, ки баъзе чихатхои онро холо меомузем ва ин корро дар синфхои болой низ давом медихем. Бори дигар

173

такрор мекунем, ки муодила гуфта чиро меномем, халли муодила чист ва муодила кадом хосиятхоро дороет?

Баробарие, ки адади номаълуми бо х;арф ё х;арфх;о ишорат- шуда дорад, муодила номида мешавад.

1(имати ададии номаълум, ки дар он муодила ба баробарии дуруст табдил меёбад, халли муодила ё решай муодила ном дорад.

Баробарии х+12 = 25 муодила буда, решай он адади 13 аст, зеро 13+12=25, яъне баробарии дуруст хосил шуд.

Ду муодила баробаркувва номида мешавад, ки агар хамаи решахои муодилаи якум решахои муодилаи дуюм гардад ва баръакс, хамаи решахои муодилаи дуюм решахои муодилаи якум шавад. Масалан, муодилахои х + 7 = 10 ва х + 15 = 18 баробаркувваанд, чунки харду хам решай якхелаи х = 3 -ро доранд.

Муодилахои х + 7 = х + 7 ва х + 11 = х + 11 халхои бешумор доранд, бар замми ин хамаи решахои муодилаи якум решахои муодилаи дуюм мешавад ва баръакс хамаи решахои муодилаи дуюм решахои муодилаи якум мешавад. Аз ин ру, муодилахои халхои бешумор доштаро низ муодилахои баробаркувва меномем.

Муодилахои х+3 = х+7 ва х -5 = х + 6 реша надоранд, яъне ададе мавчуд нест, ки онро ба чои х дар он муодилахо гузорем, баробарихои дуруст хосил шаванд. Чунин муодилахои реша надоштаро хам ба катори муодилахои баробаркувва дохил мекунем.651. Муодилахоро шифохй хал кунед:

а )х + 8 = 10; б ) х - 6 = 10; в )х + 0,1 = 0,1;г) х -0 ,2 = 0,8; г) х + ! = \ ! ; д )х + 4-| = 2 - |.

652. Оё муодилахои зерин баробаркувваанд?а) Зх + 1 = 10 ва х - 2 = 5; б) х+7 = 8,2 ва 2х —1,4 = 1;

в) 0,5х + 3 = 4 ва 2 х -7 = -3 ; г) ^ х -1 = 1 ва 0,Зх-0,8 = 1;

г) 1ух + 13 = 18 ва х - 5 = -2 ; д) 5х + 7 = 2 ва 7 х -3 = -11.

653. Кадоме аз муодилахои зерин реша надорад?а)17х+1 = 18; б)0,5х + 4 = 6; в )2 х + 5 = 2х+7;г) 12х + 3 = 15; г )х - 1 = х+ 2; д )х + 5 -2 х + 1 + х = 0;е) 4 + 4 1х = 86 ; ё) 4у - 1 = 7 + 4у ; ж) Зх + 2х + х - 4 = 6х .

174

59. Хосиятхои муодилахо. Муодилахои хаттии якномаълума

Мо ададх,ои манфиро омухта. мафхуми ададро васеъ кардем. Вобаста ба хамин, метавонем, ки раванди халли муодилахоро осон гардонем. Агар ба харду кисми баробарии11 = 11 ягон ададро чамъ кунем, баробари вайрон намешавад. Масалан, адади -9-ро чамъ карда мебинем: 11 + (-9 )= 11+ (-9 ) . Баробарии 2 = 2 хосил мешавад. Азбаски номаълуми муодила адад аст, бинобар ин ба харду тарафи муодила ягон ададро чамъ кунем, решааш дигар намешавад. Масалан, решай муодилаи 2х + 5 = х + 6 адади 1 аст. Ба харду тараф адади (-5 )- ро чамъ мекунем: 2х + 5 + (-5 )= х + 6 + (-5 ) . Аз ин чо муодилаи 2х = х +1 хосил мешавад, ки решааш низ 1 аст. Агар ба харду тарафи муодилаи аввала (-х )-ро чамъ кунем: 2х + 5 + ( -х ) = = х+ 6 + (-х ) ва аз ин чо х + 5 = 6хосил мешавад, зеро 2х + ( -х )= х ва х + ( -х )= 0 аст. Решай муодилаи х + 5 = 6 низ адади 1 аст. Акнун ба харду тарафи муодилаи х + 5 = 6 адади (-5)-ро чамъ кунем, яъне х+ 5 + (-5 )= 6 + (-5 ) , он гох халли муодила х = 1 хосил мешавад, чунки 5 + ( -5 )= 0 , 6 + (— 5) = 1 аст.

Хамин тарик, ба харду тарафи муодила аввал (-х)-ро , баъд (-5 )-ро чамъ намудем, яъне 2х + 5 + (-х )+ (-5 ) = х+ 6 + + (—х)+ (-5) шуд.

Бо хамин мо номаълуми х -ро аз тарафи рости муодила, бо тагйир до дани аломаташ, ба тарафи чапи он гузаронидем.

Хосияти муодила хамин аст, ки чамъшавандахои муодиларо аз як тараф ба тарафи дигари он бо ба муцобилаш иваз кардани аломатхояшон гузаронидан мумкин аст.

Ба монанди хамин, бо мисолхо нишон дода метавонем, ки агар харду тарафи муодиларо ба ягон адади гайринолй зарб ё тщсим кунем, решай муодила дигар намешавад.

М и с о л и 1. 6х + 8 = -22 . Решай ин муодила ба (-5) баробар аст. Агар харду тарафи муодиларо ба 2 таксим кунем, муодилаи дигари Зх + 4 = -11 хосил мешавад. Ба харду тарафи муодилаи охирин (-4)-ро чамъ кунем, Зх + 4 + ( - 4) = -11 + ( - 4) ва аз ин чо Зх = -15 мебарояд. Харду тарафи муодиларо ба 3

175

таксим кунем, х = -5 мешавад, яъне решай муодила хдмон х - - 5 тагйир наёфт.

М и с о л и 2. х -3 = 4х + 6 . Решай ин муодила х = -3 аст. Харду тарафи муодиларо ба ягон адад, масалан, ба 4 зарб кунем, 4х - 12 = 16х + 24 хосил мешавад, ки решай вай хам х = -3 аст.

М и с о л и 3. Муодилаи 3x + 9 = 6x-3 -po хал мекунем. Аввал харду тарафи муодиларо ба 3 таксим мекунем, ки дар натича х + 3 = 2х-1 хосил мешавад. Сонй 2х-ро, бо аломати мукобилаш, аз тарафи рост ба тарафи чапи муодила ва 3-ро, бо аломати мукобилаш, аз тарафи чап ба тарафи рост мегузаронем:

х + (-2 х ) = -1 + ( - 3).Чдмъшавандахои монандро ислох намуда, ба - х = -4

сохиб мешавем. Агар харду тарафи муодилаи охиринро ба (-1) зарб кунем, халли муодила, х = 4 хосил мешавад.

М и с о Л и 4. Муодилаи 2х + 1 + 4х = 2 + 4х + х-ро хал мекунем. Решай ин муодила х = 1 аст. Агар 4х -ро аз тарафи рост ба тарафи чапи муодила гузаронем, он гох ба 2х + 1 + 4х+(-4х)= 2 + х сохиб мешавем. Азбаски 4х+ (-4х) ба нол баробар аст, бинобар ин дар ду тарафи муодила мавчуд набудани онхо ба муодила таъсире намерасонад. Пас, онхоро партофта, муодиларо дар намуди 2х +1 = 2 + х навишта хал кардан мумкин аст, ки решааш хамон х = 1 мебошад. Инак, баъди партофтани узвхои якхелаи харду тарафи муодила муоди- лае хосил мешавад, ки он ба муодилаи аввала баробаркувва аст.

Хамин тарик, барои хал кардани муодила мумкин аст, ки:а) агар имконият дошта бошад, онро сода намоем;б) чамъшавандахои номаълумро, бо иваз кардани аломат-

хояшон, ба як тарафи муодила ва инчунин чамъшавандахои доимиро ба тарафи дигар гузаронем;

в) агар дар харду тарафи муодила узвхои якхела мавчуд бошад, онхоро партоем;

г) чамъшавандахои монандро ислох намоем;г) агар номаълуми муодила зарбшавандаи ба 1 нобаробар

дошта бошад, харду тарафи муодиларо ба он таксим намуда, бо хамин муодиларо хал кунем.

Хатмй набудани ин тартибро раванди халли масъала нишон медихад.

176

Хдмаи муодилахои муоина кардаамон ба намуди ах = Ъ (1)

оварда шуданд. Ин муодиларо, дар х,олати а * О будан, муодилаи хаттии якномаълумаи дарацаи якум меноманд, кихаллаш бо формулаи х = — ёфта мешавад. Ададхои а ва Ъ-ро

коэффитсиентх^ои муодила мегуянд. Аммо дар бисёр маврид b - ро узви озод низ меноманд.

Х,олатхои махсуси халли муодилаи (1)-ро муоина мекунем:а) а * 0, Ь ф 0 . Х,алли муодила х - ^ ;

б) а Ф О, Ь = 0 . Хдлли муодила х - — = — = 0;а а

в) а - О, Ь = 0. Муодила намуди 0-х = 0-ро мегирад. Дар ин холат муодила халхои бешумор дорад, зеро ба чойи х адади дилхохро гузошта ба 0 зарб кунем, натича баробари нол мешавад, яъне баробарии дуруст хосил мешавад.

г) а = 0 , Ь ф 0. Дар ин маврид муодилаи (1) намуди 0 х = 6-ро мегирад ва ададе мавчуд нест, ки онро ба 0 зарб кунем адади гайринолии b хосил шавад, яъне муодила халнадорад. Инро аз формулаи х = - хам хулоса кардан мумкин

буд, зеро ба а - 0 таксим кардан мумкин нест. Дар мавридхои в) ва г) муодилаи (1) муодилаи хаттй мешавад, вале муодилаи дарачаи якум намешавад.

654. Дар муодилахои зерин чамъшавандахои номаълумдорро батарафи чап ва чамъшавандахои дигарро ба тарафи ростимуодила гузаронед:а) х + 5 = 7; 6 ) j - 9 = 3;в )2 х + 4 = х - 3 ; г ) 4 х - 6 = 6 х -3 ;г) 0,5а +1,3 = 2 а -0 ,7 ; д) -2 ,5х-1,5 = -1,5х + 4 ;

« М - ' И -655. Муодилахои зеринро, бо тарзхои ба ягон адад зарб ё

таксимкунии ду тараф, сода намуда, онхоро хал кунед: а )4 х + 6 = 8; б )Зх + 9 = 12; в) 0,5jy + l,5 = 3,5;

г)2,1у+ 7 = 42; r ) i „ + f = i ; Л) ± Ь - 5 = ± .

656. Ч,амъшавандахои якхелаи дар ду тарафи муодила мавчуд бударо хат зада, решай муодилаи хосилшударо ёбед ва

17712 - 12

санчед, ки оё вай решай муодилаи аввала мешавад? Натичаро шарх, дихед:а) Зх + 5 + х = 1 + Зх; б) у+2, 5 + 2у = 3 + 2 у \

в) 6х + 7 = Зх + 7; г) 2-1-х + 0,75х + 4 = Зх + 0,5х.

657. Номаълумхоро ба як тараф ва чамъшавандахои маълумро ба тарафи дигари муодила гузаронида, онхоро хал намоед: а ) З х - 2 = 2х-1 ; б) -7 х + 4 = -Зх + 1;в )3 -4 х = 5 -6 х ; г) у - 5 + 2 у - \ \ - у ,г) 2 - у - Ъ у - Ъ - 1 у л - 2 у \ д) 9х + 5 -х + 4 = 2х+5 + х;e) - 4 t + 8 + t = -3t + 4 + t ; e) 5 t + l = 5 t - 7 .

658. Решай муодилахоро ёбед:а)З х + 5 = 2 х -1 ; б) -6 х + 7 = -7х + 6;в) 5у + 2 = 6у + \\ г) - 3 y - l = S y - 2 ;f) 3 + 4у - 5 + З у ; д) 4t + 5 = -2 + 3 t ;е) —13/ —11 = 12/ —11; ё) - f + 5 + 2* = f - l ;ж) 5z + 4 -4 z + 5 = 5 + 5 z -1 2 ; з) - 1 2 х - 2 - х = 11.

659. Муодилахоро хал кунед:а) 30 -(х-7)= 450; б) -1 8 -(5 -х )= -9 0 -(х -5 ) ;в) 0 ,5-(2/-3)=2,5/; г)(— 3/-7)-15 = -75-(1,5/-7);г) 3 - { l - 2 y ) = 6 - { y - 2 ) ; д) - 4 , 2 - ( у + 5)=-2,1-(5- у ) ;е) 4 + 3 { 5 у - 2 ) +2 у = у + 5 + 3 ( 5у - 2 ) +4 .

660. Решай муодилахоро ёбед:2 1а ) —х + 6—= 6,9; б) х + 3,2 = 2х + 1,2;

в) 0,5 + 1 = ^ х -1 ; г) 2 у + 2 = 6 у + 3 ;

F) l y ~ 5 = l 7 - 1 ’ * ) y - j i = 2 y + п ;

е) \ - t = ± t + \; ё)0,7/= j^ / + l;

ж) / -(- 5 - (/2 - 7)- 4 = 5 - (/2 - 7)-+-1.661. Муодилахоро хал кунед:

а) 0 ,2(2x-l)+5 = l + (2 x - l) ;б) 3(0,5х — 2)+1 = —1 — (0,5х - 2);в) 2,l(3x+2)=0,7(3x + 2);

178

г) i4( y - i ) + 5 = -1 4 (y - i)+ 5 ;

f ) 2y - (0,5>> + 2)+ 7 = -7 + (0,5_y + 2) ;д) - 2(y- 3)= 3 - ( 2y - 3)+ у ;е) 5 ( t - 4 , 2 ) =- 2 \ + 4t;ё) 7(5 — 2?)—30 = 7/ —16 ;ж) 2 /-(9 -2 f)= 1 6 + 4f;

з) |(8jc + 5 )-5 (8 -3 x )-6 = x - 1 .

60. Бо ёрии муодилахои дарачаи яку ми якномаълума хал кардани масъалахои матнй

Тарзхои гуногуни халли масъалахои матниро нишон медихем, ки яке аз онхо татбики муодилахои дарачаи якуми якномаълума мебошад.

Барои бо ёрии муодила хал кардани масъала зарур аст, ки:а) номаълум интихоб карда шуда, вай бо харф ишора

карда шавад;б) кимати бузургихои номаълум ё номаълумхои масъала

ба воситаи ин харф ифода карда шавад;в) агар мумкин бошад, мувофики маълумоти масъала раем

кашида шавад;г) мувофики маълумоти масъала (ва расми кашидашуда)

муодила тартиб дода шавад;f ) и н муодила хал карда шавад;д) халли ёфташуда ва чавоб мувофики шарти масъала

санчида шавад.Акнун ба муоинаи якчанд масъалахо cap мекунем.М а с ъ а л а и 1. Хонандагони синфи 6-ум барои

дастархони наврузй 70 дона себу нок хариданд. Микдори себ назар ба микдори нок 6 дона зиёдтар буд. Дар дастархони наврузй чанд дона себ ва чанд дона нок буд?

Х а л . Т а р з и я к у м . Агар микдори нок ба микдори себ баробар мебуд, он гох микдори умумй 6 дона зиёд, яъне 76 дона мешуд, ки онро ба 2 таксим намоем, микдори себ маълум мешавад, яъне 76:2=38 дона себ будааст. Пас, микдори нок ба 38 - 6 = 32 ё ки 70 - 38 = 32 дона баробар будааст.

С а н ц и ш . 38 + 32 = 70, 38 — 32 = 6.

179

Ба монанди х,амин, агар микдори нок ба микдори себ баробар мебуд, он гох микдори умумй 6 дона кам, яъне 64 дона мешуд, ки онро ба 2 таксим кунем, микдори нокхо мебарояд, яъне 64:2=32 дона нок будааст. Пас, микдори себхо ба 32+6=38 ё ки 70-32=38 дона баробар будааст. Ба ин тарзи хал расми 50 низ мувофикат мекунад. Микдори себу нокро бо порчахо тасвир мекунем.

А В 6 дона С------------------------------ 1-------------- 1себхо

Е-------------------------------------- 1нокхо

Расми 50Намоён аст, ки микдори умумии себу нок ба дукаратаи

микдори нок ва боз 6 дона баробар аст. Агар 6-ро аз 70 тарх карда, натичаро ба 2 таксим кунем, микдори нок мебарояд ва гайра.

Т а р з и д у ю м . Порчаи DE-po бо х ишорат мекунем, он гох порчаи АС ба х + 6 баробар мешавад. Азбаски AC+DE=70 аст, бинобар ин (х + б)+х = 70 мешавад. Аз ин чо 2х + 6 = 70, 2х = 7 0 -6 , 2х = 64, х = 64 :2 , х = 32 мебарояд, ки ин микдори нок мебошад. Пас, микдори себ 32+6=38 будааст.

