Olimpiadas Regionales de MatematicasPrimera Capacitacion 2012

Carlos Arturo RodriguezAdriana Alexandra Albarracn

Escuela de Matematica, UIS

Febrero de 2012

Carlos A. Rodriguez, Alexandra Albarracn () Olimpiadas Regionales de Matematicas Febrero de 2012 1 / 23

1. Cuantos numeros de dos dgitos son primos y tienen comoantecesor un cuadrado perfecto?

(a) 2 (b) 4 (c) ninguno (d) 1 (e) 6

Carlos A. Rodriguez, Alexandra Albarracn () Olimpiadas Regionales de Matematicas Febrero de 2012 2 / 23

1. Cuantos numeros de dos dgitos son primos y tienen comoantecesor un cuadrado perfecto?

(a) 2 (b) 4 (c) ninguno (d) 1 (e) 6

Solucion: Los numeros de dos dgitos que son primos y tienen comoantecesor un cuadrado perfecto son 17 y 37, dado que 16 y 36 soncuadrados perfectos. Por lo tanto, la respuesta es (a).

Carlos A. Rodriguez, Alexandra Albarracn () Olimpiadas Regionales de Matematicas Febrero de 2012 2 / 23

2. Dado el conjunto de los 54 alumnos de una clase, donde 30 sonchicos y 24 son chicas. El numero de equipos de 4 alumnos quecontengan al menos una chica es:

(a) 288846 (b) 316251 (c) 23426 (d) 305625 (e) 316221

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2. Dado el conjunto de los 54 alumnos de una clase, donde 30 sonchicos y 24 son chicas. El numero de equipos de 4 alumnos quecontengan al menos una chica es:

(a) 288846 (b) 316251 (c) 23426 (d) 305625 (e) 316221

Solucion: Se deben considerar cuatro casos:a) Los equipos de 4 alumnos que contiene exactamente una chica son

(303

)(241

)

.

b) Los equipos de 4 alumnos que contiene exactamente dos chicas son(30

2

)(242

)

.

c) Los equipos de 4 alumnos que contiene exactamente tres chicas son(30

1

)(243

)

.

d) Los equipos de 4 alumnos que contiene exactamente cuatro chicas son(30

0

)(244

)

.

Por la regla de la suma, tenemos que el numero n de equipos de 4 alumnos que contengan almenos una chica es:

n =(30

3

)(24

1

)

+(30

2

)(24

2

)

+(30

1

)(24

3

)

+(30

0

)(24

4

)

Por lo tanto, n = 288846. As la respuesta correcta es (a).

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3. Cual es la suma de los divisores primos de 216 1?

(a) 282 (b) 288 (c) 284 (d) 315 (e) 286

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3. Cual es la suma de los divisores primos de 216 1?

(a) 282 (b) 288 (c) 284 (d) 315 (e) 286

Solucion: Por diferencia de cuadrados se puede obtener los divisores primos de216 1, as:

216 1 = (28 1)(28 + 1),

= (24 1)(24 + 1)(28 + 1),

= (22 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1),

= (2 1)(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1),

= 3(5)(17)(257).

Por lo tanto, la suma de los divisores primos de 216 1 es:

S = 3 + 5 + 17 + 257 = 282.

As, la respuesta correcta es (a).

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4. En la siguiente figura, el triangulo ABC es equilatero, D, E y F son los puntos medios deAC, BC y AB, respectivamente; y G, I y H son los puntos medios de DF , DE y FE,

respectivamente. Si el permetro del triangulo ABC es 132 cm, cual es el permetro del area

sombreada?

b

Ab

B

b

C

bD

b

E

b

F

b

Gb

H

b

I

(a) 88 cm (b) 44 cm (c) 66 cm (d) 77 cm (e) 99 cm

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4. En la siguiente figura, el triangulo ABC es equilatero, D, E y F son los puntos medios deAC, BC y AB, respectivamente; y G, I y H son los puntos medios de DF , DE y FE,

respectivamente. Si el permetro del triangulo ABC es 132 cm, cual es el permetro del area

sombreada?

b

Ab

B

b

C

bD

b

E

b

F

b

Gb

H

b

I

(a) 88 cm (b) 44 cm (c) 66 cm (d) 77 cm (e) 99 cm

Solucion: Como el permetro del triangulo ABC es 132 cm, entonces cada lado mide 44 cm. Ademas como D, E yF son los puntos medios de AC, BC y AB, respectivamente; por lo tanto, el triangulo DEF es equilatero y cada lado mide22 cm. Como G, I y H son los puntos medios de DF , DE y F E, respectivamente, entonces el triangulo GHI tambien esequilatero y cada lado mide 11 cm. Luego, el permetro del area sombreada es:

EB + BF + F G + GH + HI + IE = 22 + 22 + 11 + 11 + 11 + 11 = 88 cm.

