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1
Ⅰ.통계
유형편파워
유형편Ⅰ.통계
파워
1 대푯값과산포도
유형 1~2 P. 7
1 21개 2③ 3 8 4② 5 63.4점 6④
7 8.2년 8③
(평균)= = =21(개)
(평균)= = =20(개)
3개의수 a, b, c의평균이 7이므로
=7에서 a+b+c=21
∴(구하는평균)=
= = =8
4개의끈의길이를각각 acm, bcm, ccm, dcm라하면
=24 ∴ a+b+c+d=96
이때 4개의정삼각형의둘레의길이는각각3acm, 3bcm, 3c cm, 3dcm이다.
a+b+c+d4
4
21+195
a+b+c+195
6+(a+2)+(b-3)+(c+4)+105
a+b+c3
3
1407
12+15+16+17+22+28+3072
1266
14+23+17+26+25+2161
∴ (구하는평균)=
=
= = =72(cm)
(A반의수학성적의총합)=30_64.8=1944(점)(B반의수학성적의총합)=35_62.2=2177(점)∴(두반전체의수학성적의평균)
= = =63.4(점)
(남학생의영어성적의총합)=20_70.5=1410(점)
여학생의수를 x명이라하면
(여학생의영어성적의총합)=x_74=74x(점)
이반전체의영어성적의평균이 72점이므로
=72
1410+74x=1440+72x
2x=30 ∴ x=15
따라서여학생의수는 15명이다.
남자직원의수를 6a명, 여
자 직원의 수를 4a명이라
하면
(전체직원의평균근무연수)
=
= =8.2(년)
운복, 선화, 인선이의다트던지기점수를각각 a점, b점,
c점이라하면
=5, =8, =7에서
a+b=10, b+c=16, a+c=14
위의세식을변끼리모두더하면
2(a+b+c)=40 ∴ a+b+c=20
∴(세사람의점수의평균)=
= =6.66y(점)
따라서세사람의다트던지기점수의평균을소수점아래둘
째자리에서반올림하여구하면 6.7점이다.
203
a+b+c3
a+c2
b+c2
a+b2
8
82a10a
6a_9+4a_76a+4a
7
1410+74x20+x
6
412165
1944+217730+35
5
2884
3_964
3(a+b+c+d)4
3a+3b+3c+3d4
준비학습 P. 6
11 23분 2 12 3⑴ 5, 4, 1, 20 ⑵ 73.5점
(평균)= = =23(분)
평균이 51kg이므로
=51
55x+870=51x+918
4x=48 ∴ x=12
⑵(평균)=
= =73.5(점)147020
55_2+65_5+75_8+85_4+95_1203
35_4+45_9+55_x+65_54+9+x+5
2
46020
5_1+15_6+25_9+35_4201
남
여
평균근무연수(년)
9
7
인원(명)
6a
4a
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2
정답과해설_ 유형편파워
유형 3 ~ 4 P. 8~9
1중앙값: 9시간, 최빈값: 10시간
2 (평균)<(중앙값)=(최빈값)
3중앙값：6개, 최빈값：10개 4 2.5, 과정은풀이참조
5④ 6① 7④ 8 6 9③ 10③
11 20…a…25, 과정은풀이참조 12③
자료를작은값에서부터크기순으로나열하면
5, 5, 7, 8, 10, 10, 10, 12이므로
(중앙값)= =9(시간)
10시간의도수가 3으로가장크므로(최빈값)=10시간
(평균)=
= =13.2(회)
중앙값은자료를작은값에서부터크기순으로나열할때, 5번째와 6번째자료의값의평균이므로
(중앙값)= =14(회)
14회의도수가 2로가장크므로(최빈값)=14회∴(평균)<(중앙값)=(최빈값)
13번째도수가속하는계급의계급값이 6개이므로(중앙값)=6개도수가 10으로가장큰계급의계급값이 10개이므로(최빈값)=10개
중앙값은 15번째와 16번째도수가각각속하는계급의계급값의평균이므로
(중앙값)= =245(mm)
∴ a=245 y`⁄
도수가 9로가장큰계급의계급값이 247.5mm이므로(최빈값)=247.5mm∴ b=247.5 y`¤
∴ b-a=247.5-245=2.5 y`‹
242.5+247.52
4
3
14+142
13210
3+4+8+9+14+14+17+18+20+25102
8+102
1
⁄ a의값구하기
¤ b의값구하기
‹ b-a의값구하기
채점기준
40%
40%
20%
배점
x, y를제외한자료를작은값에서부터크기순으로나열하면
6, 9, 11, 13, 13, 13, 17
이때 x<y<12이면 5번째자료의값이 11이므로
(중앙값)=11
또 13의도수가 3으로가장크므로(최빈값)=13
총가구수가 20가구이므로중앙값은 10번째와 11번째도수가각각속하는계급의계급값의평균이다.
∴(중앙값)= =250(kWh)
= -5
=25, 44+x=75 ∴ x=31
총학생수가 10명이므로 x+4+y+1=10에서
x+y=5 y`㉠
평균이 18m이므로
=18에서
x+5y=17 y`㉡
㉠, ㉡을연립하여풀면 x=2, y=3
∴ xy=6
중앙값이 71점이므로자료를작은값에서부터크기순으로나열하면 65점, 70점, x점, 75점이다.
=71, 70+x=142 ∴ x=72
주어진자료에서 5, 6, 7의도수가 2로같으므로세값중하
나가최빈값이다.
⁄ x=5일때, (최빈값)=5, (중앙값)= =5.5
¤ x=6일때, (최빈값)=6, (중앙값)= =6
‹ x=7일때, (최빈값)=7, (중앙값)= =6
따라서중앙값과최빈값이같을때의 x의값은 6이다.
㈎ 5개의수를작은것부터크기순으로나열할때, 3번째수가20이어야하므로 aæ20 y`㉠ y`⁄
㈏ 6개의수를작은것부터크기순으로나열할때, 3번째와 4번째수의평균이 30이어야한다.
이때 =30이므로 a…25 y`㉡ y`¤
따라서㉠, ㉡에서 20…a…25 y`‹
25+352
11
6+62
6+62
5+62
10
70+x2
9
5_x+15_4+25_y+35_110
8
44+x3
21+23+x3
16+21+2337
250+2502
6
5
파워해설(01~10)3-2.ps 2015.3.24 10:37 PM 페이지2 MAC6
유형편파워
3
Ⅰ.통계
최빈값이 10이므로 a, b, c중적어도 2개는 10이다.
자료를작은값에서부터크기순으로나열할때, 4번째와 5번째
자료의값의평균이중앙값인 7이므로 a, b, c 중 10이아닌값과 8의평균이 7이다.
즉, a, b, c중 10이아닌값은 6이다.
∴ a+b+c=10+10+6=26
12
⁄ 조건㈎`를이용하여 a의값의범위구하기
¤ 조건㈏`를이용하여 a의값의범위구하기
‹ a의값의범위구하기
채점기준
40%
40%
20%
배점
까다로운유형 ~ 유형 7 P. 10~11
1 80.5kg 2 97점, 과정은풀이참조
3 153cm 4② 5최빈값, 26 mm
6⑴ A가게: 2000만원, B가게: 2000만원
⑵ A가게: 0원, B가게: 900만원 ⑶ B가게
7③, ⑤ 8④ 9① 10① 11②
12 19시간, 과정은풀이참조
(40명의몸무게의총합)=40_60=2400(kg)신입회원의몸무게를 xkg이라하면41명의몸무게의평균이 60.5kg이므로
=60.5, 2400+x=2480.5 ∴ x=80.5
따라서신입회원의몸무게는 80.5kg이다.
(5회에걸친국어성적의총합)=5_91=455(점) y`⁄
6회째의성적을 x점이라하면 6회까지의평균이91+1=92(점)이므로
=92 y`¤
455+x=552 ∴ x=97
따라서 6회째의국어성적은 97점이다. y`‹
전학을간두학생의키의합을 xcm라하면
=160.5, 4800-x=4494 ∴ x=306
따라서전학을간두학생의키의평균은 =153(cm)3062
30_160-x28
3
455+x6
2
2400+x41
1
⁄ 5회에걸친국어성적의총합구하기
¤ 6회까지의평균을이용하여식세우기
‹ 6회째의국어성적구하기
채점기준
30%
35%
35%
배점
② 200은다른자료의값과비교하여극단적인값이므로평균보다는중앙값이대푯값으로더적절하다.
공장에가장많이주문해야할전구의소켓크기는가장많이
팔린전구의소켓크기이므로최빈값이대푯값으로가장적
절하다.
26 mm의도수가 6으로가장크므로(최빈값)=26 mm
⑴ (A가게의평균)=
= =2000(만원)
(B가게의평균)=
= =2000(만원)
⑵ (A가게의중앙값)=2000만원따라서평균과중앙값의차는
2000-2000=0(원)(B가게의중앙값)=1100만원따라서평균과중앙값의차는 2000-1100=900(만원)
⑶ B 가게의경우 5800만원은다른자료의값과비교하여극단적인값이므로대푯값으로평균보다중앙값이더적
절하다.
③(편차)=(자료의값)-(평균)이므로평균보다작은변량의편차는음수이다.
⑤편차의합은 0이므로편차의평균도 0이되어편차의평
균으로는자료가흩어져있는정도를알수없다.
①자료의값이모두같은경우분산은 0이고표준편차도 0
이므로표준편차는음이아닌수이다.
②분산이커지면표준편차도커진다.
③산포도에는분산, 표준편차등이있다. 평균, 중앙값, 최빈
값은대푯값이다.
⑤자료가흩어져있는정도를하나의수로나타낸값은산포도
이다.
ㄹ. 표준편차는자료가흩어져있는정도를나타내므로평균
이서로달라도표준편차는같을수있다.
ㅁ. 각변량의편차만주어진경우분산과표준편차는구할수
있지만평균은구할수없다.
따라서옳은것은ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.
편차의합은 0이므로
x+y+(-1)+4+2=0
∴ x+y=-5
10
9
8
7
100005
1100+5800+1000+900+12005
100005
2200+2100+1800+1900+200056
5
4
파워해설(01~10)3-2.ps 2015.3.24 10:37 PM 페이지3 MAC6
4
정답과해설_ 유형편파워
현영이의수학성적을 x점이라하면
(편차)=(자료의값)-(평균)이므로-3=x-75 ∴ x=72
따라서현영이의수학성적은 72점이다.
학생 D의편차를 x시간이라하면
-5+7+2+x+(-3)=0
∴ x=-1 y`⁄
(자료의값)=(편차)+(평균)이므로(학생 D의봉사활동시간)=-1+20=19(시간) y`¤
12
11
⁄ 편차의 합이 0임을 이용하여 학생 D의 봉사 활동 시간의편차구하기
¤ 학생 D의봉사활동시간구하기
채점기준
50%
50%
배점
유형 8~10 P. 12~13
1⑴ ⑵ 점 2 '1å0회, 과정은풀이참조
3③ 4① 5① 6② 7 점
8① 9 80 10 5'3분 11④ 12 2'3å0점
13 84, 과정은풀이참조
8'55
2'1å05
85
⑴ (분산)= =
⑵ (표준편차)=Æ = (점)
학생 E의편차를 x회라하면
-3+0+4+3+x=0 ∴ x=-4 y`⁄
(분산)= = =10 y`¤
∴(표준편차)='1å0회 y`‹
평균이 9이므로
=9에서
x+31=45 ∴ x=14
∴ (분산)=
= =10505
(-2)¤ +2¤ +(-4)¤ +5¤ +(-1)¤5
7+11+5+x+85
3
505
(-3)¤ +0¤ +4¤ +3¤ +(-4)¤5
2
2'1å05
85
;5*;(-1)¤ +2¤ +(-1)¤ +(-1)¤ +1¤
51
⁄ 학생 E의편차구하기
¤ 분산구하기
‹ 표준편차구하기
채점기준
40%
40%
20%
배점
(평균)= = =4
(분산)=
=
=
= =14
∴(표준편차)='1å4
연속하는네짝수를 x, x+2, x+4, x+6이라하면
(평균)= =x+3
(분산)= = =5
∴(표준편차)='5
학생 5명의영어점수의총합은 5_70=350(점)이므로
(나머지학생 4명의평균)= =70(점)
또학생 5명의영어점수의분산이 12이므로(편차의제곱의합)=5_12=60이고제외한학생의편차는
0점이므로
(나머지학생 4명의분산)= =15
아영이의점수를 x점이라하면태호, 준호, 상호, 영희의점수
는각각 (x-7)점, (x+3)점, (x-5)점, (x-1)점이다.
(평균)=
=x-2(점)
(분산)= =
∴(표준편차)=Æ… = (점)
(평균)= = =13(˘C)
∴(분산)=
= =2.4
12초이상 14초미만인계급의계급값이 13초이고그편차가 -3초이므로
-3=13-(평균)에서 (평균)=16(초) ∴ d=16
b=17-16=1
9
7230
(-2)¤ _8+0¤ _15+2¤ _6+4¤ _130
39030
11_8+13_15+15_6+17_1308
8'55
645
645
(-5)¤ +5¤ +2¤ +(-3)¤ +1¤5
(x-7)+(x+3)+x+(x-5)+(x-1)5
7
60-04
350-704
6
204
(-3)¤ +(-1)¤ +1¤ +3¤4
x+(x+2)+(x+4)+(x+6)4
5
423
90-8_12+483
a¤ +b¤ +c¤ -8(a+b+c)+16_33
(a-4)¤ +(b-4)¤ +(c-4)¤3
123
a+b+c34
파워해설(01~10)3-2.ps 2015.3.24 10:37 PM 페이지4 MAC6
유형편파워
5
Ⅰ.통계
(분산)
=
= =120
∴(표준편차)='1ß20=2'3å0(점)
80분이상 90분미만인계급의도수를 x명이라하면
2+3+x+1=10 ∴ x=4 y`⁄
(평균)=
= =79(분) y`¤
∴(분산)=
= =84 y`‹84010
(-14)¤ _2+(-4)¤ _3+6¤ _4+16¤ _110
79010
65_2+75_3+85_4+95_110
13
240020
(-20)¤ _2+(-10)¤ _4+0¤ _8+10¤ _4+20¤ _220
(편차)_(도수)의총합이 0이므로
(-3)_4+(-1)_a+1_8+3_3=0 ∴ a=5
∴ c=4+5+8+3=20
(분산)=
= =3.8
∴ e=3.8
∴ a+b+c+d+10e=5+1+20+16+38
=80[참고] 도수분포표에서
•(편차)=(계급값)-(평균)•{(도수)_(편차)의총합}=0
30분이상 40분미만인계급의도수를 x명이라하면
(편차)_(도수)의총합이 0이므로(-15)_2+(-5)_9+5_6+15_x=0
15x=45 ∴ x=3
따라서도수의총합이 2+9+6+3=20(명)이므로
통학시간의분산은
= =75
∴(통학시간의표준편차)='7å5=5'3(분)
주어진히스토그램을이용하여계급값과도수를구하면다음
표와같으므로
(평균)=
= =7(개)
∴(분산)
=
= =
주어진히스토그램을이용하여계급값과도수를구하면다음
표와같으므로
(평균)=
= =75(점)150020
55_2+65_4+75_8+85_4+95_220
12
163
8015
(-4)¤ _1+(-2)¤ _5+0¤ _4+2¤ _3+4¤ _215
10515
3_1+5_5+7_4+9_3+11_215
11
150020
(-15)¤ _2+(-5)¤ _9+5¤ _6+15¤ _320
10
7620
(-3)¤ _4+(-1)¤ _5+1¤ _8+3¤ _320
유형 11~13 P. 14~15
1③ 2 a=5, b=3 3 63
4⑴ 5 ⑵ 3, 6, 4, 7 ⑶ 2.5
5평균: m+2, 분산: s¤ 6④ 7④
8 '2å6점 9 2.6 10③ 11우진 12③
(평균)= =5
표준편차가 '6이므로 =('6)¤ , a¤ =9
그런데 a>0이므로 a=3
평균이 4타이므로
=4에서 a+b=8 y`㉠
분산이 0.8이므로
=0.8
(a-4)¤ +(b-4)¤ =2 y`㉡
㉠에서 b=8-a이고이를㉡에대입하면
(a-4)¤ +(4-a)¤ =2, a¤ -8a+15=0
(a-3)(a-5)=0 ∴ a=3또는 a=5
그런데 a>b이므로 a=5, b=3
(-1)¤ +0¤ +(a-4)¤ +(b-4)¤ +1¤5
3+4+a+b+55
2
(-a)¤ +0¤ +a¤3
(5-a)+5+(5+a)31
계급값(개)
도수(명)
3
1
5
5
7
4
9
3
11
2
계급값(점)
도수(명)
55
2
65
4
75
8
85
4
95
2
⁄ 80분이상 90분미만인계급의도수구하기
¤ 평균구하기
‹ 분산구하기
채점기준
20%
40%
40%
배점
파워해설(01~10)3-2.ps 2015.3.24 10:37 PM 페이지5 MAC6
6
정답과해설_ 유형편파워
평균이 5이므로
=5
∴ a+b=10 y`㉠
표준편차가'3이므로
(분산)= =('3)¤
a¤ +b¤ -10(a+b)=-37 y`㉡
㉠을㉡에대입하면
a¤ +b¤ -10_10=-37
∴ a¤ +b¤ =63
⑴ 4개의수의총합은변함이없으므로실제평균은 5이다.
⑵잘못본 4개의수를 4, 5, a, b라하면
평균이 5이므로
=5에서
a+b=11 y`㉠
분산이 1.5이므로
=1.5
(a-5)¤ +(b-5)¤ =5 y`㉡
㉠에서 b=11-a이고이를㉡에대입하면
(a-5)¤ +(6-a)¤ =5
a¤ -11a+28=0, (a-4)(a-7)=0
∴ a=4또는 a=7
즉, a=4, b=7또는 a=7, b=4
따라서실제 4개의수는 3, 6, 4, 7이다.
⑶ (실제분산)=
= =2.5
=m에서
a+b+c+d=4m
=s¤
(구하는평균)=
=
=
=m+2
(구하는분산)
= =s¤(a-m)¤ +(b-m)¤ +(c-m)¤ +(d-m)¤
4
4m+84
(a+b+c+d)+84
(a+2)+(b+2)+(c+2)+(d+2)4
(a-m)¤ +(b-m)¤ +(c-m)¤ +(d-m)¤4
a+b+c+d45
104
(-2)¤ +1¤ +(-1)¤ +2¤4
(-1)¤ +0¤ +(a-5)¤ +(b-5)¤4
4+5+a+b4
4
(a-5)¤ +(-1)¤ +(b-5)¤ +0¤ +1¤5
a+4+b+5+65
3 평균이 4이므로
=4에서 a+b+c+d+e=20
분산이 6이므로
=6에서
(a-4)¤ +(b-4)¤ +(c-4)¤ +(d-4)¤ +(e-4)¤ =30
x=
=
= =11
y=
=
= =24
∴ x+y=11+24=35
[다른풀이]
평균이 4이므로 x=2_4+3=11분산이 6이므로 y=2¤ _6=24∴ x+y=11+24=35
x¡, x™, y, x«의 평균을 m이라 하면 2x¡+1, 2x™+1,
y, 2x«+1의평균은 2m+1이므로
(분산)= {(2x¡+1-2m-1)¤ +(2x™+1-2m-1)¤
+y+(2x«+1-2m-1)¤ }
=4_ {(x¡-m)¤ +(x™-m)¤ +y+(x«-m)¤ }
=4_3¤ =36
∴(표준편차)='3å6=6
A, B두반전체의평균도 A, B두반각각의평균과같으므로
(분산)=
= =26
∴(표준편차)='2å6(점)
이반학생전체의평균도남학생과여학생각각의평균과같
으므로
(분산)=
= =2.613050
30_3+20_230+20
9
104040
20_6¤ +20_4¤20+20
8
1n
1n
7
4_305
4{(a-4)¤ +(b-4)¤ +(c-4)¤ +(d-4)¤ +(e-4)¤ }5
(2a-8)¤ +(2b-8)¤ +(2c-8)¤ +(2d-8)¤ +(2e-8)¤5
2_20+155
2(a+b+c+d+e)+155
(2a+3)+(2b+3)+(2c+3)+(2d+3)+(2e+3)5
(a-4)¤ +(b-4)¤ +(c-4)¤ +(d-4)¤ +(e-4)¤5
a+b+c+d+e5
6
파워해설(01~10)3-2.ps 2015.3.24 10:37 PM 페이지6 MAC6
유형편파워
7
Ⅰ.통계
a, b의평균이 3이므로
=3에서 a+b=6
a, b의분산이 1이므로
=1에서
a¤ +b¤ =6(a+b)-16
=6_6-16
=20
c, d의평균이 5이므로
=5에서 c+d=10
c, d의분산이 4이므로
=4에서
c¤ +d¤ =10(c+d)-42
=10_10-42
=58
∴ a+b+c+d=6+10=16,
a¤ +b¤ +c¤ +d¤ =20+58=78
∴ (평균)= = =4
(분산)=
=
=
=
=3.5∴ (표준편차)='∂3.5
기준이의미술수행평가점수의분산을구하면
(평균)=
=
=15(점)
(분산)= =2
우진이의미술수행평가점수의분산을구하면
(평균)= =18(점)
(분산)= =1.2
따라서우진이의미술수행평가점수의분산이기준이보다
작으므로우진이의성적이더고르다.
0¤ +(-1)¤ +0¤ +(-1)¤ +2¤5
18+17+18+17+205
0¤ +1¤ +2¤ +(-1)¤ +(-2)¤5
755
15+16+17+14+135
11
144
78-8_16+644
a¤ +b¤ +c¤ +d¤ -8(a+b+c+d)+644
(a-4)¤ +(b-4)¤ +(c-4)¤ +(d-4)¤4
164
a+b+c+d4
(c-5)¤ +(d-5)¤2
c+d2
(a-3)¤ +(b-3)¤2
a+b2
10
1⑤ 2 41세 3③ 4 14, 과정은풀이참조
5 99점 6중앙값, 16.5시간 7①, ④ 8③ 9 10
10⑤ 11⑤ 12 9분 13 a=5, b=2
14 3.1 15④ 16 8 17 15 18 ②, ③ 19④
20학생 B, 과정은풀이참조 21⑤
22중앙값：179cm, 최빈값：179cm 23 123
24성실회원 25 B회사
P. 16~19중단원마무리
(평균)=
= =35.3(개)
중앙값은자료를작은값에서부터크기순으로나열할때, 5번째와 6번째자료의값의평균이므로
(중앙값)= =33(개)
31개의도수가 3으로가장크므로(최빈값)=31개따라서 A=35.3, B=33, C=31이므로
C<B<A
31+352
35310
35+26+31+31+36+44+30+31+37+52101
(A반의평균)
= =3(점)
(A반의분산)
=
= =
(B반의평균)
= =3(점)
(B반의분산)
=
= =
ㄱ. A, B두반의평균은 3점으로서로같다.ㄴ. 편차의합은항상 0이므로A, B두반의편차의합은서로같다.
ㄷ. B반의분산이 A반보다작으므로 B반의점수가A반보다더고르다.
따라서옳은것은ㄱ, ㄴ이다.
2215
4430
(-2)¤ _4+(-1)¤ _6+0¤ _10+1¤ _6+2¤ _430
1_4+2_6+3_10+4_6+5_430
2615
5230
(-2)¤ _5+(-1)¤ _6+0¤ _8+1¤ _6+2¤ _530
1_5+2_6+3_8+4_6+5_530
12
파워해설(01~10)3-2.ps 2015.3.24 10:37 PM 페이지7 MAC6
8
정답과해설_ 유형편파워
자료를작은값에서부터크기순으로나열할때, 14번째자료
의값이중앙값이므로
(중앙값)=22세
19세의도수가 5로가장크므로
(최빈값)=19세
∴(중앙값)+(최빈값)=22+19=41(세)
ㄱ. 도수가 6으로가장큰계급의계급값이 55L이므로(최빈값)=55L
ㄴ. 중앙값은 10번째와 11번째도수가각각속하는계급의계급값의평균이므로
(중앙값)= =45(L)
ㄷ. (평균)=
= =41(L)
따라서옳은것은ㄱ, ㄷ이다.
평균이 8시간이므로
=8
∴ x=6 y`⁄
또자료를작은값에서부터크기순으로나열할때, 4번째자료의값이중앙값이므로
(중앙값)=8시간∴ y=8 y`¤
∴ x+y=6+8=14 y`‹
(세번의수학시험점수의총합)=87_3=261(점)
다음번수학시험점수를 x점이라하면전체수학시험점수의
평균이 90점이되어야하므로
=90
261+x=360 ∴ x=99
따라서다음번수학시험에서 99점을받아야한다.
53시간은다른자료의값과비교하여극단적인값이므로평균은자료의중심경향을잘나타내어주지못한다.
또최빈값 11시간은가장작은자료의값이므로자료의중심경향을잘나타내어주지못한다.
따라서자료의중심경향을잘나타내어주는것은중앙값이
다.
6
261+x4
5
8+8+7+x+8+7+127
4
82020
15_1+25_3+35_5+45_5+55_620
45+452
3
2
⁄ x의값구하기
¤ y의값구하기
‹ x+y의값구하기
채점기준
40%
40%
20%
배점
중앙값은자료를작은값에서부터크기순으로나열할때, 4번째와 5번째자료의값의평균이므로
(중앙값)= =16.5(시간)
①편차의합은항상 0이다.
④자료의개수가짝수인경우중앙값은자료에없는값일수
도있다.
또각자료의값의도수가모두같으면최빈값은없다.
(평균)=
= =18(분)
편차를각각구하면 -3분, 6분, -8분, 2분, 3분이므로
편차가될수없는것은③ -2분이다.
편차의합은 0이므로
(a-30)+(a+20)+a+(a-30)+(a-10)=0
5a-50=0
∴ a=10
학생 B의편차는 a+20=10+20=30(타/분)이므로30=(학생 B의자판입력속도)-300∴(학생 B의자판입력속도)=330(타/분)
(분산)=
= =360
∴(표준편차)='ß360=6'1å0(타/분)
(평균)=
= =42(분)
(분산)=
= =81
∴(표준편차)='8å1=9(분)
24+a+3+b=34에서
a+b=7 y`㉠
평균이 2회이므로
13
81010
(-17)¤ _1+(-7)¤ _3+3¤ _4+13¤ _210
42010
25_1+35_3+45_4+55_21012
18005
(-20)¤ +30¤ +10¤ +(-20)¤ +0¤511
10
9
905
15+24+10+20+2158
7
16+172
파워해설(01~10)3-2.ps 2015.3.24 10:37 PM 페이지8 MAC6
유형편파워
9
Ⅰ.통계
=2에서
3a+7b=29 y`㉡
따라서㉠, ㉡을연립하여풀면 a=5, b=2
(분산)=
= =3.11___
따라서이자료의분산을소수점아래둘째자리에서반올림
하여구하면 3.1이다.
평균이 4이므로
=4에서
a+b=11
분산이 3.6이므로
=3.6에서
(a-4)¤ +(b-4)¤ =7
a¤ +b¤ -8(a+b)+32=7
∴ a¤ +b¤ =8_11-32+7=63
편차의합은 0이므로-5+x+y+0+(-1)=0
∴ x+y=6 y`㉠
표준편차가 'ß9.2점이므로
=('ß9.2)¤에서
x¤ +y¤ =20 y`㉡
이때 x¤ +y¤ =(x+y)¤ -2xy이고
이식에㉠, ㉡을각각대입하면
20=6¤ -2xy ∴ xy=8
평균이 3이므로
=3에서
a+b+c=9
표준편차가 '5이므로
=('5)¤에서
(a-3)¤ +(b-3)¤ +(c-3)¤ =15
a¤ +b¤ +c¤ -6(a+b+c)+9_3=15
a¤ +b¤ +c¤ =6_9-27+15=42
∴ f(x)=(x-a)¤ +(x-b)¤ +(x-c)¤
=3x¤ -2(a+b+c)x+a¤ +b¤ +c¤
=3x¤ -18x+42
=3(x-3)¤ +15
따라서 f(x)는 x=3에서최솟값이 15이다.
(a-3)¤ +(b-3)¤ +(c-3)¤3
a+b+c3
17
(-5)¤ +x¤ +y¤ +0¤ +(-1)¤5
16
(a-4)¤ +(b-4)¤ +(-3)¤ +(-1)¤ +1¤5
a+b+1+3+55
15
10634
(-1)¤ _24+1¤ _5+3¤ _3+5¤ _23414
1_24+3_a+5_3+7_b34
학생 4명의점수를각각 a점, b점, c점, d점이라하고
평균을 m점, 표준편차를 s점이라하면
=m에서
a+b+c+d=4m
=s¤
2점씩감점된점수는각각 (a-2)점, (b-2)점, (c-2)점,
(d-2)점이므로
(감점된후의평균)
=
=
=
=m-2(점)
(감점된후의분산)
=
=s¤
∴(감점된후표준편차)="≈s¤ =s
따라서학생 4명의점수를각각 2점씩감점하면평균은 2점내려가고표준편차는변함없다.
{남학생의(편차)¤ 의합}=25_2¤ =100
여학생의수학성적의표준편차를 x점이라하면
{여학생의(편차)¤ 의합}=15_x¤ =15x¤
(전체학생의분산)= =4¤
100+15x¤ =640
15x¤ =540
x¤ =36
그런데 x>0이므로
x=6
따라서여학생의수학성적의표준편차는 6점이다.