М а с ъ а л а и 2. Суммаи ду адад ба 36 ва фаркаш ба 4 баробар аст. Ин ададхоро ёбед.

X, а л. Т а р 3 и я к у м . Мувофики шарти масъала як адад назар ба адади дигар 4 вохид зиёд аст. Бинобар ин агар адади хурдро хам баробари адади калон гирем, он гох адад ба 4 вохид зиёд ва ба 40 (36 + 4 = 40) баробар мешавад, ки онро ба 2 таксим кунем, адади калон мебарояд, яъне 40:2 = 20. Пас, адади калон ба 20 ва адади хурд ба 20-4, яъне ба 16 баробар мешавад.

С а н ч и ш. 20+16=36, 20-16=4.Т а р з и д у ю м . Адади хурдро бо х ишорат мекунем. Дар

ин маврид адади калон ба (х + 4) баробар мешавад, ки суммаи онхо ба 36 баробар аст, яъне х + (х + 4) = 36 . Аз ин чо 2х = 3 6 -4 , х = 3 2 :2 ,х = 16 ва х+4 = 16+4 = 20 мебарояд. Мо метаво- нистем, ки адади калонро бо х ишорат кунему раванди халро давом дихем.

М а с ъ а л а и 3. Оё як тангаи 3 сомониро ба 25 дона тангахои 10 ва 20 дирамй иваз кардан мумкин аст?

180

DI—

\ а л. Т а р з и я к у м . Азбаски ченакхои пул хархелаанд, онхоро ба як ченак меоварем. 3 сомонй ба 300 дирам баробар аст. Агар микдори тангахои 10 дирамиро бо х ишорат кунем, он гох микдори тангахои 20 дирамй ба (25 -х ) баробар мешавад. Пас, мувофики шарти масъала сохиби муодилаи 10х + (25 -х ) -20 = 300 мешавем. Х,амаи узвхои муодиларо ба 10таксим намуда, муодилаи х + (2 5 -х )-2 = 30-ро хосил мекунем. Дар ин чо кавсхоро кушода ба х + 5 0 -2 х = 30 сохиб мешавем, ки халлаш х = 20 мебошад. Пас, микдори тангахои 10 дирамй 20-то ва тангахои 20 дирамй 5-то мебарояд.

С а н ч и ш. 20-10 + 5-20=200 + 100 = 300. Пас, масъала дуруст хал карда шудааст.

Т а р з и д у ю м . Агар хамаи 25 дона танга аз тангахои 10 дирамй иборат бошад, он гох хамаи ин пул ба 25-10 = 250 (дирам) баробар мешавад, ки ин аз пули мавчуда 300-250 = 50 (дирам) кам аст. Ин фарк аз як микдор тангахои 20 дирамиро ба тангахои 10 дирамй иваз кардан хосил шуд. Азбаски фарки курби тангахои 20 дирамй ва 10 дирамй ба 10 дирам баробар аст, бинобар ин 50:10=5 микдори тангахои 20 дирамй аст. Дар хакикат, 5 дона тангахои 20 дирамиро ба 5 дона тангахои 10 дирамй иваз кунем, фарк 50 дирам мешавад.

Акнун хамаи 25 дона тангаро тангахои 20 дирамй фарз карда, масъаларо худатон хал кунед.

М а с ъ а л а и 4. Масофаи байни ду бандари дарё 45 км аст. Ин масофаро каик ба самти чараёни об дар 1,5 соат ва ба мукобили самти чараёни об дар 2,25 соат тай мекунад. Суръати чараёни об ва суръати каик дар оби ором ба чй баробар аст?

X ал. Т а р з и я к у м . Суръати каик ба самти чараён 45 км: 1,5 соат = ЗОкм/соат ва суръати каик ба самти мукобили чараён 45 км:2,25 соат=20 км/соат аст. Ними фарки ин суръатхо ба суръати чараёни об баробар аст (30-20):2 = 5, яъне суръатичараён 5 км/соат будааст. Пас, суръати каик дар оби ором ба 30-5 =25 км/соат баробар аст.

7 а р з и д у ю м . Суръати чараёни обро бо х ишорат мекунем. Азбаски суръати каик ба самти чараён 45 км: 1,5 соат= =30 км/соат аст, бинобар ин суръати каик дар оби ором (30-х) км/соат аст ва суръати каик ба мукобили самти чараён ба (3 0 -х ) -х , яъне (30-2х) км/соат баробар аст. Аз ин ру,

181

(30-2х)-2,25 км масофаи ба мукобили самти чараён тайкардаи каик мебошад, яъне ба 45 баробар аст:

(30-2 х )-2,25 =45, 3 0 - 2х = 45: 2,25,30-2х = 20, - 2х = 2 0 - 30 , -2 х = -10 , х = 5 .

Пас, суръати чараёни об 5 км/соат ва суръати каик дар оби ором 30 - х = 30 - 5 = 25, яъне 25 км/соат будааст.

Ин масъаларо дар синфи 7-ум боз бо тарзи дигар хдл мекунед.

М а с ъ а л а и 5. Суммаи ракамхои адади дуракама ба 11 баробар аст. Агар ба ин адад 63 чамъ карда шавад, адади дуракамае хосил мешавад, ки он аз ракамхои адади аввала бо иваз карда шудани чойи ракамхо таркиб ёфтааст. Он ададро ёбед.

X а л. Раками вохидии адади дуракамаи матлубро бо х ишорат мекунем. Он гох, раками дахиаш ( l l - х ) ва адади аввала дар намуди (11-х)-10.+ х тасвир мешавад. Адади бо тартиби баръакси хамон ракамхо навишташуда 10x + ( l l - x ) мешавад. Пас, (l 1 - х)-10 + х + 63 = 1 Ох + (l 1 - х) муодилаи халли масъалаи мо мебошад. Кавсхоро кушода, узвхои монандро ислох мекунем: 110-10х + х + 63 = 10х + 1 1 -х , 1 7 3 -9х = 9х + 11. Аз ин чо - 9 х - 9 х = 11-173 ва -18х = -162, 18х = 162, х = 162:18 = 9 хосил мешавад, яъне раками вохидии он адад ба 9 баробар будааст. Пас, раками дахиаш 11-х = 11-9 = 2 ва худи адади матлуб 29 мебарояд.

С а н ч и ш. 29+63=92. Масъала дуруст хал карда шудааст.М а с ъ а л а и 6. Кореро бригадаи якуми коргарон дар 18

руз ва бригадаи дуюм дар 24 руз тамом карда метавонад. Харду бригада дар як вакт ба кор cap карданд. Вале, баъди чанд руз бригадаи дуюмро ба кори дигар гузарониданд ва бригадаи якум кори бокимондаро дар 4 руз тамом кард. Бригадаи якум чанд руз кор кард?

X а л. Бо х рузхои кории бригадаи якумро ишора мекунем. Он гох харду бригада якчоя (х - 4) руз кор кард. Бригадаи якум

дар 1 руз -р- хиссаи тамоми корро ва бригадаи дуюм дар 1 руз1 О

хиссаи корро ичро мекунад. Пас, харду бригада якчоя дар 1

руз (jL + i ) ё ки I хиссаи корро ичро мекунанд. Онхо дар

182

(л:-4 ) рузи кори якчоя ~ ( х - 4 ) хиссаи корро сомон медиханд.

Бригадаи якум бошад, дар 4 рузи танхой 4 , яъне \ хиссаи1 о 9

корро ичро мекунад, ки бо хамин тамоми кор, яъне 1 хиссаи пурра ичро мешавад. Хамин тавр, мо сохиби муодилаи~ { х ~ л ) + ^ = \ мешавем, ки халлаш х = \2 мебошад. Хамин

тарик, бригадаи якум 12 руз ва бригадаи дуюм 8 руз кор кардааст.

С а н ц и ш. Бригадаи якум дар 12 руз -L - 12 ва бригадаи1 О

дуюм дар 8 руз - ^ - 8 хиссаи корро ичро кардааст ва суммаи

~ -1 2 + J j -8 бояд ба 1 баробар шавад. Дар хакикдт, -L-12 =1 о z4 1 о

= ! ! = — , 24 '8 = у ва -2- + 1 = 1 мешавад. Пас, масъала дуруст

хал карда шудааст.

662. Суммаи ду адад ба 48 ва фаркаш ба 2 баробар аст. Ин ададхоро ёбед.

663. Дар ду куттй 138 дона себ хает. Себхои куттии якум назар ба себхои куттии дуюм 2 баробар зиёд аст. Дар хар куттй чй кадарй себ хает?

664. Ададеро бо дучандаи худаш чамъ карда адади 51-ро хосил намуданд. Ин ададро ёбед.

665. Аз адади 32 ададеро тарх карданд, ки дар натича адади 25 хосил шуд. Ин ададро ёбед.

666. Аз адади 61 ададеро тарх карда, натичаашро ба 4 зарб карданд, адади 80 хосил шуд. Он ададро ёбед.

667. Суммаи ду адад ба 67 баробар буда, адади якум назар ба адади дуюм 2 маротибаву боз 1 вохид зиёд аст. Масъаларо бо тарзхои гуногун хал карда, ин ададхоро ёбед.

668. Периметри секунчаи баробартараф ба 48 см баробар аст. Тарафи секунчаро бо тарзхои гуногун хисоб кунед.

669. Дар зарфи дуюм назар ба зарфи якум 2 маротибаву боз 4 кг зиёдтар равган хает. Агар аз зарфи дуюм 31 кг равганрогирифта, ба зарфи якум резем, он гох равгани харду зарфхо баробар мешавад. Дар зарфхо чй кадарй равган буд?

183

670. Хонандагони синфи 6-ум 48 адад китоби дарсии забони модарй, адабиёт ва математика гирифтанд. Китоби забони модарй назар ба китоби адабиёт 2 маротиба зиёд ва назар ба китоби математика 2 адад зиёд аст. Аз хдр кадом китоб чанд донагй гирифтаанд?

671. Периметри майдони росткунчашакл 252 м буда, бараш назар ба дарозиаш 17 м кутохтар аст. Тарафхои майдонро ёбед.

672. Аз ду махалле, ки масофаи байнашон 44,8 км аст, дар як вакт, ду сайёх ба пешвози якдигар сафар карда, баъд аз 6,4 соат ба хамдигар вохурданд. Баъди 5 соати ба рох баромаданашон масофаи байни онхо чй кадар буд?

673. Чурабек барои хамаи шарикдарсонаш як микдор канд овард. Агар ба хар як хонанда 3 донагй канд дихад, он гох 7 дона канд бокй мемонад ва агар 4 донагй канд дихад, 7 дона канд намерасад. Синф чанд нафар хонанда дошт?

674. Нархи китоб аз пуле, ки ман дорам, 50 дирам кам, вале аз ними пулам 80 дирам зиёд аст. Ман чй кадар пул дорам ва китоб чанд пул меистад?

675. Падар аз писар 36 сол калон аст. Синни писар ба у хиссаи

синни падар баробар мебошад. Синни падар ва писарро ёбед.

676. Х,оло модар 28-сола ва духтар 4-сола аст. Баъди чанд сол синни модар 4 баробари синни духтар мешавад?

677. Ададеро фикр карда, ба он 4-ро чамъ намуда, натичаро 6 маротиба зиёд кунам ададе хосил шуд, ки он аз адади фикркардаи ман 7 маротиба калон буд. Кадом ададро фикр карда будам?

678. Булаи дарозиаш 7,6 метрро ба 2 кием чунон таксим карданд, ки яке аз дигаре 1,4 м дарозтар шуд. Дарозии хар як кисмро ёбед. Масъаларо бо тарзхои гуногун хал кунед.

679. Дар ду тахт 120 дона фанер буд. Вакте, ки аз хар як тахт бамикдори баробар фанер гирифтанд, дар тахти якум 44 дона ва дар тахти дуюм 36 дона фанер бокй монд. Дар хар тахт чанд донагй фанер буд?

680. Суммаи се адади чуфти пай дар пай ба 0 баробар аст. Онхокадом ададхоянд?

681. Каик ба самти чараёни дарё 2 соат харакат карда, барои тай кардани рохи бозгашт 3 соат вакт сарф кард. Агар

184

суръати чараёни дарё 2,5 км/соат бошад, суръати каик дар оби ором чй кадар аст?

682. Вакте, ки панчяки шамъ ва боз 10 сантиметри он сухт, 10 смшамъ бокй монд. Шамъ аввал чй кадар дарозй дошт?

683. Ба касри ^ кадом ададро чамъ кардан лозим аст то ки

касри j хосил шавад?

684. Нисфи адад аз сеяки хамон адад 1 вохид кам аст. Ин кадомадад бошад?

685. Микдори китобхои рафи китобмонии якум назар ба микдори китобхои рафи дуюм 2 маротиба зиёд аст. Агар аз рафи якум 15 дона китобро гирифта ба рафи дуюм гузорем, микдори китобхои харду раф баробар мешаванд. Дар хар раф чандтогй китоб буд?

686. Ду хочагии дехконй якчоя 100 га замин доштанд. 0,6 хиссаизамини хочагии якум ба 0,9 хиссаи замини хочагии дуюм баробар буд. Х,ар як хочагй чй кадарй замин дошт?

687. Оё чунин киматхои бутуни номаълуми х мавчуданд, кибарои онхо ифодаи касри дуруст шавад?

688. Автомобили боркаш аз шахри Кулоб бо суръати миёнаи 40 км/соат харакат карда, ба суи шахри Душанбе равона шуд. Баъди 1 соат мошини сабукрав бо суръати миёнаи 60 км/соат аз паси вай равона гашт. Баъди чанд вакт онхо масофахои баробарро тай мекунанд?

689. Мувофики речаи пешакй киштукори хочагй бояд дар 21 рузанчом меёфт. Хочагй меъёри киштро хамаруза ба 15 га зиёд карда, киштро дар 14 руз ба охир расонд. Хар руз чй кадарй кишт карданд?

690. Дар маргзор мургу гусфандон мечариданд. Мо шумурдем -хамаи онхо 60 cap ва 144 пой доштанд. Шумо гуед, ки дар он чо чанд cap мургу чанд cap гусфанд буд?

691. Дар як систерна 58 т ва дар систернаи дигар 60 т бензин хает. Дар хар як дакика аз систернаи якум 0,4 т ва аз систернаи дуюм 0,6 т бензин мегиранд. Баъди чанд вакт бензини харду систернахо баробар мешавад?

692. Суммаи ду адад ба 48 баробар аст. Вакте, ки аз адади калонJj- хиссаашро тарх карда, хамин -L хиссаро ба адади хурд

185

чамъ намудем, ададхои баробар хосил шуданд. Он ададхоро ёбед.

693. Суммаи ду адад ба 36 баробар аст. Вакте, ки адади калонроба адади хурд таксим намудем, дар хосили таксим 3 ва дар бакия 4 хосил шуд. Он ададхоро ёбед.

694. 500 кг мехро ба 30 адад куттй чой доданд, ки ба хар кадомаш 16 ё 17 кг мех мегунчид. Ба чанд куттй 17 килограммй мех андохтанд? Масъаларо бо тарзхои гуногун хал кунед.

695. Суммаи ду адад ба 2007 баробар буда, адади якум назар баадади дуюм 453 вохид зиёд аст. Ин ададхоро ёбед. Масъаларо бо тарзхои гуногун хал намоед.

696. Харочоти истгохи баркии Сангтуда-2 ба микдори 236 миллион доллари амрикой пешбинй гардидааст. Дар ин чо маблаггузории Чумхурии исломии Эрон назар ба маблаг- гузории Чумхурии Точикистон 4,5 маротиба зиёд ва маблаггузории манбаъхои дигар назар ба Чумхурии Точикистон 2,5 маротиба камтар аст. Маблаггузории хар як чонибро муайян кунед.

697. Илхом аз Парвиз 2 сол калон, Парвиз аз Сарвиноз 4 сол калон, Алй аз Парвиз 3 сол калон аст. Алй калон аст ё Илхом? Агар синни якчояи Илхом, Парвиз ва Алй 38 сол бошад, Илхом, Парвиз ва Алй чандсолаанд? Оё масъала шарти зиёдатй дорад?

698. Агар решай муодилаи 2*-2007 = 1851-ро ёбед, вай дар кадом сол ба шахри Душанбе аввалин маротиба омадани поездро нишон медихад.

699. Намудхои бунафшахои дунё аз намудхои бунафшахои Точикистон 29 маротибаву боз 1 намуд зиёдтар аст. Агар дар дунё 494 намуд бунафша руяд, дар Точикистон чанд намуд бунафша меруяд?

700. Микдори хуни дар 1 соат аз дили одам мегузаштаро ба худаш чамъ карда, натичаро 12 маротиба зиёд кунем, 7200 литр мешавад. Дили одам дар 1 дакика чй кадар хун мегузаронад?

