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Olimpiadas de Matemáticas
SAN LUISPOTOSÍ
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Tercer etapaMaterial de entrenamiento
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Indice
1. Introduccion 4
2. Algebra 5
2.1. La variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2. Suma resta y multiplicacion de variables . . . . . . . . . . . . . . 6
3. Geometrıa 8
3.1. Congruencia de triangulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.1.1. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.1.2. Sugerencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2. Angulos entre paralelas y triangulos semejantes . . . . . . . . . . 93.2.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2.2. Sugerencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.3. Cırculos y angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.5. Sugerencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4. Teorıa de Numeros 16
4.1. Leyes de exponentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.1.1. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.1.2. Sugerencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.2. Factorizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.2.1. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.2.2. Sugerencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.3. Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.3.1. Propiedades de divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.3.2. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.3.3. Sugerencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5. Combinatoria 24
5.1. Conteo I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.1.1. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.2. Conteo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.2.1. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.2.2. Sugerencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.3. Paridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.3.1. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.3.2. Sugerencias para los ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.4. Casillas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.4.1. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.4.2. Sugerencias para los ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . 31
6. Ejemplo de un tercer selectivo 33
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7. Soluciones 34
7.1. Geometrıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347.1.1. Congruencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
7.2. Angulos entre paralelas y triangulos semejantes . . . . . . . . . . 367.2.1. Cırculos y angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
7.3. Teorıa de numeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397.3.1. Exponentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397.3.2. Factorizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427.3.3. Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
7.4. Combinatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437.4.1. Conteo I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437.4.2. Conteo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447.4.3. Ejercicios de paridad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457.4.4. Ejercicios de Casillas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
7.5. Un ejemplo de tercer examen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
8. Glosario 51
9. Sımbolos y formulas. 53
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1. Introduccion
Si estas leyendo esto es por que piensas entrenarte para el tercer examenselectivo de la olimpiada de matematicas en San Luis Potosı. Este material estadisenado con el proposito de que obtengas los conocimientos necesarios parapoder presentar el examen y que te des una idea de como va a ser.
Hemos dividido este material en 8 secciones:
1. Algebra elemental.
2. Geometrıa.
3. Teorıa de Numeros.
4. Combinatoria.
5. Ejemplo de un tercer examen selectivo
6. Soluciones.
7. Glosario.
8. Simbolos y formulas
La seccion de Algebra, se dedica a una introduccion a la variable su uso yreglas basicas, si no la conoces o sientes que no tienes bien aprendidos los con-ceptos deberas empezar por esta seccion. Si tienes buen dominio de la variablepuedes saltrte esta seccion; aun ası te invitamos a que la veas de manera rapida.Puede ser que haya algo de utilidad.
La seccion de Geometrıa haba de los principios basicos necesarios para poderresolver los problemas de Geometrıa.
La seccion de Teorıa de numeros habla un poco de exponentes formulasbasicas y divisibilidad.
La seccion de Combinatoria aborda los temas de conteo, paridad y principiode casillas.
La seccion de Ejemplo de tercer examen contiene tres preguntas del tercerselectivo del ano pasado, para que sepas como va a ser y cual es el nivel de losproblemas.
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2. Algebra
2.1. La variable
Recordemos los ejercicios de primaria del tipo:
3+ = 8
El rectangulo representa un numero; en este caso el rectangulo es una variable:
Definicion 1 (Variable). Una variable es un numero del cual no necesariamenteconocemos su valor, y es representado por al gun sımbolo.
Por lo general utilizaremos una letra para representar una variable, pero estepuede ser una figura, otro numero, etc.
Pero, ¿para que usar variables? Estas se usan en alguno de los siguientescasos:
1. Cuando no conocemos el valor de un numero.
Ejemplo 1. En lugar de poner 3+ = 8, podemos escribir 3 + x = 8,
donde tanto x como son variables, ya que representan a un numerodesconocido.
2. Cuando queremos hablar no solo de un numero especıfico si no de variosnumeros.
Ejemplo 2. Vamos a hacer el siguiente experimento:
a) Piensa en un numero entero positivo como el 3 o el 16
b) A ese numero elevalo al cuadrado
c) al resultado sumale dos veces el numero que pensaste
d) Por ultimo sumale un al resultado.
Si lo has hecho bien, hemos obtenido el cuadrado del siguiente numero delque pensaste. Vamos a analizar lo que hicimos, para esto imaginemos quepensaste en el numero 3. Los resultados de los pasos seran:
a) 3
b) 32 = 9
c) 9 + 3 + 3 = 15
d) 15 + 1 = 16 = 42
Puede ser que pienses que es concidencia, pero podemos intentarlo conotro numero, ¿que te parece el 7?:
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a) 7
b) 72 = 49
c) 49 + 7 + 7 = 63
d) 63 + 1 = 64 = 82
Como te podras dar cuaenta esto siempre sucede, no importa el numero ueutilices (inclusive si utilizas numeros negativos, no enteros y ¡hasta imag-inarios!). Como esto ocurre sin importar el numero que utilices, podemosrepresentar a cualquier numero por a entonces el anterior procedimientolo representamos como:
a) a
b) a2
c) a2 + a+ a
d) a2 + a+ a = (a+ 1)2
Ejemplo 3. Si queremos representar a los numeros pares lo solemos hacercon 2a lo que significa 2 × a es decir, 2 multiplicado por a. Solo tenemosque acalarar que a debe ser un entero.
2.2. Suma resta y multiplicacion de variables
Paara empezar con las operaciones de las variables, recordaremos como defin-imos la multiplicacion. Para esto contemos cuantos puntos hay en la siguientefigura:
1 · · · · · · · · · ·2 · · · · · · · · · ·3 · · · · · · · · · ·4 · · · · · · · · · ·5 · · · · · · · · · ·6 · · · · · · · · · ·7 · · · · · · · · · ·8 · · · · · · · · · ·
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Como podemos ver, hay 8 + 8 + 8 . . .+ 8︸ ︷︷ ︸
10veces
= 8 × 10, o lo que es lo mismo
10 + 10 + 10 . . .+ 10︸ ︷︷ ︸
8veces
= 10× 8. Es decir 80 puntos.
Recordemos que el sumar 8 veces un numero el numero 10 es multiplicar8 × 10, ası mismo el sumar 7 veces el numero 11 es lo mismo que multiplicar7× 11. Esta idea es valida para cualquier numero por lo que lo puedo enunciarcomo:
Proceso 1 (Multiplicacion). Si queremos sumar n veces un numero x ten-dremos como resultado la multiplicacion n×X
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Recuerda que las letras aquı equivalen a numeros, entonces estamos diciendoque si sumamos cierto numero de veces (n) un numero cualquiera (x), lo queobtenemos es su multiplicacion. Esta idea nos ayuda en el siguiente ejemplo:
Ejemplo 4. Encontrar en terminos de x la suma: x+ x+ x+ x
Solucion: x+ x+ x+ x = 4x
Nota: Cuando utilizamos letras para representar numeros en las multiplica-ciones no se suele utilizar el signo × por que puede confundirse con x. Es porello que cuando queremos multiplicar n y x como en la anterior proposicion, sesuele escribir como nx en lugar de n× x. De ahora en adelante cuando estemosmultiplicando variables, es posible que no pongamos el signo de multiplicacion.
Ejemplo 5. Encontrar la suma de 5x y 3x
Solucion: Recordemos que 5x = x+x+x+x+x y que 3x = x+x+xluego 5x+ 3x = x+ x+ x+ x+ x + x+ x+ x = x+ x+ x+ x+x+ x+ x+ x = 8x
En general se cumple que:
Teorema 1. ax+ bx = (a+ b)x
Demostracion.
ax+ bx = x+ x+ . . .+ x︸ ︷︷ ︸
a veces
+ x+ x+ . . .+ x︸ ︷︷ ︸
b veces
= x+ x+ . . .+ x︸ ︷︷ ︸
a+b veces
= (a+ b)x
Recuerda que las variables son numeros, entonces este teorema sirve tambienpara numeros ası:
Ejemplo 6. Encontrar (2 + 10)× 13
Solucion: (2 + 10)× 13 = 2× 13 + 10× 13 = 26 + 130 = 156
El utilizar esta propiedad puede ayudarte a obtener el resultado de algunaoperacion de forma mas rapida ;)
Ahora, he aquı un teorema de gran utilidad:
Teorema 2. (a+ b)(c+ d) = ac+ ad+ bc+ ad
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3. Geometrıa
Empezaremos el estudio de la geometrıa con las ideas de congruencia y se-mejanza de triangulos.
3.1. Congruencia de triangulos.
Dos figuras son congruentes si tienen exactamente la misma forma y el mismotamano. Ası, tenemos que dos triangulos son congruentes, si tienen sus ladosy sus angulos correspondientes iguales.
Proceso 2. Para saber si dos triangulos son congruentes basta que se cumplauno de los siguientes criterios:
Si dos triangulos tienen dos lados y el angulo comprendido entre ellosiguales, son congruentes. A este criterio de congruencia se le llama lado-
angulo-lado y lo denotamos como LAL.
Si dos triangulos tienen un lado y dos angulos adyacentes iguales, soncongruentes. A este criterio de congruencia se le conoce como angulo-
lado-angulo y lo denotamos como ALA.
Si tenemos dos triangulos con lados iguales, estos triangulos son congru-entes lado-lado-lado y lo denotamos como LLL.
Ejemplo 7. Si sobre los lados AB y CA de un triangulo ABC se construyentriangulos equilateros ABC′ y CAB′, siempre se tiene que BB′ = CC′.
Solucion: Notemos que en los triangulos BAB′ y C′AC se tieneque BA = CA′, AB′ = AC y ∠BAB′ = ∠BAC + 60◦ = ∠C′AC,luego por el criterio LAL, los triangulos son congruentes por lo queBB′ = CC′.
3.1.1. Ejercicios.
1. Demuestre que un triangulo es isosceles (Que tiene dos lados iguales), sitiene dos angulos iguales.
2. Demuestre que si un triangulo tiene dos angulos iguales, es isosceles.
3. Si la altura trazada desde el vertice A en el triangulo ABC tambien esuna bisectriz de ∠A, demuestre que AB = AC.
4. Si la altura trazada desde el vertice A en el triangulo ABC tambien esmediana, demuestre que AB = AC.
5. Demuestre que las medianas trazadas sobre los lados iguales de un triangu-lo isosceles son iguales.
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6. Demuestre que las bisectrices trazadas sobre los ladosiguales de un triangu-lo isosceles son iguales.