(학생 A의평균)
=
=
=6.5(시간)
(학생 A의분산)
=
= y`⁄14.57
1.5¤ +(-2)¤ +2¤ +(-1)¤ +0¤ +1¤ +(-1.5)¤7
45.57
8+4.5+8.5+5.5+6.5+7.5+57
20
100+15x¤25+15
19
(a-m)¤ +(b-m)¤ +(c-m)¤ +(d-m)¤4
4m-84
(a+b+c+d)-84
(a-2)+(b-2)+(c-2)+(d-2)4
(a-m)¤ +(b-m)¤ +(c-m)¤ +(d-m)¤4
a+b+c+d4
18
파워해설(01~10)3-2.ps 2015.3.24 10:37 PM 페이지9 MAC6
10
정답과해설_ 유형편파워
(학생 B의평균)
= =6.5(시간)
(학생 B의분산)
=
= y`¤
따라서학생 B의학습시간의분산이학생 A보다작으므로학생 B의학습시간이학생 A보다더고르다고할수있다.
y`‹
(A의평균)= =8(점),
(B의평균)= =8(점),
(C의평균)= =8(점)
이므로 A, B, C세사람의평균은모두 8점으로같다.
평균 8점에서자료가흩어져있는정도는 C<B<A이므로표준편차가작은사람부터차례로나열하면 C, B, A이다.
전학을가기전농구동아리학생들의키의총합은
181_5=905(cm)
새로운학생이들어온후농구동아리학생들의키의총합은
182_5=910(cm)
이때전학을간학생의키가 174cm이므로 새로운학생의
키는
174+(910-905)=179(cm)
따라서새로운학생의키는원래농구동아리학생들의키의
중앙값, 최빈값과같으므로새로운학생이들어온후농구동
아리학생들의키의중앙값과최빈값은모두 179cm이다.
평균이 5이므로
=5에서
x+y+z=15 y`㉠
표준편차가 3이므로
=3¤
(x-5)¤ +(y-5)¤ +(z-5)¤ =27
x¤ +y¤ +z¤ -10(x+y+z)+25_3=27
이식에㉠을대입하여정리하면
x¤ +y¤ +z¤ =10_15-75+27=102
4(x-5)¤ +4(y-5)¤ +4(z-5)¤12
4x+4y+4z12
23
22
7+8+8+8+95
7+7+8+9+95
6+7+8+9+10521
;7#;
(-1)¤ +(-0.5)¤ +0¤ +0.5¤ +0.5¤ +(-0.5)¤ +1¤7
5.5+6+6.5+7+7+6+7.57
∴(직육면체의겉넓이)=2xy+2yz+2zx
=(x+y+z)¤ -(x¤ +y¤ +z¤ )
=15¤ -102
=123
A, B 두동호회에서회원들이남긴댓글수의평균은 67개로같으므로통합동호회에서댓글수의평균은 67개이다.A, B두동호회에서회원들이남긴댓글수의표준편차는각각 3'2개, '1å3개이므로통합동호회에서댓글수의분산은
=
= =16
즉, 통합동호회에서댓글수의표
준편차는'1å6=4(개)이다.따라서통합동호회의회원등급
은오른쪽표와같으므로이전동
호회에서남긴댓글수가 69개인회원은통합동호회에서성실회
원이다.
(A회사의수익률의평균)=
= =25(%)
(A회사의수익률의분산)=
=
(B회사의수익률의평균)=
= =25(%)
(B회사의수익률의분산)
= =
(C회사의수익률의평균)=
= =25(%)
(C회사의수익률의분산)=
=
이때 B회사의수익률의분산이가장작으므로수익률이가장안정적인회사는 B회사이다. 따라서 B회사에투자하는것이좋다.
545
(-6)¤ +(-1)¤ +2¤ +3¤ +2¤5
1255
19+24+27+28+275
465
(-2)¤ +(-1)¤ +6¤ +(-1)¤ +(-2)¤5
1255
23+24+31+24+235
585
(-5)¤ +5¤ +(-2)¤ +2¤ +0¤5
1255
20+30+23+27+25525
4800300
3240+1560300
180_(3'2)¤ +120_('1å3)¤180+120
24
⁄ 학생 A의분산구하기
¤ 학생 B의분산구하기
‹ 학습시간이더고른학생구하기
채점기준
35%
35%
30%
배점
등급
최우수회원
우수회원
성실회원
일반회원
신입회원
댓글수(개)
75이상
71이상~75미만
63이상~71미만
59이상~63미만
59미만
파워해설(01~10)3-2.ps 2015.3.24 10:37 PM 페이지10 MAC6
11
Ⅱ.피타고라스정리
유형편파워
유형편Ⅱ.피타고라스정리
파워
1 피타고라스정리
유형 1~2 P. 22~23
1⑴ 10 ⑵ 15 ⑶ 3'5 ⑷ 7 2④ 3③
4③ 5③ 6 m 7⑴ 17 ⑵ 25
8 8cm¤ , 과정은풀이참조 9③ 10 '5å3
11 3'6 cm 12② 139'52
9120
⑴ x="√8¤ +6¤ =10
⑵ x="√17¤ -8¤ =15
⑶ x="√9¤ -6¤ =3'5
⑷ x="√9¤ -(4'2)¤ =7
주어진조건을만족하는직각삼각형 ABC는오른쪽그림과같으므로
AC”="√11¤ -7¤ =6'2 (cm)
x¤ +8¤ =(x+4)¤ , 8x=48
∴ x=6
BC”="√8¤ +4¤ =4'5 (cm)점 M은직각삼각형 ABC의외심이므로A’M”=B’M”=C’M”
∴ A’M”= BC”= _4'5=2'5 (cm)
AB”=BC”='6å4=8(cm)CF”='4å9=7(cm)따라서△ABF에서
AF”="√(8+7)¤ +8¤ =17(cm)
오른쪽그림과같이지면에서대나무가
부러진 부분까지의 높이를 xm라 하면 부러진 부분에서 대나무의 끝까지
의길이는 (10-x)m이므로3¤ +x¤ =(10-x)¤
20x=91 ∴ x= (m)
⑴ △ABD에서 x="√√20¤ -16¤ =12
△ADC에서 y="√13¤ -x¤ ="√13¤ -12¤ =5
∴ x+y=12+5=17
7
;2(0!;
3m
(10-x)mxm
6
5
12
12
4
3
11cm
7cm
A
B C
2
1
⑵ △ADC에서 x="√10¤ -6¤ =8
△ABC에서 y="√(9+6)¤ +x¤ ="√15¤ +8¤ =17
∴ x+y=8+17=25
△ABD에서 AD”="√5¤ -3¤ =4(cm)이므로 y`⁄
△ADC에서 CD”="√(4'2)¤ -4¤ =4(cm) y`¤
∴ △ADC= _CD”_AD”
= _4_4=8(cm¤ ) y`‹
△ADC에서 AD”="√3¤ +4¤ =5(cm)
∴ BD”=AD”=5cm따라서△ABC에서
AB”="√(5+3)¤ +4¤ =4'5 (cm)
△AMC에서 AC”="√(4'2)¤ -('7)¤ =5BC”=2CM”=2'7따라서△ABC에서
AB”="√(2'7)¤ +5¤ ='5å3
△ABC에서 AB”=BC”=xcm라하면x¤+x¤ =6¤ , x¤ =18
그런데 x>0이므로 x=3'2 (cm)∴ CD”=AB”=3'2 cm따라서 △ACD에서
AD”="√6¤ +(3'2)¤ =3'6 (cm)
CD”=x라하면 △ADC에서 AC”="√4¤ -x¤
따라서 △ABC에서 (2+x)¤ +("√4¤ -x¤ )¤ =5¤
4x=5 ∴ x=
△ABC에서 BC”="√15¤ -9¤ =12AD”가∠A의이등분선이므로삼각형의내각의이등분선의성질에의해
AB”：AC”=BD”：CD”즉, BD”：CD”=15：9=5：3이므로
CD”=12_ =
따라서 △ADC에서 AD”=æ≠{ } 2+9¤ =9'52
92
92
35+3
13
54
12
11
10
9
12
12
8
⁄ AD”의길이구하기
¤ CD”의길이구하기
‹ △ADC의넓이구하기
채점기준
40%
40%
20%
배점
파워해설(11~30)3-2.ps 2015.3.24 10:37 PM 페이지11 MAC6
12
정답과해설_ 유형편파워
⑴ AC”="√1¤ +1¤ ='2AD”="√('2)¤ +1¤ ='3AE”="√('3)¤ +1¤ ='4=2AF”="√2 ¤ +1¤ ='5∴ x=AG”="√('5)¤ +1¤ ='6
⑵ AC”="√2¤ +2¤ ='8=2'2AD”="√(2'2)¤ +2¤ ='1å2=2'3AE”="√(2'3)¤ +2¤ ='1å6=4∴ x=AF”="√4¤ +2¤ ='2å0=2'5
AC”="√2¤ +1¤ ='5, AD”="√('5)¤ +1¤ ='6
AE”="√('6)¤ +1¤ ='7, AF”="√('7)¤ +1¤ ='8=2'2
∴ AG”="√(2'2)¤ +1¤ ='9=3
AB”=xcm라하면AC”="√x¤ +x¤ ='2x(cm)
AD”="√('2x)¤ +x¤ ='3x(cm)AE”="√('3x)¤ +x¤ =2x(cm)AF”="√(2x)¤ +x¤ ='5x(cm)즉, '5x=6'1å5이므로
x= =6'3(cm)
AA™”=AB¡”="√1¤ +1¤ ='2AA£”=AB™”="√('2)¤ +1¤ ='3AA¢”=AB£”="√('3)¤ +1¤ ='4=2∴ AA∞”=AB¢”="√2¤ +1¤ ='5
OB”=OQ”="√2¤ +2¤ ='8=2'2OC”=OR”="√(2'2)¤ +2¤ ='1å2=2'3OD”=OS”="√(2'3)¤ +2¤ ='1å6=4∴ CD”=OD”-OC”=4-2'3
O’A'”=xcm라하면OB”=O’B'”="√x¤ +x¤ ='2x(cm)OC”=O’C'”="√('2x)¤ +x¤ ='3x(cm)즉, '3x=6'3이므로 x=6(cm)
BD”를그으면△ABD에서 BD”="√6¤ +8¤ =10 y`⁄
△BCD에서 BC”="√10¤ -4¤ =2'2å1 y`¤
7
6
5
4
6'1å5'5
3
2
1
∴ □ABCD=△ABD+△BCD
= _6_8+ _2'2å1_4
=24+4'2å1 y`‹
오른쪽그림과같이꼭짓점 D에서BC”에내린수선의발을 H라하면△DHC에서
HC”="√5¤ -4¤ =3∴ BC”=BH”+HC”=2+3=5
오른쪽그림과같이꼭짓점 A에서CD”에내린수선의발을 H라하면D’H”=60-40=20(cm)따라서△AHD에서AD”="√50¤ +20¤ =10'2å9(cm)
오른쪽그림과같이두꼭짓점
A, D에서 BC”에내린수선의발을각각 H, H'이라하면
BH”=C’H'”= _(14-8)
=3(cm)
△ABH에서 AH”="√6¤ -3¤ =3'3 (cm)
∴ □ABCD= _(8+14)_3'3=33'3 (cm¤ )
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서BC”에내린수선의발을 H라하면BH”=20-15=5△ABH에서 AH”="√13¤ -5¤ =12∴ DC”=AH”=12따라서△DBC에서BD”="√20¤ +12¤ =4'3å4
오른쪽그림과같이두꼭짓점 A,D에서 BC”에내린수선의발을각각 H, H'이라하면
BH”=CH'”= _(7-3)=2
△DH'C에서 DH'”="√4¤ -2¤ =2'3따라서 △DBH'에서
BD”="√5¤ +(2'3)¤ ='3å7
12
A
B CH H'
3
3
4
D
2 2
12
15
155
13
A D
B CH
11
12
12
8cm
8cm
6cm
3cm3cm H H'
A D
B C
10
D
A H
B C50cm
40cm60cm
9
2
2
4 5
A
B HC
D
4
8
12
12
⁄ BD”의길이구하기
¤ BC”의길이구하기
‹ □ABCD의넓이구하기
채점기준
35%
35%
30%
배점
유형 3~4 P. 24~25
1⑴ '6 ⑵ 2'5 2④ 3 6'3cm 4 '5
5 4-2'3 6 6cm
7 24+4'2å1, 과정은풀이참조 8① 9 10'2å9cm
10 33'3 cm¤ 11 4'3å4 12① 13③
파워해설(11~30)3-2.ps 2015.3.24 10:37 PM 페이지12 MAC6
유형편파워
13
Ⅱ.피타고라스정리
유형 5~7 P. 26~28
1⑤ 2 169cm¤ 3②
4 (12+6'3)cm¤ , 과정은풀이참조 5 2'2å6 6②
7⑤ 8 4cm¤ 9④ 10③
11⑴ 144cm¤ ⑵ 30cm¤ 12 9cm¤ , 25 cm¤
13 8cm¤ 14 72cm¤ , 과정은풀이참조 15 cm325
④, ⑤ □ABCD=4△AEH+□EFGH이므로
(a+b)¤ =4_ ab+c¤ ∴ a¤ +b¤ =c¤
□EFGH는정사각형이고△AEH에서 EH”="√5¤ +12¤ =13(cm)∴ □EFGH=13¤ =169(cm¤ )
□ABCD는정사각형이고△AFB에서 AB”="√x¤ +y ¤ ='1å6=4∴ (□ABCD의둘레의길이)=4AB”=4_4=16
□EFGH는정사각형이므로EH”='1å2=2'3 (cm) y`⁄
△AEH에서 AE”="√(2'3)¤ -3¤ ='3 (cm) y`¤
따라서정사각형 ABCD의한변의길이는 (3+'3)cm이므로 □ABCD=(3+'3)¤ =12+6'3 (cm¤ ) y`‹
□EFGH는정사각형이고AH”=10-6=4이므로
△AEH에서 EH”="√6¤ +4¤ =2'1å3
따라서△HEG에서 EG”="√(2'1å3)¤ +(2'1å3)¤ =2'2å6
[다른풀이]
점 E에서 CD”에내린수선의발을 P라하면
EP”=10, PG”=6-4=2
따라서△EPG에서 EG”="√10¤ +2¤ =2'2å6
5
4
3
2
12
1
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 D에서BC”에내린수선의발을 H라하면△ABC에서AB”="√('9å1)¤ -8¤ =3'3(cm)∴ D’H”=AB”=3'3cm
△DHC에서 HC”="√6¤ -(3'3)¤ =3(cm)∴ AD”=BH”=BC”-HC”=8-3=5(cm)
A
B C
D
H8cm
6cm91cm
13 □ABCD는정사각형이므로 AB”='6å4=8(cm)□EFGH는정사각형이므로 EF”='3å4cmBF”=xcm라하면 BE”=(8-x)cm이므로△EBF에서 x¤ +(8-x)¤ =('3å4)¤
x¤ -8x+15=0, (x-3)(x-5)=0
∴ x=3또는 x=5
이때 BE”>BF”이므로 x=BF”=3(cm)
① EF”=FG”=GH”=HE”이고네내각의크기는모두 90˘이므로 □EFGH는정사각형이다.
② △ABE에서 BE”="√4¤ -3¤ ='7③ AH”=BE”='7, DH”=AE”=3이므로
△AHD= _'7_3=
④, ⑤ EF”=BF”-BE”=3-'7이므로□EFGH=EF” ¤ =(3-'7)¤ =16-6'7
□ABCD= AB” ¤ = _4¤ =2
∴□EFGH+ □ABCD
따라서옳지않은것은⑤이다.
D’H”=AE”=6cm이므로 A’H”="√10¤ -6¤ =8(cm)∴ EH”=8-6=2(cm)그런데 □EFGH는정사각형이므로□EFGH=2¤ =4(cm¤ )
□ABCD는정사각형이므로 AB”='∂169=13(cm)△ABH에서 BH”="√13¤ -5¤ =12(cm)이때 BE”=AH”=5cm이므로 E’H”=12-5=7(cm)□EFGH는정사각형이므로(□EFGH의둘레의길이)=4EH”=4_7=28(cm)
① △ABF™△EBC (̀SAS합동)② □BFML=□ADEB이고
△BFL= □BFML,△EBA= □ADEB이므로
△BFL=△EBA
⑴ (정사각형 P의넓이)=169-25=144(cm¤ )⑵ AC”='2å5=5 (cm),
AB”='ß144=12(cm)이므로
△ABC= _12_5=30(cm¤ )
AB”='1å6=4(cm)이므로
△ABC= _4_AC”=6 ∴ AC”=3(cm)
∴ (정사각형 Q의넓이)=3¤ =9(cm¤ ),(정사각형 R의넓이)=16+9=25(cm¤ )
12
12
12
11
12
12
10
9
8
18
18
18
18
3'72
12
7
6
⁄ EH”의길이구하기
¤ AE”의길이구하기
‹ □ABCD의넓이구하기
채점기준
35%
35%
30%
배점
파워해설(11~30)3-2.ps 2015.3.24 10:37 PM 페이지13 MAC6
14
정답과해설_ 유형편파워
유형 8~10 P. 28~29
1㈎ (a+b)¤ ㈏ c¤ 2④ 3 50cm¤
4③, ④ 5 15 6 12 7 3, '4å1 8③ 9②
10④
12
12
㈎ □ABDE는사다리꼴이므로
□ABDE= (a+b)(a+b)= (a+b)¤
㈏ △ACE는직각이등변삼각형이므로 △ACE= c¤
△ABC™△CDE이므로BC”=DE”=3cm, CD”=AB”=5cm△ABC에서 AC”="√3¤ +5¤ ='3å4(cm)따라서 CE”=AC”='3å4 cm, ∠ACE=90˘이므로
△ACE= _'3å4_'3å4=17(cm¤ )
△ABC™△CDE에서 AC”=CE”, ∠ACE=90˘이므로△ACE는직각이등변삼각형이다.
△ACE= AC”¤ =26이므로 AC”¤ =52 12
3
12
2
12
12
12
1
△ABC에서 AB”="√5¤ -3¤ =4(cm)이므로□ADEB=4¤ =16(cm¤ )
∴ △ABF=△EBC=△EBA= □ADEB
= _16=8(cm¤ )
△ABC에서 AB”="√13¤ -5¤ =12(cm)이므로 y`⁄
□BDGF=AB”¤ =12¤ =144(cm¤ ) y`¤
∴△FDG= □BDGF
= _144=72(cm¤ ) y`‹
BC”=BF”=10cm이므로△ABC에서 AB”="√10¤ -6¤ =8(cm)이때 □BFML=□ADEB=8¤ =64(cm¤ )이므로
10_BL”=64 ∴ BL”= (cm)325
15
12
12
14
12
12
13 그런데 AC”>0이므로 AC”='5å2=2'1å3(cm)△ABC에서 BC”="√(2'1å3)¤ -4¤ =6(cm)
∴□ABDE= _(4+6)_(6+4)=50(cm¤ )
③ 2¤ +3¤ +4¤
④ ('3)¤ +('7)¤ +('1å5)¤
x+2가가장긴변의길이이므로
15¤ +(x-7)¤ =(x+2)¤
18x=270 ∴ x=15
x+3이가장긴변의길이이므로
(x-3)¤ +x¤ =(x+3)¤
x¤ -12x=0, x(x-12)=0
그런데 x-3>0에서 x>3이므로 x=12
⁄ x가가장긴변의길이일때,
x¤ =4¤ +5¤ =41
그런데 x>0이므로 x='4å1
¤ 5가가장긴변의길이일때,
x¤ +4¤ =5¤ , x¤ =9
그런데 x>0이므로 x=3
따라서 ⁄, ¤에서 x의값은 3, '4å1
① 5¤ =3¤ +4¤ (직각삼각형) ② 13¤ =5¤ +12¤ (직각삼각형)③ 9¤ <6¤ +7¤ (예각삼각형) ④ 14¤ >7¤ +8¤ (둔각삼각형)
⑤ 20¤ =12¤ +16¤ (직각삼각형)
ㄴ. ('3å7)¤ >4¤ +(2'5)¤ㄹ. 16¤ >9¤ +11¤따라서둔각삼각형은ㄴ, ㄹ의 2개이다.
7¤ >3¤ +5¤이므로△ABC는오른쪽그림과같이∠B>90˘인둔각삼각형이다.
A
B 5cm
7cm3cm
C
10
9
8
7
6
5
4
12
유형 11 ~̀ 틀리기쉬운유형 P. 30~31
1⑴ 4<a<5 ⑵ 2<a<4
2 5<x<'2å9, 과정은풀이참조
3 4<a<4'3또는 4'5<a<12 4
5 14 6 '7å0 7 8'3 cm¤ 8⑤
9 10 11② 12 63, 과정은풀이참조
13 125
125
6013
2'33
⁄ AB”의길이구하기
¤ □BDGF의넓이구하기
‹ △FDG의넓이구하기
채점기준
35%
35%
30%
배점
파워해설(11~30)3-2.ps 2015.3.24 10:37 PM 페이지14 MAC6
삼각형의세변의길이사이의관계에서
5-3<a<3+5 ∴ 2<a<8
이때 0<a<5이므로 2<a<5 y`㉠
⑴ 예각삼각형이되려면
5¤ <3¤ +a¤ , a¤ >16
이때 a>0이므로 a>4 y`㉡
따라서㉠, ㉡에서 4<a<5
⑵ 둔각삼각형이되려면
5¤ >3¤ +a¤ , a¤ <16
이때 a>0이므로 0<a<4 y`㉢
따라서㉠, ㉢에서 2<a<4
삼각형의세변의길이사이의관계에서
5-2<x<2+5 ∴ 3<x<7
이때 x>5이므로 5<x<7 y`㉠ y`⁄
∠C<90˘이므로예각삼각형이되려면x¤ <5¤ +2¤ , x¤ <29
이때 x>0이므로 0<x<'2å9 y`㉡ y`¤
따라서㉠, ㉡에서 5<x<'2å9 y`‹
삼각형의세변의길이사이의관계에서
8-4<a<8+4 ∴ 4<a<12 y`㉠
⁄ a가가장긴변의길이일때, 즉 a>8일때,
둔각삼각형이되려면
a¤ >4¤ +8¤ , a¤ >80
이때 a>0이므로 a>4'5 y`㉡
즉, ㉠, ㉡에서 4'5<a<12
¤ 8이가장긴변의길이일때, 즉 a<8일때,
둔각삼각형이되려면
8¤ >4¤ +a¤ , a¤ <48
이때 a>0이므로 0<a<4'3 y`㉢
즉, ㉠, ㉢에서 4<a<4'3
따라서 ⁄, ¤에서 4<a<4'3또는 4'5<a<12
BC”¤ =BH”_AB”이므로 4¤ =2'3_(2'3+A’H”)
2'3A’H”=4 ∴ A’H”=
△ABC에서 BC”="√6¤ +8¤ =10이고
AB”¤ =BH”_BC”이므로 6¤ =x_10 ∴ x=
AC”¤ =CH”_BC”이므로 8¤ =y_10 ∴ y= 325
185
5
2'33
4
3
2
1
유형편파워
15
Ⅱ.피타고라스정리
∴ 5(y-x)=5_{ - }=5_ =14
AH”¤ =BH”_CH”이므로 (3'5)¤ =9_CH” ∴ CH”=5따라서 △AHC에서AC”="√5¤ +(3'5)¤ ='7å0
△AHC에서 AH”="√4¤ -2¤ =2'3 (cm)AC”¤ =CH”_BC”이므로 4¤ =2_BC”∴ BC”=8(cm)
∴ △ABC= _8_2'3=8'3 (cm¤ )
△ABC에서 AH”¤ =BH”_CH”이므로A’H” ¤ =8_2=16그런데 A’H”>0이므로 A’H”=4(cm)점 M은직각삼각형 ABC의외심이므로
A’M”=B’M”=C’M”= BC”
= _(8+2)=5(cm)
△AMH에서 AH”¤ =AQ”_A’M”이므로
4¤ =AQ”_5 ∴ AQ”= =3.2 (cm)
△ABC에서 BC”="√12¤ +5¤ =13이고AB”_AC”=BC”_A’H”이므로
12_5=13_AH” ∴ AH”=
오른쪽 그림과 같이 원점 O에서 직선
y= x+4에내린수선의발을 H라
하자.
이때직선의 x절편은 -3, y절편은 4
이므로
△ABO에서 AB”="√3¤ +4¤ =5OA”_OB”=AB”_OH”이므로
4_3=5_OH” ∴ OH”=
BE” ¤+CD” ¤=DE” ¤+BC” ¤이므로6¤ +8¤ =DE” ¤ +9¤ , DE” ¤ =19
그런데 DE”>0이므로 DE”='1å9(cm)
△ABC에서 AC”="√9¤ +12¤ =15 y`⁄
AE” ¤+CD” ¤=DE” ¤+AC” ¤이므로(9'2)¤ +CD”¤ =DE”¤ +15¤∴ CD”¤ -DE”¤ =225-162=63 y`¤
12
11
125
43
O
A
B
4
3 x
y
H
4
-3
10
6013
9
165
12
12
8
12
7
6
145
185
325
⁄ 삼각형의 세 변의 길이 사이의 관계를 이용하여 x의값의범위구하기
‹ x의값의범위구하기
¤ 예각삼각형의 되기 위한 조건을 이용하여 x의 값의범위구하기
채점기준
35%
35%
30%
배점
파워해설(11~30)3-2.ps 2015.3.24 10:37 PM 페이지15 MAC6
16
정답과해설_ 유형편파워
까다로운유형 P. 34
1 cm 2 cm 3 cm
4 cm¤ , 과정은풀이참조 5⑴ 5 ⑵ '5 6 ①752
52
94
78
BD”=xcm라하면CD”=AD””=(4-x)cm이므로△DBC에서3¤ +x¤ =(4-x)¤
8x=7 ∴ x= (cm)78
A
D
E
CB 3cm
(4-x)cm
xcm
(4-x)cm
1
P+R=Q이므로
R=Q-P= p- p=8p (cm¤ ) y`⁄
즉, _p_{ }2=8p에서 y`¤
AC”¤ =64 그런데 AC”>0이므로 AC”=8(cm) y`‹
AB”, BC”, CA”를각각지름으로하는반원의넓이를 P, Q,
R라하면 P=Q+R이고
R= _p_{ }¤ =8p (cm¤ )이므로
Q=P-R=25p-8p=17p (cm¤ )
(색칠한부분의넓이)=△ABC= _24_10=120(cm¤ )
△ABC=(색칠한부분의넓이)=24cm¤이므로
_8_AC”=24 ∴ AC”=6(cm)
따라서△ABC에서 BC”="√8¤ +6¤ =10(cm)
오른쪽그림과같이 BD”를그으면△ABD, △BCD는직각삼각형이므로
S¡+S™=△ABD,S£+S¢=△BCD∴ S¡+S™+S£+S¢
=△ABD+△BCD=□ABCD=5_7=35(cm¤ )
S¡
S™ S¢
S£
7cm
5cmA D
B C
12
12
11
1210
82
12
9
AC”2
12
92
252
8
유형 13~16 P. 32~33
1⑤ 2 28 3② 4④ 5①
6 72초 7② 8 8cm, 과정은풀이참조
9 17p cm¤ 10③ 11 10cm 12 35cm¤
AB” ¤+CD” ¤=AD” ¤+BC” ¤이므로4¤ +5¤ =AD” ¤ +6¤ , AD” ¤ =5
그런데 AD”>0이므로 AD”='5 (cm)
AB” ¤+CD” ¤=AD” ¤+BC” ¤이므로8¤ +y¤ =x¤ +6¤ ∴ x¤ -y¤ =64-36=28
△AHD에서 AD”="√1¤ +2¤ ='5AB” ¤+CD” ¤=AD” ¤+BC” ¤이므로AB”¤ +('6)¤ =('5)¤ +3¤ , AB”¤ =8그런데 AB”>0이므로 AB”=2'2
AP” ¤+CP” ¤=BP” ¤+DP” ¤이므로5¤ +(2'1å0)¤ =('1å1)¤ +DP” ¤ , DP” ¤ =54
그런데 DP”>0이므로 DP”=3'6
AP” ¤+CP” ¤=BP” ¤+DP” ¤이므로('3)¤ +CP” ¤ =(2'3)¤ +DP” ¤
∴ CP” ¤ -DP” ¤ =12-3=9
학교와나무 B사이의거리를 xm라하면□ABCD가직사각형이므로 AP” ¤ +CP” ¤ =BP” ¤ +DP” ¤에서40¤ +70¤ =x¤ +(20'1å0)¤ , x¤ =2500
그런데 x>0이므로 x=50(m)따라서학교와나무 B 사이의거리는 50m, 즉 0.05km이므로학교에서출발하여시속 2.5km로걸어서나무 B까지가는데걸리는시간은
=0.02(시간)=1.2(분)=72(초)
R= _p_{ } 2=18p (cm¤ )
P+Q=R이므로 P+Q+R=2R=2_18p=36p (cm¤ )
122
127
0.052.5
6
5
4
3
2
1
두점 M, N이각각 AB”, AC”의중점이므로삼각형의두변의중점을연결한선분의성질에의해
BC”=2MN”=2_5=10∴ BN”¤ +C’M” ¤ =MN” ¤ +BC” ¤ =5¤ +10¤ =125
13
⁄ AC”의길이구하기
¤ CD” ¤ -DE” ¤의값구하기
채점기준
40%
60%
배점
⁄ R의값구하기
¤ AC”의길이를구하는식세우기
‹ AC”의길이구하기
채점기준
50%
30%
20%
배점
파워해설(11~30)3-2.ps 2015.3.24 10:37 PM 페이지16 MAC6
유형편파워
17
Ⅱ.피타고라스정리
BE”=x cm라하면DE”=AE”=(6-x)cm이고
BD”= BC”=3(cm)이므로
△EBD에서3¤ +x¤ =(6-x)¤
12x=27 ∴ x= (cm)
A’'D”=5cm, CD”=4cm이므로△DA'C에서A’'C”="√5¤ -4¤ =3(cm)∴ B’A'”=5-3=2(cm)A’'E”=xcm라하면AE”=xcm이므로 BE”=(4-x)cm△EBA'에서 2¤ +(4-x)¤ =x¤
8x=20 ∴ x= (cm)
△ABD'에서A’D'”=15cm이므로BD'”="√15¤ -9¤
=12(cm)∴ D'C”=15-12
=3(cm) y`⁄
D'E”=xcm라하면DE”=xcm이므로 CE”=(9-x)cm y`¤
△ED'C에서 3¤ +(9-x)¤ =x¤
18x=90 ∴ x=5(cm) y`‹
∴ △AD'E= _15_5= (cm¤ ) y`›
△EBD는이등변삼각형이므로 BE”=DE”⑴ DE”=x라하면
BE”=x, AE”=8-x
따라서 △ABE에서4¤ +(8-x)¤ =x¤
16x=80 ∴ x=5
⑵ △BCD에서BD”="√8¤ +4¤ =4'5이므로
D’H”= BD”= _4'5=2'5
따라서△EHD에서 EH”="√5¤ -(2'5)¤ ='5
12
12
Ax
x
8-x
4
8
C'
B C
DE
H
5
752
12
A
B CD'
D
E
12cm
15cm
15cm
9cm
3cm
(9-x)cm
xcm
xcm
4
52
A 5cm
5cm
3cm2cm
4cm
A'
E
B C
D
(4-x)cm
xcm
xcm
3
94
1 2
2 A
3cm
E
F
B CD
xcm
(6-x)cm(6-x)cm
⁄ D'C”의길이구하기
¤ D’'E”, CE”의길이를 x에대한식으로나타내기
‹ x의값구하기
› △AD'E의넓이구하기
채점기준
20%
30%
30%
20%
배점
1 p-24 2 10'5 3① 4 3cm¤ 5 26
6 cm¤ 7④ 8 '1å7 9②
10 7cm 11 10cm, 과정은풀이참조 12② 13③
14 '3å3<x<7 15 16② 17 2'3 cm¤
18 19③ 20 4, 과정은풀이참조 21④
22 cm¤ 23 250'1å7m 24 10
25 12cm¤ 26ㄱ, ㄴ, ㄷ
125
52
23
323
252
P. 35~38중단원마무리
△ABC에서 BC”="√8¤ +6¤ =10
∴(색칠한부분의넓이)= _p_{ }2- _8_6
= p-24
점 G는△ABC의무게중심이므로
AD”= AG”= _10=15
점 D는직각삼각형의외심이므로BD”=CD”=AD”=15 ∴ BC”=15+15=30∴ AB”="√30¤ -20¤ =10'5
△ABC에서 AC”="√5¤ +5¤ =5'2△ACD에서 CD”="√(3'1å1)¤ -(5'2)¤ =7
AB”=xcm라하면AC”="√x¤ +x¤ ='2x(cm)
AD”="√('2x)¤ +x¤ ='3x(cm)
AE”="√('3x)¤ +x¤ =2x(cm)
AF”="√(2x)¤ +x¤ ='5x(cm)
즉, '5x='∂15이므로 x='3 (cm)
∴△AFE= _'3_2'3=3(cm¤ );2!;
4
3
32
32
2
252
12
102
12
1
A'D”=AB”=15
DE”=x라하면
A'E”=AE”=25-x
따라서△A'ED에서(25-x)¤ +15¤ =x¤
50x=850 ∴ x=17
EA
15
25FB C
D
A'
x
1525-x
25-x
6
파워해설(11~30)3-2.ps 2015.3.24 10:37 PM 페이지17 MAC6
18
정답과해설_ 유형편파워
오른쪽그림과같이꼭짓점 A에서BC”에내린수선의발을 H라하면△ABH에서
AH”="√5¤ -3¤ =4
∴ □ABCD= _(5+8)_4=26
△ABE에서 AE”="√20¤ -16¤ =12(cm)이므로ED”=16-12=4(cm)△ABEª△DFE(AA닮음)이므로12：4=16：FD”
∴ FD”= (cm)
∴ △FED= _4_ = (cm¤ )
△ABE에서 BE”="√5¤ -3¤ =4(cm)△ABEª△FEA(AA닮음)이므로4：5=5：AF”
∴ AF”= (cm)
∴ DF”=AD”-AF”=9- = (cm)
위의그림과같이두점 M, N에서 AB”에내린수선의발을각각 D, E라하고, BC”에내린수선의발을각각 P, Q라하자.