701. Агар накби Анзоб намебуд, мо аз даромадгох то баромадгохи накб, ба воситаи агба масофаеро тай мекардем, ки он назар ба рохи дохили накб 13,6 маротиба дарозтар мебуд. Агар ин масофа якчоя бо масофаи дохили накб 73 км-ро ташкил дихад, рохи харакат чй кадар кутох шудааст?

186

702. Дар одам 20000 хел мохй хает. Хели мох,их.ои Точикистон аз хели мохихои олами берун аз Точикистон 399 маротиба кам аст. Дар обхои Точикистон чанд намуд мохй хает?

703. Массаи якчояи 1000 дона наск ва 500 дона нахуд ба 165 г баробар шуд. Агар массаи 1 дона нахуд аз массаи 1 дона наск 20 маротиба зиёд бошад, массаи 10 дона нахуд ва 100 дона наск чй кадар мешавад? Масъаларо бо тарзхои гуногун хал кунед.

704. Баъди ба анчом расидани истгохи баркии Сангтуда-2 баобанборхои Кайроккум ва Сангтуда-2 якчоя 70,2 км3 об мегунчад. Агар обанбори Сангтуда-2 назар ба обанбори Кайроккум 15 маротиба калон бошад, ба хар яки ин обанборхо чй кадарй об мегунчад?

705. 1 кг каду ва 1 кг афлесун якчоя 200 г канд дорад. Агар нисбати канднокии каду ва афлесун чун 11:9 бошад, 1 кг каду ва 1 кг афлесун чй кадарй канд дорад?

Худро бисанчед

1- Дар кадом баробарихо чамъшавандахои монанд нодуруст ислох карда шудааст?

а) - 6х + 4х + 7 х -2 х = -Зх ; б) 4 а - 2,1а + 0,2а = 1,5а .А) а) В) б)

2* Решай муодилаи Зх - 4 = 2х +1 -ро ёбед.А) (-5) В) 3 С) 5

3- Кадоме аз муодилахои зерин баробаркувваанд?а ) 2 х - 4 = 3 х -6 ; б) х - 1 = 2х - 4; в) Зх-1 = 5 х -7 .

А) а) ва б) В) а) ва в) С) б) ва в)4- Агар дар муодилаи ах -Ь адади а = 0 шавад, оё ин

муодилаи хаттии дарачаи якум мешавад?А) Ха В) Не

5- Оё муодилаи 0 - х = 1 хал дорад?А) Не В) Ха

6. Агар як тарафи муодиларо ба 3 ва тарафи дигарашро ба 4 зарб кунем, оё решай муодила дигар мешавад?

А) Ха В) Не7- Агар чамъшавандахоро аз як тараф ба тарафи дигари

муодила гузаронем, оё решай муодила дигар мешавад?А) Ха В) Не

187

8. Агар хдрду тарафи муодиларо ба хдмон як адади гайриноли зарб кунем, оё решай муодила дигар мешавад?

А) Не В) Х,а9. Агар харду тарафи муодиларо ба хамон як адади гайриноли

таксим кунем, оё решай муодила дигар мешавад?А) Х,а В) Не

Ю. Решай муодилаи 5 х -8 = 3(х-2) кадом аст?А) (-1) В) 1 С) 3

11. Суммаи ду адад ба 16 баробар буда, адади якум назар ба адади дуюм 4 вохид зиёд аст. Адади дуюмро ёбед.

А) 4 В) 6 С) 1012. Ба 1 сомонию 25 дирам барои хонандагони синфи 6-ум 22

дона калами 5 ва 6 дирамй хариданд. Чанд дона калами 6 дирамй хариданд?

А) 7 дона В) 15 дона С) 25 дона

Машкхо барои кори мустакилонаВарианти 11. Муодилаи 18,5 - (3,5 - х) = 12 -ро хал кунед.2. Муодилае тартиб дихед, ки он ба муодилаи 2 - (0 ,3 -х ) =

= 1,8 - х баробаркувва бошад.3. Хонандагон 93 кг себи боги мактабро ба 2 куттй чунон чой

доданд, ки себи куттии якум назар ба себи куттии дуюм 5 кг зиёд буд. Себи куттии якум чанд килограмм буд? Масъаларо бо тарзхои гуногун хал кунед.

Варианти 21. Муодилаи 2,6 - (1,1 + х) = 3,5 + 4х -ро хал кунед.2. Муодилае тартиб дихед, ки он ба муодилаи х + (2,7-2х) =

= -4,3 баробаркувва бошад.3. Дар ду зарф 127 л бензин буд. Агар бензини зарфи дуюм

назар ба бензини зарф якум 17 л зиёдтар бошад, дар хар зарф чй кадарй бензин буд? Масъаларо бо тарзхои гуногун хал кунед.

Варианти 31. Муодилаи 3(0,2х - 3) = 0,4х + 5 -ро хал кунед.2. Муодилае тартиб дихед, ки он ба муодилаи 3,6х-54 =

= 2,4х + 30 баробаркувва бошад.

188

3. Адади дуракдма бо раками 3 тамом мешавад. Агар чойи ракамхои онро иваз кунем, ададе хосил мешавад, ки он аз адади аввала 36 вохид кам аст. Адади авваларо ёбед.

Варианти 41. Муодилаи 2 + 2х = 3 -ро хал кунед.

2. Муодилае тартиб дихед, ки он ба муодилаи 0,5 - ( х - 2,5)= = 4 - 2х баробаркувва бошад.

3. Каик ба самти чараёни об бо суръати 15 км/соат харакатмекунад. Агар суръати чараёни об 2-^ км/соат бошад,

суръати каик ба мукобили чараёни об чй кадар аст?

Маълумоти таърихйМаъхазхо гувохй медиханд, ки одамон хануз 4000 сол пеш

ба хал кардани муодилахои дарачаи якум маютул будаанд. Масалан, дар папируси Мисрии 2000 сол пеш аз солшумории мо навишта шуда, ки онро Мирзо Ахмас навиштааст, дар бораи ёфтани адади номаълум масъалахо мавчуданд. (Дар баъзе маъхазхо чун папируси Ринд номбар мешавад, зеро онро дар асри XIX Ринд ном англис харида ба Лондон бурдааст). Ана якеаз он масъалахо: « -| хиссааш чамъ ва 1 хиссааш тарх карда

шудааст; бокимонда 10». Аз руи халли дар папирус овардашуда бармеояд, ки «ба адади номаълум у хиссааш зам карда шуд ва

j хиссаи хосили чамъи пайдо шуда тарх гардид; бокимонда 10;

ададро ёбед».Навишти хозираи ин масъала x + j x - l(x + -2-x|= 10 аст, ки

халлаш х - 9 мебошад.Масъалахо оид ба хал кардани муодилаи дарачаи якуми

якномаълума дар китоби якуми «Арифметика»-и Диофант, ки аз 13 китоб иборат буд ва ба асри III-и солшумории мо рост меояд, бисёр вомехуранд. Дар ин китоб хатто масъалахое мавчуд аст, ки ба хал кардани онхо на хар кас кодир аст. Мана яке аз онхо: «Адади дуракамаеро ёбед, ки он ба дучандаи хосили зарби ракамхояш баробар бошад».

189

Математики х,инд Брамагупта дар соли 628 асари илмии худро иборат аз 20 китоб навишт, ки дар онхо хал кардани муодилахо баён ёфта буданд. Вале хамаи он гузаштагон масъалахоро ба таври худ хал мекарданд.

Коидаи умумии хал кардани муодилахои дарачаи якуми якномаълумаро дар асри IX намояндаи аждоди мо Абу Абдуллох Ч,аъфар Мухаммад ибни Мусо ал-Хоразмй (783-850) баровардааст. Вай дар китоби «Ал-чабр в-ал мукобала»-аш тарзи халли муодилахоро додааст. Ал-чабр маънои онро дорад, ки агар дар муодила узвхои манфй мавчуд бошад, он гох ба харду тарафи муодила узвхои ба онхо мукобилро зам кардан лозим, ки дар нагича аломатхои хамаи узвхои муодила мусбат мешавад. Масалан, муодилаи 4 х - 11 = Зх- 7 дода шудааст. Агар мо ал-чабрро татбик кардани бошем, ба харду тарафи муодила11 ва 7-ро чамъ мекунем. Дар натича 4х + 1 = Зх + \ \ хосил мешавад. В-ал мукобала маънои онро дорад, ки аз харду тарафи муодила узвхои якхеларо тарх карда, онро ба намуди сода овардан мумкин аст. Акнун в-ал мукобаларо ба харду тарафи муодилаи охирин кор мефармоем, яъне аз харду тараф Зх ва 7- ро тарх мекунем ва сохиби х = 4 мешавем, ки ин халли муодила аст. Ин кашфиёти ал-Хоразмй ба ташаккули математикаи Шарку Гарб таъсири калон расонид. Дар зери таъсири ин кашфиёт як зумра математикони хоразмй дар асрхои X-XIII ба воя расида, аз худ мероси гаронмоя бокй гузоштанд. Яке аз онхо Абуабдуллох Мухаммад ибни Ахмад ибни Юсуф ал- Хоразмй мебошад, ки асари энсиклопедии «Мифтоху-л-улум»- ро навиштааст ва «Хисоб ал-чумал», яъне «абчад» дар он низ хотиррасон шудааст. Академик И.Ю.Крачковский «Мифтоху-л- улум»-ро яке аз маъхазхои завковартарин барои ворид шудан ба хамаи чихатхои хаёти хамон замон номидааст.

Намояндаи дигар Абу Наср Мансур ибни Алй ибни Ирок мебошад (асрхои X-XI), ки вай муаллим ва тарбиятгари Абу Райхон Берунии бузург будааст. Кашфиёти ибни Ирокро, дар сохаи математика, Насирудцини Туей (асри XIII) бисёр хотиррасон кардааст.

190

БОБИ VII. СИСТЕМАМ КООРДИНАТАХОИ РОСТКУНЧА

61. Аксиомам асосии хати рост.

Бурида шудани хат\ои рост

Аксиома гуфта тасдикртеро меноманд, ки ба дурустиаш шубх;ае нест. Нукта, хати рост ва хдмворй бо аксиомахои зерин ба якдигар алокаманданд:1) Новобаста аз мавкеи хати рост нуктае хает, ки ба ин хати

рост тааллук дорад ва нуктае хдст, ки ба он тааллук надорад (расми 51).

2) Аз болои ду нуктаи дилхох, факат як хати рост гузаронидан мумкин аст (расми 52).

•В_______ а _________________ а А__________ В________а_

Расми 51 Расми 523) Аз се нуктаи дилхохи гуногуни мутааллики хати рост факат

яктояш дар байни дутой дигараш мавкеъ мегирад (расми 53).4) Агар ду нуктаи гуногуни хати рост мутааллики хдмворй

бошанд, худи хати рост дар ин хдмворй мехобад (расми 54).

Расми 53 Расми 54

5) Хати рости мутааллики хдмворй ин хдмвориро ба ду нимхдмворй чудо мекунад (расми 54).

6) Аз болои се нуктаи гуногуни дар як хати рост нахобанда факат як хамворй гузаронидан мумкин аст (расми55).

Агар ду хати рост факат як нуктаи умумй дошта бошад, мегуянд, ки онхо бурида мешаванд ва агар онхо нуктаи умумй надошта бошад, онхо бурида намешаванд (расми 56).

191

а

b

А•В

•СРасми 55 Расми 56

Дар расми 56 хатхои рости с ва d бурида мешаванд, вале хатхои рости а ва Ъ бурида намешаванд.

706. Дар хати рост як нукта ва берун аз хати рост нуктаи дигарро кайд кунед.

707. Дар дафтаратон ду нуктаи гуногунро кайд карда, аз болоионхо хати рост гузаронед. М агар ин хати рост ягона аст?

708. Хати росте кашида, дар он нуктахои А ва В-ро кайд кунед.Дар байни нуктахои А ва В нуктаи С-ро ба кайд гиред.

709. Дар хати рост нуктахои А ва В-ро кайд карда, нуктаи С-ро дар он хати рост чунон гузоред, ки:а) нуктаи В дар байни нуктахои А ва С мавкеъ гирад;б) нуктаи А дар байни нуктахои В ва С чойгир шавад.

710. Чор нукта чунон кайд карда шудааст, ки хеч кадоми сетои он дар як хати рост намехобад. Аз болои хар як чуфти нуктахо хати рост гузаронед. Х,амагй чанд хати рост хосил мешавад?

711. Се хати ростро чунон гузоред, ки онхо:а) як нуктаи буриш дошта бошад;б) ду нуктаи буриш дошта бошад;в) се нуктаи буриш дошта бошад.

712. Нуктахои А, В, С, D-po чунон кайд кунед, ки нуктахои А. В, С дар як хати рост хобанд ва D берун аз ин хати рост монад. Аз болои хар як чуфти он нуктахо хатхои рост гузаронед. Чанд хати рост хосил шуд?

713. Хати рости АВ дода шудааст. Нуктахои С ва D дар ду тарафи ин хати рост мавкеъ гирифтаанд. Дар хати рости АВ чунин нуктаи Е-ро ёбед, ки суммаи масофахои АЕ ва ЕВ хурдтарин шавад.

192

714. Нуктах,ои А, В, С дар як хати рост мехобанд. Маълум аст, ки АВ=2,6 см, АС=8,3 см, ВС=5,7 см мебошад. Оё метавонад, ки:1) Нуктаи А дар байни нуктахои В ва С хобад?2) Нуктаи С дар байни нуктахои А ва В хобад?3) Нуктаи В дар байни нуктахои А ва С хобад?

715. Нуктахои А, В, С дар як хати рост мехобанд. Агар АВ=3,7 дм, ВС=4,5 дм бошад, дарозии порчаи АС-ро ёбед. Хамаи халхои масъаларо муайян кунед.

62. Хатхои рости перпендикулярАгар ду хати рост бо х^амдигар бурида шуда кунцх;ои рост

(90°)- ро ташкил дих^анд, онхоро хаткой рости перпендикуляр меномем.

Дар расми 57 хатхои рости перпендикуляри а ва b тасвир шудааст. Перпендикулярии хатхои рост-

а ро бо аломати _L ишорат мекунем, яънеa l b . Хонданаш ин тавр аст: хати рости а ба хати рости Ъ перпендикуляр аст ё

^ хати рости а перпендикуляри хати рости b мебошад. Барои сохтани хатхои рости перпендикуляр аз гунё, онро секунчаи накшакашй низ меноманд, истифода мебарем (расми 58). Агар бо транспортир кунчи 90° -ро созем, тараф-

хои ин кунч ба хамдигар перпендикуляр мешаванд (расми 59).

Расми 58 Расми 59

13 - 12193

Агар аз нуктаи берун аз хати рост ба ин хати рост перпендикуляр гузаронидан лозим бошад, инро бо транспортир ичро карда наметавонем. Дар ин маврид гунё ба мадади мо меояд (расми 60). Аз нуктаи кайд кардашуда ба хати рости маълум факат як перпендикуляр гузаронидан мумкин аст.

Порчах,о, инчунин нурх,оро ба хдмдигар перпендикуляр меноманд, ки агар онхо дар хатх,ои рости перпендикуляр вокеъ бошанд. Масалан, порчаи АВ дар хати рости а ва порчаи CD дар хати рости b вокеъ буда, a _L Ъ. Бинобар ин АВ _L CD (расми 61).

Аа

В .

С D Ъ

Расми 60 Расми 61

Агар хати рости а дода шуда бошад, берун аз он нуктаи А-ро кайд мекунем. Аз нуктаи А порчаи АВ-и ба хати рости а перпендикулярро мегузаронем. Боз порчаи дигари АС-ро мегузаронем (расми 62). Мебинем, ки порчаи АВ нисбат ба порчаи АС кутох,тар аст. Дарозии порчаи перпендикуляри аз нуктаи берун аз хати рост ба ин хати рост гузаронидашударо масофаи

байни нук,та ва хати рост меноманд. Мувофики расми 62 масофаи байни нуктаи А ва хати рости а ба дарозии порчаи АВ баробар аст. Нуктаи В-ро асосии перпендикуляр меномем.716. Аз нуктаи А хати росте гузаронед, ки он ба хати рости а

перпендикуляр бошад (расми 63).717. Аз нуктаи В хати росте гузаронед, ки он ба хати рости b

перпендикуляр бошад (расми 64).

Расми 62

194

718. Дар соатхои 3 ва 9 акрабакхои соат кадом кунчро ташкил медиханд? (Расми 65).

Расми 66

719 Ду диаметри дилхохи ба хамдигар перпендикуляри давраро гузаронед. Ин корро бо кадом асбобхо ичро карда метавонед?

720. ДУ хордаи дилхохи ба хамдигар перпендикуляри давраро гузаронед. Ин корро бо кадомасбобхо ичро карда метавонед?

721. Аз куллаи В-и секунчаи ABC порчаи ба тарафи АС перпен­дикуляри BD гузаронед (расми 66) ва бо ёрии транспортир кунчхои ADB ва CDB-po чен кунед. Оё онхо кунчхои рост мебошанд?

722. Бо ёрии транспортир кунчи кушодро ба ду кунчи рост чудокунед. Дурустии коратонро бо гунё санчед.

