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컴파일러 입문

제 5 장

Context-Free 문법

목차

5.1 서론

5.2 유도와유도트리

5.3 문법변환

5.4 CFG 표기법

5.5 푸시다운오토마다(PDA)

Context-free Grammar

5.1 서론 regular expression: the lexical structure of tokens

recognizer : FA( scanner)

id = l(l + d)* , sc = ´(c + ´´)*´

CFG: the syntactic structure of programming languages

recognizer : PDA( parser)

프로그래밍언어의구문구조를 CFG로표현할경우의장점:

1. 간단하고이해하기쉽다.

2. CFG로부터인식기를자동으로구성할수있다.

3. 프로그램의구조를생성규칙에의해구분할수있으므로

번역시에유용하다.


CFG의 form : N. Chomsky의 type 2 grammar

A , where A VN and V*.

문법기호들의 notational convention

1. Terminal symbol

(1) a, b, c등알파벳시작부분의소문자와숫자 0, 1, 2, ⋯

(2) +, -연산자와 semi-colon, comma, 괄호등 delimiter

(3) ‘if’, ‘then’과같이인용부호사이에표기된문법기호

2. Nonterminal symbol

(1) A, B, C등알파벳시작부분의대문자

(2) S는보통시작기호로사용

(3) <stmt>, <expr>과같이 <와 >로묶어서나타낸문법기호

3. 만약아무런언급이없으면첫번째생성규칙의 LHS 기호가

시작기호임.

4. A → 1, A → 2, ⋯, A → k와같이생성규칙의 LHS가모두

A인경우에 A → 1 |2 | ⋯ | k로간단히표기할수있다.

→ A에대한택일(alternation) 규칙

형식언어이론에서사용하는각기호들의의미

1. X, Y, Z와같은알파벳끝부분의대문자는보통문법기호, 즉

nonterminal혹은 terminal 기호를나타낸다(X,Y,Z∈V).

2. 알파벳끝부분의소문자, 주로 u, v, ⋯, z는 terminal들로이루

어진 string을나타낸다. 역시 terminal string을나타내는대표

적인문자이다( ∈VT*).

3. , , 와같은그리스체소문자는문법기호로구성된 string을

나타낸다( , , ∈V*).Context-free Grammar


5.2 유도와유도트리

Derivation : 1 2

start symbol로부터 sentence를 생성하는 과정에서 nonterminal

을 이 nonterminal로 시작되는 생성 규칙의 right hand side로 대

치하는 과정.

(1) : derives in one step.

if A P, , V* then A .

(2) : derives in zero or more steps.

1. V*,

2. if and then

(3) : derives in one or more steps.

*

**

+

*

L(G) : the language generated by G

= { | S , ∈ VT*}

definition :sentence : S , VT* 모두 terminal로만구성.

sentential form : S , V*.


*

*

*

다시말하면 CFG에서문장의생성은유도과정으로말할수있고

문장형태(sentential form)의 string에서생성규칙을반복적으로

적용하여 nonterminal을확장

예) 산술식을나타내는문법

E → E+E | E*E | (E) | -E | id (문법 5・1)

-(id)의유도 : E ⇒ -E ⇒ -(E) ⇒ -(id)

CFG에서는생성규칙의 RHS에 nonterminal이여러개올수있으

므로같은문장을유도하는과정이여러개있을수있다. 즉, 문

장형태에서유도시대치해야할 nonterminal을선택하는데여러

가지경우가있을수있다.


Choosing a nonterminal being replaced

sentential form에서어느 nonterminal을선택할것인가 ?

A , where V*.

leftmost derivation: 가장왼쪽에있는 nonterminal을대치해

나가는방법.

rightmost derivation: 가장오른쪽에있는 nonterminal을대치.

A derivation sequence 0 1 ... n is called a leftmost derivation if and only if i+1 is obtained from i

by applying a production to the leftmost nonterminal in i

for all i, 0 i n-1.

i i+1 : 가장왼쪽에있는 nonterminal을 차례로대치.


예3) 문장 -(id+id)가문법 (5・1)에의해유도되는과정

(1) 좌단유도

E ⇒ -E ⇒ -(E) ⇒ -(E+E) ⇒ -(id+E) ⇒ -(id+id).