△BPM에서 (2x)¤ +y¤ =6¤ y`㉠
△BQN에서 x¤ +(2y)¤ =7¤ y`㉡
㉠, ㉡을변끼리더하면 5x¤ +5y¤ =85
∴ x¤ +y¤ =17
∴ MN”="√x¤ +y¤ ='1å7
△ABE에서BE”="√(3'5)¤ -6¤ =3이므로EH”=6-3=3그런데 □EFGH는정사각형이므로□EFGH=3¤ =9
□ACHI=16+33=49(cm¤ )이므로
AC”='4å9=7(cm)10
9
x
x
xy y y
A
B P Q
ND
E
C
M
6
7
8
114
254
254
3cm
9cm
5cmA
B E C
DF7
323
163
12
163
6
12
5
5
5
3
A D
CBH
5 오른쪽그림과같이 AB”를한변으로하는정사각형 AFGB를그리면△ABD=△GBC
=△GBA= □AFGB
이므로
□AFGB=2△ABD=2_48=96(cm¤ ) y`⁄
∴ AB”='9å6=4'6 (cm) y`¤
따라서 △ABC에서AC”="√14¤ -(4'6)¤ =10(cm) y`‹
a+2가가장긴변의길이이므로
a¤ +(a+1)¤ =(a+2)¤
a¤ -2a-3=0, (a+1)(a-3)=0
그런데 a>0이므로 a=3
① ('1å0)¤ >('3)¤ +2¤ (둔각삼각형)② ('7)¤ <2¤ +('5)¤ (예각삼각형)③ 5¤ >3¤ +3¤ (둔각삼각형)④ ('7å4)¤ =5¤ +7¤ (직각삼각형)⑤ 9¤ <6¤ +8¤ (예각삼각형)
삼각형의세변의길이사이의관계에서
7-4<x<4+7 ∴ 3<x<11
이때 0<x<7이므로 3<x<7 y`㉠
예각삼각형이되려면 7¤ <4¤ +x¤ , x¤ >33
이때 x>0이므로 x>'3å3 y`㉡
따라서㉠, ㉡에서 '3å3<x<7
삼각형을만들수있는종이띠의길이를순서쌍으로나타내면
(5, 6, 8), (5, 6, 9), (5, 8, 9), (5, 8, 12), (5, 9, 12), (6, 8, 9), (6, 8, 12), (6, 9, 12), (8, 9, 12)의 9가지이고이중둔각삼각형이되는경우는
(5, 6, 8), (5, 6, 9), (5, 8, 12), (5, 9, 12), (6, 8, 12), (6, 9, 12)의 6가지이므로
구하는확률은 =
△ABC에서 AC”="√15¤ -12¤ =9
AC”¤ =CH”_BC”이므로 9¤ =CH”_15 ∴ CH”=
∴ AC”-CH”=9- = 185
275
275
16
23
69
15
14
13
12
12
14cm
A
B C
D E
F
G
11
⁄ AB”를한변으로하는정사각형의넓이구하기
¤ AB”의길이구하기
‹ AC”의길이구하기
채점기준
40%
30%
30%
배점
파워해설(11~30)3-2.ps 2015.3.24 10:37 PM 페이지18 MAC6
유형편파워
19
Ⅱ.피타고라스정리
△ABC에서 BC”="√(4'3)¤ +4¤ =8(cm)이므로
C’M”= BC”= _8=4(cm)
AC”¤ =CH”_BC”이므로 4¤ =CH”_8∴ CH”=2(cm)∴ MH”=CM”-CH”=4-2=2(cm)△AHC에서 AH”="√4¤ -2¤ =2'3 (cm)
∴ △AMH= _2_2'3=2'3 (cm¤ )
AC”=3k, BC”=4k(k>0)라하면AB”="√(4k)¤ +(3k)¤ =5k
AC”_BC”=AB”_CH”이므로
3k_4k=5k_2 ∴ 3k= =
DE”를그으면 △ADE에서 DE”="√4¤ +3¤ =5
△ABE에서 BE”="√(4+6√)¤ +3¤ ='∂109
BE” ¤ +CD” ¤ =DE” ¤ +BC” ¤이므로
('∂109)¤ +CD”¤ =5¤ +BC”¤
∴ BC”¤ -CD”¤ =109-25=84
AB”¤ +CD”¤ =AD”¤ +BC”¤이므로
6¤ +8¤ =AD”¤ +(4'5)¤ , AD”¤ =20
그런데 AD”>0이므로 AD”=2'5 y`⁄
따라서△AHD에서 DH”="√(2'5)¤ -2¤ =4 y`¤
△ABC에서 AB”="√5¤ -3¤ =4(cm)
∴(색칠한부분의넓이)=△ABC= _4_3=6(cm¤ )
AF”=xcm라하면 △FBD는이등변삼각형이므로BF”=DF”=(5-x)cm△ABF에서 3¤ +x¤ =(5-x)¤
10x=16 ∴ x= (cm)
∴ △ABF= _3_ = (cm¤ )
갈매기가수평으로날아간거리
를 xm, 실제로이동한거리를ym라하자. 갈매기의활공비가 4：1이고하강한거리가 250m이므로4：1=x：250 ∴ x=1000(m)
∴ y="√250¤ +1000¤ =250'1å7(m)따라서갈매기가실제로이동한거리는 250'1å7m이다.
250m
xm
ym23
125
85
12
85
22
12
21
20
19
52
10k4k
18
12
12
12
17 △GEH에서EH”="√1¤ +1¤ ='2△EBH에서BH”="√('2)¤ √+('2)¤ =2∴ GF”=GH”+HF”
=GH”+BH”=1+2=3
△DGF에서DF”="√3¤ +3¤ =3'2△DFC에서DC”="√(3'2)¤ √+(3'2)¤ =6이때 AD”=ED”=EG”+GD”=EG”+GF”=1+3=4이므로AC”=AD”+DC”=4+6=10
오른쪽 그림과 같이 정사각형의
넓이를각각 P, Q, R, S, T,
U, V라하자.
△ABC에서AC”="√2¤ -1¤ ='3 (cm)직각삼각형의세변의길이를각
각 a, b, c(c는빗변의길이)라
할때 c¤ =a¤ +b¤이성립하므로
S+T=Q, U+V=R
∴(색칠한부분의넓이)=P+Q+R+S+T+U+V
=P+2Q+2R
=2¤ +2_1¤ +2_('3)¤=12(cm¤ )
삼각형의세변의길이를각각 a, b, c(c는가장긴변의길
이)라할때, 이세변을각각지름으로하는반원의넓이는
a¤ p, b¤ p, c¤ p
ㄱ. 예각삼각형인경우 c¤ <a¤ +b¤이므로
c¤ p< a¤ p+ b¤ p
즉, 가장큰반원의넓이는나머지두반원의넓이의합보
다작다.
ㄴ. 직각삼각형인경우 c¤ =a¤ +b¤이므로
c¤ p= a¤ p+ b¤ p
즉, 가장큰반원의넓이는나머지두반원의넓이의합과
같다.
ㄷ. 둔각삼각형인경우 c¤ >a¤ +b¤이므로
c¤ p> a¤ p+ b¤ p
즉, 가장큰반원의넓이는나머지두반원의넓이의합보
다크다.
따라서옳은것은ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.
18
18
18
18
18
18
18
18
18
18
18
18
26
P
QR
S
T
UV
A
B C
1cm
2cm
'3cm
25
A
B C
D
E
F
G1 1H
24
⁄ AD”의길이구하기
¤ D’H”의길이구하기
채점기준
60%
40%
배점
파워해설(11~30)3-2.ps 2015.3.24 10:37 PM 페이지19 MAC6
20
정답과해설_ 유형편파워
2 피타고라스정리의활용
유형 1~2 P. 39
1 4'3 cm, 16'3 cm¤ 2 2'1å0 3③
4 cm, cm 5 2'2 cm 6①
7 p, 과정은풀이참조
425
565
(세로의길이)="√8¤ -4¤ =4'3 (cm)(넓이)=4_4'3=16'3 (cm¤ )
"√8¤ +5¤ ="√x¤ +7¤이므로
89=x¤ +49, x¤ =40
그런데 x>0이므로 x=2'1å0
정사각형의한변의길이를 acm라하면AB”="√(3a)¤ +a¤ ='1å0a=5'2∴ a='5 (cm)∴ AC”="√(2'5)¤ +('5)¤ =5(cm)
직사각형의가로와세로의길이를각각
4kcm, 3kcm라하면
(4k)¤ +(3k)¤ =14¤ , k¤ =
그런데 k>0이므로 k=
∴(가로의길이)=4_ = (cm),
(세로의길이)=3_ = (cm)
정사각형의한변의길이를 acm라하면'2a=4∴ a=2'2 (cm)
(대각선의길이)="√10¤ +10¤ =10'2 (cm)
원의반지름의길이를 r라하면
정사각형의한변의길이는 2r이므로
'2_2r=2'2
∴ r=1 y`⁄
∴ (원의넓이)=p_1¤ =p y`¤
2r
2rr
2'2
7
6
4cm
acm
acm
5
425
145
565
145
145
19625 4kcm
3kcm14cm4
3
2
4cm
8cm1
BD”="√9¤ +12¤ =15(cm)이고AB”_AD”=BD”_A’H”이므로
9_12=15_AH” ∴ AH”= (cm)
BD”="√3¤ +4¤ =5(cm)이고AB”_AD”=BD”_AH”이므로
4_3=5_AH” ∴ AH”= (cm)
△AHD에서 D’H”=æ≠3¤ -{ }¤ = (cm)
∴ AH”+D’H”= + = (cm)
BD”="√6¤ +8¤ =10(cm)이고AB”¤ =BP”_BD”이므로
6¤ =BP”_10 ∴ BP”= (cm)
△ABP와△CDQ에서AB”=CD”, ∠ABP=∠CDQ(엇각), ∠APB=∠CQD=90˘이므로△ABP™△CDQ(RHA합동)∴ BP”=DQ”
∴ PQ”=10-2_ = (cm)
⑴ (정삼각형의높이)= _2='3(cm)
⑵ (정삼각형의넓이)= _20¤ =100'3 (cm¤ )
정삼각형의한변의길이를 acm라하면
a¤ =6'3, a¤ =24
그런데 a>0이므로 a=2'6 (cm)
정삼각형의한변의길이를 acm라하면
a=2'3 ∴ a=4(cm)
∴(넓이)= _4¤ =4'3 (cm¤ )'34
'32
6
'34
5
'34
'324
145
185
185
3
215
95
125
95
125
125
2
365
1
유형 3~5 P. 40~41
1 cm 2 cm 3 cm
4⑴ '3cm ⑵ 100'3cm¤ 5 2'6 cm 6②
7⑴ 2'3 cm ⑵ cm¤
8 108'3 cm¤ , 과정은풀이참조 9⑤ 10③
11③ 12 24'3 cm¤ 13④
3'32
145
215
365
⁄ 원의반지름의길이구하기
¤ 원의넓이구하기
채점기준
60%
40%
배점
파워해설(11~30)3-2.ps 2015.3.24 10:37 PM 페이지20 MAC6
유형편파워
21
Ⅱ.피타고라스정리
⑴ AD”= _6=3'3 (cm)
∴ AG”= AD”= _3'3=2'3 (cm)
⑵ △GDC= △ABC= _{ _6¤ }= (cm¤ )
정삼각형의외심과무게중심은일치하므로점 O는정삼각형ABC의무게중심이다.
∴(△ABC의높이)= AO”= _12=18(cm) y`⁄
정삼각형의한변의길이를 acm라하면
a=18 ∴ a=12'3 (cm) y`¤
∴ △ABC= _(12'3)¤ =108'3 (cm¤ ) y`‹
△ABC= _2¤ ='3
AD”= _2='3이므로
△ADE= _('3)¤ =
∴ △ABC：△ADE='3： =4：3
[다른풀이]
△ABC와△ADE에서AB”：AD”=2：'3∴ △ABC：△ADE=2¤：('3)¤ =4：3
△GEC는정삼각형이고 EC”= =4(cm)이므로
(색칠한부분의넓이)=△ABC+△DEF-△GEC=2△ABC-△GEC
=2_{ _8¤ }- _4¤
=28'3 (cm¤ )
AC”를그으면∠B=60˘이고 AB”=BC”이므로 △ABC는정삼각형이다.□ABCD의한변의길이를 acm라하면
□ABCD=2△ABC=2_ a¤ =18'3에서
a¤ =36
그런데 a>0이므로 a=6(cm)
'34
11
'34
'34
8210
3'34
3'34
'34
'32
'349
'34
'32
32
32
8
3'32
'34
16
16
23
23
'327
⁄ △ABC의높이구하기
¤ △ABC의한변의길이구하기
‹ △ABC의넓이구하기
채점기준
30%
30%
40%
배점
오른쪽그림과같이정육각형은한변의
길이가 4cm인정삼각형 6개로나누어지므로
(정육각형의넓이)=6_{ _4¤ }
=24'3 (cm¤ )
오른쪽 그림과 같이 원의 반지름의
길이를 r cm라 하면 r cm는 한변의길이가 6cm인정삼각형의높이와같으므로
r= _6=3'3 (cm)
∴(원의둘레의길이)=2p_3'3=6'3p (cm)
'32
6cm
6cm
6cmrcm
13
'34
4cm
12
유형 6~7 P. 42~43
1① 2 48cm¤ 3 20cm 4 12cm 5③
6 2'3å3 7 x=10, y=5'3 8⑴ '6 ⑵
9⑴ ⑵ 2('3-1) 10 4'7cm
11 4'3 cm, 과정은풀이참조 12 3('3+1)
32
3'62
오른쪽그림과같이꼭짓점 A에서 BC”에내린수선의발을 H라하자.
BH”=CH”= BC”
= _2=1(cm)
△ABH에서A’H”="√4¤ -1¤ ='1å5(cm)
∴(넓이)= _2_'1å5='1å5(cm¤ )
오른쪽 그림과같이꼭짓점 A에서BC”에내린수선의발을 H라하자.
AB”=AC”= _(32-12)
=10(cm)
BH”=CH”= BC”= _12=6(cm)
△ABH에서
AH”="√10¤ -6¤ =8(cm)
∴△ABC= _12_8=48(cm¤ )12
12
12
12
12cmH
A
B C
2
12
12
12 4cm4cm
1cm 1cm
A
B CH
1
파워해설(11~30)3-2.ps 2015.3.24 10:37 PM 페이지21 MAC6
22
정답과해설_ 유형편파워
오른쪽그림과같이꼭짓점 A에서 BC”에내린수선의발을 H라하자.
_6_AH”=6'1å0
∴ AH”=2'1å0 (cm)
BH”=CH”= BC”= _6=3(cm)
△ABH에서AB”="√3¤ +(2'1å0)¤ =7(cm)∴(△ABC의둘레의길이)=AB”+BC”+CA”
=7+6+7=20(cm)
BH”=xcm라하면CH”=(21-x)cmAH”¤ =13¤ -x¤ =20¤ -(21-x)¤42x=210 ∴ x=5(cm)따라서△ABH에서AH”="√13¤ -5¤ =12(cm)
세변의길이가각각 4, 6, 8인삼각형이오른쪽그림과같을때
h¤ =4¤ -x¤ =6¤ -(8-x)¤
16x=44 ∴ x=
∴ h=Ƭ4¤ -{ }2=
∴ (넓이)= _8_ =3'1å5
MH”=x라하면
B’M”=C’M”= BC”= _12=6이므로 HC”=6-x
△AMH에서 AH”¤ =(4'3)¤ -x¤ y`㉠
△AHC에서 AH”¤ =6¤ -(6-x)¤ y`㉡
㉠=㉡이므로 (4'3)¤ -x¤ =6¤ -(6-x)¤
12x=48 ∴ x=4
△AMH에서 AH”="√(4'3)¤ -4¤ =4'2
BH”=B’M”+MH”=6+4=10
따라서 △ABH에서
AB”="√10¤ +(4'2)¤ =2'3å3
AB”：BC”=2：1이므로 x：5=2：1 ∴ x=10
BC”：CA”=1：'3이므로 5：y=1：'3 ∴ y=5'3
⑴ △ABC에서 2：BC”=1：'3 ∴ BC”=2'3△DBC에서 x：2'3=1：'2 ∴ x='6
⑵ △ABC에서 AC”：6='3：2 ∴ AC”=3'3
△ACD에서 x：3'3=1：'2 ∴ x=3'62
8
7
12
12
6
3'1å54
12
3'1å54
114
114
4 6
8
x 8-xh
5
A
B Cxcm
H
13cm 20cm
21cm
(21-x)cm
4
12
12
12
6cmH
A
B C
3 ⑴ △ABC에서 AB”：3=1：'3 ∴ AB”='3
△ABD에서 x：'3='3：2 ∴ x=
⑵ △ADC에서 2：AC”=1：1 ∴ AC”=2△ABC에서 2：BC”=1：'3 ∴ BC”=2'3∴ x=BC”-DC”=2'3-2=2('3-1)
△ABH에서BH”：8=1：2 ∴ BH”=4(cm)AH”：8='3：2 ∴ AH”=4'3 (cm)따라서 △AHC에서 HC”=12-4=8(cm)이므로
AC”="√8¤ +(4'3)¤ =4'7 (cm)
△ABC에서AC”：12=1：2 ∴ AC”=6(cm) y`⁄
△ADC에서
∠DAC= ∠A= _(90˘-30˘)= _60˘=30˘,
∠ADC=90˘-30˘=60˘이므로6：AD”='3：2 ∴ AD”=4'3 (cm) y`¤
오른쪽그림과같이꼭짓점 A에서BC”에내린수선의발을 H라하면△ABH에서BH”：6='3：2 ∴ BH”=3'3
AH”：6=1：2 ∴ AH”=3
△AHC에서 HC”：3=1：1 ∴ HC”=3
∴ BC”=BH”+HC”=3'3+3=3('3+1)
12
;2!;;2!;;2!;
11
10
32
9
A
B CH
6
30˘ 45˘
45˘60˘
유형 8~10 P. 44~45
1② 2 2'6 3 (24p-18'3)cm¤
4 (6+10'3)cm¤ 5 8(1+'2)cm 6④
7⑴ '3å4 ⑵ 2'6 8② 9 -2 10①
11∠B=90˘인직각이등변삼각형
12과정은풀이참조
⑴ AB”=5'2, BC”=2'1å0, CA”='1å0 ⑵ 10
13 -1
□EFGH가정사각형이므로 EF”='∂196=14(cm)△EBF에서E’B’：14='3：2 ∴ EB”=7'3 (cm)B’F’：14=1：2 ∴ B’F’=7(cm)△AEH™△BFE™△CGF™△DHG(ASA합동)이므로AB”=AE”+EB”=BF”+EB”=7+7'3=7(1+'3)(cm)
1
⁄ AC”의길이구하기
¤ AD”의길이구하기
채점기준
40%
60%
배점
파워해설(11~30)3-2.ps 2015.3.24 10:37 PM 페이지22 MAC6
유형편파워
23
Ⅱ.피타고라스정리
△AOB에서 2：OA”=1：2 ∴ OA”=4△COD에서OD”=OA”=4이므로OC”="√4¤ +2¤ =2'5
따라서△EOF에서OF”=OC”=2'5이므로
OE”="√(2'5)¤ +2¤ =2'6
오른쪽그림에서
∠AOB=360˘_ =60˘이므로
△AOB에서OB”：12=1：2 ∴ OB”=6(cm)AB”：12='3：2 ∴ AB”=6'3 (cm)따라서남은부분의넓이는
(부채꼴의넓이)-(삼각형 AOB의넓이)
=p_12¤ _ - _6_6'3
=24p-18'3 (cm¤ )
오른쪽 그림과 같이 두 꼭짓점
A, D에서 BC”에내린수선의발을각각 H, H'이라하면△ABH에서4：AH”=2：'3 ∴ AH”=2'3 (cm)4：BH”=2：1 ∴ BH”=2(cm)이때 D’H'”=A’H”=2'3 cm이므로△DH'C에서2'3：H’'C”=1：1 ∴ H'C”=2'3 (cm)
∴ □ABCD= _{4+(2+4+2'3)}_2'3
=6+10'3 (cm¤ )
정팔각형의한내각의크기는
=135˘이므로
△DEF는세내각의크기가 45˘,45˘, 90˘인직각삼각형이다.DE”=DF”=xcm라하면x：8=1：'2 ∴ x=4'2 (cm)∴ AD”=8+2_4'2=8(1+'2)(cm)
오른쪽그림과같이꼭짓점 D에서CE”에내린수선의발을 H라하면
∠DCH=180˘-60˘-60˘=60˘이므로
△DCH에서 D’H”：4='3：2 ∴ DH”=2'3 (cm)
∴△DCE= _6_2'3=6'3 (cm¤ )12
A B
D
E
C 6cm4cm
4cm 60˘ H
6
180˘_(8-2)8
8cm
45˘
135˘
A DE
B C
F
5
12
4cm
4cm
4cm
A D
B H H' C60˘ 45˘
4
12
60360
16
A
BO60˘
12cm
3
2 ⑴ AB”="√(3+2)¤ +(2+1)¤ ='3å4
⑵ AB”="√('3+1+2)¤ +(3-√'3-0)¤ =2'6
① "√(-1+8)¤ +(1+1)¤ ='5å3② "√(-1+7)¤ +(1-2)¤ ='3å7③ "√(-1-3)¤ +(1+6)¤ ='6å5④ "√(-1-4)¤ +(1+4)¤ ='5å0⑤ "√(-1-5)¤ +(1-3)¤ ='4å0따라서점 (-1, 1)과의거리가가장가까운것은②이다.
PQ”="(√a-3)¤ +(-2-3)¤ =5'2이므로
a¤ -6a+9+25=50, a¤ -6a-16=0
(a+2)(a-8)=0
∴ a=-2또는 a=8
그런데 a<0이므로 a=-2
x축위의점을 P(x, 0)으로놓으면AP”¤ =BP” ¤ 이어야하므로(x-1)¤ +(0-2)¤ =(x-3)¤ +(0-4)¤
4x=20 ∴ x=5
따라서 x축위의점 P의좌표는 (5, 0)이다.
AB”="√(2+3)¤ +√(-2-0)¤ ='2å9BC”="√(4-2)¤ √+(3+2)¤ ='2å9CA”="√(4+3)¤ √+(3-0)¤ ='5å8따라서 AB”=BC”, AB”¤ +BC”¤ =CA”¤이므로△ABC는 ∠B=90˘인직각이등변삼각형이다.
⑴ AB”="√(-3-2)¤ +(0-5)¤ =5'2⑵ BC”="√(3+3)¤ +(2-0)¤ =2'1å0⑶ C’A”="√(3-2)¤ +(2-5)¤ ='1å0 y`⁄
⑵ BC”¤ +CA”¤ =AB”¤이므로 △ABC는 ∠C=90˘인 직각삼각형이다. y`¤
∴△ABC= _BC”_CA”
= _2'1å0_'1å0=10 y`‹
AB”¤ =(3+1)¤ +(5-3)¤ =20BC” ¤ =(1-3)¤ +(x-5)¤ =x¤ -10x+29CA”¤ =(1+1)¤ +(x-3)¤ =x¤ -6x+13△ABC가∠A=90˘인직각삼각형이되려면AB”¤ +CA”¤ =BC”¤이어야하므로20+(x¤ -6x+13)=x¤ -10x+29
4x=-4 ∴ x=-1
13
;2!;
;2!;
12
11
10
9
8
7
⁄ AB”, BC”, CA”의길이구하기
¤ △ABC가직각삼각형임을설명하기
‹ △ABC의넓이구하기
채점기준
40%
30%
30%
배점
파워해설(11~30)3-2.ps 2015.3.24 10:37 PM 페이지23 MAC6
24
정답과해설_ 유형편파워
오른쪽그림과같이점 A와 CD”에대하여대칭인점을 A', 별장의위치를 P라하면최단거리는A’'B”의길이와같다.∴ A’'B”="√6¤ +(2+4)¤
=6'2 (km)따라서구하는최단거리는 6'2 km이다.
(대각선의길이)="√2¤ +4¤ +6¤ =2'1å4(cm)
øπ3¤ +5¤ +BF”¤ =3'5이므로3¤ +5¤ +BF”¤ =45, BF” ¤ =11그런데 BF”>0이므로 BF”='1å1
EG”="√12¤ +8¤ =4'1å3 (cm) y`⁄
AG”="√9¤ +12¤ +8¤ =17(cm) y`¤
∴(△AEG의둘레의길이)=AE”+EG”+AG”=9+4'1å3+17=26+4'1å3 (cm) y`‹
정육면체의한모서리의길이를 acm라하면'3a=4'3 ∴ a=4(cm)
∴(겉넓이)=6a¤ =6_4¤ =96(cm¤ ),(부피)=a‹ =4‹ =64(cm‹ )
EG”=8'2cm, AG”=8'3cm△AEG에서 AE”_EG”=AG”_EI”이므로
8_8'2=8'3_EI” ∴ EI”= (cm)
AM”=MÚGÚ=GN”=NA”="√10¤ +5¤ =5'5 (cm)이므로□AMGN은마름모이다.MÚNÚ=BD”=10'2 cm, AG”=10'3 cm이므로
□AMGN= _10'2_10'3=50'6 (cm¤ )12
12
8'63
11
10
9
8
7
A
P
B4km
4km 4km
2kmC
A'
D
6km
6
y=-x¤ +4x-2=-(x-2)¤ +2이므로
P(2, 2)y=-x¤ +4x-2에 x=0을대입하면
y=-2 ∴ Q(0, -2)
∴ PQ”="√(0-2)¤ +(-2-2)¤ =2'5
y=-x¤ +2x+8에
x=0을대입하면 y=8
∴ A(0, 8)y=0을대입하면
-x¤ +2x+8=0, (x+2)(x-4)=0
∴ x=-2또는 x=4
이때점 B는점 C보다왼쪽에있으므로B(-2, 0), C(4, 0)AB”="√(-2-0)¤ √+(0-8)¤ =2'1å7BC”="√(4+2)¤ √+(0-0)¤ =6CA”="√(4-0)¤ √+(0-8)¤ =4'5따라서 CA”가가장긴변이고, CA”¤ <AB”¤ +BC”¤이므로△ABC는예각삼각형이다.