723. Радиуси давраро гузаронед. Дар охири радиус бо назардидхати росте гузаронед, ки ба давра расанда бошад. Мо медонем, ки расанда дар нуктаи расиш бо радиус кунчи ростро ташкил медихад. Дурустии коратонро бо кадом асбоб месанчед?

724. Нуктаи С куллаи кунчи рост аст. Аз нуктаи С cap карда, дар тарафхои кунч порчахои баробари СА ва СВ-ро гузоред. Дар нуктаи А ба тарафи АС перпендикуляр карда ва дар нуктаи В ба тарафи ВС перпендикуляр карда хатхои рост гузаронед. Кадом шакли ба шумо маълум хосил шуд?

725. Кунчи ABC ба 36° баробар буда, аз куллаи В нурхои ВМ ваBN-и ба тарафхои кунч перпендикуляр гузаронида

195

шудааст. Бузургии кунчи MBN-po муайян кунед. Масъала чанд хал дорад?

726. Агар Z АОВ = Z АОС = 45° бошад, оё хатхои рости ОВ ва ОС ба хамдигар перпендикуляр мешаванд?

727. Агар Z АОВ = 32° ва ZA O C = 58° бошад, оё хатхои рости ОВ ва ОС ба хамдигар перпендикуляр мешаванд?

728. Хати рости АВ ва берун аз он нуктаи С-ро гирифта, масофаи байни нуктаи С ва хати рости АВ-ро чен кунед.

729. Давра кашида дар он нуктахои дилхохи А, В, С ва М-ро кайд кунед. Аз нуктаи М ба хатхои рости АВ, АС ва ВС порчахои перпендикулярй гузаронед. Асосхои ин перпен- дикулярхоро бо хаткашак пайваст карда, боварй хосил намоед, ки хамаи онхо дар як хати рост мехобанд.

63. Хатхои рости параллелД у хати рости хамдигарро набурандаи хамворй хатхои

рости параллел номида мешаванд (расми 67). Агар хати рости а ба хати рости Ь параллел бошад, allb менависанд ва ин тавр мехонанд: хати рости а параллели хати рости Ь аст ё ки хати рости а ба хати рости Ъ параллел аст. Порчахои дар хати рости параллел вокебуда ба хамдигар параллел мешаванд (расми 68).

а: А В

__________________Ь ________ С____________D___

Расми 67 Расми 68Хатхои рости а ва i -и дар расми 67 тасвир ёфта, ба

хамдигар параллеланд. Порчахои АВ ва CD-и дар расми 68 тасвир ёфта низ, ба хамдигар параллеланд, ки онхоро чун allb, АВ IICD менависем. Ду хати рости ба хати рости сеюм перпендикуляр буда байни худ параллеланд (расми 69). Хатхои рости а ва b ба хати рости с перпендикуляранд. Азбаски аз як нукта ба хати рост ду перпендикуляр гузаронидан мумкин нест, бинобар ин хатхои рости а ва b хамдигарро намебуранд, яъне а ба b параллел мешавад. Хатхои рости параллелро бо ёрии хаткашак ва хам гунё мегузаронанд.

196

с

а

Ъ

Расми 69

Расми 70

Агар мо сохтани хатхои рости параллелро максад гузорем, ин корро бо ёрии танхо як хаткаша- ки дутарафа (расми 70) ё як хаткашаки дилхоху гунё ичро карда метаво­нем (расми 71). Дар расми 70 хатхои рости а ва b ба хамдигар параллеланд. Масофаи байнашон ба бари хаткашак баробар аст. Дар расми 71 АВ П CD, M N / / E F .

Агар талаб карда ша­вад, ки хати рости ба хати рости додашуда параллел­ро гузаронед, он гох гунё- ро чунон мегузорем, ки як тарафи кунчи рости он бо хати рости додашуда хам- чоя шавад ва ба тарафи дигари кунчи росташ хат- кашакро чафс гузошта, аз руи он гунёро мелагжонем (расми 71). Агар талаб карда шавад, ки аз нуктаи додашуда ба хати рости додашуда параллел карда хати рост гузаронед, он

гох боз ба расми 71 мурочиат мекунем, яъне як тарафи кунчи рости гунёро бо хати рости додашуда хамчоя мекунем ва ба тарафи дигари кунчи рости гунё хаткашакро чафс гузошта, то аз болои нуктаи додашуда гузаштани тарафи якуми кунч гунёро мелагжонем ва хати рост мекашем.

Аз нукрпае, ки берун аз хати рост вокрст ба хати рости додашуда параллел карда фацат як хати рост гузаронидан мумкин аст.

Инро хосияти асосии хатхои рости параллел меноманд.

Расми 71

197

/30. Бо ёрии хаткашаки дутарафа хатхои рости параллел кашед.731. Бо ёрии гунё ва хаткашак хатхои рости параллел кашед.732. Бо ёрии ду гунё хатхои рости параллел кашед.733. Бо ёрии асбобхо параллелии хатхои рости дар расми 72

тасвиршударо санчед.

734. Бо ёрии гунё ва хаткашак хати ростеро созед, ки он аз нуктаи додашуда гузашта ба хати рости додашуда параллел шавад.

735. Росткунчае созед. Барои чй тарафхои мукобили росткунча ба хамдигар параллеланд?

736. Секунчае созед. Аз хар як куллаи он хати росте гузаронед, ки он ба тарафи секунча параллел бошад.

737. Хати рости а -ро кашида, дар он нуктахои А, В ва С-ро кайд кунед. Аз нуктахои А, В, С хатхои росте гузаронед, ки онхо ба хати рости а перпендикуляр бошанд. Оё ин се хати рости охирин ба хамдигар параллел мешаванд?

738. Хати рости а ва берун аз он нуктаи А дода шудааст. Аз нуктаи А ду хати рости гуногунро гузаронед. Оё мумкин аст, ки акаллан яке аз ин хатхои рост хати рости а -ро набурад?

739. Секунчаеро сохта дар тарафи он ягон нуктаеро кайд кунед. Аз ин нукта хатхои росте гузаронед, ки онхо ба ду тарафи дигари секунча параллел бошанд.

740. Ду хати рости параллел хамвориро ба чанд кисмхо чудо мекунад?

741. Росткунчае созед. Дар дохили вай нуктаеро кайд кунед. Аз ин нукта хатхои росте гузаронед, ки онхо ба тарафхои росткунча параллел бошанд. Оё ин хатхои рост ба хамдигар перпендикуляранд?

198

УА

1-

1О

-1 -

Расми 73

742. Ду хати рости ба хамдигар перпендикуляр хдмвориро ба чанд кисмхо чудо мекунад?

743. Кадом тегахои параллелепипеди росткунча ба якдигар: а) параллел мебошанд? б) перпендикуляр мебошанд?

64. Системам координатахои росткунча дар хамворй

Мо мавкеи нуктаро дар хати рости координатй муайян карда метавонем. Акнун нишон медих,ем, ки мавкеи нуктаро дар хамворй чй тавр муайян кардан мумкин аст. Бо ин максад дар хамворй ду хати рости координаторе ба хамдигар перпендикуляр

карда мегузаронем (расми 73). Нуктаи буришашонро бо О ишора намуда, онро ба сифати нуктаи сархисоб кабул мекунем ва ибтидои координаторе меномем. Худи хатхои рости координатй дар якчоягй системаи координаторе ном доранд. Хати рости ко- ординатии горизонталиро тири абссиссаро номида, одатан, бо Ох (х) ишора мекунанд. Хати

яъне хати рости вертикалиро тири ординатаро Оу (у) ишора мекунанд. Хардуи ин тирро дар

якчоягй системаи росткунцаи коорди- натахо меноманд. Хдмворие, ки дар он системаи коор- динатахо чой дода шудааст, хамвоРии координатй номида мешавад. Вай ба воситаи тирхои ко­ординатй ба чоряк- хои I, И, III, IV чу­до мегардад (расми 75).

рости дуюм. номида, бо

У

199

Барои муайян кардани мавкеи нуктаи, масалан, М аз ин нукта ба тирхои координатахо перпендикуляр карда, мувофика- кан порчахои МА ва МВ-ро мегузаронем (расми 74). Агар асоси перпендикуляри МА дар тири абссиссахо адади 2 ва асоси перпендикуляри MB дар тири ординатахо адади 3-ро нишон дихад, пас мавкеи нуктаи М-ро бо як чуфт ададхои 2 ва 3 муайян кардан мумкин аст, ки ин чуфти ададхоро координатами нуктаи М меноманд. Инро дар намуди М (2; 3) менависем, яъне абссиссаи нуктаи М ба 2 ва ординатааш ба 3 баробар аст. У му ман координатахои нуктаи дилхохи М-ро бо M(x;jy) ишора менамоем. Акнун мавкеи нуктахои N, Е ва F-poмуайян мекунем. N ( - 3; 2), Е ( - 2; — 3), / ^ ( ^ - З ) . Чй хеле, кимебинем, координатахои нукта дар чоряки I мусбат, абссиссаи нукта дар чоряки II манфй, ординатааш мусбат, координатахои нукта дар чоряки III харду манфй, абссиссаи нукта дар чоряки IV мусбат, ординатааш манфй мебошад. Инро дар расми 75 кайд мекунем.

у у

в .

1 ■

— 3 - 2 -1

К •

-1- 2

С ■3”

щА-.Е

О 1 ->х

•D

Расми 76

Системаи росткунчаи координатахои дар ин чо муоина- шударо бо номи олими фаронсавй Рене Декарт (1596-1650) системаи координатахои декартй номгузорй кардаанд. Ин системаро аввалин маротиба вай истифода бурдааст.

М и с о л и 1. Координатахои нуктахои А, В, С, D-po дар хамвории координатй муайян кунед (расми 76). Дар хамин раем мавкеи нуктахои Е( 2; 2,5), F { - 3; l), К ( - 2 ; - 2 ) , 0 (0 ; 0)-ро кайд кунед.

200

-V а л. Ба раем назар карда муайян мекунем, ки абссиссаи нуктаи А ба 1 ва ординатааш ба 3 баробар аст. Пас, А(1; 3) менависем. Ба монанди хамин В ( -2 ; 2,5), С ( - 1,5;-2,5),^>(1,5; -1 ,5) мешавад. Акнун нуктаи Е-ро месозем: 2 вохид ба самти мусбати тири абссиссахо (Ох), 2,5 вохид ба самти мусбати тири ординатахо (Оу) меравем. Дар буриш нуктаи Е мавкеъ мегирад. Ба монанди хамин нуктахои F, К -ро месозем. НуктаиО чун буриши тирхои координатй аллакай сохта шудааст. Абссисса ва ординатаи вай ба 0 баробаранд.

М и с о л и 2. Агар Л ( - 1; 4), В ( - 3; 2), С (- 3; 7),£>(— 1; - 2) бошад, оё порчахои АВ ва CD хамдигарро мебуранд?

Л а л. Агар дар системаи росткунчаи координатахо нуктахои А ва В-ро сохта, онхоро пайваст кунем, порчаи АВ хосил мешавад (расми 77). Акнун нуктахои С ва D-po сохта онхоро бо хаткашак пайваст мекунем ва мебинем, ки порчаи CD порчаи АВ-ро мебурад.

М и с о л и 3. Системаи росткунчаи координатахоро кашед ва нуктахои А(0; 2), В(-3; 0), С(0; -3), D(4; 0), Е(0; 1), F(—1; 0), К(0; -1), Ц2; 0) М(2; 2), N(-2; -2), Р(-2; 3), R(2; -3)-ро созед.

201

Х а л . Абссиссаи нуктаи А ба 0 ва ординатааш ба 2 баробар аст. Бинобар ин барои сохтани нуктаи А аз ибтидои координатахо кад-кади тири ординатахо 2 вохид ба боло мебароем. Х,амин чо нуктаи А мавкеъ мегирад (расми 78). Ба монанди х,амин хамаи нуктахои дигарро хам месозем.

744. Координатахои нуктахоиУ

i : г

- I 1 1 1 1 1 ^ -

•Dс *

Расми 79

А, В, С ва D-po хонед (расми 79). Нуктахои Е (2; 3), F (-2; 2), К (-2; -1), L (3; — 1)-ро созед.

745. Системаи росткунчаи координатахоро кашед ва дар он нуктахои А (-2; -1), В (2; 3), С (-1; 2), D (2; -3),Е ( 1 ; 1), F (0; -3), К (-3;

0)-ро созед.746. Координатахои нуктахои

дар расми 80 тасвир- шударо ба дафтаратон нависед.

АD .

14

F . .3 •А

•N ■ 2В•

-5 -4 -3 -2 - 1

■ 1С х

Е 0- 1

- 2 '

-3

1 2 3 4 5 6

•L МК

•

G. -4

-5

. я

... О АРасми 80

202

747. д ар хати росте, ки ба тири Ох параллел аст, ду нукта кайд карда шудааст. Ординатаи яке аз онхо ба 4 баробараст. Ординатаи нуктаи дуюм ба чй баробар аст?

748. Нуктахои А ( - 3 ;- l ) , В(2 ;-3 ) , С ( - 2 ;2 ) , В ( 1; 2) дар кадом чорякхо мавкеъ доранд?

749. д ар хати росте, ки ба тири Ох перпендикуляр аст, ду нуктакайд карда шудааст. Абссиссаи яке аз онхо ба 2 баробар аст. Абссиссаи нуктаи дуюм ба чанд баробар аст?

750. Ададхои а ва b манфианд. Нуктахои А ( а ; - Ь ) , B ( - a ; b ) ,С (- а; - Ь) дар кадом чорякхо мавкеъ доранд?

751. Аз нуктаи А(3; 2) ба тири Ох перпендикуляр фуроварда шудааст. Координатахои асоси перпендикулярро ёбед.

752. Порчае, ки нугхояш нуктахои А(2; -1) ва В(1; -2) мебошад, тирхои координатаро мебурад ё не?

753. Аз нуктаи А(4; 3) ба тири Оу перпендикуляр гузарониданд.Координатахои асоси перпендикулярро ёбед.

754. оё нуктахои А(2;-3), В(2;2), С(2;5) дар як хати рост мехобанд?

755. Секунчае созед, ки куллахояш нуктахои А (4; 2), б (0 ;-б ) ,С(—4;—2) бошад. Дарозии тарафхои секунчаро бо

хаткашаки таксимотдор чен карда, ба дафтаратон нависед.756. о ё порчае, ки нуктахои А(1; 2) ва В(2; -3)-ро пайваст

мекунад, тири Ох -ро мебурад?757. оё порчае, ки нуктахои С(-2; 3) ва D(2; 1)-ро пайваст

мекунад, тири Оу -ро мебурад?

65. Мисолхо оид ба графикхо ва диаграммах*)

Дар хамворй системаи росткунчаи координатиро сохта, ба тири Ох перпендикуляр карда, хати ростеро мегузаронем. Абссиссаи нуктаи буриш адади дилхох шуда метавонад, зеро чунин хатхои рости перпендикуляриро бисёр гузаронидан мумкин аст, бинобар ин абссиссаи нуктаи буришро бо х ишора мекунем. Мушаххас, агар абссиссаи нуктаи буриш ба 3 баробар бошад, онро х = 3 менависем. Хамаи нуктахои ин хати рост, беистисно, абссиссаи ба 3 баробар доранд, аммо ординатаи онхо ададхои гуногун мешаванд (расми 81).

203

Масалан, А(3; 0), В(3; 1), С(3; -1) ва гайра. х = 3 формулам хамон хати рости АВ-и гузаронида буда, хати рости АВ-ро графики формулаи х - 3 мегуем. Агар х = 0 бошад, тири Оу графики формулаи х = 0 мешавад.

Уj

1i

В

D Е

1А

1 0 1 2 3

С

Расми 81

Агар хамин гуна хати рости перпендикуляриро ба тири Оу

гузаронем ва ординатаи нуктаи буриши ин хатхо адади у бошад,

он гох ординатаи хамаи нуктахои хати рости перпендикуляри ба у баробар мешавад, ки инро у - j менависем. Абссиссаи он

нуктахо ададхои гуногунанд. У= j -ро формулаи хати рости DE

меномем ва худи хати рост DE-po графики формулаи У - \

мегуем. Графики формулаи у = 0 хати рости Ох аст, зеро ординатаи хамаи нуктахои тири Ох ба 0 баробар аст.

Мо тасдик карда метавонем, ки графикхои формулаи х = а хатхои росте мебошанд, ки онхо ба тири Оу параллеланд ва графикхои формулаи у = Ъ ба тири Ох параллел мебошанд.

