МАТЕМАТИКИЙН ХҮРЭЭЛЭН - i büläg...
TRANSCRIPT
.
1
.
2
I büläg. Näg xuw´sagqiïn funkciïnminimum§ 1.1 Bodlogyn tawilNäg xuw´sagqiïn funkciïn minimumyg ögögdsön olonlog däärolox bodlogo awq üz´e. Änä bodlogyg tom´ëolj biqwäl:
f(x) → min, x ∈ D ⊂ R, (1.1)
üünd R = {x| − ∞ < x < ∞} toon tänxläg, D ⊂ R- däd olonlog.f(x)-funkc n´ D däär todorxoïlogdson bögööd büx x ∈ D cägüüddäär tögsgölög utga awna. D olonlog n´ xärqim, interwal, xagasinterwal xälbäräär ögögddönö.D = [a, b] = {x ∈ R|a ≤ x ≤ b}-xärqimD = (a, b) = {x ∈ R|a < x < b}-interwalD = [a, b) = {x ∈ R|a ≤ x < b}-xagas interwalD = (a, b] = {x ∈ R|a < x ≤ b}-xagas interwala, b-n´ ögögdsön toonuud.Todorxoïlolt 1.1. Xäräw x ∈ D cägiïn xuw´d
f(x∗) ≤ f(x), ∀x ∈ D
nöxcöl bielägdäj baïwal x∗ cägiïg f(x) funkciïn D däärx glo-bal´ minimumyn cäg gäj närlänä.f(x∗)-iïg funkciïn D olonlog däärx xamgiïn baga utga buµuglobal´ minimum gäj närlääd
minx∈D
f(x) = f(x∗)
gäj tämdäglänä. Mön x∗ cägiïg (1.1) bodlogyn ²iïd gänä.Tämdägläxdää x∗ = arg min
x∈Df(x) äswäl x∗ = arg min(1.1).
f(x) funkciïn D däärx global´ minimumyn cägüüdiïn olonlogiïgD∗ -oor tämdägläe.
D∗ = {x ∈ D|f(x) = minx∈D
f(x)}.
3
f(x) funkc bolon D olonlog xärxän ögögdsönöös xamaaran D∗olonlog n´ ganc cägääs, äswäl xäd xäd buµu too tom²güï oloncägääs togtoj boloxoos gadna xooson n baïj bolno.Ji²ää 1.1
f(x) ={
sin2(πx ), x 6= 0
0 x = 0.
Xäräw D = [1, 2] bol D∗ = {1}.Xäräw D = [13 , 1] bol D∗ = {1
3 ; 12 ; 1}.
Xäräw D = (0, 1] bol D∗ = {x|x = 1k , k = 1, 2, ..., }.
Ädgäär gurwan toxioldold minx∈D
f(x) = 0 baïx n´ ilärxiï µm.Xäräw D = [2,∞} bol funkciïn xamgiïn baga utga or²ixgüïgädgiïg x¶lbarxan ²algaj bolox ba D∗ = ∅ baïna.Ji²ää 1.2. f(x) = |x|+ |x− 1| − 1 funkc aw³¶.Xäräw D = [−1, 1] bol D∗ = [0, 1] ba min
x∈Df(x) = 0.
Xäräw D = [1, 2] bol D∗ = {1}, f(x∗) = 0.Xäräw D = (0, 1] bol D∗ = ∅.
Ji²ää 1.3. f(x) ={
x x 6= 01 x = 0
Xäräw D = [0, 1] bol D∗ = ∅.Ji²ää 1.4. f(x) = lnx, D = (0, 1] üed D∗ = ∅, uqir n´ büxx ∈ D büx cägüüdiïn xuw´d f(x) tögsgölög utga awdag bolowqxk = 1
k (k = 1, 2, ...) daraallyn xuw´d limk→∞
f(xk) = −∞ bolno.
Todorxoïlolt 1.2. Xäräw
f(x) ≥ m, ∀x ∈ D
nöxcliïg xangax m too or²in baïwal f(x) funkciïg D olonlogdäär dooroosoo zaaglagdsan funkc gäj närlänä. Xäräw ¶mar näg{xk} ∈ D daraalal oldood
limk→∞
f(xk) = −∞
4
nöxcöl bielägdäj baïwal f(x) funkc D däär dooroosoo zaaglag-daagüï baïna.Ji²äälbäl, ömnö awq üzsän 1.1-1.3-r ji²äänüüdiïn xuw´d f(x)dooroosoo zaaglagdsan ba 1.4-r ji²äänd f(x) dooroosoo zaaglag-daagüï baïna. D∗ = ∅ üed funkciïn xamgiïn baga utgyg örgöt-göj funkciïn dood torgon zaagiïn todorxoïlolt ög´e.Todorxoïlolt 1.3. f(x) funkc n´ D däär dooroosoo zaaglagdsanbaïg. Xäräw f∗ toony xuw´d:1. f∗ ≤ f(x), ∀x ∈ D2. ∀ε > 0, ∃xε ∈ D : f(xε) < f∗ + εbielägdäj baïwal f∗-g f(x) funkciïn D däärx dood torgon zaaggäj närlänä. Xäräw f(x) funkc D däär dooroosoo zaaglagdaagüïbol f∗ = −∞ gäj üznä. Funkciïn dood torgon zaagiïg
infx∈D
f(x) = f∗
gäj tämdäglänä.Ji²äälbäl, 1.1-1.3-r ji²äänüüdäd f∗ = 0 ba 1.4-r ji²äändf∗ = −∞ baïna. Xäräw D∗ 6= ∅ bol funkciïn xamgiïn baga utgaba dood torgon zaag dawxcax n´ ilärxiï µm.Ööröör xälbäl,
infx∈D
f(x) = minx∈D
f(x)
Änä üed f(x) funkc minimum utgandaa xürq baïna gäj ¶rina.Däärx ji²äänääs xaraxad
infx∈D
f(x) = f∗
ürgälj or²ix ba minx∈D
f(x) tär bolgon or²ixgüï baïna.
Todorxoïlolt 1.4. Xäräw {xk} ∈ D daraallyn xuw´d
limk→∞
f(xk) = infx∈D
f(x) = f∗
bielägdäj baïwal {xk}-daraallyg f(x) funkciïn D däärx bagas-gagq daraalal gäj närlänä.
5
Todorxoïlolt 1.3, 1.4-öös bagasgagq daraalal ¶magt or²in baïxn´ mördön garna.Todorxoïlolt 1.5. Xäräw xooson bi² olonlog D ba {xk} daraal-lyg awaxad lim
k→∞ρ(xk, D) = 0 nöxcöl bielägdäj baïwal {xk} daraal-
lyg D olonlog ruu niïlj baïna gäj ¶rina. Yünd ρ(xk, D) =infx∈D
|xk − x| n´ xk-ääs D olonlog xürtälx zaï.
Xäräw D∗ 6= ∅ bol D∗ ruu niïldäg bagasgagq daraalal ¶magtor²ino. Ji²äälbäl, x∗ ∈ D∗ ba xk = x∗(k = 1, 2, ...) gäj awaxadxürälcäätäï µm.Nögöö talaac D∗ 6= ∅ üed duryn bagasgagq daraalal D∗-ruu tärbolgon niïläxgüï.Ji²ää 1.5.
f(x) =x2
1 + x4, D = R.
f∗ = 0 ba D∗ = {0} baïx n´ ilärxiï. Manaï toxioldold xk =k (k = 1, 2, ...) daraalal bagasgagq daraalal bolno. Uqir n´
limk→∞
f(k) = 0.
Xarin ρ(xk, D∗) = k baïx ba {k} daraalal täg rüü tämüüläxgüïµm.Iïmd bid caa²id (1.1) bodlogyg awq üzäxdää xoër töröld angilna.1-r töröld zöwxön dood torgon zaagiïg
f∗ = infx∈D
f(x)
todorxoïlox bodlogo bagtana. Änä toxioldold D∗ xooson baïjbolno.2-r töröld D∗ 6= ∅ baïx bodloguudyg awq üzäx bögööd änä üedminx∈D
f(x)-g oloxoos gadna x∗ ∈ D∗ -g olox ²aardlagataï baïdag.Däärx törliïn bodloguudyn jinxänä ²iïdiïg cööxön toxi-
oldold olj bolno. Iïmd praktikt 1-r törliïn bodloguudyg bo-doxdoo f(x) funkciïn D däärx bagasgagq daraalal {xk}-g baïgu-uldag bögööd k-iïn xürälcäätäï ix üed f(xk)-g f∗-iïn oïrolcoo
6
utga bolgoj awna. Mön üüniï adilaar 2-r törliïn bodlogynxuw´d D∗ ruu niïläx bagasgagq daraalal baïguuldag bögööd k-iïn xürälcäätäï ix utgand xk-g (1.1) bodlogyn oïrolcoo ²iïdbolgoj awna.Bid caa²id duryn bagasgagq daraalal n´ D∗ ruu niïldäg bod-logyn angiïg awq üzäx bolno.Iïm bodlogyn angiïg Weïer²trassyn teoremoor ögq boldog.Teorem 1.1. f(x) funkc n´ D däär tasraltgüï, D ⊂ R zaaglagdsanbitüü olonlog baïg. Tägwäl1. f(x) n´ D däär dooroosoo zaaglagdsan ba
D∗ = {x|f(x) = minx∈D
f(x)} 6= ∅
2. Duryn bagasgagq daraalal {xk} ∈ D n´ D∗ ruu niïlnä. Ööröörxälbäl,
limk→∞
ρ(xk, D∗) = 0. ¥
Änä teoremyn batalgaag matematik analizyn surax biqgüüdääs[3, 5, 9] üzäj bolno.
Bid (1.1) bodlogyn ²iïdiïg todorxoïlolt 1.1-iïn xuw´d awqüzsän bilää. Odoo (1.1) bodlogyg örgötgöx zorilgoor orqny min-imumyn cägiïn todorxoïloltyg ög´e.Todorxoïlolt 1.6. Xäräw xürälcäätäï baga äeräg ε too awaxad
f(x0) ≤ f(x)
täncätgäl bi² n´ |x− x0| ≤ ε nöxcöliïg xangax büx x 6= x0, x ∈D-iïn xuw´d bielägdäj baïwal x0 ∈ D cägiïg f(x) funkciïn Ddäärx orqny minimumyn cäg gäj närlänä. Xarin f(x0) = f(x)täncätgäl n´ zöwxön x = x0 üed bielägddäg bol x0-g orqny ärsminimumyn cäg gäj närlänä. x0 ∈ D orqny minimumyn cäg gädg-iïg
x0 = arglocminx∈D
f(x) buµu x0 = arglocmin(1.1)
7
gäj tämdäglänä.Caa²id (1.1) bodlogyn orqny ba global´ minimumyn cägüüdiïg
minimumyn cägüüd gäj närläe.Tögsgöld n´ näg xuw´sagqiïn funkciïn maksimum olox bodlogo-toï towq tanilc³¶.
f(x) → max, x ∈ D ⊂ R (1.2)
Todorxoïlolt 1.7. Xäräw tögsgölög too M -iïn xuw´d
f(x) ≤ M, ∀x ∈ D
täncätgäl bi² bielägdäj baïwal f(x) funkciïg D däär däärääsääzaaglagdsan funkc gäj närlänä. Xäräw ¶mar näg {xk} ∈ D daraalaloldood
limk→∞
f(xk) = ∞
bol f(x) funkc D däär däärääsää zaaglagdaagüï baïna.Xäräw f(x) funkc D däär dooroosoo ba däärääsää zäräg zaaglagdsan
bol tüüniïg D muj däär zaaglagdsan funkc gänä.Todorxoïlolt 1.8. f(x) funkc D däär däärääsää zaaglagdsanbaïg. Xäräw f∗∗ toony xuw´d1) f(x) ≤ f∗∗, ∀x ∈ D2) ∀ε > 0, ∃xε ∈ D, f(xε) > f∗∗ − ε nöxcölüüd bielägdäjbaïwal f∗∗-g f(x) funkciïn D däärx dääd torgon zaag gäj när-lääd f∗∗ = sup
x∈Df(x) gäj tämdäglänä.
Xäräw f(x) funkc D däär däärääsää zaaglagdaagüï bol todor-xoïlolt ësoor f∗∗ = ∞ gäj üznä. {xk} ∈ D daraallyn xuw´d
limk→∞
f(xk) = supx∈D
f(x) = f∗∗
bol {xk} daraallyg f(x) funkciïn ixäsgägq daraalal gäj när-länä. Xäräw x∗ ∈ D cägiïn xuw´d
f(x∗) = f∗∗
8
bielägdäj baïwal x∗-g f(x) funkciïn D däärx global´ maksi-mumyn cäg buµu (1.2) bodlogyn ²iïd gäj närlänä. Yüniïg tämdägläxdää:
x∗ = arg maxx∈D
f(x), x∗ = arg max(1.2)
f(x∗)-g funkciïn D däärx xamgiïn ix utga gänä.Änä toxioldold
maxx∈D
f(x) = supx∈D
f(x) = f(x∗)
gädäg n´ ilärxiï µm. D∗ olonlog n´ (1.2) bodlogyn ²iïdüüdiïnolonlog bolog. Ööröör xälbäl,
D∗ = {x|f(x) = supx∈D
f(x)}.
Teorem 1.1-iïn nöxcöl bielägdäj baïgaa toxioldold f∗∗ < +∞,D∗ 6= ∅ bolox ba duryn ixäsägägq daraalal {xk} n´ D∗ ruu niïlnä.nögöö talaac
supx∈D
f(x) = − infx∈D
(−f(x))
tul f(x) funkciïn D däärx global´ maksimumyn duryn cäg n´(−f(x)) funkciïn D däärx global´ minimumyn cäg bolj ögnö.Änä n´ f(x) funkciïn D däärx (global´) maksimum olox bodlogon´ (−f(x)) funkciïn D däärx (global´) minimum olox bodlogo-toï täncüü qanartaï gäsän üg µm. Iïmd bid caa²id funkciïnzöwxön minimum olox bodlogyg awq üzäx n´ xangalttaï µm.Todorxoïlolt 1.9. Xäräw ¶mar näg xürälcäätäï baga ε > 0 tooawaxad
f(x) ≤ f(x0)
täncätgäl bi² n´ |x − x0| ≤ ε nöxcöliïg xangax büx x ∈ D-iïnxuw´d bielägdäj baïwal x0 ∈ D cägiïg f(x) funkciïn D däärxorqny maksimumyn cäg gäj närlänä. Yüniïg x0 = arglocmax
x∈Df(x)
buµu x0 = arglocmax(1.2) gäj tämdäglänä.
9
Minimum ba maksimumyn cägüüdiïg äkstremumyn cägüüd gänä.(1.2) bodlogyn global´ maksimum ba orqny maksimumyn cägüüdiïgmaksimumyn cägüüd gäj närläe.Ji²ää 1.6. Funkciïn grafik doorx baïdlaar (zur. 1.1.) ögögdsönüed funkciïn maksimumyn ba minimumyn cägüüdiïg ol³ë.
0
y
x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x
Zurag 1.1.
Tägwäl D∗ = {x2}, D∗ = {x3} bolox bögöödx0, x2, x4, x5 < x ≤ x6, x8 ≤ x ≤ x9 cägüüd n´ funkciïn orqnyminimumyn cägüüd bolno.Xarin x1, x3, x5, x7, x5 ≤ x < x6, x8 < x < x9, x10 cägüüd n´orqny maksimumyn cägüüd bolno.
§1.2. Songodog arga.Differencial toolol däär tulguurlaj funkciïn äkstremumyncägüüdiïg oloxyg songodog argad xamaaruulna. Änä argyg matem-atik analizyn surax biqgüüdäd [3, 5, 9] dälgärängüï ögsön baïdagtul änd towqxon awq üz´e. Yüniï tuld f(x) funkc n´ büx toon²uluun däär differencialqlagdana gäj üzääd daraax bodlogygtom´ëol´ë.
f(x) → min, x ∈ R. (1.3)
10
Teorem 1.2. (Ferma) x0 ∈ R cäg n´ (1.3) bodlogyn äkstremumyncäg bolog. Tägwäl
f ′(x0) = 0. (1.4.)
Batalgaa. x0 cäg n´ f(x) funkciïn R däärx minimumyn cägbolog. Tägwäl todorxoïlolt 1.6 ësoor äeräg too ε or²ix bögööd:
f(x0 + ξ)− f(x0) ≥ 0, ∀ξ : |ξ| < ε (1.5)
bielägdänä. Nögöö talaac x0 cäg däär Teïloryn tom³ëony zadar-gaag biqwäl: f(x0 + ξ) = f(x0)+ ξf ′(x0)+o(ξ2), üünd lim
ξ→0
o(ξ2)ξ = 0.
f ′(x0) 6= 0 gäj üzääd ξ = −ρf ′(x0) gäe.ρ > 0 : |f ′(x0)|ρ < ε nöxcöl bielägdänä.Tägwäl
f(x0 + ξ)− f(x0)ρ
= −(f ′(x0))2 +o(ρ2)
ρ.
Nögöö talaarlimρ→0
o(ρ2)ρ
= 0
tul ρ-iïn xürälcäätäï baga xolbogdold süülqiïn ilärxiïlliïnbaruun talyn tämdäg n´ tüüniï 1-r nämägdäxüüniï tämdgäär todor-xoïlogdono. Ööröör xälbäl,
f(x0 + ξ)− f(x0) < 0
bolj (1.5)-taï zörqild orj baïna. Iïmd f ′(x0) = 0 bolj teorembatlagdaw. ¥Teorem 1.2 n´ äkstremumyn cägiïn zaïl²güï nöxcöliïg todor-xoïlno. (1.4) nöxcliïg xangax x ∈ R cägüüdiïg funkciïn äk-stremum or²ix säjigtäï cägüüd gäj närlänä. Caa²id iïm cä-güüdiïg (1.3) bodlogyn säjigtäï cäg gäj närläe.Teorem 1.3. (äkstremum baïx xürälcäätäï nöxcöl) f(x)funkc n´ 2- udaa differencialqlagdax bögööd x0 ∈ R cäg n´(1.3) bodlogyn säjigtäï cäg bolog.
11
Xäräw f ′′(x0) > 0(f ′′x0) < 0) bol x0 n´ orqny minimumyn (maksi-mumyn) cäg bolno.Batalgaa. x0 säjigtäï cäg uqir f ′(x0) = 0 baïna. f(x) funkciïgx0 cägiïn orqind Teïloryn tom³ëond zadalbal:
f(x0 + ξ)− f(x0) =12ξ2f ′′(x0) + o(ξ2).
f ′′(x0) 6= 0 üed änä ilärxiïlliïn baruun talyn tämdäg n´ f ′′(x0)-iïn tämdgäär todorxoïlogdono. Iïmd
f(x0 + ξ)− f(x0) > 0
bolj x0 cäg n´ orqny minimumyn cäg bolno.Mön üüntäï ijilxänäär x0-iïg orqny maksimumyn cäg üed batal-gaag xiïj bolno. Teorem batlagdaw. ¥Teorem 1.2-yg a²iglan differencialqlagddag funkciïn ögögdsönxärqim däärx xamgiïn ix, xamgiïn baga utguudyg olj bolno. Änäbodlogyg
f(x) → min(max), x ∈ [a, b] (1.6)
xälbärt tom³ëolj bolno. xi(i = 1, k) cägüüd n´ (1.6) bodlogynsäjigtäï cägüüd bögööd xi ∈ [a, b], i = 1, 2, . . . , k baïg.Tägwäl max
x∈[a,b]f(x) = max{f(a), f(x1), f(x2), . . . , f(xk), f(b)},
minx∈[a,b]
f(x) = min{f(a), f(x1), f(x2), . . . , f(xk), f(b)}.Ji²äälbäl:
12
y = f(x)
f
a x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 bx
Zurag 1.2.
Zurag 1.2-d ögögdsön funkciïn xuw´d x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7 n´ äk-stremumyn säjigtäï cägüüd bögööd
min[a,b]
f(x) = f(x6), max[a,b]
f(x) = f(x5)
µm. Iïmd säjigtäï cägüüd n´
f ′(x) = 0 (1.7)
täg²itgäliïn ¶zguur bolox n´ ilärxiï.(1.7) täg²itgäliïn büx ¶zguuruudyg mädäj baïgaa toxioldoldfunkciïn xamgiïn ix, xamgiïn baga utguudyg däär dur´dsan tüü-wärläx zamaar olj bolox µm.Xaramsaltaï n´ änä arga praktikt x¶zgaarlagdmal xärägläätäïbaïdag. Uqir n´, funkc tär bolgon differencialqlagdax al-bagüï, äswäl funkciïn utguud n´ tur²iltyn ür düngäär todor-xoïlogdox bögööd tüüniï ulamjlalyg mädäx bolomjgüï, äswälfunkciïn ulamjlalyg olson bolowq f ′(x) = 0 täg²itgäliïg bo-dox ¶wdal nilääd bärx²äältäï tulgardag bilää. Iïmd funkciïnäkstremumyg olox ulamjlal a²igladaggüï bögööd orqin üeiïn
13
toocon bodox texnikiïg örgön xärägläj boloxuïc argyg awq üzäxzaïl²güï ²aardlaga praktikaar däw²igdän tawigdaj baïgaa µm.