7. Demuestre que las alturas trazadas sobre los lados iguales de un trianguloisosceles son iguales.
3.1.2. Sugerencias
1. Intenta usar el triangulo consigo mismo para generar algunos criterios decongruencia. ¿Que identidades obtienes?
2. Intenta usar el triangulo consigo mismo para generar algunos criterios decongruencia. ¿Que identidades obtienes?
3. Intenta encontrar congruencias entre los triangulos que ahora hay.
4. Intenta encontrar congruencias entre los triangulos que ahora hay.
5. Intenta encontrar congruencias entre los triangulos que ahora hay.
6. Demuestre que las bisectrices trazadas sobre los lados iguales de un triangu-lo isosceles son iguales.
7. Demuestre que las alturas trazadas sobre los lados iguales de un trianguloisosceles son iguales.
3.2. Angulos entre paralelas y triangulos semejantes
Teorema 3 (Primer teorema de Thales). En el triangulo ABC, sean D y Epuntos de AB y AC respectivamente, tales que DE es paralela a BC. Entonces
AB
AD=
AC
AE
Teorema 4 (Segundo teorema de Thales). Consideremos tres rectas y dos rec-tas transversales a estas como se muestra en la figura. Tenemos que si AD, BEy CF son paralelas entonces AB
BC= DE
EF. Recıprocamente, si AB
BC= DE
EFy dos de
las rectas AD, BE o CF son paralelas entonces las tres rectas son paralelas.
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Definicion 2. Decimos que dos triangulos son semejantes cuando sus angu-los son iguales y sus lados correspondientes son proporcionales. Los criteriospara determinar si dos triangulos son semejantes, son muy parecidos a los decongruencia y los podemos considerar como sigue:
Proceso 3. Dos triangulos son semejantes si cumplen ser semejantes AAA (obien AA), LLL, LAL o ALA.
Ejemplo 8. En un triangulo rectangulo la altura sobre la hipotenusa lo divideen dos triangulos semejantes a el
Solucion: Sea ABC un triangulo rectangulo con angulo recto en elvertice A y sea AD la altura sobre la hipotenusa BC.
Tenemos que ABC es semejante a DBA ya que ambos son triangu-los rectangulos y el angulo en B es comun; tambien los triangulosrectangulos ABC y DAC son semejantes, en estos el angulo en C escomun.
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3.2.1. Ejercicios
1. Utilizando el resultado del Ejemplo 8, demuestre el Teorema de Pitagoras.
2. Si ABC y DEF son triangulos, con AB, BC, y CA perpendiculares a lasrectas DE, EF , y FD respectivamente. Demostrar de ABC es semejantea DEF .
3. Si ABC y DEF son triangulos, y las rectas AB, BC, y CA forman unangulo de n◦ con las rectas DE, EF , y FD respectivamente. Demostrarde ABC es semejante a DEF .
4. Sean ABC un triangulo y D y E los puntos medios de los lados AB yAC. Demostrar que Los triangulos ABC y ADE son semejantes.
5. A una cuadrıcula de 10000 × 20000 cuadritos iguales, Se le traza unadiagonal (que va de un vertice al opuesto). ¿Cuantos cuadritos cruza estadiagonal?
6. Dado el triangulo ABC, sean X , Y y Z los puntos medios de los ladosBC, AC y AB, respectivamente, tracemos el triangulo XY Z. Demuestreque esto divide al triangulo original en cuatro triangulos congruentes.
7. Demuestre que las tres medianas de un triangulo se intersectan en unpunto en comun. (Sugerencia: Utilice el hecho de que si un punto dividea un segmento en cierta razon, no hay otro punto en esa recta con esapropiedad.)
3.2.2. Sugerencias.
1. Escribe las proporciones de la semejanza. ¿Cuales pueden ayudarte paraobtener el teorema?
2. Recuerda que la suma de los angulos interiores de un cuadrilatero es 360,¿en donde puede ayudarte esto?.
3. ¿En que se parecen el problema 2 y este? ¿que te puede ayudar del resul-tado delproblema anterior?.
4. Intenta expresar los lados de los triangulos en proporciones ¿Que puedesnotar?.
5. Intentalo en algo mas pequeno como 10×20. ¿Puedes encontrar triangulossemejantes? ¿pueden ayudar de algo?
6. 6. ¿En que te puede ayudar el problema 1?.
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3.3. Cırculos y angulos
Empezaremos el estudip de los angulos en un cırculo con algunas definiciones.Muchas de ellas ya las conoces, pero puede ser que algunas no. Es por eso quete invtamos a que las revices todas:
Definicion 3. En un cırculo, el segmento queva de un lado al otro de la circunferencia atrav-esando por el centro se le llama diametro.
Definicion 4. En un cırculo, el segmento queparte del centro a un punto de la circunferenciase le llama radio.
Definicion 5. En un cırculo, el segmento queva de un lado al otro de la circunferencia se lellama cuerda.
Nota: La mas grande de las cuerdas que puede tener un cırculo es el diametro.
Definicion 6. La procion de un cırculo que estadelimitado por los puntos de una cuerda se llamaarco.
Definicion 7. En un cırculo, la recta que loparte se llama secante.
Definicion 8. La recta que toca un solo puntode una circunferencia se le llama tangente y elpunto que toca se conoce como punto de tangen-cia.
La tangente tiene la propiedad de que en el punto de tangencia hace unangulo recto con el radio.
Definicion 9. En un cırculo, el angulo quetiene vertice en el centro del cırculo se le lla-ma central.
Definicion 10. En un cırculo, el angulo quetiene vertice en la circunferencia e intersecta elinterior del cırculo se le llama inscrito.
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Definicion 11. En un cırculo, cuyo vertice seencuentra en el interior del cırculo se llamaangulo interior.
Definicion 12. En un cırculo, el angulo quetiene vertice en la circunferencia e intercecta elinterior del cırculo, y uno de sus lados es unatengante, se le llama seminscrito.
Definicion 13. En un cırculo, el angulo cuyovertice se encuentra en el interior del cırculo sellama interior.
Nota: Si un angulo central mide α◦ diremos que el arco que subtiende mide α◦.
Ahora estamos en posicion de demostrar los siguientes teoremas:
Teorema 5. La medida del angulo inscrito es igual a la mitad de la medida delarco que subtiende. Es decir, Si un angulo inscrito y uno central subtienden elmismo arco, el inscrito mide la mitad del central.
Demostracion. Sea O el centro de la circunferencia. Vamos a llamarles ∠AOCal angulo central y ∠ABC al angulo inscrito.Trazamos el radio OB y el arco AC.
1. AO = BO = CO (Por ser radios)
2. △OBC, △AOC y △AOB son isosceles (Por 1.)
3. ∠OAC = ∠OCA (por 2. y el hecho de que a lados opuestos se oponenangulos opuestos)
4. ∠OBC = ∠OCB (por 2. y el hecho de que a lados opuestos se oponenangulos opuestos)
5. ∠BAO = ∠ABO (por 2. y el hecho de que a lados opuestos se oponenangulos opuestos)
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a
a
c
c
b
bα
A
O
B
C
Definamos como b = ∠OAC =∠OCA, c = ∠OBC = ∠OCB ya = ∠BAO = ∠ABO
6. 2a + 2b + 2c = 180 (Porser angulos interiores deltriangulo△ABC)
7. α + 2b = 180 (Porser angulos interiores deltriangulo△AOC)
8. 2a+ 2c = α (Igualando 6.y 7.)
9. ∠ABC = a+ c =α
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con argumentos parecidos podemos llegar a las siguientes concluciones:
Teorema 6. El angulo seminscrito mide la mitad del arco que lo subtiende.
Teorema 7. El angulo interior mide la mitad de la suma de los arcos que losubtienden.
Teorema 8. El angulo exterior mide la mitad de la diferencia de los angulosque lo subtienden.
Ahora vamos a usar esto para resoler los siguientes:
Ejemplo 9. Demuestre que si dos circunferencias con centros A y B son tan-gentes en C, son coolineales.
Demostracion. Nombremos L a la recta tangente y recordemos que dos circun-ferencias son tangentes en C si C esta en ambas circunferencias y ademas porC pasa L tangente a ambas circunferencias. . Se distinguen 2 casos:
Caso 1.- Son tangentes interiormente. Luego una de las circunferencias esta en elinterior de otra, como en el siguiente dibujo:
b b bbA B
A′ B′
C
Trazamos los diametros CA′ y CB′
a) A′C ⊥ L (Por ser el angulo seminscrito demedia circunferencia)
b) B′C ⊥ L (Por ser el angulo seminscrito demedia circunferencia)
c) Por a y b y el hecho de que A′ y B′ estandel mismo lado de L concluimos que A′
y B′ estan sobre la misma recta, lo queimplica que ABC sean colineales.
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Caso 2.- Son tangentes Exteriormente.
b b b b b
A′
A B
B′
C
Trazamos los diametros CA′ y CB′
a) A′C ⊥ L (Por ser el angulo seminscrito demedia circunferencia)
b) B′C ⊥ L (Por ser el angulo seminscrito demedia circunferencia)
c) ∠A′CB′ = 180, (Por a, b, y el hecho deque A′ y B′ estan an lados opuestos de L)
d) por c concluimos que A′CB′ estan alinea-dos, por lo que ACB estan alineados.
Ejemplo 10 (Potencia de punto). Sean AB y CD dos cuerdas del cırculo C.Nombramos I al punto de interseccion de AB con CD. Demostrar que AI ·IB =CI · ID
Demostracion. Trazemos los segmentos AC y BD:
b
b
b
b
b
DA
I
CB
1. ∠ACD = ∠ABD (Por que subtiendenel mismo arco)
2. ∠ACI = ∠IBD (Por 1)
3. ∠CAB = ∠BDC (Por que subtiendenel mismo arco)
4. ∠CAI = ∠IDB (Por 3)
5. △CAI ∼ △IDB (Por 2, 4 y criterioAA)
6.AI
ID=
CI
IB(Por 5)
7. AI · IB = CI · ID (Despejando 6)
3.4. Ejercicios
1. Demuestre que si en un cırculo dos cuerdas miden lo mismo, sus arcosmiden lo mismo.
2. Demuestre que un triangulo circunscrito que tiene por uno de sus lado eldiametro, es rectangulo
3. ¿A cuanto equivale la suma de los angulos opuestos de un cuadrilaterocıclico?
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4. En la siguiente figura, BC = AD, demuestre que AC ‖ BD
b
b
b
b
DA
CB
5. En la siguiente figura AD = DB y BC es tangente a la circunferencia en
C. Demuestre 2⌢
AC=⌢
ED +180
b
b
b
b
bA
C
D
E
B
3.5. Sugerencias
1. Dibuja los radios que van a cada uno de los puntos de las cuerdas, ¿Comopuedes relacionar los triangulos?
2. Dibuja el triangulo circunscrito en la circunferencia ¿Que angulo centralrepresenta el diametro?
3. Dibuja el cuadrıalatero, ¿Cuales son los arcos que subtienden a dos angulosopuestos? de que te puede servir este hecho?
4. ¿Que se puede decir acerca de los triangulos △ACD y △CAB, este hechocomo puede relacionar los angulos ∠CAB y ∠ABD
5. ¿Que se puede decir acerca de estos arcos y de los angulos que subtienden?¿Como podemos usar estas relaciones para llegar al resultado querido?
4. Teorıa de Numeros
4.1. Leyes de exponentes.
Recordemos que elevar un numero a a un cierto exponente n (n entero pos-itivo) significa multiplicarlo por sı mismo el numero de veces que marca elexponente.