Бигзор 1 кг канд 3 сомонй арзиш дошта бошад, он гох 2 кг канд 3-2 сомонй, 5 кг канд 3 -5 сомонй, х кг канд 3- х сомонй арзиш дорад. Агар пули барои 3- х кг канд додашавандаро бо у ишора кунем, у = Зх мешавад. Акнун барои киматхои х ва у чадвали зеринро тартиб медихем:

X 1 2 2,5 3у = 3х 3 6 7,5 9

204

Системаи росткунчаи координатиро мегирем ва киматхои jc = l-po дар тири Ох ва кимати у = 3 -ро дар тири Оу кайд карда, аз нуктахои ба кайдгирифташуда ба тирхои Оу ва Ох мувофикан хатхои рости параллел мегузаронем ва нуктаи буриши онхоро бо А ишора мекунем (расми 82). Баъд, хамин амалро барои киматхои х - 2; 2,5; 3 ва у = 6; 7,5; 9 такрор карда,сохиби нуктахои В, С, D ва гайра мегардем, ки координатахои онхо (2; 6), (2,5; 7,5), (3; 9) мебошанд. Агар ба болои ин нуктахо хаткашакро гузорем, мебинем, ки хамаи онхо дар як хати рост мехобанд. Х,амин тарик, хати рости тасвиршудаи AD графики формулаи у = Зх мебошад.

Мо муодилаи 2х = 4 -ро хал карда, ба х = 2 сох,иб мешавем. Хдминро бо тарзи графикй хам хосил, кардан мумкин аст. Барои ин 2х -ро бо у ишорат мекунем, яъне у - 2 х . Азбаски

205

2х = 4 аст, бинобар ин у - 4 хам навишта метавонем. Дар системаи росткунчаи координатахо хати рости у - 4 -ро месозем, ки вай аз ибтидои координатахо 4 вохид бол о ба тири Ох параллел шуда мегузарад (расми 83). Барои формулаи у = 2х чадвали зеринро тартиб медихем:

X -2 -1 0 1 2у = 2х -4 -2 0 2 4

Акнун нуктахои координатахояшон х ва 2 х , яъне А (-2; -4), В (-1; -2), С (0; 0), D (1; 2), Е (2; 4)-ро месозем ва онхоро бо хаткашак пайваст карда мебинем, ки хамаашон дар як хати рост мехобанд. Ин хати рост у = 4 -ро дар нуктаи Е, ки абссиссааш ба 2 баробар аст, мебурад. Абссиссаи хамин нуктаи буриш, яъне адади 2, халли муодилаи пешгузоштаи мо мешавад.

Мо алхол бо графикхое шинос шудем, ки онхо хатхои рост мебошанд ва каме хам бошад, онхоро татбик намудем.Акнун ба намуди дигари графикхо шинос мешавем.

М и с о л и 1. Корхона дар соли 1999 таъсис ёфта, худи хамон сол накшаи истехсолиашро пурра ичро намуд. Дар соли 2000-ум накшаи истехсолй 110% ичро шуд. Дар соли 2001, бо сабаби нарасидани ашёи хом, накшаи истехсолй 80%, дар соли 2002-90%, дар соли 2003-100%, дар соли 2004-110% ва дар соли 2005 115% ичро шуд. Аз руйи ин маълумот диаграмма сохтан мумкин аст. Тарзи тасвиркунии вобастагии байни бузургихоро диаграмма меноманд ва маънояш раем, шакл мебошад. Намудхои гуногуни диаграммахо мавчуданд. Диаграммахои сутунй ё гистограмма, доиравй, блок-диаграмма ва гайраро номбар кардан мумкин аст. Дар диаграммаи сутунй баландии сутун ба бузургихои тасвиршаванда мутаносибан сохта мешавад. Мо инро дар мисоли болой нишон медихем.

Дар хамвории координатй системаи росткунчаи координа- тахоро интихоб намуда, дар тири абссиссахо солхо ва дар тири ординатахо фоизи ичрои накшаро кайд мекунем. Барои дар сутунхо тасвир кардани фоизи ичрои накша як таксимоти тири ординатахоро ба 10% мувофик мегузорем (расми 84).

206

Расми 84 Расми 85Дар ин диаграмма ичрои накшаи истехсолй дар охири сол нишон дода шудааст. Дар моххои сол чй тавр тагйир ёфтани он намоён нест. Агар нугхои болои сутунхои диаграммаро бо иорчахо пайваст кунем, хати шикастае хосил мешавад, ки вай минбаъд чй тавр тагйир ёфтани накшаи истехсолиро бехтар нишон медихад (расми 85). Х,амин хати шикаста графики такрибии минбаъд тагйирёбии накшаи истехсолии корхона аст. Агар тагйирёбии накшаи истехсолиро дар хар як мох нишон медодем, он гох ба чойи хати шикаста хати мавзун хосил мешуд, ки вай графики аниктари масъалаи мо мебошад (расми 86).

М и с о л и 2. 35%-и иштирокчиёни олимпиадаи математикони чавон хонандагони синфхои 11, 30%-ашон хонандагони синфхои 10, 25%-ашон хонандагони синфхои 9 ва 10%-ашон хонандагони синфхои 8 буданд. Ин ададхоро дар блок-диаграмма тасвир мекунем. Бо ин максад дарозии рост­кунчаро ба 100% баробар мегуем ва онро мувофики ададхои додашуда, ба кисмхо чудо менамоем (расми 87).

207

у М и с о л и 3.Мувофики тавсияи табибон таоми якша- бонарузиро бояд ба чор вакт таксим кард: нахорй 25%, нах,ории дуюм 15%, пешин 45% ва шом 15%.

Ин маълумотро ба диаграммаи дои- равй мегузаронем. Бо ин максад доира- ро гирифта, ду диа- метрх,ои ба хдмди- гар перпендикуляри онро мегузаронем. Дар натича чор кунчи рост х,осил мешавад, ки суммааш ба 360° баробар аст (расми 88). Агар таоми як-

Расми 86 шабонарузиро 100%кабул кунем, ба хдр

як фоизи он кунчи 360°: 100 = 3,6° рост меояд. Акнун адади фоизхои хуроки тановулшавандаро ба 3,6° зарб мекунем,

синфи8 синфи 9 синфи 10 синфи 11

10% 25% 30% 35%

Расми 87

яъне 25-3,6° = 90°; 15-3,6° = 54°; 45-3,6 = 162°; 15-3,6° = 54° мешавад. Бо ёрии транспортир ин кунчхоро дар дойра месозем (расми 89). Расми 89 диаграммаи доиравии таксими таоми шабонарузии инсон аст.Диаграммахои сутуниро дар намуди расми 90 низ тасвир мекунанд.

208

Нахории\ дуюм Нахорй

■егохиПешин

Шумораи писарону духтарони синфатонро дар диаграммаи доиравй тасвир кунед.

Диаграммаи доиравии шумораи аълохон, хубхон, миёна ва бадхони синфатонро созед.

У

Расми 88 Расми 89 Расми 90Дар синфи 6-ум 24 нафар талабагон мехонанд. 6 нафари онхо бо бахои аъло, 9 нафарашон бо бахои хуб, 8 нафар бо бахои миёна ва 1 нафар бо бахои бад чорякро чамъбаст намуданд. Аз руи ин маълумот диаграммаи сутунй созед.

Дар шанбегии тозакунии атрофи мактаб 17 нафар аз синфи6-А, 15 нафар аз синфи 6-Б, 18 нафар аз синфи 6-В иштирок карданд. Аз руи ин маълумот диаграммаи доиравй тартиб дихед.Хочагии дехконй аз хар 1 га замин ба хисоби миёна 210 сентнерй картошка, 320 сентнерй лаблабуи канд, 100 сентнерй гандум ва 400 сентнерй пиёз руёнид. Аз руйи ин маълумот диаграммаи сутунй тартиб дихед.

Дар литсейхои муштараки точикию туркй 13 фан бо забони точикй, 7 фан бо забони англисй ва 3 фан бо забонхои дигар таълим дода мешавад. Аз руи ин маълумот диаграммаи сутунй созед.Дар дах соли мавчудияти литсейхои муштараки точикию туркй 48 нафар шогирдони ин таълимгоххо дар озмунхои байналхалкй чойхои ифтихориро ишгол кардаанд: 7 чойи якум, 16 чойи дуюм ва 19 чойи сеюм. Аз руйи ин маълумот диаграммаи сутунй тартиб дихед.

1 (.г Соли хониши 2004-2005-ро 3308 нафар хонандагони мактабхои таълимоти умумии нохияи Панч бо бахои «аъло», 8464 нафар бо бахои «хуб», 8752 нафар бо бахои «миёна» ва

20914-12

55 нафар бо бахои «гайриканоатбахш» чамъбаст намуданд. Аз руйи ин маълумот блок-диаграмма тартиб дихед. Шумораи сокинони шахрхои калонтарини Ч,умх,урии Федеролии Олмон дар соли 2005 чунин буд: Берлин - 3800 хазор нафар, Гамбург - 2 млн. нафар, Мюнхен - 1400 хазор нафар, Кёлн - 1100 хдзор нафар. Аз руйи ин маълумот блок-диаграмма созед.Дар соли 2005 истехсоли картошкаи Точикистон ба 555 хдзор тонна расонида шуд, ки ин нисбат ба соли 2000 ба 28 хдзор тонна ва нисбат ба соли 1991 ба 374 хдзор тонна зиёд аст. Аз руйи ин маълумот блок-диаграмма тартиб дихед.

Худро бисан^ед1. Дар як хати рост АВ=3,1 дм, АС=7,2 дм, ВС=4,1 дм

мебошад. Оё нуктаи С дар байни нуктахои А ва В мехобад?А) Ха В) Не

2. Кунчи дар соати 4 ташкилкардаи акрабакхои соатгард ва дакикагардро хисоб кунед.

А) 90° В) 120° С) 160°3. Агар ZAOB= 42°, ZAOC = 48° бошад, оё хатхои рости

ОВ ва ОА ба якдигар перпендикуляр мешаванд?А) Ха В) Не

4. Порчахои АВ ва АС дар хатхои рости перпендикуляр мехобанд. Оё онхо ба якдигар перпендикуляр мешаванд?

А) Не В) Ха5. Порчахои DE ва FH дар хатхои рости параллел вокеанд.

Оё онхо ба якдигар перпендикуляр мешаванд?А) Ха В) Не

6. Оё ду хати рости ба хати рости сеюм перпендикуляр байни худ параллел мешаванд?

А) Не В) Ха7. Оё танхо бо як хаткашаки дутарафа хатхои рости

параллел кашидан мумкин аст?А) Не В) Ха

8. Нуктаи А(-3; 2) дар кадом чоряки координатй чойгир мешавад?

А) Дар чоряки II В) Дар чоряки III С) Дар чоряки IV9. Нуктахои А(2; 3) ва В(-3; 2) нугхои порчаи АВ

мебошанд. Оё порчаи АВ тири ординатахоро мебурад?А) Не В) Хд

210

10. Нуктахои С(—1; -2) ва D(2; -1) нугхои порчаи CD мебошанд. Оё порчаи CD тири ординатахоро мебурад?

А) Х,а В) Не11. Нуктахои Е(-2; 2) ва F(-2; 5) нугхои порчаи EF

мебошанд. Оё порчаи EF ба тири ординатахо параллел мешавад?

А) Х,а В) Не12. Нуктахои Н(-2; -3) ва К(-2; 2) нугхои порчаи НК

мебошанд. Оё порчаи НК ба тири абссиесахо перпендикуляр мешавад?

А) Не В) Ха

Машкко барси кср^ ^ стж и л он аВарианта 1

1. Нуктахои А(2; 4) ва В(-3; 4) нугхои порчаи АВ мебошанд. Дарозии порчаи АВ чй кадар аст?

2. Нуктахои А(-2; 1) ва В(-2; -5) куллахои квадрати ABCD мебошанд. Координатахои ду куллаи дигари квадратро ёбед. Масъала чанд хал дорад?Варианти 2

1. Нуктахои С(3; 2) ва D(3; 8) нугхои порчаи CD мебошанд. Координатахои миёначойи порчаи CD-po ёбед.

2. Нуктахои С(3; 2) ва D(3; 8) куллахои квадрати CDEF мебошанд. Координатахои ду куллаи дигари квадратро ёбед. Масъала чанд хал дорад?Варианти 3

1. Нуктахои Е(-2; -1) ва F(-2; -7) нугхои порчаи EF мебошанд. Дарозии порчаи EF-po ёбед.

2. Нуктахои Е(-3; -1) ва F(-3; -5) куллахои квадрати EFHK мебошанд. Координатахои ду куллаи дигари квадратро ёбед. Масъала чанд хал дорад?Варианти 4

1. Нуктахои Н(2; -1) ва К(6; -1) нугхои порчаи НК мебошанд. Координатахои миёначойи порчаи НК-ро ёбед.

2. Нуктахои М(-4; 4) ва N(0; -4) куллахои квадрати MNOP мебошанд. Координатахои ду куллаи дигари квадратро ёбед. Масъала чанд хал дорад?

211

Маълумоти таърихиМасъалахои хатхои рости параллел аз замонхои хеле

кадими асрхои гузаштаи пеш аз милод маълум будааст. Аз руйи маъхазхои мавчуда ба ин масъалахо Фалеси Милетй (асрхои VII-VI то милод) низ машгул шудааст. Дастовардхои илмии то замони худаш мавчудбударо чамъбаст карда, Евклид (асри IV то милод) рисолаеро иборат аз 11 китоб бо номи «Ибтидо» менависад, ки магзи асосии он то холо дар китобхои дарсй маъво гирифтааст. Дар ин рисола оид ба хатхои рости параллел маълумоти мукаммал дода шудааст. Яке аз гуфтори (аксиомаи) дар ин китоб омада: «Аз нуктаи берун аз хати рост ба ин хати рост параллел карда, факат як хати рост гузаронидан мумкин аст» буд, ки мо низ онро мутолиа кардем. Дар атрофи ин масъала бахсхои тулонй давом ёфтанд. Аммо, баъди асри V-и милод, бо баъзе сабабхо, тадкикоти илмй дар Аврупо катъ гардида, маркази илмй ба Шарк кучид. Шаркиён на танхо илми юнонихои кадимро хифз карданд, балки худашон ба дастовардхои мухими илмй ноил гардида, махзари илмро пурратар намуданд. Онхо оид ба хатхои рости параллел низ пешравихо доштанд, ки як кисмашон бо сабабхои маълум, то асрхои VIII-IX милод омада нарасидаанд. Аммо дар асрхои XI- XIII боз ба ин масъала ру оварданд, ки намояндагони асосй Умари Хайём (асри XI), Насируддини Туей, Кутбиддини Шерозй (асри XIII) ва дигарон буданд.

Умари Хайём дар соли 1077 рисолаи «Рисола фй шарх мо ашкола мин мусодарот китоб-ил Уклидус» (Шархи постулатхои душвори китоби Евклид)-ро менависад. Ин рисола аз се китоб иборат буда, китоби якум назарияи хатхои рости параллелро дарбар мегирад.

Тараккиёбии саноат, касбу хунар, меъморй, бахрнавардй ва гайра сабаб шуд, ки аврупоиён боз ба илм ру оваранд. Риёзидонхои онхо дар донишгоххои Ш арк илм омухтанд ва ба чопи рисолахои илмии худ низ машгул шуданд. Донишманди фаронсавй Рене Декарт (асри XVII) ба ададхои мусбату манфй аз нуктаи назари дигар бахо дода, амалхо бо онхоро асоснок кард. Вай ин ададхоро бо нуктахои хати рости координатй тасвир намуд ва вобаста ба ин, системаи росткунчаи координатахо ва хамвории координатиро ба илм дохил кард, ки ин дигаргунии катъй дар инкишофи минбаъдаи илм буд.

212

ИАСЪАЛА^О БАРОИ ТАКРОР

Оё дуруст аст, ки фарки ду адади сода хдмеша адади сода мешавад?

Хамаи таксимкунандах,ои содаи адади 70-ро нишон дихед. Хамаи таксимкунандахои содаи адади 80-ро ёбед ва аз байни онхо ададхои байни хам содаро чудо кунед.

Таксимкунандахои умумии ададхои 36 ва 60-ро ёбед.Кадоме аз ададхои 43, 312, 127, 1705 ва 30141 ададхои содаанд?

Хурдтарин каратии умумии ададхои 1590, 1060 ва 2650-ро ёбед.Касрхои -L, 11 ва -ро ба хурдтарин махрачи умумй

оваред.Кимати ифодаи : (l - ~ у)-ро ёбед.

Дар машкхои 776-778 калонтарин таксимкунандахои умумии ададхои нишондодашударо ёбед.

а) 23 ва 69; б) 46 ва 65; в) 39 ва 91.а) 350 ва 840; б) 375 ва 360; в) 600 ва 81;г) 169 ва 120; г) 340 ва 520; д)600ва169.а) 6489 ва 2781; б) 2163 ва 1050;в) 1050 ва 1100; г) 1150 ва 3000.Бо истифодаи тарзи дуюми ёфтани КТУ-и ададхо исбот кунед, ки ададхои 630 ва 1573 байнихам содаанд.

Хамаи киматхои натуралии р -ро барои ададхои якракамава дуракама ёбед, ки барои онхо ададхои р , р + 2 , р + 8ададхои сода бошанд.