II Büläg. Minimum olox toon arguud§ 2.1. Unimodal´ funkciïn angi.Todorxoïlolt 2.1. Xäräw [a, b] zawsar däär todorxoïlogdsonf(x) funkciïn xuw´d D∗ = [a∗, b∗] bögööd
a ≤ x1 < x2 < a∗ üed f(x1) > f(x2), (2.1)b∗ ≤ x1 < x2 ≤ b üed f(x1) < (x2) (2.2)
nöxcöl bielägddäg bol f(x) funkciïg [a, b] zawsar däär unimodal´funkc gäj närlänä.Ööröör xälbäl, unimodal´ funkc n´ a∗ cägääs züün tiï² monotonbuurdag, b∗ cägääs baruun tiï² monoton ösdög funkc baïx ba
min[a,b]
f(x) = f(c), ∀c : c ∈ [a∗, b∗] ⊂ [a, b]
Todorxoïlolt 2.2. Xäräw D ⊂ R olonlogiïn duryn x1, x2 ∈ Dcägüüdiïn xuw´d
αx1 + (1− α)x2 ∈ D, ∀α ∈ [0, 1]
nöxcöl bielägdäj baïwal D olonlogiïg güdgär olonlog gäj när-länä.Ji²äälbäl: [a, b], (a, b), (a, b], ba [a,+∞), (−∞, a) olonloguudgüdgär olonloguud µm.Todorxoïlolt 2.3. Xäräw [a, b] däär todorxoïlogdson f(x) funkciïnxuw´d
f(αx1 + (1− α)x2) ≤ max{f(x1), f(x2)}nöxcöl duryn x1, x2 ∈ [a, b] ba ∀α ∈ [0, 1]-iïn xuw´d bielägdäjbaïwal f(x) funkciïg [a, b] zawsar däär kwazigüdgär funkc gäj
14
närlänä.f
a x1 x2 b xa∗ b∗
Zurag 2.1. Kwazigüdgär funkciïn grafik
Teorem 2.1. f(x) funkc [a, b] däär kwazigüdgär baïx zaïl²güïbögööd xürälcäätäï nöxcöl n´
L(c, f) = {x ∈ [a, b]|f(x) ≤ c}, ∀c ∈ R
olonlog güdgär baïxad or²ino.Batalgaa. Zaïl²güï nöxcöl. f(x) funkc [a, b] däär kwazigüdgärbaïg. Duryn c ∈ R-g ögögdsön gäj üz´e. Xäräw x1, x2 ∈ L(c, f) bolf(x1) ≤ c ba f(x2) ≤ c baïx ba f(αx1+(1−α)x2) ≤ max{f(x1), f(x2)} ≤C, ∀α ∈ [0, 1] bielägdänä.Iïmd αx1 + (1 − α)x2 ∈ L(c, f), α ∈ [0, 1] bolj L(c, f) güdgärbaïna.Xürälcäätäï nöxcöl. Duryn c ∈ R-g awaxad x1 ∈ [a, b] ba x2 ∈ [a, b]cägüüd awq, c = max{f(x1), f(x2)} gäj üz´e. Tägwäl x1 ∈ L(c, f)ba x2 ∈ L(c, f).L(c, f) güdgär tul α(x1) + (1 − α)x2 ∈ L(c, f), ∀α ∈ [0, 1] baïxbuµu f(αx1 + (1 − α)x2) ≤ max{f(x10, f(x2)}, ∀α ∈ [0, 1] boljf(x) funkc [a, b] däär kwazigüdgär baïna. Teorem batlagdaw. ¥Todorxoïlolt 2.4. Xäräw duryn x1, x2 ∈ [a, b], x1 < x2-iïn
15
xuw´df(x) < max{f(x1), f(x2)}, x ∈ (x1, x2) (2.3)
täncätgäl bi² bielägdäj baïwal f(x) funkciïg [a, b] zawsar däärärs kwazigüdgär funkc gäj närlänä.Ööröör xälbäl, ärs kwazigüdgär funkc n´ a∗ = b∗ baïx üeiïn uni-modal´ funkc gädgiïg ²algaj bolno. Tüünqlän ärs kwazigüdgärfunkc n´ kwazigüdgär funkc gädäg n´ ilärxiï µm. Xarin kwazigüdgärfunkc ärs kwazigüdgär baïx albagüï µm.[a, b] zawsar däär todorxoïlogdson büx ärs kwazigüdgär funkciïnolonlogiïg U [a, b]-äär tämdägläe.Odoo f(x) funkciïn xamgiïn baga utgyg [a, b] zawsar däär oloxbodlogo awq üz´e.
f(x) → min, x ∈ [a, b] (2.4)
Äxlääd ärs kwazigüdgär funkciïn zarim qanaruudtaï tanilc³¶.Lemm 2.1. Xäräw f ∈ U [a, b] bol (2.4) bodlogo n´ coryn ganc x∗
²iïdtäï baïna.Batalgaa: Äsrägääs batal³¶. Ööröör xälbäl, x1, x2 ∈ [a, b], x1 <x2 -iïn xuw´d
minx∈[a,b]
f(x) = f(x1) = f(x2)
bolog. Tägwäl todorxoïlolt 2.4 ësoor
∀x ∈ (x1, x2) : f(x) < max{f(x1), f(x2)} = minx∈[a,b]
f(x)
bolj funkciïn minimumyn todorxoïloltond xar²ilj baïna.Lemm batlagdaw. ¥Lemm 2.2. f ∈ U [a, b] baïx zaïl²güï bögööd xürälcäätäï nöxcöln´ duryn x1, x2 ∈ [a, b], x1 < x2-iïn xuw´d
Xäräw x2 ≤ x∗ bol f(x2) < f(x1)Xäräw x1 ≤ x∗ bol f(x1) < f(x2)
}(2.5)
16
nöxcöl bielägdäj baïx ¶wdal µm.Batalgaa. Zaïl²güï nöxcöl: f ∈ U [a, b], a ≤ x1 < x2 ≤ bbolog.Tägwäl todorxoïlolt 2.4 ësoor:
Xäräw x2 < x∗ bol f(x2) < max{f(x1), f(x∗)} = f(x1)Xäräw x1 > x∗ bol f(x1) < max{f(x∗), f(x2)} = f(x2)Xäräw x2 = x∗ bol Lemm- 2.1 ësoor f(x2) < f(x1)Xäräw x1 = x∗ bol f(x1) < f(x2)
Ädgäär büx nöxclüüdiïg nägtgän biqwäl (2.5) garna.Xürälcäätäï nöxcöl. (2.5) nöxcöl bielägdäj baïg.Duryn x ∈ (x1, x2) cäg aw´¶a. Tägwäl x ≤ x∗ üed f(x) < f(x1) ≤max{f(x1), f(x2)}x ≥ x∗ üed f(x) < f(x2) ≤ max{f(x1), fx2)}Änä 2 nöxcliïg nägtgäj biqwäl (2.3) garna. Lemm batlagdaw.Mördlög. f ∈ U [a, b], a ≤ x1 < x2 ≤ b bolog.Xäräw f(x1) < f(x2) bol x∗ ∈ [a, x2)Xäräw f(x1) = f(x2) bol x∗ ∈ (x1, x2)Xäräw f(x1) > f(x2) bol x∗ ∈ (x1, b]
Sanamj. Änä mördlög unimodal´ funkcüüdiïn xuw´d mön xüqin-täï gädgiïg x¶lbarxan ²algaj bolno.Odoo (2.4) bodlogyg ärs kwazigüdgär funkciïn angid awq üz´e.Änä bodlogyn oïrolcoo ²iïdiïg oloxyn tuld zöwxön funkciïnutguudyg a²iglax ²aardlagataï. Üüniï tuld:
1. (a, b) interwalyg xi cägüüdäär n+1 xäsägt xuwaaj xi cägüüdiïgösöx daraallaar baïrluulbala < x1 < x2 < · · · < xn < b, a = x0, b = xn+1
2. f(xi), i = 1, 2, . . . , n utguudyg bodoj xr cägiïg ¶lga¶.f(xr) = min
1≤i≤nf(xi)
3. [xr−1, xr] zawsryn duryn cägiïg, ji²äälbäl xr-iïg (2.4) bod-logyn oïrolcoo ²iïdäär aw³¶.
17
Lemm 2.3 f ∈ U [a, b] bolog. Tägwäl duryn {xi}, (i = 1, n)cägüüdiïn xuw´d 1-3 üïldliïg güïcätgäwäl x∗ ∈ [xr−1, xr] bolno.Batalgaa. Äsrägääs batal³¶. x∗ /∈ [xr−1, xr].Ji²äälbäl, x∗ < xr−1 bolog. Tägwäl x∗, xr−1 < xr, f ∈ U [a, b]uqir f(xr−1) < max{f(x∗), f(xr)} = f(xr). Änä n´ xr cägiïntodorxoïloltond xar²ilj baïna. Lemm batlagdaw. ¥x1, x2, . . . , xn cägüüdiïg x∗ cägiïn döxöltiïn cägüüd gäj närläe.[xr−1, xr] zawsryg ²iïdiïg nariïwqlax zawsar gäj närlänä.
Odoo däärx 1-3 sxemiïn daguu x1, x2, . . . , xn cägüüdiïg baïgu-ulax onowqtoï argataï tanilc´¶. Döxöltiïn cägüüdiïg daraaxxoër argaar baïguulj boldog.a). x1, x2, . . . , xn cägüüdiïg baïguulaxdaa f(xi)-iïn utguudyg xar-galzaj üzdäggüï. Döxöltiïn cägüüdiïg ingäj baïguulax argygidäwxgüï arga gäj närläe.w). x1, x2, . . . , xn cägüüdiïg baïguulaxdaa ömnöx baïguulsan cägüüddäärx funkciïn utguudyg xargalzaj üzäx zamaar däs daraalanbaïguuldag. Änä argyg daraalsan arga gäj närlänä.
§ 2.2. Onowqtoï argyn tuxaïOdoo (2.4) bodlogyg U [a, b] funkciïn angid ögögdsön n cägiïnxuw´d bodox onowqtoï argyg awq üz´e. n cägiïn xuw´d 1-3 sxemiïggüïcätgäsän gäj üz´e.Tägwäl xr : f(xr) = min
1≤i≤nf(x). Nögöö talaas x∗ ∈ [xr−1, xr+1] tul
aldaag ünälbäl |xr − x∗| ≤ max{xr+1 − xr, xr − xr−1}.Änä ünälgää n´ f ∈ U [a, b] funkcääs xamaarq baïna.U [a, b] angiïn xuw´d aldaany daraax ünälgääg todorxoïl³ë.
max1≤r≤n
max{xr+1 − xr, xr − xr−1} = max0≤i≤n
{xi+1 − xi} , In({xi}).
In({xi}) xämjigdäxüün n´ f ∈ U funkcääs xamaaraxgüï bögööd{xi} argyn U [a, b] angi däär qanaryn üzüülältüüdiïg xaruulaxtoo µm.
18
Xäräw In({xi}) < In({x′i}) nöxcöl bielägdäj baïwal {xi} argyg{x′i} argaas dawuu gäj üznä. U [a, b] angi däär aldaany onowqtoïünälgääg daraax argaar todorxoïlno.
I∗n = inf{xi}
In({xi}). (2.6)
Xäräw {x∗i } döxöltiïn cägüüdiïn xuw´d
I∗n = In({x∗i })nöxcöl bielägdäj baïwal {x∗i }-g onowqtoï döxölt buµu äswäl (2.4)bodlogyn onowqtoï idäwxgüï arga gäj närlänä. Iïmd onowqtoïidäwxgüï argyg baïguulaxyn tuld daraax
min{xi}
max0≤i≤n
{xi+1 − xi}
bodlogyg bodox ²aardlaga garq baïna.Teorem 2.2. Onowqtoï idäwxgüï arga n´
x∗i = a + ib− a
n + 1, i = 1, . . . , n (2.7)
tom´ëogoor baïguulagdax bögööd änä n´ coryn ganc µm.Batalgaa. In({x∗i }) = b−a
n+1 ilärxiï µm. {xi} duryn döxöltiïncäg baïg. Tägwäl ¶magt
xk+1 − xk ≥ b− a
n + 1(2.8)
bielj baïxaar [xk, xk+1], k ∈ {0, . . . , n} zawsar oldono.Äsräg toxioldold
xk+1 − xk <b− a
n + 1, k = 0, . . . , n
baïx bögööd ändääs
b− a =n∑
k=0
(xk+1 − xk) <n∑
k=0
b− a
n + 1= b− a
19
bolj zörqild xürnä.Iïmd (2.8)-g xargalzan üzwäl
In({xi}) = max0≤i≤n
{xi+1 − xi} ≥ b− a
n + 1= In({x∗i }).
Xäräw {xi} 6= {x∗i } bol In({xi}) > In({x∗i }) gädgiïg x¶lbarxan²algaj bolno. Teorem batlagdaw. ¥Tägwäl idäwxgüï arguudyn aldaany onowqtoï ünälgää n´
I∗n =b− a
n + 1. (2.9)
Duryn f ∈ U [a, b] funkciïn xuw´d onowqtoï idäwxgüï arga n´(2.4) bodlogyn ²iïdiïg I∗n-ääs xäträxgüï aldaany nariïwqlal-taïgaar olno.
§ 2.3. Daraalsan arga.Odoo (2.4) bodlogyg bodox daraalsan (idäwxtäï) arguudtaï tanil-c´¶. Üüniï tuld f(x) funkc n´ [a, b] zawsar däär unimodal´ gäjüz´e.1.Xärqmiïg tallan xuwaax arga.f(x) funkciïn minimumyn cägiïg [a, b] zawsar däär äräxdää x1, x2
cägüüdääs äxälnä.
x1 =a + b− δ
2, x2 =
a + b + δ
2.
Üünd δ-n´ änä argyn parametr bögööd 0 < δ < b− a. x1, x2 cägüüdn´ [a, b] xärqmiïn dundjiïn xuw´d täg² xämtäï baïrlax bögöödδ-g xürälcäätäï baga üed [a, b] xärqmiïg barag xagaslan xuwaana.Üüniï daraa f(x1), f(x2) utguudyg xar´cuulaad [a1, b1] xärq-miïg baïguulna:
[a1, b1] =
{[a, x2] xäräw f(x1) ≤ f(x2) bol[x1, b] xäräw f(x1) > f(x2) bol
20
f(x) funkc unimodal´ uqir D∗⋂
[a1, b1] 6= ∅ ba
b1 − a1 =b− a− δ
2+ δ.
Odoo [a1, b1] xärqmiïn xuw´d däärx üïldliïg dawtan güïcätgäj[a2, b2] xärqmiïg baïguulna.
x3 =a1 + b1 − δ
2, x4 =
a1 + b1 + δ
2
[a2, b2] =
{[a1, x4] xäräw f(x3) ≤ f(x4)
[x3, b1] xäräw f(x3) > f(x4)
Unimodal´ funkciïn todorxoïloltyg a²iglawal
D∗⋂
[a2, b2] 6= ∅
ba b2− a2 = b1− x3 = x4− a1 = a1+b1+δ2 − a1 = b1−a1+δ
2 = b−a−δ22 + δ
Däärx 2 üïldliïg doorx zurgaar xaruulbalf
a x1 = a1 a+b2
x2 b = b1x
D∗
Zurag 2.2
Odoo (k − 1)-r iteraciïg (üïldliïg) güïcätgäsän bolog.D∗
⋂[ak−1, bk−1] 6= ∅,
21
bk−1 − ak−1 = (b−a−δ)2k−1 + δ > δ (k ≥ 2).
x2k−1, x2k-cägüüdiïg baïguul³¶.x2k−1 = ak−1+bk−1−δ
2 , x2k = ak−1+bk−1+δ2 .
[ak, bk] xärqmiïg baïguul³¶.
[ak, bk] =
{[ak−1, x2k] xäräw f(x2k−1) ≤ f(x2k) bol[x2k−1, bk−1] xäräw f(x2k−1) > f(x2k) bol
Tägwäl D∗⋂
[ak, bk] 6= ∅ bolox ba bk − ak = b−a−δ2k + δ > δ.
Baïguulalt ësoor
[ak−1, bk−1] ⊂ [ak, bk] ⊂ . . . [a1, b1] ⊂ [a, b].
Iïm argaar xärqmiïg tallan xuwaax üïldliïg bk−ak < ε nöxcölbielägdäx xürtäl ürgäljlüülnä. Üünd ε n´ ögögdsön nariïwqlalbögööd ε > δ. Ändääs
k > log2((b− a− δ)/(ε− δ))
Xuwaalt bürd funkciïn 2 utgyg boddog tul bk−ak < ε nöxcliïgxangaxyn tuld niït n = 2k > 2 log2(
b−a−δε−δ ) utgyg bodox ²aardla-
gataï. [ak, bk] xärqmiïg todorxoïlsny daraa bodlogyn oïrolcoo²iïd xn-g todorxoïlno.
xn =
{x2k−1 xäräw f(x2k−1) ≤ f(x2k) bolx2k xäräw f(x2k−1) > f(x2k) bol
f(xn) utgyg f∗ = inf[a,b]
f(x)-iïn oïrolcoo utga bolgoj awna.Ingäj todorxoïloxod garax aldaag ünälbäl:
ρ(xn, D∗) ≤ max{bk − xn;xn − ak} =(b− a− δ)
2k.
Mön xn cägiïg [ak, bk] xärqmiïn dundaj baïxaar awbal:
xn =ak + bk
2,
22
ρ(xn, D∗) ≤ max{bk − xn, xn − ak} =bk − ak
2=
b− a− δ
2k+1+
δ
2,
f∗ ≈ f(xn).
Däärx argaar f(x) funkciïn [a, b] xärqim däärx minimumyn cägiïgoïrolcoogoor (ε-nariïwqlaltaïgaar)oloxod funkciïn utgyg n =2k udaa bodoj baïgaa bilää. Tägwäl bodlogyn ²iïdiïg mön iïmnariïwqlaltaïgaar oïrolcoo oloxod ²aardagdax funkciïn ut-gyg cöörüüläx asuudal züï ësoor tawigdana. Änä asuudald xariubolgoj daraax argyg awq üz´e.2. Altan ogtlolyn arga.
Xärqmiïg täncüü bi² xoër xäsägt xuwaaxad xärqmiïn urtygtüüniï ix xäsgiïn urtad xar´cuulsan xar´caa n´ ix xäsgiïn ur-tyg baga xäsgiïn urtad xar´cuulsan xar´caataï täncüü baïx-aar xiïgdsän xuwaaltyg altan ogtlol gäj närlänä. Xärqmiïgx1, x2 cägüüdäär altan ogtlol xiïsän gäj üz´e. Ööröör xälbäl,a < x1 < x2 < b üed
b− a
b− x1=
b− x1
x1 − a=
b− a
x2 − a=
x2 − a
b− x2=√
5 + 12
.
x1, x2 cägüüd n´ [a, b] xärqmiïn dundjiïn xuw´d täg² xämtäïbaïrlasan bögööd
x1 = a +(3−√5)(b− a)
2= a + 0.381966011...(b− a)
x2 = a +√
5− 12
(b− a) = a + 0.618033989...(b− a)
gädgiïg x¶lbarxan xaruulj bolno.Nögöö talaas x2 − x1 < x1 − a = b− x2 ba
x2 − a
x1 − a=
x1 − a
x2 − x1
tul x1 n´ [a, x2] xärqmiïn altan ogtlolyn cäg bolj baïna. Mönüüniï adilaar x2 n´ [x1, b] xärqmiïn altan ogtlolyn cäg bolno.
