oferta de trabajos fin de grado (matemáticas) 2014-15 ·...

Oferta de Trabajos Fin de Grado (Matemáticas)2014-15

Resumen

Álgebra

1. Teoría algebraica de números y teoría de anillos. E. Bernal, F. Montaner.

2. El teorema de incompletitud de Gödel. C. Gómez.

3. Ampliación de teoría de grupos. C. Martínez.

4. Polinomios ciclotómicos. J. Otal.

5. Álgebra y criptografía. M. Vázquez.

Análisis Matemático

1. Álgebras de Banach. J. Bernués, J.E. Galé, P.J. Miana.

2. Cuestiones de irracionalidad y trascendencia. J. Bernués, M. Pérez, F.J. Ruiz.

3. Espacios de funciones continuas y de funciones medibles. B. Cuartero, P.J. Miana,A. Peña.

4. Representación conforme: teorema de Riemann. B. Cuartero, A. Peña, M. Pérez.

Astronomía

1. Algunas Formulaciones del Problema de Gyldén. A. Abad, L. Floría.

2. Órbitas keplerianas que pasan por dos puntos. Problema de Lambert. A. Abad, L.Floría.

3. Órbitas de sistemas cuasi-keplerianos. A. Abad, L. Floría.

1

Estadística e Investigación Operativa

1. Métodos de suavizado aplicados a funciones de regresión. J.T. Alcalá, J.A. Cristó-bal.

2. Teoría de Ramsey para grafos. A. García.

3. Sorteos para hacer justo un mundial de fútbol. F.J. López.

4. Modelos estocásticos en Física, Medicina y Biología. G. Sanz.

Física Teórica

1. Aproximación simpléctica a la mecánica cuántica. J.F. Cariñena, J. Clemente.

2. Principios de superposición no lineal de soluciones de sistemas ecuaciones dife-renciales. J.F. Cariñena, J. Clemente.

3. Sistemas dinámicos Hamiltonianos. J.F. Cariñena, M. Fernández-Rañada.

4. Reglas de Kirchhoff y repartición de corrientes en un circuito. F. Falceto.

Geometría y Topología

1. Implementación de objetos geométricos en programas informáticos. E. Artal, J.I.Cogolludo.

2. Teoría de nudos y Aplicaciones. E. Artal, J.I. Cogolludo, M.T. Lozano.

3. Geometría esférica e hiperbólica. M.T. Lozano.

4. Poliedros y Grupos de Homología. J.L. Navarro.

5. Transversalidad y estabilidad. A. Rodés.

6. Geometría de los grupos de Lie. L. Ugarte.

Informática

1. Criptografía RSA: fundamentos y desarrollo. J.C. Ciria.

2. Técnicas de optimización de consultas a bases de datos. J. Lloret.

3. Sistemas Complejos: Estudio y Aplicaciones. R. López.

2

Matemática Aplicada

1. Análisis de modelos matemáticos en Biología. R. Barrio.

2. Simulación numérica en finanzas. F.J. Gaspar.

3. Simulación numérica en medios porosos deformables. F.J. Gaspar.

4. Simulación numérica del crecimiento tumoral. F.J. Gaspar.

5. Modelado y simulación de un ‘tippe-top’. E. Martínez.

6. Estudio y construcción de métodos de integración numérica de tipo Runge-Kutta-Hermite-Birkhoff. L. Rández.

Multidisciplinares

1. Divulgación: Diseño y presentación de material divulgativo matemático. J. Ber-nués, P.J. Miana, L. Rández.

2. Ecuaciones diferenciales y singularidades: Ecuaciones diferenciales implíci-tas y clasificación de sus singularidades. E. Artal, E. Martínez.

3. Geometría e Ingeniería: Identificación de sustancias explosivas mediante la ca-racterización/parametrización de curvas planas. J. Martín, J. Martínez, L. Rández(ponente).

4. Matemática Aplicada e Ingeniería: Aplicaciones de la derivación respecto aldominio a la evaluación no destructiva de materiales. R. Celorrio, M. Hernández.

5. Matemática Aplicada e Ingeniería: Métodos de reducción de modelos. R. Ce-lorrio, D. González.

6. Matemática Aplicada e Ingeniería: Aplicación de métodos multi-paso en al-goritmos distribuidos de consenso para sistemas multi-robot. E. Montijano, J.I.Montijano.

3

Álgebra

TÍTULO: Teoría algebraica de números y teoría de anillos (un trabajo cada director).

DIRECTOR(ES):Eulalio Bernal Acero (Dpto. de Matemáticas, [email protected])Fernando Montaner Frutos (IUMA, [email protected])

CONTENIDO/RESUMEN: Los posibles trabajos a dirigir podrán tener carácter divul-gativo o de ampliación de los temas desarrollados en la asignatura citada, o podrán tenerambas características. Se buscará un tema de teoría algebraica de números con suficienteinterés divulgativo o un tema relacionado con la teoría de anillos. En cualquier caso setratará como continuación natural de los contenidos adquiridos en las asignaturas deálgebra.

MATERIA/ASIGNATURA(S): Estructuras algebraicas.

4

TÍTULO: El teorema de incompletitud de Gödel

DIRECTOR(ES):Carlos Gómez Ambrosi (Dpto. de Matemáticas, [email protected])

CONTENIDO/RESUMEN: En primer lugar, se estudiarían el cálculo proposicional y elcálculo de predicados desde el punto de vista de los sistemas formales, introduciendo lossistemas de primer orden con igualdad y en particular el sistema formal de la aritméticade Peano. A continuación, se llevaría a cabo una demostración relativamente completadel teorema de incompletitud de Gödel, a través del estudio de la recursividad y de lanumeración de Gödel. Finalmente, se realizaría una breve exposición de la significaciónde este teorema para los fundamentos de las matemáticas.

MATERIA/ASIGNATURA(S): Números y conjuntos

5

TÍTULO: Ampliación de teoría de grupos (hasta 2 trabajos por año).

DIRECTOR(ES):Conchita Martínez Pérez (IUMA, [email protected])

CONTENIDO/RESUMEN: Se trata de que el alumno amplíe los conocimentos sobreteoría de grupos vistos en la asignatura de Teoría de Galois. Dependiendo de los interesesconcretos del alumno y también de las asignaturas optativas que haya cursado se podríantratar temas relacionados con grupos libres, extensiones tipo HNN, acciones de gruposen grafos ó espacios clasificadores.