⑴ 두그래프의교점의 x좌표를구하면
x¤ =2x+3에서 x¤ -2x-3=0
(x+1)(x-3)=0 ∴ x=-1또는 x=3
x=-1일때 y=1, x=3일때 y=9이므로
A(-1, 1), B(3, 9)
⑵ AB”="√(3+1)¤ +(9-1)¤ =4'5
오른쪽그림과같이점 A와 x축에
대하여대칭인점을 A'이라하면AP”+PB”의최솟값은 A’'B”의길이와같다.
∴ A'B”="√(5+1)¤ +(5+2)¤ ='8å5따라서구하는최솟값은 '8å5이다.
오른쪽그림과같이점 C와 BD”에대하여대칭인점을 C'이라하면AP”+PC”의최솟값은 A’C'”의길이와같다.
∴ A’C'”="√(3+2)¤ +5¤ =5'2따라서구하는최솟값은 5'2이다.
A
DB
C
C'5
2
32
P
5
xO
A
B
P-1
2
5-2
5y
A'
4
3
2
1
유형 11~13 P. 46~47
1④ 2① 3⑴ A(-1, 1), B(3, 9) ⑵ 4'5
4② 5 5'2 6 6'2km 7 2'1å4 cm
8 '1å1 9 (26+4'1å3)cm, 과정은풀이참조
10 96cm¤ , 64cm‹ 11 cm 12 50'6 cm¤8'63
유형 14~16 P. 48~49
1③ 2⑴ cm¤ ⑵ '3 cm 3 54cm¤
4 '6 cm, cm‹ 5④ 6③
7④ 8 12'2 cm¤ , 과정은풀이참조
9⑤ 10 4'2 cm 11 9'2 cm¤
9'24
9'32
⁄ EG”의길이구하기
¤ AG”의길이구하기
‹ △AEG의둘레의길이구하기
채점기준
35%
35%
30%
배점
파워해설(11~30)3-2.ps 2015.3.24 10:37 PM 페이지24 MAC6
유형편파워
25
Ⅱ.피타고라스정리
AF”=FC”=AC”=6'2 cm이므로△AFC는한변의길이가 6'2cm인정삼각형이다.
∴ FM”= _6'2
=3'6 (cm)
⑴ AF”=FC”=AC”=3'2cm이므로△AFC는한변의길이가 3'2 cm인정삼각형이다.
∴△AFC= _(3'2)¤
= (cm¤ )
⑵ (삼각뿔 B2AFC의부피)=(삼각뿔 F2ABC의부피)이므로
_ _B’I’= _{ _3_3}_3
∴ B’I’='3 (cm)
D’M”=D’N”="√6¤ +12¤ =6'5 (cm)MN”="√6¤ +6¤ =6'2 (cm)오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 D에서MN”에내린수선의발을 H라하면
DH”="√(6'5)¤ -(3'2)¤=9'2 (cm)
∴ △DMN= _6'2_9'2
=54(cm¤ )
(높이)= _3='6 (cm)
(부피)= _3‹ = (cm‹ )
정사면체의한모서리의길이를 acm라하면
a=2'3 ∴ a=3'2 (cm)
∴(부피)= _(3'2)‹
=9 (cm‹ )
정사면체의한모서리의길이를 acm라하면
a‹ = , a‹ =512
∴ a=8 (cm)따라서정사면체의높이는
_8= (cm)8'63
'63
128'23
'212
6
'212
'63
5
9'24
'212
'634
12
D
M NH3'2cm 3'2cm
6'5cm 6'5cm
3
12
13
9'32
13
9'32
'34
2
'32
C
F M
A6'2cm
1 점 H는△BCD의무게중심이므로
D’M”= D’H”= _4=6(cm)
정사면체의한모서리의길이를 acm라하면
a=6 ∴ a=4'3 (cm)
∴(부피)= _(4'3)‹ =16'6 (cm‹ )
DM”= _12=6'3 (cm)이고
점 H는 △BCD의무게중심이므로
MÚHÚ= D’M”= _6'3=2'3 (cm) y`⁄
AH”= _12=4'6 (cm) y`¤
∴△AMH= _2'3_4'6=12'2 (cm¤ ) y`‹
① B’M”= AB”= _4=2
② C’M”= _4=2'3
③ △ABD에서삼각형의두변의중점을연결한선분의성질에의해
MN”= BD”= _4=2
④ △BCM= △ABC= _{ _4¤ }=2'3
⑤ 오른쪽그림에서
CH”="√(2'3)¤ -1¤ ='1å1
∴ △CNM= _2_'1å1='1å1
오른쪽그림과같이 A’N”, D’N”을그으면A’N”, D’N”은각각정삼각형 ABC, DBC의높이이므로
A’N”=D’N”= _8=4'3 (cm)
또 A’M”=D’M”= _8=4(cm)
따라서△ANM에서MN”="(√4'3)¤ -4¤ =4'2 (cm)
12
'32
A
B D
C
M
N
10
12
1 MN
C
2'3 2'3
H 1
'34
12
12
12
12
'32
12
129
12
'63
13
13
'328
'212
'32
32
32
7
⁄ MH”의길이구하기
¤ AH”의길이구하기
‹ △AMH의넓이구하기
채점기준
40%
40%
20%
배점
파워해설(11~30)3-2.ps 2015.3.24 10:37 PM 페이지25 MAC6
26
정답과해설_ 유형편파워
BD”="√10¤ +10¤ =10'2 (cm)이므로 y`⁄
BH”= BD”= _10'2=5'2(cm) y`¤
따라서 △OBH에서
OH”="√10¤ -(5'2)¤ =5'2(cm) y`‹
AC”="√6¤ +6¤ =6'2(cm)이므로
A’H”= AC”= _6'2=3'2 (cm)
따라서△OAH에서OH”="√5¤ -(3'2)¤ ='7 (cm)
∴ △OAC= _6'2_'7=3'1å4(cm¤ )
주어진전개도로만든정사각뿔은오
른쪽그림과같으므로
BD”="√12¤ √+12¤ =12'2(cm)
BH”= BD”
= _12'2=6'2 (cm)
따라서△OBH에서
OH”="√15¤ -(6'2)¤ =3'1å7(cm)
∴(부피)= _12_12_3'1å7=144'1å7(cm‹ )13
12
12
12cmB
A
C
15cmD
O
H
3
12
12
12
2
12
12
1
M’ B”=M’ C”= _6=3'3 (cm)
오른쪽그림과같이점 M에서BC”에내린수선의발을 H라하면
BH”=CH”= _6=3(cm)
△MBH에서 M’ H”="√(3'3)¤ -3¤ =3'2 (cm)
∴ △MBC= _6_3'2=9'2 (cm¤ )12
12
3'3cm 3'3cm
3cmHCB
M
3cm
'3211
유형 17~19 P. 50~51
1 5'2cm, 과정은풀이참조 2② 3 144'1å7cm‹
4 48cm¤ 5 16'2 cm¤
6 27'1å1 7 12cm, 100p cm‹
8 27p cm‹ , 과정은풀이참조 9 48p cm¤
10 120˘ 11 6cm, 128p cm‹ 12④
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 O에서AB”에내린수선의발을 M이라하
면 MÚH”= BC”= _4=2(cm)
△OMH에서O’M””="√2¤ +(2'3)¤ =4(cm)∴ (겉넓이)=□ABCD+4△OAB
=4_4+4_{ _4_4}=48(cm¤ )
[다른풀이]
BD”=4'2 cm이므로
BH”= BD”= _4'2=2'2 (cm)
△OBH에서 OB”="√(2'2)¤ +(2'3)¤ =2'5 (cm)
BM”= AB”= _4=2(cm)
△OMB에서 OM”="√(2'5)¤ -2¤ =4(cm)
∴ (겉넓이)=4_4+4_{ _4_4}=48(cm¤ )
오른쪽그림과같이꼭짓점 O에서□ABCD에내린수선의발을 H라하면 OH”는 정사각뿔의 높이이면서이등변삼각형 OMN의높이가된다.BD”=8'2 cm이므로
BH”= BD”= _8'2=4'2 (cm)
△OBH에서 OH”="√8¤ -(4'2)¤ =4'2 (cm)또 MN”=BC”=8cm
∴△OMN= _MN”_OH”
= _8_4'2=16'2 (cm¤ )
△ODC에서삼각형의두변의중점을연결한선분의성질에의해
NM”= DC”= _12=6
이고 NM”//DC”이때 AB”//DC”이므로 NM”//AB”
NA”=MB”= _12=6'3이므로
오른쪽 그림과 같이 등변사다리꼴
NABM의두꼭짓점 N, M에서AB”에내린수선의발을각각 H,H'이라하면△NAH에서
NH”="√(6'3)¤ -3¤ =3'1å1
∴ □ABMN= _(6+12)_3'1å1=27'1å112
A B
N M
H H'
6
6
12
6'3 6'3
3 3
'32
12
12
6
12
12
12
12
A D
B C
O
M NH
8cm
8cm
5
12
12
12
12
12
12
12
12
O
A D
H
B C
M
4cm
2'3cm4
⁄ BD”의길이구하기
¤ BH”의길이구하기
‹ OH”의길이구하기
채점기준
30%
30%
40%
배점
파워해설(11~30)3-2.ps 2015.3.24 10:37 PM 페이지26 MAC6
유형편파워
27
Ⅱ.피타고라스정리
(높이)="√13¤ -5¤ =12(cm)
(부피)= _p_5¤ _12=100p (cm‹ )
O’A”=OC”=5cm이므로O’H”=9-5=4(cm) y`⁄
△OHC에서 HC”="√5¤ -4¤ =3(cm) y`¤
∴ (부피)= _p_3¤ _9=27p (cm‹ ) y`‹
(단면인원의반지름의길이)="√8¤ -4¤ =4'3 (cm)∴(단면인원의넓이)=p_(4'3)¤ =48p (cm¤ )
(모선의길이)="√2¤ +(4'2)¤=6(cm)
주어진원뿔의전개도는오른쪽과같
으므로부채꼴의중심각의크기를 x˘라하면
2p_6_ =2p_2
∴ x=120(˘)
밑면인원의반지름의길이를 rcm라하면
2p_10_ =2pr ∴ r=8(cm)
∴ (원뿔의높이)="√10¤ -8¤ =6(cm),
(원뿔의부피)= _p_8¤ _6=128p (cm‹ )
원뿔의모선의길이를 lcm라하면
2p_l_ =8p ∴ l=12(cm)
밑면인원의반지름의길이를 rcm라하면2pr=8p ∴ r=4(cm)
∴ (원뿔의높이)="√12¤ -4¤ =8'2 (cm)
120360
12
13
288360
11
x360
x˘6cm
2cm
10
9
13
8
13
7
⁄ OH”의길이구하기
¤ HC”의길이구하기
‹ 원뿔의부피구하기
채점기준
30%
40%
30%
배점
유형 20 P. 52
1 3'1å0 2 10 3 ④ 4 4'5p 5①
6 10'5 7 3'3cm
선이지나는부분의전개도는오른
쪽그림과같으므로
AG”="√(5+4)¤ +3¤ =3'1å0따라서 구하는 최단 거리는 3'1 å0이다.
C
BA 5 4
3
G
F
D1
선이 지나는 부분의 전개도는 오른쪽 그
림과같으므로
AH”="√6¤ +(3+2+3)¤ =10따라서구하는최단거리는 10이다.
A’A'”=2p_3=6p (cm)선이 지나는 부분의 전개도는 오른쪽
그림과같으므로
A’B'”="√(8p)¤ +(6p)¤ =10p (cm)따라서 구하는 최단 거리는 10p cm이다.
A’A'”=2p_2=4p선이지나는부분의전개도는오른쪽
그림과같으므로
A’B"”="√(4p+4p √)¤ +(4p)¤=4"5p
따라서구하는최단거리는 4"5p이다.
주어진원뿔의전개도는오른쪽
그림과같으므로부채꼴의중심
각의크기를 x˘라하면
2p_8_ =2p_2
∴ x=90(˘)
∴ AA'”="√8¤ +8¤ =8'2 (cm)따라서구하는최단거리는 8'2cm이다.
선이지나는부분의전개도는오
른쪽그림과같으므로
∠BOA=∠AOC=∠COB'=30˘
∴ ∠BOD=90˘∴ B’D”="√20¤ +10¤ =10'5따라서구하는최단거리는 10'5이다.
주어진 원뿔의 전개도는 오른쪽 그림
과같으므로부채꼴의중심각의크기
를 x˘라하면
2p_6_ =2p_1
∴ x=60(˘)△ABM에서 ∠A=60˘이고A’M”：AB”=1：2이므로∠AMB=90˘∴ B’M”="√6¤ -3¤ =3'3 (cm)따라서필요한실의최소길이는 3'3cm이다.
x360
A
B'B
x˘M
6cm3cm
1cm
7
75˘30˘
O
B B'
D
A C
2010
6
x360
8cm
2cm
O
A A'
x˘5
4p
4p 4p
B B"
A"A'
B'
A
4
B'B
A A'
8pcm
6pcm
3
A D
E H3
2
3
6
GC
F
B
2
파워해설(11~30)3-2.ps 2015.3.24 10:37 PM 페이지27 MAC6
28
정답과해설_ 유형편파워
1 20 2 6'2cm 3 336cm¤ 4 2'3 5 9'3cm¤
6① 7④ 8⑤ 9 8cm
10 48cm¤ , 과정은풀이참조 11 cm¤
12 2'3, '3, 13④ 14③, ⑤ 15 3'2
16 10'2 17 (10+2'1å0)cm 18② 19 32'3 cm¤
20① 21②, ⑤ 22 cm 23③
24 72'3p cm‹ 25 3'1å5cm, 과정은풀이참조
26 6'5 27 28 15km 29 4'3å4cm
30 8'1å3cm
81256
3'62
'32
9'32
P. 53~57중단원마무리
직사각형의가로, 세로의길이를각각
2k, 3k라하면
(2k)¤ +(3k)¤ =(2'1å3)¤ , k¤ =4
그런데 k>0이므로 k=2
따라서직사각형의둘레의길이는
2(2k+3k)=10k=10_2=20
정사각형의한변의길이를 acm라하면원의지름의길이는 6_2=12(cm)이므로'2a=12 ∴ a=6'2(cm)
BD”="√30¤ +40¤ =50(cm)AB”_AD”=BD”_AE”이므로30_40=50_AE” ∴ AE”=24(cm)AB”¤ =BE”_BD”이므로30¤ =BE”_50 ∴ BE”=18(cm)이때△ABE™△CDF에서 BE”=DF”이므로EF”=BD”-2BE”=50-2_18=14(cm)∴ □AECF=2△AEF
=2_{ _24_14}=336(cm¤ )
AP”를그으면△ABC=△ABP+△APC이므로
_4¤ = _4_PQ”+ _4_PR”
4'3=2(PQ”+PR”)∴ PQ”+PR”=2'3
부채꼴 AOB의반지름의길이를 rcm라하면
pr¤ _ =6p, r¤ =36
그런데 r>0이므로 r=6(cm)
60360
5
12
12
'34
4
12
3
2
3k
2k
2 13
1
이때 OA”=OB”, ∠AOB=60˘이므로△AOB는정삼각형이다.
∴△AOB= _6¤ =9'3(cm¤ )
정육각형에서 점 O를 지나는 대각선을 그으면 정육각형은합동인정삼각형 6개로나누어진다.정육각형의한변의길이를 acm라하면
6_ a¤ =3'3, a¤ =2
그런데 a>0이므로 a='2 (cm)
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서BC”에내린수선의발을 H라하자.BH”=x라하면 CH”=8-x
AH”¤ =(2'1å3)¤ -x¤
=6¤ -(8-x)¤
16x=80 ∴ x=5
△AHC에서 A’H”="√6¤ -3¤ =3'3
∴ △ABC= _8_3'3=12'3
C’M”=xcm라하면A’M”="√8¤ +x¤ cm, AE”="√4¤ +(2x)¤ cm△AEM이정삼각형이므로 A’M”=AE”에서"√64+x¤ ="√16+4x¤ , x¤ =16
그런데 x>0이므로 x=4(cm)
E’M”=A’M”="√8¤ +4¤ =4'5 (cm)이므로EF”="√(4'5)¤ -4¤ =8(cm)BC”=EF”=8 cm이므로 △ABC는 이등변삼각형이고 오른쪽 그림과 같이 꼭
짓점 C에서 AB”에내린수선의발을 H라하면
CH”="√8¤ -2¤ =2'1å5(cm)
∴ △ABC= _4_2'1å5
=4'1å5(cm¤ )∴(부피)=4'1å5_8=32'1å5(cm‹ )
△ABC에서 4'3：BC”=1：1 ∴ BC”=4'3(cm)△DBC에서 4'3：BD”='3：2 ∴ BD”=8 (cm)
오른쪽그림과같이꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라하면
△ABH에서AH”：4'3='3：2∴ AH”=6(cm) y`⁄
4'3cm
A
B CH60˘
8cm
D10
9
12
2cm 2cm
C
A BH
8cm 8cm
8
;2!;
A
B H8C
6132'∂
x 8-x
7
'34
6
'34
파워해설(11~30)3-2.ps 2015.3.24 10:37 PM 페이지28 MAC6
유형편파워
29
Ⅱ.피타고라스정리
따라서평행사변형 ABCD의넓이는8_6=48(cm¤ ) y`¤
△ABC에서AC”：6=1：2이므로 AC”=3(cm)AB”：6='3：2이므로 AB”=3'3 (cm)∴(색칠한부분의넓이)=△ABC
= _3'3_3
= (cm¤ )
오른쪽그림과같이크기가 30˘, 60˘인각을각각•, _로나타내면
△ABD, △ADE, △DFE는 각각세 내각의 크기가 30˘, 60˘, 90˘인직각삼각형이므로
△ABD에서 AD”：4='3：2∴ AD”=2'3△ADE에서 DE”：2'3=1：2 ∴ DE”='3
△EDF에서 EF”：'3=1：2 ∴ EF”=
두점사이의거리를구하면다음과같다.
① 'ß41 ② 'ß13 ③ 'ß13④ 'ß10 ⑤ 'ß26따라서두점사이의거리가가장짧은것은④이다.
①,② AB”="√(2+1)¤ √+(1-3)¤ ='1å3BC”="√(4-2)¤ √+(4-1)¤ ='1å3CA”="√(4+1)¤ √+(4-3)¤ ='2å6
③,④ AB”=BC”, AB”¤ +BC”¤ =CA”¤이므로△ABC는∠B=90˘인직각이등변삼각형이다.
⑤ △ABC= _AB”_BC”
= _'1å3_'1å3=
따라서옳지않은것은③, ⑤이다.
두그래프의교점의 x좌표를구하면
-x¤ =-x-2에서 x¤ -x-2=0
(x+1)(x-2)=0
∴ x=-1또는 x=2
따라서 A(-1, -1), B(2, -4)이므로AB”="√(2+1)¤ +(-4+≈1)¤ =3'2
15
132
12
12
14
13
'32
A
B
E
CD F
4
12
9'32
12
11
오른쪽그림과같이점 P와 BC”에대하여 대칭인 점을 P', 점 S와AD”에 대하여 대칭인 점을 S'이라하면거북이가이동한최단거리
는 P’'S'”의길이와같다.∴ P’'S'”="√10¤ +(√2+6+2)¤
=10'2따라서구하는최단거리는 10'2이다.
AG”="√3¤ +2¤ +6¤ =7(cm)GD”="√2¤ +6¤ =2'1å0(cm)∴(△AGD의둘레의길이)=AG”+GD”+AD”
=7+2'1å0+3=10+2'1å0(cm)
AD”=CD”=xcm라하면AB”=BC”="√x¤ +4¤ +3¤ ="√x¤ +25(cm)
AB”¤ +BC”¤ =AC”¤이므로("√x¤ +25)¤ +("√x¤ +25)¤ =(2x)¤
x¤ =25
그런데 x>0이므로 x=5(cm)∴ AC”=2x=2_5=10(cm)
BD”=BG”=DG”="√8¤ +8¤ =8'2 (cm)이므로
△BGD= _(8'2)¤ =32'3 (cm¤ )
구의반지름의길이를 rcm라하면
pr‹ =36p, r‹ =27
∴ r=3(cm)
정육면체의한모서리의길이를 acm라하면정육면체의대각선의길이는
2_3=6(cm)이므로'3a=6
∴ a=2'3(cm)
① AH”= _6=2'6 (cm)
②, ③ 점 H는 △BCD의무게중심이고
DM”= _6=3'3 (cm)이므로
MH”= DM”= _3'3='3 (cm)
④ △AMH= _'3_2'6=3'2 (cm¤ )
⑤ (부피)= _6‹ =18'2 (cm‹ )
따라서옳지않은것은 ②, ⑤이다.
'212
12
13
13
'32
'6321
43
20
'34
19
18
17
A 2
2
6
10P'
S'
PB
Q
DR
S
C
16
⁄ 평행사변형의높이구하기
¤ 평행사변형의넓이구하기
채점기준
60%
40%
배점
파워해설(11~30)3-2.ps 2015.3.24 10:37 PM 페이지29 MAC6
오른쪽그림과같이정사면체의꼭짓
점 A에서 밑면 BCD에 내린 수선의발을 H라하면
AH”= _3='6 (cm)
점 H는 △BCD의무게중심이므로
D’H”= _{ _3}='3 (cm)
구의반지름의길이를 rcm라하면 △OHD에서('3)¤ +('6-r)¤ =r¤ , 2'6r=9
∴ r= (cm)
∴ (구의지름의길이)=2r=2_ = (cm)
③ △OAH에서
OH”=øπOA”¤ -AH”¤ ="√6¤ -(2'2)¤ =2'7
AC”="√12¤ -6¤ =6'3 (cm)
∴(부피)= _p_6¤ _6'3
=72'3p (cm‹ )
원뿔모양의아이스크림컵의밑면인원의반지름의길이를
rcm라하면
2p_12_ =2pr
∴ r=3(cm) y`⁄
∴(아이스크림컵의높이)="√12¤ -3¤=3'1å5(cm) y`¤
DF”="√3¤ +4¤ =5선이지나는부분의전개도는오
른쪽그림과같으므로구하는최
단거리는 A’D'”의길이와같다.
∴AD'”="√(5+4+3)¤ +6¤=6'5
따라서구하는최단거리는 6'5이다.
1단계에서그린정삼각형의한변의길이는 AB”=1이고,2단계에서그린정삼각형의한변의길이는
A’A'”= _1= 이다. '32
'32
27
6
5 4 3
A
D D'F E
C B A'
26
90360
25
13
6cmB
A
C
12cm
l24
23
3'62
3'64
3'64
'32
23
'63
A
B
C
DO
H
3cm
rcm
22 따라서 1단계와 2단계에서그린정삼각형의한변의길이의비는
AB”：A’A'”=1： 이다.
마찬가지방법으로 A’A'”：A’A"”=1： 이고
A’A'”= 이므로 A’A"”= _ =¤
즉, 3단계에서그린정삼각형의한변의길이는¤이다.
따라서 1단계, 2단계, 3단계, y에서그린정삼각형의한
변의길이는각각 1, , ¤, y이므로 9단계에서
그린정삼각형의한변의길이는°= 이다.
마을에서출발하여다리를건너학교까지가는최단거리는
다음그림과같이생각할수있다.
∴ (최단거리)=x+2="√12¤ +5¤ +2=13+2=15(km)
캔의밑면인원의반지름의길이를 xcm라하자.[방법1]의상자는밑면의가로, 세로의길이가각각 8xcm,4xcm이고높이가 8cm이므로(8x)¤ +(4x)¤ +8¤ =28¤ , 80x¤ =720, x¤ =9
그런데 x>0이므로 x=3(cm)
따라서 [방법2]의 상자는 밑면의 가로, 세로의 길이가 각각12cm, 12cm이고높이가 8+8=16(cm)이므로(대각선의길이)="√12¤ +1√2¤ +16¤ =4'3å4(cm)
선이 지나는 부분의 전개도는
오른쪽그림과같다.
OA”：(OA”+16)=2：6=1：3
에서 OA”+16=3OA”2OA”=16 ∴ OA”=8(cm)이때∠AOA'=x˘라하면
2p_8_ =2p_2 ∴ x=90(˘)
△OBM에서∠BOM=90˘이고OB”=8+16=24(cm), O’M”=8+8=16(cm)이므로BM”="√24¤ +16¤ =8'1å3 (cm)따라서구하는최단거리는 8'1å3cm이다.
x360
OA A'
B'B
M8cm
8cm16cm 4pcm
12pcm
30
29
(7-2)km
12km
2km 2km7km +xkm
12km
마을마을다리 다리
학교 학교
28
81256
•'32
¶
•'32
¶'32
•'32
¶
•'32
¶'32
'32
'32
'32
'32
30
정답과해설_ 유형편파워
⁄ 아이스크림컵의밑면인원의반지름의길이구하기
¤ 아이스크림컵의높이구하기
채점기준
40%
60%
배점
파워해설(11~30)3-2.ps 2015.3.24 10:37 PM 페이지30 MAC6
31
Ⅲ.삼각비
유형편파워
유형편Ⅲ.삼각비
파워
1 삼각비
유형 1~4 P. 60~61
1② 2⑤ 3 4④ 5 18 6 15
7 8⑴ ⑵ 9② 10
11⑴ AH” ⑵ㄱ, ㄴ 12⑴ ⑵ '33120
2'55
25
2720
'74
'63
△ABC에서 AC”="√3¤ +2¤ ='1å3
① sinA= = ③ tanA=
④ sinC= = ⑤ cosC= =
sinA= , cosA= , tanA=
sinC= , cosC= , tanC=
CE”=8'3, EG”=8'2이고 ∠CGE=90˘이므로
△CEG에서 cosx= = =
tanA= = 이므로 AC”=9(cm)
따라서△ABC에서AB”="√3¤ +9¤ =3'1å0(cm)
cosA= = 이므로 AB”=6
△ABC에서 BC”="√(6'2)¤ -6¤ =6이므로
△ABC= _AB”_BC”= _6_6=18
AB”=x, AC”=y라하면
sinB= = ∴ y= x
△ABC에서 x¤ =10¤ +y¤이므로
x¤ =100+ x¤ , x¤ =225
그런데 x>0이므로 x=15
59
'53
'53
yx
6
12
12
'22
AB”6'25
13
3AC”4
'63
8'28'3
EG”CE”
3
ca
ab
cb
ac
cb
ab2
3'1å313
3'1å3
2'1å313
2'1å3
32
3'1å313
3'1å3
1
sinA= = 이므로 AC”=8
따라서△ABC에서
AB”="√8¤ -6¤ =2'7이므로
cosA= =
⑴ cosA= 를만족하는직각삼각형
은오른쪽그림과같으므로
BC”="(√5k)¤ √-(4çk)¤ =3k
∴ sinA= = ,
tanA= =
∴ sinA+tanA= + =
⑵ tanA=2를만족하는직각삼각형은오른쪽그림과같으므로
AC”="√k¤ +(2k)¤ ='5k
∴ sinA= = ,
cosA= =
⑵ ∴ sinA_cosA= _ =
sin(90˘-A)= 를 만족하는
직각삼각형은 오른쪽 그림과 같
으므로
BC”="(√13k)√¤ -(√12k)Ω¤ =5k
∴ tanA= =
오른쪽그림에서
sinA= , cosA= 이므로
： =1：2에서
= ∴ c=2a
△ABC에서
b="√(2a)¤ +a¤ ='5a
∴ sinC= =2'55
2a'5a
cb
2ab
cb
ab
cb
ab
C
A B
a
c
b
10
512
5k12k
A
C
B
90˘-A
12k
13k
12139
25
'55
2'55
'55
k'5k
2'55
2k'5k
A k
2k
B
C
2720
34
35
34
3k4k
35
3k5k
A
C
B4k
5k
458
'74
2'78
A B
C
68
2'7
34
6AC”7
파워해설(31~41)3-2.ps 2015.3.24 10:37 PM 페이지31 MAC6
32
정답과해설_ 유형편파워
∠HAC=∠ABC=x이므로
⑴ △AHC에서 tan x=
⑵ ㄱ. △ABH에서 cos x=
ㄴ. △AHC에서 cos x=
⑴ ∠BCA=∠BAH=x
△ABC에서 BC”="√6¤ +8¤ =10이므로
cosx= = , tanx= =
∴ cos x+tan x= + =
⑵ ∠BCA=∠BAH=x, ∠CBA=∠CAH=y
△ABC에서 BC”="√(3'3)¤ +3¤ =6이므로
sin x= = , cos y= =
∴ sin x+cos y= + ='3'32
'32
'32
3'36
'32
3'36
3120
34
45
34
68
45
810
12
AH”AC”
BH”AB”
CH”AH”
11
∠BDA=∠BAH=x
△ABD에서 BD”="√9¤ +12¤ =15이므로
sin x= = , cos x= =
∴ cos x-sin x= - =
△ABCª△EBD(AA닮음)이므로∠BCA=∠BDE=x y`⁄
따라서△ABC에서 BC”="√12¤ +5¤ =13이므로 y`¤
cos x= = y`‹513
AC”BC”
2
15
35
45
45
1215
35
915
1
△ABCª△AED(AA닮음)이므로∠ACB=∠ADE△ADE에서 AE”="√6¤ -(2'3)¤ =2'6이므로
cosB=cos(∠AED)= = ,
cosC=cos(∠ADE)= =
∴ cosB+cosC= + =
⑴ (주어진식)= _ =
⑵ (주어진식)={ +1} { -1}= -1=-
⑶ (주어진식)=2_ _1÷ =2
① (좌변)=1_'3='3
② (좌변)= ÷ = _ =
③ (좌변)= 2+{ }2= + =1
⑤ (좌변)=2_ -'3_ =1-1=0
0˘<x<75˘이므로 15˘<x+15˘<90˘
이때 cos 60˘= 이므로
x+15˘=60˘ ∴ x=45˘
⑴ △ABC에서 tan 60˘= ='3 ∴ BC”=3
△BCD에서 sin 45˘= = ∴ x=3'2
⑵ △ABC에서 cos 30˘= = ∴ AC”=3'3
△ACD에서 sin 45˘= = ∴ x=
△ABC에서 tan 30˘= =
∴ BC”=12'3(cm)
△ADC에서 tan60˘= ='3
∴ DC”=4'3(cm)∴ BD”=BC”-DC”=12'3-4'3=8'3 (cm)[다른풀이]
∠BAD=30˘이므로 △ABD는 AD”=BD”인 이등변삼각형이다.