23
Iïmd altan ogtlolyn argyn iteracid, nariïwqlax zawsar [ak, bk]-g baïguulax ¶wcad iterac bür däär f(x)-iïn utgyg zöwxön gancudaa bodno. Odoo altan ogtlolyn argyn algoritmyg biqwäl:a1 = a, b1 = b bolog. x1, x2 n´ [a1, b1] xärqmiïn altan ogtlolyncägüüd. f(x1), f(x2) utguudyg bodoj [a2, b2] xärqmiïg baïguulna.Ingäxdää
[a2, b2] =
{[a1, x2] xäräw f(x1) ≤ f(x2) bol[x1, b1] xäräw f(x1) > f(x2) bol
Tüünääs gadna x2-cägiïg todorxoïlno.
x̄2 =
{x1 xäräw f(x1) ≤ f(x2) bolx2 xäräw f(x1) > f(x2) bol
f(x) funkc unimodal´ uqraas D∗⋂
[a2, b2] 6= ∅ baïna. Nögöö ta-laac b2 − a2 = (
√5−1)(b−a)
2 bögööd x2 ∈ [a2, b2] n´ [a2, b2] xärqmiïnaltan ogtlolyn cäg µm. f(x2) = min{f(x1), f(x2)} baïx n´ ilärxiïµm. x1, x2, . . . , xn−1 cägüüdiïg todorxoïlj f(x1), f(x2), . . . , f(xn−1)utguudyg bodson gäj üz´e. [an−1, bn−1] xärqmiïn xuw´d
D∗⋂
[an−1, bn−1] 6= ∅, bn−1 − an−1 =
(√5− 12
)n−2
(b− a).
xn−1 cäg n´ [an−1, bn−1] xärqmiïn altan ogtlolyn cäg bolog.Tägwäl [an−1, bn−1] xärqmiïn altan ogtlolyn nögöö näg cägiïg
xn = an−1 + bn−1 − xn−1
gäj todorxoïlox ba f(xn) utgyg bodoj olno.Todorxoï bolgoxyn tuld an−1 < xn < xn−1 < bn−1 gäj üz´e.
[an, bn] =
{[an−1, xn−1] xäräw f(xn) ≤ f(xn−1) bol[xn, bn−1] xäräw f(xn) > f(xn−1) bol
xn =
{xn xäräw f(xn) ≤ f(xn−1) bolxn−1 xäräw f(xn) > f(xn−1) bol
24
Ingäj baïguulsan [an, bn]-iïn xuw´d
D∗⋂
[an, bn] 6= ∅, bn − an =
(√5− 12
)n−1
(b− a).
xn n´ [an, bn]-xärqmiïn altan ogtlolyn cäg µm.f(xn) = min{f(xn), f(xn−1} = min
1≤i≤nf(xi)
Däärx iteraciïg bn−an < ε nöxcöl bielägdäx xürtäl ürgäljlüülnä.Üünd ε > 0 ögögdsön nariïwqlal. xn cägiïg bodlogyn oïrolcoo²iïd bolgoj awna. Oïrolcoo ²iïdiïn aldaany nariïwqlalygtoocwol:ρ(xn, D∗) ≤ max{bn − xn, xn − an} =12(√
5− 1)(bn − an) =
(√5− 12
)n
(b− a) = An.
Odoo altan ogtlolyn argyg xärqmiïg tallan xuwaax argataïxar´cuul³¶. Funkciïn utgyg n = 2k udaa bodsny daraa oïrolcoo²iïdiïn aldaany nariïwqlal xärqmiïg tallan xuwaax argynxuw´d
ρ(xn, D∗) ≤ 2−n/2(b− a− δ) < 2−n/2(b− a) = Bn
baïdag. Ändääs
An
Bn=
(2√
2√5 + 1
)n
≈ (0.87 . . . )n
tul n-iïn baga xolbogdold altan ogtlolyn argyn dawuu n´ ilärxiïµm. Toocoolox texnikt änä argyg xärägjüüläxäd
√5 toog oïrol-
coo ögdög uqraas üüntäï xolbogdson x1 cäg mön oïrolcoo bodog-dono. Änä aldaa n´ daraagiïn iteracid mön x1 utgyg oïrolcoooloxod nölööldög bögööd caa²id aldaa ulam ösnö. Ööröör xäl-bäl, n xürälcäätäï ix üed [an, bn] xärqim ba xn, xn+1 = an+bn−xn
cägüüd n´ xargalzax onolyn utguudaas ärs ¶lgarna. Iïmd änä ar-gyg n-iïn ix xolbogdold xärägläx n´ toxiromjgüï µm.
25
Sanamj: Xärqmiïg tallan xuwaax arga ba altan ogtlolyn ar-gyg unimodal´ bi² duryn funkciïn angid xärägläj bolox bolowqingäj olson ²iïd n´ funkciïn xärqim däärx global´ minimumyncäg bolox albagüï.
§ 2.4. Daraalsan argyn onowqtoï algoritmIdäwxgüï argyn xuw´d onowqtoï algoritmyg ömnö n´ todorxoïl-sony adilaar daraalsan argyn onowqtoï algoritmyg todorxoïl³ë.Üüniï tuld ur´dyn adilaar (2.4) bodlogyg U [a, b] funkciïn angidawq üz´e.�mar näg daraalsan arga Pn-iïn tuslamjtaïgaar xi, i = 1, 2, . . . , ncägüüdiïn daraalal baïguulagdsan ba x∗n cäg n´ (2.4) bodlogynoïrolcoo ²iïd bolog. Änä argaar bodoxod garax aldaany ünäl-gääg biqwäl:
|x∗n − xk| ≤ δn.
δn -xämjigdäxüün n´ songoson arga ba bodlogyn parametrüüdääsxamaarna. Ööröör xälbäl,
δn = δn(Pn, f, b− a).
Pn-argyn U [a, b] angi däärx aldaany ünälgääg daraax tom´ëogoortodorxoïl³ë.
In(Pn, b− a) = supf∈U
δn(Pn, f, b− a).
Tägwäl onowqtoï arga P ∗n -iïn xuw´d
In(P ∗n , b− a) = inf
{Pn}In(Pn, b− a) , I∗n(b− a)
bielägdänä. I∗n(b − a)-xämjigdäxüüniïg aldaany onowqtoï ünäl-gää gäj närlädäg. Daraalsan argyn onowqtoï algoritm n´ Fi-bonaqqiïn toonuud Fi-täï xolbootoï baïdag ba ädgäär toonuudn´
F0 = F1 = 1, Fi+1 = Fi + Fi−1, i = 1, 2, . . .
26
dürmäär baïguulagdana. Odoo änä argataï tanilc³¶.
Fibonaqqiïn argaFibonaqqiïn arga Φn-iïn daraalsan döxöltiïg x∗1, x
∗2, . . . , x
∗n gäj
tämdägläe. n = 1 toxioldlyg awq üz´e. Tägwäl Φ1 argyn corynganc cäg n´ [a, b] xärqmiïn dundaj cäg x∗1 = a+b
2 bolox ba änäcägiïg bodlogyn oïrolcoo ²iïd bolgoj awdag. Aldaany ünäl-gääg bodwol:
|x∗1 − x∗| ≤ b− a
2=
b− a
F2. (2.10)
Änä toxioldold Φ1 arga n´ onowqtoï idäwxgüï argataï dawxcaxuqraas (2.10) ünälgääg saïjruulax bolomjgüï µm. Iïmd (2.10)ünälgää n´ onowqtoï ünälgää
I∗1 (b− a) =b− a
F2
baïx bögööd Φ1 n´ baïguulalt ësoor onowqtoï arga µm. Odoon ≥ 2 erönxiï toxioldlyg awq üz´e. a = a1, b = b1 gäj üzääd[a1, b1] xärqim däär
x∗1 = a1 +Fn−1
Fn+1(b1 − a1)
cäg baïguulj funkciïn utga f(x∗1) -g olno. {[a1, b1], x∗1} xos n´ Φn
argyn äxniï döxölt µm. Tuslax qanaryn x1 cägiïg baïguulna.x1 = a1 + b1 − x∗1
x∗1, x1 cägüüd [a1, b1] xärqim däär täg² xämtäï baïrlana. Üüniïg²algawal:
x1 − a1 = a1 + b1 − x∗1 − a1 = b1 − x∗1,
üünd x∗1 < x1,(
Fn−1
Fn+1< 1
2
).
f(x1) utgyg bodno. Daraagiïn döxölt {[a2, b2], x∗2}-g doorx dür-määr baïguulna.
{[a2, b2], x∗2} ={ {[a1, x1], x∗1} xäräw f(x∗1) ≤ f(x1){[x∗1, b1], x1} xäräw f(x∗1) > f(x1)
27
Φn-argyn ²inä döxöltiïn xuw´d daraax qanaruud bielägdänä.1). x∗ ∈ [a2, b2]2). b2 − a2 = x1 − a1 = b1 − x∗1 = Fn
Fn+1(b− a)
3). x∗2 cäg n´ x′2, x′′2-cägüüdiïn al´ nägtäï dawxcana.
x∗2 =
{x′2, x′2 = a2 + Fn−2
Fn(b2 − a2), if f(x∗1) > f(x1)
x′′2, x′′2 = a2 + b2 − x′2, if f(x∗1) ≤ f(x1)
tüünääs gadna x′2, x′′2 cägüüd n´ [a2, b2] xärqim däär täg² xämtäïbaïrlax bögööd
x′2 < x′′2 (n > 2), äswäl x′2 = x′′2 (n = 2)
Ädgäär qanaruudyg ²alga¶.Qanar 1 n´ ärs kwazigüdgär funkciïn todorxoïloltoos mördöngarna. Qanar 2-yg ²uud ²algawal:
b1 − x∗1 = (b1 − a1)(1− Fn−1
Fn+1
)=
Fn
Fn+1(b− a)
Qanar 3-yg äxniï toxioldold (f(x∗1) > f(x1)) ²alga¶.x′2 = x∗1 + Fn−2
Fn· Fn
Fn+1(b1 − a1) = a1 +
(Fn−1
Fn+1+ Fn−2
Fn+1
)(b1 − a1) =
a1 + FnFn+1
(b1 − a1) = x1 = x∗2.Mön üüntäï töstäïgäär nögöö toxioldold x′′2 = x∗2 gädgiïg xaru-ulj bolno.[a2, b2] xärqmiïn x′2, x
′′2 cägüüdääs Φn−1 arga äxälnä.
Odoo erönxiï argyg tom³ëol³ë.Φn argyn k -r döxölt {[ak, bk], x∗k}-g (2 ≤ k ≤ n) baïguulsan gäjüz´e.Daraax nöxclüüd bielägddäg bolog.k1). x∗ ∈ [ak, bk]k2). bk − ak = Fn−k+2
Fn+1(b− a)
k3). x∗k cäg n´ x′k, x′′k cägüüdiïn al´ nägtäï dawxcana.
x′k = ak + Fn−k
Fn−k+2(bk − ak),
x′′k = ak + bk − x′k.
28
x′k, x′′k cägüüd [ak, bk] xärqim däär täg² xämtäï baïrlax ba
x′k < x′′k (k < n), x′k = x′′k (k = n) k < n bolog.Tägwäl (k + 1)-r döxöltiïg baïguulaxdaaxk = ak + bk − x∗k cägiïg baïguulj f(xk)-g olno. Todorxoï bolgo-xyn tuld x∗k = x′k baïg. Tägwäl xk = x′′k.
{[ak+1, bk+1], x∗k+1} =
{ {[ak, xk], x∗k} xäräw f(x∗k) ≤ f(xk)
{[x∗k, bk], xk} xäräw f(x∗k) > f(xk)
Daraax nöxclüüd bielägdäxiïg x¶lbarxan ²algaj bolno.k4). x∗ ∈ [ak+1, bk+1]k5). bk+1 − ak+1 = xk − ak = bk − x∗k = Fn−k+1
Fn+1(b− a)
k6). x∗k+1 =
{x′k+1 = ak+1 + Fn−k−1
Fn−k+1(bk+1 − ak+1), if f(x∗k) > f(xk)
x′′k+1 = ak+1 + bk+1 − x′k+1, if f(x∗k) ≤ f(xk)k4). nöxcöl ärs kwazigüdgär funkciïn todorxoïlolt ësoor bielnä.k5). nöxcliïg ²uud ²algawal:
bk−x∗k = (bk−ak)(
1− Fn−k
Fn−k+2
)=
Fn−k+1
Fn−k+2(bk−ak) =
Fn−k+1
Fn+1(b−a).
(k6)-nöxcliïg äxniï toxioldold ²algawal:
x′k+1 = x∗k+Fn−k−1
Fn−k+1·Fn−k+1
Fn+1(b−a) = ak+
Fn−k+1
Fn+1(b−a) = xk = x∗k+1.
Üüniï adilaar 2-r toxioldlyg x¶lbarxan ²algana.Odoo k = n bolog. Tägwäl Fibonaqqiïn argyn xamgiïn süülqiïndöxölt {[an, bn], x∗n} bolox ba bodlogyn oïrolcoo ²iïd bolgoj x∗n-g awna. Oïrolcoo ²iïdiïn aldaag ünäl´e. k = n üed (k3)-qanarësoor x∗n = x′n = x′′n. Iïmd x∗n cäg n´ [an, bn] xärqmiïn dundajbolno. (k2) qanar ësoor k = n üed
bn − an =F2
Fn+1(b− a) =
2(b− a)Fn+1
.
Nögöö talaas x∗ ∈ [an, bn] tul aldaany ünälgää n´
|x∗n − x∗| ≤ b− a
Fn+1
29
bolox bögööd f ∈ U [a, b] funkcääs xamaaraxgüï baïna. Iïmd ärskwazigüdgär funkciïn angid Φn argyn aldaa n´
In(Φn, b− a) =b− a
Fn+1.
Odoo altan ogtlolyn arga ba Fibanoqqiïn argyg xar´cuul³¶.Indukciïn argaar Fibanoqqiïn n-r toog daraax tom´ëogoor olno.
Fn =1√5
[(1 +√
52
)n−
(1−√52
)n]
, n = 1, 2, . . .
Ändääs n →∞ üed
Fn+1 ≈ 1√5
((√
5 + 1)2
)n+1
gäj üzäj bolno. Änä üed nariïwqlax zawsryn aldaa n´ oïrolcoo-goor
2(b− a)Fn+1
≈ 2√
5(
2√5 + 1
)n+1
(b− a).
Nögöö talaas altan ogtlolyn argyn xuw´d aldaany nariïwqla-lyn zawsar n´
bn − an =
(√5− 12
)n−1
(b− a) =(
2√5 + 1
)n−1
(b− a).
Ändääs xaraxad n →∞ üed altan ogtlolyn arga n´ Fibonaqqiïnargaas
(2√
5 + 1
)n−1
(b− a) :(
2√5 + 1
)n+1
(b− a)2√
5 ≈ 1.1708 . . .
daxin muu µm.
limn→∞
Fn−1
Fn+1=
3−√52
, limn→∞
Fn
Fn+1=√
5− 12
tul n →∞ üed altan ogtlolyn bolon Fibonaqqiïn argyn döxöltiïnäxniï cägüüd x1, x2 n´ adilxan baïna.
30
III Büläg. Global´ minimum olox arguudÄnä bülägt unimodal´ bi² bögööd Lip²iciïn bolon güdgär funkciïnangid bagtax funkciïn global´ minimum olox argyg awq üznä.
§ 3.1. Taxir ²ugamyn argaTodorxoïlolt 3.1. Xäräw [a, b] zawsar däär todorxoïlogdsonf(x) funkciïn xuw´d L > 0 togtmol or²ix bögööd
|f(x)− f(y)| ≤ L|x− y|, ∀x, y ∈ [a, b] (3.1)
nöxcöl bielägdäj baïwal f(x) n´ Lip²iciïn nöxcliïg xangajbaïna gäj närlänä. L-togtmolyg Lip²iciïn togtmol gänä.
(3.1) nöxcliïn geometr utgyg taïlbarlawal: y = f(x) muruïn(x, f(x)) ba (y, f(y)) cägüüdiïg xolboson xöwqiïn öncgiïn koäf-ficient |f(x) − f(y)| · |x − y|−1 n´ duryn x, y ∈ [a, b] cägüüdiïnxuw´d L togtmoloos ixgüï gäsän üg µm.f(x) funkc [a, b] däär tasraltgüï gädäg n´ (3.1) nöxcölöös ²uudmördön garax ba teorem 1.1 ësoor D∗ 6= ∅ baïna.Teorem 3.1. f(x) funkc n´ [a, b] xärqim däär tasraltgüï bögööd[ai, ai+1] (i = 1, 2, . . . , m; a1 = a, am+1 = b) zawsar däär (3.1)nöxcliïg Li togtmolyn xuw´d xangadag bolog. Tägwäl f(x) funkcn´ (3.1) nöxcliïg [a, b] zawsar däär L = max
1≤i≤mLi togtmoltoïgoor
xangana.Batalgaa. Duryn x, y ∈ [a, b] cägüüd songoë.ap−1 ≤ x ≤ ap, as ≤ y ≤ as+1 nöxcöl todorxoï p, s-iïn xuw´dbieldäg bolog. Tägwäl
|f(x)−f(y)| = |f(x)−f(ap)+s−1∑
i=p
(f(ai)−f(ai+1))+f(as)−f(y)| ≤
≤ Lp−1|x− ap|+ |s−1∑
i=p
Li(ai+1 − ai)|+ Ls|as − y| ≤ L|x− y|
31
bolj teorem batlagdaw. ¥Teorem 3.2. f(x) funkc n´ [a, b] xärqim däär differencialqlagddagbögööd tüüniï ulamjlal f ′(x) änä xärqim däär zaaglagdsan baïg.Tägwäl f(x) n´ (3.1) nöxcliïg L = sup
x∈[a,b]|f ′(x)| togtmoltoïgoor
xangana.Batalgaa. Duryn x, y ∈ [a, b]-yn xuw´d tögsgölög öörqlöltiïntom´ëo biq´e.
f(x)− f(y) = f ′(y + θ(x− y))(x− y), (0 < θ < 1).
Tägwäl f ′(x) zaaglagdsan gädgääs teoremyn nöxcöl mördöj garna.Taxir ²ugamyn argyn sxemf(x) funkc n´ [a, b] zawsar däär (3.1) nöxcliïg xangadag bolog.y ∈ [a, b] cägiïg songon awq x-ääs xamaarsan
g(x, y) = f(y)− L|x− y|funkc todorxoïl³ë. (a ≤ x ≤ b).g(x, y) funkc n´ [a, b] däär xäsägqilsän ²ugaman funkc gädgiïgx¶lbar xarj bolno.(3.1) nöxcliïg a²iglawal
f(x)− g(x, y) ≥(
L− |f(x)− f(y)||x− y|
)|x− y| ≥ 0, x 6= y
bolox ba ändääs
g(x, y) = f(y)− L|x− y| ≤ f(x), ∀x ∈ [a, b]. (3.2)
Nögöö talaasg(y, y) = f(y).
Iïmd f(x) funkciïn grafik n´ g(x, y) taxir ²ugamaas ürgäljdäär baïrlaj baïna. (3.2) qanaryg a²iglan taxir ²ugamyn ar-gyg baïguulna. Üünd äxlääd x0 ∈ [a, b] cägiïg songoj
g(x, x0) = f(x0)− L|x− x0| = p0(x)
32
funkc baïguulna. x1 cägiïg daraax nöxclöös todorxoïlno.
p0(x1) = minx∈[a,b]
p0(x)
Änä bodlogyn ²iïd n´ äswäl x1 = a äswäl x1 = b baïx n´ ilärxiïµm. Üüniï daraa p1(x) funkc baïguulna.
p1(x) = max{g(x, x1); p0(x)}Daraagiïn x2 cägiïg
p1(x2) = minx∈[a,b]
p1(x), (x2 ∈ [a, b])
nöxclöös todorxoïlno.
B
D2
B2
C1
x2
E2
b = x1
B1
A
A2A1
x0a
C
C2
x
Zurag 3.1
ABC taxir ²ugamaar dürslägdäx funkc
p0(x) = g(x, x0).
A1B1-²ugamaar dürslägdäx funkc
p0(x) = g(x, x1).
33
ABC1B1-²ugamaar dürslägdäx funkc
p1(x) = max{g(x, x1), g(x, x0)}.A2B2C2-²ugamaar dürslägdäx funkc
y = g(x, x2).
ABD2B2E2B1-²ugamaar dürslägdäx funkc
y = p2(x).
Odoo däärx argaar x0, x1, x2, . . . , xn(n ≥ 1) cägüüdiïg baïguulsangäj üz´e.
pn(x) = max{g(x, xn), pn−1(x)} = max0≤i≤n
g(x, xi)
funkciïg baïguulna.xn+1-cägiïg daraax nöxclöös todorxoïlno.
pn(xn+1) = minx∈[a,b]
pn(x), xn+1 ∈ [a, b], (3.3)
pn−1(x) = max0≤i≤n−1
g(x, xi) ≤ max0≤i≤n
g(x, xi) = pn(x), + + x ∈ [a, b]
(3.4)Nögöö talaas (3.2) ësoor
g(x, xi) ≤ f(x), x ∈ [a, b], ∀i = 0, 1, . . . , n.
Iïmdpn(x) ≤ f(x), x ∈ [a, b], n = 0, 1, 2, . . . (3.5)
Ändääs üzäxäd, taxir ²ugamyn arga n´ f(x) funkciïn mini-mumyg xäsägqilsän ²ugaman funkcüüdiïn minimumaar sol´jbaïna. Ädgäär {pn(x)} funkcüüd n´ monoton ösöx bögööd f(x)funkciïg dooroos n´ zaaglaj ögnö.Teorem 3.3. f(x) funkc n´ [a, b] zawsar däär Lip²iciïn nöx-cliïg xangadag baïg. Tägwäl taxir ²ugamyn argaar baïguu-lagdsan {xn} daraallyn xuw´d daraax nöxclüüd bielnä.