32 = 3× 3 = 9
24 = 2× 2× 2× 2 = 16
an = a · a · a · · · a︸ ︷︷ ︸
nveces
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Si a, es un numero real y x, y numeros enteros o racionales, se cumplen lassiguientes propiedades:
1. a0 = 1.
2. a−x = 1ax.
3. a1x = x
√a.
4. ax+y = axay.
5. axy = (ax)y .
Ahora, veamos un ejemplo en el que utilizamos las reglas de exponentes:
Ejemplo 11. ¿Cuantas cıfras tiene el numero 21996 × 52000?
Solucion 21996 × 52000 = 21996 × 51996 × 54 = 101996 × 54. Entoncesson 1999 cıfras.
4.1.1. Ejercicios.
1. Escribir 25 + 25 como potencia de 2.
2. ¿Cual es la mitad de 298?
3. ¿Cuanto es 77 + 77 + 77 + 77 + 77 + 77 + 77?
4. Un pastel se corta quitando cada vez la tercera parte del pastel que hayen el momento de cortar. ¿Que fraccion del pastel original quedo despuesde cortar tres veces?
5. Sea 1, 4, 9, 16, . . . la sucesion de los cuadrados de los enteros positivos. Elnumero 108 es un termino de esta sucesion. ¿Cual es el termino de lasucesion que sigue despues de 108?
6. Poner los siguientes numeros en orden de menor amayor:2(34), 3(4
2), 4(23).
7. ¿Cuantas soluciones enteras tiene la ecuacion 2× 22x = 4x + 64
8. Encontrar y en terminos de x, de tal manera que : 2y = 16x+1 + 24x+4
9. ¿Para que valores enteros de x se cumple la ecuacion 23+x + 23−x = 65
17
4.1.2. Sugerencias.
1. ¿Que resultado da sumar a+ a? ¿como puedes utilizar este hecho para elproblema?
2. En lugar de ponerlo como una division, ponlo como una multiplicacion.(Recuerda a/b = a× 1/b = ab−1)
3. Utilza la misma idea del problema 1
4. En lugar de pensar en las partes que se cortan, pieansa en las partes depastel qeu te quedas en cada paso. ¿Puedes generalizar los pasos?
5. ¿Como puedes representar a 108 como un nnumero al cuadrado? (es decir,de la formaa2)
6. Expande los exponentes y recuerda que 4 > 3, 3 > 2 y que 4 = 22
7. intenta poner la expresion de la derecha en base 2.
8. Intenta poner la expresion de la derecha en base 2
9. Factoriza y expande cuanto puedas a fin de encontrar alguna otra formade expresarlo. ¿Que pasa si declaras y = 2x? ¿Como se verıa el problemaen base a y?
4.2. Factorizacion
Cuando multiplicamos dos expresiones algebraicas obtenemos un resultadocomo el siguiente:
3× 4 = 12
(2 + 3)× 5 = 25
(x+ y)(x+ y) = x2 + 2xy + y2
(x+ y)(x− y) = x2 − y2
Este proceso se puede hacer al reves, ası tenemos que:
12 = 3× 4
25 = (2 + 3)× 5
x2 + 2xy + y2 = (x+ y)(x+ y)
x2 − y2 = (x+ y)(x− y)
A esto se le llama factorizar, al convertir un numero en sus factores. Factorizaruna expresion, muchas veces puede ayudanos a resolver facilmente un problema.
18
Veamos el siguiente:
Ejemplo 12. Si m y n son enteros positivos que satisfacen mn+mn+1+mn+2 =39. Entonces ¿Cuanto vale nm?
Solucion. Veamos que:
39 = mn +mn+1 +mn+2 = mn(1 +m+m2)
Como m y n son enteros, entonces mn y 1 +m+m2 deben ser en-teros; y ademas deben ser factores de 39. Es decir que mn = 1, 3, 13o 39. Los unicos valores que pueden tener m y n para que tambien secumpla que mn(1+m+m2) = 39, sonm = 3 y n = 1. Luego, nm = 1
A continuacion te enlistamos algunas factorizaciones o formulas que puedesllegar a necesitar:
1. 1 + 2 + 3 + . . .+ n =n(n+ 1)
2.
Ejemplo 13. 1 + 2+ 3+ 4+ 5+ 6+ 7+ 8+ 9+ 10 =10× (10 + 1)
2= 55
Ejemplo 14. 1 + 2 + 3 + . . .+ 1000 =1000× (1000 + 1)
2= 500500
2. 12 + 22 + 32 + . . .+ n2 =n(n+ 1)(2n+ 1)
6
Ejemplo 15. 12+22+32+42 =4× (4 + 1)× (2×+1)
6=
4× 5× 9
6= 30
3. 13 + 23 + 33 + . . .+ n3 = (n(n+ 1)
2)2
Ejemplo 16. 13 + 23 + 33 = 1 + 8 + 27 = (3× (3 + 1)
2)2 = 36
4. 1 + a+ a2 + . . .+ an =(an+1 − 1)
(a− 1).
Ejemplo 17. 1+2+22+23+24 = 1+2+4+8+16 =25 − 1
2− 1= 32−1 = 31
5. an−1 + an−2b+ an−3b2 + . . .+ abn−2 + bn−1 =an − bn
a− b.
19
Ejemplo 18. 27 + 18 + 12 + 8 = 23 + 22 × 3 + 2× 32 + 33 =34 − 24
3− 2=
81− 16 = 65
Nota: Los puntos . . . significan que ası sigue la secuencia.Veamos un metodo interesante para comprobar la primera de estas factor-
izaciones:
Demostracion. Llamemos S a la suma 1 + 2 + . . . + (n − 1) + n, entonces sisumamos S + S es lo mismo que sumar:
1 + 2 + . . . + (n− 1) + n = Sn + (n− 1) + . . . + 2 + 1 = S
(n+ 1) + (n+ 1) + . . . + (n+ 1) + (n+ 1) = 2S
Entonces tenemos que 2S = (n+ 1) + (n+ 1) + . . .+ (n+ 1)︸ ︷︷ ︸
nveces
, ası que 2S =
n(n+ 1), es decir que S = n(n+1)2
4.2.1. Ejercicios.
1. Calcular la suma 2006 + 2007 + . . .+ 3006.
2. Calcular la suma 3 + 6 + 9 + 12 + · · ·+ 300.
3. Raul leyo un libro. El primer dıa leyo 5 paginas, y cada dıa siguiente leyo 2paginas mas que el anterior. Si la lectura le llevo en total 20 dıas, ¿cuantaspaginas tenıa el libro?.
4. Encontrar la suma de todos los numeros de 4 cifras en los que los dıgitos1, 2, 3 y 4 aparecen exactamente una vez. (Por ejemplo 1234 y 4132 sonde los numeros que buscamos, pero 1111 y 1321 no lo son.)
5. Usar la formula para sumas de potencias para calcular la suma 1− 3+9−27 + 81− 243+ 729, y comprobar el resultado obtenido haciendo la sumadirectamente.
6. Probar que el numero: 111 . . .1︸ ︷︷ ︸
2r
− 222 . . .2︸ ︷︷ ︸
r
es el cuadrado de un entero para
toda r. (Por ejemplo para r = 2 se trata del numero 1111− 22 = 1089 =332)
4.2.2. Sugerencias.
1. ¿Cuanto es 1+2+3+ . . .+3006? ¿Que puedes hacer, sabiendo esta suma,para llegar a 2006 + 2007 + . . .+ 3006?
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2. ¿Puedes factorizar cada una de las partes de la suma?, es decir ¿Hay unnumero que divida a cada uno de los numeros que aparecen en la suma?
3. ¿Que es lo que debes sumar obtener el numero de paginas? Intenta verque relacion hay entre el problema 1., 2., y 3.
4. Si pones todos los numeros en una columna ¿Cuantas veces se sumarıacada uno de los dıgitos?
5. Llamale S = 111 . . .1︸ ︷︷ ︸
rveces
e intenta replantear todos los numeros que paracen
en el problema como multiplos de S
4.3. Divisibilidad
Vamos a hablar de una propiedad de los numeros enteros por lo mismo,cuando nos refiramos a un numero en esta seccion entenderemos que el numeroes entero −∞, . . . − 2, −1, 0, 1, 2, . . . ∞.
Definicion 14. Diremos que el entero m es multiplo del entero b si existe unentero c tal que m = bc.
Ejemplo 19. 6 es multiplo de 2 ya que 2 × 3 = 6 y 3 es entero, mientras que5 no es multiplo de 2 por que 2× 2,5 = 5 Pero 2,5 no es un entero.
Definicion 15. Decimos que el entero b divide al entero a si existe un enteroc tal que a = bc.
Ejemplo 20. 3 divide a 6 ya que 2× 3 = 6
Nota: Si a es multiplo de b, entonces b divide a a.
Ejemplo 21. 3 divide a 6, y 6 es multiplo de 3.
Nota: El cero es multiplo de todo entero. Esto es por que si n es un entero,0× n = 0 y 0 es entero. Curioso ¿no?
4.3.1. Propiedades de divisibilidad
1. Si b divide a a, entonces −b divide a a.
Ejemplo 22. 3 divide a 6, y −3×−2 = 6, entonces −3 divide a 6
2. Si b divide a a y a 6= 0, entonces |b| ≤ |a|
Ejemplo 23. 3 divide a −6 y |3| < | − 6| ya que |3| = 3 y | − 6| = 61
1|| Significa valor absoluto, | − 2| = 2 y |2| = 2
21
Observacion: Si a y b son enteros positivos, a 6= 0, si b divide a a entoncesb ≤ a.
3. Si a divide a b y si b divide a a, entonces a = b o a = −b (a 6= 0, b 6= 0).
4. Si a divide a b y si b divide a c, entonces a divide a c.
Ejemplo 24. 3 divide a 6 y 6 divide a 12, tambien 3 divide a 12
5. Si a divide a b y c, entonces a divide a b+ c, b− c, y mas generalmente, adivide a bx+ cy para cualesquiera enteros x, y.
Ejemplo 25. 3 divide a 6 y 3 divide a 12. tambien 3 divide a 12+6 = 18,12− 6 = 6, etc.
6. Si a divide a b, entonces ac divide a bc para cualquier entero c.
Ejemplo 26. 3 divide a 6, tambien 3× 4 = 12 divide a 6× 4 = 24
A continuacion listamos las demostraciones de cada una de las propiedadesanteriores. Es conveniente que las conozcas y entiendas como ejercicio: De-
mostraciones:
1. Demostracion. Si b divide a a, entonces existe c entero, tal que bc = a(Por definicion de divisor). Como c es entero, −c es entero y ademas(−b)(−c) = bc = a. Entonces −b divide a a.
2. Demostracion. Si b divide a a y a 6= 0, entonces existe c entero, tal quebc = a (Por definicion de divisor). Pero, como a 6= 0 entonces c 6= 0,entonces |c| ≥ 1 lo que implica que |a| = |b||c| ≥ |b|1 = |b|.