△ADC에서 sin 60˘= = ∴ AD”=8'3(cm)
∴ BD”=AD”=8'3 cm
'32
12AD”
12DC”
'33
12BC”8
3'62
'22
x3'3
'32
AC”6
'22
3x
BC”'37
12
6
'33
12
14
34
12
}'32
{
'33
2'3
12
'32
12
5
12
12
14
34
'32
'32
12
'33
'324
'6+'33
'33
'63
'33
2'36
'63
2'66
3
한걸음더연습~ 유형 7 P. 62~63
1① 2 , 과정은풀이참조 3
4⑴ ⑵- ⑶ 2 5④ 6③
7⑴ 3'2 ⑵ 8 8'3 cm
9 12'3 cm¤ 10 11 12③
13 y=x+2
56
32
3'62
14
12
'6+'33
513
⁄ ∠BCA=x임을설명하기
¤ BC”의길이구하기
‹ cosx의값구하기
채점기준
20%
40%
40%
배점
파워해설(31~41)3-2.ps 2015.3.24 10:37 PM 페이지32 MAC6
유형편파워
33
Ⅲ.삼각비
④ sin 40˘=0.64
ㄱ. sin 0˘=0, cos 0˘=1이므로 sin 0˘+cos 0˘ㄹ. cos 0˘=1, tan0˘=0이므로 cos 0˘+tan0˘
①(좌변)=0+0=0②(좌변)=1_0=0③(좌변)=1_(1+1)=2④(좌변)=0-(1+0)_(1-0)=-1
⑤(좌변)={1+ }_{1- }=
따라서옳지않은것은 ②, ④이다.
(주어진식)=0+0+1_1=1
(주어진식)= _0+ _1+1= +1
⑤ 0˘…A…90˘일때, tan A의최솟값은 0이고최댓값은알수없다.
45˘<A<90˘일때,cos A<sin A<1이고 tan A>1이므로
cos A<sin A<tan A
sin 0˘=0, cos 0˘=1, cos 45˘= , tan 60˘='3에서
sin 0˘<sin 35˘<sin 45˘(=cos 45˘)이고, cos 45˘<cos 0˘이고,tan 45˘(=cos 0˘)<tan 60˘<tan 75˘이다.따라서작은것부터차례로나열하면
ㄷ, ㄴ, ㄹ, ㅂ, ㄱ, ㅁ이다.
0˘<x<90˘일때, 0<sinx<1이므로sinx-1<0, sinx+1>0∴(주어진식)=-(sinx-1)+(sinx+1)=2
0˘<A<45˘일때, 0<sinA<cosA이므로sinA+cosA>0, sinA-cosA<0∴(주어진식)=(sinA+cosA)+(sinA-cosA)
=2sinA
0˘<A<45˘일때, 0<tanA<1이므로 y`⁄
1+tanA>0,tanA-tan45˘=tanA-1<0 y`¤
∴ (주어진식)=(1+tanA)-(tanA-1)=2 y`‹
13
12
11
'2210
9
8
'32
'32
'227
6
12
'22
'22
5
4
3오른쪽 그림과 같이 두 꼭짓점
A, D에서 BC”에내린수선의발을각각 H, H'이라하면△ABH에서
sin 60˘= = ∴ A’H”=2'3 (cm)
cos 60˘= = ∴ BH”=2(cm)
따라서 A’D”=H’H'”=8-(2+2)=4(cm)이므로
□ABCD= _(4+8)_2'3=12'3 (cm¤ )
직선 y= x-1이점 (0, -1),
(2, 2)를지나므로오른쪽그림과같이직각삼각형을그리면
tan a= =
6x-5y+10=0에서 5y=6x+10 ∴ y= x+2
따라서 tana=(직선의기울기)= 이므로
=
구하는예각의크기를 a라하면
(직선의기울기)=tan a='3 ∴ a=60˘
구하는직선의방정식을 y=ax+b로놓으면
a=tan45˘=1
이때직선 y=x+b가점 (-2, 0)을지나므로
0=-2+b ∴ b=2
∴ y=x+2
13
12
56
1tana
65
6511
32
(높이)(밑변의길이)
O 1 3 x
y=;2#;x-1y
1
2
3
2-1
a
a
3210
12
12
BH”4
'32
A’H”4
4cm
4cm
A
H H'B C
D
2cm 2cm60˘
2'3cm
9
tan a= = =CD”
② cos x=AB” ④ sin z=sin y=AB”2
CD”1
CD”OC”1
유형 8~까다로운유형 P. 64~65
1⑤ 2②, ④ 3④ 4ㄴ, ㄷ 5②, ④
6③ 7 +1 8⑤ 9③
10ㄷ, ㄴ, ㄹ, ㅂ, ㄱ, ㅁ 11③ 12 2 sinA
13 2, 과정은풀이참조
'32
⁄ tanA의값의범위구하기
¤ 근호안의식의부호결정하기
‹ 주어진식간단히하기
채점기준
20%
40%
40%
배점
파워해설(31~41)3-2.ps 2015.3.24 10:37 PM 페이지33 MAC6
34
정답과해설_ 유형편파워
A’M”=D’M”= _6=3'3이고
오른쪽그림과같이꼭짓점 A에서D’M”에내린수선의발을 H라하면점 H는△BCD의무게중심이므로
MH”= D’M”= _3'3='3
△AMH에서 AH”="√(3'3)¤ -('3)¤ =2'6
∴ sinx= = =
7cosA-5=0, 즉 cosA= 를만족하
는직각삼각형은오른쪽그림과같으므로
BC”="√(7k)¤ -(5k)¤ =2'6k
∴ tanA= =
∠EDC=∠ABC=x
△DEC에서 DE”="√5¤ -4¤ =3이므로
sinx= , cosx=
∴ sinx-cosx= - =
△ABC에서 sin x= = 이므로 AB”=8
△ABCª△DBE(AA닮음)이므로AB”：DB”=BC”：BE”에서
8：2=2：BE” ∴ BE”=
△BDE에서 DE”=æ≠2¤ -{ }2=
또 AE”=AB”+BE”=8+ =
따라서△ADE에서
tan y= = _ =
ㄱ. (좌변)=sin60˘_tan60˘= _'3= ,
(우변)=cos30˘= 이므로(좌변)+(우변)
ㄴ. sin¤ 30˘+cos¤ 30˘={ } 2+{ }2=1
ㄷ. tan30˘= =
ㄹ. (좌변)= + , (우변)=0이므로(좌변)+(우변)
ㅁ. tan45˘-sin90˘=1-1=0따라서옳은것은ㄴ, ㄷ, ㅁ이다.
12
'32
1tan60˘
'33
'32
12
'32
32
'326
'1å517
217
'1å52
DE”AE”
172
12
'1å52
12
12
14
2AB”5
15
35
45
35
45
4
2'65
2'6k5k
A5k
7k
B
C573
2'23
2'63'3
A’H”AM”
13
13
B
A
C
M
DH
x
6
'322유형 11 P. 66
1 32˘ 2 1.0328 3④ 4 108˘
5⑴ 2.939 ⑵ 4.045 6 141.4
sin 15˘=0.2588, tan17˘=0.3057이므로x=15˘, y=17˘∴ x+y=15˘+17˘=32˘
cos 42˘=0.7431, sin 40˘=0.6428, tan 43˘=0.9325∴ cos 42˘-sin40˘+tan43˘=0.7431-0.6428+0.9325
=1.0328
cosx= =0.7314
따라서 cos 43˘=0.7314이므로 ∠x=43˘
tan53˘=1.3270이므로 x=53˘cos 55˘=0.5736이므로 y=55˘∴ x+y=53˘+55˘=108˘
⑴ cos 54˘= =0.5878 ∴ AB”=2.939
⑵ sin 54˘= =0.8090 ∴ AC”=4.045
cos 46˘= =0.6947 ∴ a=69.47
sin 46˘= =0.7193 ∴ b=71.93
∴ a+b=69.47+71.93=141.4
b100
a1006
AC”5
AB”55
4
7314100003
2
1
1④ 2 3 4 5 6④
7 , 과정은풀이참조 8 9 9cm
10 '2-1, 과정은풀이참조 11 12④ 13②
14 15 0.2229 16
17 18 2-'3 19 0'64
3+'52
'53
12
50'33
12
'1å517
15
2'65
2'23
P. 67~69중단원마무리
AB”="√6¤ -4¤ =2'5이므로
tanB= = , sinC= =
∴ tanB+sinC= + =11'515
'53
2'55
'53
2'56
2'55
42'5
1
파워해설(31~41)3-2.ps 2015.3.24 10:37 PM 페이지34 MAC6
유형편파워
35
Ⅲ.삼각비
15˘<x<60˘이므로30˘<2x<120˘ ∴ 0˘<2x-30˘<90˘ y`⁄
이때 tan30˘= 이므로
2x-30˘=30˘, 2x=60˘ ∴ x=30˘ y`¤
∴ cos 2x=cos60˘= y`‹
△ADC에서 sin 45˘= = ∴ x=5'2
△ABD에서 tan60˘= ='3 ∴ y=
∴ xy=5'2_ =
△ABD에서 sin 60˘= =
∴ AD”=3'3 (cm)따라서 △ADC에서 ∠DAC=60˘이므로
tan60˘= ='3 ∴ DC”=9(cm)
△ADC에서
tan45˘= =1 ∴ CD”=1 y`⁄
sin 45˘= = ∴ AD”='2
∴ BD”=AD”='2 y`¤
따라서△ABC에서
tanB= = = ='2-1 y`‹
'3x-y+4'3=0에서 y='3x+4'3이므로
(직선의기울기)=tana='3 ∴ a=60˘
∴ sin =sin 30˘=
① cosx=AB”② tanx=DE”③∠ACB=∠AED=y이므로 siny=AB”
12
12
a2
11
1'2+1
AC”BD”+CD”
AC”BC”
'22
1AD”
1CD”
10
DC”3'3
'32
AD”69
50'33
5'63
5'63
5'2y
'22
x108
12
'33
7
⁄ CD”의길이구하기
¤ BD”의길이구하기
‹ tanB의값구하기
채점기준
30%
30%
40%
배점
⁄ 2x-30˘의값의범위구하기
¤ x의크기구하기
‹ cos2x의값구하기
채점기준
30%
40%
30%
배점
⑤ tan y=
따라서옳은것은④이다.
② 0˘…x…90˘일때, x의크기가증가하면 cosx의값은 1
에서 0으로감소하므로
cos 30˘>cos35˘
45˘<x<90˘일때, sinx>cosx>0이므로sinx+cosx>0, cosx-sinx<0(좌변)=(sinx+cosx)+(cosx-sinx)
=2cosx
즉, 2cosx= 이므로 cosx=
이때 cosx= 를만족하는직각삼각형
은오른쪽그림과같으므로
BC”="√(3k)¤ -(2k)¤ ='5k
∴ sinx= =
∠BOA=x라하면 CD”=tanx=0.8098이때 tan39˘=0.8098이므로 x=39˘따라서△BOA에서 OA”=cos39˘=0.7771이므로AC”=OC”-OA”=1-0.7771=0.2229
위의그림에서
∠BEF=∠DEF(접은각), ∠DEF=∠BFE(엇각)이므로∠BEF=∠BFE즉, △BFE는이등변삼각형이다.BF”=BE”=DE”=6cm이고∠BPF=90˘이므로△BPF에서 PF”="√6¤ -4¤ =2'5 (cm)또점 F에서 BE”에내린수선의발을 H라하면FH”=4cm,EH”=BE”-BH”=BE”-PF”=6-2'5 (cm)따라서△EHF에서
tanx= = =
FG”=a (a>0)라하자.△BFG에서∠BGF=60˘이므로BG”=2a, BF”='3a△DGH에서∠DGH=45˘이므로GH”=DH”=BF”='3a, DG”='6a
17
3+'52
46-2'5
FH”EH”
HA
B
P
F C
DE
4cm
6cmx x
x
16
15
'53
'5k3k
B
C
A
3k
2kx
23
23
43
14
13
1DE”
파워해설(31~41)3-2.ps 2015.3.24 10:37 PM 페이지35 MAC6
36
정답과해설_ 유형편파워
△BCD에서 CD”=GH”='3a, BC”=FG”=a이므로
BD”="√a¤ +('3a)¤ =2a
즉, BD”=BG”이므로△BGD는이등변삼각형이다.따라서오른쪽그림과같이점 B에서 GD”에내린수선의발을 I라하면
cosx= = =
O’'O”=O’'A”(원의 반지름)이므로 △AOO'은 이등변삼각형이다.
∴∠O'OA=∠O'AO이때△AOO'에서∠O'OA+∠O'AO=30˘이므로∠O'OA=∠O'AO=15˘△AO'H에서
cos 30˘= = =
∴ O’'H”='3
sin 30˘= = =
∴ AH”=1따라서△AOH에서
tan15˘= =
= =2-'3
오른쪽그림과같이반지름의길이가
1인사분원에직각을제외한나머지두내각의크기가각각 x, y인직각
삼각형 ABC를그리면
sinx= = =BC”
sin y= = =AB”
cosx= = =AB”
cosy= = =BC”
tanx= , tan y=
∴ _ -tanx_tan y
= _ - _
=1-1=0
AB”BC”
BC”AB”
BC”AB”
AB”BC”
cosycosx
sin ysinx
AB”BC”
BC”AB”
BC”1
BC”AC”
AB”1
AB”AC”
AB”1
AB”AC”
BC”1
BC”AC”
B
C
A
1
x
y
19
12+'3
AH”O’O'”+O’'H”
AH”OH”
12
A’H”2
A’H”O’'A”
'32
O’'H”2
O’'H”O’'A”
18
'642a
G’I’BG”
G DI
B
x
'6a
2a 2a
'6a2
2 삼각비의활용
유형 1~4 P. 70~71
1③ 2④ 3 27'6cm‹ 4 19.4m
5 2'3 m, 과정은풀이참조 6 100('3+1)m
7 '1å3, 과정은풀이참조 8 '6å1cm 9 2'7 m
10⑴ ⑵ 8'2 11 4'6 cm 12 10'2 m4'63
cos 44˘=
∴ AB”=10cos 44˘=10_0.7193=7.193
sin 61˘= ∴ x=
HF”="√3¤ +3¤ =3'2 (cm)이므로△BHF에서 BF”=3'2 tan 60˘=3'6 (cm)∴(부피)=3_3_3'6=27'6 (cm‹ )
BC”=48 tan22˘=48_0.4040=19.392 (m)따라서등대의높이 BC를소수점아래둘째자리에서반올림하여구하면 19.4m이다.
AB”=2 tan30˘= (m) y`⁄
AC”= = (m) y`¤
따라서부러지기전의전봇대의높이는
AB”+AC”= + =2'3 (m) y`‹
△DCH에서DH”=100 tan60˘=100'3 (m)△CEH에서E’H”=100 tan45˘=100(m)따라서 B건물의높이는DH”+E’H”=100'3+100
=100('3+1)(m)
오른쪽그림과같이꼭짓점 A에서BC”에내린수선의발을 H라하면△ABH에서AH”=3'2 sin 45˘=3,
A
B 45˘
5
3'2
CH
7
E
45˘60˘
100m
D
C H
6
4'33
2'33
4'33
2cos 30˘
A
B C30˘
2m
2'335
4
3
9sin61˘
9x2
AB”101
⁄ AB”의길이구하기
¤ AC”의길이구하기
‹ 부러지기전의전봇대의높이구하기
채점기준
40%
40%
20%
배점
파워해설(31~41)3-2.ps 2015.3.24 10:37 PM 페이지36 MAC6
유형편파워
37
Ⅲ.삼각비
BH”=3'2 cos 45˘=3 y`⁄
∴ CH”=BC”-BH”=5-3=2 y`¤
따라서△AHC에서AC”="√2¤ +3¤ ='1å3 y`‹
오른쪽그림과같이꼭짓점 A에서 BC”의연장선위에내린수선의발을 H라하면∠ACH=180˘-120˘=60˘△ACH에서AH”=4 sin60˘=2'3 (cm),CH”=4 cos60˘=2(cm)∴ BH”=BC”+CH”=5+2=7(cm)
따라서 △ABH에서
AB”="√7¤ +(2'3 )¤ ='6å1(cm)
오른쪽그림과같이꼭짓점 A에서 BC”에내린수선의 발을 H라하면△AHC에서AH”=4 sin 60˘=2'3 (m),CH”=4 cos 60˘=2(m)
∴ BH”=BC”-CH”=6-2=4(m)따라서 △ABH에서AB”="√4¤ +(2'3)¤ =2'7 (m)
⑴ 오른쪽그림과같이꼭짓점 A에서 BC”에내린수선의발을 H라하면
△AHC에서AH”=4 sin 45˘=2'2따라서 △ABH에서
x= =2'2_ =
⑵ 오른쪽그림과같이꼭짓점 C에서 AB”에내린수선의발을H라하면△BCH에서CH”=16sin30˘=8따라서 △AHC에서
x= =8_ =8'22'2
CH”sin 45˘
H
A
B C30˘ 105˘
45˘
16
x
4'63
2'3
AH”sin 60˘
A
4
H45˘60˘
75˘
B C
x
10
A
B H C
4m
6m
60˘
9
A
B HC
120˘
4cm
5cm
8
오른쪽그림과같이꼭짓점 B에서AC”에내린수선의발을 H라하면△ABH에서BH”=8sin60˘=4'3 (cm)따라서 △BCH에서
BC”= =4'3_ =4'6 (cm)
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을H라하면△ACH에서AH”=10sin45˘=5'2 (m)따라서 △AHB에서
AB”= =5'2_2=10'2 (m)AH”sin 30˘
A
C B45˘
105˘
30˘
10m
H
12
2'2
BH”sin 45˘
A
B C75˘ 45˘
60˘8cm
H
11
유형 5~7 P. 72~73
1 10(3-'3)cm 2③ 3 25('3-1)cm¤
4 (3+'3)cm 5 50('3+1)m
6 50km 7⑴ 6'3 cm¤ ⑵ 18cm¤ 8④
9 120˘ 10 54cm¤ 11 16p-12'3
12 (27+9'3)cm¤
A’H”=h cm라하면
BH”=h tan 45˘=h(cm), CH”=h tan 30˘= h(cm)
BC”=BH”+CH”=h+ h
즉, {1+ }h=20에서 h=20이므로
h=20_ =10(3-'3)(cm)
크리스마스트리의높이를 hm라하면AH”=h tan35˘ (m), BH”=h tan50˘ (m)AB”=AH”+BH”=h tan35˘+h tan50˘즉, (tan35˘+tan50˘)h=4이므로
h= (m)
꼭짓점 C에서 AB”에내린수선의발을 H라하고CH”=h cm라하면AH”=h tan 45˘=h(cm), BH”=h tan 60˘='3h(cm)AB”=AH”+BH”=h+'3h, 즉 (1+'3)h=10이므로
h= =5('3-1)(cm)
∴ △ABC= _10_5('3-1)=25('3-1)(cm¤ )12
101+'3
3
4tan35˘+tan50˘
2
33+'3
3+'33
'33
'33
'33
1
⁄ AH”, BH”의길이구하기
¤ CH”의길이구하기
‹ AC”의길이구하기
채점기준
40%
20%
40%
배점
파워해설(31~41)3-2.ps 2015.3.24 10:37 PM 페이지37 MAC6
38
정답과해설_ 유형편파워
AH”=hcm라하면
BH”=h tan 45˘=h(cm), CH”=h tan 30˘= h(cm)
BC”=BH”-CH”=h- h
즉, {1- }h=2에서 h=2이므로
h=2_ =3+'3 (cm)
AD”=hm라하면BD”=h tan60˘='3h(m), CD”=h tan45˘=h(m)BC”=BD”-CD”='3h-h, 즉 ('3-1)h=100이므로
h= =50('3+1)(m)
CD”=hkm라하면AC”=h tan53˘ (km), BC”=h tan37˘ (km)AB”=AC”-BC”=h tan53˘-h tan37˘즉, (tan53˘-tan37˘)h=29에서
(1.33-0.75)h=29이므로
h= =50(km)
따라서인공위성의높이 CD는 50km이다.
⑴ △ABC= _4_6_sin 60˘=6'3 (cm¤ )
⑵ △ABC= _6_12_sin(180˘-150˘)=18(cm¤ )
△ABC= _AB”_9_sin45˘=18'2에서
_AB”_9_ =18'2 ∴ AB”=8(cm)
△ABC= _5_8_sin(180˘-C)=10'3에서
sin(180˘-C)= 이므로 180˘-∠C=60˘
∴ ∠C=120˘
△ABC에서 BC”=DE”=12cm이므로AB”=12cos 30˘=6'3 (cm)∠ABD=30˘+90˘=120˘이므로
△ABD= _6'3_12_sin(180˘-120˘)=54(cm¤ )
OC”를그으면△AOC는 O’A”=OC”인이등변삼각형이므로∠OCA=∠OAC=30˘즉, ∠AOC=180˘-(30˘+30˘)=120˘이므로
11
;2!;
10
'32
;2!;9
'22
12
128
;2!;
;2!;7
290.58
6
100'3-1
5
33-'3
3-'33
'33
'33
'33
4 S=(부채꼴 AOC의넓이)-△AOC
=p_4¤ _ - _4_4_sin(180˘-120˘)
= p-4'3
∴ 3S=3_{ p-4'3 }=16p-12'3
부채꼴의호의길이는중심각의크기에정비례하므로
μAB：μBC：μCA=3：4：5에서
∠AOB= _360˘=90˘,
∠BOC= _360˘=120˘,
∠COA= _360˘=150˘
∴ △ABC=△OAB+△OBC+△OCA
= _6_6_sin90˘
+ _6_6_sin(180˘-120˘)
+ _6_6_sin(180˘-150˘)
=18+9'3+9=27+9'3 (cm¤ )
12
12
12
53+4+5
43+4+5
33+4+5
12
163
163
12
120360
유형 8~10 P. 74~75
1 14'3 cm¤ 2 30'3 cm¤ 3 48cm¤ 4 3'2
5③ 6 32cm¤ 7 30˘ 8②
9 ab, 과정은풀이참조 10 6'3 cm¤
11 6'3 cm¤ 12 27'3 13④
'22
BD”를그으면□ABCD=△ABD+△BCD
= _2'3_4_sin(180˘-150˘)
+ _8_6_sin 60˘
=2'3+12'3=14'3 (cm¤ )
△ABC에서 AC”=6 tan 60˘=6'3 (cm)이므로□ABCD=△ABC+△ACD
= _6_6'3
+ _6'3_8_sin 30˘
=18'3+12'3=30'3 (cm¤ )
12
12
2
12
12
1
파워해설(31~41)3-2.ps 2015.3.24 10:37 PM 페이지38 MAC6
유형편파워
39
Ⅲ.삼각비
정십이각형은오른쪽그림과같이 12개의합동인이등변삼각형으로나누어지고
이등변삼각형의꼭지각의크기는
=30˘이므로
(넓이)=12_{ _4_4_sin 30˘}
=48(cm¤ )
정육각형은 오른쪽 그림과 같이 6개의
합동인 정삼각형으로 나누어지므로 정
육각형의한변의길이를 x라하면
(넓이)=6_{ _x_x_sin60˘}
=27'3에서 x¤ =18
그런데 x>0이므로 x=3'2
평행사변형의이웃하는두내각의크기의합은 180˘이므로∠B=180˘-120˘=60˘∴ □ABCD=4_6_sin 60˘
=12'3
□ABCD=8_8_sin(180˘-150˘)=32(cm¤ )
□ABCD=5_8_sinx=20에서
sinx=
따라서 ∠x는예각이므로 ∠x=30˘
□ABCD=8_10_sin45˘=40'2 (cm¤ )평행사변형의넓이는한대각선에의해이등분되므로
△ABC= □ABCD= _40'2=20'2 (cm¤ )
∴△AMC= △ABC= _20'2=10'2 (cm¤ )
평행사변형에서이웃하는두내각의크기의합은 180˘이므로∠DBC=180˘-(30˘+105˘)=45˘ y`⁄
∴△DBC= _a_b_sin45˘= ab y`¤
평행사변형의넓이는한대각선에의해이등분되므로
□ABCD=2△DBC=2_ ab= ab y`‹'22
'24
'24
12
9
12
12
12
12
8
12
7
6
5
12
60˘x
x
x
4
12
360˘12
30˘
4cm 4cm3
⁄ ∠DBC의크기구하기
¤ △DBC의넓이를 a, b를이용하여나타내기
‹ □ABCD의넓이를 a, b를이용하여나타내기
채점기준
30%
40%
30%
배점
평행사변형의넓이는두대각선에의해사등분되므로
△ABO= □ABCD
= _(8_6_sin60˘)
=6'3 (cm¤ )
□ABCD= _4_6_sin60˘=6'3 (cm¤ )
두대각선의교점을 O라하면△OBC에서∠BOA=25˘+35˘=60˘
∴□ABCD= _12_9_sin 60˘
=27'3
BD”=xcm라하면등변사다리꼴의두대각선의길이는같으므로
AC”=BD”=xcm
□ABCD= _x_x_sin(180˘-120˘)=12'3에서
x¤ =48
그런데 x>0이므로
x=4'3 (cm)
12
13
12
12
1211
14
14
10
1② 2 x=3, y=2'3 3 6.6m
4 200('3+1)m 5 520m 6 '7 cm
7 100('3+1)m 8 12('3-1)cm¤ 9④
10① 11 35'2 cm¤
12 18'3 cm¤ , 과정은풀이참조 13
14 2'2, 과정은풀이참조 15③ 16① 17 60˘
18 3.16m 19 100m 20 1000('3+1)m 21 99
35
P. 76~79중단원마무리
x=8cos42˘=8_0.7431=5.9448y=8sin42˘=8_0.6691=5.3528∴ x+y=5.9448+5.3528=11.2976
△ABH에서x=3'2cos 45˘=3AH”=3'2 sin 45˘=3따라서△AHC에서
y= =3_ =2'32'3
AH”sin 60˘
2
1
파워해설(31~41)3-2.ps 2015.3.24 10:37 PM 페이지39 MAC6
40
정답과해설_ 유형편파워
BC”=10 tan27˘=10_0.51=5.1 (m)따라서가로등의높이는
5.1+1.5=6.6 (m)
오른쪽그림과같이꼭짓점 A에서 BC”에내린수선의발을H라하면△ABH에서 ∠BAH=60˘이므로
BH”=200 tan60˘=200'3 (m)△AHC에서 ∠CAH=45˘이므로CH”=200 tan45˘=200(m)∴ BC”=BH”+CH”=200'3+200=200('3+1)(m)
비행기가시속 180km로 40초, 즉 시간동안직선경로
를날아간거리는
AB”=180_ =2(km)
∴ AC”=AB” sin 15˘=2_0.26=0.52 (km)따라서지면으로부터비행기의높이는 0.52km, 즉 520m이다.
