oip teorija

Osnove inženjerskog proračuna

1

1 Kut

Kut je dio ravnine omeđen s dva pravca koja se sijeku. Obično se obilježava

kružnim lukom među pravcima. Ako je duljina luka manja od četvrtine opsega kružnice, kut

je šiljast ili oštar, ako je jednaka četvrtini, kut je pravi, ako je veća od četvrtine a manja od

polovine, kut je tup, ako je jednaka polovini, kut je ispružen, ako je veća od polovine, kut je

izbočen ili konkavan, i napokon, ako je jednaka opsegu kružnice, kut je puni.

Dva kuta su komplementarna ako im je zbroj pravi kut, a suplementarna ako im je zbroj

ispruženi kut. Najvažnije jedinice mjere kuta su stupnjevi(°) i radijani (rad).

Kut od jednog radiana je kut koji obuhvaća kružni luk čija je duljina jednaka radijusu

tog luka.

Slika 1.1 Radijanska mjera

Označimo sa Φ kut izražen u radijanima a sa φ označimo kut izražen u

stupnjevima. Tada formule za pretvorbu izgledaju:

2 , 360360 2

Formule u kojima se koristi lučna mjera kuta:

Duljina kružnog luka:

s r

Opseg kruga: 2O r

duljina kružnog luka = radijus

1 radian

radijus


2

Površina kruga: 2A r

Površina kružnog isječka:

2

2

rA

Kutevi s okomitim kracima su sukladni (sl. 1.1) (Sukladnost je istovremena sličnost i

jednakost odn. Podudarnost geometrijskih likova.)

ZADACI – PRETVORBA RADIJANA U STUPNJEVE

Primjer 1 zadane su mjere kuta u stupnjevima, pretvorite ih u radijane

50 , 72 , 93 , 105 , 126 , 157 , 293 , 402

Primjer 2 zadane su mjere kuta u radijanima, pretvorite ih u stupnjeve

30.2 rad, 2 rad, 6 rad, 7.2 rad, 2.5 rad, rad, rad, 12 rad

2 3

Slika 1.2 Kutevi s okomitim kracima


3

2 Trokut

2.1 Sličnost trokuta Trokut omeđuju tri stranice, a njihove duljine označavamo malim slovima. Obično duljine

stranica označavamo slovima a ,b i c .

Vrh trokuta je zajednička točka dviju stranica. Vrhove označavamo velikim tiskanim

slovima, a obično A, B i C. Unutarnji kutovi trokuta označavaju se uglavnom malim grčkim

slovima , i . Uobičajeno je da se označava abecednim redom i to tako da je vrh

kuta točka A, a nasuprot je stranica a (analogijom se označavaju i ostali kutevi, točke i

stranice)

Slični trokuti imaju jednake kuteve i proporcionalne stranice.

Trokuti su slični ako je ispunjen neki od sljedeća četri uvjeta:

trokuti imaju sve tri stranice proporcionalne

SSS: a : aB1B = b : bB1B = c : cB1B

trokuti imaju dvije stranice proporcionalne i kuteve među njima jednake

SKS: α = αB1B, b : bB1B = c : cB1B

trokuti imaju dva kuta jednaka kuta

KK: α = αB1B, β = βB1B

trokuti imaju dvije stranice proporcionalne, a kutovi nasuprot većoj stranici su

sukladni

SSK: α = αB1, B a : aB1B = b : bB1 B(a > b)

Površine sličnih trokuta proporcionalne su kvadratima stranica.

c A

C

B

a b

A' B'

C'

k • a k • b

k • c

Slika 2.1 Sličnost trokuta


4

2.2 Pravokutni trokut

Kutevi u pravokutnom trokutu: 90 , 90

Stranice koje se nalaze uz pravi kut, odnosno zajedno tvore pravi kut nazivaju se katete, a

stranica nasuprot pravog kuta naziva se hipotenuza

Pitagorin teorem:

Površina kvadrata nad hipotenuzom

jednaka je zbroju površina kvadrata

nad katetama

2 2 2c a b

Odnosi kateta i hipotenuze:

sin , sin

cos , cos

a a

c cb a

c c

Odnosi među katetama:

tg , tg

ctg , ctg

a b

b ab a

a b

Riječima: Sinus kuta kojeg čine kateta i hipotenuza jednak je omjeru nasuprotne katete i

hipotenuze. Kosinus tog kuta jednak je omjeru priležeće katete i hipotenuze. Tangens tog

kuta jednak je omjeru nasuprotne i priležeće katete. Kotangens kuta jednak je omjeru

priležeće i nasuprotne katete. Tangens i kotangens kuta su obrnuto proporcionalni:

-1 1ctg tg

tg

Slika 2.3 Jedinična kružnica

cos

sintg

ctg

Slika 2.2 Pravokutni trokut

AC

B

a

b

c


5

ZADACI – PRAVOKUTNI TROKUT, TRIGONOMETRIJA

1. Izračunajte: 55 77 26

sin cos6 3 4

tg

2. Izračunajte: 113 71 115

sin cos3 6 4

ctg

3. Izračunajte:

8

13

8

17

18

9

8

5

ctgctg

ctgctg

4. Izračunajte:

145sin35sin125sin55sin

162sin12sin108sin282sin

5. Izračunajte: 12

23sin

12

41sin

6. Izračunajte:

41cos1

53sin37sin2

7. Izračunajte:xx

xxxx22 cos3cos

sin3coscos5sin

8. Izračunajte: 24

43cos

24

85cos

2.3 Općeniti trokut, sinusov i kosinusov poučak

2.3.1 Sinusov poučak Dužina CD v označava visinu spuštenu iz

točke C. Time je trokut podijeljen na dva

pravokutna trokuta. Iz slike se vidi da je

sinb v , što znači da je sinv b

ali isto tako je sinv a . Znači da vrijedi:

sin sina b , ili sin sin

a b

.

Na potpuno isti način se može

dokazati da je sin sin

b c

Sinusov poučak glasi: Omjer stranice trokuta i sinusa nasuprotnog kuta jednak je za sve

stranice trokuta.

Slika 2.4 Općeniti trokut

c A

C

B

a b

R

D


6

sin sin sin

a b c

Ovaj odnos jednak je promjeru opisane kružnice:

2sin

aR

ZADACI - SINUSOV POUČAK

primjer 1. Riješite trokut ako su zadani cm6.4a,72,50

(dva kuta i stranica nasuprot jednoga od njih)

primjer 2. Riješite trokut ako su zadani cm71.5b,cm56.4a,'2356

(dvije stranice i kut nasuprot većoj stranici)

primjer 3. Riješite trokut ako su zadani 30,cm5b,cm3a

(dvije stranice i kut nasuprot manjoj stranici)

zadatak 1. Riješite trokut ako su zadani opseg trokuta 20cm i dva kuta 41.6 i 69.5 .

zadatak 2. Razlika duljina dviju stranice trokuta je 6cm, a kutevi nasuprot tim

stranicama su 632, i 875, . Odredi nepoznate stranice i kuteve trokuta.

zadatak 3. Riješite trokut ako su zadani cm,a 683 i ''',' 3647363735

2.3.2 Kosinusov poučak Dužina CD je visina iz točke C. Iz slike čitamo da je

22 2ADb v

22 2 2( BD ) BDb c a

2 22 2 22 BD BD BDb c c a

2 2 2 2 BDb a c c

Iz slike se vidi da je kut uz B jednak BD

cosa

znači da je BD cosa .

To uvrstimo u gornju formulu i dobijemo:

2 2 2 2 cosb a c ac .

Na isti način možemo izvesti i za ostale stranice

R2sin

c

sin

b

sin

a

R ... polumjer opisane kružnice


7

Kosinusov poučak glasi: Kvadrat stranice u trokutu jednak je zbroju kvadrata drugih dviju

stranica, umanjenom za dvostruki umnožak tih stranica i kosinusa kuta između njih

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 cos

2 cos

2 cos

a b c bc

b a c ac

c a b ab

ZADACI - KOSINUSOV POUČAK

primjer 1. Riješite trokut ako je cmb,cma 3740 i 18

(dvije stranice i kut između njih)

primjer 2. Riješite trokut ako je cmc,cmb,cma 91017

(tri stranice)

zadatak 1. Duljine stranica trokuta su u omjeru 2 : 4 : 8. Odredite najmanji

kut trokuta.

zadatak 2. Odredite kuteve trokuta ako je cmc,cmb,cma 211320

zadatak 3. Odredite stranicu c ako je ',cmb,cma 40481820

zadatak 4. Odredite stranicu a ako je ',m,c,m,b 50634321

zadatak 5. Odredite stranice a i b ako je ',cmv,cmc c 1062510

zadatak 6. Odredite ct ako je ',cmb,cma 26985682

ab

cbacos

ac

bcacos

bc

acbcos

2

2

2

222

222

222

cosabbac

cosaccab

cosbccba

2

2

2

222

222

222


8

1. Iz točke A na moru vidi se vrh

svjetionika pod kutem '1911 , a

iz točke B koja je za d = 52,7m

bliže, vidi se vrh pod kutem

'4830 , a podnožje pod kutem

'459 . Kolika je visina

svjetionika?