MATERIA/ASIGNATURA(S): Teoría de Galois

6

TÍTULO: Polinomios ciclotómicos.

DIRECTOR(ES):Javier Otal Cinca (IUMA, [email protected])

CONTENIDO/RESUMEN: Si n ≥ 2 es un número entero, una raíz n–sima de la uni-dad es un número complejo x que cumple xn = 1, es decir una raíz del polinomiofn(X) = Xn−1 ∈ Q[X]. El cuerpo de escisión Kn de fn sobre Q es el n–simo cuerpo ci-clotómico, sus raíces se denominan primitivas y el polinomio gn(X) ∈ C[X] cuyas raícesson exactamente las n–simo primitivas se denomina el n–simo polinomio ciclotómico.Este trabajo se dedica al estudio de la relación de estos elementos.

1. T, Hungerford, Algebra, Springer, New York, 1974.

2. S. Roman, Field Theory, Springer, New York, 1995.

MATERIA/ASIGNATURA(S): Números y conjuntos, Estructuras algebráicas, Teoríade Galois

7

TÍTULO: Álgebra y criptografía.DIRECTOR(ES):Manuel Vázquez Lapuente (Dpto. de Matemáticas, [email protected])

CONTENIDO/RESUMEN: Los posibles trabajos a dirigir podrán tener carácter divul-gativo o de ampliación de los temas desarrollados en la asignatura citada, o podrán tenerambas características. En cualquier caso el trabajo contendrá una parte introductoriaen la que se describirá de forma sucinta la parte algebraica necesaria para el desarrollodel resto del trabajo. Por ejemplo: aritmética modular, temas de teoría de números,números primos, cuerpos finitos, grupos finitos, curvas elípticas, etc. La parte principaldel trabajo consistirá en desarrollo de algún sistema criptográfico con fundamento alge-braico, por ejemplo sistema RSA, logaritmo discreto o curvas elípticas. Asimismo estossistemas criptográficos se pondrán en relación con la firma electrónica y sus generalicio-nes. El trabajo se concretará posteriormente de acuerdo con el alumno interesado en surealización.

MATERIA/ASIGNATURA(S): Algebra aplicada y computacional.

8

Análisis Matemático

TÍTULO: Álgebras de Banach

DIRECTOR(ES):Julio Bernués Pardo (IUMA, [email protected])José Esteban Galé (IUMA, [email protected])Pedro José Miana Sanz (IUMA, [email protected])

CONTENIDO/RESUMEN: El estudio de Álgebras de Banach constituye una prolonga-ción natural de un curso introductorio, como el de Análisis Funcional del Grado, sobreespacios de Banach y Hilbert. Los ejemplos más importantes de esta teoría son, en elcaso conmutativo las álgebras de funciones continuas y las de convolución y el no conmu-tativo las álgebras de operadores. Para entender bien estos ejemplos es imprescindibleun buen conocimiento del curso Análisis Funcional ya mencionado y del de Integral deLebesgue. La parte central del trabajo consistiría en desarrollar la teoría de Gelfandpara álgebras de Banach conmutativas que, en cierto sentido propone una aproximacióna la transformada de Fourier desde otro contexto. Por ello, no estaría de más que losalumnos interesados cursaran también la asignatura Análisis de Fourier del Grado.

MATERIA/ASIGNATURA(S): Análisis Funcional, Integral de Lebesgue, Análisis deFourier

9

TÍTULO: Cuestiones de irracionalidad y trascendencia.

DIRECTOR(ES):Julio Bernués Pardo (IUMA, [email protected])Mario Pérez Riera (IUMA, [email protected])Francisco José Ruiz Blasco (IUMA, [email protected])

CONTENIDO/RESUMEN: Se trata de abordar cuestiones dentro de la parte de la Teo-ría de Números denominada Aproximación Diofántica. Desde un punto de vista general,se trataría de estudiar particularidades de la aproximación de un número real por nú-meros racionales que conducen a criterios de irracionalidad y trascendencia. Aquí estáncontenidos teoremas de Hurwitz, Liouville y Roth y la teoría de fracciones continuas.Por otro lado, se verían problemas más concretos acerca de la irracionalidad y trascen-dencia de números específicos y famosos de las matemáticas como e y π. El trabajotambién aportaría información sobre el estado de problemas más difíciles, muchos deellos abiertos, de la Aproximación Diofántica.

MATERIA/ASIGNATURA(S): Análisis Matemático I, II

10

TÍTULO: Espacios de funciones continuas y de funciones medibles.

DIRECTOR(ES):Bienvenido Cuartero Ruiz (Dpto. de Matemáticas, [email protected])Pedro José Miana Sanz (IUMA, [email protected]),Ana Peña Arenas (IUMA, [email protected]).

CONTENIDO/RESUMEN: Agrupar una clase de objetos para trabajar con ellos con-juntamente es provechoso cuando se hace de manera adecuada. En matemáticas esto esmuy claro cuando se trabaja con funciones: en todas las áreas de las matemáticas nosencontramos con espacios de funciones. En particular, en teoría de la medida los espa-cios de funciones medibles de diferentes tipos y sus subespacios aparecen como útilespor sí mismos o por su aplicación en otras partes.

Poder comparar “tamaños” y determinar la “proximidad” entre las funciones de unespacio es esencial, lo que lleva a diferentes topologías y a distintos modos de convergen-cia. El objeto de este trabajo es reunirlos y compararlos, mostrando las relaciones entreellos y ampliando la idea de aproximación con resultados como los teoremas de Lusin yEgorov (principios de Littlewood segundo y tercero).

MATERIA/ASIGNATURA(S): Análisis Funcional, Integral de Lebesgue

11

TÍTULO: Representación conforme: teorema de Riemann

DIRECTOR(ES):Bienvenido Cuartero Ruiz (Dpto. de Matemáticas, [email protected])Ana Peña Arenas (IUMA, [email protected])Mario Pérez Riera (IUMA, [email protected]).

CONTENIDO/RESUMEN: Geométricamente, una transformación conforme es la queconserva ángulos en tamaño y orientación. En el caso del plano, una función complejaf definida en un abierto U interpretada como transformación geométrica tiene estapropiedad si y solo si es holomorfa e inyectiva, lo que permite aplicar todos los recursosde la teoría de funciones de variable compleja a cuestiones geométricas y físicas.