3. Demostracion. Si a divide a b y si b divide a a, por la segunda propiedad|b| ≤ |a| |a| ≤ |b|, entonces a = b o a = −b.
4. Demostracion. Si a divide a b y si b divide a c, entonces existen d y eenteros, tales que ad = b y be = c. Sustituyendo ade = c y como de esentero, entonces a divide a c
5. Demostracion. Si a divide a b y c, entonces existen d y e enteros tales quead = b y ae = c (Por definicion de divisor). Si x y y son enteros entoncesbx + cy = adx + aey = a(dx + ey). Como dx + ey es entero, entonces adivide a bx+ cy.
6. Demostracion. Si a divide a b, entonces existe d entero, tal que ad = b. Sic es un entero, entonces bc = adc = ac · d. como d es entero, ac divide abc.
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7. Demostracion.
Ejemplo 27. Sea k un entero positivo, a = 9k + 2 y b = 12k + 1. Pruebe quelos divisores positivos comunes posibles de a y b son 1 y 5
Solucion. Sea d un divisor comun positivo de a y b. (Notese quecuales quiera dos enteros tienen al menos al numero uno como divi-sor comun positivo, es por ello que tiene sentido comenzar la pruebadiciendo “sea d un divisor comun positivo de a y b”).Para calcular los posibles valores de d, un metodo consiste en utilizarla propiedad 5 anterior: d divide a cualquier entero de la forma ua+vbcon u, v enteros. En nuestro caso, d divide a u(9k+ 2)+ v(12k+ 1).La idea es elegir adecuadamente a u y v de tal manera que se eliminek. Por ejemplo si elegimos u = 4 y v = −3, tenemos que d dividea 36k+8−36k−3 = 5. De aquı que los valores posibles de d son 1 y 5.
4.3.2. Ejercicios.
1. Probar que la suma de dos numeros pares es tambien un numero par2.
2. El producto de las edades de mis hijos es 1664. La edad del mas grandees el doble que la del mas pequeno. ¿Cuantos hijos tengo?
3. Sea k un entero positivo, a = 13k + 1 y b = −26k + 4. Demuestre que losdivisores positivos comunes posibles de a y b son 1,2, 3 o 6.
4. Explique por que es imposible encontrar enteros u y v tales que 6u−9v = 2.
5. Pruebe que si p es un entero positivo impar, la suma de p enteros conse-cutivos es multiplo de p.
6. Encontrar todas las parejas (a, b) de numeros enteros positivos tales queab− 3a− 2b = 6
4.3.3. Sugerencias.
1. Si un numero es par entonces lo puedes poner como 2×n para algun enteron ¿En que puede ayudarte este hecho?
2. Si la edad del mas grande es el doble de la del pequeno ¿como puedesexpresar esto? ¿De que te sirve aber este dato? Combina este dato con lode que el producto de las edades es 1664. ¿¿Que pasa al multiplicar lasedades del mas pequeno y el mas grande? Factoriza el numero 1664 ennumeros primos. ¿En que te puede ayudar esto?
3. Observa el problema de ejemplo. Usa las ideas del ejemplo.
2Un numero es par si es divisible por 2.
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4. Usa las ideas del ejemplo.
5. ¿Como puedes expresar la suma de estos numeros? (Acuerdate de lasfactorizaciones de la semana 4 y ve sus problemas)
6. El 3 y el 2 dividen al 6 ¿Como puede ayudarte este hecho?. Usa las ideasdel problema del ejemplo.
5. Combinatoria
5.1. Conteo I.
Para empezar a contar vamos a ver unos ejemplos:
Ejemplo 28. Si Odalys tiene 5 conjuntos deportivos y tiene 6 vestidos ¿decuantas maneras distintas se puede vestir Odalys si nop se puede poner un con-junto deportivo y un vestido a la vez?
Solucion. Odalys se puede poner un conjunto deportivo o un vesti-do, pero no ambos. Entonces Lucy tiene las siguientes opciones:
Lucy
Vestido
Vestido 1Vestido 2Vestido 3Vestido 4Vestido 5Vestido 6
Conjunto
Conjunto 1Conjunto 2Conjunto 3Conjunto 4Conjunto 5
En total hay 6 + 5 = 11 formas de vestirse .
Ejemplo 29. ¿Cuantas palabras de tres letras pueden formar si se dispone deun alfabeto con dos letras: A y B? (Nota: Son permisibles palabras como BBA)
Solucion. Consideremos tres casillas : en cada casilla puede ir
24
alguna de las dos letras.
Palabra
A
A
{AB
B
{AB
B
A
{AB
B
{AB
Ası tendremos que habra 2× 2× 2 = 8 palabras distintas.
5.1.1. Ejercicios.
1. Hay cinco distintos tipos de tazas y tres de platos en una tienda. ¿Decuantas maneras se puede comprar una taza y un plato?
2. En la tienda del problema anterior hay ademas 4 diferentes tipos de cucha-ras. ¿Cuantas maneras hay de comprar una taza, un plato y una cuchara?
3. En el paıs de las maravillas hay tres pueblos A, B, y C. Existen seiscaminos de A a B, y cuatro de B a C. ¿De cuantas formas se puede irdesde A hasta C
4. En el paıs de las maravillas se construyo un nuevo Pueblo, llamado D,y se construyeron tambien 3 caminos de A a D y 2 de D a C. ¿cuantasformas hay ahora para ir de A a C?
5. Volvemos a la tienda que tiene cinco distintos tipos de tazas, tres de platosy cuatro de cucharas. ¿De cuantas maneras se pueden comprar dos cosasde distintos tipos (por ejemplo, una cuchara y un plato)?
6. Durante una campana local, ocho candidatos republicanos y cinco democratasse nominan para presidentes del consejo electoral.
a) Si el presidente va a ser alguno de los candidatos, ¿Cuantos posiblespresidentes hay?
b) ¿Cuantas posibilidades hay para que una pareja de candidatos (unode cada partido) se oponga entre sı en la eleccion final?
7. ¿Cuantas maneras diferentes hay de llenar una planilla de pronosticosdeportivos? (En la planilla uno debe predecir los resultados de 13 juegosde futbol, indicando ya sea la victoria para alguno de los equipos o unempate).
8. ¿Cuantos partidos hay en un torneo de eliminacion simple en el que par-ticipan n equipos (para cada partido uno sale y el otro pasa a la siguienteetapa)?
25
9. ¿Cuantas maneras hay de fabricar una bandera tricolor con tres tiras hor-izontales del mismo tamano, si tenemos seis de esas tiras de colores dis-tintos?
5.2. Conteo II
Teorema 9 (Regla de la suma). Si una cierta tarea puede realizarse de m ma-neras de una forma o de n maneras para una segunda, en total la tarea se puedehacer de m+ n formas.
Ejemplo 30. Si Odalys tiene 5 conjuntos deportivos y tiene 6 vestidos ¿decuantas maneras distintas se puede vestir Odalys?
Solucion. Odalys se puede poner un conjunto deportivo o un vesti-do. En total hay 5 + 6 = 11 formas de vestirse .
Teorema 10. Si una cierta tarea puede realizarse de m maneras diferentes y,para cada una de esas formas , una segunda tarea puede realizarse de n manerasdistintas, entonces las dos tareas juntas pueden realizarse (en ese orden) de mnformas diferentes.
Ejemplo 31. ¿Cuantas palabras de tres letras pueden formar si se dispone deun alfabeto con dos letras: a y b? (Nota: Son permisibles palabras como bba)
Solucion. Consideremos tres casillas : en cada casilla puede iralguna de las dos letras. Ası tendremos que para cada casilla habra 2posiblidades y por la regla del producto, habra pues, 2 × 2 × 2 = 8palabras distintas.
Esta ultima idea es muy util, puede ayudarte para resolver los siguientes:
5.2.1. Ejercicios.
1. ¿Cuantas placas de automovil distintas se pueden hacer si una placa deauto consta de 3 letras y 4 dıgitos?
2. De un grupo de 10 ninos y 15 ninas se quiere formar una coleccion de 5jovees que tenga exactamente 2 ninas. ¿Cuantas colecciones distintas sepueden formar?
3. ¿Cuantos numeros de cuatro cifras distintos impares hay? ¿Cuantos sonpares?
4. Cinco estudiantes se escogen al azar de un grupo de 10 para formar unafila. ¿Cuantas filas diferentes se pueden formar?
5. En una carrera compiten cinco corredores A,B,C,D,E. Si nunca hayempates, ¿En cuantos resultados A le gana a B?
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6. Seis personas A,B,C,D,E, F se sientan en torno a una mesa redonda.¿Cuantas posiciones circulares diferentes hay? (Dos posiciones se consid-eran iguales si una se puede obtener de otra por rotaciones, Por ejemplo:ABCDEF es igual a FABCDE).
5.2.2. Sugerencias
1. Utiliza la idea de las casillas.
2. Imagina que primero eliges a las dos ninas, ¿cuantas formas habra de haceresto?, Ahora elige a los ninos. ¿que dice la regla del producto?
3. ¿Cuales son los dıgitos impares? Usa la idea de las casillas.
4. Elige primero a los estudiantes. Despues ¿Cuantas maneras habra paraacomodarlos? (Recuerda que Juan, Luis, Ana, Rodrigo y Fernanda, esuna fila distinta que Juan, Luis, Ana, Fernanda y Rodrigo).
5. Si A le gana a B, no importa en que orden, entonces B pierde. ¿Que puedeshacer con esto?. Sugerencia 2¿Cuantas veces le gana A, a B? ¿En quelugares puede quedar A, en cuales B y que combinaciones te interesa?
6. ¿Que pasarıa si es en una sola fila? ¿Cuantas veces se repiten cada orden?
5.3. Paridad
Los numeros 2, 4, 6, . . . se dicen que son numeros pares, mientras que losnumeros 1, 3, 5 . . . son impares. Formalizando:
Definicion 16. Si un entero k es multiplo de 2, se dice que es par, en otro caso,se dice que es impar3. Entenderemos por paridad de un entero, la cualidad deser par o impar.
Una propiedad interesante de los numeros pares, es que su suma, resta ymultiplicacion, siempre nos da numeros pares4. Ası mismo, un numero impar alsumarle o restarle un numero par, seguira siendo impar. Esto lo podemos decirde la siguiente manera: La paridad de un entero no cambia si le sumamos orestamos un par. Formalmente:
Proceso 4. 1. La suma, resta y multiplicacion de dos numeros pares, nosda como resultado un numero par.
2. La paridad de un entero es invariante ante sumas y restas de pares.
Demostracion. Sean a′, b′, dos numeros pares, por definicion estos son enterosmultiplos de 2. Luego, existen enteros a, b tales que 2a = a′ y 2b = b′. Por loanterior, tendremos que:
3Tambien puede decirse que es non4Es facil ver que en el caso de la division no siempre es ası, como ejemplo tomemos 6/2 = 3.