2. Kolike su napetosti na dijelovima AC

i BC konstrukcije ako je G = 4750N,

',' 45311274 ?

3. Dva broda isplovila su pod kutem

od 37 . Dok je jedan brod prešao

32km, drugi je prešao 25km. Koliko

su tada bili udaljeni jedan od

drugoga?

4. Na putu iz grada A u grad B

zrakoplov je skrenuo s kursa '3812 .

Nakon 78 km leta pilot je ispravio

kurs i letio još 120km do mjesta B.

Ako zrakoplov leti stalnom brzinom

420km

na sat,

izračunajte koliko je vremena

zrakoplov dulje letio zbog skretanja?

5. Brod plovi prema luci i od nje je

udaljen 12km. Nakon što su prešli 5

km kapetan shvati da je skrenuo s

kursa za 21 . Koliko su tada bili

udaljeni od luke?


9

3 Jednadžba pravca

3.1 Implicitna jednadžba pravca Implicitna jednadžba pravca je

ax by c (1)

gdje su a, b i c realni brojevi, pri čemu je barem jedan od brojeva a i b različit od nule.

3.2 Eksplicitna jednadžba pravca Eksplicitna jednadžba pravca je

y kx l (2)

pri čemu su k i l realni brojevi (k je koeficijent smjera pravca, a l njegov odsječak na osi y).

3.3 Segmentni oblik jednadžba pravca Segmentni oblik jednadžbe pravca je

1x y

m n (3)

gdje su m i n realni brojevi različiti od nule. Točke ( ,0)m i (0, )n su točke presjeka pravca i

koordinatnih osi.

3.4 Jednadžba pravca kroz dvije točke Jednadžba pravca koji prolazi točkama 0 0A( , )x y i 1 1B( , )x y (uz uvjet 0 1x x ) glasi:

1 00 0

1 0

( )y y

y x x yx x

(4)

Implicitna jednadžba se lagano dobije množenjem s x1 − x0 i sredivanjem izraza:

1 0 1 0 1 0 0 1 0 0( ) ( ) ( ) ( )y y x x x y y y x x x y (5)

pri čemu se ova formula smije upotrijebiti i u slučajevima kada vrijedi 0 1x x .

3.5 Jednadžba pravca sa zadanim koeficijentom smjera koji prolazi kroz jednu točku

Jednadžba pravca koji prolazi točkom 0 0A( , )x y i ima koeficijent smjera k je:


10

0 0( )y k x x y (6)

presjeci pravca i koordinatnih osi

Točka presjeka pravca i osi x se dobije tako da se u jednadžbu pravca uvrsti 0y i

dobivena jednadžba riješi po x. Dobiveno rješenje 0x odreduje traženu točku presjeka s

osi x: 0( ,0)x .

Točka presjeka pravca i osi y se dobije tako da se u jednadžbu pravca uvrsti 0x i

dobivena jednadžba riješi po y. Dobiveno rješenje y0 odreduje traženu točku presjeka s

osi y: 0(0, )y .

3.6 Skiciranje pravca u pravokutnom koordinatnom sustavu Budući je pravac jednoznačno odreden s dvije svoje točke, dovoljno je odrediti položaj

dviju njegovih točaka u pravokutnom koordinatnom sustavu i onda skicirati pravac koji

njima prolazi. Da bi skica bila preciznija, može se odrediti i više od dvije točke, a korisno je

odrediti i sjecišta pravca s koordinatnim osima.

ZADACI – JEDNADŽBA PRAVCA

Zadatak 1.

Zadane su točke A( 8, 4) i B(2,9). Napišite eksplicitni, implicitni i segmentni oblik

jednadžbe pravca koji prolazi točkama A i B, odredite sjecišta pravca s koordinatnim osima

i skicirajte pravac u pravokutnom koordinatnom sustavu.