34
1. limn→∞ f(xn) = lim
n→∞ pn(xn+1) = f∗ = inf[a,b]
f(x)
2. 0 ≤ f(xn+1)− f∗ ≤ f(xn+1)− pn(xn+1), n = 0, 1, . . .
3. {xn} daraalal n´ f(x) funkciïn [a, b] däärx minimum cägüüdiïnolonlog bolox D∗ olonlog ruu niïlnä, ööröör xälbäl:
limn→∞ ρ(xn, D∗) = 0.
Batalgaa. Duryn x∗ ∈ D∗ cäg aw³¶. (3.4)-(3.5) nöxclüüdiïga²iglawal
pn−1(xn) = minx∈[a,b]
pn−1(x) ≤
≤ pn−1(xn+1) ≤ pn(xn+1) = minx∈[a,b]
pn(x) ≤ pn(x∗) ≤ f(x∗) = f∗.
Iïmd {pn(xn+1)} daraalal n´ monoton ösöx ba däärääsää zaaglagdsanbaïna. Ändääs teoremyn (2) nöxcöl garax ba
limn→∞ pn(xn+1) = p∗ ≤ f∗
Odoo p∗ = f∗ gädgiïg xaruul³¶.{xn} daraalal n´ zaaglagdsan bögööd Bol´cano-Weïer²trassynteorem ësoor ¶daj näg x¶zgaaryn cägtäï baïna. v∗ n´ {xn} daraal-lyn al´ näg x¶zgaaryn cäg bolog.Tägwäl {xn}-iïn däd daraalal {xnk
} or²ix bögööd
limk→∞
xnk= v∗.
n1 < n2 < · · · < nn−1 < nk < . . . gäj üzäj bolno.f(xi) = g(xi, xi) ≤ pn(xi) ≤ f(xi) tul f(xi) = pn(xi), ∀i = 0, 1, 2, . . . , nTägwäl
0 ≤ pn(xi)− minx∈[a,b]
pn(x) = f(xi)− pn(xn+1) =
pn(xi)− pn(xn+1) ≤ L|xi − xn+1|, ∀n, i = 0, 1, . . .
35
Xäräw n = nk − 1 ba i = nk−1 ≤ nk − 1 gäwäl0 ≤ f(xnk−1
)− pnk−1(xnk) ≤ L|xnk−1
− xnk|, (k ≥ 2)
Ändääs k →∞ üed
f∗ ≤ f(v∗) = limk→∞
f(xnk−1) = lim
k→∞pnk−1(xnk
) = p∗ ≤ f∗
Iïmd limk→∞
f(xnk) = lim
k→∞pnk−1(xnk
) = p∗ = f∗bolj teoremyn (1) nöxcöl batlagdaw.(3) nöxcöl Teorem 1.1-ääs mördön garq teorem 3.1 batlagdaw.Sanamj 1. Taxir ²ugamyn arga n´ f(x) funkciïn unimodal´baïxyg ²aardaxgüï bögööd [a, b] däär orqny xädän q minimumyncägtäï baïj bolno.Sanamj 2. Taxir ²ugamyn arga n´ anxny döxöltiïn cägiïnsongoltoos xamaaraxgüï niïlnä.Sanamj 3. Iteraciïn too n-iïg ixsäxäd pn(x) taxir ²ugamynbüx oroïg mädäx ²aardlagtaï tul komp´µteriïn ix xämjääniïsanax oïg ²aardana.
§3.2. Näg xuw´sagqiïn güdgär funkciïn minimumTaxir ²ugamyn arga n´ güdgär funkciïn angid ärqimtäï ajil-ladag.Todorxoïlolt 3.2. [a, b] zawsar däär todorxoïlogdson f(x) funk-ciïn xuw´d
f(αu + (1− α)v) ≤ αf(u) + (1− α)f(v) (3.6)
täncätgäl bi² duryn u, v ∈ [a, b], α ∈ [0, 1]-iïn xuw´d bielägdäjbaïwal f(x) funkciïg [a, b] xärqim däär güdgär funkc gäj när-länä.
Güdgär funkciïn geometr utgyg taïlbarlawal: Duryn xärqim[u, v] ⊆ [a, b] däärx funkciïn grafik n´ grafikiïn A(u, f(u)) ba
36
B(v, f(v)) cägüüdiïg xolboson xöwqöös ürgälj door baïrlana.f
0 v u w x
B
A
C
Zurag 3.2
Ji²äälbäl, f(x) = x2, f(x) = |x| funkcüüd duryn xärqim däärgüdgär baïna.Todorxoïlolt 3.3 [a, b] xärqim däär todorxoïlogdson f(x) funk-ciïn xuw´d
f(αu + (1− α)v) ≥ αf(u) + (1− α)f(v) (3.7)
täncätgäl bi² duryn u, v ∈ [a, b], α ∈ [0, 1]-iïn xuw´d bielägdäjbaïwal f(x) funkciïg [a, b] xärqim däär xotgor funkc gäj när-länä.
Güdgär ba xotgor funkcüüdiïn xuw´d daraax xamaaral or²ino.Xäräw f(x) funkc [a, b] zawsar däär xotgor bol −f(x) n´ [a, b] za-wsar däär güdgär baïna. Iïmd zöwxön güdgär funkciïn qanaru-udyg sudlax n´ xangalttaï µm.Teorem 3.4. f(x) funkc [a, b] zawsar däär güdgär baïx zaïl²güïbögööd xürälcäätäï nöxcöl n´
f(u)− f(v)u− v
≤ f(w)− f(v)w − v
≤ f(w)− f(u)w − u
(3.8)
37
täncätgäl bi² duryn u, v, w, a ≤ v < u < w < b utguudyn xuw´dbielägdäx ¶wdal µm.Batalgaa. Zaïl²güïg batal³¶. f(x) funkc [a, b] xärqim däärgüdgär bolog. u-cägiïg daraax xälbärt biqij bolno.
u = αv + (1− α)w, α =w − u
w − v(0 < α < 1)
Güdgär funkciïn todorxoïlolt ësoor
f(u) ≤ (w − u)f(v)w − v
+(
1− (w − u)w − v
)f(w),
äswäl(w − v)f(u) ≤ (w − u)f(v) + (u− v)f(w).
Änä täncätgäl bi²iïg daraax 2 xälbärt biqij bolno.
(w − v)(f(u)− f(v)) ≤ (u− v)(f(w)− f(v)),
(w − u)(f(w)− f(v)) ≤ (w − v)(f(w)− f(u)).
ändääs (3.8) mördön garna.Xürälcäätäï nöxcliïg batal³¶. f(x) funkc n´ (3.8) nöxcliïnal´ nägiïg xangadag bolog. Tägwäl däärx xuwirgaltuudyg bu-caaj xiïx zamaar f(x) n´ (3.6) nöxcliïg [a, b] däär xangadag buµugüdgär gädgiïg xaruulj bolno.Teorem batlagdaw. ¥
(3.8) nöxcliïn geometr utgyg awq üz´e.f(x) funkciïn grafikiïn A(u, f(u)), B(v, f(v)) cägüüdiïg xolbo-son ²uluuny öncgiïn koäfficent kAB bol.
kAB =f(u)− f(v)
u− v.
Tägwäl (3.8) nöxcöl n´
kAB ≤ kBC ≤ kAC
xälbärtäï bolno.
38
Teorem 3.5. [a, b] xärqim däär todorxoïlogdson güdgär funkcf(x) n´ (a, b) zawsar däär tasraltgüï, duryn u ∈ (a, b) cäg däärbaruun, züün öröösgöl f ′(u+0), f ′(u− 0) ulamjlaluudtaï baïxbögööd f ′(u− 0) ≤ f ′(u + 0) baïna.Batalgaa. u, u ± h, u ± τ ∈ (a, b) cägüüdiïg songoë. Üünd0 < h < τ.
a u− εu− h u u + h u + τ bx
f
zurag 3.3
Teorem 3.4 ësoor
f(u)− f(u− τ)τ
≤ f(u)− f(u− h)h
≤ f(u + h)− f(u)h
≤
≤ f(u + τ)− f(u)τ
. (3.9)
Ändääs üzäxäd f(u+h)−f(u)h xämjigdäxüün n´ h-g buuraxad mono-
ton buurq baïgaa bögööd dooroosoo f(u)−f(u−τ)τ xämjigdäxüünäär
zaaglagdsan baïna. Iïmd h → +0 üed änä daraalal n´ x¶zgaar-taï baïx ba änä n´ u cäg däärx baruun öröösgöl ulamjlal bolno.Ööröör xälbäl,
f ′(u + 0) = limh→+0
f(u + h)− f(u)h
.
39
Nögöö talaas f(u)−f(u−τ)τ xämjigdäxüün τ -g buuraxad monoton ösöx
bögööd däärääsää f(u+h)−f(u)h xämjigdäxüünäär zaaglagdsan baïna.
Iïmd τ → 0 üed änä daraallyn x¶zgaar or²ix ba änä n´ f ′(u− 0)bolno:
f ′(u− 0) = limτ→+0
f(u)− f(u− ε)ε
.
Odoo (3.9) ilärxiïläld h → +0 üed x¶zgaart ²iljwäl
f ′(u− 0) ≤ f ′(u + 0).
f(x) funkciïn duryn u ∈ (a, b) cäg däärx baruun ba öröösgöl züünulamjlaluud or²ij baïgaa tul f(x) funkc (a, b) däär tasralt-güï baïna. Teorem batlagdaw. ¥f(x) funkc n´ [a, b] zawsaryn tögsgöliïn cägüüd däär öröösgölulamjlalgüï baïj bolox ba funkc änä cägüüd däär tasralttaïbaïj bolno.Ji²ää 3.1.
f(x) =
3 x = 1x2 1 < x < 25 x = 2
f
21 x0
3
5
zurag 3.4.
f(x) funkc [1, 2] xärqim däär güdgär bolowq tasralttaï baïna.Ji²ää 3.2. f(x) = −√x funkc n´ [0, 1] xärqim däär tasralt-güï, güdgär bolowq f ′(0 + 0) or²ixgüï baïna.
40
f
10
f(x) =√
x
x
zurag 3.5.
Teorem 3.6. f(x) funkc [a, b] xärqim däär güdgär bögööd tögs-gölög f ′(a + 0), f ′(b− 0) ulamjlaluudtaï bolog. Tägwäl
f ′(a + 0)(u− v) ≤ f(u)− f(v) ≤ f ′(b− 0)(u− v) (3.10)
täncätgäl bi² duryn u, v(a ≤ v ≤ u ≤ b)-iïn xuw´d bieläx baf(x) funkc [a, b] xärqim däär Lip²iciïn nöxcliïgL = max{|f ′(a + 0)|; |f ′(b− 0)|} togtmoltoïgoor xangana.Batalgaa. Teorem 3.4 ësoor h > 0, a + h < v < u < b− h üed
f(a + h)− f(a)h
≤ f(v)− f(a)v − a
≤
≤ f(u)− f(v)u− v
≤ f(b)− f(u)b− u
≤ f(b)− f(b− h)h
Ändääs h → +0 üed x¶zgaart ²iljwäl
f ′(a + 0) ≤ f(u)− f(v)u− v
≤ f ′(b− 0)
bolj (3.10) nöxcöl garna. Xäräw L = max{|f ′(a + 0), |f ′(b − 0)|}gäwäl funkc [a, b] däär Lip²iciïn nöxcliïg xangax n´ ilärxiïtul teorem batlagdaw. ¥Teorem 3.7. f(x) funkc n´ (a, b) xärqim däär güdgär bögöödduryn l(v) funkc n´ v ∈ (a, b) xuw´d
f ′(v − 0) ≤ l(v) ≤ f ′(v + 0)
41
nöxcliïg xangadag baïg. Tägwäl
f(u) ≥ f(v) + l(v)(u− v), u ∈ [a, b] (3.11)
nöxcöl bieläx ba xäräw f(x) n´ [a, b] däär differencialqlagddagbol
f(u) ≥ f(v) + f ′(v)(u− v), u ∈ [a, b] (3.12)
nöxcöl duryn v ∈ [a, b]-iïn xuw´d bielägdänä.Batalgaa. Güdgär funkciïn todorxoïlolt (3.6)-g daraax xäl-bärt biqwäl
f(v + α(u− v))− f(v) ≤ α(f(u)− f(v)), (0 < α < 1).
Ändääsf(v + α(u− v))− f(v)
α≤ f(u)− f(v)
bolox ba α → +0 üed x¶zgaart ²iljwäl
f(u)− f(v) ≥ f ′(v + 0)(u− v).
Xäräw u > v bol f(u)− f(v) ≥ f ′(v + 0)(u− v) ≥ l(v)(u− v), xarinu < v üed
f(u)− f(v) ≥ f ′(v − 0)(u− v) ≥ l(v)(u− v)
bolj (3.11) batlagdana. Odoo f(x) n´ [a, b] däär differencialqlagddagbaïg. Ööröör xälbäl, f ′(u + 0) = f ′(u − 0), ∀u ∈ [a, b]. (3.11)-dl(v) = f ′(v) gäj üzwäl (3.12) mördön garna.f ′(a+0), f ′(b− 0) ulamjlaluud tögsgölög tul (3.12) n´ v = a bav = b bied bielj teorem bürän batlagdlaa. ¥Teorem 3.7-yn geometr utgyg taïlbarla¶.g(u) = f(v) + f ′(v)(u − v), u ∈ [a, b] ²ugaman funkc n´ y = f(x)funkciïn (v, f(v)) cägt tatsan ²ürgägq bolno. Güdgär, differ-encialqlagdaxgüï toxioldold g(u, v) = f(v)+l(v)(u−v) funkc n´mön l f(x) funkciïn (v, f(v)) cäg däärx ²ürgägqüüdiïg dürslänä.
42
Üünd f ′(v − 0) ≤ l(v) ≤ f ′(v + 0).f
f(x)
a v b x
g(x)
Zurag 3.6. Differencialqlagdax toxioldol
g(u, v)
f
0 a v b x
Zurag 3.7. Differencialqlagdaxgüï toxioldol
(3.11) ba (3.12) täncätgäl bi²üüd n´ Zurag (3.6) ba (3.7)-d tus tusxargalzana.Ändääs üzäxäd güdgär funkciïn grafikiïn ²ürgägqüüd grafikaasürgälj door baïrlaltaï baïna.Lemma 3.1. Teorem 3.7-yn nöxcliïg xangaj buï l(v) funkc n´(a, b) däär monoton ösnö.
43
Batalgaa. (3.11) nöxcöl bielägdänä.
f(u) ≥ f(v) + l(v)(u− v), u ∈ [a, b]
Änä täncätgäl bi²iïg v-iïn xuw´d daxin biqwäl
f(v) ≥ f(u) + l(u)(v − u).
Änä 2 täncätgäl bi²iïg nämbäl
(l(u)− l(v))(u− v) ≥ 0, ∀u, v ∈ (a, b)
bielnä. Iïmd l(v) funkc [a, b] xärqim däär monoton ösnö.Lemma 3.2. f(x) funkc [a, b] xärqim däär güdgär bolog.Tägwäl f ′(u + 0), f ′(u − 0) ulamjlaluud u ∈ (a, b) üed monotonösnö.Batalgaa. Lemma 3.1-ääs l(v) = f ′(v + 0), äswäl l(v) = f ′(v − 0)üed mördöj garna.Mördlög 3.1. Xäräw f ′(a + 0), f ′(b − 0) tögsgölög bol f ′(u +0), f ′(u− 0) ulamjlaluud büx [a, b] däär monoton ösnö.Teorem 3.8. f(x) funkc [a, b] xärqim däär güdgär bögöödlim
x→a+0f(x) = f(a), lim
x→b−0f(x) = f(b) baïg.
Tägwäl f(x) funkciïn [a, b] däärx global´ minimumyn cägüüdiïnolonlog D∗ 6= ∅ baïx ba f(x)-iïn [a, b] däärx orqny büx mini-mumyn cägüüd D∗-d xar³¶alagdana. Mön x∗ ∈ D∗ baïx zaïl²güïba xürälcäätäï nöxcöl n´
f ′(x∗ + 0) ≥ 0, f ′(x∗ − 0) ≤ 0 (3.13)
baïx ¶wdal µm.Batalgaa. Teoremyn nöxcöl bolon Teorem 3.5-aas f(x) funkcn´ [a, b] däär tasraltgüï baïna. Iïmd Weïer²trassyn teoremësoor D∗ 6= ∅ bolno. x∗ n´ f(x)-iïn orqny minimumyn cäg bolog.Tägwäl |h|-iïn xürälcäätäï baga utgand
f(x∗ ± h)− f(x∗) ≥ 0, ∀h : x∗ ± h ∈ [a, b].
44
Ändääsf ′(x∗ + 0) = lim
h→+0
f(x∗ + h)− f(x∗)h
≥ 0,
f ′(x∗ − 0) = limh→+0
f(x∗)− f(x∗ − h)h
≤ 0.
Teorem 3.5 ësoor a < x∗ < b üed f ′(x∗ + 0) ba f ′(x∗ − 0) öröösgölulamjlaluud tögsgölög baïna.Odoo x∗ ∈ (a, b) cäg n´ (3.13) nöxcliïg xangadag bolog. (3.12)-dv = x∗ ba l(v) = 0 gäj orluul³¶.Tägwäl f(u) ≥ f(x∗), ∀u ∈ [a, b] bolj x∗ ∈ D∗. Iïmd (a, b) zawsardäär tasraltgüï, güdgär funkciïn orqny minimum bür tüüniïglobal´ minimumyn cäg bolj baïna.Mördlög 3.2. Xäräw x∗ = a äswäl x∗ = b bol (3.13) nöxcöl n´
f ′(a + 0) ≥ 0 äswäl f ′(b− 0) ≤ 0 (3.14)
xälbärtäï bolox ba f(x) funkciïn [a, b] xärqim däärx orqny min-imumyn cäg n´ tüüniï [a, b] däärx global´ minimumyn cäg bolno.Uqir n´ x∗ = a ba h → +0 üed f(a+h)−f(a)
h ≥ 0 xämjigdäxüünmonoton buurax ba dooroosoo 0-äär zaaglagdsan baïna.
f(a + h)− f(a)h
≥ 0
Iïmd f ′(a + 0) tögsgölög or²ij baïna.
f ′(a + 0) = limh→+0
f(a + h)− f(a)h
≥ 0.
Üüniï adilaar x∗ = b üed f ′(b − 0) tögsgölög or²ino. OdooTeorem 3.6-yn (3.10) nöxcöld v = x∗ = a gäj üzwäl
0 ≤ f ′(a + 0)(u− a) ≤ f(u)− f(x∗), ∀u ∈ [a, b].
Ändääs f(x∗) ≤ f(u), ∀u ∈ [a, b] bolno. Xäräw (3.10) nöxcöldu = x∗ = b gäwäl:
f(x∗)− f(v) ≤ f ′(b− 0)(x∗ − v) ≤ 0, ∀v ∈ [a, b]
45
f(x∗) ≤ f(v), ∀v ∈ [a, b]
buµu x∗ = b ∈ D∗
Teorem 3.9. f(x) funkc [a, b] xärqim däär güdgär, limu→a+0
f(u) =
f(a), limu→b−0
f(u) = f(b), D∗ n´ f(x)-iïn [a, b] däärx global´ mini-mumyn cägüüdiïn olonlog ba v ∈ (a, b) baïg.Tägwäl D∗
⋂[a, v] = ∅ (D∗
⋂[v, b] = ∅). baïx zaïl²güï ba xüräl-
cäätäï nöxcöl n´
f ′(v + 0) < 0 (f ′(v − 0) > 0)
Batalgaa. Zaïl²güï: D∗⋂
[a, v] = ∅ baïg.Äsrägääs n´ f ′(v + 0) ≥ 0 gäj üz´e. Tägwäl f ′(v − 0) ≤ 0 äswälf ′(v − 0) > 0 baïna. Xäräw f ′(v − 0) ≤ 0 bol (3.13) nöxcölöösv ∈ D∗ bolno. Xäräw f ′(v − 0) > 0 bol v-n´ minimumyn cäg bi²bögööd Lemm 3.2 ësoor f ′(v − 0) n´ (a, b) däär monoton ösdög tulD∗
⋂[v, b] = ∅ baïna. Ändääs D∗
⋂[a, v] 6= ∅. Iïmd däärx 2 toxi-
oldold n´ D∗⋂
[a, v] = ∅ gädägtäï zörqildöj baïna.Mön üüntäï tösöötäïgäär D∗
⋂[v, b] = ∅ baïx zaïl²güï nöxcöl n´
f ′(v − 0) > 0 gädgiïg x¶lbarxan xaruulj bolno.Xürälcäätäï: f ′(v + 0) < 0 gäj üz´e. Tägwäl Lemm 3.2 ësoorf ′(u + 0) < 0, ∀u ∈ [a, v]. Tägwäl Teorem 3.8 ësoor D∗
⋂[a, v] = ∅.