De ah que la respuesta es la (a).

Carlos A. Rodriguez, Alexandra Albarracn () Olimpiadas Regionales de Matematicas Febrero de 2012 5 / 23

5. Sea ABCD un trapecio isosceles, donde AB = 20 cm, BC = 18cm y AD = 42 cm. Si P es el punto de interseccion de las semirrectasAB y

CD, el area del triangulo PBC, en centmetros cuadrados, es:

18 cm

20 cm

42 cm

bA

bB bC

b D

(a) 144 (b) 96 (c) 252 (d) 216 (e) 108

Carlos A. Rodriguez, Alexandra Albarracn () Olimpiadas Regionales de Matematicas Febrero de 2012 6 / 23

5. Sea ABCD un trapecio isosceles, donde AB = 20 cm, BC = 18cm y AD = 42 cm. Si P es el punto de interseccion de las semirrectasAB y

CD, el area del triangulo PBC, en centmetros cuadrados, es:

18 cm

20 cm

42 cm

bA

bB bC

b D

(a) 144 (b) 96 (c) 252 (d) 216 (e) 108

Solucion: Sea P el punto de interseccion entre las semirrectas AB y CD, y Sean E y Q los puntos de interseccionentre los segmentos paralelos del trapecio isosceles ABCD y la altura PQ

18 cm20 cm

42 cm

bA

bB bC

b D

bP

bQ

b

E

Carlos A. Rodriguez, Alexandra Albarracn () Olimpiadas Regionales de Matematicas Febrero de 2012 6 / 23

Note que el triangulo APD es isosceles, ya que mPAD = mPDA.

Ahora, dado que los angulos PEB y PQA son rectos, entonces los ladosBE y AQ miden 9 cm y 21 cm, respectivamente. Ademas, los triangulosPBE y PAQ son semejantes y como la altura del trapecio es de 16 cm,puesto que 162 = 202 122, entonces por proporcionalidad se tiene

9

h=

21

16 + h,

donde h es la altura del triangulo BPC. Resolviendo la anterior ecuacion setiene que h = 12 cm. Por consiguiente el area del triangulo BPC es:

A =BC h

2=

18 12

2= 108 cm2.

luego, la respuesta correcta es (e).

Carlos A. Rodriguez, Alexandra Albarracn () Olimpiadas Regionales de Matematicas Febrero de 2012 7 / 23

6. Si en la figura que aparece a continuacion, la circunferencia tienecomo radio 5 y ABCD y EFGH son cuadrados, cual es el areasombreada?

b

Ab

B

bC

bD

b

E

b F

bG

bH

(a) 252 13 (b)254 (c)

252 9 (d)

254 9 (e)

254 13

Carlos A. Rodriguez, Alexandra Albarracn () Olimpiadas Regionales de Matematicas Febrero de 2012 8 / 23

Solucion: Sean O el centro de la circunferencia, P el punto de interseccion entre OG y CD, h la distancia del segmento OPy l el lado del cuadrado ABCD.

b

Ab

B

bC

bD

b

E

b F

bG

bH bO

b

Pb

TbR

h

Dado que COD es isosceles y el centro de la circunferencia esta a igual distancia de los segmentos BC y AD, entonces Pes punto medio de CD. Por Teorema de Pitagoras, en el triangulo COP se tiene que

52

=l2

4+ h

2.

Por otra parte, h = l 5 entonces resolviendo tenemos que l = 8 y h = 3. Sean T y R los puntos de interseccion entre PC

y F G, y, BC y F G, respectivamente. El triangulo TCR es un triangulo isosceles rectangulo cuya area es2 2

2= 2. El area

sombreada de la figura es:

As = 2

(

4 4

2

)

+ 2

(

(5)2

4

5 5

2 2

)

= 16 +25

2 25 4 =

25

2 13.

Por lo anterior, la respuesta correcta es (a).