Zadatak 2.

Zadane su točke A( 3, 3) i B(3, 7) . Napišite eksplicitni, implicitni i segmentni oblik

jednadžbe pravca koji prolazi točkama A i B, odredite sjecišta pravca s koordinatnim osima

i skicirajte pravac u pravokutnom koordinatnom sustavu.

Zadatak 3.

Zadane su točke A( 3, 3) , B(3, 4) i C(6,8) . Napišite jednadžbe pravca koji prolaze

točkama A i B te B i C, odredite koeficijente smjera pojedinog pravca i skicirajte pravce u

pravokutnom koordinatnom sustavu.


11

4 Metoda najmanjih kvadrata - MNK

Linearna metoda najmanjih kvadrata koristi se na jednadžbi pravca

y a bx (1)

(Eksplicitni oblik jednadžbe pravca smo u prethodnom poglavlju zapisivali u obliku

y l kx )

da bismo zadani skup podataka, 1 1,x y , 2 2,x y ,..., ,n nx y , gdje ne 2n .

Metoda najmanjih kvadrata zasniva se na izjavi da krivulja koja najbolje aproksimira

zadane podatke ima najmanju grešku odstupanja:

2 2

1 11 1

( ) ( ) minn n

i ii i

y f x y a bx

(2).

Pri čemu su a i b nepoznati koeficijenti a zadani su ix i iy . Da bi se postigla najmanja

pogreška razlike kvadrata prva derivacija gornjeg izraza po a i b mora dati nulu.

11

11

2 ( ) 0

2 ( ) 0

n

ii

n

ii

y a bxa

y a bxb

(3)

Proširivanjem gornjih izraza dobije se:

1 1 1

2

1 1 1

1n n n

i ii i i

n n n

i i i ii i i

y a b x

x y a x b x

(4)

Odakle nepoznate parametre a i b dobijemo računajući sljedeći izraz:

2

22

22

y x x xya

n x x

n xy x yb

n x x

(5)

Gdje znači 1

...n

ii

Pri čemu se ukupna greška računa:


12

2

1

2

1

( ( ) )n

i ii

n

ii

f x ys

y

(6)

ZADACI – MNK

Zadatak 1.

Koristeći linearnu metodu najmanjih kvadrata pronađi pravac koji najbolje aproksimira

zadane točke. Odredi grešku aproksimacije.

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y 0.360024 2.66888 5.98046 9.54012 11.2017 15.0563 18.45 20.3067 24.8276 26.9515 29.4022

Rješenje:

0.08303309090909661 + 2.9787658181818184*x

y = 2,978765818182x + 0,083033090909

0

5

10

15

20

25

30

35

0 2 4 6 8 10 12

Zadana funkcija

Aproksimacija


13

5 Linearna interpolacija

Interpolacija dolazi od riječi inter između i polos os, osovina, odnosno točka, čvor. Svako

izračunavanje nove točke između dviju ili više postojećih točaka podataka je interpolacija.

Postoje mnoge metode interpolacije od kojih mnoge uključuju prilagođavanje nekakve

vrste funkcije zadanim podacima i zatim procjenu vrijednosti te funkcije na željenoj točki.

Danom nizu od n različitih brojeva kx koje nazivamo čvorovi tako da za svaki kx postoji

drugi broj ky , naći ćemo funkciju f za koju vrijedi

( ) , 1,...,k kf x y k n (1)

Par kx , ky naziva se točka podataka, a f se naziva interpolant za te točke podataka.

Jedan od oblika interpolacije je izračun aritmetičke sredine iz vrijednosti dviju susjednih

točaka kako bi se odredila točka u njihovoj sredini. Isti se rezultat dobiva određivanjem

vrijednosti linearne funkcije u srednjoj točki.

Linearna interpolacija (ponekad se naziva lerp) je jedna od najjednostavnijih metoda

interpolacije. Kod ove metode se vrijednosti funkcije između dvije susjedne točke grafa

,a ax y i ,b bx y prikazuju kao da leže na pravcu između te dvije točke. Dakle, za

,a bx x x se uzima da je interpolant zadan:

( )( )

( )b a

a ab a

y yy y x x

x x

(2)

na točki ,x y .

Linearna interpolacija je brza i lagana, no nije odveć precizna.