Un problema esencial es la determinación de la existencia de transformaciones confor-mes de un abierto U1 sobre un abierto U2 y la descripción de todas ellas cuando existan.Solo hay respuesta en casos particulares: el principal es el teorema de Riemann, paraU1 = D (disco de centro 0 y radio 1) y U2 simplemente conexo, del que hay múltiplesdemostraciones. El tema de este trabajo es recoger, exponer y comparar las diferentesvías que llevan a este resultado y comentar los conocidos para otras situaciones.

MATERIA/ASIGNATURA(S): Variable Compleja, Análisis Funcional

12

Astronomía

TÍTULO: Algunas Formulaciones del Problema de Gyldén.

DIRECTOR(ES):Alberto José Abad Medina (IUMA, [email protected])Luis Floría Gimeno (IUMA, [email protected])

CONTENIDO/RESUMEN: Un sistema de Gyldén es un sistema kepleriano en el que elparámetro gravitatorio no es constante, sino que se considera variable, como una funcióndependiente del tiempo.

En su origen, este tipo de sistemas fue propuesto para explicar la posible influencia deuna masa variable sobre los cambios que experimenta una órbita kepleriana elíptica. Sinembargo el concepto de sistema de Gyldén no apela a ninguna suposición concreta acercade las causas de las variaciones temporales del parámetro de acoplamiento gravitatorio(sea ello debido a variaciones de masa, a variaciones de la “constante de gravitaciónuniversal”, o a una combinación de ambos efectos).

Con posterioridad el modelo de Gyldén ha encontrado también aplicación en el es-tudio de la dinámica de sistemas estelares binarios o múltiples en los que se detectapérdida o transferencia de masa en alguna de sus estrellas componentes; o en el caso decuerpos celestes que ganan masa por acreción, o de cometas que pierden materia porcombustión en el entorno de sus perihelios.

En este Trabajo de Fin de Grado se trata de obtener diversas formulaciones del pro-blema de Gyldén en función de algunos de los diferentes sistemas de variables orbitalesde uso habitual en Mecánica Celeste y Astrodinámica.

MATERIA/ASIGNATURA(S): Astronomía Matemática y Mecánica Celeste.

13

TÍTULO: Órbitas keplerianas que pasan por dos puntos. Problema de Lambert.


CONTENIDO/RESUMEN: El problema de la búsqueda de órbitas keplerianas que pa-san por dos puntos es de gran interés en Astrodinámica, especialmente por sus aplica-ciones, tanto en problemas de determinación de órbitas (asteroides, cometas) como enel de transferencias orbitales de satélites artificiales.

Mientras que la forma clásica de abordar el cálculo de órbitas se plantea en formade un problema de valores iniciales para las ecuaciones diferenciales ordinarias que re-presentan el movimiento kepleriano, en este caso nos enfrentamos con la resolución deun problema de contorno, en el que se sustituye el valor del vector velocidad por unasegunda posición. Este problema tiene asegurada una solución única si fijamos el tiempode tránsito entre ambas posiciones, lo que conduce al clásico problema de Lambert, cuyaresolución se puede efectuar por medio de diferentes métodos.

En este Trabajo Fin de Grado se pretende que el alumno analice el problema y variosmétodos de resolución del mismo, y los plasme en un software con el que se pongan demanifiesto las posibles ventajas e inconvenientes de cada tipo de tratamiento.


14

TÍTULO: Órbitas de sistemas cuasi-keplerianos


CONTENIDO/RESUMEN: Un sistema cuasi-kepleriano es un sistema kepleriano per-turbado regido por una fuerza central conservativa en la que a la fuerza de atraccióngravitatoria newtoniana (proporcional al recíproco del cuadrado de la distancia mutuaentre las partículas) se superpone una perturbación proporcional al recíproco del cubode dicha distancia.

Este esquema de los sistemas cuasi-keplerianos incluye, como caso particular, al pro-blema de Manev, un modelo que constituye una modificación no relativista de la Leyde Gravitación Universal de Newton que se ha usado para intentar justificar teórica-mente, con rigor y exactitud, el movimiento observado de la línea de ápsides (es decir,el movimiento secular del pericentro) de algunos cuerpos celestes, al menos en el senodel Sistema Solar (por ejemplo, el avance del perihelio de los planetas interiores, o elmovimiento del perigeo de la Luna), aunque ya el propio Newton, y posteriormenteClairaut, habían recurrido a esta corrección de la Ley de Gravitación Universal en susinvestigaciones sobre el movimiento de la Luna.

En este Trabajo de Fin de Grado se propone estudiar la precesión de las órbitassolución de un sistema cuasi-kepleriano a partir del planteamiento de las ecuacionesdel problema en varios sistemas de variables orbitales generalmente utilizadas para eltratamiento de los sistemas keplerianos en Mecánica Celeste y Astrodinámica.


15

Estadística e Investigación Operativa

TÍTULO: Métodos de suavizado aplicados a funciones de regresión.

DIRECTOR(ES):José Tomás Alcalá Nalváiz (Dpto. de Métodos Estadísticos, [email protected])José Antonio Cristóbal Cristóbal (Dpto. de Métodos Estadísticos, [email protected])

CONTENIDO/RESUMEN: En este trabajo el alumno consigue comprender los princi-pales métodos no paramétricos para la estimación de la función de regresión; en especiallos métodos de suavización de tipo núcleo, por ejemplo polinomios locales. Se aprenderáa deducir sus principales propiedades asintóticas. Se estudiarán criterios para la selec-ción del parámetro de suavizado y finalmente, se aplicará lo aprendido a conjuntos dedatos reales con ayuda de software estadístico especializado.

MATERIA/ASIGNATURA(S): Estadística matemática, técnicas de regresión y teoríade la probabilidad.

16

TÍTULO: Teoría de Ramsey para grafos.

DIRECTOR(ES): Alfredo García Olaverri (IUMA, [email protected])

CONTENIDO/RESUMEN: La teoría de Ramsey es un área especialmente atractivadentro del campo de Combinatoria. Una de las formas de abordar esta teoría es através de grafos, empezando con los teoremas de Erdós-Szakeres. El estudiante deberátrabajar, entender y saber explicar estos teoremas fundamentales. En el trabajo deberíaincluirse los últimos valores conocidos de lo números de Ramsey, así como las aplicacionesmás conocidas com el teorema de Schur sobre sumas de enteros, y los resultados sobrepuntos en posición convexa. El material básico de estudio está en el libro “Modern GraphTheory” de B. Bollobás

MATERIA/ASIGNATURA(S): Grafos y Combinatoria

17

TÍTULO: Sorteos para hacer justo un mundial de fútbol.