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a′ + b′ = 2a+ 2b = 2(a+ b)
a′ − b′ = 2a− 2b = 2(a− b)
a′ × b′ = 2a× 2b = 2(2ab)
Por otra parte, para demostrar que la paridad es invariante ante sumas y restasde enteros, tomemos un entero cualquiera a, se dan dos casos posibles:
1. a Es par: Por lo que acabamos de demostrar, al sumarle o restarle unnumero par, el resultado sera par.
2. a Es impar: Sumemos (restemos) un par b y digamos que el resultado esc. Si c fuera par, al restarle (sumarle) b, que tambien es un par, debera darun resultado par, pero a es impar, lo cual es una contradiccion.Concluimos que al sumarle o restarle un par, el resultado seguira siendoimpar.
Ejemplo 32. En el pizarron se tienen escritos once numeros 1. Se permitetomar dos numeros y sumarle 1 a ambos, restarle 1 a ambos, o sumarle 1 a unoy restarle 1 al otro. ¿Es posible mediante estas operaciones tener escritos en elpizarron once numeros 10? (16a Olimpiada en San Luis Potosı).
Solucion: Llamemosle s a la suma de los numeros escritos en el pizarronen determinado momento y notemos que mediante estas operaciones hay tresposibles resultados para s:
Tomar dos numeros y a ambos sumarles 1: Si la suma era s; lanueva suma sera s+ 2.
Tomar dos numeros y a ambos restarles 1: Si la suma era s; lanueva suma sera s− 2.
Tomar dos numeros, a uno sumarle 1 y al otro restarle 1: Si lasuma era s; la nueva suma sera s+ 1− 1 = s.
En cualquier caso, la paridad de la suma no cambia, y como el primer resul-tado de s es 11, el cual es impar, al aplicar las operaciones solo podremos tenerresultados impares. Por otra parte, la suma de once 10’s es 110, el cual es unnumero par. Por lo tanto, no es posible llegar a pintar once numeros 10 en elpizarron.
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5.3.1. Ejercicios.
1. Marıa y sus amigos estan sentados formando un cırculo, y de forma quelos dos vecinos de cada amigo son del mismo sexo. Si de los amigos deMarıa cinco son hombres, ¿cuantas mujeres hay?
2. Un nadador para entrenar realiza sesiones de entrenamientos de 3, 5 y 7kilometros. Su entrenador le recomienda entrenar un total de 35 kilomet-ros. ¿Podra realizarlos en 10 sesiones?
3. Un gusano se desplaza verticalmente sobre un arbol. Cada dıa puede sola-mente subir o bajar. Si el primer dıa recorre 1 cm, el segundo dıa recorre2 cm, y ası sucesivamente, ¿sera posible que despues de 17 dıas el gusanose encuentre en el lugar donde partio?
4. ¿Es posible dibujar una lınea quebrada de 11 segmentos, cada uno de loscuales se intersecta exactamente con uno de los otros segmentos?
5. Prueba que un polıgono cerrado que no se intersecta a si mismo y cuyoslados son verticales u horizontales, tiene un numero par de lados.
5.3.2. Sugerencias para los ejercicios.
1. ¿De que sexo debe ser la persona que esta al lado de Marıa?
2. ¿Cuales son los posibles resultados de un entrenamiento de 10 sesiones?¿Que podemos saber sobre la paridad del total?
3. Despues de 17 dıas ¿Que posibles valores puede tener la distancia a la quese encuentre con respecto al lugar donde partio? ¿Que sabemos sobre suparidad?
4. ¿Que sabemos a cerca de las intersecciones? ¿que le pasa a las intersec-ciones si quitamos un segmento?
5. ¿Como se pueden relacionar los lados verticales y horizontales? ¿se puedeconcluir algo de esto?
5.4. Casillas
Imagina que tienes tres palomas y dos palomares. Si todas las palomas estanen los palomares, puedes asegurar que al menos dos de ellas estan en el mismopalomar. Esta idea es muy simple, y sin embargo, es muy poderosa. Demos unenunciado formal del principio y a continuacion veamos un ejemplo:
Proceso 5. (Principio de casillas5) Si tenemos kn+ 1 elementos a repartirentre n conjuntos, podemos asegurar que habra al menos un conjunto con k+1elementos.
5Tambien se conoce como principio de palomares o de Dirichlet.
29
Demostracion. Supongamos que cada conjunto tiene a lo mas k elementos, alser n conjuntos, habra a lo mas kn elementos, contradiciendo el hecho de queson kn + 1 elementos. Por lo tanto, habra un conjunto con al menos k + 1elementos.
Ejemplo 33. En un triangulo, de area 4 se colocan 9 puntos. Muestre que haytres de ellos que forman un triangulo de area menor o igual que 1.
Solucion. Primero, trazemos paralelas a los lados, del triangulo, como en5.4, de tal manera que cada triangulo interior tenga area 1.
�����
AAAAA
�����
AAAAA
�����AAAAA
5.4
Como hay 9 puntos, y 4 triangulos, por principio de palomares, habra untriangulito que contenga al menos 3 puntos, por lo que el triangulo que formentendra area menor o igual a 1.
5.4.1. Ejercicios.
1. Prueba que de entre cinco puntos del plano con coordenadas enteras haydos cuyo punto medio tambien tiene coordenadas enteras.
2. Sea A un conjunto de 19 enteros diferentes elegidos dentro de la progresionaritmetica 1, 4, 7, 10, . . . , 100. Muestra que hay dos enteros diferentes en Acuya suma es 104.
3. Cada cuadrito de un tablero de 3× 7 es coloreado con alguno de dos colo-res (digamos blanco y negro). Muestra que en cualquier coloracion siemprehay un rectangulo del tablero que tiene los cuatro cuadritos de las esquinascoloreados del mismo color.
4. La prueba de invitacion a la olimpiada de matematicas tiene 25 pregun-tas de opcion multiple con 4 alternativas para cada pregunta. ¿Cuantosalumnos se necesitan para garantizar que hay dos de ellos con las mismasrespuestas en todo el examen?
5. En un cuadrado de lado 4 se encuentran nueve puntos. Muestra que existentres de ellos de manera que el triangulo que determinan tiene area menoro igual a 2.
30
6. Once segmentos se conectan formando una poligonal cerrada. ¿Puede unalınea que no pase por ninguno de los vertices, cortar a cada uno de losonce segmentos?
7. Prueba que un triangulo equilatero de lado 1, no puede ser cubierto total-mente con dos triangulos equilateros de lados menores que 1.
8. Con los vertices de una cuadrıcula de 6 × 9, se forman 24 triangulos.Muestra que hay dos triangulos que tienen un vertice comun.
9. En un triangulo equilatero de lado 3 se colocan 4 puntos. Muestra que haydos de ellos a una distancia menor o igual a
√3.
10. a) Los vertices de un pentagono regular se colorean de rojo y azul.Muestra que hay tres vertices que tienen el mismo color y que sonvertices de un triangulo isosceles.
b) El mismo problema pero con vertices de un heptagono regular.
c) Encuentra coloraciones de los vertices del hexagono y del octagonoregular con rojo y negro que no presenten triangulos isosceles convertices del mismo color.
5.4.2. Sugerencias para los ejercicios.
1. El punto medio de dos puntos en el plano con coordenadas (x1, y1) y(x2, y2) es (
x1+x2
2 , y1+y2
2 ) ¿Que se debe cumplir para que las coordenadasdel punto medio sean enteras?
2. ¿Que pareja de enteros suman 104? ¿cuantas de estas parejas hay?
3. En una columna siempre domina un color de cuadrito. En esos dominioshabra un color que domine ma columnas que otro. Zque puedes hacer conesto?
4. ¿cual es el mayor numero de examenes distintos que se pueden hacer?
5. ¿como puedes repartir los puntitos en casillas para que te queden al menostres en una de ellas? ¿como puedes garantizar que esos tres puntos tendranarea menor o igual 2?
6. Si esta lınea existiera, ¿que se puede decir de como se reparten los puntitoscon respecto a el lado de la lınea en que se encuentran? ¿Que se necesitapara que pase un segmento por la lınea?
7. ¿Como puedes cubrir los vertices del triangulo de lado 1?
8. ¿Cuantos vertices hay en la cuadrıcula? ¿cuantos vertices necesitan los 24triangulitos?
9. ¿Como puedes dividir al triangulo en tres partes iguales con diametromenor o igual a
√3?
31
10. Cuenta el numero de distancias distintas que hay en cada caso.
32
6. Ejemplo de un tercer selectivo
Olimpiadas de Matemáticas
SAN LUISPOTOSÍ
25
25a Olimpiada Mexicana de Matematicas
Tercer Examen Selectivo
Primer dıa
15 de mayo de 2010
1. En un triangulo ABC, sea D un punto sobre el lado BC tal que: DB =14 cm, DA = 13 cm y DC = 4 cm. Si se sabe que el radio de la circunfer-encia circunscrita al triangulo ADB es igual al radio de la circunferenciacircunscrita al triangulo ADC, determina el area del triangulo ABC. (No-ta: La circunferencia circunscrita a un triangulo es aquella que pasa porsus tres vertices).
2. Considera los numeros de la forma 1010 . . .101 que empiezan y terminancon el dıgito 1, y que se forman alternando los unos y los ceros. Determinatodos los enteros de esta forma que son numeros primos.
3. Se sabe que las fracciones a600 y b
700 son irreducibles. Determina el valor
mas pequeno que puede tener el denominador de la suma a600 +
b700 escrita
como fraccion irreducible.(Nota: una fraccion es irreducible si el numerador y el denominador notienen factores comunes mayores que 1; por ejemplo 1
2 es irreducible mien-tras que 2
4 no lo es).
4. Nueve ninos, todos de distintas estaturas, deben formar una fila ordenadade menor a mayor. Diremos que la fila tiene exactamente un error si hayun nino que esta inmediatamente detras de otro mas alto que el, y todoslos demas (salvo el primero de la fila) estan inmediatamente detras de unomas bajo. ¿De cuantas maneras los nueve ninos pueden formar una filacon exactamente un error?
