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Olimpiadas Regionales de Matem´ aticas Primera Capacitaci´ on 2012 Carlos Arturo Rodriguez Adriana Alexandra Albarrac´ ın Escuela de Matem´ atica, UIS Febrero de 2012 Carlos A. Rodriguez, Alexandra Albarrac´ ın () Olimpiadas Regionales de Matem´ aticas Febrero de 2012 1 / 23

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Olimpiadas Regionales de MatematicasPrimera Capacitacion 2012

Carlos Arturo RodriguezAdriana Alexandra Albarracın

Escuela de Matematica, UIS

Febrero de 2012

Carlos A. Rodriguez, Alexandra Albarracın () Olimpiadas Regionales de Matematicas Febrero de 2012 1 / 23

1. ¿Cuantos numeros de dos dıgitos son primos y tienen comoantecesor un cuadrado perfecto?

(a) 2 (b) 4 (c) ninguno (d) 1 (e) 6

Carlos A. Rodriguez, Alexandra Albarracın () Olimpiadas Regionales de Matematicas Febrero de 2012 2 / 23

1. ¿Cuantos numeros de dos dıgitos son primos y tienen comoantecesor un cuadrado perfecto?

(a) 2 (b) 4 (c) ninguno (d) 1 (e) 6

Soluci on: Los numeros de dos dıgitos que son primos y tienen comoantecesor un cuadrado perfecto son 17 y 37, dado que 16 y 36 soncuadrados perfectos. Por lo tanto, la respuesta es (a).

Carlos A. Rodriguez, Alexandra Albarracın () Olimpiadas Regionales de Matematicas Febrero de 2012 2 / 23

2. Dado el conjunto de los 54 alumnos de una clase, donde 30 sonchicos y 24 son chicas. El numero de equipos de 4 alumnos quecontengan al menos una chica es:

(a) 288846 (b) 316251 (c) 23426 (d) 305625 (e) 316221

Carlos A. Rodriguez, Alexandra Albarracın () Olimpiadas Regionales de Matematicas Febrero de 2012 3 / 23

2. Dado el conjunto de los 54 alumnos de una clase, donde 30 sonchicos y 24 son chicas. El numero de equipos de 4 alumnos quecontengan al menos una chica es:

(a) 288846 (b) 316251 (c) 23426 (d) 305625 (e) 316221

Soluci on: Se deben considerar cuatro casos:

a) Los equipos de 4 alumnos que contiene exactamente una chica son(30

3

)(241

)

.

b) Los equipos de 4 alumnos que contiene exactamente dos chicas son(30

2

)(242

)

.

c) Los equipos de 4 alumnos que contiene exactamente tres chicas son(30

1

)(243

)

.

d) Los equipos de 4 alumnos que contiene exactamente cuatro chicas son(30

0

)(244

)

.

Por la regla de la suma, tenemos que el numero n de equipos de 4 alumnos que contengan almenos una chica es:

n =(30

3

)(24

1

)

+(30

2

)(24

2

)

+(30

1

)(24

3

)

+(30

0

)(24

4

)

Por lo tanto, n = 288846. Ası la respuesta correcta es (a).

Carlos A. Rodriguez, Alexandra Albarracın () Olimpiadas Regionales de Matematicas Febrero de 2012 3 / 23

3. ¿Cual es la suma de los divisores primos de 216 − 1?

(a) 282 (b) 288 (c) 284 (d) 315 (e) 286

Carlos A. Rodriguez, Alexandra Albarracın () Olimpiadas Regionales de Matematicas Febrero de 2012 4 / 23

3. ¿Cual es la suma de los divisores primos de 216 − 1?

(a) 282 (b) 288 (c) 284 (d) 315 (e) 286

Soluci on: Por diferencia de cuadrados se puede obtener los divisores primos de216 − 1, ası:

216 − 1 = (28 − 1)(28 + 1),

= (24 − 1)(24 + 1)(28 + 1),

= (22 − 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1),

= (2 − 1)(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1),

= 3(5)(17)(257).