DIRECTOR(ES):Francisco Javier López Lorente (Dpto. de Métodos Estadísticos, [email protected])

CONTENIDO/RESUMEN: Cada cuatro años la FIFA organiza el mundial de fútbol,en el que se enfrentan 32 equipos. En una primera fase, los 32 equipos se organizan en8 grupos, de cada uno de los cuales salen 2 equipos que pasan a octavos de final. Paraorganizar los 8 grupos, la FIFA realiza un sorteo dirigido en función de la calidad de losequipos y de criterios geográficos. Sin embargo, este sistema de sorteo es ampliamentecriticado ya que da lugar a grupos muy dispares entre sí, de forma que algunos gruposson muy fáciles mientras que otros son muy difíciles. En mayo de 2014, el probabilistaJulien Guyon escribió un artículo en el que puso de manifiesto las deficiencias del sistemautilizado por la FIFA, a la vez que proponía varias formas de hacer el sorteo más justas,en las que los grupos fueran de dificultades más similares. Los sistemas propuestos porGuyon son de diferente naturaleza: uno de ellos consiste en la enumeración de todas lassoluciones factibles con un conjunto de restricciones geográficas dado y la elección porsorteo de de una de éstas, mientras que otro sistema se basa en un sorteo en dos fases.Este artículo tuvo una importante repercusión en los medios de comunicación (New YorkTimes, Le Figaro, El País...) y quizá lleve a la FIFA a replantearse la forma en la querealiza el sorteo. El objetivo del trabajo es encontrar un sistema de sorteo que dé lugar aunas agrupaciones lo más homogéneas posibles, es decir, que consiga que las dificultadesde los 8 grupos sean similares, cumpliendo las restricciones geográficas que marca laFIFA. Para ello, el alumno tendrá que estudiar las propiedades del sistema actual, de lossistemas propuestos por Guyon u otros que hayan aparecido en la literatura, y plantearalgún sistema nuevo. A la hora de estudiar cada uno de los sistemas, deberá comprobar,en primer lugar, que siempre da una solución factible y que es equiprobable, de forma queno se beneficie injustamente a ningún país. Además, deberá comparar las propiedadesde los sistemas utilizando simulación y un posterior análisis estadístico de los resultados.Dependiendo de la duración, dificultad y longitud del trabajo, se podrá pensar en suampliación a otras competiciones, como la Eurocopa o la Liga de Campeones.

MATERIA/ASIGNATURA(S): Introducción a la Probabilidad y la Estadística, Cálculode Probabilidades, Estadística matemática, Investigación Operativa y Grafos y combi-natoria

18

TÍTULO: Modelos estocásticos en Física, Medicina y Biología (Dos o tres trabajos).

DIRECTOR(ES):Gerardo Sanz Sáiz (Dpto. de Métodos Estadísticos, [email protected])

CONTENIDO/RESUMEN: Con la realización de cualquiera de estos trabajos se pre-tende que el estudiante se inicie en los pasos preliminares del campo de los ModelosEstocásticos. La aleatoriedad intrínseca a la mayoría de los fenómenos reales, hace quelos modelos estocásticos sean una herramienta básica para modelar diversos modelosde interés en Física, Medic- ina o Biología. En el primer caso los modelos se aborda-rán desde un punto de vista más teórico en el sentido de que se analizarán diversosmode- los estocásticos útiles para representar fenómenos físicos. Con respecto al análi-sis de modelos estocásticos en Medicina o Biología, se trata, en términos generales, deconocer técnicas estadísticas de gran utilidad en problemas de clasificación y predicciónde diversas características relativas a la evolución enfermedades. Más específicamente,el trabajo se centrará en modelos y técnicas usados para estudiar diversos problemasrelacionados con la evolución de algunos tipos de cáncer. Este trabajo complementarála formación del estudiante con el estudio de técnicas de supervivencia y de modelosde Markov usados para la evolución de enfermedades. Además, se trabajará con datosreales que permitirán validar los resultados.

MATERIA/ASIGNATURA(S): Probabilidad y la Estadística, Cálculo de de Probabili-dades, Estadística matemática, Técnicas de regresión y Teoría de la probabilidad.

19

Física Teórica

TÍTULO: Aproximación simpléctica a la mecánica cuántica (un trabajo cada director).DIRECTOR(ES):José Fernando Cariñena Marzo (IUMA, [email protected])Jesús Clemente Gallardo (BIFI, [email protected])

CONTENIDO/RESUMEN: En este TFG describiremos la formulación de la mecáni-ca cuántica en términos de la geometría simpléctica, y veremos cómo el uso de dichageometría nos permite describir la ecuación de Schrödinger como un sistema dinámicoHamiltoniano. Para ello probaremos que el conjunto de estados del sistema tiene unaestructura canónica de variedad Kähler y que la dinámica asociada a la ecuación deSchrödinger (o de Heisenberg) se corresponde con las curvas integrales de un campovectorial hamiltoniano respecto a la parte simpléctica de la estructura Kähler que es,además, un campo de Killing respecto a la parte riemanniana.

Se pretende que el alumno se familiarice con esta formulación geométrica de la Me-cánica Cuántica y sea capaz de aplicarla en el estudio de casos sencillos. Potencialesaplicaciones particularmente útiles podrían ser la teoría de la información cuántica, lateoría de control de sistemas cuánticos o los sistemas integrables cuánticos.

Las técnicas a utilizar son la profundización en el estudio de la Mecánica Cuántica yde la Geometría Diferencial, el estudio analítico de los ejemplos y el uso de programasde cálculo simbólico. Algunas aplicaciones podrían requerir también el uso de técnicasde simulación numérica.

MATERIA/ASIGNATURA(S): Sistemas dinámicos, Variedades diferenciables

20

TÍTULO: Principios de superposición no lineal de soluciones de sistemas ecuacionesdiferenciales (un trabajo cada director).