33
7. Soluciones
7.1. Geometrıa
7.1.1. Congruencias
1. Sea △ABC un triangulo con sus lados ∠AB = ∠AC. Notemos que:
AB
AC
B
A
C
a) AB = AC (Por hipotesis)
b) AC = AB (Por hipotesis)
c) ∠BAC = ∠CAB (Por ser el mismo angulo)
d) △ABC ∼= △ACB (Por a,b,c y por criteriode congruencia LAL)
e) Por d concluimos que ∠ABC = ∠ACB
2. Sea △ABC un triangulo con sus angulos ∠ABC = ∠ACB. Notemos que:
α αB
A
C
a) ∠ABC = ∠ACB (Por hipotesis)
b) ∠ACB = ∠ABC (Por hipotesis)
c) BC = CB (Por ser el mismo lado)
d) △ABC ∼= △ACB (Por a,b,c y por criteriode congruencia ALA)
e) Por d concluimos que AB = AC
3. Llamemosle D al pie de la altura de △ABC desde A como en la figura;entonces se cumple que:
B
A
CD
a) ∠BAD = ∠CAD (Por hipotesis es bisectriz)
b) AD = AD (Por ser el mismo lado)
c) ∠ADB = ∠ADC (Por hipotesis es altura)
d) △BAD ∼= △CAD (Por a,b,c y por criteriode congruencia ALA)
e) Por d concluimos que BA = CA
4. Llamemosle D al pie de la altura de △ABC desde A como en la figura;entonces se cumple que:
34
B
A
CD
a) AD = AD (Por ser el mismo lado)
b) ∠ADB = ∠ADC (Por hipotesis es altura)
c) DB = DC (Por ser AD mediana)
d) △ADB ∼= △ADC (Por a,b,c y por criteriode congruencia LAL)
e) Por d concluimos que BA = CA
5. Llamemosle ABC a nuestro triangulo isosceles, con AB = AC y nombre-mos D y E a los puntos medios de los segmentos AC y AB respectiva-mente, Se cumple que:
B
A
C
DE
a) CD = DA = CA2 (Por ser D punto medio)
b) BE = EA = BA2 (Por ser E punto medio)
c) CA = BA (Por ser △ABC isosceles)
d) DA = EA (Por a,b y c)
e) ∠BAD = ∠CAE (Por ser el mismo)
f ) △BAD ∼= △CAE (Por c,d,e y por criterio de con-gruencia LAL)
g) Por f concluimos que BD = CE
6. Llamemosle ABC a nuestro triangulo isosceles, con AB = AC y nombre-mos D y E a los puntos sobre AC y AB tales que CD yBE son bisectricesde los angulos ∠ABC y ∠ACB. Se cumple que:
B
A
C
DE
a) ∠ABC = ∠ACB (Por ser isosceles)
b) BC = CB (Por serel mismo)
c) ∠ECB = ∠DBC (Por las bisectrices)
d) △ECB ∼= △DBC (Por a,b,c y por criterio de con-gruencia LAL)
e) Por d concluimos que BD = CE
7. Llamemosle ABC a nuestro triangulo isosceles, con AB = AC y nombre-mos D y E a los pies de las alturas sobre AC y AB Se cumple que:
35
B
A
C
DE
a) ∠ABC = ∠ACB (Por ser isosceles)
b) ∠BEC = ∠CDB (Por ser alturas)
c) ∠DBC = ∠ECB (Por a, b y el hecho de que la sumainterior de los angulos de un triangulo es la misma)
d) BC = CB (Por ser el mismo)
e) △ECB ∼= △DBC (Por a,c,d y por criterio de con-gruencia LAL)
f ) Por e concluimos que BD = CE
7.2. Angulos entre paralelas y triangulos semejantes
1.
A
B
D
C
b
b b b
Por el ejemplo, sabemos que los triangu-los △ABD ∼ △DAC ∼ △BCA Luegose cumplen las proporciones:
AB
BD=
AC
AB
BC
DC=
AC
BC
LuegoAB2 = BD ·AC y BC2 = DC · ACsumando obtenemos que:AB2 +BC2 = AC
2. Sean I = AB ∩ DE, J = BC ∩ EF y K = AC ∩ DF . El cuadrilateroBJEI tiene angulos rectos en J e I por lo que la su ma de los angulos enB y E deben ser 180, Por ello podemos garantizar que ∠ABC = ∠DEF ,de manera analoga, con el cuarilatero KAID obtenemos que ∠BAC =∠EDF y Por criterio de semejanza AA obtenemos que △ABC ∼ △DEF
36
bA
bC
bB
bD
bE
bF
bK
bI
bJ
3. Vamos a apoyarnos en la figura del ejercicio anterior, y notemos que paraque se forme un triangulo el angulo∠CJF+∠AKF = 180 Luego, ∠KCJ+∠JFK = 180, de donde cuncluimos que ∠EFD = ∠ACB. De formaanaloga en el cuadrilatero IBJE concluimos que ∠CBA = ∠IEF Luego,por criterio AA los triangulos △ABC ∼ △DEF
4.ComoD es punto medio de AB tenemosque AB
AD= 2 de manera analoga AC
AE=
2 y como ∠BAC = ∠DAE por ser elmismo angulo y aplicando criterio LALlos triangulos △ABC ∼ △ADE b
b b
b
b
B
D E
C
A
5.Notemos que el triangulo formado por los lımites de lacuadrıcula y la diagonal es semejante a cualquier porcionque esta limitada por una recta vertical, una horizontal y ladiagonal. Esto por que son paraelas las rectas horizontales ylas diagonales, por lo que los angulos interriores son igualesy por criterio AAA .Vemso que en una porcion de 1 × 2 la diagonal toca inter-secta 2 cuadros. Este patron se repetira por la semejanza,por lo que en el total de la cuadrıcula tocara 20000 cuadros.
6. Por el problema 2, sabemos que △ABC ∼ △AZY ∼ △ZBX ∼ △Y XC,y que ademas los lados de cada uno de los triangulos pequenos mide lamitad de los lados correspondientes en el triangulo grande.Luego, ZY = BX = XC, XZ = AY = Y C, y XY = AZ = ZB, lo que
37
implıca que △XYZ ∼= △AZY , △XY Z ∼= △ZBX △XYZ ∼= △Y XC porcriterio LLL.
7. Sea △ABC un triangulo cualquiera, y nombremosles X y Y a los puntosmedios de AB y AC respectivamente. Trazemos las medianas de AB yAC y a su punto de interseccion lo lamaremos I
b b
b
bb
b
B C
A
YX
I
Sabemos queAX
XB=
AY
Y B= 1 por ser x y Y puntos
medios. Luego, por el converso del teorema de Tales,obtenemos que XY ‖ AB, por lo que ∠XYB = ∠Y BCy ∠Y XB = ∠XCB. Luego, △XY I ∼ △CBI.Ademas. del problema 2 de esta seccion obtuvimos elresultado de que la recta que pasa por los punto mediosde un triangulo mide la mitad del tercer lado, es de-cir la razon de proporcion entre los triangulos △XY I y△CBI es de 1 : 2 por lo que sabemos que las medianasse cortan en razon 1 : 2.—Ahora, dado que las medianas fueron elegidas arbi-trariamente, podemos concluir que no importa que dosmedianas se elijan, la proporcion es la misma y como:“Si un punto divide a un segmento en cierta razon, nohay otro punto en esa recta con esa propiedad”, con-cluimos que las medianas concurren.
7.2.1. Cırculos y angulos
1. Nombremos AB y CD a las cuerdas y O al centro del cırculo.
b
b
b
b
bO
AB
CD
Tracemos los radios que van a A, B, C, D.Al ser radios se cumple que OA = OB =OC = OD por lo que △AOC ∼= CODLuego, ∠AOB = ∠COD lo que implica que
los arcos⌢
AB=⌢
CD.
2.
bb b
b
O
B C
ASean A, B, C los vertices del triangulo, conBC radio y O el centro del cırculo circun-scrito.Como BC es diametro el angulo ∠BOC =180, el cual es un angulo central. Con-cluimos que el angulo ∠BAC = 90 por serinscrito.
3.
38
AB
CD
Sean A, B, C y D los vertices delcuadrilatero cıclico. Notemos que el angulo∠BAD + ∠BCD es la mitad de la circun-ferencia. Como la circunferencia mide 360◦,concluimos que ∠BAD + ∠BCD = 180◦
4.
b
b
b
b
DA
CB
Como AD = BC, los arcos⌢
AD=⌢
BC, por loque ∠CDB = ∠ACD.Por el converso del teorema de tales tenemosque AC ‖ BD
5.b
b
b
b
bA
C
D
E
B
Como CO es radio, ∠BCO = 90. Luego,∠CBO + ∠COA = 90. Veamos que
∠CBA = 12 (
⌢
AC −⌢
CD). por ser angu-lo exterior, pero tambien se tiene que
∠CBA = 12
⌢
ED, por ser inscrito. Luego,⌢
AC −⌢
CD=⌢
ED
Por otra parte, como⌢
CD y⌢
AC forman
una semi circunferencia se cumple que⌢
AC
+⌢
CD= 180. Luego, 2⌢
AC=⌢
ED +180
7.3. Teorıa de numeros
7.3.1. Exponentes
1. 25 + 25 = 2× 25 = 26
2. 298/2 = 298 × 2−1 = 297
3. 77 + 77 + 77 + 77 + 77 + 77 + 77 = 7× 77 = 78
4. Notemos primero que quitar una tercera parte es equivalente a quedarnoscon 2 terceras partes. Entonces, al cortar el pastel tres veces tendremosdos terceras partes, de las dos terceras partes de dos terceras partes, del
39
pastel Luego tendremos:
2
3
(2
3
(2
3
))
=
(2
3
)3
=(2× 3−1
)3
= 23 × (3−1)3
= 23 × 3−3
=23
33
=8
27
Partes del pastel.
5. Notemos que 108 = (104)2 luego, el numero que sigue en la sucesion es(104 + 1)2 = 100012
6. Vamos a ordenar primero a 2(34) y a 4(2
3). Para esto recordaemos que22 = 4 luego:
4(23) = (22)(2
3)
= (22)8
= 216
y como 2(34) = 281, tendremos que 2(3
4) > 4(23).
Ahora, para poder comparar a 3(42) primero expanderemos el exponente
obteniendo 316. Como 3 > 2 se cumple que 216 < 316, es decir 4(23) < 3(4
2).Ademas 3 < 4 por lo que 316 < 416, pero:
416 = (22)16
= 232
Lo cual es menor que 264 por lo que concluimos que el orden es 4(23), 3(4
2), 2(34).
7. Veamos que:
2× 22x = 4x + 64
2× 4x = 4x + 43
2× 4x − 4x = 43
4x = 43
Por lo que solo hay una solucion, x = 3.
40
8. Se cumple que:
2y = 16x+1 + 24x+4
= (24)x+1 + 24x+4
= 24x+4 + 24x+4
= 24x+5
Por lo que y = 4x+ 5
9. Notemos primero las siguientes equivalencias miembro a miembro:
23+x + 23−x = 65
23 × 2x + 23 × 2−x = 65
8× 2x + 8× 2−x = 65
8× 2x +8
2x= 65
8× 2x × 2x + 8 = 65× 2x
Nombremosle y = 2x luego la ultima igualdad nos lleva a 8y2 − 65y +8 = 0. Esta ecuacion podemos resolverla con la acuacion general para lascuadraticas y ası obtenemos que:
y =65±
√652 − 4× 8× 8
2× 8
=65±
√652 − 22 × 82
16
=65±
√
652 − (2× 8)2
16
=65±
√652 − 162
16
=65±
√
(65 + 16)(65− 16)
16
=65±
√
(81)(49)
16
=65±
√
(92)(72)
16
=65±
√
(9 × 7)2
16
=65± 63
16
Los valores de y son 2/16 = 1/8 = 2−3 y 128/16 = 8 = 23, es decir y = 2−3
o bien y = 23 y como y = 2x, concluimos que los valores de x son -3 y 3.