Por lo tanto, la suma de los divisores primos de 216 − 1 es:

S = 3 + 5 + 17 + 257 = 282.

Ası, la respuesta correcta es (a).

Carlos A. Rodriguez, Alexandra Albarracın () Olimpiadas Regionales de Matematicas Febrero de 2012 4 / 23

4. En la siguiente figura, el triangulo ABC es equilatero, D, E y F son los puntos medios de

AC, BC y AB, respectivamente; y G, I y H son los puntos medios de DF , DE y FE,

respectivamente. Si el perımetro del triangulo ABC es 132 cm, ¿cual es el perımetro del area

sombreada?

b

Ab

B

b

C

bD

b

E

b

F

b

Gb

H

b

I

(a) 88 cm (b) 44 cm (c) 66 cm (d) 77 cm (e) 99 cm

Carlos A. Rodriguez, Alexandra Albarracın () Olimpiadas Regionales de Matematicas Febrero de 2012 5 / 23

4. En la siguiente figura, el triangulo ABC es equilatero, D, E y F son los puntos medios de

AC, BC y AB, respectivamente; y G, I y H son los puntos medios de DF , DE y FE,

respectivamente. Si el perımetro del triangulo ABC es 132 cm, ¿cual es el perımetro del area

sombreada?

b

Ab

B

b

C

bD

b

E

b

F

b

Gb

H

b

I

(a) 88 cm (b) 44 cm (c) 66 cm (d) 77 cm (e) 99 cm

Soluci on: Como el perımetro del triangulo ABC es 132 cm, entonces cada lado mide 44 cm. Ademas como D, E yF son los puntos medios de AC, BC y AB, respectivamente; por lo tanto, el triangulo DEF es equilatero y cada lado mide22 cm. Como G, I y H son los puntos medios de DF , DE y F E, respectivamente, entonces el triangulo GHI tambien esequilatero y cada lado mide 11 cm. Luego, el perımetro del area sombreada es:

EB + BF + F G + GH + HI + IE = 22 + 22 + 11 + 11 + 11 + 11 = 88 cm.

De ahı que la respuesta es la (a).

Carlos A. Rodriguez, Alexandra Albarracın () Olimpiadas Regionales de Matematicas Febrero de 2012 5 / 23

5. Sea ABCD un trapecio isosceles, donde AB = 20 cm, BC = 18cm y AD = 42 cm. Si P es el punto de interseccion de las semirrectas−−→AB y

−−→CD, el area del triangulo PBC, en centımetros cuadrados, es:

18 cm

20 cm

42 cm

bA

bB bC

b D

(a) 144 (b) 96 (c) 252 (d) 216 (e) 108

Carlos A. Rodriguez, Alexandra Albarracın () Olimpiadas Regionales de Matematicas Febrero de 2012 6 / 23

5. Sea ABCD un trapecio isosceles, donde AB = 20 cm, BC = 18cm y AD = 42 cm. Si P es el punto de interseccion de las semirrectas−−→AB y

−−→CD, el area del triangulo PBC, en centımetros cuadrados, es:

18 cm

20 cm

42 cm

bA

bB bC

b D

(a) 144 (b) 96 (c) 252 (d) 216 (e) 108

Soluci on: Sea P el punto de interseccion entre las semirrectas−−→AB y

−−→CD, y Sean E y Q los puntos de interseccion

entre los segmentos paralelos del trapecio isosceles ABCD y la altura PQ

18 cm20 cm

42 cm

bA

bB bC

b D

bP

bQ

b

E

Carlos A. Rodriguez, Alexandra Albarracın () Olimpiadas Regionales de Matematicas Febrero de 2012 6 / 23

Note que el triangulo APD es isosceles, ya que m∠PAD = m∠PDA.