DIRECTOR(ES):José Fernando Cariñena Marzo (IUMA, [email protected])Jesús Clemente Gallardo (BIFI, [email protected])

CONTENIDO/RESUMEN: En este TFG se estudiarán los sistemas de Lie de ecuacionesdiferenciales ordinarias que son aquellos admiten principios de superposición no linealque nos permiten escribir la solución general como una función de un cierto número desoluciones genéricas. Además del formalismo general se estudiarán ejemplos concretoscon aplicaciones tanto en física como en matemáticas, y en particular en algunos ejemplosde teoría de control afín.

Se pretende que el alumno se familiarice con el uso de la teoría de grupos y álgebras deLie y otros conceptos relacionados de geometría en la solución de sistemas de ecuacionesdiferenciales ordinarias.

Las técnicas y herramientas a utilizar son las propias de la Geometría Diferencial.Algunas aplicaciones podrían requerir también el uso de técnicas de cálculo simbólico yde simulación numérica.

MATERIA/ASIGNATURA(S): Ecuaciones diferenciales ordinarias, Sistemas dinámicos,Variedades diferenciables

21

TÍTULO: Sistemas dinámicos Hamiltonianos (un trabajo cada director).

DIRECTOR(ES):José Fernando Cariñena Marzo (IUMA, [email protected])Manuel Fernández–Rañada Menéndez (IUMA, [email protected]).

CONTENIDO/RESUMEN: En este TFG se aplicarán los conceptos de geometría dife-rencial previamente desarrollados para el estudio de sistemas dinámicos Hamiltonianos,de tanto uso en múltiples áreas de la ciencia y tecnología. Estructura simplécticas, o elcaso más general de estructuras de Poisson, serán utilizadas para definir campos vec-toriales Hamiltonianos cuyas curvas integrales, que representan la evolución dinámica,viene determinados por las bien conocidas ecuaciones de Hamilton. Su relación con elformalismo Lagrangiano será también objeto de estudio.

Se pretende que el alumno se familiarice con el uso de las herramientas propias dela Geometría Diferencial para el estudio de sistemas de ecuaciones diferenciales.

Las técnicas y herramientas a utilizar son las propias de la Geometría Diferencial.También se requieren unos conocimientos previos de Mecánica

MATERIA/ASIGNATURA(S): Ecuaciones diferenciales ordinarias, Sistemas dinámicos,Variedades diferenciables, Mecanica celeste.

22

TÍTULO: Reglas de Kirchhoff y repartición de corrientes en un circuito.

DIRECTOR(ES):Fernando Falceto Blecua (Dpto. de Física Teórica, [email protected])

CONTENIDO/RESUMEN: En primer lugar se estudiará el artículo de Hermann Weyl“Repartición de corriente en una red conductora” (1923), que establece las condicionessuficientes para la existencia de solución única para la asignación de corrientes en uncircuito eléctrico.

Posteriormente se revisará alguna literatura más reciente sobre el tema y se conside-rarán circuitos que no cumplen las condiciones anteriores, estudiando los casos en quecarecen de solución o en los que ésta no es única.

MATERIA/ASIGNATURA(S): Física General

23

Informática

TÍTULO: Criptografía RSA: fundamentos y desarrollo.

DIRECTOR(ES):José Carlos Ciria Cosculluela (Dpto. de Informática e Ingeniería de Sistemas, [email protected])

CONTENIDO/RESUMEN: El estudiante iniciará su TFG realizando una revisión delos fundamentos matemáticos en que se basa el sistema RSA.

A continuación desarrollará una aplicación informática basada en dicho sistema, si-guiendo las fases de análisis, diseño e implementación. La aplicación permitirá a unusuario generar un sistema de claves (pública y privada), e incluirá funciones que per-mitan:

Que cualquier interlocutor que desee comunicarse con el usuario pueda encriptarun mensaje para transmitirlo de forma segura, usando la clave pública.

Que el usuario pueda firmar mensajes y desencriptar los mensajes recibidos, ha-ciendo uso de su clave privada.

Se simulará la comunicación entre distintos actores haciendo uso de las funcionesanteriores. En las fases de análisis y diseño se hará uso del lenguaje de modeli-zación UML (por ejemplo, diagramas de clases y de secuencia). Se analizará lacomplejidad de los algoritmos diseñados.

MATERIA/ASIGNATURA(S): Informática I e Informática II

24

TÍTULO: Técnicas de optimización de consultas a bases de datos.

DIRECTOR(ES):Jorge Lloret Gazo (Dpto. de Informática e Ingeniería de Sistemas, [email protected])

CONTENIDO/RESUMEN: Un gestor de bases de datos relacional recibe consultas SQLy devuelve como resultado los datos solicitados en esas consultas. Para recuperar elresultado de los ficheros de bases de datos, el gestor dispone de varias técnicas. Llamamosoptimización de consultas al proceso de encontrar la técnica más eficiente para recuperarel resultado una consulta. Una forma de medir si una técnica es más eficiente que otraen una consulta es comparar sus tiempos de respuesta y es más eficiente aquella técnicacuyo tiempo de respuesta es menor. En este trabajo fin de grado el alumno estudiaráen primer lugar el álgebra relacional, que es la base matemática para expresar consultasSQL que posteriormente serán optimizadas. A continuación, revisará diversas técnicasde optimización, como por ejemplo, la aplicación de reglas heurísticas para transformaruna consulta expresada en términos del álgebra relacional en otra que es más eficientede ejecutar pero proporciona el mismo resultado que la original.

MATERIA/ASIGNATURA(S): Bases de Datos I

25

TÍTULO: Sistemas Complejos: Estudio y Aplicaciones.

DIRECTOR(ES):Ricardo Lopez Ruiz (Dpto. de Informática e Ingeniería de Sistemas, [email protected])

CONTENIDO/RESUMEN: Los Sistemas Complejos es un área muy activa de trabajoen los últimos años. Todos aquellos sistemas formados por una multitud de unidades queinteraccionan e intercambian información entre ellas dando lugar a un comportamien-to emergente pueden considerarse sistemas complejos. Desde una colonia de hormigasque transportan comida para almacenarla en su hormiguero de una manera bien carac-terística, pasando por la maquinaria de una célula que efectúa todas sus funciones através de una red de proteínas controlada por el ADN, hasta la sociedad humana dondelos individuos y corporaciones realizan transacciones comerciales que dan lugar a unadeterminada distribución de la riqueza, todos ellos son sistemas complejos cuyo com-portamiento colectivo no puede explicarse desde el conocimiento del comportamiento deuna de las unidades y necesita del estudio de su interacción colectiva para entender losnuevos comportamientos emergentes que aparecen.