(2) 우단유도

E ⇒ -E ⇒ -(E) ⇒ -(E+E) ⇒ -(E+id) ⇒ -(id+id).

parse : parser의출력형태중에한가지. left parse : leftmost derivation에서적용된생성규칙번호.

top-down parsing

start symbol로부터 sentence를생성

right parse : rightmost derivation에서적용된생성규칙번호의역순.

bottom-up parsing

sentence로부터 nonterminal로 reduce되어결국엔 start symbol로reduce.


문장 a+a*a의 left parse와 right parse를구하시오.

1. E → E+T 2. E → T 3. T → T*F 4. T → F

5. F → (E) 6. F → a

left parse: 1 2 4 6 3 4 6 6. right parse: 6 4 2 6 4 6 3 1.

E ⇒ E+T (1) E ⇒ E+T (1)

⇒ T+T (2) ⇒ E+T*F (3)

⇒ F+T (4) ⇒ E+T*a (6)

⇒ a+T (6) ⇒ E+F*a (4)

⇒ a+T*F (3) ⇒ E+a*a (6)

⇒ a+F*F (4) ⇒ T+a*a (2)

⇒ a+a*F (6) ⇒ F+a*a (4)

⇒ a+a*a (6) ⇒ a+a*a (6)

Introduction to Compiler Design Theory

유도트리

::= a graphical representation for derivations.

::= the hierarchical syntactic structure of sentences that is implied by the

grammar.

Definition : derivation tree

CFG G = (VN,VT,P,S) & VT* drawing a derivation tree.

1. nodes: symbol of V(VN VT)

2. root node: S(start symbol)

3. if A VN, then a node A has at least one descendent.

4. if A A1A2...An P, then A가 subtree의 root가되고좌로부터

A1,A2,...,An가 A의자노드가되도록 tree를구성

A1 A2

A

‥‥ An


≠

A1 A2

A

A2 A1

A


Nodes of derivation tree internal(nonterminal) node VN

external(terminal) node VT {}

ordered tree - child node들의 위치가 순서를 갖는 tree, 따라서 derivation tree는 ordered tree이다.

예) G : E → E + T | TT → T * F | FF → ( E ) | a

: a + a * a

스트링 a + a * a의유도트리:

+

T

F

T F

E

aF

E

T

*

a a


※ 각각의 유도 방법에 따

라 derivation tree 모양은

변하지 않는다. 즉, 한 문

장에 대한 tree 모양은

unique하다.

Ambiguous Nondeterministic

(X)

(O)


Ambiguous Grammar A context-free grammar G is ambiguous if and only if it

produces more than one derivation trees for some sentence.

설명: 같은 sentence를 생성하는 tree가 2개 이상 존재할 때

이 grammar를 ambiguous하다고 하며, 결정적인 파싱을

위해 nondeterministic한 grammar를 deterministic하게

변환해야 한다.

nondeterministic


1. E → E+E 2. E → E*E 3. E → (E) 4. E→ a

left parse: 1 4 2 4 4. left parse : 2 1 4 4 4

E ⇒ E+E (1) E ⇒ E*E (2)

⇒ a+E (4) ⇒ E+E*E (1)

⇒ a+E*E (2) ⇒ a+E*E (4)

⇒ a+a*E (4) ⇒ a+a*E (4)

⇒ a+a*a (4) ⇒ a+a*a (4)


a

a a

*

+

EE

E

E

E

a

a a

+

*

EE

E

E

Eambiguous


1. E → E+E 2. E → E*E 3. E → (E) 4. E→ a

Right parse: 4 4 4 2 1 right parse:. 4 4 1 4 2

E ⇒ E+E (1) E ⇒ E*E (2)

⇒ E+E*E (2) ⇒ E*a (4)

⇒ E+E*a (4) ⇒ E+E*a (1)

⇒ E+a*a (4) ⇒ E+a*a (4)

⇒ a+a*a (4) ⇒ a+a*a (4)


a

a a

*

+

EE

E

E

E

a

a a

+

*

EE

E

E

Eambiguous

S

thenCif elseS S

thenCifb S

b a

a

1)S

thenCif S

thenCifb S else

b a

S

a

2)


“G: ambiguous 증명” 하나의 sentence로 부터 2개 이상의

derivation tree 생성.

ex) dangling else problem:

G: S if C then S else S | if C then S | a

C b

: if b then if b then a else a

※ else : 일반적으로 right associativity를 만족한다.if 문장의 경우 자신과 가장 가까운 if와 결합함으로두개의 트리 중 일반적으로 2)를 만족.