Xäräw f ′(v − 0) > 0 bol däärxtäï töstäïgäär f ′(u− 0) > 0, ∀u ∈[v, b] bolox ba D∗
⋂[v, b] = ∅ bolno.
Teorem 3.10 Xäräw f(x) funkc [a, b] xärqim däär güdgär balim
u→a+0f(u) = f(a), lim
u→b−0f(u) = f(b) bol f(x) [a, b] xärqim däär
unimodal´ baïna.Batalgaa. u∗ = inf D∗ ba v∗ = supD∗ gäj tämdägläe. f(x) funkc[a, b] däär tasraltgüï ba D∗ olonlogiïn inf, sup-iïn todorx-oïloltyg a²iglawal u∗, v∗ ∈ D∗.Xäräw u∗ = v∗ bol D∗ = {u∗} ganc älementääs togtono. Xäräwu∗ < v∗ bol
f∗ = infu∈[a,b]
f(u) ≤ f(αu∗ + (1− α)v∗) ≥ αf(u∗) + (1− α)f(v∗) = f∗
46
Ööröör xälbäl f(αu∗ + (1− α)v∗) = f∗, ∀α ∈ [0, 1].Iïmd D∗ = [u∗, v∗]. Nögöö talaac D∗
⋂[a, v] = ∅, ∀v : (a ≤ v < u∗)
tul Teorem 3.9 ësoor f ′(v + 0) < 0, ∀v : a ≤ v < u∗.Tägwäl f ′(v+0) ≤ f(v+h)−f(v)
h < 0 täncäl bi² n´ xürälcäätäï bagah-yn utgand bielnä. Iïmd f(x) funkc n´ [a, u] däär ärs monotonbuurq baïna. Üüntäï töstäïgäär f(x) funkc [v∗, b] däär ärs mono-ton ösnö. Teorem batlagdaw. ¥Sanamj. Teoremyn nöxcöl bielägdäxgüï bol D∗ = ∅ baïj bolno.Ji²ää 3.3. f(x) = x2 funkc [−1; 1] xärqim däär güdgär bögöödD∗ = {0}.Ji²ää 3.4. f(x) = |x|+ |x−1| funkc [−1; 2] xärqim däär güdgärbögööd D∗ = [0, 1]
Ji²ää 3.5. f(x) ={
1 x = 00 0 < x ≤ 1
funkciïn xuw´d D∗ = (0, 1] bögööd limu→+0
f(u) 6= f(0).
Teorem 3.11. [a, b] xärqim däär differencialqlagdax f(x) funkcgüdgär baïx zaïl²güï ba xürälcäätäï nöxcöl n´ f ′(x) funkc [a, b]xärqim däär ül buurax funkc baïx ¶wdal µm.Batalgaa. Zaïl²güï nöxcöl n´ Lemm-3.1-ääs l(v) = f ′(v) (v ∈[a, b]) üed mördön garna.Xürälcäätäï nöxcliïg batal´¶. f ′(x) funkc [a, b] däär ül buuraxfunkc bolog. a ≤ v < u < w ≤ b üed Lagranjiïn teoremyga²iglawal
f(u)− f(v)u− v
= f ′(c1), v < c1 < u
f(w)− f(u)w − u
= f ′(c2), u < c2 < w
nöxcöl ësoor f ′(c1) ≤ f ′(c2) bolj Teorem 3.4 ësoor funkc güdgärbaïx xürälcäätäï nöxcöl bielägdäj baïna. Iïmd f(x) funkc [a, b]xärqim däär güdgär bolj teorem batlagdaw. ¥Teorem 3.12. [a, b] xärqim däär xoër daxin differencialqlag-dax f(x) funkc güdgär baïx zaïl²güï ba xürälcäätäï nöxcöl n´
47
f ′′(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b].
Batalgaa. f ′(x) funkc [a, b] xärqim däär ül buurax zaïl²güï baxürälcäätäï nöxcöl n´ f ′′(x) ≥ 0 µm. Iïmd Teorem 3.11 ësoorf(x) n´ [a, b] däär güdgär baïna.Teorem 3.12-yg a²iglawal f(x) = ex, f(x) = − ln x, ba f(x) =x ln x funkcüüd n´ (0,∞) zawsar däär ürgälj güdgär gädgiïg x¶l-barxan ²algaj bolno.
§ 3.3. �ürgägqiïn arga. f(x) funkc n´ [a, b] zawsar däär güdgär ba differencialqlagddagbolog. tägwäl Teorem 3.6 ba 3.8 ësoor f(x) n´ [a, b] däär Lip²i-ciïn nöxcliïg xangax ba unimodal´ µm.Iïmd f(x) funkciïn [a, b] zawsar däärx global´ minimumyg oloxyntuld ömnö n´ üzsän büx arguudyg tuxaïlbal taxir ²ugamyn ar-gyg xärägläj bolno.Funkciïn ulamjlal f ′(x)-iïg ängiïn argaar bodoj bolj baïwaltaxir ²ugamyn argyn öör näg toxiromjtoï xuwilbar bolox ²ür-gägqiïn argyg a²iglax n´ quxal. Änä argyn algoritmyg awqüz´e.v ∈ [a, b] cägiïg songon awq g(x, v) funkc todorxoïl³ë.
g(x, v) = f(v) + f ′(v)(x− v), a ≤ x ≤ b.
(3.2) ësoorg(x, v) ≤ f(x), ∀x ∈ [a, b] (3.15)
Anxny döxöltiïn cäg x0 ∈ [a, b] -iïg songono.p0(x) = g(x, x0) funkc zoxioj
p0(x1) = minx∈[a,b]
p0(x)
nöxclöös x1 cägiïg todorxoïlno.�inä funkc p1(x) = max{p0(x), g(x, x1)} zoxioj daraagiïn cägx2-yg
p1(x2) = minx∈[a,b]
p1(x)
48
nöxclöös todorxoïlno. Odoo x0, x1, . . . , xn(n ≥ 1) cägüüdiïg olsongäj üz´e. Tägwäl pn(x) funkc zoxioë.
pn(x) = max{pn−1(x), g(x, xn)}, g(x, xn) = max0≤i≤n
g(x, xi).
xn+1 cägiïg doorx nöxclöös olno.
pn(xn+1) = minx∈[a,b]
pn(x), (xn+1 ∈ [a, b]).
Xäräw ¶mar näg n-iïn xuw´d f ′(xn + 0) ≥ 0, f ′(xn − 0) ≤ 0 bol(a < xn < b üed änä n´ f ′(xn) = 0 gäsän üg µm.) Teorem 3.8ësoor xn ∈ D∗ bolj iterac zogsono. pn(x) funkc n´ tasraltgüïxäsägqilsän ²ugaman funkc bögööd ²ürgägqiïn argyn geometrtaïlbaryg zurag 3.8-d xaruulaw.
a = x0 x3 x4 x2
B
E
b = x1
T
Q
L
D
S
N
M
KP
F
Zurag 3.8.
AB: g(x, x0) funkciïn grafik,CD : g(x, x1) funkciïn grafik,AED : p1(x) funkciïn grafik,
49
FL : g(x, x2) funkciïn grafik,AMSD : p2(x) funkciïn grafik,KT : g(x, x3) funkciïn grafik,AKNSD : p3(x) funkciïn grafik,PQ : g(x, x4) funkciïn grafik,x4 = x∗ bodlogyn ²iïd.�ürgägqiïn argyn niïlält daraax teoremoor ündäslägdänä.Teorem 3.13. f(x) funkc [a, b] zawsar däär güdgär ba diffe-rencialqlagddag bolog. Xäräw {xn} daraalal n´ (xn /∈ D∗, n =0, 1, . . . ,) ömnöx ²ürgägqiïn argyn algoritmaar baïguulagdsanbol1.) lim
n→∞ f(xn) = limn→∞ pn(xn+1) = f∗
0 ≤ f(xn+1 − f∗ ≤ f(xn+1)− pn(xn+1), n = 1, 2, . . .
2.) limn→∞ ρ(xn, D∗) = 0 xüqintäï baïna.
Batalgaa. Teoremyn nöxclöör f ′(a+0), f ′(b−0) tögsgölög uqraasTeorem 3.6 ësoor f(x) funkc [a, b] däär L = max{|f ′(a)|, |f ′(b)|}togtmoltoïgoor Lip²iciïn nöxcliïg xangana. Nögöö talaas(3.14) ba pn(x)-funkciïn todorxoïloltyg a²iglawal
pn−1(x) ≤ pn(x) ≤ f(x), x ∈ [a, b], n = 1, 2, . . . (3.16)
Tägwälf(xi) = g(xi, xi) ≤ pn(xi) ≤ f(xi),f(xi) = pn(xi), i = 0, 1, . . . , n.
(3.17)
g(x, xi) ²ugamyn ²ürgägqiïn öncgiïn koäfficient n´ f ′(xi) baïxba |f ′(xi)| ≤ L. Teorem 3.1-iïg a²iglawal, pn(x) funkc L togt-moltoïgoor Lip²iciïn nöxcliïg xangana. Odoo teorem 3.3-ynbatalgaag dawtan güïcätgäwäl teoremyn 1.) ba 2.) ögüülbärüüdbatlagdana. ¥Sanamj. f(x) funkc [a, b] zawsar däär unimodal´ ba xn /∈ D∗ =[u∗, v∗], n ≥ 0, u∗ = inf D∗, v∗ = supD∗ tul {xn} daraallyn x¶z-gaaryn cägüüd u∗ äswäl v∗ üed l lim
n→∞ ρ(xn, D∗) = 0 bielägdänä.
50
Funkc güdgär bögööd tüüniï ulamjlalyg x¶lbar argaar oljbaïgaa üed ²ürgägqiïn argyg xärägläx n´ toxiromjtoï. Toocoo-lon bodox texnikt pn(x) (x ∈ [a, b]) taxir ²ugamyn büx mädääl-liïg sanax albagüï µm. Üünääs zaïlsxiïx daraax argyg däw²üül´e.a1 = a, b1 = b gäj üzääd f ′(a1) = f ′(a + 0), f ′(b1) = f ′(b− 0).Xäräw f ′(a1) ≥ 0 äswäl f ′(b1) ≤ 0 bol Teorem 3.8-yn mördlögësoor a ∈ D∗ äswäl b ∈ D∗ bolj bodlogo ²iïdägdänä. Odoof ′(a1) < 0, f ′(b1) > 0 bolog. Tägwäl Teorem 3.9 ësoor D∗ ⊂ (a, b)baïna.[an−1, bn−1] (n ≥ 2) xärqmiïg baïguulsan bögööd f ′(an−1) < 0,f ′(bn−1) > 0 bolog. Tägwäl D∗ ⊂ (an−1, bn−1).g(x, an−1) ba g(x, bn−1) ²ürgägqüüdiïn ogtlolclyn cägiïn ab-scissyg xn-äär tämdägläe. Tägwäl an−1 < xn < bn−1 baïx n´ilärxiï µm. f ′(xn)-iïg bod´ë. Xäräw f ′(xn) = 0 bol xn ∈ D∗bolj bodlogo ²iïdägdänä.Xäräw f ′(xn) 6= 0 bol
an ={
an−1 xäräw f ′(xn) > 0xn xäräw f ′(xn) < 0
(3.18)
bn ={
xn xäräw f ′(xn) > 0bn−1 xäräw f ′(xn) < 0
(3.19)
Baïguulalt ësoor f ′(an) < 0, f ′(bn) > 0 baïx ba Teorem 3.9 ësoorD∗ ⊂ (a, b) baïna. Änä arga n´ x0 = a üeiïn ²ürgägqiïn ar-gataï dawxcaj baïna (Zurag 3.8). Änä argyn algoritmyg kom-p´µtert xärägjüüläxäd x¶lbarxan µm. Uqir n´ iterac bürdan, bn, f(an), f(bn), f ′(an), f ′(bn) utguudyg xadgalaxad xangalttaï.xn+1 cägiïg f ′(an) < 0, f ′(bn) > 0 üed g(x, an) = g(x, bn) nöxcölöös
xn+1 =f(an)− f(bn) + bnf ′(bn)− anf ′(an)
f ′(bn)− f ′(an), n ≥ 1 (3.20)
gäj olno. �ürgägqiïn argyn niïlältiïn asuudald daraax teo-rem xariu ögnö.Teorom 3.14. f(x) funkc n´ [a, b] zawsar däär 2 daxin differen-cialqlagddag ba inf
x∈[a,b]f ′′(x) > 0, f(x∗) = min
x∈[a,b]f(x) bolog. Tägwäl
51
x0 = a, a1 = a, b1 = b üed ²ürgägqiïn argyn (3.18)-(3.20) sxemäärbaïguulagdsan {xn} (xn 6= x∗, n = 0, 1, . . . ) daraallyn xuw´dduryn baga ε > 0 too awaxad N = N(ε) dugaar or²ix bögööd
|xn − x∗| ≤(1 + ε
2
)n−N(bN − aN ), n ≥ N. (3.21)
Batalgaa. Teorem 3.12-oos f(x) funkc [a, b] zawsar däär güdgärgäj mördön garna. f ′(x) ärs ösöj baïgaa tul D∗ n´ cor ganc x∗cägääs togtono. Teorem 3.13 ësoor lim
n→∞xn = x∗. Nögöö talaac[an+1, bn+1] ⊂ [an, bn], (n = 1, 2, . . . ) tul {an} daraalal monotonösöj {bn} monoton buurna. Mön an < x∗ < bn (n = 1, 2, . . . ). Odoolim
n→∞ an = limn→∞ bn = x∗ gädgiïg xaruul³¶. (3.18)-(3.19) ësoor {an}
äswäl {bn} daraalluud n´ {xn} daraallyn däd daraalal boloxba x∗ rüü niïlnä. Ji²äälbäl, lim
n→∞ an = x∗ baïg. Xarin {bn}daraalal x∗ cäg rüü niïläxgüï gäj üz´e. Tägwäl (3.19)-öös {bn}daraalal {xn}-iïn däd daraalal bi² bolno. Ööröör xälbäl, n0 ≥1 dugaar or²ix bögööd bn = bn0 , ∀n ≥ n0 baïna. Xäräw n → ∞üed (3.20)-d x¶zgaart ²iljwäl
f(x∗) = f(bn0) + f ′(bn0)(x∗ − bn0).
Duryn u = αx∗ + (1− α)bn0 , α ∈ [0, 1] cäg aw´¶a.Güdgär funkciïn qanar ësoor
f(u) = f(αx∗ + (1− α)bn0) ≤ αf(x∗) + (1− α)f(bn0) =α[f(bn0) + f ′(bn0)(x∗ − bn0)] + (1− α)f(bn0) =f(bn0) + f ′(bn0)(u− bn0), ∀u ∈ [x∗, bn0 ].
(3.22)
Nögöö talaac Teorem 3.7-yn (3.12) qanaryg a²iglawal
f(u) ≥ f(bn0) + f ′(bn0)(u− bn0). (3.23)
(3.22)-yg (3.23)-taï xar´cuulbal f(u) = f(bn0) + f ′(bn0)(u − bn0)täncätgäl n´ duryn u ∈ [x∗, bn0 ]-iïn xuw´d bielägdänä. Ändääsf ′(bn0) = f ′(x∗) bolj f ′(bn0) > 0 gädägtäï zörqildönö. Iïmd
limn→∞ bn = x∗, lim
n→∞ an = x∗.
52
Xäräw (3.20)-d Teïloryn tom³ëog xärägläwäl
xn+1 − an =f(an)− f(bn)− f ′(bn)(an − bn)
f ′(bn)− f ′(an)=
12
f ′′(ξn)f ′′(µn)
(bn − an),
bn − xn+1 =f(bn)− f(an)− f ′(an)(bn − an)
f ′(bn)− f ′(an)=
12
f ′′(γn)f ′′(µn)
(bn − an),
üünd ξn, γn, µn ∈ [an, bn]. Däärx tom´ëonoos
bn+1 − an+1 ≤ max{xn+1 − an; bn − xn+1} ≤ qn(bn − an)
2,
qn = max{
f ′′(ξn)f ′′(µn)
;f ′′(γn)f ′′(µn)
}.
limn→∞ an = lim
n→∞ bn = x∗ tul limn→∞ ξn = lim
n→∞ γn = limn→∞µn = x∗.
f ′′(x) funkc tasraltgüï ba infx∈[a,b]
f ′′(x) > 0 tul
limn→∞ qn = 1.
Iïmd duryn baga ε > 0 awaxad N = N(ε) dugaar or²ix bögööd
qn ≤ 1 + ε, ∀n ≥ N.
Tägwäl
bn+1 − an+1 ≤ q(bn − an), (n ≥ N), q =1 + ε
2.
Ändääs bn − an ≤ qn−N (bN − aN ) bolox ba
|xn − x∗| ≤ (bn − an) ≤ qn−N (bN − aN ), (n ≥ N) (3.24)
bolj teorem bürän batlagdaw. ¥(3.24)-öös xaraxad ²ürgägqiïn arga n´ oïrolcoogoor q = 1+ε
2 ≈0.5 noogdwortoï geometriïn progressiïn xurdaar niïlj baïna.Iïmd differencialqlagddag güdgär funkciïn angiïn xuw´d ²ür-gägqiïn argyn niïlält n´ xärqmiïg tallan xuwaax argyn niï-lältääs ilüü dawuu baïj qadaxgüï baïna.
53
Xäräw funkciïn ulamjlalyg x¶lbar argaar toocoolj boldog bolxärqmiïg tallan xuwaax argyn öör näg xuwilbaryg däw²üüljbolno. Üünd: x0 = a1 = a, x1 = b1 = b gäj üznä.
f ′(a1) = f ′(a + 0), f ′(b1) = f ′(b− 0).
Xäräw f ′(a1) ≥ 0 äswäl f ′(b1) ≤ 0 bol (3.14) ësoor a ∈ D∗ äswälb ∈ D∗ baïna. Iïmd f ′(a1) < 0, f ′(b1) > 0 baïg. TägwälD∗ ⊂ (a1, b1). Odoo [an−1, bn−1] (n ≥ 2) xärqmiïg baïguulsan gäjüz´e. f ′(an−1) < 0, f ′(bn−1) > 0 ba D∗ ⊂ (an−1, bn−1) bolog. xn =an−1+bn−1
2 gäj üzääd f ′(xn)-iïg ol³ë. Xäräw f ′(xn) = 0 bol xn ∈ D∗bolj bodlogo ²iïdägdänä. Xäräw f ′(xn) 6= 0 bol (3.18) ba (3.19)-iïn tuslamjtaïgaar an ba bn-iïg baïguulna. xn = an−1+bn−1
2 -iïgtodorxoïlno. Baïguulalt ësoor f ′(an) < 0, f ′(bn) > 0 tul Teo-rem 3.9-iïn ündsän däär D∗ ⊂ (an, bn). Tüünääs gadna
bn − an =bn−1 − an−1
2=
b1 − a1
2n−1, n = 1, 2, . . .
§3.4. Olon gi²üüntiïn interpol¶cyn arga.Änä argaar f(x) funkciïn [a, b] zawsar däärx minimumyg olox-doo ögögdsön funkciïg olon gi²üüntäär approksimaqilj tüüniïminimumyg [a, b] zawsar däär olox zamaar daraagiïn döxöltiïgsongono.Parabolyn arga.[a, b] zawsraas x1, x2, x3 cägüüdiïg x1 < x2 < x3 nöxcliïg xangasanbaïxaar songoë. f1 = f(x1), f2 = f(x2), f3 = f(x3).Xawtgaïn (x1, f1), (x2, f2) ba (x3, f3) cägüüdiïg xolboson ψ(x) =c0(x− x2)2 + c1(x− x2) + c2 parabol baïguul³¶. c0, c1, c2 koäffi-cientüüdiïg doorx nöxclöös olno.
ψ(x1) = f1, ψ(x2) = f2, ψ(x3) = f3
Tuxaïlbal, c0-iïg olbol:
c0 =1
x1 − x3
[f1 − f2
x1 − x2− f3 − f2
x3 − x2
](3.25)
54
Xäräw f3−f2
x3−x2− f1−f2
x1−x2> 0 bol y = ψ(x) parabol n´ dää² xarsan baïx
bögööd minimumyn cägtäï baïna. Änäxüü global´ minimumyncägiïg olbol
x̄ = x2 +12
(x3 − x2)2(f1 − f2)− (x2 − x1)2(f3 − f2)(x3 − x2)(f1 − f2) + (x2 − x1)(f3 − f1)
(3.26)
Erönxiï toxioldold x̄ cäg n´ [x1, x3] zawsart xar´¶alagdax al-bagüï µm. Xäräw
{(f3 − f2) ≥ 0, f1 − f2 ≥ 0 (3.27)(f3 − f2) + (f1 − f2) > 0 (3.28)
nöxclüüd bielägdwäl x̄ ∈ [x1, x3].