Carlos A. Rodriguez, Alexandra Albarracn () Olimpiadas Regionales de Matematicas Febrero de 2012 9 / 23

7. A es un numero de dos dgitos. B es el numero que resulta alcambiar de posicion los dgitos de A, si A + B = 165 Cual es elmenor valor que puede tomar A B?

(a) 574 (b) 736 (c) 6624 (d) 6786 (e) 4356

Carlos A. Rodriguez, Alexandra Albarracn () Olimpiadas Regionales de Matematicas Febrero de 2012 10 / 23

7. A es un numero de dos dgitos. B es el numero que resulta alcambiar de posicion los dgitos de A, si A + B = 165 Cual es elmenor valor que puede tomar A B?

(a) 574 (b) 736 (c) 6624 (d) 6786 (e) 4356

Solucion: Sean A = ab, B = ba, entonces

A + B = ab + ba = (10a + b) + (10b + a) = 11a + 11b.

Luego 11a + 11b = 165, de ah que a + b = 15.

Entonces hay dos formas de obtener 15 como la suma de dos dgitos, estasson: que uno de los numeros sea 6 y el otro o que uno de los numeros sea 7y el otro 8.

En el primer caso, A = 96, B = 69 se cumple A + B = 165 y A B = 6624;

En el segundo, A = 87, B = 78 se tiene que A + B = 165 y A B = 6786.

Luego el menor valor que puede tomar A B es 6624. As la respuestacorrecta es (c).

Carlos A. Rodriguez, Alexandra Albarracn () Olimpiadas Regionales de Matematicas Febrero de 2012 10 / 23

8. La figura muestra 3 castillos de naipes de 1, 2 y 3 pisos. Para laconstruccion de estos castillos se utilizaron 3, 8 y 15 cartasrespectivamente. Cuantas cartas se necesitan para construir los 15primeros castillos?

Carlos A. Rodriguez, Alexandra Albarracn () Olimpiadas Regionales de Matematicas Febrero de 2012 11 / 23

8. La figura muestra 3 castillos de naipes de 1, 2 y 3 pisos. Para laconstruccion de estos castillos se utilizaron 3, 8 y 15 cartasrespectivamente. Cuantas cartas se necesitan para construir los 15primeros castillos?

Solucion Sea an : numero de naipes utilizados para construir el castillo n.a1 = 3 = 3 1, a2 = 8 = 2 4, a3 = 15 = 3 5, ..., an = n(n + 2).

Sea Sn : numero de cartas utilizadas para construir los n primeros castillos, entonces

Sn =n

i=1

ai =n

i=1

i(i + 2) =n

i=1

i2 + 2

n

i=1

i =n(n + 1)(2n + 1)

6+ n(n + 1).

Por lo tanto, Sn = n(n + 1)(2n + 7).

S15 =15 16 37

6= 1480.

Carlos A. Rodriguez, Alexandra Albarracn () Olimpiadas Regionales de Matematicas Febrero de 2012 11 / 23

9. Determine el numero de enteros n distintos para los cuales laecuacion x3 13x + n = 0 tiene 3 races enteras.

(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3 (e) 4

Carlos A. Rodriguez, Alexandra Albarracn () Olimpiadas Regionales de Matematicas Febrero de 2012 12 / 23

9. Determine el numero de enteros n distintos para los cuales laecuacion x3 13x + n = 0 tiene 3 races enteras.

(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3 (e) 4

Solucion: Sean p, q, r las races enteras de la ecuacion x3 13x +n = 0, entonces

(x p)(x q)(x r) = x3 + (p q r)x2 + (pq + qr + rp)x + pqr.

de donde,

p + q + r = 0

pq + qr + rp = 13

pqr = n.

Elevando al cuadrado la ecuacion p + q + r = 0 y reemplazando pq + qr + rp = 13

se tiene que p2 + q2 + r2 = 26. Por lo tanto, las tres races pueden ser (4,3,1) o

(4, 3, 1); as, los dos posibles valores para n son 12 y 12. La respuesta correcta es

(c).

Carlos A. Rodriguez, Alexandra Albarracn () Olimpiadas Regionales de Matematicas Febrero de 2012 12 / 23

10. Consideremos la sucesion {an} = {a1, a2, a3, }, de numerosenteros positivos en la cual an+1 es la suma de las cifras akn. Sia1 = 11, k = 2. Encuentre a2011.