In a more general form, the ambiguity appears when there is a

production of the following form.

production form : A AA

sentential form : AAA

tree form :

모호성제거

①가좌측결합(left associative) 연산자인경우

A → A A' | A', A' →

②가우측결합(right associative) 연산자인경우

A → A' A| A', A' →

or

A

A α A

A α A A α A

A

A α A


ambiguous unambiguous

1) 새로운 nonterminal을도입해서 unambiguous grammar로변환.

2) 이과정에서, precedence & associativity규칙을이용.

nondeterministic deterministic

예) G : E E E | E + E | a

: a a + a precedence rule의적용

* > + 인경우 + > * 인경우


a

a a

*

+

EE

E

E

E

a

a a

+

*

EE

E

E

E

새로운 nonterminal의도입

G : E E + T | T

T T * F | F

F a

+

T

F

T F

E

aF

E

T

*

a a

※ 그런데, grammar의 ambiguity를

check할 수 있는 algorithm이

존재하지 않으며 unambiguous하게

바꾸는 formal한 방법도 존재하지

않는다.


unambiguous grammar로바꾼예: 최초문법

E → E+E | E-E | E*E | E/E | E↑E | -E | (E) | id 우선순위 : +, - ≺ *, / ≺ ↑ ≺ -(unary)

수정된문법G : expression expression + term

┃ expression - term

┃ term

term term * factor

┃ term / factor

┃ factor

factor primary ↑ factor

┃ primary

primary - primary

┃ element

element ( exp )

┃ id derivation tree가하나이므로위 grammar는 unambiguous하다.


id * id + id의 derivation tree:

derivation tree가하나이므로위 grammar는 unambiguous하다.

expression

expression expression

term factor

term factor

factor primary

primary element

element id

id

primary

element

id

+

+


*

term

5.3 문법변환

Introduction

5.3.1 Useless Productions

5.3.2 -Productions

5.3.3 Single productions

5.3.4 Canonical Forms of Grammars


5.3 Introduction Given a grammar, it is often desirable to modify the grammar so

that a certain structure is imposed on the language generated.

grammar transformations without disturbing the

language generated.

Definition :

Two grammars G1 and G2 are equivalent

if L(G1) = L(G2).

예8) 다음 CFG G1과 G2는동일하다.

G1 : A → 1B G2 : X → Y1 ∴L(G1) = L(G2) = 1(01)*

A → 1 X → 1

B → 0A Y → X0


Two techniques Substitution :

if A B, B 1 | 2 | 3 … | n P, then

P' = ( P - {A B } ) {A 1 | 2 | ... | n }.

Expansion :

A <=> A X, X or A X, X

All grammars can be transformed the equivalentgrammars through the substitution and expansion techniques.

예9) S → aT | bT, T → S | Sb | c에서

생성규칙 S→ aT를제거하시오.

S → aT | bT에 T → S | Sb | c 대입

S → aS | aSb | ac | bT

결과 = S → aS | aSb | ac | bT , T → S | Sb | c


5.3.1 Useless Productions

A useless production in a context-free grammar is one which can not be used in the generation of a sentence in the language defined by the grammar.

it can be eliminated.

Definition : We say that a symbol X is useless if

not ∃S Xy xy, ,x,y VT*.


**

Splitting up into two distinct problems: Terminating nonterminal :

A , , where A VN and VT*.

Accessible symbol :

S X, where X ∈ V and , V*.

An algorithm to remove useless productions will involve computing the terminating nonterminalsfollowed by the accessible symbols.


*

*

Terminating nonterminal을구하는방법:

Algorithm terminating;

begin

VN':= { A | A ∈ P, ∈VT* };

repeat

VN' := VN' ∪ { A | A ∈ P, ∈ (VN' U VT )* } until no change

end.

Accessible symbol을구하는방법:

Algorithm accessible;

begin

V ' := { S }; (* initialization *)

repeat

V ' := V '∪{ X | some A X∈ P, A ∈ V ' }

until no change

end. Context-free Grammar

예11) P = { S → A, S → B, B → a }에서

1. terminating nonterminal집합은 ? {B, S}

2. A는 teminal string을생성할수없으므로제거하면

P’ = {S → B, B → a }

예12) P = { S → aB, A → aB, A → aC, B → C, C → b } 에서

1. Accessible symbol 집합은? {S, a, B, C, b}

2. 도달불가능한심벌을 포함하고있는규칙을제거하면

P’ = { S → aB, B → C, C → b }


Useless production removal :

Apply the algorithm for the terminating nonterminal.