Todorxoïlolt 3.5 Xäräw x1 < x2 < x3 cägüüdiïn xuw´d (3.27)nöxcöl bielägdäj baïwal x1, x2, x3 cägüüdiïg güdgär gurwal gäjnärlääd < x1, x2, x3 > gäj tämdäglänä.Xäräw f(x) gäsän güdgär funkciïn xuw´d x1, x2, x3 cägüüd güdgärgurwal üüsgäj baïwal [x1, x3] xärqim n´ f(x) funkciïn ¶daj nägglobal´ minimumyn cägiïg aguulna. Xäräw f1 = f2 = f3 bol[x1, x3] xärqmiïn duryn cäg n´ global´ minimumyn cäg bolno.Odoo parabolyn argyn algoritmyg sxemqlän biq´e.f(x) funkc n´ [a, b] zawsar däär güdgär bögööd < x1, x2, x3 > bolog.x∗ ∈ [x1, x3] uqir, xäräw x3 − x1 ≤ ε, (ε > 0) bol x̂ = x2 n´ bod-logyn ε nariïwqlaltaï oïrolcoo ²iïd bolno. Xäräw f1 = f2 = f3
bol [x1, x3] xärqim büxäldää bodlogyn ²iïd µm.Xäräw x3−x1 > ε bögööd (3.27) nöxcliïn al´ näg n´ ärs täncätgälbi²äär bielägdäj baïwal (3.26)-yn tuslamjtaïgaar x̄-g olno.Xäräw x̄ = x2 bol x̄ := x1+x2
2 äswäl x̄ = x2+x32 gäj üznä.
Daraax xoër toxioldol üüsnä.1. x1 < x̄ < x2 baïg. f(x) güdgär bögööd (3.27) nöxcliïg a²iglawal
f(x) ≤ αf1 + (1− α)f2 ≤ f1.
Iïmd f(x̄) < f2 bol x1, x̄, x2 n´ güdgär gurwal bolno.Xäräw f(x̄) > f2 bol x̄, x2, x3 n´ güdgär gurwal baïna.
55
2. x2 < x < x3 baïg. Tägwäl f(x̄) ≤ αf2 + (1− α)f3 ≤ f3.Xäräw f(x̄) < f2 bol x2, x̄, x3 cägüüd güdgär gurwal,xäräw f(x̄) > f2 bol x1, x2, x̄ cägüüd güdgär gurwal tus tus bolno.�inäär üüssän güdgär gurwalyg anxny güdgär gurwal gäj üzääddäärx processyg dawtan ürgäljlüülnä. Anxny gurwalyg oloxdoo¶nz büriïn äwristik arguudyg a²iglaj olno.
Kubläg interpol¶cyn arga.f(x) funkc n´ [a, b] zawsar däär tasraltgüï differencialqlagddagba güdgär bolog. Mön f ′(a) < 0 ba f ′(b) > 0 gäe.f(x) funkciïg 3-r ärämbiïn olon gi²üüntäär approksimaqil³¶.
ψ(x) = c0(x− a)3 + c1(x− a)2 + c2(x− a) + c3,
üünd c0, c1, c2, c3 koäfficientüüdiïg
ψ(a) = f(a), ψ(b) = f(b), ψ′(a) = f ′(a), ψ′(b) = f ′(b)
nöxclüüdääs todorxoïlno. Daraa n´ x̄ = arg min[a,b]
ψ(x) cägiïg to-dorxoïlno. Üüniïg daraax tom³ëogoor olno.
x̄ = a + α(b− a), α =z + w − f ′(a)
f ′(b)− f ′(a) + 2w,
z = 3f(a)− f(b)
b− a+ f ′(a) + f ′(b), w =
√z2 − f ′(a)f ′(b).
Xäräw f ′(x̄) < 0 bol [x, b] xärqim n´ funkciïn minimumyg aguul-san ²inä xärqim buµu [a, b] := [x, b].Xäräw f ′(x̄) > bol [a, b] := [a, x] bögööd iteraciïg [a, b] xärqmääsäxlän b− a < ε xürtäl dawtan ürgäljlüülnä.
56
IV büläg. Dasgal, grafik toocoony ajil,programm xangamjDasgaluud
4.1. f(x) = arctgx funkciïn bagasgagq ba ixäsgägq daraallu-udyg D = R däär baïguul.Funkc R däär dääd ba dood torgon xildää xüräx üü?
4.2. f(x) ={ |x2 − 1| x 6= 1
1 x = 1f(x) funkciïn R däärx minimumyn cägüüdiïn olonlog D∗ -gol. Änä funkciïn duryn bagasgagq daraalal D∗ ruu niïlnägäj üzäj bolox uu?
4.3. f(x) = |||x2 − 1| − 1| − 1| funkciïn [a, b] xärqim däärx büxorqny äkstremumyn cägüüdiïg a ba b-iïn ¶nz büriïn utguu-dyn xuw´d ol. a ba b-iïn ¶mar utgand änä funkc [a, b] zawsardäär unimodal´ baïx wä?
4.4. f(x) = ex, f(x) = x2, f(x) = −x2, f(x) =√|x|, f(x) =
cosx funkcüüd ¶mar xärqim däär unimodal´ baïx wä?
4.5. f(x) = max0≤t≤1
|t2−xt| funkciïn D = {x ∈ R|1 ≤ x < ∞} däärxxamgiïn baga utgyg ol.
4.6. f(x) = sin3 x + cos3 x funkciïn [0,3π
4] ba [0, 2π] xärqmüüd
däärx äkstremumyn cägüüdiïg ol.
4.7. f(x) ={
(1 + e1x )−1 x 6= 0
0 x = 0funkciïn äkstremumyn cägüüdiïg [0, 1], [−1, 0], [−1, 1], [1, 2]xärqmüüd däär ol.
4.8. Lip²iciïn nöxcliïg xangadag bolowq unimodal´ bi² funkciïnji²ää garga.
57
4.9. [a, b] xärqim däärx duryn unimodal´ funkc [a, b] zawsar däärLip²iciïn nöxcliïg ürgälj xangaj qadax uu? Ji²ääl-bäl, f(x) =
√x funkciïg [0, 1] däär awq üz.
4.10. f(x) = ||x2 − 1| − 1| funkciïn [−2, 2] xärqim däärx global´minimum olox taxir ²ugaman argyn äxniï 6 alxmyg duryndöxöltiïn cäg x0 ∈ [−2, 2]-oos äxlän güïcätgä.
4.11. f(x) = 1 funkciïn [0; 1] xärqim däärx minimumyg oloxodtaxir ²ugamyn arga xärxän ajillax wä?
4.12. Xäräw f(x) funkc [a, b] xärqim däär güdgär bol duryn x ∈[a, b] xuw´d
f ′(x + 0) = infh>0
f(x + h)− f(x)h
f ′(x− 0) = suph>0
f(x)− f(x− h)h
gädgiïg batal.
4.13. f(x) funkc n´ [a, b] xärqim däär güdgär bögööd urwuu funkc-täï bolog. Tägwäl urwuu funkc n´ mön güdgär baïna gäjüzäj bolox uu? f(x) = ex, f(x) = e−x funkcüüdiïn ji²äändäär taïlbarla.
4.14. f(u) funkc n´ [a, b] xärqim däär güdgär ba monoton ösdög,z(x) funkc n´ [c, d] xärqim däär güdgär ba z(x) ∈ [a, b], x ∈[c, d] bolog. Tägwäl niïlmäl funkc g(x) = f(z(x)) n´ [c, d]däär güdgär gädgiïg batal.
4.15. x ≥ 0 ba f(0) ≤ 0 üed f(x) funkc güdgär bolog. ϕ(x) =f(x)
xfunkc x > 0 üed monoton ösnö gädgiïg batal.
Grafik toocoony ajil4.16-4.18 bodloguudad f(x) funkciïn [a, b] xärqim däärx xamgiïnbaga utgyg ol.
58
Bodlogyn ²iïd x∗-g altan ogtlolyn ba xärqmiïg tallan xuwaaxargaar 0.05 nariïwqlaltaïgaar todorxoïl.
4.16. f(x) = x + x2 − x3 +32x4 − 4
5x5 +
53x6, [−1; 0]
4.17. f(x) = x sinx + 2 cosx, [π
4,
π
3]
4.18. f(x) =√
1 + x2 + e−2x, [0; 1]
4.19-4.21 bodloguudad f(x) funkciïn [a, b] zawsar däärx xamgiïnix utgyg ol. x∗-g 0.05 nariïwqlaltaïgaar altan ogtlol ba xärqmiïgtallaan xuwaax argaar todorxoïl.
4.19. f(x) = 72x + 6x2 − 8x3 − x4, [1.5; 2]
4.20. f(x) = 2x− x2 − e−x, [1; 1.5]
4.21. f(x) = 2 sinx− tgx, [0;π
4]
4.22-4.48 bodloguudad f(x) funkciïn [a, b] xärqim däärx xamgiïnix äswäl xamgiïn baga utgyg ol. �iïdiïg 0.01 nariïwqlaltaï-gaar todorxoïl.
4.22. f(x) = 1− 32x + 4x2 + x4, [1; 2], fmin =?
4.23. f(x) = 1 + 4x + 2x2 + x4, [−1; 0], fmin =?
4.24. f(x) = 2 + 5x− 10x2 + 5x3 − x5, [−3;−2], fmax =?
4.25. f(x) = 3 + 120x− 4x2 − x4, [2.5; 3], fmin =?
4.26. f(x) = x− 12x2 + x3 − 1
7x7, [1; 1.5], fmax =?
4.27. f(x) = 5x + x2 − 14x4, [2; 3], fmax =?
4.28. f(x) = 1 + x− 52x2 +
14x4, [0; 1], fmax =?
59
4.29. f(x) = 2x +72x2 − 5
3x3 +
12x4, [0; 0.5], fmin =?
4.30. f(x) = 2x2 − (x + 1)4, [−3;−2], fmax =?
4.31. f(x) = 2x + x2 − 15x5, [−1;−0.5], fmin =?
4.32. f(x) = x− 2x2 +15x5, [1; 2], fmin =?
4.33. f(x) = 1− 6x− 3x2 − x6, [−1; 0], fmax =?
4.34. f(x) = 2x2 + 3(5− x)4/3, [1.5; 2], fmin =?
4.35. f(x) = 20x− 5x2 + 8x54 , [3; 3.5], fmax =?
4.36. f(x) = 80x− 30x2 − 14x4, [1; 2], fmax =?
4.37. f(x) = 1 + 2x +12x2 − 1
6x6, [1; 1.5], fmax =?
4.38. f(x) = 10x lgx
e− x2
2, [0.5; 1], fmin =?
4.39. f(x) =12x2 + x(lg
x
e− 2), [1.5; 2], fmin =?
4.40. f(x) =13x2 + x(lnx− 1), [0.5; 1], fmin =?
4.41. f(x) =13x3 − (1 + x)[ln(1 + x)− 1], [−0.5; 0.5], fmax =?
4.42. f(x) =1
ln 22x − 2x2, [3.5; 4.5], fmin =?
4.43. f(x) =13x3 − ex − 2x, [−1.5; 1], fmax =?
4.44. f(x) = x− 12x2 + cosx, [0; 1], fmax =?
60
4.45. f(x) =12x2 − sinx, [0.5; 1], fmin =?
4.46. f(x) = x3 − 3 sin x, [0.5; 1], fmin =?
4.47. f(x) = 1+x2
2+
12
3√
x2−12
ln(1+ 3√
x2)−xarctg 3√
x, [0.5; 1], fmin =?
4.48. f(x) =13x3 − 5x + x ln x, [1.5; 2], fmin =?
4.49-4.54 bodloguudad f(x) funkciïn güdgär qanaryg [a, b] xärqimdäär togtooj, funkciïn xamgiïn baga utgyg ol. |f ′(c)| ≤ 0.05 üedbodoltyg zogsoo.
4.49 f(x) = − ln(cosx)− x2, [π
4;25π], fmin =?
4.50 f(x) = ln(1 + x2)− sinx, [0;π
4], fmin =?
4.51 f(x) = x2 +1
x(2− x), [0.5; 1], fmin =?
4.52 f(x) = −2x− x2 +x3
3+
x4
4, [1.25; 1.75], fmin =?
4.53 f(x) = 5e−x + 4x− x3
3, [0; 0.5], fmin =?
4.54 f(x) = −2(x + 1)e−x − 2 cos x− x, [0;π
6], fmin =?
Grafik toocoony ajlyn xariu4.16 fmin = −1.6913, x∗ = −0.2924.17 fmin = 1.910, x∗ = 1.0384.18 fmin = 1.4653, x∗ = 0.65654.19 fmax = 92.1376, x∗ = 1.6034.20 fmax = 0.6609, x∗ = 1.1564.21 fmax = 0.4501, x∗ = 0.6605
61
4.22 fmin = −33.5064, x∗ = 1.67024.23 fmin = −0.5814, x∗ = −0.68234.24 fmax = −59.1806, x∗ = −2.23404.25 fmin = 246.6345, x∗ = 2.89314.26 fmax = 1.7557, x∗ = 1.29634.27 fmax = 10.0481, x∗ = 2.09464.28 fmax = 1.1004, x∗ = 0.20164.29 fmin = 1.1377, x∗ = 0.36844.30 fmax = 7.7290, x∗ = −2.32474.31 fmin = −0.8945, x∗ = −0.79764.32 fmin = −1.4814, x∗ = 1.49344.33 fmax = 3.6347, x∗ = −0.75494.34 fmin = 20.4415, x∗ = 1.51604.35 fmax = 47.1447, x∗ = 3.35324.36 fmax = 52.5836, x∗ = 1.29704.37 fmax = 3.1893, x∗ = 1.26724.38 fmin = −22.5454, x∗ = 1.37134.39 fmin = 1.2077, x∗ = 1.75564.40 fmin = −0.8385, x∗ = 0.65294.41 fmax = −1, x∗ = 04.42 fmin = −8.9169, x∗ = 44.43 fmax = −0.0001, x∗ = −1.49164.44 fmax = 1.2527, x∗ = 0.5114.45 fmin = −0.4005, x∗ = 0.73914.46 fmax = 1.6421, x∗ = −0.82414.47 fmin = 0.8398, x∗ = 0.73394.48 fmin = −6.0016, x∗ = 1.8411
Programm xangamjNäg xuw´sagqiïn funkciïn minimum olox arguudyn programmygPaskal´ xäl däär zoxioj zarim bodlogyg bodoj üzüüläw. Zarimproceduryg taïlbarlawal:PROGRAMM METHOD n´1. Xagaslan xuwaax2. Altan ogtlol
62
3. Fibonaqqi4. Parabolyn arguudyg nägtgäsänFunkciïn xälbäriïg ögq, [a, b], ε-g oruulsny daraa argaa songoxzamaar programmyg ajilluulna.PROGRAMM TSH n´ taxir ²ugamyn argyn programm. ÄndLip²icyn togtmolyg olox, ärämbäläx xoër procedur a²iglasan.PROGRAMM RMP n´ jigd alxamtaï tüüwriïn arga µm.Ji²ää: f(x) = x
√1− x2, a = −0.5; b = 0.8; eps = 0, 001; x ∈ [a, b].
ür dün: x = 0, 707082999, f(x) = 0, 499999999.
Program Xärqmiïg tallan xuwaax arga;label M1,M2,M3;var a,b,c,d,eps,x,k,l,fx:real;Function F(x:real):real;begin
F:=x*sqrt(1-x*x);end;Begin
write(’a=’); readln(a);write(’b=’); readln(b);write(’eps=’); readln(eps);
M1: if ABS(b-a)<2*eps then goto M3;c:=(a+b-eps)/2; d:=(a+b+eps)/2;x:=c; k:=F(x);x:=d; L:=F(x); if k>L then goto M2; a:=c; goto M1;
M2: b:=d; goto M1;M3: x:=(a+b)/2; Fx=f(x);
writeln(’x=’,x:12:9,’F(x)=’,Fx:12:9’);end.
Altan ogtlolyn arga
Ji²ää: f(x) = 0, 1x3 − 2x2 + 10x; a = 2, b = 5, eps = 0.001.Ür dün: x∗ = 3, 3349538; fmax = 14, 81481479.
63
Program Altan ogtlolyn arga;uses crt, dos;Label M1, M2, M3;var a,b,c,z,x,x1,x2,k,eps,Fx,Fx1,Fx2: real;it: real;
function f(x:real):real;begin
f:=0.1*x*x*x-2*x*x+10*x;end;
procedure Ts(a,b,z: real; var c, fun:real);begin
c:=a+z*(b-a); fun=f(c);end;
begin Clrscr;write(’a=’); readln(a);write(’b=’); readln(b);write(’eps=’); readln(eps);
k:=(Sqrt(5)-1)/2; z:=1-k;Ts(a,b,z,x1,Fx1); Ts(a,b,k,x2,Fx2);
M1: if ABS(x2-x1)<eps then goto M3;if Fx>fx2 then goto M2;
a:=x1; x1:=x2; Fx1:=Fx2; Ts(a,b,k,x2,Fx2);goto M1;
M2: b:=x2; x2:=x1; Fx2=Fx1; Ts(a,b,z,x1,Fx1);goto M1;
M3: x:=(x1+x2)/2; Fx:=f(x);write(’x=’,x:12:9); writeln(’F(x)=’, Fx:12:9);
end.
Unimodal funkciïn minimum olox arguudyn nägtgäsän pro-gramm.(Täsälgääniï bodlogyn zardlyn funkc Cy (§ 5.4) däär güïcätgäw.)