Ahora, dado que los angulos ∠PEB y ∠PQA son rectos, entonces los ladosBE y AQ miden 9 cm y 21 cm, respectivamente. Ademas, los triangulosPBE y PAQ son semejantes y como la altura del trapecio es de 16 cm,puesto que 162 = 202 − 122, entonces por proporcionalidad se tiene

9

h=

21

16 + h,

donde h es la altura del triangulo BPC. Resolviendo la anterior ecuacion setiene que h = 12 cm. Por consiguiente el area del triangulo BPC es:

A =BC · h

2=

18 · 12

2= 108 cm2.

luego, la respuesta correcta es (e).

Carlos A. Rodriguez, Alexandra Albarracın () Olimpiadas Regionales de Matematicas Febrero de 2012 7 / 23

6. Si en la figura que aparece a continuacion, la circunferencia tienecomo radio 5 y ABCD y EFGH son cuadrados, ¿cual es el areasombreada?

b

Ab

B

bC

bD

b

E

b F

bG

bH

(a) 25π2 − 13 (b) 25π

4 (c) 25π2 − 9 (d) 25π

4 − 9 (e)25π4 − 13

Carlos A. Rodriguez, Alexandra Albarracın () Olimpiadas Regionales de Matematicas Febrero de 2012 8 / 23

Soluci on: Sean O el centro de la circunferencia, P el punto de interseccion entre OG y CD, h la distancia del segmento OP

y l el lado del cuadrado ABCD.

b

Ab

B

bC

bD

b

E

b F

bG

bH b

O

b

Pb

TbR

h

Dado que △COD es isosceles y el centro de la circunferencia esta a igual distancia de los segmentos BC y AD, entonces P

es punto medio de CD. Por Teorema de Pitagoras, en el triangulo COP se tiene que

52

=l2

4+ h

2.

Por otra parte, h = l − 5 entonces resolviendo tenemos que l = 8 y h = 3. Sean T y R los puntos de interseccion entre PC

y F G, y, BC y F G, respectivamente. El triangulo TCR es un triangulo isosceles rectangulo cuya area es2 × 2

2= 2. El area

sombreada de la figura es:

As = 2

(

4 × 4

2

)

+ 2

(

π(5)2

4−

5 × 5

2− 2

)

= 16 +25π

2− 25 − 4 =

25π

2− 13.

Por lo anterior, la respuesta correcta es (a).

Carlos A. Rodriguez, Alexandra Albarracın () Olimpiadas Regionales de Matematicas Febrero de 2012 9 / 23

7. A es un numero de dos dıgitos. B es el numero que resulta alcambiar de posicion los dıgitos de A, si A + B = 165 ¿Cual es elmenor valor que puede tomar A × B?

(a) 574 (b) 736 (c) 6624 (d) 6786 (e) 4356

Carlos A. Rodriguez, Alexandra Albarracın () Olimpiadas Regionales de Matematicas Febrero de 2012 10 / 23

7. A es un numero de dos dıgitos. B es el numero que resulta alcambiar de posicion los dıgitos de A, si A + B = 165 ¿Cual es elmenor valor que puede tomar A × B?

(a) 574 (b) 736 (c) 6624 (d) 6786 (e) 4356

Soluci on: Sean A = ab, B = ba, entonces

A + B = ab + ba = (10a + b) + (10b + a) = 11a + 11b.

Luego 11a + 11b = 165, de ahı que a + b = 15.

Entonces hay dos formas de obtener 15 como la suma de dos dıgitos, estasson: que uno de los numeros sea 6 y el otro o que uno de los numeros sea 7y el otro 8.

En el primer caso, A = 96, B = 69 se cumple A + B = 165 y A × B = 6624;

En el segundo, A = 87, B = 78 se tiene que A + B = 165 y A × B = 6786.

Luego el menor valor que puede tomar A × B es 6624. Ası la respuestacorrecta es (c).

Carlos A. Rodriguez, Alexandra Albarracın () Olimpiadas Regionales de Matematicas Febrero de 2012 10 / 23

8. La figura muestra 3 castillos de naipes de 1, 2 y 3 pisos. Para laconstruccion de estos castillos se utilizaron 3, 8 y 15 cartasrespectivamente. ¿Cuantas cartas se necesitan para construir los 15primeros castillos?