Apply the algorithm for the accessible symbol.

예13) P = { S → aS, S → A, S → B, A → aA, B→a, C→aa } 에서불필

요한생성규칙제거.

1. teminating nontermianl ? {C, B, S}

2. Acessible symbol? {S, a, A, B}

결과는 P’ = { S → aS, S → B, B→a}

연습문제 211pg. 5.11 (1)

ex) S A | B

A aB | bS | b

B AB | BB

C AS | bContext-free Grammar

5.3.2 -Productions

Definition :

We call that a production is -production if the form of the

production is A , A VN.

Definition :

We say that a CFG G = (VN, VT, P, S ) is -free if

P has no -production, or

There is exactly one -production S and S does not appear on

the right hand side of any productions in P.



Conversion to an -free grammar:

Algorithm -free;

begin

VN := { A | A => , A VN }; (* nullable nonterminal *)

P' := P – { A | A VN };

for A 0B11B2... Bkk∈ P' , where i ≠ and Bi VN do

if Bi ∈ P' then

P' = P' ∪ { A 0X1 1X2... Xkk | Xi = Bi or Xi = }

else

P' = P' ∪ { A 0X1 1X2... Xkk | Xi = }

end if

end for

if S VN then P ' := P '∪ { S' | S }

end.

+

예14) S → aSbS | bSaS |

①각생성규칙에대하여제거

S → aSbS⇒ S → aSbS | aSb | abS | ab

S → bSaS⇒ S → bSaS | bSa | baS | ba

②시작기호가 으로생성되면 S' → S | 를추가

ex1) A AaA | ε

ex2) S aAbB

A aA | ε

B ε


5.3.3 Single productions


Definition : A B, where A,B VN. A → B 와 같이 생성규칙의 오른쪽에 한 개의 nonterminal만 오는 경우

⇒ 불필요한 유도과정이 생기며 parsing 속도가 느려진다.

Algorithm Remove_Single_Production;

begin

P' := P – { A B | A, B VN};

for each A VN do

VNA = { B | A B } ;

for each B VNA do

for each B P' do (* not single production *)

P' := P' ∪ { A α}

end for

end for

end for

end.

+

main idea : grammar substitution.

Definition :

A CFG G = ( VN , VT, P, S ) is said to be cycle-free

if there is no derivation of the form A A for any A in VN.

G is said to be proper if it is cycle-free, is -free, and has no

useless symbols.


+

5.3.4 Canonical Forms of Grammars

Definition: A CFG G = (VN, VT,P,S) is said to be in Chomsky Normal

Form(CNF)

if each production in P is one of the forms

A BC with A,B, and C in VN, or

A a with a VT, or

if L(G), then S is a production, and S does not appear on the right side

of any production.

Conversion to CNF

A → X1 X2....XK, K > 2

⇒ A → X1 ́<X2 ... XK>

<X2...XK> → X2 ́<X3 ... XK>

……

<XK-1...XK> → XK-1 ́XK ́, where Xi =́ Xi if Xi ∈ VN

add Xi =́ Xi if Xi ∈ VT

ex) S →bA

A → bAA | aS | a

Definition : A CFG G = (VN, VT,P,S) is said to be in

Greibach Normal Form(GNF)

if G is -free and each non--production in P is of the

form A a with a VT and V*.

Definition : Given any context-free grammar G, we can draw its

dependency graph. The vertices are the terminal and

nonterminal symbols, and the arcs go from A to x if

x appears on the right hand side of a production

whose left hand side is A.

===> It can be used as introducing concepts of algorithms

and the analysis of algorithms(developing algorithms).