Carlos A. Rodriguez, Alexandra Albarracn () Olimpiadas Regionales de Matematicas Febrero de 2012 13 / 23

10. Consideremos la sucesion {an} = {a1, a2, a3, }, de numerosenteros positivos en la cual an+1 es la suma de las cifras akn. Sia1 = 11, k = 2. Encuentre a2011.

Solucion: Sean

a1 = 11 = (11)2 = 121,

a2 = 1 + 2 + 1 = 4 = (4)2 = 16,

a3 = 1 + 6 = 7 = (7)2 = 49,

a4 = 4 + 9 = 13 = (13)2 = 169,

a5 = 1 + 6 + 9 = 16 = (16)2 = 256,

a6 = 2 + 5 + 6 = 13 = (13)2 = 169,

a7 = 1 + 6 + 9 = 16 = (16)2 = 256.

Luego,

an =

{

16 si n es par

13 si n es impar

Por lo tanto, a2011 = 16.Carlos A. Rodriguez, Alexandra Albarracn () Olimpiadas Regionales de Matematicas Febrero de 2012 13 / 23

11. Cada cuadrito de un tablero de 3 7 es coloreado con algunos dedos colores (digamos blanco o negro). Un ejemplo de una coloraciondel tablero se muestra en la figura.

Demuestre que en cualquier coloracion siempre hay 4 cuadritos delmismo color que son las esquinas de un rectangulo contenido en eltablero.

Carlos A. Rodriguez, Alexandra Albarracn () Olimpiadas Regionales de Matematicas Febrero de 2012 14 / 23

11. Cada cuadrito de un tablero de 3 7 es coloreado con algunos dedos colores (digamos blanco o negro). Un ejemplo de una coloraciondel tablero se muestra en la figura.

Demuestre que en cualquier coloracion siempre hay 4 cuadritos delmismo color que son las esquinas de un rectangulo contenido en eltablero.

Solucion: Cada columna del tablero 37 queda coloreada de alguno de los 8 tipos

T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8

Carlos A. Rodriguez, Alexandra Albarracn () Olimpiadas Regionales de Matematicas Febrero de 2012 14 / 23

Si hay 2 columnas del mismo tipo, podemos hallar en ellos los 4 cuadritos del mismocolor. Por ejemplo, debemos llegar a esta situacion:

Supongamos que una de las columnas es de T1 (toda la columna pintada). Si algunade las columnas restantes es de los tipos T2, T3 o T4. Terminamos.

Por lo tanto, supongamos que las 6 columnas restantes estan coloreadas de los tiposT5, T6, T7 o T8, por el principio de las casillas 2 de las 6 casillas se colorean igual yentonces terminamos.

Si alguna de las casillas se colorea como T8, un argumento analogo lleva a concluir elanunciado.

Ahora, finalmente supongamos que ninguna columna se pinto del tipo 1 o del 8, es

decir, las 7 columnas estan pintadas solo de 6 tipos (T2 - T7), por lo tanto, del

principio de las casillas, hay dos casillas del mismo tipo, por lo que tambien se

concluye el resultado.

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12. Sea n un entero positivo par. Encuentre todas las triplas denumeros reales (x, y, z) tales que xny + ynz + znx = xyn + yzn + zxn.

Carlos A. Rodriguez, Alexandra Albarracn () Olimpiadas Regionales de Matematicas Febrero de 2012 16 / 23

12. Sea n un entero positivo par. Encuentre todas las triplas denumeros reales (x, y, z) tales que xny + ynz + znx = xyn + yzn + zxn.

Solucion: Es claro que las triplas (a, a, b), (a, b, a) y (b, a, a) son soluciones de la ecuacionpara cualesquiera reales a y b (posiblemente iguales). Veamos que estas son las unicassoluciones de la ecuacion. Supongamos que (x, y, z) es una solucion con x, y, z diferentes.

xn(y z) + yn(z x) + zn(x y) = 0.

Como z x = (z y) + (y x) entonces

xn(y z) + yn(z y) + yn(y x) + zn(x y) = 0

entonces (xn yn)(y z) = (yn zn)(x y). Dado que x y 6= 0 y y z 6= 0 se tiene que

xn yn

x y=

yn zn

y z.