Carlos A. Rodriguez, Alexandra Albarracın () Olimpiadas Regionales de Matematicas Febrero de 2012 11 / 23

8. La figura muestra 3 castillos de naipes de 1, 2 y 3 pisos. Para laconstruccion de estos castillos se utilizaron 3, 8 y 15 cartasrespectivamente. ¿Cuantas cartas se necesitan para construir los 15primeros castillos?

Soluci on Sea an : numero de naipes utilizados para construir el castillo n.

a1 = 3 = 3 · 1, a2 = 8 = 2 · 4, a3 = 15 = 3 · 5, ..., an = n(n + 2).

Sea Sn : numero de cartas utilizadas para construir los n primeros castillos, entonces

Sn =n∑

i=1

ai =n∑

i=1

i(i + 2) =n∑

i=1

i2 + 2

n∑

i=1

i =n(n + 1)(2n + 1)

6+ n(n + 1).

Por lo tanto, Sn = n(n + 1)(2n + 7).

S15 =15 × 16 × 37

6= 1480.

Carlos A. Rodriguez, Alexandra Albarracın () Olimpiadas Regionales de Matematicas Febrero de 2012 11 / 23

9. Determine el numero de enteros n distintos para los cuales laecuacion x3 − 13x + n = 0 tiene 3 raıces enteras.

(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3 (e) 4

Carlos A. Rodriguez, Alexandra Albarracın () Olimpiadas Regionales de Matematicas Febrero de 2012 12 / 23

9. Determine el numero de enteros n distintos para los cuales laecuacion x3 − 13x + n = 0 tiene 3 raıces enteras.

(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3 (e) 4

Soluci on: Sean p, q, r las raıces enteras de la ecuacion x3 − 13x +n = 0, entonces

(x − p)(x − q)(x − r) = x3 + (−p − q − r)x2 + (pq + qr + rp)x + pqr.

de donde,

p + q + r = 0

pq + qr + rp = −13

pqr = n.

Elevando al cuadrado la ecuacion p + q + r = 0 y reemplazando pq + qr + rp = −13

se tiene que p2 + q2 + r2 = 26. Por lo tanto, las tres raıces pueden ser (4,−3,−1) o

(−4, 3, 1); ası, los dos posibles valores para n son 12 y −12. La respuesta correcta es

(c).

Carlos A. Rodriguez, Alexandra Albarracın () Olimpiadas Regionales de Matematicas Febrero de 2012 12 / 23

10. Consideremos la sucesion {an} = {a1, a2, a3, · · · }, de numerosenteros positivos en la cual an+1 es la suma de las cifras ak

n. Sia1 = 11, k = 2. Encuentre a2011.

Carlos A. Rodriguez, Alexandra Albarracın () Olimpiadas Regionales de Matematicas Febrero de 2012 13 / 23

10. Consideremos la sucesion {an} = {a1, a2, a3, · · · }, de numerosenteros positivos en la cual an+1 es la suma de las cifras ak

n. Sia1 = 11, k = 2. Encuentre a2011.

Soluci on: Sean

a1 = 11 =⇒ (11)2 = 121,

a2 = 1 + 2 + 1 = 4 =⇒ (4)2 = 16,

a3 = 1 + 6 = 7 =⇒ (7)2 = 49,

a4 = 4 + 9 = 13 =⇒ (13)2 = 169,

a5 = 1 + 6 + 9 = 16 =⇒ (16)2 = 256,

a6 = 2 + 5 + 6 = 13 =⇒ (13)2 = 169,

a7 = 1 + 6 + 9 = 16 =⇒ (16)2 = 256.

Luego,

an =

{

16 si n es par

13 si n es impar

Por lo tanto, a2011 = 16.Carlos A. Rodriguez, Alexandra Albarracın () Olimpiadas Regionales de Matematicas Febrero de 2012 13 / 23

11. Cada cuadrito de un tablero de 3 × 7 es coloreado con algunos dedos colores (digamos blanco o negro). Un ejemplo de una coloraciondel tablero se muestra en la figura.