5.4 CFG 표기법☞ BNF(Backus-Naur Form), EBNF(Extended BNF), Syntax Diagram

BNF 특수한 meta symbol을사용하여프로그래밍언어의구문을 명시하는표기법.

meta symbol : 새로운언어의구문을표기하기위하여도입된심벌들.

terminal symbol : ‘ ’ grammar symbol : VN ∪ VT

예 :명칭의정의 <id> ::= <letter> | <id><letter> | <id><digit>

<letter> ::= a | b | c | ⋯ | y | z

<digit> ::= 0 | 1 | 2 | ⋯ | 8 | 9


nonterminal symbol < >

::= (치환)

nonterminal symbol의 rewriting | (또는)

예1) VN = {S, A, B}, VT = {a, b}

P = {S AB, A aA, A a, B Bb, B b}

BNF 표현:

<S> ::= <A> 

<A> ::= a <A> | a

 ::= b | b

예2) Compound statement

BNF 표현:

<compound_statement> ::= ‘{’<statement_list> ‘}’

<statement_list> ::= <statement_list> <statement>

| <statement>


<S> ::= <A> 

<A> ::= ' a ' <A> | ' a '

 ::= ' b ' | ' b '

Extended BNF(EBNF)

특수한의미를갖는 meta symbol을사용하여반복되는부분이나

선택적인부분을간결하게표현.

meta symbol

ex.

① BNF : <id_list> ::= <id_list>, <id> | <id>

② EBNF ---반복되는부분을 {}로표현 : <id_list> ::= <id> {, <id> }

예) 계산식

① BNF : <exp> ::= <exp> + <exp> | <exp> - <exp> | <exp> <exp> | <exp> / <exp>

② EBNF : <exp> ::= <exp> ( | | | / ) <exp>

예) <if-st> ::= 'if' ‘(’ <expression> ‘)’ <statement> [‘else’ <statement>]


반복되는 부분(repetitive part): { }

선택적인 부분(optional part): [ ]

괄호와 택일 연산자(alternative): ( | )

예18) compound statement의 CFG 표현 ① BNF

<compound_statement> ::= begin <statement_list> end

<statement_list> ::= <statement_list>; <statement> | <statement>

② EBNF ---반복되는부분을 {}, 선택은 []로표현 <compound_statement> ::= begin <statement> {; <statement>} end

예19) 단순변수와 1차원배열에대한 BNF와 EBNF

① BNF : <variable> ::= <id> | <id> '[' <exp> ']'

② EBNF : <variable> ::= <id> [ '[' <exp> ']' ]

※ EBNF에서사용되는meta symbol들을 terminal로사용할때는‘’로묶어표현

예20) production rule을 EBNF로변환 <BNF_rule> ::= <left_part> ‘::=‘ <right_part>

<right_part> ::= <right_part_element> { ‘|’ <right_part_element>}

pg. 187 Mini C의문법의 EBNF

Syntax diagram

초보자가쉽게이해할수있도록구문구조를도식화하는방법

syntax diagram에사용하는그래픽아이템:

원 : terminal symbol

사각형 : nonterminal symbol

화살표 : 흐름경로

syntax diagram을그리는방법:

1. terminal a

2. nonterminal A

a

A


3. A ::= X1X2... Xn

(1) Xi가 nonterminal인경우:

(2) Xi가 terminal인경우:

4. A ::= 1┃2┃...┃ n

X1 Xn····A X2

X1 Xnz ····A X2


α1

α2.

.

.

αn

A

5. EBNF A ::= {}

6. EBNF A ::= []

7. EBNF A ::= (1┃2)

α

A

A

α


α1

α2

βA

(예) A ::= a | (B)

B ::= AC

C ::= {+A}A CB

A

C

+

A

( B )

α


A

( A )

α

A +

5.5 Push-Down Automata

finite automata의제약 기억장소가없으므로처리된 input symbol의수를헤아릴수없음

CFG의인식기 Push-Down Automata

push-down list(stack), input tape, finite state control

a1 a2 ··· ai ··· an

Finite State Control

Z1

Z2

:

Zn

Stack

: input tape



Definition: PDA P = (Q, , , , q0, Z0, F),

where, Q : 상태 심벌의 유한 집합. : 입력 알파벳의 유한 집합. : 스택 심벌의 유한 집합. : 사상 함수 Q ( ∪{}) Q *,q0 ∈ Q : 시작 상태(start state),Z0 ∈ F : 스택의 시작 심벌,F ⊆ Q : 종결 상태(final state)의 집합이다.

: Q ( ∪ {}) Q * (q,a,Z) ={(p1, 1), (p2, 2), ... ,(pn, n)} 의미: 현재 상태가 q이고 입력 심벌이 a이며 스택 top 심벌이 Z일 때,

다음 상태는 n개 중에 하나이며만약 (pi, i)가 선택되었다면 그 의미는 다음과 같다. 현재의 q 상태에서 입력 a를 본 다음 상태는 pi이다. 스택 top 심볼 Z를 i로 대치한다.