Los TFG propuestos se harán de dentro de este campo en diversas líneas de tra-bajo: sistemas caóticos, medidas de complejidad, econo-física, etc. y todos ellos puedenconllevar una parte de estudio de la bibliografía correspondiente del tema elegido asíde una parte aplicada de simulación de algún sistema particular en cuestión. Estos de-talles se concretarán con los estudiantes correspondientes y según sean sus intereses ypreferencias.

MATERIA/ASIGNATURA(S): Informática I

26

Geometría y Topología

TÍTULO: Implementación de objetos geométricos en programas informáticos.

DIRECTOR(ES):Enrique Artal Bartolo (IUMA, [email protected])José Ignacio Cogolludo Agustín (IUMA, [email protected])

CONTENIDO/RESUMEN: El objetivo de este trabajo es implementar nuevas funcio-nalidades geométricas en programas libres como SAGEMATH o GEOGEBRA. Su im-plementación supondrá dominar los objetos matemáticos a implementar así como lasherramientas informáticas. A modo de ejemplos; SAGEMATH permite analizar nume-rosos objetos en anillos de polinomios para su uso en Geometría Algebraica. Sin embargola implementación de esos objetos es escasa en otros ámbitos como los anillos de poli-nomios de Laurent.

MATERIA/ASIGNATURA(S): Geometría lineal, Estructuras algebraicas, Teoría de Ga-lois, Geometría de curvas y superficies, Topología de superficies, Curvas algebraicas,Álgebra abstracta aplicada, Informática.

27

TÍTULO: Teoría de nudos y Aplicaciones.

DIRECTOR(ES):Enrique Artal Bartolo (IUMA, [email protected])José Ignacio Cogolludo Agustín (IUMA, [email protected])María Teresa Lozano Imízcoz (IUMA, [email protected])

CONTENIDO/RESUMEN: El objetivo de este trabajo es comprender el objeto mate-mático de nudo y enlace, las herramientas básicas para su estudio y clasificación asícomo reconocer la aparición y posibles aplicaciones de los mismos en diversas áreas delconocimiento: en geometría de curvas algebraicas, en física (electromagnetismo, órbi-tas), bioquímica (quiralidad, estructuras de ADN), probabilidad o arte. El trabajo arealizar se centrará en alguno de estos aspectos. Como ejemplo, se pueden estudiar losnudos y enlaces algebraicos, también conocidos como enlaces tóricos iterados: describirinvariantes que permitan clasificarlos y codificarlos. Dar una fórmula recursiva para losmismos e implementarla en un programa de cálculo simbólico.

MATERIA/ASIGNATURA(S): Geometría lineal, Estructuras algebraicas, Teoría de Ga-lois, Geometría de curvas y superficies, Topología de superficies, Curvas algebraicas,Álgebra abstracta aplicada, Informática.

28

TÍTULO: Geometría esférica e hiperbólica.

DIRECTOR(ES):María Teresa Lozano Imízcoz (IUMA, [email protected])

CONTENIDO/RESUMEN: Se trata de trabajar algunos de los siguientes temas:

Historia de las geometrías no-Euclídeas.

Modelos de las geometrías hiperbólica y esférica.

Cálculo de geodésicas en los diferentes modelos.

Grupos de isometrías de estas geometrías.

Su influencia en el arte.

MATERIA/ASIGNATURA(S): Geometría Lineal, Geometría de curvas y superficies yVariedades diferenciales.

29

TÍTULO: Poliedros y Grupos de Homología.

DIRECTOR(ES):José Luis Navarro Segura (Dpto. de Matemáticas, [email protected])

CONTENIDO/RESUMEN: Los espacios más interesantes (superficies, variedades dife-renciales,. . . ) son poliedros, es decir son homeomorfos al espacio topológico asociado aun complejo simplicial. El objetivo de este trabajo es estudiar las propiedades topoló-gicas de estos últimos, el grupo de aristas y su relación con el grupo fundamental, susgrupos de homología y su aplicación a teoremas de punto fijo y clasificación de superfi-cies. También otras aplicaciones interesantes como el teorema de la dimensión, camposvectoriales en esferas y los sólidos platónicos.

MATERIA/ASIGNATURA(S): Topología General y Topología de Superficies .

30

TÍTULO: Transversalidad y estabilidad.

DIRECTOR(ES):Alvaro Rodés (Dpto. de Matemáticas, [email protected])

CONTENIDO/RESUMEN: La transversalidad como generalización del concepto de re-gularidad. Subvariedades transversales. Homotopía y estabilidad. Teoremas de estabili-dad

MATERIA/ASIGNATURA(S): Variedades Diferenciables.

31

TÍTULO: Geometría de los grupos de Lie.

DIRECTOR(ES):Luis Ugarte Virumbrales (IUMA, [email protected])

CONTENIDO/RESUMEN: Los grupos de Lie son grupos que tienen además estructurade variedad diferenciable compatible. Esta riqueza estructural que combina álgebra ygeometría los hace interesantes no sólo en matemáticas sino también por sus múltiplesaplicaciones en física. En este trabajo se revisarán en primer lugar los principales re-sultados de la teoría de grupos de Lie (relación con las álgebras de Lie, subgrupos deLie, acciones sobre variedades, espacios homogéneos,. . . ) con el objetivo de aplicarlosen alguna situación más concreta (geometría compleja, simpléctica, espacio hiperbólicocomo espacio homogéneo,. . . ).

MATERIA/ASIGNATURA(S): Variedades Diferenciables

32

Matemática Aplicada

TÍTULO: Análisis de modelos matemáticos en Biología (hasta 2 trabajos)

DIRECTOR(ES):Roberto Barrio Gil (IUMA, [email protected])

CONTENIDO/RESUMEN: Una de las ramas de las matemáticas que ha vivido ungran auge en los últimos años es la de las biomatemáticas, potenciando el análisis serio yriguroso de determinados fenómenos en biología. Es este trabajo/os se pretende estudiarde forma numérica y analítica el comportamiendo de modelos tales como

Modelos de propagación de enfermedades

Modelos matemáticos de neuronas

Modelos de dinámica de poblaciones

En todos los casos se considerarán modelos diferenciales, es decir, sistemas modeladosmediante un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias. Se requerirá la solución nu-mérica de dichos sistemas mediante software tipo OCTAVE, MATLAB o similares yel análisis de algunas propiedades cualitativas de dichos modelos que nos dan lugar adiversos comportamientos y cambios significativos en el sistema real.