64
PROGRAM metod;uses dos, crt;var
a,b,e,v:real;f: function (x:real):real;hour, min,sec,sec100: word;Countf: integer;
function ff(x:real):real;begin
ff:=3*exp((4/3)*ln(5-x))+2*x*x;{4*ln(x)-14*x*x*x+60*x*x-70*x;}
inc(Countf)end;function fk(x:real):real;begin
if x<=-2 then fk:=-3*x-3else
if x<=0 then fk:=3else
if x<=2 then fk:=3-xelse
if x<=4 then fk:=2*x-3else
if x<=6 then fk:=5 else fk:=3*x-13;inc(Countf)
end;function TF(x:real):real;
beginTF:=-(0.001758*sqr(0.2474*exp((1/1.5)*ln(x))++5.416666/x)*(49.06124*(sqr(x*x+1)/(x*x*x))**(1/sqr(0.2474*exp(1/1.5*ln(x)+5.416666/x)++131.859*(1/(x*(0.2474*exp((1/1.5)*ln(x))++5.416666/x))-0.601))));
65
inc(Countf)end;
function SqrX(x:real):real;begin
SqrX:=-2*x*Sqrt(1-x*x)+x*x;inc(Countf)
end;function ExpX(X:real):real;
beginExpX:=-exp(-x)*ln(x);inc(Countf)
end;function ExpX1(x:real):real;begin
ExpX1:=2*x*x-exp(x);inc(Countf)
end;function Poly(X:real):real;begin
Poly:=x*x*x*x-14*x*x*x+60*x*x-70*x;inc(Countf)
end;Procedure hagas(A,B,e,v:real):real;begin
var n:integer;begin
n:=0;while b-a>e dobegin
if f((a+b-v)/2)<=f((a+b+v)/2)then b:=(a+b+v)/2else a:=(a+b-v)/2;
n:=n+1;
66
endwriteln(’Iteraciïn too:’,n);writeln(’Minimum or²ixzawsar:(’,a:0:10,’,’,b:0:10,’,’);writeln(’Minimumyn cäg:’,(b+a)/2,’Funkcyn utga :’,f((b+a)/2):0:10);writeln;
endend;
Procedure se(A,B,e:real):real;const
SQRT5=2.2360679775;var n:integer;fa,fb:real;begin
n:=0;fa:=f(a+(3-sqrt5)*(b-a)/2);fb:=f(a+(sqrt5-1)*(b-a)/2);
while b-a>e dobegin
if fa<=fb thenbegin
b:=a+(sqrt5-1)*(b-a)/2;fb:=fa; fa:=f(a+(3-sqrt5)*(b-a)/2);
endelse
begina:=a+(3-sqrt5)*(b-a)/2;fa:=fb; fb:=f(a+(sqrt5-1)*(b-a)/2);
endn:=n+1;
end;writeln(’Iteraciïn too:’,’n’);
67
writeln(’Minimum or²ix zawsar: (’,a:0:10,’,’,b:0:10,’)’);writeln(’Minimumyn cäg:’,(b+a)/2,’Funkcyn utga:’,f((b+a)/2):0:10);writeln;
end;Procedure mfib(A,B,e:real; m:integer);var n:integer;l,l1:real;x:real;begin
m:=0; l:=1; l1:=1; n:=0;while (l<(b-a)/e) dobegin
l:=l+1; l1:=l-l1;m:=m+1;
endl:=l-l1; l1:=l1-l;l1:=l1/l; l:=1-l1;while b-a>e dobegin
x:=a+(b-a)*l;if f(x)<=f(a+(b-a)*l1) then b:=x
else a:=a+(b-a)*l1;n:=n+1;
end;writeln(’Iteraciïn too:’,’n’);writeln(’Minimum or²ix zawsar: (’,a:0:10,’,’,b:0:10,’)’);writeln(’Minimumyn cäg:’,(b+a)/2,’Funkcyn utga:’,f((b+a)/2):0:10);writeln;
end;
68
procedure par(a,h,e:real);var x,f1: array [1..4] of real;n,s1,s2,s3,i,j,k : integer;x1,f2,d,m: real;
function sgn(x:real):integer;begin
if x>0 then sgn:=1else if x<0 then sgn:=-1;
else sgn:=0;end
procedure sort;var k,j,i:integer;begin
for j:=1 to 3 dobegin
k:=j+1 to 4 doif f1[j]>f1[k] thenbegin x1:=x[j]; x[j]:=x[k]; x[k]:=x1;
f2:=f1[j]; f1[j]:=f1[k]; f1[k]:=f2;end;
end
end
beginx[1]:=a; f1[1]:=f(a);x[2]:=a+h; f1[2]:=f(a+h);if f1[1]<f1[2] thenbegin
x[3]:=a-h; f1[3]:=f(a-h)endelse
69
beginx[3]:=a+2*h;f1[3]:=f(a+2*h);
endd:=(x[2]-x[3])*f1[1];d:=d+(x[3]-x[1])*f1[2]+(x[1]-x[2])*f1[3];m:=(x[2]*x[2]-x[3]*x[3])*f1[1];m:=m+(x[3]*x[3]-x[1]*x[1])*f1[2];m:=m+(x[1]*x[1]-x[2]*x[2])*f1[3];x[4]:=m/2*d; f1[4]:=f(x[4]);sort;n:=0;while abs(x[1]-x[2])>=e dobegin
s1:=sgn(x[2]-x[1]);s2:=sgn(x[3]-x[1]);s3:=sgn(x[4]-x[1]);if (s1=s2) and (s1=-s3) then
beginx[3]:=x[4];f1[3]:=f1[4];
endd:=(x[2]-x[3])*f1[1]+(x[3]-x[1])*f1[2]+(x[1]-x[2])*f1[3];f2:=(f1[1]-f1[2])/2*d;f2:=f2*(x[2]-x[3])*(x[3]-x[1]);x[4]:=(x[1]+x[2])/2+f2;f1[4]:=f(x[4]);sort;n:=n+1;
endwriteln;writeln(n);writeln(’x=’,x[1],’f(’,x[1], ’)=’,f1[1]);
end; {PAR proceduryn tögsgöl}
70
var met: integer;m: integer;h: real;
begin{MAIN PROGRAM}clrscr;Countf:=0;writeln(’Zawsraa oruul’)dwrite(’a=’); readln(a);write(’b=’); readln(b);write(’e=’); readln(e);writeln(’1 xagaslan xuwaax’);writeln(’2 Altan ogtlol’);writeln(’3 Fibonaqqi’);writeln(’4 Parabol’);f:=ExpX1;write(’Choose Method’); Read(met);case met of
1: begin write(’delta=’); readln(v) end;4: begin write(’h=’); readln(h) end;
end;hour:=0; min:=0; sec:=0; sec100:=0;settime(hour, min,sec,sec100);case met of
1: hagas(a,b,e,v);2: se(a,b,e);3: mfib(A,B,E,m);4: par(a,h,e);
end;GetTime(Hour,Min,Sec,sec100);writeln(’Bodoltynxugacaa’,’Hour’,:’,Min,’,:’,sec,’.’sec100’);writeln(Countf);
end;
71
Taxir ²ugamyn arga
program TSH(input, Output);{$M $F000,0,655000}
Uses Dos;Const
MaxPoint=3000;var x,y : array [0..MaxPoint] of real;k,n,i,j : integer;l,a,b,eps : real;H,M,S,S100: word;
function F(x:real):real;begin
f:=-(0.001758*x*sqr(0.2474*exp((1/1.5)*ln(x))+5.416666/x)**(49.06124*(sqr(x*x+1)/x*x*x))*(1/sqr(0.2474*exp((1/1.5)**ln(x))+5.416666/x)+131.859*(1/(x*(0.2474*exp((1/1.5)**ln(x))+5.416666/x))-0.601))))
end;
function f(x: real):real;begin
if x<=-2 then f:=-3*x-3else if x<=0 then f:=3
else if x<=2 then f:=3-xelse if x<=4 then f:=2*x-3
else if x<=6 then f:=5 else f:=3*x-13;
end;
function g(x,x1:real):real;begin
g;=f(x1)-L*abs(x-x1);endprocedure LifConst(var l: real);
72
const mm=100;var l1:array [0..MaxPoint] of real;k,i: integer;begin
x[0]:=a;for i:=1 to mm dobegin
x[i]:=x[0]+i*(b-a)/mm;l1[i]:=abs(f(x[i])-f(x[i-1]))/(x[i]-x[i-1]);
endi:=0;for k:=1 to mm do if l1[i]<l1[k] then i:=k;l:=l1[i];
end;
function min(var i: integer): real;var k: integer;begin
i:=0;for k:=1 to n do
if y[i]>y[k] then i:=k;min:=f(x[i])-y[i];
end;
Procedure QuickSort(Lo, Hi: integer);procedure sort(l,r:integer);var i,j: integer;xx,yy: real;begin
i:=l; j:=r; xx:=x[(l+r)DIV 2];repeat while x[i]<xx do i:=i+1;
while xx<x[j] do j:=j-1;if i<=j thenbegin
73
yy:=x[i]; x[i]:=x[j]; x[j]:=yy;yy:=y[i]; y[i]:=y[j]; y[j]:=yy;i:=i+1; j:=j-1;end;
until i>j;if l<j then sort(l,j);if i<r then sort(i,r);
end
begin {quicksort}Sort{Lo, Hi};
end;var ii:integer;rr: real;begin
H:=0; M:=0; S:=0; S100:=0;writeln(’zawsraa oruul’);write(’a=’); readln(a);write(’b=’); readln(b);LifConst(l);fillchar(y, sizeof(y),#0);fillchar(x, sizeof(x),#0);x[0]:=a; x[2]:=b;repeat
writeln(’Anxny döxöltiïn cäg’);write(’x0=’); readln(x[1]);
until (x[0]<=x[1]) and (x[1]<=x[2]);write(’eps=’); readln(eps);SetTime(H,M,S,s100);n:=2;y[1]:=f(x[1]);y[0]:=g(x[0], x[1]);y[2]:=g(x[2], x[1]);while min(k)>=eps do
74
beginj:=0;if k>0 thenbegin
j:=j+1;x[n+j]:=(y[k-1]-f(x[k]))/(2*L)+(x[k]-x[k-1])/2;y[n+j]:=g(x[n+j],x[k]);
end;if k<n thenbegin
j:=j+1;x[n+j]:=(f(x[k])-y[k+1])/(2*L)+(x[k+1]+x[k])/2;y[n+j]:=g(x[n+j],x[k]);
endy[k]:=f(x[k]);n:=n+j;QuickSort(1,n);
end;GetTime(H,M,S,S100);Assign(output,’’); Rewrite(output);writeln(’Taxir ²ugamyn oroïn cägiïn too’,n);writeln(’Bodolt güïcätgäsänxugacaa’,H,’:’,M,’:’,S,’.’,S100);writeln(’Minimumyn cäg Funkcyn utga’)dwriteln(x[k]:0:15,’ ’,f(x[k]):0:15);assign(input,’’); Reset(input);readln;
end;
75
V büläg. Näg xuw´sagqiïn funkciïn äkstre-mumyn texnik ädiïn zasgiïn xäräglää§ 5.1. Püüsiïn a²giïg maksimumqlax bodlogoTuxaïn püüsiïn ärxäm zorilgo n´ maksimum a²ig oloxod or²dog.Näg törliïn bütäägdäxüün üïldwärläj buï püüsiïn a²giïg tögsörsöldöönt zax zääliïn orqind tom³ëolbol:
π(x) = px− C(x) → max, x ≥ 0 (5.1)
xälbärtäï baïna. Üünd p n´ bütäägdäxüüniï nägjiïn ünä, x-bütäägdäxüüniï too xämjää, C(x) n´ zardlyn funkc, π(x) n´a²giïn funkc.
Xäräw änä püüsiïn üïldwärläliïn funkc n´ differencialq-lagddag xotgor bol zardlyn funkc C(x) n´ differencialqlag-dax, ärs güdgär funkc [4] bolox ba (5.1) bodlogo n´ xotgor funkciïnmaksimum olox bodlogo bolno. Maksimum baïx onowqtoï nöx-cliïg biqwäl:
π′(x) = (px− C(x))′ = p− C ′(x) = 0
buµu p = C ′(x) bolno. C ′(x) n´ ädiïn zasgiïn utgaaraa axiu zard-lyg ilärxiïldäg. Ööröör xälbäl, axiu zardal n´ nägj bütäägdä-xüüniïg nämj üïldwärläx zardal µm. C ′(x) ≈ C(x + 1) − C(x).Iïmd ünä n´ axiu zardaltaï täncüü baïx x∗ cäg däär püüsiïna²ig xamgiïn ix baïna. Ji²äälbäl, a²giïn funkc
π(x) = 22x− x2 − 102
bol maksimum baïx cäg n´ x∗ = 11 bolox ba maksimum a²ig n´πmax = 19 baïna. Erönxiï toxioldold a²giïn funkc tasraltgüïbögööd differencialqlagdax albagüï baïdag. Änä toxioldoldmaksimumyn cägiïg däärx argaar olox bolomjgüï bögööd zöwxöntoon argaar bodox bolomjtoï µm. (5.1) bodlogyg tüüntäï täncüüqanartaï minimumyn bodlogoor tom´ëolbol
ϕ(x) = −π(x) = C(x)− px → min, x ∈ [0, a], (5.2)
76
üünd a n´ bütäägdäxüüniïg üïldwärläx dääd x¶zgaar. Tägwäl (5.2)bodlogo n´ güdgär funkciïn minimum olox bodlogo bögööd altanogtlolyn argaar bodoj bolno.Xarin monopol´ zax zääl däär ünä n´ püüsiïn üïldwärläj buïbütäägdäxüüniï toonoos xamaarax funkc p = p(x) bolox tul (5.1)bodlogo n´
−π(x) = C(x)− p(x) → min, x ∈ [0, a] (5.3)
xälbärtäï baïna. p : R+ → R, C : R+ → R funkcüüd tasraltgüïdifferencialqlagddag üed π(x) funkc n´ Lip²iciïn nöxcliïgxangax ba (5.3) bodlogyg taxir ²ugamyn argaar bodox bolomjtoïbolno.
§5.2. Zardlyg minimumqlaxPüüsiïn üïldwärläliïn zardal n´ xüqin züïliïn ünä togtmolüed bütäägdäxüüniï too xämjäänääs xamaarsan näg xuw´sagqiïnfunkc baïdag. Erönxiï toxioldold zardlyn funkciïg üïld-wärläliïn funkciïn tuslamjtaïgaar baïguulsan texnologiïnzaaglal däär xüqin züïliïn zardal xamgiïn baga baïx nöxclöösgargaj awdag.Üüniïg x¶lbar toxioldold Kobb-Duglasyn 2 xuw´sagqtaï üïld-wärläliïn funkciïn ji²ään däär xaruul³¶.
f(y1, y2) = yα1 yβ
2 , α > 0, β > 0, α + β ≤ 1.
f -üïldwärläliïn xotgor funkc,y1-xödölmöriïn too xämjää,y2-üïldwärläld a²iglaj buï kapitalyn xämjää,α-xödölmöriïn mädrämj,β-kapitalyn mädrämj. Ööröör xälbäl, kapitalyg 1%-iar ös-göxöd bütäägdäxüüniï too xämjää β(%)-iar ösnöXüqin züïliïn zardal xamgiïn baga baïx bodlogyg tom´ëolbol:
{p1y1 + p2y2 → min,f(y1, y2) = x
(5.4)
77
Üünd p1 nägj xödölmöriïn ünä, p2 nägj kapitalyn ünä, x-n´bütäägdäxüüniï too xämjää. Änä bodlogo n´ xoër xuw´sagqiïnfunkciïn nöxcölt äkstremumyn bodlogo bögööd üüniïg Lagranjiïnargaar bodoj bolox bolowq, bid näg xuw´sagqiïn funkciïn mini-mumyn bodlogo ruu ²iljüülj bod³ë. f(y1, y2) = x buµu yα
1 yβ2 = x
nöxclöös y2-xuw´sagqiïg ilärxiïlj zorilgyn funkcäd orluulna:
y2 =( x
yα1
) 1β = x
1β · y−
αβ
1 .
Zorilgyn funkc p1y1+p2y2 n´ daraax näg xuw´sagqiïn funkc ruu²iljinä.
ϕ(y1) = p1y1 + p2x1β · y−
αβ
1 .
Änä funkciïn güdgär gädgiïg xaruul³¶.
ϕ′(y1) = p1 − α
βp2 · x
1β y
−αβ−1
1 = p1 − αp2
βx
1β · y−
α+ββ
1 .
Odoo funkciïn 2-r ärämbiïn ulamjlalyg olbol:
ϕ′′(y1) =αp2
β2x
1β · y−
α+2ββ
1 > 0.
Iïmd Teorem [3.12] ësoor ϕ(y1) funkc ärs güdgär baïna. (5.4) bod-logo n´ daraax näg xuw´sagqiïn funkciïn minimum olox bodlogobolno.
ϕ(y1) → min, y1 ∈ (0,+∞)
Minimum baïx zaïl²güï ba xürälcäätäï nöxcliïg biqwäl:
ϕ′(y1) = p1 − αp2
βx
1β · y−
α+ββ
1 = 0.
Ändääs y∗1-g olbol
y∗1 = x1
α+β ·(
p1β
αp2
)− βα+β
.
78
Odoo y∗2-g ol³ë.
y∗2 = x1
α+β ·(
p1β
αp2
) αα+β
.
Xamgiïn baga xüqin züïliïn zardlyg toocwol:
ψ(p1, p2, x) = p1y∗1 + p2y
∗2 =
x1
α+β
[p1 ·
(p1β
p2α
)− βα+β
+ p2 ·(
p1β
p2α
) αα+β
]
= pα
α+β
1 · pβ
α+β
2
[(α
β
) βα+β
+(
β
α
) αα+β
]· x 1
α+β .
Xäräw xüqin züïliïn üniïg ögögdsön gäj üzwäl ψ(p1, p2, x) n´ x-ääs xamaarsan näg xuw´sagqiïn funkc bolox ba üüniïg püüsiïnzardlyn funkc gäj närlänä. Püüsiïn zardlyn funkciïg biqwäl:
C(x) = ψ(p̄1, p̄2, x).
Zardlyn funkc güdgär gädgiïg ²alga¶:
C ′(x) =1
α + β
[p1 ·
(p1β
p2α
)− βα+β
+ p2 ·(
p1β
p2α
) αα+β
]· x
1−(α+β)α+β ,
C ′′(x) =1− (α + β)
α + β
[p1 ·
(p1β
p2α
)− βα+β
+ p2 ·(
p1β
p2α
) αα+β
]·x
1−2(α+β)α+β .
α + β ≤ 1 tul C ′′(x) ≥ 0, ∀x ∈ R+ baïna. Güdgär funkciïn²injüür (Teorem 3.12) ësoor C(x) funkc güdgär baïna. Tägwälzardlyg minimumqlax bodlogo n´
C(x) → min, x ∈ (0, a)
xälbärtäï baïx ba güdgär, differencialqlagdax funkciïn xam-giïn baga utgyg ögögdsön zawsar däär olox bodlogo bolno. Änäbodlogyg altan ogtlol, xärqmiïg tallan xuwaax bolon ²ürgägqiïnarguudyn al´ nägniï tuslamjtaïgaar bodoj bolno.
79
Ji²ää bolgon Uulyn ba¶juulax Ärdänät üïldwäriïn niït zard-lyg minimumqlax bodlogyg awq üz´e."Ärdänät" üïldwäriïn niït zardal n´ örömdlög täsälgääniï ajil,geologi mark²eïderiïn ajil, aqix tääwärläx process, butlaxprocess, ba¶juulax process zäräg texnologiïn processyn zard-lyn niïlbärääs togtdog. Ädgäär processuudyg xüdriïn butlal-tyn dundaj diameträäs xamaaruulan zagwarqilj niït zardlygdaraax xälbärtäï gargaj awsan [6]:
C(x) =73.93
170− 0.9x+
389.14(40− 0.25x)7.2
+1.581 + x
+
0.241 + 2.5x
+0.27
1 + 3.6x+
5.721 + 0.02x
+ 10.2x.
Änäxüü zardlyn funkciïg xörsniï xatuulgyn ²inj qanar 12-rkategortoï üed gargasan bolno. Tägwäl niït zardlyg xamgiïnbaga baïlgax bodlogo n´
C(x) → min, x ∈ [0.01; 20]
xälbärtäï bolson bögööd bodlogyg xärqmiïg tallan xuwaax ar-gaar bodwol ²iïd n´ x∗ = 16.34 sm gäj oldono.
§ 5.3 Dundaj zardlyn minimumNiït zardlyg baga baïlgaxaas gadna dundaj zardlyg baga baïl-gax n´ ädiïn zasagt quxal aq xolbogdoltoï µm.Änä bodlogyg tom³ëolbol:
ϕ(x) =C(x)
x→ min, x ∈ (0, +∞) (5.5)
Üünd: ϕ(x)-dundaj zardlyn funkc,C(x)-niït zardlyn funkc,x-bütäägdäxüüniï too xämjää.Üïldwärläliïn funkciïg xotgor gäj üz´e. Änä üed zardlyn funkcC(x) güdgär gädgiïg ur´d n´ tämdägläj baïsan. ϕ(x) funkciïntölöw baïdlyg todorxoïl´ëo.
80
C(x)-funkc güdgär bolowq ϕ(x) funkc güdgär baïx albagüï µm.
L = {x ∈ R+| ϕ(x) ≤ K}, K > 0
olonlog baïguul³¶. Änä olonlog n´ daraax olonlogtoï täncüüµm.
M = {x ∈ R+|C(x)−Kx ≤ 0}, K > 0
M olonlogiïg güdgär gädgiïg xaruul³¶. Duryn u, v ∈ M älemen-tüüd aw³¶. C(x) güdgär funkc uqir
C(αu + (1− α)v) ≤ αC(u) + (1− α)C(v), α ∈ [0, 1]
täncätgäl bi² bielägdänä.
C(αu+(1−α)v)−K(αu+(1−α)v) ≤ αC(u)+(1−α)C(v)−αKu−(1− α)Kv = α[C(u)−Ku] + (1− α)[C(v)−Kv] ≤ 0.
Iïmd αu+(1−α)v ∈ M, α ∈ [0, 1] bolj M güdgär bolox n´ xarag-daj baïna. Tägwäl kwazigüdgär funkciïn ²injüür Teorem 2.1.ësoor dundaj zardlyn funkc ϕ(x) n´ kwazigüdgär baïna.(5.5) bodlogyn säjigtäï cäg buµu minimum baïx zaïl²güï nöx-cliïg biqwäl:
ϕ′(x) =C ′(x)x− C(x)
x= 0
Ändääs C ′(x∗)x∗ − C(x∗) = 0 buµu
C ′(x∗) =C(x∗)
x∗(5.6)
bolno. Xäräw x∗ n´ minimum cäg bol änä cäg däärx axiu zardaln´ dundaj zardaltaï täncüü baïna. Erönxiï toxioldold, x∗ cägn´ dundaj zardlyn minimumyn cäg baïx albagüï µm. Üüniïgdaraax grafikaar xaruulaw.
81
y
y = ϕ(x)
x∗ x
y = ϕ(x)
x∗ x
y
Zurag 5.1. Zurag 5.2.
Zurag 5.1 ba Zurag 5.2-d dundaj zardlyn minimumyn cäg or²ijbaïgaa ba änä cägiïg (5.6) täg²itgälääs olno. Nögöö talaas xäräwänä täg²itgäliïg bodoxod xünd baïwal altan ogtlolyn arga bolonxärqmiïg tallan xuwaax argyg xärägläj bolno.
y
y = ϕ(x)
0 x x
y
x∗0
ϕ(x)
Zurag 5.3. Zurag 5.4.
Zurag 5.3 ba 5.4-d dundaj zardlyn minimum cäg or²ixgüï baïna.Tuxaïlbal, zurag 5.3-d xargalzax (5.6) täg²itgäl ²iïdgüï bolzurag 5.4-d xargalzax (5.6) täg²itgäl ²iïdtäï bolowq änä ²iïdn´ y = ϕ(x) funkciïn zöwxön säjigtäï cäg bolj baïna. Dundajzardlyn funkciïn minimum or²ix asuudal n´ zardlyn funkciïntölöw baïdal bolon tüünd nölöölöx togtmol zardlaas ixääxän xa-maarna. Ädiïn zasgiïn onold zardlyn funkciïg urt ba bogino
82
xugacaany zardal gäj ¶lgan awq üzdäg. Bogino xugacaany zard-lyn funkc daraax xälbärtäï baïna.