Es decir que en un sistema de coordenadas cartesianas, los puntos (x, xn), (y, yn) y (z, zn)son colineales. Ahora

xn yn

x y= xn1 + xn2y + yn1 = yn1 + yn2z + zn1 =

yn z

y z.

As que xn1 = zn1, x = z. Esto contradice que x 6= y 6= z.

Carlos A. Rodriguez, Alexandra Albarracn () Olimpiadas Regionales de Matematicas Febrero de 2012 16 / 23

13. Dos rectangulos de dimensiones 20cm por 11cm, se traslapan demodo que el area de la region sombreada donde traslapan es igual alarea de la region no sombreada en cualquiera de los dos rectangulos.Determinar las dimensiones del cuadrilatero PQRS.

bS

bR

b

Qb

P

Carlos A. Rodriguez, Alexandra Albarracn () Olimpiadas Regionales de Matematicas Febrero de 2012 17 / 23

13. Dos rectangulos de dimensiones 20cm por 11cm, se traslapan demodo que el area de la region sombreada donde traslapan es igual alarea de la region no sombreada en cualquiera de los dos rectangulos.Determinar las dimensiones del cuadrilatero PQRS.

bS

bR

b

Qb

P

Solucion: El cuadrilatero PQRS debe ser un paralelogramo dado que sus paresde lados opuestos pertenecen a rectangulos, ademas las alturas sobre sus bases PQ

y SR son iguales a 11. Como el area de PQRS es 11PQ2

= 11SR2

= 11202

entonces

PQ = SR = 10. As, se tiene que PQRS es un rombo de lado 10 y altura 11.

Carlos A. Rodriguez, Alexandra Albarracn () Olimpiadas Regionales de Matematicas Febrero de 2012 17 / 23

14. El Profesor Yarumo esta estudiando el comportamiento de unaespecie de aves. Los puntos A, B, C y D de la imagen representa laubicacion de cuatro nidos de estas aves.

b

A

bD

bB bC

El profesor ha construido un puesto de observacion equidistante delos cuatro nidos. Todos los nidos y el mirador se encuentran en elmismo nivel de altura desde el suelo, la distancia de B a D es de 16metros y BAD = 45. Determine la distancia del puesto deobservacion a cada nido.

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Solucion Observese que el puesto del observador coincide con el centro O delcrculo circunscrito al cuadrilatero ABCD.

r

r

16

b O

b D

bB

bA

bC

Ademas, la medida del angulo BOD es el doble que la medida del angulo BAD,es decir, mBOD = 2mBAD = 90. Entonces, el triangulo BOD es un triangulorectangulo e isosceles. Por lo tanto, por el teorema de Pitagoras se tiene que

r2 + r2 = 162,

r2 =

16 16

2,

r = 8

2.

Por consiguiente, la distancia del puesto de observacion a cada nido es de 8

2

metros.Carlos A. Rodriguez, Alexandra Albarracn () Olimpiadas Regionales de Matematicas Febrero de 2012 19 / 23

15. La siguiente figura muestra dos rectas paralelas l y s. La recta les tangente a las circunferencias C1 y C3, la recta s es tangente a lascircunferencias C2 y C3, y las circunferencias son tangentes entre s,como se muestra en la figura.

ls

C3

C2

C1

Si las circunferencias C1 y C2 tienen radios a y b respectivamente.Determine el radio de la circunferencia C3.

Carlos A. Rodriguez, Alexandra Albarracn () Olimpiadas Regionales de Matematicas Febrero de 2012 20 / 23

Solucion Sean a, b, y r los radios de las circunferencias C1, C2 y C3,respectivamente. Ahora, considere la siguiente construccion.

ls

B

A

C

D E

F

Note que:

la distancia entre los puntos B y D es r b,

la distancia entre los puntos B y E es r a,

la distancia entre los puntos C y E se denota como z,

la distancia entre los puntos A y F se denota como x,la distancia entre los puntos A y D se denota como y.

Carlos A. Rodriguez, Alexandra Albarracn () Olimpiadas Regionales de Matematicas Febrero de 2012 21 / 23

Entonces,

z = x + y,

(r + a)2 (r a)2 =

(b + a)2 (2r (a + b))2 +

(r + b)2 (r b)2,

4ra =

4r(b + a r) +

arb,

a =

b + a r +

b,

b + a r =

a

b,

b + a r = a 2

ab + b,

r = 2

ab.

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Universidad

Industrial de

Santander

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