P의 configuration : (q, , )

where, q : current state

: input symbol

: contents of stack

P의이동(move)ː┣ (q’, ) (q,a,Z) 라면

a : (q, a, Z) ┣ ( q', , )

a = : (q, , Z) ┣ (q', , ) <===> -move

※ ┣ : zero or more moves, ┣ : one or more moves

L(P) : the language accepted by PDA P. start state : (q0, , Z0)

final state : (q, , α), where q∈ F, ∈ *

L(P) = {ω | (q0, , Z0) ┣ (q, , ), q ∈ F, ∈ * }.


*

+

+

ex) P = ({q0, q1, q2}, {0, 1}, {Z, 0}, , q0, Z, {q0}),

where, (q0, 0, Z) = {(q1, 0Z)} (q1, 0, 0) = {(q1, 00)}

(q1, 1, 0) = {(q2, )} (q2, 1, 0) = {(q2, )}

(q2, , Z) = {(q0, )}

스트링 0011의인식과정:

(q0, 0011, Z)

┣ (q1, 011, 0Z)

┣ (q1, 11, 00Z)

┣ (q2, 1, 0Z)

┣ (q2, , Z)

┣ (q0, , )


• 스트링 0n1n(n≥1)의 인식 과정:

(q0, 0n1n, Z)

┣ (q1, 0n-11n, 0Z)

┣ n-1 (q1, 1n, 0nZ)

┣ (q2, 1n-1, 0n-1Z)

┣ n-1 (q2, , Z)

┣ (q0, , )

∴ L(P) = {0n1n | n 0}.

확장된 PDA

δ : Q × (∪{}) × * → Q × *

한번의 move로 stack top 부분에있는유한길이의 string을다른 string으로대치.

(q, a, ) ┣ (q', , )

stack이 empty일때도 move가발생

예) PDA = ({q0, qf}, {a, b}, {a, b, S, Z}, , q0, Z, {qf})

where, (q0, a, ) = {(q0, a)}(q0, b, ) = {(q0, b)}

(q0, , ) = {(q0, S)} ※ S : center mark

(q0, , aSa) = {(q0, S)}

(q0, , bSb) = {(q0, S)}

(q0, , SZ ) = {(qf, )}


스트링 aabbaa의인식과정:

(q0, aabbaa, Z) ┣ (q0, abbaa, aZ)

┣ (q0, bbaa, aaZ)

┣ (q0, baa, baaZ)

┣ (q0, baa, SbaaZ)

┣ (q0, aa, bSbaaZ)

┣ (q0, aa, SaaZ)

┣ (q0, a, aSaaZ)

┣ (q0, a, SaZ)

┣ (q0, , aSaZ)

┣ (q0, , SZ)

┣ (qf, , )

∴ L = { R | ∈ {a, b}*}.


예) PDA = ({q0, qf}, {a, b}, {a, b, S, Z}, , q0, Z, {qf})

where, (q0, a, ) = {(q0, a)}(q0, b, ) = {(q0, b)}(q0, , ) = {(q0, S)} (q0, , aSa) = {(q0, S)}(q0, , bSb) = {(q0, S)}(q0, , SZ ) = {(qf, )}

L = { R | ∈ {a, b}+}를인식하는또다른 PDA

방법 1 PDA = ({q0, q1, q2}, {a, b}, {a, b, z}, , q0, z, {q2})

(q0, a, z) = {(q0, az)} (q0, b, z) = {(q0, bz)}

(q0, a, a) = {(q0, aa)} (q0, b, a) = {(q0, ba)}

(q0, a, b) = {(q0, ab)} (q0, b, b) = {(q0, bb)}

(q0, , a) = {(q1, a)} (q0, , b) = {(q1, b)}

(q1, a, a) = {(q1, )} (q1, b, b) = {(q1, )}

(q1, , z) = {(q2, z)}


L = { |∈ {a, b}+이고 =R}를인식하는 PDA

PDA = ({q0, qf}, {a, b}, {a, b, c, S, Z}, , q0, Z, {qf})