오른쪽그림과같이꼭짓점 A에서 BC”에내린수선의발을 H라하면
△ABH에서AH”=4sin30˘=2(cm),BH”=4cos30˘=2'3 (cm)∴ CH”=BC”-BH”=3'3-2'3='3 (cm)
따라서 △AHC에서
AC”="√('3)¤ +2¤ ='7 (cm)
오른쪽그림과같이꼭짓점 B에서 AC”에내린수선의발을 H라하면△BCH에서CH”=200 cos 60˘=100(m),BH”=200 sin 60˘=100'3 (m)△ABH에서
AH”= =100'3 (m)
∴ AC”=AH”+CH”=100'3+100=100('3+1)(m)
오른쪽그림과같이꼭짓점 E에서 BC”에내린수선의발을 H라하고 EH”=hcm라하면△EBH에서BH”=h tan45˘=h(cm)
△EHC에서 CH”=h tan60˘='3h (cm)
A
B H C
DE60˘
60˘45˘ 30˘
4cm
hcm8
BH”tan45˘
A
200m
H
45˘
60˘B C75˘
7
A
B CH3'3cm
4cm
30˘
6
190
1905
200m
B C
45˘30˘A
H
4
3 이때 △ABC에서BC”=4 tan60˘=4'3 (cm)
BC”=BH”+CH”=h+'3h
즉, (1+'3)h=4'3이므로
h= =6-2'3 (cm)
∴ △EBC= _4'3_(6-2'3)
=12('3-1)(cm¤ )
AH”=hcm라하면CH”=h tan60˘='3h(cm),BH”=h tan45˘=h(cm)BC”=CH”-BH”='3h-h
즉, ('3-1)h=6이므로
h= =3('3+1)(cm)
∠A=180˘-(75˘+75˘)=30˘
∴△ABC= _3'3_3'3_sin30˘
= (cm¤ )
AE”//DC”이므로 △AED=△AEC∴□ABED=△ABE+△AED
=△ABE+△AEC=△ABC
= _10_14_sin45˘
=35'2 (cm¤ )
오른쪽그림에서 △AOB는정삼각형이므로
OB”=
=3_ =2'3 (cm) y`⁄
∴ △AOB= _2'3_2'3_sin60˘
=3'3 (cm¤ ) y`¤
따라서정육각형의넓이는
6△AOB=6_3'3=18'3 (cm¤ ) y`‹
12
2'3
OH”cos 30˘
3cm
30˘
A
O
BH12
12
11
:™4¶:
;2!;
10
6'3-1
A
B C6cmH
30˘45˘
45˘ 135˘hcm
9
12
4'31+'3
⁄ 정삼각형의한변의길이구하기
¤ 정삼각형의넓이구하기
‹ 정육각형의넓이구하기
채점기준
40%
40%
20%
배점
파워해설(31~41)3-2.ps 2015.3.24 10:37 PM 페이지40 MAC6
유형편파워
41
Ⅲ.삼각비
AE”=a(a>0)라하면정사각형 ABCD의한변의길이는2a이므로
BE”=BF”="√(2a)¤ +a¤ ='5a
□ABCD=△ABE+△EBF+△BCF+△DEF에서
(2a)¤ = _a_2a+ _'5a_'5a_sinx
+ _a_2a+ a¤
∴ sinx=
A’M”, D’M”은각각정삼각형의높이이므로
A’M”=D’M”= _2='3 y`⁄
점 H는△BCD의무게중심이므로
MH”= MD”= _'3= y`¤
△AMH에서
AH”=æ≠('3 )¤ -≠{ }2= y`‹
∴ tanx= = _ =2'2 y`›
□ABCD=AB”_14_sin(180˘-120˘)=70'3에서
7'3 AB”=70'3 ∴ AB”=10(cm)
평행사변형의넓이는두대각선에의해사등분되므로
△ABP+△CDP= □ABCD+ □ABCD
= □ABCD
= _(12_10_sin45˘)
=30'2 (cm¤ )
□ABCD= _6_8_sinx=12'3에서
sinx=
따라서∠x는예각이므로 ∠x=60˘
'32
1217
12
12
14
14
16
15
3'3
2'63
AH”MH”
2'63
'33
'33
13
13
'32
14
35
12
12
12
12
13
⁄ A’M”, D’M”의길이구하기
¤ MH”의길이구하기
‹ AH”의길이구하기
› tanx의값구하기
채점기준
20%
20%
30%
30%
배점
오른쪽그림과같이배가가장높이
올라갔을때점 P는점 P'의위치에있다.
점 P'에서 OP”에 내린 수선의 발을 H라하면OH”=12cos 35˘
=12_0.82=9.84 (m)∴ HP”=OP”-OH”=12-9.84=2.16 (m)따라서구하는높이는
1+HP”=1+2.16=3.16 (m)
△PAH에서AH”=50'6 tan30˘=50'2 (m)△ABH에서
AB”= =100(m)
따라서두지점 A, B사이의거리는 100m이다.
오른쪽그림에서 C’H'”=hm라하자.
헬리콥터가초속 200m의속력으로 10초 동안 날아간 거리는
BC”=200_10=2000(m)△AHB에서AH”=h tan45˘=h(m)△AH'C에서A’H'”=h tan60˘='3h(m)BC”=HH'”=A’H'”-A’H”='3h-h
즉, ('3-1)h=2000이므로
h= =1000('3+1)(m)
따라서헬리콥터는지면으로부터 1000('3+1)m의높이에서날고있다.
△ABC= _AB”_BC”_sinB=100이므로
AB”_BC”_sinB=200이때 AB”의길이를 10% 늘이고 BC”의길이를 10% 줄였으므로
A’'B”=1.1AB”, B’C'”=0.9BC”
∴ △A'BC'= _A’'B”_B’C'”_sinB
= _1.1AB”_0.9BC”_sinB
= _1.1_0.9_AB”_BC”_sinB
=0.495_200=99
12
12
12
1221
2000'3-1
30˘45˘
45˘ 60˘
B
A H'
C
hm
H
20
50'2cos 45˘
A
H
B45˘
60˘
P
50'6m
19
O
P
P'
12m
1m
35˘
H
18
파워해설(31~41)3-2.ps 2015.3.24 10:37 PM 페이지41 MAC6
42
정답과해설_ 유형편파워
유형편Ⅳ.원의성질
파워
1 원과직선
유형 1~3 P. 82~83
1② 2② 3③ 4② 5 8
6 , 과정은풀이참조 7① 8④ 9④
10② 11 9'5cm¤ 12 10
152
크기가같은두중심각에대한현의길이는같으므로
CD”=AB”=5cm
OA”=OB”이므로∠OBA=∠OAB=40˘∴∠AOB=180˘-2_40°=100°이때 AB”=CD”이므로∠COD=∠AOB=100˘
ㄴ. 현의길이는중심각의크기에정비례하지않으므로
AC”의길이는알수없다. ㄹ. 현의길이는중심각의크기에정비례하지않으므로
AD”+3EF”
직각삼각형 OAM에서 AM”="√5¤ -3¤ =4(cm)∴ AB”=2AM”=2_4=8(cm)
AO”= AB”= _20=10
CP”= CD”= _12=6
오른쪽그림과같이 CO”를그으면CO”=AO”=10따라서직각삼각형 COP에서x="√10¤ -6¤ =8
BD”=AD”=6cmOC”=OB”=xcm이므로 OD”=x-3(cm) y`⁄
직각삼각형 ODB에서 (x-3)¤ +6¤ =x¤ y`¤
6x=45 ∴ x= y`‹152
6
O
CP
20A B
D12 x
12
12
12
125
4
3
2
1
OC”=OA”=5cm이므로 OD”=5-1=4(cm)직각삼각형 OAD에서 AD”="√5¤ -4¤ =3(cm)∴ BD”=AD”=3cm
직각삼각형 ACD에서 AD”="√10¤ -6¤ =8(cm)원 O의반지름의길이를 rcm라하고 OA”를그으면OA”=OC”=rcm, OD”=(r-6)cm직각삼각형 OAD에서
8¤ +(r-6)¤ =r¤ , 12r=100 ∴ r= (cm)
오른쪽그림과같이원의중심 O에서AB”에내린수선의발을 H라하면
AH”=BH”= AB”= _4=2(cm)
OA”= _10=5(cm)
직각삼각형 AOH에서 OH”="√5¤ -2¤ ='2å1(cm)
∴△AOB= _4_'2å1=2'2å1(cm¤ )
원의중심을 O라하면 CM”의연장선은이원의중심 O를지난다.원 O의반지름의길이를 r라하면
직각삼각형 AOM에서6¤ +(r-4)¤ =r¤
8r=52 ∴ r=6.5
원의중심을 O라하면 HP”의연장선은이원의중심 O를지나므로직각삼각형 OAH에서
AH”="√9¤ -6¤ =3'5(cm)
또 AB”=2AH”=2_3'5=6'5(cm)
∴△APB= _6'5_3=9'5(cm¤ )
수막새의중심을 O라하면 CM”의연장선은이수막새의중심 O를지난다.수막새의반지름의길이를 r라하면직
각삼각형 OBM에서(r-2)¤ +4¤ =r¤
4r=20 ∴ r=5
∴(지름의길이)=2r=2_5=10
24rr-2
A B
C M
O
12
12
B
P
HA
3cm
O
6cm9cm11
A B6 4
r r-4
O
M
C10
12
12
12
12
A
B
O2cm
2cmH
5cm
9
253
8
7
⁄ BD”의 길이를 구하고, OD”의 길이를 x에 대한 식으로나타내기
¤ x에대한식세우기
채점기준
50%
30%
배점
‹ x의값구하기 20%
파워해설(42~64)3-2.ps 2015.3.24 10:37 PM 페이지42 MAC6
유형편파워
43
Ⅳ.원의성질
유형 4 ~ 7 P. 84~86
1⑤ 2 8 3③ 4 6
5 3'2, 과정은풀이참조 6 12cm 7 70˘ 8③
9 55˘ 10 12p cm¤ 11 80˘
12 x=12, y=13 13 3p cm¤ , 과정은풀이참조
14 120cm¤ 15 36cm 16⑤ 17③
오른쪽그림과같이원 O의중심에서AB”에내린수선의발을 M이라하면
OA”=10, O’M”= _10=5이므로
△OAM에서
A’M”="√10¤ -5¤ =5'3∴ AB”=2A’M”=2_5'3=10'3
오른쪽 그림과 같이 원 O의 중심에서AB”에내린수선의발을 M이라하고원 O의반지름의길이를 r라하면
O’A”=r, O’M”= 이고
A’M”= AB”= _8'3=4'3이므로
직각삼각형 OAM에서
(4'3)¤ +{ } 2=r¤
r¤ =64
그런데 r>0이므로 r=8
오른쪽그림과같이원 O의중심에서AB”에내린수선의발을 M이라하고원 O의반지름의길이를 r라하면
OA”=r, OM”=
직각삼각형 AOM에서
AM”=æ≠r¤ -{ }2= r
∴ AO”：OM”：AM”=2：1：'3따라서 ∠AOM=60˘이고△AOM™△BOM (RHS합동)이므로∠AOB=60˘_2=120˘
직각삼각형 OND에서
DN”="√5¤ -4¤ =3 ∴ CD”=2DN”=2_3=6이때 OM”=ON”이므로AB”=CD”=6
4
'32
r2
r2
B
A
O
Mr
r;:;2
3
r2
12
12
r2
O
A BM
2
12
O
A MB
1
OM”=ON”이므로CD”=AB”=6 y`⁄
∴ CN”= CD”= _6=3 y`¤
따라서직각삼각형 OCN에서
x="√3¤ +3¤ =3'2 y`‹
오른쪽그림과같이점 O에서 CD”에내린수선의발을 M이라하면
CM”= CD”= _16=8(cm),
OC”= _20=10(cm)이므로
직각삼각형 COM에서
OM”="√10¤ -8¤ =6(cm)이때원 O의중심에서 AB”, CD”까지의거리는같고AB”//CD”이므로두현 AB, CD사이의거리는6+6=12(cm)이다.
O’M”=ON”에서
△ABC는 AB”=AC”인이등변삼각형이므로
∠x= _(180˘-40˘)=70˘
△ABC는 AB”=AC”인이등변삼각형이므로∠C=∠B=60˘ ∴ ∠A=180˘-2_60˘=60˘따라서 △ABC는정삼각형이므로BC”=AB”=2A’M”=2_3=6(cm)
□OPCQ에서∠OPC=∠OQC=90˘이므로∠C=360˘-(110˘+90˘+90˘)=70˘△ABC는 AC”=BC”인이등변삼각형이므로
∠A= _(180˘-70˘)=55˘
OD”=OE”=OF”이므로AB”=BC”=CA”즉, △ABC는정삼각형이므로∠A=60˘
∴ ∠BAE= ∠A= _60˘=30˘12
12
B C
A
D
E
FO
30˘6cm10
12
9
8
12
7
12
12
12
B
A C
D
O
10cm 8cm
20cmM
6
12
12
5
⁄ CD”의길이구하기
¤ CN”의길이구하기
‹ x의값구하기
채점기준
35%
35%
30%
배점
파워해설(42~64)3-2.ps 2015.3.24 10:37 PM 페이지43 MAC6
44
정답과해설_ 유형편파워
△ADO에서
AD”= AB”= _6=3(cm)이므로
AO”= =3_ =2'3 (cm)
∴ (원 O의넓이)=p_AO”¤
=p_(2'3)¤ =12p (cm¤ )
∠PAO=∠PBO=90˘이므로□AOBP에서∠APB=360˘-(100˘+90˘+90˘)=80˘
PA”=PB”이므로 x=12
따라서직각삼각형 APO에서
y="√12¤ +5¤ =13
∠PAO=∠PBO=90˘이므로 y`⁄
□APBO에서∠AOB=360˘-(60˘+90˘+90˘)=120˘ y`¤
따라서색칠한부분의넓이, 즉부채꼴 AOB의넓이는
p_3¤ _ =3p (cm¤ ) y`‹
△APO는직각삼각형이므로
PA”="√17¤ -8¤ =15(cm)또△APO™△BPO(RHS합동)이므로
□APBO=2△APO=2_{ _15_8}=120(cm¤ )
PA”=PB”이고∠P=60˘이므로 △PAB는한변의길이가12cm인정삼각형이다.∴(△PAB의둘레의길이)=3_12=36(cm)
오른쪽 그림과 같이 OT”를 긋고원 O의반지름의길이를 rcm라하면 ∠PTO=90˘이고∠TPO=30˘이므로직각삼각형 TPO에서
sin 30˘= = =
2r=6+r ∴ r=6(cm)
∴ PT”= =6_ =6'3 (cm)3'3
rtan30˘
12
r6+r
TO”PO”
T
AP 6cm
30 ˘ rcm
rcm O
16
15
12
14
120360
13
12
11
2'3
AD”cos 30˘
12
12
⁄ ∠PAO, ∠PBO의크기가 90˘임을알기
¤ ∠AOB의크기구하기
‹ 색칠한부분의넓이구하기
채점기준
35%
35%
30%
배점
유형 8~9 P. 86~87
1① 2 9cm 3③ 4 4 5③ 6 16
7④ 8 4'2 9 78cm¤ , 과정은풀이참조 10152
②,③, ④원밖의한점에서그원에그은두접선의길이는
같다.
⑤ AB”+BC”+CA”=AB”+(BD”+CD”)+CA”=(AB”+BF”)+(CE”+CA”)=AF”+AE”=2AE”
AB”+BC”+CA”=AE”+AF”=2AE”이므로6+5+7=2AE”∴ AE”=9(cm)
AB”+BC”+CA”=CE”+CF”=2CF”이므로AB”+10+12=2_16∴ AB”=10[다른풀이]
AD”=AE”=CE”-CA”=16-12=4BD”=BF”=CF”-CB”=16-10=6∴ AB”=AD”+BD”=4+6=10
AB”+BC”+CA”=AE”+AF”=2AE”이므로8+x+6=2_(8+1)
∴ x=4[다른풀이]
CD”=CF”=AF”-AC”=(8+1)-6=3,BD”=BE”=1이므로x=CD”+BD”=3+1=4
(△ABC의둘레의길이)=AB”+BC”+CA”=AE”+AF”=2AE”=2_15=30(cm)
5
4
3
2
1
□AOBP에서∠APB=360˘-(120˘+90˘+90˘)=60˘OP”를그으면△AOP™△BOP(RHS합동)이므로
∠APO=∠BPO= _60˘=30˘
따라서직각삼각형 AOP에서
OA”=AP” tan30˘=6_ =2'3 (cm)'33
12
17
파워해설(42~64)3-2.ps 2015.3.24 10:37 PM 페이지44 MAC6
유형편파워
45
Ⅳ.원의성질
직각삼각형 CEO에서
CE”="√10¤ -6¤ =8∴ (△ABC의둘레의길이)=AB”+BC”+CA”
=CE”+CF”=2CE”=2_8=16
(△DPE의둘레의길이)=PD”+DE”+EP”=PA”+PB”=2PB”
이때 △DPE의둘레의길이가 8km이므로2PB”=8 ∴ PB”=4(km)따라서 P지점에서 B지점까지의거리는 4 km이다.
CD”=AD”+BC”=2+4=6오른쪽그림과같이점 D에서 BC”에내린수선의발을 H라하면 CH”=4-2=2따라서직각삼각형 DHC에서DH”="√6¤ -2¤ =4'2∴AB”=DH”=4'2
반원 O와 CD”의접점을 E라하면CD”=CE”+DE”=BC”+A’D”=4+9=13(cm) y`⁄
오른쪽그림과같이점 C에서 AD”에내린수선의발을 H라하면D’H”=9-4=5(cm) y`¤
직각삼각형 DHC에서CH”="√13¤ -5¤ =12(cm) y`‹
∴ □ABCD= _(A’D”+BC”)_CH”
= _(9+4)_12=78(cm¤ ) y`›
반원 O와 AE”의접점을 F라하고EF”=x라하면
AF”=AB”=6이고CE”=EF”=x, DE”=6-x
따라서직각삼각형 AED에서6¤ +(6-x)¤ =(6+x)¤
24x=36 ∴ x=
∴ AE”=AF”+EF”=6+ = 152
32
32
x
x
6-x6
6
6
6O
B C
A D
FE
10
12
12
D
EC
BOA
H
5cm9cm
4cm
4cm
4cm
9
A
O
CBH
D22
4
2 2
8
7
6
⁄ CD”의길이구하기
¤ DH”의길이구하기
‹ CH”의길이구하기
› □ABCD의넓이구하기
채점기준
30%
20%
20%
30%
배점
유형 10~13 P. 88~89
1③ 2⑤ 3④ 4 7 5 4
6 4cm 7 8 8⑴ 1 ⑵ p 9③
10④ 11④ 12 x=4, y=7, 과정은풀이참조
13 10cm
오른쪽그림과같이두원의중심 O에서 AB”에 내린 수선의 발을 M이라하면
AM”=BM”, CM”=DM”∴ AC”=A’M”-C’M”=BM”-DM”
=BD”=4(cm)
오른쪽그림과같이두원의중심 O에서 AB”에내린수선의발을 M이라하면
OA”=15cm, OM”=12cm이므로직각삼각형 OAM에서AM”="√15¤ -12¤ =9(cm)∴ AB”=2AM”=2_9=18(cm)
AH”= AB”= _8=4(cm)
이때큰원의반지름의길이를 acm, 작은원의반지름의길이를 bcm라하면직각삼각형 OAH에서a¤ -b¤ =4¤ =16
∴ (색칠한부분의넓이)=pa¤ -pb¤ =p(a¤ -b¤ )
=16p (cm¤ )
BE”=BD”=AB”-AD”=8-3=5AF”=AD”=3이므로CE”=CF”=AC”-AF”=5-3=2∴ BC”=BE”+CE”=5+2=7
CE”=CF”=3cm이므로BD”=BE”=9-3=6(cm)∴ AF”=AD”=10-6=4(cm)∴ x=4
CF”=x cm라하면AF”=AD”=(13-x) cm이고CE”=x cm이므로 BE”=BD”=(5-x) cm이때 AB”=AD”+BD”이므로AB”=(13-x)+(5-x)=10
2x=8
∴ x=4(cm)
6
5
4
4cm
acm
bcm
O
A BH
12
123
12cmO
AM
B15cm
2
4cmO
A BC DM
1
파워해설(42~64)3-2.ps 2015.3.24 10:37 PM 페이지45 MAC6
46
정답과해설_ 유형편파워
원 O와 △ADE의 접점을 각각P, Q, R라하고 AP”=AR”=x라
하면
DE”=DQ”+EQ”=DP”+ER”=(7-x)+(6-x)=5
2x=8 ∴ x=4
∴ (△ABC의둘레의길이)=2x=2_4=8
⑴ 직각삼각형 ABC에서AB”="√3¤ +4¤ =5원 O의반지름의길이를 r라
하면
CE”=CF”=OE”=r이므로
AD”=AF”=3-r
BD”=BE”=4-r
즉, AB”=AD”+BD”=(3-r)+(4-r)=5에서
⑵ 2r=2 ∴ r=1
⑵ (내접원 O의넓이)=p_1¤ =p
원 O의 반지름의 길이를 r라
하면 BD”=BE”=OE”=r이므
로직각삼각형 ABC에서(5+r)¤ +(r+12)¤ =17¤
r¤ +17r-60=0
(r+20)(r-3)=0
그런데 r>0이므로 r=3
AD”=AF”=3, CE”=CF”=6이므로BD”=BE”=x라하면
AB”=x+3, BC”=x+6, AC”=3+6=9따라서직각삼각형 ABC에서(x+3)¤ +9¤ =(x+6)¤
6x=54 ∴ x=9
∴ △ABC= _AB”_AC”
= _(9+3)_9=54
7+5=3+BC” ∴ BC”=9(cm)
□ABCD의둘레의길이가 20cm이므로AB”+CD”=AD”+BC”
= _20=10(cm) y`⁄
6+x=10에서 x=4 y`¤
3+y=10에서 y=7 y`‹
12
12
11
12
12
10
5
O
A
D
B EC
F5
r r
r
12
12
9
B
O
C
A
E
r rr4-r
4-r
3-r3-rD
F
8
E
O
PDA
C
B
6-x 6-x
7-x
7-xx
x R Q
7
직각삼각형 ABC에서
BC”="√(6'5)¤ -6¤ =12(cm)이때 6+CD”=4+12이므로CD”=10(cm)
13
⁄ AB”+CD”, AD”+BC”의값구하기
¤ x의값구하기
‹ y의값구하기
채점기준
40%
30%
30%
배점
유형 14~까다로운유형 P. 90
1 6 2⑴ 5cm ⑵ 1cm 3④
4 16p cm¤ 5 6 14-4'1å083
△DEC에서
EC”="√10¤ -8¤ =6BE”=x라하면 AD”=BC”=x+6
□ABED는원 O에외접하므로8+10=(x+6)+x, 2x=12
∴ x=6
⑴ BE”=x cm라하면□EBCD는원 O에외접하므로DE”+6=x+4
∴ DE”=x-2(cm)AE”=AD”-DE”
=6-(x-2)=8-x(cm)
⑵ 직각삼각형 ABE에서(8-x)¤ +4¤ =x¤
16x=80 ∴ x=5(cm)⑵ DE”=x-2=5-2=3(cm)
D’I’=D’H”= CD”= _4=2(cm)
⑵ ∴ E’I’=DE”-D’I’=3-2=1(cm)
AF”=x라하면
EF”=AF”=x, DF”=5-x
오른쪽그림과같이 BE”를그으면직각삼각형 BCE에서BE”=4이므로CE”="√5¤ -4¤ =3따라서직각삼각형 FCD에서(5-x)¤ +4¤ =(x+3)¤이므로16x=32 ∴ x=2
B C
D
4 44
5
5-xx
3
xA F
E
3
12
12
2
1
파워해설(42~64)3-2.ps 2015.3.24 10:37 PM 페이지46 MAC6
유형편파워
47
Ⅳ.원의성질
원 O'의반지름의길이를 rcm라하면O’O'”=OE”-O’'E”
=OA”-O’'C”=12-r (cm)
∠O'OC=30˘이므로△O'OC에서
sin 30˘= = =
2r=12-r
3r=12
∴ r=4 (cm)∴ (원 O'의넓이)=p_4¤ =16p (cm¤ )
반원 P의반지름의길이를 r라
하면
직각삼각형 OPQ에서4¤ +(8-r)¤ =(4+r)¤
24r=64
∴ r=
원 O'의 반지름의 길이를 r라
하면원 O의반지름의길이가
_8=4이므로
직각삼각형 OHO'에서(4-r)¤ +(6-r)¤ =(4+r)¤
r¤ -28r+36=0
그런데 0<r<4이므로
r=14-4'1å0
12
10
84-r
4r
4+r
r
6-r
A
B C
D
O
HO'
6
83
8
8-r r
r4
4
O P
Q5
12
r12-r
O’'C”O’O'”
30˘
12cm
O'D
B
E
O AC
rcm
4 오른쪽그림과같이원의중심 O에서BC”에내린수선의발을 M이라하고,OC”, OD”를그으면
C’M”= BC”= _8=4
D’M”=CD”+C’M”=6+4=10큰원의반지름의길이를 x, 작은원의반지름의길이를 y라
하면
x+y=21 y`㉠
△ODM에서 O’M”¤ =x¤ -10¤
△OCM에서 O’M”¤ =y¤ -4¤
즉, x¤ -10¤ =y¤ -4¤이므로
x¤ -y¤ =10¤ -4¤
(x+y)(x-y)=84
이식에㉠을대입하면
21(x-y)=84
∴ x-y=4 y`㉡
따라서㉠, ㉡을연립하여풀면
x=
원의중심을 O라하고원의반지름의길이를 r라하면 C’M”의연장선은 원의 중심 O를 지나므로△AOM에서4¤ +(r-3)¤ =r¤
6r=25 ∴ r=
OM”=ON”이므로 CN”=BM”=4
△OCN에서 ON”="√5¤ -4¤ =3
∴ △OCN= _4_3=6
□AMON에서∠A=360˘-(120˘+90˘+90˘)=60˘OM”=ON”이므로 AB”=AC”
∴∠B=∠C= _(180˘-60˘)=60˘
따라서 △ABC는정삼각형이므로BC”=AB”=2AM”=2_3=6(cm)
③ △AMP와 △BMP에서PA”=PB”, PM”은공통, ∠APM=∠BPM이므로△AMP™△BMP(SAS합동)∴ ∠AMP=∠BMP=90˘즉, AB”⊥OP”
④ ∠AOB+∠APB=180˘
B
PM
A
O
7
12
6
12
5
256
43
Ar
Or-3 B
C
4M
4
252
12
12
O
B C DA M3
1② 2⑤ 3 4 5④ 6②
7④ 8④ 9③
10 28p cm¤ , 과정은풀이참조 11③ 12② 13④
14 16p 15 p cm¤ 16 4p 17 142254
256
252
P. 91~93중단원마무리
오른쪽그림과같이 OB”를그으면△BMO에서BM”="√10¤ -5¤ =5'3 (cm)∴ AB”=2BM”
=2_5'3=10'3 (cm)
A
CB
O
M 10cm
5cm
2
파워해설(42~64)3-2.ps 2015.3.24 10:37 PM 페이지47 MAC6
48
정답과해설_ 유형편파워
오른쪽그림과같이 OP”를그으면△AOP™△BOP(RHS 합동)이므로
∠APO=∠BPO= _60˘=30˘
이때△AOP에서
AO”=AP” tan30˘=9_ =3'3 (cm)
또∠AOB=360˘-(60˘+90˘+90˘)=120˘∴ (색칠한부분의넓이)
=2△AOP-(부채꼴 AOB의넓이)
=2_{ _9_3'3}-p_(3'3)¤ _
=27'3-9p (cm¤ )
△TAO에서A’T”="√11¤ -5¤ =4'6 (cm)∴(△ABC의둘레의길이)=AT”+AT'”=2A’T”
=2_4'6=8'6 (cm)
CD”=CP”+PD”=BC”+AD”=7+4=11(cm)오른쪽그림과같이점 D에서 BC”에내린수선의발을 H라하면CH”=7-4=3(cm) y⁄
△DHC에서
D’H”="√11¤ -3¤ =4'7 (cm)y¤
따라서원 O의반지름의길이는
AB”= DH”= _4'7=2'7 (cm) y`‹
∴(원 O의넓이)=p_(2'7)¤ =28p (cm¤ ) y`›
AC”="√10¤ -6¤ =8오른쪽그림과같이원 O와 AB”, BC”,CA”의접점을각각 D, E, F라하고원O의반지름의길이를 r라하면
AD”=AF”=8-r
BD”=BE”=6-r
즉, AB”=(8-r)+(6-r)=10이므로
2r=4
∴ r=2
A
rr
r
8-r8-r
6-r
6-r
E
FD
CB
O
11
12
12
12
4cm
4cm
7cm
7cm
B
A D
C
OP
H
10
9
120360
12
'33
12
A
B
PO 30˘
9cm8 BE”=BD”=x라하면
AF”=AD”=10-x
BC”=BE”+CE”=x+2
AC”=AF”+CF”=(10-x)+2=12-x
즉, △ABC에서(x+2)¤ +(12-x)¤ =10¤
x¤ -10x+24=0, (x-4)(x-6)=0
그런데 0<x<5이므로 x=4
∴△ABC= _BC”_AC””= _6_8=24
△ABC에서
AB”="√15¤ -12¤ =9(cm)□ABCD에서
9+13=AD”+12
∴ AD”=10(cm)
오른쪽그림과같이원의중심 O에서현 AB에 내린 수선의 발을 M이라하면점 M은현 AB의중점이므로
BM”= AB”= _8=4
현 AB를원 O를따라한바퀴돌려다시제자리로돌아오게할때, 점 M은움직이면서원을그린다.
즉, 현 AB가움직이면서지나간부분의넓이는원 O의넓이에서 OM”을반지름으로하는원의넓이를빼어서구할수있다.
OB”=a, OM”=b라하면직각삼각형 OBM에서a¤ =b¤ +4¤ , a¤ -b¤ =16
따라서현 AB가움직이면서지나간부분의넓이는pa¤ -pb¤ =p(a¤ -b¤ )=16p
△ADO에서
AD”="√(18-5)¤ -5¤ =12(cm)△ADOª△AHB(AA닮음)이므로DO”：HB”=AD”：AH”5：HB”=12：18
∴ HB”= (cm)
이때 AE”=AD”=12cm이고
△AEOª△AHC(AA닮음)이므로 CH”= cm이다.