MATERIA/ASIGNATURA(S): Modelización Matemática, Sistemas Dinámicos

33

TÍTULO: Simulación numérica en finanzas.

DIRECTOR(ES):Francisco José Gaspar Lorenz (IUMA, [email protected])

CONTENIDO/RESUMEN: Este trabajo trata del modelo de Black-Scholes para la es-timación del valor de una opción para la compra (call) o venta (put) de acciones enuna fecha futura. En primer lugar se estudiará algunas nociones de finanzas, necesariaspara una mejor comprensión del trabajo. Posteriormente se estudiarán tanto las técnicasanalíticas como numéricas para la resolución de dicha ecuación.

MATERIA/ASIGNATURA(S): Ecuaciones en derivadas parciales. Tratamiento numé-rico de las ecuaciones en derivadas parciales.

34

TÍTULO: Simulación numérica en medios porosos deformables.


CONTENIDO/RESUMEN: El estudio de los medios porosos deformables reside en ladescripción de un medio donde coexisten dos materiales muy diferentes. Por un ladotenemos una matriz sólida deformable y por el otro el fluido que ocupa los poros. Entérminos generales, los materiales porosos se relacionan con materiales tales como ro-cas, suelos, tejidos vivos, espumas, y productos de papel. Por ejemplo, para analizar elcomportamiento de un suelo al extraerle agua o el análisis del comportamiento de unyacimiento de gas o petróleo durante su explotación, es necesario evaluar la interaccióndel fluido con la matriz porosa, por lo que el estudio de los medios porosos son de granimportancia. En este trabajo se pretende mostrar la aplicación de la simulación numéri-ca en este contexto. En primer lugar, se estudiarán algunas nociones básicas, necesariaspara una mejor comprensión del trabajo. A partir de estas nociones básicas, se estu-diarán algunos de los modelos más importantes del movimiento del fluido en mediosporosos. Finalmente, se estudiarán las té cnicas numéricas necesarias para su resolución,concluyendo con una implementación algorítmica en el ordenador.

MATERIA/ASIGNATURA(S): Ecuaciones en derivadas parciales. Tratamiento numé-rico de las ecuaciones en derivadas parciales. Física General.

35

TÍTULO: Simulación numérica del crecimiento tumoral.


CONTENIDO/RESUMEN: Este trabajo trata de la simulación numérica de algunosmodelos de crecimiento de tumores malignos. En primer lugar, se estudiarán modelosbasados en sistemas de ecuaciones en derivadas parciales. Se considerarán técnicas numé-ricas necesarias para su aproximación, para finalizar el trabajo con una implementaciónalgorítmica en el ordenador.

MATERIA/ASIGNATURA(S): Ecuaciones en derivadas parciales. Tratamiento numé-rico de las ecuaciones en derivadas parciales.

36

TÍTULO: Modelado y simulación de un ‘tippe-top’

DIRECTOR(ES):Eduardo Martínez Fernández (IUMA, [email protected])

CONTENIDO/RESUMEN: El ’tippe-top’ es una peonza que gira en posición verticaly que, al perder velocidad, su eje de giro va cambiando hasta colocarse precisamenteen sentido contrario. En términos de sistemas dinámicos la órbita que describe es clara-mente una órbita heteroclínica. Se trata de estudiar el modelo matemático que describeel movimiento del ’tippe-top’ y realizar simulaciones que permitan entender este com-portamiento tan peculiar.MATERIA/ASIGNATURA(S): Sistemas dinámicos.

37

TÍTULO: Estudio y construcción de métodos de integración numérica de tipo Runge-Kutta-Hermite-Birkhoff

DIRECTOR(ES):Luis Rández García (IUMA, [email protected])

CONTENIDO/RESUMEN: En este trabajo fin de grado se pretende el análisis y cons-trucción de un tipo particular de integradores numéricos más general que los métodosRunge-Kutta.

El objetivo es el desarrollo de un código de integración numérica a paso variable deeste tipo de esquemas con especial atención a las propiedades de dispersión y disipaciónnuméricas. La implementación se realizará en python.

MATERIA/ASIGNATURA(S): Simulación numérica en ecuaciones diferenciales ordi-narias.

38

Multidisciplinares

Divulgación

TÍTULO: Diseño y presentación de material divulgativo matemático. interactivo

DIRECTOR(ES):Julio Bernués Pardo (IUMA, [email protected])Pedro José Miana Sanz (IUMA, [email protected])Luis Rández García (IUMA, [email protected])

CONTENIDO/RESUMEN: Se desarrollarán tareas de diseño de material didáctico ydivulgativo de tipo interactivo, aunque no exclusivamente en formato digital.

En el caso de desarrollo de material digital, uno de los lenguajes de programación ausar sería el html5, próximo estándar de la web por sus numerosos avances y mejorasrespecto a las versiones actuales.

El objetivo de este TFG es la presentación y uso de dicho material en actividadesdidácticas y de divulgación del IUMA: Espacio Etopia, Pabellón de la Ciencia, Nochede los investigadores, Talleres, . . .

MATERIA/ASIGNATURA(S): Todas las del grado

39

Ecuaciones diferenciales y singularidades

TÍTULO: Ecuaciones diferenciales implícitas y clasificación de sus singularidades

DIRECTOR(ES):Enrique Artal Bartolo (IUMA, [email protected])Eduardo Martínez Fernández (IUMA, [email protected])

CONTENIDO/RESUMEN: En muchas ocasiones las ecuaciones diferenciales no vienendadas en forma normal sino en forma implícita F (t, x, dx/dt) = 0. Para su estudio,se considera la superficie de ecuación F (t, x, p) = 0 y se plantea el sistema diferencialobtenido al añadir la condición dx − pdt = 0. En los puntos regulares, el método pro-porciona inmediatamente las soluciones locales. Sin embargo, en los puntos singulares,el comportamiento de las soluciones puede resultar muy complicado.

En el trabajo se tratarán de estudiar las singularidades de las ecuaciones diferencialesimplícitas, estableciendo las posibles formas normales y los tipos de soluciones que tienen,y representando gráficamente los diagramas de fases asociados a dichas formas normales.

MATERIA/ASIGNATURA(S): Ecuaciones diferenciales ordinarias, Geometría de cur-vas y superficies.