Demuestre que en cualquier coloracion siempre hay 4 cuadritos delmismo color que son las esquinas de un rectangulo contenido en eltablero.

Carlos A. Rodriguez, Alexandra Albarracın () Olimpiadas Regionales de Matematicas Febrero de 2012 14 / 23

11. Cada cuadrito de un tablero de 3 × 7 es coloreado con algunos dedos colores (digamos blanco o negro). Un ejemplo de una coloraciondel tablero se muestra en la figura.

Demuestre que en cualquier coloracion siempre hay 4 cuadritos delmismo color que son las esquinas de un rectangulo contenido en eltablero.

Soluci on: Cada columna del tablero 3×7 queda coloreada de alguno de los 8 tipos

T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8

Carlos A. Rodriguez, Alexandra Albarracın () Olimpiadas Regionales de Matematicas Febrero de 2012 14 / 23

Si hay 2 columnas del mismo tipo, podemos hallar en ellos los 4 cuadritos del mismocolor. Por ejemplo, debemos llegar a esta situacion:

Supongamos que una de las columnas es de T1 (toda la columna pintada). Si algunade las columnas restantes es de los tipos T2, T3 o T4. Terminamos.

Por lo tanto, supongamos que las 6 columnas restantes estan coloreadas de los tiposT5, T6, T7 o T8, por el principio de las casillas 2 de las 6 casillas se colorean igual yentonces terminamos.

Si alguna de las casillas se colorea como T8, un argumento analogo lleva a concluir elanunciado.

Ahora, finalmente supongamos que ninguna columna se pinto del tipo 1 o del 8, es

decir, las 7 columnas estan pintadas solo de 6 tipos (T2 - T7), por lo tanto, del

principio de las casillas, hay dos casillas del mismo tipo, por lo que tambien se

concluye el resultado.

Carlos A. Rodriguez, Alexandra Albarracın () Olimpiadas Regionales de Matematicas Febrero de 2012 15 / 23

12. Sea n un entero positivo par. Encuentre todas las triplas denumeros reales (x, y, z) tales que xny + ynz + znx = xyn + yzn + zxn.

Carlos A. Rodriguez, Alexandra Albarracın () Olimpiadas Regionales de Matematicas Febrero de 2012 16 / 23

12. Sea n un entero positivo par. Encuentre todas las triplas denumeros reales (x, y, z) tales que xny + ynz + znx = xyn + yzn + zxn.

Soluci on: Es claro que las triplas (a, a, b), (a, b, a) y (b, a, a) son soluciones de la ecuacionpara cualesquiera reales a y b (posiblemente iguales). Veamos que estas son las unicassoluciones de la ecuacion. Supongamos que (x, y, z) es una solucion con x, y, z diferentes.

xn(y − z) + yn(z − x) + zn(x − y) = 0.

Como z − x = (z − y) + (y − x) entonces

xn(y − z) + yn(z − y) + yn(y − x) + zn(x − y) = 0

entonces (xn − yn)(y − z) = (yn − zn)(x − y). Dado que x − y 6= 0 y y − z 6= 0 se tiene que

xn − yn

x − y=

yn − zn

y − z.

Es decir que en un sistema de coordenadas cartesianas, los puntos (x, xn), (y, yn) y (z, zn)son colineales. Ahora

xn − yn

x − y= xn−1 + xn−2y + · · · yn−1 = yn−1 + yn−2z + · · · zn−1 =

yn − z

y − z.

Ası que xn−1 = zn−1, x = z. Esto contradice que x 6= y 6= z.