따라서지면에비친공의그림자는 BC”를지름으로하는원모양이므로
(그림자의넓이)=p_{ }2= p(cm¤ )2254
152
152
152
5cm
18cm
O
B H C
A
D E
15
12
12
a
b O
4M
A
B14
13
12
12
12
⁄ CD”, CH”의길이구하기
¤ DH”의길이구하기
‹ 원 O의반지름의길이구하기
› 원 O의넓이구하기
채점기준
25%
25%
25%
25%
배점
파워해설(42~64)3-2.ps 2015.3.24 10:37 PM 페이지48 MAC6
유형편파워
49
Ⅳ.원의성질
∠OAF= _60˘=30˘이고
AF”= AE”= _6=3이므로
OA”= =3_ =2'3
또 EH”=6 sin 60˘=6_ =3'3
이고 OA”=OE”이므로OH”=EH”-OE”=3'3-2'3='3
이때 AH”= AD”= _6=3이고
AH”=DH”, BH”=CH”, AB”=BC”이므로
AB”=BC”=CD”= _6=2
BH”=AH”-AB”=3-2=1
따라서△OBH에서 OB”=ø(π'3)¤ +1¤ =2이므로(작은원의넓이)=p_2¤ =4p
AG”=x라하면
BH”=BG”=20-x
CJ”=CI”=CH”=16-(20-x)
=x-4
DL”=DK”=DJ”=12-(x-4)
=16-x
EN”=EM”=EL”=10-(16-x)=x-6
FP”=FN”=8-(x-6)=14-x
한편 AG”=AI”=AK”=AM”=AP”=x이므로
AF”=AP”+FP”=x+(14-x)=14
A F
E
D
C
B
H
G
I K L
M
NP
20
1612
10
8
J
17
13
12
12
'32
2'3
AF”cos 30˘
12
12
A B C
O
H
F
D
30˘
6
E1216
∠AOB=2∠APB=2_36˘=72˘원 O의반지름의길이를 r cm라하면
2pr_ =8p ∴ r=20(cm)
∴(원 O의넓이)=p_20¤ =400p(cm¤ )
OP”를그으면△OPA에서∠OPA=∠OAP=18˘△OBP에서∠OPB=∠OBP=34˘∴∠APB=18˘+34˘=52˘∴∠x=2×52˘=104˘
BC”를그으면
∠ABC= ∠AOC
= _130˘=65˘
∠BCD= ∠BOD
= _50˘=25˘
△BCP에서65˘=25˘+∠P ∴∠P=40˘
∠x=2∠P=2_75˘=150˘
∠y= _(360˘-150˘)=105˘
∠APB= _260˘=130˘
∠AOB=360˘-260˘=100˘□AOBP에서∠x=360˘-(130˘+68˘+100˘)=62˘
AB”=AC”이므로∠ACB=∠ABC=28˘ y`⁄
따라서△ABC에서∠BAC=180˘-2_28˘=124˘ y`¤
∴∠x=2∠BAC=2_124˘=248˘ y`‹
오른쪽그림과같이 OA”, OB”를그으면
∠AOB=2∠C=2_70˘=140˘
∠PAO=∠PBO=90˘∴∠P=360˘-(140˘+90˘+90˘)=40˘
70˘
A
B
OP C
8
7
126
12
5
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;130˘
50˘
65˘
25˘
P
A
O
C
B
D
4
O
P
B
Ax
18˘18˘
34˘
3
72360
2
2 원주각
유형 1~4 P. 94~95
1② 2 400p cm¤ 3③ 4 40˘
5∠x=150˘, ∠y=105˘ 6④
7 248˘, 과정은풀이참조 8 40˘ 9 105˘
10⑴ 58˘ ⑵ 58˘ 11④ 12 16˘ 13② 14 70˘
OB”를그으면∠AOB=2∠AEB=2_30˘=60˘∠BOC=2∠BDC=2_20˘=40˘∴ ∠x=∠AOB+∠BOC=60˘+40˘=100˘
1
⁄ ∠ACB의크기구하기
¤ ∠BAC의크기구하기
‹ ∠x의크기구하기
채점기준
30%
35%
35%
배점
파워해설(42~64)3-2.ps 2015.3.24 10:37 PM 페이지49 MAC6
[다른풀이]
∠BAC=∠BDC=58˘이므로AC”와 BD”의교점을 P라하면∠APB=180˘-(58˘+42˘)=80˘∠ADB=∠ACB=∠y이므로
△APD에서 ∠x+∠y=80˘
한호에대한원주각의크기는모두같
으므로
∠BDC=∠BEC=∠e
∠ECD=∠EBD=∠b
따라서 △ACD에서∠a+∠b+∠c+∠d+∠e=180˘
∠BAC=∠BDC=∠x
△BQD에서 ∠ABD=30˘+∠x이므로
△ABP에서 70˘=∠x+(30˘+∠x) ∴ ∠x=20˘
∠BCD=90˘, ∠BDC=∠BAC=55˘이므로△DBC에서∠DBC=180˘-(55˘+90˘)=35˘
∠BCD=90˘, ∠ACD=∠ABD=50˘이므로∠ACB=90˘-50˘=40˘
∠DBC=∠DAC=∠x이고
∠ABC=90˘이므로∠x=90˘-56˘=34˘ y`⁄
△EBC에서 80˘=34˘+∠y
∴ ∠y=46˘ y`¤
∴ ∠y-∠x=46˘-34˘=12˘ y`‹
∠AED=90˘, ∠DAE=∠DBE=30˘△ADE에서∠ADE=180˘-(30˘+90˘)=60˘∴∠ACE=∠ADE=60˘
BC”를그으면 ∠ACB=90˘, ∠DCB=∠DEB=47˘∴ ∠ACD=90˘-47˘=43˘
AD”를그으면
∠CAD= ∠COD
= _60˘=30˘
∠ADB=90˘이므로 △ADE에서∠E=180˘-(30˘+90˘)=60˘
;2!;
;2!;
60˘
A O B
DC
E
30˘
9
8
7
6
5
4
3
ab
cb e
d
e
A
B
C D
E
2
50
정답과해설_ 유형편파워
오른쪽그림과같이 OA”, OB”를그으면 □APBO에서∠AOB=360˘-(30˘+90˘+90˘)=150˘
∴∠x= _(360˘-150˘)=105˘
⑴ ∠PAO=∠PBO=90˘이므로∠AOB=360˘-(64˘+90˘+90˘)=116˘
∴∠ACB= ∠AOB= _116˘=58˘
⑵ OA”=OB”이므로
∠BAO=∠ABO= _(180˘-116˘)=32˘
∴∠PAB=90˘-32˘=58˘
① ∠CAP=∠BDP( μBC에대한원주각)② ∠ACP=∠DBP( μAD에대한원주각)③ △ACP에서∠CPB=∠CAP+∠ACP④ ∠A와 ∠B의크기(또는∠C와∠D의크기)를비교할수없으므로 μAD=μBC인지알수없다.
⑤ △ACP와 △DBP에서∠A=∠D, ∠C=∠B이므로△ACPª△DBP(AA닮음)
따라서옳지않은것은 ④이다.
∠x=∠DCB=50˘, ∠y=∠ADC=34˘∴ ∠x-∠y=50˘-34˘=16˘
∠ABC=∠ADC=45˘△ECB에서 70˘=∠x+45˘ ∴ ∠x=25˘
QB”를그으면∠AQB=∠APB=40˘, ∠BQC=∠BRC=30˘∴∠AQC=∠AQB+∠BQC=40˘+30˘=70˘
14
13
12
11
12
12
12
10
12
30˘P
A
B
Ox
9
한걸음더연습~유형 6 P. 96~97
1② 2⑤ 3④ 4 35˘ 5③
6 12˘, 과정은풀이참조 7③ 8③ 9③
10 11 3'3 12 6p-9'3'53
∠ADB=∠ACB=∠y, ∠ACD=∠ABD=42˘이므로△ACD에서∠x+(∠y+58˘)+42˘=180˘∴ ∠x+∠y=80˘
1
⁄ ∠x의크기구하기
¤ ∠y의크기구하기
‹ ∠y-∠x의값구하기
채점기준
40%
40%
20%
배점
파워해설(42~64)3-2.ps 2015.3.24 10:37 PM 페이지50 MAC6
유형편파워
51
Ⅳ.원의성질
유형 7~9 P. 98~100
1② 2 46˘ 3 66˘ 4 40˘ 5⑤ 6②
7 35˘, 과정은풀이참조 8 30˘ 9 80˘ 10③
11④ 12∠A=60˘, ∠B=75˘, ∠C=45˘ 13①
14 배 15③ 16 45˘, 과정은풀이참조 17②736
μAB=μBC이므로 ∠ADB=∠BAC=30˘
μAC=μBD이므로 ∠DCB=∠ABC=23˘△PCB에서 ∠x=23˘+23˘=46˘
μAD=μCD이므로 ∠DBC=∠ABD=32˘∠BAC=∠BDC=50˘△ABC에서∠ACB=180˘-(50˘+32˘+32˘)=66˘
BC”를그으면 ∠ACB=90˘
μAD=μCD이므로 ∠CBD=∠DBA=25˘△CAB에서∠CAB=180˘-(90˘+25˘+25˘)=40˘
4
3
2
1
오른쪽 그림과 같이 BO”의 연장선이 원O와만나는점을 A'이라하면∠BA'C=∠BAC이때∠A'CB=90˘이므로
△A'BC에서 A’'C”="√6¤ -4¤ =2'5
∴ cosA=cosA'= = =
오른쪽 그림과 같이 점 B를 지나는 지름이원 O와만나는점을 A'이라하면∠BA'C=∠BAC=60˘∠A'CB=90˘원 O의반지름의길이를 r라하면
직각삼각형 A'BC에서
r= A’'B”= _ = _9_ =3'3
∠BOC=2∠BAC=2_30˘=60˘이고∠OBC=∠OCB이므로 △OBC는정삼각형이다.∴ (색칠한부분의넓이)
=(부채꼴 OBC의넓이)-(삼각형 OBC의넓이)
=p_6¤ _ - _6_6_sin 60˘
=6p-9'3
12
60360
12
2'3
12
BC”sin 60˘
12
12
B C
AA'
O
60˘
9
r60˘
11
'53
2'56
A’'C”B’A'”
O
43
A
B C
A'10 μAC：μBC=∠APC：∠BQC이므로9：3=∠x：20˘ ∴ ∠x=60˘
∠ACB=90˘이므로∠BAC=180˘-(25˘+90˘)=65˘μAC：μBC=∠ABC：∠BAC이므로10：μBC=25˘：65˘ ∴ μBC=26(cm)
△CAB에서∠ACB=90˘이므로 y`⁄
∠ABC=180˘-(90˘+20˘)=70˘ y`¤
μCD：®ADC=∠CAD：∠ABC이므로1：2=∠CAD：70˘ ∴ ∠CAD=35˘ y`‹
μAB：μCD=∠ACB：∠CAD이므로2：4=30˘：∠CAD∴ ∠CAD=60˘△APC에서60˘=∠P+30˘ ∴ ∠P=30˘
μAC：μBD=2：1즉, μAC=2μBD이므로∠BCD=∠x라하면
∠ABC=2∠x
△PCB에서120˘=∠x+2∠x
∴ ∠x=40˘∴ ∠ABC=2∠x=2_40˘=80˘
△ABC에서∠BAC=180˘-(95˘+47˘)=38˘
∠BAC：∠ABC=μBC：®CDA이므로
38˘：95˘= μBC：®CDA
∴ ®CDA= μBC
따라서 μBC 부분을가는데 4분이걸렸으므로 ®CDA 부분
을가는데 4_ =10(분)이걸린다. 52
52
10
9
8
7
6
5
⁄ ∠ACB의크기구하기
¤ ∠ABC의크기구하기
‹ ∠CAD의크기구하기
채점기준
30%
30%
40%
배점
파워해설(42~64)3-2.ps 2015.3.24 10:37 PM 페이지51 MAC6
AD”를그으면
∠BAD=180˘_ =15˘ y`⁄
μAC=2μBD이므로∠CDA=2_15˘=30˘ y`¤
△PAD에서∠BPD=∠BAD+∠CDA
=15˘+30˘=45˘ y`‹
오른쪽그림과같이 AD”를긋고∠ADC=∠x, ∠DAB=∠y라
하면
△PAD에서 ∠x+∠y=30˘따라서 μAC, μBD에대한원주각의크기의합이 30˘이므로
μAC+μBD=2p_9_ =3p (cm)30180
A
BCO
30˘D
P
xy17
112
16
52
정답과해설_ 유형편파워
μAB：μCD=11：4이므로∠ADB：∠CAD=11：4
∴ ∠CAD= ∠ADB
△AQD에서
75˘= ∠ADB+∠ADB
∠ADB=75˘
∴ ∠ADB=55˘
∠CAD= ∠ADB= _55˘=20˘
∠ACB=∠ADB=55˘따라서 △ACP에서20˘+∠P=55˘ ∴ ∠P=35˘
호의길이는원주각의크기에정비례하므로
μAB：μBC：μCA=∠C：∠A：∠B=3：4：5
∴ ∠A=180˘_ =60˘,
∠B=180˘_ =75˘,
∠C=180˘_ =45˘
△ACP에서 100˘=∠CAP+40˘ ∴ ∠CAP=60˘한원에서모든호에대한원주각의크기의합은 180˘이므로60˘：180˘=8：(원의둘레의길이)∴ (원의둘레의길이)=24(cm)
μCD의길이가원주의 배이므로
∠CAD= _180˘=48˘
△ABD에서∠BAC=180˘-(45˘+48˘+52˘)=35˘
따라서 μBC의길이는원주의 = (배)이다.
AD”를그으면
( μAB에대한원주각)=∠ADB=180˘_ =30˘
( μCD에대한원주각)=∠DAC=180˘_ =45˘
∴ ∠x=∠ADB+∠DAC=30˘+45˘=75˘
14
16
15
736
35180
415
41514
13
33+4+5
53+4+5
43+4+5
12
411
411
1511
411
411
11
⁄ ∠BAD의크기구하기
¤ ∠CDA의크기구하기
‹ ∠BPD의크기구하기
채점기준
35%
35%
30%
배점
유형 10~11 P. 100~101
1④, ⑤ 2 20˘ 3③ 4④ 5⑤ 6③
7 67˘ 8 40˘ 9 10˘, 과정은풀이참조
10 140˘
④ AB”에대하여∠C=∠D=55˘이므로네점 A, B, C,D는한원위에있다.
⑤ ∠D=100˘-40˘=60˘즉, BC”에대하여∠A=∠D=60˘이므로네점 A, B,C, D는한원위에있다.
∠ACB=∠ADB=50˘이므로△EBC에서 70˘=∠x+50˘ ∴ ∠x=20˘
∠DBC=∠DAC=62˘△PBD에서35˘+∠D=62˘ ∴∠D=27˘
△ACD에서 ∠D=180˘-(48˘+50˘)=82˘□ABCD에서 ∠x+82˘=180˘∴ ∠x=98˘
4
3
2
1
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유형편파워
53
Ⅳ.원의성질
△ABC에서 ∠ABC= _(180˘-38˘)=71˘
□ABCD에서 ∠x=180˘-71˘=109˘
∠BAC=90˘이고 □ABCD에서∠ABC+120˘=180˘ ∴∠ABC=60˘
직각삼각형 ABC에서 BC”= =3_ =2'3
따라서 BO”= _2'3='3이므로
(원 O의넓이)=p_('3)¤ =3p
□ABCD에서∠C=180˘-∠DAB=180˘-110˘=70˘이므로△PCD에서 ∠D=180˘-(43˘+70˘)=67˘[다른풀이]
△APB에서 ∠ABP=110˘-43˘=67˘∴∠D=180˘-∠ABC=∠ABP=67˘
□ABCD에서∠BAD=180˘-∠BCD=∠DCE=120˘이므로∠DAC=120˘-70˘=50˘∠DBC=∠DAC=50˘이고 ∠ABC=90˘이므로∠ABD=90˘-50˘=40˘
∠BAC=∠BDC=50˘(50˘+∠x)+100˘=180˘ ∴ ∠x=30˘ y`⁄
∠ACD=∠ABD=∠y이므로
△ACD에서 ∠x+60˘+50˘+∠y=180˘∴ ∠y=180˘-(30˘+60˘+50˘)=40˘ y`¤
∴ ∠y-∠x=40˘-30˘=10˘ y`‹
OB”’를그으면△OAB와△OCB는각각이등변삼각형이므로∠OBA=∠OAB=70˘, ∠OBC=∠OCB=30˘∴ ∠ABC=70˘-30˘=40˘□ABCD에서∠ADC=180˘-40˘=140˘
10
9
8
7
12
2'3
AC”sin 60˘
6
125
⁄ ∠x의크기구하기
¤ ∠y의크기구하기
‹ ∠y-∠x의값구하기
채점기준
40%
40%
20%
배점
유형 12~14 P. 102~103
1⑤ 2④ 3③ 4⑤
5 205˘, 과정은풀이참조 6 360˘ 7①, ③ 8③
9③ 10풀이참조 11 6개
∠B=∠x라하면
∠CDQ=180˘-∠ADC=∠B=∠x
△PBC에서∠PCQ=∠x+21˘△DCQ에서∠x+(∠x+21˘)+33˘=180˘ ∴ ∠x=63˘
∠B=∠x라하면
∠CDQ=180˘-∠ADC=∠B=∠x
△PBC에서∠PCQ=∠x+25˘△DCQ에서∠x+(∠x+25˘)+35˘=180˘ ∴ ∠x=60˘∴ ∠ADC=180˘-∠x
=180˘-60˘=120˘
□ABCD에서∠ABC=180˘-∠ADC=180˘-105˘=75˘∠AQB=∠x라하면△ABQ에서∠PAD=75˘+∠x
또∠ADP=180˘-∠ADC=180˘-105˘=75˘이므로△PAD에서15˘+(75˘+∠x)+75˘=180˘ ∴∠x=15˘
오른쪽그림과같이 BD”를그으면∠BDE=180˘-80˘=100˘이므로∠BDC=140˘-100˘=40˘∴∠x=2∠BDC=2_40˘=80˘
오른쪽그림과같이 AD”를그으면
∠ADE= ∠AOE
= _50˘=25˘ y`⁄
□ABCD는원에내접하므로∠B+∠ADC=180˘ y`¤
∴ ∠B+∠D=(∠B+∠ADC)+∠ADE=180˘+25˘=205˘ y`‹
;2!;
;2!;
A
B
C
O D
E
50˘25˘
5
80˘ OA E
D
B C
x100˘
40˘
4
3
2
1
⁄ ∠ADE의크기구하기
¤ ∠B+∠ADC의값구하기
‹ ∠B+∠D의값구하기
채점기준
35%
35%
30%
배점
파워해설(42~64)3-2.ps 2015.3.24 10:37 PM 페이지53 MAC6
54
정답과해설_ 유형편파워
오른쪽그림과같이 BE”를그으면□ABEF와 □BCDE는각각원에내접하므로
∠A+∠BEF=180˘,∠C+∠BED=180˘∴ ∠A+∠C+∠E
=(∠A+∠BEF)+(∠C+∠BED)=180˘+180˘=360˘
① ∠ABD=180˘-(60˘+80˘)=40˘이므로∠ABD=∠ACD
② ∠BAC+∠BDC③ ∠B=180˘-(30˘+50˘)=100˘이므로∠B+∠D=180˘
④ ∠A+∠C=190˘+180˘⑤ ∠ADC=∠ABC=180˘-75˘=105˘이므로∠ADC+∠ABC=210˘+180˘
따라서 □ABCD가원에내접하는것은①, ③이다.
△ABC에서∠B=180˘-(45˘+35˘)=100˘따라서 ∠B+∠D=180˘이어야 하므로∠D=180˘-∠B=180˘-100˘=80˘
ㄱ. 직사각형은네내각의크기가모두 90˘이므로대각의크기의합이 180˘이다.
ㅁ. 등변사다리꼴은윗변과아랫변의양끝각의크기가각각
같으므로대각의크기의합이 180˘이다.따라서항상원에내접하는사각형은ㄱ, ㅁ이다.
∠A=2a, ∠B=2b, ∠C=2c, ∠D=2d라하면
2(a+b+c+d)=360˘ ∴ a+b+c+d=180˘∠F=180˘-(b+c), ∠H=180˘-(a+d) y`⁄
∠F+∠H=360˘-(a+b+c+d)
=360˘-180˘=180˘ y`¤
즉, 한쌍의대각의크기의합이 180˘이므로 □EFGH는원에내접한다. y`‹
⁄ 한쌍의대각의크기의합이 180˘인경우□AFHE, □BDHF, □CEHD의 3개
¤ 한변에대하여같은쪽에있는두각의크기가 90˘로같은경우
□ABDE, □AFDC, □FBCE의 3개따라서 ⁄, ¤에서구하는사각형은 3+3=6(개)
11
10
9
8
7
A
B
C
D
E
F6
⁄ □EFGH의두대각의크기구하기
¤ □EFGH의두대각의크기의합구하기
‹ □EFGH가원에내접함을설명하기
채점기준
35%
35%
30%
배점
유형 15~16 P. 104~105
1 PQC, PQC, 엇각 2 58˘ 3②, ④ 4③ 5⑤
6 86˘ 7 200˘ 8② 9④
10 40˘, 과정은풀이참조 11② 12④
□PQCD가원에내접하므로∠AQP=180˘-∠PQC=∠PDC=58˘∴∠ABP=∠AQP=58˘
∠BQP=180˘-∠BAP=180˘-105˘=75˘
에서∠PQC=180˘-∠BQP=180˘-75˘=105˘
∠PDC=180˘-∠PQC=180˘-105˘=75˘(④)
에서∠PDE=180˘-∠PDC=180˘-75˘=105˘즉, ∠BAD=∠PDE로엇각의크기가같으므로AB”//CD”(②)
△GDC에서∠DCG=180˘-(75˘+20˘)=85˘∴ ∠A=180˘-∠BCD=∠DCG=85˘
□ABQP에서∠DPQ=180˘-∠APQ=∠ABQ=95˘□PQCD에서∠DCQ=180˘-∠DPQ
=180˘-95˘=85˘∴ ∠DO'Q=2∠DCQ=2_85˘=170˘
□ABCD에서∠DCF=180˘-∠BCD=∠BAD=∠x
□DCFE에서∠FEH=180˘-∠DEF=∠DCF=∠x
□EFGH에서∠FEH+94˘=180˘ ∴∠FEH=180˘-94˘=86˘∴∠x=∠FEH=86˘
∠x=40˘∠y=180˘-(60˘+40˘)=80˘∠z=∠y=80˘∴ ∠x+∠y+∠z=40˘+80˘+80˘=200˘
∠BAC=∠CBT=72˘이므로∠BOC=2∠BAC=2_72˘=144˘△OBC는 OB”=OC”인이등변삼각형이므로
∠OCB= _(180˘-144˘)=18˘12
8
7
6
5
4
A
B
Q C
DE
P105˘
O O'
3
2
파워해설(42~64)3-2.ps 2015.3.24 10:37 PM 페이지54 MAC6
유형편파워
55
Ⅳ.원의성질
∠ATP=∠ABT이므로∠BTP=∠BTA+∠ATP=∠BTA+∠ABT
=180˘-∠BAT=180˘-45˘=135˘[다른풀이]
∠BTQ=∠BAT=45˘이므로∠BTP=180˘-∠BTQ
=180˘-45˘=135˘
∠x=180˘-∠D=180˘-100˘=80˘ y`⁄
∠BCA=∠BAT=60˘이므로 y`¤
△ABC에서 ∠y=180˘-(60˘+80˘)=40˘ y`‹
∴∠x-∠y=80˘-40˘=40˘ y`›
∠ABT=∠ATP=∠x이므로
△BPT에서 75˘=∠x+35˘ ∴ ∠x=40˘[다른풀이]
∠BAT=∠BTQ=75˘이므로△APT에서 75°=35˘+∠x ∴ ∠x=40˘
∠x=∠ABT이고
∠ABT=180˘_ =65˘이므로∠x=65˘1315+8+13
12
11
10
45˘
O
P
A
B
TQ
9
한걸음더연습~한걸음더연습 P. 106~107
1④ 2 55˘ 3④ 4 109˘ 5 35˘ 6 47˘
7 (18+6'3)cm, 과정은풀이참조 8 40˘ 9 5
10 60˘ 11③ 12② 13① 14③
PA”=PB”이므로
∠PAB=∠PBA= _(180˘-36˘)=72˘
∠ABQ=∠x이고 μAQ=μBQ이므로∠BAQ=∠ABQ=∠x
∴∠x= _(180˘-72˘)=54˘
BD”=BE”이므로△DBE에서
∠DEB= _(180˘-50˘)=65˘
∴ ∠DFE=∠DEB=65˘
12
2
12
12
1
따라서△DEF에서∠DEF=180˘-(60˘+65˘)=55˘
∠ADB=∠ABE=30˘
∠ADC= ∠AOC= _110˘=55˘
∴∠BDC=∠ADC-∠ADB=55˘-30˘=25˘
오른쪽그림과같이 AT”를긋고∠ABT=∠x라하면
∠ATP=∠ABT=∠x
AB”=BT”이므로△APT에서∠BTA=∠BAT=33˘+∠x
△BAT에서∠x+(33˘+∠x)+(33˘+∠x)=180˘3∠x=114˘ ∴ ∠x=38˘∠BAT=33˘+∠x
=33˘+38˘=71˘이고 □ATCB는원에내접하므로71˘+∠BCT=180˘ ∴ ∠BCT=109˘
∠ADB=∠ABT=∠x
∠ABD=90˘□ABCD에서∠A+125˘=180˘ ∴ ∠A=55˘△ABD에서∠x=180˘-(55˘+90˘)=35˘
CT”를그으면∠ATC=90˘이므로△ATC에서∠ACT=180˘-(21˘+90˘)=69˘이때 ∠ATP=∠ACT=69˘이므로∠ATB=180˘-(∠ATP+∠BTQ)
=180˘-(69˘+64˘)=47˘[다른풀이]
CT”를그으면∠ATC=90˘이때 ∠CTQ=∠CAT=21˘이므로∠BTC=64˘-21˘=43˘∴∠ATB=∠ATC-∠BTC
=90˘-43˘=47˘
6
5
x
xP
AC
T
B
33˘O
4
12
12
3
⁄ ∠x의크기구하기
¤ ∠BCA의크기구하기
‹ ∠y의크기구하기
› ∠x-∠y의값구하기
채점기준
30%
30%
30%
10%
배점
파워해설(42~64)3-2.ps 2015.3.24 10:37 PM 페이지55 MAC6
56
정답과해설_ 유형편파워
∠BAP=∠BPT=60˘이고∠ABP=90˘이므로 △APB에서
BP”=AP” sin 60˘=12_ =6'3 (cm) y`⁄
AB”=AP” cos 60˘=12_ =6(cm) y`¤
따라서 △APB의둘레의길이는12+6'3+6=18+6'3 (cm) y`‹
AT”를그으면 ∠ATB=90˘이고∠ATP=∠ABT=25˘이므로 △BPT에서25˘+∠x+(25˘+90˘)=180˘ ∴ ∠x=40˘[다른풀이]
∠ATB=90˘이므로 ∠BAT=180˘-(90˘+25˘)=65˘∠ATP=∠ABT=25˘이므로 △APT에서∠x+25˘=65˘ ∴∠x=40˘
오른쪽그림과같이점 O를지나는AB'”을그으면∠AB'T=∠ABT
=∠ATP=∠x
△B'AT에서∠ATB'=90˘이므로
tanx= = ∴ B’'T”=8
△ATB'에서
A’B'”="√6¤ +8¤ =10
∴(원 O의반지름의길이)= _10=5
∠BTP=∠a라하면 ∠BAT=∠BTP=∠a이고
∠ATB=90˘이므로 △ATP에서∠a+(90˘+∠a)+30˘=180˘∴ ∠a=30˘따라서△ATB에서∠ABT=180˘-(30˘+90˘)=60˘
BT”를그으면 ∠ATB=90˘이고∠BTP=∠BAT=30˘이므로△APT에서 ∠APT=180˘-(30˘+90˘+30˘)=30˘즉, △APT는이등변삼각형이므로 AT”=PT”=7'3 cm△ATB에서
BT”=AT” tan30˘=7'3_ =7(cm)
이때 △BPT는이등변삼각형이므로 BP”=BT”=7cm
'33
11
10
12
34
6B’'T”
OA
B
PT
6x
x
xB'
9
8
12
'32
7 ∠APC=90˘, ∠ACP=∠APQ=58˘이므로△PAC에서 ∠PAC=180˘-(90˘+58˘)=32˘△PAB에서 58˘=32˘+∠x ∴ ∠x=26˘
CT”를그으면 ∠BTC=90˘이고∠BCT=∠BAT=55˘△BCT에서∠CBT=180˘-(55˘+90˘)=35˘한편 ∠CTP=∠CBT=35˘이므로△CPT에서∠P+35˘=55˘ ∴∠P=20˘
△BAC와 △BCD에서∠BCA=∠BDC=90˘이고∠BAC=∠BCD이므로△BACª△BCD(AA닮음)이때 BA”：BC”=BC”：BD”이므로8：BC”=BC”：6, BC”¤ =48그런데 BC”>0이므로 BC”=4'3 (cm)∴ AC”：CD”=B’A”：BC”=8：4'3=2：'3
14
OA T
B
C
P
55˘
13
12
⁄ BP”의길이구하기
¤ AB”의길이구하기
‹ △APB의둘레의길이구하기
채점기준
40%
40%
20%
배점
유형 18~20 P. 108~110
1⑤ 2⑤ 3③ 4 60˘ 5 40˘ 6②
7③ 8 2 9 5 10 22 11 3 12 6
13 '1å0cm 14 4'2cm 15② 16④
17 5cm 18 p cm¤1212
∠A=∠BPT(접선과현이이루는각)=∠DPS(맞꼭지각)=∠DCP(접선과현이이루는각)
① ②
④동위각의크기가같다. ④엇각의크기가같다.
③ ④
④엇각의크기가같다. ④엇각의크기가같다.
따라서 AC”//BD”가아닌것은⑤이다.
