ii

“1358-Rosina-Okrnjena” — 2010/7/27 — 13:59 — page 1 — #1 ii

ii

ii

List za mlade matematike, fizike, astronome in racunalnikarje

ISSN 0351-6652Letnik 26 (1998/1999)Številka 1Strani 20–21

Mitja Rosina:

OKRNJENA FIBONACCIJEVA ŠTEVILA

Kljucne besede: matematika, teorija števil, Fibonaccijevo zaporedje,rekurzivna formula.

Elektronska verzija: http://www.presek.si/26/1358-Rosina.pdf

c© 1998 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenijec© 2010 DMFA – založništvo

Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote aliposameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-ljeno.

Matematika I

OKRNJENA FIBONACCIJEVA ŠTEVILA

V četrti št evilki Preseka (25.letnik, 1997/ 98, str.232) vas je SandiKlavžar ponovno seznanil z zaporedj em Fibonaccijevih šte vil. Dobimo gaz rekurzivno formu lo Fn = Fn - 2 + Fn - I ali pr eprosteje - naslednji člen

zaporedja dobimo tako , da seštejemo pr ejšnj a dva člena. Če začnemo sFI = 1 in F2 = 1, dobimo zaporedje

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, . . .

Kot vidimo, zaporedje hit ra "zbezlja".Dosti bolj kratka zaporedja dobimo, če vsakič up oštevamo le zadnjo

števko:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 3, 1, 4, 5, 9, 4, 3, 7, O,

7, 7, 4, 1, 5, 6, 1, 7, 8, 5, 3, 8, 1, 9, O,

9, 9, 8, 7, 5, 2, 7, 9, 6, 5, 1, 6, 7, 3, O,

3, 3, 6, 9, 5, 4, 9, 3, 2, 5, 7, 2, 9, 1, O,

(1, 1, 2, . . .)

Če začnemo z drugačno vrednostj o FI in F2 , pa dobimo

2, 2, 4, 6, O, 6, 6, 2, 8, O, 8, 8, 6, 4, O, 4, 4, 8, 2, O, (2, 2, 4, ... )

ali

1, 3, 4, 7, 1, 8, 9, 7, 6, 3, 9, 2, (1, 3, 4, . . .)

ali

2, 6, 8, 4, (2, 6, 8, . .. )

ali

5, 5, O, (5 , 5, O, . . .)

ali

O, (O, O, O, . ..).

Takoj opazimo, da so zaporedja periodična. To hitro razumemo.Iz dveh zaporednih števil enolično sledi nas lednje št evilo in potem vsanaslednja . Ker je različnih dvojic enomes t nih šte vil le 100, pridemo pr ejali slej do dvoj ice, ki smo jo že imeli in od tam dalje se cikel ponovi .

V i d i m o , d a n n e ~ ~ e n ~ ampakjihjekarkst. Njbme d d h e so 60, 20, 12, 4, 3, 1. Vsota d o b je d 100, ker ae mora avrstiti sto dvojic, v s h s m a po &at.

h n t 3 m 0 r e ~ ~ 1 u n 0 ~ c i k e 2 , ~ h d i i 8 ~ ~ r d % k & si%tejemo dve Iihi hvili, dobirno sodo M, liho-kmdo da liho, soaO+liho spet liho, liha-f-Iiho pa spet d o Btdo. Torej m ddijo v z a m u po dve lihi iitevili in eno soh. (Se cilrel aphh vaabuje lihtt &evila,jihjedvakratt6bkotm&h. &bibilcikesemwn,bjrwral wbovati 50 Iibih in 50 sod& &mil, kar po prejhjem ni mgok.

& mn&ha &mila v prwm zapopedju z 2, dabimo drug0 zapowe (ki pox& p m j uodvehihn sadih M). Tb z a p d j e ima h j E b o peri- o d ~ . Mnohnje prvega zapodja s 6 pa nam da pcb mpam@3 (Id porabi W e e n peth, wj je prvo zapwedje &Si dvakrat m j petk kut o&d& lihih &evil). Zaporedje r m&tlrom 0, 0 ima najkra-j& periods. Ohaneta b dm &la, tretji in M i , B ~&tkoma l , 3 in 2, 6.

Oknrjena F T b o ~ e ~ f ~ gtevila smo pravzaprav vpeuali r rekmzivr~o h d o

Gn = modl([G,-1+ G,-r], j ) , j = 10.

Pri tern smo z d ( N , j) cmdili mtmek, ki ga dobimo, & gtevilo N d e h o s y. V n e m primem je wta [Gna +GR-r] vedno msqSih od 28, i n t o r e j t o ~ b o d i s i p u s r t h p r i m i r u b o d i s i j l o d l S ~ j e m o j , & ~ ali pmmg~ j.

U g o t o w i t e z a ~ j , b l i l m ~ w d o b i t e i n ~ m ! ~~~ '$d"' pmblem pa je & pinmen tudi za rralSunslnik, mj vam operacije mod n e b o ~ s p ~ ~ , v ~ L a i v g r r r j ~ u ~ r a i 5 u n a l n i k .

dd* ~~