C(x) = FC + V C(x).
Üünd:FC-togtmol zardal (fixed cost)VC(x)-xuw´sax zardal (Variable cost)Tägwäl dundaj zardal
ϕ(x) = AV C(x) =C(x)
x=
FC
x+
V C(x)x
äswälAV C(x) = AFC(x) + AV C(x)
AV C(x)
0 x
AFC
Zurag 5.6. Zurag 5.7.
Dundaj togtmol zardlyn buuralt n´ dundaj zardlyn funkciïnbuuraltyg biï bolgox ba dundaj xuw´sax zardlyn ösölt n´ dun-daj zardlyn ösöltiïg biï bolgoj baïgaa tul dundaj zardlynfunkc n´ kwazigüdgär funkciïn xälbärtäï bolj ulmaar global´minimumyn cägtäï bolj xuwirna. Üüniïg ji²äägäär xaruul³¶.
C(x) = FC + V C(x) = a + bx, a > 0, b > 0.
Üünd, togtmol zardal FC = a, xuw´sax zardal V C(x) = bx µm.
ϕ(x) =C(x)
x=
a
x+ b
83
y = ϕ(x)
b
0 x
Zurag 5.7.
Zurag 5.7-oos xaraxad niït zardal ²ugaman toxioldold bütäägdäxüüniïtoo x¶zgaargüï ixsäxäd dundaj zardlyn funkc bagasgaj ulmaartogtmol zardal b ruu tämüülj baïna.Xäräw zardlyn funkc kwadratlig xälbärtäï bol
C(x) = a + bx + cx2, (a > 0, b > 0, c > 0)
ϕ(x) =a
x+ b + cx
Änä funkciïn minimumyn cägiïg olbol:
ϕ′(x) = − a
x2+ c
x∗ =√
a
c
84
x∗ =√
ac x
y = ax
y = b + cx
b
y
Zurag 5.8.
Zurag 5.8-aas xaraxad xäräw zardlyn funkc kwadratlag bol dun-daj zardlyn funkc minimumyn cägtäï bïna. Ööröör xälbäl,xuw´sax zardlyn funkc n´ bütäägdäxüüniï tootoï xar´cuulaxaddääd ärämbiïn ixsäj baragdaxgüï xämjigdäxüün baïwal dundajzardlyn funkc minimum cägtäï baïna. Erönxiï toxioldold dun-daj zardlyn funkciïn minimumyn bodlogo n´ bogino xugacaanyzardlyn funkctäï ilüü xolbootoï bolox n´ däärx ji²äänüüdääsxaragdaj baïna.
§5.4. Täsälgääniï matematik zagwarBarilgyn aliwaa ajil suur´ tawixaas äxäldäg. Änä ajlyn xüräändsuwag baïguulax ajlyn tösöl xiïgdänä. Tösliïg zoxioxdoo öngönxörsniï xöndlön ogtlolyn ²ugamyg awq üzdäg. Täsälgää xiïs-niï daraa üüssän nüxiïg nüx uxdag tusgaï mexanizmaar tösliïnxämjäänd xürgädäg baïna. Täsälgääniï daraa üüssän nüxniï xöndlönogtlolyn ²ugam ba tösliïn xöndlön ogtlolyn ²ugam xoërygxar´cuulan üzäj bolno. Täsälgääniï ajlyn parametrüüdiïg öörqil-böl änä xoër xöndlön ogtlolyn ²ugamuudyn xoorond ¶nz büriïn
85
xar´caa biï boldog. Ingäsnääs barilgyn ajlyn ür a²giïg too-coolj baïgaa texnik ädiïn zasgiïn üzüülältüüd n´ öör öör gardag.Iïmd texnik ädiïn zasgiïn üzüülältüüd n´ xamgiïn onowqtoïbaïxaar täsälgääniï parametrüüdiïg songon awax n´ barilgynajild quxlaar tawigddag. Ji²äälbäl: Ürgäljilsän ²uuduuuxaj baïgaa üed ²idältiïn üzüülältiïn zäräg /koäfficient/xamgiïn ix baïx täsälgääniï parametrüüdiïg songoj awax n´onowqtoïd toocogddog baïna. Xädiïgäär ²idältiïn koäfficientxamgiïn ix awagdlaa q gäsän üüssän nüxniï xämjää tösliïn ²uga-maas xät ix xälbiïx ësgüï bögööd äswäl tösliïn ²ugamyg ²ürgäj,äswäl tüüntäï dawxcaj baïx ²aardlaga tawigddag. Xärwää üüssännüxniï ²ugam n´ tösliïn ²ugamaas ix xälbiïsän bol barilgynajild muugaar nölöölnö. Tur²iltyn ür dünd täsälgääniï ²ugamn´ nägän törliïn xörsönd daraax xälbärtäï boloxyg togtoosonbaïna.
y
R
x0
H SB
Zurag 5.9.
Ug xöndlön ogtlolyn ²ugaman funkc n´
y = f(x) =H̄h
(nh)γxγ − H̄h; H = H̄h.
Üünd: n-täsälgääniï üïlqilgääniï üzüülält /zäräg/γ-quluulgyn bat bäxiïn togtmol, H-täsälgää xiïsniï daraa üüs-sän nüxniï gün, R-nüxniï radius.
86
Koordinatyn sistemiïn OX tänxlägiïg gazryn gadarguu däärawq tösliïn ²ugam ba OY tänxlägäär x¶zgaarlagdsan dürsiïntalbaïg olbol
SB = 2
∣∣∣∣∣∣
R∫
0
f(x)dx
∣∣∣∣∣∣; y = 0 üed x = hn buµu R = nh.
SB = 2
∣∣∣∣∣∣
nh∫
0
( H̄h
(nh)γ· xγ − H̄h
)dx
∣∣∣∣∣∣= 2
∣∣∣∣H̄h
(nh)γ· xγ+1
γ + 1− H̄hx
∣∣∣∣nh
0
=
= 2∣∣∣∣H̄h2n
γ + 1− H̄nh2
∣∣∣∣ ;
SB =2γh2nH̄
γ + 1(5.7)
Odoo ürgäljläx texnologtoï üed xuwiïn örtög n´ xamgiïn bagabaïxaar täsälgääniï ajlyn parametrüüdiïg onowqtoï songon awaxbodlogyg awq üz´e. Xuwiïn örtgiïn funkc buµu zorilgyn funkcdaraax xälbäräär ögögdönö. Cy = Zy
SB
Üünd: Cy xuwiïn örtög, Zy − 1 m2 gazart onogdox täsälgääniïzardalÜrgäljläx texnologtoï üed täsläx bodisyn cänägiïg baïrluuljdaraa n´ bulax, tuslax gazryn xäsgiïg bul´dozeroor bulj täsäl-gää ¶wuulax ba daraa n´ xörs uxagq ma²inaar ¶nzlax zäräg ajilxiïgdänä.(5.7) tom´ëog a²iglaj zorilgyn funkciïg daraax baïdlaar biqijbolno.
Cy =γ + 1
2γh2nH
R̄h2 (n2 + 1)2
n
3∑
i=1
αi + bR(h− hZ)2∑
j=1
βj +2∑
j=1
γj
Üünd: bR dääd xäsgiïn örgön, hZ-cänägiïn baïrluulax günαi, βj , γj-täsräx bodisyn cänäg, coonog uxax ba bulax, cänäg bulaxma²ind tus tus xargalzax normatiw zardluud, R̄-täsräx bodisyn
87
xuwiïn zardal.Tösliïn ²ugam trapec xälbärtäï uqraas tüüniï funkciïg daraaxxälbärtäï biqij bolno.
F (x) =
−x−mHnp− b2
m , x < − b2
−H − b2 ≤ x ≤ b
2x−mHnp− b
2m , x > b
2
− b2
b2
F (x)H
y
0 x
Zurag 5.10.
Üünd: Hnp -tösliïn dundaj gün,b-nüxniï ëroolyn örgön,m-koäfficient,Tösliïn ²ugam däärx xälbärtäï baïna. Täsälgääniï daraax ²ugamba tösliïn ²ugam xoëryn ²ürgälcäx nöxcliïg biqwäl:
F (x) = f(x), F ′(x) = f ′(x).
Odoo f(x), F (x) funkcüüdiïn ulamjlalyg olbol:
f ′(x) =H̄h
(nh)γγxγ−1 F ′(x) =
− 1
m , x < − b2
0, − b2 < x < b
21m , x > b
2
88
F ′(x) = f ′(x) nöxcliïg H̄h(nh)γ γxγ−1 = ± 1
m gäj biqääd üünääs x-iïgolbol: x = nh( n
mH̄γ)
1γ−1 bolno. F (x) = f(x), f(−x) = F (−x)
nöxcöld x-iïn utgyg orluulj x¶lbarqilbal:
H̄h
(nh)γγxγ − H̄h =
x
m−Hnp − b
2m
h{( n
mγH̄
) 1γ−1 +
2mγH̄
2n(γ − 1)
}=
(2mHnp + b)γ
2n(γ − 1)⇒
h =γ(2mHnp + b)
2n(γ − 1)[( nmγH̄
)1
γ−1 + mγH̄n(γ−1) ]
(5.8)
(5.8) n´ bidniï bodlogyn täncätgäl xälbäräär ögögdsön nöxcölbolno. Tüünääs gadna cänägiïg baïrluulax gün
h : hT ≤ h ≤ HT (5.9)
nöxcliïg xangasan baïna. Mön cänägiïn üïlqilgääniï zäräg nn´ nk gäsän säjigtäï utgaas bagagüï baïna.
n ≥ nk (5.10)
(5.9), (5.10) n´ bodlogyn täncätgäl bi²äär ögsön nöxclüüd µm.Iïm uqraas xuwiïn örtög n´ xamgiïn baga baïxad täsälgääniï pa-rametrüüdiïg onowqtoï songox bodlogo n´ (5.8)-(5.10) nöxclüüdiïgxangasan, Cy funkciïg xamgiïn baga utgataï baïlgax n, h xuw´-sagquudyn xos (n̄, h̄)-iïg (cägiïg) ol gäsän ²ugaman bi² pro-grammqlalyn bodlogo bolj baïna. Ööröör xälbäl Cy gäsän xoërxuw´sagqiïn funkciïn nöxcölt äkstremumyn bodlogyg bodno gäsänüg.
Cy → minn,h
(5.11)
h =γ(2mγHnp + b)
2n(γ − 1)1
[( nmγH̄
)1
γ−1 + γγ−1
mH̄n ]
(5.12)
89
Däärx bodlogyg (5.8)-(5.9) nöxcölöös näg xuw´sagqiïg nögöögöörn´ ilärxiïlj zorilgyn funkcäd orluulbal, näg xuw´sagqiïn funk-ciïn äkstremumyg xärqim däär olox bodlogo bolj xuwirna. (5.12)nöxcöld hT , HT -g xargalzuulan orluulj täncätgäl bodwol xar-galzax hT , n̄T oldono.
nT ≤ n ≤ n̄ (5.12)
(5.10)-(5.12) täncätgäl bi²üüdääs n ≤ n ≤ n̄ gäj oldono.(5.8) täncätgälääs h -iïg Cy-d orluulbal:
Cy = Cy(n) =γ + 12γnH̄
·4n2(γ − 1)2[( n
mγH̄)
1γ−1 + γ
γ−1mH̄n ]2
γ2(2mHnp + b)2
{R̄ · γ
2(2mHnp + b)2
4n2(γ − 1)2· 1[
( nmγH̄
)1
γ−1 + γγ−1 · mH̄
n
]2 ·(n2 + 1)2
n·
3∑
i=1
αi+
bR
(γ(2mHnp + b)2n(γ − 1)
· 1
( nmγH̄
)1
γ−1 + γγ−1
mH̄n
−hZ) 2∑
j=1
βj+2∑
j=1
γj
}→ min,
n ≤ n ≤ n
gäsän näg xuw´sagqiïn funkciïn xärqim däärx global´ minimumygolox bodlogo bolno. Ug bodlogyg bodoxyn tuld daraax paramet-rüüdiïn utguudyg a²iglasan. Üünd:
1. γ = 2.5 6. β1 = 0.093 11. m = 2.52. H̄ = 1.3m β2 = 0.0266 12 nk = 23. bR = 3m 7. γ1 = 0.28 13. HT = 4.5m4. R = 1.8m γ2 = 0.016 14. hT = 3m5. α1 = 0.08 8. h3 = 2.5m
α2 = 0.004 9. Hnp = 4mα3 = 0.005 10. b = 1m
Ädgäär togtmoluudyg bodlogod orluulbal:
Cy = C1x(C2x
1γ−1 +
C3
x
)2·[(C4
(x2 + 1)2
x3· 1
(C2x1
γ−1 + C3x )2
+
90
+C51
x(C2x1
γ−1 + C3x )
− C6 + C7
]buµu
Cy = Cy(x) = 0.001758x(
0.2474x1
1.5 +5.41666
x
)2
[49.06124 · (x2 + 1)2
x3
1
(0.2474x1
1.5 + 5.41666x )2
+
131.8591
x(0.2474x1
1.5 + 5.41666x )
− 0.601].
Änä bodlogyg Dnepropetrowskiïn politexnikiïn dääd surguul´anx taw´san ba sanamsargüï xaïltyn argaar ug bodlogyg bodojorqny minimumyn cägiïg olson baïdag. Bid änä bodlogyg taxir²ugamyn argaar bodson ba änä n´ anxny döxöltöös xamaaraxgüïniïlj bodlogyn global´ ²iïdiïg oldog dawuu taltaï. Ööröörxälbäl, lokal´ minimumyn cägüüdiïg oloxgüïgäär ²uud global´minimumyn cägiïg batalgaataï olno gäsän üg.Ug bodlogyn ²iïd x∗ = 2.3403, f(x∗) = 293.056 gäj garsan.Ööröör xälbäl 4 m güntäï 3m amsartaï 1m gün örgöntäï ²uuduuuxaxyn tuld gazryn günääs h = 2.619 zaïd h = 2.3403 xämjääniïüïlqilgääniï zärägtäï cänägiïg baïrluulaxad zardal 293.056 garna.
Odoo änä bodlogyg örgötgöj tuxaïn äzälxüüntäï gazryg täs-läxäd üüsäx xuwiïn örtögiïg ug äzläxüüntäï proporcional´ gäjüzääd ug xuwiïn örtögiïg xamgiïn baga baïlgaxaar parametrüüdiïgonowqtoï songox gäsän bodlogo awq üz´e. Tur²iltaar, täsäl-gääniï daraax ogtlolyn ²ugamyg y = f(x) = H̄h
(nh)γ xγ − H̄h, h =H̄h xälbärtäï biqij boldog.
Odoo bid XOY xawtgaïd perpendukl¶r, O cägiïg daïrsan OZtänxläg awq üzwäl ogtorguïd täg² öncögt koordinatyn sistemüüsnä. y = f(x) ²ugamyg OY tänxlägiïg toïruulan ärgüüljüüssän ärgältiïn gadarguugiïn täg²itgäliïg änä koordinatynsistemd biq´e.
91
y
x
z
0
Zurag 5.11
Ogtorguïn koordinatyn sistemd täsälgääniï xöndlön ogtlolyn²ugamyn täg²itgäl n´
{x = [y+H̄h
H̄h(nh)γ ]
1γ
z = 0
Ärgältäär üüsäx gadarguugiïn täg²itgäl
x2 + z2 =[y + H̄h
H̄h(nh)γ
] 2γ ⇒ y =
(x2 + z2)γ2 H̄h
(nh)γ− H̄h.
Ärgältiïn bieiïn äzläxüün V -g bod´ë.
V = |∫∫
D
ydxdz| = |∫∫
D
(x2 + z2)γ2 H̄h
(nh)γdxdz −
∫∫
D
H̄hdxdz|.
∫∫D
(x2 + z2)γ2 dxdz dawxar integralyg tuïlyn koordinatyn sis-
temd bodwol∫∫
D
(x2 + z2)γ2 dxdz =
x = ρ cosϕz = ρ sinϕdxdz = ρdρdϕ
=
=
2π∫
0
dϕ
nh∫
0
ργHdρ =2π(nh)γ+2
γ + 2,
∫∫
D
dxdz = πR2 = π(nh)2.
92
V =∫∫
D
ydxdz = | H̄h
(nh)γ−2π(nh)γ+2
γ + 2−H̄hπ(nh)2| = πH̄h(nh)2(1− 2
γ + 2),
V =πH̄h3n2
γ + 2, C = kV =
kπH̄n2
γ + 2· h3
�ürgälcäx nöxcliïg biqij äzläxüüniï tom³ëond orluul³¶.h = γ(2mHnp+b)
2n(γ−1)1
( nmγH̄
)1
γ−1 + γγ−1
mH̄n
, n = x.
C = C(x) = |2.2677k−15.625·(2.1)3)|(8·3.375x)
[1
(0.1226x)1
1.5 + 5.41/x
]3
→min,
2 ≤ x ≤ 4
Änä bodlogyg taxir ²ugamyn argaar bodwol bodlogyn ²iïd x∗ =2.016651, C = k · 0.207
§5.5 Dünzniï onowqlolyn bodlogoÄnä bodlogo n´ ögögdsön diametrtäï toïrogt bagtsan bögööd zuragtüzüülsän xälbäriïn xamgiïn ix talbaïtaï dürsiïg olsonoor duus-na.
2a 2b 0 a
b
D
AkE
bc
Zurag 5.12
93
Toïrgiïn radiusyg r-gäe. Tüünd bagtsan dünzniï taluud täg²xämtäï. OD = OC = a, AD = BC = b.a ba b gäsän xämjiltiïn xoorondyn xar´caa ¶mar baïx üed dünzniïxöndlön ogtlolyn talbaï xamgiïn ix baïx wä? gäsän bodlogo awqüz´e.Dünzniï xöndlön ogtlolyn xäsäg bolox anxny kwadratyg ODAKBCgäsän 6 öncögt tölöölnö. Tüüniï talbaïg büx ogtlolyn döröwniïnäg bolox ODAE ba EKBC gäsän täg² öncögtüüdiïn talbaïnniïlbärt tawina.ODAE täg² öncögtiïn talbaï ab, EKBC täg² öncögtiïn tal-baï b(a− b) bolno. Niït talbaï n´ S = a · b + b(a− b) = 2ab− b2.ODA gäsän gurwaljnaas a-g olwol a =
√r2 − b2 bolox ba däärx
tom´ëond orluulbal S = 2b√
r2 − b2− b2 bolno. Bidniï awq üzäjbuï bodlogyn matematik tom´ëolol n´ daraax xälbärtäï bolno.
S = S(x) = 2x√
r2 − x2 − x2 → max, 0 ≤ x ≤ r.
Änäxüü bodlogyn ²iïd x∗ =√
5−√510 r gäj oldono.
S = −S(x) = −2x√
r2 − x2 + x2 → min 0 ≤ x ≤ r, r = 1
gäj üz´e. Däärx bodlogyg programm xangamj a²iglan xagaslanxuwaax, altan ogtlol, Fibanneqiïn arga, parabolyn arguudaarbodoj xar´cuulsan ür düng daraax xüsnägtäd baïrluulaw.
fxagaslanxuwaax
altanogtlol
Fibanaqqiïnarga
Parabolynarga
N 11 15 8 7t 0.27 0.27 0.21 0.20M 23 18 17 11x̂ 0.52563 0.52585 0.61825 0.5226f(x̂) 0.618033 -0.618033 0.5896 0.6118
94
Nom züï1. F.P.Wasil´ew, Qislennye metody re²eni¶ äkstremal´nyx zadaq,
Nauka, Moskwa, 1987.
2. W.G.Karmanow, Matematiqeskoe Programmirowanie, Nauka, 1986.
3. Charles Chapman Pugh, Real Mathematical Analysis,Springer, 2002.
4. Donald W.Katzner, Walrasian Microeconomics, New York, 1988.
5. Edward D.Gaughan, Introduction to Analysis, Brooks Core, 1997.
6. R.Enkhbat, Quasiconvex Programming, Ulaanbaatar, 2004.
7. R.Enkhbat, Global Optimization in Microeconomic Analysis, Work-ing paper 2000-1, University of Massachusetts, pp. 27, 2000
8. R.Horst and Panos M.Pardalos(edit.,) Handbook of Global Opti-mization, Klumer Academic Publishers, 1995.
9. P.P.Narayanaswami, Herbert S.Gaskill, Elements of Real Analysis,Prentice Hall, 1997.
10. O.V.Vasiliev, Optimization Methods, World FederationPublishers, 1996.
95