Дар солхои 60-уми асри XX барои бо телефони автомат ran задан лозим буд, ки ба хар ним дакикаи гуфтугу як тангаи 15-тина партофта шавад. Ахрор якчанд тангахои 10-тина дошт ва онхоро ба тангахои 15-тина иваз намуд. Дар натича микдори тангахояш 3-то кам шуд. Микдори тангахои 15-тинаро ёбед.

Касрхоро ихтисор кунед:a) JL А . 19 1_ 44 1008 . 19-12+19-9 19-12-199

12 ’ 15 ’ 23 ’ 11 ’ 6 6 ’ 2007 ' 57 57Касрхои зеринро мукоиса намоед:

а ) | в а | ; б ) | в а | ; в) | ва | ;

213

785.

786.

787.

788.

7К9,

790.

791.

792.

r ) f B a i § ; r ) f B a TT; д) 47 в а з 1 :

е , П ВаЦ ; 8 ) Ш В а Н>; Ж) 2 7 в а 58'Ч,амъи касрх,оро ичро карда, натичаро (имкон дошта бошад) сода намоед:а) 1 2 . 1 5 . 6 ^ 1 + l i - + г'» -L + I I

21 42 ’ 5 1 8 ’ 169 13 ’ 19 29Ч,амъи ададхои омехтаро ичро кунед:

a ) 3 | + | ; б) у + 2 ^ ; в) 5| + 4 | ; г> 2 + 2 | -

Агар ба чамъшавандаи якум 1 4 ^ --ро ва ба чамъшавандаи

дуюм 8yj--po чамъ карда, аз чамъшавандаи сеюм 21уу-ро

тарх кунем, сумма чй кадар тагйир меёбад?Гуландом \ хиссаи кахваи дар истакон бударо нушида, 6истаконро бо шир пур кард. Баъд хиссаи онро нушида,

истаконро боз бо шир пур кард. Сипас ним истакони онро нушида, боз истаконро бо шир пур кард ва онро пурра нушид. Оё гуфта метавонед, ки Гуландом бештар кахва нушид ё шир?

Оё чунин адад мавчуд аст, ки хаштяки он ба ним ва боз чоряк баробар бошад?

Агар массаи куби шишагии тегааш 1 см ба 2-| г баробаро

бошад, массаи куби шишагии тегааш 3-^ см-ро ёбед.

Замини назди мактаб аз ду китъа иборат буда, якчоя 2 ^ -'у

гектарро ташкил медихад. Агар аз китъаи якум 24 у ар ва

аз китъаи дуюм 1820 м2-ро чудо кунем, кисмхои бокимондаи китъахо ба хамдигар баробар мешаванд. Масохати хар як китъаро муайян кунед.

Исбот кунед, ки суммаи ду адади токи дилхохи пай дар пай ба 4 бебакия таксим мешавад.

Суммаи ракамхои адади дуракама ба 10 баробар аст. Агар чойи ракамхои ин адад иваз карда шавад, ададе хосил

214

мешавад, ки он аз адади аввала 18 вохид кам аст. Он ададро ёбед.Х,осили зарби ду адади дилхох калон аст ё хосили зарби КТУ ва ХКУ-и онхо?

Оила аз 5 нафар иборат буда, падару модар кор мекунанд. Маоши падар дар 1 мох 145^ сомонй ва маоши модар

89^ сомони мебошад. Онхо дар хонае, ки масохаташ 36 м2

аст, ичоранишинанд ва ба хар 1 м2 ба кадри 3 сомонй ичорапулй медиханд. Барои рузгузаронии оила чй кадар пул мемонад? Оё масъала шарти зиёдатй дорад?

Кореро як бригадаи коргарон дар 30 руз ва бригадаи дигар дар 20 руз анчом медихад. Агар харду бригада якчоя кор кунанд, хамон корро дар чанд руз ичро мекунанд?

_ оДар ду кутти 66-^ кг мех хает. Агар дар куттии дуюм назар

ба куттии якум 111 кг зиёдтар мех бошад, дар хар куттйО

чй кадарй мех хает?Исбот кунед, ки 2ab - 2Ьа ба 9 бебакия таксим мешавад.Аз ду махал, ки масофаи байнашон 11 км аст, дар як вакт ду пиёдагард ба пешвози якдигар баромаданд. Агар суръати

1 'Уяке аз онхо 4-j км/соат ва суръати дигаре 3-^ км/соат

2бошад, пас аз l j соат масофаи байни онхо чи кадар

мешавад?Оё чунин адади дуракамае мавчуд аст, ки раками охиринаш2 буда, баъди чайивазкунонии ракамхояш 1-1 маротиба

калон шавад? Оё худатон ба монанди хамин масъалае тартиб дода метавонед, ки вай хал дошта бошад?Пештар нафтро аз Тюмен ба Сахалин бо рохи охани дарозиаш 7150 км ва боз бо рохи обии дарозиаш 550 км мекашониданд. Баъди ба кор даромадани шохрохиБайкалу Амур рох ба Щ хисса кутох шуд. Муайян кунед,

ки ин рох ба чанд километр кутох шудааст?

215

Дар як зарф 1680 л бензин ва дар зарфи дигаре у хиссаи он

бензин хает. Аз зарфи якум дар хар як дакика назар ба зарфи дуюм 3 маротиба зиёдтар бензин чорй мешуд. Баъди5 дакнка дар зарфи якум назар ба зарфи дуюм 80 л камтар бензин монд. Аз зарфхо дар хар як дакика чй кадарй бензин чорй мешуд?

Кимати ифодахои зеринро хисоб кунед:а) ( | + 1 > ( 2 3 | - 1 5 | ) - 1(31 + 21);б) (А. з 2 + _5_. 4 I). 3 3 + (j2 2 . 5 -L_3 -3 . 4 I )

'4 1 3 12 5' 37 ' 5 2 4 5 /'oni -з

■^хиссаи хонандагони синф дар махфилхо иштирок

мекунанд, ки микдорашон 18 нафар аст. Синф чй кадар талаба дорад?

а) хиссаи адади 90-ро ёбед;Т.

б) ^ хиссаи адади 60-ро ёбед;

в) ^-хиссаи адади 112-ро ёбед;О

г) у хиссаи адади 225-ро ёбед.

Духтарак ~ хиссаи китоберо хонд, ки он 220 сахифа дорад.

Духтарак чанд сахифаи китобро хануз нахондааст? Ададеро ёбед, ки у хиссаи он ба 84 баробар бошад.

Н07 1— хиссаи китоб 38 сахифаро ташкил медихад. Китоб чанд

сахифа дорад? Масъаларо бо тарзхои гуногун хал намоед.КОХ SМан хиссаи китобро хонда будам, ки 30 сахифааш боки 6

монд. Китоб аз чанд сахифа иборат аст?4)AQ О

Ададеро ёбед, ки у хиссаи он ба 14 баробар шавад.ЯШ Муодилахоро хал кунед:

а) (дс — 7)- 4 = Ю; б) ( * + 7 ) - | = 10.НИ Суръати каик дар оби ором аз суръати чараёни об 5

маротиба зиёд аст. Агар каик масофаи 45 км-ро ба рафти216

813.

814.

815.

816.

817.

818.

819.

812.

чараёни об дар 3 соат тай карда бошад, суръати чараёни обро ёбед.

9 ^Аввал х,исса ва баъд ^ хиссаи 60 л бензини

захирашударо гирифтанд. Чй кадар бензини захиравй бокй монд?Дар бушкаи якум назар ба бушкаи дуюм 2 маротиба зиёдтар бензин буд. Вакте, ки 50 л бензини бушкаи якумро гирифтанду ба бушкаи дуюм 70 л илова намуданд, бензини хдрду бушка баробар шуд. Аз аввал дар бушкахо чй кадарй бензин буд?Дар вагони якум назар ба вагони дуюм \ ! маротиба

зиёдтар ангиштсанг буд. Агар аз вагони якум 5 у т

ангиштсангро мефуроварданду ба вагони дуюм 14^ т

илова менамуданд, он гох бори хдрду вагон баробар мешуд. Х,ар як вагон чй кадарй ангиштсанг дошт?

Падар 32-сола ва писар 5-сола аст. Баъди чанд сол падар назар ба писар 10 маротиба калонтар мешавад?

пХ,осили зарби ду адад ба баробар аст. Агар яке аз

зарбшавандахо ба баробар бошад, зарбшавандаи

дуюмро ёбед.Масъалаи Баховадцини Омулй (асри XVI). Ададеро ёбед, ки дар холати ба вай чамъ кардани аз 3 ду хиссаи худаш ва боз вохид адади 10 хосил шавад.

Супоришеро як харрот дар 4 соат ва харроти дигар дар 5 соат ичро мекунад. Баъди ду соатй кори якчоя кадом хиссаи кор ичро нашуда мемонад?

Богбон фикр кард, ки дар — соат махлул тайёр карда, онро6

лдар 2 у соат ба дарахтон мепошад. Аммо вай ба хамаи ин

кор \ ! соат камтар вакт сарф кард. Богбон барои ичрои

накшааш чй кадар вакт сарф намуд?

217

Сайёх дар рузи аввал хиссаи хамаи рохро тай кард. Дар

рузи дуюм вай назар ба рузи якум хиссаи хамаи рохро

тай кард. Сайёх кадом хиссаи рохро тай накарда монд?Як челонгар супоришро дар 9 руз ва челонгари дигар дар 15 руз ичро мекунад. Агар онхо 3 руз якчоя кор кунанд, кадом кисми супориш ичро нашуда мемонад?

Тракторчихо тамоми майдонро дар 3 руз шудгор карданд._ о _ *1

Онхо рузи якум у хисса ва рузи дуюм хиссаи заминро

чаппагардон намуданд. Рузи сеюм 57 гектари бокимонда шудгор шуд. Масохати майдонро ёбед.

Массаи бузгола 6-| кг ва массаи барра 3 маротиба зиёдтар

аз он аст. Массаи бузгола аз массаи барра чанд килограмм кам аст?

Муодилаи 24:57 = х : 19 -ро хал кунед.

Кимати ифодаи -Р° хисоб кунед.v/j / « V ji

Кимати ифодаи - а - ( б + 15 + а)-ро хангоми а = -12,1; b = -5 будан ёбед.

Суммаи зеринро ба намуди хосили зарб нависед: З - х + З - х + З - х + З - х + З - х + З - х + З - х .

Кимати ифодахоро хисоб кунед:а )5- ( -4) ; б) - 2 - ( -7 ) ; в ) -21-0,6; г ) - | - ( - | ) ;

г ) - | - 6 ; Д) 0,7-(-11); е) -3,1-(-5); ё) 9-(-2 ,l).

Кимати ифодахоро ёбед:а) -4:2; б )-2,5:4; в ) -3,5:7; г ) -12,1:1,1;г) 5:(—2,5); д) 14:(-2); е) 7:(-3,5); ё) 19,6:(-1,4).

Таксимро ичро кунед: а) — 14:(—7); б ) -27:(-36);в) -0,64:(-0,16); г) -0,81 :(-0,9);

” 5 4 :(_ 6 и )'

218

831.

832.

833.

834.

835.

836.

837.

838.

839.

840.

841.

842.

843.

Касрхои зеринро ба касрхои дахи гардонед: а ) | ; 6 ) Х ; В)1 ; Г) 1 | ; г) Ж , д) | ; е) 11 .

Касрхои даврии зеринро ба касрхои оди гардонед: а) 0,3(2); б) 1,13(2); в) 0,3(21); г) 2,12(13); f ) 0,01(05).

Суммаи I + 0,(б)+ 0,08(з)-ро хисоб кунед.

Зарбшавандаи умумиро аз кавсхо бароред: а) 7х + 3+7х2 +3х; б) 4 у 2 - 5 + 2у-\<ду .Хосиятхои муодиларо истифода бурда, муодилахоро хал кунед:а) 12х + 5 - 7 х = 5(1-х); б) 1,2(у-2)+\ = 1,3(у-2).

Каик ба самти чараёни дарё 3 соат харакат карда, барои тай кардани рохи бозгашт 6 соат вакт сарф кард. Агар суръати чараёни дарё 3,5 км/соат бошад, рохи ба самти чараён тайкардаи каикро ёбед.

Дарозии порчаи АВ ба 16 см баробар буда, вай ба ду кисми нобаробар чудо карда шудааст. Масофаи байни миёначойхои ин кисмхоро ёбед.Камони давра ба хиссаи нимдавра баробар аст. Ин

О

камон кадом хиссаи давраро ташкил медихад?Дар хати рост нуктахои А, В, С-ро чунон чойгир кунед, ки нуктахои А ва В аз нуктаи С дар як тараф, нуктахои В ва С аз нуктаи А дар як тараф чойгир шаванд.

МАСЪАЛАХОИ ШАВКОВАР

Раками 1-ро 6 маротиба истифода бурда, адади 100-ро нависед. Масъала чанд хал дорад?

Шарикдарси мо адади токро дуст медорад. Вай мехохад, ки гурухи 30 нафараи моро ба се гуруххои токнафарй чудо кунад. Оё вай ин корро карда метавонад?

Шарикдарси мо мехохад, ки адади 30-ро ба суммаи се адади сода чудо кунад. Вай ин корро бо чанд тарз ичро карда метавонад?Таърихи рузро аксар вакт чунин менависанд: рузи мох, раками мох ва ду раками охири сол (масалан, 2.3.06 - дуюми марти соли 2006). Дар таърихи асри XXI чанд

219

маротиба бо истифодаи факат як ракам таърихи рузро иавиштан мумкин аст (масалан, 2.2.22 - дуюми феврали соли 2022)?Агар дарозии давраи калони Заминро 1 м зиёд карда бо хамин дарозй давраи дигар созем, байни ин ду давра холигие пайдо мешавад. Аз хамин холигй оё муш гузашта метавонад?

Масофаи байни хати рости ба давра расанда ва радиуси ба нуктаи расиш гузаронидашударо ёбед.

Одам дар 1 дакика 15 маротиба нафас мекашад ва дар хар як нафаскашй 0,55 л хаворо фуру мебарад. Агар массаи 1 л хаво 1,3 г бошад, массаи хавои дар 1 шабонаруз фурубур- даи одам чй кадар аст?

Нуктаи А(- 4) аввал ба самти мусбат 7 вохид, баъд ба самти манфй 8 вохид, сонй ба самти манфй 2 вохид, баъд ба самти мусбат 12 вохид, сипас ба самти манфй 7 вохид ва дар охир ба самти мусбат 4 вохид харакат кард. Нуктаи А дар кадом тарафи нуктаи сархисоб ва дар кадом дурй аз он карор гирифт?Масъала аз китоби «Лилавати» («Латофат»)-и Бхаскара. Агар ададеро ба 5 зарб карда, аз хосили зарб сеяки хосили зарбро тарх намуда, фаркро ба 10 таксим ва ба ин пай дарпай у , -1, i хиссаи адади авваларо чамъ намоянд, адади

68 хосил мешавад. Бузургии он ададро ёбед.Дар расми 91 14-то квадрата аз чубчахои якхела сохташуда тасвир шудааст. 2-дона чубчаро чунон гиред, ки микдори квадратхо ду баробар кам шавад. Масъала чанд хал дорад?

11

16

6

14 1

Расми 91 Расми 92 Расми 93

220

850. Аз 12 дона чубчаи якхела шакли дар расми 92 тасвир- ёфтаро сохтанд. Се донаи онхоро чунон чой иваз кунонед, ки се квадрати якхела хосил шавад.

Ададхои аз 1 то 16-ро дар катакхои чадвал чунон чойгир кунед, ки суммаи ададхои дар хамаи сатру сутунхо ва диагоналхои асосй чойгиршуда ба 34 баробар шавад (расми 93).-j хиссаи якуним баробари ададе ба 15 баробар мебошад.

Кадом аст он адад?1 дона себ ва 2 дона нок 23 дирам, 2 дона себ ва 1 дона нок22 дирам нарх дорад. 1 дона себ чанд пул ва 1 дона нок чанд пул аст?Шикорчй ба суи 7 мурги дар шохи дарахт нишаста тир парронд. Як MypF ба замин афтид. Дар шохи дарахт чанд мург бокй монд?

Ин чй бошад, ки ду каллаву ду даст ва шаш пой дорад, вале дар рохгардй факат чор пой?

Ду нафар чуйкан дар 2 соат 2 м чуй канданд. Чанд нафар чуйкан дар 5 соат 5 м чуй мекананд?

Бо ракамхо ададеро нависед, ки 11-то хазорй, 11-то садй ва11-то вохид дошта бошад.Ба шахсе 172,5 сомонй пул доданд. Ин пул аз микдори баробари тангахои 1 сомонй ва 50 дирамй иборат буд. Микдори тангахои 50 дирамиро ёбед.Бо ёрии гугирдчубхо баробарии нодурусти IV-VI=XI-po навиштанд. Шумо аз он факат як дона гугирдчубро гирифта, онро ба чойи дигар гузоред, ки баробарии дуруст хосил шавад. Масъала чанд хал дорад?

Шакли дар расми 94 тасвиршударо ба чор шакли якхела бурида чудо кунед.