(q0, a, ) = {(q0, a)} (q0, b, ) = {(q0, b)}

(q0, , ) = {(q0, S)} ※ S : center mark

(q0, a, S) = {(q0, cS)} (q0, b, S) = {(q0, cS)}

(q0, , aSa) = {(q0, S)} (q0, , bSb) = {(q0, S)}

(q0, , acSa)= {(q0, cS)} (q0, , bcSb) = {(q0, cS)}

(q0, , SZ ) = {(qf, )} (q0, , cSZ ) = {(qf, )}


L = { |∈ {a, b}+이고 =R}를인식하는또다른 PDA

교수의수업시간풀이 (틀릴수도있음)

PDA = ({q0, qf}, {a, b}, {a, b, S, Z}, , q0, Z, {qf})

(q0, a, ) = {(q0, a)}

(q0, b, ) = {(q0, b)}

(q0, , ) = {(q0, S), (q0, S`)} ※ S, S’ : center mark

(q0, a, S`) ={(q0, S)} (q0, b, S`) ={(q0, S)}

(q0, , aSa) = {(q0, S)}

(q0, , bSb) = {(q0, S)}

(q0, , SZ ) = {(qf, )}


Le(P) : stack을 empty로만드는 PDA에의해인식되는 string의집합.

즉, 입력심벌을모두보고스택이 empty일때만인식되는 string의집합.

∴ Le(P) = { ┃ (q0, , Z0) ┣ (q, , ), q ∈ Q} .

Le(P’) = L(P)인 P’의구성: (text p. 202)

P = (Q, , , , q0, Z0, F)

===> P’ = (Q∪{qe, q’}, , ∪{Z’}, ’, q’, Z’, ),

where ’ : 1) 모든 q ∈ Q, a ∈ ∪{}, Z ∈ 에대해,

’(q, a, Z) = (q, a, Z).

2) ’(q’, , Z’) = {(q0, Z0Z’)}. Z’ : bottom marker

3) 모든 q ∈ F, Z ∈ ∪{Z’}에대해, ’(q, , Z)에 (qe, )를포함.

4) 모든 Z ∈ ∪{Z’}에대해, ’(qe, , Z) = {(qe, )}


*

5.6 Context-free 언어와 PDA 언어

a language is accepted by a PDA if it is a context-free

language.

CFG <===> PDA

CFG ===> PDA (for a given context-free grammar,

we can construct a PDA accepting L(G).)

Top-Down Method

leftmost derivation, A

Bottom-Up Method

rightmost derivation, ==>A

PDA ===> CFG

Top-Down Method CFG G로부터 Le(R)=L(G)인 PDA R의구성 For a given G = (VN, VT, P, S),

construct R = ({q}, VT, VN∪ VT, , q, S, ),

where : 1) if A ∈ P, then (q,,A)에 (q,)를포함 .

2) a ∈ VT에대해, (q, a, a) = {(q, )}.

ex) G = ({E, T, F}, {a, , +, (, )}, P, E),

P : E E + T | T

T T F | F

F (E) | a

===> R = ({q}, , , , q, E, )

where : 1) (q, , E) = {(q, E + T), (q, T)} expand

2) (q, , T) = {(q, T F), (q, F)}

3) (q, , F) = {(q, (E)), (q, a)}

4) (q, t, t) = {(q, )}, t∈{a, +, , (, )} pop


스트링 a + a a의인식과정:

(q, a + a a, E) ┣ (q, a + a a, E + T)

┣ (q, a + a a, T + T)

┣ (q, a + a a, F + T)

┣ (q, a + a a, a + T)

┣ (q, + a a, + T)

┣ (q, a a, T)

┣ (q, a a, T F)

┣ (q, a a, F F)

┣ (q, a a, a F)

┣ (q, a, F)

┣ (q, a, F)

┣ (q, a, a)

┣ (q, , )

※ 스택 top은세번째구성요소의왼쪽.


R = ({q}, , , , q, E, )where : 1) (q, , E) = {(q, E + T), (q, T)}

2) (q, , T) = {(q, T F), (q, F)}3) (q, , F) = {(q, (E)), (q, a)} 4) (q, t, t) = {(q, )}, t∈{a, +, , (, )}.

ex) G = ({E, T, F}, {a, , +, (, )}, P, E),P : E E + T | T

T T F | FF (E) | a

Bottom-Up Method CFG ===> extended PDA(rightmost derivation)

R = ( {q, r}, VT, VN∪VT, , q, $, {r} )