A
C
B
D
A
C B
D
A
C
B
DA
C
B
D
2
D
BC
A S
TP
l1
파워해설(42~64)3-2.ps 2015.3.24 10:38 PM 페이지56 MAC6
유형편파워
57
Ⅳ.원의성질
△ABT와 △DCT에서∠BAT=∠BTQ=∠CDT(②),∠ABT=∠ATP=∠DCT(④)이므로△ABTª△DCT(AA닮음)(⑤)또동위각의크기가같으므로 AB”//CD”(①)∴ TA”：TB”=TD”：TC”따라서옳지않은것은 ③이다.
원 O에서∠CPT=∠CAP=70˘원 O'에서∠BPT=∠BDP=50˘∠CPD=180˘이므로70˘+50˘+∠BPD=180˘ ∴ ∠BPD=60˘
∠PAB=∠BPT'=∠PDC=80˘이므로△APB에서 ∠APB=180˘-(80˘+60˘)=40˘
△PAB와 △PCD에서∠PAB=∠RPB=∠DPQ
=∠PCD∠PBA=∠QPA=∠RPC
=∠PDC∴ △PABª△PCD(AA닮음)즉, 2：6=4：PD” ∴ PD”=12
PA”¥ PB”=PC”¥ PD”이므로2_9=x_3 ∴ x=6또 QE”¥QF”=QG”¥QH”이므로4_(4+y)=3_(3+9), 4y=20 ∴ y=5∴ x+y=6+5=11
PA”¥ PB”=PC”¥ PD”이므로4_4=x_(10-x), x¤ -10x+16=0
(x-2)(x-8)=0 ∴ x=2또는 x=8
그런데 PC”<PD”이므로 x=2
PA”¥ PB”=PC”¥ PD”이므로4_(4+6)=x_(x+3), x¤ +3x-40=0
(x+8)(x-5)=0 ∴ x=-8또는 x=5
그런데 x>0이므로 x=5
PC”：PD”=5：6이므로PC”=5k, PD”=6k(k>0)라하면
PA”¥ PB”=PC”¥ PD”이므로15_8=5k_6k, 30k¤ =120, k¤ =4
그런데 k>0이므로 k=2
따라서 PC”=10, PD”=12이므로CD”=PC”+PD”=10+12=22
10
9
8
7
D
B
C
A P
64
2
R
Q6
5
4
3 PA”¥PB”=PC”¥PD”이므로12_x=6_(4+10), 12x=84 ∴ x=7
QE”¥QF”=QG”¥QH”이므로5_(5+3)=y_(y+6), y¤ +6y-40=0
(y+10)(y-4)=0
그런데 y>0이므로 y=4
∴ x-y=7-4=3
PO”=10-2=8이므로 PA”=10+8=18PC”=PD”이므로 PC”¤ =18_2=36 그런데 PC”>0이므로 PC”=6
(5-PO”)(5+PO”)=3_5, PO”¤ =10그런데 PO”>0이므로PO”='1å0(cm)
원 O의반지름의길이를 rcm라하면
PC”= rcm, PD”= r+r= r(cm)이므로
4_6= r_ r
r¤ =32
그런데 r>0이므로 r=4'2(cm)
원 O의반지름의길이를 rcm라하면(7-r)(7+r)=4_(4+6), r¤ =9
그런데 r>0이므로 r=3(cm)
원 O의반지름의길이를 r라하면
PB”= r이므로 r=6 ∴ r=4
즉, PA”=PO”=2이고 PC”=PD”이므로PC”¤=2_6=12
그런데 PC”>0이므로 PC”=2'3
∴ △OCD= _2PC”_PO”
= _4'3_2=4'3
△OAB에서 OA”=OB”이고∠AOB=60˘이므로△OAB는정삼각형이다.∴ OC”=OA”=AB”=3cmCO”의연장선이원 O와만나는점을 D라하고 BP”=xcm라하면PB”¥ P’A”=PC”¥ PD”이므로x_(x+3)=4_(4+3+3)
x¤ +3x-40=0, (x+8)(x-5)=0
그런데 x>0이므로 x=5(cm)
O
A BP
60˘C4cm
3cm
3cm
D
xcm
17
12
12
32
32
16
15
32
12
32
12
12
14
13
12
11
파워해설(42~64)3-2.ps 2015.3.24 10:38 PM 페이지57 MAC6
58
정답과해설_ 유형편파워
유형 21~22 P. 110~111
1 24 2④ 3 4 4②, ④ 5 24 6 6
7 3cm 8 6 9 31 10 11
PA”¥ PC”=PB”¥ PD”이므로5_x=10_8 ∴ x=16QH”¥QE”=QG”¥QF”이므로10_(10+2)=y_(y+7)
y¤ +7y-120=0, (y+15)(y-8)=0
그런데 y>0이므로 y=8
∴ x+y=16+8=24
① 2_3=6_1 ② 2_6=4_3
③ 2_10=4_5 ④ 2_(2+5)+5_(5+2)
⑤ 4_(4+5)=(12-9)_12
따라서 □ABCD가원에내접하지않는것은④이다.
AM”=x라하면 B’M”=20-x
네점이한원위에있으려면
A’M”¥B’M”=C’M”¥D’M”이어야하므로x_(20-x)=8¤ , x¤ -20x+64=0
(x-4)(x-16)=0 ∴ x=4또는 x=16
그런데 x>0이고 AM”<BM”에서 x<20-x이므로
0<x<10
∴ x=AM”=4
② ∠D=180˘-(50˘+30˘)=100˘이므로∠B+∠D+180˘
④ 2_5+4_3
∠BAC=∠BDC이므로네점 A, B, C, D는한원위에있다.
따라서 PC”¥ PB”=PD”¥ PA”가성립하므로18_(18+6)=12_(12+AD”), 12AD”=288 ∴ AD”=24
5
4
3
2
1
PD”의 연장선이 원 O와 만나는 점을 E라하고 OD”=r cm라하면PC”¥ PA”=PD”¥PE”에서4_(4+8)=2_(2+r+r)
4r=44 ∴ r=11(cm)
∴(반원 O의넓이)= _p×11¤
= p(cm¤ )1212
12
A B
C
O
E
P4cm
2cm
rcm8cmD
18 ∠ADB=∠AEB=90˘이므로네점 A, B, D, E는한원위에있다.
따라서 CD”¥CB”=CE”¥CA”이므로5_(5+7)=x_(x+4), x¤ +4x-60=0
(x+10)(x-6)=0
그런데 x>0이므로 x=6
PC”¥PD”=PE”¥PF”이므로6_PD”=2_9 ∴ PD”=3(cm)
AR”¥BR”=CR”¥DR”이므로(4+2)_3=2_DR” ∴ DR”=9
∴ BD”=DR”-BR”=9-3=6
원 O에서 3_(3+AB”)=4_(4+6), 3AB”=31
∴ AB”=
원 O'에서 5_(5+CD”)=4_(4+6), 5CD”=15∴ CD”=3
∴ AB”¥CD”= _3=31
PA”¥PB”=PD”¥PE”이므로4_(4+y)=3_(3+9), 4y=20 ∴ y=5
또 PB”¥PC”=PE”¥PF”이므로9_(9+15)=12_(12+x), 12x=72 ∴ x=6
∴ x+y=6+5=11
10
313
313
9
8
7
6
유형 23~한걸음더연습 P. 112~113
1 16 2 3③ 4② 5③
6 9p cm¤ , 과정은풀이참조 7④
8 (-3+3'5)cm 9 cm¤ 10④ 11③
12 3'3cm 13 '5å9 14 8'2
152
185
원 O에서x¤ =4_(4+5)=36그런데 x>0이므로 x=6
원 O'에서12¤ =8_(8+y), 8y=80 ∴ y=10∴ x+y=6+10=16
AT”=2_4=8∠ATP=90˘이므로△ATP에서PT”="1√0¤ -8¤ =6
6¤ =PB”_10 ∴ PB”= 185
2
1
파워해설(42~64)3-2.ps 2015.3.24 10:38 PM 페이지58 MAC6
유형편파워
59
Ⅳ.원의성질
9_2=PC”_6이므로 PC”=3(3'1å0)¤ =x_(x+3+6), x¤ +9x-90=0
(x+15)(x-6)=0
그런데 x>0이므로 x=6
원 O의반지름의길이를 r라하면
5¤ =3_(3+r+r), 6r=16
∴ r=
원 O의반지름의길이를 r라하면
15¤ =9_(9+r+r), 18r=144
∴ r=8∴(원 O의둘레의길이)=2p_8=16p
원 O의반지름의길이를 rcm라하면PT”¤ =PA”¥PB”이므로 4¤ =(8-2r)_8 y`⁄
16r=48
∴ r=3(cm) y`¤
∴(원 O의넓이)=p_3¤ =9p (cm¤ ) y`‹
PT”¤ =4_(4+8)=48그런데 PT”>0이므로 PT”=4'3∠BTP=90˘이므로△BTP에서
BT”="√12¤ -(4'3)¤ =4'6
∴ OT”= BT”= _4'6=2'6
∠BAT=90˘이므로△ABT에서A’T”="√(4'6)¤ -8¤ =4'2∴(색칠한부분의넓이)
=(반원 O의넓이)-(삼각형ABT의넓이)
= _p_(2'6)¤ - _4'2_8
=12p-16'2
∠ATP=∠ABT y`㉠
△BTP는 BT”=PT”인이등변삼각형이므로∠APT=∠ABT y`㉡
따라서㉠, ㉡에서 ∠ATP=∠APT이므로△ATP는 AT”=AP”인이등변삼각형이다.AT”=AP”=x cm라하면 PT”¤ =PA”¥ PB”이므로6¤ =x_(x+6), x¤ +6x-36=0
그런데 x>0이므로 x=-3+3'5(cm)
8
12
12
12
12
7
6
5
83
4
3 PC”¤ =PA”¥ PB”이므로 6¤ =4_PB”∴ PB”=9(cm)∴△ACB=△PCB-△PCA
= _9_6_sin30˘- _4_6_sin30˘
= -6= (cm¤ )
BT”를그으면 ∠ATB=90˘
△ATB에서 AB”= =3'3_ =6
PB”=x라하면 PT”¤ =PB”¥PA”이므로4¤ =x_(x+6), x¤ +6x-16=0
(x+8)(x-2)=0
그런데 x>0이므로 x=2
△BAC와 △BCD에서∠BAC=∠BCD, ∠BCA=∠BDC=90˘이므로△BACª△BCD(AA닮음)즉, B’A”：BC”=BC”：BD”이므로10：BC”=BC”：8, BC” ¤ =80그런데 BC”>0이므로 BC”=4'5 (cm)직각삼각형 BCD에서CD”="√(4'5)¤ -8¤ =4(cm)따라서 CD”¤ =DE”¥DB”이므로4¤ =DE”_8∴ DE”=2(cm)
∠ORB=90˘이므로△OBR에서BR”="√5¤ -4¤ =3(cm)이때 BR”=AR”이므로 AR”=3(cm)PT”¤ =PA”¥ PB”이므로PT”¤ =3_(3+3+3)=27그런데 PT”>0이므로PT”=3'3(cm)
오른쪽 그림과 같이 AB”의 연장선이원 O와만나는점을 C,OA”의연장선이원 O와만나는두점을각각 D, E라하면
PT”¤ =PB”¥PC”이므로10¤ =5_(5+5+AC”) ∴ AC”=10원 O의반지름의길이를 r라하면
AB”¥AC”=AD”¥AE”이므로5_10=(r-3)(r+3), r¤ =59
그런데 r>0이므로 r='5å9
53
10A
T
PO
E
DC
B
13
12
11
2'3
A’T”cos 30˘
10
152
272
12
12
9
⁄ 원 O의반지름의길이를구하는식세우기
¤ 원 O의반지름의길이구하기
‹ 원 O의넓이구하기
채점기준
35%
35%
30%
배점
파워해설(42~64)3-2.ps 2015.3.24 10:38 PM 페이지59 MAC6
60
정답과해설_ 유형편파워
AP” ¤ =6_(6+6)=72그런데 AP”>0이므로 AP”=6'2P’O'”을그으면△PAO'과 △QAB에서∠A는공통, ∠APO'=∠AQB=90˘이므로△PAO'ª△QAB(AA닮음)즉, AP”：AQ”=AO'”：AB”이므로6'2：AQ”=9：12
∴ AQ”=8'2
[다른풀이]
P’O'”을그으면 P’O'”=O’O'”=B’O'”=3△PAO'에서 AP”="√(6+3)¤ -3¤ =6'2△PAO'ª△QAB(AA닮음)이므로6'2：AQ”=9：12∴ AQ”=8'2
14
유형 24~27 P. 114~115
1ㄱ, ㄷ, ㄹ, ㅁ 2④ 3 5cm 4④ 5 60˘
6② 7 14 8 2 9④ 10 2'1å0 11 6
12 12, 과정은풀이참조
ㅁ. △PATª△PBT (AA닮음)이므로∠BTP=∠TAP
PT” ¤ =4_(4+12)=64그런데 PT”>0이므로 PT”=8△PAT와 △PTB에서∠P는공통, ∠PTA=∠PBT이므로△PATª△PTB (AA닮음)즉, PA”：PT”=AT”：TB”이므로4：8=6：BT”, 4BT”=48∴ BT”=12
PA”=xcm라하면 6¤ =x_(x+9)
x¤ +9x-36=0, (x+12)(x-3)=0
그런데 x>0이므로 x=3(cm)△PAT와 △PTB에서∠P는공통, ∠PTA=∠PBT이므로△PATª△PTB(AA닮음)즉, AT”：TB”=PT”：PB”이므로AT”：10=6：12, 12AT”=60∴ A’T”=5(cm)
3
2
1
① (3'5)¤ +5_(5+3)
② 2¤ +1_(1+4)
③ 6¤ +4_(4+3)
④ (2'6)¤ =3_(3+5)
⑤ 9¤ +5_(5+7)
따라서 PT”가 △ABT의외접원이될수있는것은④이다.
PT”¤ =PA”¥ PB”이므로 PT”는세점 A, B, T를지나는원의접선이다.
∴ ∠ABT=∠ATP=60˘
PT”¤ =PA”¥ PB”이므로4¤ =2_(2+x), 2x=12
∴ x=6
PT”¤ =PA”¥ PB”=PC”¥ PD”이므로6¤ =4_(4+x)에서 4x=20
∴ x=5
6¤ =3_(3+y)에서 3y=27
∴ y=9
∴ x+y=5+9=14
PT”=PT'”= TT'”= _8=4
PA”=x라하면 PT”¤ =PA”¥ PB”이므로4¤ =x_(x+6), x¤ +6x-16=0
(x+8)(x-2)=0
그런데 x>0이므로 x=2
① AP”=PT”=BP”이므로AB”=2PT”
② △PTB는 이등변삼각형이므로 ∠PBT=∠PTB
③ △PAT와 △PTB는이등변삼각형이므로 △ATB에서2( ∑ +_)=180˘, ∑ +_=90˘∴ ∠ATB=90˘
⑤두점 A, T는접점이므로∠OTP=∠OAP=90˘
따라서옳지않은것은④이다.
∠BAD=∠DAC이고∠DAC=∠DBC이므로∠BAD=∠DBC즉, BD”는세점 A, B, P를지나는원의접선이다.따라서 BD”¤ =DP”¥DA”이므로BD”¤ =4_(4+6)=40그런데 BD”>0이므로 BD”=2'1å0
10
PA B
O O'T
9
12
128
7
6
5
4
파워해설(42~64)3-2.ps 2015.3.24 10:38 PM 페이지60 MAC6
유형편파워
61
Ⅳ.원의성질
오른쪽그림과같이 CQ”를그으면△ABP와 △AQC에서∠BAP=∠QAC이고∠ABP=∠AQC이므로△ABPª△AQC(AA닮음)AP”=x라하면
AB”：AQ”=AP”：AC”이므로6：(x+2)=x：8, x_(x+2)=48
x¤ +2x-48=0, (x+8)(x-6)=0그런데 x>0이므로 x=6
∠BAQ=∠CAQ이고∠BAQ=∠BCQ이므로∠CAQ=∠BCQ즉, QC”는세점 A, C, P를지나는원의접선이다. y`⁄
QC” ¤ =QP”¥QA”이므로('1å4)¤ =2_(2+x)
2x=10 ∴ x=5 y`¤
또 △ABP와 △AQC에서∠ABP=∠AQC이고∠BAP=∠QAC이므로△ABPª△AQC (AA닮음)따라서 AB”：AQ”=AP”：AC”이므로5：(2+5)=5：y
5y=35 ∴ y=7 y`‹
∴ x+y=5+7=12 y`›
12
P
A
B
Q
C
8
2
6
11
⁄ QC”가세점 A, C, P를지나는원의접선임을알기
¤ x의값구하기
‹ y의값구하기
› x+y의값구하기
채점기준
20%
30%
30%
20%
배점
유형 28~29 P. 116
1 cm 2⑤ 3② 4② 5 6 6⑤136
△ABC는이등변삼각형이므로∠ABC=∠ACB이고,BQ”를그으면∠ACB=∠AQB이므로∠ABC=∠AQB즉, AB”는세점 B, P, Q를지나는원의접선이다.
따라서 AB”¤ =AP”¥AQ”이므로7¤ =6_(6+PQ”), 6PQ”=13
∴ PQ”= (cm):¡6£:
1
① μAM=μBM이므로 ∠ABM=∠BAM② △ADM과△CAM에서∠ADM=∠BAM, ∠AMD는공통이므로△ADMª△CAM(AA닮음)
③ MA”：MC”=MD”：MA”이므로MA”¤ =MC”¥MD”
④ MA”¤ =MC”¥MD”이므로 MA”는 △ACD의 외접원의접선이다.
∠BAM=∠ADM이므로 MA”는세점 A, C, D를지나는원의접선이다.
따라서 MA”¤ =MC”¥MD”이므로
MA”¤ =4_(4+8)=48
그런데 AM”>0이므로 AM”=4'3 (cm)
△ADH와 △ABC에서∠ADH=∠ADC=∠ABC이고∠AHD=∠ACB=90˘이므로△ADHª△ABC(AA닮음)즉, AD”：AB”=AH”：AC”이므로4：6=AH”：56AH”=20
∴ AH”=
오른쪽그림과같이 BD”를그으면△ABD와 △AHC에서∠ADB=∠ACB=∠ACH이고∠ABD=∠AHC=90˘이므로△ABDª△AHC(AA닮음)즉, AB”：AH”=AD”：AC”이므로8：4=AD”：64AD”=48∴ AD”=12∴(원 O의반지름의길이)
= AD”= _12=6
△ABD와 △QMC에서∠ADB=∠ACB=∠QCM이고∠ABD=∠QMC=90˘이므로△ABDª△QMC(AA닮음)즉, AD”：QC”=BD”：MC”이므로12：QC”=3：43QC”=48∴ QC”=16
6
12
12
4
D
OB
A
CH 6
85
103
4
3
2
파워해설(42~64)3-2.ps 2015.3.24 10:38 PM 페이지61 MAC6
62
정답과해설_ 유형편파워
1③ 2③ 3 5˘ 4④ 5⑤
6 100˘ 7 40˘ 8 34p 9 100˘, 과정은풀이참조
10 52˘ 11⑤ 12 65˘ 13⑴ 65˘ ⑵ 75˘
14 35˘ 15 4'3 cm 16 13cm 17 10
18 ①, ④ 19 4 20 2'1å0cm 21 8
22 4 23 24 2'2åå1cm, 과정은풀이참조
25 10p 26 150˘ 27 8 28오후 7시 6분
487
P. 117~120중단원마무리
∠ABC= (360˘-∠AOC)에서
∠x-10˘= {360˘-(∠x+20˘)}
∠x=180˘
∴ ∠x=120˘
오른쪽그림과같이 OA”, OC”를그으면
∠AOC=360˘-(45˘+90˘+90˘)=135˘
∴∠ABC= _(360˘-135˘)
=112.5˘
∠BAC=∠BDC=40˘이므로△ABE에서95˘=40˘+∠x
∴ ∠x=55˘∠CAD=∠CBD=35˘이므로△AED에서∠y=180˘-(35˘+95˘)=50˘∴ ∠x-∠y=55˘-50˘=5˘
BC”를그으면∠ACB=90˘이고∠BCE=∠BDE=20˘이므로∠x=90˘-20˘=70˘
3：6=∠x：40˘ ∴ ∠x=20˘∠y=2∠x=2_20˘=40˘ ∴ ∠x+∠y=20˘+40˘=60˘
5
x
O20˘
20˘
A
DE
B
C4
3
12
O
A
C
BP 45˘
135˘
2
32
12
121
AD”를그으면
∠ADB=180˘_ =60˘, ∠CAD=60˘_ =40˘
따라서△APD에서∠APB=40˘+60˘=100˘
BC”에 대하여 ∠BEC=∠BDC이므로네점 B, C, D, E는한원위에있고원주각의크기가 90˘이므로BC”는원의지름, 점 M은원의중심이다.
이때 △ABD에서∠ABD=180˘-(70˘+90˘)=20˘∴ ∠EMD=2∠EBD=2_20˘=40˘
오른쪽 그림과 같이 점 C를 지나는 원O의 지름이 원과 만나는 점을 A'이라하면
tanA'=tanA= 이므로
tanA'= = =
∴ A’'B”=6△A'BC에서
A’'C”="√6¤ +10¤ =2'3å4
∴(원 O의넓이)=p_('3å4)¤ =34p
∠CAD=∠CBD=∠x이므로
□ABCD에서(45˘+∠x)+110˘=180˘∴ ∠x=25˘ y`⁄
∠y=180˘-∠ADC=∠ABC=∠x+50˘=25˘+50˘=75˘ y`¤
∴ ∠x+∠y=25˘+75˘=100˘ y`‹
∠QAB=180˘-∠BAD=∠C=∠x
△PBC에서∠ABQ=∠x+40˘△AQB에서∠x+36˘+(∠x+40˘)=180˘2∠x=104˘ ∴ ∠x=52˘
10
9
53
10A'B”
BC”A'B”
53
B C10
O
A'
A8
E
20˘
A
D
B CM
70˘7
23
13
6
⁄ ∠x의크기구하기
¤ ∠y의크기구하기
‹ ∠x+∠y의값구하기
채점기준
40%
40%
20%
배점
파워해설(42~64)3-2.ps 2015.3.24 10:38 PM 페이지62 MAC6
유형편파워
63
Ⅳ.원의성질
∠ABQ=180˘-∠APQ=∠DPQ(②),
∠DPQ=180˘-∠DCQ=∠QCE이므로
∠ABQ=∠QCE(엇각)∴ AB”//CD”(①)③ ∠ABQ+∠QCD=∠QCE+∠QCD=180˘④ □ABQP는원에내접하므로 ∠A+∠BQP=180˘⑤ □ABCD가원에내접하는지는알수없다.따라서옳지않은것은 ⑤이다.
∠DAS=∠DBA=50˘∠BAD=180˘-∠C=180˘-115˘=65˘∴ ∠BAT=180˘-(65˘+50˘)=65˘
⑴ 오른쪽그림과같이 AD”를그으면∠BAD=∠BDE=25˘,∠ADB=90˘이므로△ADB에서∠DBP=180˘-(25˘+90˘)=65˘
⑵ ∠C=∠DBA=∠DBP=65˘AC”//DE Í이므로∠CDE=∠C=65˘
⑵ ∴ ∠PDB=∠CDE-∠BDE=65˘-25˘=40˘⑵ △PDB에서∠DPB=180˘-(40˘+65˘)=75˘
⑵ ∴ ∠APC=∠DPB=75˘(맞꼭지각)
∠APT=∠ACP=70˘, ∠DPT=∠DBP=75˘이때 ∠APB=180˘이므로70˘+75˘+∠x=180˘ ∴ ∠x=35˘
오른쪽그림과같이 BC”를그으면∠ACB=90˘이고∠BCD=∠BAC=30˘이므로△ACD에서∠ADC=180˘-(30˘+90˘+30˘)
=30˘즉, △ACD는이등변삼각형이므로
CD”=AC”=AB” cos 30˘=8_ =4'3 (cm)
PB”：PD”=6：5이므로PB”=6kcm, PD”=5kcm(k>0)라하면
PA”¥ PB”=PC”¥ PD”에서5_6k=(5k-4)_5k, k¤ -2k=0
k(k-2)=0
그런데 k>0이므로 k=2
16
'32
D8cm
30˘A
C
OB
30˘
30˘15
14
D E
P
25˘
25˘
CA
B
O
13
12
A
CE
DP
QB
11 즉, PB”=6_2=12(cm), PD”=5_2=10(cm)이므로AB”=12-5=7(cm), PC”=10-4=6(cm)∴ AB”+PC”=7+6=13(cm)
OA”=OB”=x이므로
PB”=2x-2
PA”¥PB”=PC”¤에서2_(2x-2)=6¤4x=40
∴ x=10
① AD”//BC”이므로∠A=100˘, ∠D=100˘즉, 대각의크기의합이 180˘이므로네점 A, B, C, D는한원위에있다.
② ∠A+∠B이므로네점 A, B, C, D는한원위에있지않다.
③ ∠BCD=180˘-95˘=85˘에서∠BAD+∠BCD=85˘+85˘=170˘+180˘이므로 네점 A, B, C, D는한원위에있지않다.
④ 3_4=6_2이므로네점 A, B, C, D는한원위에있다.⑤ 4_(4+5)+5_(5+4)이므로네점 A, B, C, D는한원위에있지않다.
따라서네점 A, B, C, D가한원위에있는것은①, ④이다.
PC”¥PD”=PE”¥PF”이므로6_PD”=3_8 ∴ PD”=4
∠APT=∠ABT=∠ATP즉, △APT는이등변삼각형이므로AP”=AT”=4cmPT”¤ =4_(4+6)=40그런데 PT”>0이므로PT”=2'1å0(cm)이때△BPT는이등변삼각형이므로BT”=PT”=2'1å0cm
△ABF와 △ACE에서∠BAF=∠CAE, ∠ABF=∠ACE이므로△ABFª△ACE(AA닮음)즉, AB”：AC”=BF”：CE”이므로AB”：18=6：9 ∴ AB”=12AB”¤ =AD”¥AC”이므로12¤ =AD”_18 ∴ AD”=8
21
20
19
18
17
파워해설(42~64)3-2.ps 2015.3.24 10:38 PM 페이지63 MAC6
64
정답과해설_ 유형편파워
PA”¥PB”=PT”¤ =PC”¥PD”이므로PC”=x라하면
3_(3+9)=x_(x+5)
x¤ +5x-36=0, (x+9)(x-4)=0
그런데 x>0이므로 x=4
오른쪽그림과같이 BE”를그으면△ABE와 △ADC에서∠BAE=∠DAC,∠AEB=∠ACB=∠ACD이므로△ABEª△ADC(AA닮음)즉, AB”：AD”=AE”：AC”이므로x：6=8：7
∴ x=
AB”=AC”이므로 ∠ABC=∠ACB∠ACB=∠AEB에서∠ABC=∠AEB이므로AB”는세점 B, D, E를지나는원의접선이다. y`⁄
즉, AB”¤ =AD”¥AE”이므로AB”¤ =6_(6+8)=84 y`¤
그런데 AB”>0이므로AB”=2'2å1 (cm) y`‹
오른쪽그림과같이 BC”를그으면AB”//CD”에서∠ABC=∠BCD (엇각)이므로
μAC= μBD= p
이때 μAB：μAC=4：3이므로
μAB： p=4：3 ∴ μAB=2p
μCA+ μAB+μBD= p+2p+ p=5p
∴(원 O의둘레의길이)=2_5p=10p
BO”, CI”, CO”를그으면∠A=60˘이고점 I가△ABC의내심이므로
∠BIC=90˘+ ∠BAC
=90˘+ _60˘
=120˘ y`㉠
12
12
26
32
32
32
32
A
O
B
C D
25
24
487
A
CD
E
x
B
876
23
22
⁄ AB”가세점 B, D, E를지나는원의접선임을알기
¤ 할선과접선사이의관계를이용하여식세우기
‹ AB”의길이구하기
채점기준
40%
30%
30%
배점
또점 O가 △ABC의외심이므로∠BOC=2∠BAC
=2_60˘=120˘ y`㉡
㉠, ㉡에서∠BIC=∠BOC이므로네점 B, C, O, I는한원위에있다.
∠OBC=∠OCB이므로∠OCB
= _(180˘-120˘)
=30˘이때 □BCOI는원에내접하므로∠OCB+∠BIO=180˘∴∠BIO=180˘-∠OCB=180˘-30˘=150˘
정사각형의한변의길이를 x라하면
BE”=2x, CE”= x, DE”= x
이때네점 B, C, F, D가한원위에있으므로
BE”`¥`FE”=CE”`¥`DE”에서
2x_EF”= x_ x
∴ EF”= x
AF”를그으면∠ABF=90˘이므로AF”는원 O의지름이다.△AFB에서
x¤ +{2x+ x}2 =(5'1å7)¤이므로
x¤ =425, x¤ =64
그런데 x>0이므로 x=8
병훈이네 집을 A, 효주네 집을B, 도서관을 C, 서점을 P라하면
PA”¤ =PC” ¥ PB”에서PA”¤ =200_(200+600)
=160000그런데 PA”>0이므로PA”=400(m)병훈이가서점에서머문시간은 30분이고분속 100m의일정한속력으로이동하므로병훈이가도서관에서직선도로를
따라서집까지가는데걸린시간은
+30+ =36(분)
따라서병훈이가집에도착한시각은오후 7시 6분이다.
400100
200100
200m
600m
PA
B
C
28
42564
38
38
12
32
12
32
O
A B
C DE
F
x
27
12
OIA
B
C
60˘
파워해설(42~64)3-2.ps 2015.3.24 10:38 PM 페이지64 MAC6