14

Primjer 1 Pretpostavimo da imamo tablicu u kojoj su navedene vrijednosti nepoznate

funkcije f.

x f(x)

0 0

1 0.8415

2 0.9093

3 0.1411

4 -0.7568

6 -0.9589

6 -0.2794

Interpolacija osigurava način procjenjivanja funkcije na međutočkama, npr. ako x = 2,5.

Budući da je 2,5 sredina između 2 i 3, razumljivo je uzeti sredinu f(2,5) između f(2) =

0,9093 i f(3) = 0,1411, što daje rezultat od 0,5252.

(0.1411 0.9093)0.9093 (2.5 2) 0.5252

(3 2)y

Slika 5.1 Vizualno predočeni podaci iz tablice

Slika 5.2 Prikaz podataka sa dodanom linearnom interpolacijom

-2

-1

-1

0

1

1

2

0 1 2 3 4 5 6

-2

-1

-1

0

1

1

2

0 1 2 3 4 5 6


15

Primjer 2 Na slici je prikazana tablično zadana funkcija.

x f(x)

0 -1

1 1

3 3

4 5

5 7

8 6

Odredi vrijednost (2.6)f .

(3) (1)(2.6) (1) (2.6 1) 2.6

3 1

y yf y

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Slika 5.3 Vizualni prikaz podataka

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Slika 5.3 Linearna interpolacija


16

6 Mjerne jedinice i SI sustav

Medunarodni sustav jedinica SI (kratica SI izvedena je prema francuskom nazivu Le System

International d'Unites) je moderni metrički sustav mjera, kojeg je uspostavila 1960. Generalna

konferencija o utezima i mjerama (CGPM, Conférence Générale des Poids et Mesures). CGPM je

međunarodna organizacija koja se brine o širenju SI i po potrebi njegovoj modifikaciji, sukladno

napretku u znanosti i tehnologiji. Sadašnja verzija SI, usvojena 1971., temelji se na sedam

osnovnih jedinica za sedam osnovnih veličina koje su medusobno neovisne.

Osnovne fizikalne veličine i pripadne jedinice SI sustava

FIZIKALNA VELIČINA

NAZIV SIMBOL SI - JEDINICA SIMBOL

Duljina l metar m

Masa m kilogram kg

Vrijeme t sekunda s

Električna struja I amper A

Termodinamička

temperatura

T kelvin K

Količina tvari n mol mol

Intenzitet svijetlosti Iv kandela cd

Dopunske SI jedinice

FIZIKALNA VELIČINA


Kut Φ,φ,α,... radijan rad

Prostorni kut Φ,φ,α,... steradijan sr

Sve druge veličine, nazvane izvedene veličine, mogu se definirati pomocu tih sedam osnovnih

veličina. Sukladno tome, izvedene veličine imaju izvedene jedinice.


17

Neke od izvedenih SI jedinica bez posebnih znakova i naziva

FIZIKALNA VELIČINA


Površina A, S četvorni metar m2

Volumen V kubni metar m3

Brzina v metar u

sekundi m/s

Ubrzanje a

metara u

sekundi na

kvadrat

m/s2

Gustoća ρ

kilograma po

kubičnom

metru

kg/m3

Obujamni protok Q

kubičnih

metara u

sekundi

m3/s

Moment sile M njutn metara Nm

Neke od izvedenih velicina toliko su česte i važne u praksi da su njihove (izvedene) jedinice dobile

specijalni naziv i oznaku (simbol). SI sustav ima 22 takve specijalne oznake, a za naše potrebe

nabrojat ćemo samo sljedeće:

Neke od izvedenih SI jedinica s posebnim imenom

FIZIKALNA VELIČINA


Frekvencija f herc (hertz) Hz

Sila F njutn (newton) N

Tlak, naprezanje p paskal (pascal) Pa, N/m2

Energija E džul (joule) J

Snaga P vat (watt) W

Električni napon U (V) volt V

Količina elektriciteta Q kulon

(coulomb)

C

Električni otpor R om (ohm) Ω


18

Primjer:

Po definiciji je sila = masa · akceleracija

masa je osnovna veličina (ne definira se pomoću drugih pojmova)

akceleracija nije osnovna veličina; ona se definira kao brzina/vrijeme, pa zahtjeva prethodno

definiranje brzine: brzina = dužina/vrijeme;

brzina je izvedena veličina koja je definirana samo s osnovnim veličinama.