(1) A→ ∈ P 이면, (q, , )에 (q, A)를추가

(2) 모든 a∈VT에대하여, (q, a, ) = { (q, a) }

(3) (q, , $S) = { (r, ) }


===> R = ({q, r}, VT, VN ∪ VT∪{$}, , q, $, {r})

: 1) (q, t, ) = {(q, t)}, t ∈{a, +, , (, )} shift

2) (q, , E + T) = {(q, E)}(q, , T) = {(q, E)}(q, , T * F) = {(q, T)}(q, , F) = {(q, T)}(q, , (E)) = {(q, F)}(q, , a) = {(q, F)} reduce

3) (q, , $E) = {(r, )}

ex) G = ({E, T, F}, {a, , +, (, )}, P, E),P : E E + T | T

T T F | FF (E) | a

스트링 a + a a의인식과정

(q, a + a a, $) (q, + a a, $ a)

┣ (q, + a a, $ F)

┣ (q, + a a, $ T)

┣ (q, + a a, $ E)

┣ (q, a a, $ E +)

┣ (q, a, $ E + a)

┣ (q, a, $ E + F)

┣ (q, a, $ E + T)

┣ (q, a, $ E + T )

┣ (q, , $ E + T a)

┣ (q, , $ E + T F)

┣ (q, , $ E + T)

┣ (q, , $ E)

┣ (r, , )

※스택 top은세번째구성요소의오른쪽.


R = ({q, r}, VT, VN ∪ VT∪{$}, , q, $, {r})

: 1) (q, t, ) = {(q, t)}, t ∈{a, +, , (, )} 2) (q, , E + T) = {(q, E)}(q, , T) = {(q, E)}(q, , T * F) = {(q, T)}(q, , F) = {(q, T)}(q, , (E)) = {(q, F)}(q, , a) = {(q, F)}

3) (q, , $E) = {(r, )}

ex) G = ({E, T, F}, {a, , +, (, )}, P, E),P : E E + T | T

T T F | FF (E) | a


PDA P로부터 L(G) = Le(P)인 CFG G의 구성

Given PDA P = (Q, , , , q0, Z0, F)

===> Construct CFG G = (VN, VT, P, S)

where

(1) VN = {[qZr] | q, r∈Q, Z∈}∪{S}.

(2) VT = .

(3) P : ① 모든 q ∈ Q에 대해 S [q0Z0q]를 P에 추가.

② (q, a, Z)가 (r, )를 포함하면 생성규칙

[qZr] a를 P에 추가.

③(q, a, Z)가 k 1 에 대해 (r, X1... XK)를 가지면

[qZsk] a[r X1s1][s1X2s2] ... [sk-1Xksk]를 P에 추가.

s1, s2, ..., sk∈ Q.

q0 ∈F 라면, S 을 P에 추가.

(4) S : start symbol.

PDA CFG

ex) P = ({q0, q1, q2}, {0, 1}, {Z, 0}, , q0, Z, {q0}),

where, (q0, 0, Z) = {(q1, 0Z)} (q1, 0, 0) = {(q1, 00)}

(q1, 1, 0) = {(q2, )} (q2, 1, 0) = {(q2, )}

(q2, , Z) = {(q0, )}

S [q0Zq0] S [q0Zq1] S [q0Zq2] S

[q10q2] 1 [q20q2] 1 [q2Zq0]

[q0Zs2] 0 [q10s1][s1Zs2] [q10s4] 0 [q10s3][s30s4]

VN= {S, q0Zq0, q0Zq1, q0Zq2, q10q2, q20q2, q2Zq0}

[q0Zs2] 0 [q10s1] [s1Zs2]

q0Zq0 q10q2 q2Zq0

step3 step1 step2

[q10s4] 0 [q10s3][s10s4]

q10q2 q10q2 q20q2

VN= {S, q0Zq0, q0Zq1, q0Zq2, q10q2, q20q2, q2Zq0,} 에서 (검정색은 useless)

S, A, B, C, D 로 rename

S A | , B 1, C 1, D , A 0BD , B 0BC

S A | , A 0B, B 0B1 | 1

S 0B | , B -> 0B1 | 1 (L(P)={0n1n | n >= 1)



결론

L은 CFG G에 의해 생성되는 언어 L(G)이다.

L은 PDA P에 의해 인식되는 언어 L(P)이다.

L은 PDA P에 의해 인식되는 언어 Le(P)이다.

L은 extended PDA에 의해 인식되는 언어 L(P)이다.

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