41
7.3.2. Factorizacion
1. Sabemos que 1+2+. . .3006 = 3006×30072 y tambien que 1+2+. . .+2005 =
2005×20062 Por lo que 2006 + 2007 + . . .+ 3006 = 3006×3007
2 − 2005×20062
2. Como 3 + 6 + 9 + 12 + · · ·+ 300 = 3(1 + 2 + . . .+ 100) = 3 100×1012
3. El ultimo numero de paginas leıdas sera 43 (¿por que?), luego, tenemosque las paginas totales son: 5+7+. . .+43 = (3+2)+(3+4)+. . .+(3+40) =
20× 3 + 2× (1 + 2 + . . . 20) = 20× 3 + 2× 20(21)2 = 60 + 420 = 480
4. Hay 6 numeros que cumplen las condiciones y que ademas tienen el numero1 como unidad, hay otros 6 que tienen el 2, otros 6 con el 3 y otros 6 conel 4 como unidad. Estos seran todos los numeros. Ahora bien, de estos24 numeros, hay 6 que tienen el 1 como decena, 6 que tienen el 2 comodecena, otros 6 con el 3 y otros 6 con el 4 como decena. Y ası sucesiva-mente Entonces, obteneiendo la expansion decimal de todos los numerosobtendemos que su suma es igual a:
Suma = 6(1 + 2 + 3 + 4) + 6(10 + 20 + 30 + 40) +
6(100 + 200 + 300 + 400) + 6(1000 + 2000 + 3000 + 4000)
= 6(1 + 2 + 3 + 4) + 60(1 + 2 + 3 + 4) + 600(1 + 2 + 3 + 4) + 6000(1 + 2 + 3 + 4)
= 6666(1 + 2 + 3 + 4)
= 66660
5. 1−3+9−27+81−243+729 = (−3)0+(−3)1+(−3)2+(−3)4(−3)5+(−3)6 =(−3)7 − 1
(−3)− 1=
−2188
−4= 547
6. Sea s = − 111 . . .1︸ ︷︷ ︸
r
, luego el numero 111 . . .1︸ ︷︷ ︸
2r
− 222 . . .2︸ ︷︷ ︸
r
se puede represen-
tar como: 10rs+ s− 2s = (10r − 1)s = (999 . . .9︸ ︷︷ ︸
r
)s = (9s)s = 9s2 = (3s)2
lo cual es un cuadrado perfecto
7.3.3. Divisibilidad
1. Tomemos dos numero pares. Al ser pares los podemos representar comoun entero por 2, luego su suma se puede represenr como: 2a+2b = 2(a+b).Como a y b son enteros, a + b es entero, por lo que la suma es un enteropor 2; luego, la suma es par.
2. Veamos que 1664 = 27× 13, y como el mayor de los hijos tiene el doble deedad que el menor, ninguno de ellos puede tener como edad un multiplode 13 (ya que solo hay un factor 13). Ademas, Si el no es el mayor, debehaber un numero mayor a 13, 26, o algun otro multiplo de 13; Las unicas
42
cmbinaciones que se pueden hacer con os factores son 8, 13 y 16; por loque podemos concluir que tiene 3 hijos.
3. Sea d un divisor positivo de a y b, luego d|2a + b, pero como 2a + b =26k + 2− 26k + 4 = 6 se cumple que d|6 por lo que d solo puede ser 1, 2,3 o 6
4. Supongamos que existen u y v tales que 6u− 9v = 2, entonces:
6u+ 9v = 2
3(2u+ 3v) = 2
2u+ v =2
3
Pero esto no es posible ya que la multiplicacion de enteros y suma de en-teros nos da como resultado enteros. Por lo que no pueden existir enterosu y v tales que 6u− 9v = 2.
5. Sea a + 1 el primero de los p enteros consecutivos. Entonces la suma esqeuivalente a.
(a+ 1) + (a+ 2) + . . .+ (a+ p) = pa+ 1 + 2 + . . . p
= pa+p
p+ 12
= p
(
a+p+ 1
2
)
Pero como p es impar, p + 1 es par por lo quep+ 1
2es entero. Luego, la
suma de p enteros consecutivos es multiplo de p.
6. Notemos que si sumamos 6 a ambos lados de la igualdad obtenemos:
ab− 3a− 2b+ 6 = 12
(a− 2)(b− 3) = 12
Luego, a− 2|12, por lo que a− 2 solo puede ser 1, 2, 3, 4, 6, o 12. lo quenos da como resultado que a solo puede ser 3, 4, 5, 6, 14, y b debera ser15, 9, 7, 6, 5 o 4 respectivamente.
7.4. Combinatoria
7.4.1. Conteo I.
1. Habran 5× 3 = 15 formas diferente.
43
2. Hay 3× 4× 5 = 60 formas diferentes.
3. Podemos ir por cualquiera de los primeros 6 caminos y despues de esopodemos ir por cualquiera de los 4, luego hay 6×4 = 24 diferentes caminos.
4. Ahora tambien podemos ir por D y tenemos 2× 3 = 6 caminos diferentespr esta via. Luego hay 24 + 6 = 30 caminos en total.
5. Si llevamos un plato y una cuchara tenemos 3×4 = 12 formas, si llevamosuna taza y una cuchara tenemos 5×4 = 20 formas. Por ultimo, si llevamosuna taza y un plato hay 3× 5 = 15 formas, en total hay 12+ 15+ 20 = 47formas.
6. a) Hay 8 + 5 = 13 posibles presidentes
b) Hay 5× 8 = 40 posibilidades.
7. Para cada partido hay 3 posibilidades, luego hay 313 posibilidades.
8. Por cada partid hay un equipo que sale del torneo. Al final debemos tenersolo un equipo ası es que ha de haber n− 1 partidos (ya que son n− 1 losque salen del torneo.
9. La primer tira puede ser cualquiera de las 6, la siguiente cualquiera de las5 que quedan y la ultima debe ser algun de las 4 que sobran. En total hay6× 5× 4 = 120 banderas diferentes.
7.4.2. Conteo II
1. hay 26 letras y 10 dıgitos. Luego hay 26× 26× 26× 10× 10× 10× 10 =263 × 104
2. Habran(52
)(103
)Colecciones distintas.
3. Hay 9000 numeros de 4 cifras de ellos la miitad son par y la itad imparluego hay 4500 pares y 4500 impares.
4. Hay 5! = 120 filas diferentes.
44
5. Notemos que para cualquier resltado, si cambiamos el lugar de A y deB, en uno de llos gana A y en el otro no. Por lo queA ganara la mitadde resultados posibles. Los resultados posbles son 5! = 120 por lo que Aganra 60 veces.
6. Para que no haya problemas de rotaciones vamos a fijar a una personaen un lugar, entonces quedan 5 personas para sentarse las cuales puedentomar cualquier ugar, por lo que haya 5! = 120 formas diferentes de sen-tarse.
7.4.3. Ejercicios de paridad.
1. Supongamos que al lado derecho de Marıa hubiera una mujer, luego, allado derecha de ella deberıa haber otra mujer, ya que los vecinos de cadaun amigo son del mismo sexo. Pero por este mismo razonamiento todos
deberıan ser mujeres, lo cual no es cierto. Luego, al lado derecho de Marıahay un hombre. Con el anterior razonamiento deducimos que, en el cırculolos amigos estan en el orden: Mujer, Hombre, Mujer, . . .. Como sabemosque hay 5 hombres, tambien habra 5 mujeres.
2. El numero de kilometros que recorre en cada sesion es siempre impar, porlo que si hace 10 sesiones recorrera un numero par de Kilometros (sumapar de impares es par), y como 35 es impar, no le sera posible realizarlosen 10 sesiones.
3. Los dıas 1, 3, 5, . . . , 17 recorrera una longitud impar, mientras que los dıas2, 4, 6, . . . , 16 recorrera una longitud par. No importa si sube o baja ca-da dıa; la longitud total sera suma o resta de un numero par de pares yun numero impar de impares (8 pares y 9 impares), por lo que al finalse encontrara a una longitud impar desde donde empezo. Como 0 es par,el gusano no puede encontrarse en el lugar donde partio despues de 17 dıas.
4. Supongamos que logramos dibujarlo. Tomemos dos segmentos que se in-tersecten y eliminemoslos. Como solo se intersectan entre ellos, no hemoseliminado ninguna otra interseccion. Hagamos lo anterior 4 veces mas.Hemos eliminado todos los segmentos salvo uno, pero este no puede es-tar intersectado con nigun otro segmento ya que no queda ninguno porintersectar. Concluimos que no es posible dibujar una lınea quebrada de11 segmentos, cada uno de los cuales se intersecta exactamente con unode los otros segmentos.
45
5. Imaginemos que tenemos un polıgno como el que piden. Tomemos un ladovertical, despues de este le sigue un lado horizontal; luego uno vertical,despues uno horizontal, y ası sucesivamente hasta regresar al lado verticalque tomamos al principio. Entonces por cada lado vertical hay uno hor-izontal, si hay n lados verticales, al final tendremos 2n lados, lo cual espar.
7.4.4. Ejercicios de Casillas.
1. Recordemos que el punto medio de dos puntos en el plano con coordenadas(x1, y1) y (x2, y2) es (x1+x2
2 , y1+y2
2 . Luego, para que el punton medio dedos puntos (x1, y1) y (x2, y2) tenga coordenadas enteras, x1+x2 y y1+ y2deben ser pares, lo que es quivalente a pedir que x1 y x2 tengan la mismaparidad, al mismo tiempo que y1 e y2. Denotemos por p un numero par ypor i un numero impar; y observemos que solo existen cuatro posibilidadespara las coordenadas de los puntos: (p, p), (p, i), (i, p) y (i, i). Como hay5 puntos, al menos dos de ellos caen en la misma categorıa, por lo que suscoordenades x e y tienen la misma paridad, lo que implica que el puntomedio tiene coordenadas pares.
2. Organicemos a todos los terminos de la progresion, excepto a los numeros1 y 51, como en la siguiente tabla, de manera que las parejas en cadacolumna sumen 104.
4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49100 97 94 91 88 85 82 79 76 73 70 67 64 61 58 55
Si A tiene 19 elementos, al menos 17 de ellos pertenecen a esta tabla.Como hay 16 columnas, por principio de casillas, hay una columna de lacual sus elementos pertenecen a A, lo que implica que hay 2 elementos deA que suman 104.
3. Si una columna tiene 2 (o mas) cuadritos de color blanco diremos quees una columna blanca, en otro caso, diremos que es una columna negra.Como hay 3 renglones y dos colores, en cada columna hay al menos doscuadritos del mismo color. Luego, como son 7 columnas y dos colores,hay cuatro columnas de un color, digamos negras. Estas son las cuatroposibilidades para las columnas negras:
46
Si tomamos la primer columna, con cualquier otra columna se forma elrectangulo. En otro caso, hay tres columnas, por lo que se tendran queescoger 2 columnas del mismo tipo. Luego, simpre tenemos un rectangulocon las cuatro esquinas del mismo color.
4. Son 25 preguntas y por cada pregunta tenemos 4 opciones para respon-der, por lo que hay 425 opciones de respuesta del examen distintas. Paragarantizar que habran dos personas que tengan las mismas respuestas re-queriremos a lo menos 425 + 1 personas.