Konačno, složeni pojam sile može se objasniti korištenjem samo osnovnih pojmova (veličina):

sila = masa · dužina · vrijeme-2 ,

a s jedinicama: N = kg · m · s-2.

Pojmovi tlak, energija i snaga su složeniji od pojma sila, pa bi izražavanje tih veličina s osnovnim

jedinicama bilo vizualno još kompliciranije i stoga nepraktično. To je i razlogom da su za

kompleksnije kombinacije osnovnih jedinica uvedene nove oznake, poput N u našem primjeru.

SI definira 20 prefiksa, za potencije na bazi 10, koji se mogu koristiti uz osnovne ili izvedene

jedinice. U inženjerskoj praksi korištenje prefiksa je svakodnevica, pa samim time i prijeka

potreba, tako da će se u kolegiju dat poseban naglasak na račun s prefiksima, kako bi student čim

brže i bolje savladao njihovo korištenje.

SI prefiksi

Faktor Naziv Oznaka Faktor Naziv Oznaka

1024 yotta Y 10-1 deci d

1021 zetta Z 10-2 centi c

1018 exa E 10-3 mili m

1015 peta P 10-6 micro μ

1012 tera T 10-9 nano n

109 giga G 10-12 pico p

106 mega M 10-15 femto f

103 kilo k 10-18 atto a

102 hecto ha 10-21 zepto z

101 deka da 10-24 yocto y


19

Pretvorite u određene mjerne jedinice:

1) __0,25 mm 2,5 10 m

2) __7520000 m 7,52 10 m

3) 4,285 × 10-4

[mm] = 4,285 × 10__

[cm] = 4,285 × 10__

[m]

4) 120000000 [km] = 1,2 ×10__

[km] = 1,2 × 10__

[m]

5) 1 [god] = _________ [s]

Izračunajte u traženim mjernim jedinicama:

1) 3200 mm 0,0022 km 22 dm 1,5 m 0,284 kmS

_________mmS

2) 2 2 2 225 m 0,000015 km 17,5 dm 320 cmA

2_________mA

3) 3 3 31500 cm 22 m 3 dmV

_________ lV

Izračunajte vrijednosti u traženim mjernim jedinicama:

1) t

sv

228 km

3 danav

_______m / sv

2) 1,5 m

1 sv

_______km / hv

3) 3200 km

4 dana,21 satv

_______m / sv

4) v

st

362500 km

700 m / st

_________ satit


20


1) t

va

120 km / h

20 mina

2_________m / sa

2) 6 km / h

2 danaa

2_________m / sa

3) tav

22,8m / s 25minv

2_________m / sv


1) xkF

0,3 N/m 0,001 kmF

_______NF

2) t

vmF

300 g 10 km/h

10 sF

________NF

3) m

tFv

4 N s

0,004 tv

_______m/sv

4) NFt

N

Ft

62,5 10 MN

0,010 kN

_________


21


1) A

Fp

2

0,001 MN

250000 mmp

2__________Pa N/mp

2) hgpp 0

3 2 4101300 Pa 1000 kg/m 9,81 m/s 10 mmp

__________Pap

3) hgp

3 22500 kg/m 9,81 m/s 50cmp

___________Pap

4) A

Fp

A

gmgmgmp

321

3

2

20 kg 120000 mg 2,8 10 t

12800000 mm

g g gp

___________Pap


1) hFW

hgmW

4 210 mg 9,81 m/s 1500 mmW

2

2

kg m_________ J( )

sW

2) 221

r

mmGF

7 4

2 23

10 kg×9,5×10 t6,67 Nm /kg ×

2,5×10 mF

________MNF


22

3) t

WP

135 kJ

2 danaP _______ J/sP

4) vAQ

20,02512m 122km/hQ

___________ l/sQ

5) 2

21

r

QQkF

8 89 2

24

2,23 10 C 1,25 10 C9 10 Nm/C

3 10 kmF

_________μNF

6) Q

FE

8

7

1,5 10 MN

2 10 CE

N

__________C

E

7) r

Qk

k

rQ

9 2

600 V 2,5 cm

9 10 Nm/CQ

__________ CQ

8) AE

lF

5 2 2

125 kN 500 cm

4,2 10 MN/m 200 dm

__________m

oip teorija

Documents