40

Geometría e Ingeniería

TÍTULO: Identificación de sustancias explosivas mediante la caracterización/parametri-zación de curvas planas.

DIRECTOR(ES):Jorge Martín Morales (CUD, [email protected])Javier Martínez Torres (CUD, [email protected])

PONENTE:Luis Rández García ([email protected]). Universidad de Zaragoza

CONTENIDO/RESUMEN: Las señales eléctricas, electrónicas y magnéticas proporcio-nadas por multitud de aparatos de medida en el ámbito de la Ingeniería pueden seraproximadas de forma precisa por una curva plana, pudiendo así abordar el problemadesde un punto de vista matemático. Un caso particular de este tipo de señales es elobtenido en la experimentación de identificación de sustancias explosivas mediante unsensor basado en nanotecnología desarrollado por un grupo de investigación de reconoci-do prestigio como es el Instituto de Investigación de Nanociencia de Aragón, tratándosepor tanto de un proyecto fin de grado con un marcado carácter interdisciplinar. Así, elobjetivo principal del trabajo es codificar una familia de curvas planas dependiendo deun conjunto de parámetros cuya dimensión sea mínima, pudiendo así obtener un métodopara caracterizar la curva plana de tal modo que en el caso de presentarse una nuevacurva, el modelo sea capaz de parametrizarla según las curvas dadas anteriormente. Me-diante el desarrollo de este trabajo el alumno verá una aplicación directa de los métodosimpartidos en diferentes asignaturas del grado, así como adquirir el conocimiento de unproblema de gran impacto en la sociedad.MATERIA/ASIGNATURA(S): Análisis matemático I, Análisis matemático II, Análisisnumérico I, Análisis numérico II

41

Matemática Aplicada e Ingeniería

TÍTULO: Aplicaciones de la derivación respecto al dominio a la evaluación no destruc-tiva de materiales (Hasta 3 TFG secuenciados).

DIRECTOR(ES):Ricardo Celorrio (IUMA, [email protected])Mónica Hernández (I3A, [email protected])

CONTENIDO/RESUMEN: Trabajo interdisciplinar: La evaluación no destructiva demateriales mediante termografía activa infrarroja se está imponiendo como sistema decontrol de calidad en las cadenas de producción de materiales metálicos y composites. Subaja peligrosidad, comparada con los rayos X, y el desarrollo de cámaras y videocámarasde visión infrarroja cada vez más sensibles y asequibles hacen de este sistema uno delos más atractivos a la hora de detectar grietas o inhomogeneidades subsuperciales enlos materiales. El modelo matemático asociado es una ecuación elíptica en derivadasparciales en un dominio parcialmente desconocido a priori (o con propiedades térmicasparcialmente desconocidas) que se debe determinar mediante un proceso de optimizaciónque involucra el cómputo de derivadas de Fréchet respecto del dominio de definición. Estees un problema no lineal mal puesto (ill-posed) en el sentido de Hadamard y requiereser estabilizado mediante técnicas de regularización. A lo largo de los diferentes TFGse explorarán técnicas de regularización y de minimización y su posible implemetaciónnumérica eficiente mediante el uso del operador adjunto.

MATERIA/ASIGNATURA(S): Ecuaciones en Derivadas Parciales. Tratamiento Numé-rico de las Ecuaciones en Derivadas Parciales. Informática.

42

TÍTULO: Métodos de reducción de modelos. (Hasta 3 TFG secuenciados)

DIRECTOR(ES):Ricardo Celorrio (IUMA, [email protected])David González (I3A, [email protected])

CONTENIDO/RESUMEN: Trabajo interdisciplinar: Los métodos de reducción modeloso de orden (ROM por sus siglas en inglés) están ganando popularidad en todo tipo deaplicaciones (control, procesado de señal, compresión de imagen, mecánica de fluidos yestructuras y sistemas de potencia). En general estos problemas están planteados comoecuaciones diferenciales ordinarias o parciales en un contexto de sistemas de muchasconsultas, como son las situaciones de optimización o cuantificación de incertidumbreen procesos rápidos de entrada (parámetro)–salida (un funcional de la solución de laecuación), que necesita ser resueltos de manera eficiente muchas veces. Mediante estastécnicas es posible generar Superficies de Respuesta para problemas definidos en espaciosde dimensiones altas, o la obtención de la solución en Tiempo Real, por citar algunasde las aplicaciones más relevantes.

De los múltiples MOR, en los TFG asociados a esta propuesta se abordarán losmétodos de reducción de base (RBM) y de descomposición propia generalizada (PGD)aplicados a sistemas lineales de ecuaciones diferenciales ordinarias y a ecuaciones elípicassimples, indagando en las matemáticas subyacentes a ambos métodos.http://www.ics.upmc.fr/modules/resources/download/ics/catalogue_des_seminaires_calsim/calsim_2012/\urlbreakcalsim_2012_6_stamm/stamm.pdf

MATERIA/ASIGNATURA(S): Ecuaciones en Derivadas Parciales. Tratamiento Numé-rico de las Ecuaciones en Derivadas Parciales. Informática.

43

TÍTULO: Aplicación de métodos multi-paso en algoritmos distribuidos de consenso parasistemas multi-robot.

DIRECTOR(ES):Eduardo Montijano Muñoz (CUD, [email protected])Juan Ignacio Montijano Torcal (IUMA, [email protected])

CONTENIDO/RESUMEN: Los algoritmos distribuidos de consenso tienen una granutilidad en tareas cooperativas de equipos de robots tales como el transporte de mer-cancías o tareas de búsqueda y rescate cooperativas. Estos algoritmos se pueden describirmediante sistemas diferenciales lineales tiempo-variantes. Su aplicación en redes de co-municación reales requiere la utilización de discretizaciones de los mismos. Sin embargo,el tiempo de paso que suelen admitir dichas discretizaciones no es compatible con lasrestricciones de comunicación reales entre los robots. En este TFG se propone investi-gar el uso de métodos multi-paso que permitan aumentar el paso de integración, conel objetivo de conseguir que el tiempo entre iteraciones del algoritmo se adecúe a lasrestricciones de comunicación reales del equipo de robots.MATERIA/ASIGNATURA(S): Simulación numérica en ecuaciones diferenciales ordi-narias, Análisis numérico I-II, Sistemas dinámicos.

44

oferta de trabajos fin de grado (matemáticas) 2014-15 ·...

Documents