5. Dividamos al cuadrado en cuatro cuadritos de area 4:
Como tenemos nueve puntos y cuatro cuadritos, existe un cadrito quecontiene al menos 3 puntos, estos puntos forman un triangulo de area 2 omenos.
6. Supongamos que es posible y trazemos una lınea que corte a los once seg-mentos. Ahora coloreamos de azul los puntos que se encuentren de unlado de la lınea y de rojo los que se encuentren en el otro lado. Comola lınea toca a todos los segmentos, los vertices de estos deberan ser dedistinto color, por lo que tenemos unna secuencia del tipo rojo, azul, rojo,. . .. Pero al ser 11 puntos, habra un color que se use mas, digamos azul,y entonces la secuencia azul, rojo, ldots empieza y termina en azul, porlo que la poligonal no podra ser cerrada, lo cual es una contradiccion ala suposicion. Por contradiccion, obtenemos que no es posible cortar a losonce segmentos.
7. Supongamos que es posible. Dado que el triangulo de lado uno tiene tresvertices, y tenemos dos triangulitos, debe haber un triangulo que contenga2 vertices, pero estos vertices estan a una distancia de 1 y los triangulostiene lados menores que 1, por lo que no es posible. (Recuerda que “eldiametro” de un triangulo equilatero es la longitud de su lado).
8. Si cada triangulo tiene diferentes vertices que los demas, habra en total24× 3 = 72 vertices distintos, pero en la cuadrıcula solo hay 7× 10 = 70vertices diferentes por tomar. Luego habra dos triangulos que tengan unvertice en comun.
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9. Dado que el radio de la circunferencia circunscrita de este triangulo es√3,
los sectores circulares de radio√3 con centro en cada uno de los vertices
como se muestra en la siguiente figura cubren todo el triangulo.
Ahora notemos que en cada sector, la maxima distancia que hay entredos puntos, es
√3. Dado que hay 4 puntos y 3 sectores, habra dos pun-
tos en un mismo sector y estos estaran a una distancia menor o igual a√3.
10. a) Hay cinco vertices y dos colores, por lo que habra tres vertices de unmismo color. Mientras que en los vertices de un pentagono regular,solo hay dos distancias distintas; luego ese triangulo tendra dos ladosde la misma longitud, por lo que el triangulo es isosceles.
b) Como son siete vertices y dos colores, hay cuatro vertices del mismocolor. Ademas, en los vertices de un heptagono regular, solo hay tresdistancias distintas; luego, habra dos distancias que se repiten en estecolor. Luego, hay un triangulo isoceles.
c)
7.5. Un ejemplo de tercer examen
1. Como los radios de las circunferencias circunscritas son iguales, se siguedel teorema del angulo inscrito que ∠ACB = ∠ABC, y en consecuenciaAB = AC.
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A
B M D C
Sea AM la altura sobre el lado BC. Como el triangulo ABC es isosceles,tenemos que AM tambien es mediana, es decir, M es punto medio de BC.Luego, MC = BC
2 = DB+DC2 = 14+4
2 = 182 = 9 cm y MD = MC −DC =
9 − 4 = 5 cm. Aplicando el teorema de Pitagoras en el triangulo AMD,tenemos que:
AM =√
DA2 −MD2 =√
132 − 52 = 12 cm.
Por lo tanto, el area del triangulo ABC es 12AM · BC = 1
2 (12)(18) =108 cm2.
2. Demostraremos que el numero 101 es el unico numero primo de la formaindicada.Es facil verificar que 101 es primo, pues ninguno de los numeros primosmenores que
√101 < 11 dividen a 101.
Sea N = 1010 . . .101 un numero con m+1 unos y m ceros, donde m ≥ 2.Demostraremos que N no es primo.Tenemos que:
N = 1 + 102 + 104 + · · ·+ 102m.
Usando la formula conocida 1 + r + r2 + · · ·+ rm−1 = rm−1r−1 para r 6= 1,
tenemos que:
N =102m+2 − 1
99=
(10m+1 − 1)(10m+1 + 1)
99.
Si m es impar, entonces m+ 1 = 2k para algun entero positivo k y por lotanto 10m+1 − 1 = (102)k − 1 es multiplo de 102 − 1 = 99 (recuerde queas−1 = (a−1)(as−1+as−2+ · · ·+1)). Luego, en este caso N es producto
de los enteros 10m+1−1
99 y 10m+1 + 1 ambos mayores que 1, lo que implicaque N no es primo.Si m es par, entonces 10m+1 − 1 es multiplo de 10 − 1 = 9 (recuerde lafactorizacion de as − 1) y 10m+1 + 1 es multiplo de 10 + 1 = 11 (recuerde
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que as + 1 = (a+ 1)(as−1 − as−2 + · · · − a+ 1) si s es impar). Luego, en
este caso N es producto de los enteros 10m+1−1
9 y 10m+1+111 ambos mayores
que 1, lo que implica que N no es primo.Por lo tanto, el unico numero de la forma indicada que es primo es 101.
3. Como a, b, c, d y e son enteros mayores o iguales que 2, la suma decualesquiera cuatro de ellos es por lo menos 8. Luego, ya que:
b(a+ c+ d+ e) = 155 = 5(31),
donde 5 y 31 son numeros primos, tenemos que b = 5 y a+ c+ d+ e = 31.De manera analoga, la igualdad:
c(a+ b+ d+ e) = 203 = 7(29)
implica que c = 7 y a+ b+ d+ e = 29. Por lo tanto:
a+ d+ e = 24,
a+ b+ c+ d+ e = 36.
De la primera ecuacion tenemos que:
a(b + c+ d+ e) = 128,
a(36− a) = 27.
Para que a y 36− a sean potencias de 2, las unicas posbilidades son a = 4o a = 32.Si a = 32, tenemos que:
36 = a+ b+ c+ d+ e ≥ 32 + 2 + 2 + 2 + 2 = 40,
lo cual no puede ser, de modo que a = 4. Entonces, tenemos que:
e(a+ b+ c+ d) = 275
e(16 + d) = 275,
con d + e = 36 − a − b − c = 20. Como 275 = 11(25) y 16 + d ≥ 18,tenemos que e = 11 y d = 25 − 16 = 9. Observemos que la factorizacion275 = 5(55) darıa d = 39 y entonces 36 = a+ b + c + d + e > 39, lo cuales un absurdo. Por lo tanto, a = 4, b = 5, c = 7, d = 9 y e = 11.
4. Numeremos los ninos en orden creciente de estatura: 1, 2, 3, . . . , 9.Si el error se produce entre el primero y el segundo nino de la fila, elprimero es alguno de los ninos distintos de 1, desde 2 hasta 9 (si no, nohabrıa error), y una vez elegido el primero, los otros ocho se ordenan demenor a mayor detras del elegido. Hay 8 filas posibles con el error entre
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el primero y el segundo de la fila.Si el error se produce entre el segundo y el tercero de la fila, los dosprimeros ninos de la fila pueden ser cualesquiera excepto el par formadopor el 1 y el 2 (en cuyo caso no habrıa error). Los demas se ordenan demenor a mayor detras del segundo de la fila. En este caso hay:
(9
2
)
− 1 =9(8)
2− 1 = 34
filas posibles.Si el error se produce entre el tercero y el cuarto de la fila, los tres primerosde la fila pueden ser cualesquiera tres ninos excepto el trıo formado porel 1, el 2 y el 3 (en cuyo caso no habrıa error). Los demas se ordenan demenor a mayor detras del tercero de la fila. En este caso hay:
(9
3
)
− 1 =9(8)(7)
3(2)− 1 = 83
filas posibles.Analogamente, si el error se produce entre el cuarto y quinto de la fila,
hay(94
)− 1 = 9(8)(7)(6)
4(3)(2) − 1 = 125 filas posibles; con el error entre el quinto
y el sexto hay(95
)− 1 = 9(8)(7)(6)
4(3)(2) − 1 = 125 filas posibles; con el error
entre el sexto y el septimo hay(96
)− 1 = 9(8)(7)
3(2) − 1 = 83 filas posibles;
con el error entre el septimo y el octavo hay(97
)− 1 = 9(8)
2 − 1 = 34 filas
posibles; y con el error entre el octavo y el noveno hay(98
)− 1 = 9− 1 = 8
filas posibles.Por lo tanto, en total hay 8+34+ 83+125+125+ 83+34+8 = 500 filascon exactamente un error.
8. Glosario
A continuacion, se encuentra una recopilacion de los terminos que pudieranser desconocidos. En caso de que en la definicion se haga instruccion de ver uncapitulo, es por que en ese capitulo se encuentra la definicion del termino.
Altura En un triangulo, el segmento que pasa por un vertice del triangulo yes perpendicular al lado opuesto.
Angulo La apertura que tiene la interseccion entre dos rectas.
Bisectriz Segmento que pasa por un angulo de forma tal, que lo divide en dosangulos iguales.
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Casillas. Dicese cuando se enuncia el principio de casillas. Ver Capitulo 2.2Casillas.
Circunferencia circunscrita. La circunferencia circunscrita de una figura esla circunferencia del criculo mas pequeno que contiene a la figura.
Combinacion. Ver Conteo.
Diametro El diametro de un conjunto de punto en el plano (por ejemplo unafigura) es la maxima distancia entre dos de estos puntos.
Entero. Los numeros 0, 1,−1, 2,−2, . . ..
Factorial. Ver Conteo.
Mediana En un triangulo, el segmento que pasa por un vertice del triangulocorta a la mitad el lado opuesto.
Multiplo. a es multiplo de b si existe c entero, tal que bc = a. (ejem) 6 esmultiplo de 3 ya que 2× 3 = 6.
Palomares. Cuando se enuncia el principio de casillas. Ver Capitulo 2.2 Casil-las.
Par. Ver Paridad.
Paridad La calidad de ser par o impar. (ejem) La paridad de 2 es par. (ejem)La paridad de 3 es impar. Ver Capitulo 2.1 Paridad.
Punto medio (De un segmento.) El punto medio de un segmento AB es unpunto C sobre AB tal que AC = BC
Permutacion. Ver Conteo.
Regla de la suma. Ver Conteo.
Regla del producto. Ver Conteo.
Residuo. Se dice que r es residuo de dividir a entre b si existe un entero qtal que a = bq + r, con 0 ≤ r < b. (ejem) 2 es residuo de 5/3 ya que5 = 1× 3 + 2.
Triangulo isosceles Triangulo que tiene la medida de dos de sus lados iguales.
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9. Sımbolos y formulas.
n! = n× (n− 1)× (n− 2)× . . .× 1
0! = 1(n
k
)
=n!
(n− k)!k!(n
k
)
+
(n
k + 1
)
=
(n+ 1
k + 1
)
(a+ b)n =n∑
i=0
(n
i
)
an−1bi
=
(n
0
)
an +
(n
1
)
an−1b1 +
(n
2
)
an−2b2 + . . .+
(n
n− 1
)
a1bn−1 +
(n
n
)
bn
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