Агар периметри квадратро 10% зиёд кунем, масохати он чанд фоиз зиёд мешавад?

Дар кадом вакт касри ихтисоршаван- даро ихтисор кардан мумкин нест?

Секаратаи суммаи ададхои 40 ва 5 ба чанд баробар аст?

221

МАСЪ A Jl АХ,ОИ Х,АЛЛАШОН МУШКИЛ

Дар адади 13**4 ба чойи ситорачахо ракамхои то хадди имкон хурдтаринро гузоред, ки адади хосилшуда ба 9 таксим шавад.

;is5 Оё чунин секунчае мавчуд аст, ки дарозии тарафхояш факат ададхои сода бошаду периметраш адади дуракамаи сода? Масъала чанд хал дорад?Дар навишти 152** ба чойи ситорачахо ракамхоеро гузоред, ки адади хосилшуда ба 5 таксим шавад.Хонандаи синфи 6-ум барои харидани дафтархои хар кадомаш 15 дирамй 10-то тангахои якхелаи 25 дирамй дошт. Фурушанда барои додани бакия пул надошт. Чанд холати бебакия харидани дафтархо мавчуд аст? Шумораи камтарин ва зиёдтарини дафтархоро ёбед.

f,) Барои чй касре, ки сураташ аз махрачаш як вохид хурд ё калон аст, касри ихтисорнашаванда мебошад?Агар ба давоми адади серакамаи дилхох худи хамин ададро нависем, он гох адади 6-ракамаи хосилшуда ба ададхои 7, 11 ва 13 бебакия таксим мешавад. Инро бо овардани якчанд мисол санчед.

Майдони кишт бо як облула дар 3 соат, бо облулаи дуюм дар 4 соат ва бо облулаи сеюм дар 5 соат пурра обёрй шуда метавонад. Агар харсеи облулахо як соат кор кунанд, дар ин фурсат кадом кисми майдон обёрй мешавад?Касри дар байни кадом касрхои пай дар пайи

махрачашон 9 вокеъ мешавад?Дар корхона занон -1 хиссаи микдори мардонро ташкил

медиханд. Занон кадом хиссаи микдори коргарони корхонаро ташкил медиханд?

Адади 50-ро ба ададе таксим карданд, ки бакия 2 баромад. Адади 42-ро низ ба хамин адад таксим карданд, ки бакия18 баромад. Он ададхоро ба кадом адад таксим карда буданд?

г Амалхоро ичро намоед:. 2 - + — - i — ч-(i i — - 2 —— 4 —• — )

' 8 3 7 4 ' 6 V 5 99 4 19''

222

Ададе аз адади дигар 2 у маротиба зиёд аст. Суммаи ин

ададхо аз фаркашон чанд маротиба зиёд аст?Зарфе, ки шакли параллелепипеди росткунчаро дорад, босимоб пур карда шудааст. Дарозии параллелепипед 5у

дм, бараш Зу дм ва баландиаш 5 дм мебошад. Агар

симоб назар ба об 13-f маротиба вазнинтар бошад, он гох

симоби дар параллелепипед буда чй кадар масса дорад? Адади якум назар ба адади дуюм 1у маротиба зиёд ва

суммаи ададхои якуму дуюм назар ба адади сеюм 1у'у

маротиба зиёд аст. Агар суммаи ин се адад ба 194 у

баробар бошад, хар кадоми онхоро ёбед.Масофаи байни ду шахрро поезди тезгард дар 2 у соат ва

'Упоезди боркаш дар 4 у соат тай мекунад. Суръати поезди

тезгард назар ба суръати поезди боркаш 30 км/соат зиёд аст. Масофаи байни шахрхоро ёбед.

Хосияти амалхои арифметикиро истифода бурда х-ро аз муодилаи зерин ёбед:

p f ^ + 24}5 = 5.

Муодиларо хал кунед:1 2- (30 - 1 9 i :( 2 | - | 4 f + 10 = 13.

2

К^имати ифодаро хисоб кунед:5-Л6_ + ----------, ------

1 5 ^ - A r + l 1'7 4Г 28 25 10 2Адади серакамаеро фикр кардам. Агар аз ракамхои ин адад хамаи ададхои дуракамаи имконпазирро тартиб дихем, он гох сеяки суммаи онхо ба адади фикркардаи ман баробар мешавад. Адади фикркардаи маро ёбед.

223

Теплоход масофаи дар 13 соат ба самти чараён тай кардаашро ба мукобили чараён дар 15 соат тай кард.Агар суръати чараён ба Зу км/соат баробар бошад,

суръати теплоходро дар оби ором ёбед.Касри ихтисорнашавандаеро ёбед, ки хангоми ба сураташ илова кардани 2 ва ба махрачаш илова кардани 5 киматаш тагйир наёбад.

:.:ц Касреро ёбед, ки хангоми ба махрачаш илова кардани сураташ киматаш 3 маротиба кам шавад.

Пароход ними масофаро тай карда, баъди ин суръаташроба хиссаи суръати пештарааш зиёд кард, ки дар натича

ба манзил у соат пештар расида омад. Пароход хамаи

масофаро дар чанд соат тай кард? Масъаларо бо тарзхои гуногун хал кунед.

: -j хиссаи ададе ба 32 баробар аст. Аз ин хиссаашро тарх

карда, -f хиссаи фаркро ёбед.6

Ду коргар супоришеро якчоя дар 8 руз ичро карданд. Агар коргари якум танхо хамин корро дар 12 руз ичро карда метавониста бошад, пас коргари дуюм онро дар чанд руз ичро карда метавонист? Масъаларо бо тарзхои гуногун хал намоед.'I _у хиссаи супоришро ичро карда, коргар ба рухсати рафт.

Коргари дигар ба кор омада, кисми бокимондаи супоришро ичро кард ва назар ба коргари якум 49 сомонй зиёдтар хак гирифт. Арзиши хамаи кор ва музди коргаронро хисоб кунед.

Теплоходи «Ракета» масофаи байни бандархои А ва В-ро дар 8 соат ва теплоходи «Метеор» онро дар 5 соат тай мекунад. Масофаи дар 5 соат тай кардаи теплоходи «Ракета» зиёдтар аст ё масофаи дар 3 соат тай кардаи теплоходи «Метеор»?Суммаи се узви аввали таносуб ба 67 баробар аст. Узви дуюм назар ба узви сеюм 9 маротиба хурд, вале узви сеюм

224

нисбат ба узви якум 1-| маротиба калон аст. Узви

чорумро ёфта, таносуб тартиб дихед.892. Таносуби f- = -§- дода шудааст. Аз ин таносуб истифодао а

бурда, баробарихои зеринро исбот намоед: a+b c+ d . a - b _ c - d .

* ) — - — > 6 ) ~ Г - — ’а+ь — с+ а • г) _ c - d .

- ’ а с ’Ъ d .

f) - ST = -7 T ; Д)

а+Ь c+ d .Ъ d ’

а+Ь c+ d .а С

а с .а+Ь c+ d ’

а с .а-Ь c - d ’

, а+Ь _ c+dа-Ь c - d

У н а И X

a+b c+ d ’ Ь _ d .

a - b c - d ’

[. Таносуби ^ = -£--ро гирифта, ба харду о d

тарафи баробарй адади 1-ро зам мекунем, ки аз ин аломати баробарй дигар намешавад: а_ i _ _ c . i i £LA.h.— C_,d_ a+b _ c+d b ~ d ’ b b d d ’ b d '

893. Се адад байни хам чун 2:4:7 нисбат доранд ва адади сеюмназар ба адади дуюм 45 вохид зиёд аст. Ин ададхоро ёбед.

1 9894. Се адад ба ададхои ^ в а 0,5 мутаносибанд. Адади якум

аз нисфи адади дуюм 32 вохид кам аст. Ин ададхоро ёбед.'У

895. Адади 573 у -ро ба се кием чунон чудо кунед, ки онхо ба

хамдигар чун j : - j : у нисбат дошта бошанд.

896. Дар анбор ба хисоби тонна ба микдори баробар гандум вачав буд. Вакте, ки 9 маротиба 11 тоннагй гандум ва 6у

тоннагй чав гирифтанд, дар анбор чав назар ба гандум1 ^2 |^ маротиба зиёдтар монд. Дар анбор чанд тоннагй

гандум ва чав буд?897. Адади 310-ро ба киемхои ба ададхои 2, 3 ва 5 чаппа

мутаносиб чудо кунед.

15-12225

898. Рохеро 12 нафар коргар бояд дар 9 руз таъмир мекарданд.Пагохии рузи панчум боз якчанд нафар коргар илова шуда, ро\и бокимондаро дар 4 руз таъмир карданд. Микдори коргарони иловагиро ёбед.

899. Дар расми 95 квадрате тасвир шудааст, ки тарафхояш ба доираи радиусаш г расанда мебошад. Нисбати масохати квадрат ба масохати доираро ёбед.

900. Дарозии давра ададан ба масохати доирааш баробар аст. Дарозии радиуси онро ёбед. Расми 95

901. Суммаи ду ададеро ёбед, ки чамъшавандахояш сечандаи адади ба адади 7 баръакс ва дучандаи адади ба он мукобил бошанд.

902. 240 га заминро дар байни се хочагии богдорй чунон таксимкарданд, ки замини хочагии якум назар ба замини хочагии дуюм 1,25 маротиба ва назар ба хочагии сеюм1,(6) маротиба зиёд аст. Х,ар як хочагй сохиби чй кадар замин шудааст?

903. Ба адади дуракама адади 72-ро чамъ кунем, адади дуракамае хосил шуд, ки ракамхояш хамон ракамхои адади дуракамаи аввала буда, вале ба тартиби баръакс навишта шудаанд. Адади авваларо ёбед.

904. Нархи якчояи якто дутор, якто танбур ва якто рубоб 410 сомонй аст. Нархи рубоб аз нархи якчояи дутору танбур1,5 маротиба зиёд мебошад. Нархи дутор ба х,иссаи

нархи рубоб баробар аст. Нархи танбурро ёбед.905. Чй тавр бо ёрии як аломати нобаробарй метавонем

нависем, ки адади а аз - 4 калон асту аз 4 хурд?906. Дар адади дуракама раками дахихо аз се ду хиссаи раками

вохидиашро ташкил медихдд. Адади дуракамае, ки бо хамон ракамхо, вале бо тартиби баръакс навишта шудааст, аз адади аввала 18 вохид зиёд аст. Адади авваларо ёбед.

907. Агар чойи ракамхои адади дуракамаро иваз кунем, ададе хосил мешавад, ки он аз адади аввала 72 вохид кам аст. Адади дуракамаро ёбед.

908. Нуктахои А, В, С ва D дода шудаанд, ки хеч кадоми сетоион дар як хати рост намехобад. Хатхои рости АВ, АС, AD, ВС, BD ва CD-po гузаронед. Ин хатхои рост хамвориро ба чанд кием чудо мекунанд?

226

909. Панчто нуктахое дода шудааст, ки хеч кадоми чортои онходар як хати рост намехобанд. Х,амаи он нуктахоро чуфт- чуфт пайваст карда, чандто хатхои рост хосил кардан мумкин аст?

910. Ду кунчи тарафхояшон мувофикан перпендикуляр чун 17:19 нисбат доранд. Ин кунчхоро муайян кунед.

911. Нуктахои А, В, С ва D дода шудааст. Маълум аст, ки нуктахои А, В. С дар як хати рост мехобанд ва нуктахои В, С, D низ дар як хати рост мехобанд. Нишон дихед, ки хамаи нуктахои А, В, С, D дар як хати рост мехобанд.

912. Оё нуктаи А(3; -4) ба порчаи ВС тааллук дорад, агар В( 1; —2), С(5; -6) бошад? Инро бо хаткашак санчед.

913. Аз оханпорае 80 дона халкахои занчир сохтани шуданд. Агар массаи хар як халкаро 5 г кам кунем, он гох аз хамон оханпора 100 халка сохтан мумкин аст. Массаи оханпора- ро ёбед.

914. Х,осили зарби чор адади натуралии пай дар пай ба 3024 баробар аст. Ин ададхоро ёбед.

915. Ададеро ба 225 таксим карданд, ки дар бакия 150 хосил шуд. Оё ин адад ба 75 таксим мешавад?

916. Адади бутунеро ба адади бутуни дигар таксим карданд. Х,осили таксим ба 0,15 хиссаи таксимшаванда ва бакия ба0,1 хиссаи таксимшаванда баробар шуд. Таксимкунанда ба чанд баробар аст?

227

С А В О Л Х О И Н А З О Р А Т И

1. Таксимкунандахои адади натуралй чист?2. Каратихои адади натуралй чист?3. Кадом адад таксимкунандахои бешумор дорад?4. Кадом адад каратй надорад?5. Каратии умумии ададхои натуралй гуфта чиро меноманд?6. Хосияти таксимшавии сумма ва хосили зарбро баён кунед.7. Нишонаи таксимшавй ба ададхои 2 ва 5-ро баён кунед.8. Нишонаи таксимшавй ба ададхои 3 ва 9-ро баён кунед.9. Ададхои сода ва таркибй гуфта кадом ададхоро меноманд?10. Оё катори ададхои сода охир дорад?11. Кадом ададхоро байни хам сода меноманд?12. Маънои ба зарбшавандахои сода чудо кардани адади

натуралй аз чй иборат аст?13. Калонтарин таксимкунандаи умумии (КТУ) ду адади

натуралй гуфта чиро мефахмем?14. Хурдтарин каратии умумии (ХКУ) якчанд ададхои

натуралй гуфта чиро мефахмем?15. Кадом тарзхои ёфтани ХКУ- и ададхоро медонед?16. ХКУ-и ду адади байнихам сода ба чй баробар аст?17. КТУ-и ду адади байнихам сода ба чй баробар аст?18. Хосиятхои асосии касрхо кадом аст?19. Ду каср кадом вакт баробар мешавад? Ихтисори касрхо

гуфта чиро меноманд?20. Аломати баробарии касрхоро баён кунед.21. Кадом касрхоро ихтисорнашаванда меноманд?22. Касрхои махрачашон гуногунро чй тавр ба махрачи умумй

меоварем?23. Тарзхои мукоисаи касрхоро баён кунед.24. Чиро хурдтарин махрачи умумии касрхо меноманд?25. Аз ду касри махрачаш якхела кадомаш калон аст?26. Аз ду касри сураташ якхела кадомаш калон аст?27. Ба хурдтарин махрачи умумй овардани касрхо дар асоси

кадом хосияти касрхо амалй мешавад?28. Коидаи чамъ ва тарх кардани касрхои оддиро баён кунед.29. Ададхои омехтаро чй тавр чамъу тарх мекунанд?30. Тархи каср аз адади бутунро чй тавр ичро кардан лозим аст?31. Зарби каср ба адади бутунро баён кунед.32. Зарби каср ба адади бутун ба кадом хосият сохиб аст?

228

33. Зарби каср ба каср чй хел ичро карда мешавад? Зарби ададхои омехта-чй?

34. Кадом ададхоро ададхои ба якдигар чаппа меноманд?35. Адади чаппаи кадом адад ба худи ин адад баробар аст?36. Кадом адад адади чаппа надорад?37. Барои касрро ба каср таксим кардан чй кор кардан лозим

аст?38. Адади омехтаро ба адади омехта чй тавр таксим кардан

лозим аст?39. К°идаи таксими адади бутун ба касрро баён кунед.40. Хиссахои ададро чй тавр ёфтан мумкин аст?41. Аз руйи хиссахояш худи ададро чй тавр меёбем?42. Мафхуми нисбатро фахмонед.43. Ихтисори узвхои нисбат гуфта чиро мефахмем?44. Нисбатхои ба хамдигар чаппаро фахмонед.45. Чиро таносуб меноманд?46. Хосияти асосии таносубро баён кунед.47. Мафхуми бузургихои мутаносиби ростаро чй хел мефахмед?48. Мисоле биёред, ки он вобастагии байни бузургихои

мутаносиби ростаро нишон дихад.49. Мафхуми бузургихои мутаносиби ростаро баён кунед.50. Давра чист? Марказ, радиус ва диаметри давра чист?51. Формулаи дарозии давраро нависед. Дар он харфи п чиро

ифода мекунад?52. Дойра чист? Формулаи хисобкунии масохати доираро

нависед.53. Кура чист? Якчанд чизхои курашаклро номбар кунед.54. Сфера чист?55. Маркази кура ва радиуси кураро баён кунед.56. Кадом ададхоро ададхои мусбат меномем?57. Кадом ададхоро ададхои манфй меномем?58. Адади 0 манфй аст ё мусбат?59. Тири ададй чист?60. Координатаи нукта чист?61. Ададхои мукобил гуфта кадом ададхоро меномем?62. Ададхои бутун гуфта чиро меномем?63. Оё ададхои касрй хам ададхои ба худашон мукобилро

доранд?64. Кадом ададхоро ададхои ратсионалй меномем?65. Модули адад чист?66. Ададхоро чй хел мукоиса мекунанд?