Carlos A. Rodriguez, Alexandra Albarracın () Olimpiadas Regionales de Matematicas Febrero de 2012 16 / 23

13. Dos rectangulos de dimensiones 20cm por 11cm, se traslapan demodo que el area de la region sombreada donde traslapan es igual alarea de la region no sombreada en cualquiera de los dos rectangulos.Determinar las dimensiones del cuadrilatero PQRS.

bS

bR

b

Qb

P

Carlos A. Rodriguez, Alexandra Albarracın () Olimpiadas Regionales de Matematicas Febrero de 2012 17 / 23

13. Dos rectangulos de dimensiones 20cm por 11cm, se traslapan demodo que el area de la region sombreada donde traslapan es igual alarea de la region no sombreada en cualquiera de los dos rectangulos.Determinar las dimensiones del cuadrilatero PQRS.

bS

bR

b

Qb

P

Soluci on: El cuadrilatero PQRS debe ser un paralelogramo dado que sus pares

de lados opuestos pertenecen a rectangulos, ademas las alturas sobre sus bases PQ

y SR son iguales a 11. Como el area de PQRS es 11×PQ

2= 11×SR

2= 11×20

2entonces

PQ = SR = 10. Ası, se tiene que PQRS es un rombo de lado 10 y altura 11.

Carlos A. Rodriguez, Alexandra Albarracın () Olimpiadas Regionales de Matematicas Febrero de 2012 17 / 23

14. El Profesor Yarumo esta estudiando el comportamiento de unaespecie de aves. Los puntos A, B, C y D de la imagen representa laubicacion de cuatro nidos de estas aves.

b

A

bD

bB bC

El profesor ha construido un puesto de observacion equidistante delos cuatro nidos. Todos los nidos y el mirador se encuentran en elmismo nivel de altura desde el suelo, la distancia de B a D es de 16metros y BAD = 45◦. Determine la distancia del puesto deobservacion a cada nido.

Carlos A. Rodriguez, Alexandra Albarracın () Olimpiadas Regionales de Matematicas Febrero de 2012 18 / 23

Soluci on Observese que el puesto del observador coincide con el centro O delcırculo circunscrito al cuadrilatero ABCD.

r

r

16

b O

b D

bB

bA

bC

Ademas, la medida del angulo ∠BOD es el doble que la medida del angulo ∠BAD,es decir, m∠BOD = 2m∠BAD = 90◦. Entonces, el triangulo BOD es un triangulorectangulo e isosceles. Por lo tanto, por el teorema de Pitagoras se tiene que

r2 + r

2 = 162,

r2 =

16 × 16

2,

r = 8√

2.

Por consiguiente, la distancia del puesto de observacion a cada nido es de 8√

2

metros.Carlos A. Rodriguez, Alexandra Albarracın () Olimpiadas Regionales de Matematicas Febrero de 2012 19 / 23

15. La siguiente figura muestra dos rectas paralelas l y s. La recta l

es tangente a las circunferencias C1 y C3, la recta s es tangente a lascircunferencias C2 y C3, y las circunferencias son tangentes entre sı,como se muestra en la figura.

ls

C3

C2

C1

Si las circunferencias C1 y C2 tienen radios a y b respectivamente.Determine el radio de la circunferencia C3.

Carlos A. Rodriguez, Alexandra Albarracın () Olimpiadas Regionales de Matematicas Febrero de 2012 20 / 23

Soluci on Sean a, b, y r los radios de las circunferencias C1, C2 y C3,respectivamente. Ahora, considere la siguiente construccion.

ls

B

A

C

D E

F

Note que:

la distancia entre los puntos B y D es r − b,

la distancia entre los puntos B y E es r − a,

la distancia entre los puntos C y E se denota como z,

la distancia entre los puntos A y F se denota como x,la distancia entre los puntos A y D se denota como y.

Carlos A. Rodriguez, Alexandra Albarracın () Olimpiadas Regionales de Matematicas Febrero de 2012 21 / 23

Entonces,

z = x + y,√

(r + a)2 − (r − a)2 =√

(b + a)2 − (2r − (a + b))2 +√

(r + b)2 − (r − b)2,√

4ra =√

4r(b + a − r) +√

arb,√

a =√

b + a − r +√

b,√

b + a − r =√

a −√

b,

b + a − r = a − 2√

ab + b,

r = 2√

ab.

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Universidad

Industrial de

Santander

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