229

67. Аз ду адади манфй кадомаш калон аст?68. Ду адади манфнро чй тавр чамъ мекунанд?69. Ду адади аломаташон мукобилро чй тавр чамъ мекунанд?70. Ададхои мусбат ва манфиро чй тавр тарх мекунанд?71. Масофаи байни ду нуктаи координатааш додашударо дар

хати рости координатй чй тавр меёбанд?72. Суммаи ду адади мукобил ба чй баробар аст?73. К/ждаи кушодани кавсхоро шарх дихед.74. Хрсили зарби ду адади аломаташ гуногун чй тавр ёфта

мешавад?75. Коидаи ёфтани хосили зарби ду адади манфиро баён кунед.76. Конуни чойивазкунии зарбро шарх дихед.77. Конуни гурухбандии зарбро шарх дихед.78. Агар яке аз зарбшавандахо ба нол баробар бошад, он гох

хосили зарб ба чй баробар мешавад?79. Кавсхоро чй тавр мекушоянд?80. Конуни таксимотии зарб нисбат ба чамъро шарх дихед.81. К°идаи таксими ададхои гуногуналоматро шарх дихед.82. Таксими ду адади манфй чй гуна чараён мегирад?83. Тарзхои ба касрхои дахй табдил додани касрхои оддиро

фахмонед.84. Касрхои дахии сахех, даврии асил ва омехта кадомхоянд?85. Оё медонед, ки касри даврй чй тавр ба касри одй табдил

дода мешавад?86. Табдилдихии содаи ифодахоро накл кунед.87. Таърифи муодиларо гуед.88. Решай муодила чист?89. Кадом муодилахоро баробаркувва меноманд?90. Ч,амъшавандаи муодила аз як тараф ба тарафи дигари

муодила бо кадом аломат гузаронида мешавад?91. Муодилаи хаттии якномаълума гуфта чиро меноманд ва

халхояш чигуна аст?92. Хосиятхои муодила кадомхоянд?93. Аксиома чист?94. Аксиомахои асосии хати ростро шарх дихед.95. Оё ду хати рост ду нуктаи буриш дошта метавонад?96. Кадом хатхои ростро ба хамдигар перпендикуляр

меноманд?97. Аз нуктаи берун аз хати рост ба ин хати рост чандто

перпендикуляр гузаронидан мумкин аст?

230

98. Барои гузаронидаии хатх,ои рости перпендикуляр кадом асбобх,оро истифода мебаранд?

99. Масофаи байни хати рости маълум ва нуктаи берун азон дода шуда ба чй баробар аст?

100. Кадом хатхои рост байни хамдигар параллел мешав­анд?

101. Хатхои рости параллелро чй тавр сохтан мумкин аст?102. Барои ишорати параллелии хатхои рост кадом аломат

истифода мешавад?103. Оё ду хати рости ба хати рости сеюм перпендикуляр

байни худ параллел мешаванд? Ч,авобатонро шарх дихед.

104. Хосияти асосии хатхои рости параллелро шарх дихед.105. Оё порчахое, ки дар хатхои рости параллел мавкеъ

гирифтаанд, ба якдигар параллел мешаванд?106. Аз нуктаи берун аз хати рост ба ин хати рост параллел

карда, чандто хати рост гузаронидан мумкин аст?107. Чиро тирхои координатй меномем?108. Системаи координатахои росткунча чист?109. ХамвоРии координатй чист?110. Абссисса ва ординатаи нукта гуфта чиро мефахмем?111. Дар чорякхои координатй аломатхои координатахои

нуктахо чигуна мешаванд?112. Намудхои диаграммахоро номбар кунед.113. Дар бораи график маълумот дихед.

231

Ч, А В О Б X, О5. г) 1, 2, 3, 4, 6, 8. 11. Масалан, 0, 30, 60. 31. 350; 530. 35. а) 0; 5.36. а, б, г, г, е, ё) ха. 37. 5, 95, 995. 38. а) 250, 502, 520. б) 205, 250, 520. в) 250, 520. 39. 0; 5. 50. 999. 51. 108. 52. 0; 3; 6; 9. 60. Метавонад. Масалан, 11, 13, 17. 66. Бо 6 тарз. Масалан, 3+5+23, 3+11 + 17 ва гайра. 69. Не. 70. Хд. Масалан, 2+3=5. 71. Хд. Масалан, 4+9=13. 73. 25; 49. 76. Ха. Масъала 9 хдл дорад. Масалан, 2, 2, 3; 2, 5, 5; 2, 7, 7 ва гайра. 77. Масъала 3 хдл дорад.83. Ха. Масалан, 4 ва 9. 84. Масъала 5 хал дорад. Масалан, 15 ва 195; 45 ва 165; 75 ва 135. 87. 20-то. 8 дона себ, 5 дона нок, 6 дона хурмо. 90. 39-то автомобилхои 5-тоннагй. 98. 90. 99. Масалан, 2,3, 5; 3, 5, 7; 5, 7, 11 ва хоказо. 100. Агар он ададхо байни хам сода бошанд. 101. 5 ва 4 куттй; 180 донагй анор. 102. 16 см. 103.

Ба 10. 108. Ба 3. 117. 1. 118. Ц . 143. 1 соат. 144. Аз ним зиёд. 145.16

-J4 хисса. 150. а) 4 0 ^ -; б) 2 0 ^ -. 151. Ба 5 ^ зиёд мешавад. 152. 18 25 30 60

ю | . 153.50 см. 155. г) { ; е) 157. а) | ; е ) 4 | . 161. . 162. а)о 5 у 1 о

2 - ~ . 164. Сумма ба 1-^ кам мешавад. 165. Фарк ба 2 1 ^ кам

мешавад. 166. 8-^-. 167. Трактори якум зиёдтар шудгор мекунад.

169. Ба 4-Ц зиёд мешавад. 170. ^ кисми замин шудгор нашуда

мемонад. 171. 3 { м. 172. 1 2 ^ | м. 173. . 174. 175.

хисса. 177. б) 7 | . 181. 1 ва 1. 184. l | кг. 185. Кам мешавад. 187.

8 - ^ . 189. а) 4 ^ ; г) 1 6 ^ . 205. Ц м*. 206. | м*. 207. б) | . 215.

1200 маротиба; 30 кг. 216. 420 км. 217. а) 11; б) 2у. 221. ё) не.

224. а) 11 ; ё) ^ . 225. б) 1 \ ; г) ^ ; д) 6; е) 6. 226. б) 2 ± ; г) 11;

е) 227. б) 6; д) 228. 2. 229. . 230. 2 ^ ; 4 ^ . 232.256 13 4 42 14

5 8 2 ^ м. 233. 99 км. 235. 6 |^ кг. 236. 52§ . 237. 10 км/соат; 7 j

232

м. 401. 3343,75 м. 402. 2500 л. 403. 109,52 км. 408. 864 г. 409. 84 т; 60 т; 96 т. 410. 3 млн. т. 414. 13 кг. 415. 70 кг. 416. 24 нафар. 417.15%. 418. 300 г. 419. 175 кг. 420. 4,5 кг. 421. 2 | соат. 422. 2 ± м.

423. 9 руз. 424. 15 км/соат. 425. 36 сатр. 426. 6 соату 24 дакика. 427. 100 руз. 428. 50 км/соат. 429. 16-то. 430. 18; 27. 431. 36 ва 24. 432. 4 соату 40 дакика. 433. 4 соат. 434. 10 руз. 435. Мешавад. 449. 314 см. 453. 2 маротиба хурд мешавад. 454. 1 см. 455. 10 м. 457. 2я ё 6,28 см. 459. 44,15625 дм2.460. 1. 461. 6,975 м2. 462. 3,14 м2. 463. 4 маротиба кам. 464. 36,89775 см2. 465. 176,625 м2. 466. 5 м. 467. 25 маротиба. 468. 13,8474 м2. «15 м баландй дорад» шарти зиёдатй аст. 469. 3,14 м2. Баландии манора, 55,6 м шарти зиёдатй аст. 472. 2,0052 м2. 476. 127411466 км2. 477. 2 см. 4 7 8 .|. 493. 17;7,2; - 2 ; 4; 0. 496. 4; 2,5; -1,5; -3,5. 498. в) -4; -2; 0; 1; 3; 5. 506. 16,7. 509. а) 5; б) 0,7. 511. а) х> 0; б) х = 0 ; в) х< 0; г) х< 0. 512. а) х = ±2,5 ; в) Х,ал надорад. 513. а) -1 ва 3; б) -4 ва 6; в) -6 ва 2. 516. f) -9; -8; -7; -6; -5; -4; -3. 531. -0,6 ва -1 . 541. -2 ° . 544.3 + ( - 8). 545.-13. 547. -0 ,2 .5 5 6 .-1 7 0 .5 6 2 . 18 га; 17,5 га; 16,7 га. 563. 280 бех. 564. 320 г. 573. 1098. 574. 199. 576. 9. 588. Бо ду тарз. 588. г) 6(2 - 1) . 603. г) Халхои бешумор дорад. 620. а) -2; в) -8. 621. -3. 622. -5. 635. 0,08(3) - шарти зиёдатй аст. 644. 19 см; 7 см. 645. 4 см. 658. ё) Реша надорад. 660. ё) Хал надорад. 662. 25 ва23. 663. 92 ва 46 дона. 664. 17. 665. 7. 667. 45 ва 22. 669. 58 кг; 120 кг. 670. 20; 10; 18. 673. 15 нафар. 674. 2,6 сомонй; 2,1 сомонй. 675. 42-сола; 6-сола. 676. Баъди 4 сол. 677. 24. 678. 4,5 м; 3,1 м. 679. 64 ва 56 донагй. 680. -2; 0; 2. 681. 12,5 км/соат. 682. 25 см. 684. -6.685. 60; 40. 687. Ха. -3; -2; -1. 688. 3 соат; 2 соат. 689. 45 га. 690.48 мург, 12 cap гусфанд. 691. Баъди 10 дакика. 692. 32 ва 16. 693. 28 ва 8. 695. 1230 ва 777. 696. 180 млн, 40 млн, 16 млн. 699. 17 намуд. 700. 5 л. 702. 50 намуд. 703. 3 г; 1,5 г. 704. 4,3875 км3 ва 65,8125 км3. 705. 110 г; 90 г. 710. 6-то. 711. Нигаред ба расми 96.

Расми 96

234

дар ракамгузории тартиби иштирок кунад. Масалан, дар «хонаи 4/24» -4- -ро ихтисор кардан мумкин нест. 863. 135. 864. 13014.

11 8 10 5

2 13 3 16

7 12 6 9

14 1 15 4

Расми 100 Расми 101865. Х,а. Масалан, 3, 3, 5; 3, 5, 5; 5, 5, 7; 5, 11, 13; И, 13, 17; 7, 17,19 ва Faiipa. 80 хал дорад. 866. 15200, 15210, 15220, 15230, 15240, 15250, 15260, 15270, 15280, 15290, 15205, 15215, 15225, 15235, 15245, 15255, 15265, 15275, 15285, 15295. 867. Се холат. 5 дона, 10дона ва 15 дона. 869. 101101, 543543, 345345 ва г. 870. хиссаи

60

замин обёрй мешавад. 871. ва 872. 1 хисса. 873.

Таксимкунанда аз 18 калон аст. 874. 24-|. 875. 2^ маротиба.

876. 1249^ кг. 877. 60, 48 ва 8 6 | 878. 210 км. 879. 0. 880. 4 . 882.2 5 4Нишондод. \[а а + аЪ + ас +ba +bb +bc +са + cb + ccj = abc . 883.

49 км/соат. 884. | . 886. 4-1 соат. 887. 100. 888. 24 руз. 889. 343,

147, 196 сомонй. 890. Масофаи тайкардаи теплоходи «Ракета» зиёд аст. 891. 27:4 = 36:5-1 . 893. 30, 60, 105.894.48, 160, 120. 895.

1641; 197 j ; 211-1 896. 120 тоннагй. 897. 150, 100, 60. 898. 3

нафар. 899. 4 :п . 900. 2. 901. . 902. 100 га; 80 га; 60 га. 903. 19.

904. 74 сомонй. 905. \а\ <4. 906. 46. 907. 91. 908. Ба 16 ва 18 кием.909. 10 хати рост. 910. 85° ; 95° . 912. Х,а, тааллук дорад. 913. 2 кг. 914. Нишондод. Х,ар яке аз ин ададхо аз 9 калон нест. 915. Х,а. Ин адад намуди 225- х + 150 -ро дорад. 916. Ба 6.

236

24. Ададх,ои ба хамдигар чаппа.................................................... 61Машкхо барои кори мустакилона................................................ 6425. Таксими касрхои о д й ................................................................. 6526. Таксими адади бутун ба каср ................................................... 71Худро бисанчед................................................................................. 7327. Ёфтани хиссахои адад ............................................................... 7528. Ёфтани адад аз рун хиссахои додашудаи о н ...................... 86Худро бисанчед...................................................................................97Машкхо барои кори мустакилона..................................................98Маълумоти таърихй.......................................................................... 99

Боби IV. Нисбат ва таносуб.......................................................... 10229. Мафхуми нисбат......................................................................... 10230. Таносуб ва хосиятхои о н .......................................................... 10431. Халли масъалахо дойр ба таносуб..........................................10632. Бузургихои мутаносиби роста ..................................................11133. Бузургихои мутаносиби чаппа.................................................11634. Д авра ..............................................................................................12135. Дарозии д авра .............................................................................12236. Дойра ва масохати о н ................................................................ 12437. Кура ва сфера.............................................................................. 126Худро бисанчед................................................................................. 127Машкхо барои кори мустакилона..................................................128Маълумоти таърихй......................................................................... 128

Боби V. Ададхои мусбат ва манфй. Амалхо бо ададхои мусбат ва маифй............................................................................................. 13038. Ададхои мусбат ва манфй.........................................................13039. Тасвири ададхо дар хати рост. Координатаи нукта............ 13140. Ададхои мукобил........................................................................ 13341. Модули ад ад ................................................................................ 13542. Мукоисаи ададхо........................................................................ 13743. Ч,амъ кардани ду адади м анф й................................................ 14044. Ч,амъ кардани ду адади аломаташ мукобил.......................... 14245. Конунхои амали чам ъ ................................................................ 14446. Тархи ададхои мусбат ва манфй............................................. 14647. Хисоб кардани дарозии порча дар хати рости координатй ....14948. Кушодани кавсхо........................................................................ 15049. Зарби ду адади аломаташ гуногун........ ............................. 15350. Зарби ду адади манфй................................................................155

238

51. Конунх,ои чойивазкунй ва гурухбандии зарб барои ададхои ратсионалй..................................................................157

52. Конуни таксимотии зарб нисбат ба чам ъ ............................. 15853. Таксими ду адади аломатхояшон гуногун............................15954. Таксими ду адади манфй...........................................................16155. Ба касри одй баргардонидани касри дахй

ва ба касри дахй табдил додани касри о д й .......................... 16256. Касрхои даврй .............................................................................164Худро бисанчед.................................................................................166Машкхо барои кори мустакилона.................................................167Маълумоти таърихй.........................................................................168

Боби VI. Халли муодилахо.............................................................. 17057. Табдилдихии содаи ифодахо....................................................17058. Муодилахо. Муодилахои баробаркувва............................... 17359. Хосиятхои муодилахо. Муодилахои хаттии якномаълума. 17560. Бо ёрии муодилахои дарачаи якуми якномаълума хал

кардани масъалахои м атнй ..................................................179Худро бисанчед................................................................................. 187Машкхо барои кори мустакилона................................................188Маълумоти таърихй......................................................................... 189

Боби VII. Системаи координатахои росткунча........................... 19161. Аксиомахои асосии хати рост. Бурида шудани хатхои рост. ..19162. Хатх,ои рости перпендикуляр...................................................19363. Хатхои рости параллел..............................................................19664. Системаи координатахои росткунча дар хамворй.............. 19965. Мисолхо оид ба графикхо ва диаграммахо ........................ 203Худро бисанчед................................................................................. 210Машкхо барои кори мустакилона.................................................211Маълумоти таърихй......................................................................... 212Масъалахо барои такрор ................................................................213Масъалахои шавковар.....................................................................219Масъалахои халлашон мушкил..................................................... 222Саволхои назоратй............................................................................ 228Ч,авобхо 232

239

НАРЗУЛЛО КОД И РОВ

МАТЕМАТИКА

Китоби дарси барои синфи 6

Рохбари нашр: Мухдррир:Мухдррири техники: Мусаххех:Х,уруфчини компютерй: Таррохи компютерй:

Саттор Цалхтов Мамадцон М аукам ов Тоцидин Исмоилов Н урмат ов М адумар

Абдусамеъ Абдуллозода Мамадцон М аукамов

Ба матбаа 22.02.13 супорида шуд. Ба чоп 22.04.13 имзо шуд Когази офсет. Чопи офсет. Андозаи 60x90 1/16. Чузъи чопй 1

Супориши №12 Адади нашр 60 000.

Ч.СНК «Матбуот»-и Вазорати фарханги Чумхурии Точкистон.

ш.Душанбе, хиёбони Рудакй, 37